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^//^t).A.^-

ATTI

DELL'

ACCADEMIA PONTANIANA

VOLUME TI.

NAP-OLI

STABILIMENTO TIPOeRAFiCO DEL TBAHATER

1S54.

ALLA HAESTA

DI

FERDINANDO II.

RE DEL REGNO DELLE DUE SICILIE
etc. elfi. etc.

Sire

J_J Accademia Pontaniana , col più profondo
ed ossequioso rispetto , presenta alla Maestà
Vostra il sesto volume de' suoi atti.

Essa spera che gli sguardi di V. M. si vol-^
geranno benigni a prodotti de suoi pacifici stu-
dii nelle scienze e nelle lettere , de' quali osa
offerirle un novello saggio.

La protezione a' cultori del sapere , e la
favorevole accoglienza alle loro ricerche è una
delle maggiori lodi di un sapiente Sovrano; e
la M. V. coU'attestarci in ogni occasione il Suo
Reale gradimento , lasciò sempre nell' animo
nostro il sentimento della più viva ricono-
scenza.

Si degni Iddio esaudire i nostri voti sin-
ceri per la costante felicità della M. V. e della
Sua Augusta Reale Famiglia, mentre ci soscri-
viamo colla più rispettosa devozione

Di V. M.

umilissimi e devotissimi sudditi
GLI ACCADEMICI PONTAWAW

NOTIZIA

DELL'ACCADEMIA PONTANIANA

PER L' ANNO 1851

Letta all' accademia dal segretario perpetuo

GIULIO MINERVINL

Signori Colleglli

L' Accademia Pontaniana nell'anno i85i si addimostrò non poco zelante
ed operosa. Mi torna perciò gradevole ricordar brevemente i lavori , a' quali
avete atteso in lotti i variì rami delle ornane cogaizioai.

I,

i. E per cominciar dalle scienze matematiche, noterò che l' onorevof»
locio sig. Fortunato Padala presentò alcane Osservazioni su' punii multi-
pli delle curve algebriche (i).

Ricorda la. che nel i844 pubblicò, nel n.* i6 del Rendiconto de'Iavori della
Reale Accademia delle Scienze, no articolo sulla determinazione del numero
de" punti doppi che può ammettere una curva algebrica del grado m , e di-
mostrò non poter esser questo numero maggiore del valore espresso dalla for-
/o

(1) Tarulli de' 14 seliemiirs.

VI Notìzia de' lavori

, [m — i)(»j— 2) , „ „ -

mola (i). Qaeslo leorema, come allora fa accennato, fa senza dì-

raoslrazione corannicalo all' a. dal eh. geometra sig. Steiner. Nello stesso articolo

fece pure notare che le equazioni , !e qnali determinano i ponti doppi per una

dF dF

carva espressa dall'equazione /Ya:,«)=o, essendo come è noto — = 0, — =0,

dx dy

ammesso che queste tre equazioni si accordino , danno un' eliminata del grado
(w— 1)% e quindi conchiuse doversi il suo lavoro considerare come destinalo sol-
tanto a dimostrare il teorema già trovato da Steiner , ed esser desiderabile che
si trovasse il procedimenio analitico per giungere ad equazioni che non conten-
gano soluzioni estranee alla quistione di cui si tratta ; cioè tali che I' equazione

CI • -1 I (»i— !)('»— 2) , ,
linale non superi il grado ^ (2).

Per quanto è a sua conoscenza , d'allora io poi non è stato ancor pubbli-
calo \\ lavoro di Steiner intorno alle indicate ricerche ; né a quelle spettanti ai
punii Ji flesso ed alle tangenti (lojipie , di cui anche parlavasi nel cilalo fascicolo
del Rendiconto. Intanto nell' anno scorso (i85o) fu pubblicalo xse Nuovi Annnli
di Matematica compilati da' signori Terqoera e Gcrono poter essere il numero
de' punii doppi di nna curva algebrica del grado wj ugnale ad {m — if : risulta-

menlo inesatto contenendosi in questa formola m punti più di quelli

che in effetli [luò la curva dala ammettere. Nel fa^C'colo di marzo nllimo degli
stessi annali è stata ripresa la slessa ricerca dal sig. Transon, e con nn anda-
mento quasi simile a quello tenuto dall'a. e fondato sa gli slessi principii , per-
■viene alla formola esalta.

Nel richiamar questi fatti il sig. Padula dichiara che non intende che il sig.
Transon conoscesse il suo lavoro, quantunque non sia perdonabile l'ignorare dopo
sette anni un lavoro pnbblicalo nel Rendiconto di una delle principali Accademie
Italiane: del resto l'errore commesso, egli dice, è punizione siifficieiìle per la
non cnranza che sembrano mostrare i Francesi per i lavori falli in Italia.
Ne io avrei cercato di parlare di questa priorità , se meditan'h Hi nuovo
sulle ricerche in qt/istione non mi fosse l'itifcito li ripianare il roto rimasto

(1) 11 fine di questa Memoria, e precisamiiile la parte corrispondente a' punti doppi, tro-
Tasi nel N." 19.

(2) Neil' introduzione sta accennala una via da seguirsi per ottenere 1' equazione di

giusto grado ; ma essa t troppo lunga e penosa , né ivi è dimostrato che il suo ijrado ri-

j (m — l)(m — 2)
suiti, come dovrebbe essere , non maggiore di _ .

jdnno i8^t vn

neir altro mio lavoro , e se nella memoria del sìj. Transon non avessi
acorto che le formale le quali si riferiscono a punti multipli in generale
fìcn sono «salle; il che naturalmente dovea spingermi a vedere in che modo
dovioansi modificare.

La foi-mola del sig. Transon , dello m il grado della curva ed y il nomerò
de' paoli di maltiplicilà ;;( , è la seguente

—,{m—ix){2m{i). — I )— f<)

Or, come avverte il sig. Padula, se in questa formola facciamo »> = 5 e

/ . , — '3 , , . I -„ ,

/:<=4 ne nsalla y — ; cioè che una curva di d° grauo non può ammettere

alcun punto quadroplo , meolre è facile il vedere che ne può ammjllere ano.

Facendo m=.i e f*=4 ne risulta y "T-n- i quindi potrebbe sopporsi ^=2 , e

ne seguirebbe che una curva di 7° grado potrebbe avere due punti quadrupli,
lo che evidentemente è assurdo, poiché la retta condotta por questi punii lagli.'-
rebbe la curva data , che è di 7° grado, in otto punti. E cosi per molti altri
casi è facile il vedere che la formola è in difetto or in più or in meno. Pertanto

. , 2OT , .

I a. annunzia di aver trovalo che quando — e un numero mlero «.deve essere

la quale formola corrisponde a quella dei sig. Transon. Ma quando — è una
espressione frazionaria , indicando con m il numero intero prossimamente mag-
giore di — e non minore di 4> £> ba in luogo della, detta formola

=("— 3)(2CT--«)

Non lascia intanto l'a. di avverlire che disse nel citalo articolo essersi lo
Steiner bmiialo a delerniioare il numero de' punii doppi , considerando egli
nn punto triplo come la riunione di Ire punii doppi ; un punto quadruplo come
la riunione di sei ponti doppi ; ed in generale un punto di mnltiplicilà /;« come

la riunione di — ponti doppi. Quindi potrebbe credersi che dividendo la for-

Diola corrispondente a'jiunti doppi per si avesse la formola pe' punti di

vai Notizia de' lavori

indice j* ; ma la conchiosione non sarebbe ginsla, e non era al certo qnesta l'i-'
dea dì Steiner. Altronde la formola sarebbe y - ' che evidente-

mente non sempre e esatta. Infatti ne! caso di »j=7 e /ii=4 si avrebbe y — — ;

<2

cioè si cadrebbe nell' assordo dianzi notato che uoa curva di 7° grado potrebbe a-

vere dae ponti qaadroplt.

Il sig. Padola accenna poi qoaie debba essere il calcolo da eseguirsi in

generale per determinare le equazioni convenienti per la ricerca de' punii doppi

di una curva algebrica del grado m data dall'equazione F{x,y) = 0. Il risulla-

mento, a coi dice di essere pervenuto, è il seguente: indicando con 9(0;)=: e

dF
l'equazione in x che risulta eliminando y dalle equazioni F(x,y)^o, —r-= 0, si

cerchi il massimo comon divisore tra (ffar) e t'{x), e sia questo nKo;) : l'e-
quazione ■\f{x)=o avrà per radici le ascisse de'punti doppi, ed il suo grado

,. (m — i)(m--2) i, , . . , . , ,.

Uon potrà esser maggiore di — ^ . h chiaro poi che se i due polmomu

^(x) e ^'{x) non hanno comnn divisore, l'equazione data non ha punti multipli.

II.

Non pochi lavori relativi alle scienze naturali tennero occupala l'alten-
ciooe dell' Accademia.

a. Il cav. Giamballista Quadri comunicò una sua relazione intorno la
cura di un complicato male chirorgico, di difficile gnarigione (i).

Egli narra che nella mattina del dì 5 maggio corrente anno prestava,
in compagnia dell' altro valentissimo nostro collega doli. Semmola, la sua as-
sistenza per la cura di un signore , il quale da doJici anni e più soffriva
ritenzioni di urina frequenti e con pericolo di vita, causale da restringimenti
dell' uretra. Questo slato anormale avea dato origine a varie Cslole orinario,
le quali lo minacciavano nella vita , avendo cagionato nna febbre lenta con
emaciazione , e determinando di quando io quando febbri ardenlibsime con
'niuiomi nervosi cerebrali , che sorgevano ilalla im|iossibililà di evacuare le 0-
fine , e dalla molestia , e degenerazione di fiuesto liquido per effetto della
ilagnazioiie del pns mescolalo insieme ad esso entro a' seni fìstnlosi.

Il cav. Quadri riferisce che dopo aver diligentemente riconosciuto la sen-
sibilità squisitissima dell' infirmo , e veduto la poca efficacia di tulle le core

(1] Tornala de' 29 giugno.

/inno i8Si iz

locali e generali lenlale <1a' nostri professori, egli bì era persoaso che in qne-
«lo caso bisognava adopornic o 1' e(fire o il clororonnio , onde potere agira
eolia energia propria delia chinirgia ciDcace ; ed avendo tapalo che il dolt.
Bonucl di Lione oc avea Fallo uso mullissimc fiate , ed avea gaarilo persone
a lui cognilo Irnvagliale dallo sti-sso malore , lo eollecilò a farlo venire ia
Napoli : il che di falli verifitossi.

Piacque poi tanto al doli. Smininola ed al Quadri, quanto al prof. Bon-
Del doversi preferire l'etere al cloroformio, perchè io aa gran numero di
casi osservati e nella Francia, e nella Inghillerra , e nell' America era slato
notalo chi' questo ultimo per causa della sua eccessiva attività su' nervi ol-
fattori , e su' plessi polmon.ili , da cui partono ì nervi del cuore, delormii «
un maggioro iibbaltimeulo del sistema nervoso spetlinte al cuore, ed un più
profondo assopimento, con grande abbassamento de' polsi.

Tralasciando la precisa descrizione dell'operato dal sig. Bonnet, il cav.
Quadri ci fa sapere che oltcnato 1' assopimento dell' infermo , il chirurgo fran»
cese metteva allo scoverlo tulli i seni fistolosi , e legava ondici arlerie da lui fe-
rite , e quindi vi passava al di sopra de' ferri con bottoni ben arroventati.

Tutta questa operazione durava per lo sjiazio di un' ora e cinque minuti ,
e sempre 1' infermo venne tenuto nello stato di assopimento, rimovendosi di tem-
po in tempo dalla bocca il sacco eterizzante pTchè respirasse l'aria atmosferica,
e riponendosi quando pareva si risvegliasse , dopo aver versato novello etere nel
fondo del sacco su di un fazzoletto di tela. Il prof. Quadri si è assicuralo che in
tutto il tempo i polsi battevano regolarmente , come in un sonno profondo.

Dopo un' ora 1' infermo ritornato in sé slesso disse non aver sentito altro
che una lieve pungiliira , ne si doleva di tormenti alla parte offesa, ma assicurò
che gli era sembralo di esser come trasportalo in un viaggio fra mille idee , e
visioni confuse , di cui non serbava memoria. Dopo ciò , mercè altri rimedii e
cure attentissimo , l'infermo è andato di giorno in giorno migliorando , ed al
presente trovasi tullora in via di miglioramento.

Avverle l'autore che questa osservazione , quantunque fosse il primo fallo
posto sotto i nostri occhi , vien corroborala da altri consimili citati da molli au-
tori ; ed a lai proposito , parlando della utilità della chirurgia efficace , ram^
monta la sentenza di Curzio Sprengel , il quale encomiando quanto fece i\l. Au-
r'>lio Severino nell'epoca del risorgimenlo delle arti e delle scienze in Italia ,
dice : « Quel valente filosofo col suo penetrante ingegno à saputo armare la
1 mano del chirurgo del forro e del foco , che sono mezzi potentissimi ; e li-
X berava cosi 1' arte chirurgica da que'la m dintesa blandizie, per cni molli pe-
•n rivano dopo lunghi pnlimonti , i quali dopo riallivala qnrsla parte dell'arte
J salutare i vennero facilmente guariti ».

b

i Notìzia de lavori

Dalle esposte cose il prof. Quadri deduceva Ire corollarii, i quali dicea la-
gilimameote derivarsi da' fatti enunciali , ed esser diretti a migliorare lo eser-
cizio della chirurgia in questo regno.

I. Che la eterizzazione devesi adoperare senza lama e colla maggior fidu-
cia , massime allorquando debbonsi praticare operazioni lunghe e dolorose so-
pra individui sensibili ed estenuali da lunghi patimenti ; però bisogna saperne
bene usare.

II. Che ne' casi di piaghe cancerose , o di carcinomi , poirebbpsi abbando-
nare r oso e molto più 1' abuso delle polveri arsenicali , e di altri veleni , e so-
stituirvi la causlicazione col fuoco ; purché si faccia precedere la eterizzazione ;
e cosi evilercbbonsi tanto i pericoli cagionati dal dolore quanto quelli delermi-
aali dall' arsenico e dal cloruro di zinco.

HI. Che nel caso di accidentali bruciature , le quali sogliono determinare
gravi e pericolose reazioni vitali , convenga eterizzare la persona e di più cau-
terizzare la superficie del corpo , ossia la cute alterata troppo leggermente dal
fuoco , affinchè venga ricoperta da nna escara insensibile , ed affinchè l'organo
dermoideo venga distrullo da' bottoni di fuoco ; nel qnal modo la sensibiiilà ele-
vala di qnesle parti , non bene abbruciate pel caso fortuito , può determinare
reazioni vitali pericolose.

Il prof. Quadri chiude la sua relazione col riportare alcuni casi , ne' quali
fu con vantaggio pratticata la eterizzazione o da lui , o dai suo figlio doti. A-
lessandro : trattandosi di gravi e difficili operazioni di chirurgia , che ottennero
r esilo più felice, senza che gì' infermi risentissero alcun dolore nei tempo dell'o-
perazione.

3. L' illustre professore ritornava sul medesimo argomento della eterizzaziona
con altra sua breve memoria , diretta a fornire talune regole valevoli ad allon-
tanHre qnalonqne spiacevole conseguenza aerivar potrebbe dall'uso dell'e-
tere (i).

Comincia 1' a. dal dimostrare come sia necessario, che il chirurgo affidi l'e-
ttrizzazione ad un medico, mentre egli si accinge ad Oiierare. Semiire piò insista
li professor Quadri nel persnadere l'uso di'H elere nelle operazioni dolorose, os-
servando che non debba il Chirurgo farsi vincere da vano timore , specialmente
re' casi più disperati , ne' quali non gli resterebbe altro che di essere inerte
spettalore della rovina e della morte degl' infermi. Io conferma di che ciU bea
i.ii:annove eterizzazioni pralicate dal suo figlio doti. Alessandro , senza che
«Itno pericolo fosse sopravvenufo.

Passando a! metodo di pralticar l'eterizzazione, osserva l'a. che questa la-

(1) Tgruata de' 27 loglio.

•eia dopo di sé un periodo più o ra»no lungo d* iosrnsibilità : per lo che cenii-
glia (li allonlanar l'apparpcchio dcU' etere cioijue o tei miouti prima di fioir l'o-
perazione. Finalmenle, dopo aver notate le precauzioni da prendere per non ia>
Correre in qualche inconveniente , accenna potersi ne' casi disgraziati ricorrere
a' medesimi riuudii , che si usano contro l'asfissia.

4' Con la occasione della memoria del cav. Quadri, il socio cav. de Renzi ••
•pose alcune osservazioni storiche sulla eterizzazione (i).

Faceva notare il nostro egregio collega , che nel lavoro del cav. Quadri ti
erano alcune espressioni , le quali dar potevano per avventura la idea, che fosse
DDOva per noi la eterizzazione. Egli ha perciò creduto opportuno presentare al-
cune dilncidazioni sulla parie storica dell' inalimento de' vapori consiilerrto
come r ausiliario della chirurgia , osservando the già questo mezzo adoperav/isi
in epoca remota nelle nostre regioni , e che lo stesso metodo seguito dal profet-
•or Bonnet dee riputarsi italiano , essendo slato la prima volta proposto dal
professor Porla di Pavia.

Egli facevasi ad osservare che non solo negli ollimi tempi i chirurgi ita-
liani , e le Accademie tutte , si erano occupale sperimentalmente dell' esame di
tali mezzi , aveano modificati i melodi , e temperalo quell'eccessivo entusiasmo
con osservazioni , che il tempo va sempre più confermando ; ma che inoltre la
primitiva scoverla del metodo dell' inalameolo de' vapori di sostanze anestetiche
appartiene all' Italia , non avendovi aggiunto altro i moderni che 1' uso di al-
cune sostanze, che gli antichi non peranco possedevano.

E per vero io Teodorico , chirurgo italiano della metà del secolo XIII , e
che vuoisi essere slato anche Vescovo di Bilonlo nel nostro Regno , se ne trova
la chiara notizia. Riprovando 1' oso interno de' narcotici , familiare nella pratica
de' chirurgi volgari, ricorrevano fjl" Italiani al segaenlo meccanismo per pro-
durre r anestesia ed il sonno nelle operazioni chirurgiche. Essi prendevano op-
pio , sugo di solano , di giusqniamo , di mandragora , di edera erborea , di oi-
dita e di lattuga , e ne inzuppavano una spugna nuova che facevano seccare al
sole. Mentre dovevano operare immergevano questa spugna noli' acqua bollente,
e ne facevano respirare i vapori , finché avveniva il sonno. E questo molob era
Milo italiano , né lo eseguivano gli slessi chirurgi francesi del secolo XIV, essi
sl.'ssi discepoli del milanese Lanfranco. Ed invero Guido da Chaiiliac , descritto
questo metodo de' chirurgi d' Italia , non dice nos facimu, , ma conchiudj ; et
ipso (infirmo) oh dovmilalo f aduni operalionem.

5. Il vantaggio della umanità languente mossa l'allro ncstro collega e Se-

(1) Tornala medesima.

xu Notìzia de' lavori

grelarìo aggiunlo sig- dott. Gabriele Minerviai a presentare (i) la comuni-
cazione di due casi di perniciose ictermiltenfi osservate in Napoli nel mese di A-
goslo , in pn silo poco più elevalo de' Miracoli presso la specola astronomica.
L'a. olTre la storia di entrambi; e chiama luna perniciosa a/^2'afa accompa-
gnala da grave CBfalaly;ia e da vomito, deQaisce l'altra per una perniciosa a-
smalica o dispnoica.

Noi ci asteniamo dal ripetere la relazione de' due casi , e della cura Teli-
cemenle eseguitane.

Ma non possiamo mancar dall' avvertire che dall' esame di questi due
casi pratlici , il sig. Minervini è tratto ad alcune generali considerazioui
sulla etiologia del morbo. E pria d'ogni altro nota doversi nella corrente
stagione riconoscere in Napoli ona particolare inQuenza , per essersi frequen-
temente osservale cosiffatte febbri. Questo fallo messo in rapporto coi un al-
tro , cioè eoa la secchezza dell' atmosfera io quell'epoca , come dimostra colle
tavole meteorologiche a Ini fornite dall' egregio collega sig. del Re , e princi-
palmente colla circostanza del silo ascintto, ov' ebbero luogo le due perniciose
da lui osservate , conducono il sig. Minervini ad alcune conclusioni, i." Ab
biamo , egli dice , altri due fatti ì quali confermano la opinione che anche
ammessa la esistenza del miasma palustre , non sia questa da stimarsi la cagioa
sola delle febbri ; perciocché anche le perniciose maligne possono osservarsi
ne' sili alti e salubri della nostra capitale. 2.° La umidità facilitando i cangia-
menti di temperatura , mal disponendo gli organismi , può esser caosa delle
febbri, può renderne più facile la propagazione, può aggravarne l'indole; ma
non sembra essa condizione necessaria allo sviluppameuto delle febbri. 3.° E
certo che la mancanza dell'umidità ne' luoghi ove le febbri sono endemiche, le
renda più rare, ed anche meno gravi ; ma non sembra ammissibile che un'està
secca ed asciutta debba necessariamente ed assolutamente risultar sempre salu-
tare pe" luoghi ove le febbri sono endemiche ; come sostenevano il Doni , il Puc-
cinotti per Roma, e come ilDorotea ritrovava verificarsi nel Tavoliere di Puglia;
perciocché se avvenissero altre insolite condizioni atmosferiche , pur le febbri po-
trebbero suscitarsi: abbiamo ragione di ciò sostenere, ncll'osservare che io Napoli,
ove le febbri di tal genere sono rare e quasi mai endemiche, in qnesla state che fa
secca ed asciutta sufficientemente , pur si offrirono con certa frequenza. 4-° Al-
cune speciali alterazioni atmosferiche, incalcolabili molle volle, come ben disse i
Sfmmola, par che possano influire nelP originare le febbri. Noi crediamo che
qu( Ile osservale in Napoli nella decorsa stagione furono originate dalla coinci-

(1) Tornata da' 28 settembre.

Jnno i8St xiii

donza del calore col continuo soffiar de' venti variabili . alle Gite anche fros tu
ed asciutti , i quali favorivano i pia gravi islanlauei disquilibri del trasjiirabile.

Conchiude l'autore il suo discorso coli' inculcare a' liraiici di ibsere d.ii-
geuli nello studiare e nel trattare certe infermità, quando preseulano una insolild
«milrome fenomenica, spinto a ciò dall'andamento del morbo, the fi,rma o^-e;-
10 del secondo caso narrato: ed avverte esser uopo che i medici cooo^ ano, s
tengano presenti al pensiero, allorché osservano infermi , certe pecul.ari iullien-
te , le quali danno origine a dati morbi , che di tratto in tratto stabiliscono la
loro dimora in date slagiuni, ed in ispeciali località ; siccome sembra delle febbri
periodiche, che possonsi sviluppare indipendentemente dall'azione miasmaliia , a
quindi mancare di un'argomento che si tiene come norma usuale per ravvisarle.

6. Da più tempo discorrevasi de' mirabili fenomeui osservati in una infelice
giovinella affetta da volvo catalettico da alcuni mesi nella capitale ; e poiché
sì conobbe che questa inferma era aIGdata alla medica cura del eh. collega
cav. Vulpes, l'Accademia richiese una relazione di quel difficile e complicato ma-
lore. Il cav. Vulpes ademp'i immaulinenti all'onorevole incarico, leggendo un am-
pia relazione con mediche riflessioni (i). E poiché non era ancor terminala la cara
di quella infermità , che moslravasi pertanto in via di guarigione, l' a. ne pro-
mise altro suo lavoro , quando la inferma avesse riacquistata pienamente la sa.
nità. Noi quindi rimandiamo a tempo più opportuno la notizia di questa interes-
sante comunicazione.

7. La storia della medicina nelle nostre regioni richiamò l' attenzione del-
l' Accademia con una memoria letta dal cav. Salvatore de Renzi , il quale im-
prese ad illustrare nn importante periodo , ed a chiarire i fatti risguardanti per-
sonaggi illustri e di slorica celebrità (2).

Espone r a. alcuni documenti da lui o trovali per la prima volta , o me-
glio esaminali , da' qnali rileva tanto il modo come era ordinala la medicina
nel nostro regno nel tredicesimo secolo , quanto la influenza che spiegava la fa-
mosa scuola di Salerno sull' insegnamento della medicina e sull' esercizio del-
l' arte. Questi documenti , per la maggior parie inedili , sono trascritti da' re-
gistri degli Ani Angioini , dell'anno 1266 fino al cadere del dccimoqnarto se-
colo. Molli medici 0 conosciuti 0 mal noti sono cos'i sottratti dall' obblio , e col-
legandosi i loro nomi co' documenti scientiCci che ancora ci avanzano , si chiari-
sce la letteratura medica di un secolo operoso , nel quale si posero le fondamen-
ta delle principali istituzioni scientifiche de' tempi nostri. La parte precipua di
questo lavoro si occupa del famoso Giovanai da Procida, uno de' più importaoli

(1) Tornata de' 16 novembre.
\2) Toraata de' 26 genoajo.

ny Notizia de' lavori

personaggi di qneslo secolo come medico , come scienziato , e come politico. Si
mostra, per mezzo di documenti, che Giovanni da Procida nato intorno ai 121 5
si elevò a gran Tania come medico della scaola di Salerno , onde divenato me-
dico di Federico II ne seppe acquistare la benevolenza in modo che n' ebbe o-
nori e ricchezze , e fu all' imperatore unito come nobde e familiare. Restato es-
sendo presso IManfrcdi , entrò ne' consigli del re, ed occnpò 1' elevato grado di
Segretario di Stato. Morto questo prìncipe , Giovanni non sapendo mancare
alla saa riconoscenza ed alla sua fedeltà verso T illustre famiglia degli Svevi ,
seguì le parti di Corradino , onde dopo la sveotarata cadala di questo principe,
spoglialo di onori e ricchezze fuggi dal Regno, si recò in Ispagna presso la 6-
glia di Manfredi , allora regina di Aragona, sostenne con incredibile costanza,
astuzia ed ingegno i dritti di questa prijicipessa , ebbe parte principale negli
avvenimenti della Sicilia e negli ordinamenti politici di quell' isula , finché al
cader del secolo accompagnando Costanza in Roma , ivi mori nell'esìlio , senza
mancar mai alla sua fede. Importanti soprattutto sono i documenti, co' quali
r autore intende dimostrare calunniosa e falsa T opinione di coloro che preten-
dono avesse Landolfliia , moglie di Giovaonì , mancalo agli obblighi suoi , men-
tre DÌun favore ella sì ebbe dagli Angioioi , i quali mantennero saldi i loro de-
creti di confisca , anche de' beni dotali di lei. Infine l'autore riporta varii docu-
menti , co' quali prova 1' errore di coloro che dicono aver Giovanni , negli ul-
timi anni di sua vita , rìacqoislata la grazia di Carlo II , ed i boni ; ed aver
cosi rinnegali ì principiì cJ i sentimenti con tanta costanza seguiti in una vita
lunga , operosa e piena di avvenimenti. Imperocché qae' docamenti dimostrano
aver Carlo 1! dopo la morte di GiovAnnì , ad intercessione di Papa Bonifacio
Vili , e dì Giacomo re di Aragona , reslituilì i beni a Tommaso da Procida ,
secondogenito di Giovauni, il quale ebbe nn figlio a nome anche Giovanni, che
segui con calore le parti degli Angioini ; onde avvenne che coloro che non po-
sero mente al tempo spesso confusero questo Giovanni jnniore con l'avo. Questa
memoria è slata quindi dall' autore inserita nelle Addizioni alla sua Storia
della medicina in Italia.

8. 11 professore Oronzio-Gabrìele Costa , che da gran terjpo indefessamente
lavora ad illustrare la paleontologia del regno , del che i nostri alti presentano
lucidissimi documeulì , comunicava all' Accademia alcuni cnnì inlorno alle sco-
perte fatte nell'anno iSoi (i). A noi sembra innlite riporlarne in questo
luogo r estratto ; perchè il eh. autore ha già fatto qae' cenni di pubblica ragio-
ne , in un accreditalo giornale scienlilico napolitano; ed anche perchè quelle
scoperte formano parte dì quel magnifico insieme , che siamo inlesi a pubblicare
ne' volumi de nostri alti.

(Ij Toruala de' 31 agost».

Anno tSSt xv

g. Dna scieatifica comaDÌcazioDe die causa ad un altro lavoro dello stesso
professor Costa (i).

[I sig. Federico Lancia di Paleraio , cultore delia storia oaturale e pos-
»ossore di una svariala raccolta di naturali produzioni , e' inviò an TraoinieDlo
di couchiglia Fossile bivalve , riovcnulo nella Sicilia , e Ijctie ap|>oiKiiJo3Ì a
dclcimiuarne il genere , espresse cortesemonto il s;io desi fcrio di ileJioar!»
alla nostra Accademfa , denominandolo Cardium Pontaniannm. Il professor
Costa incaricato parlicolarmenle di solloporre a diligente esame il franunento
in quistione , partecipò il risullamenlo delle sue ricerche , dalle quali veniva
eonfcrmala fa idea dello scopritore, cfio spellasse il frainraenlo al gi'iier»
Cardium : il che dednceva non solo dalla esteriore apparenza , che viene da'
naturalisti appellala habitus ofieien, ma allresi per l'analisi della sua or-
ganica slrutliira . e per essere slato condotto dagli elementi curvilinei a tro-
var la vera forma della intera conchiglia. In quanto alla specie, l'autore ,
dopo avere miuulameale esaiuinala la slrullura di alcune appendici ebj ne
adornano le numerose coste, si è assicurato ch'essa non ha confronio Iralle
specie viventi , tranne una mnominala e di mari stranieri, esistente nella su*
medesima collezione , ove si vede quasi abbozzata.

Un esara« accurato fatto dall' a. sul Cardium m:ilticoslatum ànK liroccbi.
tanto sulla figura , la quale suscita eqiivoco a primo aspetto , quanto per
la descrizione che l' accompagna , gli l'anno francantìnte pronunziare, che il
frammento appartenga a quella specie. E conchiiid<» dovcrglisi perciò reli-
giosamente conservare il nome impostogli dal primo scopriiOTd e deseritlore.

Non lascia però T a. di rendere al sig. Lancia la dovuta lode, per a-
'.erci col suo pregevole frammento fornirà la occasione di chiarire le C'ise ri-
maste dubbie dal Brocchi : e lo invita a far novelle ricerche nella speranza
che gli riesca di riirovare ona valvola intera , che potesse far naeglio stu-
diare questa poco conosciuta bivalve.

m.

IO. Nella classe delle scienze morali ho a rammeolare un discorso del sig.
Michele Baldacchini sullo scetticismo antico (2). Questo fa parte di un piò
ampio lavoro storico e filosofico , nel quale 1' autore si propone di esaminare
lo scetticismo ita quando si mostrò la prima volti in Grecia , proseguen-
doliì in.ìino a' più recenti dubitatori. Data prima una idea in generale dello
icelticismo, l'autore si ferma all'etimologia della parola, ed esamina, coo-

(t) Toroata de' 13 luglio.
^2) Turuala de' C aprile.

xn Notizia delatori

fiilandole sempre , le opinioni di Pirrone , di Timone di lai discepolo ,• di
Arcesilao , di Cameade , di Enesidemo , di Agrippa , di Menodolo e di Se»
«to Empirico. Si esaminano io questa parte , che fu ietta all' Accademia , i
3éH« rpóitot èiro')(^Y\i , che furono di poi a cinque ridotti ; non che si discute
se s' abbia a considerare lo scetticismo qua! derivazione legittima della scuola
di Socrate , o non piuttosto come una falsa e bugiarda derivazione della
buona scuola socratica. E perchè, come avverte l' a., lo scetticismo non può
»lare senza supporre quella medesima scienza ch'egli combatte, dà in snc-
cioto la storia del dommatismo , ed espone in breve la ClosoGa di Socrate ,
di Platone, e di Aristotile, ed in che Platone ed Aristotile s' accordino , in
che dissentano : discorre finalmente della filosofia degli Stoici , continuatori
delio Slagirita , pe' servici spgnalamente da loro renduli alla logica , alla
quale , dice il sig. Baldacchini , aggiunsero le indagini grammaticali , in-
itiluendo un paragone , diremmo quasi , un parallelismo tra le formt
del lingìiag.p'o , e le forme del pensiero , eonlintiando in quesi opera
Platone ed Aristotile , l' uno de' quali aveva nel Cratilo toccalo dell ' o-
rigine delle parole, e V altro fatto consistere parie della logica nella
interpretazione de' vocaboli (Vico De uno universi juris principio et Ji-
tu uno ).

Ragiona in seguito l'a. della rigidezza della morale stoica , che me-
nava ali ' orgoglio individuale , e della rilassatezza delli morale degli
Epicurei , che poneva nel piacere del corpo l' umana felicità (Vico ,
Lettera all' aò. Esperti jiubblicala dopo la morte di esso Vico) , soggiu-
gnendo : Ma travagliato il pensiero uma'io da tante e si diverse opinioni,
da tanti e sì diversi siste?ni , non è maraviglia se ricadesse per qual-
che tempo di del nuovo nel dubbio. Senza entrare in maggiori parlicolari
sul lavoro del sig. Baldacchini , avvertiamo in generale , eh' egli al doinma-
tiimo antico annoda l'antico scetticismo , confulaodolu sempre ; e che di tulli
i sistemi antichi e moderni giudica considerandoli dal (oro lato morale, am-
mettendoli in quanto buoni , ed io quanto falsi rigettandoli.

II. Nulla diciamo per ora di nn lavoro, di cui il nostro socio sig. Ce-
sare Marini cominciò a dar lettura all'Accademia (i), e che ha per argo-
mento del drillo divenuto scienza ; giacrhè sarà pm opportuno dacoe l' «^
strallo , allorché ne sarà compiuta la lettura.

H) Tornata de' 18 giDga».

^nno i8St

xm

IV.

12. Passando alla classe di storia e lelleralura antica, il sig. conte Tro-
jano Maiulii leggeva (i) un discorso inloroo ona iscrizione pubblicata dal
Doni (classe III, n. 67 pag i3o), e da altri. In essa leggesi da princi-
pio il nome di Coslanzo Aogoslo , e poi la dedica sotto il consolato di Gor-
diano Angusto , e di M. Acilio Aviola. L' autore giustamente si maraTÌglia
che si (rovasscro insieme rinnili personaggi , i quali vissero alla distanza di
circa un secolo fra loro. Ci fa poi conoscere che avendo su di questa insor-
montabile diIDcoltà interrogalo due lumi della napolilana epigrafia, il nostro
defunlo spgrelario perpetuo comm. Avellino , e l'altro nostro collega sig.
ab. Gnarini , questi spiegarono la cosa con 1' oso non raro Dell' antichità di
destinare ad altra memoria epigrafioa quello stesso marmo , che fu in tempo
precedente adoperalo per altra iscrizione : ed il primo richiamava ancora a
confronto il costnme pratticato nelle staine, precisamente imperiali , di toglier
loro la testa e sostituirvi quella del dominante imperatore. L' autore con va-
rie ragioni cerca di opporsi alla suddetta spiegazione de' suoi colleghi, e de!
pari osserva non essere a proposilo richiamala l'altra bilingue iscrizione na-
polilaiia di M. ComÌHÌo Verecondo a Ini citala dal Segretario Perpetuo sig.
Minervioi , come un' aliro esempio di queste iscrizioni rescrille : e conclade
che la lapida del Doni , nello slato attuale delle nostre cognizioni , debba
considerarsi assolutamente inesplicabile.

i3. Debbo pure in lai luogo rammentare, 0 Signori, che il collega de Ri-
tis espose alcune sue idee sidla vetustissima lingua italiana, e sulla for-
mazione de casi latini [2].

V.

li. Essendo costume della nostra Atcaderaia di onorar la memoria d.;"-li
«liuti colloghi con funebre elogio da recitarsi dal successore nel posto acca-
demico , fu adcmpiulo qneslo sacro dovere da' signori Mariano Leopoldo d'A-
vella , e Paolo Emilio Tolclli. Il primo lesse l'elogio di Michele Cimirelli (3),
rapilo da qualche anno alle lettere , eh' e' coltivava con indefesso zelo : e
poiché il sig. d' Avella richiamava 1' attenzione dell' Accademia sul corso e-
tegetico di beile lettere italiane , lascialo manoscritto dal Cimorelli , e del

(1) Tornala de' 30 marzo.

(2) Tornala de' 27 luglio.

(3) Toroaia de' 23 fcbbrajo.

j-M^i Notizia de lavori

quale già prima avea dato ragguaglio l' altro nostro collega sig. Lorenzo
Morgigni , fu nominala una commissione composta de' signori cav. Giuseppe
di Cesare , conte Trojano Marnili , del nominalo sig. Morgigni, e de'signori
d' Avella , Francesco Saverio Arabia , e Scipione Volpicella , aJ oggetto di
esaminare il lavoro del Cimorelli , e farne all' Accademia una più eslesa re-
lazione.

|5. L' altro elogio recilalo dal sig. Tulelli Fu qopllo del benemerilo ab. Vita
Buonsanlo (i) , che consacrò la sua lunga esistenza a formare il cuore e la
mente della più tenera età. Accompagnarono le voci dell' encomiatore varii,
poetici componimenti : un capitolo del vicepresidente sig. Giulio Genuino ,
un' ode del sig. Barone d'Epiro , ed allrelianti sonelli de' siguori conte Ma-
rulli e parroco Montuori.

i6. iNè solo in questa occasione fu l'Acciidemia sollevata da' più severi slo-
dii , col dolce favellar delle Muse: che più volle l'egregio poeta Giuseppe Cam-
pagna piacevolmente v' inlrallenne , ora trasportalo alle più sublimi idee ra-
gionando della Psiche svenula pregiatissimo lavoro del Tenerani (2), ora pro-
nunziando ona scherzevole salirà , nella quale riprende a dritto nna certa
perversa maniera di poetare , che venula d' ohremonli ha trovalo in It.jlia
numerosi seguaci (3): il sig. Guanciali recitava un'ode Ialina su quel tremendo
flagello , che colmò la infelice terra di MelQ e tutta la Basilicata di deso-
lazione e di spavento [&,): il sig. Francesco Saverio Arabia leggea versi sciolti
sopra la storica cillà di AmaIG , con alcone stanze a Flavio Gioja (5): e la si-
gnorina Giannina Milli ispirata da subitaneo fuoco, colla celerità nel fulmine,
colpi le vostre menti , 0 Signori , pronunziando estemporanei sonetti , per
tacer delle ottave da lei scritte e Ielle all' Accademia , in occasione della sna
nomina a socia onoraria.

Non debbo in questo luogo passar sotto silenzio che 1' Accademia volle
prontamente pubblicar per le slampe la bella canzone del Campagna sulla
Psiche del Tenerani ; e che ne furono colla massima solleciludine distribuiti
e diffusi i numerosi esemplari.

17. Due altri lavori pertinenti alla classe delle Belle Lettere e delle Belle
Arti furono a voi presentati in quest' anno. Il primo è una memoria del cav.
Camillo Guerra , colla quale imprese a disaminare il celebre dipiato del giu-
di/.io universale, opera dell'immortal Buonarroti (6j. Non mi tratterrò aJ esporre

(1) Tornata de' 29 giugno.

(2) Tornata de' 17 agosto-

(3) Tornata medesima.

(4) Tornala de' 28 settembre,

(5) Tornata de' 27 aprile.

(£) Tornala de' 16 novembre.

Jnno 18^1 tSSL

le idee del noslro egregio collega , perchè sono pubblicate appaolo io qnel
medesimo volume degli alli accademici , a' quali andrà premesta questa do-
lira breve notizia.

18. L'allro lavoro, a cui accenniamo, è dovuto al sig. Francesco Saverio
Arabia, il quale presentò la storica esposizione de' tremuoti di Melfi , fa-i
ceudo ftlcone osservazioni so quella tanto deplorala catastrore (i).

VI.

19. Nell'anno i85i fa proposto al concorso per lo premio di due. 5o il
seguente quesito spettante alle scienze morali ed economicbe :

Investigare le cagioni , per le quali non vi sieno , o sieno in de-
eadenza , nella parte del regno delle due Sicilie di qua dal Faro , 0
in qualche provincia, produzioni naturali , 0 rami d' industria, che do-
vrebbero naturalmente prosperarvi; ed indicare se tali cagioni possano
rimuoversi e come , senz alterare il libero processo dell' industria.

VII.

20. Traile importanti comunicazioni noterò quella del socio prof. Luigi Pal-
mieri (2) , il quale annunziava di aver già eseguiti gli sperimenti solla de-
viazione del pendolo per dimostrare il molo della terra. Voi accorreste ad
osservarli , all' invito dell' illastre collega.

E non mollo trascorse che la reale Accademia delle scienze e' inviava
impressa una noia dell' altro noslro celebre collega cav. Macedonio Melloni
sulle esperienze del Foucault relative appunto alle oscillazioni del pendolo (3).

21. E mi sia por lecito di ricordare, ad onore del nostro paese, che l'Ac-
cademia ebbe in questo anno a congratularsi col nostro valenlissimo collega
Annibale de Gasparis per la medaglia di oro decretatagli dalla reale società
astronomica di Londra: e ch'egli sempre più degno addimostravasi di que-
sta meritata onoriGcenza , scoprendo on' altro asteroide nella ootle de! 29
luglio. Le qoali scoperte unite a quelle già da lai Tatte innanzi , e che do-
vea par fare negli anni sQssegaeoti, ne aumeatano di giorno ia gioruo la glo '
ria e la rinomanza.

(1) Tornala de' 14 dicembre.

(2) Tornata de' 27 luglio.

(3) Tornata de' 17 agoato.

XX

Sodi defunti : rizzi , andreotti

VlH.

22. Per ragionar finalmente delle scientifiche corrispondenze, dirò che la il-
lustre Accademia reale delle scienze di Upsal e' inviò in dono dieci volumi
de' suoi atti in ricambio de' nostri ; e novelle relazioni furono stabilite col prin-
cipiar d' oggi innanzi l' invio de' nostri atti alla Pontificia Accademia de'Nnovi
Lincei di Roma , che cominciò a mandarci i suoi , nonché alla Reale Acca-
demia de' GeorgoGli di Firenze, che ci fé parte de' rendicoati delle sue tornate.

IX.

23. La nostra biblioteca fo accresciuta per l'acquisto della continuaziose della
Fauna del sig. Costa , e di alcune opere del eh. Teodoro Mommsen ; doq
che pe' doni de' signori dott. Giuseppe Bandiera , dolt. G. B. Bellini , cav.
Vito Capialbi , Ernesto Capocci , Oroozio-Gabriele Costa , Salvatore Fenicia,
cav. Giuseppe Folliero de Lana , dott. Gaetano Giorgio Gemmellaro , Garcia
de Tassy , cav. Odoardo Gerhard , Agostino Gervasio , Quintino Guanciali ,
Fed. Gugl. Hope, Federico Lancia, cav. Agatino Longo , Salvatore Mau-
darini , conte Gennaro Marnili , canonico Masi , doti. Gabriele Minervini ,
Giov. Domenico Mucci , p. Bernardo da Napoli, Giuseppe de Nobili, Luigi
Palmieri , Giuseppe Pansini , cav. Pasquale Panvini , ab. Salvatore Proja ,
eav. Salvatore de Renzi , ab. Giacomo Rucca , doli. Mariano Semtnola ,
Panfilo Serafini , Agostino Taraschi , Carlo Venturini , Paolo Volpicella , e
prof. Andrea Zambellì.

X.

L' Accademia ebbe in qnesto anno a deplorare la perdita di cinqae so-
fii rasidenti , del cav. Filippo Rizzi , di Domenico Aodreotti , di Fedele A-
mante , del cav. Francesco Ruffa , e del cav. Giambattista Quadri, to par-
lerò brevemente di latti , e solo più specifioalaraenle di coloro, de' quali mi
è riuscito raccogliere le notizie biografiche.

24- 1' eav. Filippo Rizzi fu cullore delle scienze morali ed economiche, <> ne
lasciò documenti in alcnne sue produzioni.

2Ìi. Fu l'Andreolti un gentile alunno delle Muse, e non pochi suoi com-
ponimenti recitati in particolari circostanze sono sparsi ìa varie poetiche rao<
«olle , altri aon pochi rimangoao tuttora inediti.

AMANTE. X\l

26. Fedele Amante vide la luce in Napoli nel io aprile I794.- Nolla più
ienera età fu in Milano affilialo alle cure di valenti inaeslri , elio lo iulro-
diissero negli studii della malcraatioa e della letteratura : e uon sarà inoppor-
tuno il rammentare che fra' suoi primi precellori fu 1' altro nostro collega già
da più anni rapilo alle scienze Ferdinando Viaconli. Compi 1' Ainaule la sua
scii'nliGca eduodziune nel Liceo di Porlanova , nel collegio Ijur^uinio , e fi-
nalmente nella celebre università di Pavia , ove fu allievo del famigerato Brii-
nacci, ed ove morilò con roollissimo onoro la laurea. Non contento il gio-
▼inello della più esalla islituzioue nialemalica , volle applicarsi a studiar bc-
Dancbe la parie prallica dell' astronomia , di quella scienza sublime che va
indagando la profondila de' cieli e l'armonia dell' ODiver&o. In questa parie
de' suoi sludii ebbe a guida l' illustre Oriani.

E tanta era stala la perseveranza del giovine allievo , lanlo il suo in-
gegno capace delle difficili teorie della matematica e deiraslronomia, che usei
dalla scuola già furnialo un valente professore.

Non è quindi maraviglia , se nel 181 5 , quando aveva appena Irascor»
il quarto lustro della sua età , fosse destinato ad insegnare astronomia e geo-
desia nel reale officio topografico di Napoli , ove era ritornalo degno delte
^ima de' suoi concitladini.

Da queir epoca in poi, o Signori , e principalmente allorché nel 182^
fu nominalo professore di geodesia nel real collegio militare , la modesta esi-
stenza di Fedele Amante si riparli fra le curo del precettore, e (|ue!le dello
scienzialo. Ed in queste due categorie noi dobbiamo parimenti considerare le
stie produzioni. Fu per ìò vantaggio della gioventù studiosa eh' egli diede
alle Btampe gli elementi di Arilmclica , di Trigonometria e di Geodisia.

iVla si elevò pure non poche volle alle più difficili speculazioni della scienzaj
e dobbiamo a qnoste ricerche tre dotte miuiorie la prima sulie forinole da
usarsi per proiettare un angolo all' orizz'jnle , la seconda intorno ad un
nuovo metodo di calcolare ffli arcai terrestri di meridiano e di paralle-
lo, e finalmente la terza sulla semplijìcaaione delle formale da adope-
rarsi nel calcolo delle posizioni geografiche de' punti geoletici- Dobbia-
mo a queste ricerche la memoria intorno al palmo siciliano , e le tavole
generali d' interpolazione.

Ne' quali lavori il nostro collega si addimostrò dottissimo nelle scienze
matematiche , facendone 1' applicazione alle più inlralciatu questioni dell'astro-
nomia e della geodesia. E non voglio mancar di avvertire; che gran parie
di queste dotle discussioni furono dall' aulore comunicate alla nostra Ac-
cademia , alla quale era stato asciillo fin dal 1S18, e che veggonsi imjTesse
ne' volumi de' nostri alti. I\è posso '^gualmeule lacere che pur tra noi egli lesse

xxu Sodi defunti: ruffa

V elogio di Francesco Pergola , facendone conoscere i grandi lavori di trian-
golazione impresi ed esegaiti da qoel sno dilello collega, che può ben dirsi mar-
lire del suo zelo per 1' adempimento de' suoi doveri.

Nel chiudere questi brevi cenni, ricorderemo che l'Amante accoppiava alle
cognizioni della scienza da lui particolarmente collivala , quelle altresì delle
bnone lettere: per modo che in forbito stile si esercitò benanche a trattare alcuna
volta argomenti lellerarii. E ne sia una pruova il suo opuscolo intorno a pregi
del dialetto napolitano , e la memoria che a questa nostra Accademia presen-
tava , per ridurre alla uniformila il linguaggio scientifico italiano : idea posterior-
mente accolla e fc^condala da molli , e che noi crediamo opporlunissima , per non
aggiungere alle difficoltà inlime della scienza quelle esteriori , provenienli dalla
falsa 0 variabile intelligenza delle parole.

Per compiere la breve narrazione della vita del nostro collega noterò che
nel 1849 cessò dall' insegnare nel real collegio militare , e che poco appresso
dopo lungo e lormenloso malore a' 17 marzo iSai discese nella tomba, mentre
non ancora compiva cioquantasetle anni.

Fedele Amante era stato ascritto come corrispondente a varie Accademie
nazionali , traile quali citerò la reale accademia delle scienze : e nel i84.6 fu
scello a formar parte della commissione di Pubblica Istruzione ordinala all'esame
degli allievi delle scaole privale.

27, Il cav. Francesco Ruffa cessò di vivere il d'i 7 loglio di questo anno ,
mentre non ancora compiva il sno decimo lustro. Egli vtde la luce in Tropea
città della seconda Calabria Ulteriore, già resa celebre per essere stala la culla
di uno de' più insigni filosofi italiani, del Ga'iUrpp'. Destinato dal padre alla
professione della medicina , eh' egli medesimo esercitava , abbandonò questa
apollinea facoltà perseguire a latt'uomo 1' allra più lusinghiera ed attraente
della poesia. E di falli non tardò ad ottenere in vaiii generi meritati applausi.
Si esercitò con saccesso nella tragedia, ed abbiamo a citare fralle sue dramma-
tiche produzioni Y Achille, V Agave, ii Codro, il Teramene. Più numerosi,
e diremo ancora più pregevoli, sono i lirici componimenti del nostro collega,
che già pubblicati si ollennero i suffragi! degl' intelligenti. Le sue odi , e
principalmente i sonetti , tra' quali citeremo quelli dettati per la perdita a-
cerba della sua diletta consorte, gli accordano un posto onorevole nella pa-
ilria lelleralura. Voi ben rammentate, 0 Signori, che il Ruffa non di rado
faceva udir la sua voce in questa aula sacra alle vostre scientifiche riunioni.
Ed io mi contento di richiamarvi al pensiero qoe' versi, co' quali deplorava
la morte del suo illusire conciltadino , e nostro collega Pasquale Galloppi.
Francesco Ruffa divideva il suo tempo fra le meditazioni del poeta, e le poco

QUADUl XXIIl

graJevoli occupazioDi del giornalisl?. Io non intendo di considerarla ffa voi
1/1 questa diversa categoria , ncllii quale cotnuuque nminirar si possa il fa-
eilo siile , 9 la sveltezza dello scrittore , non potrà mai venirgli q loUa solida
e durevole gloria , che si acquistano le opere del genio, o le ricerche della
scienza. Noi saremo paghi di ricordare il nome di t'rauoesco UulTa -, come
quello di un valoroso poeta ; e non dubitiamo chs questo tilo'o fo.vì di» lui
preferito a qualunque altro, perchii da molli preteso, ma sol òa pothissiT.i
è meritamente ottennio.

28. Segue a quella del Ruffa la memoria dello splendido nome del cav.
Giamballista Quadri , il quale abbenchè non sia per nascita napolitano, può
considerarsi nostro , perchè passò la maggior parte della sua vita ad esorci-
lar fra noi 1' arie saUilare , e perchè (Napoli fu la sua patria di adozione. Il
nostro rinomato collega nacque in Vicenza da Domenico Quadri e Teresa \i>
oeghi , nell'anno 1780. La varietà delle cognizioni, da lui con somma per-
spicacia apparate nella più giovanile età , davano a divedere di qual(' inge-
gno fosse dolalo , ed a quiili grandi cose il chiamasse la capacità d«lla B,ua
mente congiunta ad una perseverante e continua applicazione. Appresi gli s'udi;
medici e di scienze naturali nella città di Bologna , ove si meritò la b-'iie-
volenza dell' illustre Malacarne , cercò di estendere le sue scientifiche cogni-
zioni per mezzo di intelligenti viaggi. Percorse a piedi le più cospicue citlà
d Italia e la Svizzera , osservando i naturali prodotti di queste regioni , e
ritornò in Bologna ricco di osservazioni e d' idee io lotte le branche della,
castissima scienza della natura.

fu allora che quel Governo nominollo Prosettore di Anatomia ; fu al-
lora ch'egli die per le slampe una pregevole opera di Ostetricia, e che e-
mulando la gloria dell' immortale fiujschio , lavorò ad alcuni preparati ana-
tomici , che sono lotlavia di ammirazione nella pubblica raccolta di Bologna,

Ma quello per coi Giambattista Quadri acquistò la maggiore celebrità ,
fu la ofialmialria. Deciso di rendersi utile a' suoi simili e principalmente
alla sua patria, quando altri si sarebbe confenlato di volgari trionfi, corse
a Vienna ad apprendere i melodi del Beer , di cui allo suonava la fama ;
e ritornò persuaso che la oftalmiatria potesse perfezionarsi e progredire al
meglio, e ritornò convinto ch'egli aveva sortito dalla Provvidenza questa no-
bilissima destinazione.

Napoli fo il principale teatro della sua gloria. Egli fu nel i8i5 chia-
mato a fondar fra noi la Clinica di Ofialmialria nella Regia Università : e
non è ignorato da alcuno quanto fosse in tolta 1' Europa encomiata ed imi-
tata questa utilissima isliluzioDe , che da! nome stesso del Quadri acquistava
maggior lustro e decoro.

xxir Socii defunti : santangelo

L' esercizio più attivo dell' arte non impediva al degno prore«3ore ài
pobblicar memorie ed opere namerosissime , e piene di solida dottrina. Noi
siamo persuasi che sol qaando alla scienza ed alla teorica si accoppia una
pratlica luminosa, sia dato di Tare notevoli progressi nella fflodicìna e nella
ohirnrgia. Tanto doveva dunque intervenire al nostro collega, che traeva pro-
filo dalla sua pratlica per far progredire la scienza , e dalla scienza per
immegliare i melodi praiticì delle operazioni.

Noi non faremo la enumerazione di lutti gli strumenti da Ini modiGcnti
o inventati , di tutti i nuovi mL'Io'li con successo inlrodotli : ma non pos-
siamo lacere dell'opera da lui pobbl cala col titolo di annolaz'oni pratiche
svile malaU'e degli occhi , la quale merilò 1' onore di essere voltata in
non poche lingue straniere , non che delle interessanti osservazioni e memo-
rie , le quali alla medesima parte della chirurgica scienza si riferivano.

Come scritlore il Quadri non si arrestava alla ocalisliea , ma ragionava
«opra svariali soggelli , e pubblici sono i dociimonli del suo vasto sapere.
Inedita rimase un'opera sul cervello , che a giodizio di dotti professori, me-
rita rillissima slima.

Questo pellegrino ingegno , qnest' uomo tanto olile alla società in cui
visse si estinsa la sera del a6 setf"mbre i85i , lasciando nel suo egregio
figlinolo dottore Alessandro un allievo degno della paterna gloria , un con-
tinuatore della sua scuola.

ag. Qui dovrei por termine a qnesla dolorosa parte del mio breve discorso,
ma uu' altra perdila avvenuta all' Accademia in qnest' anno reclama poche
altre parole di encomio al nome illusire di un nostro socio onorario , del
Marchese Niccola Santangelo. Ne dee far m iraviglia una eccezione a riguardo
di un personaggio , che per molti anni prolesse la nostra Accademia, ed al
qnale dobbiamo perciò un durevole tribolo di riconoscenza.

Nacque Niccola Santangelo io Napoli il di 5 gennajo 1786. Il padre
di lui Francesco , avvocato e coltore delle lettere , seppe di buon' ora ispi-
rargli r amore ad ogni sorta di stodii , e gli porse quella scientiGca educa-
zione che allo svelto ingegno del giovinetto si addiceva. Noi ricordiamo fragli
altri istitutori del nostro collega Ignazio Falconieri , Niccola Pergola , Do-
menico Sarno. Gli sludii delle amene lettere, delle lingue antiche e moderne,
e delle belle arti nutricarono sin dalla più tenera età la mente di Niccola
Santangelo : e tutte queste cognizioni si confermavano , e quasi direi si con-
•iretavano alla vista, ed all' esame della scelta e numerosa collezione paterna
di pregevoli dipinti , e di ogni sorta di antichità , che doveva ralGnare »!
gDslo del Santangelo , e renderlo capace di -seotir vivameole il belio ed A
sublime delle arti.

SANTANGELO XXV

Ricco di qaesle svariale cognizioni , cominciò il giovinello Niccoia a com-
parir nel foro napolitano , ove per pochi anni ottenne non ordiiiarii successi.

Ma egli era destinato a percorrere la carriera più luminosa de pubblici
impieghi.

Uditore al Consiglio di Sialo nel 1807 : Segretario generale delia Inten-
denza di Terra di Lavoro nel 1S09 : Inlendenle della provincia di Uasilicala
nel 1811 : Intendente della provincia della prima Calabria olteriore nel 1816 :
Magistrato nel 1822 : Inlendenle della provincia di Capitanala nel 1828 ; e G-
nalmente Ministro degli affari Interni dai i83i al i84-7 : si mostrò sempre
pari all' altezza degl'impieghi da Ini con tanto splendore sostenuti.

Non è mio ìnleodimenlo esporre tutti i vantaggi portali da Niccula San-
tangelo alle varie amministrazioni , che furono sotto la sua intelligente e Vigi-
lante direzione. Taccio i pubblici ediCzii recenlemenle coslruiti 0 rinnovati , lo
immense strade novellamente tracciale , il Camposanto di Napoli che qual vera
città de' morti sorgeva qaasi per incanto a destar la universale ammirazione , il
generale archivio del Regno in nobile forma ridotto , la illuminazione a gas , i
primi ponti a catene di ferro , la prima strada ferrala coslrnita in Italia.

Io 00' Accademia , ove la umana enciclopedia si coltiva, a me piace di
additare Niccoia Santangelo come on caldo promotore della coltura del regno ,
e de' civili progressi della nazione.

Né si creda che io scompagni la gloria del Ministro da quella deli' Augu-
sto Sovrano , a cui sono affidati i destini delle Sicilie. Le grandi imprese , le
opere magnifiche , le olili e nobili istituzioni dipendono ad un tempo dalla ma-
gnanimità e dalla sapienza del Principe , e dall' intelligente ed animato concorso
de' consiglieri della corona.

Questi sono i due cardini , so' quali è poggiata la felicità e la crescente ci-
viltà di on reame. L'encomio meritalo dal Ministro, longi dal diminuire il vanto
del Sovrano, ne pone in massima luce la splendida gloria : perchè le grandi
opere immaginale 0 promosse da' consiglieri della corona, appartengono di falli
alla storia di quel principe , sotto del quale furono effettuale.

Le scuole elementari sono la piò necessaria istituzione per diloguare la
pubblica ignoranza , e per render comune quelle primarie nozioni che ingentili-
scono insensibilmente i popoli , e ne migliorano finanche i costumi. Sollo il Mini-
stero di Niccoia Santangelo fu provveduto che verun comune del regno man-
casse di scuole elementari.

A beneficio della nostra marina mercantile, scuole nautiche furono stabilite
in Precida , in Cnslellammare , in Catania.

E per parlare della piìi alla istruzione ; le Uoiversilà ed i Licei furono ar-
ricchite di novelle catledre : una Università venne fondata in Messina : la slessa

XXVI Sodi defunti : santa incelo

Brgia Ualversilà di Napoli acquistò novello splendore per vari! gabinelli io essa
ordinati ed accresciali ; tali sono quelli di fisica , di anatomia patologica, e di
zoologia.

Né furono trasandate le Belle Arti , che nn alunnato fu creato in Roma pei
sud^iiti Siciliani , ed aumentalo fu ancor quello già esistente pe' Napolitani.

L'ordinamenlo dell' archivio fu di non lieve vantaggio per le ricerche dellss
nostra storia, essendosi in qoell' importante stabilimenlo raccolte iraoiense per-
gamene da tulle le parti del regno.

Non poche pubbliche biblioteche furono aperte nelle proviocie ; ed una uè
fa benanche formala nel ministero degli affari interni.

E per le ricerche più alte della fìsica e della elettricità fu ediQcato sulle
vette dell' ignivomo Vesuvio nn osservatorio meteorologico, e fu per qu£sto trac-
ciala una comoda strada , che quando fosse compiuta, contrastar dovea colle o-
pere della romana grandezza.

Né di minor conto dee ripularsi la istituzione degli annali civili , giornale
destinato a segnare i progressi intellettuali, industriali, e commerciati del paese:
repertorio della storia civile contemporanea del reame delle Sicilie.

C«mprendeodo ne' più vasti limili la dignità delle scienze , e la superiorità
dell'ingegno, Niccola Sanlangelo rispettava i dotti , e mostrava tutta la sua
venerazione per la sacra scintilla del genio.

Possessore di una quasi regia raccolta di oggetti di belle arti e di antichi-
tà , aveva concepita quella viva passione del bello , di cui vedeva presso di se
ad ogo' istante i modelli : questa illuminata passione ne accendeva il cuore alla
vista di QQ vago dipinto, di una bella statua ; all' udire di una pregevole poesia;
alia idea di qualunque nobile parlo dell'umano intelletto.

Questo sentimento , o Signori , rende gli uomini di stalo protellori e pro-
motori della civiltà dì un paese. Questi animi privilegiali volgono alle città i loro
sguardi , e non sono contenti se non le scorgono ornate di leggiadri edifìzii , di
b(;o dirette strade , e di utili stabilimenti : volgono alle arti il loro pensiero , e
non son paghi se non veggono i prodotti del genio fregiare i pubblici musei , le
pubbliche fabbriche , i pubblici monumenti : si fermano a considerare la nobdtà
delle scienze , e trovano tantosto diletto a proleggere ed animare la pubbliob i-
slruzione , le Accademie , le produzioni e le ricerche de' dotti.

Essi son destinali a dar moto al pensiero , ad eccitare i più lardi iotelietli,
a ridurli ad operare quello , di che essi stessi non si credeaoo capaci.

Noi non dubitiamo che a qaesta classe privilegiata appartenne Niccola
Sautangelo.

£ ben fu questo il parere di tutti quei dotti che couveanero in Milano nel
i844 al congresso degli scieoziati italiani.

SANTA^GKLO XXV H

Fa allora il cav. Santangelo proclamalo Presidentn genornic do! sctiirao
congresso. L'accoglimento da lui fatto nell'anno seguente a qii«' ilolli ilaliafii
0 stranieri , che si riunirono in Napoli , mostrò che 1' universale suffragio di
quegli eletti ingegni non erasi punto ingannalo. Ed i pregevoli discorsi, ch'egli
pronunziò all' aprirsi ed al chiudersi del congresso , furono giodicati degnissimi
di quella solenne occasionp.

Colmo (li onorificenze dal proprio Sorrano, e da' prÌDcipi stranieri; ascritto
alle principali Accademie d' Europa ; ritornava nel lSA^ il Marchese SanlaDgelo
al modeslo ritiro della vita privata.

Ne' pochi anni che gli rimasero forono sua compagnia le delizie della fa-
miglia, della rispettabile moglie Carolina Castrioto di Scanderbeg la qaale sin
dal 1828 abbelliva i suoi giorni colle &ue virtù : furono suo diletto e sollie.vo 1
classici monumenti da' quali veniva circondato ; gli ameni slndii della bella let-
tenatura , ne' quali frequentemente si esercitava. E voi beo ricordale , illustri
colleghi , come alla morte del Commendatore Avellino , già vostro benemerito
segretario , Niccola Santangek) dettò nel seno di quesl' Accademia eleganti
poesie in latino ed io italiano a compianto dello spento amico. Voi pubblicaste
questi poetici componimenti, che sono un valido testimonio della sua mente e del
suo cuore.

Ahi • che poco dovea sopravvivere all' nomo , di cui deplorava la perdila ;
che a' 28 novembre del seguente anno i85 1 , cessò le tempeste della vita nella
pace del sepolcro.

Ma non cessò la sua gloria : questa dura tuttora nei pubblici monomenti ,
nelle pubbliche istituzioni del nostro paese : e non si cancellerà per lo correr de
secoli dalla memoria della più larda posterità.

^Ji*-, , tm.r:..

DELL'ACCADEMIA PONTANIANA

'-mmiK»3HCKiw

FASCICOLO I DEL VOLUME VI

à¥?3§©

L' accademia Poiilaniana pubblica i suoi alti in fascicoli, affinchè
possano solk-cilaineulc conoscersi le memorie a misura che sono ap-
provale.

Ogni fascicolo si pubblica subito che si ha sufficiente materiale e
senza astringersi ad alcuii determinato periodo o numero di fogli.

Terminati i l'uscicoH che debbono comporre un volume, si dà il
frontespizio, la dedica , la storia de' lavori , ed il catalogo degli acca-
demici da premettersi ul volume medesiuio.

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DELL'USO E DELL'ABUSO
DELLA SI]IIILITUDI]\E

NELL' ELOCUZIONE DIDATTICA

letta air Jccademia nella tornata degli 11 Dicembre i83i

DAL SOCIO RESIDENTE

Vanae lusus macine formae.
OviD. Melamor^jh.

J^a Similitudine , che , siccome tropo dell' elocuzione ,
hassi a distinguere dalla Somiglianza, la quale costituisce
un fatto naturale , o razionale , è d' un uso comunissimo
in tutte le categorie del Linguaggio. Io qui parlo dell' uso
della Similitudine soltanto ; perchè la sua maravigliosa
genesi od indole, anziché alle forme del dire, alla facol-
tà stessa più caratteristica della vita dell'Uomo appartiene
(a\V Imitazione dir voglio), onde ora sarebbe ridondanza
d' argomento intrattenermi a dissertare.

E ben puote ognuno , il quale abbia cercato di pro-
posito rendersi conto de' pensieri proprj o degli altrui ,
meditando o scrivendo , essersi accorto della varia influen-
Tom. FL 1

2 Masdea

za prepotentissìma del Linguaggio sulla Ragione umana ;
né solo per ciò che concerne all'efficacia o de' meri segni
sopra le idee, o vicendevolmente delle idee sovra i segni,
che le riferiscono (ricerche utili e profonde, per cui tanto
ha meritato finoggi dal retto e vero sapere la filosofia a-
nalilica de' seguaci di Condillac, e di Locke); ma per ciò
eziandio, che ha riguardo alle stesse cardinali, o pi ii ov-
vie maniere del discorrere • mentre da una banda (com' è
osservalo , quantunque di passaggio (i), dal sommo da Ve-
rulamio) i dotti prevenuti in favore d' una scienza, ch'essi
per avventura meglio posseggono , ne riversano in tutte
le loro lucubrazioni una certa tinta , la quale traveste ed
altera la natura delle cose , per la loro enunciazione non
pili ingenua ; e dall'altra ben sovente accade, che tal'e-
spressione, con tradurre in una foggia rappresentativa i co-
nati più ardui dell' Litelligenza , faciliti sibbcne gli officj
per se troppo duri di questa nostra possa trascendentale ,
ma indi anche né di raro scorgesi, che l'apprensione va-
da sostituita alla verità, il pregiudizio alla conoscenza, e'I
fantasima dell'analogìa alla realtà d'un principio. Io non
so quanto altri abbia fino ad ora volta la sua attenzione
a questo difettoso, ma radicale temperamento del senso
umano : con tutto ciò parecchi , ed importantissimi obbietti
di ricerche puot' esso fornire ; tra' quali , siccome più a-
daltati a un saggio Accademico, ora siami lecito esporre
solo pochi avvertimenti , ben per tempo da me raccolti ,
suW uso e sulV abuso della Similitudine nelP elocuzione
didatlica.

co .Oe Augmentia Scientiarum.

Deir uso e dell' abuso della Similìludine. 3

La Simililiidinc, a dicifcrarne l'indole, è una spe-
cie di sinonimia (bugiarda, e superficiale per lo più) di
cose; del pari che la Sinonimia, propriamente delta, è una
specie di similitudine d' idee : con tale notabile differenza
però, che la similitudine di due idee, atteso la diversità
de' due vocaboli che le improntano , per una necessaria
maniera di essere del nostro spirito , tende sempre a di-
spararsi ; mentre la sinonimia di due cose , le quali si
offrano all' immaginazione sotto una forma simile , tende,
per la slessa nostra necessaria maniera di essere, a idea-
liGcarne sempre piìi le idee , in origine e in fondo diver-
sissimo. Insisto su di ciò , perchè tutta la scienza a cui
gli uomini possono aspirare , tutta la felicità della quale
Siam uoi capaci , risulta meno dalla natura intima ed es-
senzial delle cose , che dalle vere e genuine idee, le quai
di esse ci è dato apprendere , e da' rapporti, che indi le
associano a' bisogni di tutta la nostra vita. lonumerabili e
grandiose adunque son le modificazioni , che la Similitu-
dine proccura al nostro giudizio ; quantunque non sempre,
0 piuttosto non mai con giusto e fino criterio rilevate: diu-
turne spesso , talvolta fuggevoli ; ora brusche e determi-
nate , ma più sovente lievi confuse ed ambigue. — Cosi
definita logicamente la Similitudine, m'c poscia facile di-
scernerla in allegorìa , la quale può dirsi ( riguardo alla
sua influenza sulla nodtra ragior.e) una specie d'induzione
figurativa ; in Sìncrisi , che per lo stesso titolo merita ap-
pellarsi una specie d' induzione comparativa ; e finalmente
ìq Parabola , la quale io denominerò una specie d' indu-
zione esemplificativa. Per ora mi limito a queste principa-
lissime dilfereuze della Similitudine , giacché a rigore la

4- Masdea

Metafora potrebbe ancb' essa annoverarvisi, siccome uu' al-
tra specie : infatti questo bel tropo accomuna in un signi-
ficato, e connette quindi per un'analogìa intuitiva due idee
fra loro aliene, assai piìi che distinte. Ma qui bisogna ri-
flettere, cbe la Metafora è una legge ed una norma, anzi
cbe uu arbitrio ed una preferenza del nostro spirito , ob-
bligato a palesare le più recondite sue nozioni con parole
comprensibili , cioè , idonee a chiarire materializzando in
certa guisa ogni nostro interno concetto. E che diverreb-
bero le Scienze più esalte , o la Metafisica più critica ,
dove il loro vocabolario si volesse correggere , e mondare
affatto di tutte le trasmigrazioni metaforiche ?

D'altronde puote a beli' agio osservarsi, quanto vasta-
mente e sovranamente la Similitudine domini , diriga , e
stabilisca le opinioni d' ogni Popolo ; introducendosi nelle
sue azioni più abituali , e marcando col proprio conio la
di lui stessa maniera di sentire. Gli auspicj in Occidente,
i simboli in Egitto , le allusioni grafiche od estetiche in
Oriente (a cui gran parte si confidò delle antiche religio-
ni , e della primitiva morale degli Uomini ) sono infatti
ripieghi varlatissimi della Similitudine : onde puote in ge-
nerale pruovarsi l' immemorabile sua influenza suU' anda-
mento , e sul carattere delle nazioni. E non dee Atene alla
scuola delle Similitudini (alla voga del Teatro drammatico)
lo sviluppo massimo della sua civilità ? Roma forse non
riconosce dal tiro d' eloquenza d' Agrippa ( che un pretto
argomento fu di Similitudine ) la sua consistenza , e la sua
grandezza?,.. Intanto io non debbo qui, se non accennar
colali maraviglie nella storia del nostro spirito , molte al-
tre, e più ardue negligendone ; perchè io mi soa proposto

Ddl -mo e dell' abuso della Simililudiiie. 5

(li far sollaiilo ravvisare nella narrazione didallica, per ciò
almeno che a me sembra , il buono od il callivo impiego
delle similitudini. Eccone taluni esempj : ne potrei addurre
UDO sterminalo numero.

La Medicina , la scienza più onnossia a' prestigj de
sistemi , fu lungo tempo , ed è in parte ancora , la dia-
lettica della Similitudine (i). Bothall in capo dello scor-
so secolo generalmente accreditò la micidiale pratica de'
salassi ad caulelam , inferendo da un semplice paragone ,
prima da lui instituito, tra il cuore e un pozzo : mentre,
se l'acqua tanto più limpida e fresca diviene (ei soggiun-
gea) quante più fiate il pozzo si netta ; chi negherà del
pari, come tanto più debba ripurgarsi, quanto ei sia più
volte rinnovato e ventilato il sangue ? — L'assurda dottrina
di Brown , e di tutt'i suoi seguaci, sull'indole ipersteni-
ca dell' Infiammazione , dove ben altri rimonti al primo
anello di tutti i loro lemmi , si troverà fondata sovra un
arzigogolo ipotetico di Similitudine: perchè (hanno essi
affermato) se l' azione e la reazione nella dinamica de' corpi
si equivalgono , e sono contrarie ; fia giusto in conseguenza
ed indispensabile eziandio considerare ogni Processo Jlogi-
stico , siccome una serie ordinata di avvenimenti oppositi
all' efllcienze esterne irritative, E quindi anche la Dottrina

(i) Lo stesso LicnEzio avveitì , come un tal abito vitale') era stata l' imprestito
In prima dottrinai nozione, cui ebbero d'una Similitudine. Ma non lo è meno la
i Greci intorno alla vita Q.' Armonìa, od seconda, \' Economia dir voglio ....

Quapropter rcdde Harmoniaì

Nomen ad organicos saltiC ddatuni I/cliconis ;

Sive aliundc ipsci (sapientes) porro traxere , et in illam (vitam)

Trarsluterunl ; proprio quae tum res nomine egehat :

LiB. III. i3i.

6 Masdea

corapensalrice degli stimoli pe' contro stimoli — Né diverso
è il linguaggio polemico di tutte le Scuole o più antiche,
o più moderne , poiché tutte sorreggonsi in compendio so-
vra una supposizione d'identità, ovvero quas' identità di
fenomeni tra' corpi hruti e gli animati ; e tulle si ricusano
egualmente all'esame introspettivo de' falli, su' quali po-
trebbe soltanto con qualche legittimila costruirsi una ragio-
nevole teoria (i), meutr' esse snaturano i falli medesimi —
Per finirla colla Bledicina ricorderò qui ciò che molti sanno,
vale a dire, che Hanhemann e i suoi parllgiaui, fra le tante
altre loro singolarità, divergono eslremameutc anche nel loro
medico empirismo dall'ermeneutica universale de' medici di
ogni tempo, e fino di ogni luogo j laddove prclendou essi
di sperimentare la virtù specifica de' propj rimcdj suU' uo-
mo sano, piuttosto che sul malato. Or si sospetlerebbe mai
r ostinarsi loro in cotanto abbaglio uà' insinuazione di certa
Similitudine ?.. E nondimeno lo attcstano le precise pa-
role, che qui desumerò da un comentatore, per altro eru-
dito e perspicace , di cosih^alla opinione » E se il valore
» e forza d'un atleta conoscer pure , o misurarsi deve; di
» ciò conoscenza e misura aver mai pretenderemo , se l' at-
» leta al pugilato invitiamo con un debole ed accagionato
» nella salute ? No : il più vigoroso uomo deve scendere
3) con r atleta sull' arena , al paragon della possa. Nò al-
j trimenti , onde il valor vero e reale delle medicinali so-
» stanze si conosca , queste sperimentar dobbiamo negli
j) uomini sani e robusti ». Sosterrà ben altri, noi nego,

(i) Vedi la m!a Memoria sulle Condì- lume IH degli Atti della R. A.ccademi»
zioni vitali del Dolore , inserita uel Vo- delle Scienze di Kapoli,

DeW uso e dell' abuso della Siinilìtudine. 7

essere solamente lussuosa e rettorica una colale iuduziouc
( quanluiifjuc [n'incipalissima per gli Ilanhemaiiiaui ) percliè
sola non manoiluce a veruna conseguenza. Ma chi ha per
tempo guardalo, e con fredda invcsligazione , alle molle ed
alle pendenze dello spirito umano ; converrà meco non per-
tanto , die il sofisma e 1' errore ci sono assai più appeti-
tosi e lusinghevoli, dell'argomento semplice, o della ve-
rità, la quale fora uopo svolgere con metodo lungo e ira-
parziale : onde fuori dubbio egli ci occorre , anzi che di
favorire , di ostare alla nativa nostra intellettuale infingar-
daggine , per cui Siam' ognora propensissimi ad accoglie-
re , e fino a prendere da noi medesimi le colorate ampli-
ficazioni d' un pensiero , siccome reali o schiette pruove di
un ragionamento; e tanto più, quanto lo slesso ragiona-
mento Ca più astruso e malagevole.

Trapasso ad altri cscmpj , che tolgo dalla storia del-
l' Ideologìa , e della Morale — Due 0 tre anni fa uno scrit-
tore celebre, ne' suoi disputamenti robusto , e di felice acri-
bia dotato , consegnò ( come un abbozzo di Filosofia no-
vella ) a' quaderni di un vulgatissimo Giornale letterario
e scienlifico alcuni suoi tentativi d' estimazione tra le ve-
rità che i sensi , e quelle che il puro giudizio a noi som-
ministrano. Ora, in leggerli, i di lui teoremi sono torniti
colla più matura diligenza ; le di lui ricerche concludono
fino a certo punto , e riescou sempre gravi. Inoltre ei par
che il nostro autore ami d' intrattenersi colle più serie dif-
ficoltà ; ei par , dico , che incontri di buona voglia ogni
ostacolo , e che l' incertezza e l' indefinito soccorrano alle
sue meditazioni. Ma dove si ponga mente all' esordio di
questo per altro lodcvolissimo , non meno che originale e cu-

8 Masdea

rioso abbozzo di filosofìa ecclettica , ne accorgeremo, che
il Sig. Bonstetten è partilo da una Similitudine , dalla cui
fascinazione non ha saputo emanciparsi affatto più, in tutto
r andamento delle sue contese — U ideologìa empirica ,
egli asserisce , è coinè /' oceano Pacifico : vi si naviga
sopra con un corso sempre tranquillo : /' orizzonte ne
trasparisce da ogni lato. Ma lo scandaglio è quas' in
esso impossiòi/e ; ma l' ancora non vi tocca fondo. La
pura ideologìa , al contrario , a voi si appresenta sic-
come im golfo ]3Ìen di gliiaja , limaccioso : ma il lido è
prossimo , ed il porto è sicuro — E qui vienmi destro di
aggiungere , a più precisa dimostrazione dell' assunto di
questa Memoria, uno squarcio dal sig. D'Ancillon, mem-
bro dell' Accademia R. di Berlino , autore insigne di pa-
recchi Trattali filosofici ; in uno de' quali egli ha intrapre-
so ullimamcule a discutere la realtà delle Ferità prime.^
cioè la teorìa dell' Esistenze , col titolo qui appresso ~
Saggio intorno alla scienza , ed alla fede filosofica ~ Il
Sig. D'Ancillon rigetta dunque la materiale ideologia delle
apparenze , ossia delle mere sensazioni, che accetta è alla
più parte degli uomini siccome un fondamento di realtà ;
e ricusa non meno l' astratta metafisica delle nozioni pure
de' mistici di Alemagna , da lui tenuta per architettamento
ingegnoso d' esistenze immaginarie e gratuite. K La radice
)) d' ogni realtà ( quindi egli afferma ) o la base di tutte
)) r esistenze , dessa è la Ragione ; da cui partono tult' i
s ragionamenti , e su cui soltanto possono riposarsi . . .
)) La Ragiono , della quale parliamo (continua il dotto ac-
ì cadcraico ) non è uno strumento , nò un organo , che
3) serve a certe operazioni dell' anima ; ma una forza prò-

DdV uso e dell' abuso della Simililudine. 9

» diillrice , un poter creatore , il quale ben ha le sue parti-
» colari rivelazioni, il quale non mica indovina ciò che esi-
li ste; ma clic ha V intuizione (si ponga mente, di grazia,
il alla fraseologìa dell' autore ! ) dell' esistenze , e le vede
» sollevarsi dal proprio suo seno ... Né si contenta già
I di combinare ciò che a lui è accordato , e di dedurne

» le conseguenze ; ma somministra la realtà medesima

B Cosiffatta Ragione , l' occhio interno ( ecco il molto
» analogico ! ) che riceve la luce d' una maniera immedia-
i la , appercepisce l' esistenze ; del pari che 1' occhio del
I corpo fissa i colori , e i contorni del mondo sensibile.
D Egli è dosso una specie di senso (altro sinonimo della
» capital Similitudiue ! ) d' un ordine superiore , il qual
B senza intermedio coaterapla il mondo invisibile. Cotal
j Ragione è l'origine, e la bise d' ogni scienza ; poiché
» la Scienza non può avere allr obbietto , se non 1' esi-
» stenza e la realtà ». E cosi prosegue in tutto il libro
succennato a discorrere il Sig. D' Ancillon ; non sospettando
egli, al certo, di tradurre e parodiare a ogni linea le opera-
zioni e i fenomeni della vita più comune e materiale, ab-
bcnchò in estasi d' intendere funzioni solo , e prerogative
ineffabili dell'Intelligenza nostra. E che questa vaga de-
clinazione immensa della filosofia mistica dalla genuina
filosofia logica ( da me qua riferita , siccom' esempio me-
morando dell' uso riprovevole della Similitudine nel ser-
monar didattico ) si abbia infatti a segnalare pel verso
medesimo , e nel riflesso incantevole della medesima im-
magine corporea , o piuttosto dell' induzion comparati-
va sopr additata ; si potrà ottimamente riconoscere dietro
Una specie di comentario , cui della Dottrina dell' im-
Tom. VI, 2

1 0 Masdea

mortale Kant ha fallo qualcuno de' Sigg. Compilalori della
reputalissiraa Rivista d' Edimburgo , in un brano inscritto
fra' suoi quaderni , non guari egli è. a Kant ( ivi dicesi )
» penetra per una sorta d' intuizione in ciò , die la na-

» tura dell'uomo ha di più profondo, e di più puro

» L' obbietlo principale dell' alla di lui filosofia , che di-
» sdegna di cominciare dalle apparenze esterne , per fru-
% gar indi ciò che in noi si passa... che nega trovarsi il
5) fondamento necessario della verità nell' esperienza, nella
D tesfimonianza de' sensi, e nella generale persuasione degli
j) uomini , secondo Locke e Reid ; l' obbietlo consiste in
j preparare \' occhio interno ( espressione tecnica!) a scor-
» gere il Vero primitivo, necessario, assoluto, eterno: e
j) quindi ci studiasi a dissipare quelle ingannevoli rappre-
j) sentazioni de' sensi , eh' ecclissano la verità prima den-
i tro di noi , in modo che noi potessimo distinguerla po-
lì scia realmente, ed accettarla, siccome il sostegno e l'es-
» senza d' ogni altra verità . . . » (i).

E fin qua non ho mentovato , se non controversie di

(i) Ed auclie il nostro Vico, fin dal D'altronde io soii pago qui di acceu-

1719, stabiliva — • Omnis diviiiae atque nare, uè già ho voluto esporre tutt' i torti

liumanae eruditionis . . . oculus Rìtio — della dialettica delle similitudini verso l.i

Ma è questo il luogo di ricordare , che Psicosof'ia. — Ho citato forse Laromiguière,

i Kautisll si fanno uno scrupolo a discer- il quale nou adduce altra differenza tra

nere dalla Uagioue l'Intelligenza. Gli le nostre idee, e le nostre facultà, se non

abbietti, su' quali esercitiamo tal' ultima quella che passa tra il mugnajo, e'I fru-

iiostra facultà , sono le conoscenze reali, mento, cui esso fa macinare? . . . Ho tra-

e pratiche ; come le Matematiche, le Fi- scritto forse le parole di Cicerone , lad-

siche, l'Economiche, le Politiche, ec. lad- dove questi pruova l'essenza dell'anima

dove la Ragione ci s-erve a discuoprir l'as- coli' esempio d'un uomo, il quale chiuso

soluto, il primitivo Vero, il Bello eterno entro camera oscura , meno che per uu

(anche scevro delle lusinghe di ogn'imma- buco (il Senso), credesse poi questo buco

pine, non che di ogni espressione), la Virtù necessario alla visione? ... etc.etc.etc.
scompagnata daU'.Utililà , etc.

DeW uso e delV abuso della Similitudine. \ i

sapere, o innocenti dissensioni di scuola: ma polrci rivan-
gare, senza doglia e onta, o pur senza dispetto, la ben vec-
chia storia di tutte le contestazioni guerresche de' secoli
XVII e XVIII, o le crudeli vicende, a lutti note, delle
animosità e dissensioni diplomatiche d' Europa , nello stesso
intervallo di tempo ; a fin di posare e ribadire i suoi di-
versi governi in un gran sistema di mutuo , e generale
Equilibrio di forze? E quante altre vessazioni, quante per-
dite , quanti massacri non son costale a' popoli finora le
due tesi dottrinarie di una. Bilancia di commercio, e d' un
antagonismo di poteri ; Similitudini prese amendue dalia
meccanica de' corpi inerti sconnessi, o costruiti fra loro, e
trasfuse e appropriate a tutte le civili scienze , che avreb-
bero dovuto non aver mai in prospettiva , se non la sim-
metria delle nostre facultà politiche , o l' euritmia delle mo-
rali!,,,— Ma si oppone per avventura, che io smisurala-
raenle attribuisco all' influenza della Similitudine ; e io ri-
sponderò pregando ognuno a ben considerare l'impero, cui
r immaginazione esercita , e 1 dispotismo , cui sovente u-
surpa, su tutte le attitudini dell'intendimento umano. Av-
veguacchè insomma la frase e'I modo non comunicano, se
non coir immaginazione e col senso; e'I senso e l'imma-
ginazione ne fanno soltanto avvertito Io Spirilo, Né lo spi-
rilo medesimo unqua può esternare i suoi più astraili con-
cepimenti, se non modificali in qualunque guisa dalle due
anzidette radicali, e prime attribuzioni dell'Uomo; e que-
sta legge è fatale per la di lui esistenza, o piuttosto prov-
videnziale rispetto alla di lui sociabilità.

Qualche valente Scrittore , dopo ciò , si accinga , se
vuole, a passare in rassegna cronologica lull'i piati, tulle

1 2 Musdea

le pretensioni, od eziandio lult'i Irasversamenti , clie il
libero traffico della Similitudine , non solo dalle scienze
speculative alle positive, ma da una scienza pure ad una
scienza affine , e da un articolo a qualche altro della scienza
stessa, ha importato finoggi , e costerà mai sempre all' u-
mano sapere : mentre la Similitudine si ò rannicchiala per-
fino nella nomenclalura degli oggetti naturali o sociali ,
più curiosi 0 men conti. E (per es.) quanti pensieri futili,
benché sorprendenti , ha vie via suscitato la parola Midol-
la , da che furon con essa del par riferiti il cerebro , il
caglio interno delle ossa cilindriche , e 1' asse molliccio
longitudinale ne' fusti degli alberi dicotiledoni ?...— Così
l'altra parola Macchina ampiamente ripetuta dalla piupparle
degli Economisti , per effigiare un risparmio qualunque di
forze, connesse insieme ad ol'enere un risultalo il più pos-
sibilmente proficuo; venne in luogo estremo impiegata da
UQ egregio fra essi a caratterizzare gli animali da macello,
giiali macchine da far carne : Similitudine , chs potrebbe
agevolmente accomunarsi indi agli animali da schiena, guai
macchine da fare i trasporti; a' cani, quai macchine da
fare a guardia o caccia; a' cavalli, quai macchine da far
cammino e guerra , ec. e la cui induzione , divenuta che
fosse pensamento vulgare , avrebbe la tristissima e turpe
conseguenza di spogliare ogni popolo de' sentimenti più
doverosi di giustizia , e di carità, i quali forse scuotono e
riscaldano il cuor dell' Uomo. Perchè esso , non potendosi
onninamente privare de' mezzi di sussistenza e di agio ,
cui gli animali gregarj a' nostri più urgenti bisogni for-
niscono ; ha saputo ben per tempo almeno accoppiare l' o-
pinione del suo legittimo dominio cogli obblighi d'amicizia

DcH mo e deli aliuìo della SìinilJuMne. i3

e consuctuiline , elio lo legarono al cane ed al cavallo .,
e la prospclliva della propria utilità con una cura di benevo-
lenza e di grato animo verso il bue, la cui società di tra-
vaglio ha servito al colono per tirare i primi limili della
possessione e della città : onde l'impeto sempre crescente
della sua cultura morale, i comodi del civil consorzio, e
l' irrefragabile superiorità de' suoi destini sulla Terra. E
qui saremmo altrettanto e più sorpresi , dove ne piacesse
con diligenza inoltrarci fra gli andirivieni, le ambiguità,
e i guasti dalla Similitudine accagionati ; non altro essen-
dosi voluto da cotal tropo desumere , cbe baratto e abi-
litazione dal conlesto e dal metodo d' una scienza, alla ri-
forma e all' adeguatezza di una scienza diversa : quasicchè
la Similitudine non possa comportarsi fra' confini , al certo
difficili , del didatticismo , se non come il Ietto di Procu-
sle , sovra cui adagiandosi facea d' uopo rimanere dislogali
e convulsi por allungameiio, o mozzi e contraffatti per ac-
corciamento delle proprie membra. Così la Medicina, certo
scienza raen necessitosa di conlraccambj e di favori, si è
lungo tempo travestita e resa sconcia per la fìsonomia po-
sticcia , e per gli addobbi , eh' essa ha per gradi accattati
dall'Anatomia, dalla Botanica, e dalla Chimica. E per
astringere in una sola considerazioni variatissime , non ab-
biamo noi visto parecch' ingegni, abbarbagliali da un simu-
lacro vano , intralciarsi , smungersi , e inettamente sterilirsi
fra le diramazioni dell' albero appena denotalo dall' esi-
mio Cancellier Bacone (i), che con più aperto giudizio ,

(i) E questo slesso Genio , eminente- come una soverchia Istruzione pregiudi-
menle positivo , non fec' egli abuso della chi al Popolo , quantunque ad esso giovi
Similitudine , allorcliè volendo pruovare una mediocre ; adduce in documento

li Masdea

0 con più niciluro consiglio applicandosi a qualunque altro
solido , e non vacuo o fumoso problema dello Scibile ,
molle verità definite , molte discusse , e molte ancor più
avrebbero utilizzate ?

Non è quindi che io riprovi ogn' illuslraraento , nò
ebe repella ogni foggia di Similitudine dall'elocuzione di-
dattica : anzi come una qualunque screziatura de' nostri
pensamenti , a fin d' incutergli altrui , e renderli discerni-
bili, è il più assiduo e cardinale officio dell' umana ragio-
ne; così poco prima ho dichiarato, e or ripeto, che la
Metafora (la traccia più lieve di Sirailitudiue ) debba af-
fatto ritenersi qual' elemento indispensabile d'ogni manie-
ra, e di ogni categoria di linguaggio. Nò ciò pur basta,
che troppe volte l'induzione figurativa più brillante, l'in-
duzione comparativa più ardita , l' induzione esemplifica-
tiva più straordinaria , meravigliosamente servono all' in-
telligenza nostra ; se non per rivelare I' essenza profonda
delle cose, almeno per coordinare fra esse le relazioni delle
idee, cui abbiamo concepito, e possiamo concepir delle me-
desime. Con un tale spediente non corto si potrà mai di un
colpo , e per un sol conato raggiungere la verità : ma il
cammino sarà divenuto largo sebbene più lungo, e sicuro
quantunque tortuoso. Adoprerò una, o due citazioni, per
esprimermi con maggior nettezza — Fu già da un Uomo

Vepispaslico , che nppeaa applicalo gua- fondamento più saldo, secondo ci narra

risce , coulinuato al contrario malmena Diogene Laerzio, del rapporto enorme dì

e scompone le nostre carni? Quale para- esse a parecchie navi, le quali tutte sareb-

logismo!.. Non minor forse di quello di bero fuori del porto (di Canopo, città

Zenone, Capo des;li Stoici; onde il h- presso una delle imboccature del Nilo,

nioso precetto , che le colpe nostre tor- ei dicea ) da cui si scostassero , sia per

nino sempre uguali fra loro, non ebbe uno, sia per cento, sia per mille stadj.

Dell'uso e dell'abuso della Simililudine. id

di spirito per azzardo ragguaglialo il sislema nervoso de-
gli animali alle tenui radicene d' ogni pianta , le quali
vegetar la fanno in mezzo alla terra , fra cui esse spar-
pagliansi e penetrano. Siffatto confronto pruova , che le
similitudini nella più riserbata prosa didattica potrebbero,
non cbe dicevoli , riuscir eziandio avventurose ; dapoicbè
sebbene molte differenze intercedano dalla vita di un ani-
male alla vita di una pianta ( sia per intrecciatura delle
fila organicbc , sia per composizion delle parti , sia per
adeguatezza de' naturali impegni loro), con tutto ciò il paral-
lelo scbizzato appena delle note funzioni delle barbe di
questa , colle non abbastanza note funzioni de' nervosi sta-
mi di quello , riverbera tosto con insolita luce alla cu-
riosità della nostra Intelligenza. ... E la piupparte delle
verità fisiche non sono un risultamenlo di fortuita , o di
abituai riflossiono di pensieri ; un fenomeno , sarei tentalo
dire, cnlultnco della nostra perenne attività psicologica?

Ecco ora un altro diversissimo getto d' induzione fi-
gurativa — V universo , meditava un profondo filosofo , è
una sfera ^ il cui centro può trovarsi in ogni punto dello
spazio; 7na la circonferenza in nessun luogo — Incoiale
similitudine non dee già rilevarsi un trasporto d'evidenza
dalla Sfera che rappresenta , all' Universo eh' è rappresen-
talo : pure I' umana ragione resta compiaciuta d' imballer-
visi a tale quale dimostrazione indiretta, o negativa, d'un
disegno immenso, e di uno spettacolo infinito... Le verità
materaalicbe più solenni non poggiano talvolta, che sovra
una considerazione di pari guisa.

Qualunque apologo poscia mi porgerebbe, se qui fos-
se uopo , una testimonianza ovvia dell' ufililà e de' pregj

1 6 Masdea

dell' induzione esemplificativa nell'elocuzione didattica, ov-
Tcro afoiistica : i molli anzi, e i morali assiomi destinali
a viepiù sciiolcre l'attenzione e '1 giudizio degli uomini,
non potrebbero , senza mancare al loro scopo , destituirsi
di simile risorsa di Bello e di Vero. Ne trascriverò qui
alquanti , perchè gli stimo nel loro genere modelli —
Rispclta i tuoi simili ; guardali di sprezzare alcuno :
anche un atomo fa ombra! — RTostraìi aspro co malvaggi:
il cedro è incorruttibile, perchè amaro; gì' iusctti non si
attentano di toccarlo ! — Se vuoi innalzire statua ad un
grand' uomo , comincia dui porne il piedistallo sulla sua
tomba — Giovanetto , ricevi le parole del savio come una
spugna, e quelle d<; ir ignorante come un cx'wcWol — etc.etc.
Tutto ciò premesso , non vuol credersi difficile d' as-
segnare i limiti , oltre i quali 1' uso della Similitudine ,
uelP elocuzione didattica , trabalzerà irreparabilmente in
abuso. Ma quindi convienmi rivenire per poco a quel che
sopra ho accennalo, e riprodurre in parte l'originai pen-
siero del Sig. d'Alambert; cioè, che riramagiuazioue (in
cui si accumulauo senso, memoria, ed energia), e l'In-
telligenza siano facoltà fra loro quasi consorti , e appena
distinguibili nell'esercizio della ragione umana. La medi-
tazione , ha osservato in proposito un Tedesco filosofo ,
Garve , benanche sugli argomenti piti astratti, non mai
riesce meglio, se non dove P Immaginazione abbiasi
messo d'avanti , colla maggiore vivacità, e colla minu-
tezza più possibile, V obbietta su cui sì raggira . . .
IVon 7nai uomo farà grandi cose , comunque lambicchi
il proprio talento , se non è dotato di wi attitudine di
combinazione abbastanza disinvolta , per pennelleggiare

De IP uso e deW abuso della Similitudine. 17

sotto facce e contorni sensibili le materie , di egli deve
lavorare. Ha d' uopo inoltre di superiore forza di vo-
lontà , che dirìga progressivamente sopra un piano , e
secondo una invariabile norma, le di lui ricerche, le di
lui operazioni , e i di lui più ardui concepimenti ....
Dalla forza della volontà dipendon poi la perseveranza
della contemplazione , /' evidenza del giudizio , la com-
pattezza e la serie delle conseguenze analoghe , /' ar-
monìa de rapporti più lontani, e V pullulamento di tutte
le idee accessorie . . . Lo spirito e la fantasìa asso-
ciansi allora per incalzare neW intero suo sviluppo un pro-
fondo ragionamento ; e le speculazioni più aride , più
intralciate , 0 più inventive , così brillano spesso della
grazie più seduttrici, delle induzioni più saettanti, e
delle forme più inimitabili di scrivere ... — Adunque
la prima e fondaraental regola pel buon impiego delle si-
militudini neir elocui-ione didattica , fia la temperanza del-
lo stile , e la castigatezza de' fornimenti di gusto ; poiché
sarebbe al di là di ogui possa umana , abbandonati noi
una volta al fervore ed all'alacrità dell'ingegno, di piiì
comprendere a un girar d' occhio lutti gli aspelli d' idea-
lità e di scambievolezza delle idee, quali meglio ne gio-
vasse fecondare , 0 far altrui appercepire. E qui opportu-
namente si colloca il precetto antichissimo di Manilio —
Ornari res ipsa negai , contenta doceri — precetto , che
non è secondo a qualunque altro in gravità.

Una diversa regola , né meno importante, poscia quella

fia , che le Similitudini , se non servono a far risplcndere

talune idee , né a render vibrate talune espressioni ; invece

scompigliano e deturpano la facondia didattica (i cui pre-

Tom.VL 3

1 8 Masdea

gi son limpidezza, ordiuamento , e facililà), né meno esa-
gerano , 0 divagano , o trambustano qualunque altra sia
oratoria aringa. Una similitudine oziosa , ottusa , ed oscura,
da cui non possa verità prorompere, non precetto inculcarsi,
non induzione raccogliersi: una similitudine affatto strania ,
looginqua , ed incerta (come laddove l' immagioazione so-
perchi , e non alti l' intelligenza ) tantosto abbarbicandosi
nel dominio della ragione, fruttificherà d'errori, o d'equi-
voci , 0 di pregiudizj ; de' quali l' ingombro può giunger
sino a mortificare in noi , o per lunga pezza comprimere
l'istinto medesimo, che sempre noi malgrado ne suole in-
dlrigere e sollevare a una ragionativa evidenza.

E nondimeno, anche ad onta del più severo riguardo
contr' ogni apparenza chimerica, e dello zelo più inconten-
tabile per ogni reale nozione, egli è impossibile nell'Elo-
cuzione didattica non isdrucciolar giammai in un qualche
abuso di Similitudine : a bella giunta , perchè oltre i no-
mi proprj , e que' soli verbi ^ a.' quali affiggiamo il sigui-
ficalo delie nostre azioni esteriori , tutti gli altri vocaboli
SODO rappresentativi ed analogici , e però non equivalenti
0 sinonimi, a rigore, delle lor consentanee idee. Cotal ne-
cessaria , universale , incorreggibile inaffinità de' mezzi (per
cosi dire) sensorj , alle cogitazioni intellettive è la peren-
ne sorgente degli errori , e de' bisogni , onde della per-
fettibilità benanche all' uman genere !.. Ma inoltre di poi si
badi a ciò , che la dicitura figurata , vagheggiando i sensi,
storna di continuo l' attenzione , cattiva il giudizio , e ci
dispensa dalla sodezza delle pruove , o dall' accordo de' titoli
delle diverse idee , che asseriamo : senz' aggiungere , che
il nostro amor proprio va ordinariamente più soddisfatto

Dell' uso e dell abuso della Similikidiiie.

•9

di convincere altrui, clie di persuaderlo, e di sorprendere,
anziché di capacitare. — Per cosiffatta 'guisa il maggior nu-
mero degli Autori , i quali presiedono all' insegnamento ,
si vantano ed inebriansi del successo di una giornata ,
mentre appena pochi la meditazione diuturna, un coerente
ragionare (i) e la purgatezza filosofica dell'elocuzione, pre-
parano in segreto a vivere lunghi secoli, de' quali intanto
la piena attortiglia e sommerge la mediocrità , la vanaglo-
ria, e l'impostura.

(0 Avrei potuto accresctie la mole di
queste osservazioni oJ accuse, dovunque
lolle, sull'abuso della Similitudine nell'
Elocuzione didattica, eh' è veramente quel
genere dì eloquenza o di scrittura, in cui
pili e bene spesso ha luogo ; mentre, sic-
come con finezza lia avvertilo il Signor
de RlAniioMEi. ( iLlumcìis ile Litleriitiire
Coniparaison) plus Vaine est occupee de
son objel direct , moins elle regarde au-
tour d' elle ; J'ius te mouvenient qui Veni-
porte est rapide , plus il est impatient
des obslaclcs et des detours: enjin, plus
le scntimcnt a de chaleur et de force ,
plus il maìtrise t imagination , et V em-
pcche de s' egarer. Il s' ensuit , que la
narration tranquille admet des comparai-
sons Irequentes ; qu' à mesure qu' elle
s' anime, elle cn veut moins; ec. Ala le
già addotte , quali eh' esse siano e quan-
te , bastano all'uopo: all'uopo, cioè,
di cautelare il nostro giudizio contro le
false Immagini; non a fine di sottrarre
lo spirito dalla necessità di usar di que-
ste , cui acconsente ogni maniera di lin-

guaggio , e 'I buon gusto renderà sempre
altrui profittevoli. Che uè possibile im-
presa (.1 OmolooIi costituendo una forma
originale del nostro pensiero), né mica sa-
rebbe a desiderarsi : importando la Si-
militudine ogni grazia , fulgore , e vigo-
ria dell'espressione. L'Intelligenza me-
debima, se idonea fosse a rluunziarvi ,
tosto troverebbesi in un cammino diffici-
le , cupo , disagialo ; o per dir meglio «
fora assorta In un' estasi perenne : raentr'
essa mantiene il nostro commercio ideale
coir ajuto de' rapporti ostensibili delle
cose, laddove inelTabili ne siano le no-
zioni proprie , e genuine. Mediante che
il sapere umano si addoppia, prospera,
svolgesl ognora più ; o si avvantaggia
per credito almeno : se a me non torna
illecito d' adoperare una Similitudine!...
Con tutto ciò 'Bisogna , che i Dotti som-
mino , riconoscano, e bilancino di tem-
po in tempo i loro effettivi capitali, do-
ve non vogliano di buon grado compro-
mettere le Scienze tutte a una vergogno-
sa , ed imperdonabile fallita.

OSSERVAZIONI

SOPRA

UN FENOMENO DI TRASUDAMEMTO LINFATICO

ìm XIAiVXV! PIAUTE GRA1III.\ACEE

Ielle all'accademia nella lornala de' sg luglio tS^o

DAL SOCIO RESIDENTE

I

n diverse piante, segnatamente nelle graminacee, occorre
di vedere in pimta delle foglie, o sui dcnticciuolì posti nel
conlorno della lamina, una gocciola di limpido umore tanto
simile alla gocciola di rugiada che perciò forse gli antichi
botanici non ne facevano caso. Che questa gocciola non
proviene dalla rugiada avvertirono primamente il Guettard,
di poi \'Ilelw'g\ con far vedere che veniva da escrezioa
particolare dello foglie. Il Seneb'er appresso , sono ormai
cinquanf anni, faceva derivare tale escrezione dalla traspi-
razione insensibile divenuta sensibile in dato punto dalla
troppa affluenza degli umori, soggiungendo che WPrevost
in quel tempo attendeva con somma diligenza alla investi-
gazione del fenomeno nelle piante graminacee. Egli pare
che il Prevosl non avesse compiuto le sue ricerche sopra
tale subbietlo , ovvero non si sia curato di pubblicarle ;
poiché altrimenti i fisiologi posteriori ne avrebbero parlato.
Tom.VI. A

2 2 Gnspanini

Ifl falli il sig. Tenore {corso di botaniche lezioni tom. 3.
Napoli /8i6) uelle sue isliluzioni bolauicbe ragionando
della Iraspirazione sensibile ed insensibile ricorda il fatto
leslè annunzialo delle piante granainacee , ed adotta in
generale la spiegazione datane dal Senebier , modifican-
dola solo in un punto , siccome vedrassi a suo luogo
nella presente narrazione. Né il Decandolle nella Fisiolo-
gia vegetabile si discosta dall'opinione del Senebier \ dap-
poicbè dopo aver esposto le particolarità risguardauti l'esa-
lazione acquosa, nella fine del suo dotto ragionamento ri-
corda r opinione dell' Iledu>ig , cbe considerava 1' esala-
mento acquoso come escremento liquido delle piante ; e
quella Aq\V Jlales ^ cbe il paragonava alla traspirazione in-
sensibile degli animali. Egli poi credeva cbe l'esalamento
nei vegetabili rappresentasse entrambe queste funzioni. Da
ultimo dà notizia del fatto delle piante graminacee colle
scgueuli parole :

» L'attenenza con quest'ultima funzione (la traspira-
zione insensibile) è ancora manifesta sotto altro aspetto,
» cioè cbe talvolta la traspirazione vegetabile , quando è
)) abbondantissima in un dato punto, diventa sensibile co-
i me il sudore in forma di gocciolina. Perciò si veggono
s frequentemente delle gocce di acqua cbe si formano nella
» sommità delle foglie del forraento e di pareccbie gra-
2 minacce allo spuntar del sole. Queste goccioline si veg-
» gono ancora sui denticciuoli di alcune piante; esse so-
ft no disposte con regolarità sulla foglia della cappuccina.
B Questi falli si debbono riferire all' esalazione ? Si deve
» considerare quest' acqua come una vera esecrezione, ov-
» vero come l'acqua ch'esce dall'estremità delle foglie di
2 alcuni gigberi {Anm)^ o dalla sommità delle spate delle

Sopra iinfenomeìio in alcune piante graminacee. 23

» palme? Si debbono essi ravvicinare all'uscita dell' umore
» della vite? Sarebbe utile istituire nuove osservazioni so-
» pra questo soggetto ».

Per quanto noi sappiamo ninno dopo il DecandoUe
ha pili ampiamente od altrimenti parlato di questo fatto.
Onde seguitando il consiglio del celebre botanico di Gi-
nevra diamo il risultato delle osservazioni da noi fatto.
Queste osservazioni son cadute sul granone (Z^a mays) ,
V ovio {flordeiim vulgare)^ la SQgdi\a {Secale cereale) e.l il
formenlo {Triticum sativum).

Il granone seminato in autunno iS^g a di 26 ottobre,
come prima spuntava dal terreno mostrava una foglia in-
cartocciala costituita della sola guaina 0 picciuolo. Essi
nello spazio di un giorno giunse all'altezza di circa un
pollice; e nel giorno seguente avea nella sommità una
gocciolina di limpido umore. L? foglie, che vengono ap-
presso, son lulte costituite di picciuolo incartocciato e di
lamina. Spuntava la seconda e la terza foglia, ed ecco la
gocciola nella loro sommità. Sulla quarta foglia di raro
apparisce; sulle altre clic seguitano non mai. Scorre l'u-
more lungo l'orlo e sulle facce della foglia, ovvero goc-
ciola , riproducendosi esso continuamente. Tale fenomeno
durava nella sua pienezza, in ciascuna foglia, circa tre
giorni, talvolta quattro: in certe sperionze pareva finito
al quinto giorno , ma ritornava al sesto , continuandosi
debolmente al settimo ed ottavo , di raro infino al dodi-
cesimo. Quando continua oltre il quarto 0 quinto giorno
qualche gocciolina si mostra ancora sul margine, d'ordi-
nario a poca distanza dalla sommità della foglia. Ni altri-
menti avviene in primavera, tranne che l'uscita dell'umore
suol durare minor tempo, però non mono di tre giorni.

24 Gasparrini

In qualunque stagione 1' umore vien fuora in tulle le ore
del giorno , nia in più copia nella oscurità, e per conse-
guenza di notte , così nella stanza , come allo scoperto.
Si mostra ancora sulle pianticelle esposte alla luce diretta
non molto forte , purché 1' aria sia tranquilla e piuttosto
umida. Deve variare inoltre il fenomeno per la qualità del
terreno, in quanto si può giudicare dalle piante nate nella
sabbia ferruginosa, lavata avanti con acqua di pozzo, dei
contorni di Resina ; alcune delle quali in maggio passato
non diedero umore di sorta , altre qualche gocciolina , e
solo per un giorno.

La segala, l'orzo, ed il fromento seminati a di 26 otto-
bre dell'anno scorso, a capo di due giorni ch'erano spuntali
davano la gocciola in punta della prima foglia incartocciata;
e poco appresso sulla seconda in punta della lamina; la quale
gocciola raramente apparisce sulla terza foglia; sulle altre
che vengon dopo non mai. Durava il fenomeno circa sei
giorni ; nel rimanente , siccome nel granone , cadendo
r umore , 0 calandosi lungo la foglia , riproducevasi in
brevissimo tempo , ed in qualunque ora del giorno , alla
luce diretta 0 diffusa, nella oscurità, nella stanza^ all'aria
scoperta, e quasi sempre colla stessa forza. Sulla seconda
e terza foglia la gocciola appariva iufin da quando spun-
tavano le loro sommità, mentre ancora eran coperte dalla
foglia primordiale.

Queste poche e semplici osservazioni dichiarano che
il fenomeno anzidetto non può dipendere dall' esalazione
acquosa. Imperciocché

i.° L'esalamento essendo nullo quando la foglia è co-
perla dalle sopraslanli , non perciò manca la gocciolina
di umore sulla sommità appena sporgente.

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 20

2.° L'esalazione essendo debole 0 nulla in tempo di not-
te , allora dovrebbe mancare la gocciolina.

3." Il fcnomeuo si osserva solo nelle foglie primordiali,
e temporaneamente , non ostante che dopo crescessero un
poco (massime la seconda e la terza) , e così in esse co-
me nelle seguenti T esalazione acquosa non mancasse mai.

4..° L' esalamento si fa per le facce della foglia , prin-
cipalraenle per la inferiore ; mentre I' umore esce sempre
dalla sommità, e talvolta a poca distanza ma dall'orlo.

5.° E poi come mai la linfa nell' uscire in forma di va-
pore si condenserebbe sulle foglie nei punii indicati ? Ciò
non potrebbe succedere che pel freddo dell'aria; nel qual
caso r esalazione sarebbe debolissima 0 niente.

Ma se l'umore nella sommità delle foglie primordiali
delle piante graminacee anzidette non deriva da esalazio-
ne ; nientedimeno questa funzione influisce molto suU'ab-
bondrinza o scarsezza di dello umore ; non che sulla sua
apparizione iu certe ore del giorno , siccome si deduce
dalle seguenti osservazioni fatte nella primavera di que-
sto anno.

La segala seminata a di io aprile nella sabbia ferru-
ginosa, lavala più volle nell'acqua di pozzo, in sullo spun-
tare die la gocciolina , che in breve spari , in punta di
parecchie pianlicelle ; la quale nei cinque giorni seguenti
formavasi solo la uolte non ostante il continuo annaffia-
menlo. Que' giorni però furono piuttosto sereni e secchi.
Ma la niatliiia del 23, ch'era nuvolosa, l'umore Stava su
tutto le foglie ; riproducevasi infiuo alle 7 aulimoridiane ,
lasciando nello svaporarsi sul vetro una macchia bianca-
stra ; di poi sparì come prima l' aria diventò serena od
asciutta. Il giorno 24. fu nuvoloso e piovoso ; trovai le

2 6 Gasparrini

gocciole su liiltc le foglie , e come cadevano riproduce-
vansi conliiiiiarnenle ; ancora nella sommila di quelle fo-
glie eh' io avea unle di olio alla loro base por impodire
i'allività capillare della epidermide, se mai ci fosse slata.
Le quali osservazioni fanno almeno sospettare , se non di-
mostrano, cbe nei giorni sereni l'esalazione forte impedisce
la formazione delle gocciole.

Per assicurarmi di ciò ne' giorni seguenti feci questa
esperienza. Alle 3i del mattino fatte cadere le gocciole
da tutte le foglie, vidi che non si riproducevano, essendo
l'aria piuttosto chiara e secca. Alle loi posi sulle pianle
una campana di vetro ; ed ecco formate le gocciole in
meno di mezz ora. La quale esperienza ripetuta più volto
collo slesso risultameuto dichiara, che come l'aria com-
presa sotto la campana diventava umida e non assorbiva
il vapore esalato dalle foglie, 1' umore in esse trallenulo
usciva finalmente dalla loro sommità , non mai cessando
le radici di altrarne dal terreno e mandarne alle parti su-
periori. Lo slesso effetto si ottiene quindo si cnoproao lo
pianle altrimenti che colla campana di vetro, massime con
impedire il passaggio alla luce. E si vide inoltre sparire
le gocciole in breve tempo , dalle sei alle sette ore del
mattino come il sole si alzava , anche annaffiando abbon-
devolmente; nò altrimenti ricomparire, continuando l'aria
ad essere serena , che col mezzo della campana. E pos-
sono ancora mostrarsi per molti giorni sussecutivi , co-
me si vide appunto nella segala seminata nella sabbia fer-
ruginosa a IO aprile, che ne produsse continuamente dal
dì i5 infino al termine del mese nel modo anzidetto, cioè
coslantcmenle la notte , e variamente il giorno secondo le
variazioni atmosferiche sopra esposte , non ostante fossero

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 27

giunte le foglie all' altezza di oltre un palmo ed alcune
rivolte in giù.

A di 9 maggio seminai la segala nella sabbia ferru-
ginosa e nel terreno comune ; la prima spuntava nel ter-
zo, la seconda nel quarto giorno. In entrambe trovava le
gocciole alle 5 del mattino ; le quali sparite alle 8 , per
effetto della luce e del calore , non più tornavano infino
alle 12 della sera. Ricomparivano esse dopo la mezzanotte;
e ciò avvenne per tre giorni di seguito tanto nella stanza,
quanto all'aria scoperta. Nel dì 17 verso le 8 della sera
parecchie piante mostravano un po' di umore in cima alle
loro foglie ; tulle poi ne aveano in copia la mattina ap-
presso : e r esperimento della campana di vetro produceva
il solito effetto. Ma in tulle le ore del giorno 19, che fu
umido e coperto , 1' umore gocciolava. Onde si vede esser
variabile il fenomeno secondo lo sialo dell' aria , umido 0
secco , sereno 0 coperto ; ed ancora secondo la sua tem-
perie. Ma oltre si fatte cause della sua variabilità ce n'ha
altre ignote. Imperciocché si osserva talvolta tra piante
uguali in grandezza, rigoglio ed età, che alcune, soltanto
in qualche giorno , non danno umore dalle loro foglie ,
quasi si riposassero ; il che succede ancora , sebbene più
raramente, a tulle le piante nella slessa grasta. La segala
nella sabbia ferruginosa non avea umore la mattina del 16
maggio, mentre T altra nel terreno comune n'era soprac-
carica , ma ritornava copiosamente nel giorno appresso.
Forse alla variabilità del fenomeno concorre pure la natura
del terreno. Perchè nello slesso giorno 9 maggio avendo
seminalo il granone nella solita sabbia e nel terreno co-
mune , il primo non dava umore se non col mezzo della
campana , tranne una sola volta , che naturalmente e per

28 Gasparrìni

brevissimo tempo ne mise fuora la una foglia due goc-
cioline ; r allro poi ne dava sempre in qualunque ora del
giorno nel modo avanti esposto , pure alla luce diretta ,
ma per poco tempo.

Essendo adunque così , che l' umore il quale viene in
punta alle foglie delle menzionate graminacee non deriva
essenzialmente dalla esalazione , vediamo se proviene da
secrezione e por conseguenza da ghiandole. Nella sommità
delle foglie non ci son ghiandole, né peli , nò stomi, né
forellini ; ci ha solo parenchima cellulare alquanto diverso
dal soltostanle (da cui non trasuda umore standovi anche
gli stomi) nella forma e grandezza delle cellule , e per la
natura della so-tanza in esse contenuta, eh' è una materia
rossastra finamente granellosa, non già clorofilla; la quale
materia rossastra si osserva ancora nel parenchima del mar-
gine a certa distanza dalla sommità. SI fatto pcrenchima
perciò non si può tenere in conto di ghiandola, e l'umore
che ne trasuda non |cffelto di secrezione. Questo umore
inoltre , in sembianza di gocciola di rugiada , non con-
tiene globuli alla maniera di certi umori segregati : è
limpido, insipido; col microscopio non vi si scuoprono
sostanze estranee ; anzi pare più trasparente e fluido del-
l'acqua in cui si scioglie compiutamente , siccome fa an-
cora nell'acquarzeute. Ma isvaporandosi sul punto onde
sorge , lascia ivi una materia biancastra in forma di pel-
ìicina raggrinzila, la quale essendo inalterabile all' azion
della potassa caustica non pare perciò di natura albumi-
nosa. Anzi si scuoprono in essa col mozzo del microscopio
alcune concrezioni scabrose, come fossero gruppi di cristalli
colle punte prominenti : sono concrezioni di materie inor-
ganiche, che spariscono nell'acido azotico. Ora le gocciole

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 29

raccolte sul vetro lasciano , isvaporandosi , la stessa male-
ria inorganica ; nel qual caso si può osservare al micro-
scopio che come 1' acqua di vegetazione in cui è disciolta
diminuisce , si addensa essa con evidenti segni di cristal-
lizzazione sul sistema del cubo. Quella dell'orzo seminato
nel terreno comune è costituita, giusta l'analisi fattane
dal professor Napoli circa la metà di novembre , di sol-
fato di calce e di magnesia , e di cloruri. E sebbene la
quantità non sia stata ora determinata rispettivamente al-
l' acqua di vegetazione in cui si trova disciolta, luttavolla
essa pare mollo maggiore di quella che vicn fuora coU'e-
salazionc. Imperciocché il Seneòier^ secondo riferisce De-
cando/ie , ha trovato che in ii,5oo parli di acqua esalata
dalle foglie della vite appena ci sta 'As»»» di materia estra-
nea , della quale per altro s' ignora la natura. Di manie-
ra che se questa osservazione sulla vite è esalta, siccome
pare non potersene dubitare, e si verificasse in altre pian-
te ; essa , standovi tanta pochezza di materia estranea ,
punto non sembra favorevole all'" opinione di coloro che
considerano 1' csalamciilo come funzione escrcracutizia. E
dappoiché 1' umore cacciato fuora dalle piante graminacee
raccogliesi in punta alle loro foglie , e sul margine , in
forma di goccioline, per non confonder queste, derivanti
da trasudamento linfatico , colle gocciole di rugiada , la
presenza dell' anzidetta materia terrosa , 0 la posatura che
lascia' la linfa isvaporandosi sul vetro , è forse il segno meno
fallace per distinguere 1' uno dall' altro fenomeno.

Viene la gocciolina nella sommità della foglia giusto
nella direzion della rachide, e dal lato corrispondente alla
l'accia intcriore. Facendola cadere e guardando colla sem-
plice lente il pu[ilo dove stava , si vede chiaro un trasu-
T?n.F/. 3

3o Gasparrini

daracnlo , che in meno di dieci minuti , quando è nella
sua maggiore pienezza , diventa una piccolissima gocciola
sensibile alla vista naturale.

Quando si recide per traverso la foglia del granone
alla disianza di poche lince dalla sommità e si guarda
colla lente semplice sul taglio , si vede subilo un trasu-
damento in tre punti , per cui in pochi minuti si formano
tre goccioline ; trasudamento, che (notato anche dal Prevost
secondo riferisce il Seneòie?-) viene giusto in punta di Ire
fibrilline recise. Tagliando la foglia più in giù appari-
scono cinque goccioline sopra allreltanti nervi o fibrilline
recise ; sette nella metà della lamina , precisamente quante
sono le fibre. Cosicché il numero delle goccioline corri-
sponde sempre a quello delle fibre o nervi priraarii longi-
tudinali, onde la foglia è fornita nel punto della recisio-
ne. Ciò succede per tulio il tempo in cui irasuda Tumo-
re ; come prima cessa il trasudamento la foglia del gra-
none diventa di color verde cupo , pelosa in entrambe le
facce infiuo alla sommila; e recidendola non dà tante goc-
ciole quanti sono i nervi recisi , dei quali solo il mezzano
talvolta e lentamente fornisce la sua; il che per altro dura
pochissimo tempo. L' umore che sorge dalle fibre reciso
punto non differisce in colore , limpidezza, sapore e nella
natura delle sostanze inorganiche in esso disciolle da quello
che viene naturalmente in punta alla foglia intera. Le fi-
brilline son costituite d' un fascelto fibroso-vascolare con
le trachee nel centro coperte da cellule allungale alla ma-
niera ordinaria del tessuto fibroso degli organi appendico-
lari. Di raro in quella giovinezza della foglia si trova qual-
che vase annulare in compagnia delle trachee ; il che in-
contra allora a vedere solo verso la parte inferiore doU.i

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 3 1

lamina. Le stesse cose si osservano ncIT orzo, nel forinonlo
e nella segala tanto rispetto all' uscita dell' umore per ef-
fetto della recisione , quanto per le sue qualità sensibili;
ancora in ciò che risguarda la struttura delle fibre. Infine
nelle quattro menzionate piante l' umore che vien fuora
dalle foglie recise gocciola talvolta , non altrimenti che
dalle foglie intere , per due giorni in qualunque ora.

Laonde l'umore, ch'esce dalla foglia spuntata o recisa
a qualunque distanza dalla sommità , è la linfa o umore
ascendente ; e dnppoichè somiglia afTallo a quello che viene
naturalmente in punta della foglia intera, seguita che l'uno
e l'altro hanno la slessa origine. Ne segue ancora che que-
sta linfa sale alle parti superiori solo per i vasi spirali, noa
avendocene , almeno nel cominciare il trasudamento, d'al-
tra sorta ; che non vi è attirala dall' esalazione acquosa ,
Ile dalla crescenza delle foglie , siccome in altre piante ,
ma vi giunge forse per la stessa forza che sospinge 1' u-
mor della vite ad uscire dalle ferile avanti lo sviluppamento
delle gemme in primavera : e finalmente che la maniera co-
me si generano le gocciole cosi in punta alle foglie intere,
come sulle trachee recise, dichiara essere l'umore ascen-
dente sospinto da quello che attraggono continuamente le
radici ; e giunto alla sommità della foglia , trapelando
prima dalle trachee nelle cellule del parenchima, o negli
spazii traccllulari, finalmente scappa fuori trasudando dalla
epidermide. Le trachee infatti non giungono proprio infiao
al punto ond' esce 1' umore , ma si rimangono a poca di-
stanza , dove diversi fascetti di esse convergono e si uni-
scono insieme , d' ordinario tre , il mezzano che scorre
lungo la rachide con i due laterali.

Si è detto che nel granone apparisce ancora qualche

32 Gasparrini

gocciolina sul margine a poca distanza dalla sommila della
foglia. Deriva essa dalla stessa linfa condottavi forse dalle
fibre più distanti dalla rachide , le quali quantunque sotto
all' estremità della lamina convergano verso la mezzana
costituente la rachide , tuttavolta non la raggiungono sic-
come fanno le due laterali ad essa più vicine. Inoltre tra
le fibre primarie longitudinali ce ne stanno altre di secon-
do ordine più sottili , le quali non mancano di dar fuora
le gocciole quando sono recise. Le une e le altre nel loro
cammino , allorché la foglia è alquanto cresciuta , man-
dano lateralmente fibrilline trasversali , onde ne deriva un
tessuto fibroso vascolare reticolato , per le quali giunge
r umore al margine formandovi talvolta una gocciolina a
molta distanza dalla sommità della foglia. Nò questa spie-
gazione si può dimostrare col mezzo della recisione lon-
gitudinale , siccome abbiara dimostrato il cammino della
linfa che forma la gocciola nella sommità con recidere la
foglia trasversalmente ; perchè le fibrilline longitudinali
essendo molto vicine , nel taglio secondo la lunghezza del-
l' organo non ci ha diligenza che basti per causarle , uè
ragion di credere che la gocciola in tal caso anziché da
quelle provenga dai rarauscelli vascolari trasversali. Intanto
la piccolezza di queste gocciole sul margine , la rara e
tardiva loro apparizione concordano naturalmente colla sot-
tigliezza e tardiva formazion delle fibrilline trasversali , e
col molo lentissimo della linfa nel deviare dai canali ret-
tilinei longitudinali.

La linfa ch'esce dalla sommità delle foglie nelle men-
zionate piante graminacee è quella che sovrabbonda alla
capacità e bisogno loro. Dinota essa abbondanza di umore
e niente più , proveniente da due cause , dalle radici o

Sopra UH fenomeno in alcune piante (/raminacee. 33

dalla umidilà. Nel germogliamento le radici in numero di
tre a cinque precedono il fusto e le foglie ; esse allun-
gandosi assai e diramandosi in brevissimo tempo formano
una barbala , clie tutta insieme avanza mollo la parte a-
scendcnle costituita allora di tre foglie sopra un fusto ap-
pena distinguibile ; radici poi fornite , per essere tanto gio-
vani e fresche , di gran forza assorbente. Rispetto alla u-
midità, egli si vede alla campagna, nel terreno bagnato,
le gocciole abbondar si come fosse caduta la rugiada, ed
esser rare o mancare affatto nel rasciutto o poco inumi-
dito. Il che si osserva meglio nelle piante coltivate in
graste tenute nella stanza , dove 1' acqua si può dare a
talento. Difalti in dicembre dell' anno scorso , alla segala
germogliata non avendo somministralo acqua per tre gior-
ni , il terreno rasciugatosi un poco , le pianticelle non
davano umore. Ciò non ostante si mostravano esse rigo-
gliose , anzi crescevano di giorno e di noUe come quelle
dell' orzo e del formento loro compagne di eia ; ma que-
ste per essere annaffiale ogni di porgeano continuamente
le gocciole. Stando così le cose, a capo del terzo giorno,
a mezzodì , annaffiai la segala ; ed ecco iramedialaraente
ricomparire il trasudamento in punta alle foglie , ed in
meno di dieci minuti già qualche gocciolina scorgevasi
colla vista naturale.

Questa sperienza ad un tempo dichiara lucidamente la
celerilà e forza con cui 1' umore è assorbito dalle radici ,
sospinto alle parti superiori e cacciato via come esuberan-
te ; dappoiché avanti 1' annaffiaraento non ne avanzava ,
e ciò non di meno le pianticelle crescevano colla stessa
vigoria di quelle del formento e dell' orzo annaffiale ogni
dì, e da cui perciò 1' umore non cessò mai di gocciolare.

34- Gasparrinì

Laonde dalle osservazioni esposte si deduce che l' u-
more il quale trapela dalle prime foglie di certe piante
graminacee , poco appresso al germogliamento non deriva
dall' esalazione acquosa , ne da secrezione per opera di
ghiandole ; e che né anche si può considerarlo come es-
crementizio : poiché in lai caso esso sarebbe in stretta at-
tenenza colla nudrizione e non mancherebbe mai in tutta
la vita della pianta ; mentre che s' è veduto provenire da
abbondanza di acqua e durare pochi giorni. Esso umore
perciò vien fuora dalle partì intere per semplice trasuda-
mento , quando le radici ne assorbono più di quanto fa
mestieri all' esalazione ed alla nudrizione nella prima gio-
vinezza del vegetabile.

Tale appunto era 1' opinione del Trevirano , secondo
riferisce Decandolle ; la quale procedendo forse dal solo
esame fatto sulla qualità dell' umore è rimasta iufino ad
ora quasi nei termini di una supposizione. Ma le sperien-
ze di sopra esposte conducono dirittamente alla medesi-
ma conclusione ; e ne deriva che in altro piante le stesse
cause possono produrre lo stesso effetto. Imperciocché
nella estremità delle foglie della Musa, e di parecchie piante
appartenenti all' ordine delle aroidec , e sui deuticciuoli
di quelle della cappuccina vengono le gocciole non altri-
mculi che per abbondanza di linfa, quando le radici soa
circondale da molto umore, e l'aria umida poco favori-
sce r esalazione. Vengono queste gocciole in luoghi de-
terminali , sempre in corrispondenza dei fascetti vascolari
conduttori della linfa ; il che fa osservalo e detto dal sig.
Tenore , quando per rispetto alle piante graminacee , mo-
dificava la spiegazione del Senebier dicendo che « questo
» fenomeno si verifica specialmente nelle foglie puntute

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 33

)) con nervature semplici, perchè in esse molli vasi van-
» no a Icrniinare allo stesso luogo , onde maggior copia
» di acqua vi si riunisce, e le gocciole più difllcllmente
» possono svaporarsi ». Ed inoltre in una apposita scrittura
pubblicata tre anni sono nel rendiconto della R. Accade-
mia delle scicmc {Osservazioni morfologiche sopra alcune
spezie di zucche = Rendiconto delia R. Accademia delle
scienze di Napoli , quaderno 36° - f847) facemmo vedere
come nelle zucche in tempo di autunno , segnatamente
quando il terreno è bagnato , e 1' aria , tra per la bassa
temperatura e l'abbondante umidità, poco favorevole all'e-
salazione , parte dell'umore mandalo dalle radici si versa
nelle cavità dei picciuoli e del fusto.

La spiegazione di tali fenomeni trovata in quello delle
piante graminacee non sappiamo quanto potesse valere per
altri consimili o poco differenti , almeno in apparenza ,
osservali io diverse piante, non avendoli potuto esamina-
re. Notano i fisiologi che ncU' Amomum zerumbet trasuda
umore dalla base delle squame fiorali o brattee , e nella
Maranta gibba dalla base del perigonio. Nelle piante dei
generi Nepenlhes , Sarracenia , Cqìhalolus , Margravia
e ISoranlea si trova umore più o mono abbondante in
certe cavità delle ascidii , costituite da una particolar tra-
sformazione di tutta la foglia , o di una parte di essa. Il
signor Trincliinetti {Biblioteca italiana to-no 82. Milano
t836) ha osservato in molte piante appartenenti ad ordini
differenti , che nel contorno delle foglie, in punta di certi
bilorzolclli da lui addimandati glandolo perifiUe , di notte
e talvolta anche di giorno , essendo l' aria fresca e nuvo-
losa , apparisce una gocciola di limpido umore; e pruova
con esperienze non dipendere essa dalla rugiada né dalla

36 Gasparrini

traspirazione insensibile ; ma crede cbe sia segregata dalle
glandole , e che tal funzione rappresenti nelle piante la
secrezion delle urine degli animali. Il padre Leandro ri-
ferisce che r albero del Brasile addiraandalo Caesalpinia
pluviosa ha meritato appunto tal nome dall'umore acquoso,
che ne gocciola in copia in sembianza quasi di pioggia.

Dubitano i fisiologi se fenomeni si fatti dipendono da
secrezione o dall' esalamento , ovvero dall' insensibile tra-
spirazione ; e noi non avendoli esaminati non sapremmo
adesso, senza certo pericolo di errare, entrar iu mezzo alle
controversie per togliere il dubbio. Tultavolla non possia-
mo lacere che alcuni di essi hanno attenenza sì stretta
con quello delle piante graminacee , stando alla semplice
relazione, da far sospettare che poco o niente ne saranno
(lilTorenti in quanto alla calura eJ alle cause onde deri-
vano. Imperciocché i bitorzolelti o ghiandole perifille del
Trinchinelli niente altro sono in essenza che i dcnticciuolì
semplici ovvero un poco ingrossati posti nel contorno delle
foglio. Ora ad ogni denticciuolo va uu fascclto vascolare
conduttore della linfa ; la quale , cessata 1' esalazione in
lempo di notte e diminuita nei giorni coperti , giunta al
denticciuolo uè potendo trascorrere piii innanzi , pressata
e sospinta da quella che mai sempre vi giunge , final-
mente deve trapelar fuori.

Niuna pianta più della ISepenihes ha attirata l' at-
tenzione degli osservatori, come quella che in una borsa,
delta altrimenti ascidio , pendente dalla sommità della fo-
glia contiene molto umore. Ora si fallo ascidio formasi dal
dilatamento della sommità del nervo mediano ; e questo
avendo vasi in copia arreca l' umore che poi trasuda nella
cavila , la natura linfatica del quale fu già ravvisata dal

Sopra un fenomeno in alcune piante graminacee. 87
Trevirano. Né contro a si falla opinione sembrano di gran
momento le particolarità di struttura notate nell'ascidio, né
la quanlità (circa i per 100) delle sostanze organiche ed
inorganiche ncll' umore disciolte , nò la loro natura (cioè
materia organica principalmente di acido malico ed un
poco di acido citrico , cloruro di potassio , soda , calce ,
magnesia) giusta T analisi del sig. JVoelcker. Dappoiché
le sostanze inorganiche entrano coll'acqua; e la linfa scio-
glie e trasporta qualche sostanza organica nel suo cam-
mino 3 siccome si vede in quella della zucca quando si
versa nelle cavità interne del fusto e dei picciuoli ; la quale
non si raccoglie ivi certamente per effetto di secrezione
mancandovi il tessuto ghiandolare , e contiene albumina
e glucosa, a parte della materia inorganica. Finalmente
il fatto dell'albero brasiliano testé nominato né anche sarà
differente da quello delle piante graminacee, da cui iu certi
giorni l'umore gocciola continuamente, e che noi abbiam
veduto non derivare dall'esalazione, né dalla traspirazione
insensibile, né da secrezione per opera di ghiandole ; ma
venir fuora dalle parti intere per semplice trasudamento,
quando le radici ne assorbono più di quanto è mestieri
ai bisogni della vita.

I il iVIt CE

DEL PRESENTE FASCICOLO

DeW uso e dell' abuso della similitudine nelV e-
locuzione didattica, di G. Masdea pag.

Osservazioni sopra un fenomeno di trasudamento
linfatico in alcune piante graminacee , di G.
Gasparrini • •

2 21

Prezzo del presente fascicolo . .

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DELL'ACCADEMIA PONTANIANA

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FASCICOLO II DEL VOLUME VI

È.mm

L' accademia Pontaniaua pubblica i suoi atti in fascicoli, afEnchò
possano sollecitamente conoscersi le memorie a misura die sono ap-
provate.

Ogni fascicolo si pubblica subito che si ha sufficiente matenale e
senza astringersi ad alcun determinato periodo o numero di fogli.

Terminati i fascicoli che debbono comporre un volume, si dà il
frontespiiio, la dedica , la storia de' lavori, ed il catalogo degli acca-
demici da premettersi al volume medesimo.

— -.^-j-s-SM-x— •

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DA' TORCUI DEL TRAMATEB

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CENNO BIOGRAFICO

INTORNO

Al CAPITAKO INGEGNERE GEOGRAFO

FRAIVCESCO PERGOLA

letto air Accademia in gennajo i846

DSL SOCIO RESIDENTE

fc-fiiatijjimt Coffegfii

Un dovere di antica amicizia ra' impone quest' oggi
il pietoso ufficio di parlarvi brevemente del nostro cLiaro
e virtuoso collega capitano Francesco Pergola , non ha
guari mancato ai vivi in modo lagrimevole e funesto. Mo-
riva egli il giorno 2 5 novembre i84.!5 nel più florido stalo
di salute , fra le più belle speranze di portare fra poco a
compimento le importanti misure terrestri da lui cosi bene
incominciate e condotte già a buon punto , nel momento
in cui la sua famiglia aveva urgente bisogno del suo con-
siglio e del suo aiuto ; moriva in un subito senza avver-
tire la morte , colpito dal fulmine sul monte di Anlennam-
mare dove slava da più giorni per le operazioni geodeti-
che. Onde misurare la perdila che hanno fatta in lui la
scienza , la patria e gli amici , non vi dispiaccia udire
di alcuni principali particolari della sua vita.

Tom. FI. 6

4.0 Amante

Francesco Pergola nacque in Napoli il dì j maggio
1791 da virluosi genitori, ed in agiata fortuna. Ma il pa-
dre di lui , dato al commercio , non lardò a sperimentare
le vicende di questo lusinghiero ed instabile elemento ,
per modo che in pochi anni , lasciati gli affari , gli ri-
mase forse meno del bisognevole per la sussistenza di nu-
merosa famiglia. Avventurosamente però i semi di buona
morale sparsi da lui e dalla virtuosa consorte ne' loro fi-
gliuoli avevano fatto frullo, e cinque figli del miglior sesso
erano già ad essi di consolazione e di sostegno.

Poco regolari furono i primi sludi di Francesco, seb-
bene il fanciullo si mostrasse molto volenteroso di appren-
dere ^ e deve ciò attribuirsi alle condizioni generali de'
tempi , non meno che alle speciali della sua famiglia.
Fatto pili adulto , incominciò a studiare matematiche , e
quantunque fosse slrellameole congiunto in parentela col
ripulalissimo Professore Nicola Pergola^ rari e scarsi fu-
rono gli ammaestramenti che potè ritrarne , non per man-
canza di affezione dello zio , ma per le molte occupazioni
di lui , che era in quel tempo quasi il solo educatore della
gioventù napolitana nelle matematiche discipline ; per la
qual cosa il giovane Francesco ebbe a guida negli studi
matematici piuttosto alcuni valorosi allievi del Pergola (i),
e dovette poi la sua compiuta istruzione all' intenso suo
amore pel sapere più che a qualunque estraneo aiuto.

Giunto all' età di venti anni Francesco Fergola fu am-
messo in qualità di aspirante ingegnere nel Gabinetto to-
pografico di Napoli , diretto allora dal celebratissimo geo-
grafo Rizzi-Zannoni ^ dove apprese le pratiche della To-

(1) Il Sacerdote Giannattasio , ed il chiarissimo professore cav. Flauti.

Cenno biografico di Francesco Pergola. 4t

pografia ed il disegno lopografico. Dopo pochi anui, quello
slabilimciilo, clic Ira i primi in Europa era stalo nel pas-
salo secolo crealo dalla munificenza di Re Ferdinando Bor-
bone , fu dallo slesso Monarca riordinalo e reslauralo, ed
al chiarissimo colonnello (ora Generale) Visconti fu dalo
il carico d' introdurvi i nuovi melodi geodetici, e di dar-
gli in tulio la fìsonomia del secolo. Divenuto l'Officio to-
pografico un islilnlo militare, ne! 1816 il nostro Pergola
olleniie per concorso il grado di soUotencnle dello stalo
maggiore deli' esercito addetto al corpo dogi' ingegneri geo-
grafi , ed in quel cimonlo risultò primo per ordine di me-
rito. Questo anno 1816 segna un'epoca notabile per l'Of-
ficio Topografico di Napoli , poiché d' allora incominciò
il Fcrgoia ad arricchirlo de' suoi importanti lavori geode-
tici. Non mi farò qui a descriverli a parte a parte , che
troppo dovrei dilungarmi , e mi Umilerò soltanto ad ac-
cennare i risultameuli più rilevanti da lui ottenuti , e le
principali difficoltà superale.

Il primo lavoro geodetico, ed il solo di 2.° ordine,
affidalo al Fcrgoia fu nel 1816 la triangolazione de' con-
torni di Napoli , che ha servilo poi , quasi esclusivamen-
te , alla costruzione della bella carta di quella regione pub-
blicata dal R. Officio Topografico. Nel seguente anno 1817,
cssentlosi intrapresa la costruzione della carta di cabotlag-
gio della costa del Regno bagnala dall'Adriatico, col con-
corso degli uffiziali austriaci , ebbe Pergola il carico della
parie più difficile della triangolazione geodetica , poiché
traltavasi di estendere i triangoli sino al capo di Leuca ,
e congiungerli all' isola di Fano per determinare con esal-
tezza la bocca dell' Adriafico. Or nelle ultime due Puglie
il terreno non è abbastanza piano per dar passaggio a lua-

4-2 cimante

ghe visuali , né abbastanza aspro per potersi da luoghi
eminenti scoprire lungo tratto di paese; e però i triangoli
geodetici dovevano essere di necessità molto piccoli , sot-
toposti specialmente alla condizione di non allontanarsi
dalla costa. Giunse perciò il Fergola al capo di Lecce con
triangoli aventi Iati di poche miglia , mentre gli era im-
posto di saltare a pie pari 1' Adriatico con lati di quasi
cinquanta miglia. Qui egli dovette porre in pratica non
solo tutta la sua perizia geodetica , ma benanche gli am-
maestramenti della Geometria , onde distese un poligono
da S. Nicola di Casole a Leuca , e non ad uno de'piccoli
lati di esso , ma alla diagonale congiungenle i due punti
estremi appoggiò il gran triangolo che doveva valicare il
mare ; senza il quale ripiego , che riuscì perfettamente ,
non avrebbe potuto dare a quell' ultimo importante anello,
e quasi scopo principale della triangolazione , la necessaria
condizione geodetica.

Dopo questa commissione , fece parte il Fergola di
una spedizione d' ingegneri napoletani , tedeschi ed inglesi
nelle isole Jonie ad oggetto di rettificare la carta idrogra-
fica di quelle isole , e nell'anno appresso ebbe pure una
parte subalterna nella seconda misura della base di Castei-
voilurno diretta dal fu colonnello Rlelorio. In seguito a-
veva incomincialo ad estendere la triangolazione di i .° or-
dine nella provincia di Terra di Lavoro , allorché sopra-
giunse la catastrofe del 1820 , e furono sospesi i lavori.
Kel 1822, essendo slato sciolto lo stato maggiore dell'e-
sercito , fu il nostro Fergola messo in disponibili là. Re-
stalo per più anni senza altre occupazioni , si diede con
mollo successo ad insegnare le matematiche pure e miste,
nel quale uffizio fecesi ammirare per lo zelo ( che era per

Cenno biografico di Francesco Pergola. 43

lui un istinto in tutto ciò che faceva ) non meno che per
il sapere e la diligenza , nella parte attenente a' calcoli ed
alle costruzioni grafiche. Richiamato all' Officio Topogra-
fico nel 1828, a' suoi compagni assai più che a lui di-
spiacque il vederlo , per I' avvenuta interruzione di servi-
zio, graduato dopo di loro; egli sostenne sempre con grande
dignità i colpi dell' avversa fortuna.

Couliniiava il Fergola nel i83o e nel i83i la trian-
golazione di i.° ordine della provincia di Terra di Lavoro,
estendendola negli Abruzzi , allorché surse a ponente della
Sicilia il vulcano suhmarino , che fece mostra di se e to-
sto disparve. Sembrò al Real Ministero della guerra oppor-
tuna r occasione per alternare i lavori geodetici nelle due
parli del Regno , e fu dato ai tenenti Fergola ed Alfaro
il carico di distendere una rete di triangoli fra Palermo e
Sciacca, e lungo la costa Nord Ovest dell'isola; di levare
la pianta topografica di Trapani , e di determinare astro-
nomicamente e trigonometricamente la posizione del nuovo
vulcano. In questo lungo e svarialo lavoro ebbe Fergola
la parie principale , e rimasto in Sicilia per un altro anno
dopo averlo terminalo , continuò la triangolazione da Pa-
lermo sino a Messina e sulle coste della Calabria. Non
credo che siasi mai fallo da alcun uomo in egual tempo
un lavoro cosi difficile e tanto esleso ed esatto siccome
qucsl' ultimo eseguilo da Fergola , per il quale si vcnue
poi a conoscere la precisa differenza di longitudine fra Na-
poli e Palermo.

Riprese le operazioni geodetiche nelle provincie di
qua del Faro , Fergola ultimò la triangolazione di i.° or-
dine degli Abruzzi che doveva principalmente servir di
base alla caria della frontiera del Regno comandala da S>Ì\I.

4-4 Amante

il Re N. S. Notevolissimi furono alcuni risuUanaenli di que-
sto grandioso lavoro. Primamente i nostri triangoli furono
posti in comunicazione con quelli delle Marche e dell'alta
Italia , e però della intera Europa ; e non si trovò sul
Iato di unione , Ci vitella del Tronto-Montepagano , che la
differenza di qualche palmo ; il quale troppo splendido con-
fronto , se dovette in parte allrihuirsi ad un eventuale com-
penso di errori , offrì però sempre una buona guarcntia
dell' esattezza delle operazioni. Riuscì inoltre al Pergola di
legare alla triangolazione del Regno la cupola della chiesa
di S. Pietro in Roma , del quale punto essendo stala cal-
colata la posizione geografica per mezzo de' triangoli e
della posizione astronomica di Napoli , si ottenne un'altra
notabile verificazione de' nostri lavori, perchè la latitudine
geodetica di S. Pietro fu trovata quasi identica a quella
determinata dagli astronomi romani, e l'azimut calcolato
risultò pure differente di pochi secondi dall' osservato. Più
tardi gr ingegneri austriaci distesero la triangolazione pri-
maria dello Slato della Chiesa sino a coulallo della nostra
frontiera anche dalla parte di Roma ; e sebbene per le
nuove osservazioni de' triangoli dell' alla Italia venisse mo-
dificato il primo confronto sul lato Civiteila-Montepagano ,
non di meno il paragone esteso a tulli i lali di unione
fece conoscere che le differenze su quei lali fra le misure
del Pergola e le austriache derivavano principalmente dalla
discordanza delle basi delle due triangolazioni ed (ammessa
per buona la scala della triangolazione austriaca nelle vi-
cinanze della frontiera ) accennavano ad un difetto della
base di Caslelvolturno, la quale non potette esser misurata
con istrumenti di ultima perfezione e con uà campione di
ben determinato valore.

Cenno biografico di Francesco Fergola. 45

Qui cade a proposito parlare dell' altezza della Cu-
pola di S. Pietro che , determinata da Fergola , fu dal
signor Colonnello CaraboeiiJ trovala alquanto diversa da
quella più direttamente da lui misurala, e nella quale do-
veva aversi maggior fiducia j sfuggì però al cliiarissimo
ingegnere francese l'osservazione, che il Fergola non aveva
ottenuta quell' altezza con disianze reciproche dallo zenit,
onde dovendo affidarla ad una ipotesi sulla refrazione ter-
restre, per poco che il coefficiente di questa da 0,08 si
abbassasse a 0,066 , svaniva l'avvertita differenza. Dalle
osservazioni falle dopo nelle altre parti del Regno si è ve-
duto che il valor medio di siffatto coefficiente , il quale
nel nostro clima è mollo variabile , può fissarsi a 0,07.

Conosciuta la valentia e la scrupolosità del nostro Per-
gola ne' lavori geodetici , si pensò di affidargli nuove e
pili importanti operazioni. Per maggiormente assicurare la
triangolazione primaria del Regno s' immaginò di appog-
giarla a due reti perpendicolari fra loro misurate con e-
slrcma cura , le quali come due assi coordinati abbrac-
ciassero nella loro rispettiva direzione tutta l'estensione del
Regno ; e per conseguire un doppio scopo , una delle reti
doveva distendersi lungo un meridiano da Termoli a Capo
Passero , e l'altra lungo un parallelo da Oblimi a Ponza.
Per tal modo si sarebbero anche misurali un arco di me-
ridiano ed un altro di parallelo , i quali avrebbero potuto
contribuire al perfezionamento della scienza, che ha per
oggetto di studiare l'esatta forma della Terra e determi-
narne la grandezza. Accettò Fergola l'onorevole, ma dif-
ficile e pesante carico , e non diffidava di condurlo egli
solo a compimento. E 1' effetto tra poco avrebbe risposto
alle speranze, se cosi fosse piaciuto all'Eterno regolatore

4.6 Amante

del destino , poiché in pochi aani , il valoroso ed inde-
fesso geografo aveva già estesa la Iriaagolazioae del pa-
rallelo da Ostuni sino a Napoli ^ e quella del raeridiaao
da Termoli a Stromboli , distendendosi anche con altri
triangoli non compiuti ad Antennammare ; per modo che
non rimanevano ad ultimare le due reti se non i triangoli
fra Napoli e Ponza e gli altri fra Antennammare e Capo
Passero. Per assicurare le operazioni geodetiche dovevano
però misurarsi altre due basi , una nelle pianure di Pu-
glia., l'altra in quelle di Catania., e dovevano pure ese-
guirsi le osservazioni astronomiche agli estremi de' due ar-
chi, onde determinare le ampiezze degli archi celesti. Tutto
questo lavoro avrebbe potuto durare altri sei o sette anni
al pili , e r infelice nostro collega negli ultimi giorni di
sua vita vagheggiava il momento non lontano di por ter-
mine a tante fatiche , e conquistare con esse il diritto ad
un onoralo riposo.

Intanto la triangolazione del Regno congiunta eoa
queste ultime operazioni a quella di Sicilia faceva cono-
scere r esatta differenza di longitudine fra gli osservatorii
di Napoli e di Palermo ; e poiché 1' unione della trian-
golazione di Abruzzo con i lavori dell' alta Italia aveva
già posta , per cosi dire , la Specola di Napoli in comu-
nicazione geodetica con quelle di Roma , di Milano , e
di Padova., la longitudine assoluta di Napoli acquistò per
questi confronti un nuovo grado di esaltezza.

Non ultimo risultamento delle operazioni geodetiche ese-
guite dal capitano Pergola è la livellazione generale delle
Provincie di qua del Faro. I tre mari che le bagnano sono
stati riuniti con linee di triangolazione , ed il livello delle
acque medie di ciascun mare , direttamente osservato , si

Cenno bwgrajico di Francesco Pergola. 4?

è trovalo differire solo di qualche palmo da quello dcdoUo
dallo zero di un altro mare per mezzo della triangolaziouc.

Oltre alle misure geodetiche ^ il capitano Pergola cbhe
occasione di eseguire anche più volte osservazioni astrono-
miche di latitudine , di longitudine e di azimut. Nel iS3i
misurò la latitudine di Setacea^ e l'azimut del lato Sciac-
ca-Torre Muzzone , ma il cattivo tempo gì' impedì di dc-
Icrminarc la differenza di longitudine con le occultazioni
di alcune stelle dietro la Luna in corrispondenza con Na-
poli. Nel 184.3, avvicinandosi l'epoca di dover misurare
r ampiezza dell'arco di parallelo , si pensò di fare un sag-
gio del metodo delle stelle filanti, perchè pareva difficile
poter eseguire i segnali a polvere con lo scarso numero
d'ingegneri addetti a" lavori geodetici; e quindi il Profes-
sore Anianle in Napoli e Pergola in Termoli fecero le os-
servazioni corrispondenti ne' giorni io, 11, 12, i3 agosto,
ed ottennero quallordici coincidenze di stelle , le quali si
accordarono in modo da poter dare la differenza di lon-
gitudine de' due luoghi con un error medio non maggiore
ili un decimo di secondo di tempo (i).

Darò fine a questo rapido quadro degl' importanti la-
vori geodetici del Pergola con accennare le sue specialis-
^me disposizioni all' ufficio dell' ingegnere geografo. Aveva

(1) Quanto abbiamo detto de' lavori Griibcrg de HcmsS , clic nel riassumere
del ì'erj-ola basta a correggere lo sbai;lio una lettera del si<». Geaerale Visconti in
in cui è caduto il Presidente della Società cui si parlava de' lavori geodetici del ile-
geografica di Londra , il quale iu uno de' gno di >apoli , e di quelli de' tedeschi
suoi ragguagli annuali su i progressi della u&U" alta Italia, non ha ben distinti gli
Geografia atlrihuisre ai^l' ingegneri au- uni dagli altri. Ciò che v' ha di certo è
striaci la misura della porzione di arco che , come gì ingegneri napolitani non
di meridiano Ira Termoli e Capopassero hanno lavoralo fuori del Regno, cosi gJi
e l'altra dell' arco di p.ualklo tra Fa- austriaci a questi ultimi tempi, non liad-
sauo e Napoli. È probaliile che il lodalo no lavorato nelle nostre proviucie.
geo-^ralo sia stolto tratto iu (rrore dal si g,

Tom.Fj. 7

4-8 Amante

egli sortito dalla natura una fibra robustissima , e da po-
ter resistere ad ogni genere di disagi ; prolungare indefi-
nitamente il travaglio ed il digiuno , vegliare le notti , o
dormire poche ore sul nudo suolo in aperta campagna ,
nutrirsi , quando la necessità il comandava , di cibi gros-
solani , resistere all' imperioso bisogno della sete , erano
cose queste cbe non alteravano la sua sanità , uè la tran-
quillità dell' animo suo. Ma la più rara e preziosa qualità
fisica cbe egli si avesse per le osservazioni era 1' acutezza
e la forza della vista ; un leggiero grado di miopia la gua-
rentiva dal naturale deterioramento derivante dall'età, per
modo cbe con gli anni e con 1' uso, in vece di perdere
aveva acquistala maggior forza. I quaderni delle sue os-
servazioni offrono singolari e numerosi esempi di oggetti
di piccole dimensioni veduti a grandi distanze, e ne' quali
spesso egli distingueva ed osservava diversi punti. Cosi del
telegrafo di Capri osservò 1' asta ed un angolo della ca-
setta , della chiesa di Lipari il punto più alto ed uno spi-
golo della facciata , e della chiesa di S. Giovanni in La-
terano di Roma disegnò il prospetto alla distanza di 4-2
miglia con tali particolari cbe si direbbe ritratto sul luo-
go ; e tutto ciò con un cannocchiale di un piede e mezzo
di fuoco ; quantunque di Fraunhofev.

A compiere questo cenno biografico del nostro defunto
collega , mi rimangono i particolari della sua vita priva-
la. E qui , in conferma di quanto sono per dire, chiamo
in testimonio chiunque di questo dotto consesso ebbe oc-
casione di conoscere ed apprezzare le rare qualità di Fran-
cesco Pergola. È uso dei biografi 1' attribuire indistinta-
mente tutte le virtù a tutti coloro di cui imprendono a
tessere 1' elogio , il che discredita l' opera loro , ed offen-

Cenno biografico dì Francesco Pergola. ^9

dendo la verilà, reca pure grave danno al pubblico co-
stume ; ma la verilà non può se non rendere omaggio alle
virili del Pergola. Abbiamo veduto che dalla infanzia egli
fu quasi il solo educatore di se medesimo ; or clii lo ha
conosciuto può affermare aver egli conservato verso se stesso
quel nobile ufficio sino alla morte. Tulle le sue cure e-
rano rivolle a perfezionarsi continuamente nel fisico , nel
morale e nell' iulelleltuale. In quanto al fisico , egli erasi
ingegnato di ridurre al minimo i suoi bisogni, e studiando
il proprio temperamento , preveniva i mali con una severa
igiene, o con abitudini salutari. Così , essendo egli facile
a contrarre raffreddori , il che gli era qualche volta d'im-
paccio neir esercizio de' suoi doveri , giunse a poco a poco
a correggere quella difettosa disposizione con lavande quo-
tidiane di acqua fredda in varie parti del corpo ; e fu ve-
duto con meraviglia de' suoi amici , affrontare nell'ullimo
inverno il rigore della stagione senza le ordinarie difese.
Rispello al morale , nessuno era giudice piìi severo di lui
delle sue azioni , ond' è che diffidando sempre di se stesso,
calcolava freddamente il bene ed il male, e prendeva per
guida costante del suo operare la sola giustizia. Il timore
di offendere questa eterna norma regolatrice il rendeva cir-
cospetto ed indulgente verso gli altri per modo , che la sua
moderazione riusciva qualche volta esagerata. Non si con-
tentò il Pergola di coltivare i soli sludi matematici , ma
non trascurò i militari, ed ornò in particolar modo la sua
mente di non comuni cognizioni filosofiche e lellerarie, ad
apprender le quali lo agevolò la conoscenza di più lingue
straniere. Il suo sisleraa di perfezionamento lo rendeva se-
guace zelante del progresso ; e tale era 1' ordine eh' egli
poneva nelle sue occupazioni , che trovava il tempo d'io-

^0 amante

formarsi , almeno per notizia, di ogni nuovo acquisto che
facesse 1' umano iuciviliraculo.

Questo, chiarissimi colleghi ,' fu l'uomo di cui de-
ploriamo la perdita. La sua modestia , e la immutahile
avversità che Io accorapaguò nel corso della vita fecero che
il suo valore non fosse abbastanza conosciuto nò premiato.
La sorte invidiò al Pergola sino il contento di veder con-
dotte a termine le sue più importanti operazioni, per rac-
coglierne quel frutto di onore e di fama che il mondo in-
civilito suol tributare a simiglianti lavori. Nondimeno ,
segni della pubblica stima furono , il diploma di socio
corrispondente conferitogli nel 1826 dalla Reale Accademia
delle scienze di Napoli , quello di Socio corrispondente
dell' Accademia di scienze e beile lettere di Palermo nel
i832 , la nomina di Socio residente di questa nostra Ac-
cademia nel i838, e l'onorificenza di Capitano accordatagli
da S. M. nel 1 84o , quando 1' ordine di antichità nell' e-
sercito non lo chiamava ancora a godere di quel grado.
L' Officio Topografico di Napoli ha perduto in lui uno de'
suoi principali sostegui ; le scienze sperimentali un opera-
tore indefesso e coscienzioso ; i suoi compagni il loro più
costante amico. La sua morte è stata l' ultimo atto onore-
vole di una vita onoratissiraa ; egli si sacrificò al suo do-
vere ed alla scienza j e se gli furono negate in quell' e-
stremo puuto le consolazioni che tutti hanno , dalla reli-
gione , dai parenti e dagli amici , in compenso il nome
di lui sarà nella storia della scienza annoverato fra quelli
di non pochi altri uomini generosi , i quali, spingendo a
dentro lo sguardo ne' segreti della natura, rimasero vittime
del loro coraggio.

La gueruigione militare di Messina , e tutta la pò-

Cenno biografico di Francesco Pergola. Si

polazìone di quella città furono sorpreso e conlrislate del
tragico fine del capitano Pergola , cbè in poco tempo egli
avcvasi acquistata la slima e 1' afiezione dell' universale.
Gli resero gli ultimi uffici due suoi compagni ed allievi ,
e fu sepolto nella chiesa di Porto Salvo , dove una lapide
ricorderà il tristo caso e le virtij dell'estinto; ma la nae-
moria di lui rimarrà sempre cara ed onorata nel R. Of-
ficio Topografico di Napoli , ed ispirerà ne giovani inge-
gneri la costanza ed il sentimento dell' esattezza , senza ii
quale sussidio chi imprende lavori di Geodesia non può
mai lusingarsi d' incontrare la verità.

RICERCHE ANALITICHE

SULLE

SUPERFICIE ANULARI

A CONO DIRETTORE

letta alV Accademia nella tornata del 1 4- gennaio 1849

DA.L SOCIO RESIDENTE

Jr urono alcune considerazioni di arcliileltura maritti-
ma, che fecermi rivolgere allo studio delle Superficie Anu-
lari: e in prima ad investigare le forme e le proprietà
principali della superficie secondo la quale io conchiudeva
da quelle mie considerazioni , potersi conformare le parti
inferiori dell'estremità dei moli sporgenti in mare. E per
tali investigazioni mi si faceva manifesto, essere tal su-
perficie tutta intera quella di un vero anello : ma diversa
dall'altra àcW anello sferico^ contemplata in molli trattati
di geometria descrittiva ; perchè quest' ultimo anello è di
uniforme grossezza, mentre che l'altro è di grossezza pri-
ma crescente per una sua metà, e poi decrescente. Epperò
diedi pure il nome di superficie anulare alla nuova super-
ficie : e distesa una memoria intorno ad essa, la intitolai;

54 Rossi

» Memoria intorno ad una superficie anulare secondo la
» quale potrcbbonsi conformare le estremità dei moli spor-
» genti iu mare ». Ed ebbi l'onore di presentarla a que-
st'Accademia a di 1 4- luglio i844-- ora trovasi inserita nel
volume V degli Atti.

In tale Memoria , investigando l' indole geometrica
della superficie, mi avvidi non convenirle punto il nome
di Anulare sol percbè il solido cbe raccbiude è realmente
un anello, e parimente non essere per la medesima ragione
convenevole il nome di Anulare alla superficie dell' anello
sferico, od anche del toro; perciocché tanto l'una quanto
r altra 7ioìi sono per natura geometrica simili ad anelli ,
ma il sono soltanto per particolare grandezza di un loro
parametro : e mi avvidi ancora, delle due superficie, l'una
essere un caso particolare dell' altra ; ed in oltre che le
soluzioni da me trovate del menare il piano tangente alla
superficie particolare che formava oggetto delle mie inve-
stigazioni , ed anche le soluzioni di altri problemi , erano
non solo eziandio applicabili alla superficie dell" audio sfe-
rico , ma ancora ad ogni superficie generala dal moversi
comunque di una circonferenza di circolo di raggio co-
munque variabile od anche costante ; e ciò misi in evi-
denza in diversi luoghi di quella mia Memoria, e massime^
ne' due Scolii all'ultima Proposizione.

Fu per tutte cosiffatte ragioni, che allora per la prima
volta ardii usare la parola di Anulare in assai piia ampia
accettazione. Dissi Superficie Anulare , non la superficie
conjbrmata a guisa di anello , ma ogni superficie gene-
rata dal muoversi comunque di una circonferenza di cir-
colo, e di raggio comunque variabile, od anche costante.
Kè sembrami essere sconvenevole ; perocché io imitava in

sulle Superficie /fnulari. 55

ciò i celebri gcoraelrì Monge ed HaclicUc. Questi cliiaraa-
rono Uigala ogni superficie generala da linea rclla , sol
perchè il taglio di una riga potrebbe per tutta la sua lun-
ghezza applicarsi sulla superficie per qualunque suo puoto
si facesse passare : io crcdelli poter chiamare Anulala^ o
più italianamente Anulare ogni superficie generata da una
circonferenza di circolo, sol perchè la concavità circolare
di un anello potrebbe sempre per tutta la sua lunghezza
applicarvisi, per qualunque suo punto si facesse passare.

E quindi , prendendo la denominazione di superficie
Anulari in tale gencralissiraa accettazione , la genesi di
tutt' esse attentamente esaminai , ne dedussi spontanea la
loro geometrica classificazione in undici grandi classi^ e
novellamente vidi, potersi ad esse tutte applicare i metodi
di soluzione da me trovali , dei principali problemi geo-
metrici per l'anulare particolare eh' era slato oggetto della
della mia Memoria.

Tulle cosiffatte cose , essendo nuove per la scienza ,
e polendosi avere , formare esse slesse quasi una novella
teorica geometrica, e di una innumerevole serie di super-
fìcie , non mai prese in considerazione in tutta 1' uuiver-
salilà loro , credetti dover tornare utile il renderle note ;
e scrissi però nello stesso anno 184.4 un Articolo, col ti-
tolo di « Generalità geometriche sulle superficie Anulari i:
ed il feci inserire nel fascicolo di settembre di quell'anno,
del giornale napolitano il Museo.

In quell'articolo, io toglieva dall'architettura fsenpì

parecchi , per mostrare come superficie anulari sono già

assai bellamente ed opportunissimamente impiegale nelle

arti : mostrava, come le superficie canali del Monge sono

Tom.Fl. 8

S6 ^0^,?/

superfìcie anulari particolari : ragionava della classificazione
loro in undici grandi classi : dimostrava , come tulle le
anulari sono inviluppo di superficie rigate ; e dava le ge-
neralissinie soluzioni dei due più importanti problemi ;
cioè del menare il piano tangente alla superficie anulare
generalissima per un punto dalo su di essa , o per una
retta data fuori.

Com' è chiaro, ciò avrebbe potuto dar luogo a molte
altre geometricbe investigazioni ; ed anche più a moltissime
applicazioni : polrebbesi dire a diversi trattati grafici spe-
ciali , o ricerche intorno alle varie sorte di anulari , che
già trovano le applicazioni loro nelle arti , o che potreb-
bero esservi applicate. Ma pensai che l' occuparmi della
ricerca delle espressioni analitiche generalissime di cia-
scuna delle undici classi di anulari, ed anche di cerio al-
tre superficie e linee con esse connesse, come a dire delle
inviluppale loro rigale , delle loro carallerisliche , e delle
rigale ad elementi normali a quelli della inviluppata ,
avrebbe potuto tornare ad utile non solo della scienza, e
per le verità che se ne sarebbero rese manifeste e perchè
in un campo non ancora esplorato ; ma anche più delle arti.
Perciocché, dopo i solidi terminati da superficie rigale, es-
sendo i più facili a costruirsi dagli artefici quelli lermiuati
da superficie generale da circonferenze di circolo, ovvero
da archi circolari , potrebbe abbisognare la misura nume-
rica dei volumi e delle aree di questi solidi , e dei pezzi
componenti ciascuno di essi ; e la conoscenza delle dette
espressioni avrebbe aperta la strada alla determinazione
dell'equazioni delle superficie limiti dei pezzi componenti
il solido intero impiegato o da impiegarsi nelle arti , ed
anche delle linee limiti di esse superficie : le quali equa-

sulle Superficie Anulari. Sy

zioui sono indispensabili al calcolo numerico dei volumi di
quei solidi , e delle arce delle loro superficie.

Di qui r origine delle mie Ricerche Analiliche sulle
superficie anulari. L'argomento non fu di predilezione,
masi presentò per avventura ; il lavoro non intrapreso per
desio di gloria, ma por solo amore verso la scienza e pel
bene che potrebbe provenirne alle arti.

Avendo fatte inserire quelle generalità geometriche nel
giornale il Museo, come ho detto, pensai nel giornale me-
desimo inserire una serie di articoli, in ciascuno dei quali
aveva in mente esporre le mie ricerche a mano a mano.
E cosi nell'anno i84-ì>, pubblicai in quel giornale ire articoli
sul soggetto medesimo. Nel primo io esponeva le mie ricerche
» sulle Anulari di Prima Classe » in generale ; nel secondo
quelle (C su certe Anulari particolari di prima classe » ,
come applicazioni delle cose contemplate nel precedente arti-
colo; e nel terzo quelle i sulle Anulari di Seconda Classe ».
Ma tosto dovetti accorgermi non essere quei miei articoli
adattati all' indole di quel giornale ; non solo per la na-
tura propria della materia , ma anche più pel sesto del
libro. Però sospesi le mie pubblicazioni. E stimai pii!i con-
venevole presentare a questa dotta Accademia, di cui ho
l'onore di far parte, le ulteriori mie ricerche sul soggetto.

Ma in quel frattempo aveva luogo in Napoli la setti-
ma adunanza degli Scienziati Italiani: ed a me parve quel-
la bella opportunità per sentire le opinioni dei matema-
tici qui convenuti , intorno al soggetto delle mie investi-
gazioni ; e in ispezialilà intorno al nome da me dato alla
universalità delle superficie generate dal muoversi comun-
que di una circonferenza di circolo di raggio costante o
variabile, ed anche iutoruo alle considerazioni geometriche,

^8 ^0^*/

sulle quali io fondava la classificazione di luU'esse in un-
dici grandi classi. Epperò comunicai alla Sezione un sunto
delle mie investigazioni sul soggetto , fino a quel tempo
fatte. E la benevola ed applaudente accoglienza fatta a
quelle mie idee e conclusioni , mi lusingò molto ; e
fu cagione che mi fossi risoluto a continuare, secondo il
proponimento mio, ed anche con maggiore alacrità, nelle
mie ricerche sulle Anulari. Per lo che nel corso dell'anno
184.6 presentai a quest'Accademia tre miei ordinali la-
vori sul soggetto ; cioè i .° una Memoria «t intorno ad al-
cune superficie Anulari particolari di Seconda Classe » ,
nella quale , come applicazione delle cose contenute nell' ul-
tima delle precedenti pubblicazioni, io trattava coli' analisi
della superficie medesima secondo la quale potrebbonsi con-
formare le parti inferiori dell'estremità dei moli sporgenti
in mare , ed anche della superficie dell' intradosso della
volta a botte anulare ; e vi mostrava come entrambe sono
casi particolari di un' anulare più generale , che oltre a
quei due, altri quattro casi particolari comprende : 2.° una
Nota « sulle Inviluppate Rigate delle anulari di prima e
a seconda Classe in generale j : 3.° una Memoria a sulle
3) Anulari di Terza Classe ». E poi nel 18/J.7 un'altra Nota
relativa ad una rimarchevole conchiusione, cui era condotto
da ulteriori mie ricerche sul soggetto.

E compite , secondo il piano prefissomi, le mie ricer-
che sulle anulari delle tre prime classi, avrei dovnto, se-
condo r ordine di classificazione , occuparmi delle Anulari
di Quarta Classe ; ma piacquemi spingermi pii!i oltre, e pas-
sare invece alle Analuri di Quinta Classe.

Movendosi la circonferenza mobile, il suo piano pa-
rimenti si muove; e può bene avvenire che un tal piano

sulle Superficie Anulari. ^g

in luUe le posizioni sue successive , vada a passare sempre
per un solo e medesimo punto. Ciò avvenendo, le rette in-
tersezioni delle successive posizioni del piano costituiscono
un cono : e cono che può aversi , come dirigente il mo-
Timento del piano della circonferenza; perciocché , per la
genesi di esso cono, un tal piano gli gira intorno toccan-
dolo sempre. Ed il quale però dissi, in quelle mie generalità,
« Cono Direttore dell'Anulare j. Se sul piano tangente al
cono direttore stia la circonferenza generatrice dell' anu-
lare, e con essa la retta ad essa tangente e ad un tempo
normale al lato di contatto del piano col cono , è chiaro
che movciìdosi il piano intorno al cono direttore, sempre
toccandolo, e con esso la circonferenza gencralricc dell'a-
nulare colla detta retta ad essa tangente , mentre la cir-
conferenza genera l'anulare, questa retta genera una su-
perficie rigata. Ed in quelle mie generalità è dimostrato,
come una tale rigala può risultare o non sviluppabile , o
sviluppaòile a lato di regresso , od anche sviluppabile
conica ; e che le rette di una tal rigata determinano sem-
pre, sul piano mobile tangente al cono, la posizione della
circonferenza generatrice; per lo che la dissi k Rigata Dc-
lermiualrice dell'Anulare ». E di qui è che le Anulari a
Cono Direttore van messe in tre classi diverse , secondo
che la rigala delerrainatrice è non sviluppabile, o svilup-
pabile a lato di regresso, o sviluppabile conica: e le quali
dissi però, in quelle mie generalità, di Quinta, Sesia, e
Sellima classe. Essendomi delermiualo dunque passare a
ricerche relative alle Anulari di quinta classe, avrei dovuto
occuparmi delle Anulari a Cono Direttore e Rigala Deter-
minatrice non sviluppabile. Ma poiché intorno ad un me-
desimo cono direttore potrebbero in^maginarsi esistere auu-

6o Bossi

lari diverse, di qiiiuta non solo, raa anche di sesta e set-
tima classe ; lauto solo , che le loro rigale deterrainatrici
fusscro rispcllivamenle o non sviluppabili, od a lato di re-
gresso , o coniche ; era facile concepire , che queste tre
classi di superficie nella loro trattazione analitica , ossia
nelle ricerche ad esse relative , avrebbero dovuto offrire
certi falli analitici , o proprietà comuni, per le quali, ri-
cercate corte formolo od anche espressioni più generali ,
avrcbbonsene potute dedurre certe altre più particolari , e
però pertinenti in particolare ed esclusivamente a ciascuna
dello tre classi di anulari a cono direttore. E ciò io ben
concepii : e tanto più , in quanto che io avea di fatto nelle
mie precedenti ricerche già scorto esistere fatti analitici
comuni o proprietà comuni tra le due classi di « Anulari
a Retta Direttrice » , cioè tra quelle di prima e seconda
classe; ed anche tra quelle a « Cilindro Direttore a, cioè
Ira quelle di terza e di quarta classe.

Però io mi persuasi che avrei potuto abbreviare di
molto il mio cammino, avviandomi ad un tempo ad inve-
stigazioni o ricerche comuni a tulle tre le classi di Anu-
lari a Cono Direttore : e veduta la mulliplicilà dei movi-
menti da dover abbracciare, epperò la vastità e difficoltà,
o se non questa, la lunghezza dei calcoli nei quali avrei
dovuto incontrarmi , mi determinai di procedere appunto
per strada comune A'erso le ricerche relative alle anulari
di ciascuna classe delle tre a cono direttore ; e quindi ,
ov'essa naturalmente sarebbssi partita in tre, percorrerne
ciascuna di queste. E così mi risolvetti di fare. Bla ciò
dovea togliermi l' opportunità di poter staccare le mie ri-
cerche , e così poterle a Voi , Chiarissimi Colleghi , pre-
sentare a misura che per esse avrei proceduto : tale legame

sulle Superficie Anulari. 6r

le unisce insieme, tale concatenamcnlo di ragionamenti e
di calcoli , che mi sembrò impossibile , od al certo scon-
venevole il comunicarvi anche i parziali risul lamenti di que-
ste mie ricerche. E questa è stata cagione principalissima,
per cui per più mesi non v'ho reso conio delle nuove in-
vestigazioni da me fatte sul soggetto: comunque pur altre
ve ne siano slate , che me ne hanno distratto.

Ma compilo, secondo il mio piano, il lavoro, ed or-
dinale le fatte ricerche iu una Memoria, ecco che nuove
difficoltà mi si presentavano per comunicarvele in maniera
analoga a quella tenuta nel presentarvi le precedenti. La
natura dell opera, me ne rende impossibile qui la IcUura;
la sua mole, di necessità cresciuta più che non avrei cre-
dulo, rcidcrebbe pur troppo lunga la lettura anche di uà
suo oslrallo : e quando anche fosse possibile, come stimo
non sia , il ridursi questo tra assai stretti termini , forse
penoso sarebbe l' ascollarlo.

Egli è per tutte cosiffatte ragioni, o Signori, che ho
stimato meglio fare un Sommario della Memoria slessa ;
e ridottolo al meno possibile e fattolo stampare , presen-
tarne un esemplare a ciascuno di voi , affine che possiate
leggerlo e considerarlo eoa vostro miglior coramodo , e
direi anche con miglior frullo : e potrete cosi non solo
prender ragione delle principali verità investigate, ma an-
che del metodo, dell'ordine delle ricerche e della esposi-
zione loro. E mi sono a ciò deteriuinato per altro motivo
ancora. Ed è, che essendo sempre importante iu geometria
il conoscere le nuove verità investigale, per le conseguenze
od applicazioni che polrebbonsene fare o trarre ; ed an-
che perchè possono all'occorrenza rendere più facili o più
spedili altri lavori geometrici , comunque di argomealo

62 Rossi

diverso; tengo mio debito reader palese a tutti gli studiosi
della scienza quel poco di nuovo che ho investigato in
queste altre mie ricerche: e ciò non avrei potuto altrimenti
fare , che pubblicando il detto Sommario ; perciocché il
dare alle stampe la Memoria intera sarebbe spesa che , al-
meno per ora, non sono al caso di sostenere; e d'altronde
quando anche piacesse alle Signorie Loro farla inserire
negli Atti, ben molto tempo dovrebbe scorrere prima della
pubblicazione sua, sendo che già sono parecchi altri do*.-
tissimi lavori ed importantissimi da stampare innanzi.

Voglio avere speranza dunque, che sarete per accettare
benevoli la ofTerta che fo a ciascuno di Voi, di un esem-
plare del detto Sommario : e che ad un tempo vorrete non
disapprovare nello scopo il divisamento mio, di averlo fatto
stampare. E se sarà avverata la speranza mia, continuerò
coU'ajuto di Dio Onnipotente, ed invogliato dall'incorag-
giamento Vostro nella impresa di spingere innanzi le mie
ricerche sulle altre classi di superficie Anulari, per fine
di abbracciare l'universalità tutta delle superficie generate
comunque da circonferenze di circolo , e le quali dissi
tulle Anulari.

63

CAPO PRIMO

DELLE ANULARI A C0.\0 DIRETTORE IN GENERALE.

,.u,

NA circonferenza moLile variabile o costante di grandezza
genera nuJlnulare : e tulle le successive interseiioui del piano della
circonferenza mobile costituiscono una supeificie sviluppabile , che
è la Superficie DireUrice dell' anulaie. E se tutte le intersezioni suc-
cessive del piano della circonferenza mobile passano jier un solo e
medesimo punto, la superfìcie direttrice sarà un cono: e tutte le a-
nulari , che possono per un tal movimento del piano della circon-
ferenza mobile generarsi , sono a Cono Direttore. Ed il piano della
circonferenza mobile in ogni sua posizione tocca sempre esso cono
direttore : e lo tocca secondo un suo lato.

Consideriamo una individuata posizione della circonferenza mo-
bile. Pel centro di questa immaginiamo menata una retta paral-
lela al lato di contatto del suo jìiano col cono direttore ; e pel
punto più lontano dal vertice del cono, ove essa parallela taglia la
circonferenza in quella sua individuata posizione , intendiamo me-
nata una retta perpendicolare al lato di contatto del piano di essa
circonferenza col cono direttore. E questa retta jierpendicolare esista
sempre, durante il movimento della circonferenza mobile: così es-
sendo , mentre questa genera l' anulare , essa retta perpendicolare
genera una supcrllcie rigata , che è Rigata Deterniinalrice dell' a-
nulare.

Tom. FI. o

64 Jiossi

Ora tTue posizioni consecutive di questa retta , che genera la
Rigata Detenninatrìce , potranno non stare in un medesimo piano ;
o potranno stare in un medesimo piano, senza passare tutte per un
medesimo punto ; o potranno tutte passare per un medesimo punto.
Nel I .° caso la rigata determinatrice sarà non sviluppabile : nel
2.° caso sarà sviluppabile a lato di regresso : nel 3.° caso sarà svi-
luppabile conica. Le anulari a Cono Direttore adunque compren-
dono quelle di quinta , sesta e settima classe (*).

2. Il piano di una individuata circonferenza dell' anulare tocca
il cono direttore di questa ; e tiene sur esso la circonferenza mo-
bile medesima in quella sua individuata posizione , ed una retta
della superficie determinatrice dell' anulare ; la quale, mentre tocca
la individuala circonferenza , debbe inoltre essere perpendicolare al
lato di contatto del cono direttore col piano della individuata cir-
conferenza che lo tocca. E di questa sola condizione, cui debbe sod-
disfare la retta della determinatrice, tenendo conto, verremo a con-
siderare in comune le anulari di tutte le tre classi a cono direttore.
Se porremo inoltre che essa retta della determinatrice , e tutte le
altre di essa , non passano per un medesimo punto , ne tutte toc-
cano una medesima curva , ma solo l' incontrano , considereremo
solo le anulari di Quinta Classe. Se invece porremo che non solo
tutte incontrano una medesima curva , ma che la toccano ancora,
senza passare tutte per un medesimo punto , considereremo solo le
anulari di Sesta Classe. E se porremo in fine che tutte passino per
un solo e medesimo punto, considereremo solo le anulari di Settima
Classe.

E volendo ora occuparci delle anulari a Cono Direttore , cioè
di Quinta, Sesta, e Settima classe, in grazia di brevità, e per e-
vitare ripetizioni , cominceremo dal non tener conto di nessuna di
queste tre ultime condizioni : e sarà così che gitteremo le fonda-
menta di queste nostre ricerche. Senza tener conto di nissuaa di
esse tre condizioni , cercheremo le espressioni analitiche ,

(■) Vcggansi te mie Generalità Geometri- primo fascicolo delle mie Ricerche Analitiche
the sulle superficie Anulari , pubblicale nel sulle superficie Anulari puljblicato nel 1846.—
Giornale Kapolelano il Museo 1844 , ed il Napoli.

stille Superficie Anulari. 65

i.° di una circonferenza generatrice individuata qualunrjue del-
l' anulare :

2.° di quel punto di essa circonferenza clic appartiene ad una in-
dividuata caratferislica dell'anulare:

3.° di una individuata retta della inviluppata rigata all' anulare ,
die tocca essa circonferenza in quel suo punto che appartiene ad essa
individuata caratteristica.

4." di una individuata retta della rigala a generatrice normale a
quella della inviluppata , la quale passa per quello stesso punto di
essa caratteristica individuata medesima.

E per tal modo esse espressioni apparterranno in comune a
tutte le tre classi di anulari a cono direttore : ed in comune appar-
terranno ad esse insieme i ragionamenti che faremo , e le verità
die appureremo.

Introdurremo di poi, una dopo l'altra, le tre condizioni anzidette,
die debbono avverarsi , perchè le rette della rigata determinatricc
appartengano ad una rigata non sviluppabile , 0 ad una rigata svi-
luppabile a lato di regresso, o ad un cono. E troveremo le espres -
sioni analitiche relative

i." alle anulari di Quinta Classe.

2.° alle anulari di Sesta Classe.

3.° alle anulari di Settima Classe.

E verremo a conoscere ad un tempo le condizioni analitiche ne-
cessarie , perchè l'anulare a cono direttore appartenga a ciascuna di
esse classi : e le verità che appureremo dipoi apparterranno alle
anulari di ciascuna di esse classi.

66 Rossi

ARTICOLO I.

Cóettiiione iti(a. iSucoiifcteiija Ceiietattice,

I.

3. Assumiamo il vertice del cono direltore per origine di tre
assi ortogonali delle coordinate x, j, z.

E siano

le equazioni della curva direttrice del cono.

Un punto individuato di questa curva , corrispondente alla a-
scissa a;=/3 , avrà per coordinale

/3,/(/3)./.(/3)-

Ed una retta che passa per questo punto , e per la origine delle
coordinate , avrà per equazioni , come è facile persuadersi , le due

E questa è la espressione di quoU' individuato lato del cono diret-
tore , il quale passa per 1' individuato punto della sua curva diret-
trice di equazioni (I) , il quale ha per ascissa /3.

4. Su questa retta assumiamo un punto alto sul piano coordi-
nato X jr per oò. Questo punto , stando sur una tal reità, di equa-
zioni (11) , r ordinata z=cc dehbe soddisfarle. Quindi le tre coordi-
nate del punto medesimo sono

Bx fic

Pel punto di queste tre coordinate, conduciamo un piano nor-
male alla retta sulla quale esso punto giace , cioè all' individuato
lato del cono che è espresso dalle equazioni (II).

E noto che le tracce di questo piano debbono essere perpendi-
colari alle projezioni di essa reità , individualo lato del cono. Te-

sulle Superficie Anulari. Cj

licndo dunque opportunamente conto delle relazioni che esistono tra
le tangenti degli angoli die cogli assi coordinati fanno le tracce di
un piano e le projezioni di una retta , e tenendo conto ancora che
il piano suddetto passa pel punto delle tre precedenti coordinate ;
oltengliiamo per equazione del detto piano normale all' individuato
lato del cono la

(III) /,(^x+fy+f.z)-^'+/^+f,-)c,=0 :

ed è manifesto (i) che su questo piano debbe indubitatamente tro-
varsi quella individuala retta della rigata determinatrice, che taglie-
rebbe il lato del cono nel suo individuato punto di ordinata «j.

II.

5. Abbiasi un altro punto nello spazio , dulie coordinale

p, q, r.

E per questo punto conduciamo in primo una retta parallela all' in-
dividualo lato del cono direttore , che è espresso dalle equazioni
(II). Le sue equazioni sono

/IVI \^(y—q)—.f{x—p)=o

('^^ |/9(=-;.)-/,(.v-;;j=o

6. E pel punto istesso conduciamo un piano parallelo a quello
menato per l'individuato punto di ordinata cu, e sul quale abbiam
dello (4) dover slare quella individuata retta della rigala determi-
natrice , che passa per esso medesimo punto di ordinata (c; cioè pel
punto delle coord natep, <y, r, conduciamo un piano paialiclo a quello
della equazione (HI). La sua equazione è

(V) ^(^a:-p)+J(jj-rj)J^fXz-r)=o.

E questo piano sarà parimente normale alla individuata retta del
cono direttore , espressa dalle equazioni (II) : e però la incontra.

7. Calcoliamo dunque le tooidinale del loro punto d' incoutroj
lo che facciamo liallaudo simultaneamente le equazioni (li) e (V),

68 Rossi

e risolvendole rispetto ad x, y, z. La quale risoluzione riesce spe-
dita cominciando dal calcolare i valori j — q , e z — r dalle due pri-
me e sostituendoli nella terza. Cosi operando ottenghiatno per le
coordinate dell'incontro del piano menato pel punto p,q,r, coU'in-
dividuato lato del cono , al quale esso piano è normale , le tre

r—f (L _ t±È±LL\

8. La retta menata pel punto p, ^, r, parallela all' individualo
lalo del cono (5) , debbe incontrare il piano a questo normale clie
passa pel suo punto di ordinata as (4)- Calcoliamo le coordinate del
loro punto d' incontro. La qual cosa dobbiamo fare trattando simul-
taneamente le loro equazioni , cioè la (III) e le (IV) , e risolven-
dole rispetto ad x^y^ z. E ciò facciamo speditamente, cominciando
dal trovare i valori di j e z dalle (IV) , sostituendoli nella (III) ;
e quindi aggiungendo e sottraendo ad un tempo al termine noto di
quusta la quantità /3/j. OttengUiamo per le coordinate dell' incontro,
di che si tratta

.sf^_^p±fl±fiL\
,. f^ ^p±f7±f>\

9. Se faremo i quadrati dei secondi termini delle tre prime
calcolate coordinate (7), li sommeremo, e poi ne estrarremo la ra-
dice quadrata, otterremo la distanza del punto nello spizio delle
coordinate p^ <jr, r, dall' individuato lato del cono direttore {ò) , il
quale passa pel punto della sua direttrice di ascissa /3 ; perciocché
essa radice esprime appunto la lunghezza della perpendicolare ca-
lata da quel punto sur esso Iato del cono , stando il piede di una

sulle Superficie Armlarì, 6g

lai perpendicolare per lo appunto nello incontro del piano menalo
pel punto /J, (/, r normale ad esso Iato, col lato slesso. E parimenti se
faremo i quadrali dei secondi termini delle Ire ultime coordinale (8),
li addizioneremo , e poi dalla somma ne eslrarremo la radice qua-
drala , otterremo la disianza di esso medesimo punto nello spazio
delle coordinale />, 9, v, dal piano menalo normale al Iato del co-
no (4) per quel suo individualo punto , la di cui ordinala è i? ;
perciocché il punto d' incontro della retta delle equazioni (IV) col
piano della equazione (III) , è per lo appunto il piede della per-
pendicolare calata su questo piano dal punto delle coordinale p.,q,r.
Indicliiarao con 3 la prima di queste distanze , cioè la distanza
del punto p^ q, r dallo individuato lato del cono; e con » la se-
conda , cioè la distanza del punto medesimo dal piano ad esso in-
dividualo lato del cono normale , e menato pel suo punto di ordi-
nata (3». Falli i calcoli e le riduzioni , die per la seconda distanza
riescono speditissime a causa del fattore comune a luti' i termini da
elevarsi a quadrato , e per la prima ancora , risultando i doppii
prodotti con un fattore comune , onde poi la loro somma riesce il
doppio della somma dei quadrati dei secondi termini ; ottenghiamo
in fine per esse distanze.

<V,) .y(,.+,.H.._M^)

("') •=(7,-|?^)V(r+/-+/.-)-

E qui è utile rammentarci die in queste espressioni P> f{?)i f,{?)
sono le coordinate di un punto della curva direttrice del cono di-
rettore, pel quale punto passa l'individualo lato di esso cono di-
rettore (3) , sul quale giace il punto (4) di ordinala »; p, 7, r
sono le tre coordinale di un punto nello spazio (5) ; 5 la disianza
di questo punto da esso individuato lato del cono direttore ; ed »
la distanza di esso medesimo punto dal piano menato pel punto di
ordinata a di esso lato e normale al lato medesimo , sul quale
piano deLbe stare quella individuala retta della rigata determina-
trice (4) , clie passerebbe per esso punto di ordinala a>.

70 Rossi

•III.

10. Per la retta delle equazioni (II) --

che rappresentano l' individuato lato del cono direttore (3) , con-
duciamo un piano a questo tangente. Un tal piano deve passare per
la origine delle coordinate , e deve toccare la curva direttrice de 1
cono nel punto per ove passa essa individuata retta. E però av rà
un contatto di prim' ordine con questa curva nel punto delle coor-
dinate

/3,/(/3)>/.(/3)

e passerà per la origine delle coordinate. Dunque essendo (3)

le equazioni della curva direttrice del cono direttore , il piano tan-
gente suddetto La per equazione

(Vili) (#x'-/y:)v+(/.-/3/,')y-(/-/3/')==o

facile a trovarsi , per le note proprietà emergenti dalla teorica dei
contatti.

11. Ora supponiamo die quel punto delle coordinate/;,(j',r, (5),
non sia un punto qualunque dello spazio , ma sia un punto del piano
della precedente equazione (Vili) avrà luogo ancora la equazione

(IX) (j/_/y;)/,+(/._^/.')y_(y_/3/')r=o.

E supponiamo di più , che esso punto delle coordinate p, cj, r, sia
inoltre il centro di una individuata circonferenza generatrice di un'
anulare , avente quel cono di curva direttrice

ì ==/.(.*■)
per cono direttore , e della quale circonferenza il raggio sia ».

sullo Superficie Anulari. 71

Così essendo , la intersezione del piano della equazione (Vili),
piano tangente, col piano delia equazione (HIj, piano normale allo
individualo lato del cono (ora lato di conlatto) menato pel punto
dì ordinata x di esso lato , è la retta della rigata detcrminatrice (4).
Onde sono 5, « le distanze del centro della individuala circonferen-
za , rispettivamente dal lato di contatto del suo piano col cono di-
rettore, e dalla retta sul suo piano della rigata detcrminatrice. Ondi',
se queste quantità ", « fossero note , avremmo modo di trovare le
coordinale p, 7, r del centro di una individuata circonferenza gene-
ratrice dell' anulare , il piano della quale

I .° tocca il cono direttore dell' anulare secondo un suo lato distante
da esso centro per 5, e che passa pel punto di ascissa /3 della curva
direttrice di esso cono :

2.° taglia la rigata detcrminatrice dell' anulare secondo una retta
distante da esso centro per * , e la quale mentre è normale al lato
del contatto passa pel punto di ordinata <» di questo lato.

E di fatto abbiamo tre relazioni (VI), (VII), (^IX) dalle quali
possono cavarsi i valori delle coordinate p, q, r.

E per cavameli di fatto trattasi di risolvere rispetto a p,(J, r,
le tre equazioni seguenti

l^P+/7+f.'—\/{p'+7'+'-'-à')\\i^'+/'+/'1=o
Aiì^P+f'J+f^'ì-i^ \/i^'+r+f,'}-M \/(^'+p+A^)=o

{jr'-f'f')p+{/-i^f^'y/-{f-m'-=o

Le quali sono equivalenti alle sopraenunciate relazioni : olte-
ueudosi la prima equazione col liberare da denominatore la rela-
zione (VI) , elevando al quadrato ciascun suo membro , isolandone
il termine {Pp-\-f</-\/irY 7 e |)oi riducentlo ad un membro la equa-
zione , dopo averne di nuovo estralta la radice da ciascuno ; ed ot-
tenendosi la seconda col liberare dal denominatore la espressione
(VII), e parimenti riduceudo ad un membro la equazione.

12, La risoluzione di queste tre ultime equazioni rispetto a

p^ 7, r, sembra non dover essere molto facile e spedita , a cagione

della somma dei loro quadrati , che giace affetta dal radicale nella

prima equazione. Ma potremo liberamela moltiplicandola pery,, e

Tom . PI. I 0

72 Rossi

quindi invece del suo primo termine /i ( /3/> + A +yì'' ) ponendovi
( «» V(/3'+/''+/.'')— /.* ) V(P'+/°+/i')j suo valore dato dalla secon-
da. E però per brevità di scrittura, ponendo invece di V(/^'+/'+/i')
la distanza D eh' essa rappresenta , ed invece del binomio -rr- — »,
Y altra distanza ^ ; abbiamo in ultimo da dover risolvere rispetto
a /j, q, r, le tre equazioni

(X) pp+f^+f,r=DA

Abbiamo detlo distanza D , perchè \J{fi^-\-f *{?)■{■ fi{§)) rap-
presenta per lo appunto la distanza del punto della curva direttrice
del cono direttore dell' ascissa a;s=j3 dal suo vertice (3) ; ed abbiamo

detlo distanza ^ , perchè , come non è difficile persuadersi , -— - è

Jt
la distanza , dal vertice slesso del cono direttore', del punto di or-
dinata «=(13, di quel suo lato, che passa pel punto di ascisse xss^

della sua curva direttrice ; e quindi — » esprime la distanza dal

vertice del cono , del punto di esso lato , ove va a cadere il piede
della perpendicolare, che misura la distanza ^ (9) : e coerentemente
ha luogo la prima delle tre sopranotale equazioni ; nella quale il
primo membro esprime il quadralo di una ipotenusa , per la quale
5 e A sono i cateti corrispondenti.

E la seconda di esse equazioni esprime una proprietà comune
air universalità delle superficie anulari : ed è il seguente

Teorema. Pel vertice del cono direttore dell' anulare s'inten-
dano menati tre piani ortogonali : la somma dei tre rettangoli for-
mali colle distanze omologhe, da ciascuno di essi piani, del centro
di una individuata circonferenza qualunque dell' anulare, e di un
punto qualunque del lato del cono , secondo il quale il piano di
essa circonferenza lo tocca , è uguale al rettangolo formato colla
distanza , di questo stesso punto qualunque del lato del cono dal
suo vertice, coli' altra, dal vertice stesso, del piede della perpendi-

sulle Superficie Anulari. yS

colare calata dal centro di essa circonferenza sul lato medesimo
del cono, secondo il quale il piano di essa circonferenza lo tocca.
Di fatto p, q, r, sono le distanze del centro della circonferenza
dai detti piani ortogonali (n) ; e ^tf{P),fi{l2), le tre distanze di
un punto qualunque del lato di contatto del cono direttore col piano
di essa circonferenza dai tre piani medesimi ; perciocché ogni curva
tracciata sul cono può esserne sua curva direttrice , e /3,y(i3), /,(/3)
sono per lo appunto (3) le distanze da essi piani del punto , ove
il detto lato di contatto del cono incontra la curva direttrice.

IV.

i3. Pertanto dobbiamo risolvere rispetto a p, q, r, le tre equa-
zioni (X)

l3p+A+Ar=DA
Ur^'-f'A)P+(f^-^f')l-{f-mr^O

Cominciamo dall' eliminare tra la seconda e la terza, prima ;•,
e poi q. Ottenghiamo le due

iMA-^A'wf{f-m)i^mf-?f)-{{i^'-fL)fMf-^r)?)p

((/.-/3/.')/.+(/-/3/')/)'-=^^(/.-/?/'.0 +( {Jr^•-ff)f-{^-?f^')? ) P

Moltiplichiamo la prima delle tre precedenti equazioni (X) per
((/'— /2/.')/.+(/— P/')/)^ -, e tra la risultante e le due ultime eli-
miniamo q &àr '. lo che è facile, bastando porre in vece del secondo
e terzo termine di essa risultante il quadrato del secondo membro
di ciascuna di queste due ultime scritte. Ottenghiamo così una e-
quazione che contiene la sola /> , ed è la
(XI)

j ( (/.-/3/.')/.+( /'-/?/')/)'+ ( (#/-/y.)/.+(/-/?/')i3 ) '+ {{JF^'-f'fòf-if'^AV y\i'^

+ ^^|D'((/._^/-.')'+(/-/3/')')-((/.-^/.')/.+(/-/3/')/)'J

= ^"M ^f-msMf-mfy

:*j^ jRossi

Ora con qualche trasformazione il primo membro di questa e-
quazione può molto semplificarsi , riducendolo ad essere tutto divi-
sibile pel trinomio

ed anche ad un quadrato perfetto : e la equazione può abbassarsi al
primo grado.

Per ciò fare ricordiamoci (ii) che

(#.'-/7.)/^+(/.-P/07-(/-/?/'>=o,

terza delle equazioni (X) , esprime che il punto delle coordinate
p,q,r, giace sul piano tangente al cono direttore (n), il quale
tocca la curva direttrice delle equazioni (I) nel punto delle Eoordi-
nate /3,/(i3),/x(/2).

E ne conchiuderemo che la equazione

(xiJ) ( j;'-/yo^+(/.-p/x')/-(/-^/') /■.=o

debbe avverarsi : e quindi del pari tutte quelle che possono dedursi
da questa.

Ciò posto nella (XI) facciamo in primo i quadrati accennati dei
tre binomii che costituiscono il coefficiente di p' ; ed otterremo sei
termini al quadrato che possono ridursi a tre , ed i doppii prodotti
dei termini che costituiscono ciascun binomio che possono ridursi ai
tre termini seguenti

{f-Pf )J\x ( iff^'-fL)PML-PL')f) ;

in ciascuno dei quali tre termini potremo sostituire in vece del se-
condo fattore il valore che può cavarsene dalla detta equazione che
debbo avverarsi : ed olferremo dei scritti tre termini che il primo
si trasforma in f^.'— //,)' /3^, il secondo si trasforma in (yi—/?/', ')'/',
ed il terzo si trasforma in (/— /S/'j^/i'- Ed è cosi che il coefiiciente
d'i p'> , diventa il prodotto di !^^-{-f'-\~fi', pel detto trinomio : os-

sulle Superfìcie /anulari. 7-5

sia per brevità di scrillura fatto

(XIII) (#.'-/7.)'+(/-/3/.')=+(/-^/')==«=

diventa in fine D^R^.

In secondo luogo facciamo i prodotti binomii indicati nel coef-
ficiente di — iD^p del secondo termine delia equazione (XI). Ot-
terremo un quadrinomio; ed i suoi due termini, i di cui fattori sono

al primo grado , si riducono a

(#.' -/'/.)x- ( {f.-PL')f-{f-mL ) ;

onde poi sostituito nel secondo fattore di questo il suo valore che ne
porge la della equazione (XII) , che debbe avverarsi, il coefiicienle
di che si Iratla si riduce inimedialanienle al prodotto di /3 pel dello
trinomio /?*, ossia a fiU^.

In fine nel coefficiente di A' poniamo in vece di D^ il trinomio
V(/3'-}-/'-h/i') che rappresenta (12), ed eseguiamo nel primo suo
termine i prodotti per esso trinomio ; e nel secondo eseguiamo il
quadralo accennato. Dopo le riduzioni oltengliiamo un polinomio del
quale due termini moltiplicano /3', e gli altri Ire costiluiscono il qua-
drato perfetto del binomio

(/.-/2A')/-(/-/3/U ;

onde possiam porre invece di essi tre termini il valore di questo
binomio cavato dalla delta equazione (Xll) da avverarsi , elevato
al quadralo. Ed è cosi che il coefficiente di à.' si riduce al pro-
dotto fi'IP.

Falle dunque tulle le dette trasformazioni e riduzioni, il primo
membro della equazione (XI), da risolversi, diventa, conformemente
a ciò che abbiam dello , divisibile pel medesimo fattore trinomio
i?' anzinolalo : Tallio fallore risulla il quadrato esalto di Dp—A^;.
e quindi Cbsa equazione si trasforma nella semplicissima

Riprendiamo ora le medesime tre equazioni (X) da risolversi,.

•76 Bossi

£ comiuciamo tra la seconda e la terza dall' eliminare prima r e
poi p ; oltenghiamo le dna

((#•'-//. )/.+(/-P/')/3V=0A(/- 13/') - ((/, - /3/.')/.+(/-/3/')/) 9

((/■.'-/y.)/.+(/-/3/'j/3)'-=o^(#'x'-/y.)-((ir.'-/y.)/-(/.-/3/.'}i3)7

E moltiplichiamo ora la prima delle tre equazioni (X) per
{{ff^'—S%)f^-\-{f—^f)^Y ; e tra la risultante e le due precedenti
eliminiamo p^ r. Avremo una equazione contenente la sola incognita
5, ed è la
(XIV)

|((/.-'/?y^')/+(/-5/0/)'+((#'-//.)/+(/-/3/0P)'+((J/-/7.)/-(/.-^/.')^)ii

-2ZJA j (/-/3/')C/.-/3/.')/+(/-i3/')/)+(#' -//.)((#' -/y.)/ - (Z.-/?/'.')^}
+A' j /?'((i^'-/y;)'+(/-P/')')-((#/-//.)/+(/-i3/') /3)' j

=^'((jf/-/y;)/.+(/-/3/')/3)»

Ora questa equazione, al pari della (XI) , può abbassarsi di grado
per mezzo della medesima equazione identica (XII)

(#.'-/y:)/3+(/-/?/:')/-(/-/?/-')/=o

dalla quale dipende immediatamente 1' altra

((#.'-/y;)/3-(/-/3/')/)'=f/.-^/.')'/^-

Ed ecco in qual modo.

Osserviamo in primo che il coefficiente di 5* essendo in tutto
identico a quello di />', è come questo riducibile al prodotto D^R'.

In secondo luogo eseguiamo i due accennati prodotti binomi!
nel coefficiente di — 2DAq • ed in quel solo suo termine , che ne
provviene , della forma

-(#/-/y;)/3x(/-i3/.')

poniamo invece del primo fattore il suo valore binomio dato dalla
soprascritta equazione (XII) da verificarsi ; ed eseguiamo il prodotto
di esso binomio pel secondo fattore. Per le riduzioni , che natural-
mente si presentano , il coefficiente di che si tratta si riduce imme-

Slille Superficie anulari. 77

diatamente al medesimo trinomio (XIII) , che aLbiam detto R' ,
moltiplicato pery.

In terzo luogo nel coefficiente di ^* poniamo in luogo di D" il
trinomio P'-hf'+fi', clie rappresenta (12) , ed eseguiamo nel pri-
mo suo termine i prodotti per esso trinomio ; e nel secondo il qua-
drato accennato. Dopo le riduzioni, ottenghiamo un polinomio di cin-
que termini , dei quali tre sono in sostanza il primo membro delle
notate da ultimo due equazioni identiche ; onde sostituitovi il secondo
membro (/i— /3/i')!/''> ottenghiamo immediatamente per esso coeffi-
ciente di ù' il medesimo trinomio R' , ma moltiplicato per /' .

La equazione (XlV) dunque, che porge il valore di 7, diventa
la semplicissima

(ZJ?-A/)'/f'«5«(f/y;-#/)/.-(/-r)/3)'

Trattiamo ora analogamente le medesime equazioni (X) , e per
modo da eliminare prima q, e poi p. Otterremo in primo

((#.'-//; ì/-fy:-/3//)/3);'=-^Af/-^/,')+((/-/?/;')/-Fr/-i3/')/) r

E quindi combinando questa colla prima delle equazioni (X) ,
avremo una equazione che contiene la sola incognita r; ed è
(XV)

-2Z7A j { jf :'-/•/.){{ ff;-f/,v, + (/-/?/-')/3)+(/-/?/;')((/-/s/.')/.+f/'/?/'7 )j

+A'j z?«(f/-/-//,)«+r/.-/3/.')«)-(( /.'-//.)/-( f-^A')?y \

Ora osserviamo in primo che in questa equazione il coefficiente
di r' è compiutamente identico a quello di p' e 5' nelle equazioni
(XI) , e (XIV). Dunque esso è pure come quelli uguale a D' R\

In secondo luogo nel coefficiente di — aZ^Ar eseguiamo le mol-
tiplicazioni accennate per ciascuno dei due binomii che lo compon-
gono. Olterrerao un quadrinomio di cui un termine è

78 Rossi

ed in questo invece del fiitlore (Jf.'—f'/.lS poniamovi il suo valore
cavalo dalla solita equazione identica (XII)

f#.'-//. )^+f/-/3/.')/-^/-i2/')/=o ;

e dopo tal sostituzione eseguiamo il prodotto del valore binomio so-
stituito , per l'altro fattore /—/3/'. Ottenghiamo in risultato ilme-
desimo trinomio R' moltiplicato per J] .

Per ultimo nel coefficiente di A^ , invece di D' poniamo il tri-
nomio P'+y^+Z"^} che rappresenta (12) , ed eseguiamo le molti-
plicazioni di esso pel binomio che moltiplica Z?' ; ed anche il qua-
drato dell'altro binomio. Risultano per le riduzioni cinque termini,
dei quali tre costituiscono il primo termine dell' altra equazione i-
dentica

equivalente alla precedente. Onde sostituendovi il secondo membro
di questa , abbiamo che esso coefficiente si riduce ad R'fi^.
Quindi la equazione (XV) prende la forma semplicissima

Da tutta l'analisi precedente dunque risulta, c!ie le tre equa-
zioni (X) , equivalgono alle altre tre ,

(XVI) {Dq-^f}ii=Knj'f-jr^)-p[f-^f'))

nelle quali ciascuna incognita è separata : e potrebbero esse cavarsi
immediatamente dalle primiere (X), a causa della simmetrica loro
composizione coi coefficienti delle (X) medesime.

14. Osserviamo ora in primo che la R , essendo un radicale
(XIII) , può competere ad essa un doppio segno ; e che però ad
ognuna di queste tre equazioni -pub risponderne un' altra , il di cui
primo membro è di segno contrario a quello della precedenti.

Or figuriamoci che in una qualunque di queste equazioni sia
tutto noto , meno che la S. Risponderebbero due valori per S uguali

sulle Superficie anulari. yg

e di segno contrario. E Ji fallo menato un piano tangente al cono
direttore, potranno stare su questo piano due circonferenze, coi centri
su di una stessa retta perpendicolare al lato del contatto, e ad egual
distanza 5 da esso.

Dunque, in generale, per una medesima generazione, possono
esservi due anulari diverse , le di cui generatrici sono uguali e sim-
metricamente poste intorno a ciascun lato del cono direttore. E non
pertanto se il cono direttore fosse chiuso, potrebbero esse generatrici
uguali e simmetricamente poste , appartenere ad una sola e mede-
sima superficie : anzi ad una sua medesima falda.

Osserviamo in secondo luogo , che ancora la D , essendo un
radicale (12) , può avere due segni. E come ciò avvenga è facile
concepire.

Essendosi assunta ad origine delle coordinate il vertice del cono
direttore (3) , è manifesto che se abbia esso nella regione positiva
delle coordinate una falda , per esempio , ne avrà una uguale per-
fettamente e compiutamente simmetrica nella regione negativa. Onde
se la curva sua direttrice di equazioni (I)

sta in essa medesima regione positiva delle coordinate , ve ne sarà
un'altra perfettamente identica nella negativa. Dunque se un punto
della prima curva ha P,f(P)ìfi{P) per coordinate, l'altra curva a-
Trà un punto di coordinate — /3, — :/(/S), — /.(i^). E la retta congiun-
gente essi due punti sarà divisa in due dalla origine delle coordi-
nate ; ogni sua parte sarà lunga D=z\/(^^-\-f^-^f') ; ed esse me-
desime parti saranno 1' una in senso opposto all'altra.

Ciascuna delie tre ultime equazioni dunque jirima ne dà due,
a causa del doppio segno di i? , e poi ciascuna ne dà altre due a
causa del doppio segno di D.

Dunque, in generale, per una medesima generazione, potrebbero
esservi quattro anulari diverse , le di cui quattro generatrici su di
un medesimo piano sarebbero uguali ; ma le quali non pertanto po-
trebbero appartenere ad una sola e medesima anulare,
Tom.FL n

8o Rossi

Immaginiamo menato il piano tangente al cono direttore. Due
circonferenze starebbero da una parte del vertice del cono, le altre
due dall' altra parte ; e le circonferenze della prima coppia e della
seconda avrebbero ciascuna il centro situato su di una medesima
retta perpendicolare al lato di contatto e ad egual distanza da esso.
E coleste perpendicolari starebbero ad egual distanza dal vertice del
cono. Di fatto (12) una lai distanza è appunto A. Ed essendo

e la Z? negativa importando implicitamente anche la f^ negativa ,
come or ora abbiamo dimostrato , e quindi anche la oj (4), ed ao-
che la « come risulla dalia (VII) -, la A resta sempre la stessa in
valore assoluto; e solo di segno può variare, ed al variare di quello

della D. E però risulterà sempre A< -— , come debb' essere per la
sua natura geometrica (12). Che se la a potesse variar di segno indipen-
dentemente dalla D , potrebbe in generale non solo essere A< -r-^
ma ancora A> — . Ammettendo questi due casi , le circonferenze

su di un medesimo piano tangente potrebbero essere al numero di

otto. Ma le altre quattro apparterrebbero ad una generazione tutta

diversa da quella, cui appartengono le prime contemplate di sopra.

Noi assumemmo stare 1' anulare sempre tra il vertice del cono

direttore e la rigata determinalrice. Assumendo A> -— il contrario

avrebbe luogo (13). Ria 1' anulare coi rispondente avrebbe ancora
un' altra rij^afa ad elementi normali a quelli del cono direttore, che
lascerebbe 1' anulare medesima tra essa ed il suo vertice ; epperò
le altre quattro circonferenze apparterrebbero ad anulari di genera-
zione essenzialmente diversa da quella , alla quale appartengono le
prime quattro. Egli è per tutto ciò clve la » va considerata come
quantità essenzialmente del medesimo segno della D.

E pure per fissare le idee, riterremo , come positive, sì la R,
che la W : e però positive anche le », 5. E sarà facile applicare i
medesimi nii^ionaracnli ai casi di R, D^ ed anche * , e J negativi.

sulle Superjìcie anulari. 8r

i5. Ora risolviamo le equazioni (XVI), equivalenti alle (X).
Otlenghiamo

P=^-^Ììì ^f'^f^-^f'^ ^Af-?f'ì)

(xvii) ?= ^ + à Uu%-jr:)-?if-?rò

E queste sono le coordlnafe del ceniro di una individuata cir.
conferenza generatrice di un' anulare qualunque a cono direttore, ed
il di cui piano lo tocca secondo il suo lato di equazione (II) , che
passa pel punto di ascissa /3 della curva direttrice di esso cono, di
equazione (I) ; e della quale il centro dista da esso lato di con-
tatto del cono per 5 , e dalla retta sul suo piano della rigata de-
termiuatrice per » , die è il raggio medesimo della individuata cir-
conferenza : quantità nascosta in A, che è (12) uguaIe-7 » ; e nella

quale è tv l' ordinata del punto del lato di contatto, pel quale passa
la detta retta della rigata determinatrice.

Onde poi la detta individuata circonferenza generatrice sarà rap-
presentata dalle due equazioni

(XVIII) (.x-pYMy-ir^[z-ry-^'=o

nelle quali x^ y^ z sono le sue coordinate , e jl>, (7, r le coordinate
del suo centro , le quali hanno però i precedenti valori (XVII).
E queste due ultime equazioni esprimeranno esplicitamente essa in-
dividuata circonferenza dell'anulare, quando per /», 7, r, avremo
sostituito di fatto i loro valori,

16. Per sostituire i valori di />, q, r, nella prima delle due
precedeuti equazioni , mettiamo questa sotto la forma

In vece di p'-f-^^^/.a poniamo 5'-|-A' , come si ha dalia pri-
ma delle equazioni (X) , alle quali sono equivalenti le (XVI), che
han dati i valori di p, q, r, da sostituirsi ; e per p, q, r, al primo
grado poniamo i valori effettivi (XVII).

82 Bossi

Otlenghiamo , dopo fatte le sostituzioni, le riduzioni clic si pre-
sentano , e liberata la trasformata dai fratti, per equazioni della in-
dividuata circonferenza a cono direttore , le due
(XIX)

+[2fìAf+2S{{fx-jr,y\- {/-?/') ? )]y

+[2//A/.+2S((ir.'-/yj/-(/-i^//)?)>

In queste equazioni le derivate /', //, sono prese rispetto alla
/S , quantità di cui sono funzioni (3). Generalizziamo le derivate :
esse equazioni prenderanno allora la forma seguente
(XX)

Nelle quali gli apici apposti alle parentesi indicano le derivate
ordinarie dei rapporti da esse abbracciati. E sotto quest'ultima for-
ma si fa manifesta la simmetria di ciascun termine , componente il
secondo membro della prima equazione , pel modo come sono for-
mati colle coordinate /3,y(/3),y.(/3) del punto della direttrice del cono
direttore, per Io quale passa quel suo lato che è di suo contatto col
piano della individuata circonferenza (3, io), analoghe alle coordi-
nate x^y^z dei punti della circonferenza medesima.

17. Arrestiamoci ora un momento a contemplare le tre equa-
zioni (XVI) equivalenti alle (X), le quali danno i valori di p,q,r.
Potremo pervenire ad appurare alcuna rimarchevole proprietà delle

sulle Superficie anulari. 83

anulari a cono direttore, ed a semplificare le forme dei valori (XVII)
delle coordinate p,qyr, ed anche quelle delle equazioni della cir-
conferenza generatrice.

Ci rammenteremo perciò che se

è la equazione di un piano qualunque, i coseni degli angoli che una
ietta ad esso normale fa coi Ire assi coordinati delle x, /, z sono
rispettivamente

L M N

' y/{i'+JiP+JV') ' y{L'+iiP+iV') ' \.{L'+JP+N')

e che perciò , essendo

la equazione del piano tangente al cono direttore , i coseni dei tre
angoli che una retta menata pel vertice di esso cono normale ad
esso piano fa cogli assunti assi coordinati delle x,j,z, sono rispet-
tivamente (XIII)

Or chiamiamo , come è nostro solilo , C.^ , C^ , Cz i coseni
degli angoli the la retta normale al piano tangente al cono diretto-
re, menata pel vertice di questo, fa cogli assunti assi delle x,j,:;
e dividiamo per R ciascuna delle tre equazioni (XVI); esse pren-
deranno la forma

(XXI) {D^-Af)=S(C.. ^-C./O

{D>—Al)=S{C..f-Q-^);
E queste ci palesano una proprietà comune all'universalità delle a-
iiulari a cono direttore , la quale non sarebbe difficile enunciare.

i8. Rammentiamoci ora che una retta che passa per la origine
delle coordinale fa cogli assi delle x^ j, z gli angoli dei coseni
f y ~

84. Bossi

essendo x , y , z ìe coordinate di un punto qualunque della retta.
E che però sono (12)

_^ m fm

n ' D ' D

i coseni dell' angolo che fa il lato di contatto del piano della indivi-
duata circonferenza generatrice dell' anulare, col suo cono direttore.

Or chiamiamo , Cx , Cy , d i coseni dell' angolo che esso lato
di conlatto del cono fa coi tre assunti assi coordinati delle a,", /, 2 ;
e dividiamo per D ciascuna delle tre ultime equazioni. Esse pren-
deranno la forma

(XXII) g- ^ =5(C. e. — Cxc)

ig. Pel centro della individuata circonferenza generatrice del-
l' anulare, intendiamo calata la perpendicolare alla retta di contatto
del suo piano col cono direttore dell'anulare , e chiamiamo P,Q,R
le coordinate del punto d' incontro di essa perpendicolare colla detta
retta di contatto , alla quale è perpendicolare. Per le cose dette al
N.° 7. sarà

p_(ÌP±fy±/>)l

ed in queste p, q , r, hanno le relazioni espresse per le equazioni
(X) , che ne danno i valori ; ed il trinomio /3*+/'+/.' è lo stesso
che quello che ahbiamo indicato (12) con 2)' . Dunque a causa
della seconda delle equazioni (X) , abbiamo

sulle Superficie anulari. 8S

Dunque le equazioni (XVI) prendouo iu ultimo la elegantissima forma

p—P=l{C:r<:-- — C:Cr)
(XXIII) q-Q=l{C..c.— C.u)

E queste ci palesano un' altra proprietà comune a tutte le a-
nulari a cono direttore , clie possiamo enunci^jre col seguente

Teorema. Pel vertice del cono direttore dell'anulare s'' inten-
dano menati tre piani ortogonali qualunque , e dal centro di una
individuata sua circonferenza generatrice la perpendicolare che ne
misura la distanza dal lato di contatto del suo piano col cono. Tale
distanza è uguale al rapporto della diff'erenza delle disianze dei
suoi estremi da uno qualunque dei detti ire piani ortogonali, alla
differenza dei prodotti dei coseni degli angoli che il lato di con-
tatto col cono fa colle rette d'intersezione di esso piano con cia-
scuno degli altri due piani ortogonali , pel coseno degli angoli
che con ciascuna di esse medesime rette d' intersezione , ma in
ordine inverso, fa un' altra retta menata pel vertice del cono nor-
male al piano della individuata circonferenza medesima.

20. Pertanto introdotti nelle equazioni (XVIII) i valori di p/j^r,
dedotti dalle ultime tre equazioni (XXIII) , ottengliiamo per equa-
zioni della individuata circonferenza generatrice le due
(XXIV)

x*+v'-\-z'—2(Px+Qy+nz)
-25(( Cy c, - e. o- )^+( e. e-. - C e. )j/+(G cy - C, e. )z)

C:cX+Cj.1/+C,Z=0.

Delle quali la seconda si ottiene speditamente dividendo la equazio-
ne del piano tangente per /?.

Od anche riponendo per P, Q, R, le quantità che rappresen-
tano (19) , le due

(XXV)

a;'+^H3'— «'+o'+A'=(2Afx + 2Sf'^ e, — C, cj. ))x
+(2Aey + 2S[C..c.-C.c.)%

t^X-}-(j y+tj s=o

86 Bossi

Equazioni , queste due ultime , libere da dcM-ivate. E nelle quali
equazioni precedenti sono x, /, s le coordinate di un punto della indi-
viduala circonferenza dell' anulare riferite a tre assi ortogonali, la di
cui origine è nel vertice del cono direttore di essa (3), A è la di-
stanza da esso vertice delia retta della rigata determinatrice che
giace sul piano di essa individuata circonferenza (fa); C^ , Cj- , C^ i
coseni degli angoli che una retta normale ad un tal piano per la
erigine degli assi coordinati , fa cogli assi medesimi rispettivamente
degli x,j, z (17); c.r , Cy , Cj i coseni degli angoli, che il lato^di
contatto del piano col cono direttore fa con essi medesimi assi coor-
dinati pure rispettivamente delle x , j- , z (18) ; S la distanza del
centro della individuata circonferenza dal lato stesso di contatto ; »
il suo raggio ed insieme distanza del suo centro dalla retta della
rigata , la quale giace sul suo piano (9) ; e P, Q, R le coordinate
del piede della perpendicolare che misura la distanza S (19).

ARTICOLO II.

CifteióioHe di un uuivto ittia c^atatteit^cica.

21. Trovata la equazione di una individuata circonferenza ge-
neratrice di una superficie anulare qualunque di quelle a cono di-
rettore , e propriamente di quella il di cui piano tocca la curva
direttrice del suo cono direttore nel punto di ascissa H (3) , secondo
il nostro proponimento (2) , facciamoci a trovare le equazioni di
queir individuato punto di tale individuata circonferenza , il quale
appartiene ad una caratteristica individuata dell'anulare: e propria-
mente a quella caratteristica , la distanza angolare dei punti della
quale dalla curva di contatto dell'anulare colla sua rigata cktermi-
natrice , è tale da avere per tangente trigonometrica t.

Immaginiamo esistere il cono direttore dell' anulare ; il piano
della individuata circonferenza ad esso tangente ; e sur esso la cir-
conferenza medesima. Se pel centro di questa circonferenza, imma-

sulle Sitperjicic Anulari. 87

gitiiamo contlolta una l'clla parallela al lato di coiilatlo del [liaiio
col cono , il punto d' intersezione di questa retta colla individuata
circonferenza , il quale è il più lontano dal vertice del cono, è tui
punto della curva di contatto dell'anulare colia sua rigata determi-
na trice (i) : e da un tal punto debbo misurarsi la distanza ango-
lare T del punto della circonferenza generatrice , che apparlicue
alla individuala caratteristica , del quale cerchiamo le equazioni. Ed
è manifesto che se per esso punto e pel centro della individuata
circonferenza generatrice, intendiamo menata una retta, questa farà,
colla retta precedentemente immaginata menata parallelamente alla
retta di contatto del cono direttore col piano di essa individuata
circonferenza , un angolo per lo appunto di tangente t ; e che peiò
la detta retta che passa pel punto di essa individuata circonferen-
za , il quale appartiene alla individuata caratteristica , e pel centro
della medesima circonferenza , fa colla retta di contatto del piano
di questa col cono direttore un angolo parimenti di tangente t.

Ora le equazioni della retta del contatto del piano della indi-
viduata circonferenza dell'anulare col suo cono direttore sono (3)
le (II)

I /3;-/,x=o.

Dunque trattasi di trovare la equazione di una ietta che passi
pel punto delle coordinate p , (7 , r, del centro di essa individuala
circonferenza (5, 11), e che fa colla retta di esse equazioni (li) l'an-
golo la di cui tangente è r.

E le equazioni che otterremo, per una tal retta, combinate colle
equazioni della circonferenza generatrice, daranno il punto della in-
dividuata caratteristica.

22. Sia dunque per un momento

una delle equazioni della retta che , passando pel centro della indi-
viduata circonferenza dell' anulare, debbe fare l' angolo di tangente 1
colla retta di contatto del piano di essa col cono direttore. Sarà

Tom.Vl. 12

88 fiossi

quella di una retta ad essa parallela per la origine delle coordinale.
E dovendo quella stare sul piano della individuata circonferenza ,
il quale tocca il cono direttore , 1' altra sua equazione sarà quella
di esso medesimo piano tangente, cioè (io) la (Vili)

Onde poi le equazioni della retta parallela a quella di che si
tratta , e che passa per la origine , sono le due

( ((/-rM/.-y/)^)^

delle quali la prima si ottiene ponendo nella equazione del piano
tangente invece di j- il suo valore y^z.

E pertanto dobbiamo determinare la ^, in esse equazioni , per
modo che la retta , che rappresentano , faccia 1' angolo la di cui
tangente è t colla retta del contatto del piano della individuata
circonferenza generatrice dell' anulare col suo cono direttore -, le di
cui equazioni sono (3) le (li) che possono scriversi ancora

23, A causa del noto valore del coseno dell'angolo di due
rette , in funzione dei coefficienti delle loro equazioni , avremo la
equazione di coudizione seguente , per la quale la ^ vien determi-
nata come si deve , ed è la

(XXVI)

i^^iS-fi:/Hif-^f)-{f-?fn^y+(jr.'-fXM- v^+r

sulle Superficie /anulari. 89

nella quale, al solilo (12), sia D per la distanza V(/2 '+/"+/■''))
ed è

I

— a=COS.(^.laDg.T).

E questa equazione di condizione debba aver luogo, perchè la
equazione

possa appartenere alla retta richiesta , che debbe fare colla retta di
contatto del piano della individuata circonferenza generatrice dell'a-
nulare col suo cono dcterminatore , l'angolo di tangente t. Ma una
tal retta debbe passare in oltre pel centro di essa circonferenza (21),
le di cui coordinate (5, 11) sono /j, q^ r. Dunque colla

debbe aver luogo 1' altra
Onde poi è

7/=Jz+B,

y=Jr+B.

-y=J{z—r).

Ed in questa, sostituito il valore di j4 cavalo dalla equazione di con-
dizione soprascritta (XXVI) , otterremo 1' una delle equazioni della
retta richiesta ; mentre per 1* altra può ritenersi (22) la medesima

{jr.'-f'f:)^+if-?fr)y-(j-?i')z=o.

Ora sarebbe poco spedito il cavare il valore di A dalla sopra-
scritta equazione di condizione (XXVI) , e sostituirlo nella

y—q-=zA{z—r) ;

caviamo dunque invece da questa il valore à\ A e. sostituiamolo in
quella di condizione (XXVI).

JDalla equazione precedente ottenghiamo

z — r

go Rossi

e questo valore sostituito nella equazione di condizione suddetta ,
porge

(XXVII)

/(■#:'-/y:Xg->-)+i<(/-|3/')(^-/-)-(/.-^//X.y-y))+/(#.'-/!/-.)(y-y) ,_

Per semplificare quest'ultima equazione, rlflL'ttiauio che l'al-
tra equazione della retta richiesta , per essere la equazione mede-
sima del piano tangente al cono direttore (22) , sul quale giace la
individuata circonferenza generatrice, debbe essere soddisfatta dalle
coordinate del centro di questa. Dunque colla equazione

debbe esistere l'altra

ed entrambe simultaneamente coli' ultima equazione che vogliamo
semplificare. Questa dunque dovrà esistere coli' altra che si ottiene
so'traendo qursle due ultime 1' una dall'altra: dovrà esistere cioè
simultaneamente colla

{ff.'-f'M^-p)+{f.-?My-q)-[J-?r){-^-r]=o

ossia coir altra

{f-?f')[z^r)-{f,-?l'iy-<l)={ff!-f'l){x-p)

Tanto nel numeratore dunque , quanto nel denominatore del
primo membro della equazione (XXVII), che vogliamo semplifica-
re , possiamo porre in luogo del binomio (/— /3/')(s— '") — (A — Pf!)
^y~l) , il monomio {Jf.'—f'fi){x — p). Ed essi , numeratore e deno-
minatore, acquisteranno il fattore comune [Jf,'— /'/,). E quindi essa
equazione diventa

D\/{x-py+{i/-yy+{z-rr V • +T'

sulle Superficie Anulari. gì

nella quale /^ , 7, r sono le coordinate del centro della individuata
circonferenza generatrice ; e però debbe intendersi che abbiano i va-
lori (XVII) già trovatine (i5) , ovvero abbiano le relazioni espresse
colle equazioni (X); alle quali equivalgono (i3) le (XVI) clic dan-
no essi valori (XVII).

E pertanto quest' ultima equazione (XXVIII) insieme colle (XIX)
della individuata circonferenza dell'anulare, 0 le (XVIII) ad esse
equivalenti, esprimeranno quell'individuato punto di una individuata
circonferenza generatrice dell' anulare , il quale punto appartiene a
quella caratteristica dell' anulare la distanza angolare dei punti della
quale, dalla curva di contatto dell'anulare colla sua rigata determi-
natrice , è tale da avere per tangente trigonometrica t. Però a
causa della prima delle equazioni (XVIII) che esister debbono si-
multaneamente colla equazione (XXVIU) , il denominatore di que-
sta si riduce a Dy-, Onde poi il jìunto della individuata circonfe-
renza generatrice , appartenente alla delta individuata caratteristica,
ha per equazioni le tre

(XXIX) p[x-p)^S[y-^)J^fl:,-r)^--—=.

Vi-fr

Nelle quali x^ j-, s, sono le coordinate del punto della carat-
teristica , e /;, (y, r le coordinate del centro della circonferenza ge-
neratrice dell' anulare sul quale esso punto si trova , e che però
aver debbono i valori (XVII).

24. Otterremo esplicitamente le equazioni , od espressioni che
danno esso punto della individuata circonferenza , ponendo di fatto
ili queste tre ultime equazioni , in luogo di /j, 5, r, i loro valori
(XVII). La prima e terza diventeranno le medesime equazioni (XIX),
ovvero le (XX) ; e subito si vede ciò che diventa la seconda, per-
ciocché trasformandosi immediatamente nella

V'+r

g2 Rossi

è chiaro che senza uopo di sostituirvi i valori effettivi (XVII) di
p, 7, r, basta pel trinomio I3p+ff-hf,f , porre il suo valore D^
dato dalla seconda delle (X), che sono in sostanza (i 3) quelle che
danno essi medesimi valori di p, q, r: e che però diventa

D»

Quindi daranno il punto della individuata circonferenza , ap-
partenente alla individuata caratteristica le tre

(XXX)

E queste tre ultime equazioni risolute rispetto alle coordinate
X, j, 8, daranno esplicitamente le coordinate del punto della carat-
teristica. Ma poiché la risoluzione di queste tre ultime equazioni
rispetto ad .ce, j', s, potrebbe risultare molto laboriosa, e d'altronde,
per le ulteriori ricerche è utile la conoscenza effettiva di esse coor-
dinate , facciamoci a determinarle per altra via assai spedita.

II.

25. Siano a , b , e le coordinate del punto della individuata
circonferenza generatrice , appartenente alla individuata caratteristica
dell' anulare.

Sul piano di essa circonferenza, il quale tocca la direttrice del

mlle Superficie Anulari, gS

cono direttore uel punto «li ascissa (3 (io, ti), stando tanto esso
punto della caratteristica (21), quanto il centro della circonferenza
individuata (i i) , debbono aver luogo le equazioni

C#.'-/y.)«+(/.-^//jM/-/!/"')^=o

E quindi 1' altra che da esse dipende

W-fl {"-p)Mf-?f!){b-^l)-{f-?f%o-r)=o.

Potremo dunque ottenere i valori effettivi di rt, 6, e, risolvendo
simultanearuente quest'ultima equazione colle due prime delle (XXIX);
ossia le tre

(XXXI) ^[a-j,)-^S{b-ri)^f,{c-r)=--==

a6. Per risolvere speditamente queste equazioni osserviamo
eh' esse sono perfettamente analoghe alle (X) , considerando come
se in luogo delle tre incognite p^ q, r di queste , vi fossero i bi-
uomii a — py b — q, e — r; e che però senza punto rifare i calcoli,
potremo immediatamente ottenere i valori di questi binomii , fa-
cendo invece

Z7»
5=+A=*, DA= , .

Da queste due ultime equazioni ottenghiamo

01 rtr

Vi+r v^+r^

Onde sostituendo questi valori di A, e 5 nei valori (XVII) , ed in
vece di />, q^ r, i suddetti binomii a — p , b — q , e — r , otterremo
pei valori di questi medesimi biuomii

9^ Rossi

(XXXII)

^-'•= zJvlTTTj + M#+?) (/(#/-/v:)-^(/.-^//))--

E questi valori sono i medesimi che avremmo ottenuti risolvendo
le equazioni (XXXI) rispetto ad a—p , b—q , e e — r. Onde vo-
lendo i valori di a, è, e, non dobbiamo che invece di p, q, r , so-
stituirvi i loro valori (XVII). È così , che fatte tali sostituzioni ,
e le riduzioni che si presentano, ottenghiamo
(XXXIII)

'= ^(^+ V(^)+^^('+ ;^)(/(//.-#/J-^(/-^/'i)

E queste sono le coordinate effettive di quel punto della individuata
circonferenza generatrice dell' anulare , individuata dall' ascissa /3, il
quale appartiene alla individuata caratteristica dell' anulare , la di-
stanza angolare di tutti i punti della quale dalla linea di contatto
dell' anulare colla sua rigata determinatrice è quell' arco di cui la
tangente trigonometrica è t (21).

III.

27. Prima di passare oltre fermiamoci un momento a consi-
derare gli elementi che entrano nella composizione dei valori (XXXIII)
di a, b, e.

Ed osserviamo in primo che essendo t la tangente trigonome-

sulle Superfìcie Anulari. 9 5

I , . T .,

trica , sono— y- —il coseno trigonometrico, e ì,^. ^n '* ^^"^

trigonometrico dell' arco la di cui tangente è t. Sono quindi

V(,+r) V(i+r)

il coseno ed il seno nella individuala circonferenza , che è di rag-
gio « , dell' angolo che la retta raeuala pel suo ])unlo che appar-
tiene alla caratteristica dell' anulare , e pel suo centro, fa colta retta
menata pel centro medesimo parallelamente al lato di con latto del
cono direttore , col piano di essa individuata circonferenza. Se dun-
que dal punto di questa , che appartiene alla individuata caratteri-
stica , intendiamo menala una perpendicolare al lato di contatto del
cono direttore col piano della individuata circonferenza , la distanza
di esso punto della caratteristica da essa retta di contatto sarà ap-
punto espressa (9) da

e la distanza dell'incontro della detta perpendicolare, col lato di con-
tatto suddetto, dal vertice del cono direttore (12), sarà espressa da

A-H

V(i+t;

Ecco dunque i significati di questi binomii, che entrano nella com-
posizione dei valori (XXXIII) di a , 6 , e : ed è manifesto essere
esse distanze rispettivamente analoghe alle 5 , A. Facciamo dunque
per analogia ,

^ VC + r) " ' ^ V(i+r)
otterremo

' «= V + 1^ (/.f/-(!/'.')+/(/-i5/"'))

(XXXIV) ^%^+ ^ {fU'f-Jr.')-?{f-pf'))

Tom.ri. i3

j 6 Rossi

Espressioni perfcltamente analoghe alle (XVII) delle p , (j , r. E
nelle espressioni di queste , le quantità A, S sono sempre le stesse
per una medesima circonferenza generatrice , ma variano da una
all'altra; mentre le A, , S^ , non solo variano passandosi da un punto
di una individuata circonferenza a quello di un' altra , ma ancora
passandosi da un punto all'altro di una medesima circonferenza.
28. Per analogia di ciò che ahbiam detto nel numero ig, sono

— ^ , -~- , —jA, le coordinate del punto d'incontro della perpen-
dicolare calata dal punto della individuata circonferenza generatrice
appartenente alla individuata caratteristica , sul Iato di contatto del
piano di essa circonferenza col cono direttore , eoa esso medesimo
lato di contatto. Se dunque chiamiamo j4, B, C, le coordinate di
un tal punto d' inconli'o , tenendo conto delle altre cose dette nei
N." 17 e 18, otterremo dalle (XXXIV) le tre relazioni seguenti

(XXXV) b—B=.liC, cx —C:,c,)

Ed ecco per ogni punto della caratteristica dell' anulare una
proprietà analoga a quella enunciata in fine del N.° \g.

Ed osserveremo che le ultime tre relazioni (XXXV) restando
sempre ferme qualunque sia « , la enunciata proprietà appartiene
ad ogni punto del piano tangente ad un cono qualunque: proprietà
uon ancora avvertita.

La enunciata proprietà compete al centro di una generatrice
qualunque dell' anulare , ad un punto qualunque di essa generatri-
ce , e ad un punto di una caratteristica qualunque ; ma non appar-
tiene ad essi punti 'soltanto : appartiene ad un tempo ad ogni punto
del piano tangente.

E pertanto dal qui detto n' emerge una curiosa proprietà del
cono a curva qualunque direttrice, che può enunciarsi col seguente

Teorema. // rapporto della retta che misura la distanza di
un punto qualunque di un medesimo piano tangente ad un cono
a curva direttrice qualunque, dalla retta del contatto^ alla diffe-

sulle Stipe! ft eie Anulari. 97

rema dalle distanze degli estremi di quella stessa retta , da un
medesimo piano menato pel vertice del cono , è costante.

E ciò si Cà manifesto, consiclcraiido clie per un medesimo pia-
no tangente , e per tre medesimi piani ortogonali menati per lo
vertice del cono, ciascuno dei binomii C^ r, — C. c^ , C; c^ — Cx e, ,
Cx Cy — Cy Cx si mantiene costante qualunque sia il punto del pia-
no tangente, dal quale si computino le distanze a, i,c, y^,S,Cj 5,.

ARTICOLO III.

CìlpteJjioiie di una tetta Oe({a invifupfata tifata.
I.

29. Una retta che, passando per tutti i punti successivi di una
medesima caratteristica , tocca sempre la circonferenza generatrice
dell' anulare sulla quale ciascuno di essi punti successivi si trova ,
e nel punto medesimo , genera la inviluppata rigata dell' anulare.
Ora consideriamo quella retta dell' inviluppata , che tocca l' indivi-
duata circonferenza generatrice, contemplata innanzi (Art/ 1.) ; e la
quale passa pel suo punto appartenente alla individuata caratteri-
stica parimenti già contemplata (Art." II).

Questa retta delia inviluppata, passerà dunque pel punto delle
coordinate a, è, e, della individuata circonferenza , il quale appar-
tiene alla individuata caratteristica (aS) ; e sarà perpendicolare al
raggio di essa individuata circonferenza, il quale passa per esso me-
desimo punto di coordinate a, è, e.

30. Or questo raggio, come ogni altro, passa pel centro della
individuata circonferenza, le di cui coordinate sono (11) />, q-, r.
Dunque le equazioni della retta , di cui esso raggio è parte , sono
quelle di una retta che passa pei punti di coordinate a, 6, e l'uno,
e p, ^r, r, 1' altro. Però sono le due

(XXXVI)

9 8 Rossi

Ed una retta a questa parallela , menata per la origine delle coor-
dinate , avrà per equazioni

(XXXVII)

nelle quali a, b, e, p, 7, r, debbono avere i valori trovati (XXXIII),
e (XVII).

3 1 . La retta della individuata inviluppata , dovendo passare

(29) pel punto delle coordinate <z , i , e, abbia per una delle sue

equazioni

y — 5=M{z — e)

Onde poi , giacendo essa retta (29,10) sul piano di equazione (Vili)

(#/-/!/:)^+(/-/5/*/)y-(/-^/')5=o ,

una retta ad essa parallela e che passa per la origine delle coordi-
nate , sarà rappresentata da

(S'-f'f)

perciocché il piano tangente che la precedente equazione (Vili) rap-
presenta , passa per la origine (io); e la prima di queste due ul-
time si ottiene eliminando la j- tra la seconda di esse , e la equa-
zione medesima del piano , su cui la retta debbe giacere.

32. Or quest'ultima retta dovendo essere perpendicolare (29)
a quella delle equazioni (XXXVII) , dovrà aver luogo (come è no-
tissimo per gli elementi) la equazione di condizione

,XXXV,„) ,^(^rt(/-^/'-(/-^').'/)^fa)M^

E da questa equazione caveremo M ; onde poi resterà determinata
la equazione

l

sulle Superficie Anulari. gg

che insieme colla

(#.'-/y:)^+(/-i?/'/)i/-(/-^/')2=o

rappresentano la individuata retta della inviluppata (3i).

Or risolvendo rispetto ad M la equazione di condizione (XXXVIII)

soprascritta , ed eguagliandone il valore all' altro

z — e
cavatone dalla detta assunta equazione della retta richiesta , otten-
ghiamo

E sono quindi le equazioni della retta della inviluppata , che tocca
r individuata circonferenza generatrice , contemplata innanzi , e la
quale la tocca nel suo punto appartenente alla individuata caratteri-
stica parimenti già contemplata , le due

:'-/!/:)('5-5'))(,y-'5)-((/-^/')(«-;')+(j7;'-/!/:)(^'-))(2-^)=o

^ ^ } {S'-S'J\)^Mf-?f^)y-{f-?f'>=o

(\U)

Ma nella prima delle quali per a, b, e debbono intendersi li valori
loro (XXXIII) , e per p , q , r , ì loro valori (XVII) : onde esse
equazioni non esprimeranno esplicitamente essa retta della inviluppa-
ta , che quando avremo sostituiti di fatto i detti valori di a, b, e,
e di /?, q, r, nella prima di esse medesime equazioni , ossia nella
sua equivalente (XXXIX).

33. Per ciò fare nel primo membro della equazione (XXXIX),
in vece ài b e e sostituiamovi i loro valori dati dalle (XXXIII) ;
e nel suo secondo membro , sostituiamo i valori (XXXII) dei bi-
nomii a — p , b — (j , e — r. Ottenghiamo per essa prima equazione

sVH^-4^*+^VT+^)-2^(«r+J>/r+?)(/(/.'-/y:w(/.-6/:'))

1 00 Bossi

dopo averne moltiplicalo il numeratore ed il denominatore del primo
membro peryi-j-r^, e quelli del secondo membro per — \JT+t^.

III.

34. Per ottenere un'altra equazione equivalente alla preceden-
te , ma m termini molto più accorciati, rammentiamoci ciò che ab-
biam detto ai N, 17 e 18; e dividiamo il numeratore ed il denomina-
tore del secondo membro per R , per modo che i coefficienti bino-
mii di ciascun termine del numeratore e del denominatore diventino

jf(fi~lU'') ^-jfiff'—f'f,), -jT {f—Pf')- Le due equazioni, di che si
tratta, prendono la elegantissima forma

(XLII) y V H^-c> (* +A \/T+?)-(«t4. S \/T+?} {C:.c^ — Cy e. )

\-C, \C^ 4. {€,. e. — C Cy )t]+C. [g, + {C^ Cy - Cy C.r )t]

Cy [c:c + {Cy Ci ~ C, Cy )r\—€x \cy + (6; Cx — Cx Ci JtJ
^CxX-\-Cy y-\- C, z=so
E queste sono le equazioni di quella individuata retta della invi-
luppata di parametro di posizione t , la quale tocca la circonferenza
generatrice dell' anulare , di cui il piano tocca il cono direttore di
essa , secondo una retta che fa cogli assi coordinati delle x , y, z,
gli angoli dei coseni Cx , Cy , Cj ; ed il quale ha tale posizione che
la retta ad esso normale , menata per le origini delle coordinate ,
fa coi medesimi assi gli angoli dei coseni Cx , Cy , d .

&BTICOLO IV.

hiffiiiìxow di Ulta xetta "itUa. GR,{jata a aevtetatttce uozmafe
a i^ueCfa ieiia, «luvifuccata.

I.

35. Fissiamo un punto sulla circonferenza mobile che genera
r anulare , e sia t la tangeate trigonometrica del suo arco , inter-

sulle Superficie Anulari. loi

cello Ira esso punto e 1' altro , per lo quale menatale la tangente ,
questa risulta normale al luto di contatto del cono direttore dell'a-
nulare col piano della circonferenza mobile ; e supponiamo pel fis-
sato punto menata la tangente ad essa circonferenza , ed il raggio
di questa, che intenderemo prolungato. Movendosi la circonferenza,
il fissato punto genera una caratteristica dell' anulare (21) , la retta
tangente , alla circonferenza mobile , in esso fissato punto , genera
una sua inviluppata rigata (29) , ed il raggio della circonferenza ,
per esso medesimo punto, prolungato geuera una rigata a generatrice
normale a quella della inviluppata.

Ora del fissato punto abbiamo dette (25) le coordinate a,b,c;
e sono coordinate del centro della circonferenza mobile in una sua
individuata posizione le p, q, r, (i i).

Dunque la retta che passa pel punto delle coordinate a, b, e,
e per l' altro delle coordinale p, ^ , r, è la retta della rigata a ge-
neratrice normale a quella della inviluppata : e propriamente quella
corrispondente alla individuata circonferenza il di cui piano tocca la
direttrice del cono direttore nel punto delle coordinate j3,/(j3),/i(/3);
ossia quella che giace sul piano tangente al cono direttore dell'anu-
lare (io) , piano di equazione (Vili)

(#/-/'/>+(/--/?/'/).y-(/-/3/')^o;

Essa retta dunque ha per equazioni le medesime (XXXVl) ,
ovvero altre due a quelle equivalenti, ma nelle quali a, è, e, />, ^, r,
debbono avere i valori determinati innanzi (XXXIII) e (XVII) ; le
quali equazioni , alle (XXXVI) equivalenti , sono

X — p

_a~p

ìz—r

e — r

\y—<]

_b-q

z—r

c — r

(XLIII)

36. Sostituiamo in queste equazioni i detti valori di a,b,c,p,q,r;
o ciò che torna allo slesso nel loro primo membro in vece di p, q, r
sostituiamo i loro valori (XVII), e nei secondi membri, invece dei
bìnomii a — •/?, b—q, e — r poniamovi i loro valori (XXXII). Fatte

102 Rossi

le sostituzioni oltengliiamo
(XLIV)

[^-^-;4 (/.(/. -/3//)+/(/-/3/'i)_|+^(/.(/-/?/'/)+/(/-^/'i)

r- ^-m(f(^'-f'f^^-i^^f'-i^f'^) ^+^ (/(ir/-//.)-/3(/.-/?/'.'))
|y-^-2^;(/.f/y.~-///)-/3(/-/3/'))_^+^(/(/y:-#')-/3(/-i3/'))
^-^-2^(/(#.'-/y.)-/3(/-^/;')) ^+^(f{jr.'-/'/ò-i^{f-p/'))

E queste due, od una di queste, colla equazione (Vili) del piano tan-
gente, esprimono la individuata retta della rigata a generatrice normale
alla inviluppata dell'anulare; la quale passa pel centro della individuata
circonferenza generatrice dell' anulare il di cui piano tocca la diret-
trice del suo cono direttore nel punto delle coordinate /3,y(/3),/,(/3),
ed appartiene alla individuata superficie a generatrice normale a quella
della individuata inviluppata rigata, che corrisponde alla caratteristica
i di cui punti hanno la distanza angolare di tangente trigonometrica t
dalla curva di contatto dell'anulare colla sua rigata delerminalrice (21).

II.

37. Per ottenere queste ultime equazioni più accorciate , ap-
plichiamo anche qui le cose dette nei N. 17, 18 e 19. Otterremo
immediatamente

(XLV)

S Ii—S{C:v Cy Cy Cx) Cz-\- r(Cx Cy — Cy Cx)

j^—Q-S{C,Cx—CxC,) _ Cy + r(C, cx — CxC)

Z—Jl—S{Cx Cy — CyCx) C,+ T(Cx Cy — Cy Cx)

le quali 0 insieme , o ciascuna coli' altra

Cx X-{-Cy y-j- Ca 2r=0

esprimono la individuata retta della individuata rigata a ^'eneratrice
normale a quella della inviluppata.

sulle Superficie Anulari. \ o3

CIPO SECOLO

DELLE ANULARI DI QUINTA CLASSE.

38. Come abbiamo dichiarato innanzi (i) , nelle anulari di
Quinta Classe la rigata determinatrice è non sviluppabile : e dato
il cono direttore dell'anulare, essa è determinata, data che sia una
curva soltanto, alla quale le sue rette debbono appoggiarsi. Imper-
ciocché se immaginiamo che per un punto del cono direttore sia
menato ad esso il piano tangente, un tal piano taglierà la data curva
direttrice della rigata in un punto ; e per un tal punto, se intendia-
mo menata una retta perpendicolare al lato di contatto del piano
col cono, una tal retta è retta della rigata determinatrice dell'anu-
lare. Dunque dato il cono direttore dell' anulare ; la rigata deter-
minatrice è determinata, data che sia una curva soltaiilo 'illa quale
debbono appoggiarsi le sue rette.

39. Siano

le equazioni della data curva direttrice della rigata determinatrice.
E meniamo il piano tangente al cono direttore dell' anulare ,
per quel suo lato che passa per quell' individuato punto della diret-
trice di esso cono , le di cui coordinate [2>) sono /3, //3) , /,(/3). La
equazione di un tal piano (io) è la (Vili)

Questo piano, incontrando la curva direttrice della rigala deter-
minatrice dell'anulare, rappresentata dalle equazioni (XLVI) avrà
luogo r altra equazione
,(XLVII) (ir,'-/r)x-F'/-/2/.';F(a-)-(/-^/')F,(x)=o ;

Tom.FL a

j 04. Rossi

lierciocchù per 1' inconli'O del piano colla curva , le coordinate di
questa debbono soddisfare alla equazione del piano.

E pertanto risoluta 1' ultima equazione rispetto ad x , avremo
r ascissa del punto , ove la curva direttrice della rigata deternaina-
trice è incontrata dal piano che tocca il cono direttore dell' anulare
lungo il suo lato che passa pel punto dell'ascissa /3 della curva di -
rcttiice di esso cono.

Sia risoluta rispetto ad x l'ultima equazione ; e sia 9 il valore
effettivo ottenutone per x : il quale valore à , come è evidente , è
una funzione composta delle /S././i e delle derivate di queste due
ultime ; ossia è una funzione implicita di essa medesima /3. E sa-
ranno le coordinate del punto della direttrice, ove è incontrata dal
piano tangente (Vili) al cono direttore dell'anulare le tre

e , F{6) , F,(d).

40. Ora per questo punto della direttrice della rigata determi-
nalrice , meniamo un piano normale alla retta (II)

\ /3.'/-> =0
I (3z—f,x=o

del cono direttore , la quale (3) passa per 1' individuato pimto di
Jiscissa jS delia direttrice sua, e che è retta di contatto di esso cono
col piano ad esso tangente (10) ; il quale piano incontra la curva
direttrice della rigala detcrmiuatrice nel punto di ascissa 6 (3;)). E
la equazione di un tal piano normale , la
(XLVIII) pa;-h/7+/s_(/39+/F+/F.)=o

E le due (38)

(ALIA) I ^ ff!-ff)x-\-( y;_/3//)y_(/_/3/'),=o

sono quelle della retta della rigala determinatrice di uti' anulare di
quinta classe , la quale retta tocca quella circonferenza dell' anula-
re , il di cui piano tocca la curva direttrice del suo cono direttore,
di equazioni (I)

nel suo punto di ascissa /?.

Sitile Superficie Anulari. i oli

Ma d'allioude , da ciò che abbiam detto ai N. 4 j *^ 'O) f^*
sulta che le equazioni

^ ' I (#.'-/ y;)^+(/'-/?/;')3'-(/-/3/')==o

sono le equazioni di una rella della rigala determinatrice di un' a-
nulare qualunque a cono direttore , corrispondente a quella sua cir-
conferenza generatrice, il di cui piano tocca il cono direttore lungo
la medesima retta (II)

f Ay— /a- =0

la quale passa pel medesimo punto di ascissa /3 della curva diret-
trice di esso cono.

Dunque perchè la retta data dalle equazioni (L) appartenga non
alla rigata determinatrice di un' anulare qualunque a cono diret-
tore , ma a quella di un' anulare a cono direttore di quinta clas-
se , è necessario che le equazioni (L) siano identiche alle (XLIX);
perciocché in un tal caso la retta che le equazioni (L) rappresen-
tano , e che appartiene alla determinatrice di un' anulare qualunque
a cono direttore, si confonde colla retta rappresentala dalle equa-
zioni (XLIX) , la qu;de appartiene alla determinatrice di un' anu-
lare parimenti a cono direttore, ma che è di quinta classe: e li
quale determinatrice ha per curva direttrice quella delle equazioni
(XLYI) , e ])el di cui punto di coordinate 9, F^d), F,(6) passa (4o)
essa individuata sua retta di equazioni (XLIX) , nelle quali 6 è la
funzione implicita della /3 che si cava dalla (XLVll), quando è ri-
soluta rispello ad x.

Ora perchè le equazioni (L) , siano identiche alle equazioni
(XLIX) è necessario che sia

(LI) ^ (/3'-h/ +/.>=/3a-f/F-+-/,F.

Dunque quando 1' anulare a cono direttore è di quinta classe ,
l'ordinata «.• del punto della retta \Ji_f^~'^i P^' quale passa la

*

io6 Rossi

iella della rigala dcteriuiiiatrice , che locca la circonferenza dell' a-
nulare di piano tangente al cono direttore secondo essa retta , non
può essere assunta ad arlutiio , come abbiam fatto al N. 4 i ^^
dcbbe essere

^'"^ " /3+/'+y? •

Conformemente dunque a ciò che dichiarammo fin da princi-
pio , cioè al N. 2 , se nelle precedenti trovate espressioni invece di
ffi' vi porremo questo suo valore , verremo ad introdurre in esse la
condizione , che le rette della rigata determinatrice non solo sono
ciascuna perpendicolare al lato di contatto del cono direttore col
piano della circonferenza mobile che genera 1' anulare , ma che in
oltre incontrano ciascuna una curva , che non tutte toccano: e senza
che passino tutte per un medesimo punto. E però verremo ad ot-
tenere le espressioni delle cose appartenenti alle anulari di quinta
classe soltanto.

Ma prima di porre questo valore di as in esse espressioni , è
bone fermarci alquanto a considerarne gli elementi.

II.

4i. La espressione di a competente alle anulari di quinta clas-
se , essendo della forma (LII)

è una funzione implicita della (3 soltanto. Difatto per le equazioni (I)

I -=/.(^)

della curva direttrice del cono direttore dell'anulare (J), sono note
le forme delle funzioni /,yi di x, e quindi anche leyi/3), /,(/3j che
entrano in essa espressione : dalle equazioni (XLVI)

z=F.(x)

b

sulle Superficie anulari. 107

della curva diielliice della rigala dctcrminatrice dell' anulare , co-
nosciamo le forme delle funzioni F, F, di x : dalla (XLVII)

(#/-/y,iH-(/-i3//jF(0)-(/-/3/')F;(6)=o

conosciamo quale funzione è 6 di /3, contenuta anche in/,/,,/',/,':
e noto 6 , per le medesime noie forme di i^ , JF", , conosciamo in
fine le forme delle funzioni composte

F(6 (S)) , Firn).

La 4.' dunque è una funzione della sola /3 , ma non pertanto
il suo valore dipende dalle forme delle quattro funzioni _/", /, , F^ F, :
tulle e quattro le quali funzioni possono d' altronde assumersi ad
arbitrio ; perciocché possiamo assumere come a noi piace la curva
direttrice del cono direltore , e la curva direttrice della rigala de-
terniinatricc. Dunque, in generale, la ffl è funzione della sola /3, ma
li suo valore dipende da quattro funzioni arbitrarie.

42. Supponiamo date queste curve direttrici delle assunte e-
quazioni (II) , e ^^XLVI) del cono direttore , e della rigata deter-
minatrice. Pei noti metodi potremo costruire esso cono direttore ,
ed anche la rigata determinatrice : ovvero determinarne le equazio-
ni. E potrcnjo ancora costruire la intersezione di esse superficie con
un piano qualunque , per esempio con un piano orizzontale , od
anche parallelo all'assunto piano coordinalo xy. Queste curve d'in-
tersezione essendo sur esse superficie , potremo sostituire tali curve
alle assunte direttrici del cono direttore e della rigata determina-
trice. E cosi facendo , le funzioni / , F, saranno sostituite da due
quantità costanti , ciascuna uguale alla distanza dal piano xj dei
piani che tagliano essi cono e rigata determinatrice : anzi potreb-
bero queste due costanti essere uguali.

Il vahire di as dunque dipende in generale da quattro funzioni
arbitrarie (40' ^^ ^^^^ possono ridursi ancora a due. E per sem-
plicità a due le ridurremo ; ed anche indipendentemente dalle due
costanti , od anche da una sola da surrogare le/ , F, .

43. Costrutte le due superficie del cono direttore , e della ri-
gata determinatrice , potremmo costruire la curva di loro interse-
zione : ovvero determinarne le equazioni. E per le cose prccedea-

I o8 Bossi

temente delle possiamo sempre determinare le coordinate di un in-
dividuato punto di questa curva d' intersezione , corrispondente alla
retta del cono direttore che passa pel punto di coordinate ?^f{^)-fl?)
della sua curva direttrice , ed alla corrispondente retta della rigata
determinatrice che passa pel corrispondente punto di coordinate 9 ,
F(6), F,(6) della sua curva direttrice.

E di fallo da ciò dicemmo al N. 4 > sono coordinale di esso
punto della detta curva d' intersezione le tre

per una anulare qualunque a cono direttore ; e quindi pel detto nel
N. 4o sono

l2(^6+fF+/,F.)f, m-^fF+fJ,) {^d+/F+f.P,]f,

le coordinate di esso medesimo punto della della curva d' interse-
zione per un' anulare a cono direttore di quinta classe.

Senza dunque costruire di fatto il cono direttore , e la rignla
determinatrice, od anche senza trovarne le rispettive equazioni, ddte
che siano , nel modo più generale , le equazioni

\ z=J\{x) , i z=F^(x)

delle rispettive curve direttrici del cono direttore , e della rigata
determinatrice , potremo ottenere immediatamente le equazioni della
curva d' intersezione di essi cono e rigata determinatrice , ponendo

(LUI)

_[x6(x)+f(x)F(6{x))+/,U)F.(Hx))]x

k-y- {xr+n^-y+A^y

[xe{x)+/{x)F{e{x))+f,{x)FXà{x))]i{x)

{xr+fixy+fx^Y

Pertanto la curva d' intersezione del cono direttore colla rigata
determinatrice giacendo sul cono , ed anche sulla rigata , può essa

sulle Superficie Anulari. 109

essere ad un tempo direttrice del cono e della rigata. Ne toglie-
remmo nulla alla generalità dei ragionamenti, se assumessimo di fatto
essa curva per direttrice delle due superGcie direttrice e determina-
trice dell'anulare; perciocché abbiamo qui veduto, come date le
equazioni effettive della curva a doppia curvatura direttrice di cia-
scuna , possano immediatamente trovarsi quelle della curva d' in-
tersezione del cono direttore colla rigata determinatrice, senza punto
costruire o trovare le equazioni di queste medesime superficie. Pos-
siamo dunque , come abbiamo assunto , per semplicità , ridurre a
due le quattro funzioni arbitrarie y, _/", , jP , i^, , dalle quuli di-
pende il valore di oa (4i) , ed anche indipendentemente dall' una o
dalle due costanti da rimpiazzare \e f, , F, , (42).

44- Siano dunque
(LI Vi {y=/(^)

non più le equazioni di una curva qualunque nello spazio , diret-
trice del cono direttore dell'anulare che (3) chiamammo (II) , ma
siano €sse le equazioni di quella curva , intersezione comune del
cono direttore , e della rigata determinatrice , la quale è direttrice
comune di quello e di questa : siano cioè questi valori di ^ e s
dati per f{pc) , f,{x) li medesimi identici di quelli ài y e z dati
dalle equazioni (LUI) , entrambi per lo stesso valore di x.

Tutti i ragionamenti fatti innanzi reggeranno del pari: tutte le
trovate espressioni staranno : e solo in quanto alle anulari di quinta
classe , la funzione F sarà identica alla y, e 1' altra F, identica alla
f,: ed il punto nel quale questa nuova direttrice comune al cono
direttore ed alla rigata determinatrice , è incontrata dalle rette di
quello e di questa, giacenti sul piano di una medesima individuata
circonferenza generatrice dell' anulare , avrà una sola e medesima
ascissa ; perocché un solo e medesimo è esso punto d' incontro.

Così assunte dunque le equazioni

sarà

/3=e,/=/',/:=F,

1 1 0 Bossi

nella espressione (LII) di » appartenente alle anulari di quinta clas-
se ; ne punto sarà menomata la generalità del discorso , dando alle
funzioni f{x) , f,(.x) questo nuovo signiGcato ; perciocché pel detto
nel N. 43 , possiamo sempre determinare le forme delle funzion i
fi fi perchè abbiano il nuovo significato , date che ne siano le for-
me nel senso di curva direttrice qualunque del cono direttore , e
date che siano le forme delle funzioni F^ F^ , appartenenti a ge-
neratrice qualunque della rigata determinatrice.
Siano dunque (LIV)

le equazioni della curva direttrice comune del cono direttore e della
rigala determinatrice di un' anulare di quinta classe , sarà (4o)

E poiché per la distanza -7; * ponemmo (12) la A, talché

debbesi avere

(LYI) A= — — *

ne segue che per le anulari di quinta classe sarà (12)

Ed è chiaro che sostituito questo volore di A nelle espressioni tro-
vate al Capo Primo , oUerremo le analoghe appartenenti non più
ad una anulare qualunque a Cono Direttore , ma invece ad una
qualunque di quelle di Quinta Classe.

sulle Superficie anulari. 1 1 1

ABTICOLO I.

Zitfitii'xowe fieW aitufate geuctafe <5» Quinta Qia.iii.

I.

45. Per ottenere la espressione di un'anulare di quinta classe,
cominciamo dal trovare quella di una individuata circonferenza di
essa medesima anulare. E per ciò fare, come or ora abbiamo detto
(44)) poniamo nella (XX) invece di A il binomio VCi^ +/'4-/i") — *•

Dopo le diverse riduzioni che si presentano , oltenghiamo

(LVII)

(2«/3+(.r-/3) V(/3'+/=+/.=))(^-/3i^-2J (/'(7)'+/.^(-^)') ^

+(2*/+(y-/)V(/3'+/^+y;'j)(y-/)//-25 (/3^ (7)'+/.' (7)') y

+(2«/,+(^-/,, V(/3 +/=+/r))(^/)/?-25 (/35 (ji+P (7)') ^
+5=//V(/3'4-/'+//)=o

E sono queste le espressioni analitiche di una individuata cir-
conferenza generatrice dell' anulare di quinta classe. Epperò le coor-
dinate X, y-, z che da esse equazioni veugon date , sono le coordi-
nate di un punto di essa superficie anulare, ma che giace sulla in-
dividuata circonferenza di essa medesima anulare , la quale è rap-
presentata da esse equazioni.

46. Per un momento la x delle equazioni (LVII) abbia un
determinalo valore. Risulteranno valori determinati per y , z : ed
esse equazioni (LVII) rappresenteranno un determinalo punto della
individuata circonferenza dell'anulare: e perciò un determinato punto
dell'anulare medesima.

Tom. FI. iD

I 1 9. Rossi

Vogliasi ora passare da quel determinato puuto ad un altro
della circonferenza individuata. La x dovrà assumere un' altro de-
terminato valore , e risulterà un altro determinato valore tanto per
y^ quanto per z. Ma la quantità /3, che determina la posizione del
piano della individuata circonferenza (3, io), debbe ritenere il me-
desimo valore , ed il medesimo valore dovrà ritenere la * che ne
determina il raggio, e la 5 che colla « ne determinano la posizione
del centio (9, 11); perciocché se queste quantità 5, 5, « variassero,
il secondo punto da determinarsi non starebbe sulla medesima iu-
dividuala circonferenza sulla quale era il primo , ma da essa usci-
rebbe ; esprimendo allora quelle equazioni circonferenza diversa di
posizione , e di diverso raggio della individuata , e perciò non più
questa medesima. Dunque le a:, j', -s , delle equazioni (LVII) pos-
sono variare indipendentemente dalle /3, J, » in esse medesime equa-
zioni contenute : ne queste debbono variare pel variare di quelle :
e ritenendo il medesimo valore la /3 , il medesimo primiero riten-
gono ancora le d« a-.

Vogliasi ora , in vece, da quel primo determinato punto, cor-
rispondente al determinato valore della x-, passare ad un'altro punto
dell' anulare , che non più stia sulla individuata circonferenza, ma
che stia invece sur un' altra circonferenza dell'anulare medesima. In.
questo secondo caso la x potrebbe ritenere il primo determinato va^
lore ; ma la /3 , la ^ , e la « , dovranno necessariamente variare ,
senza di che il secondo punto non uscirebbe dalla primiera indivi-
duata circonferenza. Dunque le /3, J, «, non solo ritengono insieme
il medesimo primiero Vdlore , come abbiamo conchiuso di sopra ,
ma variano insieme; e senza che debbano però vari ire le x, jy, s.
Se dunque facessimo astrazione da quella individuata circonfe-
renza generatrice dell' anulare contemplata innanzi ; e riguardassi-
mo invece le x, j", s da esse due equazioni (LVII) date, come ri-
ferentisi non ad essa individuata circonferenza dell' anulare , ma co-
me appartenenti invece ad una qualunque di tutte quelle che sur
essa anulare sono , ovvero come riferentisi ad un punto qualunque
di essa medesima anulare , dovremmo considerare la /3 , non più
come avente un valore costante , ma come avente tutti gì' immagi-

sulle Superficie Anulari. 1 1 3

nabili valori clie possono ad essa competere ; e quindi le 5, », che
variano insieme con essa , dovremmo considerare come funzioni di
essa medesima /?.

Ora la equazione

(^'-/!/'.)^+(/-iS/:')y-(/-/!/'')2=o ,

ovvero la seconda delle (LVII) , che 1' è equivalente , dà appunto
tutti gì' immaginabili valori che possono competere alla /3, corrispon-
dentemente a qualunque immaginabile valore delle x, y, z, ossia a
qualunque punto immaginabile deli' anulare ; perciocché tutte le cir-
conferenze di questa sono sempre (ii) su qualche piano degli infiniti
rappresentati dalla equazione (Vili)

iff!-f'f.>Mf-Pf:')y-{f-Pf')^=o

(io), quando la /3 v' è variabile : dunque se risolvessimo questa e-
quazione (Vili) rispetto a /3 , e ne ponessimo il valore risultante
nella prima delle equazioni (LVII) ; e ad un tempo ponessimo in
questa in vece di 5, a, le funzioni eh' esse sono di /3 , la risultante
equazione sarebbe l'espressione analitica delle anulari di quinta classe.
47. Assumiamo come note le forme delle funzioni y, f, , della
/3 nel senso deito al N.° 44 > ^ perciò come date dalle equazioni
(LIV) ; ed assumiamo come risoluta rispetto a /3 la (VIII)

o r altra ad essa equivalente

/•(/)W/-(0,+.(0

2^0 ,

dopo avervi per f, f, , poste le date flinzioni esplicite f[^)iflfi) che
nel senso detto al N.° 44 esse sono della /3. E siane risultato

/?=if(x,y,s).

Per ciò che abbiamo detto nel N.° precedente , essendo non
solo /, y, funzioni della /3 , ma ancora le 2 , » funzioni della

ii4

medesima (3 , sarà

Rossi

/=/(^(a;,y,s))
/=/,(>(x,y,3))

*=/3(<?(a;,y,«))-

Nelle quali /, / sono funzioni della <?i della slessa forma che
sono/, /, della (2 , date dalle equazioni (LIV) ; ed /, , /, sono
funzioni della ^ di forma in generale diversa da quella che sono le
/, f, della /3. E se supporremo sostituita di fatto in /, /. 5 /» ? /a >
quella funzione che è la <? delle x , j , z , potremo più semplice-
mente porre

(LVIII). f,=f,{Cf)=^,[x,y,z)

48. Se sostituiremo dunque queste espressioni nella prima delle
(LVIl) , otterremo la espressione cercata dell' anulare generale di
quinta classe. Ed è
(LIX)

(29 ?4+(a;-(?> )V(?'+9.'+<?»'')X^-? )p-2'?3 (^.^(y) +^^*(^)')^

Nella quale sono x,j^ z le tre coordinate riferite a tre assi ortogo-
nali , la di cui origine è nel vertice del cono direttore dell' anula-
re , <?,<?!) ^2 t ?3 , 94 cinque funzioni di esse coordinate x ^ j ^ z
da determinarsi , e p rappresenta ciò che diventa il polinomio R ,
quando in luogo delle § , /(/3) , fi^) vi sostituiamo le espressioni
(LVIII), dopo avervi generalizzate le derivate : esiste dunque (XIII)

b

sulle Superficie Anulari.

ii5

la relazione

<-' VG'(|)')'+(.-(^)7h-(k(ì)'J

49. Abbiamo veduto (47) che la funzione «fC^:,/, 2) si ottiene
dalla risoluzione della

(/;'-/y:)-v+(/,-/3//)y-(/-^/')^=o,

rispetto a /3 ; ma dopo avervi messo per y", y, le funzioni effettive
che esse sono della j3. Ora ritenghiamo rimesso in questa equazione
il valore 9 (x,j-, s) ottenutone per /J. Per una tal sostituzione (L Vili)
le f, f, divenleranno <Jf,(x,/,z), <^2(^a:,f,z), ed essa equazione sarà
verificata. Avrà luogo dunque la equazione di condizione

(LXI) ^Ì\)^+^'{^^)^+Av^^='

che sarà identica. E però in generale delle cinque funzioni ?,<?',i'?ji?3,i?4,
quattro sono arbitrarie, ovvero possono determinarsi dalla definizio-
ne dell' anulare di quinta classe particolare , tra le quali sono sem-
pre le 93 ) 94 ; e l'altra dipende dalle altre due di quelle quattro:
e di esse le 93 » 94 sono arbitrarie ed indipendenti , e le altre tre
9. 9i ) 92 , sono ligate tra loro dalla relazione (LXI), onde due sole
di esse sono arbitrarie.

Riavvicinando dunque tutto ciò, a quel che dicemmo ai N.' /^t,
42, 4'iì couchiuderemo il seguente

Teorema. La espressione analitica la più generale delle anu-
lari di Quinta Classe si presenta composta da sette funzioni delle
tre coordinate , delle quali sei sono arbitrarie : e queste sei pos-
sono sempre ridursi a quattro. Però la pia semplice espressione
deir anulare di quinta classe ha quattro funzioni arbitrarie.

50. Per abbracciare implicitamente la relazione (LXI), che e-
siste Ira le tre funzioni 9, 9i 1 9» > basterebbe per essa eliminare
dalla espressione (LIX) la funzione 9. Allora essa espressione con-
terrebbe le sole funzioni arbitrarie 9i i 92 1 93 , 94 , tutte iudipea-

1 1 6 Itossì

denti tra loro , e da determinarsi per condizioni che definiscono l'a-
nulare particolare di quinta classe. Ma non occorre che ciò si fac-
cia , perciocché la espressione ne verrebbe soverchiamente compli-
cata : e d' altronde basta ciò che abbiam dichiarato in ordine ad
esse funzioni.

II.

5i. Abbiam detto (49) che le cinque funzioni comprese nella
espressione (LIX) potrebbero ridursi ad esser quattro soltanto ; e
che queste sono arbitrarie ed indipendenti. Possiamo dunque sup-
porre che una di esse ritenga sempre la medesima forma , e che le
altre vadano prendendo tutte le diverse possibili. Tutte le anulari
allora , che saranno rappresentate dalla espressione (LIX), avranno
una proprietà comune , espressa in quella funzione , che abbiam
supposta ritenere sempre una medesima forma. Dunque potremo
dire ammettere le anulari di quinta Classe tanti generi, quante sono
le forme diverse che può avere una di esse funzioni, che assumia-
mo sia la ^ì .

Ritenga ora <^2 la medesima forma. Potrà sempre la medesima
forma ritenere ancora la 93 ; e variare comunque la 94. E tutte le
anulari rappresentate dalla espressione (LIX) , avranno non solo in
comune quella proprietà espressa dalla funzione 92 , ma ancora in
comune una seconda proprietà espressa dalla forma della funzione ^3.
Dunque potremo enunciare che tutte le anulari di un medesimo ge-
nere sono di tante specie per quante sono le forme diverse che può
avere la funzione 93. E se rifletteremo che in sostanza 93 sta (47)
per le distanze S del centro della circonferenza dell' anulare in ogni
sua posizione (io) dal lato del cono direttore secondo il quale tocca
il suo piano, potremo ancora enunciare che le anulari di quinta classe
di un medesimo genere sono di una medesima specie, quando la legge
del variare delle distanze del centro della sua circonferenza gene-
ratrice dal lato di contatto del suo piano col cono direttore si man-
tiene la stessa : e che però quelle di un medesimo genere potranno
essere di tante specie per quanto in diverso modo potrà immaginarsi
essa legge.

sulie Superficie /inulari. 1 1 7

Ritenga la $4 pure la medesima forma , meutre la medesima
forma ritengono le «fj , ^3. Una terza proprietà comune avranno
tutte le anulari rappresentate dalla espressione (LIX) ; e però tutte
quelle di una medesima specie potranno essere di tante varietà per
quante possono essere le forme diverse della funzione 94- ^ poiché
94 sta (47) per la distanza « del centro della circonferenza dell' a-
nulare in ogni sua posizione (g) dalla retta della rigata determina-
trice che è sul suo piano, potremo enunciare che le anulari di una
slessa specie sono di una medesima varietà , quando la legge del
variare della distanza del centro della circonferenza generatrice del-
l' anulare dalla retta della rigata determinatrice che è sul suo piano
si mantiene la slessa : e che però potranno essere di tante varietà
per quanta diversa di maniera potrà immaginarsi essa legge.

Fin ora abhiamo supposto ritenere successivamente lo stesso va-
lore le funzioni «fa , 93 , 94 ; e nulla abbiamo detto della funzione
<p,. Ma è chiaro che mentre la i?2 va preudendo tutte le forme pos-
sibili , la i?i potrebbe ritenere sempre la medesima forma ; e che
però le anulari di quinta classe di tutti gl'immaginabili generi, po-
trebbero avere insieme una sola e medesima proprietà corrispon-
dente alla individuata forma della i^i. Dunque tutte le anulari di
quinta classe possono essere cliissifìcate in Gruppi diversi ; e tanti
essi saranno , per quante sono le forme diverse che può prendere
la funzione 9i- Ciascuno dei quali gruppi poi potrà contenerne di
tanti generi per quante sono le possibili forme che può avere la
funzione <?2.

E conchiuderemo da tutto ciò, che le anulari di Quinta Classe
vanno distinte in gruppi ; quelle di un medesimo gruppo |in genere;
quelle di un medesimo genere in ispecie ; e quelle di una slessa
specie in varietà. E che potremo specificare il gruppo soltanto
dando una forma determinata alla sola Oii{x^y^ z)\ potremo specifi-
care il gruppo ed il genere, dando la corrispondente forma determi-
nata alla 9,(^,^,2), ed anche alla 92(j:,j', z); il gruppo il ge-
nere e la specie dando la corrispondente forma determinata alla
9i » 91 » e «iiix^ /i *) i ^ potremo specificare il gruppo , il genere
la specie ed anche la varietà, dando la forma corrispondente a tutte
quattro le funzioui 9t i fa , 93 , 94.

ii8 Bossi

Queste funzioni potranno avere forme diverse ; e si compor-
ranno cosiffatte forme non solo dalle variabili o coordinate a;, j-, s,
ma ancora da quantità costanti per ciascun' anulare , che saranno i
parametri di essa : ed è chiaro , che senza cambiare le forme delle
funzioni , potranno variare certe relazioni tra esse costanti. Di qui
le sotto varietà. E quindi ancora la varia grandezza dell' anulare ,
secondo che varia la grandezza dell' una o dell'altra di esse costan-
ti , o di tutte.

Parimenti potrebbero ritenere certe individuate forme le 9i, 92,
?3i ?4 ; ed inoltre esistere certe relazioni, o dipendenze tra loro, le
quali relazioni o dipendenze potranno essere diverse , comunque ri-
mangano le medesime quelle individuate forme. Allora nasceranno
tante famiglie per quante sono quelle relazioni o dipendenze. E poi-
ché, quantunque variassero le forme delie funzioni <?i, 92, 93, 94, pure
potrebbero tra loro ritenere esse medesime relazioni 0 dipendenze ;
avremmo in questo caso , per tutti i gruppi , generi , specie e va-
rietà alle quali si riferiscono esse forme delle funzioni 9,, ^i, 93, ?4»
delle famiglie di ugual nome, ossia di un medesimo stipite , come,
nel progresso , di fatto vedremo.

ARTICOLO II.

Cir>ieii\o\ve 'ieita. ii^atattttiitica. iett anutate ueiietate di ^uiuta Qtaóóe.

Sa. Dopo ciò che abbiamo fin qui detto nel presente capitolo,
è facile il trovare la espressione della caratteristica dell'anulare ge-
nerale di Quinta Classe.

Cominciamo dal trovare quella di un' individuato punto di essa
caratteristica ; e perciò (44) poniamo A=\/(/3- -|-y=-f/') — » nelle
(XXX) , che rappresentano (24) quel punto di una individuata cir-
conferenza di un' anulare qualunque a cono direttore , il quale ap-
partiene a quella caratteristica eh' è individuata per un valore par-
ticolare della r.

sulle Superficie Jmdarì. 1 1 9

Falla la sostituzione, la prima e la terza delle (XXX) si tras-
formeranno nelle medesime (LVll) •, e la seconda nella
(LXI!)

(^-/3)/3+ Cy-/)/+(s-/. ^y:+( I " vi^)* Vr +/--h/:')=o

E questa insieme colle (LVII) rappresentano un' individualo punto
di una individuata caratteristica, non più di un' anulare qualunque
a cono direttore , ma di una di quelle di quinta classe.

53. Per dedurne la espressione , non più di un individuato
punto di una individuata caratteristica , ma di questa tutta intera,
poniamo (47) in esse medesime espressioni (LVII) e (LXII) per /3
la <f{x,jr, z), per /(/3) la <f,{x,j, a), per/, (/3) la <f.(.r,j, z).
Verremo cosi , per ragionamenti analoghi a quelli falli al N.°
46 , a considerare non quell' individuato punto della caralteristica ,
clie appartiene alla circonferenza dell' anulare, eh' è individuata j)er
un particolare valore della (3; ma ad abbracciare ad un tempo tutti
i punti della caralteristica appartenenti alla universalità delle circon-
ferenze dell' anulare ; perciocché per essa sostituzione vengono ad
abbracciarsi, come ampiamente dimostrammo (46, 47), tuli' i possi-
bili valori della /3 , che sono quelli dati dalla (Vili) risoluta rispet-
to a /3 , quando vi si ritengano le ^, j", s come variabili. E poiché
la seconda delle (LVII), per le dette sostituzioni, si trasforma nella
(LXI) eli' è identica , verificandosi da se (49) , basta ritenere la
prima di esse (LVII), e la (LXIIj. E pertanto oltenghiamo per espres-
sione della caratteristica ,
(LXIII)
(2? <s,-|-(a;-<? ) V(<?'-|-?r+9^))(-« - •? )e—z<^/^,^Q)'+^M-)'^x

+(29,9.+(y-9jV(?'+9r'+?.=))^i^-9.,V-2(?/ 9'(^) +9.^(7-'y')y
Tom. FI. 16

120 Bossi

Qui le ^,j>', s, sono le coordinate della caratteristica riferite a
tre assi coordinati ortogonali colla origine nel vertice del cono diret-
tore (3) , la r è il parametro di posizione che determina ciascuna
diversa caratteristica su di una medesima anulare (21) , e le <f ,
?'i > ?: ) fs ' ? 1 sono delle funzioni delle coordinate, delie quali quat-
tro arbitrarie; cioè le <f>j, <fi , e due delle 9» 1 f^, ? = ? essendo que-
ste ultime ligate tra loro dalla relazione (LXI) , e la P vi sta pel
radicale (LX).

E se si osservi che la seconda delle (LXIII) non contiene punto
la funzione di specie (5i) f 3 ; e che d'altronde essa rappresenta
una superfìcie , la quale sarà però sempre la stessa di natura qua-
lunque sia la forma della f»;, tanto solo che le f,ft,f', <f 1 , vi
abbiano la medesima forma, potrà inferirsene il seguente

Teorema. Le anulari tutte dì quinta classe, di qualunque specie
Steno, purché appartengano alle famiglie di un medesimo stipite di
varietà (5i), e ad un medesimo genere di un medesimo gruppo ,
I tanno le loro caratteristiche , corrispondenti ad un medesimo pa-
rametro di posizione , allogate tutte in una sola e medesima su-
perfìcie diversa dall' anulare alla quale appartengono.

E la equazione di una tal superficie è espressa dalla seconda
delle (LXIII).

II.

54. Essendo r il parametro di posizione della caratteristica, è
chiaro che otterremo la espressione di una individuata caratteristica
particolare , tra quelle di una medesima anulare di quinta classe
qualunque, dando a t quel valore particolare che ad essa indivi-
duata caratteristica corrisponde.

E vogliasi in primo la caratteristica eh' è linea di contatto del-
l'anulare colla sua rigata determinatrice. Dovremo , per ciò otte-

. I r

nere, tare .<f .tang.T=zero , e quindi _ =1 , essendo -7z:=rr

il coseno generale dell' arco la di cui tangente è r. Epperò , per
essa linea di contatto , colla prima delle (LXIII) esisterà la

I

sulle Stiperjlcie Jmilari. 121

espressione indipendente non solo dalla <f j , ma ancora dalla ^t.
Quindi il

Teorema. Tutte le anulari di quinta classe , di uno stesso
genere di un medesimo gruppo , e di qualunque specie o varietà
siano (5 1 ) , hanno tutte la curva di loro contatto colla rispettiva
rigata deterndnatrice allogata in una sola e medesima superficie
diversa da ciascuna di esse. Una tale superficie è espressa dalla
(LXIV).

55. Vogliasi in secondo luogo la caratteristica , i di cui punti
sono i più lontani dal cono direttore , ed anche 1' altra i di cui
punti sono i più vicini ad esso.

Ne otterremo le espressioni facendo nelle ( LXlII ) prima
./^.tang.TssH , e poi .<^.lang.T=3'i . In ambi i casi sarà cos./^.tang.r,

ossia =0. Epperò per ambi i casi la seconda delle (LXIII)

diventa

Quindi il seguente

Teorema. Nelle anulari di quinta classe le caratteristiche ,
la più lontana dal cono direttore e la più vicina ad esso , sono
insieme sopra una sola e medesima superficie diversa dall'anulare
alla quale appartengono. Ed una tal superficie ha per espressione
la (LXV).

Pertanto è osservabile che in qucst' ultima espressione la <f 1 v'è
conservata ; ed a differenza di ciò che avviene nella (LXIV) , che
manca non solo della f s , ma ancora della <f 4. Ed è facile vedere
che per qualunque altro valore della t la <f ' "oi Q^''' sparisce dalla
seconda delle (LXIII). La proprietà enunciata al N.° precedente
dunque compete solo alla caratteristica linea di contatto dell'anulare
colla sua rigata detcrminatrice.

Facendo y^.tang.T=2'J , si otterrebbe la caratteristica in su-
blime dell'anulare, cioè la più vicina al vertice del cono direttore,
e la seconda delle (LXIII) riterrebbe la «p^ , come abbiam detto.

122 Mossi

(LXVI)

ABTICOLO IH.

CófieiiioM» ìeffa inviluppata Jlijjata atC atiufate gettetafe
5t Quinta £(aóóe.

56. La (XLI) e la seconda delle (XL) esprimono insieme e-
S2)Iicilamente (32) una individuata retta della inviluppata rigata di
un'anulare di quelle a cono direttore. E per fare che esprimano
quella di una inviluppata di un' anulare, non qualunque a cono di-
rettore , ma di un' anulare di quinta classe , dovremo farvi (44)

E se vorremo di poi , dalla trasformata clie ne risulta , cavare la
espressione , non più di una individuata retta della inviluppata, ma
della inviluppata tutta intera , è chiaro , dopo il detto nei N. /\6,
47, ed anche nel N.° 53 , che dovremo invece della /3, contenuta
nella (XLI), porre il suo valore cavato dalla seconda delle (XL). Se
dunque in primo moltiplichiamo tanto il numeratore , quanto il de-
nominatore della (XLI) per DR ; quindi , riuniti i termini che in
ciascun membro moltiplicano R , generalizziamo le derivate ; poi
poniamo per A il binomio V(/3 +/'"hA') — * > ed in fine per jS,/,/,,5,«,
scriviamo rispettivamente f, <p, , f 3 , ifj , «^4 ; la risultante sarà la
espressione della inviluppata rigata dell' anulare generale di quinta
classe.

Fatte tutte cosiffatte operazioni ; ed in oltre chiamato s il seno
e e il coseno dell'arco la di cui tangente è r , ottenghiamo

(?!+«?,) ^9'(^)'-|-?.3 ^^■y^_(,,^,(,_c)+(y_c?.) V(*'+9,'+9.')) P

sulle Superficie Anulari. i23

ove p sta, al solilo, per ciò che diventa il radicale /? quando vi fac-
ciamo le dette sostituzioni (LXì ; e nella quale le x,y,z., ?'5'f,,<f ^ifjif» i,t
vi hanno il significato già dichiarato (53). E poiché 1 inviluppata
tocca sempre l' inviluppo lungo una sua caratteristica , è chiaro che
la caratteristica dell' anulare sta ad un tempo sulla superficie (53)
rappresentata dalla seconda delle (LXIII) : ne queste due espres-
sioni rappresentano una sola e medesima superficie , ma ne rappre-
sentano due essenzialmente diverse; perocché la prima dipende dalla
<pt soltanto, quando che l'altra dipende ad un tempo dalla mede-
sima <fi e dalia <f3 ancora. E pertanto la seconda della (LXIII)
e la (LXVI) simultaneamente considerate esprimono in generale pure
la caratterisUca.

II.

57. La (LXVIj esprime la inviluppata rigata generale di una
anulare qualunque di quinla classe. Ne individueremo una partico-
lare dando al parametro r , ossia ad j e e, che ne tengono le veci,
il corrispondente particolare valore.

Sia .^.tang.T=o. La inviluppata sarà (1) la rigata determinatri-
ce. In questo caso è 5=0 , e c=:i. E la precedente (LXVI), so-
stituitivi per s e e tali valori , e liberata da fratti , porge

(LXVII)

indipendente da ifs e da 94- Dunque il

Teorema. 2'utte le anulari di quinta classe , purché siano
di un medesimo gruppo e di un medesimo genere , ammettono
una sola e medesima rigata deterniinatrice, di qualunque specie^
varietà e grandezza esse siano (5i). Ond' è che data essa di na-
tura , non resta determinata uè la specie né la varietà dell'anulare,
ma solo il genere col gruppo.

E poiché 1' anulare tocca la sua rigata determinatrice secondo la
sua CUI litici iblica di parametro JAaiìg.r=o, ed essa determinatrice

1: 24 Rossi

ha le sue rette normali ciascuna a ciascuna di quelle del cono
direttore, ne segue che su di una medesima superficie rigata a ge-
neratrici normali a qui Ile del cono direttore, sono le caratteristi-
che di un medesimo parametro di posizione ^.tang.T=o, di tutte
le anulari di quinta classe di qualunque specie e varietà sieno, pur-
ché appartengano ad un medesimo genere di un medesimo gruppo.
Ma questa proprietà è analoga all'altra enunciata al N.54. Dunque
tanto la superficie rappresentata dalla (LXIV) , quanto la rappre-
sentata dalla (LXVII) , possono aversi come generale dalla linea di
contatto dell' anulare di quinta classe colla sua rigata determinatri-
ce , quando essa anulare non cessando di appartenere ad un mede-
simo genere di un medesimo giuppo va variando per tulte le spe-
cie e varietà possibili ; ovvero sono entrambe il luogo di tulte esse
linee di contatto. Però mentre le superficie generali rappresentate
dalla seconda delle (LXIII) e dulia (LXVI) sono essenzialmente due
diverse (56), nel caso del parametro di posizione ^.tang.r^o, deb-
bono esse confondersi in una sola e medesima superficie ; perciocché,
ove ciò non fosse, od una medesima curva genererebbe due superfi-
cie diverse, ovvero due superficie diverse sarebbero luogo di molle
medesime linee , lo che è assurdo ; oppure invece di tulte quelle
linee di cui esse superficie diverse sarebbero luogo , dovrebbe esi-
sterne una sola nella intercezione di esse medesime superficie; onde
poi ne verrebbe che tulte le anulari di quinta classe, comunque di
specie e varietà diverse, ammellerebbero una sola e madesima li-
nea di contallo di esse colla rigala deterniinatrice , lo che è pari-
menti assurdo ; perocché egli è vero che per tutte esse anulari la
delerminatrice è la stessa, ma colla (LXVII) che n' è la espressione
debbe necessariamente aver luogo la simultanea esistenza della pri-
ma delle (LXIII) , e questa varia al variare delle (ps » '?> '• onde
debbe necessaria/nenie variarne ancora la linea di loro scambievole
incontro, eh' è per lo appunto quella di contatto dell'anulare colla
sua rigata delerminatrice (54).

58. Se faremo ^.tang.T^ii , oppure y^.lang.T=3'! , avremo
le inviluppale ad elementi paralleli a quelli del cono direttore : la
più lontana da esso nel primo caso , la più vicina uel secondo. Ed

I

sulle Superficie Anulari. "X2^

è fucile il vedere die in aiuLi i casi la espressiouu della invilup-
pala ritiene ambe le funzioni 9;, f> 4 : e le ritiene eziandio per ogni
altro valore del parametro t , meno che nel caso di ^.tang.T=2'i .
Sia di fatto ^.lang.T=2T , sarà s=o , e c=— i. Sostituiti questi
valori nella (LXVl) , ne risulta ( dopo liberatala da' frutti )

(LXVill)

j.,-,,(,.(t:y+,.0)-(-«.)(.'(;-)'+^5-)')j,v>.+.'+..>
-<l(K?)'+'-'(s)>-('<f )'+'■(:-;)>!'

La /jualc espressione , come abbiamo enunciato , non più con-
tiene la <f , : ritiene solo la 'fi . Pertanto essa esprime la rigala in-
viluppata in sublime dell'anulare, cioè quella i di cui elementi sono
i più vicini al vertice del cono direttore; ed anche paralleli a quelli
della rigata determiuatiice. Dunque il

Teorema. Tulle le anulari di quinta classe^ di un medesima
genere di uno stesso gruppo , mentre ammettono una medesima
rigata determinalrice (57), non tutte ammettono del pari una me-
desima inviluppata ad elementi paralleli a quelli della determina-
lrice ; ma saranno coleste inviluppate , tante di natura diversa
per quante sono le varietà diverse competenti a ciascuna mede-
sima specie di anulari.

Intanto è osservabile che le (LXVII) e (LXVIII) hanno il pri-
mo membro con un fattore di ugual forma ; e che questo per le ri-
gate determinatrici è sempre zero , laddove per le inviluppate i di
cui elementi sono paralleli a quelli della determinalrice , è invece
uguale ad un multiplo della 2f>4 , la quale , come è palese , è u-
guule alla distanza delle generatrici parallele di esse due ri£;ate.

È poi utile osservare come la seconda delle (LXIIl) e la (LXVI)
dipendono dalle ?, > 94 ■ Quando ^.tang.T=:o , sono entrambe in-
dipendenti (54 , 57) da tulle e due esse funzioni ?j > 'fi ■ quando
y^.tang.T=2i , entrambe dipendono dalla «^4 e non dalla «fs : per
tutti gli altri valori dell'^.tang.r, la prima dipende dalla sola <f; ,
e la seconda dipende e dalla <f^ » ^'^ anche dalla «fi.

Jìossz

ARTICOLO IV.

Cifttòiioae òeUa. (Jligata a ^etvetattice 1(t)0tmafe a c|uef{a 3e((a
5nvifupfOta a(C auufate jeuetofe Si cjuÌMta daiie.

1.

5q. Per le cose dette nei N. 35 e 36 del Capo Primo; e per
tutto ciò che abbiamo detto nei N. 45 , 46 , 47 , ed anche 53 di
questo , si fa manifesto , che otterremo la espressione della rigata
a generatrice normale a quella della inviluppata dell'anulare generale
di quinta classe, facendo nell'una o nell'altra delie (XLIV) le se-
guenti operazioni; cioè 1 .° moltiplicando il numeratore ed il deno-
minatore di ciascun membro per DR; 2.° ponendo per A d bino-
mio V((3 +/'+/.') — * ; 3.° generalizzando le derivale ; 4-' scriven-
do in vece di ;3,/(/3) ,/. ,3) , rispettivamente <f , 'f , , «fa , e per 0 la
fi , e per * la 94 .

Per avere una certa relazione tra la espressione di questa su-
perficie e la trovata (LXVI) della inviluppata , eseguiamo tutte le
dette operazioni sulla seconda delle (XLIV). Otlenghiamo

(LXIX)

ed è questa la espressione della rigata a generatrice normale a qutrlta
della inviluppata. In essa 9 ■ ' "f - ' 'fj ' 9i sono quattro funzioni ar-
bitrarie delle .v,j, 3 ; <f ^' un'altra funzione di x^y, z non arbitra-
ria iudipeudeute , ma che dipende dalle due f , , '^2 per la relazio-
ne (LXI) ; x,y,z sono le tre coordinate dei punti della superfici-e
riferiti a tre assi ortogonali , la di cui origine è nel vertice del
cono direttore dell'anulare; ed i' e e sono il seno ed il coseno del-
l'arco la di cui tangente è t, essendo t il parametro di posizione
dichiarato innanzi (21).

I

sulie Superficie /anulari. tay

60. È manifesto che questa ultima espressione insieme colla
(LXVI) , simultaneamente considerale , rappiesentiino le linee me-
desime che le (LXIII) ; peicioccliè per un medesimo parametro di
posizione r , la intersezione della inviluppata, colla rigata a genera-
trice normale alla sua , è per lo appunto la caratteristica dell'anu-
lare inviluppo corrispondente all' individuato valore di t. E però
la caratteristica generale di un'anulare di quinta classe qualunque,
invilupjio di supL'rficie rigata , sta ad un tempo su quattro superfi-
cie diverse ; cioè sull' anulare medesima , data dalla prima delle
(LXIII) , sulla sua inviluppata data dalla (LXVI) , sulla rigata a
generatrice normale a quella della inviluppala data dalla (LXIX) ,
e sull' altra data dalla seconda delle (LXIII).

II.

61. Sia ora ^.tang.T^o : sarà s=o, c=z\. E se sia y^.tang.
T=2'' : sarà 5=:0, c= — i. In ambi i casi la (LXlX) si trasforma
in una medesima , che liberata dai fratti porge

(LXX)

(y^._a,,^p v(9'-f.<p,'-f <?.')=9=j^<p3 (^y-f <p.3(^)')?a-^$3qjy+,.3 (?!y^,

Ai parametri dunque corrispondenti ad y^.tang.T=t 0 , e ad.
j^.tang.T=2i corrisponde una sola e medesima rigata, a generatrice
normale a quella della inviluppata ; e la quale è ad elementi parai*
leli a quelli del cono direttore. Per la qual cosa su questa rigata
sono ad un tempo la caratteristica di contatto colla rigata determi-
natrice , e la caratteristica in sublime dell' anulare.

La (LXX) essendo indipendente dalla f^ , ne segue che di-
pende solo dalla fi e dalle <f, , <f a. E poiché le rigate a genera-
trice normale a quella della inviluppata, passano tutte per la curva
dei centri dell' anulare, n' emerge il seguente

Teorema. Tulle le anulari di quinta classe di un medesimo
gruppo , di uno stesso genere e di una medesima specie , dt

Tom. ri. 17

H 28 Jìosst

qualunque varietà sieno, hanno tutt' i centri delle loro circonferenze
generatrici allogati sopra una sola e medesima rigata ad elementi
paralleli a quelli del loro comune cono direttore. Onde è che data
di natura nna tale superficie rigata , resta determinata l'anulare di
specie e di genere bensì , ma non di varietà.

Per ciò che abbiamo osservato al N. precedente, 1' ultima tro-
vata espressione e la (LXVII) , od anche (54) la (LXIV) espri-
rnono insieme la linea di contatto dell' anulare colla sua rigata de-
terminatrice. E però concliiuderemo , che una tal linea è indipen-
dente del tutto dalla <f4 ; e che data la rigata deferminatrice essa
linea vien determinata su questa dalla 'fi; perocché date le "f n <f »
sono del tutto determinate la (LXVll) e la (LXIV), ma la (LXX)
non è determinala che quando colle <f , , <f = è data anche la fs. Dun-
que è la linea di contatto dell' anulare colla sua rigata determi-
natrice che determina la specie di essa : essendo la forma della
funzione ifj che la dà (5i).

Ga.Sia ora .K^.tang.Tssi'i ; sarà i=i,c=o.E se sia^.fang.T:=3i ;
sarà s= — i, c=o. la ambi questi casi la (LXIX) diventa

(LXXI)

i ^.('■(?)'+' '0')-'=-^ (''(7)'+''t-)1 v'('-+' .•+'■■)=

Espressione indipendente dalla <f' ■> si contrario della (LXX) eh' è
indipendente dalla 'fi ; e la quale rappresentando una superficie che
ha sur essa le due caratteristiche , la più vicina al cono direttore ,
e la più lontana da essa, è indipendente dalla <fì , e dipende dalla
9* , come lo è per la (LXV) che pure rappresenta una superficie
(55) sulla quale sono esse due medesime caratteristiche, la più vi-
cina e la più lontana dal cono direttore.

E poiché r ultima ottenuta espressione è indipendente dalla <f3,
e rappresenta una rigata i di cui elementi sono paralleli alla rigata
determiuatrice , e passano per la curva dei ceutri dell'anulare (35)^
ne iuferiremo il

sulle Superficie Anulari. (I29

Teorema. Tutte le anulari di quinta classe di un medesimo
genere di uno slesso gruppo , e di qualunque specie sieno , pur-
ché appartengano ad un medesimo stipite di varietà (5i), hanno
■i cèntri di tutte le loro circonferenze generatrici allogati in una
sola e medesima rigata ad elementi paralleli a quelli della rigata
determinatrice.

Ond' è che data di natura quest ultima rigata., resta determi-
nata di genere e varietà /' anulare., ma non di specie. E se si ri-
fletta che questa rigata , e l'altra rappresentala dalla (LXX) pas-
sano insieme per la curva dei centri , e- che determinata quest' ul-
tima espressione è determinata la 9^ (61) ? ^^ conchiuderà che una
lai curva dipende non solo dalla <p4 , ma ancora dalla "fs ; e che
data la rigata ad elementi paralleli a quelli del cono direttore avente
la caratteristica di contatto dell' anulare colla sua rigata determina-
trice come sua direttrice (ch'è appunto quella espressa dalla (LXX))
essa curva vien determinala su questa dalla ^4 i perocché date le
<?■ ) <p= » <f3 è del tutto determinata la (LXX) , ma la (LXXI) , la
di cui intersezione coli' altra dà la detta curva, non è determinata ,
che quando colle <f" ' 'f" ' "f' ) ^ data anche la <p4 .

Intanto è osservabile che 1' ultima trovata e^pressione è del
lutto simile alla (LXVIII) della inviluppata in sublime dell' anula-
re ; e che solo ne difTeriscono , per essere in quest' ultima invece
della 'fi il 2<f4 . E così debb' essere ; perciocché la rigata della e-
spressione (LXXI) ha le sue generatrici rette ad egual disianza da
quelle della rigata della espressione (LXVIl) e dalle altre della ri-
gala della espressione (LXVIII) ; e comprendesi la ragione ancora
della composizione relativa di esse tre espressioni. Per la (LXVII)
la distanza <f4 di ciascuna generatrice retta della superficie dalla rigata
determinatiice è zero; per la (LXXI) la distanza di ciascuna genera-
trice retta dalla determinatrice è la stessa 'fi ; e per la (LXVIII) la
distanza di ciascuna generatrice retta dalla determinatrice medesima
è -ì^i : e comprendesi ancora perchè cou mirabile accordo tutte ?
tre SODO indipendenti dalla <f 3 .

1 5o Rossi

III.

63. Al N. 5i classificammo le anulari (ulte di quinta classe
in gruppi , generi , specie , e yarietà fondandoci sulle forme diverse
che potrebbero avere le quattro funzioni arbitrarie "f , . <f » , "f ^ » ?<
che entrano nella composizione della espressione analitica dell' anu-
lare.

E dopo, dalle verità enunciale ai N. 57, 61, 062, siamo stati
naturalmente condotti a cavare consegoenze per le quali abbiamo po-
tuto comprendere 1' equivalente geometrico di quella classi&cazione.
Onde è che possiamo ora in uno conchiudere :

1." che dato il cono direttore e la rigata determinalrice è dato
il gruppo ed il genere dell' anulare (S^) ; perocché per esse soa
date le forme delle funzioni 'f,,'f-, che determinaao l'una il gruppo
e l'altra il genere (5i) :

2.° che data in oltre sulla rigata delerminatrice una curva cod-
tinua , è data la specie dell'anulare ; perocché per essa è data (61)
la forma della funzione fi , che determina la specie (5i).

3." che data in oltre una rigata ad elementi paralleli a quelli del
cono direttore , avente per direttrice sua la curva di specie, ed una
curva continua tracciata sur essa , è data la varietà dell' anulare ;
perocché è data perciò (62-) la forma della funzione fi , che deter-
mina la varietà (5t).
Quindi il

Teorema. Classificate in Gruppi tutte le anulari che ativ-
mettono un medesimo cono direttore, i.° quelle di un medesir/ìo
gruppo sono di tanti Generi , per quante possono essere di varia
natura tutte le immaginabili curve tracciabili sur esso cono ; ed
appartengono ad un medesimo genere quelle le di cui rigate d»-
terminatrici, hanno una medesima di queste curve per direttrice :
3." quelle di un medesimo genere sono di tante Specie, per quanta
possono essere di diversa natura tutte le' immaginabdi curve trac-
ciabili sulla rigata dcterminatric e ; ed appartengono ad una me-
desima specie quelle la di cui curva di contatto colla corrispon-

sulle Superficie /anulari. iSi

dente rigata determinatrice , è della stessa natura : 3.* quelle di
una medesima specie sono di tante varietà , per quante possono
essere di diversa natura tutte le immaginabili curve tracciabili sur
una superficie rigata ad etementi paralleli a quelli del cono di-
rettore , avente quella curva di specie per direttrice.

IV.

64. Per ultimo si voglia la espressione della curva luogo dei
centri di tutte le circoDfercnze generatrici, dell'anulare generale di
quinta classe.

Per trovarla, consideriamo che tutte le rigate a generatrice nor-
male a quella della inviluppala passano per essa curva dei centri, e
che però la esistenza simultanea delle espressioni di due diverse di
esse, dà per lo appunto essa curva. Scegliamo per esse due, quelle
le di cui espressioni sono le più semplici. E però prendiamo le due
(LXX), (LXXI); e queste due, simultaneamente considerate, espri-
mono per lo appunto essa curva dei centri. E si potranno comun-
que combinare tra loro ; onde otterremo altre espressioni equivalenti
ad esse medesime ; e che pure rappresenteranno essa curva. Così ,
se ritenghianio la prima di esse e 1' altra che risulta dal divi-
derle r una per l'altra ; otlenghiamo, dopo le riduzioni diesi pre-
sentano, tenendo conto della prima medesima, ]^er espressione della
curva dei centri , le altre due

(LXXII)

Espressioni che hanno maggiore analogia tra loro delle precedenti ;
ma delle quali non potremo valerci , quando il primo membro di
ciascuna di esse , per la generazione dell' anulare particolare , an-
dassero a zero 0 diventassero identici ; perciocché esse allora , nel

tZì Rossi

fatto , potrebbero equivalere ad una sola. Però ci serviremo delle
espressioni (LXXIl) , analoghe tra loro , sempre che ciò non av-
venga ; ed in generale secondo le occorrenze , o di esse medesime
o delle (LXX , e LXXI) , considerate simultaneamente.

In quesle due ultime espressioni, e nelle (LXXII) <f>„(f>2,'f^,<^i.p
lianno il significato dichiarato innanzi (47, 4^) ; e \a 'f dipende dalle
<p, , f 1 , per la solita relazione ('LX!)

65. Potrebbero essere tali le forme delle funzioni f>,,'p»i?')i?'4,
da far risultare di primo grado una delle equazioni alle quali si ri-
durrebbero le (LXXII) per la sostituzione di esse funzioni ; o tali
da potersi da esse due equazioni medesime ottenere una terza equa-
zione di primo grado rispetto alle variabili. Allora tutte le anulari
di quel gruppo, genere, specie, e varietà, corrispondenti a quelle
individuate forme delle funzioni 9 > ' 'f = ' ? 3 > 94 1 apparterrebbero q
famiglie diverse di un medesimo stipite, o carattere : e questo è il
caso che dicevamo al N. 5i. Il carattere comune a tutte queste fa-
miglie sarebbe di essere a curva dei centri piana.

E parimenti se avvenisse che la 'fi si mantenesse costante , si
avrebbero varietà di generi , specie , e gruppi diverse , ma appar-
tenenti ad una medesima famiglia , od a famiglia di un medesimo
stipite , o carattere : e direbbonsi a generatrici costanti.

66. Se fossero tali le forme delle <f , , ^3 , <f , , <fi, da non risul-
tare di primo grado nessuna delle (LXXII) , ma la (LXXI), che
sempre può cavarsene; ovvero se esistesse tal relazione Ira esse od
alcune di esse , da riferirsi ad un piano la relazione (LXXI; , in-
trodotte tali relazioni nelle diverse espressioni analitiche trovate, le
trasformate apparterrebbero alle famiglie delle Canali , considerate
dal celebre Mònge : e proprio ad esse se la <f4 io^^^ costante; ma
a famiglie più, generali se la ^4 restasse variabile. Perciocché allora
i piani delle circonferenze generatrici dell' anulare si manterrebbero
sempre perpendicolari ad uq. medesimo piano , che sarebbe il piano

sulle Superficie Anulari.

i33:

dei centri ; onde 1' annliire potrebbe riguardarsi come inviluppo di
sfere : e nel primo caso di <^^ costante, la sfera mobile sarebbe di
uguale grandezza , ed il canale di ampiezza costante : nel secondo
caso di 94 variabile , la sfera mobile sarebbe di grandezza varia-
bile , e quindi il canale di ampiezza variabile.

Quando si bramassero le espressioni delle anulari di quinta
classe apjiarlcnenti alle famiglie delle canali ; non si dovrebbe far
altro per trovarle che introdurre nelle espressioni trovate la detta
relazione tra le 9 ' > '?= ' *f s > *P4 o ''''' alcune di esse. E per deter-
minare essa relazione potrebbe servire la seguente considerazione ,
che ne mostra la esistenza : od anche potrebbe farsi uso dì altra
equivalente.

Immaginiamo già esistere nello spazio la rigata determinatrice
dell' anulare. Perchè la (LXXl) potesse essere un piano , dovrebbe
la rigata determinatrice essere a piano direttore. E cosi immaginia-
mo che sia. E sia dato nello spazio il vertice del cono direttore da
determinarsi. Per un tal punto immaginiamo condotte delle rette
perpendicolari alle rette della rigata determinatrice. Il luogo dei
piedi di queste perpendicolari costituirà la direttrice del cono, e la
direttrice della rigata a piano direttore. Si tratterà di esprimere col-
r analisi che il piano che passa per ciascuna retta della rigata e per
r altra del cono la quale è ad essa perpendicolare, tocca sempre la
curva luogo dei piedi di quelle perpendicolari. E la espressione di
questa condizione darà la chiesta relazióne. Ma non ci fermeremo
su questa ricerca , bastandoci averne indicato il principio e lo scopo.

iS^ Rossi

ABTICOLO V.

(Jdati i dDetctmtitautt 3e{{' ©LuuCate ^atttcoCaze di quiitta ctaiie, de-
tettMtitatue (a ecjuajtoue : e detetmtnative qiiefCe de{{a óua catat»
tettjtica , de({a ;tua tnviCupuata, e itUa ctaata a aenetattice «loc*
«Mate a c^uiUa òtUa. inviluppata.

67. Secondo che ponemmo (*) sono Determinanti di una anu-
lare di quinta classe il suo cono direttore , la sua rigata determi-
natrice, e le leggi del variare delle distanze del centro della circoa-
ferenza mobile che genera la superficie , dal lato del cono e dalla
retta della detcrminatrice , che sono sul piano di essa circonferenza
in ogni sua posizione.

E questi determinanti possono essere od esplicitamente, od im*
plicitamente dati.

68. Siano in primo esplicitamente dati.
Sia

jf ,(«, y, 2)=o

la equazione del cono direttore. E

quella della rigata determina trice.

Queste due superficie s'intersecheranno (43). Siano /S , y, « le
coordinate della curva di loro intersezione. Le equazioni di sopra
saranno soddisfatte da quest' ultime coordinate , e le due

(Lxxiii) i 5'!^' '*'' 'h**

esprimeranno la curva che è direttrice comune del cono direttore ,
e della rigata determinatrice , nel senso detto al N. 44*

(') Generalità Geometriche tulle superficie anulari. Pubblicate per le stampe
1844. Napoli.

sulle Superficie /anulari. i35

Colle equazioni (LXXIII) esistono le loro derivate rispetto a ^

e colie quattro precedenti l'altra (io)

che è quella del piano tangente alla curva delle equazioni (LXXIII).
Nota la legge del variare delle distanze del centro della cir-
conferenza mobile dalle rette del cono direttore e della rigata de-
terminatrice che sono sul suo piano in ogni sua posizione, debb'es-
ser nota una relazione tra esse distanze 5,», e le coordinate .r, j,s.

Siano

£,{S, X, y, z)=o

£4{*, X, y, s)=o
colali relazioni.

Abbiamo dunque le sette equazioni

(I) £.{i3,y,e)=o

(a) £.{(3, y, £)=o

(3) £'{y)y'+£,'{ey=o

(LXXIV) (4.) £.'(y)y'+£.'ÌB)B'=o

(5) (ye'—yU)x+{s—^a')ij—(y—^y')z=o

(6) £,{S, X, ij, s)=o

(7) -f i(«. *, !/, s)=o

Dalle quali conosceremo tutte e cinque le funzioni <f » fo •?')?!)'?'«
che sono nelle trovate espressioni delle anulari.

Dalle prime quattro delle equazioni (LXXIV) caveremo i va-
lori di 7, £, y', e' : Sostituiti questi valori nella quinta, avremo nella
trasformata una equazione che conterrà /3, x, /, z; la quale riso-
luta rispetto a /3 darà il valore di /3 in funzione ài x,y,z ; e que-
sta (47) sarà la funzione ^(Xjj, r) cercata. I valori di y,e che si
saranno ottenuti , sono in funzione della sola /3 , onde sostituito in
essi valori , quello ottenuto per /3, otterremo per y un valore tutto
Tom. FI. i8

i36 Bossi

in x,y, z, perciocché /3 così è data ; e questo valore sarà la fun-
zione ^, : e parimenti per e atterremo uu valore tutto in x,y, z,
e questa sarà la funzione (f,. Risoluta la sesta equazione rispetto a
S si otterrà (47) la funzione «fj . E risoluta la settima rispetto ad
K , otterrassl la funzione (p4 .

II.

69. Siano ora non più esplicitamente dati i determinanti anzi-
detti (67) della superficie.

Potranno darsi due casi. 0 clie sia data la direttrice comune
del cono direttore e della rigata determinatrice ; o che sia data una
curva qualunque direttrice del cono direttore , ed una qualunque
direttrice delia rigata determinatrice. Esamineremo prima , come
procedere nel primo caso , dopo come procedere nel secondo.

^o. Siano le equazioni

i£i'P, 7. e)=o
)i-.(/3, 7, s)=o

quelle della curva direttrice comune del cono direttore , e dell'anu-
lare determinatrice. E

quelle della curva luogo dei centri della circonferenza mobile. E
siano al solito or, j, z le coordinate dell'anulare, riferite tulle ai
medesimi assi ortogonali , che passano per quel punto che sarebbe
■vertice del cono direttore : siano cioè ^, /3, ^ , quelle valutate sul
primo asse , j, V, 7 quelle valutate sul secondo , e z, £, r , quelle
valutate sul terzo.

Avremo le seguenti dieci equazioni (44, 'o, 11, 9)

sulle Superficie Anulari. i37

(1) X. (i3. 7, £)=0

(2) £. (/3, y, £)=o

(3) Xi'(r)y'+i:,'(£)£'=o

(4) Ì"A')')l''+^='(£)£'=o

(5) [yi'-'y'e)x+[i-Pi')ij-{y-^y')z=Q
(LXXV) (6) Up,q,r)=o

(7) ■f^(/'. ?• '•)=o

delle quali la terza e quarta sono le derivale delle due prime ri-
spetto a /3 ; la quinta è la equazione del piano tangente alla curva
(Ielle due prime equazioni ; e le tre ultime emergono dalie sette
pi eadenti in conformità delle considerazioni falle ai N. 8, 9, io,
II, 44- ^ queste dieci equazioni ilelerminaiio le funzioni ?■ 9., i?>2,
93 , 94-

Trattate le prime cinque delle (LXXV) , come le prime cin-
que delle (LXXIV) si otterrà 9,9i,9=: saranno i valori di/3, 7,£.
Nella ottava delle equazioni (LXXV) precedenti, ponendo per /3, 7, e
7', i' i valori che si saranno ottenuti dalle cinque prime, otterremo
nella trasformata una equazione tra p , rj , r, e le x, y, z. Risoluta
(|uesta trasformata colla sesta e settima simultaneamente, otterremo
i valori di p, q, r, tutti in funzione di x, /, z. Sostituiti questi va-
lori nelle due ultime , e sostituitivi anche quelli delle /3, 7, s, ot-
terremo immediatamente i valori di 5, * in funzione di .r^ r, 2 j e
questi saranno le funzioni 9-, 9i, (47).

^i. Per ultimo siano

I £,{13, y, £)=o
I X:(,3, 7, £)=o

le equazioni della curva direttrice del cono direttore, il di cui ver-
tice h alla origine delle coordinate. E siano

(38 Bossi

quelle della curva direttrice della rigata determinatrice. E siano s^t^v
le coordinate della curva d' intersezione di queste due superficie.

Siano in fine

£ì {p, y, r)s=o
£~6 {p, y, »-)=o

le equazioni della curva dei centri dell' anulare.

A causa di questi dati, come determinanti, pel dello dal N.38
al N. 44 ) fid anche ai N. g, io, ed ii , avremo per determinare
le funzioni <?, 9i, ?=, ^s, ?4 , le seguenti equazioni

(3

(5

(6

(7

(8
(LXXVI

(9

(IO

(II

(12

(i3

(u:

(.5
(i6

^.'(7)y+^/(£>'=o

£, (6, IX, J,)=o
£, (0, IX, ^)=o

('(i)-'S)>K-(i)-o)^+a'i)-o)==°

i's (j», ?, '■)=o

i"+/ +?; y

\'(v+/+^')

ì

sulle Superficie Anulari. iSg

Ed ecco in qual modo per via di queste sedici equazioni si proce-
derà alla determinazioDe delle funzioni 9> ^n 9=1 9ji ?)•

Dalle quattro prime si determineranno i valori di y, £, 7', e', i
quali saranno dati tutti in /?. Ed essi valori si sostituiranno nella
settima , che si ridurrà a contenere le 6,;/, •>{., e la /3. La equazione
trasformata della settima , e la quinta ed anche la sesta si risolve-
ranno rispetto alle 9, ;/, 4-, e si otterranno i valori di queste in fun-
zione di /3. Questi valori di 0, f<, 4) ( iu funzione di /3 ) e quelli che
si saranno ottenuti per y ed £ (che pure sono in funzione di/3) si
sostituiranno nelle equazioni ottava , nona , e decima : e se ne ot-
terranno i valori di j, <, v, in /3. Ottenuti che si saranno cotali va-
lori di s, f, i», si calcoleranno le loro derivate rispetto a §. Ed esse
derivate ed i valori che si saranno già ottenuti per f, <, v, si sosti-
tuiranno nella undicesima ; la trasformala della quale però dopo le
sostituzioni conterrà la sola /3 , e le x, 7, z. E questa trasformata
si risolverà rispetto a /3. Il valore di /3 che se ne otterrà, il quale
sarà in x^ y, z , si sostituirà nei .valori di j, <, v, già ottenuti in
funzione della sola /3 ; e questi valori di s, t, f , si otterranno per-
ciò in X, y, z soltanto ; ed essi saranno rispettivamente le funzioni
(f(x,y,z), <fi(a', /, s) , 02(x,j,z). Nelle derivate già calcolate
di j, t, V, rispetto a /3, si porrà il valore che in x-, >', z si sarà ot-
teDuto per /S, ed i valori che ne risulteranno, insieme con quelli di
s,t,v, in x,j, z già ottenuti, si sostituiranno tutti nella quattor-
dicesima equazione. E la trasformata di questa, che però non con-
terrà che p, q, r, ed x,y,z, e le equazioni duodecima e tredice-
sima , si risolveranno rispetto a p, q, r : ed i valori di p^ q, r, che
ne risulteranno , conterranno x,y, z, soltanto. Avremo dunque ot-
tenuto i valori di s, t, ^>, p,q, r, lutti in x,y, s. Sostituiremo que-
sti valori nelle due ultime equazioni ; ed otterremo 3, ed:t, entrambe
iti funzione delle sole x.j,z: e queste saranno le funzioni ?(j:,j ,3),
9,(x,y,z).

Tutti questi calcoli da farsi potranno sembrare lunghi e labo-
riosi, ma nei casi pratici risulteranno molto pili accorciati; e d'al-
tronde molte quantità da calcolarsi entrano in cgual guisa in di-
verse delle sedici equazioni (LXXVI) ; onde 1' esperio calcolatore ,

i4.o Rossi

menando innanzi i calcoli con ordine ed avvedutezza , non troverà
che siano essi molto lunghi.

III.

72. Nei numeri precedenti, abbiamo insegnato a cavare le
forme delle funzioni <? , <?■ 1 «Sj > ^j , 94 dai dati determinanti del-
l' anulare particolare di quinta classe , ovvero dalle equazioni che
rappresentano i medesimi determinanti. E questi sono il suo cono
direttore , la sua rigata determinatrice , e le leggi del variare delle
distanze del centro delle circonferenze dell'anulare dalle rette sul
suo piano di esso cono e della determinatrice. Ed abbiamo ezian-
dio insegnalo a ciò fare , quando invece di esser dati effettiva-
mente essi determinanti , 0 le equazioni loro ; sìeno date le curve
direttrici del cono direttore e della rigata dt-terminatrice, e due su-
perficie su cui ad un tempo sono i centri di tutte le circonferenze
dell' anulare ; nel quale altro caso pure essi determinanti sono come
dtt4i , ma implicitamente.

Dedotte da essi individuati deleraiinanti (od esplicitamente od
implicitamente dati) le forme delle funzioni 9 , 9, , i^), , (fs , f^ deb-
bo aversi come determinata di fatto la equazione dell' anulare par-
ticolare dei determinanti medesimi, ed anche quelle di ciascuna ca-
ratteristica di essa, di ciascuna sua inviluppata rigata, ed anche della
rigata a generatrice normale a ciascuna di quelle della invilupp;ita.
Perocché basta perciò sostituire esse effettive determinate funzioni
in luogo di 1? , 9i , i^ij , <?3 , i?'4 , nelle diverse espressioni analitiche
ritrovate innanzi. Onde è che debbo considerarsi col presente arti-
colo , come compiuta la trattazione generale delle anulari generali
di quinta classe. Ma qui non ci arresteremo ; piacendoci immagi-
narci certi particolari determinanti di anulari a cono direttore, siano
impliciti od anche e-pliciti, assumerli come dati, e quindi dedurne
di fatto la determinazione delle funzioni effettive , che le <? , 9i, <?j,
"fs, |?4 per esse sono delle coordinate .r, j-, : ; ed am he, ove lo sti-
meremo oppoituuo, determinarne le effettive equazioni algebriche
dell'anulare di essi determinanti, ed anche delle sue caratteristiche,

sulle Superficie Anulari. !4.l

inviluppate e rigale a generatrici a ciascuna di queste normali. E
ciò faremo nei seguente Articolo , ove sono quattro esempii di ap-
plicazioni delle cose fin qui esposte.

Intanto stimiamo che non sia fuor di luogo il qui osservare che
non perchè abbiamo imparato a determinare tutte cinque le if , (f,,
<?■ I ?3 > ?4 , possa dedursene essere esse funzioni tutte cinque aibi-
trarie , e non solo le 93 , <f4 , e due delle <? > 9i , 9» , come ampia-
mente dicemmo (49)' Di fatto è facile il riconoscere che la 5." delle
(LXXIV), e delle (LXXV) , ed anche la 11." delle (LXXVI)
sono equivalenti alla (LXI) , che è la relazione che lega tra loro
le 9 , 9i , i?ii , per cui due sole ne sono arbitrarie , e non tutte e
tre. E nulla può meglio ciò riconfermare , quanto il considerare ,
che ove in un modo esplicito fossero immediatamente date quattro
soie delle funzioni <? i fi 1 fi » 9' > f4 1 per le cose dette nei para-
grafi precedenti , si avrebbe modo da trovare speditamente i deter-
minanti dell' anulare , la equazione della quale sarebbe determinala
per quelle funzioni. Cosi siano ad arbitrio date quattro funzioni qua-
lunque delle X, 7', z. Chiamate coleste funzioni fi , 9, , fj , 94 per
la (LXI) si otterrebbe la 9. E quindi sostituite le date funzioni as.
sunte ad arbitrio e la 9 dedottane, nella (LXVII) si avrebbe la ri-
gata determinatrice dell'anulare; sostituitele nelle (LXXII), od in-
vece nelle (LXX) e (LXXI) si avrebbe la legge del variare delle
distanze del centro della generatrice dell' anulare da ciascuna retta
del cono direttore e della determinatrice che sono sul suo piano; e
fatto J'^fi 1 e z^=<i}n si avrebbe la curva direttrice del cono diret-
tore , ossia questo medesimo cono , essendone (3) il vertice nella
origÌDe delle coordinale.

i4a Rossi

ARTICOLO VI.

@lt}v(tca}toHe ieWe coJe ejpodte ne' fiatagta^ ])teceì)enti.

ESEMPIO PRIMO.

I.

73. Troviamo la equazione dell' anulare il di cui cono diret-
tore sia un cono retto ; la di cui rigata determinatrice abbia per
direttrice la base slessa del cono ; ed i centri delle circonferenze ge-
neratrici della quale stiano tutti su di una stessa retta menata pel
vertice del cono.

È chiaro che dovremo far uso del secondo dei tre processi e-
sposti innanzi (70) per la determinazione delle funzioni 9,9, ,9», 93, 94 ;
perciocché qui la base del cono è curva direttrice comune del cono
direttore , e della rigata determinatrice.

Sia

b il raggio della base del cono

a l'altezza del cono

7», n le tangenti trigonometriche , che le projezioni della retta
sui piani coordinati fanno coli' asse stesso del cono.

Le quattro prime delle equazioni (LXXV) saranno sostituite

dalle

£+a=o

E da queste otterremo

/3+7"y'=o.

Quindi la quinta delle equazioni (LXXV) sarà sostituita dall' altra
Risoluta questa rispetto a /3 porge

sitile Superficie Anulari. i43

E sostituito questo valore in quello di y trovato di sopra , otteii-
gliiamo

Il centro della circonferenza mobile dell'anulare, dovendo stare
sempre su di una retta che passa per lo vertice del cono direttore,
e le di cui projezioni (ìinno col suo asse gii angoli delle tangenti m
ed « , le equazioni sesta e settima delie (LXXV) saranno sostituite
dalle

E quindi la ottava di esse equazioni dall' altra
afimr+aiir \J{b' — /3-)+^'r=o.
E da queste tre ultime equazioni si ha
p=o, f/=o, r=o.

Sostituiti questi valori di p.,q,r, ed i già ottenuti per /3, V, £, nelle
ultime due delle equazioni (LXXV) , si ha-

Quindi è che per 1' anulare di che si tratta le funzioni die do-
veano determinarsi , risultano determinate come appreiìso : cioè

(5x5 — y'^a^x'-Ya'y' — ^'s')

a{x'-\-if)

(p,= -— — ^[/a(x'+y"f— (*X3— i/V«'»'+«'y'--'^'-5"V
(LXXVIl) 9==— a

Tom . FI. 1 9

14-4. Mossi

A ciascuno dei radicali che entrano nelle funzioni ^ , <^', corrs-
peterebbe il doppio segno ; ma noi vi abbiam ritenuto il solo se-
gno superiore ; perciocché essi doppii segni voglion dire , come è
di fatto, che ad ogni ascissa individuata della direttrice comune del
cono direttore e della rigata determinatrice dell' anulare , corrispon-
dono due generatrici diverse di questa ; e che ad ogni valore asso-
luto dell'ascissa di essa medesima curva corrispondono due indivi-
duate ordinate , e perciò ad ogni valore assoluto deli' ascissa corri-
spondono quattro generatrici diverse; e tutti i valori diversi possibili
di esse ascisse ed ordinate , essendo abbracciati (46) nelle espres-
sioni generali notate innanzi , basta contemplare uno solo de' segni
di essi radicali , che gli altri sono implicita mente abbracciati nelle
medesime notate generali espressioni. Del radicale della funzione 94
si è ritenuto il solo segno positivo, per le ragioni dette al N. 14.

74> Dalle funzioni q, , <qi, potremo conchiudere, che in questa
anulare particolare di che si tratta, la circonferenza mobile ha sem-
pre il suo centro nel vertice slesso del suo cono direttore , e che
il raggio di essa circonferenza mobile è costante ed è sempre uguale
al lato del cono medesimo ; perciocché essendone a 1' altezza , e (>■
il raggio della base, esso Iato è lungo \/{a--{-5') i ed abbiamo tro~
vato «=:'jji=\''(cr-}-4 ) , ed anche 3=cjj=o.

II.

^5. Per avere la equazione di quest' anulare particolare di
che si tratta , poniamo nella espressione (LIX) per <i, oj,, «?=, cjj, iji
le funzioni (LXXVll) eh' esse rapjiresentano ; ed in primo per ■s?,
poniamovi lo zero , e calcoliamovi il trinomio V("?'"l"^i°H"'-?2')- Ri-
sultando questo trinomio uguale a \/{à--^ò''') , cioè costante ed u-
guale a <j, , ed essendo ancora <?3=o , la espressione (LIX) si tra-
sforma nella

o ciò che è lo stesso ,

(LXXVIll) (^'_9'+y._<f.=_|.-_9.=)p==o

sulle Superficie .anulari. i4.5

E questa si scinde in due fattori. Ed in primo dà

Sostituite in questa espressione per (?, i?,, 1^2, le funzioni (LXWII)
determinate innanzi , ottengliiamo la equazione della superficie , la
quale è perciò

(LXXIX) x--\-y-\-z=à'+b'

Equazione di una sfera , che ha per raggio il lato del cono.

■^6. Per renderci ragione di questo singolare risultameiilo, im-
maginiamo esistere una sfera di raggio \J{a'-\-b') ; ed intendiamo
menato uu piano che la seghi secondo un suo parallelo : e sia un
tal piano distante dal centro della sfera per a. Esso taglierà la sfera
secondo un circolo minore di raggio b. Intendiamo ora un cono a-
vente questo circolo minore per base , ed il centro della sfera per
vertice. Ogni piano tangente a questo cono taglierà la sfera seconda
un circolo massimo : il quale è di raggio \J[a--\-l>') : e la circonfe-
renza di questo circolo è però la circonferenza generatiice della
anulare particolare di che qui si tratta. Dunque la immaginata sll'ra
è il luogo di tutte le circonferenze generatrici di essa medesima a-
nulare di che qui si tratta.

Ma se essa sfera è il luogo di tutte le generatrici dell' anula-
re ; a geometricamente considerare la cosa, queste generatrici non
generano di fatto la sfera tutta intera, ma solo quella sua zona com-
presa tra i piani z=a, z= — a. Onde pare che 1' algebra nou cor-
risponda esattamente alla geometria ; perocché la equazione

appartiene ad una superficie più vasta di quella che è realmente
generata dalla data generazione : generando questa una parte di
quella. Ma no: se ciò potrebbe sembrar vero ndValgebra ordina-
ria , non lo è punto nel calcolo delle funzioni. La particolare ge-
nesi della superficie non è data dalla sua equazione , ma è data
dalle forme delle funzioni <}, <?,, Cfi, <?3, 1^4. La equazione di una su-
perficie esprime una proprietà di essa : ed il risultato ottenuto di

i4.6 Bossi

sopra e' insegna che la proprietà di avere lutt' i suoi punti ad egiial
distanza da un solo e medesimo punto interno , appartiene in co-
mune tanto alla sfera , quanto all' anulare particolare , di cui ab-
biamo data la generazione di sopra. Contemplando invece la rela-
zione

insieme colie funzioni effettive che esse (f, ^n ?=' sono delta j:,_^,s,
notate di sopra (LXXVII) , abbracceremo non solo la proprietà
dell' anulare , che può appartenere in comune ad altre superficie ,
ma ancora la sua genesi. E quindi intenderemo per la foi-ma di esse
funzioni , che le parti di sfera che sono al di sopra del piano z=a,
ed al disotto dell' altro z= — a , non sono punto generate dalla cir-
conferenza mobile dell' anulare particolare a cono direttore , di che
stiamo trattando. Difatto secondo la data genesi dell' anulare , la
superficie generata non può esistere che ave le funzioni (f(.r,j, z) ,
<y.(x, /, s) , 9:(.^, J, z) hanno un valore reale. Ora dalle forme da-
tene di sopra , abbiamo che tanto la 9, quanto le 9, , perchè sian»
reali , debb' essere

6'z' non maggiore di a'X''-{-à'ì/'
Ma dalla equazione

appuriamo che

Dunque perchè le funzioni <?, 9» 1 siano reali, debb' essere
ò'z' non maggiore di a'(a'4-6- — z-}

onde s' non maggiore di a' , ossia in grandezza assoluta z<.n.

Dunque ove s è maggiore di a, non vi sarà superficie ; men'-
tre le funzioni 9 (or, j, i) , <?, (j:, j, s) , non sono in sostanza che i
valori di j3 e 7, dati in funzione dei punii della superficie anulare
generata , che appartengono a quella sua circonferenza generatrice
il di cui piano tocca la circonferanza base del cono per lo appunto
nel punto di coordinale 13, y.

77. Abbiamo detto di sopra (75) , che la espressione (LIX)

sulle Superficie Anulari. i4.y

si trasforma nella (LXXVIIl) , e che questa si scinde in due fat-
tori , di cui r uno ci ha data la equazione (LXXIX).

Vediamo ora , cosa ci dice l'altro fattore p=o, ossia (LX)

Eseguendo le operazioni accennate , e tenendo conto (75) che
V(<?'+?.H9=^) uguaglia \l{a--\-b^)^ ottenghiamo, la espressione di
sopra trasformala nella

Onde è che il fattore p=o, che è uno di quelli, nei quali si scinde
la (LXXVIIl) , equivale alla equazione

<?'.'?' , —0'

— =0, ossia =0, od anche alla — ■ - —0

9, Mb-'—Qf Vó— 9'

per essere (yS) la <f. prodotta dalla 9, a causa (47) di essere /3=9, e

Ma SI ha

K IT. : — -^Dg'Sen. -T- —K, ed /- — An<r co&. -^ _ JT

V^=— 9- f» ,J \/ù^^~ ° 6 *"

Dunque

9 a

-7- = sen.A', od anche ~ =cos. A', ,

Dunque l'altro fattore p=o della (LXXVIIl), può aversi come
equivalente a

9
-r- =:cost. arhilr.

E però CI denota, che non è già, che essa equazione (LXXVIIl)
s. scinde in due , ma sibhene che essa è divisibile per p, essendo,
per la data genesi dell' anulare di che si tratta , A fattore p equi-
valente ad un fattore costante.

i4,8 Bossi

E d'iillronde le due equazioni — =:sen.A!^,— = cos. ii, che prov-
^ ó o

vengono dalla esistenza del fattore p=o , ci dicono che la funzione
<f debb' essere non mai maggiore di b, e sempre reale ; perciocché
esse ci mostrano che la funzione <? è dell' indole medesima del seno
o coseno di archi di circolo di raggio b. Onde poi n' emerge che
non mai , nell' anulare particolare di che si tratta , possa essere in
grandezza assoluta s>a : conformemente al detto di sopra. E per-
tanto dovendo essere la 9 non mai maggiore di b, anche la <?, deb-
b' essere sempre reale.

']8. Da tutta l'analisi precedente dunque, potremo ' conchiu-
dere 1 che la espressione

(ar-— 9'+y'— (fr+s"— <?2')p=o
ossia

ci esprime compiutamente la natura dell' anulare , secondo la sua
genesi. Il fattore— =0, esprime l'indole reale delle funziooi «f.^i ,
e che però non può mai essere s>a: l' altro fattore dà la proprietà

di un punto qualunque di essa anulare.
III.

79. Si voglia ora la rigata determinatrice dell' anulare parti-
colare di che si tratta.

La espressione (LXVIl) , essendo quella della determinatrice ,
dobbiamo porre le forme (LXXVII) di 9, 9, , <?=, nella

!G<f)'+-'(a')=-)-(''(0+^'(|)')"-"^

Per le cose dette innanzi (77) , questa eguaglianza è divisibile per
V'(*?'+'?i^+9=')p' E però eseguendo le derivate accennate 6Ì riduce

sulle Superficie anulari, 14.9

alla

(,5',f/_^<j',j,-|-9,=(j/)(3— (?3)+(<??'+<?,<?.')<p.(y— ?,)=o-

Prima di sostituirvi per 9,(ji,<?= le effettive funzioni (LXXVII'),
consideriamo che essendosi ottenuta la <g, , ponendo per fi la fun-
zione <j nella \/{(>'—fi'), (73) è

9,= Vl^" — <?')> e perciò <?,<?,'== — <??' ;

e che perciò il secondo termine dell* ultima espressione va a zero ,
ed essa riducesi alla

Z <5':=0.

Ponendo ora (LXXVII) per <?= la — a ottenghiamo per la e-
quazione della rigata determinatrice

3= — a.

Ed essendosi anche qui mostrato il fattore p=o ; anche per la ri-
gata determinatrice debbono essere le funzioni <?, 0, sempre reali. Ma
quando := — a , le funzioni <?, ■?! diventano rispettivamente

{^'+>r) ^ Ti' r

Dunque mentre per la equazione della rigata determinatrice della

anulare particolare di che si tratta abbiamo

(LXXX) z=-a

le X, Y Don potranno essere qualunque , ma dovranno essere tali ,
da risultare sempre

x^-\-!/^ non minore di 5".

La rigata determinatrice dunque dell' anulare particolare di che si
tratta , starà tutta nel piano stesso su cui giace la base del cono
direttore , ma non si stenderà punto in essa base. E ciò risponde
compiutamente alla generazione geometrica della superficie ; peroc-
ché la retta generatrice della rigata determinatrice , dovendosi sem-
pre appoggiare alla base del cono , eh' è sua direttrice , e stare
su di uu piano sempre ad esso tangente , e dovendo esser sempre

ì b'o Ilossi

perpendicolare ad un suo Iato ; debbe sempre stare sul piano della
circonferenza base del cono, ed essere ad essa tangente : e però non
mai può stendersi al di dentro di essa medesima base la rigata da
essa generata.

E pertanto , da ciò che qui abbiam detto , ed anche dalla di-
scussione fatta nei due numeri precedenti , potremo conchiudere que-
sta notevolissima

Proposizione. Le equazioni algebriche ordinarie possono essere
insujjficienli alla rappresentazione delle superficie quali sono geo-
metricamente generate ; e perchè esattamente le rappresentino , è
necessario tenere in considerazione, simultanea le funzioni gene-
ratrici di esse equazioni,

IV.

80. Per avere la equazione della rigala a generatrici parallele
a quelle del cono direttore , bisognerà porre le determinate funzioni
<?. ?u 92, ifj, (LXXVII) nella espressione (LXX) , che è indipen-
dente da ^1. Ed in primo ponendo per «Pj lo zero , essa si riduce
alla semplicissima

{s?i— ^'?=)=o

a causa di essere divisìbile (77) per P V('5'''+'?i*"t"'?'*)-

Il porre immediatamente nell' ultima semplice espressione per
9i, <?2 immediatamente le funzioni (LXXVII) che rappresentano ,
e determinale , ci trarrebbe in una formola in apparenza assai com-
plicata , a causa dei radicali contenuti in <?, . Per ottenere spedi-
tamente la più semplice formola in essa complicata espressione na-
scosta , ricordiamoci (73) che 9i , è la "y , quando nel suo valore
7=\/(i'-l-|S^) , poniamo la ip, che è il valore di P cavalo dalla e-
quazione

Possiamo dunque sostituire nella espressione
■s?,— 2/92=0

sulle Superficie anulari. iSi

in vece (LXXVll) di <^^ il suo valore — a , ed invece di 9i , il
valore y, e tra la precedente , e la

z\l(b^-^']->raij=o

eliminare ^ : e sarà lo stesso che sostituire per <Pi la funzione es-
pressa innanzi (LXXVII).

Posto nella prima il valore di VC^^' — P') cavato dalla seconda;
risoluta la prima così trasformata rispetto a /3 , e messo il valore
di /3 nulla seconda medesima elevala a quadrato ; ottenghiamo in
fine per la equazione della rigata a generatrici parallele a quelle del
cono direttore dell'anulare

(LXXXI) a'(a^'+y-)=/5=s' ;

che è la equazione di esso medesimo cono. E cosi doveva aspet-
tarsi , a causa di 93=:d=o , per l' anulare di che si tratta.

E per ciò per una tale anulare , la curva di specie (63) è la
medesima curva base del cono direttore.

8i. Similmente ponendo in tutte le espressioni trovate innanzi
le funzioni (LXXVll) determinate di sopra, otterremo le equazioni
di tutte le linee o superficie delle quali, nei quattro primi Articoli
di questo Capo , abbiamo dato le espressioni analitiche. E senza
fermarci ulteriormente intorno a ciò, conchiuderemo, che l'anulare
particolare qui contemplata (63):

i.° è del gruppo a cono direttore retto ed a base circolare:
2." è del genere a curva circolare sul cono direttore :
3.° è della specie a curva circolare sulla rigata determina-
trice , concentrica alla curva di genere :

4.° ed è della varietà a generatrici costanti , ossia a curva
parimenti circolare sulla rigata ad elementi paralleli a quelli del
cono direttore.

Appartiene poi a quella famiglia per la quale la circonferenza
di specie ha raggio uguale alla circonferenza di genere , e la cir-
conferenza di varietà ha raggio zero.

E d'altronde ha potuto osservarsi in questo esempio, come, in
conformità di ciò che abbiam detto in fine del N.° 'jo , nei casi
Tom. FI. 20

iS2 Rossi

piatici possono, con industria ed avvedutezza, molto abbreviarsi i cal-
coli da farsi per la determinazione effettiva delle equazioni relative
ad anulari particolari. »

ESEMPIO SECONDO.

82. Si voglia ora determinare la equazione di quell' anulare
particolare di quinta classe , la quale mentre che sia del medesimo
gruppo , del medesimo genere e della medesima specie (81) di quella
contemplata nell'esempio precedente; anzi della medesima famiglia
di specie ; appartenga a quella varietà , per la quale la circonfe-
renza mobile , generatrice dell' anulare , sia di grandezza variabile;
ed il di cui raggio varii proporzionalmente all' ascissa x di ciascun
punto dell'anulare, per lo quale essa generatrice passa.

Per questa anulare particolare , dovremo avvalerci del primo
dei tre processi indicati innanzi , cb' e quello del N. 68 ; percioc-
cbè qui i determinanti dell'anulare sono tutti esplicitamente dati.

Ritenendo le denominazioni precedenti (73) , la equazione del
cono direttore è

e la equazione della rigata determinalrice (79) è

E la relazione indicata colla sesta delle equazioni (LXXIV) è 3=o;
e l'altra indicata colla equazione settima di esse è «=tojc , nella
quale wi è il rapporto del raggio della circonferenza dell'anulare che
passa per un suo individuato punto, all'ascissa x di' esso mede-
simo punto.

Dunque le equazioni (LXXIV) , saranno sostituite dalle

e= — a
l3+yy'=o

«'=0

.5=0

sulle Superficie dnulari. i53

delle quali la terza e quinta cusì si ottengono , lenendo conto della
seconda £= — a ; e per la quale la prima è equivalente all' altra
/3"-|-7*=(5". Dalle prime cinque dunque otterremo le funzioni me-
desime dell'esempio precedente (jS). E pertanto le funzioni reste-
ranno determinate così

(LXXXtl)

9 {x, y, ~)= , T, .. {l>xz—7j \Ja'[x^-\r>f)—b'z)

9, (a:, y, 5)= -———.t/a{x'-\-,f)—{,òxz—y\Ja{x'+>/ ) b 5')'

<?a(x, y, z)=a
<p, (x, y, z)=o
^,(.v, y, z)=imx

83. Per ottenere la equazione dell' anulare particolare di che si
tratta poniamo le funzioni (LXXXII) nella espressione (LIX). E
per non immergerci in calcoli complicali, osserviamo in primo (77)
che essa espressione a causa di <?ì=o può aversi come divisibile per
p; e che (75) essendo 9^+9,"+02''=a''-(-^' , essa (LIX) si cangia
in primo nella

+2(0-9+//^, + r9.)(wa: — \,''(«"-|-^;))=o.

E qui dovremmo per 9, 9, , 92 sostituire le funzioni di sopra.
Ma ciò non faremo, perciocché ne otterremmo equazione assai com-
plicata , ne facile a ridursi a più semplice forma. Invece per la
(LXI) eh' è identica (/i.")) n'elimineremo prima quelle che possiamo
di esse funzioni.

Dalle equazioni dctcrminatrici (82) avendosi £=— .7 e quindi
/S*-|-7"==^' , avremo anche

^..=z—a-, 9':=o, (^■-[-9;'=rà-, 09'= — 9,9,'.

♦

1 54. Rossi

E tenendo conto di queste quattro ultime eguaglianze , ed eseguite
le derivate nella (LXI) , questa si trasforma nella

E per questa , il trinomio a;<f4-y9,+s?3 die sta nella già trovata
espressione dell' anulare, si cangia in (^^s— — s), che contiene la <^2
soltanto ; onde poi messo per (^2 la — a , otienghiamo , dojio le ri-
duzioni , e per equazione dell' anulare particolare di che si tratta

(LXXXIII) a{x'-{-f+z')—2mxia+z) \/{a'+6')+(a+2z){a-+5 )=o

Equazione, la quale ci dice, che l'anulare generata appartiene ad una
delle note superficie di secondo grado. Ed abbiamo detto appartie-
ne , e non è ; perocché a causa del fattore p=o , che anche qui
si mostra , non apparterrà all' anulare generata , che una zona della
superficie di secondo ordine della equazione (LXXXIII); cioè quella
pei punti della quale i valori delle coordinate non rendono imma-
ginarli li valori delle funzioni <?i ?! » i quali a causa di esso fattore
p=o, debbono essere di natura essenzialmente reale , come è facile
persuadersi con ragionamenti analoghi a quelli fatti ai N. 76 e 77.
84. Intanto non saia fuor di luogo il vedere se l'anulare ge-
nerala possa a qualunque di esse superficie di secondo grado appar-
tenere , od all'una piuttosto che all'ultra. Per ciò fare coiuiiiciaino
dal porre nell'ultima equazione,

xz=g-\-s., e z==ih-\-l;

essendo g , h due quantità da determinarsi , &à s e t i nomi che
diamo a due nuove coordinate , computate rispettivamente sui me-
desimi assi delle .r e delle z. Sostituiti questi valori nella (LXXXIII),
si ottiene una trasformata nella quale i cinfficieiili dei termini l'uno
in <, l' altro in s sono rispettivamente

ah—mg\j[à'-\-l>')+[a'-\-b') , ag — in/i \':a^-\-l>'] — ma\J{à'-\-ù')

E potremo determinare le li, g, per !i:oJa, da far essere questi

sulle Superficie /anulari. ijo

coefficienti zero. Cosicché la trasformata della (LXXXIII) diventa

as--\-aif-{-aC — zmlst-\-a{g^-\-/i')—i.7ngt{a-{-h)-\-l\2h-\-a)=Q

nella quale / sta pel radicale V(«°+^') '• è cioè / il lato del cono
retto di cui a è l'altezza , e i il raggio della base; e vi è

ml{l' — a'-) al-(\ — ni')

9— w/. „r . n=

m'I' — «■ m'L'~àr

E per gli elementi è manifesto che quando questi valori di g' ed A
sono finiti, la superficie rappresentata dalla (LXXXIII) ha centro,

quando nò non ha centro. Ma la m può assumersi od uguale ,

nel qual caso g, h sono infinite , o non uguale ad — . Dunque l'a-
nulare generata può appartenere , o ad una paraboloide , o ad una
superficie di secondo grado con centro , secondo che sia m uguale
o no al rapporto dell'altezza del cono al suo lato. Quindi è che

I ax 1,1 , {\A-e'')ax

quando 94= — si ha una paraboloide , quando <?4= — '—r^ — oppu-

ax r. ■ l-

re = — — — - , SI ha un' altra superficie di secondo grado diversa

dalla paraboloide.

Vediamo se possa o nò essere una qualunque delle tre che
hanno centro.

Sia <?( non uguale ad~-. La superficie generata sarà di se-
condo grado con centro ; ed avrà per equazione riferita al suo centro.
as' -iray- -^-ut' — imlst-\-A=o ,

nella quale w è > , o < . , ed ove A è scritta invece del polinomio

a{f-^-/i')—2mgl{a+h)-\-l'{iff\-a)

Uifiiianio questa equazione agli assi principali della superficie.
E facciamo perciò

0=1-008.4. — "sen^. , /=i'sen ■«j.-j-wos.^

essendo t', u le nuove coordinate computate sugli assi principali , e

i56 Rossi

•nJ' l'angolo da determinarsi, che il nuovo asse delle v fa con quello
delle s , ossia col primitivo delle x , ed anche che il nuovo delle
u fa coir altro delle t , ossia col primitivo delle z.

Fatte le sostituzioni, otterremo nella trasformata, che il coeffi-
ciente di VII è 2ml(seu.^-\' — cos/\^). Dunque determineremo l'an-
golo ^{/ ponendo

sen.''^ — cos."J,=o. Onde sen.4--=cos.4=:\/|- , e ■i=i5''.

Quindi la equazione della superficie riferita ai suoi assi principali è
( come si ottiene per lo appunto facendo nell' ultima detta trasfoF-
iiiata 4=45°)

[mi — a]v" — ay- — (mt-\-a)u^z=:A

T-i • {i-\-e'^)a . , a , . ,,

l'acclamo ora m= , cioè m> — oltenghiamo 1 equazio-
ne precedente trasformata nella

eav' — fly'— (2-|-e')z^'=y/.
Facciamo invece m= -, , cioè 7?j<— la medesima equa-

zione si trasforma nell' altra

e'uv' — ay' — (2-|-e°)?i-:=^^(i-f-e').

L'anulare generale dunque non può mai appartenere ad una
ellissoide ; perocché non mai la equazione sua può avere tutti i suoi
termini positivi ; ma apparterrà o ad una Iperboloide ; o ad una
Paraboloide , come già abbifim veduto.

La Iperboloide sarà a due foglie se la >^ è negativa ; sarà ad
ima foglia se la ^^ è positiva. Ma noi non ci fermeremo ulterior-
mente a vedere quando appartenga all' una piuttosto che all' altra di
coteste superficie , ne a quale Paraboloide possa appartenere.

Solo conchiuderemo il seguente

Teorema. Nelle Iperboloidi e nelle Paraboloidi ewi una zo-
na , nella quale possono descrìversi una infinità di circonferenze
di circolo i piani delle quali toccano tutti un certo dato cono
retto , e le quali hanno sempre un punto in comune colla cir-
conferenza base del cono , ed il centro sur una data curva
descritta sur esso medesimo cono.

sulle Superficie Anulari. 1^7

Vediamo di qual natura sia una tale curva ; epperò deternii-
uiaiuo la equazione della curva dei centri dell' anulare particolare
di che si tratta.

85. Per ottenere le equazioni della curva dei centri nell' anu-
lare particolare , di cui qui trattiamo , non ci serviremo delle
(LXXII) ; perciocché qui è 93=0. Però (Ql\) ci serviremo in vece
della (LXX) e della (LXXI).

La jirima a causa di <?3=o si riduce in primo alla

(9.=— ?=2')V('?'+?.'+'?^')-P=o

E per essere qui le funzioni 9,9, ,92, (LXXXII) , identiche alle
(LXXVII) , ci troveremo nel caso del N.° 80. Onde ottenghiamo
in primo

(LXXXIV) a'(^=+,y')=«'-s'

E però la curva dei centri sta sul cono direttore medesimo :
e così debb' essere , per essere qui la distanza J=9j=cero*

Per accomodare la (LXXI) alla superficie particolare di che
si tratta , calcoliamoci in primo i polinomii

('■0+-t)>(Kr)'+''©>

e tenendo presente che <i):'=o, e 9,9,'=— 99'. Otterremo pel primo
9/(9'+'?'.'+'?'>°) , e pel secondo lo zero. Onde poi la espressione
(LXXI) si riduce alla

9,9=-(9.— 5)V(<?'+?,=+'?=')=o-

Posto in questa , per 9>9<. 9 = ,9i, le funzioni (LXXXII) ch'esse
sono delle x, j, z. Ottenghiamo

(LXX XV) amx=[z-\-a)\J{a--\-b%

Equazione di un piano.

La curva dei centri dunque dell' anulare di che si tratta , è
tlata dalle equazioni

a7nx=s[z-\-a) \'(«'4-^').

1 58 Bossi

È dunque una curva piana, che giace sul cono direttore medesimo
dell' anulare : e sarà una parabola se »»= 7 , sarà una ellisse

su »n<-i '■ — , ed una iperbole se nty'— — j^ •

ó 6

Quindi può enunciarsi il

Teorema. // luogo dei centri delle circonferenze, che possono

descriversi sulla zona della Iperboloide o Paraboloide contemplata

nel Teorema precedente è od una parabola, od una ellisse od una

iperbole , giacente sul cono direttore medesimo dell' anulare.

III.

86. Perlanto dalle cose delle nei paragrafi precedenti coachiu-
dci-emo (63) che l'anulare particolare, della quale in questo secoudo
esempio abbiamo data la genesi ,

i.° è del gruppo a cono direttore retto a base circolare,

2.» è del genere a curva circolare sul cono direttore ,

3.° è della specie a curva circolare sulla rigata determina-

, trice concentrica colla curva di genere ,
4.° ed è della varietà a curva conica , o di secondo grado ,
sulla rigala ad elementi paralleli a quelli del cono di-
rettore.
Appartiene poi a quella famiglia per la quale la circonferenza
di specie ha raggio uguale alla circonferenza di genere : ed a quello
stipite eh' è a curva dei centri piana. Ed ecco un caso del ricor-
dato in generale al N.° 65.

ESEMPIO TERZO.

1.

87. Sia ora parimenti un cono retto a base circolare il cono
direttore dell'anulare; ma la sua rigata determinalrice non abbia
per direllrice la direttrice medesima del cono , ma una linea fuori

sìiUe Superficie Anulari. 1S9

<li esso; e sia questa uaa rella parallela all'asse del cono diretlore
o distante da esso pei raggio stesso delia sua base. Si voglia inoltre
«he r anulare appartenga ad una varietà analoga a quella contcm-
jjlata nel primo esempio (/S), cioè che abbia i centri di tutte le sue
circonferenze generatrici su di una stessa retta menata pel vertice
del cono direttore.

Per quest' anulare particolare, dovremo ricorrere al terzo dei
processi indicati innanzi (71) , onde determinare 9i9h9m9!>9(.

Assumiamo che il piano coordinato xz^ sia il piano dell' asse del
cono e della retta data ad esso parallelo che è la data direttrice
della rigata determinatrice; e che, al solito, la origine delle coordi-
nate stia nel vertice del cono. Tenendo ferme le denominazioni pre-
cedenti (73), le prime sei equazioni (LXXVI) saranno

«=— a

£'=0

0=5

fX=0

E per la settima avremo la

Tenendo conto di questa e delle due precedenti , ottenghiamo
Onde poi le ottava, nona e decima delle (LXXVI) si trasformano in

{LXXXVI) t= ^

0

a/3

E calcolate le derivate di s, t, v, TÌspeUo a |8 , e fatte le sostitu-
zioni , la undicesima si trasforma nella

Tom. FI, 91

1 6o Rossi

E dovendo stare il centro della circonferenza mobile dell' anulare
sempre su di una retta menata pel vertice del cono, ossia per la o-
rigine delle coordinale, le dodici, tredici e quattordici delle (LXXVI)
saranno

E però le ultime due diverranno

pereiocchè le tre precedenti danno p=q=r=o.

Tratterebbesi ora , secondo ciò che si disse (71) , di risolvere
la equazione

rispetto a /3 , e quindi sostituire il valore che ne risulterebbe nelle
(LXXXVI) , ed anche nella trovata espressione di a. Ma poiché
1' ultima equazione risulterebbe di sesto grado rispetto a /? , potrà
addirittura eliminarsi la /3 tra essa e le notate equazioni (LXXXVI),
senza risolversi essa ultima medesima. E così le funzioni <?, <?i, «?=
saranno date dalle tre equazioni seguenti

(LXXXVII) bx-^{ò—c^,f={af>y+z \jW^y

per la risoluzione effettiva delle quali si otterrebbero esplicitamente
9ì <in fa. E la ? 4 si otterrà speditamente facendola dipendere dalla
9j : e sarà-

sulle Superficie anulari. i5i

(LXXXVIII) 9 =-^ . |/^^!±^Ì9£^^

a' r a' — Oi'

Onde poi nt-lle espressioni gcneralissime trovate nei quattro jiriini
articoli di questo capo , posto prima p<T 93 'o ^ero , e dopo per
■•l'i <s?i> i?a > 'i^ funzioni che si ottengono iu jt, j, z dalla risoluzione
delle tre ullinie equazioni (LXXXVII), e per 9, la trovala funzione
(LXXXVIII) , si avranno le equazioiii dell' anulare particolare di
che si tratta , della sua caratteristica , della sua inviluppala ec. Ma
non procederemo oltre.

88. Classifichiamo invece Y anulare della quale abbiamo data
la generazione.

Determiniamo perciò la curva di genere (G3) ; cioè la curva
che sarebbe direttrice comune del cono diretlore, e della rigata de-
terminatrice. Epperò eliminiamo addirittura la /S tra le (LXXXVIV
Le equazioni della curva di genere risultano

i a' 1^60'
(LXXXIX) j a'f^bifi—ty

Delle qugli Ma prima , che è quella della sua proiezione sui
piano coordinato jz , è la equazione di una parabola di parametro
uguale al quadrato dell' altezza del cono diviso per lo raggio della
sua base.

Se dunque sul piano menato per 1' asse del cono direttore e
jierpendicolare al piano di esso medesimo asse e della retta data di-
rettrice della rigata determinatrice, intendiamo descritta una parabola
col vertice nel vertice del cono, e di parametro il quadrato dell'al-
tezza del cono , diviso pel raggio della sua base, e su di una tale
parabola eretto un cilindro retto , la intersezione di questo cilindro
col cono sarà la curva di genere : la circonferenza dell' anulare in
ogni sua posizione avrà un punto comune con una tale curva ; e
la distanza di ciascun suo punto dal vertice del cono, sarà il raggio
variabde della circonferenza mobile: distanza che corrispondeutetaen.te

1 63 Rotti

ad ogni punto di ascissa t, e di ordinata v della parabola Lase del
cilindro , è

a V 6 — /

6—t

Pertanto senza uopo di trovare la equazione effettiva dell' anu-
lare di che si tratta , potremo conchiudere che

j,° è del gruppo a cono direttore retto ed a base circolare:

2.° è del genere di curva sul cono direttore a projezione pa-
rabolica sul piano pel suo asse perpendicolare all' altro dell'asse me-
desimo e di una data retta direttrice della rigata determinatrice , e
col vertice nel vertice del cono:

3." è della specie a curva simile a quella di genere sulla
rigata di specie:

4.° ed è della varietà a generatrici variabili , tutte col cen-
tro nel centro medesimo del cono direttore.

ESEMPIO qVARTO

1.

8g. Nei tre esempli precedenti siamo caduti in tre casi ben
distinti tra loro. Nel primo la circonferenza mobile è di ampiezza
costante , ed ha sempre il suo centro nel vertice stesso del cono di-
rettore , e sempre un suo punto in comune colla base di questo me-
desimo cono. Nel secondo esempio la circonferenza mobile è di am-
piezza variabile , ma non ha il centro nel vertice del cono, sibbene
ha sempre un suo punto in comune colla base del cono, come nel
primo. Nel terzo esempio la circonferenza mobile è pure di am-
piezza variabile , ma il suo centro è sempre nel vertice del cono ,
e non ha sempre un suo punto in comune colla base di questo.

Per ultimo facciamo per modo che la circonferenza mobile ab-
bia il suo centro sempre nel vertice del cono direttore , come nel
primo e terzo esempio , abbia un suo punto sempre sulla base di

sulle Superficie Anulari. i63

esso medesimo cono , come nel primo e secondo ; ma cLe la sua
ampiezza sia variabile , come nel secondo e terzo degli esempii pre-
cedenti.

go. Sia il cono direttore dell' anulare particolare un cono retto
a base ellittica ; e la ellisse che ne è base sia direttrice comune di
esso cono direttore, e della rigata determinatrice. Debba inoltre il
centro della circonferenza mobile generatrice dell'anulare, stare sem-
pre su di una retta menata pel vertice del cono direttore.

Indichiamo al solito con a l' altezza del cono ; e con ò e e i
semiassi della ellisse che ne è base ; e con m ed w le tangenti tri-
gonometriche coir asse delle z delle proiezioni sui piani xs^jz della
retta data.

Per questo caso particolare, le prime quattro equazioni (LXXV)
saranno le

(XC) e-f-a=o

£'=0

onde poi per la quinta ( tenendo conto della prima delle precedenti
(XC) ) si ha

ab'^x-\-ac-y!j-\-b-c'z:=-o

Le altre tre seguenti saranno

p — mr:=o

q — nr=o

ah' ^p-\-ac-'!iq-^h-c-r=i3

E queste tre, dando immediatamente ;)=i^=s:r=o, le due (9) e (io)
delle (LXXV) diventano

J=o, «=:V(/3^-i-r+r).

La funzione 9, dunque e uguale a zero , e la «js^— « ; e per de-
terminare le altre tre , abbiamo le relazioni

ab'^x-\-ac'yìj-\-b'c'z-=.Q

1 64 Rossi

Risolate le due prime rispetto a (3 , y , e sostituiliae i valori
nella terza , ed anche in questa posto per s» la a' , avremo deter-
minate le cinque funzioni 9, q„ 9^, 93, 94. E risultano

(XCI)

•r^b'{c-yt — x\là'b-X'-\-(rcìj- — bc-z')

<i[b'x--\-c't/)

(,.= 0

y la {a' -\-c''){b-x^ -\-c''yy -\-b'i b' — e')(c'yz — x\fa-b'x''-{-a''c''f — b^a'si^Yf
a{b'x'-\rc'if)

IL

jQ\. Per avere la equazione dell'anulare particolare di che qui
£Ì tratta , basta sostituire nella espressione (LIX) per i?,«ji,«j=,i?3,i?4
le effettive funzioni (XCI) eh' esse sono delle .r,/, s. Ed in primo
facciamovi 93=0 ; ed osserviamo che essendo per quest' anulare par-
ticolare (90) «=V(/3'H-V*+£'), e perciò <?i=V(«?'+<?.'+(?^'), essa
espressioi^e (LIX) diveata in primo

(ar=+^'+5M9'+9.'+'?='))?<P='>
la quale può scindersi in tre fattori ; il secondo dei quali darebbe
<i?4=o. Fattore questo da rigettarsi; perocché <?, esprimendo il rag-
gio della circonferenza mobile non può essere zero.
L' altro fattore p=o , equivale (LX) a

9' ,

che esprime dover essere la funzione (j , ed anche la <?, d' iadole

sulle Huperficie Anulari. i65

essenzialmente reale , quando la superficie si ritenga qual è realmente
generata (77)-

E resta per espressione della superficie la

ossia

^'+y '+-'=?!*

92. Quest' ultima equazione somiglia a quella di una sfera ;
anzi sarebbe la effettiva di una sfera , se (?» fosse costante. Ma la
,^4 è variabile ; e nel caso di b=c , ritornerebbe costante (90) , ed
eguale a \{a'^\b'^): e ritorneremmo nel caso del N. 75. E di fatto
se fosse i=c , la ellisse base del cono direttore , si cangerebbe in
un circolo.

93. Pertanto la equazione dell'anulare particolare di cui qui
si tratta è

(XCII)

Dalla forma della quale equazione si fa manifesto che la superficie
eh' essa rappresenta ha più falde ; od almeno che ha delie parti
interne e delle esterne che debbono tagliarsi per linee multiple.
Le equazioni delle sue tre sezioni principali sono

sai piano xy....{x-\y''){b'x'-\-c'y'')'=[,a'-\-b')bx'-^[a'-\-C')c^]f

(XCill) sul piano xz....[x''-\-s')a-x^ ss{(^-\-b)a-x^-\-[c'—b')c':^

sul piano ys....{y--\-z^)a'i/' s=[a--\-c')a'j/'-^[b^—c-)b's'

Curve le due ultime entrambe di egual natura : e che insieme colla-
prima diventano un circolo di raggio Va^-f-i» , nel caso di 3=c,

94. Qui potremmo fare delle osservazioni analoglie a quelle del
N. 76 , e dei tre seguenti.

Dalie tre ultime equazioni massimamente , si rende manifesto
che le curve che esse rappresentano hanno dei punti che non pos-
sono appartenere alla superficie anulare generata. E conchiudercmo

i€C> Eossi

Cile cotesti punti appartengono ad una superficie più vasta dell' a^
iiulare nicdusiraa generata , la quale ha proprielà con questa comune;
ina i punti della quale non però a,d essa anulare appartengono.

Le coordinate di cotesti punti renderel^beio immaginarie le fun-
zioni t^, <ji ; ma queste debbono essere essenzialmente r-eali , (91) ;
fid è così che l'analisi ci manifesta non appartenere essi punti all'a-
iiulare di che si tratta.

La superficie più vasta , che la trovata equazione (senza tener
conto delle funzioni che la generano) può rappresentare , ha la pro-
prietà di avere tutti i suoi punti lontani da un solo e medesimo
punto interno rhe ne è centro per una quantità data dalla formola

(XCIj

distanza clic diventa costante, quando b=c. E di questa superficie
più vasta una zona compresa tra i piani s=-j-a, s=: — a, si confonde
coli'' anulare generata medesima.

Di qui è eh' essa superficie più vasta ha questa proprietà; cioè
che mentre la distanza di tutti i suoi punti dal punto interno 0 cen-
tro , è variahile , pure quei suoi punti situati tra i piani z=a ,
:j= — a , e che sono su di un medesimo piano della equazione (go)

hanno distanza costante dal punto interno 0 centro: piano questo che
può avere tante posizioni diverse , per quanti sono i valori che può
ricevere il suo parametro /3 , da +C , sino a —e.

III.

95. Per determinare la equazione della rigata determinatrice
dell'anulare particolare di che si tratta, senza immergerci in lunghi
calcoli , nella (LXVII) , poniamo in primo (57, 90) 9»=?— a ; e jnel

sulle Superficie Anulari, 167

calcolare le derivale accennate in essa equazione , teniamo conto eli
ciò che i?'==o ; ed inoltre che a causa della prima e terza delle
equazioni (XC) , è anche

(p'=-(i'— 9/), e 9^'= ^

Ottenghiamo così in primo ridotta la (LXVII) alla

E quindi, per <j. posta la funzione ch'essa è (XCI) delle a:, J,z,
ottenghiamo per equazione della rigata delermiuatrice

(XCIV)

(a'+e){a-\rz)={e^-b-')[y-\- i ^,, ... , ." -^ ]x

b'x--\-c'y-

Equazione questa , che ci mostra avere la rigata più falde ;
ed esserne linea multipla la ellisse base del cono direttore.
Le sezioni principali di questa rigata , sono

(XCV)
. sul piano a^....((a=-f-^')i=a;'+(a'4-(;=)o'j/ )"=(5= — c'')''{b-x'-\-ci'y')x'y^

sul f\àDo xz....{^a'-\-b-)a-\-{(f-{-c'}z^ax^ ={l>' — c")eV
sul piano ys....((a=4-c"ja+(a'+i^")s)'5'y'' ={<r — 4=)iV

delle quali le due ultime mostrano essere di ugual natura le sezioni
sui piani verticali.

96. Puossi osservare , che se b-=c , le due ultime equazioni
danno z= — a', e che a 3= — «, si riduce allora ancora la espres-
sione (XCIV) della rigata determinatrice.

Le falde della rigata dunque , di cui la base del cono è una
linea multipla , quando è è=c , si abbattono sul piano di essa me-
desima base , riducendosi così esse falde ad una sola e medesima.

Questo fatto illustra ciò che fu detto al N. 79.
Tom.VI. 2 2

i€8 Rossi

IV.

97. In egual guisa si determinerebbe la equazione di ogni altra
inviluppata dell* anulare : ed ancora quelle delle sue caratteristiche,
e rigate ad elementi normali a quelli delle inviluppate. Ma a deter-
minar queste non ulteriormente ci fermeremo.

Pertanto diremo che l' anulare particolare della quale qui ci
siamo occupati ,

i.° è del gruppo a cono direttore retto a base ellittica :
2.° è del genere a curva ellittica sul cono direttore :
3.° è della specie a curva ellittica sulla rigata determina-
trice , parallela a quella di genere :

4.° ed è della varietà a curva dei centri nel vertice mede-
simo del cono direttore.

ARTICOLO VII.

(Dt afcuiie Ozi€ù cattico^ati di ©Luufati dv Quinta Siaóiz'. e (Quindi
ieiit alludati di Quinta &iaiìe ofezoiòic^e in geneta^e.

I.

98. Le anulari contemplate nei quattro esempli precedenti sono
tutte di una medesima tribù o stirpe; perciocché (5i) hanno tutte
la curva dei centri della circonferenza mobile sul cono direttore me-
desimo (73, 83, 87, 90).

È evidente che ove si volessero le espressioni generali spettanti
ad anulari tutte di questa tribù , bisognerebbe porre in tutte esse
espressioni , invece di «jj lo zero : ne ci arresteremo intorno a tutto
ciò ; ma solo prenderemo in considerazione la espressione generale
della superficie propriamente detta di cotesta Tribù di anulari.

99. Nella (LIX) poniamo <?!=o. Ottenghiamo per espressione
analitica generale , spettante all'universalità delle anulari della Tribù
a curva dei centri sul cono direttore medesimo, la

sulle Superficie /imlari, 169

(XCVI)

+((-^-9)'+(!/-9.)'+(2-?0')pV(?"+?/+<f^')'=o-
Questa equazione od espressione può essere soddisfatta da cia-
scuno dei due fattori in cui è decomponibile; dei quali quello p=o,
ossia (LX) ,

è come una relazione di condizione tra le funzioni i?:<9i)i53, la quale
può dinotare o l' indole reale od immaginaria di esse medesime fun.
zioni ( come nell' esempio primo , specialmente s' è dichiarato ) , od
una relazione tra le coordinate j:,/, ;, esprimente, che ove le coor-
dinate della equazione nascente dalla espressione

(XCVIIF)

2((a;--9)9+(y— 9,)<?,-}-(2— 9=)<?,)?4

soddisfano ad essa relazione , quivi è la superficie anulare partico-
lare generata , e che ove le coordinate di essa medesima equazione
non soddisfano ad essa relazione , quivi vi saranno punti apparte-
nenti ad altra superficie avente alcune proprietà in comune coli' a-
nulare , e più vasta di essa ; e della quale essa medesima anulare
è una zona : zona cui appartengono alcune proprietà ad essa esclu-
sive , le quali possono non appartenere ad ogni altro puuto della
superficie più vasta rappresentata dalla sola (XCVIII) , quando non
si tien conto della p=o, o ciò che è lo stesso, quando non si tenga
conto delle funzioni generatrici della equazione algebrica , che da
essa espressione medesima risulta.

II.

100. Supponiamo ora che nella (XGVI) sia in oltre

Questa relazione esprime che il raggio della circonferenza mobile ,

ì 1 0 Rossi

generatrice dell'anulare è sempre uguale alla distanza di ciascuna
retta della rigata delerminalrice , dal vertice del cono direttore. E
però 1' anulare non ha più allora una linea dei centi-i , ma invece
un punto dei centri , che è il vertice medesimo del cono.

E pertanto si avranno allora anulari di questa famiglia o Stipite;
cioè a centro della circonferenza mobile nel vertice del cono diret-
tore. E la espressione analitica delle anulari di ijuesto stipite, sarà
( come risulta dalla (XCVl) ) ,

(C) {a;==— 9'+/— <j,=H-5=— <?.=)p=o

ossia

ma colla quale esister dehbe la rehizioue , come sopra , p=o.

Le anulari di questa famiglia potreLibon^i dire Sferoidiche; peroc-
ché hanno tutte , come ne indica la espressione, i loro punti distanti

per una quantità, data d. Ila funzione (;j4^\/iij'-j-'?i''+'ij=* » •'^ UQ solo
e medesimo punto interno. E se potessero così immaginarsi i deter-
minanti della superficie , da risultare determinale per modo le fun-
zioni (;j, <iji,<j» da essere la somvna iij*+<i?i'+<i?2'' , di dimensioni ri-
spetto alle coordinate ar, ^, z, nou maggiore del secondo grado, la
espressione

potrebbe rappresentare una superficie di secondo ordine; ma di essa
potrebbe una zona sola appartenere all' anulare pnrlicolare di quinta
classe ; e secondo che ne esprimerebbe il fattore di condizione p=o.
E di ciò ne abbiam veduto dei casi negli esempii precedenti.

III.

lor. La espressione (C) è quella di un anulare j/èro/(//ctz col
centro di tutte le circonferenze generatrici mobili nel vertice mede-
simo del cono direttore ; e le quali possono essere parti di più va-
ste superficie godenti proprietà in comuni con esse ; e le quali parti
vengono mostrate dal fattore di coadizione f =o. Ma possono esservi

sulle Superficie /anulari. lyi

altre anulari particolari pur sferoidi che , le quali non hanno punto
i centri delle loro circouferenze mobili nel vertice medesimo del
cono direttore, anzi li hanno fuori di esso; e le quali possono
essere zone di più vaste superficie : ed anche possono esservene
di altra tribù di anulari di quinta classe diversa da sferoidiche , e
le quali pure sono parti o zone di altra superficie più vasta , che
in essa zona ha proprietà comuni a tutti gli altri suoi punti , ed
alcuna a questi non comune , e che appartiene ai punti di essa zona
soltanto. Ciò mostreremo ; e così chiuderemo questo capo.

102, Siano in primo tali le forme delle funzioni 9,91, ?j , da
fare risultare zero i polinomii che nella (LIX) moltiplicano q,. A-
vranno luogo tra esse funzioni le tre relazioni

Effettuiamovi le derivate , e le riduzioni. Diverranno

(<?,'+<?=')<?' =9 (f.f.'+'jVQ)
(CI) (<?=-}-9a=).S.,'=9,(W' +'?='?=')

(r +'?,')9= — 9=( 9<?' +?.<?.')

nelle quali le funzioni sono separabili. Onde integratele per loga-
ritmi ; e quindi tornato dai logaritmi ai numeri , ottenghiamo

2^9 =9,^4-92"

2B9, =9= -}-9a'
2C9:=9' -j-9,''

nelle quali A^B^C sono tre costanti arbitrarie.

Queste tre equazioni sommate danno in fine la relazione

(CU) <p=4-^,=_|.jjj=_^^4,^^,_^C9=

lya Rossi

Onde (47) dovrà essere ancora

Ed appuriamo che , onde i polinomii che moltiplicano la (^, nel
primo membro della (LIX) diventino zero , la curva di genere del-
l'anulare (3, 44» 62) debb'cPfer tale, che la distanza di ciascun
suo punto dal vertice del suo cono direttore sia sempre eguale alla
somma dei prodotti di ciascuna coordinata di esso medesimo punto
per una costante arbitraria : od anche per una funzione arbitraria
se le derivate '^CI) ammettessero primitive singolari.

E pertanto la espressione analitica di quella tribù di anulari di
quinta classe , di cui le curve di genere hanno tutti i punti distanti
dal vertice del cono per la somma dei prodotti di ciascuna coordi-
dinata di un suo medesimo punto per una costante arbitraria , è la

(CHI)

r (2(1— <p)9-|-2(y— '?.)flj.-|-2(3— ^a~9.)9,+ I

E questa espressione dando luogo alla solita relazione di con-
dizione (99) p=o , che mostra, 0 qual debba essere l'indole delle
funzioni 1^,01,(5)2, o delle relazioni tra le variabili di cui esse sono
funzioni , potremo conchiudere, come abbiamo enunciato (loi), po-
tere le anulari di questa tribù essere parti di superficie più vaste ,
aventi proprietà comuni con esse : e le equazioni delle quali super-
ficie più vaste sono date dall' altro fattore della espressione di sopra
(CHI) della superficie.

io3. Per un esempio di anulari di questa tribù, vogliasene una
del medesimo gruppo di quelle considerate nei tre primi esempii
riportati innanzi ; cioè a cono direttore retto a base circolare. Le
due prime delle equazioni (LXXV), che sono quelle della direttrice
comune del cono direttore , e della rigata determinatrice (70) , sa-
ranno le due

nelle quali /, /», n potranno anche essere zero.

sulle Superficie Anulari. 178

E se trattandosi di anulari della medesima tribù , ma di altro
gruppo delle contemplate innanzi , si couoscessero per qualunque
mezzo esplicitamente due delle funzioni if, fi , <?3 , che entrano nella
composizione della espressione (CHI) dell'anulare, la terza si avrebbe
dalla (CU). Così supponiamo che fossero state conosciute esplicita-
mente le <?> ?! ; e che fosse <i=mx , e <ii=ny , essendo /w, n , dei
semplici rapporti. Dovrebbe essere

^2=5 C+\J^C--\-mx[ji — Tnx)-\-ny{B — mj)

Date poi le if, ?, esplicitamente , od anche le «f, , «fi , potreb-
bonsi sempre determinare i determinanti geometrici dell' anulare
particolare della tribù di che si tratta, per la quale le i^, <?,, <?,,<?!
sarebbero le date funzioni, o la 92 quella dipendente da <{>, 9, nel
modo suddetto.

Posto

e trattate queste simultaneamente colla (LXI)

Kiy=+Kf)'^+'(f)'-"

per modo da eliminarne x.,j,z , otterremo una sola equazione
SJDza j:, /, e z , che insieme colla

darebbero la curva di genere dell' anulare , e questa sarebbe la di-
rettrice del cono direttore. La (LXVIl) , per la sostituzione di
?i9i'9=>"P3 darebbe la rigata determinatrice ; ed essa colla (LXX),
od anche colla (LXIV) dopo sostituitevi le 9 , 91 , 9. darebbero la
curva di specie , o ciò che è lo stesso la linea di contatto dell' a-
nulare colla rigata determinatrice ; e sostituito non solo le a^, <?,, 9^,
ma ancora la 9i nella (LXXI) si avrebbe la rigata ad elementi pa.
rHileli a quelli della determinatrice, ed essa colla già calcolata (LXX)
darebbero la curva di varietà, ossia la curva dei centri dell'anulare.

1 74 Rossi

IV.

104. Perchè s' abbia la tribù di anulari della espressione (CHI),
è d'uopo che 1?, «pi,?^, abbiano il legame espresso (102) dalia re-
lazione (GII)

Ma le 9; , e <?>4 possono essere qualunque.
Possiamo supporre dunque che fosse

E supponiamo che così sia di fatto. La (CHI) diventeià
(CIV) a;'4-/+3^=9,=— ^5=

e restando ferma la relazione di condizione p=o.

E però, come enunciammo (loi), senza che i centri della cir-
conferenza mobile generatrice dell' aQulare stiano nel vertice del suo
cono direttore , ( lo che richiederebbe uj3=o ) la superficie generata
da essa circonfereuza mobile , può appartenere ad una sferoide di

raggio variabile \/(94* — i^j* ; e potrebbe appartenere ancora ad una
sfera , quando fosse Ci^' — <ljs* , ossia cj'+sji^-f-fija^ — uj^a una quantità
costante.

io5. Pertanto conchiuderemo che 1' anulure di quinta classe
appartiene ad una sferoide, sempre che sia ad un tempo (99, 100)

'P-i=V(?'+9:'+<P:'')ì e <P3=0

od invece (io4)

?i='V'(<?''+?.'+?^°) . e 9=+9,»-f-9a=s=^9-f-B9,-f-C9..
L' anulare di quinta classe dunque può appartenere ad una sferoide
quando la circonferenza mobile che è sua generatrice ha raggio in
ogni posizione uguale alla distanza del corrispondente punto della
curva di genere dal vertice del cono ; e vi apparterrà di fatto ,
quando inoltre ha luogo

93=bo , oppnre (i}'-|-9/-f9a'=^<?+59,-f-C9j.

sulle Superficie anulari. l'j^

E nel primo caso il centro della circonferenza mobile , generatrice
dell'anulare, è nel vertice del cono direttore; nel secondo caso è fuor.
di esso.

E potremo dire che 1' anulare sferoidica può esser tale che la
sua circonferenza mobile generatrice abbia sempre il centro di po-
sizione fissa , 0 che 1' abbia di posizione variabile. Di sferoidi del
primo caso possono esservene in anulari di qualunque gruppo e ge-
nere ; di quelle del secondo caso possono esservene di qualunque
gruppo bensì , ma non di qualunque genere : dovendo essere que-
sti , tali che la distanza di ciascun punto della curva di genere dal
vertice del cono direttore sia sempre uguale alla somma dei pro-
dotti di ciascuna coordinata di esso medesimo punto per una costante
arbitraria : o forse anche (io3) per una funzione arbitraria, dipen-
dendone la esistenza dalla esistenza di soluzioni singolari di certe e-
quazioni derivate , composte da funzioni equivalenti a quelle mede-
sime coordinate.

Tom.Fl. aS

176 Rossi

un TERZO

DELLE ANULARI DI SESTA CLASSE.

106. Dato il cono direttore dell'anulare, immaginiamo ad esso
menato un piano tangente : e su questo stia la circonferenza genera-
trice dell'anulare , e cou essa quella retta ad essa tangente, la quale
è perpendicolare al lato di contatto del piano col cono ; e cbe però
genera la rigata determinatrice dell'anulare (i), mentre che la cir-
conferenza, che tocca , genera essa anulare medesima.

Supponiamo che in una seconda posizione del piano tangente ,
quella retta generatrice della rigata determinatrice dell' anulare in-
contri r altra eh' era sulla prima posizione del piano istesso ; e che
così in tutte le infinite jiosizioni del piano tangente, quella retta, in
ciascuna, sia incontrala da una sua posizione immediatamente antece-
dente , e da una sua posizione immediatamente seguente. Tutti i
punti d' intersezione di essa retta con se medesima nelle successive
sue posizioni costituiranno una curva ; ed è questa come la diret-
trice della rigata determinatrice dell' anulare ; e n' è lato di regres-
so. E se immaginiamo data una tal curva, che può riguardarsi come
direttrice della rigata determinatrice , ed intendiamo menata una
retta ad essa tangente , una tal retta toccherà il cono direttore del-
l' anulare , e sarà normale al lato di esso cono che passa pel punto
del contatto ; e viceversa , se intendiamo menata una retta normale
ad un lato del cono direttore nel piano che lo tocca secondo esso
lato , e la quale sìa retta della rigata determìuatrice } una tal retta

sulle Superficie Anulari. 177

toccherà ancora la detta curva , che può aversi come direllrice della
rigala determinatrice medesima.

Ma , come dicliiarainmo innanzi (2) , quando le diverse rette
di una rigala determinatrice di un' anulare a cono direttore sono a
due a due su di un piano , e costituiscono per essa determinatrice
una rigata sviluppabile, l'anulare è di sesta classe.

Dunque dal detto di sopra conchiuderemo, che nelle anulari di
Sesta Classe la curva direttrice della sua rigata determinatrice non
può essere qualunque ; e che neppure la linea del contatto di tutta
essa col cono direttore può essere qualunque ; e che tali due linee
dipendono 1' una dall'altra. E la espressione di questa dipendenza ci
aprirà la strada ad accommodare alle Anulari di Sesta Classe tutte
quelle espressioni ritrovate nel Capo Primo , le quali appartengono
(2) ad anulari qualunque a cono direttore, comunque siano di quinta,
sesta , o settima classe.

107. Supponiamo che sia data di fatto quella curva , la quale
può aversi come direttrice della rigata determinatrice di un'Anulare
di Sesta Classe , e che in sostania è il lato di regresso di essa ri-
gata determinatrice , la quale per le anulari di Sesia Classe, è una
superficie sviluppabile. E le equazioni di una tal curva direttrice ,
o lato di regresso , sieno le due

Le equazioni della retta tangente a questa curva sono le due

tj—F={x—6)F'

nelle quali le coordinate del punto di contatto sono le tre à , F{d) ,
F,{6) ; e delle quali le due ultime abbiamo indicate colle sole let-
tere F, F, .

108. Se le equazioni (CV) esprimono realmente, come abbiam
supposto , la linea di regresso della rigata determinatrice sviluppa-
bile dell' anulare , è chiaro che la retta rappresentata dalle (CVI),

178 Bossi

e qualunque sia la 9 , debbe risaltare non solo tangente al cono di-
rettore di essa medesima anulare , ma debbe ancora essere perpen-
dicolare al suo lato che passa pel punto di contatto (106).

Ma abbiamo già trovate (4, io) per equazioni di una retta che
tocca il cono direttore , e che è normale a quel suo lato che pass»
pel punto del contatto , le due (L)

(J/-//>+(/-/?/;').y-(/-/3/>=o

nelle quali 7- , "^ , ® , sono le coordinate del punto di contatto ,

e /3,y,y7 le coordinate di quel punto della curva direttrice del
cono al quale si appoggia quel suo lato che passa pel punto di con-
tatto delle dette coordinate.

Dunque la curva delle equazioni ( CV ) apparterrà realmente ,
secondo la ipotesi , alla linea di regresso della determinitrice svilup-
pabile , quRndo le forme delle funzioni JR, F, che le determinano ,
sieno tali da far essere le equazioni (CVI) della retta ad essa linea
tangente equivalenti alle due ultime (L) scritte equazioni.

Ora per determinare le forme effettive delle funzioni F , F, ■,
per modo che soddisfacciano alla enunciata condizione, determiniamo
le projezioni della retta espressa dalle (L) rispettivamente sui piani
coordinati xjr, xz. Sono le equazioni di tali projezioni le due.

(CVIl)

«+

((/-/3/')/+(/-/?/;')/) M{/-Pf')f+if-^/.u)

nelle quali , al solito D sta per V(/S^"f:/*"h/i^)- Ed è manifesto die
se le (CVI) , ossia le due

,j—F'.x—{F—F.d)=Q

iy—F'.x—{F—P.
(CVIII) \

{z-f;.x-{f,-f;.'

sulle Superficie Anulari. 179

fossero identiche alle (CVII), esse medesime (CVI) equivarrebbero
alle (L).

Determiniamo dunque così le forme delle F, F, , da risultare
le (CVIII) identiche alle (CVII). Ora perchè ciò abbia luogo , è
necessario , come è manifesto, che esistano simultaneamenle le quat-
tro equazioni ,

(CIX)

E le due prime di queste danno immediatamente
(CX)

ove le derivate sono prese rispetto a qualunque variabile ; e nelle
quali K, K, sono costanti arbitrarie.

Le (CX) dunque danno le forme effettive delle funzioni F^F,,
perchè le (CV) sieno le equazioni della linea di regresso della ri-
gata sviluppabile , delerminalrice dell'anulare di sesta classe.

Dalle (CX) si vede ancora , ciò che abbiamo già conchiuso al
N.° 106 ; cioè che la linea direttrice della rigata determinalrice
non può essere qualunque ; e vedcsi inoltre come essa dipenda dalle
forme delle altre funzioni f, f, , date dalle equazioni (1)

della curva direttrice del cono direttore (3).

109. Le (CX) ci palesano manifestamente, che le ordinate i^,/^,
di un' individuato punto del lalo di regresso o direttrice della rigala
determinalrice dipendano in sostanza dalle funzioni/, f delia /3 ,
e però dal valore individuato di questa medesima p.

i8o Rossi

Sia dunque /3 un'ascissa sull'asse coordinato delle x: e potremo
supporre esser questa un'ascissa comune alla curva direltiice del
cono direttore , data dalle equazioni (1) ; ed alla linea di regresso,
o curva direttrice della rigata detertninatrice di un' anulare di sesta
classe , le coordinate della quale corrispondenti a quella ascissa /3 ,
saranno le F^ F, date dalle (CX).

Per un' anulare qualunque di Sesta Classe dunque , se

y=f{x)

z=fSx)

sono le equazioni della curva direttrice del suo cono direttore, quelle
(Iella curva direttrice della sua rigata determinatrice , clie n' è in-
sieme sua linea di regresso , saranno le due

if{x)-xf'{x))x+{f{x)f;(x)-fia-)r{x))f,(x)

'="-/

--/

(/(^)-^/'W)/(^)+{/.W-^//(^))/W

(CXI)

{n^)-'^fx^)>-{f{-)m^)-f-sx)f{x))f{x)

(/W-^/'{-^j)/(*j+(/(^i-^//W)/.W

Dalle quali equazioni discende il seguente

Teorema. Per tutte le immaginabili anulari di Sesta Classe^
che ammettono un medesimo cono direnare , potranno esservi in-
Jìnite rigate determinatrici diverse; ma delle quali tutte le coor-
dinate di un medesimo nome delle loro linee di regresso , corri-
spondenti ad una medesima ascissa , differiranno tra loro per
quantità costanti.

no. Da quelle equazioni , delle (CIX) , nelle quali è conte-
nuta la ai , eliminiamone la 6 visibile , e risolviamo per rispetto a
a> la equazione risultante. Otlenghiamo

fiif-Pf')fMf-Pf')f){PF.'-F.F')

{if-mF.'-{f-Pf!)F)D'

od anche più semplicemente , ponendo per F', F'^ , nel denomina-
tore , i loro valori espressi nelle prime due (CIX) ,

sulle Superficie /anulari. i8i

,cx„) ^^f,(^p{^)+^?{tJ)Si^..

ove le derivate sono prese rispetto a qualunque variabile.

E pertanto , essendo (4) 7- ? 7- > "^ 5 ^^ coordinate del punto

di contatto della individuata retta della rigata determinatrice , col
cono direttore, il quale giace sul lato di esso che passa per l'indi-
viduato punto della sua curva direttrice di coordinate di ascissa /?,
conchiuderemo , dall' ultima espressione , ciò che conchiudemmo per
altra via al N. 106 ; cioè che la linea del contatto della rigata de-
terminatrice di un' anulare qualunque di Sesta Classe col suo cono
direttore , non può essere qualunque , ma dipende dalla linea di re-
gresso di essa medesima determinatrice.

Epperò nelle anulari di sesia classe la natura della rigata de-
terminatrice , e della sua linea di contatto col cono direttore , di-
pendono in tutto e per tutto dalla natura di questo ; e per un me-
desimo cono direttore , solo di posizione possono esse linee variare.

III. La (CXII) dà il valore di «> corrispondente ad un indi-
viduato valore di /S. Sia /3 un ascissa qualunque. Così considerata
la /3, otterremo immediatamente la linea di contatto della rigata de-
terminatrice dell' anulare di Sesta Classe col suo cono direttole. E
quando le equazioni della direttrice del cono direttore sono le due (I)

sono equazioni della linea di contatto della rigata determinatrice del-
l' anulare di Sesta Classe , col suo cono direttore , le due

^ _^/W((/W-^/'fa^))/W+(/f^-)-^/'(^-))/(^))
'' (^^+/W+/WO(/<*)//W-/W/'(*))

(CXllI) (

i{x){(f(x)-xf'{x))f{x)Mf.{^)-=^f!{^))m)

{x^+Axy+fixr){Ax)f,'{.)-f,[x)f'{x))

nelle quali la S(^x) sta scritta invece del binomio

iS2 Rossi

(CXIV) .

(/W-^/'W)/(^-)+(/(-^)-^//(^'))/W

\ J (/(■')-^/'W)/(^)+(/:(^)-^y; '(•«))/.(■') ^

{f,{x)-a:l'{x))x-{f{x)f!{x]-nx)f'{x))f{x)

~ {j (^)-^/'('«))/(^j+(y;(-^-)-^/.'(^))/(^)
/_ r (/(^-)-^/'W)^-+(/w/'(-^)-/:(^)/'(«))/.(^)\
\ J (/v-')-'/'(-fj)/(^)+(/.i^]-^//(^))y;w '^

II.

112. Dato il cono direttore di un' anulai-e di Sesta Classe , e
data la linea di regresso della sua rigata determiriatrice , 'potrebbe
dimandarsi in qual punto essa linea di regresso è toccata da quella
retta di essa determiaatrice , alla quale essa linea appartiene , che
tocca il cono direttore in un punto di quel suo lato che passa per
r individuato punto di ascissa /3 delia curva direttrice di esso cono;
ossia che è normale ad esso suo lato che passa per esso medesimo
individuato punto di ascissa /3.

Per avere 1' ascissa del dimandato punto della linea di regresso,
basta eliminare la cu da quelle delle equazioni ( CIX ) che conten-
gono (53 e 9 , e quindi risolvere la equazione risultante rispetto a 6.
Otterrassi

E questo valore di 9 risolve il problema. Difatto posti in quest'ul-
tima espressione per F ^ Fi , F', F,' ì valori datine dalle ( CIX ) e
(CX) si avrà 6 tutta in fur.7,ione di /3 : e questo valore di 9 tutto
in funzione di /3 sarà l'ascissa dell'individuato punto richiesto della
linea di regresso. Nelle (CXI) , per x si ponga 1' ottenuto valore

sulle Superficie Anulari. i83

di 6 : ed i valori che se ne ottengono per j, o, saranno le Fid),FjQ),
0 le due coordinale del punto richiesto.

E viceversa dato un' individuato punto della curva di regresso
pel quale passa la retta della rigala determinatrice , potrebbe de-
terminarsi il punto di contatto di essa retta col cono direttole. Dato
il punto della curva di regresso , sarebbero dati 6 , F[6j, Ft{6) sue
coordinate; e quindi per la ( CXV ) si conoscerebbe /3 : ed anche
/■(/3),/,(/3). Però nella espressione di co (GXII) sarebbe tutto noto ;
e si otterrebbe a> tutta in funzione di 0 : e cosi in funzione di ò le

■r~r > «^ J,^ 5 che sono colla jS le coordinate del punto richiesto.

III.

ii3. Abbiamo già enunciato (io6) , che la espressione della
dipendenza tra la curva direttrice , o lato di regresso della rigata
determinatrice , e la linea di suo contatto col cono direttore ci a-
vrebbe aperta la strada ad accoinmodare alle anulari di sesta classe
le espressioni pertinenti alla universalità delle anulari a Cono Diret-
tore , nel Capo Primo trovate. Ed ora ciò si rende manifesto dopo
il fin qui detto. Difatti essa dipendenza equivale (rii) alla rela-
zione (CXII) , che dà ce.

E conchiuderemo che all' altezza a sul piano xj , del punto
assunto (^4) ^"^'^ retta del cono direttore (3) di equazioni (II) ,

\(2z-f,x=Q
compete il valore od espressione

quando l' anulare avente quel cono per cono direttore è un' anulare
di Sesta Classe. E che però per accommodare le espressioni pertinenti
ad anulari qualunque a cono direttore , e le quali nel Capo Primo
abbiamo trovate , alle anulari di Sesta Classe, è necessario porre in

Tom. FI. zi

i84- Rossi

tulle esse medesime espressioni , dapertulto invece di ® il notalo
valore (CXII) ad essa competente.
Ma al N. 12 ponemmo

/.

Dunque per le anulari di Sesta Classe sarà

ove per F, Fi debbono intendersi sostituite le funzioni (CX) cli'esse
sono della /3 , ed anche delle y, f, funzioni di essa medesima (3.
Talché se denoteremo con iS" , il binomio FF,' — FiF' ; sarà

ed in questa debbe intendersi posto (12) per D ,

e per la S{f) , o semplicemente 5 , la (ni)
(CXVIl)

E sostituito esso valore della A, in cui le Z?, S^ hanno il detto
significato , nelle espressioni analitiche nel Capo Primo trovate , ot-
terremo quelle relative non più ad uri anulare qualunque a cono
direttore , ma invece ad una qualunque di quelle di Sesta Classe.

sulle Superficie /anulari. i85

AKTHOLO I.

C^uteWioiie 5eft' ©Liiufate jciictafe Si oeJta Qi<xiùt.

l.

114. Pel dello nel N.° precedente è chiaro che dalla espres-
sione di una individuata circonferenza di un' anulare qualunque a
cono direttore , dedurremo quella di una individuata circonferenza
dell' anulare generale di sesta classe, j'onendo nella prima delle (XX)
per A il suo valore (CXVI). Facciamo dunque una tal sostituzio-
ne : e dopo moltiplichiamo la trasformata per {Jfi — f'J^fO , ossia

per jH ■— r ) D : e quindi passiamo nel primo membro lutti quei

termini delia risultante che conterranno le x, y^ -., meno quelli che

saranno moltiplicati V'^^ [ J\f) '^f^K'rJ ]^' ^^1'° tutto ciò, ed

alcune riduzioni che si jìresentano, otterremo in fine

(CXVIII)

E sono queste le espressioni analitiche di quella individuata cir-
conferenza generatrice di un' anulare qualunque di sesta classe , di
cui il piano tocca la curva del cono direttore di essa anulare , nel
punto delle coordinate |3j/(i3),y,f/3j ; e tocca ad un tempo esso cono

i86 Bossi

lungo quella sua retta , che passa per esso medesimo punto. In esse
oc^ y^ z , sono le coordinate riferite a tre assi coordinati ortogonali
la di cui origine è nel vertice medesimo del cono •, D,R,S, stanno
pei polinomii indicati innanzi (XIII) , (CXVII) ; e 5 ed w hanno
il significalo parimenti detto innanzi (9).

11 5. In ordine alle.r, j, 3, e /3, 5, a contenute nelle (CXVIII),
potremmo fare un ragionamento perfettamente analogo a quello fatto
al N.° 46 sulle medesime quantità contenute nella (LVII). Però
conchiuderemo anche qui , che a volere abbracciare ad un tempo
tutte le circonferenze generatrici , appartenenti ad un'anulare di Se-
sta Classe , dovremo nelle (CXVIIIj considerare la /3, non più come
avente un valore costante , ma come avente tutti gì' immaginabili
valori che possono ad essa competere; e che dovremo ad un tempo
considerare le 5, «, come fmizioni di essa medesima (2. E conchiu-
deremo del pari che lutti i valori immaginabili che possono alla /3
competere , sono quelli porti dalla

{#'-/y:)^+(/-^//)y-:/-/3/'j==o

ovvero dalla seconda delle (CWIII).

Staranno dunque ancora qui le conseguenze cavate al N.o 47-
E le relazioni (LVIII) avranno luogo ancora per le anulari di Se-
sta Classe.

116. Otterremo dunque dalle espressioni ( CXVIII ) relative
alla individuata circonferenza di un'anulare qualunque di Sesta Clas-
se , la espressione di essa medesima Anulare-, da quella circonfe-
renza generata , ponendo nella prima delle (CXVIII, , per /3 la fun-
zione <j (a.-, j,z)., peivy, 1' altra 9i (j:, j, s) , per ft l'altra fan-
zione <?2 (x , j- , z) , e per S, « , rispettivamente le <?, (x , j, 3) ,
<f4{x,y,:) , il tutto nel senso delle cose dette al N. 47-

Egli è cosi che oltenghiamo per espressione analitica di un'a-
nulare qualunque di Sesta Classe la

sulle Superficie Anulari. 187

(CXIX)

■ - (— 9s'<?.*(^)p(9'+9.'+9=')

i(9a;+9,y4-<?=s+9 , \/9'+9.'4-9=0 '

Nella quale sono x^y, z le tre coordinate riferite a tre assi orlogo--
nali colla origine nel vertice del cono direttore dell'anulare; 9,9,,
9'=, <?j, eji cinque funzioni di esse coordinate da determinarsi; p ciò
che diventa il polinomio i? (XII), quando in luogo di /3,/(/3),/,(/3),
vi sostituiamo le funzioni effettive 9.9n9 = , ch'esse sono delle x^y^z;
e 2 denota ciò che diventa il binomio S ( CXVII ) , quando dopr
eflettuate le integrazioni accennate , in luogo di /3 , vi si pone la
innzione «j, eh' essa è delle x,y, :.

riy. Fermiamoci un tantino a considerare le quantità che en-
trano nella (CXIX) : e potremo conoscere la differenza che sta tra
le espressioni delle anulari che ora consideriamo, cioè di Sesta Clas-
se-, e quelle di Quinta Classe considerate nel Capo precedente.

Consideriamo in primo che in essa le p, 2, sono composte dalle
9( 9i 1 9= ■) e che però contengono le coordinate a:, v, s , e quelle
costanti o parametri colle quali esse- coordinate compongono le dette
tre funzioni ^,(^,,9=. Ma la p non contiene altre quantità oltre
(fuelle che entrano nella composizione di esse funzioni ; mentre che
invece la 2 contiene ancora (CXVII) le K, K, estranee alla com-
posizione di esse funzioni , e le quali sono due costanti arbitrarie

1 88 Rossi

(io8). La espressione (CXIX) non contiene dunque, oltre alle j:,j)-,s,
nel modo visibile, che le cinque funzioni 9,9,, <|i5, 9j, 9i , e le due
costanti Kj K, .

Delie dette cinque funzioni , le tre <?, <?i, 93 , essendo , la pri-
ma (47) quella che si ottiene risolvendo rispetto a /3 la seconda delle
(CXVIII) , e 1^1, «?:■. , quelle che rispettivamente si ottengono dalle
funzioni /(/3) , y, (/3) , quando per /3 si pone la funzione i^ che per
essa s' è ottenuta dalla detta risoluzione della seconda delle (CXVIII);
è chiaro , che se in essa medesima seconda delle (CXVIII) ponia-
mo per |3 la <j, e per y la cj, , e per ^ la 9=, la trasformata debbe
verificarsi da se. Dunque la (LXI)

^■fe)'-^+'^'(l:)'^+^'(7)'^=°

è una relazione identica : epperò, anche senza conoscere le tre fun-
zioni <ij, <?,, <:?= , potremmo eliminarne una, per esempio la <? , dalla
espressione generale dell' anulare. Quindi è che delle funzioni com-
prese nella prima delle (CXIX), le due <^^,'ììi sono del tutto in-
dipendenti , e delle altre tre <?, «ju <?>, l'una dipende dalle altre due
nel modo espresso dall' ultima soprascritta espressione. Dunque il

Teorema. La espressione analitica la più generale delle A-
nulari di Sesta Classe si presenta con cinque funzioni , delle
quali quattro sono arbitrarie , e con due costanti parimenti arbi-
trarie. Però la più semplice espressione delV anulare di Sesta
Classe ha sei quantità arbitrarie.

118. Nel capo precedente abbiara veduto (49) che la espres-
sione generalissima delle anulari di Quinta Classe si presenta eoa
sei funzioni arbitrarie , delle quali due si riferiscono alla curva di-
rettrice della rigata determinatrice. Qui , nelle anulari di sesta clas-
se, anche sei sono le quantità arbitrarie, ma di queste quattro sole
sono funzioni delle coordinate; altre due sono costanti: e sono que-
ste due costanti che si riferiscono alla curva direttrice della rigata
determinatrice. Nelle anulari di Quinta Classe dunque è arbitraria
la natura della curva direttrice della rigata determinatrice ; nelle
anulari di sesta classe è arbitraria di posizione soltanto, ma non di

sulle Superficie anulari. 189

natura essa curva : perciocché quelle due funzioni che nella espres-
sione delle anulari di Quinta Classe ad essa si riferiscono e che sono
arbitrarie , n' esprimono per lo appunto la natura (63), mentre che
le due costanti che nella espressione delle anulari di Sesta Classe ,
pur si riferiscono ad essa curva , e che pur sono arbitrarie , non
ne esprimono la natura , ma solo la posizione (109).

Ed egli è per questa proprietà ( di essere per le anulari di
Quinta Classe arbitraria di natura la curva direttrice dell' anulare
determinatrice , e non così per quelle di Sesta Classe ) che nella e-
spressione delle anulari di Quinta Classe le sei funzioni arbitrarie
colle quali si presenta possono ridursi a quattro ; mentre che quelle
di Sesta Classe non si possono punto ridurre ad avere meno di sei
cose arbitrarie.

Nelle anulari di Quinta Classe, possiamo immaginare ad arbi-
trio una curva qualunque nello spazio , ed assumer questa a diret-
trice comune del suo cono direttore , e della sua rigata determina-
trice ; perocché ogni curva tracciata su questa — e possono trac-
ciarsene infinite di numero — potrebbe assumersi ad arbitrio, come
direttrice di essa medesima rigata determinatrice ; potendo (in essa
Classe di anulari ) gli elementi di ([uesta trovarsi comunque situati
rispetto a tutte esse curve tracciabili su di essa. Ma non è così per le
anulari di Sesta Classe. Immaginiamo parimenti ad arbitrio una
curva qualunque nello spazio ; ed assumiamola a direttrice del cono
direttore di un'anulare di Sesta Classe. Ciò possiamo; ma non pos-
siamo parimenti assumerla sempre , qualunque essa sia, a direttrice
ad un tempo della rigata determinatrice ; nel qual caso solo potrebbe
la espressione generale di essa anulare ridursi a contenere quattro
sole quantità arbitrarie. Imperciocché se immaginiamo la rigata co-
stituita da tutte le rette che passono jier quella curva immaginata
ad arbitrio , e che sono tutte tangenti al cono avente essa curva per
direttrice e normale ai suoi lati che passano pei punti del contatto;
perchè una tal rigata fosse determinatrice di una anulare di Sesta
Classe avente quel cono per cono direttore , sarebbe uopo che tra
le infinite curve su di essa tracciabili, ve ne fosse una alla quale tutte
quelle rette che la sostituiscono fossero tangenti (106) , la qual cosa

igo Rossi

uon può sempre avvenire , per qualunque curva arbitrariamente as-
sunta a direttrice comune del cono direttore , e della rigata deter-
miuatrice dell' anulare.

Dunque nella espressione generale delle anulari di Quinta Classe
le sei funzioni arbitrarie possono ridursi a quattro, perchè può sem-
pre assumersi una curva qualunque arbitraria a direttrice comune
del cono direttore e della rigata determinatrice ; ma nella espressio-
ue delle anulari di Sesta Classe le sei quantità arbitrarie , che essa
comprende, non possono punto ridursi a numero minore, perchè non
può assumersi una curva qualunque arbitraria a direttrice comune
del cono direttore e della rigat;i determinatrice.

iig. Ma comunque nella espressione generale delle anulari di
Sesta Classe , non possono punto ridursi a minor numero le sei
quantità arbitrarie eh' essa comprende , pure potrebbe stare che in
essa una delle quattro funzioni arbitrarie si riducesse ad essere in-
vece una costante ; onde in un tal caso delle sei quantità arbitrarie,
tre sarebbero funzioni delle coordinate , e le altre tre no , ma co-
stanti arbitrarie.

Difatti esista il cono direttore dell' anulare , di direttrice delle
equazioni

Potremo tagliare esso cono con un piano , e potrà questo essere pa-
rallelo , per esempio , al piano xy. E chiaro clie potremmo assu-
mere la curva del taglio a curva direttrice del cono medesimo. E
se così avessimo fatto fin da principio , avremmo potuto assumere
per equazioni della direttrice di esso cono le

\z=a.

E quindi la /(|S)s5=/'((;j (a;,y, s))=(!j, sarebbe parimenti restata una
funzione di x, y, z; ma non così la f,{^}=:a , che sarebbe restata
uguale alla quantità a , costante bensì , ma arbitraria.

Potremmo dunque nella (CXIX) porre uguale zero le derivate
di una delle iJ?! > <?a , od anche della 9. Ma ciò non faremo in

sulle Superficie Anulari. 191

•grazia di simmeliia, e solo riterremo, potersi sempre cbe si voglia
considerare come costante arbitraria una di esse funzioni.

II.

I20. Le funzioni arbitrarie, che entrano nella espressione ge-
nerale delie anulari di sesta classe dunque, ridotte al minimo, sono
tre. E se la «j= sia una costante arbitraria, le tre funzioni arbitra-
rie ed indipendenti tra loro sarebbero le «ji, <l?3 , <p^. E le altre tre
quantità arbitrarie nella espressione medesima contenute sarebbero le
Ci^^ K G K,, tutte tre costanti. Ma 0 che le ^,,9^ sieno entrambe
variabili, o 1' una costante, esse dovranno sempre variare accoppia-
te; perocché emergono (i i5) dalle y, y; coordinate accoppiate di un
medesimo punto della direttrice del cono direttore individuato (3)
per un valore particolare /3 della ascissa x : e parimenti accoppiate an-
deranno le costanti arbitrarie -S", K, , perocché sono esse che indivi-
duano insieme le coordinate accoppiate j , z corrispondenti ad una
medesima ascissa ce qualunque , per modo che appartengono tutti i
punti che pel variare della x vengono a considerarsi , ad una sola
e medesima curva (107,108).

Facendo dunque ragionamenti analoghi a quelli fatti al N. 5i,
potremo porre essere le anulari di sesta classe di tanti gruppi per
quante diverse possono essere le forme accoppiate delle 9, )<?»"> ed
appartenere ad un medesimo giupjx) tutte quelle per le quali esse
funzioni ammettono una medesima coppia di forme: tutte quelle di
un medesimo gruppo essere di tanti generi per quanti diversi pos-
sono essere i valori particolari accoppiati delle K, K, • ed essere di
un medesimo genere quelle per le quali A', A' hanno lo slesso va-
lore accoppiato : quelle di un medesimo genere essere di tante spe-
cie per quante forme diverse possono assumersi ad arbitrio per la
9! ; ed essere della ste'ssa specie quelle per le quali la ^j ritiene la
stessa forma: ed infine essere di tante varietà diverse quelle di una
medesima specie , per quante diverse sono le forme assegnate alla
94 ; ed essere di una medesima varietà quelle per le quali tutte ia
fi ritiene la medesima forma.

Tom.VI. 25

Jg2 Rossi

E dalle seguenti indagini cercheremo investigare a quali geo-
metrici fatti equivalga tale assunta algebrica classificazione.

ARTICOLO II.

Civteiò'ione ietta, Qatattetiitica. iett ©Luu(aie aentiate
di oe^ta Ctaóóe,

121. Al N. 24 del Capo Primo trovammo la espressione (XXX)
di un individuato punto della caralteristica di un' anulare qualun-
que a cono direttore , il quale appartiene a quella sua circonferen-
za , eh' è individuata dall' ascissa x=l3 del punto di contatto del
suo piano colia curva direttrice del cono direttore ; ed in una tale
espressione è la distanza A. Ma per quello che abbiani detto al
N.° ii3, quando l'anulare è di sesia classe, la distanza A dipende
dalle /3 ed « nel modo espresso dalla (CXVI). Dunque dalla (XXX)
dedurremo la espressione di quel punto della caratteristica di un'a-
nulare di sesta classe, il quale è sulla circonferenza individuata per
r ascissa (3 , ponendo in essa per A la sua espressione data dalla
(CXVI).

Per le cose dette ai N. ii5 e 47 1 è chiaro che dalla trasfor-
mata che si ottiene per la detta sostituzione per la A, otterremo la
espressione della caratteristica tutta intera , alla quale 1' individuato
punto da essa trasformata espressa appartiene, ponendo per (S,f,f^^
le funzioni 9, <?,, ^a delle x,j,z ; per le S, « le <?j , 9i ; per D la
V(<?°+'i?i^-h?='') ; e per R la p e per la S la 2. Perocché ciò e-
quivale (ii5) a considerare non quell'individuato punto di essa ca-
ratteristica che trovasi sulla circonferenza individuata dal particolare
valore della /3, ma tuli' i punti di essa che sono su tutte le circon-
ferenze dell'anulare ninna eccettuata, ossia i punti tutti della ca»
ratteristica.

Facciamo dunque difalto nelle (XXX) tutte cosiffatte sostita»

sulle Superficie Anulari. igS

zioni. È manifesto che la prima di esse dà la medesima (CXIX) ,
e la seconda porge

(CXX) <p.= (f;)'(^?+y?'+-^+('-"y7^)?^ V(<t'+f /+?=') )=

La lerza diventa una relazione identica (117). Onde le CXIX) e
(CXX) simultaneamente considerate esprimono la caratteristica del-
l' anulare generale di sesta classe ; e della quale t è il parametro
di posizione (21).

La ( CXIX ) esprime l' anulare generale di sesta classe, Lh
(CXX) esprime un' altra superficie, sulla quale pur giace la carat-
teristica ; onde questa si ha dalla intersezione loro. Ma la (CXX)
si compone colle t, <ip, (^, , (^j , e 9^ senza contenere la fj , che è la
funzione di specie dell' anulare (120). Dunque il

Teorema. Le anulari tutte di sesta classe di qualunque spe-
cie sieno , purché appartengano a famiglie di un medesimo stipile
di varietà , e ad un medesimo genere di uno stesso gruppo, hanno
le loro caratteristiche corrispondenti ad un medesimo parametro
di posizione , allogate tutte in una sola e medesima superficie dì-
versa dair anulare alla quale appartengono.

E questa proprietà è comune sì alle anulari di quinta (53)
come a quelle di sesta classe.

II.

122. Se nella (CXX) facciamo ./^.tang.T=o, ottenghiarao nella
risultante la espressione che insieme colla (CXIX) dà la caratteri-
stica eh' è linea di contatto dell' anulare di sesta classe colla sua ri-
gata detcrminatrice. E fatto y;/.tang.T=o , la (CXX) porge

(cxxi) <?;-('^)W+y^.+^-^=)=(..^(^)'+^^^0) s

ig4i Rossi

Espressione iodipendente noa solo dalla 93 , ma ancora dalla ^4.
Quindi il

Teorema. Tulle le anulari di sesia classe di un medesimo
genere di uno stesso^ gruppo e di qualunque specie e varietà sieno
(120), hanno tutte la curva di loro contatto colla rigata deter-
minatrice allogata in una sola e medesima superficie diversa da
ciascuna di esse.

Proprietà questa comune alle anulari di quinta classe (54). Ma
la superficie luogo delle caratteristiche uou può essere la stessa per
le anulari di quinta e per quelle di sesta, classe , comunque fossero
tali i determinanti loro , che per entrambe , le funzioni <j. ^i > i?!»
fossero di egual forma. Perocché onde questi due luoghi non fos-
sero diversi dovrebb' essere

una equazione identica.

123. Facciamo ora y^.tang.T=ii , ed anche y^.tang.T=3i . Per

ambi i casi sarà , che è il coseno di esso angolo , uguale

a zero. Epperò la (GXX) in ambi i casi si cangia nella

(CXXII)

?.= (J)'(^<?+y?.+s<f =+29., V(^'+^r-H==))=(?.' (f )'+^^' (0)^

Dunque , come per le anulari di quinta dasse (55) , il

Teorema. JVelle anulari di sesta classe le caratteristiche sue,

la più lontana dal cono direttore, e la più vicina ad esso , sono

insieme sopra una sola e medesima superfìcie diversa. daU'.anulare

alla quale appartengono.

Ed una tale superficie è espressa dalla (CXXII).

Ed anche qui si vede,, che (come per le anulari di quinta,

classe ) la (CXX) , che appartiene a quelle di sesta , diventa libera

dalla <^^ per la sola caratteristica eh' è linea di contatto dell'anuJarej

colla, sua rigata determina trice^

sulle Superficie Anulari. igS

ARTICOLO III.

di Semita Qtoiiit.

r.

124. Nel §. 3.° del Capo Primo trovammo che la (XLI) e
la seconda delle (XL) sono insieme la espressione esplicita di una
retta della inviluppata rigala all' anulare generale a cono diret-
tore. Ed in essa è la distanza A. Ora secondo ciò che abbiamo ve-
duto (ii3), per le anulari di sesta classe debbe questa distanza A
essere espressa nel modo indicato dalla ( CXVI ). Dunque se nella
(XLI) poniamo essa espressione della A , otterremo la espressione
analitica di una retta individuata della inviluppata rigata, non piìi
ad un' anulare qualunque a cono direttore, ma ad una di sesta classe.
Facciamo una lai sostituzione ; e prima ( per meglio accomodarla
a ciò che saremo per fare ) in amb' i membri , moltiplichiamo ,
tanto la quantità funzionante da numeratore , quanto 1' altra funzio-
nante da denominatore per DR ; e dopo la sostituzione per A, mol-
tiplichiamo le quantità funzionanti da numeratore e denominatore
nel solo primo membro per [ff!—S'f^)D: e quindi generalizziamo

le derivate, e poniamovi ancora t= — , chiamando s il seno, e e

il. coseno di y/.tang.r. Oltenghiamo , dopo tutto ciò'

+

4^

+

co

"t;^
Cj^

4^

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+

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O-

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6-

8^1 é

^

^

H

sulle Superficie Anulari. 197

125. L'ultima trovala espressione è quella di una inviluppata
qualunque dell'anulare di sesta classe; ed apparterrà ad una indi-
viduala di esse inviluppate, secondo il diverso valore (21) che as-
sumerassi pel parametro di posizione r , ossia secondo il valore del-
l'angolo di cui T è la tangente.

Però otterremo la espressione della rigata determinatrice fa-
cendo nella (CXXUI) ^.tang.T=o : perlocchè è c=i ed s=zo.

Ciò fatto la (CXXIII) perde i termini moltiplicati per s; onde
poi liberata dai fratti , riuniti in un termine quelli che moltipli-
cano S ed m un" altro quelli che moltiplicano V( f' + ?■' +?=')»
fatte le riduzioni e separati di nuovo i termini accoppiati , risulta:;

(CXXIV)

[„0,,+,,H..,-(,.0+.ty>"](''(r)'+-t)')|

.[,,(i;)V+,.+,.1=-(.'(^)'+"t)'>"-]G<H+'-€)')'

E questa è la espressione della rigata determinatrice dell' anulare
generale di sesta classe. Espressione importante più che non è quella
della determinatrice nelle anulari di quinta classe. Perciocché per
queste la rigala determinalrice può sempre assumersi ad arbitrio
(4 1,1 18) ; laddove per quelle di sesta classe essa rigata non è mai
arbitraria di natura, e può solo esserlo di posizione, e quindi anche
d'intensità di curvatura. Di fatto abbiamo veduto (109, ni) che
tanto la sua curva direttrice, che n' è ad un tempo lato di regres-
so , quanto la curva di sua intersezione 0 contallo col cono diret-
tore dell' anulare , non possono essere di qualunque natura ma deb-
bono essere delle equazioni ( CXI ) e ( CXIII ) , e dipendere però
dalle forme delle funzioni y,y, della /3 , già funzioni ■L{x,y)'.
ossia debbono dipendere dalle forme delle funzioni 9, «?,, <V = , di cui
due sole sono arbitrarie (117), e riferisconsi alla natura del cono

.p=0

jgS Rossi

direltore : ed è evidente che secondo il diverso valore delle arbi-
trarie A", À' che entrano nella S ( CXVII ) contenuta nelle equa-
zioni (CXIII) della curva di contatto del cono colla rigata determi-
natrice , questa curva comunque non varii di natura , pure debbe
variare neil' ampiezza ed intensità delle successive curvature sue ;
[jerocchè secondo la diversa posizione sua sul cono direttore variano
le ampiezze degli archi omologhi. Cosi se siasene tracciata una
serie sul cono direttore , tutte avranno un arco compreso tra due
posizioni consecutive del lato del cono , e tutti questi archi omolo-
ghi si anderanno allungando a misura che si allontanano dal vertice
del cono stesso ; onde è che le corde sottese a due di essi archetti
omologhi consecutivi comprendendo ugual angolo i raggi di curva-
tura anderanno crescendo in lunghezza per gli archi omologhi delle
curve di che si tratta , a misura che si allontanano dal vertice del
cono. Dunque se le curve di contatto di un medesimo cono diret-
tore, con tutte le possibili determinatrici dell'anulare di sesta classe,
non cangiano di natura , cangiano però d' intensità di curvatura pel
variare dei valori particolari simultanei delle costanti arbitrarie K,K^:
e quindi anche d' intensità di curvatura debbono variare le aree o-
mologhe delle rigato che hanno quelle diverse curve di contatto per
direttrici.

Per le quali cose la (CXXIV) esprime quale debb' essere di
natura la rigata dcterminatrice delle anulari tutte di sesta classe di
un medesimo gruppo : e vedesi che la natura sua , come quella del
suo lato di regresso e della linea di suo contatto col cono direttore ,
dipende solo da quella di questo medesimo cono ; essendo essa e-
spressione indipendente dalle <?)»<?•!.

Intanto questa indij)endenza ci conduce a couchiudere il

Teorema. Tutte le anulari di sesta classe , purché siano di
un medesimo gruppo , di qualunque genere specie o varietà sieno,
tianno tutte le rigate determinatrici di una sola e medesima na-
tura ; e quando sieno non solo di un medesimo gruppo , ma an-
cora di un medesimo genere, ammettono, tutte di qualunque specie
o varietà sieno , una sola e medesima rigata determinatrice.

E perciocché tanto il cono direttore , quanto la rigata deler-

sulle Stiperjìeie anulari. 199

miiiafrice non dipendono punto ne da 93 , né da c}, , ma solo dalle
funzioni <?, 9, , i^j e dalle costanti K, K, , ne conseguita che date esse
superficie , il giuppo ed il geuci'e cui appartiene l'anulare restau
dell'ini ina li ; ma non mai la specie e la varietà , le quali , come
abbiam veduto ( tao) dipendono risjìettivameiite dalle l'orme delle
funzioni ^, , <t .

Intanto se paragoneremo la (LXVil) coll'ultima trovata(CXXlV),
che sono rispettivamente le espressioni della rigata determinatrice di
un' anulare generale di quinta classe e di una di sesta classe , ci
avvedremo ch'esse espressioni differiscono in questo massimamente;
cioè che nella prima , la j' , e la 2 , visibili moltiplicano 1' unità ,

laddove nella seconda moltiplicano la quantità <?, a (—j(?'+"?i"+'?"')5

e parimenti le 1?,,?^ che nella prima sono semplicemente sottraile dalla

r, 2, nella seconda sono prima moltiplicale per f 9, 3(_\ -^5p.3i \ j2p;

e vedesi inoltre che entrambe hanno il fattore p. Onde le condizioni
comprese (gg) nella relazione p=o , competono iu generale sì alle
determinatrici delle anulari di quinta classe che a quelle di sesta.
Ed è da osservare inoltre che la espressione (CXXIV) contenendo
la 2 che non è contenuta nella (LXVIl) avvi quest' altra essenzia-
lissima differenza tra la composizione di esse medesime espressioni:
cioè che quella della determinatrice delle anulari di quinta classe si
compone con due sole quantità arbitrarie , che sono le 9, » <!?a , e
quella della determinatrice delle anulari di sesta classe, si compone
invece con quattro arbitrarie , che sono le 15, , <{'a , e le A', K, .

136. Sia ora ^.tang. t=2'' . Sarà s=:o, c= — i. E dati questi
Valori particolari alle s e e della espressione (CXXIII) ne otterre-
mo quella della inviluppata rigata particolare , le di cui generatrici
SODO parallele a quelle della determinatrice. Fatta la sostituzione, li-
berata da' fratti la equazione , riuniti i termini che moltiplicano
V(?'+'Pi'+'?^') ) e fatte le riduzioni , risulta

Tom. FI. 26

200 Rossi

(CXXV)

- )«' ■ C-;)V+».=+».-)-^<»,'Ci)'+».<y> ((»'('')'+'-'0') i

Espressione indipendente da «pj, come quella della determina-
trice (i25), ma non dalla (^j. Onde è che se la determinatrice può
essere della stessa natura per tulle le anulari di una medesima tri-
ta , di qualunque genere specie o varietà sieno , la inviluppata ad
elementi paralleli ai suoi , sarà della stessa natura per tutte le spe-
cie diverse di un medesimo gruppo, ma non per le diverse varietà.

E non è difficile eonchiudere , che cosiffatte proprietà compe-
tono a queste due inviluppate soltanto ; mentre che per ogni altra^
inviluppata , cioè per tutti gli altri valori competenti alle s^ e, la
(CXXIII) non mai perde le funzioni <?5 , is?i : e non potrebbe diver-
samente accadere; perciocché egli è l'inviluppata che genera l'invi-
luppo , e se questo cangia di specie e varietà. , debbono in gene-
rale , pel variare di queste , variare di natura esse inviluppate ; e-
solo la determinatrice non Taria di natura , per avere la singolare
proprietà (122) di toccare secondo una sola e medesima linea le a-
nulari tutte di sesta classe di un medesimo' gruppo e genere, di qua-
lunque specie e varietà sieno ;. e l'altra ad elementi paralleli a quelli'
della inviluppata non varia di natura pel cangiare di varietà del-
l' inviluppo , perchè ha la singolare proprietà di toccare secondo unai
sola e medesima linea le anulari tutte di sesta classe di una mede-
sima varietà.

E qui sarà facile fare osservazioai analoghe a qpelle del N.° pre-
cedente in quanto alla composizione rispettiva delle ( LX.VI1I ) ,
(CXXV) ; ed anche fare osservazioni analoghe a quelle del N.° 58>
in ordine alla composizione rispettiva delle (CXXiV) , (CXXV)..

sulle Superficie anulari. 201

ABTICOLO IV.

Có^ttii'xoM Setta JVì^ata a GeMetattici ll^otmafi cioiJcuHa a
ciascuna Si t]ueWo 'ietta, ùvvifuujsata aW auufate jeii«ta(e 8»
SeJtot £){a4Je.

I.

127. Per determinare questa espressione, ricorriamo ad una qua-
lunque delle (XLIV) , che sono (36) quelle di una individuata retta
della rigata a generatrici normali a quelle della inviluppata di un'a-
nulare qualunque di quelle a cono direttore ; ed accomodiamola a
rappresentare esclusivamente una individuata retta della rigata a ge-
neratrici normali a quelle della inviluppala ad un' anulare di sesta
classe; la qual cosa possiamo speditamente fare ponendovi per A il
suo valore (CXVI) , che è quello che gli compete (ii3) , quando
trattasi di anulari di sesta classe.

Fatta la sostituzione , otterrehbesi la espressione di una indi-
viduala retta della rigata di che si tratta per le anulari di sesta
classe ; ed abbracceremo tutte le rette di essa rigata , ovvero avre-
mo essa medesima rigata rappresentata , quando ne avremo elimi-
nata la /3 in conformità del detto al N.° ii5. Quando vi porremo
cioè per /3 la «^ (x, y, z) , e ad un tempo terremo conto di ciò (47)
che quando /3=<9(x, j, z), è ancora /(/3)=<?,(a?,y,s),/,(/3)=(?3(a;,y,i).

Dunque nella seconda delle equazioni ( XLIV ) sostituiamo ili
primo per A il suo valore ( CXVI ) , quindi moltiplichiamone le
quantità funzionanti da numeratore e denominatore nel primo mem-
bro per ^^^Jf,'—f'f,) ; in terzo luogo generalizziamo le derivate ;
ed infine per j2,f,f,, Il,S, S, a, poniamovi al solito <j,i^„9::,p,2,i9j,<?4,
e per D il radicale V('?'+'?.''+'?^'')- Ottenghiamo , dopo tutte co-
sifiatte operazioni ,

202 Rossi

(CXXVI)

^^=p+*(^^(,-y+^^K0)

E questa è la espressione della rigata a generatrici normali ciascuna
a ciascuna di quelle della inviluppata ; e nella quale le diverse let-
tere v' hanno ciascuna il significato dichiarato innanzi ; ed j e e
stanno pel seno e pel coseno dell' arco la di cui tangente è t , es-
sendo T il parametro (21) che individua la rigata espressa.

II.

138. Vogliasi ora quella di tali rigate, la distanza di tutti i
punti della quale, da ciascuna retta del cono direttole, secondo la
quale questo è toccalo dal piano della circonferenza generatrice che
passa per ciascuno di que' punti , sia 3, ossia e?, .

Ciò otterremo facendo ^.taag.T= zero ; perocché in uh tal
caso la rigata di che si tratta è ad elementi paralleli a quelli del
cono direttore.

Facciamo dunque nella (CXXVI) *=o, e c=r. Oltengliiamo,
dopo liberata la eguaglianza dai fratti e dopo le riduzioni , per e-
spressione della rigata ad elementi normali a quelli della invilup-
pata che è rigata determinatrice , la
(CXXVIl)

(z/^-=^)pV(%'+?/+?==)=^3J(?'(^y+9^=(^;y)^-(^^(^y+?.^(^y)^.j

espressione indipendente da <?■, , ed anche dalla 2. Dunque il

Teorema. Tutte le anulari dì sesta classe ili un medesimo
gruppo , e qualunque ne sia la inviluppata determinatrice, hanno
tuli i centri delle loro circonferenze generatrici allogati sopra

sulle Superficie anulari. 2o3

una sola e medesima rigata ad elementi paralleli a quelli del loro
comune cono direttore.

E poiché , onde una tal superficie resti determinata è neces-
sario siano determinate le forme delie funzioni tutte eli' entrano nellu
sua composizione, e perciò la i?s , ne segue che dnta di natura que-
sta rigata , resta determinato non solo il gruppo dell'anulare di se-
sta classe , ma eziandio ne resta determinata la specie, e non però
la varietà.

i"9. È veramente importante il far paragone tra la (CX.XVII)
rappresentante la rigata ad elementi paralleli a quelli del cono di-
rettore dtir anulare generale di sesta classe , e la (LXX) che rap-
presenta (6i) la rigata ad elementi paralleli a quelli del cono di-
rettore dell' anulare generale di quinta classe,

E evidente che queste due espressioni generalissirae si compon-
gono in un modo del tutto identico colli' funzioni «j, <q,, <?= e <?3, le
quali in entrambe rappresentano le prime tre la natura del cono
direttore , e la quarta la legge del variare delle distanze del centro
di ciascuna circonferenza dell' anulare da quel lato del cono suo di-
rettore che giace sul piano di essa. Dunque se per la data genesi
di due anulari 1' una di quinta classe , e 1' altra di sesta classe ,
quesi' ultima legge è la stessa per entrambe ; ed entrambe abbiano
il cono direttore di egual natura , entrambe avranno la rigata di
che si tratta pure di egual natura. Dunque il

Teorema. .S'è intorno ad un medesimo cono direttore stieno
quante anulari diverse di Quinta e Sesta Classe sì vogliano , ed
anche comunque diverse di genere o di varietà , purché tutte ap-
partengano a famiglie di specie tutte di un solo e medesimo sti-
pite , avranno esse anulari allogati i centri di tutte le circonfe-
renze generatrici loro , su di una sola e medesima rigata ad e-
lementi paralleli a quelli del comune loro cono direttore ; e la
quale è normale ad un tempo alle diverse inviluppate rigate de-
terminatrici di tutte esse.

i3o. Che se nella (CXXVI) facciamo .(^.tan.T=ii , la rigtta
a generatrici normali a quelli della inviluppata di un'anulare di sj
Sia classe , avrà ad un tempo tutte le sue generatrici normali eia-

ao4 fiossi

scuDa a ciascuna di quelle dei cono direttore , e parallele a quelle
della rigata determinatrice. Però sarà essa il luogo dei punti distanti
da ciascuna retta della determinatrice che è sul pìauo che passa per
ciascuno di quelli punti per » , ossia per <?4.

Per ottenere la espressione di una tale rigata, facciamo 5=1,
e c=:o nella (CXXVI). Fatta la sostituzione , e dopo liberata da'
fratti la equazione, riuniti i termini che moltiplicano V(^'+'?i*+'?'»')>
e fatte le riduzioni , risulta
(CXXVIII)

Espressione questa indipendente dalla ^3, come la precedente è dalla
94. Dunque il

Teorema. Tutte le anulari di Sesta Classe di un medesimo
gruppo e genere , e di qualunque specie ; purché appartengano
ad una medesima varietà, hanno i centri delle loro circonferenze
generatrici allogati in una sola e medesima rigata ad elementi
paralleli a quelli della determinatrice.

E poiché determinata la forma della "fj assumemmo (120) es-
sere determinata la varietà dell' anulare , ne consegue che determi-
nata la rigata rappresentata d;dla (CXXVIII) resta determinata la
varietà dell'anulare : e nello stesso modo che determinata la (GXXVII)
resta determinata la specie.

Intanto abbiam fin qui ottenute le espressioni di tre rigate ad
elementi paralleli tra loro , e normali a quelli del cono direttore di
un' anulare generale di sesta classe : e sono quella della inviluppata
determinatrice (laS) , l'altra della inviluppata in sublime (126) e
la terza (che è quella che in questo numero consideriamo) la quale
passa per la curva dei centri ed è però come equidistante dalle

su^Iè Superfìcie Anulari. 2o5

altre. Or possiamo osservare , come per le anulari di quinta classe
(63) , che le forme delle (CXXIV) , (CXXV) , (CXXVIII) , a-
naiogamente differiscono tra loro , pel modo come v' è contenuta la
^4. Nella (CXXIV) manca la 9i , e con essa il secondo membro;
nella (CXXVIII) nel secondo membro è <?i ripetuta una volta ; e
nella (CXXV) nel secondo membro la «f^ v' è ripetuta due volte.
11 primo membro della (CXXV) , e quello della (CXXVIII) di-
visi ciascuno rispettivamente per tutto ciò che moltiplica 2i?i nella
prima , e 9^ nella seconda, esprime in sostanza la distanza che ser-
bano tra loro le rette , su di uno stesso piano, delle tre superficie
rigate di che si tratta , dalla determinatrice dell' anulare : ed è
chiaro che per la prima è zerx) una tal distanza , per la seconda
è 2<)?i , per la terza è 9i.

È inutile poi l' osservare , che l' ultima trovata espressione
(CXXVIII) differisce dall' analoga (LXXI) relativa alle anulari di
quinta classe, come abbiam fatto osservare (126) differire tra loro
le (CXXV) , (LXVIII).

HL

i3i. Dopo il fin qui detto in ordine a certe inviluppale par-
ticolari , delle anulari di sesta classe , ed a certe particolari rigate
a generatrici normali ciascuna a ciascuna di quelle delle inviluppate;
è facile il dedurne la classificazione geometrica delle anulari di se-
sta classe, equivalente a quella fattane algebrica al N.° 120.

Poiché abbiamo dimostralo che date le forme delle funzioni 9i, tf^,
ne viene determinata quella della «^(ii^), e che date le 9 1 i?! ' "?«
resta determinato' il cono direttore , ne alcun' altra delle rigate con-
templale innanzi , conchiudererao

i.° Che le anulari di sesta classe sono di tanti gruppi , per
quanto diverso di natura può essere un cono comunque irau^agiua-
bde nello spazio : e che sono di un medesimo gruppo tutte quelle
che ammettono coni direttori di ugual natura.

Poiché abbiam dimostrato (i25) , che date non solo le forme
delle funzioni 9, 4;, , c^^: , ma ancora la S , ossia le K, A'i resta de-

2o6 Bossi

terminata la rigala dtlcnuinairice dell' anulare di susta classe, e con
essa la curva di suo contatto col cono direttore ; ed abbiamo osser-
vato che per queste sole arbitrarie note , noa però restano deter-
minate le altre contemplate rigale , conchiuderemo per le cose tutte
delle al N.° i 25

3.° Che le anulari di sesta clusse di un racdcsimo gruppo sono
di tanti generi diversi , per quanto possono vuriai'e d' intensità le
successive curvature di certe linee tracciabili sul cono direttore , e
di natura strettamente dipendenti dalla natura di questo; e che sono
di un medesimo genere tutte quelle che hanno una di tali linee per
linea di contatto della ligata delerminalrice col cono direttore.

Poiché abbiam veduto che quando , olire all' esser date le fun-
zioni <j, 9,) 9= , sia delta anche la forma della 9; i la natura della
rigata ad elementi paralleli a quelli del cono direttore e normali a
quelli della determinatrice è determinata di natura ; ed è chiaro
d'altronde che quando è determinata quest'ultima pur di natura,
resta determinata la intersezione di esse due superficie ; onde poi
viceversa data questa curva sulla delerminalrice, e la d( terminatrice
stessa restano pur determinale non solo le 9 , i?, , 9a , A', AI, , ma
inoltre anche la «?5 , talché essa curva può variare ad arbitrio a
causa del variare arbilr.irio della 9;. Conchiu leremo

3.° Che le anulari di un medesimo gruppo e di un medesimo
genere possono essere di tante specie per quante di natura diversa
possono essere le curve tracciabili con legge di continuità sulla ri-
gata delerminalrice corrispondente a ciascun individuato genere di
un' individualo gruppo ; e che sono di una medesima specie tulle
quelle che toccano la rispettiva rigata determinatrice secondo curva
di ugual natura.

E poiché infine se la rigala della espressione (^CXXVIII) è de-
terminata , non solo debbon essere determinate , come il sono per
le precedenti rigate, le <f, <i, , i^a, K, K, ma debb' essere determinata
ancora la it?4 ; e poiché data questa e la precedente rigata , resta
determinata la curva di loro intersezione , la quale , come è noto
per Me cose dette innanzi , è la curva dei centri di tutte le circon-
ferenze generatrici dell' anulare ; onde poi viceversa data essa curva

sulle Superficie anulari. 207

d' intersezione resta determinata essa medesima ^4 ; conchiuderemo
4.° Che le anulari di una medesima specie possono essere di
(ante varietà , per quante di natura diverse possono essere le curve
tracciabili su di una superficie rigata , ad elementi paralleli al cono
di gruppo ed avente come curva direttrice quella di specie: e eh e
sono di una medesima varietà quelle anulari di una medesima spe-
cie che hanno curva dei centri di ugual natura.

IV.

i32. Se si volesse la espressione analitica della curva dei cen-
tri dell' anulare generale di sesta classe , basterebbe ad ottenerla
dare alle s, e della espressione (CXXVI), della rigata a generatrici
normali ciascuna a ciascuna di quelle della inviluppata , due valori
simultanei diversi , ad esse s e e competenti ; ed assumere come
simultanee le due trasformate risultanti ; perciocché le rigate tutte
a generatrici normali alle inviluppate di una medesima anulare ge-
nerale passano tutte per la curva dei centri di essa. Però essendo
la (CXXVII) e la (CXXVIII) le espressioni di più semplici forme
emergenti dalla (CXXVI) , riterremo esse due , considerate simul-
taneamente, ad espressione della curva dei centri delle circonferenze
dell' anulare generale di sesta classe : e sarà per esse che potremo
sempre determinare la curva di varietà di una individuala anulare
di sesta classe.

Tom.VL 27

2o8 Rossi

ARTICOLO V.

(Dati i (Detetminauti òttt @Litufcite 'ffatticotati di iiita, c(a.óSe j de*
tetmtuatue ia eauajioue : e detetmiuattte cjueCfe deCla ;)ua cazat-
teiiJtica , 3eCfa iua iuviCupuata e òMa. ttaata a aeweiatcici a
oueiie i)i ciue^ta uotwafe.

i33. Sono determinanti geometrici ingenerale dell'anulare
di sesta classe il suo cono direttore , la sua rigala determinalrice ,
e le leggi del variare delle distanze del centro della circonferenza
mobile che geuera la superficie , dal lato del cono e dalla retta
della determinatrice , che sono sul piano di essa circonferenza in
ogni sua posizione.

Ma come emerge dal precedenteraente detto (109, 118, laS),
di colesti determinanti , il cono direttore , e le leggi del variare
delle dette due distanze sono arbitrari!, e possono assumersi ad ar-
bitrio ; ma non la rigata determinatrice, la quale può assumersi di
arbitraria posizione bensì , ma non di arbitraria natura.

Trattasi dunque di determinare le funzioni <; , <I?, , <?3 , <?j , 1^4 ,
e le costanti A', A', dati che siano , od esplicitamente , od implici-
tamente il cono direttore , un suo punto pel quale debba passare
la linea di suo contatto colla rigata, determinatrice , e le leggi del
variare delle distanze del centro della circonferenza mobile che ge-
nera la superficie dalla retta del cono e dalla retta della determina-
trice, che sono sul piano di essa circonferenza in ogni sua posizione.

E.

134. Sian dunque in primo esplicitamente date quest' ultime
leggi ed il cono direttore, ed il punto di questo per ove debbe pas-
sare la rigata determinatrice.

sulle Superficie /anulari. 209

£ sia

la equazione del cono direttore. Potremo convenientemente assumere
un'altra superficie qualunque che tagli esso cono, per modo die ne
incontri tutte le rette. E sia in secondo luogo la equazione di que-
sta superficie arbitraria (che potrebbe anch'essere un piano) la

•fa (^j y> s)==0.

Pel modo come questa seconda superficie è scelta , s' interse-
cherà col cono direttore , secondo una curva. Ne siano ^ , r , £ le
coordinate. Essa curva d' intersezione sarà data dalle equazioni

(CXXIX)

£^ (/3, r, «)=o

e possiamo qoesta riguardare come curva direttrice del cono diret-
tore.

, Pertanto colle precedenti due equazioni esistono le loro derivate
rispetto a /3 ,

u/('>')y-f-.f/(£)£'=o

(CXXX) \

i£'.{y)y'->r£'{ty=o

e colle quattro precedenti l'altra

(CXXXI) (ys'_y'a).v-t-(£-/36')y-(r-/3y)s=o

che è quella del piano tangente alla curva delle equazioni (CXXIX)
nel punlo delle coordinate /3, y, e.

Per mezzo delle cinque precedenti equazioni potremo determi-
nare in primo i valori di y' ed s' in funzione delle loro primitive
e della (3 ; e quindi ordinatamente i valori di (3, y, e, tutte tre in
funzione delle coordinate x, j, z : ed anche in funzione di queste
medesime coordinate le y', e'. Gli ottenuti valori di /3, y, e, saranno
le richieste funzioni nj, «j, , i^^: e gli ottenuti valori di y', s' in Jr,/,z,
saranno le derivate di i?, , t^i, E potrà calcolarsi ancora ove occorra
la derivata di <?.

9 1 0 Rossi

i35. Siano ora a e b le ascisse di quel punto del cono diret-
tore , pel quale si voglia passi la linea di contatto della rigata de-
terminatrice con esso cono.

Le tre coordinate di un tal punto saranno date dalle

£, {a, ò, z)=0.
Si risolvano le (CXXIX) rispetto a v ed e. E risulti

«=/.(/3)

Per /3 si ponga la jc ; si calcolino le derivate /'(x), f!{x); e que-
ste derivate e le funzioni effettive y, /, della x si pongano nelle
(CXIII).

Dalla i", (a,b,z )=o si cavi il valore di z , che per brevità
chiamiamo e. E nelle (CXIII) , dopo le dette sostituzioni, si ponga
per X ìa a , per j la ó , e per z la e. Da queste due equazioni
così trasformate, si determineranno le costanti arbitrarie (109) le
quali sono nascoste nella S {a) {iit) K, K, , che risulteranno date
dalle quantità costanti a, b, e, e dalle altre che sono i parametri
del cono direttore , e che sono comprese nelle (CXXIX).

i36. In ultimo date le leggi del variare delle distanze del cen-
tro della circonferenza mobile che genera 1' anulare dal lato del cono
e dalla retta della determinatrice , che sono sul piano di essa cir-
conferenza in ogni sua posizione, sarà data una relazione tra la prima
di esse distanze , che abbiamo chiamala 5 e le coordinate x, j, z ;
ed un' altra tra la seconda [delle distanze stesse , la quale abbiamo
detta « ed esse medesime coordinale. Siano

.^sl^. a;,^, z)=o
£,{x, x,y,z)z=o

esse relazioni. Risolute queste rispello a 5 ed « , otlerrassi la 5 in
funzione di x^y, z , e questa sarà la «93 ; ed anche la * in funzione
di .r, j, 3, e questa sarà la <ji.

sulle Superficie Anulari. 211

ni.

137. Se invece i determinanti della superficie non siano espli-
citamente dati , ecco come procederassi.

Siano /3, Y, £ le coordinale delia curva direttrice del cono diret-
tore ; e siano

Ii:.(/3,y,£)=o
(CXXXII) \

le equazioni di essa curva riferita a tre assi ortogonali la di cui o-
rigine è nel dato punto vertice del cono. Su queste due equazioni
si opererà come sulle due (CXXIX) del caso precedente, e da esse
colie altre tre seguenti (CXXX) , (CXXXI) parimenti se ne deter-
mineranno le funzioni <i, <$, « 9- •

i38. Siano />, ^, r le coordinate della curva luogo dei centri
della circonferenza mobile, riferite al medesimo sistema di assi coor-
dinati ; e siano

i£, {p, q, r)=>o
(CXXXIII) ]

le equazioni di essa curva. Ritenendo sempre le due (CXXXII) per
equazioni della curva direttrice del cono direttore; per le cose dette
al numero 9, ed anche ai numero no, sarà

^=y(F+7

(CXXXIV)

ove <S3 sta (mg) per

*~ (/3'+r -t-e ) Ì7£'-V'a) '
nella quale ultima espressione S esprime (m) il binomio

212 Bossi

{y-j3y')y+ÌE-l3s'ìe { ' J (7-^y'j7+(£-/35')£ )

(7-/3yjr+( £-/?£';£ \ J ir-/3yjr+(£— /3£')£ }

Per le cose dette al N.° ii , colle precedenti equazioni esiste
r altra

(CXXXV) {yé-^'é)p-\-[^-?'c')q—{y-^y'y=o

la quale esprime che ciascun punto della curva dei centri, di equa-
zioni (CXXXIII), sono sul medesimo piano tangente sulla curva di
equazioni (CXXXII).

Ed abbiamo colle relazioni (CXXXII), (CXXXIII), (CXXXIV),
e (CXXXV) , le altre (CXXX) , (CXXXI) scritte al N.° i34.
Da queste ultime e dalie (CXXXII) caveremo P, y, £, 7'i s' in fun-
zione di x^y^z 1 come nel citato numero è detto. Sostituiti questi
valori di /3, y, £, y, £', (che si saranno così ottenuti) nella (CXXXV),
e risoluta questa simultaneamente colle (CXXXIII) rispetto a p,i2,r,
otterremo queste tre quantità in funzione di x, j-, z. Onde poi so-
stituiti cotesti valori che si saranno ottenuti per /j, ^, r nelle prece-
denti espressioni (CXXXIV) di 5 ed « ; e sostituitivi ancora gli ot-
tenuti valori per /3, y, £ , risulteranno esse 3, * espresse ia funzione
di cc^y^ z. E la funzione ottenuta per S sarà la chiesta e^i ; e l'al-
tra ottenuta per a sarà la <?i.

i3g. Per determinare in fine le costanti K, K^ siano a, è, e le
coordinate di un punto per lo quale si voglia passi la rigata deter-
minatrice : siano cioè a, 6, e le coordinate di posizione della rigata
determinatrice.

Nella (CXXIV) , che è la espressione della rigata determina-
trice (i25), per <?, <;?ij ?2i <?3, <J4 si sostituiscano le determinate fun-
zioni che esse sono delle x^y, z ; e dalla equazione risultante, e dal-
l'altra di un piano tangente al cono direttore che passa pel dato
punto delle coordinate a, è, e, si determinino le equazioni della retta
della rigala che passa per esso medesimo punto. Queste equazioni
conterranno oltre alle a, è, e ancora le x, /, ^ e le K, A', : ed è

sulle Superficie /anulari. 2i3

noto che poste in esse equazioni invece di x^ j, z le a, b, e deb-
bono esse verificarsi. Vi si pongano dunque di fatto invece di ,r,^,;
le a, b, e, e si risolvano quindi rispetto a K, A', . I valori che se ne
otterranno per queste , saranno i valori particolari delle costanti ar-
bitrarie A', A', , corrispondenti al dato determinante di posizione della
rigata di genere dell' anulare , ossia corrispondenti all' assunta posi-
zione della sua rigata sviluppabile determinatrice.

Ecco dunque, come dati implicitamente i determinanti di un'a-
nulare particolare di sesta classe , possono determinarsi le funzioni
9> i^i) <?3, «j3 , fl?i ; ed eziandio le costanti arbitrarie K, K, .

IV.

i4o. E pertanto determinate nel modo espresso nei numeri pre-
cedenti le forme particolari delle funzioni <?, q^ 9=, fj, <?i , ed i va-
lori particolari delle costanti K, K, ; dati che sieno , od esplicita-
mente , od implicitamente i determinanti arbitrari! di un'anulare
particolare di sesta classe ; cioè il suo cono direttore , la posizione
della sua rigata determinatrice , e le leggi del variare delle distanze
del centro della circonferenza mobile che genera la superficie dal
Iato di esso cono e dalla retta della determinatrice , le quali sono
sul piano di essa circonferenza iu ogni sua posizione, si determinerà
la equazione di essa anulare particolare sostituendo le determinate
forme delle dette funzioni nella espressione (CXIX) , ed anche so-
stituendovi i particolari determinati valori delle A", A, . E parimen-
ti, facendo analoghe sostituzioni nelle (CXIX) e (CXX), (CXXIII),
(CXXVI), si otterranno rispettivamente le equazioni della caratteri-
stica di essa medesima anulare particolare , della sua inviluppata ,
e della rigata a questa normale. Ed otterrà nnosi parimenti le equa-
zioni di tutte le altre linee o superficie , delle quaU nei quattro pa-
ragrafi precedenti si sono determinate le generalissime espressioni
analitiche.

21 4. Rossi

ARTICOLO TI.

@t.f]](ica}toiie de{{e cole eifoita nt^d QLtùcoti ptecedeutt.

I.

i4i. Or vogliamo illustrare con un esempio le cose dette spe-
cialmente nell'Articolo precedente: vogliamo determinare cioè le
funzioni «j, ?,, <j2, «ps, qt , ed anche le costanti K,K, , corrispondenti
ad una anulare particolare di sesta classe ; onde poi sarebbe facile
e spedito dedurne la equazione di essa anulare ; ed anche quelle
della sua caratteristica , della sua inviluppata rigata , e dell' altra
rigata a generatrici normali ciascuna a ciascuna di quelle della invi-
luppata. Ed abbiamo detto « con un esempio » perciò che dopo
tutte le cose esposte all' Articolo 6 del Capo precedente , non ci
sembra indispensabile addurre anche qui parecchi esempli di ap-
plicazioni.

Occupiamoci dunque dell' anulare particolare di sesta classe a-
vente a cono direttore un cono retto a base circolare ; e di cui la
linea di contatto della sua rigata determinatrice col cono direttore
passi per un determinato punto della base di questo ; ed i centri
della circonferenza mobile , generatrice dell'anulare , stiano tutti su
di una stessa retta menata pel vertice del cono.

Assumiamo ad origine delle coordinate il vertice del cono di-
rettore e r asse di questo ad asse delle z. Chiamiamo b il raggio
della base del cono , a V altezza del cono , m, n le tangenti trigo-
nometriche che le projezioni della retta dei centri delle circonferenze
dell' anulare sui due piani coordinati che passano per l'asse del cono
fauno coir asse stesso. Ed il punto della base del cono per lo quale
debbe passare la curva di suo contatto colla rigata determinatrice,
stia suir asse coordinato delle ^.

142. Per determinare le funzioni 1?, i?,i^i corrispondenti all'a-
nulare particolare di che si tratta , bisognerà ricorrere al metodo
del N.° 137. Epperò dobbiamo colle equazioni

sulle Superficie Anulari. 2i5

l/34-y — A=o

della base del cono direttore , ossia della sua curva direttrice , che
lengon luogo delle (CXXXII) trattare le altre

£'=0

/3-|-7V'=o

derivale delle precedenti ; ed anche la

trasformata della (CXXXI) , quando per le y, £, 7') e', che questa
comprende , vi siano stati sostituiti i loro valori cavati dalle quat-
tro precedenti equazioni, che sono quelle della base del cono diret-
tore e le derivate di esse.

Queste cinque equazioni essendo idenliclie alle cinque analoghe
del N. 73 , è chiaro che daranno le funzioni 9, <{>, , <?3 determinate
come appresso :

—b

a[x'+'>j-)
6

(^bxz —y \ja'x'-\- à'y- — b-^)

9.= ^, , , ^ \/à\x'+y-) — (bxz—y y/a'x'+ay—òz'y

143. Essendo qui dato un punto della curva di contatto della
rigata determinatrice col cono direttore , dovremo far uso del me-
todo indicato al N. i35 per la determinazione dei valori particolari
delle costanti K, A', . E pertanto le coordinate del punto dato di
essa curva di contatto , sono (i4i) le

;r=o , y=b , z=z — a.

Risolviamo ora le

s+a=o
fi'--{-y'-~b-=sso

rispetto a Y ed £ ; ottenghiamo

y=y{b'-l3'), £=-0,

Tom. FI. s8

2 1 6 Bossi

e postovi per (3 la .r, e quindi caleolatene le derivale, ottenghiamo
per li valori delle f{x),f,{x),f'{x), f,'{x) contenute nelle (CXIII)

(CXXXVl)

Sostituiamo questi valori particolari delle /■>/,■,& delle loro
derivate f, /,' nella (CXIII) : e cominciamo perciò a calcolare il bi-
nomio (CXIV) indicato cou S{x') nella (CXIII) ; e per procedere
speditamente e con ordine, cominciamo a fare //(a-) uguale a zero
nei suoi fattori fuori le parentesi , li quali sono il primo la quan-
tità stessa messa sotto il secondo integrale ed il secondo la stessa
quantità posta sotto il primo integrale. Fatto //(a^)=o, essi fattore
diventano rispettivamente

if{x)-xr(x))x-Mxmx) ^ {x+f{x)f'{x))f,{x)
(/(*)-^/'w )/(^)+/w= ' (/(^•)-^/V))/(^)+/(^r

e posto in questi per f,ft ,f' i valori di sopra ; il prima fattore ,.
dopo tutte le riduzioni , diventerà

, ed il secondo diveoterà zero.

y/à^ — x"
Onde poi risulta senza uopo d' integrazioni

S{x)= ,

^ ' Slb' — x'

Calcolato il binomio ( CXIV ) , ossia la S{x) , facciamo nelle
(CXIII) prima //(jc)=o , e quindi sostituiamovi per f,/,^/', ed
anche per .J, i valori rispettivi scritti qui sopra. Ottenghiamo, dopo
le riduzioni , le due equazioni semplicissime

A',

(CXXXVII)

3^- ^ VW-^'l

z=K,

le quali delle due costanti arbitrarie K, Ki non comprendono che la
seconda soltanto. Onde là sola K, possiamo determinare. Né occorre

sulle Superficie /anulari, 217

determinare cbe questa soltanto; imperciocché le costanti arbitrarie
K, X, , entrando nella espressione (CXIX) dell'anulare, ed in quelle
delia sua caratteristica , della sua inviluppata, e della rigata a que-
sta normale, solo perchè contenute nella S dipendente dalla 6'(i 1 6);
nel presente esempio ove la S non contiene che la K, soltanto (per
andare a zero il secondo termine del binomio S , che contiene K)
la soia costante arbitraria K^ è da determinarsi.

Per determinarla, poniamo nella prima delle equazioni prece-
denti , x=o , y=.b , risulta immediatamente

E questo ò il determinato valore particolare della K, , competente
all' anulare particolare di che si tratta.

i44- Per determinare in ultimo le forme particolari delle fun-
zioni 93, Ofj , corrispondenti all' anulare particolare di che si tratta,
ricorriamo al metodo esposto al N. i38.

Poiché i centri delle circonferenze dell' anulare debbono stare
sempre (i40 su di una retta le di cui projezioni sui piani coordi-
nati che passano per l'asse del cono direttore fanno coli' asse stesso
gli angoli di cui le tangenti sono m,n, le due equazioni (CXXXIII)

qui saranno

p=:Tnr

E quindi, essendo , come abbiam detto (14^)

/?
£=— a, 7=±V(*— PO. «'=0. >'=+

la equazione (CXXXV)

{yi'—y'e)p+{s—pB'}fj—{y—l3y'y=o
del citato Dumero i38 , si trasformerà nell' altra

a^mr+anr \J {è-—j3')-\-6'r:=o-
E da questa e dalle due ps=mr , q=nr , otterremo
psso , y=.o , r=:o.

2i8 Rossi

Quindi le espressioni (CXXXIV) delle distanze 5, » , diventeranDO
in primo (facendovi p=q^=r=o)

5=0

»= 7" V(/?'+v'+£').

Di qui i?3=o. E resta a determinare la funzione i?4 , che è quella
divenuta », quando nel suo valore poniamo in primo per r, £ i pre-
cedenti valori , e quindi per j3, la funzione eh' essa è delle coordi-
nale x,/, 3.

Cominciamo dal calcolarci la <S5. E possiamo (i38) osservare
che essa <» si compone in |3, -y, £ , come la seconda delle (CXIII)
si compone in x, f{x) ,f,[x); e che solo nella (CXIIl) la a: s' è
ritenuta come variabile indipendente, laddove la /3 è essa stessa una
funzione delle a?, /, z. Onde potremo immediatamente dedurne, pel
caso di che sì tratta

perocché la derivata /3' di /3 che dovrehb' esser presa in considera-
zione nella S{lS) , sparisce nei fattori fuori i sommalorii ; e di questi
l'uno risulla zero (i43) , l'altro dovrebbe moltiplicarsi per zero.
È dunque nel caso di che si tratta ,

Poniamo cwa in quest' ultima formola per 7, £ , i loro Valori
scritti di sopra , ed anche per K, il valore particolare — a che gli
compete (i43). La /3 ne sparisce da se , e risulla

cioè la «ji costante , e

Ed ecco dunque che dati i determinanti della superficie si sono de-
terminale le forme delle funzioni ?,'?,, f:» ifs. <?4 ; ed anche il valore
particolare della costante arbitraria Kt , mentre per la natura dei
determinanti dati , la K sparisce da se dalle espressioni della su-
perficie.

suUe Superficie Anulari. 219

II.

145. Per le sostituzioni fatte al N. i43 , le equazioni generali
(CXIII) della curva di contatto della rigata determinatrice col cono
direttore sono diventate le (CXXXVII)

J5:, r-,

Otterremo dunque le equazioni effettive di essa curva di conlatto'
ponendovi per K, il suo valore particolare di che si tratta. Epperò'
essa curva di contatto è la

(CXXXVIII) fZla~'''^

cioè la medesima base del cono direttore.

E pertanto dalle forme delle ( CXXXVII ) conchiuderemo in'
generale che nelle anulari a cono retto direttore , si avranno anu-
lari di sesta classe, quando la direttrice comune del cono direttore
e della rigata determinatrice è una circonferenza di esso cono. Ogni
altra curva di esso cono assunta a direttrice comune di esso e della
rigata determinatrice , darà anulari di quinta classe.

Di qui è che l'anulare di cui fu trattato nel primo esempio
del Capo Secondo, comunque riportata in quel capo come applica-
zione delle generalità relative alle anulari di quinta classe , non è
già un'anulare di questa classe, ma invece una^ anulare di sesta
classe, E di fallo trovammo (79) che la sua rigata determinatrice
è una superficie faciente parte del piano := — a; e perciò una su-
perficie sviluppabile e quando la rigala determinatrice di un'anulare
a cono direttore è una sviluppabile (2) , l'anulare è per lo appunto
di sesta classe.

Dati implicitamente i determinanti di un'anulare a cono di-
rettore potremo applicarvi i metodi esposti all'Articolo Quinto del

220 Rossi

Capo precedente , e determiueremo sempre convenientemente le
equazioni dell' anulare , della sua caratteristica , della sua invilup-
pata , e della rigata ad essa normale , comunque 1' anulare possa
appartenere alla quinta od alla sesta classe. E la determinazione della
equazione delia sua rigata delerminatrice farà noto se 1' anulare ap-
partiene a quella od a questa classe : e così per lo appunto era da
avvertirsi al N. 79. che non poteva con quei determinanti aversi
un' anulare di quinta classe, ma aversi invece di sesta classe, quando
trovammo per equazione della sua rigata determinatrice quella del
piano medesimo delia base del cono direttore , e pro^ìriamente la
sua parte al difuori del cono stesso ; la quale superficie è svilup-
pabile , anzi sviluppala essa stessa.

146. I metodi esposti nel paragrafo precedente ci menano an-
cora alla determinazione della equazione particolare dell' anulare di
sesta classe , come or ora abbiam veduto , ma ci menano più par-
ticolarmente a farci conoscere quale dovrebb' essere la direttrice
comune del cono direttore e della rigata determinatrice , perchè
l'anulare generata risultasse di sesta classe. Ed anche ci menano a
farci conoscere tra tutte le infinite superficie anulari ad un dato
cono direttore , quali siano quelle di sesta classe ; ossia quali deb-
bano essere le rigate determiuatrici di esse , o la curva di contatto
di queste col cono , perchè 1' anulare risulti di sesta classe.

E così neir esempio di che ci siamo occupati abbiamo cono-
sciuto che tra tutte le immaginabili anulari a cono direttore retto a
base circolare , sono di sesta classe quelle soltanto le quali hanno
a curva direttrice comune al cono ed alla rigata determinatrice, un
circolo di esso cono.

Potrebbero cobì essere dati i determinanti di una anulare a
cono direttore da aversi la equazione della sua rigala determinatrice
di tale composizione , da non essere facile il rilevarne se sia la su-
perficie da essa rappresentata una rigata sviluppabile oppure no; od
anche potrebbero così essere dati essi determinanti per modo da non
poter essere facile il determinarne la equazione della determinatri-
ce. In ambi i casi potremmo trovarci imbarazzati quando volessimo
esaminare , se V anulare degli assunti determinanti appartenga alla

sulle Superficie Jhularù 221

quinta od alla sesta classe. Ma 1' aver ricorso ai metodi esposti nel
paragrafo precedente ci toglierebbe tosto d' imbarazzo.

Così, a cagion di esempioj nell'esempio terzo dell'Articolo Se-
sto del Capo Secondo, essendo direttrice della rigata delerminatrice
una retta parallela all' asse del cono direttore è facile conchiudt;rne
che qut'Sla rigata è non sviluppabile ; onde è manifesto essere quella
anulare realmente di quinta classe. Ma se invece di quella retta as-
sunta a direttrice della rigata delerminatrice fessesi assunta una curva
tracciata su di questa ; ia qual modo potremmo noi accertarci es-
sere 1' anulare di quinta classe , e non di sesta ? Eccolo.

Pel metodo esposto nel paragrafo precedente troveremmo, come
abbiam trovato di fatto , che le anulari a cono retto a base circo-
lare direttore , sono di sesta classe solo quando hanno a curva di-
rettrice comune di esso e della rigata delerminatrice una curva delle
equazioni (CXXXVII). Essendo le forme di queste equazioni di-
verse dalle (LXXXIX) , 0 da qualunque altre a queste equivalenti,
concbiuderemmo tosto essere qucU' anulare di quinta e non di sesta
classe.

Nel Quarto Esempio di quel medesimo paragrafo, fummo con-
dotti ad una equazione assai complicata della rigata delerminatrice,
che è la (XCIV). Come dunque potere siieditamente conoscere dalla
fórma di questa se l'anulare della equazione (XCII) in quell'esem-
pio determinata sia veramente una anulare di quinta classe, o siai
di sesta classe ? Eccolo. .

Applicheremmo alle equazioni

£-f-a=o

della direttrice del cono direttore (90) il metodo del N.° i35 del-
l'Articolo precedente, come abbiam fallo al N." i43 per le equa-
zioni

£-j-a=o

© determineremmo quale esser dovrebbe la curva di contatto di un
COBO retto a base ellittica colla rigata deterioinatrice corrispoudente,

22 2 Rossi

ossia la curva direttrice comune perchè l'anulare potesse essere di sesta
classe. Se risultasse una sezione qualunque normale all'asse del con»
per equazione di questa curva , l' anulare della equazione (XCIi) in
quell'esempio contemplala sarebbe di sesta classe; se nò la è di quinta.
E tutte queste cose mostrano la meravigliosa armonia eh' esiste
tra tutte le verità o fatti geometrici nel Capo precedente investi-
gati , e quelli nel presente Capo Terzo esaminati.

III.

147. Noi non ci arresteremo ulteriormente sulle anulari di se-
sta classe. E molto meno sull'esempio dell'anulare particolare di
che ci siamo occupati ; perocché , dopo il fin qui detto , è mani-
festo che questa è la medesima contemplata nell'Esempio Primo del-
l' Articolo Sesto del Capo jirecedenle. Potrà non pertanto anche più
illustrare ciò che in quell' esempio dicemmo, la determinazione del
lato di regresso della rigata determinatrice dell'anulare paiticolare di
che si tratta , del quale lato di regresso le equazioni od espressioni
generalissime sono le due (CXI). E per lo appunto colla determina-
zione di tali equazioni particolari chiuderemo questo Capo Terzo.

Nelle (CXI) poniamo in primo per la costante K, il suo valore
particolare innanzi determinato — a ; e sop[)rimiamovi la li, che per
V anulare particolare di che si tratta non debbe esistere. Ottenghiamo

(/(-f)-^/'W)-^+(/(^)/V)-/W/'(^-))/f^)
5,=— -

(/W-^/V))/(-^)+(/.(^)-^//(^})/(*)
(/.W-^/.'(^))^-(/W/'(-^)-/(^)/'(-^;)/M

(/W-^/'W)/W+(/.(^)-*/.'(^))/.W

In queste due equazioni poniamo per f{x),f,{x), f'(x),f/{x) , i loro
valori (CXXXVI) determinati innanzi (i43). Dopo le riduzioni ri-

sulta

^ Jy/ò'-x-

suile Superficie Anulari. 223

Ed integrando

y= \Jò' — X'

- — a

che SODO le medesime (CXXXVIII).

Dunque neir anulare particolare di che si tratta la linea di re-
gresso della sua rigata determinatrice si confonde colla linea di con-
tatto di questa col suo cono direttore. La circonferenza base di que-
sta dunque è ad un tempo lato di regresso della rigata sviluppabile
determinatrice dell' anulare.

Ora se si consideri che una retta che tocchi continuamente una
circonferenza di circolo , non può generare che una superficie piana
terminata da una parte da essa medesima circonferenza , potremo
anche in altra guisa renderci ragione di ciò che dicemmo al N. 79
in ordine alla rigata determinatrice dell' anulare particolare di cui
neir esempio primo dell' Articolo sesto del Capo Secondo ci occu-
pammo ) e sulla quale ora qui siamo ritornati.

Tom.VI. ^v, -39

224 MomÌ

un (VIRTO

DELLE ANULARI DI SETTIMA CLASSE.

i48. Assai più spedilo debbe tornare il dedurre dalle espres-
sioni diverse trovate nel Capo Primo , quelle delle Anulari di Set-
tima Classe , che non fu il dedurne quelle delle Anulari di Quinta
e Sesta Classe. Per queste dovemmo determinare ( 43 , 44 > io8 ,
109 , no ) il variare della ordinata «> del punto di ciascuna indi*
viduata retta del cono direttore il quale è incontrato dalla retta della
rigata determinatrice , che giace sul piano tangente esso cono secondo
essa individuata retta : ne fu agevolissimo il determinare qual fun-
zione doveva essa 0: essere delle coordinate /3, /(j3),y^(/3) del punto
ove la individuata retta (cui quel punto di ordinata ao appartene-
Ta ) si appoggiava alla curva direttrice del cono direttore. Qui in-
vece la ® non debbe variare di valore , comunque varii la retta del
cono direttore cui il punto di essa ordinata ® appartiene ; perocché
le rette della determinatrice debbono nelle anulari di Settima Classe
passare tulle pel vertice stesso del cono direttore , cioè tutte per un
solo e medesimo punto di questo , comune a tutte le sue rette. E
ciò è indispensabile ; perocché tutte le rette della rigata determina-
trice di un anulare qualunque a cono direttore dovendo sempre stare
su di un piano tangente ad esso cono , ed essere perpendicolari ad
un tempo alla retta di questo che è di conlatto del piano col cono,
esse rette della determinatrice non possono costituire altrimenti un
cono , come debb' essere per le Anulari di Settima Classe (le quali
sono (i) a cono direttore e cono determinatore ) , che passando
tutte pel vertice del cono direttore dell' anulare.

sulle Superficie Anulari. zz'6

E poiché ad origine delle coordinate assumemmo (3) per lo
appunto il vertice del cono direttore ; è manifesto che per le Anu-
lari di Settima Classe debbe essere sempre

E questa sola condizione , di essere la a) uguale a zero , basta
introdurre nelle espressioni geueralissime trovate nel Capo Primo ,
per dedurne quelle pertinenti alle Anulari di Settima Classe.

Ora al N. 12 del Capo Primo ponemmo

Sarà dunque per le anulari di Settima Classe

e di fatto, essendo A la distanza del piede della perpendicolare (12)
calata dal centro di una individuata circonferenza mobile generatrice
dell' anulare sul lato di contatto del suo piano col cono direttore, dal
vertice di questo ; è manifesto che quando le rette delia rigata de-
terminatrice passano tutte pel vertice del cono direttore , debb' es-
sere una tal distanza espressa da A, per lo appunto uguale al rag-
gio di essa individuata circonferenza , il quale è per lo appunto e-
spresso da » : ed è facile però vedere ancora , che qui la a deb-
b' essere affetta dal segno meno.

Ponendo dunque in tutte le espressioni del Capo Primo , per-
tinenti ad Anulari qualunque a cono direttore, invece di A la — *c,
le accomoderemo alle Anulari di Settima Classe ; e ne dedurremo
le espressioni analitiche di queste. £ ciò faremo negli Articoli se-
guenti.

226 Bossi

ABTICOLO I.

Cifttiiiont ìtU @LHu(ate uenetafe di Settima Qtaóie.

I.

149. Ponendo nella (XX) , che è la espressione di una indi-
viduata circonferenza di un' anulare qualunque a cono direttore, in-
vece di A la meno « , otterremo , per le cose dette nel numero
precedente, la espressione di una individuata circonferenza, non
più di un' anulare a cono direttore qualunque , ma di un' anulare a
cono direttore di settima classe. E pertanto la espressione della inr
dividuata circonferenza di un' anulare di settima classe qualunque-
il di cui piano tocca la curva direttrice del suo cono direttore nel
punto delle coordinate /3,/(i3),/,(/3) , ha per espressione

(CXXXIX)

Ea quale è la medesima (XX) fattovi A= — » ; e quindi ridotta a
contenere nel suo secondo membro il solo termine colla J al secondo
grado.

i5o. Se assumiamo un' individuato punto della individuata cir-
conferenza rappresentata dalle equazioni ( CXXXIX ) , non solo
le fiififii 5, * avranno individuati valori corrispondenti alla indivi-
duata circonferenza , ma la j: avrà determinato valore ; e valori

sulle Superficie Anulari. 227

determinali risulteranno per lej-, :. Se vogliamo passare da quell'in-
dividuato punto ad un altro contiguo di essa medesima circonferen-
za , le /3, /, /, si manterranno costanti, conservando quell'indivi-
duato valore; e costanti si manterranno ancora le J, * essendo tutte
queste quantità relative ad una medesima circonferenza individuata ;
ma varieraimo le x^y^z. Se da quel medesimo assunto individuato
punto vorremo passare invece ad un'altro punto di un' altra indivi-
duata circonferenza pertinente alla medesima anulare, potrà la x ri-
tenere il medesimo precedente determinato valore ; ma dovrà va-
riare la /3 , e con essa le /(/3),y, (/3) perchè varia il piano di essa
circonferenza : e con esse varieranno ancora le 5, « ; percioccbè va-
riando la circonferenza di posizione , debba variarne ancora la po-
sizione del suo centro , dato appunto dalle 5, « : e potrebbe ancora
in questo secondo contemplato passaggio , colla (3 variare la x, ma
questa indipendentemente da quella.

Finche dunque le ( CXXXIX ) rappresentano una individuata
circonferenza dell'anulare, le j:,j,-, sono indipendenti dalie /3, /_/",, J,»,
e queste da quelle : e le j- , j: vi sono funzioni della x ; mentre le
/,/,,?,» vi sono funzioni della /3. La x varierà secondo che si in-
dividui un tale o tal altro punto di una medesima individuata cir-
conferenza : la /3 secondo che s'individui invece una tale o tal al-
tra circonferenza deH' anulare. E poiché là seconda delle equazioni
(CXXXIX) esprime in sostanza il piano della circonferenza in-
dividuata; è chiaro, che se si assumano ad arbitrio le j:,/, 3, come
le tre coordinate di un individuato punto arbitrario qualunque del-
l' anulare , otterremo il valore particolare della /? che determina la
posizione del piano della circonferenza generatrice dell' anulare , al
quale quell' individuato punto arbitrario appartiene , risolvendo la
seconda delle (CXXXIX.) rispetto a /3 ; la risoluzione della quale
in massima è sempre possibile ; perocché essa contiene le x, /, z ,
e le /(/3), /, (/3j funzioni note della /3 , (3).

Supponiamo risoluta rispetto a /3 la seconda delle (CXXXIX) ;
e che ne risulti

Se porremo queslo valore della /3 nella prima delle (CXXXIX),

228 JRossi

la risultante apparterrà non più ad una circonferenza individuata
dell' anulare , ma a tutte le immaginabili che la costituiscoaoj: anzi
apparterrà a tutti i punti dell' anulare stessa , cioè ne sarà la e-
spressione ; perocché sarà soddisfatta da tutti i valori della x , e
dai corrispondenti delle j, s, che ad essa appartengono.
Ottenuto

sarà (3)

e supposto che sia

«=/3(/3)
lo che si può , perchè 5, * sono anche funzioni di /3 , sarà
l=f.{<^{x, y, z))

Epperò sostituiti nella prima delle (CXXXIX) non solo per /3 la
1? {x, y, z) , ma per y, yi , 5 , « questi ultimi valori , otterremo la
espressione dell' anulare di Settima Classe : e prima di fare una tal
sostituzione supponiamo eseguite le operazioni che danno i valori
effettivi deWe /,/, ,J:>,f! , ossia che danno non più le funzioni ef-
fettive che le /",/, , S, « sono della 9, ossia della ^ , funzione essa
stessa delle x,Y,Zy ma invece le funzioni effettive ch'esse mede-
sime/i/,, S, » sono delle x^y, z: e fatte le operazioni risulti

/(/S)=/(?(a;,y,a))=9,(a:,y,s)

/. (/3)=/. (<?(•«. y. «))=<? '(^. y. «)

(CXL)

3(i3)=i/i(9(*. y. a))=9j(^' y. «)

»(/5)=/3 (<?{«. y- «))=?4(a!, y, s)
i5i. Sostituiamo ora nella prima delle (CXXXIX) per
/3i/i/i » 5. * , le 9, 9, , 9j , <?3 , 94 . Ciò che risulta sarà la espres-
sione dell' Anulare di Settima Classe : ed è la

sulle Superficie Anulari, 229

(CXLI)

+P?3' V('5?'+'?.'+'?»')=0
nella quale p sta pel valore che prende il polinomio R ( XIII ) ,
quando vi si facciano le dette sostituzioni : ed al solito a:, j-, z sono
le coordinate dell' anulare riferite a tre assi ortogonali colla origine
nel vertice del cono direttore ; e flj, <?,, <?3i ?5, <?i sono funzioni delle
a:, V, z generate , come è detto nel numero precedente.

i52. Abbiamo supposto (i5o) essere <?(^,/, s) il valore della
/3 cavalo dalla seconda delie ( CXXXIX ) quando , dopo messovi
per y, y", le funzioni effettive ch'esse sono della /3 , si risolva ri-
spetto alla /? stessa.

Se dunque nella seconda delle ( CXXXIX ) ponessimo per ^
l'ottenuto suo valore /3='?(a:,/, z) e pery, y, , ley(9), /,(?) ,
ossia (CXL) le ip, , (fj , la equazione risultante sarebbe identica.

Può dunque la

(CXLII) <?.= {~)x+<^^ (^)W9«^^-y3=o

(che è la seconda delie (CXXXIX), quando per (3,/,/, vi si
pongono 9,0?,, ^2) ritenersi come equazione identica. Epperò po-
tremmo per mezzo di questa eliminare la 9 dalla (CXLI). Dunque
la espressione dell' anulare generale di Settima Classe si presenta
con cinque funzioni arbitrarie ; ma le quali possono sempre ridursi
a quattro soltanto : e di queste una per esempio la ^a potrebbe an-
che essere una costante arbitraria, la qual cosa avrebbe luogo, come
è evidente, quando la data curva direttrice del cono direttore avesse
per equazioni non più le (1)

23 0 Bossi

come assumemmo al N. 3 ; ma avesse invece le due

( z=a.
ove a e una costante arbitraria. Che anzi potremmo sempre cosi
supporre che fossero le equazioni di essa curva direttrice; perocché
date le equazioni di una curva a doppia curvatura , direttrice di
un cono , può sempre ridursi questo medesimo ad avere per diret-
trice una curva piana , e di piano parallelo al coordinato xy. Po-
tremmo dunque semplificare la ( CXLI ) facendovi uguale zero le
derivate della «j: , od anche della <?, ; ma ciò non faremo in grazia
di simmetria.

Perlauto conchiuderemo il

Teorema. La espressione generalissima delle Anulari di Set-
tima Classe si presenta con cinque funzioni delle tre coordinate,
delle quali quattro sono arbitrarie : e di queste quattro quantità
arbitrarie , una potrebbe essere anche costante arbitraria.

II.

i53. Supponiamo per un momento che la ^j sia costante arbi-
traria. La funzione ?, , perchè arbitraria, potrà avere tulle le forme
immaginabili diverse.

Abbia una individuala di queste forme. Ritenga sempre essa
individuata forma ; e restino di forma arbitraria le oi, ■, "ii.

La (CXLI) rappresenterà anulari diverse tante di natura , per
quante possono essere diverse queste forme delle ^s ■> 94 ", ma tutte
avranno certe proprietà comuni , implicitamente espresse dalla fun-
zione <?i , la quale ritiene per tutte una sola e medesima forma : e
tutte quelle per le quali la <?i ritiene la medesima forma , possiam
dire appartenere tutte ad un medesimo gruppo.

Le anulari tutte di sesta classe dunque saranno di tanti gruppi
per quanto può essere diversa di forma la funzione 9i. Ma quando
la 9= è costante , come abbiam supposto , e come può sempre sup-
porsi (i5i) , la <?. esprime essa sola la natura della curva diret-
trice del cono direttore , e perciò la natura di questo medesimo cono.

sulle Superficie /Jnulari. 25 1

Dunque i." le Anulari di Settima Classe sono classificabili in
tanti gruppi , per quanti possono essere coni di diversa natura.

Nelle anulari di Settima Classe, detcrminato il cono direttore,
resta implicitamente determinata la rigata determinatrice ; jioicliè
questa è un altro cono avente il vertice comune col primo, e le sue
rette perpendicolari ciascuna a ciascuna di quelle del cono direttore

('4»)-

Essendo dunque la rigata determinatrice , che determina il ge-
nere delle anulari a cono direttore , conchiudererao , 2.° che tutte
le anulari di Settima Chisse di un solo e medesimo gruppo , sono
tutte di un solo e medesimo genere.

Ed ecco una proprietà in certo modo comune colle anulari di
Sesta Classe. Se non che per queste quelle di un medesimo gruppo
son tutte di un solo e medesimo genere , come per le anulari di
Settima Classe ; ma per quelle la rigata di genere può avere infinite
posizioni, laddove per queste non può averne che una sola ; percioc-
ché per quelle la' rigata determinatrice dipende dalla curva di ge-
nere , che è una curva sul cono direttore di natura determinata bensì,
ma non di sito (i io , iii) ; mentre che per le anulari di Settima
Classe , la rigata determinatrice non dipende che dal vertice del
cono direttore pel sito , e da questo medesimo cono per la sua na-
tura (148).

Ritenga ora , nella medesima ipotesi di iSji costante , la mede-
sima forma la <?i ; o ciò che torna allo stesso ritengano la medesima
forma le fi, <?= ; e ad un tempo ritenga la medesima forma la <?3.
L' anulare rappresentata dalla ( CXLI ) avrà un' altra proprietà co-
mune con tutte le altre anulari corrispondenti a tutte le immagi-
nabili forme della <J?( , la quale proprietà è implicitamente espressa
per lo appunto dalla forma particolare della <?j . E potremo dire es-
sere le anulari di Settima Classe di uno stesso genere e gruppo, di
tante specie per quante possono essere diverse le forme della fun-
zione 9 3.

Ora rammentiamoci (9, io, 11) che 3 è la distanza del centro
di una individuata circonferenza dell' anulare dal lato del cono di-
rettore , secondo il quale è questo toccato dal piano di essa circoa-

Tom. FI. 3o

232 Rossi

ferenza : e che però la funzione <Pj esprime il variare di essa di*
stanza pel variare delle circonferenze diverse dell' anulare ; e dei
punti delle quali circonferenze sono coordinate le x, j;z , di cui la
^3 è funzione (i5o). E riflettiamo che se dai centri di tutte le cir-
conferenze dell' anulare intendiamo menate le rette perpendicolari ai
lati del suo cono determinatore rispetlivameute sul piano di ciascuna
circonferenza , la distanza del piede di ciascuna di queste perpendi-
colari dal vertice di esso cono determinatore , è per lo appunto u-
guale alla distanza di cui una individuata è espressa dalla 5, e tutte
dalla 93. Ne inferiremo che se sul cono determinatore segneremo una
curva continua , i punti di questa curva, tenendosi come i piedi di
quelle perpendicolari , la <Sj rappresenterà le distanze di tutti i punti
di una tal curva dal vertice del cono istesso ; o ciò che è lo stesso
la i?3 starà per essa medesima curva.

Dunque , perciocché le anulari di un meJesimo gruppo e di
un medesimo genere sono di tante specie per quante sono le forme
diverse che può prendere la s? , conchiuderemo 3.° che le anulari
di Settima Classe , di un medesimo gruppo e di uu medesimo ge-
nere , sono di tante specie per quante sono di natura diversa le curve
tracciabili sul cono determinatore.

Ritengano ora non solo la medesima forma le funzioni ?,, «j^i ^j >
ma ancora la 94. Tutte le anulari rappresentate dalla ( CXLI ) a-
vranno un'altra proprietà comune , implicitamente espressa dalla 94;
e potremo dire appartenere tutte non solo ad un medesimo gruppo,
genere , e specie , ma ancora ad una medesima varietà. E saranno
le anulari dello stesso gruppo, genere, e specie, di tante varietà
diverse , per quante possano essere le forme diverse della funzione 94.
Ora si consideri che quelle perpendicolari che di sopra abbia-
mo, immaginate calate dai centri delle- circonferenze dell' anulare,
sono per lo. appunto le distanze di cui una individuata dicemmo*,
e che sono tutte espresse dalla 1SJ4 ; ed inoltre che tutte quelle per-
pendicolari prolungate costituiscono una superficie rigata ad elementi
parallela a quelli del cono direttore , e che i centri di tutte le cir-
conferenze dai quali esse perpendicolari si sono immaginate menate,
costituiscono una curva continua eiacenle su di essa rigata ad eie-

sulle Superficie Anulari. 233

menti paralleli a quelli del cono direttore ; e conchiuderassi 4-° che
le anulari di un medesimo gruppo, di uno stesso genere, e di una
slessa specie , sono di tante varietà , per quante possono essere di
natura diversa le curve tracciabili su di una superficie rigata ad e-
lemenli paralleli a quelli del cono direttore , ed avente a direttrice
la curva di specie tracciata sul cono determinatore.

ABTICOLO II.

di oettima £faJJe.

154. Dopo le cose dette nei N. i48 e i5o è evidente i.°che
la espressione ( XXX ) di un punto individuato di una individuata
caratteristica di un'anulare qualunque a cono direttore, si accom-
moderà a rappresentare solamente un' individuato punto di una in-
dividuata caratteristica dell'anulare generale di settima classe, cam-
biandovi la A in meno « ; 2.° che cosi accommodata potrà ridursi
a rappresentare non più un punto individuato di una individuata
caratteristica , ma la caratteristica tutta intera dell' anulare generale
di settima classe , cangiando nelle due prime delle (XXX) /S,/,/],
rispettivamente in 9i li?, > <?= , e le 5, » rispettivamente in i?j , e <?4 ,
e la Z7 in V('?'+'?.''+'?='') , e la il in p.

Nella seconda delle (XXX) facciamo dunque i detti caDgiamen-
ti. Oltenghiamo

(CXLIIl) a7<5-l-3„,+s(?2+(i— -=p)?, V('?'+f .'+<?=') ="•

È poiché per la sostituzione medesima , la terza delle (XXX) di-
venta ( iSa) una equazione identica, la ( CXLIII ) insieme colla
(CXLI) rappresentano la caratteristica generale dell' anulare di set-
tima classe, e però ne sono la espressione.

234 JÌOSSl

Ora la (CXLIII) non contenendo la i?j , e rappresentando essa
sola una superficie, ne inferiremo (i53) il

Teorema. Le anulari tutte di Settima Classe, di qualunque
specie sieno , purché appartengano ad un medesimo stipite di va-
rietà di un medesimo gruppo , hanno le loro caratteristiche, cor-
rispondenti allo stesso parametro di posizione , allogate tutte in
una sola e medesima superficie diversa dall' anulare alla quale
appartengono.

La quale proprietà è analoga a quelle enunciate ai N. 53 e
121 , competenti alle caratteristiche delle anulari di quinta e sesta
classe. Però le anulari delle tre classi a cono direttore hanno que-
sta proprietà comune ; cioè che le caratteristiche loro sono tutte su
superficie indipendenti dalla specie cui esse appartengono.

Ed è evidente che per le tre classi di anulari a cono direttore ,
le espressioni (^LXIII) , (CXXI), e (CXLIII) delle superficie sulle
quali si trovano tutte le caratteristiche di un medesimo parametro
di posizione , quando sono dello stesso stipite di varietà di uno stesso
genere di un medesimo gruppo possono ridursi ad aver tutte un
medesimo primo membro ed a differire solo pel secondo. Così ri-
dotte , il loro secondo membro sarà

per le analari di quinta classe <?"+?i'+?='

per le anDian di sesta classe ; ,

per le analari di setlima classe zero.

n.

i55. Vogliasi ora la espressione di quella caratteristica parti-
colare di uu' anulare generale di settima classe , eh' è lìnea di suo
contatto col suo cono determinatore. La otterremo ponendo nella

(CXLIII) .<^.tang.T=o , e perciò , eh' è il coseno dell'Ang.

tang.T , uguale alla unità. Così fatto ottenghiamo la espressione sem-
plicissima

sulle Superficie Anulari. 2VS

(CXLIV) ar<P+y<P,+s^.=:o

ed indipendente dalle ^3 e ^4. Dunque il

Teorema. Tutte le anulari di Settima Classe di uno stesso
gmppo, e di qualunque specie e varietà sieno (i53), hanno tutte
la curva di loro contatto colla rigata determinatrice allogata in
una sola e medesima superficie diversa da ciascuna di esse.

Proprietà questa analoga a quelle enunciate ai N. 54 e 122
per le anulari di quinta e sesta classe. E però il

Teorema. Tutte le anulari delle tre Classi a Cono Diret-
tore hanno le linee di loro contatto colle rispettive rigate de-
terminalrici tutte sopra superficie indipendenti non solo dalle
specie , ma anche dalle varietà loro.

i56. Se facessimo nella (CXLIII) — =^r =0, cioè A. tang.

7=ii , od :=3'' , ne otterremmo una trasformata , dalla quale con-
cluderemmo esistere anche per le anulari di settima classe , pro-
prietà analoghe a quelle enunciate ai N. 55 e i23 per le anulari di
quinta e sesta classe.

E dal modo come la (CXLIII) è composta, si scorge del pari
eh' essa perde la 9i nel solo caso di y^.tang.T=o.

ARTICOLO III.

Cdptejjtcme òtiia. inviluppata cJvtaata aii' aiiu(ate aevietaCe
di Oettitua Qioiiii,

iS"]. Per ottenere la espressione della inviluppata rigata ali 'a-
Dulare generale di settima cUsse , cominciamo dal moltiplicare tanto
il numeratore , quanto il denominatore di ciascun membro della
( XLI ) per DR , quindi generalizziamovi le derivate , e dopo in
ciascun membro riuniamo in uno i termini che moltiplicano i?. Ot-
tenghiamo così una trasformata della (XLI) che rappresenta ancora

236 Rossi

una retta individuata della inviluppala (33) all'anulare qualunque
a cono direttore. E posto nella trasformata invece di A la — », l'a-
vremo ridotta (i48) a rappresentare una individuata retta della in-
viluppata dell'anulare di settima classe. E ne dedurremo la espres-
sione di essa medesima inviluppata , ponendo nella trasformata die
si sarà da ultimo ottenuta per ^,/,f, , S, », rispettivamente le fun-

zioni <?, 9„ 9=,i?3, f^, e per D il Vv'+'Pi'+'J^S e perii la p, co-
me è evidente per le cose dette al N. i5o.

Fatte tutte le enunciate operazioai e sostituzioni , e messo an-
che per T la frazione — , talché s e e sono rispettivamente il seno

ed il coseno dell' .^.tang.r , ottenghiamo infine per espressione della
inviluppata rigata generale dell' anulare pur generale di settima
classe la

II.

i58. Da questa ultima espressione si dedurrà quella di una
inviluppata particolare dell' anulare generale di settima classe , so-
stituendovi il corrispondente particolar valore del parametro di po-
sizione T , ossia delle s e e.

Così , facendovi ^.tang,T=o , ossia i'=o , e c=i , otterremo
la inviluppata rigata , che è il cono determioatore medesimo della
superficie. Facciamo tal sostituzione , e liberiamo dai fratti la tra-
sformata che uè risulta. Dopo le riduzioni ottenghiamo

(CXLV)

\(,'

sulle Superficie Anulari. 287

(CXLVI)

Espressione indipendente dalle 93 e i?i . Dunque il

Teorema. Tutte le anulari di Settima Classe, purché sieno di
un medesimo gruppo (i53), ammettono un solo e medesimo cono
determinatore , di qualunque specie ^ varietà e grandezza esse
sieno.

La quale proprietà pure è analoga a quelle enunciate al N.57
per le anulari di quinta classe, ed al N. laS per quelle di sesta.

Epperò 1' altro

Teorema. Le rigate determinatrici delle anulari delle tre
Classi a Cono Direttore , sono tutte indipendenti dalla specie e
dalla varietà alle quali esse anulari appartengono.

Se nella espressione ( CXLVI ) per la «j rimetteremo la /3 , e
per 9,, «fa rispettivamente lef{l3), <?,(j3j ; essendo

|y=/(/3)

le equazioni della curva direttrice di un cono qualunque, come as-
sumemmo (3), avremo modo, per mezzo di essa (CXLVI) così tra-
sformata , di risolvere speditamente questo problema : cioè date solo
le equazioni della curva direttrice di un dato cono , trovare quella
di un'altro cono avente il medesimo vertice, di cui i lati risultino
tutti normali ciascuno a ciascuno a quelli del dato. E ciò è chiaro
per le cose dette.

Se paragoneremo là (CXLVI) colla espressione (LXVII) della
determinatrice dell'anulare di quinta classe, vedremo che la diffe-
renza loro sta in ciò, che dalle _^, 2 visibili n' è sottratto rispetti-
vamente «f,, i?:: quando trattasi di anulari di quinta classe , mentre
nulla n'è sottratto per quelle di settima.

iSg. Che se faremo y/.tang.T=.-2'' ;. e porremo però s^o , e
c=i — I nella medesima (CXLVI); otterremo la espressione della in-
viluppata in sublime dell' anulare , ossia quella i di cui elementi '
seno pur paralleli, a quelli del cono deterrainatore. Fatta la sosti-

238 Rossi

tuzione , e quindi liberata la equazione dai fratti , e fatte le ridu-
zioni risulta

(CXLVIi)

E qui osserveremo che il secondo membro della (LXVIII) e-
spressione della inviluppata in sublime dell' anulare di quinta classe,
è del tutto identico a quello della espressione qui trovata della in-
viluppata iu sublime di settima classe : ed esse espressioni differi-
scono nelle forme solo per ciò eh' è sottratto dalle j',3 visibili.

Intanto quest'ultima espressione (GXLVII) essendo come l'al-
tra (LXVIII) indipendente dalla <?i , ne conseguita che per le anu-
lari di settima classe ha luogo un teorema analogo a quello enun-
ciato al N. 58 per quelle di quinta classe.

ARTICOLO IV.

Cifteiiìow iiUoi (JLtaata a Ceuetatttci iboima-d ciatcuna. a ciascuna
di aue({e ieita. iiivitneoata,

1.

i6o. Dalle cose predette (36, 148, i5o) risulta che se in una
delle (XLIV) , che esprimono una individuata retta della rigata a
generatrici normali a quelle della inviluppata, poniamo per A la — »,
vi generalizziamo le derivate, e quindi sostituiamo alla /3 la 9, alla
f là 9i , alla yi la 9= , alla 3 la fj , ed alla « la <?4 : e perciò an-
che alla D la Vl^'+'Pi'+f^^) > ^d alla i? la p ; ne dedurremo la
espressione generalissima della rigata a generatrici normali ciascuna
a ciascuna di quelle della inviluppata all'anulare generale di settima
classe.

sulle Superficie Anulari. 289

Facciamo dunque le delle operazioni suiin seconda delle (XLIV);
ma prima , per ottenerne forma più semplice , moltiplichiamo il
numeratore e denominatore di ciascun suo membro per DR^ ed alla

tangente t sostituiamo la frazione — , clie è il seno diviso pel co-
seno dell' y^.tang.T. Fatto lutto ciò, e dopo qualche riduzione otlea-
gliiamo

(CXLVIH)

(Kry^-o)

S-ifC^i^

e questa è la espressione delia rigata ad elementi normali ciascuno
a ciascuno a quelli della inviluppata rigata all' anulare generale di
settima classe.

II.

i6i. Dando valori particolari al parametro di posizione t (36),
ossia alle quantità equivalenti ^ e e, determineremo la rigata a ge-
neratrici normali a quelle di una inviluppata particolare all'anulare
generale di settima classe.

Così se facciamo y^.tang.T=o , ossia j:=o, e c=i, ollenghia-
mo la rigala a generatrici normali a quelle del cono determinatore
e ad un tempo parallele a quelle del cono direttore. E fatte le so-
stituzioni , indi liberata la equazione dai fratti , ed eseguile le ri-
duzioni risulla

(CXLIX)

Tom.VI. 3i

24.0 Bossi

Espressione indipendente da <?>3 . Dunque come per k anulari di
quinta e sesta classe (6i, 128) si ha il

Teorema. Tutte le immaginabili anulari di Settima Classe ,
purché appartengano ad un medesimo gruppo e ad una medesima
specie (i53) , di qualunque varietà sieno , hanno i centri delle
loro circonferenze generatrici allogati in una sola e medesima ri-
gata ad elementi paralleli a quelli del cono direttore.

E se avessimo fatto invece ^.taDg.T=2'' , ossia i=o, c= — i,
dalla (CXLVIII) la medesima (CXLIX) avremmo ottenuta ; ond' è
che ad amb' 1 casi risponde una sola e medesima rigata normale alla
inviluppata, E cosà debb' essere, perocché al caso di ^.tan.T=2'' ,
risponde la inviluppata in sublime dell' anulare ,- e questa ha i suoi
elementi paralleli ciascuno a ciascuno a quelli del cono determinatore.

162. Cosa assai degna di attenzione si è , che la espressione
(CXLIX) della rigata a generatrici normali ciascuna a ciascuna di
quelle del cono determinatore dell'anulare di settima classe è per-
fettamente identica alla (CXXVII) della rigata a generatrici normali
a quelle della sviluppabile ;i l;ito di regresso dell' anulare di sesta
classe ; ed anche alla (LXX) dulia rigata ad elementi normali alla
rigata non sviluppabile dell' anulare di quinta classe. Per le quali
cose se le funzioni <?,<?,, i?2 , e ^3 componenti di esse , avessero
per tutte una sola e medesima forma , anzi i medesimi valori , le
Ire superficie che esse rappresentano in una sola e medesima si
confonderebbero. Ma per le anulari tutte a cono direttore, (5i,
120, i53) , le oj, «},, cjs ne determinano il gruppo, e la <?i la
specie. Dunque il

Teorema. i.° Tutte le anulari a Cono Direttore di ugual na-
tura, siano esse di Quinta, Sesta, o Settima Classe, purché ap-
partengano a famiglie di specie , di un medesimo stipite , hanno
i centri delle loro circonferenze mobili su rigate di ugual natura.

2.° Se intomo ad un medesimo cono direttore, sieno quante
anulari diverse si vogliano , di Quinta, Sesta , o Settima classe,
e comunque diverse di grandezza, di genere o di varietà, avranno
i centri di tutte le circonferenze generatrici allogati tutti in una
s^la e medesima rigata , ad elementi normali ad un tempo alle

sulle Superficie anulari. 24 «

determinatrici di tutte esse , purché i.'ariino per tutte ugualmente
le distanze del centro di ciascuna di esse circonferenze delle a-
nulari , da un medesimo luto di contatto del cono intorno cui
esse anulari stanno , coi piani di esse medesime circonferenze.

i63. Nella (CXLVllI) facciamo ora ^=:i , c=o , od anche
$■=: — I , e c==o ; li quali valori corrispondono rispettivamente ai casi
di ^.tang.Tssi"! , ed ^.tang.T^Si . In ambi i casi fatte le sostitu-
zioni , e quindi liberata la equazione dai fratti, la (CXLVIII) porge

(CL)

t ('<?)'+'■■(:-:)')-= ('■(?)'+' '0)] '^"■+' ■+'■•'=

Espressione questa della rigata particolare a generatrici normali a
quelle della inviluppata , la quale li ha ad un tempo paralleli a
quelli del cono dctermiiiatore. E poiché è dessa indipendente dalla
^3 come per le anulari di quinta (62) e sesta classe (129) ne con-
chiuderemo il

Teorema. Tutte le anulari di Settima Classe di un medesimo
gruppo (i53), e di qualunque specie sieno, purché appartengano
ad una medesima varietà^ hanno i centri delle loro circonferenze
generatrici , allogati in una sola e medesima rigata ad elementi
paralleli a quelli del cono determinatore.

E qui potremo pur fare paragone tra le forme delle (CXLVI),
(CL) , e (CXLVil) ; e potremo leuderci ragione geometrica della
differenza loro , come già facemmo trattando delle anulari di quinta
e sesta classe (6:, i3o), in considerando che tutte tre le rigate da
esse espresse sono ad elementi jiaralleli tra loro , e che di tre ri-
spettivi elementi 0 rette loro parallele , quelli della rappresentata
dalla (CL) , è equidistante dagli altri due.

2 4- 2 Rossi

IH.

164. Poiché le rigate ad elementi normali a quelli della invi-
luppata, passano tutte per la curva dei centri delle circonferenze ge-
neratrici dell* anulare , è chiaro che le espressioni di due diverse
individuate di esse rigate, quando simultaneamenle considerate, rap-
presenteranno la detta curva dei centri. E che però le (CXLIX) e
(CL) sono insieme la espressione della curva istessa : od invece di
esse , due che da esse medesime emergano.

Di esse dividiamo la prima per la seconda ; e liberiamo dai
fratti quella che ne deriva ; ed assumiamo ad espressione della curva
di che si tratta, questa medesima ultima trasformata, e la (CXLIX).
Ottenghiamo , per espressione della curva dei centri, le due seguenti,
di forma tra loro assai analoghe.

"^^ l(^'(9~)''''^^K5')')^='~G' (?)'+•■'©') ^']=(^.?'-<f'') V(?'+?.'+'e"1 • J?

(GLI)

sulle Superficie Anulari. 243

ABTICOI.O V.

<(Dati i (Dete{WM»aiiù di uiv^ ©Luufate ?attlco(ate dì Settima &icLÌit ,
detetmiuatne fa equazione l e ìetetmittaie i^ueC^e deCfa ^ua ca-
tatteti^itica ^ de^foi. tuvifuppata f e deCfa tifata a aeiietattici ttot>
«ua^i a aue{{e itiia. iuvi^uppata.

i65. Nelle anulari di Settima Classe , ]a rigala determinatrice
risultando iinplicitamenfe data di natura e posizione , dato che sia
il cono direttore soltanto (148), non potranno assumersi ad arbitrio
come dati , che il cono direttore e la legge del variare delle distanze
del centro della circonferenza mobile che genera l' anulare , in ogni
sua posizione , dai lati del cono direttore e da quelli del cono de-
terminatore , i quali sono su di un medesimo piano con essa cir-
conferenza in ogni sua posizione.

Ora cotesti tre determinanti possono esser dati od esplicitamen-
te , od implicitamente; ed in ciascuno di questi due casi, bisognerà
dedurne le forme delle funzioni 9, <^i, <?=, i?3 , <?4 . Perciocché le e-
spressioni dtfli' anulare di Settima Classe , della sua caratteristica ,
della inviluppata, e delia rigata a generatrici a ^juelle della invilup^
pata normali , componendosi dalle a:, j, s, e dalle delle funzioni di
queste , delerminate esse funzioni, risulteranno determinate le espres-
sioni medesime ; e quindi risulteranno date le equazioni dell' anu-
lare , e di tutte le altre cose , delle quali nei quattro articoli pre-
cedeati abbiamo Irorate le espressioai.

zM Rossi

i66. In primo luogo siano esplicitamente dati i detti tre de-
terminanti dell' anulare particolare di Settima Classe. E sia

£, {x, y, s)=o

la equazione del suo cono direttore. Assumiamo un' altra superficie,
che tagli le rette tutte di esso cono ; ( superficie che potrebbe an-
che essere un piano , e sempre una sfera col centro nel vertice del
cono). E sia la equazione di quest'altra superficie

£i {x, y, =)=o.

Chiamiamo /3, y, £ le coordinate della curva d' intersezione delle
due superficie di equazioni -f,=o , £^=so. La curva d' intersezione
sarà come direttrice del cono direttore ; le equazioni di essa curva
saranno soddisfatte dalle /3, y, £ ; e con esse equazioni sussisteranno
le loro derivate prime rispetto a /3 , e la equazione del piano ad
essa curva tangente nel punto di coordinate p,y,i.

Inoltre nota la legge del variare delle distanze del centro della
circonferenza mobile dalle rette del cono direttore , e del cono de-
termiuatore , anzidetti (i65) , debb' esser nota una relazione tra la
distanza J e le coordinate x,jr,z., e l'altra distanza « ed esse me-
desime coordinate. £ siano

l.CS, x,y, =)=o
£,{ci.,x,y,z)=o
cosiffatte relazioni.

Avremo le sette relazioni

/, (/3, r, £)=o

£,. {13, y, £)=o

£,'iy)y'+£,W=o

(GLll) £'.{y)y'+£.'{s)s'=o

(^yB'—y'i)x-^[i—(Si')y—{y—l3y')z=o

£,{S,a:,y,z)=o

£4 (», X, y, s)=0

I

sulle Superficie Anulari, 245

Dalle quali conosceremo tutte e cinque le funzioni ^, ^,, 72» 9;, ((4 ,
nel modo che esponemmo al N.° 68 , trattandosi delle anulari di
Quinta Classe.

m.

167. Siano ora non più esplicitamente , ma invece implicita-
mente dati i determinanti della superficie. £ siano

£, (/3, Y, £)=o
£. {/3, 7, £)=0

le equazioni della curva direttrice del cono direttore ; e

£i {p, y, r)=o

quelle della curva luogo dei centri della circonferenza mobile che
genera 1' anulare.

Avremo per determinare le forme delle funzioni <i, ({i , ^^ ì "lì ■> 9i,
le medesime dieci equazioni (LXXV) del N. 70 , e se ne dedur-
ranno le forme di esse nel modo espresso in quei medesimo numero.

ABTICOLO VI.

@Lpp{icajtone ittie coàt e.6ooHe ueaCi @Ltttco(i ncecedetttt.

ESEMPIO PRIMO.

I.

168. Potrà giovare il determinare la equazione dell' anulare
particolare di Settima Classe , i di cui determinanti sieno analoghi
a quelli dell'anulare particolare di cui trattammo nel primo esem-
p o dell' Articolo Sesto del Capo Secondo , ed anche uell' Articolo
Sesto del Cupo Terzo. Ed è però che di una tale anulare partico-
lare in questo primo esempio ci occuperemo.

246 Bossi

Siano dunque esplicitamente dati i determinanti di un'anulare
particolare di Settima Classe , della quale il cono direttore sia un
cono retto a base circolare. E del quale siane

a 1' altezza

b il raggio della sua base.
Assunti gli assi coordinati , come è detto innanzi [3), sarà la equa-
zione del cono direttore , come è noto per gli elementi ,

Inoltre le due relazioni tra la J e le x, ;^, s, e la « e le medesime
a-, j-, :, clie danno le legj^i del variare delle distanze del centro della
circonferenza mobile dai lati del cono direttore e del cono determi-
natore , i quali sono sul piano della circonferenza medesima in ogni
sua posizione , siano le

5=0

Siano cioè per questa anulare particolare di Settima Classe le di-
stanze S, » costanti ; e la prima uguale a zero , la seconda uguale
al lato del cono direttore terminato dal suo vertice e dalla sua base:
onde per l'anulare particolare di che si tratta è tale la legge del
variare delle distanze S, *, che il centro della circonferenza mobile,
sua generatrice , percorre nel movimento di questa la circonferenza
medesima della data base del cono direttore.

Siamo qui al caso del N. i66.

Però assumiamo il piano z=r — a , per la superficie la di cui
equazione dicemmo i'==o. I-e due prime equazioni delle ( CLII )
saranno sostituite dalle

£= — a
ossia dalle due

£= — a

Ed è evidente che stando ai melodi esposti al N. i66 , e per esso
al N. 68 , qui le funzioni <?, «?, , 1?= risulteranno determinate delle
forme medesime che il furono al N. 73. Onde insieme colle ^i , (^,

sulle Sujjerficie Anulari. 24.7

esplicitamente date nelle 5, » , le <p, <f, , <?> saranno le ( LXXVII )
riportate in quel medesimo numero , e le quali è inutile qui scri-
vere di nuovo.

Ed eccoci al caso di un'anulare di Settima Classe, perlaquale
non solo i suoi determinanti, ma le medesime funzioni <i,<iiii<i'<'>fì,<ii,
hanno la medesima forma , anzi sono identiche a quelle spettanti
all' anulare particolare contemplata nel primo esempio dell' Articolo
Sesto del Capo Secondo.

II.

i6g. Per determinare la equazione dell' anulare particolare di
Settima Classe di che si tratta, nella (CXLI) poniamo per (ij, <;>,, oj-, «pj, ^i
i loro yalori (LXXVII) : e cominciando dal porvi per t^j lo zero ,
e per V(?''+9i''+'?>') >1 valore \/{a--{-6') che ne risulta ; e dopo po-
nendovi per nj, <j, , c!ja i loro valori suddetti. Otteughiamo, dopo le
prime due sostituzioni ,

La quale equazione si scinde nei due fattori
(CLIII) p\{a'+ò'-)=:o

170. Consideriamo il secondo dei fattori. E poniamovi per iVi'^d?'
i detti loro valori (LXXVII). Risulta la equazione liberata dai fratti

(CLV) a{x'+i/'){2az—x'—y'—z')-i-26'x'z=:

iby (x \la'x'+ay—l>'s^-\-y<f{x'+yJ—{bxz—y yjax'-^a'y'—b^s) \

171. L'altro fattore essendo divisibile per V('**"l"^0^=^o, siri-
duce a

p=0

E questo , come dimostrammo al N. 77, ci mena a -— =jcn.K,
od anche -y =cos.K, . Essendo E, Ki costanti arbitrarie. Onde la p
Tom. FI. 32

24.8 Rossi

equivale ad una costante, ed il fattore p=o ci mostra die la tf deb-
b' essere non mai maggiore di b , e per sua natura sempre reale.
E però debb' essere la

z non maggiore di — \/(a;'-4-^") >

perciocché se z fosse maggiore di un tal valore la quantità

sarebbe negativa , e quindi la <? immaginaria.

Il più gran valore competente alla z dunque , qualunque siano
d' altronde le x, j, sarà la

172, Or sostituiamo questo più gran valore della z nella (CLV).
Ottenghiamo , dopo le riduzioni ,

che come è evidente riducesi a

Dunque l' anulare di clie si tratta ha tutti i suoi punti , i più
lontani dal piano coordinale jcj , allogati in una circonferenza di
circolo di equazione

epperò di raggio doppio di quello del circolo base del cono. E per-
tanto se nel più gran valore di z notato di sopra , porremo per
x'-{-y' la 4^*i abbracceremo ad un tempo tutti i punti dell' anulare
i più distanti dal piano aj. E co.Oi fatto, risulta
(^ i

0

L'anulare di che si tratta dunque è terminata in un piano paral-
lelo alla base del cono direttore , e distante da questa per la dop-
pia altezza del cono stesso: ne al disotto ev vi superficie, comunque
valori maggiori della s potessero pur soddisfare la equazione (CLIV).
Ed ecco perchè presentasi il fattore p=o , del quale pure debbesi
iener conto: e questo fallo è analogo all' altro contemplato al N. 78.

sulle Superficie anulari. 249

III.

l'jB. Analogaroeufe a quanto dicemmo dal N. ^5 al N. 78 ,
anche nel caso attuale , la (CLIV) può semplificarsi per modo, da
non lasciare traccia delle funzioni die la generano; onde poi otter-
rcLLesi la equazione di una superficie più vasta dell' anulare gene-
rata : epperò avremo novella prova della proposizione enunciata al
N.^g ; cioè che la particolare genesi di una superficie non è data
dalla sua equazione , ma sibbene dalle funzioni che essa equa-
zione generano : e che essa equazione esprime propriamente una.
proprietà , la quale può non appartenere esclusivamente alla su-
perfìcie generata.

Abbiamo detto (iSa) clie la (CXLII) equivalente all'altra

(CLVI) («?='«?.— 9=<?.0-r+(?'<?=—W='j2/+(«?/^— <?.<?')==<>

può aversi come una equazione identica ; e che però per essa può
eliminarsi la 9 dalla (CXLI). Può dunque dall' ultima scritta eli-
minarsi anche la 9 per essa medesima (CXLI) od anche può eli-
minarsene una qualunque delle e?, , <?3.

Ora dalle forme (LXXVII) delle <^„ aji , abbiamo

?2'=o , 9'=(5"-— (?." ;

e dalla seconda di questa , la relazione

Onde la (CLVI) a causa di i!}'a=o , diventa in primo

— <f=<?,'a;-|-<?29'i/+(<P.''?— '?.9')2=o ,

e poi per la eliminazione da questa della 9,', a causa dell'ultima re-
lazione , diventa

ed infine , facendo in questa

<{'"-f-'?/=i' , e (^2=— a.

2b'o Rosai

come di fallo è (i68) , la (CLVI) diventa

Possiamo dunque per mezzo di questa , che tiene luogo della-
(CXLII), eliminare dalla (CLIV), che tien luogo delia prima delle
(CXLI) , la ? , o la f I o la <fa , od anche più di queste , ove fìà
possibile.

Eliminiamone dunque 9, e ?, ponendo nella (CLIV) per A:<{>-f-y(f , ,

il suo valore 2, cavato dalla precedente.

a
Ottenghiamo per più semplice espressione dell' anulare di che
si tratta la

Onde poi per 9^ ponendovi il' suo valore — a , ne risulta , per e-
quazione di essa anulare particolare di Settima Classe la

(-CLVII) x'+y+z:=> ^ ^ ' . z

eh' è la equazione di una sfera.

Se in questa cambiamo le coordinate , facendo >

s=s,t-t ! —

a

essendo t la nuova coordinata computata sull'asse del cono direttore^
ottenghiamo per equazione della sftra ridotta al suo centro la

^+I/+(^= — -,

L'anulare dunque, qua l'è generala, rappresentata dalla simul-
tanea esistenza dei due fatlori (CLUI) , (CLIV), è parte di una
sfera che passa pel vertice del cono direttore, che ha il centro sul-
l'asse di questo, e di cui il raggio è terzo proporzionale dopo l'al-
tezza del dato cono retto direttore dell'anulare, ed il' suo lato ter-
minato dalla base e dai suo vertice.

Le (CLIII) , (CLIV) conservando esplicite le forme delle fun-
uoni <?, <i„ ^« , e la (CLIII) esprimendo la natura della ?, , invol-

sulle Superficie Anulari. 2&1

gono la genesi dell' anulare generata : la (CLVII) noa più conser»
vando esse forme, ma avendole nascose avviluppandole ad un tem-
po , esprime una proprietà dell' anulare , ma comune a quella della
sfera del detto centro e del detto raggio.

L' anulare dell' esempio primo dell' Articolo Sesto del Capo Se-
condo è una zona sferica di altezza 2a ; 1' anulare nel presente e-
sempio contemplata è una calotta sferica di pari altezza aa : En-

tiambe generate da circonferenza di ugual raggio \/a* + i", moven-

tesi col diametro sul lato di un medesimo cono retto e col piano
sempre a questo tangente ; ma in quella il centro di essa giace sem-
pre nel vertice del cono , in questa il centro ne giace sempre sulla
base. E comunque la circonferenza generatrice sia di ugual raggio ,
tanto iiell' una , quanto nell' altra anulare ; e comunque 1' altezza
della prima superfìcie generata , sia uguale a quella della seconda;
pure la prima anulare e la seconda possono essere parli di sfere
bensì , ma 1' una dall' altra assai di raggio diverse.

IV.

174- Vogliasi ora la equazione della caratteristica dell'anulare
particolare di che qui si tratta.

Poniamo in primo per\/('?'+?."+?=') la V(«'+*') nella (CXLIII).
Colla espressione (CLIV)

dell' anulare , avremo 1' altra

(CLVIII) xi!+y^,+z^.+{^-c)^,\/{a+6')-o

E queste due (i54) rappresentano la caratteristica. Poniamo nella"
seconda per ^i il suo valore ; ed essa seconda diventa

Onde poi , combinando questa colla prima , ottenghiamo

2^2 fiossi

Dunque le caratteristicLe dell' anulare di che si tratta sono tulle

su sfere di raggio variabile, dallo zero a 2 ^ a" -{■ 6" . Sono duuque
(173) circonferenze di circolo coi piani paralleli al piano xj di rag-
gio variabile dallo zero sino a 2 \/ a^ -j- 6'' .
175. Sia c=+i. Sarà

La linea di contatto dell' anulare dunque colla sua rigata deterrai-
natrice (i55) per quest'anulare particolare di Settima Classe siri-
duce ad un punto nel vertice stesso del cono direttore.

176. Per avere la equazione della rigata determinatrice , che
per le anulari di Settima Classe è un cono , cominciamo dal levare
dalla espressione generale (CXLVI) del cono determinalore il fattore
P(<?'+'?i'+''?=°) ) per lo quale è divisibile , per essere esso qui tutto
costante. Ottengliiamo

E prima di sostituirvi per ^, <?,, «{'2 , i loro valori , teniamo
conto di ciò: cbe per essere (167), /3"-j-y»=i5», è anche <9^=5' — <?,';
e quindi 9<f'= — !?,<?/• Effettuati i calcoli nella espressione precedente,
risulta immediatamente , ( e senza uopo di porre per o, ^,, i}-^ i loro
valori )

s=o

Dunque l'anulare particolare di che si tratta, anziché avere per ri-
gata determinatrice un cono, ha un piano determinatore : ed è il
piano xy. Ed ove si consideri che un cono è generalo da una retta
che passa sempre per un punto e si appoggia ad una curva data ,
si conchiuderà che eziandio come un cono debbe considerarsi la su-
perficie generata , quando questa curva direttrice del cono sia una
curva piana , e quel punto sia sul piano di essa medesima curva.

sulle Superficie Anulari. ^5^

Ond'è che nell'anulare particolare di che si tratta il piano xy è
di fatto il suo cono delerminalore.

Ed al numero precedente abbiamo veduto aversi per linea di
contatto dell'anulare particolare di che si tratta col cono delermina-
tore un punto ; ed un piano non può toccare una sfera che in un

])Ullt0.

17'^. Sostituendo parimenti le efTetlive determinate funzioni rap-
presentate dalle ^, «?, , >?=) iJjs) 9i nelle altre espressioni trovate in-
nanzi , troveremmo le equazioni di una inviluppata qualunque , e
di una qualunque rigata ad elementi normali a quelli della invilup-
pala. Ma ciò non faremo: invece ci faremo a determinare le forme
delle funzioni 9, 9, , 9::, 9,, 9, per un'altra anulare, i determinanti
della quale non sicno espliciti , ma sieno invece implicitamente dati.

ESEMPIO SECONDO.

I.

178, Assunti tre assi coordinati ortogonali rettangoli , sia una
])arabula di piano parallelo al coordinato xy^ e col vertice sull'asse
delle z la curva direttrice del cono direttore di un' anulare ; e la
origine delle coordinate sia il vertice del cono stesso. Ed una retta
parallela all' asse delle y sia il luogo dei centri della circonferenza
mobile dell' anulare.

Siamo qui al caso contemplato al N. 167 ; e chiamato

b il semiparametro della parabola

a la distanza del suo piano dal piano coordinato xy

l la distanza della data retta dal medesimo piano xy , e

h la distanza della retta stessa dal piano yz

le dieci relazioni delerminatrici (LXXV) saranno rimpiazzate dalle
equazioni

2^4 Rossi

(CLIX)

(l) V'— 2Ì^=0

(9) £+fl=0

(3) yy— i=o

(4) £'=0

(5) ote— oy^— 3/5a=o

(6) ;,=-/6

(7) r=-l

(8) abp—HYg — */3r=o

(9) ^='[/(p+f+''--^^^+r)

(.0) -(-fS?g)V(^'+r'+s.)

delle quali le prime due sono le equazioni della parabola direttrice
del cono , e la terza e la quarta sono le derivate loro.
179. Dalla prima delle (GLIX) risulta

e sostituito questo valore nella quinta , e risolutane la trasformata
rispetto alla y, otterremo il valore di questa in funzione di ^,^, z;
e quindi anche la /3 in funzione di or, /, z. £ però dalle prime cin-
que delle (CLIX) risulta

"^ ~ i (»3'+ V(«y+2«M)'

9i= — a
Per la /> e la r nella ottava , messivi i loro valori dati dalla
sesta e settima , ottenghiamo , risolvendone rispetto a 9 la trasfer-
mata

^//3— aft)

9=

ay

E quindi tenendo conto di questo valore di q, e degli altri dati per

p ed r, ottenghiamo

sulle Superficie anulari. 255

b{ak—l(ìY

;,=+y=+r^=F+/=+.

^p-\-yq-\-Br-=:al — k^ —

biah—l^) ^

ed anche sostituendo per 7' il suo valore 2^/3 , e per t il suo va-
lore — a ,

Sostituiti i valori di questi tre trinomii, nelle ultime due delle
(CLIX) , oltenghiamo in fine

+

ove per i|> dovrebbe in ultimo sostituirsi la determinata funzione ef-
fettiva eh' essa è delle x, j, z : e pertanto ne risulterebbero le fun-
zioni esplicite che le 93, 9i, sono delle x,j, s. E sostituite queste
funzioni , ed eziandio le determinate <?,«?,,?= nella (CXLI), ottiensi
la equazione dell' anulare particolare di che si tratta : e per ana-
loghe sostituzioni nelle espressioni determinate negli Articoli prece-
denti , otterrebbonsi le equazioni della inviluppata rigata , della ri-
gata a generatrici a quelle di questa normali , della caratteristica ec.

II.

180. Se fosse a=è , se cioè l'altezza del cono determinatore
dell' anulare fosse uguale al parametro della sua base , risulterebbe
in primo

9 = — 7 (3'+ VFl-"^!^'

2 2

a ,

9i=— — (y-f- V/ + a-rs)

9i= — a

Tom. ri. 33

256 Bossi

E molto si semplificherebbero le forme delle funzioni <p, , 1^4 ; per-
ciocché nella prima 1' ultimo termine eh' è fratto acquisterebbe tanto
nel numeratore , quanto nel denominatore il fattore (a+i?)', e nella
seconda il termine fratto acquisterebbe sì nel numeratore, come nel
denominatore il fattore («+?) ; della qual cosa è anche più faci!»
persuadersi , messa di fatto in esse funzioni invece di b la a. E
pertanto risulterebbe

E scorgeremo che nel caso di che si tratta la ^4 è uguale alla
medesima «j aggiunta alla quantità costante a-\-k — /.

i8i. Se fosse inoltre, non solo a=b y ma ancora l=k; se
cioè la retta luogo dei centri della circonferenza mobile generatrice
dell' anulare , fosse equidistante dai piani xf, z/, le 1?, ?,, l'ai reste-
rebbero le medesime , e sarebbero

E senza uopo di determinare di fatto la equazione dell' anu-
lare, dalle sole forme delle funzioni ^;, 94; 0 per meglio dire dal
come 'queste sono composte dalla <? , ci accorgeremo che 1' anulare
anderà all'infinito; e che la sua ampiezza può variare dalla asino
all' infinito , perciocché la 9 potrebbe avere un valore zero , ed
anche infinito.

sulle Superficie anulari. 2^7

CONCHIUSIONE.

182. Abbiamo veduto fin qui , come trovare le espressioni a-
naliticbe generali delle Anulari a Cono Direttore ; e come dedurne
quelle delle Anulari di Quinta , Sesta , e Settima Classe : e pari-
menti , come trovar quelle delle loro rispettive caratteristiche, dellu
loro inviluppate rigate, e delle rigate a generatrici normali a quella
delle inviluppate: ed abbiamo dimostrato ancora, come dedurne quelle
di linee o superficie individuate di esse , tra quali sono la Rigata
Determinairice dell' anulare generale di ciascuna classe, la linea di
contatto di questa colla sua rispettiva determinairice, e per ciascuna
anulare generale, la Curva dei Centri di tutte le circonferenze sue :
e nel fare cotesle ricercbe , nella soluzione di molti problemi ge-
neralissimi ed anche importanti ci siamo imbattuti , che di per sé
soli sono utilissimi alla parte della scienza geometrica, che va sotto
il nome di geometria analitica : e molti teoremi o verità abbiamo
appurato ; e non solo pertinenti in ispezialtà alle anulari in gene-
rale , ma ancora ad altre superficie e linee. Ed è chiaro che se
ulteriormente fossimo andati svolgendo le trovate formole od espres-
sioni , e le trasforuiiite loro fossimo andati interpetrando , molte al-
tre verità , o teoremi generali in questo nostro lavoro avremmo po-
tuto enunciare. Ma ciò non abbiam voluto ; perciocché a noi pare
ciò converrebbe meglio a trattati speciali , che non a nuove ricer-
che come queste ; per le quali , secondo ci eravamo proposti , vo-
'evamo solo osservare l'insieme di questo vasto campo; nel quale
per i primi ci siamo inoltrati ; e con iscopo principalissimo di tro-
vare le principali Espressioni o formole, le quali potessero esse sole
essere come il germe di ogni altro trattato sul soggetto, e che in
esse le equazioni tutte comprendessero di quante anulari a ceno di-
rettore sono generabili , da injìniti movimenti di circonferenza di
circolo, con raggio variabile per infinite leggi: ed anche riconoscere

238 Rossi

e dimostrare i teoremi fondamentali generali, che l'indole mostras-
sero di ciascuna classe di anulari a cono direttore ; e dai quali non
solo coroliarii molli potrebbousi cavare; ma , quello die è più ,
che menano naturalmente alla classificazione delle anulari tutte di
ciascuna delle Ire classi a cono direttore , in Gruppi, Generi, Spe-
cie, e Varietà ; perciocché è nostra ferma opinione , che le forme
delia Geometria debbano essere classificate secondo la loro intrinseca
natura, la quale sta tutta nella genesi loro ; e non secondo appa-
rente forma , non sempre da cotale genesi dipendente, di certi sim-
boli atti bensì a rappresentare la superficie , quando conveniente-
mente combinati tra loro , ma non sempre atti alla manifestazione
chiara, adequata, ed esclnsii>a dei movimenti pei quali le linee che
si muovono generano le slesse superficie, ovvero quelle medesime for-
me ; e d' altronde non sapremmo comprendere perchè mentre tutte
le scienze naturali classificano gli oggetti che sottopongono ad esame
in classi , gruppi , generi , specie , famiglie, varietà e sottovarietà,
secondo certe proprietà comuni, o requisiti di generi, la scienza geo-
metrica non debba parimente classificare le forme ch'essa contempla.
Ci è bastato dunque spingere tanto innanzi le nostre ricerche
da riuscire al detto scopo. Ma sendo che precipuo fine del nostro
lavoro si era ancora di dare mezzo onde poter determinare le equa-
zioni di qualunque anulare, comunque immaginabile generata, e delle
dette linee , e superficie rigate con essa connesse , come quelle che
sono indispensabili alla misura numerica dei volumi e delle aree
dei solidi conformati secondo superficie anulari, o dei pezzi com-
ponenti essi medesimi solidi, e ciò per gli ulteriori calcoli di valu-
tazione o di meccanica ; perchè il lavoro avesse corrisposto al suo
line , 0 meglio a ciò che avea dato origine alle nostre ricerche sul
soggetto , dovevamo dare norme generali per fin di cavare dalle tro-
vate espressioni generalissime le equazioni tutte che in ciascuna di
esse sono comprese, ossia come nascoste. E questo pure abbiam fatto.
Quelle espressioni si compongono o di funzioni arbitrarie , o
di costanti e funzioni insieme arbitrarie , determinate le quali, cioè
di valore le prime , e di forma le seconde, restano determinate da
esse espressioni le dette equazioni ; ed abbiamo, nell'Articolo Quinto

sulle Superficie Anulari. 2^9

di ciascuno dei tre Capi precedenti , veduto come determinare le
forme di esse funzioni arbitrarie , od i valori particolari di esse co-
stanti arbitrarie, date certe linee o superficie nello spazio, le quali
sono detenninatrìci della genesi di una particolare superficie anu-
lare , od in vece la legge del movimento e del variare del raggio
della circonferenza generatrice di essa.

Fatto tutto ciò, avremmo potuto chiudere le nostre ricerche. E
pure per non fermarci nelle astrattezze, abbiamo voluto scendere a
certi csempii della effettiva determinazione delle forme di esse fun-
zioni , ed anche dei valori particolari di esse costanti ; ossia della
effettiva determinazione delle dette equazioni. Ed abbiamo assunti
certi esempii facili bensì , ma che ci hanno menati a certe curiose
ed importanti considerazioni , ed anche a certi singolarissimi risul-
lameriti , importanti non tanto per queste ricerche , quanto per
certe novelle vedute che possono introdurre nella scienza delle
matematiche pure : e quindi a trattare in generale di certe Tribù
Particolari di Anulari per le superficie componenti delle quali si ve-
rificherebbero quei medesimi singolarissimi risultamenti. Al Capo
Secondo ci siamo occupati di parecchi di cotesti esempii. Avremmo
potalo fare il medesimo al Capo Terzo, ed anche al Capo Quarto;
ma qui siamo stati anche più ristretti che non nel Capo precedente,
perocché già mollo ci eravamo allargati oltre i confini e lo scopo.

Però non passeremo olire ad addurre nuovi esempii , i quali
chi sa di quante importanti conseguenze non sarebbero fecondi, nò
ci occuiieremo in generale di famiglie di anulari pertinenti ad altre
Tribù particolari , oltre quelle già contemplate ah' Articolo Sesto del
Capo Secondo. E chiudiamo queste nostre ricerche , essendo con-
tenti di quel poco che abbiamo investigato intorno alle Anulari a
Cono Direttore; e preferendo meglio di passare invece, coll'ajuto
dell' Onni[)Olenfe Iddioj a far ricerche sulle anulari delle altre quat-
tro classi , lasciando ad altri se il voglia addentrarsi nell' escogita-
zioni di altre anulari particolari di queste medesime classi, che hanno
fatto l'oggelto delle Ricerche che nella presente Memoria abbiamo
ordinate.

iI\DICE DELLE MATERIE

INTRODUZIONE

«VìlEUl PJGINt

Gazate dette aii ©LccadeiMÌa natta, totiiata 53—63

Oef ti gennaio /8iq.

CAPO PRIMO.

BELLE ANOLASI A CONO DIRETTORE IN GENERALE.

I — I Si dà la genesi deWe Anulari in generale , e di qaelle a 63—65

Cono Direttore in parlicolare. E dicesi come qaeste
possano essere di Quinla, di Sesia, e di Seltima Clas-
se , e (juaado. E si fa la dislrìbozicae delie parti del-
l' Opera.

ARTICOLO 1.

Espressione della Circonferenza Generatrice.

I.

3 — 4 Assnnlo il vertice del Cono Direttore dell'Anolare, nella 66 — 67

origine delle coordinale, ed assunta la curva sua diret-
trice, si determina il piano luogo di'lla reità della lìi-
gata Delerminalriee che incontra in un cerio ponto
il lato di esso cono, che passa per un iadividaalo pao-
lo della sua curva direttrice.
II.

3 — 9 Assnnlo un pnnto di coordinate a determinarsi , si trova 67 — 69

la distanza sua dal detto lato del cono direttore che
passa per T individuato punto della sua carva direttri-

/

262 Rossi

TÌUUESl PAGINE

ce, ed anche la saa distanza dalla detla retla della de-
terminatrice che lo iocootra.
III.

IO — 12 Del piano tangente al cono direttore dell' anulare, lungo 70 — yS
il detto suo lato che passa per l'individualo punto del-
la sua curva direttrice. E delle condizioni perchè 1' as- ">
sunto punto di coordinale a determinarsi sia il centro
della Circonferenza Generatrice dell' Anulare , in-
dividuata in modo da slare sur esso piano tangente. E
delle equazioni determinatrici delie coordinate di esso
medesimo punto. Teorema che se ne cava.
IV.

i3 — 16 Si risolvono le dette equazioni determinatrici delie delle yS — 8?.
coordinale del cenlro della individuata circonferenza
dell' anulare : e prima si abbassano di grado separan-
dovi le incognite : ed iraporlanli conseguenze si cava-
no da considerazioni sui segni delle quantità sue com-
ponenti. E quindi si trova la Espressione Analitica del-
la individuata circonferenza dell'Anulare.
V.

17 — 20 Si contemplano le tre eqnazioni abbassate dì grado de- 82 — 86
lerminatrici delle coordinate del cenlro della circonfe-
renza dell' anulare : in varia guisa si trasformano: ed
nn importante Teorema se ne deduce. E la espressione
della individuata circonferenza dell'anulare pur si tra-
sforma, e per modo da ottenerla libera da derivale.

ARTICOLO 2.

Espressione di U7i punto della Caratteristica,

I.

21—24. Potendosi avere 1' anulare , come l' inviluppo di una ri- 86 — 92
gala /nobile, la espressione di nn punto della sua Ca-
ratleristica (\inea. di suo contatto coH'inviluppata) si de-
termina : e prima essa caratteristica si definisce; e co-
me s' individui e se ne trovi la espressione si dice.

I'-

25 — 26 Si trovano certe altre equazioni , che danno le coordinale 92 — c).j
di quel ponto della individuata circonferenza dell' anu-
lare, il quale appartiene alla individuala caralterislica.
E speditamente si risolvono.
HI.

2y — 28 Gli elementi che entrano nella composizione dei valori ot- gi — 97
tenuti dalla precedente risoluzione si considerano ed

sulle Superficie Anulari. 2 63

NUMERI PAGffft:

interpetrano. E le formole che danno essi valori si tra-
sFormano. Ed mi bel Teorema di geometria generale
si eoDDcia e dimoslra.

ABTICOLO 3.

Espressione dì ima retta della Inviluppala Rigata
all' anulare.

I.

29 — 33 Polendosi avere 1' anulare come l' inviluppo di una riga- 97—100
la mobile, la Espressione Analitica di ana individuala
retta di questa inviluppata si determina: e prima essa
Inviluppata si definisce ; e come possa individuarsi e
trovarsene la espressione si dice.

n.

— 34 Trasformazioni della determinala espressione: e resa libe- 100 —
ra da derivate

ARTICOLO 4.

Espressione di una retta della Rigata a generatrice
normale a quella della Inviluppala.

I.

33—36 La Espressione Analitica di ana retta di qnesla rigata, eia- 100 — ^102
Senna retta della quale è normale ad una retta della
inviluppata, si determina: e prima si definisce, e si dice
come possa individuarsi e trovarsi la espressione di ana
sna individuata retta.
II.
— 37 La espressione precedente si trasforma per modo da otte- loa-^
nerla libera da derivate.

CAPO SECONDO.

DELLE ANULARI SI QUINTA CLASSE.
I,

3S^4o Vista la genesi deli' Anulare di Quinta Classe , si dime- io3 — 106
stra che la sua Rigata Determinairice è determinata,
data che sia una curva soltanto, alla quale debbano le
sue rette appoggiarsi: e determinasi la condizione, per
cui la individuala retta della determinatrice non piti
appartiene a quella di laì anulare qualunque a cono

Tom.FI. 34.

264. Rossi

NUMERI PAGINE

direnare, ma invece alta detenninalrice di uri anula-
re di quinta classe.
II.

4-I— 44 Delt' ordinala del pUDlo comone al cono direttore dell' a- io6— Ho
palare ed ad ona iadividuata retta della sna rigala de-
terminalriee : delle fanziooi sae componenti, e del più
piccolo nomerò delle arbiirapie di esse. E della curva di
contatto del cono direttore eolia rigata delerminalrice.
E come ottenersi le Espressioni appartenenti non più
ad un anulare (/nalunque a Cono Direttore, ma in-
vece ad una qualunque di quelle di Quinta Classe.

ARTICOLO 1.

Esppesswne dell'Anulare generale di Quinta Classe .

I.

45— 5o Si trova la Espressione di ona individuala circonferenza ii i — ii6
dell' anulare generale di Quinta Classe ; ed esaminala
la dipendenza reciproca delle componenti sue , ed e-
spressa una tal dipendenza , si trova la Espressione
dell' anulare generale di Quinta Classe. E la relazione
che liga le funzioni sue componenti si esamina : ed nn
bel Teorema si dimostrai e come tenersi conto di essa
medesima relazione.
II.
' — 5i Le annlari di Quinta Classe in Crw/)/)?, Genm, iS/je«'e, u6— ii8>
e Varietà analiticamente si classiQcano : e che sieno
le sotto varietà, e le famiglie di aa medesimo Stipite,
e di aoa medesima Tribù, si dice

ARTICOLO 2'-

Espressione dèlia Caratteristica dell' anulare generale
di Quinta Classe.
I.
52—53 Tvovasi la Espressione di nn punto di nn'individnata Ca- iiS— 120'
ratteristica di un'anulare di Quinta Classe : e la E-
spressione della Caratteristica generale tutta intera
se ne deduce. Ed importante Teorema se ne deriva.

ri.

54 — 35 Di certe caratteristiche particolari dell'annlare di Quinta 120—121
Classe , tra quali è la linea di contatto dell' anulare
colla sua rigata delerminalrice: espressioni loro: e TeO'
remiche n'emergono..

sulle Superficie anulari. 2615

ARTICOLO 3.

Espressione della Inviluppala Rigala all' anulare
generale di Quinta Classe,

«UUEBl PAGINE

I.

56 Trovasi la Espressione di ona individuala retta della Invi- 122— 1 23
lappata rigala all' annlare di Quinta Classe ; e quindi
quella di essa medesima Inviluppala tutta intera se ne
deduce.
II.
57 — aS Di certe inviluppale rigate particolari si discorre, e par- 123—125
licolarraenle di quella eh' è ad nn tempo Rigata De-
terminalrice: e se ne danno le Espressioni analitiche e
queste si paragonano ; e due belli Teoremi i& ne de-
ducono. Vedesi da qoali linee 0 superficie provvenga il
variar di Genere dell' annlare. Ed anche sì parla di
certe superficie generali ; che mentre nella iotersezio-
oe loro danno sempre la caralterislica dell' anulare, non
la darebbero e si confonderebbero in nna sola e mede-
sima, quando quella caralterislica particolare si voles-
se di contatto dell'anulare colla soa rigala determina-
trice.

AimcoLO 4.

Espressione della Rigala a Generatrice Normale a

quella della Inviluppala all' anulare generale

di Quinta Classe.

I.

i)Q— 60 Si trova la Espressione della rigata di che si tratta: e del- 136 — 127
le quantità sue componenti si discorre: e dimoslrasi che
la Caralterislica generale dell' anulare generale di
qoinla classe, inviluppo di rigale, sta su quattro saper-
ficie diverse contemplale innanzi.
II.
61—62 Di certe rigate particolari a generatrici normali ciascana 127-129
a ciascuna di quelle delle mviluppate: loro Espressioni
analitiche, e proprietà. Teoremi (ì\ìq se ne cavano. E
come per esse venga a conoscersi da quali linee o su-
perficie derivi il variar di Specie 0 di Varietà dell' a-
culare.
IH.
63 In corrispondenza delle cose già dette sulle funzioni com- i3o — i3i

266 Bòssi

nVilERI . PAGINE

ponenti la Espressione analitica delle anolari di qaiata
classe, si fa la loro classificazione geometrica in Grup-
pt\Oeneri, Specie, e Farietà. E Teorema relativo.
IV.
64—66 Si discorre della cerva /«090 dei centri dì tutte le cir- i3i— 133
conferenze generatrici dell'anulare generale di Quinta
Classe: es&ne trova la sua analitica Espressione.E fal-
le osservazioni solle fonzioni sae componenti , si dimo-
stra , come e quando le anulari di Quinta Classe sono
della Tribù a curva dei centri piana , e quando
della Tribù a generatrice costante; e quando e come
appartengono alla Tribit delle Canali del celebre
Monge, ed ancheiall'altra delle Canali «(^ flw;>zi?s3a
variabile che sono più generali di quelle del Monge.

ARTICOLO S

Dati i Determinanti deW Anulare Particolare di
quinta classe , determinarne la equazione : e de-
terminarne quelle della sua caratteristica, della
sua inviluppata, e della rigata a generatrice nor-
male' a quella della inviluppata.

I.

67— S8 Dei rfefórffz?«anft'^eoOTi?ft7W dell'anulare di Quinta Clas- i34— 136
se. E come essendo dati esplicitamente, si determinino
le icinqu« funzioni componenti le espressioni analitiche
dell' anulare generale , della sna caratteristica , della
sua inviluppata rigata, e della rigata agli elementi di
essa normali.

II.
()g_yi , Come 8Ì operi la determinazione delle funzioni medesime,' i36 — i4o
quando i determinanti geometrici dell' anulare partico-
lare sono imphcìtamente dali>

IIL
72 Come determinate quelle funzioni restan determinate le e- i4.o— i4i
quazioni delle dette cose, di cui esse funzioni compon-
gono-le espressioni. E si dimostra come date viceversa
esse funzioni, possano immediatamente conoscersi i de- -
teNuioanti dell' anulare.

sulle Superficie Anulari. 267

ABTICOLO 6.

jlpplìcazione delle cose esposte nei paragrafi precedenti.

BSEMPIO pRiao.

liVUERi PACiye

I.

73 — 74 Assunti per fifefermj«a«ft dell'analare parlicolare oa cono i4-2 — 14-4
rello a base circolare per cono direttore , la slessa ba-
se del cono a curva direttrice di esso e della rigata de-
termioalrice , ed a luogo dei centri ona retta che pas-
sa pel vertice del cono ; si determinano le forme delle
cinque fanzioni componenti le trovate Espressioni ana-
litiche. E si dimostra essere qnest' anelare particolare
a generatrice costante.
II.

75 — 78 Si trova la equazione dell'anulare particolare di che si i44 — 148
Iratla : e si discute : e si dimostra essere qaest' anula-
re generata dotata della proprietà medesima della sfe-
ra, ma non essere veramente una sfera.
Ili.
— 79 Si determina la eqnazione della rigata determinatrice di i48 — i5o
quest' anulare particolare : e dalla discussione sua e
dalla precedente dedacesi la seguente importante Pro-

, posizione. Le equazioni algebriche ordinarie posso-

no essere insuDicienti alla rappresentazione delle su-
perficie quali sono gpoinetric amente generate; e per-
chè esattamente le rappresentino, è necessario tene-
re in conto simultaneo le funzioni generatrici di esse
equazioni.
JV.

80 — Si Si determina la equazione della rigala a generatrici nor* (5» — 1S2
mali a quelle della inviluppala. E quindi si definisce il
gruppo, il genere, la specie, la varietà , e la famiglia
dell' anulare di che si tratta.

ESEMPIO SECONDO. ■

I.

— 82 Si pone volersi un' altra anulare particolare che dilleri- iSa^i 53
sca solo di varietà dalla precedente; ooll'avere la gene-
ratrice di raggio variabile. E si determinano le (orme
delle funzioni componenti la espressione sua.

S3^8S ' Si determina la equazione di qnesl' anulare particolare. i53'— i5S

268 Rossi

NUMERI PAGINE

E dimostrasi essere /' anulare generata uua zona d'i-
perboloide o di paraboloide : ed un curioso Teorema
se ne deduce. E dimostrasi iaoltre esserne la curva dei
centri una curva conica piana.
HI.
— 86 DeCnisconsi il grappo, il genere, la specie, la varietà , e iSS—
la famiglia di qnest' anulare particolare.

ESEMPIO TERZO.

87—88 Assunti a delerminaniì dell' anulare particolare un cono i58 — i6a
retto direttore, una conoidale a direttrice parallela al-
l' asse del cono per determinatnce, ed una retta pel
vertice dello slesso cono a linea dei centri , si deter-
minano le forme delle funzioni componenti. E la equa-
zione della curva di genere si determina. Ed il grup-
po , il genere , la specie , e la varietà dell' anulare si
definiscono.

ESEMPIO QUARTO.
l.

89 — 90 Come vogliasi l'anulare si dice : e dimostrasi dovere a- 162—164
vere a determinanti un cono retto a base ellittica di-
rettore, r ellisse base a direttrice cornane della deter-
minatrice , ed una retta pel vertice del cono a linea
dei centri. E delle cinque funzioni componenti le e-
spressioni generali si determinano le forme.
II.
91—94 Sì semplifica la espressione generale delle anulari. Se ne 164^166
determina la equazione, che si esamina. E della super-
ficie piti vasta, della quale è parte l'anulare, si discorre.
Ili.
05—96 Della rigata determi'natrice di quest'anulare particolare, 166—167
e delle varie falde di essa.
IV.
— 97 Si definiscono il groppo, il genere, la specie, e la varie- 16S—
tà dell' anulare.

ARTICOLO 7.

Di alcune Tribù particolari di Anulari di Quinta Clas-
se: e quindi delle anulari di Quinta Classe Sf eroi-
diche in generale.

98—99 Della Tribù di anulari, a centri della eirconferenza gè- 1 68 — ( 69

sulle Superficie Anulari. 269

NVMEjtl PACItiS

neratrice sul cono direttore, si discorre. E dimostra-
si che sono zone di superficie più vasta.

^100 Si ragiona di quelle della medesima tribù, ma dello stipile ifig — 170
a centri della circonferenza generatrice sul vertice
del cono direttore; e della famiglia di Sferoidiche del
medesimo stipite.
III.

loi — io3 Trattasi di certe altre Famiglie di anulari Sferoidiche , 170 — 173
di stipite e tribù diverse dalle precedenti, ed anche di
certe altre famiglie di anulari non sferoidiche ; e le
quali tutte sono zone di superficie più vasta, ed han-
no con essa certe proprietà comuni , ma altre che sole
ad esse zone competono.
IV.

io4 — io5 Oimoslrasi esistere anulari deltafamiglia delle Sferoidi- 174—173
che nella Tribù a curva dei centri non sul cono di-
rettore. E che due sorte diverse di anulari sferoidiche
possano esistere , cioè od a centro della generatrice di
posizione fìssa o ad esso medesimo centro di posizio-
ne variabile: e di esse si rasioua.

CAPO TERZO.

DELLE ANDLABI DI SESTA. CLASSE.
I.

Lo6^i 1 1 Vista la ^en^M delle Anulari di Sesta Classe, si dimostra 176—182'
rlie (ialo il cono direttore, la curva direttrice della de-
lerminatrice di questa classo di anulari (che è svilup-
pabile ) e la linea di suo contatto col cono direttore ,
non possono essere qualunque, ma dalla natura di esso
medesimo cono dipendono. E la espressione di una tal
dipendenza si trova. Ed un bellissimo Teorema si nota.
E data la direttrice del cono direttore soltanto, trova-
si la equazione della linea di contatto di esso medesi-
mo cono , colla sviluppabile determinatrice.

— U2 Risolvesi questo Problema. Data la linea direttrice del 182— 183
cono direttore , ed il lato di regresso della determina-
trice, ed un punto di una di queste curve per ove vuoi-
si che passa una retta della determinatrice , trovare il
punto sdU' altra curva per ove passa essa medesima
netta..

270 Rossi

KOUMU PAGrNg

III.

— n3 Condizione analitica per coi 1' anoiare sia non più qua- i83 — 184.
lunque a cono direttore, ma. in vece di Sesta Classe.

ABTICOLO 1.

Espressione delV Anulare generale di Sesta Classe.

I.

114 — 119 Determinata la espressione di nnaindividnatacirconreren- i85 — 19:1;
za dell' annlare generale di Sesta Classe , e detto della
dipendenza delle quantità ch'entrano nella composìeio-
ne sna, la Espressione analitica la più generale delle
anulari di Sesia Classe si trova. Ed un importante T^fo-
rema si nota. E sulle arbitrarie componenti essa e-
spressioDJ si ragiona.

— 120 Le analari di sesta classe in Gruppi, Generi , Specie , 191 — 193
e Fartela si classificano.

ARTICOLO 2.

Espressione della Caratteristica delt Anulare generale
di Sesta Classe.

l.
>^i2i Trovata la Espressione di no' individoato pnoto deliaca- 192 — 19?
ratleristica generale dell'anulare di Sesta Classe, qaella
di essa caratteristica tatla intera se ne deduce. Ed no
bel Teorema ii noia.
II.
J22 — 123 Delle caratteristiche particolari si parla : e di qnella ch'è igS — 194.
linea di contatto dell' anulare colla determiaatrice stì-
loppabìle. E due Teoremi sì enuociauo.

ARTICOLO 3.

Espressione della Inviluppala Rigata all' anulare
generale di Sesta Classe.

I.

—124. Trovasi la espressione analitica della inviluppala rigata igS — igt)
generale all' anulare di sesta classe.

n.

,123 — 126 Di certe inviluppate rigate particolari si ragiona : e più 197 — 200

sulle Superficie anulari. 271

SlilKRI PAGINE

parlicolarmenle della snn delerminaln'ce sviluppabi-
le : e dimoslrasi non mal essere qaesla di natura ar-
bitraria^ ma solo (li arbitraria posizione ed intensità
di curvatura. Ed un' importaale Teorema si noia.

ARTICOLO 4.

Espressione della Higala a Generatrici Normali ,
ciascuna a ciascuna di quelle della inviluppala al-
l' anulare generale di Sesta Classe.

I.

— 127 Trovasi la Espressione della Rigala generale a generatrici 201 — 202
normali, ciascuna a ciascnna di quelle della inviluppala.
II-
128 — i3o Trattasi di certe rigate particolari a Generatrici Normali 202 — 2o5
a ciascuna di quelle della inviluppata: e le espressio-
ni generali loro si trovano, e si paragonano : ed i più
importanti Teoremi s\ enunciano.
III.
— i3i Le anulari di Sesta Classe in Gruppi , Generi, Specie, 20D — 207
e Farielà si classificano ; e corrispondentemente alla
già fallane classificazione analitica.
IV.
— 132 Come aversi la Espressione analitica della curva dei 207 —
centri della circonferenza generatrice, dell'Anulare ge-
nerale di Sesia Classe.

ARTICOLO 'S.

Dati i Determinanti dell' Anulare Particolare di Se-
sta Classe, determinarne la equazione : e determi-
narne quelle della sua caratteristica , della sua
inviluppata , e della rigala a generatrici a quelle
di questa normale.

I.

— 133 Dei Determinanti geometrici in generale, delle anolari 208 —
dì Sesta Classe si parla: ed in che stia la determinazio-
ne delle dette equazioni si dice.
II.
i34 — 136 Dimostrasi , come determinare le forme delle funzioni ar- 208—210
bitrarie , ed i valori delle costanti pur arbitrarie com-
ponenti le Espressioni analitiche generali delle dette sa-

Tom. FI. 35

272 Jìossi

HVUERI PAGINE

perGcie e linee, quando i determinanti geomelriei Bo-
vo esplicitameDle dati.
III.
137 — iSg Come delermiDarsi le medesime cose , qaando i determi- 211 — 2i3
nanti geometrici sono implicitamente dati.

— i4o Dicesi, come determinale le dette fanzioni e costanti arbi- 2i3 —
trarie.possano determinarsi le eqnazionì algebriche del-
le medesime soperiìcie e linee suddette.

ABTICOLO 6.

Applicazione delle cose esposte negli Articoli
precedenti.

I.

i4.i — 1^^ Assunti i<fefórffj;nanft'yeo»ie/rttfi dell'anulare particolare, 2i4 — 2i8
si determinano le forme delle funzioni arbitrarie , ed i
valori delle costanti arbitrarie, cbe sono componenti l'e-
spressione dell' anulare generale di sesta classe.

145 — 146 Della curva di conlatto del cono direttore dell'anulare 219 — 222
particolare di che si tratta, colla soa rigata determina-
trice si ragiona : ed importantissime conseguenze se ne
cavano ; ed intorno agli esposti metodi si osserva. E si
fa discussione importante sul soggetto.

— 147 Si determinano le equazioni del lato di regresso della ri- 222 — 22.Z
gata sviluppabile determinatrice dell' anulare di che si
tratta: e gli ottenuti risnitamenti colle discussioni fatte
in altri luoghi si paragonano.

CAPO QUARTO.

DKLLB A.NDLAR1 DI SETTIUA CLASSE.
I.

■l48 Vista la ^«n«ft' delle Anulari di Settima Classe, si dice 224 — 225
come le Espressioni comuni a tutte le anulari a cono di-
rettore , possano speditamente accomodarsi alle anula-
ri di una tal Classe.

sulle Superficie Anulari. 278

ABTICOLO 1.

Etpressione dell' Anulare generale di Setlima Ciotte.

I.
149— I Ss Trovala la Espressiooe di eoa iodividuala circoDrereota 236— 23o
dell'anulare generale di Seltima Classe, e la mutua di-
pendenza considerala delle quantità sue compouenli, se
ne deduce la Espressione analitica di essa anulare gene-
rale. E la relazione tra le funzioni componeoli di essa
8Ì esamina ; ed oa importante Teorema si nota.

II.
— 153 ClassificazioDe delle anulari di Settima Classe, la Gruppi, 23o — 233
Generi, Specie, e Varietà.

ARTICOLO 2.

Etpressione della Caraneristica delf anulare generale
di Settima Classe.

I.

— iS^ Dalla Espressione di un ponto di una individuata caratte- 233 — 234
ristica, la Espressione delia caratteristica generale del-
l'anulare generale di Settima Classe si deduce. E quin-
di due Teoremi ai riportano
li.
i55^l56 Trattasi delle caratteristiche particolari irr genere , e di 234 — 235
quella eh' è lìnea di contatio dell' anulare generale di
Settima Classe col suo cono determinatore.E doe Teo-
remi si nolano.

AKTIC01.0 3.

Espressione della Inviluppata Biffata all' anulare
generale di Setlima Classe.

I.

— iSy Dalla Espressione di una iodividoata retta della inviluppa- 235 — 236
la ad un'anolare qualunque a cono direttore, si dedu-
ce quella della inviluppata generale all' anulare gene-
rale dì che si tratta.
II.
il»8— iSg Di inviluppate particolari si discorre, ed in ispecie dei co- 236 — 238
no delevminalore. E due Teoremi sì enunciano. E si

*

274

HOUERI PAGIHX

risolve il Problema : data la eqaazione della liaea di-
rettrice di OD GODO, trovare qoella di un'altro cono del-
lo stesso Tertice del primo, e di lati normali ciascano a
ciascuno di quelli dell'altro.

ARTICOLO 4.

Espressione della Rigata a Generalrìei Normali cia-
scuna a ciascuna di quelle della inviluppata.

I.

— i6o La Espressione analitica della Rigata generale di tal sorta 238 — 2^9
si determina.
II.

161 — iG3 Ui certe rigate particolari di qaelle di che si traila si ra- 239 — 24.1
giona ; e tre belli Teoremi sì notano e dimostrano.

m.

— 164 Trovasi la Espressione analitica della curva dei centri 242 —
delle circonferenze dell' anulare generale di Settima
Classe.

ARTICOLO S.

Dati i Determinanti di un Anulare Particolare di
Settima Classe, determinarne la equazione ; e de-
terminare quelle della sua caratteristica, della in-
viluppala , e della rigala a generatrici normali a
quelle della inviluppata.

I.

— 165 Diccsi qaali siano i determinanti geometrici dell'anulare 24.3—
di Settima Classe ; e come determinale per essi le for-
me delle funzioni componenti le espressioni delle delle
cose , si delermiumo le equazioni di esse medesime
cose.
II.
— 166 Come determinare le forme di esse funzioni, quando i de- 24-4-^24ì>
terminanti sono esplicitamente dati.
111.
—167 Come , quando sono impliciiameate dati. a^^-

sulle Superficie anulari. 2 7 5

ARTICOLO 6.

Applicazione delle cose esposte negli Articoli
precedenti.

ESEMPIO PRIMO.
tìVÌISRI PÀGINE

I.

— 1G8 Assunti i determinanti geova^irm di od' anulare parlico- 245 — i\i
lare, le forme delle funzioni componeoti le espressioni
dell' anulare generale si determinano.
II.
iGg— lya La Espressione ed equazione dell'anulare particolare si de- 2-Ì7 — 248
terminano. Ed i fallori di esse si desumono; ed impor-
tanti e curiosi consejjuenze se ne cavano.
111.
— 173 Dimostrasi che l'anulare particolare di che si tratta e qual 249 — 231
è generata è parte di una certa sfera : e che i fattori
di sopra involgono la genesi dell' anulare , e la trovata
equazione semplificala non esprime che una proprie-
tà che r anulare generala ha in comune colla detr
ta sfera. Ed altre considerazioni si fanno.
IV.
174 — 175 Delle caratteristiche dell'anulare di che si tratta: e della 25i— 25a
siogolarilà della linea di suo conlatto colla sua rigata
delerminatrice.
V.
176 — 177 Della natura del cono delerminatore di questa rigata: e 252—253
delle equazioni della inviluppata, e della rigala a ge-
ceralrici alle sue normali.

ESEMPIO SECONDO.

I.

17S — 179 Diversamente si assumono i determinanti di un'altra anu- 253 — 254
lare parlicolare: e per quesf altra anulare particolare,
si determinano le forme delle funzioni componenti la
espressione dell'anulare generale.
II.

iSo — iSi Delle forme particolari che prendono esse medesime fun- 255— 2j6
zioni, corrispondentemente a certi particolari valori dei
parametri dell" anulare , ovvero a particolari varietà
di eàse.

CONCniCSIONE.

— i8a Si dice in poco il fallo in questa Memoria; e perchè si so- 257^^2 jg
no limitate a queste le falle ricerche.

RAPPORTO ALL' ACCADEMIA

DELLA MEMORIA
DEL HOCIO V. ANTONIO RO»i<H

INTITOLATA

RICERCHE ANALITICHE SULLE SUPERFICIE ANULARI

La Memoria del Socio sig. Rossi riguarda una famiglia nume-
rosissima di superfìcie , non ancora sottoposte a calcolo. Si suppone
infatti che intorno a un dato cono di base qualunque ruzzoli un
piano tangente , e che sopra questo piano si muova nel tempo slesso
un cerchio di raggio costante , o di raggio variabile secondo una
data legge : quindi è manifesta la varietà grandissima delle super-
ficie così generate dalla circonferenza mobile. L' autore le chiama
superficie anulari a cono direttore , comunque non abbiano in gè
nerale veruna somiglianza alla figura dell' anello : egli à voluto in
ciò imitare Hathette , che chiama superficie rigate quelle che na-
scono dal movimento di una linea retta , e sulle quali per ogni loro
punto si può in conseguenza applicare il taglio di una riga.

Le superficie anulari sono riferite a tre assi rettangolari, aventi
per origine il vertice del cono ; ma il centro della circonferenza ge-
neratrice posta sul piano tangente è riferito immediatamente a due
assi mobili eoa questo piano, che sono il lato di contatto di esso piano
col cono direttore , ed una retta perpendicolare a tal lato tangente
alla circonferenza; ma questa tangente potendo esser duplice, l'au-
tore preferisce la più lontana dal vertice del cono.

Frattanto che la circonferenza mobile genera la superficie anu-
lare , ciascun punto di essa descrive una curva che 1' a. chiama ca-
ratteristica della superficie : questa voce fu la prima volta adope-
rata in un senso alquanto diverso dal cekbre Monge , che trattando

278 Rapporto

della superficie generala ibil movimento di un' altra superficie, chia-
mò caratteristiche della prima le intersecazioni successive della se-
conda , la quale al variare di posizione può altresì variare di forma.

L' a. considera pure la superficie rigata che viensi a generare
dalla tangente della circonferenza mobile in un punto qualunque di
questa , frattanto che il punto del contatto descrive la caratteristica;
ed ancora la superficie rigata che si genera dalla retta in cui si
trova il raggio perpendicolare alla tangente. Le generatrici di que-
ste due superficie rigate essendo perpendicolari 1' una all' altra , ac-
cade talvolta che sieno tali anche i lor piani tangenti ; ed allora le
superficie possono essere utilmente adoperate in alcune arti , come
ad esempio nella Stereotomia.

Tra le superficie rigate che si descrivono dalle tangenti alla
circonferenza generatrice dell'anulare, l'autore considera in modo
speciale quella descritta dalla suramentovala tangente perpendicolare
al lato di contatto del piano della circonferenza col cono direttore,
e tal superficie rigata vien detta delerminatrice dell' anulare, perchè
r a. dimostra che ogni sua retta basta a determinare di posizione e
grandezza una circonferenza dell' anulare. Or questa medesima su-
perficie rigata potendo essere non isviluppabile , sviluppabile con
lato di regresso , e sviluppabile conica , 1' a, considera in tre di-
stinti capitoli le anulari corrispondenti a queste tre specie di super-
ficie rigate determinatrici.

Così , dopo i preliminari contenuti nel primo capitolo , ed at-
tinenti a tutte le anulari a cono direttore ed a rigale determinatrici,
1' a. considera nel secondo capitolo le anulari a cono direttore , ed
a rigata delerminatrice non isviluppabile; nel terzo discorre le anu-
lari a cono direttore , ed a rigala determina Irice sviluppabile con
lato di regresso ; e finalmente nel quarto tratta delle anulari a cono
direttore , ed a rigata delerminatrice sviluppabile conica, — Inoltre
chiama di quinta classe le prime delle nominate anulari , di sesta
classe le seconde , e di settima le ultime ; e ciò perchè in altra sua
Memoria, dove considera le superficie anulari in tutta la loro ge-
neralità , queste superficie sono ripartite in undici estesissime classi.
Ciascuna, classe è poi divisa in gruppi , ciascun gruppo in generi ,

I

Rapporto 279

eiascun genere in ispecte , e ciascuna specie in varietà. Evia pure
le sottovarietà ^ le tribù e le famiglie , avendo l'a. voluto imitare
(come dice sul finire della Memoria) ciò che fassi nelle scienze
naturali.

Per le anulari di quinta classe 1' anzidetta divisione si stabili-
sce dall' a. , dopo aver egli dimostrato che l'espressione generale di
tali anulari si può sempre ridurre a contenere quattro funzioni ar-
bitrarie dello sue tre coordinate. E tra le anulari di quinta classe
incontransi le superficie che Monge chiamò superficie canali, e che
possono essere ad ampiezza costante , o ad ampiezza variabile.

Nel secondo capitolo dove trattasi , come abbiam detto , delle
anulari di quinta classe , l'a. esamina la legge secondo la quale
varia 1' ordinata del punto in cui si tagliano le due rette mobili ,
alle quali è riferita la circonferenza generatrice dell' anulare , allor-
quando la superficie rigala determiuatrice dell' anulare non è svi'
luppabile.

Parimente l'a. esamina fra l'altre cose nel terzo capitolo la
legge che dee seguire nelle sue variazioni la detta ordinata, perchè
la superficie rigata deterrainatrice risulti sviluppabile con lato di re-
gresso. La quale disamina riesce più complicata , perchè la curva
direttrice della superficie sviluppabile determiuatrice non si può as-
sumere ad arbitrio- L' espressione più generale delle anulari di se-
sta classe , considerate in questo terzo capitolo , contiene quattro^
funzioni arbitrarie delle coordinate, e due costanti arbitrarie. E dalla
natura delle quattro funzioni desume l'a. la divisione delle anulari
di delta classe in gruppi , generi , specie e varietà»

Il quarto ed ultimo capitolo della Memoria è come un caso
particolare del terzo, del pari che una superficie sviluppabile co-
nica dee riputarsi uu caso particolare della superficie sviluppabile
con lato di regresso. Quindi, dopo le cose ragionate dall'a. nel terzo
capitolo , gli riesce facile di considerare e discutere nel primo ar-
ticolo del capo quarto le anulari della settima classe ; nel secondo
articolo le caratteristiche di esse ; nel terzo le inviluppate rigate ,
descritte dalle tangenti della circonferenza generatrice dell' anulare ;
e finalmente nel quarto le superficie rigate normali alle dette invi-

Tom. VI. 36.

280 Rapportò

Juppate. E' equazione più generale delle anulari di selllma classe
presenta quattro grandezze arbitrarie , tre delle quali son funzioni
arbitrarie delle coordinate , e la quarta può essere funzione arbitra-
ria o costante arbitraria. E di qui ancora desume l'a. la solita di-
Tisione di tali anulari della, settima- classe in gruppi,, generi, specie
e varietà.

Le ricerche delle quali abbiamo' dato- un estratto, raolto' in

vero succinto , sono a un dipresso del medesimo genere di quello
che ci à lasciate il celebre Moage nella sua Applicazione dell' A-
nalisi alla Geometria.- Le medesime hanno un grande interesse ,
quandO' sceverate dalle specialità inerenti ai singoli esempi, offrono
alcun che di generale , O' almeno di spettante a forme di equazioni
non del tutto particolari ; perocché queste equazioni essendo o po-
tendo essere a differenze parziali, la conoscenza delle superficie da
«sse rappresentate può concorrere efficacemente al perfezionamento di
quella parte di Calcolo integrale che riguarda l' integrazione dell'e-
quazioni a differenze parziali , integrazione che costituisce la mag-
giore e forse la sola diiikoltà che s^ incontra nelle più ardue qui-
stioni di matematiche applicale. Il sig. Rossi, al quale si debbono
tali ricerche, debb' essere meglio che altri a portata di desumere
dalle medesime quell'utile che se ne può attendere; ma in ogni
modo la pubblicazione della sua Memoria potendo esseie dì stimolo
anche ad altri di correre lo stesso aringo, avvisiamo alla utilità
d'inserirla negli Atti dell'Accademia , per estratto almeno se non
pei"' intero, siccome slimerà meglio il Consiglio di Amministrazione
insieme con l'autore, i cui dotti ed. eleganti lavori saranno sempre
di decoro agli atti Fontaniani.

Napoli 14 Settembre 1849.

Fedele Amante

Francesco Pàolo Tacci relatóre.

ATendò la classe approvato che la memoria fosse in-
serita negli Atti, l'Accademia nell'adottarne il parere volle
che si stampasse la suddetta relazione in seguito della me-
moria.

li

^1

4W

UBICI

DEL PRESENTE FASCICOLO

Cenno biografico intorno al capitano ingegnere
geografo Francesco Pergola , di Fedele
Amante pag. Sg

Ricerche analitiche sulle Superficie Anulari a
cono direttore, di Vincenzo Jnt. Rossi. J i53

Prezzo del presente fascicolo

€\7 I, 5o

^.

Hià^^ìi^iÉ^iébSÈiààÉbdbébébÉÈaÉtigiti^tiMtÉ^

L' accademia Ponlauiana pubblica i suoi atti in fascicoli, affinchè
possano sollecitamente conoscersi le memorie a misura che sono ap-
provate.

Ogni fascicolo si pubblica subito che si ha sufficiente materiale e
senza astringersi ad alcun determinato periodo o numero di fogli.

Terminati i fascicoli che debbono comporre un volume, si dà il
frontespizio, la dedica, la storia de' lavori , ed il catalogo degli acca-
demici da premettersi al volume medesimo.

DA' TORCHI DEL TRAMATER

I

Si^p*^ii;T-^:v^T^^f5p^5^4?F^vf^'^y?-v^r^"^t¥^

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Faéf^ìi//.

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A.J?o/,o.

STORIA DELLA TENTREDINE

PRODUTTRICE DELLE GALLE DELLE FOGLIE DEL SALCIO

{Salìx Jìusselliana)

leda alV Accademia nella tornata de' a 6 agosto 1849

DAL SOCIO RESIDENTE

Ne

li on vi à forse regione di Europa, nella quale allignando
il Salcio Russelliano {Salix Russelliana)^ le sue foglie non
vengano alterate da una particolare spezie di galla, occa-
sionata da un insettolino della famiglia delle Tentredini.
Una tal circostanza è ben sufficiente a far preintendere ,
come tali morbose produzioni , al pari del maggior nu-
mero delle altre galle, ignote non siano rimaste a coloro,
che in tempi da noi assai lontani , de' fatti della Natura
si son mostrati vaghi indagatori. Non son mancati in ef-
fetti nel secolo passato , e nell' altro ancor precedente, Na-
turalisti i quali siansi occupati a studiare la genesi di tali
galle del Salcio indicato , e seguire le metamorfosi del-
l'insetto che le occasiona. E ben ci gode l'animo di poter
diie , che primi a portare il loro studio su questo argo-
mento sono stati due illustri italiani del secolo decimoset-

Tom.FI. 37

2 Sa Costa

limo , il Redi ed il Vallisnieri, ai quali poscia è succeduto
nel secolo appresso il Reaumur nella Francia. Il primo di
essi , benché avesse ogni cura impiegata in educarne le
larve, nulladimeno non fu si fortunato da ottenerne l'in-
setto perfetto , che perciò rimasegli ignoto. Il secondo a
ciò pervenne. Il terzo sviluppò più ampiamente la genesi
della galla, ed il progresso delle metamorfosi dell' insetto.
Egli ce ne à lasciata la storia in una memoria, nella quale
discorre delle galle delle piante e degli alberi, e delle pro-
duzioni che loro sono analoghe, e degli insetti che ne oc-
casionano la formazione e l'accrescimento (i). La quale
storia, come tutti i lavori di questo dotto ed accurato os-
servatore , porta r impronta della sua esattezza e scrupolo-
sità nello studiare i fatti della Natura. Nulladimeno, qualche
principio vi è stabilito con certo assolutismo, dal quale sie-
gue ch'egli attribuisce a poca avvedutezza e preveggenza del
Redi il non esser pervenuto ad ottener l' insetto perfetto ;
mentre nel fatto non sta, siccome dalle nostre ricerche risulta.
Innoltre, né i due nostri italiani, né il Reaumur, ci àn la-
sciata una esatta e minuta descrizione dell' insetto perfetto.
Né ciò ci reca alcuna meraviglia, che anzi strano sarebbe
slato pretender l'inverso , i costumi degli insetti avendo
formato il principale scopo di tali osservatori, non già la
loro sistematica classificazione. Non è però a dir lo slesso
del non veder fra più recenti scrittori di tali materie, né
fra gli stessi monografìsti, alcuno il quale di questa Ten-
tredine avesse fallo parola. Per tali ragioni noi stimammo
non vano portar pure le nostre ricerche suU' argomento in
questione , ripetere le altrui sperienze , sia per bandire

(i) Reaumur, Memoires toI. IH, iiiem. IX.

Storia della TenlrecL'ne 283

qualche inesallczza , sia per complelarne la storia eoa la
illustrazione dell' insetto perfetto. Lo studio del quale ci à
presentati tali caratteri , come faremo a suo luogo avver-
tire , da non permetterci di poterlo registrare in alcuno de'
già stabiliti generi.

§. I. Storia della genesi della galla ^ e delle metamorfosi
deU insetto .

In tutte quasi le stagioni dell' anno , osservando la
indicata specie di Salcio vedesi un numero maggiore o
minore delle sue foglie alterate da una sorta di galle , di
figura ovato-allungata , convesse e sporgenti egualraeutc
dall' una e 1' altra pagina della foglia, dal cui piano sem-
bra restassero orizzontalmente ripartite in due eguali metà,
aventi nel massimo sviluppo linee quattro e mezzo nel
diametro maggiore , due o poco più nel minore , quanto
è pure presso a poco l'altezza o grossezza, presentandosi
il loro taglio trasversale quasi circolare. Quale forma e
grandezza però non sono sì costanti , da non trovarne fra
un considerabile numero , di quelle più o men ritondate,
o che toccata la medesima crescenza non offrissero le di-
mensioni indicale , bensì minori , quasi il loro sviluppo
non avesse avuto un regolare processo. Di un verde simile
a quello della pagina superiore della foglia nella prima
loro età, cominciano in seguito a colorirsi d'un bel rosso
scarlatto , il qual colore d' ordinario partendo dal centro
0 parte più convessa dell'una e l'altra metà della galla,
si va quindi successivamente espandendo verso la periferia,
sicché quando sono al lor termine si presentano iutera-
raenle cosi colorile, facendo un contrapposto grazioso col

284- Costa

color verde delle foglie, dalle quali pria non dislinguevansi
punto. In altre il colore scarlatto si limita qua e là, for-
mando delle chiazze irregolari in figura, quasi costanti in
estensione. Non vi à sito della foglia che non ne possa
essere affetto : sviluppansi del pari presso il nervo princi-
pale , presso i margini e nel rimanente del campo. Molte
foglie non ne presentano che una sola per cadauna ; fa-
cile è però incontrarne di quelle, che ne hanno due, tre,
quattro ed anche talvolta cinque o piìi, sia tutte 1' una dal-
l'altra distanti , sia alcune fra loro ravvicinate.

Dissecandosi accuratamente ne' diversi sensi, e ne' di-
versi periodi di sviluppo , vedesi chiaramente risultar tali
galle da' due strati della foglia , i quali si separano , si
divaricano elevandosi ciascuno dal proprio lato a guisa di
ampolla, restando fra loro una cavità, in un modo ana-
logo a quelle che generansi sulle foglie del Fitex agnus
castus , che perciò Reaumur riunì insieme , col nome di
galle varicose. Il qual processo è accompagnato da un tra-
sformamento ancor del tessuto , il quale per T effetto di
un maggiore afQusso di umori nutritivi s'ingrossa, diviene
un parenchima crasso, compatto, poco spugnoso. In fatto
però di trasformamenti di tessuto che àn luogo nella for-
mazion delie galle , queste del Salcio si allontanano me-
no che altre dallo stato fisiologico. Poiché laddove in ta-
lune il tessuto si trasforma immensamente, divenendo fi-
broso e perfino legnoso , come nelle galle delle tintorie ,
in queste scorgesi niente più che una crassezza maggiore
del tessuto stesso della foglia, la cui epidermide continuasi
chiaramente sulla galla. Ed anche quando son presso a
seccare , dalla parte piìi convessa e centrale , ove il tes-
suto è più mutato , andando verso la periferia scorgesi il
graduato passaggio al tessuto normale della foglia.

Storia della Tentredine sSj

ProduUorc , o se cosi dir si voglia , causa di queste
galle è uà iuselloliao a qualtro ali, dell' ordine degli Ime-
iiolleri, famiglia delle Tentredini. Tali insetti appariscono
in primavera , venendo fuora da' bozzoli delle galle del
preceduto autunno , variandone la precisa epoca a norma
de' luoghi più o meno caldi, che ne rendono precoce o ri-
tardato lo sviluppo. Nelle contrade più calde ciò avviene
nel finire del marzo o principiar dell'aprile, secondo l'an-
damento delle stagioni ; nelle altre, come sulla collina de'
Camaldoli prossima alla capitale , ove specialmente abbiam
potuto seguire senza interruzione tali ricerche , accader
suole negli ultimi giorni di aprile o primi di maggio. Com-
piuto il principale scopo, l'accoppiamento, cui la Natura
li chiama in quest' ultimo stadio di lor vita, che à durata
di sol pochi giorni ; la femmina già fecondata attende
alla sua finale deputazione, quella di assicurar la propa-
gazion della specie. Si aggira quindi intorno le foglie del-
l' albero, ove menò sua prima vita, e munita, al pari di tutte
le altre Tentredini, di una trivella composta di quattro lami-
nette , di cui le due medie aguzze e dentellate a guisa di
sega nellinfcrior margine, per mezzo di queste, a tal uopo
dalla Natura concessegli, perfora una parte della spessezza
della foglia, penetra fra i due suoi strati, e vi depone un
uovo. La stessa operazione essa va ripetendo sopra foglie
diverse, e sopra più punti di una medesima foglia , tante
volte per quante sono le uova di cui deve sgravarsi, non
deponendole per gruppi, bensì l'uno isolato dall'altro; e ciò
per efi"etto di quello ammirabile istinto', per lo quale tutti
preveggono i bisogni della nascitura lor prole, come sarà
chiaro da ciò che in appresso diremo. Non appena ciò av-
venuto, per lo stimolo cagionato sulla foglia dalla punzec^

286 Costa

chiatura fattavi con la trivella , e sostenuto dalla presenza
del corpo straniero, l'uovo, un aumento di vegetazione si
stabilisce in quel punto, onde il tessuto diviene più crasso e
tumido, dando origine alla galla. Questa inviluppa d'ogni
parte l'uovo, che vi rimane rinchiuso al di dentro, senza
avvertirsi più traccia o cicalrice della ferita prodotta dall'or-
gano perforatore dell'insello. Sezionata la galla allorché
non à più d'una linea nel maggiore diametro, trovasi tutta
egualmente d'un parenchima compatto verde , che lascia
nel centro una piccolissima cavità, nella quale giace l'uovo,
pressoché sferico , e di colore bianchiccio', onde si fa im-
mantinenti avvertire, spezialmente se facciasi uso di qualche
lente d' ingrandimento. Ripetendo le ricerche medesime a
più innollrato sviluppo, e quando non é ancora mutalo il
primitivo color della galla, rinviensi entro di questa il ver-
micciattolo o larva venuta già fuori, a corpo allungato e
mollicino , meno il capo che è corneo , di un verdiccio
pallido , sul quale soltanto risaltano gli occhi oscuri. Essa
va rosicchiando l' interno parenchima della galla , soppe-
rendo cosi a' bisogni della nutrizione ad un tempo , ed
ingrandendo la cavità che dar deve ricovero al suo corpo
crescente. È poco irritabile , talché aperta la galla e ve-
nuta in aperto a con latto degli agenti esterni, lungi dal tur-
barsi, rimanesi al suo sito, continuando a roder la galla,
prestandosi in tal modo assai bene alle indagini dell' os-
servatore. Allorché é giunta alla sua massima crescenza si
trova aver già consumato tutto l' interno parenchima della
galla, la quale rimane a pareli più o meno sottili e dissec-
cale, sopraltulto nella parte più convessa centrale, e sca-
vata da una maggior cavità , nella quale , aprendola , si
trova da un lato la larva lunga già due linee all' incirca,

Storia della Tentredine 287

di color acqua marina col capo piceo, dall'altra parte il
mucchio degli escremculi da essa deposti durante tutto il
tempo di sua crescenza. E qui dobbiara ricordare ciò che
poco innanzi accennammo, che l'abitudine della madre di
deporre le uova l'uno dall'altro distanti e staccati era una
prova di quello istinto onde per 'mille modi si rendono
tali insetti oggetto della nostra ammirazione. Di fatti , es-
sendo , come abbiara detto , la grandezza della galla tale ,
che tutto il suo interno parenchima è sol sufficiente ad
alimentare una larva ; se la madre più uova in un punto
ponesse, le quali in conseguenza restassero in una galla
stessa rinchiuse , le larve che ne verrebbero a schiudere
non troverebbero sufficiente alimento. Nò la galla prender
potrebbe un volume maggiore , essendo la sua crescenza
proporzionata allo stimolo che l'à occasionata.

La larva pervenuta al suo completo sviluppo, che avve-
nir suole ne' primi giorni di giugno (i), intende a tessersi il
bozzoletto, come è costume degl'insetti di tal famiglia , entro
il quale passar deve il secondo periodo di sua vita, quello di
ninfa. A ciò fare non tutte serbano eguale procedimento. Il
maggior numero in tale epoca perfora le pareti della galla in
un punto qualunque della sua superficie, e più spesso verso
la periferia, l'abbandona, cerca il terreno, ed ivi a poca pro-
fondità si tesse un bozzolo cilindraceo , di color fulvo ros-
signo. Altre al contrario, lungi dallo abbandonare la galla,
vi rimangono dentro , tessendosi ivi medesimo il bozzolo.
Di talché, visitando le galle quando già l'epoca di questa
trasformazione è passata, le più si trovano bucate , e vuote
all' interno, le altre intere e con entro il bozzolo già for-
co Ricordiamo tali epoche riferirsi alle osserTazioni fatte sulla collina de'Canialdoli,

288 Costa

malo. E poiché abbiamo avvertito che la madre non de-
pone più che un uovo per parte , così del pari un solo
bozzolo per galla rattrovasi. Un solo esempio abbiamo os-
servato di galla avente allo interno due bozzoli della or-
dinaria grandezza, adattati obbliquamente l'uno accanto al-
l' altro : lo che non sapremmo se dipeso fosse da uova in-
sieme deposte dalla madre in un medesimo punto, o da
larva che abbandonata la propria galla, per cagione qua-
lunque , fosse andata a cercare alimento in altra già abita-
ta, compiendo ivi ancora la sua trasformazione.

Per meglio seguire lo sviluppo e le abitudini dell'in-
sello, oltre alle dirette osservazioni, noi abbiam voluto ri-
petere le altrui esperienze , educando le larve nel proprio
gabinetto. Raccolte quindi a debito tempo buon numero
di foglie con galle innoltrate nello sviluppo , le abbiam
sottoposte alla nostra non interrotta ispezione, mettendone
altre in un vaso con della terra nel fondo , altre in vaso
di questa mancante. Benché le foglie fossero andate man
mano disseccandosi, le galle tuttavia si son mantenute in
tale stato, da non impedire la crescenza compiuta della larva.
Sicché giunta l'epoca della trasformazione, questa è rego-
larmente seguita. Ed abbiamo per tal modo osservato non
solo che costantemente ci àu di quelle le quali non abban-
donano la galla per trasformarsi, ma ancora che quelle che
vennero fuori nel vaso in cui la terra mancava, tessettero
il bozzolo 0 tra foglia e foglia, o tra foglia e le pareti del
recipiente ; e quelle del vaso con terra altre penetrarono
in questa per trasformarsi , altre rimasero del pari tra le
foglie a tessere il bozzolo. Dalle quali cose potemmo con-
chiudere due falli. Il primo, esser costante il trasformarsi
di alcune larve nell'interno della galla. Su di che rimar-

Storia della Tenlredinc 289

rebbe solo aJ intendere , se fosse ciò dovuto a pura ele-
zione , od a qualche speciale cagione. Potrebbe ad esem-
pio questa riporsi in uno stato morboso della larva per
lo quale le mancasse la forza a perforare le pareti della
galla , senza che però il suo sviluppo venisse meno , da
non convertirsi in insetto perfetto. Il secondo è, che ri-
manendo vera la naturale tendenza delle larve di cercar la
terra per trasformarsi allorché abbandonano le galle, questa
nondimeno non è necessaria per modo , che la sua man-
canza impedisca che la larva tessa altrove il suo bozzolo ;
fatto che noi abbiamo sperimentalo ancora in varie altre
specie di Tentredini , le quali per naturali abitudini per-
fettamente a questa delle galle del Salcio simigliano. Ed
è questo appunto che alle investigazioni del Reaumur do-
vette sfuggire. Dappoiché egli attribuisce alla mancanza di
terra nel fondo del vaso il non aver il Redi ottenuto l'in-
setto perfetto , mentre a ciò pervenne il Vallisnieri che ebbe
tal preveggenza.

Sia qualunque il sito che la larva presceglie a tessere
il suo bozzolo , uno a due giorni impiega a tal lavorio.
Essa vi si rinchiude al di dentro rannicchiata e contralta,
vi giace distesa , col capo incurvato verso il petto e gli
ultimi anelli addominali rivolti in avanti contro i precedenti
per la faccia ventrale. Ed in tal posizione , senza punto
mutar abito o forma , rimane per circa una ventina di
giorni , quando avvicinatasi l' epoca della seconda trasfor-
mazione, depone l'ultima sua spoglia per prender la vera
sembianza di ninfa, dalla quale dopo qualche giorno passa
ad immagine. Se il bozzolo è tessuto allo esterno, l' insetto
perfetto non à che ad attraversar questo , lo che gli è
molto agevole : se è rimasto entro la galla, sbrigatosi dal
Tom. VL 38

2r)o Cosla

primo impaccio , deve perforare le pareli del suo ricetta-
colo , compiendo ciò che non fece allorché era larva.

Sicché negli ultimi giorni di giugno, od al più tardi
ne" primi di luglio, gì' insetti perfetti soa fuori. Questi ri-
petendo le operazioni medesime delle lor madri , danno
origine a nuove galle , le cui larve , tessutosi il bozzolo ,
rimangono entro di esso custodite per tutta la stagione au-
tunnale ed invernale , schiudendo nella primavera dell'an-
no seguente.

§. II. Descrizione dell' insetto né diversi suoi stati.

Larva — Corpo allungato , quasi cìlindraceo , poca
più ristretto posteriormente , composto di quattordici anelli,
il cefalico , i tre toracici , e i dieci addominali ; il primo
corneo, i rimanenti molli.

L' anello cefalico a capo è rilondato, appiattito in a-
vanti e quasi verticale , con una linea impressa archeg-
giata a guisa di ferro di cavallo , con l' arco in sopra e
le branche in sotto terminate agli angoli dell' epistema, che
è limitalo da una simile linea dirilla trasversale impressa,
la quale sembra la corda dell' arco indicato. Il labbro su-
periore è coriaceo , nella base largo pressoché il doppia
che lungo nel mezzo, rilondato negli angoli anteriori. Le
mandibole sono robuste , cornee , ad estremità larga e tron-
cata, con due denti , il superiore de' quali più lungo , e
due angoli sporgenti più sopra di questo. Le mascelle son
piccole poco coriacee, con palpi di cinque articoli, il pri-
mo de' quali maggiore degli altri quattro presi insieme :
questi decrescenti ancora in grandezza , l' ultimo essenda
piccolissimo ed acuminato. Il labbro inferiore è carnoso ,,

Storia della Tentr odine 291

con due piccoli palpi di tre articoli , decrescenti in gran-
dezza, r ultimo consistendo in una minuta punta. Gli oc-
chi , semplici , sono assai piccoli e laterali. Le antenne,
rappresentale da un solo articolo conico-troncato , sono in-
serite in una poco profonda fossetta , posta sopra ad in-
fuori degli angoli basilari dell' epistema.

Gii anelli toracici , quasi eguali fra loro , il primo
essendo solo un poco più corto , anno ciascuno nella fac-
cia dorsale due cordoni trasversali costituiti da pieghe della
cute , ivi più ispessita e quasi callosa.

I primi nove anelli addominali sono simili ed eguali
ai toracici ; il decimo od ultimo à la faccia dorsale poco
convessa , quasi a forma di scudo, posteriormente più an-
gusto e ritoadato , sotto del quale apresi V ano.

I piedi veri, di che van forniti gli anelli toracici, sono
mediocremente robusti, di quattro articoli decrescenti gra-
datamente in grandezza , 1' ultimo de' quali terminato da
unghietla aguzza ma poco inarcata. Il primo anello addo-
minale presenta al disotto due piccoli tubercoli mammelli-
formi ; i sei seguenti , dal secondo cioè al settimo inclu-
sivo, portano ciascuno un pajo di falsi piedi, carnosi, in
parte retrattili , ed armati come all' ordinario di minuti
uncinetti ; 1' ottavo manca d' ogni sorta d' appendici am-
bulatorie ; il decimo à due falsi piedi maggiori, anch'essi
carnosi ma più consistenti , acetaboliformi , coi quali più
fortemente aderisce ai corpi sui quali poggia 0 cammina.
Innoltre, ne' sei anelli forniti di falsi piedi (secondo a set-
timo) vedesi nel mezzo fra i due piedi una rima prodotta
da introflessione de' comuni tegumenti , dalla quale , com-
primendo gli anelli dai lati , vien fuori svolgendosi come
un dito di guanto un organo speciale allungalo, a pareti

292 Costa

membranose , simile a quello di molle altre Tentredini, ed
analogo all' altro che manda fuori dal dorso del primo a-
nello toracico la larva del Papilione Macaone.

Il color della larva nella sua prima età è un verde
Loltiglia assai chiaro tutto uniforme, quasi trasparente , coi
soli occhi oscuri. Nella età adulta prende il color acqua-
marina, senza però perdere la trasparenza quasi cristallina;
il capo con le mandibole si fa piceo , divenendo sempre
più oscuro, e lasciando un poco del primitivo colore presso
la impressione frontale.

La sua lunghezza nel massimo sviluppo è di linee due,
o poco più.

ISinfa — La ninfa ritiene le forme di larva fino a
qualche giorno soltanto pria che debba convertirsi in in-
setto perfetto : giace entro il bozzolo col corpo disteso , il
capo incurvato verso il petto , e la posterior parte dell'ad-
dome inarcata e rivolta contra gli anelli precedenti, ai quali
si adatta per la faccia ventrale. II suo colore è bianco
sporco tendente appena al gialliccio , col capo bruno.

Il bozzolo è cilindraceo, rifondato egualmente ne'due
estremi, leggermente, ed in modo talvolta appena sensibile,
strangolato per traverso nel mezzo; di color fulvo - rossic-
cio. Il tessuto onde vien formato è fitto ed alquanto
grossolano. La sua lunghezza negl' individui meglio svi-
luppati è di circa due linee , una linea scarsa il diametro
della grossezza.

Insetto perfetto — Capo breve trasversale , della lar-
ghezza del torace ; levigato.

Antenne setacee-filiformi , lunghe quanto i due terzi
di tutto il corpo ; composte di dieci articoli : il primo as-
sai breve e più grosso di tutti ; il secondo più corto an-

Storia della Tentredine 2^3

cora del primo e nodiforme ; i riinaneiilL cilindracei e de-
crescenti gradatameule in lunghezza.

Torace quasi egualmente lungo che largo , un pò ri-
stretto anteriormente, superiormente convesso, a superficie
levigata, con due impressioni una da ciascun lato.

Addome un poco più lungo del capo e torace insie-
me , poco dilatato dalla base fino al terzo anteriore , indi
gradatamente ristretto.

Ali proporzionalmente grandi ; le anteriori con una
cellula radiale pressoché ellittica, che raggiunge quasi l' e-
stremità dell' ala ; quattro cellule cubitali, di cui la prima e
terza piccole e quasi quadrate, la seconda quasi rettango-
lare , lunga il doppio che larga, eguale quasi alla prima
e terza unite insieme ; la quarta maggiore di tutte, limi-
tala dal margine dell'ala. La seconda riceve le due ner-
vosità ricorrenti.

Piedi piuttosto lunghi e gracili.

Colori. Corpo interamente nero: piedi giallo -pallidi,
i posteriori con 1' estremità della tibia ed i tarsi oscuri :
le anche di tutti i piedi nere , quelle de' posteriori gial-
licce all'estremità. Parti della bocca di color giallo sporco.
Ali bianche , trasparenti , riflettenti i colori dell' iride ;
con le nervosità brune , e lo sfimraa bruno dal lato ester-
no , pallido dall' interno : squama omerale gialliccia. Due
punti callosi bianchi sul melatorace. Lembo posteriore de'
due ultimi anelli addominali talvolta anche bianchiccio.

Osservazioni. Non riconoscendo questa Tentredine fra
le specie descritte dagli autori , nò potendola registrare fra
noti generi , vediamo la necessità di stabilirne uno nuovo,
al quale imponiamo il nome di Ponlania, per ricordare il
nome dell' illustre Pontauo, chiamando gallicola la specie.

294. Costa

Caratteri del genere.

Antennae setaceo-fitiformes , 10-articulatae.
Aloe anticae cellula radiali unica, cubitalibus qua-
tuor , secunda duos nervos recurrentes recipiente.

Fra i generi noti quello cui maggiormente si ravvi-
cina per le sue affinila naturali, come l'abito del corpo, la
cellula radiale unica , le cubitali al numero di quattro, di
cui la seconda riceve i due nervi ricorrenti, è il genere
Nematus. Le antenne però mentre per la lor forma e lun-
ghezza pur a quelle de' Nemati simigliano , presentano un
importante carattere per lo quale né a quello, ne agli al-
tri vicini può la nostra specie ascriversi. Tutte in effetti
le Tentredini di tali generi anno le antenne composte di
nove soli articoli , mentrecchè nella nostra se ne contano
dieci. Ed è innoltre questo il primo esempio di antenne
di dieci articoli nelle Tentredini : contandosene in tutte le
altre o nove, 0 da undici inclusivo in sopra.

Caratteri della specie.

P. nigra nitida , ore squamula pedibusque pallide
jlavescentibus , tarsis posticis fuscis ; alis hyalinis iridi-
zantibus, nervis fuscis , stigmate Jusco pallidoque. Long.
eorp. lin. i 3/4 •

Storia della Tentredine agj

SPIEGAZIONE DELLA TAVOLA

Fig. I. Una foglia di Salcio eoa varie galle iu diverso
grado di sviluppo, a grandezze naturali.

Fig. 2. La larva ingrandita.

Fig. 3. II capo della stessa veduto di fronte, maggior-
mente ingrandito.

Fig. 4- Gli ultimi due anelli addominali della stessa.

Fig. 5. L'ultimo articolo de' piedi toracici con la propria
unghietta,

Fig. 6. Il bozzolo ; a grandezza naturale a semplici con-
torni , y4 ingrandito per vederne il tessuto.

Fig. 7. La ninfa quale giace entro del bozzolo , assai in-
grandita.

Fig. 8. L' insetto perfetto molto ingrandito : a linea in-
dicante la lunghezza naturale del corpo.

DELL'ERBA BACCARÀ

DEGLI ANTICHI

ietta air accademia nella tornata de' 18 Gennaro tS^z

DAL SOCIO RESIDENTE

Oono già parecchi anni dacché V occasione se ne
offriva di studiare il bel cemento sulle piante mentovate
nelle opere di Virgilio , dato in luce dal professore Fèe
di Strasburgo col nome di Flora Virgiliana (i). Ne av-
veniva allora di sottoporre all' illustre autore talune nostre
osservazioni eh' egli accoglieva con singoiar cortesia. Par-
tivano esse principalmente dalla conoscenza di alcune piante
delle stesse contrade dove quel sommo Poeta dettava quasi
la totalità de' suoi versi , e che da noi più facilmente che
dagli oltramontani scrittori avran potuto studiarsi. Cosi , per
esempio , ne avveniva di far riflettere come non avrebbe
potuto riferirsi alla stessa pianta il Cucumis virgiliano men-
tovato ne' seguenti versi; cioè quello della Georgica ;

.... tortusque per herbam

Crescerei in ventrem Cucumis
Georg, IV. v. 23.

(1) Flore de Virgile , par A. L. A.Fée. collezione de' classici latini del sig. Le-
Paris 1822. (Fa seguito al Virgilio della maire ).

Tom. VL 39

298 Tenore

e 1' altro del Copa

Et pendens junco caeruletis Cucumis
Copa V. 22.
Perocché il Cucumis del primo luogo va ben riferilo al
Cucumis sativus , ossia al nostro Cltriuolo comune , lad-
dove quello dell'altro, dovendosi riferire al Melone ver-
nino , che sospender reggiamo alle nostre finestre , si ap-
partiene di certo al Cucumis Melo.

Queste ed altre simili avvertenze furono da noi allora
date fuora per chiarire alcuni equivoci corsi in quell'eru-
ditissimo libro , né altra occasione se ne offriva dipoi di
occuparci della Flora virgiliana (i). Egli è stato soltanto
negli ozi della passata villeggiatura che per 1' analogia
della dimora togliendo diletto dalla lettura del Trattato
della Villa del nostro Giamba lista della Porta , abbia-
mo trovato poter ritornare su qualche pianta virgiliana.
Ciò avveniva perchè nel capo 4-o-° del libro IX di detta
opera , trattando il Porta della Baccarà di Dioscoride e di
Virgilio , nuovamente richiamava la nostra attenzione su
tal soggetto che di volo toccato avevamo nelle cennate no-
stre osservazioni.

Esordisce il Poeta nel citato luogo dal riferire un verso
di Virgilio nel quale è nominata la Baccarà.

Baccare frontem

Cingile , ne vati noceat mala lingua futuro.
Eclog. VII. V. 27.

Discorre quindi il lodato scrittore le qualità della Bac-
carà , eh' egli trascrive dalle opere di Dioscoride e di Pli-
co Osservazioni sulla Flora Virgiliana. INapoli 1822.

Deir erba Baccarà degli antichi 299

nio, e di quegli slessi autori riporla la descrizione della pian-
ta ; notando specialmente che le radici di essa sono simili
a quelle dell'Elleboro nero, e fornite di odor di cannella.
Parlando infine , de' luoghi dove si trova , accenna di a-
verla veduta crescere copiosamente nelle vicinanze del Ga-
rigliano : ]Sos apud Gariliani Jluvii ponlem, via qua Ro-
mani itur, copiosissime frulicare vidimus. Di questa sua
pianta del Garigliano soggiunse il Porta le altre seguenti
caratteristiche : Erat enim foliis aspeìis vehiti lanuginosis^
subrubenli calde , radice caryophyllalae modo , odorem
halante praestantissimi et suavissimi cinnamomi . Ed ecco
come a tal lettura ne tornasse in mente ciò che scriveva
il Fèe intorno alla Baccarà di Virgilio, adottando egli l'opi-
nione che faceva riferirla alla Digilalis purpurea. Era fa-
cile rammentare allora che né la pianta di Dioscoride, né
quella del Porta riferir si potessero a questa Digitale , si
perchè le radici di essa non hanno neppure la più lontana
somiglianza con quelle dell'Elleboro, ed anche più perchè
le qualità della radice della Baccarà , delle quali il mag-
gior caso bau fatto quegli antichi scrittori, neppur per om-
bra rinvenir si potrebbero in quelle della digitale purpu-
rea. Si veniva dipoi considerando la circostanza di non
vedersi allignare questa pianta né presso il Garigliano né
in verun' altro luogo del nostro regno non solo , ma il do-
versi ritener estranea al suolo di tutta Italia ; perocché
comunque il Seguier ed il Pollini sulla fede del Calceo-
lario la noverassero tra le piante del monte Baldo , ed il
Biroli asserisse di averla raccolta sulle rupi di Cima ìnul-
■lèra nella provincia di Novara, tuttavia il chiarissimo prof.
Bertoloni , poca fede prestando a tali deboli testimonianze,
e non avendo potuto procacciarsele da verun luogo d' I-

So« Tenore

lalia, non La esitato ad escluderla dalla sua Flora ù'a"
liana. Del resto quaado anche ammetter si volessero i due
succennati habitat della digitale purpurea , non sarebbe
meno strano il supporre che Virgilio avesse messo in bocca
ai pastori della meriggia Italia una pianta che cercar do-
vessero sulle vette del Monte Balda , o sulle rupi di Cima
Multerà 1

Dippiù convien riflettere che Virgilio nell' associare la
sua Baccarà all' Edera ha dimostrato apertamente non do-
versi ritenere qual piauta da intesserne corone collo scopo
di onorarne i poeti , cui veniva destinala l' Edera , ma
bensì quello di preservarne da i maligni influssi del fa-
scino ; che perciò bastava soltanto cingerne la fronte, im-
piegandovi piccoli tralci o anche poche foglie infdzate a
foggia di amuleti. Egli usa perciò la voce ornare per l'Er
dera . e quella di cingite per la Baccarà.

Eccone gl'interi versi:

T. Pastores Hedera crescentem ornate poetam ,
Arcades , invidia rumpantur ut ilia Codro ;
Aut , si ultra placitum laudarit , Baccare frontem
Cingite , ne vati noceat mala lingua futuro.
Ecl. /. e.

Rinunziando dunque all'idea che la Baccarà di Vir'
gilio riferir si possa alla Digitalis purpurea , di che lo
stesso sig. Fée in altro luogo ha in diffinitivo conosciuta
r incoerenza ; il pensiero tosto ne sorge di voler conoscere
a quale altra pianta potesse la suddetta Baccarà riferirsi ;
che perciò in primo luogo ci siamo avvisati dover ricer-
care se una sola pianta , e sempre la stessa fosse la Bàc--
cara degli antichi ; ovvero se , sotto tal nome , avessero

Dell'erba Baccarà degli antichi 3oi

eglino comprese piante diverse. Noi ne abbiamo trovalo
bentosto la dicbiarazione consultando il Pinax di Gaspare
Bauhin , meritamente decorato della epigrafe di opus qua-
draginta annoriim.

In questo aureo libro se ne veggono registrate le quat-
tro seguenti specie.

Specie i." AsARUM BACCHARIS, sive Baccatus Lob. Adv.

ic. Pinax p. 197.
Specie 2.' AsTER atticus Pinax p. 266.

2. Aster atticus foliis circa florem mollibus
BACCHARIS , vel Carpesium alpinum Column.

Specie 3." Aster atticus. Pin. ibid,

3. Aster luteus, radice odora, Baccbaris vera
Dioscoridis. Baccharis vel ro.vx*?is Lob. Advers.

241>-

Specie ^.^ CoNYZA Pinax pag. 265.

6. Conyza major vulgaris. Baub. Matlb.
Lobel. Tabernam. B4CCharis monspeliensium
Gesner. Hort. ( excl. Lob. Adv. p. 24-5 ).

Nelle classificazioni scientificbe adottate da tutt' i bo-
tanici , la prima di queste quattro Baccharis è attribuita
all' Àsarum europaeum ; la seconda al Carpesium cer-
ìiuum ; la terza all' Inula odora , la quarta alla Conyza
squarrosa.

In quanto alla prima specie il sig. Fée rimprovera
gli espositori di Teofrasto e di Dioscoride per aver con-
fuso r Asaro colla Baccarà , e quindi fermasi a fare il
coufronlo delle descrizioni delle due piante. Noi frattanto
faremo avvertire ch'egli avrebbe ragione di chiamare gros-^

3o2 Tenore

solano errore il ritenere quella Baccarà identica all'Asaro,
qnante volle realmente riferir si volesse 1' Asaro alla Bac-
carà di Dioscoride ; ma qui non si tratta punto di questa
specie di Baccarà , ma bensì di altra specie diversa : di
talché se egli si avesse dato la pena di riscontrarne le al-
tre specie avrebbe veduto che essendo quattro diverse piante
quelle che presso gli antichi portavano il nome di Bac-
charis (i), una di esse avrebbe potuto essere \Asarum eu-
ropaeum senza essere punto la Baccarà di Dioscoride. Al-
cune qualità comuni alle due piante han potuto far cre-
dere agli antichi che anche la pianta di Dioscoride potesse
ritenersi per l'Asaro. È cosa risaputa che nella totale de-
ficienza delle norme scientifiche, più di ogni altro l'at-
tenzione degli antichi botanici si aggirava intorno alle
qualità delle piante , che a quei tempi formava quasi l' u-
nico oggetto dello studio botanico. Dioscoride parlando
della Baccarà avea detto che le sue radici somigliano a
quelle del Veratro , ossia Elleboro nero , ed hanno un grato
odore aromatico. Le radici dell'Asaro hanno le slesse pre-
cise qualità , e perciò diveniva facile il confonderle insie-
me. Chi si volesse spingere più oltre iu tale disamina leg-
ger potrebbe il lungo cemento che appone il Mattioli alla
Baccarà di Dioscoride. Tutto ciò eh' egli ne dice ne con-
ferma la classificazione fattane ritenendola per l' Inula o-
dora. Questa è l'erba che per l'aromatico odore delle sue
radici era nota agi' italiani col nome d' Incensarla , ed è
pianta della nostra Flora, Nel linguaggio popolare volen-
tieri il nome dell' una avrà potuto passare all'altra pianta.
Virgilio additando l' Asaro ai pastori sotto tal nome avrà

Co INoa accade rammentare che Lia- genere della Syngenesia clie non contiene
lieo lia trasportato questo nome su di un alcuna delle Baccarà degli antichi.

DeW erba Baccarà degli antichi 3o3

poluto benissimo ignorare che Teofraslo e Dioscoride lo
slesso nome imposto aveano ad una pianta diversa dall'A-
saro. Anche Dell' odierno splendore della scienza delle piante
e' imbattiamo ad ogni passo in nomi popolari identici im-
posti a piante diverse ; come per l'opposito la stessa pianta
spesso troviamo con vari nomi indicata in diversi paesi
dello stesso Slato , ed anche della stessa provincia. In forza
di queste considerazioni siam d" avviso che la Baccarà di
Virgilio riferir debbasi all' Asarum europaeum , mentre
quella di Dioscoride appartener debba aW'Tnula odora ; salvo
a meglio definirne il color de' fiori , siccome sarà detto
pili appresso.

Intorno a tali ambiguità appositamente ragionando il
nostro insigne Fabio Colonna , si avvisava poter produrre
una sua congettura in forza della quale una terza Baccarà
troviamo registrala nel Pinace che andrebbe riferita al Car-
pesium cernuum.

Illustra il Colonna questa pianta nella sua Ecphrasis
(i. p. 25i) sotto il nome di Jster altera species anBac-
charis? e molto opportunamente si duole egli della diver-
genza delle opinioni che scorgeva regnare intorno alla Bac-
carà K Nemo recentiorum est (egli dice) qui veram Bac-
charim se invenisse non censeat , neminem quidem adirne
veram habuisse certioris judicii esse credimus ». Pas-
sando dipoi ad esaminare i caratteri della sua pianta e
fermandosi specialmente , come di ragione , sulle qualità
delle radici di essa , le trova corrispondere a quelle che
Dioscoride assegna alla sua Baccarà. Il Carpesio , altra
pianta della nostra Flora , ha radici perenni simili a quelle
dell'Elleboro nero, e di grato odore aromatico, e perciò
non a torlo il Colonna riconoscer vi poteva le più note-

3o4. Tenore

voli qualità della delta Baccarà ; egli però , I' acutissimo
Lincèo , non seppe dissimularsi la divergenza del testo di
Dioscoride in quanto al colore de' fiori , i quali son gialli
nel Carpesio , e non ex purpura albicantes come diconsi
quelli della suespressa Baccarà : benvero molto accorta-
mente ne avverte egli che tal colore non conviene ad al-
cuna delle piante proposte per la Baccarà di Dioscoride ,
» quod et caeieris ab aliis descriptis plantis etiam vitto
» est. j Noi, come il promettemmo testé, non mancheremo
di rilornare su tal quistione del color de' fiori , frattanto
diremo dell' ultima delle quattro Baccare del Pinace , cioè
di quella del Mattioli e di Montpellier.

A questa Baccarà, riferita alla Conyza sqiiarrosa, si
appartiene benanco la Conyza major vulgaris del Bauhin
e di altri. Essa perciò è ben diversa dall' altra Conyza
major genuina di Teofrasto e dello stesso Dioscoride, che
va riferita all' Inula viscosa. Or di quella prima Conyza
major vulgaris , cioè della Conyza squarrosa., non si può
leggere senza la maggiore sorpresa come alcuni antichi ab-
biano potuto sostenere esser dessa la Baccarà di Dioscoride,
e come copiandosi 1' un T altro ne abbiano sempre ripro-
dotta la stessa figura meritamente condannata dal Colonna.
Questa Conyza major vulgaris del Mattioli , non di Teo-
frasto e Dioscoride , ha le radici fittonat^ ramose annuali o
tutt' al più bienni, fatue affatto e scevre di qualunque me-
nomo odore aromatico e soave ; che perciò , comunque i
suoi fiorellini tuttoché gialli di sopra fossero alquanto tinti
di rossigno al di sotto, giammai per tale più che lontana
somiglianza col colore che Dioscoride assegna ai fiori della
sua Baccarà , si direbbe esser dessa la Conyza squarrosa.
Tra gli antichi, che lo haa pensato, più di tutti ne sembra

De ir erba Baccarà degli ani le hi 3oì>

iTicìncar di logica il Lobel ( adv. p. 24-3 ) , talché si sa-
rebbe Icnlalo di chiedergli a qual' altra pianta avesse egli
rivolto il pensiero quando la sua dottrina fa servire a de-
scrivere la radice di lai sua pretesa Baccarà ; Badix^ egli
dice , summo cespite sparsa , dijfusis Jibris caryophijlla-
tae modo, cujiis odorem praestantissiimim halat, vel cin-
namomi, e più appresso soggiunge chiamarsi perciò quelle
radice da Ateneo riav^apis , e non già Bj'i'.j^jtpis propter exi-
miam fragrantiae gratiam cinnamomcae radicis , ex qua
cum mullis aliis iinguen conjiciebant.

Fortunatamente la Cunyza squarrosa è pianta corau-
iiissima che nasce finanche sulle mura e lungo le siepi de'
nostri colli ; ognuno potrà perciò osservarne le radici , e
convincersi del grosso svarione di Lobel , del Mattioli e di
quanti altri avran potuto ritenerla per la Baccarà del Dio-
scoride.

Dietro tali considerazioni ricade opportunamente il no-
stro discorso sulla Baccarà di Giambatista della Porta , la
quale non sarebbe alcuna delle quattro Baccare in discor-
so ; ma bensì futt' altra pianta da essa diversa, comunque
affine all'ultima testé mentovata. Essa sarebbe, cioè, la
Conyza major vera di Teofrasto e di Dioscoride, che va
riferita sXV Inula viscosa. Questa pianta che partecipa no-
tabilmente dell' odor balsamico aromatico ricercalo nella
Baccarà avrà potuto fissar l' attenzione del nostro insigne
fìsiografo per averla veduta crescere comunissiraa nelle cam-
pagne che costeggiano il Gnrigliano e che si stendono fino
al mare. Di vcrun altra delle piante di cui abbiamo im-
preso a trattare avrebbe egli potuto dire quam copiosissime
fridicare vidimus. La sola Inula viscosa cresce iu grande
abbondanza in tutte le maremme del regno. Essa sola si
Tom.VI. 4-0

3 OD Tenore

spande in ampi cespugli perenni non solo , ma con cep-
paje legnose da doversi ritenere per suffrutici, anziché per
erbe. Osservandola alla sfuggila il Porta avrà potuto con-
fonderla colla Baccarà di Dioscoride e con quella di Vir-
gilio , intorno alle quali tante confuse idee si ventilavano
a suoi tempi.

Poche parole aggiungeremo intorno all' equivoco co-
lore attribuito da Dioscoride ai fiori della sua Baccarà ;
pel qual colore presumer potrebbesi sconvenire dall' Inula
odora , cui vuoisi dai botanici attribuire.

Nel testo greco Dioscoride dice aver la sua Baccarà
ayfiri Is. £,«irop«jup* ùkoIìxìv.!/. , che gli espositori han tradotto in
Jlores ex purpura albicantes. I fiori dell' Inula odora
presi nel loro preciso senso sono di color giallo , e tali
sono ancora quelli del Carpesio , della Conyza squarrosa ,
e dell" Inula viscosa ; il solo Asaro gli ha di color livido
nerastro , senza la menoma traccia di bianco. Ninna di
queste quattro piante sarebbe in tal caso la Baccarà di
Dioscoride, come opportunamente lo avvertiva il Colonna.
Non pare d' altronde che per fai difetto ricorrer si potesse
alla digitalis jmrpurea , solo perchè si pretende che ai
fiori di essa convenir potrebbe il colore che Dioscoride as-
segna ai fiori della sua Baccarà. Noi frattanto non credia-
mo estraneo alla quislione il fermarci brevemente a me-
glio chiarire le parole del testo dianzi riferite: «y6ri 3; aa-
i:of^y^:>. CTToXtuxx , cioè Jlores cx purpura albicantes.

Noi osserveremo che qui non si tratta punto di due
tinte distinte che spiccano, ciascuna isolatamente nello stes-
so campo del fiore , il porporino cioè ed il bianco , come
precisamente si scorge ne' fiori della digitalis purpurea ;
ma bensì di due tinte stemprate insieme per comporre un

Dell' erba Baccarà degli aniichi 807

color terzo che partecipa di entrambe ; ciò ne sembrano
suonare le parole ex purpura albicantes che Dell'italiano
ben potremo rendere per porporino pallido , porporino
sìnorlo , porporino sbiancato , ed in parafrasi , che dal
porporino volgono al bianco. Ai fiori della digitale pur-
purea neppur convengono tali caratteristiche quando anche
chiuder si volessero gli occhi al ripetuto difetto di tutte
le qualità che Dioscoride assegna alla sua Baccarà. Noi
senza prescindere assolutamente dalla incertezza in cui ne
sono rimasi gli autori intorno al preciso colore de' fiori
della Baccarà di Dioscoride , avvisiamo poterne produrre
la seguente congettura.

Ritenendo come cosa notissima che Dioscoride nel
descrivere le virtù delle piante , poca attenzione abbia
portala su quelle parti che ne sono prive : ritenendo in
pari tempo che in nessun luogo siasi egli fermato a de-
scrivere minutamente le complicate parti de' fiori della fa-
miglia delle composilae , avvisiamo aver egli inteso par-
lare non de' precisi fiorellini che formano i fiori composti
dell' /rtw/a odora, ma bensì de' capolini che loro succedono,
e che si compongono di minutissimi semi coronati di piu-
moso pappo , che nel loro insieme raostransi tinti di color
rossastro , che dal più forte presso l' attacco de' semi va
ad impallidirsi in cima , ex purpura albicantes ! Tali in
effetti noi li osserviamo nelle diverse specie di Inule , e
singolarmente nell' Imda viscosa , che il della Porta con-
fondeva perciò coir Inula odora e quindi colla Baccarà di
Dioscoride : tali li scorgiamo benanco in diverse specie di
Erigeron , di Gnaphalium, ed in altre simili composilae.

Lasciando ai filologi il più accurato esame intorno al
vero senso delle parole testé riferite, ci limitiamo a rani-

3oS Tenore

nientare quanta sia la povertà e 1' iucerlezza de' lessici ài
liitle le lingue nell' esprimere le svariale tinte de' naturali
prodotti j che spesso facciamo servire di tipo e di confronto
tra loro. Diciamo , per esempio , Haematoxylum ossia le-
gno di sangue e cosi chiamiamo il legno Campeccio dal
suo specioso grado di rosso , come dal color dell' oro ap-
pelliamo i fiori del crisantemo^ e cosi per innumerevoli al-
tri esempi. Crediamo perciò non dover essere troppo scru-
polosi neir ammettere che gli antichi trovandosi nello stesso
imbarazzo abbiano potuto alle volte poco esattamente de-
finire il colore di alcuni fiori.

Dietro tali considerazioni non esileremo a ritenere nel
seguente modo diffinite le diverse Baccare degli antichi

I. Baccarà di Dioscoride = Inula odora L. (i)

(1) Di un'altra Baccarà di Dioscoride fa menzione il sig. Fraas nella sua
Synopsis planiarum Florae classicae (Miinclien 1843) col disseppellire l'opinione
del Rauwolf già rifiutata dai botanici non meno che dagli scrittori tutti che hanno
illustrato le piante degli antichi. Viaggiando il Rauwolf nella Siria sul declinare
del secolo decimosesto vi raccoglieva una specie di Gnaphalium pel quale per la
sola caratteristica de' calici tinti di color rosso si avvisava poter riconoscere la
Baccarà di Dioscoride (Rauwolf. Itin. pag.58o, tab. 283 — Laningen 1383) Poco
più tardi Giovanni Bauhin (Hist. 3, p. 163) , e Dalecham (Hist. app. p- 33) si li-
mitavano a registrare nelle loro compilazioni la Baccarà del Rauwolf, ritenendola
diversa dalla Baccarà del Dioscoride. Niente di più preciso seppero dirne Barre-
lieri , Pluknet , e lo stesso Linneo , che nel suo Specie) planiarum descrisse la
pianta del Rauwolf col nome di Gnaphalium sanguineum. È da notarsi che sin
d' allora sì poca fede prestavasi all' opinione del Rauwolf , che nella prima delle
due centurie di piante descritte dal Pr. Jusleu , ed inserite nel tomo i." delle
Amoenitates AcaJemicae dello stesso Liimeo , troviamo al num. 78 riferito il Gna-
phalium sanguineum , col sinonimo di Baccharis Dioscoridia Rauwolfi , ed imme-
diatamente appresso sotto il num. 79 un altra Baccharis Dioscoridis che lo stesso
autore delle due centurie descrive come specie propria e vi riferisce il sinonima
Conyza major altera pin. 263 del Bauhin.

Ecco ciò che ora ne scrive il Fraas.

Gnapìialiwn s.iNoviNEVài Lin.

I

DeW erba Baccarà degli antichi 3 09

2. Baccarà di Virgilio = Asarutn europacum L.

3. » di Colonna = Carpesium cernuum L.
4-. » di Mattioli = Conyza squarrosa L.
5. » di G.B. della Porta=Inula viscosa L.

B«Kx»(!.! Dioscor. 3. 31. Plin. 21. 6. 19. Virgil. eclog. 4. 19, e 7. 2". Bac-
charis Baccar.

Segue la nota qui appresso che traduciamo dal tedesco.

■» Io noa conosco questa pianta ; la riporto qui per seguire l'autorità ; e per
» Baccarà di Dioscoride riterrei piuttosto l' Echium rubrum se vi corrispondesse
» l'aroma e la radice. — I fiori rossi, talvolta bianchi ed anche celesti, nonché
» la ruvidezza delle foglie , ed il fusto dritto ci calzano assai bene. Frattanto
» Dioscoride ritiene la sua pianta più prossima alla Lycopsis !

Dopo tante ambiguità , noi ci asterremo volentieri di farne altre parole , e
rimanderemo coloro che ne avessero vaghezza a raccogliere dalle cose riferite in
questa nostra scrittura le prove delle assurdità cui si andrebbe incontro, se si vo-
lesse adottare X opinione del Rauwolf. Diremo soltanto che lo stesso Gnaphaliwn
sanguineum è pianta tanto poco nota che il Decaiidolle non ne ha potuto fissare
con certezza il genere, e si è astenuto dal sottoporla ad ogni critico esame. Noi
abbiamo vtduto di sopra quanto leggermente ne abbia trattato lo stesso Pr. Fraas;
che perciò poco ragionevole ne sembra l'avventato collocamento ch'egli ha fatto
delle piante di Dioscoride Plinio e Virgilio sotto la sepolta Baccarà del Rauwolf.

3ii
RAPPORTO ALL'ACCADEMIA

DELLA MEMORIA
DEL SOCIO CAV. MICnELE TENOBE

INTORNO

ALL'ERBA BACCARÀ DEGLI ANTICHI

Tra i progressi meravigliosi , che le scienze fanuo
ogni giorno, quelli spettanti all'Archeologia non sono mea
degli altri importanti. Dappoiché ricercando il sapere ed
i fatti degli antichi, nuove verità si scuoprono , e si sod-
disfa al desiderio o necessità naturale dell' uomo di voler
conoscere l'essere e la dottrina degli antenati per qualun-
que rispetto.

A questo studio sull'antichità appartengono ancora le
ricerche dei holanici sulle piante nominate ed adoperate
dagli antichi ; e l'interpretazione della natura di certi ve-
getahili che più non esistono , e di cui gli avanzi e le
impressioni si trovano nella terra. Rispetto alle piante di
cui i libri antichi parlano , a quelle indicate da Virgilio
si è rivolto il maggior numero dei dotti. La celebrità del
poeta, l'aver egli fatto sulla coltivazione il miglior poema
didascalico che mai fosse; e l'essersi nelle altre sue poesie
servito dei fiori a ritrarre casi umani ed immagini pere-
grine richiamano coulinuamenlc la loro attenzione.

Il nostro illustre botanico Cav. Tenore versato in si
fatto genere di sludi, nel pubblicare che fece molti anni
sono alcune osservazioni sulla flora virgiliana, avendo toc-

3 1 2 Rapporto

calo leggerrnenle della baccarà proposta dal sommo poela
per allontanare il fascino , vi ritorna adesso con una lunga
disseriazione, facendo vedere qnal fosse veramente la bac-
carà di Virgilio , e gli errori in cui gli espositori sono
caduti su tale proposilo. Nola in primo luogo non poter
essere la digitale porporina, siccome alcuni hanno credulo,
allegando due irrefragabili ragioni , la mancanza di qua-
lunque odore sensibile in tal pianta, mentre la baccarà
deve avere le radici aromatiche, ed il non essersi ancora
trovata in ninna parte d'Italia. Combalte poi l'opinione di
GioT. Battista della Porla, il quale pretendeva aver veduta
la baccarà di Virgilio presso le sponde del Garigliano ,
assegnandole un fusto ramoso rossastro , foglie scabrose
quasi lanuginose e la radice fornita di soave odore di cin-
namomo. Da tutto ciò desume il Tenore doversi tal pianta
riferire ?^\ Inula viscosa dei moderni botanici. Viene fi-
nalmente a dimostrare che la baccarà del Lobelio è \ A-
sarum eiiropaeiim dei moderni , quella del Dioscoride è
V Inula odora ^ l'altra di Fabio Colonna il Carpesium cer-
mmm , e come la baccaris monspeliensium del Gesnero
- sia la Conyza squarrosa ; dichiarando diffusamente che
ninna di queste tre ultime {Inula odora, Carpesium cer-
nuuin, Conyza squarrosa) si debba riferire alla vera bac-
carà virgiliana , quantunque la pianta di Dioscoride vi a-
vesse maggiori rapporti, massime per la qualità aromatica
della radice. Crede adunque il nostro chiarissimo botanico
che la baccarà di Virgilio sia YAsarurn europaeum, secondo
l'opinione di Lobelio seguitala dal maggior numero dei
comenlalori sulle piante virgiliane.

Le poche ragioni allegate a noi non sembrano ancora
sufficienti per attenerci indubitalamente alla stessa opinione.

Rapporto 3 1 3

Dappoiché considerando che la baccarà essendo in voga
contro al fascino , naturalmente dovea essere pianta co-
mune in Italia nota al popolo, ed il poeta invita i pastori
arcadi a cingerne la fronte al fanciullo , non pare fosso
questo appunto il caso dell'asaro, pianta montana piutto-
sto rara, di luoghi ombrosi ed umidi. Plinio poi distingue
la baccarà dall' asaro tanto pei caratteri esterni , quanto
per le proprietà medicinali con tal precisione da non la-
sciare il menomo dubbio sulla loro diversità. « Asaruni
» herba , egli dice , folla habens similia hederae , rofun-
» diora lamen et raolliora , florem purpureura , radiceni
» gallici nardi, semeu acinosum, saporis calidi et vinosi a.
I quali caratteri si riscontrano esattamente ncU' asaro dei
moderni , tranne il colore dei fiori eh' è livido fosco con
leggera sfumatura di porpora, non già affatto porporino.
E rispetto alle proprietà medicinali da lui assegnale a tal
pianta, esse sono precisamente quelle che i medici di o"ni
tempo vi hanno riconosciute. E della baccarà pone : a Bac-
T) car quoque radicis tantum odoratae est , a quibusdam
» nardum rusticum appellatum. Unguenta ex ea radice
3) fieri solita Aristophanes priscae coraoediae poeta testis
)) est. Odor est ei cinnamomo proximus. Gracili solo nec
» humido provenit. Simillimum ei combretum appellatur,
)) foliorum exilitale usque in fila attenuata , et procerius
» quara baccar. Nec haec sunt tantum, sed eorum quoque
» error corrigendus est , qui baccar rusticum nardum ap-
j pellavere. Est enim alia herba sic cognominata , quam
» Graeci Asaron vocant ». Si fattamente adunque il cele-
bre naturalista antico era convinto della gran differenza
tra le due piante che rimprovera coloro che anche a suoi
tempi le confondevano. E dappoiché la sua baccarà rasso-
miglia egli al combreto colle foglie filiformi , essa non
Tom.VI. 4i

3 I i Rapporto

può essere né anche l' Inula odora credula la baccarà di
Dioscoride , non ostante il colore dei fiori in tal pianta
fosse intieramente giallo non già porporino con sfumatura
di bianco, siccome quella di Dioscoride.

Se Plinio adunque conosceva veramente la baccarà ,
essa sulle sue parole deve avere la radice odorosa quasi
di cinnamomo, le foglie strette , e nascere in terreno ma-
gro leggiero ; non sarebbe per ciò nessuna delle tante a-
vanti menzionate. Né sapremmo dire con certezza in quale
pianta italiana comune questi tre caratteri si riscontrano.
Solo nella valeriana officinale ci par di scorgere tutte e le
molte proprietà medicinali assegnate da Plinio alla sua
baccarà; ed inoltre le radici aromatiche, le foglie strette.
Essa è comune pei monti , i luoghi bassi , ed anche nei
boschi ; viene in terreno leggiero , fosse anche asciutto ,
ma ama in generale piuttosto quello alquanto umido.

Per si fatte considerazioni la commissione non vede
nell'asaro indubitatamente la baccarà di Virgilio. Ma scorge
nelle ricerche fatte dal Tenore molto lavoro ed il solito suo
accorgimento in somiglianti studi. Per aver egli escluse con
molto giudizio tante piante riferite alla baccarà, la quistiouc
è divenuta più semplice, e la via agevole a poter raggiun-
gere appresso sicuramente lo scopo. Per queste ragioni , rite-
nendo però ancora come semplice opinione, che la baccarà
di Virgilio corrisponda all'asaro dei moderni ; la commissio-
ne crede che il lavoro dell'illustre nostro espositore meriti
sia noto ai dotti e pubblicato negli atti dell'Accademia.

Na|)oli 28 marzo i852.

Giovanni Gussone

Guglielmo Gasparrini relatore.

Avendo la Classe approvalo il parere de' Commissarii, l'Accademia nell'adot-
tarne il giudizio ha deciso che la precedente relazione s' inserisse negli alli dopo
la memoria del cav. Tenore.

UN'ALTRA BACCARÀ!

ALLA MEMORIA SULL'ERBA BACCARÀ DEGLI ANTICHI

DEL SOCIO RESIDENTE

©av. illicljele VLenoxe

letta all' Accademia nella tornata
de' 25 luglio 1852

Ne

lei ricevere il graditissimo dono del 3.» fascicolo
del 6.0 volume dei nostri Atti , al seguito della mia me-
moria testé citata, con piacevole sorpresa, io trovava in-
serito il rapporto de' commissari incaricati dell' esame di
essa. Allora mi era facile il raccoglierne che quei miei
degnissimi colleghi da me dissentivano nella classificazione
della Baccarà di Virgilio , che io , adottando l' opinione
del maggior numero de' botanici che si sono applicati ad
illustrare le piante virgiliane, riferiva all'Asaro. Eglino

)( 316 )(

però, non saprei dire per quale fortunata circostanza, in-
vece d' istituirne il confronto colla Baccarà di Virgilio
venivano a descrivere le particolarità che differir fanno
l'Asaro dalla Baccarà di Plinio. Confessar deggio di essere
stata quella l'occasione di farmi pensare alla Baccarà Pli-
niana , cui nelle ricerche fatte scrivendo la cennata memo-
ria non avea posto mente.

Lo Sprengel che nella sua Historia rei herbariae non
ha mancato d' illustrare , e classificare scientificamente le
piante della Flora Pliniana, ne passa sotto silenzio la co-
stui Baccarà (1). La mia sorpresa cresceva allorché nello
stesso rapporto trovava consegnate le seguenti parole : « Se
» Plinio adunque conosceva veramente la Baccarà, essa,
» sulle sue parole , deve avere la radice odorosa quasi di
» cinnamomo , le foglie strette , e nascere in terreno ma-
» grò leggiero , non sarebbe perciò nessuna delle tante
» avanti menzionate. »

Dopo tale categorica manifestazione , si appalesava
chiara la nessuna applicazione che avrebbe potuto farsi
della dimostrata diversità tra l' Asaro e la Baccarà di Pli-
nio , all' altra presunta diversità tra lo stesso Asaro e la
Baccarà di Virgilio , che dagli stessi commissari veniva
riconosciuta affatto diversa dalla Baccarà Pliniana. Or men-

(1) Trovasi egli é vero citato Plinio al seguito di Dioscoride presso diversi
autori che la costui Baccharis ritengono per io Gnaphalium sanguineum; ma op-
portunamente il Billerbeck avverte esser questa pianta affatto inodora {nicht odo-
ratissimum), laddove alla baccarà degli antichi si attribuiva una radice così soprac-
carica di principi aromatici che veniva adoperata a preparare un olio odorosis-
simo! (Flora classica pag. 215).

)( 317 )(

tre per tale ineluttabile argomento per nulla infermata ne
rimaneva la ripetuta classificazione della Baccarà di Virgilio,
mi allietava il pensiero di vederne crescere in pari tempo
la serie delle Baccare degli antichi ; talché al seguito delle
cinque specie che ne aveva io illustrate, una sesta veniva
a prender posto, e questa n'era rappresentata dalla Bac-
carà dell'insigne naturalista veronese.

Applicandomi a profittare delle ricerche fattevi da'
nostri chiarissimi colleghi , le altre seguenti parole ne leg-
geva io nello stesso loro applauditissimo rapporto. « Né
» sapremo dire con certezza in quale pianta italiana co-
» mune questi tre caratteri si riscontrano ( radice odorosa
» quasi di cinnamomo , foglie strette, nascere in terreno
)> magro leggiero ). Solo nella Valeriana officinale ci par
» di scorgere tutte e le molte proprietà medicinali asse-
» gnate da Plinio alla sua Baccarà , ed inoltre le radici
» aromatiche, e le foglie strette ».

Rispettando sempre l' opinione emessa dai miei colle-
ghi , dissimular non saprei le difficoltà che s' incontrano
nel volerla adottare. Senza parlare dell'odor proprio delle
radici della valeriana officinale , certamente tutt' altro che
l' odor gratissimo della cannella , di maggior peso trove-
remo la discrepanza manifesta ne' caratteri della pianta.
Noi la leggeremo compendiata nelle altre seguenti parole
del testo Pliniano riferite (alla Baccarà) nel rapporto « Si-
« minimum ei Combretum appellatur , foliorum exilitate
» usque in fila attenuata et procerius guani Baccarà ».
Il combreto di Plinio , compreso dagli antichi |tra le specie
di giunco , dallo Sprengel vien riferito alla Lusula ma-
xima ; comunque pe' fiori non solitari, ma raccolti in ca-

)( 318 )(

polini ovati , giusta la figura del Tabernamontano (l) ci-
tata dal Bauhin (2) sotto il cennato combreto di Plinio ,
meglio andasse riferito alla Luzula strida.

In ambedue i casi trattasi sempre di piante con pic-
cole foglie lineari intatte acute , mentre nella Valeriana
officinale le foglie sono composte pinnate^ o pinnatisectae
come le dicono i moderni , con molte coppie di foglioline
o lacinie bislunghe e dentate; dippiù Plinio aggiunge al
paragone la qualità dell'altezza del suo Combretum dicen-
dolo procerius , cioè più alto di esso nella sua Baccarà.
La Valeriana officinale è alta quattro a sei piedi , ed il
Combreto dovrebbe essere alto anche dippiù. Frattanto la
Luzula strida si alza appena 6 a 10 pollici e la stessa
Luzula maxima non aggiunge i 18 pollici. Come mai
Plinio avrebbe potuto chiamare simillimae due piante tanto
tra loro diverse!

Fortunatamente , senza uscire dallo stesso genere Va-
leriana , facendo tesoro delle ricerche additatene dagl' illu-
stri soci , altra specie potremo proporne che soddisfa a
tutte le condizioni richieste dalla Baccarà di Plinio : e que-
sta si è la Valeriana saliunca , specie affine alla Vale-
riana celtica , che già alla Baccarà di Plinio veniva da
qualche antico scrittore riferita. Erano queste piante rite-
nute quali specie di nardi, e perciò piante eminentemente
aromatiche e medicinali. Sotto la quarta specie di essi

(1) Gramen lucidum ; Icones planlaruni etc. Francoforti ad Moenum 1590
fig. 206.

(2) Gramen hirsutuni capite globoso. Combretum Plinii Ang. Nerba Luziola
vulgo Caes. Gramen lucidum Tab. Gasp-Bauhini Pinax Theatri botanici. Basìleae
1671 pag. 7.

)( 319 )(

Nardi, noi la troviamo nello stesso Pinace del Bauhin ,
registrata con i seguenti titoli:

Nardus ex Apulia. Saliunca NeapolUana ; Dale-
chanjp. Historia universalis plantarum. tom. 1. p. 982.
Phu minus apulum. Nardus ex Apulia Tabern. fìg. 870.

Questa graziosa piantina nasce negli appennini di tutta
Italia , e particolarmente nel nostro Regno : al Vettore , al
Gargano, alla Majella, al Monte Corno; ne' quali luoghi
r Orsini , il Mauri , il Cav. Gussone ed io ne abbiamo fatta
copiosa raccolta. Le radici della Valeriana saliunca han-
no grato odore aromatico , le sue foglie sono strette lan-
ciolate aguzze , e tutta la pianta non si alza più di 4
pollici. Se vorremo darci la pena di paragonare tra loro
le citate antiche figure e le descrizioni del Combreto e
della Saliunca , ci troveremo la precisa somiglianza av-
vertita da Plinio , e dippiù trovandola registrata tra i Nardi
faremo plauso a quel principe de' naturalisti perchè, a mal-
grado di tanta somiglianza , condannava coloro che a-
vrebbero voluto confondere la sua Baccarà con i nardi
anzidetti : Eorum quoque errar corrigendus est , qui Bac-
car rusticum narduni appellavere. Sono parole del testo
inserite benanco nel surriferito rapporto.

Questa specie di Valeriana , comunque tanto celebrata
dagli antichi , ne rimaneva trasandata nelle scientifiche
botaniche classificazioni^ senza escluderne quella dello stesso
Species plantarum del Linneo. L' Allioni la descriveva
nel 1785 nella sua Flora pedemontana (1) colla nota =
Fortissimus odor quem Valeriana saliunca undequaque

(1) tom. I, p. 3. n. 9. lab. 70 Qg. 1.

)( 320 )(

diffundit , maximas omnino vires spondei. Eccovi le
molte proprietà assegnate da Plinio alla sua Baccarà (1).
Il Vahl , botanico danese la pubblicava nella sua Enume-
ratio plantarum f'1805) (2) , e successivamente ha figu-
rato nelle relazioni de' miei viaggi in Abruzzo (3), e nella
stessa Flora Napolitana (4).

Così illustrata , la Baccarà di Plinio , come il dissi
testé , verrà degnamente a prender posto tra le diverse
Baccare degli antichi , e sarà la sesta di quelle che mi
è sembrato poterne classificare.

VI. Baccarà di Plinio.

Valeriana Saliunca Vahl, e FI. nap. 1. e.
Non tralascerò di ripetere in questa occasione ciò che
dissi in quella mia memoria intorno al criterio che sem-
bra aver guidato gli antichi nelle ricerche della Baccarà :
Aver eglino considerato in primo luogo le qualità attri-
buite alla radice della Baccarà ; come il vedemmo nelle
Baccare di Dioscoride e di Virgilio , così lo troviamo
confermato in questa di Plinio. Così in questa come nelle
altre analoghe investigazioni , fermandosi leggermente sui
caratteri scientifici delle piante , con maggiore studio ne an-
davano essi raccogliendo gli usi empirici. La Baccarà
essendo decantata pel forte aromatico odore delle sue ra-

(1) Rapporto cit.

(2) 2. p. 5.

(3) p. 42.

(4) 3. p. 31.

)( 321 )(

dici , onde per gli usi medicinali non solo , ma anche per
farne unguenti da istrioni veniva adoperata , egli è in
questo solo carattere che le predicate Baccare di Virgilio ,
di Dioscoride e di Plinio, e per esse le piante che pro-
poniamo sorrogarvi 1' asaro , l' inula odora e la valeriana
saliunca troviamo convenire perfettamente.

a',mm'iSfeSj'.-»A»*i.*j!

^'

DEL PRESENTE FASCICOLO

Storia della Tentredine, produttrice delle galle
delle foglie del salcio, di Acbille Costa, pag. 281

Con una tavola in rame.

Dell' erba Baccarà degli antichi , del Cav. Mi-
chele Tenore 9 297

Prezzo del presente fascicolo ev 0, 4o

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DELL'AGGADENIA PONT ANI AN A

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FASCICOLO IV DEL VOLUME VI

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ii¥?Lr§0

L'accademia Pontauiana pubblica i suoi alti in fascicoli, alljiiclic
possano soltecituincnlu conoscersi iu inetuurie a iiiisuni che sono ap-
provate.

Ogni fascicolo si [lubblica subito che si lia sulfitMcnle miitcriale e
senza astringersi uil alcun detenuinalo periuiL) >> numero <ii fiit;li.

Terminati i fascicoli the debbono coiu porre un volu ne, si dà il
frontespizio, la dedica, e lu storia de"la\oii iitcìdem. ci d ( premet-
tersi al volume mcilesiino.

1) -V T O U e li 1 i» E L T I'. \ M V 1 K K

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SUL MODO

DI RIDURRE GL' INTEGRALI

DELL'EQUAZIONI LINEARI DI PRIM' ORDINE A DIFFERENZE MISTB
- IN SEMPLICI INTEGRALI DEFINITI

letta air accademia nella tornala de' 22 /agosto 18S2

DAL SOCIO RESIDENTE

11 Calcolo delle differenze miste , ovvero quel ramo
di Analisi Sublime, che versa sull'integrazione dell'equa-
zioni, le quali contengono e variazioni finite e coefficienti
difierenziali di una funzione di più variabili , è trovato del
Condorcet, come abbiamo dalla Storia delle Matematiche;
e dal suo Saggio suW applicazione dell' Analisi alla pro-
babilità delle decisioni rilevasi qual uso mirabile abbia
saputo farne questo chiaro Geometra. Due altri Geometri
Francesi, suoi contemporanei ed ancor più valorosi di lui,
dir voglio Laplace e Poisson , in seguito allargarono di
mollo i confini di questa teorica , come è dato vedere
negli Alti dell'Accademia di Parigi e nel Giornale della
Scuola Politecnica. Ma è al nostro chiarissimo Italiano
Pietro Paoli, che si debbo la lode di averla complclanienle
discorsa e sviluppala nel terzo de' suoi Opuscoli Blalema-
Torn.Fl. 43

324- del Grosso

liei , lavoro veramente originale del suo ingegno. II pro-
cedimento seguito da questo rinomato Analista riducesi a
cercare primamente un integrai particolare della proposta
equazione , e di poi a generalizzarlo sostituendo funzioni
arbitrarie ad espressioni particolari , e mostrare che in
questa guisa modificato ancor soddisfaccia alla equazio-
ne proposta. Questa maniera d' integrazione , eomechè
sia stata immaginata dall' immortale Lagrangia, pure non
può negarsi che sia indiretla e particolare : onde se è
vero che crescesi pregio e perfezione ad ogni qualunque
scienza , allorché le sue verità per via diretta e generale
si dimostrano, forza è concludere , che riuscendosi ad in-
tegrare cotesto genere di equazione con metodo diretto e
generale né il tempo né l'opera si getta via. Oltre di ciò
è da notare che in tutte le integrazioni , che il nostro
egregio Italiano imprende ad eseguire , si suppone che
la variabile per differenze finite sia discontinua , e non
capace di prendere altri valori , se non quelli de' numeri
interi e positivi. Quindi, anche per questa altra ragione,
il problema è sempre risoluto particolarmente , e lascia
in chi legge un desiderio di più generale soluzione , sì
che si estenda anche al caso , nel quale sia continua la
variabile che riceve finiti incrementi.

La Memoria , che sommetto al sapiente giudizio di
questa illustre Accademia , tende a ripianare cotesti due
vuoti, che si ravvisano nella teorica dell' integrazione del-
l' equazioni a differenze miste dataci dal Paoli , e che
sono di non piccol rihevo. In questo lavoro io ho preso
a ridurre la determinazione di siffatto genere d'integrali
a quella di semplici integrali defluiti dipendenti da una
novella variabile. Si comprende di leggieri che con questo

Sul modo dì ridune gì' integrali , ec. 325

procedimento nulla si particolarizza circa l'indole della va-
riabile, che nella proposta equazione cangia per differenza
finita; e perciò l'integrale, che si ottiene, vale sì quando
ella è discontinua , come quando è continua. Inoltre il
metodo è diretto , e propriamente quello stesso metodo
che si adopera nella ricerca degl' integrali definiti, E se
non sempre è dato di far disparire da quest' integrali la
novella variabile, e di ridurli a funzioni delle sole varia-
bili contenute nell' equazione proposta, ma solo quando le
variabili, che prendono incrementi finiti, sono discontinue,
come dianzi abbiamo notato , cotesto per certo non toglie
pregio al metodo, come tutti gli Analisti convengono. Sic-
come però troppo esleso è questo campo, mi son limitato
in questa Memoria a considerare le sole equazioni a diffe-
renze miste e lineari del prim' ordine, riserbandomi in altro
apposito lavoro di trattar dell' equazioni a differenze miste
degli ordini superiori.

326 del Grosso

§. I.-

Equazioni a differenze miste e lineari del prim' ordine
fra due variabili indipendenti.

La forma più generale di quest' equazione si è

rappresentando À, B , C date funzioni delle due variabili
X, y. Supponiamo primieramente C=o, ed A, B funzioni
della sola variabile y, sì cbe abbiasi

ax+,=^y «x + -By -^ (2);

e sia

Sx ^ i flaj* d<a (3)

r integrale di questa equazione, rappresentando con « una
nuova variabile indipendente , con n una incognita fun-
zione di y ed <i5 , e finalmente con »'_, ce" limiti indipen-
denti da y,x. Cangiando x in x-\-\ nella (3), si avrà

2^4,=: V Ocs;-'+' don y

e differenziando la medesima equazione rispetto ad y ot-
terremo

dz^ ('"dO.
-7- = 1 -r— ai' ai».
dy Jj dy

Ciò posto , la (2) si traduce in

0=1 ftjVaj I ( a; — /4f )Ci—Bj — - \ ,

Sul modo di' ridurre gV ùìtegrali , ec. 327
equazione alla quale si soddisfa ponendo

Integrando questa equazione a differenze parziali, e com-
pletando r integrale con una funzione arbitraria della nuova
variabile «, si avrà

I Z.du

Cìz=F{oi>y »r f
e quindi sostituendo nella (3) verrà pel cercalo integrale

^11

)/ «y 'a^-dai (4).

Questo integrale si riduce ad una funzione delle sole va-
riabili X, y, come r integrazione rispetto ad « si sarà ese-
guita fra i limiti 43=®', a==s)", ed è un integrale completo
poiché contiene anche dopo questa integrazione una fun-
zione arbitraria 0 delia sola t/ 0 di g eà X.
Poniamo per brevità

e sostituendo nella (4) , e cacciando fuori del segno / il
fattore indipendente da a-, verrà

Supponendo, come accade per l'ordinario, che la \ari'.-
bile X debba essere un numero intero >o , si ha per le
note regole di differenziazione

3 28 del Grosso

e però sostituendo nella precedente equazione Terrà

Ma si sa che si può sempre soddisfare alla equazione

e che in questo caso si ha (*)

d" ffw) d" .J u,i f{as,u)dai /"'' d" .f{a>,u)

du" dw /ni du!^

In conseguenza sarà

supponendo che Y ed J' siano funzioni determinate per
r equazioni (5), e che ■i{Y') sia il valore dell' integrale de-
finito

/."

I e'^^ F{a>)da>.
J 0,1

Quando C non è zero, ma sibhene una data funzione
di y, se seguiteremo a supporre che tali pur siano A, B^
la (i) riducesi a

«.+,=^^Sx + Sr-|^+C> (7),

ed il valore di z^, che soddisfa a questa equazione , può
farsi dipendere da quello, che soddisfa alla (2), nel modo
seguente. Supponiamo

z. = z\ + Mj ,
(*) V. Coarnof, traile élém. de la Ibéor. des fanclions elctom.II chap.XI.

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 829
e sia M-f una incognita funzione della variabile y : è chiaro

che sarà

Sostiluendo nella (7) , avremo

z'.^,+M, = A, [z'. + M, )^B, {^-^^ + ^^+C,.

A cagione di My funzione indeferrainata diy, questa equa-
zione si può scindere nelle altre due

Ora ponendo mente all' equazioni (15) , sarà facile persua-
dersi che r integrale della prima di quest' equazione si è

Jl/j =— É^-^(e ^-^ Cj d¥',

supponendo =0 la costante arbitraria, come qui dobbiamo
fare , poiché ci bisogna un valore particolare di M^. ; ed il
Yalore di zi è quello sfesso che dà per ;s^ la equazione (6).
In conseguenza l' integrale completo della (7) sarà

Applichiamo questo procedimento di calcolo a qualche
caso particolare. Supponiamo primieramente die y^, B, C
siano quantità coslaiili , e sarà

/■■'-•\

{dl'Y = B-' dy^ .

33 0 del Grosso

Sostituendo questi valori nella (8) si avrà

dy
Quando C= o, si olliene

Zx^ D^ e -, ,

dy

integrale identico a quello ottenuto dal Paoli per mezzo di
considerazioni tutte diverse (*).

Sia di bel nuovo C=o, ed yi, B funzioni della sola x
senza y , si che la (i) diventi

..+. = ^... + ^.^ (9).

Rappresentando con €1 una incognita funzione di x ed a,
si ponga esser l'integrale della proposta equazione

Sj: = 1 Cìx e'T dai ;

e risultando in questa ipotesi

Sx+. =1 i^j-+i e'T dee , -— - =r \ Cìx cce'^y dv ,
^o,/ dy )^i

sostituendosi nella (9) si avrà evidentemente

0= r'f'T dx |a.+. — {j.. + <cB^ )i^x I .

Si soddisfa a questa equazione supponendo

£1,^, — ( ^^ -f a-B. )n^ = o (io).
(*) V. il Iir opuscolo di questo celebre Analisla Italiano , §. \.

Sui modo di ridurre gi' integrali , ec. S3i
Ora se si pone per brevità

yf^ = 5x <7x , n,—(B)=B, .B,.B,.... B,.. ,

l'integrale della (io) sarà

ax=. n,— (^.)5/-i/,(o o:'-'F{x).

Sostituendo questo valore nel supposto integrale della (9),
troveremo

Ma questo integrale si può semplificare ancora di più. Di
fatti si ha

onde per quello che si è detto antecedentemente sarà

r' F(x^}e'y ,v^-' dcc= i" ^"' F{<.)d^= ^^^^ ,
?^ y. dy-' dy—

fi quindi il valore di z^ sarà dato dalla equazione

Per applicare questa formola ad un caso particolare
supponiamo che si debba sommare la serie infinita

.t(x4-i) x[x-\-i]{x-{-i)
-='--f'^+ ^— >J ri 2/H («a)-

Ponendo x-f i in luogo di x in questa equazione , verrà
Tom. FI. M

332 del Grosso

e differenziandola rispetto ad y

— =—x+x{x+i)i/ y-+ . . .

Di qui risulta evidentemente

i dz. ... (:r+i)(a;+2) ,

- ^ -dy ='-(-+0y+ r- =^.+. ; ■

onde l'equazione a differenze miste, che bisogna integrare
per ottener la somma della serie (12), sarà

I t/Zx

X dy

Paragonando questa equazione con la (9) si ha

y^x =: o , Bm = ; e quindi c^ = 0 , S,''-'JIJx^''=:i

n--(5,)=

n*)

rappresentando con r la funzione Euleriana di seconda spe-
cie. Jn conseguenza sostituendo nella (11) si avrà

r^x) dy''

risultando ?=o.

Per fare un' altra applicazione delle formole prece-
denti suppongo che si abbia a risolvere il seguente proble-
ma. Un solido {S) è iagliato da una serie di piani paral-
leli ed equidistanti. Nella comune intersezione (C) di uno
di quesli piani colla superficie del proposto solido si pren-
da a piacimento un puuto (J/) , e per esso si meni la nor-
male (/V) a (C) , e si faccia passare un piano iP) per-
pendicolare a quello della curva suddetla. Sia {€,') la co-
mune sezione di (f) colla superficie di i^S) , e {li) la corda

Sui modo di' ridurre gV inlegrali , ec. 333

clie sottende 1' arco di (C) compreso fra il piano di (C)
ed il piano parallelo seguente. Or si suppone cha la nor-
male (/V) e la corda {K) fanno angoli eguali coli i comune
intersezione de' piani delle curve (C) e (C'), e si domanda
l'equazione della superfìcie, da cui è terminato il solido (.S').
Siano due piani rispettivamente paralleli a quelli delle
curve (C) , {€') i piani delle coordinale rettangole (,y,s),
(ar, z) : è chiaro che la comune intersezione di questi due
piani coordinati, ovvero lasse delle s, riuscirà parallela
alla comune sezione de' piani delle curve (C) , {€') , ed
il problema proposto si riduce a trovare 1' equazione della
superficie del solido , supponendo che (iV) e {K) facciano
angoli eguali coli' asse delle s. Posto ciò, se la distanza de'
dae piani paralleli consecutivi, che tagliano il solido, si
pone =1 , la cotangente dell'angolo che (A^) fa coU'asse

delle z è evidentemente-^—^ — ^=3^^, — s^. La cotangente

dell' angolo che (/V) fa col medesimo asse è — "^ 5 onàe
per le condizioni del problema proposto sarà

1' equazione a differenze miste della superficie di {S). Pa-
ragonando questa equazione colla (9) si trova J, = ì ^
B^=—i , e per conseguenza

z. = \ (i — oùY e""yF(<»)rf'a).

Sviluppando in serie (i — od)' , si ottiene

.. = Ce^rFH d.-x C"^F{c.)d.+ ^^ilHi i^" ^ F^.)d.
7» %• dy ^ ' ' 1.2 J.i dy-

534- del Grosso

e più semplicemente ancora

*" Y\y; ^^ ''* 1.2 di/'
supponendo secondo il solilo

Risulta quindi dalla trovala espressione di z, che il pro-
blema proposto è indeterminato , quando non è data la
forma della curva (C).

Se per un caso particolare si suppone essere

s. = Jy- + % + C

r equazione della curva (C) nel caso di x=o , la espres-
sione di z, cangia in

Da questa equazione si deduce

(hj ■' dy- dy^

onde per un qualunque valore di x avremo

z=A[y-xy-\-B{y—x)—Ax-\-C ;

e questa sarà 1' equazione in termini finiti della superficie,
da cui è terminato il solido {S).

Se G non è zero , ma invece è funzione della sola x^
come sono A, B ^ \q.{\)^ che in questa ipotesi diventa

dy

s'integrerà nel modo seguente. Poslo

i. = 5'. -f- A'x ,

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 335

rappresentando TV, una funzione incognita della sola va-
riabile X , sarà

Sostituendo nella proposta equazione avremo

c quindi a cagione di JS^ funzione indeterminala

Ora r integrale della prima di quest' equazioni si è, come
ognuno sa ,

''-''' -^^'^^ WiZ^^

rappresentando 2 il segno d'integrazione relativo alle dif-
ferenze finite ; e l' integrale dell' altro è dato dalla equa-
zione (li). Laonde quando ,A, B, C sono date funzioni della
sola variabile x , il completo integrale della (i) sarà

t. =. n.x-(^, ):s ^f^^^ ^ +n.^-(g. )s,^-AuoÈrAip (,5).
Poniamo per es. che sia data ad integrare l'equazione

e sarà

Cx a;5 x' X

nTT^ ~ T ~ T "'" T •
In conseguenza l'integrale della prima delle (i 4) sarà

5 z s

336 del Crosto

o più semplicemente

x(x—i)(ix—i)

Per ciò che riguarda l'integrale dell'altra osserveremo che
essendo ^= i , B=x , sarà

nf-'(Bi)S,'—M^i')cù'-'={a>+i){2x+i)(dóo-\-i) .... ((x— i)4)+i)
Ma sappiamo , che essendo in generale

ic-H ^7— dlB= — ^1 c-?-\- —\c-$ 131 dl3 ,

se questa integrazione si esegue fra i limiti (S=o, /3= oc,
a cagione di /s' c~^=q , si ha

/•oo , /•co

I e-P /37-' fl!'/3= — \ c-P |3? r//3

o più semplicemente

e quindi

r(7)=-r(5r+i).

^(y+2)=^^^^y+3)

r(?+A-,)=-^^^-^r(?+A).

In conseguenza sarà

r(7+A)=7(?+t)(?+2) • • • . (7+*-')r(y).

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. SSy

Ponendo q=- , fi=x , questa equazione si cangia in

■li+'hi[^+-]lv+"] {i^'-'VVi\

e quindi dividendo per 1 f ( - ) verrà

Finalmente moltiplicando questa equazione per a'^"', sarà
II/- {B, ) S-- MJO X"- = \ — - — ^ ,

'I-I

e però l'integrale completo della proposta sarà

^•^ /., n

e più semplicemente ancora

x(x — i)(2ar — i) , ( [a? J d' . e-J

2.3 3 ,'-''' ' '^''^

Cerchiamo da ultimo il metodo da seguire m'Ha inte-
grazione della (i), quando i coefficienti J, B, C sono fun-
zioni di entrambe le variabili x,y. A tal fine rappresen-
tino u^, v^ due funzioni arbitrarie di cotcslc variabili, e posto

Zx = Vx Vx ,

sarà evidentemente

dzx (fvx , r/rr

..+.=.,+. r.+., —=vx-^+Vx—.

338 del Grosso

QuesU valori sostituiti nella (j) danno

. „ r dt>x , dvx 1

«/i.+, r^+, S= AUx Vj: -^BXVf —r- -\-U^ -— \J^C (i 6) ;

onde a cagione delle funzioni arbitrarie m^, y^, , potrà que^
sta equazione scindersi nelle altre due

0:=AUì: 4- B — — 1

La prima di quest' equazioni essendo equazione a differeii-?
ziali parziali , avrà per integrai completo

»/, « F{x)e '' ^

Se non che bastando conoscere un valore particolare di b^,
per avere con tutta la generalità quello di z, , poiché il
valore di v^ deve contenere necessariamente una funzione
arbitraria , noi scriveremo più semplicemente

e quindi sarà

t/,j., = e

Sostilticnc^o questi valori nella seconda dell' equazioni (17)
troveremo

JV+, =I?/''^ . ^ + C/^+' (18) ,
c/y '

ponetulo per bre\ilà aF,4..=F^^. — Y ,. Questa equazione
darà r^, e cosi il problema sarà completamente risoluto.

L'equazione ^18) non ancora si è potuta integrare
joella sua generalità. Vi sono non per tanto alcuni casi ,

Sui modo di ridurre gì' integrali , ec. 3Sg

nei quali se ne può ollenere l' integrale ia termini finiti,
e sarà utile occuparcene in questo luogo. Sia primieramente

Be e=i ,
e la (i8) diventerà

dvx . „ r,j.,

Poniamo adesso

dr '

e risultando in questa ipotesi

_ d-+' fì,+. dv^ __ d'+' n^

rfy'+' * dy dy'+'

avremo

d'+-n.+,_d'+-iì. r^, .

dy^+' " dy'-^' ^

ovvero , posto

sarà pili semplicemente

d-+^^x^. „ r,, ,

Integrando questa equazione rispetto alla differenziale dy ,
si avrà

i2kx n, = 5 Ce ^ dy^ ;

ed in seguito integrando rispetto alla differenza finita, verrà

ove si aggiugne la funzioae arbitraria F{y) , perchè 1" in-
Tom. FI. 45

54-0 de! Grosso

tegrale finito si prende rispetto ad x nella ipotesi di ^'co-
stante. Di qui poi risulta

dy^ dy: dy^

ed il cercalo valore di z^ sarà

dy^ dy:

La supposizione di ^e'^^=i importa che tra i coeffi-
cienti /4 , B della proposta equazione (i) esista una certa
relazione. Per porla in evidenza , risolveremo logaritmica-
mente l'equazione Bb'^^''=iy e verrà

AF. + logB=o ;

e poscia ponendo in luogo di àY^ il suo valore , sarà

Finalmente differenziando rispetto ad ^ , e liberando dai
fratti r equazione risultante , avremo

^x+. 5. _ J. B.+ , + B. + . —^' =0. (20)

Dunque tutte le volte che i coefficienti /4, B della proposta
equazione (i) soddisfanno alla (20) , l' integrale di quella e-
quazione sarà dato dalla (19).

Supponiamo per un caso particolare che voglia som-
marsi la serie infinita

Pojieudo x-Y I in luogo di x in questa serie , verrà

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 54i
e conseguentemente
Ma differenziando la proposta serie rispetto ad g si ottiene

'dif~^+'i "^ (a;+2)= + (a;+3)~ "^ '

onde verrà

Essendo adunque il secondo membro di questa equazione
identico con quello della (22), sarà

e quindi bisognerà integrare l' equazione a differenze miste

per ottenere la somma della serie (21).

Paragonando questa equazione colla ( i ) troveremo
A^ = \^ B^ = i^ C=— e^' ; e però risultando ^^+, s= 1 ,

in

•5^+, =1 , -^=0 , sarà soddisfatta l'equazione di condi-
zione (20). Inoltre essendo

sarà evidentemente

Ce» =— ej(^+') ,

e l'equazione (19) diventerà

3<Ì2 del Grosso

Ora si ha per le note regole di Calcolo Integrale

) y (a;+i)'+. '

onde risullerà

2, ('+■ e('+0jfl'3,^+'=:Sx

Non potendosi ott^ere in termini finiti il valore di questo
integrale , sarà la funzione cercata

(n?» F(y\ ' oT' . S. fx+ !)-('+ 0<.(x+0 yj

•Il = e-1 , — ; — ; i .

f dy- d^f- ì

Ritornando alla equazione ( i8) supponiamo in secondo
luogo che sia

Ce^^+' =.M = co3lanle.

Posto v^=v\\M , avremo
Sostituendo nella (i8) troveremo ,

dy

©Yveramenle

dy

i;'x+> = Ax

ponendo per maggiore semplicità Ki=Be'"^'^ . Poniamo suc-
cessivamente in questa equazione

X:=0 , 1,2,3

e verrà

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 343

Se dunque faremo

si avrà evidentenienfe
e finalmente

dy ' ' df

onde il cercato valore di v, sarà

dy"-'

Che se iS", risulta funzione di una sola delle variabili x,y,
il valore di v\ si potrà più semplicemenle ottenere per
mezzo degl' integrali definiti , come si è fatto valere pre-
cedetileraente. Anzi quando K^ è funzione della sola x ,
risultando

dK,

il valore di v^ sarà

V. = JfJ + K,K,K^ .... j_, tUlià

A fine di applicare questa teorica ad un caso parti-
colare , supponiamo che debbasi integrare 1' equazione

Essendo in questa ipolesi ^=± , B=y , C^2e^ , sarà

Sii ^^^ Grosso

y ' y

}B " Jf y

e conseguentemente

^=Ce '"^' = 26 •*■ e '' =2 ; K'^ =: Be '^ =ye ^ ;

e però il valore di v'^ dipenderà dalla integrazione dell'e-
quazione

Paragonando questa equazione con la (2) si ha

^y = 0 , By=ye y ,

e quindi sarà

onde sostituendo questi valori nella (6) troveremo

„ --A^ 4Ffr
4^'fl' '"

Trovato questo valore di v\ , si avrà quello di v^ dalla
equazione

4r?M'

Sul modo dì ridurre gV integrali , ec. 345

Ma abbiamo dello dover essere z^ =s «^ r^ , ed in questa
ipotesi risulta

In conseguenza sarà

§. II.°

Equazioni a differenza miste lineari del prini' ordine ,
e fra tre o più variabili indipendenti.

L' equazioni a differenze miste lineari del prim' ordine
fra tre variabili indipendenti x^y^u non possono ridursi
che ad una delle seguenti forme

-+■ = ^^ + ^1 + ^1+^

rappresentando «^, 5, (7, 25 dale funzioni delle tre varia-
bili suddette. Supponiamo primieramente che voglia inte-
grarsi la prima di quest'equazioni, ed in essa sia Z)=o,
ed Ay B, C funzioni di y, u senza a;, per modo che ab-
biasi

34-6 del Grosso

Se si suppone che l' integrale di questa equazione sia

/■a,"

2= I Cìtxi^ da> (3) ,

e che n rappresenti una incognita funzione di y , « , s> ^

sarà

e-'' ^ , </3 (-"diì , dz {"'•da ,

^ y^i dy JJ dy du ) o,' du

Riducendo a zero 1' equazione (2) , e sostituendovi questi
valori , troveremo

nella quale si soddisfa supponendo

f/fi ^ dn
o=(./-^-a+i?^^^ +c-,

ovvcrarnente supponendo
Quindi se si fa

log a=w ,

Y equazione a differenziali parziali , che dovrà esser sod-
disfatta per la soluzione del proposto problema , sarà

o=J-.+ B-+C-^ (4).

Ora si sa , che ponendo

BdlF^{pi>—A)dy='

=0 j

(5).
Bdu — Cdy

e rappresentando per W-T, F gl'integrali di queste due

equazioni , si ha

//'=7'+!og.if(<7, 05) ,

poiché quest' integrali si prendono supponendo « costante.

Sul modo di ridurre ffP integrali, ec. 347
Io conseguenza sarà

Sostituendo questo valore di a nella equazione (3), si avrà
pel cercato valore di z

z=C'y(U,a>)e^<K'da3 (6).

Supponiamo per un caso particolare y^, 5, C funzioni
della sola variabile j/ : è chiaro che gì' integrali delle (5)
saranno in questa ipotesi

^-« ^j + ^i dy=fF-^r'+¥
Sarà dunque in questo caso

£ì=e -''+-''' F{u—y", a>) ,

e la (6) diventerà

z = e-'' r| f(u—r" ,0^)6"^ a)' da>.

Se si suppone che la variabile x debba essere un numero
intero >o , sarà , come dianzi abbiamo osservato

— — • = e"^ (55' :
dV'

onde sostituendo nel trovato integrale verrà

ed anche più semplicemente

C""
^ d.' y aF(u—Y", «ìe^f . da»

aase-J' e. i — __ i

di''

Tom. FI. 46

54-8 dei Grosso

purché però nell' eseguire le differenziazioni rispetto ad Y'
si consideri u — Y" come costante. Adunque essendo

C F{u--Y",a>)e-''da:=.i,[u~-Y",Y'),

sarà il cercato valore di z definito per 1' equazione

purché neir eseguire le differenziazioni sì riguardi u — Y"
come quantità costante.

Quando ^, B, C sono quantità costanti , si ha evi-
dentemente

Y=:±l, Y'=l^, F"=-^. JP=i?Wy.

Ponendo questi valori nella (7) verrà

~ ^ fi. «'^ • MB"-C!/, y)

a=e o' ,

dy'

cfVvertendo sempre che le differenziazioni si debbono ese-
guire supponendo Bu — Cy come quantità costante. A que-
sto medesimo risultamento é pervenuto il Paoli per mezzo
di considerazioni tutte diverse dalle nostre, come può ve-
dersi nel citalo suo Opuscolo (*).

Con un ragionamento tutto simile al precedente tro-
veremo che r integrale completo dell' equazione del prim'
ordine

■^dz . „dz , „dz , ,„.

..^.=^.+iJ-+^_-|-P--f (8)

tra un numero qualunque di variabili .r, y, «, y, si

avrà per la equazione

(*) V. il ^. 25.

Sul modo dì ridurre gF integrali , ec. 84.9

s= i"' F{V, r, .... a>)e a,* d<x> (9)

purché A^ B^ Cy D .... siano funzioni di ^/j «j f, .... sen-
za a: , e se , posto

si suppone che IF" — 7" , U ., F , . . , . siano gì' integrali
dell' equazioni differenziali simultanee

BdlF—{a>—jl )dy=o
Bdu — Cdy =0
Bdv — Dftj =0

Quindi se per una particolare ipolesi supponiamo che A ,
B ^ C, Z) , . . . . siano funzioni della sola y, sarà

rt".-?.f"—r", »—)■'" F')

dì"

ciò che diventa la (g) , purché le differenziazioni si ese-
guiscano supponendo coslanti u — Y'\ v^Y'",

Che se invece supponiamo che ^, B, C, D, sono

quantità costanti , verrà

^r

~ X _ d' . ^(nrt—Ct/, Bv—Dy, ... ,y)

Zsae D" . , .

dy-

Cerchiamo adesso l' integrale della (2), supponendo

che /^, B, C siano funzioni della sola variabile x. Poniamo

a tal fine

/■dii'
a = I fi, eC"+SrV da: ,

e sia la quantità ^ una coslanle arbitraria , ed si una
funzione arbitraria di co ed x. Ponendo x-\-\ in luogo di
X in questa equazione , avremo

3^0 del Grosso

/ul

e differenziando la medesima equazione successivamente ri-
spetto ad a" ed y , verrà

— = C" oailx eC-'+i»)')" «r®

Sostituendo lutti quesli valori nella (2) dopo di averla ri-
dotta a zero , troveremo

0= C eCHA-)- dx fn,+, — a:r {A-\-x{B^JrC))\ .
A questa equazione si soddisfa ponendo

U^+. — ti. (^+a3(£/3+C))=o ,

onde la soluzione di questo problema rientra in quella di
un problema già proposto nel §. precedente. Lo stesso vale
per r equazione (3) quando ^, ^, C, Z), . . . . sono fun-
zioni della sola variabile x.

Finalmente supponiamo che nella (2) i coefficienti /4,
B , C siano funzioni di a; , e di un' altra sola delle due
rimanenti variabili y, m, per esempio di y. Posto

d(s .

e rappresentando ^^. una indeterminata funzione di x ed
t/ , si avrà

.«'' ^ dz i"" d£ì.

f,+.=o 4 lix+> e'"'doa , — = \ — - — e"' don
Jki ay /«.' ay

— s= I tl^ e<"'(£d(».

du /•'

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 35 r

Sostituendo questi valori nella (2} , si avrà per determi-
nare ■^^ la seguente equazione a differenze miste e fra due
variabili indipendenti

In conseguenza il problema si riduce a quanto abbiamo
detto nel §. i.°. E questo canone si può estendere anche
air equazione (8) , purché ^, 5, C, Z?, . . . . siano fun-
zioni di a? e di un'altra medesima variabile y, a, «7,

Quando però nella (2) i coefficienti A^ i5, C cooten-
gODO le tre variabili x^ y^ w, si può dire che la sua in-
tegrazione riesce ineseguibile , ove si prenda a trattarla
nella sua generalità. Non sempre cosi accade ne' casi par-
ticolari , uno più specioso de' quali è il seguente. Sia nella
{%\ A funzione della sola variabile x ^ e B ^ C funzioni
delle altre due variabili ^ , m. Se si suppone

l

dU=(ji{Bdu—C(/y)

avremo manifestamente

-7- = I &ix e^^ —r- Oidaì.
du Jmi du

Sostituendo questi valori nella (2) , troveremo riducendo a
zero questa equazione

la quale importa che sia

352 ^ del Grosso

o=n,+,-An, + (5^+c^n.a., (n).

Ma essendo

dU dV ,
aV=. -— dy\- -— du ,
dy " du

il paragone di "questa equazione con la prima delle (io)
porge

dy du

onde sarà

jjdV dV

e la (u) si cangerà in

Hx-^-i — -4r iìx =0.

Integrando questa equazione si trOYa

onde sostituendo nella seconda delle (io) avremo

s=n,'-i {Ji ) r| F{ai)e"V da) ,

ed ancora più semplicemente

s=n,'-(^.)4(«0 (12)

Supponiamo per un caso particolare

^:=x (x-\-i) , B=y , C=u ,

e sarà

Bdu — Cdysssydu— udy .

Il fattore a« che rende differenziale esatto questo binomio
si è

M=

onde

^jj^ydu-udy
y'+u'

Sul modo di ridurre gV integrali , ec. 555
e conseguentemenlc avremo

Inoltre si ha

n.'-(^,)=('-2-3----(.r— ij)('-2.3....(a-— i)a;)=r.7)rx+i)=j;r'(x)

Soslilucndo nella (12), troveremo che l' integrale completo
dell' equazione a differenze miste

TÌen dato dalla formola

Sino ad ora abbiamo supposto Z)=o nella prima del-
l'equazioni (i). Quando ciò non ha luogo , e D è fun-
zione di una sola delle variabili a:, ^, z/, si ò mostralo nel
§.i.°come questo termine si debba far disparire dalla (i).
Né grave difficoltà s' incontra nel far libera la suddetta e-
quazione da esso, quando D è funzione delle due variabili
g , u. Perciocché posto

e rappresentando con M una incognita funzione di ]) -, u ^
8i ha

Sostituendo questi valori nella (i) segnala in primo luogo
risulta

equazione la quale si può scindere nelle due seguenti

354 del Grosso

L' integrazione della seconda di quest' equazioni si riduce
alle cose dette sinora. Per ciò che riguarda la prima , è
chiaro che posto

B<lM+{m.A—i)+D)dy=o
Bdu — Cdy=o ,

e rappresentando con 7", U gl'integrali di queste due e-
quazioni differenziali simultanee , si avrà per determinare
M r equazione

rappresentando / una funzione arbitraria. Però vuoisi av-
vertire che per la soluzione del problema basta l' integrale
parlicolare della equazione (i3). Che se J, B, C, D fos-
sero funzioni non più delle due variabili y, u, ma sibbene
di una sola e medesima di queste variabili , e della va-
riabile ar , la determinazione della funzione, che fa sva-
nire D dalla (i) scritta in primo luogo si ridurrebbe ad
integrare una equazione della forma della (i) considerata
nel §. I.". Finalmente quando D è funzione delle tre va-
riabili X , i/ , u , non si può far disparire dalla equazione
proposta senza evitare la difficoltà di dover integrare un
altra equazione della stessa forma. In questo caso bisogna
tentare con altri metodi l' integrazione della proposta equa-
zione (i) , ed il lodato Geometra Italiano ha mostralo co-
me vi si perviene in qualche caso parlicolare (*).

A compimenlo di questa teorica rimane a vedere co-

(*) V. r Opuscolo citalo , §§. Sy e 38.

Std modo di ridurre grintegrali , ec. 355

me si debba procedere alla integrazione della (i) scritta in
secondo luogo. Sia primieramente D=o , ed ^, 5, C fun-
zioni della sola variabile u. Posto che ^ rappresenti una
funzione incognita di m ed <» , e

si avrà manifeslaraente

-r- = 1 -,— IB'+^J don.

au y^i du

Sostituendo questi valori nella equazione

Z:rJri = ytz+Bz-,J^,-\-C —^ (l4,),

alla quale si riduce la (i) scritta in secondo luogo nel
supposto di D=o , risulta

o = Cm^'irh dm f ( m—A—Bat ) O—C — | ,

alla quale si soddisfa ponendo

o=( K—A-Baf )a—C~.
^ ' du

E poiché r integrale di questa equazione si è
si avrà pel completo integrale della (i4.)

Posto per brevità

Tom.FL 47

I

356 del Grosso

St'-"-- S^=''-' Si"-'"- .

questa equazione si cangia in

z=:e J^i F{&-) e OH ^■' dai (i5).

Quando x aà y sono variabili discontinue e debbono
rappresentare numeri interi >o , si può eliminare <^ da que-
sta equazione nel seguente modo. Si ba evidentemente

dU'^dV"^
onde la (i5) si traduce in

-vi j^, .a .e

j da:.

dV" . dV"^

Adesso si osservi cbe essendo ? una costante arbitraria, la
quale non ba relazione nessuna con F{'^) , si può suppor-
re /3=i , e viene

_ ..'- ^H^W)

a=e )ui F^dò) dx ;

dV" .dV'""

e quindi ponendo mente a quanto si é fatto osservare nel
principio del §. i.° sarà

^-' dV^.dU"— ^'^>'

Supponendo per un caso particolare ^4, B^ C quantità
costanti , troveremo

,^/Ìc..B-''Ì:^^ (x7).

SiaQQ adesso ^j B^ C funzioni di x, y senza u nella

Sul modo di ridurre gì' integrali , ec. 3^7

equazione (i^)- Posto che ^ rappresenti una funzione in-
cognita di a:, y , * , sia

z=)^'Cìe'" do) (i8),

c verrà

r-)-i= '»' ^l+i e «'* ; •^7+'= /■"' A>+' * "'*

e~" ajf/iB.

Sostituendo questi valori nella (i4) , verrà

0= t e"" dai |a^+, — B^yj^. — {y4+Ca>)iì \ ,

equazione alla quale si soddisfa , ponendo

o=ar+ , — Z?%4., — (^4- Ca\ a (19).

Integrando questa equazione a differenze parziali e finite,
avremo ^ , e quindi z mercè 1' equazione (18). Ma 1' in-
tegrazione suddetta è impossibile , quando s' intraprende
nella sua generalità.

Supponiamo nuovamente /4 , B ^ C quantità costauli.
In (|ueslo caso 1' equazione ( 1 9) è integrabile, e paragonata
coir equazione

o=nx+, — a^ — òCijj^, (20)

si ha a=A-\-Ct£ , b=B. Ma Lagrangia ha trovato che
r integrale della (20) si è

onde sarà pel caso nostro

Sb'8

del Grosso

e l'integrale della (i4.) nel supposto di^, J5, C costanti
avrà anche per espressione

s=(— !)'+■ B-r j„ (^+C<k}^+7 e^" A' . Fi {a>

)da^

ERRORI

Pag. 333. Terso 3, eguali

id i3. eguali

id. ...•. i6. colangenie

CORREZIONI

leffgi complemenfari
complementari
tangeale

IL GIUDIZIO UNIVERSALE

DIPINTO A FRESCO

NELLA CONA DELLA CAPPELLA SISTINA
DA MICHELANGELO BUONARROTI

letta air Accademia nella tornata de' t6 Novembre i8Si

DAL SOCIO RESIDENTE

Ij certo coslanle economia della provvida natura for-
mar degl' ingegni privilegiati sul comune degli uomini in
ogni genere di virtù e di sapere per norma ed esempio al-
trui \ ma essa lor non dà sempre V utile consiglio di sce-
verar le opere da ogni errore nell'impeto delle loro crea-
zioni. Ciò par che avvenga , affinchè 1' umanità , mentre
da un lato ammira questi straordinari luminari , dall' al-
tro non si sconfortasse nel doverli imitare o raggiungere ;
fatta certa , che quegli erano uomini e non Dei ; e che
chiamata ad imparare nelle opere di costoro il buono ed
il perfetto , ha del pari 1' obbhgo di causarne il cattivo.
Queste idee a noi venivano in mente nel volgere il pensiero
al dipinto del Giudizio , opera dell' immorlal Buonarroti.

E poiché la ragione è la fiaccola , al cui solo lume
dobbiamo fidarci nella ricerca del vero , cosi noi non al-

Tom.FL 48

56o Guerra

tìngeremo dal presttgio, o dall' au lori ti, le idee >1 i lumi
per osservare questo capolavoro di Michelangelo , ma dalla
sana filosofìa e dai principi della stessa natura.

Però innanzi tatto non posso lasciar senza osserva-
zione , per esser cosa tanto notevole quanto lamentabile ,
come un opera così celebrata , una delle più vaste conce-
zioni del genio delle arti , non abbia avuto in tre secoli
e più una esalta e compiuta descrizione , da servirci di
guida nel presente ragionamento.

In tale deficienza di autorevole dichiarazione di tanta
dipintura dovremo da noi formarla ; e perchè nell' esame
del Giudizio del Buonarroti ogni osservazione non sembri
avvenlata od ardita, ci faremo scorta delle stesse parole del
suo più grande encomiatore , il Vasari : poiché par cosa
non credibile che quello stesso Vasari, il quale, non ba-
standogli r epiteto di divino aggiimto al nome di Miche-
langelo , volle affiancarlo con quello di divinissimo , nel
descrivere questa straordinaria pittura, o per prevenire le
obbiezioni che dalla parte della ragione gli potevano ve-
nir falle, o perchè realmente a suoi tempi si buccinassero
alcune avvertenze che in prosieguo di tempo si son venute
geueralizzando , senza parlare né del punto del soggetto
ìcelto , né dello scopo morale , né della convenienza delle
passioni e di tutte le parli armonizzate ad un fine unico
e solo , si esprima cosi :

I Kh verrò a' parlicolari dell' invenzione o componi-
s mento di questa storia , perchè se ne è ritratte e stam-
> pale tante, e grandi e piccole , eh' e' non par necessa-
) rio perdersi lempo a discriverla (i). Basta che si vede

(i) Come Ee tali' t lettori della sua storia avetsero Decessariameote co-
DOiciato qneir opera , o le eoe slampe.

// giudizio universale 36 1

1 che r invenzione di questo uomo singolare non à volato

» entrare in dipingere altro càe la perfetta , e proporzio-

) nalissima composizione del corpo umano (i), e in diver-

> sissime attitudini : non sol questo, ma insieme gli effetti

> delle passioni e contentezze dell' animo (2) , bastandogli
1 satisfare in quella parte , nel che è stato superiore a
I luti' i suoi artefici , e mostrare la via della gran ma-

> niera , e degl' ignudi , e quanto ei sappia nelle dilfi-
1 culla del disegno ; e finalmente à aperto la via alla fa-
j cilità di quest' arte nel principale suo intento , eh' è il
I corpo umano , e attendendo a questo fine solo , à la-
j scialo da parte le vaghezze de' colori , i capricci , e le
j nuove fantasie di certe minuzie e delicatezze , che da
j molli altri pittori non sono interamente , e forse non
1 senza qualche ragione , stale neglette >.

Riepilogato il senso di queste parole se ne raccoglie,
che Michelangelo volle mostrarsi grande solamente nella
somma intelligenza del corpo umano , e che apriva una
nuova via all'arte per la gran maniera.

Del pari la discorsero il Lomazzo, il Filibien, e quanti
ne scrissero dopo il Vasari, non escluso il giudiziosissimo
Lanzi ; ed il Condivi dice che Michelangelo à espresso
tulio quello che d'un corpo umano può fare 1' arte della
Pittura , non lasciando indietro allo o molo alcuno. Ma
è questo il modo di esaminare un'opera d'arte, quando
devesi altrui insegnare ? 0 non ]>iutlosto far conveniva le
seguenti domande ? È unico obhligo dell' artista mostrarsi
intelligentissimo solo del corpo umano ? E poi non dico

(i) Vedete clie non à voluto dipingere altro che il corpo umano.
(2) E qui quasi con(raddicendosi, o almeno correjgendosi, tì aggiunga
come un Eoprappià avere espresso gii cii'elli delle passioni.

362 Guerra

lasciar da parte le vaghezze de' colori , i capricci, le nuo-
ve fantasie, ma non far conto del miglior punto nella scella
dei soggetto , tradire la storia del sacro Testo, rappresen-
tare neir istesso quadro cose che succeder debbono in dif-
ferente tempo? Riunire la favola e la santità della Fede?
Esaminiamolo.

Abbiamo veduto e fermato , in altro ragionamento
sulla Cena di Leonardo, esser primario scopo dell' artista,
nell'argomento a tratiare, la scelta del punto (i)j e da que-
sto dipendere il maggiore o minore effetto di un quadro.
Micbelangelo seppe ben dare nel segno ; poicbè , mentre
ninno argomento esser potea più adatto all'indole altiera
e air indipendente animo suo , quanto la terribile scena
del finale Giudizio , in questa il punto più terribile era
certo quello , in cui il Giudice supremo i reprobi male-
dice ; e questo egli scelse : lode dunque a Micbelangelo
nella scelta del punto.

Lo spirito del Buonarroti erasi quasi immedesimalo con
quello di Dante, del fiero Gbibellino, mediante la lettura
del divino Poema , avendolo sempre seco , studiandolo e
fattolo più prezioso con rare sue invenzioni , perchè più
gli restassero in mente gli straordinari concetli di quel
Poela creatore ; e quindi non è a maravigliarsi se , nel
concepire un sì vasto componimento , trasferisse tutta 1' in-
dole di quel sommo italiano , fino a mischiare al pari di
lui il sacro col profano.

Imperocché, come Clemente VII gli comandò di rap-
presentare nella Sistina due grandi istorie , cioè la ca-

(i) Gli arlisli usano di quoslo vocabolo per delenuicare l' istante scello
a Irallare nell' argoraenlo dato.

// (jfi'uc/iz/o universale 3G3

clu(a degli Angeli sulla porla d' ingresso , ed il Giudizio
universale suU' opposta faccia da servir di cena al mag-
giore aliare di quella Cappella, Michelangelo in prima si
accinse a far degli sUalì pel quadro del Giudizio ; ma av-
venula la morte di Papa Clemente parvcgli allora esser li-
bero da queir impegno , e poter attendere a dar fine alla
prediletta opera sua, la sepoltura di Giulio II. Ma assunto
al Pontificato il Farnese Paolo III. pria con carezze , pj-
scia facendo uso della propria autorità, visitatolo con do-
dici Cardinali, costrinse 1' artista a mettere in luce quegli
studi , e ad eseguire la grande opera del Giudizio ; e poi-
ché egli collo avea il punto più spaventoso , piij commo-
vente , più ricco d' infinite passioni , a svolgerlo si accinse
nello spazio assegnatogli.

Tutta quanta è larga e alla la vasta superficie delli
facciata dell'Altare, che comprende non meno di palmi 80
per pai. I^!\.^ raccolse il sovrano peusiere; se non che parve
a Michelangelo modificarne il lato superiore formandone
due archi, posando entrambi sopri una mensola sola, che
viene a slare nel mezzo della parte superiore del quadro,
quasiché dar ei volesse una idea di dittico, forma la più
usilata a tempi suoi per una tavola di altare, e cosi far di-
sparire quella forma rettangolare poco dicevole a cosa sacra.

Iti questa forma adunque divise Michelangelo lutto il
suo componimento in due parti, una superiore eJ una in-
feriore. In quella di sopra su gruppi di nuvole pose nel
mezzo Cristo Giudice , iu alto di emanare la fatale sentenza
contro dei reprobi ; gli si accascia dal destro lato la Ver-
gine , che quasi compresa da rispettoso terrore si raccoglie
presso del figlio , intorno al quale si affollano le schiere
degli Apostoli , dei Martiri , e dei Beali lutti ; che del

364 Guerra

pari per la terribilità del momento quasi atterriti i segni
del loro marlirio ed i simboli delle loro dignità gli appre-
sentano ; e valgano per molli le due gigantesche figure ,
r una di S. Pietro , che presenta le doppie e simboliche
chiavi, l'altra di S, Bartolomeo scuojalo, e che in mano
tiene e mostra la propria cute ; qui S. Caterina , che nn
gran pezzo di ruota dentata si affatica di alzare ; ed altro
Santo si accolla una immensa croce j là il Diacono Lo-
renzo si fa scudo allo sdegno Divino della infocala grati-
cola ; chi le frecce del sofferto martirio, chi il corpo per
estrema penitenza e solitudine ispido e velluto al Giudice
rappresenta.

A destra e a sinistra dei descritti gruppi veggonsi le
altre moltitudini de' Beati , i quali si mostrano , siccome
non ancora ascoltanti le terribili iparole -ile makd/cii , ile
in ignem aeternum - o in fratellevole colloquio , o curiosi
d'intendere ciò che si passa un poco più lontano da essi;
altri in begli atti e cari abbracciamenti si riveggono con
le loro parentele , e si consolano di nn bene intermina-
bile ed immenso , che quantunque diviso fra milioni di
godenti è sempre lo stesso, perchè è Dio indivisibile, in-
tero per ognuno. Da un canto e dall'altro sulle descritte
compagnie de' Beati , e propriamente in quegli spazi com-
presi dai due succennati archi , gli emblemi della nostra
Redenzione da molti Angeli in tutte le possibili altitudini ven-
gono mostrati per conforto ai Beali , e per crucio ai dan-
nati in quel solenne momento , come disse S. Tommaso :
veniente Domino ad jiidicium signum crucis , et alia
passionis indicia demostrabuntw : e prima di lui S. Mat-
teo : et tiinc pare bit signum Jìlii hominis in caelo , et
iunc plangent omnes tribus terrae. Mat. 2\. 3o.

It giudizio universale 365

Nella parie media del quadro, quasi come nello spa-
zio che divide il cielo dalla terra, sopra nubi assisi o vo-
lanti in quelle veggonsi diversi gruppi di figure ; a drilla
gli eletti che s' innalzano verso Dio , o che da' loro beali
congiunti vengono aiutati nel difficil cammino : Ira' quali
tu vedi chi è cinto di cilicio , segno della penitenza ; chi
imbacuccalo nel manto fa immagine de' cenobiti ; chi le-
galo ai piedi e con le mani in atto di contemplazione, ti
manifesta gli anacoreti ; una madre col figliuoletto al seno
è una sposa che aiuta il consorte a raggiungere Iddio: cosi
tutti gli stati della vita trovano posto nel regno dei Cicli.

A sinistra sono infelici che piombano strascinati da" de-
moni al supplizio sempiterno ; e in diversi gruppi di lali
disgraziati veggonsi espressi diversi vizi capitali; ma in ta-
luni di questi la convenienza non sarebbe del tutto con-
tenta. Nel mezzo fra queste due schiere medie sono
i selle Angeli dalle sette trombe ; e di questi chi gonna
le arrossile gole e spinge con tutta la forza il fiato nella
sua tromba , chi eseguita la sua parte si pone lo strumento
ad armacollo , e mira sulla terra lo spaventoso tumulto
da esso eccitalo. Altri due spiriti tengono in una mauo
un libro per ciascuno. Quello che sfa alla dritta è pic-
ciolo e breve , perchè dei buoni è troppo scarso il nume-
ro ; grande e voluminoso è quello della sinistra , perchè
tlullonim iìifinilus est numerus.

I\ell' estrema parte di basso , e più lontana , perchè
le figure se ne impiccoliscono molto, stanno verso la dritta
del quadro diversi e bellissimi gruppi di uomini , i quali
dal seno della terra riprendendo le carni e le ossa , che
un di ebbero in vita , si sforzano di uscir da sotto alle
glebe che li comprimevano , per comparire innauzi al di-

\

366 Guerra

vino Giudice. E qui vedi chi non ancora del tutto com-
posto mostra aver parte del suo corpo ancora scheletro ;
chi à la testa soltanto ; chi a maraviglia si atteggia da
simil portento percosso ; chi impaurito guarda lo sdegno
della giustizia divina ; e diversi altri uomini infine sono
tratti dagli Angeli e dalle branche di spietati Demoni , i
quali con tutti gli sforzi si contrastano : ed è questo il
modo con cui 1' artista volle esprimere il fine del Purga-
torio , il quale esister non deve olire il finale giudizio :
infatti la disputa di questi angeli con demoni è messa
all'uscio di un'antro, in cui mentre da un lato ne esco-
no quei benedetti purgati, vedesi l' interno di quello privo
di anime , e ingombro solo di demoni in alto di dispe-
razione e dolore.

La sinistra parte poi ed estrema del quadro compo-
nesi di quel famoso gruppo della barca di Caronte , ca-
polavoro dell' arte per novità di pensieri , di attitudini e
di espressioni di questi infelici dannati , e degli sforzi er-
culei degli spiriti infernali nello strascinarli fra la perduta
gente. Co^ chiudesi questa terribile opera dell' arte , che
sgomenterebbe una legione di pittori , e che eseguila fu
in soli dieci anni da un solo.

Descritta io tal qual modo, il meglio che da noi si è
potuto , non avendone incontrata altra migliore descrizio-
ne, la piti grande, la più famigerata opera che vanti, come
è detto, l'arte della pittura , o se ne guardi la estensione
e r argomento , o la fama in cui è salita , l'animo il più
altiero è costretto a piegarsi innanzi a tanto capolavoro, e
preso da profonda ammirazione esclamare , all' Italia solo
di tali ingegni fa dono il Cielo.

E qui mi è d' uopo riprotestar di nuovo che nell" e-

Il giudìzio Universale S67

saminare una tale opera non si muove da noi in cerca di
falli ; poiché questi cessano di esser tali o restano annien-
tati dagl' infiniti pregi che 1' adoroano : ma da noi si vuol
rilevare quello che non si accorda in tutto con uua severa
ragione , o colla esattezza della storia ; onde simili parti
possano causarsi da quegli arlisti che un simigliante ar-
gomento anno a trattare , e le nostre riflessioni guidino
gli scridori non arlisli a distinguere 1' oro puro dall' or-
pello , sì nelle opere dei più grandi uomini, e sì in quelle
degli ordinari, senza lasciarsi abbacinare. Perciocché dal non
avere sceverato i passati scrittori le parti emendabili dalle
parti sublimi , che adornano questa dipintura , si produsse
la corruzione dell' arte , per mezzo dei volgari imitatori di
si grande uomo; i quali volendo quello che non potevano,
imitarono i difotti di che erano capaci , e quel terribile
disegno , che costituisce il grande di Michelangelo , sotto
le loro mani divenne esagerato e ridicolo.

I.

Fatta con saggezza la scelta del punto dell' argomen-
to , come si è detto , che fu la maledizione dei reprobi ,
vediamo come sia stato svolto e nelle parli e nel tutto ; e
se la composizione morale e materiale sia stala ragionata
si finamente come già ammirammo nella Cena di Leonardo.

Ed a far ciò è primo obbligo nostro aprire i sacri
libri. In quel giorno dell' ira di Dio , dies Domini, mi-
racolosamente verranno alla di lui presenza tutte le innu-
merevoii generazioni dei figliuoli di Adamo , ed assister
dovranno a quest'ultimo rendiconto universale (i). Pren-

(1) Popoli , populi ia vallea) concisionis , quia iasla est dica Domini.
J«el. 3. a.

Tom. FI. 49

S68 Óuerra

deranno parte in questa tragedia immensa e solenne gli
eletti ed i reprobi , i santi ed i dannati , Iddio ed i De-
moni, perchè, al dir del Salmista, Iddio vuol farsi cono-
scere per quel Dio che è — Cognoscetur Dominus iudi-
ciafaciens {psalm. 9. 17). Ma come vi compariranno gli
uni , e come gli altri ? Tunc iusti fulgehunt sicul sol
(Matlh. 13.49). ^ reprobi deformi e del color del pecca-
to — exibunt angeli et separabunt malos de medio lu-
storum (Matlh. i3. 4.3). A dritta i rigenerati nel sangue
del Signore , a sinistra gli ostinali nella via del delitto.

Ma già l' empireo si apre : influite schiere di Angeli
fra un torrente di luce portano il legno della Croce, e gli
altri strumenti del divino patire ; ma in mezzo a tanta luce
risplende in cima a tutti quel segno rispettato in Para-
diso (i).

Sieguono ed assistono , come assessori a questo eterno
e divino giudizio , i santi Apostoli e tutt' i confessori del
Dio umanato , che insieme con Gesù Cristo giudicar deb-
bono le genti=fulgebunt iusti .... iudicabunt nationes (Sap.
3. 7, 8). Verrà ancora ad assistere la Regina dei Santi, e
degli AngeU Maria SS. Infine verrà l'Eterno Giudice in un
trono di maestà e di luce, et videbunt Jilium hominis venien-
iem in nubibus caeli, cum virtute multa et maiestate (Matlh.
24- 3o ). La vista di Gesù Cristo consolerà gli eletti , ed
a' reprobi ella apporterà più pena che lo stesso inferno (2).
Ma ecco già comincia il giudizio a si aprono i libri dell»
umane opere (3) j , e questi sono le coscienze di ciascuno,

(i) Venienle Doinioo ad iudiciam sigaum crucis -, et alia passioois indi»
eia demonslrabnotar. S. Thom. opusc. 2. e. i44.

(2) Dicenl autem monlibas : cadile saper nos ; et abscondite noa a f«"
eie sedentis saper Ihronaoa , et ab ira Agni. Ap. 6. 6.

(3) ladiciam sedil , et libri aperti sani. Dan. 7. io.

// giudizio universale Sfig»

in cui Dio in un baleno (i) farà noto a tutti gli uomioi
i meriti e le colpe di tult' i giudicabili : farà del pari com-
prendere la giustizia della divina sentenza : poscia Cristo
rivolgendosi agli eletti dirà quelle parole consolantissime ,
venite benedicti patris mei., possidete paratum vobis re-
gmtm a constitulione mundi (Math. 25. 34-). All' incontro
a' dannali rivolgerà le spaventevoli sillabe = Discedite a
me maledicti in ignem aelermtm ( Math. 25. 4> )• Ed è
questo il punto scelto dal Buonarroti.

Vediamo ora come Michelangelo seppe , nello spazio
assegnatogli , sviluppare la composizione materiale del suo
soggetto. Egli in prima collocò nei due archi della parte
superiore del quadro gruppi di Angeli portatori de' dolorosi
emblemi della passione : più in basso nella parte eminente
e nel mezzo del quadro pose Cristo sul trono con dap-
presso la Vergine , e caterve di Santi che la circondano ;
più in basso, e verso la metà del quadro, stanno gli An-
geli delle sette trombe ; a dritta di questi veggonsi le a-
nime benedette che dalla terra volano al Cielo ; a sinistra
i dannali che diveulano preda de' demoni : in basso quasi
nel mezzo del detto dipinto vedesi il Purgatorio voto di
anime ; sulla dritta di questo le anime che riprendono
gli antichi loro corpi, e sulla manca la barca di Caron-
te , che trasporta i perduti alle bolge d' inferno. Or que-
sta composizione materiale di un tanto soggetto è cosi ma-
ravigliosa , cosi nuova , e contrapposta e variata in ciascun
gruppo e in tutto il quadro, che stanca ogni immaginativa
al solo guardarla ; talché se la parte morale della compo-
sizione , se la parte estetica, cioè di quella scienza sublime

(i) Unico intoitu singola peccala vciuJ piclara monslranlor. S. Bas. lib,
!> de Ver. Virg.

*

370 . Guerra

di ogni arte d' imitazione che tanto distinse il massimo
Leonardo , fosse slata unita a tale capolavoro , un' opera
direbbesi perfettissima. Ma devesi al Buonarroti una tal
lode ? Vediamolo.

Ed in prima poiché scelto si era 1' ultima scena del
terribile giudizio , cioè allorché Cristo Giudice condanna i
reprobi , perchè far comparire le anime che debbono an-
cor prendere i loro corpi , ed altre che giunte ancor non
sono innanzi al Giudice , mentre il Giudizio si chiude ?
È questo al certo un difetto contro 1' unità d' azione. Ria
si risponde : al tempo di Michelangelo questi errori non
occupavano la critica universale. È ben vero : ma noi ci
guardiamo dal commendarlo , e diciamo che per quanto
questa libertà artistica meni ad arricchire e variare un
soggetto qualunque, è sempre lultavolta a scapito doli" azi(ni
principale e della perfezione di un' opera. Infatti, se invece
di scegliere la maledizione dei dannali , tolto si fosse il
momento in cui il Giudice Eterno apparisce , tulio allora
sarebbe in armonia. Dunque è certo che vi è un contro-
senso : perchè una cosa che conviene con un punto di
storia non può ugualmente servire ad un punto diverso :
i punti nello spazio del pari che nel tempo si succedono,
ma sono uno diverso dall' altro , e quando si confondono
si forma 1' anacronismo ; parte cerio non lodevole in qua-
lunque opera d' ingegno.

Ma vi è un' osservazione di cosa molto più essenzia-
le , che non potrcbbesi , a parer nostro , in verun modo
giustificare , ed è questa. Tutla la rappresentazione del
giudizio , veduta nella parte estetica , si compone di due
grandi passioni , quella del gaudio e quella del dolore.
E queste due passioni in natura hanno opposti modi di ma-

// ghidtzw universale 3 y i

nifeslarsi : il godere dell' anima accoppiato alla certa idea
della perpetuità di esso non può avere nella esterna es-
pressione che moti tranquilli e calmi , il dolore all' oppo-
sto, che si accoppia con la disperazione, non à che moti
violenti , esagerali , e straordinari. Or qiiosta duplice di-
stinzione di alti e di sentimenti non trovasi per disavven-
tura abbastanza pronunziata nel quadro in parola : percioc-
ché se dai movimenti e dallo slare delle figure che lo com-
pongono tu volessi riconoscere quali siano i beati , e quali
1 reprobi, a sloolo distinguer li potresti ; tanto la foga di
quell'anima impetuosa in variar gli alti e i modi in qucl-
r immenso lavoro fecegli tradire questa parte essenziale del-
1 arte, per eccesso di espressione.

Infatti i nostri padri della pittura prima di Miche-
langelo , che non conobbero le seduzioni degli scorci, dei
controposli , e le arditezze del disegno , ma che parlarono
prima di luUo al cuore ed alla mente , massime nei sacri
componimenti , quando ci dipinsero li sede de' boati , o
quando i misteri di Cristo voILho l'arci vedere , anche a
rischio di ripetersi , di copiarsi , non seppero altro inven-
tare per esprimerci il godere di quei celesti abitatori, ed
usarono collocarli su sferici gruppi di nuvole con in mezzo
la Triade, e tulli a sedere, tranquilli e posati; onde cia-
scuno da quelle attitudini esterne ravvisasse quale esser
dovea la calma che nell'anima racchiudono; principio dal
quale fio lo slesso Raffaello nella disputa del Sacramento
non seppe discostarsi , allorché il Paradiso ci espresse.

Ma il Buonarroti , intollerante per naiura di ogni spi-
rilo d' imitazione , e preso dalla vanità di dimostrare tutta
la sapienza anatomica del corpo umano , cercò non solo
negli alti dei beati , ma bcnanco ue!i^ istessa figura del

372 Guerra

Redentore , tali movimenti atletici ed esagerati , da scon-
venire per tutt' i modi a quei santi personaggi : e tutto ciò
a danno dello scopo morale e della estetica dell' arte , la
quale, se vien privata dello scopo nobile di moralizzare gli
«omini , si materializza , e perde il sublime posto a cui
il Cielo l'ha chiamala.

Infatti era dovere dell'artista far conoscere nelle at-
titudini dei beali comprensori la sicurezza del loro godi-
mento ; perchè la nostra Religione e' insegna che una voKa
ottenuto il premio del Paradiso , che è Dio stesso , non
può esserci tolto giammai. Ma egli, preso da soverchio de-
siderio di dar movimento e nuovo ed ardito ad ogni sua
figura , à fallo che gli stessi Santi assessori al finale giu-
dizio sembrino esser presi da tale eccessivo terrore che
ranno mostrando i simboli del loro martirio all'istesso Giu-
dice quasi ad indicare i mezzi della bealitudine eterna.
Il che è ancora contro la fede ; giacché , avendo Cristo
promesso ai suoi Apostoli dodici sedie nel giudizio universale
per giudicare gli uomini , possono aver quelli le passioni
dei giudicabili ?

Queste ed altre avvertenze non osservale dall'artista han
fatto dire al satirico Rosa , e ad altri meno rivereoli del
gran Michelangelo, che questi invece di un figliuolo di Dio
fatto avea un gladiatore etc.

Or qui mi arresto un' istante, e domando a me slesso :
Michelangelo, il gran Michelangelo avea di già dipinta la
soffilta dell' islessa Cappella prima del Giudizio , ed in
quella trattato avea il soggetto del Dio Creatore, dei veg-
genti deir antica Legge ; ed avea tanta maestà e grandezza
messa nel volto dell' islesso Dio sì quando chiama dal nulla
le cose , sì quando fra queste colloca il primo nostro pa-

// giudizio universale 875

dre, e sì quando scaccia niiuaccioso dal giardino delle ter-
restri delizie gì' infelici e prevaricati nostri progenitori ; e
tanta profonda saviezza avea figurata nelle forme arcane
di quei profeti, che tu certo li credi partecipi della Divi-
nità ; in modo che in quelle figure insiiio ai giorni nostri
Michelangelo non fu mai , non solo superato , ma nean-
che emulato : come poi nel dover esprimere Cristo Giudice
non à seguito 1' istesso sentiero , che pure egli avea trac-
ciato neir esprimere la grandezza di Dio , e gli uomini da
questo ispirati ? Poiché una è la Divinità , ed essa opera
ugualmente le piccole come le massime cose , gli atti di
amore il più tenero come quelli della piìi severa giusti-
zia ; ma senza alterarsi , senza esternar forza alcuna ; es-
sendo in lui il volere onnipotente che esegue invisibile al-
l'occhio umano, e non la sua persona : e quando Cristo,
che è sempre Dio , entra in un sacro argomento , non
deve agire che come Dio (i).

(i) S'intende però sotto le allitndini amane e quasi ispirale dalle stesse
passioni deli' uomo , massime nel nostro argomento in cui esprimersi dove»
X ira Agni, secondo lo scritturale linguaggio; ma quest' ira dell'agnello es-
ser deve espressa con la dignità la più sublime che immaginare si possa ,
da non confondersi con 1' umano iracondo ; e sempre a traverso di qoella
maestà e potere di Colui che non si muove ed è motore (*) siccome è dello
in Geremia Thr. i. 12. Quoniam vindemiavil me , ut loeutus est Dominus
in die trae ft/roris sui.

Non s' intende con ciò che Michelangelo alleggialo avesse il soo Cristo
come Leonardo nell' ultima Cena ; ma lo sdegno di Cristo Giudice fosse e-
tpresso senza quel moto eccessivo e gladiatorio. lufatli se non basta a de-
finire , come è dello , il modo, in cui muover devesi la divinila, operato dallo
slesso Michelangelo nei principali falli della Genesi nella volta della Sistina;
riporteremo quello che Del giudizio universale dipinto a fresco dall' Orgagna

(') Sonetto scritto a piedi di una 6gura gigantesca dell' Eicrao Padre che abbraccia il
noud* , opera a fresco di Pietra da Orvieto Del Camposanto di Pisa.

374- Guerra

Lo slesso politeismo, che personificò le sue Divinità,
non ebbe mai ricorso a movimenli esagerati ad esprimere
o la loro forza , o il loro sdegno. Quantunque la Teogo-
nia scritta desse non solo alle sue Divinità le umane pas-
sioni , e di queste anche le più brutte ; pure Y arte mi-
rando a fine più alto , a voler rappresentare gli Dei scevri
di umane passioni come dai più illuminati filosofi pensa-
vasi , fé che Giove Olimpico assiso sul trono alza appena
la destra che sostiene lo scettro in segno della sua onni-
potenza e della sua giustizia, senza aver bisogno che di un
batter di palpebra per sconvolgere tutto il creato. L'Apollo
che saetta il Pitone non riunisce il suo sdegno che nello
sguardo, e nellb sporger del labbro inferiore, e nell' eleva-
zioni delle narici, essendo certo sconvenevoli a divinila (ulti
quei moti che indicano esternazione di forza materiale. E
nella nostra sacrosanta Religione i grandi miracoli della
Provvidenza sì nel regno della creazione , come in quello
della conservazione , operati sono o dal suo volere invisi-
bile , 0 visibilmente dagli Angeh o dagli elementi dell' i-
stessa natura suoi principali ministri : e tal verità Cristo
ripeteva a Pietro nell' orto , allorché quegli ferir volea il
servo del Pontefice. « Che se io volessi, mancherebbero a

nel Camposanlo di Pisa vedosi espresso. Sia Cristo io aUo Dgnalinenle di
maledire ed nhn la destra a tal fino , volgendo sdegnato la lesta ai dan-
nati ; con la sinistra sciiopre 1' aperto costato, ed il resto della persona è po-
sato e Irantjuillo. Ah! quanto dicesi in simil atto! Non v' è chi noi ravvisi.
Sopra altro Irono simile al figlio la Vergine rammaricata guarda questo con
la destra abbandonala sopra un ginocchio con la sinistra al petto, quasi de-
plorasse essere stalo il patire di un Dio sì poco proficuo per 1' infera uma-
nità ; a destra e a sinistra i dodici Apostoli sedenti su nubi e tranquilli assi-
itono al TalnlG Giudizio. E bastino qnesti pochi personaggi per sigoiCcare «
dichiarare meglio la nostra idea.

// giudizio universale 37^

mio padre dieci legioni di Angeli per distruggere armi eJ
armati ? >

Or se il Cristo di Michelangelo in questa scena atteg-
giato non è iu modo degno della sua maestà, qual ne fu
la cagione ? La scienza profonda del corpo umano erasi
talmente in lui immedesimala, che per far pompa di que-
sta egli tradiva i principi più sacri , che hanno tutte le
arli d' imitazione , e che fissi stanno nella natura e nella
ragione. Talché quel grande strascinato da questa foga noa
solo tradì il calmo e quieto atteggiare che assieme eoa
Cristo aver doveano le schiere de' heati ; ma li denudò
tulli a scapito solenne della verecondia e santa riverenza
del Tempio di Dio. E qui, se mi si oppoue che tali si ve-
dranno un giorno nel Cielo , allora io dirò che in quell'epoca
r occhio dell' uomo sarà depurato dal fuoco della giusti-
zia divina , e non sarà combaltuto dal senso come al pre-
sente ; quindi non sarà mai scusabile un' artista che un
tale esempio seguisse.

S' inchinino poro gli orgogliosi artisti innanzi a que-
ste monde di Michelangelo , e veggano come la mente la
più robusta che abbia avuta 1' arte, por uno spirito di o-
riginalità e di oslinadone in voler sacrificare tulio al
nudo, siasi strascinato a mancare a quella dignità sublime
che investir dovea quanto è grande questo grandissimo e
tremendo soggetto della nostra sacrosanta Religione. Per-
chè un quadro esprimente un simile argomento , che do-
vrebbe far tremare ogni spettatore, come ne tremava S. Gi-
rolamo alla sola meditazione , questo quadro non fa che
destare ammirazione profonda nell' animo degli artisti, per
la dottrina e scienza del nudo , della indescrivibile varietà
degli atteggiamenti , scorci , grandiosità di stile e novilà
Tom. FI. 5o

376 Guerra

di pensiero ; ma nulla 0 poco 1' animo vi coramove. Il fi-
losofo poi e r ecclesiastico qual più qual meno , vi rin-
vengono quello , che noi siamo andati osservando non ad
altro oggetto che per fare avvertiti i seguaci dell' arte , e
gli amatori di essa, come si analizzano le opere di quella,
e come non bisogna seguire i grandi uomini se non in ciò
in cui essi sono stati veramente grandi.

Sicché noi chiuderemo il nostro breve ragionamento
col dire : se tu vuoi imparare dal quadro del Giudizio
la convenienza , la precisione isterica , la fina espressione,
r unità del componimento , mal ti avviseresti ; la Cena di
Leonardo ti deve ciò insegnare. Ma se tu cerchi la gran-
diosità dello stile fino al terribile, l'immaginoso, lo svi-
luppo del corpo umano di ogni specie di scorcio , la on-
dolazione e mollezza dei contorni , il tutto improntalo da
uno spirito di novità , staiti innanzi al Giudizio ; ed esso,
ancorché fossi un ghiaccio , li desterà in petto qualche
scintilla per uscir dal mediocre. Ma bada a non farti se-
durre dal prestigio di questa opera ; sicché inebriato da
tanto valore , da si grande rinomanza assai ben meritata ,
la voce della ragione non ti arrivi troppo tardi all' orecchio.

I

IUTORMO

ALLA VITA ED ALLA STORIA DELLA FILOSOFIA

DI

GIOVAN BATTISTA CAPASSO
letta air Accademia nella tornata de' 29 Gennajo t8S4-

DAL SOCIO BESIDENTB

^aoto Kjw\\K\Q Ouievi»

I.

Ci ha nella vita delle nazioni un periodo di tempa
direi quasi oscuro ed inoperoso , nel quale \ attività pro-
duttrice della mente invece di spandersi e di operare al di
fuori , si concentra all' opposto in sé medesima; ed in tale
slato acquistando nuova energia e forza maggiore , feconda
cosi quegli eterni semi del vero in essa riposti , che poi
svolli ordinatamente e ad unità condotti , costituiscono il
mondo ideale della scienza. La quale falla adulta e ma-
tura , riempiendo di sé lo spirito di un popolo , purché
condizioni esteriori non la impediscano , prorompe al di
fuori e si manifesta nelle stupende opere di ogni maniera
di arti onde si allieta e si giova il viver civile degli uo-
mini. In ciò la natura umana non si mostra dissimile dalla

*

378 Tulelli

natura vegetativa ; la quale nel giro della stagione inver-
nale nelle radici e nel tronco concentra ed accumula le
forze ed i succhi vitali , e poi nell' aprile li spiega nella
pompa della esteriore vegetazione.

Non allrimenti sembra essere intervenuto fra noi du-
rante il governo Viceregnale , quando per la straniera do-
minazione si andò degradando e spegnendo il lume della
nostra patria civiltà , e con essa vcnner meno le scienze,
le industrie , le arti , i commerci e la prosperità naziona-
le. Ricademmo per cosi dire in una seconda semibarbarie.
Ma come avviene , che nella vita della natura , quando
pare eh' ella dorma , allora più che mai internamente 0-
pera e si affatica ; nella stessa guisa I' attività intelligeate
dello spirito , se allo esterno non può svolgersi e manife-
starsi in opere di sociale utilità , essa tutta in sé si con-
centra e si afforza , ed in sé medesima si va creando
mi mondo ideale di altissime speculazioni , dove , nello
sconforto della vita reale , trova di che satisfare gf inde-
finiti bisogni dell' umana natura , aspettando di tradurli in
atto quandocchessia nel campo della vita esteriore. Onde
è che noi vediamo , che a certi tempi poco men che bar-
bari relativamente ad opere di esteriore civiltà , sorgono
pili che mai uomini per forza ed acume d' ingegno ma-
ravigliosi , i quali precorrendo al loro secolo , schiudono
e sospingono T umana intelligenza per ardui e non ancora
tentati sentieri della scienza e dell' arte.

Ora questo tempo d' intimo lavoro della intelligenza
in opere di nuove ed altissime speculazioni della scienza ,
se non andiamo in errore , ci pare essere stato per il no-
stro paese la prima metà del secolo decorso. In falli leg-
gendo io quel periodo di nostra storia (perciocché voglia-

Vita e storia della filosofia di G. B. Capasso 879^

mo tacere di un Giordano Bruno, di un Beroardino Te-
lesio , di un Tommaso Campanella , di un Antonio Serra,
uomini per ardimento d' ingegno speculativo singolarissi-
mi (1) appartenendo essi al secolo anteriore) c'incontria-
mo , fra gli altri , con un Gianvincenzo Gravina primo
scrittore di fdosofia del diritto (2) ; con un Pietro Gian-
none (3) inventore di un nuovo genere di Storia , la sto-
ria civile de' popoli ; con un Mattia Doria (4) scrittore e-
gregio di civile filosofia ; con un Tommaso Rossi (5) me-

(i) A scanso di ogni sinistra inlerprelazione , crediamo avverlire , cho
riconoscendo noi negli scritlori sopradelli e negli allri nominati in segnilo ,
eccellenza d' ingegno speculativo e molte verità da loro primamente investi-
gate o messe in più chiara luce ; non intendiamo però approvare gli errori
manifesti in cui sono per avventura caduti , né accoglierG quelle loro opi-
dìodì die la scienza più progredita ha giudicalo inappcilubilmeute false ed
insostenibili.

(2) Il Gravina nacque io Reggiano nella Calabria Citra il i664-; pub-
blicò la sua celebre opera de Origine Itiris nel 1701 , mori nel i7i8.

(3) Pietro GiauDone nacque in Iscbitclla in provincia di Capitanala nel
167G ; pubblicò la sua Storia Civile del Regno di iNapoIi nel 1723 ; mori,
nel 174-4.

(4) Paolo Mattia Doria de' Principi di Angri nacqne in Napoli nei i65i;
mori nell'anno i745- tra le molte opere di lui, le più pregiate sono;
Delta vita Civile ; Dell' Educazione del Principe ; e l'altra 11 Capitana
Filosofo.

(5) Tommaso Rossi Abate della Chiesa Coli.'giata di San Giorgio della
Montagna , nella provincia di Principato Ultra. Non sappiamo né la data
precisa della nascila né quella della morte di lai. È certo però che la sua
morte ha dovuto avvenire dopo del 1743, nel quale anno egli pubblicò una
sua opera della quale più sotto faremo cenno. Questo insigne filosofo è i-
gnoto all' universale , e fino a poco tempo addietro ne sapevamo solo il no-
me , e la slima che di lui avea concepito il Vico, come raccogliamo da una
lellera di costui al Rossi scritta nel 7 maggio 1753 , nella quale 1' antor
dell» Scienza nuova chiama maravigliosa la dispulazione del llossi sopra l'a-
nimo niiiano. E noi dobbiamo la fortuna di avere avuto fra mano alcune

38o Tulelll

tafisico profondo ed eloquente da cbiatnarsi meritamente il
Platone d' Italia ; e da ultimo , per esser brevi , e' incon-
triamo con un'Antonio Genovesi (i), e con un Giambat-
tista Vico (2) il cui solo nome basta a render superba di sé,
non che una gente , ma eziandio tutto il genere umano.
Ma quel che quasi generalmente s'ignora, si è , che alla
prima metà del secolo passato, visse in Napoli un filosofo,
per quanto modesto ed oscuro altrettanto dotto e profondo,
il quale concepì e prima di ogni altro scrisse e divulgò
per le stampe una storia universale della filosofia.

Certamente io non dovrò innanzi a voi , Egregi Ac-

opere del Rossi , e di averle allcsamenle studiale , all' egregio dollor fisico
Angiolo Bualrice , uomo versalo in ogni maniera di gentili slndi e nostro
iolimo e carissimo amico. Il qnale, investigatore e raccoglitore indefesso delle
opere degli scrittori della natia provincia , ( delle quali egli ha già raccolto
un gran numero , e che intende d' illustrare in un suo lavoro che avrà per
titolo Biblioteca Irpina) ha rinvenuto tre opere filosofiche di Tommaso
Bossi. Queste sono i. Considerazioni di alcuni misteri divini raccolte in
ire Diuloqhi, Voi. in 4"° Benevento 1724. 2. Dell' Animo dell' Uomo,
dìspxilazionc unica. Voi. in k° con la data falsa di Venezia lySG 3. Della
Mente Sovrana del mondo , disputazione unica. Voi. in 4-° Napoli 174.3.
Dalla lettura di queste tre opere abbiamo ricavato aver il Rossi pubblicati
altri lavori , quali sarebbero on Apparalo metafisico , Le Dispute Legali,
una Dissertazione latina sul moto ec. ec. e che noi non abbiamo potuto fi-
nora rinvenire.

In queste Opere il Rossi mostra di essere un tale pensatore da stare a
fronte del Vico per T originalità e profondità della speculazione , e molto a
lai superiore per la chiarezza e 1' ordine del dire. I quali ultimi pregi rilu-
cono specialniante ne' Dialoghi sopra i divini misteri , leggendo i quali ei
pare di avere fra mani un secondo Platone. E già volgiamo nell'animo l'i-
dea di far nolo agli amatori della patria filosofia , in apposito discorso , la
^ita e il valore scientifico delle opere di questo insigne scrittore.

(i) Antonio Genovesi di Castiglione in Principato Citra, nacque nel 17 12,
mori nel 1769. Le opere di lui sono note all'universale.

(2) Giambattista Vico nacque in Napoli nel i663; pubblicò la prima e-
dizione della Scienza nuova nel 1723; morì nel 1744-

P'ita e storia della filosofia di G. B. Capasso 38 i

cadcmìci , patrocinare la causa della filosofia , né discor-
rervi della eccellenza , della dignilà , e della imporlanza
della medesima; la quale, e Voi che siete savi senza dub-
bio alcuno ne converrete , tanto sopraslà a tutte le altre
umane scienze e discipline , per quanto lo spirito alla ma-
teria , la ragione al senso è superiore ; e per dirlo bre-
vemente per quanto 1' ordine fisico sottostà all' ordine in-
telligibile e morale del mondo. Quello però che io creda
dover notare si è , che di una scienza in generale, e della
filosofia in particolare , niuno potrà mai formarsi un ade-
quata idea , determinarne con esattezza l' obbietto 1' esten-
sione ed i limiti , porre e risolvere i problemi tulli che
essa racchiude , se di essa scienza primamente non si sco-
prano r origine e i principi , non se ne segua per la suc-
cessione de' tempi e de' luoghi il progressivo incremento ,
e se da ultimo la mente non ne comprenda la sua finale
evoluzione. Perciocché solamente a questo modo polrà il
filosofo formarsi della scienza sua un compiuto concetto ,
ed abbracciarne tutta la comprensione j solo a questo modo
potrà elevarsi al vero concepimento della natura e del fine
della filosofia ; e da questa altezza scorgendo dove nel fatto
ella è pervenuta , e vedendo ciò che le manca , polrà
quindi sospingerla a quell' ideale perfezionamento del quale
umanamente è capace. Laonde egli è raanifeslo, che alla
vera e profonda concezione della natura e della ampiezza
della scienza filosofica non solo utile ed opportuna, ma
bensì necessaria è la sua storia.

La quale necessità della storia della filosofia da un'
altra gravissima ragione deriva. Imperocché se 1' umana
mente è per legge intima di sua natura sospinta alla so-
luzione razionale del grande enigma dell' Essere , e delia

382 TulelH

vita universale del mondo, nel che propriamente l'obbielto
della filosofia speculativa è riposto ; pure ella nelle sue
investigazioni procede primamente a passi spontanei e irri-
flessi , sendo ancora non ben determinato per Lei 1' ob-
bietto delle sue ricerche. Laonde è costretta dapprima a
divinare piuttosto che a porre in forma ricisa e chiaris-
sima r obhietto delle sue investigazioni. Ed infatti noi ve-
diamo , che le grandi invenzioni e i grandi trovati delia
scienza e dell' arte hanno dovuto ordinariamente esser pre-
ceduti da minute , lunghe , e progressive speculazioni o
esperimenti ; i quali raccolti ed ordinati insieme dalla sto-
ria , sono serviti come di primi elementi e materiali all'u-
mano ingegno per ideare e far sorgere poi l'edifizio splen-
dido della scienza o dell' arte. E se egli è avveniito mai,
che alcuni uomini singolari e quasi divini abbiano di per
sé e senza lumi o tradizioni anteriori concepito o scoverto
un principio luminoso e fecondo ; se nella loro mente ,
come a baleno , siasi affacciata una grande idea genera-
trice di altre innumerevoli idee ; pure è da dire che di
qiieslo principio o di questa idea eglino ne abbiano avuto
piuttosto una intuizione oscura che una chiara intelligen-
za. Ed ancorché da'primi inventori di un principio o di
una idea madre se ne fosse dedotta una scienza , pure è
da confessare essere stata questa scienza imperfetta ed ini-
ziativa. Imperocché una idea ed un principio hanno un
contenuto infinito ; e solo dal concorso di più intelligen-
ze si può attendere nella successione del tempo lo svolgi-
mento delle verità secondarie contenute nell' infinità di
quella idea prima o di quel primo principio.

Alle quali ragioni dedotte dall' intrinseca natura dei
primi veri , altre se ne aggiungono di fatto ricavate dalla

Fila e storia della filosofia di G. B. Capasso 385

osservazione dell' andamento progressivo dell' umano intel-
lelto. 11 quale se nell' individuo si sviluppa e s'ingagliar-
disce di età in età , e ciò che ha nella infanzia acquista-
to alla adolescenza lo trasmette , e questa alla eia viri-
le ; io stesso andamento appunto prosegue nell' uomo col-
lettivo eh' è la umanità. Della quale come i momenti, ov«
vero l'età, d' infanzia , di adolescenza, e di virilità sono
le generazioni , e i popoli diversi che si succedono; e co-
me questi si trasmettono a vicenda le cognizioni acquisti-
te ; per tal modo avviene , che nella scienza 1' umanità
progredisca , e che in paragone delle passate piìi ne sap-
piano le generazioni avvenire. Laonde è manifesto , che
r obbietto della scienza andando nella mente degli uo-
mini di tempo in tempo sempre più determinandosi e svol-
gendosi , essa mediante questo suo storico svolgimento sem-
pre più si va perfezionando e compiendo. E questa sem-
bra al certo essere la ragione principale per cui, a modo
di esempio , la filosofìa Platonica ed Aristotelica aianzò
di molto la pitagorica e la eleatica ; perciocché gì' inge-
gni del filosofo di Crotona e di quello di Elea non furono
certamente meno stupendi e divini degli ingegni del filo-
sofo di Atene, e di quello di Stagira. Tuttavia questi due
ultimi , per la legge di progressione continua dello spirito
umano , e perchè redarono il patrimonio della scienza dei
primi , seppero aggiugnervi ancora del proprio, e seppero
approfondire ed allargare i confini della tradizionale filo-
sofia. Ed è questa parimente la ragione onde in fatto di
scienze i moderni superano gli antichi ; ai quali ninno
vorrà negare eccellenza d' ingegno e forte temperatura di
animo e di volontà. E veramente non vi ha scienza od
arte della quale gli antichi non avessero stabilito o alme-
Tom.ri. 3i

c

584 Tulelli

no intraveduto i principi ; e ciò mostra il loro valore e
forse la loro superiorità sopra i moderni ; perciocché di
maggior forza ed acume d' ingegno fa mestieri nello in-
ventare e nello scoprire , che nel seguitare le ernie altrui
e nel condurre a perfezione. Se ciò non fosse vero , sa-
rebbe certamente a stimarsi una follia quel consenso uua-
uime del genere umano a voler tributare onori quasi di-
vini ai primi scopritori del vero. Ma se da una parte è
indubitabile , che la scienza col volger dei tempi in am-
piezza ed in profondità progredisce e si aumenta ; non è
meno certo dall' altra , che questo progresso e perfeziona-
mento della scienza presente suppone la cognizione della
scienza del passalo , e suppone ancora il distinto concello
delle sue origini e del suo coutinuo sviluppo. Laonde è
manifesto quanto alla compiuta cognizione della scienzi
filosofica sia necessaria quella del suo storico svolgimento.
Primo fra tutt' i moderni a rimaner convinto di que-
sta verità , e primo a concepire e porro in atto un dise-
gno di una Storia universale della filosofia fu certamente
il Napolitano Giovan-Baltista Capasse. Ora di questo no-
stro chiaro concittadino , e della sua istoria universale della
filosofia troppo indegnamente dimenticala , voglio per poco
intrattenervi , o Egregi Accademici ; ed io fo questo col
doppio inlento e di revindicare ad un nostro italiano sciit
loro la giuria di aver prima di ogni altro , non eccetto il
Broker islesso , concepita e pubblicata una storia univer-
sale della filosofia da' primordi della scienza fino a" tempi
suoi ; e di far rivivere un nome caro alla scienza , richia-
mando alla memoria degli studiosi della patria filosofia
un' opera , la quale , anche a questi nostri di splendidis-
simi per tanti lavori profondi di storia filosofica , si lascia
leggere certamente con non poco profitto e diletto.

Vita e storia della filosofia dì G. B. Capasse 385
II.

E primieramenle dirò della vita del Capasse quelle
poche notizie cbe ho potuto raccogliere dalle scarse rae-
mone rimasteci di quel tempo , nel quale i letterali uo-
m.iw pensavano più a fare opere egregie, che a traman-
darne a posteri le laudi e la ricordanza (8).

Nacque Giovanbattista Capasso in Grumo popoloso od
ameno borgo della Campana , noa molto lungi dell' an-
tu^a Atella, nel ,683 da Silvestro, o da Caterina Spena
di Fratlamaggiore , la quale nobile ed agiata famiglia
bpena o de Spems era ori-iinria di Napoli , ove e pro-
priamente nella Chiesa di S. Caterina a Formello, si vede
ancora una sepoltura gcnlili.ia di questa famiglia con i-
scriz.one Ialina posla nd .Sii Silvestro Capasso non ap-
parteneva a casato meno agiato e gentile, sicché ebbe modo
di educare i suoi figliuoli in ogni maniera di scienze e di
nobili discipline. Tre furono costoro , e tutti e tre vennero
in fama di uomini dottissimi , ciascuno nel genere degli
studi a cui si addisse. Il primogenito fu Nicola Capasso
celebre professore di Leggi civili nella Università di Na-
poli , ed autore rinomalo di eccellenli versi nella lingua
del Lazio, e nel dialetto napolitano. Il secondo ebbe no-
me Domenico , il quale entralo nella Compagnia di Gesù ,
coltivò a preferenza le scienze esatte , e divenne Mate-
matico di Giovanni V. Ile di Portogallo. Da ultimo ii

(Sj Le poclie notizie da noi dale inlorno alla vila di Giovanbadisla Ca-
r-.«so, le abbiamo (ratte dalla IJiografia , che di Nicola Capasso fratello
maggiore di Giovanni , scrisse Gregorio de Mucllis.

*

386 TuMi

terzo figliuolo fu il nostro Giovanni autore della Storia
universale della filosofia , della quale ora leniamo discorso.
Ridottisi costoro in Napoli sotto la direzione vigilante ed
amorosa di un loro zio per nome Francesco Capasso, dotto
e pio ecclesiaslico , il quale avea l'onorevole uffizio di Ret-
tore della Chiesa di S. Maria delle anime del Purgatorio,
ebbero il destro di avviarsi fin dalla prima giovinezza p?l
retto sentiero delle scienze e delle buone lettere , avendo
a maestri i più rinomati professori della Capitale. Vuoisi
però che il nostro Giovanni avesse avuto a maestro nelle
lettere greche e Ialine Nicola suo fratello , divenuto peri-
tissimo quanto altri mai in queste due discipline. Non sap-
piamo però da chi avesse egli apparalo filosofia , dalla
quale scienza doveva un giorno ripetere rinomanza presso
alla posterità. Non ostante la sua speciale altitudine agli
sludi speculativi , volse però 1' animo alle scienze mediche,
studiandole sotto alla sapiente disciplina del suo concitta-
dino Nicola Cirillo , onore e lume in quel tempo della me-
dica Facoltà di Napoli. Ma divenuto il Capasso dottore in
medicina , ed esercitando la sua nuova professione a van-
taggio dell' umanità languenle, non si rimase poro dal pro-
seguire i suoi diletti studi della filosofia ; anzi tanto era
r amore che nutriva per essa , che volle aprire scuola pri-
vala d' insegnamento filosofico , acciò trasfondesse in a! Imi
queir amore che in sé sentiva per la sapienza. Fu allora
che ad uso del suo iuscguamento privato compose la sua
Synopsis lustoriae philosophiae ec. Non sappiamo però
per quanti anni egli durasse ad insegnare , ed in qual
tempo , e per qual ragione di Napoli si tramutasse prima
in Grumo sua terra natia , e poi in Frallamaggiore ove
fermossi fino alla morte. Condottosi il Capasso a quella

Fila e storia della filosofia di G. B. Capasso 687

stanza tranquilla , e menalo moglie , passò i pacali giorni
della rimanente saa vita nell'esercizio della professione me-
dica , e nelle dolci cure della famiglia , e negli ozi beati
delle lettere e della filosofia. Se non che sappiamo ch'egli
quotidianamente si recava alla vicina Aversa ad istruir di
greco i giovani di quel Seminario , vinto dalle preghiere
di quel Vescovo Cardinal Imiico Caracciolo , il quale non
sapea trovare chi meglio del Capasso vedesse più a dentro
nella lingua e nella letteratura incomparabile de' Greci.

Era il Capasso di piccola statura , e di debolissima
complessione ; si che giovane ancora di anni circa il lySS
morì. Ebbe sei figliuoli , tre maschi e tre femmine. Dei
primi r ultimo , per un forte timore concepito a causa
della dispersione di una poliza di banco , vivente il pa-
dre, io assai tenera età si smarrì, e non se ne seppe più
nuova. Gli altri due , Giovanni e Francesco, furono dallo
zio Nicola chiamali presso di sé in Napoli , ove vennera
gentilmente educati ; ma pure essi in fresca età si mori-
rono. Non rimasero adunque del Capasso che le tre sue
figliuole , le quali ereditando il patrimonio paterno non
solo , ma ancora quello più pingue dello zio , furono no-
bilmente e riccamente collocate a marito. E si godettero
pure esse una ricca pensione a vita , loro stata assegnala
dalla splendida munificenza di Giovanni V. Re di Porto-
gallo , al quale Sovrano il Capasso avea già dedicato la
Storia Universale della filosofia. Della qual« opera ora è
tempo che io vi discorra, 0 Egregi Accademici , lasciando
da parte le altre opere minori che di lui ci rimangono ,
non entrando queste ultime nel disegno propostoci in que-
sto lavoro.

388 Tulein

III.

Dalla breve prefazione alla sua Synops's historiae
philosophiae ricaviamo , come il Capasso veuli anni innanzi
alla pubblicazione della stessa, avvenuta nel 1728, e (jiini-
di dai venti ai trenta anni della età sua , atlendcs^e in
Napoli air insegnamento privato della filosofia. E giudi-
cando utile cosa anzi necessaria , son quasi sue parole ,
alla perfetta istituzione della scienza , il far seguire un
cenno storico sopra 1' origine e il progresso della filosofia,
e sopra i sistemi de' pii!i chiari filosofi ; così egli si fece a
svolgere quanti libri d' istoria filosofica vi avea nelle bi-
blioteche pubbliche e private di Napoli, e sopratlullo nella
biblioteca Valletliana in quel tempo rinomatissima , spe-
rando di ritrovare una storia della filosofia per ogni verso
compiuta e perfetta, la quale movendo dalle prims origini,
e procedendo successivamente per tutte le scuole filosofi-
che delle nazioni fino a' tempi suoi , dimostrasse 1' anda-
mento progressivo della idea della scienza , e svolgesse
tutti i sistemi de' filosofi. Ma vane , egli prosegue adire,
riuscirono le sue speranze ; perciocché alcuni storici poche
cose delle origini della scienza accennavano ; alcuni altri
della filosofìa delle antiche genti, o di qualcheduna di esse
discorrevano ; e per ultimo la più parte degli storici la
sola filosofìa de' Greci prolissamente esponevano. Né poten-
do da' grandi dizionarii , 0 da' colloquii con gli uomini e-
rudili conoscere , essere sfata da alcuno secondo 1' anzi-
detto disegno trattata e svolta la storia dell'umano pensiero
si fece egli allora a comporre \ opera sua , nella quale ,
secondo 1' ordinamento detto innanzi , presentasse agli stu-

Fila e storia dèlia filosofia di G. B. Gap asso iSij

diosi della scienza un quadro compiuto dello svolgimento
storico ed universale della filosofia. Ma non era giunto il
Capasse alla mela del suo lavoro , che lo intermise per
poco ; peiciocchè ebbe notizia che il dottissimo uomo Tom-
maso StauU'y a\ea di già pubblicalo una storia filosofica,
la quale poleva essere stala concepita ed eseguita sul me-
desimo disegno. Poiché ebbe letta il nostro modesto scrit-
tore r opera dell' illustre britanno uella traduzione lafiiia ili
Giovanni Clerico j e veduto che non una storia universale
dttla filosofia , ma solo quella particolare de' Greci avea
avuto iu anima lo Stanley di comporre \ cosi si pose egli
nuovamente al lavoro , e nel tratto di cinque anni d' in-
defessi e lunghi sludi , condusse la sua storia a compi-
mento. Avverte intanto il Cipasso, che melti'ndo a stampa
la sua Synopsis , intende solo di ofierire a' cultori della
scienza un disegno e quasi una idea di una storia univer-
sale della filosofia , lasciando ad altri più di lui , e per
istudl e per ingegno valorosi , di recarla a maggior per-
fezione.

Detto del tempo e della occasione per cui il nostro
autore pose a slampa la sua storia della filosofia , sorge
spontaneamente il desiderio di conoscere quali sieno siali
i suoi principi, e qual concetto egli si avesse formato della
scienza. E qui slam forzati di dire iugeunameute non po-
ter noi satisfare pienamente a tale inchiesta , non avendo
il Capasso lasciata opera , dove con fare netto e domraa-
lico avesse fermata ed esposta la propria dottrina. Impe-
roccliè dalla sua storia medesima , nella quale espoue l'o-
rigine i progressi e le vicende di ogni filosofia , non si
rilevano i propri principi , avendo voluto seguire piultrsto
lo veci di semplice sposilore delle opinioni altrui , che

Sgo Tuie Ili

quelle di sposilore insieme e di critico, La quale riserva
per quanto sia utile e forse necessaria alle ragioni della
pura storia narratrice fedele de' fatti , altrettanto è puerile
ed antilogica alle ragioni della interpretazione e della cri-
tica. Nondimeno nel libro i." capo i.° facendosi egli ad
enumerare e riportar le definizioni diverse , che i più ce-
lebri filosofi hanno dato della scienza loro , accostandosi
egli a' pensamenti di Tullio , di Clemente Alessandrino , e
di altri insigni pensatori , la vuol definita per la scienza
di tutte le cose dalle loro cagioni e ragioni ^ in quanto
con il lume naturale delta mente può Vuomo conoscerle.
E riferendo ancora la partizione , in cui gli stessi filosofi
lianno diviso o disliuto la contenenza dell' obbietto uuiver-
sale , sopra di che versa la scienza della ragione, egli ab-
braccia la partizione della filosofia in fisica , ossia della
natura , in metafisica o delle cose intelligibili , ed in e-
tica , la quale include ancor la politica. Dalla quale de-
finizione e partizione della scienza da lui seguita , dal
modo suo di esposizione delle seutenze e teoriche delle di-
verse scuole filosofiche , e più dal metodo adoperato ge-
neralmente a' tempi suoi , siamo indotti a credere aversi
i! Capasse formalo un concetto obbiettivo ed ontologico
della scienza filosofica , e quindi seguire le orme della
grande scuola ontologica italiana fondata dapprima da An-
selmo di Aosta , e riferraata da' suoi contemporanei ed a-
niici e concittadini Tommaso Rossi , e Gianbattista Vico.
E ciò è da notarsi nel Capasso , il quale nella sua storia
si compiace di dare una esposizione compiuta della filoso-
fia del Cartesio , filosofo il più rinomato a quei dì , e pro-
motore principale del moderno psicologismo.

Ma qualunque sia stata la dottrina filosofica del Ca-

P^ita e storta della filosofia di G. B. Capasso Sgi

passo, è meslieri primamente dimostrare l'anteriorità della
sua Synopsis ad ogni altra storia universale della filoso-
fia , e poi far conoscere 1' ordine col quale ha egli pro-
ceduto nella composizione dell'opera sua.

Come di sopra si è detto , era disegno del Capasso
di ofierirc con la sua Synopsis alla mente de' giovani suoi
discepoli un quadro compiuto dell' andamento dell' idea fi-
losofica discorrente per tutte le nazioni e per tutti i tempi
fino a' giorni suoi. Ora, per quanto noi sappiamo, ninna
storia filosofica universale era comparsa nella repubblica
delle lettere prima dell' opera del nostro napolitano filo-
sofo. Sì che a lui si deve 1' onore di aver prima di ogni
altro concepito e prima di ogni altro mandato ad effetto
il vasto disegno di una storia universale della filosofia, la
quale presentasse il movimento universale e mirabilissimo
del pensiero filosofico del genere umano. Imperocché la
grande storia della filosofìa del Bruker distesa, benché in
pili grandi e più ampie proporzioni , sul medesimo dise-
gno , non vide la luce che nel ly^i-Mj ed accresciuta
di poi di un quinto volume nel 1767. Laonde la storia
del Capasso pubblicala in Napoli nel 1728 precede di tre-
dici anni quella del filosofo tedesco. E pure il Bruker se-
gue appunto nella sua opera l'ordine e l'andamento stesso
seguito dal Capasso nella sua storia. E ciò abbiamo vo-
luto indicare non perchè sia nostro giudizio avere il te-
desco tratto dal napolitano storico l'idea del suo immenso
lavoro ; il che se fosse avvenuto , 1' avrebbe al certo quel
sommo scrittore dichiarato ; ma 1' abbiam fatto perchè si
renda manifesta 1' originalità del concetto e la priorità di
esecuzione dell' opera del nostro patrio scrittore , soprat-
tutto al cospetto di coloro i quaU vanno lutto di ripetendo
Tom. FI. 52

892 Tulelli

ed appellando il Bnikero qual primo creatore e padre del-
l' istoria universale della filosofia.

L' opera del Capasso , scritta secondo il costume del
tempo in elegante latino , è divisa in quattro libri. Nel
primo , eh' egli intitola della orìgine della Jilosofìa e dei
primi sapienti^ si fa a discorrere della definizione, della
divisione , dell' origine e del fine della filosofia ; segue a
parlare degli inventori di essa scienza, 0 de' primi sapien-
ti , incominciando dalle tradizioni filosofiche anfidiluviane
fino a Mosè e Salomone, e più diffusamente della dottrina
propria di questi due ultimi sacri scrittori. Nel secondo li-
bro detto della filosofia de' Barbari^ da lui così chiamata
in opposizione a quella de' Greci, discorre delle dottrine
delle scuole filosofiche de' Caldei , de' Persiani , de' Sabei,
degli Indiani, de' Cinesi, degli Egizi, degli Arabi, degli
Ebrei , de' Fenicii , degli Etiopi , de' Libii , degli Sciti ,
de' Traci , e de' Galli. Il terzo libro comprende tutta la
filosofia de' Greci dalla simbolica e mitica fino alla scuola
eclettica Alessandrina, discorrendo di tutte le dottrine delle
scuole , nelle quali si divise e si svolse quel!' immenso e
splendido periodo della scienza filosofica. E da ultimo il
quarto libro , che l'autore intitola de Filosofi più recenti^
comprende primamente la filosofia de' Romani , discorren-
do delle sette pitagoriche , accademiche , stoiche , epicu-
ree , peripatetiche , le quali , vestendo abito latino, in Ro-
ma si riprodussero ; indi espone la filosofia de" Padri , e
discorre della filosofia scolastica io tutta l' ampiezza sua e
per tempi e per luoghi ; e da ultimo movendo dai filosofi
dell' epoca del risorgimento delle lettere e delle scienze ,
espone la dottrina de' novissimi peripatetici , e anliperi-
patelici , degli accademici , ed epicurei , e de' novissimi

Vita e storia della filosofia di G. B. Capasso SgS

filosofi naturalisti fino a Gassendì e Cartesio, della dottrina
del quale fa una compiuta e lucidissima esposizione. Chiude
poi la sua Synopsis con un' appendice sopra i filosofi om-
raessi nel corpo dell' opera.

IV.

Questo è appunto , o Signori , il contenuto , e que-
sto è 1 ordine seguilo dal Capasso nella esposizione della
sua storia universale della filosofia. E primamente vogliani
cbe si noti come il nostro autore , a capo della filosofia
di ogni popolo ha cura di porre le credenze comuni tra-
dizionali 0 scritte del medesimo , dalle quali come da'pria-
cipi spontanei del sapere volgare del genere umano, muove
la speculazione riflessiva e riposta de' filosofi. E ciò ap-
punto spiega il perchè nella sua storia ci parla il nostro
autore delle dottrine antidiluviane , abramitiche , orfiche ,
mitiche ec. ec. ; le quali al certo non entrerebbero altri-
menti in un' esposizione dello sviluppo razionale dell'umana
intelligenza. Avvertiamo in secondo luogo avere egli se-
guilo r ordine cronologico , ed avere diviso 1' epoche sto-
riche del progresso della scienza filosofica in quattro grandi
periodi, secondo il cammino della civiltà delle nazioni. Noi
non vogliamo portare un giudizio severo sopra questa trop-
po generale e quindi iodelerrainata divisione dell' epoche
filosofiche , classificazione fondata piij sopra le condizioni
contingenti ed estrinseche de' tempi e de' luoghi, che so-
pra quelle intrinseche e necessarie del movimento logicale
della scienza. Tuttavia seguendo il nostro autore si fatto
ordine storico , ci è forza confessare come egli abbia piut-
tosto scritta la storia de' filosofi , anzi che quella della fi-

394 Tulellt

losofia. In fatti per quanto egli è parco nell' esporre le
teoriche de' filosofi e nel darne lo sviluppo logico e ra-
zionale , altrettanto è largo e minuto nel raccogliere e ri-
ferire le notizie riguardanti la loro vita , e le opere loro.
E in ciò veramente dimostra un' immensa e scelta erudi-
zione , e una diligenza infinita ; nò trascura di riferire i
titoli delle opere di ciascun filosofo siano disperse , siano
arrivate fino a noi. Ma in quello che spelta al fondo e
quasi direi all'essenza delle dottrine e de' sistemi, invano
tu la cerchi significata e svolta nella sua storia ; e delle
opinioni , delle sentenze , e delle teoriche stesse , delle
quali egli fa cenno , non cura egli indagare i principi, o
mostrare le connessioni , né svolgerne le conseguenze, nelle
quali cose certamente è riposta la natura della teorica o
del sistema. E pure questa è uno de' principali fini al
quale deve intendere lo storico della filosofia.

L' altro fine non meno importante, anzi dirò meglio,
r altro ufficio cui deve attendere lo storico della scienza ,
e eh' è dal nostro autore interamente trasandato, si è quello
di portar ragionato giudizio delle teoriche che si espongono,
specialmente quando 1' opera , come è quella del nostra
scrittore, sia all' insegnamento de' giovaui indirizzata. Ora
a poter dare un giudizio critico delle teoriche e de'sislemi
si svariati e moltiplici , che la storia della filosofia ci pre-
senta , è mesfieri che lo scrittore si abhia non solo for-
mulata in sua mente, ma fermata e svolta nella sua opera,
lina teorica propria e superiore ; dall' altezza della quale
possa dominare tutto il movimCLito dell' idea filosofica di
ciascun sistema , scorgere di un tratto le conseguenze in-
chiuse nel loro principio , vederne le connessioni e le at-
tinenze , e saperle poi ridurre all' unità superiore di quella

Vita e storia della filosofia di G. B. Capasse SgS

teorica , dalla quale solamente può discendere la giusta
estimazione del sistema in disame. Perciocché senza il lu-
me di questa teorica superiore e giudicatrice , vano ed i-
nutile e forse pericoloso alla mente de' giovani riuscir deve
ogni lavoro storico della filosofia.

A fare adunque che le sue ricerche non tornino in-
fruttuose , ed a giuguerc più speditamente al suo scopo ,
ei pare che lo storico della filosofia , dopo di avere bene
studiali e raccolti i fatti empirici ed a posteriori della
scienza , quali sono \e sentenze , le opinioni , la doltrina
di un filosofo , e d' mia scuola , e se vuoisi , di luti' i
filosofi e di tutte le scuole ; deve poi nel loro ordinamento
seguitare piuttosto l' ordine logico o ideale della scienza ,
che l'ordine cronologico ed empirico. E questo ordina-
mento ideale ( secondo che a noi pare , e come in un la-
voro speciale ci sembra d' avere fino alla evidenza dimo^
strato (i)) consisterebbe nel partire e muovere dal coacatto
primo e dalla idea madre dell' obbielto della scienza filo-
sofica , e considerarne a priori i suoi possibili e logicali
svolgimenfi ; e di quesU ideali svolgimenti segnare e se-
guire accuratamente il processo rigoroso , e le leggi , e i
principi , e l' estreme conseguenze. A questo modo si ver-
rebbe a formare la storia ideale ed eterna della filosofia ,
o se meglio vuoisi dire , la teorica razionale de' sistemi
possibili della scienza : con i quali sistemi appresi razio-
nalmente nella loro necessaria e logicale esplicazione , po-
trà ciascuno cacciarsi franco e sicuro nel campo della sto-
ria e nel labirinto de" fatti filosofici , e delle infinte sen-

fi) Qneslo nostro lavoro , che abbiamo io animo di ilare alla luce quaulo
jiriiiu , ha per titolo Della Teorica razionile Jv sistemi JUosafivi.

SgG TulelH

tenze ed opinioni de' filosofi di tutte le scuole , senza li-
more alcuno di smarrirsi. Perciocché la varietà prodigio-
sa , e spesso la contradizione medesima delle opinioni dei
filosofi non porterebbe allora più confusione o maraviglia,
avendosi innanzi il criterio a giudicarne il vero od il fal-
so , e sapendosi ancora anteriormente da quali principi
esse muovono ed a quali sistemi si riconducono.

Né ci si voglia opporre, che consigliando noi si fatto
metodo ideale , pretendiamo di creare la storia della filo-
sofia a priori ; siccome alcuni vorrebbero far credere es-
serci degli scrittori , i quali trascurando o rifiutando affatto
gli avvenimenti e le vicende reali della vita delle nazioni ,
vogliono soltanto dafia natura e dalle leggi ideali dell' uo-
mo ricavare a priori la storia del genere umano. Impe-
rocché a dimostrare pienamente quanto questa obbiezione
sia affatto aliena al nostro proposito , risponderemo osser-
vando , che i contradittori del metodo ideale non hanno
voluto o non hanno sapulo intendere il vero principio e la
vera indole di questo ordine della scienza. Perciocché s'in-
gannano a partito quando essi fanno mostra di credere ,
che i seguaci di questo metodo pretendano di creare la
scienza , e quindi la storia della filosofia , senza che pri-
mamente si fosse atteso ad osservare, raccogliere, ordinare
i fatfi sensibili ed empirici della vita razionale dell' uomo
e dell' umanità. Pretensione assurda non meno che ridi-
cola, e non caduta mai in mente de' promotori sinceri del
vero metodo ideale ; che certamente é cosa evidente, e da
ogni filosofo che abbia fior di senno ammessa indubitata-
mente , che l' intelligenza primitivamente incomincia dal-
l' apprensione , immediata o mediata che sia, de'falti sen-
sibili ed empirici , rivelatori dell' esistenza e della vita

Fila e storia della filosofia di G. B. Capasso Sgy

delle cose. la fatti lo spirito umano non è creatore , ma
semplice spettatore nell'immenso teatro dell' universo j esc
r Essere , e le esistenze non vengano a lui manifestale ,
( e questa manifestazione in qualunque modo si faccia è
sempre per lui un fatto empirico , che si rivela nel fondo
lucidissimo della coscienza ) non potrebbe certamente non
solo comprenderle ed averne scienza, ma neppure con
cepirle o pensarle. Ora come mai la mente umana po-
trà neir istituire la scienza di una esistenza , prescindere
dalla realtà e dal fatto dell' esistenza medesima ? Perocché
ogni rivelazione o manifestazione di esistenze , sia per via
del senso o della coscienza , sia per apprensione o intuito
razionale, è sempre un fatto empirico ed a posteriori. Jla
se il fatto sensibile , o il fatto razionale è il primo mo-
mento da supporsi dato nella scienza , non è certamente
esso fatto la scienza. Questa incominc'n quando di sif-
fatto essere reale, appreso dal senso o intuito dalla men-
te , la intelligenza concepisce e determina il principio, la
essenza, le ragioni, le attinenze ed il fine. Sicché se nella
conoscenza ordinata de' principi , delle ragioni, delle at-
tinenze e del fine di un essere consiste la scienza di esso ;
chi mai oserà di sostenere , che i principi le ragioni le
attinenze ed i fini degli esseri sieno obbielto del senso e
della coscienza , e che quindi empiricamente possa venire
istituita la scienza? E la filosofìa, eh' è appunto la scienza
de' supremi principi , ragioni , e fini degli esseri , non si
potrà mai istituire , se non vuoisi farla scadere dalla sua
dignità e natura, con metodo diverso dall'ideale e a /)r/o-
ri. Per quello poi che particolarmente concerne alla storia
della filosofia, non dubitiamo di affermare, che sei fatti
empirici i quali sono le opinioni e le teoriche do filosofi

SgS Tulelli

delle diverse scuole , e da' quali primamente dee partire lo
storico , non si modellano per cosi dire e non si riducono
a quella teorica ideale de' sistemi detta di sopra , e che
sola può ordinarli sotto di sé, e sola potrà farli compren-
dere; lo studio di essa, soprattutto per l'insegnamento de'
giovani , riuscirà certamente vano ed inintelligibile.

Se non che noi non vogliamo , che il peso di queste
nostre critiche osservazioni cada interamente sopra il lavoro
di Giovanbattista Capasso ; il quale tanto per la condizione
degli studi storici della filosofia a que' tempi , quanto per-
chè il primo a discendere in questo vasto aringo, non po-
teva elevarsi a tanta altezza della scienza , dove appena di
presente , e pure molti lo contendono , osano credere di
essere pervenuti i moderni. Ma quello che a lui merita-
mente si deve retribuire , sotto pena di essere ingiusti , si
è di riconoscerlo qual primo scrittore d' istoria universale
della filosofia , e di annoverare il suo nome tra i princi-
paU filosofi , che nel passalo secolo contribuirono alla glo-
ria ed air incremento dell' italica filosofia.

INDICE

DEL VOLUME SESTO

NotHìa de lavori delf Accademia per l'anno tSSi. •

del Segretario perpetuo
(liutio Tnsiuetvivti ^ > . . pag. Y

MEMORIE

Dell' vio e dell' abuso della simililudthe netl^eloeuzitne didattica,
di Giorgio Masdea .t ;,... i

Osservazioni sopra un fenomeno di trasudamento linfatico in al'
cune piante graminacee , di Gvclielmo Gasparrihi. ... ai,

Cenno biografico intorno al capitano ingegnere geografo France-
sco Pergola, di Fedele A mah te ......... Sg

Hìcerche analitiche sulle superfìcie anulari a cono direttore , di
l^iNCENzo Antonio Rossi 53

Happorto all' Accademia sulla precedente memoria . . . . 179

Storia della Tentredine produttrice delle galle delle foglie del

salcio, di Achille Costa, con i tavola ia rame .... 281 '

Dell' erba Baccarà degli antichi , del cav. Micbele Tenore . 297

Rapporto all' Accademia sulla precedente memoria 3 1 1

Uri altra Baccarà, appendice alla memoria sull' erba Baccarà de-
gli amichi , del cav. Tenore 3i5

S l mo/lo di ri'hirre gì' integrali dell' equazioni linrari Ji print
ordine a differenze miste in semplici integrali definiti , dell' a-
bate HeiaiGro del Grosso 32 3

]l giudizio universale dipinto a fresco nella cona della cappell i

Sistina da Michelangelo Buonarroti, del cav. Camillo Gverra SSg

Intorno alla vita ed alla storia della filosofia di Giovan Battista
Cnpasso , di Paolo Fmilto Tclilli 377

DEL PRESENTE FASCICOLO

Sul modo di' ridurre gV integrali dell' equa-
z'onì lineari di prini ordine a differenze
miste in semplici integrali d'Jìaili , dell' a-
bate Remigio del Grosso . . . pag.

// Ghidi:iio Un'vsrsale dip Ut) a /riesco nella
Cona della Cappella Sisi'na da Michelun-
(/ !.-> Uuo-iarroti, del Cav. Caìiillo Guerra, j

1 it ira') alla vita ei alla storia della Filosofìa
di Giovan Battista Capasse^ dell abate Paolo
Emilio Tulelli i

Frontespizio , e delie a.

Aoliz'a d:^' la 00 ri per l'anno /S.)/ , del Segre-
tario perpetua Giulio Mixerilm . pag.

323

3b'9

377

Pi ezzo dal presbite fascicolo .

^ gr. 90

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