ELLE KES we fe AN å å p 3 u DEE ul sag? , eee FR FÅ L, Library of the Museum OF COMPARATIVE ZOOLOGY, AT HARVARD COLLEGE, CAMBRIDGE, MASS. Founded by private subscription, in 1861. VSVSVNSVSVNSINSVNSNVNSININVNG Bought. No.2 02-6. x nee Archiv Mathematik oe Naturvidenskab. | Udgivet af Sophus Lie, Worm Müller og G. 0. Sars. Tredie Bind. Kristiania. Forlagt af Alb. Cammermeyer. M1 878. REN TA Dre RO Dao. TONE mio od ardgod = ¢ Indholdsfortegnelse. G. O. Sars. Middelhavets Cumaceer ; Side. Ah Karl Pettersen. Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. Med et geologisk Profil over den skandinaviske Halvø fra Saltdalen til Pitéå . . . 3 À 1—38 G. A. Hansen. Oversigt over Aly ee N oe “(Mea 3) Planchet) 2-0. Se M D ONCE SE Re 39—44 Worm Miiller og I. Hagen. Sukkerets Titrering i Menne- SKOUBID FOR VL ge Re Re 45—83 Sophus Lie. Petite contribution å la théorie de la surface Steinerienne . US Se TED : 84—92 Sophus Lie. Theorie der Transformations-Gruppen. UL. . 93—165 Sophus Lie. Sätze über Minimalflächen. . . 166— 176 & W. M. Schøyen. Cidaria dilutata W.- V. 77181 » Kari Pettersen. Om de i fast Berg udgravede Site (Med Vi Kart) un % viftet vis 182—223 Sophus Lie. Sätze über de Men ‘I. . . ™ 224—933 & Jacob Heiberg. Lappische Gräber-Schädel. (Med 1 Planche) 234—240 8. À. Sexe. Om Skandinaviens vertikale Svingninger . 241—257 H. Geelmuyden. Om Zodiakallyset. (Med 2 Tavler). 258—292 Worm Miiller og I. Hagen. Om Druesukkerets Forhold til Kobberosyde. nun, Mens 293—306 - Worm Müller og I. Hagen. OmE nise at en Å med Kobberoxyd og Kali . . REN Sr 307—322 © Leonhard Stejneger. Underslægten Lanius med særligt Hen- Syni paa dens norske Atem NE Sulo ROMA CE 323—339 Sophus Lie. Sätze über Minimalflächen. I : 310—351 G. Armauer Hansen. Anatomie von Leanira tetragona. (Med 10 Tavlen ce ren 392—374 Sophus Lie. Theorie der Transformations-Gruppen. IV 375 —460 466—512 He plate! xx | Sr Sans, were Ae Gy, oF Dufflerment Lo Hu Ve SAA utt De ag vik . nes | Rettelse : 8. 68 L. 19 fra neden: | ab en stærkere Kogning destrueret 3.08 4 ee ar) Nes late det var den stærkere Kogı ng u struerede. . DET NORDLIGE SVERIGES OG NORGES GEOLOGI. MED ET GEOLOGISK PROFIL OVER DEN SKANDINAVISKE HALVØ FRA SALTDALEN TIL PITEÅ. AF KARL PETTERSEN. I Løbet af det sidste Tiaar har der fra norsk Side været anstillet en Række af mere sammenhængende Detailundersøgel- ser til Belysning af det nordlige Norges geologiske Bygnings- forholde. I de senere Aar har ligeledes Sveriges geologiske Undersøgelses-Bureau ladet opgaa anselige Landstrøg af det nordlige Sverige fra den Bottniske Bugt helt op til den norske Grændse. Idet de svenske og norske Undersøgelsesfelter her mødes, vil der nu maaske, ved at sammenstille det paa begge Sider saaledes vundne Udbytte, være Anledning til at vinde frem til et klarere Indblik i de her raadende geologiske For- holde i det Hele. Mer end et uløst Spørgsmaal stiller sig her frem. Og ikke mindst gjelder dette ligeoverfor en klarere For- staaen af det nordlige Norges Geologi. Den smale Kystrand her frembyder i flere Retninger en overordentlig rig Afvexling i de geologiske Bygningsforholde. Større og mindre granitiske Partier, men navnlig dioritiske, gabbroartede og diabasiske Bjergarter bryder hyppig og ofte i enorme Felter frem mellem mægtige og udbredte Lagrækker af tildels i høi Grad metamor- foserede Skiferrækker. Forskjellige Forholde vidne her for, at Skiferdannelserne maa være at sondre i relativt ældre og yngre 1 D Karl Pettersen. Grupper med sine respektive Underafdelinger. De geologiske Bygningsforholde ere her imidlertid oftest 1 saa hej Grad ind- viklede, at det vil være forbundet med overordentlige Vanske- ligheder i det hele og store at kunne gjennemføre en saadan videnskabelig berettiget Udsondring. Den underordnede Jura- Afdeling paa Andøen fraregnet, mangler her saavidt hidtil iagt- taget ganske forsteningsførende Lag, der 1 saa Henseende kunne yde sikrere Fodfæste. De omhyggeligste Undersøgelser paa norsk Side vilde neppe kunne kaste fuldt Lys over Forholdene her, med mindre de støttedes til dermed sammenhængende Undersøgelser paa svensk Side. De geologiske Forholde her ere maaske i det hele mere gjennemsigtige end de paa den vestlige Side af Kjølen, men heller ikke disse ville rimeligvis kunne ventes fuldt udredede, med mindre de omvendt støttes til Undersøgelser over de tilgrændsende Strøg paa norsk Side. Et Samarbejde mellem svenske og norske Geologer vil saa- ledes ikke alene 1 sig selv være ønskeligt, men antagelig ogsaa ligefremt nødvendigt. Nedenstaaende Fremstilling ønskes opfattet som et Forsøy til et saadant Samarbejde. I sidstforlabne August Maaned (1877) havde jeg Anledning til at overfare den skandinaviske Halve efter Limjen fra Salt- dalen over svensk Lappmark (Arjeploug og Arfvidsjaur) til Piteå ved den Bottniske Bugt. Idet jeg var knyttet som Del- tager til et større Rejseselskab, for hvilket en bestemt Rute var sat, kunde jeg derunder naturligvis ikke anstille mere om- fattende Undersøgelser af de over disse Streg raadende geolo- giske Forholde. Det lykkedes mig dog ved en opmærksom Agtpaagivenhed under Rejsen, der over lange Strøg foretoges til Fods, og ved enkelte kortere og længere Sideexkursioner fra den afsluttede Rejsedags forskjellige Standkvarterer at følge de vexlende geologiske Forholde saaledes, at jeg har kunnet opkon- struere et sammenhængende Profil efter den saaledes fulgte Linje. Trods alle dets Mangler tror jeg dog det vil kunne . , . 0] Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 9 være af nogen Interesse som Stottepunkt for senere fra svensk Side mere omfattende Undersøgelser inden svensk Lappmark. Ved min Ankomst til Stockholm modtog jeg af Professor O. Torell et netop udkommet Skrift om de for offentlig Reg- ning udførte geologiske Undersøgelser inden svensk Lappmark, — navnlig med Juckas Järfvis Malmfelter for Øje som Under- søgelsernes væsentlige Hovedformaal. Skriftet er ledsaget af et af Hr. David Hummel udarbejdet Oversigtskart over de hidtil undersøgte Streg af Norrbottens lin, — og derimellem ogsaa over det af mig befarede Strøg fra Rigsgrændsen ned mod Arfvidsjaur. Dette var allerede 1 1872 bleven opgivet af «Den seologiska undersökningens» tjenstmänn, uden at dog saavidt vides noget tidligere herom er offentliggjort. Dette Skrift ligesom ogsaa A. E. Tornebohms 1 1871 ud- eivne Afhandling «Über die Geognosie der schwedischen Hoch- gebirge» *) har ydet mig væsentlige Bidrag til efterstaaende Fremstilling. Til Belysning af Forholdene over de her overfarede Strøg skal først gives en kort Fremstilling over de geologiske For- holde, som de træde frem langs den omhandlede Linje. Paa Grundlag af disse skal derpaa gjøres et Forsøg paa at levere en Fremstilling af Bygningsforholdene i det hele og store over den skandinaviske Halvøs nordlige Del. I Bunden af Saltdalen — paa den østlige Side tversovenfor Lerjordfald — og opover de laveste Partier af Dalvæggen fandtes rødlig Gneis. Stregretningen N—S. med 30° østl. Fald. Derover Glimmerskifer med Indlejninger af krystallinisk kornig graalighvid Kalksten. I Kvartsbaand her fandtes Molybdæn- glans. Junkerdalsuren — ved Solbergh — Glimmerskifer i Vex- *) Bihang til »K. Svenska Vet. Ak. Handlingar« Stockholm 1873. 12 4 Karl Pettersen. ling med kvartsitisk Skifer. Fald stejlt østlig. Ved Gaarden Junkerdal (i Bunden af Junkerdal omkring 600° o. H.) hentedes følgende Profil opover Fjeldvæggen langs Dalens Nordside: a) Granitisk Bergart. b) Umiddelbart over Graniten mægtige Lagrækker af glind- sende Skifer og Grafit-Skifer (med sort Streg). Stregretning O—V. Fald 30° N. c) Derover en lysere Bergart, antagelig kvartsitisk Glimmer- skifer. Grændsen mellem (b) og (c) tegner sig som en ret skarpt begrændset Linje, der med Øjet kan følges efter lange Strækninger. Fjeldvæggene ere her stejle og temme- lig utilgjængelige, saa det ikke lykkedes mig at naa op til denne Grændselinje. Den ligger antagelig ı Højde af adskillig over 1000’ over Dalbunden. Det granitiske Parti (a) træder paa det her omhandlede Sted frem mere underordnet men er dog utvivlsomt at opfatte som en fremspringende Del af et megtigt granitisk Felt, som bryder frem langs Junkerdalens sydlige Side og herfra — for en væ- sentlig Del byggende fjeldpartiet mellem Junkersdal og den søndenfor liggende Løndal — skyder sig indover mod Rigs- grændsen. Vejstien mellem Gaarden Junkersdal og Fjeldstuen Gradis paa norsk Side af Rigsgrændsen fører langs Dalens sydlige Af- hæld over dette granitiske Felt. Langs hele den nordlige Side af Dalføret er den granitiske Undergrund dækket af flere tu- sinde Fods mægtige Lagrækker af de over Junkerdal omhand- lede skiferdannelser b) og ce). Den granitiske Bergart er dels ren typisk rødlig Granit, dels gaar den ogsaa over til laget Granit (Gneis-Granit) og vexler hyppig med renere Gneisstrata. Skjønt 1 Regelen mere typisk præget end den ejendommelige Gneis-Granit, der saa udbredt bryder frem langs det nordlige Norges Kyststrøg, er den dog hyppig saaledes indvævet med gneisartede Strata, at Feltet i sin Helhed ingenlunde kan være at betegne som rent - Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. D granitisk. I denne Henscende er Graniten her ganske at sam- menstille med den, der bryder frem inden forskjellige granitiske Partier, som jeg havde Anledning til at undersoge lidt nærmere — 1 Kyststroget fra Luleå ned mod Stockholm. Overalt vil man finde den renere granitiske Karakter stærkt vexlende med en mer eller mindre udpræget gneisartet Struktur. De paa geologiske Karter saa skarpt markerede Grændser mellem Granit og Gneis ere vel ogsaa 1 Virkeligheden i Regelen mere ima- ginære end reelle. De høje Fjeldpartier langs den nordlige Side af Dalen ere byggede af de samme Skiferdannelser, der ere omhandlede oven- for og hvis Lagrækker overalt viser en svagt heldende til svæ- vende Lagstilling. Hvor Skiferafdelingen b) og Granit træder i Kontakt, ligger altid Skiferen over, uden at der nogetsteds er iagttaget Tegn til, at Graniten har gjennembrudt Skiferen eller indvirket forstyrrende paa Lagstillingen. Graniten maa saaledes 1 ethvert Tilfælde antagelig være ældre end Skiferen. Højfjeldspartiet fra Fjeldstuen Gradis over Rigsgrændsen er bygget af de samme nys omhandlede Lagrækker af glind- sende Skifer, grafitisk Skifer (med sort Streg) tildels ı Vexling med kvartsitisk sandstenagtig Skifer. Disse Skiferdannelser ere petrografisk ganske ensartede med dem, der bygge Fjeldgrun- den over Hojfjeldet under Foden af Sulitelma-Toppene.') Som nedenfor nærmere skal blive paavist, danner de her nævnte Afdelinger Led under en over det nordlige Skandinavien sær- deles udbredt Bygningsgruppe. Granit danner antagelig som en Fortsættelse af det granitiske Parti langs Junkerdalen Ski- ferafdelingens umiddelbart Underliggende over det hele Strøg paa begge Sider af Rigsgrændsen. I ethvert Tilfælde fandtes den trædende frem i Bunden af forskjellige af de her liggende Højfjeldsskjæringer og skydende ind under Skiferen. Højfjelds- 1) Se Saltens Geologi, Archiv for Math. & Naturv., 1 Bind. 6 Karl Pettersen. passets Kulminationspunkt 1 Strøget om Rigsgrændsen ligger her 1 en Højde af omkring 2200' (690 m) o. H. Ved Fjeldstuen Merkenis — paa svensk Side — bygges Fjeldgrunden fremdeles af den samme Skiferafdeling med glind- sende Skifer 1 Vexling med sort Grafitskifer i horisontal til svævende Lagstilling: Grafitskiferen sees hyppig indfældt med Udsondringer og Nyrer af ren Kvarts. Ved Ballasvik — ved Sædva-jaur 1 en Højde af omkring 1400' (439 m) o. H. træder en smaaskjellet Glimmerskifer frem, der viser øst-vestlig Strøgretning med sydligt Fald. Graendse- forholdene mellem denne Glimmerskifer og den glindsende Ski- ferafdeling lykkedes det ikke at faa udredet. Der skal saaledes fra det omhandiede Togt ikke kunne anføres noget, der mere direkte peger 1 Retning af, at man her har for sig enten en ny Afdeling eller et Led, der er at indordne under den glind- sende Skifer-Gruppe. Paa Hummels ovennævnte Oversigtskart er det hele Strøg fra Rigsgrændsen ned mod Löfmok ved Hor- nafvans Øverende betegnet med den samme gule Farve og nogen Sondring her saaledes ikke gjort. Jeg tror dog at der er Grunde, der tale for, at man her i Virkeligheden har for sig forskjellige geologiske Grupper. I Henhold til, hvad jeg har haft Anledning til at iagttage, afsluttes den mildere Skifer- afdeling 1 Nærheden af Ballasvik, mens derimod herfra et større Glimmerskiferfelt kan følges østover forbi Jæggvik ved Hornat- vans østlige Ende. Her bygger den de temmelig høje Fjeld- partier mellem Horuafvan paa den ene Side og det sendenfor samme liggende -Dalføre, der gjennemstrømmes af Laiselvens Vandsystem — fra Jægevik over til Adolfstrøms gamle Hytte. Over hele dette Strøg viser Glimmerskiferen en regelmæssig øst-vestlig Strøgretning med temmelig stejlt sydligt Fald. Denne Lagstilling, der saa bestemt afviger fra den svævende Lagstil- ling inden den mildere Skiferafdeling, vidner 1 Forbindelse med de saa forskjelligartede petrogratiske Forholde antagelig snarest for, at en Sondring her ber finde Sted. Spergsmaalet bliver Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. ~ altsaa her, at bestemme det relative Aldersforhold. I Henhold til hvad ovenfor er fremholdt, skal jeg herom ikke kunne udtale mig med nogen Bestemthed. Paa Forhaand kunde der vel være Grund til at forudsætte, at Glimmerskiferafdelingen maatte være den ældste, baade fordi Glimmerskiferen er stærkest meta- morfoseret og fordi den oprindelige Lagstilling her har været underkastet de stærkeste Forrykkelser. Ingen af disse Momen- ter ere imidlertid 1 og for sig ı saa henseende at tildele nogen afgjørende Vægt og — som nedenfor nærmere skal fremholdes — pege de svenske geologiske Undersøgelser ogsaa 1 en anden Retning. Henimod den østlige Ende af Sædva-jaur sees sorte og grønne Lerskifere — 1 petrografisk Henseende ganske analoge med den røde og grønlige tildels flammede Lerskifer — der optræder gjennem en længere Strækning langs Divielven, en Sideelv til Maalselven paa norsk Side. Skiferen viser et tem- melig stejlt vestligt Fald. Den er ret hyppig gjennemsat af Kvartsaarer. En ‘som det syntes mere ulaget Lerstensmasse forefandtes ı løse Brudstykker, og maa utvivlsomt tilhøre Ler- skiferafdelingen. En hermed ganske ensartet Lerstensdannelse optræder i fast Berg inden Dividalens Lerskifer. Trods det, at der hverken her eller inden Dividalen er paavist Forsteninger, ere Forholdene paa begge Steder i enhver Henseende saa ensartede, at det antages med al Bestemthed at kunne udsiges, at Lerskiferafdelingen ved Sædva paa svensk Side og den langs Divielven paa norsk Side tilkore én og samme geologiske Afdeling. Dette er et Forhold, som vil blive at tillegge en ikke ringe Betydning for Udredningen af de geologiske Bygningsforholde over Sveriges og Norges nordlige Del. Ved Jægevik er Lerskiferen igjen afløst af den samme smaaskjellede Glimmerskifer, der bygger Fjeldgrunden ved Bal- lesvik. Glimmerskiferen optræder her 1 et større sammenhæn- gende Felt mellem Hornafvan og Laiselvens Vasdragssystem. Imellem disse rejser sig en Fjeldmur til en Højde af omkring 8 Karl Pettersen. 1200’ over Hornafvans Spejl. Dette Fjeldparti er bygget af Glimmerskifer. Den blottede Fjeldgrund træder hyppigt frem op efter Fjeldmurens højere liggende Afhældspartier ligesom ogsaa henover det egentlige Højplateau, og Skiferen viser over- alt en regelmæssig øst-vestlig Strøgretning med temmelig stejlt sydligt Fald. Lagstillingen findes saaledes her ganske i Over- ensstemmelse med den, der aflæstes 1 Strøget om Ballasvik. Ogsaa den mægtige Pelje-Gaisi (Pelje-Kaisi), der fra Fjeldryg- gens brede Plateau som en isoleret Kegle rejser sig op til en Hojde over Havfladen af 3360‘, er efter al Sandsynlighed helt op til Top bygget af den samme Glimmerskifer. Op over Højplateauet strax vestenfor Pelje-Gaisi fandtes Glimmerskiferen gjennemsat af enkelte Partier af en mørk tem- melig finkornig Diabas med graalig hvid Plagioklas, porfyragtig indvoxet. Den ovenomhandlede Lerskifer blev ikke truffet i mere umiddelbart Sammenstød med Glimmerskiferen. Jeg er saaledes ude af Stand til med Støtte af egne Observationer at kunne udtale mig med mere Bestemthed om Lerskiferens og Glimmerski- ferfeltets relative Aldersforhold. I Hummels ovennævnte Over- sigtskart er — som ovenfor fremholdt — det hele Felt fra Rigsgrændsen ned til Hornafvan betegnet med samme Farve og opført som en kvartsitisk Aflening med udpræget skifrig Struk- tur og liggende over og i Grændsepartierne tildels vexlende med Lerskifer. Lerskiferafdelingen danner her et smalere Baand mellem den kvartsitiske Afdeling og et vidtstrakt granitisk Felt, der her stikker ind under Lerskiferen. Glimmerskiferen om Jæggvik maa antagelig være at sammenstille med Kartets kvartsitiske Felt og Lerskiferen om Sædva at indordne under Kartets Lerskifersone. Efter Hummels Kart er Forholdet vel nærmest — om jeg ikke skulde have misforstaaet Fremstillingen i den til samme knyttede Afhandling — at opfatte saaledes, at Lerskiferen og Glimmerskiferen (Kvartsiten) danner Led inden én og samme Hovedgruppe, dog saa at Lerskiferen her indtager Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. — 9 den laveste Plads inden den hele Afdeling. At saa ogsaa i Virkeligheden kan være Tilfældet, skal her ingenlunde kunne bestrides. For det Tilfælde denne Opfatning imidlertid ikke skulde støtte sig til saadanne Aflæsninger, der stiller det nævnte Forhold frem med fuld Bestemthed, vil jeg af flere Grunde paa Forhaand være mest tilbøjelig til at holde Glimmerskiferen og Lerskiferen ud fra himanden som særskilte Grupper. Med Hen- syn til det gjensidige Aldersforhold vilde jeg — naar jeg ikke havde haft svenske Forarbejder at støtte mig til — maaske helst have opstillet Glimmerskiferafdelingen som den ældste. I Henhold til de svenske Undersøgelser maa imidlertid Forhol- det i saa Henseende utvivlsomt være omvendt. Da Forholdene paa norsk Side, som senere nærmere skal paavises, kan pege i samme Retning, vil jeg ogsaa i denne Afhandling ganske holde mig til denne Forudsætning. Som før nævnt optræder en med Sædvas Lerskifer øjen- synlig ganske ensartet Lerskiferdannelse langs Maalselvens Side- elv Divielv gjennem en Længde af et Par Mil. Den overlejes her af en Kvartsskifer, dels graalig med hyppig indsprængte rust- brune Pletter og Korn af Jernoxydhydrat dels mere sortagtig og i saa Tilfælde utvivlsomt noget bitumines. Kvartskiferen over- lejes igjen af Lerglimmerskifer og glindsende Skifer, der tildels kan indeslutte Lag af renere Lerskifer. Lerskiferen med kvarts- iten danner her øjensynlig en sammenhørende Lagrække af en Mægtighed af et Par hundrede Fod, men ogsaa den overliggende mægtige Lagrække af Lerglimmerskifer m. m. maa utvivlsomt blive at gruppere sammen hermed som Afdelingens yngste Led. Glimmerskiferen om Ballasvik afviger i petrografisk Hen- seende saa væsentlig fra den helleflintartede Kvartsit, der langs Divielven ligger over Lerskiferen, at der paa Forhaand kunde synes liden Grund til at sammenstille dem som ækvivalente Dannelser. Medens Dividalens Kvartsit optræder med en ringe Mægtighed og mere som et helt underordnet Led, optræder der- imod Glimmerskiferen om Jæggvik 1 en betydelig Mægtighed 10 Karl Pettersen. og bygger et Felt af anseelig Udstræknimg. Den findes her endvidere gjennemsat af diabasiske Bergarter, der synes nærmest at maatte paralleliseres med de gabbroartede og diabasiske Mas- siver, der paa norsk Side gjennemsætter Tromse Glimmerskifer- gruppes Lagrækker. Under den ovennævnte Forudsætning, at Lerskiferen om Sædva danner Glimmerskiferens Underliggende og at Glimmerskiferafdelingen om Jægevik er at parallelisere med Tromsø Glimmerskifergruppe vil man altsaa her have vundet et vigtigt Bidrag til nærmere at bestemme denne paa norsk Side saa udbredte Bygningsgruppes Aldersplads. Fra Jæggvik østover stikker det faste Berg hyppig frem langs Hornafvan 1 Skiferstrata med noget afvexlende Lejning. Omkring 13/+ Mil østenfor Jæggvik fandtes Fjeldgrunden at dannes af Lerskifer, Lerglimmerskifer, grønlig kloritisk Skifer 1 Vex- ling med Haardskifer ligesom ogsaa af en med Dividalens Kvarts- skifer ganske ensartet Dannelse. I Skiferen saaes hyppige Aarer af hvidig Kalk (antagelig Magnesia-Kalk). Omkring Södra-Rösnes (ved Hornafvan) afløses Skiferen af Granit og denne optræder nu herfra eneraadende gjennem mile- vide Strækninger ostover helt ned mod den Bottniske Bugt, hvor den afloses af mere gneisartede Dannelser. I petrografisk Henseende kan Graniten her være adskillig variabel. Ved Södra Rösnes er den nærmest at betegne som en Hornblende-Granit, idet Hornblende her indtager Glimmerens Plads. Ved Kasker dannes den af rodlig Orthoklas med Kvarts og mørk Magnesia-Glimmer. Forevrigt er Fjeldgrunden her over vide Strækninger dækket af granitiske Rullestensblokke etter en Maalestok, hvortil jeg — enkelte mere indsnævrede Lokaliteter fraregnede — ikke har seet noget tilsvarende paa norsk Side. Fra Arfvidsjaur østover træffes mellem de grani- tiske Blokke ogsaa Rullestene af Diabas og Diorit. Flere af disse dioritiske Grønstene ligner i petrografisk Henseende gan- ske de dels finkomige dels mere grovkornige Afændringer af Diorit, der bryder frem mellem Kvænangens og Altens Skufer- Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 11 afdeling — en Gruppe, der vel nærmest er at parallelisere med Dividalens Skiferfelt. Ved Store Granli stikker Gueislag frem i Vexling med Granit. Strøgretnmg NS, Faldet stejlt vestlig. I Nærheden af Store Granli afsluttes det vidstrakte Hej- fjeldsplateau, der er fulgt fra Sædva gjennem en Strekning af omkring 26 Mile og ligger 1 en Heide over Havfladen af om- kring 1360’ — fra Arfvidsjaur dog med nogen Sænkning østover. Her begynder Hojplateauet temmelig skarpt at senke sig ned mod det lave og forholdsvis smale Kyststreg om Piteå. Der har ikke været Anledning til at undersoge nærmere de geolo- giske Bygningsforholde over Piteå Lavland, men der er paa Forhaand al Grund til at forudsætte, at Berggrunden her som angivet paa Ritset dannes af Gneisstrata 1 Vexling med eller med hyppige Overgange til renere Granit, og at dette Gneis- belte stryger langs den Bottniske Bugt nordover forbi Luleå. Ved Mjølkutberget — strax i Nærheden af Luleå By — dan- nedes Berggrunden af rød og graa Gueis i Vexling med mørk Glimmergneis. Bergarten viste tildels udpræget Lagdeling og Strøgretning NV.—SØ. med stejlt til 60—70° sydvestligt Fald. Gneisen fandtes hyppig gjennemsat af rødlig Granit ofte enten i tilsyneladende Gangform med tildels skarp Begrændsning mod den mere gneisartede Grundmasse eller ogsaa i tykkere og sma- lere Baandmasser mellem Gueisstraterne, og i saa Tilfælde parallelløbende med disse. Forovrigt fandtes Granit og Gneis saaledes knyttede til hinanden gjennem Overgange i Struktur- forholdene, at de upaatvivlelig maa være at opfatte som Afæn- drmger under et sammenhørende Hele. Gneisafdelingen her er saaledes nærmest at opfatte som en Gneis-Granit. I Kvartsaarer 1 den Gneis-granitiske Bergart bemærkedes sort Turmalın. Følges det omhandlede Profil fra øst mod vest, saa vil man altsaa først træffe paa: a) den forholdsvis smale Gneisstrimmel, hvis stejltstillede Lag- O 12 Karl Pettersen. rækker ere at henfere til det saakaldte Grundfjeld (lauren- tisk); b) et omkring 18 Mil bredt granitisk Felt; c) Sædvas Lerskiferafdeling, liggende over Graniten men sky- dende ind under den følgende Gruppe (d). Under denne Afdeling er indordnet de saavel paa svensk som paa norsk Side langs Profillinjen optrædende Lagrækker af glindsende Lerglimmerskifer, glindsende Grafitskifer og m.; d) Glimmerskifer (tilhørende Tromsø Glimmerskifergruppe). Som det vil sees af Profilritset stiger den skandinaviske Halvø fra den smale Strimmel Lavland langs den Bottniske Bugt med engang temmelig stærkt op til en Høide af ca. 1100” (345 m). Herfra udbreder sig milevidt vestover et i Regelen skogbevoxet hist og her af lave Aasdrag gjennemsat Hejplateau — med langsom Stigning op imod Storafvan. Denne Indsøs Vandspejl ligger i en Heide over Havfladen af ca. 1330", og Seen danner den sydøstlige Afslutning af et anseligt sammenhæn- gende Ferskvandssystem. Storafvan, Udjaur og Hornafvan ere hver for sig store Ferskvandssøer, der ligge i Rad efter hver- andre, sammenknyttede ved korte transportable Strømme. Horn- afvans Vandspejl ca. 30° højere end Storafvans. Gjennem et stridere Strømløb, der fører gjennem et Par mindre Ferskvands- søer, er Hornafvan endvidere knyttet til den vestenfor liggende 21/2 Mil lange men forholdsvis smale Sø Sædva, hvis Vandspejl ligger i en Høide over Havfladen af ca. 1420’ og 60° højere end Hornafvan. Szedvas vestlige Ende ligger i en Afstand af omkring 3 Mil fra Rigsgrændsen mellem Norge og Sverige (eller fra Vandskillet mellem Vesterhavet og den Bottniske Bugt). Samlet har dette Vandsystem en Længde af noget over 20 Mil, og danner ikke alene paa Grund af denne sin anseelige Længde men endmere paa Grund af det anseelige Fladeindhold, det ind- Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 13 tager, et af den skandinaviske Halves mere mærkelige Fersk- vandssystemer. Den monotone Karakter, hvorunder det skogbevoxte Høj- platean i det hele træder frem fra dets Afslutning mod Lav- landet langs den Bottniske Bugt indtil henimod Storafvan, taber sig her mere. Om Storafvans østlige Botten rejser sig en Række af tildels pittoresk byggede granitiske Aasdrag og Kupper. De højeste Punkter af disse naa dog antagelig neppe mere end 5 å 600° over Storafvans Spejl. Lignende Aasdrag og Koller skyder sig op paa forskjellige Steder langs Storafvan, Udjaur og Hornafvan undertiden mere i Nærheden af disses Bredder, oftest dog i betydelig Afstand, saa disse Vande 1 Regelen ere omgivne af vidstrakte bølgeformige Flader. Først op imod den øvre Ende af Hornafvan og om Sædva begynder den egentlige Hejfjeldskarakter at træde bestemtere frem — i Begyndelsen dog endnu noget sporadisk. Mellem Jæggvik ved Hornafvans vestlige Ende og den søndenfor rin- dende Laiselv, der kommer fra Nasafjeldene ved Rigsgrændsen, rejser sig en bred Murvold, hvis Ryg naar op til omkring 2500" (734m) o. H, eller 1100 à 1200' højere end Hornafvans Spel. Denne Ryg skyder vestover ind mod Hojfjeldsmasserne op mod den norske Grændse, mens der fra sammes østlige Afslutning rejser sig den isolerede Fjeldtop Peljegaisi, der naar op til en Højde over Havfladen af 3360' (1064 m). Vender man fra denne Højryg Blikket mod Vest og Nordvest, saa mødes det her af det høje isoleret liggende Rebnitsgaisi, der skyder op nordenfor Sædva — mellem dettes Vand og Rebnits-jaur — mens . Synet mod Vest stænges af de høje Grændsefjelde, der her ofte skyde op 1 alpeformige Tinder snart snedækte snart stejle og nøgne. Peljegaisi vil saaledes her være at opfatte som det egent- lige Højfjelds sidste Afslutning mod Øst. Det ligger ı en Af- stand af omkring 25 Mil fra den Bottniske Bugt og 17 Mil fra Vesterhavet. 14 Karl Pettersen. Den her leverede korte Fremstilling af de orografiske For- holde langs den opgaaede Profillinje vil antagelig give en ret klar Oversigt over de orografiske Bygningsforholde inden den nordlige Del af den skandinaviske Halve — 1 Strøgene mellem den Bottniske Bugt og Vesterhavet. Der er antagelig Grund til at forudsætte, at disse over hele disse vidløftige Strøg ville i det væsentlige falde nogenlunde sammen. Den skandinaviske Halvø vil i Henhold hertil over disse Strog kunne sondres i følgende orografiske Hovedled: | 1) Den i Regelen lave tildels af Aasdrag gjennemsatte Kyst- . strand langs den Bottniske Bugt. 2) Et skogbevoxet Højplateau med en Højde over Havfladen fra 900 à 1000 til op imod 1400”. 3) Det egentlige Hajfjeld. Paa enkelte Steder kan Grændsen mellem Hajfjeldet og det skogbevoxede Højplateau træde temmelig skarpt frem. Paa andre Steder — og dette er antagelig det hyppigst fremtrædende Forhold — er Over- gangen mellem disse to Hovedafdelinger mere ubestemt, idet mere isoleret liggende Hajfjeldspartier kan skyde op over Højplateauet som Forløbere for det egentlige mere sammenhængende Hojfjeld. Dette breder sig ud vestover, og bygger ikke alene Grændsestrøgene mellem Norge og Sverige, men fortsætter helt ud til Halvøens Afslutning mod Vesterhavet. I Sulitelma-Gruppen naar det sin største Højde med — 6000' (1882 m) o. H. Til disse tre store Hovedafdelinger kunde endvidere blive at føje Skjærgaardsrækkerne saavel langs den Bottniske Bugt som langs den norske Kyst. Disse to sidstnævnte Led indtage imidlertid en forholdsvis høyst underordnet Plads og kunne saa- ledes nærmest være at knytte som underordnede Led til de større Hovedafdelinger — den første saaledes til Lavlandet langs den Bottniske Bugt, og den anden til det store Højfjeld. Efter vedlagte Profilrits vil Lavlandet have en Brede af Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 15 = D = Le > mellem 2 à 3 Mil, det skogbevoxte Heiplateau af omkring 20 Mil og Hejfjeldet vil have omtrent lignende Brede. Den skan- dinaviske Halvos Brede kan sættes til omkring 42 Mil. Disse tre orografiske Bygningsled betegner ogsaa — For- holdet seet i det store — særskilte geologiske Afdelinger, og i saa Henseende er Halveens orografiske Bygning 1 en stærkt fremtrædende Grad betinget af de geologiske Forholde. Kystranden langs den Bottniske Bugt er saaledes bygget af en med Granit ı stor Maalestok gjennemvævet Gneis, — Højplateauet 1 overvejende Grad af Granit med enkelte større og mindre indflettede Partier af forskjellige til det saakaldte Urberg henhørende Led, nemlig rød og graa Gneis, Helleflint, Glimmerskifer og Hornblendeskifer. Højfjeldet er derimod for største Delen bygget af ældre og yngre palæozoiske Gruppeat- delinger, paa enkelte Steder med en ı Dagen fremtrædende Undergrund dels af Granit dels af laurentiske Strata. _ Knyttes de her fremlagte Detailundersøgelser sammen med de paa svensk og norsk Side tidligere anstillede Jagttagelser, saa vil den nordligste Del af den skandinaviske Halvø fra den Bottniske Bugt over til Vesterhavet findes bygget af følgende (lagdelte) Hovedgrupper. 1) Grundfjeicet bygger Fjeldsrunden efter Kyststrøget langs den Bottniske Bugt. og optræder endvidere 1 forskjellige større og mindre Partier mellem dette Kyststrøg og det egentlige Højfjeld. Af svenske Tagttagere sondres dette 1 følgende Hovedled nedenfra opad: a) rød Gneis, b) graa Gneis, c) rød Helleflint, d) Glimmerskifer med Kalksten, e) Hornblendeskifer. Paa norsk Side af Rigsgrændsen træder Partier, der ere at indordne under Grundfjeldet, kuns sparsomt frem. Grund- 16 Karl Pettersen. fjeldets Gneis vil her oftest alene findes stikkende frem i Dagen i Bunden af de enkelte Højfjeldsindskjæringer. I Regelen vil Gneisafdelingen, om den forøvrigt skulde optræde i mere sam- menhængende Felter, være dækket af mægtige Lagrækker af yngre Dannelser. Et temmelig anseeligt Gneisfelt bygger Fjeldgrunden inden Saltens Fogderis Kyststrog mod Vestfjorden — fra Bodø nord- over mod Stegen. Hvorvidt denne Afdeling skal blive at indordne under det her saakaldte Grundfjeld eller under Tromsø Glim- merskifergruppe maa indtil videre lades uafgjort. Det samme maa vel ogsaa blive Tilfældet med Hensyn til Spørgsmaal om Aldersforholdet for den over Kyststrækningens Øgruppe saa ud- bredte Gneisafdeling med den dertil knyttede Gneisgranit. Mens den røde og graa Gneis nærmest kan være at paral- lelisere med det nordamerikanske laurentiske System, ville Af- delingerne c), d) og e) maaske kunne. sammenstilles med det «huroniske System». Svenskernes røde Helleflint gjenfindes ikke — uden maaske højst underordnet — paa norsk Side. Derimod vil Afdelingen d) (Glimmerskifer med Kalksten) antagelig være at træffe ogsaa paa norsk Side. Langs Bunden af Sørdalen 1 Bardo sees saa- ledes stejltstaaende Lagrækker af en Glimmerskifer med hyp- pige Kalkstensindlejninger, medens Fjeldvæggene langs den østlige Dalside ere byggede af mildere Lerglimmerskifer og Glimmerskifer, der viser en svævende og bølgeformig Lagstil- ling. De stejltstaaende Glimmerskiferstrata efter Dalbunden maa her utvivlsomt danne Led af en Afdeling, der er ældre end Lerglimmerskiferen og den over samme liggende Glimmerskifer op over Dalvæggen, og maa saaledes ogsaa udsondres fra den yngre Tromsø Glimmerskifergruppe, hvorom nærmere nedenfor. Mulighed kan der ogsaa være for, at Partier af Afdelingen d) paa forskjellige Steder, hvor Forholdene kunne være mindre klare at aflæse, ere blevne slaaede sammen med Lagrækker til- Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 17 hørende Tromsø Glimmerskifer-Gruppe eller fejlagtigen indord- nede under denne Gruppe. 2) Dividals-Gruppen. I sit fortjenstfulde Arbejde «Ueber die Geognosie der schwe- dischen Hochgebirge») fremhæver A. E. Törnebohm, at «Stor- sjøns siluriske Gebet strækker sig nordover til det nordostlige Jemteland, hvorfra en smal Forgrening af samme skyder sig over det nordvestlige Hjerne af Ängermannland indtil Vester- bottens Lappmark. Ligesom ı Jemteland og Herjedalen felger ogsaa her de siluriske Strata imellem det af Granit og Gneis dannede Skoglandskab ı Øst, og de af Kvartset og Skiferdan- nelser opbyggede Højfjeldspartier i Vest.» Uagtet der indtil nu — efter nævnte Forfatter — ikke er paavist siluriske Forsteninger nordenfor Malgoma-Sjø, forekom- mer der ogsaa længer Nord gjennem Lappmark, om end spora- disk, mørke, hyppig bituminøse Lerskifere, som med stor Sand- synlighed ere at opfatte som en Fortsættelse af siluriske Strata. Imellem Steder, hvor saadanne ere paaviste, nævnes Wojmsjø og Windeln i Vesterbotten, Laisjaur, Saggat-jaur strax østenfor Quikkjokk ligesom ogsaa et Strøg i Nærheden af Jukkasjärfvi i Norbotten. Hertil bliver endvidere i Henhold til Hummels Oversigtskart, der stemmer med mine ovenomhandlede Iagtta- gelser, at føje en Strimmel efter den øvre Ende af Hornafvan og om den nedre Ende af Sædva og endvidere — ligeledes efter Hummels Oversigtskart — en Zone, der overskjær Torne-Træsk henimod dens vestre Ende og som er forfulgt paa begge Sider af Træsken, sydover gjennem flere Miles Længde. Nordover løber denne Zone saaledes, at dens Forbindelse med Dividals- feltet maa ansees som utvivlsom. Med andre Ord: disse Strim- ler ere paaviste overalt inden de svenske Lappmarker, hvor geologiske Undersøgelser ere naaede frem op imod det egentlige 1) I Bihang til Kgl. Svenska Vet. Akad. Handlingar B. 1. 1873. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 2 18 Karl Pettersen. Hojfjeld. De ligge her altid — Strimmelen ved J ukkasjärfvi fraregnet — udspændte efter Grændselinjen mellem det lavere skogbevoxte Plateau mod Øst og de herfra opstigende Hejfjelds- partier mod Vest. Paa Forhaand kan der saaledes være al Grund til at forudsætte, at det gjennem nærmere Undersøgelser vil fremgaa, at disse afbrudte Strimler, der ligge paa det nær- meste udspændte efter én og samme fortløbende Hovedretning, ogsaa i Virkeligheden ere Dele af et eneste Hovedbælte. Den ovennævnte Strimmel ved Torneå-Træsk er i Henhold til Hummel bygget af en grøn-graa fin Lerskifer, der tildels indeslutter Lejer af et Konglomerat, i Vexling med Kvartsit- skifer. Afdelingens Mægtighed angives her til omkring 200° (63 m). Efter det i denne Afhandling omhandlede Profil fandtes strax østenfor Ballasvik henimod Sædvas østlige Ende Lagrækker, der utvivlsomt maa være at parallelisere med Skiferzonen ved Torne-Træsk. De dannedes her af sort og graagrøn Lerskifer med temmelig stejlt vestligt Fald. En som det syntes tæt ula- get Lersten fandtes her i løse Brudstykker. Omkring 1%/ Mil østenfor Jæggvik stak sort Lerskifer frem i Vexling med Haard- skifer og kvartsitiske Lag indfældte med en granlig kloritisk Substans. Derimod lykkedes det mig ikke her at træffe paa de til Afdelingen knyttede Konglomeratdannelser. Dette Bælte ligger her — som før nævnt — 1 Grændsestrøget mellem det skogbevoxte Plateau og det herfra opstigende Hejfjeld og 1 en Højde over Havfladen af omkring 1400' (439 m), Lerskiferen ligger som det syntes umiddelbart over den ældre nærmest til det laurentiske Urberg knyttede Granit. Et andet Spørgsmaal bliver det at afgjøre, 1 hvilket For- hold de Lagrækker af glindsende Skifer, Grafit-Skifer m. m., — der fra Sædva vestover til Junkersdal fandtes at danne mægtige Lagrækker tildels liggende umiddelbart over Granit, — er at stille til Lerskiferafdelingen om Sædva. Heller ikke her har man at støtte sig til saadanne Aflæsninger, der ville egne sig Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 19 til at kaste et klarere Lys herover. I saa Henseende skal imid- lertid fremholdes: Lerskiferafdelingens Lagrækker om Sædva viser ret regel- mæssig et temmelig stærkt sydvestligt Fald, Dagstillingen er i saa Henseende paa det nærmeste i Overensstemmelse med den, der raader inden Glimmerskiferafdelingen over Jæggvik. Ski- ferafdelingen i Strøgene over Rigsgrændsen viser derimod en helt forherskende fra svævende til horizontal Lagstilling. Dette i Forbindelse med den noget afvigende petrografiske Karakter, der raader inden de omhandlede Led, kunde nok paa Forhaand snarest føre til en Forudsætning om, at disse to Skiferafdelinger maatte blive at udsondre fra hinanden. I saa Tilfælde maatte Skiferafdelingen over Grændsestrøgene blive at sætte ikke alene som yngre end Lerskiferafdelingen om Sædva men ogsaa som yngre end Glimmerskiferafdelingen om Jæggvik. Imidlertid vil den inden disse Afdelinger saa afvigende Lagstilling i og for sig i saa Henseende neppe kunne være at tillægge nogen afgjerende Vægt. Den stejle Lagstilling træder frem længst mod Øst i Grændsestrøget mod det her frembrydende granitiske Felt og over de yderste Fremspring af det her opskydende Høj- fjeld — den mere horizontale og følgelig ogsaa mere oprindelige Lagstilling først i milevid Afstaud herfra. Ligesaa stor Afvex- ling 1 Lagstilling inden Led, der bevisligen ere at henføre under samme Gruppe og selv inden en og samme Etage, vil ikke sjelden være at paavise inden det nordlige Norges Skiferafde- : linger. De Kreefter, der have forrykket den oprindelige Lag- stilling, kunne have virket inden et snævrere Omraade og saa- ledes ladet fjernere liggende Lagrækker — ældre som yngre — ı saa Henseende uberørte. Da endvidere Skiferfeltet over Strø- gene om Rigsgrændsen nærmest synes at maatte blive at paral- lelisere med Lagrækker, der paa det bestemteste ere at knytte til Dividalsfeltets yngste Afdeling — hvorom nærmere nedenfor — kan der være nogen Grund til foreløbig at opstille Lerski- ferfeltet om Sædva og det vestenfor liggende Skiferfelt i Strø- 9% 20 Karl Pettersen. gene om Rigsgrendsen som Led under en og samme Hoved- gruppe. I denne danner da Lerskiferen om Sædva det ældre Led. En med Lerskiferafdelingen om Sædva ejensynlig ækviva- lent Dannelse er som tidligere nævnt ogsaa paatruffet paa norsk Side paa forskjellige Steder, navnlig i de lavere Partier af flere af de dybest indskaarne Dalforer. Her ligger de saaledes ikke som paa svensk Side skydende fra et plateauformet Landskab ind under et derfra opstigende Højfjeld, men derimod stikkende efter Dalenes dybest liggende Brudlinjer. Som de orografiske Forholde træde frem langs den skandinaviske Halvøs Vestrand, kunne disse Dannelser følgelig ikke som paa svensk Side her blive at paavise som en milevidt fortsat sammenløbende Strim- mel eller Zone. De stikke alene frem hist og her men dog hyppigt nok, og saaledes fordelte over store Strækninger, at der paa Forhaand nok kan være adskillig Grund til at forudsætte, at de danne de i Dagen fremspringende Dele af en vidt udbredt Formationsgruppe. Disse Forholde skulle her nærmere søges belyste: Dividal er en Fjelddal, der skyder ind fra Maalselvens Øverbygd 1 sydlig Retning gjennem en Længde af ca. 4 norske Mil, idet den gjennem en langsom Stigning gaar over i en 17 å 1800’ o. H. liggende Hejfjeldsindsenkning ind imod Rigs- grændsen. Dividal udmunder i Maalselv i en Afstand af ca. 2 à 3 Mil fra den dybt indskaarne Balsfjord, men derimod i en Afstand af 5 Mil fra Maalselvens Udløb i Malangen. Fra Divi- elvens nedre Fos omkring 1 Mil ovenfor Elvens Udløb i Maals- elven og opefter Dalen til forbi sammes øverst liggende Gaard Frihedsli gjennem en Strækning af opimod 2 Mil stikker der frem langs Dalbunden og de laveste Partier af Dalsiderne en ejendommelig Lerskiferdannelse, tildels af en mere lerstensagtig Karakter. Stenen er snart rødlig, snart grønlig og oftere smukt flammet, idet den røde og grønne Farve hyppig kan vexle i mer eller mindre regelmæssige Baandstriber, mens Stenen forøvrigt Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 21 bevarer et ensartet Præg. Et Profil opover de lave Aasrækker langs Divielvens østlige Side viser Lagrækken nedenfra opad i følgende Orden: 1) Lerskifer med Lersten. Hvor Bergarten optræder mere 2) 3) bestemt skifrig er Faldet svagt nordligt. Mægtigheden af denne Afdeling omkring 200' (63 m). En graa ofte sortagtig Kvartsskiter. Den mørke Farve er at tilskrive en Indblanding af fint fordelt Kulstof. Stenen dannes af en tæt Kvarts og optræder med udpræget Skif- righed i Lag fra et Par Linjer til en Tommes Tykkelse. Stenen er stærkt spettet med rustbrune Pletter og Korn af Jernoxydbydrat. | Mægtigheden af denne Afdeling naar op til mellem 2 å 300’. derover Lagrækker af Lerglimmerskifer, glindsende Skifer, — ofte saa stærkt kulstofholdige, at de vise sort Streg (Grafitskifer). Lerglimmerskifer eller den glindsende Skifer kan vexle med Kvartsskifer i tykke Bænke, ligesom ogsaa sort Haardskifer og kloritisk Skifer kan optræde heri som underordnede Lag. I denne Afdeling træffes ikke saa sjeldent ret mægtige Indlejninger af en ejendommelig tæt gulagtig brun Magnesia-Kalk. Lagstillingen er i det Hele temmelig svævende og nærmer sig oftest Horizontalplanet. Mægtigheden af denne Afdeling kan naa op til ca. 1400’. Den breder sig ud over et forholdsvis ret anseligt Omraade over den 17 å 2000’ o. H. liggende vide Hojfjeldsindsenk- ning op imod Rigsgrændsen. Denne Højfjeldsindsænkning fører fra Dividal sydover mod Alt-Vand og Lønnes-Javre, — hvilket sidste Vand i sin østlige Ende overskjæres af Rigsgrændsen strax i Nærheden af Torne-Træsk. Ogsaa i denne Afdeling, der hyppig dækker en granitisk Undergrund, træffes paa sine Steder Lag af Dividalens røde Lerskifer. Skjønt det er umiskjendeligt, at Følgerækken i det Hele 22 Karl Pettersen. og Store træder frem som her nævnt, saa er der i saa Henseende dog ogsaa paa den anden Side at paavise forskjellige Vexlinger, idet saaledes navnlig den tredie Afdeling kan indeslutte som underordnede Partier Skiferlag, der petrografisk seet nærmest kunne være at henregne til en dybere Afdeling. Dette i For- bindelse med den i det hele ensartede Lagstilling, der træder frem over samtlige tre Afdelinger, synes nærmest at pege hen paa, at disse rettest maa blive at'sammenstille som Led under en og samme Hovedgruppe. Lidt ovenfor Gaarden Frihedsli bryder frem en Granit, der bygger et anseligt Felt over Grændsestrøgene og fortsætter syd- over paa begge Sider af Alt-Vand og Lein-Vand og ned mod Torne-Træsk paa svensk Side. Graniten overlejes langs Divi- elvens øvre Løb af de nys nævnte Lagrækker, idet den snart kan dækkes af Gruppens dybest liggende Led (1) snart af den øverste Afdeling No. 8. Hvor Graniten optræder i Kontakt med Skiferafdelingen, danner den altid det underliggende, uden at der saavidt iagttaget er at spore noget, der tyder hen paa, at den kan staa i et Gjennembrudsforhold til Skiferen. Derimod optræder der ved Divielvens øvre Fos omtrent 1/2 Mil ovenfor Frihedsli et Konglomerat, der her sees tildels i vertikale Bænke at vexle med Granit og forøvrigt ligger umid- delbart over denne. Dettes Grundmasse dannes af en sandsten- agtig Forbindelse af smaa Kvarts- og Feltspathkorn, og i denne Grundmasse er indflettet talrige Kvartsbrudstykker, oftest afrun- dede tildels næsten kugleformige. De have i Regelen en Ster- relse fra en til to Linjer, men enkelte af dem kunne endog naa op til et Gjennemsnit af 5 à 6 Tommer. Da Konglomera- tet ikke indeslutter Brudstykker af Dividalsfeltets Skiferdan- nelser, maa det antagelig vere ældre end dettes ovenomhand- lede Led. Paa forskjellige Steder langs Divielvens øvre Lob er end- videre paavist en ejendommelig Sandstensdannelse af en gulagtig til smudsig grøn Farve. Fra den af de gulgrønne Korn dan- Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 23 nede Grundmasse stikker hist og her frem indtil et Par Linjer store afrundede gjennemsigtige Kvartskorn. Stenen er rigt ind- flettet med Punkter af udskilt Kaolin. I Dagen er den rødlig brun. Den synes ganske fri for indblandede Glimmerskjel. Denne Sandsten, — der paa Forhaand snarest kunde vække en Forestilling om, at den maatte tilhøre en af den sekundære Tids Formationer — er antagelig nært knyttet til Konglome- ratet.') At de heromhandlede Dannelser ganske ere at sammen- stille med Lerskiferen ned mod Hornafvan og Sædva ligesom ogsaa med de Lagrækker af glindsende Skifer, der fra Sædva følges op over mod Rigsgrændsen og derfra videre ere forfulgte paa norsk Side ned til Junkersdal — maa i ethvert Tilfælde for Lerafdelingens Vedkommende sættes som utvivlsomt. Alle- rede ved første løselige Befaren af Lerskiferfeltet ved Sædva træder Ligheden i det enkelte som i det hele umiskjendeligen frem. Og dertil kommer endvidere, at de under denne Afde- ling indordnede Led, der af de svenske Geologer ere paaviste om Torne-Træsk, derfra ere forfulgte over paa norsk Side i saa godtsom umiddelbar sammenhængende Forbindelse med Dividal- feltets øverstliggende Afdeling. — Paa svensk Side ligesom paa norsk Side danner Granit i Reglen Gruppens umiddelbare Un- dergrund, idet snart Konglomeratet med Sandstensdannelser, snart Lerskifer snart den glindsende Skiferafdeling ligger umid- delbart over Graniten. Nordreisen-Elv gjennemskjær et anseligt Dalføre, der under langsom Stigning skyder ind i sydostlig Retning, indtil det taber sig 1 Vest-Finmarkens Fjeldplateau i Strøgene om Kautokeino. Ved Reisen-Fos — 6 å 7 Mil fra Elvemundingen — viser Fjeldvæggene opover langs begge Sider af Dalen følgende Profil: a) underst Granit, der stikker frem ikke alene over Dalbun- den men ogsaa opover de lavere liggende Afsatser af Fjeld- 1) Nærmere om Dividalsfeltet, se Tromsø Amts Geologi IV, D.K.N. Vid. S. Skrifter, 7de Bind, Trondhjem 1874. 24 Karl Pettersen, skraaningerne, og her gjennembryder ældre krystalliniske Skifere, antagelig tilhørende I. d. b) en mild brunlig til grønlig Lerskifer umiddelbart over Gra- niten i svagt heldende Lagstilling uden — saavidt iagttaget — at være gjennembrudt af denne. Mægtigheden oversti- ger her neppe et Par hundrede Fod. c) Derover tæt helleflintartet Kvartsskifer — 1 conform Lag- stilling med den underliggende Skifer. Denne Kvartsskifer er strax gjenkjendelig som petrografisk ganske ensartet med den før omhandlede Kvartsit, der overlejer og tildels optræ- der i Vexellejning med Dividalens Lerskifer. Den har samme Farve, er i Brudet ensartet med denne og som denne spættet med Pletter og Korn af Jernoxydhydrat. Ogsaa her kan Kvartsskiferen tildels findes i Vexling med Haard- skifer. d) Op over Højplateauet gaar Bergarten over til en sandsten- agtig kvartsitisk Skifer med indblandede Glimmerskjæl, — dels hvide sølvglindsende dels brunligsorte. Følger man Højfjeldet i Retning ud mod Kysten, gaar disse kvart- sitiske Skifere efterhaanden mer og mer over til renere Glimmerskifer. | At Lagrækkerne b) og c) ere ækvivalente med Divida- lens Lerskifer og Kvartsskifer maa ansees som utvivlsomt. Der- imod mangler her ganske Dividalsfeltets øverstliggende og saa mægtige Afdeling af Lerglimmerskifer, glindsende Skifer m. m. Hvorvidt Afdelingen d) skal være at opstille som en Under- afdeling under samme Hovedgruppe som b) og c), skal ikke kunne siges med mere Bestemthed. Den conforme Lagstilling, der raader gjennem disse tre paa hinanden følgende Afdelinger, synes nærmest at skulle tale til Gunst for en saadan Forud- sætning. Forholdene paa svensk Side, hvor en lignende Kvart- sitdannelse ofte vil findes knyttet til Lerskiferen paa lignende Maade som her, peger efter Hummel i samme Retning. Langs den østlige Side af Kvænangen optræder Lagrækker Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 25 af sort Lerskifer, Lerglimmerskifer med Grafitskifer. Lerglim- merskiferen, der indeslutter Lag af ren Kvarts, findes tildels i Vexling med Kvartsit. Her optræder ligeledes ofte mægtige Indlejninger af krystallinisk kornig Kalksten og Magnesia-Kalk. Kvænangenfeltets Lagrækker maa efter al Sandsynlighed blive at sammenstille med Divifeltets yngste Afdeling. Den mægtige kvaitsitiske Afdeling, der fra det indre af Kvænangen skyder henover til Alten paa den ene og op igjen- nem Kvænangsdal paa den anden Side, staar 1 samme Forhold til Kvænangens Skiferfelt som Kvartsiten ved Reisenfos til den der optrædende underliggende Lerskifer. Mens Kvartsiten ogsaa her — Forholdet seet i det Hele og Store — ligger over Ler- og Lerglimmerskiferen, synes den forøvrigt ogsaa saa neje knyt- tet til Skiferafdelingen, at en fuldstendig Udsondring heller ikke godt lader sig gjennemfore. Kvænangens Kvartsit er forøvrigt at indordne under Tellef Dahlls «Gaisa-System»,!) og skal efter ham ligge over Altens Skiferfelt med afvigende Lejning. Altens Skiferfelt — Dahlls saakaldte Raipas-System — er ligeledes efter al Sandsynlighed at indordne under Dividalsfeltet. Dette optræder rigest udpræget om Bunden af Alten-Fjord, og er videre at forfølge over lange Strøg langs Fjordens Østside, mod Nord indtil Ripper — en liden Fjord, der i Nærheden af Hammerfest skjær sig ind i Porsangerhalvøen. Jeg skal her blot i Forbigaaende nævne dette, da disse Dannelser her med det første antagelig kunne ventes nærmere behandlede. Ogsaa Øst-Finmarkens (Varangernessets) Lerskiferdannel- ser ere antagelig at indordne under Dividals-Gruppen. Langs den østre Side af Sørdalen, der skjær sig ind i sydlig Retning fra Bardo ı Fjeldpartiet mellem Dividal og Salangen træffes ligeledes mægtige Lagrækker af glindsende Skifer, Lerglimmerskifer med kloritisk Skifer. Her skyde de 1) Tellef Dahll. Finmarkens Geologi. Chr. V. S. Forh, 1868, 26 Karl Pettersen. frem dels umiddelbart fra Dalbunden dels ogsaa liggende over en Granit, der bryder frem henimod Dalens indre Afslutning. Hojere op overlejes denne Afdeling af en Glimmerskifer, der vil blive at indordne under efterfelgende Hovedled. I den evre Del af Salangsdal bygges Dalbunden af Granit. Opover Fjeldsiderne overlejes Graniten af en buklet glindsende Skifer, der indeslutter Lag af mørk grovkornig Kalksten og af kulstofholdige Skifere med sort Streg. Hejere op gaar Bergarten over til Glimmerskifer, der bygger de egentlige Højfjeldspartier. — Typisk Lerskifer er her ikke fundet stikkende frem i fast Berg. Derimod er i Elvelejet fundet Brudstykker af en med Divida- lens Lerskifer ganske ensartet Sten, og under Forholde, hvor- under der var al Sandsynlighed for, at de maatte være udbrudte fra nærliggende Lag. Den glindsende Skiferafdeling maa saa- ledes antagelig være at henføre til Dividalsfeltet. Manken danner et mægtigt helt udskaaret sammenhængende Fjeldparti (Kjededrag) af flere Miles Længde langs Maalselvens Nordside — nedenfor Divielvens Udmunding. Her optræder langs Maalselven mægtige Lagrækker af grønne Skifere, Haard- skifer og glindsende Skifer dels umiddelbart fra selve Dalbunden dels liggende over gneisartede Strata og granitiske Partier, der paa enkelte Steder bryder frem. Forholdene, som de her træde frem, ere vistnok ikke klare nok til derpaa at bygge nogen sikrere Slutning. Der antages dog at være nogen Grund til at forudsætte, at disse Lagrækker tilhører Dividalfeltets øvre Afdeling. Mankens højest fremspringende Toppe ere derimod byggede af Glimmerskifer, kvartsitisk Skifer i Vexling med gneisartede Lag, — Lagrækker, der kunne være yngre end de grønne Skifere, og som i saa Tilfælde maa blive at indordne under efterfølgende Hovedgruppe. Sydover 1 Strøget fra Ofoten vil man paa norsk Side ikke støde paa mere fremtrædende Afdelinger, der ere at indordne under Dividalsfeltet, forinden man naar ned mod Saltenfjord. Her vil man indover den saakaldte Vattenbygd og navnlig fra Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 27 Langvandet opunder Foden af Sulitelmas Højfjeldsgruppe stode paa mægtige Lagrækker af glindsende Skifer, kloritisk Skifer. Herfra ere disse antagelig at forfølge i Sammenhæng over Fjeld- partiet til de fornævnte Lagrækker ved Junkersdal. Af hvad der her er fremstillet vil det fremgaa, at det saa- kaldte Dividalsfelt danner et stærkt fremtrædende Bygningsled inden Fastlandsstrøgene af Vest-Finmarken, Tromsø Amt og Saltens Fogderi. I Strøgene om Divielvens øvre Løb om Alt- Vand og Lein-Vand er Afdelingen fundet i saagodtsom umid- delbar Tilknytning til herhen hørende Dannelser om Torne-Træsk paa svensk Side. Fremdeles er Afdelingen fundet at strække sig i fortløbende Sammenhæng fra Hornafvan og Sædva paa svensk Side til Junkersdal paa norsk Side. Dividalsfeltet dan- ner saaledes en over den nordlige Del af den skandinaviske Halvø vidt udbredt Formationsgruppe. Lagstillingen inden Gruppens forskjellige Afdelinger er oftest svævende og nærmer sig hyppig Horisontalfladen. Over Feltets Grændsestrøg udad — saaledes inden Lerskiferbel- terne paa svensk Side langs Foden af det opstigende Højfjeld ligesom ogsaa paa norsk Side ud imod Fjordbundene — er Lag- stillingen i Regelen stejlere og ofte ogsaa præget med stærke Foldninger. Vestover synes Gruppens Led mer og mer at kile sig ud og efterhaanden ganske at tabe sig. Der er et Forhold, som maaske kan fortjene særlig at hol- des frem. Medens Afdelingens ældste Led — Lerskiferen — paa svensk Side i Regelen først træder frem i en Højde over Havfladen af omkring 1350’ nemlig efter den Linje, efter hvil- ken Hejfjeldet stiger op fra Skogplateauet, vil man derimod paa norsk Side finde Lerskiferen i langt lavere Niveau. I Di- vidalen sees den saaledes i en Hejde af 4—600’ o. H., og ved Bunden af Altenfjord skyder Afdelingen ned endog under Hav- fladen. Paa den ene Side er der vistnok Mulighed for, at lavere liggende Partier paa svensk Side ere sporløst forsvundne under 28 Karl Pettersen. lange Tidsrums eroderende Værk. Forholdet vil dog ikke til- fulde kunne forklares herved. Det er nemlig øjensynligt, at Gruppens dybest liggende Led paa svensk Side er at søge i større Niveau over Havfladen end Tilfældet er paa norsk Side. Den skandinaviske Halvos Hojderyg — hvad enten denne nu à sim Tid kan have ligget over eller under Havfladen — maa derfor maaske engang have været at soge langt længere mod Øst end Tilfældet nu er, og dengang nærmest efter eller noget østenfor den Linje, fra hvilken det nuværende Hojfjeld paa svensk Side stiger op fra det skogbevoxte Plateau. Dividalsfeltet falder i det væsentlige sammen med den Af- deling jeg tidligere har betegnet under Navnet Golda-Gruppen. Lerskiferafdelingen paa svensk Side er som tidligere nævnt af svenske Geologer bleven henfort til Silurtiden. Om saa i Vir- keligheden er Tilfældet vil vel ikke kunne besvares afgjørende, forinden det lykkes her at paavise forsteningsferende Lag. Det vilde i ethvert Tilfælde vere et ret mærkeligt Forhold, om saa udbredte og saa mægtige Lagrækker fra Silurtiden — med sin i Regelen saa rigt udviklede Fauna — her skulde vise sig ganske forsteningsfri. At Lerskiferen er overlejet af flere tu- sinde Fods megtige Lagrækker, dannet af i hej og 1 hojeste Grad krystalliniske Bergarter, synes paa Forhaand heller ikke at skulle tale til Fordel for denne Forudsætning. Trods den petrografiske Lighed kunde der dog være Mulighed for, at Lapp- markens Lerskiferdannelser vare ældre end de siluriske Afde- linger i Jemteland. Der er imidlertid al Grund til at antage, at den endelige Besvarelse af dette for det nordlige Sveriges og Norges Geologi saa betydningsfulde Spørgsmaal maa blive at hente fra svensk Side. I Henhold til den her leverede Fremstilling dannes Divi- dals-Gruppen af følgende Underafdelinger i Rækken nedenfra opad. a) Konglomerat med Sandsten, Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 29 b) Lerskifer med Lersten, ec) Kvartsskifer med Kvartsit, d) Lerglimmerskifer, glindsende Skifer, kloritisk Skifer med enkelte underordnede Lag af renere Lerskifer ligesom ogsaa med Indlejninger af Magnesia-Kalksten. Gruppens samlede Mægtighed kan naa op til 17 à 1800‘ (omkring 550 m). 3. Tromsø Glimmerskifergruppe. Det høje Fjeldparti, der stiger op om Jæggvik langs søndre Side af Hornafvans østlige Ende og her afsætter den 3360‘ høje Peljegaisi, er som tidligere vist bygget af en kvartsrig Glimmerskifer, hvis Lagrækker over lange Strøg viser en regel- mæssig øst-vestlig Strøgretning med sydligt Fald af 30 à 40°. Som Forholdet er fremstillet af de svenske Geologer (Törne- bohm for Egnen om Storsjøns og Hummel for svensk Lappmarks Vedkommende) maa Lerskiferen antages at skyde ind under Glimmerskiferen. Ifald dette i Virkeligheden skulde være Til- fældet, saa vil dette tjene til at kaste Lys over forskjellige Forholde paa norsk Side, — over Forholde, der hidtil have staaet højst tvivlsomme og uklare. Paa Forhaand er der nem- lig allerede al Rimelighed for at forudsætte, at Glimmerskifer- feltet om Jæggvik er at indordne under den store geologiske Gruppe, der optræder saa udbredt og i saa mægtige Lagrækker over store Dele af det nordlige Norge, at den med fuld Foje er at opstille som det mest fremtrædende Bygningsled her — nemlig den saakaldte Tromsø Glimmerskifer-Gruppe. Paa forskjellige Steder, hvor Dividalsfeltet er paavist inden det nordlige Norge, dækkes Gruppens øverste Lagrækker op over Højfjeldet af tildels mægtige Lagrækker af Glimmerskifer, der i petrografisk Henseende ganske er at sammenstille med de forskjellige Afændringer af denne Bergart, der danner Hoved- ledet inden Tromsø Glimmerskifergruppe. Dette Forhold træder saaledes navnligen frem opefter Sørdalen i Bardo, Salangsdal 30 Karl Pettersen. og tildels ogsaa efter Reisenelvens Dalfore. Over Højfjeldspla- teauerne, hvor Fjeldgrunden ofte kan findes overdækket over lange Streg, og hvor den her nævnte Glimmerskiferafdeling kunde forudsættes at skulle støde sammen med Tromsø Glim- merskifergruppe, har det aldrig lykkets at hente sikrere Bidrag til at bestemme det indbyrdes Forhold 1 saa Henseende. Om man her havde en og samme eller to i Alder forskjellige Afde- linger kunde ikke afgjeres med fuld Sikkerhed. Er Forholdet mellem Lerskiferafdelingen og Glimmerskiferfeltet ved Hornaf- van saadant som fremholdt — og Forholdene paa norsk Side pege ligeledes stærkt i samme Retning — saa vil deraf frem- gaa med afgjørende Bestemthed, at den over Dividalsfeltets Afdelinger liggende Glimmerskifer er at indordne under Tromsø Glimmerskifergruppe. Keilhau, der navnlig undersøgte Strøgene om Altenfjord, medbringer ogsaa derfra det bestemte Resultat, at de krystalli- niske Skifere over Højfjeldspartierne langs den vestlige Side af Altenfjord træder i et bestemt Overlejningsforhold til Altens Lerskiferfelt. Som det vil fremgaa af mine tidligere offentliggjorte Af- handlinger om det nordlige Norges Geologi, dannes Tromsø Glimmerskifergruppe af mægtige Lagrækker af krystalliniske Skifere. Glimmerskifer — 1 petrografisk Henseende i forskjel- lige Afændringsformer — danner Gruppens stærkt fremtrædende Hovedled, men dertil er ogsaa knyttet Lerglimmerskifer, Grafit- Skifer, kvartsitisk Skifer, kloritisk Skifer, Hornblendeskifer og endvidere renere Gneislag. Gruppen indeslutter endvidere overordentlig hyppig Indlejninger af en oftest uren grovkornig krystallinisk Kalksten, der undertiden viser sig stærkt bituminøs og endog gaar over til en fuldkommen Stinkkalk. Grafit i smaa Korn sees 1 Regelen at være rigt indsprængt i den kornige Kalksten, — undertiden findes den deri i mere sammenhængende Aarer. Indover Indlandets Højfjeldspartier er Lagstillingen oftest Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 31 belgeformig svævende til horisontal, ud mod Kyststrøgene bliver Faldet stejlere. Idet Strøgretningen oftest træder frem som nord-sydlig vil flere paa hinanden følgende mer eller mindre regelmæssige Foldninger være at paavise ı Retningen fra Kysten indover mod Øst. Tromsø Glimmerskifer-Gruppe kan opløses i to større Ho- vedafdelinger, nemlig en understliggende kvartsitisk Afdeling, og den overliggende Glimmerskiferafdeling, af hvilke den sidste danner Gruppens stærkt fremtrædende Hovedled. Kvartsiten optræder navnlig 1 Stregene om nedre Rosta- Vand i det øvre af Maalselven som et baade udbredt og mæg- tigt Bygningsled Den dannes her af en haard standstenagtig Kvartsit af smudsig graa Farve. Rostafjeldets mægtige Fjeld- parti er fra Vandets Spejl op til en Højde af over 1000' over samme bygget af horisontalt liggende Lagrækker af denne Bjerg- art. Likka Varre, der stiger op fra Rostadalen i Nærheden af Nedre-Rostavands øvre Ende til en Højde over Havfladen af mellem 4 å 5000' over Havfladen er fra Fod til opimod Top igjennem en Højde af nær 4000' bygget af den samme kvart- sitiske Sten. Ogsaa her er Lagstillingen paa det nærmeste horisontal. Toppen er derimod bygget af Glimmerskifer med Kalkstensindlejninger. Om Bunden af Salangen — fra Handelsstedet Sjøvej ud- over — dannes Fjeldgrunden langs Fjorden 1 de laveste Partier af Kvartsit tildels i Vexling med Hornblendeskifer, der dog optræder helt underordnet og navnlig mellem de dybest liggende Lag. Højere op afløses Kvartsiten af Glimmerskifer — ogsaa her ligesom ved Rostafjeldet under en coriordant Lagstilling. Salangens Kvartsit er at parallelisere med Rostakvartsiten — muligt at“ den dog ligesaasnart var at indordne under Grund- fjeldet. Kvænangens før omhandlede kvartsitiske Skifer er muli- 32 Karl Pettersen. gens ogsaa at parallelisere med Rostakvartsiten. I saa Tilfælde | maa den altsaa blive at udskille fra Dividalsfeltet.*) Glimmerskifer danner forøvrigt — som allerede ovenfor fremholdt — Gruppens mest fremtrædende Led og træder ogsaa hyppigst frem fra de dybest liggende Partier, saa det i Regelen ikke lader sig afgjøre, hvorvidt den hviler paa en kvartsitisk Undergrund. Sees hen til Forholdene ved Rosta-Vand, hvor Lagstillingen fra Fod op til Top gjennem en Højde af omkring 5000' paa det nærmeste er horisontal, saa vil Gruppens samlede Mægtig- hed kunne gaa op til henimod 5000' (1569 m). Gruppens Lagrækker gjennembrydes navnlig over den nord- lige Del af Tromsø Amt ligesom ogsaa over Vestfinmarken hyppig af gabbroartede og diabasiske Partier Foruden i talrige mindre og mere underordnede Forekomster bygge de ogsaa flere milevidt udspændte Felter, og danne derunder mægtige kjede- formige Fjelddrag. Tromsø Glimmerskifer-Gruppe er antagelig at parallelisere med Å. E. Törnebohms Sevegruppe. Ogsaa denne opløses i to Underafdelinger, nemlig: en dybere liggende kvartsitisk Etage og en øvre, bygget af krystalliniske Skifere. Efter Törnebohm ligger altid de til Divifeltet indordnede Lagrækker mellem Urberget og Sevegruppen. Paa norsk Side kiler Dividalsgruppen sig i Regelen ud i Retning mod Vest, saa den ud imod de egentlige Kyststrøg ikke vil være at gjenfinde. Her er Glimmerskifer ofte umiddelbart knyttet til Kyststræk- ningens Gneis og til det her saa stærkt fremtrædende gneis- granitiske Felt. Der er forøvrigt som allerede ovenfor antydet meget, som synes at tyde hen paa, at Gneisen og Gneis-Grani- ten her rettest bør blive at indordne som Led under Glimmer- skifergruppen. | *) Se Bemærkningen herom i Afsnittet »Dividalsfeltet». Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 33 4. Yngste Højfjelds-Gruppe. Glimmerskiferen overlejes paa sine Steder af tildels mæg- tige Lagrækker af Lerglimmerskifer, glindsende Grafitskifer i hyp- pig Vexling med Lag af en temmelig finkornig mørk bituminøs Kalksten. Disse Lagrækker er paa norsk Side især fundet rigt ud- viklede i Højfjeldspartierne inden Grændsestrøgene mellem Sa- langen og Torne-Træskes Højfjeldsindsænkning, samt over de Fjeldpartier, der herfra skyde ned mod Harjangen i Ofoten. Opover det omkring 3500' høje Reuri — hvorpaa Grænd- serøs No. 268 — fandtes følgende Forholde: I de dybest liggende Partier i de fra Stordalsskaret i en Højde af omkring 1600' o. Havet opstigende Fjeldsider fandtes Glimmerskifer med røde Granater og derover Hornblendeskifer i svævende Lagstilling. Herfra opimod Top dannes Fjeldgrun- den af midlere Skifer — glindsende Glmmerskifer, Lerglimmer- skifer, glindsende Grafitskifer i hyppig Vexling med mørk tem- melig stærkt bitumines Kalksten tildels i mægtige Aflejninger. Den mildere Skifer gaar ofte over til eller vexler med Lag, i hvilke sorte Hornblendekrystaller ere kastede om i Grundmas- sen, der da kan gaa over til en gulhvid sandstensagtig Dannelse, rigt indsprengt med frisk brun Siderit. Disse ejendommelige med Hornblendekrystaller indfældte Dannelser gjenfindes paa forskjellige vidt fra hinanden liggende Punkter over Indlandstrøgene mellem Salangen, Sørdalen i Bardo og Alt-Vandet og træder navnligen frem inden Hojpla- teauets højest opstigende Toppe. Saaledes op over Top af det omkring 4000' høje Friksfjeld mellem Salangdal og Sørdal og forøvrigt ogsaa paa forskjellige Punkter inden Højfjeldspartierne om Alt-Vandet. De omhandlede Lagrækker op over Reuri viser et Strøg, der mer eller mindre spiller i øst-vestlig Retning — i Regelen med et nordligt Fald af mellem 30 å 40° og undertiden endnu stejlere. Mægtige Lagrækker af dermed ensartede Skiferdannelser Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 3 34 Karl Pettersen. optreder over de høje Fjeldpartier ned mod Harjangsdal i Ofo- ten og ligge ogsaa her over Glimmerskiferen. Ogsaa inden Hejfjeldspartiet mellem Salangsdal og Sørdal paa den ene og Torne-Træskes dybe Højfjeldsindsænkning paa den anden Side træffes mægtige Lagrækker af Skiferdannelser, der antagelig maa være at indordne her. Paa svensk Side ere et større og flere mindre herhid hø- rende Partier paatrufne langs den sydlige Side af Torne-Træskes vestlige Del — altsaa ganske i Nærheden af og som det af Hummels Beskrivelse synes at fremgaa under ganske ensartede Forholde med de nys fra norsk Side omhandlede Afdelinger. Hummel udtaler sig derom i sin før nævnte Indberetning saaledes: «Ovenpaa denne Kvartsitskifer ser man ved Apiskoelven mægtige Skiferdannelser af helt ulige Udseende. De ere Glim- merskiferdannelser af mørkegrøn eller graa til sort Farve, stun- dom næsten virkelige Lerskifere, men optræde ogsaa 1 enkelte Lejer som Gneiser med mørkegrøn Glimmer eller Klorit. I de ældre Lag træffes Kalksten af blaagraa og hvid Farve samt sort glindsende Grafitskifer. Paa saadanne Bergarter vandrer man en længere Strækning mellem Torneå-Træsk og Porro Varre, hvor Kvartsiten igjen træder frem som en Følge af Lagenes forandrede Faldvinkel.» Denne Gruppe, der muligens kan være at sammenstille med Törnebohms «Køligruppe», synes over det nordlige Skan- dinavien nærmest indskrænket til Højfjeldsstrøgene om Torne- Træsk. Den danner det yngste afsluttende Endeled inden den Række af Afdelinger, der her bygger de norsk-svenske Høj- fjeldspartier. | Med Hensyn til denne Gruppes Aldersforhold udtaler Hum- mel i sit ovennævnte Arbejde, efter at have fremholdt, at Ler- skiferafdelingen med den overliggende Kvartsit (Glimmerskifer) efter al Sandsynlighed repræsenterer den oversiluriske Tid, sig videre saaledes: Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 35 «Ogsaa den øverst liggende Serie af fine Glimmerskifere har man visselig været fristet til at henføre til en yngre For- mation paa Grund af den oftest skarpe Grændse mod den under- liggende Kvartsit Men herimod taler dog i nogen Mon den Omstændighed, at der i Glimmerskiferens lavere Afdeling optræ- der Lag af sorte Skifere med Grafit og Svovlkis samt blaagraa Kalksten, der vise stor Lighed med Overgangsformationens mere fremtrædende Bergarter.» Til klarere Oversigt over de her omhandlede Strøgs geolo- giske Forholde hidsættes efterstaaende Schema. Med Hensyn til dette skal jeg dog her tilføje, at jeg herunder ikke har ind- taget en tidligere omhandlet Bygningsgruppe, nemlig Balsfjor- dens Skiferfelt. Om dennes Plads vover jeg endnu ikke at udtale mig med mere Bestemthed, men forbeholder mig senere at komme tilbage til Behandlingen af dette Spørgsmaal. 3% Karl Pettersen. 36 = Oversigt over Det nordlige Sveriges og Norges Geologi efter Pettersen efter David Hummel efter A. E. Törnebohm. | Lagdelte Grupper med sine Underafdelinger. Yngste Hojfjelds-Gruppe. Glindsende Skifer, Grafit Ski- fer m. m. Tromsø Glimmerskifer- Gruppe. b) Glimmerskifer med Kalk- sten, a) Rostakvartsit. Dividals-Gruppen. d) Lerglimmerskifer (glind- sende Skifer), c) Kvartsskifer og Kvartsit, b) Lerskifer, a) Sandsten og Konglomerat. Grundfjeldet. b) Ældre Glimmerskifer, a) Gneis. | Massiver, Kambriske og siluriske Dannelser. f) grønne glindsende Skifere, e) Grafitskifer med siluriske Kalklag, d) Glimmerskifer. c) Kvartsitskifer, b) Lerskifer, a) Sandsten og Konglomerat. Urberget. e) Hornblendeskifer, d) Glimmerskifer, c) Hålleflinta, b). Graa Gneis, a) Rød Gneis. Køligruppe. Seve-Gruppe. Siluriske Dannelser. Kambrisk Kvartsit. Gabbro, Diabas, Hyper- sthenit, Eukrit, Olivinsten — yngre end 3. Grønsten (Diorit) yngre end 2 d. Granit (Laurentisk). Det nordlige Sveriges og Norges Geologi. 37 Jeg skylder sluttelig her at tilfeje et Par Bemærkninger. Jeg har tidligere gjentagne Gange udhævet i mine offent- liggjorte Afhandlinger om det nordlige Norges Geologi, at her forelaa forskjellige uløste Spargsmaale med Hensyn til de her optrædende Bygningsgruppers gjensidige Aldersforhold. Jeg har ved forskjellige Anledninger fremhævet, at fuld Sikkerhed vilde her ikke være at vinde, med mindre man udstrakte Under- søgelserne fra norsk Side ned over svensk Lappmark. BE. A. Törnebohms ovennævnte Afhandling, hvori han 1 Henhold til de paa svensk Side gjorte lagttagelser gjorde et Forsøg paa at sammenknytte disse med de norske Undersøgelser, læste jeg derfor i sin Tid med megen Interesse. Skjønt jeg allerede dengang i mer ond én Henseende fandt mig tiltalt ved hans deri fremlagte Grupperings-Schema af Højfjeldspartiets geologi- ske Bygningsled, vovede jeg dog ikke ubetinget at slutte mig til hans Opfatning 1 saa Henseende, da Forholdene, som de kunde være eller vare aflæste paa norsk Side, ikke laa saaledes klart for en Dag. Min Sommerrejse gjennem svensk Lappmark har imidlertid tjent til i høj Grad at bestyrke en Forudsætning om, at Törnebohms Opstillen i sine væsentlige Hovedtræk er den rette. Idet jeg saaledes fremlægger dette lille Arbejde, vil jeg dog derunder have fremholdt, at der utvivlsomt fornødiges en nøjagtigere Revision, forinden de her opstillede Resulta- ter endelig kunne fastslaaes. Naar et sammenhængende Profil fra det svenske Højfjelds østlige Afslutning over Hejfjeldet og ned til norsk Side kan blive opgaaet efter en — eller et Par — dertil hensigtsmæssig valgt Linje, maa man utvivlsomt ved Hjelp af det foreliggende Undersøgelsesmateriale kunne vente Bygningsforholdene, fuldt udredede i sine store og væsentlige Trek. Hertil vil der udkræves en Sommers Arbejde — og det vilde for den skandinaviske Halvøs Geologi være af stor Betydning om dette ret snart kunde ske. Hald den her fremholdte Grupperingsmaade skal blive 38 Karl Pettersen. godkjendt gjennem senere nejagtige Undersogelser, vil deraf med Hensyn til Spergsmaalet om Daldannelsen inden disse Egne formentlig fremgaa, at Erosionen ı saa Henseende ofte maa have spillet en hejst væsentlig Rolle. Tromsø d. 19 Debr. 1877. OVERSIGT OVER DE NORSKE SERPULA-ARTER. AF G. A. HANSEN. D, der ikke findes let tilgjængelige Afbildninger af disse Dyrs Skaller og Laag, skal jeg meddele saadanne her, og det vil af dem ligesom af Undersogelse af Dyrene selv fremgaa, at de af Philippi (Wiegmanns Archiv 1844) og af Morch (Natur- hist. Tidsskrift 3die Række, 1) opstillede Karakterer til Skil- ning af Slægterne og Arterne neppe slaa til, og at man vanske- ligt efter dem vil kunne klassificere endog de faa Arter, vor Fauna har at opvise. Paa Tab, 1 Fig. 1 og 4 sees to almindelige Varieteter af Skaller for Serpula vermicularis. Skallerne forekomme ellers i mange forskjellige Snoninger, og Tilvæxtstriber forekomme hyp- pigt meget tætstaaende ved Skallens fordre frie Ende, hvilken ogsaa ofte ikke bærer Spor af den trekantede Form, som den fastvoxede Del af Skallen har. Laaget (Fig. 2), der er tragt- formigt, har omtrent 50 Tender, er fint foldet saavel paa Ind- som Udsiden af Tragten. Denne Foldning er begrundet deri, at der fra Tragtens ydre Blad gaa trekantede Septa ind imod dens Bund og dele Rummet imellem Tragtens Vægge 1 lige mange Loculamenter som der findes Folder og Takker i Ran- den, idet Septa svarer til Furerne mellem Folderne (Fig. 3). Laagets indre Bygning er ellers den samme som Stilkens; dets 40 G. A. Hansen. Chitinhud er ganske lidt tykkere end Stilkens, men dets Septa, der ere Forlængelser af Chistinhuden, ere noget tyndere. Hy- podermlaget, der bestaar af meget heie Cylinderceller, fortsættes paa Septa, og ind i Loculamenterne; mellem disse gaar der Fortsættelser af det Bindevæv, som fylder Stilken og Laagtragten, dette Bindevæv bestaar af store stjerneformige Celler, der ligge i en homogen strukturles Intercellulærmasse; 1 Stilkens Centrum gaar et Blodkar med arteriel Bygning, der sender Grene ud i Bindevævet. Muskler og Nervegrene hgge umiddelbart under Hypodermet, Musklerne række kun op til Tragtens Spids. Branchiernes Antal er 26—30 paa hver Side, vel 1 Ctm. lange paa Dyr af 3'—40Ctm.s Længde og 1" Mms Bredde. Kraven er lav helrandet med et dybt Indsnit paa hver Side. Paa lste Led findes kun Kapillærberster, ingen Hageberster. Bersterne vende fortil og Bundtet sidder længre bagtil end paa de følgende Led. Bersterne ere to Slags (Fig. 8). Paa de fel- gende 6 Led af Forkroppen findes Kapillerberster som Fig. Sb; Berstebundterne vende ret bagtıl, naar Dyret er udstrakt, men trykkes bagtil og nedad ind til Kroppen, naar Dyret er ind- trukket i Skallen. Ved Siden af Haarbersterne findes desuden de ventralt stillede lange Rader af Hageberster (Fig. 9. Det er at mærke ved Hagebersterne hos denne Art som hos de evrige, at deres Tagger vende fortil og at Bersterne derfor for- mentlig tegnes rigtigst som ı Fig. 9 ikke som vanligt med ned- advendende Tagger. Pasa Bagkroppen beholde Hagebersterne samme Form som paa Forkroppen, medens derimod Kapillær- bersterne optræde under en ganske forskjelig Form, idet de i Spidsen ere skjævt tragtformigt udvidede (Fig. 10 og 11) og Tragtens Rand besat med fine Tagger, svarende til en fin Strib- ning af det udvidede Parti. Paa Bagendens sidste 32—34 me- get korte Led optræde sylformige Kapillerberster; de i Spidsen tragtformigt udvidede Børster aftage lidt efter hdt i Antal, indtil de endelig ganske forsvinde omtrent ved det löde Led Oversigt over de norske Serpula-Arter. 41 bagfra (Fig. 5); de sidste 3—4 Led bære kun Hageborster (Fig. 5). Fig. 6 og 7 fremstille Skal og Laag af en Serpula, der ı 3 Exemplarer fandtes mellem Exemplarer af Placostegus triden- tatus fra Hardangerfjorden. Skallen er mere rund end sædvanligt hos Serpula vermicularis, men viser dog ved to Længdestriber en Antydning til den mere vanlige 3-kantede Form, og Aabningen er ligesom lidt indsnoret. Laaget har kun 20 og dertil meget tyk- kere Folder end hos den almindelige Serpula vermicularis, men har forresten fuldkommen den samme Bygning som hos denne. Dyret selv viser 1 alle Detaljer den fuldstændigste Overenstemmelse med Serp. verm. Efter Skallen og Laaget kunde man fristes til at opstille dette Dyr som egen Art eller ialfald som en Varietet af Serp. verm.; men Dyrenes fuldkomne Overensstemmelse for- resten synes at forbyde dette, og vi skulle nedenfor se, at samme Dyr kan bygge meget forskjellige Skaller og være forsynet med meget forskjellige Laag. Hydroides norvegica, Gunn. Her skulde det synes, som havde man i Laagets karakte- ristiske Form (Tab. II, Fig. 3) en god Slægtskarakter. Nær- mere beseet har dog dette Laag meget tilfælles med Serpula- langet. Paa Længdesnit af Laaget vil man se (Fig. 4), at man, naar man tager den indre Tragt med dens taggede Randproces- ser bort, har et fuldstændigt Serpulalaag tilbage. Den indre Tragt er kun en Udkrængning af Bunden i den ydre. Dyret forresten har den fuldstændigste Lighed med Serpula vermieu- laris, kun ere dets Branchier forholdsvis længere. I første Leds Borstebundt findes samme Sort Børster som i samme hos Serp. verm. (T. II, Fig. 5), Bagkroppens Kapillær- og Hagebørster svare fuldkommen til de samme hos Serp. verm. (Fig. 6, 7) og ogsaa hos Hydroid. norvegica findes lange, tynde, sylformige Haarbørster paa Bagenden fra det 15de til 18de Led bagfra og bagover. 42 G. A. Hansen. Skallen er for det meste rund med Tverrynker, dels oprul- let i Spiral eller anderledes krummet, dels helt udstrakt (Fig. 1); denne sidste Skalform har jeg fundet fritliggende i Ler uden at den var tilheftet nogen Gjenstand. Undertiden findes ogsaa Skaller med en teml. skarpt fremtrædende Længdekam (Fig. 2). - Medens Laagets Form tilsyneladende berettiger til at hen- føre dette Dyr til en anden Slægt end Serpula, er det dog af Laagets indre Bygning ligesom af Børsteformerne formentlig klart, at man derved fjerner det mere end tilbørligt fra dets nærmeste Slægtning. oo Pomatocerus triqveter. Vermilia porrecta.. I Fig. 8, 9 og 10, T. II er fremstillet Laaget af en Poma- tocerus og i Fig. 11—13 et Vermilialaag i forskjellige Stillinger og efter disse saa forskjellige Laagformer ere de to Slegter op- stillede. Stundom finder man og en tydelig Forskjel mellem Dyrenes Skaller (Fig. 14 og 15). Men underseger man et sterre Antal Exemplarer, finder man snart, at de forskjellige Laag- former ingenlunde svarer til de 2 Skalformer; begge Laagformer findes i Skaller af samme Form. Gaar man nu videre, finder man, at Dyrene have en høi Krave, som dels er helrandet, dels takket, men ogsaa, at denne forkjellige Form af Kraven ikke staar i noget Forhold til de forskjellige Laag eller Skalformer. Og søger man end videre for dog at finde et holdbart Skelne- mærke mellem de to Dyr, saa finder man kun, at de ogsaa 1 Børsternes Bygning ere fuldkommen ens, og dette hvad enten Dyrene ere tagne fra 50—60 Favnes Dybde, paa Stene i Stran- den eller fra Tangen. Der synes saaledes ingen Grund at være til at skille disse Dyr ad og det endog saa vidt, at man henfører dem til to for- skjellige Slægter. Pomatocerus triqveter og Vermilia porrecta ere samme Dyr, der foruden som paavist i Skal og Laagform, Oversigt over de norske Serpula-Arter. 43 ogsaa varierer overmaade meget ı Farve, idet denne paa Bran- chierne kan skifte 1 alle Nuancer mellem rødt og blaat. Placostegus tridentatus kan derimod med god Ret opfores med et eget Slægtsnavn. Skallen udmærker sig som bekjendt ved sin klare gjennemskin- nende Substants. Laaget (T. III, Fig. 1 og 2) er hornagtigt og spaltet 1 2 Lameller, der indeslutte et fladtrykt Hulrum mellem sig. Stilkens og dennes tragtformige Endes indre Byg- ning er den samme som hos Serpula vermicularis. Paa Forkrop- pen findes kun 6 børstebærende Segmenter, idet første Segment er berstelest. Derimod findes her en anden Eiendommelighed, en lang rød Stribe parallelt med de bagenfor liggende hage- børstebærende Tori (Fig. 3, a). Disse røde Striber maa rime- ligvis opfattes som Rader af tæt sammenpakkede enkle Pine; de bestaa nemlig af stærkt rød pigmenterede eylindriske Hypo- dermeeller, der i deres ydre Ender bære hver et aflangt stærkt lysbrydende Legeme ligesom en Lindse (Fig. 4). Kapillærbør- sterne paa For og Bagkrop (Fig. 5 og 6) have ingen afvigende Form, hvorimod Hagebørsterne (Fig. 7) have en meget eien- dommelig Form, idet den sædvanligt taggede Rand ikke engentlig er tagget, men kun fint tverstribet. Ditrypa arietina. Dette Dyr er vel karakteriseret ved.sin Skal baade derved, at den aldrig er fastvoxet til nogen anden Gjenstand, men altid ligger frit i Evjen, og derved, at Mundingen er indsnævret (Fig. 11, T. LIT). Laaget ligner fuldkomment det hos Placo- stegus tridentatus 1 det Ydre (Fig. 7), men adskiller sig fra samme derved, at det ei er spaltet i 2 Lameller. Dyret har endvidere Lighed med Placostegus tridentatus deri, at der paa Forkroppen kun findes 6 børstebærende Segmenter, idet første Segment er uden Børster. Branchiernes Antal er 12 paa hver Side, og de ere besatte med en dobbelt Række Radioler. Ka- 44 G. A. Hansen. pillærbørsterne paa Forkroppen ere smalt bræmmede (T. III, Fig. 8), paa Bagkroppen mangle Kapillærbørster ganske, und- tagen paa de sidste 10—15 korte Led, hvor der findes nogle ganske faa sylformige Børster (Fig. 10). Hagebørsterne ere meget fint tandede, med ca.20 spidse Tagger, noget mindre paa Bagkroppen end paa Forkroppen (Fig. 9). Oversigt over de norske Serpula-Arter. 44, FORKLARING AF FIGURERNE TIL G. A. HANSENS AFHANDLING. Tavle I Fig. == Ii, 1 2. — À 4 Rer af Serpula vermieularis. Laaget af samme. Længdesnit af Laaget. Rer af Serpula vermicularis. Dyrets Bagende, Ror for en Serpula vermicularis fra Har- dangerfjord. | Samme Dyrs Laag. Kapillærbørste fra Forkroppen, æ tilhører alene første Led, b og b ogsaa de følgende. Hagebørste. Bagkrops Kapillærbørste. Samme seet lidt ovenfra Enden. Tavle II. Fig. 1 & 2. Rør for Hydroides norvegica. — à, — 4 — 5 = 6, EEE Samme Dyrs Laag. Længdesnit af Laaget. Kapillærbørste fra Iste Led. Kapillærbørste fra u Hagebørste. — 8,9 & 10. Laag af Pomatocerus triqveter. — 11, 12 & 13. Laag af Vermilia porrecta. Tavle III Fig. 1. Rør for samme. Rør for Pomatocerus triqveter. Laag af Placostegus tridentatus i Gjennem- snit. Forstørret Gjennemsnit af samme Laag. Dyrets Forende uden Branchier. Ved a den røde Stribe paa første Led. Aa G. A. Hansen. Tavle III Fig. 4. Længdesnit af Forkroppens forreste Del, der viser den rode Stribe bestaaende af rodpigmenterede Hypodermeeller, hver med et lindseformigt Legeme ı den ydre Ende. 5. Kapillærbørste fra Forkroppen. — 0: — fra Bagkroppen. 7. Hageborste. — 7. JLaaget af Ditrypa arietina. 8. Kapillærbørste fra Forkroppen. — 9. Hageborste. — 10. Kapillærberste fra Bagenden. — 11. Rør for Ditrypa arietina. DRUESUKKERETS TITRERING I MENNESKEURIN 06 DYRISKE VÆDSKER OVERHOVEDET. AF WORM MÜLLER OG I. HAGEN. (MEDDELELSE FRA UNIVERSITETETS FYSIOLOGISKE INSTITUT.) 8 1. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. Dee bestemmes sædvanligt kvantitativt ad kemisk Vej ved Hjælp af Fehlings Titrermethode, der som bekjendt grunder sig paa, at en vis Mængde Kobberoxyd 1 alkalisk Væd- ske, tilsat vinsurt Kali-Natron, ved Ophedning reduceres til Kobberoxydul af en bestemt Mængde Druesukker (5 Mol. Kob- beroxyd af 1 Mol. Sukker). Sammenligner man de efter denne Methode fundne Værdier med dem, der erholdes ad fysikalsk Vej ved Cirkumpolarisationsapparatet, (Soleil-Ventzke's eller Wild’s,) saa ere Differentserne for vandige Druesukkeropløsnin- gers Vedkommende meget ringe. Saaledes har Pillitz’) i en vandig Opløsning af rent Druesukker fundet 5.37 pCt. ved Fehlings Methode og 5.2 pCt. ved Polarisation. I mange andre Forsøg, som ere udførte baade her og andetsteds, stemme Resul- taterne end bedre. Men ı Urinen faar man efter mangfoldige Erfaringer sæd- vanligt en ikke ringe Uoverensstemmelse, der i Gjennemsnit 1) Zeitschr. f. anal. Chem. B. 10. 1871. S. 462. 46 Worm Müller og I. Hagen. turde belebe sig til 0.3—0.4 pCt.; den Fehlingske Methode giver den storre Sukkergehalt; Cirkumpolarisationen den mindre. Allerede paa Grund af disse Uoverensstemmelser var det af ikke uvæsentlig Betydning ved Hjælp af en anden kemisk Bestemmelsesmethode at kontrollere Resultaterne for Urinens Vedkommende. En saadan er ogsaa ønskelig af andre Grunde. Man har indvendt mod Fehlings Methode, at Titrervædsken (Kobbervitriol opløst i Alkali ved Hjælp af vinsurt Kali-Natron) er lidet holdbar. Denne Indvending er ikke ubegrundet, men dog uden Betydning, naar man efter Prof. Schneider opbevarer Kobbervitriolopløsningen og den med Natronlud tilsatte Seignet- tesaltopløsning hver for sig og først blander dem umiddelbart før Analysen. Kobbervitrioloplesningen kan naturligvis ikke forandre sig, og den alkaliske Seignettesaltopløsning er meget mere holdbar end den Fehlingske Vædske. Den største Ulempe er, at Fehlings Vædske sædvanligt ikke kan benyttes til at bestemme ringere Sukkermængder end 0.5 pCt. i Urinen, fordi man paa Grund af de for Urinen egne Forholde ikke kan vide, naar alt Kobberoxyd er reduceret. Almindeligvis udføres Endereaktionen paa den Maade, at man, saasnart Reduktionen af det afmaalte Kvantum Fehlings Væd- ske synes at være færdig, filtrerer og i Filtratet prøver paa Spor af Kobber ved Hjælp af Ferrocyankalium og Eddikesyre (eller fortyndet Saltsyre). Denne Reaktion slaar ialmindelighed til, naar den ufortyndede Urin indeholder 1 pCt. Sukker eller derover, imellem 1 og 0.5 pCt. lykkes den sædvanlig, men ikke altid, og under 0.5 pCt. meget sjelden. Under disse Omstæn- digheder kan nemlig Kobberoxydulet dels holdes oplest, dels vere saa fint fordelt i Vædsken, at det gaar gjennem Filtret; Filtratet indeholder Kobberoxydul, og da man ikke har nogen Indikator, ved Hjælp af hvilken man ganske skarpt kan afgjøre, om der i samme ved Siden af Kobberoxydul ogsaa findes Spor af Kobberoxyd, bliver det sædvanlig umuligt at bestemme meget Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 47 rınge Kvantiteter Sukker i Urinen ved Hjælp af Fehlings Methode. Da det nu i mange Tilfælde just er vigtigt nejagtig at angive smaa Sukkermængder i Urinen, og disse som bekjendt i denne Vædske heller ikke kan bestemmes ved Polarisation, saa var det ønskeligt at kunne frigjøre sig fra denne Ulempe. Til den Ende varierede vi først Endereaktionen ved Titreringen med Fehlings Vædske paa mange Maader, men uden Nytte. Vi vendte os derpaa til andre Prøvevædsker og bleve tilsidst staaende ved den paa Liebigs Foranledning af Karl Knapp") angivne Methode; denne gav tilfredsstillende Resultater og for- tjener derfor en nærmere Beskrivelse end den, der sædvanlig bliver samme tildel. Hans Bestemmelsesmaade grunder sig paa, at en alkalisk Opløsning af (4 Dele) Cyankvikselv ved stærkere Ophedning med (1 Del vandfrit) Druesukker dekomponeres under Udskil- lelse af metallisk Kviksølv. Prøvevædsken beredes meget let ved at opløse 10 gr. rent,?) tørt Cyankviksølv i Vand, tilsætte 100 kem. Natronlud af sp. V. 1.145 og fortynde a til 1 Liter. Ved Titreringen, som vi i det væsentlige have udført over- enstemmende med Knapps Forskrifter, gaa vi frem paa følgende Maade: 10 eller 20 kem. af Titrervædsken ophedes med 20— 30 kem. Vand i en Erlenmeyers Kogeflaske til Kogning. Man lader nu af en Byrette den med Vand fortyndede Urin*) flyde ned, indtil alt Kviksølv er udfældt. I Begyndelsen bliver Blan- dingen graaligt uklar, men naar der næsten er tilsat den tilstræk- kelige Mængde af Sukkeropløsningen, klares Vædsken, den ) Ann. Chem. Pharm. Bd. 154. 1870. S. 252. Cyankviksølvet kan ialmindelighed erholdes i Handelen; det blev i Forvejen prøvet paa sin Renhed. Urinen fortyndes ligesom ved Bestemmelsen efter Fehling med Vand til det 10-dobbelte eller, hvis man har Grund til at antage, at Sukker- gebalten er meget ringe (under 0.5 pCt.) til det 5-dobbelte. i ~— 3 — 48 Worm Müller og I. Hagen. antager en gulagtig Farvetone, og Kviksølvet tilligemed Fnokker af udfældte Fosfater afsætter sig. Nu gjælder det at paavise, om Vædsken endnu indeholder oplest Kviksolvforbindelse. Da det metalliske Kvikselv fuld- stændig synker tilbunds, behøver man for at udføre Endereak- tionen ikke at filtrere, (saaledes som Tilfældet er ved Anven- delsen af Fehlings Opløsning); man kan simpelt hen lade en Draabe af Vædsken stige op i et Kapillærrør og derpaa udblæse denne paa en Strimmel fint svensk Filtrerpapir. Med Hensyn til Reaktionen selv have vi med Pillitz*) fundet, at Svovlvand- stof, især naar Saltsyre er tilstede, er en bedre og hurtigere Indikator for Spor af opløste Kviksølvforbindelser end Svovl- ammonium. Vi gjennemtrække derfor efter Pillitz's Forskrift den fugtige Flæk paa Papiret med Dampe af rygende Saltsyre og derpaa af Svovlvandstof, idet Flækken holdes over Mundin- gerne af de respektive Flasker. Ere de anvendte Reagenser muligst stærke, farves Flækken strax, næsten momentant, svagt brun eller gul, selv om der blot er minimale Spor af Kviksølv tilstede. Denne Reaktionen er 1) sikker og 2) emfindtlig. ad 1) Det kan hænde, at der opsuges suspenderede Kvik- sølvpartikler i Kapillærrøret, naar Vædsken er 1 stærk Kog, eller naar Kapillærrøret bringes ned mod Bunden af Karret; 1 saa Fald vil Draaben, som udblæses paa Papiret, give Kviksølv- reaktion med Saltsyre og Svovlvandstof. Man maa derfor, før man udtager Prøven, moderere eller fjerne Flammen, saa at Vædsken kommer i Ro, samt blot dukke Haarrøret tæt unde Vædskeblandingens Overflade. ad 2) Tilsyneladende er Reaktionen lidet skarp; den fug- tige Flæk kan ofte før Behandlingen være gulfarvet, især hvis Urinen indeholder meget Farvestof, og Spor af Kvikselv opløst i Vædsken giver kun en meget svag Farvning af Flækken efter Indvirkningen af Saltsyre og Svovlvandstof. Og dog er Reak- Del C28.459. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 49 tionen meget emfindtlig, naar man strængt iagttager følgende Kauteler: a) Den anvendte Urinblanding bør, som sagt, sæd- vanlig ikke være stærkere end 10 pOt., (1 Del Urin til 9 Dele Vand); en mere koncentreret Blanding farver ofte Papiret saa meget, at Reaktionen kan svækkes.” b) Den fugtige Fleks Farve før Behandlingen med Svovlvandstof og efter maa sam- menlignes. Man betragter Flækken, efter at den er gjennem- trukket med Saltsyredamp, opmærksomt, medens den holdes over Svovlvandstofflasken. Man vil da iagttage en Farveforandring, idet Flækken bliver mere gul. Men denne Sammenligning er ikke ganske fin, da man ikke samtidig har for Øje den oprinde- lige og den forandrede Flæk, og man maa ikke berolige sig, om man ad denne Vej ikke længer iagttager Farveforandring. Er dette Tidspunkt indtraadt, bringer man Kapillærrøret atter ned i Vædsken, udblæser Draaben paa Papiret ved Siden af den med Saltsyre og Svovlvandstof behandlede Flæk og sam- menligner dem med hinanden, idet man bøjer Strimmelen til- bage, saaledes at begge Flækkerne komme til at have en hvid Baggrund af det ombøjede Papir. Det kan ikke noksom frem- hæves, at det Filtrerpapir, man anvender, maa have en ren hvid Farve og være tyndt, saa at den fugtige Flæk lader den hvide Baggrund skinne igjennem, naar Papiret ombøjes. Fint svensk Filtrerpapir er langt at foretrække for det tydske Papir, vi her have havt. Dette har ofte en mere smudsig Farve og er aldrig saa gjennemskinnende. Tagttager man disse Forsigtighedsregler, der ere meget at anbefale, kan man efter nogen Øvelse ogsaa ved Aftenlys med største Skarphed titrere Sukkergehalten i Uriner, som ikke indeholde Blodfarvestof i betydelig Mængde. Beregningen er yderlig simpel; til 1 Liter (1000 kem.) af Titrervædsken, der indeholder 10 gr. Cyankviksølv, udfordres 1) Tildels af samme Grund er det, at vi fra Begyndelsen af til de 10 resp. 20 kem. Cyankviksølvopløsning sætte 20—30 kem. Vand. - Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 4 50 Worm Müller og I. Hagen. 2.5 gr. vandfrit Druesukker, altsaa anviser 10 kem. 25 milli- gram og 20 kem. 50 milligram Druesukker. Der blev nu udført en Række Analyser af Uriner fra Bar- selkvinder og Diabetikere efter Knapps og Fehlings Methode. Af Knapps Vædske anvendtes 10 eller 20 kem., fortyndet med 20—30 kem. Vand; af Fehlings Vædske 5 eller (sædvanlig) 10 ' kem., ligeledes tilsat 20—30 kem. Vand. Saavel den Knappske som den Fehlingske Vædskes Styrke var prøvet ved Hjælp af nøjagtigt afvejede Mængder kemisk rent Druesukker (Smelte- punkt 146°) opløst i Vand, og til Overflod blev Kobbergehalten i Fehlings Vædske bestemt efter Roses Methode, (kfr. Fresenius, Anl. zur. quant. chem. Anal. 6te Auflage. 1875. Bd. I. S. 334). For at gjøre Sammenligningen saa meget nøjagtigere, an- vendtes der til Titreringen efter begge Methoder en og samme Urinblanding (1 Del Urin og 9 Dele Vand) i en og samme Byrette. De Hovedspørgsmaal, som ved denne Sammenligning maatte foreligge, vare: I) Ere de efter Knapps og Fehlings Methode fundne Værdier for Sukkergehalten å Urinen overensstemmende eller ikke? II) Kan man ved Hjælp af Knapps Methode be- stemme Sukkergehalten, naar denne er saa ringe, at den ikke lader sig titrere efter Fehlings? III) Hvilken af disse Metho- der er den hensigismessigste? Ved Besvarelsen af disse Spergsmaal toges kun Hensyn til albuminfrie Uriner, da man efter de almindelige Angivelser ikke uden videre kan bestemme Sukkergehalten i Uriner, der inde- holde Albumen. Fandtes derfor i Urinen Æggehvide, blev denne før Titreringen fjernet (udfældt ved Kogning og Tilsæt- ning af nogle Draaber fortyndet Eddikesyre samt frafiltreret). For den overalt angivne Regel, at man altid bør fjerne Æggehviden, før man bestemmer Sukkergehalten, har det ikke lykkedes os at kunne finde et bestemt experimentelt Grundlag. Vi har forgjæves søgt efter specielle Data, som godtgjøre Nød- vendigheden af denne Fremgangsmaade, naar Æggehviden er - Sukkerets Titrering i Menneskeurin. DL tilstede i ringe Mængde (0.2—0.3 pCt. eller derunder), hvad der sædvanlig er Tilfældet, naar Urinen hos Diabetikere eller hos Barselkvinder indeholder Æggehvide. Det laa derfor nær at besvare følgende Spørgsmaal: IV) Kan man titrere Suk- kermængden i Uriner, der indeholde 0.2 pCt. Æggehvide eller min- dre, uden i Forvejen at fjerne denne? Har å saa Henseende Knapps eller Fehlings Methode særegne Fordele? Hvilken ska- delig Indflydelse udover Æogehviden overhovedet ved Titreringen? ke Ere de efter Knapps og Fehlings Methode fundne Verdier for Sukkergehalten å Urinen overensstemmende eller ikke? Efter det foregaaende har vi her kun at anstille Forsøg med Uriner af en saavidt stor Sukkergehalt, at der ikke gaar Spor af Kobberoxydul over 1 Filtratet. De af os udførte For- søg ere sammenstillede i følgende Tabel: Tabel 1. I. Diabe- Sukkeret titreret efter I. Diabe- Sukkeret titreret efter tikere. tikere. u Fehling. | Knapp. i Fehling. | Knapp. 1| P. A. | 0.57 pCt. | 0.56 pCt. | H. H. | 2.38 pCt. | 2.27 pCt. Nita JEG, 0.78 — | 0.76 — M. 0. | 2.56 — | 2.63 — 3| ©.K. ih == | 125 == M. O 3.03 — | 3.03 — 4| R. K. 1.23 — 1.12 — M. 0. 3.10 — | 3.33 — 5| SH) | 1.54 — 11.56 — | J. E.%) | 3:19 — 13.12 — 6) P. A. 1.65 — 1.61 — M. O. | 3.26 — | 3.33 — 7| R. K. | 1.85 — |1.85 — | J. EN | 3.90 — 13.77 — me Ea SE EGNE 9 M. O. | 1.89 — | 1.92 — H. H. | 4.69 — | 4.65 — II. Barsel- 10) MIO NE == BEG — pe doc 11) S. H.1) | 2.08 — | 2.27 — | M. A) | 0.63 — |0.68 — 12! P. A. 2.20 — | 2.22 — M. E 0.69 — | 0.73 — 13} J. E.') | 2.26 — | 2.27 — B. A 1.25 — 1.14 — ae | 2:31) 220000 | 1) Disse Uriner vare oprindélig æggehvideholdige, men Albuminet var fer Titreringen fjernet paa den ovenfor angivne Maade. 4* 52 Worm Müller og I. Hagen. Til Sammenligning hidsættes de tre af Pillitz!) anførte Bestemmelser Sukkeret titreret efter Fehling. Knapp. Urin No. 1 .. | 3.59 pCt. | 3.68 pCt. Urin No. 2°.. | 3.67 — DAT ome Um No ar ao EET — Overensstemmelsen mellem de erholdte Verdier er iejne- faldende. Dette er saameget mere at fremhæve, som vi 1 det foregaaende have sammenstillet alle de af os udførte Forsøg uden at udelade et eneste. Det kan derfor kun bero paa en mindre rig Erfaring, naar den bekjendte Forfatter af «Handbuch der physiologisch- und pathologisch-chemischen Analyse», Hoppe- Seyler, 1 det 4de Oplag af denne Bog Pag. 342 om Knapps Methode siger: «Diese Methode lässt beim Harne bei Weitem nicht die Genauigkeit der Fehling’schen Bestimmung erreichen.» Methoderne ere lige nöjagtige. Da Resultaterne ere saa overensstemmende, og de ringe Differentser ikke gaa i nogen bestemt Retning, kunne vi heraf formode, at de Substantser i Urinen, der foruden Sukkeret redu- cere den Fehlingske Vædske ved Kogning, ogsaa bevirke Ud- skillelse af Kviksølv 1 den alkaliske Cyankvikselvoplosning. Denne Formodning er for Urinsyrens Vedkommende bleven bekræftet ved Forsøg, som vi have anstillet; ligesom den ved Kogning udfælder Kobberoxydul af en alkalisk Kobberoxydop- løsning, udskiller den ogsaa Kviksølv af Knapps Vædske. Før vi gaar over til det følgende Spørgsmaal, er det ikke ganske unødvendigt atter at fremhæve, at vi ikke direkte have titreret Urinen, men først efter at den var bleven fortyndet med Dib Gy Sh sey Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 53 9 Dele Vand. Hvorledes Resultaterne modificeres, naar man direkte titrerer ufortyndet Urin, dette Spørgsmaals Besvarelse ligger her udenfor vor Opgave. TE: Kan man ved Hjælp af Knapps Methode bestemme Sukkerge- halten, naar denne er saa ringe, at den ikke lader sig titrere efter Fehling ? Uriner, som indeholde en ringe Kvantitet Sukker (0.5—0.7 pCt. eller derunder), lade sig meget hyppigt ikke titrere efter - Fehling.‘) Den Fehlingske Opløsning bliver i saa Fald efter Tilsætning af en større eller mindre Mængde Urinblanding først noget uklar, senere hen grønlig og derpaa sædvanlig sherrybrun ved gjennemfaldende Lys med smudsig gulgrønlig Opalescents ved paafaldende Lys. Den sherrybrune Farve er sandsynligvis væ- sentlig betinget af opløst og den gulgrønlige Opalescents af suspen- deret Kobberoxydul(hydrat). Disse fint suspenderede gulgrønlige Partikler sænke sig meget langsomt og kunne selv efter Timers Forløb ikke frafiltreres; Filtratet har det samme Udseende som Vædsken selv. Urinen maa altsaa indeholde Stoffe, der dels opløse Kobberoxydul, dels bevirke en Udskillelse af Kobber- oxydulhydrat i saa fint fordelt Tilstand, at det gaar gjennem Filtret. Et enkelt saadant Stof (Kreatinin) er allerede, som det synes, paavist, dets Forhold til Sukkeropløsninger og Fehlings Vædske ialfald experimentelt undersøgt. I Tilstedeværelsen af dette og andre Stoffe (Farvestoffene) har Seegen og andre troet at kunne finde en Forklaring af hint Fænomen. Merkeligt er det imidlertid, at disse Substantser først udfolde sin Virkning, naar Sukkergehalten synker under en vis Grendse. Man kan vise Overgangen i en og samme Urin, som man tilsætter for- skjellige Mængder Sukker; over en vis Sukkergehalt faar man 1) Uriner, som iadeholde en større Kvantitet end 0.5 pCt. og mindre end 1 pCt. Sukker, give som oftest, men ikke altid, et klart Filtrat efter Reduktionen af Feblings Vædske. 54 Worm Müller og I. Hagen. efter Reduktionen af Fehlings Vædske et klart Filtrat, under samme er Filtratet uklart og giver Kobberreaktion. 1) En Diabetikers Urin tilsattes en afvejet Mængde Druesukker og for- tyndedes med Vand til det 5-dobbelte; ved Hjælp af Fehlings Vædske viste Urinen sig nu at indeholde 0.8 pCt. Filtratet efter Reduktionen var frit for Kobber. Derpaa gjordes en 0.75 pCt.ig Blanding, som ogsaa efterat være fortyndet til det 5-dobbelte titreredes med Fehlings Vædske. Kobber- oxydulet afsatte sig i Begyndelsen godt, men mod Titreringens Ende udskiltes det saa fint, at det trods dobbelt Filter ikke lod sig frafiltrere. Grændsen laa altsaa mellem 0.8 og 0.75 pCt. — 2) Normal Urin tilsattes afvejede Mængder rent Druesukker, saaledes at der erholdtes Blandinger med en Gehalt af resp. 0.9, 0.8 og 0.7 pCt. Sukker. Grandsen var i dette Tilfælde omtrent den samme, nemlig mellem 0.8 og 0.7 pCt. Vi have forgjæves søgt at forrykke denne Grændse til Gunst for Titreringen dels ved at fortynde Urinen med end større Mængder Vand end sædvanligt og dels ved at modificere Alkaligehalten af Fehlings Vædske, dels ogsaa paa anden Maade. Vi have derfor lang Tid staaet raadløse ligeoverfor Bestem- melsen af smaa Sukkermængder i Urmen, da Polarisationsme- thoden her ikke kan give nøjagtige Resultater. Forskjellige Forsøg med andre Prøvevædsker, nemlig den af Schiff!) angivne Opløsning af vinsurt Kobberoxyd, alkalisk Vismuthoxydopløsning, tilsat vinsurt Kali, den af Kletzinsky”) og senere af Løwe*) angivne Glyeerin-Kobberoxydopløsning, samt melkesurt Kobber- oxyd 1 alkalisk Opløsning, slog ogsaa Fejl. Vi bleve derfor overraskede, da vi gjorde den Erfaring, at Knapps Vedske med Lethed lader sig anvende til Sukkertitrering, selv om Uri- nens samlede Gehalt paa reducerende Substants blot svarer til 0.1 pCë. Sukker, eller endog derunder. Naturligvis vil, hvor Sukkergehalten er saa liden, de øvrige reducerende Substantser, der findes i Urinen, for en væsentlig Del indgaa i den fundne Verdi. Vilde man derfor her nøjagtigt bestemme Sukker- 1) Ann. Chem. Pharm. Bd. 112. Pag. 368 ff. ?) Zeitschr. d. Gesells. d. Aerzte zu Wien. 10te Jhg. 1854. 1ster Bd. Base 117: 3) Zeitschr. f. anal. Chem. Bd. 9. 1870. Pag. 20. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 55 mængden, maatte man anstille specielle Undersøgelser om, hvil- ken Del af den fundne Procentgehalt der tilkommer disse Stoffe. Saadanne Bestemmelser, hvortil der knytter sig flere Spørgs- maal af Interesse, laa imidlertid udenfor dette Arbejdes nær- meste Formaal. Følgende Tabel indeholder de af os udførte Analyser; Suk- keret var i Forvejen paavist kvalitativt ved en egen Modifi- kation af den Trommerske Prove, hvis Beskrivelse ikke hører herhen; denne modificerede Methodes Paalidelighed og Ømfindt- lighed var faststillet ved en Række Forsøg. De til Analyserne anvendte Urinvædsker indeholdt dels 10, dels 20 pOt. af den oprindelige Urin. Tabel 2. I. Diabe-| Sukkergehalt. I. Diabe-| Sukkergehalt. IL. Barsel-| Sukkergehalt, I, Barsel-| Sukkergehalt, tikere. (Knapp). tikere. (Knapp). kvinder. (Knapp). kvinder, | (Knapp). 1 .J. A. |0.12 pCt.| 10| E. J. 0.43 pCt. | 19/M. A. 0.087pCt. 28 M. E.| 0.69 pCt. 2/0. W. 0.12 — |11/0. K.|0.45 — 20 M. A. 0.14 — |29M. E.|0.73 — 3 R. K. 017 — |12R. K. 0.46 — |21B. A. 0.17 — |30M. A.10.78 — 4|C. W.10.20 — |13/C. W. 0.50 — |22M. E. 0.21 — 5|C. W.1025 — |14/0. K.|0.52 — |23|B. A.|0.32 — 6 R. K.1030 — |15|P. A.|0.56 — |24M. E.|0.38 — 710. W.|0.30 — |16/C. W.|0.56 — |25M. A.|0.42 — 810. K.|0.36 — |17R. K.|0.76 — |26|M. E.|0.56 — 9|E. J.|042 — |18|J. A.|0.90 — |27 M. E.10.57 — Alle disse Uriner lode sig med stor Lethed titrere efter Knapp; Kviksølvet udfældtes let, det omhylledes ganske af de fnokkede Fosfater og sank hurtigt tilbunds, saa at man erholdt en skarp Endereaktion ved Hjælp af den ovenstaaende klare Vædske. Saavel 10- som 20 pCtige Urinblandinger gave gode Resultater, men vi have dog fundet det mere fordelagtigt, hvor Urinen ikke var stærkt farvet, at anvende 20 pCt.ige. Derimod lod disse Uriner sig ikke titrere med Fehlings Vædske; Filtratet var aldrig klart. Dette Fænomen, der har været alle fysiologiske og pathologiske Kemikere paafaldende, gav Anledning til følgende Spørgsmaal: a) Hvorvidt influeres 56 Worm Müller og I. Hagen. Titreringen af Urinens Fortynding med Vand og Vædskens Alkaligehalt? b) Hvorledes forklares dette Fenomen? c) For- holde normale Uriner, der paa en eller anden Maade indeholde Sukker, og diabetiske sig å denne Henseende paa samme Maade eller ej? a) Som Tabellen viser, indeholdt den ufortyndede Urin sædvanligt mere end 0.2 pCt., hyppigt 0.4—0.5 pCt. og 5 Gange endog mere end 0.6 pCt. Vi have i Løbet af de to sidste Aar med Bistand af flere sagkyndige Kemikere, der have arbejdet i Institutet, udført mange hundrede Titreringer med Fehlings Vædske, iagttaget alle Kauteler, og stadig gjort den Erfaring, at Uriner, der indeholde 0.5 pCt. Sukker eller derunder, sæd- vanligt ikke lade sig titrere efter denne Methode. Dette Re- sultat turde være uventet; det synes fastslaaet, at stærk Fortyn- ding af Urinen har en saa gunstig Indflydelse paa Titreringen, at Sukkergehalten i Uriner, der indeholde 0.2—0.5 pCt. Sukker, nøjagtigt kan bestemmes med Fehlings Vædske, naar de tilsæt- tes en større Mængde Vand. Vi have 1 vore Forsøg altid for- tyndet disse Uriner til det 5- eller 10-dobbelte, ja undertiden endog til det 15-dobbelte, men have desuagtet ikke kunnet fri- gjøre os for Kobberoxydul i Filtratet. Seegen’) har sat Grændsen til 0.1—0.2 pCt., saafremt Urinen tilstrækkelig fortyndes; han har imidlertid til Endereaktionen ikke benyttet sig af Filtratet, men indskrænket sig til at iagttage den ved Reduktionen frem- bragte Afarvning af Vædsken. Fortyndingen virker forsaavidt gunstigt, som Urinefis normale Farve, der let dækker et svagt blaat Skimmer af uforandret Kobberoxyd, svækkes; denne gun- stige Indflydelse neutraliseres imidlertid mere eller mindre der- ved, at det store Vædskekvantum 1 ho] Grad afbleger den blaa Farve. Men paa denne Maade kan man kun undtagelsesvis erholde ganske paalidelige Bestemmelser. Vi sige undtagelsesvis; det kan nemlig af og til hænde, at man skarpt kan iagttage 1) Dr. J. Seesen. Der Diabetes mellitus. Zweite Auflage. Berlin 1875. S. 152. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 57 Tidspunktet, naar det blaa Skjær, som antyder Spor af oplest Kobberoxyd, forsvinder, selv om Sukkergehalten i den ufortyn- dede Urin blot er 0.2—0.5 pCt. I ethvert Fald bliver dog denne Afojerelse kun undtagelsesvis skarp. Der maa en kemisk Undersogelse af Filtratet til for at erholde exakte Resultater. Det væsentlige er altsaa efter Reduktionen at erholde et klart kobberoxydulfrit Filtrat; efter Seegen og andre skal Fortynding af Urinen med Vand ogsaa i denne Retning virke gunstigt. Vi have ikke egentligt kunnet bestyrke Rigtigheden heraf. Tilsæt- tes Urinen Vand, blive alle dens Bestanddele jevnt fortyndede, altsaa ikke blot de Stoffe, der forhindre Udfældningen af Kobber- oxydul, men ogsaa Sukkeret selv. Det er ikke uden videre let at indse, hvorfor under saadanne Omstændigheder de af Urinens Be- standdele, der hindre Bundfældingen af Kobberoxydul, fortrinsvis skulde lammes 1 sin Virksomhed. Naar man titrerer Uriner direkte og derpaa efter at have fortyndet dem med Vand, vil man heller ikke 1 Regelen — ceteris paribus — finde nogen væsentlig Divergents med Hensyn til Filtratets Gehalt paa Kobberoxydul.!) Kun er Gehalten paa opløst Kobberoxydul større ved den ufortyndede Urin, derimod Mængden af det fint suspenderede Kobberoxydul- hydrat, der gaar gjennem Filtret, større ved den fortyndede, rimeligvis væsentlig paa Grund af den alkaliske Vædskes ringere Koncentration. Seegen har ganske rigtigt opfattet denne Forskjels væsentlige Betydning ved den kvalitative Paavisning af Sukker med Fehlings Vædske. Naar Uriner, der indeholde smaa Kvan- titeter Sukker, tilsættes den ufortyndede Fehlings Vædske, er- holdes ofte blot en Farveforandring af Vædsken, men ingen 1) Tilsætning af Vand gjør den kvantitative Bestemmelse lettere og nøj- agtigere, fordi Fortyndingen af den sukkerholdige Urin til det 5- eller 10-dobbelte bevirker en tilsvarende Formindskelse af Fejlen, og Urinens normale Farve svækkes, saa at man bedre kan iagttage, naar Vædskens blaa Skimmer ophorer, og skarpere i Filtratet paavise Spor af Kob- beroxyd. Kobberoxydulet synker ogsaa sædvanligt hurtigere tilbunds i den mere fortyndede Vædske, men denne Fordel har vi her i Insti- tutet fundet af forholdsvis mindre Betydning. 58 Worm Müller og I. Hagen. Udskillelse af Kobberoxydul(hydrat) ved Ophedning; fortyndes derimod Fehlings Vædske stærkt med Vand, optræder der sæd- vanligt i Løbet af Ophedningen en karakteristisk Fældning gjennem hele Vædsken af fint fordelt gult Kobberoxydulhydrat. Men denne Forskjel er ikke af større Vigtighed for den kvan- titative Bestemmelse, simpelt hen af den Grund, at det fint suspenderede Kobberoxydulhydrat ikke kan frafiltres; vi have under disse Omstændigheder ikke kunnet frigjøre os fra Kob- beroxydul i Filtratet, selv ved Anvendelsen af tredobbelt Filter. Claude Bernard meddeler, at naar man tilsætter en stor Mængde koncentreret Alkaliopløsning til Fehlings Vædske, vil un- der og efter Titreringen Kobberoxydulet holdes opløst. Claude Bernards Angivelser !) gjælder oprindeligen, som det synes, Suk- kerbestemmelser i Blod, hvoraf Æggehviden er udfældt; men den har ogsaa sin Rigtighed baade for Urinens og for vandige Sukker- opløsningers Vedkommende, ialfald naar man nøjagtigt følger hans Forskrifter. 1 kem. Fehlings Vædske blandedes med 20 kem. Kaliop- løsning af sp. V. 1.38 ved 16° C. (ca. 37 pCt. KOH), ophededes til Kog- ning og afspærredes fra Luften, efter at Kogningen en Stund havde ved- varet. Derpaa tilsattes draabevis i et Forsøg en til det 10-dobbelte for- tyndet sukkerholdig Urin (Urinens Sukkergehalt 1 pCt.), og i et andet en 0.5 pCt.ig vandig Sukkeropløsning. Paa det Sted, hvor Draaben blan- dede sig med Fehlings Vædske, optraadte strax en stærkt gul Farvning, som imidlertid igjen forsvandt. Denne gule Farve skyldtes vel pludselig Udfældning af Kobberoxydul, som atter ligesaa hurtigt opløstes, uden at 1) Hans Fremgangsmaade er folgende: Til 1 kem. Fehlings Vædske sættes 15—20 kem. koncentreret Kaliopløsning. Kolben, hvori Blan- dingen befinder sig, tillukkes med en dobbelt gjennemboret Kork, i hvis ene Hul Spidsen af Byretten, der indeholder den sukkerholdige Vædske, slutter lufttæt; i det andet anbringes et retvinklet Glasrør, der paa sin frie Ende omsluttes af et kort Kautschukrør. Vædske- blandingen ophedes til Kogning, og saasnart Luften antages at være uddrevet af Kolben, fjernes Flammen, og Kautschukrøret tillukkes med en Klemhane; Kogningen vil i det luftfortyndede Rum fortsætte sig af sig selv. Man tilsætter nu af Byretten den sukkerholdige Vædske, indtil den blaa Farve er fuldstændig forsvundet. (Cl. Ber- nard, Leçons sur le diabète et la glycogenèse animale. Paris 1877. Side 199). Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 59 der indtraadte nogen permanent gul Farvning af Vedsken. Denne blev tilsidst simpelt hen affarvet, uden at Spor af udfældt Kobberoxydul var at bemærke. I Henhold hertil kunde man tænke sig Muligheden af, at en Formindskelse af den Fehlingske Vedskes Alkaligehalt skulde kunne bevirke en fuldstændigere Udskillelse af Kobber- oxydul; vi have jo netop seet, at en sterkere Fortynding af den Fehling’ske Vædske, hvorved Koncentrationen af den alka- liske Oplesning aftager, foreger Mængden af det suspenderede Kobberoxydulhydrat i Forhold til det opleste. Claude Bernards Angivelse gjælder imidlertid kun for det Tilfælde, at Alkali- gehalten i excessiv Grad er foreget; er Foregelsen mindre, har den ingen paatagelig Virkning;') paa den anden Side synes ikke selv betydelige Formindskelser af Alkaligehalten 1 den Grad at befordre Udskillelsen af Kobberoxydul, at man ved disse Uriner kan erholde et klart Filtrat. Grændsen influeres altsaa ikke væsentlig ved Urinens For- tynding og heller ikke ved visse (temmelig betydelige) Variatio- ner i Alkaligehalten. 1) Claude Bernard (1, ce. Side 120) tilsætter altid til den Fehlingske Oplesning for Titreringen af Sukker i Urinen et Stykke kaustisk Kali, da i saa Fald Kobberoxydulet holdes opløst, og man kun behøver at tage Hensyn til Affarvningen. »Il y a une autre précaution dont je néglige jamais de recommander l’observation. C’est d'ajouter toujours de la potasse caustique à la liqueur cupro-sodique ou cupro-potassique avant de la faire agir. La réaction est plus nette et plus rapide. L’oxydule cuivrique reste même en dissolution au lieu de se précipiter, ce qui fait qu'on na à tenir compte que de la décoloration.« Bort- seet fra, at Affarvningen aldrig afgiver et nejagtigt Kriterium, maa det fremhæves, at den Mængde kaustisk Kali, der udfordres for at holde alt Kobberoxydul oplest, er enormt stor (og derfor bestemt bør angives). Anvendes en mindre, men forholdsvis betydelig, Mengde kaustisk Kali, har det efter vor Erfaring en skadelig Indflydelse, for- saavidt som Kobberoxydulet blot delvis udfældes og i større Mængde holdes opløst, saa at Filtratet hyppigere indeholder Kobberoxydul end ellers. Dette viser følgende Forsøg: 10 kem. Fehlings Vædske til- sattes 6 Gr. Stangkali og titreredes med en til det 10-dobbelte fortyn- det Urin af 0.68 pCt. Sukkergehalt. Kobberoxydulet, forsaavidt som det var udskilt, lod sig let frafiltrere, men Filtratet indeholdt, selv efter Tilsetning af et Overskud af den sukkerholdige Blanding, Kob- beroxydul i Oplesning. 60 Worm Müller og I. Hagen. Efter at dette var fastslaaet, tenkte vi os Muligheden af, at Blysukker eller Blyeddike tilsat Urinen muligens kunde be- virke Udfældning af enkelte af de Substantser, som enten holde Kobberoxydul fint suspenderet eller i Opløsning. Det er ikke tilraadeligt at tilsætte større Mængder af disse Reagentser, da ringe Kvantiteter Sukker let delvis fastholdes af Bundfaldet. Tilsætter man mindre Mængder, f. Ex. til 90 kem. Urin 10 kem. af en 10 pCt.ig Blysukkeroplosning eller 10 kem. Blyed- dike af ca. 10 pCt. Blyoxydgehalt, vil den fra Blybundfaldet filtrerede Vædske, som før Titreringen maa befries for Bly, hvis den indeholder saadant, ikke vise mærkbart gunstigere Resultater ved Bestemmelsen med Fehlings Vædske end den oprindelige Urin. b) Hvorfor er nu Filtratet klart og uden opløst Kobber- oxydul, naar Sukkergehalten overskrider en vis Grændse, og hvorfor er det kobberoxydulholdigt, naar Sukkergehalten er min- dre? Forklaringen kan i det Væsentlige kun være at søge i det relative Mængdeforhold mellem Sukkeret og de Substantser, der have den Evne at kunne opløse Kobberoxydul eller hindre dets Bundfældning. Er Sukkergehalten forholdsvis meget liden, ville disse Stoffe kunne udøve en dominerende Indflydelse; er derimod Sukkermængden større, maa deres Virkning træde tilbage, selv om den absolute Mængde er den samme: Man kan demonstrere disse Substantsers Betydning ved at fortynde normal Urin med Vand samt opløse 1 en vis Mængde af den saaledes fortyndede og den ufortyndede Urin det samme Kvantum Sukker; Procentgehalten bliver altsaa den samme. Indeholde de nu begge f. Ex. 0.2— 0.3 pCt. Sukker, saa vil Sukkervædsken, hvor Opløsningsmidlet er med Vand fortyndet Urin, efter Reduktionen kunne levere et klart Filtrat, medens Filtratet ı det andet Fald er uklart. Nøjagtigt den samme Forskjel erholdes ved Titrering af to dia- betiske Uriner af lav Sukkergehalt, som adskille sig derved, at der i det ene Tilfælde er Polyuri tilstede, i det andet ikke. Sukkerets procentiske Mængde være 1 begge den samme, f. Ex. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 61 0.2—0.3 pCt.; 1 det første Tilfælde (ved Polyuri) vil Filtratet efter Reduktionen enten være frit for Kobberoxydul eller ialfald inde- holde mindre deraf end ı det andet, aabenbart fordi de Udskil- lelsen hæmmende Bestanddele paa Grund af Urinens rige Vand- gehalt ere 1 relativt (til Sukkeret) ringe Mængde tilstede. Disse sammenlignende Undersøgelser af normale og Diabetes-Uriner, som vi have havt rigelig Anledning til at anstille, godtgjøre, som det forekommer os, Rigtigheden af hin Forklaring. At denne neppe tør gjøre Krav paa at være udtømmende, saalænge hine Stoffe ikke ere nærmere kjendte og undersøgte, siger sig selv. c) Man har troet, at Diabetikeres Urin lettere skulde lade sig titrere med Fehlings Vædske end Uriner, der paa anden Maade indeholde Sukker. De i Tabellen sammenstillede Ana- lyser kunne ikke anføres som Støtte for denne Anskuelse. Sam- menligner man Procentgehalten hos Barselkvinderne og Diabe- tikerne ı ovenstaaende Tabel, (der vel at mærke blot indeholder Uriner, som ikke lod sig titrere med Fehlings Vædske paa den Maade, at man kunde erholde et klart Filtrat), saa er Over- ensstemmelsen ikke ringe. Hos begge indeholdt den ufortyndede Urin sædvanligt 0.3—0.5 pCt. I de 18 diabetiske Uriner over- steg Sukkermængden 2 Gange 0.6 pCt., (idet den beløb sig til resp. 0.76 og 0.90 pOt.), og hos de 12 Barselkvinder 3 Gange (resp. 0.69, 0.73 og 0.78 pOt.) Maximum af Procentgehalten i Diabetesuriner, som ikke lod sig titrere med Fehlings Vædske, var altsaa 0.90 pCt., og i Uriner fra Barselkvinder 0.78 pCt. Sammenstille vi paa den anden Side de mindste Procentmæng- der, som lod sig titrere efter Fehling, saa var den (sml. Tabel 1) for Diabetikernes Vedkommende 0.57 pCt., og for Barsel- kvindernes 0.69 pOt. Vistnok ere dette Arbejdes Forsøgsdata ikke mange, men vi kunne dog dels paa denne Basis og dels i Henhold til talrige sammenlignende Bestemmelser") med Feh- 1) Disse ville finde sin Plads i et Arbejde om Sukkerets Bestemmelse i Urinen med Polarisationsapparatet. 62 Worm Müller og I. Hagen. lings Methode og Polarisationsapparatet udtale, at der i denne Henseende ikke i Almindelighed er nogen gjennemgribende For- skjel mellem sukkerholdige Uriner hos Diabetikere og Ikke- Diabetikere. At Grændsen for Titreringen hyppigt ligger lavere ved diabetiske Uriner, er begrundet 1 Polyurien, som ogsaa kan være tilstede, selv om Sukkergehalten er liden. Lehmann, Winogradoff, Kühne og Hoppe-Seyler antage, at Hovedaarsagen er en anden, nemlig den at de Stoffe, der hindre Udfældningen af Kobberoxydul, i det overvejende Antal Tilfælde af Diabetes dan- nes eller udskilles i meget mindre Mængde end ellers. Lehmann’) siger derom: «Im eigentlichen Diabetes mellitus ist der Harn gerade frei von jenen Substanzen, welche die Reaction jenes Mittels (der Trommer’sehen Probe) oder vielmehr unser Urtheil über dessen Reaction stören können . . .» Winogradoff (i sin Afhandling: «Beiträge zur Lehre vom Diabetes mellitus» ?) udtaler: «Man sieht aus diesen Versuchen, dass 1) Kreatinin die Eigenschaft hat, das Kupferoxydul, welches bei der Trom- mer’schen Probe mit der zuckerhaltigen Flüssigkeit sich bildet, in Lösung zu erhalten;....... 3) dass alle diese Eigen- schaften vollkommen identisch sind mit den Eigenschaften des bis jetzt noch unbekannten Stoffes, welcher im normalen Harn vorhanden ist, im diabetischen Harn hingegen entweder voll- kommen fehlt, oder bloss in sehr geringer Menge sich vorfindet.» Kühne?) ytrer: «Im normalen Harne müssen .... Substanzen enthalten sein, die in den meisten Fällen von Diabetes fehlen,» og Hoppe-Seyler siger paa et Sted:*) «Diabetische Harne ent- halten ausser Zucker nur wenig reducirende Stoffe und auch sehr wenig von denen, welche das Kupferoxydul in Lösung erhalten,» og paa et andet Sted:°) «Verschiedene organische 1) Lehrb. d. physiol. Chem. Bd. 1. 2te Auflage. Leipzig 1853. S. 264. 2) Virchows Archiv, Bd. 27. 1863. S. 552. 5) Lehrb. d. physiol. Chem. Leipzig 1868. S. 520—521. 4) 1. c. 8.387. DMC US 24: Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 63 - Stoffe verlangsamern oder verhindern die Abscheidung des bei dieser (der Trommer'sehen) Reaction sich bildenden Kupfer- oxyduls; ziemlich reichlich finden sich solche Körper im nor- malen menschlichen Harne, in viel geringerer Menge im diabe- tischen Harne.» De hidtil gjorte Erfaringer bevise ingenlunde, at det dagligen udskilte Kvantum af disse Substantser er bety- deligt formindsket i de fleste Tilfelde af Diabetes,') og den Kjendsgjerning, som Kühne anferer til Stette for sin Mening, har ingen Beviskraft. Kühne har fæstet sig ved den gamle Observation, at de diabetiske Uriner, som lettest give Udfæld- ning af Kobberoxydul ved Trommers Prøve, har en bleg Farve, medens de, der vanskeligere lade sig titrere, have en mere normal Urinfarve.?) Men denne Forskjel kan simpelt hen for- klares af Urinens større eller mindre Vandgehalt. Hvor Urinen har en bleg grøngul Farve, er der hyppigt Polyuri tilstede, selv om Sukkergehalten er meget liden; har Urinen derimod en mere mørk Farve, er dens Vandgehalt sædvanligt meget mindre. Skal man derfor støtte sig paa hin Observation, saa maa man ialfald kun benytte sig af Sammenligninger mellem blege og 1) Efter de Forsøg, der foreligge, synes Mængden af de Substantser, der hindre Udfældningen af Kobberoxydul, at variere ikke ubetydeligt baade hos Diabetikere og Ikke-Diabetikere; disse Forsøg, der ere ud- førte i det herværende Institut, tyde hen paa saa komplicerede For- holde, at vi først efter en lang Tids Erfaring og en Række Forarbejder tør drage sikre Slutninger. Ved de tidligere Angivelser om disse Substantsers absolute Formindskelse i diabetisk Urin har man ikke taget det fornødne Hensyn til den i 24 Timer udskilte Urinmængde og sammes procentiske Sukkergehalt. | 2) Indrømmes skal det, at denne Forskjel i Urinens Farve tilsyneladende taler til Gunst for Kühnes Anskuelse, da jo Urinens Farvestoffe efter Seegen og andre skal hindre Udfældningen af Kobberoxydulet. Men vi vide jo ikke med nogensomhelst Sikkerhed, om det eller de Stoffe, der betinge den gulbrune Farve af Urinen hos de Diabetikere, hvor denne er mere mørkt farvet, høre til de Substantser, der fortrinsvis hindre Udfældningen. Efter Winogradoff synes Urinens Farve ikke - at have større Indflydelse, han siger nemlig (1. c. S. 550): »Nicht selten geschieht es auch, dass der normale Harn sehr unbedeutend gefärbt ist, ohne dass er dabei seine übrige Eigenschaften einbüsst.« 64 Worm Müller og I. Hagen. mørke diabetiske Uriner af den samme Koncentration. Hvor ledes Sagen da stiller sig, tør vi ikke paa Forhaand med Be- stemthed afgjøre. Vi tro dog at turde udtale, at Udfældningen af Kobberoxydulet i saa Fald ikke viser paafaldende Afvigelser. Den ene af os har gjennem lang Tid methodisk observeret og behandlet Diabetikere, og vi have derved havt Anledning til at overbevise os om, at naar Sukkergehalten synker under en vis Grændse, og Polyurien ikke længere er tilstede, vil, hvad enten Urinen forbliver lyst grøngul eller, hvad der idetmindste ligesaa hyppigt turde være Tilfældet, antager en en mere normal gul- brun Farve, Filtratet efter Titreringen med Fehlings Vædske komme til at indeholde opløst eller fint suspenderet Kobber- oxydul(hydrat). Følgende Exempel viser tilstrækkeligen, at selv en meget lys diabetisk Urin, naar Urinmængden ikke i betydelig Grad er forøget, kan indeholde en forholdsvis stor Mængde Stoffe, der hindre Udfældning af Kobberoxydul. En Urin fra en Patient, der led af en grav Diabetes, indeholdt 0.8 pCt. Sukker, (bestemt ved to forskjellige Polarisationsapparater og kontrol- leret af 3 forskjellige Individer, som Maximum fandtes 0.9, som Minimum 0.7 pCt.) Den var af meget lys grøngul Farve. Urinkvantumet for 24 Timer 1800 kem.; det varierede i den nærmest foregaaende og efterfølgende Tid mellem 1200 og 1900 kem.; Polyuri var altsaa ikke egentligt tilstede. Denne Urin lod sig trods sin forholdsvis store Sukkergehalt ikke titrere med Fehlings Vædske; Filtratet indeholdt baade suspenderet og opløst Kobberoxydul; efter Affarvningen at dømme maatte Sukkergehalten anta- ges = 1.0—1.1 pCt. Af de Kjendsgjerninger, der foreligge, tør man for Tiden kun slutte, at Forskjellighederne i Udskillelsen af Kobberoxy- dulet hovedsageligt betinges af den secernerede Urins større eller mindre Vandgehalt, der som bekjendt begunstiges ved flydende Næringsmidler og ringere Hudsekretion, og derimod formindskes ved fast Næring og Forøgelse af Transpirationen. Seegen har ogsaa ligeoverfor Kühne betonet dette, men han akcentuerer ikke Forskjellen mellem en naturligt (oprindeligt Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 65 stærkt vandholdig) og en kunstigt fortyndet diabetisk Urin.) I forste Fald (ved Polyuri) rykkes Grændsen for Titreringen længere ned, fordi hine Substantser ere tilstede å mindre Mængde å Forhold til Sukkeret end i sædvanlig Urin af samme Sukker- gehalt. I sidste Fald er Grændsen for Titreringen ikke væsent- ligt forskjellig for og efter Fortyndingen, fordi alle Stoffes Mengde er jevnt aftaget; det relative Forhold mellem Sukkeret og hine Substantser bliver alisaa det samme å den fortyndede som i den ufortyndede Urin. Vi have atter skarpt udhævet dette, da en Forvexling af disse to Fortyndingsmodi har frembragt en ikke ringe Kon- fusion. III. Hvilken af disse Methoder (Knapps eller Fehlings) er den hensigtsmæssigste? Spergsmaalet om, hvilken Methode der er den hensigtsmæs- sigste, er 1 Grunden allerede besvaret, forsaavidt som vi 1 det foregaaende have seet, at Knapps er 1) anvendelig 1 alle, Feh- lings 1 et begrændset, om end større, Antal Tilfælde. Dette er den væsentligste og den uskatterlige Fordel; men den har ogsaa andre ikke ubetydelige Fortrin. 2) Prøvevædsken er fuldstæn- digt holdbar, selv om den staar i et varmt Værelse og udsat 1) Seegen siger (Der Diabetes mellitus, 2te Auflage, Side 152): »Und so wie man bei künstlichem Zuckerharn die Ausfållung des Kupfer- oxyduls dadurch bewirken kann, dass man den Harn mit Wasser ver- dünnt, kann man dies auch bei concentrirten diabetischen Harnen der milden Form durch die gleiche Manipulation bewirken.« Seegens Forsøg (cfr. 1. c. S. 202) vise med Hensyn til den kvantitative Be- stemmelse af smaa Sukkermængder i Urin (0.8 pCt. eller derunder), som os synes, egentlig kun, at naar en og samme Urin tilsættes forskjellige Kvantiteter Vand, og der nu opløses i hver af disse Blan- - dinger den samme Mengde Sukker, saa at Procentgehalten bliver lige i dem alle, vil den med Vand mest fortyndede Urinblanding give den bedste og fnldstændigste Udskillelse af Kobberoxydul. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 5 66 Worm Müller og I. Hagen. for Lysets Indvirkning, medens Fehlings Vædske, tilberedt paa sædvanlig Vis, i Tidens Løb let forandrer sig; der udskiller sig Kobberoxydul, og, om dette ikke er Tilfældet, hænder det hyppigt, at en Opløsning, der har været opbevaret i nogen Tid, ved Ophedning til Kogning dekomponeres, idet der udskilles sort Kobberoxyd eller undertiden ogsaa Kobberoxydul. Neu- bauer har med Rette udtrykkeligt gjort opmærksom paa Nød- vendigheden af at iagttage bestemte Forsigtighedsregler ved Opbevarelsen,") men heller ikke disse ere tilstrækkelige. — Denne Indvending mod Fehlings Vædske er imidlertid, som allerede i Indledningen antydet, ikke væsentlig, da man kan frigjøre sig for Ulempe i saa Henseende, naar man efter Schneiders Angi- velse opbevarer Kobbervitriolopløsningen og den med Natronlud blandede vinsure Alkalioplesning i to særskilte Flasker, og man derhos følger Seegens?) Raad at ophede Seignettesaltopløsningen til 100° for at hindre Skimmeldannelse; dog maa herved be- mærkes, at denne Ophedning ikke bør foregaa efter Blandingen med Natronlud; isaafald synes der nemlig efter Tilsætning af Kobbervitriolopløsningen og Ophedning til Kogning lettere at udskilles sort Kobberoxyd end ellers. Vi fremstille Fehlings Vædske paa følgende Maade: 34.64 gr. ren, krystalliseret Kobbervitriol opløses i Vand; Opløsningen fortyndes til 1 Liter og opbevares i et Apparat af den i Mohrs »Lehrbuch der chemisch- analytischen Titrirmethode, 4te Auflage, Braunschweig 18744, Side 18, Fig. 26 afbildede Form. For at hindre Fordunstning af Vand indeholder det Rør, hvorigjennem Luften, der strømmer ind i Flasken, har at passere, som Spærrevædske noget Kobbervitriolopløsning. — 173 gr. Seignettessalt opløses i henved 350 kem. Vand, og Opløsningen ophedes til Kogning. Efter at den er afkjølet, tilsættes 600 kem. Natronlud af sp. V. 1.12, der ligeledes i Forvejen har været ophedet, og Blandingen fortyndes med udkogt . 1) Neubauer u. Vogel, Anl. zur qualit. u. quantit. Anal. des Harns, 7te Auflage, Wiesbaden 1876, Side 206. »Soll die Kupferlösung sich lange Zeit halten, so ist es absolut nöthig, sie in kleine Gläser (40— 80 Grm.) zu füllen, diese mit guten Stopfen zu schliessen, zu versie- geln, und im Keller aufzubewahren. « *) Seegen, 1. c' S. 145. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 67 Vand til 1 Liter; den bevares i et Apparat af samme Konstruktion som ovenfor nævnt, og Reret, hvorigjennem Luften træder ind i Flasken, naar Vædsken. udtømmes, indeholder som Spærrevædske noget Natronlud, der naturligvis, ligesom Kobbervitrioloplesningen i den anden Flaskes Rer, maa frembyde den mindst mulige Modstand for Luftens Passage. Oplesningerne blandes forst sammen i Kolben umiddelbart for Titre- ringen, og der anvendes lige Mængder (f. Ex. 10 kem.) af begge. Ved Beregningen tages blot Hensyn til det afmaalte Kvantum Kobbervitriol- opløsning; denne har samme Koncentration som den Fehling'ske Vædske; 1 kem. af samme anviser altsaa 0.005 gr. vandfrit Druesukker. Saaledes tilberedt og opbevaret er Vædsken stedse brugbar, selv om den staar ı Lyset; dog foraarsager disse Præparationer altid nogen Tidsspilde. Knapps Vædske er ikke alene ubetin- get holdbar, men den er 3) ogsaa lettere og hurtigere at tilbe- rede. 4) En fjerde og meget væsentlig Fordel er den, at Be- stemmelsen selv er meget mindre omstændelig. a) Den er hurtigere at udføre, en Analyse med Knapps Vædske tager efter nogen Øvelse ofte ikke stort mere end den halve Tid af en Bestemmelse efter Fehling. Grunden dertil er den, at man direkte å Vædsken selv kan paavise, om Reduktio- nen er færdig; Filtreringen gjør Bestemmelsen med Fehlings Vædske besværlig og ofte langvarig, da man ikke sjelden maa undersøge flere Filtrater, og end mere forlænges den, hvis man efter at have forvisset sig om, at Filtratet er frit for Kobber, vil foretage Reaktion paa Sukker i samme. Dette er forøvrigt ikke nødvendigt, da det ved Hjælp af Eddikesyre og Ferro- cyankalium med stor Skarphed') lader sig afgjøre, naar Filtratet 1) Neubauer siger (1. c. S. 207): Hat sich durch die angeführten Rea- gentien kein unzersetztes Kupferoxyd mehr gefunden, so kann man dennoch einen Fehler begangen haben, indem man von dem Harn zuviel zusetzte, wodurch natürlich der Gehalt an Zucker kleiner ausfallen würde, als er wirklich ist. Man versetzt daher die dritte Probe des klaren fast farblosen Filtrats mit einigen Tropfen Kupfer- lösung und erhitzt zum schwachen Sieden. Auch selbst bei Spuren überschüssig zugesetzten Zuckers entsteht nach kurzer Zeit ein deut- lich rother Schimmer, der sich namentlich schön und leicht bei auffal- lendem Lichte wahrnehmen lässt.» Vi tør med Sikkerhed sige, at dette ikke har sin Rigtighed for Urinens Vedkommende, hvor Sukker- 68 Worm Miller og I. Hagen. ikke længere indeholder Kobberoxyd. Filtreringen udhaler under- tiden ogsaa Bestemmelsen af en anden Grund, som ligger i Filtrerpapiret. Dette kan nemlig indeholde reducerende Sub- stantser. Det har hændt, at det Filtrerpapir, som det hervæ- rende kemiske Laboratorium og fysiologiske Institut har erholdt fra Tydskland, ved Behandling med varmt Vand, og end lettere, naar det er tilsat lidt Kali, afgiver en Substants, der af den Fehling'ske Opløsning ved Kogning udfælder Kobberoxydul- hydrat eller en gul Kobberoxydulforbindelse. Naar man nu efter Reduktionen filtrerer gjennem dette Papir, vil Filtratet sam- tidigt komme til at give Kobber- og Sukkerreaktion. Vi har derfor altid før Brugen undersøgt vort Filtrerpapir og forkastet det, hvis det indeholdt saadanne Substantser:!) b) Neubauer gjør?) med Rette opmærksom paa det hensigts- mæssige 1 ved Titrermgen blot at ophede Fehlings Vædske mængden er 1.5 (ja endog 2 pCt.) til 1 pCt. eller derunder, og hvor man anvender eu fortyndet Urinblanding (10 eller 20 pCt.) Man kan da, efter at Kobberreaktionen er fuldstændigt forsvunden fra Filtratet, ofte tilsætte et Overskud af mange (10, ja flere) kem. af den sukker- holdige Urinblanding, uden at man ved Tilsætning af Fehiings Vædske til Filtratet faar Reduktion, selv efter Timers Henstand. Vi troede paa Grund heraf, at en stærkere Kogning destruerede Sukkeret i den alkaliske Vædske, og ophedede den forsigtigt, saa at Vædsken kun viste Antydning til Kogning, men Resultatet blev det samme. — End- videre siger Neubauer (1. c. S. 208): «Bei grösseren Mengen über- schüssig zugesetzten Zuekers zeigt das Filtrat eine gelbe Farbe.» Dette kan være et Kriterium, hvor man har med vandige Druesukker- opløsninger eller med meget lyst farvede (polyuriske) diabetiske Uri-. ner at gjere; men er Urinen nogenlunde stærkt farvet, vil Filtratet vise en gul Farve, selv om der ikke er tilsat det ringeste Overskud af den sukkerholdige Urin, ja selv om alt Kobberoxyd endnu ikke er reduceret. Vi have anfort dette for at spare andre for den Tidsspilde, som det har forvoldt os at kontrollere disse Angivelser. Alle disse Prover paa Sukker i et klart Filtrat ere overflødige, da, som sagt, det Tids- punkt, da Kobberreaktionen ophører, kan angives med Skarphed. 1) Muligens er denne Ulempe meget sjelden, vi have ialfald ikke seet den anført nogetsteds. I den senere Tid anvende vi svensk Filtrer- papir; dette har altid vist sig frit for disse Substantser. % 1. e. S. 206—207. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 69 saavidt, at den begynder at komme i Kog. Dette er ogsaa at anbefale, naar man anvender Knapps Oplesning; Vædsken kom- mer lettere til Ro, saa at det udskilte hurtigere synker tilbunds. Ved Anvendelsen af Fehlings Vædske er mild Ophedning imid- lertid ikke blot hensigtsmæssig, men endog saagodtsom nødven- dig, ialfald maa det udtrykkeligt fremhæves, at man ikke maa koge for stærkt og vedholdende; stærk Kogning synes ikke sjeldent at begunstige Udskillelse af sort Kobberoxyd (som et til Glassets adhærerende Belæg), hvorved Bestemmelsen kan blive mindre nøjagtig. Men denne ubetydelige Forskjel vejer lidet eller intet til Fordel for Knapps Methode, og man kunde med en vis Ret paastaa, at Bestemmelsen ved Fehling i en anden Henseende er noget overlegen; det er en Regel for begge, at man maa fortynde saavel Prøvevædsken som den sukkerhol- dige Urin; Fortyndingen gjer i begge Fald Bestemmelsen baade mere bekvem og mere nojagtig. Men denne Regel er ikke egentlig en conditio sine qua non ved Bestemmelsen med Feh- lings Vædske; derimod taaler den ingen Undtagelse ved Titre- ringen efter Knapp. Vædsken bliver nemlig da saa stærkt farvet, at Endereaktionen ikke med nogensomhelst Sikkerhed kan iagttages. Forsaavidt skulde altsaa Fehlings Methode være lidt i Fordel, men denne er selvforstaaeligen af end mere un- derordnet Betydning. En ganske anden Vægt å Favør af Knapps Methode har den Omstændighed, at det udskilte Kvik- sølv forbliver udfældt og ihke atter oploses. Naar man anven- der Fehlings Methode, maa man som bekjendt umiddelbart efter Titreringen undersøge Vædsken paa Kobberoxyd, da det udskilte Kobberoxydul under Luftens Adgang efterhaanden igjen oxyde- res og opleses. Arbejder man derimod med Knapps Vædske, kan man efter Titreringen vente i al Ro og Mag, før man i samme udfører Endereaktionen; af det udskilte Kviksølv opløses igjen ikke engang Spor, selv efter Dages Forløb. Fordelene ved Knapps Methode er altsaa: Vædsken er let at tilberede, den er holdbar, Titreringen sker meget hurtigt, 70 Worm Müller og I. Hagen. Methoden er anvendelig à alle Tilfelde. Vistnok repræsenterer ved Bestemmelsen af smaa Sukkermængder Urinens øvrige redu- cerende Substantser en betydelig Del af den fundne Gehalt; dette er begrundet i Urinens Sammensætning og forringer ikke Methodens Værd. I Knapps Vædske har man efter vor Erfaring overhovedet et Middel til at bestemme de reducerende Substantsers samlede Mengde å Urinen, og man kan endog anfore dette som en yder- ligere og ikke uvæsentlig Fordel ved Samme. Det er muligt, at man ad denne Vej kan komme til en exakt særskilt Bestem- melse af Sukkerets og de øvrige reducerende Substantsers Mænde i sukkerholdig Urin, ved nemlig først at bestemme Mængden af samtlige reducerende Substantser og dernæst paa en eller anden Maade fjerne Sukkeret (f. Ex. ved Gjæring) eller de øvrige reducerende Stoffe og saa bestemme de tilbage- værende Substantsers Mængde. Rimeligt er det, at man her vil komme Maalet nærmere end ved Hjælp af de hidtil angivne Methoder for kvantitativt at bestemme minimale Sukkermæng- der; disse ere ungjagtige og bero tildels paa manglende Sag- kundskab. Fehlings Methode synes især for Begynderen at have en paatagelig Fordel, nemlig den fremtrædende Affarvning af den blaa Vædske og den markerede Afsætning af det røde Kobber- oxydul, Knapps derimod giver en lidet iøjnefaldende Endereak- tion. Denne Fordel er kun tilsyneladende. Tagttager man For- sigtighedsreglerne, er Endereaktionen ved Knapps Vædske baade skarp og ømfindtlig. Hermed være ingenlunde sagt, at den Fehlingske Methode for Urinens Vedkommende ubetinget er at forkaste, men den har her kun sekundær Betydning.” Muligens kan den ogsaa have sine specielle Fordele, hvor Urinen inde- holder meget Blodfarvestof; i saa Fald vil Endereaktionen efter Knapps Methode være meget mindre skarp end sædvanligt; 1) I det herværende fysiologiske Institut anvendes den af Begynderne for at kontrollere de med Knapps Vædske vundne Resultater. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 71 men om her Fehlings virkeligt har en væsentlig Fordel, ter vi paa Grund af manglende Erfaring ikke afgjøre; ialfald vil det kun da være Tilfældet, naar man kan erholde et kobberoxydul- frit Filtrat. Men hidtil have vi ikke stødt paa saa stærkt far- vede Uriner, at Titreringen med Knapps Vædske har frembudt nogen Vanskelighed af den Grund. Til Slutning ville vi udtale den Formodning, at det neppe er muligt for Titreringen af Sukkeret å Urinen at kunne er- holde en hensigtsmæssigere Vædske end Knapps. Da samtlige kemiske Methoder bero paa Sukkerets reducerende Evne, maatte en Mønstervædske have den Egenskab kun at reduceres af Sukker og ikke af de øvrige Stoffe. Vi havde engang tænkt os Muligheden af at kunne fremstille en saadan Opløsning, da vi troede, at samtlige øvrige Substantser uden Undtagelse havde en svagere Reduktionsevne, men dette forholder sig neppe saa for dem alle. Den ene af os har vist,!) at den normale Urin kan indeholde Stoffe, der ialfald ligesaa let, om ikke lettere end svage Sukkeroplasninger, baade ved sædvanlig og ved højere Temperatur reducere Kobbersalte. Da dette kan være Tilfældet, er der neppe Sandsynlighed for, at man vil komme Maalet nær- mere end med Knapps Vædske,”) og vi have derfor opgivet hin Tanke. 1) En vandig Oplesning af eddikesurt Kobberoxyd kan reduceres af normal Urin efter 12 Timers Henstand ved sædvanlig Temperatur. En svagt eddikesur Oplesning af Kobberoxyd, tilsat normal Urin, reduceres efter 1—11/2 Minuts Kogning, kfr. dette Archiv, Bind 2, (1877), Side 463—468. ?) Sachsses Vædske (en alkalisk Oplesning af Jodkviksølv-Jodkalium) er noget mere kompliceret, og Titreringen med samme (Endereaktionen bestemmes med alkalisk Tinoxydulopløsning), kan neppe frembyde særegne væsentlige Fordel fremfor Knapps (Liebigs) Methode; Sachsses Bestemmelsesmaade er overhovedet kun at betragte som en Modifika- tion af Knapps, forsaavidt som ogsaa den grunder sig paa Udfældning af Kviksølv. (Sachsse. Die Chemie und Physiologie der Farbstoffe, Kohlenhydrate und Proteinsubstanzen. Leipzig 1877). — 12 Worm Müller og I. Hagen. SEINE. Kan man tilrere Sukkermængden à Uriner, der indeholde 0.2 pCt. Æggehvide eller mindre, uden å Forvejen at fjerne denne? Har å saa Henseende Knapps eller Fehlings Methode særegne Fordele? Hvilken Indflydelse har Ægge- hviden overhovedet ved Titreringen? Det er en Angivelse, som gaar gjennem Lærebøgerne i den zookemiske Analyse, at Sukkeret ikke kan titreres i Un- ner, der samtidigt indeholder Æggehvide, før denne er fjernet. Vi har imidlertid i Literaturen forgjæves søgt efter Data, der skulde begrunde den ufravigelige Nødvendighed af denne Frem- gangsmaade. Æggehvidens Nærværelse kan, efter hvad der foreligger, af flere Grunde tænkes at have en skadelig Indflydelse ved Titreringen af Urinens Sukkergehalt. For det første ved man, at Æggehvidestoffe med Kobber- og Kviksølvsalte kunne give metalholdige Bundfald.t) For det andet er det ikke umuligt, at Albuminaterne ved højere Temperatur kunne medvirke ved Reduktionen af Fehlings eller Kviksølvets Udfældning af Knapps Vædske, og for det tredie er det bekjendt, at Æggehvide hin- drer Udfældningen af Kobberoxydul. Sikkert er det, at storre Albuminkvantiteter gjør Titreringen af Sukkergehalten yderst besværlig, for ikke at sige umulig. Men Æggehvide findes efter mangfoldige Erfaringer meget sjelden 1 større Mengde 1 sukkerholdig Urin. Naar Diabetikere have Albuminuri, er Æggehvidegehalten 1 Regelen yderst liden; vi have ved vore lejlighedsvis udforte kvantitative Analyser af Æggehviden hos disse aldrig seet den overstige 0.2—0.21 pCt.; meget hyppigt er den saa ringe, at den unddrager sig den kvantitative Bestem- ') At Æggehviden paa denne Maade kunde unddrage en Del af Metal- saltet i Titrervædsken fra Sukkerets Indvirkning, er dog lidet sand- synligt, da Æggehvidens Affinitet til disse Metaloxyder vistnok ikke er saa betydelig, at den formaar at hæmme Sukkerets Virkning paa samme. . . . . mo Sukkerets Titrering i Menneskeurin. (9 melse. Det praktisk vigtige Spergsmaal bliver derfor, om man direkte kan titrere Sukkergehalten i Uriner, der indeholde min- dre end 0.2 pCt. Æggehvide. Dette Spørgsmaal er ikke ganske uden Betydning, hvor det gjælder raskt Arbejde; det er for- bundet med Tidsspilde at fjerne Æggehviden, og man er derfor ofte fristet til at udsætte Analysen. En saadan Udsættelse er ikke tilraadelig ved albuminholdige Uriner, da efter vore Erfa- ringer Sukkergehalten hurtigere aftager 1 disse end 1 andre. Vi have derfor anstillet en Række Analyser af albumin- holdige Sukkeruriner fra Diabetikere og Barselkvinder. De indeholdt aldrig mere end 0.2 pOt. Æggehvide. Analyserne bleve udforte efter Knapps og Fehlings Methode, dels for Kon- trollens Skyld, og dels fordi man kunde tænke sig Muligheden af, at Methoderne ogsaa her vilde vise en eller anden Forskjel- lighed. I Forsegene, der ere sammenstillede 1 nedenstaaende Tabel, bestemtes Sukkergehalten først direkte og derpaa, efter at Æggehviden var fjærnet. Æggehviden udfældtes ved Kog- ning og Tilsætning af nogle Draaber tynd Eddikesyre (a), samt undertiden ogsaa ved Kogning med Eddikesyre og et lige Volum af en mættet Oplesning af svovlsurt Natron (b). 74 | Worm Müller og I. Hagen. Tabel 3. Sukkergehalt, bestemt ved Albumin- | Albumin- Fehlings Vædske Knapps Vædske gehalt, | gehalt, -bestemt | bestemt | for ARg- |efter Ægge-| for Æg- | efter Aigge- efter (a). | efter (b). |oehvidens| hvidens |gehvidens| hvidens Fjernelse.| Fjernelse. |Fjernelse.| Fjernelse. 3.90 pCt. 3.77 pCt. J. E. 0.138 pCt. 0.12 pCt.| 3.98 pCt. Gag er | 3.47 pCt. Me 280 = in omy = > | lor (a) 230: - 250 4) (yes S. H.|0155 — 2 0908 0) 208 Ne le) 287 — Eee, (ON ENE” 3.97 — a) 3.70 — pre Sos Meg Le a 375 — ye oe 420 — 400 — Snøen — log 1 |e 2 yaa 00 ee Sr . K./0.2 — 2 ES = 0.73 — |0.69 — 0.66 — tydelige, men neppe de = bestembare Spor. | 9-81 — M. O.| ubetydelige Spor. |2.50 — 2.40 — M. O. Spor. 2.94 — 2.50 — M.O. Spor. 3.08 — 2.84 — sandsynligvis A S. H. 0.168 pCt.| j 2.50 — 240 — S. H.0.168 — | A. — a — Resultaterne vise ringe Forskjelligheder for og efter Udfæld- ningen af Æogehviden. Naar man ikke har god Tid, eller hvor det ikke gjælder absolut nøjagtige Resultater, kan det derfor fra et praktisk Standpunkt af ikke i Regelen ansees nødvendigt at udfælde Æggehviden, naar den er i ringere Mængde tilstede end 0,2 pOt. Men om end Bestemmelserne før og efter ere” temmelig overensstemmende, er der dog en vis Forskjel ved Udforelsen. Titreringen af den albuminholdige Urin vanskelig- gjøres nemlig noget, jo nærmere man kommer 0.2 pCt. Ved Anvendelsen af Feblings Vædske indeholder da Filtratet mere Kobberoxydul end ellers,*) og det udfældte Kobberoxydul synes 3) Som bekjendt faar man, naar Filtratet indeholder Kobberoxydul, ved Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 75 at afsætte sig langsommere, saa at Titreringen bliver mindre nøjagtig og mere langvarig. Ved Anvendelsen af Knapps Væd- ske udhales ogsaa Titreringen. naar Æggehvidegehalten nærmer sig 0.2 pCt., fordi Kviksølvet vanskeligt afsætter sig, men Be- stemmelsen bliver her ikke egentlig mindre nøjagtig. Knapp's Vædske frembyder altsaa ogsaa her særegen Fordel. Vi fik den Overbevisning, at 0.2 pOt. er Grændsen, og bestyrkedes deri ved en Række Experimenter, som vi udførte med stærkere æggehvideholdige Uriner, der bleve blandede med Op- løsninger af Druesukker 1 normal Urin; Blandingen indeholdt en saa stor Mængde Sukker, at den i ethvert Fald med Lethed vilde ladet sig titrere med Fehlings Vædske efter Albuminets Fjernelse. En Urin, der indeholdt 1.751 pCt. Æggehvide, tilsattes Druesukker, saa at den kom til at indeholde 2 pCt. deraf. Ved i forskjellige Forhold at blande denne med en normal Urin, der ved Tilsætning af Sukker ligeledes var bragt op til en Gehalt af 2 pCt., erholdtes Urinblandinger af forskjel- lig Albumingehalt (resp. 1.751, 0.785, 0.393, 0.3, 0.2 og 0.175 pCt.), men samtlige indeholdende 2 pCt. Sukker. Det viste sig nu, at alle ufortyn- dede Uriner, selv den, der blot indeholdt 0.175 pCt. Æøggehvide, ikke lod sig titrere med Fehlings Vædske. De med Vand til det 10-dobbelte for- tyndede Uriner forholdt sig derimod forskjelligt efter Æggehvidegehalten ; var denne 0.393 pCt. eller derover, indeholdt Filtratet efter Reduktioneu fremdeles suspenderet Kobberoxydul, skjønt i langt ringere Mængde end før Fortyndingen, (især var dette paatageligt ved 0.393 pCt. Æggehvide). Ved de Uriner, der indeholdt 0.3, resp. 0.2 pCt. Albumin, var efter Titre- ringens Ende Filtratet frit for suspenderet Kobberoxydulhydrat. Ved 0.175 pCt. Æggehvide var Filtratet frit baade for oplest og suspenderet Kobber- oxydul, samme Resultat opnaaedes i dette Tilfælde ogsaa efter Fortyndin- gen til det 5-dobbelte; derimod gik ved en blot 4-dobbelt Fortynding Kob- beroxydul over i Filtratet. Mærkelig var altsaa Indflydelsen af Fortyndin- gen paa Kobberoxydulets Udskillelse ved disse albuminholdige Uriner. Tilsætning af Ferrocyankalium og Eddikesyre en lys violet Fældnine, som man ved nogen Øvelse i Regelen kan adskille fra det brunrøde Bundfald, der opstaar, naar der er Kobberoxyd i Filtratet. Albumin- stoffenes Tilstedeværelse (i den sure Vædske) syntes ikke at formind- ske denne Reaktions Ømfindtlighed. 16 Worm Miiller og I. Hagen. Titreringen af de samme ufortyndede Uriner var her som overhovedet med Knapps Vædske ugjørlig; den til det 10-dobbelte fortyndede Urin derimod lod sig mærkeligt nok wanseet Ægqehvidegehalten titrere med godt stemmende Resultater; men det varede især ved de større Albumin- mængder meget længe (endog Timer), før Kviksølvet afsatte sig, saaledes at der kunde erholdes en klar Vædske til Endereaktionen. Af disse Forsøg fremgaar, at naar Æggehvidegehalten over- stiger 0.175 pCt., vil Filtratet efter Bestemmelsen med Fehlings Vædske indeholde Kobberoxydul, selv om man anvender en 10 pCt.1g Urinblanding. Det viste sig endvidere, at ved en Ægge- hvidegehalt af mere end 0.2 pCt. er Titrering af Sukkeret med Fehlings Vædske overhovedet umulig, ikke alene fordi der gaar Kobberoxydul over 1 Filtratet, men ogsaa fordi det udskilte Kobberoxydul 1 den ligesom mere seige Vædske holdes saa suspenderet, at man ikke engang kan bedømme Affarvningen. Med Knapps Vædske bliver Titreringen, naar Æggehvidegehal- ten overstiger 0.175 pCt., betydeligt udhalet, og derfor er det ved en Æggehvidegalt af mere end 0.2 pCt. ogsaa her nødven- digt at fjerne Æggehviden, før man titrerer. Men med Knapps Vædske er Titreringen, selv om Æggehvidegehalten overstiger 0.2 pCt., dog ikke egentligt umulig, den er udførbar, men for- aarsager stort Tidsspilde, fordi da Kviksølvet først efter meget lang Tids Henstand sænker sig saa fuldstændigt tilbunds, at man kan erholde en klar Vædske til Endereaktionen. Eggehvidens skadelige Indflydelse paa Titreringen bestaar altsaa deri, at den besverliggjer Afsetningen af Kviksølvet og hindrer Udfeldningen af Kobberowydulet, idet dette dels holdes oplost, dels fint suspenderet. Andre ugunstige Virkninger af dens Tilstedeværelse har vi ikke kunnet bemærke. Resultatet af disse Forsøg turde have en vis almindelig Interesse for Sukkerets Bestemmelse 1 dyriske Vædsker over- hovedet. Man har ikke sjelden med Extrakter (af forskjellige Veevsdele) at gjøre, der blot indeholde Spor af Aggehvide, som ofte kun ad Omveje lader sig fjerne. Af vore lagttagelser tør Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 11 det formodes, at man i Regelen uden videre vil kunne titrere dem uden skrupuløst at fjerne disse Spor. § 2. Druesukkerets Titrering i dyriske Vædsker -overhovedet. Vi have i det foregaaende gjentagne Gange udhævet, at saavel Fehlings som Knapps Methode ikke egentligt angiver Urinens Sukkergehalt, men Mængden af samtlige reducerende Substantser. Da det nu er Sukkeret, som man kvantitativt vil bestemme, maa det Spørgmaal træde i Forgrunden: med hvilken Grad af Nojagtighed angiver det i Urinen ved Titreringen fundne Kvan- tum Sukker det i samme virkeligt indeholdte? Man kan, da der altid findes reducerende Substantser 1 Urinen (ved Siden af Sukkeret), med Bestemthed vide, at den paa denne Maade fundne Værdi er for stor; det gjælder nu at kjende Fejlens Størrelse. Til den Ende have vi søgt at erholde Kundskab om de øvrige reducerende Substantsers Mængde 1 Urinen. Af de hidtil udførte Undersøgelser synes det, som om den kan variere betydeligt. Af Forsøgstabellen No. 2 (Side 55) over Uriner af ringe Sukkergehalt fremgaar, at der maa gives saadanne, hvor Mængden af de reducerende Substantser ikke naar op til 0.1 pCt., (beregnet efter Sukkerets Reduktionsevne), 1 det ved No 19 (M. A.) den ved Titreringen fundne Mængde af samt- lige reducerende Substantser kun beløb sig til 0.087 pCt. Men ofte er Kvantumet meget større. De Forseg, vi hidtil have udført med normale Uriner, der ikke indeholdt Spor af Sukker, vise, at ca. 0.1 pOt. er et hyppigt Tal, og ligesaa 0.2 pCt.; men det kan endog undertiden naa op til 0.3, ja endog 0.37 pCt. Idet vi forbeholde os en nøjere Redegjørelse for Mængden af disse Substantser og dens Variationer, f. Ex. dens Afhæn- gighed af animalsk og vegetabilsk Kost, ville vi her indskrænke os til at fremheve, at endog 0.3 pCt. af den paa denne Maade fundne Sukkergehalt kan hidrøre fra andre reducerende Sub- 78 Worm Miiller og I. Hagen. stantser. Denne Afvigelse er ikke ringe, men selv den vil 1 sin Almindelighed fra praktisk Standpunkt ikke have Betydning, hvor det gjælder Sukkermængder over 1 pCt.; ved ringere Suk- kermængder derimod, især naar det fundne Kvantum viser sig at være under 0.5 pCt., er det ogsaa 1 Praxis af Vigtighed at erindre, at en ikke liden Del af den fundne Procentgehalt kan hidrøre fra andre Stoffe; Hovedsagen bliver da for Lægen at komme til fuld Vished om, at Sukker virkeligt er tilstede. Fra exakt videnskabeligt Standpunkt, hvor det gjælder et dybere Studium og nøjagtige Bestemmelser, er en saa stor Afvigelse 1 ethvert Fald af Betydning. Saaledes maa man have den for Øje, hvor man vil sammenligne Bestemmelserne ved Titrering og ved Polarisationsmethoden; cndvidere hvis man vil anstille Undersagelser om, hvorvidt Diabetikere assimilere visse Kul- hydrater, Rorsukker, Stivelse 0. s. v. Det har baade viden- skabelig og. praktisk Interesse at anstille Ernæringsforsøg 1 denne Retning med Diabetikere. Man beregner den Mængde Drue- sukker, der kan dannes af de indførte Kulhydrater, og man ~ kan nu ved Titrering bestemme den Mængde Sukker, der findes i Urmen. Men man maa vere forsigtig med at opstille et Regnestykke og drage bestemte Slutninger, og det af mange. Grunde. Her har vi kun at udheve, at Mængden af de evrige reducerende Substantser (iser hvis Sukkergehalten er liden), ikke maa lades ud af Betragtning ved Bedemmelsen. Man opfordres overhovedet til Forsigtighed ved Angivelsen af Sukkergehalten i dyriske Vædsker paa Grundlag af Titre- ringer. Det var en Tid, da man især paa Basis af Brückes Undersogelser troede, at normal Urin altid indeholder Sukker, og denne Anskuelse blev akcepteret af fremragende fysiologiske Kemikere, f. Ex. Prof. Kühne. Af Kihnes Fremstilling?) fremgaar, at han vel var sig bevidst, at visse Urinbestanddele reducere Kobberoxyd 1 alkalisk Oplesning (Urinsyre, Kreatinin, og 1) 1. c. Side 516—523. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 79 desuden ét Stof, der skulde findes blandt de ubekjeudte Extrak- tivstoffe). Men uagtet dette, angiver han en bestemt Sukkergehalt for den normale Urin; Side 577, 1. c. siger han: «Die Menge des . Zuekers im normalen Harne beträgt ungefähr 0,1 pCt., so dass ~ also der Mensch im Tage mehr als 1 Grm. Zucker durch die Nieren ausscheiden kann.» Vi have ikke fundet nogen Angi- velse hos Kühne om den Methode, ved Hjælp af hvilken han er kommen til dette Resultat, selvfelgeligen er det ikke opnaaet ved Polarisation eller Gjæring, og man kan kun tænke sig, at han har erholdt det ved omtrentlig Titrering med Fehlings Vædske (enten uden videre eller efter at Urinsyren var udfældt). Dette er efter al Sandsynlighed Tilfældet, thi titrerer man nor- mal Urin, erholder man hyppigt en Gehalt paa reducerende Substants, der ligger nær 0.1 pCt. (beregnet som Sukker). Nu har dette Tal ikke længere nogen Betydning 1 Kiihnes Forstand, siden vi vide, at normal Urin enten ikke indeholder Sukker eller ialfald en mindre Mengde end 0,01 pCt. (Seegen 1. e. S. 230 og 239). Men det lærer os, at vi ikke uden videre tør opfore de ved Titrering fundne Verdier å dyriske Vædsker som Sukkergehalt. Ol. Bernard har bestemt Sukkermængden i det for Æggehvide befriede Blod fra forskjellige Karprovindser ved Titrering med Fehlings Vædske, ligesaa Pavy og Andre. De saaledes fundne Tal sammenstilles nu sædvanligt simpelthen som repræsenterende Sukker; dette er urigtigt; de bur betegnes som Gehalt paa reducerende Substants, beregnet som Sukker. Dette er nodvendigt, saalenge man ikke engang med Silckerhed ved, om Sukkeret virkeligt danner den overveiende Mængde. Den Ene af os har i Begyndelsen af Mai 1877 med Bistand af Hr. stud. kem. Schmelck tilberedet et alkoholisk Extrakt af forskjellige Muskler (psoas, iliacus internus, quadratus lumborum og de udvendige Abdominalmuskler) fra en Diabetiker. Alkoholen afdestilleredes, Residuet opløstes i Vand, affarvedes med Dyrkul og Kullene udvaskedes flere Gange. Det samlede Vædskekvantum koncentreredes og beleb sig til 200 kem. Det blev nu titreret. Vi kjendte dengang endnu ikke specielt de væsentligste For- dele ved Knapps Methode og indskrænkede os til Bestemmelse med Fehlings 80 Worm Müller og I. Hagen. Vædske. Der indtraadte Reduktion, men Filtratet efter Titreringen inde- holdt baade opløst og suspenderet Kobberoxydul(hydrat). Uagtet vi saaledes ikke erholdt nogen Endereaktion, maatte vi efter Affarvningen slutte, at det mindst indeholdt 0.69 pCt. Og dog viste Circumpolarisationsapparatet ingen Dreining eller Spor af Dreining tilvenstre; det lykkedes ikke at erholde en karakteristisk Sukkerreaktion med den her i Institutet anvendte Modifikation af den Trommerske Prøve, som slaar til i Urin, der indehol- der 0.05 pCt. Sukker eller selv derunder. For nu at komme til Kundskab om, hvorvidt denne Vædske indeholdt Sukker, blev den inddampet forsig- tigt og næsten til Tørhed, behandlet med kogende Alkohol af 90 pCt. i opstigende Kjøler. Alkoholen afdestilleredes, Residuet opløstes i Vand samt atter affarvet med Dyrkul. Den saaledes erholdte Vædske, der var meget mere koncentreret end den oprindelige, idet den kun beløb sig til 100 kem., viste med Polarisationsapparatet ingen Dreining, gav ingen Sukkerreaktion med Trommers Prøve men blot Affarvning. — Paa lignende Maade tilberedtes et alkoholisk Lunge og Hjerne-Extrakt. Alkoholen af- destilleredes og Residuerne opløstes i Vand. Lungeextraktets Volum beløb sig nu til 100 kem. og indeholdt ved Titrering med Fehlings Vædske 0,39 pCt. Men heller ikke her kunde Spor af Sukker paavises. Extraktet af Hjernen beløb sig efter Opløsningen i Vand og Affarvning med Dyrkul til 830 kem. Reduktionen var her mindre tydelig end i de foregaaende Ex- trakter; Farven blev skidden erønlig ligesom ved Titrering af svagt redu- cerende normal Urin med Fehlings Opløsning og Spor af fint suspenderet gult Kobberoxydulhydrat kunde ikke tydeligen paavises i Vædsken. Der- imod optraadte der i samme gule metalglindsende Blade af 3—5 Millimeters Længde og ca. '/2 Millimeters Bredde, der sank tilbunds og antoges at være en Kobberoxydulforbindelse. Ved den omtrentlige Titrering med Fehlings Vædske ansloges Mængden af reducerende Substants at svare til 0.58 pCt. For nu at paavise Spor af Sukker, anvendtes alle Kauteler. Vædsken inddampedes til -Tørhed, digereredes med 90 pCt. Alkohol, filtre- redes, Filtratet opløstes i Vand, affarvedes med Dyrkul. Og dette gjen- toges flere Gange. Den koncentrerede vandige Opløsning viste sig at være indifferent ved Polarisation; Fehlings Vædske affarvedes strax, men der opstod ingen for Sukker karakteristisk Fældning af Kobberoxydul(hydrat). — Derimod viste Leverextraktets reducerende Substants sig at være Sukker. Vilde man nu have angivet den Mængde reducerende Substants, der fandtes i hine Extrakter, at være resp. 0.69 pCt., 0.39 pCt., 0.58 pCt. Sukker, vilde man have begaaet eu stor Fejl, thi de indeholdt ikke et paaviseligt Spor deraf. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. sl Man har stedse følt, at Bestemmelser ved Hjælp af Feh- lings Vædske i Chylus, Lymfe, Blod o. s. v. ikke afgiver et adækvat Udtryk for Sukkergehalten, men har ikke altid stillet sig skarpt for Oje, hvorfor. Man har troet at finde en væsentlig Grund dertil 1, at Titrermgen 1 og for sig ikke nøjagtigt angiver Mængden af det dannede Kobberoxydul, saa at det bliver nød- vendigt paa anden Maade at bestemme samme. Pavy') (og i lignende Retning før ham Abeles) har søgt at forøge Bestem- melsens Nøjagtighed derved, at han kun ganske kort (1 Minut) koger den fra Æggehvide befriede dyriske Vædske med Feh- lings Opløsning 1 ringe Overskud, derpaa gjennem Asbest eller Glasuld filtrerer det udskilte Kobberoxydul fra, oxyderer samme med Vandstofhyperoxyd og Salpetersyre og bestemmer Mængden af Kobber ı den saaledes erholdte Opløsning af sal- petersurt Kobberoxyd ved Udfældning med den galvaniske Strøm. Men denne tilsyneladende omhyggeligere Bestemmelsesmaade af Kobberet rammer ikke Hovedsagen. Den væsentlige Grund ligger ikke heri; Sagens Kjerne er, at der ved Siden af Suk- keret sandsynligvis findes andre reducerende Substantser å disse Vedsker. Vi kunne gjerne sige sikkert, da Urinen, dette vig- tige Exkret, indeholder saadanne 1 større Mængder. Vi have jo paavist dem 1 de ovenfor anførte Extrakter, og det er be- kjendt, at Blodserum under pathologiske Forholde, f. Ex. Gigt, kan indeholde paaviselige Mængder af Urater. | Vil man væsentligen forbedre Bestemmelsen af Sukkeret, maa man saavidt muligt søge at isolere og særskilt bestemme samme eller Mængden af de øvrige reducerende Substantser. Herpaa har allerede for lang Tid siden flere, navnlig ©. G. Leh- mann, været opmærksom. Saaledes siger Lehmann i sin Af- handling: «Einige vergleichende Analysen des Blutes der Pfort- 1) F. W. Pavy, Eine neue Methode um die Quantität des Zuckers im Blut zu bestimmen. Centralblatt für die medicinischen Wissenschaften 1877. No. 33. S. 596597. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 6 82 Worm Müller og I. Hagen. ader und der Lebervenen»!) Side 139: «Ich bemerke hier nur im Bezug auf die Zuckerbestimmung, dass ich aus dem alkoho- lischen Auszuge des Blutrückstands durch eine frischbereitete alkoholische Kalilösung den Zucker fällte, das Präcipitat “in weinsäurehaltigen Wasser löste und entweder im Fresenius- Will'sehen Apparate mit Hefe in Gährung versetzte oder mit- telst der Fehling’schen Kupferprobe bestimmte.» Naar man har stillet sig dette klart for Øje, vil det heller ikke blive tvivlsomt, at Modifikationer af Fehlings Methode, ikke kan tjene til væsentlige Forbedringer i Bestemmelsen af de reducerende Substantsers Mængde 1 disse Vædsker. Vi vide jo, at Urinen ikke blot indeholder Stoffe, der reducere Kobber- oxyd, men ogsaa Substantser, der hindre Udfældningen af Kobber- .oxydul, saaledes at opløst eller fint fordelt Kobberoxydul(hydrat) gaar gjennem Filtret. Det er derfor ogsaa sandsynligt, at de for Æggehvide befriede dyriske Vædsker indeholde Substantser med lignende Egenskaber, og vi have seet, at hine Muskel-, Lunge- og Hjerne-Extrakter indeholdt en større Mængde af dem. Paa Grund heraf tør vi formode, at det paa Glasuldtiltret samlede Bundfald i Pavys Bestemmelse ikke indeholdt alt Kob- beroxydul. At komme til Vished herom er efter Pavys Methode umuligt, da han anvender et Overskud af Fehlings Vædske, saa at Filtratet i ethvert Fald maa indeholde Kobber. Med andre Ord, denne Moditikation kan derfor fra fysiologisk Standpunkt i ingensomhelst Henseende tillægges nogen væsentlig Fordei. Vil man bestemme de reducerende Substantser, tro vi paa Grundlag af vore Erfaringer fra Urmen at kunne udtale den Formening, at den Knapp'ske Vædske vil vise sig hensigtsmes- sig til Bestemmelsen af disse å dyriske Vædsker overhovedet. Men man maa altid erindre, at det ikke blot er Sukkeret, 1) Lehmann. Berichte über die Verhandlungen der königlich sächsischen Gesellschafft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physische Classe. 1850. S. 139. Cfr. ogsaa Lehmann. Lehrbuch der physio- logischen Chemie. 2 Auflage. J. 1853. B. 1. S. 265 og S. 269. Sukkerets Titrering i Menneskeurin. 33 som frembringer Reduktion ved Titreringen. Vi tro — derfor ikke paa en mere passende Maade at kunne slutte vor Afhand- ling end ved at fremhæve den Bemærkning, som indeholdes i den Rapport, der i sin Tid afgaves af Pelouze, Rayer og Dumas til Videnskabernes Akademi 1 Paris ıanledning af Figuiers, Poggiales og Lecontes Undersogelser over Blodets Sukkergehalt : «Les recherches sur ce sujet important n'ont pourtant pas tout sans doute, et nous dirons ici à ceux qui voudront s’en occuper, qu'on ne doit pas accorder une confiance trop complète à des réactions semblables à celles qu'on obtient avec la dissolution de tartrate de euivre dans la potasse. Tous ces phénomènes de coloration, de réduction produits par des matières organiques, sont trompeurs et incertains. Lorsqu'on ne peut pas isoler le sucre en nature, il faut au moins s'assurer de sa présence ...» (Comt. rend. 1855, t. XL. no. 25; 18 juin). 6* PETITE CONTRIBUTION A LA THÉORIE DE LA SURFACE STEINERIENNE. (PAR SOPHUS LIE). La surface Steinerienne du quatrième ordre et de la troisième classe a été, comme on sait, l’objet des recherches de plusieurs géomètres Kummer, Weierstrass, Clebsch, Cremona, Sturm, Schroeter, Laguerre etc. Je me propose de donner une petite contribution à la théorie de cette surface remar- quable en démontrant le théorème suivant Le lieu des pôles dun plan fixe par rapport aux coniques situées sur une surface Steinerienne est en général une autre surface Steinerienne. Si en particulier le plan touche la sur- face donnée, la surface engendrée sera une surface du second . degré.) J’emploie expression pôle d'un plan par rapport à une conique C pour désigner le pôle par rapport à C de la droite d’intersection entre le plan donné et le plan de la conique. I. J'établirai d’abord deux théorèmes auxiliaires, dont le premier se rapporte aux coniques inscrites à un triangle donné, 1) Je communiquais ce thèorème déjà en 1869 å l'Université de Christiania. Petite contribution & la theorie de la surface Steinerienne. 85 l'autre se rapporte aux coniques dans l’espace, qui touchent quatre plans fixes. Les coniques inscrites au triangle de référence x, = 0, x, = 0, &, =0 sont représentées, comme on sait, par l’équation: (1) a, V0, +a,Va,+a, Va, =0 ou par l'équation équivalente > a} v7? — 23 a’ vi «x = 0. Le pôle de la droite. (2) Vit + Vo do + V3 &3 = 0 par rapport à une telle conique est déterminé par les équa- tions 3 = 45" Vo +a," V5 Gy =A," VY, tas Vi G3 => Yi ta,’ Yo Ces formules obtiennent une forme remarquable lorsqu'on ex- prime les quantités y; a; par les coordonnées 4 44 4 4 r 4 ad Ty Lo La eb Li Lo Lz des points d’intersection entre la conique (1) et la droite (2). En effet les équations 2 Yi a; =0, = Vi aj = 0 See =O, Sal a =O donnent ay x op ét 50 Vaier Vaa = NE === — Va, 2," ee Va, DR: 86 | Sophus Lie. et par substitution des quantités proportionnelles trouvées au lieu de a; et y: 8, =pV 2, 2", &,-pV #,°a,", &,-pV x, a," 5 ou y p= Var (ay! æg dos) + V rea 2 200 Vaa CAES) En se rappelant maintenant que le facteur commun p peut être effacé dans les expressions des coordonnées homogènes & 8, 5,, on pourra énoncer le théorème suivant. Théorème I. Si une conique, inscrite au triangle de référence æ,=0, æ, =0, 2, =0 rencontre une droite donnée dans les points x,'x,'x.' et ©," ©," as", le pôle de la droite par rapport a la conique aura les coordonnées = Val: VIT Es vr Maintenant c’est facile de démontrer l’autre théorème auxiliaire dont j'ai besoin. Regardons une conique tangente aux quatre plans x, = 0, æ, =0 æ, =0 x, = 0, une droite passante par deux points 44 N ‘ 4 44 CAIN TL MEET ET) de la conique, et le pôle correspondant &, 6,8, &8,. Faisons la perspective de cette figure dans le plan x, = 0, en choisis- sant le point æ, =x, +, =0 comme lieu de loei. On obtiendra par là dans le plan w, =O une conique tangente aux droites æ, = 0 x, =0 x, =0, une droite passante par deux points 7 epee. et ai a, 2%. situes, sur eee aper correspondant &, 5, &,. Done en employant le théorème pré- cédant on aura les formules = — — DE rv; Leren &, = Va, æi”, & = Va, (By Bg = V Vy! Vy, auxquelles on peut ajouter, comme l’on trouve par un raison- nement analogue Petite contribution à la théorie de la surface Steinerienne. 87 8, = | 2," Cela donne Théorème II. Si une conique inscrite au tétraèdre de refe- rence &,=0 æ, =0 x, =0 x, =0 rencontre une droite dans les points w'...æ,etæ"...æ,", les coordonnées &; du pôle de la droite seront données par la formule &i = Vær æi IT: L’equation me Va, +a, Verre ed représente comme on sait une surface Steinerienne rapportée å son tétraèdre fondamentale. On obtient toutes les eoniques situées sur elle en la coupant par une autre telle surface 6) Bar Va +p3 Vars, Va -0, fi B> Ba ß, désignant des paramètres variables. Il est de même évident qu'on trouve toutes les coniques cherchées en établissant entre les Å une relation quelconque; car on obtient la même conique en substituant au lieu de B;.../6, les quan- tités A [Da ANER ooo [Bn Mr AL Gey où A a une valeur quelconque. Dans le suivant nous suppo- sons quelquefois que les £ soient liées par une relation liné- aire | (b°) 2 69; fi =0; mais pour simplifier les formules nons gardons toutes les £ dans nos formules. Cherchons maintenant le lieu des pöles d'un plan fixe (6) Vi Li + Vo Wy t+ Vl, +7, 0, = 0 par rapport aux coniques de la surface (4. Remarquons å cet effet que ces coniques touchent les quatre plans a, =0 ...@,=0. Done (Théorème 2) les formules 88 . Sophus Lie. Var u ea VE où les x;' et x désignent les points d’intersection entre une telle conique et le plan (6), déterminent le pôle correspondent. Il faut exprimer les quantités V x x" par les quantités don- nées ax, 7x et par les quantités variables 64. Pour cela nous éliminons +, et x, entre les équations (4) (5) et (6) ce au . donne une équation de la forme Ax,+BV/x, V x; + Cx, = 0, laquelle nous regardons comme une équation du second degré par rapport å Va, et V/ x,. De cette manière on trouvera Ve où O=y, (03 Bi — a, Ba) + V3 (44 By — dg (Balk + Va (@_ Bz — a; Bo)”. A=y, (as Ba — 4, By)" + Ya (a, Ba — & 64) + ya (2 Da RE 1). Un raisonnement analogue donne les valeurs de V 2,‘ æ," et V æ,"æ,". Done en substituant en (7) on trouvera les expressions cherchées de, ...&,, qui puissent être représen- tées par une formule unique Ei = 3 uv Vs (au Br — av Bu)? = fi (A), en désignant par zk uv successivement toutes les permuta- tions possibles des nombres 1234. Si l’on exprime ici £, linéairement par 6, 6, #4 à l’aide de la relation (5°), on aura les coordonnées du pôle cherché exprimées comme fonctions homogènes du second degré des trois paramètres 8, 6, As. Mais après Steiner et Weierstrass un point variable dont les coordonnées sont des fonctions homogènes du second degré de trois paramètres, décrira en général une surface Steineri- enne. Done le lieu cherché sera, ou une surface Steinerienne générale, ou une dégéneration d'une telle surface. Petite contribution à la théorie de la surface Steinerienne. 89 Pour discuter le lieu de pôles complètement nous suivrons la methode de Cebsch. (Crelle-Borchardts Journal 1867). Après lui il faut former expression À fi + do fo + ds fs + Mats = @ (A) et chercher de telles valeurs des coefficiens A, que 9 (f) devient un carré complet. Si l’on trouve quatre systèmes distinctes de valeurs qui satisfont à cette condition, la surface est une surface Steinerienne générale. La recherche des À conduit à ‚une équation du quatrième degré, que l’on pourrait former et résoudre. En suivant cette route on trouverait quatre racines différentes et par conséquent quatre systemes de valeurs diffé- rentes pour les A. Mais une telle méthode serait assez labo- rieuse. J'ai trouvé par une méthode synthétique quatre sy- stèmes de valeurs, qui satisfont à notre condition. J’indiquerai ces systèmes aussitôt, et en vérifiant qu'ils transforment la quantité @ dans un carré complet je démontre en même temps que la surface engendrée soit une surface Steinerienne générale. Posons (8) où 2 2 2 (9) Q=-a"vrVstas'VoVa HAr Va Var on vérifiera par un calcul élémentaire, dont je supprime les details que =A, /; prend la forme (Pp, 8; + p> Pa + På Bz + På 6.) où 2 2 2 Pı = dy V2V¥3t Ag Vo Vi T do V5 Va PS ent Vs V4, PT sa Van lat C4 Ko Vs: On connaît ainsi un système de valeurs pour les A, qui trans- forment 3 À; fi dans un carré complet. On voit de plus, qu'on 90 Sophus Lie. obtient des nouveaux systèmes, qui possèdent la même pro- priété, en permutant dans les formules (8) et (9) les indices 1, 2, 3, 4 d'une manière quelconque. Entre ces systèmes il y a quatre qui sont distinctes, supposé que les constantes y ont des valeurs générales. Done la surface engendrée sera une surface Steinerienne générale, lorsque le plan donné a une position générale par rapport à la surface donnée. III. Ed Nous cherehons maintenant les modifications auxquelles notre théorème sera soumis pour des positions speciales du plan donné, en supposant toujours que la surface Steinerienne donnée soit générale. En supposant que le plan donné ne soit pas tangent à la surface donnée, la courbe d’intersection entre la surface et le plan sera une courbe irréductible du quatrième ordre. Elle aura évidemment trois points doubles. Prenons un point p de cette courbe; il existe toujours une conique située sur la surface, qui est tangente au plan donné en p, et qui ne soit pas située dans ce plan. Or le pôle du plan par rapport à cette conique est précisément p; done ce point appartiendra à la surface engendrée. Cela donne Lorsque le plan donné ne soit pas tangent à la surface donnée, leur courbe d'intersection appartiendra à la surface engendrée La surface engendrée contiendra ensuite dans le cas gé- néral une courbe du quatrième ordre à trois points doubles; !) ~ par conséquent elle sera une surface Steinerienne générale. 1) La courbe d’intersection entre la surface donnée et le plan donné possède quatre tangentes doubles situées dans les quatre faces du tétraédere fon- damental de la surface donnée. Ensuite le tétraèdre fondamentale de la surface engendrée contient aussi quatre faces distinctes. Petite contribution à la théorie de la surface Steinerienne. 91 Quand le plan donne ne soit pas tangent a la surface donnée, la surface engendrée sera une surface Steinerienne generale. Supposons maintenant que le plan donné soit tangent à la surface donnée, et soit A le point de contact. Dans ce cas la courbe d'intersection entre la surface donnée et le plan donné consistera de deux coniques qui se coupent en A, et en trois autres points. Maintenant on ne peut plus démontrer comme précédemment que la courbe d’intersection entre la surface donnée et le plan donné appartienne aussi à la sur- face engendrée. Pour trouver la courbe d'intersection entre le plan donné et la surface engendrée nous chercherons les points dans l'espace, appartenant å la surface engendrée, qui sont infini- ment voisins au plan donné. De tels points correspondent nécessairement à des coniques k situées en des plans tangens, infiniment voisins au plan donne. Or de tels plans passent par A, abstraction faite d'une quantité infinitésimale. La conique k est infiniment peu different de l’une des deux coni- ques situées dans le plan donné. Done la tangente en A å la conique k sera infiniment voisine å la tangente correspon- dante de la conique située dans le plan donné. En poursuivant ces considérations on verra que l’intersec- tion entre le plan donné et la surface engendrée consiste seulement de deux droites: les tangentes en A des deux co- niques situées dans le plan donné. Ces deux droites sont en même temps les tangentes asymptotiques de la surface don- née dans le point À. Dans le cas consideré la surface engendrée sera une sur- face du second ordre, qui touche le plan donné en A. 92 Sophus Lie. La surface gauche du troisième ordre et de la troisième classe est, comme on sait, une dégénération de la surface Steinerienne. Notre théorème s'applique encore à cette dégé- nération. La surface engendrée sera elle-même pour une position général du plan donné une surface gauche du troi- sieme ordre. THEORIE DER TRANSFORMATIONS-GRUPPEN, IM. BESTIMMUNG ALLER GRUPPEN EINER ZWEIFACH AUSGEDEHNTEN PUNKT-MANNIGFALTIGKEIT. VON SOPHUS LIE. Die nachstehende Abhandlung schliesst sich als Fort- zetzung an den beiden Abhandlungen,') die ich im Bande I dieser Zeitschrift veröffentlicht habe. Die lange Verspätung wurde wesentlich dadurch veranlasst, dass ich die einfachen Resultate, die ich geiunden hatte, nicht durch eine entsprech- end einfache Analyse beweisen könnte. Glücklicherweise ist es mir in der letzten Zeit gelungen, meine Untersuchungs- Methoden wesentlich zu verbessern, und dadurch eine grosse. Anzahl mühsamer, wenn auch principiel einfacher Rechnungen zu ersparen. Hierdurch gelingt es mir insbesondere in dieser Arbeit durch verhältnissmässig kurze Rechnungen, alle Grup- pen von Punkt-Transformationen einer Ebene zu bestimmen.’) !) Ich behalte mich vor bei einer späteren Gelegenheit einige Entwicke- lungen meiner beiden früheren Arbeiten näher zu diseuttiren. *) Es ist mir gelungen, einerseits alle Gruppen einer dreifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit zu bestimmen, andererseits wenn ich nicht irre eine tiefere Einsicht in die allgemeine Theorie zu gewinnen. Hier sei auch erwähnt, dass ich diese Theorien u. A. mit Erfolg auf die allge- meine Monge- Amperesshe Gleichung angewandt habe. 94 Sophus Lie. Abschnitt III. Allgemeine Entwickelungen. In diesem Abschnitte gebe ich einige allgemeine Ent- wickelungen, welche die principielle Grundlage meiner weite- ren Untersuchungen bilden. © i. Infinitesimale Transformationen erzeugen eine Gruppe, wenn sie gewisse Relationen erfüllen. 1. Die infin tesimalen Transformationen ne df i Ac f= 3, Xu, (E=l...r) einer r-gliedrigen Gruppe sind nach meinen friiheren Unter- suchungen paarweise durch Relationen der Form A; (Ax (N) = År (4; (f)) = > Ciks As f wo die c Constanten sind, verbunden. Andererseits habe ich auch gefunden, dass > unabhängige infinitesimale Transforma- tionen, die paarweise solche Bedingungs-Gleichungen erfüllen, immer eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. Auf diesen Satz, den ich früher nur unter gewissen beschränckenden Voraus- setzungen bewiesen habe, werde ich hier näher eingehen. Ich betrachte die infinitesimale Transformation ee mit den Parametern A, ...A,, und die zugehörige eingliedrige Gruppe CHa Poy coven Gao an cee Wb Alsdann bestimmen die Gleichungen Be =D, Arena a) mit den unbestimmten Parametern a, ... a. r-fach unendlich viele verschiedene Transformationen. Es handelt sich darum nachzuweisen, dass die Succession zweier solchen Transfor- Theorie der Transformations-Gruppen. 95 mationen mit einer einzigen Transformation derselben Schaar aequivalent ist. | 2. Statt der Grössen æ führen wir neue Variabeln y, . - yn ein, die derart gewählt sind, dass Ar y, =>. Ay Yn —1 04 Ar Un 1 ıst. Alsdann wird Af- oo + Ya 1 und die Relation (A, Aj) a > Cis Ås löst sich in die folgenden auf AYix dyn ET Ss Cis Yx 2 (1) Diese Relationen benutze ich zum Beweis einer Eigenschaft des Ausdrucks | 2; Pi Vix , in dem ich die Grössen pi als Funktionen von y, betrachte. Es ist in der That möglich, wie ich jetzt zeigen werde, die pi derart als Funktionen von y, zu bestimmen, dass der Diffe- rential-Quotient | | hj dpe Pi y) gleich Null wird. Die Forderung: d Vix d pi ae ay, = Pi Yix = 0 erhält nemlich wegen (1) die Form 3 MG p; 2 à à Cis Ya + > 7h, Yr 0 und wird daher erfüllt, indem wir die Grössen p,..., ver- möge des simultanen Systems 96 Sophus Lie dps 2 à ae als Funktionen von y, — yn’ uud den Anfangs-Werthen p,° bestimmen. Sind Pi = Pi (Yn Fr: Uns, (Dae ... Pr!) die zugehörigen Integral-Gleichungen, so bestehen also die Identitäten = pi" Yix (On) = = Pi (Yn oe Da) War. (Yn), die wir jetzt verwerthen werden. 3. Ich betrachte die infinitesimale Transformation an d Yn und setze dabei voraus, dass die A sehr kleine (infinitesimale) Grössen sind. Um die zugehörige eingliedrige Gruppe zu bestimmen, bilde ich das simultane System +, A,f+...+ Arf, 6 dyr >> Å dy, rer alsdann sind bekanntlich die zugehörigen Integral-Gleichungen (3) eS jie G Un! 5 40 de 6 A) die Definitions-Gleichungen der gesuchten eingliedrigen Gruppe. Es ist nun klar, dass die fi gewisse Funktionen von den A sind, uad zwar können wir annehmen, dass sie nach den Po- tenzen der A entwickelt sind. Für das Folgende ist es hin- länglich nur diejenigen Glieder dieser Reihen-Entwickelungen zu bestimmen, die die A, in der nullten und ersten Potenz enthalten. Denkt man sich die Werthe yx=7x in das simultane Systeme (2) eingeführt, so kann man die Integral-Gleichungen dieses Systems auch folgendermassen schreiben Yr — 4” = fa = À; Vix , (4) | Yn ‘rs Oi =t+ fu 2 A; Yın. Theorie der Transformations-Gruppen. 97 Nun aber bestehen nach den Entwickelungen der vorangchen- den Nummer Relationen der Form > A; Vix (y) = > Pi (A, ... A, "Un KR Un) Yix (oA wo die m nur von den A und der Grösse y, — y,° abhängen. Hierdurch kommt Yi == Ys = fe J Pi (Ay oes Yn — Yn”) Pix (Yi ++ Yn1Y9) Yn — Yn = t+ fa a (( EN JEG VL 36000 CPE Diese Gleiehungen gelten, welehe Werthe (endliche oder infi- nitesimale) die Grössen A auch haben mögen. Nun aber be- - rücksichtigen wir, dass die A infinitesimale Grössen sind, und dass wir nur die ersten Glieder der betreffenden Reihen-Ent- wickelungen zu suchen haben. Die Grössen øm sind von der ersten Ordnung hinsichtlich der A. Demzufolge sind die Integrale, in denen die @ eingehen, selbst von erster Ordnung hinsichtlich der A. Frsetzen wir daher in 9; und Yi die Grössen yn — 7° und yx bezüglich durch ¢ und yx°, so wer- den die Grössen unter dem Integral-Zeichen und ebenso die Integrale selbst nur um Grössen geändert, die von zweiter Ordnung hinsichtlich der A sind. Das heisst, es ist Yi = Yx0 + f, dt 3 pi(d,..t) Yır(Yı°. -Yn—ı° Ya?) + 6, i (0) wo 6, und &, von zweiter Ordnung hinsichtlich der A sind. Und da die Yi.(y,°...y.°) von t unabhängig sind, können sie ausser des Integrals-Zeichens genommen werden: Yx = Yu? + 3 Vix (y®) Nato (A...) +6, re San (ne) fa SG GE und wenn wir setzen Archiv ‘or Mathematik ce Naturvidenskab. 3 B 1 H. a 98 Sophus Lie. f' dt pi (Å, ...AMt)= Yi (À, ...0t) 0 kommt endlich IES al) Las): ©) Yo= yoo + t+ Sty... 8) Yin (Y°). Hiermit sind die gesuchten Glieder unserer Reihen-Entwicke- lungen wirklich gefundeu. Die durch die letzten Gleichungen definirte Transforma- tion gehört der Schaar (3) an; wir werden zeigen, dass sie sich durch zwei successive Transformationen derselben Schaar ersetzen lässt. Man führe in der That zuerst aus die Trans- formation YK = Yk Yn = Yuh å sodann die intinitesimale Transformation Yu yuo + 20% Yuly,®--- yar) Yo = Yn? + 2606 Yin (9,7 +. Yn”); welche beide der Schaar (3) angehören. Diese Succession ist aequivalent mit der Transformation Te ORO One GO 53 6”) A IONS an), also ist sie zugleich aequivalent mit der Transformation (5) vorausgesetzt dass die infinitesimalen Grössen vi; gleich den Infinitesimalen 01; sind. F Wir kehren jetzt zu den ursprünglichen Variabeln æ zu- rück. Wird das simultane System Lær EG Xp Ak integrirt durch die Gleichungen * Bi = Pi (@,...%y Mb... Art), so ist die Transformations-Schaar Theorie der Transformations-Gruppen. 99 ai = Di (@, . +. nr . L Ay) aequivalent mit der Schaar (5): Bemerke ich nun, dass in den früheren Entwickelungen die Transformation A,./ sich durch eine beliebige Transformation der Form = vy, A;f er- setzen lässt, so kann ich den folgenden Satz aussprechen Satz 1. Die Succession einer beliebigen Transformation Ui = Dil, ...Æn 4, ... ar) mit einer infinitesimalen Transfor- mation derselben Schaar ist aequivalent mit einer Transfor- mation x = @i(@,...&,a,+ Ja, ...a, + Aa), deren Para- meter ax + Ja, unendlich wenig von den Grössen ax verschie- den sind. 3. Es ist nun leicht nachzuweisen, dass die Succession zweier beliebigen endlichen Transformationen ‚unserer Schaar, die respective die Parameter ax und >, besitzen, mit einer einzigen Transformation der Schaar aequivalent ist. Nennen wir die Parameter dieser neuen Transformation cx, so findet unsere Behauptung ihren Ausdruck in die Gleichung. AG (IH) rer le is) die wir kurzweg folgendermassen schreiben ax | dx = ex. Wir setzen be = Ay. D und fassen dabei die A, als feste Grössen, b als eine Variable auf. Die einfach unendlich vielen Transformationen A, 6 bil- den bekanntlich eine eingliedrige Gruppe, (deren identische Transformation der Annahme b = 0 entspricht), was wir fol- ~ gendermassen ausdrücken Ax by | Ax, =Ax(by+bj); insbesondere ist AR UDE Zi) Soe Diese Gleichung combiniren wir mit der früher (Satz I) gefundenen: 7* 100 Sophus Lie. ax | — Ar Ib = ax + Å ag wo der Zusammenhang zwischen den Grössen Ja, und 4b durch ein gewisses simultanes System (6) Aa, = fr (a, ...a) Ib ausgedrückt wird. Hierdurch finden wir die Gleichung ax V Ag b = åg | — Ax Db] Ax (6 + Jb) = ax + Dax | Ax (b + Jb) die wir folgendermassen schreiben d db [ax | Mb] =0, indem wir nehmlich die ax als Funktionen von 5, bestimmt vermöge des simultanen Systems (6) betrachten. Sind ax = dr (a, ... a, b) die Integral-Gleichungen dieses Systems, und entsprechen dabei ax = ax" der Annahme b =0, so kommt ax | Ax b = Const. = ax° 10 = ax°. Hiermit ist nachgewiesen, dass die successive Ausfiihrung der Tran:formationen a, und A, b mit der einzigen Transforma- tion ax” aequivalent ist. Hiermit ist das folgende Theorem erwiesen: | = Theorem I. Sind r unabhängige infinitesimale ““Transformationen A,f...A,f paarweise durch Rela- tionen der Form A; (Ax (f)) — Ax (Ai (f)) = = Ciks A; f 1 verbunden, so erzeugen sie eine r-gliedrige Gruppe. § 2. Transponirte Transformationen. 4. Sind‘a, und 5, Transformationen einer Gruppe, deren identische Transformation der Annahme ax = 0 entspricht, so dass b, uud — 5b, inverse Transformationen bestimmen, . so nenne ich die Transformation Theorie der Transformations-Gruppen 101 by | ax | = UE die offenbar der gegebenen Gruppe angehört, eine transpo- nirte Transformation. Ich setze ax = Ara, und fasse dabei die A, als feste Grössen, dagegen a als eine Variable auf, so dass die Transformationen Aka eine einglie- drige Gruppe bestimmen. Führe ich nun successiv die beiden Transformationen dx |Ar a, | — dx und fx a, | — bi aus, so ist diese Succession offenbar aequivalent mit der Transformation be A. (a, +e,)| — Or, so dass die Transformationen br {Ax af - dx eine eingliedrige Gruppe bilden. Also Satz 2. Transponirt man die Transformationen Aa einer eingliedrigen Gruppe vermöge der Transformation bx, so bilden die hervorgehenden Transformationen bx|Ax a] — br wiederum eine eingliedrige Gruppe. Um die neue Gruppe zu finden, ist es hinreiehend ihre infinitesimale Transformation zu bestimmen. Es stellt sich somit die Aufgabe, die Transformation b Ax a] —- bx ‚zu finden, wenn a eine infinitesimale Grösse ist. Wir werden diese Aufgabe erledigen, indem wir zunächst zugleich voraus- setzen, dass auch die Grössen b, infinitesimal sind. Seien a — ær = fy Ot die Gleichungen der infinitesimalen Transformation 6,, und seien ær” — & = ay OF die Gleichungen der infinitesimalen Transformation Axa. Um 102 Sophus Lie. nun die Tranformation bx Ak a|— db, zu finden, bilden wir die Gleichungen. d t- ær” en a! + Bx’ ot + (> ae i 3 + x da OT ax! = ær + ax OT +(2 aA OG Di Å; dp, een « 5 Gå EAN = 1x = Bx? öt + | woraus folgt = ær Ar (Bx' — Bx") Ôt + ax 67 + 2 | > Nun aber ist [Die [ORT so CO CE GR Or). also kommt | jar” + Ot (2a; 0 Oe ee. ait dæ Sa ax! = 0 2 womit die verlangte Bestimmnng ausgeführt ist. Dies giebt Satz 3. Transponirt man eine infinitesimale Transforma- tion Af vermöge einer infinitesimalen Transformation Bf, so erhält man die Transformation Af+ôt{A4A(B(f))-- B(A(f))}. 5. Seien jetzt A, f... Arf, wo (AA = cae die infinitesimalen Trausformationen einer r-gliedrigen Gruppe G,, die in einer (r+ 1)-gliedrigen Gruppe G;:., enthalten ist, und lass uns dabei voraussetzen, das die r + 1 infinitesimalen Transformationen A, f... A, f Bf dieser neuen Gruppe durch Relationen der Form Theorie der Transformations-Gruppen. 103 (A; B) = 3 dis A. verbunden sind. Transponire ich nun die allgemeine inf. Transformation = pi Ai f der Gruppe G, vermöge Bf, so hat die hervorgehende Trans- formation Bf} =p: A fl — Bf oder ausgeführt 2 pi (if + dt (A: B)} = Z pi{4if+ôt 3 ds Af! die Form = (pi+ 4 pi) Aif (7) wo A pi = At = dxi Px (8) Sei jetzt Ui = DAG oe aA) die Gleichungen der eingliedrigen Gruppe, deren infinitesimale Transformation Bf ist. Ich bilde die Transformation {2m Afl-t, die bekanntlich mit der folgenden aequivalent ist t— Jt] St] > pi Af] - Jt] — (6 — Lt) oder (7) mit t— dt| > (pi + Jpi) Afl— (t — At). Betrachten wir daher die Parameter pi als Funktionen von t, bestimmt vermöge des simultanen Systems (8), so ist d Sind p,°...p.° diejenigen Werthe der Grössen pi, die dem Werthe t=0 entsprechen, so wird {2 oA t= 2 po 47 104 Sophus Lie. Bemerke ich nun, dass Bf eine beliebige infinitesimale Trans- formation der Gruppe G+. bezeichnet, und dass in Folge dessen unsere Transformation ¢ eine beliebige endliche in G;11 enthaltene Transformation bezeichnet. so erhalte ich dentSats — Satz 4 Transponirt man eine beliebige inf. Transforma- tion = pi À; f vermöge einer beliebigen Transformation der Gruppe G,+1, so erhält man immer eine inf. Transformation der Form = 6; Aj f. Lass mich: jetzt voraussetzen, dass man eine beliebige endliche Transformation a der Gruppe G, vermöge einer be- liebigen in G,+1 enthaltene Transformation ¢ transponirt. Ich behaupte, dass die hervorgehende Transformation der Gruppe G, angehört. Zum Beweis betrachte ich ¢ als eine bestimmte Transformation, dagegen a als Symbol aller Transformatio- nen einer eingliedrigen Gruppe, deren identische Transformation a=0 entspricht. Nun aber weiss ich (Satz 2), dass die Trans- formationen tl|aj — t wiederum eine eingliedrige Gruppe bil- den. Um sie zu bestimmen genügt es ihre infinitesimale . Transformation Cf zu bestimmen. Und da Cf=t; Aal—t ist, wo die infinitesimale Transformation Ja die Form = på A: f besitzt, so hat nach dem vorangehenden Satze auf C/ diese Form, und gehört somit der Gruppe @, an. Demzutolge gehört auch die von Cf erzeugte eingliedrige Gruppe, das heisst die Transformationen ta —t der Gruppe G, an. Dies giebt Theorem IL Es seien A, f... A,f die infinitesima- len Transformationen einer Gruppe G und À, 7... Af Bf die inf. Transformationen einer Gruppe G r+ |, und dabei bestehen Relationen der Form CRDi Theorie der Transformations-Gruppen. 105 wo B nicht rechts auftritt. Transponirt man sodann eine beliebige endliche Transformation der Gruppe G, vermöge einer beliebigen Transformation der Gruppe Gr+1, so erhält man immer eine in G, enthal- tene Transformation. 2 oO. un Binige Sätze über lineare Gruppen. Alle Transformationen der Form di = A, U, +... + Ain En bilden bekanntlich eine Gruppe, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe. Die identische Transformation derselben entspricht den Parameterwerthen au=1, dix = 0. Die infinitesimalen Transformationen derselben besitzen die Form a di = JS À aix &x- Jede in der allgemeinen linearen Gruppe enthaltene Unter- gruppe nennt man wiederum eine lineare Gruppe. Wir wer- den eine besonders einfache Classe linearer Gruppen, die in meinen Untersuchungen eine wichtige Rollen spielen, etwas näher betrachten. 6. Seien Å, f... 4. f inf. lineare Transformationen, die eine Gruppe G, bilden, und lass mich dabei voraussetzen, dass alle A, f die Form As besitzen, wobei die å lineare Funktionen der æ sind. Ich setze ferner voraus, dass ea eg Ne 106 Sophus Lie. der allgemeinste, in den x lineare Ausdruck bezeichnet, der die Gleichungen Ay ( G2) adle a befriedigt. Ist dann | BED en eine weitere inf. lineare Transformation, die r Relationen der Form (4; B) = di 77 +... + dr A: erfüllt, so behaupte ich, dass &, ... &, Funktionen von x, ... a, sind. Die inf. linearen Transformationen A; f erzeugen nehmlich eine lineare Gruppe G,, deren Transformationen nach den gemachten Voraussetzungen die Form ø å) "a UN A reader a Mr Gp Alk de, Ar Do + Mq+i.n Xn besitzen. Andererseits erzeugen die inf. Transformationen Ax f, Bf eine lineare Gruppe G,:,, und sei © = 2 Nig ag" die Gleichungen einer beliebigen Transformation, die @,+ 1 angehört. Vermöge dieser letzten Transformation transponire ich die voransteh nde Transformation der Gruppe G,, und er- halte so die Transformation E Net" = M.S Nig te... E Nagas = M. 3 Nag ee g & g 2 Nach Theorem II soll diese Transformation der Gruppe G, angehéren. In Folge dessen miissen die Ausdrucke 2 Nig te... 3 Nas Vs lineare Funktionen von x, ...#, sein, da nebmlich €, æ , +... + Cat = Zceæ der allgemeinste Ausdruck ist, der alle Glei- chungen AO) CAE ME Er befriedigt. Theorie der Transformations-Gruppen. 107 Die Transformationen der Gruppe G,+1 besitzen somit die Form Ca EN a ee ANGEL La Uy +i = Qu) = Photo 0 lede HOPE on Ph Insbesondere besitzt Bf die Form Ea Paca a alba ich Ga Pa een Pn, womit unsere Behauptung erwiesen ist. Jetzt versuchen vir die Gleichung Dice Her) CC see Fer.) zu befriedigen. Dies ist offenbar immer môglich, und lass uns voraussetzen, dass wir g‘ von einander unabhängige Grös- sen >cæ finden, die diese Gleichung erfüllen, und welche dabei demselben Werthe von & entsprechen. Sodann führen wir diese g’ Grössen v,’...@q als neue Variabeln ein anstatt @,...& und setzen ferner Uy ti = Vy Li. Alsdann nehmen die A, f und Bf die Form an: Als ee (Dr oc moe sean IBV GANT NOR ae + Ta Da )+ Sq 41 Dan: Dies giebt den Satz Satz 5. Sind A, f... Ar f, wo Ay f =a (@, py +... + Ga Pa) + la +iparit... inf. Transformationen einer linearen Gruppe G,, und ist Bf eine weitere inf. Transformation, welche Relationen der Form (A; B)=dı A, +...+ di, A, erfüllt, so können die Axf und B f durch Einführung von zweckmässigen Variabeln die gemeinsame Form GADE 5 8 ra We) Gå erhalten. 7. Ich betrachte jetzt r infinitesimale Transformationen A,f...A-f, die Relationen der Form 108 Å Sophus Lie. (AA AE ER erfüllen. Folglich bilden 4, und A, eine Gruppe @,, ebenso bilden A,, A, und A, eine Gruppe G, u. s. w. Ferner wird jede Gruppe Gp durch Transposition mit Ap +, in sich selbst übergeführt. Ich werde zeigen, dass die r vorgelegten inf. Transformationen eine gemeinsame einfache Form erhalten können. » Zunächst kann A, f durch zweckmässigen Wahl der un- abhängigen Variabeln die Form ap EE erhalten, und dabei kann ich annehmen, dass €, æ, +...Cy&g die allgemeinste lineare Grösse ist, die AN cr) a. 20% giebt. Nach dem vorangehenden Satze ist es jetzt möglich die unabhängigen Variabeln derart zu wählen, dass A, f= a(æ pr +... tag’ Pa) + Sq +1Pa tit... A, f= Bts pates. + Æal Pa") th Fat pa % soe wird. Dabei kann man offenbar voraussetzen, dass e, @,'+... + x & die allgemeinste lineare Grösse ist, die A Eras Ayl>ie wo) RCE siebt. Folglich kann man den vorangehenden Satz auf Neues anwenden. Esergiebt sich, dass es möglich ist, die unabhän- eigen Variabeln derart zu wälen, dass A, f, 42f, und A, / die gemeinsame Form Ola UD nb gas the ee) ar aat yay Li oo erhalten u. s. w. Durch Fortsetzung dieser Betrachtungen erhält man den Satz. Satz 6. Sind die inf. lincaren Transformationen À, f ... A,f durch Relationen der Form | N ee verknüpft, wobei die Constanten A mit den Zahlen i und k Theorie der Transformations-Gruppen. 109 varüren können, so ist es möglich die unabhängigen Variabeln derart zu wählen, dass die Axf die gemeinsame Form CMP GREE abi SE De ee: erhalten. 8. Wir behalten die Voraussetzungen der letzten Num- mer, und werden zeigen, dass die A, f eine noch viel einfa- chere Form erhalten können. Seien die A, f auf die gemeinsame Form A (EP ep le Paar Cie gebracht. In den A, f mache ich die Substitution a Oi, = Ol eae OF und nenne die so hervorgehenden Ausdrücke B, 7, so dass Jit LR ce Gates ae oo ae Ca Bey wo die z gewisse lineare Funktionen der p sind. Ich bilde den Ausdrnek (B; Bx) CE EB (AWA) seta wy es te oa BN AR Cay Cae Wa JE ANNE ann Dar ia cor Cha Jee wo die % und y gewisse lineare Funktionen der p sind. Da nun aber lie Biff gar nicht die Grössen +, ... aq enthalten, so müssen die y gleich Null sein. Also ist (Bi By) = ZX, Bs, so dass B, f... B,f eine lineare Gruppe in w+)... 4% bilden, die mit der Gruppe 4, f...4,f gleichzusammengesetzt ist. Daher kann der vorangehende Satz auf die By f angewandt werden, das heisst man kann setzen Dr = JO (Gag se fil ae re ee Ela De Ser 6 oe Und also kommt A p= a (Be Ds + 90.0 + 2 Pa) AE Spa + (den T1, SF o Ag En ll ae JOY ro LEE Sr NE Me en EE 110 Sophus, Lie. +Agı@) +... + aa Bq + Bx Ta) Pa’ Fa +iPatite.. Sodann führe man auf die A, / die Substitution Gi Soo dn = Vor Ù aus, und nenne die hervorgehenden Ausdrücke C, f. Man er- kennt, dass die C, / eine Gruppe bilden, die mit derjenigen der A, f gleich-zusammengesetzt ist. Folglich kann Satz 6 auf die UO; / angewandt werden u. s. w. Bemerkt man nun, dass der Coefficient von p, nur x, enthält, dass der Coefficient von p, ausser 2, höchstens nur x, enhält u. s. w., so erhält man das folgende Theorem. Theorem III. Sind A,f...A,f durch Relationen der Form i (A, Aa) A A An verknüpft, so erhalten die Axf durch Einführung von zweckmässigen unabhängigen Variabeln die ge- meinsame Form: | AL, Pa +(B Cr + By La)Po + (Vi Bj + Vo Lo + V3 Da)Ps + ET vr Ar Uap Wy Pipa acae ie Wa) Pe =F + (m, CA + Mo Bs RA eur 9° 00 oo Ma ae (PR Dain ER ope asc coco + On Zn) Da Wurden die soeben geschriebenen Ausdiiicke nicht nach den p, sondern nach den x geordnet, so würde der Coefficient von @ nur p, enthalten, der Coefficient von 2, 1 enthielte nur pr und pn ı, der Coefficient von a, > enthielte nur pu, (Daa UNG On Wl Ur Ich betrachte jetzt das Werth-System An Lag ne Van SOE und führe auf dasselbe die Operation A, / aus, man findet An Ea Ga Ar en y= Oper Are = (). welche Gleichungen sich folgendermassen schreiben lassen Theorie der Transformations-Gruppen. 111 Ay 2) = py GO = 1,2...) Ich betrachte sodann das Werth-System Ln = a) Pn—1 = Oy — PER =) BR a, =0 und finde Ak on 'V = D: ay!) + On 1 an] I>. Are 10 = Un 1ı%n- 10), Ar By > =0. 30 oder, indem ich setze: pi zn! + On - 1% 1 = Un _ Mr +4 2", Aa’ = Un - à di) taz). Ich betrachte sodann das Werth-System Lan = SO NEA EE SA ee SO oo 0 SV und finde durch Einführung zweier zweckmässigen Constanten, b, und 5, Ale ar = An = 9 EA >, en D art u. SW. Vermöge dieser Betrachtungen giebt Theorem III das folgende Corallar. Corallar. Sind A, f... Af durch Relationen der Form. (AA Why ARR os åk RER PASS verbunden, so giebt es jedenfalls ein Werth-System a, das Ax @ = a, ai” giebt. Es giebt ferner ein von 24% unabhängiges Werth-System x, das Ay ai = by u + br) giebt. Es giebt ferner ein von a und x) unabhän- giges Werth-System a”, das År 0) = op Hi + og ar Cen BO giebt u. s. w. 1e Sophus Lie. 8 4. Sätze über beliebige Gruppen. Aus den vorangehenden Sätzen über lineare Gruppen ist es nun leicht wichtige Sätze über beliebige Gruppen von Be- rührungs-Transformationen herzuleiten. 9. Seien 7, H,...H, die inf. Transformationen einer Gruppe von Berührungs-Transformationen: (A, Ai) = Sox Hh. Ich bilde die r Ausdrücke d A, f= 2 (3 a; Ciks) å a,” die bekanntlich (Bd. I pg. 191) durch die Relationen A; (Ax (f)) — Ax (Ai (f)) = 2 os As f verbunden sind. Jetzt setze ich voraus, dass cixs immer verschwindet, wenn s >i oder s>k ist. Folglich kann ich das Corallar des vor- angehenden Paragraphs anwenden. Es giebt jedenfalls ein Werth-System a;0, das AT a; 0 = Ak a,” giebt. Ferner giebt es jedenfalls ein von a;° unabhängiges Werth-System a;, das Ay az) = by a) + bre a; giebt u. Ss. w. Ich setze a Hj +a, Hut... to ERS RE und bilde den Ausdruck (Hi H,) = = ai”) (Hx Hj) =— Da) 3 ex, As. Nun aber ist Theorie der Transformations-Gruppen. 113 ZE Cixs ai = Ay (as) = ax a also kommt (Hr K,)= = a, > a, H, = — ax Kj. Setzt man andererseits a, H +a,V H, +...+a0H=K,, so findet man durch ganz analoge Betrachtungen, dass (K, Hi) = by IK 9 Dr IK ist. Ferner, wenn man setzt a,? H, +a, H,+...+4 H.= K,, kommt (K, Hy) = Cy K, +02 K, + Ck3 K, u. s. w. Dies giebt das folgende wichtige Theorem Theorem IV. Sind H,...H, die inf. Pransforma- tionen einer Gruppe und bestehen dabei Relationen der Form (EH ENE EN Hol. m so giebt es immer r unabhängige inf. Transformatio- nen der Gruppe: K,...K,, deren Relationen die ein- fache Form (KR) = u RE besitzen. 10. Seien H,... Hm... H, wie soeben die inf. Trans- formationen einer Gruppe, und es sei auch jetzt (HH; +) =A, H, SF PES SEL es Ich setze dabei voraus, dass (4,A,) sich jedesmal durch H,...H, ausdrückt, wenn à nicht grösser als m ist; alsdann gilt eo ipso Theorem IV, und zwar kann man dabei immer K,... Km als lineare Funktionen von H, ... Hs wählen. Um dies zu beweisen setze ich wie früher Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 1 H. 8 114 tale Sophus Lie. und bilde die Ausdrücke d Ay f= 3 (2 ene a) À. Ich bemerke, dass die Coefficienten der Grössen ar Ke ah ; dan+ 1 da, nur Am +1+++ 0 enthalten. Setze ich jetzt in den Ax/ am +1 =0...a,=0, und nenne die hervorgehenden Ausdrücke B, f...B.f, so erkennt man, dass die 5b, f eine lineare Gruppe bilden, die mit derjenigen der A, / gleichzusammengesetzt ist. Folglich giebt es ein Werth-System a,...am%, das die Gleichungen By ai" = br ai) erfüllt; ferner giebt es ein von a: unabhängiges Werth-Sy- stem a;, das die Gleichungen By ai” = op A + og ai) erfüllt u. s. w. Setzt man nun a) Hj +... + am) Ay = Ky a Hj+...+0n0 Hn = Ke so erkennt man wie: bei dem Beweise des vorangehenden Theorems, dass (Kı Ay) = by Kg (Ko Hi) = om Ky + org Ka Zusatz zu Theorem 4. Sind die inf. Transformationen Hj... Hu... H, der Bedingung unterworfen, dass jedes (Hm —i Hy) sich linear durch Hj... H, ausdrückt, so können Ky... Ky immer als lineare Funktionen von Hj... Hm gewählt werden. 11. Sei jetzt gegeben die Gruppe HM, nh... Hy wo (EEE NE ist, und lass mich voraussetzen, dass diese Gruppe in einer Theorie der Transformations-Gruppen. 113 r-gliedrigen Gruppe Z;... Hy Km+ı... K, enthalten ist. Ich werde zeigen, dass die r-gliedrige Gruppe eine (m + 1)-gliedrige Untergruppe enthält, die wiederum die vorgelegte m-gliedrige Gruppe umfasst. å Es sei (A; Hy) = 3 Ciks A, (H K) = 3 Cijs H, + 3 dijs Ks. Ich bilde die Ausdrücke a > d 7 > d Ax f= = (2 Ckis di + 2 Cxjs fi) Hr = en dis Pag: wo (Ag Ax) = 3 Cgxs As. Setze ich nun af Bi f= 3(3 dx BP) — 5 Kt 2 (2 Ai) gg, so bilden die B, f eine lineare Gruppe, die mit derjenigen der A, f gleichzusammengesetzt ist. . Daher giebt es jeden- falls ein Werth-System 6n4 9... 6:, das die Gleichungen By Bi) = dr. Bi” erfüllt. Ich setze Bm +10 Kniit...+ HO R=-G und bilde den Ausdruck (G Hi) = 3 6" (K; Hi), J woraus (G Hi) zo > Bi? (= Gjks VET» + > dixs Ks). j 8 8 Nun aber ist 2 Bi) dixs = — By Bs") = — by Bs", Å j also kommt (G Hi) = = ps H, Ar by ps!) K; = 3p; H, + bx G. SE 116 Sophus Lie. Hiermit ist nachgewiesen, dass Hj... H, G eine (r+ 1)-glie- drige Gruppe bilden. Also Theorem V. Sei Hi... Hn eine Gruppe und sei (HW, Hi4x)=4, HW, +...+ AH. Ist diese Gruppein einer (m + p)-gliedrigen Gruppe enthalten, so giebt es im- mer eine (m+1)-gliedrige Gruppe, die die m-glie- drige Gruppe enthält, und dabei in der (m + p)-glie- drigen Gruppe enthalten ist. Dieses letzte Theorem, das in dieser Abhandlung nicht benutzt wird, wurde bei meiner ursprünglichen Bestimmung von allen Gruppen einer Ebene fast bei jedem Schritte ange- wandt. 8 5. Ein Fundamental-Satz über Gruppen von Punkt- Transformationen. In meiner zweiten Abhandlung über Transformations- Gruppen stellte und erledigte ich die Frage, wenn zwei r-glie- drige Gruppen durch eine Berührungs-Transformation sich in einander überführen liessen. Es ist schwieriger zu entschei- den, ob zwei r-gliedrige Gruppen von Punkt-Transformationen sich in einander umwandeln lassen. Diese letzte Frage beabsich- tige ich eingehend in diesem Paragraph zu behandeln. Dabei mu.s ich bemerken, dass diese Untersuchung nicht wesentlich in dieser Abhandlung verwerthet wird, während sie allerdings an und für sich ein bedeutendes Interesse darbietet. 12. Seien vorgelegt zwei r-gliedrige Gruppen von Punkt- Transformationen zwischen je v Variabeln BORN BGEA) und a Soll es möglich sein, diese Gruppen in einander durch eine Theorie der Transformations-Gruppen. 117 Punkt-Transformation überzuführen, so muss eine solche Um- wandlung zunächst überhaupt durch Berührungs-Transformation möglich sein. Lass und daher voraussetzen, dass es eine Berührungs-Transformation (oder vielleicht mehrere solche) giebt, die die Gleichungen EB NUN Bin: erfüllt. Ich werde untersuchen, ob es möglich ist, durch eine Punkt-Transformation dieselben Gleichungen B, f= Bx'f zu befriedigen. Die Gleichungen a? Bi Os. Bf 0 sind, aufgefasst als lineare partielle Differential-Gleichungen, im Allgemeinen nicht unabhingig. Lass mich voraussetzen, dass die n ersten Gleichungen 1 O2 0 unabhängig sind, während die übrigen B, +: f= 0 algebraische _Consequenzen von ihnen sind, anders ausgesprochen, dass Identitäten der Form DD UV) Bf bon 1 oma bestehen. Können dann die Gleichungen B, f= By’ f vermöge einer Punkt-Transformation erfüllt werden, so müssen zunächst die n Gleichungen Bo unabhängig sein; während die übrigen B'n+:f=0 algebraische Consequenzen von ihnen sind. Es ist nun sehr merkwürdig, dass diese nothwendigen For- derungen zugleich hinreichend sind, so dass die betreffende Transformation möglich ist, wenn die genannten Forderungen erfüllt sind. Man kann sogar diesen Forderungen eine an- scheinend noch einfachere Form geben, indem es genügt zu wissen, dass die r-gliedrigen Gleichungs-Systeme B, f = 0 gleich- viele unabhängige Gleichungen enthalten. 113 Sophus Lie. 13. Lass uns also voraussetzen, einerseits dass die Gruppe Bf... B.f durch Berührungs-Transformation in die Gruppe B;‘f...B;'f sich überführen lässt, andererseits dass die Gleichungs-Systeme B; f=0 und B,'f=0 gleichviele und zwar n unabhängige Gleichungen enthalten. Alsdann bilden diese Gleichungs-Systeme zwei vollstän- dige Systeme mit je v-n Lösungen, die bezüglich An+ 1+... LV und Un +1 ete ar’ heissen mögen. Ich führe neue unabhängige Variabeln ein etwa I] + En Unity -.. Uv ær eee TA Tan +] ete dv”; hierdurch erhalten die B,f und B,‘f wegen der Relationen Bi dnii= 0, Våre Vy SE = (0 die Form By f= Vig ON amie ge ar Ve Pos Bx' f= Yıı' pr aa Gar Pate wo die Y Funktionen der v Grössen x oder æ' sind. Ich zeige zunächst, dass es immer möglich ist, solche Constanten A zu wählen, dass wenn ich setze Aa By f +... + Aw Br f= Ax f, Ar Br comen) Aa (ME 200000) dss dann sowohl die x Gleichungen AE wie die entsprechenden AP Oe aa ant if =O unabhängig sind. Man fasse in der That die Ax; als unbestimmte Parameter auf; alsdann sind die n Gleichungen A, f=0 un- abhängig, wenn nicht zufälligerweise die A durch gewisse nicht identische Relationen Theorie der Transformations-Gruppen. 119 OA) =0, verknüpft sind. Dementsprechend sind die n Gleichungen A,‘ f=0 unabhängig, wenn nicht gewisse Relationen Q/ (A) = 0 erfüllt sind. Wählt man daher, was immer möglich ist, die A derart, dass sie weder die © = 0 noch die Q' = 0 befriedigen, so sind sowohl die A, f=0, wie die Ax'/=0 unabhängig. 14. Seien A BANN KG å PN] VAG AIR ARLE MA) Ay f= Akı pi Aie 00 nr Am Di Ax'f = Xi! pr" oda Akn Das unabhängige Transformationen unserer Gruppen, und dabei entsprechen sich A, und 4,'f durch die bekannte Berüh- rungs-Transformation. Wegen der Form der Ax f und A,‘ f bestehen Relationen der Form Aue = D A fit Øen An f | (1) Ae or Af... + Din Ant f wo die gyi Funktionen von a... a, und ebenso die D'ki Funk- tionen von æ‘...æ' sind. Nun ist vermöge unserer Beriih- rungs-Transformation À; f= Au daher kommt durch zweifache Anwendung der letztgeschriebe- nen Relationen (Pr — Pk) Af +... + (kn — Pra‘) Anf=0, und da AT Oe ic A, f= O unabhängige Gleichungen sind, müssen die Grössen æj...ær und æ'...æy' vermöge der Be- rührungs-Transformation durch die Relationen Pri = Pri‘ verhunden sein. Giebt es nun v Grössen qui, die unabhängig 120 Sophus Lie. sind, so definiren diese Relationen eine Punkt-Transformation, die eo ipso eben die bekannte Berührungs-Transformation ist. In diesem Falle ist also die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar einleuchtend. Im Allgemeinen giebt es jedoch nicht soviele wie y Grös- sen x, die unabhängig sind, sondern nur etwa y solche, die @12... Pu heissen mögen. Dabei ist es denkbar, dass gewisse Funktionen der g: De (ons so), oe sich als Funktionen von æ1+1.-.ær ausdrücken lassen, und also Lösungen des vollständigen Systems 4;f=0 sind: Ara) 0: Da nun vermöge der bekannten Berührungs-Transformation Ai f= Ai f, Px = px ist, und also zugleich A; px = Ai’ Px’, so folgt, dass auch die Grössen by (ph Pn...) =r’, Vr 1... a+: unabhängige Funktionen von a,+;'...av‘ sind. Unsere Be- rührungs-Transformation giebt also jedenfalls y — À Relatio- nen zwischen xn+1...æv und 2@',...@'n41 nehmlich Pr=Wr"...VA+1= PALL Ohnedies kennen wir w +A—7 oder sage ich q Relationen, die vermöge unserer Berührungs-Transformation stattfinden, und wir können annehmen, dass Pi = Pr... Pa Pa diese Relationen sind. Ich führe neue unabhängige Variabeln z ein, indem ich setze Zt Pq =i, 2441 = Xg+1 --- 2A, ar, Ci SEKS 4 Zq—i = Pa—ir at = %a41 +++ 2A = MA, AA 4 = Way; Theorie der Transformations-Gruppen. 121 Hierdurch kommt df din‘ Hier sind, behaupte ich, die Grössen 4, 2, i Funktionen von 21. .-2g24+1--.2v; ferner sind die A,‘ z‘,_; dieselben Funk- tionen von 2,"...24/2'2+1-+-27" Aus (1) folgt nebmlich (Ås An + x) re Pri (A; Ai) + = Ås (px). Aif, woraus, indem man berücksichtigt einerseits, dass die A eine Transformations-Gruppe bilden, andererseits dass die An+x gleich 3 px; Ai sind, folgt, dass Relationen der Form = { As (Pxi) — Oxis (D, Po -- N A; = 0 bestehen. Und da A, f=0...A,f=0 unabhängige Gleichun- gen sind, folgt 2 As (Pxi) = Oxis (Pi Po...) Eine analoge Ueberlegung giebt As! (Qui) = Onis (D: Po" ...). Also können wir setzen, einerseits FRAME Ara i, 66 oy Aho ce) andererseits A,’ 2q—i= De (4, OR 2q ZA+1 x .) = Lx, 4 un so dass, die A, f und 4,'f in den neuen Variabeln die fol- sende Form annehmen å d A > Zi gi (25, oe ba - ANAL 272) yf = ZE Giza dq +i i J ‘ 8 d > Z a EE ae. GER Zi å = Ich setze 122 Sophus Lie. d : d 3 ZA eo = 1B if 2 Ly +i oe Cf d 3 Za-i d 2 : = BY, 2Lq4i 7, Tex Cf sodass Ar f= By fr f Ay! f = By f + af. Es ist (A Ay) = (Bi By) + (Bi Oe) +(G Br) +(G Ck) (Aj! Ax‘) = (Bi By‘) + (Bi Ci’) + (Ci By) + (Ci 09 ferner ist (A; Ax) = = Ws a oq) CA 50 . 27) AR: diese Gleichung zerlegt sich, wie man leicht einsieht, in die beiden (B; By) = ZwB, (2) (B; C;) Ar (Ci By) AF (C; Cx) = > Ws C, (3) Dementsprechend, wenn man setzt OPM ZEN ee a) = Ds: kommt (Bi! By’) = Zw, Bs! (4) (BY OM) + (Cl Be (CC Sl On (5) Diese Formeln werden uns im Folgenden zu Nutze kommen. 15. Ich setze — Za+i (21.202441... ZA 2241...) = Va+i und df mSv Tr 2, 2 Varig und bilde sodann das n-gliedrige Gleichungs-System Bf + Cf + Dif-0 = Exf(k=1...n) in den Variabeln 2, ...24 24." .27 2050 RANCE Theorie der Transformations-Gruppen. 123 haupte, dass die Ex f = 0 ein vollständiges System bilden. Es ist nehmlich (Ei Ex) = (B; By) + (Bi Cx) + (Bi Dx) + (Ci By) + (Ci Ch) + (Ci Di) + (D; By) + (D; Ci) + (Di Dx) ferner ist wegen (2) (3) (4) (5) (B; Bx) = 3 w, B, (B; Ch) + (Ci By) + (Oi Cx) = Zw, OG, (Bi; Di) + (D; By) + (Di Dx)= 3 ws D. (Ci Dx) = 0 (D; Ci) = 0 also kommt (E; Ex) = Zw, (B, + C; + Ds) = We ØL womit wirklich nachgewiesen ist, dass die Æx f=0 ein voll- ständiges System bilden. Sie haben ausser 2, 4 1..2» m+1ı..2v’ noch n — g Lösungen #,...# 4 Und da die A, f=0 sich hinsichtlich gd. d We, dad auflösen lassen, indem die 4;/=0 eine solche Auflösung ge- statten, so sind die % unabhängig hinsichtlich zu 2,44’... zn‘. Daher geben die Gleichungen — Vi = a; = Const. durch Auflösung Ana = j'a det (za 060 2q inc :) (EEE Å 0 0) Ich behaupte, dass diese Gleichungen zusammen mit Lai = Sq i a ab = sta die Ay‘ f in die Ax f transformiren. 124 Sophus Lie. Es ist nehmlich | df rd Ay f= 3 Ax £a. da + 3 Ax 4q+å da... ferner ist Az eh cr So ono 22) = Ze}; Soa Pole o do FD) Ze Es handelt sich darum die Coefficienten pu A Clans Genet Ax a+ = Zu a ++ Zin gg (6) zu berechnen. Aus den Gleichungen dW d } å MER 1+ Me PTI do ale = 0 folgt RB REED Va-q dza+i ZZ Se Zu en | in = m 2k | Vi PE Wa—q | øq+1 Zu Andererseits ist dv; dai, d'y: Zn CR Ace Bel, also folgt, indem man à die Werthe 1...n —g giebt, und darnach die Grössen Zx,q+2' +++ Z'x,» eliminirt, Keinen a 0: rd eu ann a 1 0 n q | 1 n q Zu |, EZ or, ; |=0 (8) 141 Zq+2 En |}2 q+ Zn Also tolgt durch Berücksichtigung von (6) (7) (8) A, Zq så = Zx, qe und überhaupt Ax Bq+i = Zig +i woraus durch Einsetzung Theorie der Transformations-Gruppen. 125 a 2 d A, f= 3 an met = Zu, tn q—i q +i oder Ay f = Ax' f, womit die verlangte Transformation geleistet ist. Also Theorem VI. Sind A,f...Aif und A,'f... A, f zwei r-gliedrige Gruppen von Punkt-Transformationen, - die durch Berührungs- Transformation in einander übergehen können, und enthalten dabei ‘die Glei- chungs-Systeme Axf=0 und A;'f=0 gleichviele unab- hängige Gleichungen, so giebt es immer eine Punkt- Transformation, die die betreffende Ueberführung leistet. Hier füge ich zwei wichtige Bemerkungen hinzu. Es wäre möglich gewesen von der Forderung A, f= Ax'f ausge- hend durch eine analytische Methode die allgemeinste Trans- formation zu bestimmen, welche diese Forderung erfüllt. Ebenso kann man immer entschieden, ob gewisse vorgelegte Ausdrücke A, f (die keine Transformations-Gruppe bilden) sich in gewisse andere Ausdrücke 4,'f überführen lassen; und wenn dies möglich ist, kann man die allgemeinste Trans- formation angeben, die eine solche Umwandlung leistet. Abschnitt IV. Alle Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt- — Mannigfaltigkeit. Ich wende mich nun zur Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit. Dabei bemerke ich schon hier, dass die Entwickelungen der beiden ersten Paragraphen sich ohne Schwierigkeit auf beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten ausdehnen lassen. 126 | Sophus Lie. 8 6. Infinitesimale Transformationen von verschiedener Ordnung. In den Gleichungen einer Transformations-Gruppe HO Med 00 Ui Un Fe ale) sind die ji synektische Funktionen innerhalb eines gewissen Bereiches von den betreffenden Argumenten. Die / können daher immer als Reihen-Entwickelungen betrachtet werden, À AE PSA So 5 Gin”). Jede Gruppe, die wir betrachten, enthält eine identische Trans- ‘formation, und wir können annehmen, dass die Parameter- Werthe a’ eben die identische Transformation bestimmen. Geben wir nun den ax Werthe, die von den a," sehr wenig verschieden sind, so erhalten wir eine Transformation, ver- möge deren die x; sehr kleine Ineremente erhalten. 16. Sei jetz n=2 Di =H, Lo = Ys Ps =P, Poe =. Unsere infinitesimale Transformation hat die Form 60 -6t|A, +A, 2 HB, y+A,2°+2B, ay+ Coy’? H.N dy OU Oy a, ab Had IDE ce indem x, und y, gleich Null angenommen sind. Sind A, und a, nicht beide Null, sage ich, dass unsere inf. Transfor- mation von nullter Ordnung in der Umgebung von æ=0, y=0 ist. Verschwinden dagegen A, und a,, während jeden- falls eine unter den Grössen A, B, a, 6, von Null verschieden ist, sage ich, dass die inf. Transformation von erster Ordnung ist u. S. W. Ist r>2, so enthält die Gruppe jedenfalls » — 2 unab- hängige inf. Transformationen, die in der Umgebung von æ = 0 y=0 von der ersten Ordnung sind. Ist r> 6, so enthält die Gruppe jedenfalls r — 6 unabhängige inf. Transformationen, die in der Umgebung von æ=0 y=0 von der zweiten Ord- Theorie der Transformations-Gruppen. 127 nung sind u.s.w. Die Form einer solchen Transformation ist 62 = (A, x’ + 2B, 2y+ 0,9" +...) ot (a, 2.4 2b, zur Os OF OG Ist r> 12 so enthält die Gruppe jedenfalls r — 12 inf. Trans- formationen, die in der Umgebung von æ=0, y=0 von der dritten Ordnung sind u. s. w. Die Form derselben ist ör= dt DZ m dpi +... OW) O15 >) (08 SP Sr acc oder nach unserer gewöhnlichen Bezeichnungsweise 1 OVS) > aa PO GS fo UP OT rec Dementsprechend bezeichnen wir die inf. Transformationen, die in der Umgebung von «=0 y=0 von der st Ordnung sind, mit LG) = jp 23 am å UP CET OF ee bo 17. Wir ordnen die inf. Transformationen unserer Gruppe folgendermassen zusammen. _Lass mich voraussetzen, dass es keine inf. Transformation giebt, deren Ordnung in der Umge- bung von x=0, y = 0 grösser als s ist, während die Gruppe gewisse Transformationen von der st Ordnung ED TER enthält. Es seien ferner HV USE die von den vorangehenden unabhängigen inf. Transformatio- nen von der (s.— 7)! Ordnung. Ebenso seien HIM GE die von den vorangehenden unabhängigen inf. Transforma- tionen von der (s— 2)!“ Ordnung u. s. w. Und seien end- . lich H,0 H,0 die inf. Transformationen von der nullten Ordnung. Es ist leicht wichtige Beziehungen zwischen diesen inf. 128 Sophus Lie. Transformationen von vorn anzugeben. Dieselben beruhen auf den Satz. | Satz 7. Sind H und K inf. Tr insformationen bezüglich von der Ordnung h und k in der Umgebung von «=0 y= 0, so ist (HK) jedenfalls von der Ordnung h+k— 1. Durch Bildung von (HK) erhält man nehmlich einen Ausdruck, deren Glieder von der (h +k — 1)" oder noch hö- heren Ordnung sind, womit der Beweis geführt ist. Ich setze jetzt voraus, dass s grösser als 1 ist. Folglich - ist jeder Ausdruck (HS HO) jedenfalls von der Ordnung 25 —/, das heisst von höherer Ordnung als s. Nun aber enthält unsere Gruppe nach den gemachten Voraussetzungen keine inf. Transformation, deren Ordnung grösser als s ist. Also verschwinden sämmtliche Ausdrücke (HW H,‘®) identisch. Anders ausgesprochen Satz 8. Ist s grösser als 1, so bilden die inf. Transfor- mationen der s'” Ordnung ein Involutions-System. Ist o irgend eine Zahl, kleiner als s, so bilden die inf. Transformationen OBER EEE). immer eine Gruppe. Denn sind K und @ zwei beliebige un- ter diesen Transformationen, so ist der Ausdruck (K G) jeden- falls von der Ordnung 6, und drückt sich also immer linear durch die aufgestellten Transformationen aus. Dies giebt: Satz 9. Alle inf. Transformationen einer Gruppe, deren Ordnung in der Umgebung von æ = x, y = y, grösser als eine beliebig gegebene Zahl ist, bilden wiederum eine Gruppe. 18. Lass mich voraussetzen, dass 6 grösser als list, und lass mich setzen Archiv tor Mathematik og Naturvidenskab BL. Geologisk Profil fra Saltdalen til Pitea opgaaet 1877 ved harl Pettersen. R RS à RS aS råd à N N ee See N N À N à & LE S iS 5 S À : SaaS a À R > me SS N D : ny tS > by Ÿ 'N R Ri N Sn Se ns D R Ÿ N AG À : SR SEES N I I Da IR S 5 N SON å SSK I N > D SS R Å D SN S Re RI NS < = = = A DS > 3 x S à] IS; © A D | | | IS | | | | | RES FR VE | | VS | | Å Co) NI S Ÿ = Fornalvan 1350" Havlinien Diabas. Gru ndfjeldet Dividals - gruppen. Tromsö Glimmerskifer -Gruppe. (Laurentisk) (kambrisk el. silurisk) (kambrisk el. stlurisk) 7 m my nes A) cuis hig sete cn anne Å nen ng ee ee fa Atom Sr m Parmann ee eel Lae AR 2 HERE >, Tree Se Xe x Å = ns or Cs a Eee band | SE = ee mn nen en ea N EN San Ts DES . 3 ne AEE å ; £ é ~ re SRE SUS = Sars. eva raue Theorie der Transformations-Gruppen. 129 HO-K,HO-=K,...HO-K, HG). RE 6 DER, ga 06+D- pg, , Her LE PRE VEN SI Myte. H,9 = Kp. Bildet man nun die Ausdrücke (X; Ki+.), so findet man, dass sie sich immer folgendermassen ausdrücken (K Ki+x) = Åp Kp AF 060057 san Kj 41. Lässt man dagegen o=1 sein, so bleibt dies nicht mehr richtig. Wir werden voraussetzen, dass 6 =1 ist, und dass dabei die Gruppe nur drei inf. Transformationen von der ersten Ordnung enthält, und zwar von der Form Rap K,=Yyq +... KOS a a In diesem Falle bestehen, wie man unmittelbar verificirt, fort- während Relationen der Form (Ki Kj +x) = Ap Ko 600 år Ai + Keen. In Folge dessen könnte man Theorem IV anwenden. Be- merkt, man dabei dass die (4% 79) jedenfalls von der st” Ordnung sind, so erhält man, indem man Zusatz zu Theorem IV zu Hülfe nimmt, den Satz Satz 10. Unter den gemachten Voraussetzungen enthält unsere Gruppe immer eine inf. Transformation von der st Ordnung (H”, die zu allen Ki in der Beziehung (49 K) = bi HV steht. Enthielte die vorgelegte Gruppe nur zwei inf. Transfor- mation erster Ordnung und zwar von der Form Arehiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 9 130 Sophus Lie. Kj 20 — varer K, = GOR) AP os > so bliebe der eben aufgestellte Satz noch gültig. 87 Gruppen, bei denen keine Curven-Schaar invariant bleibt. Um nicht zu weitlaüfig zu werden, erlaube ich mich in der folgenden Nummer das Räsonnement theilweise in geometri- scher Terminologie zu. führen. 19. Ich betrachte überhaupt alle Gruppen von Punkt- Transformationen, bei denen keine Curven-Schaar p(xy)=a invariant bleibt. Analytisch ausgesprochen: Sind 4,/, 4, f ... År f die infinitesimalen Transformationen der Gruppe, so setze ich voraus, dass es keine Gleichung Bf-Ep+ng=0 giebt, die zu den A, / in solcher Beziehung steht, dass r Glei- chungen der Form Ax (B (f)) — B (Ax (71) = px (wy) Bf bestehen. Hieraus folgt nun zunächst, dass es unter den Gleichungen Axf=0 zwei giebt, die unabhängig sind. Beständen nehmlich Relationen der Form Ax f = Vi (vy). À; Å so kåme Ax (CA (N) Fn A, (Ax (7)) NT 4] (Wx) ° ALS fs welche Gleichung mit unseren Voraussetzungen im Wider- spruche stände. -- Geometrisch ausgesprochen heisst dies, dass eine Gruppe, bei der keine Curven-Schaar invariant bleibt, einen beliebig gewählen Punkt nicht nur nach einer Curve, Theorie der Transformations-Gruppen. 131 sondern in der ganzen Ebene herumführen muss. Was aller- dings evident ist. Verlegt man nun Origo (x = 0 y = 0) nach einem arbiträren Punkt, so giebt es eo ipso zwei inf. Transformationen, die in der Umgebung von (£=0 y =0) von der nullten Ordnung sind. Seien | JEAN EDR Dee TOUS Genet diese beiden Transformationen. Der Inbegriff aller inf. Transformationen, die in der Um- sebung von æ =0 y =0 von der ersten oder höheren Ordnung sind, lassen den Punkt æ =0 y =0 seine Lage behalten. Da- gegen vertauschen sie die durch diesen Punkt hindurchge- henden Richtungen unter sich. Hierbei ist zu bemerken, dass die inf. Transformationen von der zweiten und höheren Ordnung jene Richtungen invariant lassen. Es giebt ferner eine inf. Transformation erster Ordnung, welche ebenso diese Richtungen invariant lässt; dies ist nehmlich der Fall mit Æp + Yq +... Die besprochenen Richtungen bilden ein lineares Gebiet, das bei den inf. Transformationen erster Ordnung linear transformirt wird. Hierbei sind die folgenden Fälle denkbar. Das Gebiet wird nullgliedrig eingliedrig, zweigliedrig oder drei- gliedrig transformirt. In den drei ersten ‚Fällen giebt es eine durch den Punkt (x =O y = 0) hindurchgehende invariante Richtung. Und da Origo ein arbiträrer Punkt der Ebene ist, so existirt es in den drei ersten Fällen eine bei der Gruppe invariante Gleichung Ep+nq=0 was unserer Voraussetzung widerspricht. Folglich muss das Giebt der durch Origo gehenden Richtungen dreigliedrig trans- formirt werden, was darauf hinsauskommt, dass die Gruppe jedenfalls drei inf. Transformationen erster Ordnung enthält. Giebt es nur drei, so darf die Transformation æp +yq+... 9* 132 Sophus Lie. nicht in der Gruppe enthalten sein, und dann sind unsere drei inf. Transformationen von der Form age... æp—yg+... (A) YP +... Oder auch enthält unsere Gruppe vier inf. Transformationen erster Ordnung, die dann eo ipso die Form 20 Hen ya +... (B) IP DE ON VIDER besitzen. Aus dem Vorangehenden fliesst u. A. auch der Satz Satz 11. Lässt eine vorgelegte Gruppe keine Curven-Schaar p(ay)= a invariant, so enthält die Gruppe jedenfalls fünf inf. Transformationen. Unter denselben giebt es in der Umge- bung eines beliebigen Punkts zwei die von nullter Ordnung sind, und entweder drei (A) oder vier (B) die von erster Ordnung sind. 20. Lass uns voraussetzen, dass unsere Gruppe die Form besitzt p +. qt... H "V= QD AP bie c A," = ap—yqt... JE ODE GH) ree HO = p = air y on To > ee ee und sei s die grüsste Ordnung einer inf. Transformation. Ich bemerke, dass die Transformationen å OT ROR H® eine Gruppe bilden, auf die Satz 10 angewandt werden kann. In Folge dessen können wir annehmen, dassRelationen der Form Theorie der Transformations-Gruppen. 133 (H,® He) =) Ho (1, HY) = p H® bestehen. Die letzte giebt SIE, 3 (s 5 piætlysi-1l— Zaæy=p>piælysi. Indem man nun die Jacobische Identität auf 7," H,” und H anwendet, erkennt man leicht, dass Pee OO GE I a) so dass Sor = Ph GP Also kommt = (s — 1) fi ai t+1ys—'-1— a, xs =0 woraus Bo = Pi EGEDE = On, und EIN) Orn GE Dee (as TE Oe Bar) OP boc Um die Grössen as und £, zu bestimmen, bilden wir die Glei- chung (ap vare BOEN HR woraus (s —1— A)a,=0 (s + 1—A) ßs =0 Diese Gleichungen zeigen, dass a, und £, nicht gleichzeitig von Null verschieden sein können. Sei 6, verschieden von Null, und also a,=0. Alsdann können wir setzen OSCAR TE 9 Die inf. Transformation (yp+...,æg+...) oder ausgeführt pas sign. 134 | Sophus Lie. = gehört unserer Gruppe. Folglich lehrt Satz 8, dass der Aus- druck (gr...,@p—- se !yg+t...)= — 2320729 identisch verschwindet; und dass also s=0 ist. Da indess dies mit unseren Voraussetzungen im Widerspruche steht, so muss ß; = 0 sein. Zurück steht somit nur die Hypothese JEL GR mg de ng, Da unsere Gruppe eine Transformation g +... enthält, so en- thält sich auch eine der Form (GE Dr Te VITE = Pa * Ges und zugleich die Transformation GÉNIE ap EG SE 55) oder ausgeführt (2 pee s) x? q Wäre nun s > 2, und also zugleich 2s — 2 > s, so enthielte unsere Gruppe eine inf. Transformation, deren Ordnung grös- ser als s wäre. Also muss die Zahl s, die auch nicht kleiner als 2 sein darf, eben gleich 2 sein. Man verbinde nun die gefundene Transformation ND age mit p+.... Hierdurch ergiebt sich, dass unsere Gruppe auch eine Transformation der Form ERD UE enthält, das heisst, dass sie vier inf. Transformationen erster Ordnung enthält, so dass die Voraussetzungen dieser Nummer nie eintreten, Indem man die Voraussetzungen in Uebereinstimmung mit dem Vorangehenden umändert, ergiebt sich durch ein ganz identisches Räsonnement das folgende Theorem Theorem VII. Enthält eine Gruppe, die keine Theorie der Transformations-Gruppen. 155 Curven-Schaar p=a invariant lässt, in der Umge- bung eines beliebig gewählten Punkts inf. Transfor- mationen, deren Ordnung s grösser als 1 ist, so muss s gleich 2 sein. Es giebt vier inf. Transformationen erster Ordnung. 21. Nach den vorangehenden Entwickelungen giebt es dreierlei Gruppen, die keine Curven-Schaar invariant lassen. Erstens fünfgliedrige Gruppen, zweitens sechsgliedrige Grup- pen, drittens Gruppen mit mehr als sechs Glieder. Die bei- den ersten Arten enthalten keine inf. Transformation, deren Ordung grösser als 1 ist. Wir werden zeigen, dass es nur eine Gruppe von jeder Art giebt. Enthält eie Gruppe mehr als sechs Glieder, so muss sie nach den Entwickelungen der vorangehenden Nummer, indem wir zugleich berücksichtigen, dass pr DEE ED ist, jedenfalls die folgenden Transformationen enthalten: Kr, Pal. RE Gs VAS = pie K, = aq +... K,; = yp +... Kg UG) ar 0 0 IE GDS BOG oc. KE yp = D'Or one Es fragt sich, ob sie noch weitere inf. Transformationen, die dann nach Theorem VII von zweiter Ordaung sind, K=-8p+ng enthalten kann. Um diese Frage zu entscheiden, beweisen wir zuerst den folgenden Satz, den wir auch später brauchen werden 136 Sophus Lie. Satz 12. Liegen die Transformationen A, fA, fA, fy wo Aif= &ip +9 paarweise in Involution, und sind dabei A, f=0 und À, f=0 unabhängige Gleichungen, so ist A, gleich der Summe von A, f und A, f multiplieirt mit je einer Constante. Beweis. Durch Einführung passender unabhängigen Va- riabeln æ' und y‘ kann man die A, auf die folgende Form bringen | A,f=p', A, f-g As, f=&p +79, und dabei ist den des Eh Cp å da dy” "dæ dy. ? so dass A, f=Ap'+ Bq! wird, womit der Beweis geführt ist Da nun X (Satz 8) sowohl mit X, wie mit X, in Invo- lution liegen müsste, und also die Form K A RE SE DIR, besässe, so folgt, dass unsere Gruppe nicht mehr als 8 inf. Transformationen enthalten kann. Wir werden zeigen, dass ‘sie in die allgemeine lineare umgewandelt werden kann. is ist von vorn möglich diejenigen Relationen anzugeben, die zwischen X, K, K, K, und K, K, bestehen. Es ist in der That (K,K,)=0, (K,R,)=R, (K; K,) = K;, (K; Ky) =) u. 8. W. Man führe neue unabhängige Variabeln +‘ y‘ ein, und wähle dieselben derart, dass æp+æyg+...=æ"p+æ"y'g æyp+ vig+..=ayp'+y"g wird. Ich setze sodann Theorie der Transformations-Gruppen. 157 Ya ne Ude DATA QU und es handelt sich darum 3° und 7‘ zu bestimmen. Die zwischen K, K, und K, bestehenden Relationen geben (a? p + v! y' go E'p' pr n° q‘) =) æyp+ytd, Bi p'+n'q’)=0, und also lehrt Satz 12, dass E'p'+n'g- Al p+ayg)+B(x y'p +y" a), so dass K, as y' q' + Å (CH + Go Op q‘) u B(æ'y'p' + y? q') wird, oder, da die Constanten A und B offenbar gleich Null gesetzt werden können, kommt Ky = ved. In ganz aehnlicher Weise erkennt man, dass X, K, und K, in den neuen Variabeln bezüglich die Form erhalten 4 wp, x i y' p'. Zurück steht somit nur die Bestimmung von K, und K,. Hierzu bemerken wir, dass | Bee) IR HK MA BIK. (K, K,)- K,+CK,+ DK,, wo A, B, C, D gewisse Constanten sind. Wir setzen TE? I aE Wan den Se TR EEE Ie eds Ik, woraus (K,' K,)=2K,+K,+(A+4,) K, +(B+1,) K, (K,'K.)=- K,+r(C +A)K,+(D+ Ag) Ks. Setzt man daher SS > SO MESTE == JD), so kommt (K'K.)-2K,+K,, (K;°K;) = K;. Jetzt setze man 138 Sophus Lie. Re per Span, alsdann kommt (Etp'+n'qg", 2 p!+ 2" vg) =0, (E'p' +79, yp'+ 99) =0, so dass | S pity gd =0 gesetzt werden kann. Folglich wird IK =D In ganz analoger Weise ergiebt sich, dass K, «4 ist. Hiermit ist das folgende aüsserst merkwürdige Theorem erwiesen: Theorem IX. Lässt eine gegebene Transforma- tions-Gruppe keine Curven-Schaar p=a invariant, und besitzt sie dabei mehr als 6 Parameter, so en- thält sie acht infinitesimale Transformationen. Die- selben erhalten durch zweckmässigen Wahl der un- abhängigen Variabeln die Form Ps TPS YPs 69,09 apt ayq,cypty q Die erzeugte achtgliedrige Gruppe hat wie man un- mittelbar verificirt, die Form CHR SP UV se C ax + Byty’ 1 à a = Av + By+C at + By+y’ 4 das heisst man erhålt die allgemeine lineare (gebro- chene) Gruppe. Theorie der Transformations-Gruppen. 139 22. Die allgemeinste sechs-gliedrige Gruppe, die keine Cur- ven-Schaar invariant lässt, besitzt nach dem Vorangehenden die Form Kj mp une Hg. R,-agr. 2 R,=yp*... KE SUGER ep. Jetzt bilden X, K, K, K, (Satz 9) eine Gruppe, die durch zweckmässigen Wahl der Variabeln die Form wg, JP, YY, ap‘ annehmen kann. Zunächst kann man nehmlich die Glei- chungen Else oo = GA Gf WERE SØ SG befriedigen. Setzt man sodann oo, pr. findet man zur Bestimmung von 3 7 die Gleichungen = a’ ds Å dy' mi 4 dn Jr ER 4 v dy x Y ‚ds ‚as : i Tr = dy & = DEE ‚dan ‚dn i: & dæ” Y dy + Tf) CU die in allgemeinster Weise befriedigt werden, indem man setzt ed 5 == Y ate por 9 AVE MT PE is we? woraus Sophus Lie. 140 ge ‚„4\ (fs) 4 ee Um die Formeln zu vereinfachen, führen wir wieder neue Variabeln ein: a. = x bl _ a é + A Y ro Y a! 3 wodurch oc! q' = x"! q" x' p' 85% y' q' på ine ro AR I y" q" u u D “u Yp+...=Y Pp vs å ' Zur Bestimmung von der vierten Transformation xp+yg+...=&p"+nq" erhalten wir die folgenden Gleichungen 4 ds T dy" = 0 5 , an % dé de Er TC Fag = dy" —_ (B= 0, u dn u { a OR ARE de, Due 8s | dx" x" dy Ta 2 dans, ID dm gl dæ" ae dy En 0, welche zeigen, dass DEEP gt. Allan pa ya) D=0 Theorie der Transformations-Gruppen. 141 ist. Folglich erhalten die vier vorgelegten Transformationen die Form x" quo x" pa a Le te ge, OP Dies x"! De + y" q" wie behauptet wurde Zur Bestimmung von DER RD Le erhalten wir durch Anwendung der Operationen Dan 00 0 Noor VIDE oo. die folgende Gleichungen ae = = A= = oe az 14,0", u SE ØP Ebay, y” a ic Den Ue y" = — Y=e x"+e, y”, oF Se Ein Oe Die erste und dritte giebt durch Differentiation beziiglich hin- sichtlich y" und x" EX yr Re FAR dx" dy woraus X=Ax"+By"+ 0, sodann giebt die fünfte Gleichung 142 Sophus Lie. Y= Da" == Ey" Und da man A=-B=D=E-0, 0-1 setzen kann, folgt pre Ep Um endlich die letzte Transformation g +... zu bestimmen, setzen wir UD AE EE) ee (Damian woraus kesh = OF" Also Theorem &. Eine jede sechsgliedrige Gruppe, die keine Curven-Schaar p=a invariant lässt, kann durch zweckmässigen Wahl der unabhängigen Vari- abeln die Form Ps 9, XP, XG, YP, YF erhalten. Die endlichen Transformationen dieser Gruppe sind bestimmt durch die linearen Gleichungen a= Az + Byt+F y= Cx + Dy + E. 23. Die allgemeinste fünfgliedrige Gruppe die keine Curven- Schaar invariant lässt, besitzt nach dem Vorangehenden die Form Pi RS RE eg oe yp +... zp - Yg+t... Durch Einführung zweckmässiger Variabeln kann man, indem man wie soeben verfährt erreichen, dass CHERE SEAN (ARE Di: ypt+...=Y p Ted , 143 Theorie der Transformations-Gruppen. æp—ygr...=æp"—YG. Zur Bestimmung von | ga pg erhält man durch Anwendung der Operationen æg +... xp — yq +... die folgenden Relationen und d 2 d dy" y' x" + 8 y‘ ‚di v Up) 4074 PL u Een N ya , IX , AA Å vg ‘ ‘ Le ge N KN ET TOUS oder indem man setzt BO = ARP! PYM yr = V+hn+u Tv y und darnach über die Constanten À, uw, v passend verfügt, * die einfacheren Gleichungen , ax" ‘ 4 v dy' = f y 2 Sar AE D Dr nee dx" UA y 4 4 = 2 Ka 4 L 4 La © dy' Ve av ED hs da" y dy' in PE = VY > die in allgemeinster Weise befriedigt werden, indem man setzt X'=0, Y=K woraus GE Te 144 Sophus Lie. Nun ist 4 4‘ 4 D d (GES me) DP +30) und also ferner ist D pP +...,p+...)= (pt + 750s Kp’) 3 K D. = N qd» woraus folgt KD=0 oder, da K nicht verschwinden dart IDE, In den Variabeln æ'y' nehmen also die fünf infinitesimalen Transformationen die Form P,Q, 29, UP — YG, YP- Also ' Theorem XI. Alle fünfgliedrigen Gruppen, die keine Curven-Schaar invariant lassen, können durch Einführung zweckmässiger Variabeln die Form P> 4, &Q, xP — YW, YP erhalten. $ 8. Gruppen, die eine Curven-Schaar invariant lassen. Seien A,f... A,f die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe, welche die Curven-Schaar @ = a invariant lässt, alsdann drückt sich jedes A, als Funktion von p aus Ax p = ëx (D). Ich setze P=X Theorie der Transformations-Gruppen. 145 und folglich nehmen die A, /f die Form Ax f = Ex (æ) p + m (xy) Q. Die Relationen (Ai Ax) = 3 Ciks As geben d&x dé; Si Gin == Sk Te = 3 Cis Gans oder wenn wir setzen &x (x) p = Bu, wo die By f inf. Transformationen des Gebietes æ sind: (B; Bx) = > Ciks 1850 Folglich bilden die B, eine Gruppe, die sich durch passen- den Wahl der Grösse x bekanntlich in eine lineare Gruppe umwandeln lässt. | Es können nun vier Fälle eintreten jenachdem die Bif eine nullgliedrige, eingliedrige, zweigliedrige oder dreiglie- drige Gruppe bilden. Und das Problem, alle Gruppen zu bestimmen, die eine Curven-Schaar invariant lassen, zerlegt sich somit in vier Probleme, nehmlich in der Bestimmung von den Gruppen, die den vier verschiedenen Möglichkeiten ent- sprechen. Es ist dabei leicht zu erkennen, dass diese vier Unter-Probleme in genauem Zusammenhange stehen. Nach dem Obenstehenden kann man nehmlich annehmen, dass die infinitesimalen Transformationen einer jeden hierher gehörigen Gruppe die Form (A, +A, r+4,æ)p+nq besitzen. Giebt es nun mehr als drei etwa r inf. Transfor- mationen in der Gruppe, so giebt es jedenfalls »r — 1 Trans- formationen von der Form (BurtBı@)p+tng deren Inbegriff eine Gruppe bilden. Ferner giebt es jedenfalls r — 2 Transformationen der Form Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 10 146 Sophus Lie. B.p—ng, deren Inbegriff eine Gruppe bilden. Endlich giebt es jeden- falls 7 — 3 Transformationen der Form 74; die wiederum’ eine Gruppe bilden. Hiermit ist der folgende Weg gegeben zur orale unseres allgemeinen Problems. Man bestimmt die allgemein- ste r-gliedrige Gruppe, deren inf. Transformationen sämmtlich die Form 7g besitzen. Darnach bestimmt man in allgemein- ster Weise eine inf. Transformation p+79, die mit den r Transformationen der r-gliedrigen Gruppe eine (r + 1)-glie- drige Gruppe bestimmen. Sodann sucht man die allgemeinste Transformation æp +79, die mit den r +1 Transformationen der letzten Gruppe eine (r + 2)-gliedrige Gruppe bestimmen. Endlich sucht man die allgemeinste Transformation xp +79, die mit den r +2 Transformationen der letzten Gruppe eine (r + 3)-ghedrige Gruppe bestimmen. Bestimmung alier Gruppen der Form 7,9 7: 9... nr. Die Bestimmung aller Gruppen der Form 7, q,...#rq wird wesentlich vereinfacht durch die folgende Bemerkung. Man nehme einen beliebigen Punkt +, 7, und betrachte die r — 1 infinitesimalen Transformationen der Gruppe, die in der Umgebung von æ, y, von erster Ordnung sind. Dieselben erzeugen eine (r — 1)-gliedrige Gruppe (Satz 9), der Inbe- griff nehmlich aller Transformationen der vorgelegten Gruppe, die den Punkt x, y, invariant lassen. Dies giebt den Satz Satz 13. Jede r-gliedrige Gruppe der Form nx q enthält (r — 1)-gliedrige Untergruppe. Hiermit ist der folgende Weg gegeben zur Erledigung unseres Problems. Man bestimmt zuerst die allgemeinste ein- gliedrige Gruppe 7,4, sucht sodann in allgemeinster Weise eine inf. Transformation y, q die mit 7, q eine Gruppe bildet, Theorie der Transformations-Gruppen. 147 sucht sodann die allgemeinste Transformation 7,9, die mit 7,9, oq eine Gruppe bildet u. s. w. Eine jede eingliedrige Gruppe 7q kann die Form X, 9; wo X, eine beliebige Funktion von x bezeichnet, erhalten. Es giebt somit nur ein Typus der eingliedrigen Gruppen | X,q Um jetzt die allgemeine zweigliedrige Gruppe H,=n,9% H,=n,q zu finden, bemerken wir, dass die zehwischen 7, und H, bestehende Relation die eine der beiden Formen (H, H,)=0 oder (4, H,) = H, annehmen kann. Setzt man H, = X, q und H,=ng, so kommt im ersten Falle dn _ Å u i n=f(æ)= X,, im zweiten Falle dy Ft ed BS oder, indem man y+/f(x) als neues y einführt N=%- Es giebt somit, zwei Typen der zweigliedrigen Gruppen: Ist H, = X,q, H,= X,q, H, =nq eine dreigliedrige Gruppe, so bestehen Relationen der Form (H, H,)=a, H, +a, H, +a, H, (H, H,)=6, H, +b, H, +6, H, Es giebt somit jedenfalls eine Transformation H= A, H, +4, H,, die zu H, in solcher Beziehung steht, dass (H H,) sich durch 10* 148 | Sophus Lie. H, und H, ausdrückt, und offenbar können wir ohne Beschrän- ekung annehmen, dass dies eben mit (H, H,) der Fall ist, so dass wir a, =O setzen können. Wir finden also ve 2! En BA d X, ay X +b, A, + byn; wäre nun 7 keine Funktion von x allein, so müsste in der letzten Gleichung die rechte wie die linke Seite nur x enthal- ten und also b, =0 sein. Hieraus lässt sich nun leicht her- leiten, dass = eine Constante ist. Denn unsere Formeln zeigen, dass jeder Ausdruck d (A, A; + A, X,) iy sich als lineare Funktion von X, und X, ausdrücken lässt d (a, X, +A, X) GP X+By Ebenso ist (B, X, + B, x) 7 - €, A, au C, XxX, woraus dn\* (4, X, + A, X,) a = C, X,+C, X,, und im Allgemeinen dn\* (A, X, +4, X,) oi = L, A, +L, 2.69 welche auch die ganze Zahl % ist. Insbesondere käme zwei Gleichungen der Form Theorie der Transformations-Gruppen. 149 die mit Nothwendigkeit verlangen, dass M, = N, =0 ist. Also kommt dr ay Xn Ky+f(), woraus durch passenden Variabel-Aenderung folgt UG -so dass die Form der Gruppe wird X,9, 8,9, 14. Wäre dagegen 7 eine Funktion von x, so besåsse die Gruppe die Form X,q X,q X34. Endlich müssen wir diejenigen dreigliedrigen Gruppen be- stimmen, die die zweigliedrige Gruppe q, yg enthalten. Sei qyq 7q eine solche Gruppe, so dass == =a, +t2a, y+ta,n, vag 7 bot 2019 DS Go Es ist nun leicht zu erkennen, dass a, = 0 ist. Um das zu beweisen, werde ich zuerst den folgenden Satz, der uns auch später nützlich sein wird, beweisen Satz 14. Sind H, H,...H, infinitesimale Transformatio- nen einer Gruppe und K irgend eine Transformation, und be- stehen dabei Relationen der Form (H, H,)=-H,,(H, K)=a, K+ ZH, (H, K)=a, K+ 3 px Hy so ist a, gleich Null. Zu bemerken ist, dass K und die H, keine Gruppe bilden brauchen. Zum Beweis bilden wir die Identität ((H, H,)K)+((H, K) H,)+((K H,) H,) =0, woraus (H, K) + (a, K + 2 6, H,, H,) — (a, K+ 2a, Hi, H,)=0 150 - Sophus Lie. und durch Entwickelung, indem man die sich aufhebenden Glieder weglässt, folgt eine Gleichung der Form a, K + E vx Hx =0, die identisch bestehen muss indem die H, und K unabhängig sind. Hiermit ist der Beweis geführt. Indem wir diesen Satz auf den vorliegenden Fall anwen- den, erkennen wir, dass a,-0 ist, und dass daher n=a0y+ ay + f(x) oder da a, offenbar gleich Null gesetzt werden kann n=0,Yy"+f(). | Indem wir diesen Werth in die zweite Bedingungs-Gleichung einsetzen, kommt ay —flæ)-by+2b y +b, (a, y +f (#)) woraus folgt, dass b,=b,=0, und dass a, und f(x) nicht gleichzeitig von Null verschieden sein können. Wir erhalten daher die beiden Fälle n=y und n= f(x). Indem wir dies mit dem Obensteheuden verbinden, erkennen wir, dass es nur drei Typen dreigliedriger Gruppen giebt: | | | | | ET aq q EE | a | 99 vg Sei jetzt 949 y"q ng irgend eine viergliedrige Gruppe. Nach dem vorangehenden Satze bestehen Relationen der Form dn À 4) +24) y+J3a,y, Theorie der Transformations-Gruppen. 151 D mb +20, y+ Bb, y + br, y? D — 2yn = co + 20, y +80, Y° + cn. Die erste zeigt, dass 7 die Form besitzt n=aytay +a,y +f (x) besitzt, oder da a, und a, ohne Beschränkung gleich Null gesetzt werden können m = a, Yale): Die zweite Bedingungs-Gleichung, zeigt, dass 7 entweder die Form 7 = > oder 7= f(x) besitzt. Da indess wegen der drit- ten Gleichung diese beiden Formen unmöglich sind, folgt dass keine viergliedrige Gruppe die Form q, yq, y°q, ng besitzt. Es genügen jetzt zwei Ueberlegungen zur Bestimmung aller Gruppen der Form 7, q. Einerseits suche ich die allgemeine (r + 1)-gliedrige Gruppe der Form X,q X,q... X.qnq. Indem wir ganz wie in dem Falle r = 2 verfahren, erkennen wir, dass wir annehmen können, dass Gleichungen der Form dn ge dm Tug 1360 2 KE Spør: edd dn _ > en al bestehen. Die erste Gleichung zeigt, dass på eine Funktion von « ist, und lass uns zunächst voraussetzen, dass sie von 152 Sophus Lie. Null verschieden ist. Alsdann muss in der letzten Gleichung u = 0 sein, indem sonst die rechte Seite dieser Gleichung die Grösse y enthielte, während die linke eine Funktion von x ist. Ist andererseits ‘iy 7° so müssen alle yx insbesondere auch u.verschwinden, so dass «# unter allen Umständen gleich Null gesetzt werden kann. Folglich bestehen, welche auch die Constanten A; sind, Relationen der Form d ar ++ 4 KGB Mi+...+BX. Insbesondere ist (B, Kt... + B AGO, Ky HA, woraus dn\? (iA X,+...+ 4 (72) 10, aru er und im Allgemeinen ae k - ; (4, 41 +++ 4 3) (0) Ale, nc In dieser Gleichung gebe ich k die Werthe 012...r nnd lasse dabei A,... A, feste Grössen bezeichnen. Alsdann erhalte ich r + 1 Gleichungen, aus denen ich eine Gleichung der Form > , : ( dn N u | = 2 (Ai Xi). (Ky + Ky ig +...+K TJA — 0 erhalte; folglich wird Ky +k, +... KG) -0, welche Gleichung zeigt, dass 7 eine Constante ist, so dass man setzen kann n= Ky +f (2). Ist hier K verschieden von Null, kann man durch Einführung Theorie der Transformations-Gruppen. 153 von y +f(x) als neues y erreichen, dass 7 =y wird. Man erhält also nur die beiden Gruppen Ag... Meg M419 X,q... Xqy4. Andererseits habe ich die allgemeinste Gruppe der Form X,9... X.q99179 (r>1) zu bestimmen. Da (Xi, YQ) = Xe ist, so bestehen (Satz 14) Relationen der Form a AG: ed und da r grösser als 1 ist, und es in Folge dessen jedenfalls zwei solche Gleichungen giebt, so kann y eliminirt werden, und darnach i als Funktion von x bestimmt werden. Hier- aus aber folgt, dass alle c, gleich Null sind. Hiermit haben unsere Gleichungen dieselbe Form wie im vorangehenden Falle angenommen. Folglich ist på eine Constante: n Ky+f(x) und dabei kann K sogar ohne Beschränckung gleich Null ge- zetzt werden. Die hinzutretende Transformation hat daher die Form f(x) q. Die gefundenen Resultate lassen sich folgendermassen zusammenfassen. : Eine jede Gruppe der Form xq gehört einer der drei fol- genden Typen 1 4 X,q EM Kay Ma a. | | FA vg, | Xq Weg x q| Je 154 Sophus Lie. Gruppen, bei denen die. Curven einer Schaar eingliedrig transformirt werden. Ich werde jetzt alle Gruppen der Form "99: nm p+n4 bestimmen. Dabei weiss ich, dass die 7. q eine Untergruppe bilden, die eine unter den drei soeben aufgestellten Formen besitzt. Zu bemerken ist ferner, dass jedes (4, P+nq) sich offenbar linear durch die 7. g ausdrücken muss. Ich suche zunächst alle Gruppen der Form 9,49, y?q, p+ng. Es bestehen Gleichungen der Form | dyn= 4 +2a,y+Ja,y, ydsn —n=b6,+2b,y+ 3b, y, Yd,n — 2yn=0,+20,Yy+3r,Y". Die erste zeigt, dass H=aAytay tary + f(x), oder da wir ohne Beschrånekung a, =a, =0 setzen können n= ay +f (a); die letzten Gleichungen zeigen, dass a, = f (x) =0 ist, so dass 7 =0 wird. Unsere Gruppe besitzt daher die Form BIG VG P Jetzt suchen wir alle Gruppen der Form X,q X,q... X.q,p+nq9. | Ist r=0, kann man die Variable y derart wählen, dass 7=0 wird, so dass die Gruppe die einzige Transformation p enthält. Hat r einen beliebigen Werth, so kann man immer Theo- rem IV mit zugehörigem Zusatze anwenden. Man kan daher annehmen, dass Relationen der Form dX, dn = Theorie der Transformations-Gruppen. 155 ae _ x, =, X40, N, “ie en X +6, À +¢, X, eee ea KE bestehen. Man wähle, was immer möglich ist, die Variable y derart dass X, =1 wird, sodann nimmt die erste Glei- chung die Form dn woraus 9 = ay + f(x), während die übrigen die gemeinsamme Form (1) To ag, Ky tt ne Xe annehmen. Ich setze y'=y+9 (æ), woraus dy = Oy + px! Ox, also wird p+ng=p+[aly' —p)+f+9"]. Hier bestimmen wir œ (x) derart, dass p'—agp+f=-0 wird, woraus p+yq=p+ay"q. Die Gruppe erhält somit die Form 4 X,9 X,9...Xq, pt ay 4, wobei die X, durch die Gleichungen (1) bestimmt sind. Je nach den Werthen der Constanten g können mehrere Special- 156 Sophus Lie. fälle eintreten, die wir indess nicht näher specialisiren brau- chen. Zurüch steht die Bestimmung aller Gruppen der Form qX,q... X.q,y9,p+nq. Es ist woraus n=y 2a, X+ay"+f(-). Nun aber kommt durch Anwendung der Operation yq yns —n= ZB M+ 2By, woraus durch Eingesetzung hervorgeht, dass a= 0, f(æ)=0 ist, so dass es kommt dy dy = => aj X Die iibrigen Bedingungs-Gleichungen nehmen die Form d Xx dn _ re a ne AG AP 56s On 2G GY wo g gleich Null sein muss, indem die rechte wie die linke Seite nur æ enthalten darf. Durch Anwendung von Theorem IV mit Zusatze kann daher die Gruppe Xi g eine solche Form, ACC 5G! erhalten, dass AA,‘ ‚dn 1 n ae — A die DO al Ferner kann man erreichen, dass X, ‘= 1 wird, sodass dn DR Ne e Hier kann K ohne Beschränckung gleich Null gesetzt werden, und durch Anwendung der Operation yq ergiebt sich, dass f(æ)=0 ist. Indem wir dies mit dem früher gefundenen ver- binden, erhalten wir den Satz. Theorie der Transformations-Gruppen. 157 Theorem. Eine jede Gruppe der Form mg,p+tng gehört einer unter den folgenden Typen q | eee ut q q yq | p | | 419 #4 y°4 NE X, q Arq EG as X.g Yq p+eyg | p Die X sind Funktionen von x, die durch unmittel- bar integrirbare Differential-Gleichungen bestimmt sind. Gruppen, bei denen die Curven einer Schaar zweigliedrig transformirt werden. Wir werden alle Gruppen der Form NY: NWGP+ NG. XP +79 bestimmen A) Es giebt zwei Arten Gruppen der Form pæpt*+ng. Es ist nehmlich jedenfalls no, n = f (y) Ist f=0, so erhält man die Form p, ap. Ist f nicht Null, so kann man immer eine solche Funktion von y als neues y wählen, dass f=1 wird. Man erhält also die beiden Formen p ap, und p ap+q. B) Zur Bestimmung aller Gruppen der Form 9, Y4, ¥ Vp æp+nq erhält man die Gleichungen 158 Sophus Lie. D = a+ Ua d : va ie toe ae ,dm | Pay AU Co rt YF OF welche zeigen dass 7 = 0 ist. Man erhält somit nur die Form 9999 GP Ap . C) Um alle Gruppen der Form X,9,X,q... Kg p+eyqgaæpt+ng zu finden, anwenden wir Theorem IV mit zugehörigem Zu- satze. Man kann immer annehmen, dass die X;gq derart unter den infinitesimalen Transformationen der Form ZA, Xi q gewählt sind, dass Relationen der Form (Ar g, p+Eyq)= am À, +... + dux Ar (Ag, “prt Hn q) = br DE +...+ ber Ak bestehen. Wir können ferner immer voraussetzen, dass X, = 1 ist. Alsdann kommt zunächst dn dy oe n= Ky +f (x). Folglich kommt d : e EG æ d Xx æ = by AG, oP 5 Do SR dix Ir. Indem wir daher erinnern, dass X, =1 ist, ergiebt sich zu- nächst dass X, = x, darnach dass XG RER er N gesetzt werden kann, so dass die Gruppe die Form annimmt qæq...o'gqp+eyg xp + (Ky + f(x)) q. Theorie der Transformations-Gruppen. 159 Es besteht dabei eine Relation der Form (pteyq, ap+tng)=p+teyg+ Z vin, die sich in die beiden folgenden zerlegt DER Ur, Eg Ve CN, woraus folgt, dass f= Rx" +! gesetzt werden kann. Wir wer- den nachweisen, dass R im Allgemeinen gleich Null gesetzt werden kann. Wir setzen | Yay Det =, woraus oy’ = Ôy + L(r + 1) x' dz, also kommt | g=g 2q-æqy...oq=a"q p=p'+Lir+D.ag' ap+(Ky+ Ratt) gq=æp"+(Ky'+ Bat)’ per Sele ist daher X verschieden von r +1, so kann L derart gewåhlt werden, dass R'=0 wird. Unsere Gruppe besitzt daher die eine unter den beiden Formen q q | æg “LY | aq pa P P ap + Kyq æp+ [(r+Dy+ Rat!]g | | | = = D) Zuriick steht die Bestimmung aller Gruppen der Form | 1X,9.-- X GY GP UP +14 Es ist | 160 Sophus Lie. dn dy — Ev Xi +2py, n=py"+y3v XM +f(2); dureh Anwendung der Operation yq kommt T= SA Ait hoy, woraus durch Einsetzung folgt, dass p = 0, f(x) =0 ist, so dass DEE vi NG wird. In Folge dessen muss in den Relationen (Xi q, ap + nq)= 3 p Xq+u,yq die Grösse u, gleich Null sein. Also lehrt Theorem IV mit Zusatz, dass man annehmen kann, dass Relationen der Form (Xi g,p)= Ga A, +... + Ok Ar (AK q, ep + ng) = ba À +... + ber Xk bestehen. Da X,=1 angenommen ist, kommt zunächst Bee a Xt... t dn Xk dx en KEN hae dx und da X, = 1 ist, folgt wie früher Nr ME Durch Anwendung von yg ergiebt sich dass 7 gleich Null gesetzt werden kann. Indem wir unsere Resultate zusammenfassen, können wir den folgenden Satz aussprechen: | Theorem. Jede Gruppe, bei der die Curven einer Schaar zweigliedrig transformirt werden, gehört ei- ner unter den folgenden Typen Theorie der Transformations-Gruppen. 161 ag | Len q Pi wads er YI xp æp + q y’q | p xp j q q kr æg Å a q a va 5 p r+] apt(r+Dy+Le vg ap æp + Kyq Gruppen, bei der die Curven einer Schaar dreigliedrig transformirt werden. Bei der Bestimmung aller Gruppen, welche die Curven einer Schaar dreigliedrig transformiren, giebt es nach dem Obenstehenden sechs Fälle, die besonders zu berücksichtigen sind. 1) Alle Gruppen der Form Pp, tp xp+nq sind bestimmt durch die Gleichungen 2) Alle Gruppen der Form pap+ga®p+tng sind bestimmt durch die Gleichungen dn dn ad de 2, aat 73 n = 2x + Be Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 11 162 Sophus Lie. so dass die Gruppe wird p, (P+, 2? p+(2æ+ Be’) g oder wenn man y'=e als neues y einführt, p ap+yq à p+ (2cy+ By?)q. 3) Alle Gruppen der Form | 9, 99,4? 9,P, ap, 2 p+7q sind bestimmt durch die Gleichungen dn 2 PRO de ER: dn ag = Oya by Der Dy VW welche zeigen, dass 7 gleich Null ist. 4) Alle Gruppen der Form qæq...æ'q pæp+ Kyq x°p + nq befriedigen die Gleichungen aner Tr ne Z ma +2Ky, woraus folgt n= Ly+ Mæ*!+2Kay; ferner ist (xp + Kyq, &? p + nq) = x? p + nq + SA xi, woraus folgt (K —r)M=0, L=0. Ferner ist (ag, v p+nq)=E pi ai, woraus folgt dass 2K=r ist, so dass die Gruppe wird, wenn r > 0 Theorie der Transformations-Gruppen. 163 qæq...xqp 2æp+ryq a@p+traeyg dagegen wenn r = 0, q p ap wv p+ Mag, wo M eatweder gleich Null ist, oder auch gleich 1 gesetzt werden kann. In dem letzten Falle ist es zweckmässig ev als neues y einzuführen; alsdann nimmt die Gruppe die lineare Form Yd D ap a®p+wyg. 5) Zur Bestimmung aller Gruppen der Form PLUG. 29 p ap la Dyrt Nig æ° p+ ng | wo L von Null verschieden angenommen werden kann, haben wir zunächst die Gleichungen — = cues Aa ar DAG 0) il eee yu dy a2 rt Dy+2Latt+ > wa! woraus 2 = ut 2 r +1 q 7 2(r+Dyet, | ole UC ar INO) Diesen Werth substituiren wir in die Bedingungs-Gleichung (mp +09, @ p+ ng) =x ptygt 3Ma"q, und finden dadurch mehrere Relationen, insbesondere ergiebt sich, dass L=0 ist. Dies steht indess im Widerspruche mit unseren Voraussetzungen, so dass d'eser Fall Nichts giebt. 6) Zurück steht nur die Bestimmung aller Gruppen der Form 794... CYT D XP &° p + 79. Man findet DES 164 Sophus Lie. Ho ae Ti 2 bia + By; vil -n=3net+ry woraus sich ergiebt, dass 7= Bya. Durch Anwendung von der Operation aq ergiebt sich dass B=r ist. In dieser Weise erhält man die Gruppe qæq...oq9yypæpæ*rp+rayg. Indem wir unsere Resultale zusammenfassen, erhalten wir das folgende Theorem. Theorem. Jede Gruppe, bei der die Curven einer Schaar dreigliedrig transformirt werden, gehört ei- ner unter den folgenden Typen wo = | = p I | p æp ap + yq | ap à 2 pa ee Se )g | x? p + xyq | yq | xq xq yQ | | es ed Feen BEd ye +) | xp | p p | 2p 2æp+ryq xp nan |e Pt reye ya Ep Hiermit sind alle Gruppen von Punkt-Transformationen einer Ebene erschöpft. Zugefügt soll hier nur noch sein, dass alle Gruppen sich naturgemäss in die folgenden Classen zusammenfassen lassen 1) Gruppen, die keine Curven-Schaar invariant lassen. Theorie der Transformations-Gruppen. 165 Dieselben gehen durch zwekmässigen Coordinaten-Wahl in lineare Gruppen über. 2) Gruppen die zwei Curven-Schaaren invariant lassen. ‘ Dieselben lassen sich umwandeln in conforme Punkt-Trans- formationen, die Kreise in Kreise überführen. Hierher gehö- ren insbesondere Gruppen, die einfach unendlich viele Curven- Schaaren invariant lassen. Als Typen dieser letzten Arten kann man die Translationen verbunden mit der Aehnlichkeits- Transformation betrachten: 3) Gruppen, die eine und nur eine Curven-Schaar inva- riant lassen. Die hierher gehörigen Gruppen scheinen bis jetzt wenig Beachtung gefunden zu haben. Es lässt sich leicht entscheiden, welche Gruppen der bei- den letzten Classen sich in lineare umwandeln lassen. SÄTZE ÜBER MINIMALFLÄCHEN. VON SOPHUS LIE. Die Aufgabe, durch eine gegebene Linie eine Minimal- fläche zu legen, deren Normalen längs der Curve ebenfalls gegeben sind, wurde wenn ich nicht irre, zuerst allgemein erledigt von Björling." Sind wyz die Coordinaten der Punkte der gegebenen Curve, ausgedrückt als Funktionen einer unab- hängigen Variable ¢, sind ferner X, Y, Z die Cosinus der Winkel, welche die gegebene Normale in dem betreffenden Punkte mit den Coordinaten-Axen bildet, so wird, wenn man setzt Ua si f (Zay — Ydz) V=y +i fx — Zdx) (1) W= 14 | (Yan — xay die gesuchte Minimalfläche (Man vergleiche Schwarz Crelle- Borchardt’s Journal Bd. 80, p. 291), bestimmt durch die Glei- chungen r-RUv=RV,;-RW. ') Später haben Bonnet und Weierstrass sich mit Erfolge mit demselben Probleme beschäftigt. Satze über Minimalflächen. 167 In 1872 stellte Schwarz die Aufgabe, die Minimalfläche zu bestimmen, die eine vorgelegte ebene Curve als geodäti- sche Curve enthält. Nun ist allerdings dieses Problem nur ein specieller Fall des obenbesprochenen Problems, desen all- meine Lösung man kennt. Nicht destoweniger sind die von den Herren Henneberg und Herzog gegebenen Beantwortungen des speciellen Problems sehr bemerkenswerth. Insbesondere scheint mir der folgende von Henneberg entdeckte Satz sehr interessant: Der Hennebergsche Satz: Enthält eine Minimalflåche eine ebene geodätische Curve, so ist die Fläche algebraisch, wenn. die Curve. die Evolute einer algebraischen Curve ist, sonst nicht. Durch synthetische Betrachtungen ist es mir gelungen einige bemerkenswerthe Verallgemeinerungen des Henneberg- schen Satzes zu finden. Ich erlaube mich diese Verallgemei- nerungen hier kürzlich anzugeben. Im Uebrigen beabsichtige ich, bei einer späteren Gelegenheit diese und einige verwandte Gegenstände näher zu besprechen. 12 Die Minimalfläche, die eine gegebene ebene Krümmungslinie enthält. Zunächst bemerke ich, dass man in dem Hennebergschen Satze ohne weiter «Krummungslinie» statt «geodätische Curve» setzen kann. Es sei in der That die gegebene ebene Krummungslinie gelegen in der æy-Ebene. Alsdann kann man in (1) nach einem bekannten Satze — Z = y = Const. setzen. Ferner ist z=0, Xdx + Y dy =0. Also kommt, wenn man die Bogenlänge der gegebenen Curve mit s bezeichnet 168 Sophus Lie. Ru E a vA} R S | Å < ETE 5 Und durch Einsetzung in (1) folgt U=x+iyy V=y—iyæ re Ist daher die gegebene Curve die Evolute einer algebraischen Curve und also s eine algebraische Funktion von x, so sind U, V, W algebraische Funktionen von x, so dass die erzeugte Minimalfläche wirklich algebraisch ist. Verlangt man andererseits, dass die erzeugte Minimalfläche algebraisch sein soll, so muss zunächst die gegebene Curve algebraisch sein, das heisst, y ist eine algebraische Funktion von æ. Es soll ferner möglich sein U, V, Wals algebraische Funktionen einer Variable darzustellen. Und da U und V schon algebraische Funktionen von æ sind, so muss auch W, und zugleich s algebraische Funktionen von x sein. Das heisst, die gegebene Curve muss die Evolute einer algebraischen Curve sein. Also Satz I. Enthält eine Minimalfläche eine ebene Krümmungs- linie, so ist die Fläche algebraisch, wenn die Curve die Evolute einer algebraischen Curve ist, sonst nicht. Dieser Satz ist offenbar eine Verallgemeinerung des Hen- nebergschen Satzes. Denn eine ebene geodätische Curve ist eo ipso eine Krümmungslinie, während eine ebene Krümmungs- linie im Allgemeinen keine geodätische Curve ist. ame Die Minimalfläche, die eine gegebene Cylinderfläche nach einer geodätischen Curve berührt. Jetzt betrachte ich die Minimalfläche, die eine gegebene Sätze über Minimalflächen. 169 Cylinderfläche nach einer geodätischen Curve berührt. Ich wähle die Cylinderaxe zur z-Axe. Aldann wird Z=0, Xdx + Ydy=0 woraus, indem wir die Bogenlänge des orthogonalen Quer- schnitts mitt s bezeichnen == - — = ds= Ydr — Xdy. Indem wir diese Werthe in (1) einführen und dabei berück- sichtigen, dass z= ks, k = Const. ist, erhalten wir die Gleichungen VE ae en) V=y(d—ki) W=(k+is. Setzen wir nun insbesondere voraus, dass k nicht Null ist,') so erkennen wir, dass die erzeugte Minimalfläche jedesmal algebraisch ist, wenn die Curve algebraisch ist. Also Satz II. Berührt eine Minimalfläche eine Cylinderfläche nach einer geodätischen Curve, die nicht eben ist, so ist die Minimalfläche algebraisch gleichzeitig mit der Curve. Auch dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Henne- bergschen Satzes. Dabei mache ich zwei Bemerkungen. 1) Jede Minimalfläche, die eine Cylinderfläche nach einer nicht ebenen geodätischen Curve berührt, kann durch Biegung in eine Minimalfläche mit einer ebenen geodätischen Curve über- gehen. 2) Zwei beliebige Minimalflächen, die eine Cylinder- fläche nach zwei geodätischen Curven berühren, kann durch Biegung verbunden mit einer Aehnlichkeits-Transformation in einander übergeführt werden. ') War &+7¢=0, und war also die gegebene geodätische Curve von der Länge Null, so reducirte die zugehörige Minimalfläche sich zu der. be- treffenden Curve, vorausgesetzt dass die Cylinderaxe nicht den Kugelkreis trate. 170 Sophus Lie. III- Die Minimalfläche, die die Evolute einer Raum-Curve nach dem Orte der Krümmungscentra berührt. Der letzte Satz ist der specielle Fall eines Satzes, der sich auf beliebige Developpablen bezieht. Ich werde densel- ben kürzlich entwickeln. Zuerst bemerke ich, dass jede Minimalflåche w=At+A,t y= Bt+ B, Tt, (2) JE OCT | wo A und A, eonjugirte Funktionen bezeichnen, durch die folgende Construktion erhalten werden kann. Ich betrachte die beiden Minimalcurven') (das heisst Curven von Länge Null’) æ =2At y, =2Bt (3) 2 2.07 und DAT Y2=2B;7T (4) ZONE Ich verbinde einen arbiträren Punkt æ, y, 2, mit einem arbi- trären’ Punkte x, y, z, und suche den Mittelpunkt dieser beiden Punkte v=%(0, +2) y= 3 Yr 4) 2= 45 (2, +2) Der Ort dieser Mittelpunkte ist offenbar die vorgelegte Mini- malfläche. Dabei bemerke ich, dass die Tangentenebene der Fläche 1) Solche Curven sind, aufgefasst als Ebenengebilde, Minimalflächen. *) Besonders Darboux hat sich eingehend mit Curven von Länge Null be- schäftigt. Sätze über Minimalflächen. JH zwei Gerade enthält, die bezüglich mit den zugehörigen Tan- genten der Curven (3) und (4) parallel sind. Construirt man daher die um diese beiden Curven umgeschriebene De- veloppable D, so berührt unsere Minimalfläche diese Deve- loppable nach einer Curve S. Jetzt construire ich die beiden Developpablen, deren Rück- kehrkanten die Curven (3) und (4) sind. Diese Flächen schnei- den sich nach einer Curve C, deren Evolute (Polarfläche) eben die Developpable D ist. Und ferner ist S der Ort der Krümmungscentra der Raumeurve C. Umgekehrt könnte man eine beliebige (reelle) Raumeurve C wählen, sodann eine Developpable um diese Curve und den imaginären Kugelkreis umschreiben. Die Rückkehrkante würde dann im Allgemeinen eine irreduetible Minimaleurve bilden. Die zugehörige Minimalfläche') würde die Evolute der Raumeurve C nach dem Orte der Krümmungscentra be- rühren. Also Satz. Die Minimalflåche, die die Evolute einer algebrai- schen Raumcurve nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte berührt, ist algebraisch. Es ist nun denkbar, dass die vorgelegte Curve C mehrere Focalen besitzt. Alsdann steht die erzeugte Minimaifläche in demselben Verhaltnisse zu diesen Focaleurven wie zu ©. Also Berührt eine Minimalflåche die Evolute einer Raumcurve C nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte, so steht sie in demselben Verhältnisse zu den Evoluten aller Focalcurven von C. Ich bemerke jetzt, dass die Gleichungen unserer Minimal- fläche auch folgendermassen geschrieben werden können æ=(At+ M)+(Ar— M) y=(Bt+ N)+(Br— N) 2=(Ct+ P) +(C7 — P) ') Diese Fläche ist somit im Allgemeinen einen Doppelflåche.. 172 Sophus Lie wobei M N P arbiträre Constanten bezeichnen. In Folge dessen giebt es dreifach unendlich viele Curven-Paare (3) (4), welche dieselbe Minimalflåche erzeugen. Also Jede algebraische Minimaljläche wird von dreifach unendlich vielen Evoluten algebraischer Raumcurven nach dem Orte der Krümmungs Mittelpunkte berührt. Ist eine beliebige Minimalfläche vorgelegt, :o ist es im- mer möglieh diejenige Differential-Gleichung dritter Ordnung zu integriren, deren Integraleurven die besprochenen Berüh- rungseurven sind. Setzt man, indem man mit m und n zwei beliebige Zah- len bezeichnet, m+n EAT m m+n = Dit (5 71 m ©) mtn N m und m+n Go = 3 A,r m+n No = BT (6) 2 à 1 mtn Gy = 3 CE å so bestimmen die Gleichungen må +n, : m+n mn, +nn, mtn mé +né, m+n 2 Sätze über Minimalflächen. 175 wiederum dieselbe Minimalfläche wie die Gleichungen (2). Unserer Fläche berührt daher die um die Minimalcurven (5) und (6) umgeschriebene Developpable nach einer gewissen Curve. Wickelt man die Developpable in eine Ebene ab, so wird die Berührungseurve die schiefe Fusspunktcurve eines gewissen Punkts hinsichtlich derjenigen Curve, in die die Rückkehrkante übergegangen ist. Also Jede Minimaljläche berührt fünffach unendlich viele Deve- loppablen nach geodätischen Fusspunktcurven 1) der betreffenden Rückkehrkante. Ist insbesondere eine solche Developpable ein Kegel, so ist die Fusspunktcurve ein geodätischer Kreis. Ich werde jetzt insbesondere solche algebraische Deve- loppablen betrachten, deren Abwickelung in eine Ebene durch algebraische Operationen geleistet wird, anders ausgesprochen solche Developpablen, die zu zweifach unendlich vielen alge- braischen Raumeurven Evolute ist. Auf einer solchen Deve- loppablen liegen zwei Schaaren algebraischer Minimal-Curven. Daher zeigen die vorangehenden Entwickelungen, dass eine solche Developpable jedenfalls von dreifach unendlich vielen algebraischen Minimalflächen berührt wird.?) Ist insbesondere die betreffende Developpable ein Kegel oder eine Cylinder- fläche, so erhält man jedoch nur zweifach unendlich viele ein- geschriebene Minimalflächen. 1) Bei Biegung gehen diese Curven in die entsprechenden Curven der neuen _ Fläche über. ?) Kennt man zwei algebraische Minimalfläche, die in einer Developpable eingeschrieben sind, so findet man leicht unendlich viele solche Fläche, die in derselben Developpable eingeschrieben sind. Dies kann man an- wenden auf die Doppeldeveloppable einer Minimalfläche, welche Deve- loppable übrigens im Allgemeinen zerfällt. 174 Sophus Lie DEVAS Minimalflichen mit einer ebenen geodätischen Curve. Jetzt werden wir uns auf Minimalflächen beschränchen, die eine ebene geodätische Curve £: 2=0, f(xy) =0 enthalten. Und lass uns mit Henneberg voraussetzen, dass E die Evolute einer reellen algebraischen Curve C: z=0, p(æy)=0 ist. Ich nenne die Ordnung und Classe der Evolute Æ bezüg- lich o. und c.. Ferner sei & die Zahl der parallelen Tangen- ten, die zu der Curve C gezogen werden können. Ich construire die Developpable, die um C und den Ku- gelkreis umgeschrieben ist. Die Rückkehrkante dieser Deve- loppable!) ist eine Minimalcurve, deren Ordnung gleich 2 0, deren Rang gleich 2c. ist. Die Multiplieität des Kugelkreises auf der Developpable ist gleich e. In Folge dessen ist die Classe der erzeugten Minimalfläche (die nach unseren Voraus- setzungen eine Doppelfläche ist) gleich 8 (2c — +). Also Enthält eine algebr rische Minimalflåche eine reelle ebene geodätische Curve, deren Classe gleich c. ist, so ist die Classe der Fläche gleiche (2c.— se). & ist die Zahl der parallelen reel- len Tangentenebenen der Fläche, & ist zugleich die Zahl der. parallelen Tangenten derjenigen Curve, deren Evolute die gege- bene geodätische Curve ist. Die Ordnung der erzeugten Minimalfläche bestimmt man nach den allgemeinen Regeln, die ich bei einer anderer Ge- legenheit gegeben habe. Hier bemerke ich nur, dass diese Zahl nie grösser als | ') Wir beschräncken uns hier auf den Fall, dass diese Developpable nicht zerfällt. Der zweite Fall liesse sich ganz ebenso erledigen. In diesem Falle ist die obenstehende Formel für die Classe der erzeugten Minimalfläche mit 2 zu dividiren Sätze über Minimalflächen. IND 0e (20. — 1) ist. Es sei jetzt die Curve C symmetrisch 2. B hinsichtlich der æ-Axe. Alsdann ist auch die Evolute E symmetrisch hinsichtlich dieser Linie und folglich ist, wie Zerzog und Henneberg bemerken, auch die Fläche symmetrisch hinsicht- lich der zx-Ebene. Die gemachten Voraussetzungen führen jedoch weiter. Denn die Curve C besitzt eo ipso eine ebene Focaleurve, die in der zz-Ebene gelegen ist, und die Evolute dieser Focaleurve ist eine neue ebene geodätische Curve un- serer Fläche. Ist die ebene Curve C, die in der xy-Ebene gelegen ist, symmetrisch hinsichtlich der «-Awe, so hat unsere Curve be- kanntlich eine ebene Focalcurve, die in der zw-Ebene liegt. Diejenige Minimalfläche, die C's Evolute als ebene geodätische Curve enthält, enthält zugleich die Evolute der Focal-Curve als geodätische Curve. Ist die Curve C z. B. eine Ellipse, so giebt es bekannt- lich zwei Symmetrieaxen, nnd zwei ebene Focalkegelschnitte, unter denen jedoch einer imaginär ist. Die Minimalfläche, die die Evolute einer Ellipse als geodätische Curve enthält, en- thält also zugleich die Evoluten der beiden Focalkegelsehnitte als geodätische Curven. (Man vergleiche Herzog und Hen- nebergs Arbeiten). Die betreffende Fläche ist nach unserer allgemeinen Formel von der 12!" Classe.') Endlich werde ich voraussetzen, dass die Gleichung der Curve: @ (vy) = 0 zugleich die Form DEE erhalten kann. In diesem Falle ist auch die Bonnet'sche Bie- 1) Bei einer anderen Gelegenheit werde ich einige Unübereinstimmungen zwischen Hr. Hennebergs und meinen Untersuchungen besprechen. . In einem Punkte liegt der Irrthum bei mir, wie ich in einer Mittheilung zur Gesellschaft der W. in Christiania angegeben habe. In anderen Punkten, die allerdings in Hennebergs werthvollen Arbeit nur eine unter- geordnete Wichtigkeit haben, scheint es mir, dass sich Henneberg geirrt hat. 176 Sophus Lie. sungsfläche im Allgemeinen eine Doppelfläche, und also ist ihre Classe gleich derjenigen der ursprünglichen Fläche. Hier möge endlich explieite ausgesprochen sein, dass die Biegungsfläche einer Minimalfläche im Allgemeinen dieselbe Classe wie die ursprüngliche Fläche besitzt. Ist jedoch die eine unter diesen beiden Flächen eine Doppelfläche, so ist ihre Classe nur halb so gross wie die Classe der zweiten Fläche. Können überhaupt zwei Minimaleurven in einander über- sehen durch eine lineare Transformation, die den Kugelkreis invariant lässt, so besitzen die entsprechenden Minimalflächen im Allgemeinen dieselbe Classe. Ist jedoch die eine Fläche eine Doppelfläche, so ist ihre Classe nur halb so gross wie die Classe der zweiten Fläche. Eine interessante Anwendung findet diese Bemerkung auf die beiden Flächen, die die Evo- lute einer ebenen algebraischen Curve bez. als Krümmungs- linie und als geodätische Curve enthalten.!) 1) Enthält eine Minimalfläche eine Hauptangentencurve, deren Osculations- ebenen constanten Winkel mit einer Gerade Z bilden, so ist die Fläche algebraisch, wenn die orthogonale Projection der Curve nach Z die Evo- lute einer algebraischen Curve ist, sonst nicht.. © CIDARIA DILUTATA W. V. AF W. M. SCHOYEN. D Geometer, der er udbredt over hele Nord- og Mel- lemeuropa med tilgrændsende Dele af Asien, men som, saavidt der kan skjønnes af Literaturen, ikke 1 noget andet Land 1 Europa ved sin Optræden synes at gjøre sig bemærket fremfor saa mangen anden ligesaa almindeligt forekommende Art, op- træder af og til, og det efter hvad det lader til ikke saa sjel- den, hos os paa vore Høifjelde og i de nordligere Dele af Lan- det 1 en saa overordentlig stor Mængde, at Larverne blive en sand Svøbe for Birkeskovene, hvilke de afløve aldeles over store Strækninger ad Gangen. Mærkelig nok synes man ikke i Udlandet at kjende noget til disse Larvers Forekomst paa Birk, som hos os er deres hovedsagelige Næringsplante. Af tydske For- fattere nævner saaledes Borkhausen som Larvens Næringsplanter: Fagus, Alnus og Ulmus, hvortil Wiener-Verzeichniss feier Quercus og Wilde Salix. Flere end disse Næringsplanter an- føres ikke heller i Kaltenbachs «Pflanzenfeinde» 1874, (frareg- net den feilagtige Opgave p. 657, hvor en Forvexling sees at være skeet med Acidalia dilutaria Hb.), omendskjønt Dr. Wocke allerede i «Stett. Ent. Zeit.» 1864 havde omtalt Larvens Fore- komst paa Betula paa Dovrefjeld. At den aldrig i Tydskland gjør sig bemærket paa nogen af de nævnte Træsorter, fremgaar noksom deraf, at den intet Sted findes omtalt i Forstliteraturen Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 12 178 W. M. Scheyen. dersteds. Det synes saaledes klart, at denne Art forst under vore nordlige Breddegrader og blandt vore Fjeldbirkeskove finder de gunstigste Betingelser for sin Formerelse og Udvikling, og at den derfor ogsaa her maa ansees for at have sit rette Hjem. Til Belysning heraf skal jeg tillade mig at anfore nogle Exem- pler paa disse Larvers Masseoptræden hos os. Den første offentliggjorte Beretning om en saådan Fore- teelse er, saavidt jeg ved, den af Hr. Forstmester Barth 1 «Norsk Skyttertidende» for 1863 afgivne (ogsaa optaget i «Sven- ska Jägarfb.s Nya Tidskr. for s. A.), hvor imidlertid den om- handlede Art betegnes som Geometra brumata, — en Feiltagelse, der er meget let forklarlig ved disse Arters temmelig betydelige Lighed baade som Larver og Sommerfugle, hvorved de let for- vexles af Ikke-Entomologer.') Hr. Barths Beretning (a. St.) lyder saaledes: «Paa en Reise i nordre og mellem Gudbrandsdalen forrige Aars Sommer (1862) blev jeg under mit Ophold 1 Lessø imod Slutningen af Juli Maaned af Forstassistent Gløersen gjort be- kjendt med, at Fjeldbirkeskoven sammesteds var bleven hærjet af en grøn Mark eller Larve af Spannernes (Geometræ) Familie, der i Begyndelsen af Juni Maaned viste sig paa Træerne i talløse Masser, som, efterat have indtil det sidste Blad opædt Birkeløvet over store Dele af de hærjede Strækninger, atter forsvandt efter omtrent en Maaneds Forleb. Da jeg ved min Ankomst den ovenanførte Tid selv fik Anledning til at tage de hærjede Strækninger 1 Øiesyn, havde Birkeskoven allerede me Hales Steder atter begyndt at skyde nye Blade og grøn- 1) Efter nærmere Konference med Hr. Barth angaaende denne Sag og yderligere erholdte Oplysninger nærer jeg ingensomhelst Tvivl om, at den omhandlede Art har været ©. dilutata og ikke G. brumata, saa- meget mere som han ogsaa iagttog de selvsamme Larver paa Dovre- fjeld (f. Ex. omkring Fokstuemyren), hvor Dr. Wocke netop samtidig fandt C. dilutata's Larver i Mengde overalt; G. brumata derimod er aldrig saavidt mig bekjendt iagttaget uden paa Sletlandet hos os, for- nemmelig i Haver, Parkanlæg etc., men aldrig paa Fjeldene saaledes som de heromhandlede Larver. pe Cidaria Dilutata W. V. 179 : nes, medens den paa andre Steder endnu stod ganske nøgen eller afbladet. Af Larverne fandtes efter megen Søgen kun en og anden, dels paa Træerne, dels nede paa Jorden, hvor Spannernes Larver ialmindelighed forpuppe sig. — — Den var en god halv Tomme lang, græsgrøn med lysere Underside og en gulhvid Stribe paa hver af Siderne. * «Fra Lesso reiste jeg derpaa til Vaage, ı hvis høitliggende Skovtrakter (Langmarkens Alminding i Sjodalen) jeg paa for- skjellige Steder i Birkeskoven, navnlig hvor den som Følge af Neeverflekning eller anden Mishandling havde et tyndt og uvæx- terligt Udseende, ligeledes saa, at de nævnte Larver havde været paafærde, om end, som det syntes, ikke paa meget nær i saadan Mængde som i Lessø. Endelig havde ogsaa i Sollien, det næste Sted som jeg besøgte, Fjeldbirkeskoven i sine til Høifjeldet nærmest grændsende Partier været saa stærkt hjem- søgt af de heromhandlede Larver, at den endnu midt i August Maaned, som det blev mig fortalt, paa enkelte Steder frembød det samme nøgne, afribbede Udseende, som jeg havde iagttaget i Lessø. Ved min Ankomst til Sollien i Begyndelsen af Sep- tember bemærkede jeg mellem Træerne i den nævnte Region tætte Sværme af de smaa, graahvide Sommerfugle, hvortil Lar- verne nu havde forvandlet sig, og senere hen meldte Forstassi- stent Gløersen mig fra Lessø, at Birkeskovene og de tilgrænd- sende Furuskove i Slutningen af August og Begyndelsen af September opfyldtes med store Sværme af de nævnte Sommer- fugle, der efter kort Tids Forleb forstørstedelen blev tilintet- gjorte af Uveir.» Senere har Hr. Barth velvilligen tilstillet mig følgende yderligere Meddelelser: «Ogsaa 1 1863 bemærkedes Larverne, men 1 langt ringere Mængde, og i 1864 saa jeg ikke mere til dem. Ganske friske Ungskovspartier (her tales overalt kun om Fjeldbirkelierne — Betula pubescens eller odorata) var aldeles forskaanede for Larverne, hvorved jeg dog ikke mener, at de . ikke enkeltvis kunde forekomme i samme, men uden at ytre 195 . 180 W. M. Schoyen. nogensomhelst Indflydelse paa deres friske Udseende. Graden af de angrebne Partiers Afløvning stod idetheletaget i Forhold til den Grad af Affældighed og Uvæxterlighed, som de havde erholdt ved Barkflækning eller anden Mishandling (Løvhugst, Risbrud ete.) Store Strækninger af den mest affældige Skov døde ud med det samme og benyttedes af Forstbestyrelsen hele 10 Aar bagefter til Vedudvisning. De mindre affældige af de afløvede Partier skjød allerede samme Sommer nye Knopper og Blade, og alt efter Graden af deres Livskraft frisknede de enten aldeles til igjen eller gik ligeledes ud i de nærmest paa- følgende Aar. Larven havde samme Aar ogsaa optraadt paa lignende Maade i Østerdalen, efter hvad man senhøstes fortalte mig. Larverne hang i Traade ned fra Grenene, da jeg saa dem i Slutningen af Juli. I Foldalen var sammenhængende Birke- skovstrækninger i over en halv Mils Længde aldeles graa af saadanne Træer, som Larverne paa en Gang havde dræbt.» Samtidig med Dhrr. Gløersen og Barths ovennævnte lagt- tagelser fandt ogsaa Dr. Wocke, som tilbragte Sommeren 1862 paa Dovrefjeld for at indsamle Lepidoptera, disse Larver i stor Mængde dersteds. Han udtaler sig herom saaledes (Stett. Ent. Zeit. 1864 p. 189): «Cidaria dilutata S. V. Larven var hyp- pig overalt paa Dovrefjeld, hvor der voxede Birk, men alminde- ligst i Drivdalen, hvor den paa sine Steder fuldstændig havde afløvet Birketræerne og 1 tusindvis bedækkede Marken, stillende sin Hunger paa alskens Planter, der ellers slet ikke falde 1 dens Smag; jeg saa den saagar spise paa Aconitum. — En hel Del Sommerfugle fik jeg udklækket dels under Tilbagereisen, dels først i Breslau, hvilke ikke afvige fra den tydske Bjerg- form.» Ved St. -Hanstid 1875 fandt jeg selv disse Larver paa Fjeldene i Næs 1 Hallingdal i en saadan Mængde, at hver ene- ste Birkebusk, fra de største -til de mindste kun faa Tommer - haie Planter, var aldeles bedækkede af dem, saaledes at de Cidaria Dilutata W. V. 181 dryssede ned af Træerne og blev hængende paa Klæderne, naar man gik igjennem Birkekrattet, der naturligvis blev aldeles af- løvet. Nede i selve Dalen saaes intet til dem. Om et Par lignende Foreteelser, der ogsaa utvivlsomt maa tilskrives den heromhandlede Art, har jeg modtaget Underret- ning fra et Par af vore Forstmænd Hr. Forstmester Berbom har saaledes meddelt mig, at han «i Aaret 1864 1 Saltdalen fandt Birkeskoven, navnlig den ældre og paa Grund af tidligere Neverflekning sygelige, næsten afløvet af en Geometer, der forekom i en saadan Mengde, at de hvidgraa Sommerfugle ordentlig føg som store Sneflokke omkring Træerne, naar man rystede disse eller kom dem nær. Et saadant Fænomen har ikke senere været iagttaget der; enkeltvis forekomme de vel, men hint Aar var enestaaende.» — Hr. Forstmester Norman’ har meddelt følgende: «Da jeg i 1852 gjorde en botanisk Reise til Alten, var Birketræerne saa tæt besatte med grønne Larver, at det hørtes, som om det smaaregnede ı Skoven, der- ved at der uophørlig faldt Larver fra Birketræerne ned i Græs- set. — Salices, fornemmelig, hvis jeg erindrer ret, Salix nigri- cans, staar 1 enkelte Aar ganske afløvet af Insektlarver, ialfald i Vestfinmarken, men dog ikke i den Udstrækning, at det faar nogen Betydning.» Hvorvidt disse sidstnævnte Larver, der afløve Salix-Arterne, tilhøre den heromhandlede Art, ser jeg mig for Tiden ikke istand til at afgjere, men da dennes Larver ogsaa skal leve paa Salix, er det ikke saa urimeligt, at det er Tilfældet. Paa 'Tromsøen har min Ven Konservator J. Sparre Schneider fun- det Larverne hyppige i forrige Sommer paa Birk og fik deraf udklækket den heromhandlede Art. Sluttelig bemærkes, at de her 1 Landet iagttagne Larver saavidt vides aldrig have været rød- eller brunflækkede, saaledes som Tilfældet undertiden skal være i Tydskland, men ensfarvet grønne med gulagtige Længdelinier paa Siderne og under lysere. OM DE I FAST BERG UDGRAVEDE STRANDLINIER. (MED 1 PLADE). KARL PETTERSEN. fa Norges Kyststrøg er der rig Anledning til at af- læse Vidnesbyrd om Forandringer gjennem Kvartærtiden i det gjensidige Niveauforhold mellem den faste Fjeldgrund og Havstanden. Som saadanne kunne mærkes de af løst Materiale opkastede og ofte trinvis paa hinanden følgende Terrassedannelser, og endvidere de i fast Berg indgravede «Strandlinier». Navnligen danne de sidste i flere Henseender en høist mærkelig Fremtoning. De have ogsaa for lang Tid siden tildraget sig Forskeres Opmærksomhed, og der er alle- rede om dem fremvoxet en liden Literatur — uden at dog Spørgsmaalets Løsning derved er naaet synderlig fremad. De ere saaledes omhandlede af Keilhau i Nyt Magazin for Naturv. 1 B. 2 og 3 Hefte, — af den franske Geolog Bravais i Comptes rendus X og XV — senere i forskjellige Afhand- linger af Sexe og Kjerulf, og senest af Mohn i «Bidrag til Kundskab til de gamle Strandlinier i Norge» i Nyt Magazin for Naturv. 22 Bd. 1 Hefte (1876). Det er navnlig i denne sidste Afhandling at der findes nedlagt et særdeles righoldigt Undersøgelses-Materiale, der vil kunne danne et godt Under- lag for fremtidige Undersøgelser. Mohn eftersporede Forhol- det langs et anseeligt Strøg af den norske Kyststrækning, og Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 185 paaviste derunder, at det her træder frem langt mere almin- deligt og tillige mere regelmæssigt end tidligere antaget. Af hans Fremstilling syntes det saaledes at fremgaa, at disse Strandlinier i Forhold til deres Optræden over den nuværende Havflade kunde grupperes i en Række paa hinanden folgende Trin, der over store Strog optræde med en Regelmæssighed, der synes at skulle kunne give vigtige Bidrag til Belysning af Spørgsmaalet om den skandinaviske Halvøs Stigning gjen- nem Kvartærtiden. Saa righoldige Bidrag, der herom til Dato er fremlagt af de forskjellige Forskere og navnlig af Mohn, saa vil det dog paa den anden Side være aabenbart, at det hidtil indsamlede Undersøgelses-Materiale dog endnu er for indskrænket til, at der derpaa nu i saa Henseende kan være at bygge mere afgjørende Slutninger. Foruden en langt omhyggeligere Eftersporen af Fænomenets Fremtræden langs vort Lands udstrakte Kyststrøg vil dertil endvidere udfordres en mere udtømmende Behandling i Detaillen, og i saa Hen- seende navnlig en muligst nøiagtig Bestemmelse af de for- skjellige Strandliniers absolute Høide over den nuværende Havstand. Men dernæst vil det vel vise sig nødvendigt at udstrække Undersøgelser i denne Retning udover Polarlandene, f. Ex. langs Spitsbergens Kystrand. Der kan paa Forhaand vel være nogen Grund til at forudsætte, at man der endnu vil kunne finde de Kræfter i Virksomhed, der i sin Tid have udgravet Strandfurerne langs den skandinaviske Halvøs Vest- kyst. At det vilde være af stor videnskabelig Betydning om en saadan systematisk anlagt Undersøgelse kunde blive frem- met, vil være indlysende. Der er vel imidlertid kuns ringe Udsigt til, at en saadan i en nær Fremtid vil kunne blive iværksat. Dertil vil udkræves forholdsvis ret betydelige Pen- gebeløb, der alene var at skaffe tilveie gjennem en særskilt Beslutning af Landets bevilgenåe Myndighed. Indtil videre vil der saaledes antagelig alene kunne ven- / 184 Karl Pettersen. tes yderligere Bidrag fra en og anden Lokalitet, hvor der har været Anledning til noget nærmere at anstille Undersø- gelser i denne Retning. Strandlinier,') der ere horisontal udspændte vei- eller chausséartede Udskjæringer i det faste Berg, ere at udskille fra de af løst Materiale opbyggede Terrassedannelser. Strand- linierne ligesom Terrasserne findes overordentlig hyppig ud- spændte efter Fjordsiderne og langs Sundløbene, og kunne derunder følges gjennem kortere eller længere sammenhæn- gende Løb. De af løst Materiale byggede Terrasser ere dog i Regelen forholdsvis korte. De træde oftest frem i flere paa hinanden følgende Trin, idet de dog derunder selv gjennem et kortere Strøg kunne variere i en temmelig fremtrædende Grad. Et og samme Trin, som man gjennem længere Stræk- ning har kunnet følge med sin skarpt fremtrædende steile og jevnt høie Endeflade, deler sig paa sine Steder, saa det her kan træde frem som to mer eller mindre udprægede Trin. Terrasserne træder i det hele mere regelløst frem ikke alene med Hensyn til Trinenes Antal, men ogsaa med Hensyn til Høideforholdene over den nuværende Havstand. Alt synes at tyde hen paa, at Terrasserne ikke ere knyttede til mere bestemte Niveauer, men at de derimod kunde være at paa- vise i hvilkensomhelst Høide mellem Havstanden og det høiest liggende Trin. En langt større Regelmæssighed synes der- imod at raade med Hensyn til de i fast Berg indskaarne Strandlinier. De findes saaledes — enkelte uvæsentlige Af- brydelser fraregnede — ofte skarpt at træde frem gjennem flere Miles sammenhængende Løb, idet de derunder bevare ") Begrebsbetegnelsen «Strandlinier« er — som det nærmere vil fremgaa af eftørfølgende Fremstilling —, i og for sig her neppe noget fuldt adækvat Udtryk. Da det dog engang har vundet Hævd, vil det indtil ° videre vel være rettest endnu at holde paa det. Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 185 sin Høide uforandret over Havfladen. Langs begge Sider af et og samme Sundløb kan saadanne Strandlinier sees udspændte i samme Høide. Flere af disse i forskjellig Høide over Hav- fladen indskaarne Strandlinier gjenfindes i de samme Niveauer over store Omraader langs Norges Kyststrøg. Terrasserne findes i Regelen idetmindste langs Sundløbene rigest udviklede i de lavere, Strandlinierne derimod mere i de forholdsvis høiere Niveauer. Strandlinien træder saaledes ofte frem som det øverste Trin i et Terrassesystem, hvis la- vere Trin samtlige ere byggede af løst Materiale. Medens begge de her omhandlede Dannelser ofte umid- delbart kunne være knyttede til hinanden og løbe over i hin- anden, er det paa den anden Side dog aabenbart, at de i det væsentlige maa være at henføre til en noget forskjellig- artet Oprindelse. De af løst Materiale byggede terrasseformige Trin ville — som ovenfor antydet — antagelig kunne være at paavise i hvilkensomhelst Hoide mellem den nuværende Havflade og det høieste Punkt, hvor der er paavist Vidnesbyrd om, at Havstanden i sin Tid gjennem Kvartærtiden kan have naaet. Dannelsen af saadanne foregaar fremdeles efter stor Maalestok. De i fast Berg indgravede Strandlinier synes derimod mere knyttede til bestemte Højder. Medens Betin- gelser for Dannelsen af de første altid ville være tilstede langs Kyststrøgene, synes det derimod aabenbart, at de sid- ste maa være at tilskrive mere tilfældigt virkende Forholde. Det er navnlig disse i fast Berg indskaarne Strandlinier, som her nærmere skulle søges omhandlede. I Tromsø nærmeste Omegn langs efter de her optrædende Sundløb sees i en Høide over midlere Havstand af omkring 130° (40.7 m.) en saadan Linie, der -- saasnart man engang har faaet Øie paa den — allerede i stor Frastand tegner sig skarpt gjennem lange sammenhængende Løb. Langs Tromsø- Sundets østlige. Side kan den saaledes følges fra Gaarden 186 Karl Pettersen. Thomasjord ved Tromsdalens Udmunding nordover forbi Mo- vik og Tunsnes og herfra — efter Mohn — videre hen til Ulfstinden gjennem en Længdestrækning af omkring 3 Mil. Tvende kortere i Høide med denne korresponderende Linier optræder over Tromsøens nordlige Del, — den ene over Gaar- dene. Bredvik og Skattevollen langs Øens østlige Side mod. Tromsøsundet, den anden langs Øens vestlige Side mod Sand- nessund over Gaarden Sandnes og videre sydover mod Lang- nes-Gaardene. Tvers over Sandnes-Sund sees paa den store Ø Kvalø i samme Høide over Havfladen en skarpt markeret Linie at spænde sig igjennem et sammenhængende Løb fra Indbøiningen mod Kalfjordeid nordover forbi Gaardene Fin- land. Denne Linie er her fulgt gjennem en Længde af om- kring 1/5 Mil. Langs Kvalgens sydlige Side gjenfindes den samme Li- 4 nie, idet den her kan følges fra Strømsbugten vestover mod Malangen og herfra videre langs denne Fjords østlige Side med en samlet Længde af omkring 2 å 3 Mil. | Langs den sydlige Del af Tromsesnndet sees en lavere Strandlinie i en Heide mellem 60 à 70' (18.8—21.9 m.) at spænde sig efter sammes sstlige Side over Kalsletgaardene sydover mod Bergs-Gaardene gjennem en Længde af 1 Mil. Samtlige disse Linier — med Undtagelse af den korte Stump langs Tromssens vestlige Side mellem Sandnes- og Langnes-Gaardehe — findes omtalte af Mohn i hans oven- nævnte Afhandling. Idet jeg imidlertid har havt Anledning til skridtvis at opgaa samtlige her nævnte Linier efter lange sammenløbende Strækninger, skal jeg her søge nærmere at fremstille de her fremtrædende Forholde. 1. Strandlinien ved Mjelle (Fig. 1). Det var i Forsommeren 1876 at jeg først kom til at fæste min Opmærksomhed nærmere ved disse Forholde under en Exeursion til Gaarden Mjelle paa Sydsiden af: den store uden- Om de i fast Berg indgravede Strandlinier. 187 for Tromsø liggende Kval-Ø, for der at undersøge de terras- seformige Trin, som her ligger saa klart tilskue fra Seilleden. Over Strøgene her sees to, paa sine Steder tre paa hinanden følgende Trin. Mens de lavere liggende ere opbyggede af løst Materiale, fandtes det øverste indgravet i fast Berg og traadte her frem under i flere Henseender høist mærkelige Forholde. Dette øverste Trin — den egentlige Strandlinie — ligger i en Heide over Havfladen af 130'*) (40.7 m.), og danner en i det hele og store seet regelmæssig udgravet horizontal Vei- bane af en Brede, der kan variere fra 15-—40 Skridt (30 —80"), medens den efter Længden spænder sig milevidt frem i et horizontalt Løb og derunder regelmæssig følger Fjeldmassens Bugtninger og Afbøininger i Dagfladen. Naar man fra Furens Bundflade lader Blikket løbe hen til begge Sider efter dennes Længderetning, sees den som en bredere eller smalere Vei- bane at strække sig hen til begge Sider, saalangt Øiet kan naa, i samme Horizontal-Plan. Furen træder derunder frem som en saa regelmæssig Veibane, at der uvilkaarlig vækkes en Forestilling om et planmæssigt udført Anlæg. Saaledes udpræget optræder den i Regelen langs den hele Strækning fra Mjelle, hvor den afsluttes i Mjelle-Elvens høiest liggende af løst Materiale byg- gede Terrasseflade og vestover til Kvalnes-Gaardene, hvor den ligeledes afsluttes i en Terrasse-Flade, nemlig Kvalnesdalens vide Terrasse-Flade. Denne ligger ganske i samme Høide som den indgravede chausséartede Fure, saa begge Flader ganske løber over i hinanden. Mjelles Strandlinie er skridtvis fulgt gjennem hele denne Strækning efter en Længde af omkring 1/2 Mil og viser her overalt et ensartet Præg. Fra begge de her nævnte Endepunkter kan Strandlinien endvidere med Øiet følges paa den ene Side fra Mjelle-Elven østover til ind imod Strømsbugt, fra Kvalnes derimod vestover ud imod Engenes. Langs den opgaaede Del af Linien findes Bundfladen paa 1) Af Mohn ved Barometermaaling bestemt til 129' over Middelvandstand. 158 Karl Pettersen. sine Steder dækket med Grønsvær, oftest træder derimod det faste Berg udækket frem. I sidste Tilfælde er den hyppig ujevn og smaahumpet, idet den granitiske Bergart, hvori Fu- ren er indskaaret, her har lidt under Atmosfæriliernes lang- varige Indvirkning. I det store bevarer dog Bundfladen sit jevnt horizontale Præg, hvilket navnlig klart træder frem, naar man fra et hvilketsomhest Punkt paa denne lader Øjet følge efter dens Længdeløb. Fjeldet stiger op fra Furens indre Linie i steile udadheldende Vægge, — der undertiden ere overdækkede, oftest dog nøgne. Den skraa steile Endeflade udad er enten dækket med Ras eller bygget af udækket gra- nitisk Sten. Imellem Mjelle og den vestenfor samme liggende Gaard Løkvik, danner Strandlinien den øverste Afsats af flere paa hinanden følgende terrasseformige Trin, af hvilke de lavere liggende, som ovenfor nævnt, altid ere opførte af løst Materiale. Udimod Kvalnes fører derimod en eneste steil nøgen Fjeld- skraaning fra Søen op til Strandlinien. Over de fra Strandliniens indre Kant opstigende Berg- vægge lykkedes det ikke at opdage mere fremtrædende Spor efter en tidligere Glaciation. Af de nedenfor Strandlinien liggende af løst Materiale byggede Terrasser er en, der ligger i en Høide af omkring 90' (28.2 m.) o. H., at følge i længere sammenløbende Stræk- ning, mens en lavere i omkring 60° (18.8 m.) Heide optræder mere sparsomt og maaske nærmest kan være at opfatte som en sekundær eller underordnet Dannelse. Kvaløens Sydside skyder fra Strømnes forbi Mjelle indtil Grebstad i øst-vestlig Retning, bøjer herfra ud mod Malangen i mere nord-vestlig Retning, idet den her danner Fjordens østlige Side. Strandlinien følger saaledes i det store den samme Hovedretning, men kan dog derunder paa forskjellige Lokaliteter bugte sig stærkere eller svagere efter Fjeldmas- sens ydre mere oprindelige Konturforholde. Bjerggrunden Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 159 dannes af haarde gneisartede Skifere med hyppige Indblan- dinger af gneis-granitisk Sten og andre renere granitiske Afændringer. | Da Lagstillingen, hvor Bergarten optræder lagdelt, over- alt er temmelig ensartet, vil det heraf fremgaa, at Strandli- niens Indskjæring er ganske uafhængig af Lagstilling eller Foliation. Strandlinier i høiere Niveauer er ikke iagttaget over Strø- gene langs Kvaløens Sydside. Til nærmere Belysning af Terrasse-Forekomsten ved Mjelle vedføies Profilritsene No. 1, a og b, der gjennemskjær Strandlinien paa to forskjellige Punkter. Det første gaar over det egentlige Mjelle, det andet er hentet længere Vest og optrukket mellem Gaardene Løkslet og Kvalnes. 2. Strandlinien langs den nordostlige Side af Kvalø (Fig. 2). I Strækningen fra Finlandselvens Udmunding i Sandnes- Sund og indover mod Indbøiningen til det lave og smale Kvalfjordeide sees to horizontalt løbende Linier, hvoraf navn- lig den øverste allerede i stor Afstand skarpt træder frem gjennem et anseeligt Længdeløb. Denne øvre Linie er skridt- vis fulgt gjennem en Strækning af omkring 1/2 Mil. Den ligger i en Hoide over Havfladen af henimod 130’ og ligesom den heri ganske korresponderer med Strandlinien over Mjelle, saa bærer den i det hele ogsaa et med den fuldkommen ens- artet Præg. Veifladen ender indad i en steilt opstigende Fjeldvæg, hvis nedre Parti hyppig er dækket af Nedras af skarpkantede Blokke, medens det faste Berg bryder frem i det høiere liggende Parti ofte i næsten lodrette Vægge. Den efter Længderetningen fuldkommen horizontale Strandlinie ligger i et paa det nærmeste horizontalt Plan, der dog efter Breden viser et svag Held udad. Den saaledes dannede Vei- bane er oftest myrdækket. Breden af denne kan variere fra 190 : Karl Pettersen. 30 à 40 til op imod 50 Skridt. Fra dens mer eller mindre skarpt fremtrædende ydre Kant føres der gjennem en noget stærk Heldning ned mod det lavere liggende Terrasse-Trin. Ogsaa denne lavere af løst Materiale byggede Terrasse kan følges gjennem længere Strækning, navnlig efter det omhand- lede Midtparti i et sammenhængende Løb, men træder i sin Helhed ingenlunde saa skarpt frem som den ovenliggende Strandlinie. å Til Glaciation over Bergvæggene, der stige op langs den i fast Berg udskaarne Veibanes indre Linie, ses intet eller i ethvert Tilfælde ikke andet end høist utydelige Spor. Veibanen er her indskaaret i gneis-granitisk Bergart. Dens Høide over Havfladen bestemtes ved Aneroid-Barometer til 129° (40.5 m.). 3. Strandlinie langs Tromsøens nordvestlige Side. (Fig. 3). Fra Gaarden Sandnæs, der ligger paa Tromsøen tvers- ovenfor den uysnævnte Gaard Finland paa Kvalø, sees to terrasseformige Trin at spænde sig sydover mod Langnes- Gaardene. Det lavere liggende er i det hele kuns lidet ud- præget, mens det høiere Trin derimod kan følges i et længere sammenhængende horizontalt Løb fra Sandnes-Gaardens Som- merfjøs sydover. Det danner en veilignende oftest myrdækket Flade, der løber frem under en steilt opstigende af Glimmer- skifer bygget Bergvæg. Veibanen har en Brede, der varierer fra 30 til 60 Skridt, og som paa sine Steder kan udvide sig til det dobbelte heraf. Veibanen ligger i en Højde over Havfladen, der falder sammen med Høiden af den, der er omhandlet under fore- gaaende Nummer. Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 191 4. Bredvikens Strandlinie — langs Tromsøens østlige Side. (Fig. 4). 4 I Stroget mellem Gaardene Bredvik og Stokkevolden langs Tromsgens nordlige Del afsluttes det fra Stranden lang- somt skraanende Underland opad i en oftest myrdækket paa det nærmeste horizontal veilignende Flade, der spænder sig frem under en skarpt fremspringende af fast Berg dannet Væg. Denne Strandlinies Heide over Havfladen ligger ganske i samme Niveau som Sandnes Linien. Veibanen har en sammenhængende Længde af en knap Fjerding og afsluttes lidt nordenfor Stakkevolden, idet den her gaar i den saakaldte Ørnedals Terrasseflade, hvis Heide ligger i samme Niveau som Veibanens. Veibanens Brede er noget variabel, men overstiger sjel- dent nogle faa Favne. Ogsaa denne Veibane bevarer overalt den samme Høide over Havfladen. Bergarten i den fra Veibanens indre Kant opstigende Bergvæg dannes af en Hornblendegneis, hvis Strøgretning er nord-sydlig, altsaa paa det nærmeste parallel med Liniens Længdeløb, mens Faldet er svagt indover. Skjønt Væggens Dagflade vistnok enkeltvis synes afglattet, er der dog i det hele ikke at paavise synderlige Tegn til tidligere Glaciation. I Niveauet mellem denne antagelig i fast Berg indgravede Veibane og den nuværende Havstand, er her intetsteds efter det her omhandlede Strøg Tegn til lavere liggende af løst Materiale opførte Terrassedannelser. Søndenfor Bredvik — efter et langt Mellemrum, hvor der ikke er at paavise Spor til nogen Strandlinie — træder der igjen frem et af Naturen dannet veilignende Plan, der idet- mindste delvis ligger i samme Høide som Bredvikens Strand- linie. Denne fortsætter et godt Stykke sydover og ligger gjennem en længere Strækning netop i Tromsø Bys Grændse- skjel og afsluttes mod Syd ved den saakaldte St. Hans Houg 192 ‘Karl Pettersen. ovenom den ny Reberbane. I sin nordlige Del følger den Foden af en herfra temmelig steilt opstigende Bergaas, i sin sydlige Del ligger den derimod under en mægtig af løst Ma- teriale bygget Vold, der reiser sig steilt op fra Veibanens indre Kant. Denne Veibane bevarer vistnok i sin Helhed ikke et saa jevnt horizontalt Lab, som de tidligere omhandlede Strand- linier, og der kan saaledes vel være nogen Tvivl underkastet om den kan være at opføre i Klasse med disse. Imellem denne Linie og Havlinien er der paa et Par Punkter inden Tromsø By's Territorium — saaledes over Hansjordnesset og under St. Hans Hougen — skarpt udpræ- gede Brudstykker af en længere Terrasse, hvis sagte skraa- nende Overflade ligger i en Heide over Havfladen af 70' (21.9 m.). “Denne Terrasse er opbygget af løst Materiale. 5. Movikens Strandlinie Fig. 5. Langs Fastlandsstrækningen paa østre Side af Tromse- sundet — tversovenfor Bredvik og Stakkevolden — sees alle- rede i stor Afstand en skarpt tegnet Linie at spænde sig nordover, saalangt Øiet kan naa. Den træder langt bestem- tere frem end de nys nævnte Linier paa Tromsøen, og kan i saa Henseende næsten maale sig med Linierne over Kval- øen. Som fornævnt kan Linien fra Tromsedalens Munding følges nordover forbi Movik og Tunsnes indtil Ulfstinden. Denne Linie har jeg skridtvis fulgt i Strøget fra Tromsdalen til Movik. Underlandet stiger her i Regelen temmelig lang- somt op fra Stranden. Efter Profilet fra Stranden opover møder man først paa flere Steder i en Heide af op imod 70‘ en Terrassedannelse forinden man naar op til det andet Trin, — den i fast Berg indskaarne Strandlinie. Denne Linie ligger i en Høide over Havfladen af omkring Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 193 130‘) og maa saaledes antages paa det nærmeste at ligge i samme Niveau som de tidligere omhandlede Strandlinier. Veibanen har i Regelen en Brede af 20 Skridt, men er dog ofte variabel og viser undertiden en temmelig anseelig Brede. Over Moviken begrændses Veibanen indad af mere jevnt skraanende birkeklædte Fjeldsider og gaar længere Nord over i et Myrplateau, der skyder op mod Aasdraget, der fører over til Movik-Vand. Sondenfor Movik — mellem denne Gaard og Skjelnan — stiger den Veibanen indad begrænd- sende Endevæg frem dels som fast Berg, dels som Ras af sønderbrudte Klippestykker. Dette Ras er dog antagelig ikke tilført udenfra, men danner rimeligvis de gjenstaaende Rester af den oprindelige Bergvæg. Den sagte skraanende Flade, der fører nedover fra Veibanens ydre Grændselinie, er i høi Grad oversaaet med Rullesten. Fra Skjelnan sydover mod Krogelven bliver Veibanen ofte noget utydelig, saa man ikke altid har saa ganske let for at gjenfinde den, naar man stiger fra Stranden opover. I ethvert Tilfælde har det flere Gange hændt mig, at jeg saaledes har gaaet den forbi. Men ogsaa her kan den dog i Regelen med Bestemthed paavises, idet man aldrig vil være Uvished i saa Henseende, naar man efter Længderetningen følger den engang naaede Veibane. Ved Krogelven gaar Veibanen over i dette Elvefars øverst liggende Terrasse, der breder sig ud til begge Sider af Elven, og hvis sagte skraanende Overflade ligger i samme Heide som Movi- kens Strandlinie. 6. Ulfsfjordens Strandlinie Fig. 6. Ved Gaarden Ulfnesvik — ved Ulfsfjordens östre Side — stiger Landet fra Stranden opover i 3 paa hinanden felgende Trin, af hvilke det nederste ligger i en Heide af omkring 60’ 1) Efter Barometermaaling skulde den vistnok ligge noget høiere — jeg tror dog foreløbig at burde holde paa det her opførte Tal. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 13 194 Karl Pettersen. (18,8 m.), det andet i en Heide af 130° (40.7 m), det tredie derimod i en Heide af omkring 160’ (50.2 m.) eller 170". De to lavere Trin ere Terrassedannelser, det øverste en i fast Berg udgravet veilignende Bane. Den laveste Terrasse kan følges gjennem temmelig lange Strog, — dog med enkelte lokale Afbrydelser. Den anden danner en oftest meget bred Afsats, er dels mere selvstændig udpræget, men gaar tildels ogsaa gjennem en langsom og jevnt stigende Skraaning successivt over i den tredie høiest liggende Afsats. Denne sidste kan følges fra Gaarden Bækkeby ud imod Jægervandet, indefter derimod liggende over Gaardene Ulfsnesvik, Ulfsnes og Holmen, og herfra syntes den videre at træde frem indover til Svendsby og maaske endnu længere. I Regelen er denne Afsats stærkt og karakteristisk ud- | præget, og danner en horizontal løbende Flade med en Vei- brede, der kan variere fra 16 til 32’ og tildels ogsaa naa derover, uden dog at komme op til det anseelige Maal, som de tidligere omhandlede Veibaner paa sine Steder kunde op- vise. Veiplanet er tildels dækket med Myr eller Grønsvær, og danner da en jevn Flade. Hvor Veibanens Dagflade dan- nes af fast Berg, — hvilket her hyppig er Tilfældet — viser den sig oftest ujevn og smaahumpet. Paa sine Steder fandtes den stærkt gjennemsat af transversale Sprækker og Indskjæ- ringer, saa Karakteren af en Veibane her kunde synes tem- melig udvidsket, — i det hele og store traadte den dog altid frem som en udpræget Veibane. Paa mange Steder førte en temmelig brat Endevæg af fast Berg ned til den anden lavere liggende Afsats, paa andre Steder gik derimod — som oven- for nævnt — Overgangen mellem disse gjennem en langsom Skraaning. Der kunde saaledes maaske ogsaa være nogen Grund til at opfatte ogsaa denne anden Afsats som en i fast Berg indskaaret Veifure, og i saa Tilfælde at stille den i Klasse med Strandlinierne over Kvalø og omkring Tromsøen, Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 195 der paa det nærmeste maa ligge i samme Høide over Hav- fladen som denne. Indad afsluttedes den øverstliggende Veiflade ved en steilt opstigende Bergvæg, bygget af milde glindsende til mat mørke Skifere med steilt vestligt Fald — altsaa mod Veifladen. Tegn til Glaciation var ikke at spore. Over Ulfnesvik gik Strandlinien over i en bredere Myr- flade, men herfra ud mod Jegervandet klemmer den sig igjen sammen som en smal udpræget Veibane ind under de steilt opstigende Fjeldvegge, og synes her efterhaanden at tabe sig. Antagelig vil den dog igjen findes at træde frem i Strø- get nordom Jægervandet. Fjeldskraåningerne over den her omhandlede Strandlinie bleve undersøgte opover til en Høide over Havfladen af hen- imod 1000‘, uden at der dog her nogetsteds var at se Tegn til nogen høiere liggende Strandfure. 7. Strandlinien over Kalslet-Gaardene. (Fig. 7). Over disse Gaarde, der ligge paa Fastlandet langs den sydlige Side af Tromse-Sund, sees en horizontal Linie at spænde sig sydover til Bergsgaarden henimod Ramfjordens Udmunding. Den ligger i en Høide af henimod 70' over Havet, — altsaa i samme Høide som den førnævnte Terrasse- dannelse inden den nordlige Del af Tromsø By. Fra Stran- den skyder Underlandet sig langsomt op i en jevn Stigning imod en steilere fremspringende Bergvæg, hvis Fod betegner Strandliniens Lab. Denne Linie, der forøvrigt sees tydeligere i Frastand end paa selve Aastedet, skiller sig fra de tidligere i fast Berg omhandlede Strandlinier deri, at den ikke som disse danner en stærkere fremtrædende veilignende Bane, men derimod et mod den nuværende Havflade langsomt og temmelig jevnt faldende Skraaplan. Den er saaledes maaske ikke ganske at stille i Klasse med de før omhandlede Strand- 13* 196 Karl Pettersen. linier men danner som et Slags Mellemled mellem disse og Terrasserne. 8. Ihlsvikens Strandlinie ved Trondhjem. Denne Strandlinie ligger egentlig langt udenfor det Om- raade, som her nærmest agtes omhandlet. Da jeg imidlertid i sidste Sommer (1877) havde Anledning til at overfare den, skal den her nævnes ved Siden af de andre. : - Denne Linie har tidligere været beskrevet af Kjerulf, Sexe og senest af Mohn. Efter den sidstes Barometermaaling ligger den i en Heide over Havfladen af 512° (160.6 m.) — efter Nivellement af Sexe i en Høide af 496‘ (155.6 m.) over midlere Vandstand. Den danner en horizontalt løbende Veibane, udgravet i fast Berg. Undergrunden, der hyppig stiger frem i Veibanen som fast Berg, dannes tildels af en granitisk Bergart, de fra Furens indre Linie opstigende Bergvægge derimod af grønne Skiferrækker. Veibanens Længde anslaaes af Sexe til '/10 Mil, Banens Brede naar oftest op til 30 å 40 Skridt. Ogsaa denne bærer i det hele Karakteren af en ret ud- præget Veibane, — om den end i saa Henseende ikke ganske er at stille ved Siden af Mjelle-Linien. Af de her leverede Special-Beskrivelser fremgaar der saaledes: 1) at der er at paavise i det faste Berg indgravede Render, der spænde sig frem efter de fra Sundløbene opstigende Fjeldsider i horizontal Retning og saaledes kunne være at følge milevidt — enkelte kortere lokale . Afbrydelser fraregnede — i sammenhængende Løb. 2) at disse Render hyppigst udvide sig efter Breden, saale- des at de danne udprægede veilignende Baner med en 3) 4) 6) 1) 8) Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 197 Brede, der i Regelen naar op til 16 à 20 Skridt, men som derunder ogsaa kan. variere adskilligt og undertiden endog gaa op til et Par hundrede Fod. Efter Veibanen stikker ofte det faste Berg udækket frem. Fra Veiplanets indre Langlinie skyder sig op en steil udad heldende oftest nøgen Bergvæg, der undertiden ogsaa kan dannes af stærkt splittede Klippe-Brudstykker. Veibanen, der ogsaa efter Breden danner et paa det nær- meste horizontalt liggende Plan i det høieste med en ganske svag for Øiet tildels umærkelig Heldning udad, afsluttes udefter ved et mer eller mindre steilt udad fal- dende Skraaplan. Ogsaa i dette kan det faste Berg paa sine Steder findes stikkende frem, — i Regelen er det dog stærkt overdækket med løst Materiale. Disse Veifurer spænde sig navnligen ud efter de nuvæ- rende Sundløb og i Regelen langs saadanne Strøg, hvor der raader sterk Strumsætning. Paa enkelte Steder kunne de dog ogsaa være at paavise langs Siderne af nu indad lukkede Fjordløb. I saa Til- fælde dog alene — saavidt iagttaget — over saadanne Strøg, hvor der med Bestemthed kan forudsættes, at det nuværende Fjordløb i den Tidsperiode, da angjeldende Veifure laa i Havniveauet, dannede en Del af det da op- trædende til begge Ender aabent Sundløb, hvor der ogsaa efter al Sandsynlighed dengang maa have raadet en stærk Strømsætning. Disse Veifurer findes indgravede i de mest forskjellige Bergarter, fra den haardeste Granit til forholdsvis meget milde Skiferdannelser. Idet Veifurerne derunder følge Fjeldsiderne, der bøie sig efter Sundløbenes mange høist forskjellige Svingninger, følger heraf, at Veibanernes Dan- nelse i det væsentlige maa have været uafhængig af Bergarternes petrografiske Egenskaber og fremdeles helt 8) 10 a Karl Pettersen. uafhængig af de inden samme raadende Struktur- og Lagdelings-Forholde. f Hvor Veifurerne overskjæres af større Elvefar eller Dalløb gaar Veibanen over i en Terrasse, hvis sagte skraanende Overflade ligger i samme Høide over Havfladen som Strand- liniens Veiplan. Strandlinierne vil saaledes i Regelen findes knyttede til i samme Høide liggende Terrassedan- nelser. Men omvendt vil der ikke til hver Terrasseflade | findes en tilsvarende Strandlinie. Strandlinjer betinger altsaa Terrassedannelser men ikke omvendt. | Saadanne Strandlinier er her — Ihlsvigens Linie sat ud af Betragtning — paavist i 3 forskjellige Niveauer nem- lig i 70‘, 130' og 170' o. H. (21.9—40.7 og 53.3 m.)') Hertil kommer endvidere flere andre Niveauer, der ere - paaviste af Mohn. 11) Den anden af disse Strandlinier — nemlig den der ligger i en Høide over Havfladen af opimod 130' — er her fulgt gjennem milevidt sammenhængende Løb. Ifølge Mohn træder den endvidere frem over vide Strøg af Tromsø — Amt, over Vest-Finmarken og er fremdeles at gjenfinde over det sydlige Norges Kyststrøg saaledes inden Ber- gens Stift. Der kan saaledes maaske være nogen Grund til at forudsætte, at den ved nærmere Undersøgelse ogsaa skal kunne være at gjenfinde over de mellemliggende Kyststrøg, hvorpaa Opmærksomheden i saa Henseende hidtil ikke — saavidt vides har været rettet. I ethvert Tilfælde er denne Strandlinie paavist over saa store Strøg, at den vel i sin Optreden maa være at tillægge - en helt anden Betydning end som en blot lokal Fremto- ning. Det samme vil vel ogsaa kunne blive at gjøre De her opførte Tal angive Høideforholdene ikke med absolut Nøiag- tighed, men antages dog ikke væsentlig at skulle afvige fra det virke- lige. + Foruden ved Aneroidbarometer ere de tildels ogsaa bestemte ved Nivellement. Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 199 gjældende for de to andre Strandlinier, hvorvel de vist- nok træder frem mindre hyppigt end den foregaaende. 12) De høiest liggende hidtil paaviste Strandlinier ere de ved Ihlsviken ved Trondhjem, hvoraf den nederste ligger i en Heide o. H. af 512’, den øverste af 569° (efter Nivelle- ment af Sexe i respektive 496’ og 534°). Disse Linjers horizontale Lob i Forbindelse med den Omstændighed at de, hvor de overskjæres af storre Elvefar, her i Regelen ville findes at falde sammen med den: sagte skraanende Overflade af en til Elvefaret knyttet af lost Mate- riale bygget Terrassedannelse, gjør det utvivlsomt, at de maa være dannede omkring Havniveauet og i ethvert Tilfælde under høieste Havstand. Strandlinierne ligesaavel som Ter- rasserne ligge saaledes igjen som Mærker efter gamle Hav- stande. | Medens man i det væsentlige er paa det rene med Hen- syn til Spergsmaalet om Terrassedannelsen, der den Dag i Dag foregaar for vore Øine, vil det derimod være vanskeli- gere nærmere at bestemme de Forholde, hvorunder Strand- linierne med de til samme saa ofte tilknyttede Veibaner ere dannede. At Havvandet her ikke kan have været det væsentlig virkende Agens, dette vil vel paa Forhaand være klart. Der- imod har man mere fæstet sig ved Forudsætningen om, at Udgravningen her nærmest maa være at tilskrive Is. Herom skal der vel heller ikke kunne raade synderlig Tvivl. Men Spørgsmaalet er dermed ingenlunde afgjort. Her gjelder det nærmere at klargjøre under hvilke Forholde Is skal kunne virke saaledes udgravende, og derunder navnlig at paavise Steder, hvor Kræfter ere i Virksomhed i et lignende Arbeide. Saadanne ere imidlertid ikke paaviste og foreløbig er der vel ogsaa al Sandsynlighed for at man maa søge op til Polar- landene for nærmere at efterspore dette. Spørgsmaalet vil saaledes som allerede tidligere fremholdt neppe kunne blive 200 Karl Pettersen. at lose endeligen og paa en fuldt tilfredsstillende Maade gjen- nem Undersøgelser alene inden vort Land. Hvad man nu har at gjøre kan alene være ved Siden af de muligst nøiag- tige Undersøgelser, som vore Kyststrog i denne Retning kan give Anledning til, foreløbig at fremholde de forskjellige For- udsætninger, der kunne være at fæste sig ved, og søge disse nærmere veiede for om muligt deraf at uddrage Antydninger, der kunne tjene til Støtte for videre Undersøgelser. Naar man fæster sig ved Isen som det herunder virkende Agens, saa vil man paa Forhaand let kunne ledes til en For- udsætning om, at de omhandlede Strandlinier ere at henføre til den egentlige Glacialtid. Ser man hen til den Heide over Havfladen, hvori flere af disse Furer træde frem, saa vil der ogsaa være al Sikkerhed for, at de høiere liggende af disse i Virkeligheden ere fra den Tid. | Men i saa Tilfælde er der dog liden Rimelighed for, at det kan have været de fra Høifjeldet nedglidende Isstrømme, der her har udført Udgravningsarbeidet. Strandlinierne med sine brede Veibaner ere i Regelen udgravede i steilt udadheldende Fjeldsider. Naar Isstrømme glide nedad, saa vil Berggrunden her vistnok blive afskuret, anseelige Udgravninger maa her kunne finde Sted, men det endelige Resultat bliver dog i Regelen, at Fjeldsiderne frem- deles bevare sine oprindelige ydre Formforholde og træde frem som udadhældende Flader, paa det nærmeste kongruente med de oprindelige. Vistnok vil mer eller mindre horizontalt liggende veilignende Furer her kunne dannes, naar den ned- glidende Is opfanges af mere oprindelige Indskjæringer eller Afsatser langs Fjeldsiderne. Saadanne vil Isen da yderligere kunne udgrave. Men disse stumpevise Flader ville blot have en fjern Lighed med Strandliniernes Veibaner, og man vil neppe udsætte sig for at sammenblande dem. Saaledes alene vil Isen i den heromhandlede Retning kunne arbeide — i et- hvert Tilfælde over Havfladen. Men der er heller ikke saa- Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 201 vidt der kan sees stor Sandsynlighed for, at Isen, der fra Høifjeldet skyder sig ned under Havfladen, skal kunne i dette Stykke arbeide anderledes under denne, naar ikke andre sær- lige Forholde her skulde trade til. Men hertil kommer endvidere den Omstændighed, at Strandlinierne fortrinsvis ere at paavise langs de aabne Sund- løb ud imod den egentlige Kyststrækning og derimod sjeld- nere efter de længere indad liggende Fjordløb. Og i sidste Tilfælde da netop efter saadanne Fjorde, som i den Tid, da den til samme knyttede Strandlinie udgroves, dannede endel af et dengang til begge Sider aabent Sundløb. Skulde Strand- linierne være dannede af de fra Høifjeldet nedskydende Ismasser, saa maatte Forholdet vel have været det lige omvendte, — man maatte fortrinsvis have ventet at skulle finde dem træ- dende frem efter Fjordløbene, langs hvilke de mægtigste Is- masser i ethvert Tilfælde har skudt ned fra Høifjeldet. Under Dannelsen af Strandlinierne maa der saaledes utvivlsomt have været i Virksomhed andre Kræfter end de fra Høifjeldet nedskydende Isstrømme. Men dette fremgaar ogsaa paa det bestemteste deraf at flere af Strandlinierne ligge saa lavt, at de utvivlsomt maa være dannede i den postglaciale Tid. Ved Slutningen af den glaciale eller i Begyndelsen af den postglaciale Tid laa det nordlige Norge henimod 300° (94.1 m.) lavere end nu. Samt- lige de her inden Tromss Omegn omhandlede Strandlinier ligge imidlertid betydelig lavere over den nuværende Havstand end det nysnævnte Tal, og de maa altsaa under den Forud- sætning, at de ere udgravede enten ved eller under Havfladen, være at henføre til den postglaciale Tid — altsaa til den Tidsperiode, da i det høieste lokalt begrændsede Isstrømme fra Høifjeldet skjød sig ned til Havfladen. Strandlinier ere saaledes udskaarne saavel gjennem den glaciale som den post- glaciale Tid. Har Isen saaledes herunder været det væsentlig virkende 202 Karl Pettersen. Agens, saa vil det være aabenbart, at den herunder har ar- beidet under saadanne Forholde, der paa engang lade sig ind- ordne saavel under den glaciale som under den postglaciale Tids Optræden. Thi Strandlinierne bære overalt — hvad enten de ligge i de høiere eller lavere Niveauer — et saa ganske ensartet Præg, at de utvivlsomt maa være at henføre til gan- ske ensartet virkende Kræfter. Men saaledes vil man naturligen ledes til en Forudsæt- ning om, at Strandliniernes Veifurer kunne være at tilskrive Kystisens skurende Evne. Under denne Form kan Is have optraadt langs disse Strøg ikke alene gjennem den glaciale men ogsaa gjennem forskjellige Afsnit af den postglaeiale Tid. Som før vist ligge Strandlinierne i samme Heide som de sagte skraanende Overflader af aabne Terrassedannelser efter de Elvefar, der overskjære Strandlinierne. Strandliniernes Veiflade og Terrassefladen flyder her sammen til en og samme fortløbende Flade. Dalførernes aabne Terrasseflader maa være af:atte under Havfladen og vel ofte i Littoralbæltet, og følgelig maa ogsaa Strandliniernes Veifurer være udgravede under den almindelige Havstand og i Regelen å Littoralbæltet. Forholdsvis mægtige Ismasser kunne nemlig: saaledes ved høit Vande være drevne ind imod Land, ved lavere Vandstand derimod, idet de delvis hæftede ved den faste Berggrund, un- der Strømsætningen have skudt sig skurende henover den. Men under denne Forudsætning maa a være at tillegge en væsentlig Betydning. At Forholdet kan være dette, synes yderligere at skulle stottes ved den for fremholdte Omstændighed, at Strandlinierne væsentlig synes knyttede til saadanne aabne Sundleb, hvor en stærk Strømsætning nu er raadende, og hvor der er al Grund til at forudsætte, at den har fundet Sted i ikke mindre men høist sandsynligt i end stærkere Maalestok i den Tids- periode, da Strandlinierne udgroves. Fastlandsstrekningen og Øerne over det nordlige Norge ere nemlig stærkt indskaarne - På a . “ Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 205 ved Fjordløb og lavt liggende Eidefar, der ikke alene i Be- gyndelsen men ogsaa langt ud i den postglaciale Tid have ligget under Havfladen. Ikke alene de nu sammenhængende større Ølande men ogsaa store Dele af Fastlandsstrækningen var Saaledes udskilt i en Række af helt omflydte Øer ved talrige nu afstængte Sundløb. Stærke Strømsætninger maa efter al Sandsynlighed have fundet Sted efter disse. Det er en videnskabelig Kjendsgjerning, at vort Land gjennem Kvartærtiden har været i Stigning. Selve Strand- linierne, der træde frem i forskjellige Niveauer, ere allerede i og for sig afgjørende Vidnesbyrd herfor. Et andet Spørgs- maal bliver det imidlertid i saa Henseende nærmere at be- stemme de Forholde, under hvilke Stigningen er foregaaet, — om dette f. Ex. er skeet langsomt og jevnt eller stød- og rykvis med mellemliggende rolige Perioder. Besvarelsen af dette Spørgsmaal vil i flere Henseender ogsaa kunne have Betydning for en nærmere Udredning af de Forholde, hvorunder Strandlinierne ere dannede. Disse Li- niers Optræden i bestemtere Niveauer er saaledes bleven holdt frem som Støtte for den rykvise Stigning. Der kan ogsaa paa Forhaand være nogen Grund til at forudsætte, at Strand- linierne vilde have traadt frem under noget forskjellige For- holde, eftersom den faste Fjeldgrunds Stigning var foregaaet ad den ene eller ad den anden Vei. Dette Spørgsmaal skal derfor her søges nærmere belyst, forinden man gaar ind paa Behandlingen af Strandliniernes Dannelse. Af de forskjellige Forskere, der have behandlet disse Forholde, har Flerheden nærmest fæstet sig ved en Forud- sætning om en noget uligeformig Stigning. Keilhau — der herom ellers udtalte sig megen Forsigtighed — antog, at de i forskjellig Høide liggende Kystlinier vidnede om, at Foran- dringerne i Niveauet have foregaaet i særdeles lange Tidsrum og afvexlet med rolige Epoker. Som det vil fremgaa af denne 204 Karl Pettersen. Udtalelse, var vistnok Keilhau tilbøielig til at forudsætte, at de gamle Kystlinier særlig betegnede saadanne Niveauer, der i sin Tid har ligget omkring den almindelige Havstand gjen- nem en længere rolig (eller forholdsvis rolig) Periode. Om Keilhau saaledes holdt paa en noget variabel Stigning, var han dog vistnok langtfra at fæste sig ved en Forudsætning om en rykvis Stigning. Den franske Geolog Bravais, der i Sluten af Treti-Aarene længere Tid opholdt sig inden det nordlige Norge, medbragte derfra som Resultat af sine Undersøgelser, at Fjeldgrunden i disse nordlige Strøg er steget rykvis (comme par saccades). . Til samme Resultat kommer ogsaa Kjerulf senere gjennem sine fortjenstfulde Undersøgelser af de glaciale og postgla- ciale Skjælbanker ligesom ogsaa af Terrassedannelserne. Som Følge heraf er det ikke saa langt fra, at der senere endog er bleven gjort Forsøg paa at opstille det som en videnska- belig Kjendsgjerning, at den skandinaviske Halvø gjennem Kvartærtiden er steget gjennem Spring. Paa den anden Side er dog denne Forudsætning ogsaa fra andre Kanter mødt med mer eller mindre bestemt udtalt Tvivl. Navnlig har Professor Sexe i forskjellige Indlæg fremlagt vægtige Indven- dinger mod sammes Berettigelse. Forudsætningen om Landgrundens rykvise Stigning er — saavidt det kan sees — væsentlig knyttet til følgende her fremtrædende Forholde: 1) Strandlinierne (ligesom ogsaa Terrasserne) træde frem i forskjellige Niveauer, idet de derunder kunne for- følges over vidtstrakte Strøg som paa det nærmeste horizontale Linier. 2) Dalbunden stiger i Regelen ikke op efter et mer eller mindre jevnt Skraaplan fra det nuværende Havbryn, men som oftest gjennem flere Sæt, der bestemmes ved forskjellige paa hinanden følgende Terrassetrin. 3) Kyst-Skjælbanker ere ikke at paavise i hvilketsom- Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 205 helst Niveau mellem den nuværende Havstand og den ældste hidtil paaviste Havstandslinie, men derimod alene i enkelte mellemliggende Niveauer. 4) Terrassernes steile Endeflade, hvis vertikale Høide antages at angive Maalet for den rykvise Stigning. At Strandlinierne spænde sig ud i samme Heide i Mile- langt sammenhængende Løb, — at i Høide o. H. indbyrdes korresponderende Linier ere at paavise over vidt fra hinanden liggende Strøg efter det nordlige og sydlige Norges Kyststrøg vidner om at ensartede Stigningsforholde maa have raadet langs de egentlige Kyststrøg fra Nordkap sydover til Bergen. Med Hensyn til Stigningsforholdene i Retning fra Kysten ind- over Fastlandsstrøgene er derimod gjort gjeldende — saaledes af Bravais — at Stigningen er foregaaet efter en voxende Maalestok udenfra indad. I Strøget fra Hammerfest ind mod Bunden af Altenfjord har han saaledes paavist 2 Strandlinier — den ene liggende over den anden. Den øverste af disse ligger ved Hammerfest i en Heide o. H. af 28.6m., ved Ko- magfjord omtrent midt imellem Hammerfest og Alten i en Høide af 51.8 m. og ved Bunden af Alten i en Heide af 67.4. Paa samme Maade skal ogsaa den lavere liggende Strandlinie vise en voxende Stigning fra Hammerfest indover. Imidlertid kan der vel i saa Henseende være al Grund til at forudsætte, at de to her nævnte Strandlinier ikke saaledes kunne være fulgte efter et sam- menhængende Løb fra Kysten indover, at det af Bravais i saa Hen- seende opstillede Resultat uden videre skal kunne godkjendes som stemmende med det virkelige Forhold. Tvertimod er der for hver den, der er nogenlunde lokaliseret over disse Strøg, al Sandsynlighed for, at de opstillede Høidebestemmelser alene ere aflæste paa enkelte Punkter, og at de to nævnte Linier mere som tænkte end virkelige ere blevne optrukne mellem disse. Paa den ene Side er det antagelig sikkert, at disse Strandlinier ikke træde frem i et mere bestemt sammenhæn- gende Løb langs hele dette milevide Strøg, der ogsaa hyp- 206 — Karl Pettersen. pigt gjennemskjæres af kortere eller transversalt indskydende Smaafjorde. Landet er her i det store ikke fulgt af Bravais anderledes end til Baads, og de Observationer, der derunder kunne være tagne, ville neppe have været af den Art, at derpaa sikre Slutninger kunne bygges i den af Bravais angivne Retning. Der er saaledes ingen Sikkerhed for, at den øvre Linie ved Hammerfest danner en Afdeling af den øvre Linie ved Bunden af Alten. Her er der snarere Sand- synlighed for at forskjellige Strandlinier og Terrasser feilag- tigen ere sammenknyttede til en. Mærkeligt er det i saa Henseende ogsaa, at Bravais's øvre Linie ved Hammerfest (28.6 m.) saa nært som det vel er muligt ved den Slags Maa- linger falder sammen med den lavere Linie ved det indre af Fjorden, hvis Høide o. H. som ovenfor nævnt er ansat til 27.7 m. Paa Forhaand kunde der saaledes maaske være mest Rimelighed for, at den øvre Linie ved Hammerfest og den nedre ved Bunden af Alten danner Brudstykker af et og samme Liniesystem. Men hertil kommer endvidere den Omstændighed, at Bravais's Slutning ingenlunde støttes ved at se hen til Forhol- dene over andre Strøg inden det nordlige Norge, hvor nær- mere Undersøgelser herom have været anstillede. Afstanden mellem Hammerfest og Komagfjord er omkring 4 norske Mil, og den samme Afstand ligger mellem Komagfjord og Alten. Mellem Hammerfest og Komagfjord viser Bravais's øvre Linie en Stigning af 23.2m. eller 5.8m. pr. Mil. Mellem Komag- fjord og Bunden af Alten er Stigningen 16.6 m. eller 42 m. pr. Mil. Med et Middeltal skulde Hammerfest-Alten Linien vise en Stigning af omkring 5m. pr. Mil i Retning fra Kysten indover. Strandlinierne om Tromsø ere fra Kysten indover fulgte gjennem et Par Miles Længde. Skulde Forholdet her have været nogenlunde overensstemmende med det, der er opgivet for Hammerfest-Altenlinien, saa maatte Strandlinien ved Finland have ligget i et omkring 10 Meter høiere Niveau Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 207 end Strandlinien længst ud mod Malangen — en Differentse, der er for stor til at den skulde være bleven ubemærket, om den i Virkeligheden havde været tilstede. Forholdet er her tvertimod det, at Linien overalt maa ligge paa det nærmeste i samme Hoide. Det samme er ogsaa Tilfældet med Ulfsfjordli- nien. Ogsaa her slynger Linien sig saa langt indover, at en Stigning efter den anførte Maalestok i Retning indover ikke skulde have kunnet undgaa Opmærksomheden. Efter Mohn optræder Strandlinierne inden Tromsø Amt og Strøgene om Altenfjord i det væsentlige ganske ensartet og i tilsvarende Niveauer. Der er saaledes al Grund til at forudsætte, at der har raadet ensartet Stigning over begge disse Strøg. Inden Tromsø Amt har Stigningen utvivlsomt foregaaet med samme Intensitet ikke alene langs Kyststrøgene, men ogsaa i Retning fra Kysten indover Fastlandet, saalangt Iagttagelser i denne Retning ere naaede frem. Hvad enten nu Stigningen er foregaaet langsomt eller rykvis, saa vil der — i ethvert Tilfælde indtil bestemte Data for det modsatte maatte foreligge — være al Grund til at drage den Slutning: at Landgrundens Stigning gjennem Kvartærtiden for det nord- lige og vestlige Norges Vedkommende ikke alene å Retning fra Nord mod Syd, men ogsaa å Retning fra Vest til Ost (eller fra Kysten indover Fastlandet) overalt er foregaaet under ensartede Forholde, og at navnlig Stigningskræfterne derunder overalt maa have arbeidet med i det væsentlige samme Intensitet. Af det Forhold, at Strandlinierne synes knyttede til en- kelte mere bestemte Niveauer, idet de derunder — Forholdet seet i det store — ligge trinvis over hinanden, er der draget den Slutning, at Landgrundens Stigning maa være foregaaet rykvis mellem lange mellemliggende Tidsrums Stilstand. Un- der saadanne Stilstandsperioder antages nemlig Strandlinierne med sine Veiflader at være udgravede, medens den vertikale 208 Karl Pettersen. Heide mellem de paa hinanden følgende Linier skulde angive den enkelte Stignings rykvise Maal. Det vil imidlertid være aabenbart, at dette Forhold i og for sig ingenlunde i saa Henseende kan være afgjørende. Det er nemlig ikke sagt, at de nødvendige Betingelser for Strandliniers Dannelse til enhver Tid have været tilstede i passende Maal. Men da man endnu ikke er kommet til Enighed om, hvilke de Kræf- ter have været, som have dannet Strandlinierne og under hvilke Forholde disse maa have arbeidet for at hidfore saadanne | Resultater, saa vil det i ethvert Tilfælde være noget fortid- ligt heraf at uddrage positive Slutninger i den omhandlede Retning. Men selve Strandlinierne synes — naar Forholdet i saa . Henseende betragtes noget nærmere — snarere at skulle vidne imod end til Fordel for en Forudsætning om Landgrundens rykvise Stigning. Det vilde visselig være et i høi Grad eien- dommeligt Forhold, om saa vidtløftige Strøg, som den norske Kyst fra Nordkap til Bergen — altsaa gjennem en Længde af flere hundrede Mil — igjennem disse mange forskjellige paa hinanden følgende Ryk overalt dog skulde have steget i en saa fuldkommen ensartet Maalestok, som de horizontalt udspændte Strandlinier synes at vidne om. Man kunde maa- ske have ondt nok for at fæste sig ved en Fremstilling om en saa høist mærkelig Regelmæssighed i Stigningen, selv under en Forudsætning om Landgrundens langsomme Stig- ning — med en Forudsætning om en rykvis Stigning lader en saa paafaldende Regelmæssighed sig neppe forene. Naar man herunder ikke kan gaa ud fra, at det er Havstanden, som er sunket — en saadan Forudsætning vilde have stillet Strandlinierne horizontale Løb i et let forstaaeligt Lys — saa vil der her neppe være nogen anden Udvei end at afvise Forudsætningen om den rykvise Stigning. Med Hensyn til det under 2) (efr. S.204) fremstillede Forhold, saa fremgaar vistnok deraf, at Indlandspartierne ere stegne, Cm de i fast Berg udgravede Strandlinier. 209 idet de i forskjellig Heide liggende Terrasseflader hver for sig kunne angive en tidligere Havstand. Men heller ikke dette Forhold vil i og for sig kunne besvare Spørgsmaalet om Stigningen er foregaaet langsomt og jevnt eller rykvis med mellemliggende Stilstandsperioder. Det maa i saa Hen- seende først blive at afgjøre under hvilke Forholde Terras- sernes steile Endeflade kan dannes — om den er betinget af den rykvise Stigen eller om den ikke skulde kunne dannes og engang dannet ogsaa bevares under Landgrundens jevne Stigen. Med Hensyntil 3) (efr. S.204-205) saa afgiver heller ikke dette nogetsombelst direkte Bevis for en rykvis Stigning. Ligesom der ingen Nødvendighed er for, at Betingelserne for Strand- liniernes Dannelse til enhver Tid kan have været forhaanden, saa vil det heller ikke være fuldt berettiget uden videre at forudsætte, at Betingelserne for Dannelsen af Skjælbanker til enhver Tid gjennem Kvartærtiden skal have været tilstede. Spørgsmalets endelige Afgjørelse vil nok nærmest komme til at bero paa den Vægt, der kan blive at tillægge den un- der Post 4 gjorte Forudsætning. Den er imidlertid en blot og bar Forudsætning og støtter sig ikke til saadanne Iagtta- gelser, der kunne kjedes sammen til et direkte Bevis. Tvert- imod vil de Forholde, hvorunder Terrasserne træde frem, utvivlsomt snarest komme til at afføde Slutninger, der tyde hen paa, at den faste Fjeldgrund gjennem Kvartærtiden i det Hele og Store maa have steget langsomt og jevnt. Her gjelder det først og fremst at holde sig for Øie, hvad der ovenfor nærmere er paavist, at Landgrundens Stig- ning: over store Strøg er foregaaet efter en ensartet Maalestok — hvad enten Stigningen nu i og for sig er foregaaet paa den ene eller anden Vis. De milevidt udspændte horizontalt liggende Strandlinier afgive derfor det mest afgjerende Bevis. Skulde Terrassernes skraa Endeflade afgive Maalet for hver stødvis vertikal Stigning, saa maatte Terrasserne træde frem Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 14 210 Karl Pettersen. altid i korresponderende Høideniveauer, og i det hele og store med de samme Antal Trin. Dette er imidlertid ingen- lunde Tilfældet. Trinenes Antal og deres respektive Høide- niveauer kan variere overordentlig selv inden nærliggende Lokaliteter. Det samme er saaledes ogsaa Tilfældet med den vertikale Høide mellem Trinene. Sammenligner man saaledes - Terrassedannelserne ved Mjelle, ved Ulfsnes med Terrasse- dannelserne ved Balsfjordens Bund (Fig. 7), saa vil dette træde klarere frem. Balsfjordterrassernes øverste Trins skraa og karakteristisk udprægede Endeflade har en vertikal Heide af omkring 66° (20.7 m.), og skjær sig langt dybere ned end Ulfsfjordens Strandlinie, uden at vise Antydning til Trin i en med denne nogenlunde korresponderende Høide. Skulde Ter- rassens skraa Endeflade afgive Maalet for Fjeldgrundens ryk- vise Stigen, saa var det aabenbart, at Stigningen ind imod Bunden af Balsfjorden maatte være foregaaet efter en med den langs Ulfsfjorden heist afvigende Maalestok. Men lig- nende Forholde ere at paavise inden Lokaliteter, der ere langt nærmere knyttede til hinanden end de her nævnte. Under den her fremholdte Forudsætning maatte altsaa Stigningsfor- holdene over det nordlige Norge have ytret sig høist forskjel- ligt selv inden ganske nærliggende Lokaliteter — altsaa i lige Modsætning til hvad der tidligere er paavist, at Forhol- det efter al Sandsynlighed maa have været. Men dernæst vil det ogsaa være indlysende at selve Strandlinierne under en saadan uligeformig Stigning ikke som Tilfældet er kunde have spændt sig ud milevidt i fuldkomment horizontalt Løb, men at de maatte have traadt frem enten som bugtede eller som mere eller mindre brudte Linier. Der er imidlertid ogsaa andre Forholde at aflæse, der afgjørende vidner for en jevn og ensartet Stigning gjennem forholdsvis saa anseelige Tidsrum af Kvartærtiden, at der paa Forhaand vel kan være al Grund til at forudsætte, at Forholdet maa have været det samme ogsaa gjennem den Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 211 hele Kvartærtid, i ethvert Tilfælde indtil mere direkte Vid- nesbyrd maatte foreligge for at Stigningen under enkelte Tids- afsnit er foregaaet paa anden Vis. Og dette saa meget mere, som denne langsomme og jevne Stigning netop er at paavise inden saadanne Strog og i Tidsperioder, i hvilke den stedvise Stigning skulde have fundet Sted. Paa forskjellige Steder inden det nordlige Norge er der saaledes at paavise littorale Skjælbanker, der kunne følges i Sammenhæng fra Stranden opover til en Høide over Havfladen af 30' (9.4m.) — idet Landgrunden langsomt skraaner op fra Stranden til nævnte Høide. Saadanne Skjælbanker ere saaledes at paavise paa Tromsøen og inden selve Tromsø Bys Territorium. Her er det aabenbart, at Stigningen gjen- nem Kvartærtidens sidste Afsnit maa være foregaaet langsomt gjennem de lavest liggende 30’. De her omhandlede Lag ere helt og holdent byggede af Skjelrester, alene sparsomt ind- blandet med Sand og Smaasten, og ere gjennem hele denne Høide ganske ensartede. Den vertikale Atstand mellem høie- ste og laveste Vandstand er her for Tiden 8 à 9’ (2.5 å 2.8 m.). De nævnte Skjælbanker, der nærmest have været knyttede til den egentlige Littoral-Zona og ere opkastede i denne, ville saaledes under stationære Niveauforholde sjelden kunne naa en større Heide end høiest op imod 6' (1.9 m.) — i Rege- len vel neppe mer end 2 å 3‘. Under Forudsætning af, at Landgrunden igjennem disse sidste 30° var steget rykvis, maatte her udkræves et Antal af mindst 5 rykvise Spring, — noget der dog ikke godt lader sig bringe i Samklang med de inden disse Strøg i lavere Høide end 30' o. H. lig- gende Terrassedannelser. Ifald disses skraa Endeflade skulde angive den rykvise Stignings Vertikale, saa vilde de i ethvert Tilfælde vidne om noget ganske andet. Professor Kjerulf har i sit Skrift «om Skuringsmærker, glacial Formation og Terrasser»!) leveret en Fortegnelse fra 1) Univ. Program 1871. | 14* 212 Karl Pettersen. det søndenfjeldske Norge over Beliggenheden af ældre Skjæl- * banker med glaciale Skjælrester. Imellem et Antal af 19 ligger 1 i en Høide af 540' o. H. Diff. 1- - br REA 20 DE EAS 005) dite ie OR or aa DE mare sees 1 - - 25 He 45000 MADE EN aah) 2 Se AAN øde VID hehe. nus Med 43 ails eee ASE (5) 1 - - = ATOME HP NTN) Dur er ed 00 9 Jet. 0900 rast Sas een 1- - Lait! CEL Serine rome i EA) le ÉMIS DOME SES 253 Hoidedifferentsen mellem disse i forskjellige Niveauer liggende Banker er saaledes for SB Prin RI ir 50 JEG JO! Er De GO REN GONE Sps VS Oe DIR GUN Om rt - 1 — 45". Allerede som disse Tal træde frem synes det med Bestemthed at fremgaa, at Skjælbankerne her ingenlunde lader sig grup- pere om bestemte Niveauer, selv om man tager Hensyn til, at Høidebestemmelserne kunne udkræve nogen Korrektion. Ligesom der i den opstillede Række i Regelen er saa liden Differentse, at Forudsætningen om en stødvis Stigning her alene vil kunne gjøres gjeldende inden temmelig snevre Grændser, saa vil der paa den anden Side ogsaa være al - Grund til at forudsætte, at Springene mer og mer ville udvid- skes med det voxende Antal af maalte Skjælbanker. De her Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 213 omhandlede Banker omfatte antagelig en liden Del af dem, der ville være at paavise. Der kan saaledes vel være megen Sandsynlighed for, at Skjælbanker over de omhandlede Strøg ville være at paavise i hvilkensomhelst Hoide mellem de op- stillede Ydergrændser (350 og 540° o. H.). Der synes saale- des ogsaa her paa Forhaand nærmest at være Grund til at drage den Slutning, at Landgrundens Stigning over store Dele af det sydlige Norge for de Niveauers Vedkommende, der ligge mellem 350° og 540' 0.H., maa være foregaaet lang- somt og nogenlunde jevnt. M. Sars, der i Universitetsprogram for 1864 har omhand- let det østlige Norges glaciale Skjælbanker, liggende i for- skjellige Niveauer fra 280' til 470' o. H. (84.7—147.5 m.), fremholder der, at disse Skjælbankers Beskaffenhed tydeligt vise, at Hævningen her ikke er skeet pludselig eller med et. Skjælbankerne, der ere sande Littoraldannelser eller dog at- satte paa meget grundt Vand navnlig i den øvre Del af Laminarie-Bæltet, vidne — efter hans Opfatning — om at Landgrundens Stigning fra 280 til 470' er foregaaet efterhaan- den dog med visse Mellemrum af Rolighed, der betegnes ved forskjellige over hinanden liggende Strandlinier. I nævnte Afhandling gjør Sars ogsaa den samme Slutning gjeldende for den Del af Landgrunden, der ligger mellem den nuværende Havstand og 150' (47 m.) o. H., til hvilken Høide der i det sydlige Norge er paavist postglaciale Skjæl- banker. Imellem de glaciale Bankers nederste Grændse 270' og de postglaciale Skjælbankers øverste Grændse 150", er der et Mellemrum af omtrent 150’ (47 m.), hvori der hidtil ikke er bleven fundet Skjælbanker.» I Henliold hertil antager Sars, at der for dette Mellemrums Vedkommende foreløbig kan være nogen Grund til at drage den Slutning, at Land- grunden her er steget i et Sat de nævnte 150". Fraverelsen af Skjelbanker over dette Mellemrum vi: dog i og for sig vel neppe i saa Henseende være afgjørende 214 Karl Pettersen. — hvad der ogsaa indrømmes af Sars. Der kunde dog ogsaa være nogen Grund til at forudsætte, at den stærke Sne- og Issmeltning under Glacialtidens Afslutningsperiode, der vel har vedvaret gjennem lange Tidsrum, ikke kan have ydet særdeles gunstige Betingelser for Dannelsen af Skjælbanker. Foreløbig vil det saaledes vel ogsaa for dette Mellemrums Vedkommende være rettest at holde paa en Forudsætning om jevne og langsomme Stigningsforholde. I Henhold hertil synes der saaledes nærmest at være Grund til at drage følgende Slutning: «Igjennem Kvartertiden har Norges faste Fjeldgrund steget langsomt og i det væsentlige nogenlunde jevnt.» Denne Slutning, der stiller sig i et bestemt Modsætnings- forhold til Forudsætningen om en stødvis Stigning i den Form, hvorunder denne er bleven fremholdt, kan derimod godt lade sig forene med en Forudsætning om, at Stigningsintensiteten til forskjellige Tider dog kan have varieret og til sine Tider maaske ogsaa aftaget til 0. Med det nysnævnte Sumer for Øie, skal nu her gjøres et Forsøg paa nærmere at redegjøre for de For- holde, under hvilke Strandlinierne med sine udskaarne Vei- planer kunne være dannede. Som tidligere fremholdt, maa Strandlinierne antagelig være udgravede under Havlinien og i Regelen mellem høieste og laveste Havstand. I denne Forudsætning vil efterstaaende Fremstilling søge sit egentlige Udgangspunkt, idet man her foreløbig lader Spørgsmaalet uafgjort, hvorvidt Landgrunden er steget langsomt eller stødvis. I Fig. 8 betegner abe det udskaarne Triangel-Snit, Linien ab et Tversnit af Strandliniens Veibrede, Linien be den fra Veibanens indre Kant opstigende-Bergveg. Med Hensyn til Spørgsmaalet om det Punkt, hvor Udgravningen fra først af er paabegyndt, vil der antagelig alene være Grund til at fæste sig ved et af følgende to Tilfælde: Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 215 1. Den forste Fure-Indskjæring er at soge i Veibanens ydre Punkt a, | 2. eller i Snittets øverste Punkt c. I det første Tilfælde maa Landgrunden gjennem hele det Tidsrum, der er medgaaet til Dannelsen af det udskaarne Triangel-Snit, have ligget i samme Niveau. Igjennem dette Tidsrum maa der saaledes have raadet fuldkommen Stilstand med Hensyn til den faste Fjeldgrunds Niveauforandringer. Under Udgravningsarbeidets gradvise Fremskriden bliver det udskaarne Triangel-Snit stadig større og større. Paa Fig. 8 “er Forholdet i saa Henseende betegnet med Snittene ab, c, — ab, c, og saaledes videre indtil abe, der betegner Udgrav- ningsarbeidets Enderesultat. Arbeidets videre Fremadskriden er først bleven standset ved Fjeldgrundens rykvise Stigen, idet den udgravede Veibane med engang er løftet op over Havfladen. Arbeidet til Udgravning af en ny lavere liggende Strandlinie vil nu kunne tage sin Begyndelse efter den Linie, der er rykket op til den gamle Strandlinies Niveau. I det andet Tilfælde maa Udgravningen være foregaaet under Landgrundens langsomme Stigen saaledes som det nær- mere vil fremgaa af Fig. 9, hvor Beliggenheden af den først udgravne.Rand eller Fure er angivet ved Punktet c, der lang- somt men dog stadig stiger, hvorved der altsaa fremkommer et stadigt voxende udskaaret Triangel-Tversnit i Fig. 9 be- tegnet med a, b, c og a, b, c.- Tversnittets Grundlinie vil derunder altid komme til at ligge i Punktet cs oprindelige Niveau. Strandliniernes Veibaner skjærer sig altid dybere og ‘dybere ned i Fjeldgrunden i samme Maal som denne stiger, og vil saaledes trods dette komme til at indtage et i Forhold til Havlinien uforandret Forhold. Det vil være forbundet med sine Vanskeligheder med Bestemthed at skulle vælge mellem de her nævnte to Tilfælde forsaavidt man her lader Spørgsmaalet om den Maade, hvor- paa Landgrunden er steget, foreløbig henstaa ubesvaret. Der 216 Karl Pettersen. er imidlertid en Omstændighed, som herunder kan synes at at være til Hinder for, at Udgravningen kan være foregaaet i Overensstemmelse med Tilfælde 1. Som gjentagne Gange fremholdt maa de til Ständig knyttede Veibaner være udgravede under Havstanden og an- tagelig heist nogle faa Fod under midlere Vandstand. Den fra Veibanens indre Kant opstigende Bergvæg — Linien be Fig. 8 — kan naa op til en Heide af 30° og vel ogsaa der- over. Det udskaarne Triangel-Snits Langside, Linien ac Fig. 8, maa saaledes — under Forudsætning af, at Strandliniens forste Indskjæring er paabegyndt efter Tilfælde 1 nede ved a- — i sin øvre Del have været trukket saa langt tilbage, at Projektionen af denne ned til Havstandslinien maatte komme til at falde et godt Stykke indenfor Havfladen. Ifald Ismas- ser, der af Strømsætningen presses langs Landet, kunne for- udsættes at skulle kunne udgrave saadaune Triangel-Snit, saa maatte dog den herunder dannede Bergvæg be (Fig. 8) — hvis Udgraven i saa Tilfælde helt eller dog for største Del er foregaaet over Havfladen — have traadt frem enten som en indad skraanende eller høist vertikal stillet Væg, mens den derimod vel i saa Tilfælde ikke som Tilfældet i Virke- ligheden her kan have traadt frem i udad heldende Stilling.’) Var Udgravningen derimod foregaaet under Havfladen, maatte den afskurede Bergvæg blive udadheldende. I Henhold hertil antages Udgravningsarbeidet ikke at kunne forklares efter Tilfælde No. 1. Da fremdeles Strand- linierne maa være dannede i samme Niveau som Terrassernes sagte skraanende Overflade — i Regelen mellem heit og lavt Vande — synes der at være Grund til at drage den Slutning, at den første Fureindskjæring i intet Tilfælde kan have taget sin ee ved Punkt a Fig. 8. 5 Anderledes vil naturligvis Forholdet blive, naar Ismasser skrues trans- versalt ind imod Land. Men at de Hanna udspændte Strandlinier ikke kunne være dannede ad denne Vei, er vel en aabenbar Sag. Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 217 Strandliniedannelsen maa derfor i det væsentlige antagelig være foregaaet paa den. Maade, som er fremholdt i Tilfælde No. 2. Den fra Veibanens indre Kant opstigende Bergvæg be Fig. 8 er i saa Tilfælde helt og holdent udgravet under Havfladen og dens udad heldende Stilling finder ogsaa saa- ledes sin naturlige Forklaring. i For om muligt at komme Sagen i saa Henseende nær- mere paa Spor, foretog jeg i Sommer en Excursion ned til Salangen. Denne danner et henimod 2 Mil langt Fjordløb, der først skjær sig ind i vest-østlig Retning, men derpaa gjen- nem sin inderste Haldel bøier i sydlig Retning, indtil det indad afsluttes mod Lavangseidet. Der hvor Fjordløbet af- bøier fra syd-nordlig til øst-vestlig Retning skyder der sig frem flere større og mindre Smaa-Øer eller Holmer — hvor- imellem Storø, Finø, Lamø, Rovø og Furø, — saaledes at Fjordens indre Del her alene gjennem forskjellige korte og forholdsvis trange Sundløb staar i Forbindelse med den ytre Del. Den indre Del, der danner et anseeligt Bækken, er i Regelen hver Vinter indenfra udefter gjennem en Længde af omkring */2 Mil tillagt med Is. Under Isbrydningen om For- aaret drives denne udad, og derunder sammenstues de ansee- lige Ismasser fra Fjordens indre forholdsvis vide Bækken i de trange Sundløb mellem Holmerne og presses her tildels med stor Voldsomhed udefter, idet de herunder skure mod Holmernes fremspringende Bergvægge, De lokale Forholde synes saaledes her at maatte kunne tilbyde ret gunstige Be- tingelser til nærmere Undersøgelser i den ber omhandlede Retning. Den inderste Del af Kvænangen maaske fraregnet, vil der neppe inden det nordlige Norge være at paavise et hertil heldigere beliggende Sted. . Fra Handelsstedet Søveien — strax udenfor den egentlige Fjordbund — og udover (nordover) langs Fjordens Østside, stikker Lagrækker af Kvartskifer og Kvartsit i steile Styrt- ninger af 20 å 30' Høide op fra Flodmaalets Havstandslinie. 218 Karl Pettersen. Dagfladerne af disse saaledes fremspringende Bergvægge vise sig ofte ret sterkt glattede. Fra Foden af disse skyder en sagte skraanende med løse Stene dækket Bundflade udover. Ved heit Vande er denne dækket af Seen, ved lavt Vande ligger den tør. Se Fig. 10. Fig. 11 er et Profil herfra hentet lidt længere udefter. Knausen a hæver sig op umiddelbart fra det høieste Flodmaal medens Søen under heit Vande stiger heit op ad Knausen (b) uden dog at overskylle den. Berg-Grundens Dagflade saavel i (a) som i (b) er stærkt glattet. Ved lavt Vande ligger der- imod ogsaa (b) helt over Havfladen. Om end i det hele mindre rent udprægede, saa synes Forholdene her i meget at ligne dem ved de gamle Strandlinier. Det veibanelignende Plan ligger mellem Niveauerne for den høieste og laveste Vandstand, medens den steilt opstigende Endevæg fra Veibanens indre Kant enten kan ligge helt over -hgieste Vandstand eller som i Fig. 11 delvis under. Som det vil fremgaa af de her vedlagte Rits, stryger den kvartsitiske Bergart parallel med den nuværende Strandlinie, medens Faldet er indad, (altsaa fra samme). Stor-Ø og Lam-Ø ere de af Holmerne, der i stærkest Grad ere udsatte for Indvirkningen af udskydende Fjordis, der navn- lig her — som ovenfor nævnt — skal kunne presses frem med stor Voldsomhed. Storøens nøgne og stærkt skurede Vægge stige temmelig steilt op fra Havfladen, men afsluttes nedad ved en paa det nærmeste horizontal Bundflade, der ved heit Vande ligger under Havfladen, medens den ved lavt Vande ligger tør (Fig. 12). Ved Lamøen ere Forholdene nogenlunde ensartede hermed, men dog med den Forskjel, at den glattede Bergvæg stikker dybere ned under Havfladen, forinden den gaar over i en mere skraanende Bundflade. Paa andre Steder skyder dog ogsaa Berget under et Fald at 45° og tildels ogsaa derover saa dybt ned under Havfladen, - Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 219 at der her neppe vil kunne blive Tale om, at den uddrivende Fjordis skulde have kunnet fremkalde dette. At de her fremstillede Forholde idet mindste for en væ- sentlig Del maa være at tilskrive Fjordisens skurende Evne, idet denne nnder Isbrydningen presser sig frem langs Fjordens østlige Side og ud imellem Holmerne — derfor er der vel al Rimelighed. Der synes ogsaa, som nys nævnt, i meget at — raade en paatagelig Overensstemmelse mellem de gamle heit over Havfladen liggende Strandlinier og de her omhandlede Forholde ind gjennem Salangen. Man har de samme hori- zontale veilignende Planer med de fra sammes indre Kant temmelig steilt opstigende Bergvægge. I Salangen træder vistnok Forholdet frem mere uregelmæssigt og afbrudt end Tilfældet er ved de gåmle Strandlinier, hvor den regelmæssige Sammenløben, der som tidligere omhandlet er at følge gjen- nem lange Strækninger, er saa stærkt fremtrædende. Men man gjenfinder dog som det synes inden Salangen de samme Hovedtræk. Der kunde saaledes paa Forhaand maa- ske være nogen Grund til at forudsætte, at de gamle Strand- linier kunne være et Værk af lignende Kræfter som dem, der have virket til at fremkalde de omhandlede Forholde inden Salangen. GR Det kunde derfor være værdt her at fæste Opmærksom- heden lidt nærmere ved disse. Har den uddrivende Is her været den vigtigste Faktor til Skuringen af de fra Havfladen opstigende Bergvægge, saa kan dette antagelig alene være foregaaet under Fjeldgrundens langsomme Stigning. Thi Drivisen vil antagelig aldrig kunne skrues saa høit op efter Bergvæggene, at den skulde have mægtet at udføre hele dette Arbeide under de nuværende Høideforholde. Den horizontale eller svagt skraanende Flade under de glattede Bergvægge ligger oftest i nogenlunde samme Heide — nemlig mellem høit og lavt Vande. Hvor der var Anled- 220 Karl Pettersen. ning til nærmere at undersøge Fladens Undergrund, fandtes den vistnok oftest dækket med Slam, Ler o. s. v., men paa sine Steder fandtes dog ogsaa her den kvartsitiske Under- grund stikkende frem. Der kan saaledes være nogen Sand- synlighed for, at den faste Undergrund her alene er dækket af et tyndt Lag af løst Materiale — det vil sige den sagte skraanende Strandflade maa her antagelig være udskaaret i fast Berg altsaa dannet ved Erosion i Lighed med de gamle Strandlinier. Endvidere maa den antagelig altid have ligget i nogenlunde samme Niveau i Forhold til Havfladen som Til- fældet er nu. Stort høiere vil den naturligvis ikke kunne have ligget, i saa Tilfælde vilde den udskydende Fjordis ikke kunne have naaet til her at arbeide udgravende. Noget synderlig dybere vil Strandfladerne her heller ikke kunne have ligget under de klimatiske Forholde, hvorunder de maa være dan- nede. Disse maa antagelig paa det nærmeste have svaret til de nuværende. Strandfladedannelsen er her nemlig ikke af- sluttet, men fremdeles i Virksomhed. Der er derfor al Grund til at forudsætte, at Mægtigheden af de uddrivende Ismasser her maa have været nogenlunde den samme gjennem hele det Tidsrum, hvori den omhandlede Stranddannelse er foregaaet. At Forholdene her imidlertid, som ovenfor fremholdt, i saa Henseende ere lidet udprægede, kan være en ligefrem Følge af at Fjordisen i for ringe Maalestok og alene til en en- kelt kort begrændset Tid af Aaret skyder udover og heller ikke kan virke inden noget videre Omraade. Helt anderledes maatte Forholdet her i saa Henseende have stillet sig, naar man istedetfor en lukket Fjord havde for sig aabne Sundløb med stærk Strømsætning, og dertil da det skurende Materiale 1 rigeligt Maal. I Henhold til den her leverede Fremstilling, synes Strand- linierne at pege hen mod den samme Slutning, — hvortil man ovenfor er naaet ad andre Veie — nemlig den, at Lan- Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 221 dets Stigning gjennem Kvartærtiden er foregaaet langsomt og derimod ikke stød- eller rykvis. Ifald Strandliniedannelsen i Virkeligheden skal være fore- gaaet paa den her fremstillede Maade, vil det Spørgsmaal naturligvis. stille sig frem, hvor det virkende Agens (Isen) er at sage. Af Høideforholdene fremgaar det med Bestemthed at flere af de gamle Strandlinier — saaledes de fleste i denne Afhandling omtalte — maa være dannede i den postglaciale Tid. Det nordlige Norges Kyststrøg og Sundløb ere imidler- tid for Tiden ganske isfri, og alene de inderste Partier af dybere indskaarne Fjorde kunne gjennem de strængeste Vin- termaaneder være belagte med Is. Under de nu raadende klimatiske Forholde mangler de nødvendige Betingelser for Dannelsen af Strandlinier saa godtsom ganske. Det vil saa- ledes være nødvendigt at forudsætte, at meteorologiske og klimatiske Forholde maa gjennem den postglaciale Tid have været underkastede forskjellige periodiske Vexlinger, idet Strandlinierne alene træder frem mere udprægede inden be- stemte over hinanden liggende Niveauer. Igjennem den post- glaciale Tid maa saaledes koldere Perioder gjentagne Gange have vexlet med mildere: Under de koldere Tidsafsnit kan Masser af Havis være drevne ind mod Kysten, og ved Strøm- sætningen være ført ind efter Sundløbene, medens omvendt ogsaa Ismasser fra lokale Gletschere, der da i større Maale- stok end nu har skudt sig ned efter Fjeldindskjæringerne, ved Strømsætvingen er ført udover. Uuder disse kolde Perio- der ere da Strandlinierne udgravede. Den vertikale Afstand mellem hver to paa hinanden folgende Strandlinier fra den enes Veiplan til den nedenfor liggende Strandlinies Punkt (c) Fig. 8, betegner saaledes Maalet for Landgrundens Stig- ning gjennem hver enkelt af de mildere Perioder, — Høiden af den fra hver Strandlinies indre Kant opstigende Bergvæg be Fig. 8 derimod Maalet for Opstigningen gjennem hver en- kelt af de koldere Perioder. 222 Karl Pettersen. Den af forskjellige Forskere ad anden Vei dragne Slut- ning om, at der gjennem den postglaciale Tid maa have raadet flere paa hinanden følgende periodiske Temperatur- vexlinger over den nordlige Hemisphære synes saaledes ogsaa at skulle støttes ved at se hen til de her optrædende Strandlinier. Resume. De gjennem denne Fremstilling vundne Resultater kunne sammenstilles under felgende Hovedposter. 1. Strandlinierne ere under Landgrundens langsomme Stig- ning. udgravede ved Skuring af svømmende Kystis og Fjordis. à 2. Strandlinierne ville derfor fortrinsvis være at søge paa saadanne Steder, hvor stærk Strømsætning har raadet under Dannelsestiden, — saaledes langs trangere Sundløb eller langs saadanne Fjorde, der gjennem omhandlede Tid have dannet Dele af dengang til begge Ender aabne Sundløb. 3. Udgravningen er paabegyndt under Havfladen — men i Regelen over laveste Vandstand. Efter hvert som Land- grunden og dermed den fra først af udgravede Fure hæves, skurer Isen sig i samme Maal dybere ned, saa Furens Bundflade trods dette gjennem den hele Dannel- sestid dog paa det nærmeste kommer til at ligge i samme Niveau. Det herunder udskaarne Triangel-Snit faar saa- ledes stadig en større og større Høide, samtidig som den skurede Grundflade voxer i Brede paa Grund af den op- rindelige: Fjeldvægs udadheldende Dagflade. 4. Det udskaarne Triangel-Snits øverst liggende Toppunkt betegner det Punkt, hvorigjennem Strandliniens første Fure er trukket — i en Tid, da Punktet laa mellemi høie- ste og laveste Vandstand. Bergvæggen, der skyder op lic Om de i fast Berg udgravede Strandlinier. 223 fra Veibanens indre Kant til det udskaarne Triangel-Snits øverste Toppunkt angiver Maalet for Landgrundens lang- somme Stigning gjennem det Tidsrum, der er medgaaet til Udgravningen af angjeldende Strandliniesystem. Strandlinierne synes at tyde hen paa, at den skandinavi- ske Halvøs Vestrand er steget langsomt — men ikke ryk- eller stødvis. ; Af Strandlinierne ere de hgiest liggende at henfore til den glaciale Tid, flere af de lavere liggende til den post- glaciale Tid. | Da Kyststrogene langs det nordlige Norge for Tiden — det inderste af enkelte Fjordbunde fraregnet — ere gan- ske isfri, vidner Strandliniernes Optreden om, at der over de omhandlede Strøg gjennem den postglaciale Tid maa have fundet Sted forskjellige periodiske Temperatur- vexlinger. Mildere Perioder, der svare til de nuværende, maa have vexlet med koldere. Under disse sidste ere Masser af svømmende Is drevne langs Sundløbene og Strandlinierne ere Resultatet af disses skurende og ud- gravende Arbeide. Tromsø d. 2 April 1878. SÄTZE UBER MINIMALFLACHEN IL BESTIMMUNG ALLER ALGEBRAISCHEN MINIMAL-FLÄCHEN, DIE SICH IN EINEM ALGEBRAISCHEN KEGEL EINSCHREIBEN LASSEN. VON SOPHUS LIE. Die Theorien meiner vorangehenden Note, verbunden mit der Bonnetschen Theorie der Biegung der Minimalflächen geben eine elegante Bestimmung aller algebraischen Minimal- flächen, die sich in einem beliebig vorgelegten algebraischen Kegel einschreiben lassen. Dies werde ich jetzt zeigen, indem ich zuerst einen Satz, den ich früher synthetisch entwickelt habe, jetzt analytisch beweise. I. Seien x y z die Punktcoordinaten einer reellen alge- braischen Curve. Die Coordinaten x, y, 2, des Krümmungs- Mittelpunkts sind bekanntlich bestimmt durch an Ob oe ee zu2> Ge zZ di V1 TJ Tong ge gi! Gi SE å == = ; 1 Ben A wo æ" y" z" die zweiten Differential-Quotienten hinsichtlich Sätze über Minimalflächen. 225 der Bogenlänge s bezeichnen. Construirt man nun in einem Krümmungs-Mittelpunkte die Normale zur Tangentenebene der Evolute, so erhält man eine Gerade deren Richtungscosi- nus bez. a‘ y‘ z' sind. Die Minimalfläche, die die Evolute nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte berührt, ist da- her gegeben durch die bekannten Formeln U-æ, +2 fe dy, — y‘dz,) V = y, +i fw dz, — 2! dø) W= 2, +1 fe dæ, —x'dy,). Durch Ausfiihrung findet man y" gil n 4 d U= a, +t F d ail? + y"? TE me QU d us + y"? + gå oder indem man die Integration ausführt und die analogen Ausdrücke der Grössen V und W hinzufügt 2! ge ARE y gi! DEEE - > il al? + y"? + 212 a! 2" gg PUE + y"? + 202 V=y,+% d y x" — x" y" PTE + y"? AL gu2” W= 2, +i Hiermit ist nachgewiesen, dass die gesuchte Minimalfläche algebraisch ist. Also Satz 1. Die Minimaljläche, die die Evolute einer algebraischen Raumeurve nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte be- rührt, ist algebraisch. Es ist leicht zu verifieiren, dass der Punkt, dessen Carte- sische Coordinaten bez. U, V, W sind, auf der Evolute gele- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H.. 15 226 Sophus Lie. |» gen ist. Es besteht in der That, wie man durch Ausführun findet, die Identität (1) Ume NER Hier möge noch bemerkt werden, dass Li : Å Å — 1 Veen ==: u2 % fe gps 5 git? oder wenn man den Kriimmungsradius der ursprünglichen Curve mit p bezeichnet (2) V(U—2,"+V—y,)? +(W—2,)=ip, 2. Jetzt suchen wir die Bonnétsche Biegungsfläche. Set- zen wir Uran EOC MENE Wan tu, und nennen die Coordinaten der reellen Punkte der Biegungs- fläche bez. & 7 &, so ist nach Bonnet &= R(iz, — x) y= Ry, — Y2) 2-Rliz, —2). Zu der Beriihrungscurve der ursprünglichen Minimalfläche mit der vorgelegten Evolute entspricht dabei auf der neuen Minimalfläche diejenige Curve X, deren reelle Punkte durch die Formeln See le) B= gegeben sind. Die Normale der Tangentenebene lings dieser Curve besitzt dabei bekanntlich die Richtungscosinus 2‘ y‘ 2, das heisst dieselben Richtungscosinus wie die entsprechende Tangentenebene der ursprünglichen Fläche. Wir werden zeigen, dass die Tangentenebenen der Bie- gungsfläche längs K einen Kegel bilden. Es ist nehmlich a dU+y'dV +z!dW=0, woraus folgt Sätze über Minimalflächen. 227 x’ da, +y dy, +2'd2, =0 x’ de, +y'dy, +2 dz, =0; ferner ist (1) mid, ty 922,20, also kommt io y' 2a Yo%, || 2% , | Bo Yo |’ | dy, day | | dz, dv, dø, dy, welche Gleichungen zeigen, dass die Tangentenebenen der Bie- sungsfläche längs der Curve X sämmtlich durch Origo gehen. Berücksichtigt man nun die Formel (2), so kann man den folgenden merkwürdigen Satz aussprechen: Satz 2. Die Biegungsfläche berührt einem Kegel, dessen Tangentenebenen mit den Normalebenen der ursprünglichen Curve parallel sind. Für jeden Punkt der Berührungscurve ist der Distanz von Origo gleich dem entsprechenden Krüm- mungsradius der ursprünglichen Raumcurve. Früher haben wir gefunden, dass die vorgelegte Minimal- fläche ~* Evoluten algebraischer Raumcurven nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte berührt. Zu den betreffenden Berührungseurven entsprechen dabei auf der Biegungsfläche die . dreifach unendlich viele Curven, nach denen die letzte Fläche von ihren Tangentenkegeln berührt wird. Und da die Bezie- hung zwischen den beiden Minimalflächen eine gegenseitige ist, folgt dass auch die Berührungscurven der vorgelegten Fläche mit ihren Tangentenkegeln diejenigen Curven der Biegungsfläche liefern, nach denen diese Fläche von den Evo- luten von Raumeurven nach dem Orte der Krümmungs-Mittel- punkte berührt wird. 3. Ist nun gegeben ein beliebiger algebraischer Kegel DD By il, 2 Vo | se so findet man folgendermassen vermöge des vorangehenden In: 228 Sophus Lie. Satzes beliebig viele algebraische Minimalflächen, die in diesem Kegel eingeschrieben sind. Ich setze und interpretire dabei mit Plücker t w v als Coordinaten der allgemeinen Ebene nee 0 Déni = (IE Sodann füge ich eine arbiträre algebraische Relation zwischen tuv pltuv)=0 hinzu. Alsdann bestimmen die beiden Gleichungen f = 0, p = 0 die Osculationsebenen einer algebraischen Raumeurve, deren Normalebenen mit den Tangentenebenen des vorgelegten Ke- gels parallel sind. Sodann nehme ich auf jeder Erzeugende des Kegels einen Punkt p, dessen Distanz von Origo, das heisst von der Kegelspitze, gleich dem entsprechenden Krüm- mungsradius der Raumeurve ist. Der Inbegriff der Punkte p bilden eine Curve, und diejenige Minimalfläche die den vor- -gelegten Kegel nach dieser Curve berührt, ist nach dem Vor- angehenden immer algebraisch. Also Satz3. Es giebt unendlichfach unendlich viele algebraische Minimalflåchen, die in einem beliebig vorgelegten algebraischen Kegel eingeschrieben sind. Um eine solche zu finden, nehme man eine beliebige algebraische Raumcurve, deren Binormalen mit den Erzeugenden unseres Kegels parallel sind, und bestimme auf jeder Erzeugende einen Punkt p, dessen Distanz von der Kegelspitze- gleich dem entsprechenden Krümmungsradius der Raumeurve ist. Die Minimaljläche, die den Kegel längs der von den Punkten p erzeugten Curve berührt, ist algebraisch. 4. Der letzte Satz erhält dadurch eine noch grössere Wichtigkeit, dass die angegebene Construktion sämmtliche al- gebraische Minimalflächen liefert, die in dem vorgelegten alge- braischen Kegel eingeschrieben sind. Sätze über Minimalflächen. 229 Seien in der That EG = 2p, 1= Yo, S= By die Gleichungen der Berührungseurve einer beliebigen einge- schriebenen algebraischen Minimalfläche mit dem vorgelegten Kegel. Seien X, Y, Z wo ER X å 4 Y : D ch Z | Va ep | erd Hola | dy, dz, | Gay dr | || Che, 205 | die Richtungscosinus der Tangentenebene des Kegels. Setze ich dann dam LIU Vg de | dy, = Xdz, — Zdx, | (3) dei Mdr, Xdy, 1 und ferner DÉTECTE li) vas se OBS so bestimmen die Gleichungen CRU y= RV CE RW die gegebene Minimalfläche. _ Es bestehen wie man leicht verifieirt, die folgenden Formeln da, = — Zdy, + Ydz, DUT + Dada (4 en = = 20000 Ay SUV Mg ZA Ay ED (5) Xda,+ VYdy, + Zaz, =0 Cy, OPE Ne (I AGE) NG wnt Yad yl 833 Ze 20: Wir führen drei neue Grössen x y z ein, indem wir zetzen. D> Lit Ye Zi, DER AS eee (6) GM AP OT; | 230 Sophus Lie. woraus durch Berücksichtigung von (3) folgt dx = 2, dY — y, dZ dy = x, dZ — 2,dX de = y, AX — æ, dy. Man findet To dx + y, dy +2, dz=0 und indem man zugleich (5) berücksichtigt Gala 2,3 Lo vz der ZX Die beiden letzten Gleichungen geben da dy de ds KAP: wo s die Bogenlänge der Raumeurve x y 2 bezeichnet. Be- zeichnen wir daher die Differential-Quotienten von æ y z hin- sichtlich s mit æ' y‘ 2‘, so kommt X= 2, MES = Die voranstehenden Formeln erlauben die Grössen +, y, 2, u „u To Yo 29 durch wyz v'y'z' x" y" 2" auszudrücken. Ich setze Un 2, Hian, Va =O ae OMe UG SG 0, und erhalte hierdurch, wie man leicht verifieirt, die folgenden complexen Gleichungen (7) (I ea UG AUG = = (8) U= nr FM ERE eau, +ydV +z2aW, % Differentiirt man die nächstletzte und berücksichtigt dabei die letzte Gleichung findet mnn @) (U,—2)a"+(V,—y)y" + (W, — ne - 1-0. Jetzt geben die Gleichungen (7) (8) (9) Sätze über Minimalflächen. 231 al! ae y" — gå y' U, = CT x"? + yl? i PIE u x"? + y"? + 202 . Ein y" pr de 2 — 2! a" Te = a"? +y"? + gå? GA EK + 202 2" ig y! xe" — x" y' x? + ye ab git? vi gr? +y"? + gå? W,=:+ oder indem man U, V, W, in ihre reelle und imaginäre "Theile zerlegt: u O AAN VET Ap nee Pate TYR Nr a"? + y"? a git? ’ DE x"? + y"? + 202 y" N a! 2! — 2! ao" Jr Y a: + y" 4 gle? Un = PIE + y"? + z02 u 4 mi Da GJ SE in u2 a mag “= == De me a2 a nn 0] Tr À © Oe = +y Far ee woraus endlich folgt Se 1 > 2 DER HE E Væ.*+y, +2, Va”+y + 202" Diese Formeln zeigen, dass die Anwendung der Operationen des vorangehenden Satzes auf diejenige algebraische Raum- curve, deren Coordinaten x yz durch die Formeln (6) bestimmt sind, eben die vorgelegte algebraische Minimalfläche, liefert. Satz 4 Die Operationen des vorangehenden Sat- zes liefern alle algebraische Minimalflächen, die in einem vorgelegten algebraischen Kegel eingeschrie- ben sind. 5. Die Theorien dieser Note sind einer merkwürdigen Ver- allgemeinerung fähig, die ich in der nachstehenden Note ana- lytisch entwickeln werde. Hier erlaube ich mich kürzlich die synthetischen Betrachtungen anzugeben, die mich ursprünglich zu dieser Verallgemeinerung geführt haben. Man wird be- 2932 Sophus Lie. merken, dass die nachstehenden Entwickelungen eine Methode bilden, vermöge deren überhaupt Sätze über Minimalflächen in andere Sätze über Minimalflächen sich umwandeln lassen. Legendre hat bekanntlich durch Anwendung von Ebenen- Coordinaten der partiellen Differential-Gleichung der Minimal- flächen eine lineare Form gegeben. Hieraus folgt, wie Weier- strass zuerst explicite bemerkt hat, dass die Auffindung zweier Minimalflächen unmittelbar die Construktion einer dritten Mi- nimalfläche, oder wenn man will, die Construktion von einfach unendlich vielen Minimalflächen gestattet. Eine solehe Construktion wird durch den folgenden Satz, den ich vielleicht zuerst ausdrücklich aufgestellt habe, geliefert. Gleitet eine Minimalfläche in Translations-Bewegung längs einer festen Minimaljläche, so beschreibt jeder mit der beweg- lichen Fläche fest verbundener Punkt wiederum eine Minimal- fläche. Diese Form der Construktion ist daher wichtig, weil sie unmittelbar eine allgemeine Categorie Berührungs-Transforma- tionen liefert, die Minimalflächen in Minimalflächen umwan- delt. Man führe in der That auf eine beliebige (algebraische) Minimalfläche und einen mit derselben fest verbundenen Punkt alle mögliche Translationen aus. Betrachtet man sodann gleichzeitige Lagen der Fläche und des Punkts als einander entsprechend, so lehrt der vorangehende Satz, dass die hiermit definirte Berührungs- Transformation wirklich eine jede Mini- malfläche in eine Minimalfläche umwandelt. Hieraus folgt insbesondere, was man übrigens unmittelbar aus der Form der partiellen Differential-Gleichung schliessen könnte, dass die Punkte des Raumes, aufgefasst als Ebenen- Gebilde Minimalflächen sind. Man übersieht ferner unmittelbar, dass unsere Berührungs- Transformation jede Ebene in eine (parallele) Ebene umwan- delt, und dass in Folge dessen jede developpable Fläche in eine parallele developpable Fläche übergeht. Sätze über Minimalflächen. 233 Dies vorausgesetzt, nehme man einen beliebigen algebrai- schen Kegel und sämmtliche algebraische Minimalflächen, die in demselben eingeschrieben sind, führe sodann unsere Be- rührungs-Transformation aus. Hierbei geht der Kegel in eine Developpable über; die in dem Kegel eingeschriebenen alge- braischen Minimalflächen liefern algebraische Minimalflächen, die in der Developpable eingeschrieben sind. Insbesondere geht die Kegelspitze aufgefasst als inf. Kugel, die in dem Kegel eingeschrieben ist, über in eine Minimalfläche, die in der Developpable eingeschrieben ist. Sei andererseits eine algebraische Minimalfläche und eine um derselben umgeschriebene Developpable gegeben. Ich behaupte, dass es unendlich viele algebraische Minimalflächen giebt, die in dieser Developpable eingeschrieben sind. Zum Beweis führe ich eine Berührungs-Transformation der früher besprochenen Art aus, bei der die Minimalfläche in einen Punkt p übergeht; gleichzeitig wird die Developpable ein algebrai- scher Kegel, dessen Spitze in p liegt. In diesem Kegel las- sen sich beliebig viele algebraische Minimalflächen einschrei- ben. Führt man daher die inverse Transformation aus, so erhält man unbeschränckt viele algebraische Minimalflächen, . die in der vorgelegten Developpable eingeschrieben sind. Und man erkennt leicht, dass unsere Construktionen sämmtliche algebraische Minimalflächen liefert, die in der betreffenden Developpable eingeschrieben sind. Also Satz 5. Wählt man unter den Tangentenebenen einer al- gebraischen Minimaljläche nach einem arbitråren algebraischen . Gesetze einfach unendlich viele, so lässt sich in der hiermit er- haltenen Developpable beliebig viele algebraische Minimaljlächen einschreiben. Dieselben können sämmtlich angegeben werden.) 1) Durch Henneberg wurde zuerst meine Aufmerksamkeit darauf gerichtet, dass algebraische Minimalflächen sich nur in solchen Cylindern einschrei- ben lassen, deren orthogonaler Querschnitt die Evolute einer algebraischen ebenen Curve ist. Es ist leicht alle algebraische Minimalflächen anzu- geben, die in einer solchen Cylinderfläche eingeschrieben sind. ~ LAPPISCHE GRABER-SCHADEL. VON EG PROF. Dr. JACOB HEIBERG, DIREKTOR DER ANATOMISCHEN ANSTALT DER UNIVERSITAT ZU CHRISTIANIA. Des den in Mortensnäs am Varangerfjord in Finmar- kens Amt früher ansässingen Kaufmann Herrn Nordvie hat die hiesige anatomische Anstalt eine kleinere Zahl lappischer Schädel und Skelettheile erworben, welche in heidnischen Begräbnissorten gefunden, unser Interesse anregen, da wir annehmen müssen, dass vor ein Paar Jahrhunderten nur ein Stamm der turanischen Race, die Lappen oder Finnen diese Gegend bewohnte. Erst am Anfang des vorigen Jahr- hunderts zeigen sich Spuren des zweiten, jetzt in diesen Ge- genden ansässigen turanischen Stammes, die Quänen, welche sowohl der Sprache nach als des äusseren Habitus wegen als aus dem Grossherzogthum Finland eingewandert betrachtet werden müssen. In den Anschanungen über diese zwei Stämme herrscht selbst hier in Norwegen nicht wenig Verwirrung und Unsicher- heit, was darin seinen wesentlichsten Grund haben möchte, dass die Norweger die Lappen gewöhnlich Finnen nennen, während unserere wissentschaftliche Untersuchungen dahin führen, die Quänen als Finnen anzusehen. In diesen nörd- lichen Theilen unseren Vaterlandes wohnen somit jetzt zwei Lappische Gräber-Schädel. 259 Stämme der turanischen Race, die sich zwar in sprachlicher Beziehung nicht weit von einander trennen, in sozialer Hin- sicht aber ziemlich verschieden sind. Drei und zwanzig lappische Schädel wurden untersucht, hiervon wurden mir einige aus dem hiesigen Museum für Alterthümer durch die Güte des Herrn Prof. Rygh und noch andere durch die Güte der Herrn Nordvie wohlwollend zur Disposition gestellt. Einige waren jedoch dermassen beschä- digt, dass dieselben aus der Untersuchung mussten ausgeschlos- sen werden; ein sonst gut conservirter Schädel zeigte sich synostotisch und hydrocephalisch, ein zweiter ebenso gut erhal- tener gehörte einem jungen Kinde an. Aufdiese Weise blieben nur 14 als für eine genauere Beschreibung geeignete Schädel zurück; soweit man aber von den Resten der uebrigen beur- theilen konnte, so stimmen dieselben mit den hier beschriebe- nen in allen wesentlichen Punkten gut ueberein. Dass ich jetzt die Messungen an die Oeffentlichkeit treten lasse, gründet sich erstens darin, dass schon Jahrzehnte verstrichen sind, ohne dass unsere Bemühungen lappische Schädel überhaupt zu erwerben mit Erfolg gekrönt worden und zweitens darin, dass unsere Hoffnungen in der näch- sten Zukunft mehrere Gräber-Schädel zu erhalten, durch die Uebersiedelung unseren bisherigen Gewährsmannes des Herrn Nordvie nach Christiania stark herabgesetzt worden sind. Durch die Bestrebungen unserer Regierung möchte die Zeit wohl nicht sehr fern sein, da das wesentlichste diagno- stische Mittel die zwei Racen zn bestimmen, die lappische Sprache nähmlich in die norwegische aufgegen ist; desswegen scheint auch jeder Beitrag zur anthropologischen Beschreibung diesen Stammes erwünseht und die Resultate der Schädel- messungen werden das Ihrige heitragen. Eins ist auffallend nähmlich die durchschnittliche Jugend der Schädel. Der wahrscheinlichste Grund wäre möglicher- weise zu suchen in einer der mehreren Pockenepedemieen, 236 Jacob Heiberg. welche mehrmals die Bevötkerung der dortigen Gegenden stark decimirt haben.') Herr A. @. Nordvie schreibt: «Auf zwei in Nässeby Sogn, Varanger, Finmarken belegenen kleinen Inseln, Ljaaholmen und Sandholmen bemerkte ich lappische Gräber. Die genannten Inseln sind unbewohnt und keine Spur ist zu finden, dass dieselben früher sollten bewohnt gewesen sein. Liljenskjold erwähnt in seinem Speculum boreale, dass die Lappen dort selbst kleine einfache «Essbuden» (Madboder) hätten und viele Todten «ohne Ceremonieen begruben». Die Leichen sind in etwas verschiedener Weise beerdigt, nähmlich entweder in dem lappischen flachen, bootförmigen Schlitten (Kjärris) oder in einer mit einfachen hölzernen Nägeln zusammengefügten Kiste oder auch nur lose auf einige Bretter oder runde Stämme hingelegt. In einigen Fällen wurden ueberhaupt keine Spuren von Holz gefunden. Die Gräber zeichnen sich durch eine Einsenkung in den Geröllsteinen aus und sind ohngefähr 70 Cm. tief belegen.» Wenn man von einer Beerdigung spricht, so ist dieses nicht in der gewöhnlichen europäischen Bedentung zu nehmen, da es auf diesen Inseln kaum Erde oder Humus giebt. Man hat sich nähmlich in die grossen Ansammlungen von Geröll- steinen hineingearbeitet und dieselben sehr umsichtsvoll in ihre natürliche Lage wieder hergestellt, so dass ein unge- übter Beobachter mehrmals vorbeipassiren kann ohne an dem Geröll etwas besonderes zu bemerken. Der geübte Forscher aber will auf eine gewisse Steifheit der Anordnung der Ge- steine und eine kleine Einsenkung aufmerksam werden. Herr Nordvie glaubt ferner dass zahlreiche Gräber von den Priestern früher geöffnet und die Skelette der heidnischen Lappen ohne weiteres nochmals in «eingeweihte» Erde auf den christlichen benachbarten K’rchhöfen begraben worden sind. 7) J. A. Fries. En Sommer i Finmarken, russisk Lapland og Nordka- relen. Christiania 1871. Pag. 9. Lappische Gräber-Schädel. 257 Erster Schädel (Privatbesitz des Herrn Nordvie) stammt aus Sandholmen Varangerfjord (oestliche Seite der Nordspitze Norwegens); gut conservirt, breit, stark von männlichem Ha- bitus. Tnbb. pariett. wahrscheinlich pathologisch stark her- vortretend. Nähte offen. Kein Schaltknocken; mehrere der Vorderzähne ausgefallen. Sämmtlige Alvcolen offen. Zweiter Schädel No. 172 anat. Sammlung, No. 2 Nord- vie, stammt aus Sandholmen, Varangerfjord wurde aus einer mit hölzernen Nägela zusammenfügten Kiste, welche fast zer- fallen var, enthoben. Die Bretter sehr roh bearbeitet, ohn- gefähr 4 Cm. dick. Der Kopf lag gegen Westen. Brauner, gut conservirter, an der Oberfläche etwas ange- nagter Schädel eines ohngefähr 40-jahrigen Mannes. Gesicht ziemlich gerade. Stirn zurückliegend. Starker Augenbrauen- wulst und Muskelansätze. Alle Nähte offen. Hinter der Stirn- naht eine quer gehende seichte Vertiefung. Kein Schalt- knochen. Viele Zähne persistiren, sind etwas abgeschiffen. Die Alvcolenräume der uebrigen offen. Keine Sutura incis. Interorbitalabstand gross, 24 mm. Nasenöffnung oval. Unter- kiefer dick und klobig. Fig. 1. Dritter Schädel No. 173 anat. Sammlung. No. 6 Nord- vie stammt aus Sandholmen, lag 70 Cm. tief mit zwei ande- ren (No. 175, No. 176) im einem Grabe zusammen. Spuren eines hölzernen Gestelles als Unterlage. Der Kopf gegen Westen. No. 176 gehört dem altesten ohngefähr 36-jährigen Individuum an. Brauner, gut conservirter Schädel eines ohngefähr 18-jäh- rigen Individuums. Geschlecht unsicher, am meisten männlich, Nähte offen, hinter der Kranznaht eine quergehende zwei a ADD Fer Fig. 2. Vierter Schådel No. 176 der anat. Sammlung. No. 5 Nordvie lag in der Mitte zwischen dem vorigen und einem Finger breite seichte Vertiefung. Zahne 238 : Jacob Heiberg. hier nicht beschriebenen Schädel (No. 175 anat. Samml.) eines Kindes, stammt ebenso aus Sandholmen. Brauner, gut conservirter Schädel eines 36-jährigen Man- nes. Hie und da eine leichte Verschmelzung der Kranz- und Pfeilnaht. In der rechten Lambdanaht ein grösserer Schalt- knochen. Hinter der Kranznaht eine schwache, seichte quer- DPI gehende Vertiefung. Zähne DEE 5 alle vorhanden. Un- terkiefer klobig. Fig. 3. Fünfter Schädel No. 177 der anat. Sammlung No. 1 Nordvie stammt aus Sandholmen, wurde in der Tiefe von ohn- gefähr 70 Cm. in einem Schlitten gefunden. Der Kopf lag gegen NW. Brauner, ganz gut conservirter, starker, schwerer Schädel eines ca. 40-jährigen Mannes. Starke Muskelanzätze. Zähne _—- Nähte offen. In den Lambdanaht mehrere Schalt- knocken. Fig. 4. Sechster Schädel No. 181 der anat. Sammlung stammt aus Laæbubugten, Vadse. Hoher Schädel eines ohngefåhr 25-jährigen Mannes. Der Knochen weiss mit einem grünlichen Belage. Das Hinterhaupt stark nach hinten hervorspringend. Die Pfeil- und Lambda- naht theilweise verwachsen. Sämmtliche Alveolen offen. Vor- derzähne fahlen, die persistirenden kaum abgeschliffen. Un- terkiefer fehlt. Siebenter Schädel No. 153 d. anat. Sammlung »tammt aus Sandholmen. Weiser, an der Oberfläche corrodirter Schä- del von männlichem Typus. Nähte offen; in der Lambda- naht ein Paar kleine Schaltknochen. Unterkiefer fehlt. Einige wenig abgeschliffene Mahlzähne vorhanden. Achter Schädel N. 184 d. anat. Sammlung stammt aus Paddeby, Varangerfjord. Weiser gut conservirter Schädel. Die Kranznaht nach unten hin, sowohl als die Sut, fronto- Lappische Gräber-Schädel. 239 sphenoidea verknöchert. In der Lambdanacht kleine Schalt- knochen. Neunter Schädel (Privatbesitz des Herrn Nordvie). Weib- licher, recht gut conservirter Schädel, kleine Stirnhöhlen und Sitzenfortsätze. Spuren von Verknocherung rechts unten in der Kranznaht. Zehnter Schädel (Privatbesitz des Herrn Nordvie) stammt aus Klubvig. Graciler, wohl conservirter Schädel mit wenig hervorspringendon Sitzenfortsätze und Sinn. frontt. Stark geschlängelte Nähte, in dem Lambdawinkel ein gleichseitig dreieckiger 50 x 85 mm. grosser Schaltknochen. Nur die hinteren Backzähne erhalten, die uebrigen Alveolen leer. Die Ränder der Pfeilnaht etwas kammförmig hervortretend. Elfter Schädel (Privatbesitz des Herrn Nordvie) aus dem Varangerfjord; sehr gut conservirter Schädel mit weiblichem Habitus. Wenige Zähne vorhanden. Die Alveolen des dritten grossen Mahlzahnes geschlossen. In der rechten Lambdanaht ein kleiner Schaltknochen. Zwölfter Schädel No. 182 d. anat. Sammlung stammt aus Paddeby, Varangerfjord. Grünlicher, defekter, breiter ho- her Schädel. Nähte offen. In der rechten Lambdanaht ein kleiner Schaltknochen. Einige kaum abgeschliffene Backzähne vorhanden. Dreizehnter Schädel No. 1909. der Universitäts-Samm- lung für Alterthümer stammt aus einem aehnlichen Grabe. Hoher, sehr gut conservirter, weisser Schädel einer ohn- gefåhr 25-jåbrigen Frau. Nähte offen. Sinus frontalis schwach, nicht ganz unbedeutende Muskelansätze. Alle Alveolen offen. Die vorderen Zähne ausgefallen, die restirenden kaum abge- schliffen. Unterkiefer fehlt. Vierzehnter Schädel No. 180 der anat. Sammlung stammt aus Paddeby, Vadsa Sogn, Finmarken. Relativ hoher, trockener, weisser, mit einem grünlichen Belage versehener, kindlicher Schädel. Geschlecht anbestimm- Jacob Heiberg. 240 Unterkiefer Nähte offen, relativ stark geschängelt. bad. fehlt. DA ME TL LAN BETA TA EINE AAN | IA IA | TA | IA fT ‘86 * Xopumosey LG SC RO RE Aer JG OMME ENE 26 | 86 | 06 186: | TOT | G6 | 66 | 16 | 001 | 26 | 88 | 68 | 92 | 66 | H'*4 06 *apummoyoquagoag 8 | 62 | 08 | 62 | 21 | 62 198 | 22 | 18 | 08 ‚v2 | 92 | 92 | 62 | YT 61 xepurueqoquesuerr Ig | 08 |68 | 18 | 94 |62 | 28: | 82 | 18 | 28 88 | 98 |es | 98 |H'T 81 Xopuuayoıquasuer 028 |.88 1006 1048 098 | GB 128 1008 1088 |66 066 [00T |086 1008 Md (LI © = ERIE UO Ge | CM Oe Kor G8 SOS 1760, ETC CGR NES COR ESS TH '9T * 95uepsjdneysojug OIT | 960 | — | 261 | IST | 9GT | SET | 2GI | SET | TST OT | SIT | OFT | Pål CIS GEN DP 86 | GIT | 30T | GIT | OFT | LIT | SIT | SIL | SIT | FIT Oel | GOL. | Oel | gel a9 PI 99191051 71891) = = = COU EU SONG ER — | &6l IT | 00T | LOT | OCT TO 8 „oSUeTSITOISeH OG RGO POs) EO JOD JE 1 SE | Ss) NOMEN ~~ sanyo nage Gå OSE era So az OT EG OG OC NG Ken ESN OPS | GSE | aeg | GE | GE | 996 | 096 | GGE | OGG | OLE SPE | SPE | OGG | cge | D OT = uesogyumesag) GIT | OLL | OTT | SET | SIT | GET | Ger | GIL | Ser | OCT SIT | SOP | GET | OST MEG "ua50qsjdneyaopun GIT | GGT | OIL | GET | OLT | OGL | SIT | 081 | SIT | OST OTT | Get | SIT | Get | AUS 8 © © uasoarayrayas OGI | OGT | GIT | OGT | OGT | OST | OST | OGI | OGT | OGT Oel | GIT | GGT | OST qS 2 ‘ esoquung OST | LET | TSI | 961 | VEL | YET | IST | SET | IFT | PPT PSI | GOT | SET | LP H 9 22 19H 86 | 66 | 801 | 001 | 96 | OOT | OOF | 00T | 26 OOF | 601 | OOT | 96 | E01 UG ENG ED) VEL | GET | GPI | 68T | GEL | OPT | ECT | OFT | THI | SPL OST | PHI | GFT | SET ad Vy Re eueaeE 991 | SLT |.E9T | GLT | SLT | VST | 921 | OST | GLT | OST OST | OLT | SLT | 98T ARE à 90uR'] 027 | 06% | ORF | 067 | 967 | OGG | OIG | 00G | OOG | SIG GOG | Gr | NOG | 08G | DG ° Zuorpuna) 0081| O9FT| — | OST} 0981 OGET| 0097! OOFT) OGET| OOPT OTST) OOPI| OGET| OG9T| 90 I - epede) JE EGG OG Win NOG TA NEA VG ip Bis Es OT OP 1D JV belo | ©. Ol Oo | © DUT å HO 0 ENE VO 9 pe |e AU OST | 6061) G8I | 7 & Gens GE ler Te RO) EC GI RON ON COTE IND SX Cr UN den ON [opRyS "BIUOYOSSSUNSSOP IOYOSSULIOY] ‘A SEG *Top8YIQ-19Q81:9 ayasıdder OM SKANDINAVIENS VERTIKALE SVINGNINGER. AF S. A. SEXE. bis om Skandinaviens vertikale Svingninger lyder kortelig saaledes: 1) Da Skandinaviens ældste skiktede Forma- tioner vare under Opforelse, laa Skandinavien under Havets Overflade. 2) Siden hævede Skandinavien sig til Veirs saa- ledes, at den forud for Istiden og indtil henimod dennes Slutning ragede høiere over Havet end nu. 3) Ved Udgangen af Istiden sank Skandinavien tilbage. 4) Efter Istiden steg Skandinavien igjen og naaede op til sin nuværende Høide. 5) Visse Dele af det sydlige Sverige have dog i de senere Aar- hundreder atter været i Synkende. Skandinavien har saaledes i Tidernes Løb været ikke saalidet foruroliget af de underjordiske Kræfter, og disse have drevet et ikke saalidet lunefuldt Spil med samme. Naar der ikke var saa bælgmørkt dernede mellem os og vore Anti- poder, saa kunde vi vel ikke vide os saa ganske betryggede mod en Protest derindefra, mod at der træffes saadanne For- foininger over de underjordiske Kræfter. Skandinaviens geolo- giske Saga vilde i ethvert Fald blive enklere, og man vilde ikke have nødig, at gjøre en saa hyppig og saa forskjellig Brug af Kræfter, som man ikke kjender, naar man af oven- anførte Liste kunde udslette No. 2, No. 3 og No. 4, og sætte en eneste Reisning i Stedet. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3 B. 2 H. 16 242 S. A. Sexe. Forfatteren af foreliggende Bemærkninger har tidligere’) taget til Orde mod ovenstaaende No. 2 og No. 3, og finder i det Følgende nærmere at burde udvikle, hvad han har at anmærke ved disse Svingninger. Hvad Skandinaviens, under No. 2 anførte, høit hævede Beliggenhed, og den under No. 3 anførte Synkning angaar, saa grunder oven fremstillede Lære sig paa følgende Argu- menter: A) At Skandinaviens glaciale Skuringsmærker lade | sig forfølge ned under Havfladen. B) At Skandinavien, naar undtages Skaane, mangler de geologiske Formationer, som skrive sig fra det sekundære og tertiære Tidsafsnit, medens adskillige af disse Formationer optræde hist og her i Skan- dinaviens Nabolande. C) At Transporten til Udlandet af Skandinaviens Glacialdetritus, navnlig de erratiske Blokke, ikke lader sig forklare, medmindre Skandinavien var løftet høiere op af Havet, end nu, og at Østersøens, Kattegatets, Skagerakets og Nordsøens Bund laa tør. Argumentet (A) lyder, nærmere udviklet, saaledes: En Isbræ kan ikke skure, ikke sætte Striber paa en Klippeflade, medmindre denne ligger paa det Tørre, eller dog saa godt som paa det Tørre. Men nu strække de glaciale Skuringsstriber sig ned under Havfladen: Altsaa var Havets Stand, dengang disse Striber bleve til, lavere, eller, hvad der kommer ud paa det samme, Landet laa høiere end nu. De i Skandinavien forekommende Banker med fossile Rester af litorale Saltvands- dyr kunde ikke fremstaa, førend Istidens Gletschere vare saavidt afsmeltede, at de ikke naaede Havet. De øverste Nedlag af bemeldte Art forekomme nu heit, i Norge paa sine Steder henved 600 Fod over Havet: Følgelig sank Skandinavien et godt Stykke ned i Havet igjen i den Tid, som forløb fra Arbeidet paa de ned i Havet stigende Skuringsstriber sluttede, 1) Mærker efter en Istid i Omegnen af Hardangerfjorden. Universitets- program 1866 pag. 17. Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 245 til de øverste Nedlag med fossile Levninger af litorale Saltvandsmuslinger paabegyndtes. Hele denne Argumentation staar og falder med den For- udsætning, at en Isbræ ikke skurer en Klippeflade under Vand, hvad enten det nu skal komme deraf, at Isbræen taber Evnen til at skure, saasnart den naar ned i Vand, eller deraf, at den flyder saa let, at den kun rækker ned til et Dyb, der er for Intet at regne. Hvad der maa til, for at en Isbræ skal kunne skure, sætte Striber paa en Klippe, er: at Isbræen bevæger sig, at den under Bevægelsen udøver et Tryk paa -Klippen, og at der mellem denne og Isen er Skuringsmateriale tilstede. Da nu Gletscherisen ikke taber sin Konsistents eller falder i Smulder, saasnart den kommer ned i Vand, hvilket de talrige Isberg, der drive omkring paa Havet i Hundreder af . Mile fra deres Fødested, noksom godtgjøre, saa kunne selv- følgelig bemeldte Betingelser for Skuring ligesaavel finde Sted under Vand som paa det Tørre, indtil det bær ud paa et saa stort Dyb, at Opdriften bringer Isbræerne til at kalve. Og at dette Dyb kan være ganske anseeligt, lader sig slutte af hyppige Erfaringer, hvoriblandt følgende: I September 1822 saa Couthouy') et Isberg, som var stran- det paa den østlige Rand af Newfoundlandsbanken paa 720— 780 Fods Dyb — efter en Reise paa flere eller færre Hun- dreder af Mile, og for en større eller mindre Del i den varmere Aarstid, paa hvilken Vandring den oprindelige Iskolos naturlig- vis var blevet betydelig formindsket og havde tabt i Dyb- gaaende. Under en Opdagelsesreise i det nordlige Polarhav traf John Ross i Bafinsbugten flere Isberg, som stode paa Grund paa et Dyb af 1574 Fod. Paa sin Opdagelsesreise i det sydlige Polarhav traf James Ross 1841 nede mod Victorialand paa Isberg, som stode paa 1) The american journal of scand. art. Vol. 43. p. 155. 16* 244 S. A. Sexe. Grund paa et Dyb af 1560 Fod.!) Noget længere mod Syd traf han en lodret Isvæg, som strakte sig øst-vest uden Af- brydelse 450 engelske Mile, naaede en Høide af 180 Fod over Havfladen og en Dybde af 820 Fod under samme, liggende endnu i en Afstand af 680 Fod over Havbunden. Naar disse Iskolosser, skjønt udsatte for Strøm og Storm, kunde i kortere eller længere Tid forblive staaende paa Grund, saa kan deres Berørelse med denne ikke have været løs og — let. Den Tanke ligger saaledes nær, at de, idet de rendte sig fast, satte Skuringsstriber paa Grunden, forudsat at den bestod af Klippe, og at Skuringsmateriale var tilstede, i hvil- ket Fald der altsaa vilde være fremstaaet Skuringsstriber paa henholdsvis 720-780, 1574 og 1560 Fods Dyb. Den yderste Rand af en i Havet nedstigende Isbræ stik- ker dybere, end det fra samme løsnede 'Isberg. Thi det er en bekjendt Sag, at Isberget under Kalvningen flyder op. Naar den yderste Del af en Isbræ dukker saa dybt i Havet, at den skal til at kalve, saa mangler vistnok det: Tryk, som hører til, for at frembringe Striber paa den horizontale eller udadskraanende Bund; men denne Del af Isbræen kan ikke destomindre, idet den skydes frem af Trykket fra Land, skure Klipper, som ere stillede i Veien for den. Der kan saaledes neppe være Tvivl om, at naar Nutidens Polarisbræer skyde sig ned i Havet, saa skure de dettes Bund til meget anseelige Dyb. Og da man vel ikke tænker sig Mægtigheden mindre hos Istidens skandinaviske Isbræer, saa maa man antage, at ogsaa disse have skuret Havbunden til et anseeligt Dyb, og saaledes øvet sin Indflydelse paa en bred undersøisk Zone rundt om Skandinavien, bredest, hvor Havbunden skraanede svagest udover fra Stranden, smalest der, hvor Bunden havde den stærkeste Hældning. Der kan altsaa ikke være noget i Veien, for at antage, at idetmindste 1) James Ross’s Voyage to the southern seas. Vol. 1. pag. 228. Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 245 de Skuringsmærker, som findes nedenfor Skandinaviens øver- ste Banker med fossile Rester af litorale Saltvandsskjæl, bleve frembragte under Havfladen, med andre Ord: den Omstændig- hed, at Skuringsstriberne stryge ned under Havfladen, kan ikke tjene som Støtte for den Paastand, at Skandinavien stak mere op af Havet før og under Istiden, end ved Slutningen af samme, eller med atter andre Ord: at Grændselinien mel- lem Hav og Land før og under Istiden laa lavere, end vore øverste i Havet afsatte Banker med fossile Levninger af Strandskjæl. Paa ovennævnte undersøiske Zone kan der under Is- bræerne, som bestryge den, ganske som under Isbræer paa det Torre, forefindes paa Flytning værende Detritusmasser. Men Zonen kan ikke være Tilholdssted for organiske Skab- ninger, dels fordi Isbræerne ligefrem udelukke disse derfra, dels fordi de vilde søndermale enhver- Havets Indvaaner, som maatte have fundet Anledning til at fæste Bo dersteds. Hvor denne Zone hæves over Havfladen, mens den er bedækket med Is- bræer, fremstaar en Landstrækning, hvor der ikke findes fossile Saltvandsdyr, eller med andre Ord: en Landstrækning, hvor der findes en undersøisk Formation uden undersøisk Karakter. Og man slutter: Denne Landstrækning laa i Glacialtiden paa det Torre. Hvor derimod Zonen hævedes over Havfladen nogen Tid, efter at den blev befriet for Isdækket, fremstaar en Landstrækning, hvor en Formation med fossile Saltvandsdyr hviler paa en Formation uden saadanne Dyr, uden Attest om sin marine Oprindelse. Og man slutter: Denne Landstræk- ning laa paa det Tørre i Glacialtiden, saa sank den ned i Havet, og saa hævede den sig igjen.!) 1) Man kan tænke sig to Maader, hvorpaa Isbræerne endelig drog sig tilbage mod Stranden, den Ene: Isbræerne bleve afbrudte, hvor de opherte at naa Bunden, og deres yderste Rand hvilede paa Bunden, idet den blev trukket tilbage; den Anden: Isbræerne bleve afbrudte et Stykke udenfor det Sted, hvor de naaede Bunden, og deres yderste Rand nærmede sig Stranden, uden at deres ydre Del naaede Bunden. 246 S. A. Sexe. Argumentet (B) tager sig, nærmere beseet, saaledes ud: I Skandinaviens Nabolande findes hist og her geologiske Formationer, hvis Dannelse fandt Sted dels i den sekundære, dels i den tertiære Tid, hvilken Sidste gik umiddelbar forud for Istiden. Disse Formationer ere af marinsk Oprindelse, hvilket beviser at de betræffende Landstrækninger i bemeldte Tid laa under Vand. I Skandinavien har man ikke fundet nogen af disse Formationer, undtagen i Skaane, og, kan man nu føie til, paa Andøen i det nordlige Norge, hvor der findes Stenkul: følgelig maa de skandinaviske Egne, hvor disse Formationer savnes, have ligget over Havfladen paa den Tid, da disse Formationer bleve til. I Anledning af denne Maade at slutte paa, maa bringes i Erindring: Naar man paa et Sted har skaffet sig Rede paa Leddene i de marine Formationers Følgerække, og man under- søger, hvorledes det har sig med denne Række paa et andet Sted, saa hender det, at man paa det sidste Sted gjenfinder de samme Led; men det hender ogsaa, at man savner et eller flere af dem, uden at nogen saakaldte geologiske Ækvi- valenter have indtaget deres Plads: Man slutter da ikke udenvidere, at Udeblivelsen skriver sig derfra, at de savnede Leds Underlag laa paa det Tørre. Udeblivelsen kan hidrøre fra andre Aarsager, f. Ex. fra en til Tiden og Stedet knyttet Mangel paa Stof til at danne Formationerne af. Hvad angaar Dannelsen af de Formationer, som fremstaa ved Bundfældning i Havet, saa beror den paa den Afgift af Paa den ene som paa den anden af disse Maader kan en Isbræ have trukket sig tilbage enten stadigt, eller med midlertidige Standsninger, eller oscillerende. Det kan neppe feile, at enhver af disse Tilbagetogs- maader havde sin eiendommelige Indflydelse paa Afleiningen af den Sand, Grus, Sten, som Isbræen førte ud i Søen; og der vilde muligvis være Spor at opdage deraf paa Zonen mellem Stranden og vore ældste Skjælbanker, hvis ikke den Detritus, som Isbræerne afsatte under deres Tilbagetog fil Stranden, var blevet overdækket af den Detritus, som de rindende Vande afsatte under Isbræernes Tilbagetog fra Stranden. * * . . . - Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 247 Stenmateriale, som de rindende Vande tage med sig fra Land- jorden og afsætte i Havet, samt paa Havstrømmenes For- føininger derover. Muligt ogsaa, at Havstrømmene denudere visse Steder paa Havbunden og overføre Materialet til andre Steder. Det bliver vel saaledes mindre rimeligt, at Dannelsen af Formationer paa Havets Bund foregaar ligeligt over større geografiske Fladeudstrækninger. Det er sandsynligere, at Omstændighederne ere særlig gunstige for samme paa somme Lokaliteter, mindre gunstige paa andre, medens de paa atter andre Punkter ere saa ugunstige, at ingen Dannelse af saa- danne Formationer finder Sted. Særlig begunstigede i denne Henseende synes de undersøiske Egne at maatte være, som ligge udenfor Mundingerne af store Floder, der gjennem- strømme vidtloftige Landstrekninger, bestaaende af løse, letsmuldrende Bergarter — forudsat, at ikke Havstrømmene | bortføre det nedførte Materiale. Mindre begunstigede maa de Undervandsegne være, som strække sig langs med Lande af mindre Udstrækning, med ubetydelige Vasdrag, og bestaaende af faste, sentforvittrelige Bergarter — medmindre Havstrømmene bøde herpaa ved Tilførsel af Bygningsmateriale. Hvorledes Havstrømmene forholdt sig i denne Henseende paa de for- skjellige Steder i den sekundære og tertiære Tid, vil vel Ingen nu paatage sig at afgjøre. Men hvad angaar de Berg- arter, hvoraf Skandinavien væsentligst bestaar, og som vel dengang havde de samme Egenskaber, som nu, saa kan man sige, at de vare lidet skikkede til at afgive den Mængde og det Slags Bygningsmateriale, som udfordredes til Opførelsen af sekundære og tertiære Formationer. Det synes saaledes, at der maa kunne være Rum for den Tanke, at der gives Land- strækninger, som i sin Tid stode under Vand, uden at tjene som Oplagssted for den Tids marine Formationer, og at en god Del af Skandinavien hører blandt disse Landstrækninger for den sekundære og tertiære Tids Vedkommende. | Men selv om det var en erkjendt Naturnødvendighed, at 248 S. A. Sexe. enhver Plet paa Jordens Overflade, som i et vist geologisk Tidsafsnit dannede et Stykke Havbund, var belagt med dette Afsnits marine Formationer, saa er det ikke dermed afgjort, at de Egne af Skandinavien, hvor man ikke har fundet For- mationer fra den sekundære og tertiære Tid, paa samme Tid laa over Havets Overflade. Thi de Formationer, som i bemeldte Tidsafsnit maatte have afsat sig i de Egne af Skandinavien, der vare neddukkede i Havet, kunne jo senere være blevne tilintetgjorte og Materialet bortfeiet, hvilket maa siges at være en ganske rimelig Felge af den Medfart, som blev Skandina- vien til Del i Glacialtiden. De sekundære og tertiære Forma- tioner ere nemlig ikke bekjendte for sin Fasthed, sin store Modstandskraft mod Tilintetgjørelse, de laa udenpaa eller ovenpaa Skandinaviens fastere Bergarter, bleve saaledes først udsatte for Isbræernes Angreb, og maatte væk, førend Angrebet naaede deres Underliggende. Og naar Skandinavien blev saa haardt og saa vedholdende angrebet, at Brudstykkerne af Lan- dets fastere Bergarter ligge udstrøede over de vestlige Naboøers Østkyst, over Holland, Danmark, den nordtydske Slette, Polen og det vestlige Rusland, selvfølgelig ogsaa over Bunden af Nord- søen, Skagerak, Kattegat og Østersøen, samt opdyngede i mæg- tige Masser i det skandinaviske Lavland: saa maa man betragte den stedfindende Mangel af bemeldte Formationer som noget, der falder af sig selv. Det er forresten ikke nogen afgjort Sag, at de ganske mangle overalt, hvor man ikke har fundet dem. Skandinavien har nemlig en stor Udstrækning, Landets østlige og sydlige Afhæng er bedækket med vidtstrakte Detritus- masser, og disse igjen bedækkede hverken med saa faa eller smaa Indsøer, medens paa dets vestlige og nordlige Afhæng Fjældsiderne ere bedækkede med store Stenurer og Dalbundene med dybe Detritusafleininger. Ingen kan vide, hvad der lig- ger eller ikke ligger hverken under eller i denne Bedækning, undtagen paa de Punkter, som have været Gjenstand for en ombyggelig og kyndig Undersøgelse. Der er muligens Ingen Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 249 som antager, at der i Skandinavien gives udstrakte Partier af sekundære og tertisere Formationer; men saadanne Partier fornødiges ikke til at kuldkaste den Paastand, som man grun- der paa disse Formationers Absents, enhver nok saa liden Plet utvivlsom pliocen, miocen, eocen, Kridt o. s. v. vilde være tilstrækkelig til at godtgjøre, at den Egn, hvori den fandtes, paa dens Dannelsestid laa under Havets Overflade. Det kan her bemærkes, at den Detritus, hvori man paa skan- dinavisk Grund helst skulde vente at treffe Spor af forsvundne sekundære og tertiære Formationer, maatte være den, som ligger dybest og er mindst tilgjængelig, medens den øverste eller yderst liggende og lettest tilgjængelige Detritus heist rimeligt kom paa sit Sted langt ude i Glacialtiden, længe efter at Isbræerne vare færdige med de Formationer, hvorpaa de først gjorde Angreb. : Argument (C) lyder, nermere udviklet, saaledes: a) Paa det vidtløftige udenlandske Feldt, hvorover erratiske Blokke fra Skandinavien ligge udstrøede, savnes saagodtsom overalt fossile Saltvandsdyr fra Istiden. b) De erratiske Blokke fra Skandinaviens forskjellige Egne optræde ikke blandede om hinanden i Udlandet, men ordnede efter Hjemstederne, en Regelbundethed, som ikke rimer sig med en Transport paa svømmende Isberg, hvortil kommer, at Mængden af den fra Skandinavien til Udlandet førte Glacialdetritus gjør det tvivl- somt, om saadanne Transportmidler vare tilstrækkelige. I Henhold til (a) og (b) altsaa kan ikke Transporten af bemeldte Detritus være foregaaet til Vands. c) Paa Preussens Kyster forekomme fossile Insekter og Plantelevninger af høinordisk og høifjælds Karakter fra den miocene Tid, som efter O. Heers Formening ere komne til Stedet paa skandinaviske Floder, hvilket tyder paa, at Skandinavien i Miocentiden var landfast med det tydske Østersøland. d) Ligheden mel- lem Skotlands og Norges endnu levende Flora tyder paa at disse Lande for ikke saa længe siden hang sammen med 250 S. A. Sexe. hinanden. Altsaa maa Transporten af den skandinaviske Glacialdetritus være foregaaet til Lands paa Isbræer, som strakte sig fra det skandinaviske Høiland udover til Periferien af det Feldt, hvorpaa denne Detritus forekommer. Og for at muliggjøre denne Transport maatte Skandinavien rage meget heit op over Havfladen. Med Hensyn til det negative Argument (a) bemærkes, at der til at borge for samme uden Tvivl hører en særdeles grundig Granskning af hele den udenlandske Del af det betræffende Feldt. Enkelte spredte Undersøgelser hist og her med negativt Resultat sige overmaade lidet, hvorimod selv saadanne Undersggelser med positivt Resultat vilde sige særdeles meget. Med Hensyn til (ec) bemærkes, at Skandinavien maatte ligge meget lavt, naar ikke Floder skulde kunne vinde frem derfra til den nordtydske Slette. Missisippi f. Ex. udspringer fra en Heide af kun 1680 engelske Fod over Havet, tilbage- lægger dog 2616 engelske Mile, forend den falder ud i den mexikanske Golf. Angaaende alle disse Argumenter maa bemerkes, at for- saavidt de gaa ud paa at godtgjere, at den omhandlede Gletseherbevægelse og Transport af Glacialdetritus gik for sig paa det Torre, saa forudsætte de en ganske anden Tingenes Orden i Nordeuropa end den nuværende, hvilket er en betænke- lig Sag, saalenge man ikke er mere fortrolig med de Kreef- ter, som fornye Jordens Skikkelse. Man maatte jo omskabe det nordlige Europa: udslette Østersøen, Kattegat, Skagerak og Nordsøen af Jordens Overflade. Og forsaavidt de samme Argumenter give Anslag paa et høit ophøiet Skandinavien som et Middel, ved Hjælp af hvilket Isbræer derfra kunne befordre sig selv og sin Detritus til Omkredsen af det Feldt, som er bestrøet med skandinaviske Vandreblokke, opstaar det Spørgsmaal: Hvilken Høide skal man saa tildele det skan- dinaviske Høiland? . . . . . G Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 251 Paa dette Spørgsmaal maa svares, at Høiden beror paa Afstanden mellem Bevægelsens Udgangspunkt og dens Slutnings- punkt, samt paa det Sidstnævntes Høide over Havet. Jo større denne Afstand er, og jo høiere Endepunktet ligger, desto høiere maa Udgangspunktet ligge. Men lad Endepunktet være f. Ex. Dresden, som ligger under 51° 3/ 22" N. B. og hvor der forekommer Glacialdetritus fra Skandinavien, og lad Udgangspunktet ligge ikke længere Nord end paa 61° 30' N. B. og for Simpelheds Skyld i samme Meridian som Dres- den: Hvor høit over Havet maatte da Udgangspunktet ligge, forudsat at Jorden ikke var afplattet ved Polerne, og at Dres- den laa i Høide med Havfladen? Man kunde maaske her for et Øieblik tænke paa et fra Bevægelsens Udgangspunkt gaaende Skraaplan, som tangerer Jordens Overflade ved Dresden: I saa Fald maatte Bevægel- sens Udgangspunkt ligge i en Høide af 14,488 geografiske Mile over Havet. Og alligevel vilde den Komponent af Isens vertikale Tryk, som i Udgangspunktet virkede parallelt med dette Skraaplan, ikke andrage til fuldt 0,2 af det hele Tryk, hvortil kommer, at denne Komponent vilde aftage sydover og blive = 0 ved Dresden. Tænker man sig, at den Bane, hvorpaa en Isbræ skulde kunne bevæge sig fra Udgangspunktet under 61° 30° N. B. til Dresden, ikke netop er et Plan, men en Sort krum Flade, som overalt danner den samme Vinkel med Stedets Horizont, eller hvis normale Gjennemsnit efter Længden danner en logarithmitsk Spiral, og antager man med Elie de Beaumont ‚af den Bane, hvorpaa Bevægelsen skal kunne gaa for sig, maa idetmindste have en Hældning af 3”, saa maatte Bevægel- sens Udgangspunkt ligge i en Høide af 8,255 geografiske Mile over Havet, medens den Del af Isens Vægt eller vertikale Tryk, som virker parallelt med denne Bane udgjør ikke fuldt 0,0524, hvorimod den Del af samme, som virker lodret paa Banen, udgjør lidt over 0,998, naar Isens hele Vægt sættes = 1. 252 S. A. Sexe. Sætter man Banens Hælding til 30‘, saa maa Bevægelsens Udgangspunkt ligge i en Heide af 1,369 geografiske Mil = 32318 norske Fod over Havet, altsaa 3603 Fod høiere end Everest, den høieste Fjældtop, man kjender. Under en saadan Hældning virke 0,0087 af Isens Vægt parallelt med Banen, og 0,99996 af samme Vægt lodret paa Banen. Slaar man Banens Hældning ned til 15' eller 1/4 Grad, saa maatte Bevægelsens Udgangspunkt ligge i en Heide af 0,684 geografiske Mil = 16158 norske Fod over Havet, altsaa gode 4 Gange saa høit som Skandinaviens nuværende Høi- plateau. Under en saadan Hældning virke 0,00436 af Isens Vægt parallelt med Banen, og 0,99999 af samme Vægt lodret paa Banen. Af disse Exempler fremgaar for det Første, at det bær op i en eventyrlig Høide med Skandinavien, selv om man setter Hældningen af Isbræernes Glidebane kun til !/ı Grad, og for det Andet, at Banens Hældning bliver en mindre vigtig Sag. Thi Glidebaner, som have en Hældning af '/2 Grad og derover kan man ikke bruge, fordi de føre op til urimelige Høider, og paa Baner med en Hældning af 1/2 Grad og der- under kan det ikke være den parallelt med Banen virkende Kom- ponent af Isbræens vertikale Tryk, som sætter Isbræen i Bevægelse. Thi denne Komponent andrager, som bemærket, ved !/2 Grads Hældn. kun til 0,0087 af Isbræens vertikale Tryk, ved t/4 — — — - 0,00456 - — — — Den bestemmer væsentlig kun Bevægelsens Retniug, medens Bevægelsen hovedsagelig skriver sig fra den mod Banen lod- ret virkende Komponent, der voxer, idet Banens Hældning aftager. Dette vil med andre Ord sige, at den Gletscher- bevægelsestheori, som kaldes Glidetheorien, og som man be- vidst eller ubevidst hylder, idet man giver Anslag paa et heit ophøiet Skandinavien, maa opgives, og man maa tage sin Tilflugt til Tyndalls Tryktheorie, som er grundet paa Isens Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 253 Overgang til Vand under Tryk, samt paa den af Faraday op- dagede Regelation. Ved denne Theori, der er det værdifuldeste Bidrag, som jeg har seet, til Klargjorelse af Gletscherbevægelsen, er vist- nok for saadanne Isbræers Vedkommende, der ikke have stor Mægtighed, at erindre for det Første, at naar Gletscherisen skulde være saa plastisk, saa medgjørlig, at en Isbræ af sin Tyngde lod sig trykke og lempe frem gjennem et ujævnt, bugtet, svagt hældende Løb, idet den snart udvidede sig, snart trak sig sammen efter Løbets Brede: saa maatte den ogsaa af sin Tyngde lade sig trykke og lempe til en saa tetsluttende Berørelse med Underlaget, at ikke en Draabe Vand, end sige store Elve, slap frem under Isbræen; for det Andet, at det vilde være vanskeligt at begribe, at Isbræerne bevæge sig saameget hurtigere paa den varmere Aarstid, naar Gletscherelvene ere store, end paa den koldere Aarstid, naar . de ere smaa, dersom Bevægelsen beroede alene paa Isbræens Tyngde og Plasticitet. Thi Temperaturen i Gletscherne er — at slutte fra hvad jeg har iagttaget idetmindste — lig 0° hele Aaret rundt, undtagen i en tynd Skorpe ovenpaa, hvor Tempera- turen om Vinteren er lavere, hvilket ikke synes at kunne foranledige, at Gletscherbevægelsen sagtner saa betydeligt af i den koldere Aarstid. Saaledes fandt Tyndall!) — for at nævne et Exempel — at den største Hurtighed, som Mer de glace paa et vist bestemt Sted opnaaede i December 1859, var 15°/4 Tomme i 24 Timer, medens den største Hurtighed paa samme Sted om Sommeren var 30 Tommer i 24 Timer. Det ser ud til, bemærket iforbigaaende, at Gletscherelvene, eller over- hovedet det Vand, som trænger sig ned igjennem Isbræerne fra oven, ind under dem fra Siderne, og frem under dem efter Længden, meget hyppig med en Temperatur en Smule over 0°, have et grundet Krav paa at erkjendes som en til Gletseherbevægelsen medvirkende Aarsag, uden hvilken 1) Glaciers of the Alps pag. 294. 254 S. A. Sexe. Bevægelsen, navnlig paa svagt hældende Underlag, ikke vilde finde Sted. Men naar en Gletscher har en meget stor eller uhyre stor Megtighed, saa kan man ved Hjælp af Tyndalls Tryktheorie forklare sig dens Bevægelse paa et endog næsten borizontalt Underlag. Thi med den uhyre Mægtighed følger et uhyre vertikalt Tryk, der avler en uhyre stærk Tendents hos Ismassen til at brede sig ud til Siderne, samt foranlediger en stærk Produktion af Vand, saa at Isbræen kan skride afsted, flydende, saa at sige, i sit eget Fedt, paa den Vei, hvor den møder mindst Modstand. Saa mægtig kan man tænke sig en Ismasse, at den bevæger sig ud til alle Sider paa et horizontalt Underlag, naar dens Mægtighed vedlige- holdes ved Paalæg oventil. Men paa denne Maade bliver et høit ophøiet Skandinavien overflødigt, hvad enten man tænker sig, at den omhandlede Gletscherbevægelse og dermed for- bundne Transport af Detritus gik for sig til Lands eller til Vands. I Henhold til det saaledes Anførte skulde man vel af Læren om Skandinaviens mange vertikale Svingninger kunne udelade No. 2, No. 3 og No. 4 og sætte en eneste Reisning i Stedet. Det Eneste, som endnu skulde kunne opretholde den Tanke, at Skandinavien før og under Istiden var løftet høiere op af Havet, end ved samme Tids Slutning, maatte være den Omstændighed, at man hist og her i Udlandet træf- fer paa Vandreblokke fra Norden, som ligge høiere end de Steder, hvorfra man antager at de ere udsprungne. Men hertil maa bemærkes for det Første, et en Isbræ kan paa sin Vei medtage en Stenblok fra et lavere Sted og løfte den op paa et høiere Sted, som dog maatte ligge lavere end Is- bræens Udspring. For det Andet, at om Skandinavien laa lavere, eller med andre Ord: om Grændselinien mellem Hav og Land laa høiere før og under Istiden, end ved samme Tids Slutning, saa kan Skandinavien ikkedestomindre den- gang have raget ligesaa heit over Havet som senere. Thi Skandinavien har naturligvis i Tidsrummet fra Istidens Be- Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 255 syndelse indtil nu tabt betydeligt af sin Høide ved Denuda- tion, hvorom den skandinaviske Detritus baade hjemme og ude bærer Vidne, der bestyrkes ved vore Høifjældes ruin- agtige Tilstand. For det Tredie er det vel ligesaa rime- ligt, at de Steder, hvor bemeldte Blokke forekomme, siden Istiden have hævet sig i Forhold til det skandinaviske Høi- land, som at dette skulde have først hævet sig, og derpaa sænket sig i Forhold til dem. Til foranstaaende Diskussion knytter sig uvilkaarligt det Spørgmaal: Gik Isstrømmene fra Skandinavien til Udlandet i Glacialtiden til Lands eller til Vands? For det sidste Alter- nativ taler: at man slap for at bringe Bunden i Østersøen, Kattegat, Skagerak og Nordsøen paa det Tørre, og at man kunde benytte disse Have som Transportredskaber for Is- bræerne, og saaledes slaa noget af paa Fordringerne til disses Mægtighed. En Ismasse, hvis Vægt for en stor Del bæres af Vand, lader sig naturligvis lettere skyde frem, end en lignende Masse paa det Tørre, hvortil kommer, at Detritusen i Vand taber omtrent !/; af sin Vægt og saaledes bliver lettere at haandtere. Man turde maaske saaledes kunne antage: De skandinaviske Isbræer stege ned i Havbækkenet, og hvorvel en Isbræ ikke udvider sine Grændser uden paa Grund af en voxende Mægtighed, saa kan man dog maaske antage, at disse Isbræer i Førstningen kalvede i dette Bækken, fordi de ikke naaede dets Bund. De saaledes fremkomne Isberg befandt sig ikke under de samme Forholde, som de Isberg, der skydes ud i Polarhavene og gribes af Havstrømme, der bero paa en Kommunikation mellem Polarhavene og de tro- piske Have. Det Skandinavien omgivende Hav stod jo ikke i Forbindelse med andre Have, undtagen i Nordvest og Nord- øst. Isberg i dette Hav bleve saaledes ikke agiterede af andre Strømme, end de daglig skiftende, som følge med Ebbe og Flod. Den Motor, der drev disse Isberg til fremmede Kyster, kunde derfor kun være Vind. Men de undersøiske 256 S. A. Sexe. -Zoner, som droge sig langs med Nabogerne i Vest og Nabo- landet i Syd, vare saa lidet dybtliggende, at Isbergene stode paa Gruud, længe før naaede Land. Men Isbræernes Mægtighed voxte, de skjøde sig ud i Havet, uden at sønderbrydes, fulgte dettes Bund, naaede idet- mindste denne Bund, længe før de naaede Land paa Hav- bækkenets modsatte Side. Under Overfarten formindskedes ventelig deres Mægtighed i nogen Grad, hvorved det blev let- tere at trykke dem ind imod og op paa Land i Vest og Syd, hvor Landet kun havde en svag Stigning. De af Isbræerne bestrøgne undersøiske Zoner langs med Øerne i Vest og Landet i Syd kunde vel ikke tjene som Hjemsteder for nogen Saltvandsfauna, saamegetmindre som Vandet i et Bækken, der var saa optaget af Is, vel nærmest maatte være Ferskvand, især hvor det fra Landjorden mod- tog et betydeligt atmosfærisk Nedslag i flydende Tilstand, hvilket fornemmelig maatte være Tilfældet paa Sydsiden, hvor Floderne fra Tydslands nordlige Afhæng strømmede til, maaske for en Del stuedes op og dannede en Ferskvandssø omkring Isbræernes ydre Rand, fordi de ikke fandt tilstrække- lig Anledning til at trænge ind under Isbræerne. Maaske man heri kan se Grunden ikke blot til at Vandreblokkene fra de forskjellige Hjemsteder ikke ere blandede om hinanden i Udlandet, men ogsaa til at man ikke udenfor Skandinavien har fundet Saltvandsfossilier sammen med disse Blokke, især naar, som antageligt, Tilfældet var, at Landet hævede sig saaledes, at Isbræernes ydre Rand havde at passere et Stykke paa det Tørre, førend den naaede Havet paa sin endelige Tilbagetur til Skandinavien. Til Imødegaaelse af mulige Tvivl, om de skandinaviske Isbræer kunne passere det omgivende Hav, uden at bry- des i Stykker, fremhæves følgende Citat af voyage to the southern seas Vol. 1. pag. 223 by James Ross: «In those re- gions we have also witnessed the almost magical power of 7 Fig 1 Strandlinjen over Myelle hig? Strandlingen over Finland! Lig). Strandlinjen over Sandnes. Fig. 4. Strandlinjen over Bredvik. Fig. Strandlingen over Movilv, a h Lam-o, höjeste havstand "| and laoeee — "177 Ha, Strandlinjen over «Movik, Lam-0 \ \ \ N 3. Lil. “7 Au A AL drehir Å Math. & Å Om Skandinaviens vertikale Svingninger. 257 the sea in breaking up landice or extensive floes of from twenty to thirty feet thick, which have in a few minutes after the swell reached them, been broken up into small fragments by the power of the waves. But this extraordinary barrier of ice, of probably more than tousand feet in thieknes, erushes the undulations of the waves, and disregards their violence: it is a migthy and wonderful objeet, far beyond any thing we could have thought or conceived.» Denne Barrier, fra hvis Underflade der var et godt Stykke ned til Havets Bund, laa, efter Opdagerens Formening hen- — gende sammen med Victorialand, aaben for det sydlige Polar- hav, medens Østersøen og Nordsøen paa Størstedelen af deres Omkreds vare omsluttede og beskyttede af Land, paa samme Tid som de — at slutte fra deres nuværende Dybder — vel ikke vare dybere, end at Isbræerne, som maa tænkes meget mægtige, fordetmeste naaede Bund. Under Isbræernes Afsmeltning og Tilbagetog paa og fra det Skandinavien omgivende Hav brast de naturligvis i Styk- ker; men om disse Stykker gjælder det samme, som om de Isberg, der fremstod, da disse Isbræer begave sig ud paa Havet: de bleve staaende paa Grund, uden at naa Land, hvor- til maa knyttes den Bemærkning, at de ikke naaede saa langt frem, som bemeldte Isberg, da Landene i Øst, Syd og Vest for det Skandinavien omgivende Hav i Løbet af Istiden an- tagelig havde hævet sig saa, at de Strækninger af Havbunden, som laa dem nærmest, vare komne paa det Tørre. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3 B. 3 H. 17 OM ZODIAKALLYSET. AF H. GEELMUYDEN. Zivaiakalliaet har som bekjendt Udseende af en fra Horizonten opstigende, oventil afsmalnende Lysstribe, som helder mod den Kant, hvor Solen staar om Middagen, altsaa paa den nordlige Halvkugle (udenfor Vendecirkelen) mod Syd. Paa en Tid af Aaret sees det bedst paa Vesthimmelen, naar der er hengaaet tilstrækkelig lang Tid efter Solens Nedgang til, at Himmelgrunden er bleven ganske mørk; paa en anden Aarstid viser det sig bedst i Øst for Solens Opgang. Skjønt det ofte kan have adskillig større Lysstyrke end Melkeveien, er det alligevel for den lagttager, der ikke paa Forhaand er bekjendt med det, mindre iøinefaldende, dels fordi det aldrig kan naa mere end til en vis, af Stedet og Aarstiden afhæn- gig Høide over Horizonten, dels fordi dets Lys er stærkest i Midten og aftager ganske gradvis udover mod Kanterne, saaledes at det flyder næsten umærkeligt hen i Himmelgrunden. Dette er vel den hovedsagelige Grund til, at der er forholdsvis faa, som have seet det, selv blandt Folk, som ere vel kjendt med Naturen i Almindelighed og med Himmelen i Særdeleshed. For en Del kan dette imidlertid ogsaa komme af ufuld- stændige eller feilagtige Oplysninger. Saaledes vil man i de fleste Bøger, hvor Fænomenet omhandles, faa den Besked, at det sees bedst ved Jevndøngstiderne, nemlig ved Vaarjevn- Om Zodiakallyset. 259 døgn om Aftenen i Vest og ved Høstjevndøgn om Morgenen i Øst. Denne Oplysning, som egentlig ikke passer for noget Sted paa Jorden undtagen lidt indenfor Vendecirklerne, bliver mere og mere feilagtig, jo længer man kommer fra Ækvator, især hvis man forstaar den derhen, at Zodiakallyset sees lige godt paa to Tider, der ligge lige langt fra Jevndøgnstiden. Saaledes vil man f. Ex. en Maaned før Vaarjevndøgn kunne se det med betydelig Glands; en Maaned efter er det derimod paa vore Bredder næsten usynligt. Alle Observationer vise, at Zodiakallyset altid holder sig omkring Ekliptiken. Selve Midtlinien falder rigtignok i Re- gelen ikke nøie sammen med Ekliptiken, men danner ofte en Vinkel paa nogle faa Grader dermed. Dette kan for en Del være begrundet 1 virkelige Forhold, men vil ogsaa, naar Zodiakallyset staar skraat, for en Del være en Følge af Luf- tens aftagende Gjennemsigtighed nedover mod Horizonten; om nemlig Axen, d. e. det midterste og lyseste Parti, med abso- lut gjennemsigtig Luft vilde vise sig at falde sammen med Ekliptiken, vil den dog i Virkeligheden, da de nedre Luftlag absorbere mere Lys end de øvre, vise sig noget løftet over samme; dette er ogsaa det, som i Almindelighed finder Sted. Under alle Omstændigheder maa Undersøgelsen af Zodiakal- lysets Stilling til Horizonten i alt væsentligt falde sammen med Undersøgelsen af Beliggenheden af et Punkt af Ekliptiken, som har en vis Elongation fra Solen paa den ene eller anden Side; Erfaring viser nemlig, at Toppens Vinkelafstand fra Solen vist- nok ikke er ganske constant, men at Zodiakallyset dog følger Solen saavel i Dagens som i Aarets Løb. Endvidere maa, naar det skal være synligt i sin Helhed, Solen have naaet den Dybde under Horizonten, ved hvilken Dæmringen ophører; det er ogsaa klart, at det Øieblik, da dette finder Sted, under forøvrigt lige Omstændigheder vil være bedst til lagttagelsen af Zodia- kallyset, fordi de to Betingelser: mørk Himmel og størst mulig Høide over Horizonten, da fyldestgjøres. Cis 260 H. Geelmuyden. Paa hosstaaende Tegning af Himmelkuglen er Z Zenit, P Nordpolen, altsaa de to Storeirkler, der tegne sig som to Diametre, Horizon- ten og Ækvator; endvidere er SV Ekliptiken, S Solens Plads, V Vaar-Jevndøgns- punktet og A det Punkt, som svarer til Zodiakally- sets Top, altsaa Buen SA Spidsens Elongation =e. Er Å Solens Høide, betragtet som negativ under Horizonten, saa er ZS = 90" — h; er fremdeles y den Vinkel PSV, som Solens Deelinationseirkel danner med Ekliptiken, & den parallaktiske Vinkel PS Z og x Punk- tet A’s Heide over Horizonten, altsaa ZA = 90" — x, saa giver det sfæriske Triangel ZSA sin æ = cos (y — k).cos À. sine + sin h. cose (1) hvor y og k findes af de sfæriske Triangler VBS og PSZ, nemlig | cotg y = cos Å. tg (2) sin & — sin h sin Ô cos À cos Ô cosk= (3) naar A er Solens Længde, 6 dens Declination, & Ekliptikens Skraahed (23° 27') og & Stedets Polheide. ; kunde naturlig- vis ogsaa findes af Declinationen istedetfor af Længden, idet Trianglet VBS giver sin y = - men ovenstaaende Formel 08 € cos 6” er bekvemmere ved Beregningen, saafremt man har en Al- manak, som indeholder Solens Længde; dens Declination findes i den almindelige Søkalender. Figuren gjelder for Vesthimmelen; for Morgen-Zodiakal- lyset i Øst bliver alting uforandret, undtagen at cotg y skif- Om Zodiakallyset. 261 ter Fortegn, det vil sige, at man tager Supplementvinkelen til den Værdi af y, som ovenstaaende Ligning giver. Undersogelsen af disse Formler viser, hvad man endnu lettere finder ved en umiddelbar geometrisk Betragtning, at Heiden æ bliver størst, naar Ekliptiken danner den størst mulige Vinkel med Horizonten. Indenfor Vendecirklerne kan denne Vinkel stige til 90°, og den bedste Tid til Iagttagelsen al Zodiakallyset bliver altsaa de to Tider paa Aaret, da Ekliptiken staar lodret paa Horizonten i det Øieblik, Solen har Heiden (Dybden) A. Da isaafald Solens Verticaleirkel falder sammen med Ekliptiken, saa bliver y =k, og Aarstiden kan altsaa findes ved i de to Ligninger sin p — sin Å. sin 6 og sin GONE = v = cos Å. cos Ô 5 ? cos k= cos Ô at sætte y = k og eliminere. Dette giver en kvadratisk Lig- ning for sin 6, hvoraf findes sin 6 = sin À. sin & + cosh | sin % — sin 2p (4) For alle Polhøider mindre end & faaes altsaa to forskjellige Declinationer; da nu Solen har hver Declination to Gange om Aaret, saa faar man egentlig 4 Gange, hvor Ekliptiken staar lodret paa Horizonten, naar Solens Heide er h; men det sees let, at to af disse svare til Morgen-Zodiakallyset. Hvilke to maa man vælge for Aftenlyset, som her betragtes, sees af Lign. (2) og (8); er nemlig cos k positiv, altsaa k= y < 90°, saa maa Å ligge mellem 270° og 90°, d. e. Declinationen 6 svarer til en Dag mellem 21de December og 21de Juni; hvis derimod cos k er negativ, saa svarer 6 til en Dag mellem 21de Juni og 21de December. Da Betingelsen for, at cos k skal være negativ, er sing < sin h.sin 6, saa sees let, at dette blot kan finde Sted i Nerheden af Akvator. Det kan bemærkes, at i Lign. (4) er 6 den samme Funk- tion af 9, som Å er af 6. Udenfor Vendeeirklerne kan Ekliptiken ikke komme til 262 H. Geelmuyden. at staa lodret mod Horizonten; den sterst mulige Heldning finder der Sted, naar Jevndøgnspunkterne staa i Horizonten, navnlig saaledes, at Foraarspunktet staar i Vest; Heldningen er da lig Summen at Ekliptikskraaheden og Stedets Ækvatorhøide, altsaa lig 90” — m+e. Betragtningen af en lignende Figur som den foregaaende, men hvor Punktet V falder i Horizonten, giver da den størst mulige Høide, som Zodiakallysets Top kan opnaa under Bredden g, ved Hjælp af Ligningen sin æ = sin (A + e) cos (p — 8), hvor Solens Lengde, altsaa Aarstiden, bestemmes ved Lig- ningen sinh = sin Å. cos (p — 8), altsaa sin À = sinh.sec(@ — 8). (5) Til Anvendelsen af disse Formler kreves, at man kjender to Ting, nemlig Solens Dybde under Horizonten, naar det sidste Spor af Dagslys forsvinder, og Zodiakallysets Udstræk- ning fra Solen. Ifølge Kleins «Astronomische Encyclopädie» skal Solens Dybde under Horizonten, naar Dæmringen ophører, efter ældre Bestemmelser være 18°, men efter nyere Under- søgelser af Schmidt i Athen 15,9. Det turde dog hænde, at der i denne Henseende er Forskjel for forskjellige Dele af Jorden, fordi Luften ikke overalt er lige ren og gjennemsigtig ; ialfald har jeg i Christiania seet Dæmring i Nord den 22de April ved Midnat, da Solen var 17° 40' under Horizonten, og denne Dæmring var stærk nok til at udviske Melkeveiens Grændser i Perseus og Kudsken i en Heide af 26°. Da dette imidlertid blot beror paa en enkelt Observation, skal jeg holde mig til Schmidts Resultat og sætte h= — 16°. Angaaende det andet Punkt, Zodiakallysets Udstrækning fra Solen, er der større Usikkerhed, eller rettere sagt, den er mere foran- derlig; men det er dog let at finde en Middelværdi mellem de ikke synderlig vide Grændser. Der foreligger rigtignok enkelte Beretninger fra sydligere Lande, om at Zodiakallyset undertiden skal have været seet hele Himmelen rundt (langs Om Zodiakallyset. 265 Ekliptiken); men dette er en sjelden Undtagelse og vides ikke at have været seet paa vore Bredder, hvor Luften neppe nogensinde kan blive saa gjennemsigtig som f. Ex. i Middel- havslandene. Jeg vil derfor holde mig til Resultatet af Ob- servationerne i Christiania; af 19 Iagttagelser, hovedsagelig fra de 3 sidste Aar, ved hvilke Spidsens Beliggenhed blandt Stjernerne findes antegnet, følger som Middelværdi for Aften- Zodiakallyset e = 75"; den største observerede Værdi er 93°, den mindste 56°, og Forskjellighederne kunne for en stor Del henføres til Luftens større eller mindre Gjennemsigtighed. Denne Middelværdi stemmer ogsaa temmelig nøie med Resul- tatet af Observationer fra andre Steder i Europa. Af Morgen- Zodiakallyset foreligger der af let forklarlige Grunde meget færre Observationer; disse give en noget mindre Elongation, hvad der muligens kan have sin Grund i, at Morgenluften i Regelen er mindre gjennemsigtig. Nogle Observationer fra de tropiske Lande give en større Elongation for det østlige end for det vestlige Zodiakallys. I det store taget er der rimeligvis ingen væsentlig Forskjel. Den medfølgende Planche gjengiver grafisk Resultatet af Lign. (1) for hele Aaret og for 4 Polhøider nemlig Ækvator, den nordlige Vendecirkel, 45° og 60° N.B. Ordinaterne give Heiden over Horizonten af Aften-Zodiakallysets Top i det — Øieblik, Solen er 16° under Horizonten, under Forudsætning af at Toppen ligger (med rundt Tal) 70° fra Solen. De derved fremkomne Curver vise flere Eiendommeligheder. Ækvatorkurven gjør, som man kan vente, 2 Slag i Aarets Løb, idet den viser to Maxima i Begyndelsen af Juni og i Begyndelsen af December, og to Minima i Begyndelsen af Marts og September. Tiden for Maximum og Minimum kan naturligvis blot nogenlunde sees af Figuren; den nøiagtige Dag findes af Lign. (4) som giver 6=+22"29"5, hvortil svarer (for Aften-Zodiakallyset) 4 Juni og 6 December, som altsaa er de fordelagtigste Dage til Iagttagelsen af Zodia- 264 H. Geelmuyden. kallyset paa Vesthimmelen under Ækvator. Det, som uden- for Vendecirklerne er Betingelsen for Zodiakallysets største Høide, nemlig at Jevndøgnspunkterne falde i Horizonten, giver under Ækvator netop den mindste Høide, fordi Eklip- tiken da danner den mindst mulige Vinkel med Horizonten, 66° 33°. Lign. (5), som for p = 0 gaar over til sin A = sin h.sec &, giver den ene Tid, nemlig 3die Marts; den anden Tid, naar Vaar-Jevndøgnspunktet staar i Horizonten i Øst, findes af Lign. sinA= — sin Å. sece, som giver 5te September. Eftersom man fjerner sig fra Ækvator mod Nord rykke de to Maxima i December og Juni tættere og tættere sammen, idet det første indtræffer senere, det sidste tidligere, saale- des at de under Krebsens Vendecirkel falde sammen til eet den 4de Marts, altsaa meget nær den Tid, da der under Ækvator var et Minimum; Forskjellen bestaar blot deri, at Betingelsen for Minimum ved Ækvator var sinö-sinh.tge (da nemlig sin 6=sin A. sin e), medens Betingelsen for Maximum under Vendecirkelen ifølge Lign. (4) er sin ô = sin Å. sin o = sin h. sine. Det ene Minimum for Ækvator er altsaa forsvun- det, det andet er rykket tilbage fra 5te Sept. til Slutningen af August. Curven for »=e viser tillige, at Zodiakallysets Høide holder sig næsten aldeles uforandret fra Slutningen af Januar til Midten af April. | Nordenfor Vendecirkelen bliver der naturligvis fremdeles blot eet Maximum og eet Minimum, som begge rykke til- bage (d. e. indtræffe tidligere paa Aaret) eftersom man kom mer nordover, det første dog kun langsomt; saaledes har det ved 45° N. B. endnu ikke rykket længere end fra 4de til 3die Marts. Samtidig bliver Forskjellen mellem Maximum og Minimum stadig større, hvoraf følger, at jo mere man fjerner sig fra Ækvator, desto mere gjelder det at have Opmærksom- heden henvendt paa Maximumstiden. Saaledes viser Figuren, at man under 45° Bredde fra Midten af Februar til over Mid- Om Zodiakallyset. 265 ten af Marts ser Zodiakallyset høiere end under Ækvator i ‘det samme Tidsrum; derimod er Heiden omkring Minimums- tiden (forst i August) saa ringe, at det svage Lys fra Zodia- kallysets Top neppe vil kunne trænge igjennem de tætte nedre Luftlag. Den sidste Curve gjelder for 60° Bredde. Maximum, som her indtræffer 28de Februar, er endnu nogenlunde betydeligt (ca. 38° ved 70° Elongation). Derimod er der intet Minimum; Curven stiger nemlig op fra Horizonten den 7de Oktober og hæver sig siden temmelig raskt opover; men efter Maximums- tiden 28de Februar daler den endnu hurtigere, indtil den pludselig stopper den 27de April i en Høide af mellem 11 og 12 Grader. Grunden hertil er naturligvis den, at fra den nævnte Datum begynder de lyse Nætter i den Forstand, at Solens Dybde under Horizonten selv ved Midnat er mindre end 16°. Et saadant Stoppepunkt vil Curven altid have fra en Paralleleirkel paa Jorden, hvis Ækvatorhøide = 23° 27° + 16° =39°27', altsaa fra 50°33’ Bredde og nordover. Ved 60° Bredde er Zodiakallyset af denne Grund usynligt fra 27de April til 15de August; ved 70° Bredde fra 30te Marts til 12te September. En af Ordinaterne, nemlig gjennem Vaarjevndøgn, er optrukket stærkere end de øvrige for tydeligt at vise, hvor- meget bedre Zodiakallyset kan iagttages før end efter samme, ikke alene fordi Maximum overalt falder tidligere, men ogsaa fordi Curverne udenfor Vendecirklerne dale raskere paa den efterfølgende end de stige paa den forangaaende Side. Saa- ledes falder Stoppepunktet for 60° Bredde paa den 27de April eller 58 Dage efter Maximum; men den samme Høide 11°,5 var paa den opstigende Side naaet den 22de November, hvil- ket er 98 Dage før Maximum, altsaa hele 40 Dages Forskjel. Der er endnu en anden Grund til at Zodiakallyset bliver mindre fremtrædende efter Vaarjevndøgn, nemlig at det da begynder at flyde sammen med Melkeveien og dens Udløbere 266 H. Geelmuyden. i Stjernebilledet Tyren. Paa den anden Side af Melkeveien kan det neppe følges paa vore Bredder. Forøvrigt kan man, som ovenfor nævnt, ikke altid vente at se Zodiakallyset, saa- snart Spidsen ifølge Curven skulde ligge over Horizonten, fordi den øvre svagt lysende Del, hvis Grændser det ofte kan være vanskeligt nok at bestemme selv i større Høider over Horizonten, ikke formaar at skinne gjennem de nedre tætte Luftlag. Det tidligste, jeg har seet Zodiakallyset i Christiania (Bredde 59° 55') er 26de December; det var da naturligvis temmelig skraat, men dog særdeles tydeligt, saa at det uden Tvivl vil kunne sees adskillige Dage tidligere paa en maane- skinsfri Aften med klar Horizont; det sidste er imidlertid en Sjeldenhed i Christiania paa denne Tid af Aaret, da der, selv om Himmelen forøvrigt er klar, gjerne vil lægge sig Taage i Horizonten. | Foruden de fire helt optrukne Høide-Curver indeholder Planchen en punkteret Curve, som angiver Maximumstiden for de forskjellige Polhøider ifølge Lign. (4) og (5); Tallene x paa venstre Side betyde for denne ikke Høider over Horizon- ten, men Polhøider. Den viser, hvorledes de to Maximums- tider indenfor Vendeeirkelen stadig rykke sammen; for 15° Bredde findes de saaledes at indtræffe 15de Januar og 23de April. Udenfor Vendecirkelen stiger Linien næsten lodret op et langt Stykke, saa at Maximum, som ved Vendecirkelen indtræffer den 4de Marts, endnu ved 50° Bredde ikke er ryk- ket længer tilbage end til 2den Marts. Først paa høiere Bredder indtræder en stærkere Krumning; ved 60° Bredde er, som før nævnt, Zodiakallysets Høide størst 28de Februar, ved 70° Bredde 25de Februar og ved selve Nordpolen 4de Februar. i Hele Planchen gjelder blot for Aften-Zodiakallyset. For Morgen-Zodiakallyset kan lignende Curver opkonstrueres efter Lign. (1), naar man tager Supplementvinkelen til den ved Lign. (2) bestemte Værdi af y; men man kan ogsaa med til- Om Zodiakallyset. 267 strekkelig Noiagtighed opnaa det samme Resultat ved Hjelp af de allerede optrukne Curver i Forbindelse med den Regel, at paa en given Dag i Aaret, der ligger et vist Antal Dage for (efter) det ene Jevndogn, bliver Morgen-Zodiakallysets Høide den samme som Aften-Zodiakallysets det samme Antal Dage efter (før) det andet Jevndøgn, naturligvis under For- udsætning af, at den østlige og vestlige Elongation fra Solen er ligestore. Vil man f. Ex. vide paa hvilken Dag Morgen- Zodiakallyset kommer høiest under 60° Bredde, saa tæller man hvor mange Dage Aftenlysets Maximumstid, 28de Februar, ligger for Vaarjevndogn; da dette er 20, saa bliver den søgte Dag 20 Dage efter Hostjevndøgn, altsaa den 12te eller 13de Oktober. Vil man vide paa hvilke Dage Morgenlyset og Af- tenlyset kan komme lige høit under hvilkensomhelst Polhøide, saa sees let, at det maa blive ved Solhverv. Istedetfor at tælle til modsatte Kanter fra de to modsatte Jevndøgn kunde man ogsaa tælle til modsatte Kanter fra det samme Solhverv. Da de fire Fjerdingaar ikke ere ganske lige lange, kan man paa denne Maade komme til at begaa en Feil af et Par Dage eller den dertil svarende Feil i Høiden, hvad der paa Grund af Sagens Natur i de fleste Tilfælde vil være uden synderlig Betydning; vil man imidlertid opnaa fuld Nøiagtighed for Morgenlyset ved Hjælp af Curverne for Aftenlyset, saa kan man ved Hjælp af en Søkalender finde en Dag paa hvilken Solens Declination er den samme som paa den givne Dag. Seger man f. Ex. Morgenlysets Heide under 45° Bredde den Iste November, saa viser Søkalenderen, at den Declination, som Solen har Iste Nov. (14° — 15° sydlig) har den ogsaa Ode Februar; altsaa er den søgte Heide den samme som Af- tenlysets Høide 9de Februar, hvilket ifølge Curven er henved 477. Ved at tælle Dagene fra nærmeste Jevndøgn kommer man i dette Tilfælde til samme’ Resultat. | For den sydlige Halvkugle bliver alt naturligvis som for den nordlige, blot at Aarstiderne ombyttes, det vil sige, for 268 H. Geelmuyden. en hvilkensomhelst Dag bliver Omstændighederne ved Zodia- kallyset de samme som for den tilsvarende nordlige Bredde paa Halvaarsdagen derfra. Paa Grund af enkelte i den senere Tid fremsatte Theo- rier er det nødvendigt at anføre nogle Ord til Forsvar for den i det foregaaende anvendte Maade at betragte Zodiakallyset paa, nemlig som et Fænomen, der følger Solen i Aarets og Dagens Løb. Navnlig har en Italiener Hr. Serpieri, Bestyrer af det meteorologiske Observatorium i Urbino, i et Tidsskrift, som udgives af «Societå degli spettroscopisti Italiani», leveret en meget udførlig Diskussion af en Række Zodiakallys-Obser- vationer, udførte af en amerikansk Skibsprest Jones paa en ' Søreise i Aarene 1853—55, hovedsagelig i de tropiske Far- vande; han kommer derved til det Resultat, at Zodiakallyset er et rent terrestrisk Fænomen, som han til Slutning sætter i Klasse med Nordlys, og det lader til at denne Maade at betragte Tingen paa har vundet Bifald hos flere italienske Videnskabsmænd. Der er imidlertid adskilligt at indvende mod den Maade, hvorpaa Forfatteren har draget sine Slut- ninger. Uden her at gjennemgaa den temmelig vidtløftige Afhandling i sin Helhed skal jeg blot fremhæve et Par Ting. Ved at sammenstille Observationerne af Spidsens Elongation fra Solen dels efter de forskjellige Tider af Aaret, dels for de forskjellige Timer af Natten, finder han, at Zodiakallysets Udstrækning har baade en aarlig og en daglig Periode. Den sidste, hvorpaa han især bygger sin Theori, viser sig paa den Maade, at Spidsen af Aftenlyset ofte i Nattens Løb sky- der sig længer og længer bort fra Solen, mest i de første Par Timer efter Soldnedgang, senere svagere; ved det østlige Zodiakallys paa Morgenhimlen foregaar det omvendte, saale- des at Spidsen sænker sig blandt Stjernerne samtidigt med, Om Zodiakallyset. 269 at det hæver sig paa Grund af Himlens daglige Rotation. Spidsens Vandring i Nattens Løb har undertiden beløbet sig til 30° og derover. Da det nu er hævet over al Tvivl, at Luften, selv om der ikke findes en Sky paa Himlen, ingen- lunde er lige gjennemsigtig bestandig, og at Luftens Gjennem- sigtighed har meget at sige ved et saa delikat Foretagende, som Bestemmelsen af Zodiakallysets Grændser, saa maa man paa Forhaand vente, at dets Udstrækning varierer med Tiden, og ligeledes, at den gjennemsnitlig er forskjellig paa Steder med forskjelligt Klima. At en saadan Foranderlighed i Luf- tens Klarhed kan faa en periodisk Charakter baade i Løbet af Aaret og i Løbet af Dagen, er høist rimeligt, navnlig i de tropiske Egne med sin periodiske Regntid og andre regel- mæssige meteorologiske Forhold. Hermed skal det ikke være sagt, at de af Serpieri paapegede Eiendommeligheder maa forklares paa denne Maade, men aldenstund der er en saa nærliggende Mulighed tilstede, gaar det ikke an at kaste det hele over paa ubekjendte indre Kræfter i Zodiakallyset og bygge cn egen Theori derpaa, uden først nøie at have under- søgt, om den nævnte Mulighed ikke ogsaa er Virkelighed. Forfatteren har selvfølgelig ikke været blind for de Indven- dinger, der kunde reises fra denne Kant, men han har neppe behandlet dem med den fornødne Omhu. Han anfører egent- lig blot en Grund af nogen Betydning som Støtte for sin Me- ning, rigtignok i en anden Forbindelse, nemlig i Anledning af en Eiendommelighed, som han kalder Pulsationer, og som ifølge Jones's Iagttagelser skal bestaa deri, at Zodiakallysets Udstrækning og Lysstyrke stundom undergaar afvexlende For- øgelse og Formindskelse med nogle faa Minuters Mellemrum. Dette har kun sjelden vist sig om Morgenen, og om Aftenen hovedsagelig i Løbet af de første 2 Timer efter Solnedgang. Forfatteren nævner i den Anledning, at saafremt dette skulde have sin Grund i Vexlinger i Luftens Gjennemsighed, saa maatte noget lignende vise sig ved Melkeveien og de svage- 270 H. Geelmuyden. ste Stjerner. Hvorvidt Jones samtidig har havt sin Opmærk- somhed henvendt paa disse, oplyses ikke; men der er dog den væsentlige Forskjel mellem Zodiakallyset og Melkeveien, at det forstes henflydende Begrændsning gjer enhver Foran- dring i Luftens Klarhed mærkbar, nemlig paa dets Udstræk- ning, medens Melkeveien med sine forholdsvis skarpe Grændser kun undergaar Forandringer i Lysstyrken, noget der natur- ligvis er vanskeligere for Øiet at opfatte. Det samme gjelder om Stjernerne. Den ovenfor nævnte Omstændighed, at Elongationens Forøgelse udover Aftenen var mest udpræget i de første to Timer efter Solens Nedgang, finder en simpel Forklaringsgrund deri, at Forfatteren ikke har taget behørigt Hensyn til Dæm- ringen. Jones begyndte i Regelen sine Observationer om Aftenen saasnart han kunde se Zodiakallyset, hvilket ofte var temmelig længe før Dæmringens fuldstændige Ophør, og at isaafald Toppen skyder sig frem blandt Stjernerne, saalænge til Himmelgrunden er bleven fuldstændig mørk, er en naturlig Ting; om Morgenen synes han i Regelen at have ophørt med Observationerne, saasnart Dæmringen viste sig. Nu har Ser- pieri grupperet Observationerne for hver halve Time, idet han begynder med 1 Time efter Solnedgang, forsaavidt Materialet strækker til; han har derved fundet, at Zodiakallysets Væxt fra 1 til 1'/2 Time efter Solnedgang gjennemsnitlig er 8°,7 og fra 1'/2 til 2 Timer efter samme 6,1, tilsammen 15° i denne Time, altsaa netop svarende til den daglige Rotation, rigtignok langs Ekliptiken og ikke parallel med Ækvator. Dette har givet Forfatteren Indtrykkket af, at Zodiakallyset er, som han udtrykker sig, fæstet til Jorden. Dæmringens Indflydelse tror han sig fuldstændig fri for, idet han med Kämtz som Autoritet anfører, at i Chili varer Dæmringen Ya Time. Heri har Kåmtz uden Tvivl Ret, saafremt han sigter til den saakaldte borgerlige Dæmring, det vil sige den, ved hvis Ophør man ikke mere kan se at bestille noget inde i Om Zodiakallyset. Zu Husene; men dette er noget ganske andet end den astrono- miske Dæmring, ved hvis Opher Himmelgrunden er fuldstæn- dig mørk. Som tidligere anført maa Solen, for at dette skal finde Sted, være mindst 16° under Horizonten, og Dæmringen kan derfor aldrig noget Sted paa Jorden være kortere end 1 Time 4 Minuter. Serpieris Begyndelsestid, 1 Time efter Sol- nedgang, er derfor i alle Tilfælde for tidlig; i enkelte Til- fælde har Dæmringen varet indtil 4 Time efter Begyndelsen af de af ham benyttede Observationer. At ogsaa Pulsatio- nerne for det meste have vist sig i denne samme Time (mel- «lem 1 og 2 Timer efter Solnedgang) gjør dem lidt mistenke- lige, dels fordi den nærmeste Tid efter Solens Nedgang maa antages at være gunstig for Forandringer i Luftens Tilstand i det hele taget og derfor ogsaa for Uregelmæsigheder i dens Klarhed, dels fordi saadanne Vexlinger maa give sig bedst tilkjende paa Zodiakallyset, saalænge det endnu ikke er ud- viklet i sin fulde Glands. Hr. Serpieri opstiller paa denne Maade en Række af for- mentlige Love og ender med at anføre en Del Ligheder mel- lem Zodiakallyset og Nordlyset, deriblandt ogsaa deres Ud- seende. For os her nordpaa, som oftere have Anledning til at se Nordlys, vil Uligheden uden Tvivl være mere iøinefal- dende. Pulsationerne, disse svage Vexlinger, som de efter Beskrivelsen maa være, og som kun de færreste Iagttagere have seet, skulle formodentlig repræsentere det urolige Ele- ment ved Zodiakallyset, som maa til, for at Sammenligningen kan finde Sted; men de danne i Sandhed kun en mat Pendant til Nordlysets Flammespil. En anden Ulighed er den, at Nordlyset, som alt andet, der staar i Forbindelse med Jord- magnetismen, er underkastet den bekjendte stærkt udprægede 11-aarige Periode — noget som man, mig bekjendt, ikke har fundet at være Tilfældet med Zodiakallyset. Som et Bevis paa den direkte Forbindelse mellem de to Fænomener anfører Serpieri følgende Citat af Beretningen om en Reise til Hud- 272 H. Geelmuyden. sonsbugten af De Mairan i forrige Aarhundrede: «I dette Land ser man, naar Solen staar op eller gaar.ned, en stor Kegle af gulagtigt Lys, som hæver sig lodret over den; og neppe er denne forsvundet med den nedgaaede Sol, førend Nordlyset indtager dens Plads, slyngende tusinde lysende og farvede Straaler over Hemisfæren» o. s. v. Det er aabenbart, at hvad De Mairan her sigter til, ikke er Zodiakallyset, men den for os Nordboere velbekjendte gule eller undertiden hvide Stribe, som af og til kan sees over Solen omkring dens Op- gang eller Nedgang, og som har samme Oprindelse som de almindelige Ringsystemer om Solen, nemlig Lysets Brydning eller Reflexion i de utallige fine Isnaale, som svæve i Luftens øvre Lag, ofte langt ud paa Sommeren. At De Mairans Be- skrivelse ikke passer paa Zodiakallyset følger deraf, at dette paa saa nordlige Bredder aldrig kan komme til at staa lodret paa Horizonten; det maatte isaafald denne en Vinkel paa mellem 35° og 81° med Ekliptiken — noget som endnu aldrig har været observeret; heller ikke forsvinder Zodiakallyset med den nedgaaede Sol, men det begynder en rum Tid bagefter. Naar alt kommer til alt, turde det vel endnu være det sikreste at holde sig til den ældre Mening, at Zodiakallyset er af kosmisk Natur. Den Anskuelse, at det blot er det Sollys, der reflekteres fra en talløs Skare af smaa Legemer, som be- væge sig i Rummet, er allerede fremsat for længe siden, men saavidt vides blot udtalt som en Formodning. Og dog fore- ligger der efter Schiaparellis skjønne Opdagelse af den nøie Forbindelse mellem disse smaa Legemer og Kometerne ad- skillige Data til Tankens videre Gjennemførelse. Hvilken umaadelig Mængde der maa findes af disse Meteoriter, frem- gaar af det Antal som vor lille Jord opfanger som Stjerneskud i den fine Stribe af Rummet, som den gjennemfarer i Aarets Løb. Hvad allerede Kepler anførte om Kometerne, at de ere talrigere end Fiskene i Havet, gjelder i endnu langt høiere Grad om Meteoriterne. Men Mængden er endnu ikke nok; Om Zodiakallyset. 273 Beskaffenheden af det Lys, som de tilsammen sende os, vil i væsentlig Grad være afhængig af deres Fordeling i Rummet. Og i denne Henseende giver Schiaparellis Opdagelse gode Vink. Han har paavist, at Meteoriterne ligesom Kometerne bevæge sig i langstrakte Keglesnit om Solen, i Modsætning til Planeternes næsten eirkelformige Ellipser. Men nu er som bekjendt ikke alle Kometbaner lige langstrakte; medens de fleste ere det i den Grad, at de for det meste beregnes som Parabler, er der et ringe Antal Kometer, som have saavidt runde Baner, at de kunne lobe rundt Solen paa nogle faa Aar. Det samme Forhold maa antages at finde Sted ved Meteoriterne. | Der findes altsaa et stort Antal Meteoriter med næsten parabo- liske Baner, og et meget mindre Antal med korte Omløbstider; de sidste maa fremdeles antages at have den samme Egen- skab, som er eiendommelig for Kometerne med kort Omløbstid, nemlig at deres Baner danne smaa Heldningsvinkler med Jordbanens og de øvrige Planetbaners Planer. Dette er en nødvendig Følge af, at de samme Kræfter, nemlig Planeternes Perturbationer, have skaffet saavel Kometerne som Meteori- terne deres korte Omlebstider. Den Omstændighed, at Zodia- kallyset strækker sig langs Dyrekredsen, synes at pege hen paa de Meteoriter, hvis Baners Inclinationer ere smaa, altsaa fortrinsvis paa Meteoriterne med kort Omløbstid. Naar man nu fremdeles holder sig til Analogien med Kometbanerne, kunde det synes som Antallet af Kometer med kort Omløbstid er altfor lidet i Sammenligning med de øvrige, til at de kunne bevirke nogen synderlig overveiende Hyppig- hed i Nærheden af Ekliptiken.. Medens man kjender mellem to og tre hundrede Kometer med næsten paraboliske Baner, har man til Dato ikke fundet flere end 10 med kortere Om- løbstid end 15 Aar, deraf 9, hvis Omløbstid er under 8 Aar. Men nærmere beseet viser dette sig dog at være saa. Tæn- ker man sig nemlig en Iagttager paa Solen, saa vil han i Tidens Løb se Kometerne jevnt fordelt paa hele Himmelen, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3B.3H. | 18 274 H. Geelmuyden. saafremt Banerne ere jevnt fordelte i Rummet. Nu kan man, som allerede Schiaparelli har paavist, let beregne, hvorledes det i saa Fald maa forholde sig med Banernes Inclinationer. Tanker man sig nemlig Himmelkuglen jevnt besat med Ko- metbaners Poler, saa vil Antallet af Inelinationer mellem to Grændser à og i' være proportionalt med Størrelsen af den Zone, som indeslutter Polerne, altsaa med Zonens Heide eller med cos i—cosi. Nu kan dette sammenlignes med Virke- ligheden, saaledes som ved følgende Exempel. Fra 1850 til Udgangen af 1877 har man observeret 75 Kometer, som blot have vist sig een Gang og 1 (Tuttles), som har vist sig to Gange; de 9 med kort Omløbstid have passeret Perihel 47 Gange, noget man ved med Vished, uagtet de ikke have kun- net observeres alle Gange fra Jorden. Der har altsaa i disse 28 Aar været 124 Apparitioner af Kometer, som man ved om. Undersøges nu Inclinationerne af disses Baner, idet man sær- skilt behandler de sidstnævnte 47, der danne en Gruppe for sig, og de første 77, saa faaes det Resultat, som er sammen- stillet i nedenstaaende Tabel, hvor iste Spalte indeholder Inclinationerne, fordelt i Zoner paa 10°, 2den Spalte Forholds- tallene for Antallet af Inclinationer i hver Zone, naar Banerne ere jevnt fordelte, altsaa Differentserne mellem de to Cosinuser til Zonens Ydergrændser; 3die Spalte indeholder Anvendelsen heraf paa de 77 Kometbaner, altsaa Fordelingen af disses Inclinationer, ifald Banerne havde været jevnt fordelte; ende- lig giver 4de Spalte det virkelig stedfindende Antal Inclina- tioner i hver Zone for de 77, og 5te Spalte det samme for de 47; for de sidstes Vedkommende maa naturligvis hver Apparition tælles som en særskilt Bane, da det for nærvæ- rende Spørgsmaal kan være ligegyldigt, om den samme Komet kommer igjen f. Ex. 5 Gange, eller om der i samme Tid viser sig 5 forskjellige Kometer med den samme Heldning af Banen. Om Zodiakallyset. 275 11 10.5 0° —10° | 0.015 1.16 3 10-20 | 0.045 | 3.46 Ssl 100 20--30 | 0.074 5.7 5 5 19 30-40 | 0.100 7.7 7 0 1.0 40—50 | 0.123 95 11 0 1.0 50—60 | 0.143 | 110 10 0 1.0 60—70 | 0158 | 122 11 0 1.0 70—80 | 0.168 | 129 10 0 1.0 80—90 | 0.174 | 134 15 0 1.0 1.000 | 77.0 7 47 Sammenlignes nu for det første Spalterne 3 og 4, saa sees adskillig Overensstemmelse, hvoraf altsaa folger, at de 77 Baner ikke ere meget langt fra at vere jevnt fordelt i Rummet,!) og at de 77 Kometer altsaa for en lagttager paa Solen vilde have vist sig nogenlunde ligeligt fordelt paa hele Himmelen. Der er dog nogen Overvegt af de smaa Inclina- tioner, men dette tør ikke tages til Indtægt for en større Hyppighed af Kometer i Nærheden af Ekliptiken; thi Grun- den til denne Overvegt er uden Tvivl for en stor Del at sage deri, at en Del Kometer slippe ubemerkede forbi, noget som fortrinsvis vil kunne finde Sted ved Kometer, hvis Baner have stor Heldning mod Ekliptiken. Men for det andet viser Spalte 5, at Kometerne med kort Omlgbstid fremkalde en betydelig Overvegt omkring Ekliptiken. Benyttes den Fordeling, som de 77 Kometer vilde have med jevnt fordelte Baner, som En- hed for Tæthed paa Himmelkuglen, saa findes den virkelig stedfindende Tæthed i de forskjellige Zoner ved at dividere Tallene i Spalte 5 med Tallene i Spalte 3 og hele Veien legge 1 til; paa denne Maade faaes Spalte 6, som viser, at der, netop paa Grund af disse korte Omlgbstider, gjennem- snitlig viser sig mellem 10 og 11 Gange saa mange Kometer 1) En anden Maade at undersoge, hvorvidt Kometbanerne ere jevnt for- delte i Rummet, er at tage Middeltallet af alle Inclinationerne; for et stort Antal jevnt fordelte Baner vil nemlig, som let indsees, dette Middeltal blive lig den Bue, hvis Længde er lig Radien, altsaa 57°.s. Middeltallet af de 77 Inclinationer af Kometbanerne fra 1850 til 1877 er 55".1. 18* 276 H. Geelmuyden. i et Belte af 40° Bredde paa begge Sider af Ekliptiken, som paa den øvrige Del af Himmelen. Ved at benytte den vir- kelig stedfindende Fordeling af de 77 Inclinationer vilde man have faaet endnu noget større Overvegt omkring Eklip- tiken, men af den ovenn&vnte Grund antages den theoretiske jevne Fordeling at komme Sandheden nærmere. Vistnok kan det antages, at der ogsaa af Kometer med kort Omlgbstid findes flere endnu uopdagede, men da de, netop paa Grund af de smaa Inclinationer, ikke have saa let for at slippe ube- mærket forbi, vil det dog være Tilfældet med forholdsvis færre af dem end af de øvrige. I alle Tilfælde ere Tallene i 6te Spalte for de smaa Inclinationer snarere for smaa end for store. Efter dette synes det altsaa at være Umagen værdt at undersøge, hvorledes Meteoriterne med kort Omlgbstid maa være fordelte, nu ikke mere omkring Ekliptiken (eller et nær- liggende Fællesplan for hele Planetsystemet) men i forskjel- lige Afstande fra Solen, og dernæst, hvorledes det af dem ~ reflekterede Sollys vil vise sig for os paa Jorden. Da vi ikke kjende Banerne for hver enkelt Meteorit paa samme Maade som for hver enkelt Komet, kan man heller ikke be- handle dem paa samme Maade; men deres overordentlig store Mængde gjør det tilladeligt at tage dem en bloc. Den Gruppe af Kometer, som frembringer det store Antal Apparitioner i Dyrekredsen, har en Eiendommelished, som strax springer i Øinene. Følgende Oversigt over disse, ord- nede efter Omløbstiden (T) giver deres største og mindste Afstand (Q og g) fra Solen, naar Jordens Afstand = 1. Om Zodiakallyset. AT Q q T Enckell 4.09 0.33 3.29 Aar Tempel No. 2 .. 4.63 1.34 5.16 — IDE Nil) oo 5.02 1.19 5.47 — Brorsen . . . . .. 5.62 0.59 5.48 — Winnecke . . . . . 5.57 0.83 5.18 — Tempel No. 1... 4.81 ogg Dol — PD Arrest NR 5.73 1.28 6.57 — Bielamtyd rett 6.19 0.86 6.69 — Paper er slet 5.92 1,68 7,41 — MINER or Kr 10.48 1.03 13.81 — Listen indeholder ogsaa den tiende Komet med kort Om- lobstid, men denne skiller sig stærkt ud fra de ni første. Det mærkelige ved disse er deres store Overensstemmelse i Aphel- distance; ogsaa Periheldistancerne ligge indenfor temmelig snevre Grændser, men dette kommer simpelthen deraf, at en Komet med synderlig starre Periheldistance vanskelig kan blive synlig for Jorden. Derimod tyder Ligheden i Aphel- distance paa et Fællesskab i Oprindelse, især fordi de gruppere sig om Jupiters Afstand fra Solen. Den samme Aarsag, nem- lig de store Planeters og især Jupiters Perturbationer, maa selvfelgelig ogsaa have virket paa de spredte Meteoriter. Man kan .altsaa antage, at der findes en stor Mængde Meteoriter, hvis Aphelier gruppere sig om en vis Verdi Q. Derimod er der ingen Grund til at antage noget lignende om Periheldistancerne; da den Retning, hvori en Partikel stevner ind imod Solen, hvad enten den er paavirket af nogen Planets Tiltrekning eller ei, er rent tilfældig, saa maa tvertimod Peri- helierne, naar der er et stort Antal Baner, antages at være jevnt fordelte lige fra Solens Overflade til saavidt betydelige Afstande, at de ophøre at være Perihelier. Under denne For- udsætning kan Meteoriternes Fordeling i forskjellige Afstande findes paa følgende Maade. 278 H. Geelmuyden. Tanker man sig om So- len en Kugleskal med Ra- dius r og Tykkelse Ar, saa vil enhver Partikel hvis Periheldistance er mellem 0 og r+ /\r, komme til at gjennemskjære denne. En Partikel med Apheldistance Q og Periheldistance g vil til- bringe en vis Del 2 af sin Omlobstid indenfor Skallen, nem- lig det dobbelte af Forholdet mellem Sectoren ASB og hele Ellipsen. Antages foreløbig Q at være constant, men q for- skjellig for de forskjellige Baner, saa kunde man, ifald der var m Perihelier, beregne Middelværdien af Forholdstallet 2 for allesammen, og ved at multiplicere dette med Antallet af Meteoriter, m, vilde man faa det Antal Meteoriter, som gjen- nemsnitlig befinder sig indenfor Skallen i et givet Øieblik; divideres med Skallens Kubikindhold, har man et Udtryk for Stoffets Tæthed i Afstanden r. Men under Forudsætning af at Perihelierne ere jevnt fordelte, kan Middelværdien af Tal- let ~ findes ved at multiplicere det for Periheldistancen 9 gjeldende Udtryk med dy og integrere mellem o og r, samt dividere det udkomne med r; da nu Antallet af Meteoriter, ifølge Forudsætningen, er proportionalt med r, saa kan man spare denne Division og istedet derfor multiplicere med en Constant. Divisionen med Skallens Kubikindhold for at finde Tætheden kan ogsaa udføres før Integrationen. Er altsaa v den sande Anomali og ASB= /\v, a Ellip- sens Halvaxe og e dens Excentricitet, saa er Ellipsens Flade- indhold = za? V1—, og den Del af Omløbstiden, som Me- 2 N teoriten tilbringer indenfor Skallen, er 12 SPEER Di- n ao |/{—e Om Zodiakallyset. 279 videres strax med Skallens Volum 4 zr? /Nr, saa faaes ; Tee . Nærmer Skallens Tykkelse sig til o, za” — €? saa kan Forholdet AG findes af Ellipsens Ligning, nemlig Ar dv al—e), Fre Å udtrykkes tillige a og e ved Q og g, nemlig saa faaes ved Indsætning og Reduction Udtrykket for Meteo- riternes Tæthed sl dg r JoR+JVER-r)r—9 dq he Ve+r—Vr=g Nu A V Qtr los: Vr-gq r 2 V Q@+r—Vr—¢ Bed Are Vige: - Indsættes her Grændserne og bemærkes, at JE VQ enn Ve "eV Gtr + Vr Vea saa faaes a V5: VIE poker Å Heraf kan altsaa Tætheden beregnes for forskjellige Af- stande, naar Værdien af Q er given; man vil i saa Henseende rimeligvis komme Sandheden temmelig nær ved at sætte Q lig Middelværdien af Apheldistancerne for Kometerne med kort Omløbstid. Naturligvis bliver Formelen ubrugelig, naar r nærmer sig stærkt til Q, da den under Integrationen gjorte Forudsætning om en for alle Baner fælles Apheldistance kun 280 er tilnærmet. H. Geelmuyden. det vil sees af det følgende. Imidlertid kan man ogsaa tage Hensyn til Arelia cernes Forskjellighed, idet man, Dette gjør imidlertid ikke stort til en som istedetfor at slaa dem sam- men til en Middelværdi, kan antage dem jevnt fordelte mellem to Grændser Q, og Q. Tætheden i Afstanden r findes da ved at multiplicere Lign. I med d® og integrere. maa da udvikles i Række. D = Nu er 0 RAR = Vi-»# Hip log nat på +VIi+a 2) = Walls. æ DE a Je oo Sd D ee eda Q Sættes a 4 7 3.5, 4.6” æ, saa er 105 nat ea V1+e). Multipliceres disse to Rækker med hinanden, faaes 3 hvor a= 7 : 2 2 2 2 =æ —ax +Pu —yu +68 voko Ioner = = 0.575 a = 0.128 ur = 0.443 u 0.107 a =—- log nat (Va + Vi+a)= 2 = 3 Gh SP 06000 Om Zodiakallyset. 281 Multipliceres nu med dQ = nn og integreres, faaes Her skal nu indsættes Grendserne 7 og Le Q 7% delsesværdien Q, er det ikke saa vanskeligt at gjøre et rime- ligt Valg, da den, om man skal dømme efter Kometerne, ikke kan være synderligt mindre end Jupiters Afstand; derimod For Begyn- kan der være nogen Tvivl for Ydergrændsen. Skulde man holde sig Analogien med Kometerne strengt efterrettelig, maatte man egentlig tage den mindste og største Verdi af Q efter Listen paa pag. 277. Imidlertid kan man nok ogsaa tænke sig, at der ved det uden Sammenligning langt større Antal Meteoriter ogsaa findes større Variation i Apheldistan- cerne, navnlig paa den Maade, at de ere fordelte betydelig længere udover. Som den anden Yderlighed i Modsætning til den constante Verdi af Qi Lign. I, vil jeg derfor her sætte Q =. Kaldes Tætheden i dette Tilfælde >, saa bliver : K oe alias Ne EE Br I IT. Til Sammenligning hidsættes ogsaa Værdien af D, naar den udvikles i Række, nemlig pa es à Jeg har beregnet Tætheden saavel efter den ene som den anden Hypothese, idet jeg i den sidste Formel (eller Lign. I) har sat Q= 5.8, hvilket er Middelværdien af Apheldistancerne for de 10 Kometer med kort Omløbstid, idet jeg her ogsaa har taget Tuttles Komet med; Middeltallet af de 9 første vilde være 5.3; Forskjellen mellem disse to Værdier gjør ikke stort til Sagen. I Lign. II har jeg antaget de jevnt fordelte Aphel- 282 H. Geelmuyden. distancer at begynde omtrent med Jupiters Afstand og derfor med rundt Tal sat Q, =5. Vælges tillige Constanterne K og K' saaledes, at Tætheden i Jordens Afstand benyttes som Enhed, saa bliver = 1.0121 {1—art+br?—eri+dr'—er'+...} Vr D = 1.0066 {1 — a'r + b'r? — cr? + d'r* — 679 +... } Vr hvor a = 0.028735 a’ = 0.011111 b = 0.017093 b' = 0.004600 ; e = 0.000656 e’ = 0.000146 d = 0.000391 d' = 0.000079 e = 0.000016 e! = 0.000003 og hvor r altsaa er udtrykt i Jordbaneradier. For Værdier af r, der er større end 2 eller 3 beregnes D bekvemmere efter Lign. I, da de her medtagne Led i Rækken da ikke mere ere tilstrækkelige. Det bemærkes, at ved Solens Over- flade er r = 0.0046. N D D' r D D' 0.005 | 143 14.2 0:01 10.1 10.1 0.6 1.29 12 0.02 7.2 7.1 0:8 1.12 1.12 0.03 5.8 5.8 1.0 1.00 1.00 0.04 5.1 5.0 0.05 45 4.5 15 0.82 0.81 å 2.0 0.73 0.71 0.1 3.19 3.18 2.5 0.66 0.64 02 5 2.25 3.0 0.63 0.58 0.3 1.83 35 0.63 0.55 0.4 1.58 158 4.0 0.64 0.53 Heraf sees, at enten man benytter den ene eller den an- den Hypothese om Apheliernes Fordeling, bliver Resultatet indtil Afstanden 2 saagodtsom det samme og fra 2 til 4 kun lidet forskjelligt; endvidere sees, at hele Veien er det første Om Zodiakallyset. 283 Led i Rækkerne saa overveiende, at man indtil Afstanden 3 eller 4 kan anse Meteoriternes Tæthed for at være omvendt proportional med Kvadratroden af Afstanden fra Solen. Det maa her erindres, hvad tidligere er vist, at Tætheden ikke er den samme i alle Retninger; ovenstaaende Resultat gjelder for de Meteoriter, hvis Baner gruppere sig nærmest omkring Solsystemets Plan — om man vil benytte dette Navn for Middelplanet for alle de store Planeter. Det gjelder nu at finde, hvorledes denne Samling af Stof vil vise sig, seet fra Jorden. Tænker man sig en Kegle eller Pyramide med Spidsen i Øiet og med liden Aabning, saale- des at den dækker et Kvadratminut eller en anden liden Del af Himmelkuglen, og betragter man endvidere et Element af denne Kegle, afskaaret lodret paa Synslinien, i en Afstand p fra Jorden og med Tykkelsen dp, saa vil den Lysmængde, som Øiet modtager fra et saadant Element være athængig 1) af Antallet af Partikler inden samme, og 2) af hver enkelt Partikels Lysstyrke. Antallet af Partikler er igjen afhængig af to Ting, nemlig Stoffets Tæthed paa dette Sted og Ele- mentets Rumfang, hvilket sidste, saalænge Tykkelsen dp er den samme, er proportionalt med Kvadratet af Afstanden fra Øiet. Kaldes altsaa den gjennemsnitlige Glands af hver en- kelt Meteorit inden Elementet G og Stoffets Tæthed, som før, D, saa er Elementets Lysstyrke dI=k.D.Gp?dp. Glandsen G vil, saalænge der blot er Spørgsmaal om det reflekterede Sollys, blot være afhængig af een Ting, nemlig hvormeget af den belyste Side Meteoriten vender mod os, altsaa af Fasen; vistnok kan Reflexionsevnen være forskjellig, men da der her kun er Sporgsmaal om den sjennemsnitlige Værdi, kommer dette ikke i Betragtning. Det samme gjelder . om Partiklernes Form; forsaavidt de engang have været ud- satte for en hel eller delvis Smeltning, hvilket uden Tvivl er Tilfældet med mange af dem, have de af sig selv antaget 284 H. Geelmuyden. Kugleformen; men selv for de uregelmæssige kan man, lige- overfor det, som her er Spørgsmaal om, antage Kuglen som en gjennemsnitlig Form, da en Meteorit med uregelmæssig Overflade i en Stilling vilde reflektere mere, i en anden min- dre Lys, end om den havde været kugleformet. Man kan derfor uden Betænkning anvende den saakaldte Lamberts Formel for Lysstyrken af en solbelyst Kugle, hvilken grunder sig derpaa, at hvert Element af Kuglen modtager Lys i For- hold til dets apparente Størrelse, seet fra Solen, og udsender Lys i Forhold til dets apparente Størrelse, seet fra Jorden. Kaldes altsaa, som før, Afstanden fra Solen r, og Fasevinke- len a, saa er, paa en Constant nær, sin a — av . COS a 7? på Dette kan altsaa indsættes i ovenstaaende Ligning tilligemed Værdien af D efter Lign. I eller II. Imidlertid vil man for de Afstande, som her kan blive qe Spørgsmaal om, kunne noie sig med den ovenfor fundne Tilnær- melse, at Tætheden er omvendt proportional med Kvadratroden af Afstanden. Man faar da C NG se å C sina—acosa LEE dp=—=. dI= Vr 2 p? «P p Vr 2 Nu sees af Figuren, hvor S er Selen, J Jorden og M Ele- mentet af Meteoriter, at . dp. sin e sin (a — e) ; r=-— , p=——_,— = cos e— cotga.sine sin a sina : sin e De Å altsaa dp = RE .da, naar a vælges til Variabel istedetfor a p. Indsættes dette, faaes Om Zodiakallyset. 285 C dI= == AE sin a — a cos a) d sine )/sin sl nal a—acosa) da. Den samlede Lysmengde fra alle indenfor Keglen værende Partikler findes nu ved at integrere dette Udtryk fra p=0 til p= eller ialfald til den Værdi af p, som svarer til den Afstand fra Solen, indenfor hvilken den benyttede Lov for Tætheden gjelder. Med @ som Variabel skal man integrere fra a=e til a=180° eller ialfald til en derfra ikke meget forskjellig Værdi ap. Ved ubestemt Integration findes SV sn (in a — a Cos a) da = 3 ED ao 2 - f sin’ ada—a., sine +5 [sin a da = en å å fn ada zus 5 3 en cos ”a Fremdeles er | sin a da= V sin a. — COS aæ +5 da= 3 V sin a sin a 1 da | 3 = — cosaV sin a +5 sin ada = a Gr 2 -— 2 00saVsina+ı — C fer, eV sine” nai 10 1 da | | 5 AE CN ACTE Tia Altsaa er Indsættes her Grændserne a, og e, og er R den Afstand fra Solen, indenfor hvilken ion her benyttede Lov for Tæt- heden gjelder, saa er sina, = , og man faar, naar Con- stanten C foreløbig udelades, 286 H. Geelmuyden. SE men (ve 9sineV sineJe V sina Det sidste Integral kan reduceres til et elliptisk Integral, som let findes ved Rækkeudvikling. Sættes nemlig V sina = a, saa er da nd EL ; sættes for Kortheds Skyld COS æ 17 1 TRENNEN CROCE hae Vsin e=a og V sina, =b, saa er . 9 da m 9 b ade Ih V sin a TE a Ved Rækkeudvikling og ubestemt Integration findes dæ IL N 1.3 æ Å À Va 07% 20 em WR men ved Indsætningen af Grændserne maa man passe paa at skifte Fortegn foran Rodtegnet, naar a passerer gjennem 90°, da cos a er negativ i 2den Kvadrant. Man har derfor, som let sees ved en geometrisk Betragtning: Naar e < 90° b 1 b 1 a 1 1 a b LIT SEN a a ey 1 0 0 b Jo 0 0 og naar e > 90° b a a b -J-f-F-J. Kaldes det complette elliptiske Integral med Modulus V 1 for K, saa er altsaa Kl Le viz# DRE 9 Beregningen deraf foregaar lettest ved de Hjælpemidler, som Theorien for de elliptiske Funktioner giver; man finder derved Om Zodiakallyset, 287 K = 1.311083. Man faar altsaa ved at indsætte Grændserne: Naar e=90° Ei 2K a 1sin e 10 Jsin eV sin e sne 25 9] 1 141 sin a, Myre 2 nan 03 2 a 10 2K e 1 | Sr ta So ppyR er + 5 SSS og paa samme Maade, naar e > 90° = 2 ao 10 é Sl ao I = 3 ( AVE) ay ee JER RVR cote 2 1 1 sin e | i ee 5 ( RVR/ 5 | Saalænge Elongationen e er liden eller nær 180°, bliver Rækken tilstrækkelig hurtigt convergerende til at kunne be- nyttes med Fordel; men for større Værdier af sine staar man sig paa at beregne Værdien af det elliptiske Integral paa den sædvanlige Maade. Derimod er a,, selv om man ikke vil satte den lig 180°, dog i alle Tilfælde saa lidet forskjellig derfra, at Rækken for dens Vedkommende altid er stærkt convergerende. Kaldes det elliptiske Integral Telen 0 og V sin e for u, altsaa a mh, ke 1,5 sin | Are: Prom. 7 S| saa er, naar Constanten C atter medtages: 288 H. Geelmuyden. Naar e<=90° 10995 2K—u fo = | + cote e + a. 9 15 ER VE ne V sin e 1 ao | - Sin ag I 1.9 sin da; | — als + 3 Je +24 9 |} og naar e> 90° = [3 a u I=—C (e- =) + cotg e + u 2) RVR = sin eV sin e sed | ao 1sin a, | AVR [cots a) DS wes 0 base | j' Forskjellen mellem de to Udtryk bestaar, som det sees, blot deri, at 2K — ui det første er ombyttet med u i det sidste. For nu at kunne beregne Værdien af Ifor de forskjellige Elongationer maa man indsætte Værdien af R. For at holde mig det foregaaende efterretteligt har jeg sat R=4, altsaa ; ie sin a) = 7 Sine. Om man satte R = >, altsaa a, = 180°, vilde forøvrigt Resul- tatet ikke modificeres synderligt. Bestemmes tillige Constan- ten © saaledes, at Lysstyrken i 180° Elongation fra Solen vælges som Enhed, saa bliver 0 > 0.6063. Følgende Tabel viser den saaledes beregnede Lysstyrke af Himmelgrunden nærmest Dyrekredsen i forskjellige Elon- gationer fra Solen. Om Zodiakallyset. 289 Elong. I Elong. I 1° 689.4 80° 1.32 5 61.6 90 1.22 10 21.8 100 1.16 15 a TK) 1.09 20 Tall 120 1.05 25 5.6 130 1.03 30 4.3 140 1.02 40 oe nou) LG 50 2.2 160 1.00 60 1.8 170 1.00 70 1.5 180 1.00 Som man ser, stemmer dette vel med hvad Observationen viser. Den forholdsvis særdeles store Lysstyrke i Solens umid- delbare Nærhed kommer vel ikke Zodiakallyset tilgode, da dette ikke kan sees i mindre Elongation fra Solen end 16° (eller endnu mere, naar lagttageren,er fjernt fra Ækvator); men der kan neppe være nogen Tvivl om, at Solens Corona skyldes dette Lys. Naar denne viser sig under en total Sol- formørkelse, oplyser den, som bekjendt, Atmosfæren stærkt nok til, at Himmelgrunden ikke bliver ganske mørk; man kan blot se de klareste Stjerner med blotte Øine, og der kan følgelig heller ikke være Tale om at se de ydre, mere lys- svage Partier, som danne det egentlige Zodiakallys. Forøvrigt er rimeligvis Coronaens Lysstyrke endnu noget større end ovenstaaende Beregning giver, da den stærke Hede, som Meteoritstoffet er udsat for i Solens umiddelbare Nærhed, nød- vendigvis maa gjøre en Del deraf selvlysende. Coronaens eiendommelige stribede Structur skyldes rimeligvis de bekjendte repulsive Kræfter, hvis Tilværelse ogsaa mærkes paa Kome- terne, naar de komme Solen tilstrækkelig nær. © Ved 15 til 20 Graders Elongation begynde de Tal, der vise Lysstyrken i de forskjellige Dele af det egentlige Zodia- kallys; deres Rigtighed maatte kunne prøves ved fotometriske Maalinger. Skjønt saadanne, mig bekjendt, ikke ere fore- tagne, synes dog efter et løseligt Skjøn Tallene at stemme Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3 B. 3 H. 19 290 H. Geelmuyden. nogenlunde med Virkeligheden. I Almindelighed vil den Lys- styrke, som er betegnet med 1.2 eller 1.3, være den mindste, som endnu kan opfattes af Øiet, ialfald paa vore nordlige Bredder; fra 80° eller 90° Elongation vil da Zodiakallyset ikke mere kunne spores. Derimod kan man som bekjendt under gunstigere Himmelstrøg stundom følge det helt rundt. At denne Theori ikke levner anden Plads for Pulsationer og lignende, end hvad der bevirkes af vor egen Atmosfære, kan neppe ansees som nogen Mangel. Derimod er der en anden Eiendommelighed ved Fænomenet, som vistnok kun sjelden har været iagttaget, men som dog muligens er af kosmisk Natur, nemlig det saakaldte Anti-Zodiakallys (Gegen- schein), som har vist sig enten som en isoleret, noget lang- strakt Lysplet i 180° Elongation fra Solen, eller som et svagt Maximum sammesteds, *naar Zodiakallyset har kunnet spores helt rundt. Efter Beskrivelserne er det altid meget lyssvagt, saa at der skal et øvet Øie til at finde det. Ovenstaaende Tal give ikke noget Maximum i 180° Elongation, men tvert- imod et Minimum, rigtignok yderst svagt fremtrædende, da der f. Ex. mellem 120° og 180° Elongation kun er meget liden Forskjel; for de sidste 30° holder Lysstyrken sig endog næsten aldeles constant. | Den Omstændighed, at den benyttede Lov for Tætheden kun gjelder indtil en vis Afstand, kan ikke forklare Tingen, da hvilkensomhelst Tæthed, som overhovedet er ens i ligestore Afstande fra Solen, ikke kan frembringe noget Maximum i 180° Elongation. Men som bekjendt gives der foruden de sporadiske Meteoriter, hvis Fordeling i Rummet er betragtet i det foregaaende, ogsaa en hel Del langstrakte Meteoritringe — gamle Kometbaner, hvor Stoffet i Tidens Løb er bleven tværet ud i betydelig Længde, stundom endog over hele Ba- nen. At der maa være særdeles mange af disse Ringe, følger — af det ikke ringe Antal, som skjærer ind paa Jordbanen og frembringer periodiske Stjerneskud. Men dersom en eller Om Zodiakallyset. 291 flere saadanne have sit Perihelium noget udenfor Jordbanen, helst om tillige Inclinationen er ringe, saa vil et Maximum | af Lysstyrke kunne opstaa i 180° Elongation omkring den Tid, da Periheliet er i Opposition med Solen, saa meget mere som der i denne Del af Dyrekredsen kan siges at være frugt- bar Jord for et Maximum, da det Minimum, som theoretisk talt skulde finde Sted i 180° Elongation ifølge det foregaaende, er Saa lidet fremtrædende, at der kun skal et ringe Tillæg i Lysstyrke til for at give et Udslag. Saaledes vilde en Meteo- ritring, som var ganske usynlig, om den havde sit Perihelium- udenfor Dyrekredsen, dog kunne bidrage sin Skjærv til at frembringe et Anti-Zodiakallys, ifald den, under forøvrigt ganske lige Omstændigheder, fik sit Perihelium forlagt i en passende Retning. Saafremt Sagen skulde forholde sig paa denne Maade, er der en Ting, som vilde være en nødvendig Følge derat, nemlig at Anti-Zodiakallyset blot maa vise sig paa visse Tider af Aaret. De foreliggende Observationer ere endnu ikke tilstrækkelige til at afgjøre dette. Brorsen, Op- - dageren af dette Fænomen, har seet det i Marts, April og Begyndelsen af Mai, og i langt ringere Grad om Høsten i September, Oktober og November. Schiaparelli siger, at Iagt- tagelsen deraf er let, naar dets Centrum befinder sig i Løven eller Jomfruen (d. e. i Marts og April), at det sjeldnere sees i Vandmanden og Fiskene (d. e. i September og Oktober), men at det ikke havde lykkedes ham at erkjende det med Sik- kerhed, naar dets Centrum var i de sydlige Himmeltegn eller traf sammen med Melkeveiens Forgreninger. Som man ser, stemme begge lagttagere overens deri, at det viser sig paa to Tider af Aaret, og at det er mere fremtrædende den ene Gang end den anden. Hvorvidt dette er begrundet i Sagens Natur, eller blot er en Følge af ugunstigere Omstændigheder for Observationen i de øvrige Maaneder af Aaret (Melkeveiens Nærhed eller for liden Høide over Horizonten) maatte kunne afgjøres ved Observationer fra endnu sydligere Lande, hvor 19* 292 H. Geelmuyden. de sydlige Himmeltegn sees ligesaa godt som de nordlige. Hos Jones, den tidligere nævnte lagttager fra de tropiske Egne, faar man ingen Oplysning, da han mærkelig nok ikke nævner det, uagtet han flere Gange har seet Zodiakallyset som et Bælte over hele Himmelen. Dette i Forbindelse med en Bemærkning af Schiaparelli, at det ikke sees saa godt naar Luften er muligst klar og rolig, som naar der findes Spor af Taage (quando vi & nell’aria un non so che di bru- moso) viser, at Fænomenets egentlige Natur maa betragtes som tvivlsom, og at det endnu ikke er tilstrækkelig studeret ad Observationens Vei; navnlig vilde det være ønskeligt, at der i de tropiske Lande anstilledes Iagttagelser med dette specielt for Øie. Skulde man derved faa Bekræftelse paa Schiaparellis sidstnævnte Erfaring, ifølge hvilken det i Hen- seende til Luftens Gjennemsigtighed forholder sig ganske modsat af det almindelige Zodiakallys, maa man vel søge Forklaringen deraf paa andet Hold; navnlig kommer man derved til at tænke paa et Slags atmosfærisk Gjenskin — noget, der ogsaa synes at have foresvævet Opdageren, da han gav det Navnet «Gegenschein». OM DRUESUKKERETS FORHOLD TIL KOBBEROXYD. AF WORM MULLER og I. HAGEN. (MEDDELELSE FRA UNIVERSITETETS FYSIOLOGISKE INSTITUT.) Der kan indgaa Forbindelser med Alkalier, Jord- alkalier og, som det synes, med enkelte tunge Metallers Oxyder, nemlig Blyoxyd og Kobberoxyd. Størst Interesse vil det af nærliggende Grunde maaske have at studere dets Forhold til Kobberoxyd resp. Kobberoxydhydrat, og hermed skulle vi i det Følgende beskjæftige os. § 1. Om den af Salkowski beskrevne Forbindelse af Druesukker med Kobberoxyd. Salkowsk1") har angivet, at det er lykkedes ham at frem- stille et i Vand uopløseligt blaagrønt Legeme, der paa 1 mol Sukker skal indeholde 5 mol Kobberoxydbydrat. For at erholde denne Forbindelse sætter han til 1 mol Sukker i Opløsning 5 mol Kobbersulfat og 10 mol Natronhydrat; alt Sukker skal da fuldstændigt udfældes i Forbindelse med alt Kobberoxyd, saa at det neutrale Filtrat blot indeholder Natriumsulfat, efter følgende Schema: C, H, , 04 +5 Ou SO, +10 Na OH = [Og Hj, 9, +50u (0 H),|+5 Na, 804. 1) Pflügers Archiv Bd. 6 1872, S. 220. 294 Worm Müller og I. Hagen. For yderligere at godtgjere Rigtigheden heraf har han paa den ene Side tilsat en forholdsvis sterre Mængde Sukker; Overskud- det kunde da paavises i Filtratet. Anvendte han paa den anden Side en større Mængde Kobbersulfat (og den dermed zkviva- lente Mængde Natronhydrat), var Bundfaldet blandet med Oxyd- hydrat. Bundfaldet selv har han ikke direkte analyseret, fordi det let undergaar Dekomposition. Denne Forbindelse har særligt Krav paa Interesse alene af den Grund, at den kvantitative Bestemmelse af Sukker ved Hjælp af alkalisk Kobberoxydopløsning grunder sig paa, at 1 mol Sukker nøiagtigt reducerer 5 mol Kobberoxyd til Oxydul, og det var derfor magtpaaliggende at overbevise os om Rigtig- heden af denne Angivelse. Til den Ende har vi gjentaget Salkowskis Forsøg og ere herved paa det Bedste blevne under- støttede af Hr. Polytekniker Tobiesen, der med sin rige Erfa- ring som Analytiker forener en særlig Interesse for fysiologisk- kemiske Undersøgelser. Det anvendte Druesukker var fremstillet i Laboratoriet efter Schwarz's Methode; det smeltede nøiagtigt ved 146°, og dets Renhed var kontrolleret saavel ved Elementaranalyse som ved Cirkumpolarisationsapparatet. Ved hvert af Forsøgene an- vendtes 0.9 gr Sukker, opløst i friskt udkogt, destilleret Vand; dertil sattes 6.235 gr Kobbervitriol, ligeledes opløst i friskt ud- kogt, destilleret Vand, samt 2.8065 gr KOH (= 50 kem normal Kalilud) eller 2.002 gr Na OH(= 25.66 kem af en 7.8 %ig Na O Hopløsning).. Vædskerne vare stærkt afkjelede og blan- dedes i et Kar, der var omgivet med Is. Der dannedes et blaahvidt Bundfald, som bragtes paa et med Is omgivet Filter og udvadskedes med iskoldt Vand. For at paaskynde Filtre- ringen anvendtes Bunsens Sugepumpe. Vi. skulle nu anføre de specielle Forsøgsdata og nærmest betragte A. Filtrat og Vadskevand, da deres Undersøgelse alene er afgjørende ligeoverfor Spørgsmaalet om den af Salkowski op- stillede Forbindelses Existents. Derpaa ville vi undersøge Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 295 B. Sammerisætningen af Bundfaldene for at komme til Kund- skab om, hvorvidt man med nogensomhelst Berettigelse ter an- tage, at samme indeholder en Forbindelse af Sukker med Kob- beroxydhydrat. A. Undersggelse af Filtrat og Vadskevand. Forsøg 1. En vandig Opløsning af 0.9 gr Sukker.tilsattes 6.235 gr Kobbervitriol, ligeledes opløst i Vand, samt 50 kem normal Kalilud. Det dannede Bundfald var blaahvidt, Filtratet farveløst, yderst svagt alkalisk; det indeholdt ikke Spor af Kobber, men svovlsurt Kali i rigelig Mængde og, Sukker. Filtratets Mængde udgjorde 186 kem og dets Sukkergehalt 0.050 %; det indeholdt altsaa 0.093 gr Sukker eller over 10 % af den anvendte Mængde. Bundfaldet blev nu udvadsket i 3—4 Dage med iskoldt Vand og Sukkergehalten i Vadskevandet bestemt. Det første Vadskevand, som vi ville kalde det andet Filtrat, beløb sig til 209 kem og indeholdt 0.0423 gr Sukker.” Under denne Udvadskning bemærkedes en tydelig Forandring af Bundfaldets Farve fra blaahvidt til grønt, især paa Over- fladen. Det tredie Filtrat, 202 kem, indeholdt 0.0293 or Sukker og det fjerde Filtrat, 190 kem, 0.0235 gr Sukker og endnu tydelige Spor af Svovl- syre; det femte derimod var frit herfor; det beløb sig til 217 kem og indeholdt 0.0173 gr Sukker. Der lod sig altsaa fremdeles udvadske Suk- ker. Vi standsede nu med Udvadskningen, ikke fordi den var færdig, men fordi Bundfaldet lidt efter lidt i saa høi Grad forandrede sin Farve fra blaat til grønt, (Reduktion af Kobberoxydhydrat), at vi befrygtede en for vidt gaaende Dekomposition af samme. Summeres de Sukkermængder, der var gaaet over i samtlige Filtrater, erholdes 0.2054 gr eller 22.8 % af det anvendte Kvantum. Vil man heraf beregne Molekularforholdet mellem den Mængde Sukker, der var bleven tilbage i Bundfaldet, og det i samme indeholdte Kobberoxyd, saa erholdes 1 mol Sukker paa 6.48 mol Kobberoæyd. Forsøg 2. 0.9 gr Druesukker opløstes i Vand, tilsattes 6.235 gr Kob- bervitriol i vandig Opløsning samt 25.66 kem af en 7.8 °/oig Na 0 H-Op- løsning. Filtratet, der var neutralt og farveløst, indeholdt ikke Spor af Kobber, men derimod Sukker. Filtrat 1, 222.5 kem, indeholdt 0.0648 gr Sukker; Filtrat 2, (det første Vadskevand), 300 kem, 0.0378 gr; Fil- trat 3, 260 kem, 0.0227 2r;?) Filtrat 4, 220 kem, 0.0424 or; Filtrat 5, 1) Hvor, som i dette Tilfælde, Sukkermængden i Filtratet var ringe, blev Vædsken før Titreringen koncentreret. ?) Bundfaldet paa Filtret omrørtes med en Glasstav, forinden Udvadsk- ningen fortsattes. 296 - Worm Müller og I. Hagen. 400 kem, 0.0518 gr; Filtrat 6, 320 kem, 0.0205 gr. Derpaa blev Bund- faldet udrert i koldt Vand og bragtes igjen paa Filtret; det indeholdt fremdeles Sukker, som lod sig udvadske, thi det 7de Filtrat indeholdt 0.048 gr Sukker. Summeres Sukkermængderne i samtlige Filtrater, er- holdes 0.288 gr; 32 °/ af den anvendte Mængde lod sig altsaa udvadske. De i Bundfaldet tilbageblevne 0.612 gr forholder sig til den anvendte Mængde Kobberoxyd som 1 mol: 7.35 mol. De følgende to Experimenter, hvori tilsattes først Alkali ~ og derpaa Kobberopløsning, gave væsentlig de samme Resultater. Forsøg 3. 0.9 gr Druesukker opløstes i Vand, tilsattes i Kulden først 50 kem normal Kalilud og derpaa en vandig Opløsning af 6.235 ør Kob- bervitriol. Bundfaldets Farve blaahvid, Filtratet farveløst, yderst svagt alkalisk; det indeholdt ikke Spor af Kobber, men derimod Sukker; en liden Prøve gav tydelig Reaktion med Fehlings Vedske. Filtrat 1, 117 kem, inde- holdt 0.0869 gr Sukker; Filtrat 2, 179 kem, 0.0428 gr. 16 Timer vare nu for- løbne siden Bundfældningen, og Bundfaldet selv var i dette Tilfælde endnu næsten uforandret; det begyndte dog hist og her at antage et grønt Skjær. Filtrat 3, 160 kem, indeholdt 0.038 gr Sukker; Filtrat 4, 175 kem, 0.0259 er; Filtrat 5, 195 kem, 0.0188 gr. Udvadskningen opherte nu for at und- gaa yderligere Dekomposition. 7 Summeres samtlige Filtraters Sukkermengde, erholdes 0.2124 or = 23.6 % af det anvendte Kvantum. Molekularforholdet mellem Sukker og Kob- ber i Bundfaldet bliver i dette Tilfælde 1: 6.54. ; Forseg 4. Til 0.9 gr i Vand oplest Druesukker sattes 25.66 kem af en 7.8 °/oig Natronhydratoplesning og derpaa 6.235 gr Kobbervitriol opløst i Vand. Filtratet var aldeles farveløst og neutralt, fuldstendigt frit for Kobber, men gav stærk Reaktion paa Sukker. Filtrat 1, 225 kem, inde- holdt 0.0778 gr Sukker; Filtrat 2, 400 kem, 0.0433 gr; Filtrat 3, 260 kem, 0.0265 gr,- Filtrat 4, 250 kem, 0.024 gr; Filtrat 5, 380 kem, 0.0218 er; Filtrat 6, 300 kem, 0.0156 gr. Bundfaldet udrørtes nu i iskoldt Vand, hvorved extraheredes 0.022 gr Sukker. Den samlede Kvantitet Sukker i Filtrat og Vadskevand var saaledes 0.231 gr 9: 25.7 % af hele den an- vendte Mængde. Forholdet mellem Sukker og Kobber i Bundfaldet efter Udvadskningen bliver altsaa 1 mol: 6.73 mol. Af disse Forseg fremgaar, at 5 mol Ou (OH), ikke er istand til at tilbageholde 1 mol Sukker; der lod sig altid paa- vise Sukker i Filtratet, selv om man i dagevis udvadskede med iskoldt Vand. Men paa den anden Side er det klart, at Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 297 en storre Mengde af Sukkeret, der forelebig kan ansættes til henved °/a mol, haardnakket tilbageholdes af de bundfeldte 5 mol Kobberoxydhydrat. De af Forsøgene beregnede Tal for Molekularforholdet mellem Sukker og Kobberoxydhydrat i Bund- faldet variere nemlig mellem 1: 6.48 og 1:7.35.') Man kunde her maaske indvende, at Kulsyren i den an- vendte Alkalilud havde hindret en Del af Kobberoxydet, nemlig det, der maatte blive udfældt som kulsurt Salt, fra at træde i Forbindelse med Sukkeret, og at derfor en Del af dette maatte gaa over 1 Filtratet Men denne Mængde vilde blot have væ- ret minimal, da Vædskerne kun indeholdt Spor af Kulsyre. For imidlertid ganske at fjerne denne Indvending, tilsatte vi i et Par særegne Forsøg til 1 mol Sukker 6 resp. 7 mol Cu SO, og 12 resp. 14 mol KOH; der lod sig ogsaa da momentant paa- vise Sukker 1 Filtratet. Disse Forsøg berøve ogsaa den Antagelse sin Støtte, at Luftens Kulsyre lidt efter lidt skulde have virket dekomponerende paa Forbindelsen af Sukker med Kobberoxyd, og at det var det saaledes frigjorte Druesukker, som lod sig udvadske. Hvorledes kan nu en saa dygtig Undersøger som Salkowski være kommen til det Resultat, at Bundfaldet er en Forbindelse af I mol Sukker med 5 mol Kobberoxydhydrat? Vi kunne kun søge Forklaringen deri, at han først har anstillet Forsøgene med diabetisk Urin; han begynder nemlig sin Opsats saaledes: ?) «Wenn man bei Anstellung der Trommer'sehen Probe mit dia- betischem Harn im Zusatz des Kupfersulphat etwas unvorsichtig ist, so dass ein Niederschlag entsteht, der sich nicht wieder auflöst, so erhält man mitunter ein farbloses, schwach alkalısches, sowohl kupfer- wie zuckerfreies Filtrat. In anderen Fällen ent- hält dasselbe eine Spur Zucker, der grösste Theil jedoch bleibt 1) 1:6.48 og 1 : 6.54 (Forsøg 1 og 3) maa forøvrigt betragtes som mindre adækvate, da i begge disse Forsag: men maatte afbrydes, før den var færdig. 2). 1. e..8. 220. 298 Worm Müller og I. Hagen. im Niederschlag und wird. von demselben auch bei noch so langem Auswaschen hartnäckig zurückgehalten.» Det Filtrat, man herved faar, kan tilsyneladende være sukkerfrit, fordi man ved den sædvanlige Maade, hvorpaa den Trommer'ske Prøve anstilles i Urinen, ofte ikke engang med Sikkerhed kan paavise. 1-4 % Salkowski angiver endvidere, at Bundfaldet, der paa 1 mol Sukker skal indeholde 5 mol Kobberoxydhydrat, opløses i Na- tronlud samt reduceres ved Kogning, og tror sig nu istand til at forklare Processen og det kvantitative Forhold ved den Trommerske Prove:!) «Die Trommer'sche Reaction verläuft somit in zwei Phasen: in der Bildung der oben angegebenen Verbindung und in Auflösung derselben in der überschüssigen Kalilauge, welche bald zersetzend einwirkt.» Den første Del - heraf holder, som vi have seet, ikke Stik, hvorfor Salkowkis Beskrivelse af Forlebet ved Reaktionen, som er optaget i Neu- bauers?) og Hoppe-Seylers?) Lærebøger, ikke kan siges at være korrekt. Ved de beskrevne Forseg var altsaa Beviset leveret for, at hin Salkowskis Forbindelse ikke lader sig fremstille paa den af ham angivne Maade, og forsaavidt kunde man betragte Un- dersøgelsen som færdig. Men da det gjaldt at gjøre sig Rede for Sukkerets Forhold til Kobberoxydhydrat , overhovedet, var det af Interesse nærmere at undersøge ogsaa Bundfaldene. Der var nemlig tilbageholdt i samme en større Mængde Sukker, og man kunde derfor antage, at dette stod i kemisk Forbindelse med Kobberoxydhydratet. 1) 1. c. S. 2921-29. ?) Anl. z. qualit. u. quantit. Analyse des Harns. 7te Aufl. Wiesbaden 1876. S. 82. 3) Handb. d. physiol. u. pathol.-chem. Anal. 4te Aufl. Berlin 1875. S. 122. Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 299 B. Undersøgelse af Bundfaldene. Før vi gaa over til at beskrive denne Undersøgelse, er det nødvendigt at bemærke, at Bundfaldene trods den lave Tempe- ratur tildels lidt efter lidt dekomponeredes, idet der udskiltes noget Kobberoxydul. . For at komme til Kundskab om, hvorvidt Bindfaldene indeholdt Sukker i kemisk Forbindelse med Kobberoxyd eller ikke, ansaa vi det for rigtigst at undersøge deres Sammensæt- ning paa forskjellige Steder. Viste det sig nemlig i alle. Forsøg, at de overalt havde ensartet Sammensætning, vilde Sandsynligheden tale for, at vi fortrinsvis havde med en kemisk Forbindelse at gjøre. Vi skulle behandle Bundfaldene i den til Forsøgene sva- rende Orden. Forsøg 1. Bundfaldet blev delt i 2 Dele; den ene Del forblev fugtig ; den anden Zerredes paa følgende Maade ved almindelig Temperatur. Den anbragtes i en Klokke, gjennem hvilken der ved Hjælp af en Bunsens Pumpe sugedes en Luftstrøm, der iforveien havde passeret et Rør med koncentreret Svovlsyre og et andet med vandfri Fosforsyre; et tredie Rør indeholdt Bomuld for at tilbageholde muligens medrevne Partikler af Fos- forsyren. Det fugtige Bundfald blev atter delt i to Dele, der hver for sig oplø- stes i Saltsyre og fældtes med Svovlvandstof. Kobberet bestemtes derpaa efter Rose's Methode (sml. Fresenius, Quantit. Anal. 6te Aufl. 1875. I. S. 334) og Sukkeret i Filtratet ved Titrering med Fehlings Vædske, efter at alt Svovlvandstof var fjernet. I den ene Del var Molekularforholdet mellem Sukker og Kobberoxyd 1:9,3 og i den anden ligeledes 7: 9.5. Det tørre Bundfald behandledes aldeles paa samme Maade; i den ene Del fandtes 1 mol Sukker paa 11.9 mol Kobberoxyd, og i den anden 1: 5.8. Dette sidste Tal er større, end man skulde have formodet; thi efter Bereg- ningen fra Filtratet skulde Forholdet have været som 1 : 6.48.") Forsøg 2. I dette Forsøg skulde man i Bundfaldet have ventet at finde Forholdet 1:7.35, men istedet derfor fandtes paa et Sted 1: 16.15 og paa et andet Sted 1: 18.6. 1) Denne Forskjel kan kun hidrøre fra, at denne Del af Bundfaldet var lidet dekomponeret, og at Sukkeret i samme var ufuldstændigt udvadsket. 300 Worm Müller og I. Hagen. Forsøg 3. Paa et Sted i Bundfaldet fandtes Forholdet 1 mol Sukker: 7.8 mol Kobberoxyd, paa et andet Sted 1:10.77, og paa et tredie Sted 1:15.08 Man skulde have ventet 1 : 6.54. Forseg 4. Her fandtes resp. 1 : 15,3 og 1 : 10.8 istedetfor efter Bereg- ningen fra Filtratet 1 : 6.73. Af disse Forseg fremgaar med en vis Sandsynlighed, at det Sukker, som medrives af Kobberoxydhydrat, neppe kan staa i et bestemt Molekularforhold til dette, da Bundfaldene i det Hele havde en vexlende Sammensætning paa de forskjellige Steder. Men heraf ter man dog ikke drage nogen afgjerende Slutning, da en sterre Mængde af Sukkeret viste sig at være dekomponeret. Denne Mængde blev faststillet i Forseg 1, hvor saavel Kobber- som Sukkermængden 1 det hele Bundfald be- stemtes; 26.9 % af den anvendte Sukkermængde var destrueret, kfr. følgende Data. Anvendisyarır.ı SN Or Sukker Der gjenfandtes: i Filtrat og Vadskevand . 0.2054 gr i den fugtige Del af Bund- faldet «NK OMAN) - i den tørrede Del af Bund- faldet st ODS Tilsammen 0.6583 gr. Der var altsaa destrueret . . . . 0.2417 gr. eller 26:9 5.3) 1) Derimod svarede den i Bundfaldet fundne Kobbermængde til den an- vendte. Der fandtes nemlig i det fugtige Bundfald a). . . 0.2289 gr Cu på 0/4098) eae det terre Bundfald ad 018720 Aa Die 740.100 Le Tils. 1.6133 gr Cu. Den anvendte Mængde Kobbervitriol indeholdt 1.585 er Kobber. Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 301 For vi heraf drog nogen bestemt Slutning angaaende Suk- kerets Forhold til Kobberoxydhydrat, ansaa vi det imidlertid for nødvendigt at anstille et sidste Forsøg, hvori vi specielt gjorde os til Hovedopgave saavidt muligt at hindre Bundfaldets Dekomposition. Resultatet var ogsaa i dette Tilfælde ganske det samme. Forsøg 5. Til den med Is afkjølede Sukkeropløsning (der indeholdt 0.225 gr Druesukker), sattes under Omrøring først Natronlud (6.41 kem af en 7.8 °/oig Opløsning) og derpaa Kobbervitrioloplesningen (= 1.55875 gr Cu SO, +5 H, 0). Det derved dannede Bundfald havde en blaahvid Farve; - Filtratet var aldeles farveløst, reagerede neutralt, var frit for Kobber, men gav tydelig Reaktion paa Druesukker og indeholdt svovlsurt Natron. Bundfaldet holdtes omgivet med Is og udvadskedes med iskoldt Vand, saa at dets Temperatur under Forsøget aldrig oversteg 7°, i Almindelighed var den blot 3—5* C. A. Filtratet. Iste Filtrat, 153 kem, indeholdt 0.0243 gr Sukker. Udvadskningen fortsattes, indtil Vadskevandet ikke længere gav Reaktion paa Sukker eller Svovlsyre. Dette var Tilfældet efter Anvendelsen af 940 kem Vadskevand. Det koncentreredes nu paa Vandbad til 185 kem og titreredes med Feh- lings Vædske. Det indeholdt 0.0318 gr Sukker. I det hele lod der sig saaledes af Bundfaldet udvadske 0.0561 gr eller 24.93 % af den anvendte Sukkermængde. B. Bundfaldet. Af det fugtige Bundfald, der paa enkelte Steder, især i Midten, var grøngult, toges 3 Prøver, og i hver af dem blev Sukkeret og Kobberet bestemt kvantitativt. a) Den første Prøve toges af Bundfaldets øverste Del. Der erholdtes 0.1419 gr Cu, S=0.11331 gr Cu. Filtratet indeholdt 0.03136 gr Sukker. Molekularforholdet mellem Sukker og Kobberoxyd i denne Prøve var altsaa 1 : 10,26. b) Den anden Prove toges i Midten af Bundfaldet. Den leverede 0.1146 gr Cu, S=0.0915 gr Cu, og indeholdt 0.02492 or Sukker. Moleku- larforholdet var altsaa 1 Sukker: 10.42 Kobberoxyd. c) Den tredie Prøve udgjordes af Bundfaldets nederste Del. Den inde- holdt 0.1024 gr Cu (= 0.1282 gr Cu, 8) og 0.0326 gr Sukker, saa at Moleku- larforholdet findes = 1 mol Sukker: 8.92 mol Kobberoxyd. d) Filtret med Resten af Bundfaldet behandledes med fortyndet Salt- 302 Worm Müller og I. Hagen. syre, og i Oplesningen bestemtes Kobbermængden, der udgjorde 0.08248 gr (= 0.1033 gr Cv, 8) og Sukkeret, der fandtes = 0.01763 gr. Beregnes Mo- lekularforholdet mellem Sukker og Kobberoxyd, saa sees, at det er 7: 13.28. I det hele fandtes: Kobber Sukker Je 0.03136 er. DW) 0 0.5.0 07091500 . . . 0.02492 - ©) Ce 70105102405: . . . 0.03260 - Mi. = &4 0.082487 7- - « +» 0.01763 - I ste; Filttat ste de EE 002088 G det» i) Hahaha amie! (Re Tils. 0.38969 gr Kobber og 0.16263 gr Sukker. istedetfor 039625 - — - 0.225 - — Medens alt Kobber gjenfandtes, var saaledes 27.72 °/ af Sukkeret destrueret. Resultatet var altsaa det samme som tidligere. Efter dette Forsøg fandt vi os berettigede til at afgjere det Spørgsmaal, om Bundfaldet blot er at betragte som en mekanisk Blanding eller som en kemisk Forbindelse. Hvad der skulde tale for det sidste, er ene og alene Bund- faldets Farveforandring fra blaat til grønt (og gult), der er be- tinget af Kobberoxydets Reduktion. En saadan indtræder nem- lig ikke, om en Druesukkeropløsning digereres selv med friskt udfældt Kobberoxydhydrat. Men man tør ikke heraf drage nogen bindende Slutning; Forholdene ere i vore Forsøg ander- ledes. Bringer man nemlig Kobberoxydhydrat ind i en Sukker- opløsning, kan ikke Berørelsen mellem begge Legemer blive saa inderlig, som naar Sukkeret rives med af det amorfe Oxyd- hydrat i det Øieblik, dette dannes. Den Blanding af de fineste Dele, som 1 dette Tilfælde erholdes, er saa intim, at en kemisk Vexelvirkning mellem Sukkeret og det fugtige Kobberoxydhydrat som Base og samtidigt surstofafgivende Middel kan tænkes at ville indtræde. I ethvert Fald taler dog denne Bundfaldets Dekomposition snarere for end mod den Anskuelse, at det er en kemisk Forbindelse. Men der var en Omstendighed, som strax forekom os at Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 303 være afgjørende til Gunst for den Betragtningsmaade, at Bund- faldet blot er en mekanisk Blanding. Naar man efter flere Dages Udvadskning af Bundfaldet, saa at Vadskevandet blot indeholdt minimale Kvantiteter Suk- ker, suspenderede samme i iskoldt Vand (sml. Forseg 2 og 4), saa tiltog Sukkermængden 1 Filtratet. Dette kan kun bero paa, at Sukkeret er mekanisk tilblandet, og viser, at det hører til de Stoffe, der forholdsvis let gaa med i Bundfald og fasthol- des af disse. Dette finder ogsaa en Støtte i andre Erfaringer. Sukkeret i Opløsning tilbageholdes saaledes af Dyrkul, hvoraf det imidlertid lader sig fjerne ved længere Udvadskning, men, som det synes, selv da kun ufuldstændigt; og ved Tilsætning af Blyeddik til sukkerholdig Urin rives, som Brücke har vist, en Del af Sukkeret med i Bundfaldet. Paa den anden Side ved man, at Kobberoxydhydrat, idet det udfældes, ogsaa kan tilbageholde andre opløste Stoffe, nemlig Alkalier, der som be- kjendt ved Udvadskning ikke let fuldstændigt kan fjernes. Som Exempel paa, med hvilken Seighed Bundfald kan holde paa mekanisk medrevne, i og for sig opløselige Stoffe, behøve vi blot at minde om, hvor vanskeligt det er at befri svovlsur Baryt for Alkalisalte. Et andet og fuldstendigt afgjerende Bevis for, at Bund- faldet virkelig blot er en mekanisk Blanding, ligger deri, at selv om man til 1 mol Sukker sætter 10, ja 30 mol Kobbervi- triol og 20 resp. 60 mol Kalihydrat, vil Filtratet endnu inde- holde forholdsvis betydelige Mængder Sukker. Dette sidste Resultat var os forøvrigt overraskende. Skjønt vor Undersøgelse førte til et negativt Resultat ligeoverfor Spørgs- maalet om Existentsen af en kemisk Forbindelse mellem Suk- ker og Kobberoxydhydrat i Bundfaldet, formodede vi dog, at ved Anvendelsen af sterre Kvantiteter Kobbersulfat og Alkali vilde smaa Sukkermængder fuldstændigt holdes tilbage af Bundfaldet. Hvis dette havde været Tilfældet, kunde det maaske ad denne Vei være lykkedes at paavise smaa Sukkermængder, f. Ex. i dyri- 304 Worm Müller og I. Hagen. ske Vædsker. Man behøvede blot at frafiltrere Bundfaldet, op- lose det i en Syre og nu paa forskjellige Maader paavise Suk- keret. Bundfaldets ringe Holdbarhed vilde, naar man udførte Operationen hurtigt og i Kulden, vistnok ikke volde nogen uovervindelig Vanskelighed; derimod er det Faktum, at selv et meget stort Overskud af Kobberoxydbydrat ikke formaar at rive alt Sukker med ved Udfældningen, nok for at vise, at Metho- den er uanvendelig 1 dette Øiemed. Slutning og Resume. Druesukker, tilsat Oplasninger af Kobbervitriol og Alkali, de sidste i Ækvivalentforhold, rives med å det dannede Bundfald og kan tildels udvadskes af sammme. Bundfaldet indeholder ingen kemisk Forbindelse af Kobberoxyd- hydrat med Sukker, men dekomponeres dogåtildels let à fugtig Tilstand. Sukkeret tilbageholdes ikke fuldstændigt i Bundfaldet, selv om man anvender et stort Overskud af Kobbervitriol og Alkali. $ 2. Om de af Hoppe-Seyler og Fileti angivne Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd. Efter dette ville vi undersøge, om man overhovedet kjender nogen Forbindelse af Druesukker med Kobberoxyd. Hoppe-Seyler siger:!) «Eine wässrige Lösung von Trau- benzucker löst reichlich Aetzkalk auf, ebenso auch Kupferoxyd- hydrat. Die dunkelblaue Flüssigkeit, die man durch Auflösen von Kupferoxydhydrat in Traubenzuckerlösung erhält, ist jedoch sehr zersetzlich, schon nach kurzem Stehen scheidet sich ein gelbes oder rothes Pulver, Kupferoxydul, aus, während die Lö- sung sich entfärbt; hierbei wird der Zucker oxydirt, indem Amei- sensäure, Oxymalonsäure, vielleicht auch Essigsäure und ein dem Dextrin ähnlicher Körper, entstehen,» og det samme gjentager han i 4de Oplag, 1875, Side 122. For at kontrollere dette have vi gjort følgende Forsøg: 1) Handb. d. physiol.- u. pathol.-chem. Anal. 3te Aufl. Berlin 1870. S. 108. Om Druesukkerets Forhold til Kobberoxyd. 305 1) Til 75 kem af en Druesukkeropløsning, der indeholdt 0.9 gr Sukker, sattes 25 kem Vand og ca. 2:5 gr friskt udfældt Kobberoxydhydrat, frem- stillet efter Löwes Methode ved at fælde en Oplesning af svovlsur Kob- beroxydammoniak med Alkalilud (sml. Gmelins Handbuch der anorgani- schen Chemie. 6te Aufl. Bd, 3. Heidelberg 1875. S. 599 og Dinglers Polyt. Journ. 1858. Bd, 149, 270). Vædsken henstod i 24 Timer under stadig Omrering paa et koldt Sted og holdtes afkjølet med Sne; da ingen Forandring efter denne Tids Forløb kunde iagttages, hensattes Vædsken i et Værelse med en Temperatur af + 5° C. og filtreredes efter 24 Timers Forløb. Filtratet var aldeles farveløst og indeholdt ikke Spor af Kobber. Kobberoxydhydratet, der var uforandret og ikke viste mindste Tegn til Reduktion, udvadskedes med noget Vand, der forenedes med Filtratet. Der var i det hele i Filtrat og Vadskevand 0.8275 gr Sukker. Bundfaldet suspenderedes derpaa i Vand, opløstes i Saltsyre og fældtes med Svovl- vandstof. Det dannede Svovlkobber bragtes paa et Filter, Filtratet befrie- des for Svovlvandstof og koncentreredes. Det gav tydelig Sukkerreaktion med Fehlings Vædske, men indeholdt saa lidet, at en kvantitativ Bestem- melse ikke lykkedes, uagtet der blot anvendtes 2 kem Fehlings Vædske. 2) Til 48.1 kem Druesukkeropløsning, der indeholdt 0.9 gr, sattes 20 kem Vand og 2.91 gr lufttert Kobberoxydhydrat. Efter at Vædsken i 2 Dage havde henstaaet ved 30° C., uden at noget Kobber opløstes, for- høiedes Temperaturen til 40° C., men Resultatet blev det samme. Kob- beroxydhydratet frafiltredes og wudvadskedes. Filtrat og Vadskevand indeholdt 0.822 or. Sukker. Det paa Filtret tilbageblevne behandledes som i forrige Forsøg angivet; det indeholdt Sukker, men mindre end 0.025 or. 3) Dette Forseg var en Gjentagelse af det foregaaende alene med den Forskjel, at der her i Stedet for lufttørret anvendtes en tilsvarende Mængde fugtigt, friskt udfældt Kobberoxydhydrat. Resultatet var i alt væsentligt det samme; der opløstes ikke Spor af Kobberoxydhydrat. Filtratet og det dermed forenede Vadskevand indeholdt 0.8 or Sukker; Kobberoxydet havde blot optaget Spor. Disse Forseg vise med Bestemthed, at Druesukker ikke oplaser Kobberoxydhydrat. I «Berichte der deutschen ten Gesellschaft» Bd. 8, 1875, S. 441 meddeles i en Korrespondance fra Turin, at Fileti har fremstillet to saakaldte Kobberglykosater, af hvilke det ene skulde indeholde en til Formelen 0; H, Cu, O, +2 H,0 svarende Kobber- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3B.3H. 20 306 Worm Müller og I: Hagen. mængde, og den anden 64.48 % Kobber, hvoraf Formelen (Ce H, 0,); (Cu), udledes. Under de af Fileti angivne Betingelser opstaar der ganske vist Kobberglykosater, men disse ere ikke Forbindelser af Suk- ker med Kobberoxyd alene; de indeholde ogsaa Kali. | De ere altsaa Dobbeltforbindelser, og disse skulle vi omtale 1 den fel- gende Afhandling, hvori vi ville betragte Sukkerets Forhold til Kobberoxyd 1 alkalisk Oplesning. OM FORBINDELSER AF DRUESUKKER MED KOBBEROXYD 06 KALI. AF WORM MÜLLER og I. HAGEN. (MEDDELELSE FRA UNIVERSITETETS FYSIOLOGISKE INSTITUT). Naavidt vi have kunnet bringe i Erfaring, er der intetsteds i Literaturen beskrevet Dobbeltforbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. Sandsynligheden af saadanne Forbindelsers Existents fremgaar af det vel bekjendte Faktum, at Druesukker med Lethed er i Stand til at opløse Kobberoxydhydrat i alka- lisk Vædske. Om den Mængde Kobberoxydhydrat, Sukker er istand til at opløse i alkalisk Vædske, foreligger ingen bestemte Angivel- ser. Efter Beskrivelsen i Lærebøgerne af den Trommer’ske Prøve skulde man formode, at Sukkeret opløser ligesaa mange mol Kobberoxydbydrat, som det kan reducere, med andre Ord, at 1 mol Sukker er istand til at opløse 5 mol Kobberoxydhydrat i alkalisk Vædske. Det anføres nemlig som Regel ved denne Prøve, at man efter at have gjort den sukkerholdige Vædske alkalisk skal tilsætte en fortyndet Opløsning af Kobbervitriol saa længe, som det dannede Bundfald igjen opløses, men ikke mere; yderligere Tilsætning af Kobbervitriol fraraades derimod, fordi det nu opstaaede permanente Bundfald af Kobberoxydhydrat ved Op- hedning ikke skal reduceres, men gaa over til vandfrit Kobberoxyd, hvis sorte Farve mere eller mindre skjuler Kobberoxydulets røde 20* 308 Worm Müller og I. Hagen. (gule) og saaledes kan maskere Reaktionen. I nogen Modsigelse hermed staar Reichardts Angivelse i hans Afhandling: «Einwir- kung des Kupferoxydes auf Traubenzucker in kalischer Lösung: »') «Hat man so viel Zucker zu Kupferoxyd und Kali gemischt, dass . die klare Lösung erhalten wird, so ist ein sehr bedeutendes Uebermass von Traubenzucker vorhanden, gegenüber den ato- mistischen Verhältnissen; nimmt man genau 1 Aeq. Trauben- zucker = C12 H+ O14 und 10 Aeq. Cu O in Form irgend eines leicht lüslichen Kupfersalzes, so wird durch Zusatz von Kali selbst bis zum starken Vorwalten keine klare Lösung erzielt.» Denne Angivelse gjorde det tvivlsomt, om Sukker i alkalisk Vædske virkelig er istand til at opløse saa meget Cu (OH),, som det kan reducere. Senere hen synes, saavidt vi har kun- net bringe i Erfaring, den Mengde Cu (OH),, Sukker i alkalisk Vædske kan opløse, ikke at have været Gjenstand for nærmere Undersogelse. Da man maa bringe dette Spørgsmaal paa det Rene, før man kan klargjøre sig Processen ved Trommers Prøve, fandt vi det nødvendigt at anstille methodiske Forsøgs- rækker. I. Om Druesukkerets Evne til at opløse Kobberoxydhydrat i alkalisk Vædske. Vi have i den foregaaende Afhandling vist, at Druesukker ikke er istand til at opløse Spor af Kobberoxydhydrat, naar Væd- sken ikke er alkalisk. Paa den anden Side var det urimeligt at antage, at minimale og store Kvantiteter Alkali skulde kunne have den samme opløsende Evne. Den Kvantitet Cu (OH),, som Druesukker er istand til at opløse i alkalisk Vædske, maa staa i Forhold til Alkaligehalten ; vor Opgave var derfor i en Række Forsøg systematisk at stu- dere Opleselighedens Afhængighed af den i Vædsken indeholdte Mengde Alkali. Da vi gik ud fra den Forudsætning, at Alka- liets oplesende Evne hidrerer derfra, at det indgaar i kemisk 2) Ann. Chem. Pharm. Bd. 127. 1863. S. 299. Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 309 Forbindelse med Sukker og Kobberoxydhydrat, fandt vi det nodvendigt at betjene os af samtlige Stoffe i Molekularforhold. De vigtigste Forsegsdata ere i Korthed felgende: Der anvendtes: x a 1) en Druesukkeroplesning, hvoraf 6.4 kem neiagtigt reduce- rede 10 kem af 2) en Kobberoplesning af samme Koncentration som Feblings Veedske,*) 3) en Kaliopløsning, der neiagtigt udfældte alt Kobberoxyd af sit lige Volum af Kobbervitrioloplesningen, saa at Fil- tratet var neutralt og fuldstændigt kobberfrit. Sættes 6.4 kem af Druesukkeroplesningen = 1 mol Sukker, saa bliver 2 — - Kobbervitriol — =1 - CuSO, og 2 — - Kali — =2 - KOH Anm. Da 1 mol Kobbervitriol er ækvivalent med 2 mol Kali, medgik der selvfølgelig til Dannelsen af Kobberoxydhydrat netop ligesaa mange kem Kali- som Kobbervitrioloplesning. Det var derfor kun de over- skydende mol (kem) af Kalioplesningen, der kunde bevirke Kobber- oxydhydratets Oplesning i den sukkerholdige Vædske. Forsogene udfertes ferst paa den Maade, at 6.4 kem af Sukkeroplesningen (= 1 mol Sukker) tilsattes Kali- og derpaa Kobbervitrioloplesningen. Vædskerne blandedes i store Reagents- glas, der saavel under Forsogene som senere holdtes godt afkje- lede, idet de stode i Kar, der indeholdt smeltende Is. Dette var saa meget mere nødvendigt, som det udfældte Cu (OH), oftere behøver endog 1 Time, ja mere, for fuldstændigt at op- løses, og der ved sædvanlig Temperatur under saa lang Tids Henstand let indtræder delvis Reduktion. Vi ville inddele Forsøgene i to Grupper efter det Overskud af Alkali, der anvendtes. Gruppe 1. Vædsken indeholdt et Overskud af 1—4 mol KOH. a) Overskud af 1 mol KOH. a) 1 mol Sukker og 3 mol KOH tilsattes 1 mol CuSO,; det udfældte 1) cfr. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 1878. Bd. 3. S. 66. 310 Worm Müller og I. Hagen. * Kobberoxydhydrat opløstes igjen, saa at Vædsken efter 10 Minuters Tid var at betragte som klar. 8) 1 mol Sukker og 4 mol KOM tilsattes 1.5 mol C4 50,; det udfældte Kobberoxydhydrat opløstes igjen næsten fuldstændigt efter nogen Henstand. y) 1 mol Sukker og 4.5 mol KOH tilsattes 1.75 mol Cu 80,; det ud- fældte Kobberoxydhydrat opløstes ikke fuldstendigt selv efter længere Tid. b) Overskud af 2—4 mol KOH. a) 1 mol Sukker og 5.5 Mol KOM tilsattes 1.75 mol Cu 8O,; Overskud af KOH altsaa 2 mol. Det dannede Bundfald opløstes først efter et Par Timers Forløb og selv da ikke ganske fuldstændigt. B) 1 mol Sukker og 6 mol KOH tilsattes 1.75 mol CuSO,; Overskud af KOH altsaa 2.5 mol. Det dannede Bundfald af Kobberoxydhydrat ople- stes efter et Par Timers Tid. , y) 1 mol Sukker og 7 mol KOH tilsattes 2 mol Cu SO,; Overskud af KOH altsaa 3 mol. Det dannede Bundfald oplestes ikke selv efter Timer fuldstendigt. 6) 1 mol Sukker og 8 mol KOH tilsattes 2 mol Cu SO,; Overskud af KOH altsaa 4 mol. Bundfaldet oplestes efter nogen Henstand. En sterre Mengde Kobberoxydhydrat kunde ikke holdes opløst ved Hjælp af 4 mol KOH; thi sattes til I mol Sukker og 8'/2 mol KOH 21/4 mol Cu SO,, holdt Vædsken sig uklar. Et mol Druesukker var altsaa istand til ved Hjælp af 1 mol KOH at opløse 1—1'/: mol Cu (OH),; ved Hjelp af 21/:—3 mol KOH kunde T’/ı mol Cu (OH), oploses, ved Hjælp af 4 mol KOH 2 mol Cu (OH),, men ikke mere. Gruppe 2. Vædsken indeholdt et Overskud af 5—35 mol KOH. a) 1 mol Sukker og 10 mol KOH tilsattes 2.5 mol 04 SO,; Overskud af KOH altsaa 5 mol; det dannede Bundfald opløstes med Lethed. ß) 1 mol Sukker og 10.5 mol KOH tilsattes 2.75 mol Cu SO,; Overskud af KOH altsaa 5 mol; det dannede Bundfald opløstes ikke fuldstændigt. y) 1 mol Sukker og 11.5 mol KOH tilsattes 2.75 mol Cu 50,; Overskud af KOH altsaa 6 mol. Der opstod et Bundfald, som efterhaanden næsten forsvandt. En større Mængde Cu (OH), opløstes derimod ikke; thi tilsat- tes 1 mol Sukker, 12 mol KOH og 3 mol Cu SO,, forblev Vædsken uklar; det Samme var Tilfældet selv efter Anvendelsen af 2.85 mol Cu S0,. ö) Det samme Resultat erholdtes ved et Overskud af 8, 9 og 10 mol KOH i Vædsken; 2.75 mol Cu (OH), opløstes med Ned og meppe; lettest skede Opløsningen, naar Mængden af KOH var 8 mol (ved Anvendelsen af 1 mol Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 311 Sukker, 13.5 mol KOH og 2.75 mol Cv SO,); men en større Mengde Cu (0H), end 2.75 mol kunde ikke holdes opløst. e) Ved større Alkaligehalt (Overskud af 12—35 mol.KOH) syntes snarere Opleseligheden at af- end tiltage, idet da kun 2.5 mol Cu (OH), kunde holdes opløst, kfr.: 1 mol Sukker, 18 mol KOH tilsattes 2.5 mol Cu 80,. Bundfaldet op- lostes efter nogen Henstand; tilsattes 2.75 mol 0uS0,, forblev Vædsken uklar; det samme Resultat erholdtes ved Anvendelsen af 20, 30 og 40 mol KOH, Et mol Druesukker var altsaa istand til ved Hjælp af 5 mol KOH at oplese 21/2 mol Cu (OH),; ved Hjælp af 6—10 mol KOH kunde 2°/ı mol Cu (OH), holdes oplost; 23/4 mol Cu (OH), var Maximum; anvendtes et yderligere Overskud af KOH, kunde kun 2!/2 mol Cu (OH), holdes å Oplesning. For Kontrollens Skyld fandt vi det hensigtsmæssigt at gjentage disse Forseg med den Variation, at der til Sukkerop- løsningen først sattes Cu SO, og derpaa KOH. Resultaterne vare her ved ringere Overskud (1—4 mol) af Alkali saagodtsom identiske med de foregaaende, ved større Alkaligehalt derimod forsaavidt noget afvigende, som det i dette Tilfælde lykkedes at faa opløst 3 (34/2) mol Cu(OH),. Gruppe 1. Vedsken indeholdt et Overskud af 1—4 mol KOH. a) Overskud af 1 mol KOH. . a) 1 mol Sukker og 1 mol CuSO, tilsattes 3 mol KOH; Bundfaldet oplestes efterhaanden til en blakket Vædske, der forst langsomt klaredes. ß) 1 mol Sukker og 1.5 mol Cu SO, gav med 4 mol Lo et Bundfald, der ikke ganske opløstes. b) Vædsken indeholdt et Overskud af 2—4 mol KOH. - a) 1 mol Sukker og 1.75 mol Cu SO, tilsattes 6 mol KOH; Overskud af KOH altsaa 2.5 mol. Bundfaldet opløstes med Lethed; en større Meusde Cu (OH), kunde derimod ikke opløses af 2.5 mol KOH. f) 1 mol Sukker og 2 mol CuSO, gav med 8 mol KOH — Overskud af KOH altsaa 4 mol — saagodtsom strax en klar Opløsning; yderligere Tilsætning af 0%S0, bevirkede, at Vædsken ikke blev ganske klar. Gruppe 2. Vædsken indeholdt et Overskud af 5—33 mol KOH. a) 1 mol Sukker og 2.5 mol Cu SO, tiisattes 10 mol KOH. Vædsken, der altsaa indeholdt 5 mol KOH, var efter en halv Times Forløb klar. 312 Worm Müller og I. Hagen. B) 1 mol Sukker og 2.75 mol Cu SO, tilsattes 12 mol KOH. Vædsken, der altsaa indeholdt 6.5 mol KOH, var klar efter en halv Times Forleb. Derimod var 6 mol KOZ ikke istand til at opløse 3 mol Cx (OH),; thi til- sattes 1 mol Sukker og 3 mol Cu SO, 12 mol KOH, opløstes ikke Bund- faldet fuldstændigt. y) Indeholdt Vædsken 8—10— 12 mol KOH, kunde indtil 3 mol Cu (0H), opløses; lettest syntes Opløsningen at ske ved Tilstedeværelsen af 8 mol, kfr. 1) 1 mol Sukker, 3 mol CuSO, og 14 mol KOH. Vedsken, der altsaa indeholdt 8 mol KOH, var efter nogen Tid klar. 2) 1 mol Sukker, 3 mol CuSO, og 16 mol KOH. Vedsken, der altsaa indeholdt 10 mol KOH, blev paa det Nærmeste klar. 3) 1 mol Sukker, 3 mol Cu 80,, 18 mol KOH. Vædsken, der altsaa inde- holdt 12 mol KOH, viste en ganske svag?Blakning. ö) Indeholdt Vædsken 13—33 mol KOH, syntes indtil 3.5 ‘mol Cu (OH), at kunne opleses, men ikke mere, kfr.: 1 mol Sakker Opløstes samtlige; 1 mol Sukker 35 — CuSO, dog var der et svagt 4 — Cu so, | 20 — KOH Skimmer af et i Ved- 20 — KOH Jevn Blak- ning’; efter et 1 mol Sukker ! Par Timer be- sken meget fint sus- deret Le p 1 mol Sukker Fan a 3.5 — Cu SO ee ae 4 — Cu SO, > gyndende Re- mo mr u ee duktionigjen- Reduktion, der ved større Alkaligehalt nent helg 1 mol Sukker | kan indtræde efter 1 1 mol Sukker VERS 3.5 — Cu SOi Times Tid selv ved 4 — CuSO, 40 — KOH lavere Temperatur. 40 — KOH Yderligere Tilsætning af KOH (en Kalioplosning af 23.65 % KOH) forøgede ikke Opløseligheden, men begunstigede Reduktionens Hurtighed. Medens 2°/4 mol Cu (OH), var det Maximum, der kunde holdes oplost, naar KOH tilsattes først, kunde man altsaa op- løse indtil 3 mol Cu (OH), ved Hjælp af $—10 mol KOH og 31/2 mol Cu (OH), ved Hjælp af 13—33 mol KOH, naar Ou SO, tilsattes før KOH. Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 313 Resume. Resultatet af denne Undersøgelse var kort udtrykt | folgende: 1 mol Sukker var istand til ved Hjælp af 1 mol KOA at oplese 1 (— 11/2) mol Cu (OH),. 1 mol Sukker var istand til ved Hjælp af 4 mol KOM at opløse 2 mol Cu (OH),. 1 mol Sukker var istand til ved Hjælp af 5 mol KOH at opløse 2.5 mol Cu (OH),. 1 mol Sukker var istand til ved Hjælp af 6 mol KOH at opløse 2.75 mol Ou (OH),. Tilsattes Cu SO, før KOH, kunde 1 mol Sukker ved Hjælp af 8—10 mol KOH opløse 3 mol Cu (OH), og ved Hjælp af 13—33 mol KOH indtil 3.5 mol Cu (OH),. I modsat Fald var 2.5 mol Cu (OH), det Maximum, der kunde opløses, naar man anvendte et yderligere Overskud af KOH. II. Fremstilling af i Vand opløselige Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. Da det opleste Kobberoxydhydrat kun kan antages at være 1 kemisk Forbindelse med Sukker og Alkali, maa der 1 Henhold til de foregaaende Forseg rimeligvis existere flere saadanne Forbindel- ser, der adskille sig fra hinanden ved sin Kobber- og Alkaligehalt. Noget bestemt Indblik i deres Sammensætning har vi for- _ øvrigt endnu ikke vundet; den Mængde Alkali, der kan indgaa i disse Forbindelser, lader sig nemlig ikke jugere af vore For- søgsdata, fordi vi rimeligvis i de fleste Tilfælde har anvendt samme i saa stort Overskud, at kun den ringere Del af dette kan antages at have været i kemisk Forbindelse med Sukker og Kobber. Den Mængde Kobber, der kan indtrede i Forbindel- serne, lader sig naturligvis bestemt angive; den svarer jo direkte til det opløste Kobberoxydhydrat, og man kunde derfor i saa Henseende uden videre af de foregaaende Forsøg slutte sig til Forbindelser, som indeholde 1, 2, 3 at Cu paa 1 mol Sukker, hvis det havde vist sig, at Mængden af det opløste Cu (OH), 314 Worm Müller og I. Hagen. blot stod i saa enkle Molekularforholde. Men dette synes ikke at være Tilfældet. Selv betydelige Variationer i Alkaligehalten forandrede nemlig ofte Mængden af det opleste Cu (OH), ikke med et helt eller halvt mol, men endog med mindre Brøkdele, som 1/4 mol. Om vi derfor ı det foregaaende end have gjort det sand- synligt, at der existerer opløselige Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali, stod dog den Hovedopgave tilbage at levere det stringente Bevis for deres Existents og komme til Kundskab om deres Sammensætning, med andre Ord, at frem- stille og analysere disse Forbindelser. Det første Resultat af vor foregaaende Undersøgelse var, at I mol Sukker er istand til ved Hjælp af 1 mol KOZ at op- løse 1 mol Cu (OH),. Det laa derfor nærmest at antage Mu- ligheden af en Dobbeltforbindelse, der paa 1 mol Sukker inde- holder 1 mol Cu (OH), og 1 mol KOH. En saadan Forbindelse har det nu lykkedes os at fremstille ved at benytte den Fremgangsmaade, som Fileti efter H. Schiff’) har anvendt for at erholde det af ham antagne Kobberglykosat (Forbindelse af Druesukker med Kobberoxydhydrat) ved Hjælp — af Glykose, Kali og Kobbervitriol. 1 gr Druesukker (opl. i 80 kem Vand) og 3 gr KOH (opl. i 12.7 kem Vand) blandedes i et med Is omgivet Bægerglas og tilsattes lidt efter lidt en koncentreret Opløsning af Kobbervitriol. Der fremkom strax et lyse- blaat Bundfald, som opleste sig ved Omrøring til en klar blaa Vædske; ved videre Tilsætning foregik Opløsningen vanskeligere og tilsidst forblev — en Del af Bundfaldet uoplest. Vædsken filtreredes derpaa gjennem et godt afkjølet Glasuldfilter ned i en med Is omgiven Kolbe, der indeholdt ca. 200 kem 90 °/oig Alkohol. Idet den klare blaa Vædske dryppede hed i denne, udfældtes der et blaahvidt Legeme, som efterhaanden samlede sig til himmelblaa Fnokker, der sank til Bunds. Det saaledes erholdte Bund- feld, hvoraf en Prøve viste sig opløselig å Vand, bragtes paa et med Is om- givet Sugefilter og udvadskedes med 90 ig Alkohol, indtil Filtratets alkaliske Reaktion var saagodtsom forsvunden. Til Udvadskningen anvend- 1) Ber. d. Deutschen chem. Ges. Bd. 8. 1875. S. 441. Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 315 tes ligeledes ca. 200 kem Alkohol. Uagtet der ved samtlige Operationer var sørget for god Afkjøling, kunde det dog ikke undgaaes, at en Del af Bundfaldet reduceredes. (Ogsaa i det svagt blaalige Filtrat foregik der Reduktion). Bundfaldet paa Filtret tørredes i Løbet af Natten i Vakuum over kone. Svovlsyre; om Morgenen udtoges en Prøve til Analyse. Den opløstes i Saltsyre (under meget svag Opbrusning) og tilsattes Svovlvandstofvand i Overskud. Det udfældte Svovlkobber bestemtes efter Roses Methode. Der erholdtes 0.1274 gr Cu, S=0.1017 gr Cu. Filtratet og Vadskevandet fra Kobberbundfaldet befriedes fra Æ, S ved en kraftig Luftstrøm. Det samlede Vædskekvantum beløb sig til 294 kem. Dets Gehalt paa Drue- sukker fandtes = 0.2316 gr Sukker. Molekularforholdet mellem Sukker og Kobber i Bundfaldet bliver saaledes (0.2316 : 0.1017 = 180 : >; x= 79.04 eller 1.24 X 63.4) 1 mol Sukker: 1.24 at Cw. Da Bundfaldet foruden Dobbeltforbindelsen af Sukker med Kobberoxyd og Kali maatte indeholde svovlsurt Kali, saasom ogsaa dette fældes af Alkohol, maa der fra Bundfaldets samlede Kaliumgehalt fratrækkes den Mængde, der var bundet til Svovlsyren, for at finde den Mængde Kalium, der var indeholdt i Forbindelse med Sukker og Kobber. Det gjaldt der- for nærmest at bestemme Svovlsyren i Filtratet. Til Bestemmelsen af Svovlsyre og Kalium anvendtes 227 kem af Fil- tratet. Svovlsyren bestemtes paa sædvanlig Maade som BaS0,. Der fandtes 0.356 gr Ba S0,, der svarer til 0.1221 gr 503. . Det samlede Fil- trat (=294 kem) indeholdt altsaa 0,15814 gr SO,. Filtratet fra den svovl- sure Baryt tilsattes NZ, og (NH,), CO, under Opvarmning; Filtratet ind- dampedes forsigtigt til Tørhed i en Platindigel; den i Residuet indeholdte Salmiak forflygtigedes ved muligst lav Temperatur, og derpaa ophededes Resten til Glødning for at destruere den endnu tilbageværende organiske Substants. Det tilbageblevne, der bestod af KCl, veiede 0.3095 gr. Heraf beregnedes Kaliumgehalten til 0.16238 gr eller i det samlede Filtrat 294 X 0.16238 227 holdte Æ, (= 0.15475 gr, beregnet af S0,-Mængden), angiver Resten, 0.05556 gr, den Mængde Kalium, der var traadt i Forbindelse med Drue- sukker og Kobberoxyd. Forholdet mellem Sukker og Kalium bliver da 1 mol Sukker: 1.1 at K (0.2316 : 05556 = 180 : 2, x = 43.18 eller 1.1 x 39.13). Molekularforholdet mellem Sukker, Kobber og Kalium fandtes altsaa 1 mol Sukker: 1.24 at Cu: 1.1 K. Trods denne = 0.21031 gr. Subtraheres herfra det somX, SO, inde- 316 Worm Müller og I. Hagen. Uoverensstemmelse kunne vi dog omtrent med fuld Sikker- hed sige, at Bundfaldet bestod af 1 mol Sukker, lat Cu og 1at K. Sukkermængden maatte nemlig findes for liden, da endel af samme allerede var oxyderet paa Filtret. Afvigelsen mellem den fundne Kali- og Kobbermængde er vistnok ikke ganske ubetydelig, men rimeligvis er den for en Del foraarsaget derved, at Svovlsyremængden er fundet noget for stor, som det ikke sjelden er Tilfældet, naar den bestemmes i Form af svovlsur Baryt, saa at der er trukket for meget fra den samlede Kali- gehalt; de fundne Tal nærmer sig dog saa meget til Enheden, at Analysen maa siges at have faststillet, at den erholdte Dob- beltforbindelse indeholder 1 at Cu og 1 at K paa 1 mol Sukker. Da denne Forbindelse friskt udfældt var opløselig i Vand, og da der opstaar en klar blaa Vædske, naar man til I mol Sukker setter 1 mol Cu SO, og 3—4 mol KOH, er det sand- synligt, at denne Vædske væsentlig er at betragte som en Op- løsning af denne Dobbeltforbindelse (og K, SO,). _ For Kontrollens Skyld fandt vi det hensigtmæssigt endnu engang at fremstille Forbindelsen, men med den Variation, at vi istedetfor Cu SO, anvendte Cu Ay. Hensigten hermed var forøvrigt tillige den at kunne overbevise os om det urigtige 1 den Angivelse af Fileti, at der ogsaa 1 dette Tilfælde skulde kunne opstaa en egen Forbindelse af Sukker med Kobber. Paa Forhaand troede vi, at Resultatet maatte blive det samme, hvad enten der anvendtes eddikesurt eller svovlsurt Kobber, men det viste det sig imidlertid, at Bundfaldet å dette Tilfælde havde en anden Sammensetning. Den fremstillede Forbindelse indeholdt nemlig paa 1 mol Sukker og 1 at K ikke 1, men 2 at Cu. De specielle Forsøgsdata vare følgende: De samme Mængder Druesukker og Kali som i foreg. Forsøg tilsattes eddikesurt Kobber i koncentreret Opløsning, indtil der fremkom et Bund- fald, som ikke længere opløste sig. Filtratet opsamledes ogsaa her i en med Is omgiven Kolbe, der indeholdt ca. 200 kem 90 °/oig Alkohol; de himmelblaa Fnokker, der dannede sig, viste sig at være opløselige i Vand; de bragtes paa et med Is omgivet Sugefilter og udvadskedes med 90 °/oig Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 317 Alkohol, indtil Filtratet var saagodtsom neutralt. Uagtet der sorgedes for god Afkjoling under samtlige Operationer, viste der sig dog Antydning til Dekomposition, men meget mindre end i forrige Tilfælde. En Del af det udvadskede Bundfald opløstes, efter at være tørret i Vakuum, i tynd HCl og fældtes med Svovlvandstof. Der erholdtes herved 0.3295 gr Cu, 8 =0.2631gr Cu. Det forenede Filtrat og Vadskevand, hvis samlede Volum beløb sig til 176 kem, befriedes for H, S ved Hjælp af en stærk Luftstrøm og anvendtes til Bestemmelse af Sukker og Kalium. 9.6 kem af Filtratet reducerede nøiagtigt 20 kem af en til det 5-dobbelte fortyndet Fehlings Vædske, der anviste 0.02048 gr Sukker. Filtratets samlede Sukkergehalt altsaa 0.3755 gr. Molekularforholdet mellem Sukker og Kobber bliver som 1:2 (0.3755 : 0.2631 = 180 :x; x=126.1 eller næsten 2X 63.4).- For at bestemme A-Mengden inddampedes 150 kem af Filtratet paa Vandbad, tilsattes Pt CI, og (da det havde antaget Sirupskonsistents) 80 °/oig Alko- hol og bragtes paa et Filter. Efter Tørring ved 130° erholdtes 0.4401 gr Pi K, Cl;, der svarer til 0.07059 gr K. Kaliummængden i det hele Filtrat bliver saaledes —_ on = 0.082825 gr og Molekularforholdet mellem Sukker og K=1:1. (0.3755 : 0.082825 = 180: x; x = 39.7). En anden Prøve glødedes for at destruere Druesukkeret, og Residuet opløstes i HCl; Kobber og Kalium bestemtes derefter paa samme Maade som i Hovedpreven. Der fandtes 0.04 or Cu, S=0.03194 gr Cu og 0.0683 gr Pi K, Cl, = 0,01096 gr K; Molekularforholdet altsaa 2 0u:1.11ZX. Re- sultatet var her en Smule afvigende, men ogsaa i denne Analyse nærmer den fundne Mengde X sig saa meget 1 at., at vi maa antage dette i For- bindelsen. Da denne Forbindelse friskt udfældt opløstes i Vand, antog vi, at der maatte erholdes en klar blaa Vædske ved til 1 mol Sukker at sætte 2 mol Cu A, og 5 mol KOH. Dette var og- saa Tilfældet. Som vi for have seet, kan en saadan Vædske derimod ikke erholdes, naar man til 1 mol Sukker setter 2 mol CuSO, og 5 mol KOH. Af hvilken Grund der ved Anven- delsen af Cu A, opstod en Forbindelse med 2 at Cu, og hvor- for Sukker er istand til at opløse 2 mol Cu(OH), ved Hjælp af 1 mol KOH, naar man anvender Ou A, istedetfor Ou SO,, vil vi lade uafgjort. Resumé. Det lykkedes alisaa at fremstille to Dobbeltfor- bindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali, hvoraf den ene 318 Worm Müller og I. Hagen. paa 1 mol Sukker indeholdt 1 at Cu og 1 at K, den anden paa 1 mol Sukker 2 at Cu og 1 at K. Da disse Forsøg helst bør anstilles i Kulden, ville samtlige Details først kunne blive færdige i Løbet af Vinteren, og skulle vi da bestræbe os for at fremstille ogsaa andre Dobbeltforbin- delser samt at komme til Kundskab om deres Konstitution. De vundne Resultater vare imidlertid tilstrækkelige for vort nærmeste Formaal, nemlig 1) at undersøge, om det opløste — Cu (OH), virkelig indeholdes i kemisk Forbindelse med Sukker og Kali, og 2) at studere Forholdet mellem den Mængde Kob- beroxydhydrat, som Sukker kan opløse i alkalisk Vædske, og den, det kan reducere. Endvidere kunne vi ved Hjælp af disse Resultater delvis anskuelig- gjøre os, hvorfor Cu (0H),, naar det ved Tilsætning af Cu SO, og Alkali i Ækvivalentforhold bundfældes i en sukkerholdig Vædske, river en paa- - faldende stor Mængde Druesukker med sig, som vanskeligt kan udvadskes, og hvorfor det saaledes erholdte Bundfald let dekomponeres. Medens det allerede iforveien udfældte Cu(OH),, naar det digereres med Sukkeropløs- ning, kun tilbageholder en ganske ringe Mængde, har vi i den foregaaende Afhandling ved Gjentagelsen af Salkowskis Forseg seet, at det Bundfald, som erholdes, naar man til 1 mol Sukker setter 5 mol Cu SO, og 10 mol KOH, kan indeholde henved % af den anvendte Mængde Sukker. Vi kunne kun delvis belyse dette paa Basis af vore Forsøg. Forskjellen er nemlig let at forstaa, naar Kali tilsættes først, men ikke i det modsatte Tilfælde. Naar man til 1 mol Sukker først sætter 10 mol Alkali og der- paa lidt efter lidt 0450,, saa vil 2'/2 mol Kobberoxydhydrat kunne oplø- ses, da der endnu er et Overskud af 5 mol Alkali i Vædsken. Tilsættes nu de øvrige 21/2 mol Cu SO,, saa vil Svovlsyren i disse efterhaanden for- binde sig med Alkali, neutralisere Vædsken og spalte Dobbeltforbindelsen af Sukker med Kobberoxyd og Alkali, saa at Sukker og Kobberoxydhydrat samtidigen frigjøres. De enkelte Sukkermolekuler vilde da ligesom om- sluttes af de enkelte Molekuler Kobberoxydhydrat, saa at Sukkeret vanske- ligt kan fjernes ved Udvadskning og paa Grund af den intime Berøring let virke reducerende. Tilsættes derimod først Cu SO,, vil den paafølgende Tilsætning af KOH naturligvis ikke kunne bevirke Dannelsen af en saadan Dobbeltforbindelse, da der nu aldrig er Overskud af Kali, og man kan derfor ikke paa den oven- i Å | Om Forbindelser af Druesukk * med Kobberoxyd og Kan. 319 for udviklede Maade begribe, hvorfor Bundfaldet ogsaa i dette Tilfælde tilbageholder ligesaa meget Sukker som i hint. Man maa derfor her ty til en anden Forklaring. Man kunde tænke sig Muligheden af, at Pro- cessen her gik for sig paa følgende Maade: I Vædsken findes opløst Sukker og Cu SO,, der tilsættes Kali. Det kunde nu hænde, at dette i første Moment foreløbigt forbandt sig med Sukker til Sukkerkali, som derpaa dekomponeredes af Kobbervitriolen; der vilde da ogsaa i dette Til- fælde samtidigt findes Sukker og Kobberoxydhydrat in statu nascendi. Imidlertid er denne Forklaring naturligvis blot og bart en Hypothese, saa meget mere som man med omtrent ligesaa stor Berettigelse kan forestille sig, at Processen er en anden. Man kunde nemlig tænke sig, at Drue- sukker indgik kemiske Forbindelser med Cx SO, ligesom med Na Cl. Hvis nu disse fandt Sted i flere Molekularforhold, vilde man ogsaa ved Hjælp af denne Antagelse kunne klargjøre sig, hvorfor Cu(OH),, naar KOH til- sættes bagefter, river Sukkeret med sig. Ogsaa i dette Tilfælde vilde nemlig Kali kunne bevirke, at saavel Cu (0H), som Sukker er tilstede in statu nascendi. Det turde derfor have sin Interesse at undersøge, om saadanne For- bindelser existere, og det ogsaa af en anden Grund. Vi have nemlig: hid- indtil ikke gjort Rede for det Fænomen, at Sukker ved betydeligt Over- skud af Alkali er istand til at opløse mere Cu (OH),, naar Cu SO, tilsættes for Alkali, end efter. Indgik nu Sukker kemiske Forbindelser med Cx S0,, vilde det være i den mest intime og direkte Berørelse med det ved den paafølgende Tilsætning af KOH dannede Cu(OH),; at da en kemisk For- bindelse med større Kobbergehalt lettere kan opstaa, end naar KOM til- sættes først, turde være indlysende. III. I Vand uopløselige Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali kunde ikke paavises. Vi have hidtil antaget som givet, at det permanente Bund- fald, der i den alkaliske Sukkervædske opstaar efter Anvendel- sen af 3—5 mol Cu SO,, er Cu(OH),. Men herfor foreligger hidtil intet bestemt Bevis. Man kunde tænke sig Mulighe- den af, at Bundfaldet foruden Cu (OH), indeholdt en eller anden i Vand uopløselig Forbindelse af samme med Sukker og Kali. For at komme til Kundskab herom have vi i nogle 320 Worm Miller og I. Hagen. Forsøg filtreret disse Bundfald fra gjennem Asbestfiltre,!) omgivne af Is, og udvadsket dem i flere Dage med destilleret Vand. Til 1 mol Sukker sattes 4 mol Cu SO, og 16 mol KOH; Overskuddet af Alkali altsaa 8 mol. Bundfaldet udvadskedes mange Gange i Løbet af 24 Timer, indtil Filtratet ikke længere reagerede alkalisk, og den blaa Farve var forsvunden. Udvadskningen fortsattes endnu i 36 Timer, og derpaa blev saavel Bundfaldet som det farveløse Filtrat undersøgt paa Sukker. Bundfaldet opløstes i høist fortyndet Saltsyre og deltes i to Dele. Den ene Del tilsattes Kali i Overskud, hvorved der erholdtes en ikke ganske klar blaa Vædske, der efter stærk Kogning blev affarvet under Udskillelse af sort Kobberoxyd. Da man ved Tilsætning af Kali erholdt en blaa Opløsning, maatte Bundfaldet have indeholdt en Substants, der i Lighed med Sukker hindrede Kobberoxydets Udfældning i alkalisk Vædske. Man kunde derfor formode, at dette var Sukker, og at det var det i Væd- sken i ringe Mengde suspenderede Cu(0H)z, som maskerede Reaktionen. For at komme til Kundskab herom behandledes den anden Prøve med en alkalisk Seignettesaltopløsning af samme Koncentration som den, der an- vendes til Fehlings Vxdske.?) Forst efter, længere Tids Ophedning viste der sig svag Antydning til Reduktion, idet der paa enkelte Steder af Glasset udskilte sig et tyndt, smudsigt rødligt Beleg. Reduktionen var saa svag, at man med Sikkerhed kunde paastaa, at Bundfaldet kun inde- holdt minimale Spor af Sukker, og at Grunden til, at der erholdtes en blaa Vædske ved Tilsætning af Alkali, ikke kunde skyldes Tilstedeværel- sen af dette Spor, men af en anden Substants, som vi ikke nærmere har undersøgt. Den opleselige Dobbeltforbindelse af Sukker med Cu(0H), og KOH var altsaa omtrent fuldstændigt udvadsket. — Det farveløse alkali- fri Vadskevand koncentreredes paa Vandbad, tilsattes et Par Draaber Cu 50,-Opløsning og alkalisk Opløsning af Seignettesalt samt kogtes. Ingen Reduktion. Det samme Forsøg gjentoges med 1 mol Sukker, 4 mol 0480, og 18 mol KOH. Bundfaldet udvadskedes i dette Tilfælde, efterat Filtratet ikke længere reagerede alkalisk, blot i 20 Timer. Resultatet var her omtrent det samme som i foregaaende Forsøg; ved Tilsætning af Kali i Overskud til den saltsure Opløsning af Bundfaldet erholdtes nemlig en blaa — i dette Tilfælde saagodtsom fuldstændig klar — Vædske, der ved Kognin *) Papirfiltre ere her mindre tilraadelige, da et Overskud af Alkali ved længere Berørelse angriber Papiret, hvorved der kan dannes Substant- ser, som forstyrre Reaktionen. ?) kfr. Archiv for Mathem. og Naturvidensk. III B. S. 66. Om Forbindelser af Druesukker med Kobberoxyd og Kali. 321 udskilte sort Kobberoxyd; dog var Antydningen til Reduktion ved Anven- delse af alkalisk Seignettesaltopløsning noget tydeligere end i foregaaende Forsøg. Sukkermængden i Bundfaldet var i ethvert Fald minimal. Det farveløse Vadskevand gav et yderst svagt Spor af Reduktion efter Kogning og nogen Henstand. I det følgende Forsøg anvendtes 1 mol Sukker, 5 mol CuSO, og 20 mol KOH. I dette Tilfælde varede Udvadskningen, efterat Filtratet var blevet farveløst, i 36 Timer. Bundfaldet indeholdt kun utydelige Spor af Sukker, maaske end mindre end i det nærmest foregaaende Forsøg. Der- imod var Reduktionen i Vadskevandet noget tydeligere. Efter disse For- søg maa man antage, at det permanente Bundfald ikke indeholder (i Vand uopløselige) Dobbeltforbindelser af Sukker, Kobberoxyd og Kali. Man kunde mod de foregaaende Forsøg indvende, at Bund- faldet under den lange Udvadskning lidt efter lidt var dekom- poneret. Herfor taler Tilstedeværelsen af hin Substants, der holdt Cu(OH),. oplest i den alkaliske Vædske; thi denne maa være dannet ved Dekomposition. Muligheden af, at. Bundfaldet ved Siden af Cu(OH), fra først af havde indeholdt en i Vand uopløselig Forbindelse af Druesukker med Kobberoxyd og Kali lader sig derfor ikke uden videre bemegte. Denne Indvending taber imidlertid sin Vægt ved det følgende Forsøg, som klar- ligen viser, at den væsentlige Grund til, at Bundfaldene inde- holdt Spor af Sukker, var Udvadskningen og ikke Dekompo- sitionen. Forskjellen imellem dette og de forrige Forsøg var den, at der her anvendtes en langt mindre Mængde Vadskevand, idet Bundfaldet kun blev udvadsket en Gang, efterat Vadske- vandet næsten var bleven farveløst. I dette Tilfælde fandtes en ikke ringe Mengde Sukker i Bundfaldet, uagtet Betingel- serne for Dekomposition vare mindst ligesaa gunstige som i de foregaaende Forsøg, thi Bundfaldet forblev paa Filtret endog i noget længere Tid end i disse, nemlig over 72 Timer. 1 mol Sukker tilsattes 5 mol Cu SO, og 18 mol KOH. Bundfaldet blev kun udvadsket i det Hele 3 Gange i Løbet af 72 Timer; efterat det var. bleven opløst i MC, tilsat alkalisk Seignettesaltopløsning og ophedet til Kogning, blev Vædsken gronlist uklar af fint suspenderet Kobberoxydul- hydrat, der lidt efter lidt afsatte sig med gul Farve. Reduktionen viste Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3 B. 3 H. 21 322 Wort Mulier og I. Hagen. sig altsaa her meget mere udtalt, dog var ogsaa i dette Tilfælde en stor Mengde Kobber oplest i Vædsken. Det sidste Vadskevand tilsattes lidt fortyndet Saltsyre og koncentreredes paa Vandbad, det gav med Kali og nogle Draaber Kobbervitriolopløsning tydelig Reduktion; Bundfaldet var altsaa ikke fuldstændigt udvadsket. Dette Forsøg godtgjør, som det synes, Usandsynligheden af den Antagelse, at den væsentlige Grund til, at man i de foregaaende Forsøg kun fandt Spor af Sukker i Bundfald og Vadskevand, skulde være den, at det 1 pund indeholdte Sukker var dekomponeret. Resume. Det permanente Bundfald, som opstaar å en Sulckeroplosning, der indeholder Alkali å Overskud, ved Anvendelse af 4—5 mol Cu SO, paa 1 mol Sukker, bestaar af Cu (OH), og indeholder ingen (i Vand uopleselig) Dobbeltforbindelse af Sukker-Kobberoxyd-Kali. Efterskrift. Under Gjennemlæsningen af Korrekturen ere vi blevne op- mærksomme paa, at Claus i Kolbes Journ. f. prakt. Chem. N. F. Bd. 4. 1871. S. 96 har givet en foreløbig Notits om nogle Forseg for at bestemme Kobberoxydets Opløselighed i alkaliske | Druesukkeroplesninger, efr. «Soweit meine noch nicht abge- schlossenen Untersuchungen reichen, vermag ein Mol. Zucker nieht weniger als 3 Mol. Kupferoxyd zu lösen — aber für die Aufnahme eines jeden Mol. des letzteren ist die Gegenwart einer ganz bestimmten Menge freien Alkalis nothwendig, eine Beob- achtung, die so eigenthümlich ist, dass sie ein eingehenderes Studium geboten erscheinen lassen muss.» Nogen senere ud- førlig Meddelelse over denne Gjenstand fra aus s Haand har vi ikke kunnet finde. Or UNDERSLAGTEN LANIUS MED SARLIGT HENSYN PAA DENS NORSKE ARTER. AF LEONHARD STEJNEGER. ee: Slegt Lanius er bleven delt i flere forskjellige, hvoraf nogle har vundet almen Borgerret, medens andre igjen er bleven snart forkastede, snart antagne. Saaledes har man af de hos os forekommende Laniine gjort excubitor til Repræsentant for en, collurio for en anden Slægt eller Underslægt. For begge disse Grupper er Navnet Lanius bragt i An- vendelse af forskjellige Forfattere, idet nogle har gjort eacubitor til Type for Slægten Lanius i snævreste Betydning, og med Boje (1826) kaldt den anden Gruppe, hvortil collurio hører, Enneoc- tonus (Kaup gav i 1829 den samme Gruppe Navnet Collurio), medens Vigers (1831) valgte Benævnelsen Lanius for collurio med Samslægtninger og opstillede for ewcubitor-Gruppen Navnet Collurio, der i Betragtning af Kaups tidligere Anvendelse af samme for den anden Gruppe af senere Forfattere ombyttedes med Möhrings Collyrio. De Forskere, som følger Vigers's Exempel, paaberaaber sig Linné, der i sin X Udgave (1758) (hvilken de — og vistnok med Rette — vælger til Udgangspunkt) skal have opstillet Ar- ten cristatus som Type for Slægten Lanius, idet han opfører nævnte Art som Nr. 1, hvorfor denne fremfor alle andre ber DE 324 à L. Stejneger. føre Slægtnavnet, medens ewcubitor, som hører til en anden Slægt, altsaa maa tildeles en anden Benævnelse. Sundevall har i sin Tentamen methodi avium disponenda- rum p. 18 in not. paapeget det uholdbare i denne Anskuelse. Først og fremst paatrænger sig den Bemærkning, at Linné ikke kjendte typiske Arter i den Betydning, hvori vi tager Begrebet, dernæst at det Nummer, Arten har faaet, aldeles ikke har til Hensigt at angive dens større eller mindre Berettigelse til at bære Slægtsnavnet. At cristatus saaledes i Udgaven af 1758 staar nævnt først, har ingen Betydning, thi allerede i XII — Udgave (1766) staar en anden Art som Nr. 1. Heraf fremgaar tydeligen, at Rækkefølgen er temmelig tilfældig. Men mest afgjerende ter dog den Betragtning være, at det ikke vil være muligt konsekvent at gjennemføre Antagelsen af Nr. 1 som Type, uden at vende op og ned paa den hele Nomenklatur og volde en grænsesløs Forvirring, da i saa Fald en stor Del vel- kjendte Navne maatte ombyttes. Plectrophanes maatte da vige Pladsen for Emberiza, fordi mivalis er nævnt først, Dolichonyæ for Fringilla, da oryzivora er Nr. 1 og coelebs først Nr. 2; saaledes maatte Nattergalen fremtidigen kaldes Motacilla luseinia, Brushanen Trim ga pugnax, den skarlagenrøde Ibis Scolopax rubra, Paafugltranen Ardea pavonina, Svanen Anas cygnus, osv. Af de anførte Exempler fremgaar tydeligt, at det ikke gaar an at anse den først opførte Art som fortrinsvis beret- tiget til Linné's Slægtnavn, Det er vel neppe Tvivl under- kastet, at Slægtsnavnene Aquila, Cygnus og mange til dem er givne fuldstændigt i Linnés Aand, hvorom allerede hans Syst. nat. ed. I (4735) er et tydeligt Vidnesbyrd, uanseet den Kjends- gjerning, at deres Typer af Linné er opførte som Nr. 1 i Slæg- ter med andre Navne. Naar vi altsaa er kommet til det Resultat, at Rækkefølgen i «Systema naturalis» ingensomhelst Betydning har lige over for Spørgsmaalet, om hvilke Arter der ved Delingen af et lin- néansk genus fortrinsvis skal bære det af Linné givne Slægts- 325 Underslægten Lanius. navn, har vi kun at felge den bekjendte Prioritetsregel, hvor- efter Bojes Enneoctonus som det ældste maa beholdes for de korthalede Lanii. Excubitor og de med den beslægtede Arter vil altsaa, hvad enten man skiller dem ud som egen Slægt eller ei, komme til at føre Navnet Lanius. Meget synes imidlertid at tale for Anbringelsen af de hos os forekommende Arter i to Underslægter. En neiagtig Sam- menstillen af begges afvigende Karakterer vil vise det begrun- dede ı en subgenerisk Adskillelse. Lanius | Enneoctonus Næb stærkt. | Neb svagere. Vingerne rundede; Iste Haandsvingfjær halvt saa lang som den længste; 2den kortere end 5te. Halen lige lang som Vin- Vingerne mindre runde, idet Iste Haandsvingfjær kun er en Trediedel saa lang som den længste; 2den længere end Dte. Halen kortere end Vingen, tvær eller afrundet. gen, stærkt kileformig. De to Underslægters Synonymi stiller sig efter det fore- gaaende saaledes: Enneoctonus Boje. < 1758 Lanius Linn. Syst. nat. X tom. I Pag. 93. < 1826 Enneoctonus Boje, Isis 1826. 2 Pag. 973. > 1829 Collurio Kaup, Entw. Eur. Thierw. = 1867 Enneoctornis Layard, Bixds. S. Afr. Pag. 158 (fide Giebel). Lanius Lin. < 1758 Lanius Linn. Syst. nat. X tom. I. Pag. 9. 326 L. Stejneger. — 1831 Collurio Vigers, Proc. Zool. Soc. Lond. 1831. Pag. 42 (nec Kaup)’). = 1855 Collyrio G. R. Gray, Catal. of Genera (fide Sundev. Tent. P. 18). Nogle til Underslegten Lanius. a!) Dobbelt Vingeflæk. b!) Yderste Par Styrfjær næsten rent hvide. c!) Overgump graa, af Ryggens Farve. 1. excubitor Lin. 1758. c?) Overgump hvid eller hvidagtig. 2. homeyeri Cab. 1873. b?) 3 yderste Par Styrfjær rent hvide. 3. sphenocercus Cab. 1873. a?) Enkelt Vingeflæk. b!) Yderste Par Styrfjær sorte og hvide. ce!) Undertiden hvid, med eller uden mørke Bølgelinier. d*) Det hvide paa Armsvingfjærenes Indfane skarpt afgreendset mod det sorte; Haleroden uden hvid Plet. 4. bairdi Stejneger 1878. d?) Det hvide eller graa og det sorte paa Armsving- fjærenes Indfane ikke skarpt afgrænset; Hale- roden med hvid Plet. el) Den hvide Flæk paa Haandsvingfjærene ræk- ker næsten saa langt som Spidsen af 1ste Haandsvingfjær. 5. eæcubitoroides Sw. 1831. e?) Den hvide Flæk paa Haandsvingtjerene rækker ikke saa langt som Spidsen af 1ste Haandsvingfjær. f!) Ingen hvid Stribe over Øiet. 1) Giebel har i sin Thesaurus Ornithologiæ I p. 738 feilagtigen angivet Kaup's Collurio som sammenfaldende med Vigers's. Underslægten Lanius. 327 6. Zudovicianus Lin. 1766. f?) Over Diet en hvid Stribe. gt) Under Øiet en hvid Plet. 7. borealis Vieiel. 1807. g?) Ingen hvid Plet under Qiet. 8. major Tall. 1811. c?) Undersiden lys vinrød. 9. meridionalis Temm. 1820. ce?) Undersiden askegraa. 10. algeriensis Less. 1839. b?) Yderste Par Styrfjer rent hvide. c!) Næb sort. d!) Overgump graa. 11. elegans Sw. 1831. d?) Overgump hvid. 12. leucopygus Hempr. & Ehr. 1828. c?) Neb blegt, horngult. 13. pallidirostris Cass. 1851. De graa Laniers geografiske Udbredning er ganske interes- sant. I den gamle Verden indtager de 3 Arter, der har dob- belt Vingeflæk, de mellemste Egne, medens der baade søndenfor og nordenfor forekommer Arter med kun enkelt Vingespeil. Lanius eæcubitor er den vestligste af de 3 Arter, homeyeri den mellemste, medens sphenocercus, der er adskilligt afvigende, er den østligste Form. De to sidste Arter blev først beskrevne af Prof. Dr. Jean Cabanis i Journal für Ornithologie 1873 pag. 75—76. L. sphe- nocercus, der især skal udmærke sig ved sin lange stærkt kile- formige Hale og den store Udbredelse af den hvide Farve paa samme, kjender jeg ikke af Autopsi. Derimod har jeg i min Sam- ling et Exemplar af den anden Art, og da jeg intetsteds har - seet en udførlig Beskrivelse af denne, tillader jeg mig her at meddele en saadan. 328 L. Stejneger. “ Lanius homeyeri Cab. Syn: 1871 Lanius major Sharpe & Dresser, Birds of Eur. part. II sp. 4 p. 2 (nec Pallas). 1873 Lanius homeyeri Cab. Journ. f. Orn. 1873 p. 75. 1873 Lanius leucopterus Severzow (vide Journ. f. Orn. 1875 på 179) Hab. Syd-Ost-Europa; Mellem-Asien. Coll. Stejneger Nr. 229. (9 Syd-Rusland: Omegnen af Astrakan (?); April). 3die og 4de Haandsvingfjær lige lange og længst; 2den lige lang som Gte. Oversiden lyst askeblaa, Overgumpen graaagtig hvid, og de øvrige Haledækfjær næsten rent hvide; Panden lysere end det øvrige Hoved; en temmelig bred hvid Streg fra Panden over Øinene. Fra Næbroden gaar et sort Baand gjennem Øiet til Bagøretrakten. Hele Undersiden, Aksillarfjærene indbefattet, rent hvid uden mørke Tverlinier. Vinger og Hale sorte med hvide Tegninger; det hvide paa Vingerne strækker sig længere hen mod Spidsen end hos eweubitor, og Vingespeilet blir derved større; især er dette fremtrædende ved Armsvingfjerene, idet paa 1ste Armsvingfjær det hvide strækker sig længere end Spid- sen af de længste store Haanddækfjær, medens hos eæcubitor det hvide sammesteds kun naar til Spidsen af de korteste, nær- mest Armsvingfjærene liggende, store Haanddækfjær; herved frembringes hos homeyeri et sammenhængende hvidt Baand tværs over de sammenfoldede Vinger, medens det hvide hos excubitor ved sammenfoldede Vinger optræder som to adskilte hvide Plet- ter; det hvide paa Halen snarere mindre udbredt end hos de to Exemplarer af eæcubitor, som jeg har foran mig, og det uagtet det ene af disse synes at være en yngre g med tydelige mørke Bølgelinier paa Undersiden. Undre Vingedækfjær hvide med Undtagelse af de undre store Haanddækfjær, der er blegt brunagtigt graa, adskilligt lysere end de samme Fjær hos exeu- bitor. Neb og Ben sorte. Neebbet lidt større og grovere end hos eæcubitor: (1) dets Underslægten Lanius. 329 Længde fra Pandeskillet i ret Linie til Overnæbbets Spids 17 mm, (2) langs Ryggen 19 mm; (3) fra Næseborene til Over- næbbets Spids 13 mm; (4) fra Mundvigen til samme 25*/2 mm; (5) til Undernæbbets Spids 24 mm; (6) fra Hagevinkelen til samme 13 mm; (7) Overnæbbets Heide ved Næseborenes Frem- kant 6 mm; Vingerne 112 mm; Halen 107 mm. Til Sammenligning hidsættes Maalene af ovennævnte to Exemplarer af ewcubitor i samme Rækkefølge. Næbb in- æbbet Vin-| ga. à SE | Jen 1 2 3 4 5 6 7 | ne homeyeri; Rusland. . . 117 |19 13 1251224 113 6 |112| 117 | mm. exeubitor; Bergen . . . |15'/217'/212*/2(24 (1921/2191) 5 | 116 | 110 | mm. exeubitor; Aachen. . . (16 |19 12224 [28 |12 | 5 |112| 107 |mm. Arten er efter dette heist nærbeslægtet med eweubitor, fra hvilken den kun kan skjelnes ved den lysere Overgump og det hvide Vingespeils større Udstrækning. Prof. Cabanis anfører desuden som Skjelnemærke, at ogsaa paa Halen det hvide har en større Udbredning end hos eæcubitor, men som det af Beskri- velsen vil sees, er dette ikke Tilfældet med mit Exemplar. I det hele synes Halens Farve hos de her omhandlede Arter at variere med Alderen. T den nye Verden forekommer kun Arter med enkelt Vingeflæk. Da jeg i min Samling ikke har mere end et Ex- emplar af Lanius borealis og et af ludovicianus, har jeg ikke været istand til at fælde nogen Dom i Spørgsmaalet om eæcu- bitoroides og ludovicianus er distinkte Arter eller ei. Jeg har derfor fulgt Baird i Stedet for Dresser og Sharpe, da det i saadanne Tvivlsmaal er mindre farligt at dele en Art i to end at slaa to gode sammen til en. Endnu mindre kan jeg lige 330 L. Stejneger. over for Prof. Bairds udferlige Beskrivelse og bestemte Paastand om Artens Berettigelse (Review of American Birds p. 444), være enig i at slaa hans elegans i Hartkorn med excubitoroides og ludovicianus, saaledes som Dresser og Sharpe vil (Proc. Zool. Soc. Lond. 1870 p. 595), førend der foreligger utvetydige Beviser for Artsidentiteten. Da det nu er godtgjort at Sykes's lahtora er Swainson’s elegans og at dette Navn er ældre end hint, der altsaa synker ned til et blot Synonym under den gamle Verdens elegans Sw., tiltrænges et nyt Navn for den nordame- rikanske Art, og foreslaar jeg derfor at kalde den for “Lanius bairdi. x Syn. 1840 Lanius elegans Nuttall. Man. I p. 287 (nec Swains.) 1858 Collyrio elegans Baird, Birds ofN. Am. XXXV. 1864—66 Collurio elegans Baird, Rev. of N. Am. Birds p. 444. Efter dette vil Synonymien stille sig saaledes for yLanius elegans. 1831 Lanius elegans Swains., Faun. Bor. Am. II p. 122 (nec auct. amerie.) me 1832 Lanius lahtora') Sykes, Proc. Zool. Soc. Lond. 1832 p- 86. 1854 Lanius orbitalis Hempr. & Ehr. in Licht. Nomenel. Av. p. 12. Det vil imidlertid være af Interesse med Sikkerhed at er- fare, om Swainsons Typeexemplar er denne Art, eller om det — hvad der rigtignok ikke er sandsynligt skulde høre til lew- copygus Hempr. & Ehr. En g ad af L. elegans samlet af W.N. Chill i Sultanpur i Hindostan 79/1 76 er i min Samling. 1) Ikke Zathora som J. R. Gray skriver i sin «Handlist» (1869) I p. 391. Underslægten Lanius. 331 I sin «Zoographia Rosso-Asiatiea» beskrev Pallas 1811 en graa Lanius med enkelt Vingespeil under Artsnavnet major. Frem igjennem Tiden blev den imidlertid slaaet sammen med excubitor indtil Cabanis i 1873 drog den frem af dens ufortjente Forglem- melse, idet han samtidigt for første Gang paaviste dens Fore- komst i Europa. Da Opmærksomheden først var henledet paa den, hørte man snart om Exemplarer nedlagte fleresteds i Tyskland, i Sve- rige og nylig i Østerrige. Jeg er saa heldig at kunne paavise . dens Forekomst i Norge, idet jeg har to Exemplarer af denne Art foran mig, et skudt her ved Bergen og et ved Tvedestrand (?) begge i 1877, og indføre den i den norske Fauna. Det første af de her nævnte Exemplarer opbevares paa Bergens Museum, det andet i den herværende Latinskoles Samling. Den besynderlige Udbredelse, Lanius exeubitor angaves at have her i Landet, idet denne centraleuropæiske Form skulde forekomme talrigere nordenfjelds end søndenfjelds ja endog ruge i Østfinmarken, havde allerede paa Forhaand indgivet mig Tro paa, at den nordenfjelds forekommende Varsler vilde vise sig at være major. Efterat jeg nu har erholdt Vished for denne Arts Forekomst i Landet, tør jeg med temmelig Bestemthed paa- staa, at den nordenfjeldske Rugefugl vil vise sig hørende hid. Jeg skal derfor tillade mig specielt at bede Fuglekyndige 1 det Trondhjemske have sin Opmerksomhed "rettet paa dette Punkt, og vilde jeg være i høieste Grad forbunden for Meddelelser i denne Retning. Til Veiledning ved Bestemmelsen vedføier jeg en udførlig Beskrivelse af denne for Faunaen nye Art, og skal jeg til Slut- ning meddele en Sammenligning med eæcubitor. 7 Lanius major Pall. Syn. 1811 Lanius major Pall. Zoogr. R. Asiat. I p. 401. 1853 Lanius mollis Eversen. Bull. Soc. Nat. Mose. XX VI sec. part. p. 498 (fide Ca- banis). 332 - L. Stejneger. Syn. 1855 Lanius borealis Brehm. Vogelf. p: 82 (nee Vieill.) Lanius excubitor auct. europ. (ex. gr. Gloger, Schlegel, Nilsson, Degland & ÿ Gerbe, Dresser & Sharpe etc.) part. (nec Linn.) Berg. Mus. (9 skudt ved Bergen 22 Oktober 1877 af Kjebm. N. Schumann). 4de Haandsvingfjær længst, Nr. 3 = Nr. 4, 2den imellem 6te og 7de. Hele Oversiden, Overgumpen indbefattet, rent askeblaa; Panden hvidagtig langs Næbranden; over Øiet en smal hvid Streg; de længste Skulderfjærs Spidser svagt smudsigt hvide. Undersiden hvid, Forbryst og Bryst med tydelige brungraa tværsløbende Bølgelinier i en indbyrdes Afstand af omtrent 3—4 mm; Aksillarfjærene graa. Fra Næbroden gjennem Øiet til bag Øretrakten et bredt sort Baand af intens Farve; over Øiet viser sig kun en fin sort Stribe, under samme er Baandet bredt, intetsteds afbrudt af hvidt. Vinger og Hale sorte med hvide Tegninger; Haandsvingfjærene ved Roden rent hvide, hvad der dog kun med Vanskelighed lader sig opdage paa Yder- fanen af Nr. 1; herved opstaar en 10 mm lang hvid Plet paa paa de sammenlagte Vinger; Nr. 7—10 har ogsaa smale hvide Kanter i Spidsen; Armsvingfjærene rent sorte lige til Roden, men med hvide Spidser, der paa trediesidste er 5 mm paa det bredeste; paa Indfanen gaar, undtagen hos de to sidste, i den ydre Længdehalvdel den sorte Farve lidt efter lidt over i brun- agtigt graat, der mod Roden blir lysere og skarpere begrænset. Første Par Halefjær har Indfanens Rodhalvdel (med Undtagelse af en liden hvid Plet ved Roden) saavelsom en smal Stribe i — Udfanen langs Skaftet tilligemed dette selv i største Delen af dets Længde sort; paa de følgende Styrfjær aftager det hvide efterhaanden ind mod de midterste, saa at disse sidste kun har en ganske smal hvid Eg i Spidsen. Undre Vingedækfjær graa, de store undre Haanddækfjær mørkest. Næb og Ben sorte. Næbbets Længde fra Pandeskillet i ret Linie til Overnæb- Underslægten Lanius. 333 bets Spids 17 mm, langs Næbryggen 19 mm; fra Næseborene til Overnæbbets Spids 13 mm; fra Mundvigerne til samme 24, til Undernæbbets Spids 221/2 mm; fra Hagevinkelen til samme 13 mm; Overnæbbets Høide ved Næseborenes Fremkant 5*/2 mm; Vingerne 109 mm; Halen 108 mm; Tarsen 26 mm; Mel- lemtaa uden Klo 16 mm. Berg. Latinsk. Saml. (Tvedestrand (?) 1877) 4de Haand- svingfjær længst, Nr. 3 næsten lig No. 4, længere end Nr. 5, 2den lig 6te. Ligner ovenfor beskrevne Exemplar undtagen 1 følgende Punkter: Hele Undersiden er rent hvid uden mørke Bølge- linier; den hvide Vingeplet er et Par Millimeter længere; første Armsvingfjær har tæt ved Roden inde ved Skaftet en liden af Dækfjærene aldeles skjult hvid Plet i Udfanen; Armsvingfjæ- renes Rande i Spidsen kun ganske smalt kantede med brunag- tigt graat; paa de fire yderste Par Styrfjær har det hvide en større Udbredelse baade i Spidsen og ved Roden end hos fore- gaaende, derimod er det mindre paa 5te Pars Spids, og mellemste Par mangler aldeles hvid Spids. Undernæbbet ved Roden blegt hornfarvet. : Næbbets Længde fra Pandeskillet i ret Linie til Overnæb- bets Spids 16 mm; langs Næbryggen 18 mm; fra Næseborene til Overnæbbets Spids 121/2 mm; fra Mundvigerne til samme 24°}, til Undernæbbets Spids 23 mm; fra Hagevinkelen til samme 13 mm; Overnæbbets Heide ved Næseborenes Fremkant 5"/2 mm; Vingerne 112 mm; Halen 113 mm; Tarsen 25 mm; Mel- lemtaa uden Klo 16 mm. Det her beskrevne Individ er rimeligvis efter den rent hvide Underside at dømme en gammel g. De ovenfor beskrevne Exemplarer har jeg sammenlignet med Nr. 228 i min Samling. Dette Specimen er fra Rusland og har ren hvid Underside uden Bølgelinier. Det stemmer saa- ledes i alt væsentligt med Latinskolens, kun er det hvide paa ‘Halen af noget mindre Udstrekning; endelig — og det er det 334 L. Stejneger. vigtigste — viser de 3 første Armsvingfjær svage Spor til hvide Pletter i Udfanen inde ved Roden. Da vi altsaa her har med to Exemplarer med ren hvid Under- side uden Bølgelinier, altsaa sandsynligvis gamle Hanner, at gjøre, og begge disse viser Spor til en skjult hvid Plet ved Roden af de første Armsvingfjær, medens det tredie Individ med bølgetegnet Underside aldeles mangler endog den ringeste Antydning til en saadan Plet, synes det at være urigtigt, naar Hr. V. v. Tschusi-Schmidhofen (Mitth. des Orn. Ver. in Wien 1878 p. 30) antager, at major i intet Tilfælde kan have Spor af hvidt ved Roden af Armsvingfjærene. Dette synes snarere at være individuel Variation underkastet. Sammesteds antyder v. Tschusi, at de gamle Individer af major har yderste Styrfjær næsten ganske hvid, og at jo yngre Fuglen er, desto mere sort findes paa første Par Styrfjær. Han antager imidlertid ligesom | jeg den renhvide Underside for Tegn paa en gammel Fugl, men begge de ovenfor beskrevne har omtrent lige meget sort som hvidt paa titnævnte Fjær. Som tidligere omtalt er Lanius major indtil 1873 blevet sammenblandet med andre Arter. Først og fornemmeligst med " Lanius excubitor, med hvilken den imidlertid intet har at gjøre, og fra hvilken den let kan adskilles, dernæst ogsaa med den sydeuropæiske, nærstaaende meridionalis Temm. og den endnu nærmere beslægtede nordamerikanske borealis Vieill. Begge disse Arter har nemlig enkelt Vingeflæk ligesom major. L. meridionalis lader sig dog meget let adskille ved den meget mørkere Overside, de graa Kropssider og den lyst vinrødt farvede Underside. Baade med denne Art og med den nær- slægtede L. algeriensis Less., der har Undersiden omtrent af Ryggens Farve, har jeg havt Anledning til at sammenligne major, da jeg er saa heldig at besidde Exemplarer af begge Arter i min Samling. Den, som kan forvexle dem, har ikke seet dem ved Siden af hinanden. Fra den nordamerikanske Art L. borealis Vieill, er major Underslægten Lanius. 335 imidlertid vankeligere at skjelne. Et yngre Exemplar i Vinter- dragt (Coll. Stejneger Nr. 692) fra Omegnen af New-York viser dog ikke ubetydelige Afvigelser. Oversidens graat er temmelig stærkt opblandet med brunt, Overgumpen kjendeligt lysere og renere farvet, Skulderfjærene gulagtigt anstrøgne. Det sorte Baand paa Hovedets Sider kun tydeligt paa og bag Øretrakten, medens Tøilerne, med Undtagelse af nogle faa men smaa mørkt- farvede Fjær nærmest Øiet, er smudsigt hvide, ligesom der under Øiet findes en tydelig hvid Plet. Ogsaa de Næseborene dækkende Fjær er smudsigt hvide, ikke sorte som hos major, kun Vibrisserne har denne Farve. Undersiden er hvidlig med rødlig graat Anstrøg; paa Jugulum, Bryst og Kropssider brun- graa Bølgelinier, der mangler paa Gula, Abdomen og Crissum. Vingespeilet er adskilligt mindre end hos de ovenfor beskrevne Exemplarer af major; 4de Haandsvingfjær længst, ubetydeligt længere end Nr. 3, der er lengere end 5te; Nr. 2 mellem 6te og 7de. Næbbets Længde fra Pandeskillet i ret Linie til Over- næbbets Spids 17, langs Næbryggen 19 mm; fra Næseborene til Overnæbbets Spids 14 mm: fra Mundvigerne til samme 27, til Undernæbbets Spids 25'/2 mm; fra Hagevinkelen til samme 13 mm; Overnæbbets Høide ved Næseborenes Fremkant 51/2 mm; Vingerne 112 mm; Halen 110 mm; Tarsen 24mm; Mel- emtaa med Klo 15 mm. Habitat. Pallas angiver L. major's geografiske Udbredning saaledes: «In Rossia boreali, omnique Sibiriae frequens, circa Jeniseam et Lenam copiose occurrit,» og ı «Die Wirbelthiere Europa’s» gjengiver Keyserling og Blasius dette med: «hyppig i det nordlige Rusland og Sibirien.» Fer 1873 vidste man dog ikke om noget i Europa nedlagt Exemplar, 1 hvilket Aar Caba- nis (Journ. f. Om. 1873 P. 75) indfører den i den europæiske Ornis efter et Berlinermuseet tilhørende ved Volga nedlagt Exemplar. Et andet fra Rusland er, som ovenfor nævnt, i min Samling. I Journ. f. Om. 1875 P. 232 omtales et i Branden- burg, i samme Blad 1876 P. 211 et i Staufen i Breisgau, sam- 336 L. Stejneger. ‚mesteds P. 222 et ved Bartelshagen i Vorpommern og i samme Blad 1877 P. 110 og P. 219 et paa Helgoland skudt Individ, ligesom Ber. über d. XXI Versammlung d. deutsch. Ornith. Gesellsch. zu Braunschweig 20—23 Mai 1875» P. 21 skal inde- holde Beretning om en i Braunschweigs Omegn skudt Fugl af denne Art. Der kjendes altsaa fra Tyskland 5 Exemplarer. 2den December 1877 erholdt v. Tschusi-Schmidhofen en yngre Han ved Hallein i Salzburg (Mitth. d. Orn. Ver. Wien 1878 P. 30). Schalow omtaler (Journ. f. Om. 1877 P. 200) et Ex- emplar, der angaves at være fra Omegnen af Mailand. Naar hertil føies de 2 Exemplarer, som Meves (Journ. f. Orn. 1875 P. 432) erholdt fra Stockholm og Vermland, og de 2, jeg 1 nærværende Opsats har beskrevet her fra Norge, er dermed opregnet de europæiske Exemplarer, om hvis Fangst noget er offentliggjort. Af Cabanis ansees Arten for en tilfældig Gjæst i Europa, men skulde min Formodning om dens stationære Forekomst som Rugefugle i det nordenfjeldske Norge stadfæste sig, vilde den blive at henføre til vor Verdensdels faste Beboere. Det skulde da rimeligvis vise sig, at Pallas's Angivelse «in Rossia boreali frequens» holder Stik, og at Lanius major er talrigere og mere udbredt i Europa end man hidtil har antaget. Jeg skal dog paa den anden Side ikke undlade at bemærke, at Hr. J. A. Palmén i Helsingfors i Brev har underrettet mig om, at den ikke forekommer i Finland, hvad man i saa Fald skulde ventet. I Øst-Asien antager Cabanis Artens sydlige Udbredning at begrænses af Altai- og Tangnu-Bjergene samt Amur. “Lanius excubitor Lin. Syn. 1758 Lanius excubitor Lin. Syst. Nat: ed. X tom. 1 P. 94. 1816 Lanius cinereus Leach, Cat. M. and Birds. P. 19. . 997 Underslægten Lanius. 331 Syn. 1869 Collyrio excubitor Gray, Handl. of Birds I P. 390. Da de svenske Beskrivelser, som sædvanligvis benyttes her i Landet, dels er ufuldstændige og tillader en Forvexling med major (Nilsson), dels lige til feilagtige (Holmgren), meddeler jeg nedenfor en udførligere Beskrivelse af et norsk Fxemplar. Berg. Mus. (Skudt “ved Bergen d. 10 Oktbr. 1866 af Oberstløitn. Sommerfeldt). 3die Haandsvingfjær lige lang som 4de og længst; Nr. 2 lig 5te. Hele Oversiden, Overgumpen indbefattet, rent askeblaa; Panden og en Streg over Øinene hvidagtige, Skulderfjærene ligesaa; fra Næbroden strækker sig et sort Baand gjennem og under Øiet over Øretrakten til bag denne. Hele Legemets Un- derside tilligemed Aksillarfjær og Hypokondrier rent hvide. Vinger og Hale sorte med hvide Tegninger; baade Haand- og Armsvingfjær er ved Roden hvide, men da denne Farve paa . de første Armsvingfjer ikke strækker. sig længere end Spidsen af de nærmeste store Haanddækfjær, opstaar ikke et sammen- hængende hvidt Baand, men to adskilte store hvide Pletter, hvoraf den øverste i næsten sin hele Udstrækning ligger frem- for den underste; Armsvingfjærene i Spidsen kantede med hvidt, ligesom ogsaa deres store Dækfjær har hvidagtigt randede Spid- ser; {ste Par Svingfjær rent hvide baade i Ind- og Udfane, ligesaa Skaftets Rod- og Spidstrediedel, medens dets midterste Parti er sort; 2det Par ligedan farvet, kun findes en større sort Plet paa Indfanens midtre Trediedel dog uden at naa Skaftet; paa 3die Par har det sorte udbredt sig, saa at Fjærenes Midt- parti og største Del er sort baade i Ind- og Udfane, medens Roden og Spidsen i begge Faner er hvide; paa de følgende Fjær trænges det hvide, jo nærmere mellemste Par, desto læn- gere hen mod Roden og Spidsen, saa at der paa dette kun findes en ganske liden Plet ved hver Ende; undre Vingedæk- fjær hvide, med Undtagelse af de store undre Haanddækfjær, der er brunagtigt graa. Næb mørkt brunfarvet, under ved Roden lysere; Ben sorte. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3 B. 3 H. 29 338 L. Stejneger. Angaaende Dimensionerne se Tabellen under L. homeyeri. Collett angiver Totallengden af 5 Exemplarer, maalte i frisk Tilstand, varierende mellem 250 og 265 mm (Nyt Mag. f. Naturv. 23 B. 1877 P. 114). Sammenlignet med den i Mellemeuropa forekommende viser norske Exemplarer ingen væsentlig Forskjel. | Habitat. Medens man tidligere antog, at denne Art havde en temmelig vid Udbredelse, har de seneste lagttagelser ind- skrænket dens Omraade til det mellemste Europa, idet den i Sydvesten af denne Verdensdel erstattes af meridionalis, i Syd- øst af homeyeri og i Nord og Øst, som jeg tror, at major. Intet- steds forekommer den synderlig talrig, og dens Hyppighed af- tager mod Grænserne af dens Omraade. Saaledes forekommer den kun sporadisk baade i Danmark og de sydlige Egne i Sve- rige og i Norge. Som oftere fremholdt tør Angivelserne om dens hyppigere Forekomst i Skandinaviens nordlige Egne?) rime- ligvis gjælde major. Til Slutning skal jeg give en Sammenligning af de væsent- ligste Karakterer, hvorved Lanius major lettest lader skjelne fra excubitor. 1) «Allmånn midt inne i Lappmarkerna,» Nilss. Sk. Fauna. Fogl. 3 ed. I P. 278; «hyppigst har den vist sig nordenfjelds, hvor den er truffet rugende paa flere Steder i Trondhjems Stift. . . . Mod Nord fore- kommer den endog i Østfinm., hvor den ruger i Tanaelvens Dalfore,» Collett, Norges Fugle, P. 12; «occurs most frequently in the alpine valleys between the Dovrefjeld and the Trondhjemsfjord,» Collett, Remarks etc. p. 12; «i Finmarken saa jeg denne Art paa flere Steder Sommeren 1876 ud til Elvenæs i Syd-Varanger,» Collett, Nyt Mag. i Natury. 23) B218770P 2114: Underslægten. Lanius. N 339 Lanius excubitor Lin. Lanius major Pall. Haandsvingfjerene og Arm- svingfjerene ved Roden hvide, hvorved opstaar to hvide Plet- ter paa de sammenlagte Vinger. Haandsvingfjærene ved Ro- den hvide, Armsvingfjærene ved Roden sorte, hvorved op- staar kun en enkelt hvid Plet paa de sammenlagte Vinger. Yderste Par Styrfjær rent hvide med Skaftets midtre Tre- diedel sort eller med en smal sort Stribe, der ikke naar Fjær- kanten, paa begge Sider af Skaftets sortfarvede Del. Bergen 16de Juli 1878. Yderste Par Styrtjzer sorte, med Udfanen, Indfanens Spids- halvdel og en større eller min- dre Flæk ved Roden af samme Høide. 22* SÄTZE ÜBER MINIMALFLACHEN. IL UEBER DIE IN EINER ALGEBRAISCHEN DEVELOPPABLE EINGESCHRIE- BENEN ALGEBRAISCHEN MINIMALFLÄCHEN. VON SOPHUS LIE. je der vorangehenden Note fand ich durch synthetische Betrachtungen den merkwürdigen Satz, dass sich in eine algebraische Developpable, in die eine algebraische Minimal- fläche eingeschrieben ist, unendlichfach unendlich viele alge- braische Miuimalflächen einschreiben lassen. Ich gab zugleich eine allerdings etwas complieirte Methode zur Bestimmung aller dieser Flächen. In der nachstehenden Note gebe ich zunächst einen di- rekten analytischen Beweis des soeben besprochenen Satzes. Hieran schliesst sich eine elegante Construction der Berüh- rungscurve der vorgelegten Developpable mit einer eingeschrie- benen algebraischen Minimalflåche. Indem ich hiermit die Ergebnisse meiner früheren Unter- suchungen verbinde, erkenne ich, dass sich in die Evolute einer algebraischen Raumeurve immer unendlichfach unendlich viele algebraische Minimalflächen einschreiben lassen. Hier- nach liegt die Vermuthung nah, dass jede um eine algebrai- sche Minimalfläche umgeschriebene algebraische Developpable . die Evolute einer algebraischen Raumeurve ist. Ich verificire indess an einem Beispiele, dass ein solcher Satz nicht besteht. Sätze über Minimalflächen. 341 Da Sei ¢ ein Parameter, dessen verschiedene Werthe den verschiedenen Erzeugenden einer algebraischen Developpable zugeordnet sind. Seien X, Y, Z die Richtungseosinus der Normalen unserer Developpable. Da die zu den Punkten einer Erzeugende gehörigen Normalen parallel sind, so müs- sen X, Y, Z Funktionen von ¢ allein sein. Seien 3, 7, 2, die laufenden Punktcoordinaten der Be- riihrungscurve unserer Developpable mit einer eingeschrie- benen algebraischen Minimalflåche. Ebenso seien 5, 7, 6» die laufenden Punkteoordinaten der Bertihrungscurve einer anderen eingeschriebenen Minimalfläche. Dabei sind sowohl 8171 81 Wie & 79 6, Funktionen von i. Unsere Voraussetzung, dass die erste Minimalfläche die wir als gegeben betrachten, algebraisch ist, kommt darauf hinaus, dass die drei Integrale f ve Se) f Cue, war, f ras, — Xdn,) algebraische Funktionen von ¢ sind. Und die Forderung, dass auch die zweite Minimalfläche, die wir als unbekannt betrachten, algebraisch sein soll, kommt darauf hinaus, dass auch die drei Integrale jean. — Ydé,) feras, LAGS) f (Yds, — Xdn,) 342 Sophus Lie. algebraische Funktionen von £ sein sollen. Diese Forderung ist aber, wenn wir Bo — 51 = Los Mo — M1 = Ya» Go — 61 © 299 setzen und darnach x, y, z, als unbekannte Grössen anstatt &,n, ©, einführen, mit der Forderung aequivalent, dass die drei Integrale fa Ydz,) f (X dr, — Zdx}) (1) f ras, — Xdy,) algebraische Funktionen von & sein sollen. Es ist Xdé,+ Ydn, + Zdé, =0, 3 Xd&,+ Ydn, + Zdé, =0, woraus folgt X dx, + Y dy, + Zdz,=0. Es ist ferner X(&, — 81) + Ym — 91) + Z(6, — 8,1) =9, indem &, — &,, Mo — 715 89 — 8, mit den Richtungscosinus der Erzeugenden proportional sind, und also kommt X0,+Yy,+Z2=0. Endlich sind die Richtungscosinus der Erzeugenden durch eine Relation å, — 61 Ny — te 7) 0 AR Gy Go GR 6 verknüpft, und daher sind die Verhältnisse der Grössen æ, Ya 22 durch die entsprechende Gleichung Le Vala ale eles verbunden. Sätze über Minimalflächen. 345 Unser Problem nimmt somit dureh Einführung der Grös- sen ©, y, 2, als unbekannte Grössen die folgende Gestalt: Man soll drei Grössen æ, y, 2,, deren Verhältnisse durch eine vorgelegte algebraische Relation verbunden sind, in all- gemeinster Weise als algebraische Funktionen einer Hilt Variable bestimmen derart, dass die drei Integrale (1) in de- nen X Y Z durch die Gleichungen å eZ = (Up de, Ydy.. 202,0, A?+Y?+Z°’=1 bestimmt sind, algebraische Funktionen der Hülf-Variable werden. Nach den Entwickelungen meiner letzten Note kann aber diese Aufgabe auch folgendermassen formulirt werden. Vorgelegt ist ein a’gebraischer Kegel Man soll in allgemeinster Weise eine auf dem Kegel gelegene Curve 2, y, 2, bestimmen, derart dass die Minimalfläche, die den Kegel nach dieser Curve berührt, algebraisch wird. Und da diese letzte Aufgabe eben in meiner letzten Note "erledigt wurde, so ist auch die in dieser Note gestellte Aut- gabe als erledigt zu betrachten. Dies giebt durch eine ein- fache Ueberlegung den folgenden Satz: Satz 1. Ist eine algebraische Developpable und eine ein- geschriebene algebraische Minimalfläche vorgelegt, so findet man folgendermassen beliebig viele eingeschriebene algebraische Mi- nimalflächen. Man nimmt eine algebraische Raumcurve, deren Normalebenen mit den Tangentenebenen der Developpable paral- lel sind. Sodann bestimmt man auf jeder Erzeugende der Developpable einen Punkt p, dessen Distanz von dem Berüh- rungspunkte der Erzeugende mit der gegebenen Minimalfläche 344 Sophus Lie. gleich ist dem Krümmungsradius der Raumcurve in demjenigen Punkte, dessen Normalebene parallel mit der Tangentenebene längs der betreffenden Erzeugende ist. Diejenige Minimalfläche, die die Developpable in allen Punkten p berührt, ist algebraisch; und in dieser Weise werden alle derartigen Flächen erhalten. IT: In meiner ersten Note zeigte ich, dass die Minimalfläche, die die Evolute einer algebraischen Raumcurve nach dem Orte der Krümmungs-Mittelpunkte berührt, algebraisch ist. Hieraus ergiebt sich nach dem Vorangehenden der Satz: Satz 2. In der Evolute einer algebraischen Raumecurve- können unendlichfach unendlich viele algebraische Minimalflåchen eingeschrieben werden. | Um eine solche zu finden benutzt man (vergl. Satz I) als Hülfeurve eine beliebige Raumeurve, deren Tangenten paarweise mit den Tangenten der vorgelegten Raumeurve parallel sind. Wählt man insbesondere als Hülfeurve eine Curve, die mit der vorgelegten aehnlich und gleichgestellt ist, so erhält man diejenigen in meiner ersten Note betrachteten Minimalflächen, die die Evolute nach geodätischen Fusspunkt- curven der Rückkehrkante berühren. Ist eine Developpable die Evolute einer algebraischen Raumeurve, so enthält sie bekanntlich zwei algebraische Mi- nimaleurven. Enthält auf der anderen Seite eine reelle De- veloppable eine und in Folge dessen zwei algebraische Minimal- curven, so ist sie die Evolute einer algebraichen Raumeurve. Daher kann der letzte Satz auch folgendermassen formu- lirt werden. | Satz 3. Enthält eine reelle algebraische Developpable eine und in Folge dessen zwei algebraische Minimalcurven, so giebt es unendlichfach unendlich viele algebraische Minimalflåchen, die in die Developpable eingeschrieben sind. Erinnert man, dass eine Minimalcurve, als Ebenengebilde Sätze über Minimalflächen. 345 aufgefasst, eine Minimalflåche ist, so erkennt man, dass der letzte Satz eine unmittelbare Consequenz vom Satze I ist. PET Die Entwickelungen der vorangehenden Nummer führen leicht auf die Vermuthung, dass jede um eine algebraische Minimalflåche umgeschriebene algebraisehe Developpable eine algebraische Minimaleurve') enthält, und somit die Evolute einer algebraischen Raumeurve ist.) Um zu entscheiden, ob diese Vermuthung richtig ist, werde ich die Minimalcurven einer um eine Minimalfläche umgeschriebene Developpable bestimmen. å Sei also vorgelegt eine algebraische Minimalflåche und eine umgeschriebene algebraische Developpable. Ich bezeichne mit æ y z die laufenden Punktcoordinaten der Berührungs- curve, mit a‘ y' z’ die laufenden Punktcoordinaten der Deve- - loppable, mit A u v die Richtungscosinus einer Erzeugende der Developpable, mit X Y Z die Richtungscosinus einer Ebene der Developpable, mit p den Distanz eines Punkt vy z von einem auf der hindurehgehenden Erzeugende gelegenen Punkte x‘ y‘ 2‘, mit dø den Winkel zwischen zwei benach- barten Erzeugenden. Das Bogenelement dS'=V dx" + dy” + dz” wird, wie man leicht findet, bestimmt dureh die Gleichung AGP Tze (das na rd +[pdp + dS?—(A da + u dy + v dz)?|> wo 1) Die Schnittcurve einer Fläche mit der unendlich entfernten Ebene ist eine Minimalcurve. Von dieser evidenten Minimalcurve wird im Texte weggeschen. ?) Henneberg hat bekanntlich gefunden, dass die Evoluten der ebenen alge- ‘ braischen Curven die einzigen Cylinderflåehen liefern, in denen sich alge- braische Minimalflächen einschreiben lassen. 346 Sophus Lie, dx? + dy? + dz° = dS° gesetzt ist. Die auf unserer Developpable gelegenen Mini- maleurven sind daher bestimmt durch die lineare Differential- Gleichung dp Æ (À dæ + u dy + v de) + ip dp + i V dS?— (À dx + p dy + v dz)? = 0, die wir jetzt durch Einführung von zweckmässigen unabhän- gigen Variabeln auf eine einfache bemerkenswerthe Form bringen werden. Unsere Minimalfläche ist bestimmt durch die Differential- Gleichungen . dæ = (1 — s°) F“(s)ds+(1 — 0°) & (6) do, dy =i(1+s?) F"(s) ds +i(1 + 0°) & (6) do, dz = 2s F"“(s) ds + 26 & (0):do; ferner ist X dx + Y dy + Zdz=0, GE APE MN A Lae daher findet man durch eine einfache Rechnung, dass Å 1 — so s—o’ 1+s6 Wen. Ss (6) S+ 0 JA 5 —= 6 MG! X—iY ja X —iY ist. Sätze über Minimalflächen, 347 Längs der Berührungseurve sind s und 6 verbunden durch eine Relation, die 6 als Funktion von s bestimmt. Giebt man daher s einen bestimmten Werth, so erhält man einen be- stimmten Punkt æ y z der Beriihrungscurve, und zugleich eine bestimmte hindurchgehende Erzeugende. Giebt man darnach p einen bestimmten Werth, so erhält man einen be- stimmten Punkt der betreffenden Erzeugende. Man kann daher x‘ y’ z als Funktionen von s und p auffassen, und da nach den Vorangehenden x, y, 2, A, u, v, X, Y, Z, dv Funk- tionen von s und ds sind, so können wir die Grössen s und p als unabhängige Variablen in die Differential-Gleichung der gesuchten Minimalcurven einführen. Es ist jr lee eds (s — 6)° ; ay-; be) et (1+ 8°) do (s — 6)” : — 26 ds + 28 do dZ=— (s — 6} en ferner ist AX+u VE 27-0, AdX+udY+vdZ=0, A+u’+V’=1 also kommt i (1 — 6°) ds + (1 — 8”) do =? 9(s— 06)1/ds do — (1 + 6*) ds — (1 + 5°) do ME 2(s — 6) ds do i . 46ds + 2s do ED (s — 6) |V ds do’ Durch Einsetzung findet man — QI ag (oe) Sophus Lie. 7 .(s — 6) (F' ds? + D" do?) À dx + u dy + v di = — à === Aer V ds do Å dS? = da + dy? + de = — 4 (8 — 6) F & ds dø, /48 d 7 pe de De) ©) V dS? — (à dx + u dy + v de)? = + Ve 1 Endlich muss man auch die Grosse. dp = V (mar —A du)? + (v du — u dv) + (Adv —vdap berechnen. Es ist MA A du _vdu — mdr Adv — vdh_ 2 Ex Y om und 1 s+6 $ — 6 do , ds also kommt KE dos dp sv tlke s— 6 oa as | Durch Einsetzung der gefundenen Werthe nimmt die Differential-Gleichung der gesuchten Minimaleurven die Gestalt 2i(s — 6) FM! 4 do | d(s +6) ds ne ME ds+p| = oe dø 0 do ds ds oder durch Multiplication mit y= 2, å 0 do d(s+6) ae VE +2i(s—o)F ds+ Wk Er und wenn man setzt kommt die einfache Gleichung Sätze über Minimalflächen. 349 du + nn +2i FF" .(s— 6) ds = 0, deren Integral ist d (s + 6) | f° (s + 6) / u=€ ur — 0 SEG | lop sell, au rs dee Diese Gleichung bestimmt die auf der Developpable gele- genen Minimalcurven der einen Schaar. Um die Minimaleur- ven der zweiten Schaar zu erhalten, braucht man nur 7 (s) mit 9'' (6) und s mit 6 zu vertauschen. Es ist auffallend, dass F(s) nur in der Gleichung der ersten Schaar, ® (6) nur in der Gleichung der zweiten Schaar vorkommt. Ich werde jetzt ein specielles Beispiel betrachten. Ich setze voraus, dass die Ebenen der umgeschriebenen Develop- pable constanten Winkel mit der z-Axe bilden; dass also Z = Const, das heisst s+6 — = Const S oO ist. Unsere Annahme kommt darauf hinaus, dass 6 = Ås ist, wo À eine Constante bezeichnet. Ich setze ferner = 1 F(s)=—#,2-1; Sy = (U alsdann sind die Minimaleuryen der einen Schaar bestimmt durch eine Gleichung von der Form 44 u="%" log (8 — a) + A (3), wo A(s) eine algebraische Funktion von s und dem Parame- ter C bezeichnet. 550 Sophus Lie. In dem speciellen von uns betrachteten Falle enthålt daher die betreffende Developpable keine im endlichen Raume gelegene algebraische Minimalcurve. Å -— Hiermit ist, wenn ich nicht irre, der folgende Satz er- wiesen: | Satz 4. Die Evoluten von algebraischen Raumcurven sind nicht die einzigen Developpablen, in denen sich unendlichfach unendlich viele algebraische Minimaljlächen einschreiben lassen. Indem ich schliesse erlaube ich mir die folgende Aufgabe zu stellen: Problem. Wie entscheidet man, ob sich in eine vorgelegte algebraische Developpable algebraische Minimalfiächen einschrei- ben lassen. Hier möge endlich noch die beiden folgende Corollaren unserer früheren Sätze ausdrücklich ausgesprochen werden. a) In eine algebraische Developpable, die eine ebene Kriim- mungslinie besitzt, lassen sich unendlichfach unendlich viele algebraische Minimalflächen einschreiben, wenn die besprochene Krümmungslinie die Evolute einer ebenen algebraischen Curve ist. b) Enthält eine Cylinderfläche eine algebraische geodäti- sche Curve, die nicht eben ist, so ist die Developpable dieser Curve um unendlich viele algebraische Minimalflächen umge- schrieben. Ich nehme zwei Raumcurven, deren Tangenten parallel sind. Ich construire eine Minimalfläche, die in der Evolute - der ersten Curve eingeschrieben ist, indem ich nach den frü- ‘ Sätze über Minimalflächen. 351 heren Regeln die zweite Curve als Hülfeurve benutze. Dar- nach construire ich eine zweite Minimalfläche, die in der Developpable der zweiten Curve eingeschrieben ist, indem ich dabei die erste Curve als Hülfeurve benutze. Die beiden Minimalflächen, die man in dieser Weise erhält, sind Bonnet- schen Biegungsflächen. Juni 1878. ANATOMIE VON LEANIRA TETRAGONA. G. ARMAUER HANSEN. — Mi kann bei diesem Thiere ganz gut 2 oder sogar 3 verschiedene Körpertheile unterscheiden, die theils durch den in jedem enthaltenen Abschnitt des Verdauungskanals theils durch die Anordnung der Muskulatur von einander geschieden sind. Oeffnet man das Thier von Rücken so findet man (T. 1, fig. 1) vom Mundsegment bis Ende des Sten Segmentes die Rüsselröhre (Rr. in der Figur durch Dehnung etwas vorwärts gezogen); von hier bis zum 27ten Segmente liegt im eingezo- © genen Zustande der kräftige Rüssel (R). Das Hinterende des Rüssels ist in den Anfangstheil des Darmes eingestülpt. ‘Am 21ten Segmente befindet sich aber ein kräftiges Dissepiment und hinter demselben fangen die Blindanhänge des Darms an, während der eingestülpte Darmtheil ohne Anhänge ist. Es scheint somit natürlicher die Grenze zwischen Vorder- und Hin- terkörper nicht am hinteren Ende des Rüssels zu suchen, son- dern am Dissepiment am 21ten Segmente. Auswendig hebt sich der Vorderkörper auch hervor, indem der Rüssel hindureh- scheint und auch den Rücken des Thieres hier stärker hervor- wölbt. Å Die Muskulatur ist im Grossen in allen Segmenten gleich angeordnet; die Anordnung erleidet doch im Vorderkörper einige Modificationen. Man hat wie gewöhnlich bei den Anne- Anatomie von Leanira tetragona. 353 liden zwei Längsmuskel am Rücken und zwei am Bauche, die kontinuirlich von Segment zu Segment hinziehen. In jedem Seg- mente giebt es auch jederseits ein Bündel radiärer Muskel (mr), die von der Scheide des Bauchstranges ausgehend hinter jedem Dissepiment fächerartig ausgebreitet zu den Seitenwänden des Körpers hinlaufen (T. IV, Fig. 1 mr). Die oberen Bündel be- festigen sich an der Grenze zwischen je zwei Segmente dicht hinter dem Dissepimente an die Cuticula, die mittleren Bündel gehen in die Füsse hinein um sich an deren Wänden auszubrei- ten, während die unteren sich an der Basis des Fusses befesti- gen (mr). Die Radiärmuskeln entspringen im Hinterkörper dicht an einander in der Mittellinie mit breiter flåchenförmiger Basis und decken daher fast vollständig den Bauchstrang um sich erst im weiteren Verlaufe über einander zu ordnen; im hin- teren Theile des Vorderkörpers weichen die Ursprünge so weit aus einander (T I, Fig. 1 mr,), dass der Bauchstrang mit seiner Scheide ganz unbedeckt bleibt; in den 8 vorderen Segmenten aber rücken die Muskelursprünge wieder so nahe an einander, dass der Bauchstrang hier vollständiger gedeckt ist als im Hinter- körper (T. 1, Fig. 1, mr.) Die Längemuskeln des Rückens weichen ganz vorne aus einander in zwei Bündel, die den dor- salen Vorziehmuskel der Rüsselröhre zwischen sich aufnehmen, (T. 1, Fig. 1, mpd.) und befestigen sich mit dem grössten Theil ihrer Fasern am hinteren Kopfumfang, während andere Bündel - in die Anhänge des Kopfes- und des Mundsegmentes hinaus- laufen. Die Bauchmuskeln biegen zum grossen Theil in die unteren Vorziehmuskeln der Rüsselröhre um (T. II, Fig. 5 mp. v.) und befestigen sich sonst in flacher Ausbreitung am Mund- segment. Die Perivisceralhöhle ist von einer im Alcohol zum ge- ringsten Theil gerinnenden Flüssigkeit erfüllt, die nur wenige kleine, runde Körperchen enthält. Die Höhle streckt sich so- wohl in die eirrenähnlichen Rückenanhänge, wie in die Füsse hinein. Vorne streckt sich das Coelom auch in die gemein- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab 3B.3H. 93 354 G. Armauer Hansen. -schaftliche Basis der Fühlereirren (T. IL, Fig. 1, 3 F.) und in die Palpen (T. II, Fig. 1 & 3 Cl.) hinein sowie als ein schmaler Spalt aufwärts hinter dem Gehirn (T. II, Fig. 1 b., C1). Das Coelom ist überall von einer ziemlich derben Membran begrenzt, welche auch die Dissepimente bildet. Diese bilden im Hinter- körper wie es scheint vollständige Querwände (T. IV, Fig. 1), die oben den Darm an den dorsalen Längsmuskeln befestigen (dsp.), und unter dem Darm eine quere Wand bilden, in der oben ziemlich kräftige, unten nur vereinzelte aus 3 bis 5 Fi- brillen zusammengesetzte Muskelbündel von der einen zur anderen Seitenwand des Körpers verlaufen. Im Vorderkörper gestalten sich die Verhältnisse anders. An der Umbiegestelle des vom Rüssel eingestülpten Darmanfanges befindet sich, wie schon er- wähnt, ein sehr starkes Dissepiment, das die Grenze zwischen Vorder- und Hinterkörper bildet. Von derselben Umbiegestelle und von der Fläche des eingestülpten Darmtheiles gehen schmale Bindegewebsbündel, die Muskelfaser enthalten, vorwärts bis an das 12te Segment und befestigen sich an der Grenze zwischen je zwei Segmente (T. I, dsp,). Disse Bindegewebsbündel müssen - als rudimentäre Dissepimente aufgefasst werden. Weitere rudi- mentäre Dissepimente findet man an der unteren Wand der Leibeshöhle als kleine Falten am vorderen Rande jedes trans- versellen Muskelbünbels (dsp. „). Im vordersten Theil sind diese rudimentären Dissepimente grösser (dsp. ,,) und stehen an den Seiten in Verbindung mit grossen muskulösen. Säcken (v. ?), die wahrscheinlich nichts anderes sind als Gefässerweiterungen. Endlich giebt es ein eigenes Risseldissepiment. Der Rüssel ist von einer losen bindegewebigen Scheide, Fortsetzung der Peritonäalbekleidung des Darmes, eingeschlossen, die vom Vor- — derende des Rüssels sich ablöst, die Rüsselröhre als ein Trichter umgiebt und mit seinem Rande an der Leibeswand ringsum befestigt ist (Rdp.). å Gefässe. Im Hinterkörper giebt es ein Rücken- und ein Bauchgetäss (T. IV. Fig. 1, vd. vv.) das erstere dicht an der. Anatomie von Leanira tetragona. 355 oberen Darmwand hinlaufend, das letztere etwas über den Bauchstrang von den Dissepimenten, die es durchbohrt, in situ gehalten. Das Bauchgefäss schiekt in jedem Dissepiment jeder- seits einen Ast aus und aufwärts ab, dessen weiterem Vorlaufe ich nieht habe folgen können. Wo der eigentliche Darm vorne aufhört, biegt das Rückengefäss rechts, das Bauchgefäss links ab, um den äusseren Rändern der Rückenmuskeln entlang vorwärts zu laufen (T. I, Fig. 1, vd. vv.). Am achten Disse- pimente stossen die Gefässe an die oben erwähnten muskulösen Säcke, ın welche sie wahrscheinlich einmünden. Wie die Ge- fässe sich weiter nach vorne verhalten, habe ieh nicht aus- finden können, da dieselben sehr dünn sind, und farbloses Blut führen; ob das Rückengefäss an den Darm Aeste schickt, habe ich auch nicht entscheiden können. Die das Coelom begrenzende Membran oder das Peritonäum ist eine dünne, fein gestrichelte Membran, in welcher überall Kerne liegen. Die Kerne sind zum Theil scheinbar nackt, zum Theil von mehr oder weniger Protoplasma umgeben. Das Protoplasma ist nur wenig scharf begrenzt, verliert sich in schwache Züge der Strichelung der Membran parallel (T. X, Fig. 3). An gewissen Stellen wird das Protoplasma mächtiger, erhebt sich über das Niveau der Membran und ist mit langen Flimmerhaaren besetzt (T. IV, Fig. 4). Dieses ist besonders der Fall in den cirrenähnlichen Rückenanhängen, in den Füssen, an den Dissepimenten in der Umgebung der inneren Oeffnun- gen der Segmentalorgane und an der Rüsselscheide und dem Riisseldissepiment. Die Anordnung der Flimmerzellen ent- spricht an der Rüsselscheide der Anordnung der in derselben verlaufenden Muskelfaser; wo die Scheide sich ganz hinten vom Rüssel abhebt, liegen in derselben vier fächerförmig aus- gebreitete Muskelbündel, die in ein Netz von ineinander ge- schlungenen jungen Muskelzellen übergehen (T. VII, Fig. 1), und entsprechend der Ausbreitung dieser Muskel ist die Mem- bran mit Flimmerzellen besetzt. Ganz dasselbe Verhältniss 23* 356 G. Armauer Hansen. findet man am Rüsseldissepiment, nur dass hier die Anordnung keine so regelmässige ist. An einigen Stellen haben die Zellen des Peritonäums eine epithelartige Anordnung, nehmlich auf der Adventitia des Bauchgefässes (T. 17, Fig. 10), und auf denWänden der spaltförmigen Verlängerung des Coeloms hinter dem Gehirn. Die Muskelfibrillen, die im Peritonäum (in den Dissepimenten) ver- laufen, sind wie in den Muskeln sonst flache Faser; ein Unterschied im Baue der Muskelfaser findet sich nur insofern, dass, je mäch- tiger die Muskel sind, desto breiter sind die Faser. Dieselben besitzen eine feine Strichelung, die meistens der Längsrichtung der Fasern parallel geht, nur ausnahmsweise eine schräge Rich- tung hat. Kerne in den Fasern zu entdecken, ist sehr schwer; man sieht zwar viele Kerne, wenn man einen Muskelbündel untersucht; ob aber dieselben den Muskelfasern oder dem über- all zwischen demselben vorhandenen Bindegewebe gehören, ist es fast unmöglich zu unterscheiden; wahrscheinlich sind ein Theil der Kerne periferiseh gelegene Muskelkerne, was man aus dem Baue junger Muskelfaser schliessen darf. An solchen sieht man nehmlich sehr gut, dass die faserige oder gestrichelte Muskelsubstanz an der einen Seite der Zelle gebildet wird. (DANIEL SO An der Innenfläche der Rückenmuskeln des Vorderkörpers sieht man mit der Loupe eine feine longitudinale Streifung und ausserdem bei jedem Segment einen diekeren, querlaufenden, weisslichen Streifen, der vom Gefässe auszugehen scheint. Nimmt man hier ein Stück des Peritonäums ab und untersucht bei stärkerer Vergrösserung, sieht man, wie in T, VII, Fig. 3 dar- gestellt, parallele Züge von längslaufenden, dunkeln Streifen und Querzüge, die Aeste in die Längszüge hineinschicken. Die grossen Querzüge können bis an das Gefäss verfolgt werden; sie theilen sich vielfach und enden zuletzt in ein Maschen- werk, demjenigen ähnlich, das oben von der Rüsselscheide be- schrieben wurde. Diese Streifen bestehen ausschliesslich aus langen Zellen (T. VIL Fig. 4); das Gefäss ist von einer Scheide Anatomie von Leanira tetragona. Bon soleher Zellen eingeschlossen, und von dieser Scheide gehen in regelmässigen Abständen die gröberen Querzüge ab. Diese Zellen bin ich, wegen ihrer Achnlichkeit mit den an der Rüssel- scheide vorgefundenen jungen Muskelzellen geneigt, als solche anzusehen, die vielleicht dazu dienen, diesen Theil des Perito- näums, der bei Ein- und Ausstülpung des Rüssels starke Deh- nungen und Verkürzungen erleiden muss, in Spannung zu er- halten. Nach vorne verdickt sich das Peritonäum an der Rückenfläche ganz bedeutend; erstens bildet es einen Sehnen- ring an der Stelle, wo der Rückenmuskel in die zwei Bäuche sich theilt, die den dorsalen Protractor der Rüsselröhre zwischen sich aufnehmen (T. I, Fig. 1 mpd.). Weiter nach vorne hinter dem Kopfe bildet es einen dieken Polster zwischen den an einander stossenden Rändern der beiden Rückenmuskeln und begrenzt nach hinten und unten die spaltförmige Verlängerung des Coc- loms hinter dem Gehirn und geht schliesslich als ein mehr- schichtiges Bindegewebe in die Palpen hinaus (T. II, Fig. 3 Pt.). Der Verdauungskanal fängt vorne an mit der Rüsselröhre, ein weiter Schlauch, dessen Endtheil im eingezogenen Zustande in den Rüssel eingestülpt ist (T. IL, Fig. 5). Am Vorderende ist dieselbe von einer mächtigen Schieht von Ringmuskeln um- ‘ geben, die nach hinten immer düuner wird, und hier von den Längsmuskeln auswendig gedeckt wird. Diese lösen sich am vorderen Drittheil ab und gehen als Protraktoren an die obere und untere Leibeswand (T. II, Fig. 5, mpd. mpv. & mpv.,). Diese Protractoren werden bei ausgestülptem Rüssel als Retrac- toren fungiren. Nach innen ist die Röhre von einer Fort- setzung der äusseren Chitinhaut bekleidet, unter welcher sich eine Lage von grünlich gefärbten Hypodermzellen befindet. Hinter der Röhre kommt der Rüssel, der im eingezogenen Zu- stande von den Seiten flachgedrückt ist mit einer oberen und unteren ziemlich scharfen Kante (T. VI, Fig. 4). Der ausge- stülpte Rüssel aber ist von oben nach unten flachgedrückt und am vorderen Ende mit ca. 24 Papillen versehen (T. VI, Fig. 1 358 G. Armauer Hansen. und 2), und zeigt hinter demselben eine Anschwellung von den Kiefern herrührend. Diese stehen im ausgestülpten Rüssel zwei oben und zwei unten dicht aneinander (T. VI. Fig. 2); im eingezogenen liegen sie weiter aus einander und an den Seitenwänden; ihre Form ist aus der Fig. 3 T. VI ersichtlich. Die Anordnung der Muskulatur des Rüssels sieht man an der Fig 7, T. VI, die einem Längenschnitte entnommen ist. Sie besteht aus Reihen von perpendikulär gegen die innere und äussere Fläche gerichteten kräftigen Muskelbändern (Fig. 7 a), die jede den ganzen Umfang des Rüssels einnehmen, und an- | dererseits von eireulåren Bündeln (Fig. 7, b, b, b,) die zwischen jenen verlaufen. An der Mitte des Rüssels sind diese Cireulär- bündel von weniger Stärke, füllen nur die äussere Hälfte des Raumes zwischen zwei Radiärmuskelbündeln aus; die innere Hälfte dieses Raumes ist an Alcoholpräparaten leer, und wird im Leben wahrscheinlich von Flüssigkeit erfüllt sein. Gegen : beide Enden des Rüssels nehmen die Cireulärmuskeln an Mäch- tigkeit zu, so dass sie hier den ganzen Raum zwischen je zwei Radıärmuskelbündeln ausfüllen; am Vorderende ist die Anord- nung der Muskelfaser dadurch complicirter, dass theils radiäre theils eireuläre Bündel sich an den Kiefern befestigen. Die Muskulatur des Rüssels ist sowohl nach aussen wie nach innen von einer Fascie begrenzt (T. VI, Fig. 7 e, d). Die äussere Fascie besteht aus zwei Schichten, von denen die äussere longitudinal, die innere transversal gestrichelt ist und zwischen beiden sieht man hie und da bei glücklicher Färbung der Prä- parate anastomosirende verästelte Zellen (T. VII, Fig. 5). Die innere Fascie scheint vollständig homogen und structurlos zu sein. Die Innenfläche des Rüssels ist von einer derben Chitin- haut bekleidet, unter welcher eine grüngefärbte Matrix sich findet. An der Rüsselröhre gehen zwei seitliche Nervenstämme, die vom Schlundring entspringen, nach hinten zwischen Hypo- derm und Mulkulatur eingelagert. Wo der Rüssel anfängt, Anatomie von Leanira tetragona. 359 theilt sich jeder der Nervenstämme in zwei Aeste, und am Rüssel laufen also 4 Nerven nach hinten. Die Nerven liegen auf der inneren Muskelfascie wie eingegraben im Hypoderm (T. VI, Fig. 4 & 7, n). Auf Längsschnitten des Rissels seht man im Hypoderm in regelmässigen Abständen An- samlungen von Rundzellen (T. VI, Fig. 7, e), die an einigen Stellen an einen die Chitinhaut durehbohrenden Kanal reichen (Fig. 7 e). An Flächenpräparaten des Hypoderms sieht man diese Zellenanhäufungen in circulär angeordneten Reihen; und präparirt man endlich mit Nadeln einer der Nerven eine Strecke weit heraus, bekommt man den Nervenstamm mit seit- lich abgehenden Zweigen frei und an diesen Zweigen hängen Theile von den Rundzellenanhäufungen fest. Eine von den Zellen in jedem Klumpen ist immer ziemlich gross (T. VI, Fig. 8). Wahrscheinlich stehen also diese Zellenklumpen mit Nervenästen im Zusammenhang; ob aber dieselben eigenthümliche Nervenendorgane oder Drüsen sind, das zu entscheiden habe ich nicht hinlänglich deutliche Bilder er- halten. Das übrige Hypoderm besteht aus einer streifigen Masse, die Streifen von ziemlich dicken, starren Fasern gebildet, die einerseits mit der Chitinhaut, andererseits mit der Muskelfascie fest verwachsen sind, und zwischen diesen Fasern ist ein körniges kernführendes Protoplasma einge- lagert, in dem keine bestimmten Zellgränzen zu entdecken sind (T. VI, Fig. 5 & 6). Einen ähnlichen Bau des Hypo- derms findet man auch an mehreren. Stellen der äusseren Haut. Der eingestülpte Theil des Darmes hat noch eine dünne Chitinhaut, die im eigentlichen Darm vollständig verschwindet. Der Darm liegt, wie aus dem Querschnitt (T. IV, Fig. 1) er- sichtlich, im oberen Theile der Leibeshöhle und hat einen drei- eckigen Querschnitt mit der Spitze nach oben und der Basis nach unten. Die Art der Befestigung des Darms mittelst der 360 G. Armauer Hansen. Dissepimente ist schon früher erwähnt worden. In jedem Seg- ment hat der Darm jederseits einen Anhang, der durch eine enge Oeffnung mit demselben kommunieirt; der Anhang ist un- getheilt und reicht mit seiner verjüngten Spitze in die Basis des eirrenförmigen Rückenanhanges hinein (T. IV, Fig. 1, Idm.). Der Darm ist am lebenden Thiere farblos, während die An- hänge eine starke grüne Farbe haben, die durch die Haut durchscheinend, dem Thiere ein eigenthümliches Aussehen ver- leiht. Der Darm ist aussen vom Peritonäum bekleidet und besitzt eine äussere longitudinale und eine innere cireuläre Muskellage, beide aus nur einer Lage ziemlich dicht an einan- der liegenden Muskelfaser bestehend. Das Cylinderepithel des Darmes ist niedrig und farblos, das Epithel der Anhänge aber sehr hoch, die Zellen mit grossen Körnern und am inneren Enden mehr weniger vollständig von Fettkörnchen erfüllt, die in einigen Zellen farblos, in den meisten aber stark grün ge- färbt sind (T. X, Fig. 7), welche Färbung die Vermuthung _ nahe legen, dass die Anhänge als Leber-Organe fungiren; da- her ich sie auch als Jueberdarm bezeichne. Bevor ich die Geschlechtsorgane bespreche, werde ich die Entleerung der Geschlechtsprodukte erwähnen, wie ich dieselbe bei einem männlichen Thiere beobachtete. T. I, Fig. 2 giebt eine Skizze eines Theiles der Bauchfläche des Thieres während der Entleerung; a, a, a sind die Füsse. Dicht innerhalb der Basis eines Fusses kommt ein feiner Strahl vom Sperma her- vor, der in die Richtung nach vorwärts ausgestossen wird und sogleich von einer kleinen Flimmerpapille, die interpedial sitzt, ertappt wird, von dieser gegen eine ähnliche auf der Unter- fläche des nächstfolgenden Fusses geführt wird, von dieser wieder gegen die nächste interpediale Papille u. s. f. Dieses wiederholte sich durch einen längeren Zeitraum, indem die Spermastränge bald über diesen bald über jenen Fuss, bald auf der einen, bald auf der anderen Seite des Körpers hervor- kamen, bis das Wasser ganz milchig geworden war. Die klei- Anatomie von Leanira tetragona. 361 nen interpedialen und subpedaleu Papillen sind mir bekannt, nicht früher bemerkt worden, während die grösseren an den Seitenwänden des Körpers (T. IV, Fig. 1 pp:)»von Malmgren erwähnt sind und von ihm als wahrscheinliche Oeffnungen für die Segmentalorgane angesehen worden sind. Hier sah ich doch keine Entleerung vom Sperma und mit den Segmentalorganen stehen die genannten- Papillen in keiner Verbindung. Der cirrenähnliche Rückenanhang und die Höhlungen der Füsse waren vom Sperma erfüllt, der durch die Flimmerzellen des Peritonäums in fortwährender Bewegung gehalten wurde, aber hier fand keine Ausleerung statt; die Wimpern der Papillen schlugen bald von oben nach unten, bald in entgegengesetzter Richtung. Ehlers brschreibt bei Sigalion limicola (Borsten- würmer) das Segmentalorgan, das bei diesem Thiere an der Basis der Elytre nach aussen mündet; dergleichen habe ich bei Leanira tetragona nicht finden können; dagegen liegt hier das Segmentalorgan wie gewöhnlich bei den Anneliden am Bo- den der Leibeshöhle und mündet dicht innerhalb der Basis der Fiisse nach aussen (T. IV, Fig. 1 Sg.). Im lebenden Thiere konnte ich dasselbe nicht auffinden, an konservirten Thieren aber habe ich es ziemlich leicht ausseciren können; es liegt mit der inneren Mündung am Dissepiment festgelöhtet, von den hinter dem Dissepiment hinlaufenden Radiärmuskeln be- deckt, und geht von hier schräg nach aussen und hinten um den äusseren Rand des Bauchmuskels nach unten. In dem Thiere, das Samen entleert hatte, fand ich das Organ in vielen Segmenten vom Sperma erfüllt. Segmentalorgane giebt es auch im Vorderkörper, wo die Geschlechtsorgane rudimentär sind, sie sind hier sogar etwas grösser und theilweise mit grüngefärbten Zellen versehen, während die Organe im Hinterkörper farblos sind. Es sind einfache Säcke (T. IV, Fig. 3), die Wand doppelschichtig, auswendig von sehr langen Spindelzellen ge- bildet, inwendig von Wimperzellen (T. IV, Fig. 5). In der Umgebung der inneren Oeffnung stehen am Dissepiment zahl- 362 G. Armauer Hansen. reiche ähnliche Wimperzellen (T. IV, Fig. 3 & 4). Genau an den Segmentalorganen schliesst sich das Gewebe, das Eier und Saamen produeirt; bei voller Entwicklung derselben liegen Eier und Saamen frei iu der Leibeshöhle. In einem weniger vorgeschrittenen Stadium findet man den Eier- oder Saamen- strang in jedem Segment mit Ausnahme der 25—30 vorderen so angeordnet wie in T. IV, Fig. 1 dargestellt; in einem noch früherem Stadium habe ich nur den am Segmentalorgan fest- hängenden und in den Fuss hinausreichenden Theil mit noch unreifen Geschlechtsprodukten gefunden. Im Vorderkörper findet man nur rudimentäre Zellstränge an den Segmental- organen festsitzend, als Andeutungen der im Hinterkörper voll- ständig entwickelten Genitalstrånge (T. 1, Fig. 1,3. In T. IV, Fig. 3 sieht man, wie der Eierstrang an das Segmental- organ angeheftet ist, und in T. V, Fig. 1 das Ende des Saamen- stranges bei stärkerer Vergrösserung; man sieht hier wie die äussere Bekleidung des Segmentalorgans kontinuirlich in den Genitalstrang übergeht. Eierstränge und Saamenstrånge sind ganz gleich gebaut (T. IV, Fig. 2, T. V, Fig. 1), bestehen aus langen spindelförmigen Zellen, zwischen welchen die Eier und Spermazellen sich entwickeln; ob die Eier und Sperma- zellen Abkömmlinge der Spindelzellen oder eigener Zellen sind, habe ich nieht entscheiden können. Ursprünglich liegen die Eier und Spermazellen wie an den Figuren ersichtlich in Aus- sackungen des Stranges, die nichts anderes sind als modifieirte sc. breit gewordene Spindelzellen; sie werden wahrscheinlich durch Bersten dieser Aussackungen frei. Der Zusammenhang der Genitalstränge mit den Segmentalorganen und der Bau derselben lässt vermuthen, dass dieselben, oder das die Ge- schlechtsprodukte producirende -Gewebe aus den Segmental- organen hinauswächst. In jedem Fusstummel giebt es zwei Aciculä (T. IV, Fig. 1, T. V, Fig. 2). An der oberen Acicula hängt ein eigenthüm- liches drüsenartiges Organ (T. 5, Fig. 3), eine Gruppe von Anatomie von Leanira tetragona. 368 hellen Blasen, die sich bei stårkerer Vergrösserung von einer einzigen grossen Zelle ausgefillt zeigen (T. 5, Fig. 4). Das Protoplasma der Zelle ist hell und durchsichtig und zeigt im Centrum eine verästelte Figur, als wäre hier der Inhalt ge- ronnen; jede einzelne Blase hångt mit der bindegewebigen Scheide der Acicula zusammen. Näheres über die Anatomie oder die Funetion dieses Organs vermöge ich nicht anzugeben. Die Acıculä bieten sonst nichts bemerkenswerthes dar; sie be- sitzen, wie schon angeführt, jede eine eigene bindegewebige Scheide, in welcher viele Kerne liegen, und am inneren Ende der Acicula liegt eine grosse protoplasmareiche Zelle, die wohl die Bildungszelle der Acicula ist (T. V, Fig. 5). Auch die kleineren Borsten liegen jede in einer besonderen Scheide, die an jungen, noch nicht ins Freie gelangten Borsten mit einer Lage protoplasmareicher Zellen belegt ist (T. VI, Fig. 9). Nervensystem. Hüllen. Der Bauchstrang ist von einer starken Scheide umhillt, die um jede der beiden Hälften derselben eine dicke, geschichtete Bindegewebslage bildet, die zahlreiche Septa in die Nervenstränge hineinsendet und nach aussen in ein grob- maschiges Netz übergeht (T. III, Fig. 1). Fängt man von der Chitinhaut an, so geht von derselben zwischen den körnigen Hypodermzellen starke, straffe, kernführende Faser oder viel- mehr Membranen nach oben, die zwischen sich Hohlräume ein- schliessen; diese Membranen ordnen sich cireulär um die Hälfte des Bauchstranges und bilden so die engere Scheide und ein starkes Septum, das von den Nervenanastomosen durchbrochen wird, zwischen denselben, während der übrige Raum zwischen den Bauchmuskeln von dem oben erwähnten schwammigen, grossmaschigen Bindegewebe ausgefüllt wird. An Durchschnitten bietet dieses Gewebe gewöhnlich ein Bild dar, als bestehe es nur aus anastomosirenden Bindegewebsfäden; an einigen Prä- paraten sieht man aber, dass es keine Fäden, sondern Mem- branen sind, die die Maschen begrenzen (T. III, Fig. 5). In 364 G, Armauer Hansen. der engeren Scheide sind mehrere Hohlräume oder Kanäle ein- geschlossen, von denen besonders ein an der rechten Seite (in der Figur 1 das Präparat von hinten gesehen) durch seine Grösse sich auszeichnet; linkerseits findet sich als Andeutung eines ähnlichen Kanals streckenweise ein Spalt in der Scheide. Wie schon erwähnt gehen vom inneren Umfang der Scheide zahlreiche Septa in die Nervenstämme hinein, die die einzelnen Nervenfadenbündel begrenzen, nnd in diesen Septa finden sich auch an mehreren Stellen Kanäle (T. III, Fig. 1 & 2), die hie und da mit den ‘ausserhalb im maschigen Gewebe liegenden Hohlräumen kommuniciren (T. III, Fig. 4). Die Kanäle sind theils leer, theils von einer klaren, zum Theil fein punktirten Masse ausgefüllt, die fast immer an einer Stelle von der Wand abgezogen ist (T. III, Fig. 2, a & b). Aus diesem Umstand wie aus dem, dass die Kanäle mit den Hohlräumen des umge- benden schwammigen Gewebes kommuniciren, geht es hervor, dass man hier nieht mit eigenthümlichen Nervenfasern zu thun hat, dass vielmehr die in den Kanälen eingeschlossene Masse eine geronnene Flüssigkeit ist, und glaube ich, dass das ge- sammte Komplex von Hohlräumen und Kanälen als ein Lymph- gefässsystem aufzufassen ist. Es ist mir auch gelungen an er- härteten Thieren durch Einstiche die Kanäle stückenweise ganz rein zu injieiren. Nach vorwärts wird sowohl die weitere, lose als die engere, feste Scheide immer dünner, bis beide am Schlundringe auf eine einfache dünne Hülle reducirt sind; die Kanäle schwinden auch bis auf einen central in jeder Bauch- stranghälfte liegenden, der auch im Schlundringe vorhanden ist und bis an die Basis des Gehirns verfolgt werden kann (T. III, - Fig. 6, Sr.). Wie diese zwei Kanäle im Gehirn selbst sich verhalten, kann ich nicht genau sagen; es ist mir aber wahr- scheinlich geworden, dass dieselben sich erstens aufwärts als zwei parallele Kanäle, ein in jeder Hemisfäre, fortsetzen, um im oberen Theile sich in zwei geräumige Lacunen zu erweitern, die die zwei Hemisfären des Gehirns umgeben. An allen Anatomie von Leanira tetragona. 365 Schnitten des Gehirns sieht man eine feinkörnige Substants, die sich ganz entschieden von den Querschnitten der Nerven- faserbündel unterscheidet, unter anderen auch dadurch, dass sie sich gegen färbende Agentien anders als die Nervenfaser ver- hält, so z. B. in Purpurin einen leicht gelbröthlichen Farbton annimmt, während die Nervenelemente ungefärbt bleiben. In T. II, Fig. 1, aus einem Flachschnitte ziemlich weit nach unten geführt, sieht man neben der Mitte auf jeder Seite eine kleine feinkörnige Masse (l) und, die Hemisfären beiderseits umschliessend, die Masse H; sie besteht aus kleinen ovalen und runden Körnern, die alle färbenden Flüssigkeiten auf- nehmen. Ich nenne diese Körneransamlung die Haube. In Fig. 2 ist die Hälfte eines höher oben geführten Flachschnittes dargestellt und man sieht hier zwei feinkörnige Massen (1), die seitwärts in die Haube hineingehen und hier von bedeutend grösserem Umfange sind. Auf dem Meridianschnitte (Fig. 4) und auf dem Sagittalschnitte durch die rechte Hemisfäre (Fig. 6) sieht man dieselbe Masse I von der Haube halb umschlossen. Die oben genannten Körner der Haube sehen aus wie granu- lirte Kerne von einem Minimum von Protoplasma umgeben, können aber dennoch als Lymiphkörner aufgefasst werden. Sie liegen in einem von dünnen kernhaltigen Fäden gebildeten, nach innen unvollständigen Netzwerke; die Fäden des Netz- werkes inseriren sich an der Chitinhaut des Kopfes zwischen den Hypodermzellnn (T. IT, Fig. 7). Nach dem hier Darge- stellten stelle ich mir vor, dass der im Schlundring verlaufende Kanal in den zwei im T. II, Fig. 1 ersichtlichen zwei körnigen Massen 1 seine Fortsetzung findet und dass ferner diese Kanäle sich in zwei Cisternen fortsetzen, (T. II, Fig. 4, 1, 1) die ent- weder von den Lymphkörpern der Haube umschlossen oder von denselben erfüllt sind. Da nun das Gehirn sonst fast überall _ von einem maschigen Bindegewebe umgeben wird, das der das Bauehmark einhüllenden Scheide vollständig ähnlich gebaut ist, dann wird es wohl erlaubt sein auch dieses dem Lymphgefäss- 366 G. Armauer Hansen. system zuzurechnen und anzunehmen, dass die Hohlräume des Bindegewebes in irgend einer Weise mit den in den Hemis- firen verlaufenden Gefässen oder mit den Cisternen in Zu- sammenhang stehen- Das ganze centrale Nervensystem wird also von Lymphe umflossen sein mit Ausnahme des Schlund- ringes, der nur einen central verlaufenden Kanal hat zur Ver- bindung der zwei Gefässysteme des Gehirns und des Bauch- marks. — Der Bauchstrang besteht aus zwei Hälften, die durch zahlreiche Anastomosen mit einander verbunden sind (isk Fig. 1 B, T. III, Fig. 3) und von einer kontinuirlichen An- häufung von Ganglienzellen begleitet werden. Die Ganglien- zellen sind hier wie überall sonst im Körper roth gefärbt und darum scheint der Bauchstrang beim lebenden Thiere als ein rother Strang durch die Haut und ebenso ist der Kopflappen wegen des durchschimmernden Gehirns roth gefärbt. In jedem Segment geht ein starker Zweig ab dicht hinter der Segment- grenze und hinter diesem Zweige noch 5—6 kleinere Zweige, die zahlreiche Anastomosen eingehen (T. III, Fig. 3). Diese Zweige in ihrem weiteren Verlaufe zu verfolgen ist mir nicht gelungen, nur von dem stärksten Zweige habe ich einem Aste zu der Elytra folgen können. Vor dem Abgange der beiden Zweige des Schlundringes legen sich die beiden Hälften des Bauchstranges dichter an einander und die Ganglienschicht wird zu gleicher Zeit mächtiger und die Ganglienzellen selbst durehschnittlich viel grösser als weiter nach hinten. Der Schlundring ist von einer Ganglienschicht umgeben und erst nach Abschicken von Aesten an die Rüsselröhre, die Tentakel- cirren und die Palpen geht dieselbe in das Gehirn hinein (T. II, Fig. 3, 4, 6). Das Gehirn ist durch ein unvollständiges Septum in zwei Hälften getheilt, die durch quergehende Ana- stomosen in Verbindung stehen; es scheint sich die beiden Aeste des Schlundringes jederseits in vier Aeste zu theilen (T. IL, Fig. 1, a, b, c, d), die aufwärts gehen und an mehreren Stellen sowohl quer wie schräg verlaufende Verbindungszweige Anatomie von Leanira tetragona. 367 der beiden Hemisfiiren abgeben. (T. II, Fig. 4). Ueberall ist das Gehirn von einer Ganglienschicht umgeben, doch nicht an den Stellen, wo die vermeintlichen Lymphecisternen mit der Haube im Zusammenhang stehen. Welche Faserzüge mit der Granglienschicht in Verbindung stehen und in welcher Weise die Verbindung stattfindet kan ich nicht angeben. Von den Granglienzellen zeichnet sich eine jederseits aus durch ihre be- deutende Grösse 0,1 mm. im Durchmesser. Sie liegt ziemlich isolirt nach unten und hinten (T. II, Fig. 1 & 6 gl). Das Protoplasma dieser Zelle zeigt sich bei starker Vergrösserung deutlich concentrisch um den Kern geschichtet. (T. II, Fig. 8). Von den Verbindungen und der Bedeutung dieser auffallenden Zelle kann ich nichts angeben. Ueber das Gehirn setzt sich nach hinten die Basis des Tentakels fest (T. II, Fig. 4 & 5 T) und vom Gehirn geht nur ein Nerv ab, nehmlich zum Tentakel. Die beiden rudimentären Antennen erhalten keine Nerven und zu den übrigen Kopfanhängen gehen die Nerven vom Schlund- ringe ab. Der Nerv des ersten Fusses oder der Basis der Tentakeleirren (T. II, Fig. 1 & 3 E und F) verläuft der äusseren Wand entlang (T. II, Fig. 3 n), und theilt sich in 4 Aeste an die Tentakelcirren, in welchen dieselben central verlaufen. In den Palpen verläuft der Nerv (T. II, Fig. 3, n,,) bis zur Spitze an der Wand zwischen Hypoderm und Muskel- lage, während das Centrum von schwammigen Bindegewebe erfüllt ist, in dessen Mitte ein feiner Kanal läuft, der nach hinten mit dem Coclom in Verbindung steht (T. II, Fig. 3 P). Der Tentakelnerv verläuft central. Die Chitinhaut aller diesen Gebilden ist von feinen trichterförmigen Kanälchen durchbohrt, durch welche die Nervenenden wahrscheinlich in’s Freie hinaus- gelangen. Ich habe vergeblich nach Drüsen gesucht, für welche die Kanälchen Ausführungsgänge sein konnten. Aehnliche feine Kanälchen finden sich in der Kopf- und Baucheuticula, und da auch hier keine Drüsen zu entdecken sind, sind diese Kanälchen wahrscheinlich auch hier für Nervenenden bestimmt. 368 G, Armauer Hansen. In der Haut sind die Nerven überhaupt sehr schwer zu ent- decken; nur hie und da sieht man an Schnittpräparaten einen kleinen Nervenstumpf, während der Verlauf der feineren Aeste sich dem Blicke entzieht. In den Elytren dagegen kann man den Nervenverästelungen leicht nachgehen. Unter der Loupe sieht man in der Elytra einen Stern mit fünf oder sechs Strahlen, es ist diess der Eintrittspunkt der Nerven von rothen Ganglienzellen umgeben (T. VII, Fig. 5 & 1). Von den sich verästelnden Zweigen wird ein ziemlich diehtes Netz gebildet, das hie und da rothe ganglionäre Anschwellungen besitzt (T. VII, Fig. 2). Die Art der Nervenendigung scheint eine drei- oder vierfache zu sein. Am äusseren Rande trägt die Elytra eine Anzahl dünner Papillen oder Cilien, die an der Spitze mit steifen Tasthaaren versehen sind. Central in jeder Papille läuft ein Nervenfaden, der gegen die Spitze hier anschwillt und bis an die Tasthaaren verfolgt werden kann (T. IX, Fig. 1). In der nächsten Umgebung um den Eintritt der Nerven in die Elytra findet man in mässiger Anzahl Nervenfäden, die mit einer kernhaltigen Anschwellung und abgestumpftem Ende sich der oberen Fläche der Elytra dicht anlegen (T. VIII, Fig. 3 a) und in der ganzen Ausdehnung der Elytra kann man feinste Fäserchen mit eingelagerten Kernen anscheinend einfach zuge- spitzt der oberen Fläche anliegend finden (T. VIII, Fig. 3 b). Endlich findet man überall in der Elytra meistens vereinzelte, hie und da einige diehter zusammenliegende Zellen mit runden grossen Kernen und nur wenig Protoplasma, die sehr feine varicöse Ausläufer nach allen Richtungen strahlenformig aus- schicken. Diese Zellen stehen ganz unzweifelhaft mit Nerven- - à fäden in Zusammenhang und müssen als eigenthümliche End- organe der Nerven betrachtet werden (T. IX, Fig. 2). Von den Ausläufern der Zellen steigen feinste Fibrillen aufwärts gegen die Oberfläche der Elytra (T. VIII, Fig. 4). Es ist mir nicht gelungen die letzten Enden dieser Fibrillen oder der oben erwähnten anscheinend zugespitzten Fasern zu verfolgen Anatomie von Leanira tetragona. 309 um zu entscheiden, wo sie eigentlich enden. Die beiden Elytralamellen sind an ihrer Innenfläche mit grossen, äusserst dünnen Hypodermzellen bekleidet, die bisweilen nur an ihren oft zackigen Kernen und ihren fast immer deutlichen Grenzen zu erkennen sind; die Lamellen werden zusammengehalten durch eine grosse Zahl straffer drehrunder Faser, die als Aus- wüchse der Hypodermzellen aufgefasst werden müssen. Zwischen diesen Fasern steigen nun die Nervenfaser aufwärts (T. VIII, Fig. 3 & 4) und sind leicht von denselben zu unterscheiden theils durch ıhre Dicke, theils durch die Aufnahme von fär- benden Flüssigkeiten, und legen sich den Hypodermzellen so dieht an, dass sie im Protoplasma derselben zu endigen scheinen. In den Kernen enden sie jedenfalls nicht. Für die Endigung im Protoplasma der Zellen spricht auch das Verhältniss der Nervenenden in dem Bauchcirrus, der einen von Ganglien- zellen roth gefärbten centralen Nervenstamm hat, von dem zahlreiche Aeste an die Wände laufen (T. X, Fig. 1), während das verdickte Ende sich an die der Spitze aufsitzenden dieken Tasthaaren pinselartig ausbreitet (T. X, Fig. 2). Die an die Wand gehenden Aeste sieht man ganz deutlich in das Protop- lasma der Hypodermzellen sich einsenken (T. X, Fig. 3). Erklärung der Figuren. Fig. 1. Vorderende des Thieres vom Rücken geöffnet; der Rüssel ist weggenommen. Rr. Riisselréhre. m p d. Museulus protractor dorsalis, Rdsp Rüsseldissepiment. v? v? Gefässerweiterungen (?), Fortsetzungen des Rückengefässes (vd,) und des Bauchgefässes vv, R. Vorderende des Rissels, mr, die radıären Muskeln der 8 vordersten Segmenten, mr, die radiären Mus- keln der übrigen Segmente des Vorderkörpers; g rudi- mentärer Genitalstrang des Vorderkörpers; B. Bauch- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 3 H. 24 370 G. Armauer Hansen, strang; dsp,, dsp, die unvollständigen Dissepimente, die vom eingestülpten Darmtheil ausgehen; dsp’ das grosse, starke Dissepiment, das die Grenze bildet zwischen Vorder- und Hinterkörper; ldm, Leberdarm; dsp Dissepiment, dsp,, rudimentäres Dissepiment am Boden der Leibeshöhle im Vorderkörper; dsp,, em ähnliches ın den vordersten Segmenten. Fig. 2. Skizze eines Theiles der Bauchfläche des Thieres während der Saamenentleerung. S.s der ausströmende Saamen; a, a, a 3 Füsse; b, b, b subpediale Flimmer- papillen; c, e interpediale Flimmerpapillen. Fig. 1. Flachschnitt des Kopfes. Sp unvollståndiges Septum zwischen beiden Hemisfären des Gehirns. F, Erster Fuss oder gemeinschaftliche Basis der Fiihlercirren ; aed, dessen dorsale Acicula; acv dessen ventrale Aci- cula. Cl Coelom; Cl, spaltförmige Verlängerung des Coeloms hinter dem Gehirn, 1, I vermeintliche Lymph- gefässe. H. die Haube oder Lage von Lymphkörnern um die Hemisfären. gl, eine grosse Ganglienzelle, gl Ganglienschicht des Gehirns. Pt Peritonäum. Fig. 2. Die eine Hälfte eines Flachschnittes des Gehirns höher oben geführt als der vorige. Die Buchstaben bezeiehnen dasselbe wie in der vorangehenden Figur. Fig. 3. Ein Flachschnitt gerade unter dem Gehirn geführt. F erster Fuss, P Palpen, tm, Tentakelmuskel, die von hier vor dem Gehirn aufwärts in die Tentakel- basis hinein gehen. Sr. Schlundring, n, Nerv von demselben zum ersten Fuss, n,, Nerv von demselben zu den Palpen. Die Buchstaben sonst wie früher. Fig. 4. Meridianschnitt des Gehirns. T Tentakelbasis. Die übrigen Buchstaben wie früher. Fig. © Or Sagittalschnitt des Vorderendes ungefähr in der Mitte. Dies Bh, Fig. 4. Anatomie von Leanira tetragona. 371 mpd Musculus protractor dorsalis; mp v, mp v, Mus- euli protractores ventrales. R Rüssel. B Bauchstrang. Die übrigen Buchstaben wıe früher. Sagittalschnitt durch die rechte Hemisfäre; Bezeich- nungen wie früher. Lymphkörner aus der Haube zwischen den Fäden liegend, die zwischen den Hypodermzellen der Kopf- haut entspringen. Der Kern und ein Theil des Protoplasma eine der grossen Ganglienzellen. Durchschnitt des Bauchstranges mit seinen Hüllen; mr Radiärmuskel; Imv ventraler Längsmuskel. Ein Theil eines Querschnittes des Bauchstranges, a ein kleiner Kanal in einem der Septen; b der Theil des grossen Kanals, wo der Inhalt von der Wand ab- gerückt ist. | Ein Theil des Bauchstranges mit den von demselben abgehenden Zweigen; gl Ganglienschicht. Ein Kanal in einem Septum des Bauchstranges mit den Hohlräumen des umgebenden Bindegewebes kom- municirend. Ein Theil der losen Scheide; man sieht hier die Mem- branen, die die Hohlräume begrenzen. Die Hälfte eines Durchschnittes des Körpers vd vas dorsale, dsp, der Theil des Dissepimentes, der den Darm (dm) an den dorsalen Längsmuskel (Imd) be- befestigt; Idm Leberdarm; pp, pp, pp Flimmerpapillen an der Seitenwand des Körpers; ov, ov Ovarium; mr. Radiärmuskel; mr, die untersten Faser desselben; 24: Fig. 2. Fig. 3. Fig. 4. G. Armauer Hansen. Sg Segmentalorgan; Imv ventraler Längsmuskel; vv Vas ventrale Ein Stück des Eierstranges mit sich entwickelnden Eiern. Segmentalorgan an dem Dissepiment gestützt. Die Punkte um der inneren Oeffnung sind die Wimper- zellen auf dem Dissepiment, Rechts hängt der Eier- strang mit dem Segmentalorgan zusammen. Eine Wimperzelle des Dissepiments. Wand des Segmentalorgans. Saamenstrang im Zusammenhang mit dem Segmental- organ. Fussstummel mit den zwei Acicula. Das drüsenähnliche Organ an der oberen Acicula. Eine Zelle und Blase desselben Organs. Das innere Ende einer Acicula. Der ausgestreckte Rüssel. Derselbe von vorne gesehen. Ein isolirter Kiefer. Durchschnitt des eingezogenen Rüssels. Fig.5&6. Hypoderm des Rüssels. Jen (fe Fig. 8. Aus einem Längsschnitte des Rissels. a radiåre Muskelbündel; b circuläre Muskelbündel; e äussere Muskelfascie; d innere Muskelfascie ; e, e Ansam- lungen von Rundzellen im Hypoderm; e’ eine solche, die an ein die Chitinhaut durchbohrendes Kanälchen stösst; n Nerv. Ein Stück eines Rüsselnerven mit abgehenden Zwei- gen und den denselben anhaftenden Zellenklumpen. Fig. 5 3) Fig. 10. iN WAM Biel Fig 2, tj ae 92 Or x ile oe or Anatomie von Leanira tetragona. 373 Junge Borste des oberen Borstenbiindels mit ihrer Matrix. Ein Stück des Bauchgefiisses. Muskelbündel am hinteren Ende der Rüsselscheide in ein Netz von jungen Muskelfasern übergehend. Zwei Enden von älteren streifigen Muskelfasern und 4 junge Muskelzellen eben daher. An den jungen Zellen sieht man die seitliche Absonderung der strei- figen Fasersubstanz. Ein Stück des Peritonäums der Rückenlängsmuskeln im Vorderkörper. Die Zusammensetzung der Streifen desselben aus langen spindelförmigen Zellen. Sternförmige Zellen aus der äusseren Muskelfascie des Rüssels. Eintrittsstelle des Nerven in die Elytra; die Theilungs- stelle des Nerven von rothen Ganglienzellen eingehüllt. Ein Theil des Nervennetzes in der Elytra. Zwei Arten von Nervenenden in der Elytra. Eine Nervenendzelle mit Ausläufern, die zur oberen Fläche der Elytra aufsteigen. Eine Elytra mit dem rothen Stern, vom Nerven ge- bildet. | Eine Randpapille der Elytra mit dem Nervenfaden. Zwei Nervenzellen in Verbindung mit den Fäden des Nervennetzes. Der Baucheirrus mit dem central verlaufenden Nerven- stamm. 374 Oo G. Armauer Hansen, Anatomie von Leanira tetragona. Das Ende des Nerven sich pinselartig an die Tast- haare ausbreitend. Zwei Aeste des Nerven in das Protoplasma der Hypo- dermzellen sich einsenkend. Hine subpediale Flimmerpapille. Durchsschnitt einer der Flimmerpapillen an der Seiten- wand des Körpers. Durehschnitt des eirrenförmigen Rückenanhanges. Epithel des Leberdarmes; m, m Muskelfaser; pt Peri- tonäum. Stück eines Dissepimentes mit einem Bündel, Muskel- faser und zwei Zellen der Art, wie sie überall im Peritonäum vorkommen. THEORIE DER TRANSFORMATIONS-GRUPPEN. (ABHANDLUNG IV). VON SOPUS LIE. I: ersten Abschnitte der nachstehenden Abhandlung be- schäftige ich mich mit der allgemeinen Theorie der Trans- formations-Gruppen einer n-fach ausgedehnten Punkt-Mannig- faltigkeit. Ich zeige, dass die allgemeine lineare Gruppe und zwei Untergruppen derselben die einzigen Gruppen sind, die im Infinitesimalen vollständig éransitiv sind. In dem zweiten Abschnitte betrachte ich alle Gruppen von Berührungs-Transformationen einer Ebene. Ich zeige, dass es nur drei solche Gruppen giebt, die nicht in Gruppen von Punkt-Transformationen übergehen können. Diese drei Gruppen enthalten bez. 10, 7 und 6 Parameter. Als Typen derselben kann man die zehngliedrige Gruppe, deren Trans- formationen alle ©? Kreise einer Ebene in Kreise umwandeln, .zusammen mit einer siebengliedrigen, und einer sechsgliedri- gen Untergruppe betrachten. Abschnitt V. Untersuchungen über die Transitivität der Transformations- gruppen im Infinitesimalen. In 1873 fand ich, dass jede Transformationsgruppe einer einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit durch Einführung von 916 Sophus Lie. zweckmässigen Variabeln in eine lineare Gruppe umgewandelt werden kann. Dass der entsprechende Satz nicht für mehrfach ausge- dehnten Mannigfaltigkeiten besteht, folgt schon daraus, dass die allgemeine lineare Gruppe einer n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit eine bestimmte Anzahl, und zwar n(n +2) Parameter enthält, während es möglich ist Transformations- gruppen dieser Mannigfaltigkeit mit beliebig vielen Parame- ter anzugeben. Als ich indess in 1874 (Göttinger Nachrichten No. 22) alle Gruppen einer zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit bestimmte, fand ich, dass alle hierher gehörigen Gruppen, die . sich nicht in lineare überführen liessen, einen gemeinsamen Charakter besassen. Um mich möglichst klar auszudrücken, werde ich wie gewöhnlich unsere zweifach ausgedehnte Man- nigfaltigkeit (wy) als eine Punkt-Mannigfaltigkeit, und zwar als eine Ebene mit den Cartesischen Coordinaten x y auffassen. Bei den Transformationen einer Gruppe werden die Punkte der Ebene transformirt, das heisst, in neue Lagen überge- führt; dementsprechend werden auch die Curven unserer Ebene in neue Lagen übergeführt. Enthält die Gruppe z. B. m Pa- rameter, so erhält eine arbiträr gewählte Curve im Allge- meinen durch successive Ausführung aller Transformationen der Gruppe ~™ verschiedene Lagen. Es giebt indess, wie ich sogleich an bekannten Beispielen verificiren werde, ge- wisse ausgezeichnete Curven, die durch successive Ausführung - aller Transformationen der Gruppe nicht ©" sondern nur eine geringere Anzahl verschiedene Lagen annehmen. Man betrachte in der That z. B. die allgemeine lineare Gruppe der Ebene, die acht Parameter enthält. Vermöge der 3 Transformationen dieser Gruppe erhält eine arbiträr ge- wählte Curve bekanntlich ~* verschiedene Lagen. Nimmt man dagegen z. B. eine logarithmische Spirale, so stellt sich die Sache anders. Denn eine solche Curve wird durch einfach Theorie der Transformations-Gruppen. 317 unendlich viele lineare Transformationen nur in sich selbst transformirt, und erhält daher durch successive Ausführung aller linearen Transformationen nur ~‘ verschiedene Lagen. Nimmt man einen Kegelschnitt, so stellt sich die Sache noch einfacher, denn ein Kegelschnitt gestattet ©° lineare Trans- formationen, und erhält daher durch Ausführung aller linearen Transformationen nur ~° verschiedene Lagen. Endlich erin- nern wir auch daran, dass eine Gerade &° lineare Transfor- mationen gestattet, und dass sie daher durch Ausführung aller linearen Transformationen nur ©? verschiedene Lagen an- nimmt. Es giebt bekanntlich keine ebene Curve, die durch Aus- führung aller linearen Transformationen nur x! Lagen an- nimmt. Denn es giebt keine Curve, die ~‘ lineare Transfor- mationen gestattet, indem die achtgliedrige lineare Gruppe der Ebene keine siebengliedrige Untergruppe enthält. In der früher eitirten Arbeit fand ich nun, dass es für die lineare Gruppe der Ebene charakteristisch ist, dass es keine Curve giebt, die durch alle Transformationen der Gruppe nur ©! Lagen annimmt, anders ausgesprochen, ich fand, dass jede Gruppe, die sich nicht in eine lineare Gruppe umwandeln lässt, eine Schaar von ~! Curven p (2 y) = a = Const. invariant lässt. Es ist vortheilhaft, diesen gemeinsamen Charakter der nicht-linearen Gruppen in etwas anderer Weise aufzufassen. Lass mich überhaupt eine beliebige Gruppe mit m Parame- tern, die die Punkte einer Ebene transformirt, betrachten. Ich nehme einen Punkt p allgemeiner Lage und bemerke, dass es jedenfals ~™~ ” Transformationen der Grnppe giebt, die p invariant lassen. Der Inbegriff dieser Transformationen bilden eine Untergruppe, vermöge deren die ~! durch p hin- durchgehenden Linenelemente linear transformirt werden. Es sind nun vier Fälle möglich, indem die lineare Gruppe, die 318 Sophus Lie. unsere Linienelemente unter sich vertauscht, 3, 2, 1, oder kein Parameter enthalten kann. In den drei letzten Fällen giebt es jedenfalls ein Linienelement, das invariant bleibt. Und folglich giebt es in diesen drei Fällen jedenfalls eine Curvenschaar p (xy) =4, die bei der Gruppe invariant bleibt. Wenn dagegen die Linienelemente dreigliedrig transformirt werden, so giebt es keine einfach unendliche Curvenschaar, die bei der Gruppe invariant bleibt. In Folge dessen kann mein soeben bespro- chener Satz auch folgendermassen formulirt werden. Transformiren diejenigen Transformationen einer Gruppe, die einen Punkt der Ebene invariant lassen, die hindurchge- henden x! Linienelemente durch die allgemeine lineare Gruppe dieser einfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, so kann die vor- gelegte Gruppe durch Einführung von zweckmässigen Variabeln in die allgemeine lineare Gruppe der Ebene oder in eine Un- tergruppe derselben umgewandelt werden. Ich vermuthete schon in 1874, dass dieser Satz sich fol- gendermassen auf n Dimensionen verallgemeinern liesse. Transformiren diejenigen Transformationen einer Gruppe, die einen Punkt der transformirten n-fach ausgedehnten Man- nigfaltigkeit invariant lassen, die hindurchgehenden ~~! Li- nienelemente durch die allgemeine lineare Gruppe dieser (n — 1)- fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, so kann die vorgelegte Gruppe durch Einführung von zweckmässigen Coordinaten in eine lineare Gruppe der n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit umgewandelt werden. In dem folgenden Abschnitte werde ich zeigen, dass die- ser Satz allgemein gültig ist. Im Uebrigen beabsichtige ich, in späteren Arbeiten weitere Untersuchungen über die Transi- tivität der Transformationsgruppeu im Infinitesimalen zu ver- öffentlichen. 4 à Luz 5 Theorie der Transformations-Gruppen. 319 S 1. Bestimmung der inf. Transformationen 1. 0. Die infinitesimalen Punkt-Transformationen der n-fach | ausgedehnten Mannigfaltigkeit æ, æ, ... ©. besitzen, wenn man df df | is Ba an setzt, die Form Bo da ar Es dr FF 000 Enns wo die & Funktionen der x sind. 1. Wenn eine Transformationsgruppe der Mannigfaltig- keit æ, x,...æ9 in dem früher erklärten Sinne die grösst- mögliche Transitivität im Infinitesimalen besitzt, so ist leicht zu erkennen, dass ein Punkt allgemeiner Lage vermöge einer Transformation der Gruppe in einen beliebigen benachbarten !) Punkt übergeführt werden kann. Denn gesetzt, dass jeder Punkt sich nur auf einer g-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit M, bewegen könnte; alsdann enthielte die vorgelegte M, or 4 solche M,, deren Inbegriff durch die Gruppe invariant sein müsste, was mit unseren Voraussetzungen in Widerspru- che stände. Bilde ich daher nach dem Vorgange meiner letzten-Abhand- lung über Transformationsgruppen (Bd. III, pg. 126 und fg.) in der Umgebung eines beliebigen Punktes p die in unserer Gruppe enthaltenen inf. Transformationen nullter, erster, zwei- ter . . . s'* Ordnung, so erhalte ich n unabhängige inf. Trans- Formationen nullter Ordnung, die die Form [Dar So Meyer oe bg Na Daran erhalten können, wobei die weggelassenen Glieder infinitesi- mal sind. Die inf. Transformationen erster und höherer Ordnung 1) An dieser Stelle soll das Wort. „denachbart“ nicht ,,infinitesimal benach- bart heissen. 380 Sophus Lie. lassen p invariant, während dies mit keiner Transformation nullter Ordnung der Fall ist. Die Transformationen von zwei- ter und höherer Ordnung lassen zugleich die durch p gehen- den Linienelemente invariant, was zugleich mit einer Trans- formation erster Ordnung nehmlich oa [Oar lolo P0003 CANTON 1 abo ar Decke der Fall ist.) Eine jede andere Transformation erster Ord- nung DE ED transformirt die durch p gehenden Linienelemente. Da nun die 0» —!'Linienelemente durch die allgemeine lineare Gruppe mit n?—1 Parametern transformirt werden sollen, so muss die vorglegte Gruppe G der M, jedenfalls n”—1 unabhängige - inf. Transformationen erster Ordnung, die zugleich von der Transformation 3 ær px +... unabhängig sind, enthalten. Auf der anderen Seite ist klar, dass @ nicht mehr als n° inf. Transformationen erster Ordnung enthalten kann, indem die allgemeine Transformation erster Ordnung 2ix ax Mpx +... nur n? Parameter enthält. 2. Daher sind zwei Fälle denkbar. Entweder enthält G n? inf, Transformationen erster Ordnung, die man sämmt- lich erhält wenn man in dem Ausdrucke Li Pr +... den Indices i und & suecessiv alle Werthe 1,2...n giebt. Oder auch enthält G nur n?-—1 Transformationen erster Ordnung, unter denen keine die Form 3 x. px +... besitzt, indem diese Transformation die durch Origo gehenden Richtungen inva- riant lässt. Für diesen letzten Fall werde ich die Form un- serer n?—1 Transformationen erster Ordnung bestimmen. Es ist zunächst klar, dass @ eine inf. Transformation der Form 1) Im Texte wird der Punkt » zu Origo gewählt. Theorie der Transformations-Gruppen. 381 H,=2,p, +a Zaxprt... (a = Const.) und zugleich eine Transformation der Form H,=2,P, +ß 24x +... (6 = Const.) enthält; also enthält sie zugleich die Transformation (4, H,), die die Form Hy, = 2, p,—@,p, +... besitzt. Sie enthält ferner die Transformation (7, H,), deren Form ist 2(Æ Py) +--+ so dass a gleich Null ist. In entsprechender Weise ergiebt sich, dass G eine jede inf. Transformation der beiden Formen Hip... SS å (ek) JD = Øk prt... enthält. Hiermit sind n(n—1)+n—1-n—1 Transformatio- nen erster Ordnung gefunden, die in G enthalten sind, und nach unserer Voraussetzung giebt es keine weitere Transfor- mationen erster Ordnung. 8 2. Giebt es Transformationen, deren Ordnung grösser als 1 ist, so giebt es n? Transformationen erster Ordnung. Lass mich nun voraussetzen, dass die Gruppe G nur n*”—1 inf. Transformationen erster Ordnung enthält, und lass mich versuchen die Transformationen höherer Ordnung zu bestimmen. 3. Setze ich TELE Do oe, DP baie cae Hy,” = 2, pr ir o6 und ist dabei s die höchste Ordnung einer in der Gruppe 382 Sophus Lie. enthaltenen inf. Transformation, so erkennt man leicht (Vergl. meine dritte Abhandl. über Transformationsgruppen, Bd. 3, pg. 113, 114, 129), dass es eine inf. Transformation ste Ord- nung etwa H* giebt, die 2n — 2 Relationen der Form (HP, 156) = k, H, 500 (nz) HE) = or A erfüllt. Ich bilde die Jacobische Identität (H,PA,e+2)H)+(H,e+VA,)A,2)+((4,H,®)B,e+D)=0; hierdurch ergiebt sich, dass k,=0 ist. In entsprechender Weise ergiebt sich, dass pep ee) ist. Setzt man nun Ms EP ae Be Date on [On ah on wo die 5 ganze homogene Funktionen s'* Ordnung von % 29 ...%u Sind, so lösen die Gleichungen (H, H)=0... (HÆ H)=0 sich in die folgenden auf: ds ds dE: Pade, To) de Se RU er dg, dë, d En ge mor = ale, or "i dæ, à "1 da, å ds ds, dEn wy 752% vy Gia, = (0), LA Tr Hier ergiebt sich nun zunächst, dass &, nur von æ, abhängt, das 3, nur von x, und x, abhängt, dass 5, nur von +, und æ, abhängt, u. s. w. Also ist = Am wo die weggelassenen Glieder von (s+ L)!® Ordnung sind. Also kommt d&x L —==&,= Aæ >S+e.. | dæ eft 1 i r å DE Theorie der Transformations-Gruppen. 383 und durch Integration, indem man erinnert, dass &; nur von æ, und x, abhängt, Sie ld ae ende, (Wall) Hiermit haben wir gefunden, dass 4, die Form IE SA (GE pe DE rn np) SE 154 6279 [Dy ar Lg De an so ap Jen CR On S216 besitzt. Wir bilden die Gleichungen (x, pi — x pr +... Hi) = ox As oder ausgeführt AS) GS EE Bg Dg one nn) EB, sa pa. BS Dep Eee = Ck He. Hieraus giebt sich, indem man å successiv die Werthe 2,3 ...n giebt, dass nur eine einzige-unter den Coefficienten A, B, B, ... B, von Null verschieden ist. H, besitzt daher entweder die Form 3, fete oo (el) oder die Form Go D4 at, oa Oba | Con Dane Hat 4, die Form æ,*px +-.., so enthält die Gruppe eine Transformation der Form (Gans, ns), FE De Gone und zugleich die Transformation (Bae == SØT DDr, MD 06 6 Nun aber ist s>1, 2s — 1>s, und also führt unsere Hypo- these zu der Unmögligkeit, dass die Gruppe eine inf. Trans- formation enthielte, deren Ordnung grösser als s wire. H, besitzt somit die Form 384 Sophus Lie. æ pt Vai 7) EE nee Unsere Gruppe enthält eine Transformation der Form Dig Hi und also zugleich die Transformation (EL) en iD Sei und endlich auch die Transformation (ap ea = (Ba ai De Wäre nun s>2, und also auch 2s —2>>s, so enthielte die Gruppe inf. Transformationen, deren Ordnung grösser als s wäre, was von vorn ausgeschlossen ist. Also ist s=2, und TER SR JD Pe De aan Due 05 vorausgesetzt dass die Gruppe iiberhaupt inf. Transformatio- nen, deren Ordnung grösser als 1 ist, enthält. Die Gruppe enthält die Transformation p, +... und also zugleich die Transformation mH Nun aber giebt es für jedes & eine in der Gruppe enthaltene Transformation der Form Ti Pi 7 Hk Pk ti-.; daher schliessen wir, dass unsere Gruppe eine jede Transfor- mation der Form Øk Pk Te... und also zugleich eine jede Transformation TiPrk +... enthält. Dies steht indess im Widerspruche mit unserer An- nahme, dass die Gruppe nicht n° sondern nur n?—1 Trans- formationen ersten Ordnung enthalten soll. Also schliessen wir dass s=1 ist. Satz 1. Enthält unsere Grnppe nur n’—1 inf. Transfor- mationen erster Ordnung, so enthält sie keine Transformation, deren Ordnung grösser als 1 ist. TNA NNN NE ENTE PE N HET nn RT LCR IA NS A a NAT 2 pr PS BS AVSA LESTE EN AER SG EVER PA NASE RD N ERTEILEN DA HANNA NIE AMS en CE | =n EN PA a Tin TREE TER ME SE RTL TE NET ren ED de ANE Gr Lie LEAS APR TA NY A ALC pi TN ABO Ry TNT En À dt 7 + Mme ne 1 orne SNE ae Re TO LON mt |: æ Ate a € 152 7° AS NEEB A AN OE AE D RE N AN ne ED Ev FA TH em ob erin 0 Bb EV BRA DDP RESTON a SK TÅ a ER Pant LA PRA NARDO rae ne SSE TN SATORU Vs VS SIN AT eee esse | Fe en men BEE SCENE PA em une Di nn BE A EE ET PA RD ETS > AS < sick re en mature fin n ne NE EEE Li HALVES EGEN a th Voie ita Me mA WW eho 9, A MRI lt 5 Ane Ve ( te. ni. ER TL EEE AS TITAN Rh a A a à FA SE OP NENNE ne = SA 2 A M TS à A A LA Reh SNK PP TU BNI, RER å a AR A at NG A A pt AE NO pd pi ry sr T « 5 å aura or or a PA VER Ye arte Ts > RS Bi FA Le, Milan set À a = 4 å va un N awa ANG a NAN EN 100 AN HK A a NG am UV NE BARN ER mn LE La Fann nl Goin a ef | ke 2 i, ‘4 Porz å 7 Dr LO SET ANNAR Når Fog NO RV vr ; " Hal Sn = à on GE mn EA me NN RE te Re ARE nn ee ME NT EE ne is ta På = Gå aA. Hansen akk r. pp eB RN DR PH i | | 4 I | i | | | i | | vegen RES V VIL NL NN NI NA Va VAL TV ETE Å Å oc RER. is ssh met EN ma ET fou ne Ea ee ENTER TEL € A" HAnsen an eg à AOL EE NRA UE Ren un en MAN VE AR AT NOR NN A D HL A a AA rn NN MAAS EE EV SN CT LE Te NE Te OA EL AT I LENT NE AOA we Rye EN ed DI, EEE TESTER DA RER TATEN PDA YEN AE SN EIN SIND FE PROMO TRES Er LE PT HH) ene Fy ay er ee ehren rasen ehren unse ere ne ee, ET Te ENTEN NNN | GA Hansen m I: a ana cae ri ol ee DO armen er / r Nå TÆR eee or ents y sr an BGI RER I Sahne HERE remet SE gr CZ AP #1 L Ef ; Å re En PE FR Å tance er) suce tn DA ATH ed ya MA SNE PLN N la ep ae aN M ati at ee ls A A rs Fa AT | : ua MIP ANN DIE AP BON ALL EE PO A AVD PERS TE) NT VE MA EE AN NL | STRAP A RL NN TE D DEA VER or meer. 5 RRS [a i i i ‘ 2 x «an, sere eure ASS TE REN AAA em nieeote nn AE å EE EN De nine a i eee CAT A ASPB AE TN WOT TR Ai ro sera SA IERIE SA ESERIES IRONY TEN ENT NUL LY AA OR An if Å Hansen ee er | À : NER N Lai RE en Å B METER DE SVA LOI YS 8 DN NT VER ALTEN NE SER MDN AA et ES NS I ed DPS å ON RENT ET: Entre Ten ne ma oem enr : ae ATR ma mr AD ae ene Ore a RR en as DE DAT EE SNE ANE TIS ER BENT IN MSI NK FRE AER TERS POLIS ET TE TR es nn Ten A AT WESEN a Tre A EP Ve. pe £ un recess PG på pe 4 ; er An = ene n , Hansen a fügen /. PAR ts } Bea = vi Don Theorie der Transformations-Gruppen. 385 8 3. Enthält die Gruppe »? Transformationen 1.0. und ausserdem einige von höherer Ordnung, so ist sie mit der allgemeinen linearen aehnlich. Ich betrachte eine Gruppe mit n? inf. Transformationen erster Ordnung Hi Prk Te... die zugleich Transformationen hôherer Ordnung enthält. Ich werde zeigen, dass die grösste Ordnung gleich 2 ist; ich be- stimme darnach alle Transformationen zweiter Ordnung, und zeige endlich, dass die Gruppe durch Einführung von zweck- mässigen Coordinaten in die allgemeine lineare übergehen kann. 4. Indem ich ganz wie im vorangehenden Paragraph verfahre, erkenne ich, indem ich die Maximums-Ordnung mit s bezeichne, dass die Gruppe eine Transformation der Form A(a,°pı + Da Do. VER fe AE GBs fox) SE 155 GB)? Da +ByæSpys +... + Box’ pa enthält; dabei ergiebt sich, wie damals erstens, dass: nur eine einzige unter den Coefficienten' A, B,, B,... Ba von Null ver- schieden ist, zweitens dass jede Form wp: (k>]N) unmöglich ist, drittens dass s=2 ist, sodass die betreffende Transformation die Form Ka pr Gba CT onl nk ce besitzt. Es ist dabei leicht weitere Transformationen zweiter Ord- nung zu finden; dann es ist (en pa don EG) SL SOS ER Dee Do andere (23 Pate. Ka) = Kg = £512) Py. Hs do Pot «he 405 din Park ale (np, +...,K,) = Kn = mn &, Py thanks pots s+ ant Pn VF Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 25 386 Sophus Lie. womit n unabhängige Transformationen zweiter Ordnung ge- funden sind. Giebt es weitere Transformationen zweiter Ord- nung | L= Z am Li ŒkPr+..., so muss bekanntlich x (K, L)=0, (K, L)=0... (K, L)=0 sein, und also auch K, K, ee D-=0 2,0 De el sein. Hieraus folgt, dass L eine Funktion von Soh USD. Ein RE ger By Gy en sein muss, dass also L-0| ae à oe — 1 (6 SP et Car Ch oA eo CNT at ı Pı 1 tae ) ist; also wird 2 Aix Li Øk PA LR OR > dien LE ern RE ©? UC, Lo Ti En. und also auch De 2 fi i X] so dass VHE Dr BE wird. Hiermit ist nachgewiesen, dass die Gruppe keine ‘weitere Transformationen zweiter Ordnung als X, K,...Kn enthält. Sie hat daher im Allen n+n? +tn=n(n + 2) infinitesimale Transformationen, das heisst genau soviele wie die allgemeine lineare. Wir werden zeigen, dass sie in die- selbe übergeführt werden kann. Theorie der Transformations-Gruppen. 387 5. Ich setze vi Pi + Give) oe pr she = F Dr (Bj Pa + Lo Po +... + Un pn rt...) = Sk und bemerke zunächst, dass. die 2n Transformationen Ri; und S, aufgefasst als Funktionen von &,...4:p,...p, unabhän- gig sind, indem dies in der nächsten Umgebung von Origo der Fall ist. Ich bemerke ferner, dass Relationen der Form (Si 8x) = 0 (Ri Sk) = 0, (Ri Si) = Si (Ri Rx) = Cixi SÅ + Cik2 Se +...+ Cin Sn bestehen, so dass die R; und & (Bd. I, pg. 184) eine 2n- gliedrige Funktionengruppe bilden. Ich setze R;+ ais Ss, + aig Sy +... + din Sn = Bil und führe darnach die #;! als neue Ri ein. Dabei ist es möglich die Constanten a; derart zu wählen, dass alle Coeffi- cienten c;x; und cxx verschwinden. Sodann bilde ich die Jacobische Identität («Ri Ry) Ri) + (Rx Rs) Ri) + (Bs Ri) Ry) = 0 woraus Bg [¢ixo (Sg Hs) + Cxso (Sg Ri) + 056 (Sg Rx)] = 0 und durch Einsetzung der Werthe der Grössen (Sm Ri) — Ciks Ss — Csi Si — Csix Sy = 0. Hieraus aber ergiebt sich, dass Cire = Chat = Car = O das heisst, dass alle caßy gleich Null sind. Hiermit haben die zwischen den 2n unabhängigen Funk- tionen Ri, Sk stattfindenden Relationen die Form (Bi Rx) = 0, (Ri Sk) = 0, (Ri Si) = 4, (Si Sx) = 0 erhalten, so dass die Funktionen-Gruppe R; Sx mit der Gruppe R;? S,', wo DD OU % Hele Sophus Lie. R! = a pi Seo = (ap Han pn): gleichzusammengesetzt ist. Also schliessen wir (Math. Ann. Bd. 8, pg. 271, Satz 51), dass es eine Berührungs-Transformation giebt, vermöge deren N Se — Se ist. Diese 2n Gleichungen bestimmen iiberdies die betreffende Beriihrungs-Transformation vollstandig. Nun aber lehren die Entwickelungen meiner Auen Ab- handlung über Transformationsgruppen (Bd. 3, pg. 125), indem ich zugleich berücksichtige, dass unter den 2n linearen par- tiellen Differential-Gleichungen Re =0, §,.°=0 2n unabhängig sind, dass die Transformation BR; = Fo, Sk ar SE eine Punkt-Transformation ist. 6. Es handelt sich darum, den Ausdruck einer jeden Transformation TEEN DE rer in den Variabeln x*p" aufzufinden. Ich setze Tic = m9 pr + Un. Alsdann nehmen die Relationen (is) en (Tx Sx) = 68 die Form (Gi S:) Få 0, (Un; Sk) =0 an. Hieraus ergiebt sich, indem wir wie früher (no. 4) ver- fahren, dass Uk = Cix, S] Cire SEP FE en Snipe Theorie der Transformations-Gruppen. 389 ist, wobei die Constanten axe ohne wesentliche Beschränckung gleich Null gesetzt werden können. Es ist uns also gelungen vermöge einer Punkt-Transfor- mation die nm (n + 1). Gleichungen Pkt... = Hi? Pk Wie GDS Aae = Øk > a? py? zu befriedigen. Es steht zurück die Form der Transformationen Px SR = Pr in den Variabeln x*p* zu bestimmen. Es ist ELSE TTS + Tan? + 214 Sj (P,°S,")= T, © + 21,5 (P}’S;))= 135° + 21,5 Sn) ae Um diese Gleichungen zu vereinfachen, führen wir die Grösse Pot pir Lie ik wo die mix Constanten sind, als neue P,° ein, und wählen die ux derart, dass alle A,, verschwinden. Setzen wir sodann IP wi so finden wir zur Bestimmung von V die n Gleichungen (S, V)=0,(S, V)=0...(S V)=0, woraus wie früher folgt, dass V= 25S, ist, und dass daher Å P,° =p,° gesetzt werden kann. In dieser Weise ergiebt sich, dass jede Transformation 390 Sophus Lie. nullter Ordnung p; +... in den neuen Variabeln die Form p;° besitzt. So dass die vorgelegte Gruppe mit der Gruppe Pop, (DEC GANDI ED ere) das heisst mit der allgemeinen linearen Gruppe aehnlich ist. Also Theorem I. Enthält eine Gruppe, die im Infinitesimalen vollständig transitiv ist, inf. T ransformationen, deren Ordnung grösser als 1 ist, so kann die Gruppe durch Einführung von zweckmässigen Variabeln in die allgemeine lineare übergeführt werden. 8 4. Enthält eine Gruppe n* inf. Transformationen 1. 0., und keine höherer Ordnung, so ist sie mit einer linearen Gruppe aehnlich. Nach dem Vorangehenden giebt es zweierlei Gruppen, die im Infinitesimalen vollständig transitiv sind, und welche dabei keine Transformation von zweiter oder höherer Ordnung ent- halten. Wir werden successiv diese beiden Categorien be- trachten. 7. Lass uns zunächst voraussetzen, dass die Gruppe n?—1 inf. Transformationen 1. O. enthält. Dieselben besit- zen die Form = —k di TK = - ÆiPk te... OZ Ry = 0 p, — prt... Ich betrachte die 2n--2 Transformationen TE de lan BR SER: und bemerke, dass sie, aufgefasst als Funktionen von æx px unabhängig sind, und dabei eine (2n—2)-gliedrige Funktionen- Gruppe bilden. | Theorie der Transformations-Gruppen. *- 391 Setze ich nun Rx? = 2,0 p,° — 19 px? so ist es zunächst möglich durch eine Berührungs-Transfor- mation die Gleichungen T,x= Tr, Rx = R,° zu befriedigen. Man erkennt ferner, indem man wie früher verfährt, dass die letzten Gleiehungen insbesondere auch durch eine Punkt-Transformation erfüllt werden können. Es han- delt sich darum die Form der Transformationen Pkt... Lik in den neuen Variabeln zu bestimmen. Es ist, wenn wir k> 1 annehmen, (1) (Tix, Tir) = 0 (Zr) (2) (Tix, Ti) = — Tix (3) | (Tix, Rj) =0 EIGEN (4) (Tx, Ri) = Tix (5) (Tix, Rx) = — Tx. Diese Gleichungen genügen zur Bestimmung von | TEEN ee Setzén wir nehmlich z. B. | j=2, k=3 TE EN PN Ga Pal so kommt zunächst (1) (2) [indem wir ax px statt æx* px schreiben] 392 Sophus Lie. ds då, & & FA = 0, 1 dæ, = oy 0% Zu ni Per ds ds ds ds ah N OG 0 dé dé, da då, å må Da GE Ho ds ds ds d En Ag ne er el eae woraus sich ergiebt, dass 3, nur von x, abhängt, dass 3, von æ, &, æg abhängt; dass endlich die übrigen 3, nur von æ, und ær abhängen. Zur näheren Bestimmung von 5, be- nutzen wir die Gleichungen (3) (4) (5), woraus — dem) GEWERBE, dæ, 2 dæ 1 1 ds ds er wa welche zeigen, dass 3, = 0 ist; es folgt ferner, dass die übri- gen & nicht von a, abhängen. Zur Bestimmung von 5, be- nutzen wir die Gleichungen ds, ds, a nase dg „a ds ldx ARTE 3 2 welche zeigen, dass auch &, verschwindet. In entsprechender Weise ergiebt sich, dass alle §, ausgenommen &, verschwin- den. Zur Bestimmung von &, benutzen wir endlich die Glei- chungen ds; ds; x —æ dæ, ? de, dE Wa Theorie der Transformations-Gruppen. 393 zusammen mit den früheren Gleichungen dé, _ då Canes saan und finden somit, dass &;=%, und in Folge dessen | T3 = Z'éipi= Lo På ist. In ganz entsprechender Weise erkennt man, dass immer wenn k> 1 Te Pr ist. | 8. Wir müssen nun den Fall &=1 betrachten. Lass uns z. B. versuchen, die neue Form der Transformation Py, = 2 Ei pi zu bestimmen Es ist (6) (Te T,,)=-R, (7) (Tix To) = — Tx (8) (R, Toy) 2 Ta (9) (Rx T»1) == Die beiden ersten Gleichungen geben ds ds ds rn =: ane gr, "0, ds, Fa ds, ds, Er d &; på ET re ge =), A eee ean Der À ds ds dén Vi gg ae Oi ara Be pp 2s woraus folgt - Sophus Lie. 394 &,-2,+/(2)) & = = f(a.) + pi (a) X] Die Gleichungen (8) (9) geben ; da u, X] dæ, Reg ”dæ, Cm 2e, d: dé £ 201 FES i So Fer ops woraus d k EO! Sie geben ferner dé dé, ng 26, di du. ga 7 dan 2 woraus folgt i & = 0. Es ist ferner dés dés å 2 aa as das 2 d Eg di; ei E dg, dr de woraus folgt Ex 0, und ebenso im Allgemeinen 4x = 0. Also wird T,,=@;P, und in entsprechender Weise ergiebt sich überhaupt P 3 Ti = dx Pi 9. Jetzt steht nur zuriick die Form der Transformationen Theorie der Transformations-Gruppen. . 395 PB å På zu finden. Es ist bekanntlich (Tj, P,)> Zix ox Tix + 3 dx Ry wo die Coefficienten, cix dx möglicherweise zugleich von j ab- hängen. Um diese Grössen näher zu bestimmen, bilde ich die Jacobische Identität (( Ta P,) Th) La ((Pq Ti) Ty) a («Ti Ta) Pa) = 0 wo das letzte Glied wegfällt, indem (a Tu) gleich Null ist. Es bestehen Gleichungen der Form . (Pu Pa) = = Pr Six Tix + 3 ji Ri (Ta Pa) Thi) = (Th P) + 3 ax Ta + 3 Bi Ta +d B - wobei zu bemerken ist, dass die letzte Gleichung keine Dop- pel-Summe enthält. Es ist ferner (P, EB) = 2 ru Te + 30 Ri ((Pq Ti) Ta) = Z yr Tox + 26; Ty + 8 Ry. Und also kommt durch Einsetzung eine Relation der Form GA JE SG GS DE Se TR td Rk, tee. Nun aber ist klar, dass der Index q der nicht links auftritt, auch nicht rechts in ausgezeichneter Weise auftreten kann, dass also bk=e=0. Also bestehen Relationen der Form (Th, Pi) = = Ak Tr + = Ci Ta + dj R; k i Um dieselben zu vereinfachen, führen wir P, + 3 3 Aix Tx. + Hi Ri als neues P, ein. Indem wir die Aix passend wählen, errei- 396 Sophus Lie. chen, wir dass alle c;; und d; verschwinden. Indem wir dar- nach die y; passend wählen, erreichen wir zugleich, dass dji1 = 0 - wird. Um weitere Vereinfachungen zu erreichen, bilden wir die Identität (CT Pi) Ta) + ((Pı Ta) Ti) + (Ta Th) Pi) = 0, wo wiederum das letzte Glied wegfällt. Nun ist ((Th Pi) Ta) = ag Ti ((Pı Toi) Ti) = — ag Ty also kommt da Tyr — dj Tu = 0, woraus folgt, dass 4-0 >) ist. Indem wir nun erinnern, dass auch a;ı gleich Null ist, erkennen wir, dass die (7, Pi) sämmtlich verschwinden (Th Pi) = 0. Setzen wir nun på SE pyt.--+ En Pay so erhalten wir zur Bestimmung der & die folgenden Relationen aa del De da, MdG woraus P == - 51 (x +... + Æn Dn 1 SIPs de, 2 Po Ph) Es ist, wenn wir i und & grösser als 1 annehmen, 2 (Pe ine, Pa t---+%oPı) und da dieser Ausdruck für jedes à grösser als 1 die Form = Aix Tr + = ji R; besitzen soll, so ist Theorie der Transformations-Gruppen. 397 dé, Flee = Ak = Const. und 6, =f(a)p ra,æ, +... + Ann wo alle a ohne Beschränckung gleich Null gesetzt werden können: : | Pi=f (en) pi + Å (apr +... + tn Pa). 1 Zur näheren Bestimmung von f(x,) bilden wir die Gleichung (R,,P)=—- Py, + Sdn Tx + Z ji Ri (1) = woraus df Uy ag Jor und d . Ban in = Am, und durch Integration f=4æ, +B pe = Bp, + A(æ, pj +o Po +... + 2n Pa) wo die Gleichung (1) zeigt, dass die Constante A gleich Null sein muss. Also können wir ; P, =P1 setzen, und dementsprechend ist überhaupt Pi = Pk Hiermit haben die inf. Transformationen unserer Gruppe die folgende Form genommen DES Cups PE: Und also ist die Gruppe mit einer Untergruppe der allge- meinen linearen aehnlich. Also Theorem 2. Enthält eine Gruppe, die im Infinitesimalen vollständig transitiv ist, nur n?—1 Transformationen 1. O., so ist sie mit einer linearen Gruppe aehnlich. 398 Sophus Lie. 10. Jetzt betrachten wir Gruppen mit n? Transformatio- nen 1. O. (und keine von höherer Ordnung) KPpkt...= Lik wo jetzt à und & verschieden oder einander gleich sein können. Ich betrachte die 22 — 1 Transformationen Pi TG: Ilan TITT, die eine (2n— 1)-gliedrige Funktionengruppe bilden. Setze ich æi px = Tir ; so ist zunächst klar, dass die 2n—1 Gleichungen Fr Dr Tee TS durch eine Berührungs-Transformation erfüllt werden können. Man erkennt ferner in der gewöhnlichen Weise, dass diese | Gleichungen insbesondere auch durch eine Punkt-Transforma- tion befriedigt werden können. _ Es handelt sich darum die Form der übrigen Transfor- mationen pet... = T, in den neuen Variabeln zu finden. Ich werde zunächst die Form von i Tag = Pate HEr Pa" bestimmen. Es ist - (T 2 T23)= T3 (Tix Te 3) a (Too Tos)= Tos À (T,; Dis) = — Pos (Tix T3) = 0. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich wie früher, dass Tes = 220 ps° Theorie der Transformations-Gruppen. 399 ist. Und in entsprechender Weise erkennt man, dass über- haupt | Tire Bo pr. Zur Bestimmung der Grösse T,, bilden wir die Glei- chungen 6h, Ze Bys (Tix Toi) = — Pox LITE Tog (A) Ut en Lo.) =o aus denen wie friiher folgt, dass De ro LANDIS ist. Dementsprechend ist IN ROD QE 11. Es steht somit nur zuriick, die Form der n Trans- formationen nullter Ordnung på pep! | zu bestimmen. Hierzu schlagen wir genau denselben Weg wie in der vorangehenden Nummer ein. Es ist | (Zu Pi) = 3 3 cx Tx, wo die Indices.i und & jetzt einander gleich oder verschieden sein können. Um die Coefficienten cx näher zu bestimmen, bilden wir die Jacobische Identität (Lai Pa) Thi) + (Pa Tn) Ta) + (Zi Ta) P)=-0@>1,j>1) | VEN) wo das letzte Glied wie gewöhnlich wegfållt. Nun bestehen Gleichungen der Form (Tu TE) = — P, + 3 ZE Aix Tix (Ta Pa) Ti) = (Tin Pi) + Sax Te + 3 Gi Ta + y (T11 — Ty), 400 Sophus Lie. wobei in der letzten Gleichung die Grössen T,, und 7;; nur in der Combination T,, — 7 auftreten. Dementsprechend findet man (Pa Ti) => Vik Tx (Pa Li) Ta) = 2 yx Tox + BG Ty + € (Ti — Tag). Und also kommt durch Einsetzung eine Relation der Form (Ti: Je) = = ax Ta + 3 by Takt Ze Ti Fd (fy Ti) Re CEST), wo wir wie früher erkennen, dass der Index 9, der nicht links auftritt, auch nicht rechts in ausgezeichneter Weise auf- treten darf, dass also 5, = e = 0 und (Ti Pi) = Z'aÿx Ta + 25 Ty + Gj (T11 — Ti). Um diese Relationen zu vereinfachen, führen wir PSS Aie ed) (el) als neues P, ein. Indem wir die Aix passend wählen, errei- chen wir, dass alle c; und d; verschwinden; indem wir dar- nach ur passend wählen, erreichen wir, dass auch 0 wird. Um noch weitere Vereinfachungen zu erreichen, bilden wir die Identität (Zu P,) Ta) + (Py Ty] Th) + (Ta Ti) P,) = 0, wo das letzte Glied wegfällt. Es ist (Ti Pı) Tor) = 49 Ti ((P, Ty) Ti) = — 49 Ta also kommt Ag Ti — dg Tar = 0; das heisst, es ist dja = O. Erinnern wir nun zugleich, dass Theorie der Transformations-Gruppen. 401 . an = 0, ci = 0, dj=0 ist, so erkennen wir, dass die (7;, P,) sämmtlich verschwinden (Th P,)=0 Setzen wir nun P, =5,Pı +...t5nPn, so erhalten wir zur Bestimmung der & die folgenden Rela- tionen u woraus 1 1 = En Pı + GER (GBs Pa SPoG „ar Gorn fii) da, Nun ist, wenn wir © und % grösser als 1 annehmen då, dé, in Sek 5 Pi ON ede ne ey ko) und da dieser Ausdruck für jedes © grösser als 1 die Form = Aix Tix besitzt, so muss | (Kane ax = Const. dx und Gi =f (#1) ras rit N'a tas wo alle ax ohne Beschränckung gleich Null gesetzt werden können: & d å P, = fes) pi + Å (øp py +. + ap). 1 Zur näheren Bestimmung von / bilden wir die Gleichung. (T,, P)=—P, + 2x Dix, woraus df &,.3- —f=—f+Eya 1 dæ, f N Vi di und Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. .3 B. 4 H. 26 402 Sophus Lie. und durch Integration = Are", P, = Bp, + A(x, pi ap Mia D amd ee bon on) wo A ohne Beschränckung gleich Null und B = 1 gesetzt werden kann: P; = pi. In entsprechender Weise erkennt man, dass überhaupt Pı = Pk gezetzt werden kann. Und also erhalten die inf. Transforma- tionen unserer Gruppe in den neuen Variabeln die Form Px, Vi Pr, so dass die Gruppe in eine lineare Gruppe umgewandelt wor- den ist. Indem wir hiermit unsere friihere Ergebnisse vereinigen, können wir das folgende fundamentale Theorem aussprechen. Theorem 3. Ist eine Transformationsgruppe einer n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit im Infinitesimalen vollständig transitiv, so sind drei Fälle möglich, indem die Gruppe ent- weder n(n + 2) oder n (n + 1) oder n(n + 1) — I Parameter enthal- ten kann. Im ersten Falle ist die Gruppe mit der allgemeinen linearen aehnlich; in den beiden letzten Fällen ist sie mit einer Untergruppe der allgemeinen linearen aehnlich.') 1) Ist x =3, so müssen die Entwickelungen der Nummer 9 und 11 modifi- cirt werden. Hierüber mehr bei einer anderen Gelegenheit. Theorie der Transformations-Gruppen. | 403 Abschnitt VI. Bestimmung aller Gruppen von Berührungs-Transformationen einer Ebene. In diesem Abschnitte bestimme ich alle Gruppen von Berührungs-Transformationen einer Ebene, welche nicht durch eine zweckmässige Berührungs- Transformation in Gruppen von Punkt-Transformationen umgewandelt werden können. Da ich nun im vierten Abschnitte alle Gruppen von Punkt- Transformationen einer Ebene bestimmt habe, so erhalte ich durch Vereinigung dieser Theorien eine vollständige Theorie der Transformationsgruppen einer Ebene. SAD Vorbereitende Untersuchungen. 12. Als Coordinaten eines Linienelements in der Ebene benutze ich wie gewöhlich die Grössen æ, y, p. Dabei soll wie gewöhnlich die Gleichung dy - pdæ=0 ausdrücken, dass die Elemente +, y, p und æ + dæ, y + dy, p + dp vereinigt liegen. Dies vorausgesetzt, ist eine Berührungs-Trans- formation nach meiner Definition eine Transformation zwi- schen den Variabeln æ y p, vermöge deren die Gleichung dy —p dæ=0 invariant bleibt. Ich interpretire æ y p als Punkt-Coordinaten eines drei- fach ausgedehnten Raumes. Die Gleichung dy — p dæ - 0 ordnet jedem Punkte dieses Raumes 1 Fortschreitungs-Rich- tungen dy dæ dp zu; und zwar liegen diese Richtungen in einer Ebene, die dem betreffenden Punkte zngeordnet ist. Eine Transformation!) zwischen x y p, die den Punkt 1) Die im Texte betrachteten Transformationen zwischen x y p sollen immer Berührungs-Transformationen sein. 26* 404 Sophus Lie. La Po Yo invariant lässt, transformirt die durch diesen Punkt hindurchgehenden Richtungen; insbesondere vertauscht sie die x! Richtungen, die dy — p dæ = O erfüllen, unter sich. Dies vorausgesetzt, werde ich eine Gruppe von Transfor- mationen zwischen æyp betrachten. Es giebt immer gewisse Transformationen, die einen arbiträr gewählten Punkt x, % Po invariant lassen. Dieselben bilden eine Untergruppe; sie transformiren die durch æ, y, po gehenden Linienelemente, und zwar durch eine lineare Gruppe. * Durch diese Gruppe werden die ~! Linienelemente des Büschels Ces p dæ =0 unter sich vertauscht. Es sind nun vier verschiedene Fälle denkbar, jenachdem die Linienelemente des Büschels dy — pda - 0 nullgliedrig, eingliedrig, zweigliedrig oder dreigliedrig transformirt wer- den. In den drei ersten Fällen giebt es jedenfalls eine Glei- chung der Form df df Du (wo P eine gewisse Funktion von æ y p bezeichnet), die die Transformationen der Gruppe gestattet. Integrirt man das simultane System | de dy dp RD durch die beiden Gleichungen U = a = Const., V = b = Const. so ist der Inbegriff der ~? Curven im Raume, die durch die beiden letzten Gleichungen dargestellt werden, invariant durch die Gruppe. Eliminirt man darnach p, so erhält man eine Gleichung f(xyab)=0 Theorie der Transformations-Gruppen. 405 die ~2 Curven in der Ebene darstellt. Der Inbegriff dieser Curven ist bei der Gruppe invariant. Es giebt nun eine ganz bestimmte Berührungs-Transformation, diejenige nehmlich, die durch die Gleichung f(xy %1y1) = 0 definirt wird, die die x? Curven f(x y ab) = 0 in die Punkte der Ebene überführt. Vermöge dieser Berührungs-Transforma- tion geht die vorgelegte Gruppe über in eine Gruppe, die sämmtliche Punkte der Ebene invariant lässt. Die neue Gruppe ist eine Gruppe von Punkt-Transformationen. Hiermit ist der folgende fundamentale Satz bewiesen Satz 1. Kann eine Gruppe von Berührungs- Transformatio- nen nicht ın eine Gruppe von Punkt-Transformationen überge- führt werden, so müssen diejenigen Transformationen der Gruppe, die ein arbiträr gewähtes Werth-System x y p invariant lassen, die Fortschreitungs- Richtungen dæ dy dp des Büschels dy - pdx=0 dreigliedrig transformiren. Hieraus folgt nun zunächst, dass jedes Werth-System x y p durch eine Transformation der betreffenden Gruppe in jedes benachbartes übergeführt werden kann. Denn gesetzt, dass es ©! zweifach ausgedehnte Marnigfaltigkeiten Pp (xy p) = a = Const. gäbe, die bei den Transformationen der Gruppe invariant blieben. Alsdann bliebe diejenige Richtung dx dy dp, die die beiden Gleichungen dp dp 1, , IP dy — pdx=0 befriedigte, bei denjenigen Transformationen invariant, welche das betreffende Werth-System æ y p invariant liessen. Unsere Gruppe enthält daher in der Umgebung eines beliebigen Werth-Systems x y p drei inf. Transformationen 406 Sorhus Lie. nullter Ordnung. Sie enthält ferner uach dem Vorangehenden drei Transformationen erster Ordnung. Also enthält sie im Allen jedenfalls sechs inf. Transformationen. Dies giebt Satz 2. Eine Gruppe in der Ebene, die sich nicht in eine Gruppe von Punkt-Transformationen umwandeln lässt, enthält jedenfalls sechs Parameter. 13. Durch Fortsetzung dieser Retachinecs lässt sich nachweisen, dass jede Gruppe, die nicht in eine Gruppe von Punkt-Transformationen iibergehen kann, eine Untergruppe mit jedenfalls fünf Parameter enthält, welche in eine Gruppe von Punkt-Transformationen umgewandelt werden kann. Hierzu ist es nothwendig zuerst einige Untersuchungen über lineare Gruppen vorauszuschicken Wir stellen uns als Hülf-Problem die Aufgabe, alle lineare Gruppen einer Ebene zu finden, die einerseits eine Gerade invariant lassen, andererseits die Punkte (Leser Gerade drei- gliedrig transformiren. Benutzen wir æ und y als Cartesische Punkt Coordinaten und setzen dabei, wie wir pflegen d d 7 Ps å =% so bestimmen die sechs inf. Transformationen P:% 29, YP, XP YI die allgemeinste lineare Gruppe, die die unendlich entfernte Gerade invariant lässt. Bemerken wir nun, dass die drei Transformationen Pq, xp + yd die Punkte der unendlich entfernten Gerade invariant lassen, während die drei Transformationen 29, YP, AP YI dieselben Punkte dreigliedrig transformiren, so kann unser Hülf-Problem auch folgendermassen formulirt werden. Theorie der Transformations-Gruppen. 407 „Find die allgemeinste Untergruppe von der sechsgliedrigen Gruppe p q xq yp xp yq, die drei Transformationen der Form Hy wgt+A,p+B, q+, (xp +ya), A, = xp — yq+ A, p+ Byg + C, (xp + pa), H, = Yp + A,p+B,g+ 0, (xp + yg), enthält.“ 14. Lass mich zunächst die allgemeinste dreigliedrige Gruppe der Form A, H, H, bestimmen. Es ist (HN) = — 2i7q + (A+, A, 0, — AC) p +(B, C, DB Ci zB, — A,)4q, (H, H3) = — 2yp+(4, 0, — A; C, + B, — Ag) p (BNC: on BC Boles (HA, H,)= xp — yq + (B; + 4, C; — À, C;)p +(B, 03 — B, C, — 45)g; also erkennen wir zunächst, dass C, = C, = C, = 0 ist, sodass die drei letzten Gleichungen sich folgendermassen vereinfachen | (H, H,)=—22q+ A, p— (B, +4,)9=—24H,, (H, H,)=— 2yp + (B, — 4,3) p+ By Jj= — 2 Hzq, (H, H,) = æp — vg + B; p — A; q = Ay. Man findet ferner zur Bestimmung der Coefficienten A, B, C die folgenden Relationen A,=—2A,, -B,-4A,-—-2B, Bern Din DD, 150 = A,, —A,=B,, woraus A, =0,, 0, a 0, b = Ckis di å ser ul da; as so ist bekanntlich (A, Ax) = > Cgks A; fee Ich setze SI=——EV; i =V By f = 2 = DR a TE Eb und bemerke dabei, dass ex; immer verschwindet, wenn kø sonen er IG also kommt pes. ai FE ds) s—=rt1i—r+1 Nun ist klar, dass (Be Bi) 20 Br dass also (Bi-x Bi) = Gli i,1 DB, +... Heine IEEE Theorie der Transformations-Gruppen. ’ 415 vorausgesetzt dass à nicht grösser als q ist. Also schliessen wir (Bd. III, pg. 114), dass es jedenfalls ein Werth-System a°,41...a59 giebt, das qg (s— r) Gleichungen der Form By Ana = br. a) +3 erfüllt. Ich setze G4, H1+...+4a0 H,=K und bilde den Ausdruck (K Hy) = (30% +; Hr 4, Hx) - 2°, +; (Ar +; Hi), J J woraus (K Hy) = 2 a), 45 Die, Pos H,. j 8 Nun aber ist, wenn wir kr annehmen = Cris Ar 44 = — Br a = — by as?. J Also kommt eine Relation der Form (K Hx) = u, EA ED > as" H, s=r-+1 oder was auf dasselbe hinauskommt - (K Ax) = u, JE ne Bin ae la — bi K. Man erhält q solche Gleichnngen, indem man & successiv gleich 1,2...q setzt. Dieselben dienen zur Bestimmung von K. Ich spreche den gefundenen Satz folgendermassen aus Satz8. Sei H,... Ha... H, eine vorgelegte Gruppe, deren q ersten Transformationen durch Relationen der Form É (H,_« Hi) = À, H, +...HAÅ- prp Hi x (ng) verknüpft sind. Wünscht man nun alle Gruppen zu finden, welche die r-gliedrige Gruppe umfassen, so bildet man q Glei- chungen der Form 416 Sophus Lie. CHR) = GEN Fer Het 6 @=1,2...9) und bestimmt die allgemeinste Grösse K, die diese Gleichungen erfüllt. Giebt es überhaupt eine Gruppe, die die vorgelegte um- fasst, so enthält sie eine von H,... H, unabhängige Transfor- mation der Form K. = Wir werden sehen, dass dieser Satz zur Bestimmung aller Gruppen von Berührungs-Transformationen einer Ebene genügt. 8 7, + Gruppen von Berührungs-Transformationen, die eine lineare Untergruppe enthalten. Ich werde nun successiv eine jede Gruppe von Punkt- Transformationen mit fünf oder mehreren Parametern betrach- ten und diejenigen Gruppen von Berührungs-Transformationen bestimmen, welche die betreffende Gruppe umfassen. Ich benutze hierbei meine frühere Bestimmung von allen Gruppen von Punkt-Transformationen einer Ebene (Bd. III, g. 125). 20. Lass mich zunächst die fünfgliedrige linare Gruppe H, =4, H,=p, H3 = xq, H, = xp — ya; H; = yp betrachten. Dabei bemerke ich, dass die vier ersten Trans- formationen paarweise Relationen der Form | GE A en befriedigen. Daher lehrt Satz 8, dass jede Gruppe von Be- rührungs-Transformationen, die unsere fünfgliedrige Gruppe umfasst, eine Transformation X enthält, die vier Relationen der Form ; | Theorie der Transformations-Gruppen. 417 (1) QAR Sum ur (2) (p, H) = 3 6x Hx + BK, (3) (aq, K)= 2 yx Ae + y K, (4) (ap ler K) = > Ox A, +öK erfüllt. Ich behaupte, dass die Coefficienten a, 6, y gleich Null sind. Dies folgt aus einem allgemeinen Satze, den ich hier einschalten werde. Satz9. Bestehen zwischen den Transformationen H,...H, K Relationen der Form ER K)= 3 ax Ay +.a K, (9, K) = 3 Bx Hr + 6 K, so besteht zugleich eine Relation der Form - ((H, H,) K) = > Ck Hi Beweis. Es ist ((H, H,) K) + (9, K) Hj) + ((K H) H,) =0, woraus durch Einsetzung — ((H, H,) K)= (3 fr Hy + 6 K, Hj) — (3 ay Hy + a K, Hy) und — (4, H,) K) = > fr (Ai, H,) = ß(Z Ak Hr +aK) — 3 ax (Hi A) + a (3 fx Hy + BR). Da alle (H; H;) sich linear durch die H, ausdrücken, folgt, dass die rechte Seite sich durch die A, ausdrückt, was zu beweisen war. Dieser Satz wenden wir auf (1) (2) (3) an. Es ist (9, xp — Y9) = = 9 (p,æp — yqa)= m (xq, op — yg) = — 2 ag und also folgt, dass Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 27 418 Sophus Lie. ist. Es bestehen daher drei Relationen der Form dK ya q; (5) dK A = Ë2P +2 9, (6) dK dK eg =85;P+n39; (7) wo die & und 7x nur von æ und y abhängen. Die Glei- chungen (5) und (6) zeigen, dass K die Form K-Ep+nq+0(pq) besitzt. Gleichung (7) zeigt, dass © eine Relation der Form befriedigt, und also ist QO = CE =. Bp + W(q) wo W(q) homogen von erster Ordnung hinsichtlich q sein soll, so dass W (9) = ist. Man kann daher ohne Beschränckung pod, q K=O" +ép+nq setzen. Wäre nun C=0, so wäre K eine Punkt-Transforma- tion, was wir ausschliessen können. Also kommt, indem wir C gleich 1 setzen K-" +&p+tng Der Ausdruck (yp, K) ist eine inf. Transformation, die der gesuchten Gruppe angehört. Es ist Theorie der Transformations-Gruppen. — 419 (yp, K) = "a+ 8, ptm d= By Ferner muss auch die Transformation (yp, K,) die die Form p* Ur OMe q= K, besitzt, unserer Gruppe angehören. Indem man in dieser Weise fortfährt, erkennt man, dass unsere Gruppe, welche auch die Zahl .» sein mag, immer eine Transformation der Form På ,t+ép+nq enthalten müsste. Dies ist indess unmöglich, und also erhal- ten wir den Satz: Satz 10. Ist die Gruppe p, 9, xq, xP — yq, yp in einer Gruppe enthalten, so besitzt die neue Gruppe jedenfalls noch eine Punkt- Transformation. 21. Ich betrachte jetzt die lineare Gruppe H, = 9, Hy =p, Hs = 49, A, = xp — vg, H,=yp, H; =y9, und suche die allgemeinste Gruppe, die dieselbe umfasst. Ich erkenne wie soeben, dass die neue Gruppe eine Transforma- tion K enthält, die vier Relationen der Form (9, À) = 2 a, Hj, (p, H) - 3 f Ax, (vg, À) = 2 yx Ax befriedigt. Hieraus schliessen wir wie früher, dass X die Form 27* 420 Sophus Lie. IX = ar +§p+nq besitzen muss; und es ergiebt sich dabei, dass A =O ist, sodass K eine Punkt-Transformation wird. Also Satz 11. Eine jede Gruppe, die die sechsgliedrige Gruppe gap xq xp yq yp umfasst, enthält jedenfalls noch eine Punkt- Transformation 22. Endlich betrachten wir die allgemeine lineare Gruppe H, =4, A, = p, Ho = 29, H, = xp — ya, H, = yp H; = ya, A, = xp + æyg H; = ayp + y°q, und suchen die allgemeinste Gruppe, die dieselbe umfasst. Indem man genau wie in den beiden vorangehenden Nummern verfährt, erkennt man, dass eine jede Gruppe, die die allge- ‚meine lineare Gruppe umfasst, jedenfalls noch eine Punkt- Transformation enthalten müsste. Früher (Bd. III, pg. 133u.fg.) haben wir nun gesehen, 1) dass die allgemeine linnare Gruppe in keiner mehr umfassenden Gruppe von Punkt-Transformationen enthalten ist, 2) dass die allgemeine lineare Gruppe die einzige Gruppe von Punkt- Transformationen ist, die unsere sechsgliedrige lineare Gruppe umfasst, 3) dass die allgemeine lineare und unsere sechsglie- drige lineare Gruppe die einzige Gruppe von Punkt-Transfor- mationen ist, die unsere fünfgliedrige lineare Gruppe umfasst. Also erhalten wir durch Vereinigung unserer früheren Ergeb- nisse den folgende Satz. Theorie der Transformations-Gruppen. 421 Satz 12. Eine jede Gruppe, die eine Untergruppe von einer der folgenden Form 2 1) 9, pP, ©9, ap — VG YP 2) Gs Ps 29, AP, YI YP 3) 9,9, 29, ap, YI YP, SP + vYg ayp + YG enthålt, iat eine Gruppe -von Punkt-Transformationen. Sie ist überdies eine lineare Gruppe, die selbst eine von der drei vorangehenden Formen besitzt. 8 8. Ueber Gruppen mit einer Untergruppe der Form 9. 99 VG ps ap. 23. Ich betrachte jetzt alle Gruppen, die eine Unter- - gruppe der Form A, = 9, Al, =p, H; = ya H, = xp, H; = yo enthalten. Die Relationen (H, H,)=0,(H, H,) = H,,(H, H,)=0, CHE) MON A) EH (H, H,)=0 zeigen, dass die neue Gruppe jedenfalls eine Transformation K enthålt, die vier Relationen der Form Gi (H, K)= 3 ax Hy, 2) (H, K)= 3 Bx Hy, (3) (Hf, K)= 3y Hi +y K, 422 Sophus Lie. (H,K)= 36 H+0K, (4) erfüllt. Also ist (1) (2) H = 0Q (pq) +&p +79, und dabei ist (3) (4) © bestimmt durch eine beliebige unter den Gleichungen dQ I Ap + Bata, da Puy; PL Dane, wobei wir erinnern, dass Q die Form Q-=g WÉ)-4 W (z) q besitzt. Hieraus ergiebt sich die Gleichung dw ite BW + Cr + D, deren Integral eine verschiedene Form besitzt, jenachdem ß - gleich Null oder verschieden von Null ist. > AEG 24. Ist 6 verschieden von Null, so ist W=La+Mz+N, woraus på LE + Mp + NG, so dass K, die keine Punkt-Transformation sein darf, die Form besitzt på K= g1tåp+n9, q wo 8 nicht gleich 1 sein darf, indem X sonst eine Punkt- Transformation wäre. Es ist nun leicht, weitere inf. Trans- formationen der neuen Gruppe zu finden. Theorie der Transformations-Gruppen. 423 Es ist 2 | på (y ee RE Val q womit jedenfalls eine neue Berührungs-Transformation på eg QU gefunden ist. Es ist ferner 2 2 på GE) en ee womit, wenn wir vorlaüfig = 2621 annehmen, eine dritte Berührungs-Transformation eae : a gn nd gefunden ist. Ferner ist ß (y°¢, Kz) =2 By? ani +&1p +30, womit eine vierte Berührungs-Transformation der Gruppe ge- funden ist. Nun aber können wir bei unseren Constructionen von neuen Gruppen immer annehmen, dass die neue Gruppe höchstens drei Transformationen mehr als die vorgelegte enthält. Daher brauchen wir nicht die Hypothese | ßZ0,28—1Z0 weiter zu verfolgen. Ist dagegen 2f—1=0, so besitzt (y*9, K,) die Form &p+ 79. Dieser Fall verlangt daher eine specielle Discussion. Es ist in diesen Falle K=-Vpg+3p+ng, 424 Sophus Lie. wo wegen (1) und (2) &- ax +f6y, n=yy’+6a gesetzt werden köunen. Nun ist (ap, K)=-- 4 V pg + (a x? — By) +6x9, welcher Ausdruck wegen (4) die Form | 26,HA,+6K, wo 6=— 4, besitzen soll. Also kommt a=0,6=0,y=0,6=0 und K= V pq. Es ist ferner (y*q, K) = -yV pq. Man verificirt nun leicht, dass die 7 Transformationen 9:2, ya, «p, yg V op, y V pa eine siebengliedrige Gruppe bilden. Es fragt sich, ob diese Gruppe in eine Gruppe von Punkt-Transformationen überge- führt werden kann. Dies ist, wie jich an einem anderen Orte ($ 12) nachweisen werde, in der That nicht möglich. Hier beschräncke ich mich auf die Bemerkung, dass die Glei- chungen p= æ=y"+ Så eine Berührungs-Transformation, die unserer Gruppe die Form Theorie der Transformations-Gruppen. 425 1's Ds YY, xp aq, BY = geben, bestimmen. Diese neueForm istdeswegen einfacher, weil sie eine sechsgliedrige Untergruppe von Punkt-Transformationen in Evidents treten lässt. Ich behalte mich, wie gesagt, vor, die gefundene siebengliedrige Gruppe später eingehend zu discuttiren. BES! 25. Sei jetzt £=0. Alsdann ist 7 — = One se ID = und W = D log 7 + Oz + E, KO log? + Cp + Eq, so dass man setzen kann 40 ‚pP ran en Es ist (y°q, K) = — 2yq. log +8,92, + q= Hee 2 : 9 D y'y, K;)= 244 loge + 520 + 9 4= Ko, Man findet ferner, dass (X, K,) die folgende Form besitz | ort Ly & DANCE HE I) AOS on und also ist hiermit vier unabhängige neue Transformationen gefunden. Da wir indess immer voraussetzen dürfen, dass die neue Gruppe höchstens drei neue Transformationen enthält, so brauchen wir die Hypothese £ = O nicht weiter zu verfolgen. 26. Wir fragen jetzt nach Gruppen von Berührungs-Trans- formationen, die eine Untergruppe der Form 426 Sophus Lie qyqy’gap ap «’p enthalten. Die nachstehende Discussion ist mit den Entwicke- lungen der vorangehenden Nummer fast identisch. Es ist zunächst klar, dass die neue Gruppe eine Trans- formation K enthält, die vier Gleichungen der Form (5) (q. K) = Z ax Hs, (6) (p,K)= 3 Bx Ax, (7) (vg, K)= Zyx Hi +y K, (8) (xp, K)= 36, A, +6 K erfiillt. Die beiden ersten zeigen, dass K die Form K = 0(pg) + &p + ny besitzt. Die beiden letzten geben zur Bestimmung von ©, die bekanntlich gleich q wie) -qW(r) gesetzt werden darf, eine Relation der Form dw za = 6W+Cr+D. Hier können wieder zwei wesentlich verschiedeneFälle eintreten, jenachdem f gleich Null oder von Null verschieden ist. Ist 6 gleich Null, so muss wie in der vorangehenden Nummer | K-q.logh+&p+ng sein. Und daher findet man durch fortgesetzte Ausführung der Operation (y’q, K) jedenfalls 4 inf. Berührungs-Transfor- mationen, die nicht in der vorgelegten sechsgliedrigen Gruppe enthalten sind. Daher brauchen wir auch jetzt nicht die Annahme £=0 weiter zu verfolgen. Ist andererseits 6 von Null verschieden, so muss K die Form Theorie der lransformations-Gruppen. 427 ß It Erna besitzen. Und durch successive Ausführung der Operation (y°q, K) erkennt man, dass £ gleich 1, K=-V pq + &p + ny sein muss. Die Gleichungen (5) und (6) zeigen, dass &=ax+pBy EPA HO gesetzt werden können. Nun ist (up, K)=—3V pqt+ Qaz"—pyp+yag - welcher Ausdruck wegen (8) die Form SH, — 4 K besitzen soll. Also ist a=-6=y=6-0, und | K - V pq. Es ist | (ny =yV/rq -K, (V pg, xp) = aV pg = K, (y V pg, wp) = xy Va = K,. Hiermit sind vier neue Berührungs-Transformationen gefun- den. Man verifieirt leicht, dass sie zusammen mit den sechs vorgelegten inf. Transformationen -eine zehngliedrige Gruppe bilden. Wir werden später nachweisen, dass diese zehnglie- drige Gruppe Q y Y°q p ap ap VpayV pa, «© V pg, ey V pq 428 Sophus Lie. nicht in eine Gruppe von Punkt-Transformationen umgewan- delt werden kann. Wir bemerken übrigens, dass die neue Gruppe vier Transformationen mehr als die vorgelegte Gruppe enthält. Daher brauchen wir eigentlich nicht, die gefundene Gruppe weiter zu berücksichtigen, indem wir wissen können, dass wir dieselbe an einer anderen Stelle unserer Untersu- chungen wiederfinden werden. Doch ist es zweckmässig schon hier zu bemerken, dass die Berührungs-Transformation = pp Jer: eg V= 3p 1, Up RC unserer Gruppe die folgende Form giebt 9,29, 279, P, YI ap, ap + 2æ yq a p° 2 —, 2yp + a — q ar q 4y*q+4 ayptett Diese neue Form ist deswegen bemerkenswerth, weil sie eine siebengliedrige Untergruppe von Punkt-Transformationen in Evidents treten lässt. Die Untersuchungen dieses Paragraphs haben uns zwei Gruppen von Berührungs-Transformationen gegeben, die wie wir später nachweisen, nicht in Gruppen von Punkt-Trans- formationen umgewandelt werden können. Theorie der Transformations-Gruppen. 429 g 9. Die Untergruppe transformirt ©! Curven nullgliedrig oder eingliedrig. = Ich betrachte in diesem Paragraph successiv alle Grup- pen von Punkt-Transformationen, die die Curven einer Schaar nullgliedrig oder eingliedrig transformiren und suche jedes- mal Gruppen von Beriihrungs-Transformationen, die die vor- gelegte umfassen. 27. Enthält eine Gruppe von Berührungs-Transformatio- -nen eine Untergruppe von der Form KNEGG so hat sie jedenfalls eine inf. Transformation X, die r Rela- tionen der Form 5 (Xi q, K) = 3 aix X + ai K erfüllt. Es ist dabei klar, da:s man annehmen kann, dass jedenfalls r Grössen a; z. B. a,a,...a,_ı gleich Null sind. Ausserden kann man ohne Beschränckung al setzen. Es bestehen daher Relationen der Form aR)-7, - 0004 dK dK a me also kommt woraus å K= 0, (æ)p+ P(ayg oder da K von erster Ordnung hinsichtlich p und g sein soll: K=O, (ø)p+ W(xy)g, womit nachgewiesen ist, dass K eine Punkt-Transformation ist 430 Sophus Lie. 28. Enthält eine Gruppe von Berührungs-Transformatio- nen eine Untergruppe von der Form X,q...X,q-... X:qy9 so giebt es, da (Ar 4,49) = Xe g | ist, jedenfalls eine Berührungs-Transformation X, die r Rela- tionen der Form (Mig, K) = 3 ax Xi q = Oi (2) q erfüllt. Durch Ausführung kommt dK ‚daK Mal @=1,2,3,&.-..r) = 0; (æ) q woraus hervorgeht, dass aK a und * K = D(x)p + Fiay)gq ist. Also ist X eine Punkt-Transformation 29. Enthält eine Gruppe von Berührungs-Transformatio- nen eine Untergruppe der Form Kg NE Gp so giebt es jedenfalls eine Transformation K, die vier Rela- tionen der Form (4 q, K) = Q(a)g+ap+ fi K erfüllt. Daher giebt es jedenfalls zwei Relationen der Form (KK) = Ox (x) q oder der aequivalenten Form Er ya eo woraus folgt, dass Theorie der Transformations-Gruppen. 431 K = F(a)p+f(ay)gq 30. Sei endlich Xn X,9, A3... Ar, Yds P die vorgelegte Gruppe. Es ist (A 9, ya) = Mg Daher enthält jede Gruppe von Berührungs-Transformationen, die unsere Gruppe umfasst, jedenfalls eine Transformation X, die drei Relationen der Form (Xi q, K) = Où (æ) q + ai ya + Bip befriedigt. Also muss auch jetzt K = F(xy)p +f (wy) q sein, sodass K eine Punkt-Transformation ist. Hiermit ist der folgende Satz erhalten Satz 13. Enthält eine Gruppe von Berührungs- Trans forma- tionen eine (5 + q)-gliedrige Untergruppe von Punkt-Transfor- mationen, die die Curven einer Schaar nullgliedrig oder ein- gliedrig transformiren, so enthält sie jedenfalls noch eine Punkt- Transformation ausser derjenigen der Untergruppe. 8 10. Die Untergruppe transformirt ©’ Curven zweigliedrig. Wir betrachten snecessiv alle Gruppen von Punkt-Trans- formationen, die ©! Curven zweigliedrig transtormiren und suchen Gruppen von Berührungs-Transformation, die die vor- gelegte Gruppe umfassen. 31. Sei vorgelegt eine Gruppe der Form 432 Sophus Lie. gag 229...29,p, ap + Y(ay)g, wo r grösser als 1 angenommen werden kann. Die neue Gruppe enthält jedenfalls eine Transformation X, die drei Relationen der Form (q K) = 3 av Ay (1) 3 (p, K) = 3 Bx Hk (2) (av = Sy eee erfüllt. Die beiden ersten zeigen, dass K= O(pq)+&5p+0q ist. Die dritte giebt zur Bestimmung von Q eine Gleichung der Form AO Tap vr so dass 0-7, K= a +&p+nq gesetzt werden darf. Man kann nun (Bd. III, pg. 159) jedenfalls Y=Ly+ Mat setzen. Also zeigen die Gleichungen (1) und (2), dass &= ax + By, 2a M n=væ+l+92a Lay + — æ+?+ pa n=) Rien PY gesetzt werden kann. Es ist (aq, K) = (-- Zr a Ir 6 2") p +[pa't+ (2a L — ar) "tt —r By x 1] q und dieser Ausdruck soll sich linear durch die A, ausdrücken. Also muss, da r grösser als 1 ist Theorie der Transformations-Gruppen. 433 B=0 sein. Es besteht eine Relation der Form —2ra'—'p+[pat+ (2a L—ar) a't'|q = 3 A, ak q + Bp + Clap + (Ly + Ma'+}) q], woraus folgt Wenn aber L=0 ist; so kann bekanntlich (Bd. III, pg. 159) auch M gleich Null gesetzt werden. Die vorgelegte Untergruppe besitzt somit die Form 9, 79, 2d; p, xp und die neue Transformation X ist p° KS REDE GIE Um die Coefficienten a, y, p zu bestimmen, bilden wir die Gleichung (wp, K)= 36; Ay + 6 K, woraus durch Ausfiihrung 2 2, taatp + dy og 2 dt Hy, +d K, also muss ô = — 2, a = 0, y = 0, p = 0, x - q sein. Die hiermit gefundene Transformation X bildet, wie man leicht verificirt, wirklich eine sechsgliedrige Gruppe zu- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 28 434 Sophus Lie. sammen mit den 5 Transformationen der vorgelegten Gruppe. Also Satz 14. Eine jede Gruppe von Berihrungs-Transforma- tionen, die die Gruppe q xq xq p xp umfasst, enthält zugleich 2 die Transformation aD die mit der vorgelegten Gruppe eine sechsgliedrige Gruppe bildet. Ich werde später nachweisen, dass die gefundene sechs- gliedrige Gruppe sich nicht in eine Gruppe von Punkt-Transformationen um- wandeln lässt. 32. Ich betrachte jetzt alle Gruppen der Form 1294... yq p xp und suche alle Gruppen von Berührungs-Transformationen, die eine solche Untergruppe enthalten. Dabei kann ich r grösser als Null annehmen. Die gesuchte Gruppe enthält jedenfalls eine Transforma- tion X, die 3 Relationen der Form (1) (4, K) = 3 ax Ax 2) (pK) = 3 AH (aq, À) = 3 yx Hy erfüllt. Hieraus folgt, wie in der vorangehenden Nummer, dass X die Form 2 tap +ng besitzt. Die beiden Gleichungen (1) (2) zeigen dass Theorie der Transformations-Gruppen. 435 G=ax"+py g=yatl+day+ey gesetzt werden kann, sodass 2 KE (ax+py)p+(rartl+day+ey)g wird. Es ist (a'g, K)=(—2ra"—1+ Ba") p +(Öat+l+2eya —raatl—rpPfya)) und da (x'q, K) = > Ox Hy ist, folgt r<2, sodass nur die beiden Fälle r=1 und r=2 eintreten können. Ist r=2, so ist p=0 e=0 6=2a und p? K = 4 +a'p+(yæ+2aæy)g. Um die zurückgebliebenen Coefficienten zu bestimmen, bilden wir die Gleichung | (xp, K)= 3: Hx+9pK oder ausgefiihrt 2 = 27 + (ax? — By)p+Bye’+2ary)ga=eZpHırpK woraus folgt Dat, a =0, y =0, und 28* 436 Sophus Lie. K=", q Hiermit haben wir eine siebengliedrige Gruppe 124,04 m | p, ap, Så | | gefunden. Wir zeigen später, dass dieselbe nicht in eine Gruppe von Punkt-Transformationen umgewandelt werden kann. Sei jetzt r=1. Alsdann lehrt die Gleichung (æg, K)=(—2+ fh x) p + (Oa? + 2e ay — aa” — fy) q = 26; Hy, dass e=0, 0 =, und = P+ (aa + 8y)p + (y x +axy)q ist. Wir bilden die Gleichung 2 (ap, K) = — 27 + (a? — By) p+ Qy a +axy)q = 2px Hy +p K, woraus folgt p=—2,a=0,6=0,y=0 p? nk Hiermit haben wir eine sechsgliedrige Gruppe von Beriihrungs- Transformationen gefunden: | 9,29, YY 2 p » TP — p Pa Theorie der Trnasformatious-Gruppen. 437 Wenn wir indess auf dieselbe die Berührungs-Transformation q= 4" p= aq’ DA q ; an! jy Es q anwenden, so erhalten wir die Gruppe q &q &°q D xp Yq, deren Transformationen sämmtlich Punkt-Transformationen sind. Sa. Die Untergruppe transformirt ©! Curven dreigliedrig. In diesem Paragraph betrachten wir successiv alle Grup- pen von Punkt-Transformationen, die die Curven einer Schaar p (ay) =a dreigliedrig transformiren, und suchen Gruppen von Berührungs-Transformationen, die eine solche Gruppe umfassen. 33. Sei qaq...x9,p 2æp +ryq, vp +ræyq (1) wo r grösser als Null ist, die vorgelegte Gruppe von Punkt- Transformationen. Ist r=1, so ist die betreffende Gruppe q) 29, P, 2ap + yq, vp + @yg linear; sie geht überdies durch die Berührungs-Transforma- tion 1-9 p = x"q", re y= y + P 438 Sophus Lie. über in die lineare Grupppe: qp ©q XP — y YP, die wir in Paragraph 7 behandelt haben. Daher können wir hier r>1 annehmen. Wenn eine Gruppe die Gruppe (1) umfasst, so enthält sie jedenfalls eine Transformation X, die die Gleichungen (9; K) = 3 ay Hx, (2) (p, K) = 2 fx Hx, (3) (xq, K) => Vk ET befriedigt. Hieraus schliessen wir, wie in dem vorangehenden Paragraph, dass 2 Kee a | +ëp+ngq gesetzt werden kann. Dabei zeigen die Gleichungen (2) und (3), dass San Bi; n=yati+3araty+öy gesetzt werden kann. Ich bilde die Gleichung (4, K) = — 2rat Ip+tßaipt+ got +02 —rfarly)g wo (aq, K) = 3 a, Hr ist. Also ist æ=0. Man sieht ferner, dass r—1<3, r<4 sein muss, so dass nur die beiden Fälle r=2, und r=3 zu untersuchen sind. Ist r=2, so wird (229, K)=(— 4x + Ba?) p + (60? —26 xy) q, Theorie der Transformations-Gruppen. 439 woraus zunächst folgt, dass 6=0. Es soll nun bestehen eine Relation der Form — 4 xp + 0x? q = 2 px Hy; dies ist indess unmöglich, und daher giebt die Hypothese r=2 keine Gruppe von Berührungs-Transformationen. Ist endlich r=3, so wird (vg, K) = 6 x°?p + 8 xp + Oa? — 3 Ba? y) q woraus folgt dass @=0 ist. Es besteht indess auch jetzt keine Relation der Form —ba?p+öa@®g= 3 ax Hy, und also giebt auch nicht die Annahme r=3 Gruppen von Berührungs-Transformationen. 34. Lass uns endlich betrachten die Gruppe q%q...oqpapyqæp+ræyg, wo r einen jeden Werth haben kann. JÅ Den Fall r=0 behandelten wir in Paragraph 8 Nummer 22; daher können wir hier r>0 annehmen. Ist andererseits r = 1, so ist die betreffende Gruppe 9, 29, P WP. JG &° p+ ©ygq linear; sie geht überdies durch die Berührungs-Transformation über in die lineare Gruppe P Q @qyg ap yp die wir in $ 7 erledigt haben. 440 Sophus Lie. Wir können daher r> 1 annehmen. Die neue Gruppe enthält jedenfalls eine Transformation X, bestimmt durch die Gleichungen (qq K) = 2a, Hy | (1) (p K)= 3 fx Ax (2) (æg K) = 3 yx Ax (3) Also können wir setzen 2 K-* + pt, wo, wie die Gleichungen (1) und (2) zeigen, E=2ax+ By n=yæt!+0æy+3axy+ey? gesetzt werden kann. Es ist (yq, K) a +Bhypt ey? —yatl)g, und (yg K)= K+ 3 px He; also ist a=0,y=0,6=0 und p? Ko ee: Ferner ist (a'g, K) = (— 2r a 14 6 ar) p + (2e ary — rf ar) y)g und (æg, K) => Øk H,, also ist r—1<3 r <4, sodass r gleich 3 oder gleich 2 ist. Theorie der Transformations-Gruppen. 441 Ist r=3, so kommt die unmögliche Gleichung = pr ly =(— 622 + 8 23) p+(2ex°y — 36 x? y) 9, so dass r nicht gleich 3 sein kann. Ist r= 2, so wird = pr Hx=(—4x+ 2?) p+ (2ex?y —2 6 ay), woraus folot e=0,6=0 und 2 eae q Es ist 2 2 Fj ep+2eyg = _ +2yp)=2K, und på å 2 (æ PE æp+2xy9)= x? 7 + 4xyp + 4y?q = K, Die drei gefundenen inf. Transformationen K, K,,K, bilden zusammen mit den sieben Transformationen der vorgelegten Gruppe, wie man leicht verificirt, die zehngliedrige Gruppe | 9, 29, © 9, P, LP, YQ, 2? p+2xyg p? p? De —,æ=—+2yp, © — + Axyp +4y? aa YP, q GER ETAT Es ist dies eben diejenige Gruppe von Berührungs-Transfor- mationen, die wir schon in Paragraph 8 fanden. 8 12. Es giebt Gruppen von Berührungs-Transformationen, die sich nicht in Gruppen von Punkt-Transformationen umwandeln lassen. Im Vorangehenden fanden wir nur drei Gruppen, eine 442 Sophus Lie. sechsgliedrige, eine siebengliedrige und eine zehngliedrige, die wir nicht sogleich in Gruppen von Punkt-Transformatio- nen umwandeln könnten. Wir werden zeigen, dass diese Gruppen sich wirklich nicht in Gruppen von Puukt-Transfor- mationen umwandeln lassen. : 35. Ich betrachte zunächst die sechsgliedrige Gruppe q xq xq p ap å und zeige, dass sie nicht in eine Gruppe von Punkt-Transfor- mationen übergehen kann. Hieraus fliest dann als Corollar, dass unsere siebengliedrige und zehngliedrige Gruppe, welche beide die sechsgliedrige Gruppe als Untergruppe enthalten, sich auch nicht in Gruppen von Punkt-Transformationen um- wandeln lassen. Eine infinitesimale Transformation H-qOQ (ay: giebt den Grössen x, y, p, q bekanntlich Ineremente dw, dy, dp, 69, deren Verhältnisse durch die Gleichungen Or OE DM al di” dA dH in a OR) bestimmt sind. Ich führe die drei Grössen L,Y, — E =2 als neue Variablen ein. Setze ich sodann H=qW(ey>), so kommt Theorie der Transformations-Gruppen. 443 Dementsprechend kommt, wenn z. B. H gleich z?g ge- setzt wird | Setzt man daher df df af de Pay Ta ” so nimmt die Transformation x*q in den Variabeln x, y, z die Form BG) te 24 PPE und also nimmt unsere sechsgliedrige Gruppe in den neuen Variabeln die Form yagtr,a®g+2er, (1) Pp, op — 27, 2ep + 22q\ In der Umgebung von dem Werth-Systeme x = 0, y = 0, z=0 enthält diese Gruppe drei Transformationen nullter Ordnung qd) Pr rt aq und drei Transformationen erster Ordnung (2) 2ar+ x29, ap — ar, 2zp+z?q die durch Wegwerfung der Glieder zweiter Ordnung die fol- sende Form annehmen (3) ET Dm CT zn, CI Dane CC Nun liegen die vom Punkte z=x=y=0 ausgehenden Fortschreitungs-Richtungen dz, dy, dz des Büschels dy — z dæ =0 offenbar in der Ebene z=0. Und andererseits werden die von Origo ausgehenden Geraden der Ebene z=0 von den Transformationen (3) dreigliedrig transformirt. Also werden : die durch Origo gehenden Fortschreitungs-Richtungen des 444 Sophus Lie. Büschels dy — z dx =0 durch die Transformationen (2) drei- gliedrig transformirt. 36. Hiermit ist nachgewiesen, dass es keine lineare par- tielle Differential-Gleichung der Form giebt, die durch die Gruppe (1) invariant bleibt, und dass daher die Gruppe (1) nicht in eine Gruppe von Punkt-Trans- formationen übergeführt werden kann. Also Satz 15. Die sechsgliedrige Gruppe - q æg aq p ap — lässt sich nicht in eine Gruppe von Punkt- Transformationen umwandeln. Hieraus folgt nun sogleich wie früher schon bemerkt die beiden Sätze Sats 16. Die siebengliedrige Gruppe p? q og a 1YTP EP lässt sich nicht eine Gruppe von Punkt- Transformationen um- wandeln. Satz 17. Die zehngliedrige Gruppe q eye? 4 P ep yg “rp + 2% ya, at + 2yp 2 2 P a + dx yp + 4y°q lässt sich nicht in eine Gruppe von Punkt- Transformationen umwandeln. Unsere sechsgliedrige Gruppe enthält fünf inf. Punkt- Transformationen; und es ist unmittelbar einleuchtend, dass Theorie der Transformations-Gruppen. 445 sie nicht durch Berührungs-Transformation in eine neue Gruppe mit mehr als 5 inf. Punkt-Transformationen übergehen kann; denn sonst wäre die neue Gruppe eine Gruppe von Punkt- Transformationen. Unsere siebengliedrige Gruppe enthält sechs inf. Punkt- Transformationen, und kann offenbar nieht durch Berührungs- Transformation in eine neue Gruppe mit mehr als sechs inf. Punkt-Transformationen übergeführt werden. Unsere zehngliedrige Gruppe enthält nur sieben inf. Punkt- Transformationen. Es stellt sich daher die Frage, ob sie durch Berührungs-Transformation in eine Gruppe mit mehr als sieben inf. Punkt-Transformationen übergeführt werden kann. Die Beantwortung dieser Frage liegt implieite in un- seren früheren Entwickelungen. Gäbe es nehmlich eine acht- oder neungliedrige Gruppe von Punkt-Transformationen die in einer mit unserer zehngliedrigen Gruppe aehnlichen Gruppe als Untergruppe enthalten wäre, so müsste diese acht- oder neun-gliedrige Gruppe eine unter denjenigen Formen besitzen, die wir in den Paragraphen 8—11 suceessiv betrachtet haben. Wir trafen aber keine acht- oder neun-gliedrige Gruppe von Punkt-Transformationen, die in einer zehngliedrige Gruppen von Berührungs-Transformationen enthalten wäre. Zu bemerken ist auch, dass die Gruppe q ey &° q p xp yy x? p + 2æ yy die einzige siebengliedrige Gruppe von Punkt-Transformatio- ist, die in einer mit unserer zehngliedrigen Gruppe aebnli- chen Gruppe enthalten ist. QUE Bestimmung aller Gruppen von Berührungs-Transformationen. Es stellt sich nun die Frage, welche weitere Gruppen .von Berührungs-Transformationen es überhaupt giebt. Der 446 Sophus Lie. Weg zur Beantwortung dieser wichtigen Frage ist im Voran- gehenden schon angegeben. 37. Wir fragen zunächst nach Gruppen von Berührungs- Transformationen, die die Gruppe 2 a J, &Y, 4? dy P; =p, umfassen. Eine solche Gruppe enthält jedenfalls eine inf. Transformation X, bestimmt durch die Gleichuugen (1) (4 K) = 2 ax Ay, (2) (p, K) = 2 fx Hi, (aq, K) = 2 yx Ax, (#239, K) = 26, Ay. Die beiden ersten zeigen, dass K die Form DE DE Ra okt en besitzt. Es ist dQ p? te EE NE a woraus folgt 8 =0 und dO p? q dp PTs sodass 3 De YE und å på Ker erg gesetzt werden kann. Es ist aK 335) Ur (aq, K) = x? 7 2 æq dø = Ox Ax, Theorie der Transformations-Gruppen. 447 woraus = bya +5,p+n,19=- 2 Ox Ay, so dass y =0 und Pp? KG sein muss. Dabei zeigen die Gleichungen (1) und (2), dass E=aa®+ßy, n=ypæ"+6y gesetzt werden kann. Zur Bestimmung der Constanten bilden wir wiederum den Ausdruck (x? q, K)=(8—4)x?p + (Oa — 2a x — 26 xy) q der gleich 36, H, sein soll. Da indess £ nicht gleichzeitig gleich 5 und gleich Null sein kann, erhalten wir den folgen- den Satz 2 Satz 18. Ist die Gruppe q, ©9, £79, p, Xp, Å enthalten als Untergruppe in einer Gruppe von Berührungs- Transforma- tionen, so enthält dic neue Gruppe jedenfalls eine inf. Punkt- Transformation, die sich nicht in der vorgelegten Gruppe findet. 38. Sodann fragen wir nach Gruppen von Berührungs- Transformationen, die die Gruppe 2 9,29, ©? 9,49» P; ap tr als Untergruppe enthalten. Die neue Gruppe enthält jedenfalls eine inf. Berührungs- Transformation X bestimmt durch die Gleichungen (9, K) = 3 ax Hy, (5) (p, K) = 3 Bx Hi, (6) (29, K)= 3 yx Hy, (æg, K) = 3 6x Ax 448 Sophus Lie. Hieraus schliessen wir ganz wie in der vorangehenden Num- mer, dass Kan +öp + ng gesetzt werden kann. Dabei zeigen die Gleichungen (5) und (6), dass G- ax? + By, n=ypæ+6æy+py? sind. Es ist (x? q, K) = x? (Øp + 6æ9 + 29Y 9) — 229 a? + ax? + By) oder (224, K)=(8— Daipt 62 = Das Doro welcher Ausdruck die Form > 6, Hy besitzen soll. Dies ist jedoch unmöglich, da £ nicht gleichzeitig gleich 4 und gleich Null sein kann. Dies giebt 2 Satz 19. Ist die Gruppe 7, «7, ©? 9,99, ps xp, = Unter- gruppe einer Gruppe von Beriihrungs-Transformationen, so enthält die neue Gruppe jedenfalls eine inf. Punkt-Transfor- motion, die sich nicht in der vorgelegten Gruppe findet. 39. Es steht zurück alle Gruppen von Berührungs-Trans- formationen zu finden, die eine Untergruppe der Form 97,29 29 Yd p xp EE 7 + 2vpatp+2ayg = æ? B+ doyp +4y? 9 enthalten. Die neue Gruppe enthält jedenfalls eine inf. Transforma- tion X bestimmt durch die Gleichungen Theorie der Transformations-Gruppen. 449 (9, K) = 2a, Ax, (9 K) = 2 fx Hk, (29, K) = 3 yx Hr, (x?q, K) = 2 6x Hy. Die beiden ersten Gleichungen zeigen, dass p? p° Ke gesetzt werden kann. Die dritte Gleichung zeigt, dass ist. Die beiden ersten Gleichungen geben zu Bestimmung von & und 77 Relationen der Form ds ar We ery tm, + Mo + Ma x, d. Gent thy ets a, d =91+9,.0+9,0°+9,y +2m, wy + ay, Fahy thy why æ+h,y+2n, ty. Die Integrabilitäts-Bedingungen 12av=n, +2n,x gat+t2m;æ+2ay=h,+2h;x+2n:y zeigen, dass Nn,;=a=0,n,=0 ist, und dass 3 und 7 die folgende Form besitzen & = ax’ + by n = ca? + day + 3a x’y + ey’. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 29 450 Sophus Lie. Es ist dK dk ; (29, TT ie ser. also kommt 2 æ Vær +bp+dæg+3daxq+2eyq] sp re De æ[2a x 7 + MT 7 +ax+by|= Z yx Ax, woraus folgt, dass a=f=a=e=0, p> K- rs UND CER a) Es ist dk dK 2 = 2 == —— == = (æ*9, K) = x dy 2xq do = 5 Hr woraus 2 a? (bp + dag) — 2xq 8,7 + by) = 36, Hi sodass y=b=d=0 K=c xq. Hiermit ist nachgewiesen, dass eine Gruppe von Beriihrungs- Transformationen, die die vorgelegte zehngliedrige Gruppe umfasst, jedenfalls eine inf. Punkt-Transformation enthält, die sich nicht in der vorgelegten Gruppe findet. Früher haben wir aber gesehen, dass eine jede Gruppe von Berührungs- Transformationen, die eine (3+g) gliedrige Untergruppe von Punkt-Transformationen enthält, selbst eine Gruppe von Punkt- Transformationen sein muss. Also schliessen wir Satz 20. Die vorgelegte zehngliedrige Gruppe ist in keiner grösseren Gruppe enthalten. 41. Hiermit sind unsere Untersuchungen über die Trans- formations-Gruppe der Ebene zum Abschluss gebracht. Wir zusammenfassen unsere Ergebuisse in dem folgenden Satze: Theorie der Transformations-Gruppen. 451 Theorem. Es giebt nur drei Gruppe von Berührungs- Transformationen in der Ebene, die sich nicht in Gruppen von Punkt- Transformationen umwandeln lassen. Als Typen dieser Gruppen kann man die folgenden wählen Mer ap De | 5 p° PRE UPP qæqx"qpæpyg 2 æ?p+2æy9, = + 2yp p? q p? —, x? +4æyp+ 4y*g syd Discussion der gefundenen Gruppen. Ich werde zeigen, dass unsere zehngliedrige Gruppe eine dreifach unendliche Curven-Schaar invariant lässt; man kann insbesondere erreichen, dass diese © Curven alle Kreise der Ebene sind. Ich behaupte, dass die ~* Curven y = A+ Burt Cx? durch eine jede Transformation der Gruppe unter sich ver- tauscht werden, und dass also ihr Inbegriff durch die Gruppe invariant bleibt. Lass mich zunächst diejenige Curve bestimmen, in welche eine vorgelegte Curve y =f (x) 29* 452 Sophus Lie. vermöge einer inf. Transformation H übergeführt wird. Be- zeichne ich mit z,y die Coordinaten eines Punkts der vorge- legten Curve, mit =‘ y‘ die Coordinaten der neuen Lage die- ses Punkts, so ist, wenn man von inf. Grössen zweiter Ord- nung wegsieht, NEN y-y dq’ ee c= ‘dp’ wo & eine infinitesimale Grösse bezeichnet. Es ist ferner Setzen wir nun H=g. Wey") = W (xy so kommt und also hat die transformirte Curve die Gleichung ‘ 7 df dW ESA =f(æ SEG dz!’ wo überall statt z die Grösse — f’ (æ‘) zu setzen ist. Also ist y-f@)—eW die neue Curve Lass uns z. B. annehmen, dass Theorie der Transformations-Gruppen. 453 ist. Also geht die Curve y=/(x) durch die Transformation = über in die Curve | HSE Wir werden jetzt successiv die zehn inf. Transformationen unserer Gruppe auf die => Curven y= A+ Bart Cx? =f (x) -ausfiihren und dadurch nachweisen, dass jede Curve jedesmal in eine Curve derselben Schaar übergeführt wird. 1) Lass uns zunächst die inf. Transformation g betrachten. In diesem Falle ist Wiayz)=1 und y=f(æ) —-..1=-4A-e+Ba+ (a? die Gleichung der transformirten Schaar, die somit mit der vorgelegten identisch ist. 2) Darnach betrachten wir die inf. Transformation zg. Alsdann ist ; W(æyz)=xæ, und y=f(æ) —eæ= A+(B — s)æ+ Cx? die Gleichung der transformirten Schaar, die auch jetzt mit der vorgelegten identisch ist 3) Sei H = x?q, W= x?; alsdann ist "y=f(a) — sx? - A+ Bx+(C— 8) x? die transformirte Schaar, die mit der vorgelegten identisch ist. 4) Sei H=p, W=— 2; die transformirte Schaar y = f(x) — Ef‘ (2) 454 Sophus Lie. oder ausgeführt y= A—eB+(B—2eC)x+Cx? ist mit der vorgelegten identisch. 5) Sei H=ap, W=— xz; die transformirte Schaar y =f (@) — sx f(x) = A+(B— € B)x+(C—2eC) x? ist mit der vorgelegten identisch. 6) Sei H=yq, W=y die transformirte Schaar (1+e) y = f(x) = A+ Bat Ca? ist mit der vorgelegten identisch. 7) Sei HE W=2"; die transformirte Shaar V= SE = Å — & B? + (B — 4e BO) æ + (CO — 4e C?) x? ist mit der vorgelegten identisch. 8) Sei H = x°p+22ygq W = œ?2 + 2xy; die transformirte Schaar y =f (a) - e[— a? f' (a) + 2ay] -A+(B—2eA)x+(C—eB)a? ist mit der vorgelegten identisch. 9) Sei Theorie der Transformations-Gruppen. 455 2 H- a + 2yp, W = x2? + 2y2. Die transformirte Schaar y =f (x) — & (a2? + 2yz) oder y=(A+28 AB)+x(B+eB?+4e AC) +æ?(C+2eBC) ist mit der vorgelegten identisch. 10) Sei endlich 2 H- a7, +4ayp+4y%q, W = x? 22 +4Aayz +4y?. Die transformirte Schaar y =f (x) — Ee(x? 2? +4xyz+4y?) erhält durch Ausführung die Gleichungsform y= A — 48 A? + (B — 48 AB) å + (0 — & B2) a? und ist somit mit der vorgelegten Schaar identisch. Hiermit ist wirklich nachgewiesen, dass die Curven- Schaar y = À + Bx + Cx? durch die Transformationen unserer zehngliedrigen Gruppe invariant bleibt. 42. Man kann sich die Aufgabe stellen, überhaupt die- jenigen Curven-Schaaren zu bestimmen, die durch eine vorge- legte Gruppe invariant bleiben. Bei einer anderen Gelegen- heit werde ich auf diese Frage, die für die Theorie der Dif- ferential-Gleichungen von Wichtigkeit ist, die ich übrigens schon längst angeregt habe, näher eingehen. Hier beschräncke _ sich mich auf die folgenden Bemerkungen. Dass die Gruppe 456 | Sophus Lie. 5 q xq x*q p ap keine zweifach unendliche Curven-Schaar invariant lässt, liegt schon darin, dass die Gruppe nicht in eine Gruppe von Punkt- Transformationen übergehen kann. Lass mich versuchen, die allgemeinste dreifach unendliche Curvenschaar, die bei der sechsgliedrigen Gruppe invariant bleibt, zu bestimmen. Sei le) eine Curve der Schaar. Auf dieselbe führe ich die inf. Trans- formation AugtA,ag+A,@®g+Ayg aus. Hierdurch erhalte ich die benachbarte Curve y=f(æ) — eE(A, ta, ata, wv? +dAy) deren Gleichung ich folgendermassen schreibe 1 € Se — == 3 Y= ØSE oder indem ich setze: =] ie Tek Boa a Ks ist klar, dass die letzte Gleichung immer eine Curve der Schaar darstellt, welche Werthe auch die Parameter px besitzen mögen. Nun aber enthält die letzte Gleichung vier Parameter, während die Curven-Schaar nur ~* Curven ent- halten soll. Daher schliessen wir dass es jedesmal unendlich viele Werth-System u, giebt, die dieselbe Curve darstellen. Bezeichne ich mit x und ‘x zwei solche aequivalente Werth-Systeme so ist Theorie der Transformations-Gruppen. 457 nun Zu Rz x”) = yl Or TG pod Bean? bue x?) woraus mit er folgt, dass f (x) die Form 4A+Bx+Cx” besitzt. Also Satz 21. Die Curven-Schaar y = A+ Bx + Cx? ist die einzige dreifach unendliche Curven-Schaar, de bei der Gruppe q xq x? q yq invariant bleibt. Corollar. Die Curven-Schaar y = À + But Ca? ist zu- gleich die einzige dreifach unendliche Curven-Schaar, die mög- licherweise invariant bleibt bei einer Gruppe, die eine invariante Untergruppe der Form 9, xq, x? q yq besitzt. 43. Ich werde jetzt die allgemeinste vierfach unendliche Curven-Schaar bestimmen, die bei der Gruppe | - gx9xqyqp invariant bleibt. Sei y = (2) eine Curve der Schaar. Dieselbe geht durch die infinitesi- male Transformation A,gJ+A, øq+A,æJ+X, Yg+ AM, p über in eine Curve mit der Gleichungsform y=af(x)+ 860 +8: 2+ 822? +7yf"(x) Soll daher die Curven-Schaar nur x? Curven enthalten, so muss eine Relation der Form df da bestehen. Hiernach findet man f(x) durch Integration dieser linearen Differential-Gleichung. =pf+vy+viæ+v, x? 458 Sophus Lie. Durch Betrachtungen dieser Art findet man leicht eine jede Curven-Schaar, die zu einer vorgelegten Transformations- Gruppe der Ebene in invarianter Beziehung sieht. | Und also ist es auch möglich eine jede Differential-Glei- chung (1) flæyy...y%)=0 anzugeben, die eine vorgelegte Transformations-Gruppe ge- stattet. Auf diese Bemerkung habe ich eine rationelle Behand- lungsweise aller Gleichungen (1), die überhaupt eine Transfor- mationsgruppe gestatten, begründet, wie ich bei einer ande- ren Gelegenheit ausführlicher zeigen werde. (Vergleiche Göt- tinger Nachrichten, 1874, Nr. 22). Auf unsere zehngliedrige Gruppe führen wir die Berüh- rungs-Transformation q' =p p' -V pq Og |æ-2V1 RER Å (= æ J» aus. Hierdurch nimmt unsere Gruppe die Form 949 y°q p ap «’p V 9.9 V pq, « VV pg, xy V pg Theorie der ‘lransformations-Gruppen. 459 Die invariante Curven-Schaar') y'= A + Bæ' + Ca? geht durch die Berührungs-Transformation (2) über in eine bei der neuen Gruppe invariante Curven-Schaar. Um dieselbe zu finden führen wir die Berührungs-Transformation (2) aus auf die beiden Gleichungen y= A+ Ba'+Cx"” und eliminiren darnach zwischen den hervorgehenden Glei- chungen a > LA —V-p+20.%y v! die Grösse I. Die hervorgehende Gleichung 4Cxy+x+(B—44C)y—A=0 definirt alle 3 Kegelschnitte die die beiden Punkte | 22= | y, =0 gemein haben. Verlegt man sodann durch eine homographische Trans- formation a= a Hiy" Ye Ep bY die beiden gemeinsamen Punkte zu den beiden Kreispunkten, so gehen die »” Kegelschnitte über in die ~* Kreise der Ebene. Also 1) Diese Curven-Schaar besteht aus allen «>> Kegelschnitten, die ein ge- meinsames Linien-Element enthalten. 460 Sophus Lie. Satz 22. Als Typen derjenigen Gruppen, die sich nicht in Gruppen von Punkt- Transformation umwandeln lassen, kann man die zehngliedrige Gruppe, die alle Kreise in Kreise um- wandelt zusammen mit einer siebengliedrigen und einer sechs- gliedrigen Untergruppe derselben wählen.*) Christiania, 15de October 1878. 1) In drei bald erscheinenden Abhandlungen gebe ich 1) eine neue Classifi- cation der Flächen nach der Transformationsgruppe ihrer geodätischen Curven, 2) die Bestimmung aller Flächen, deren Haupttangenten-Curven jedesmal einem linearen Complexe angehören, 3) die Bestimmung aller Minimalflächen, die durch Translationsbewegung einer reellen oder imaginä- ren Curve erzeugt sind. [Man erhält die allgemeinste Minimalfläche, deren geodätischen Curven eine conforme inf. Transformation gestatten, wenn man setzt: F(s)=(C, +i0,)sw, tim,. Diese Fläche ist eine Spiralfläche]. Die Bestimmung der geodätischen Curven einer Fläche, die auf eine Spiralfläche abgewickelt werden kann, verlangt nach meinen alten Theo- rien die Integration einer Gleichung 1. 0. Für alle andere Flächen, deren geodätische Curven eine inf. Transformation gestatten, verlangt diese Bestimmung nur Quadratur. NYE BIDRAG TIL KUNDSKABEN OM MIDDELHAVETS INVERTEBRATFAUNA. AF G. O. SARS. Er Middelhavets Cumaceer. I dette Archivs 1ste Aargang har jeg under ovenstaaende Hovedtitel paabegyndt Publikationen af en Rekke af Afhand- linger, hvori jeg agter at nedlægge Resultaterne af de Undersögelser, jeg havde Anledning til at anstille over Mid- delhavets Fauna i Vinteren 1876. Min forste Afhandling om- handlede en til de langhalede Krebse hørende Familie, Mysidæ, og jeg paaviste her, at Middelhavet slet ikke er saa fattigt paa disse elegante Smaakrebse, som man, efter hvad der tidligere var bekjendt, skulde formode. I den nu folgende Afhandling kommer jeg at behandle en anden meget eiendommelig Gruppe af Krebsdyr, om hvilke man har havt en endnu langt ufuldstendigere Kundskab, idet selv ikke en eneste Repræsentant hidtil har været paavist fra Middel- havet. Cumaceerne, disse mærkværdige og isoleret staaende inter- essante Smaakrebse, vare længe alene kjendte fra de nordlige Have, indtil jeg i 1873 ved Prof. Lovéns Velvillighed saa mig istand til at paavise flere tildels eiendommelige Former 462 .G.0. Sars. ogsaa fra sydligere Have, deriblandt adskillige fra Vestindien, indsamlede af Dr. A. Go&s.!) At Middelhavet ganske og al- deles skulde mangle Repræsentanter af denne Gruppe, ansaa jeg derfor paa Forhaand for lidet rimeligt, og under mit Ophold i Syden Vinteren 1876 havde jeg derfor ogsaa min Opmærksomhed specielt henvendt paa denne interessante Krebsdyrgruppe. Resultatet af disse Undersøgelser har, saa- langtfra at skuffe mig, meget mere overtruffet mine dristigste Forventninger, idet det har lykkets mig at finde frem og nøi- agtig undersøge ikke mindre end 23 vel udprægede Arter af Cumaceer. Flere af disse ere identiske med Former, tidligere observerede ved de Britiske Øer og tildels ogsaa ved Norges Kyster; en Del synes derimod, saavidt vor Kundskab for Tiden strækker sig, at være eiendommelige for Middelhavet. Da de britiske Former endnu kun ere meget ufuldstændigt kjendte og der af de norske Former hidtil kun er leveret korte latinske Diagnoser, skal jeg i det føgende udførligt beskrive og afbilde samtlige af mig i Middelhavet fundne Arter af denne Gruppe. De fleste af disse foreligge i talrige Exemplarer af begge Kjøn, og jeg har herved seet mig istand til, paa faa Undtagelser nær, at foretage af alle en omhygge- lig anatomisk Undersøgelse samt nøiere paavise den mærke- lige Forskjel, som de fuldt udviklede Hanner ialmindelighed . vise fra Hunnerne, en Forskjel, der endog har givet Anled- ning til Opstillelse af flere nominelle Slægter. Da de fleste tidligere bekjendte Typer ere repræsenterede i Middelhavet, har jeg i nærværende Afhandling for første Gang forsögt en høiere Inddeling af Cumaceerne, idet de forskjellige Slægter ere grupperede under særegne Familier, af hvilke en kortfattet Characteristik er vedføiet. Alene en af disse Familier, Fam: Lampropide, mangler hidtil Repræ- sentanter i Middelhavet. Jeg vedføier længere nedenfor til 1) G. O. Sars, Beskrivelse af syv nye Cumaceer fra Vestindien og det syd- atlantiske Ocean. Kgl. Svenska Vetensk. Akad. Handl. Bd. 11. Middelhavets Cumaceer. 463 lettere Oversigt en systematisk Fortegnelse over samtlige hidtil kjendte Cumaceslægter, indordnede under de repektive Familier. Det mest udmærkende Træk ved Cumaceernes Organisation er ubestridelig det eiendommeligt udviklede Gjelleapparat. Med Hensyn til Tydningen af dette, saa maa jeg fremdeles fastholde min tidligere Opfatning, hvoretter det hovedsageligt sammensættes af den modificerede Vifte paa lste Par Kjæve- fødder. Den fortilløbende Streng med sit eiendommelige Ventilationsapparat synes derimod at være fremkommen ved en endnu videre gaaende Modifikation af Exognathen (Svøm- megrenen). Dette bliver tydeligt ved en Sammenligning med det 1ste Kjævepar hos Schizopoderne (se min tidligere Afhand- ling: Middelhavets Mysider). Her finde vi alle Dele igjen. Viften har ogsaa her Formen af en bagudrettet membranøs Plade af tildels en meget lignende Form som hos Cumaceerne. Derimod har Exognathen bibeholdt sin oprindelige Form som en leddet Svømmegren. Jeg har tidligere antaget, at Cuma- ceerne ingen adskilte Gjellehuler havde, men at den hele forreste, af Rygskjoldet omsluttede Del af Kropscaviteten tjente som en saadan. Efter fornyede Undersøgelser tror jeg dog at have bemærket, at en tynd Membran i Virkeligheden afgrændser Gjellehulerne til hver Side fra det mediane Parti af Kropscaviteten, der hovedsageligt indtages af den forreste Del af Ernæringskanalen med sine til hver Side knippevis ordnede Galdekar. Udvendigt paa Rygskjoldet er Branchial- regionerne ialmindelighed ved 2 longitudinelle noget bøiede Linier, hvis Convexitet vender mod hinanden, afgrændsede fra den i Midten særdeles smale Regio gastero-hepatica. Hvad endelig Benævnelsen af Lemmerne hos Cumaceerne angaar, saa har jeg troet at burde fremdeles holde paa den Kröyer- ske Opfatning, hvorefter der adskilles som hos Decapoderne 3 Par Kjævefødder og 5 Par Fødder. 1ste Fodpar stemmer vistnok i sin Bygning meget nær overens med 3die Par Kjæ- 464 G. O. Sars. vefsdder; men saavel ifölge sin Stilling som den sterke Ud- vikling, det sædvanligvis opnaar, skiller det sig dog aabenbart fra de egentlige Munddele og synes ganske saavel i morpho- logisk som physiologisk Henseende at svare til de saakaldte Fangarme hos Decapoderne. 2det Fodpar indtager i Form og tildels Function en intermedier Stilling mellem dette Par | og de 3 fölgende Fodpar, der ere de egentlige Gang- eller vel snarere Gravefødder. Hvad Cumaceernes systematiske Stilling angaar, saa har her som bekjendt to forskjellige Anskuelser gjort sig gjæl- dende. Den ene af disse repræsenteres af Krøyer, der i Lig- hed med Goodsir og flere betragter dem som virkelige Deca- poder, den anden af A. Dohrn, der væsentlig paa Grund af Udviklingen stiller dem nær ved Isopoderne. Jeg selv har tidligere nærmest bekjendt mig til Kröyers Opfatning og kan fremdeles ikke bekvemme mig til at regne dem til de saa- kaldte Edriopthalmia eller Arthrostaca, med hvilke de i Vir- keligheden kun vise liden Overensstemmelse. For nærværende skulde jeg være helst tilbøjelig til at betragte dem som repræ- senterende en egen større Afdeling af de høiere Krebsdyr (Malacostraca), midt imellem Thoracostraca og Arthrostraea, dannende et naturligt Bindeled mellem begge. De min Afhandling vedføiede Plancher ere ogsaa denne- gang udførte ved Hjælp af Autographi, en Methode, som jeg fremdeles med Hensyn til praktisk Anvendelighed maa sætte langt over alle lignende Methoder, Heliotypien iberegnet. Habitusfigurerne ere paa sædvanlig Vis udferte i Crayon-Ma- neer. Derimod har jeg fundet det mere bekvemt at anvende Pen og Tusch ved Udførelsen af Detailfigurerne. Ved samt- lige Figurer er Camera lucida anvendt, og jeg tør saaledes indestaa for deres størst mulige Correcthed. De af mig i den her omhandlede Retning nøiere under- søgte Punkter ved Middelhavet ere fölgende: Middelhavets Cumaceer. 465 Paa Sydsiden af Middelbavet: Goletta (Tunis’s Udhavn): Paa Sicilien: Siracusa og Messina. Paa Italiens Fastland: Neapel og Spezia. Fra alle disse Lokaliteter har jeg Cumaceer, dels litto- rale, dels Dybvandsformer. De større Dybder nedenfor 50F. kunde jeg desværre af Mangel paa dertil hensigtsmæssige Apparater ikke undersøge. Rimeligvis vil en nøiere Under- søgelse af disse endnu bringe mange nye Former for Lyset, og det er heller ikke rimeligt, at jeg under mit forholdsvis kortvarige Ophold i Syden skulde have faaet fat paa samtlige de paa grundere Vand forekommende Former. At derfor en fortsat Undersøgelse i denne Retning endnu vil give gode Resultater, kan jeg ikke betvivle. Dispositio systematica generum Cumaceorum hueusqve cognitorum. Fam. 1. Cumide. Cuma, Edw. Stephanomma, G. O. Sars. Cyclaspis, G. O. Sars. Iphinoë, Sp. Bate. | gren Cumopsis, n. Fam. 2. Vaunthompsondüe. — 6. Vaunthompsonia, Sp. Bate. ?— 7. Leptocuma, G. O. Sars. Fam. 3. Lampropide. — 8. Lamprops, G. 0. Sars. — 9. Platyaspis, G. 0. Sars. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 30 466 G. O. Sars. Fam. 4 Leuconide. Gen. 10. Leucon, Kröyer. — 11. Eudorella, Norman. Fam. 5. Diastylide — 12. Diastylis, Say. — 13. Leptostylis, G. O. Sars. Fam. 6. Pseudocumide. — 14. Pseudocoma, G. O. Sars. — 15. Petalopus, G. O. Sars. Fam 7. Campylaspide. — 16. Campylaspis, G. O. Sars. Fam. 8. Cumellide — 17. Cumella, G. 0. Sars. — 18. Nannastacus, Sp. Bate. Genera incertæ sedis. Gen. Strauchia, Czernikowski. — Olbia, Mareussen. — Chalarostylis, Norman. — Spencebatea, Norman. Genera spuria: — Condylura, Lamk. = Diastylis, Say. — Bodotria, Goodsir = Cuma, Edw. (mas adult). — Alauna, Goodsir = Diastylis, Say. | — Eudora, Sp. Bate = Eudorella, Norm. — Halia, Sp. Bate = Iphinoë, Sp. Bate. Middelhavets Cumaceer. 467 Gen. Venilia, Sp. Bate | = Iphinoé, Sp. Bate (mas — Oyrianassa, Sp. Bate | adult). — Diops, Paulisson = Nannastacus, Sp. Bate. Fam. 1. Cumidæ. Corpus posticum ab antico haud distincte definitum, seg- mentis in femina gracillimis, subeylindrieis, in mare crassiori- bus et epimeris distinetis præditis. Antenne superiores flagellis brevibus, altero minimo et rudimentari; inferiores in femina parvæ, biarticulatæ, in mare bene evolutæ, divisione postica partis basalis ex articulis 2 distinetis composita, flagello filiformi in articulos numerosos breves diviso. Mandibule bene evolutæ, extremitate antica (ineisiva) ex- serta et distinete dentata, processu molari magno et crasso, setis intermediis numerosis et arcte appressis. - Maxillæ posteriores palpo distineto bilobato instructe. Apparatus branchialis bene evolutus, branchiis foliiformi- bus dense seriatis, parte antica in fronte rostri sqvamulis 2 in- crustatis et mobilibus prædita. Maxillipedes 3tii paris magni, articulis ex parte dilatatis, ramo natatorio instructi. Pedes solummodo 1mi paris natatorii; ceteri et in mare et in femina simplices ramis natatoriis carentes. Pleopoda maris omnia bene evoluta et longe setifera, bi- ramea, ramo altero bi- altero uniarticulato. Telson nullum. Foruden de nedenfor opförte Slægter hgrer herhen endnu den af mig for en vestindisk Form opstillede Slægt Stephanomma. Characteristisk for Familien er navnlig Man- 30* 468 G. O. Sars. gelen af Svømmegrene paa de 4 bageste Fodpar hos begge Kjen samt de hos Hannen paa samtlige Bagkropssegmenter udviklede Lemmer, hvilken sidste Character Familien dog deler med den næstfølgende Fam. Vaunthompsoniide. Gen. 1. Cuma Edw. (inelus: gen. Bodotria, Goodsir). Integumenta durissima structura distincte sqvamosa. Scutum dorsale Supine plane non arcuatum, lateraliter plus minusve distinete carinatum, rostro brevissimo et obtuso, fere nullo. Segmenta pedigera 4 modo pone seutum nuda apparent, j»un in femina permagnum. Oculus bene evolutus lentibus pluribus ornatus. Antenne superiores breves, articulo basali magno et crasso, flagello longiore biarticulato, appendicibus olfactoriis 2 termi- nalibus, in mare ad basin aliis 2 instructo; inferiores feminæ - minimæ, articulo basali setis 3 plumosis ornato, maris corpo- ris longitudinem æqvantes. | Labium lobos terminales membranceos obtuse rotundatos et subtiliter ciliatos præbens. Maxillipedes 3% paris magni, articulo basali extus ad apicem in processum laminarem setiferam excurrente, seqven- tibus sat dilatatis. Pedes 1% paris haud elongati, articulo basali ad api- cem seta una longa ornato, ceteris tenuibns fere nudis; 2% paris 5-articulati; seqventes tenues et sparse pilosi. Uropoda ramis brevibus sublinearibus exteriore biarticu- lato, interiore bi- vel uniarticulato, trunco in femina simplice, in mare intus setis et aculeis ornato. Middelhavets Cumaceer. 469 Typen for denne Slægt er den af Montagu først beskrevne Cancer Astacus scorpioides, som senere blev gjenfunden af Milne Edwards ved Frankriges Vestkyst og af ham beskrevet. som en ny Slægt og Art under Benævnelsen Cuma Audouini. Som det gjerne pleier at gaa i lignende Tilfælde, har den af Milne Edwards anvendte Slægtsbenævnelse Cuma senere været brugt paa en hel Del forskjelligartede Former; ja enkelte Autores har endog lige til den nyeste Tid fremdeles anvendt den for samtlige Cumaceer uden Undtagelse. I den Begrænds- ning, hvori denne Slægt her tages, indbefatter den kun 2 af de tidligere observerede Cumaceformer, nemlig Cuma scor- pioides Mont. og den nedenfor nærmere omtalte Cuma Ed- wardsit Goodsir. Hertil kommer imidlertid nu 2 vel udpræ- gede nye Arter fra Middelhavet, hvorved altsaa Tallet af Arter for Tiden beløber sig til 4. Arterne af denne Slægt ere af en temmelig kort og un- dersætsig Kropsform og udmarkede ved det oventil horizon- - tale eller noget indtrykte samt til Siderne mere eller mindre tydeligt kjølede Rygskjold, den rudimentære Beskaffenhed eller rettere fuldkomne Mangel af det hos andre Cumaceer tydelige 1ste frie Forkropssegment samt ved de usædvanlig haarde og tydeligt skjællede Integumenter. Hannerne ere som sædvanlig af slankere Kropsform end Hunnerne og des- uden let kjendelige fra disse ved de stærkt forlængede traad- formige nedre Antenner og ved de paa samtlige Bagkrops- segmenter udviklede Lemmer. De have tidligere været gene- riskt skilte fra Hunnerne og henførte til Slægten Bodotria, Goodsir, hvilken Slegt altsaa maa stryges af Systemet. Sleg- ten synes idethele at være sydlig i sin Udbredning. Kun en af Arterne, Cuma scorpioides, gaar nordlig til Norges sydvest- lige Kyst og er her temmelig sjelden.*) 1) Den af mig tidligere opstillede Art Cuma pusilla maa stryges, da jeg nu holder det af mig undersøgte Exemplar alene for et ganske ungt Individ af C. scorpioides. 470 G 0. Sars. 1. Cuma Edwardsii, Goodsir. (Tab. 1—3). Cuma Edwardsii, Goodsir, Edinburgh new philosophieal Journal 1843, Vol. XXXIV, pg. 123, pl. 2, fig. 1—13. Cuma Audouini, Bell, Britisch stalk-eyed Crustacea, pg. 328. Charact. spec: Corpus feminæ sat abbreviatum, maris gracilius. Scutum dorsale utringve carina horizontali sat elevata in femina per segmenta libera corporis antici continuata, in mare etiam in corpore postico distincta instructum, margine superiore omnino recto, rostro brevi lineæ dor- sali continuo. Segmenta pedigera dorsaliter leviter carinata. Maxillipedum 2di paris articulus basalis extus aculeis 6 fortibus armatus. Uropoda segmentis 2 ultimis junctis longitudine circiter æqvalia, ramis dimidia parte trunci longioribus, interiore distincte biarticulato, articulo 1™° intus in femina aculeis 4 armata. ; Color pallide fulvus maculis fuscis hic et illic variegatus. Longit. feminæ: 4.3°™; maris: 5 mm, Beskrivelse af Hunnen. Kropsformen er (se Tab. 1, fig. 1 og 2) pus kort og undersætsig og Integumenterne særdeles haarde og stærke, Legemet derfor kun lidet gjennemsigtigt. Farven er bleg gulagtig med nogle enkelte brunlige Pig- mentansamlinger hist og her, saavel paa Rygskjoldet som paa den bageste Del af Jer og paa Bagkroppens 4de Segment. Forkroppen er især hos de ægbærende Hunner noget op- svulmet, næsten ægformig, men afsmalnes ganske successivt bagtil, hvor den uden nogen skarpt markeret Grændse gaar over i Bagkroppen. Den viser 3 tydelige Længdekjøle, en dorsal, der tildels ogsaa lader sig forfølge langs ad Bagkrop- pen, og paa hver Side en nogenlunde stærkt fremspringende Middelhavets Cumaceer. 471 lateral Kjel, der laber temmelig horizontalt fra den forreste Ende af Rygskjoldet langs efter dettes Sider, noget nærmere den dorsale Flade, og fortsættes bagtil over de frie Forkrops- segmenter, idet den der skiller disses Sidedele eller Epimerer fra den dorsale Del. Rygskjoldet er temmelig stort, ikke ubetydeligt længere end de frie Forkropssegmenter tilsammen. Dets øvre Contour er ganske lige og horizontal, medens Sidedelene nedad danne en temmelig stærk Krumning. Rostrum er særdeles kort og stumpt, ovenfra seet næsten tvært afkuttet, og ligger i lige Flugt med Ryglinien. Under det danne de frie Sidekanter af Rygskjoldet paa hver Side et lidet vinkelformigt Indsnit, hvorfra de øvre Antenner rage frem. Som Følge af Rostrums Korthed ligger Pandeloben helt fortil. Som hos andre Cuma- ceer skilles denne fra den øvrige Del at Rygskjoldet ved en tydelig markeret bagtil i 2 divergerende Grene udgaaende Fissur. Ved Enden af Pandeloben ligger det uparrede Syns- organ som en svagt fremspringende med mørkt Pigment fyldt Knude, paa hvis Overflade flere hvælvede Corneæ have sin Plads, ordnede saaledes, at en noget større central omgives krandsformigt af 8 andre. Af frie Forkropssegmenter ere kun 4 tydeligt udviklede, idet det hos de fleste øvrige Cumaceer tydelige 1ste Segment, der bærer 1ste Fodpar, her ganske mangler eller ialfald er tilstede i en saa aldeles rudimentær Form, at det ganske kan sættes ud af Betragtning. Det umiddelbart bag Rygskjoldet følgende Segment svarer saaledes til 2det frie Forkropsseg- ment hos andre Cumaceer. Det er meget stort, baade høiere og længere end nogen af de øvrige og har en tydeligt frem- springende dorsal Kjøl, der dog ikke danner nogen Fortsats saaledes som hos fölgende Art. Det følgende Segment er omtrent halvt saa langt og er temmelig fast forbundet med 472 ‚& O. Sars. med hint. Derimod ere de 2 sidste Segmenter oventil ved dybe Indsnøringer skilte fra hinanden. Bagkroppen er særdeles tynd og spinkel og, naar Hale- vedhængene fraregnes omtrent af Forkroppens Længde. Den bestaar af 6 temmelig regelmæssigt cylindriske Segmenter, hvoraf det næstsidste er længst. Sidste Segment (se Tab. 3, fig. 5) danner bagtil i Midten et stumpvinklet Fremspring, der hvælver sig ud over Analaabningen, uden at der dog er nogen Del begrændset, der kunde gjælde for noget Rudiment af et midterste Halevedhæng. | De ovre Antenner (Tab. 2, fig. 1) bestaa af et 3leddet Skaft og 2 fra Enden af dette udgaaende rudimentære Svøber. Skaftets første Led er meget stort og tykt, omtrent af samme Længde som de 2 følgende Led tilsammen, og af en uregel- mæssig, noget sammentrykt Form. De 2 følgende Led ere cylindriske og det sidste længst; ved Enden bærer ethvert at disse Led nogle af de eiendommelige saaka'dte Hørebørster, særdeles tandre børsteformige Vedhæng, der vise en liden knude- formig basal Udvidning og i Enden ere forsynede med nogle lange divergerende Cilier (se fig. 2). Af Svøberne (ibid.) er den ene aldeles rudimentær, kun dannende en ubetydelig Tu- berkel, der foruden 3 simple Børster bærer paa Spidsen en enkelt Hørebørste. Den anden Svøbe er omtrent halvt saa lang som Skaftets sidste Led og bestaar af 2 tydelige Led, hvoraf det sidste er kortest og bærer i Enden 2 stærkt ud- viklede mangeleddede Lugtevedhæng, foruden nogle simple Børster. De nedre Antenner (Fig. 3, bb) ere neppe større end de øvre Antenners Basalled og bestaa af en uregelmæssigt formet noget bøiet Grunddel, der i sin forreste Kant bærer 3, ial- mindelighed tilbageslaaede Fjærbørster, og et ganske lidet cylindriskt Endeled, fra hvis afkuttede Spids udgaa 4 diver- gerende Hørebørster. Middelhavets Cumaceer. 473 Overleben (Fig. 3, a) danner en liden afrundet, i Enden fint haaret Lap mellem Roden af de nedre Antenner. Underlæben (Fig. 5) er temmelig stor og af membranøs 2 Beskaffenhed, dybt tvekløftet, med enhver af Endeloberne jevnt afrundede og i Kanten fint cilierede. Den støttes af en tværgaaende Chitinliste ved Basis, hvorfra udgaa 2 noget buede Grene ud i Endeloberne. Kindbakkerne (Fig. 4) ere meget haarde og sprøde, derfor vanskelige at faa udpræparerede hele. De bestaa hver af et kileformigt Corpus, der indad viser en dyb Indhuling, hvori de stærke Adductormuskler ere fæstede, og to divergerende Grene. Den ydre af disse, som gaar i Flugt med Corpus viser indad en noget tilskjærpet Kant, hvortil er fæstet en - tæt Rad af bøiede tornformige Børster; Enden er stærkt ud- dragen og afsmalnende samt noget forskjellig paa høire og venstre Kindbakke. Paa høire er den enkelt og delt i 3 korte Tænder; paa venstre er den derimod dobbelt eller forsynet med en bevægelig ligeledes tandet fortilrettet Fortsats. Den anden Gren, den saakaldte Tyggeknude, udgaar fra Kindbak- kens Corpus under en ret Vinkel indad og er af en tyk, eylin- drisk Form, i Enden noget skraat afkuttet og her forsynet med talrige rekkevis ordnede Knuder og korte Torner. 1ste Par Kjever (Fi . 6) bestaa hver af en tyk musku- las Grunddel, hvorfra udgaa 3 Grene. 2 af disse ere rettede — fortil og indad, medens den 3die retter sig lige bagud. Af de forreste Grene er den yderste størst og danner den umid- delbare Fortsættelse af Grunddelen; den er jevnt afsmalnende mod Enden, der er noget skraat afskaaret og bevæbnet med talrige i flere Rader staaende stærke Torner samt i den ydre Kant nær Spidsen med en kort cilieret Børste. Den indre Gren (b) (Palpen), der delvis dækkes af den anden, er mindre og smalere samt paa den tvert afskaarne Ende forsynet med 4 ejendommeligt formede tynde Torner. Den 3die Gren (e) (Viften) udspringer ved den ydre Side af Grunddelen og er, 474 G. O. Sars. som ovenfor anført, modsat de 2 avrige, rettet lige bagtil. Den er af en særdeles smal, lineær Form, dobbelt saa lang som de øvrige og bærer paa Enden 2 ulige lange baandfor- mige med i forskjellige Retninger bøiede Sidehaar forsynede Børster. I det indre af denne Gren bemærkes en lang og smal, tydelig tværstribet Muskel, hvorved denne Gren bevæges. 2det Par Kjæver (Fig. 7) ere noget mindre end de 1ste Par og af mere membranøs Beskaffenhed. Vi kunne adskille paa dem de samme Dele som paa Iste Par, men under et meget forandret Udseende. Grunddelen er af triangulær Form og gaar fortil over i en noget smalere, skjævt afskaaren og med lange krummede Børster besat Endedel (a) (den egentlige Kjævedel). Langs den indre, noget udbuede Kant af Grund- delen er fæstet en tæt Rad af cilierede Børster; fra den mod- : satte ydre Rand udgaar en særdeles tynd og gjennemsigtig Plade (c), der forestiller Viften Palpen endelig (b) danner et med den nedre Flade af Grunddelen bevægeligt forbundet Appendix, der igjen bestaar af 2 indbyrdes med hinanden bevægelige Lober, paa hvis skraat afskaarne Ende er fæstet en Rad af 6—8 noget krummede og i den ene Kant tet saug- | takkede Torner. Iste Par Kjevefodder (Fig. 8, a og Fig. 9) danne en en- kelt, noget sammentrykt og uregelmæssigt vreden Stamme, der er sammensat af 5 tydelige Led. Grundleddet er størst og gaar indad ud i en kort fortilrettet og i Enden afstumpet Fortsats eller Lap, hvortil er fæstet en Del korte tildels cilie- réde Torner; langs den indre Kant bemærkes desuden en Rad af længere cilierede Børster og helt fortil 2 eiendomme- lige hageformige Torner, der gribe ind mellem de tilsvarende paa den anden Kjævefod hvorved begge ligesom hægtes sam men. Af de øvrige Led er det 2det det største, pladeformigt og langs den indre tilskjerpede Kant bevæbnet med en Rad af bøiede Torner foruden en hel Del fine Haarbørster. Nest- sidste Led gaar indad ud i en stump Fortsats, hvortil er fæ- Middelhavets Cumaceer. 475 stet 3—4 cilierede Børster. Sidste Led endelig er meget lidet og paa Enden forsynet med et Par korte tornformige Børster. Gjelleapparatet (Fig. 8), som staar i Forbindelse med dette Kjævepar, hvis enormt udviklede Vifte det forestiller, er udviklet paa den for Cumaceerne characteristiske Maade. Det bestaar af en tynd, noget bøiet, eller næsten baadformig Plade (b), til hvis indre concave Flade de egentlige Gjeller (c) ere fæstede. Disse sidste have Formen af ovale Plader, der ere ordnede i en enkelt Rad langs efter en noget frem- springende Liste, hvor de staa tæt sammen, Side om Side ligesom Bladene i en Bog. Man tæller 10 saadanne Gjelle- blade og desforuden en enkelt isoleret længere udadtil fæstet Gjelle. “Den forreste Del af Gjelleapparatet fortsætter sig i en noget bugtet Streng (d), der lægger sig ind mellem den Duplicatur, som Rygskjoldets Sidedele danne nedad, og træder frit frem foran Rostrum fra hver Side som 2 bevæge- lige og tydeligt inerusterede Smaaplader (e), der dække for den Aabning, hvorigjennem det forbrugte Vand udstødes af Gjellecaviteterne. | 2det Par Kjevefedder (Fig. 10), der ere fæstede tæt sam- men i Midtlinien bag foregaaende Par, bestaa hver af en tynd i 5 tydelige Led afdelt Stamme. Basalledet er længere end alle de øvrige tilsammen og i den ydre Kant bevæbnet med 6 stærke Torner samt ved Enden i den indre Kant med en > tæt cilieret Barste. De øvrige Led danne tilsammen en noget indadkrummet meget bevægelig Endedel: langs den indre Kant ere de forsynede med flere tildels cilierede Børster og næstsidste Led bærer desuden en fra den ydre Side udgaaende længere fortilrettet Fjærbørste. Sidste Led er ganske kort og forsynet i Enden med en Del simple Børster. Ved Basis af disse Kjævefødder er hos de fuldt udviklede Hunner fæstet et Par eiendommelige Plader, de saakaldte daminæ vibrato- rie». De ere næsten halveirkelformige og langs den bagre frie Rand forsynede med 12 udad successivt i Længde tilta- 476 6. 0. Sars. gende kraftige Børster, der ligesom bestaa af 2 Afdelinger, idet den ydre Halvpart er tæt tværstribet. Hos ganske unge Individer ere Børsterne rudimentære og hos Hannerne mang- ler ethvert Spor af disse Plader. 3die Par Kjevefodder (Fig. 11) ere meget store og dække forstørstedelen alle de øvrige Munddele nedad. De bestaa af © en tydelig 6-leddet Stamme og en til dennes Yderside ved Basis bevægeligt fæstet Svømmegren. Stammens Iste Led eller Basalleddet er overordentlig stort, flere Gange saa stort som alle de øvrige Led tilsammen, sammentrykt fra Siden og stærkt, næsten vinkelformigt bøiet paa Midten, samt i den indre Kant nærmere Enden forsynet med en Rad af korte Fjerberster. Udad fortsætter det sig i en næsten til Enden af 3die Led rækkende pladedannet Fortsats, til hvis indre noget buede Rand er fæstet flere, omkring 10, tynde bøiede Børster. I den bageste Del af dette Led sees de stærke mod Roden af Svømmegrenen convergerende Muskelbundter, der tjene til at bevæge denne Del. 2det Led er næsten cylindrisk#, hvorimod saavel 3die som 4de ere temmelig stærkt udvidede og pladeformige. Sidste Led er ganske smalt, lineært og i Enden forsynet med en Del simple Børster. Svømmegrenen, der om- trent er af Stammens halve Længde, bestaar af en tykkere, noget sammentrykt Basaldel og en tynd 5-leddet Endedel. Af Endedelens 5 Led er det Iste længere end alle de øvrige tilsammen; hvert Led bærer i Enden 2 lange tæt cilierede Svømmebørster. 1ste Fodpar (Fig. 12), der omtrent er af Rygskjoldets Længde, viser i sin Bygning stor Overensstemmelse med sidste Par Kjævefødder, og er ligesom dette ved Basis forsynet med en fuldkommen lignende Svømmegren. Basalleddet er ogsaa her meget stort og noget sammentrykt, men afsmalnes jevnt mod Enden uden at danne nogen saadan pladedannet Fort- sats som paa hine. Ved Enden af Leddet staar en enkelt særdeles lang og tynd fortilrettet Fjærbørste. 2det og 3die Middelhavets Cumaceer. 471 Led ere gauske korte; 4de derimod betydelig længere end hine tilsammen; 5te og 6te Led ere atter noget kortere og indbyrdes omtrent af ens Længde. Fra Enden af det overor- dentlig tynde sidste Led udgaa nogle tynde krummede Bør- ster, hvoraf en især udmærker sig ved anselig Længde; for- resten ere alle Led kun yderst sparsomt børstebesatte. 2det Fodpar (Tab. 3, fig. 1) er neppe mere end halvt saa langt som iste og af en ganske enkel Bygning. Det er fæstet helt bagtil ved Enden af Iste frie Forkropssegment til en under Epimererne fremspringende Plade (se Tab. 1, fig. 1), og retter sig skraat fortil og udad. Det bestaar af 5 temme- lig eylindriske Led. Basalleddet er ogsaa her betydelig større end de øvrige tilsammen, men af en meget smal lineær Form. 2det og 3die Led ere omtrent indbyrdes af samme Længde; det første har i den indre Kant en enkelt Børste, det andet ved Enden i den ydre Kant 2 korte Torner. 4de Led er ganske kort og børsteløst; 5te noget koniskt og ved Spidsen forsynet med 3 uligelange tornformige Børster samt i den ene Kant med 2 korte do. De tre bagre Fodpar (Fig. 2—4) er alle af ens Bygning, men aftage successivt i Længde, idet Basalledet i samme For- hold bliver kortere. De ere meget spinkle og bestaa af 6 tydelige kun sparsomt børtebesatte Led. 2det Led er ganske kort, næsten ligesaa bredt som langt; de 3 følgende indbyrdes omtrent af ens Længde; sidste Led overordentlig lidet koniskt og forsynet i Enden med en enkelt kloformig Torn. Brystposen (se Tab. 1, fig. 1) begrændses som hos andre Cumaceer af 8 tynde Plader, der udgaa fra Basis af sidste Par Kjævefödder og de 3 første Fodpar. Den er ofte stærkt fremspringende og giver Forkroppen en mere eller mindre fuldstændig ægdannet Skikkelse. Halevedhængene (uropoda) (Tab. 3, fig. 5) ere omtrent af samme Længde som de 2 sidste-Bagkropssegmenter tilsam- men. De bestaa af en cylindrisk Stamme, til hvis Ende er 478 G. 0. Sars. bevægeligt indleddet 2 betydelig kortere lineære Grene. Begge disse ere tydeligt 2-leddede og omtrent af ens Lengde, noget længere end den halve Stamme. Paa den indre Gren er iste Led betydelig større end sidste og ligesom dette i den indre Kant saugtakket samt desforuden bevæbnet med 4 cilierede Torner; fra Enden af sidste Led udgaa to lignende Torner af ulige Lengde. Den ydre Gren har 1ste Led ganske kort, medens Endeleddet her danner Størsteparten af Grenen. Det har i den indre Kant 4 tynde Fjærbørster og i Enden 3 indad i Længde tiltagende Torner. Beskrivelse af Hannen. | Kropsformen er (se Tab. 1, fig. 2 og 3), som sædvanlig - hos de fuldt udviklede Cumacehanner, adskilligt slankere og mere langstrakt end hos Hunnerne, hvilket væsentlig kommer af Bagkroppens stærkere Udvikling. Rygskjoldet viser saavel i Form som Skulptur den største Overensstemmelse med samme hos Hunnen, alene med den Forskjel, at det ved Enden af Pandeloben beliggende Syns- organ her er betydelig sterkere udviklet med særdeles tyde- lige og uhrglasformigt hvælvede Cornea. De frie Forkropssegmenter ere forholdsvis noget mindre udviklede end hos Hunnen, og ved stærkere Indsnøringer ad- skilte fra hinanden, hvorved deres dorsale Del synes mere fremspringende. Sidste Segment (Tab. 3, fig. 7) viser nedad et stumpt Fremspring, paa hvilket de 2 Aabninger for vasa deferentia findes; dets Epimerer ere langs den indre Side for- synede med en Rad af 6 indbøiede Fjærbørster. Bagkropssegmenterne ere som anført betydelig stærkere udviklede end hos Hunnen. De ere tydeligt kjølede efter Midten, og den langs Forkroppen gaaende laterale Kjøl fort- setter sig ogsaa over samtlige Segmenter alene med Undta- gelse af det sidste. De ere desuden forsynede med tydeligt udviklede lodrette Epimerer, der langs den indre Side ere Middelhavets Cumaceer. 479 forsynede med lignende indbøiede Fjærbørster som paa sidste Forkropssegment. Ovenfra seet (Tab. 1, fig. 3) aftager Bag- kroppen suceessivt i Brede bagtil, og næstsidste Segment indknibes ved Midten pludseligt til kun den halve Brede. Langs hele Bugfladen af Bagkroppen dannes ved de nedad fremspringende Epimerer en temmelig dyb og bred Fure, hvorfra Bagkropslemmerne strækkes frem og hvori disse, naar de slaaes tilbage, næsten fuldstændig kunne skjules. Denne Fure fortsætter sig ogsaa paa sidste Segment lige til Anal- aabningen (se Tab. 3, fig. 10). De ovre Antenner (Tab. 3, fig. 6a) skille sig kun fra samme hos Hunnerne derved, at den længere Svøbe har ved Basis 2 Lugtevedhæng af fuldkommen samme Beskaffenhed som de, der ere fæstede ved Enden. De nedre Antenner (sml. Tab. 1, fig. 2 og 3) ere som sædvanlig hos Cumacehannerne ‘enormt udviklede, og af hele Legemets Længde. I Hviletilstand bæres de tæt trykkede ind mod Legemet, følgende Indersiden af Rygskjoldets nedre Kan- ter og samtlige Epimerer, saa at alene Spidsen af dem træder frem helt bagtil ved Enden af Bagkroppen. I dette Tilfælde ville de let kunne oversees, og Goodsir har hos den af ham observerede Cuma-Han, Bodotria arenosa, heller ikke bemærket dem. Men de kunne ogsaa ved dertil egnede Muskler bøies mere eller mindre ud fra Kroppen og endog rettes helt fortil. De bestaa (se Tab. 3, fig. 6b) af en ved Basis knæformig bøiet Grunddel og en traadformig Endedel. Den inderste Del af Grinddelen, der retter sig lige udad, er sammensat af 3—4 utydeligt adskilte Led, og bærer paa den nedre Side 3 fortilrettede Fjærbørster. Den øvrige Del er ialmindelighed rettet lige bagud, og bestaar af 2, noget opsvulmede og med stærke Muskelbundter fyldte Led, hvoraf det sidste er størst. Langs ad den nedre Kant af begge disse "Led og et Stykke ud over den ydre Flade er fæstet i tætte Tværrader et over- ordentlig stort Antal af lange tynde og gjennemsigtige, noget 480 G. O. Sars. bøiede, børsteformige Vedhæng, der i sin Bygning nærmest synes at svare til de saakaldte Lugtevedhæng paa de øvre Antenners længere Svøbe. Eudedelen er traadformig og sam- mensat af en stor Mængde korte Led, hvoraf ethvert i den nedre Kant bærer lignende, men betydelig kortere Lugteved- hæng som paa Grunddelen. Munddelene og Fødderne vise nøiagtig samme Bygning som hos Hunnen. å Derimod er Bagkroppen forsynet med 5 Par vel udviklede Lemmer, der ganske savnes hos Hunnen. Disse Lemmer fore- stille kraftige Svommeredskaber 'pleopoda), ved Hjælp af hvilke Hannen formaar med stor Livlighed at bevæge sig om i Vandet. Hvert Par er fæstet tæt sammen i Midtlinien ved den. bagre Del af Segmenternes Bugflade og bestaa (Fig. 8) af en noget fladtrykt lineær Grunddel, der paa sin Ende bæ- rer 2 korte Grene. Grunddelen viser ved Basis et meget kort, men tydeligt begrændset Afsnit, der vil kunne betragtes som et særeget Basalled. Langs den indre Kant har den omtrent 6 lange Fjærbørster, og høiere oppe en Gruppe af eiendom- melige i Enden hageformigt bøiede Torner, der gribe ind mellem de tilsvarende paa den anden Side og derved hægte de 2 Svømmevedhæng sammen, for at deres Bevægelser skal ske samtidigt. Grenene ere neppe halvt saa lange som Grund- delen og indbyrdes af forskjelligt Udseende. Den ydre bestaar af 2 tydeligt afsatte Led, hvoraf det sidste er pladeformigt, af elliptisk Form, og langs sin ydre Kant forsynet med tal- rige tæt sammenstillede Svømmebørster, der suecessivt tiltage i Længde bagtil. Den indre Gren er noget kortere end den ydre, og bestaar kun af et enkelt pladeformigt Led, der i Midten af den ydre Kant udsender en kort konisk Fortsats, hvortil er fæstet 2 divergerende Hørebørster (se Fig. 9). Langs hele den indre Rand, Spidsen og den bagre Halvpart af den ydre Rand er fæstet til særgne Afsatser, circa 20 mod Spidsen af Grenen i Længde tiltagende Svømmebørster. Det bageste Middelhavets Cumaceer. 481 Par Bagkropslemmer er noget kortere end de »vrige; forre- sten er Bygningen hos alle nøiagtig den samme. Halevedhængene (Tab. 3, fig. 10) udmærke sig fra samme hos Hunnerne ved forholdsvis større Længde og derved, at Stammen langs den indre Rand er forsynet med en dobbelt Rad af tornformige Børster, hvoraf de nederst fæstede er længst og i Kanterne kort cilierede. Den indre Grens 1ste Led har desuden et større Antal Torner, nemlig 7, medens deres Tal hos Hunnen kun er 4. Skjøndt de af Goodsir leverede Beskrivelser og Afbild- ninger ere i mange Henseender mangelfulde, tror jeg dog med temmelig Sikkerhed i den af ham under Benævnelsen Cuma Edwardsii nærmere beskrevne Form at gjenkjende den her omhandlede Art. Den staar vistnok overordentlig nær den typi- ske Form, Cuma scorpioides, Mont. (= Cuma Audouini, Edw., Goodsir),!) men er dog, som en nøie Sammenligning af begge Former har vist, sikkert artsforskjellig, noget, som allerede Goodsir har bemærket. Foruden en noget forskjellig Storrelse og Farvetegning ere begge Arter let at kjende fra hinanden ved Halevedhængenes Bygning. Hos C. scorpioïdes er nemlig saavel hos Han som Hun Grenene forholdsvis betydelig kor- tere og den indre Gren kun bestaaende af et enkelt Led, medens denne Gren hos C. Edwardsii altid, saaledes som -ogsaa er angivet paa Goodsir's Figur 13, bestaar af 2 tyde- list adskilte Led. Jeg har taget denne Art paa 3 forskjellige Lokaliteter ved Middelhavet, nemlig ved Siracusa, Neapel og Spezia paa 5—10 F. D. Sandbund. Paa ingen af disse Steder var den imidlertid synderlig hyppig. Arten er forovrigt kun kjendt fra de Britiske Øer (Firth of Forth). 1) Det maa bemærkes, at i det Uddrag af Goodsir's Afhandling, som er optaget i Bell's British stalk-eyed Crustacea, ere ved en Feiltagelse de Figurer, der høre til C. Edwardsii vedføiede Beskrivelsen af C. Audouini, og omvendt. ‚Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 31 482 G. O. Sars. 2. Cuma gibba, n. (Tab. 4—5). Charact. spec: Corporis forma in femina brevis et obesa, in mare multo gracilior. Integumenta distinctissime sqvamosa, ; Scutum dorsale supine leviter impressum, utringve carina laterali in parte antica minus distincta postice per segmenta libera corporis antici con- tinuata instructum, rostro brevi leviter resimo. Segmenta libera corporis antici et 2 priora postici dorsaliter valde cari- nata processus magnos alæformes formantia; processus segmenti 1mi in fe- mina altissimus in cuspidem acutam antice curvatam excurrens, in mare multo humilior et ad lineam rectam truncatus. Pedes et uropoda *structura fere eadem ac in C, Edwardsii. Color intense badius, extremitate antica scuti dorsalis macula tranversa fusca ornata. Longit: fem: 3.7 mm, maris: 4.7 mm, Beskrivelse af Hunnen. Kropsformen er (se Tab. 4, fig. 1 og 2) forholdsvis endnu kortere og mere undersætsig end hos foregaaende Art, og Integumenterne af en meget grov skjællet Struetur, der navn- lig paa Rygskjoldet er meget iøinefaldende selv ved ringe Forstørrelse. Farven er ensformig intens gulbrun, med en mørkere Skygning over den forreste Del af Rygskjoldet og nedad Si- derne af Rostrum. | Rygskjoldet, der omtrent er af samme Længde som de følgende frie Forkropssegmenter tilsammen, er oventil omtrent i Midten noget indtrykt og viser til hver Side ligesom hos fore- gaaende Art en horizontal Kjøl, der dog her er noget mindre skarpt fremtrædende, navnlig i den forreste Del. Denne Kjøl fortsætter sig ogsaa hos nærværende Art henad den øvrige Del af Forkroppen, hvor den er meget tydeligt markeret. Det korte og stumpe Rostrum ligger ikke horizontalt, men er noget opadrettet; under det bemærkes i de frie Kanter af Rygskjoldet et temmelig dybt vinkelformigt Indsnit. Middelhavets Cumaceer. 483 De frie Forkropssegmenter udmærke sig i høi Grad ved de høie, sammentrykte Fortsatser, hvori Rygkjølen gaar ud. Navnlig er den fra 1ste frie Segment udgaaende dorsale Fort-. sats overordentlig stor, dannende en høi, sammentrykt, i en 5 noget foroverbøiet Spids endende Pukkel midt paa Forkroppen. Paa de følgende 3 Segmenter bliver Rygfortsatsen successivt lavere, men er dog ogsaa her tydelig bemærkelig. Bagkroppen er noget kortere end Forkroppen, og af dens Segmenter vise de 2 forreste lignende sammentrykte Rygfort- satser som paa Forkropssegmenterne. Kroppens forskjellige Vedhæng (se Tab. 5) vise idethele en saa stor Overensstemmelse med samme hos foregaaende Art, at det vil være tilstrækkeligt her alene at udpege nogle af de mere iøinefaldende Differentser. De ovre Antenner (Fig. 1) ere forholdsvis noget kortere og har Basalledet længere end de 2 følgende Led tilsammen. 2det Par Kjævefødder (Fig. 4) har Basalledet ganske glat uden Spor af de stærke Torner, der hos foregaaende Art ere fæstede til den ydre Rand. 1ste Fodpar (Fig. 6) er forholdsvis kortere, med Endedelen neppe mere end halvt saa lang som Basalledet. Ogsaa de ovrige Fodder (Fig. 7—10) ere forholdsvis kortere og kraftigere byggede og forsynede med længere Børster. Halevedhængene (Fig. 11) have Stammen forholdsvis sma- lere og mere regelmæssig cylindrisk. Den indre Gren bestaar ogsaa her af 2 tydeligt afsatte Led; det første af disse bærer i den indre Kant kun 3 cilierede Torner. Hannen (Tab. 4, fig. 4) er noget større og slankere end Hunnen. I sin almindelige Form ligner den meget Hannen af foregaaende Art, fra hvilken den dog let kjendes ved en noget kraftigere og mere undersætsig Kropsform, ved den grove Structur af Integumenterne, samt ved Formen af de 31 484 G. O. Sars. frie Forkropssegmenters dorsale Fortsatser, der vistnok ere betydelig lavere end hos Hunnen, men dog mere udviklede end hos foregaaende Art; iste Segments Rygfortsats er ulig samme hos Hunnen i Enden nesten tvert afkuttet. zi I Bygningen af Antennerne (Tab. 5, fig. 12- 13) og Bag-. kroppens Svommevedhæng (Fig. 14) er ingen vesentlig Forskjel at notere fra samme hos Cuma Edwardsii. Halevedhengene (Fig. 15) vise ligeledes en lignende For- skjel fra samme hos Hunnen, som allerede er omtalt for fore- gaaende Arts Vedkommende. Nærværende characteristiske nye Art har jeg kun fundet paa en enkelt Lokalitet, nemlig i Golfen ved Goletta, hvor den ikke var ualmindelig paa ganske grundt Vand 2-5 F., Sandbund. Den er let kjendelig fra de øvrige Arter af Sleg- ten ved de usædvanlig grovt skjællede Integumenter og ved den eiendommelige Udvikling af den dorsale Kjel, navnlig hos Hunnen. 3. Cuma pulchella, n. (Tab. 6). Charact: spec: (Mas adultus). Scutum dorsale magnum segmentis corporis antici junctis multo longius, supine medio leviter impressum, utringve carinis 2 angustis, superiore subrecta et horizontali, inferiore arcuata ornatum, rostro brevissimo et obtuso. Segmenta libera corporis antici angusta, anterius lateraliter non carina- tum dorso haud producto. Uropoda segmenta 2 ultima juncta longitudine circiter æqvantia, trunco intus in parte dimidia anteriore leviter serrulato in posteriore serie duplice setarum ornato, ramis trunco dimidia parte brevioribus, interiore distinete biarticulato, articulo 1™° intus aculeis 8 sat elongatis et arcte appressis ar- mato, ultimo aculeis 3 terminato. Color pallide flavescens, scuto dorsali punctis numerosis fuscis ornato. Longit. maris: 3.2 mm, - Middelhavets Cumaceer. 485 Nærværende nye Art foreligger kun i et enkelt Exemplar, en fuldt udviklet Han, som dog viser sig tilstrækkelig for- skjellig fra Hannerne af de 2 foregaaende Arter til med Sik- kerhed at kunne skilles specifiskt fra disse. Dyret er kun lidet over 3mm langt og viser den for Hannerne af nærværende Slægt sædvanlige slanke Kropsform. Farven er bleg gulagtig med talrige mørkere, brune Pig- mentpletter, uregelmæssigt fordelte paa Forkroppen. Rygskjoldet er meget stort, betydelig længere end de frie Forkropssegmenter tilsammen og tillige temmelig høit. Dor- sallinien viser i Midten en svag Indbugtning og er forresten som sædvanlig horizontal. Paa hver Side af Rygskjoldet sees 2 tydelige Kjøle, hvoraf den øverste ligger nogenlunde hori- zontalt, medens den nederste er temmelig stærkt bueformigt bøiet; begge Kjøle bøie sig bagtil op mod Ryglinien, hvor de ende tæt sammen i kort Afstand fra Rygskjoldets bagre Rand. Rostrum er særdeles kort og stumpt, saa at Rygskjol- det ovenfra seet (Fig. 2) synes tvert afkuttet fortil; nedenunder det findes et meget lidet vinkelformigt Indsnit i Rygskjoldets frie Sidekanter. Af de frie Forkropssegmenter er det 1ste som sedvanlig størst og næsten af samme Heide som Rygskjoldet bagtil; det er oventil let kjølet, medens dets Sider ere ganske glatte uden noget Spor af lateral Kjøl. De 3 øvrige Forkropsseg- menter blive pludselig meget lavere, hvorved Dyret seet fra Siden (Fig. 1) synes stærkt indknebet i denne Region. Bagkroppen er adskilligt længere end Forkroppen, og dens Segmenter temmelig kraftigt udviklede og tydeligt kjø- lede langs ad Ryggen. I Antennernes og Foddernes Bygning synes ikke at findes nogen væsentlig Forskjel fra samme hos de 2 foregaaende — Arter. Dog kunde disse Dele ikke paa det eneste foreliggende Exemplar isoleres og derved undersøges i Detaillerne. 4*G G. 0. Sars. Halevedhængene (Fig. 3) ere omtrent af samme Længde som de 2 sidste Bagkropssegmenter tilsammen. Stammen er ved Basis noget fortykket, og viser her i den indre Kant en fin Crenulering. I den bageste Halvpart er den indre Rand, som hos Hannerne af de øvrige Arter, forsynet med en dob- belt Rad af kort cilierede Børster Grenene ere neppe halvt saa lange som Stammen. Den ydre viser intet mærkeligt i sin Bygning; derimod skiller den indre sig kjendeligt fra samme hos de 2 foregaaende Arter. Den er som hos disse 2-leddet; men det 1ste Led er her forholdsvis bredere, næsten af elliptisk Form, og langs sin indre Rand bevæbnet med en tæt sammentrængt Rad af 8 kraftige, bagtil successivt i Lengde tiltagende Torner; sidste Led er meget skarpt afsat fra Iste og ender med 3 uligestore Torner. Det beskrevne Exemplar, der tydelig nok ved Rygskjol- dets eiendommelige Sculptur og Halevedhængenes Bygning viser sig at tilhøre en distinet nye Art, toges i Golfen ved Neapel paa 5—10 F. D., Sandbund.') Gen. 2. Cyelaspis, G. 0. Sars. Integumenta duria, structura distinete areolata. Scutum dorsale magnum et tumidum fere globosum, supine valde arcuatum, rostro brevi sed distineto, a latere viso acu- minato. Segmenta pedigera 4 solummodo pone scutum nuda ap- parent posteriora versus valde coarctata. Corpus posticum perlongum antico multo longius, segmen- tis præsertim in femina angustissimis. 1) Efterat ovenstaaende Beskrivelse var nedskrevet, har jeg ganske nylig fra Marqvis de Folin i Bayonne erholdt tilsendt en Del Cumaceer, fan- gede sammesteds, og finder blandt dem ikke faa Exemplarer af denne Art, saavel Hanner som Hunner. Middelhavets Cumaceer. 487 Oculus sive distinetus sive nullus. Antenne superiores in femina et mare similes, flagellis brevissimis; inferiores feminæ structura fere ut in Cuma, ma- ris valde elongatæ corporis longitudinem excedentes. Maxillipedes 3tii paris permagni, articulo basali extus ad apicem in processum validum lanceolatum excurrente, 3tio magno et lato. Pedes 1mi paris sat elongati, articulo basali maxime dila- tato, ceteris angustissimis; 2di paris minimi, 5-artieulati; ce- teri 6-artieulati posteriora versus sensim decrescentes, pilis sparsis obsiti. Uropoda robusta, trunco brevissimo, ramis illo multo lon- gioribus, lanceolatis, exteriore biarticulato, interiore uniarti- culato. I Aaret 1864) opstillede jeg denne Slægt for en ved Norges Kyster forekommende eiendommelige Dybvandsform, C. longicaudata, der vel i sin Bygning sluttede sig temmelig nær til den typiske Slægt, Cuma, men som dog forekom mig at skille sig saameget, at jeg ikke kunde lade den gaa ind under hin Slægt. Det var mig derfor af stor Interesse at finde en vel udpræget Art af samme Slægtstype i Middelhavet, hvorved Slægtscharactererne har kunnet noget nøiere præci- seres end dette tidligere var mig muligt. Arterne af denne Slægt ere let kjendelige ved den usædvanlig slanke Kropsform og især den overordentlig stærkt forlængede og tynde Bag- krop, det næsten kugleformige Rygskjold og Halevedhængenes meget eiendommelige Bygning. 1) G. 0. Sars, om den aberrante Krebsdyrgruppe Cumacea og dens nordi- ske Arter. : 488 G. O. Sars. 4. Gyelaspis cornigera, n. (Tab. 7—9). Charact. spec: Corporis forma gracilis et elongata. Integumenta imprimis feminæ ubiqve aculeis minutis scabra pilisqve brevibus hirsuta. Scutum dorsale segmentis pedigeris junctis plus duplo longius, supine leviter arcuatum, postice obliqve truncatum, utringve in parte antica faciem ventralem propius spina valida cornu instar antice curvata armatum, rostro horizontali a latere viso acuto. Segmenta pedigera scuto multo angustiora, epimeris distinctis lateraliter porrectis, i Corpus posticum in femina perangustum antico sesqvi longius, segmentis cylindricis, in mare multo magis evoluta, segmentis epimeris magnis præditis. Oculus distinctus pigmento et corneis ornatus. Antenn& superiores flagellis 2 brevissimis uniarticulatis, altero appen- dieibus 2 olfactoriis ornato. Maxillipedes 3tii paris valde dilatati, articulo basali ceteris junctis vix longiore, processu exteriore permagno longitudinem fere articuli totius æqvante. Pedes 1mi paris scuto vix longiores, articulo basali maxime dilatato et aculeis numerosis obtusis armato, extus ad apicem in processum laminarem excurrente. Uropoda longitudinem segmenti penultimi circiter æqvantia, trunco per- brevi, ne dimidiam qvidem longitudinem ramorum asseqvente, in femina intus setis modo 3 ciliatis ornato, in mare vero dense hirsuto, ramis ambobus ad apicem in aculeum fortem fexcurrentibus, marginibus in femina setis pau- cis in mare numerosissimis instructis. Color uniformiter fusco-fulvescens. Longit, feminæ: 5nm. maris: 6 mm, Beskrivelse af Hunnen. Kropsformen er (se Tab. 7) som hos den tidligere bekjendte Art ualmindelig slank, hvilket navnlig skyldes Bagkroppen, der næsten er en halv Gang til saa lang som Forkroppen og overordentlig tynd og spinkel. Middelhavets Cumaceer. 489 Farven er ensformig gulbrun, uden bemærkelige mørkere Shatteringer. | Integumenterne vise en lignende haard og sprød Beskaf- : fenhed som hos foregaaende Slægt, og ere overalt, men navn- lig tydeligt paa Rygskjoldet besat med talrige korte Torner og enkeltvis staaende Haar, paa og mellem hvilke ialminde- lighed klæber en hel Del Smuds, der meget vanskeligt lader sig fjerne. Rygskjoldet er af meget betydelig Størrelse, mere end dobbelt saa langt som de frie Forkropssegmenter tilsammen, og temmelig stærkt opsvulmet, med Brede og Høide omtrent ligestore. Ryglinien viser bagtil en jevn bueformig Krumning, men er ved Basis af Pandeloben lidt indtrykt; de nedre Kan- ter ere paa Midten stærkt, næsten vinkelformigt bøiede, og de bagre Kanter, seede fra Siden, skraat afskaarne. Paa hver Side udgaar fra den forreste Del af Rygskjoldet, og noget nærmere Bugfladen en overordentlig stærk, hornlig- nende, i Enden fortilkrummet Fortsats, der navnlig naar Dyret sees ovenfra (Fig. 2) eller nedenfra, er meget iøine- faldende og har givet Anledning til Artsbenævnelsen. Ro- strum er horizontalt og danner, seet fra Siden, et tydeligt spidsvinklet Fremspring foran Pandeloben; nedenfor det er paa hver Side en yderst liden Indbugtning, hvorfra de øvre Antenner rage frem. Øiet er i Modsætning til den tidligere bekjendte Art tyde- ligt udviklet og knudeformigt fremspringende, med distinct Pigment og Corneæ. Bag Rygskjoldet fremtræder ligesom hos foregaaende Slægt kun 4 tydelige Forkropssegmenter. Disse ere meget lavere end Rygskjoldet og de 2 bageste neppe bredere end Bagkroppen med hvilken de gaa i lige Flugt. Saavel paa det levende Dyr som paa Spiritusexemplarer er denne Del © af Forkroppen stærkt opadkrummet, medens Bagkroppen igjen bøier sig nedad, hvorved fremkommer en eiendommelig lige- . 490 G. O. Sars. som kneformig Krumning af Kroppen paa dette Sted. Alle 4 Segmenter ere forsynede med tydelige afrundede og til Siderne udstaaende Epimerer. Bagkroppens Segmenter ere som anført, af en ganske overordentlig Tyndhed og temmelig regelmæssigt cylindriske. Nestsidste Segment er som sedvanligt det lengste; men det sidste er ikke meget kortere og viser i Midten over Analaab- ningen et temmelig sterkt afrundet Fremspring, som dog ikke er afsat fra Segmentet. De ovre Antenner (Tab. 8, fig. 1) have Skaftets Iste Led meget bredt, og af uregelmæssig kantet Form. Af de 2 fol- gende Led er det sidste lengst og cylindriskt. Svøberne (se Fig. 2) ere begge rudimentære og uleddede. Fra den ene af dem udgaa 2 lange leddede Lugtevedheng foruden en Del simple Borster; den anden berer i Enden 3 vel udviklede Hørebørster (Fig. 3). De nedre Antenner (Fig. 4), Over- og Underlæbe (Fig. 5 og 6), Kindbakkerne (Fig. 7) og Kjæverne (Fig. 8 og 9) vise ikke nogen skarpt udpræget Forskjel i sin Bygning fra samme her foregaaende Slægt. 1ste Par Kjevefodder (Fig. 10) have ligeledes et meget lignende Udseende, men synes noget mere undersætsige. 2det Par Kjævefødder (Fig. 11) ere som hos Sl. Cuma 5-leddede. Basalledet er temmelig bredt, pladedannet og omtrent af samme Længde som alle de øvrige tilsammen. 3die Par Kjevefedder (Fig. 12) ere sterkt udviklede, brede og pladedannede. Basalleddet, der omtrent indtager den halve Længde, viser paa Midten en stærk, næsten vinkelformig Krumning og er paa sin nedre Flade ru af talrige fremstaaende Knuder eller Torner; det fortsætter sig paa den ydre Side 1 en overordentlig stor laminær Fortsats af lancetdannet Form, til hvis indre Rand er fæstet 8—10 mod Spidsen i Længde tiltagende Fjerberster. 2det og 3die Led, men især dette sidste ere usædvanlig store og brede; hvorimod de 2 følgende Middelhavets Cumaceer. 491 Led ere forholdsvis smaa; sidste Led er af den sædvanlige smale lineære Form og bærer i Enden en Del simple tildels kloformige Børster. Forøvrigt bærer den indre Rand af samt- lige Led flere korte Fjærbørster, og 2 lignende sees fæstede til det sterkt uddragne ydre Hjørne af 3die Led. Svømme- grenen er forholdsvis kun lidet udviklet og neppe halvt saa lang som den egentlige Kjævefod; dens Basalled er usædvan- lig smalt. lineært og neppe synderlig bredere end Endedelen, der bestaar af 5 Led. Iste Fodpar (Fig. 13), der lige udstrakt omtrent er af Rygskjoldets Længde, udmærker sig strax ved den enorme Udvikling af Basalleddet, der paa Midten er overordentlig stærkt udvidet og paa den ydre, stærkt incrusterede Flade tæt besat med lignende korte Torner som paa Rygskjoldet og de øvrige Integumenter; i Enden gaar det ud i en trian- gulær pladeformig Fortsats, der delvis dækker det følgende Led. Dette ligesom de øvrige ere meget tynde og af eylin- drisk Form. 4de og 5te ere længst ox indbyrdes omtrent lige store. Sidste Led er særdeles smalt og bærer i Enden nogle tynde bøiede Børster. Svømmegrenen er af samme Ud- seende som paa 3die Par Kjævefødder, alene med den For- skjel, at den har et Led flere. 2det Fodpar (Fig. 14) er usædvanlig lidet og tyndt, samt temmelig sterkt fortil krummet. Det bestaar af5 Led, hvoraf Basalledet er størst, omtrent saa langt som de 3 følgende Led tilsammen. Sidste Led, der er noget længere end det fore- gaaende, bærer paa Spidsen 3—4 uligestore stive Børster og en kortere do. i hver Kant. _ 3die Fodpar (Fig. 15) er adskilligt længere end 2det og af en meget spinkel Form. Det er 6-leddet med Basalleddet omtrent saa langt som alle de øvrige tilsammen. Sidste Led er overordentlig lidet og smalt, og kan derfor let oversees; det ender med en kloformig Torn. Fra Enden af næstsidste Led udgaar en stærk, noget bøiet Børste, og fra det foregaaende 492 G. O. Sars. 2 lignende. Forresten er dette ligesom de øvrige Fodpar kun yderst sparsomt børstebesat. 4de og Ste Fodpar (Fig. 16) skille sig kun fra 3die der- ved, at de successivt blive kortere, idet Basalleddets Lengde i samme Forhold aftager. * Halevedhengene (Fig. 17 og 18) vise et meget eiendom- meligt og fra de fleste øvrige Cumaceer afvigende Udseende. De ere torholdsvis korte, omtrent at næstsidste Bagkropsseg- ments Længde, og af temmelig kraftig Bygning. Stammen er ganske usædvanlig kort og tyk, og bærer i den indre Kant 3 Fjærbørster. Grenene ere mere end dobbelt saa lange og omtrent indbyrdes af ens Størrelse. De ere begge lancetdan- nede, og gaa i Enden ud i en stærk lige bagudrettet Torn, samt bæres ialmindelighed tæt trykkede ind mod hinanden, saaledes, at de skarpe Kanter vende opad og nedad. Den ydre Gren bestaar af 2 tydeligt afsatte Led, et kortere Basalled og et betydelig længere Endeled, der i den øvre Kant er saug- takket, i den nedre nær Spidsen forsynet med en enkelt Fjærbørste og en bagudrettet noget bøiet Torn. Den indre Gren bestaar kun af et enkelt Led, og er langs sin indre Kant forsynet med en Rad af circa 8 Fjærbørster. Beskrivelse af Hannen. Den fuldt udviklede Han (Tab. 9, Fig. 1 og 2) er ad- skilligt større end Hunnen og let kjendelig fra samme ved sin endnu mere forlængede Kropsform og de kraftigere udviklede og med tydelige Epimerer forsynede Bagkrops- segmenter. Integumenterne vise kun Spor af de hos Hunnen saa tyde- ligt fremtrædende Smaatorner og ere ogsaa af en lysere Farve. Giet er betydelig større end hos Hunnen, og danner et stærkt, knudeformigt Fremspring ved Basis af Rostrum. Dets Corneæ ere store og uhrglasformigt hvælvede. Middelhavets Cumaceer. 493 De ovre Antenner synes ikke at vise nogen Afvigelse fra samme hos Hunnen. — Derimod ere de nedre Antenner af ganske enorm Længde, og række selv et godt Stykke udenfor Spidsen af Haleved- hængene. Foddernes Bygning synes i ingen Henseende at afvige fra samme hos Hunnen. Bagkroppen er som hos Hannerne af foregaaende Slægt forsynet med 5 Par vel udviklede Svømmevedhæng (pleopoda). Disses Bygning (se Fig. 3) stemme i alt væsentligt fuldkommen overens med samme hos Sl. Cuma, hvorfor en ngiere Beskri- velse af dem er unødvendig. Halevedhængene (Fig. 4) vise i sin Form stor Lighed med samme hos Hunnen, men skille sig ved de talrige, tildels i flere Rader stillede Børster, hvormed saavel Stammen som Grenene ere udstyrede. Nærværende interessante nye Art er let kjendelig fra den tidligere bekjendte Art C. longicaudata, ved de tornede Inte- gumenter, den gulbrune Farve og det tydeligt udviklede Øie. Desuden skiller den sig strax ved de eiendommelige hornlig- nende laterale Fortsatser paa Rygskjoldet, hvortil intet Spor er at se hos den anden Art. Jeg har kun taget den paa en eneste Lokalitet, nemlig ved Goletta paa 2—5 F. D. og her i kun 3 Expl., 2 Hunner og 1 fuldt udviklet Han. Nylig har jeg imidlertid fra Marquis de Folin erholdt sammen med andre Sager i tørret Tilstand et vel udpræget mandligt Individ af samme Art, fanget i Havnen ved Bayonne. De af mig observerede Individer vare ikke synderlig livlige i sine Bevægelser, og navnlig synes Hunnerne at tilbringe sin meste Tid ved Bunden mellem Mud- ret, hvorfra de kun sjeldent, og som det synes med temmelig Besvær, tage sig en kort Udflugt op i Vandet. Derimod synes Hannerne i Overensstemmelse med deres bedre Ud- 494 G. O. Sars. rustning med Svømmeapparater at være raskere i sine Be- . vægelser. Gen. 3. Iphinoé, Sp. Bate. Syn: Halia, Sp. Bate (olim) (inel: gen: Oyrianassa (Venilia), Sp. Bate). a Corpus gracile, lateraliter plus minusve compressum, dorso carinato. Integumenta tenuia et pellucida, structura eleganter reti- eulata. Scutum dorsale in femina supine sæpius cristata, rostro prominente, sinu marginis antici magno et rotundato. Segmenta pedigera 5 pone scutum nuda apparent, 171 brevissimum lateraliter epimeris 2% plerumqve tectum. Oculus distinetus, in mare imprimis bene evolutus. Antenne superiores in femina et mare similes, pedunculo elongato, flagellis brevissimis, altero appendice olfactoria sin- gula magna instructo, altero minimo biarticulato; 2% paris in femina ut vulgo parvæ, biarticulatæ, articulo basali setis 4 eiliatis ornato, in mare structura fere eadem ac in Cuma. Labium lobos terminales ad apicem incurvatum fortiter dentatos præbens. Apparatus branchialis magnus branchiis numerosis folii- formibus ornatus. Maxillipedes 3% paris elongati, articulo basali extus in processum magnum setiferum excurrente, 3t° expansionem laminarem plus minusve evolutam et setiferam præbente. Pedes 1% paris tenues et elongati, fere nudi; 2% paris 5-articulati; paria 3 posteriora qvam solito breviora 6-articulata. Uropoda mediocria, trunco intus aculeato, ramis ambobus distincte biartieulatis, articulo terminali interioris elongato et angusto, lineari, intus dense aculeato. Middelhavets Cumaceer. 495 Nærværende Slægt er forst grundet af Sp. Bate, der fandt sig beføiet til at skille Goodsir's Cuma trispinosa generiskt fra de øvrige af ham beskrevne Arter. Det først foreslaaede Slægts- navn, Halia, forandrede han senere til Iphinoe, da hint Navn allerede tidligere var anvendt i Zoologien. Vistnok ere de af Sp. Bate for denne Slægt opførte Characterer mindre præ- cise, tildels endog feilagtige; men det har dog vist sig, at Goodsir’s Cuma trispinosa i Virkeligheden danner Typen for en vel udpræget Slægt af Cumidernes Familie. Arterne af denne Slægt ere let kjendelige ved den slanke og mere eller mindre sammentrykte Kropsform, de tynde og gjennemsigtige Integumenter og det oventil mere eller mindre tydeligt kjølede Rygskjold med det stærkt fremspringende Rostrum. Fra de? foregaaende Slægter skille de sig desuden derved, at 5 frie Segmenter ere udviklede paa Forkroppen bag Rygskjoldet (Sp. Bate anfører urigtigt kun 3 saadanne) samt ved Halevedhængenes Bygning. Hannerne skille sig som sædvanlig fra Hunnerne ved endnu slankere Kropsform, “ ved de nedre Antenners stærke Udvikling samt ved de 5 Par vel udviklede Bagkropslemmer (pleopoda). Den af Sp. Bate opstillede Slægt Cyrianassa (Venilia, olim) er grundet paa disse, og hans Art Cyrianassa gracilis er, som jeg tilstrekke- ligt har overbevist mig om, intet andet end den fuldt udvik- lede Han af Iphinoé trispinosa. Typen for denne Slægt er som anført, Goodsirs Cuma trispinosa, som tidligere kun har været observeret ved de Britiske Ger. Jeg har i Middelhavet fundet 3 til denne Slegt hørende Arter, hvoraf jeg er tilbøielig til at holde den ene, Iphinoé serrata, Norm., alene for en udpræget Varietet af I. trispinosa; de 2 øvrige ere derimod vel adskilte nye Arter. 496 å G. 0. Sars. 5. Ihpinoé gracilis, Sp. Bate. (Tab. 10 —14). Cuma trispinosa, Goodsir, Edinburgh New. Phil. Journ. f. 1843. Vol. 34, pg. 126, tab. III, fig. 1—7. Halia trispinosa, Sp. Bate, Ann. Nat. Hist. 2 Ser. Vol. 17, pg. 459, tab. XIV, fig. V. Venilia gracilis, Sp. Bate, ibidem pg. 460, tab. XV, fig. VII (mas adultus). Iphinoé trispinosa, Sp. Bate, Ann. Nat. Hist. 2 Ser. Vol. 18, pg. 187. Cyrianassa gracilis, Sp. Bate, ibidem (mas adultus). Iphithoé serrata, Norman, Report of the Brit. Assoc. for the Advancement of Science f. 1866, pg. 201. Cuma trispinosa, A. Dohrn, Untersuchungen über Arthropoden, I. tab. III, fig. 2—15. Iphinoé gracilis, Meinert, Crustacea Isopoda, Amphipoda et Decapoda Daniæ, pg. 186. Charact. spec: (var. serrata). Corporis forma gracillima et elongata Scutum dorsale in femina supine distincte cristatum, crista sæpius in fere tota longitudine serrata vel spinis minutis subæqvalibus antice curvatis anterioribus 2 plerumgve intervallo longiore a ceteris disjunctis, armata, in mare vulgo inermi vel in parte modo postica serrata, rostro sat longo hori- zontali vel leviter resimo. Antennæ superiores sat elongatæ, articulo ultimo pedunculi antecedente multo longiore et valde augusto, flagello majore uniarticulato appendice olfac- toria breviuscula; inferiores in mare corporis longitudinem æqvantes. Maxillipedum 3tii paris articulus 3tius extus expansionem magnam setis numerosis ciliatis obsitam præbens, ultimi 3 angustissimi. : Pedes 1™i paris scuto dorsali longiores, articulo basali ceteris junctis breviore, seqventibus sensim attenuatis; 2di paris valde setosi, articulo ultimo 2 antecedentibus junctis vix longiore. Uropoda sat robusta, ramis trunco brevioribus, externo setis numerosis marginis interioris ornato, interno illo paulo breviore, articulo basali brevi, subovato, aculeo terminali permagno, ultimo illo fere duplo longiore preter aculeos marginis interioris setis 2 apicalibus instructo. Middelhavets Cumaceer. 497 Color pallide fulvescens maculis irregularibus fuscis variegatus. Longit. feminæ: usqve ad 12 mm; maris: 10!/2 mm, Beskrivelse af Hunnen. Kropsformen er (se Tab. 10) ualmindelig slank og lang- strakt, samt noget sammentrykt fra Siderne. Langs hele Rygsiden løber en tydelig Kjøl, der alene paa sidste Bag- kropssegment er mindre distinct. Forkroppen, der omtrent er af samme Længde som Bagkroppen, naar Halevedhængene fraregnes, afsmalnes successivt bagtil,. uden at vise nogen skarpt markeret Adskillelse fra Bagkroppen. Hos de ægbæ- rende Hunner synes dog dens forreste Del, paa Grund af den nedad stærkt fremspringende Brystpose temmelig skarpt afsat fra den øvrige Del af Legemet (se Fig. 1). Integumenterne ere temmelig tynde og bøielige, samt vise under Mikroskopet en elegant reticuleret Structur (se Tab. 11, Fig. 14). Farven er bleg straagul med mere eller mindre stærkt fremtrædende brunligt Pigment, der er afsat 1 uregelmæssige større og mindre Flækker saavel paa Rygskjoldet som den øvrige Del af Legemet. Rygskjoldet indtager omtrent Halvparten af Forkroppens Længde og er omtrent dobbelt saa langt som høit. Ryglinien er temmelig horizontal, eller kun yderst svagt bøiet, medens de nedre Kanter paa Midten danne en stærk, næsten vinkel- formig Krumning. Fortil ende Sidekanterne med et triangu- lært, med nogle enkelte Saugtakker bevæbnet Fremspring, og mellem dette og Rostrum er der en temmelig dyb og jevnt udrandet Bugt, hvorfra de øvre Antenner rage frem. Selve Rostrum er temmelig langt, næsten horizontalt eller kun yderst svagt opadrettet og ender i Midten oventil med et spidsvink- let Hjørne (se ogsaa Tab. 11, Fig. 13). Oventil er Rygskjoldet tagformigt sammentrykt fra Siderne, og viser langs ad Ryg- gen en tydeligt markeret Crista, der ialmindelighed i Største- Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 4 H. 32 498 G. O. Sars. parten af sin Længde er saugtakket eller bevæbnet med smaa fortilrettede Torner, alle omtrent af ens Størrelse. De 3 for- reste af disse Torner ere gjerne ved et noget længere Mel- lemrum skilte fra de øvrige og fæstede til den mediane Lob af Rygskjoldet (Pandeloben). Tornerne naa ikke ganske til den bagre Rand, men ophere i nogen Afstand fra samme, idet de her lidt efter lidt blive særdeles smaa. Saaledes er Forholdet hos de allerfleste af mig indsamlede Exemplarer. Men der synes dog i Bevæbningen af den dorsale Crista at kunne findes en Del Variation. Hos et Par af mine Exem- plarer, som forøvrigt i ingen Henseende adskilte sig fra de øvrige, var (se Fig. 3) Rygkammens Torner alene indskrænket til et kort Parti, omtrent midt paa Rygskjoldet og kun 4—5 i Antal. Disse Exemplarer syntes saaledes at danne en fuld- stendig Overgang til den ved de Britiske Øer forekommende Form, I. trispinosa, hos hvilken jeg ogsaa af og til har fun- det nogen Variation i Tallet af Torner, nemlig fra 2 til 6. Giet, der som sædvanlig indtager den forreste Ende af Pandéloben, og paa det levende Dyr ved sit intensivt rød- brune Pigment er let bemærkeligt oventil ved Basis af Rostrum, ender fortil med 2 smaa jevnsides stillede Torner (se Tab. 115 Mies 12). Bag Rygskjoldet sees 5 tydeligt udviklede Forkropsseg- menter. Det forreste af disse, der bærer det 1ste Fodpar, er dog meget kort og ialmindelighed kun tydeligt i den dorsale Del. 2det Segment er derimod meget stort, det største af alle, og har brede pladeformige Epimerer, der fortil legge sig ud over Iste Segment og ofte endog dekker en liden Del af selve Rygskjoldet. De 3 folgende Segmenter blive suc- cessivt mindre og ere ialmindelighed ved dybe Indsnøringer adskilte fra hinanden. Deres Epimerer ere noget udstaaende til Siderne og ende bagtil i en afrundet Lap. Bagkroppen er særdeles tynd og spinkel, og dens Seg- menter af temmelig regelmæssig eylindrisk Form, dog adskilte Middelhavets Cumaceer. 499 ved tydelige Indsnøringer. Næstsidste Segment er som sæd- vanlig det længste; men de foregaaende ere ikke meget kor- tere. Sidste Segment, som er det korteste af alle, danner i Midten et afrundet Fremspring, der hvælver sig over Anal- aabningen; derimod er her ligesaalidt som hos de i det fore- gaaende omtalte Cumaceer udviklet noget tydeligt afsat mid- terste Halevedhæng. De ovre Antenner (Tab. 11, Fig. 1, aa) have et meget smalt og langstrakt Skaft. Basalleddet, der omtrent indtager 1/3 af Skaftets Længde, er i begge Kanter tæt haaret. Af de 2 øvrige Led er det sidste overordentlig tyndt og forlænget, næsten koniskt og betydelig længere end det foregaaende Led. Svøberne (Fig. 2) ere særdeles korte og rudimentære. Den mindste af dem er 2-leddet og har paa Spidsen af sidste Led 2 divergerende Hørebørster samt en kort Torn. Den anden Svøbe bestaar af et enkelt cylindriskt Led, der i En- den, foruden nogle simple Børster, bærer et enkelt Lugteved- hæng, næsten af samme Tykkelse som selve Svøben, men kortere end Skaftets sidste Led. Ved stærk Forstørrelse viser dette Vedhæng sig forsynet i regelmæssig Afstand med tyde- ligt ophøiede Tværringe, der kun mod Enden blive mindre distincte. a De nedre Antenner (Fig. |, bb, Fig. 3) bestaa ligesom hos de i det foregaaende omtalte Former af et tykt mod En- den noget bøiet Basalled, hvortil er fæstet et ganske lidet eylindriskt, med en Del fine Hørebørster forsynet Endeled.*) Til den nedre Side af Basalleddet er fæstet 4 omtrent ligestore, tæt haarede Børster, der staa i en regelmæssig Rad og ere bøiede fortil og indad. 1) Det af Sp. Bate anatomerede Individ har, som det tydeligt fremgaar af hans Beskrivelse og Figur af disse Antenner, været en ganske ung, eller endnu ikke udviklet Han, og den af ham fra disse Antenner hentede generiske Character, maa saaledes sleifes. 32* 500 G 0. Sars. Overleben (Fig. 1, €) danner som sædvanlig en liden af- rundet, i Enden svagt indbugtet og cilieret bevægelig Lap. Underlæben (Fig. 5) skiller sig fra samme hos de i det foregaaende omtalte Cumaceer derved, at Endeloberne ikke ere afrundede, men ende med et tydeligt noget indbøiet Hjørne, hvortil er fæstet 5 stærke, eiendommeligt formede Tænder (se Fig. 6). Kindbakkerne (Fig. 4) vise en meget lignende Bygning som hos SI. Cuma. Det samme er ogsaa Tilfældet med ste Par Kjæver (Fig. 7). 2det Par Kjæver (Fig. 8) udmærker sig hovedsageligt ved den stærke Udvikling af Palpen, hvis 2 Lober ere saa brede, at de næsten ganske dække den egentlige Kjævedel; til deres skraat afskaarne Ender er fæstet et særdeles betydeligt Antal i den ene Kant saugtakkede Torner. Den membranøse Vifte er derimod kun lidet udviklet og alene synlig som en smal klar Bræm langs den ydre Kant af Basaldelen. Gjelleapparatet (Fig. 9) er stærkt udviklet og forsynet med talrige (henimod 30) tæt sammentrængte Gjelleblade. Den forreste Del af Gjelleapparatet forholder sig omtrent som hos Slegten Cuma, idet det ender med en noget incrusteret skjælformig Lap, der lægger sig foran Rostrum og lukker for den Aabniug, der fører ud fra Gjellehulen. 1ste Par Kjevefedder (Fig. 9 og 10) vise ikke nogen skarpt udpræget Forskjel i sin Bygning fra samme hos de i det foregaaende omtalte Slægter. 2det Par Kjevefedder (Fig. 11) har Basalleddet næsten dobbelt saa langt som alle de øvrige Led tilsammen og af en meget smal, næsten lineær Form. De ved Basis fæstede Hvirvleplader ere forsynede hver med 12 udad hurtigt i Længde tiltagende stive Børster, der sammen med de tilsvarende paa den anden Side danne en bred ind i Brystposen ragende Vifte. Middelhavets Cumaceer. 501 3die Par Kjevefodder (Tab. 12, Fig. 1) udmærke sig ved den stærke Udvikling af den fra Basalledets ydre Hjgrne ud- gaaende Fortsats, der er tungeformig og i den indre Kant forsynet med omkring 12 mod Spidsen i Længde tiltagende Fjærbørster, fremdeles ved 3die Leds Form, der udad danner en bred pladedannet Udvidning, hvortil er fæstet en tæt Rad af lange fortil krummede Fjærbørster. De 3 ydre Led eic særdeles smale og af eylindrisk Form. Den ved Basis fæstede Svommegren er omtrent af Kjævefodens halve Længde og dens Endedel er sammensat af 8 Led. 1ste Fodpar (Fig. 2) er betydelig længere end Rygskjoldet og af en særdeles spinkel Form, samt næsten ganske nøgent. Basalleddet er kortere end de øvrige Led tilsammen, temme- lig eylindriskt og kun ganske svagt bøiet. 2det Led er som sædvanligt det korteste, næsten ligesaa bredt som langt og i den ydre Kant ved Enden forsynet med en enkelt kort Fjær- børste; 3die Led er dobbelt saa langt og i Enden skraat af- skaaret; 4de Led endnn noget længere; 5te Led omtrent af samme Længde, men meget tyndere og i den indre Kant for- synet med 2 tynde Børster; sidste Led endelig er overordent- lig tyndt, lineært og ved Enden forsynet med 4 ulige lange krummede Børster. Svømmegrenen er noget længere end samme paa 3die Par Kjævefødder og har 1 Led flere. 2det Fodpar (Fig. 3) er neppe mere end '/; saa langt som 1ste og uligt dette meget rigeligt forsynet med tildels cilierede Børster. Det er sammensat af 5 Led, hvoraf Basal- leddet er størst, indtagende omtrent Halvparten af Fodens Længde. - Ved Enden af det og 3die Led er udad fæstet en stærk fortilrettet Torn. Næstsidste Led er meget kort og nø- gent. Sidste Led er omtrent af de de 2 foregaaendes Længde tilsammen, af lineær Form og bærer paa den skraat afskaarne Spids 4—5 uligestore Torner og i hver Kant 2 korte Børster. De folgende Fodpar (Fig. 4-5) ere ligesom 2det Par tæt 502 G. O. Sars. børstebesatte og af usædvanlig kort og undersætsig Form, forøvrigt af den sædvanlige Bygning. Halevedhængene (Fig. 6) ere omtrent af de 2 sidste Bag- kropssegmenters Længde og skille sig kjendeligt i sin Byg- ning fra samme hos Sl. Cuma. Stammen er cylindrisk og langs sin indre Kant bevæbnet med omkring 12 stærke Tor- ner. Grenene ere noget kortere end Stammen og begge ty- deligt 2-leddede. Den indre Gren har 1ste Led kort og tykt, næsten af oval Form, og langs sin indre Rand bevæbnet med 4—5 Torner, hvoraf den yderste udmæker sig 'ved sin betydelige Størrelse; dens sidste Led er næsten dobbelt saa langt, men meget smalere, af lineær Form og langs sin indre Rand forsynet med en tæt Rad af circa 14 mod Enden i Længde successivt tiltagende Torner; fra Spidsen udgaar des- uden 2 uligestore eilierede Børster. Den ydre Gren er noget større end den indre og har Basalleddet ganske kort, hvor- imod sidste Led er stærkt udviklet, noget afsmalnende mod Enden og langs den indre Kant og den skraat afskaarne Spids forsynet wed et stort Antal cilierede Børster. Beskrivelse af Hannen. Legemet synes (se Tab. 13) endnu. slankere end hos Hun- nen, hvilket væsentligt har sin Grund i den ringere Udvikling af Forkroppen, der er overordentlig stærkt sammentrykt fra Siderne, saa at hele Legemet ovenfra seet (Fig. 2) næsten er af lineær Form. Derimod er Bagkroppen forholdsvis krafti- gere bygget end hos Hunnen, og dens Segmenter forsynede med vel udviklede Epimerer. Rygskjoldet skiller sig fra samme hos Hunnen ved for- holdsvis kortere og mere horizontalt Rostrum, fremdeles der- ved, at det under samme hos Hunnen stærkt fremtrædende forreste Hjørne her en ganske stumpt. lJalmindelighed er Rygskjoldet oventil ganske glat uden Spor af den hos Hun- nerne saa characteristiske tandede Crista. Men dette synes Middelhavets Cumaceer. 503 dog ikke at være fuldkommen constant; thi iblandt de ved Neapel indsamlede Exémplarer vare endog de allerfleste Han- ner (Fig. 3) forsynede med en tydelig tandet Rygkam, som dog altid kun var indskrænket til den bageste Del af Ryg- skjoldet uden som hos Hunnen at fortsætte sig langs ad Pandeloben. At her ikke foreligger nogen specifisk Forskjel fra de paa andre Localiteter forefundne Exemplarer, har jeg ved en nøie Sammenligning af alle de øvrige Dele tilstrække- lig overbevist mig om. Øiet er betydelig større og mere udviklet end hos Hun- nen, og af dets Corneæ er navnlig den centrale stærkt, næsten halvkugleformigt fremspringende; ogsaa de 2 bageste ere af forholdsvis anselig Størrelse (se Tab. 14, Fig. 4). De frie Forkropssegmenter ere forholdsvis adskilligt min- dre udviklede end hos Hunnen; navnlig er dette Tilfældet med 2det Segment, der ikke er mærkeligt større end det føl- sende. 3die Segment udmærker sig ved en ganske eiendom- melig Udvikling af dets Epimerer, der fortil danne en smal tungeformig Lap, som lægger sig udover det foregaaende. De ovre Antenner (Tab. 14, Fig. 1, aa) skille sig i ingen Henseende fra samme hos Hunnen. | Derimod ere de nedre Antenner (ibid. b) udviklede paa den for Hannerne sædvanlige Maade og opnaa hele Legemets Længde. Paa Basaldelens indre Parti sees de ogsaa hos Hunnen forekommende 4 stærke Fjærbørster. Dens 2 ydre Led ere udviklede paa samme Maade som hos Sl. Cuma og forsynede med talrige Tværrader af fine børsteformige Ved- hæng. Svøben er traadformig og sammensat af et stort Antal korte Led, som mod Spidsen af Svøben blive noget længere og tyndere, alle forsynede i den ene Kant med 2 Knipper af lignende, men meget kortere børsteformige Vedhæng (se Fig. 2 og 3). I Munddelenes og Foddernes Bygning er ingen Forskjel at bemerke fra samme hos Hunnen. 504 G. O. Sars. Bagkroppens Svommevedhæng ere ligesom hos Hannerne af SI. Cuma tilstede i 5 vel udviklede Par, der i sin Bygning (se Fig. 5) vise den største Overensstemmelse med samme hos de i det foregaaende omtalte Cumaceer. Halevedhængene (Fig. 7) skille sig kun lidet fra samme hos Hunnen. Den eneste Forskjel bestaar deri, at Stammen i den indre Kant har langt talrigere Torner, der ere stillede i flere (2—3) Rader, og at den indre Gren har i Spidsen 3 cilierede Børster. Som allerede oventor bemærket, kan jeg ikke antage, at den her omhandlede Form er artsforskjellig fra den ved de Britiske Øer forekommende Iphinoe trispinosa, Goodsir. TIal- fald har jeg ved en samvittighedsfuld anstillet Sammenligning med Exemplarer af denne sidste ikke kunnet finde frem en eneste anatomisk Character, der skulde kunne antyde nogen specifisk Forskjel, ligesom jeg allerede i det foregaaende har paavist, at den eneste-distinetive Character, Antallet af Ryg- torner, er underkastet en ikke ubetydelig Variation. Min Overbevisning er derfor den, at I. trispinosa Goodsir og I. serrata Norman alene ere Varieteter af en og samme Art, for hvilken den af Sp. Bate for Hannen anvendte Artsbenev- nelse gracilis passende vil kunne bibeholdes. Jeg har taget denne smukke Form, den anseligste af alle de i Middelhavet forekommende Cumaceer, meget almindelig ved Goletta paa nogle faa Favnes Dyb, Sandbund, fremdeles i stor Mængde og i usædvanlig vakre Exemplarer i Golfen ved Neapel, udenfor Villa reale, og i umiddelbar Nærhed af den her oprettede zoologiske Station; endelig i nogle faa Exemplarer ved Messina. Det er et meget livligt Dyr, der er i uafladelig Bevægelse, bugtende og vridende sin lange Krop idelig mellem Sandet, hvori den forstaar at skjule sig med stor Behændighed. Nu og da tager den sig ogsaa ved Hjælp af sine Svømmeredska- lodrakallvsets Hörde over Horizonten i Vest naar Spidsen er 70° fra Solen og denne 16°under Horizonten. 90°. == (f a] | - \ Ik 5 å | Ge er ps (re 1 | lr alle | er Mr = Dam S| DOS ES | Br — — | JE 70 TE at IF I 4 OF if SI Tete EN 60 fer | | a 56° = 4 | T ge? 45% — + IL = IL il 40° at JE L VÅ 357 : | 92 | 90° == a 9 on EE 4 1 1 I 1 em he ca | 7 i 20° L +—p Le | N «her V, 9% 10° =; = 0? ¥ | 4 +4 0— el, | eat |? A | : 20 9.19. 39.8 8 2 8 @ SPT BF IM HI MM 10 20 39 10 230 9 19 29 8 18 28 10 20 9 4 | Sept. Oct. Nor. Dec. Jan. Febr Marts. April. Mai Juni Juli. Augast. Archiv £ Math. & Natury. Middelhavets Cumaceer. 505 ber en Udflugt fra Bunden op mod Overfladen af det Kar, hvori man har den gaaende, Dog staa Hunnerne i denne sidste Henseende langt tilbage for Hannerne, der med Pilens Hurtighed bevæge sig gjennem Vandet, saa at man knapt kan følge dem med Øinene. Arten er først observeret ved de Britiske Øer, hvor den er funden saavel paa den østlige Side (Goodsir) som paa den vestlige Side (Robertson). Norman har foruden den typiske Form ogsaa taget den her beskrevne Varietet, som han dog holder for artsforskjellig fra hin. Et enkelt ganske ungt Exemplar har jeg fundet frem blandt en Del Cumaceer mig tilsendte fra Marquis de Folin i Bayonne. Fremdeles forekom- mer den efter Meinert ved Danmark. Endelig har jeg en eneste Gang observeret den ved vor sydlige Kyst (Flekkerø), hvorfra jeg har et vel udpræget og fuldt udviklet mandligt Individ. Det fremgaar heraf, at denne Art har en temme- lig vid geographisk Udbredning, nemlig fra Middelhavet langs Frankrigs Vestkyst, begge Sider af de Britiske Øer og Kysterne af Skagerak indtil Norges sydligste Del, hvor den synes at have naaet sin Nordgrændse. 6. Iphinoé tenella, n. (Tab. 15 & 16). Charact: spec: Corpus gracillimum et elongatum. Scutum dersale et in femina et in mare distincte cristatum, crista in parte dimidia antica spinis arcte appressis anteriora versus sensim majori- bus serrata, rostro mediocri, horizontali. Antennæ superiores qvam in I. gracili breviores, articulo ultimo pedun- culi antecedente parnm longiore, flagello majore biarticulato appendice olfac- toria valde elongata. Maxillipedum 3tii paris articulus 3tius extus parum expansus setisqve modo 3—4 ornatus. 506 À G. O. Sars. -Pedes 1"i paris gracillimi et elongati, articulo basali ceteris junctis breviore, 3 ultimis valde angustis; 2di paris sparse pilosi, articulo ultimo elongato antecedentibus 2 junctis multo longiore Uropoda qvam in I. gracili minus robusta, ramo externo setis modo 8 marginis interioris ornato, interno illo longitudine æqvali, articulo ultimo lineari in femina aculeis circiter 8 apicem versus valde crescentibus armato. Longit. feminæ: 7 mm; maris: fere 8 mm, Beskrivelse af Hunnen. - Denne lille, særdeles fint byggede Form staar særdeles nær foregaaende, wen opnaar i fuldt udviklet Tilstand neppe synderlig mere end den halve Størrelse. og skiller sig desuden, som af det følgende vil sees ved enkelte af de anatomiske Characterer bestemt fra denne. Kropsformen er (se Tab. 15, Fig. 1 og 2) omtrent som hos foregaaende Art, men ialmindelighed endnu noget spædere. Farven er ligeledes temmelig ens. Dog er det i større uregelmæssige Skjolde afsatte Pigment noget mørkere, og det hele Dyr derfor af en dunklere Farve. - Rygskjoldet, der er noget længere end de frie Forkrops- segmenter tilsammen, har oventil ligesom hos den ovenfor beskrevne Varietet af I. gracilis en tydelig saugtakket Kam; men denne er her kun indskrænket til den forreste Halvpart, og Tænderne tiltage fortil successivt i Størrelse. Rostrum er noget kortere end hos foregaaende Art og mere horizontalt. De frie Forkropssegmenter og Bagkroppen forholder sig paa det nærmeste som hos I. gracilis. De ovre Antenner (Tab. 16, Fig. 1) har Skaftet noget mindre langstrakt, og navnlig er dets sidste Led kjendeligt kortere end hos foregaaende Art. Den større Svøbe (se Fig. 2) bestaar af 2 tydelige Led, og det fra samme udgaaende Lugte- vedhæng er meget langt, næsten af hele Antennens Længde. 3die Par Kjævefødder (Fig. 3) skille sig fra samme hos foregaaende Art ved den langt ringere Udvikling af 3die Leds ydre pladedannede Udvidning, der her kun bærer 3—4 Fjær- børster. Middelhavets Cumaceer. 507 Iste Fodpar (Fig. 4) vise et lignende Længdeforhold af de enkelte Led som hos foregaaende Art; men er forholdsvis af endnu spædere Bygning, og navnlig ere de 3 yderste Led overordentlig tynde og spinkle. Svømmegrenen har saavel her som paa 3die Par Kjævefødder færre Led i Endedelen. 2det Fodpar (Fig. 5) er forholdsvis noget længere end hos foregaaende Art og meget sparsommere børstebesat. Sid- ste Led er af en meget tynd lineær Form og betydelig læn- gere end de 2 foregaaende tilsammen. De folgende Fodpar (Fig. 6—-7) vise vistnok en meget lignende Bygning som hos foregaaende Art, men ere noget spædere og mindre rigeligt forsynede med Børster. Halevedhængene (Fig. 8) ere ligesom alle øvrige Krops- vedhæng af forholdsvis spinklere Form end hos foregaaende Art, : forøvrigt af en meget lignende Bygning. Grenene ere indbyrdes omtrent af ens Længde, og den ydre bærer i Inder- kanten kun 8 Børster. De langs den indre Grens sidste Led fæstede Torner ere ligeledes færre i Antal og tiltage hurtigere i Længde mod Spidsen. Den ved Enden af iste Led staaende Torn er vistnok ogsaa her større end de øvrige, men For- skjellen i denne Henseende er dog ikke saa paafaldende som hos I. graeilis. Hannen (Tab. 15, Fig. 3) er noget større end Hunnen og overordentlig slankt bygget. Rygskjoldet har en fuldkommen lignende saugtakket Crista, der kun her er noget kortere og indeholder færre Tender. De nedre Antenner ere som hos foregaaende Art stærkt udviklede og af hele Legemets Længde. Halevedhængene (Tab: 16, Fig. 9) ére betydelig stærkere for- længede end hos Hunnen, og Stammen har som hos Hannerne af foregaaende Art et stort Antal, i flere Rader stillede Tor- ner. Ligeledes er Tornernes Tal paa den indre Gren bety- delig større og til Spidsen af denne Gren er desuden fæstet 3 cilierede Børster. Jeg har taget denne, i Udseende og Levevis med I. gra- . 508 G. O. Sars. cilis meget nær overensstemmende, men dog sikkert forskjel- lige Art ikke sjelden paa 4 forskjellige langt fra hverandre liggende Lokaliteter: ved Goletta, Siracusa, Neapel og Spe- zia. Ved Goletta og Neapel fandtes den i Selskab med foregaaende Art; ved Siracusa og Spezia var det derimod alene den her omhandlede Art som forekom, ikke I. gracilis. 7. Iphinoé inermis, n. (Tab. 17 & 18). Charact: spec: Corporis forma qvam in speciebus ceteris magis robusta Scutum dorsale supine leviter carinatum, nullum vero vestigium crista serrata præbens, rostro breviusculo, horizontali. Antennæ superiores mediocres, articulo ultimo pedunculi antecedente duplo fere longiore, flagello majore uniarticulato; inferiores maris qvam so- lito breviores dimidiam corporis longitudinem parum superantes. Maxillipedes 3t paris fere ut in I. gracili, expansione articuli 3ti ta- men paulo minore. å Pedes 1": paris scuto dorsali parum. longiores, articulo basali ceteris junctis longitudine æqvali; 24 paris qvam solito minores, articulo ultimo brevi, subconico. Uropoda iisdem I. gracilis sat similia; articulus vero ultimus rami inte- rioris ad apicem in femina nudus in mare seta unica præditus. Color læte fulvus, fusco et albido variegatus. Longit: feminæ: 9 mm; maris: 8 mm, Beskrivelse af Hunnen. Kropsformen er (se Tab. 17, Fig. 1 og 2) adskilligt kraf- tigere og mere undersætsig end hos de 2 foregaaende Arter, og Forkroppen ialmindelighed høiere, samt oventil mere bue- formigt bøiet. Farven er smuk rødgul med brune og kridhvide Shatte- ringer især paa Forkroppen. Rygskjoldet, der er noget længere end de frie Forkrops- Middelhavets Cumaceer. 509 segmenter tilsammen, skiller sig strax fra samme hos de 2 foregaaende Arter ved den fuldstendige Mangel af nogen tandet Crista. Langs Rygsiden gaar blot ligesom paa det øvrige Legeme en lav Kjøl, men som intetsomhelt Spor viser af Tænder. Rostrum er forholdsvis kortere end hos de øvrige Arter, horizontalt og i Enden skraat afskaaret. Af de frie Forkropssegmenter er det 2det særdeles stort, og dets Epimerer gaa fortil ud i en triangulær med fine Bør- ster besat Lob, der ikke blot ganske dækker Sidedelene af iste Segment, men ogsaa skyver sig et Stykke udover Ryg- skjoldets bagre Del. Bagkroppen viser den sædvanlige tynde og spinkle Form. De ovre Antenner (Tab. 18, Fig. 1) have Skaftets sidste Led temmelig stærkt forlænget og næsten dobbelt saa langt som det foregaaende Led. Af Svøberne bestaar den største ligesom hos I. gracilis kun af et enkelt Led. Lugtevedhænget er omtrent af Antennens halve Længde. 3die Par Kjævefodder (Fig. 2) ligner i sin Bygning tem- melig samme hos I. gracilis, og 3die Led viser en lignende, skjønt noget mindre pladeformig Udvidning besat med talrige Fjærbørster. Svømmegrenens Endedel er som hos foregaaende Art kun sammensat af 6 Led. Iste Fodpar (Fig. 3) er adskilligt kortere end hos de 2 _ foregaaende Arter og skiller sig desuden derved, at Basal- leddet er forholdsvis længere, nemlig omtrent som alle de øvrige tilsammen; endelig ere de 2 sidste Led forsynede med flere og længere Børster. 2det Fodpar (Fig. 4) er ganske usædvanlig kort, selv kor- tere end det følgende Par, og dets sidste Led er ganske lidet og koniskt tilløbende. Forresten viser det den sædvanlige Bygning og er temmelig rigeligt forsynet med tildels cilierede Børster. De tre bagre Fodpar (Fig. 5—6) ligne i sin Bygning og rigelige Børstebesætning mest samme hos I. gracilis. “ 510 G. O. Sars. = Halevedhengene (Fig. 7) stemme ogsaa temmelig ner over- ens med samme hos hin Art, og Grenenes Forhold til Stam- men er omtrent ens hos begge Arter. Derimod er saavel Tallet af Torner som Børster mindre. Ved Enden af den indre Gren mangle de 2 hos I. gracilis her festede cilierede Berster. Hannen (Tab. 17, Fig. 3) er noget mindre end Hunnen og kjendes let fra Hannerne. af de øvrige Arter ved sin kor- tere og mere undersetsige Kropsform. Rygskjoldet er oventil ganske svagt hvelvet og ligesom hos Hunnerne ganske glat, uden Spor af Torner. Øiet (Tab. 18, Fig. 8) er overordentlig stort og stærkt, næsten halvkugleformigt fremspringende, dets Corneæ særdeles store og tydelige. | De nedre Antenner (se Tab. 17, Fig. 5) ere betydelig kor- tere end hos Hannerne af de foregaaende Arter og række tilbagestrakte kun til 3die Bagkropssegment. Deres Bygning — forresten er nøie overensstemmende med samme hos de øv- rige Arter. | ‚ Halevedhengene (Tab. 18, Fig. 10) skille sig fra samme hos Hunnerne derved, at Tornene paa Stammen mod dennes Ende staa sammen i flere Rader og antage tildels Formen af tynde Børster. Den indre Gren har flere Torner og des- uden ved Enden en enkelt cilieret Børste. Nærværende smukke nye Art, der uagtet sin store Over- ensstemmelse i de anatomiske Detailler med de foregaaende Arter dog ved første Øiekast let kjendes fra disse, har jeg kun fundet paa en eneste Lokalitet, nemlig ved Goletta, hvor den forekom ikke ualmindelig paa nogle faa Favnes Dyb, fin Sandbund. Middelhavets Cumaceer. b11 Gen. 4 Cumopsis, n. Corpus minus gracile, cephalothorace in femina leviter dilatato, dorso minime carinato. Integumenta tenuia structura sqvamosa. Scutum dorsale supine vix arcuatum, rostro brevissimo et obtuso, fere nullo, incisura infra idem in femina minima, in mare nulla. | Oculus bene evolutus pigmento et corneis instructus. Segmenta 5 pedigera pone scutum nuda apparent, 1°" brevissimum in parte modo dorsali distinetum. Corpus posticum in femina angustum, cylindricum, in mare robustius epimeris distinetis instructum. Segmentum ul- timum medio plane non produetum. Antennæ superiores in femina et mare dissimiles, articulis peduneuli in femina sensim latitudine decrescentibus, in mare apicem versus dilatatis, flagellis valde ineqvalibus, altero majore biartieulato appendieibus 2 olfactoriis brevibus instructo, in mare ad basin dilatationem magnam appendicibus filiformibus nume- rosis undiqve radiantibus ornatam præbente, flagello altero mi- nimo et rudimentari, tubereuliformi; inferiores feminæ pærvæ, bi- articulate, maris bene evolutæ, corporis longitudinem æqvantes. Labium lobis terminalibus incurvatis ad apicem spinis nonnullis tenuibus armatis. Apparatus branchialis bene evolutus, branchiis foliiformibus. Mawillipedes 3" paris sat robusti, articulo basali permagno et crasso extus ad apicem non producto. Pedes 1™ paris breviusculi, fere nudi; 2% paris 5-artieu- lati et ut 3*' paris extus prope basin appendice parva uniar- ticulata setifera ornati. Uropoda tenuissima et elongata, trunco perangusto intus in femina sparse in mare dense aculeato, ramis subeqvalibus, linearibus ambobus biarticulatis. Denne nye Slægt skiller sig væsentlig fra de i det fore- gaaende omhandlede Slægter saavel ved den ydre Habitus 512 G O. Sars. som ved flere anatomiske Characterer, hvoraf kan fremhæves de øvre Antenners eiendommelige Udvikling hos Hannen, sidste Par Kjævefødders fuldstændige Mangel af den fra Basal- leddets Ende hos hine udgaaende pladedannede Fortsats, frem- deles det til Basis af 2det og 3die Fodpar saavel hos Han som Hun fæstede lille børstebesatte Vedhæng, der aabenbart er at opfatte som et Rudiment af Svømmegren, og endelig Halevedhængenes eiendommelige Form. Typen for Slægten er den af Sp. Bate som Cuma Edwardsii Kröyer opførte Form, hvis Hanner senere af v. Beneden ere beskrevne som en ny Art af Slægten Bodotria under Benævnelsen B. Goodsiri. For- uden denne Art kan jeg nu tilfeie en ny meget nærstaaende Art fra Middelhavet, ©. levis, saa at Slegten altsaa for Tiden repræsenteres af 2 distinete Arter. 8. Cumopsis Goodsiri, v. Bened. (Tab. 19- 21). Cuma Edwardsii, Sp. Bate, Ann. Nat. Hist. 2 Ser. Vol. 17, pg. 457, Pl. XIV (nec Goodsir, nec Kröyer). Bodotria Goodsiri, v. Beneden, Recherches sur la faune litto- ral de Belgique, Crustacea. pg. (6, pl. XIII (mas junior et adultus). Cuma Goodsiri, A. Dohrn, Untersuchungen über Arthropoden I, pg. 3 (Note), Tab. II (evolutio embryonalis), Tab. III, fig. 16 -17. Charac: spec: Scutum dorsale utrinqve plicis 2 obliqve arcuatis supine in plicam aliam medianam semiellipticam confluent.bus ornatum. Segmentum pedigerum 2dum supine utrinqve in parte antica plicis 2 bre- vibus in semicirculum curvatis instructum. | Antennæ superiores feminæ breves, articulis pedunculi sensim et longi- tudine et latitudine decrescentibus. Pedes 1'i paris scuto vix longiores, articulo basali ceteris junctis longi- Middelhavets Cumaceer. | 512 b ore apicem versus sensim attenuato, penultimo antepenultimo paulo breviore, ramo natatorio sat magno 10-articulato. Uropoda segmentis 3 ultimis junctis breviora, trunco in femina intus aculeis 4—5 brevissimis armato, ramo interiore ejusdem aculeis 6—7, qvorum 3 articulo ultimo affixi sunt instructo. Corpus totum pigmento late atro-purpureo in maculis irregularibus dis- positis variegatum. Longit. feminæ: 5m™; maris fere eadem. (Fortsættes). Berigtigelser til Stejnegers Afhandling Side 323—339. S. 323: L. 10 f. n. (og fl. St.) staar Vigers læs: Vigors. - 324: - T7f.n. staar 4735 les: 1735. - 825: - 4f.n. — Bixds les: Birds. - 326: - 18 f.n. — Undertiden les: Undersiden. - 827: - 4f.o. — Vieiel les: Vieill.: - — - 6f.0. — Tall les: Pall. = 328: MONO — øvrige læs: øvre. - 331:-- 3 f.n. — Eversen les: Eversm. - 836: - 15 f.n. — Rugefugle les: Rugefugl. - 337: - 13 f.n. — Svingfjær les: Styrfjær. - 839: - 2og3f.n. (til høire) staar: af samme Heide læs- af samme, hvide. Disse Trykfeil har indsneget sig, fordi Forf. ikke har havt Adgang til at læse Korrektur og denne paa Grund af tilfældige Omstændigheder ikke kunde besørges af en sagkyndig Zoolog. LG ve te Bu a, era EN 8 Le = fe je RE ET NE, å At al) ra ee ue a 5 4 = 7 å vi a À ~ = fo 4 f 7 å > P STE peer = x = DEG på = Å - i 4 tie x ar Dae ees Et ER “a SE ERP 5 PG 4 å = x Pa te et a SHARE i - : x E Gass: : a4 å : HED NEA it AA 40 Bogen , #sihle GK DEL Te DS REN ue 2 : ; N på ’ 14 A te x Å } 1 de oes x j jé. ie 4 ru à N > m Å “ På å ERS N =;