Archiv der Mathematik und Physik

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Mathen^

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ARCHIV

der

MATHEMATIK und PHYSIK

mit besonderer Kücksicht

anf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten.

* *

Gegründet von

J. A. Groiert,

fortgesetzt von

R. Hoppe,

Dr. ph. Prof. an d. Univ. Berlin.

Zweite Reihe.

Siebenter Teil.

Leipzig.

C. A. Koch* 8 Verlagsbuchhandlung,

J. Stngbatch.

lW-1889.

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Inhalts- Verzeichnis

des siebenten Teils.

4fcrlU!*»dluff. Heft. Seit«.

Arithmetik, Algebra and reine Analyst* ohne Integralrechnung.

XIX. Ueber eine besondere Art ron Reihen. Von F.

Bogel IV 378

XX. Di« Bestimmung der Anzahl Primzahlen, welche nicht grösser als eine gegebene Zahl sind. Von F. Kogel IV 381

Integralrechnung

VII. Reduction einiger Integrale. Von W. L&ika . I 110 XXII. Sechs Beweise für den die elliptischen Integrale erster Gattung betreffenden Additionssatz. Von

U. Bigler IV 401

XXIII. Ueber eine Differentialgleichung. Von W. Laaks IV 436

Geometrie der Ebene.

II. Einige Beziehungen zwischen den drei Höhen und zwischen den drei seitenhalbirenden Bcktrans- ▼ersalen eines Dreiecks. Von C. Pabst . . . . I 10 VI. Metrische Relationen am Sehnen vic reck. Von

O. Zimmermann I 64

VII. Zur Construction der KegelschnitUlinien. Von

K. Schober I 99

424967

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IV

.>J<!«r Abhandlung Hall. S«iU.

VII. Beweis eines DreieeksßaUcii. Von R Caspar . I 109 XI. Die Pulami der algebraischen Curven. Von R.

Oacrtner II ISO

XV. Ucbcr Cassinische Carmen. Von U. Bigler . . III 911 XVI. Einige Sitte Über geometrische Orte und Envelop- pen bei Kegelschnittbüschcln and Kegclschnittscha-

rcn. Von J. Heller III 325

XVIII. Die Lcmniskate. Von E. Oekinghnut ... IV 337

XXI. Neues Ober Vier- und Vielecke. Von B. Sporer IV 389

XXIII. Ueber Vierecke am Kreise. Von Bcvsscll . . IV 426

XXIII. Ein geometrischer Ort. Von K. Zelbr . . . . IV 436

Geometrie des Raumes.

I. lieber den Ort der Axcn derjenigen Sehrauben- bewegungen, durch welche eine Strecke in eine be- liebige Lage im Räume gebracht werden kann.

Von Pelisek I I

V. Die flache Kreisschraubenfliche. Von F. Schiff- ner I 54

VII. Eine einfache Ableitung der Bedingungen, welche die Coefficicntcn einer Rotationsfläche «weiten Grades erfüllen müssen. Von F. Hof mann . . I 101

VII. Untersuchungen über die Fliehe 3. Ordnung, welche von Kreisen erzengt wird, die durch twei Punkte gehen und eine Gerade treffen. Von F. Schiffner I 104

VIII. Ueber die Schaaren von Fliehen 4. Grades mit 16 singullren Punkten, welche durch eine Lcm-

niskate gehen. Von W. Schjcrning .... II 113 IX. Die sphärische Cunre 4.0rdnung als Einhüllende

ron Krcisschaaren. Von E. Czuber II 143

X. Dichte der Sehnen von Fliehen und ebenen

Curven. Von R. Hoppe II 165

XIII. Die ebenen und die sphirischen cvkloidalen

Curven. Von H. Ekama II 207

XXIII. Geometrischer Beweis eines Sattes der Flärhen-

theoric. Von E. Csuber IV 432

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V

H«ft. S.it«.

III. Uebcr trigonometrische Functionen ton Winkel- •ummcn und Ober Relationen »wischen Polygon- winkeln. Von Scipp I 27

Mechanik.

IV. Die elliptischen Integrale der Bewegung eines schweren Punktes in der rerticalen Parabel. Von

E. Oekinghaus I 34

XIV. Potential einer elliptischen Walze (Schluss). Von

ü. Bigler III 225

XVII. üeber Kraftlinien der Ansichung ron Linien. Von

R. Hoppe III 330

XXIII. Ueber die Bewegung eines Luftballons in ruhiger

Luft. Von E. Oekinghaus IV 445

Erd- und Himmelskunde.

XII. Ueber die Lage der Mondsichel gegen den Horizont des Beobachters. Von E. Oeking- haus II 207

XXIII. Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung.

Von E. Oekinghaus I IV 437

XXIII. Die Befraction des Meeresbodens. Von E. 0 e k i n g -

baus IV 440

Literarische Berichte.

XXV. Foth (Ar. Geom.) Sickenberger (el. Math. — Ar. Aufg.) Suhle (Ar.) Reichel (Ar.) Moroff (Rechn.) Lieber u. Lühmann (Plan.) K Ostler (Vorsch. Geom. — Plan.) Breuer (Kegschn.) Fischer (Geom.) Hauck (Ster.) Krebs (Phys. — Chem.) Henrici (Phys.) Acc. d. Napoli (Bend. XXVI. = 2. ser. I.)

XXVI. Lieber (ster. Aufg.) Lieber u. Lühmann (Constr. Aufg.)

Reidt (plan. Aufg.) E. R. Müller (Constr. Aufg.) Har- muth (Aufg.) R, Weber (Elektr. Aufg.) Mendizabal Tam-

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VI

borrel (Log. Taf.) Sickenberger (Log. ist.) Mascart u. Joobcrt (Elekrr.) Mascart (stat. El.) Thompson (Elektr.) Ererett (ph. Einh.) Weinstein (ph. Massbeat.) Urbanitxky (Elektr.) Krieg (Zschr. I ) Japan Unir. (J. I. 4. II. I. 3. 3) Canad. Inst. (Proc. V.) Smiths. Inst. (llep. 1884. 1885.) Wash. Phil. Soc. (Bull. X.) Amsterdam (N. Arch. XIV.) Mittag- Leffler (A. Math. XI.) Potonie' (Nat. Zschr. IL). New- comb (Am. J. X.) H. Klein (Rer. VII.)

XXVII. F. A. Müller (Probl. Contin.) Dedekind (Zahl.). Tait (Eigensch. d. Mat.) Bonn (Structurf.). Simony (Molcc. Th.) Höh (Elektr.) Kerschbaum (Quadr. d. Kr.) Lolling (Qu. d. Kr.) Samuda (Qu. d. Hyperb.)

XXVIII. Weissenborn (Gerbert) Wohlwill (Jungius) Bierens de Haan (Baust, z. Gesch. d. Math.) Boncompagni (Bull. XX.) Schubert (Gesch. d. Qu. d. Kr.) Sibiriakoff (Eiern.) Nies (Trig.) Spit« (Plan. — Trig. — Anh.) Weidemann (Plan.) Lembcke (Ar.) Amsterdam (N. Arch. XV) Tei- xeira (J. VIII ) Toulonae (Ann. II.) Mansion n Neuberg (Math. VIII.) Bur. d. Long. (Ann. 1889).

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Berichtigungen im 7. Teile

S. 99 Z. 1 v. u. itatt Den setze Der

103 7 v. u. „Wir unternehmen etc." Die ganze Aas-

fahrung von 14 Zeilen bis

104 7 v. o. „a,s — alt u s. w.", welche einen Rechen-

fehler enthält, soll wogfallen, dafür gesetzt werden:

Beispielsweise folgt O ganz direct aus E und F durch Elimination von o,^ 106 20 v. ob. statt +" setze (das 2te mal)

,, „ (l

v9 »» y*

Berichtigungen im 6. Teile.

a 438 Z. 22 v. n.

440 4 v. o. 6 u.

441 14 v. o.

5 V. D.

statt aus M setze ans Af '

»»

F*

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I.

Ueber den Ort der Axen derjenigen Schraubenbewegungen, durch welche eine Strecke in eine beliebige Lage im Räume gebracht

werden kann.

Von

Herrn Peli's'ek Miloslav,

AssUtent an der k. k. deutschen technischen Hochschule io Frag.

Kit einer Tafel.

Als Ausgangspunkt unserer Betrachtungen wählen wir die Fun- dimentalsätze der Kinematik:

1) Jede Bewegung eines starren Körpers aus einer Lage P in eine andere P\ wobei ein Punkt a seine Lage nicht Ändert, ist aequivalent einer einzigen Rotation um eine bestimmte durch a

2) Jede Bewegung eines starren Körpers aus einer Lage P in eine andere /" ist einer Translation, durch welche ein Punkt a mit seinem entsprechenden a' zusammenfällt, und einer Rotation um eine bestimmte durch a' gehende Axe aequivalent

Jene Translation kann jedoch in eine zu dieser Axe parallele und in eine zu ihr senkrechte Componente zerlegt werden. Wenn wir die letztere mit jener Rotation combiniren, so erhalten wir eine Rotation um eine gewisse, zur früheren parallele Axe, und wenn wir endlich diese Rotation mit der übrigbleibenden Translation combi- niren, eine Schraubenbewegung. Einer beliebigen Bewegung eines starren Systems kann also eine Schraubenbewegung oder eine Rotation verbunden mit einer Translation in der Richtung der Axe substituirt werden.

Area, der «Utk. «. Ftaye. 1 Eeike, Teil VIL 1

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Pelisek: Ort der Aren der Schraubenbewegungen

Soll demnach die Strecke ab in die Lage o,ft, Übergeführt werden (Fig. I.), so verschieben wir ab parallel zu sich selbst in die Lage a,(A); dann ist der Ort der Axen derjenigen Rotationen,- durch welche o,(Ä) nach axbt gebracht werden kann, der Strahlen- büschel, dessen Scheitel at und dessen Ebene die den Winkel der Geraden o^,, a, (b) senkrecht halbirendo Ebene D ist.

Wie aus dem oben angeführten ersichtlich, sind die gesuchten Schraubenaxeu diesen Strahlen parallel, die Ebene D ist daher ihre Directionsebene und der Ort der Schraubenaxe ist demnach ein ge- wisses Konoid.

Legen wir durch den Punkt ax und ebenso durch den Punkt b Ebenen, welche mit D parallel sind, und wählen in denselben eine beliebige Richtung axx •!/>,«, daun können wir den Punkt a, nach a auf einer Schraubenlinie zurückführen, deren Axe mit jeuer Rich- tung parallel ist. Dieser Bewegung könnon wir jedoch eine Trans- lation a, A in der Richtung at x und eine Rotation in der durch a gehenden , zu a, * senkrechten Ebene substituiren. Dabei wird zu- gleich bx durch Trauslation in der Richtung bxt nach B kommen, sodass axA =bxB ist, und durch nachfolgende Rotation in der durch b gohenden zu V sonkrechteu Ebene nach * gclaugen; kurz wir können die Gerado axbx in der angenommenen Richtung nach AB durch Translation und dann nach ab durch Rotation bringen.

Die Rotationsaxc erhalten wir bekanntlich, iudem wir aA bezüg- lich bB in « bezüglich ß halbiren und durch diese Halbirungspunkte Ebenen (>n bezüglich q$ legen, welche auf aA bezüglich bB senkrecht stehen; der Schnitt derselben ist die gesuchte Axe, die zugleich auch eine gesuchte Schraubenaxe ist.

Es entsteht nun die Frage, welches der Ort der Punkte A be- züglich B ist, wenn a,* alle Richtungen in der Directionsebene ein- nimmt.

Da die durch a gehenden zu den Richtungen o,* senkrechten Ebenen auch zur Directionsebeno D senkrecht sind, so enthalten sie alle die Senkrechte aSay welche von dem Punkte a zur Directionsebeno gefällt werden kann; ihre Trasseu auf der Directionsebene sind aber senkrecht zu den entsprechenden Richtungen a,*, der Ort der Punkte A ist somit ein Kreis Ka über dem Durchmesser atSa.

Den Ort der Punkte B erhalten wir gleichfalls, indem wir von b auf die Directionsebene die Senkrechte bSb fällen , als einen Kreis b über dem Durchmesser bxSu. Diese Kreise Ka uud A* müsseu congruent sein, da die parallelen, aus den Punkten Sa bezüglich S

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sm beliebiger Verlegung einer Strecke»

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ausgehenden Sennen von gleicher Länge sind. Die Oeraden aA be- zuglich bB sind also die Erzeagenden je eines schiefen Kreiskegels, dessen Erzeagende aSa bezüglich bSt auf der Basis senkrecht stehen.

Die Halbirnngspunhte aXy ßx dieser Geraden, erfüllen also gleich- falls congrnente Kreise l„, h, deren Ebenen parallel zu D sind. Es ist aber leicht zu zeigen, dass diese Ebenen in eine einzige zu- sammenfallen. Es ist nämlich bekannt, dass die Verbindungsline aß der Paukte, welche die Strecken aax und bb± halbiren, ebenfalls eine Schraubenaxe ist, welcho der Aufgabe genügt, und zwar diejenige, zu welcher eine halbe Umdrehung gehört; daher ist dieselbe auch parallel zu der Directionsebene, woraus aber hervorgeht, dass ka und h in einer Ebene liegen.

Bezeichnen wir die Schnittpunkte der Geraden aS» und bSb mit dieser Ebene mit »a und *&, dann erkennen wir leicht, dass die Durchmesser »aa und nß der Kroise ka und h parallel sind.

Die Ebene dieser Kreise wählen wir als die horizontale Pro- jektionsebene, als die verticalo dagegen die zu diesen Durchmessern parallele (Fig. II.). Um irgend eine Axe zu erhalten, ziehen wir parallele Sehnen ««,, ßßx (vergleiche Figuren I. und II.), ferner zu den Kegelcrzcugcnden aax und bßx durch die Punkte at und ßx senkrechte Ebenen; die Schnittlinie derselben ist nach früherem eine gesuchte Schraubenaxe. Diese Schnittlinie ist aber parallel mit den Sehnen aax, ßßx und zugleich ist aax «=*.ßßx die Hälfte der Trans- lation in der Richtung dieser Axe.

Auf diese Weise erhalten wir eine leichte Uebersicht, wie sich die Länge der Translation mit der Axenrichtung ändert. Wenn wir z. B. in a und ß die Tangenten ziehen, so erkennen wir, dass es in dieser Richtung keine Translation gibt, und in der Tat schneiden sich die zugehörigen Ebenen in der Rotationsaxe der gegebenen Strecken.

Die Grösse der Translation wächst bei Acnderung der Axen- richtung bis zum Maximum 2o#« — Dabei existirt folgendo

Relation :

**-f-y* = const — 55*i

wenn « die Grösse der Translation in einer gewissen Richtung, y aber in dazu senkrechter Richtung bezeichnet.

Es lässt sich nun zeigen, dass die Ebenen, welche in den Punkten der Kreise ka bezüglich h auf den Erzeugenden a^a bezüglich ßtb tenkrecht stehen, einen Kegel zweiter Ordnung mit dem Scheitel « bezüglich ß umhüllen. Vor allem ist klar, dass eine beliebige Ge- rade 00», da sie zur zugehörigen aas senkrecht ist, in der zu dieser

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4 Pelietk: Ort der Axen der Schraubenbewegungen

Geraden senkrechten Ebene liegt and daher die Spur dieser senk- rechten Ebene in der horizontalen Projectionsebene bildet. Dadurch ist aber bewiesen, dass alle betrachteten Ebenen durch den Punkt a gehen, also einen Kegel von dem Scheitel a einhüllen.

Um irgend eine Erzeugende dieses Kegels zu finden, wählen wir zu aax die unendlich nahe Erzeugende des Kegels von dem Scheitel a etwa aety und suchen den Schnitt der Ebenen, welche auf den Go- raden aax und fxorv senkrecht stehen. Die Grenze dieses Schnittes ist die gesuchte Erzeugende des Kegels mit dem Scheitel er. Da o ein Punkt dieser Schnittlinie ist, so haben wir noch einen zu finden, am zwekmässigsten den, welcher in die verticale Ebene hineinfallt, die sich in aax projicirt.

Wenn wir diese Ebene um ihre Trasse Saax in die horizontale Projectionsebene umdrehen, wobei a nach (a), die Erzeugende nach (a)«m und der Schnitt der betrachteten Ebene in die Senkrechte (ax)p hineinfällt, so finden wir, dat>s die Bestimmung der Grenze des Schnittpunktes der zu o» uud oy zugehörigen Ebenen mit der nach aax sich projicirenden Ebene identisch ist mit der Bestimmung des Berührungspunktes der Geraden ar( p) mit der Parabel, welche durch den Brennpunkt (a) und die Scheiteltaugonte Sattx bestimmt ist.

Dieser Berührungspunkt (n) hat bekanntlich doppelte Entfernung von der Parabelaxe als Drehen wir daher diese Ebene zurück, so gelangt (») nach n', sodass naM — ax$a. Die Punkte n liegen also auf einom Kreise kn , welcher doppelt so grossen Durchmesser hat wie der frühere Kreis und denselben in «« berührt Dieser Kreis ist die Leitlinie des gesuchten Kegels mit dem Scheitel «, welcher also zweiter Ürduuug ist. Dasselbe gilt wörtlich von dem Kegel mit dem Scheitel ß.

Die Horizontaltrasse der Ebene, welche ka in einer gegebenen Geraden an' berührt, findet man offenbar, indem man den Winkel $aan' halbirt; die Halbirungslinie gibt uns nach früherem die Rich- tung der Axe, welche sich in dieser Ebene befindet. Auf diese Weiso finden wir unter anderem, dass dem Punkte o auf ka die Erzeugende aya des Kegels &a, ferner dem Punkte *a die Erzeugende <w„ ent- spricht, woraus wir schliesson, dass die .Y-Axe und die Gerade a"y«" 1 a'V die Verticalprojection des Kegels ka bilden. Ebenso finden wir die Verticalprojection des Kegels kp.

Da die horizontale Projectionsebene die beiden Kegel ka und kß in den Geraden a«a bezüglich ß*b berührt, so sind dio Schnittlinien einer beliebigen Horizontalebcno // mit diesen Kegeln gewisse Pa- rabeln Pa und Pp , deren horizontale Projectionen #„« und sbß zu Axen haben, und deren Scheitel und Scheiteltangenten wir erhalten,

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zu beliebiger Verlegung einer Strecke.

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indem wir die Schnittpunkte <s«"*f der Verticaltrasse H" mit den Geraden a"ym" nnd P'yp" in die Punkte und op' projiciren.

Die Durchschnitte zweier entsprechenden Berührungsebenen zu hm und kß mit der Ebene // sind demnach zwei parallele Tangenten zu den Parabeln Pa und Pß\ befindet sich dagegen in der Ebene // irgend eine von den gesuchten Axen, so muss dieselbe die gemein- schaftliche Tangente beider Parabeln sein, und umgekehrt, jede ge- meinschaftliche Tangente der Parabeln Pa und Pß ist eine gesuchte Schraubenaxe , wobei wir aber offenbar die unendlich ferne Gerade aaszuschliessen haben

Ein weiterer Schluss ist der, dass jeder Schnittpunkt der ge- meinschaftlichen Tangenten ein Doppelpunkt der Flache ist.

Da die Parabeln P« und Pß parallele Axen haben, so müssen wir, wie bekannt, die unendlich ferne Gerade als doppelte gemein- schaftliche Tangente der beiden Parabeln zählen; diese Parabeln haben demnach noch zwei gemeinschaftliche Tangenten, welche ent- weder reell oder imaginär sein können.

Besserer Ueb ersieht wegen wollen wir nun die Sätze anführen, welche sich von den Systemen der Parabeln Pa und Pß beweisen lassen :

1) Die Horizontalprojection aller Parabeln Pa bezüglich Pß sind confocal und zwar ist der gemeinschaftliche Brennpunkt in « Dezugucn p.

2) Die Horizontalprojectionen der gemeinschaftlichen Tangenten, an die beiden Parabeln Pa und Pß in irgend einer Horizontalebene gehen durch einen festen Punkt d'.

Um den ersten Satz zu erweisen, betrachten wir die Ebene, welche ka in der Geraden a<p berührt und mit der Geraden asa einen rechten Winkel einschliesst ; die Trasse dieser Ebene schliesst nach dem früheren den Winkel von 45° mit ata und daher auch die Tan- genten in den Punkten der Geraden aa>; dann ist aber a die Pro- jection des Brennpunktes aller Parabeln /'„, weil die Tangente, welche in dem Punkte berührt, dessen Projection auf die Axe der Brennpunkt ist, mit der Axe den Winkel von 45° einschliesst, wo- durch der erste Satz bewiesen ist.

Seien 7\ und T% zwei gemeinschaftliche Tangenten der Parabeln Pm und Pß und J' ihr Durchschnittspunkt (Fig. III.); ferner UIß% Uallß die Durchschnittspunkte dieser Tangenten mit den Scheitel- tangenten 2* und 2ß\ dann sind die Dreiecke lall*** nnd JßHßß

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Pelisek: Ort der Aren der Schrtmbenbewegungen

ähnlich and für das Ccntrnm J' ähnlich gelegen ; somit geht eben- falls aß durch j' hindurch. Ausserdem finden wir, dass die Drei- ecke JaCtOa und Ipßoß ähnlich und für J' ähnlich gelegen sind ; somit geht weiter diese Gerado aaOß durch dieses Centrura.

Wenn nun die Ebene H ihre Lage ändert, indem sie sich immer parallel bleibt, so sind die Verbindungslinien oaOß die Erzeugenden eines gleichseitigen hyperbolischen Paraboloides, dessen Leitlinien oya und ßyp und dessen Directionsebenen die beiden Projections- ebenen sind.

Unter diesen Erzeugenden muss es Eine geben, welche zu dem entgegengesetzten System als oa<Sß gehört und welche zur horizon- talen Projectionsebene senkrocht steht und sich daher als ein Punkt horizontal projicirt. Da diese Gerade von allen Geraden oaap ge- schnitten werden muss, so mnss die Projection aa'oß' durch diesen Punkt gehen. Verschieben wir II so, dass //' durch den Schnitt- punkt der Geraden a"ya" und ß"yß" geht, dass also // durch die Rotationsaxe, welche sich in dem System der Schraubenaxen befindet, hindurch geht, so muss auch diese u'ß' durch jenen Punkt gehen. Jener Punkt ist also d\ womit auch der zweite Satz bewiesen ist.

Der nächste Schluss ist nun der, dass der Ort der Doppelpunkte der Fläche eine Gerade ist, welche auf der Directionsebene senk- recht steht, nnd dass sie die Gerade ist, auf welcher sich der kürzeste Abstand der Rotationsaxe mit der Schraubenaxe, zu welcher halbe Umdrehung gehört, bildet.

Die Lage dieser Doppelgeraden J zu den gegebenen Strecken ist sehr einfach. Sei O der Halbirungspunkt des kürzesten Ab- Standes der Geraden, auf denen sich die gegebenen Strecken ab und oj*! befinden, und legen wir durch denselben die Directionsebene £>, welche den Winkel der beiden Geraden senkrocht halbirt, und er- richten wir endlich in diesen Punkten auf diese Ebene eine Senk- rechte, welche von manchen Autoren die Winkelhalbirnngslinie der gegebenen Strecken heisst, dann ist dieselbe identisch mit J.

Ob zwar diese Behauptung aus den vorhergehenden Betrach- tungen ohne Weiteres gefolgert werden kann, so wollen wir doch noch zu ihrer genauen Begründung folgendes anführen.

Die Axen sämtlicher Rotationen, durch welche die Gerade P nach P' gebracht werden kann, bilden bekanntlich ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid, dessen Haupterzeugende diese Winkel- halbirungslinien sind. Da aber J die Axo der Rotation, durch welche ab nach a1bl gebracht werden kann, ferner die Schraubenaxe aß, zu

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welcher eine halbe Umdrehung gehört, rechtwinklig schneidet, so mnss sie mit der Winkelbalbirungslinie identisch sein.

Die Constmction sämtlicher Schraubenaxen ist auf Grund der angeführten Resultate sehr einfach. Beschreiben wir (Fig. IV.) einen Kreis über dem Durchmesser aJ (oder ßJ), führen wir eino belie- bige n" und projiciren den Durchschnittspnnkt oa" mit der Geraden a"ya" in die Punkte 12, dann sind die Geraden U, 2j die Pro- jectionen der Schraubenaxen, welche sich in der Ebene H befinden, da 1 2 die Scheiteltangente, a der Brennpunkt der Parabel Pa ist, ferner \J und 2j die gemeinschaftlichen Tangenten der Parabeln Pa und Pp.

Aus dieser Construction folgt nachstehende Verteilung der Schraubenaxen im Räume.

1) Wählen wir H so, dass die entsprechende Scheiteltangente

12 den Kreis nicht schneidet, dann gibt es keine reelle Axe in dieser Ebene.

2) Wenn H jene Lage erreicht, in welcher die zugehörige Scheiteltangente den Kreis in p berührt, so fallen in Jp zwei Axen zusammen. Diese Erzeugende ist die tiefste Erzeugende der Fläche, die sogenannte singuläre Erzeugende oder Kante der Fläche, da sie mit der Nachbarerzeugenden in einer Ebene liegt. Die Richtung dieser Kante halbirt den Winkel der Geraden aß und saa.

3) Verschieben wir H noch weiter, sodass die zugehörige Scheiteltangente den Kreis in zwei Punkten 1 2 schneidet , so sind

2J die Projectionen von zwei Axen, welche immer mehr diver- giren. Geht die Scheiteltangente durch den Mittelpunkt des Kreises, so stehen die zugehörigen Axen aufeinander senkrecht; wenn sie dagegen durch d' hindurchgeht, so haben die zugehörigen Axen als Horizontalprojectionen die Tangente des Kreises in J' und jene Scheiteltangente 12; diese ist die Rotationsaxe , welche sich im Systeme befindet.

4) Berührt die Scheiteltangente den Kreis in einem Punkte <?, so fallen wieder zwei Axen in der Geraden /tq zusammen, indem sie nun die höchste Erzeugende, die zweite singuläre Erzeugende dor Flache bilden. Es ist leicht einzusehen, dass die beiden singuläron Erzeugenden aufeinander senkrecht stehen.

5) Bewegt sich H noch weiter, so werden die Axen wieder imaginär, die ganze Fläche liegt also zwischen zwei parallelen Ebe- nen, welche durch die erwähnten Kanten gehen.

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Pelitek: Ort der Axen der Schraubenbewegungen

Es wird nicht überflüssig sein zu bemerken, dass es sebr leicht ist, zu einer Axe die zu ihr senkrechte zu finden ; wir brauchen nur den Durchmesser des Punktes zu ziehen, in welchem die gegebene Axe den Kreis in der Projection schneidet, durch den Diametral- punkt geht dann die Projection der anderen Axe. Es ist ferner leicht die Entfernung solcher Axen zu bestimmen.

Aus der Construction geht hervor, dass die Fläche folgende Leitlinien hat:

1) die Gerade J,

2) die Ellipse, deren Horizontalprojection der angeführte Kreis ist, und welche somit von d' geschnitten wird,

3) die unendlich ferne Gerade, durch welcho alle Directions- ebenen hindurchgehen, und welche somit durch keineu Punkt der Ellipse geht

Es ist aber zur Genüge bekannt, dass eine so bestimmte Fl&cho dritter Ordnung ist, welche A als Doppelgerade besitzt.

Bisher befassten wir uns mit der Ueberführung der Strecke ab durch eine Schraubenbewegung nach a,^. Wenn wir aber ab nach b^ überführen wollen, so wird der Ort aller Axen, welche dieser Bedingung genügen, eine andere Fläche dritter Ordnung sein, deren Directionsebeno die andere Ebene ist, welche den Nebenwinkel der gegebenen Strecken senkrecht halbirt, und deren Doppelgcrade die andere Winkelhalbirungslinie ist.

Auf Grund der vorangehenden Betrachtungen sind wir jetzt auch im Stande die Frage zu beantworten, welches der Ort der Axen der- jenigen Schraubenbewegungen ist, durch welche die Gerade P in eine willkürliche Lage gebracht werden kann.

Verschieben wir die Länge in die Lage a^t, a863 ... (Fig. V.), sodass die Strecke alle Lagen auf P* stetig einuimmt, dann wird jeder Lage derselben eine gewisso Fläche dritter Ordnung als Ort der Axen entsprechen. Die Punkte «,^,«3 ... liegen auf einer Ge- raden Af, welche parallel zu Px ist, die Kreise über den Durch- messern a/y at'J ... bilden einen Büschel von Kreisen, welcho sich in J' berühren, sie sind also die Horizontalprojection eines Büschels von Kreiscylindern, welche sich längs der Geraden A be- rühren. Die Ebenen, welche zu aalf «a, ... senkrecht sind, schneiden die Ebene aAf, wie man leicht erkennt, in den Tangenten derjenigen Parabel, welche, durch den Brennpunkt a und die Scheiteltangente M bestimmt ist; diese Ebenen sind Berührungsebenen eines para- bolischen Cylinders, der auf der Ebene aM senkrecht steht.

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zu beliebiger Verlegung einer Strecke.

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Da der Ebenenbüschel zweiter Ordnung und der Cylinderbüschel zu den Punkten o perspectivisch sind, so sind sie zu einander pro- jectiviseb. Der Ort der Ellipsen als Leitlinien aller Flächen dritten Grades ist also das Erzeugniss eines Flächenbüschels zweiten Grades mit dem dazu projecti vischen Ebencnbüschel zweiter Ordnung.

Hier sei nun erwähnt, dass eine solche Fläche allgemein sechsten Grades ist und dass dieselbe unter günstigen Bedingungen auf den vierten Grad sich reduciren kann. Von einem solchen Specialfall wollen wir bei anderer Gelegenheit sprechen.

Fnr unsere weiteren Betrachtungen ist nur der Umstand von Wichtigkeit, dass durch jeden Punkt B im Räume eine Fläche des Büschels und somit auch eine gewisse Ebene des projecti vischen Ebenenbüschels bestimmt ist. Wenn wir von diesem Punkte B eine Senkrechte zu 4 fällen und darch den Fusspunkt dieser Senkrechten eine zu M senkrechte Ebene legen, so ist durch den Schnittpunkt a ein Cylinder des Büschels bestimmt, dessen Schnitt mit jener Ebene eine Ellipse ist. Baraus sieht man, dass jene Senkrechte zn J eine Erzengende der Fläche dritten Grades ist, welche diese Ellipse, die Gerade J und die zu J senkrechte Ebene als Leitelemente besitzt, es gibt also eine Schraubenaxe, welche durch B geht und der Aufgabe

Wenn wir eine Senkrechte zur anderen Winkelhalbirungslinie [d] fallen, so! erhalten wir auch eine Schraubenaxe, durch welche P nach P* Obergeführt werden kann, wobei wir aber der Geraden P' entgegen- gesetzte Richtung wie zuvor beilegen.

Wenn wir diese Möglichkeit ausschliessen. so erkennen wir:

Die Axen aller Schraubenbewegungen, durch welche die Gerade /' in die Lage P' gebracht werden kann, sind im Räume so ver- teilt, dass

1) durch jeden Punkt (der nicht auf 4 liegt) eine Axe, näm- lich die Senkrechte zu d1 geht,

2) dass in jeder Ebene (welche nicht zu d senkrecht ist) eine Axe, nämlich die Senkrechte, welche wir durch den Schnitt- punkt der Ebene mit ^ zu letzterer führen können, liegt

Sämtliche Scbraubenaxcn bilden demnach eine lineare Con- gruenz, welche durch 4 und die unendlich ferne Gerade in der zu j senkrechten Richtung als Leitlinien bestimmt ist Durch jeden Punkt dieser Leitlinien gehen unendlich viele Axen, welche einen Ebenenbüschel der zu 4 senkrecht ist , bilden , und in jeder Ebene, welche durch d hindurchgeht, beiluden sich unendliche viele zu d parallele Axen.

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Pabit: Einigt Beziehungen zwischen den drei Höhen und

IL

Einige Beziehungen zwischen den drei Höhen und zwischen den drei seitenhalbirenden Ecktransversalen eines Dreiecks.

Von

Carl Pabst.

§. 1.

Die Lösung der Aufgabe, aus drei von einander unabhängigen Stücken ein Dreieck zu construiren oder zu berechnen, unterliegt meist gewissen Bedingungen. Soll z. B. aus drei gegebenen Strecken als Seiten ein Dreieck construirt werden, so müssen die 3 Strecken der bekannten Bedingung genügen, dass die Summe je zweier der- selben grösser, und die Differenz je zweier kleiner als die dritte Strecke ist. Wir wollen hier einige Beziehungen entwickeln, welche zwischen den drei Höhen und zwischen den drei seitenhalbirenden Ecktransversalen eines Dreiecks bestehen.

Bezeichnen ht , /,<2 , A3 die bezüglich zu den Seiten o, ä, c des Dreiecks ABC zugehörigen Höhen, so bestehen die Gleichungen :

(1) aht ■= bht = cÄ8

Mit Hilfe derselben wollen wir die Seiten a, e durch die drei Höhen ausdrücken.

Durch die Höhe A, wird das Dreieck ABC in zwei rechtwink- lige Dreiecke geteilt, aus denen man nach dem Pythagoräischen Lehrsatze erhalt:

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den drei seitenhalbir enden Transversalen einet Dreiecks, \\

Durch zweimalige Qaadrirang geht diese Gleichung aber in «4 + *4 + «* ~ 2a* b* — 2a« c* — 2b* e « + 4a* ^ 1 - 0

oder:

4&»e*-(a* — &f-c')8 - 4a,Ä1»

Aas dieser Gleichung folgen die oben erwähnten Beziehungen zwischen den drei Seiten eines Dreiecks. Damit nämlich ä, reell wird, muss die linke Seite dieser Gleichung positiv sein. Dieselbe stellt aber die Differenz zweier Quadrate dar, weshalb man dafür setzen kann das Product:

(2bc -f a* — b* — 6*) (2bc — a» -f b* -f c*) Da dieses Product positiv sein muss, so erhält mal die Bedingung:

as+<J_26c < o» < + c*+2&>

oder:

ä — c ^ a ^ 6-f-c

Setzt man nun in die zuletzt erhaltene Gleichung die aus (1) folgenden Werte für J und c:

so geht dieselbe über in

Dividirt man diese Gleichung durch tj'W, so erhält man:

[«*- W *w

Analoge Gleichungen ergeben sich für * und c, und zwar gehen die- selben aus der erhaltenen hervor, wenn man darin die Indices der Ä cyklisch und zugleich a mit b und b mit c vertauscht, so dass erhält:

(2)

4,_

2

(Mi Mt _ MaV

\ A, As A,

/Mi hh>_hhY 4As \as Ä| a, /

Hierdurch sind die Seiten des Dreiecks durch die drei Höhen be-

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12 Pabat: Einigt Beziehungen xwitchen den drei Höhen und

*

f. 2.

Ans den entwickelten Gleichungen (2) lassen sich nun einige Bedingungen für die drei Höhen eines Dreiecks ableiten. Zunächst ist klar, dass die Nenner der Brache in (2) positiv sein müssen, damit man für o, b, e reelle Werte erhält. Betrachten wir den Nenner des ersten Bruches, so stellt derselbe die Differenz zweier Quadrate dar, weshalb man dafür setzen kann:

Damit dieses Product positiv wird, muss sein:

Zwei analoge Bedingungen ergeben sich aus den boiden anderen Gleichungen in (2), so dass man als Bedingungen für die drei Höhen eines Dreiecks hat:

Ä, + A, ^ < A, < A, T A, + **'

(3) . . . < Aj--2Ai< £ < Äa + ^ + 2A,

~aT + ~ä7 ~2Ä* < a7 < ""ÄT + ~ä7 + 2Ä»

Addirt man die beiden ersten Teile dieser Ungleichungen, so erhält man folgende Beziehung:

(4) + <lfe+VHU

Mit Hilfe der Gleichungen (2) lässt sich noch eine dritte Bedingung für die drei Höhen eines Dreiecks aufstellen. Löst man die Klammer im Nenner der Brüche in (2) auf, so bemerkt man, dass die 3 Brüche denselben Nenner haben. Bezeichnet man denselben mit N\ so dass :

(5) Sb-^P

c —

dann ist:

N

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wischen den drei seit enhalbir enden EcktratuvertaUn einet Dreiecks. 13

A-.-2(V+v+v)-[(^),+ (^),+(^)l

Damit N reell werde, nrass demnach sein :

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, so genügen A,, At, A8 auch der Bedingung (4), denn aus dieser folgt:

Wenn daher ein Dreieck aus seinen drei Höhen construirt werden soll, bo ist diese Aufgabe nur lösbar, wenn die Strecken Ax, A,, Aj den Bedingungen (3) und (6) genügen.

Mit Hilfe der Gleichungen (5) kann man nun auch von der Beschaffenheit der Höhen eines Dreiecks auf die Beschaffenheit seiner Seiten und Winkel schlicssen. Zunächst ist klar, dass das Dreieck ungleichseitig ist, wenn die drei Höhen ungleich sind. Sind zwei Höhen einander gleich, so sind auch die zugehörigen Seiten gleich, d. h. das Dreieck ist gleichschenklig; und sind die drei Höhen einander gleich, so ist das Dreieck gleichseitig. Ist nämlich ht — A, — As, so folgt aus (5):

a = b = c = |AV3

Ferner ist nach dem Pythagoreischen Lehrsate für a — 90°:

Setzt man hierin für a, 6, c ihre Werte aus (5), so erhält man:

w+vv«w .

oder :

« «f+Cff-

Ebenso ergiebt sich:

Hieraus fliesst der Satz:

Ist die Summe der Quadrate der Verhältnisse einer Höhe zu den beiden anderen Höhen eines Dreiecks gleich 1, so ist das ans diesen

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14

Pah st: Einige Beziehungen zwischen den drei EOhin und

3 Höhen construirbaro Dreieck rechtwinklig, nnd zwar ist derjenige Dreieckswinkel ein Rechter, von dessen Scheitel die erstere Höhe ausgeht

Aus dem verallgemeinerten Pythagoreischen Lehrsätze folgt, dass :

ist, je nachdem a > 90° ist. Hieraus ergiebt sich mit Hilfe der Gleichungen (5):

*fÄ*sÄ+W< w

oder:

* Cö'+Cö1?»

Daraus fliessen die Satze:

1) Die Summe der Quadrate der Verhälnisse einer Höhe zu den beiden anderen Höhen eines Dreiecks ist grösser oder kleiner als 1, je nachdem der Winkel, von dessen Scheitel die erstere Höhe ausgeht, kleiner oder grösser als 90° ist.

2) Im spitzwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Verhältnisse je einer Höhe zu den beiden anderen Höhen grösser als 1.

3) Ist die Summe der Quadrate der Vorhältnisse einer Höhe zu den beiden anderen Höhen eines Dreiecks kleiner als 1, so ist der Winkel, von dessen Scheitel die erstere Höhe ausgeht, ein stumpfer.

4) Ist die Summe der Quadrate der Verhältnisse je einer Höhe zu den beiden anderen Höhen eines Dreiecks grösser als 1, so ist das Dreieck spitzwinklig.

§. 3.

Wir wollen nun noch die Winkel des Dreiecks direct durch die Höhen berechnen. Setzen wir zu dem Zwecke:

a-\-b-\-c — 2m

— 2(«—«) a — b + c = 2(u — b) a -j-i — c «=— 2(u— c)

so ist, wie in der Trigonometrie bewiesen wird:

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tvische* den drei »eitenhalbirenden Ecktransversalen eines Dreieck*. 15

tgi«»-fo~*)(tt~C) 452 tt(u— o)

■ (W-^Sr'

Mit Hilfe der Gleichungen (5) des §. 1. erhält man zunächst: / l

(10) . . .

« — 6 — ^(Ma — A8*i+Mi)

»— « — ^(Ma+Mi ~M«)

Setzt man diese Werte in die Gleichnngen (9) ein, so gehen diese

aber in :

(W) • . . . < tgi/3* -

*i,(*i+*i),-V*i"

Hiernach lassen sich ans den drei Höhen direct die drei Winkel des Üreiecks berechnen.

Aus den Gleichungen (10) lassen sich noch einige Bedingungen for die drei Höhen eines Dreiecks ableiten. Da i*— a, u — by *— "c positiv sind, so müssen A„ Älf ä3 den Bedingungen genügen:

!*i(*i + *s) >*!*»> M*t-*J *f(Ai+*i) > >

das heisst in Worten: Das Rechteck aus je zwei Höhen eines Drei- ecks ist kleiner als das Rechteck aus der Summe dieser beiden Höhen Qtid der dritten Höhe nnd grösser als das Rechteck aus der Diffo- reaz der beiden ersteren Höhen und der dritten Höhe.

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IG Pabtt: Einige Beziehungen zwischen den drei Böhtn und

Die Bedingungen (12) lassen sich noch in folgende Form bringen :

-1 _[_ hl > i > -1 _ h

Wie wir schon im vorigen §. erwähnt haben, ist, wenn hk — ht ist, das Dreieck ABC gleichschenklig, und zwar ist a — b. Für diesen Fall gehen die Gleichungen (11) über in:

(13) . .

Hieraus folgt zunächst: 2/ts > Ax. Das heisst in Worten: Im gleich- gleichschenkligen Dreieck ist die doppelte zur Basis zugehörige Höhe stets grösser als eine der beiden anderen Höhen.

Ferner ergiebt sich aus der letzten Gleichung in (13), dass

< > y mm 90° ist, je nachdem 2A3* — AA* ist. Im gleichschenkligen Drei- eck ist demnach der Winkel an der Spitze kleiner, gleich oder grösser als 90°, je nachdem das doppelte Quadrat über der zur Basis zugehörigen Höhe grösser, gleich oder kleiner als das Quadrat über einer der anderen Höhen isi.

Schliesslich folgen aus don Gleichungen (13) noch die beiden Bedingungen:

**ct«*r-2TO

(Ii)

§• 4.

Analog dem bisherigen Verfahren wollen wir nun einige Be- ziehungen zwischen den drei seitenhalbirenden Ecktransversalen eines Dreiecks ableiten. Bezeichnen m0 ma, die bezüglich die

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zwischen den drei seitenhalbirenden Kcktransvertalen eine» Dreiecks. \1

Seiten a, 4, e des Dreiecks ABC balbirenden Ecktransversalen, so erhält man nach dem erweiterten Pythagoreischen Lehrsatze:

m,* — c8 -f~ ^rt2 — aq

wenn p nnd 5 die Projectionen bezüglich der Seiten b nnd e anf die Seite a bedeuten. Beachtet man, dass p-f-'i — a ist, so folgt:

2*4* -*>+c* -J«1

Auf dieselbe Weise ergeben sich noch zwei Gleichungen bezüglich für tnt nnd »4, so dass man hat:

(15) . I a* — ib* + c* - 2m,'

( a*+P-ic* - &J41

Nach leichter Rechnung erhält man hieraus:

, a« - !(-«,» +*%'+*"•')

(16) j Äl-^2V-V+V)

Hierdurch sind die Seiten durch die drei seitenhalbirenden Eck- transversalen eines Dreiecks bestimmt. Wir wollen aus den erhaltenen Gleichungen einige Beziehungen zwischen den drei Transversalen ab- leiten.

Wie man sogleich ersiebt, müssen, damit man für a, &, c reelle Werte erhalt, die Bedingungen erfüllt sein:

%■+«.■ > W

d. h. ,in Worten: In jedem Dreieck ist die Summe der Quadrate über je zwei seitenhalbirenden Ecktransversalen grösser als das halbe Quadrat über der die dritte Seite des Dreiecks balbirenden Eck- transversale.

Ferner folgt aus dem Pythagoreischen Lehrsatze für o — 90°: Iu diese Gleichung die Werte für o, c aus (16) eingesetzt, giebt:

o-90° ß = 90»

y = 90°

Areh. d. Math, n. Phj«. 2. Keihe. T. VII.

S

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18 Pabtt: Einige Beziehungen zwischen den drei Höhen und

Daraus fliesst der Satz: Im recktwinkligen Dreieck ist die Sararae der Quadrate Ober den die Katheten halbirenden Ecktransversalen gleich dem fünffachen Quadrat über der die Hypotcuuse halbirenden Ecktransversale.

Oder umgekehrt: Ist die Summe der Quadrate über zwei seiten- halbirenden Ecktransversalen eines Dreiecks gleich dem füuffachen Quadrat über der die dritte Seite halbirenden Eoktraosversale, so ist das Dreieck rechtwinklig, und zwar ist derjenige Droieckswinkel ein Rechter, von dessen Scheitel die letztere Transversale ausgeht.

Ausserdem wissen wir, dass im schiefwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Seite grösser oder kleiner ist als die Summe der Quadrate über den beiden audereu Seiten, je nachdem der der er- steren Seite gegenüberliegende Winkel kleiner oder grösser als 90° ist. Demnach ergiebt sich mit Hilfe der Gleichungen (16):

a>90°: ^ h*1

Hieraua fliessen die Sätze:

1) In einem Dreieck ist die Summe der Quadrate über zwei Transversalen , welche die Ecken mit den Mitten der Gegenseiten vorbinden, kleiner oder grösser als das fünffache Quadrat über der die dritte Seite halbirenden Ecktransversalc, je nachdem der Winkel, welcher der dritten Seite gegenüberliegt, kleiuer oder grösser als 90° ist.

2) Im spitzwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über je zwei Transversalen, welche die Ecken mit den Mitten der Gegen- seiten verbinden, kleiner als das fünffache Quadrat über der die dritte Seite halbirenden Ecktrausversale.

3) Ist in einem Dreieck dio Summe der Quadrate über zwei Transversalen, welche die Ecken mit den Mitten der Gegenseiten verbinden, grösser als das fünffache Quadrat über der die dritte Seite halbirenden Ecktransversale, so ist der Winkel, welcher der dritten Seite gegenüberliegt, grösser als 90°.

4) Ist in eiuem Dreieck die Summe der Quadrate über je zwei, die Ecken mit den Mitten der Gegenseiten vorbindenden Ecktrans- versalen kleiner als das fünffache Quadrat über der die dritte Seite halbirenden Fcktransversale, so ist das Dreieck spitzwinklig.

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den drei teitenhalbirenden Ecktranavertalen eines Dreieck». 19

f. 5.

Nachdem wir bisher die Dreiecksseiten durch die seitenhalbi- rendeo Ecktransversalen ausgedrückt haben, bleibt uns noch übrig, die Wiukel des Dreiecks zu bestimmen. Hierbei könnte man die Gleichungen (16) auf die Gleichungen (9) des §. 3. anwenden. In- dessen wollen wir jetzt einen anderen Weg einschlagen, wobei wir iq neuen Bedingungen zwischen den drei seitenhalbirenden Eck- tnn sversaleo eines Dreiecks gelangen werden.

Der Kürze wegen sei (Fig. 1.)

A		A
CAD —	«V	BAD -
A		A	ßt
AB E -		CBE =
A		A
BCF~		ACF~=>	Y*

Alsdann ergiebt sich aus dem Dreieck BCS:

sin y, ™ «4

Zwei analoge Gleichungen ergeben sich für y-, a, und für /*„ so dass man hat:

tg W,+/,)cotgKft-y.) - H . . .{ lg«yt+«l)cotgKyf-«1)«^±^ tg + W cotg - &) = "4-±^

Wie man sieht, geht jede dieser Gleichungen aus der vorhergehenden hervor, wenn man die Winkel und die Iudices von m cyklisch ver- tauscht.

A

Ferner erhält man aus dem Dreieck CSE, da CES^u+ßi ist:

sinya »4 8in(a-f-/J,) 2mj,

Daraus folgt auf dieselbe Weise wie vorher:

20 Pabst: Einig« Beziehungen zwischen den drei Höhen und

tg Kr. + « + ft ) ctg *(» A)- J ± -gj

Nun ist aber: Kyt+«+A -90°- -J(ft+y,), wodurch die letztere Gleichung übergeht in

ceg|tf,+y,)ctg|(yt-«- A) =^j;^

Wendet man hierauf die eben erwähnte cyklische Vertauschung an, so erhält man:

(19) . . • ] ctgl(,H-,>ctgl(«f

ctgto+ft)ctg|(&-y-«,) =

Beachtet man schliesslich, dass B^FS = a-f-y, »st, so folgt aus dem Dreieck BSF:

siu(cr-f-ys) ™" 2roa

Berücksichtigt mau, dass Kft + «+yt) = 90°— l(0t + yi) ist, so resultirt:

Ctgi(A + y,)ctgi(ft-a- y.) - ^ +

Wenn wir auch hierauf die erwähnte Vertauschung anwenden, so er- geben sich die Gleichuugen:

ctgi(fc + yi)ctgJ(ft-«-yf) -

(20) ... |ctg*(yf+%)cfgKh-^«t)-^if!8

Setzen wir nun der Kürze wegen:

l et* }(& + y,) • « ; ctg K/S, - y, ) = u*

(21) . . . j ctgKy*+«,) — v; ctgj(y* — «,) — v

' ctg + ß') ctg |(a,-A) -

so gehen, bei Beachtung, dass i(y, — « - ft) |(y, — «,) - J(«*-f i etc. ist, die Gl. (18) (19) (20) über in

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drei se.Uenhalbü enden Ecktransversalen eines Dreiecks. 21

(22) I m»+^3

» m, — f/»3

u>' m^-f-m, w °* —

/ ü'u? -f- 1 2

(23) I v _ ^3 + 2»»,

m — ic' ms — 2m,

m'ü -4- 1 771,-4-27719

w —r ■=* s— 5

ü M 77»,

— to' t; -{- 1 «i3 -f-2mg

(24) / —u'w + 1 ^ m,-f- 2ma

10 M' 77», 2»»3

— 7/4 -j- 2r?»j u-J-t?' mj — 2m,

diesen Glcichnngcn genügen t», v, »/> noch der Gleichung:

(25) u-\~v -{-«> = uvfo

weil i(/f,+ya)+«yf +«i) + *(«t+W - K«+0+y) - w° ist Dnrcb Addition ergeben sich ans den Gleichungen (23) und (24) :

Ordnet man diese Gleichungen nach w, t>, w und setzt darin für u', »\ w' die aus den Gleichungen (22) folgenden Werte ein, so rosultirt:

( m, (mj -f-"^)" +*«tO"i — 2m3)i> -f- 7713(771, — 2m,) ir — 0

(26) . . < tt»^»», — 2m3)u-f-rn2(;/t3 -f 77*3(7/** — 2*%)«' = 0

' 77*1(n^~2774)tt+m,(m3-2m>+m3(m1-f-«»,)w — 0

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22

Pabtt: Einigt Beziehungen ztcischen den drei Höhen und

Wir haben also drei lineare Gleichungen für m,u, m,», m^w, der n absolute Glieder gleich null sind. Damit diese sich nicht widersprechen, muss, wie in der Determinantentheorie nachgewiesen wird, ihre Determinante verschwinden, also:

m 2 ~\- nij — 2 7^ :1

ro,— 2m, m,-f-™i

w»i — 2mg |

mf — 2mt — 0

Bezeichnen wir mit dx, ^a die Unterdeterminanten der Determinante ^, welche in der Entwicklung von als Coefficicnten der Glieder der dritten Zeile auftreten, setzt man also:

rnj — 2m3	Wj — 2 m,
	m^ — 2thj
w*j — 2 in «	«4 + »»8
wij — 2f/ij	Wj — 2m;t
	i»j — 2ms

so erhält man aus den beiden ersten Gleichungen in (26):

m,^

Muff

Diese Werte in die Gleichung (25) eingesetzt giebt:

a _ . ^»(^^8^1 ~f~ r?l3ml 4~ ^h^l^s)

Diese Brüche lassen sich noch etwas vereinfachen. Es ist nämlich:

<4j — 3»»| ( — wij -|- -|- m3) ^/j «— 3m, (m, — m^-f-mj) 4» - 3m3(m,-f m, — m,)

so dass die Ausdrücke für u», »*, wa übergehen in

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den drei seitenhalbirenden Ecktransversalen eines Dreiecks. 23

(r/h — m,-}-»^) (m, — m3)

t,* 0 (^"F "4 + ^a) (*»i — - w»i -f ma) (»»j -}- — ms) ( — «ij f», -f m,)

("h + "4+ w*s) ("h ~

(~TO,-f TOj-f-^J^-TOj+TOj)

Setzen wir schliesslich:

miH~"^ + ws — 2*

— »!+*! +«S — — TOj)

«t + w^ + TOa = 2(* — to,) TOj-f-m, - /»3 — > 2(«~ TO,)

so erhalten wir, wenn wir die Gleichungen (21) und (22) berück-

(27) NfaW-^g^

Hierdurch sind die Dreieckswinkel eindeutig bestimmt.

Denn in den Gleichungen (27) haben wir, wenn wir die Quadrat- wurzel ausziehen, nur das posisive Vorzeichen dieser Quadratwurzel zu nehmen, da die halbe Summe zweier Winkelteile eines Dreiecks kleiner als 90° ist, die Cotangente von Winkeln im ersten Quadranten aber positiv ist.

§. 6.

Wenn wir dio im vorigen §. erhaltenen Gleichungen (27) mit den Gleichungen (9) in §. 3. vergleichen, so ergiebt sich daraus, dass ßt+yn y»-f-«i, + Winkel eines Dreiecks sind, welches

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n»„ »*,, »»3 zu Seiten hat. Nun sind aber, wie sich aus Fig. 1. cr- giebt, Ä + ft, y«4"ai» a* + 0i die Winkel, weiche von dem oberen Abschnitte je einer der seitenhalbirendeu Ecktransversaleu und dem unteren Abschnitte einer anderen gebildet werden. Construirt man daher das Dreieck aus den drei seitenhalbirenden Ecktransversalcn eines gegebenen Dreiecks als Seiten, so sind die Winkel desselben gleich den Winkeln, welche im gegebenen Dreieck von je einem oberen Abschnitte einer der Transversalen und dem unteren Ab- schnitte einer anderen gebildet werden.

Dieses Resultat lässt sich auch geometrisch ableiten. Zieht man zunächst durch die Ecke B des Dreiecks ABC (Fig. 1.) dio Parallele BN zu der Transversale CF, welche dio Verlängerung der Trans- versale AD über D hinaus in N schneidet, so ist in den Dreiecken BDN und CDS:

BD =- CD

A A

BDN = CDS

A A

BND - CSD

&BDN Sg ODS

BN - CVS « $CF DN — DS = $AD

Verlängert man nun SB über B hinaus um BJ = SE , zieht durch ./ die Parallele zu CF, welche die Verlängerung von AD über D hinaus in K schneidet, so ist:

JA: BN— JS:BS=* 3:2

folglich :

JK — ftfiV« \CS - CF

Ausserdem ist:

KS:NS~JS:BS-=3:2

folglich:

KS ss INS = AD Mithin ist in dem Dreick JKS:

SK =	AD
SJ «	BE
JK=	CF
A JSK-	A BSD =	A ASE
A JKS-	A CSD =	A A SF
A KJS —	A BSF —	A CSE

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zwischen den drei seitenhaibirenden Ecktransversalen eines Dreiecks. 25

Hieraas folgt, da sich aus deu drei seitenhaibirenden Eck trans- versalen eines Dreiecks stets ein Dreieck construiren lftsst, welches dieselben als Seiten enthält, dass zwischen ihnen die Bedingungen

!»»*-{-"»» > m, > »»,— «*8 w»3 + »*l > "4 > %— *i mi ~\~m* ^> mi\ > "H — w*i

Trägt man femer auf den seitenhaibirenden Ecktransversalen TM ihrem Durchschnitte S aus nach beiden Seiten hin die Länge der betreffenden Transversale ab, so dass also

SG « SK =r= AD SH = SL- CF SJ = SM= BE

and verbindet die Endpunkte dieser Strecken, so erhält man das Sechseck GHJKLM, dessen Seiten bezüglich gleich und parallel den drei Transversalen des gegebenen Dreiecks sind. Es ist:

HJ = AD = ML GH = BE = KL MG - CF-JK

Demnach erhält man:

&ASB J-l^Jm,

llso:

[JGSJH inj.», °5

&ASB- $\JGSJK

Auf dieselbe Weise ergiebt sich:

&BSC= IOJSLK A CSA = j| □ .LSG A/

Durch Addition dieser drei Gleichungen rcsultirt:

&ABC- l GHJKLM

San ist aber, wie man sofort übersieht:

GHJKLM — 6 A GSH und:

A GOT - V*<« - *h) (« - m, ) <• - "»3)

Mithin folgt:

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26

Pabst: Einige Beziehungen zwischen den drei Höhen etc.

(30). . . {\ABC~ $Y*(s -iih) (« — m,)(«-i»i,)

wobei *, wie wir oben festgesetzt haben, die Summe der drei seiten- halbircnden Ecktransversalen des Dreiecks ABC bedeutet.

Uebrigens ergiebt sich ans dem Gesagten eine einfache Con- struetion des Dreiecks ABC aus seinen drei seitenhalbirenden Eck- transversalen fik, nu,

Man construire A^-SiV aus SN = BS — fr»,, BN = ziehe durch S und N die Parallelen bezüglich zu BN und BS, welche sich in C schneiden, verlängere NS über £ hinaus um SA — SiV, so ist &ABC das verlangte Dreieck.

Guben, Juli 1885.

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Stipp: Ueber trigonometrische Functionen von Winkelsummen etc. 27

iü:

Ueber trigonometrische Functionen von JTinkelsummen und über Relationen zwischen

Polygonwinkeln.

Von

Seipp.

Beliebige Winkeigrössen, n an der Zahl, seien mit tr,, wty tc3 • •• *» bezeichnet

Von den bekannten Formeln:

^(^i+^l+^^sin^jCOStrjCOStrj+sinirgCOSWjCOSWj+sinwsCOSWjCOStr,

— siuf,siflicj8init>3 nnd

co^tfj-f ir8-|-irs) «=• — sint^sinirjcoswrs— sin^sintrjcosw,

- - 8in»r,8inMT8cosu?1-|-co8«'1 cosw,cosw8

losgehend, erhält man wegen sogleich:

!ifl(lf, + Wj-f- «'s w*) SÜltr, COS»/», COStr3 0081^

+ 8intrj COS»/*! COStffg C08tr4 -f- sin «■■, C08w, cos w% cos «'4 -f- sin^"4cos?r, cos?i'ä cosffs

— sinw, si u trs sinw5 cosw4

— sintr, sint*t sinw>4 cosuv,

— sinicjSinirjBin^ cos«?,

— sintr, 8intrs8inu>4 costtj

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28 Seipp: Ueber trigonometrische Functionen von Winkelsummen

Auf analogem Wege ergiebt sich:

C08(»i+ir1-j-ips+ir4) =» — BinM'jSin^cosf^cos^— siniPjSina-aCosuyjost^

— S i U «rjSi U ir4C08 t/'2C08 tr3 — 81 U tc281 0 tr3CO 8 »r, COS ir4

— Sintr2siütr4C0S»r,C08»r3 — sintPgSinK^COSM'jCOStrg

+8inw18in»^8inir3sinj/'4

+C08ir1C08«PsC08!r3C08ir4

Vorstehende Entvvickeluugen lassen das Bilduugsgesetz der Aus- drücke für sin und cos einer beliebigen Winkelsumme bereits deut- lich crkenncu Es findet seiuen Ausdruck in folgenden Formeln:

I) sin( m?, -|- «'s-f-wj-f-'^-f-- f»)— ^(siniTjCOSJCjCOSM'j,. . .costrM)

— Z(8in^1sin»fx8inir3cos«?4co8j#5...cos<r„) H- £ (sin w,sintrs.. .sin w5co8»p6co8tr7 ...cosir«)

— £ (sin »r, 8i nir2' ..8in«r7 C0S»r8C08tr9 . . . COStr„)

II) C08(»/'1+t^-f u'4-f-...-fir„)==— 2:(sin<c18inu-2COSfr3C08w'4...C08M'„)

-j-^(8injr1sin?rg8in*c38intr4C08Jr5...C08ir„) — 2r(8in»r1sinjr8...8infr6C08!r7...C08*pM) -r-2^(sin/"1sin»r2...8in»o8co8»<'9...co8»rM)

-f C0SwJC0S»r2C0SJ/-3...C08^M

Was das Zeichen £ in dieser unendlichen Productensumme betrifft, so bedeutet z. B. 2:(sin«<'18inira8in*r3co8»r4...cosir„): Summo aller möglichen, von einander verschiedenen Producte aus den Sinus je dreier Wiukel mal den Cosinus der übrigen. Die Anzahl der so sich ergebenden Summanden unter dem ^-Zeichen ist demnach gleich der Zahl der Combinationen von n Elementen (Indices) zu je 3

ohne Wiederholung, nämlich in I) , ... in II) ßj),

(4)1 • • •

Durch Gleichsetzung der Winkel:

K>, — Wf = tcs = . . . «= WH ■» ic

entstehen aus I) und II) die bekannten Reihcu für sin und cos der vielfachen Bögen, nämlich:

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und über Relationen zwischen Pbhjgomrinkeln.

29

III) sin mr = 2?(8imr cos"-,ir) — 2(%va$w COS" -he)

-|--E(8in5»0C08H-4ir) — . . .

öder

»(» — — 2) . . an = ■ sin ie cos*-1 ir 123" sm c08"

T 1.2.3.4.5

und

IV) cos »ir = co8w«7--2:(8in2ircosH-?ir) + ^(sin4M'COs,*-4ir)— ...

n(n — 1) . _ COS»* - C0B"w - " a 2 C08"-*u>

n(n-l)(»-2)(n-3)_,_<t + ! 2 3 4 *m w c08 lc ~"

Dieselben sind hiernach erhalten, ohne dass auf die Moivre'sche Biiiomialformel recurrirt wurde.

«•„ irÄ1 trs . . . ir* mögen jetzt die Umfangswinkel eines Polygons *-Eeks) bedeuten. Dann ist wegen £wt oder Wi + '^+H's-f- ••• + r.- (2n — 4)Ä:

8in(Xir,) = 0 und

COS^irj) ~ ( — 1)»

Anstatt der hiermit aus I) und II) sofort sich ergebenden Relationen for die Winkel eines beliebigen Vielecks , sollen hier einige, andero Beziehungen aufgesucht werden, welche sich als Erweiterungen der bekannten Formeln

sin 2tr, -f- sin 2«ra -f sin 2tcs — 4 sintr, sintr8 sintr,

und

COS 2iCj -f- COS 2tr8 -j- C08 2irs «- — 1 — 4 C081C, C08ir8 C08tr8

Ürt Dreieck darstellen.

Die erstere dieser beiden Formeln wird bekanntlich erhalten, indem man in dem obigen Ausdruck für siD(v1-|-M»t-f-«,s) successive *i, wj und trs negativ nimmt und die so entstehenden Gleichungen *nr ursprünglichen addirt, nachdem die letztere beiderseits des Zeichens = mit —1 multiplicirt worden. Eine Erweiterung dieses Verfahrens besteht nun darin, dass mau sich für das Viereck, Fünf- eck u. 8. f., allgemein für das n-Eck dor bezüglichen Factoren —2, -3, ... — (H -2) bedient, im übrigen aber genau wie beim Drei- *tk operirt Wir setzen also in Formel I) die Bögen der Reihe &*ca negativ und addiren die so erhaltenen n Gleichungen. Die

30 Seipp: lieber trigonometrische Functionen von Winkehummen

linken Seiten derselben lassen sich sofort anf die Form sin[(2n -4) H — 2irt] bringen, wenn > den Repräsentanten der Winkelindices: l, 2, 3 ... n vorstellt. Anf der rechten Seite jeder dieser Gleichungen ändern nur diejenigen Glieder das Vorzeichen , welche den sin des negativ gesetzten Winkels «v enthalten. Die Glieder mit cos»r, bleiben ungeändert Da nun sin[(2n — 4)R— 9uv] für « <— 3, 5, 7 ... positiv , fttr n — 4, 6, 8 . . . aber negativ wird , so lässt sich all- gemein dafür schreiben: (— 1)"i:lsiu2tr,. Zur Summe (— l^i^sutfif», -f sin2irs-f ...+8in2»r,-f ... + sin2ir„] oder kürzer: (— l)M±12:(8in2t/'I) fügen wir ferner noch das —(«-2) fache von Gleichung I) hinzu. Da die linke Seite derselben gleich null , so wird der vorige Sum- menausdruck dadurch nicht geändert. - Jedes Glied der Summe £(smwi cosir, . . . cos«-*), Formel 1), besteht aus «—1 cos-Factoreu nnd nur einem sin-Factor. Es findet also in Folge der Setzung -ir, statt »c, (während i alle Werte von 1 bis « durchläuft) nur ein Zeichen- wechsel statt, und es erscheint sonach jedes Glied von ^(sinwjcostrg ... coswh) und folglich dieser Ausdruck selbst n - 1 mal mit dem -f und 1 mal mit dem — Zeichen behaftet Dazu kommt noch das — (n— 2) fache eines jedeu Gliedes. Der in Rede stehende Ausdruck £ tritt also im Ganzen — 1 — (n-2) mal auf, d. h. er ver-

schwindet ganz. Jedes der negativen Glieder von — ^(siui^sinw, sintr8cosjr4 ...co8«rH) und folglich dieser Ausdruck selbst, kann, wenn succe8sive ir8, «%, ... trM negativ genommen wird, nur 3 mal sein Zeichen ändern. Er tritt also «—3 mal unverändert und 3 mal mit entgegengesetztem Vorzeichen, zusammen (»— 3) — 3 mal auf. Jedes

mit geändertem Vorzeichen hinzugefügt, so dass der Ausdruck -f- ^(simr, sinir, sin»r8 cosir4 ... cosirM) im ganzen 3— (n— 3)+(n— 2) mal, d. h. 4 mal vorkommt. Besitzen die Glieder eines Summanden £ in Formel I) allgemein v Sinus- und u — v Cosinus-Factorcn, so werden jene, den vorstehenden Betrachtungen gemäss, im ganzen v — (n—v) +(»»— 2) mal, d. h. 2v — 2 oder 2(v — 1) mal mit dem ihrem ur- sprünglichen entgegengesetzten Vorzeichen auftreten. Dasselbe gilt folglich auch von dem ganzen Ausdruck £. Die vorsteh and be- schriebene Summation ergiebt demgeraäss das Resultat:

V) (— l)»±li:(sin2tr1) = 42;(siuM?18inirÄsinir3co8t<?i...co8irl,)

Ausdrucks £ wird ausserdem noch u— 2 mal

— 82?(8infc18in«y..8in!ff6cosK>6.. cosir*) -j-122J(sint/'18inirÄ. .8inir7cos«?8...co8ir.l) — 162?(8intr1sinfrt...8intryCOStrl0...CO8ir„)

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und über Relationen zwischen Poluaonwinkeln

31

-=» 4{1 2^(sin?r,8inir88in«'8co8tr4...c08Jrtt)

— 2^(8iDirl...sin*f4C08»/'ti...CO8irM) -f-32.'(8illtr,...sintr7C08tr8...C0SM-,i)

— 4£(sinfc1...8imc9eo8«>10...co8«')()

t

Für angcrade Werte von n bricht diese fortlaufende Summe mit einem Gliede ab , welches nur aus einem einzigen Sinusproduct be- steht Für n = 3, also w4 » >rft 0 uud folglich cosf4 öftps— ... = 1, sinw4 = sini/*5 — ... =0 folgt z.B. -j-l^(8init,i) = 4siDirtsinrrisinu*3. Die andere Relation zwischen den Dreiecks- winkeln: cos 2^,-1- cos 2ir8-{- cos 2fr.j = — 1 — 4cosK1co8»r,cos^3 wird erhalten, wenn man in der Formel für <£(cos!r,) successive tr„ 'j negativ setzt und die so erhalteneu drei Gleichungen zu den vorigen einfach addirt. Zum Viereck, Fünfeck, Sechseck ... «-Eck fortschreitend, bringen wir statt -f-1 die Factoren 0, —1, —2 ... -(» — 4) zur Anwendung. Im Uebrigeu verfahren wir wie beim Dreieck. Das Summenglied ^(sin^sint^cosfracosip^ ... cos*rM)'fällt * Folge der besonderen Wahl jener Factoren in allen Fällen aus. Man findet auf dem angedeuteten Wege leicht:

H) — (n— 4)(— l)M-f-(— l)M^(C082<r,)=4c08ir1C0S»r2C08rr3...C0S<rl,

— 42(siutr1siu<rssiÜ"*3simr4C08J/'6...COSir„)

-f-8^(8injr1sina'1...sin«'ücos^7...co8ir») —122:(8in«T18iutrj.. 8in/r8cosirs)...co8M'N) -fl6-S(8intr1sin*rg...8intp10cosirn...co8?rN)

=4cOS*r1COSf2cOSfr8...C08trw

— 4{lJS(sintr1...8in»r4cos^5...cos?rw) — 2£(8injr,...sini/'<.c08ir7...C08w'M)

-f-32;(siUJP1...8inf'8C08'r9...C08Jrw)

-~4£(simr,...8in?c10costrJJ...cosirH)

!

Bei geradem « bricht diese fortlaufende Summe mit einem Product m n Sinus-Factoren ab. Das vierfache Cosinus-Product erscheint unter allen Umstanden.

Das Bildungsgesetz für die trigonometrische Taugente einer be- liebigen Winkelsumme leiten wir durch Induction von

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32 Seipp: Oeber trigonometrische Functionen von Winkelsummen

1 — tgir, tg»rs

aus ab. Zunächst folgt:

oder l-tg(-i + -s)tgir3

8 l-tg'^tgl^-tglTjtglfj— tglfjtgWj

und endlich allgemein für 7» Winkel:

TO) tg(«yf ,r,-j-,r3+,r4+...-f = Z (tgir,)- 2; (tgifjtg^tgtr,)

0 0

+ ^ (tgM-jtgiPjtgirjtg^tgWj)

o-

: 1- Z (tfc^tgir^-f- £ (tgtrjtgi^tgwstg»4) - . . .

0 (i)

Für cotgfiV,) gilt der reciproke Ausdruck.

Formel VII) reducirt sich für tc, — w, — ... tr„ = »r auf fol- genden für die tang des « facheu Winkels giltigen Quotienten zweier unendlichen Keiheu:

V — . .

«tgtc-(") tg»ir+(") tg

VIII) tg««c= f*} \0/

l-Q)tgV + Q)tgV-...

Für cotgmr gilt der umgekehrte Ausdruck.

Bedeuten jetzt ict. *rÄ, >r3 ... wM die Winkel am Umfang eines »-Ecks, dann ist tg(2>t) = tg(2«-4)R = ü und die Formel VII) geht in die folgende über:

IX) 0=2: (tg«",) - Z (tg»f1tg»rJtg»rs)+ Z (tg^tg^tg^tg^tg^-...

CD CD C)

Dieselbe liefert ihrerseits wieder iu dem speciellen Fall, dass ir4 — »r5 « ... o, die bekauntc Relation zwischen den trigouometrischen Tangenten der Dreieckswinkel:

tg"'i + tgWfc+tgWj «= tgw, tg*fj, tgir3

Zwischen den Tangenten der Viereckswinkel besteht die entsprechende Beziehung:

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33

+ tg«',tg^tgw4+tg»^tg»^tgir4

Formel IX) ist übrigens auch aas der auf Polygon winke] an- gewandten Formel I) durch Division mit cosm^cosw* ... cos«»H ab- leitbar.

Für die cotg einer beliebigen Winkelsumme gilt die Formel :

X) COtg(ir1-r-tPÄ-f-tra-ffr44-...-f «•„)= £ (cotgtr,)— 2T(«)tir1cotgic<COtgM'3)

G) 0

-f- <£(C0tg«?, COtg»c, COtg<rsCOtgv4COtg w6

: 1— £ (cotgu?,cotg*Ä)-f. £ (cotg^cotgi^ ... cotgte4)

Betragt die Zahl der Winkel beispielsweise 3 und gehören dieselben einem Dreieck an, so folgt aus X), da cotg(2R) =od, folglich der Xenner gleich null wird,

2 (cotg ir, cotg wt) = 1 oder

3^

0

.2,

COtgTjCOtg^-j-COtg^COtgT^-l-COtg'^COtgWj, — 1

Diese Formel ist jedoch identisch mit

£ (tg«?,) = tg tr, tg trÄ tg ws

0

Schliesslich sei noch bemerkt, dass die letztere Formel, je nach- dem man beide Seiten derselben mit cotgw, cotg«*,, cotgtr, cotgws oder cotg*, cotgtf^ multiplicirt, auch auf eine der drei Formen:

tgwx — COtgw, — COtgw3 = tgtr, COtgJCg COtgw8,

— COtgttj -f- tg«?t — COtg»cs — cotgtr, tgwt COtgu>3,

— COtgw,— COtgwa-f-tg'f3 — COtgw , COtgw, tg*^3

gebracht werden kann.

Irtk. 4er Math. n. Phjre. 2. Reihe. T. YII. 3

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34

Oekinghaua: Die elliptischen Integrale der Bewegung

VI.

Die elliptischen Integrale der Bewegung eines schweren Punktes in der verticalen Parabel.

Von

Emil Oekinghaus.

Die Verwandtschaft der Curven kann dazu benutzt werden, in dynamischem Siune die Bewegungsverhältnisse eines Punkes auf die Bewegung eines zweiten in der verwandten Curve zu beziehen.

Wir werden im Folgenden die Bewegung eines schweren Punktes in einer verticalen Parabel analytisch verfolgen und die daraus ent- springenden Zcitintegrale mit denjenigen identiticiren , auf welchen die Rectification der Ellipse und Hyperbel beruht.

1.

Wir nehmen zunächst an, dass die Achse der Parabel vertical nach oben gerichtet sei und erteilen im Scheite] der Parabel dem schweren Punkte eine Geschwindigkeit r0« welche der Geschwindig- keitshöhe h entspricht Demnach ist

Nach Verlauf der Zeit t habe der Ort des Punktes die Abscisse s, die Geschwindigkeit wird dann durch

pl - 2g(h-x)

bestimmt. Führen wir den Polarwinkel 6 ein, so ist, wie vermittelst der Polargleichung gefunden wird,

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eines schweren Ihmktei IH der verticalen Parabel. 35

y -2^*0,

r = -V

cosiö

Für die Grenzlage ist demnach

Da nun v — — und also die Zeit der Bewegung durch f — # —

gefonden wird, so muss zunächst das Differential des Parabelbogens # darch 6 ausgedrückt werden, man findet

Sabstituirt man nun noch in v den oben abgeleiteten Wert vod ar, so gewinnt man schliesslich das Integral

-/

pdte

COS id*V ~2g(h - (h + q) sin

Zu diesem Integral gelangt man nun auch auf folgendem Wege. In einer Ellipse 1 wählen wir einen Punkt derart, dass

seine beiden Brennstralen einen Winkel 0, also den Polarwinkel der Parabel einschliessen. Bemerkt man nun, dass der Bogen S der Ellipse durch

S = A f\[l— Jt sin 9*<ty

bestimmt wird, dass <jp der bekannte excentrische Winkel ist, wel- cher, wie leicht nachzuweisen, vermittelst der Relation

cosgp =» c tgiö

durch 6 ausgedrückt werden kann, so führt die Einführnng von 0 auf ein Integral von der Form

-/

cos^Vc* — A*smld*

welches mit dem obigen Zeitintegral in Uebereinstimmung gebracht werden kann. Wählt man den Bogen von der grossen Achse au, so entspricht der Bogen S der Zeit t , welche vom Scheitelpunkt der Parabel an gezahlt ist.

3*

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36 Oelinghaus: Die elliptischen Integral* der Bewegung

Soll demnach die Zeit t des durchlaufenen Parabelbogens pro- portional durch einen Bogen * einer bestimmten Ellipse dargestellt werden, so sind folgende Bedingungen erforderlich

h " C* Aus der zweiten folgt demnach

J-gi-cotgtf«

Q

wonach der aus tg \ß =- ^ folgende Winkel zwischen den Brenn- linien vom Scheitelpunkte der kleinen Achse, also 0, dem Polar- winkel des höchsten Punktes der Parabel, oder der Geschwindigkeits- höhe h entspricht.

In Folge des Obigen findet man die Zeit der Bewegung aus der Relation

8 l /2h

so dass für zwei Phasen

die entsprechenden Zeiten sich verhalten wie die bezüglichen El- lipsenbogen. Für den senkrechten Fall aus der Höhe h folgt die Zeit t aus h — \g ts, demnach gibt hiernach die letzte Formel die Relation

t _S x ~~~ C*

Die Fallzeit in der Parabel verhält sich zur Fallzeit in der Ge- schwindigkeitshöhe h wie der dem Polar- und Focalwinkel B ent- sprechende Ellipsenbogen zur Excentricitüt.

Setzt man einfach

r 9 <J

so ist der Ellipsenbogen S selbst das Mass der vom Scheitel der Parabel an verflossenen Zeit.

Führt man dagegen in der allgemeinern Formel

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eines schweren Punktes in der verticalen Parabel.

37

die mittlere Geschwindigkeit c ein, so folgt, wenn man die Excen- tricität der Ellipse gleich der doppelten Geschwindigkeitshöhe, also C=2h annimmt,

c — v0

Mit der Bewegung eines Punktes in der Parabel, deren Achse »ertical nach oben gerichtet ist, steht demnach eine entsprechende gleichförmige Bewegung eines audcrn Punktes in einer Ellipse derart in Wechselbeziehung, dass der Polarwinkel des Punktes in der Parabel zu jeder Zeit dem Focalwiukel des bezüglichen in der Ellipse gleich ist, vorausgesetzt, dass der Polarwinkel ß des äusser- tet) Punktes vermittelst der Relation

tgtf - °B

die Achsenverhältnisse der Ellipse definirt.

Da v» - 2g{h-qtgi6*) ~ 2gh (l- §,tgi*») - 2ghnnv* ist, so ergibt sich aus

X

der Satz, dass die Geschwindigkeit in den verschiedenen Parabel- ponkten den Abscissen der entsprechenden Ellipsenpunkte propor- tional ist

Ueberträgt man demnach in dem entwickelten Sinne die gleich- förmige Bewegung eines Punktes in der Ellipse auf die Parabel in der gedachten Lage, so erhält man die Fallbeweguug in derselben. Die periodische Bewegung des schweren Punktes in letzterer wird demnach durch das Durchlaufen eines zweiten Punktes in der er- stem klar veranschaulicht Je grösser die erteilte Anfangsgeschwin- digkeit »o ist, um so grösser wird ß, und um so gestreckter wird die Ellipse, bis sie bei unendlich wachsendem v zu einer Geraden de- generirt Dagegen nähert sich bei abnehmender Geschwindigkeit die Ellipse der Kreisform.

n.

Wir nehmen ferner an, dass die Achse der Parabel normal nach unten gerichtet sei.

Die Anfangsgeschwindigkeit im Scheitelpunkt sei v0, die der Ab- scisse x entsprechende Geschwindigkeit wird bestimmt durch die Formel

v* — v0*+2gx

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38

Oektnghaus: Die elliptischen Integrale der Bewegung

Die Substitutionen sind wie vorhin einzuführen, so dass das Zeitintegral durch

J cos$0* V2j7 (A — (h — q) sin $6*)

detinirt ist. Hierin bedeutet /» die der Geschwindigkeit v0 ent- sprechende Höhe.

Es kommt nun darauf an, dieses Integral auf anderm Wege abzuleiten.

In einer Hyperbel A* ~~ Bt = 1 bestimmen wir einen Punkt der

Art, dass die Focallinien einen Winkel 180° — 6 mit einander ein schliessen, welcher dem Polarwinkel 8 der Parabel entspricht.

Beachten wir nun, dass beider Rectificatiou der Hyperbel ein Winkel

q> vorkommt, der durch die Formel = — cos g> bekannt ist , und dass auch hier die Relation

durch Einführung der Amplitude B in das folgende umgeformt werden:

Dieses Integral ist dem obigen für die Parabel analog.

Soll demnach die Zeit t des vom Punkte durchlaufenen Parabel- bogens proportional dem Bogen <S einer bestimmten Hyperbel sein, so sind die folgenden Bedingungen erforderlich

tg? - ctg£ö

gilt, so kann das Bogenintegral

cosid* j/l - h sin \6* J cos**» j/i - 5

sin $0*

h-q A*

h ~ c*

Aus der zweiten folgt demnach wegen C* — A^+B*

*=^;=cot^

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eines schweren Punkte» in der oerticalen Parabel.

39

Hieraas ergeben sich die Achsenvcrhältoisse der Hyperbel, wo- nach jeder Geschwindigkeitshöhe h eine bestimmte Hyperbel ent- spricht, falls h > qy und der Punkt gezwungen ist, die Curvo nicht zu verlassen.

Tragt man auf der kleinen Halbachse die Strecke B auf und zieht die Focallinicn, so schliessen diese eineu Winkel ß ein, welcher gleich dem Polarwinkel ß der Parabel ist , letzterer entspricht der Höhe h für die Anfangsgeschwindigkeit v0.

Die Zeit des durchlaufenen Parabelbogens ist dem Bogen 5 der Hyperbel proportional, wenn der Polarwinkel gleich dem Focalwinkel ist Man hat dann wie bei der Ellipse

Für die der freien Fallbewegung in h entsprechende Zeit t folgt aus der letzten Formel

Bewegt sich demnach ein Punkt vom Scheitelpunkt einer Hyperbel aas in gleichförmiger Bewegung, so ist mit dieser eine beschleunigte eines schweren Punktes in einer Parabel verknüpft, und zwar so, dass der Focalwinkel der Hyperbel dem Polarwinkel der Parabel gleich ist. Wie man sieht, geht die Bewegung in's Unendliche fort.

C C Da S — ~ t^.« ist, so führen wir ein c —j--

Die gleichförmige Geschwindigkeit in der Hyperbel ist demnach = c Setzen wir die Excentricität gleich 2h, so folgt c — r0, wo- nach bei der Hyperbel die constanto Geschwindigkeit mit derjenigen

im Scheitel der Parabel übereinstimmt. Je kleiner diese ist, um so

(j

grösser wird wegen \%\ß = ^ der Asymptotenwinkel und um so

steiler die Curve. Bei grösserer Geschwindigkeit dagegen wird der Winkel kleiner, und die Hyperbel degenerirt zu zwei in der Ab- scissenachse liegenden Geraden. In beiden Fällen nehmen wir die Excentricität C als constant an.

Die Geschwindigkeit wird durch die Formel

T

8 C

also wegen bekannter Beziehungen durch

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40

Oekinghaui: Die elliptischen Integrale der Bewegung

»0

cosg>

bestimmt. Sie ist demnach der Hyperbel abscisse x proportional und wächst mit der Zeit in's Unendliche.

Man wird schon bemerkt haben, dass die Bewegung eines Punktes in der Parabel mit nach unter gerichteter Achse auf besondere Grenzfälle stüsst , die einer Untersuchung bedürfen, da der Modulus des elliptischen Integral grösser, kleiner und gleich null gesetzt werden kann. Im letztern Fall ist h = oder die Geschwindigkeits- höhe wird zur Focaldistanz dor Parabel und damit wird die Be- wegung die freie der Wurfbewegung im leeren Räume.

Für diesen Fall müssen wir sehen, was aus unserer Hyperbel wird. Da der betreifende Polarwinkel der Parabel «=» 90° und dem- nach C= B wird, so geht die Hyperbel in die Ordinateuachse über. Der Wurf bewegung entspricht demnach eine gleichförmige Bewegung in einer Geraden, welcho man in entgegengesetzter Richtung mit der Achse der Parabel in gleicher Lage annehmen kann. Die Ordinalen des Brennpunktes schneiden die Parabel in den Brennpunkten dieser Grenzbypcrbel. Auch ist der Focalwinkel iu jedem Punkte dieser Geraden gleich dem Polarwinkel der genaunten Bewegung in der Parabel. Da wegen h — q die Excentricität gleich 2h — 2q ist, so ist die gleichförmige Bewegung in der Geraden gleich der Geschwin- digkeit ein Scheitel der Bahn.

Hinsichtlich der Wurf bewegung bemerken wir noch, dass die Schnittpunkte der Parabelachse mit den Tangenten, welche durch die aufeinander folgenden von dem geworfenen Körper durcheilten Parabelpunkte gezogen werden , sich nach oben in einer der Fall- bewegung entsprechenden Art bewegen.

Denn die Geschwindigkeit in der Parabelachse wird durch

sin \B rlO

in der Parabel durch

ausgedrückt, woraus

und damit das genannte Gesetz folgt.

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schweren Punktes in der vtrticalen Parabel. 4J

Wir haben hiermit die Fälle h 5^ q erledigt, damit ist auch

die Verwendung der Hyperbel erschöpft, da alle Verhältnisse und Lagen derselben innerhalb der obigen Grenzbedingungen enthalten sind. Die Frage ist demnach, zu welcher Curve die Bewegung hin- überführt, wenn A < q ist. Ist demnach die Geschwindigkeitshöhe h der Aufangsbewegung im Scheitel der Parabel zwischen 0 und der Focaldistanz q enthalten, so besteht die Untersuchung darin, eine Curve zu suchen, welche, von einem Punkte gleichförmig durch- lasen der Parabelbewegung entspricht. Zugleich muss dieselbe der Integralgleichung Genüge tun.

Dieselbe ist

pd\6

cos $6* i"lg (Ä -f (q - h) sin $6*) oder

Ol

t sin 10'*

V1-'

q Asiniö'*

Um nun die Curve aufzusuchen, deren Bogen durch ein solches In- tegral defiuirt ist, schreiben wir abgekürzt

-/

adtp

Da nun so folgt

sin <p* Vi - k*nm<p' ds* — dx*+dy*

dx>+dy> - _(«^-^ Wir führen ein

x = aCOtgqp, sinqp*

wodurch

akdtp

oder

kadx

Die Integration ergibt

y - ak log (x + V -f Const als Gleichung der gesuchten Curve.

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42 Oektnghaus: Die elliptischen Integrale der Bewegung

Der Einfachheit wegen nehmen wir die Constante so, dass y für x = 0 verschwindet Man hat also definitiv die transcendente Curve

y - -gr

Diese Gleichung genügt der oben ausgesprochenen Bcdiugung. Denn differentirt man sie und setzt in

den gefundenen Differentialquotienten ein, so resultirt, wenn x — eot<p gesetzt wird, die obige Integralformel fflr #.

Aus der Identität beider Integrale folgt für <p - J6' - 90° —

Die zur Goschwindigkcitshöhc als Abscisse gehörendo Ordinate sei a, dann ist aa = 2/>A, weshalb die letzte Formel in die Relation

m — ty übergeht.

Der in der Curve mit dem Parabelpunkt correspondirende Punkt beschreibt die Curve mit gleichförmiger Geschwindigkeit v0, welche der Geschwindigkeit im Scheitel der Parabel gleich ist

Die Abscisse in der ersteren wird stets durch x' = atg aus- gedrückt, so dass, da tgjö - =- x' stets der Ordinate des bezüglichen Parabelpunktes proportional ist.

Man kauu noch die oben abgeleitete Gleichung mit der Ketten- linie in Beziehung bringen, wenn man * und y mit einander ver- tauscht Wird a — 1 gesetzt, so findet man

x

k

Vfc'* + COtqp*-f COtqp — fcV

x

£

yVM-cot?*— cot?«-*'«

Durch Addition und Subtraction folgt hieraus

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eines schweren Punktes in der verticalen Parabel

43

x x

h ~k

2\* +« ) = pV*'*+«>tgp'-*',

3C

Da der Bogen «' der Ketten Ii nie = A- tg <5 ist, worin 9 den Winkel der Tangente des bezüglichen Cnrvenpnnktes mit der Jf- Achse dar- stellt, so folgt

Hieraus resultirt, wenn die Kettenlinie gegeben ist, eine leichte Con- struetion der Cnr?e, und zwar mit Hülfe der Tangente.

Wir bemerken noch, dass die Rectiiication der vorliegenden logaritbmischen Cnrve anch durch das Integral

formulirt werden kann. Berücksichtigen wir nun, dass der Bogen

s' = k'*F(ö) — E(d)+d tgd

detinirt wird, worin ö ein bekannter Winkel ist, so folgt durch Ver- gleichen der letzten Ausdrücke noch die Relation

Die Differenz zweier einander entsprechenden Lagen der trans- cendenten Cnrve und der Hyperbel ist demnach durch ein elliptisches der ersten Art charakterisirt.

Wie aus den Ent Wickelungen hervorgegangen ist, sind die Be- wegungsverhältnisse des schweren Punktes in einer Parabel je nach der Lage der letztern auf die Ellipse und die Hyperbel übertragbar.

Die Vermittelung beider Bewegungen ging aus der Ueberein- stimmung der elliptischen Integrale hervor, zu welchen die Recti- fication der Kegelschnitte und die Zeitbestimmung der Bewegung geführt hatte. Wir werden später zeigen, dass auch die Newton'sche Centraibewegung eines in Kegelschnitten einhergehenden Punktes durch eine ihr verwandte andere dargestellt werden kann.

cotg? = k'tgö = x

~ COBO*

dd - F(6)-£(*) + 4tg*

einer Hyperbel

Emmerich, im Nov. 1884.

44

O r k imjhau <: Di« elliptischen Integrale der Bewegung

A i h i i g,

Wir geben hier noch einige Sätze über die Fusspunktcurven der Kegelschnitte.

Ausserhalb einer Ellipse ziehen wir durch einen Punkt />'(» eine Sceaute, welche mit der JT-Achse den Winkol r einseblicsst Die Secantenteile seien *,*t. Sie sind Wurzeln der Gleichung

•'(aisin^+Ä'cosT*) - 2Ä(a*sinT8in^ + i8cosTcosiI>)« + Ä,(a,sin^ + &»cos^,)-a*iii — ü

Soll die Secante zur Tangente werden, so müssen beide Wurzeln gleich sein:

i _ »".'/sinT-r-^arcost 3 o*sin T9+b*eökx*

und die Bedingungsgleichung hierfür ist:

(rt^ysinr-f-ÄxcosT)* — (a^sinT,-^-Ä*c08T^l)(aV-M,iC,-— a%b*)

Aus diesen Beziehungen lässt sich eine Gleichung für t ableiten, wenn t eliminirt wird. Mau findet

a *yV a* y * + b* x* — a*Ä* — b*t* -f h *.r V — a* y * — b* x* + a*b* + a*t*

- e(aV-M**2—

woraus für t* eine quadratische Gleichung hervorgeht, da 2 Tan- genten existiren. Sie ist:

tA(ay+b*x*)*— 2t*M(ay+b*x*+(a*+b*)x*y*+a*c*y*— b*c*x*) +M*((x*+y*)*-2c*(x*— c*) - 0

Daher ist

v. = q v + ^H-yy ~ 2cV ==75T?

Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen, welcher nur von der Excentricität abhängt, bezeichnen wir mit g4, so dass also das Pro- duet pxp% der von R(y) nach den Brennpunkten gehenden Geraden gleich q* ist.

Daher hat man

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eines schweren Punktes in der verticalen Parabrl.

45

rv „ n . cos . sin ty* 1

Da aber * — ÄcosiJ/, y = Rsmty, — -~- -f- — -~ — ^ wo r

der io Ä liegende Ellipsenradius ist, so folgt

Mj (R+r) (R-r) PiP* " *»

(*+r)(Ä — *■) ist das Prodnct der Teile der Mittelpanktssecanteu , welches wir mit *, bezeichnen wollen, Daher besteht die Relation

kh 3*

wonas der Satz folgt:

Zieht man von einem Punkte Ä(y) an eine Ellipse die beiden Tangenten und die Secante durch den Mittelpunkt, so ist für alle coofocalen Ellipsen das Yerhältuiss der Producte beider Tangenten u dem Producte der entsprechenden Secanten eine constante

Setzen wir ^ — », so besteht hierfür die Curve

R*U - »«) - 2c» Ä'cos 2<p + c* - 0 ils geometrischer Ort der Punkte, für welche auch % constant ist.

Ist n — 1, so folgt eine gleichseitige Hyperbel. Im allgemeinen ist die Curve eine Cassinische Linie.

Man kann ferner setzen

PiPt = «V-H***

Hiernach soll das Verhältuiss constant — * sein. Der geome-

irische Ort der Punkte dieses constanten Verhältnisses ist ein Kegel- schnitt:

a* b* ~~ 1

1-k 1—k

Mit jedem Kegelschnitt ist demnach ein beliebiger zweiter und Italiener verknüpft, welcher die Eigenschaft besitzt, dass das Pro- dnct der vom 2. an den 1. gezogenen Tangenten zu dem Producte d*r entsprechenden Brennstrahlen ein constantes Verhältniss bildet.

46 Oekinghaus: Die elliptischen Integrale der Bewegung

Die Tangenten an einen Kegelschnitt kann man auch auf fol- gende Art mit Kreistangenten in Verbindung bringen. Wir be- schreiben um das Centrum des Kegelschnitts einen Kreis mit dem Radius p. Vom Punkte xy oder R(ty) ziehen wir an beide Curven die Tangenten.

Für den Kreis besteht demnach die Gleichung

Wir nehmen an, das6 + = 2«* ist und gowinnon aus den ent- wickelten Gleichungen die Curve 4 Grades

x*b\f — a"— «")+*4«V — *,+«") + *V«,*W - «* — a*£*c*(aV-£sx*) =U

Es sei - — '2 - , so erhalten wir aus

a* b* 3 W *V

b x* yp

die Gerade y — und den Kegelschnitt |a*4- ~p» = *i welcher

eine Hyperbel sein muss. Beide Resultate geben zu neuen Sätzen Veranlassung.

Auf Fusspunktcurven kommen wir durch Einführung des Winkels ao zwischen den Tangenten t^tt eines Kegelschnitts, für welchen die Formel

oder

gilt Aus der letzten Gleichung folgt:

(x* + y*)i _ 2(a* -f ft* -f 2b* cot a*)« *+ 2(a *-f- &* -f 2a*cot «V -(a*-H»)*-4«WcoW

Wir wählen die Hyperbel als Grundcurve, setzen also — »" statt 6* und führen ein

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Funklet in der verticalen Parabel

47

dun folgt

Diese Gleichung stellt die Fusspank tcurve einer Ellipse dar. Daher bibeu wir den Satz:

Mit jeder Hyperbel ist eine bestimmte Fusspunktearve einer Ellipse verbunden, welche der geometrische Ort aller der Punkte ist, von welchen die an die Hyperbel gezogenen Tangenten einen constanten Winkel od = 2*, den Asymptotenwinkel, einschüessen.

Aas der allgemeinen Gleichung folgt für die gleichseitige Hy- perbel mit constantem a>

Also resultirt hieraus:

Mit jeder gleichseitigen Hyperbel existiren Schaaren von aus einem Zuge bestehenden Leraniskaten , welche die Eigenschaft be- sitzen, dass die von jedem ihrer Punkte an die Hyperbel gezogenen Tangenten constante Winkel einschüessen.

Wir wollen Ober die Rectification der Fusspunktcurven der Kegelschnitte noch einige Integrale aufstellen und transformiren.

Die allgemeine Gleichung derselben ist

Ä* — 2c** cot w* R* cos 2qp -f - c4 cot«*4 —

cot«8 sin ö»1

r* — a* — b*sinq>

Der Bogen wird dargestellt durch

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48 Oekinghaus: Die elliptischen Integrale der Bewegung

Wir führen ein

«*

tg V — bi cot <p so folgt für die Ellipsenfusspunktcurve

_ p (1Y

Der Winkel if> ist geometrisch leicht bestimmbar. Er ist der Winkel, den die kleine Achse mit dem Radios des Ellipsenpunktes macht, auf dessen Tangente die Normale r(<p) als Vector der Fusspuukt- curve gefällt ist.

Wenden wir das Additionstheorem der elliptischen Integrale 3. Art auf diesen Fall an, setzen demnach

cos 1^3 «=■ cos v^, cos 1/;, — sin ^, sin V>2 J<t>3

so findet man nach einigen Entwickelungen

+ «s-V«* +A* arctg ^ _To4 _ ^ C08 ^ c08^os t^)

Zu zwei Bogen der Fusspunktcurve einer Ellipse lässt sich dem- nach ein dritter finden, der von der Summe der beiden ersten um einen bestimmten Bogen eines Kreises differirt.

Für die Fusspunktcurve der Hyperbel

r* — a* — c* sin g>*

folgt der Bogen

J (*+ "F sin^^/l-^sin^ tg^ -=^C0tqp

Es ist qp der Polar winkel des Hyperbelpunktes, auf dessen Tangente die Normale r(q>) als Vector der Fusspunktcurve gefällt ist

Das Additionstheorem liefert nun auch die Relation der 3 Bogen wenn a > & ist Ist dagegen a < b, so folgt

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eines schweren Punktes in der verticalen Parabel. 49

A*(a4— (o*-44)co8t^1cos^co8»|'8)-f-«3c2:|/65{— «isint^sint^sinV;;,

Aas diesen allgemeinen Gleichungen lassen sich leicht noch specielle entwickeln, wenn *8 ein Qaadrant ist etc.

Legen wir .eine Gerade durch die Fusspunktcurve, welche gegen die Achse um den Winkel ß geneigt ist und den Abstand h vom Centrum hat, und entwickeln die Gleichung für tg qp, so folgt

-t - az ces P) + "« 8in2|S tg + (2 - 1+ a< sin ß*) tg <?* + siu2^tgqp-f -t- -sin/S2 — 0

Wie wir in einer früheren Abhandlung nachgewiesen, existirt mit einer solchen Gleichung eine Integralfunction

J Vi — **sin<j>*

deren Modulus aus

fl4 sin 2 /J«+2 - fl-f cos ß*) a2(cos2ß ±1)

sin 2p + 2 ^ - sin ß^j ~t (cos 2ß ± 1)

hervorgeht. Nehmen wir eine Fusspunktcurve der Hyperbel an, so

c*

erhält man für das untere Zeichen unter Voraussetzung k* — -t

und wenn h = xsinö,

Alle Geraden demnach, welche durch den auf der Achse der Fusspunktcurve einer Hyperbel, deren Gleichung

r* D „»_(«* + /,*) sin <p* ab

ist, liegenden, vom Centrum um x — — entfernten Punkt gehen und

die Polarwinkel <n<pi<ps<Pi bedingen, bestimmen eine Integralfunc- tion, und zwar unter andern* die folgende

Are*, d. Math. u. Phja. 2. Reihe, T. VII. 4

50

Oekinghaus: DU elliptischen Integrale der Bewegung

l-^8in<p4*

Für die gleichseitige Hyperbel geht die Curve in die Lcmniskate über, und es ist c* = 2a2, demnach

J Vco&2<p] J Vcos2<p, J Vcos2<ps J Vcos2g>4 "

Da aber die Integrale Lemniskatenbogen bezeichnen, so ist die Summe der Bogen, welche von einer durch einen Brennpunkt gehen- den Geraden auf der Lemniskate begrenzt werden, eine constante Grösse und zwar dem halben Umfang der Curve gleich. Zugleich besteht allgemein für alle Fusspunktcurven die Relation

Wir halten es für nützlich, hinsichtlich der Verwandtschaft der Bewegungen das Rectificationsintcgral der Fusspunktcurven der Kegel- schnitte mit einem andern analogen in Verbindung zu bringen, wel- ches die Zeit ausdrückt, welche ein schwerer Körper zum Durch- laufen eines Bogens einer Trochoidc bedarf.

Man unterscheidet bekanntlich ausser den einfachen Cykloiden noch geschweifte und verkürzte, welche man Trochoidcn nennt. Während die erste durch einen Punkt im Umfang des Rollkreises erzeugt wird, dessen Radius a sein möge, werden die Trochoiden durch feste Punkte, die innerhalb oder ausserhalb des Rollkreises liegen, beschrieben. Es sei b der Abstand eines solchen Punktes vom Centrum.

Die von ihm beschriebene Curve ist

x — ad— 6sin0, y = a—b cos 6

Wir wollen die Bewegung eines schweren Punktes auf dieser Curve, die wir unterhalb der A'- Achse denken, verfolgen und die Ges«hwindigkeit v durch die Relation v* — 2gy definiren.

Wir betrachten demnach die X- Achse als Directrix, wodurch die Geschwindigkeit ihre bestimmte Fallhöhe erhält. Das Zeitintegral ist, wie man bald findet

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eines schweren Punktes in der verticalen Parabel.

51

|/2(« + ») C

v * J Vi-(%

&8ia^)(l-a|^sioi^)

y+e - 180°

Die Bewegung rechnen wir demnach vom tiefsten Punkt an.

Das Integral für den Bogen einer Fusspunktcurve der Kegel- schnitte ist aber

/(Al — Bi \ 1 — sin 9 J d<P

Rt = ^-c*sin(p2

Wir können demnach

8

setzen, wenn wir identisch haben

4gj A* — B* Jb A* — B* (a-f-*)* ~ A* ' a+l> — ~ A* '

Die zweite Bedingung ist eine Folge der ersten, und man hat

a — b

a+b >4*

als einzige Bedingungsgleichung für verkürzte Trochoiden a > b.

Die geometrische Bedeutung von A und B erkennt mau sofort aas den beiden Rollkreisen, deren Radien a und b sind; A und B sind proportional den Katheten des dadurch bestimmten Dreiecks im grösseren Kreise. Man kann also A = a-\-b setzen und es ist

-V9

Die Bewegung eines schweren Punktes in der Trochoide, also bier in der verkürzten Cykloide, steht mit der gleichförmigen Be- wegung eines Punktes in einer Fus6punktencurvo einer Ellipse in einer solchen Beziehung, dass der Polarwinkel 9 des letztern stets

4*

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52 Oekinghaue: Die elliptischen Integrale der Bewegung

dem halben Wälzungswinkel der erstem gleich und die constante Geschwindigkeit - \f°£ ist.

Für die Bewegungsverhältnisse in einer geschweiften Cykloide o<& tritt, wie man leicht bemerkt, die Fnsspunktcurve der Hyperbel an Stelle der Ellipse auf und die Bedingungen modificiren sich dar- nach.

Wir wollen schliesslich noch auf eine schöne Eigenschaft der Fusspunktcurven aufmerksam machen.

Betrachtet man das elliptische Integral der 1. Art

J Vi— k**mq>*

so erkennt man augenblicklich, dass der Ausdruck unter dem Wurzel- zeichen dazu einladet, ihn mit der Gleichung der Fusspunktcurven

r* — a* — c*8in<p*

oder

c

in Beziehung zu bringen. Indem wir diesen Gedanken benutzen, wollen wir zeigen, dass das Integral vermittelst der Curve eine interessante optische Bedeutung gewinnt.

Zunächst wird

Wir lassen zunächst in der Curve <p um d<? wachsen, und be- trachten das unendliche schmale Dreieck zwischen r, r-f-dr, und dem Bogendifferential <fe, dessen Normale mit r den Winkel t ein- schlössen möge. Alsdann bestehen die Relationen

rdq> = du C08 f , dq> d« C08f

v —

- •/

da

Die physikalische Bedeutung des Integrals ist sofort klar.

Wir nehmen eine Lichtquelle an. Dieselbe möge eine kleine Kugel im Centrum der Curve in der Einheit der Entfernung mit

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schweren Punktes in der verticalen Parabel. 53

der Stärke « a beleuchten, die Lichtmenge wird demnach in der Entfernung r gleich ~t sein. Der Bogen * der Fnsspnnktcnrve sei eine leuchtende Linie; alsdann wirkt das Lichtteilchen d», dessen Aosstrahlungswinkcl «= 0 ist, durch den Zuwachs ^j-, und wenn der Winkel — E ist, nach bekanntem Gesetz durch

HF- t*™ mf die Kugel ein. Daher bedeutet das Integral

P dtp P dg cot

~~J Vl-fc'siny»"" y

die Quantität des Lichtes oder der Warme, welcher ein Lichtbogen der Fusspunktcurve einer im Centrum befindlichen Kugel oberflache erteilt.

Der Modulus k kann jeden Wert haben, er ist für die Fuss- punktcurve der Ellipse kleiner, für die der Hyperbel grösser als die Einheit.

Das Additionstheorem bestimmt mit Leichtigkeit Bogen der Curve von gleicher Lichtstärke.

Erwähnenswert ist noch, dass wenn in der x- und V- Achse eine Fläche angebracht wird, die Starke der Beleuchtung derselben im 1. Fall durch

/singjrfa? 1. Vi — J^cosy* — ifecosqp vi-***- *log s=s

im zweiten Fall durch

/cos (pd<p <p yr-^ib« sin 9« ™ *

gegeben ist, wonach die Beleuchtung dem Polarwinkel proportional ist. Specielle Fälle haben wir schon früher erwähnt.

Die vorhin entwickelte Integralfunction der Fusspunktcurve der Hyperbel kann in dem angedeuteten Sinne interpretirt werden, wo- durch sie an Interesso gewinnt.

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54

Schifjner: Die flache Kreitichraubenfläche.

V.

Die dache Krcisschraubcnfläche.

Von

Franz Schiffner.

Die gewöhnliche Schraubenfläche wird von einer Geraden G erzeugt, welche mit einem ihrer Punkte auf einer anderen Geraden L weiterrückt und dabei gleichzeitig um L rotirt. Eine Kreis- schraubenfläche soll entstehen, wenn sich ein Punkt p der Geraden G auf einer Kreislinie K bewegt, und G zugleich eine Drehung voll- führt. Die Kreisschraubenfläche kann gleichsam als eino deformirto gewöhnliche Schraubenfläche betrachtet werden; als eine Schrauben- fläche, deren Achse L in einen Kreis K übergegangen ist. Bei dieser Deformation ändern sich die kleinsten Elemente von L so, dass sie zu Kreiselementen werden und die Richtung der Krcistangento in dem betreffenden Elemente erhalten. G dreht sich also in jedem Momente um eine andere Achse-, und zwar können wir, damit die gegenseitige Lage der gemeinschaftlichen Elemonte von G und L durch die Deformation nicht geändert wird, der Drehung von G jene Kreistangente / als Achse nachweisen, welche in dem Schnittpunkte p von G und K berührt. Da die Bewegung von p auf A' oder t an K auch eine Drehung ist, nämlich eine Drehung von p und / um die Gerade A , welche im Kreismittelpunkt 0 auf der Kreisobenc K senkrecht steht, so macht G eigentlich gleichzeitig zwei Rotationen : um die Gerade t und mit p und / um die Gerade A.

Die Kreisschraubenfläche Fwird bestimmt sein, sobald die gegen- seitige Lage von G und K bekannt ist und die Beziehung zwischen den beiden Drehungen festgestellt wurde. Bei der gewöhnlichen flachen Schraubenfläche ist G stets normal zu L\ bei der flachen

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Schijfner: Die flache Kreüschraubenfläch*.

55

Kreisschraubcnfläcbe — die wir hier zunächst untersuchen wollen — soll dem entsprechend G auf A, d. h. G auf t senkrecht stehen. Bei der gewöhnlichen Schraubenfläche wird meistens nebst dem Drehungssinne die Ganghöhe angegeben, das ist jene Strecke, welche ein Punkt von G auf L durchläuft, wenn sich G einmal um L dreht. Dem entspricht hier die Angabe des Bogens, den auf K durch- messen soll, wenn G eine volle Umdrehung macht ; oder die Angabe, in welchem Verhältnisse die Drehung von p zu jener von G stehen soll. Wir wollen zuerst einen einfachen Fall betrachten und an- nehmen, p durchlaufe den Kreis A, wenn G eine Umdrehung macht; oder die Drehungsgeschwiodigkeiten, resp. die Drehungswinkel von P and G seien gleich. Nun ist die Fläche F vollständig bestimmt, weil die Erzeugende G während ihrer ganzen Bewegung verfolgt werden kann.

Für die Darstellung von F empfiehlt es sich, der Geraden A eine verticale Richtung zu geben, als Anfangslage von G jene Lage G0 zu wählen , welche in der horizontalen Kreisebene liegt , und die Projectionsachse parallel zu G0 anzunehmen. (Als positiv gelte die der Bewegung von Uhrzeigern entgegengesetzte Drehung.) G kann nun in jeder Lage leicht dargestellt werden und damit die Gesamt- heit dieser Lagen: dio flache Kreisschraubenfläche F.

Es ist für die Darstellung der Erzeugenden in welche die Gerade G0 fallt, wenn sie sich in beiderlei Sinn um den Winkel u gedreht hat, ganz gleichgiJtig , ob die beiden Drehungen um t und A zugleich oder nach einander, und ob diese oder jene früher ge- macht wurde.

Bei obigen Annahmen ist es angezeigt, G0 zuerst um tQ nach {G) zu drehen, dann {G) um A nach G\ denn es projicirt sich er- store Drehung im Aufriss, letztere im Grundriss in wahrer Grösse und man hat nur (G)" durch p0" unter den Winkel u zu G0" zu ziehen und p0 auf A um den Winkel u zu drehen. Es bleibt näm- lich bei der ersten Rotation der Kreispunkt p0, bei der zweiten Drehung der Schnittpunkt B von (G) mit A fix. G und A müssen sich in einem Punkte B schneiden, weil G auf K oder vielmehr t senkrecht steht, also G0 durch 0 geht, und die Drehung von G0 um <o in der Ebene {AG0) erfolgt

Für die Winkel u von 0° bis 360° erhält man alle Erzeugende G der Fläche F; in der weiteren Drehung fällt G mit früheren Lagen zusammen: F besteht deshalb nur aus einem Teile.

Wie oben erwähnt, trifft jede Erzeugende G dio Gerade A in einem Punkte B \ aber durch jeden Punkt B von A gehen zwei Er-

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56

Schiff ner: Die ßache Kreisschraubenfläche.

zeugende der Fiäche, denn es ist OB = — a.tgw, (wenn a der Halb- messer von K ist) und dieser Ausdruck hat für n° und (180-f-u)° denselben Wert. A ist sonach eine Doppelgerade der Fläche F.

Die beiden Erzeugenden, welche sich in demselben Punkte B troffen, liegen immer in einer durch A gehenden Ebene und bilden mit A gleiche Winkel ; sie fallen nur für u — 0° und t* — 180° oder OA = 0 zusammen und sind nur für u = 90° und t* — = 270° oder OB — oo parallel. Zwei beliebige andere Erzeugende sind wind- schief. Auch zwei Nachbarerzeugende kreuzen sich, weil sie sonst beide durch denselben Punkt von A gehen müssten, in welchem die durch sie gelegte Ebene der Geraden A begegnet, was wegen der Verschiedenheit der Werte a.tang.u und a . tang . (u -f- du) nicht sein kann. Mit anderen Worten heisst es: die flache Krcisscbraubenflächo ist eine windschiefe Flüche.

Untersuchen wir nun, von welchem Grade sie ist. Irgend ein Strahl L hat mit F so vielo Punkte gemein als er Erzeugende G trifft. Ist Gu eine solche Gerade, welche von L geschnitten wird, dann lässt sich durch L und G„ eine Ebene legen. Diese muss den Punkt B„ enthalteu und ihre Spur in der Kreisebene K muss durch den Kreispunkt p* gehen. Da p„ auch ein Punkt der Geraden Opn ist, in welcher die Ebene (AG„) die Kreisebene K schneidet, so folgt: Wenn der Strahl L die Fläche F in einem Punkte von G„ schneidet, dann treffen sich die Spuren der Ebenen (LB») und (AG„) in einem Punkte p» des Kreises K. Nun ist aber das Ebenenbüschcl (AG) mit der Punktreiho (B) projectivisch, denn das Ebenenbüschel (AG) liegt zu einer Puuktreihe (b) auf t0 perspectivisch, die mit der Punkt- reihe (B) congruont ist. (p0b und OB haben nämlich die gleiche Länge «.tang«). Infolge dessen wird auch das zur Punktreihe (B) perspectivische Ebenenbüschel (LB) mit dem Ebcncnbüschel (AG) projectivisch sein, und als Spureu von (LB) und (AG) in der Kreis- ebene K werden sich zwei projectivische Strahlenbüschel ergeben, deren Erzeugniss ein Kegelschnitt k ist Die Linien der zweiten Ordnung k und K haben im allgemeinen vier Punkte gemein, die Spuren der Ebenen (LB) und (AG) können sich deshalb nur vier- mal in K begegnen und L kann mit F höchstens vier Schnittpunkte liefern. Die Fläche F ist somit von der vierten Ordnung und als windschiefe Regelfläche auch von derselben Classe oder kurz: F ist eiue Fläche des 4. Grades.

Dies Resultat wird auch durch die Gleichung von F bestätigt, welche wie folgt abgeleitet werden kann.

Es besteht für jeden Punkt P in G die Proportion:

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SchiJ f n«r : Die flache Krtissekraubenßäch«.

57

PP' : P'p —» OB : Op

Nimmt man G0 als Achse der x, A als Achse der z and zu beiden seukrecht die Achse der y an, uud zwar so, dass ihre positiven Richtongen -f-" entsprechen, dann kann man statt jener Proportion

schreiben:

*:(Y mma li a

woraas sich

zx «= y Vx*+y8 — ay

oder

als Gleichung von ,P ergibt. Sie ist richtig vom vierten Grade.

Irgend eine Ebene E schneidet deshalb F nach einer Curve der vierten Ordnung C4.

Ct wird in Curven niederer Ordnung zerfallen, wenn E 1) durch die Doppelgerade A geht, 2) die zweifache Gerade G0 oder 3) irgend eine andere Erzeugende G enthält.

Im ersten Falle zählt A als Doppelgerade von C\ und die er- gänzende Curve 2. Ordnung besteht aus zwei Geraden, die sich in einem Punkte B von A schneiden. Nach früherem haben zwei solche Gerade gleiche Horizontalneigung u und können deshalb auch als Schnitte mit dem Kegel (BK) ermittelt werden, wenn

OB — — a tang m

ist Hieraus folgt, dass man die Fläche F als das Erzeugniss eines Ebenenbüschels und einer Schar von Kutationskcgcln betrachten kann. Die Ebenen des Büschels gehen durch A und haben zu G0 die Neigung u, die Kegel gehen durch A', und ihre Spitzen haben von K den Abstand

OB — — otangw

Man erhält alle Erzeugende, wenn t* alle Werte von 0° bis 180° annimmt.

Im zweiten Falle zählt G0 als zweifache Gerade des ebenen Schnittes C4, welcher also durch einen Kegelschnitt Ct zur Curve der 4. Ordnung ergänzt werden muss. In der Tat liefert die Flä- chengleichung

M+rt - (<*+«)"

für den constanten Wert

- = tang» — m

die Gleichung 2. Grades

J+y* = (a+nw)'

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58 Schiffnen Die flache Kreieichraubenfläche.

welche, da 3 nicht darin vorkommt, als Gleichung des Grundrisses C, der Schnittlinie Ct betrachtet werden kann. Für jeden constanten Wert m erhalt man einen bestimmten Kegelschnitt, d. h. jede durch gehende Ebene schneidet F in einer Curve 2. Ordnung: C%. Von allen Kegelschnitten C% liegt die Hauptachse in G0. Für den Grund-

2a

riss <V hat die Hauptachse die Länge: jzr^v dio Nebenachse die

Länge: der Mittelpunkt die Coordinaten: x — -^^=0,

a

oder x = - taug 2», y =- 0. Alle C?,' haben O zum Brennpunkte und den Parameter 2a, was auch aus der Polargleichung von Cy her- vorgeht, die r = r — lautet. Unter diesen Kegelschnitten C.

1 7/1 COS w

sind zwei Parabeln (m — ±1), unendlich viele Ellipsen (m < 1), unendlich viele Hyperbeln (w>l), aber nur ein Kreis (w— 0) und eiu Paar zusammenfallende Gerade (w = oo).

Daraus Hesse sich noch folgende Erzengungsart der Fläche F ableiten. Dreht sich eine Ebene um die Gerade G0 aus der hori- zontalen Lage um den Winkel », so bilden die in ihr liegenden Kegelschnitte mit der Gleichung

— (a-f-xtangtO*

dio Fläche F. Letztere und die vorher besprochene Erzeugungsart lassen erkennen, dass F unter die von Plücker in seiner „Neuen Geometrie des Raumes" etc. besprochenen Complex-Flächen gehört uud zwar unter die Meridian-Flächen der Complexe 2. Grades.

Wenn endlich drittens die schneidende Ebene £ durch irgend eine andere Erzeugende G der Fläche Fgcht, dann wird dieSchnitt- curve Ci aus G und einer Curve 3. Ordnung C*8 bestehen, welche den Schnittpunkt von E mit A zum Doppelpunkte hat

Enthält die schneidende Ebene gar keine Erzeugende der Fläche, dann ist ihre Schnittlinie mit Feine Curve 4. Ordnung, die nicht zerfällt Von solchen Schnittlinien lassen sichj jene leicht construiren, die in einer zu parallelen Ebene liegen. Denkt man sichFdnrch Ebenen aus A, welche gegen G0 die Neigung m haben, und die Kegel (BK) erzeugt, so kann man dio Schnittcurve in der Ebene * — e als die Gesamtheit der Punkte auffassen , welche Strahlen in • = c ans dem Spurpunkte von A mit concentrischcn Kreisen aus dem- selben Spurpunkte gemein haben. Der Neigungswinkel der Strahlen zur Ebene (G0A) ist u, der Halbmesser der Kreise ist (o-f ctangu).

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Sehif/»tr: Die flach« Kreisschraubenfläche,

59

Ausser den erwähnten ebenen Linien G und C4 auf F sind noch jene Curven (£ der Fläche von Bedeutung, welche die einzelnen Punkte der rotirenden Geraden beschreiben und welche den cylin- derischen Schraubenlinien der gewöhnlichen Schraubenflächen ent- sprechen. Eine von diesen Curven (£, nämlich der Kreis Jf, ist als Weg des Punktes p schon durch die Definition von F fixirt K ist die einzige Linie unter <£, welche eben ist. Eine beliebige andere Curve 6 kann man sich auf zweifache Art durch die Bewegung des Punktes $ entstanden denken, je nachdem man $ als Punkt der Geraden G betrachtet und mit dieser zugleich dreht oder $ unab- hängig von G bewegt. Ersteres sagt , dass man G in den verschie- denen Lagen darstellen und iu jeder derselben $ aufsuchen Boll, indem man z. B. beachtet , dass stets um dasselbe Stück b von p absteht Ohne Benutzung von G knnn man IS entstehen lassen, in- dem man $ um t dreht, also % einen Kreis .Vi beschreiben lasst, and dann $ mit diesem Kreise M um A rotirt & erzeugt so eine Ring- und Wulstfläche ur, auf welcher (S liegen muss. M hat p zum Mittelpunkte, — b zum Halbmesser und liegt in einer durch A gehenden Ebene. Durch jeden Punkt $ geht ein solcher Kreis Si und noch ein horizontaler Kreis der Ringflächo W vom Halbmesser (a-r-*cost*). Die Coordinaten des Punktes sind:

x = (a-f-ÄCOStt)cOBtt, y — (a-f-*C08u)sinw, z — isinw der Grundriss (£' von (£ hat deshalb die einfache Polargloichung :

r =- a~\-bcoau

Hieraus folgt für die Subnormale OD der Wert

Xj — — b 81U II =• — |

Bedenkt man noch, dass CS auf W liegt, die Tangente X an ß also der Berührungsebone e der Wulstfläche angehört, so ist die Tangente X für jeden Punkt ^ der Raumcurve (E durch leicht constmirbare Bedingungen bestimmt.

Auf diese Weise haben wir aber auch die Tangentenebene der Fläche F für jeden Punkt P festgestellt. Sie geht durch die Er- zeugende G des Punktes P und durch die Tangente % der Curve CS, welche P beschreibt Es ist aber vorzuziehen , statt der Tangente X jene Gerade T zu benutzen, welche den durch P gehenden Kegel- schnitt Ct in P berührt. An C, kann man, sobald P gegeben ist, die Tangente leicht ziehen, wenn man berücksichtigt, dass O ein Brennpunkt des Grundrisses Ct' ist, dass der Mittelpunkt o von C{

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60

Schiff ner: Die flache Kreüschraubenfläche.

nach frühcrem die Coordinaten x «- stang2t>, y — 0 hat (wenn

tang v = - ist) und dass C2 in der Ebene (PG0) liegt. Es könnte

auch der Umstand ausgenutzt werden, dass alle C,' durch den Grund- riss ©' und (©)' jener zwei Erzeugenden © und {&) gehen, die auf der Ebene K senkrecht stehen ; denn man kennt dann , wenn P ge- geben ist, von C,' den Brennpunkt O und drei Punkte ©, (©)', P', kann also nach „Reye: Geometrie der Lage 2. Aufl. 1. Th. S. 187" den zweiten Brennpunkt suchen und die Tangente T construiren.

Besonders einfach lassen sich Aufgaben über Berührungsebenen lösen, wenn man den Satz verwertet: haben Kegelschnitte denselben Parameter, dann treffen sich alle jene Tangenten, deren Berührungs- punkte auf einem durch den gemeinsamen Brennpunkt gehenden Strahle liegen, in einem Punkte der Parametergeraden. (Aufsatz des Verfassers in Grunorts Archiv). In unserem Falle müssen somit alle Tangenten T' an die Kegelschnitte <V, welche in Punkten der- selben Geraden Gf berühren, auf OY einen gemeinsamen Punkt U' haben. Daraus folgt, dass die Tangenten T an alle Kegelschnitte C% einer zu OZ oder A parallelen Geraden U in YOZ begegnen, wenn die Tangenten T in Punkten eiuer Erzeugenden G berühren. Darnach construirt man die Tangentenebene des Punktes P folgen- dermassen. Die Tangente t in p an K trifft OY in jenem Punkte U', durch welchen dio Gerade II parallel A zu ziehen ist; die Ebene (G01*) schneidet U in dem Spurpunkt von T mit YOZ\ die verlangte Bertihrungsebene geht durch T und G.

Umgekehrt kann man den Berührungspunkt einer gegebenen Tangentenebene auf diese Art finden. Die gegebene Ebene E hat mit F eine Erzeugende 0 gomoin, welche K in p schneidet; die Tangente an K in p trifft OY in jenem Punkte V\ durch welchon dio Gerade U parallel zu A zu ziehen ist; begegnet E der Geraden U in dem Punkte F, so muss die Ebene (G0V) den Kegelschnitt Ct enthalten, der von'£ berührt wird, oder (G9V) muss G in dem Berührungspunkte der Ebene E treffen.

ßobald drei durch eine Erzeugende G gehende Berührungs- ebenen bekannt sind, wird für die Ermittlung anderer Tangenten- ebenen derselben Erzeugenden mit Vorteil der Satz angewendet: „das Büschel der Berührungsebenen durch eine Erzeugende der Regelfläche ist proje ethisch zur Reihe der Berührungspunkte der- selben auf dieser Erzeugenden." (Dr. W. Fiedler Darst Geometrie

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Sc hif/ner: Die flache Kreisichraubenjläche.

61

2. A. S. 411). Mit Hilfo dieses Satzes lässt sich ebenfalls der Be- rührungspunkt einer gegebenen Tangentenebene auffinden. Z. B. kann so auch gesucht werden, in welchem Punkte Q" der Aufriss G" einer Erzeugenden O die Verticalcontour der Fläche tangirt, indem Q als Berührungspunkt der durch G gelegten vertical pro- jicirenden Ebene gesucht wird. G0" berührt die Aufrisscontour in den Punkten p0" und (p0)ff, weil die horizontale Ebene K Tangen- tenebene der Punkte Po und (Po) ist; ©" und (©)" sind Asymptoten der Verticalcontour, denn die Ebene YOZ berührt F in dem unend- lichen Punkte der Geraden © und (ö).

Die Kreuzrisscontour ergibt sich einfacher. Die früher er- wähnten Kegelschnitte 6, haben die Hauptachsen MMX in G0, somit in den Endpunkton der Nebeuachsen NNt zu G0 parallele oder zur Ebene YOZ normale Tangenten. (Selbstverständlich sind diese Tangenten nur reell, wenn C% eine Ellipse , d. h. m < 1 ist). Die Tangentenebenen für solche Punkte iV, Nt stehen also auf der Kreuzrissebeno senkrecht und ihre Spuren GH" berühren die Kreuz- risscontour in NHm. Da die Punkte N mit dem Mittelpunkte o von C\ gleiche Abscisse haben, so sind ihre Coordinaten:

Setzt man für m seinen Wert tangu = *- in y ein, so erhält man

, «V y =

woraus Bich für die dritte Protection der Kreuzrisscontour nebst jr* = 0 die Gleichung

ergibt, welche sagt, dass die Kreuzrissprojectionen Om der Flächen- erzeugenden G eine Hyperbel umhüllen. Die Contourcurve selbst ist aber von der 4. Ordnung (der Grundriss hat die Gleichung

and ihr Kreuzriss ist nur wegen der Symmetrie zu YOZ eine Linie der 2. Ordnung. Dies Resultat Hesse sich auch so ausdrücken: der Fläche F kann der gerade hyperbolische Cylinder y*— ** «= a* um- schrieben werden, dessen Kanten zu G0 parallol sind.

Zu den Berührungsebenen der Fläche gehören alle Ebenen, welche durch A gehen, sowie jene, die durch GQ gehen; erstere

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62

Schif fntr: Die flache Krtusckraubenfläche.

berühren in den ihnen entsprechenden Punkten b , letztere in den Hauptscheitelpunkten der in ihnen liegenden Kegelschnitten Cs. Be- rührt die Tangentenebene im unendlichen Punkte der Erzeugenden C, so wird sie zur asymptotischen Ebene der Erzeugenden O,

Eine solche kann nach den obigen Sätzen oder als Parallele zur Berübrung8ebene des Richtungskegels F längs der zu G parallelen Erzeugenden q desselben construirt werden. Zum Richtungs- oder Directionskegel der Fläche gelangen wir wie folgt. Eine Gerade g, welche durch irgend einen Raumpunkt R parallel zur Flächen- erzeugenden G gezogen wird, muss zur horizontalen Bildebcue ebenso geneigt sein wie G, weshalb der Spurpunkt » von a in der Ebene Xü Y so liegt, dass

RR' - iJ'#tangu

Alle Punkte * bilden die Spurcurve S des Richtungskcgcls in der horizontalen Bildebene. Wählt man z.B. R in A und RR'= a, so ist

a — 0«tangu

und die Spurcurve S bat dann die Polargleichung

a

r ~~ ~~ tang u

wonach S leicht construirt werden kann. In Punktcoordinaten lautet ihre Gleichung:

S ist eine Ourve der 4. Ordnung, liegt zu beiden Coordinatenachsen symmetrisch, hat in O einen Doppelpunkt und besitzt zwei im Ab- stände ±a zu OX parallele Asymptoten. Die Tangente r an 5 in i bildet mit dem Radiusvector 0* einen Winkel 9, welcher im allge- meinen der Bedingung

genDgt. Da

r «cotang»,

ist, so wird hier

tangqp — cosusint*

sein. Wird also in (Po) eine Senkrechte auf OX errichtet, welche 0* in H trifft, und hier normal zu Ob das Stück HW ~= «sin« auf- getragen, so gibt O W die Richtung von t an. Die Ebene (Rt) be- rührt den Richtungskegel nach fl und hat gleiche Stellung mit der asymptotischen Fbene der zu 9 parallelen Flächenerzougenden G.

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Sekifjnerx Die flache Kreis*ekraubenfl&ck*+

63

Einfacher ist es aber, die asymptotische Ebene mit Benutzung der Geraden U zn constrniren. Man hat dann nur den Schnittpunkt V der Tangente t in p an K mit OY und den Schnittpunkt k der Parallelen zu Gf durch U' mit O0 zu suchen; (hG) ist die asympto- tische Ebene der Erzeugenden G.

Wie Richtungskegel und asymptotische Ebene zur Bestimmung der Asymptoten eines ebenen Schnittes und zur Construction der Stricnonslinie der Fläche angewendet werden, ist bekannt

Mit den gewonnnenen Resultaten sind überhaupt schon so viele Eigenschaften der flachen Kreisschraubenfläche hervorgehoben wor- den, dass sie leicht einer construetiven Behandlung unterzogen werden kann.

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64 Zimmermann: Metrisch« Relationen am Sehnenviereck:

VI.

Metrische Relationen am Sehnenviereck.

Von

Herrn Dr. Otto Zimmermann.

Es sei ABCD ein Sehnenviereck, in welchem AB^> CD und BC > AD ist. AB und CD mögen sich in P, BC und AD in Q schneiden, dio Diagonalen AC und BD in N. Setzt man «= «, /?C = 6, CD — <?, = </, AC= BD — $ und bezeichnet die Diagonale AC desjenigen Sehueuvierecks ABC' D, welches aus ABCD durch Vertauschung von b und c entsteht, mit ä, so gelten bekannt- lich folgende Gleichungen x) :

(ac + bd) (ad + bc) (ac-\-bd) (ab+cd)

T ~ ab+cd ' * ~ «rf-f^c

" " ac + bd.

i*-x, Bff-T, cw= A, dn •= j ;

•7 = i V (o + 6 + c — rf)(«-f * — c+d)(a — 4+e+rfj ( -^+4+c+rf)

(ab-t-cd)(ad+bc)(ac-{-bd) f.g.h

a+b+c—d){a+b - c+<9(a—b+e+d)(— a+b+c+<i) " 4.7

1) Kunzes Gcom. 2. Aufl., S. 225 f. , BalUcrs Elem. d. Mulh. 4. Buch S. 126 f. und Dostor, Propri^tea nou volles etc. in Grunerts Archiv XXXXVIII S. 245.

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenvieieck.

d(ad+ bc) Hab -{-cd) b(ad+bc)

iLP" b* — d* » \ ~ b*—d*~'

d(ab + cd),

DP=r b* — d* '

65

cos AD Ii — cos^C'// cos IM C — cos /iD6* cos C'Z*Z> = cos Ctf Z>

2/3?A

Mo* +£* 4- f^— &*i + 2«c</

c(a» + &» + d»-c»)-f 2aM 2/fA

2/^/i

bezeichnet man endlich die Innenwinkel ZM Z* und ytZfC mit er und ß nud den spitzen Winkel AXD zwischen den Diagonalen mit t , so ist

2J 2J 2J

sin o -= . , . . sinjS = -7 j- — sin £ « — . . ; ad -f-bc' ab-\- ctV ac -\- bd

a*+d* — b* — c* „ at + lS — ct-d*

cos e = — =; — tTjv — •

Im Folgenden werden Functionen wie

(&-\-cd, ad-{-bc, ac-\-bd, a-\~b-\-c— d, a-\-b—c-\-tl, a—b-\-c-\-d,

-a+b+c+d

abkfirzung8weise stets mit

Arch. der Math. u. Phje. 2. Reihe, Teil VII. &

6G Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

(ab), (ad), (ac), {d}, {*}, \a\

bezeichnet.

1) a. Die Lote von Ä, C\ D auf by c, </, a haben die Werte:

2aJ 2bJ 2cJ

h~*9toß- Ät = & sin « - (a-}, A3 - c sin ß = (- &-} .

A4 = r/sin« = y—, («/)

Daraus ergiebt sich

A, : A3 = a : c und A» : h4 — 4 : (2 oder c — a v 3 und = & ? 4

ftj As

durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung

ergiebt sich

oder

folglich

Aj n(ad) AÄ — b(ab)

Aj a(A,A4)

6-aÄ1(A1At) As '<i(^j^)

und durch Einsetzen der Werte von c und ci in A. = py. erhält

man unter Berücksichtigung unsrer symbolischen Schreibweise, nach

der wir MMrK*i)+W<+Mi)+Ä4(¥i+/'»Ä8)-MM»+¥i) HÄi(ÄiM u. s. w. setzen,

= 2A1(A,A3)[(V'*)I*_ 2*i(WJ(M2fl!

z 2A4(A1AS)[(A4A1)]»

, [(M,)(VOP

* -

b. Ganz entsprechende Formeln gelten für die von C, D, Ä auf rf, a, c gefällten Lote:

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. ($7

1 t 2aJ f_2bJ 2cJ 2dJ

* ~ (ad? h* - (ab? "3 " {adf n* " (ab)

Es wird nämlich

°* IT ' A =

c_ j , rf jgr-

1 [(W(W)f

wo

TV - V MVV)1 IV(V V>l f*sW V) } f Man beachte noch die Beziehung

16 abcdJ* , , t

2) Für die Lote von Q auf «, von P auf 6, von Q auf c und tod /J auf d gelten die Gleichungen

2a J 2b J ÄcJL- 2tlJ

folglich

c = av* d — ; ^ - a(Ä< — dt) - £i!5ö!n&!)

oder

Pl(^5,-|>4J{), ' PilpS—Pi*) Setzt man die Werte für b, c und d in die Formel

ein, so folgt

' - ^ w"«s«s w -■ ^(pJ^J) • w

2aJ

Durch Einsetzen der Werte von J und c in pt — « _ « ergiebt sich schliesslich

°" ' *~ iy ' c ■ w "*

(58 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenvierecl:

J - w '

n _ 2 V(p7p») (pi Pi)Tpi78 ( j>»2 - p7)2 +p%Pii pi2 - p,2)2] — w*

3) Die Lote von N auf a, b, d haben die Werte :

2abdJ 2abeJ 2MJ 2aaU

~ (aA)(orf)' "* - (a*)(orf)' 1,3 - (a*)(a,/) "* = (^SO

denn es ist

a%dJ

JABN = iAN. BN. sine -

u. a. w. E8 wird

i W3 "8 »S

»4 «i »4

und ebenso wie unter 3)

folglich

2abdJ nt2 n32;< n4 VT

111 " (aJj{a4) ~ ° 2(n|H^(7^7)

a m gfagj) ("in4>y ^ m 2(w1»g)(n1n4)^ ^ = 2(n1n<)(W<n4)

d m 2(»»i«t) (n^)

„ 2(wa"4) 1/W»t)(«l»4) (f*lT<8)

9 h

R -

2(n,n,) 1/(1^4) (rn >i4) (nAn8)^ wln8wSn4 ^ ' nl,*8nSn4

2[(*h>4) («! »4)]ay»«1w»w8w4

2(»i*t) (»l'O V *i»i"a»4 (»ang) (n^) (w^)

4) Für die 4 Lote vom Mittelpunkt 3i des umschriebenen Kreises auf a, fc, c, d gilt:

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 69

analog

" &> " ' ~ ö7 »

und es ist

&/ ' '« ßj

<*(a2 + &g+cg-<P)-|-2a*c

y4~ &/

»-»-W-oj/gg

ys2-y,2 - ifa2-*2), y,2-y,2 - i(*2-c2), y42_ya2 = xf-jß), f42-y,2 - y32-y,2 - K«2-*2), y*2-y,2 - i(&2-^);

(7^Kr^a)-(-^^ (I), (yi+n)(^)-^±f-^ (Ii)

lirh*rti4h&&j^ (in)

(I) + (II) - (III) crgiebt 4(y,y3) = (ac) (1) (I)+(IN)_(II) „ 4(y,y4) = («<*) (2) (U)+(III)-(I) „ MYiYi) = (<*) (3).

Aus (1) und (2) folgt dnrch Elimination von d

MhY*) ~ WYiYi) - c(o2-&2) - 4c(y,* - Yl2)

oder

«(yirs)-»(riy4) = ^2-h2) («)

ebenso ans (1) and (3)

HyiY*) - <(yiy8) = - y,2) (ft

aas (a) and (ß) aber folgt durch Elimination von c

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70 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

~ ° (YiYiHyS-YS+iyMiYiY*) YM'+rJ+yf-YiWyM*

N

aus yj-yf = \{a*-b*) folgt andrerseits &2 - a'2-4(y22 -/,'-'), so dass

oder

£2<M*-A"]~4(yss-r,»)

wird. Da uuu

M + AT - (y, + y,)} y,} \yt\ und 3/- 2V - (y, - y,) jy3} |y.,|

also

M 2 - A2 - (y82 _ yi2) {y j} |yÄ| {ys} ^ = W _ yj2) ^2

ist, so hat man

2Wlt± *>2+ y*2-yi2)+2y,y3y4

• — ■ w

« _ 2[y,(y12 + y32 + y42 -y,2) + 2y1y3y4]

* = >F '

c = 2[y!,(y12 + y»2 + Yi> - y32)!+ 2y1y,y4]>

. 2[y4(y,2+y82+y32 - y42)+2y1y2y3]

d w .

Hieraus ergiebt sich:

«y.+*y2+^+^4 = 2^

andrerseits folgt einfach aus geometrischen Gründen:

aYt + 1>Yt + cYs+dY* — 2J demnach

Aus den Gleichungen (1), (2), (3) folgt ferner:

, „ lAyTysKy^T) _ \/(m^hn) . __ i/(y»y»)(yiiü)

TT

Liegt a mit den andern Seiten b, c, d in einem Halbkreis und ist grösser als jede derselben, so ist cos^C'i* negativ; demgemäss ist

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenvierecl. 71

alsdaun in deu vorigen Formeln yx überall negativ zu setzen, ohne daßs dieselben eine weitere Aenderung erleiden.

Man beachte noch die Gleichungen

(ac)(ad)

«Tt + tyx 47- = <74 + <tys

(ac)(ab)

ty> + <7* - — JJT =dYi + aY* . (ab) (ad) _ . _

«y3 + <7i = —q *>y*+dy%

5) Bekanntlich l) schueiden sich die Lote von deu Mitten der Seiten des Sehnenvierecks auf die gegenüberliegenden Seiten in einem Punkte. Die Werto dieser Lote sind leicht zu berechnen Denn ist Mt die Mitte von o, so ist

analog

y[^4-c2)-j-2acri] «/[c(&H-dg) + 2aM]

** ™ ' (od)(odJ ' *8 ™ (ab)(ad)

Mithin

oder ferner also

** ~ (aft)(arf)

J(q-fc)(&4-d)2 «7(q-c)(&- rf)2

J(6-f-<f)(q-fc)2 J(b—d)(a—c)* + (o6)(od) ' *» (ab)(ad) '

*f-f-*4 a-f-c

. , , _ , 'rzfs . fe+a) (*» + *4) (a+c)Hi> + d)*

^ %-V (*i-<8) (*,-<*) ~ (a-c)»(6-d)>

kl

(^-•3)(*2-*4)°(a-c)(Ä-tO

oder wenn man die eben gefundenen Werte von b+d und b—d ein- setzt,

1) Kunze, n. a. O. 8. 138.

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72 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck-

+ 's) (H + **) — »4)

V -»4) ° <«- + *4)

folglich

oder

a

woraus

/« + cV l/(*l-*,)»(*,+*4)4 V«-V ~r (•,+*>»(*-• J*

c -= «, — ■ — — - - -*)('*+*4)f+ V(#, + -

~ a ~ J~ i^I

s s

wo M für und N für |/*^^ gesetzt ist; also wird

2(vK)V_Äf

Nun ist einerseits

oder da

4a*jr

wo

»r- y;

[(^^-*4)V3f^(^-*3)V^Jt(*1+*3)5y^i,-•(*2-*4)V^,]

andrerseits folgt aus den Werten von *, und *3

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Zimmermann: Metrtf ehe Relationen am Sehnenviereck. 73

die Gleichsctzung der Werte von J ergiebt

a

(*, -*4) Vä][(*i-K)(^+*4) r^-(«i -*,) V iy]

2 W

durch cykiische Vertauschung von *„ *s, *4 and einige Umfor- mungen gewinnt man die Werte

2JT 2TF 2TV

Aas der zweiten der obigen Gleichungen für J folgt ohne weiteres

, [(^+*8)(^H-*4)y3/-(^-^)(*8-*4)yiv]a

Zu beachten sind noch die Gleichungen

6) In j edem Viereck halbiren sich die Verbindungslinien der Mitten der gegenüberliegenden Seiten und die Verbindungslinie der Diagonalon- mitten in einem Punkte1), der zugleich den Schwerpunkt der vier Ecken darstellt. Für die Lote von diesem Punkte auf c, d, a, b gelten, wie geometrisch sofort einzusehen ist, die Beziehungen:

*i = K» *i — \** h - W h — K

es gelten demnach für die h dieselben Formeln wie für die *, mit dem einzigen Unterschied, dass in den Ausdrücken für <i, ft, <?, d der Factor 2 und im Ausdruck für J der Factor 4 im Nenner fehlt.

1) Kvnse, a. a 0. S 58.

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74 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

7) Für dio Gerade welche Wkl. ANB halbirt und voii a begrenzt wird, findet mau leicht:

oder wenn mau berücksichtigt, dass

_ 1/ MlcF

1 ft-f-rf r (aÄ)(«<0 analog die andern Halbirungslinien:

W9 = ahc i/ wmi „ _ ^ |/ nr~ tn acd\/ mir

* a+c F (ab) (ad? "J ~ b+dV (ab) (ad? 11 « ^ «+CK (aft) («^) Also

c — a -5 ,/ = £ * Setzt man diese Werte in dio Gleichung

"i d(a+c) |/{a}H

ein, so erhält man ciuo Gleichung ersten Grades iu b# aus der sich ergiebt :

" «ri(«'l+M?4) r J

3/

Setzt man schliesslich in die Glcichuug für wt erst dio Werte für c und dy dann den eben gefundenen Wert von b ein, so erhält mau nach einigen Umformungen:

„_sfc!i_y5i anaI ».sta.ys, „ «rta-y*.

Da nun

/ — 4abcdjYabcd

ist, so wird

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 75 4abcdYabcfl Aw^w^ "

8) Für die Halbirungslinien der Winkel Q und P, die zu den Dreiecken ABQ, BCP, CDQ, ADP gehören, findet man:

_ aY(ab)(ad)\a\\c] bV(ab)(ad) [b\ {d\

also

_ cY(ab)(ad)\a) \c\ dV (ab)(ad)\b\ \d\

"* (£-frf)(«»-cV (a+c)(6*-</V

V(aä)(arf){q}{C} Y(ab)(ad) \b\ [d\ .

"» " (a+c)(i-f-rf) ' "» u* - (fl+c)(H3) '

«i-»8 _ l/(6-H)a-(a-c)« was durch Einsetzen der Werte von c und d eine Gleichung ersten

vi

Grades in -t liefert, aus der folgt

M , "AS -«*8)2[(t*i+^)2+K-^)'J

setzt mau jetzt in den obigen Wert für ut erst dio Werte von c und <!, dann den zuletzt gefundenen Wert für b'2 ein, so ergiebt sich nach den gehörigen Umformungen

aualog

« = «ifa + gfeHV - ("» + "J2 -f (»i - «^)2,

2(tt1W,)(tt,M4) '

2(u1tt8)(tt1u4)

„ »»(«i +*») w - qVk + ^SSE5g

2(«i«tX«i«4)

2(M1tt,)(t*,tt4)

Nim ist

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76 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

also

(ab)(ad)UYabcd (a+c)(b+d)(a*-c*)(b* - rf*)

(u,~f u3)(u2+W4)(m/- V)(tt,»-tt4»)

y = («*i + ^)(^+t»4KV-V) ( V - V)

4{»l«l)(«hW4)

9) Die Verbindungslinien des Schnittpunktes iV der Diagonalen mit den Mitten der vier Seiten sind:

<3 = 2C/tV2&2-|-2^-A», *4 = ^V2a*+ 2c* -A*

also

und es wird durch diese Substitution

|/(a*)(«Ö .l/~(*,<i)«i<4)

setzt man diesen Wert in die Werte für ti und f2 ein und quadrirt, so gelangt man zu den beiden Gleichungen

4<i*<*(M*)(¥4) - fl%[VlW+^-^il + tf)] + 2^W+«*1)

WMiHU - 2«v<3(<,2+'s2) -^,[^«s^2+<42)-<,^,a+*3,)]

aus denen durch Elimination von b2 hervorgeht

. = At , M»«*2 + <42) " Wh8 +<a2) + 2<*W + «4»)

SS (*S5

analog

^- HAMM) "

., , <l<»«l'+'4i')-<»'4('.a+^)+2V<(>ti' + '4i')

*- 4, V4(«.8+'»i')-<ia<t,+ «4!') + 2'l«.('.i!+'.-)

Nun ist

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

77

4J » y[(a+c)i_0 -d)2][(b+d)*-(a _<.)*]

j. /(<i<»)<<i<4)[(<»+u)2-(<i - ^)2].(<i<t)(<i^)[(<1+<a)2-(<»:=:^j2T

' <«l*aXM4) (<1<»)(<,<4)

also

10) Die Verbindungslinien von Q und P mit den Mitten von o, <*, sind

T» = V2l(aA)J3+2[(ad) ]2-(a2- c2)2.

also

T8 f i *4

dorch Einführung dieser Werte in xx und ra ergeben sich für i2 die beiden Ausdrücke

2agT>8([(r1T2)P-h[(rlT4)y)-4Tl V(t,2 = «ff aus denen folgt

. 4Ta»(T,«-T4«)*<2[(^

to£M-tM 2f(ya)J«+2[(t1T4)r+rTl«-Ta»F)

+2[(T,T4)]2-[T1»-r8»]|:ti«-f»»D

, q* fo» -T42)2(2[(T|r>)y+2[(t1T4)]2+[t,2-T,2P) ,

= 4Tl (3[(T1rt)]2-fl(r1T4)j2(l(r1Tj,)J2-f3[(T1t4)]2) S

analog

78 Zimmermann'. Metrische Relationen am Sehnenviereck.

42 _ Ar 2 ^.'-^W[(TlTfff4-2[(T|T4)f+TV--t42]a) * ' (3[(^t,)P+[(t1T4)]^[(T1Ti)12+3[(TIT4)]2) '

<J2 « 42

T42

Die Formel für den Inhalt kann auf dieselbe Weise wie unter 9) gefunden werden, ergiebt aber keine einfache Gestalt.

11) Aus

..„xT a*bdJ °^cJ hAiJ

(aA)(cki)' (aZ»)(arf)7 (ab) (ad)

actfiJ (o&)(adJ

(s. Nr. 3)) ergiebt sich für die Iladien der diesen Dreiecken am- geschriebeuou Kreise:

a(ac) *(ac) r(ac) </(ar)

7/1 " ÄJ * "* ~* U ' 3 ~ 4.7 ' 7/4 " "47/

also

27] : 77s : /Z, : /Zi — a : Z> : e :

27, 773 774

&=a77]* C3sanil 'i = a77V

setzt man diese Werte in 77, ein, so folgt ohne weiteres

{niaA) -

analog

W „ TV . „ W

' (27, 775)' ■ - ■ (i7j qt^i -"*•( ff,

r _ „ » _ |/(PB WET

J - 4[(77, 77s)]*'> (/7]773)

12) Die Radien der den Dreiecken ABQ, BCP, CDQ, ADP umgeschriebenen Kreise sind :

aJtR bhR chR tihR

also

Rj+RA a -c a 7^(/?i— 72a) #1+^3 " b — d" b' R^Rt-RA) ;

also

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 79

» _ RtW-Rj) Iii RtRS-Rj)

~ a %tV-**) • rf ~ * iJa - a 4CV--4i»j

wir setzen jetzt die Werte von i, c, in J ein nnd erhalten

47 " Ä.W-Ä,«) V ™ ™ {/?4} •

endlich führen wir die Werte von A, <?, und ./ ein in

_oää_ «(a*)(«<i) Äi -■ a*-ct — 4tJ(a*-c*)

und erhalten

a = Ä> • («(w analog i"^'Ä^)rti*5

13) Derjenige Kreis, welcher a von aussen, b und <i von innen berührt, teilt a in zwei Abschnitte, von denen der an b liegende wj, der an d liegendo mx' heisse; für dieselben gilt

"4l ~ 2(a-fc)' m* = 2(a+c) entsprechend gilt für die Abschnitte von i, c und </

£{cj , b\a\ c[d\ , c\b\

■»"äCH^O' *» ~2(&-H)5 "»-»(a+c)' ,ns"2(a+cj»

~2(&-H;' wi4 - 2(b+ d) a. Es gilt

amg -f- cwj — im* -f - drn^ =» &<Z

hieraus folgt leicht

a = $(»^-{-2*»! — »»4 + Y(m - «t),+ 4*»!»»3 )

analog

80 Zimmermann: Aleirische Relationen am Sehnenriererk.

b — + %nh — mi ~h — f»s)*+4m<m4 ) c — |(»m-{-2w»3— m4-f — riM^-f-iwjma ) </ — |(m, -}- 2i»4 — «ts 4" V(w»3 — w»i)* -f- 4TO,m3 )

Um die Vorzeichen der Wurzeln zu bestimmen, untersuchen wir zu- nächst, ob in dem Ausdruck für a die Wurzel grösser als 774 -f- 2m, — t/u sein kann; man findet leicht, dass das der Fall ist, wenn wij-j-wi, — »4 — W4 <C 0 ist, was jederzeit möglich ist; in diesem Falle kann also nnr das positive Wurzelzeichen Geltung haben; dann muss aber auch im Ausdruck für c dasselbe Vorzeichen ge- nommen werden zufolge der Gleichung a — c =» »«, + »4 — "4 — mA. Ist jedoch mk -f- — »»s — »«4 !> 0 , so ist im Ausdruck für c die Wurzel grösser als m -f- 2iwj, — »4, die Wurzel darf dann also wieder- um nur das positivo Vorzeichen erhalten und infolge dessen auch in a. Analog ist es bei b und d, so dass alle vier Wurzeln stets positiv zu nehmen sind (auch wenn w, -f- 774 — 774 — rm = 0 , wie sofort zu scheu).

Nun wird

ja} «=» 7/4 -f- 2w*4 — 774 + V (774 — 774)* -f- -177477*4 {/>} = t»| +2»4 - 774 -f- 1/(714 — m*)* + 47/4774 W " «h + 2fMa — ma + Vim, — m,)* + 4»4m4

{<**} TTlj -j~ 2w»a 77i4 -f- ^(TTlj 7/M)* + 4wl»»3

mnltiplicirt man {o} mit \c\ und {A} mit {<*}, so folgt wo

Jf = (ro,— m3)(i7M--774)-f-477477M-f (774-f 77»4) Vinn— 774)*+ 4»4»*4 AT— (774— m1)(m4-i74)-|-47/»17744-(m,-j-7/4) V (7/4— itt*)»^»,!»,

b. Für die m' gelangt man auf demselben Wege zu folgenden Gleichungen :

a - 2m,'— 7/4'+ V (ro,'— 1114')* -f- 4m1,msT ) U. S. W.

J — i VÄ/YiV7

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 81

M' —

A' -

(ms'^0(^s'-'»/)-f4m1'm8'+(»h'+^')V(^-^')8-f4m1'ms'

Die m und w»' stellen zugleich auch die Abschnitte vor, die von den vier inneren Berührungskreisen des Sehnenvierecks au/ den Seiten gebildet werden.

Man beachte noch die Gleichung

abcdJ* , ,

14) a. Die den Dreiecken ANB, ÄAC, CAD, DAM einge- schriebenen Kreise bilden in diesen Dreiecken Seitenabschnitte bei AT, welche die Werte haben,

n - p* = ps = ^ (*+*-*)•

d

demnach

P4 - 0*1 («+©—*)

„fs , _ , f»4

setzt man diese Werte ein in die Gleichung so erhält man

folglich wird I _ 1 /WM)

__aA| / (A*if*4>

nun folgt aber aus dem Wert von it, auch

«(H-J) \ f4/

A",2fi1i+a" 2*1, +a

der Gleichsetzung der beiden Werte von A ergiebt sich dann

M»th. n. Pfaye. 2. Reihe. T. VH. 6

Zimmermann : Metrische Relationen am Sehnenviereek.

und hieraus

[Mit«s(f4-^)2+p2fi*(M,+/*8)Cf«j+f»«)] -

also

« — — c —~ a . —

WO

analog

Um das Vorzeichen von W zu bestimmen, untersuchen wir, ob in der obigen Gleichung (A) das absolute Glied negativ werden kann. Schreiben wir dasselbe in der Form

so erkennt man , dass dasselbe nur negativ werden kann , wenn i(f** + f4) Pi + f*s igt- Bilden wir nun aber die der Gleichung (A) entsprechende Gleichung in so wird deren absolutes Glied

(abgesehen vom Factor *** ) sein

M*f *(f*i — f*s)2 - Pi^Cfi + f sKf 1 + Ms - 2f48 ~ 2,«4)

und es ist klar, dass dieser Ausdruck unter obiger Bedingung nur positiv sein kann, daher auch die Wurzel in b und folglich auch die in a, da zufolge der Gleichung (B) in a und b gleiche Vorzeichen vorkommen müssen. Demnach gilt auch in c und d das positive Wurzelzeichen.

* üm J durch die n ausdrücken, setzen wir zunächst

20*i«^)(j«iM4)

wo

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Zimmermann- Metrische Relationen am Sehnenviereck. RP>

A/ = ^p4(M,2+f»sa) + ^^i + ^t+^) + (M, + ^) W

i n . _ 2ViPaXf iP 0 wo

# = Pif*sV*2 + f»42) + f**Mf4 + Ma) Vs + P*) + 0*t +1*4) . IT

also

b. Diejenigen den Dreiecken ANB, ßNC, CND, DNA ange- schriebenen Kreise, welche a, ft, <r, d von aussen berühren, bilden auf den (verlängerten) Diagonalen Abschnitte, welche, von N ans gerechnet, die Werte habeu

ganz entsprechend dem Verfahren unter a. ergiebt sich

, a(Hi + ft/> — jjfeW + f*»' — g|[ — f**') 6 ~ H ' h'fe'-H»9)

A =

0+3

da sich die hieraus hervorgehende quadratische Gleichung von der Gleichung (A) unter a. offenbar nur im Vorzeichen von o unter- scheidet, so folgt

a w-H>H W-m')8 W+f.'K^+FO, ( w

wo

A/' = mV4'(^'2+Ms'2)+f»iVa'(f»i'+M3,)(/4'+M4')-(m'4-Ma')

= mV5'(M/2+M4'2)+^V4'(m'+m/)(m'+H4')-(f*t<+P4')Tr

and dieselbe Function wio oben ist.

6*

15) a. Die den Dreiecken i4tfC, BCZ>, einge- schriebenen Kreise bilden an ß, 6', Z>, J Abschnitte auf den Seiten, welche die Werte haben

A4 = *(«+<* -,7)

also

A, - A3 = tfa+i-c ~d), A, — JU = 1(6 + c - a+*/), Xt + lt-ls-U = b-d (1), A^A^-Aj-Aj = a-«r (2)

ferner

setzt man in die letzte, Gleichung die Werte von c und d aas (1) und (2) ein, so folgt

h = (*i + *t - *i ~ A4) ( A, -f- A4 — Aj — Aa) A, + A8 — Aj — A4

ferner ist

At+VhAa+A4 = a+b+c+<l-(f+9) = a+b+c+d-(?+^tW (3)

setzt man hier die Werte von 0 und </ aus (1) und (2) und den Wert von h ein, so erhält man

(AJ+Af-As-A4)[iJ(A1-fA4-A,-.A8)-a(A1-Af)]

= 6(A1-A4)(A1-r-A4~A1-A3)-ai(A1+A8-A1l-A4) (I)

Nun ist aber

4A1A8+4A,A4 - <a+6)(c+d)+/ W(«+*+e+<f)

+ («-HOCM^M-y8 — p(« | b 1 « 1 4

= (a+c)(H-rf)+(/+i7)2-(/--f^(«+^+^) oder nach Einsetzung des Wertes von /"-f-^ aus (3)

4A1A8+4AiA4 = (a-f c)(6^)-(«+H-H^)(A.-T-A.+Aa+A4)

+(At+M-Vf-A4)>)

setzt man hier wiederum die Werte von e und d aus (1) und (2) eint so kommt

oA-od. + A,) + A4)+A,(A, + A,+A4-A8) = 0 (II) Durch Elimination von ah aus (I) und (II) folgt

und durch Elimination von b aus (I) und (III) schliesslich

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 85

_ a1 a^a, — a8) (A, + ;4 - a, - a8)

_i,*i(^--^+^)-^M2A<-*t + l«)± W

At A8(A, -f 2A, - A8) - W^i -f A, - A4) T W b - 2(A1A8 - A,A4)

A1A8(2A8 — Aj-j-Ag) — A,A4(A»- A4+2A8) ± W c" 2(A1A8-A8A4)

_ A, AgCA, - At + 2A4) - AtA4(2A8 + A4 - A,) qp TT

2(A1A8-AÄA*)

wo

-2AJAfA8A4(A1 + A8)(A1+A4) Die Formel für J wird nicht elegant.

b. Diejenigen den Dreiecken ABC, BCD^ CDA, DAB ange- schriebenen Kreise, welche AC und BD von aussen berühren, bilden an B, <?, D, A Abschnitte, welche die Werte haben

V = K«+H-A V =«*+•+*). V = *(*+<<+/),

A4' = *(«+*+?)

Für die Af gelangt man auf demselben Wege wie unter a. zu genau denselben Formeln für <*, ä, c, rf.

16) a. Die vier dem Sehnenviereck angeschriebenen Kreise, welche o, b, c, d von aussen berühren, haben folgende Radien:

2aJ_ 2bJ 2eJ 2dJ

r* 53 *-(&-H>W '»""(•feTH' r4"(*+*0M

Um o, d und ./ durch die r darzustellen, drücken wir zu- nächst die m (Nr. 13) a.) durch die r aus.

Unmittelbar ergiebt sich

rlrt _ ^1^*8 «*

aas Nr. 13) a. aber folgt durch Rationalmachen des Nenners

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86 Zimmermann: Metrische Relationen am

c _ nn-\-2fn3—m?-\- VQm — m^)s-\- 4wt1m3 « 04-4-20»!- ;/M-f V(mi— m^^-f ^m^

2»", ("*i'f-w't—Mis — "**)

- m4~nh~\~ Vi«**— y/4)*-j-4w1 w^) 2«?.

also

c* s _ (m4— mt)»-|-2w1ms4-(w4— mt) V(m4— wt>)*-|-*ll>im3 a* " 2».,«

und

oder, wenn man im Nenner rochts für «y/ig das gleiche Product r,r3 setzt und dann die ganze Gleichung mit der Identität rjtyy* = r,rs.mgw4 multiplicirt,

woraus

oder, mit Beachtung der Identitäten m,w, = rjr8, mam4 = r,r4,

2r3r4— m42-f-rar4 = w4 yW_2ty4 +m^-\-4r^r8 folgt; quadrirt man, setzt wiederum m,w4 = r,r4 und hebt, so bleibt

r42(r1-f-r3) = »<42(ri+r4)

demnach

V(r,+r«)(r,+r,)' *T V(r,+rd (r,+ra)

«,-», ■■■ -7rr';,~r'r' «,+», - *-.;i±^±25i

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Zimmermann: MetrücAe Relationen am Sehnenviereck. $7

also erhält man aus den Formeln unter Nr. 13) a.

wo

^ — r2r3<r4+r1V8r44-r1VsH-'']»-3*r44-r1*r8r44-r1rar3*+2r1!,r3s, £ — r,raV3-f-r1r3r4*+r1rÄr42-|-rsS!r3r4-|-r1r1JJr4-r-r8r3r4!{-r-2r»*r4*,

# - V(r1H-r,)(r8-fr3)(r3-f-r4)lr4+rJ

bringt mau in dem Ausdruck für J die Grössen uuter der Wurzel anf gleichen Nenner, multiplicirt aus und vereinigt, so ergiobt sich

4-6r1V8V3r4H^iS2r43+J;i3r^s^4+7^i%r3*r4,4--riSr3^8

4-2r A.W+rAj^H-r,*^ V+ 6r, SS*t+*t «r, V8r4«+ 2r, % V4

4-7r1SSV4+16r1S%V42+7rA<Sr43+7r1V3V42+6r1»r>rB2r43

+7r1rf^3V4l-h2r1r,r3»r4,+rt8r33r42-f2»*iS2r48+rs2r3ar^8 -\-2(r1rsri-\-rirsrt-\-rär4ri-\-rirlra)*.N

= (r1^r8+rJr8r4H-r8r4rJ+r4r1rs)2(r1rr{-r,r84-r3r4-|-r4rl -f-2rtr8-f-2r8r4) + 2(r1r,r3H-r,r3r4-j-r3r4rJ+r4r1r,)2.iV

- CWt+wH-Wi +r4,-JrÄ)2(V(r1+r42Xr,+r7)+y(r1+r,)(r8+r4))2 also

•/== (r1rJr3-fr,r8r4-f-r3r4r1-|-r4r,rs). ^

+ 1 )

Ferner wird mit Hülfe der zuletzt gefundenen Formeln für a, c, ,z durch einfaches Ausmultipliciren

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88 Zimmermann: Metrisch* Relationen am SehnenvierecL

<w-Hrf=2r1r8-f2r8r4+ ^(2r, V+*l V«+'i ^44^1^4*+ r,V3 4^ir*S4^irtr82+r«ar3»,4H-2r82r4a-|-rirs:2r4+r,r3r4«

- 2rJr8+2rtr4 1 ^(^M frVVj »y4 f NP— 4rir«rar< .

V(r,+rg)(r3+r4) V(r^ r4)(ryf r3)

folglich

s fcö + r »r« + A*)2-*rilW4 ' " (r, + r4)(rs, + r8)

f ™ (r,+rt)(ra|r4) 1 " ™ (r^+r^+^-^W*'

(r1 + r» -f r8 + r4) V(rlr8 + r»r4 + A)* — *rlrtrSr«

b. Dem Sehnenviereck können vier Kreise eingeschrieben werden, so dass jeder von ihnen drei Seiten von innen berührt. Die Werte ihrer Radien sind

2aJ 2b J 2cJ _ 2<U

In ganz derselben Weise wie unter a. gewinnt man

9*1	-p4
Pr
/p, -P*

= p4 .

Es ist hior nötig drei Fälle zu unterscheiden.

a) Es sei p, > Qt\ dann muss, damit mt und w4 roell werden, auch q3 > Qt sein; zugleich muss aber auch qs > p„ (>, > p4 sein, denn wäre pf > p3 , so würde zufolge der drei gegebenen Bedin- gungen p, > Q4y somit w, und ws imaginär werden. Wir haben dem entsprechend zu schreiben

PlP4— PgP3 . „ PlP4 + P»P3 — 2PsP*

rm — tn^ . — - - , | nn = — ~ :. — r,-.- ,

V(pi--Pi)(Ps-P4) y(ei-p8)(P3--P4)

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 89

V(Vi— P4)(P3-P*)' ' V(P, ~P4)(P3 — e»)'

t//" ,„ . ~ _ 2PiPa— PiP4— p8p3

V(Pi — P2KP3-P4)

,/, gvi P3P4 + PiP* — 2P«P4

V ('"i -'»3)H4m2»n4 = -y- =

Der Zähler des vorletzten Ausdrucks ist positiv, weil er null wird, sobald man für 04 das grössere p3 uud für q2 das grössere ^ ein- setzt; der Zähler des letzten Ausdruckes ist positiv, weil er null wird, sobald man für g3 das kleinere g2 und für p, das kleinere einsetzt. Wir erhalten so

Dio Formeln für den Inhalt und für i2 müssen, wie leicht fest- zustellen, lauten

+

V(pt-P4)(p3— P«)'

o (Pl ^ P» + P3 ~ P4) V(Pl P* < PiP4-f^V/)a?— ^PiP8P3P4

= 4A" -

wo

N' — V(Qt - QS) (p3 - P*) (P3 - P4) (p, — P4)

ß) Es sei t?, < (»g und demgeraftss gs < p4, (>* > ?3, ?4> p,; dann kehren sich offenbar allo unter o) entstandenen Differenzen um.

y) Ist = p2, so muss , damit m, endlich bleibt , auch p3 = p< sein ; dann muss aber auch pä = p3 und px = p4 sein, damit »4 und w»3 reell werden; das Sehnenviereck ist alsdann ein Quadrat.

Man beachte noch die Relationen:

ac[b\ \d\ bd \a\ \c\

r*r* - 4(a+«)" = r*r4 " 4(H <f)> " *****

abcd.J*

rJW4 = (afc)V+<02-p1pap3p4

90 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

m _ a l/Mr.Kr,^!)

'•«»Pi|/(-e_ej)(Pl

(r,-fr8)(r, + r4) — (>*)

U. 8. W.

17) a. Die Radien der den Dreiecken ANB, BNC\ CND, DNA ciugeschriobeuon Kreise sind

2abdhJ MchJ

~ (tti)(aci)(Ä+rf>A)' ** " (a*0M(öK'4-A)

Um a, <?, d und ./ durch die * darzustellen, drücken wir vor- erst die fi (Nr. 14) a.) durch die * aus.

Beachtet man, dass

ist, so erkennt man leicht, dass

#»i • ^ = *i • »s, Pi : H - »i : N : M4 = ** : »4 ist, also

71.7t, 71« 714 «4*4

da ferner

Kl _ üi Mfe)

so wird durch Multiplication dieser Gleichuug mit fi,f4 = Nun ergiebt sich aas Nr. 14) a.

WH MlM«V3f'42 = 2(#41^)(^1^4)[fl1M3(f4Hf*42)+M8M4(Ml + ^3)(f»« * #«0 {6} H-PiWsV^ = 2(fl1|48)(M1fn)[fi,Mi(Ml2+;i82)+^lM»(^l+f3)(#'S+^4)

dividirt man die erste Gleichung durch die zweite und führt die eben gefundenen Werte für fi8, f»3, ein, so entsteht

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 01

*l*3(*22+*42)+ - V 2 4 (*1 + «3)(^+«4)+ ~3- (*,+ *4> .

jh . Pi

wo

setzt man den letzton Wert von fjjjrl in (I) ein, so folgt

woraus

= -*i4 W *4fl r */(*» + «4)] (II)

2 «>2 + *4* f (ffj + ?r3) {nt + 7r4) T (*» 1 »«) . VK _ 2 ^ — ** •3r12 |-Jr32 + (3r1+3r3)K+J»4)T(«tt*r8).Wr~,ri *

wo

Af = 7r1jr3(^Ä + 714) — ^tt^jt, + w3),

and vi and Ä auch für das negative Zeichen von W stets posi- tive Grössen sind} denn es wird alsdann

was stets positiv ist, weil [3r1«+V+^2+^42-|-2(«i+Jr8)(^+^)]2

= (w,4-^+^3+»4)2,r2+4(«lÄ3+7,f^4)2 18t.

Die Gleichung (II) kann offenbar nicht dazu dienen, das Vor- zeichen Yon W zu bestimmen. Wir sind jetzt aber im Stande das a

Verhältuiss - auf doppelte Weise durch die n auszudrücken und durch Gleichsetzung beider Werte das Vorzeichen von W zu finden.

92 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

Es 18t

und nach (I)

* -*l 'WM

folglich

4 (&-H)a-(a -c)8 (a+c)2— (6 — rf)2

berücksichtigt man nun, dass

c — a-- und d — & -

was sich aus den Gleichungen für die n ohne weiteres ergiebt, so wird

a2

A nt*(*s + *4)2 - ^ *,2<*i - *3)2

^ j2 (*l+*s)l*S,-*l"(«S-*4)2

woraus

Sotzt man andererseits

c = o— und d — 6 —

ein in A, so folgt

t-ql/ <*i»i>(«i»4) oder mit Benutzung des eben gefundenen Wertes von £

Nun folgt aus

2abdhJ

*i~ (abKad)(b + d+h)

weiter:

«<» +<*-*)! /HB 2a r w W

2". l/RH — -~ — \f±

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 93

setzt man jetzt den zuletzt gefundenen Wert für A, alsdann wiederum den Wert von g ein, so ergiebt sich

-*Vi 17 1 „ -

(«l-W^ *4)*-f-^(*t+*4)» setzt man diesen Wert für ^ gleich dem obigen, so erhält man

folglich

- «1«sy2[^(«i-«4)M-^(«»+»4),J an).

Nun ist zunächst

V2(Ä+B) = +(*, + *,+ *8 + *4±»H

denn wie man sich leicht fiberzeugen kann, ist stets nti *a+*s+ «4 > W; die Gleichung (III) kann aber im besondern nur dann be-

o) V2{A+B) — »j -f «, + Jr3+ — w*

94 Zimmermann: Metrisch Relationen am Sehnenviereck.

ß) % )*+ * ( *i - Ts)1] -

(*i+*8) FT— («1+3cg)(3rf+«4)

y) V 2[^( ?rÄ- Jt^r* f Ä(?Pt+JSi)«J=

gesetzt wird; die Gleichung (III) vorwandelt sich alsdann nämlich in die Identität

^/(«j+Äg-f »3+7*4— Wr) = 7r,7r3(»,+7r3) »*— ntiti{nx— jt3)* — jt2jr4(7r,-f%)(«2+n-4) - Ji13r3(7r-+ tti) IK-f Tr^fjt,- »4)* +*f"üfa+«s)("H,*0

— ^^(TCj+Jta) H' --»8«4(«i+»t3)t-JrtJr4(«J + >ra)(Äs+,ir«) — 7C17r3(7r8+7r4) ^T+»i3ts(»a-f Jt4)*-|LwJÄs(ffi+ffs)(fft+Ä*)

— MX*, +«3-f-7C3+7C4— W7)

Dio Grösse Wr muss demnach das negative Vorzeichen erhalten und wir bekommen

77| 7C«

M* = U. S. W.

Ml

(7r2+»4)(jri+7rs+w3+*4— Hr) _^

1 /yl (^-^^4) >F — (»,+ n9)(ni f 7C4)— (?rt — ni)% V B Vi?r42+(.T1 + 7r3)(7t8+7t4) — (7P2+Jf4)ir

Ä = 7r, __L_ _ ,

Um ./ zu finden, berechnen wir

\h\{<l\ «= (a+r)*-(Ä-</)« = ^ — , (ir,-ir|)* indem wir einsetzen:

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Zimmermann: Metrische Relationen am Seknenviererk. 95 a " AM

analog also

II W\M^X + *r3)» -f Bfr, - ,r8)*J

b. Die Radion derjenigen den Dreiecken i4iV/?, JSiVC, CND, DNA angeschriebenen Kreise, welche a, A, c, von aussen berühren, sind

. __?^'/ 2«AeA./

"1 - [ai)(ad){b+d—hy "* - (at>)(ad){aVc-hy

, VbodhJ , 2ac4lhJ

** ~ (ab)(ad){a\d-hy n* ~~ {ab){a<l) (« +c -A)

Indem wir analog verfahren wie unter a., setzen wir die n' zu den fi' (Nr. 14. b)) in Beziehung und gelangen auf dieselbe Weise wie dort zu der Gloichung

woraus

wo und dieselben Functionen wie unter a. bedeuten. Ferner wird einerseits

andererseits

1 <4- »>1/I A+B - 0.1

+*4 ) y ^'-^H^W-f^')»"1*1

die Gleichsetzung beider Werte ergiebt diesmal

96 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck:

welche Gleichung nur bestehen kann, wenn W positiv genommen wird. Man erhält demnach

j = 2(VV)0r,jr/) i AB

wo

Wir geben schliesslich einige Gruppen von jo vier entsprechen- den Stückeu des Sehuenviorccks an, vermittelst deren a, 6, c, d und ./ nicht ausgedrückt werden können, weil zwischen den vier Stücken jeder Gruppe eine Relatiou besteht.

1) Die Lote von A, 2J, C\ D auf die Diagonalen sind

2aiU 2abJ 2bcJ

V(ab)(ad)(acjt ^(ah)iad){acj' V (ab) (ad) (ac^

2cdJ *D ^(ab)(a<l)(ac)

also

_ oJcd _

2) Die Lote von P und Q auf /" und # sind

also

3) Es gilt:

. a„n acJ(ad) ~ bd.J(ab)

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 97

Die Halbirungslinien der Winkel Q and P in diesen Dreiecken sind

^ ^( (a6) ' •*« — ä»— rf«r (ad) '

(«6)

ac |/(aÄ)Ja}H , M l/(ad){W

also

, ( AabcilJ t t

«I • «i - (a»_c«)(Ä*_rf«) = «3 • W4

4) Die Radien der den Dreiecken ACQ, BDP, BDQ, ACP am- geschriebenen Kreise haben die Werte:

r, p («0 „ n W R „ («*)

also

5) a. Die vier dem Sehnenviereck angeschriebenen Kreise bilden auf den Seiten Abschnitte, welche, von Q und P aus ge- rechnet, die Werte haben:

V| 2(a — c)» 2 2(6-d)' * 2(a— «)' *4 2(Ä-tf) also

a-\-b-\-c-\-d Vi— v8 - — ' 2 vi — v4

b. Die vier dem Sehnenviereck eingeschriebenen Kreise bilden auf den Seiten Abschnitte, welche, von Q und P aus gerechnet, die Wert« haben:

V| 2(«-c)' V« 2(6- d)' Vs ~2(a-c)' V* 2(6 -d) also

r , 6-fd— a — e

n — n- — 1 — 2 = v* 1,8

6) a. Die Radien der den Dreiecken ABC, BCD, CDA, DAB eingeschriebenen Kreise haben die Werte:

Aich. d. Math. u. Phy8. 2. Beihe, T. VII. 7

96 Zimmermann'. Metrinche Relationen am Sehnenvierecl:

welche Gleichung nur bestehen kann, wenn W positiv genommen wird. Man erhält demnach

a = »r, . u. 8. w.

j _ 2friV)friW)

wo

^ - %l|+»4,|+WWWH,H(«i'+»«,)»l

Wir geben schliesslich einige Gruppen von jo vier entsprechen- den Stücken des Sehnenvicrecks an, vermittelst deren /*, c, <l und J nicht ausgedrückt werden köuuen, weil zwischen den vier Stücken jeder Gruppe eine Relation besteht.

1) Die Lote von J3, C, D auf die Diagonalen siud

_ 2adJ { 2abJ _ 2bc.J_

4 y(«4)(a</)(rtc)

also

2) Die Lote von P und Q auf f und ^ sind

2bdJ ( SW , 2MJ

2aeJ

also

Pl ~ (aC)(a«-c»XÄ*-^) ö 1,3

3) Es gilt:

r^Arn acJ(ad) ARm> hfU(ab)

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Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck. 97

Die Halbirungslinien der Winkel Q und P in diesen Dreiecken sind

\/{ad)\a\\c\ ,_ M T (a6) ' *» (arf) '

«1 =

also

, •» \/{ah)\a\\c\ , bd l/(ad)\b\]d\ "i - 0t_ct ^ (^) » "4 = 6*-d* r (a6)

, , \abcdJ t ,

M| ' "» " (a»-c»)(6«-rf*) *

4) Die Radien der den Dreiecken ,4CQ, ££>P, BDQ, ACP um- geschriebenen Kreise haben die Werte:

also

5) a. Die vier dem Sehnenviereck angeschriebenen Kreise bilden auf den Seiten Abschnitte, welche, von Q und P aus ge- rechnet, die Werte haben:

1 2(a — c)' V» 2(6 -rf)' 8 ~ 2(a - c)' V* 2(6 -rf) also

a4-6-f-c-f-d vi— v$ 2 ~ vs — v*

b. Die vier dem Sehnenviereck eingeschriebenen Kreise bilden auf den Seiten Abschnitte, welche, von Q und P aus gerechnet, die Werte haben:

Vl 2(«-c)' V» 2(6-«*)' 8 2(a-c)» V* 2(6 -d) also

, . 6-4-d — a — e vi '— V- g ~ v4 — vä'

6) a. Die Radien der den Dreiecken ABC, BCD, CDA, DAß eingeschriebenen Kreise haben die Werte:

Arth- d. Math, u. PhjB. 2. Reihe, T. VII. 7

98 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereck.

_ 2abJ JbcJ 2cdJ

a» - (o6)(a+H/)' " («Mb+e+g? * " <«6)(c* rf+/)'

2a<7Jr 04 " (<sd)(a+<*+*)

Wir drücken die « durch die n aus. Indem wir beachten, dass

ac+bd - 2(^X^*4) also

/ - ("1*4) y -j^jp- , 0 - (W ^ ist, erhalten wir

ff Ä 4«r|Wfc(iraiM)

1 ^,[(^+^4) Vr-(rr|+T3)(7r,+T4)-(^~fr4)J{]+^[(^l+rr3) IT

^*i+irt)(jrrh^-(irI^g)^ir|iri)y2(I+^

2(t,^4)

da aber

^-(ts+t4-t, -»,)! = 4(^*4)

ist, so wird

ff, — i( IF4 yr, +t4 — fr8 - :t4) j analog ff2 = $( ir-f- tt8 f n-3 — nt ),

«3= K^+*s+«4— *i — »,), a4 = +»4 — — »a)

also

a, +«t3 = W=: <y2 + <y4 Ausserdem bomerke man

»1*3 = (^Ti), oaff4 = (?r,7r2)

b. Die Radien derjenigen den Dreiecken ABC, BCD, CDA, DAB angeschriebenen Kreise, welcho je eine Diagonale von aussen berühren, haben die Werto:

• .- 2ahJ ' = 2**/ , _ 2olJ

, 2adJ

in ganz derselben Weise wie unter a. findet mau:

*i'=KF+irt, + *4'— u.s.w.

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99

VII.

Miscellen.

l.

Zur Construction der Kegelschnittslinien.

Im Jahrgange 1886 veröffentlichte Herr Prof. Schiffner in Pola eine praktische, in ihrer Ausführung sehr einfache Construction von Punkten samt den dazugehörigen Tangenten einer durch die Achsen oder zwei conjugirte Durchmesser bestimmten Ellipse; die Ableitung derselben erfolgt mittelst analytischer Geometrie.

Eine andere, natnrgemässerc Ableitung (jene analytische lässt doch an keiner Stelle die Notwendigkeit des eingeschlagenen Weges erkennen) ergibt sich durch Specialisirung des Pascal'schcn Satzes für den besonderen Fall auf folgende Weise.

Sind AB und CD die beiden Achsen, bzhw. coujugirten Durch- messer der Ellipse, und bezeichnen wir dio fünf bekannten Ecken des Pascal'schen Sechsecks mit 1, 2, 3, 4, 5, so verlegon wir 1 und

2 nach A, 3 nach C und 4 und 5 nach B. Die Seiton 12 und 45 (die Tangenten der Ellipse in A und B) schneiden sich in dem fixen Punkte III, durch den bei der getroffenen Aunahme sämtliche Pas- cal'schen Goraden o gehen müssen. Wegen 12 D 45 liegt der Punkt III in dieser Richtung im Unendlichen, die Pascarschcu Geraden sind so- mit zu CD parallel. Ziehen wir eiue solche Gerade o CD, so schneidet sie

die Seiten 23 und 34 (AC und CB) des Pascal'schcn Sechsecks in den Punkten IV und V, die mit 5 (B), bzhw. mit 1 (A) verbunden jene zwei Seiten liefern, deren Schnittpunkt 6 ein Puukt P der Ellipse ist

Behufs Bestimmung dor Tangente t in P nehmen wir eine andere Anordnung der Ecken des Pascal'schen Sechsecks an. Wir bezeich- nen A mit 1, C mit 2, 3, B mit 4 und den vorhin gefundenen Punkt P mit 5, 6. Den Schnittpunkt III' der Seiten 12 und 45 (früher

7*

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100

Mücellen

IV) mit dem Schnittpunkte V der Seiten 3 4 und 6 1 (früher V) ver- bunden liefert die Pascal'sche Gerade «' , welche mit der früheren

a offenbar identisch ist. <s schneidet die Seite 2 3 (Tangente der Ellipse in C) in dem Punkte IV, dessen Verbindungsgerade mit 5, 6 (P) die Tangente t der Ellipse in P ist.

Der Punkt IV, der Schnittpuukt der Pascal'schen Geraden mit der Ellipsentangente in C, wird schon bei der ersten Operation, der Bestimmung des Ellipsenpunktes erhalten. Dadurch wird die An- zahl der Hilfslinien auf ein Minimum reducirt.

Für die Hyperbel gestaltet sich unter derselben Voraussetzung wie bei der Ellipse die Ableitung der Coustructiou in ähnlicher Weise wie vorhin.

Bezeichnen wir mit AB den reollen und mit CD den conjugirten imaginären Durchmesser, so verlegen wir die Ecken 1 und 2 des Pascal'schen Sechsecks nach - 1 , 3 in den unendlich fernen Punkt einer (z. B. der zu AD parallelen) Asymptote und 4 und 5 in den zweiten Endpunkt des reellen Durchmessers AB. Es fallt dann — bei Gebrauch der früheren Bezeichnung — III mit dem unendlich fernen Punkte des imaginären Durchmessers CD zusammen, die Pascal'sohe Gerade <s wird zu CD parallel und schneidet die Seiten

2~3 und 3~4 (AB und CB) in den Punkten IV und V, deren Ver- bindungsgoraden mit 5 (B) und 1 (A) sich in einem Punkte 6 (P) der Hyperbel schneiden.

Um die Taugente t in dem soeben erhaltenen llypcrbelpunkte P zu bestimmen, bezeichnen wir die Endpunkte A und B des reclleu Durchmessers mit 1 und 2, den unendlich fernen Punkt der vorhin benutzten Asymptoto mit 2, 3 und den Hyperbelpunkt P mit 5, 6. Die Schnittpunkte III und V sind mit den vorigen IV nnd V iden- tisch, weshalb auch dio jetzige Pascarsche Gerade <r mit der frühereu

<t zusammenfällt, o' schneidet die Gorade 2 3, d. i. dio Asymptoto in dem Punkte IV der mit P verbunden dio gesuchto Tangeute t lie- fert Auch in diesem Falle erfordert die Coustructiou eines Hyper- belpunktes samt der zugehörigen Tangente das Minimum der Hilfs- mittel.

Auch für die Parabel können wir auf analogem und ebenfalls kürzestem Wege eine hübsche und zweckmässige Construction von Punkten samt den dazugehörigen Tangenten ableiten.

Es seien ein Durchmesser AB und eine demselben conjugirto Sehne CD als gegeben vorausgesetzt. Wir bezeichnen alsdann den

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MisctUtn.

101

Parabelpunkt A des Durchmessers mit 1, 2, den einen Endpunkt C der Sehne mit 3 und den unendlich fernen Punkt des Durchmessers mit den Ecken 4 und 5 des Pascal'schen Sechsecks. Bei dieser An- nahme ist der Punkt III der unendlich ferne Punkt der Sehne CD, die Pascal'schen Geraden o sind somit zu CD parallel; jede der- selben Bchneidt die fixen Geraden 2~3 (AC) und 3~4 (durch C 0 AB) in zwei Pnnkten IV und V, deren Verbindungsgeraden mit 5 (dem unendlich fernen Punkte von Ali), bzhw. mit 1 (A\ wobei die erste offenbar zum Durchmesser AB parallel sein muss, sich in einem Parabelpunkte 6 (P) schneiden.

Auch für die Bestimmung der Tangente t in dem erhaltenem Punkte P ist bereits vorgesorgt Sie ist die Verbindungsgerade von P mit dem Schnittpunkte T der Pascal'schen Geraden und der fixen Parabeltangente r in C, welche vorher ein für allemal auf bekannte Weise zu ermitteln ist

Um diese Tangentenconstrucüon abzuleiten, bezeichnen wir A mit 1, C mit 2, 3, den unendlich fernen Punkt des Durchmessers AB mit 4 und den bereits bekannten Punkt P mit 5, 6. Bei dieser Annahme entsprechen die Punkte III' und V den früheren IV und V, die Pascal'sche Gerade ist somit dieselbe wie vorhin und schneidet

die Gerade 2~3 des Pascal'schen Sechsecks , d. i. die Tangente t In C, in dem Punkte IV, dessen Verbindungsgerade mit P die gesuchte Tangente t ist Der wichtige Punkt IV ist aber offenbar bereits bei der Ermittlung des Parabelpunktes P erhalten worden.

Triest Karl Schober.

2.

Eine einfache Ableitung der Bedingungen, welche die Coefflcienten einer Rotationsfläche zweiten Grades erfüllen müssen.

Soll die Entfernung eines Punktes von der festen Ebene

lx-\-my-\-nz «=» 0

eine Function seiner Entfernung vom Anfangspunkte sein (dies ist die Definition einer Rotationsfläche, deren Rotationsaxe durch den Anfangspunkt geht), so hat man:

te + my + n* — g, (Ä»-j-y»-f-a*) =. 0

Hieraus, durch partielle Differentiation nach % und y, sowie durch Elimination von <p' :

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102

- 0;

A .

8s 8»

. (bj — mx) + (lz - »ix) ^ -f- («y — »«) ^ = 0

Durch Benutzung von df

dz

df df dz dx"1 dz ' dx

df df dz dy-Tdz ' 8y-U;

= 0;

dz_

da dx

dx

df df dy dz*

Bf df dx ' dz

verwandelt sich A in die „Bedingungsgleichung einer allgemeinen Rotationsfläche":

B .

d f d f d f

(mx-ly)dx-\-(lz — iix) + — ins)dz - 0

Für eine Fläche zweiten Grades sei nun der Schnitt mit der unendlich fernen Ehene:

C . . oiixl^a^xti + aMxsi+2aiixixs-{'2a3xxixi'\-2a1ixlxt = 0

Diese Gleichung kann gedeutet werden als die eines Kegels durch den Anfangspunkt der Coordinaten — er hat zur vorgegebenen Fläche zweiten Grades die Beziehung, dass er parallel läuft (in den Richtungen seiner Strahlen) mit dem Asymptotenkcgel der vorge- gebenen Fläche. Er wird also ein Rotationskegel, wenn die vorge- gebene Fläche zweiten Grades eine Rotationsfläche. Und umgekehrt ist letztere Fläche eine Rotationsfläche, sobald der Kegel C der Be- dingung B genügt.

Wenden wir auf C die Bedingungsgleichung B an; wir erhalten: D • • • . (mx, — /xa) («31 *j -f 035 x8 + a^x«,)

-f-(»xs — mx3)(an -f-«15) =0.

Diese Gleichung muss eine Identität sein für alle Punkte x, xsx3 des Raumes; denn sie stellt wiederum eine Fläche zweiten Grades vor, und wird erfüllt von den Coordinaten sämtlicher Punkte des Kegels C\ ohne doch auf die Gleichung letzten Kegels überführ- bar zu sein. Ein solches Verhalten ist nur möglich, wenn in D die Coefficienten der sämtlichen 6 Verbindungen: x,*, x,*, x3*, ayrs, x3x„ x,x2 einzeln verschwinden. Demnach herrschen zwischen den Grössen a* folgende 6

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103

1) aiZm —aitn =0

2) -Ossi -folt» — 0 1 3> «*3* +«jsW4 =0

II) a,^ 4-(«33-crlj)m — «23« = 0

III) a,s/ — anm "H«»— «n) n — 0

Das Bestehen dieser 5 Gleichungen legt den a,k gewisse Bedin- gungen auf (eine der drei ersten Gleichungen kann weggelassen wer- den); die man folgendermaassen erhält: „Man wähle 2 mal eine Combination von dreien der fünf Gleichungen und eliminire aus jeder Combination die homogen vorkommenden /, m, n"

1, 2, III gibt

— 0 oder

«13 ~au — 0,3 au

«13 — «*3 «« ~ aii

E «1««13* — •»«>•* +«*«!•(«••— «Ii) =0

«13 ~ «J*

—«»3 «1* «1» «33_ «11 — «M

F OlS1«13 + «l««ts(a33 — «Ii)" «13«M* — 0

°13 —«1«

1, 2, I gibt -aw a„ =0 oder

1, 2, II gibt

=- Ü oder

33"

«SS «IS — öl3

G «l»a13(«S3 — «M) + «J2*«5r3— «13* ««3 ~ 0

Es ist bekannt1), dass bereits das Bestehen von zweien dieser Gleichungen genügt, um auch alle übrigen ähnlich entstandenen er- füllt sein zu lassen.

Wir unternehmen beispielsweise den Nachweis dafür, dass die Bedingungen E und F auch G mit sich bringen.

Aus K und F schüesst man durch Elimination von s

«*3*- «11 '«13 («33 — ««) — 0

Es sei nun

1) = 0, dann moss entweder auch a1% — 0, oder o,s = 0 F)

1) Hesse, Geometrie des Raumes pagg. 255, 374, 376-878; ferner Salmon-Fiedler, Algebra der lin. Trausformationen Art. 214 (unsere Bedin- gungen haben den directesten Zusammenhang mit jenen für die doppelte Be- rührung »weier Kegelschnitte, sowie mit jenen für die Existenz ron zwei Doppelwurzeln einer biquadratischen Gleichung).

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104

2) «ss < °» au — 0; dann mnss «,s = 0 sein (F); demnach G erfüllt

3) «ss > 0, ait ^ 0, — 0 ist eine unmögliche Annahme wegen E

4) <*M — 033=0 liefert nach Ausrechnung von att.E — a18.F: «ss* («is*— "u*) — 0» demnach entweder 0,3 — 0, oder oj, — «18 u. s. w.

Wir erhalten zusammenfassend als Resultat: „Die Bedingungen dafür, dasa eine Fläche zweiter Ordnung eine Rotationsfische vor- stelle, können als Determinanten B9 F, G ... geschrieben wer- den. Diese Determinanten liefern das Mittel die Coordinaten I, «*, m jener Ebene darzustellen , auf welcher die Rotaüonsaxe senkrecht steht".

Denn aus irgend zweien der Gleichungen 1 — 3, I — III (welche die Bedingungen für die am lieferten durch Elimination von 2, m, n), kann man das Verhältuiss l : m : n berechnen, wenn eben die dA so beschaffen sind, dass sie eine Rotationsfläche C anzeigen.

Vergl. noch Salmon-Fiedler, Raumgeometrie I pag. 136, II pag. 256; Clebsch-Lindemann, Geometrie pag. 298, 138; Kummer in Crelle's Journal Bnd. 26.

München, Januar 1888.

Fritz Hofmann.

3.

Untersuchungen Aber eine Fliehe S. Ordnung, welche Ton Kreisen erzeugt wird, die durch zwei Punkte gehen und eine Gerade treffen.

Wie schon in dem Artikel „Ueber den geometrischen Ort der Mittelpunkte von Kreisen, welche durch zwei Punkte gehen und eine Gerade treffen" (Archiv 2. R. Tl. V. S. 442 — 448) hervorgehoben wurde, kann man für die folgenden Untersuchungen unbeschadet der Allgemeinheit das Coordinatensystem so annehmen, dass die gegebenen Punkte A und B beziehungsweise die Coordinaten (0, 0, m), (0, 0, — tn) haben und die gegebene Gerade G durch die Gleichungen (9 = ax-\-b, y = c) dargestellt wird. Es hat dann der Kreis K, welcher durch die Punkte A und B geht und den Punkt C... (xt, y„ tk) der Geraden G enthält, die Gleichungen:

(*,+ar,+«"-»,)«i-(«i,+»i,+«,Ä— m«)* = 0, yti-xyx -0

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Misctllen

105

dabei ist yt c, », = ox,-J-6. Eliminirt man aus diesen vier Glei- chungen die drei Grössen xu y„ «„ so erhält man als Ausdruck für die Gesamtheit der Kreise ABC die Gleichung:

«y+c'y+cya'-c'ü +a*)x« - + m*)y>-2abczy -cm*U - 0

Sie ist vom dritten Grade , die durch sie dargestellte Fläche F ist somit von der dritten Ordnung.

Die Fläche F geht durch den Coordinatenursprung ö, hat mit der yz-Ebene die Gerade AB und den Kreis

<ry*+ «* — (*8 + e* = ro*)y — cm8 - 0 mit der &z-Ebene drei Gerade (von denen zwei nach AB fallen, die dritte im Unendlichen liegt) gemein, und schneidet die zy-Ebene in der Curve 3. Ordnung:

y*)-#(l+a*)x*-{b*+<*-mW-2abcxy -cm«y - 0

letztere Coordinatenebene ist Symmetrieebene der Fläche.

Für A ... (0, 0, m) oder B ... (0, 0, — n) als Urspruug des CoordinatensyBtems ergibt sich eine Fiächengleichung ohne absolute Glieder und ohne Glieder der ersten Ordnung: A und B sind also Doppelpunkte der Fläche F. Da der Kegel

c*( 1 -f- a*)x* + (i1 + c* - m*)y * + 2abc xy = 0

dessen Erzeugende mit der Fläche F in A und i? drei zusammen- fallende Punkte gemein haben, in die zwei Ebenen

dl -f- a*)z + [ab ±Y (1 + «*) (»a - c») — ä*]y - 0

oder auch

<{«* + V(l + «*) (««- ?) _i*>+(6»+c> - m')y - 0 zerfollt, so sind -4 und B biplanare Doppelpunkte. Hieraus folgt wieder, dass die Gerade AB oder die a-Aehse auf F liegt. Ausser- dem wird die Fläche, nach ihrer Entstehung zu schliessen, die Ge- rade G ... (y =* c, z — ax+6) enthalten, wie ihr auch wegen der symmetrischen Lage zur ary-Ebene die Gerade G' ... (y — c, z+ax + 6 — 0) angehören muss. In der Tat ergiebt sich dies aus der Gleichung der Fläche durch Einsetzen von y —» c ebenfalls; neben- bei zeigt es sich zugleich , dass wegen c — 0 die unendliche Gerade ff oo der Ebene y ■= c den Schnitt von y = c und F zur vollstän- digen Curve 3. Ordnung ergänzt. Die unendliche Ebene muss aber F ebenfalls nach einer Curve der 3. Ordnung schneiden : es wird also noch ein Kegelschnitt von F im Unendlichen liegen. Man findet, dass dies der imaginäre Kugelkreis ./ des Raumes ist. (Führt

man nämlich in JF*=0 -> ~- ein und setzt » — 0, so for-

i/j J/J

106

Miscdlen.

dert dies: y 0 und yHyH^" — 0, welch letztcro Gloicliung J vorstellt). Auf F liegen sonach vier Gerade: AB, <?, G' und G&. Jede durch eine solche Gerade gelegte Ebene schneidet F in einem Kegelschnitte. So enthalten z. B. die durch G& gehenden oder zur xs-Ebeno parallelen Ebenen y = d die Curven 2. Ordnung C\:

c(c+a*c — d)x* — cdz* + 2abcdx—cdS-\-(b* + c*-m*)d* + cdm* - 0,

unter deneu kein Kreis vorkommt, wohl aber die Doppel-Gerade AB (für d mm 0), die zwei Geraden G und O' (für — c) und eine Pa- rabel (für d = c -f ca2), ferner unendlich viele Ellipsen (für d> c(l-f n») uud </ < 0) und Hyperbeln (für Ü < d < c + ca*). Die Mittelpunkte aller Ct erfüllen die gleichseitige Hyperbel

welche in ... (x = ah, y = c + ca%) den Mittolpunkt hat, uud deren Asymptoten zu den Coordinatenachsen parallel sind.

Die durch AB gclegteu Ebenen schneiden, wie aus der Ent- stehung der Flüche hervorgeht, l in den Kreisen A". Es lässt sich nun zoigeu, dass F von Ebenen, welche O oder Cr' enthalten, eben- falls nach Kreisen k und k' geschnitten wird. Die Flächenglcichung kauu nämlich auch in der Form:

(y — c) (ex* + cy* -f • cz2 -f m2y) — (aex \ by \ cz) (aex + by -|- cz)

geschrieben werden, welche F als das Erzeuguiss des Ebenenbüschels E ... k(y — c) — aex + by — cz) 0 und des Kugelbüschels ff ... cx%\ ^s + «2-f m*y — k{acx-{- by \cz) — 0 oder auch als das Erzeuguiss des Ebeucubüsehels K' ... p(y — c) — (acx + by-\ cz) = 0 und des Kugelbüschels M 1 . . . + cy2 + cz2 + m*y — (i(acx + by — cz)=0 zu erkennen giebt. Alle Ebenen E gehen durch G, allo Ebcuen E' durch G'i die Schnitte der Fläche F mit den durch G odor G' ge- legten Ebenen erscheinen somit als Kugelschnitte, sind also Kreise. Die einer gegebeneu Ebene E entsprechende Kugel ff aufzufinden, ist nicht schwer. E und ff begegnen sich in demselben Punkte der s- Achse, denn E schneidet auf der z- Achse immer das Stück l ab, uud die entsprechende Kugel R begrenzt auf der z-Achse gleichfalls die Strecko A. Die Kugel ff geht ausserdem immer durch den An- fangspunkt O des Coordinatensystems ; ihr Mittelpunkt M ist be- stimmt durch ... ^ 9um~2~™~ ' *~ ä)' weshalb dcr Auf* riss von OM mit dem Aufrisse von G parallel ist Q ist nämlich

gleich a). Ebenso lassen sich die Ebenen E' und die Kugeln II'

leicht auf einander beziehen. Beido schneiden die a- Achse im Ab- stände (— fi) von 0, E' geht immor durch G', ff' immer durch O.

ry — c(l \ a*)x — aby^zi)

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Mitteilen.

107

Der Mittelpunkt M ' von S? ' hat die Coordinaten :

pa fxb — m* ft

* ~ 2 1 y = 27~' * ~ "~ 2

Von den Ebenen E und £' sind jene besondere wichtig, welche zugleich die ihnen entsprechende Kugel ft oder ß ' berühren , für die also k oder p so beschaffen ist, dass der Abstand (A/, E) oder (M\ E') gleich dem Halbmesser von » und ' wird. Stellt man die diesbezügliche Bedingung aus den Gleichungen von E und M aof, so zeigt es sich, dass A = ±m sein muss, und infolge desseu die durch G gehenden Ebenen

acx-{-(b + m)y — cz + mc «=» 0

die Kugeln

(z* -f y% + + ™*y T "»V^4 % + cz) — 0

und daher auch die Fläche F berühren und zwar erfolgt dio Be- rührung in den Punkten ...(» = 0, y = 0, j-±i»). Die durch legbaren Berührungsebenen der Flächo sind zu den vorigen sym- metrisch.

Die bisherigen Untersuchungen lieferten das Resultat, dass durch jeden Punkt P der Fläche F drei Kreise K, k, k' und ein Kegel- schnitt C, gehen: K enthält die Punkte F, A und Ä, k gehört der Ebene (P, (?) = £ und der ihr entsprechenden Kugel .« , k' der Ebene (/', G') = E' und der ihr entsprechenden Kugel au, C8 liegt in der Ebene y — d. Hiervon kann man bei verschiedenen Aufgaben Anwendungen machen: bei der Construction von Schnitt- linien der Fläche F mit Ebenen oder anderen Flächen, bei der Be- stimmung der Berührungsebene eines Flächenpunktes P, u. a. ra.

Die Flächengleichung nimmt, wenn für die Coordinaton xy y, z des Flächenpunktes P beziehungsweise die Werte rcos«, rcos/3, rcosy eingeführt werden, und die Gleichung

cos,o-|-cos*j3+ cosly — 1

Berücksichtigung findet, die folgende Gestalt an:

«•«cos ß — c*(l +«*)*• C08*a— (6a + c*— m«)rC08a/S -2atercos« cos/S

^ —cm* COS ß 0

Ersetzt man hierin r durch y — ~V dann erhält man dio Gleichung

des geometrischen Ortes jener Punkte J\ . ./(a-,, y,, ^), welche auf dem

Strahle OP so liegen, dass OPXOJ\ — » — m* ist, und zwar in einer Form, die mit der obigen Flächengleichung identisch ist. Die Punkte / j liegen also auch alle auf der Fläche F oder mit anderen Worten : die Fläche F ist ihre eigene Invcrse für das Inversious-Ceutrum O und dte Potenz (— m1).

108

Misctllen.

Wählt man den Punkt A ... (0, 0, »») als Ursprungspunkt eines parallelen Coordinatcnsystoms, so lautut die Flächengleichung:

cy*+cx*y\cy* — c'(l+a*)**-(ÄHc»— m*)^— 2abcxy+2cmyz — 0

oder:

c r COS ß — c*(l + a») C08*a — (6* + c* — m* )C08*/S — 2abc COS o COS 0

+ 2<7rtCos/?cosy — 0

und deshalb hat die inverso Fläche von Ffür A als Contrum und 2p% als Potenz (da rp — 2/>* sein rauss) die Gleichung:

2cp* C08 /J — C«(l +0*)p C08a« — (Ä* + C* — W8)p C08*/J — 2o*C p COS ft COS ß

■f 2empcos/Jco8y «* 0 oder in Bezug auf das alte Coordinatonsystem :

c»(l+ot)x«+(A*+c»-ml)yH2a6cxy— 2ewy3+2cw*y-2c/>«y 0 welche einem Kegel entspricht, dessen Scheitel in ... ^««»0, y=-0,

a — ) ,ie8l- Der Symmetrieverhältnisse wegen wird man sagen

können: Die Fläche F kann durch Inversion aus den zwei Kegeln c2( 1 -f a1)** + (b* + c* — m*)y2 + 2ai<? xy + 2cw f 2er« 2y ~ 2<?>2y — 0 abgeleitet werdeu. Diese Kegel enthalten, weil sie keine Rotati ons- kcgel sind, zwei Systeme von Kreisen; letztere und die Kogel-Er- zeugenden erscheinen im inversen Bilde als Kreise, somit findet dai frühere Resultat von den Kreissystemen auf F seine Bestätigung.

Weil eine Ebene (die das Centrum nicht enthält) durch Inversion in eine Kugel übergeht, so folgern wir die weitere Eigenschaft, dass F längs jedes erzeugenden Kreises von einer Kugel berührt wird, nämlich der Ableitung jener Ebene, welche den inversen Kegel in der Geraden berührt, die dem entsprechenden Kreise entspricht. Die Kugel, welche das inverse Abbild einer Ebene ist, hat ihren Mittel- punkt in der Senkrechten aus dem Centrum der Ebene: die Mittel- punkte aller Kugeln, welche F längs erzeugenden Kreisen berühren, liegen deshalb auf dem Kegel aus A. dessen Mantellinien normal zu den Berührungsebenen des inversen Kegels der Fläche sind. Nach- dem die Kreise K ihre Centra in der a-y-Ebene haben und auf der- selben senkrecht stehen, so liegen auch die Mittelpunkte der durch die K gelegten Kugeln in der xy-Ebene, weshalb die Mittelpunkte der längs erzeugenden Kreisen A' berührenden Kugeln die Schnitt- curve vorerwähnten Normalkegels mit der xy-Ebene bilden müssen. Die einfachste Gleichung hat der Inversions-Kegel für das Centrum A und p — m, nämlich

c*(l +at)x*+(4Ä + c»--m2V + 2a*cajy— 2cmy% = 0

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Miscellen.

109

Die Normalen aus A zu seinen Berührungsebenen sind: «ny5 + [c*(l+ a*)x + abcy\(t - tn), cmy rj + [(A* -f <?* — m*)y \ abc x — cm z] ( f — m)

und dieselben schneiden die xy-Ebene in der Parabel :

$* - 2a* g + 2c( 1 + a») tj + a*A* - (1 + «*) (6* + c» — m1) = 0

Die Fläche F kann somit auch als die Umhüllende aller jener Kugeln betrachtet werden, welche durch A und B gehen und ihre Mittel- punkte auf der Parabel P% liegen haben. 1\ ist dieselbe Parabel, deren Fusspunktscurve für den Pol O die in dem eingangs citirten Artikel besprochene Linie 3. Ordnung C, ist; es werden also zwischen F und C3 nicht nur auf Grund ihrer Entstehung aus Ay B, G, son- dern auch im Hinblicke auf die Parabel Pt Beziehungen abgeleitet werden können.

Pola, im Februar 1888.

Fr. Schiffner.

4.

Beweis eines Dreieekssatzes.

Im Dreieck ABC halbirt die Linie CD den Winkel ACD — y. Die Linie AO halbirt den Winkel CAB j?, also ist O der Mittel- punkt des einbeschriebenen Kreises, während M der Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises sein möge.

Wkl. OAB - 0/2, Wkl. BAD - BCD = y/2, also

Wkl. OAD =

Wkl. AOD ist als Aussenwinkel des Dreiecks AOC

2 '

Wkl. — AOD, also 4Z> = OD L

Lehrsatz: Der um D mit DA beschriebene Bogen ist der geo- metrische Ort des Mittelpunktes des einbeschriebenen Kreises. (Vgl. Spieker, Geometrie, § 126.)

Die zweite und dritte Gleichung sind nichts anderes, als An- wendungen des sog. erweiterten Pyth. Lehrsatzes auf die Dreiecke ADM und ODM.

110 MiscelUn.

MA — MD = r • OE = FG = q ; Wlf=rf; FM = r.

Im Dreieck yiZW ist ^4/>l = A£/ll -f- Af/)* — 2. MD. MG, oder >l7)» = 2r> — 2r.(p±a-) II.

Im Dreieck ODM ist OD2 = OAf*+3fD* + 2. MD. MF, oder

O/)*— </*-fr*qF 2r.x III.

(Die Doppelzeichen, je nachdem F auf den Radius MD oder auf dessen Verlängerung fallt.)

Da nach L AD — OD, so ist nun auch

2r*-2r(Q±x) =r/»+r* + 2rx

r*— 2rp = rl*

Bonn, Juli 1888. Prof. Dr. R. Caspar.

5.

Reductlon einiger Integrale.

/dt 1.-= hat man:

wobei ßtßtßa die Wurzeln der Gleichung bezeichnen. Setzt man

« = tgj

so wird

dt

9

cos 0 r/g>

= i

Da nun

so folgt weiter

^(l+f1 sin?) (l+|f8inV) sin?)

2cos~ = Vl-j-sin?) + Vl — singp

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Miscellen. \\\

<U=\ Wird nun

d<p[Vl + sing + Vl — siny]

f/(l+ * sin 9,) (l-f p sin 9) (l+ * sin <p j

g = l-fsing> — sin

fr- 2 &+2

gesetzt, so folgt:

_ /*

Seien m, v, », Constanten, über die wir nach Belieben ver- fügen können, und setzen wir

§ HP *~ ivRr

_ 1* — t>ro* «1 — "i "*

so wird, da

(2 - «,) (2 - «4) (2 - ms) = ?±? (2-n,)(2-«,)(2 -«3) =

et

2 — «

4./ _ 1 1/ _o_ /» dg'

_ ~ /»

r 2-aJ V(gI'-rV)(flt-V)(Vi-%rj

Wendet man nun die Substitutionen

35 21 - COSÖ

1 91 1 - COSÖ'

an, so folgt weiter

112

±r-9 V- _ f

' Pi —p» 2

__? v> f "2~

/dt ; == *) hat man: y<»

y<8+«<4+i

setzt man j — * so wird

Substituten wir nun !»tg|, so folgt weiter

dt 2 dq> sin <p

V'" + «"* +1 |/l + 2|^"cosV + CO,«*

oder wenn

gesetzt wird:

dt 2dx

Die weitere Reduetion liegt an der Hand.

Prag, im Juni 1887. W. Läska.

/dt

I) Die Reduetion von / ,/LL ,„ jM= gibt Richelot, Crelle XXXII. p. 213.

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Schjerninp: Ftächtnscharen 4. Gr. etc.

113

VIII.

Ueber die Schaaren von Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten, welche durch eine Lemniskate gehen.

Von

Dt. W. Sch jerning in Barmen.

C a p i t e 1 I.

Die Aufstellung der FlttcliciiKlcicInuitf.

Kummer (Berliner Monatsberichte 1864 , S. 255) beweist den Satz:

Durch jede gegebene Curve vierten Grades kann man sechs verschiedene vierfach unendliche Schaaren von Flächen vierten Grades mit sechzehn singulären Punkten legen, und lehrt gleichzeitig die Gleichung dieser Flächen aufstellen. Es ist von Interesse, diesen allgemeinen Satz auf eineu speciellen Fall anzuwenden, und im Fol- genden sollen einigo der Resultate angegeben werden; zu denen man geführt wird, wenn man als Curve vierten Grades die Lemniskate mit der Gleichung

(1) («»+y»)»-2««(«»-y») -0

wählt.

Kummer geht von folgender Form der Cnrvcngleichnng aus

Arch. Jer Hath. u. Phys. 2. Reihe, Teil VII. 8

114 Schjernitii/: Flächenscharen 4. Gr. mit 16 sing. Pinkten.

(2) VpoUto+Afa+An) + V «Zo^o-M, qo+ü*r0

und verweist auf die gleichbedeutende rationale Hcsse'sche Form (C. J. 49, 301) :

(8) ^7=r*£ = FM*F„^Fn*Fu^-FS8*Fu*-2FnFl4Ft9Fu

die für folgende Werte der F mit der Kummcr'schen Form über- einstimmt:

(4) -F,* = 4p0 -f Am + A2r0 F34 = po

— Ufo + **x So + 'Vo Fik — qü

und eine Folge der Hossc'schen Determinante

0			^14
Fn	0	Fn	^4
F*	FM	0	FH
F41		*«	0

- 0

für Ftk = /-i, ist.

In die Form einer solchen symmetrischen Determinante ist also die Gleichung der Lemniskate zu bringen; dazu muss man jedoch ihre Doppeltaugenten kennen (in der Determiuante sind Fit = 0 u. s. w. Gleichuugcu von Doppeltangeuten der durch sie rcpräscn- tirten Curvc).

Das Problem der Doppcltangcntcn au Curveu vierten Grades, allgemein noch ungelöst, lässt sich jedoch für Curven vom Geschlecht 0, bei denon die Coordinaten sich als rationale Functionen eines Para- meters ausdrücken lassen, behandeln. Bei der Lemniskate sind die Ausdrücke für die Coordinaten:

(6) « = JW=l y " k*-l

und die Berührungspunkte der Doppeltangcnten lassen sich dann nach einem von Schwcring (Mathematische Miscellen, Programm, Coesfeld 1831) angegebenen Verfahren bestimmen.

Aut unsere Form der Lemuiskatengleichung angewendet, führt dies Verfahren zu den Gleichungen der folgenden vier Doppel- tangcnten

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welche durch eine Lemniskate gehen.

115

HC

1) - 0 3) «-f-ö-0

(7)

KJ

2) y + 2- = o

4) x- 2 =0

mit deren Hülfe wir folgende Determinante aufstellen können:

(8)

0

tc 2

«7

IC

2

«+.7

tr —

- o

welche aasgerechnet unsere Lemniskatengleichang (1) ergiebt.

Vergleichen wir die Glieder dieser Determinante mit den F aus (5), so können wir aus (4) die Werte der ABC für unseren Fall finden. Es wird

(9) A=* —1, ^,=0, At — 0, — — 1, i*3 = -fl, #s~0, C'= 1, C, -0, 6'* = 1

muss ich wieder auf Kummer (Berl. Monatsber. 1864, 255) verweisen. Er führt die elf Grössen ßy d a'yöa"ß"ö"mn durch die elf Gleichungen ein

(10)

A - <5 /* ~ i' + a' C - d"+ a"

ii4 - md" -f 0 ii, ~ md' C= mä"-f fT.

.4, = nd+y #8 = nd'+y' 6'8 = nd"

«»'y + «"£ - ßy = 0 a"y'-j- /S"y - «"0" - 0

und benutzt zu ihrer Berechnung die Hülfsgrösse

y M-4-1 o' y'

(11) « £-„ also -f- - ^ ; u+1 -

welche Bich aus der kubischen Gleichung

2uA , i»B— (u-f-lMi,

(12)

, — 2(ttfl)i*1 ,

Bf— («+1)C, 2C,

8*

-0

116 Schjerniny: Flächt nscharen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

fiuden lässt Diese kubische Gleichung führt uns bei unseren Werteu der At B, C zu

I*! — 0

(13)

«2 = — 2

Im allgemeinen führt ein jeder Wert von ?* zu zwei Werten der durch die Gleichungen (10) definirtcn 11 Grössen, und es er- geben sich aus deu drei Werten von n die sechs verschiedeneu Flächenschaaren. In unserem Fall liefert der Wert u «= 0 nur einen Wert der 11 Grössen, zb. m = n = 0 uud für einzelne der «, ß, y, ö sofort anendliche Werte; dieser Fall soll eiuer spateren besonderen Betrachtung vorbehalten bleiben. Yen den vier noch übrigen Schaareu vou Flächen fallen ferner je zwei zusammen. Also:

1. „Vou den sechs verschiedenen Schaaren von Flächen vierteu „Grades mit sechszchu siugulären Punkteu, welche durch eine Lem- „niskato hindurchgehon, fallen jo zwei zusammen."

2. „Eiuc dieser drei Schaareu besitzt zum Teil uueudliche Cocf- „ficienten."

Der Wert u— -2 liefert uns für die 11 Grössen aus (10) folgeudo Ausdrücke:

m = — 1 i *	n - l±i
ß = -l±l	y = l±i	ö = -1
	y'=±i
«"= id±0

Mit diesen Werten wird die verlangte Flächengleichuug (15) Yp(ß<i+Y>'+ö*) + V qlj^fr^W») wobei noch

V = Po+ az

(16)

r = r0 + cz

in unsorem Falle

p — — xc-\ az

w

q = ix — ^ T bz

(17)

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welche durch eine Lemniskate gehen. 117

(17)

r = y + g | + «

bedeuten, o, c, d bleiben willkürliche Coustanten. Führen wir alle diese "Werte ein, so erhalten wir als Flächengleiehung :

(18)

V ^z*a{b — c-f d)-\-z,c(a-\-b -c+d)— i{ t^i-fcjfäifii+cj]

+ |/ |~^»^=ä 7 1 ^^x^-i

r «_2A+r/ , A(a f2c- <*)_ a+2c-d]) +'] 2 ±2 2 4— Jj

T ^ i</*-\-*3- 2~—+s — 2 4 4~

+«[±y»- - 2 — 2 2— ±2W — 4 — Jj -0

und in eine rationale Form entwickelt: (19)

z*(a*bc-\-a*bd— atcd+aW— 2abic-abid-{-2abc2— abiP— ac2d -f-aed* -4b*c*+2b*cd- 2bc*d+baP)

+bz*tc(a*b—a*c—2a*d-2ab*+4abc-2abd-2ac*

-\-2acd- 2ad*-4b*c+Usd+4bc*-$bcd+'db<P+4c'ld - 3o/*)

— i s V '(a2 - 2«£+2«c - Gad - 4bc-\- Gbd— 6cd+d*) -\-ziz*{4ac—Zad-b*+2b<i+c*)

+y*z*(4ab+3ad-b*+c*+2cd)-\-x*ztc(2a-\-b-3c+2d) — y»zfr(2a4-3i— c+2d)

— 2x*»r»+2y V-f- f SxVHV ± 2*j^a-H-«)<*+«) qTacz«:ä8(aH-2c-«/)±af85(a-f2c-rf)

+xV(«+2H-f04^^*(«+2c+'0+y^(«+2c-hO±^(«+2<?— d)

+zz5(a*b+a*d—al>*—4abc—3ac*+4acd-ad*

-f- yz3(3a»H- <Al— 3aZ>s-|-4flic— ^»-f 2a«/-farf«— 4£8c

±tzz*tc(a*+Sab+2ac-Gb*-Gc*+Hcd-dl )

-|ya*«7(3aH-2aH-6«^f-2arf-2&3S-f-4^ -2^+3^)

118 Sekjtrning: Mächenscharen 4. Gr. mit 16 simj. Punkten,

(19)

/ -f2«erf*+4A *cd - bW+Uc*d+c*<P)

I ± j3s»r(a»A-J-a2cH-4aA<-i-|-4«c<Z-f U*c— 2b*d+4bct+b<F -f2c*c/-f-c<Z*)

-fa«3(3a*c-«8</-faÄ*— 4«Äc-r-2aM-|-3«el— ad*— b*d-Uc* +2bcd—c*d+c<P)

^y^c-ahl^d^^abc^abd^ac^at^b^d^bc1 +2bcd+c*d+cd*)

+^T^*''^A+c)(«-i+^0±|x,«*(a«4-8ac-12ic-f4ArZ-^) ±\y*zHa%— Sab -l2/,c— 4erZ-rf«)

|-H«M3«*— 6«A— 2«c-{-2^/— 2A*--2ct— 4<*Z-f3d*) r*(rt_2A+rf)

X JysV(aa - 2aA - Gac—Qb* - Bbd - 6c2— ±y*»r4(a— 2A— d)

±x*zw(a -3b-c - d)+xh(a— 2A+ d)± *ty*(«— 2b~d) +*y3*(«*-2«A+2ac-4Ac-f-d«)

+y»z«-(«+^+3c-d)±y3z(a-2Ä -d)+ty*z(a—2b+d)

«=0

Der Schnitt dieser Flächen mit der Ebene z = 0 ist, da nur die unterstrichenen Glieder stehen bleiben, die Lemniskato.

Die beiden noch übrigen Schaaren von Flächen sind vierfach unendlche, da die Constanten a, A, c, d ganz willkürliche sind. Um die Gleichung zu einer reellen zu machen, müssen wir die Constanten complex annehmen, und haben dann zu ihrer Bestimmung aus den in a, A, <?, d linearen Coefficienten der in z linearen Glieder folgende 4 Gleichungen:

Coefficient von xhw y*zw

xh, ry\ — xzw* yh, x*yz, yzw*

Schaar I (oberes Vorzeichen): 2a + b — 3c+ 2rf+*(a — 3A-c-d) = A (20) -2a — 3A-f-c — 2d+i(a + b+3c-d) mm B

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welche durch eine Unvnslcate gehen.

119

(20) a + 2c — d-\-i(a — 2b+<l) - C

a+ 2c+ d + 1(0 - 26 — </) =

Schaar II (unteres Vorzeichen): 2a-f6 — 3c-f-2<Z — *(<* — 36 — c — rf) = yl

— '2a — 36-f-c-2</- »(«-j-6-f 3c~ rf) - //

— « — 2c+rf+*(a — 26-f rf) =» C a+2c-f d — i(a — 2b — d) = D

woraus sich die Ausdrücke ergeben:

Schaar I:

Schaar II:

1

| [^(1-20-^(1+2/)] a = g[4(l+2t)-Ä(l— 2*>]

(21)

d = | (-cH-z>)(i+o

5 - i6(_^-3ß+lC0 c = *&(-3A-B+m

d - £ (c+z>)(i-0

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke wird die Flächengleichung (19) reell, und zwar erhalt man überraschender Weise für boido Schaaren von Flächen gleiche Ausdrücke. Ersetzt man in der glei- cherweise aus beiden Ausdrucksgruppeu resultirenden Gleichung noch Ä durch 8a, B durch 86, C durch 8c und D durch &i, so crgicbt sich als Gleichung der einen übrigen Flächonschaar:

x4+2x*y*+y'— 2z*w'+2y*w*+32cdxyz*+2x*z*(-7a*— Gab -36*+12c*+4</*)

-f2y V(3a2-f 6a6-f 762-r-4c*-f 12rf2)+32ac z*2ic-f 326<* yz*w

_6«6-36*+4c2+4d2)

4-Wy28(3a8+6a6H-762+4c8-f^s,)4-42slic«((a+6)!'-(c*-rfs))

4-4^((a2-6*)*+4(c2+^)l+6(a^-6i'cs)--14(a»c»-6^s) — 12a6(c2— rf2))

_f8,sw(- a»_a*4-|-«6»-f 63-f 4ac»-f 46^) \ =0

in homogenen Coordinaten. Wir haben:

(22)

120 Schjerning: Flachentcharen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

3. „Dio beiden Flächenschaaren, bei denen alle Bcstimmungs- „constanten endlich blieben (Satz 1. und 2.), fallen in eino zusam- men."

a, by c, d bleiben willkürliche Constanten.

Capitel II.

Die Gleichungen der singularen Ebenen and die Coordinaten der Hin-, Maren Punkte.

Der Anfangspunkt der Coordinaten ist ein singulärer Punkt unserer Flächen , da jede durch ihn hindurch gehende Gerade dio Flächo in zwei in ihm zusammenfallenden Punkten schneidet:

4. „Der reelle Doppelpunkt der Lemniskate ist ein singulärer „Punkt der Flächen."

Für diesen Fall können wir noch eine Betrachtung von Caylay (Proceed. of the London Math. Soc. III, 241) die Gleichung des von diesem Punkte aus der Flächo umschriebeneu Kegels sechsten Grades finden. Ist nämlich die Gleichung einer Fläche vierten Grades mit sechszehn singuläreu Punkten, deren einer der Anfangspunkt ist:

(23) A*t+2Bw+C=0

so ist dio Gleichung des aus dem Anfangspunkte der Flächo um- schriebenen Kegels (vgl. auch Kummer, Bcrl. Monatsber. 1864, 246) :

(24) AC— B* sb 0

und wenn man dies aus unserer Gleichung (22) berechnet:

—4cxy*z—12dif>z

+4xV(— 2(a-f-i)s-r-15c*-f^)+32cda:V+8xsyV(2(af6)* +3(c8-d2) )— 32cdzi,*z*+4y*z*(— 2(a+ b)* -c*— 15ri*)

-f-32cx333(— 2(a+&)2+5cH-rf2)4-32rfxV^(2(a+&)* +3c2— d*)+32cxyh\2(a+b)*-\-c*— 3rf*) 4-32rfifV(— 2(a-f-6)*— <?*— bd*)

+16xV((a+i)*-4(a-fÄ)»(3cJ,-d8H-15c4-f6c»d8-rf4) +12Scdxyz\2(a+b)*+c*-d*)+l6t,*z*(-(a+b)*

(25) ' +4M-*)V-3rf*)+c«-6cW-15<*)

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welche durch eine famniskate gehen.

121

(25) / +64«rz*( (o+ Ä)«-4(a+Ä) V-<?)+3c<-p2Ai*-d<)

1 +eidy**(—(a+b)*+Ma+b)Kc*-<I*)+<ii—2c*d*-3d*)

j -f64*6( (a+Ä) V-rf*) -2(a+6) V

Dieser Kegel zerfällt für unsere Flächen in 6 singulare Ebenen, welche durch den Anfangspunkt gehen und die Flächen längs Kegel- schnitten berühren; die Gleichung des Kegels muss sich also in 6 lineare Factoren zerlegen lassen. Man findet als die Gleichungen der 6 durch den Anfangspunkt gehenden singulären Ebenen die fol- genden:

x - iy -f 2z(a -f& -f- c — dt) — 0 6) -x + iy+2z(a + b — c-f-tfi) = 0 7) »+*>+&(— a — b + c+di) — 0 8)

(26)

— x-»y + 2*(-« -b-c-di) - 0 9) *+y + 2*(c+d)=0 1) x — y-f2*(c— </) = 0 13)

Gleichungen, deren Product in der Tat die Kegelgleichung (25) cr- giebt

Nennen wir den Anfangspunkt den singulären Punkt 1, so haben wir diese Ebenen mit 1, 6, 7, 8, 9, 13 zu bezeichnen, wie aus der folgenden, von Cayley aufgestellten Tabelle hervorgeht , aus der so- wol zu ersehen ist, welche singulären Ebenen durch einen singulären Pnnkt gehen, und welche singulären Funkte in einer singulären Ebene liegen, als auch, welche beiden singulären Ebenen durch die Verbin- dungslinie je zweier singulären Punkte gehen, und welche beiden singulären Punkte auf der Scheitellinie je zweier singulären Ebenen liegen.

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122

Sek j Urning'. Ilächensckaren 4. Ur. mit 16 sing. Punkten,

u |ai w t-» M

QC -^J Ol t-k oc^-i OSJ^ j-1^^ JC OS Olj^J WWWOS 05

_i X CT* «C X X

M M H C< CT» U'

M H* l—V^-* I— — M H M Ö> y * Oi M

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X

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CD 00

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welche durch eine Lemniskate gehen.

123

Auf der Schnittlinie von je zwei singulären Ebenen liegen zwei singulare Punkte; unsere 6 singulären Ebenen, unter die wir die Zahlen 1, 6, 7, 8, 9, 13, wie oben hinter ihren Gleichungen ange- geben, verteilen wollen, besitzen 15 Schnittlinien. Jede Schnittlinie enthält den sigulären Punkt 1, also können wir die Coordinaten der 15 anderen singulären Punkte dadurch finden, dass wir die Glei- chungen jo zweier Ebenen mit der Flächongleichung combiniren. Die Nummer des gefundenen singulären Punktes finden wir aus der Cayleyschen Tabelle, z. B. liefert die Schnittlinie der Ebenen 6 und 7 den singulären Punkt 4.

Aus den Coordinaten endlich von drei in derselben singulären Ebeno liegenden singulären Punkten lässt sich mit leichter Mühe die Gleichung der betreffenden singulären Ebeno bilden, und es sollen daher im Folgenden nur die Coordinaten der singulären Punkte und die Gleichungen der singulären Ebenen in tabellarischer Form zu- sammengestellt werden.

Tabelle der singulären Ebenen.

Nr.	Gleichung.
1	x+y+Mc+d) = 0
2	2rf *(3a+ b+4d) -1-0
3	2ix -f z(a+3b+4ic) -fl=0
4	z(a— b+2ai+2bi)-\ 0
5	— *(— a+b-2c+2di)+l- 0
6	x— iy-\-2z(a+b+c— dt) = 0
7	-x+iy+2z(a+b-c+di) — 0
8	x-f ty-f 2z(— a-b+c+di) = 0
9	— x — — a — b — c — di) — 0
10	— x— iy+ s(-«+Ä-2c-2rfi)+ 1 - 0
11	H-*y+*(-«+H-2c+2d0+i -o
12	*-»>+*(— a-H+2c-2rf/) -f- 1 - 0
13	x—y-\-2»{c—d) — 0
14	2y+z(—3a- b+id) +1=0
15	2ix -f-a(— a - Za+icP) —1=0
16	a(a— fi— 2a»— 2bQ -1—0

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124 Schjerning: Fläihensi Itaren 4. Gr. mit Iii situj. lenkten,

Tabelle der singulären Punkte.

Nr.	Aus der Schnitt- linie der 1 Ebeuen.	1	y	z
1	Anfangs- punkt.	0	| o	0
2	7,8	2rt-f-26— 2c 3«+ 4	-2rf 3a+&	1
3	6,8	2c a-\-3b OD i	2ai-f 2bi+2d	1 ä+U
4	6J	unendlich ferner Kreispunkt I der	ry ebene
5	9,13	— ff- />-] ai+bi— 2c	— rt— &+fl/-f-W— 2«*	1
	a—b+2ai-{-2bi	a— //-f-2rt/+2/><	ff - b-\-2(li-\-2bi
0	1,6	—a—b+al+bi—2c	a-j-^ — ai — bi — 2<l	1
a~b+2ai+2bi	H~-b+2ai+2bi	a—b+2ai+2bi
7	1,7	a-\-b — ai - bi — 2c	- a_ 6-f ai-f-W-2d	1
a—b+2ai+2bi	a -£-f-2<i**J-2W	a—b+2ai+2bi
8	1,8	a+b+ai+bi—2c |	— a — A — n/' — £ff - 2d\	1
a—b — 2ai — 2bi	a—b - 2(ä—2bi	a—b—2ai—2bi
9	1,9	— a — b — ai — bi — 2c	a+b-\-ai+bi—2<l	1
« — b — 2ai — 2bi	a—b — 2a i — 2bi	n-b—2ai-2bi
lü	6,13	-a—b— ai—bi- 2c	— a -b— ai—bi —2d	1
a—b-2ai—2bi	a—b—2ai^2bT	a—b-2ai—2bi
11	7,13	a+b+ai+bi-2c	a-\-b+ai+bi—2d	1
a-b—2ai-2bi	a-b-2ai~2bi	a— b—2ai—2bi
12	8,13	a~\-b — a i — bi — 2c	a-\-b — « i — bi — 2d	1
a-b+2ai+2bi	a-b+2ai+2bi	a -6-p2ai+2W
13	1,13	—2c	— 2d a-b	1 a-6
11	6,9	— 2a - 2b— 2c	-2d	1
3a-f6	3a + b	3a -f*
15	7,9	2c	—2ai—2bi-\-2d	1
a + 'db — xi	a+'db	a + 3£
16	8,9	unendlich ferner Kreispuukt J der xy ebene.
Nr.	Ebenen.		1 y \

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welche durch eine Lemnükate gehen.

125

Aus diesen Tabellen, wenn wir dabei die Cayleysche Tabelle mit in Betracht ziehen, können wir folgende Sätze ableiten, bei denen die Einschränkung nicht erst stets erwähnt werden soll, dass sie nur für diejenige Flächenschaar gelten, in welche die vier mit nur end- lichen Bestimmungsconstanten zusammengefallen sind.

5a. „Die Flächen vierter Ord- nung mit sechszehn singulären „Punkten, welche eine Lomnis- „kato als gemeinschaftliche „Scbnittcurve haben, besitzen 4 „reelle und 12 imaginäre singu- „läro Punkte."

6a. „In 12 der lingulären „Ebenen liegen 2 reelle singulare „Punkte; in den übrigen 4 siu- „gulären Ebenen, die sämtlich „imaginär sind, liegt überhaupt „kein reeller singulärer Punkt."

5b. „Dio Flächen vierter Ord- nung mit sechszehn singulären „Punkten, welche eine Lemnis- „kato als gemeinschaftliche „Schnittcurvc haben, besitzen 4 „reelle und 12 imaginäre singu- lare Ebenen."

Gb. „Durch 12 der singulären „Punkte gehen 2 reelle singulare „Ebenen ; durch die übrigen 4 „singulären Punkte, die sämt- lich imaginär sind, geht über- haupt keine reelle singulare „Ebene."

Es sind also sowol die vier siugulärcn Punkte 1, 2, 13, 14, als auch die vier singulären Ebenen 1, 2, 13, 14 reell, während die übrigen paarweise conjugirt imaginär sind.

Dio singulären Punkte 4 und 16 sind die Kreispunkte im Un- endlichen der xy ebene als solche also auch Doppelpunkte der Lem- niskate, daher:

7. „Auch dio beiden imaginären Doppelpunkte der Lemniskate, „die Kreispunkte im Unendlichen der xg ebene, sind singuläro Punkte „der Flüchen.4'

*

C a p i t c 1 III. Die vlernndzwanzig Kernpunkte.

Betrachten wir die Gleichungen der vier reellen singulären Ebenen 1, 2, 13, 14 genauer, so sehen wir, dass diese vier Ebenen sich in einem Punkte schueiden, dessen Coordinaten sind

2tf 2d 1

Za"3a+A' V " 3a + />' * ~~ 3a

und den wir einen „Kernpunkt" der Flächen nennen wollen. Er hat noch die Eigentümlichkeit, die Strecke zwischen den beiden singulären

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126 Schjerning: Flachenscharen 4. Gr. mit 16 siny. Punkten,

Punkten 2 und 14 zu balbiren. Auch die übrigen 12 aingulären Ebenen liefern, zu je 4 zusammengefasst , drei solche Kernpunkte, in denen sich die betreffenden vier Ebenen schneiden, und zwar

7)8)11) 12) ,_-**±* y =

5) 6) 9) 10) x

a+Zb

2a-f-2&+2c a+3Ä '

2d a + W

2d

a + 3b 1

a + S6

3) 4) 15) 16) sind sämtlich der y axe parallel, haben also im Un- endlichen einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Wir nehmen sämtliche Combinationen von vier Ebenen vor, von denen nicht drei durch denselben siugulären Punkt gehen. Es sind im Ganzen 60 solcher Combinationen, die wir folgendermassen in 15 Gruppen teilen (der Grund für die durch Klammern angedeutete Zusammengehörigkeit je zweier Systeme wird später erhellen).

Gruppe A

1 2 13 14 3 4 15 16

5 6 9 10 7 8 11 12

Gruppe K (13 5 7 \ 10 12 14 16

( 2 4 6 8 \ 9 11 13 15

Gruppe J

(1 4 13 16 \2 3 14 15

5 8 9 12

6 7 10 11

Gruppo Ii

(14 5 8 1 10 11 14 15

( 2 3 6 7 \ 9 12 13 16

Gruppe F

1 3 9 11

2 4 10 12

5 7 13 15

6 8 14 16

(5

(

Gruppe N 7 12 14 5 10 16 2 8 11 13 4 6 9 15

{17

\3 5

Gruppe K

(1 6 11 16 12 5 12 15

(3 8 9 14 I 4 7 10 13

Gruppe O

( 1 8 10 15 \4 5 11 14 (2 7 9 16 \3 6 12 13

Gruppe C

12 5 6 11 12 15 16

( 3 4 7 8 \ 9 lü 13 14

Gruppo G

( 1 3 13 15 \2 4 14 16

(5 7 9 11 16 8 10 12

Gruppe L

1 6 12 15

2 5 11 16

10 13 9 14

I

( 3 8 10 13 (2 8 9 (4 7 9 14 (4 6 11

Gruppe D

(12 9 10 \3 4 11 12

j 5 6 13 14 \7 8 15 16

Gruppo H

(14 9 12 12 3 10 11 ( 5 8 13 16 (6 7 14 16

Gruppo M

( 1 7 10 16 \3 5 12 14

9 15 13

Gruppo P

( 1 8 11 14 (4 5 10 15

j 2 7 12 13 13 6 9 16

Bei näherer Untersuchung finden wir , dass in Gruppen A , Ä, G, H, K, M die jedesmal in einem System vereinigten vier Ebenen

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welche durch eine Lemniskate gehen.

127

in einem Punkte schneiden, während das bei den Systemen der übrigen Gruppen nicht der Fall ist Wir erhalten also 24 Kern- punkte und den Satz:

8a. ..Ausser 16 mal zu je 6 in den 16 singulären Punkten der „Flächen schneiden sich die 16 singuläron Ebenen noch 24 mal zu ,Je 4 iu 24 anderen Punkten, den 24 Kernpunkten der Flächen."

Die Coordinaten der Kernpunkte, die wir mit «, /3, y, ö," ax d. s. f. bezeichnen, sind folgende:

Gruppe A : (1, 2, 13, 14) « * = V - gj^p «- j~p

(3, 4, 15, 16) ß Im Unendlichen. Richtung der y axe.

,C * n ,A« 2a-f2H~2c 2<i

(5,6,9,10) y * — TU^- y=35+?

a-|-3/>

Alu.» i

Gruppe ZJ: (1, 4, 5, 8)

«4-3Ä

—a-b—ai—bi—2d 1

(10, II, 14, 15) ßt x =

—ui-bi—2c a\b-2ä a—b y ~ a— 6

a —b

(2, 3, 6, 7)

(9, 12, 13, 16) <5, * -

2

— a—b-\-ai-\-bi — 2c a—b-2ai-m~

—a—b-\-ai-\-bi-2d ya a—b-2iti—2bi *

a—b—2ai-2bi

Gruppe G: (1, 3, 13, 15) c2 x =

2c

a-f-3* «-f-36 * «+3A (2, 4, 14, 16) 0, Im Unendlichen. Richtung der x axe.

2rf «+3A

3 —

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128 Schjerning: Flächenscharen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

, 0 in — 2c 2ai+2bi-2d

(5,7,9,11) y, »-3,4.»

1

2 — i

3a +6

— 2c — 2ai~ 2bi— 2d

(6,8,10,12) 9% ,-^.r

1

Gruppe /f: (1, 4, 9, 12) as *

3a + 6

— a — A — ai — 2c a-Äf2a/+2W

a+Ha'+K— SM

a— H2a*+2A* a— &+2«i+26i

(2, 3, 10, 11) ß, — ^ „ „ _.

ai\bi— 2c —a—b~2d a

1

(6,7, 14, 15) y8 « = -5 y 1 2 = 0

(5, 8, 13, 16) ö3 x =

2

a\h— ai -hi— 2c a—b—2ai—2bi a\h—ai—bj—2d

y "** « /i o^..- o/T/- 2 ~

a— 6— 2a*— 26* «— b—2ai—2bi

Gruppe *, (,, 6, „, ,6, „4 . -

«+6— oi— 6*— 2rf 1 J — 1 — r — 5-r- «rr 2 =

a—b—2ai—2bi * ~ a-b—2ai-2bi

k ia «ei « —ai-bi—2c — a— 6 — 2<i (2, 5, 12, 15) ßA x = — y = ™

1

a-6

(3, 8, 9, 14) y4 « =^ , = _ j f « 0

14 7 10 Itt A ofofoi-ffl»— 2c

(4,7,10,13) o,

= a+b+ai+bj— 2d 1 ^ o-6+2«/+2W * ™ a~^b^2alT2bi

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welche durch eine Lemnükate gehen.

129

rt i b-—ai—bi—2c

Gruppe M: (1, 7, 10, 16) o5 x = a_hZ^ÜÜ^Wi

(3,5,12,14) & * - - T_ y--^^-

2

Cl—b

(2, 8, 9, 15) y5 x = - \ y = \ ■ = 0

—a-b—ai—hi~2c (4, 6, 11, 13) *6 x —j^——

— a-Ä-a*-6/— 2rf 1

y= a-Ä + 2«*+i.'W * a-&f2a/+2A»

Fassen wir die Reellitätsverhältnisse ius Auge, so ergiebt sich

9a „Von den 24 Kernpunkten sind 6 reell/1

Die vier Kernpunpkte y, , y3, y4, y5 und ebenso die beiden im Unendlichen liegenden Kernpunkte ß und ßt sind in ihrer Lage voll- kommen unabhängig von den willkürlichen Constautcn a, c% <i, also Fixpunkte unserer Flächen; die beiden unendlich fernen Kern- punkte gehören, weil in der Richtung der x- und y-xo liegend, eben- sowol der xy-ebenc au als dio 4 übrigen, also:

10. „Es giebt in der xy-cbene sechs feste Puukte, in welchen „sieh für jede Fläche unserer vielfach unendlichen Schaar je vier „singulare Ebenen schneiden "

Geben wir auf die in Gleichung (7) des ersten Capitels ange- führten Doppeltangentcn unserer Lemuisknto zurück und setzen in ihnen beim Uebergang von homogenen zu Cartesischen Coordinaten ir = 1, so sehen wir, dass die 6 in der xy-ebene liegenden Fixpunkte nichts anderes sind als die Durchschnittspunkto der Doppeltangenten der Lemniskate, und zwar

y, von 1) und 4); ys von 2) und 4); ß von 3) und 4) y6 von 1) und 3); y3 von 2) und 3); & von 1) und 2)

11. „Diese 6 Fixpunkte sind die 6 Durchschnittspunkte der 4 „Doppeltangenten an die zu Grunde gelegte Lemniskate. "

Dass die singulären Ebenen der Flächen vierter Ordnuug mit 16 singul&reu Punkten aus jeder beliebigen Ebene dio Doppel tangonten

u. Pbje. 2. Reibe, T.JVIL 9

130 Schjerning: Mdchen$charen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

ihrer Schnittearve mit der Fläche ausschneiden, darauf hat schon Kummer hingewiesen (Berl. Monatsber. 1864, 256); und wir finden hier eine Bestätigung seiner Bemerkung; denn setzen wir in den Gleichungen der singulärcn Ebenen z — 0, so zeigt sich:

12. „Es schneiden aus die singulären Ebenen 2, 3, 14, 15 aus „der ry-ebene der Reihe nach die üoppeltaugenten 1, 4, 2, 3."

Die beiden reellen Doppel tangenten 1) und 2) werden also auch von den reellen singuläreu Ebenen 2 und 14 ausgeschnitten; die beiden anderen reellen siuguläreu Ebenen 1 und 13 schneiden aus der ary-ebene die beideu reellen Wendetangenten der Lomniskate aus.

13. „Die vier reellen siuguläreu Ebenen der Flächen schuciden „aus der ry-ebeuo die beiden reellen Doppeltangeutcn uud die bei- den reellen Wcudetangenteu der Lemuiskato aus."

Die beiden im Uneudlichen liegenden Kernpunkte kann man bei der Unbestimmtheit ihrer s-Coordinate auch statt der Ebene * — 0

den beiden Ebeucu z = j£~jjr$ uud ■ — (, + 'dl> zutei,eu * (lauu er'

giebt sich bei der Betrachtung der a-Coordinatcn aller Kernpunkte der Satz:

14. „Die 24 Kernpunkte liegen zu jo vieren in der zy-ebeue „und 5 ihr parallelen Ebenen."

Zu erinnern ist hierbei, dass auch in jeder singulären Ebene 6 Kernpunkte liegen; z. B. in der singulären Ebene 1 die Kernpunkte o 0| «, n8 a4 «5.

In den Gruppen A bis P waren sämtliche Systeme von je 4 Ebenen, von denen nicht 3 durch denselben singulären Punkt gehen, aufgeführt. In den 4 zu eiuem solchen System gehörigen Ebenen liegen nun jedesmal 12 singulare Punkte; es giebt also jedesmal 4 singulare Punkte, welche auf keiner der vier Ebenen des Systems liegen. Die diesen 4 Punkten in der Zahlenbezeichnuug entsprechen- den singulären Ebenen gehen nur dann durch einen Punkt, wenn die ursprüglichen vier Ebenen durch einen Punkt gehen, und schnei- den sich in 4 Punkten, wenn die ursprünglichen 4 Ebenen sich in 4 Punkten schneiden. Beispielsweise schneiden sich die 4 Ebenen 2, 3, 6, 7 im Punkte y,. Es liegen auf ihnen die singulären Punkte:

auf 2: 2 10 14 7 8 5

- 3: 3 11 15 6 5 8

- 6: 6 14 10 3 4 1

- 7: 7 15 11 2 1 4

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welche durch eine Lemnitkaie gehen.

131

In keiner dieser 4 Ebenen liegt einer der vier Punkte 9, 12, 13, 16; es geben also die 4 Ebenen 9, 12, 13, 16 durch einen Punkt (it). Rückwärts kommt man von dem System 9, 12, 13, 16 wieder auf das System 2, 3, 6, 7. Je zwei solche sich entsprechenden Sy- steme gehören zu derselben Gruppe und sind in der Tabelle der Gruppen bereits durch eine Klammer zusammengefaßt (siehe ferner Cap. VII, S. 141).

Capitol IV. Da« Kerntetraeder.

Durch je drei Kernpunkte einer Gruppe, zunächst der Gruppen .ß, H, Ä, M legen wir eine Ebeue. In jeder solchen Ebene liegeu dann noch zwei fernere Kernpunkte. Wir erhalten so die Ebenen :

hMfo] : — H-rW - - 2ci+2rf)+i = o

MA&y»] : -fc $ \ «(-a-K-2«-2rf)+l - 0

Mtfa«A] s ~ 2ac— 2H-*(-a~ 3H~3oi-f**-4c - 4«/)— 1- »=»0

[a4|J4y4aaa5] : - 2* - 2y+»(-«-36— 3a4-M-4c -4d) -1+ • -0

[«Ay»«A] : 2H-2H-«(-«— 3A-3a/-W-f-4c+4rO- 1+ I «0

hrAfcyJs «H-y-f-a*(«-K+«-M) - o

[WaAtt] : w+y+2s(-a - b+ci+d) = ü h/A^ys] : ix-y+2z{a+b+ci-d) = 0 OtfAPayal : ix—y-\-2z(—a - b-\-ci- d) == 0

[PrtAttM —2aj-f-2H-*(— a— 3&— 3ai— &i— 4c44d) - 1+» — 0

[Ps/aVA] : 2x-2y+z'—a -36— 3af- i/+4r— 4</)— 1+* = 0

[AyAMJ : 2*-2H-*(-o— 3H-3a»+W+4c-4r/) — 1— * - 0

tfcya W1 J : - 2«+2y+«( -a-3A-hW+W-4c-Hrf)-l-t = 0

Es liegen also in einer Ebene die Kernpunkte

«A/Va sowol mit a3 als mit <$3	als mit ßx	als mit
	n ßs
	i» 04		y4;
0^iß^Y* r> » a4 » ^4	1» 05		y*

Da nun z. B. die 4 Punkte aaasd,ds nicht in einer Ebene liegen, so müssen jedesmal die 4 Punkte

9»

132 Schjerning: Ftächenschartn 4. Gr. mü 16 sing. Paukten,

W8 *8 ßt Yt : D \ «6 <fft ß4 yA : F

in einer geraden Linie liegen, nnd es ist zunächst schon ersichtlich, dass die durch eine Klammer verbundenen Paare von Geraden sich nicht schneiden. Die Geraden mögen, wie oben angegeben, C, D, E, F heissen. Jede derselben ist als Schnittlinie von 4 der obigen Ebenen gegeben.

Es schneiden sich nun C und D nicht, und E und F nicht; da- gegen schneiden sowol C als D beide Geraden E und F. Wir er- halten also 4 Punkte, in deren jedem sich 8 der obigen Ebeueu schneiden, und deren Coordinaten sind:

Punkt C, E - (I): * ^ . y - ^ * = "^

— 2c —2a-2b-2d 1 Punkte, F- (II): * - 3^ 9 go+F" « > ~

t» ^ T, ,T¥T4 -2c 2a+2b—2d 1

P«inktD,E-(ra):»-g^, ,-~L— . . = —

d i,» n p /iv. 2ai+2ii-l-2c 2r* 1 Punkt D,F» (IV): * , „ - .

Von je 4 in einer Geraden liegenden Kernpunkten gehören jedes- mal 2 zu einer der Gruppen 2* , //, A", 3/ und die beiden auderen zu der dieser entsprechenden Gruppe, wobei // und //, K und M einander entsprechen. Jetzt stellen wir auch die Gruppen A und O anders zusammen:

1 2 13 14 1 3 13 15

3 4 15 16 2 4 14 16

und

5 7 9 11 5 6 9 10

6 8 10 12 7 8 11 12

und wir sehen bei einem Blick auf die in der Tabelle der Kern- punkte zusammengestellten Ordinaten, dass die Punkte (1,2, 13,14), (5, 7, 9, 11), (6, 8, 10, 12) auf einer Geraden A mit den Gleichungen

2c 1 * + 3«+6~°' 3~4«^=0

und die Punkte (1, 3, 13, 15), (5, 6, 9, 10), (7, 8, 11, 12) auf einer Geraden B mit den Gleichungen

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welche durch eine Lemniskate gehen.

133

liegen. Die ersto dieser Geraden ist der y-axe parallel, nnd da dies aach die vier in dem unendlich fernen Kernpunkte (3, 4, 15, 16) sich schneidenden Ebenen sind, liegt auch dieser Pnnkt anf der Ge- raden. Ebenso liegt der Punkt (2, 4, 14, 16) auf der zur *-axe parallelen Geraden B. Also:

15a. „Die 24 Kernpunkte liegen zu je 4 in 6 geraden Linien."

Es schneiden sich nun die Geraden A und B untereinander nicht, wol aber schneidet jede von beiden alle 4 Geraden C, D, E, F, und zwar in den Punkten (I), (II), (III), (IV) der vorigen Seite:

16a. „Diese 6 Geraden bilden ein Tetraoder."

In diesem Tetraeder sind A und B, C und D, E und F Gegen- kanten, (1), (II), (III), (IV) die Eckpunkte. Die Gleichungen dor Seitenflächen sind:

[I] durch (II), (III), (IV): 2«-M-3a-&+4c*)+l==0

[II] durch (III), (IV), (I): 2y+z{-a-Zb+Ad)-l - 0

[III] durch (IV), (I), (II): 2«+z(a+3b+id)+l - 0 ("IV] durch (I), (II), (III): 2ix+z(3a+ b+icQ-1 = 0.

Das Tetraeder heisse das Kerntetraeder unserer Flächen. Es folgen die Sätze:

17. „Zwei der Seitenflächen dieses Kerntetraeders sind der x- „axe, die beiden audern der y-axe parallel."

Ib. „Im Kerntetraeder sind reell:

1) „Zwei Gegenkanten (A) und (B)"

2) „die in der einen von ihnen (A) liegenden Eckpunkte „(II) und (III)"

3) „die durch die andere von ihnen (B) gehenden Seiten- flächen [IIIJ und [II].

19) „Von den beiden reellen Gegenkanten des Kerntetraeders „ist die eine der x-axe, die andere der y-axe parallel."

Aus den Coordinaten der Kernpunkte lässt sich ferner noch nachweisen :

20a. „Die 4 auf einer Kante des Kerntetraeders liegenden „Kernpunkte besitzen ein constantes Doppelverh&ltniss , das für die

134 Sckjerning: Flächenscharen 4. Gr. mU 16 *iny. Punkten,

„der x- und y-axc parallelen Kanten den Wert —1, für die übrigen „den Wert -j-2 besitzt.14

Es werde noch die Bemerkung angefügt:

21a. „In jeder Seitenfläche des Kemtetraedcrs liegen 12 Kern- punkte."

und darauf hingewiesen, dass jede der 6 parallelen Ebe- nen, in welchen nach Satz 14. die Kernpunkte liegen, jede der Tetraederkanten in einem Kernpunkte schneidet; also:

22. „Die Schuittpunkte der 6 Tetraederkanten mit der xy- . „ebene sind die 6 Fixpunkte unserer Flächen."

Bei dem reeiprok polaren Verhalten der singulären Ebenen und singulären Punkte der Flächen vierter Ordnung mit 16 singulären Punkten liegt die Vermutung nahe, es werden, ebenso wie sich von unseren singulären Ebenen 24 mal je 4 in einem Punkte schnitten, auch die entsprochenden singulären Punkte 24 mal zu je 4 in einer Ebene liegen. Und in der Tat zeigt sich, dass, wenn diesmal die Zahlen in den Gruppen A bis P die singulären Puukto bedeuten, jedesmal vier zu einem System vereinigte Punkte in den Gruppen A, B, G, £T, Kj M in einer Ebene liegen , während das für die übrigen nicht der Fall ist:

8b. „Ausser 16 mal zu je 6 in den 16 singulären Ebenen liegen „die 16 singulären Punkte noch 24 mal zu je 4 in 24 anderen Ebc- „nen, den 24 Kernebenen unsorer Flächen."

Die Gleichungen der Kernebenen sind:

Capitol V.

Die viernnrizwaiizlg Kernebenen.

A

z(3a+b)— 1 = 0 2z+z(3a+b+4c)— 1 = 0 2x+2(-3a-&-f-4c)-f 1 «= ü

[1, 2, 13, 14]:

[3, 4, 15, 16]:

[5, 7, 9, 11]:

[6, 8, 10, 12]:

*(a+3&)-f-l = 0

2*>+*(a+3£-HrfO+l = 0 2»jrh(-«-3H-4<iO— 1 - 0

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welche durch eine Ltmniakate t/ehen.

135

[1, 4, 5, 8J: w-f-H~2*(a+H-**-W) = 0 [9, 12, 13, 16]: «-H-^(«-*-f2«'-2rf)-l «= 0 [2, 3, 10, 11]: 2x-2y-M-a -36-3m-£i-f-4c-4<I)

— 1+» = 0

[6, 7, 14, 15]: 2x-f-2y+3(a+36-3a» -4»-f ic+4d)

+l+< = 0

[1, 4, 9,12]: ix+^zi-a -b+ci+d] = 0 [5, 8, 13, 16]: w-H-s(-a+i-f2c/ 2rf)-fl «= 0 [2, 3, 6, 7]: 2x-f-2y-f-3(-a-344-3a«+W-Ho-H<i)

— 1-»-0

[10, 11, 14, 15]: 2x-2H-*(«+3A+3a*+W-Hc-- U)

+1-.-0

[1, 6,11,16]: ix-y+2z{a+b+ci-d) - 0

[4, 7,10,13]: &+y+a(a-&-f 2c»+2<i)-l = 0

j, | [2, 8, 9,15]: 2x+2y+z(-a-3b—3ai-bi+4e-\-*tl)

-1+* _ 0

[3, 5, 12, 14]: 2*-2H-*(«+3£-3a* 6i+4c-4<*)

4-l+< - 0

/ [I, 7, 10, 16]: **-y+23(- a-6+ci-rf)-0 [4, 6, 11, 13] : iH-H-*(— a+H-2«+2<0+l — 0 [2, 5, 12, 15] : 2ar-2i,+*( -a-3i+3at+W4-4o—4d)

— l-i — 0

/ [3, 8, 9, 14] : 2x+2j+*(a+3H3ai+&H-4c4-4<0

9b. „Von den 24 Kerncbeneu sind 6 reell."

Vergleichen wir die Gleichungen der Kernebenen mit denen der im Beginn des vorigen Capitcls aufgestellten Ebenen, so sehen wir, dass sie mit diesen identisch sind. Es folgen daraus weiter die Sätze:

lob. „.Die 24 Keruebenen schneiden sich zu 4 in 6 geraden „Linien."

16b. „Diese 6 geraden Linien bilden ein Tetraeder."

23. „Das Tetraeder aus den siugulären Ebenen ist mit dem „Tetraeder aus den singulären Punkten identisch (Kerntetraoder).**

21b. „In jedem Eckpunkte des Kerntetraeders schneiden sich

„12

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136 Schjerning: Flächemcharen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

24a „In jeder Kernebeno liegen 5 Kernpunkte."

24b. „Durch jeden Kernpunkt gehen 5 Kernebenen."

25. „Durch den Coordinatenanfang gehen 6 Kernebenen, deren ,gede eine Kante des Kerntetraeders enthält."

26 „Die 4 in einer Kante des Kantentetraeders sich schneiden- den Kernebenen schneiden die Gegcnkante in deren 4 Kernpunkten."

20b. „Die 4 in einer Kante des Kerntracders sich schneiden- „den Kcmcbenen besitzen ein constantes Doppelverbältniss, das ffir „die der x- und y-axo parallelen Kanten den Wert — 1, für die „übrigen den Wert +2 besitzt."

Capitel VI.

Die »echii in einer singulären Ebene liegenden singulären

Punkte.

Setzen wir in unserer Flächengleichung (22) w = 1, und elimi- niren aus ihr und der Gleichung einer unserer singulären Ebenen eine Unbekannte, so erhalten wir die Gleichung der Projection auf eine der Coordinatenebenen der Schnittcurve der singuläreu Ebene mit der Fläche. Da die singulären Ebenen die Flächen vierter Ord- nung mit 16 singulären Punkton längs eines Kegelschnitts berühren, müssen wir dio Gleichung eines doppelt zählenden Kegelschnitts er- halten. Beispielsweise hat die Projection der Schnittcurve der sin- gulären Ebene 1 mit der Fläche auf die ya-ebene die Gleichung:

(2y» + 8<lyz-2z*(a* - i* + 4^)-f 2*(a-f &))* - 0

und es genügen dieser Gleichung auch die Coordinatcn der singulären Punkte 1, 6, 7, 8, 9, 13.

Wir lassen die in der singulären Ebene 1 liegenden 6 singulären Punkte 1, 6, 7, 8, 9, 13 näher ins Auge. Ihre 15 Verbindungslinien können wir auf folgende 15 Arten zu je dreien zusammenstellen:

1,	6;	7,	8;	9, 13	i, 7;	6, 13;	8,	9 :
1,	6;	7,	9;	8, 13	1, 8;	6, 7;	9,	13 :	«i
1,	6;	7,	13;	8, 9 : «4	1, 8;	6, 9;	7,	13
1,	7;	6,	8;	9, 13	1, 8;	6, 13;	7,	9
1,	7;	6,	9;	8, 13	1, 9;	6, 7;	8,	13 :	«3

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137

1, 13; 1, 13;

6, 8; 7, 9:«,

6, 8; 7, 13 6, 13; 7, 8 6, 7; 8, 9

1, 13?

6, 9; 7, 8:a

Jede Verbinduugslinie zweier singulären Funkte ist die Schnitt- iinie zweier singulären Ebcuen; aas der im Capitel II. mitgeteilten Caylevschen Tabello ist zu entnehmen, welche beiden singulären Ebenen das jedesmal sind. Für jede Zusammenstellung von drei Verbindungslinien findet mau 4 singulare Ebenen, und zwar sind diese in den unterstrichenen Fallen solche 4 singulären Ebenen, die sich in einem Punkte, also einem Kernpunkte schneiden, Die Kernpunkte sind der Beine nach «4, «Ä, <*3, cr2, o. Wir können also auf 6 verschiedene Weisen die 6 singulären Punkte in der singulären Ebene 1 so zusammenstellen, dass die 3 Verbindungslinien von je zwei Punkten einen gemeiusebaftlicheu Schnittpunkt haben. Ist dies aber der Fall, so ist das Sechseck, in welchem je zwei verbundeue Punkte gegenüberliegende Eckpunkte sind, einem Kegelschnitt umschrieben, also ein Brianchonsches Sechseck, und der gemeinschaftliche Schnitt- punkt seiner Diagonalen heisst daun ein Brianchonscher Punkt. Für jeden Brianchonschen Punkt lassen sich aber aus den 6 Eckpunkten 4 verschiedene Sechsecko bilden, die Kegelschnitten umschrieben sind; unsere 6 singulären Punkte in der singulären Ebene 1 lassen sich also auf 21 verschiedene Weisen zu einem Brianchonschen Sechseck zusammensetzen. Dasselbe Verhalten zeigen auch dio jedes- mal 6 singulären Punkte in den übrigen singulären Ebenen ; wir er- halten also die Sätze:

27a. „Die 6 in einer singulären Ebene liegenden singulären „Punkte liegen nicht nur in einem Kegelschnitte, sondern bilden „auch ein Brianchonsches Sechseck, und zwar Schneiden sich unter „ihren 15 Verbindungslinien 6 mal je 3 in einem Punkte. — Wir „erhalten also in jeder singulären Ebene 24 Kegelschnitte, um welche ..sich ans den 6 singulären Punkten in derselben Ebene ein Brian - „chonsches Sechseck bilden lässt, und 6 Brianchonsche Punkte."

28a. ,.Die 6 Brianchonschen Punkte in joder singulären Ebeue „sind mit den 6 in derselben Ebene liegenden Kernpunkten iden-

Betrachten wir nun die Lage der 6 Kernpunkte «, %, «f, «3, o4, o6 in der singulären Ebene 1. Es stellt sich heraus, dass stets in einer Geraden liegen die Punkte

„tisch."

138 Sckjtrningx Flächt nsckartn 4. Gr. mit 10 «ny. Punkten,

oder, dass die 6 Punkte iu den Ecken eines vollständigen Vierseits liegen, wobei o und os, er, und <*3, a4 uud a5 Gegenecken sind. Auch dies Resultat können wir auf die übrigen singulären Ebeuen aus- dehnen:

29a. „Die C Brianchonschen Punkte (Kernpunkte) in jeder sin- „gnlären Ebene siud die Eckpuukte eines vollständigen Vierseits.4*

Wir hatten oben die Gruppen A und G, B und H, K und M als entsprechende bezeichnet Es liegt uun in jeder singuläreu Ebene je ein Kernpunkt aus jeder Gruppe, und die beiden Kernpunkte aus entsprechenden Gruppen sind Gegenecken des Vierseits.

Die beiden Kernpunkte aus entsprechenden Gruppen haben aber noch besondere Eigenschaften wie aus der Tabelie für die singulare Ebene 1 auf voriger Seite sich ergiebt, liegen sie mit 2 singulären Punkteu auf derselben geraden Linie. Auch dies lässt sich verall- gemeinern :

3 ». rIn jeder singulären Ebene liegt ein Kernpunkt aus jeder „Gruppe/4

31. „Die beiden Kerupuukte aus entsprechenden Gruppen sind „Gegenecken des vollständigen Vierseits.44

32. „Die 6 singulären Punkte jeder singulären Ebene liegen zu „je zweien auf den 3 Diagoualen des durch die 6 Kernpunkte in „derselben Ebene bestimmten vollständigen Vierseits."

Wie die 4 iu einer Kante des Kerntetraeders liegenden 4 Kern- punkte haben uun auch die 4 in einer Diagonale liegenden ausge- zeichneten Punkte ein constantes Doppelverhäituiss, und zwar können wir den Satz aufstellen:

33. „Die in jeder Diagonale eines der vollständigen Vierseite „liegenden beiden singulären Punkte und beiden Kernpunkte be- sitzen ein constantes Doppelverhäituiss, das für die zur x- und y- „axe parallelen Diagonalen den Wert —1, für die übrigen den Wert

„+2 hat"

Die Punkte, die so ein constantes Doppelverhältniss besitzen, sind in der singulären Ebene

CT

«1

er,

«3 *» «3

«4 «4

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weicht durch eine Lemnükate gehen.

139

1:	1	13	a	«t	6	7	ai	«3 i	8	9	a4	a5
2:	2	14	a	ßt	5	8	Yi • *	ßt	7	10	04
3:	3	15	ß	°t	5	8	Yi	ßt	6	11	>4	05
4:	4	16	ß	ßt	6	7	ai	«3	5	12	<>4	«5
5:	5	9	y	y*	2	3	ai	*3	4	13	04	05
6:	6	10	y	*	1	4	Yx	Ys	3	14	a4	**
7:	7	11	ö	Yi	1	4	Yi w 4	Ys	2	15	*4	fl5
8:	8	12	6	h	2	3			i 1	16	Yi
9:	9	5	y	Yt	14	15		aS	1	16	Yi	y«
10:	10	6	y *	■	13	16	ßl	03	2	15	*4	«5
11:	11	7	6	y«	13	16	ßl	ßl	3	14	«4	*5
12;	12	8	d	**	14	15	a.	«3	4	13	04	04
13:	13	l	a		10	11	*1	*3	5	12	«4	*»
14:	14	2	a	ßt	9	12	ßl	Ys	6	11	?4	05
15:	15	3	ß	«1	9	12	ßl	Ys	7	10	04	ys
16:	16	4	ß	ßt	10	11	*1	a, I	8	9	«4	«5

Nur die Gerade 2 14 « 0S ist der a>axc, und 3 15 ß er, der y- axe parallel.

Wir können zu den in diesem Capitel aufgeführten Sätzen die reeiprok polaren Sätze aufstellen, ausgebend von den 6 durch einen singulären Puukt gehenden singulären Ebenen. Es mögen nur fol- gende Sätze angeführt werden:

27b. „Die 6 durch einen singulären Punkt gehenden singulären „Ebenen umhüllen nicht nur einen Kegel zweiten Grades, sondern „sie lassen sich auch auf 6 verschiedene Arten so in drei Paare „ordnen, dass die beiden Ebenen jedes Paares Gegenseiten in einer „einem Kegel zweiten Grades von der Spitze aus eingeschriebenen „sechsseitigen Pyramide sind. Da sich nun für jede solche Anord- nung 4 verschiedene einem Kegel zweiten Grades eingeschriebene „Pyramiden finden lassen, und da sich für jeden Kegel nach dem ..Pascal scheu Satze die drei Paar Gegenebenen in drei Geraden ..schneiden, welche in einer Ebene liegen (Pascalsche Ebene), so er- halten wir aus jedem singulären Punkte 24 Kegel zweiten Grades, ..in welche sich aus den singulären Ebenen sechsseitige Pyramiden „einschreiben lassen, und 6 Pascalsche Ebenen."

28b. „Die 6 Pascalseben Ebenen durch jeden singulären Punkt ..sind mit den 6 Kernebenen durch denselben Punkt identisch."

140 Schjerning: Flächenscharen 4. Gr. mit 16 sing. Punkten,

29b. „Eine beliebige Ebene schneidet dieso 6 Pascalsehen Ebe- nen (Kcrnebcncu) durch jeden singulären Punkt in einem vollstän- digen Viereck."

Capitol VII. Die Flächen sind Tetraedroide. — geblaut«.

Das Tetraedroid, oin von Cayley entdeckter Specialfall der all- gemeinen Kummerscheu Fläche, hat folgeude besonderen Eigen- schaften:

1) nach Cayley (Liouville's Journ. Bd. II, S. 291; 1846): Die vier Seitenflächen eines gewissen Tetraeders schneiden das Tetraedroid in Curven vierter Ordnung, die in zwei Kegelschnitte zerfallen; die Schnittpunkte je zweier solchen Kegelschnitte in jeder der 4 Tetra- cdcrcbencn siud singuläre Punkte der Fläche. Die Kegel, die der Fläche vou den Eckpunkten des Tetraeders aus umschrieben werden, sind Kugel vierten Grades, die in zwei Kegel zweiten Grades zor- falleu , und die jedesmal 4 Ebenen , welche diese beiden Kegel be- rühren, also zusammen IG, sind singuläre Tangentialebenen der Fläche.

2) Aus dem letzten Satze geht hervor, dass die singulären Ebe- nen sich zu je vieren in den Eckpunkten des Tetraeders schneidou müssen, und ferner folgt aus 1), dass die 16 singulären Ebenen zu je vieren in die Seitenflächen des Tetraeders rücken müssen, (vgl. Rohu, Math. Ann. 18, 131).

3) nach Klein (Math. Ann. 2, 217): Die 6 singulären Punkte in jeder singulären Ebene bilden ein Brianchonsches Sechseck.

Von diesen Forderungen ist bereits bewiesen, dass die 6 singu- lären Punkte ein Brianchonsches Sechseck bilden, und zwar lassen sie sich bei uuseren Flächen auf 6 verschiedene Weisen zu einem solchen verbinden (Cap. VI).

Ferner ist gezeigt worden, dass sich die 16 singulären Ebenen auf 6 verschiedene Weisen zu je vieren in den Eckpunkten eiues Tetraeders schneiden (Cap. III.), in dessen Seitenflächen zu je vieren die 16 siugulären Punkte liegen (Cap. V.); die Eckpunkte dieser 6 Tetraeder sind in unserer Tabelle der Kernpunkte zusammengestellt ; die 4 Eckpunkte jedes Tetraeders gehören zu einer Gruppe. Die Seitenflächen dieser 6 Tetraeder siud unsere Kernebenen, die jedoch im Cap. V. anders zusammengestellt sind; die Seitenflächen eines Tetraeders sind so zu finden , dass z. B. für das durch die 4 Kern-

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welche durch eine Lemniskate aehen

Hl

pankte der Gruppe A bestimmte Tetraeder dem Eckpunkte (1, 2, 13, 14) die Seiteufläche [3, 4, 15, 16| gegenüberliegt, dem Eckpunkte (3, 4, 15, 16) die Seitenfläche [1, 2, 13, 14] , dem Eckpunkte (5, 6, 9, 10) die Seitenfläche [7, 8, 11, 12] und dem Eckpunkte (7, 8, 11, 12) die Seitenfläche [5, 6, 9, 10]; kurz so, dass beim Uebergange von Eckpunkten zu den gegenüberliegenden Seitenflächen und um- gekehrt für das eine System das mit ihm in den Gruppen des Cap. III durch eine Klammer verbundene gesetzt wird.

Es bleibt noch nachzuweisen, dass die Kernebenen die Flächen Curven vierten Grades schneiden, welche in zwei Kegelschnitte zer- fallen, und dass die 4 Schnittpunkte dieser beiden Kegelschnitte sin- gulare Punkte der Flächen sind. Dass dann auch die der Fläche aus den Kernpunkten umschriebenen Kegel in zwei Kegel zweiten Grades zerfallen, und dass die Ebenen, welche zwei solche Kegel zweiten Grades berühren, singulare Ebenen der Flächen sind, geht dann aus dem reeiprok polaren Verhalten der singulären Punkte und singulären Ebenen, sowie der Kernpunkte und Kernebenen hervor.

Das Zerfallen der Schnittcurven der Flächen mit den Kern- ebenen lässt sich auf folgende Weise zeigen: Jeder singulare Punkt muss in der Schnittcurve einer durch ihn gehendeu Ebene mit der Fläche ein Doppelpunkt sein. Uusere Kernebenen gehen nun jede durch vier singulare Punkte unserer Flächen. Es muss also die Schnittcurve auf einer Kernebene 4 Doppelpunkte haben. Da un- sere Flachen als Flächen vierter Ordnung von einer Ebene nur in Curven vierter Ordnung geschnitten werdeu, Curven vierter Ordnung aber, wenn sie nicht zerfallen sollen, und drei Doppelpunkte haben dürfen, so zerfallen die Schnittcurven auf den Kernebeucn, und, da sie vier Doppelpunkte haben sollen, notwendig in 2 Kegelschnitte, deren Schnittpunkte die 4 in der Kernebeno liegenden singulären Punkte sind. Unsere Flächen besitzen daher alle angeführten Eigen- schaften der Tetraedroido ; also:

34. „Die Flächen vierter Ordnung mit 16 singulären Punkten, „welche durch eine Lemniskate gehen, sind Tetraedroide."

35. „Ks giebt jedoch nicht nur ein, sondern 6 Tetraeder, auf „welche sich alle von Cayley angeführten Eigenschaften des Tetra- „edroids beziehen lassen."

36. „Nur eins dieser Tetraeder ist völlig reell."

37 „Ein jedes dieser 6 Tetraeder hat 4 Kernpunkte zu Eck- punkten und 4 Kernebenen zu Seiteuflächen."

142

Schjerning: Flächenscharen 4. Gr. ete.

Es lässt sich zeigen, dass zwar die Seitenflächen der 6 Tetra- eder die Flächen in zerfallenden Cnrven schneideu, dass aber die Seitenflächen unseres Kerntetraders diese Eigenschaft nicht besitzen .

Es sei noch die Bemerkung angefügt, dass bei jedem der 6 Te- traeder <*iß,yiöi ein Paar Gegenkanten (or,<$, und ßiyt) mit einem Paar Kanten des Kerntetraeders in dieselben Geraden fällt.

38. „In jedem dieser 6 Tetraeder fallen zwei gegenüberliegende „Kanten mit jo 2 Gegenkanten des Kerntetraeders in dieselben ge- raden Linien."

39. „In jeder Kante des Kerntetraeders oder in ihrer Verlän- gerung liegt je eine Kante von zwei verschiedenen der 6 Tetra- „eder."

Es würde wenig Mühe machen, noch weitere Eigenschaften der betrachteten Flächen aufzufinden; es möge hier der gelieferte Nach- weis gentigen, dass unsere Flächen einen Special fall des Cayleyschen Tetraedroids darstellen. Ist schon die Conliguration von 16 Punkten und 16 Ebenen bei der allgemeinen Kummcrschen Flächo eine merk- würdige (vgl. Heye, Acta mathem. Bd. I), uud geht das Tetraedroid schon in der Mannigfaltigkeit sciuer Eigenschaften weit darüber hin- aus, so sind doch die Beziehungen zwischen den singulären Punkten und Ebenen der hier betrachteten Flächen noch bei weitem merk- würdiger, um so mehr, als man nicht aus den Augen verlieren möge, dass alle diese Beziehungen für alle Flächen einer vierfach unend- lichen Schaar gelten, Flächen, die nur durch eiue allen gemeinsame Schnittcurve , die zu Grunde gelegte Lemniskate, einen Zusammen- hang mit einander haben.

November 1887.

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Czuber: Die sphärische Curat vierter Ordnung etc.

143

IX.

Die sphärische Curve vierter Ordnung als Einhüllende von Kreisschaaren.

Von

Emanuel Czuber.

Im 29. Bande der Zeitscbr. für Mathem. u. Phys. ') hat Prof. J- Thomae eine Reihe von Problemen der Cyklographic nach einem Verfahren behandelt, welches sich durch grosse Anschaulichkeit aus- zeichnet*). Das ebene Kreissystem wird mit Hilfe der stenographi- schen Projektion auf eine Kugel abgebildet und das sphärische Kreis- system auf den Raum, indem jedem Kreise desselben der Pol seiner Ebene bezüglich der Kugel als Abbild zugeordnet wird. Eine Con- figuration von Punkten im Räume führt dann zunächst zu einer Configuration von Kreisen auf der Kugel und aus dieser ergibt sich durch stereographische Projection eine Configuration von Kreisen in der Ebene.

In den folgenden Blättern soll nur die Beziehung zwischen der raumlichen Abbildung und dem sphärischen Kreissystem im Auge behalten nud dazu benutzt werden, um mit ihrer Hilfe die Eigen- schaften der sphärischen Curve vierter Ordnung nachzuweisen ; die gewonnenen Resultate können dann durch col lineare Transformation leicht auf die allgemeine Curve vierter Ordnung erster Species über- tragen werden.

1) Da» ebene Kreissystem and seine Abbildung aaf den Raum. I) Vgl. Dr. W. Fiedle r's Cyklographie, pag. 243 flg.

144

Cm 6 er: Die »phäri§che Curve vierter Ordnung

Bevor auf den eigentlichen Gegenstand eingegangen wird, sollen die allgemeinen Ergebnisse des angewandten AbbildungsverfahrenB in einer dem vorliegenden Zwecke entsprechenden Form zusammen- gestellt werden.

§. 1.

1. Es sei K die Kugel, P ein Punkt des Raumes, K der ihm zugeordnete Kreis. Liegt P ausserhalb, innerhalb, auf K , so ist K beziehungsweise reell, imaginär, ein Nullkreis. Einem unendlich fernen P enspricht ein grösster Kreis; fällt P in den Mittelpunkt von K, so geht K in den uneudlich fernen imaginären Kugelkreis über. Ein imaginärer Kreis soll durch jeueu reellen Kreis vertreten werden, welcher P zum Mittelpunkte hat. Der Kürze halber möge P der Pol zu K heissen.

2. Es seien P, 7», zwei Punkte im Räume , p die sie verbin- dende Gerade. Die zugeordneten Kreise A', Kt haben die reciproke Polare q von p in Bezug auf K zur Potenzaxe; sie schneiden sich reell, imaginär, berühren sich, jenachdem p die Kugel imaginär, reell schneidet oder sie berührt. Sind die Punkte jP, J\ conjugirt bezüg- lich K , so schneiden sich A', A', orthogonal; ist einer dieser Kreise imaginär, so wird sein reeller Vertreter von dem andern diametral geschnitten.

3. Es seien PtJ Pt, Ps drei nicht in gerader Linie liegende Punkte, P die durch sie bestimmte Ebene, p„ j>8, j>s die Geraden durch PtPa, PSPU PtPt. Die zugeordneten Kreise An A'„ A'8 bilden drei Paare mit den Potonzaxeu qu q2, q9 und haben den Pol P von P in Bezug auf K zum Potcnzcentrum. Der Kreis A, welcher durch P abgebildet wird, ist ihr gemeinsamer Orthogoualkreis; er geht in einen Null kr eis über, wenn P die Kugel berührt; wird er imaginär, so ist sein reeller Vertreter gemeinsamer Diametral- kreis von A'x, K%, K5.

4. Die einfach unendliche Gesamtheit von Kreisen, welche den Punkten einer Linie entsprechen, werde als Kreisschaar be- zeichnet.

Die einer Geraden p zugeordnete oder die lineare Krois- schaar nennt man ein Kreisbüschel, die Gerado q ist seine Potenzaxe, während p als Polaraxo bezeichnet werden soll. Jenachdem p die Kugel imaginär, reell schneidet oder berührt, ist das Kreisbüschel ein solches mit Gruudpunktcn , mit Grenzpunkten oder ein Berührungsbüschel.

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145

Zwei Kreisbüschel , deren Polaraxen />, q reeiprok sind in Be- zog auf K, heissen conjugirte Kreisb üschcl; weil jeder Punkt Ton p zu jedem Punkt von q eonjugirt ist, so schneidet jeder Kreis des einen Büschels jeden des andern rechtwinklig, daher die zweite Benennung Orthogonalkreisbüschel. Von zwei conjugirten Büscheln hat das eine Grundpunktc, das andere Grenzpunkte und beide Punktepaare fallen zusammen , oder es sind beide Büschel Berüh- rongsbüschel.

Die einer Curve C zugeordnete oder allgemeine Kreis- schaar bat C zur Polarcurve, die Rflckkehrkantc C* der ro- eiproken developpabcln Regeltiäche F* zur Potenzcurvo in dem Sinne, dass jeder Punkt von C * Poteuzcentrum für drei benachbarte Kreise der Schaar ist*). Der Durchschnitt von F* und K, die sphärische Curve T, ist die Einhüllende der Kreisschaar. Sie kann auch als Ort der Giuudpunkte, rosp. Grenzpunkte der Krcis- boschel erklärt werden , welche den Tangeuten von C entsprechen, und erscheint nach dieser Auffassung als Sclbstschattengrenze der Kogel bei Beleuchtung derselben durch C.

Ist die Polarcurvo C eine Plaucurve und P ihre Ebene, dann reducirt sich C* auf einen Punkt, den Pol P* von P in Bezug auf K, welcher das Potenzcentrum der Kreisschaar bildet; die Fläche F* geht sonach in eine Kegclflächo mit P* als Scheitel über. Aus diesem Grunde möge eine Kreisschaar mit ebener Polarcurve als konische Kreisschaar bezeichnet werden.

Bei der linearen Kreisschaar, wo C durch die Polaraxe p ver- treten ist, degeneriren C* und F * in die Gerade die Einhüllende T in dasjenige (reello oder imaginäre) Punktepaar, welches q mit K gemein bat

5. Die zweifach unendliche Gesamtheit vou Kreisen, welche die Punkte einer Fläche zu Bildern haben, werde Kr eis netz geuannt.

Das einer Ebene P zugeordnete oder planaro Kreisnetz wird als Kreisbündel bezeichnet; P ist seine Polarcbeno, ihr Pol das Potenzcentrum. P schneidet K ontweder reell, imaginär oder berührt sie; im ersten Falle ist der dem Büudel nicht angehörende Kreis K, welchen P mit K gomein hat, gemeinsamer Orthogonalkrcis, im zweiten Falle ist sein reeller Vertreter,

*) Die Potena kann auch, wie beim Krcisbüchcl, constant bleiben, wenn die Tangentendeveloppablo Ton C einer au K concen Irischen Kogel umschrie- ben ist.

Area. d. M»th. n. Phys. 2. Reihe, T. ftt

10

146

C zu her: Die sphärische Curve vierter Ordnung

gleichzeitig der kleinste Kreis des Bündels, gemeinsamer Diame- tral kreis der Kreise des Bündels; im dritten Falle zieht sich der Orthogonalkreis in einen Null kreis zusammen, durch welchen alle Kreise des Büudels hindurchgehen.

Einer krummen Fläche F entspricht das allgemeine Kreis - notz. F ist seine Polarfläche, die in Bezug auf K reeiproke Fläche F* seine Potenzfläche in dein Sinne, als jeder Punkt derselheu Potenzcentrum für eiue Schaar unendlich benachbarter Kreise des Netzes ist*;. In dem speciellen Falle des planaren Netzes ist F durch P, F* durch P* vertreten.

Aus einem Kreisnetz wird eiue Kreisschaar herausgehoben, in- dem man seiner Polarfläche eine Curve aufschreibt und diese als Polarcurve ansieht. Eiu planares Kreisuetz enthält nur liueare und konische Kreisschaaren ; es lässt sich insbesondere auf zweifach uu- endlichviele Arten in Kreisbüschel zerlegen entsprechend den <x> 2 Strahieubüschcln , welche in seiner Polareleue verzeichnet werden künueu. Im allgemeinen Kreisnetz treten allgemeine uud konische Kreisschaaren auf, lineare nur dann, wenn seine Polarfläche gerade Linien enthält.

6. Die dreifach unendliche Gesamtheit von Kreisen, welche den • unendlichen Raum zur Abbildung haben, heisst sphärisches

Kroissy8tem.

§• 2.

7. Die Einhüllende einer kouischen Kreisschaar, deren Polar- curve eine Kegelschnittslinie ist, ist cino sphärische Curve vierter Ordnung T\ als Durchschnitt eines Kegels zweiter Ord- nung mit der Kugel.

lu der Figur Taf. III., welche die folgendeu Untersuchungen erläutern soll, dient die Ebene P0 des Polarkegelschuitts C0 als Bildebene, ihr Pol in Bezug auf K, zugleich die Spitze jenes Kegels und Potenzcentruin der Kreisschaar, als Projectiousceutrum ; der durch P0 aus K geschnittene Kreis K0 begrenzt zugleich die Pro- jectiou der Kugel. Da die Entfernung des Projectionscentrums von der Bildebene bei den folgenden Betrachtungen keine Rolle spielt, so genügt die Angabe seiner Orthogonalprojection JJ0\ welche mit dem Mittelpunkt von A'0 zusammenfällt.

*) Die PotciiE bleibt hier, wie beim Kreisbündel , conslant, wenn F eine mit K coneentriache Kugel ist.

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als Einhüllende von Krtüschaaren.

147

Die Polaren der Punkte von C0 in Bezug auf sind die Spuren der Berührungsebenen, dio Pole der Tangenten von C0 in Bezug auf *o die Spuren der Kanten des Kegels P0T4, mit andern Worten: als Spur dieses der Curve doppelt umschriebenen Kegels , zugleich als Projection von T 4 in P0 ergibt sich der zur Polarcurve C0 in Bezog auf K0 reciproke Kegelschnitt (£0, u. zw. soweit er innerhalb K<, Hegt, dem reellen, und soweit er ausserhalb K0 liegt, dem ima- ginären Teil von T4 entsprechend.

Es sei Px ein solcher Puukt in P0, welchem in Bezug auf K0 und (So dieselbe Gerade p0l als Polaro zugeordnet ist; daun ist PoPot die Polarebone von Px sowol bezüglich der Kugel als auch bezüglich des Kegels P0(£0, trenut somit die Schnittpunkte eines jeden aus P, gezogenen Strahls mit den beiden Flächen harmonisch yooP,; geht also ein solcher Strahl durch einen beiden Flächen ge- meinschaftlichen, d. h. durch einen Punkt von T4, so muss er noch einen zweiten derartigen Punkt enthalten. Mithin ist Px der Scheitel eines der Curve T4 doppolt umschriebenen Kegels, der ebenso wie der Kegel aus P0 von zweiter Ordnung ist , weil jede durch Px ge- legte Ebene vier Punkte der Curve uud daher zwei doppelt pro- jicirende Strahlen enthält. Die Berühruugsebcnen dieses neuen Kegels schneiden aus der Kugel eine zweite durch T4 eingehüllte konische Kreisschaar aus, deren Polarcurve ein in der Ebene 'olta oder Pj gelegener Kegelschnitt C\ und deren Potenzcentrum Px ist.

Da nun zwei Kegelschnitte in einer Ebene im allgemeinen drei Punkte von der Beschaffenheit besitzen, wio sie bei Px vorausgesetzt wurde, nämlich dio Ecken des gemeinsamen Polardreiecks, so gibt es ausser dem ursprünglichen Kegel aus P0 noch drei T4 doppelt umschriebene Kegel zweiter Ordnung. Die Scheitel dieser vier Kegel, P0PX PtP9i und dio Ebenen P,P2P3, welche dio Seiten jenes Polar- dreiecks mit P0 bestimmen, im Verein mit P0 bilden Ecken und Seitenflächen eines Polartetraeders der Kugel, das sie wie mit dem Kegel aus P0 auch mit den drei andern gemein hat. Fasst man die Resultate zusammen, so ergibt sich der Satz:

„Der sphärischen Curve T4 lassen sich im allgemeinen vier „Kegel zweiter Ordnung doppelt umschreiben, oder, was dasselbe „ist, sie hüllt vier konische Kreisschaaren ein; die Scheitel jener „Kegel oder die Potenzcentra dieser Schaaren sind die Ecken eines „bestimmten Polartetraoders der Kugel, dessen Seitenebenen die „Polarkcgelschnitte der Kreisschaaren enthalten."

Wir werden dieses Tetraeder das Fundamentaltotraeder vonT4 nennen. Dem obigen ist leicht zu entnehmen, wie dasselbe

10*

148

Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnung

durch die AnDahme von C0 bestimmt ist; die Ebene P0 von C0 und ihr Pol P0 in Bezug auf K bilden eine Ecke und die ihr gegenüber- liegende Seitenfläche, die andern Ecken uud Seitenflächen liefert das gemeinsame Polardreieck von (£0 nnd A'0, welches i l entisch ist mit dem von C*0 und A'0, weil C0 und (£o reeiprok sind in Bezug auf K0.

Die Kreise Ä"0, AT, , A'2, A'3, welche die Seitenebenen des Fun- damontaltetraedcrs aus K ausschneiden, sind Orthogonalkreise der zugehörigen Schaareu der T 4 doppelt berührenden Kreise uud stehen in solcher Beziehuug zu ciuander, dass jeder von ihnen der gemein- same Orthogonalkreis der drei andern ist; für den imagiuäreu unter ihuen übernimmt der reelle Vertreter die Rolle eiues Diametral- kreises.

8. Legt man durch eine Kaute des Fuudanicntaltetracders, z. B. durch PQ eine Ebene, deren Spur e seiu möge, so schneidet sie aus der Kugel eineu Kreis K und aus T4 vier Punkte 1 1* 2 2*; zwei Scitenpaare des dnreh die letzteren bestimmten vollständigen Vierecks schneiden sich in den Punkten P0y i»ä, der Schnittpunkt des dritten Seitenpaars als Pol der Geraden PQP% in Bezug auf den Kreis K liegt dort, wo seine Ebene die roeiproke Tetraederkante schneidet, in M. „Es gibt also ausser den bereits erkannten vier „Schaaren ausgezeichneter Bisccauten von T*, welche durch die „Ecken des Fundamcntaltetraeders gehen, noch drei weitere, welche „gegenüberliegende Kauten desselbeu gleichzeitig schneiden.'4

Durch einen Punkt A von T4 geht aus jeder der sieben Schaaren cino Bisecante-, die nach den Ecken des Fundamentaltetraeders lau- fenden bestimmen auf der Curve vier Punkte, welche wir mit B0i 2?!, Bt, B$ bezeichnen wollen, so dass B0 auf APQ liegt u. 8. f.; die drei übrigen, welcho die reeiproken Kantoupaare schneiden, be- stimmen drei Curvenpuukte, welche J^K^K^ heissen mögen. Der Zusammenhang zwischen beiden Gruppeu besteht darin, dass die Bisecanten der ersten Gruppe ein vollständiges Vierkant mit dem Scheitel A und die Bisecanten der zweiten Gruppe sein Diagonal- dreikant bilden. Das Polargebildc ist ein vollständiges Viereeit mit Diagonalen und liegt in der Polarebenc von A, d. i. in der in diesem Punkte an die Kugel gelegten Tangentialebeno A* ; seine Seiten, als reeiproke Polarou der durch A gehenden Kegelkantcu, sind Tan- genten der vier Polarkogelschuitte, ergeben sich demnach als Durch- schnitt der Ebene A* mit dem Fundamentaltetraeder; die Ecken des Vierseits liegen in den Kanten dioses Tetraeders.

Betrachten wir femer die Berührungsebenen der vier Kegel in A, ihre Pole sind Punkte der Polarkegelschnitte, nämlich die Be-

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als Einhüllende von Kreuschaaren.

149

räbrQogspunktc der Seiten des vorerwähnten Vicrsoits, und liegen, da die vier Bcrührnugsebenen die Cnrventangente a in A gemeinsam haben, in der reeiproken Polare a* von o und sind dio Schnitt- paokte derselben mit den Seitenflächen des Fundamentaltetraeders.

Nun bilden die £benen A* in ihrer Gesamtheit die Berührungs- ebenen und die Geraden a* die geradlinigen Erzengenden der d3r Kugel längs T4 umschriebenen Developpabeln; wir haben also den Satz:

„Die der Kugel längs T4 umschriebene Developpable durch- schneidet dio Seitenflächen des Fundamcntaltetraeders in den Polar- „kcgelscliuittcn der vier Kreisschaaren, welche durch r4 eingehüllt „werden."

Die angestellte Betrachtung zeigt eine bemerkenswerte Zuord- nung der Tangenten und Punkte der vier Polarkegelschuitte; führt man an einen derselben eine beliebige Taugente, so gehören zu ihr zweimal drei Tangenten der drei übrigen , wolche in den durch die erste Tangento an die Kugel gelegten Berührungsebenen liegen; und die Berührungspunkte eines solchen Tangentenvierseits gehören einer Geraden, einer Taugente der Kugel, an.

9. Aus einer Tangente t von C0, Fig. 1., entspringen zwei Punkto von r4, QQ*, in einer Kante des Kegels aus P0\ die den Kegel längs dieser Kante berührende Ebene hat zur Spur die Tan- gente t von (To* welche dem Berührungspunkt T von t reeiprok zu- geordnet ist; die Berührungsebenen der Kugel in den Punkten QQ* aber haben ihre gemeinsame Spur in t. Die Durchschnittslinien des letztern Ebenenpaares mit der erstgedachten Ebene sind nun dio Tangenten t, t* von T4 in Q, Q* und der Schnittpunkt D von t und t auch ihr Schnittpunkt. Da dieselbe Betrachtung auch an je- den der drei andern Polarkegelschuitte augeknüpft werden kann, so läset sich das Resultat folgendermassen aussprechen:

„Jede zwei Tangenten von T\ deren Berührungspunkte auf „einerlei Kante eines der doppelt umschriebenen Kegel liegen, „schneiden sich in einem Punkte der seinem Scheitel gegenüber- liegenden Seitenebene des Fundamcntaltetraeders ebenso werden „sich die Schmiegungsebenen solcher Punkte in derselben Ebene „durchschneiden; die developpable Fläche von T4 besitzt also in «jeder Seitenebene des Fundamentaltetraeders einen Selbstdurchschnitt „oder eine Doppelcurve."

Anders ausgedrückt: Die Tangente irgend eines Punktes A von T 4 wird in den vier Punkton , wo sie dio Seitenflächen des Funda-

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Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnung

meutaltetraeders durchdringt, von vier andern Tangenten der Curve geschnitten, deren Berührungspunkte B0 , 2*,, Bt, Bs in den aus A nach den Ecken des Fundamcntaltetraeders gezogenen Geraden liegen. (Vgl. Nr. 8).

Die Lagenbeziehung von T * gegen eine Ecke Fi und die gegen- überliegende Seitenfläche Pi des Fundamcntaltetraeders lässt sich nun so charakteri8iren , dass die Punkte der Curve paarweise auf Strahlen aus Pi liegen , dass die Tangenten und Schmiegungsebenen eines solchen Punktepaars in Pi sich schneiden, dass endlich jedes Punktepaar durch die Ebene Pi von Pi harmonisch getrennt wird ; ihren zusammenfassenden Ausdruck findet sie in dem Satze, „dass „T4 involutorisch-collinear zu sich selbst ist in Bezug auf jede Ecke „des Fundamentaltetraeders als Collineationscentrum und dio gegen- überstehende Seitenfläche als Collineationscbene."

Wir kehren zu den oben nachgewiesenen Doppelcurven der Tan- gentenflächo von T4 zurück. Die in der Ebene P0 befindliche, Fig. 1., hat sich als Ort des Durcbschnittspunktes D der Tangenten t und t von C„ und (£0 ergeben; diese Tangenten sind vermöge des Umstandes, dass t die Polare des Berührungspunkts von t in Bezug auf A0 ist, einander eindeutig zugeordnet. Wenn aber die Tan- genten zweier Curven zweiter Ciasso projectivisch auf einander be- zogen sind, 60 liegen die Schnittpunkte entsprechender Tangenten auf einer Curve vierter Ordnung. „Dio vier Doppelcurven der dc- „veloppabeln Fläche von T4 sind also Curven vierter Ordnung."

Den Tangenten tlu). t01, *os, £os, welche C0 und A'„ zugleich berühren, entsprechen in dem eben erläuterten Sinne diejenigen Tangenten t^, t01, to9l tos von (£q , deren Berührungspunkte die Schnittpnnkto Sm ^i» ^osi So* von @o uud iT0, zugleich Schnittpuukte von T4 mit P0 sind; diese Punkte gehören daher der Doppelcurve auch an, und wir haben den weiteren Satz:

„Diejenigen Punkte, welche T4 mit der Oberfläche des Funda- „mentaltetraeders gemeinsam hat , sind zugleich Punkte der Doppcl- „curve der Tangentenfläche von T4."

Den Punkten S00, S0J, ... von T* kommt noch eine weitere Eigentümlichkeit zu. Die ihnen zugehörigen Tangenten von T4 sind Kanten des Kegels P0 und zwar diejenigen, welche den Tangenten «oo, f0I, ... reeiprok entsprechen; legt man an den Kegel längs einer solchen Kante, etwa / 'ft S^, die Tangentialebene, so enthält sie ausser ihr noch die benachbarte Kegelkante und die in den Schnittpunkten der letzteren mit T 4 an diese gezogenen Tangenten, welche ihre ge- meinsame Projection in too haben und in dem benachbarten

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als Einhüllende von KreUscAaarcn.

151

Punkte der Doppolcurve D0 in P0 sich schneiden , enthält also drei aufeinanderfolgende Tangenten und vier aufeinanderfolgende Punkte vou T *. Eine solche Ebene bezeichnet man als stationäre Schmie- gungsebeno der Carve oder als Inflexionstangentialebeue ihrer Tangentendeveloppabeln. Daher der Satz: „Die Schnittpunkte von „T4 mit der Oberfläche des Fundamentaltetraeders, zugleich jene „Punkte, welche die Curve mit den Doppelcurven ihrer Dcveloppa- „bdu gemein hat, sind Punkte der stationären Osculationsebenen von „T4 oder der Inflexioustangentialebcncn ihrer Developpabeln." Die Anzahl solcher Pnnkte, die imaginären wie die reellen gezählt, ist 4 X 4 - 16.

Hieraus lässt sich eine weitere Eigenschaft der Doppelcurven ableiten. Den Tangeuten f*, *** von C0, welche in Pt sich schnei- den, deren Berührungspunkte T*, T** also in der Gegenseite pQl des Pülardreiecks PxPtPs liegen, entsprechen, da dieses* Polardreieck C0 und So gemeinschaftlich zukommt, die Tangenten t*, t** von (£0, welche gleichfalls in Px sich schneiden und in pox ihre Berührungs- punkte haben. In Px sind also die Schnittpunkte zweier Paare zu- geordneter Tangenten, t* und t*, t** und t**, vereint, Px ist also ein Doppelpunkt der in P0 enthaltenen Doppelcurve D0. Taugenten der durch ihn gehenden Curvenäste sind die gemeinsame Spur der Schmieguugsebenen in &10, »S,, einer- und in Su, »Sj3 andrerseits, und da diesen Ebenen in Bezng auf die Tangeutenfläche vou T* der Charakter von Wendetangentialebenen zukommt, so liefern sie für jeden ebenen Durchschnitt dieser Fläche, also auch für die Doppol- curve D0 Inflexionstaugenten. Dieselbe Betrachtung lässt sich auch für und P3 (wenn auch für letzteren Punkt mit imaginären Ele- menten) durchführen, so dass man den Satz aussprechen kann:

„Jede der vier Doppelcurven der Developpabelu von T4 besitzt „in den Eckpunkten des Fuudamentaltetraeders, welche ihrer Ebeno „angehören, Doppelpunkte mit luflexionstaugenten."

Von den Doppelcurven gehören nur die ausserhalb der Kugel liegenden Teile dem reellen T 4 an, und diese werden von denjenigen Taugenten von C, (und den ihnen zugeordneten von (£,) erzeugt, welche K, oder die Kugel nicht schneiden. Gehen wir in Fig. 1 von einer Tangente (f) aus, welche KQ schneidet, deren Berührungspunkt i T) aber ausserhalb K0 liegt, so befinden sich auf dem reellen Kugel- kreise, dessen Pol (T) ist, zwei imaginäre Punkte von T4, deren reelle Verbindungslinie die zu (0 reeiproke Kegelkante ist, und deren imaginäre Tangenten sich in dem reellen Punkte (D) des parasiti- schen Teils von Z)0 schneiden. Wenn nun (T) insbesondere mit einem der Schnittpunkte Fm F0l, Fw, F03 von C0 und if0, z. B. mit

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152 Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnung

zusammenfällt, so rückt auch (D) nach F^ und jede der beiden imaginären Curventangenten , die sich hier schneiden, hat demnach mit der Kugel drei Punkte gemein — zwei Nachbarpunkte von T4 und Fqq — , muss daher ganz in der Kugelfläche liegen, d. h. die imaginären Inflexionstangenten der Kugel in den Punkten Fw, Foli . . . sind zugleich imaginäre Tangenten von T4. Wir sprechen dies in dem Satze aus: „Die imaginären Inflexionstangenten der Kugel in , jenen Punkten, wo sie den Polarkegelschnitten der vier durch T4 „eingehüllten Kroisschaaron begegnet, sind zugleich Tangenten von „TV Diese 16 Punkte liegen zu je vier in den Orthogonalkrcisen jener Kreisschaaren.

10. Legt man durch einen ausserhalb T4 beliebig angenomme- nen Punkt M ein Ebenenbündel , so ist in jeder Ebene desielbon durch die vier Punkte von T \ welche ihr angehören, und durch den Punkt M ein Kegelschnitt eindeutig bestimmt; der Ort all dieser Kegelschnitte ist eine durch T 4 und M gehende Fläche zweiter Ord- nung. Mit jedem nenon Punkte ergibt sich im allgemeinen eine neue Flächo, und die Gesamtheit aller wird ein Flächenbüschel zweiter Ordnung, T4 seine Basiscurve genannt. Es ist eine Gesamtheit von einfach unendlicher Mächtigkeit, weil jede Fläche zweifach unendlich viele Punkte des Raumes aufnimmt.

Es ist unmittelbar einleuchtend, dass das Fundamentaltetraedor von T 4 für jede Fläche des Büschels ein Polartetraeder ist, mit an- dern Worten: „Das Fundamcntaltetraeder der Basiscurve T4 dos „Flächenbüschels zweiter Ordnung ist gemeinsames Polartetracder „aller Flächen des Büschels." Umgekehrt: Der Durchschnitt der Kugel mit einer beliebigen Fläche zweiter Ordnung ist eine Curve vierter Ordnung und das den beiden Flächen gemeinsame Polar- tetraeder ihr Fuudamentaltetraeder.

Um eine von den Regel flächen des Büschels durch T4 zu erhalten, lege man durch eine beliebige Bisecanto der Curve ein Büschel von Ebenen; diese bestimmen mit der Curve eine Schaar neuer Bisecanten, zugleich die eine Rcgclschaar einer durch T4 gehenden Rcgelfläche zweiter Ordnung, während die Axe des Ebenen- büschels der andern Regclschaar angehört. Nur wenn die ursprüng- lich gewählte Bisecante durch eine Ecke des Fundamentaltetraeders geht, wird die aus ihr abgeleitete Flächo cntwickclbar und besitzt nur eine Kegelschaar. „Die Kegel aus den Ecken des Fundmental- „tetraeders sind also die einzigen entwickclbaren Flächen, welche in „dem Büschel zweiter Ordnung auftreten."

11. Der Darstellung vonT4 als^ Einhüllende von Kreisschaaren

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als Einhüllende von Kreisachaaren.

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möge ihr© Erzcngung durch projectivischo Krcisbüschel gegenüber gestellt werden.

Ein Kreisbuschel steht mit der geraden Punktreihe, durch wclcho es auf den Raum abgebildet wird, in eindeutiger Beziehung. Wenn daher zwei gerade Punktreihen p, p* projectiviseh auf einander be- zogen sind, so gilt dies auch bezüglich der ihnen zugeordneten Kreis- büschel, welche als projocti vische Kreis büschel bezeichnet werden mögen.

Indem wir uns mit der Frage nach dem Ort des Schnittpunktes entsprechender Kreise oder dorn Erzeugniss zweier projectivischo n Krcisbüschel einer Kugel beschäftigen, haben wir zu unterscheiden, ob die zugeordneten Punkreihen p , p* in perspectivischer oder in allgemeiner Lage sich befinden.

Sind P, 1J* zwei homologe Punkte von j>, p*; if, A'* die ent- sprechenden Kreise, so sind die Schnittpunkte Q, Ü* von A', K* Punkte des gesuchten Ortes. Da nun dio Geraden PP*, QQ* con- jogirt sind bezüglich der Kugel, so kann man den Satz aussprechen:

„Das Erzeugniss zweier projectivischen Kreisbüschel auf einer „Kugel ist gleichbedeutend dem Durchschnitt der Kugel mit der- jenigen Fläche, welche dem Strahlensystem polarreciprok ist, das „die den Kreisbüscheln zugeordneten Punktreihen bestimmen."

a) Beiinden sich die Punktreihen in perspectivischer Lage, so ist das durch sie bestimmte Strahlensystera ein Strahlenbüsche], das polarreciproke Gebilde oine Ebene. Daraus folgt:

„Der Ort des Schnittpunktes entsprechender Kreise zweier pro- jectivischen Kreisbüschel einer Kugel, welche einen Kreis selbst- „entsprechend gemein haben, ist ein zweiter Kreis, welcher mit den „beiden Büscheln ein- und demselben Kreisbttndel angehört41

b) Befinden sich die Punktreihen in allgemeiner Lage, so wird das durch sie bestimmte Strahlensystem von einem Kegelschnitt ein- gehüllt, wenn die Trägerp, p* sich schneiden, und es erfüllt eine wind- schiefe Regelflächo zweiter Ordnung, wenn sie sich kreuzen; im er- sten Falle ist das reeiproko Gebilde ein Kegel, im zweiten Fallo eine windschiefe Regelfläche zweiter Ordnung. Es ergibt sich also der Satz:

„Der Ort der Schnittpunkte entsprechender Kreise aus zwei „projectivischen Kreisbüscheln einer Kugel in allgemeiner Lage ist „eine Curve vierter Ordnung T4"

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Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnung

§. 3.

12. Den allgemeinen Betrachtungen über die sphärische Curve vierter Ordnong soll nun eine Untersuchung ihrer Formen ange- schlossen werden als Correlat der verschiedenen Beziehungen, in weleho eine Kegelschnittslinie zur Kugel treten kann. Zwar werden, da dem früheren zufolge einer solcheu Rauincurve im allgemeinen vier Kegelschnitte zugeordnet sind, an demselben Falle mehre derartige Beziehungen zugleich erscheinen; doch die Zusammenstellung dieser Combinationen soll der Untersuchung der Einzelfalle nachgestellt werden.

Im folgenden bezeichnen wir den Polarkegelschnitt mit C\ seino Ebene mit P, ihreu Pol iu Bezug auf K mit 1\ den von ihr ausge- schnittenen Kugelkreis mit K, endlich den zu C iu Bezug auf K reeiproken Kegelschnitt mit (£.

I. Die Ebene P schneidet die Kugel imaginär. Da ihr Pol P innerhalb der Kugel liegt, so besteht T4 aus zwei ge- trennten geschlossenen Curvcnästeu. Das Fundamontaltctracdcr ist vollständig reell, weil das gemeinsame Polardreieck von C uud dem imaginären K es ist, alle vier doppelt projicirenden Kegel von T* sind also reell. Mit P und einer zweiten Ebene des Fundamental- tetraeders, derjenigen, welche dem innerhalb (£ (uud C) gelegenen Eckpunkte desselben zugeordnet ist, gibt die Curve keine, dagegen mit den beiden andern je vier reelle Schnittpunkte, besitzt also acht reollo stationäre Schmiegungsebenen.

Liegt der Mittelpunkt von K in einer Axe von C, so rückt eiue Ecke des Fundamentaltetraeders in Richtung der auderu Axe von 6 ius unendliche und die gegenüberliegende Seitenfläche verwandelt sich in die zu dieser Richtung conjugirte Diametralebene der Kugel; von den vier doppelt projicirenden Kegeln geht einer in einen Cy- liuder über, mit andern Worten, T4 wird in Bezug auf eine Diame- tralebene der Kugel orthogonal-symmetrisch.

Bei concentrischer Lage von C und K bilden der Mittelpunkt uud die unendlich fernen Axeupuukte von C das gemeinsame Tripel conjugirter Punkte, zwei der doppelt projicirenden Kegel verwandeln sich in Cylinder, T4 wird bezüglich zweier zu einander uormaler Diametralebenen der Kugel orthogonal-symmetrisch.

Entfernt P sich ins unendliche, so fällt P mit dem Centrum der Kugel zusammen, und T 1 wird ein sphärischer Kegelschnitt, der iu Bezug auf drei gegenseitig rechtwinklig sich schneidende Diametral- ebenen der Kugel orthogonale Symmetrie aufweist; diese drei Ebe-

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als EinhüUtnde von Kreisschaaren.

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nen im Verein mit der anendlich fernen bilden sein Fundamental - tetraeder.

Findet zwischen C und K doppelte (ideelle) Berührung statt, so besitzen beide unzählich viele gemeinsame Polardreicke mit einer gemeinschaftlichen Ecke 1\ und Gegenseite /?, ; also entsprehen auch . T* unendlich viele Fundamentaltetraeder, welche eine Ecke (P,) und die ihr conjugirte Seitenfläche (Ppt) sowie ein Paar Gegenkanten gemein haben , von welch' letztereu die eine durch P geht und die andere in P liegt. Ausser den beiden doppelt umschriebenen Kegeln aus P und 1\ gibt es unendlich viele, deren Scheitel die Gerade ]'j erfüllen; diese fallen in ein Ebenenpaar durch pt zusammen, T * zerfällt also in zwei ebene Schnitte oder Kreise der Kugel, welche zwei (imaginäre) Punkte von p, mit einander gemein haben (Doppel- punkte von T 4). In Bezug auf die zu pt senkrechte Diametralebene der Kugel besteht orthogonale Symmetrie , weil der vorliegende Fall in dem zuerst angeführten Sonderfalle inbegriffen ist. — Die vor- stehende Bedingung ist u. a. auch erfüllt, wenn C ein mit K con- centrischer Kreis ist; weil dann px ins unendliche rückt, so löst sich T4 in zwei Parallelkreise auf, uud in Bezug auf alle Ebenen durch PPt besteht orthogonale Symmetrie. Wird überdies P zur unendlich fernen Ebene, so zerfällt T* in zwei gleiche Parallelkreise, welche einen Sonderfall des sphärischen Kegelschnittes repräsentiren.

II. Die Ebene P schneidet die Kugel reell. Zwischen C und dem reellen Kreise K können nachstehende Beziehungen ein- treten.

a) C und K haben weder reelle Punkte noch Tangenten ge- meinsam. Dies findet statt, wenn eiue dieser Linien die andere einschliesst. Wird C von K eingeschlossen, so ist Tl vollsändig imaginär; findet das umgekehrte statt, so weist T4 dieselben Eigen- schaften auf wie im Falle I. Orthogonale Symmetrie iu Bezug auf eine oder auf zwei zu einander normale Diametralebenen der Kugel ergibt sich, wenn der Mittelpunkt von K einer oder beiden Axen von C angehört, und sie besteht noch in Bezug auf eine zweite, re- spective dritte Diametralebene, wenn K ein grösster Kreis ist.

b) C und K haben keine reellen Punkte, aber vier reelle Tan- genten gemeinsam. Dies tritt ein, wenn beide Linien sich gegen- seitig ausschliessen. T 4 zeigt dieselben Eigenschaften wie im Falle I. Einfache Ortbogonalsymmetrie ergibt sich, wenn der Mittelpunkt von K auf einer Axe von C liegt; zweifache Symmetrie, wenn überdies P eine Diametralebene der Kugel ist; T4 ist endlich dreifach sym- metrisch oder ein sphärischer Kegelschnitt, wenn C eine mit der Kugel concentrische Hyperbel ist.

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Cxuber: Die sphärUche Curve vierter Ordnung

c) C und K haben vier rccllo Paukte und Tangenten gemeinsam. Dieser Fall liegt der Fig. 1 zu Grunde. T4 zeigt dieselben Merk- male wie im Falle I., die Bedingungen der Symmetrie sind die näm- lichen wie in II. a)

d) C und K haben vier reelle Punkte, aber keine Tangenten gemeinsam. Dies findet nur statt, wenn C eine Hyperbel ist, und * da unter obiger Voraussetzung alle ihro Tangenten den Kreis K schneiden, so ist T4 vollständig imaginär.

e) C und A' haben zwei reelle Punkte und Tangenten geraein- sam. Dieselbe Beziehung besteht auch zwischen (£ und A'. T4 ist demnach ciue einfach zusammenbangende Curve; von ihrem Fuuda- mcntaltetraeder sind nur zwei Ecken und die conjugirten Seitenebenen reell, weil an dem C und A' gemeinsamen Polardreieck nur eine Ecke und die gegenüberliegende Seite reell ist Dementsprechend besitzt T4 uur zwei doppelt umschriebene Kegel und, da jede der reellen Scitenebenen des Fundamontaltetraedors zwei reelle Punkte der Curve enthält, vier reelle stationäre Osculationsebenen. Gehört der Mittel- punkt von K einer Axe von C an, so ist T4 orthogonal-symmetrisch in Bezug auf eine, und ist ausserdem K ein grösster Kreis, in Bezug auf zwei zu einander normale Diametral ebenen der Kugel.

Fasst man die bisher gewonnenen Resultate mit Ausseracbt- lassung der Fälle, wo ein Zerfall in niedere Curven stattfindet, zu- sammen, so ergibt sich folgendes: „Die sphärische Curve vierter „Ordnung besteht entweder aus zwei getrennten, geschlossenen Aestcn „oder bildet eine einfache, geschlossene Linie. — Im ersten Fallo ist „ihr Fundamentaltetraeder vollständig reell-, seine Ecken sind die „Scheitel von vier der Curve doppelt umschriebenen Kegeln zweiter „Ordnung, und seine Seitenflächen enthalten vier ihrer Tangenten- „developpabeln doppelt eingeschriebene Curven vierter Ordnung; „von den 16 stationären Schmiegangsebenen sind acht reell. — Im „zweiten Falle sind nur zwei Ecken and dio gegenüberliegenden „Seitenflächen des Tetraeders reell; dementsprechend sind auch nur „zwei von den doppelt umschriebenen Kegeln und zwei von den „doppelt eingeschriebenen Curven wirklich vorhanden; die Zahl der „reellen stationären Schmiegungsebencn reducirt sich auf vier". — An der zweiteiligen Curve sind von den aufgezählten Beziehungen zwischen Polarkegelschnitt und Kugel die Fälle I., II. a), II. b), II. c) vereinigt; der einteiligen Curve entspricht in beiden reellen Seiten- ebenen ihres Fundamentaltetraeders der Fall II. e).

Den verschiedenen Fällen der Berührung von C und K möge eine allgemeine Bemerkung vorangestellt werden.

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n/.s Einhüllende vom Krti*$chaaren.

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Wie in Nr. 9 erläutert worden, führt eine Tangente t von C im allgemeinen zu zwei Punkten Q, Q» von T4, und die Polarebene ihres Berührungspunktes T bezüglich der Kugel schneidet aus den beiden durch t an die Kugel gelegten Berührungsebenen die Tangenten r, r* von T4 in Q, Q* aus.

Berührt t gleichzeitig den Kreis A', so fallen die Punkte Q, Q* zwar zusammen, haben aber eine bestimmte Verbindungsgerade, die Schnittlinie der Polarebene von T mit der einzigen durch t bestimm- ten Berührungsebene der Kugel; diese Schnittlinie ist die Tangente von T4 in dem Punkte (QQ*). Es sind die Punkte der stationären Osculationsebenen, welche auf solche Weiso entstehen.

Wenn aber in diesem letztern Falle die Berührungspunkte von t mit C und K in oinen Punkt 1\ zusammenfallen, dann wird die Verbindungslinie der iu P, vereinigten Punkte Q, Q* unbestimmt, weil die beiden Ebenen, durch welche sie vorhiu bestimmt war, nun- mehr auch zu einer Ebene vereinigt sind. Dieser Umstand charak- terisirt den Berührungspunkt Px von C uud A' als einen Doppel- punkt von T4.

Bezüglich der Art der Berührung von C und K sind nun mehrere Fälle zu unterscheiden.

f) Zwischen C und K bestehe einfache (zweipunktige) Berührung. Eine ebensolche Beziehung besteht dann auch zwischen & und A', so dass alle drei Linien deu doppelt zu zählenden Berührungspunkt gemeinschaftlich haben. Im übrigen sind folgende Untcrfälle zu bemerken.

f,) Wird C von K eingeschlossen, oder haben beide Linien ausser dem Berührungspunkt uud der Tangente in demselben noch zwei Punkte aber keine Tangenten mehr gemeinsam — eine Beziehung, welche sich nur bei der Hyperbel ergeben kann, wenn A' sie äusser- lich berührt — , so schneiden alle Tangenten von C, mit Ausnahme jener in Pu den Kreis K, iu Folge dessen reducirt sich der reelle Teil von T4 auf den Doppelpunkt Pt.

fi) Wird K von C eingeschlossen, oder haben beide Linien ausser 1\ und der Tangente daselbst noch zwei Punkte und zwei Tangenten gemeinsam (innere Berührung), so liegen die der Tangente in beiderseits benachbarten Tangenten vou C ausserhalb A', ihre reeiproken Polaren schneiden die Kugel reell; demnach vereinigen sich in dem Doppelpunkte zwei Aestc der Corvo zu einem Knoten, T4 besitzt dort zwei verschiedene Tangenten. Die Lage der Curven- äste ist in den beiden oben getrennten Fällen verschieden; im ersten liegt je einer auf jeder Seite von P, im andern Falle erstreckt sich

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Czuber: Die sphäritche Curve vierter Ordnung

ein Ast jeder Art zu beiden Seiten dieser Ebene. Sowie von dem C und K gemeinsamen Polardreieck zwei Ecken in 1\ und die ihnen gegeu- überliegeDden Seiten in der zugehörigen Taugeutc voreinigt, während die dritte Ecke und Seite reell vorhanden sind — erstere in der Tangente in P1 liegend, letztere durch P, gehend — , fallen auch zwei Ecken des Fundamental tetraeders von T4 mit J\ und die con- jugirten Seitenflächen mit der zugehörigen Tangentialebene P, der Kugel zusammen, und es existirt ausser P und P noch eine Ecke und die ihr entsprechende Seitenfläche — erstere in P, liegend, letztere durch 1\ gehend. Hieraus ergibt sich, dass auch zwei der doppelt umschriebenen Kegel zweiter Ordnung vereinigt sind zu einem Kegel mit dem Doppelpuukt als Scheitel, der jedoch nur im über- trageneu Sinne als doppelt projicireud zu bezeichnen ist, indem jede seiner Kanten drei Punkte der Curve enthält, wovon allerdiugs zwei jedesmal im Doppelpunkt vereinigt siud; es verbleiben daher nur zwei doppelt umschriebene Kegel im eigentlichen Sinne. Die ihren Scheiteln gegenüberliegenden Seitenflächen des Fuudamentaltetraeders schneiden T4 ausser im Doppelpunkte iu je zwei weiteren Punkten, die eine reell, die andere imaginär, die Curve besitzt also vier stationäre Scbmieguugsebenen, wovon im vorliegenden Falle nur zwei reell sind. In der Ebene Yx könnte von ciuer Doppelcurve der Tangentenfläche von T4 nur dann die Rede sein , wenn man jede in ihr durch 1\ gezogene Gerade als Taugente der Curve auffassen wollte. Um die Natur der eigentlichen Doppelcurven in den andern zwei Seitenebenen des Fundamental tetraeders zu erkennen, beachten wir die Aenderung, welche ihro Entstehung dem allgemeinen Falle (Nr. 9) gegenüber erleidet Seien T' , T" die beiden benachbarten, zu P, vereinigten Punkte, welche C und A' gemeinschaftlich sind; wenn der Berührungspunkt T der variabeleu Taugente den Kegel- schnitt C durchlaufend, in die Lago 1" kommt, so fällt t in die Verbindungslinie T'T"\ die Polaro t' von T' in Bezug auf den Kreis K, d. i. die Taugeuto des letzteren im Punkte T\ ist dieselbe Gerade T'T"\ folglich siud in der gemeinsamen Tangcnto in Pt zwei ent- sprechende Tangenten von C und (£ vereinigt, sie sondert sich als Ort erster Ordnung von dem Orte vierter Ordnung ab, so dass der übrige Bestandteil des Ortes des Schnittpunktes von t und t eine Curve dritter Ordnung ist; und nur diese ist als Durchschnitt der Tangentenfläche von T4 mit der Ebene von C und K anzusehen, da die abgesonderte Gerade keine eigentliche Tangente der Curve ist. In den beiden Seiteuflächen des Fuudamentaltetraeders, welche den Scheiteln der eigentlichen doppelt umschriebenen Kegel conjugirt sind, hat also die Tangentenfläche von T4 Doppelcurven dritter Ordnung.

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als Einhüllende von Kreisichaaren.

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f„) Haben C und K ausser dem Berübruugspunkte 1\ und der Tangente in demselben keine weiteren Punkte , dagegen noch zwei Tangenten gemeinschaftlich (äussere Berühruug), so treffen die der Taugeute in 1\ beiderseits benachbarten Tangenten von C den Kreis K in reellen Punkten, ihre reeiproken Polaren schneiden also die Kogel imaginär, so dass es in der Umgebung von Pt keine reellen Punkte von T4 gibt; Pt ist in diesem Falle ein isolirter Doppel- punkt der Gurve; ausser ihm besitzt sie einen reellen geschlossenen Ast, welcher die Ebene P in zwei Punkten schueidet. Bezüglich der Elemente des Fuudamentaltetraeders , der doppelt umschriebenen Kegel und der Doppelcurveu der Tangeutenfläche ergeben sich die nämlichen Resultate wie im vorangehenden Falle, nur dass jetzt beide Ebenen der eigentlichen Doppelcurven T4 ausser im Doppelpunkt in zwei reellen Punkten schneiden, 60 dass alle vier stationären Oscu- lationsebenen reell sind.

Die unter L) und f3) betrachteten Formen von T4 werden ortho- goual symmetrisch in Bezug auf eine Diametralebene der Kugel, wenn Px mit einem Scheitel von C zusammenfällt, oder wenn A' ein Uauptkreis der Kugel ist; trifft beides zusammen, so weist T4 in Bezug auf zwei zu einauder normale Diametralebenen orthogonale Symmetrie auf.

g) K sei ein Krümmungskreis vou C (dreipunktige Berührung). Daun 08culirt K auch (E, alle drei Curven haben den dreifach zu zählenden Berührungspunkt Px gemeinschaftlich. Die der gemein- samen Tangente in diesem Punkte einerseits benachbarten Tangenten von C schneiden K reell, die andererseits benachbarten schneiden ihn imaginär — dio Grenze zwischen beiden Tangentengruppeu ist die ausser der Berührungstangente noch vorhandene gemeinsame Tangente von C und K\ in Folge dessen besitzt T4 nur zu einer Seite des Doppelpunktes eineu reellen Ast. (i hat mit A' ausser dem dreifach zählenden noch einen vierten Punkt gemeinschaftlich, von T4 fallen also in die Ebene P der Doppelpunkt, ferner der ein- zige ihm benachbarte Puukt der Curve und ein vierter Pnnkt in endlicher Entfernung von jenen; die beiden zuerst genannten be- stimmen die einzige iu P liegende und doppelt zu zählende Tangeute vou T4 in Pti welche mit der Berührungstaugente von C und K zu- sammenfällt; der letztgenannte Punkt führt zu einer stationären Osculationsebene von T4. Hieraus ergibt sich, dass Pt im vorliegen- den Falle ein stationärer Punkt der Curve ist Das gemeinsame Polardreieck von C und K reducirt sich auf den Punkt Pt als Ver- einigung aller drei Ecken und die zugehörige Tangente als Vereinigung aller drei Seiten; in gleicher Weise sind in Pt drei Ecken und in der zugehörigen Tangentialebene Y1 der Kugel drei Seitenflächen des

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Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnuny

Fundamentaltetraeders von T4 vereinigt, P nnd P bilden die vierte Ecke und die ihr conjugirte Seitenfläche. Mithin fallen auch drei der doppelt umschriebeneu Kegel zweiter Ordnung in einen Kegel mit dem Rückkehrpunkt als Scheitel zusammen, der aber nur im uueigentlichen Sinne ein doppelt projicirender ist, da jede seiner Kanteu drei Punkte der Curve enthält, wovon jedesmal zwei im Scheitel vereinigt sind; es verbleibt also nur ein doppelt umschrie- bener Kegel zweiter Ordnuug im eigentlichen Sinne, der aus P, ebenso gibt es nur einen Punkt mit stationärer Osculationsebene, den bereits erwähnten iu P. Von einer Doppelcurve der Tangenten- fläche von T4 in P, könute wieder nur im übertrageuen Sinne dio Rede sein wie im Falle f,). Um die Natur der Doppelcurve in P zu erkennen, verfolgen wir ihre Entstehung und bezeichnen zu diesem Zwecke mit T' , T"y T* die drei benachbarten, zu i», vereinigten Punkte, welche C und K gemeinschaftlich siud; dasselbe Resultat, welches s;ch im Falle fs) ergab, wenn der variablo Punkt T mit T' zusammenfiel, wiederholt sich hier nochmals, wenn T die Lage T" annimmt; demnach sind in der gemeinsamen Tangente in Pt zwei Paare entsprechender Tangenten von C und (£ coiucidirend, sie sondert sich, weil doppelt gezählt, als Ort zweiter Orduung von dem Orte vierter Ordnung ab, so dass der übrige Teil des Ortes des Schnitt- punktes von t und t eine Kegelschnittsliuic ist. In der Seitenfläche des Fundamentaltetraeders, welche dem Scheitel des einzigen eigent- lichen doppelt umschriebeneu Kegels conjugirt ist, besitzt also die Tangentenfläche von T4 einen Doppelkegelschnitt. Ihr Durchschnitt mit der Ebene P setzt sich aus diesem und der abgesonderten Ge- raden zusammen, da letztere eine Tangente der Curve ist

Für dio orthogonale Symmetrie von T4 gibt es im gegenwärtigen Falle nur eino Bedingung: Ä' rauss ein Hauptkreis der Kugel sein.

Es ist leicht, die Entstehung der vorliegenden Form von T4 aus jener mit dem Doppelpunkt als Knoten zu verfolgen; wenn in dem zweiten unter fs) gedachten Falle einer der beiden Schnittpunkte von C und K dem Berührungspunkte beständig sich nähert, so zieht die eine Curvenschleife sich immer mehr zusammen und verschwindet im Augenblicke der Vereinigung jener Punkte ; gleichzeitig fallen die beiden Tangenten im Curvenknoteu in eine Gerade von P, nämlich in die Berührungstangento in Pv

h) K sei ein doppelt berührender Kreis von C. Entweder wird C von K ein- oder ausgeschlossen, oder C schliesst den Kreis K ein. Im ersten Falle, der nur bei reeller Berührung eintreten kann, sind alle Tangenten von C Secanteu von K — ausgenommen die beiden gemeinsamen — , mithin ist T4 bis auf die beiden Berührungs-

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ah Einhüllende von Kreist chaaren.

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punkte als Doppelpunkte imaginär. Im zweiten Falle kann die Be- rührung reell oder ideell sein; die Berührungspunkte P„ Pj* sind (reelle oder imaginäre) Doppelpunkte von T4. Ihrer immer reellen Verbindungslinie kommt in Bezug auf C\ K und (5 derselbe Pol P* zu, nnd alle drei Kegelschnitte haben unzählig viele gemeinsame

Poiardreiecke mit der gemeinschaftlichen Ecke P* und Seite P*PX*\ mithin gehören auch zu T4 unzählig viele Fundamentaltetraeder mit

dem gemeinsamen Eckenpaar P, P*, Kautenpaar PP*, PxPt* und Ebenenpaar P, P*, die Curve besitzt ausser den beiden doppelt um- schriebenen Kegeln aus P, P* noch unzählig viele, deren Scheitel die

Gerade PTPi* erfüllen, d. h. sie zerfällt in zwei Kreise, deren Ebenen sich in der Verbindungslinie der Doppelpunkte schneiden. Auf dieses Ebenenpaar und seine zweifach zu zählendo Schnittlinie reducirt sich auch die Tangentenfläche, resp. ihr Selbstdurchschnitt

Hieraus geht hervor, dass „durch zwei Kreise ÜT„ einer „Kugel zwei Kegel zweiter Ordnung hindurchgehen; ihre Scheitel „P, P* liegen in der reeiproken Polare der Schnittlinie der Kreis- „ebenen". Ist d;e Berührung' zwischen C und K reell, so schneiden sich die Kreise Jf„ Kt in reellen Punktcu, und die zugehörigen Kegelscheitel liegen ausserhalb der Kugel; bei ideeller Berührung sind die Schnittpunkte der Kreise imaginär, und von den Kegel- scheiteln liegt der eine innerhalb, der andere ausserhalb der Kugel. Wenn K ein grösstcr Kreis der Kugel ist, oder wenn K den Kegel- schnitt (die Ellipse) C in den Scheitelpunkten (der kleinen Axe) be- rührt, so verwandelt sich einer der Kegel in einen Cylinder, und trifft beides zu, so gehen beide Kegel in zu einander normale Cylin- der über.

i) K osculire C in einem Scheitel (vierpunktige Berührung). Da dieser Fall aus dem der doppelten reellen Berührung dadurch hervorgeht, dass die Berührungspunkte P„ P,* einander näher rückend schliesslich zusammenfallen und mit dem Pol P* ihrer Verbindungs- linie sich vereinigen, so ändert sich das dort gefundene Resultat nur insoweit, als die Kreise, in welche T* zerfallt, sich nun berühren. Von den eigentlichen doppelt umschriebenen Kegeln bleibt nur einer übrig, der aus P, während der Kegel aus P*, der in ein Ebenenpaar degenerirt, als doppelt projicirend nur im uueigentlichen Sinne be- zeichnet werden könnte, da jede seiner Kanten drei Punkte des Gesamtdurchschnitts (wovon zwei jedesmal im Scheitel zusammen- fallen) enthält. „Durch zwei cinauder berührende Kreise einer Kugel „geht also nur ein Kegel zweiter Ordnung; sein Scheitel liegt in „der reeiproken Polare der gemeinsamen Tangente.'1 Ist K oin Hauptkreis der Kugel, so verwandelt sich der Kogel in einen Cylinder.

Aich. d. Math. u. Phj». 2. Beihe, T. VII. 11

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Czuber: Die sphärische Curve vierter Ordnung

III. Die Ebene P berührt die Kugel. Der Berührungs- punkt ist ihr Pol P und als solcher Scheitel desjenigen Kegels, dessen Durchschnitt mit der Kugel die Carve T4 ist. Da nun jede in P durch P gezogene Gerade hier mit der Kugel sowol als mit dem Kegel zwei zusammenfallende Punkte gemein hat, so ist P ein Doppel- punkt von TV Je nach der Lage von P gegen 0 sind folgende Fälle zu unterscheiden.

a) P liegt ausserhalb C. Die reeiprokeu Polaren der beiden durch ihn an C geführten Tangenten berühren die Kugel und T4 in

der Doppelpunkt ist ein Knotenpunkt der Curve. Das Tripel conjugirter Strahlen, welches P (als Nullkreis) und C gemeinsam ist, besteht aus der Polare p des Punktes und aus den Axen der Strahleuiuvolution in beides auf C bezogen; die in p liogeuden Ecken dieses Dreiseites sind die Scheitel der eigentlichen T4 doppelt umschriebenen Kegel zweiter Ordnung, und da eiue ausserhalb, die audere innerhalb C liegt, so schneidet eine der zugehörigen Seiten- ebenen des Fundameutaltetraedcrs die Curve ausser im Doppelpunkt in zwei reellen, die andere in zwei imaginären Punkten, den vier Punkten stationärer Osculationsebenen. Gehört P eiuer Axo von V an, so wird T4 orthogonal symmetrisch in Bezug auf eiue Diametral- ebene der Kugel, und ist C eine Hyperbel und P ihr Mittelpunkt, so besteht orthogonale Symmetrie in Bezug auf zwei zu einander senkrechte Diametralebencu.

b) P liegt inucrhalb C. Sowie die Tangenten aus P an C\ so werden jetzt auch die Tangenten von T4 in P imagiuär, P ist also ein isolirter Doppelpunkt der Curve. Bezüglich der doppelt umschriebeneu Kegel besteht dem vorigen Falle gegenüber der Unter- schied, dass nun die Scheitel beider ausserhalb V liegen, woraus weiter folgt, dass jetzt alle vier stationären Osculationsebenen reell sind. Für einfache Orthogoualsymmetrio gilt dieselbe Bedingung, wie unter a); soll zweifache Symmetrie auftreteu, so muss C'eine Ellipse und P ihr Mittelpunkt sein.

Ein besonderer Fall ergibt sich, wenn P mit einem Brennpunkte von C zusammenfällt. Da uutcr dieser Voraussetzung das Strahlen- Bystem in P in Bezug auf C ein rechtwinkliges ist, so haben P und C unzählig viele Polardreiecko gemeinsam , welchen P als Ecke und die zugehörige Dircctrix von C als Seite gemeinschaftlich ist; aus allen Punkten der letzteren wird also T4 durch Kegel zweiter Ord- nung projicirt, d. h. die Curve zerfällt in zwei Plancurven, deren Ebenen sich in jener Dircctrix schneiden; die eine dieser Ebenen ist P selbst und bestimmt mit der Kugel deu Doppelpunkt (Nullkreis), die andere einen Kreis. Alle T4 doppelt umschriebenen Kegel dege-

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oeriren im vorliegenden Falle in ein Ebenenpaar, als eigentlicher Kegel zweiter Ordnung verbleibt nur der (dreifach projicirende) aus P. — Der Zusammenhang dieses Sonderfalles mit dem Falle IL h) erhellt aus der Bemerkung, dass die Brennpunkte eiues Kegelschnitts die kleinsten unter den reellen Kreisen sind, welche ihn doppelt (ideell) berühren.

c) P liegt in C. Die beiden durch /'au 6' gehenden nud ebenso die beiden Tangenten von T4 im Doppelpunkte fallen in eine zu- sammen, letzterer erscheiut dadurch als Ruckkehrpunkt charak- terisirt Von dem Polardreieck, welches P als Nullkreis und C ge- meinsam ist, sind zwei Ecken und Seiten in P, resp. in der zugehörigen » Tangente von C vereinigt; dritte Seite ist die Normale von C in J\ dritte Ecke ihr Pol iu Bezug auf C; nur aus letzterem Puukto wird T4 durch einen Kegel zweiter Ordnung doppelt projicirt, und die ihm conjugirte Seitenebeno des Fundamentaltetraeders hat mit der Curve ausser dem stationären und den ihm unendlich uaheu Punkte als vierten den Punkt der einzigen stationäreu Osculationsebene ge- mein. Die Curve wird in Bezug auf diese letztgenannte Ebene ortho- gonal symmetrisch, wenn P in einen Scheitel von C fallt.

Hiermit sind alle Beziehungen zwischen dem Polarkegelschuitt C und der Kugel erschöpft; es bleibt nur übrig, die weiter gewon- nenen Resultate zusammenzufassen.

„Die sphärische Curve vierter Orduung kann, so lange sie nicht „in niedere Curven zerfällt, einen Doppelpunkt oder einen Rückkehr- „punkt besitzen. — In dem Polartetraeder der Curve mit Doppelpunkt „fallen zwei Ecken uud Ebeneu mit dem Doppelpunkt, resp. mit der „zugehörigen Tangentialebene der Kugel zusammen; aus den beiden „andern Eckeu wird die Curve durch Kegel zweiter Ordnung doppelt „projicirt, uud in deu dieseu Ecken coujugirteu Seitenebenen besitzt „ihre Tangenten Hache Doppelcurvcn dritter Orduung; der Doppel- punkt selbst ist Scheitel eiues dio Curve dreifach projicirenden „Kegels zweiter Ordnung; statiouäre Schmiegungsebenen sind in der „Anzahl vier vorhaudeu, davou nur zwei reell, wenn der Doppelpuukt „ein Knotenpunkt, und alle vier, wenu er isolirt ist. — In dem „Polartetraeder der Curve mit stationärem Punkt falleu drei Eckeu „und Ebenen mit dem Rückkehrpuukt, resp. mit der zugehörigen „Tangentialebene der Kugel zusammen ; aus der vierten Ecke wird die „Curve durch einen Kegel zweiter Ordnung doppelt projicirt und in „der ihr conjugirton Seitouebcno besitzt ihre Taugentenfläche einen „Doppelkegelschnitt; der stationäre Punkt selbst ist Scheitel eines „die Curve dreifach projicirenden Kegels zweiter Ordnung; die Zahl ,4er stationären Osculationsebenen beträgt eins."

II*

164

Cxubfr; Die sphärische Curve vierler Ordnung etc.

An der Corvo mit einem Knotenpunkt sind die beiden in II. (,) unterschiedenen Fälle mit dem Falle III. a) vereinigt ; an der Curve mit isolirtem Doppelpunkt erscheint der Fall II. f3) zweimal ver- bunden mit III. b); an der Curve mit Rückkehrpunkt ist II. g) mit III. c) combinirt.

„Mit dem Auftreten von zwei Doppelpunkten zerfallt die Curve „in zwei Kreise. So lange die Doppelpunkte imaginär oder reell „und verschieden sind, gibt es zwei Kegel zweiter Ordnung, welche „durch beide Kreise gehen; sind sie reell und zusammenfallend, so „verschwindet einer der beiden Kegel; iu dem Falle endlich, wo • „einer der Kreise sich auf eineu Punkt zusammenzieht und welcher „sowol als 8pecielle Form der Curve mit isolirtem Doppelpunkt als „der Curve mit zwei imaginären Doppelpunkten angeschen werden „kann, verschwinden beide Kegel" (in dem einen) „oder sie fallen zusammen" (in dem andern Sinne).

Bei zwei Kreisen mit reellen Schnittpunkten tritt der Fall II. h) (reelle Berührung) zweimal auf; bei zwei Kreisen mit imaginären Schnittpunkten ist der Fall II. h) (ideelle Berührung) mit dem letzten Sonderfall von I. verbunden; zwei Kreisen endlich, wovon der eine eiu Nullkreis, entspricht der Sonderfall von III. b).

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Hopp t'. Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. 165

VII.

Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven.

Von

R. Hoppe.

§. 1. Dichte der Sehnen einer Fläche in einem Punkte.

Nimmt man an, dass von allen gleich grossen Stücken einer Fläche gleichviel Gerade nach irgend einem Punkte gehen, so wird die Menge der Sehnen, welche zwei Flächenstacke verbinden, durch das Product der Flächenstücke gemessen und sei demselben überall gleich gesetzt

Sei F eine geschlossene convexe Fläche, (/•') und (F)0 zwei unendlich kleine Stücke derselben, O ein Punkt im Innern von F und Mittelpunkt einer Kugel K vom unendlich kleinen Radius e. Mögen ferner (F) und (F)0 in der gegenseitigen Beziehung stehen, dass alle Sehnen zwischen beiden durch K gehen. Dann ist die Menge der durch K gehenden Sehnen = (F)(F)0. Dieses Product hat die Aequatorfläche von A', das ist 2Re2, zum Factor. Dividirt man es durch denselben, so drückt der Grenzwert des Quotienten bei verschwinden dem t die Grösse aus, welche wir Dichte der Sehnon im Punkte O nennen, unter Beschränkung der Fläche auf die zwei Stücke.

Ist nun (F) — B*F ein Flächenelement, und man integrirt den Ausdruck über die ganze Fläche, so erhält man die doppelte Dichte in O ohne Beschränkung

2D-ffd>F\im{^ (1) doppelt, sofern jede Sehne zweimal mit vertauschten Enden auftritt.

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166

Hoppe: Dichte der Sehnen von Flachen und ebenen Curven.

Sei O Anfang der xyz und für positive q

x — pcos#cosg>; y — pcos#sin<p-, s~sin# (2) dann hat die Polargleichung von F dio Form

Gegenpunkte auf F mögen die Endpunkte einer Sehne heissen, die durch O geht. Man erhält den Gegenpunkt P0 des Punktes i>, dessen Coordinaten (2) sind, durch Substitution von — & für & und qp-f 2R für <p. Setzt man also

Qo - <p + 2R)

so werden die Coordinaten von P0

*o — —^ocos^cos^; y0 = — p0cos^sin©; «<)=— p0sin#

Beschreibt man einen Kegel, dessen Spitze in 1\ und der K berührt, so begrenzt dieser auf F das Stück (F)0 entsprechend dem Punkte P. Lässt man den Kegel von zwei zu PP0 in O und P0 normalen Ebenen schneiden, so ist erstere Schnittfläche (mit Ver- nachlässigung Unendlichkleiner höherer Ordnung) = 2IU», daher letzterer

Dieser ist als Projection von {F)q

- (F)0cosw0

wo Wo den Winkel zwischen der Sehne und der Flächennormale be- zeichnet Führt man den hieraus fliessonden Wert von (F)Q in Gl. (1) ein, so kommt:

— //m

B*F

COS Ö>0

Bezeichnen p, q, r die Richtungscosinus der Flächennormale in P, so ist

			Bz	Bz			dar
u	dq>		BÖ	Bq>
Bz	Bz	i	Bx	Bx			öy
B&	B<p			B<p		6*	8©

Die Quadratsumme gibt:

(3)

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. 1(J7

Ferner ist in P

cos«

i

3* fte 0# dtp

a# a?

82 dz

cos#cos<p — sin&cosqp — cos&sinqp cos # sin qp — sin # sin gp cos # cos tp sinir cos& 0

= -VC08#

(4)

Macht man von beiden Resultaten Anwendung auf Pot so ist nur <0 für ; und g0 für q zu schreiben. Bekanntlich ist

8*F = <8#8<p

and zwar müssen hier, wo O ein innerer Punkt ist, & und q> alle Richtungen durchlaufen, d. h. q> von 0 bis 4R, it von — R bis R variiren. Nach Einsetzung der erhaltenen Werte findet man:

oder

(5;

x (SJ «

§. 2. Dichte der Sehnen einer ebenen Curve

in einem Punkte.

Die vorstehende Untersuchung ändert sich nur wenig, wenn an die Stelle der Fläche F die geschlossene convexe ebene Curve S tritt, welche den Punkt O, Mittelpunkt des Kreises K vom Radius e und Anfang der xy, umschliesst. Sei für den Curvenpunkt P

x «=» pcosqp; y «— Q sin <p

und die Polargleichung der Curve

Q = Q(<P)

mithin die Coordinaten des Gegenpunkts P0

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168 Hoppe: Dichte der Sehnen von FlSchen und ebenen Curven.

«o = — Po cos v ; yo — Qo sin <P

Qo - P(<P + 2R)

Die zM oi Tangenten von P aus an K begrenzen auf S das Stück (<S)0, d. i. den Bezirk aller in /' beginnenden durch K gebenden Sehnen. Zwei Normalen zu PP0 durch O und P0 von einer Tangente bis zur andern gezogen haben die Werte

Letztere ist als Projection von (S)0

— (S)0cos «o

wo <o0 den Winkel zwischen der Sehne PPQ und der Normale von S in PQ bezeichnet

Die Sehnenmenge ist durch den Durchmesser 2? von K zu divi- diren; dann wird die doppelte Dichte in O

Im Punkte P ist

x dy ydx gd<p C0S<0 ~ gdS~"iFsmm~W

also

cos <o0 =

Dies in Gl. (7) eingeführt gibt:

§.3. Anwendung auf die Kugel.

Sei Feine Kugel vom Radius 1. Die zAxc können wir durch ihren Mittelpunkt legen, so dass dessen Coordinaten 0, 0, — A sind. Daun ist die Gleichung der Kugel:

*»+ + 1 oder

Q*-\-2hgsm& + h* = 1 woraus:

P + Asintf — ±Vi — P cos** (p-f-Asin^)^ = — Apcos#

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. 169 d9 AgCQSfr , dp

a*" + yi_ÄiCo8^'

'+<Sff-Y='

2

A»C08*#

Q + Qo — ±2V1 — PCO?* Dies in Gl. (6) eingeführt gibt:

R 4B

* " y C08*ay — — yrrrof yr^?^F

R 4R

= 2 ^ cos#0# ^* 8<p = 16R (9) Die Dichte der Sehnen einer Kugel ist also in allen innern Punkten

§. 4. Anwendung auf den Kreis.

Die Polargleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt die Coordi- natcn x = 0, y — — h hat, ist

p*-f2Apsing>-f A* = 1 Hieraus folgen, wie bei der Kugel, die Werte:

9 + ,0 - 2 Vi -A' cos»* ; ,»+ (£)*= i— ^ü,- und man erhält nach deren Einsetzung in Gl. (8):

«T

2 yl — A'cos*qp p $08<p

P Po Vi — A* cos» 9 Vi — AÄ cos* r

89»

Vi — A* cos'qp

= 4*(A) (10)

d. i. gleich der ganzen Periodenlänge der elliptischen Functionen für den Modul h.

Liegt O auf dem Kreise selbst, so ist h ■= 1 und D logarithmisch anendlich. Liegt O im Mittelpunkte, ist also A «== 0, so ist D gleich dem ganzen Kreise.

Zwischen der Kugel und dem Kreise findet demnach der bemerkens- werte Unterschied statt, dass die Sehnendichte innerhalb ersterer

170

Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven.

constant ist, innerhalb des letztern vom Mittelpunkt nach dem Kreise hin beständig und ins unendliche wächst

§. 5. Secantendichte in oinem äussern Punkte.

Ist O ein äusserer Punkt, so hat nur p0 die umgekehrte Lage, in den Formeln (6) (8) tritt also p - p0 an die Stello von p+p0, doch ist in beiden Fällen die Länge der Sehne dafür zu setzen. Allein dies hat die weitrre Folge, dass der Radiusvector dieselben Richtungen <p) zweimal durchläuft, erst für p>p0, dann für p < p0 , dass sich demgemäss die Fläche F durch eine Linie p — p0, oder die Curve S durch 2 Punkte p = p0 in 2 Teile teilt, deren jeder für sich die den Secanten entsprechenden # und q> vollständig ergibt. Hiernach bestimmt die Gleichung p «= p0 eine Grenze der Integrale nach & und <p, und zwar genügt es dieselbe nur von der einen Seite (p > p0) aus zu erreichen, damit die Integrale (6) (8) das einfache D darstellen.

Um eine einheitliche Form der Integrale zu gewinnen, braucht man nur eine Secaate zur zAxe in §. 1., resp. zur yAxe in §. 2. zu nehmen, erst nach & von — R bis (bestimmt durch p «= p0), dann nach <p von 0 bis 4R in §. 1 , resp. nach <p von einem Werte p = p0 bis zum andern im §. 2. zu iutegriren.

Für eine Kugel wird p — p0, wenn V T^A" cos* & «* 0 ist, da- her hat man:

cos#, — ^5 sin &j — — j/l — *2

#i <R

D — ±f cos&dö J\<p - 16r(i-[/i-^

Dies geht stetig in den Wert 16 R für innern Punkt über, wenn h bis 1 abnimmt, nimmt aber beständig ab und verschwindet, wenn h ins unendliche wächst.

Für einen Kreis wird p = p0, wenn Vi — A*cos*qp = ü ist. Setzt man den einen genügenden Wert qp = R — <plt so wird der andre rp = R-f-<Pn und man hat:

8in„, = \

D - 2 r 8y - 2 r 8y

. J Vi -Ä* COS» <p J Vl-h*

. sin* <p

- 4 /'

J Vi — A»8in*<p

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. 171

oder, wenn Äsin<p = sini//:

o

D geht also bei Annäherung von h an 1 in log od über und ver- schwindet, wenn h unendlich wird.

Ueberdies ist bei Vergleichung mit Gl. (10) die Relation be- merkenswert:

Z>Q-AZ?(A) (12)

gültig für jedes ä, oder in Worten:

„Stehen die Entfernungen zweier Punkte vom Mittelpunkte eines „Kreises in reciprokem Verhältniss zu dessen Radius, so verhält sich „die Sehnen-(Secanten-)Dichte im einen zur Secanten-(Sehncn-)Dichtc „im andern wie der Radius zu der erstem Entfernung."

Oder noch kürzer:

„Das Product der Sehnendichte und der Quadratwurzel aus dem „Abstände vom Mittelpunkte ist zwei reciprok liegenden Punkten „gemeinsam."

§. 6. Sehnendurchgangsraum in ellipsoidal er Gestalt.

Zur Ermittelung der Sehnendichte in einem Punkte haben wir statt desselben eine Kugel betrachtet und diese in den Punkt zu- sammenschwinden lassen. Man kann nun fragen, ob das Resultat dadurch verändert wird, wenn man einen andern Körper in jenen Punkt zusamenschwinden lässt.

Wir wollen uns auf Untersuchung des Falles beschränken, wo statt der Kugel K das Ellipsoid

den Raum begrenzt, durch welchen alle Sehnen gehen müssen.

Sei O Mittelpunkt jenes Ellipsoids E und Anfang der Coordi- naten sryz, int und ~Y*h£i« die Axen von E zugleich Axen der xyz und li^ifn die Sehne POP0 Axe der £ bei der Beziehung der Sy- steme, dass

Ii — \

*k-*g+hn+*t > 04)

172 Hoppe-. Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven.

ist, und zwar liege der Punkt P mit den Coordinaten xyz auf der Flache F, während GfyJ) und (UnA) denselben variabeln Punkt nahe bei O bezeichnen.

Die nächste und bis zum Ziele führende Aufgabe ist es nun, den Flächeninhalt des Schnittes einer normal zu OP durch O gehenden Ebene mit dem Kegel zu berechnen, der seine Spitze in P hat und E längs einer geschlossenen Linie berührt Statt des Kegels kann man ohne Einfluss übenden Fehler auch einen berüh- renden Cylinder von der Axcnrichtung OP setzen.

Eine Parallele mit OP

4 — const, n =» const schneidet E in 2 Punkteu bestimmt durch die Gleichung

,4+22*H-Ct*«0 (15) in welche 61. (13) übergeht, wenn man sie nach Substitution der Werte (14) nach Potenzen von £ ordnet, und zwar ist

a

*

A — ^ --f-...-l; B — a ^ C — -g-f- . . .

Die Gerade berührt E, wenn die 2 Wurzeln der Gl. (15) zusammen- fallen, wenn also

B*-AC — 0

ist. Dies gibt:

(5diM)+- = c w

Der Abstand der so bestimmten Parallele von O, d. i. VlHV, ist ein Maximum oder Minimum, wenn zugleich

und nach Gl. (16)

ßr ßy

ist, woraus durch Elimination von 3$, 8i?: Setzt man zur Abkürzung

6?-z,+iv; # £ + ä - //*+ 4Jf»

so lautet Gl. (17) entwickelt:

woraus :

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. 173

? 2A/« VÄ (19)

Entsprechen dem grössten ^*-|- 1?» die Werte §'Vi dem kleinsten *"»/", so ist der Flächeninhalt der Basis des Cylinders

q = 2R yfnpp Vf'+v*

das ist nach Gl. (19)

q « 2R? r ~ Vä -zT1 = (20)

Die * werden durch 61. (16) bestimmt, welche entwickelt lautet:

Ni*—2Ariri+Lri* -

Eliminirt man v mittelst Gl. (18), so erhalt man nach einigen Trans- formationen :

Multiplicirt man diese 2 Gleichungen, welche dem obigen Maximum und Minimum entsprechen, so kommt:

(^^^^^(C^W)2 Hiernach und nach (20) wird

Q " w=f (21>

Nun findet man:

o*a, *-f- . . . a'-ala^ H~ • • • !

b1e1

t

so dass Gl. (21) sich reducirt auf

Q = 2R a/Sy VC — f£ VC

Die geometrische Bedeutung von C findet man aus Gl. (15) für g „ ^ « o, wo sie entsprechend der Geraden P/'o lautet :

er = i

Hier ist 2f der Durchmesser von E, welcher in die Sehne PP0 fällt. Bezeichnet man ihn mit d. so wird

174 Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curren.

3 E

«-SJ

Dieses Q tritt an die Stelle des Kugeläquators 2EU*; von da an ist die ganze Rechnung wie bei der Kugel, die übrigen Factoren unter dem Integralzeichen in (5) sind unabhängig von der Gestalt des Sehnendurchgaugsraums. Man hat also die aus P ausgehende Sehuenmenge durch Q zu dividiren, oder das Element des Integrals mit der ceutralen Durchgangslänge zu multipliciren, am Schlüsse das Integral durch $ des Durchgangsraumos zu dividiren, um bei An- wendung des Ellipsoids die gleiche Sehuendichte zu finden wie bei der Kugel.

Es hat sich ergeben, dass ein andrer Wert der Sehnendichte beim Ellipsoid nicht resultirt, dass vielmehr nur ein allgemeineres uud complicirtes Messungsgesotz zugrunde gelegt werden muss.

§. 7. Sehnendichte der Tetraeder fläche.

Um von der Formel (1) auf das Tetraeder Anwendung zu machen, müssen zuerst die Seiten in solche Stücke geteilt werden, dass jeder Teil der eiuen Seite alle Punkte enthalt, deren Gegen- punkte einen Teil einer andern Seite auslüllon. Diese Abgrenzung erhält man leicht auf folgende Weise.

Seien AlAiAsAi die Eekpuukte eines Tetraeders, innerhalb dessen O liegt, ferner BtB^B3B4 die Gegeupuukte der Ecken A. Eine leichte Betrachtung zeigt, dass auf jedem Pare von Gegenkanten ein ein- ziges Par Gegenpunkte liegt. So liegt auf der Kaute A%A3 der Punkt CM, auf der Gegenkaute AXAK der Gegenpuukt Cu. Analog seien die 4 übrigen Gegenpunkte bezeichnet.

Jetzt hat man im Dreieck AtA3AK die 4 Punkte

A% CiS Bx CS4 mit den bezüglichen Gegeupunkten

im Dreieck AtA3A4. Wie leicht ei hellt, sind dann die Vierecke AiCf$Bl C2i und Btt\iAxt\:- einander derart zugeordnete Bezirke, dass jeder Punkt des einen seineu Gegenpuukt im andern hat. Sie siud nämlich Schnitte zweier Schcitelpyramiden, deren Spitze O ist. Zieht man die Geraden BlC9ti BtCiA^ BxCti, so teilen diese das Dreieck A% AäAi in 3 Vierecke , welche ihre zugeordneten Vierecke einzeln auf den 3 übrigen Tetraederseiten haben.

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven.

175

Es genügt nun e i n solches zugeordnetes Par von Bezirken zu betrachten, und zwar wollen wir die Vierecke noch durch die Dia- gonalen BtAt und BtAy in Dreiecke teilen, und nur das Dreiockspar BxAtCa, /Vl,C'i4 untersuchen.

Sei O Anfang der xyz und die Coordinatcu der A, B, C mit den gleichen fndices, die der B ausserdem mit einem Strich x\ y\ s\ die der C* mit 2 Strichen x", y", z" bezeichnet. Ferner sei in Determinanten, deren 3 Reihen sich auf x , y, z gleicherweise be- ziehen, nur die erste Reihe ausgeschrieben, und zur Abkürzung ge- setzt:

°i - I 'rV4 Ii «i = l 'i^a ; «a ~ I *4*i*t I ; *4 — I x**t*\ I

a «-* «i -|- af"f"a3~f"a4

so dass idcutisch

*i Tt rs ri

(22)

ist Aus den gegebenen A sind nun zuerst die B und C zu bestim- men. Man hat:

daher, sofern Zf, in der Ebene A^A^ liegt:

I acs — 's «*— xt M*i — «i I - 0

oder

f*(«»-f «3+«*) -oi =0

u= ; x, — :

Ferner ist

etc.

und sofern Cn auf t'l4 auf AtAA liegt,

'«3"- 'i-f (^~%)» (23)

woraus :

'1 + (*4 — 'l) v = ,rxs T lF(rs — '2) 71 Eliminirt man v und w zwischen den 3 Analogen, so kommt:

I '1 «4 + I - ü

oder

176 Boppe: Dickte der Sehnen von Flachen und ebenen Curven.

daher nach Gl. (23)

n " A (24)

und nach Analogie

Beides dnrch einander dividirt gibt, mit Beachtung, dass nach 61. (22) die Summe der Zähler — 0 ist:

w ıfi

a,+o4

Sei jetzt P mit den Coordinaten xyz ein innerer Punkt des Drei- ecks BxA%CKy PQ mit den Coordinaten der Gegenpunkt, wel- cher innerhalb BsAtCu liegen muss. Wir ziehen die Transversale BXPQ, wo Q mit den Coordinaten x'y'*' auf A,A3 liegt Dann ist:

x'=xt -f (ar8 — zs )u ar = «i' -f- («J — xt')v

woraus:

* = f»*i+ (*i — f**i )v + (*s — (25)

Damit das so bestimmte P das Dreieck BtAtCn = ./ erzeugt, hat u von 0 bis n und v von 0 bis 1 zu variiren.

Zur Berechnung des Flächenelementes tdubv hat man:

'-[©'+ •••J-ft^-)'

und findet:

t — yjM~msv (26)

wo

l — n — Gr, — xt)»-f-...

gesetzt ist.

Der Gegenpnnkt /*<, wird bestimmt durch

* "y ■ p

I *8-a-i *4~ *i 1-0 (27)

Dies gibt:

I «• *i I «« *=

— * I xs — »i *4— *i »»I (1 — ■O+'iG -tt)»-f-ff,ur | - *Kfi(l-r)-(a — «,)(! -w)«-f-a, «*}

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Hoppe; Ditkte Her Sehnen von F.ärhen und ebenen Curven. 177

» !

a

Demnach ist die Sehnendichte

D = Z Vln-m* f vdr /^(A+Al!

./ ,/ COS ir 0

Die Richtungs^osinns von T*/}, sind:

x y z * 9 Q

die der Normale der Ebene AtAsA4 sind oonstant uud verhalten sieh

wie die Cocfticicnten von w0, y0, zq in der Gleichung

deren Quadrats um ine

- - rjH . . .] [(*« - x,)» + . . .1 - [(*, -xt ) (r4 ~,t) -f . ..]« ist. Daher hat man:

1

C08,c° e/( I flr»~*i •«""*'« r I das ist nach Gl. (27)

■Otr.- £

and die Dichte der Sehneu der ganzen Tetraedern" ächo iu O ist

i *

/)- Z^V/»-»* J'fHl+Wd* (28)

o o

Die Summe erstreckt sich über dio 12 Parc zugeordneter Klcmeutar- dreiecke der Oberfläche.

Hier ist

- + ^ +

Setzt man

** — X**-f- • • • ; »kh ■= X» 3TA -f- • • •

^i = «i**8 + 2(«l2 — *,^)|wr-f-(*8— 2*J8fi-f-*iM2)*'*

-W| — *J3 - »IS 4" (*M — *i - »13 + '* Anh. d. Math. «. Phy*. 2. R«ilie, T. VII. I *

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178 Hoppe: Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven.

so wird

p* =II+2J/)ttP-|-iV1ttV - AT»[(uy+3/^ + L] Sei nun

q - AT(ff—

woraus forner

jy»p + M+a,(f>~1o)*"~fi; ©««X+jyi

dann wird

a G*-(ff-i/)* und Gl. (28) lautet nun:

1 *

fc+ä>

G* — (<s — //;'* Führt man die Integration nach a aus, so erhält man:

1 n D= ±2 Nh Vln -™\f [ "+V loga + F, log °]

wo ü die rationale Function von ff

„ a*+L . 5±Z»g ■ VH'»« üa ff 2/fff (L+2//a-**)*

und die P folgende 6 rationale Functionen von v sind: Dia Grenzen von

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Hoppe: Dichte der Sehnen von Flachen und ebenen Curven. 1 79

sind:

a «=> nv + M-f V(<ur + M )* + L

Beide irrationale Quadratwurzeln aus Functionen 2. Grades von t* lassen sich einzeln rational machen , da sie in gesonderten Tennen vorkommen. Daher besteht das unbestimmte Integral aus rationaleu Functionen von v und je einer jener Quadratwurzeln, aus Logarith- men solcher und aus Functionen von der Form

für welche Legendre Tafeln berechnet hat.

13»

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180

Ga er in er: Die Polaren der algebraischen CltrttH.

XI.

Die Polaren der algebraischen Curven.

Von

Rudolf Gaertner.

I. Die geraden Polaren.

§ 1. Legt man durch einen Pol eine Gerade und betrachtet den Pol als Nullpuukt derselben, so wird jeder Punkt der Polgcradcn durch seine Polferne und deren positive oder negative Richtung be- stimmt.

A. Ist ein Punkt der Polgeraden durch seine Polferno r, ge- geben, während in Bezug auf denselben die Lage eines anderen Puuktes bestimmt worden soll, so muss dessen Polferne g durch die gegebene Polferue r, ausgedrückt werden. Dies geschieht durch die Gleichung

worin k jede numerische Grösse zwischen 0 und ± <x bedeutet. Wir sind gewohn dio Gleichung

so zu deuten, dass k diejenige Zahl ist, welche angiebt wie oft r, iu 6 enthalten ist uud nennen diese Operation dividiren, d. h. teilen. Diese Teilung wird sich auf der Polgeraden durch die Abstände der Punkte sichtbar kennzeichnen.

Wir nennen

eine Teilung nach erster Ordnung.

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(Jaertner: Die Polaren der algebraischen Curutn.

181

Für die Betrachtung der Polaren ist die Bedingung

von grosser Bedeutuug. Wir nennen sio die Polarbodingung und geben ihr in Folgendem je nach Bedarf die Form "

g ~ rj oder - — 1 oder -~r* = 0

Die Polarbedingung lässt sich auf harmonische Teilung zurück- fahren. Nehmen wir an, der durch die Polferue r, gegebene Punkt sei aus zwei Punkten entstanden, welche von gleicher oder entgegen- gesetzter Richtung kommend aufeinander gefallen sind, so zeigte sich stets ein dem Pol conjugirter Punkt, so lauge die beiden Punkte eine sichtbare Entfernung hatten. Im Moment des Zusammenfallens ver- schwindet auch der conjugirte Punkt in dem durch die Polferne rt gegebenen Punkte.

Es sei noch bemerkt, dass die Gleichung

- = 0 oder g — 0

den Pol bezeichnet

B. Sind zwei Punkto der Polgeraden durch ihre Polfernen r, nnd r, gegeben, so kann die Lago eines dritten Punktes durch die Polfernen der beiden gegebenen Punkte bestimmt werden.

In Bezug auf den einen gegebenen Punkt besteht die Gleichung

in Bezug auf den anderen

durch Addition beider Gleichungen entsteht die Beziehung

Es hiudert nichts daran fc, -f- fc, =- k zu setzen, da wir lt -}- k% alge- braisch addiren können. Es entsteht die Gleichung

Dieselbe bestimmt bei gegebenem k die Lago eines Punktes in Be-

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182 (Jaerlner: Die Polaren dir ahjehraischen Curven.

zug auf zwei gegebene. Sie zeigt daher auch die Teilung eiuer Pol- geradeu au.

Wir nennen

eine Teilung nach zweiter Ordnung. Die Polarbedinguug ergiebt:

9 =1

Durch Addition entsteht die Gleichuug

Dieselbe bezeichnet die harmonische Teiluug einer Polgcradcn. Man kaun dafür schreibeu

oder «rs-teri

r, ra r, rf

d. i. die harmonische Teilung einer Polgcraden.

C. Die Lage eines Punktes in Bezug auf drei gegebene Punkte wird durch die Gleichuug bediugt

'-+'- +'J -k n rt 's

Sie ist entstanden durch Addition der beiden Gleichungen

9 +9 — * und 9 -kt

Wir ueuueu

9 + 9 +9 -*

''i »'* ':«

eine Teilung nach dritter Ordnung. Die Polarbedingung ergiebt:

»-J »"3

D. Allgemein wird die Lage eines Punktes in Bezug auf n gegebene Punkte durch die Gleichung

'+'- + * = *

r, rA r»

bestimmt. Dieselbe giebt auch die Teilung nach >tter Ordnung an.

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Gaertner: Die l\>laren der algebraischen Curven, 183

Die Polarbodingung ergiebt:

§ 2. Alle bisher genannten Teilungen sind eindeutig oder er- sten Grades, weil sio nur einen Puukt bestimmen.

Fällt der gesuchte Punkt mit einem der gegebenen Puukte zu- sammen, so tritt eiue Teilung nach nächst niederer Ordnung ein.

Diese Betrachtung führt auf den allgemeinen Satz:

1. Fallen von n gegebenen Punkten m Punkte mit dem ge- suchten Punkt zusammen, so wird die Polgerado nach (n — m) ter Ordnung geteilt.

Legen wir die speciellen Teilungen, welche die Polarbedingung ergab, zu Grunde und setzen m — »— 2, so lautet der Satz:

la. Fallen von n gegebenen Punkten n — 2 Punkte mit dem gesuchten Punkt zusammen, so wird die Polgerado harmo- nisch geteilt.

Der Beweis beider Sätze erhellt daraus, dass für Satz 1. m Pol- foruen, für Satz la. »— 2 Polfernen gleich g gesetzt werden, z. B.

+ d.h. «-+£+»-2-* oder

d. i. die harmomischo Teilung einer Polgeradcn.

§ 3. Die auf einer Polgeradeu gegebenen n Punkte sollen einer Cnrve «ter Ordnung angehören. Drehen wir die Polgcrade im Pol, welcher Coordinatenanfangspunkt ist, so gleiten die n gegebenen Punkte auf der Curve «ter Ordnung, während der gesuchte Punkt bei gegebenem numerischen Factor ka eine Curve beschreibt, deren Polargleichung

ist, vorausgesetzt, dass alle Polgeraden derselben durch ka gegebenen Teilung unterworfen sind.

Im Folgenden soll abgeleitet werden, dass die Gleichung

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1H4 (Jaertner: Die Pularen der algebraischen Curoen.

in Bezog auf jede algebraische Curve eiuen Büschel paralleler Strahlen bedeutet.

§ 4. Zwischen den Polfernen einer Curve nter Ordnung be- stehen Beziehungen, gleich denen der Wurzeln einer Gleichung nten Grades. Einige Beispiele sollen dies anschaulich machen.

Die allgemeine Gleichung einer Curve zweiter Ordnung ist

f*xy+f'ry + c = Q

Es sei erwähnt, dass in jedem Gliede der durch f*xy bezeichneten Summe «ten Grades die Summe der Exponenten der veränderlichen Grössen gleich » ist. Bringen wir eine derartige Summe auf Polar- coordinatensystem, so besteht die Gleichung

f»ry = r"f*q>

Die allgemeine Gleichung der Curve zweiter Ordnung lautet daher im Polarcoordinatensy8tem :

Wurzeln dieser Gleichung sind die Polfernen der Curve zweiter Ordnung r, und rr Es bestehen zwei Beziehungen der Polfernon:

r,+r,

Durch Division beider Beziehungen entsteht

= c

d. i. eine gerade Linie. Da der numerische Factor k weder den Grad noch die Richtung verändern kann, so bedeutet

n - L r' *** l. °

r\ "T r* f V

einen Parallelstrahlenbüschel, dessen Gleichung im rechtwinkligen Coordinatonsy8tem lautet:

f'gry+kc- 0

die Gleichung

r,-f- rt

lässt sich auch schreibeu:

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Uaerl ner: Die l\>lartn der algebraischen Curecn. 185 r, r,

Dio allgcmciuo Gleichung der Curve dritter Ordnung ist:

Die Beziehungen der Polfernen r„ rs und r3 sind:

*

c

rt.ra.ra - —

'i-HvHv ^

Nur dio Division der ersten beiden Polfernenbeziehungon orgiebt den ersten Grad. Die Gleichung

Ü:!V_ra m=m c_

9 riri + rira + W ' ftp

bezeichnet also eine gerade Linie.

rl >rt'r3

g = k

*Vi + r,r5-f rfr8

bedeutet also einen Parallelstrahlenbüschel. Diese Gleichung lässt sich schreiben:

»•l »*» »'S

Die Beziehungen der Polfernen einer Curve vierter Ordnung sind:

c

rl'r*-r3'r0 ™ fiy nrt + rir3 + riri + rtr3 -f r2r4 + r3r4 — ~*

rj+r*-r-»3 + r4 —

Nur die Division der ersten beiden Polfernenbeziehungen ergiebt den ersten Grad.

_ b rtrtrsr4

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18(5

Gaeriner: Die Polaren der abjebiaischen Curvtn.

bedeutet ciii Parallclstrablenbüsch* 1. Diese Gleichung lässt sich schreiben :

§ 5. Ich stcllo den allgemeinen Grundsatz der Polaren auf:

Die Polare ist der Ort desjenigen Puuktes einer im Pol rotten- den Geraden, welchpr in Bezug auf sämtliche Polfernen einer ge- gebenen Curvc in jedem Moment die Polarbedingung erfüllt.

Die Gleichungen der geraden Polaren erhalten wir demnach, wenu wir in dio Gleichungeu der Parallelst rahlenbüschel au Stelle von k dio durch Polarbedin«ung gewonnenen charakteristischen Zahlen der Zahlenreihe 1, 2, 3, ... n setzen. Dio Glcicbuugs- formen der geraden Polare einer Curve siud demnach:

1) L+i + ... i

2) g — n -r ~r 0

r,r, ... r„_i -J- rxr, ... rH-\- ... >y3 ... rM

3) f+»/^-0

Dio Curve nter Ordnung, für wolchc diese Polaro gilt, hat die Glei- chung:

f"sy-\-fH-hy+ ...f**y+f'xy + c — 0

§ 6. Setzen wir iu der Gleichung 2) der Polaro ciuer Curve n tcr Ordnung eine belicbigo Polferue gleich null, so wird der Zähler zu null , während im Nenner derjeuige Summand stehen bleibt, wel- cher diese Polferne nicht enthält. Es wird also g = 0 d. i. der- jenige Strahl des Parallelstrahlenbttschcls welcher durch den Pol (Coordiuatenanfang) geht. Wir schliesscn daraus:

Iet der Pol ein Punkt der Curve, so geht die Polaro durch den Pol.

Für die geraden Polaren gelten alle Sätzo, welche im § 2. genannt sind. Sic lauten:

1. Geht eine gerado Polar0 durch beliebig viele m fache Punkte einer Curve nter Ordnung, so werden die Polgeraden, welche durch diese m fachen Punkte gehen nach (n — m) tcr Ordnung geteilt.

für m — m— 2 ist die Teilung eine harmonische:

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Gaerlner. Die Polaren der algebraischen Curven.

187

1 a. Geht eine gerade Polare durch beliebig viele n — 2 fache Paukte einer Curve nter Ordnung, so werden die Polgeraden, welche durch diese (n — 2) fachen Punkte gehen, harmonisch geteilt

Betrachten wir die Tangente einer Curve nter Ordnung als Polare und ihren Berührungspunkt als zweifachen Punkt der Curve, so muss diejenige Polgerade, welche durch den Berührungspunkt geht, nach (« — 2)ter Ordnung geteilt sein. Dies ist nur möglich, wenn der Pol auf der Tangente selbst liegt, da diese allein ausser dem Berührungspunkte n— 2 Schnittpunkte mit der Curve zeigt. Die Polare geht aber nur durch den Pol, wenn der Pol ein Punkt der Curve ist, d. h. :

2. Ist der Pol ein Punkt der Curve, so ist die Tangente im Pol seine Polare.

II. Die Polaren im allgemeinen.

Die Gleichung jeder Polare drückt eine Teilung aus, nämlich diejenige Teilung, welcher sämtliche Polgeraden durch Curve und Polare unterworfen sind. Die Ordnung der Polare — die *»te Ord- uoDg ist zu unterscheiden von der mten Polare — giebt den Grad der Teilung au. Der Teilung wten Grades genügen m Punkte, sie ist i» deutig.

Es wäre zu weitläufig jede neue Teilung, d. h. die Polaren jeder Ordnuug aus Punktbestimmungen abzuleiten. Daher schlagen wir jetzt einen allgemeinen Weg ein.

Wir bestimmen in Folgendem den Ort desjenigen Punktes, der allen Polarbedingungen in Bezug auf eine gegebene Curve genügt.

A. Die geraden Polaren.

Sie müssen den Charakter einer Geraden zeigen, d. h. es ist

Die Beziehungen der Polfernen jeder algebraischen Curvo führon stets auf diese Gleichung.

Den Wert für J- erhalten wir durch Division zweier Polfcrnen- / 9

beziehungen derjenigen Curve, in Bezug auf welche die Polare be-

• . ■ * *

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188

Gaertner: Ute Polaren der algebraischen Curven.

stimmt wordon soll. Der numcrisclu; Factor k ergiebt sich nach dem Polaren-Priocip dadurch, dass wir sämtliche Polfernen der Curve gleich g setzen z. B.

Die Polaro einer Carve vierter Ordnung hat die Gleichung Polarbedingung ist

r4 - r3 = r, = r, - g

Es wird

ifc - 4

daher ist die Gleichung der Polare:

g+ iß- — 0 oder f'ry + 4c — 0

B. Die Polaren zweiter Ordnung. Ihre allgemeine Gleichung lautet:

Wir wollen diese Gleichung aus der allgemeinen Curve dritter Ordnung ableiten.

Die drei Bedingungen der Polfernen ciuer Curve dritter Ordnung lasseu nur in zwei Fällen die Entstehung von Curven zweiter Ord- nung zu, diese sind:

2. g*=h* 2rJrl. " * aL «der 2. g* - - 0 Die Gleichung

in welcher A einen beliebigen endlichen Factor bedeutet, bezeichnet alle Curven zweiter Ordnung, welche in dem Falle, wo fc, und kt bestimmte Grössen sind, durch die gemeinsamen Schnittpunkte der beiden Curven 1. und 2. gehen, daher auch die Coefticieuten der veränderlichen Grössen beider Curven zweiter Ordnung — d. h. nu- merische Grössen und Constanten , welche wir bisher nie betrachtet haben — in irgend einer Weise vereinen werden. Die Gleichung lässt sich schreiben:

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Gaertner: Die Polaren der algebraischen Cureen. 189

„s. _*i J'JZ *** e n

Es ist klar, dass nar zwei numerische Factoren zu bestimmen sind. Die Vorzeichen derselben haben zunächst keine Bedeutung. Sie ergeben sich durch die Bestimmungen von selbst. In gleicher Weise lässt sich die Polare zweiter Ordnung aus jeder Curvc belie- biger Ordnung ableiton. Die Polare zweiter Ordnung hat daher die allgemeine Form:

f'tf c f 9 c

Die Werte für ^ und ^ ergeben die Beziehungen der Pol- fernen derjenigen Cuive, für welche die Polare bestimmt werden soll.

Die numerischeu Factoren werden durch die Polarbedingung bestimmt.

a) z. B. die erste Polare der Curve dritter Ordnung

Setzen wir diese Werte in die allgemeine Gleichung der Polare, so wird

Legen wir den Pol aut die Curve , so wird z. B. ra — 0. Es entsteht die Gleichung

rtr9

'-"'r-.+rr0

Die Polarbediugung r, = r, — g ergiebt fcj = 2. Wir können in Folgendem bei schon bekannten Gleichungen die in denselben enthalte- nen numerischen Factoren wählen, da eine ueue Bestimmung derselben stets die alten Resultate erzielen wird. Es bleibt für die gesuchte Polare:

9 9 ri~f rt+rs t»,|+»,i+ri Polarbediugung ist r, = — r8. Es wird *,-'= 3

Die Gleichungen der ersten Polare einer Curve dritter Ordnung sind also:

1) gt_ 2/jTl^pJ^ + 3-^^.. oder

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190 Gaertntr: DU Polaren der algebraischen Curven.

2) #»+*£5 + B£-0 oder

3) f*xy + 2riry+3c = 0

Setzen wir zwei beliebige Polfernen gleich g, so genügt diese Be- dingung ebenfalls der Gleichung 1) Die Polare geht daher durch den Doppelpunkt und den dreifachen Punkt der Curve, wenn solche vorhanden siud.

b) Die zweite Polare der Curve vierter Ordnung.

Ihre Gleichung ist:

t_k ri^r8 + W4-f W4 + r*rsr4 , k rlW« _ Q

Man setze r4 — 0. Es wird

ist schon bekannt Es ist fcj = • 3. Die Gleichung der Polare be- kommt die Form:

j _ 3, + W» = 0

Polarbedingung ist r, — ra = rs — r4 — ^. Dieselbe ergiebt

Dio zweite Polaro einer Curve vierter Ordnung hat also die Glei- chungen :

1) ^,^W.j:.^jgt + 6 3) /»ary + Sraf+fe-O

Setzt man in Gleichung 1) drei beliebige Polfernen gleich so ge- nügt diese Bedingung ebenfalls der Gleichung der Polare d. h.

Die zweite Polare einer Curve vierter Ordnung geht durch alle dreifachen Punkte der Curve und den vierfachen, wenu die Curve in einen Büschel von vier Strahlen zerfällt

C. Die Polaren dritter Ordnung Ihre allgemeine Form ist

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Gaerlner: Die Polaren der algebraiechen Curven. 191 f*(D f' 6 C

Die Werte voii ^ -» ^ und ^ ergeben die Bezieh äugen der

Polfornen der zu Grunde gelegten Curvc. Die numerischen Factoren *„ *, und i-3 werden durch Polarbedi nguugcn bestimmt.

z. B. Die erste Polare einer Curve vierter Ordnung lautet:

- fc.

8»i + rf + r, + r4

Wir müssten jetzt r4 « r8 = 0 setzen, d. h. der Pol l&gc auf einem Doppelpunkt der Curve. Schneller führt es jedoch zum Ziel, wenn wir nur r4 = 0 setzen. Ks wird

Diese Gleichung ist bekannt. Mau wähle die bekanuten numerischen

Factoren. Ks wird

^ f r1-f-r2-r-r3-r-r4 * r, + rs + rs + r4

Die Polarbedingung rt — rg — r3 —> r4 ergiebt fr3 — 4. Es ent- steht die Gleichung der Polare:

Setzt mau je drei oder je zwei Polferuen gleich g, so genügt jede dieser Bedingungen der Gleichung der Polare d. h. :

Die Polare geht durch alle zwei-, drei- und vierfachen Punkte der Curve. D. Die Curve fünfter Ordnung und ihre Polaren.

Die allgemeine Gleichung der Curve ist:

lte Polare: f -V ^ + -V — +~ 7 - 4*

> 5 üWj5 _ o

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192 Gaertner: Die Palaren der algebraischen Curven.

Setzt man sämtliche 5 Polfernen oder je 4, oder je 3, oder je 2 Polfernen gleich so entsteht die Gleichung 0 = 0. Jede dieser Bedingungen genügt also der Gleichung der ersten Polare.

2tc Polare: (<^MBct^ + *MQa£^

rir*i~ ... r,r, -j- . . .

-io r*r**> =o

Dieser Gleichung genügt jede der Bedingungen, welche entsteht, wenn man alle f>, oder je 4, oder je 3 Polfernen gleich g setzt.

Sta Polar*: ^Vtti± + 10, , - 0

Setzt man alle 5 Polferneu oder je 4 gleich so genügt jede dieser Bedingungen der Polarengleichung.

4te Polare: g-h-~ r'^* = ü

Dieser Gleichung gcuügt nur die Polarbedinguug für alle fünf Polferneu. Wir erhalten den allgemeinen Satz:

1. Die feto Polare geht durch alle vielfachen Punkte eiuer Curve, deren Auzabl gleich uud grösser ist als &-j-l.

Aus diesem Satze folgt:

2. Die erste Polare jeder Curve geht durch alle Punkte, in welchen die Poltjeradcn Tangenten an die Curve werden. (Ks sind nämlich je zwei Polfernen gleich g).

E. Die Gleichungen der Curve fünfter Oidnung und ihrer Po- laren auf rechtwinkliges Coordinatensystcm bezogen lauten:

Curve : l/°rg -f 1 f*xy + lf'*9+lf'*9+lf**g+lc = 0

1 te Polare : 1 / *xy + 2 f'xy + 3 f*xy + 4/ 'xy + he - 0

2te Polare: 1 /^y+3/^ + 6/ «x^-f-10c - 0

3te Polare: l/fry-f 4/Vy-f- 10c - 0

4te Polare : \f*xy+bc 0

Jede Gleichung ist aus der vorhergehenden durch dieselbe Ope- ration entstanden. Die erste Polare zeigt diese Operation an Wir nennen diese Operation Polarisation oder polarisircn. Eine Gleichung polarisiren heisst:

Die gegebene Gleichung mit Ausnahme des höchsten Grades der veränderlichen Grössen abschreiben und den fallenden Potenzen der

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Gaertmer: Die Polaren der algebraischen Curven. 193

veränderlichen Grössen die steigenden Factoren der Zahlenreihe 1, 2, 3 n. s. w. geben. Jede homogene Summe beh&lt ein- nnd den- selben Factor. Den höchsten Factor bekommen die von veränder- lichen Grössen freien Summanden.

Die Jfcte Polare einer Cnrve zu bestimmen heisst die Gleichung der Cnrve i-mal zu polarisiren.

Beispiel: Die gerade Polare einer Curve 6ter Ordnung zu be-

Curve : f*xy -f fbxy -f- f*ry -f-/ -f-/ *xy -f / 1 xy -f- c — 0

lte Polare: l/**y + 2/,«**+ 3/s*y + 4/"*ry + ö/"'xy-f 6c = 0

1.2/-4a^4-2. 3/^ + 3. 4/Vy4-4. 4-5. 6<? - 0 2te Polare: f4*y+3/'sxy-r-6/'**y-fl0/,xy-f 15c — 0 3 te Polare: f *xy +4 f*xy +10 flxy + 20c — 0

4te Polare: ftxy+ bf*xy+lbc = 0

5te Polare: P*y + 6c = 0

F. Es giebt noch eine zweite Art die Gleichungen der Polaren zu bestimmen. Aus den angefahrten Beispielen ersehen wir, dass die l te Polare eine ganz bestimmte Zahlenreihe für sich als Fac- torenreihe in Anspruch nimmt.

a) Die erste Polare hat zur Factorenreihe die arithmetische Reihe erster Ordnung, deren mtes Glied ™ ist.

b) Die zweite Polare hat zur Factorenreihe die arithmetische

m.(m+l)

Reihe zweiter Ordnung, deren mtes Glied — — — *8t-

c) Die dritte Polare hat zur Factorenreihe die arithmetische Reihe dritter Ordnung, deren mtes Glied m-fm+^(gHj) igt

Es ist leicht einzusehen, dass das mte Glied der Hen Polare einer Cnrve nter Ordnung lautet:

m.(m+ l)(m+2) ... (m + k — l)^^^

Jedenfalls ist die Methode der Polarisation für die Bestimmung einer Polarengleichuug vorzuziehen.

G. Die Betrachtung der Polarengleichungcn , in welchen die Polfernen der Curven enthalten sind, zeigt an, dass die m letzten Glieder einer Polarcngleichung zu null werden, wenn der Pol ein

Arth, der Math. «. Pky». 2. Keih«, T. VIL 13

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194

Gaertner: Die Polaren der algebrauchen Curven.

mfacher Punkt einer Curve ist. Es bleibt eine Polarengleichung übrig, in der ebenfalls m Radienvectoren der Polare gleich null ge- setzt werden können. Daraus folgt:

1. Ist der Pol ein mfacher Punkt einer Curve, so ist er auch ein mfacher Punkt jeder Polare.

2. Ist der Pol ein mfacher Punkt einer Curve ntcr Ordnung, so werden sämtliche Polgeraden durch die Curve und ihre fcte Polaro (in diesem Falle jede Polare) nach (n — m) ter Ordnung geteilt. — Es entsteht also die Gleichung der £ten Polare einer Curve (n— m)- ter Ordnung. —

Der Grad der Teilung vorändert sich in gleicher Weise. Er wird durch die Ordnung der Polare augegeben. In dem Falle, wo k — n — m — 1 ist, wird die Teilung jeder Polgeraden eindeutig, weil alsdann nur die ersten beiden Glieder jeder Polarengleichuug be- stehen bleiben, und dio numerischen Factoren derselben in den Gleichungen der geraden Polaren mit denselben Functionen der Pol- fernen verbunden auftreten.

Setzt man k — n— m— 1 (d.h. die Teilung wird eindeutig) und m — n - 2, so heisst das Gesetz 2.:

2a. Ist der Pol ein n — 2 fachcr Punkt der Curve ntcr Ord- nung, so wird jede Polgerade in ihren Schnittpunkten mit Curve und erster Polaro harmonisch geteilt

Dio (a — m) to Polare ist mter Ordnung. Ein mfacher Puukt einer Curve m ter Ordnung ist nur möglich, wenn die Curve in einen Büschel von m Strahlen zerfällt. Es folgt also nach Satz 1.:

Ist der Pol ein mfacher Punkt einer Curve ntcr Ordnung, so zerfallt dio (n - m) te Polare iu einen Büschel von m Strahlen, deren Mittelpunkt der Pol ist. Weun der Pol ein Puukt der Curve ist, so wird seine gerade Polare Taugente im Pol (fitiher abgeleitet). Also hat ein mfacher Punkt m Tangenten zu Polaren. Es folgt daraus:

3. Ist der Pol ein mfacher Punkt einer Curve ntcr Ordnung, so ist seine (n — m)te Polare der Tangentenbüschel des m fachen Punktes.

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Oekingkaue: Ueber die Lage der Mondsichel etc.

195

XII.

Ueber die Lage der Mondsichel gegen den Horizont des Beobachters.

Von

Emil Oekinghaus.

Wenn man in einer mondhellen Nacht den Mond in einer seiner Lichtphasen etwa zur Zeit des ersten oder letzten Viertels beobachtet, indem man sich die Lage merkt, welche die die Spitzen der Sichel verbindende Linie gegen den Horizont des Beobachters einnimmt, so erkennt man, dass die Neigung dieser Linie nicht constant bleibt, sondern im Lanfe der Nacht sich langsam ändert. Während zu be- stimmter Stunde die Mondsichel fast senkrecht am hohen Himmel zu stehen scheint, neigt sie sich untergehend mehr und mehr nach einer fast wagerechten Richtung hin, einem goldenen Kahn vergleichbar, der durch blaue Wellen schwimmt.

Wir wollen im Nachfolgenden versuchen, der veränderlichen Neigung der Mondsichel gegen den Horizont einen mathematischen Ausdruck zu geben.

Zunächst bemerkt man, dass dieser Winkel von der Stellung des Mondes gegen dio Erde und die Sonne abhängt.

Man hat also den Lichtkegel oder auch wegen der Parallelität der Sonnenstrahlen den Lichtcylinder einzuführen, womit die Sonne den Mond einhüllt und die Gleichung der Ebene aufzustellen, welche durch den Mondmittelpunkt geht und den Cylinder senkrecht schneidet. Dasselbe gilt hinsichtlich der Ebene, welche die Achse des Kegels vom Auge zum Monde in dessen Mittelpunkt senkrecht schneidet. Der Durchschnitt beider Ebenen ist die Linie, welche die Sichel- spitzen des Mondes verbindet, nnd deren Protection auf die Himmels- kugel das Auge wahrnimmt

13»

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196

Oek ingkaus: (Jeher du Lagt der Afondtichtl

Ferner hat man die Gleichung der Ebene aufzustellen, welche durch den Standort des Ueobachters geht und die Oberfläche der Erde in diesem Punkte berührt, also die Tangentialebene oder den Horizont. Der Winkel, den der Durchschnitt der beiden ersten Ebenen mit dem Horizont einschliesst, ist zunächst die gesuchte Grösse, welche in Folge der Rotation der Erde eine Function der Zeit ist

Endlich sind noch die variabolen Coordinaten auf ein gemein- sames Coordinatensystem zu beziehen, die Transformationen derselben von Ekliptik und Horizont auf den Aequator als Fuudameutalebcno einzuführen, wobei man die Lange der Bonne, die Kectasceusion und Declination des Mondes nebst der Sternzeit im mittleren Mittag den Ephemeriden des Normalmeridians zu entnehmen hat.

§ 1.

Den Anfangspunkt der Coordinaten verlegen wir zunächst in die Sonne und nehmen die Ekliptik zur xy- Ebene. Fig. 1.

Die .Y-Achse gehe durch den Frühlings- oder Widderpunkt T, in welchem die Sonue am 21. März steht. Die Entfernung des Mondes von der Sonne sei die Richtungswinkel von q seien «/fy, alsdann ist die Gleichung der Ebene EF, welche von der Soune aus gesehen die Lichtgrenze auf dem Monde bestimmt

ar,C0Sa-{-yäC0S/S-f~**C08y = q

Wir verlegen jetzt das Coordinatensystem in den Mittelpunkt der Erde. Bezeichnen wir noch die Entfernung desselben von der Sonne mit R und die Länge der letzteren mit 0, so hat mau für die neuen Coordinaten

«, — zt — RCOsB yi = yi-Äsine

Es ist aber

cosa—-, cos ß — ^ * cos y — / 9 9 9

ferner

xt — — R cos G+r cos ßcosl y, — — Äsinö-f-rcos/JsinA zt «=» rsin/3

Demnach wird die Gleichung für die Lichtgrenze

(ar, — ÄCOS &)( - ÄC08 0-f r COS ß COS A)

+ (yi— Äsin0)(— 72sin0-f-*"CO8/38inil)4-»ir8illP —

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gegen den Horizont de» Beobachters.

197

Diese für die Ekliptik geltenden Coordinaten haben wir noch auf den Aeqnator zu transformiren. Die Schiefe der Ekliptik sei «, die bekannten Transformationen sind dann

y, -yCOSf+.siny — «cos«— ysin«

demnach wird die obige Gleichung durch Einsetzung dieser Ausdrücke zu

(* — R cos S)(— R cos 9 -f- r cos ß cos A)

+ (y cos f-r-« sin * -Ä8in6)(— Äsin ©-frcos^süi A) , -f-(*cos« — ysin«)rsin/? —

Bemerken wir noch, dass die Redaction der ekliptischen Coordi- naten aß auf äquatoriale «d, welche die Rectascension und Declination des Mondes bezeichnen, durch

cos 0 cos A — cosdeoso CO80sinA «=» cos <? sin a cos sind sin« sinj9 = — cos ä sin « sin «-f- sind cos«

bestimmt ist, und dass die Entfernung von Sonne und Mond durch

fl - JP+r*— 2Ärcos0cos(A— 6)

dargestellt werden kann, so folgt nach Einführung dieser Formeln in die obige Gleichung der Lichtgrenze

*(— Äcosö -fr co8^co8o)-J-y(— Ä cos « sin 0 + r sin acosd)

-f *(—Äsin« sin 0-|-r sind) =- R* — Rr cos ß cos (A — S)

Die variabelen Coordinaten aey* beziehen sich also jetzt auf das durch die Erde gelegte Aequatorialsystem , dessen JT-Achse durch den Widderpunkt geht.

§ 2.

Wir haben jetzt die Gleichung der Ebene GH zu bestimmen, welche durch den Mondmittclpunkt geht, und die Grenze der Sichtbar- keit des beleuchteten Teils des Mondes, von der Erde aus gesehen, bestimmt Wir nehmen der Einfachheit wegen auch hier eine cylinder- förmige Umhüllung an, da die Grösse und Entfernung der betrachteten Weltkörper solche Annahme gestatten. Das zuletzt benutzte Coordi- natensystem gilt auch hier, die Entfernung des Mondes von der Erde sei r, die Stellungswinkel a'ß'y', uud die Gleichung der Ebene der Sichtbarkeit ist

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198 Oeling haus'. Otber dU Lage der Mondsichel

*COSa'-f-ycos0'-f xcosy' = r

Da aber

cos«' — cosacosä, cosß' — cos d cos«, cosy' — sind so ist die Gleichung

xeosetcosd-f y sin a cos d-f-z sind = r

Der Durchschnitt beider Ebenen ist demnach nach bekannten Me- thoden bestimmt, und es bedarf nur noch der Gleichung der Horizontal- ebene des Beobachtungsortes , um alsdann die Neigung des Durch- schnitts, welcher die Sichelspitzen des Mondes enthalt, gegen diese 0 Tangentialebene zu berechnen. Die Gleichung der letztem, die Erde als Kugel vom Radius a genommen ist

xx' -\-yy'-\-zz' «=» a*

Darin bedeuten x'y'z' die Coordinaten des Beobachtungsortes C, xyz die variabelen in Bezug auf den Aequator als Fundamcntalebene.

Um diese Gleichung für unsere Zwecke einzurichten, haben wir den astronomischen Begriff der Sternzeit einzuführen.

Aus der Fig. 1. ist nun folgendes leicht zu erkennen s

Die Erde rotirt in der Richtung des Pfeiles von Westen nach Osten um ihre Achse. Die Zeit, welche verfliesst, bis der Meridian 2'Q, dessen Ebene durch den Widderpunkt geht, bei seiner Drehung wieder in die ursprüngliche Lage gelangt, heisst Sterntag und ist derselbe kürzer, als der mittlere Sonnentag.

Hat ein Stern die Rectascension «, so wird derselbe um ^

15

Stunden Sternzeit für den Ort B auf dem genannten Meridian cul- miniren. Für das Studium dieser Verhältnisse ist es gut, die wirk- liche und scheinbare Bewegung mit einander zu combiniren. Denken wir uns die Erde in O am 21. März, so geht die Sonne um 0* Stern- zeit durch den Meridian, infolge der Bewegung der Erde um die Sonne culminirt sie den nächstfolgenden später und am 23. Septem- ber, an welchem Tage ihre Rectascension 180° beträgt, culminirt sie um 12* Sternzeit.

Wir wollen nun den Ort B, für welchen nach der Figur der Frühlingspunkt culminirt und 0* Sternzeit hat, auf seiner Bewegung bis C begleiten Die bis dahin verflossene Sternzeit sei r, die geo- graphische Breite des Ortes oder die Polhöhe sei o>, alsdann werden die Coordinaten x'y'z' des jetzt tixirten Ortes in C gleich

x' — ocosijpcost, y' — «cosysinr, *'=asin9>

sein.

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neuen den Horizont des Htobacklera

109

Die durch C gelegte Tangentialebene hat demnach die Gleichung xcosqpcosr-f ycosqpsinr-fasing) _ a

und damit haben wir alle erforderlichen Gleichungen zur Rechnung fertig.

Da indessen r Sternzeit bedeutet, so haben wir zur Verwandlung dieser Zeit in mittlere Sonnenzeit noch folgendes einzuschalten.

Ist der Meridian PQ, dessen Ebene den Frühlings-Tag- und Nachtgleichenpunkt enthält, soweit fortgerückt, dass die mittlere Sonne in ihm erscheint, so nennt man die verflossene Zeit die Sternzeit L im mittleren Mittag und ist dieselbe gleich der mittleren Länge der Sonne. Von diesem Zeitpunkt an zählt man die Stunden bis zum nächsten Mittag und zwar von 0* bis 24*. Rückt von diesem Punkte der Meridian bis C und ist hierzu die Sternzeit t' erforderlich, so ist t — L-\-t' und da die Stornzeit noch in mittlere Zeit t ver- wandelt werden muss, so ist, da 366,242 Stern tage = 365,212 mitt- lere Tage sind,

24*-f-3*56',555

r = L+t 2-

worin < dio mittlere Sonnenzeit am Beobachtungsorto C ist. Dio Gleichung der Tangentialebene in C ist also jetzt

aeC0SqpC0S(Z-f-fo)-f-y cos g>8in {L-\-kt)-\-*t\ll<p — a

§3.

Um nun die Neigung tu des Durchschnitts der beiden ersten Ebenen gegen die letztere zu finden, haben wir aus ihren Gleichungen

x(— Äcos8+rcos5cosa)-f-y(— Ä cos c sin ö-f-r8inaC08^)

-f-a(— Äsinesin 0-f-rsino") = r* — Ärcos0cos(A — 8) a;Cosocosd-f-ysinacos<J-|-3 8in(5 = r

die Gleichungen ihrer Projectionen auf die Ebenen der xy und x» aufzustellen, welche durch Elimination der z, bez. y aus ihnen hervor- gehen. Sie sind

xR (— cos 6 sin d -f sin S sin e cos « cos 6) -f- yR (— sin S cos t sin ö -f- sin & sin t sin a cos ö)

- Rr (- cos ß sind cos (S -X) -f- sin« sin 0) X xR cos 6 (— cos & sin « -f- sin 8 cos a cos «)

— 2Ä(8in 6sin«siuacos<5 — sindcosesind)

«= Rr ( - cos ß cos ö sin a cos ( 0 — A) + cos t sin 9)

oder kurz

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200 Oelinghau»: üeber die Lage der Mondsichel

y = BAx-\- bt

cos 0 sin 6 — sin 0 sin £ cos o cos 6

B' = -

sin 0 cos £ sin ö — sin 0 sin £ sin « cos <J

C„ cos 3 sine cos 3— sin 0 cos « cos 6 cos e sin Öcosfsin ö - sin 6 sin £ sin« cos d

Nach den Methoden der analytischen Geometrie des Raumes ist der Winkel a>, den die Gerade

mit der Ebene

Ax-\-By-\-Cz «= D einschliesst, gegeben durch die Formel

sin Q3 = — —

Snbstituiren wir hierin die eben aufgestellten Ausdrücke, so folgt

sinro — {8inepcos<5(- cos 9 sin« -f- sin 0 cos «cos 0

— cos <jp sin 0 cos t (cos £ sin ö — sin t sin « cos d) + cos 9 sin t (cos 0 sin 6 — sin 0 sin « cos « cos ö) \ :

V {sin©*(cosf sin<J— Bin £sin « cos 6)*+(siu 0 sin i cos « cos d— cos8 sind)*

-f- (cos 0 sin « cos <J — sin © cos « cos £ cos d)* }

Benutzt man nun, um die Formel zu vereinfachen, die Formeln

cos 6 cos« — cos ß cos A cos tJ sin « — cos ßsin A cos c — sin ß sin £ sin d — cos /? sin A sin e -f- 8m 0 8m £ so verwandelt sich die Wurzel in

Vi - cos 0» cos (3 -A)*

wie man finden wird, wenn man den Wurzel ausdruck durch den identischen

1 — 2 cot ß cos (0 — A)(cos 0 cos « cos <J -f sin © cos £ sin « cos ö

-f- sin 0 sin £ sin d) -f- cos jS* cos ( 0 — A)»

ersetzt.

Daher ist auch

- - cos 0 (sin q> cos 6 sin « — cos <p sin d sin t) + sin 0 cos £ (sin cp cos 6 cos « — cos tp sin <5 cos t) -4-sin 0cos<pco8<Jsm£sin(« — t)

sin co =

Vi — cos0»cos(e-A)*

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gegen den Horizont des Beobachters. 201

Ist die Rectascension des Mondes gleich der Sternzeit des Ortes, also a = t, so wird für die Culmination

sin (y — d)(8in a cos 8 — cos a sin & cos t)

1 " Vi— cob/^co«(«— a)1

Ist noch g> — <5, so wird n = 0, die Sichelgerade des Mondes erscheint parallel dem Horizont, was unmittelbar klar ist, da alsdann der Mond im Zenith des Ortes steht.

Im allgemeinen Fall hat man für a> = 0 die Bedingung

sin <p cos d sin o — cos <jp sin Ö sin t

sinep cosfl cos o cos f-cos <p sin d cos f cos t f coscjp cobÖ sin t sin(o - 1 )

Setzt man in der Hauptformel <p ~ 90°, also für den Pol, so ver- schwindet die Zeit aus derselben und es ist

cos ö (sin acos & — cos a sin & cos i) sin oo a — —

Vi -cos 0*008(0-1)*

§ 4.

Der Winkel a> stellt die wirkliche Neigung der die Sichelspitzen des Mondes verbindenden Geraden gegen die Horizontalebene dar. Wir beobachten indessen diesen Winkel nicht direct, sondern viel- mehr seine Projection an der Himmelskugel oder dem Fixsternhimmel Daher haben wir noch den Neigungswinkel der Projection der Sichel- geraden gegen den Horizont zu berechnen. Es ist der Winkel, den die durch die Erde und die Gerade gelegte Ebene mit dem Ho- rizont einschliesst

Da die Gleichung dieser Geraden, d. i. der Sichelsehno, nach . dem vorigen bekannt ist, so läset sich auch die durch sie und den Anfangspunkt der Coordinaten gelegte Ebene nach bekannten Me- thoden leicht ermitteln.

Sind nämlich die Coordinaten eines gegebenen Punktes fgh und die Projectionen einer Geraden

y = B1x-\-bl , z « Ct i-f-c,

so ist die Gleichung der durch sie gelegten Ebene

(2?, (c, -A)-C,(A,-flO)(*-/) -iC1f-\-ci-h)(!/-g)+(B1f+b1-g)(z-h) - 0

und weil in unserm Falle f=g «= h — 0 ist

ißt ci — — ciy~\~bi* o

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202 Oekinghau,: Ueber die Lage der Mondsichel

Die Worte Bt C\ bt c, sind aus § 3 bekannt, 1 üh reu wir sie hier ein, so zeigt sich nach einigen Transformationen, dass sich ein Factor sin d cos «- cos sin* sin er ganz forthebt, und die Gleichung der durch die Erde und die Mondsichelspitzcu geführten Ebene ist

* (cos S — cos o cos ö cos ß cos ( 6 — a))

-f y (cos s sin & — sin « cos d cos ß cos ( 6 — A))

-j-a (sin t sin 8 — Bin <$ cos /? cos (© — A)) =0

Nach den vorhergegangenen Erklärungen ist noch die Neigung dieser Ebene gegen die Horizontalobene des Beobachters

xcos<pco8T-f-ycos<jpsinT-f-*sin<p — a

aufzustellen.

Nun ist aber der Neigungswinkel tp der beiden Ebenen

Az+By+Cz — D A1x + Bly + t\z = Dl

durch die Formel

AAi+BBt+Ca

COftlß

bekannt

Führen wir hierin die obigen Ausdrücke ein, so resultirt zunächst

cost/> =

{cos S cos <p cos t -f- ßiu S cos e cos sin t -f- sin S sin f sin q>

— cos /3 cos (S — A)(sin <p sin 6 -f- cos <5 cos <p cos (a — t)) } : V {1 — 2cos/Scos(G> - A)(cosf cosocosd-j-sin^cosf siuacoso*

-f sin e sin * sin d) -f cos 0* cos (9 — A)*}

Das Radical ist nach früheren Yl — cos ß* cos ( & — A)*L Daher ist

C08lJ> —

cos 6 cos <p cos t -}- sin & cos * cos qp sin t -f- sin 8 sin s sin 9

— cos ß cos (8 — A)(sin y sin <3 -f- cos 3 cos <p cos (et — t))

Vi— cos/j*cos(e-A)*

Dies ist aber noch nicht die definitive Endforroel. Es ist y zwar der Winkel zwischen dem Horizont und dem durch die Sichelspitzcn gelegten grössten Kreise auf der Himme!sku§el , aber es kommt woniger auf diesen als auf denjenigen au, welchen die Projection der Sichelspitzengeraden auf die Himmclskugel mit dem durch den Mond gelegten Parallelkreis macht, wie ihn das Auge bildet Wir ziehen demnach von der obern Spitze der Mondsichel nach der untern eine

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J JCJ« AM # J. - D.J. - „ JL Ä

203

Linie and von der untern Spitze einen Parallelkreis und fragen nach dem Winkel »' zwischen dieser Linie nnd dem Höhenparallel.

Die Höhe des Mondes sei ä, der Winkel zwischen k nnd der Mondsehne sei A, alsdann folgt ans dem sphärischen Dreieck

cost/> — cos A sin 1 Fig. 2)

Da aber in dem kleinen Dreieck am Monde l — 90° — »' ist, so wird die Relation zn

cosy = COSÄCO8C0' COM;

COSA

und die definitive Formel wird nunmehr

cos m' =

cos ß cos qpcosT-j- sin 6 cos e cos <p sin t -f- sin S sin * sin <p

— cos ß cos (S — A)(sin qp sin o* -f- cos y cos 3 cos ( « — • t))

± cos A V 1 -^cös^^cosce— 1)»

und es drückt also w' nicht die wirkliche Neigung <o der Mondsehne gegen den Horizont, welche wir vorhin berechnet haben, sondern die scheinbare Neigung derselben und zwar gegen den Höhenparallcl aus, wie ihn das projicirende Auge wahrnimmt

§ 5.

Die soeben gefundene Formel für cos»' ist nun einer sehr in- teressanten Transformation fähig, welche den Ausdruck zur Rechten ausserordentlich vereinfacht.

Es wird sich zeigen, dass die einzelnen Glieder desselben einer geometrischen Deutung fähig sind,

Wir haben, um dies deutlich zu zeigen, in der Figur 3. die 3 Hauptebenen der Ekliptik, des Aequators und des Horizontes ge- zeichnet; die beiden ersten schneiden sich in der JT-Achse, welche den Widderpunkt T enthält. Die Sonne befindet sich im Punkte S der Ekliptik und hat, von der Erde aus gesehen, welche wir im Coordinatenanfangspunkt denken, die Länge 0 und die Höhe //. Der Bogen grössten Kreises zwischen ihr und dem Monde sei a, dessen Länge und Breite A, ß, Rectascension und Declination ad ist.

Durch den Pol des Aequators und den Mond legen wir einen grössten Kreis, ebenso durch den Pol und das Zenith Z des Beob- achtungsortes einen zweiten, diese schliessen, wie man sofort erkennt, den Winkel t-o mit einander ein, welches der Stundenwinkel des Mondes in Sternzeit ist.

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204

Oekinghau,: Ueber die Lage der Mondsichel

Der Wurzelausdruck ± Vi — cos 0* cos (8 — A)* ist nunmehr leicht zu deuten. Aas dem rechtwinkligen sphärischen Dreieck zwischen Sonne, Mond, der Ekliptik und der Mondbreite ß folgt unmittelbar

cosa — cosj?co8(A -9)

daher ist

Vi - 0080*008(0 - k)* = sin ff

Wir betrachten jetzt das Dreieck zwischen Mond, Pol und Zenith. Die 3 Seiten sind 90° - d, 90° ~<p, 90°— A, der letzten Seite liegt der Winkel t— « gegenüber. Demnach hat man

sinA = sinqpsind-r-cosqpcosdcoaCr— a)

Derselbe Ausdruck kommt in der Formel für cosa' vor, letztere wird demnach durch Einsetzen der beiden obigen Relationen zu

— cos co 'cos A sin ff — cos « cos gp cos r-f- sine cos t cos <p sin z

-f- sin ©sin« sin© -co808inAco8(0— k)

woraus

cos/? cos (9 — k) sin A — cos a>' cos A sin ff

«= cos qp (cos 9 cos t -f- sin 9 Bin r cos t) -f- sin g> sin 9 sin i

In dieser Formel können wir cos 0 cos (0 — k) durch cosff ersetzen und haben demnach

costfsinA— sin ff cosA cos a)' = co8<p(cosecosT-f sinösintcose)

-f- 8ing> sine sin t

Beide Seiten der Gleichung haben wir nun auf eine Form ge- bracht, welche eine Verwandtschaft ihrer Glieder mit den Formeln der sphärischen Trigonometrie erkennen lässt. Wir erinnern deshalb daran, dass in jedem sphärischen Dreieck, dessen Seiten abe und Winkel ABC sind, folgende Formeln gelten:

sin a sin B — 8in£sin*4

cosa — cos b cos c-|- Bin b sine cos A

sinacosB = cosAsinc— sin*co8cco8^4

Um den eingeklammerten Ausdruck in der Hauptformel geome- trisch zu deuten, ziehen wir vom Pol des Aequators durch's Zenith einen Meridian bis zum Durchschnitt H des Aequators, verbinden diesen Punkt durch den Bogen q mit der Sonne S und wenden auf das Dreieck zwischen HSV die 2. sphärische Relation an , wodurch man erhält

cosp — cos8co8t-f-8in08inTCO8t Die Hauptformel wird nun zur folgenden

cos ff sin A — sin ff cos A cos » ' — cos <p cos f -f- sin <p sin 8 sin i

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gegen den Horizont du Beobachters.

205

Um die rechte Seite mit der entsprechenden sphärischen Formel homogen zu machen, benutzen wir die obige 1. Relation oder den Sinussatz, führen aber statt des Winkels bei H in dem Dreiecke HST seinen Complementärwinkel , also den Winkel zwischen 0 und dem Meridian PH ein, welcher v heissen möge. Alsdann ist

sin »sine = sin p cos»

Die Formel wird nun

cos o sin h - sin a cos h cos w ' — cos <p cos $ -f- sin cp sin g cos v

Der Ausdruck zur Rechten ist leicht zu iuterpretiren ; er ist der cosinus des Bogens zwischen Sonne und Zeuith, wie aus der Be- trachtung des Dreiecks zwischen SZH hervorgeht Führen wir also die Zenithdistanz Z der Sonne in die Formel ein, so resultirt

cosZ— cos ff sin A —sin er cos A cos co'

Endlich betrachten wir noch zur Charakterisirung dieses Aus- drucks das Dreieck zwischen Sonne, Mond und Zenith und erhalten ans der sphärischen Relation

cos Z «= cos er sin A - sin er cos A cos {ah)

in Verbindung der vorhergehenden den interessanten Nachweis, dass der gesuchte Wiukel w' der Grösse nach gleich ist dem Winkel zwischen dem Bogen a des grössten Kreises zwischen Sonne und Mond und der Höhe A des letztern. Der Winkel cd bezeichnet aber die Lage der Mondsichel gegen den HöhenparalleL Demnach hat man nur durch den Mond eine Linie senkrecht zu diesem Bogen er zwischen Sonne und Mond zu legen und erhält damit die Lage und Richtung der Mondsichel.

Sind beide Gestirne zugleich sichtbar über dem Horizont, so bestätigt die Uebereinstimmung dieses theoretischen einfachen Re- sultats mit dem blossen Augenschein die Richtigkeit der Rechnung. Um den Bogen er des grössten Kreises zu erhalten, muss man sich durch seinen Standpunkt und Sonne und Mond eine Ebene und ihren Durchschnitt an der Himmelskugel denken; dieser Bogen wird stets auf der Sichel oder Sichelsehne senkrecht sein, wo auch der Mond am Himmel stehen mag.

Will man den Winkel a' durch Rechnung finden, so ergibt er sich aus der Formel

cos ß cos (k — 9) sin h — sin H

COS 09

cos h Vi - cos ß* cos (A — 9)*

in welcher H die Höhe der Sonne ist. Der Winkel ist also wesent- lich von der Höhe der Sonne und des Mondes abhängig, welche be- kanntlich durch die Formeln

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206

Oekinghaus : Ueber die Lage der Mondtichel ete.

sin A = sin qp sin d cos qo cos ö cos (r — o) 8in#«= sinqpsinD-f-cosgpcosßcos*

berechnet werden können.

Aus dem Gang der Auflösung der jetzt gelösten Aufgabe geht hervor, dass dieselbe als ein gutes Mittel zur Anwendung der ele- mentaren Sätze aus der analytischen Geometrie des Raumes betrachtet werden kann, da die vorzüglichsten der in dieser Disciplin enthaltenen Lehrsätze darin zur Anwendung kommen. So die Transformationen der Coordinaten von der Ekliptik auf den Aequator, die Aufstellung der Gleichungen verschiedener Ebenen in heliocentrischer und geo- centrischcr Lage, die Berechnung des Durchschnitts derselben und ihre Neigung gegen eine Tangentialebene einer rotirenden Kugel, das Legen einer Ebene durch eine Gerade und die Darstellung ihres Neigungswinkels gegen eine Horizontalebene, die an der Drehung der Kugel teilnimmt, die Projection eines Winkels auf die Himmels- kugel, die geometrische Interpretation analytischer Ausdrücke etc.

Obgleich die Bedeutung der Aufgabo eine untergeordnete ist, so gewinnt sie durch die Einführung und Anwendung astronomischer Begriffe, dio erst dann zur Klarheit kommen, wenn man es unter- nimmt, ein schwieriges oder leichteres Problem selbständig durch- zuführen. Da die mathematischen Principicn in ihrer Auwendung auf astronomische Aufgaben eine so interessante und anschauliche Seite gewinnen, so dürfte die vorliegende Arbeit auch als eine gute und ansprechende Studie zur Einführung in diese schöne Wissenschaft dienen, die jeden, der sich ernstlich mit ihr beschäftigt, in so hohem Grade zu fesseln versteht.

Gräfrath, April 1887.

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Ekama: Die ebenen und die »phirischen cyleloidalen Curven. 207

XIII.

Die ebenen und die sphärischen cykloidalen

Curven.

Von

H. Ekama.

Die sphärischen cykloidalen Curven sind, so weit mir bekannt ist, bis jetzt nicht analytisch betrachtet. Hauptsächlich habe ich gesucht die Punkte von Uebereinstimmuug und von Unterschied zwischen den ebenen und den sphärischen cykloidalen Curven zu finden, und darum werde ich mit der Betrachtung der ebenen Curven beginnen. Dieses ist auch nötig, weil die folgende Ableitung in vielen Hinsichten sich von jener, welche gewöhnlich gegeben wird, unterscheidet.

I.

Die cykloidale Curve ist die Bahn, welche ein Punkt, der fest mit einem Kreise verbunden ist, durchläuft, wenn dieser Kreis ohne zu gleiten einen: anderen Kreis entlang sich wälzt. Berühren die beiden Kn-ise einander auswendig, so entsteht e^ne Epicykloide; berühren sie einander inwendig, so ist die Bahn eine Hypocykloide. Der Punkt kann ausserhalb oder innerhalb des sich wälzenden Kreises gelegen sein.

Sei (Fig. 1.) der Radius OC= b und der Radius 3f6T— a, während BD ~ c ist Der Winkel BMO sei 0, also ist in A MOB

r» - (a+&)» + (a+c)* -2(a+A)(a + c)C086> (1) arcilC- aicDC Winkel AOC-^e

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208 Ekama: Die ebenen und die sphärischen cykloidaUn Curven.

a-\-c : sina;= a-j-6 : sin(a:-}-e)

(<*+<-) sing /a \

.: v = j « - arctg .)eota (2)

Für a negativ findet mau die Hypocykloide; auch c kann negativ sein, wenn der Punkt innerhalb de8 sich wälzenden Kreises liegt.

Wenn ein Punkt sich mit einer constanten Geschwindigkeit einen Kreis entlang bewegt und der Mittelpuukt dieses Kreises längs einem anderen Kreise, so entsteht auch eine cykloidale Curve.

Sei der Radius des feststehendeu Kreises B und der des sich bewegenden Kreises A. Das Verhältniss der Winkelgeschwindigkeiten sei m:n, so ist Wkl. MOH-mti und Wkl. GAfB-nri (Fig.2.u. 3.).

Siud die Bewegungen gleich gerichtet (Fig. 2.), so ist Wkl. 0AIB = (» — w»)ij; sind sie einander entgegengesetzt (Fig. 3.), so ist er — (n-f- m)ij. OB sei r und Wkl. BOH — <p, so ist in A OBM

und aber Sei

so wird und

r« ~ A* + B* -2ABcos(n^m)ij

tßX — ^-^C08(n + m)i; ±*_-m»,-<p .. ig(mn - - ± Ä_^cos(n^:w)l?

(«±w)i? = ±e

r" - ,4» 2/l£cos6>

/ m _ \ i4si

sin© ^cosö

m ±.4 sine

Diese Curve ist also eine Cykloide, bei welcher ist:

a-j-c a-\-b ss B und ^ — n~qf ~

Soll der Punkt auf dem rollenden Kreise liegen , so ist c — 0, dann findet man

^ : B — m : n

das heisst, die Iladii der Kreise müssen den Geschwindigkeiten um- gekehrt proportional sein.

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Ekama: DU ebenen und die »pharUchen eykloidalen Curven. 209

Sind a und b unter einander messbare Linien, so sei ihr Ver- hältniss pjq , wo p and q zwei Zahlen , welche keinen gemeinschaft- lichen Factor haben, sind. Die Curve ist dann geschlossen. Aas den Formeln sieht man, dass r dieselbe bleibt, wenn & um eiuige mal 2» zunimmt Die Anomalie wächst jedesmal um pjq2n und folglich wird der eine Kreis p mal um den anderen walzen müssen, um in den Anfangspunkt zurückzukommen. Die Curve besteht aus q congruenten Teilen.

Diese verschiedene Teile werden einander schneiden, und wir werden jetzt den Ort der Doppelpunkte bestimmen.

Sollen für zwei Funkte die Radicnvectoren einander gleich sein, so muss cos 6 = cos h' soin

/. 9' = 2ln-S

and sollen die Anomalien gleich sein, so muss sein

E kann alle Werte haben von 0 bis 2g, und die Doppelpunkte sollen liegen auf den Linien, welche den feststehenden Kreis in 2q gleiche Sectoren teilen. Die Zahl der Doppelpunkte, welche auf jeder Linie gelegen sind, hängt ausgenommen von p auch von a, b und c ab.

Diese Linien sind auch Linien von Symmetrie. Für <? und — <p finden wir dieselben Werte von welche aber ein verschiedenes Zeichen haben, jedoch bleiben die Badion vectoren dann dieselben.

Bringen wir den Anfangspunkt der Anomalie auf die nächste Linie der Doppelpunkte über, und setzen wir e für a-\-b unf / für a-\- c.

folglich

tg(^-<p) - tg(V-g>) - tg g

p\q (2ln — G) — <p=*kn — pjq? -|- tp

Nun ist

Sei

e— /cosö

/"sin©

9 — n «= n

Areh. der M»tU. u. Phj.. 2. Boihe, Teil VII.

U

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210 Ekama: DU ebenen und die sphärischen cykloidalen Curoen.

i p I /sin m

also

, , /"sin 17

and

r« = *>+/*+ 2e/cosi?

Für 9 and — g> genügen dieselben Werte von mit verschiedenem Zeichen, jedoch die Badienvectoren bleiben dieselben.

Die Curve kann bloss dnrch den Coordinatenanfangspankt gehen für e=fx) also ist

und

folgüch

and

Aus (1) folgt and aas (2) also

r — */«*»/*

dß ~" r 40 ~~ * r*

1 * &<?/sine 6/sin0

r <ty = ar»-bef<MH9 + " ae+/* -(2a +6) /cos«"" * WK1 ^°

In A 06'5 ist:

OC : r — sin OöC : sin (OfiC-f-a:) 0C: r = 1 : cosa:-|-8in*cotg OBC

OC-=

cos*{l + b{e-fcose) )

b(e — /C08Ö)

06'-

und

also ist

rCOSas

rcos* — e — /cosö;

1) Durege, Schlöm. ZelUchr. für Mathcm. and Phys. Teil IX. Seite 209.

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Ekama: Die ebene» und die epkärischen rykloidalen Curven. 211

wm ans lehrt, dass die Normale der cykloidalen Curve immer durch den Berührungspunkt der beiden Kreise geht

Liegt der Punkt auf dem sich bewegenden Kreise, so ist die Curve die gemeine Epi- oder Hypocykloide. Die Formeln (1) und (2) werden

r* — 0*+(a-f-5)* — 2a(a-f tycosd (4)

und

a asin0 9 = i*-**t*ia+i)_a€O0 (5)

Der Winkel ODB (Fig. 4.) wird

Die Tangente an die Curve gezogen geht immer durch den Punkt des sich walzenden Kreises, der diametral dem Berührungspunkt gegen- über gelege# ist.

Bestimmen wir die Fusspunktlinie l) der Epicykloide

Wkl. OPD — Vi?

Sei

Q mm Jl yt

In A OPD ist '

Of> = g - (2a-{-b)Binilte - (2a+ »)«»»/*

folglich

Wkl. POZ>-z-

p — (2a-f-ft)cos

iL

*+2a

Also ist die Fusspunktlinie die Curve, welche die Formel (3) giebt.

Diese Curve ist auch der geometrische Ort der Fusspunkte der Normalen, welche aus dem Coordinatenanfangspunkt auf die Nor- malen der Epicykloide nieder gelassen sind.

Wir haben in £ OCK

OK — ff = ftcos 7fl0

Wkl. AOK-X = Vs*+f * - «

folglich

Der Teil der Normale, welcher innerhalb des sich bewegenden Kreises liegt, ist

I) Eckardt, Schlöm. Zeitach. für Math, und Phyi. Teü XV. Seite 138.

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212 Ekama: DU ebenen und die $phän$ehen cyUoidalen Curvm.

iV = 2a sin '/«0 (6)

Dieser Wert ist unabhängig vom Radios des feststehenden Kreises.

In A COE ist

t : b = sin (»0° — 7»e) : sin OEC

Wkl. OEC~ 180°-9O°+V»e-^ö£;+2ö=9O0-^+2^e

jn welcher Formel Wkl. AOC= y ist, und < und y die Polarcoor- dinaten der Normale sind. Die Gleichung wird also

/2a+ba \ «cos y 2b "^J""* cobVjÖ

In einem anderen Punkte der Epicykloide ist

/cos (^t^e'-^-icos1/^'

Den Schnittpunkt der beiden Normalen findet man, indem man t und y bestimmt.

b cos1 /gg scos1/^'

cos^-^-e-^J cos^-^-e'-yj

oder

sec »/«»cos — e — sec V*8 cos 6*

Um den Krümmungsmittelpunkt zu finden, lassen wir die beiden Punkte sich nahern die Epicykloide entlang, so wird

z>^ecV,eCos ^pe j tgV,e X-tg-^-e

Z> (secV^sm -g- e j — f- +tgVt»tg -jg- 8

also

<» - JW «/.esec« (?S±* e_^) =4' cos» v,e (1 + gsJjjiUVt«)

oder

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Ekama: DU ebenen und die sphärischen cykloidaltn Curven. 213

Ferner ist

fa« \ 2otgVte ogfag ... tg^e— *J - 2«-f-i8ec»Va« ~~ Ä-f-2acoB81/te

und

aa — »7 sin B

* - -e_ arctg(Xq_ -)+ac08e

Diese Formeln stimmen mit den Formeln (4) and (5) überein. Die Evolute der Epicykloide ist also auch eine Epicykloide, jedoch war der beschreibende Punkt beim Anfang der Bewegung so weit möglich vom Coordinatenanfangspunkt entfernt. Der Radius des Bich

ab

wälzenden Kreises der Evolute ist und iener des feststehen-

b*

den Kreises g^q^;«

Umgekehrt wird die Evolvente einer Epicykloide auch eine Epi- cykloide sein, bei welcher der Radius des feststehenden Kreises

6-f-2o, jener des bewegenden Kreises ? (2a +6) ist.

Wir finden au! diese Weise fortschreitend eine unendlich grosse Anzahl von Epicykloiden , von welchen jede folgende die Evolvente der vorhergehenden ist, während die Radii der bewegenden und der feststehenden Kreise zwei geometrische Reihen bilden, deren Pro-

«re88ion 2oT* iBt

Der Krümmungsradius wird für einen Punkt der Epicykloide sein

2«sinV,e + 2^cosV,e'

oder

6 — 6' = 180«

Aa(a4-b) .

folglich ist der Krümmungsradius 2a-f& Bin'/ffl.

Der Krümmungsradius in einem Punkte der Evolvente wird sein, und dieses ist die halbe Länge eines Epi- cykloidenbogens, wenn e = 180° ist

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214 Ekama: Die ebenen und die ephärischen qUoidolen Curven. Also ist die Lange

b

Für die Hypocykloide werden wir die übereinkünftigen Formeln finden, wenn wir — a für a substituiren.

Bestimmen wir die Oberfläche, welche von dem feststehenden Kreise and von dem Epicykloidenbogen eingeschlossen ist.

arc CC — arc B'D' = arc BD

folglich ist

Wkl. COC - Wkl. BOB*

also

&TCBB' - r(w-8)^

und die Oberfläche AC'B'D'B wird sein

n

afb f (« — 6)rdr

Aber ans der Formel (4) folgt

rdr — a{a-\-b) sin 6

also ist die Oberfläche

Sei ° so wird

o = iSs±äftM - j _ec08,+BiIU | "

und

Dio ganzo Oberfläche ist:

Für die Oberfläche, durch den feststehenden Kreis und durch einen Hypocykloidenbogen eingeschlossen, finden wir n ° ®b~*a\

Die Summe der beiden Oberflächen ist 6*a» (10), was uns lehrt,

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Ekama: Die ebenen und die sphärischen cykiotdaien Curven. 215

das8 die Oberfläche umgeben von einem Hypo- nnd einem Epi- cykloidenbogen , welche anf demselben feststehenden Kreis be- schrieben sind, während die Radii der sich wälzenden Kreise gleich gross sind, immer 6 Mal der Oberfläche des bewegten Kreises gleich ist

IL

Wenn zwei Kogel einen gemeinschaftlichen Gipfel haben nnd der eine wälzt sich ohne zn gleiten um den anderen, so wird jeder Punkt, der fest mit dem bewegten Kegel verbunden ist, eine Gurre be- schreiben, welche auf der Oberfläche einer Kugel gelegen ist, deren Radius der Abstand des Punktes von dem gemeinschaftlichen Gipfel ist Dieselbe Cnrve ist auch die Bahn eines Punktes einer Kegelober- fläche, wenn der Kegel sich mit einer constanten Geschwindigkeit um seine Achse dreht, nnd diese Achse sich auch mit einer constanten Geschwindigkeit über die Oberfläche eines anderen Kegels bewegt, während die beiden Gipfel zusammen fallen.

Um die Gleichungen der Curve zu finden, lassen wir sie auf die erstgenannte Weise entstehen.

Sei der Winkel des feststehenden Kegels b und jener des sich wälzen- den a (Fig. 5.), so ist OM = a-\-b — «, und nennen wir den Winkel, welchen die Linie vom Gipfel nach dem Punkte hin mit der Achse des bewegten Kegels macht, f.

Weiter sei Wkl. AOB - <p und OB = l

Wkl. BMC =» B .-. Wkl. Aus & BOM folgt

cos l = cos e cos/-!- sin e sin /"cos 6 (1) »)

und

cot /sin« = 8in6cotgx-|-co8«cosO

1 — n-9

sina sin/sin 6

*=esTir& -arct* cMf sin e-cos« sin/cose {2)

Wälzt sich der eine Kegel innerhalb des anderen, so findet man die übereinstimmenden Formeln, indem man — a für a substituirt.

Sind sina und sin b zwei unter einander messbare Grössen, deren Verbal tniss p/q ist, so kann man auf dieselbe Weise, wie dieses für die ebenen cykloidalen Curven getan ist, zeigen, dass die Curve aus

1) Die Formeln, welche bei den ebenen und bei den sphärischen Cy- kloiden, durch dieselben arabischen Ziffern angegeben sind, stimmen mit einander

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216 Ekamax Die ebenen und die »phärischen cykhidaUn Curven.

q congruenten Teilen besteht. Bestimmt man den geometrischen Ort der Doppelpunkte, so findet man auf analoge Weise, dass die Doppel- punkte gelegen sind auf den grossen Kreisen, welche durch den Ooordinatenanfangspunkt gehend die Kugeloberfläche in 2g gleiche Sectoren teilen. Auch können wir beweisen, dass diese Kreise Sym- metrielinien sind.

Die Curve kann bloss durch den Goordinatenanfangspunkt geben, wenn « — / ist ; rechnen wir die Anomalie von der nächsten Sym- metrielinie, SO ist (p = q>' -f-p/g n

Setzen wir 6 — » = so wird:

»fr-»)— 13? «

Und cos{ = cos*/— sinVcosi?

folglich sin = sin/cos »/„ (3)

Aus diesen beiden Formoln kann rj nicht eliminirt werden, wie bei den ebenen Cykloiden.

Die Formel eines grossen Kreises auf der Kugel wird in sphä- rischen Polarcoordinaten sein:

cotgl — sin(p-f <p)\%A (I)

Hierin sind £ und <p die Coordinaten , während A der Winkel ist, welchen der Kreis macht mit einem anderen, dessen Pol der Ooor- dinatenanfangspunkt ist, und p der Bogen des letztgenannten Kreises ist zwischen dem Schnittpunkte und dem Punkte, wo <p — 0 ist

Wir müssen den Normalkreis bestimmen, d. h. den Kreis, wel- cher senkrecht auf einem Elemente der Curve steht, oder den Krois, nach welchem die Normalebene die Kugel schneidet.

Die Gleichung der Normalebene ist

{xt — x)dx-\-(yt — y)dy ~\-{z1 — z)dz — 0 Für Punkte des Kreises muss sein: x ■=» Äsin£ cosqp y — sin sing» und z = -Rcos£ a;, = Äsin£'cosg>' yt = Ä sin sing/ und = Äcos£' während S' und tp' die Coordinaten des Elementes sind. Nun ist

dep rf£

1 = — -.ßBin§sing> ^+Äcos$*cosg) ^ ^ = iZcos98in^ — -f-Äcos£sinqt> — ^ — — iJsinl^

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Durch Substitution in die Formeln der Normalebene finden wir: R% jsinl'cosg»'— sinfcos^j jcosScos^J— sto£sin<p^J

+Ä8 jsinS'sinp'— sinSsinyJ jcosgpsinS^+cos&in^J

-Ä*sin|^ |c08|'— cos|| - 0 also

21 sin(<p' -9) = — cotgi-cosfo' — gp) + cotg§'

Sei nun der Kreis cotgl — 8in(p~\-<p)tgA

so ist auch cotg§' — sin(p-}-9>')t€M

durch Substitution:

* sin(<p' - qp) cos(*'- 9>) sin ( p + 9) tg A + sin (j, + <p') tgA

oder ^=-tg^co8(9>+i>) (U)

Die Elimination von (/>-[-?) ans (I) und (II) giebt

cotg*|+ (*)' - tgM (III)

Jetzt kann auch p gefunden werden.

Gebrauchen wir dieses für die sphärische Cykloide.

oadaus(2, a-S+"M-yi also

rfqp sin8£ sin a-f- sin 6(cos e— cos /"cos £) d* "" sin ä 8 in § sin e sin /sin 6

Diesen Wert substituiren wir in die Formel (III), und nach Reduction finden wir:

tgMsin^sin^sin^sinVsin«« = cos^sin^sin^sinVsin^O

-|- {sinr5 sin a + sin b\ {cos e — cos f cos £} 1 Nun ist sin*e sin Vsin8« =. sin**' -f 2 cos | cos « cos/ — cos1« - cos V Also durch Substitution

tg*A sin*6 sin Ysin*6 = {sin*6 — sin*a{ cos1? — 2 sin * cos f cos § X

(sin a -f- sin i cos e) -j- (sin o + sin * cos e)* Und da cos { - cos{e — / ) — 2 sin e sin /sin» »/»e

finden wir

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218 Ekama: Dk ebenen und die tphäriscMn cyUotdalen Curven.

tg* A — (sin* a — sin* b) -f sin a cos a coscc/cos /sec* "/i 6

+ '/« 8cc* c eosee Vsec* Vi 6 cosec* V« 8

Für den Normalkreis haben wir gefunden

cos* — sin(p+<p)tgA

für { — * ist

■in(,+V) - ^ und tg»(f> + y) -

folglich

sin* 8 sin* /cos* &

tg (.p-rV) — gin*/cos*a8in*6-f-4sin*,/jÖsinacosa8in/co8/'-|-8in*c

Aber c — /— a; also

sin 8 sin /cos 6

tgU»-T9) ™ cos /sin a — sin /cos a cos 8

oder

8inacotg/= 8in8cosAcotg(j>-f-a>)-}-coBaco8 8

Sei

cosicotg(^-}-9) — cotgt

so ist t der Winkel in einem Dreieck, von welchem a nnd f die Seiten sind, und 8 der durch diese Seiten eingeschlossene Winkel ist < mus8 der Seite / gegenüber liegen. Dieses ist der Fall in (\> BCM (Fig. 6.), während in &DOCtg(j>-\-<p)* tg (180° — e) cos b ist

Hieraus folgt, dass bei den sphärischen Cykloiden der Normal- kreis immer durch den Berührungspunkt der beiden kleinen Kreise auf der Kugel geht.

Liegt der Punkt in der Oberfläche des sich wälzenden Kegels, so ist / =— a und die Formeln (1) und (2) werden :

cos£ — co8aco6(a-f ^-r-sinasinfa-r-^cose (4)

und

ft sina sin a sin 8

* sinÄ ^^coBasinfa-f b) — cos (a-|- 6) sina cos 8 <&>

Der Teil des Normalkreises, der innerhalb des sich wälzenden Kegels liegt, ist bestimmt durch die Formel

Bin V, N - sina sin1/, « (6)

unabhängig von dem Winkel des feststehenden Kegels.

Der Tangentkreis, d. h. der grosse Kreis auf der Kugel, welcher ein Element mit der Curve gemein hat, wird senkrecht zur Normal- ebene stehen, folglich wird er nicht, wie bei den ebenen cykloidalen Curven durch den Punkt des bewegten Kreises gehen, der so weit möglich von dem Coordinatenanfangspunkt liegt

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Ekama: DU ebenen und die sphärischen cykloidalen Curven. 219

Man sieht hieraus, dass bei den ebenen Cykloiden die Eigenschaft der Normale wichtiger ist, als jene der Tangente. Dieses folgt auch daraus, dass, wenn der Punkt nicht auf dem bewegten Kreise ge- legen ist, die Eigenschaft der Normale bestehen bleibt, doch die der Tangente wegfallt

Die Frage, ob bei den sphärischen cykloidalen Gurren eine Eigenschaft besteht, welche übereinstimmt mit der der Tangente der ebenen cykloidalen Curven, würde nicht ohne Grund sein.

Bringen wir durch M (Fig. 7.) einen grossen Kreis senkrecht zur Normalebene PC, so ist BC—l/tN und sin */tN — BinasinVt®. Nun ziehen wir durch den Punkt B der Cykloide einen kleinen Kreis, dessen Ebene parallel ist mit jener des grossen Kreises, wel- cher durch M gezogen ist, so schneidet dieser den sich walzenden Kreis noch in einem Punkte K

Bringt man nun durch E und M grosse Kreise senkrecht zu dem grossen Kreise CD, so schneiden diese einander und den Normal- kreis in P, dem Pole des Kreises CD. Es ist

BC —FM— ED — EM— BM — a

also

A BCM ^ DME weil beide Dreiecke rechtwinklig sind, folglich

Wkl. BMC - Wkl. EMD - *JtB

also

Wkl. J?ME = 180°— e

dieses lehrt uns, dass E der Punkt des sich wälzenden Kreises ist, der so weit möglich von dem feststehenden Kreise entfernt liegt. Ziehen wir also durch den Punkt der cykloidalen Linie einen kleinen Kreis, dessen Ebene senkrecht zur Normalebene steht, so wird dieser durch den Punkt des sich wälzenden Kreises gehen, der so weit möglich von dem andern Kreise entfernt ist.

Wird der Radius der Kugel unendlich gross, so gehen der kleine Kreis BE und der Tangentkreis in dieselbe gerade Linie über, namentlich in die Tangente,\in dem Punkte B an die ebenen Cykloide gezogen.

Weil der Tangentkreis nicht der genannten Eigenschaft genügt, wird die Evolute der sphärischen Cykloide nicht wieder eine sphä- rische Cykloide sein.

Ist b - a, so muss der eine Kegel sich ausserhalb des anderen wälzen, und so ist

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220 Ekama: Die tbtnen und di* tpharuchen cykloidale* Curven.

cos £ -= cos a cos 2a -|- sin a sin 2a cos 6

und

e__ . sin a sin 8

COt (. <p) — gin 2a cog - _ CQS 2fl gin - cog Q

Diese Curve wird mit der Kardioide übereiDStimmen; aber während alle ebenen Kardioiden gleichförmig sind, ist dies bei den sphäri- schen Kardioiden nicht der Fall; diese hangen doch von zwei Grossen ab, namentlich von dem Radius der Kugel und von dem Winkel der Kegel.

Ein anderer einfacher Fall, den wir betrachten wollen, ist, dass der feststehende Kegel eine Ebene wird. Dieser Fall stimmt mit der gemeinen ebenen Cykloide überein.

Nun ist

b - 90"

cos 4 = — sin 2a sin1 V* e

und

ö . sina8in8

y-esm8-arCt*l-2.1n»a,m»/^ (IV)

Die Formel für den Normalkreis wird sein

cotg £ — sin (p + a>) tg V, 8 cosa Bestimmen wir jetzt p. Dazu haben wir:

cos2 fl sin" £ cosec'Cp-f qp) ~ ^Yi^ecos^ = * +

folglich nach (IV)

p-\-q> = — (6sina — <p) oder p=— Osina

Dieses war zu erwarten, weil der Normalkreis durch den Punkt gehen muss, worin der sich wälzende Kreis die Ebene berührt. Der Normalkreis ist in diesem Falle also

cotg ^ — sin(^>— 6 sin a)tgVtö cosa

Setzen wir endlich den Fall, dass a — 90° ist; nun bewegt ein Kreis auf solche Weise, dass sein Mittelpunkt in dem Gipfel eines Kegels liegt und seine Ebene die Kegeloberfläche berührt

Nun ist

cos £ — cos b cos 6

und

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Ekama: DU ebenen und die sphärischen eykhidalen Curvtn. 221

tge

unfi

Weiter finden wir

tg4 = cotgft

and der Winkel x, den der Nonnalkreis mit dem sphärischen Radius des feststehenden Kreises macht, gleich 90°. Der sich bewegende Kreis ist also zugleich Normalkreis für die jetzt entstandene sphä- rische Cykloide.

Die Gleichung des Normalkreises ist also

cotg£ — cotgAsin(f>-r <p) Hierin muss p noch bestimmt werden. Man hat:

t«8 / 8 \

folglich

* - 900 " Si

Also ist die Formel des Normalkreises

cotgg-cotgfrcos (<P--£l) Fttr ein anderes Element soll sein

cotgs-cotgftcos (v-jfö)

Der Schnittpunkt der Normale wird gegeben durch

e \ / 8'

C08(*-slnl)-C08 (*~5i»)

8 8'

tg9 e 8~

8in m - 8in m

Nahern sich die Punkte die Curve entlang, so wird

Dc0B*tb . 8

TZ «""^sln^

Dum ~j » •Infi

folglich

und also auch

8

* " sin* t-ft

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222 Ekama: DU ebenen und die sphärischen

Dieses lehrt uns, dass in diesem Falle der feststehende kleine Kreis die Evolnte dieser sphärischen Cykloide ist, oder umgekehrt diese Cykloide die sphärische Evolrente eines kleinen Kreises der Kugel ist Diese Curve stimmt mit der ebenen Evolvente eines Kreises tiberein, denn diese können wir doch auch wie eine Cykloide be- trachten, weil sie der Weg eines Punktes ist, der auf einer geraden Linie, welche um einen Kreis wälzt, liegt.

Jetzt wollen wir die Länge eines sphärischen Cykloidenbogens bestimmen. Bei dem gebrauchten Systeme von sphärischen Polar- coordinaten ist:

de -Äy {d§*+sin»i-<i<j>M Substituten wir hierin die gefundenen Werte für ^ und so ist:

„^i/rsin'asin^a-HJsinie sin^a dt — Rdv y [ ^ +sin»*ün«g

{ 8in»§-8in«6+2coBaBin(a+&)sin&Bin* */»8 11]

sln^^^V[8in*M8in^-cos»(a+ft)-coB^ -f 2 cos ? cos a coB(a+ b)\ -j- {sin a cos*6- sin a cos r$- (cos §-cos b) cos a sin b) *] Rd%

:.d» — V{ — coB1$Binta— 2cosS8inftco8aBina-{-8in>acos*&

-j-28inac08asiniC08&]

— ^-^rföV[— {c08^8ina+8iniC08o}'4-8ina(a-j-6)]

= gjj rf» V r— {sin (a+b) -2 sin«a sin (a+6) sin* »/i e ! *+ sin»(a+ft)|

also

2Äsin1a8in(a -f-A) . , — -

~ smi 8m K cotg* a + cob* l/l 6

Die Länge eines sphärischen Cykloidenbogens ist also

271

2Ä8in*aBin(a-f-&) P . ÖJQ_/— r~i — i rrrz

L — gin& / 8in,/terfeycotgÄa-f-co8,,/*e

Sei

cos1/«8-? -BinVtöd«-2dy

und

i

Nun ist

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Ekamax DU ebenen und die sphärischen cyhloidalen Ourven. 223

y dp Vcottfa + y* - VtyVcotg'a +^7tCOtgM(jr4VcotgM-y*) llfO

/

Vcotg'a + y» - V.COSeca+ V,C0tg«ai

cotg<

and

2Äsin(ö+*)

{8ina+cos»a/i±^} (7)

sin*

Fflr a — 90° wird

X, = 212 co tg 6

Den Teil der Kugeloberfläche, der eingeschlossen ist durch den fest- stehenden Kreis nnd durch den Cjrkloidenbogen , finden wir auf die folgende Weise. (Fig. 8.)

arc^C— arc£C und arc^C— arcCÖ

also

arcCC — arc BD

folglich ist

arcCC"=(*— »)Äsina

Der Winkel COC' ist nun (»-®)^f, aber

WkL COC - WkL BOB'

folglich ist

ucBB'—* R(n — 8) ^^sin^ die Oberfläche eines unendlich schmalen Streifens BB' wird dann sein

Ä*^(«-e)sin|^ Und die Oberfläche O' der Figur AD'B'C

n

_,sina p

e)sin{dS

Wir haben gefunden

sin$dS — sin (o-f 6) sinasinede

also ist

so ist

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224 Ekamal Z>ie tbenen und die »phärischen tykloidalen Curvtn.

sin*'

o'~ Ļ8TnT sin(a+6) / tsint*

die Integration giebt

Die gesuchte Oberfläche O ist gleich an zweimal die Oberfläche der Figur AD'B'C vermehrt um die Oberfläche des Kugelsegmentes C'B'D'. Folglich

0 = 2*A* g~ x— + 2n R* (1 — cos a) (V)

= 2»Ä» 1^S" | (1 + cosa)sin (a+fc)+sin b\

- 2*Ä*(1— Cosa) | COSa)-f-(cos8a+cosa-|-l)| (9)

Wälzt sich der eine Kogel innerhalb des anderen, so wird (V) n 8in8asin(6—a) , A

2ltR sluA + 2« Jl»(l - COBa)

Und also ist die Oberfläche der Kugel, die durch die beiden Cy kl oid an- bogen eingeschlossen ist

* 2 \

2nR* | ~~ (2 sin h cos a) + 2 ( 1 - cos a) J = An R* ( 1 - cos8a)

(10)

Ist b = 9d", so ist die Oberfläche, durch die Cykloidenbogen und den Kreis eingeschlossen, nach (9)

2«Ä*(1— cos a){cos*a+ Cosa +1} = 2* R*(l — cos'a)

Ist a = 90°, so ist die eingeschlossene Kugeloberfläche gleich

2*/?2{cotg&-f-l}

Bei der sphärischen Kardioide, wo a => £, wird die Oberfläche

2itR* (1 — C08a) {2cos> a+2cos a-f-1 }

Fügen wir hierzu die Oberfläche, welche der feststehende Kegel aus der Kugel schneidet, so finden wir für die ganze Oberfläche der sphärischen Kardioide

4»Ä*(1— cos*a) Amersfoort, November 1887.

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Bijfltr: Potential eiasr elliptisch** Walz*.

225

XIV.

Potential einer elliptischen Walze.

Von

Ulrich Bigler.

Ton T. VI. Nr. XIII.

Dritter Teil. Tl. Potential der elliptlsehen Walze von der Dichtigkeit 1,

TOD

■J + "B<1« 0<Z<c, In Bezugr auf den Punkt (ac, y, *). (- > c).

$ 16. Ableitung des Potentials. Das Poteutial der unendlich dünnen Scheibe h < ^<A-f tlh

X

S »3

sei /WA. Wenn =- 1 — ji^ — ^_j:tt - — —• und IT1 = {A + u){B+u)u (U, ~W pos. für u > t)i so wt

OD

c

und es gilt / Rdh zu berechnen. Die Umkehrung der Folge der

Integration bereitet einige Schwierigkeit. Die Werte von * und \\\ die zu h — 0 gehören, seien mit t0, W0 and diejenigen, die zu h — c gehören, mit f,, TT, bezeichnet Die Differentiation der Gleichnug

'f"«(0 — 0 gibt

L«r Math. u. Pkjw. 2. B«tte, T. YU. 15

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22Ü

Bigler: Rttential einer elliptischen Wahn.

und zeigt, da *-~ pos. ist, dass t sinkt, während h steigt; also Ich betrachte nun h als Function von t und erhalte

Man denke sich ein rechtwinkliges Coordinatensystem Fig. 21. Auf der Abscissenaxe werden die u und auf der Ordinatenaxe die t abgetragen. Die dritte räumliche Coordiuate im Punkto (<, u) stelle den Wert des lntegranden dar -, die Integration nach u erstreckt sich

Ober einen unendlich schmalen Streifen FG, der im Punkto F auf der Halbiruogslinie des rechten Winkels beginnt und sich bis in den Horizont erstreckt. Die Integration nach t summirt alle diese Streifen von t «= *, bis / — <q, also von A bis B. Das Doppelintegral dehnt sich also über das Trapez ADEB aus. Zum Zwecke der Umkehrung der Folge der Integration teile ich dieses Trapez in zwei Teile ein. Der erste Teil umfasst das Dreieck ABC und der zweite das Recht- eck BODE. Integriren wir zuerst nach f, so läuft diese Variable im ersten Teile von tt bis u und im zweiten von tt bis während die Variable u im ersten Teile von tt bis ^ und im zweiten von t0 bis -f-oo läuft Es ist demnach

Das erste innere Integral ist / Wdh, wenn als untere Grenze

ä0 derjenige Wert von h genommen wird, für welchen W verschwindet, der also durch die Gleichung

c

bestimmt wird. Man setze nun

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Bigler: Potential einer elliptuchen Walxe. 227

so dass

uTT*- P(t*) — (*-Ä)s

wird. Das Integral

führt also zu Kreisbogen. Es ist

P(<) — (z— A)* und weil z— A positiv, so ist

(Die Function P(u) nimmt ferner mit wachsendem u zu). Wenn daher

— coa Vi / ------ — COSqp

p(u) yi>(M)

folglich

^>/u — Vi'(u)8iuqp

gesetzt wird, so ist

dh = Vi7 (u) sin q> dq>

und

/ — P(u) p P(u)

Wdh — Jtln*tpdfp=z~fö & — 8"» 9 cos?)

rp(u)

Wenn h = A«, so ist W = 0, folglich auch q> — 0. Wenn A -= so sei qp — 0, , und wenn A =» Q, sei ? — 0O- Also ist

ebenso

t

Man hat also

16«

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228 BigUr: Potential tiner elliptischen Walte.

Man versuche, die anf die untere Grundfläche (ä = 0) und auf die obere (A — c) bezüglichen Ausdrücke von einander zu trennen.

9 — h ,

Wenn t* sehr gross wird, so nähert sich cos 9 dem Werte tt^% also also , dem Werte | - Das Integral f^-^ verhält

sich für ein sehr grosses u wie y * kann also nicht bis zua = ao

geführt werden. Wegen dieser Divergenz der einzelnen Integrale muss die Zerlegung dos Pot. V in Einzelintegrale mit Vorsicht ge- schehen. Das Integral

./!S(f-*)*

convergirt an der untern Grenze wie

Man kann also schreiben:

«O OD

.00

Das Integral des ersten Termes, unbestimmt gefasst, ist

«

Der erste Term ist also «VZö (£(«<,) — £(*,)). Das Potential der elliptischen Walze ist nun für * > c durch den Ueberschuss einer Function von ~ über dieselbe Function von z - c (wenn ar, y fest bleiben) dargestellt:

v = VTb [nLM + g - «,) * ]

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BigUrl Potential einer elliptischen Walze. 229

■

Man kann diesen, Ausdruck durch F(m) — F(» — c) wieder geben, wenn man die Function F(»), zunächst für ein pos. auf folgende Weise definirt

Es sei

W' = 1--TT7-

identisch mit <-^<£^, Mi>0>r>-#>-r > — A.

«•)--(*-4i-Äi)

VPsinij = s

Wenn * pos. nnd grösser als <, so seien C7, TP, yp pos., 0 < rj < ^. Endlich sei

dann ist

(Die Function ist nun diejenige Function, von welcher Herr Hattendorf in seinem Buche über Schwere, Elektricifät und Magnetismus bemerkt, dass sie sich durch ein einfaches Integral nicht darstellen lasse). Auf dem u Felde nehmen wir zwei Ueber- gangsliiiien an. Die erste verbinde den Verzweigungspunkt t mit dem Ostpunkte und die zweite die Verzweigungspunkte t" und f.

Auf dem südlichen Rande der ersten Uebergangsl. seien V P(t*j, W, U, n pos. Um die Differentiation bedeutend zu erleichtern, ver- wandle ich die Function F(») in ein Scblingenintegral, das den Term L(t) in sich aufgenommen hat. Weil

J Wuau du *P(u)WVn

so ist

f ö$s**»HM*OI + f £(«)

»pf

PWVu

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230

Bigler: PoUntial einer tllipdnhen Walte.

folglich

L(u).ri — 0

Daher ist

00 OD

PWVu

du

folglich

X

m -Vau Hl (.) + ' *) *

t

Ein ganzer Umlauf, der weder 0 noch * einslhliesst, um t führt W, folglich auch den Integrand in soin entgegengesetztes Uber.

Man kann also aus dem Ostpunkte um / eine rechtläufigo Schlinge logen, die 0 und * draussen lässt und auf der Realitätslinie östlich von t auf dem Südrande der Uebergangslinie W zugleich mit du pos. annehmen. Für einen solchen Weg ist

§ 17. Nähere Betrachtung der Function F(z).

Dieser Abschnitt beschäftigt sich A) mit der Function F(a) selbst, B) mit ihren ersten Abgeleiteten und C) mit ihrem Differential- parameter zweiter Ordnung.

a) Fortsetzung der Function F(») aus der Gegend, wo x pos. ist, in die Gegend hinüber, wo z neg. ist, während *, y ungeändert bleiben.

9t) # > 0, d. h. der Punkt («, y, 0) liegt ausserhalb der Ellipse. Die aus der Gleichung W% — 0 hervorgehende Differentialgl.

zeigt, dass, wenn z pos., dz neg. ist, dann dt neg. und dt\ dt" pos. sind. Wenn also z auf 0 sinkt, so sinkt t auf « herab und t' und <" steigen resp. zu 0 und *" auf. Der Schiingenweg, der im letzten Ausdrucke für F(z) die Realitätslinfe zwischen » und t durchschnei-

FW - j Yab/( m ^+ .£)*

A) Die Function F(z).

(gilt auch für V, r"

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Bigler: Potential etner elliptischen Walze, 251

den soll, kann zuletzt nicht mehr zwischen durch. Da nämlich

P* 1

=- den Terra enthalt und

P u — *

1 Y(Ä + u)(B + u)

wyu V(M-o(«—0 («-«")

P P' P du ist,80wirdy L{u)—^-^du unstetig wie ConstX J j -| d. h

wie — und ein Teil de8 Ausdruckes für F(z) nimmt die Form V(«-*)

0 X oa an. Um diesen Uebelstand schon, wenn z noch pos. ist, ab- zuwehren, verbinde man die rechtläufige Schlinge um / mit einem kleinen rechtläufigen Kreise um 0 zu einer vom Ostpunkte aus um « und t gelegten Schlinge, welche die Realit&tsl. zwischen 0 und s durchschneidet, und addire das auf einen rückläufigen Kreis um $ bezügliche Integral. Zunächst soll dieses letzte Integral berechnet werden. Weil W auf dem Wege nach dem Ostpunkte hin pos. ist, so ist es zwischen 0 und also auch in *, südlich lateral.

also

in u — * ist

X% Z*

ir»-- .«551

»L(u) _ JUj) WVu "~ i

P* 1 Von p- kommt nur der Term in Betracht Also ist hier

folglich

F{m) - YÄB nUß) + iYÄB f( Hu) + a ^) *

(Weg eine rückläufige Schlinge aus dem Ostpunkte um $ und l; die Realitätsl. wird nur einmal zwischen 0 und $ durchschnitten ; östlich von t können Hinweg und Rückweg in die Realit&tsl. fallen und W ist dann auf dem Rückwege pos.)

Dieser Ausdruck gestattet nun den Durchgang von * durch 0. Wenn * und y fest bleiben und nur z fortwährend abnimmt, so bleibt «, daher auch der Integrationsweg, unverändert. In jeder Stelle

P'

dieses Weges bleiben ^ und U und L unverändert ; nur W variirt,

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232

Bigler: Potential einer elliptischen Wabe.

gebt aber nie durch 0 und kebrt daher, wenn « in seinem entgegen- gesetzten Werte angelangt ist, auf denselben Wert zurück. Man bat also

SB) * < 0, d. b. der Punkt (*, y, 0) liegt innerhalb der Ellipse.

Wenn % von einem pos. Werte auf null herabsinkt, so sinkt t auf 0 und <', «" steigen resp. zu «, *" auf. Der Integrationsweg der Gloichung

(Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ostp. um t allein) ist zuletzt nicht mehr im Stande zwischen 0 und t hindurchzugehen. Man er- weitere ihn daher zu einer Schlinge, welche die Realitätsl. nur ein- mal , nämlich zwischen s und 0, durchschreitet und während der ganzen Zeit, wo z abnehmend durch 0 hindurch geht, fest bleibt, und addire zum neuen Integrale dasjenige längs eines kleinen rückläufigen Kreises um 0 allein. Dieses Integral um 0 soll berechnet werden. W ist zwischen 0 und t südlich lateral, kann also durch

also

folglich

(Weg wie oben) F(«)4-F(— z) - 2YÄBnL(s) F(0) - V AB nUß)

.V(l— «)"(«— t')(u—?'j

dargestellt werden. Von

V(A + u)(B + u)u

P' l 1,1 1 1

P ™ ü u — f u — «" A+u B+u

kommt nur der Tcrm - in Betracht wird

oder einfacher

zL(n) izL(u)

wird iL(0) uud gibt mit multipl. und integrirt 2tX(0);

H

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BigUr: Pbtential tiner elliptischen Walze.

233

%w ü y{9t-P) 1

gibt

— ü» Pdu W

VÄßJ « ™ yz»

Man bekommt so für ein pos. ■:

F(u) - n VAB L (0) -nz' + t YÄB J [l («) . + « f ) rfu

(Schlinge ans dem Ost punkte nm nnll und t, welche die Realitäts- linie im Endlichen nur einmal , nämlich zwischen s und ') passirt Wenn östlich von / ein Teil des Weges in die Realitätslinie ver- schoben wird, so sei W gleichartig mit du; es ist dann gleichgültig, ob die Schlinge recht! autig oder rückläufig sei). Weil der Weg fest- liegt, während % sich bewegt und in seinen entgegengesetzten Wert übergeht, und weil dann W zu seinem froheren Werte zurückkehrt, so gebt jedes Element des Integrals in seinen entgegengesetzten Wert über, wenn * in seinem entgegengesetzten Werte angelangt ist.

F(-«)-«yi*z(o)- *a*-n/Zö f(L{u).^^+*^)d»

(Weg wie hei F(,))

folglich

*w+ n-*) - 2*(VZßz,«))-«»)

also

F(0) ~„VaBL(0)

b) Die Function F(z) ist im Räume nicht eindeutig; denn sie kehrt nach einem Umlaufe um die Grundcurve, der ihre Ebene das eine Mal innerhalb, das andere Mal ausserhalb schneidet, nicht mehr auf ihren früheren Wert zurück. Die Grundcurve ist eine Unstetigkeitscurve der Function.

Man wähle 4 Punkte (bei denen die zwei ersten Coord. pos. sind) (*„ y„ a^), (ar„ y„ — *,) mit pos. *, und (*,, y„ *,), (ar„yt, — *$) mit neg. «,. Es wird hinreichen, sie nur mit den dritten Coordinaten zu bezeichen. Man führe die Function oberhalb der Ebene z = 0 vom ersten Punkte zum dritten, durch die Ebene hindurch zum vierten, unterhalb zum zweiten und endlich durch die Ebene hindurch

zum ersten Punkte zurück. Wenn die Function F(z) geradezu durch das Integral \YÄB J (l{u) + du (Schlinge um *,

welche die Realitätslinie zwischen t und « schneidet) dargestellt werden kann, so soll sie ihr Zeichen F(») behalten. Wenn aber ihre

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234

Bigler: Potential einer elliptitchen Walte.

Fortsetzung nur mittelbar ausgedrückt werden kann, so soll sie mit F(z) bezeichnet 6ein. Auf dem Wege vom Punkte (»,) zum Punkte (as) bleibt derselbe Integralausdruck; die Function F(zx) geht in F(«t) UDer- Hat der bewegte Punkt von oben nach unten die Grund- ebene durchschnitten und ist in (— *,) angelaugt, so ist

F(— 2,) =s 2n^AB L(0)t — 2nzf - F(zJ

Auf dem Wege unterhalb der Ebene nach (— *,) geht dieser Ausdruck fort, ohne eiue Aendorung zu bedürfen,

F(— *,)= 2nVÄB 140^ — 2712^— Ffa)

Auf dem letzten Wege von nuten nach oben zu (z,) zurück bleibt L(0) w&hrend der ganzen senkrecht aufsteigenden Bewegung sich gleich, *,* sinkt auf 0 und steigt zu *,* auf; F(z,) eudlich wird zu

2nYÄBL(sl)-F(zi); also ist

FW - F(*x) + 2nVAB(L(Q)-L(s1)) — 2nz,*

oder

F{z) = F(*) + 2*YAB(L{Q) — L(8))-2nz*

wo t die grössere Wurzel der Gleichung — — — 0 ist, mag diese

positiv oder negativ sein. Die Function F{z) ist also im Räume mehrdeutig; denn mau kann die Grundcurve mehrmals umlaufen,

wodurch immer das Hinzutreten desTermes 2n VÄB(L(0)-L(s)) ~2nz* bedingt wird. In allen Punkten des Raumes, welche der Gleichung

7+5 ~ 1 genügen, ist

F(m) = F(z) - 2jm»

d. h. ein Umlauf von einem solchen Punkte aus in der angegebenen Richtung um dio Grundcurve bewirkt das Hinzutreten des Termes — 2nz* zu der ursprünglichen Functiou.

c) üeber den Wert von F(z) in sehr grosser Ferne.

31) s und t sind beide sehr gross. (t—s endlich oder auch sehr gross.)

Aus diesen Voraussetzungen folgt, daas fc'+y* sehr gross ist und daas z endlich oder sehr gross sein kann. Man lege der Rech- nung die Integralform

F(z) - \YAB f (L(u) (Schlinge um t allein) zu Grunde, lasse einstweilen den Factor iVÄö

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Bigler: Potential einer elliptischen Wake. 235

weg and denke sich den Weg mit Ausnahme eines .kleinen Kreises nm t Östlich davon bis zum Ostpunkte in die Realitätslinie ver- legt.

+^[y.((1+f/+(i+f)*)]

(»+?rt>+s"*-(*+i?-*s+-x»-»f+«s+-)

, A — B . . t A nx ZA+B ,

folglich

A , ^\V« , , , i A — B %tA ,iN A + 3B

{}+;) v+ü) -n-»-^--^ ■-b).-v-+-

Der algebraische Teil von £(u) wird Im log. Teile ist

(man braucht nicht höher zu steigen). Der log. Teil ist also daher

X(w) ~ Ä=B+*X0*U + -^ 8»«~ + "

£ i, > i i _ l _i l. . M n

, 2* 1

u

I* ' u

1 , *"+^ + J3 , *"*-A*-B* ,

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Bigltr: Potential einer elliptischen Walze.

Weil u bei t beginnt, und beide « und t von gleicher Ordnung mit ar'+y* sind, so sind im Anfange wenigstens u und # ton derselben

Ordnung; man kann daher nicht entwickeln.

i y<ii+«)(Ä+io i

wyu y(w = pj (t4 _ pj ' y (ft_ t)

Man kann auch -JL- nicht entwickeln, weü u bei < beginnt. Da- yu — «

gegon ist

(»+^+S-(«+»f-*S+-)-(»+»f-*5+-)

+ 2u 8b» +"

(»+i£+8S+-K*+K+SS?-)

BSl+-sr+ 8«» — + ••■

+ 1(3«'» + 2*Y+ 3<" i + 2 ( ^ + *X*'+ *")-(A- B)*) . ^ J

Innerhalb der Klammer { } bezeichne man den Coefficienten von ~ mit £ r, daun ist

P' 1 _ , , <'+*"+.!+* V+^+ll

Weil die vorkommenden Intcgranden westlich von t nur in « und null unstetig und zwar rational unstetig werden, so kann man den Weg westlich von null schliessen. Wenn die Schlinge um t recht- läutig war, so ist Yu-i westlich von t in der Realit&tslinie südlich

lateral i\(t-u) uud die geschlossene Curve um 0 und »wird

rechtläutig. Sie zerfallt in einen kleinen Kreis um null allein und in einen um * allein, wenn beido Pole vorkommen. Die Verwand-

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Bigler: Potential einer tlliptitdien Walte. 237

long von i, ?, t>t «" in die Coordinaten geschieht so. Multi- plicirt man die Gleichung

mit t nnd entwickelt dann, so erhält man

. i AE*+2y , A**+ B*y*

I — r — ^ T" tt T ••«

und wenn man bei der zweiten Ordnung stehen bleibt

(~ «~ - —

Setzt man hierin ■ = 0, so ergibt sich Ans der Gleichung

(« +A)(u +B)u- x*(»*+B»)-y*(u'+Au) -*A+ u)(B+ u)

ergab sich also

Wenn z = 0 wird, so wird (im vorliegenden Falle $ > 0) i' — 0 t" - also

Mit Vernachlässigung der Ordnung ^ ist daher zP' _ * . Ax* + By* M

M (tt — «) Vtt t

Ax*+By% * ,

Zugleich Bind

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also

zdu z

238 BigUr: Pbtential eintr elliptisch** Walze.

/

— 2* mit einem Fehler von der Ordnung *4

Dieses Integral ist mit AB * — = zu multipüciren. Bei don noch

übrigen Termcn des Ausdruckes für F{%) kann man sich mit der niedrigsten Ordnuug begnügen. Weil

W y(u-t)(u — t')(u — t") U — (.4+u)(/*-f t*)u

x/M t

für ein sehr grosses t zu — -j f- ... wird, so ist

(Weg ein kleiner rechtläufiger Kreis um 0) = 2* . i - + ...

Der Term ilog(4w) in der Entwicklung von L{u), der mit gP'

PFTVu**" zu mu^*P^"ren *8ti verlangt noch die Kenntniss des In-

/z log (4u) . du . — -— (Weg eine rechtläufige Schlinge aus dem

\u ~s)y(u — /)

Ostpunkte um den Pol Indem Vu — t westlich von t in der

Realitätslinie den südlich lateralon Wert — iYt— u bekommt, kann man den Weg in eiuen kleinen rückläufigen Kreis um $ und eine aus dem Westpunkte um null geworfene rückläufige Schlinge verwandeln. Mit Ausnahme eines kleinen negativen Kreises um null schiebe man hinweg und herweg dieser Schlinge in die Realitätslinie. Das In- tegral wird

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Bigler: Potential einer tlliptitchen Walze. 239

- '^zf) ' «-# (Weg ein Weiner rttcklanfi8er nm *)

-f 5 . / ^-^-du (Weg eine rückl. Schlinge a. d. Westp. nm 0).

£1%J (» — u)y{t — u)

Wir wollen das Integral mit J bezeichnen und setzen

j~ i+n

Nun ist

7 = nlog(4*). ; * — wlog4(«*-|-y*)4- ••■ — 7rlog4(rÄ — z*)-{-... V(< — «)

In // verhalt sich das Integral längs des kleinen Kreises vom Radius q wie

/ log (4u) rfu — { u log 4m — u } = 2er*

und verschwindet zugleich mit p. Auf dem geradlinigen Hiuwege

— p ... — iV ist log (4tt) nm 2t* grösser als an den entsprechenden Stellen des Herweges. Ersetzt mau m durch — «*, so hat man also

s

yztlu ; — I — t . — a ss • wo man y — 0 setzen darf.

<*

Es sei t-f u — (< — *)v», a* — , a pos.; dann geht v von

a nach N. Das Integral wird

oo

nz /* 2</v na a-f-l , r-|-* .

" - v -i - ypr, ,og 5=1 " » log r ^. + -

und

J+JJ- ftr log (2 <r +■)> + -

Ferner ist

zjj du zusammen die Summe «• bildet. Es ergibt sich = * VÄB [£=~ + log (2 (r + •)) + 1 j

1 ;

mit einem Fehler von der Ordnung ^ Diese Schätzung gilt nur, wenn z pos. ist; aber z darf endlich werden und bis auf 0 herab sinken: denn -— — — behält auch in diesem Falle noch den Wert 1.

Für ein sehr grosses neg. * ist aber die Gleichung

F{— z) -= 2^VZöü(*) — F(m)

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240 BigUr: Potential einer elliptischen Wake.

anzuwenden. Wenn man die Ordnung \_ vernachlässigt, so kann

man im Terme log 4* des Ausdruckes für L{*) geradezu $ durch ar*-rV ersetzen und hat dann

Da

l0g 2(r+z) =^g(2(r^»)) ist, so ergibt sich für ein sehr grosses negatives z die Gleichung F(-z) - «V35[^=^+lot(2(r-«))+t]

welche sich von der vorigen nur dadurch unterscheidet, dass * durch - z ersetzt ist Jene Gleichung gilt also sowol für neg. als für pos. Werte von z, so lange als * sehr gross ist

Vorhin ergab sich

V («-z)V«r=7 y^7)Vog^+logy*-y(^;

da aber

- — * v<+y(t^*)

so hat man

00

P zlog(4u)dw ] /* zlog(4i*)rft»_

./ (t* - «) V(t^ö = .7 (« - *) y w—t)

eine streng richtige Gleichung , die nur t > 0, < > $ voraussetzt Wenn ■ — 0 wird, so hat man

i

/ses-Sf*"»»

Diese Gleichung , der man im folgenden bedarf, ist so auf leich- terem Wege gefunden worden, als wenn man sie unmittelbar be- wiesen hätte.

93) Nur t ist sehr gross-, • ist endlich und kann positiv oder

negativ sein.

z allein ist also sehr gross, aber x und y sind endlich. Der Punkt (x, y, 0) kann also sowol innerhalb als ausserhalb der Grund-

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 241

«

ellipse liegen. Wenn man alles weglässt, was im Endergebniss nur zur Ordnung p etwas beiträgt, so bat man

L(.)-ilog* + *b|, F— .

1 1 V(u— f)

folglich

-*V^2*(log4* + ^* + *) Weil jetzt

folglich

log (2 (r + .)) = log (4.) + -f ...

sich von log (4z) nnr um ein kleines von der Ordnung \ unterscheidet, so ist dieses Ergebniss schon in der Gleichung

F(z) - n VA B (~EtX~ + log 2 (r +z) -f-

enthalten. Dennoch gilt die Gleichung nur für ein pos. sehr grosses *, was schon der Term log (4z) klar macht. Für ein neg. sehr grosses - * muss man die Gleichung

F(— t) = 2rr iAB L (*) — F(z)

wenn • pos., aber endlich (also gar nicht — x*-f y*), oder die Gl.

F(—z) - 2nYÄBL(0)-2xz*— F(z) wenn $ neg. (aber grösser als — B) ist, anwenden.

B) Die ersten Abgeleiteten der Function F(z).

a) a>0.

F{z)-\l/ÄB /(iW^tt + ^^« (Weg eine rechtlauiige Schlinge aus dem Ostp. um den Pol 0-

Arth. d. Math. n. PhjB. 2. Reihe, T. VII. 1 6

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242 Bigler: Potential einer elliptischen Walte.

Es ist

dL(i

L{u) _2x m

und nach Seite 229

Vu u PW

und weil so ist

drj

Zx~ A +

8u

a / »p« \ a»» a/ i_ y«\ a* Vph' v«y 2 a* a* — Jx* a« \2 + u 1 pwv

folglich auch

a/ «P' W\ 2* *P'

- 2x2 L w & • V ph7 ~" " w

Weü so ist

Li(u) V 'it lOff U

und weil • pyv im 0stPunkte wie i verschwindet, so er- halt man

dF{z) YÄB r V(B~+^) P' ... .

S Ä=Bj X3Y^u) PWVn * <W<* eiDe Schl,D«e)

2VvlZ? r Y(B + u) P'

OD

Ebenso ist

ap(z) Väb r Vü+tt) p' . . ... ,

V = a=bJ »zrt5^h ' rftt (Weg eine Schhngc)

OD

2Vaö / V(w4 + u) P'

- a=b 'J y* —

\n i «p' 2a?

so ist

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und weil so ist auch

Biyler: Potential tiner elliptischen Walte. 243 dz \PW VuJ *du\W Vu)

Ferner ist

Bz\ Ii) "" ü Mfr

somit auch

WeU im Ostpunkte wie } ^ verschwindet und weil

P -z* = uW* ist, so erhält man schliesslich

Der Punkt (x, y, 0) liege ausserhalb der Randellipse. Weil / — * zugleich mit z verschwindet, so kann der Weg nicht mehr zwischen * und t durchgehen, noch auch in t beginnen, weil da das Integral un-

1 BF

endlich wird wie -7=. Bei s- dagegen kann man den geraden y u — « 055

Weg gebrauchen. Um nun auch für die Abgeleiteten nach x und y Ausdrücke zu erhalten, welche von diesen Schwierigkeiten befreit sind, schalte ich in den Schlingonweg einen rechtlänfigen Kreis um den Pol s ein und subtrahire den entsprechenden Wert vom nenen

P' 1 Integral. Von dem Factor -p kommt nur der Term — - in Be- tracht, und W ist zwischen t und 0, also auch in *, südlich lateral. Also

x* y* z* z* , M

A-\-g * * V*

Folglich

/Vß+u P'

2* Yb + *

somit auch

du (Weg ein kl. rechtl. Kreis um *)

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244

Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

BF(n) 2*VäB Y(B+s) VAB P V(B+u) P'du

dz ~ a-b a—bJ m'iXÄT* PW*«

(Weg eine rechtl. Schlinge aas dem Ostp. allein um t und #)

1+13/«

(Weg wie „ei

8F(») 2rr VAB Ya+» VAB P VU + tQ P'rfu

Weil nun diese Integrale ohne den Factor * auch für * — 0 oder < — * einen endlichen Wert behalten, so folgt ans diesen Aus- drücken, dass

dF{0) 2*YÄB Y(B+t) BF(0) 2*YÄB Y(Ä~+»)

Bz - A-B m y(A+i)' "h " A-B *'Y(B+7)

• 5

Die letzten Ausdrücke für und erhält man auch aus

der Formel

F(0) - «Yabl(»)

Liegt der Punkt («, y, 0) innerhalb der Grundellipse, so ist m neg.; nähert sich nun -• dem Werte 0, so sinkt < auch auf 0 herab, und der Integrationsweg kann in diesem Falle nicht mehr zwischen t und 0 hindurch. Man schalte deshalb in die Schlinge einen kleinen rechtl. Kreis um 0 ein und subtrahire von dem neuen Integrale den Wert längs dieses Kreises. W ist zwischen 0 und #

südlich lateral, kann also durch — » "V (*-")(«- 0(^0 darg08tellt

werden. Von

P_ 1, 1 1 1_ 1_

P'^Z^u— «+U-«" A+u

kommt nur der Term - in Betracht Man erhält Y~ÄB P \/(B4-u) P'

- ä=bJ my(Ä+u)'pw7i du (Weg ein Ueiner wd,tL Kreis

um null) — 'olglich ist auch

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Bigler: Potential einer elliptischen Walz*. 245

BF(m) 2nBx YäB P V{B+u) JP'_

Bx ~ A-B A—BJ "y^A+u)' pwv^du (Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ostp. um die Pole t und 0)

BF(z) _ 2k Ay YÄB /» Y(A+u) P' By ~ A-B~T~A-Bj V'yiB+ü) ' PWVudu

(weg wie bei |f) Für z - o ergeben sich ans diesen Ausdrücken folgende Formeln:

aF(0) 2*Bx BF(0) 2nAy

Bx ™ 8y "",4-jB

auch ist

Die Ausdrücke für -5^ ergeben sich auch aus der Formel

F{0) = nVÄB L(0)

Weü

also auch so folgt

b) *<0, «>0 F(—m) — 2 YÄB nL (s) — F(z)

X'M-*ü£s' i>(') = 0

BL(t) 2x Y(B + i)

A-B'yjÄ+4

bf(

'(—*) 4*xYab Yb+» Yab r Y{b+u) p9

0* " A — B 'yÄ+-+A-Bj ™Y{Ä+«)'PWVudu (Weg eine Schlinge aus dem Ostp. um den Pol t)

BF(-a) inyYÄB Y(B+i)_ YÄB P YU+u) P'

a—b 'Yu+~») A-*J ^y^'w«

(weg wie bei ^j2*)

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246

Bigler: Potential einer elliptitcken Walze.

st4-- v»/5*— «lOi/S*

Wenn

a/-(«) » w-*) ' . TT " F(8)' T<-*)~ " /

gesetzt wird, so folgt aus obigen Formeln, dass

- F{z)

ist.

c) * < 0, * < 0.

Für diesen Fall ist

F(— .) - 2« 0/ÄB L (O)-z') - F(z)

Weil

i(0) = .og(Vx+Vi»)+(-r^y-£

80 folgt

(Weg wie oben)

a#x— •) yz» /• v^+« j»_

also ist

F(*)-F(-i) 4*.

d) Die Grund cur ve ist eine Unstetigkeitslinie für die ersten Abgeleiteten der Function F(z). Denn sie kehren nach einem Umlaufe um dieselbe nicht mehr auf ihren früheren Wert zurück.

Man wähle wie früher 4 Punkte (x„ y„ *,), (*,, y„ — «,) mit pos. *," und (zf. tfa *,), (*„ y„ — «,) mit neg. *t und führe die Functionen vom ersten zum dritten, durch die Ebene hindurch zum vierten, dann zum zweiten und zurück zum ersten Punkte. Wenn dF BF BF

die Functionen g-. y, r durch die Integrale

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bigler: Potential einer elliptischen Walze.

247

00

2\AB p A-B.ß

%Yab p V-B-fu P*

CD 00

*Ya~b p Vä+u p' n , — rw

dargestellt werden können, bo sollen sie mit F/z), Ft(z) be-

zeichnet werden. Wenn aber ihre Fortsetzungen nur mittelbar aus- gedrückt werden können, so sollen sie mit einem Striche versehen werden. Auf dem Wege vom Punkte *, bis zum Punkte x, gehen die Functionen /*(*,), in *}Mt *M über.

Hat der bewegte Punkt die Grundebene passirt und .ist in (-*,) angelangt, so ist

*<-%> — Wi = ^4 - *w

Ä(— «i) — — 4»»,— /;(»,)

■

Auf dem Wege zum Punkte (— *,) erfahren diese Ausdrucke keine Aenderung in ihrer Form. Für den Punkt (-»,) erhalt man

Kehrt nun schliesslich der Bezugspunkt durch die Ebene » — 0 zum Ausgangspunkte zurück, so gehen die Functionen Ffa), Ffa) resp. in

— F,^) über, so dass schliesslich die Abgeleiteten bei ihrer Ankunft im Ausgangspunkte folgende Werte annehmen:

mj * jtj \ l VJß+7) 4^,2»

V(Ä+») *

Diese letzten Werte ergeben sich auch aus der Formel: F(H) - F(z1)+2*VA~B(L(0)-L(si))-2xz1*

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248 BigUr: Potential einer elliptisch™ Walze.

e) Darstellung der ersten Abgeleiteten der Function F(x) durch elliptische Integrale.

Wenn

/e«-(tt-0(u-o(u-O, t>o>r>-B>r>—A

also

ü

wenn ferner also

P' 1 , 1 , 1 J_ J_

dann sind fttr ein pos. i die Abgeleiteten

" A—B-'J ■

Aus den zwei Gleichungen ergibt sich durch Subtraction die Gleichung

' Vu+#)w +#)+ (B+sXB+t)) - r

cbenso hat man

) ' VÖ + OM+O +(B4-*")(äToJ " (=7)

Weil nun *», y» *» überall durch pos. Werte dividirt sind, so sind auch t - #, * - r" p0s. Man hat daher

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Bigler: Potential einer elliptischen Walzt. 249

t> *>t'>-B >«"><">

{B+u)*p- ist rational, -g- ist das Differential eines elliptischen

Integrals erster Art. Man bringe zunächst dieses auf die Normal- form. Weil

U—t . u - ~ t u — f 1 , t— tf u—t

t=? - 1 + 7^7* t-t"~ l+t-ef ' t-t'

u t

nnd weil ^—p von 0 an alle pos. Werte durchläuft, so kann man

unter Annahme eines nördlich lateralen Argumentes r, das von 0

yii— t')

nach L geht, als algebraischen Modul * = ^g==== setzen. (Diese

Wahl des Moduls gewährt nämlich in der Nachbarschaft der Grund- ellipse, wo die grössten Schwierigkeiten auftreten, den Vorteil, dass er sehr klein ist.)

und weil also so ist

also

Ä= t (<-<') Y(t—nSvCvDv

u — t—(t — t')S*v

du — - 2(t—t')SvCvDvdv

»du 2* <fo

Ä _ V(T-Ö ' »

wenn Z. — %K. dF{u) 2YÄB

/\du_ 2»

cc

Bx ~-A-b"J V + u^I+Ü + u-^'+Ä+uJ-r

hF(z) 2YÄB Pf A+9 , A , A+*" Ä—B\ du ~W~ A- B**J V^u^^ü+^^'-B+Zj'R

i

Man hat also nur fünf vollständige elliptische Integrale dritter Art

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250 Bigler: Potential einer tUiptnehen Walxe.

OD

/% du . U — $ K

Weil u—s *~ t—s -(t—t')S*v und t — so ist es passend u — t — (» — «HS1« — S*v) zu setzen; dann sind

V(t-f)' V(«-0

alle drei pos. und 0 < o < K.

2z 1 p dv

integral - (s,a__sh))

Anf dieses Integral wende man die bekannte Formel

Ii

/8a Ca Da dx » wo S^a-S**' » ~ 2 ~ 2/T~*'

und weil

(* - - Q(« - Q x«_ ^

so ist

V(*-#)<«-0<'-0 - * Vm+^m

somit

(,_«') V(,_,»)

also

2 rSaCaDa dv

***** " vM+t)(ll+#)y K=S'T

oder also auch

Wenn «'-*-«, also 5a' - ^~°/(* so ist

Integral - I 7 Jf^ 4- 1 — • (nr -f 2K' Za\

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 251

oo

du

/z dv ÜB

Man braucht nur in der vorigen Rechnung 0 an die Stello von * treten zu lassen und setze daher

V-yÖTTy cß=W=F? Dß~V^)

SßCßDß -

0<ß<K

Vi?? »VÄ#

Es ist daher

_ + * Mr+urzß)

(__ f) y (t - 1") T Vab \ K T r 7

wenn

folglich

OD

/» a du Berechnung von J j^yg

Weil „_,"-t_.»-<« — und <-<'< «-*"<<-<", also l— tf _ 1 <-f f— i"

1=7' < !» aber p • ?zy " > 80 bekommt dor Pa" a, wenn man u-«"= (l-fl(l-^ÄA) setzt, die Form K+iy, wo 0 <y < und

also

«* - ' y^T)' c,y - yö^T)1 ^"y^'Töwö

Integral - j—^ ypjfjj D*iy-k*C*iyS*v' i

o

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252 BigUr: Potential einer eUiptiecken Walte.

Auf dieses Integral wenden wir die Formel

L

rSiy.Diy l* dv v,(Siy.Diy Ziy\ n J idy D*iy — k* C*iyS*v ' 7 " * \~cTy i) ~ 2

1

2K

an. Weil

psiy r-t" y(,-0(<<_ vv-fl " y(7'-,'v~<"j

so ist

2» iCiy.Diy 2»

/OD

Weil

und 4+/ > t— <", so kann man

4+u = (4+0(1 A)

wo

sa.^EZ c^V@+ö ^_Vü+ö 0<a<:-

Wir wenden nun auf unser Integral die Formel

L

rCaDa dx r Ca Da m.m . r ^

/ Sa 'l-k*S*aS*x~J' Sa ~2^2K+LZa

o

an. Weil

ss _ y(7"~?/)7^+7j _ u+tyyö^n a Di y {A + (i} ( J+ ^ " *y r(

so ist

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 253

Integral 2K' + + 2K'Zt)

Wenn 3' — also .

so ist

Ä 00

/* 1 du Berechnung von y *

WeU /— <"> £-f-* > l—f, so liegt, wenn

B+u - (^+0(1- tfÄSV) der Partmeter a zwischen K und tf-f-Z,. Nnu ist

ViB+if VB+i VB+t

Setzt man a - K+it, wo 0 < « < K\ so ist

. 2 *w p dv

integral - r .— DNi-VCNtBh,

WeU

V(Ä+#).(i-oi

so ist anch

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254 Bigler: PoUntial einer elüptiecAen Walze.

.„esra. . ... / A^^-fa^*

2 P Sit.Di

" VÖB-f/)(Ä+<')(-Ä-067 ' <Ok

2K' Kl^~2~rKt

(B+t')Y(t-t") yYB(A-B)

Es ist also

OD

idu 2t

OD

00 a du 2iTa 1

Cl du 2K'

B+u R (Ä+<)V(<-0 yV(A-B)B

(?+«" f )

So-y(7^- ^-y(r^ö' s'y " ' y(CT)

_ vii+n . v-B-f

gesetzt wird. Aus diesen Formeln folgt

9F(m) &ABx\ (Y(B+s).VB\,n / YB+* VB .

sc """2=1 r\^|3+w+i v ya& v*ß

^—tt' ^A—-B z_ \ 2K'z (B+t' Ä—B\

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BigUr: Potential einer eUipthcken Walzt. 255

-^•5--)J .

V^-fV' VA-B «\ 2*'« /ii-H' _ 4— B\

/ y^g< vir?

+-7B-'i'—)\

dF{t)-^Äh\ 2K> (\ - £-\ -

T vy^ü Va(a-b) ^Vb(a-b) 'AI

-sr - z Cyp=^^+ yöS)

f) Angenäherte Ausdrttke für ^jj®, in der

Nachbarschaft der Focalellipse.

Man wähle in der Focalellipse einen Punkt («r0, y0, «0) , wo ar0l y0 pos. sein mögen. Ausser der Gleichung

^B 1 genüge er noch der Gleichung

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250 Bigler: Potential tiner elliptUchen Walze.

A+o + B+a " 1

wo

__ Va(a+o) Vb(-b-o)

und die Abstände der an die Ellipse und Hyperbel gezogenen Tan- genten vom Mittelpunkte V(^-H^^"g> sind. Bedeutet

tj den Winkel, den die nach aussen gerichtete Normale der Ellipse im Punkte y0) mit der x Axe bildet, so sind

Vb(ä -f g) . Ya(-b-*)

Der benachbarte Punkt (*, y, *) befinde sich in der durch (a*0, y0, 0) senkrecht zur Tangente der Ellipse gelegten Ebene und sei um r von diesem Punkte entfernt* Der kurze Strahl r bilde mit der genannten Normale den Winkel 0. Dann ist

* — xo-f-rcosifCO8 0, y — yo+rsinijcosö, * — rsinö

Die Abstände des Mittelpunktes von den Tangenten der Ellipse und Hyperbel im Punkte (*0, y0) seien mit p und p" bezeichnet, so dass

VÄB „ V(A + ff) (— B - ff)

P =

Ferner sei

L 1 1

ri ° a ~r o

* (-ff)

Ich stelle einige bekannte Gleichungen und Ergebnisse von Neben- rechnungen voran, damit die Hauptrechnung weniger unterbrochen werde.

x*i i<l L s£ _t_ öJ i — «

4i -h ü% - pi • [3 + c)t + (Ä+ ,)f - j/S - u + a) (_ * = o)

f o* i Vo* J_ ar0 cos iy y0siniy _ 1 gpCos^ y0sin 77 il»1"«'"^ A B —p* A + o~r B + o " u

^osj5 ypjin_5 J_

cos'i? . sin*^ 1 ,4+ff+Ä+o- (-ff)

Die Differenz « — «" soll durch Subtraction der zwei Gleichungen

cosij , yo8inj7 J_ cos'q sin'iy 1

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze . 257

berechnet werden. Man hat oder

Also ist <y — *" kloin ven der Ordnung r* uud wenn man sich mit dieser Ordnung begnügt, kann man den Factor o — m" durch

*o' . yo*_ ~°

tA+a)*^ (B+6)» {A+9H-B-*)

ersetzen und bekommt

„ (A-\-a)( — B — a)

>W0-f ...

Die Differenz f soll durch Subtraction der zwei Gleichungen

«* i _y*_ I i* ! _i_ - 1

berechnet werden. Man findet:

Diese Gleichung zeigt, dass f von der Ordnung rÄ ist. Begnügt man sich mit dieser Ordnung, so kann der Factor von $"— t" durch

und die rechte Seite durch -7— T ersetzt wer-

den. Es ergibt sich also

ö~' (-0)*

Die Grösse * wird durch Subtraction der zwei Gleichungen

V , yo* 1 1 y* _ 1

gefunden. Es ist

Art*, d. Matt. n. Phy.. 2. B«Um, T. VII. 17

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258 BiaUr: Potential «,W elliptUchtn Walze.

, y* ** y' _ *• —V , y* — y0* A' B A+8 A * B

* • Uu+*)+ «b+iJ 2rC08*\ "X"" + "rj

+r>coa>6 + ^) - *f*+ — ~ö

Man muss nun auch den Factor von « auf zwei Ordnungen ent- wickeln. Es ist

rof+&roCO8»J.rCO8 0-f r*C0S*»?C08*Ö / 8 , \ ^ \l-A+-)

y0* 4- 2y0 sin 17 . r cos 0 -f- r* sin »iy CQ8*fl / \ ' B* \ B • "7

o /«b^iyo«»^ 1 , 2rcos<9 * 2r« cos ö\ - Jr*cos 0. y A% + jj, ) - + - pc M )

In tiefster Näherung ist daher

* — 2j>rCOS0-f- . . .

Der Factor ist also \ mit einem Fehler zweiter Ordnung. Also ist

8 =- 2prC08Ö+'^ rÄC08,ö-f ...

Zweigliedrige Berechnung von /, f. Es gelten die fünf Gleichungen:

14* 4 1» « **+y» +,t _ W 4. B), <"•(« + «') + «"- iiB-Ät«— ily«— (il-f-B)f«, i4ß^,

jr*- (i 4. B), Bf-AB-Bifi—At» Aus der ersten und vierten ergibt sich

(klein zweiter Ordg.); die dritte gibt

AB**

—

Aus dem obigen Werte von *"— «* folgt

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 259

folglich

^p==f»r COS ö+**£.r»

Ferner ist

» - _a+(ff-0" "^"l1 =T + -J

tf t"

Weil aber *— ? klein zweiter Ordnung ist, so kommt nicht

mehr in Betracht. Man hat

«' = — pMsin»ö + r».0 + . . .

Das vorige gibt

( t"")' ra?2rWö + £rscosd + ... nnd wenn man snbtrahirt, so erhält man

C"Tr),"*M+S,*il,i+-

— - = pr + } COSÖ + . .

Weil

t+i1 a . . p*r*

so ergeben sich die Gleichungen

<=|>r(l+co80) (l +

f ^(l_C08ö)^l-^4....)

Berechnung der Parameter.

Zweigliedrige Entwicklungen hat man nur bei den Parametern e, 0, d', t nötig; denn y ist schon klein erster Ordnung. Auch k* braucht man nur eingliedrig zu kennen. Man hat

Wenn

Är — sin 9

■0 ist

17*

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260 B igten Potential einer elliptischen Walze.

2K /1.3 ... (2n-l)\*

JUsn—1 2 4 21 XiS" £ 3.5 ...'i2i+l)8inM'»

Für den vorliegenden Zweck dient

Weil also

und weil so ist

«r — — .9— >&*8in<pco89+ ...

„ = 1 — ...

-x = v — J&»(<p-J-8in<pco8<p)-f ...

£(?) — <p — lk*(<p — 8in<pcos<p)-f- ... Zx = J/c8sin<pco8 9>-f ...

Berechnung von a.

V«-t')

Da

t - 8 - pr (l-cos ö)(l + | *~ (1 + 2 cos 6) + . . .) t-f-2pr (l-f i^cosö-f ...)

so ist

fr - sin |. (l +l£«rff + •••) - »inf+co, f. i^nS + . .. und sei = sin 9, dann ist

6 . , prsin 8 9 ™ 2+* — c~ + '••

also

Berechnung von 0.

Vit - O Weil

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so ist

folglich

daher

Bigler; Potential einer elliptischen Walze. «-^(l + COS*)^ + *£ + ...)

<-*< = 2pr(l + *f C08ö)

- — = cos» 3 .8in»2 + ...j

aa 0,6 .prBinß

Sß — cos 2 + sin 2 • t q h ■ • • sei — am <p

n — 6 , pr sind .

P — ä— - • ö -f-f ^ 1 • _a +

Berechnung von y. Bei

Äy-i— L==L

kann man geradezu setzen, wo

also

y — — -j . rsinö-f . ..

(— o)l

Zy ist klein zweiter Ordnung.

Berechnung von o\

eJ|/ V(I+7) . So = - = sin <p

Weil

^ + «"=*+<f+0.r + ... jt-H' = -<l— — cosö) + ...

so ist

262 Bigler: Potential einer elliptischen Walzt.

8inv-^p(i+1C(1-oose) + ...)

Wenn 80 ist

cos«-w, «-log vÄ-—

9» - «-H yiyj (1 - cosö)+ ... - a + i — ^-jj—

X ~ (1-0080) +

. 2A' V5C4+crj rcos* ,

Berechnung von c.

»fin z == 5« — - . — Y(E + 1')

Setzt man

= l0g

so ist

^ — -B — 0 pr

wo

frl-fr»+«IM y_0 • ^(1-CO80)

V-JB-q p . V-B-° VA ^Aj-B-T). 1

Also ist

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Biqltr: Potential einer elliptischen Wake. 263

* +t VB — * ^(1-c08

V_g(-B_ff) V^-B-g) rcogfl

» ~ vjj • _ff

Wendet man diese Näherungswerte anf die Berechnung von an, so ißt

B /l 1 2\ . _ 4 — -B A_t_

X rsind-l- ...

folglich

/V5+^ yB\ t /VF+7 ,vb v

+

XrBind(1-2a7^)+

Was innerhalb der grossen Klammer mit 2J5T' mulüplicirt ist, ist von der Ordnung r, weshalb man eingliedrig rechnen kann.

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264 Bigler: Potential tiner eüiptächen Walz*.

z + ? A — B\ r sind ( B A - B\

y • V-*''+^+Wavr;V-«+~^J+••• —r und sZd' sind von der zweiten Ordnung und kommen nicht in

Betracht.

Der Factor von 2K'= A ist also

^rsinft-f" •••

Fasst man die Teile zusammen und multiplicirt mit — A^ß c, so be- kommt man

dF(z) 2*B 2VB r 2aV~*\

Weil

so geht der Factor n -0 von rcosd in ^ übcr- Ferner ist

y*

Man hat also

_2cos rrsinfl^+1_??^

(^t—ß)i L V V(^+o)/

-frC08Ö.(^-e)] wo

ut

Ohne neue Rechnung, durch blosse Vertauscbung von m mit />. kann man hieraas -g~ bekommen. Nur die Vorzeichen erfordern einige

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Biglert Potential einer elliptischen Walz*. 265

Vorsicht. — c liegt immer zwischen A und By welches von beiden Halbaxenquadraten auch das grössere sein mag. Man darf also

—o^A- C'coss£, A — B = c

setzen. Dann ist

VÄ+~o

und kann auf einem pos. Werte festgehalten werden, während C (aus dem pos. Zustande in den neg.) durch null geht, muss also, wenn man nach geschehenem Durchgänge B für A und A für B

schreibt, durch yj^f^ dargestellt und pos. verstanden werden.

2nB1/A V~iX<T Aus . — tt . ■■ _ wird also

ZxAVB V—B~g

' Vä~^Tb

und aus • wird

— . — ■ — sin 77

— <7 VA — B 1

Dem Ausdrucke — r7==F= gebe man die Gestalt

VA -\-o

iV(A+o) l0« V VA /

Es ist dann gleichgültig, ob man A + o durch V—B-a oder durch — V— -ß g ersetzt, weil

1 , / - VITß-ltA

v=^10« V vä y a

v-s-tf10« v /

ist Der Ausdruck geht also in

VZTß-^ 10g VB — V-B-o

über, und man bekommt

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266 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

BF(m) 2nA Vl(-B-o) T I 2b V"« \

~w — s=iji — 28111,7 r Bin 9\A+ 1 " 7=5^)

wo

Va(-b-o) _ . y-tf+V-B-g

Bei der Berechnung von -gj- ist

O rCOSfl g~ff) rCOSfl

— 2 Ä — B ' -o 2 ^— /? ' -o

2z =-2Ö.rsinÖ

= -r(l + C08Ö)

VA yZit A{—B—<f) r

yA-B « " *-B •

«Z/f kommt nicht in Betracht. Also ist

+ 2rcosö(-^-l + 2 ,T J v— J

- 2rsin«.Ö

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Biglen Potential einer elliptischen Walze, 267

Man soll mm ^dz + ^* integriren, indem

ff festhalt nnd nur r, 6 variiren lässt. Man setze 2 — rcosö, ^ = rsind

also

6 = arctg-

Weil

rfas — cos i? .dj, <ty — sin V dt > * — *f

so hat man

__ an») . •

i. £s sei dann noch

N = dF(9)

so dass Md%+Ndy zn integriren sein wird. In der nullten Ord- nung bat man

2n\'ÄB 2AB -f \A + B)o In der ersten Ordnung hat man vorweg ohne Mühe 2%0 - 2iK^+l)

4,^—= +3sin^ ^==) und

- **X • Ä • cos«*- ^T» 8m^J ~ 2** •

Also __

2«V^Ä 2AB+ (A + B)o M~~ V—Q ■ (A-B)'

+ ^(-2^-2+4.^^^)

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268 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

Die meisten Terrae Md% + Nfy können unmittelbar integrirt wer- den; nur -2A(vdx+idrp) + 2e(xdi—ydv) erfordert die Methodo der partiellen Integration. Beachtet man, dass

weun

dass also das vorliegende Differential

- tf.(-2^.^+e.tf ^(v* (*+*)

+ ^(f-?))

wo

- L * - «") - - hd-<*' -<?) -

ist, so erkennt man, dass das vorliegende Differential =.d.f(_2^-l)^ + ö(Z»-^)]

ist Intcgrationsconstante ist der Wort von F{z) im Punkto (ay>, y0) der Ellipse. Hier ist aber

F(0) - n YäB L(0) - (log(W + VÄ)- ^

■ (tog <vi + v *) - V" u +*+ »*>) . „ yg

Endlich ist mit einem Fehler von der Ordnung rMogr die Function

y— ff • (A-B\* rcosö

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Bigler: Potential einer elliptischen Walte. 269

+ 4^~g^* (atanga+Ä tangi) . r sin 0-f r» sin20 (logp~ - 3

Wir machen eine kleine Probe. Wenn a nnd r fest bleiben, aber 0 nm 2* wächst, so nimmt dieser Näherungswert von F{z) um 2;rrsco82fl zn. Im allgemeinen nimmt aber F(z) nach einem Umlaufe nm die Ellipse nm

2*VÄB (£(0) — L(*))-2nz*

zn, wenn

Es soll nun untersucht werden, ob für ein kleines r dieser Zuwachs mit seinem vorigen Näherungswerte übereinstimme» Substituirt man

x A — B ' y " A — B

so wird

und

- log (VÄTs+ VWÜ) - folglich

31fr) _ 2>4b + U + + M + * + jjQi (i-V.V(i+,)(B+,)

und wenn man nach * entwickelt

dm 2AB + (A+B)s" s" 5 {A-B)*VÄB 2(AB)$

also

+i ■(i5i-4,+ '••

Demnach ist

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270 Bighr: Potential einer elliptischen Walze.

Man darf nun *" = a und

,« _ 4 — -.r'üOl'fl — o

setzen und hat

r»CO8*0

folglich

2* VÄB(L(0) - L(s) ) - 2t«* - 2rrr* . (cos*ö - sin»ö) - 2*r»C03 20 also wie oben.

y) Ueber den Wert der ersten Abgeleiteten der Function F(») in unendlicher Form.

o') t und a sind beide sehr gross und * > 0.

Weil * sehr gross ist, so muss auch x*-rV »ehr gross sein; * hingegen kann endlich oder sehr gross sein. Ich lege der Rechnung das Integral

/v B+n P^du^ (Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ost- Vm+u) ' PWVu punkte um t allein)

zu Grunde. Es ist also

j- r »+* r 1 1 1 t 1 - l—}

x rf"

und weil im Integrale nur sehr grosse Werte von t* in Betracht kommen, so ist auch

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Bigler: Potential einer elliptischen Walte. 271

J./(l+?^+...).(_i_+^+...)x

oder auch

dtt_

(«-<)

(Weg ein kleiner recht]. Kreis am den Pol #)

+f."-w+jn Cit-uT* * (Weg ein kleiner rechü- Krei8

2B-f-<'+<" /\4 x-i ^ (Weg ein kieiner rechtl. Kreis 2* J {t u) ' % nm den Pol nnll).

Nach einem Lehrsatze von Cauchy erhält man nun Die Gleichung

rechts nach fallenden Potenzen des grossen t entwickelt, gibt also, wenn man

setzt and sich mit zwei Termen begnügt

Die Gleichung

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272 „ Bigltrx Potential einer elUpti.chen Walze.

ebenso behandelt, gibt also

< '(hÄÄ + ...)

and demnach

— — -Ui - 4 + v -l ^

V(7^j .V1 * («MV)-«* +'~J Man ziehe ferner die fünf streng richtigen Gleichungen t + f f - r«- (A + j») , |(|' -f <") + |V» = - (A + Ä)r* + Ax* + Äy»

zn Rate. Die erste gibt

2Ä + t' + r=r«-< - (A- B)

oder angenähert

— — — - (jf — Ä) + ...

demnach ist

Aus der zweiten und fünften Gleichung folgt ferner

»/* - <(<'+<") - -f AB - ff*

also mit Hülfe von Gleichung drei

=>{A\B)*\Ab{\

oder annähernd

/(«'+ i") SS (./ -f ä)«» 4- ^tf . + . .

Ferner ist

(A+B)s - 2Bt = (A-B)(x* + y')- 2Bz* Man erhält also

*«"- tp + O + e I »)« - U-/?)r*+ ... und endlich ist

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Bigler: Pbtential einer elliptischen Walze. 273 BF(m)

Der Näherungswert von in dem Gebiete des Unendlichen, wo

b nnd < sehr gross sind, ist demnach

Ebenso findet man 8/-(») «y^Ä / A—B , > , \

8™-„y^(> + 1-i^+...)

Ist 2 ncg., * und « aber pos. sehr gross, so muss man die Formol

F( z) == 2nY'ÄB L(s) - F(z)

anwenden.

b\ Nur* ist sehr gross.

Die Coordinate z ist sehr gross, * ist endlich und kaun pos. oder ncg. sein, x*-\-y* ist endlich. Der Punkt (x, y, 0) liegt also innerhalb der Ellipse oder ausserhalb derselben in endlicher Ent- fernung.

Wenn

P* (Weg eine rechtl. Schlinge aus dem

J Vj~-fu'l>wVu Ostp allein um den Pol t)

so erhalt man auf gleiche Weise wie oben

, =/(1+ S^tf + ...) (I + d^Lb£+4

1 /* — $du (Weg ein rechtl. Kreis allein um den Pol "ij {t~u) u null)

(Weg ein rechtl. Kreis allein um den Pol null). Nach Cauchy erhält man

Arth. Jer M»th. «. Fhjn. 2. Reihe, Teil VII. 18

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274 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

_ 2* . /2B + <'+«". \ TT

47 = 2 + •+•"+ ^ + • j

~ J (* +

und mit Hülfe obiger fünf Relationen zwischen / und den * erhält mau hieraus

Nun ist

— * &»"" *

demnach

2 2 x» + y»

J—B (A — B) , SM-Bj.CaJ + y1)

2ij ~

I] _ *» ~ 2**

ax ^— -ö V 2z« T,,v

somit und

Ebenso findet man

BF(z) VAB. ny / jt—B

a-b V * 2,» + ^_,ys(rUj.^+...)

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Bigler: Potential einer eltiptitchen Walze. 275

Diese Formetn gelten zu nächst nur für ein pos. *. Ist * neg., so muss man bei pos. « die Formel

F(-z) = 27tVÄBL(*) — F(z) nnd bei neg. « dio Formel

F(-z) - 2n(VÄßL(0) — **) -F(z)

anwenden.

C) Berechnung des Dijferentialparameter* zweiter Ordnung

der Function F(z).

a) *>0.

Aus der Formel

BF(

i) v^g /'Vb+u p'

Bx ~ a—bxzJ y^_(.tt ' P^Vu w (Weg eine Schlinge aus dem Ostp. um t allein)

folgt

B*F(z) > 'AB rYÜ+n 9 / xzP' \ _

• 2=lJ ysE * £ rfw (Wog w

ax« a-bJ yA+u'*»' Vw^u)

Weil

8 / zP' \ _ a 9 / araVu

80 ist

ie vorhin)

Bx \PWyu) ~ " *Bu \(A + u)PwJ

yi+n 3* Wyw " vä+u pwv*

o » 8 ^y^* y* \

~-**8uVyä-fü * u+u)pw)

Weil nnn der Ausdruck unter dem Ableitungszeichen im Ostpunkte ▼erschwindet, so erhält man

18*

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276 Bigler: Potential einer elliptischen Walxe.

B*F(z) VAU rYB+u zP'

und hieraas

d*F(z) Yab /'Va+u zP'

du

rF(z) Yab CYa+u

hy* * A-bJ Yb+u '

Yb+Ü ' PWYn

V8 zu

du

(ß + u)* ' PWU

Addirt man diese beiden Ausdrücke und beachtet, dass

YÄ+Z Vb±* = A~B _ (A-B).Vu

YB^l Yä^u ~ Y(A + u){B+ü) ~ u

und

so erhält man

-u)* + (B+u)* " du\u)~ u u*

0x* + ev y J pwu du

-^J(fm~wüu)du

oder

und weil nun

so folgt

Diese Ableitung ist aber nur so lange zulässig, als die Integrale für dio ersten Abgeleiteten bestimmte Werte darstellen. Das ist aber für z = 0 nicht mehr der Fall, weil dann der Integrationsweg nicht mehr zwischen t und * hindurch kann, ohne dass ein Teil des Inte- grals unendlich wird. Mit dem Factor z stellen sich demnach die Ausdrücke für die ersten Abgeleiteten unter der unbestimmten Form O.oo dar. Es ist nun

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 277

F(z) = Yab . «£(»)+! f (L(») ■ rwVu + zü)du

(Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ostp. um t und * allein) oder

F(z) -=» Yab .irL(s)-\- f(z)

wenn F(a) obiges Integral bezeichnet. Weil nun dieses Integral auch für s — 0 seino Bedeutung nicht verliert, so lange als * > 0 ist, so ist nach dem Vorhergehenden die Gleichung

auch für 2 « 0 gültig, so lange * > 0 ist. Weil so ist auch

L\s) = 0

folglich .

_2x

Bx " A-B • VJT-f«

und weil ferner

so ist auch

~Bx* A-B ' Va~+s ' V(Ä+*)(B + $) '

und ebenso

8»z,(#) 2 y^+*)__y_ 1 _ >

Um addiren zu können, ist nur noch nötig zu wissen, was

x ds y 8t

ist. Die Gleichung

A+8^ B+8

also

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278 Bigler : Potential einer elliptischen Walte.

x d* . y ds / x* y* \

A+* ' dx+ W+, ' By - *p\U+&+ = 2

folglich ist

8*2^) , a*z(,) 2_ /v^T-H

2

Die Gleichung VU*W>+.)

"1^""+ a** +"^r--°

ist somit auch für z — 0 richtig, so lange als « > 0 ist Der Be- weis kann auch auf folgende Weise geführt werden :

also

Ist * > 0, so hat man

F(0) = YAB . nL{,)

a*» + cy * - Vyli* * \"äx>" + Sj*-) - 0

Ferner ist

&F(*) _ Z1 du (Weg eine Schlinge aus dem Ostp.

5* ~ V WLm um < allein)

und weil dieses Integral auch für s = 0 einen bestimmton Wert be- hält, so lange als * > 0 ist, so ist auch g ^jft für % — 0 gleich null und somit die Gleichung

d>F(*) B*F(z) B>F(z) 8*8 + ^,

= 0

auch für z — 0 richtig. Liegt der Punkt (*, y, 0) innerhalb der Focalollipse, so setze man

(Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ostp. um t und 0 allein) oder

F(z) - n VABL(0) - **+ Fx(z)

also

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 279

8*F(») , d*F(z) . 8*F(s) /8» 8* 8» \ /_ .... A

Weil nnn die Function F^z) auch für * — 0 in dem Falle einen bestimmten Wert behält, wo * < 0 ist, so ist die Gleichung

auch für s — 0 richtig. Ferner ist

Au* ßxt

also

8'Z(0)_j 8*Z(0) 2

8** * 8^ y'AB folglich auch

(£+ J+»)(^«o)-^ =o

somit die Gleichuug

auch für * = 0 richtig, wenn * < 0 ist. Zu demselben Resultat© gelangt man auch durch folgende Betrachtung:

Es ist _

F(0) =» n Väb L(0)

also

8*^(0) . 8*F(0)

Ferner ist

__ _ a (Weg eine Schlinge um t allein)

.— - P du (Weg eine Schlinge um t und 0 - _ 2*- V^*y ^ allein)

Weil nun dieses Integral für z -= 0 verschwindet, so ist

8*F(0)

somit auch

'S? fc

8»F(0) , 8»F(0) ,8'F(0)

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280 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

b) I < 0.

Liegt der Pankt (*, y, 0) ausserhalb der Grundfläche, so ist

F(- z) = 2n YÄB X Ms) ~ F(m)

also, wenn

gesetzt wird

□ *•(-«) = ftrVlÄDZ(«)-DF(«)

= 0

Liegt hingegen der Pankt (x, y, 0) innerhalb der Grundellipse , so hat man

F(— «) = 2« f/iiB HO) - **) — F(«) also

□ = 2« . □ ( i AB L(0) -z') -\JF(z)

= 0

Der Diflfercntialparameter zweiter Ordnung der Function F{*) ist also im ganzen Räume null mit Ausnahme der

§ 18. Betrachtung des Potentials der elliptischen

Walze.

a) Das Potential, o) Der Bezugspunkt liege oberhalb der obern Grundfläche.

o

Sind < und « sehr gross, so hat man

also

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 281 r«= *yZö(log(r + z)— log(r'+z — c))

Wenn z sehr gross ist, so kann man c als Differential von z be- trachten nnd hat

V= nVABcfc-logir + z) —

Ist aber z endlich, so hat man

rt» - r»- (2« - «•) = r»(l- 2-^')

2«-««

2^+»)-,;» / c o» \

r. + i-c-r+s ^ (r + !)^1_-+2rrr:F-jj

= (r + --)(l-^) wenn man den Term ^-rrr^i vernachlässigt. Es ist somit

V-nVAB (log(r + c)-log(r+z) -log (l - ) -

Ist nnr t sehr gross, s also endlich, so folgt ans den Gleichungen

F(z) - n YÄB [£=*g + log iz -f j] F(*-c) - ^^[^J-' + log^-cJ-f j]

V - * VZß (log 4c - log4* (l- ) ~ *y*B4,

b) Der Bezugspunkt liege auf der obern Grundfläche ausserhalb

der Randellipse.

V — F(c) — nYÄBMs)

o

Wenn t und » sehr gross sind, so hat man

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282 Bigler: Potential einer elliptücken Walze.

V* — x* x% 4-

Obgleich

so begeht man doch nur einen Fehler von der Ordnung *r s durch x'-by* ersetzt, wodurch man erhält

L{s) "4^F+*l0«4<x,+»,>+*

somit

K= *yZÖ !log2(rH-c)- llog4(x* + y*)j

- »yZB[log(r + c)-ilog(x»-hy*) I Woü J

so ist

(^-r-y')- -Ml—

also

log(x*+ y*)* = logr - log(r-f-c) - logr+^

und

r =

c) Der Bezugspunkt liege auf der obern Grundfläche innerhalb der

Randellipse.

V~ F{c)— * VÄBLiO)

t>) Der Bezugspunkt liege in unmittelbarer Nähe der obern Randellipse oberhalb der obern Grundfläche.

A_B • (« tanga + b tangÄ) . r, sin 6 — r,ssin 20 X

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Bigler: PoUntial einer elliptische« Walze. 283

+» _V^-V ri 008 9

Liegt der Bezugspunkt auf der Randellipse, so ist also

V — F{c) •— 7r Vas/,(0)

e) Der Bezugspunkt liege ausserhalb der Walze auf einer mit den Grandflächen || Ebene, welche zwischen denselben hindurch geht.

Weil in diesem Falle z — c neg. ist, so ersetze man F(z — c) durch 2* VÄB L(s) - F{c—z) und erhält

V — F{z) + F{c-z)-2n V'ÄB L(t)

Sind t und # sehr gross, so geht diese Formel in

F- n >/AB [log(r+ zj + log^ + c-*) _log(*»+y*)] über. Es ist

+ = r*_2*D(r+2)(r -;), r, = r+

also

'.+— = — «+->-*>+£ = (—«) (l+-C folglich

F= '

f) Der Bezugspunkt liege auf der untern Grundfläche ausserhalb der Randellipse.

V = F(e) — nVÄB L(s)

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284

Bigler: Potential einer elliptischen Walte.

p) Der Bezugspunkt liege unterhalb der untern Grundfläche.

Vermöge der Continuität gilt diese Gleichung auch , wenn sich der Bezugspunkt unter der Ebene der untern Grundfläche in dasjenige Gebiet des Raumes begibt, wo « neg. ist. Für einen Punkt der un- tern Grundfläche innerhalb der Randellipse ist demnach

V — F(c) - 7t iÄB L(0)

und für einen Punkt in der Nähe der Randellipse erhält man eine ähnliche Formel wie bei b.

l ) Der Bezugspunkt liege im Innern der Walze.

Eine durch den Bezugspunkt mit den Grundflächen parallel ge- legte Ebene teilt die Walze in zwei Walzen. Für jede derselben liegt der Bezugspunkt nicht innerhalb, sondern nur auf einer Grund- fläche, weshalb die Function V angewendet werden kann , wie wenn der Bezugspunkt ausserhalb der betreffenden Walze läge. Bei der obern Walze hat das Potential den Wert — F(Qi)-\-F(c—x) und bei der untern F(z) — F(0). Die Summe beider ist der Wert des Po- tentials der ganzen Walze für einen inneren Punkt, welches mit V bezeichnet werden soll. Weil * neg. ist, so ist

also

V = F(») + F(c - z) — 2* VäB L(0)

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 285

*

Derselbe ist innerhalb der Walze eindeutig und unterscheidet sich von V. Denn führt man V durch die obere Grundfläche in die Walze, so ist

V — V' + 2n{c— *)» geschieht es durch die untere Grundfläche, so ist

i) Der Bezugspunkt liege ausserhalb der Walze zwischen den beiden Grundflächen und in unmittelbarer Nähe der obern Randellipse.

Weil hier das Potential die Form

P*— F(*)-f F(c — %) — 27t YÄßL(s)

hat, so hat man noch L(s) für einen Punkt in der Nähe der Rand- ellipse zu entwickeln. Nach Seite 269 ist für diesen Fall

XtO - log {VA + VB) - • M + *+ 20

{2 AB -f M + 2*)«") • * "H • j» .«*+...

ferner ist nach Seite 257 und nach Seite 258

. , p2r* CO880 $ — 2yrC03Ö-}-<: £

WO

111 J_

C^+Ä (—ff)

Setzt man nun diese Werte in den Ausdruck für L(s) ein und ver- nachlässigt die dritte Ordnung, so erhält man

Ms) - log (VA-\- VB) — (X^. iA+B+29)

- — = . (2AB+(A + B)6).rco&0

{A — Zf)*y — 0

j~ÄB 1 /2 M + ff) f- 1? - o) (A - Bf . (- ff)

+ M-2?)M-<0'\ <-•)

_2^+(^+B)^ff>flo<^ +

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286 Bigler: Pötential einer elliptischen Walze.

Demuach ist

V = -7TVÄ2J fa(YA+VB)-fii^(A+B+%*)}

+ ~y z:ff Ja-W — • r 1 00 8 6

- r, * sin 20 (log p^-, - 3+ . ÄZ7B ~ '^0*20

2nAB (2(A-\-a) j—B-a) _ (A — B)*(— a) (A-B)*(-o)'\ (-o)' AB

f) Der Bezugspunkt liege innerhalb der Walze in unmittelbarer Nähe der oberu Randellipse.

Das Potential für einen innern Punkt hat die Form

F, - F(z) + F(c -z)-2n YÄ~BL(Q)

und demnach muss L(0) entwickelt werden. Nach Seite 270 ist

_ . . . r1 cos2 6 i(0) = 2.W+_-

also auch gleich

L(0) - \og(VA+ V B) - . U + * + 2a)

-U-B^Y~ai2AB+iA+D)*)-rC086

VÄB 2(A + o)(—B—a) {A-B)*.(-o) (-<j)

mithin ist

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 287

, 2nVÄB/2AB + (A + B)a\ . V — OAB

+ - ( (A — Bj-) r> C0S 6 - 4 • H-B

(ABt * log (_4^,— 3

2* AB (2(A+o) (— 2*-g) _ 2^B4-(^-|- *)*

U-Ä?.(-a] \ (-0)" C'

i A+B+ 2a\ * 2* . r?uu)*r' »w0\ _

l) Der Bezngspuukt liege ausserhalb der Walze zwischen den beiden Grundflächen in unmittelbarer Nähe der untern RaudcllipBe.

Weil auch hier V die Form F(*)-f Ffc-s) — 2niAhL{*) hat, so folgt aus den Formeln bei i) unmittelbar

-,yü(,og(V.+v.)-

+ y^o (A-B)*~~ rC096

+ ^jE^(«tangaH-itangA)rsinö-f-r»8in2ö

/ i4i?r* Äitanga-f-Äangi , X(log(-z^-3+4. 9__l_ 5__|_r»öcos2ö

_ 2^Z? /2M + o)(— B — ff) U — /?)»(— q)

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283

Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

m) Der Bezugspunkt liego innerhalb der Walze in unmittelbarer

Nähe der untern Randellipse.

Aus den Formeln bei ") folgt, dass

r- —va (logy.+v*)- ^g+y*)

+ "yr^ ^-2»» • r cos ö

+ ^ ~^X~B^ (°tan8a + fttang6) .rsin 0 -fr* sin 20

X O0«^ " 3 + 4. ^^« + ^cos2ö

_2^^B /2Q4 + o)(— Z?-q) a^g+U+J)g

n) Der Bezugspunkt liege auf der untern Randcllipse.

Aus obigen Formeln folgt

_ / , , v YÄB(A + B + 2a)\ V=-n YAB [log (VA + VB)- jX^jF— )

o) Der Bezugspunkt liege unterhalb der untern Grundfläche in unmittelbarer Nähe der Randellipse

V=-nVZB (log VA+ vm -

+ VIT, ' (^B)» -rC080

4 -rf—GÄB

H ^ — (atanga-f- &tangÄ)r sind -f-r* sin 20

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Bioler: Potential einer elliptischen Walt*. 289 ABr* o i ä Ba tg a-{~ Ab tgb"

>COS 26

CO

w /, ABr* _ . . ßatga + Abtgb\

+ »• r cosö + v^y ^ pn^v«

Die Formel, welche Herr Röthig in Berlin für das Potential der Walze angibt (J. v. Crelle, Bd. 61, S. 182), hat folgende Gestalt:

/*—-./ cos<p.X(Äsin9>— y, acosp — ar, c-\-x).dq>

4"§* / cos 9 . X(6 sin 9 -y, acosqp — x, c — *).c/g>

0

a and & sind die Halbaxen der Randellipse, c ist die Höhe der Walze nnd der Function X wird durch die Formel

ß, y) - ß log + y log - 2« arc tg * wo ?s = «*-f-0*-|-y*, definirt.

Herr Hattendorff äassert sich in seinem neu erschienenen Werke über „Schwere, Electricität und Magnetismus" folgender- maßen: „Die Untersuchung (des Potentials der eliipt Walze) lässt sich auf eine einfachere zurückfahren. Man betrachte einen Cylin- der, der mit dem gegebenen die krumme Oberfläche gemein hat, aber keine Endflächen besitzt, also von x = - od bis * = -f- oo sich erstreckt In seinem Innern sei die Dichtigkeit — — fr von x — — od bis x = 0 und — -f-£p von x — ü bis x — + <*>• Aucn hier soll die im Punkte (x, y, %) concentrirte pos. Masseneinheit angezogen werden von einer pos. Masse, dagegen abgestosseu werden von einer neg. Masse. Man denke sich, die Potentialfunction dieser Masse sei bekannt, nämlich F{x, y, z). Dann ist, wio man leicht sieht, F{x — a, yf z) die Potentfalfunction, die von demselben Cylinder herrührt, wenn die Dichtigkeit — — Je ist von x = — oo bis * = -f- a, und = +ip von * — -h« bis x — -|-oo. Durch Suporposition erhält man

y, *)-F(x-a, y, ») als Potentialfunct'on für den Fall, dass im Innern des Cylinders

d. Math. «. Pbyi. 2. Ka.be, T. Vü. 19

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290 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

die Dichtigkeit «= 0 ist von * — — oo bis x — 0 und von * — a bis x = -f- oo, dagegen o von x — 0 bis x a. Dieser Fall ist der unserer Aufgabe." Ferner Seite 104: „Die Potentialfunction F(xy y, z) kann man durch ein einfaches Integral nicht ausdrücken, wol aber jede der Kraft-Componenten Jf, Y, Z.u Der Sinn dieser Be- hauptung kann nicht der sein, dass man die Function nicht durch einen einzigen Term, der ein einfaches Integral ist, sondern nur durch mehrere solche Terme darstellen könne; vielmehr muss die Behauptung bedeuten, dass mau zur Darstellung der Function eiu mehrfaches Integral bodürfe. Dann aber ist die Behauptung leicht zu widerlegen.

Ich will Herrn Hattendorffs A', F, Z der Reihe nach mit (III), (I), (II) bezeichnen und seine y, », x, /S», y», a, jf, *, *, v der Reihe nach mit *, y, *, j4, ä, c, u, P, *, «, l ersetzen. Sein o' kommt mit unserem s nur so lange überein, als # pos. ist. Wenn » neg. ist, so ist sein 9' = 0. Sein V(r — **) ist unser IKV« und *

1

haben wir

VABVu

u

(///) = X -

d*\s,y, *

dz

- - 2 y^ / ^ du

D

dF(z)

OD

2*V-4Ä xYB+s

BF(z) , 2nVABx VB+$

" 3* f -4 ä -ya+i

8F(a) t/TS BL^

(;/) - z

B F(x, y, s) 2YAB fVA+u P' du

a-b Vä+i

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Bigler: Potential einer elliptischen Walz*. 29l

BF(z) 2nYJßy YÄ+,

By Ä-B V^F«

somit

Diese Foraeln gelten zunächst nor, wenn * nnd § pos. sind. Wenn

aber • pos. und * neg. ist, so sind dio Zusätze bei (/), (II) resp. 2nBx 2nAy ^

JZ/j' — j^Tp Demnach ist dio Hattendorff'sche Potcntialfunc- tion im ersten Falle

F(*,y,*) - F(z)-„^ÄBL{,) und im zweiten Falle

F{s, y, «) - F(z) - »• l/Zff Z(0)

Hieraus folgt

□ F(«, y, «> = □ F(z) - nVÄB □

= 0 und

□ F(*,y,*) - □ — «VJö □ Z,(0)

was der Dichtigkeit } entspricht

Ist aber s neg. und $ pos., so erhält man

*X*,y,*) - »v^bz.(*)-f(-«)

und begibt sich schliesslich der Bezugspunkt in das Gebiet des Rau- mes, wo auch « neg. ist, so folgt

F(x, y, *) = n VÄB L(0) - F(- e)

□>(*, y, z) - %YÄB □ /,(.) - □ F<-.) -0 und

□ F(*,y,.) = »rVZüD ,L(0)- □ = 2*

der Dichtigkeit — £ entspricht.

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292 Biglsr: Potential einer elliptischen Walze.

b) Ueber die Darstellung des Potentials der eliipt. Walze dnrch elliptische Integrale.

Schon Herr Röthig bemerkt (Crelle, Bd. 61, S. 185), dass sich das Potential der Walze nicht lauter durch ellipt Integrale erster, zweiter und dritter Art darstellen lasse, dass vielmehr nebeu den- selben noch Integrale auftreten, die den Grad der elliptischen über- steigen. Auch dieses zeigen unsere Formeln.

1 , J _1 1 1

P ~~ u~t~ u — m'*~ u—s" A+u B+u

n _i_ _j i i_\

PWVu ~ \u T u - u-s" A+u B+u)

w V(A + u) (B + ü)

V(u-t)(u-t')(u-r)

also

L(u) P' i.„^Zl7j.^^ p' VÜTiö (B+u)

_*L iL » y* £ ±H*

a-b'p ' r + ^-Ir" i> ' ä

folglich

~ ~~Ä—B ~ ' P + A^B ' F+ V1 " ^F«/J *

Sondert man in diesem Ausdrucke den log. Teil ab, so lässt sich jeder Term des Restes in elliptische Integrale verwaudeln, und das Integral

Pa+u du r<&,( w\ Z*00! du J b + u-R-J R+^'h\J b+ü R

bildelt die aligemeine Formel der zu verwandelnden Integrale. Diese Verwandlung hier auszuführen, hat wenig Interesse, weil die auf- tretenden Formeln doch eine sehr comp!. Gestalt haben werdeu. Es wird genügen, gezeigt zu haben, dass in der Function also auch im Potential der Walze , neben ellipt. Integralen auch noch Integrale höherer Art auftreten, und dass sich ferner die zu ver- wandelnden ellipt Integrale auf Formen zurück führen lasseu, die bei der Betrachtung des Potentials des Ringes und der Scheibe schou verwandelt worden sind. *)

*) Aren. d. Math. u. Ph. 2. Reihe, T. III. u. IV.

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Bigler: Potential einer elliptischen Wake. 293

c) Die Kraftcomponenten der elliptischen Walze, a) Der Bezugspunkt liege oberhalb der obern Grundfläche. Wir hatten

V — F(z) — F(n-c)

also

dV BF(z) _ dF(»-c) $x> 8sc dx

oder

. 00 OD

Bv_ vYab r rVs+u (*-c).r' . pVb+u »p1 i

. 00 a>

CO ,00

Begibt sich nun der Bezugspunkt in das Gebiet des Unendlichen, wo t and * sehr gross sind (» — c kann endlich od. sehr gross sein), so erhalt man aus den Formeln auf Seite 273

86 *J+y:

87 n VIb (*— c u\

Ist nun 2 sehr gross, so kann man — c als Differential von * an- sehen; folglich ist

—i -= -c — — c . — ^j- = — e. —pr-

11 3r"

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294 Bigler: Potential einer elliptischen WaUe.

BV nVABcx n l/ AB c

äx ~ 7* = 7t COB(rx)

BV nYÄBcy nYÄBc

$y~ H» rt— -C08(ry)

BV nVÄBcz itVÄBc

87 r* r* C0»(r»)

Ist hingegen *--<?, also auch % endlich, so ist

-HH)(h3H)-H-S+S)

- ^, (c»-r«) - - (*«+»«)

Man erhalt also wieder

BV nVÄB e , , BV nVÄB e

Bz~ C°8(rX)' 9* L,J— .C08(ry)

ar nVÄB e

97 = ^— .cosM

Liegt der Bezugspunkt in dem Gebiete des Unendlichen, wo nur / sehr gross ist, * also endlich bleibt, so erhält man nach den For- meln auf Seite 274

BV njAB x

Bx 2"

BV *VaBj, f l l \ 2 V(t-e)«-"i?J

8k 5

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Biyler: Pülential einer elliptischen Walze. 295

Weil nun z sehr gross ist, so kann man c als Differential von ■ be- trachten. Es ist also

1 1 2c

folglich

dV niABcx n "]/ AB

H = r~*~ ' co%^>

dV rr VAU cy it VÄB

By r» = p— « 008 M

& ? = •

b) Der Bezugspunkt Hege auf der obern Grundfläche ausserhalb

der Randellipse.

also

CO

dV 2%*jAB Vb+i 2jÄB PVb+u P' Bx~ A-B ' YÄTs A-BXCJ yj+v' PW0Vudu

00

dV 2xyYAB YA +s 2jA~B PVa+u P'

dy " A-B ' yB+t + A-B*eJ yß+u' PW0Vudu

Rückt der Bezugspunkt auf der Ebene in's Unendliche, so erhält man annähernd

2nxVÄB Vb+s 2n%j~ÄB ( A-B \ ~Ä-^B~ yTf, ~ A-B ' V~ 2s + 7

2n xVJB (, A-B \ ~ A-B 2(x>+ f,'))

und

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296 Big l er: Potential einer elliptischen Walze.

00

zYaB P Vß+u P' _,

tv ab r

Ä-Bj ^ yj+i PW0Vu

*"VjLBm f9 A- B (A — B)c\

- a-b V **4V + («'^VW

also

dv	ir Vau cx	r*
dv .	n^ABcy	r*
57 "	r3 _

. COB(ry)

c) Der Bezugspunkt liege in unmittelbarer Nabe der obern Randellip8e oberhalb der obem Grundfläche.

BV 2nB\ 'A{A+a) lÄl f . A/_ . „ _ V - tf\

00

. *( nA nW Wab r Vä-h* p> j

3 k 2»^V5(-ä-ö) , _ . r / . . oi yz^ v fr iiZ^^'h^+^^TO)*1

QO

- 2,, eos a ( - 4 - 1 + a +

00

4-2r18inö1ö+^,4Z* j ^fjdu

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Big! er: Potential einer eüiptitcken Walze. 297

o) Der Bezugspunkt liege auf der obern Randellipse.

OD _

BV 2*BVA(A+oj 2VAB p Vß+u P'

B* " M-ä>* " a -bJ xe yj^ ' pw0yu du

to

CD

dV 2nA YB(- B-a) 2 V AB p Ya+h P'

" {A-B)\ +A-Bj'e YB-fu ' rw0vu du

_ oo

37 - -i^(«V^+»iW+aV^^^*»

0 Der Bezugspunkt liege auf der obern Grundfläche innerhalb der

Randellipse.

also

V — F(c)-nYA~B L{$)

BV %vxB lY_AB . p P' ,

dz ~ A-B~ A-B J ** YÄ^ ' PW0Vu dM

00

du

By A-B ' ^4 — fl J y Vjö+t» Z'W©^"

CD _0D

f) Der Bezugspunkt liege ausserhalb der Walze auf einer zwischen den beiden Grundflächen hindurch gehenden und mit

| Ebene.

Es ist

V = F(z) + F(e —*)—2nYAB L(*)

oo

a v AjizYab Y#+« _ 2Yab p Vb+ü p'

2YÄB p Y~B~+u P' ,

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298 Bigler: Potential einer elliptischen Walze.

BV AnyYTB YÄ+* , %YäB f YÄ+u , P'

" a — b yü+t+A-B J * y^W0vurfM

co

/» , v Ya+ü p'

du

2VAB r

OD OD

I-Asst man auch hier den Bezugspunkt in's Unendliche rücken, so erhält man

BV inxYÄBf A—B \ dx " A — B V 2* + )

n YAB x ( A — B {A — B).» \ A—B \C ~ r.(«H-y") "7

nYÄBx (z . c—z\ ncYÄB Bx ~ - " * lr+ TT/ r*"-

% - + -p+jr * ^+ — J = pr- • cosM

BV n/T»/1 *\ «cVZö

87-Ä^ö(;-r-j r*--COS(r,)

a) Der Bezugspunkt liege innerhalb der Walze auf einer zwischen den beiden Grundflächen hindurch gehenden und mit denselben

H Ebene.

Weil _

F, =F(*)-f F(e — «)— 2iiYABL(Q)

so folgt

CO

dv. 4t*xB 2Yäb r YB+u P' j

Bx ~ A-B A-BJ " VJf^'i^oV«

CO

- A --ßJ «.(*—>

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BigUr: Potential «W etliPt„chen Walze. 299

£0 00

(5) Der Bezugspunkt liege auf der untern Grundfläche ausserhalb

der Randellipse.

Aas der Formel

V — F(c) — wVÄff £,(#)

folgt

00

<1

oo

dy ~ ,4-1? y2J+,+ A-Bj * iB+*PWx\ «

du

Backt der Bezugspunkt auf der Ebene in's Unendliche, so erhält man wie froher

BV hcYab , .

^ ri— COS (rx)

5" ^r~C08(ry)

E" jj— co«W

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300 Bigler: Potential tiner elliptischen Walt*.

i) Der Bezugspunkt liege ausserhalb der Walze zwischen den heiden Grundflachen und in unmittelbarer Nähe der untern

Randellipse.

Nach f) haben wir noch den Ausdruck • ^-"?~- ein

A — B y/A+s

kleines « zu entwickeln.

. (A+.) "*» j (l+ ~ + ... ) (l- — + ...)

+ l 2AB )

nach Seite 258 ist aber

s = 2p r COS 6 — -7=. . rCOSÖ

somit also

Nun ist

x = a-0-frcosi7 cosö (nach der auf Seite 255 angegebenen Erklärung). Ferner

VB(A -f a) VB cos 17 = ' ~ „ 7 a-0

also somit

4» g YAB Vb+. ixxyB ( A \

Man erhält demnach

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Bigler: Potential tiner tlliptitehen Walze. 301

BV 2nBVA(A+a) . 4*aYB(A+o)

— ^ 3-7= • rC08Ö

2aV-t

00 _

2 V AB p Yb+u Pf .

~ A-Bj *> Ya¥u * PWXTu du

Ebenso ist

Ya+» VA/. _A-B__ <\

ylqp vmV^Y^am ■ rC08 v

jl — Ä y*+« a-b\ Y-oab )

und weil

y-yo+'sini/cosö,

Bin,»-y=^B)' »~ yi=l-

also

so ist auch

4ny YYA~B Ya±8 ^ AnA\ 'ß{—B—o) A-B Vfi-t-«"* U-B)l"

(l+(y^-Äa)^8d)

(a— ß)3 m— i/)« y— «

Es ist demnach

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302 BigUr: PMntial «»«r tlti,ti*dn Ha«.

JT 2xA Vh-b-.) 4Ȋ Va(-b-o)

00

dV 2^ AB

2* AB ( , . \

+>,.(-^-,+.-^t^^E)

f) Der Bezugspunkt liege innerhalb der Walze in unmittelbarer Nähe der untern Randellipse.

Weil hier

Vi - *t«— «)-2* ^ißX<0)

so hat man noch jZTb und " A — B für einen *ol<&eTi Punkt j berechnen.

inBx 4*B r , VB \

4*2? V^lTtf) A VB \

" "(1+v^3-rc080)

4»B 4»B V'lTÜ+^j

und

_ 4*^4 4* ,4 Vl»(-l?-g) 4»M V.i(-i*-<r)

u^l u-B,ivfTrC080

Für die Abgeleiteten ergeben sich nun folgende Werte:

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Bigltr: Poltitlial einer tlliplitcken Walte. BT 2nB VA(ä~+~ö) 4»B VßJÄ+J)

-2*0 , [r* e(A+l- +r™e ^-fl) ]

_ 00

2 V.4B /» yB-H* P'

2^VB(— B-q) 4>M Va{—B-o)

^ jr^i (^-B)ty^" • rcosö

--29io4,sinö(,+1-^)^Veosö(^+ö)] J-2V^ /\ , V*+u P'

Tz " ^=.~ßVa v*

00

-2rsin0. 9-2V^ f ^ du

l) Der Bezugspunkt liege auf der untern Randellipse. Aus den Formeln bei i) oder f) folgt

00

dV 2nß VA(A+q) 2^ ab p Vb±» ^

oo

2 V^B /

^ (A-B)? -*J y'*VB+u™iVu

du

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304

Bigler: Potential einer eUiptüchen Walte.

m) Oer Bezugspunkt liege auf der untern Grundfläche innerhalb

der Randellipse.

V=F(c)-it VjBL{0)

. oo

2**25 2YaB p Vfi+u P'

' " > c ... .— • .,„. , , du

fr " A-B~ A-B J

8y " + A-B J * CYb+u PWrfudu

n) Der Bezugspunkt liege uuterhalb der untern Grundfläche. dv 2Vab rwt VB+u~ P'

x>

2 \ A B /' , yß+* P' .

oo

8F 2*Tfl /* V^-j-tt P'

87 ---a^TbJ y(-z)T§^u'rwW«tlu

00

,2*^* /» ,Vj+« P' .

*1

00 OD

r

* du

tu Ii

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Bigler: Potential einer elliptischen Walze. 305

o) Der Berugspunkt liege unterhalb der untern Grandfläche in unmittelbarer Nähe der Randellipsc.

In den früheren Ausdrücken für die Näherungswerte ersetze man 8 durch — 8\ man erhält

Bv _ 2*bVau +T) 836 ~~ (A-ßfi

+*COStf[r COSe(^g +ö) - rsinÖ (^-f 1 -2- J

2V^Ä /'°° Vß+u P'

in

BV 2nAYB(—B—*)

B* " (A-Bji

-2sin„ [, cos 8 -•J+r-.i^+l-l. ^L)]

dv aVTb/ \

+2 rcos e(-A -1+2 , !!^S±*^EE?\

(A-B)V-9 )

CO

~2r.8inö.ö-2VIß Jjjtdu

p) Der Bezugspunkt liege ausserhalb der Walze zwischen den beiden Grundflächen in unmittelbarer Nähe der obern Randellipse.

BV 27tBVI(Ä+o) , VBTT+~9)

%Y AB p VB+u P'

OO

zy_AB r

B — BJ ** ■)/ A+u ' BW*V»

d. Math, u. Phj.. 2. Keita«, T. VH. 20

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300 Bigler: Potential einer elliptischen Walze

BV 2*aV B—B—o) 4nB V A{-B-<s)

.r,cos0

*y {a-b)\ (Ä-B)'i

2 V AB p Va+u p'

"*•> cos« (-^-1+2

gp

-f 2rl8in0.Ö-|- 2 VI* J*^0du

q) Der Bezugspunkt liege in unmittelbarer Nähe der obern Randellipse innerhalb der Walze.

a — mm « 1 i — j-z=~. r. cos a

{A—B)i (A-B)* V - o

- 2 cos V [r, cosö (j^j +ö) - r, sin 0 ( ^ + 1 - ?) ]

00

2VAB P Vb+u . p'

8F 2nAVB{~B—o) ^rB^A(-B-a)

k- — = — V / ' r,C09Ö

+ 2sin,7[r1co8ö(i,[fjö-ö) +rtM (^+l-yZJ==)\

00

2V^Ä P . VÄ+u P'

2VAB p + A-Bj

du

dV 4 V~ÄB ( A/ , .y \

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B igt er: Potential einer elliptischen Walze. 307

-2r,cosö Uax -1+2 aB VT+° +b*V5»^a) + 2rl8inÖ.Ö + 2 VTkJ^du

d) Berechnung des Differentialparameters zweiter Ordnung der Function V.

Wir haben früher bewiesen, dass \Z\F(z) im ganzen Räume verschwindet mit Ausnahme der zu dieser Function gehörenden Un-

/ ** \

stetigkeitscurve U =» 0, + ^ -» 1 J. Weil nun

dF(z) dF(z-c) dF(c-z) _ dF(c-z) dz ~~ dz ' dz ~ d{c — z)

d*F(c - z) d*F(c - s)

so verschwinden auch QF(c — a) und □ -F0:— -c) im ganzen Räume

» — 0, 2 + ^ — 1 J ; weil

ferner

□ !,(*) »0, 2* □ ty*~B MO) - (a - c)*) = 0

so verschwindet □ V im ganzen Räume mit Ausnahme der bezeich- neten Unstetigkeitscurve. Bezeichnet nun Vx das Potential für einen inneren Punkt, so ist

V, + 2* 1<Z*(£(0)

je nachdem man den Bezugspunkt durch die obere oder untere Grundfläche oder durch die Seitenfläche in die Walze hinein führt.

Weil nun überall □ V = 0 ist, so folgt

□ (Fl + 2,r(c-*)») = 0

oder

□ F, - - 4m was der Dichtigkeit 1 entspricht.

20*

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308 Bigler: Potential einer eUiptivhen Wahe.

Ich will hier noch zeigen, dass durch die Einführung der Function

M{u) = L{u) + *~^*B

statt L(u) die auftretenden Formeln eine solche Gestalt erhalten, dass der Uebergang zum Kreiscylinder unmittelbar, also ohne Greuz- process vollzogen werden kann. Weil

so ist

t

- Ä~—B,J PWV~u du

Nun war

99g P'b du ™ PW^u

also

00 CO 00

/ twvu • * = - yS rfu - [- 2-J - -

und somit

also

OD

i f=f(«)-f(. -«) - vis y,^(tt).^_ + ^

<0

CO

Weil nun

KW = fax (V ^ + + ^(1- £§g)

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Biyler: Potential einer elliptischen Walze. 309

so gestattet die Formel I unmittelbar den Ucbergang zum Kreis- cylinder. Ferner ist

BM(u) 2x / Vß+u\

a (_j*pj_\ 9 a / i vu\

folglich

3 /.„ , zP' *W\ 2x ( Vfl+tÄ »P'

. 3 / 1 yu\ g» 1

also

BF(») VJb r t Vb+u\

P W Vu A—B (Weg eine rechtl. Schlinge ans dem Ostpnnkte nm * allein)

oder

9P(») 2VJß /»°° / Vß+u\ P' ZiixVäB

du-

9P(a) 2^ AB p / VÄ-f«\

■

somit

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310 Bigler: Potential einer elliptischen WaUt.

oo

2^ Aß P ( VB-\-u\ P'

= 2VÄB

J i

iz

I00

Auch in dieser Formel kann man sogleich A «= B setzen, um den entsprechenden Ausdruck für den Kreiscylinder zu erhalten.

Bern, den 22. Febr. 1884.

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Bigltr; Uebtr Ccusinüche Curoen.

311

XV.

Ueber Cassinische Curven.

Von

Ulrich Bigler.

Ich betrachte zunächst die Abbildung der Function F— t* — 1. Das Bild der t Ebene ist eine zweiblättrige Ebene, die durch die beiden Verzweigungspunkte — 1 und oo mit einander verbunden sind und sich längs der Uebergangslinie von —1 bis zum Westpunkte des Horizontes gegenseitig durchdringen. Isophasen nenne ich solche Curven auf der t Ebene, längs welchen die Function die gleiche Phase behält. Isotimen sollen solche Curven bezeichnen, längs wel- chen der absolute Wert der Function constant bleibt Ich setze nun

reÜ-t — l, ««»? = <+l

dann ist

F — r*e'«+*>, F' = rse-K+D

Für eine Isotime muss nun «r — Const — a sein. Bezeichnen nun x und y die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes der t Ebene, so ist

r* = {x-\)* + y*, *»- (*+l)» + y*

und man erhält für eine Isolime, die dem absoluten Werte a ent- spricht, die Gleichung

1) (x* + y*+l)*-4x* — r*«* — a*

a ■= 1 gibt die Lemni skate mit den Polen 1 und - J ; a < 1 gibt zwei getrennte Curven, die die Nullpunkte der Function umgeben und innerhalb der Lemniskatenschleifen liegen; a> 1 gibt eine geschlossene Cnrve, die die Lemniskate umgibt

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312

Bigler: lieber Cassiniiche Curven.

Setzt man — Const = «, so erhalt man auf dem t Felde die Isophasen. In diesem Falle ist

tgj+tgt? 2xy g — tgftg^ a:» — ^— 1

somit die Gleichung einer Isophase

2) (x*-V)sina— 2xycosa — sino Durch die Substitution

x = »in(|+f)l-8in (l-i)»

y=8in(2-4)'+SinG+ i)U verwandelt sich diese Gleichung in

3) f*-tt*-sina

Die Isophasen sind also gleichseitige Hyperbeln mit den Halbaxen- quadraten sina. Wird der Wiukel, den die t Axe mit der m Axe bildet, mit 6 bezeichnet und die Entfernung des Brennpunktes vom Ursprünge mit c, so hat man

sin 6 = sin — cos 6 = sin Q + f)i c ~ V^sln«

somit die Coordiuaten des Breunpunktes der gleichseitigen Hyperbel

Wird aus diesen beiden Gleichungen der Winkel a eliminirt, so er- hält man tür die Coordinaten der Brennpunkte die Gleichung:

■

4) <i'» + «,, + l)" — 4»'«-l

Aus dieser Formel erkennt man nun, dass die Brennpunkte auf der Isotime, die dem abs. Werte t entspricht, also auf der Lemniskate liegen. Aus Gleichung 2) erkennt man auch, dass sich alle Hyper- beln in den Punkten +1 und -1 schneiden. Wenn F— iVf— 1 gesetzt wird, wo N eine pos. sehr grosse Zahl bedeutet, so sei im Ostpunkto des ersten Blattes der F Ebene t = N und im gleichen Punkte des zweiten Blattes t = —N. Das Innere der östl. Lemnis- katenschleife bildet sich in das Innere des Einheitskreises des ersten Blattes ab, während sich das Innere der westl. Schleife in das Innere des Einheitskreises des zweiten Blattes abbildet. Ferner ist das Aeussere des Einheitskreises des ersten Blattes Bild desjenigen Teiles

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Bigler: Uelxr Caisinüche Curven.

313

der t Ebene, der östlich der lateralen Axe nnd ausserhalb der Lem- niskatenschleife liegt. Ebenso ist das Aeusserc des Einheitskreises des zweiten Blattes Bild des Aenssern der westl. Lemniskatenschleife, das westl. der lateralen Axe liegt. Die Realitatslinie des .' Feldes vom Punkte 1 an bis zum Ost punkte gibt als Bild den Östl. Teil der Realitätslinie des ersten Blattes der F Ebene. Läuft ferner t von 1 bis null, dann auf der lateralen Axe bis zum Nordpunkte, so durchläuft die Function F von null an die westl. Hälfte der Reali- tätslinie des ersten Blattes. Bewegt sich ferner t vom Punkte -1 aus nach dem Westpunkte , so durchläuft F den östlichen Teil der Realitätslinie des zweiten Blattes, während der westl. Teil derselben Realitätslinie Bild der Realitätslinie des I Feldes von — 1 bis null und der südl. Hälfte der lateralen Axe ist Ferner bildet sich die Hyperbel — y* « 1 auf der lateralen Axe der F Ebene ab und zwar der östl. Zweig im obern Blatte und der westl. Zweig im un- tern Blatte.

Im Folgenden sollen die Isotimen oder die Cassiniseben Curven noch näher betrachtet werden und zwar zunächst für den Fall a<l und dann fflr den Fall a > 1. Zur Abkürzung setze ich:

sin am« s= cosamu = C(ti), J&mu = D(u)

I. a < l.

Es ist

Ich setze nun

F fc»S*u,

(*+»y)»~l (X— <y)» = D*V

somit

F' k*S*v

und demnach

6) FF' — ktShi&v — a»

Setzt man nun k — a, so folgt aus Gleichnng 5)

5') Su.S'v--\ und vermöge der Formel

S(L — z) Sx r

kann man nun auf u-fe = Z schliessen.

Ich setze nun

und linde so

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314

Bigler: Ueber Cauiniiche Curvtn.

* + *-2>(f-*), *-*-2>(f +.)

folglich

/- : — - Dz /- 5 — - kSzCz

6) «_y1 + t.___ , = y1+t.r__

Setzt man hier z = 0, so folgt

x - Vi +"*. y = 0 setzt man ferner z = Ä", so ergibt sich

* = yr^*, y = 0

Setze ich ferner z « 2tf— so ist

. Dz' , k&z'Cz

Um also den Teil der Curve zu erhalten, der innerhalb der östl. Schleife der Lemniskate liegt, mnss man * von null bis 2£ laufen lassen. Den andern Teil der Curve, der innerhalb der westl. Lem- niskatenschleife liegt, erhält man, wenn z von 2L an bis zu 2L-\-2K wächst. Die Länge des Strahles, der eiuen Punkt der Curve mit dem Ursprünge verbindet, sei mit r bezeichnet Weil nun r*=a:Hy* ist, so folgt aus Gleichung 6) sofort

i — j — Vi— ks*

Das Curvenelement kann nach Grösse und Richtung durch d*+idy dargestellt werden. Nun ist aber

dx + idy - dD Q -*) = k*s(~ -a) C - *) dz

folglich

(dx+idy) (dx— idy)

= »s(l-.)cQ+.)s$+.)c (*-,)*•

Weil aber so ist auch oder auch

8) es kr dz

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Bigltr: üeber Cassinüche Curven. 315

Um das Azimnt des Curvenelementes zu erhalten, bezeichne ich die Phase von — mit % nnd schreibe

also ist

Phase - - X

Aus der Formel

folgt ferner, dass

Phase (s =£+,,+,,

ist, wenn das Azimut des Leitstrahles r mit 9 bezeichnet wird. Man hat somit

9) Phase (*)-| + »+8x

Weil

/X \ 1/14* Cz+iSzDz

so erhält man für die Tangenten von <p und % die Ausdrücke

SzDz kSzd

Ist nun 2 = 0, so ist % = 0 und q> = 0, somit

Phase (<&) = g

Ist « = JE, so ergibt sich

X-^ und g> = 0

folglich

Phase (ds) = y

Die Curve schneidet also die Abscissenaxe rechtwinklig. Im Punkte 2 = ^ ist % = ~ somit

Phase (ds)=„ + <p Der Leitstrahl r , der nach diesem Punkte hingeht, ist somit Tan-

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316 Bigler: Uebtr Catsinüche Curvtn.

gcnte an die Curve, und seine Länge r" ist nach Formel 7) gleich VI. Die Tangente des Polarwinkels <p wachst also von null bis zu

dem Werte -7=-- und sinkt von hier aus wieder auf null herab,

VT+ 1

um nachher in's Negative über zu gehen. In K—z hat die Tan- gente von <p den gleichen Wert, wie im Punke z- somit entsprechen den beiden Schnittpunkten des Leitstrables r mit der Curve die Werte K—z und z. Werden die Längen mit r und r* bezeichnet, so hat man

10) rr' =» l « r"»

also gleich dem Quadrat der Tangente, die vom Ursprünge aus an die Curve gelegt wird. Weil ferner für den Punkt K — z

tgx'- cotg2

also

, _* X - ij -Z

ist, so hat man als Phase des Curvenelementes im Punkte K — z

Phase 2X

Die beiden Tangenten in den Punkten z und K — z bilden also mit der Sehne als Basis ein gleichschenkliges Dreieck.

Aus Formel 8) folgt so.

Weil aber

so kann man der Formel 11) auch folgende Gestalt geben:

12) 2-,/ Vi-*»* *

0

+ r 2 j vrzj?ä> J

0

Ich setze nun

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Iii gier: Utber Ca su tische Cvrven. 317

o

dz

Um das Integral T umzuformen, setze ich

1 ™ D

dann ist also

| (l+0»f£(l-(l-D*)

1 D* cö

dz = —

sc

D

|/EB

r 2 ä

. sc

v

l-T ^1— WS»

folglich

dt

rfT f

Um das Integral aut ähnliche Art umzuformen, setze man

1-(1-Z)S*

«= ^—

man findet

du

dU= - |.

l/d-^O-1^-)

Nun müssen noch die Grenzen für die neuen Variabein t und u be- stimmt werden. Ist z — 0, so ist < — 1, und ist« = 2 , so ist *=0.

Weil ferner für das Intervall 0 < z < K mit wachsendem z die Variable t bestandig abnimmt , so sinkt t von 1 an fortwährend bis

auf null herab, während z von null an bis auf g wächst. Ebenso

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318 Bigltr: Ueber Castittüche Otrvtn.

K 2 V '/

ist für z «= 0 auch u = 1, und.fur z = - ist s — In dem

Intervalle 0 < * < g- ist aber auch rfu beständig neg. , wenn dz pos.

ist Lauft also i von null bis ^ , so sinkt u von 1 an fortwährend 2VZ

bis auf herab. Die Länge des Bogens, der von 2 = 0 bis

z = ~ reicht, ist demnach

i l

2V7 1+1

Las st man 2 von ^ bis Ä" wachsen, so ist dt beständig neg.; t nimmt

also von null aus fortwährend ab und erreicht schliesslich den Wert

K

-1. Anders ist es mit u. Der Punkt z = ^ ist für u ein Minimum,

K 2V/ und während z von ^ K steigt, nimmt auch u von pp bisanf

1 fortwährend zu. Die Länge des Bogens, der vom Punkte ^ bis

zum Punkte k reicht, ist also

1 1

0 2y/

i-f 1

Aus 13) und 14) folgt nun

15) .+/~**(|/I=^

somit der Umfang der Curve, den ich mit ü bezeichnen will ,

16) u==2*jr(}A=-2)

Ist nun a = * sehr klein, so folgt aus 16)

16') l-2G)ä

also gleich dem Umfange eines Kreises, dessen Radius g ist.

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Bigler: Ueber Cos tinische Curven.

319

Wir wollen noch den Inhalt der von der Cnrve umschlossenen Fläche berechnen. Vom Ursprünge ans ziehe man unter dem Azimute <p einen Strahl, der die Curve in den Punkten K—z und z schneidet. Werden die Abschnitte resp. mit r' und r bezeichnet, so kann ein Flächenstück © durch folgendes Integral dargestellt werden:

Ich setze nun

fl(j) = r.|?

also folglich

«

18) S - \ f (Sl(z)+Sl(K-z))dz

6

Es ist nun

atgv

Bg> dz

atgjp D* — P k(C* -S*D*) & ~ kD* D*

somit

drp k(C* -S*D*) C* -&D*

und demnach folglich auch

fl<r-,)«-*a-*).(Trw

Aas diesen zwei Formeln ergibt sich nun

Ä(,) + Ä(A'-c) - 2*« i^ZS^f = CW = 2(Z>*(2z) — J»)

also ist auch

i

19) ©- (Z>»(22)— /*)cfe = ^£am2z-^

o

Um die Hälfte des Inhaltes der Fläche zu erhalten, muss

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320 BigUr: Ueber Cassinüche Curven.

K

z = s setzen, and die Maltiplication mit 2 gibt dann schliesslich den vollen Inhalt Bezeichne ich denselben mit J, so ist 20) J = E—PK

Aus den Formeln

erkennt man leicht, dass

ist, also für ein kleines * oder a hat man

») ■/="(ä)'

Zu der Formel 20) kann man auch auf folgendem Wege gelangen: r*d(p

ißt der Inhalt eines infanitesimalen Sectors, der seine Spitze im Ursprünge hat Also

2 tfe

folglich

Ich setze nun

l+kS* = P

also

*(!+*) (1 - 2S«+*,S') 1/20+^ 2(1+*)* \ "2 <l + AS»)f H p« P

Ferner ist

61ogp _ * SCD * cz ~ p

d(kSCD\ 3 (kSCD\* 8/ (1+*)» 2(1+*)«

-((1+*)+*)+*)

folglich

2(1+*)» 2(1 + *)»

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Bigler: Ueber Cassinisehe Cttrven.

321

und somit ist

Setzt man in dieser Formel z = K und multipl. mit 2, so folgt

23) J=E-l*K

II. «>1 In diesem Falle setze ich

somit

F= — S*u, F' — — S2»

folglich

24) F.F' = S*S*t; = a*

Weil nun a > 1 ist, so setze ich k = - und erhalte aus 24) 24') Su.Sv 1

Wie im ersten Falle, wo a < 1 war, nehme ich auch hier an, dass u+v «=» L sei, und setze

L L.

somit

*+*=<?(§-*),

Aus diesen Gleichungen folgt nun

Ä) *- V* 1 + AS» y~ Vk 'l+i-S*:

und aus diesen Werten für x und y erkennt man sogleich, dass 2 von null bis 4k laufen muss, damit der Punkt Gr, y) die ganze Curve beschreibe. Dieselbe wird ferner durch die beiden Axen in 4 con- gruente Teile geteilt z = 0 und z = 2K gebon die Schnittpunkte mit der Abscissenaxe, während z = K und z = 3K diejenigen mit dor Ordinatenaxo geben. Aus Gleichung 25) folgt

Arch. d. Math. u. PhjB. 2. Eeiho, T. VII. 21

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322 Bigler'. Ueber Qusinische Curven.

Wird der Strahl nach dem Punkte K—z mit f bezeichnet, so folgt

ans 26), dass

Vl-k Vl+fcS*

K

und für den Strahl r" nacli dem Punkte z— ^ erhält man folglich

27) rr' = | = r"«

Um das Curvenelement zu erhalten, gehe ich von der Formel

+,V = c(£-,)

d(r+.-<*)(<to-<<*) = - *(f +») ß & (f -*)

!>(£+.)*•

folglich ist

28) ds = rdz Aus dieser Formel folgt nun sogleich

29> * - -Vk- J vtsm *

also der ganze Umfang

K

X

aus. Es ist

somit

0

oder nach früherem

Ist a sehr gross, so folgt aus dieser Formel 30') U= 2Van

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Bigler: Ueber Cassinisehe Curven. 323

Wird der Winkel, den der Leitstrahl r mit der Abscissenaxe bildet, mit cp bezeichnet und der Inhalt eines Sectors der Fläche mit ©, so ist

d <5=r- d(p

somit

31, 6 =

0

Aus der Formel

*+* = c(£-,)

erkennt man sofort, dass

SzDz

ist, somit

dz" 1 —

folglich

1+* /*! — 2k*&+V&

i — ^

32) © =

0

Ich setze nun wieder somit

Ferner ist

«\ p ) p* p ' ^

folglich

Um den vollen Inhalt zu erhalten, musB z = K gesetzt und mit 4 multiplicirt werden; also

. J~7

Das Integral f^J+fs^—*1* 8teht mit der Gleichung des Pe- o

riodenverhfiltnisses in Zusammenhang.

21»

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324

BigUr: Uebtr Castimüche Curven.

G,_ CD 1-»* ra (\+kS*)*

folglich ist

0 0

Für den Zweck der Integration ist damit aber nichts gewonnen; denn um £'am(as') in den auf k und * bezüglichen Functiouen aus- zudrücken, muss man doch dieselbe Rechnung vornehmen, die wir oben durchlaufen haben.

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Beller: Sau» über Orte und Enveloppen etc.

325

XVI.

Einige Sätze über geometrische Orte und Enveloppen bei Kegelschnittbüscheln und Kegelschnittscharen.

Von

Josef Heller,

k. k. Professor an der Stantsoberrealschule in Linz a. Donau.

Im 69. Teile dieser Blätter, Seite 30 u. s. f. hat Max Greincr „über den Ort der Berührungspunkte der, Tangenten von einem „Punkte an die Kegelschnitte einer Schar oder eines Büschels" unter 1(10) und 11(6) zwei Sätze analytisch nachgewiesen, denen sich mit Rücksicht auf das dualistische Entsprechen von Kegelschnittbüscheln und Kegelschnittscharen einerseits und Punkten und Geraden an- drerseits sofort zwei entsprechende ebenso allgemeine Sätze an die Seite stellen lassen. Im Folgenden sind die von Greiner bewiesenen Sätze mit 1 a und 2 a bezeichnet, und werden denselben die nach den Gesetzen der Dualität davon abgeleiteten Sätze ohne weiteres gegen- über gestellt; wir erhalten demnach:

1 a) „Der geometrische Ort der „Berührungspunkte aller Tangen- „ten, die von einem gegebenen „Punkte P an die Kegelschnitte „einer Schar gezogen werden „können, ist eine Curve 3. Ord- „ imng, welche die sechs Schnitt- punkte der vier gemeinsamen „Tangenten (Grundtangenten) der

1 b) „Die Enveloppe aller Tan- genten, die in den Schnittpunkten „einer Geraden g mit den Kegel- schnitten eines Büschels an diese „gezogen werden, ist eine Curvo „dritter Gasse, welcher die sechs „Verbindungslinien der vier ge- „meinsamenPunkte (Grundpunkte) „als Tangenten und die gegebene

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320

Beller: Sätze über Orte und Enveloppen

„Kegelschnittschar enthält und „Gerade g als Doppeltangente

„den Punkt P zum Doppelpunkte „angehören."

„hat."

2 a) „Der geometrische Ort der „Berührungspunkte aller Tangen- „ten, die von einem gegebenen „Punkte P an die Kegelschnitte „eines Büschels gelegt werden „können, ist eine Curve dritter „Ordnung, welche die vier Grund- Punkte des Kegelschnittbüschels „und den gegebenen Punkt P „enthält,"

2 b) „Die Enveloppe der in den „Schnittpunkten einer gegebenen „Geraden g mit den Kegelschnitten „einer Schar an diese gelegten „Tangenten ist eine Curve dritter „Classe, welcher die vier Grund- „tangenten der Kegelschnittschar „und die gegebene Gerade als „Taugenten angehören."

Au6 den vorstehenden vier Sätzen lassen sich nun sehr leicht neue Sätze dadurch finden, dass man dem Punkte /», beziehungs- weise der) Goraden g eine besondore Lage zuweist, wie dies im Folgenden ausgeführt werden soll, und wollen wir uns bei diesen Erörterungen der Synthesis bedienen, weil wir auf diesem Wege schneller zum Ziele zu gelangen glauben.

Nehmon wir z. B. an, der Punkt /*, von welchem aus an alle Kegel- schnitte einer Schar Tangenten gezogen werden sollen, liege auf einer der vier gemeinsamen Grund- tangenten, so fällt stets mit diesen Grundtangenten eine von den bei- den vom Punkte 7Jan jeden Schar- Kegelschnitt möglichen Tangenten zusammen, und da ferner jeder Kegelschnitt der Schar die ge- dachte Grundtangente iu einem andern Punkte berührt, so er- füllen die unendlich vielen Be- rührungspunkte die ganze Ge- rade; dieselbe gehört also als Träger einer Puuktreihe der im Satze 1 a definirten Curve dritter Ordnung au. — Diese Curve de- gencrirt demnach in diesem Falle in eine Gerade als Gebilde erster Ordnung und einen Kegelschnitt

Nehmen wir an, die Gerade g, in deren Schnittpunkten mit den Kegelschnitten eines Büschels Tangenten an diese errichtet wer- den sollen, gebe durch einen der vier gemeinsamen Grundpunkte, so fällt stets mit diesem Grund- punkte einer der beiden mög- lichen Schnittpunkte dieser Ge- raden g mit den einzelnen Bü- schelkegelschnitten zusammen, und da alle Kegelschnitte des Büschels durch diesen Punkt gehen, ohne sich zu berühren, so schneiden sich in demselben unendlich viele Tangenten. Dieser Punkt gehört also als Träger eines Strahlen- büschels der im Satze lb) de- finirten Curve dritter Classe. an. Diese Curve degenerirt demnach in diesem Falle in einen Punkt als Gebilde erster Classe und

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bei Kegelschnitt-Büscheln und Scharen.

327

als Gebilde zweiter Ordnung. — Da auf der gedachten Grund- tangente schon 3 Schnittpunkte der vier Grundtaugenten liegen, so werden die drei anderen auf den Kegelschnitten zu suchen sein ; somit folgt:

3a) „Die Berührungspunkte der „Tangenten, welche von einem „Punkte P, der auf einer Grund- „tangente einer Kegelschnittscbar „liegt an die einzelnen Kegel- schnitte der Schar gezogen wer- ben, liegen auf einem Kegel- schnitte, welcher durch die drei „Schnittpunkte der drei anderen „Grundtangenten,sowie auch durch „den Punkt P hindurchgeht."

Liege ferner der Punkt P, von welchem aus an alle Kegelschnitte eines Büschels Tangenten gezogen werden sollen, auf einer Verbin- dungslinie zweier Grundpunkte, so ist auch sofort klar, dass diese Verbindungslinie als Träger einer Punktreihe dem geometrischen Orte der Berührungspunkte ange- hören muss; denn diese Gerade ist als ein Teil eines in ein Ge- radenpaar degenerirenden Büschel- kegelschnittes zu betrachten, und jeder Punkt dieser Geraden kann als Berührungspunkt gelten. Die im Satze 2a) definirte Curve dritter Ordnung degenerirt dem- nach auch in diesem Falle in eine Gerade und einen Kegelschnitt, wobei nur auf dem letzteren die eigentlichen Berührungspunkte liegen, während die Gerade keinen einzigen Berührungspunkt eines

einen Kegelschnitt als Gebilde zweiter Classe. Da durch den gedachten Grundpunkt schon 3 Verbindungslinien der vier Grund- punkte gehen, so werden die drei anderen Tangenten an den Kegel- schnitt sein; daher folgt:

3b) „Die Tangenten, welche in „den Schnittpunkten einer Gera- den g, die durch einen Grund- „punkt eines Kegelschnittbüschels „hindurchgeht, mit den einzelnen „Kegelschnitten des Büschels an „diese gezogen werden, umhüllen „einen Kegelschnitt, welcher von „den drei Verbindungslinien der „drei anderen Gruudpunkte, sowie „auch von der Geraden g berührt „wird.*1

Gehe ferner die Gerade g in deren Schnittpunkten mit den Ke- gelschnitten einer Schar an diese Tangenten gezogen werden sollen, durch einen Schnittpunkt zweier Grundtangenten hindurch, so folgt sogleich, dass wieder dieserSchnitt- punkt als Träger eines Strahlen- büschels der Enveloppe der Tan- genten angehören muss; denn dieser Punkt ist als ein Teil eines in ein Punktepaar degenerirenden Scharkegelschnittes zu betrachten, und jeder durch diesen Pnnkt gezogene Strahl kann als Tan- gente gelten. Die im Satze 2b) definirte Curve dritter Classe de- generirt demnach auch in diesem Falle in einen Punkt und einen Kegelschnitt, wobei nur der letz- tere von den eigentlichen Tan- genten umhüllt wird, während durch den Punkt keine einzige

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328

Beller: Sätze über Orte und Enveloppen

eigentlichen Kegelschnitts, son- dern nur aus Punkten eines in ein Geradenpaar degenerirenden Kegelschnittes des Büschels be- steht.

Mit Rücksicht auf den Satz 2a) ergibt sich demnach:

Tangente eines eigentlichen Kegel- schnittes der Schar hindurchgeht, sondern nur Strahlen, die als Tangenten eines in ein Punkt- paar degenerirenden Kegelschnit- tes der Schar gelten können.

Mit Rücksicht auf den Satz 2b) ergibt sich demnach:

4a) „Die Berührungspunkte der „Tangenten, welche von einem „Punkte P der auf der Verbin- dungslinie zweier Grundpunkte „liegt, an dio Kegelschnitt o eines „Büschels gezogen wergen, liegen „auf einem Kegelschnitte, welcher „durch die beiden anderen Grund- Punkte hindurchgeht."

4b) „Die Tangenten, welche in „den Schnittpunkten einer Gera- „den flr, welche durch den Schnitt- punkt zweier Grundtangenten „hindurchgeht, mit den Kegel- schnitten einer Schar an diese „gezogen werden, umhüllen einen „Kegelschnitt, welcher von den „beiden anderen Grundtangenten „berührt wird."

Andere Sätze ergeben sich aus den Sätzen 1) und 2), wenn man den Punkt P beziehungsweise die Gerade g unendlich fern annimmt und bedenkt, dass die beiden Berührungspunkte der Tangenten an einen Kegelschnitt, die von einem unendlich fernen Punkte aus- gehen, auf einem Durchmesser liegen, und dass andererseits Tan- genten an einen Kegelschnitt, deren Berührungspunkte unendlich weit liegen , Asymptoten genannt werden. So können die Sätze la) und 2a) unter der Voraussetzung, dass der Punkt P unendlich fern liege, in den folgenden Satz zusammengefasst werden:

5) „Dio Endpunkte aller Durchmesser der Kegelschnitte eines „Büschels oder einer Schar, welche derselben Sehnenrichtung conju- „girt siud, liegen auf einer Curvo dritter Ordnung; der dieser Seh- „nenrichtung zugehörige unendlich ferne Punkt ist bei der Kegel- „schnittsebar ein Doppelpunkt der Curve."

Ferner ergeben dio Sätze lb und 2b unter der Voraussetzung, dass die Gerade g mit der unendlich fernen Geraden der Ebene zusammenfällt, folgenden Satz:

6) „Die Asymptoten der Kegelschnitte eines Büschels oder einer Schar umhüllen eine Curve dritter Classe; beim Kegelschnitt-

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bei Kegehchnitl-Büscheln und Scharen. 329

„bttschel ist die unendlich ferne Gerade für diese Curve eine Dop- „peltangente."

Der letzte Satz wurde, jedoch nur für Kegelschnittbüschel, auch von M. Trebitscher auf einem anderen Wege gefunden ,).

Linz, im Februar 1887.

1) Sitaongsberichte der k. k. Akad. d. Wissensch, in Wien. LXXXI. Band. IL Abth. Seite 1080 n. f.

Vergleiche ferner J. Heller: Kegelschnittbüschel und Kegelschnittscharen. Lins 1S87. Selbstverlag.

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330

Hoppe: Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien.

XVII.

Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien.

Von

R. Hoppe.

Kraftlinie (auch wol statische Bahn) eines Punktes heisst die- jenige Linie, deren Tangoute die Richtung der auf den Berührungs- punkt wirkenden Kraft darstellt. Sie lässt sich daher denken als die Bahn eines Punktes, der ohne Beharrung in jedem Augeublicko der Kraft folgt.

Besteht die Kraft in der Anziehung eines Gebildes, so geht durch jeden Punkt des Raumes eine, und im allgemeinen nur eine Kraftlinie; letzteres erleidet nur Ausnahmen in Punkten des Gleich- gewichts. Durch die Gesamtheit der Kraftlinien einer bestimmten Anziehung wird demnach der Raum in ein System un verzweigter, weder sich noch einander schneidender Linien geordnet, die nur in gewissen Gleichgewichtspolen zusammenlaufen können.

Das Kraftliniensystem bestimmt die Anziehung nur einseitig; durch eine Schar transversaler Flächen würde man die ganz unbe- stimmt bleibeude Intensität darstellen können, worauf ich nicht eingehe.

Das Folgende behandelt nur Beispiele ebener Kraftliniensysteme der Ncwton'schen Anziehung ebener Linien.

§• 1-

Die anziehende Linie sei eine begrenzte Gerado. Sie sei Axo der x, ihre Mitte Anfang der xyy ihre Grenzen x = + a, die Coordinateu des angezogenen Punktes y. Da das gesuchte System symmetrisch zu beiden Axen ist, so können wir x und y positiv an- annehmen.

Bezeichnet Bs das Element einer beliebigen Linie, Qq dessen Polarcoordinaten in Bezug auf ein beliebiges Centrum, und h den

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Hopp t: Utber Kraftlinien der Anziehung von Linien. 331

Abstand des Centrums von der Tangente der Linie, so ist das dop- pelte Dreieck zwischen dt und dem Centrum

— » hda = Q*Bq>

ds dq>

p»- A

Diese Grösse drückt, wenn man die Anziehung der Linieneinheit in der Entfernung 1 = 1 setzt, die Anziehung von Bs auf das Centrum, und

ccp cos rp dpsinqp

T~~' ~~h~

deren Componenten aus. Ist nnn dio Linie gerade, so ist A con- staut, daher erhält man nach Integration die Componenten der An- ziehung der ganzen Linie:

sing — sin <pt cos 9^ — cosy

* — A ' "m h W

wo o>, <px den Enden entsprechen, g> > <p, und A >> 0 ist.

In unserm Falle ist (xy) das Centrum, und A — y, ferner

-4-a — x — y

COS cp — ; sinqp — ~~

9 9

— a—x — y

cos?, — ; siny, — —

cot <?«-}- cot a>

x — a — ' ;

y =

2a

COtf, — COtqp' COtqPj — COt<p

8y dcotqp — dcotqpj

cot 9>| 8 cot <p — cot g> 9 cot gpj

Führt man diesen Wert in die Gleichung der Kraftlinie Ydx — Xdy = 0 ein, so geht sie nach Division durch den positiven Factor 1 — cos (9 — 91) über in

Je.. Js?!__0

sin tp • sin g>,

Das Integral iBt:

tgftg|-c (2)

und zwar ist, weil 9 und gr, zwischen 2R und 4R liegen, c stets positiv. Rational ausgedrückt in e, y lautet die Gleichung des Kraft- liniensystems:

Vf-V a* — iT~ ?" 1 (3)

Die Excentricitat dieser Hyperbeln ist — a. Bei Substitution von

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332

Hoppe: Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien.

- für c bleibt die Gleichung unverändert; daher ist das System

schon vollständig, wenn c von 0 bis 1 variirt. Dann variirt die Haupthalbaxe von a bis 0, die Nebenhalbaxe von 0 bis a. Das Re- sultat ist der Satz:

„Die Kraftlinien der Anziehung einer begrenzten Geraden bilden „ein System confocaler Hyperbeln, deren Brennpunkte in den End- punkten der Geraden liegen".

Die Hyperbeln erzeugen bei Variation von c die ganze Ebene, an- fangend in den Verlängerungen der Geraden und endigend in der halbirenden Kormale.

Ist die Gerade nach positiver Seite hin unbegrenzt, so setze man

x—a statt x, dann ~ statt c, dann a — od. Gl. (3) geht über in

y* = c*—2cx

und stellt ein System confocaler Parabeln dar, deren Brennpunkt im Anfang der Geraden liegt Wächst c von 0 bis oo, so erzeugt die Parabel die ganze Ebene, beginnend in der negativen Verlängerung der Geraden und zustrebend der Normale x oo.

Ist die Gerade nach beiden Seiten unbegrenzt, so bilden offen- bar ihre Normalen das Kraftliuiensysystem.

S 2.

Der Fall, wo die anziehende Linie gerade ist, scheint mir der einzige zu sein, für welchen die Berechnung des Kraftliniensystems sich ausführen, d. h. die Gleichung Ydx =t Xby sich integriren lässt.

Die Kraftlinien eines anziehenden Kreises sind offenbar seine Radien, bieten mithin kein Problem dar.

Dennoch kann man auch an andern Kraftliniensystemen einige Bemerkungen machen.

Von selbst leuchtet ein, dass jede Gerade, die Teil eines an- ziehenden Gebildes ist, in jedem ihrer Punkte, mit Ausnahme ihrer Endpunkte, von einer Kraftlinie normal geschnitten wird. Dass von Curven im allgemeinen dasselbe gilt, möchte wol nicht unmittelbar einleuchten.

Sei ein Punkt unendlich nahe der anziehenden Curve «, die von ihm darauf gefällte Normale Axe der y, die Tangente im Fusspunkte Axe der «, also 0, y die Coordinaten jenes Punktes, xx, yx die eines

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Hoppe: Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien. 333

um # vom Anfang abstehenden Punktes. Bezeichnen «, u', u" . . . die Krümmung und deren Differentialquotienten nach s im Anfang, so erhält man durch Reihenentwickelung:

u* 1

ar4 = s — - *3 — g uuV + . . .

Ist y der Abstand der Punkte (O.y) und (ar4, y,), und man setzt:

ö» - ,» + y»

so findet man: woraus:

„/. , «* «* . *3 3 **y \

*JL _ * (i-^,* - ji 4. Ü-* *- 4- ^ ^ 4- ?? J_ \ qs tf8\ 6 * 8*^8 a* + 8 a»+ 2 +

yj — y u ** t*' *3 , w8 *6 u*«' *7 y 9t "2Ö»"»"6 Ä»+ 16 + 12" ~ c»+ •••

r - /^a, - -«('- -iogff+-0 - ^

J 9* \0 *o — s/yO

Hier bedeuten +« die Grenzen des anziehenden Bogens. Ist nun «

y 8 unendlich klein und - gleichfalls, so ist lim - = 1, und die Haupt- werte sind:

x-uuy (._«), r=_?

und längs der Kraftlinie hat man:

By Y 2

wofern ?*, t*' endlich sind. Bei verschwindendem y hat also die An- ziehung normale Richtung gegen die Curve, und dies Resultat ändert sich nicht, wenn man die Curve nach beiden Seiten beliebig verlän- gert , weil dann das unendlich kleine X nur endlich wird , während das unendlich grosse Y unendlich gross bleibt.

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334 Hoppe: Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien.

Hiermit ist bewiesen, dass jede anziehende Linie von ihren Kraft- linien normal geschnitten wird mit Ausnahme derer, die durch ge- wisse Punkte gehen. Ausgenommen können sein Doppelpunkte und Punkte, in denen der Krümmungsradius null ist, insbesondere Rück- kehrpunkte.

In Betreff der Doppelpunkte leuchtet ein, dass eine Symmetrie- axe einer anziehenden Figur stets deren Kraftlinie ist. Demnach ist auch die Halbirungslinie eines Winkels von gleichen Schenkeln Kraftlinie dieses Winkels, und somit ein Beispiel einer Kraftlinie, welche die anziehenden Schenkel unter schiefen Winkeln schneidet, wahrend in einem dem Scheitel noch so nahen Punkte eines Schen- kels normaler Schnitt stattfindet. Da die Wirkung endlich ferner Teile der Figur auf einen dem Scheitel unendlich nahen Punkt gegen die der unendlich nahen Teile verschwindet, so folgt, dass die An- fangsrichtung der von einem Doppelpunkt einer Curve ausgehenden Kraftlinie den Winkel zwischen den Tangenten der zwei Curven- zweige balbirt. Der Durchschnittspunkt zweier Linien, als Scheitel vou zwei Par Scheitelwinkeln, ist demnach auch Schnittpunkt zweier Kraftlinien, die sich unter rechten Winkeln treffen.

§. 3.

Cnrvenpunkte, in denen der Krümmungsradius null ist, sind Endpunkte oder Rückkehrpunkte. In beiden Fällen ergibt sich un- abhängig vom Krümmungsradius, der auch endlich oder unendlich gross sein kann, dass die den Eudpunkt oder Rückkehrpunkt tref- fende Kraftlinie eine Verlängerung der Curve in gleicher Richtung bildet.

Sei nämlich O ein Endpunkt der Curve «, P ein Punkt ausser, halb der Endtangente T und OS ein Bogen von <; dann liegt 5 für alle hinreichend kleinen OS auf derselben Seite der Geraden OP. Ist nun OP — r unendlich klein, OS — ur, und u endlich, so ist auch PS : r endlich, daher die von P ausgehende Kraftlinie PL inner- halb des Winkels OPS — o enthalten , und zwar Wkl. OPL — X endlich. Wächst jetzt OS, so wächst im Anfang a und ebensolange 1. Erreicht a ein Maximum bei S = Su so ist OS, endlich, mithin OS, : r =° Mi unendlich gross. Ist die Curve $ in O und S, begrenzt, so verschwindet die Anziehung ihres Restes S, S, gegen die von OS, also auch gegen die von OS,, und k bleibt bis S = S, endlich. Im Fall o kein Maximum hat, findet dasselbe ohnedas statt. Folglich kann PL den Punkt O nicht erreichen und muss * in einem andern Punkte treffen. Dies gilt für alle Nachbarpunkte von O, die nicht

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Hoppe: Ueber Kraftlinien der Anziehung von Linien. 335

auf T liegen, so dass nur die Verlängerung der Endtangente als einzig mögliche Ausgangsrichtung der Kraftlinie aus O übrig bleibt.

Ist die Curve nach >% hin unbegrenzt , so hat ihre Anziehung auf P nicht immer eine bestimmte Richtuog. Soll eine solche existi- ren, so muss bei unendlichem Wachsen von OS, sich k nur unend- lich wenig ändern. Das Resultat besteht also fort.

Bei Rückkehrpunkten lässt sich die vorstehende Betrachtung auf beide Curvenzweige anwenden und ergibt dasselbe.

§• 4.

Der Mittelpunkt eines Kreises ist Gleichgewichtspunkt der An- ziehung des ganzen Kreises und Schnittpunkt aller Kraftlinien. Un- tersuchen wir in beiden Beziehungen die Auziehung eines Kreisbogens.

Der Radius sei a, der Mittelpunkt Anfang der ary, die Sym- metrieaxe des Bogens 2aß Axe der z. Seien x = rcosy, y — rsinq? die Coordinateu des angezogenen Punkts, q seiu Abstand vom Bogen- element adi). Dann sind die Componenten der Anziehung des so begrenzten Kreisbogens:

P (o C08 & — r CQ8 y) a /»(asinft — rB

(asinft ~ rsin <p)adfr

*3 ' "4

und zwar ist

q* = a*- 2arC08(# — q>)+r* Ist r unendlich klein, so bat man nach.Entwickelung auf 1. Ordnung :

p-*-a-*[l+^cos(fr-<,p) + ..]

Führt man dies mit Vernachlässigung höherer Potenzen von r ein, so ergibt die Integration:

X - 2^{4«8in0 + (20+38in20)a:} r- ~t{2ß -3 sin 2ß)y

Hieraus ersieht man, dass ein Gleichgewichtspunkt existirt, für

4asin0 ...

'--fß+TMß'9 (4)

wofern dieser Bruch hinreichend klein ist. Für ß < R ist er nie überdies ist der Fall nur denkbar, wenn x>acosß ist, woraus: ß > R. Demnach muss 2R--0 hinreichend klein sein.

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336

Hopp*: Utber Kraftlinien der Anziehung von Linien.

In unendlicher Nähe des Mittelpunkts findet man die Gleichung der Kraftlinien, als Integral der Gleichung yte— XBy = 0:

20— 3 sin 20 _

Für x = i » wird y — c ; folglich drückt <? den seitlichen Abstand ans, in welchem die Kraftlinie (<?) am Mittelpunkte vorbeigeht. Allein die Kraftlinie c — 0, das ist die Symmetrieaxe •

y = 0

geht durch den Mittelpunkt

Ferner ersieht man aus Gl. (5), dass alle der x Axe nahen Kraftlinien durch den Gleichgewichtspunkt (4) gehen.

Eine einfache Betrachtung zeigt ausserdem . dass ieder Punkt (0>x> — a, y = 0) Gleichgewichtspunkt der Anziehung eiues durch & = ±ß begrenzten Kreisbogens sein rauss, wo cos/3 zwischen

jj und —1 enthalten ist Denn für cos/3 ^ - liegt die ganze Figur

auf der positiven Seite, ist also X positiv, für ,ß — 2R aber ist X negativ.

Die Bestimmung von x erfordert die Auflösung der folgenden transcendenten Geichunjr. Setzt man

0-2am«, Modul x'=^ 0 - 2 am 6

so wird

2a B

x(a + x)'

(el bedeutet das Integral 2. Gattung, snc die Complementarfunction von sn).

Durch B = 0 wird x als Function von /3 bestimmt, von der man jedoch weiss, dass bei beständig von 0 bis — a abnehmendem x zu Anfang und zu Ende ß — 2R ist, folglich ein Minimum ß — ß0 hat, so dass für ß < ß0 kein Gleichgewichtspunkt, für ß > /30 deren zwei existiren. Die Berechnung von ß0 verspare ich für tern Aufsatz.

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Oekinghau*: Die Lemniskate

337

XVIII.

Die Lemniskate.

Von

Emil Oekinghaus.

Während Kreis und Kegelschnitte vermöge ihrer hervorragenden Bedeutung in der Curvcntheorie von jeher die Aufmerksamkeit der Mathematiker an sich gefesselt haben und mit besonderer Vorliebe untersucht worden sind, kann von der Lemniskate nicht gerade das- selbe behauptet werden, obschon das Entstchungsgesetz dieser Curvc auf ganz besondere Eigenschaften derselben schliessen lassen musstc.

Der Hauptgrund dieser Erscheinung mag wol der sein, dass die Curve, als vom vierten Grade, den bisherigen Auflösungsmethoden ihrer Gleichungen sich nicht zuganglich zeigte, da diese zwar einer analytischen, nicht aber einer geometrischen Interpretation unter- zogen werden können, was doch für das volle Verständnis einer Curve erforderlich ist

Die Lemniskate ist als eine Art vou Grenzfall zweier verschie- denen Curvcnsystemc anzusehen, indem sie einerseits den Cassini- schen Linien , andererseits den Fusspuuktcurven der Kegelschnitte angehört. Aus dieser bevorzugten Stellung lässt sich schon a priori erkennen, dass in ihr die Eigenschaften beider Gattungen sich ver- einigt finden werden. Es kommt also nur noch auf die zweckmässigste Methode an, um sich erfolgreichen Eingang in diese Curve zu ver- schaffen.

Indem wir uns nun fast ausschliesslich derjenigen Methoden bedienen, welche wir in früheren Abhandlungen entwickelt haben, glauben wir, dass die daraus hervorgegangenen Resultate sämtlich neu sind und wegen ihrer Vielseitigkeit einiger Aufmerksamkeit wol wert erscheinen.

Areh. d. Math n. Phya. 2. Reihe, T. VU. 22

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338

Ofkinghaus; Die Lemniskale.

Wir geben zuerst dio Beziehungen der Lemniskate zu einer sie schneidenden Geraden, betrachten den Fall der Tangente und der Brennpunktsgeraden geuaucr und stellen wegen ihrer Verwandtschaft zum Kreise dio Bedeutung der Focal-Polar- und Scheitelwinkel unter steter Berücksichtigung der allgemeinen Curvcn eingeheud dar.

Ebenso entwickeln wir unter Auwendung der Cosinusresolvcntcn die Relationen zwischen Curvo und Kreis, vergleichen sie mit denen der Kegelschnitte, namentlich der gleichseitigen Hyperbel und führen alsdann dio Linien gleicher Producte oder Potenzen ein.

Die auf die Rectitieation der Lemniskateu sich beziehenden hypcrclliptischon Integrale habeu wir vermittelst einer Transformation einer goometrischeu Discussion zugänglich gemacht und dio daraus hervorgehenden Sätze und Relationen mit analogen aus der Theorie der isogonalen Verwandtschaft in interessante Verbindung gebracht. Die hierauf bezüglichen Reihenentwickelungeu zeichnen sich durch besondere Eiufachheit aus, was seinen Grund in der Wahl einer Variabelen hat, die sich vor alleu übrigen durch ihre leichte Verwen- dung empfahl.

Ferner ermöglicht die Curve in Verbindung mit den Kegel- schnitten eine geometrische Construction des Addilionstheorems der elliptischcu Iutegrale der 1. Art, uud bei der Einführung der ellip- tischen Integralfunctioncn ergeben sich mannigfache anregende Sätze über Rcctificationsverhältnisso auf allgemeinster Gruudlage, dio einer weiteren Durchbildung und Verwertung fähig sind.

Von besonderem Werto dürften die conformen Abbildungen neu eingeführter, den Lemniskaten verwandter Curven sein, indem sie in geometrischer Hinsicht manches neuo bieten und sich auch den Prin- eipien der Theorie der isogonalen Verwandtschaften in anschmie- gendster Form unterwerfen.

Im Anschluss daran begründen wir eine neue Curvengattung, die der Ionoiden, welche als eine Art von Geschwindigkeitscurven dem Hamilton'schen Hodograph in etwa verwandt sind und dio Bo- wegungsverhältnisso der einen Curve auf die ihr verwandte in ele- gantester Art übertragen lassen.

Wir geben Anwondung davou in der Central- und Wurfbe- wegung, in der Bewegung auf der Cykloide, der Trochoidc, dem Kreiso uud der Ellipse, sowie auch in den elliptischen Schwingun- gen. Sio zeigen die Bedeutung der Lemniskateu in neuem Lichte.

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Oekinghaux: Die Lemniskate.

339

Zum Beschluss haben wir noch der Curve einen Abschnitt ge- widmet, in welchem wir vermittelst derselben eine geometrische Constructiou der Wurzetn der Gleichungen 4. Grades herleiten.

§ 1.

Die Gleichuugcn der Lemniskaten.

Die allgemeine Gleichung der Lemniskaten oder Cassinisehen Linien in rechtwinkeligen Coordinatcn ist

1) (**+*2)8 — 2c*(x*-j,*)+ c* «= s*

Diese Curven sind vom vierten Grado und stellen den geome- trischen Ort aller derjenigen Punkte dar, für welche das Product der Leitstrahlen »in nach den Brennpunkten ±c eine constante Grösse q* ist.

In Polarcoordinatcn wurde die Gleichung sein

2) r«-2c«r*C08 2y-f-e4 — q*

Nicht unerwähnt wollen wir lassen, dass die Gleichung auch in fol- gender neuen Form sich darstellen lässt:

Vi + ** ± Vi -* - ' '

Die Leitstrahlen mn mögen den Winkel Q miteinander ein- schliessen. Nun ist aber für jedes Dreieck, dessen Basis 2c, dessen Mittellinie r, und dessen Winkel an der Spitze Ö ist, leicht die folgende Formel zu beweisen:

2«-sin<p

r* — r*

COS S =

>/,■*_ 2<?*r* cos 2<jp+c4

folgt. q> ist die Neigung von r gegen c.

Daher ist für die Lemniskate im allgemeinen die folgende Re- lation gflltig

4) r* = c*-f 2«cose

wonach zwischen dem Radiusvector r und dem Focalwinkel 0 eine sehr einfache Beziehung besteht, die uns später von grossen Nutzen s«mii wird. Den Krümmungshalbmesser erhält man aus

22*

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340 Oekinghaus: Die Lemnislate,

q*r

9 e*COS29-|-r* Für die Brennstrahlen mn findet man leicht

5)

„V2 - Vr» -f- + q* - V r* + c* - g* oder

G) " - j/ cs+9*cosi0« + - _*sin _0*

und die Abhängigkeit zwischen 0 und 9 drückt sich durch die Formel

2c . sin© 7) -| sin (p —

aus. Der Winkel zwischen Normale und Vector r sei A, so ist

8) sin ä = -| sin 2<p

Für die Lemniskate im engeren Sinne werden diese Relationen einfacher. Dio Polargleichung wird für c = q

9) r* = o* cos 2<pt a--2c*

worin +a die Scheitelradien der Curve bezeichnen. Man kann sie auch durch

9) r — acos^ö

ersetzen, woraus

cos 2? ■= cos^O* folgt

Aus der Formel für den Winkel zwischen Normale und r folgt, dass er das Doppelte des Polarwinkels ist.

Die Brennstrahlen sind

mV 2 =- Va* + r*-t-r

10)

nV2 - Ya* + r*-r

Bemerkenswert ist noch, dass die Halbirungsgerade von 6 mit r den Winkel q> einschliesst Bezeichnet man daher die Winkel zwischen Normale und ro, n mit f, so ist

* =.0 + <P

11)

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Oekinghaus: DU LtmnUUate. 341

Scbliesscn ferner »i n mit der positiven Achse dio Winkel y, y, ein, so folgt

y = 2<p+*e

12)

y, - 2y — \&

Aus dieser Relation entspringen oinige Sätze über Focal- und Centriwinkel, dio wir andeuten wollen.

Für 2 beliebige Punkte Pt Piy oder Yi und g>j0sy2 bestehen die Beziehungen

y, -2^ + 16 y,' - 2g>, - I«, y* =2<p,+ ^2 y8' - 2<p, - ftC,

Durch Snbtractiou folgt, wenn yt — y, = o etc:

o — 2(<J>, — <P*) + - ®t)

also oder

13) + #

Hierbei muss auf die Lage der Sehne Pt Ps gegen dio Focallinie 2c Rücksicht genommen werden:

1. Fall. Die Sehne trifft verlängert keinen Punkt der Focallinie 2c. Dann folgt:

Der Centriwiukel ist gleich dem 4ten Teil der Summe der beiden Focalwinkel, welche mit ihm auf gleichem Bogen stehen.

2. Fall. Die Sehne schneidet verlängert 2c:

Der Centriwinkel ist gleich dem 4ten Teil der Differeuz der beiden Focalwinkel, welche mit ihm auf gleichem Bogen stehen.

3. Fall. Dio Sehne geht durch einen Brennpunkt:

Der Centriwinkel ist gleich dem 4ten Teil des Focal- wiukels, welcher mit ihm auf gleichem Bogen steht.

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342 Oekinghausi Die Lemnükale.

§ 2.

Die Lcmniskate und die Gerade.

Die Gerade habo gegeu die Achse die Neigung x und vom Cen- tram den Abstand A. Vermöge der Formeln

r8 mm a8cos2<p, Ä = rsin(9> — t)

erhält man durch Elimination von r

14) tg <p* (A8 + 2c* cos t8) — 2c8 sin 2t tg <p3 + 2 (A8 - c8 cos 2t) tg <p8

-f- 2c8 sin 2t tg 7 + A8 - 2c8 sin t8 - 0

Dio nachfolgende Untersuchung derselben gründet sich auf die in § 12. unserer Abhandlung: Trig. Aufl. biquadr. Gleichungen ge- gebenen Formeln.

Dio Gleichung hat die Gestalt

tg<p4 — .<ltgg>s-f Z*tg<jp8-f Atg<p+n = 0

Wir berechnen zunächst

2A

tg(9>,-f <P* + <P* + <P4) - iZZß+o

und finden

15) Vi + 9>» + 9>3 + 9>4 = 2t -f- 360° d. 4.

Dio Summe der Winkel, welche die Radien nach den Schnitt- punkten von Gerade und Lomniskate mit der Achse bildon, ist gleich dem doppelten Neigungswinkel der Geraden -f 360°.

Für parallele Geraden bleibt demnach dio Summe constant. Dio Cosiuusre8olvente ist:

16) cos»»- Q~ -f-cos 2t)cos«8+^S' = 0 deren Wurzeln

mi = 9>i + 9t — n — 94

17) a>3 «= (pt — <p2-\-q>s — 9?4

g,nd = 9i — Vi — <Pa-h<P4

Um dio geometrischo Bedeutuug derselben zu gewinneu , wollen wir die kubische Gleichung auf anderem Wege darstellen.

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Oekinghaus-. Die Lemnukatc. 343

Von cinom Punkte R(a) ziehen wir eine Secanto durch die Curve, welcho mit R den Winkel d einschlicsst.

Die von R(a) aus gerechneten Secanteuabschuittc bezeichnen wir mit x. Man findet

18) x* — 4Äcos<$*s-f-2(/e*-f-2/22eos<5* - c*cos2(« -ö))x*

-4Ä(/e2cos5 — e*cos(2a — Ö))z + R* — 2c* tf» cos 2a - 0

woraus beiläufig folgt, dass die Summe der Secantcn für 2 mit R denselben Winkel 6 einschliessenden Geraden dieselbe ist.

Wir verlegeu jetzt R(a) in die Mitte einer Sehne zwischen *,x„ so dass also x1+xi = Q ist. Indem wir die in der Theorie der GleichuDgcn bekanuto Reducente a*d — aAc-f-cs = 0 benutzen und auf die obige Gleichung anwenden, finden wir

19) 0 - R*c> — + ~t< cos (2« -ö) cos (2« -36) - 0 Also ist

20) R% = (cos 2(tt ~d)± 8iu 6) nau ist aber

a — ö — t, sind" — ig daher gebt die letzte Formel in

,.*/>

21) Ä»-Ä(Ä*+ Jc«cos2r) - 2" - 0 über, woraus

22) Äj + Äj+Äs-O Hieraus ergibt sich der Satz:

Die Mitten je zweier entsprechenden Sehnen haben vom Centrum gleichen Abstand; so dass ein concentrischer Kreis, der durch die Mitte der einen Sehne geht, auch die Mitte der andern trifft.

Ferner ist die Summe je zweier dieser Strecken i?,-f-/?Ä gleich der dritten R.

Endlich bemerken wir noch, dass die Secante für

R* «=, r* = a8COs2<j>

in die Tangente übergeht, und aus der bezüglichen Formel 20) eine Relation 6 — 90°— 2<p hervorgeht; da aber ö — <p — z ist, so folgt die Beziehung

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344

Oekinyhaua: Die I^mniskate.

23) r-3cp-900

womit das Tangcntcnproblcm seino Lüsuug erhält.

Wir halten es für nützlich, nachzusehen, ob die oben a toten Resultate auch für die Gassinischen Linien gültig sind.

Dio Gleichungen ändern sich dann um in

24) — 4Äcos <5 x» + 2(fl2-f- 2Ji* cos d"2 - c2 cos 2(a - <5))x2

— 4R(R* cos ö — c* cos(« — d))x-\-R* — 2c8 R* cos 2a+c4— 9* = 0

25) *-R*c* ^8V- + ^ cos(2*-*)cos2,p -3d)

+ 4cos<S2 U

26)

2(«--«5)±[/l-^cos ä2

c2 2cos<52

27) R6 —R* (2A2 - c2 cos 2o)-H( (2A2 — c2 cos 2a)2 +g* - c4)i?2

Diese Gleichung ist bikubisch. Da R als Mittellinie nach 6 Sc- cantenteilen oder Sehnen gezogen werden kann, so entsprechen sich auch hier 2 Sehnen derart, dass ihre Mitten vom Mittelpunkt 0 gleiche Entfernung haben, wodurch das vorhin Gesagte verallgemei- nert ist.

Kehren wir nun wieder zu uuserer Lemniskate zurück und be- zeichnen wir mit w den Winkel zwischen R und der Normalen A, wodurch Äcoseo — h

so führt die Substitution von R «= — — in die Gleichung 21) auf

COS CO

dio folgende:

(2A2 \ 2A2

-a + cos2r J cos co2 -j — ~j «0

welche mit der frühern identisch ist. Mithin sind ihre Wurzeln

°>] = Vi + V2 ~~ T3 — <P4

28) co2 = cp, — <p2-f~ V3 — Vi

ws — Vi — Ts — T3 + T4

geometrisch detiuirt.

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Oekinghaus: DU Lemniskate. 345

Interessant ist, dass noch eine dritte Betrachtung zu derselben Gleichung 3. Grades führt

Ein mit der Lemniskate concentrischer Kreis vom Radius h werde von einer Geraden tangirt Von ihren Schnittpunkten mit der Curve ziehen wir Tangenten an don Kreis, welche mit der Achse die Winkel &k #2 etc. einschüessen.

Zunächst ist

h = rsin(qp — t)

oder

;t* = o'cos2(jpsin(9 — r)*

Da aber also

2<p = &+z

ist, so kann aus

Ä1 — c*cos 2<p — c*cos2?cos(2<p — 2t) 2q> eliminirt werden. Man erhält

a-Hsin#-f-cos#-Hsin2£-f-e cos 2£ = 0

worin

a — cos 2t +2 a

c

b = 2COST

c =- — 2 cos r I - 1

und damit wird die Resolvente nach früher entwickelten Principicn cos o)3— (cos 2t -f- ^ J cosm2 -f = 0 o), = \ + ^, — #3 — #4) etc.

29)

^1+^ + ^3+^4- 360°

Hieraus folgt:

Die 4 Berührungspunkte der Tangenton schliesson ein viereck ein , dessen Seiten- und Diagonalenpaare die Winkel mx mit einander bilden, welche wir eben definirt haben.

Bei genauer Durchsicht dieser Bestimmungen wird man erken- nen, dass die Winkel zwischen der 1. und 2., ebenso zwischen der 3. und 4. in einfachen Beziehungen zu einander stehen.

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346 Oe kinghaus: DU LmMat*.

§3.

Wir fandeu oben für R die Gleichung

Rt ~ 2coTd* (C08 2(a ~6) ± Sin S)

Dio Strecke R balbirt die Sehne der Lemuiskate und bildet mit ihr den Winkol d, Daher existiren für 2 parallele Sehnen 2 Worte, R und R', welche denselben Polarwinkel a haben, und welche durch die Relationen

30)

verbunden siud.

R* - R'1 - - a ,„ sin ö cos oz

Wir erwähnen hier, dass auch dio allgemeinen Formeln der Cassiuischen Curven auf analoge Beziehungen führen.

Die Wurzeln der Hauptgleichung lassen sich wegen xl-\-xs = 0

leicht combiniren und so wird, wenn wir statt * jetzt s =» ^ sotzen, folgendos System bestehon:

«3 + «4 ™ 4ÄC0SÄ

1 1 4(i?» COS ö -c* cos (2a — d) ) *3+*4 " 72 (Ä* — a* COS 2«)

31) ***s*4 — /?s(a'cos2a — /?*)

also

cos 2a — -g cos d"8 = ± sin <5

/28cos<S(a8cos2a — fl2) *3*4 = C8COS(2a — <J) -72*COS<$

Dio den Strecken RR' bezüglichen Sehnen seien SS,, dann folgen aus den letzton Formeln

5»_ ^cos(2a— 6) 4 cosi

32> ^"H5 - ^oTd~

,S*-S'*-4(/2*-J?")

also

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Oekinghaus: Die Lemniskate.

347

welche Formel die Abhängigkeit der entsprechenden R und * aus- drückt Geht die Secante in die Tangente über, wio also * -» 0, so reguitirt

*'» ~ R* — R'*

c* cos 2c cos 4a R sin 2a*

33)

,f <?*C08 2a * ra sin 2a*

Man kann, wenn man eine Sehne von constantor Länge S die Lemniskate durchwandern lässt, nach der Curve fragen, welche ihre Mitte beschreibt. Die Frage läuft darauf hinaas, eine Gleichung für R(a) aufzustellen, die nach dem Vorstehenden auf mehrfache Art abgeleitet werden kann. Man findet nach einigen Rechnungen

j*)*— a*( JP- «*)cos2a)((ÄH*2)2 " a*(ÄH**)cos2a+c*)=aVsin*2a

34) oder (Ä*+ 2Ä V - c*cos2«) + + Je*)8 - cHlc* - c Vcos2a -f- 4**)

welche für a—0 zwei Werte liefert, wovon der 2te auf i^-f«*«^ führt. Ist speciell S — c, lässt man also die halbe Focallängo die Lemniskate durchwandern, so ist die Curvengleichung ihrer Mitte

35) ^ mm l — 28ina*±Vsina(l— sin3a) Wir wollen hier noch darauf aufmerksam raachen, dass in

36) coa2«-^cos<$*=±sind

S unverändert bleibt, wenn 180—6 statt ö gesetzt wird. Daraus folgt, dass für jeden Radiasvector r(a) der Lemniskate zwei gleiche Sehnen gezogen werden können, die er halbirt und mit ihnen gleiche Winkel cinschliesst. Die entsprechenden sehnenhalbirenden Strecken bezeichnen wir wieder mit ^Äj, so wird man haben

37)

R* — Rx* = a*sin2atg(5

Die bisher entwickelten Formeln sind demnach mannigfacher Deutung fähig und brauchen nur transformirt zu werden, um neue Eigenschaften der Lemniskate hervorgehen zu lassen. Eliminiren wir z. B. aus den Gleichungen

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348

Oekinghaus: Die Lemniskale.

S1

cos 2a — 2 cos d* — ± sin d

S* COS(2qP— <J)

. =1 c* — i — — A*

4 eos<5

a, so folgt

Ä«-2ß'«2cos2<i-f-*4 - ± a*(Ä* - «') sin ä oder die Gleichung

38) 4Ä*«s8ind*T«8(*a-**)8ind + (Ä2 - = 0

worin R und « als constant, d als variabel betrachtet werden kann, und demnach 2 Wurzeln bestimmt.

Nun folgt aber aus dem Lemniskatendreieck, dessen Basis = 2«, dessen Mittellinie Ä, und dossen Winkel an der Spitze 9 ist, die Formel

- 2/fosin<5

also

(Ä» — »»)» cosö = Ä«_2JR>Ä«cos2d-ht*

Die vorhergehende Relation mit der letzten verbunden, liefert

mithin auch

cos ©8 -

a* sino

39) sin 20=^

Das einer Lemuiskate eiubeschriebone Parallelogramm, wolches die Seiten 2R und S besitzt, bat demnach dio Eigenschaft, dass bei constant bleibendem Diagonaleuwinkel das Product der beiden Seiten constant bleibt.

Wie aus der Gleichung dieses Winkels 40) tgÖ»-^tg0+l =0

folgt, sind die zusammengehörigen Werte St-\-S2 =» 00°.

§ 4.

Wir stellen jetzt eine Gleichung für dio Focalwinkel S auf, welche die Leitstrahlen nach den 4 Schnittpunkten von Gorade und Lemniskate einschliessen. Aus den Formeln

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Oekinghaus: DU Lemnitlcate. 349

h «= as\n(<p — t) cos Jö, cos2g> = cos Je* folgt zunächst

41) tg - j cos t tg ie> -f (£cos 2t+ 2) tg - ~ cos r tg und ferner

42) =. 360«

wonach die 4 Focalwinkei zusammen 4R bilden.

Ferner verbinden wir dio Schnittpunkte mit einem Brennpunkte durch Strahlen, welche mit der Geraden dio Winkel y einschliessen. Vermittelst der Elimination von r und <p aus

A = rsinfap — t)

c sin(t<j-f-y— t) r "™ sin (tf> — t)

ergibt sich wie oben, dass

43) ^-j.^+v,3+^»i80o

Wir setzen für 180° — y», den Ausdruck A und bezeichnen mit ß bestimmte Brennpunktswinkel, hervorgehend aus

ß* - A+V,

ßl - >*-f"»4

44) & + & + & = 4,4

Man beachte nun, dass in der Lemniskate zu jedem Peripherie- winkel A drei Brennpunkts- oder Focalwinkei gehören, welche auf Bogen stehen, die von A gebildet sind. Die vorhin gegebenen Ab- leitungen führen also zu ähnlichen Sätzen, wie sie in der Kreislehro vorkommen und die letzte Relation würde, in analogem Sinne aus- gesprochen, wie folgt lauten:

Jeder Peripheriowinkel einer Lemniskate, von dem ein Schenkel durch einen Brennpunkt geht, ist der 4te Teil der Summe der zu- gehörigen Focalwinkei.

Ziehen wir durch den Scheitel von A eine zweito Gerade, für welche also

ß>'+ßs'+ß*=4*

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350 Oekinghaus: Die Lemniikate.

ist, so gelangt man vermittelst Subtraction zum folgenden allgemei- nem Satz:

Jeder Peripheriewinkel einer Lemniskate ist der 4 te Teil der Summe der 3 Focalwinkel, welche mit ihm auf ent- sprechenden Bogen stehen.

Dieser Satz ist um so interessanter, als er allgemein für alle Lemniskaten gilt. Um dies zu beweisen , legen wir durch die Cas- sinische Curve eine Gerade, deren Entfernung vom Mittelpunkt A ist, dann bestehen nach früherem die Formeln

h — rsin(<p--T)

r* «=> c* -f <f COS #

2c . sin©

-= sin op — —

«* C08Ö

woraus, wenn wir die 2. typische Gleichungsform benutzen,

Ar

A8 — c*cos t* — h c cos t sin G -}- vj sin 8* — g8sin t* cos Ö hervorgeht Wegen = 0 ist wieder

45) e14.et+es+©4-36c«

Bezeichnen wir endlich wieder mit die Winkel zwischen den Brenustrahlcn und der Geraden und beachten

xy =• 5«

^ = 4c*-f-y8 — Acy cos(g> — t)

y sin V; = Ä-j-csint

so führt die Elimination von h auf eine Gleichung, die ebenfalls dio Beziehung

also auch

Vl + Vi + V*— *

hervorgehen lässt

Durch analoge Transformationen wie oben gehen daher aus diesen Ableitungen dieselben Sätze für die Lemniskaten oder Cas- sinischen Linien hervor, so dass in diesen Cnrven jeder Peripherie- winkel A der 4te Teil der Summe der 3 Focalwinkel ist, welche auf den durch A bestimmten zugehörigen Bogen stehen.

Wir haben bisher stillschweigend für einen bestimmten Bronn- punkt die Focalwinkel im Auge gehabt, so dass noch untersucht

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Oekinghaus: Die Lemnukate.

werden muss, ob auch für den 2ten die obigen Sätze massgebend sind. Um nun nachzuweisen, dass beide vertauschbar sind, zeichnen wir eine Cassinische Curve und ziehen eine Secante durch dieselbe, welche sie in 4 Punkten schneiden möge. Die vom 1. Brennpunkt zu den Schnittpunkten gezogenen Leitstrahlen mögen mit der Ge- raden die Winkel u- einschliessen. Ferner ziehen wir eine 2. Se- cante, welche mit der 1. den Winkel e bildet, und nennen die ana- logen Winkel zwischen den entsprechenden Leitstrahlen und der 2. Geraden <p.

Die beiden Secanten schneiden 4 Bogen ab, wir bezeichnen ihre Brennpunkts- oder Focalwinkel für den 1. Brennpunkt mit /", für den 2. mit g, so entsteht folgendes System:

Vi —

= «+Vs—/s

46) 180°= 4t -f 180^ -Zf

*

Die Leitstrahlen vom 2. Brennpunkt nach den Schnittpunkten beider Secanten mögen mit ihnen und zwar mit der ersten die Winkel ff, mit dor 2ten q einschliessen, man findet durch Betrachtung der Dreiecke:

9* — «-f °s+9i 9s — *-h*a+03 94 — 9*

47) 180° = 4« -f 180°+ Zg Mithin folgt aus beiden Systemen

48) Zf-Zg oder:

Die Summe der Focalwinkel ist für beide Brennpunkte die- selbe. Die von 2 Geraden auf der Curve abgeschnittenen 4 Bogen bestimmen demnach für den einen Brennpunkt 4 Focalwinkel /', für den 2. die analogen gt mit einander verknüpft durch

49) — /i+/s + /s+A - -9t

Die Secantengleichung wollen wir noch einer kurzen Betrachtung unterziehen.

Die biquadratischc Gleichung

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352 Oelinghaus: Die

** - 4Ä cos öx* -f 2(72» + 2 W cos d* - cos 2(« - ä) )*»

- 47?(72*cos (5 - c* cos(2« - <5) )* + 7?< — 2c* 72* cos 2o = 0 idcntificiren wir mit

x* — Ax*+Bxi — Cx + D = 0

indem wir versuchen wollen, ob die Lemniskate eine geometrische Con8truction der Wurzeln dieser Gleichung ermöglicht. Wir haben also 1) gleichzusetzen A — 47Zcos<3 etc. und 2) die Ä, a, <?, a aus den Constanten zu entwickeln. Wir schreiben die Resultate gleich hier nieder. Man hat zu berechnen

672* = B+ -HAL + V2D

wobei man bemerken möge, dass die quadratische Invariante unter dem Wurzelzeichen erscheint Ferner ist

OOS* - ±

50)

<.ntom-,a„- («'- D)sm« , fr-D

Unter bestimmten Bedingungen ist demnach die geometrische Construction durchführbar, da sämtliche Beziehungen i«*(a), <5, « aus den Coustanten berechnet sind. Für kubische Gleichungen

x* — Ax* + Bx - C — 0

ist zu berechnen

672* — Ä-f V^2 — 346'

51) T

, ^ rt ie3sin(5 7?»

COSA =- ry' cot 2<p = — 77", 77T "1 = «-

4/2 r — $C'-|-729coso' cos 2(p

Hier wird R zum Vector r der Lemniskate. Für reducirtc kubische Gleichungen unter der Form

»»+Äs+C = 0 würdo noch zu erwähnen sein, dass die Relationen in

52) r* = iÄ, <5 - 90°, C0t29 - ~, a* -

cos 29

übergehen. Die Gerade steht jetzt auf dem Radiusvcctor r senk- recht.

Wir wollen eine Anwendung hiervon machen.

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Oekinghaut: Die Lemniskate.

353

In der Kometentheorie ist bekanntlich die Anomalie 0 des Kometen durch eine kubische Gleichung mit der Zeit t verknüpft, welche der Himmelskörper seit seinem Perihel zum Durchlaufen eines Bogens bedarf. Sie ist

53) tgie'+stgie-^^

Wir brauchen demnach in der vorhergehenden Gleichung nur

x=»rtgie

einzuführen, so wird

t p§

r* — r* — tg2<p = -, WO C -= ;~k ist.

Die Lemniskate löst also in einfachster Weise das Kometen- problem, nämlich aus der seit dem Periheldurchgang verflosseneu Zeit die entsprechende Anomalie oder den Ort des Kometen zu finden, welche Aufgabe wir schon früher in den „Eigenschaften der Lem- niskate" auf anderem Wege gelöst haben.

§ 5.

Die Lemniskate und die Tangente.

Wie schon früher bewiesen, steht mit der Gleichung tg<jp* - A tg 98+ 2?tg <p*+A tg qp + D = 0

die Relation

56)

oder kurz

cos(<p, — q>t) __ _ sin (gi+gt) cos(g>8-g>4) " sin(<jp3-f-<p4)

cos d sin ff

cos d" ra sino'

in Verbindung.

Da aber allgemein

Vi + *s + *4 = 2t+3GÜ°

ist und für die Tangente <p, + <p« in 2<p übergeht, so geht unter Be- nutzung von t « 3qp— 90° die Relation in

über, worin alle Winkel als spitz angenommen sind. Es ist aber 6—0, also

Arch. d. Math. n. Phye. 2. Reihe. T. VII. 23

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354

Oeki«9hauM: Die /.tmnnkate.

cos (9S — <p4) - g.n ^ = 2cos2<jp

Bezeichnen wir <pl — <ps mit *. so folgt also noch 57) cos* — 2cos2qp

Da ferner die Secantengleichung wegen d = 90° — 2<p in die der Tangeute übergeht, und #, «= #a -= null wird, so ist uoch

Diese Beziehung führt auf eine Kreisrelation, wenn man «s=rf als Sehne, r als Radius und * als Peripheriewinkel betrachtet.

Die bezüglichen Kadieuveetoren r3, r< haben die leicht abzulei- tenden Gleichungen

Die Mittellinie der Sehne d nach dem Centrum der Lemniskate ist gleich r, wie aus der letzten Formel hervorgeht, nnd schliesst mit der Achse den Winkel 180° - b<p ein.

Man bemerkt sofort, dass das Kreiscentrum auf der Lemniskate liegt und die Coordinaten r(<p) besitzt.

Hieraus geht eine sehr elegante Auflösung des Tangentenpro- blems hervor Um von einem Lemniskateupunkte die beiden re- ellen Tangenten an dieselbe zu zieheu, verbinden wir ihn mit der Mitte O der Curve durch deu Vcctor r3 oder r4l errichten in drr Mitte dieses Vectors eine Vcrticale bis zu deu beiden Durch- schnitten mit der Curve, verlängern die diesen entsprechenden Vectoren r bis zum 2. Durchschnitt mit der Lemniskate; dann sind diese Schuittpunkte die gesuchten Berührungspunkte beider Tan- genten.

Des Brennpunkts wegen existireu eigentlich in diesem speciellen Falle 4 Tangenten, von welcheu wir die beidcu reellen so eben kennen gelernt und construirt haben. Dass auch imaginäre be- stehen, lässt sich am besten durch eine allgemeinere Untersuchung dartun. die sich auf den Fall bezieht, dass die Tangenten von einem beliebigen Punkte an die Curven gezogen werden. Derselbe habe die Polarcoordinaten 7?(o). Dass höchstens 4 reelle Tangenten

also

58)

#,-f #4 = 4rsin29, #sf, = 3r*

«4 — §g = 2r sin* = d

-, = C«COS

59)

's'-f-lV — — 4r»COS4«JP

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Oek i ho hau*: Ose I.*mni*kate.

355

oxistircn, übersieht man leicht. Dass ebenfalh imagiuäre auftreten, geht aus den folgenden Beziehungen hervor

_ rcos2qp _ _ Ä a,cos2qp*

R = — ,ö- — t, r» = a*COS 29», Ä* — — ,„ -

cos(3<jp — ay cos (3V — a) *

welche wir nach Potenzen von cos2<*> entwickeln. Der Abkürzung wegen setzen wir cos2<p = x und ^ = k\ man hat

60J (** -2*cos2a+l).r6-f |(i-cos2a-l)x*-}(i-cos2a)xs

9 3 1 + 1ßa:* — gCOs2cr.z-f-l6cos2a» — 0

eine Gleichung 6. Grades, welche in die vom 4. übergeht, wenn

r«-2c*r*COs2a-fc« = fi«

gesetzt wird. Der betreffende Punkt R(a) liegt alsdann in der Curve, und die Tangeutengleichung wird zu

61) *4-f 2cos2a.x8 — cos 2«. z + 1 cos 2«8 — 0

deren Auflösung wir oben auf construetivera Wege mitgeteilt haben. Während also die analytische Auflösung dieser Gleichung Schwierig- keiten haben würde, zeigt die geometrische keine solche.

Interessant ist, dass letzte Gleichung durch die Parabel gelöst werden kann.

In der Directrix der Parabel wählen wir einen Punkt, dessen Entfernung. ff vom Brennpunkt mit der Achse den Winkel 2a eiu- schliesst. und betrachten ihn als Contrnm eines durch den Brenn- punkt gehenden Kreises. Letzterer schneidet die Parabel in 2 Punkten, deren Leitstrahlen mit ff die gesuchten Winkel 2qp eiu- schlicssen. Wie man nämlich findet, ist die auf den Kreis und Pa- rabel sich beziehende Gleichung identisch mit derjenigen der Tan- genten für die Lemuiskate.

Die allgemeine Gleichung dieses Tangentenprobleras ist wegen des 6. Grades nicht algebraisch lösbar. Doch ist zu bemerken, dass sich leicht Combinationen zu 4 Wurzeln in mehrfacher Art finden lassen, wenn dio Bedeutung der Cocfficicnten dieser Gleichung be- rücksichtigt wird.

Die Verhältnisse werden geometrisch discutirbar, wenn von einem in der X- oder Ir-Ache liegenden Punkte Tangenten an die Lemnis- kate gezogen werden sollen. Die Auflösung dieser Specialfälle haben wir schon früher gegeben und damit auch die Bedeutung der Curve

23*

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350 Oekinghaus: Die Levmiskate.

für dio Auflösung der roducirteu kubischen Gleichungen aller 3 Arten nachgewiesen. Die in deu ,;Eigenschafteu der Lemuiskato" entwickelten Sätze können als Fortsetzung des eben Aufgestellten betrachtet werden und verweiscu wir darauf.

Hinsichtlich der Resolvento COS — &4)* - (cos 2r + ^r)«ll|(«,+ fr,— 3,— «tf*

ist zu bemerken, dass dieselbe für den Fall der Tangente leicht an- zugebende Wurzeln besitzt. Da »*>, — $-t = 9 ist, so folgt

cos 2^ - cos ( .°3 -}-^) - - i (cos 2t -f- ~) cos i(^8 -*4) - | (cos 2r +

also aus beiden

cos !(#3 - => - 2 cos(tfa + 04) = - 2 cos 2^

Da aber

0 = 9O°-<p

ist, so folgt

COSi(#3 — tf4) = 2cOS2qp COSty

oder

— — 2^

Nun ist aber ^4 — ^3 der Winkel zwischen den Tangenten, welche von dem 3. und 4. Schnittpunkt der die Lemni skate berührenden Geraden an den letztern tangirenden Kreis vom Mittelpunkt O ge- zogen werden, also doppelt so gross als der Winkel zwischen den Radienvectoren rsr4.

Wir wollen au dieser Stelle eine Methode mitteilen, welche in einfacher uud elegautcr Art zu einer Construction der Lemniskate führt.

In der Y- Achse wählen wir einen Punkt zum Centrum eines Kreises, der durch den Mittelpunkt O der Lemiskatc geht und dem- nach die Curve in noch 2 Punkten schneidet II besoichne dio Ent- fernung des Centrums von O. Wir wollen ;den Focalwinkel 6 be- rechnen, der zu den Schnittpunkteu gehört, und haben also die Formeln

r ™ 2Ra\n<p r = acosj©

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Oekinghaua: Die Lemniskate.

357

V2sin<p = sin £0

zu benutzen.

Man erhält ohne Mühe die Relation

Dieselbe führt uns zu folgender Coiistruction der Lemniskate:

In der F- Achse wählen wir einen beliebigen Puukt als Ccutrum eiues Kreises, der durch die beiden Brennpunkte geht und die y- Achse in den Punkten R und R' schneidet Diese Punkte seien Centra zweier durch den Mittelpunkt der Lemniskate gehenden Kreise, welche beide den Focalkreis in 4 Punkten schneiden. Diese Punkte gehören der gesuchten Lemniskate an.

§ 6.

Die Gerade durch einen Brennpunkt.

Die Formeln nehmen für diese specielle Lage sehr einfache und elegante Ausdrücke an, die wir noch erwähnen wollen.

Wir knüpfen zugleich au ein Gleichungssystem an, welches wir schon früher entwickelt haben und aus der Gleichung 4. Grades

x4 — ax3-f bx* — c*-f d — 0

abgeleitet werden kann.

Wie aus den „Beiträgen zur Theorie der Gleichungen 4. Gra- des" zu ersehen ist, bestehen dio Relationen

62)

V + Äj + V + a, + V v*3 _ h + a,

a4 -8«'6 + 16&»— 64 h 8(a3 — 4 +

63)

3a* — 8Ä

Ii ■=*

Wir nehmen mit der Hauptgleichung eine lineare Variation

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358 Otkintihaus: Die Lemniskat*.

vor, führen sio auch in den übrigen Functionen durch utid ziehen noch die Rcsolvcuto für den Typus

*i*2+*3*4 — y

nämlich

64) y3 - by* -f- (ac — 4d)y — (a*d - 4 bt l -f c*) - 0

iu den Bereich dieser Variationen, indem wir also statt z den Wert y-\-h setzen und die Constanten abcd demgemäss aus der trans- formirton Gleichung zu berücksichtigen haben.

Der Ausdruck von h und demnach die Relation 62) soll jetzt mit der vorletzten Resolvente verknüpft werden mit der Bestimmung /(---■(». Es wird oiue Gleichung 4. Grades hervorgohen , welche auf eiuo quadratische reducirt werden kann. Man hat schliesslich fol- gendes Resultat:

Mit jeder biquadratischen Gloichung ist eine Relation

64) VOr, -A)ta-*) + (arB-A)(*7=Ä)

+ V(*»-Ä)(*8-Ä)+(**- Ä) + V(*i - ÄM*4 - *) + S - *) ('3 - *) = 0 verknüpft, deren A aus der quadratischen Gleichung

hervorgehen.

Analog findet man

65) yc%+*t-2*)('s+*4-2*/ + V(*rKr-»X«k4*t-»)

I» — § * + | ± | VA*-8ac + 12rf - 0 u. a. m.

Die Gleichung der Geraden durch den Brennpunkt ist

X4— 4<?X2 + 4c3C08TX--C4 — ü

oder auch

y4_4cC08Ty3_|_4c«y«_c4 o

worin x die Neigung der Geraden gegen die Achse ist. Man findet folgende Relationen

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Oekinghausi Die Lemnisiale. 359

VytVi— y&A + Vy,ys— y*y4 + Vy*y3— yjy< — 0

Vx,r2- y,y, -f VVjXj - y,y3 -f l'x^— yjy4 — 0

66)

KlcoTr + ^4cost " *» + lAcosr ~ *» = l^sr ~ *

x4 neg.

M"»i4-ya _ j/j^ yrfy>.iy4 , l/1_yi+yjd-y*

V ' ly4 r 4y3 T r 4y,

+ p 1 ^ — 1 y4 neg.

u. a. m., welche auf die Cassini sehen Linien ausgedehnt werden können.

Interessant ist noch folgende Bemerkung. Aus

*ixsxsx4 — — c* und *i+*«+*a — — «4 folgt

67) c* =• VxjXjjXsCxj-f x8+x3)

Wie aus der Geometrie des Kreises bekannt ist , bedeutet hier c- den Inhalt des Dreiecks, welches 3 sieh von aussen berührende Kreise von deu Radien x,x8x3 mit ihren Seiten x,-f-x„ ar»+ar3, xj-f-x bilden. Für variabelo x bleibt der Inhalt demnach constant.

Eiuc audero Beziehung zwischen den Focallinion xy geht aus

»+L+?- + l _o

vi y* y3 y*

hervor.

Führt iran iu dieselbe für y3-fy4 den Wert 4ccosr — y,-y, ein, so folgt

y, -fy8 4c cos t y^ y„

"yTyV- ? **

oder

(*i + yi y«) (yi 4- y*) = 4<? cos t y, y„

und da

x* = yt*+ 4c» — 4c y, COS T so erhält man durch Elimination von cosx

68) x, x, + y, y2 + x,8 -f x,* = 4c*

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360 Oekinghaus: DU Ltmniakate.

als die gesuchte Beziehung zwischen den 2 Brennstrahlen, welche sich auch noch auf die Cassinischen Linien erweitern lässt.

Ferner leiten wir für die Gerado eine Gleichung ab, deren Un-

bekannte cos2qt> -= ist Man findet

cos 2<p* — 2 cos 2t cos 2<p* + cos 2t cos2?* — 2 sin t8 cos 2q> -\- sin t4 — 0

wclcho die Eigenschaft besitzt, dass sie die Gleichung der Wurzel- quadrate für

r4 — 2aC08Tr,-fa,r* — a4 sin t* — 0 ist, sodass auch hier eine Formel

69) L + i_ + L + Lo0

rl r* r3 r4

auftritt, deren r4 als kleinster Wert negativ zu nehmen ist

Diese Ableitung ist nur ein specieller Fall einer allgemeinern, welche wir nachher geben.

Man kann zur Ableitung neuer Relationen sich auch der Me- thode der Differentiation bedienen, die sich für die Gerade durch den Brennpunkt besonders empfiehlt.

Wir wollen sie kurz an einem allgemeinem Fall skizziren.

Aus der Secantengleichung folgt

«l-f-^-r-^s-f-3* — 4ÄC08 3

Wir nehmon Ä(o) als fest, die x nebst 6 veränderlich an, so dass aus der Relation

£dx 4Äsindd6 folgt

Indem wir nuu die beiden einander unendlich nahen Secanten betrachten, deren Winkel dd ist, so ergibt sich aus dem unendlich kleinen rechtwinkligen Dreieck an der Lemuiskate, dass

(Ix — xdd cot f

sein wird, worin f den Winkel zwischen der Tangente des Lcmnis- katenpunktes und der Secanten bedeutet, daher folgt auch

Zx cot f — — 4Äsind

In dieser Hinsicht kann man auch das von ö unabhängige Pro- duet x1x4xdxi logarithmisch differentiiren.

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Oekintjhaus; Di« LemnükaU. 361

Man findet

cotf, cotf4cotf3cotf4 =0 u. a. m.

§ 7.

Wir ziehen durch den Mittelpunkt der Lemniskate einen Durch- 2r* und verbinden seine Endpunkte mit einem Peripherie- punkte r(<p) durch Sehnen, welche einen Winkel 1800-£ mit ein- ander einschliessen. Dann ist allgemein

tgS —

70)

tgS~ cosS —

2rr' sin(y — tp' ) r'* — r*

2 Vco82qp cos 2qpj sin(g> — q>x) cos 2<p— cos2y,

V cos 2<jp cos29, sinOp-f-y,)

sin (y-f <p') cos(9 — <p')

Wir müssen uns nun auf die Formeln in § 12. unserer Abhand- lung Aber die trigonometrische Auflösung biquadratischer Gleichungen beziehen und schreiben der Vollständigkeit wegen noch die bez. Gleichungen nieder:

cos 2t -f ^-cos 2t J gin2qt>»

-f 2sin 2r . sin 2<p -f *4 -f- sin 2t — sin 2t» — 0 71) '

cos 2y* - 2 cos 2t cos 2<jps -f (cos 2t8 -f- p cos 2t J cos 2<p* — ^j-cos 2<p

die aus der Gleichung für tg? hervorgehen.

Wir fanden am genannten Ort dio Relation

?2) sin fo-f y») sin (g^+gj

' cos(y, — y,) "* cos(ys — y4)

die uns gleich von Nutzen sein wird.

Aus der Formel für cos S folgt

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302 Oek iny haus: Die Lnuniskate.

tg<3P D tg<pcosS— 1

Da nun

>•' _ sin(<p — q>'-\-A) r ~~ %mA

wo A der Winkel zwischen der Schno von rr, und r ist, so folgt

2sin^8iu(<p -<?'-M) lgö== sin + 2/1)

woraus

cos.!-f sini4eot((p <jp'+.I) «= 2siu/lcotS

Da ferner

r*

r'ä = sin^-j-sin.^cotCqp — <p'-f-yl)2

so kann <p-<p'+A aus den letzten Gleichungen climiuirt werden, wodurch man erhält

col 2^"" l-2sin2^cot5-f 48in^cotS»

oder da

und tgqp* bekannt ist, so führt das Schlussresultat auf die Formel

73) A-b^W° — 2q>

worin B den andern Winkel au der Basis 2r' des Lern uiskaten drei - ecks bedeutet. Für einen zweiten Punkt erhält man

A' -Ii' = 90°— 2<p'

Aus der Subtraction resultirt der Satz:

Der Ccutriwinkcl ist gleich der halben Summe der Peripherio- wiukel nach den Endpunkten eines Durchmessers.

Eino Verallgemeinerung dieses Satzes haben wir für die Cassini- scheu Curvcn schon früher nachgewiesen. S. Geom. Unters, etc.

Da

1 COS (qp — tp )

ist uud auch

tff - - teP-cosS B9 tg.'cosS— 1

tg*'

<p - $0>00— .4 + Ä) = i(90°-S-f-2ß) so gewinnen wir eine Gleichung für tgfS, nämlich

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Oekingkaua: Die Lemniskate.

363

74) tgiS3+cotfitg^-~^^cotiftgiS+^|^ =0

woraus nach bekanter Methode

75) 5j +5,4-^ - 90° + 2B-29' Hieraus folgt:

Zieht man von einem Punkte B' der Lemniskate einen mit der Achso den Winkel q>' einschliessenden Durchmesser 2r'= BfA und noch eine Secante /f'SgSjS,, welche mit r* den Winkel B einschlicsst, und verbindet die 3 Schnittpunkte S1S%S3 mit A durch Sehnen, wo- durch entsprechende Winkel S1SiS3 entstehen, so ist dio Summe dieser Winkel gleich 90°-f 2B — 2t,'.

Nun ist aber (a. a. 0.)

co8Äsin(ff— o') = sin ff ff+ff'- 2r-f-360°

sin ff . . .

oder

sin^+*,) B.n

Daher folgt bei Berücksichtigung der Vorzeichen

76) 2 {f , + q>9) - 2r ~ 90°+ 5

Diese Relation gilt für jedes Lemniskatendreieck, von welchem 2 Seiten durch r,(?1), r, (<pt) , ihr Winkel durch <pt bezeichnet sind. Ihre Mittellinie nach der 3. Seite schliesst mit dieser den Winkel S ein, und diese Seite hat gegen die Achse die Neigung t. Aus dieser Formel lassen sich manche Folgerungen ziehen, z. B., wenn das Dreieck ein rechtwinkliges wird, und führen auf Sätze, welche wir schon früher in den „Eigenschaften der Lemniskate" ent- wickelt haben.

Haben allgemein in dem Dreieck AB'S die Seiten AS und SB' die Neigungswinkel t bez. t' gegen die Achse, so besteht die Relation

woraus folgt

77) ff_45<4-^tl!

woraus eine interessante Beziehung t — — x' folgt, wenn

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364 Otkinghaus: Die Ummrkate.

§8.

Bio Lcmniskate und dor Kreis.

Wie schon aus der Geometrie der Goraden geschlossen werden kann, wird die Vcrbiudnng von Lcmniskate und Kreis nicht weniger reich sein an bemerkenswerten Sätzen und Gleichungen, womit wir uns im folgenden beschäftigen wollen.

Ans der Formel

sin (yj+Ts) _ sin (<p3-f-<p4) 008(9,— <ps) " cos(<jp3— <p4)

folgt noch nach 70)

cosS — — cosS'

78)

Ä+S' - 180°

woraus ein schon früher abgeleiteter Satz von neuem bewahrheitet wird, nämlich:

Die Mitten correspondirender Sehnen sind vom Mittelpunkt der Lemniskate gleich weit entfernt.

Infolge der Siuusgleichnng

sin2y*- >tsin29*-f ßsin2g)a-Hsin29>+D = 0

erhält man

sin 2<p + £* sin 2<p sin 2<p sin 2<p

woraus

1 -}-sin2qp, sin2qpg si n ( 9, -f- 98 )2 l-f-sin*2qps sin 2y4 ö sin(qp8-j-g>4)*

Aus diesem Ausdruck folgt nach etlichen Umformungen

cos27>,co8 2g>j cos (9, — <p8)8 sin (9, -f- 9t)* co8 2<jpsco8 2g>4 ° C08(98 — 94)* "* sin (93 -f 9«)'

Ferner ist

CO829,C0S298COS293C082p4 — Z>' — -A

also

Führt man hierin für cos29scos2y, den vorhin gefundenen Wert ein, so folgt

Ä _ A* cos <5 Äf sin 0

co8 29,co8 2f8 - ^ cos^> - - ^ -g-p

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Oelinghaut: DU Lemniskate.

305

Wir legen nun dnrch 2 Schnittpunkte der Geraden und den Mittelpunkt der Lemniskate einen Kreis vom Radius q und beuutzen die bekannte Kreisrelation r, rÄ -= 2Ap, wo il- die Höhe vom Mittel- punkt der Lemniskate auf die Sehne * ist.

Bemerken wir, dass.

cos2qp,cos2g>2 r,^Z*

ist, so folgt aus Obigem

79) CI 008 f 8in^

q* ~ cos ö = sina

Für die beiden andern Schnittpunkte besteht die analoge

c8 CO 8(5

q* "" cos 6'

und ihr Product führt auf

80) qq' = c*

oder das Product dor Radien der beiden Kreise, welche durch ent- sprechende Punkte der Geraden hindurchgehen und den Mittelpunkt der Curve enthalten, ist constant.

Aus

folgt also

COS gggCOlljigj C08 2qp3 C08 2q>A

co8(<p,— ^ " cos (<p3— <p4j*

üi^rsj:*, 0(ler 2*g_ „ 2 V

cosd" cos 3' cos d cosd'

* £l

cosd coaö'

und, da noch aoch «=-2psind\ *'=»2p'sind"

81)

* sin 28

* sin 2d'

Wir wollen noch die Lage beider zugehörigen Kreise unter- suchen und stellen zu dem Ende die allgemeinen Gleichungen für Lemniskate und Kreis auf. Das Centrum des letztem habe die Coor- dinaten R(a). Der Radius sei «, die Polarwinkel <p.

Man findet

tg f* ((Ä* — s* — a*)* + 472* a» sin a») + 4 J2* a« sin 2a tg <ps

+ (2(Ä* - $*) - 2a4 H- 4Ä8 a* COS 2o) tg <p* — 4«* a* sin 2<p tg ?

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366 Oekinghaus: Dk Ltmnitkate.

und man bomorke, dass bis anf das Vorzcichon die Coofficieutou von tgg>3 und tgqt> übereinstimmen.

cos 2tp* (Ä* — 2c« R* cos 2a -f c*) — 2#* (<?• - R* cos 2a) coi 2a> 8

+ ((^Lf,)Ä(ct " Ä* 008 2tt) + - * 8iD 2a* > 008 2**

_^-_)co.2* + i(— — ) =0

83)

sin 2<p* P2* - 2c* R* cos 2o + c<) + 2tf V sin 2a sin 2<p* + sin 2<p8 ((2c* - Ä*cos 2a -f ^<lj' ) (J2* cos 2a — c») +•* — Ä* sin 2a») — 2/2»*« sin 2a sin 2<p

— 1 + c8-Ä*cos2a)8-,* = 0

und auch in der letzten Gleichung ist der Cocfficient von siu2gps gleich dem von sin2qp.

Daher lassen sich die in der genanuten Abhandlung Ober die Trigonometr. Aufl. biquadr. Gl. mitgeteilten Gleichungssysteme direct in einfachster Art verwenden. So findet man

tg(9>i + Vs + <P»+U) = - -ei^T^2ä

84)

J?8 sin 2a = — <j*sin U c8 — J28 cos 2a = q* cos U

<ri + 7>* + 9>s + <F4= U q* _ 2c*Ä«COS2a-f c*

i% Ä».

' "* " ~ cos 6

R*sin(U—2a) - c8sin U

*8

cos ^ sin (2a— LT) =. -.sin ff etc. und dio Resolvente

85) cos»8-(cosr;-f (Ä^^)cosW«+ -l)cos»

rol a «Pl + V» - 93 — ^4

<°i *=* ?t — <P* + Vs — <Pa

«5 «= <r, — <rs — <r3 + ^4

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Oekinghava: Die LfmnUkate. 367

Um nun zn den beiden Kreisen zurückzukehren, machen wir von der Formel

Ä»sin(CT— 2«) = c'sinf/

Gebrauch.

Da beide Kreise durch 0 hindurchgehen, so geht sie in

«»

sin (ff — 2a) -jainff über. Wir fanden aber schon oben die Formel

smo

Demnach ist woraus wegen

sin ö Qt sin (ff — 2a) = sin ff'

ff-f-ö' «= f i -f- 9>a 4" Ta + <P4 =" 360°-f-2r für deu einen Kreis

ff- 2a - 180°— ff+ 2r

oder und

für den andern.

t + a-f-90°= ff x+ a'+ 90° - o'

Anhang.

Die geometrische Construetion der Wurzeln der Gleichungen 4. Grades vermittelst der Cassinischen Linie.

Von einem Punkte Rq> ziehen wir eine Secante durch die Cassi- Dische Linie, welche mit R den Winkel ö einschliesst und bezeich- nen ihre durch die Curve gebildeten Teile mit xlxtxsx4. Sie sind Wurzeln der folgenden Gleichung

x* - AR cos ö z* + (2/i* -f AR* cos V - 2c* cos 2(o> — d))x

— 4(R*cosö-ciRcosC2(p~ö))z + R*-t2c*R*cos2<p+e* -94 - 0

Man kann dieselbe zur geometrischen Auflösung der biquadrati- schen Gleichung

X*-Ax*+Bx't-Cx + D = 0 verwerten, was wir zeigeu wollen.

Die Identität beider ist an die folgenden Relationen geknüpft:

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368

Oekinghaus: Die Ltmniskate

A « 47? COS ö

B = 27?8-f-47?3cosd'* — 2c*cos2(9-d) C -a 4/?3 cos — 4c* 7? cos (2<p — <J) 7> = 7?*~2<r'7?Jcos29>-f-c<-fi*

Aus diesen ist c, 5, 7?, y, d durch AB CD auszudrücken, wobei also eine dieser Grössen willkürlich genommen werden kann. Wir bilden die kubischo Variante und die quadratische Invariante der biquadratischen Gleichung und erhalten

A* — 4;lB-f 8C= 32c8Jß8indsin2(9 -d) B*-3AC + 12D= (6«2— B)»+12(c4-2*)

Vermöge der Relationen von A und D kann man 6 und 2<jp elimi- niren, und das Resultat ist

(A*- 4AB+$C)* - (167?* — A*) (64c4 — (A* — 4//)* — 167?* (4* — 4ff)

— G47?*)

woraus für 7?2 die kubische Gleichung folgt:

647?6+4(3^*- 1670 7?4 -4(^*77- 4**+a6c*)ß* +44»c*-f 4«C- 4.1-ÖC+4C'* - 0

Ferner folgt aus den 4 Ilauptgleichungen

3R*-2Ii*+lAC-D+c*-q* -0

und da

Z) + 5<-c* - 7?<— 2c*7?*cos2<p

ist, so folgt auch

ra - ^/?2+c8Ä«cos2(y> + ^6' - 0

Man bemerke, dass man aus den Gleichungen für 7?* diesen Aus- druck eliminiren kann, wodurch mau eine Beziehung zwischeu den die Curve bestimmenden Grössen c und q erhält.

Dadurch, dass eine Grösse c oder q willkürlich bleibt, ist eine grosse Verschiedenheit der Curveu möglich, die es gestattet, die für die Construction bequemste auszuwählen.

Den Winkel 6 erhält man aus

c08<5 - Iii

ferner ist

q* _ 3R*—BR*+lAC—D-\-<A

und endlich

cos 2y= 2 c* 7^

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Oekinghaus : Die Lemniskate.

369

Mau kann übrigens die Auflösung der kubischen Gleichung um- gehen, da es einerlei ist, II als Function von c oder r als Function von R anzosehen. Doch wollen wir versuchsweise auf die Gleichung

** — 10arS-f-35xs — 50*+ 24 0

die kubische Gleichung anwenden. Sie ist

_c.)Ä._f(25_^,_o

Wahlen wir z. B. e — 2, so wird sie zu

und ihre Wurzeln sind Rt — 1, — <j, 7?3 = 3. Die erste Wurzel

247 5 ist unbrauchbar. Die2te liefert q* — y^-, C080> — *i cos 2g? — —

wonach die Curvc aus 2 Ovalen besteht. Da d = 0 ist, so geht die Secante durch das Centrum, und die Schnittpunkte begrenzen die Strecken 1, 2, 3, 4. Die 3. Wurzel liefert q* = 45, cosö — g und es ist q> =■ 8. Die Secante läuft also jetzt der A'-Achsc parallel und schneidet die aus einem geschlossenen Ganzen bestehende Curvc in Strecken, welche wieder die Wurzeln 1, 2, 3, 4 bestimmen.

Man kann übrigens auch in der obigen Gleichung für it2 das Absolutglied verschwiuden lassen , was in dem angeführten Beispiel für c* =» 5 eintritt. Aus der Gleichung

-o

25

folgen dann die Wurzeln Rt* — 10, R%* = Damit sind verbun- den im ersten Fall = 76, cos 6 = Y £, cos 2<p — J, also <p — d,

391

wonach die Curve ein Ganzes bildet; und im 2. Fall q* — r^i

cos2? — d = 0, wonach die Curve aus 2 Ovalen besteht Im übrigen sind also die Verhältnisse wie früher.

Das durchgeführte Beispiel lässt erkennen, dass die Cassiuische Linie den Curven zugezählt werden kann, welche eiuo geometrische Construction der Wurzeln von Gleichungen 4. Grades ermöglichen.

Wie schon gesagt, ist es nicht gerade notwendig, eine kubische Gleichung zu diesem Zwecke aufzulösen, denn wir können den Formol- apparat auch in folgender Art aufstollen:

Arch. d. Math. *. PIijh. 2. Beitie, T. VII. 24

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370

Oekiitfjliaus: fji* Lem»ixkate.

c ~64 1ÜR>-A> +<A(A'~ *»+8Ä*)' cosi -

In der ersten Gleichung kann man über c4 — g4 so disponiren, dass der Wurzelausdruck ein vollständiges Quadrat wird, wobei man allerdings e4 — g4 so zu wählen hat, dass <p oder 6 uicht unmöglich wird. Diese Differenr steht, wie man sieht, iu Wechselbeziehung zur quadratischen Invariante

Ist c — g, 90 w'rd die Curve zur Lemniskate, welche aber eiu specielles Interesse hat.

Benutzen wir wieder die Gleichung

a:4 — 10x* + 35x* — 50* -f- >4 = 0

so ist jetzt

35 i

Wählen wir g4 - c4 = 3, so ist /f» = 7, <?* - 2, g4 =• 7 11 19 cos2<p =- 14, <p =» 6. Setzen wir dagegen c4— g4, so folgt /f8 — - ,

4 IS 37

c* ™ 31 9* — tj 1 cos 2<p — gg, <p — 3, u. s. w. Aus allen Fällen

dieser Art folgen die Würzen 1, 2, 3, 4. Aus diesen Ableitungen erhellt zur Genüge, in wie weiten Greuzen die Cassinische Liuie den gestellten Bedingungen genügt.

Ausserdem umfasst sie alle Fälle. Um dies nachzuweisen, wollen wir eine Gleichung 4. Grades mit 3 gleichen Wurzeln voraussetzen. Bekanntlich erscheint dann die biquadratische Invariante J.

Es sei x* — 5*3-1-9** — 7z+ 2 0, a-, — ar8 = r9 — 1, a-4 ~ 2

3 118 Ist etwa g4 — c4 — |, so wird Ä8 «=- 2, c4 — gg, g4 = ^, cos 2<p

5 1 / 7 5 — | l/jn 009 ra 8 V2- Allo diese Werte sind reell. Demnach

schneidet die Curve von der Secante 3 gleiche Strecken — 1 ab,

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Otkingha ut: Die f.rmuislale. 371

was nur dann möglich ist, wenn die Secantc zu eiuer Tangente in einem Wendepunkt wird.

Selbst der Fall mit 4 gleichen Wurzeln ist durch diese Curve lösbar. Legt man z. B. die Gleichung

x* — 4;r3 + G*2-4.r-f 1 = 0

zu Grunde, so hat man Ii* — 1 -f- V\{q* — c*), ferner ist c*=- 1, also 2c* ss q* oder c —

Bekanntlich hat die Cassinischc Linie eine der Ellipse ähnliche

Gestalt, wenn c < uud eine eingedrückte Form, wenn c <

Im Uebergangsfall werden also, wenn die Secante zur Tangente ein Scheitelpunkt der kleinen Achse wird, die -1 Schnittpunkte der er- stem zum Berührungspunkt der letztem zusammenfallen , woraus die Gleichheit aller Wurzeln resultirt.

Der letzte Fall c «=» ^ hat noch ein weiteres Interesse.

Ziehen wir nämlich von einem Punkte der y-Achse der allge- meinen Curve eine Tangente an sie nnd bezeichnen den entsprechen- den Focalwinkcl des Berührungspunktes mit 0, mit n die »/-Ordinale, so erhält man nach einigen Entwickelungen die Gleichung

ff,-*»)tgie*-; (2c»-^)tgiÖ3 - "(LV-f ,,*)tg $0+ -0 c c

welche für 2c* — q* übergeht in

tgjö4 -4tgJÖ-f-:j - 0

woraus hervorgeht, dass Gleichungen von der Form

£T4 -j>10-f-3 = 0

mit einer bestimmten Cassinisehen Linie in Beziehung gebracht werden können.

24*

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372

Hoyel: Uther eine hrsoiulere Art von Iirihen.

XIX.

lieber eine besondere Art von Reihen.

Von

Franz Bogel.

Wenn f(r) — a,a-+- «a0>2+- ... aMxM-f- ... eine convergente Potenzreihe ist, und a» — g>(w), so kann von derselben eine neue

durch Entwicklung von £f(xu) nach steigenden Potenzen von x

1

entstehende Potenzreihe abgeleitet worden. Es ist nämlich:

f(x) = <i,ar-|-'V« + ".rir3 + «*** + . . .

/(**) - +«,** + . . .

f{x*) = +- . . .

/V) - + • • -

und d. h. Suuimirung:

f/V«) = oj« + («, + + (o, + «3v3 + («, +«t + «4 y + . . .

Jeder Coefficient <•„ ist die Summe von Functionen £?(r/), in welchen </ alle Divisoren des zugehörigen Exponenten « zu durch- laufen hat; so ist

r4 = £<p(tl) = 9(0 + 9(2)+ »(4) - at+as + aA.

Es besteht somit jeder Coefficient r„ aus so vielen Gliedern, als der Index n Divisoren tl besitzt.

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Hoyel: Heber eine besondere Art von Reihen. 373

Aus der Convergenz der Potenzreihe für f(x) folgt nicht un- mittelbar jene der abgeleiteten Reihe; letztere wird bezüglich ihres Convergcnzbereiches specicll untersucht werden müssen.

Liegt der Ableitung die Maclaurin'sche Reihe zu Grunde, so ist das allgemeine Glied der neuen Reihe offenbar

wo für d sämtliche Divisoren von n der Reihe nach (die Einheit und ■ inbegriffen) zu setzen sind.

Eine Repräsentant^ dieser Art Reihen, deren Coefficienten also zahlentheoretische Functionen des Index sind, ist die berühmto Lambert'sche Reihe, welche aus der geometrischen Reihe her- vorgeht.

Andere, durch ihre Summirbarkcit sich auszeichnende Reihen wären folgende:

L Wenn als Stammreihe gewählt wird, so ist

f (,0«r^ä) - *+u+*>*,+(i+ i)y8+a+i+i)*4+u-h^

+(i+m+*)*6+ ...

die abgeleitete, für jedes x ^ , J convergente Reiho. Jeder Coef-

ticient c* ist hier die Summe sämtlicher reeiproker Divisoren d des Index n, nämlich

*— Q

Sind a, by c die sämtlichen, in n — aPbPc't . . . aufgehenden Prim- zahlen, so besteht dann jeder Cocfficient cH aus («-f-l)(/J-f-l)(y+l)... Gliedern; ist n selbst eine Primzahl, so ist die Glieder- Anzahl «=» 2

und cn 14--« 1 n

Für unendlich grosse Primzahlen nimmt c„ den Wert = 1 an. Wenn dagegen n eine unendlich grosse Potenz einer Primzahl p ist, also n => jj30 , so ist der Coefticient

11 p

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ü74

Itoijel: L'tber eine besondere Art von lUil.en.

Hesonderer Erwähnung verdient der Fall, in welchem n das Product unendlich hoher Potenzen von unendlich vielen unmittelbar aufein- ander folgenden Primzahlcu 2.3.5.7.11 ... ist, deun hier ist dann

i

gleich der harmonischen Reihe 1 ter Ordnung, für wclcho die Be- ziehung gilt:

Km ((i + 5 + s +— + - lo8") = O- 57 721 . . .) beiderseits mit z» multiplicirt, kommt

lim (f +§+§ + •• • *) z" — lim (x* • l°g ») = lim K- *H

da nun

«»(»-log»)«,- -„iöU ,,=x=I"f-=» =<M-K-<+l|

und lim A'x» ebenfalls = 0 ist, so ist auch

arf--!fa,g+|+5+...l)«.-0

was zwar nur eine Folge der Couvergeuz dieser Reihe ist, wegen den sehwankenden Werten der Coefficienten aber besonderer Er- wähnung verdient.

Werden die sämtlichen cu betrachtet, welche den zwischen zweien unmittelbar aufeinander folgenden Primzahlen p und p' > p liegen- den Zahlen entsprechen, so leuchtet ein, das cp und <y kleiner sein worden als alle cM, wenn n zwischen p uud p liegt uud kleiner als <>-i und <y+i, weil p — 1 und p'-f-l gerade Zahlen sind, somit \ iu f;,_i und cP'+\ als Summand enthalten sein muss.

Die Coefticieuteu eP sind daher Minima, wenn p Primzahl ist-, zwischen diesen Miuimalwerteu , deren grösster ca = 1 -f- | ist und welche selbst eine beständig abnehmende Reihe bilden, schwanken — oscilliren die übrigen Werte e„. Die Schwankungen werden mit zunehmenden » immer grösser.

Eine bemerkenswerte Umwandlung erfährt diese Reihe, wenn sie nach den Gliedern der harmonischen Reihe }, }, $ . . . geordnet wird; es ist dann:

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Rogel: Ueber eine besondere Art von Reihen. 37Ö OD 1 xw

= hi=* <-»<•<«

Ferner ist

R(x) = flog r—j; - - log /7 (1 - *") j

die Faetorenfolgo nach Unionen, Amben, Temen etc. der als Ex- ponenten von x fungirenden ganzen Zahlen entwickelt, giebt:

n(l_XH).(i_a;i)(i_z8)(i-zt).. =1— £xM-f Ex".x»— 2xMjc».xr+... 1

X X X* X x* X9

= 1 - + ' i^-t» "l-x i-x'-i-x»-1" •••

daher

«(.)--

Nach Euler (Introd in Anal. inf. I. 16) wird jede Potenz x» in r-^: so oft hervorgebracht, als sich der Exponent n aus den ganzen Zahlen durch Addition hervorbringen lässt; as ist:

l 1 X

demnach lässt sich der Satz aussprechen :

„Der natürliche Logarithmus der Reihe, in welcher jeder Coefficicut anzeigt, auf wie viel Arten der zugehörige Ex- ponent aus deu ganzen Zahlen durch Addition gebildet werden kann, ist eine Reihe, deren Coefticienton dio Sum- men der reeiproken Divisoren der correspondironden Ex- ponenten sind."

Da ferner

17(1 — x") — 1— *— «>+«5+*T— • • •

3n*±«

ist, so gilt auch:

OD O

= 2(-l)Mx 38

o

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37ti Royl: Utbtr eine besondert Art von Reihen.

Ä(*)--Iüg{2(-1)»* 2 J

Werden von Ä(*) dio Glieder mit uugeradera Exponenten zu einer neuen Reiho

(1 _l_~2r+l\

vereinigt, so lässt sish letztere mit Hülfe der elliptischen Functionen summiren.

Es ist nämlich,

K'

q-e

vorausgesetzt,

Kia) - «+ d -H)<zM-U + W + (i +W+ tt + i . . •

ferner

(Durego, S. 227 (16)), daher

*

i «4-o* — «94-o16

// ist der complementärc Modul us — ^_^^_j_^^_^^_^16^_ " \ da- her gilt auch:

+<i+W+(i+i+W>+...

Durch letztem Ausdruck wird dio Reihe K'{q), ,'in welcher dio Coeflicicnten von den Teilern des zugehörigen Exponenten abhangen, dargestellt durch den Quotienten zweier Potenz- Reihen , deren Ex- ponenten die Quadrate der natürlichen Zahlen sind.

2. Sei

l»t ~J~ 2»* *r* jjH + • • • = s» *o ist das Pruduct Sm+tiSn zweier harmouischen Reihen, geordnet

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Hoyel: Ueber eine besondere Ari von Reihen. 377

nach den ntcn Potenzen der reeiproken natürlichen Zahlen, auch eine Reihe in welcher z. B das Glied \. den Coefticienten 2 iLbe-

(l (r

sitzt, wo d wieder sämtliche Teiler von a zu durchlaufen hat Denn es ist:

1 1_ 1 1 1 1

* ~ i» + 2" »3" 4» ■ 5» ■ 6H T • • •

8" 1 1 1

2«h ♦ » ™" 2m . 2* 2m . 4" ' 2"1 . 6" "■" ' * *

S» _ i , , __L_ .

3"»+» 3"».3M_r "t"3«*.6w *" ' "

1

4»"+» _

5m » » "" 5"* . 5*

&• 1

** ^m • • • + ...

6*+» 6"' . 6»

daher

i . i l 4.14.1 I4.1

a i»«" 2» *~ 3" ~*~ 4M 5» lwt2wt 3"' ^ 6™

"T T • • •

Die Glieder dieser Reihe sind Functionen tK»0, welche der Bedingung

H,(m')i>(m") — t|;(w'.m")

für ganze m genügen 5 darum lässt sich die Reihe RH auch in Form eines unendlichen Productes anschreiben-, es ist

Rn

unter p Primzahlen verstanden. Die Summe der eingeklammerten Reihe ist

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378

Hoyel: Leier eine beiondtre Art von Reihen

somit ist

ao

/?„ - n

p2n 4- m

2 (/>■»+" — l{p»— 1)

Bei geraden m und a ist i?„ durch die Bernoulli'schen Zahlen ausdrückbar ; z. B. ist für m = 2, n — 2

3*

2! * "41

540

Wenn m — 0 ist, vorwandelt sich RH in das Quadrat SM* und der Cotfficieut = £^ des Gliedes mit dem Nenner a» wird gleich der Anzahl der Teiler von a; es ist nämlich

, 1 2 2 3 2 4

^» = jm 4" 2» 3" 4"h "J" 5m "f" "f" • • • ♦

es hat z. B. das Glied Qn den Zähler 4, weil 6 4 Divisoren: 1. 2.

3. und 6. besitzt Es treten also hier ganz dieselben Coefficienten wie bei der Lambert'scheu Reihe auf. In Form einer unendlichen Factorenfolgo geschrieben ist:

~ Y lpu—l)*~~ (2» — D* (3*— l)1 (5»— 1)* ~t~'"

3. Bekanntlich ist:

der Reihe nach ar, *2, **, . . . für x gesetzt, sämtliche Reihen addirt und nach aufsteigenden Potenzen von x georduet giebt das Resultat:

1-x

+ <

3*

3!'

+

65

6!(

-^j ...

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Rogel: Utbtr tint besondert Art von Reihen. 379

Der Cocfficient irgend eines Gliedes xn besteht nun wieder aus ebenso vielen Gliedern als n Divisoren besitzt; letztere treten sowol als Coefficienten als auch als Exponenten des selbst als Exponent von i erscheinenden Argumentes x auf, so zwar, dass immer Ex- ponent und Coefficient das constante Produkt = n geben. Die Divi- soren von n erscheinen ferner vollzählig als Coefficienten von der

Form -gs- der Exponentiellen e. Das allgemeine Glied dieser als Cocfficient der Potenz zu fungircnden endlichen Reihe ist demnach:

M

dd-l -«U*

-dl6

wenn d ein Divisor von n ist, uud der ganze Coefficient von schreibt sich daher:

M

fU« )

wo fttr d samtliche Teiler von n zu setzen sind.

Ist n eine Primzahl p, so hat *p den nur aus 2 Teilen be- stehenden Coefficienten

IT"* +7Te"F

ist hingegen n eine unendlich grosse Potenz einer einzigen Primzahl

p, so ist der Coefficient von xpv (v = od) selbst eine unendliche Reihe:

1« rv , pP-i p*"1 , «2(p'-d P*-2

pv{pv-\) \

in welcher die Coefficienten und Exponenten von e nach einem leicht erkennbaren Gesetzo fortschreiten.

Mittelst der Reihe für x ^ _^ J lässt sich aber offenbar jede

in eine Potenzreihe entwickelbare Function f(x) auch in eine solche Reihe verwandeln, in welcher die Coefficienten der Potenzen von x

n

Summen £ q>(d) von Functionen der Teiler des Exponenten n sind,

und daher aus ebenso vielen Teilen bestehen, als n Divisoren auf- weist.

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380 Rogel: Utber eine besondere Art von Reihen.

So ist z. B.

Hier ist

« «I n rf!

ebonso

1° /21 11° \

l+i, (2! .-«• + ji-n«--) x'

+ 41-1 !«->'+•• Der Coefficicnt von sc» ist in dieser Reihe:

r»

•6). ^re~

wo sich die Summirung wieder auf alle Divisoren ei des Exponenten n erstreckt.

Salzburg, Juli 1887.

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Rogel: Die Bestimmung der Anzahl Primzahlen Hr.

38!

XX.

Die Bestimmung der Anzahl Primzahlen, welche nicht grosser als eine gegebene Zahl sind.

Von

Franz Bogel.

Im 46. Bande des geschätzten Archives berechnet K. E. Hoff- mann die Anzahl aller Primzahlen nnter einer gegebenen Grenze m mittelst der Function ?>(m) und ciuer Grösse f», die auf rein empiri- schem Wege unter Beihilfe die Rechnung abkürzender Kunstgriffe aus der Primzahlentafel durch Abzählen gefunden wird; die Inan- spruchnahme der letzteren erstreckt sich auf Primzahlen, welche weit über V»» liegen.

Diese Lösungsart, welche dem praktischen Rechner einen sehr rasch zum Ziele führenden Weg zeigt, läset daher, eben wegen des Auftretens dieser Grösse p, die Frage nach der Form der Abhängig- keit der gesuchten Anzahl von der gegebenen Zahl m und sonstiger Einfluss nehmender Grössen (den Primzahlen < Vm) völlig offen. Dieselbe soll nun durch die im nachfolgenden entwickelte, rein rechne- risch vorgehende Methode beantwortet werden. Die Benutzung der Primzahlentafel wird hiebei auf ein Minimum, nämlich auf die Auf- suchung der Primzahlen < Vm, beschränkt.

Die Untersuchung, ob eine vorgelegte Zahl m Primzahl ist oder nicht, führt zu der Erkenntniss, dass hiezu versuchsweise Teilungen dieser Zahl nur durch die Primzahlen von /)2 — 2 angefangen bis

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382 Rogel: Die Bestimmung der Anzahl Piimzahhn,

zur grösstcn noch vor V»j liegenden Primzahl pn erforderlieh und hinreichend sind *).

Daraus folgt unmittelbar, dass die Primzahlen-Menge Slm auch nur von diesen Primzahlen pt, ps . . . ;j„_i, pn<CYm (Vro<p*+i) neben der Zahl m selbst abhangen wird.

Bedeutet nun das Symbol Q*) die grösste im Bruche - ent- haltene ganze Zahl, so dass

. , „ ©<?<©+■

ist, dann stellt

0

(r =■ 2, 3, . . . n — 1 , a)

die Anzahl aller nicht über m liegenden gegen pr relativen Prim- zahlen vor.

Die Summe 2 ( ) giebt jedoch nicht die Anzahl aller gegen

r=2 \jW

*» — Pi P* - • • P*—1P* relativen Primzahlen mV denn alle durch zwei oder mehrere der Primzahlen p% ... pH zugleich teilbaren Zahlen m werden in derselben mehrmals gezählt. Zahlen von der Form

Cq(p) (Combinatioen der qten Classe ohne Wiederholung der Elemente Pf ..pn) erscheinen q mal: ebeuso oft wie überhaupt alle Zahlen, welche aus q Primzahlen zusammengesetzt sind.

Um nun die Anzahl aller gegen /» relativen Primzahlen zu linden, kann das folgende induetivo Verfahren eingeschlagen werden.

In der Summe (?) "fr" (?) kommcn alle durch Pz — pt . p3 (—2.3 — 6) teilbaren Zahlen ^ m zweimal vor ; daher giebt

(jpfc) — (p ) "" 0 ~~Pi) ^nza^ a^or £cBen ps relativen Prim- zahlen ^ m.

1) J. Frischauf, Vorlesungen ftWr Zn1ilont1ienrir.

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welche nicht grösser ah eine gegebene Zahl tind. 333

Die Summe (™)-f (£)+ (~) enthält alle durch P3p4 und pip4 teilbaren Zahlen doppelt; die Differenz

£)+©+£) -ö-ö-tJ

daher nur einmal, dagegen sind die durch ptp$Pt teilbaren Zahlen in den positiven Gliedern zusammen (A mal in den negativen eben- falls (2) mal, im ganzen also Q — ^) - 0 mal gezählt

Es muss daher zu dieser Differenz ( — — — ) addirt werden

\PtP$PU

um sodann in

(pi) (pi) 0.) (kTs) ~~ ip^Pi) ~ Gs p~i) "*™ (säs)

die Menge aller gegen J\ -=p*.p3.p4 relativon Primzahlen zu er- halten, wofür man auch abgekürzt schreiben kanu:

f (c^p) ~ f (<5?) ~ ?{cTp)

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens erscheint für die Anzahl

aller gegen PH — pt Ps • • . pn-i. p* relativen Primzahlen ^>»eine Summe von der Form:

Die Zeiger beim Summenzeichen bedeuten , dass die Combinationen, welche als Teiler auftreten, aus den Elementen von pt bis pM zu bilden sind.

S / m \

Um die Summe 2 \c~p) ZU erhaltcn' mu9S m durch Amtliche

Combinationen der rten Classe ohne Wiederholung dividirt und die ganzen Quotienten addirt werden.

Irgend eine Zahlform juap3^ . . . j>fr+i.m' (m' oo PH) welche aus r Primzahlen aus der Reihe pa . . . p„ gebildet ist , kommt in 6 wirklich nur einmal vor; denn in der ersten Partial-Summo in

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384 Rogel: Die Bestimmung der Anzahl Primzahlen,

1) nämlich in ^(6>™r)i ist fur (i)mal> in der zweiten — fcY ...

in der (r— l)ten (— l)r^_j) und in der rten (— l)'H^maI, im ganzen daher

(0 - G) + Q - + • • • + <- »r 0 + <-»-h - 1

enthalten.

Dass die Combiuationcn der Primzahlen .../>„, welche bier als Teiler auftreten , nicht grösser als m sein sollen , ist überflüssig

besonders zu bedingen, da ja in diesem Falle ^^ = 0 wird (/>>»»)•

Durch diese successiven Teilungen werden aber die Primzahlen ;>2, pt .. . pn-h pn < V/m < ;jMfi selbst ausgeschieden; indem man ihre Anzahl «—1 restituirt, ergiebt sich als Ausdruck für die Anzahl aller Primzahlen, wolche nicht grösser als m sind:

2] Slm-w — 3 + «— 1

oder

•••+(-» f(c£i)+"- 1

wi — 8 kann symbolisch auch in folgende Form gebracht werden:

« — -w(-a(-y

Das eingeklammerte »>» zeigt an, dass nach vollzogener Multiplication der Factorenfolge jedes Glied mit |mj noch vor der Reduction zu multipliciren und dann

zu setzen ist; *C> bedeutet hier die *te Combination der rten Classe ohne Wiederholung der Elemente p% . . . p».

Die Aehnlichkcit dieses Ausdruckes 4] mit jenen für die Anzahl

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ttrlch« nicht größer al* eine, gegebene Zahl xin(t. #£|5

«r(»») ') aller zu m &.bß ... L* . V relativen Primzahlen ist un- verkennbar; es ist bekanntlich

^)=.(^)(i-J)...(i-9(i-i)

f=a \ P)

Durch Substitution von m - - 3 aus 4] in 2] wird

4] SU = [m]ä(l- *,) + »-!

Eine von dieser verschiedene für praktische Zwecke bedeutsame Form für wird mit Benutzung der Gleichung

G) - (?)

erhalten. In seiner ursprünglichen Form ist nämlich

■—-©-©-©—• + <£)+&)+<£)+• •

_ (— 5_ \

\PtPiPj PiPspJ

\PtPsP*pJ

-f n-1

Da dio Ordnung der Glieder ohne jeden Einfluss auf die Grösse von Um ist, so gilt auch:

«-=-£)

4-] _(ü)+(--)+(-_)_(_i5_\ VF»/ \P*P4S \PaP4/ \PtVsVJ

- +.

-f n — 1

1)0. Lejrmie- Di nchlct, Voilesungen Iber Zulilentliporir. Area, der Math. a. Phja. 2. Railia, T. TU. **

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386

Rogel: Die Bestimmung ehr Anzahl Primzahlen,

Diese veränderte Ausdrucksweisc entspricht einem Satze der Conibiuationslehre ; %H wird dadurch nicht geäudert. Nun geht dar- aus deutlich hervor, dass die zweite Zeile aus der ersten durch Tei- lung mit — />.,, die 3te aus der 2ten durch Teilung mit — />4, all- gemein dio rte Zeile aus der (r-l)ten Zeile durch Teilung mit —JV+1 entsteht. Diese Wahrnehmung zum Ausdruck gebracht, wird

i «-— o-i"zP)

wo die Bruchformen, besondere Arten von aufsteigenden Ketten- brüchen '), so zu verstehen sind, dass Glied für Glied des Zählers besonders zu teilen ist, weil im allgemeinen

r >

Das Bildungsgesetz der einzelnen Glieder ist ein leicht erkenn- bares. Die wirkliche Ausführung für ein specielles m giebt sich bedeutend einfacher, als das complicirtc Aussehen dieser Formel erwarten lässt.

Beispiel.

m = 359 ; p„ — 17 < V359 < 19 (= 2h,+i) ; n = 8. Die Teilerreihc ;>ä . . . pH ist = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Der Mechanismus der Rechnung ist folgender:

Iu Ausführung der in 4 ] angedeuteten Operationen werden eine entsprechende Anzahl von Colonncn , altcruireud mit -{- und — be- zeichnet, zur Aufnahme der Quotienten aufgestellt. Zunächst durch

(359 \ ■~2 ) a — 179 in die mit — gekenn- zeichnete Colouue eingetragen, wodurch schon die erste Zeile abge- schlossen ist; dieselbe wird nun durch — p» = — 3 Glied für Glied geteilt und die Resultate mit entgegengesetzten Vorzeichen in dio gleichbezeichnete Colonne eingestellt. Das Verfahren wiederholt sich für alle Teiler und alle Zeichen bis zum letzten, hier pH = 17.

1) Kuntxc und Si-hlörailch III. B.l. 04.

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welche nicht grösser als eine gegebene Zahl sind. 387

Die Addition mit Hinzufügung VOU «—1 = 7 orgiebt 9IU1 — 73.

Zar bessern üebersicht wurden 5 Colonnen aufgestellt; es würden jedoch zwei, für -f- und — vollkommen genügen.

Teiler	+	i	+		+
2	359	179
3|	119	59
5		71	35 23	11
7		51 i i	25 17 10	8 5 3	1
11		32	16 10 6 4	5 3 \	1
13		27	13 9 5 3 2	4 2 1 1 1 1
17		21	10 7 4 3 1 1	3 2 1 1 1
Zusammen	+359 | -50J | -J-263 |	-58 |	+2 1	- 66

» — 1 = 7 «35y ~ 73

Ist die Zahl m eine zusammengesetzte, etwa von der Form

m — psß . . . j>r?

so bietet die Kenntniss von <p(m) für diese Art der rechnerischen Ausführung einen kaum nennenswerten Vorteil , da die Teilsnmmo

U5»

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388

Rogel: Die Bettimmumj ihr Anzahl Primzahlen etc.

in 4'j ja aus sämtlichen vorhergehenden Gliedern bestimmt werden,

Schliesslich sei noch bemerkt, dass dieser Algorithmus der Combinationen mit Wiederholung nicht bedarf.

Da 359 selbst eine Primzahl ist, so kann man sagen, dass es 73 Primzahlen giebt, welche nicht grösser als 359 sind.

Salzburg im Januar 1887.

die Ermittlung ist.

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Sporer: Neues über Vi,r- und Vielecke.

389

XXI.

Neues über Vier- und Vielecke.

Von

B. Sporer.

I. Teil. L (Fig. 1.)

A, B, C und D seien irgend 4 Punkte der Ebene, M, N uud P die Brennpunkte der Parabeln, welche dio Linien AB, AC, BD, BC resp. AH, AD, BC, CD und AD, AC, BC, BD berühren. Die Gcgcnseitcnpaaro de« Vierecks AB, CD, AC, BD und AD, BC mögen sich ferner in den Punkten F, F, G schneiden.

Berücksichtigen wir nun, dass, wenn wir von F, K und Q Lote auf die 4 Linien FC, AD, DB und BC fällen und deren Fusspuukte der Reihe nach verbinden, die Inhalte der dadurch entstandenen 3 Figuren verschwinden, so ergiebt sich uns, dass für jeden Puukt des Kreises durch P, F und O die Vierecko der Fusspunkte der Lote auf die Seiten des gewöhnt. Vierecks ACBD einen verschwindenden Inhalt haben (Vergl. J. Steiners Abhandl über Fusspuuktcurvcn ges. W. B. 2 p. 121.) Diese Eigenschaft der Punkte des Kreises durch P, F und G lüsst sich uun auch noch anders ausdrücken. Soll nämlich für irgend einen Punkt des Kreises der Inhalt der Fuss- puuktscurve verschwinden, so ist dies identisch mit dem Unistande, dass die Verbindungslinien der Fusspunkte der Lote von diesem Punkt auf die Gegenseiten des gewöhnl. Vierecks ACBD unter sich parallel werden, oder, mit andern Worten, wir erhalten den Satz:

FäHeu wir von irgend einem Punkte des durch P, E und G gelegten Kreises Lote auf die Seiten des gewöhnl. Vierecks ACBD

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390 Sporer: Xtuet über Vier- M«rf Viehcle.

und verbinden die aaf den Gegenseiten gelegenen Fusspuukte mit einander, so sind diese Verbindungslinien unter sieb parallel.

Erwägen wir ferner, dass die Kreise durch die Punkte G, F und X, E, F und M analoge Eigenschaften in Bezug auf die Vier- ecke ABCD und ABDC besitzen, so ergiebt sich uns sofort, dass die 3 durch P, £, <?; G\ F, N und £, F, M gelegten Kreise sich in eiuem und demselben Punkte y treffen, und dass, wenn wir auf die 6 Seiten des vollst Vierecks ABCD Lote vou y fällen, die Ver- bindungslinien der Fusspunkte auf den Gegenseitenpaaren unter sich parallel werden. Zugleich ergiebt sich, dass es im allgemeinen nur einen einzigen Punkt geben wird, der die letzt erwähnte Eigenschaft in Bezug auf ein volles Viereck besitzt

Fassen wir die entwickelten Eigenschaften zusammen, so er- halten wir den Satz:

„Die sechs Seiten eines vollständigen Vierecks lassen sich 3 mal „zu 2 Paaren von Gegenseiten anordnen, welche je eine Parabel he- rrühren. Legen wir durch die Brennpunkte der Parabeln und die „Schnittpunkte der zugehörigen Gegenseiten paare Kreise, so ergeben „uns 3 sich in einem Punkte schneidende Kreise und fallen wir von „dem gemeinsamen Punkte der Kreise Lote auf die sechs Seiten des „Vierecks, so liegen deren Fusspunkte auf den Gegenscitenpaaren .,auf parallelen Linien, und im allgemeinen besitzt nur dieser Punkt „in Bezug auf das Viereck die erwähnte Eigenschaft "

II.

Legen wir ferner durch P, A und B einen Kreis, so bildet dieser mit der Linie Aß einen Winkel = CGD -f- CED — 2R , da ein durch B, Z>, G gehender Kreis durch P gehen muss, also Wkl. DPB - WkL CGD und ebenso Wkl. APD = Wkl. CED ist Ebenso bildet der durch >4, M und D gelegte Kreis mit der Linie AD einen Winkel = — CFB — CEB-\- 2U. Daraus folgt aber, dass die beiden Kreise durch A, B, P und A, D, M iu A sich unter einem Winkel

o = 4R -f- BAD — CFB — CEB — CGD — CED = 2R -f BAD- CFB — CGD

durchschneiden.

Ebenso finden wir, dass die Winkel ß und y, unter denen sich die Kreise durch A. ^f. D\ D, A, B und Ay B, Pin D und B durchschneiden, sind:

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Sporer: Neue* über Vur- und Vitleckt.

ß = 2R + ADB — AGC-CEB y — 2R+ DBA — AFC— CKD Aus Jeu Werten für <*, y folgt nun sofort die Relation :

a + ß + y _ iR

Schneiden sich nun aber 3 Kreise unter Winkeln, deren Summe *=- *2R ist, so gehen sie durch einen und denselben Punkt Die Kreise durch i% .4, Ii, A% Mt D und />, JV, ff gehen somit durch einen Punkt. Berücksichtigen wir ferner, dass in Bezug auf die Dreiecke ACB, AOC and ÄCD analoge Eigenschaften wie für das Dreieck ADB gelten, so erhalten wir den Satz:

„Legen wir durch die Brennpunkte der (in I. erwähnten) Para- „beln und die Endpunkte der Seiten des Vierecks, die nicht Tan- genten der Parabel sind, Kreise, so erhalten wir sechs Kreise, welche „sich viermal zu dreien in einem Punkte schueiden."

III (Fig. 2.)

Wir haben in I. bemerkt, dass im allgemeinen in Bezug auf ein Viereck nur ein Punkt y existire, der die in I. erwähnten Eigen- schaften besitzt; es giebt jedoch eine bestimmte Lage der 4 Punkte A, B, C und D, wo dies nicht mehr der Fall ist, dann nämlich, wenn jeder der 4 Punkte Höhenschnitt des Dreiecks der 3 übrigen Punkte ist.

In diesem Falle liegen nämlich die Punkte P, M% iV, E, F und G auf eiuem Kreise , indem P mit F, AI mit G und N mit E zu- sammenfallen. Der Punkt y selbst wird auf diesem Kreise unbe- stimmt, oder mit andern Worten, jeder Punkt des durch £, F und G gehenden Kreises hat die erwähnte Eigenschaft. Nun wird aber der Kreis durch die Punkte £, F und G zum gemeinschaftlichen Fcuerbach'schen Kreise, der aus je 3 der 4 Punkte A, B und D gebildeten Dreiecke, d. h. wir erhalten den Satz:

„Fällen wir von irgend einem Punkte des Feuerbach'schen „Kreises eines Dreiecks Lote auf die Seiten und Höhen des Drei- ecks und verbinden jeden Fusspunkt dieser Lote auf den Seiten „mit dem Fusspuukt des Lotes auf der zugehörigen Höhe, so sind „diese 3 Verbindungslinien unter sich parallel."

IV.

Die vorhin erwähnte Lage der 4 Punkte A, B, C nnd D bietet auch in anderer Beziehung noch Interesse.

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392

ü porer: Neues über Vier- und Vielecke.

„Fällen wir nämlich von irgend ciuem Punkte auf die Seiten „einc8 vollständigen Vierecks Lote und verbiudcn die auf den Gegeu- Seiten gelegenen Fusspunktc derselben, so werden sich die dadurch „entstehenden 3 Verbindungslinien im allgemeinen nicht iu einem „Punkte schneiden. Haben jedoch die 4 Punkte A, B, C uud D die „in III. erwähnte Lage zu einander, so dass also jeder der Höhen- „schuitt des Dreiecks der 3 andern ist, so ist dies stets der Fall, „der Punkt möge eine Lage haben, welche er wolle.

Sind nämlich von dem Puukte P auf die Seiten eines solchen Vierecks die Lote PH, PJ, PK, PO, PM und PN gefällt und die Fusspunkte dieser Lote auf den Gegenseiten mit einander verbun- den, also die Linien HO, JK und NM gezogen uud ziehen wir ferner PK, PF und PG und durch K, Fund G parallele Linien EW, FV uud GU mit HO, JK uud MN, so bildeu die ersten 3 Linien mit den Linien PE, PF und PG dieselben Winkel wie die letzteren drei. Bedenken wir nun , dass CK, CG und CF die Halbirungslinien der Winkel des^Dreiecks EFG sind und dass, da KP, FP und GP sich in einem Punkte schneiden,

sin POE sin PKF sin PFG

sin UGF' äünPKG ' sin PFK *~ "~ 1

ist, so tiuden wir, dass auch

sin UGE sin WKF sin VFG

siu UGF ' riaWEG ' sin VFE ~~ ~~

ist, oder dass sich dio durch E, F uud G mit den Linien HO, JK, MN gezogenen Parallelen EW, FV und GU ebenfalls in einem Puukte Q treffen. Hieraus folgt aber sofort, dass sich die Linien HO, JK uud MN im Halbiruugspunkte L von PQ schneiden, womit dio Behauptung bewiesen ist.

Zugleich ergiebt sich daraus, dass die Puukte P und Q sich gegenseitig entsprechen.

IL Teil

V. (Fig. 3.)

Sind wieder 4 Punkte gegeben, uud fällen wir von einem der Punkte D auf die Seiteu des Dreiecks der drei andern Punkte ABC die Lote DE, DF uud DG, und legen wir durch dio Tunkte K, G uud F einen Kreis, so wird, da Wkl. DGE = Wkl. DCK und Wirf. DGF = Wkl DAF ist:

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Sporer: Neues fiW Vier- und l ielcike.

393

Wkl. EGF - Wkl DCB + Wkl. DAIi

Andererseits ist aber, wenn wir durch E und dio Halbiruugspunkto von DC und DB einen Kreis legen , HE — 67/, also Wkl. DHD — 2 . //CA' und Wkl. DIU = Wkl Z>CÄ und somit Wkl. J///; = Wkl. /JC'Ä.y Ebenso wird, für einen Kreis durch F, J und den Hal- birungspunkt K von ^4/>, Wkl FKJ = Wkl. Z>j4F. Fasson wir diese Resultate mit Worten zusammen, so finden wir also, dass ein Kreis durch EFG der Peripheriewinkel über dem Bogen EF so gross ist als die Summe der Peripheriewinkel über den Bögen EJ und JF der Kreise durch HEJ und JFK, oder dass die 3 erwähnten Kreise sich in einem und demselben Punkte * treffen.

Berücksichtigen wir ferner, dass die Kreise durch H, F, J und J9 F, K die Feuerbach'schen Kreise der Dreiecke BCD und ABD sind, so erhalten wir den Satz:

„Sind 4 Punkte gegeben, und fällen wir von jedem der Punkte „Lote auf die Seiten des Dreiecks der 3 andern und legen durch „deren Fusspuukte Kreise, so erhalten wir 4 Kreiso, welche sich „in einem und demselben Punkte, dem Schnittpunkt der 4 Feuer- bach'schen Kreise der 4 Dreiecke, wolcho man aus je 3 der 4 „Punkte" bilden kann, schneiden".

Oder:

„Sieht man jeden von 4 Punkten als Brennpunkt eines Kegel- schnitts an, der die Seiten des Dreiecks der 3 übrigen Punkte he- rrührt, so schneiden sich die über deu Hauptachsen der Kegelschnitte „beschriebenen Kreise in einem Puuktc, dem gemeinsamen Punkte „der 4 Feuerbach'schen Kreise der Dreiecke, die man aus je 3 der „4 Punkte bilden kann44. (Vergl. des Verfassers Mitt. im wttrtt. Korrespbl. für Gelehrten- und Realschulen 1885.)

VI. (Fig. 2.)

Sind wieder 4 Punkte derart gegeben, dass jeder der Höhcu- sebnitt des Dreiecks der 3 übrigen ist und nehmen wir irgend einen fünften Punkt P au, so bildet diesor mit den 4 ersten Punkten A% B, C, D im ganzen 10 Dreiecke. Da nun die Dreiecke, welche wir aus jo 3 der 4 Punkte Ay /*, C, D bilden kouneu, einen gemein- samen Feuerbach'schen Kreis haben, so folgt daraus sofort, dass die Feuerbach'schen Kreise aller dieser 10 Dreiecko, die jo 3 der Puuktc A, B. C, D und P bilden, durch einen und denselben Punkt x gehen müssen. Fällen wir nun von F etwa auf dio Seiten des Dreiecks ABD Lote /'//, PA", PN und legen durch deren Fusspunkte //, K

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304

Sporer: Neues über Vier, und Vielecke.

uud N einen Kreis, so geht dieser nach V. ebenfalls durch x. Daraus erhalten wir den Satz:

„Sind irgend 4 Punkte so gegeben, dass jeder Höhenschnitt dos „Dreiecks der 3 übrigen ist, and fällen wir von irgend einem 5ten „Punkt Lote auf die Seiten der Dreiecke, welche wir aus je drei „der 4 ersten Punkte bilden können, und legen durch die Fusspunktc „der Lote auf den Seiten jedes solchen Dreiecks Kreise, so schnei- den sich dieselben in einem Punkte des Feuerbach'schcn Kreises „der 4 Dreiecke."

Oder:

„Sind 4 Punkte derart gegeben, dass jeder Höhenschuitt des „Dreiecks der 3 übrigen ist, und siebt man irgend einen 5tcn „Punkt als Brennpunkt eines Kegelschnitts an, der die Seiten eines „Dreiecks aus 3 der gegebenon Punkte berührt, so erhält man 4 „Kegelschnitte derart, dass die über den Hauptachsen derselben be- schriebenen Kreise sich in einem Punkte schneiden, der auf dem „gemeinsamen Feucrbach'scheu Kreise der Dreiecke liegt, dio man „ans je 3 der geg. 4 Puukte bilden kann."

VII.

Fällen wir ferner auf dio Seiten der 4 Dreiecke, die sich aus je 3 der 4 Punkte At B, C, D bilden lassen, von einem Punkte P Lote und legen wir durch die Fusspunkte der Lote, welche auf den Seiten eines Dreiecks liegen, Kreise, so erhalten wir 4 solche Kreise. Sind die Fusspunkte der Lote die Punkto B, F, fft J, Ä, so erhalten wir die Kreise durch A\ F, G\ Fy J, //; J, G, K und Ey //, K. Nun ist aber der Periphcriwinkel über dem Bogen JG des Kreises durch J, G und A', also der Winkel

JGR - Wkl. JKP— Wkl. GKP = Wkl. JDP- Wkl. GCP

und ebenso der Pcripheriewiukel über dem Bogen GF des Kreises durch Fy (?, JE, also

Wkl. GEF — Wkl. GEP+Yfbl PEF - Wkl. GCP-\- Wkl. PBF.

Daraus folgt:

Wkl. JGK-\- Wkl. GEF - Wkl. JDP+ Wkl. PBF

- Wkl. JHP+ Wkl. PI1F

- Wkl. JHF

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Sporer: Neue* über Vier- und Me lecke.

395

Der Pcripheriewiukel über dem Bogen JF des Kreises durch F H ist also so gross als die Summe der Periphcriewinkel über den Bögen .TG und GF der Kreise durch J, <7, K und durch E, F, G. Daraus folgt aber, dass die erwähnten Kreise durch einen und den- selben Punkt gehen, oder mit audern Worten, wir erhalten den Satz:

„Ordnen wir 4 Punkte viermal zu dreien und fällen von irgend „einem 5ten Punkt Lote aut die Seiten des Dreiecks von je dreien „dieser Punkte und legeu durch deren Fusspuukte Kreise, so er- halten wir 4 sich in einem Punkte schneidende Kreise."

Oder:

„Sehen wir irgend einen Punkt als Breunpunkt der Kegelschnitte „an, welche die Seite der aus je 3 von 4 Puukten gebildeten Drei- ecke berühren, so schneiden sich die über den Hauptachsen der „Kegelschnitte beschriebenen Kreiso in einem und demselben Punkte."

VIII.

Wir haben, indem wir den Satz des vorigen Paragraphen be- wiesen haben , zugleich den Beweis eines andern bekannten Satzes gegeben, den Beweis des Satzes nämlich:

Legt man durch die übrigen Schnittpunkte von je dreien von 4 Kreisen durch einen Puukt wieder Kreise, so erhalten wir 4 neue Kreise, die ebenfalls durch einen Punkt gehen.

Ziehen wir nämlich von dem gemeinsamen Punkt der 4 Kreise die Durchmesser derselben, so gehen die 6 Verbindungslinien der Endpunkte derselben durch die 6 weitern Schnittpunkte der 4 ersten Kreise, woraus sich die Figur des vorigen Abschnitts sofort ergiebt.

Um zu einem weiteren Satz, über das Kreisviereck wenigstens zu kommen, wollen wir die gegenseitige Lage der 8 Mittelpunkte der oben erwähnten Kreise näher untersucheu. Zu diesem Zwecke beschreiben wir über den Linien PA, PB, PC und PD Kreise um die Figur der 8 Kreise vollständig zu erhalten (Fig. 4.)

Ziehen wir nun LR, OL, LM und LN, so stehen LR senkr. auf JG, LM senkr. auf PF, LN senkr. auf FG und LO senkr. auf PJ.

Daraus folgt sofort, dass Wkl. OLM =* RLN ist, da ja Wkl. JPF — Wkl. JGF ist. Nun gehören jedoch die Mittelpunkte R, L uud N 3 Kreisen durch G, und die Mittelpunkte O, L, M 3 Kreisen durch P an. Da für dio andern Punkte Analoges gültig ist,

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396

Sporer: Nmes Uber Vier- und Vttlecke.

so köuncn wir daraus schlicssen, dass die Verbindungslinien der Mittelpunkte vou 4 in einem Tunkte sich schneidenden Kreisen die- selben Winkel mit eiuander bildeu, wie die Vcrbiudungslinieu der Mittelpunkte von 4 durch einen andern Punkt gehenden Kreiscu. Liegen insbesondere die Mittelpunkte von irgend 4 solchen Kreisen auf einem Kreise, so ist dies mit den Mittelpunkten von jeden sol- chen der Fall. Daraus folgt der Satz:

„Liegeu die 4 (in Abschnitt 7. erwähnten) Puukto A, Ii, C und „D auf einem Kreise, so liegen auch die Mittelpunkte der 4 Fuss- „punktskreise auf einem Kreise , und überdies liegeu je 2 der letz- teren Mittelpunkte mit je 2 der Halbiruugspunkte der Strecken AB, nPA% PB, PC uud PD auf einem Kroiso."

Liegen nämlich die Halbirungspuukte der Strecken PA, PB, PC uud PD auf einem Kreise, so ist dies auch mit den Punkten Af B, C, D selbst der Fall und umgekehrt.

IX. (Fig. 5.)

Bevor wir nun auf die Vielecke und Vielscitc übergehen, wollen wir einen Satz beweisen, der es uus ermöglicht, ohne weitere grosse Schwierigkeit zwei analoge Sätze auszusprechen, von deueu der eine sich auf das Vieleck, der andere auf das Vielseit bezieht

Sind nämlich 5 durch einen Punkt A gehende Kreiso gegeben, so können wir dieselben zehnmal zu dreien anorduen und durch die übrigen vou A verschiedenen 3 Schnittpunkte je dreier dieser 5 Kreise wieder Kreise legen. Dies giebt lü neue Kreise, welche nach dem vorigen Abschnitt sich 5 mal zu 4 in einem Puukto schneiden werden.

Sind nun die übrigen Schuittpunkto der durch A gehenden Kreise die Puukto A, B, C, A E, F, G, H, J, K uud L, so könueu wir nun von eiuem dieser Punkte etwa F ausgehen uud den Punkt F und 4 von den 5 durch diesen Puukt gehenden Kreisen betrachten, also etwa den durch F, C, //, J uud A gehenden Kreis ausschlicssen. Die 5 Punkte, iu welchen sich die 10 uicht durch A gehenden Kreise je zu 4 treffen, seien ferner L\ fVt X, Y uud Z. Nun schneiden sich die Kreise FCBZY, FGHVZ und FKJVY ausser iu F noch iu den Punkten V, Y uud Z\ die Kreise ABFGK, FCBZG, FGHVZ in B, G und Z; die Kreise ABFGK, FCBZY und FKJVY iu B, K und Y uud die Kreise ABFGK, FKJVY, FGHVZ in A, G uud V. Legen wir nun durch V, Y, Z, D, G, Z; Ii, A, Y und G, A\ V Kreise, so müssen sich diese iu einem und demselben Punkte

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Sporer: Neue* äher Virr- und Vieleck*.

307

treffen. Nun schneiden sieh aber die 3 letzteren in dem Puukto JT, woraus sofort folgt, dass ein dureh V, Y und Z gelegter Kreis auch durch X und ebenso auch durch W gehen muss. Wir erhalten also den Satz:

Gehen 5 Kreise durch einen Punkt und legen wir durch die übrigen Schuittpunkto von je dreien einen Kreis, so erhalten wir 10 neue Kreise, welche 5 mal zu 4 durch einen Punkt gehen, und diese 5 Punkte selbst liegen wieder auf einem Kreise.

Anbei sei es uns gestattet, noch auf eine gewisse Reciprocität zwischen den auftretenden Kreisen uud Puukteu aufmerksam zu machen. In Abschnitt VII. traten 8 Kreise und 8 Punkte auf, auf jedem Kreise lagen 4 Punkte und durch jeden Punkt giengen 4 Kreise. Hier treten nun im ganzen 16 Kreise und 16 Punkte auf, auf jedem Kreise selbst liegen 5 Puukto und durch jeden Punkt gehen 5 Kreise.

Geht nun durch A noch ein sechster Kreis, so lassen sich diese 6 Kreise 6 mal zu 5 anordnen. Dies gicbt 6 Kreiso AO"), welche dem obigen Kreis durch F, Hr, X> y, Z entsprechen. Durch analoge Schlüsse wie oben, könnten wir nun beweisen, dass diese 6 Kreise A*'r> durch einen und donselbcn Puukt PC') gehen. Davon aus- gehend wieder, dass zu 7 Kreiseu 7 Punkte P'r/) gehören, die alle auf einem Kreise A'(vi;) liegen u. s. f. in inf., wir wollen jedoch den weitem Beweis hiefür auf eiue etwas andere Art geben.

Um nämlich den durch dio Puukto \\ Wy X, y, Z gohenden Kreis zu construiren, haben wir nur nötig irgend einen Schnittpunkt der 5 Kreise durch A, etwa deu Punkt F festzuhalten und die durch F gehenden Kreise zu construiren. Dadurch erhalten wir 3 Kreise, welche sich noch in 3 weiteren Punkten , den Punkten F, )', Z des Kreises durch V, W, Xy Y, Z schneiden. Tritt noch ein solcher Kreis durch A hinzu, so kommt durch F ebenfalls ein weiterer Kreis hin- zu. Dadurch sind nun 4 Kreise A<v> bestimmt, welche sich nach dem Obigen in einem Punkte schneiden. Wählen wir einen andern Punkt als F, so erhalten wir ebenfalls wieder 4 Kreise* A'<n , die durch einen Punkt gehen. Daraus folgt jedoch ohne weiteres, dass alle 6 Kreise A'r> durch einen Punkt Pt"J gehen.

Tritt ein siebenter Kreis durch A hinzu, so tritt zu den 4 durch F gehenden , noch ein fünfter Kreis , zu diesen 5 gehört jedoch ein Kreis mit 5 Punkten P'17); wählen wir statt F wieder einen andern Punkt, so erhalten wir wieder einen Kreis mit 5 Punkten P('7>, woraus folgt, dass überhaupt alle 7 Punkte P<r/> auf einem Kreise . A'(,7/) liegen u. s. w. in inf.

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398

Sporer: Neues über Vier- und Vieh ch e.

Was die Anzahl der auftretenden Kreise betrifft, so finden wir, dass dieselbe sich bei jedem weitem Kreis verdopplt. Ebenso ist dies mit den Punkten der Fall. Wir erhalten also folgenden Satz:

„Legen wir durch die übrigen Schnittpunkte von je dreien von „4 durch einen Punkt gehenden Kreisen wieder Kreise, so erhalten „wir 4 Kreise K(I11\ die sich iu einem Punkte P(1Y) treffen. Fünf „Kreise lassen sich fünfmal zu 4 anordnen, dazu gehören 6 Punkte auf einem Kreise A'0'>. Sechs Kreise durch eiuen Punkt lassen „lasson sich sechsmal zu fünf anordnen. Dies giebt 6 Kreise A'<r> „durch einen Punkt /W u s. w. in inf."

„Ist die Figur vollständig construirt, so treten im ganzen 2W_1 „Kreiso und 2M_1 Punkte auf. Auf jedem Kreise liegen « Punkte, „und durch jeden Punkt gehen n Kreise."

X.

Der obige Satz ermöglicht es, uns sofort einen andern aufzu- stellen, der sich auf das vollständige Vieleck bezieht, nämlich den Satz:

„Fällen wir von irgend einem festen Punkte P Lote auf die „Seiten der Dreiecke, welche je 3 von 4 Punkten bilden, und be- schreiben wir durch dio Fusspunkte der Lote, welche auf den Seiten „jedes solchen Dreiecks liegen, Kreise, so schneiden sich die 4 sich „ergebenden Kreise in einem Punkte Fi'*). Tritt ein fünfter Punkt „hinzu, so können wir diese 5 Punkto 5 mal zu 4 anordnen und „erhalten in Bezug auf P 5 Puukte /'(/rJ auf einem Kroiso A"(r>. „Sechs Punkte geben 6 Kreise KOI durch einen Funkt PifI) u. 8. w. „in inf."

Beschreiben wir nämlich über den Linien, wclcho den Punkt P mit den gog. Punkten verbinden, Kreise, so ergiebt sich uns sofort die Figur zu Abschnitt IX., woraus der Satz folgt.

«

XL

Aus Abschnitt IX. lälst sich ferner ein anderer Satz ableiten, der einer Notiz in Salmon-Fiedler anal. Geom. d. Eb. 4. Aufl. Anm. 70. p 687 von Clifford in den „Educat. Times" Dee. 1870 veröffentlicht wurde *). Durch circularc Inversion erhalten wir näm-

1) Der Beweis CHflnrri ift dorn Verfasser nicht bekannt. Obgleich der

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Sportrl Neues über Vier- und Vielecke.

309

lieb, wenn das Centrum der Inversion in einen der gemeinsamen Punkte des Kreissystems des Abschnitts IX. verlegt wird, sofort den Satz:

„Vier Linien bilden 4 Dreiecke; die Umkroiso dieser Dreiecke „schneiden sich in einem Punkte P(/r). Zu fünf Linien gehören 5 „Puukto P(,r> auf einem Kreise zu sechs Linien 6 Kreise A*(r> „durch einen Punkt PlF/> u. s. w. in Inf.*4

Auf ähnliche Art wie der Satz in Abschnitt X., lässt sich obiger Satz ebenfalls ableiten.

XII.

Wir sind in den letzten Abschnitten anf eine interessante Verwandtschaft gestossen, die zwischen Vielecken und Vielseiten existirt, und zwar beruht dieselbe auf Eigenschaften der circularen Inversion, welche uns gewissermassen gestattete von einem n-eck auf ein «-seit überzugeben. An Stelle des w-ecks können wir zunächst n durch einen Punkt gehende Kreise setzen. Die 2 ton n-Endpunkte, der durch den gemeinsamen Punkt der Kreise gehenden Durchmesser lieferten die Ecken des n-ecks, während die Fusspunktc der Lote von dem Punkt auf die Seiten des n-ecks den Schnittpunkten der Seiten des a-seits entsprechen.

Dadurch sind wir öfters in die Lage versetzt, einen Satz der sich auf ein n-eck bezieht, auf ein n-seit zu übertragen und um- gekehrt.

Die Anwendbarkeit dieses Umstandcs wollen wir noch an zwei bekannten Sätzen über über das Vicrseit und Fünfseit zeigen. In jedem Vierseit schneiden sich dio über den Diagonalen beschriebenen Kreise in zwei Punkten Q, und Q*. Dieser Satz auf das Viereck übertragen, lautet:

Fällen wir von irgend einem Punkte P auf 2 Gegenseiten eines Vierecks Lote und legen durch deren Fusspunkte einen Kreis K, der den Kreis durch diese Fusspuukte und P rechtwinklig durch- schneidet, und verfahren wir mit den anderen Gegenseitenpaaren ebenso, so erhalten wir 3 Kreise K, welcho sich in 2 Punkten Q, und (reellen oder imaginären) schneiden.

Satz eigentlich nicht tu der Abhandlung gehört, glaubte der Verfasser diesen Sntx hier tiennoch anfahren zu sollen.

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400

Sporer: N*um über Vier- und Vitletke.

Ist insbesondere das Viereck derart beschaffen, dass jeder Punkt Höhenschnitt des Dreiecks der andern ist, so ergiebt sich uns der im Abschnitt IV. entwickelte Satz.

Tritt ein 5ter Punkt hinzu, so können wir dieselben 5 mal zu 4 ordnen und erhalten 10 Punkte Q, welche dem Gauss-Bodermiller- schen Satze über über das Fünfseit entsprechend auf einem Kreise liegen.

Weingarten, (Württ.) im Januar 1886.

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Bigler: Sechs Beweise Jür den Addilionssatz.

401

XXII.

Sechs Beweise für den die elliptischen Integrale erster Gattung betreffenden Additionssatz.

Von

Ulrich Bigler.

Nach Riemannischen Begriffen.

Wenn £, y rechtwinklige Coordinaten eines Punkes in der Ebene bedeuten (es ist die geometrische Ebeuc, nicht die Hülfsebene, die man oft zur Versinnlichung der imaginären Zahlen anwendet), so ist

<1-S.y«-(1+Ä)(l- k*S*)

die Gleichung einer ebenen Curve dritten Grades. (Sie wird durch die Abscissenaxe y =• 0 in zwei symmetrische Hälften geteilt und besteht für die sinnliche Anschauung ans drei getrennten Stücken. Das mittelste Stück liegt zwischen den Geraden S= — 1 und 5 = 1, berührt jene auf der Abscissenaxe und hat diese zur Wendungs- asymptote; es enthält die zwei noch übrigen reellen Wendepunkte und wird von jeder reellen Geraden reell geschnitten. Die zwei an- dern Stücke entsprechen den Gebieten S < — S > g, berühren

die Geraden S — — r und S — | auf der Abscissenaxe und liegen

in den von der Abscissenaxe halbirten Scheitelwinkeln der zwei ge- wöhnlichen Asymptoten y «=» k(S-\-l), y => — it(S-}-l); 8ie werden nicht von jeder reellen Geraden reell geschnitten, z. B. .nicht von der Geraden 5 = 0, und machen für die analytische oder geome- trisch-perspectivischo Betrachtung ein einziges Stück aus, wie die zwei Zweige einer Hyperbel (das sogenannte Oval). (S — 0, y= 1)

Areb. Jer M.th. n. Phye. 2. Reihe, Teil VII. 26

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402 Bigler; Sechs Bewehe für den die elliptischen Integrale

ist eiu Punkt der Curve; die Differentialgleichung der Curve wird hier au dy = folglich ist y = 1-f S die Gleichung der Tan- gente in diesem Punkte. Substituirt man diesen Wert von y in die Gleichung der Curve, so erhält man <S'*(l-f-£) =0. Der potenzirte Factor S* zeigt die Berührung an, der einfache Factor 1 + ß einen einfachen Durchschnitt im Punkte {S = — 1, y = 0).

tlS

- — im Punkte (6 = 0, y «=» 1) bogonnen ist das ellip- (1 — ü)y

tische Normalintegral erster Gattung, Argument der mit S bezeichneten elliptischen Function sin. am. Als rationale Function der zwei

Coordinaten S und y hat — — =.-- in jedem Punkte der Curve einen

(1— S)y

einzigen Wert. Daher hat auch das Integral immer einen einfach bestimmten Wert, der durch den Weg bedingt ist, den der laufende Punkt auf der Curve zurück gelegt hat. Das Oval wollen wir von der Betrachtung, die ganz im Reellen vorweilen soll, ausscheiden. Wenn der laufendo Punkt von {S mm 0, y =» 1) aus nach der Seite hingeht, wo S und y zugleich wachsen, so kommt er endlich in die Nahe der Wendungsasymptote, wo 1 — S positiv sehr klein und y positiv sehr gross ist; der Wert des Integrals geht gegeu die Grenzen K hin und erreicht dieselbe, wenn S = 1, y = oc geworden sind. Daun erscheiut der laufende Puukt wieder in der Nahe der Asymptote, da wo 1 — S positiv sehr klein uud y negativ sehr gross ist; S muss nuu abnehmen, wäbreud y wächst, uud weil ilS und y zugleich ne- gativ sind, so sind die Iucremento des Integrales positiv und be- kommen in umgekehrter Orduuug dieselben Werte wie früher. Wenn der laufende Punkt in (S 0, y « — 1) angelangt ist, so beträgt folglich das Integral 2A'. Jetzt wird S negativ und wenn man die bekannte Quadratwurzel als Ausdruck für (1 — S)y herstellt, so ist leicht zu zeigen, dass wenn der laufendo Punkt in (S — — 1, y =»0) anlangt, das Integral den Wert 3K erreicht hat. Weun endlich der laufende Puukt wieder am Ort der Abscisse (S = 0, y — 1) ange- langt ist, so hat das Integral den Wert 4 AT erreicht und kann nun durch fortwährende Wiederholung dieser Reihe periodisch wachsen.

Wenn in der Gleicung Ax+ By+C = 0 einer Geraden die Coefficienten C zu ganzen Functionen einer Variabein X ge-

macht werden (die zum Unterschiede an den auch variabcln Coor- dinaten x,y Parameter heisse), so gehört zu jedem andern Werte des Parameters k eiue andere Gerade und die Gleichung stellt nun eine einfache Schaar von Geraden dar (die Gerade hat einfache Beweg- lichkeit). Die Gerado schneidet jewcilen die Corvo in drei Punkten,

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I

Gattung betreffenden Additionssatt. 403

dS

drei Schnittpunkte annimmt, kann nnr von k abhangen und wird durch Perrautation der Schnittpuukte nicht geändert. Sie kann da- her, wenn man alle reellen und imaginären Werte von k in Betracht zieht, auf einem einblättrigen k -Felde ausgebreitet werden, ist hier überall differeutiabel und wird nirgends unendlich gross. An pe- riodisches Zunehmen kann nicht gedacht werdeu, weil keine unge- wöhnlichen Zusammenhänge da Bind. Die genannte Summe kann daher nur eine Constante sein.

Irgend zwei feste Gerade seien durch die Gleichungen p — 0, 2 — 0 gegeben ; dann ist auch kp -\- q — 0, worin die Coeficienten lineare Functionen des Parameters a sind, Gleichung einer Geraden, die durch den festen Punkt (p = 0, q — 0) geht, und die um diesen Puukt sich dreht, wenn k nach und nach alle Werte annimmt. Zu x =oo gehört die Gerado p =» 0 und zu k = 0 die Gerade q 0. Für beide Gerade hat die Summe der drei Integrale nach obigem denselben Wert. Obige Constante ist also für alle Geraden dieselbe. Wir kennen eine Gerade, die in (5=0, y — 1) berührt und in (&— — 1, y =. ü) schneidet. In ihren drei Schnittpunkten dürfen wir dem Integrale resp. die Werte 0,0, — K beilegen; die Constante ist also — K (im allgemeinen köuuto man (4m — l)JC setzeu, wo m eine ganze Zahl ist). Beiläufig ersieht man hieraus, dass die ge- meinschaftliche Abscissc der zwei im endlichen liegenden reellen

Wendepunkte S(— ±K) S(JA) ist. Auf der positiven Seite der

Abscissenaxe (wo y positiv) haben im Weudepuukte die drei Integrale in der Tat die Werte - $A', - \K, - ^A'. Fährt man fort, die Ge- rade als Tangente an der Curve gleiten zu lassen, indem man den Berührungspunkt in der Richtung von (S — 0, y = 1) gegen (S— — 1, y — 0) hin bewegt, so gelangt man zu einem Punkte, wo die Tan- geute durch (S — 0, y — 1) geht; die drei Integrale sind hier — JA',

— \K, 0. Ist der Berührungspunkt in (S = — 1, y — 0) angelangt, die Tangente also mit der Asymptote parallel, so sind die drei Inte- grale —Ky —K, A; denn der dritte Schnittpunkt ist auf der posi- tiven Seite in unendliche Ferne gegangen, um nachher auf der ne- gativen Seite in grosser Ferne wieder zu erscheinen (Durchgang durch {8—1, y — <x) ). Der Berührungspunkt kommt dahin , wo die Tangente durch (S — 0, y=— 1) geht; die Integrale — ftf,

— f#, 2K. Der Berührungspunkt gelangt in den Wendepunkt, der auf der negativen Seite der Abscissenaxe liegt; Integrale - |A',

— fl/t, \K Der Berührungspunkt nach (S — 0, y — —1), wo die Tangente in (S= — 1, y => 0) schneidet; Integrale — 2A', — 2A', 3A.

Die neun Wendepunkte der Curve entsprechen den Argument-

2G-

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404 Bigler; Sech* Beweise für den die elliptischen Intnpalr

werten -\K, K, \K, tf+fZi, \K+\L, -\K+\L,

A'-f^Z, \K-\-\L. Da S{K) = 1 schon bekannt ist, so bleiben für die sin am Function, die zu den übrigen 8 Wendepunkten ge- hört, nur folgende 4 unbekannte Werte: Zwei reelle S( — §K) = S(l)K, S(K+$L) = S(K+$L); zwei imaginäre S(— $K + \l) — 8(IK+$L), SilK+tD ~ Si-^K'+iL). Die Gleichung für 8 ist daher vom vierteu Grade, nämlich

Denn man findet und

ist die Bedingung für das Minimum des Winkels, den die Tangente der Curve mit der Abscissenaxe bildet.

Die Gleichung der schucidenden Geraden sei y = aS-\-ß. Ge- braucht man die Functionszeichen C\ £>, die durch C1 = 1 — S*f ])* .= i — k*s 8 und durch dio Bedingung, dass sie im Ausgangspunkte (8 *~> 0, y — 1) beide den Wert 1 haben, definirt sind, so ist

CD (1 + S)Z> y ~ 1 - ,s " c

Man hat also die Gleichung

CD „ ,

Das Zeichen y für die Ordinate werde fortan nicht mehr gebraucht;

dagegen sollen nun die Argumente in den drei Schnittpunkten mit

«, *, y bezeichnet werden. Es sei also a-j-x-f-y = — AT, und wenn

— <i — Ä" — c gesetzt wird, x-\-y =* c. Schreibt man die Gleichg.

drei Male hin mit den Argumenten a, x, y, ersetzt Sa, Ca, Da resp.

Cc S(e) l durch — — l jy-y fjc, so dass die betreffende Gleichg. zu

S* ßDc-aCc

Dc(Dc-{-Cc) 7Jc

d. h.

Alte

wird und eliminirt et, ß aus allen drei Gleichungen, so hat man den

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erster (JatlUHy betreffenden AilditionasaU. 405

Additionssalz in eiucr besondern Form. Um zu den soust bekannten Formen derselben zu gelangen, wollen wir zuerst die Gleicbuug der Geraden in Bezug auf S rational machen. Sio wird

V - (S— 1)(«<S + 0)*+ (1 +S) (1 — = 0

und, wenn

V — s*—LS*+MS — N gesetzt wird, so hat man

(a* — k*)L - o*— 2a0-f **; (1 — L)a* - 2aj3 «= **(— 1 - L)

(a* -- k*)N - jS* - 1 ; — 4-/3* ^iV-f- 1

Setzt man der Kürze wegen

J— \—L + Äf—N= (1— Sa)(l — Är)(l —Sy) und addirt alle drei geordneten Gleichungen, so hat man

Die ersto Gleichung gibt dann

J2aß - (1 -£)(*»,/+ Jf)+lVa+A) - 2*V+2*»(1 -X.) also

J«0 = fcV-f- Z*(l — Z,) = 1 — ^-1-^(3/—^)

Die dritte Gleichung gibt

Jß* - N(&J+2P)+J(1 -k*N) = y-f2ZJiV

Aus den für */a>, «/<*/?, .//S* gefundenen Ausdrücken folgt

=»l»(i+Zi), .//?(«-/?) ~-/»(Af+iV)

und durch Subtraction

J(« - = !■(!+ ü+ 3/+ X) = /*UH- &>) (1 + &) ( 1 + ty)

Um endlich o, (S zu eliminiren, kann man die gefundenen Ausdrücke in der identischen Gleichung

Jaß XJ(a-ß)*- Ja(a - ß) X Jß («-/*) = 0

substituircu und bekommt

(1—L+#(M~N))(1+L+M+N)+P(l+Z,)(M+N)=*0

das ist

1 -(L*— 2.V) + 2/fiV+l-ä»(JI/*— -JfcW = 0

wo

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4U6 BigUri Sechs Beweist Jür den die elliptischen Jnttyrale

Sa+Sx + Sy, M= Sa(Sx + Sy) + SxSy, N - SaSxSy

folglich

L*-2M= S*a + S*r-f SV, M*-2LN - S*a(S*x + S*y)+S>x S*y Die Gloichang ist also

l-S*a-(\-k*S*a)(S*x+S*y)+2l*SaSxSy+k*S*xS*y -**S*aSVSV = 0

Um den ungeraden Term WSaSxSy in einem Quadrate zu ver- bergen, wollen wir — S*a durch —PS*a~k*S*a uud k*S*xS*y durch — l*S*xS*y-\-S*xS*y ersetzen. Dann wird die Gleichung zu

— l*(Sa— SxSy)*+ (l - k* S*a) (l - &x — S«y-f S'xS'y) - 0 das ist

D*aC*xC*y — l*(Sa — SxSy)* — 0

Jetzt kann man die Gleichung spalten, und es fragt sich nur noch, welchen der zwei Factoren man annulliren soll. Wenn x=0, y = 0, a — — A', so ist

Da Cx Cy — l, Sa—SxSy = - 1

Man muss also

DaCxCy + l(Sa—SxSy) = 0

setzen. Da man die drei Schnittpunkte beliebig mit einander ver- tauschen darf, so kann man in dieser Gleichung auch a mit x ver- tauschen und hat

CaDxOy+l(Sx—SaSy) ■= 0

Sützt man endlich a = —K—c und multiplicirt die Gleichung mit

De

-y, so ergeben sich folgende Gleichungen:

CxCy — Cc- DcSxSy^O-, — Sc DxCy+ De CcSy — 0

In der ersten Gleichung kann man, weil x = c-y ist, c mit x und y mit — y vertauschen und bekommt

Cx — CcCy+Sc Dx Sy

In der zweiten kaun man c mit y und * mit — x vertauschen und bekommt

SxDy = ScCy — CcDxSy

Multiplicirt man nun die zwei Gleichungen

Cx = CcCy-\-Sc DxSy X 1 SxDy — ScCy—CcDxSy I X i

rosp. mit 1, i und addirt, so erhält man

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erster Uatlung betrtffemlen AddUionssats. 401 Ox+iSrnDj - (Cc+iSc)(Cy-iDxSy)

und somit

Bf-J_.l SxCyDy + CxDxSy. Cx Cy - Sx Dr Sy Dy

Substituirt man den Wert von C'(*-f y) in der Gleichung

Cx Oy — Cc — DcSxSy = 0

so erhält man auch

DxDy-k'SxCxSyCy

D(l+y)

2°.) Durch Betrachtung des Unendlichwerdens und

Versch windens.

tf(a-f x) als Function von * wird unendlich in

x «= 2mA' -f- (2» +1) L — a

und nur in diesen Punkten, und zwar einfach unendlich. In

* - 4mK+ (2n+l)L-a ist

& *S«

verschwindet also \-\-kSaSx und zwar einfach; in x = (4m + 2)*-f (2»-fl)L — a ist

&- 1

verschwindet also 1 — kSaSs und zwar oinfach. Der Ausdruck 1— k*S*aS*x verschwindet also überall einfach, woS(a-J-x) unend- lich wird und sonst nirgends. Also wird

(1 — k*S*aS*x) .S(a+x)

in x — 2wA-f (2n+l)L — a

nicht mehr unendlich, wohl aber in allen Punkten

x - 2mK+l;2n+l)L

und zwar zweifach. Wenn der Ausdruck in Form einer ganzen Function von Sx, Cx, Dx ausgedrückt werden kann, so muss er da- her vom zweiten Grade sein. Weil er durch den Schnitt 2Ä" in sein

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408

Bigler: Steht Dewehe für den die elliptischen Integrale

entgegengesetztes übergeht, so muss er iu Bezug auf Sx, Cx allein von uugeradem Grade, folglich linear sein; uud weil er durch den Schnitt 2L nicht geändert wird, so muss er in Bezug auf Cte, Dx allein von geradem, also vom zweiten Grade sein. Er kann also nur aus den zwei Tcrmen CxDx und Sx bestehen. Um den erstcu Term wegzuschaffen, betrachten wir den Ausdruck

f(x) - (i -jfcSS*öS**)(S(a + *)— S(o— x)) Die Function

f(L+9) = (l-|ry) (^(i+Y)-fc5(a-y))

(S*a - S*y) (S (q + y)-S(a - y)) ft»S«yS(a + y)S(a-y)

geht für ein sehr kleines y in tiefster Näherung in 2 ~j~ über, wird also nur einfach unendlich.

f(—z) = — M 5 A2/T+ «) = -/ (x) f(2L+x) = /<*)

Setzt man im Ausdrucke für f(L-\-y), V — «-h«7» wo w sehr klein sein soll, so wird

S»a — S*y = — 2SaCaDa.tc, S(a — y) = —w

also ist

Ca Da

flL+a) = 2 = f(-Z+a)

also

Wenn endlich * sehr klein wird, so ist

f{x) = 2CaDa.x

Ucberall also, wo St unendlich oder null wird, wird es auch f(x) und umgekehrt, und in allen diesen Punkten ist

s&)-2CaDa

Zum Ueberfluss mag man noch untersuchen, ob f(x) noch auderswo verschwinden könne, als wo Sx verschwindet. Die Punkte, wo der Factor 1 —k*S*aS*x verschwindet, siud schon erledigt Es bleiben nur noch diejenigen übrig, wo der andere Factor S(a-\-x) — S(a— x) verschwindet. Denkt man sich nun das zweiblättrige S-Fcld mit den

Verzweigungspunkten - — 1,1,* und mit den zwei Perioden

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erster Gattung betreffenden Additionssatz. 409

AK und 2L des Arguments, die den zwei uugewöhuliehen Zusammen- hängen outsprechen, so sieht man, dass abgesehen von den Perioden, demselben Punkte S im einen Blatte das Argument x, im andern 2K - x zugehört. Aus der Gleichung Sy = S(z) folgt also mit Not- wendigkeit entweder

y — z — AmK-{-2nL

oder

jf + * = (4m + 2)K+2nL

Aus

S(a + x) — S(a— x) - 0 kann man aber nicht auf

2a = (4m-f2)Ä"-f 2nL

sehliessen, weil a schon zufallig gegcb3n ist, sondorn nur auf

2z = lmK+2nL und hieraus entweder auf

x - 2mK+ {2n+\)L

wo f(x) nicht verschwindet, oder auf

x = 2mK+ 2nL

wo Sx und f(z) zugleich verschwinden. Die zwei Functionen 8(x) und f{x) haben also alle Nullpunkte gemein.

fix)

Die Function ~- -x hat in der S-Ebenc überall nur oinen Wert

b(X)

und wird nirgends unendlich (und nirgends null), folglich ist sie keine Function, sondern eine Constante, nämlich 2CaDa\

il—k*S*aS*x)iSia+x)-S(a—x)) - 2CaDaSx Vertauscht man a mit *, so hat man

i\-k*&aS*z){S(a+T) + Sia - z)) - 2SaCzDx und die Addition ergibt

1) (1 — k*S*aS*x)S{a + x) - Sa CxDx+ Ca DaSx

Es sei

m* - 1 — VS*aS*x = C*a+S*aD*x - C*x+B*aS*x mcosqp — Ca, msinqo — Sa Dx\ mcosj = 0*i »»8in;c = Ax&c Dann ist

Sa Ca: Zte; — m* sin tp cos * ; Ca Da Sx = w2 cos q> sin

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410 Biyler: Sechs Beweise für den die elliptischen Jnleyrale.

Die Gloichung 1) verwandelt sich also in

S(a + *) = sin(*+z)

Wenn x = 0, so ist m = 1, cosg> = Ca, sin 7= — Sa, cos* = 1, sin % = 0, also % = 0. Unter denselben Voraussetzungen ist dio Gleichung

C(a-fx) — cos(<p-f

richtig. Die Gleichung ist also überhaupt richtig, weil der andere Fall

C(a+x) cos(y + x)

ausgeschlossen ist. Folglich

2) (l-TOS*r)C(a+z) = CaCx—SaDaSxDx Ferner ist

ml = + ft»£faC>x = D'x + fc'C'aäfc man kann also

— mcost^, kSaCx = msiny, Dx = m COS JfcCfcS* = msin w setzen. Dio Gleichung 1) wird

fcS(a-f-x) = sin(t/;-f ir)

Also

D(a+x) — cosOf-f-w)

und man hat

3) (1 — k*S'ta&x).D{a-\-x) = Da Dx — k* Sa Ca Sx C*

3°.) Beweis mittelst zweier Kreise, von denen der eine innerhalb des andern liegt, ohne den Mittelpunkt mit

ihm gemein zu haben.

Wenn in einem einzigen Augenblick eine punktförmige Masse m in Bezng auf ein rechtwinkliges System die Coordinaten a, 6, c; ein andrer Massenpunkt m' die Coordinaten a', b\ c etc. hat; wonn x, y, z die Coordinaten eines freien Punktes P sind, der von w», m', m" . . . Gravitationswirkungen erfährt, und wenn

r'» = (0'-»)»+(»'-y)»+(<.'-.)»

r 1 r rr '

etc., so heisst

als Function der Coordiuatou y, ■ dos freien Punktes /> be-

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erster Gattung betreffenden Additionssatz.

411

trachtet, das Potential des Massensystems (»», »a" . . .) iu Bezug auf den Punkt P. Die Componenten der Beschleunigung, welche der Punkt P durch die Gravitationswirkung des Massensystams erfährt, sind

BV 3 V dV dz' dy * dz

Das Potential gewährt also den Vorteil der Einheit gegenüber der Dreiheit der Componenten der Beschleunigung. Wir wollen das Potential eines Kreisbogens in Bezug auf einen innern Punkt seiner Ebene berechnen.

Der Durchmesser AB eines Kreises (Fig. 1.) werdo durch den Pol O, auf den das Potential eines Kreisbogens AP sich bezieht, in eineu grössere Teil AO = 1 und einen kleineren OB = l geteilt. M sei Mittelpunkt; Wkl. ABP = g>, OP <~ r. Die Projection von OP auf BP ist gleich der von AO, also — cosip; die von OPauf AP gleich der von OÄ, also *sin<jp; folglich

r* = cos*<p -\- P tm*<p

Der Radius des Kreises ist — |— , der Mittelpunktswinkol AMP=2(p>

der Bogen AP also gleich (1 + J)<*>. Das Bogenelement Pf, das, wenn man vom constanten infinitesimalen Querschnitt und von der Dich- tigkeit absieht, als Massenelement gelten darf, ist daher Das Element des Potentials V ist also

Das Potential des Kreisbogens in Bezug auf einen innern Punkt seiner Ebene ist also ein elliptisches Integral erster Art, das (1+0- fache des Normal integrales, wenn l den complemontäron Modul be- deutet. Wenn

*»-f f» = 1, so ist r* =a 1— fc*sin*<p

Bedeutet * das Argument, so ist

sinqp = &r, r—Dx, F=(l-f-Z)x

Der Kreis APBQA, (Fig. 2.) Mittelpunkt 3/, Pol O seien die- selben wie vorhin. Ausser dem Puukte P (Wkl. ABp z=z qp) auf der positiven Seite der Abscissenaxe wähle man noch einen zweiten Q(Wkl. ABQ~%) auf der negativen Seite und vorlange, dass das Po- tential des Bogens QP in Bezug auf O constant bleibe, während die Punkte P und Q sich auf der Kreislinie bewegen. Wenn g>=amar, X ss amy, so sei ar -f-y = c, amc = y. Das Potential des Bogens QP in Bezug auf 0 soll also den Wert (l-fty? behaitcu.

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412

Bi'jler: Sechs JJeweise Jür den die elii/itischen Integrale

Die unendlich nahe auf die Sehne P<1 (Fig. 3.) folgende Sohne sehneide sie in T\ dann darf man die Dreiecke TPP* und TQQ' als ähulich ansohen , weil jede Sehne von der Kreislinie unter gleichen Winkeln geschnitten wird ; folglich ist

PP' _ QQ' TP ~ TQ

Damit aber das Totcntial sich nicht ändere, muss

PP' QQ' OP - OQ

sein. Also ist

QT TP OQ — ÖI>

Die Gerade OT halbirt daher don Winkel QOP. Macht man nun den Winkel TOE dem Winkel OTP gleich (E liege auf der ver- längerten Sehne), so ist ETO ein gleichschenkliges Dreieck; E Mittelpunkt eines durch O und T gehenden Kreises.

Wkl. EOP = Wkl. EOT— Wkl. PO T - Wkl. ETO— Wkl. TOQ = Wkl. OQE. Weil die zwei Dreiecke EOP und EQO ausserdem noch den Winkel in E gemein habeu, so sind sie einander ähnlich. Daher

EP EO OP^ TP EO ~~ EQ ~ ~ÖQ ~ TQ

und weil EO = ET, so ist

EP E T PT ET ~ EQ TQ

olglich

EO* = ET* = EP . EQ

Also ist EO gleich der Länge der aus E an den Kreis APBQ ge- zogenen Tangente. EE sei diese Tangente. Man ziohe EB senkrecht auf die Abscisseuaxe AB. Dann ist

ÖX*+ NE* = ÖE*=EF* = EM*— MF* = MÜ*+ NE*- JfÄ* ÖX* — ÄIN* - MA* = NB* . "NA

folglich ist BO gleich laug wie dio aus N an den Kreis AFPUQ gezogeno Tangente. Zieht man in T auf die Sehne PQ eine Seuk- rechte, welche der Abscisscnaxc in C begegne, und beschreibt um den Mittelpunkt C mit dorn Halbmesser CT einen Kreis, so ist ET Tangente an diesen zweiten Kreis, und man beweist für diesen

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erster Gattung betreffenden Additionssatz. 413

zweiten Kreis, dass die aus N an ihn gezogene Tangeute gleich AO ist, gerade sowie für den ersten Kreis geschehen ist

Umgekehrt , wenn aus einem Puukte N der Abscissenaxe (Mit- telpunktsgeraden) an zwei (oder mehrere) Kreise, deren Mittelpunkte Af, C in der durch A" gehenden Mittclpunktsgcraden liegen, gleich lange Tangenten gehen , denen das Stück NO der Mittelpunktsgera- den gleich gemacht wird, und mau zieht in D auf die Mittelpunkts- gerado eine Senkrechte (dio Radicalaxe), so hat jeder Punkt £ der Radicalaxe die Eigenschaft, gleich lange Tangenten an beide Kreise (überhaupt an alle Kroise der Schaar, liegen sie links oder rechts der Radicalaxe) zu senden, und ihre Länge ist gleich EO ; (der Punkt O ist der eine der zwei Schaarenkreise, deren Halbmesser unendlich klein geworden ist) und wenn T Berührungspunkt der an den zweiteu Kreis gehenden Taugeuto ist, so ist OE(= EF) geo- metrisches Mittel zwischen EP und EQ. Der gemeinsame Winkel E der zwei Dreiecke EPO, EOQ wird also von proportionalen Seiten eingeschlossen. Die Dreiecko siud daher ähnlich; folglich ist

OP EP ET PT OQ ET EQ " TQ

Von welchem Punkte R der Radicalaxe aus man an irgend einen Schaarkreis, der innerhalb des ersten Kreises liegt, eine Tangente ziehen mag, die den innern Kreis in T berührt, und den äussern iu P, Q schneidet, immer wird der Berührungspunkt T die Sehne PQ in zwei Teile teilen , die sich zu eiuander wie dio Strahlen OP und OQ verhalten. - Dio Bediugung der Constanz des Kreisbogens QP ist also erfüllt, wenn man den zweiten Kreis (Mittelpunkt 6*, Radius CT) festhält und an ihm die Sehne PQ des ersten Kreises fort- gleiten lässt.

Für die geometrische Vorstellung ist jetzt die Integration der Differentialgleichung

vollzogen; denn man kann sich der sichern Ueberzeugung hingeben, dass man im Stande sein wird, durch trigonometrische Formeln die der Figur entsprechende Abhängigkeit der Amplituden <p und % von einander auszudrücken. Diese Form des Additionssatzes ist geome- trisch interessant. Denkt man sich Q als beliebig gewählten Anfangspunkt und zieht nun von diesem aus eine erste Tangente QP an den zweiten Kreis, so ist der Punkt P durch das Argument

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414

Bigler: Sechs Beweise Jür den die elliptischen Integrale

bestimmt. Von P aus ziehe man eine zweite Tangente an den in« neru Kreis, die den äussern in Pt trifft; dann gehört zu Pt das Argument — y-\-2c: aus P8 ziehe man eine Sehne P%P^ die den iunern Kreis berührt; ;danu ist P3 durch das Argument — y + 3r bestimmt, uud so fort. Im allgemeinen wird man eine endlose ge- brochene Linio bekommen, die dem äussern Kreis eingeschrieben und dem innern umschrieben ist. Das Potential des ganzen äussern Kreises in Bezug auf O ist (1 -f-/) .2AT, die entsprechende Zuuahme des Argumentes also 2A'. Wenn uun im besondern

c = m.2A'

n

ist, wo m, n zwei positive zu einander primc ganze Zahlen bedeu- ten, so gehört zum Punkte Pu das Argument — t/-f 2m K; dieser Puukt Pn fällt also mit Q zusammen ; die gebrochene Linie hat sieh geschlossen, und zwar nach m Umläufen. Man hat ein Vieleck, dessen Ecken in der äussern Kreislinie liegeu und dessen Seiten den innern Kreis berühren. Man kann den Anfangspunkt Q verschie- ben; immer wird die gebrochene Linio fortfahren, sich nach m Um- läufen zu schliesscu und ein n-Eck zu bleiben.

(In dieser Zeichnung ist der Bequemlichkeit wegPn % negativ an- genommen). Vom laufenden Punkte P des äussern Punktes aus ziehe mau eine Gorade durch den Pol Q, welche den äussern 10 eis uoch in P', den innern in R uud R' uud die Radicalaxo in G schneide. Vom Anfangspunkte G au haben der Reihe nach die Punkte 2», R, Ot R', P' dio Abständo p, r, n, r\ />'. Dann ist

pp «= rr' — n*

es sei noch

PT - t

Versucht man nun P als Anfangspunkt zu gebrauchen, so ist (r_J>)(r'_J,)Ärr'4.J,t.p(r+/} -p(p'+p -(r-fr'))

ebenso

OP (früher mit r bezeichnet) mag q heissen. Wenn die Mitten der

Sehnen PP' und RR' resp. M\ C, sind, so liaben diese zwei Punkte

P "T" p' T-\-r' von G aus die Abstände — -z — » ' . Weil

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trater Gattung betreffenden Additions$ntz.

415

PR .PR' = <*

ist, so hat man durch Elimination von 2p die Gleichung

l« CM' MC p ~~ OM' ~ MO

Nicht nur ist also, wie wir schon wissen,

5TP TQ OP~~ OQ

sondern dieses Verhältniss ändert sich überhaupt nicht, während P den Äussern Kreis durchläuft. Der hier bewiesene Satz, allgemein ausgesprochen, lautet :

Wenn von einem Punkte eines beliebigen Schaarkreises aus Tangenteu au alle in nein Kreise derselben Schaar gehen, so ver- halten sich die Quadrate der Tangenten, wie die Abstände der Mit- telpunkte der betreffenden inucru Kreise vom festen Mittelpunkte des äussern Kreises.

Entweicht der Mittelpunkt M des äussern Kreises in unendliche Ferne, und beachtet mau nur solche innern Kreise, die in endlicher Nähe um O herum liegen, so nähert sich das Verhältniss der Ab- stände irgend zweier Mittelpunkte derselben von M ohne Ende dem Werte 1 ; und der äussere Kreis selbst geht iu die Radicalaxe. Der Satz, dass jeder Punkt der Radicalaxe gleich lauge Tangenten an alle Schaarkreiso sendet, ist also als besonderer Fall iu dem zuletzt ausgesprochenen Satze enthalten.

Man findet leicht

w-ih «-i=» *»-izr,

Wenn Q mit A zusammenfällt, so muss Wkl. ABp =» y werden, weil wir ar-f-y = am.c = y angenommen haben. Daher ist

AP~ (l-f-/)siny Weil AO = 1, OP~ Jy, so ist

1 -l+Jy'"1 \+Ay AO

gleich dem erwähnten constanten Verhältniss \/M\ Weil Wkl. ACT = y ist, so ergibt sich

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41(5

Bigler; Sechs Beweise für den die elliptischen Integrale

Halbmesser des innern Kreises. (Es wird vorteilhaft sein, alle Linicumaasse durch AC zu dividiren). Da wir durch diese zwei Werte die Lage des innern Kreises kennen, so denken wir uns die Sehne PQ wieder so gezogen, dass P nnd Q auf entgegen gesetzten Seiten der Mittelpunktsgeraden sich befinden, und bezeichnen die Mitte der Sehne PQ mit Af\ Dann ist

Wkl. QMP = 2(9 + Z), Wkl. QMM' = Wkl. M ' MP = <p -f- x

und wenn man

Wkl. QMA - 2%

subtrahirt, so ergibt sich

Wkl. AMM> = Wkl. ACT =<p-%

Also ist

FQ-(1+J)8im(*+Z>, ^-(l+^y(9» + x)

\/MC Tangente AC Weil das constante Verhältnis« \ M(J - po)slrahl durch aJ). sin y

ausgedrückt werden kann, so ist

Weil so ist ferner ist Weil

so hat man

TP QT

AM _ \ + 4y AC - 2

MC _ AC~ 2

MM' l + /fv , CT Ac = 2 C08^ + Z)i Je" C08y

CT MM' . Alt? ,

1 + l—dy cosy — — 2 cos(g> + z) H 2 co8^ ~3t) = cosqpcosj

— dy . sin qp sin %

Ferner ist

Af'7 - MC.am(v-t)

daher

TP 1 />Q MC . ,

ÄC ^ZAC-AC ■»<»-*>

das heisst

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erster Gattung betreßendtn Additionssatz.

417

siny^g> = 8in(gp4-x) — — ^-Y&iü(<p — %)

QT

ähnlicher Ausdruck für j^j also

siny^gp — ^yBincpcoBj-j-cosysinx sinyJ% — sin tp cos % + <*y cos 9 sin %

Führt man statt der Amplituden <p, y die Argumente xy y, c — «-}-y ein, so hat man folgende drei Gleichungen gewonnen

C(*-f y) — CxCy — D{x + y)SxSy S(x + y)Dz= D(z + y)SxCy+CxSy S(z + y)Dy - SxCy + D{x + y)CxSy

von denen ans es leicht ist, zu andern bekannten Formeln zu ge- langen.

4°.) Der von Euler gefundene älteste Boweis des

Additionssatzes.

Derselbe entstaud aus dem Versuche die Differentialgleichung

R(x) T" R{y) U .

wo (Rix))* gleich einer ganzen Fuuction vierten Grades von * ist, durch eine Gleichung zu integriren, deren linke Seite eine ganze Function von x und y ist, die in Bezug auf jede einzelno dieser zwei Variabein nur auf den zweiten Fall sich erhebt (in Be- zug auf beide zugleich, also den vierten Grad erreicht), während die rechte Seite null ist. Die Coefficienten in dioser Gleichung sind wol algebraische, aber nicht rationale Functionen der arbiträren Integrationscoustauto. Das Polynom der Integralgleichung, das die Form (<r, 1)* (y, 1)» bat, muss in Bezog auf *, y symmetrisch sein, weil die Differentialgleichung iu Bezug auf x, y symmetrisch ist Es enthält daher Coefficienten für die Terrae x*y*, (z*y-t-xy*), (x9-\- y%), ary, (a?+y), 1, sechs an der Zahl. Da man aber mit einem derselben, wenn er nicht verschwindet, die fünf übrigen dividiren kann, so sind nur fünf unbekannte Cooffieienten zu zählen , die als Functionen einer einzigen lntegratiousconstanten dargestellt werden müssen. Nach x geordnet sei das Polynom

V — Ax* -f- IBx -f- C

wo A, Ä, C ganze Functionen zweiten Grades von y alleiu bedeu- ten; nach y geordnet Bei

Areh. d. Math, a. Pkyi. 2. Reih», T. VII. «7

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418 B igl*n Sechs Dttrei.se für den die elliptischen Integral*

r- Dy*±2Ey + F

wo />, E, F der Reihe nach dieselben Functionen von * bedeuten, welche A% V tou y waren. Da nun

so ist

(Ar 4- f?) (/fy + E) <fy = 0

also auch

»„+,:+ "■ KOnn

ist. Diese Gleichung gibt aber

(Dy-\-E)% = E* — DF

ganze Function vierten Grades von x allein;

(Ax+n)*^: B'l-AC

dieselbe Funrtion vierten Grades von x allein. Die Differential- gleichung hat also wirklich dieselbe Form, wie die vorgelegte. Man muss nun bewirken, dass & - DF sieh von Kl(x) bloss durch einen constanten Factor unterscheidet. Dieses zählt für vier Be- dingungen, weil eine ganze Function vierten Grades von r fünf Terme zählt. Da die fünf unbekannten Coefticienteu nur vier Bedingungen ergeben, so ist wirklich noch Spielraum für die ciuzige arbiträre Integrationsconstanto vorhanden.

Wenn das Polynum alle fünf Tenne hat, so verursacht die Zergliederung des Systems der vier Bedingungen für die fünf uubekaunten Constanten beträchtliche Schwierigkeiten. Ich will daher den Gegenstand uicht in derselben Allgemeinheit wie Eulcr behandeln, sondern vou Anfang au dio Normalform des elliptischen Integrales erster Art, auf die man ja jedes andere solche Integrale zurückführen kann, gebrauchen, also

(It(x)Y - (1 — z*)a—k*x*) =■ 1 -(1 +

setzen. Die zu integrirende Differentialgleichung sei

d* dt k%s) + R(t) " Q

Auf transcendente Weise ist sio sogleich integrirt, indem man setzt

* mm Sx, t = Sy, x+y — c

wo das Argument c die Intcgrationseonstaute ist. Die algebraische lutegralgleiehuug sei I' = l), wo

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trster Gattung betreffenden Additionssatz.

4VJ

V As*+ 2Bs + C — Dt* + 2Kt + F

wo ^4, fl, C der Reihe nach dieselben ganzen Functionen zweiten Grades von t allein bedeuten, welche D, F von * allein sind. Da man das Polynom V mit irgend einem constauten Factor multi- pliciren darf (Null ausgeschlossen), so steht es einem frei, unmittelbar

F*—DF= (A*(#))»

als identische Gleichung zu setzen; man hat dann fünf Bedingungen für die sechs unbekannten Constauten im Polynom V. Um die Er- örterung von Fällen, die sich als unstatthaft erweisen würden, ab- zuschneiden, begiune ich mit der auf den ersten Rlic k ungerecht- fertigten Behauptung, dass mau das Polynom V als gerade in Bezug auf y zusammen annehmen dürfe, das heisst, dass es sich nicht ändere, wenn man darin zugleich — z, -y für sr, y setze. Denn, weil -x — y= — c ist, so heisst das: die Coefticieuteu in I* sind alle samt gerade oder alle ungerade Functionen von c. Die Coef- ficienten von {x*y + xy*) und von (x-fy) sind dann null, folglich

D = «,»-f-0, K = jwr, /'= + « und die Gleichung

&—DF— RHii

d. h.

y*,* + - 1 _.(t+

soll identisch richtig sein (in Bezug auf .<). Da nur 1, «2, «4 darin vorkommen, so euthalt die identische Gleichung nur drei Bedin- gungen für die vier unbekannten Constanten «, ß, y, ö. Kino von diesen wird also arbiträr bleiben, und die drei übrigen werden als Functionen derselben bestimmt, was dem Charakter der Aufgabe an- gemessen ist. Die Behauptung ist jetzt gerechtfertigt und mau sieht ein, dass, wenn man auch fünf Bedingungen mit sechs unbekannten Constanten gehabt hätte, doch mit Notwendigkeit (nach Ausschei- dung unstatthafter Fälle) sich würde ergeben haben, dass die Coef- ficienten von (**< -{-***) und von (*-f"0 nu^ 8m<^-

Die drei Bedingungen siud:

-0,3 = 1; y*_aa_0» (1+**); -«ß = **

Wenn y — 0, so ist

X — c, t mm 0, S = S(c)

Aus

F— ßf*-f 2£*-f-F=0 und - - O/^x

folgt also, wenn t = 0 ist, F= 0, das heisst

27*

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420 Big 1 er: Sechs Beweite Jür den die elliptischen Integrale

ßS*c + ö - 0 und E = R(Sc)

das heisst „

ySc =■ CcDc

Eliminirt man ß aus - ßd = 1 und ß.S*c+ö - 0, so ergibt sich

<J8 - S*c, /3 = — |, « -

Denkt man sich *, f, folglich auch Sc sehr klein, und vernachlässigt die sechste Ordnung des Termcs fr»S2c»4<* (indem

CcDc - 1- S2+ . . .

durch 1 ersetzt wird, vernachlässigt man ohnehin die vierte Ordnung neben der zwoiten), so muss die Gleichung die Form

— (s+t)*+S*c - 0

nicht die andere

- (« — |)» + S*c = 0

annehmen; also muss

ö = - Sc

sein. Dann ist

1 CeDc * e

endlich ist

die verlangte Integralgleichung. Weil

1 Co De _

D = ^(1 - £ - • &

so wird die Gleichung

D« + J5=

mit Sc multiplicirt, zu

(1 - k*S*cS*x) Sy = ScCxDx- Cc DcSx

Da y = c- x, so bleibt diese Gleichung bestehen, wenn man c und y mit einander vertauscht und x durch - x ersetzt; dann wird

SxCyDy+CxDxSy 86 " l-Jc*S*xS*y

Weniger leicht gelangt man von V — 0 aus zu dieser Gleichung. Die in Bezug auf 8k, Sy rationale Integralgleichung ist nämlich

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erster Gattung betreffenden Additionstatt. 421

- (1 + Jc*S*zS V) S»c + S*x -f S'yf 20c De . Sx Äy = 0

Soll sie nun in Bezug auf Sc (was man als die arbiträre Integra- tionsconstaute betrachten kann) rational werden, so muss man beide Seiten derselben mit

- (l + JJSfcSV^c + fifc-f S*y-2CcDc.SzSy

multipliciren und bekommt

{-(l+k*StzSPy)S*c+S*x+Siy¥—4S*xS*y(l -(l-H^Ä^+W^) = 0

Die linke Seite sei mit LS*c — 2MS*c -f-A identisch. Dann ist

Z,=a-^S»*SV)», ^(S^-SV)*, J/=(l+*«#*sy)(#x+S*y) - 2(l-f fc*)-^*^ = S'x(l - (1+**)

-f 5«y (1 — (1 +4») SV + jp S*x) = S*z C*y D*y + CzD*xS*y Zugleich ist

(Sx Cy Dy)* - (Cx Z>xSy)* = (S*x — S*y) (1 - fc'SVSV)

Also

3/2 - LN=*(Sx Cy Dy)* (Cx Dx Sy)* Man muss die Lösung

L&c— M= 2SxCyDy . Cx DxSy wählen und bekommt

(l-A:«^^ S2C = (SxCyDy+CzDxSy)' wo man wiederum

(1 — **S»xS*y)Sc = SxCyDy+CzDxSy wählen muss. Sonst kann man die Gleichung

-(1 +k»&zS*y)S*c+S*z + S*y+ 2CcDc . SxSy = 0 auch wie folgt behandeln. Weil

S*a>+S*y = 1 + S*zS*y- C*x C«y ist, so wird die Gleichung zu

C*c + lßc&xS*y—C*zC*y + 2CcDc.S*Sy = 0

das ist zu

(Cx + DcSzSy)*- C*x C*y = 0 und nun muss man den Factor

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422 DigUr: Sechs Beteeise für ,len die ellifitisrhen Integrale

Cc+DcSx$y-CxCy = 0 wählen, bekommt also die bekannte Gleichung

Cc - CxCy-DcSxSg

5°.) Beweis von Lagrange.

Es sei

x-\-y — c, am.x — qp, am.y — %, am.c = y, <P -h Z = />

Dauu ist

q>- x -=q

a^ = -PSxGx ~ - jA««n(p + g)

p~* — — fc*3y Cy Jfc*8iu (p -q)

also

fi*p fi*q

** 8iu C08 5' fix* " ~~ ** ^ 8iu q

Ferner ist

fix' fix ~ \fix ) \fix)

— D9x - = — &s(sin*<p — sin*x) — — J^sinjising

Dividirt man mit dieser dritten Gleichung jede der zwei vorigen, so bekommt man

fi . fip fi . 9q

fi<X fix COS q fix *fix COS p

&q ~ sin q* fiq ~" sin />

cx &r

also

r/log/^ = dlogsing, 'floßgje tt «flog sin p Beachtet man, dass

fip fiq

so geben diese Glcichuugen für y = 0 (also r = c, ^ = 0, ? = y, ;j — 9 = y) :

WC

r>l + ^y

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er*/rr Gattung htlrttftndtn A<lditiona»atz. 423

Man kann also bei der Integration der zwei letzten Differential- gleichungen die Integratiousconstautcn angeben und hat

dp 1 — Jy Bq 1 +

Bx itaT«11* a^"^inT8,n7,

Multiplicirt man die linke Seite der creten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten, und die rechte Seite der ersten mit der linken

sin y

der zweiten, ausserdem noch mit so hat mau

1 + Jy , i _

— - sin ptlp — g — 8m 2 d(l

das heisst

— £ cos <z + '2 cos ?Jj - 0

also

,l{CxCy — DcSxSy) = 0

Für y — 0 wird der eingeklammerte Ausdruck zu Cc. Also

Ce = Cr Cy — De Sx Sy

Die zwei vorhorgehendeu Gleichungen, addirt und subtrahirt geben noch

Sc Dz =- De Sx Cy -f- Cx Sy j & /ty = &e Cy -f De Cx Sy

6°.) Beweis aus den Formeln der sphärischen

Trigonometrie.

Wenn n, &, c die Seiten, B, C die Wiukel eines Kugcldrei- ecks bedeuten, so gelten die Gloichungen:

cos a = cos b cos c sin l> sin e cos A sin a cos/? = cos £ sine — Bin cos c cos sinrtSin/J = sinisin^

1) cos^l = — cosÄcosC'+sini/sin 6'cosa

2) sin 4 cos Ä = cos Ä sin C-f-sin Z?cos Ccos«

Man betrachte A, B% C als die drei unabhängigen Variabelu und setze k =~ -5—5 = etc. ; h ist also eine Function von A} B, C. Die Gleichung 1) gibt, wenn mau A, B coustant setzt:

(cos B sin C-f sin B cos C'cos a) dC— sin B sin C'sin a da = 0

also

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424 Biylen Sech, Beweise für den die eUiptutken Integrale

das ist

*****

da

k sin B sin C ^ — cos b

Vertauscht man B mit C, so hat man

Endlich ist auch

k sin B sin C ^ = cos e da

isinZ/sin Crj ™ 1

Es ist somit

3) ArsinÄsin C«a — aM-f cos cdß-f cos £<*C Die Gleichung

sina— *sin/l = 0

gibt

4) COSarfa = kcosAdA+nilAdk

Multiplicirt man Gleichung 3) mit cosa und substituirt den Wert aus Gleichung 4), um da zu eliminiren, so erhält man

fcBin^sinÄBinCrf* = (cosa — fcHinÄsinCcos/*)rfU-f cosa cos crftf

+ cosa cos &ä*C

Der Coefficicnt von dÄ ist

cosa — sin b sine cos A — cosäcosc

Man hat also

* sin B sin .4 sin C _ JÄ-i JE- 4. dC cosacosftcosc € ' cosa ' cos b cos e

Wenn z. B. B = 0, so ist

Setzt man k constant, so ist

d(n — C) dA _^ dB

VT^Jk'sin^Ji -C) Vi — i'sin'il Vi — i^sin'ß

Von der Integralgleichung wähle man folgende drei Formen:

cos(* — C) = cos A cos B — sin A sin Äcosc sin(w— C)cosa = cos^sin JB-f-sinJcosflcosc sin(» — C)cos6 = sin4cos*-f cos^sinficosc

Setzt

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erster Gattung betreffenden Addilionttatx. 425

A B n-C r dtp P dtp p dtp

XJ Vi— k2 sin*? V~J Vi — i2sinV *~~J Vi — &tin2<p

0 0 0

so ist

ds = dx + dy die Differentialgleichung und gibt, weil

n-C-A

wird, wenn B verschwindet,

« - *+y als Integralgleichung, von welcher

Cm = CxCy — DsSxSy SsDz= CxSy + DiSxCy Ä»Z>y= SxCy + DsCxCy

drei andere Formen sind. Die zwei letzten Gleichungen geben durch Elimination, wenn man

M — Sx Cy Dy - CxDxSy

setzt:

M. S* = SZxCiy—CixSh, — S*z—S*y M. D» = SxDzCy — CmSy Dy

und dann gibt die erste Integralgleichung

MC* — Cx Cy(Sx Cy Dy — CxDxSy) — Sx Sy(Sx DxCy— CxSyDy) — SxCxDy—DxSyCy

Weil ferner

M(SxCyDy+ CxDxSy) = (S^x-S^y) (l — k*S*xS*¥) so erhält man schliesslich

B/ . % SxCyDy+\CxDxSy

und so fort

Bern, den 19. Marz 1888.

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420

Mi teilen.

XXIII.

Niscellen,

1.

lieber Vierecke am Kreise.

Wenn mau ein Viereck in einen Kreis legt, seine Diagonalen zieht und die gegenüberliegenden Seiteu bis zu ihren Durchschnitts- punkten verlängert ; so kann man dio entstandene Figur dreimal auf verschiedene Weise als inbeschriebenes Viereck betrachten. Mau fasst nämlich zweimal die Diagonalen als gegenüberstehende Seiteu nuf, indem man ausser ihnen zwei wirkliche gegenüberstehende Seiten hinzu nimmt, dann entstehen zwei übcrschlagene Vierecke, deren Eckpuukte in der Peripherie liegen, welche also inbeschrieben sind, und zu ihnen kommt das gewöhnliche inbeschriebene Viereck.

Die beiden Durchschnittspunkte der gegenüberliegenden Seiten und den Durchschniitspunkt der Diagonalen kann man 3 zusam- mengehörige Polo nennen, insofern jeder von ihnen Pol zur Verbindungslinie der beiden anderen als Polare ist. Man nenne dio beiden ausserhalb des Kreises liegenden Pole Y und Z, den innen liegenden X. Man kann die besprochene Figur auch auf folgende Art erzeugen; man stelle die Polo X und Y fest; d. h. man nehme z. B. X an. ziehe eine Linie durch X und suche in derselben zu X und den beiden Durchschnittspunkten des Kreises den vierten har- monischen Punkt, dieser sei Y. Nun ziehe man durch Y oine Sc- cante, verbinde ihre Kreisdurchschnittspunkte mit X uud mit den dadurch entstehenden zwei neuen Kreisdurchschnittspunkten, so schneiden sich die letzten Liuieu in Z uud die Verbindungslinie der beiden letzten Kreisdurchschuittspuukte geht durch Y.

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ff

Misceüen.

427

Da dio erste durch Y gelegte Secaute nicht bestimmt ist, so kann man dio drei Pnukte A', Y, Z auf sehr verschiedene Weisen finden; oder es ergiebt sich eine inbeschriebone Vierocks- 8 c haar, welche zu den drei zusammengehörigen Polen X, Yf Z gehört.

Verlängert man die durch X gehenden Diagonalen , bis sie YZ in 17, zwischen Y und Z und V, ausserhalb der beiden schneiden ; so sind die Punkte F, t7, Z, V harmonisch , denn die Linien XU, AT und YZ sind die Diagonalen eines vollständigen Tierecks, von welchem Y und Z zwei Ecken sind.

Bei einem Viereck aus der Vicrccksschaar, welche zu den Punkten X, y, Z gehört , sind aber dio Punkte U und V nicht nur harmonisch zu Y und Z, sondern sie sind auch zusammengehörige Pole zum Punkte X. Wir wollen alsdann diese Punkte Y', Z' nennen und das betreffende Viereck das Haupt Viereck der Schaar. Man kann ein inbeschriebencs Viereck, dessen Diagonalen Polaren zu einander sind, oder deren Durchschnittspunkte auf der Polaren YZ zum Punkte A gehören, (also das Hauptviereck) auf folgende Weise finden; mau wähle X und construire seine Polaro. Dann ziehe man von einem Punkto Z' der Polare nach dem Mittel- punkt M des Kreises und falle von X auf Z'M ein Lot, welches in A schneidet Dieses Lot ist die eine der Diagonalen des zu con- struirenden Vierecks AY\ die andere ist XZ'. Da nämlich Y'Z' Polaro zu AT ist und XY' Polare zu Z\ so ist auch XZ' Polare zu F\

Zieht man MX und verlängert diese Linie, bis sie die Polare Y'Z' in O trifft, ist fernor — a, so ist

Nun sind aber die Dreiecke MOZ\ MAX und Y'OX eiuauder ähn- lich, und wenn man OZ' — h setzt, so hat man

(r Radius des Kreises) und

a

r*

b: Ol":

a

also ist

OY' -

<iV>

Daraus ersieht man, dass

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428

MUcelUn.

OY' X OZ' - — 1-^-'

also unabhängig yon b ist; sind also Y und Z zwei mit zusam- mengehörige Pole, so ist das Product der Abstände YO, ZO von dem Fusspunkte des auf die Polare vom Mittelpunkt gefällten Lotes constant und stets

r. (r* ~ «') a

Man kann nun auch die Lage der beiden Ecken Y und Z des Vierecks bestimmen. Nennt man nämlich OY' — c, YY' = x und Y'Z = y, so hat man die beidon Gleichungnn

* : y — 6-fc-f x: 6-f c — y

und

(s-|-c)(y - «) — äc Aus denselben findet sich

Nennt man noch

ZZ' - z-i-f-c-y

80 ergiebt sich

Man hat somit allo drei zwischen den harmonischen Punkten K, F', Z, Z* liegenden Linien *, y, a gefunden.

Das Viereck , dessen Diagonalen die Polare von X in Y' und Z' schneiden, ist das einzige inbeschriebene Viereck der Vierecks- schaar, welche zu den Punkten X, F, Z gehört, dessen Diagonalen gegenseitige Polaren zu einander sind; denn da die Punkte y, z F', Z' harmonisch sind, so nähert sich Y' dem Z, wenn Z' sich ihm nähert, ebenso entfernt sich Y' von Z, wenn sich Z' von ihm entfernt; also kann der Fall nur einmal vorkommen, dass

Or'XOZ' = r'(^j ist.

Setzt man

und

2be , b+c

und sucht aus den Formoln

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MUcelhn.

429

*' nnd p\ indem man für 6' und c' dio Werte in b nnd c einsetzt, so ergiebt sich

*' - ^(»-V*5) und r'-|±f(-e+V^)

Das heisst also, wenn man von Y and Z , welche ebenfalls zuge- hörige Pole zu X Bind, ausgegangen wäre, so würde man als Dia- gonalen des betreffenden Vierecks XY' und XZ' gefunden haben.

Es gicbt also zwei inbeschriebene Yierecksschaaren , welche in der Art conjugirt sind, dass die eine zu den Punkten X, Yf Z ge- hört, nnd die Diagonalen ihres Hauptvierecks durch T* und z' gehen; während die andere Schaar zu X, Y',Z' gehört, uud die Diagonalen ihres Hauptvicrccks durch Y uud Z gehen.

Betrachten wir nnn die Vierecksschaar, welche zu X, F, Z ge- hört, naher. Wir setzen dabei voraus, dass O näher an Z als an Y liegt Die Diagonalen eines dieser Vierecke, welche sich in X schneiden , fallen sehr nahe mit XY zusammen j dann liegen die Punkt U und V sehr nahe an Y. Fallen die Diagonalen in XY, so fällt das ganze Viereck in die Linie X Y , zwei Seiten werden dabei unendlich klein, sind als Tangenten aufzufassen und schneiden sich in Z. Lassen wir nun die Diagonalen grössere Winkel mit XY bil- den, so rücken die Punkte U und V nach entgegengesetzten Seiten von Y fort. Dabei kommt {J in die Mitte zwischen Y nnd Zy dann liegt XV parallel FZ, und die Sehne wird durch X halbirt. Lassen wir die Winkel der Diagonalen noch mehr wachsen , so liegen nun U und V auf der zweiten Hälfte von YZ und nähern sich Z. Da- bei kommt zunächst der Fall vor, dass U und V zu Y' und Z' werden, oder dass

UOXVO- Y'O X Z'O - £ (t* - a») ist

Dann tritt noch der Fall ein, dass U in O fällt, nnd endlich fallen beide Diagonalen und mithin das ganze Viereck in xz. Die Punkte Y und Z können die bisher erörterto Rollo von X nicht spielen, weil sie ausserhalb des Kreises liegen. Die beiden durch X gehenden Polaren XY und XZ konnten nämlich als Diagonalen oder Seiten eines inbeschriebenen Vierecks angesehen werden, dies ist jedoch bei den Polaren XZ und YZ nicht möglich, weil YZ ganz ausserhalb des Kreises liegt

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430

Miscellen.

Zu jedem inbeschriebenen Viereck der eben besprochenen Art, das heisst zu den drei inbeschriebenen Vierecken, als welche raau ein vollständiges, inbeschriebenes Viereck mit seinen Diagonalen be- trachten kann, gehört oin vollständiges, umbeschriebeues Viereck, dessen Seiten in den vier Eckpunkten des inbeschriebcuen Vierecks den Kreis berühren.

Ein solches vollstöndiges Viereck besteht aus drei einzelnen Vierecken, nämlich einem gewöhnlichen Viereck, einem übcrschlage- nom und einem mit dem einspringendem Winkel. Jedes dieser drei Vierecke im unbeschriebenen, vollständigen Viereck entspricht einem der drei Vierecke des inbeschriebenen Vierecks näher, wenn man die Folgen der Eckpunkte mit den Folgen der dazwischen liegenden Durchschnittspnnktc der Tangenten zusammenhält. Liegt z. B. der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des gewöhnlichen inbeschriebenen Vierecks, so entspricht das gewöhnliche Viereck des unbeschriebe- nen dem gewöhnlichen des inbeschriebenen; es entspricht dann das Überschlageue Viereck des umbeschriebeucn einem überschlagenen des insbeschriebenen und das mit dorn einspringenden Winkel des umbeschriebenen dem anderen überschlagencu des iubeschriebenen.

Da sich indessen nach dem Satzo:

Dreht sich eine Linie um einen Pol, so durchläuft ihr Pol die Polare des ersten Poles — alle; Tangenten des umschriebenen Vierecke in den Polaren AT, YZ und XZ schneiden, so haben alle zur in- beschriebcuen Vierecksschaar gehörigen umbeschriebenen Vierecke dio gemeinschaftlichen Diagonalen AT, YZ und XZ.

Es gehört also eine inbeschriebeno Vierecksschaar, welche zu den Punkten A", F, Z gehört, mit einor umschriebenen Vierecks - Schaar, welche zu den Polaren AT, XZ, YZ gehört, zusammen.

Verfolgen wir nun dio Dnrchschnittspunkto der Tangentenpaare dieser unbeschriebenen Vierecke, welche an die Enppuukto der Dia- gonalen der inbeschriebcuen Vierecke gelegt sind. Dieselben durch- laufen die Linie YZ, wir nennen sie U'V.

Fällt das inbeschriebene Viereck in die Linie XY zusammen, so besteht das unbeschriebene Viereck aus zwei Tangenten, welche sich in Z schneiden. Bilden die Diagonalen des inbeschriebenen Vier- ecks kleine Winkel mit AT, so liegen ü' und V nahe bei Z und entferneu sich mit wachsenden Winkeln mehr und mehr von diesem Punkte. Dabei kommt zunächst der Fall vor, dass U' in O fällt ; dann ist die Schuc ZX parallel YZ.

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Mi.srellen.

431

Ferner kommt der Fall vor, dass U' in U und V in V fällt. Sie heissen dann Y' und Z', und es ist

r*

(7 0 X F#0- l'OX ™- Y'OX Z'O = a% ra-a»)

Dann fallt L" in die Mitte zwischen Y und wenn die nicht zu U' gehörige Sehne ein Durchmesser ist. Endlich, wenn das ganze in beschriebene Viereck in Z zusammenfallt, so besteht das umbe- schriebene Viereck aus 2 Tangeuten, welche sich in Y schneiden.

Legt man also um eineu Kreis ein Viereck, sieht die Durch- schnittspuukte seiner Diagonalen mit der Peripherie als Eckpunkte eines inbeschriebeuen Vierecks an, legt um dieses wiederum ein Vier- eck, sieht die Kreis-Durcbscbnittspunkte der Diagonalen dieses zweiten unbeschriebenen Vierecks wieder als Eckpunkte eines iu- beschriebenen Vierecks au, und legt um dieses wiederum ein Vier- eck, so fallen die Diagoualcn des dritten umbeschriebeneu Vierecks mit den Diagonalen des ersten zusammen. Das erste unbeschriebene Viereck ist nicht notwendiger Weise dasselbe wie das dritte, kann aber mit demselben auch Ubereinstimmen. Dann kommen überhaupt nur 2 umbeschriebene und zwei iubeschriebeue Vierecke vor. Stets existiren jedoch bei dem aufgestellten Satze nur 2 verschiedene in- beschriebeuo Vierecke.

Hätte man die Keiho der Vierecke mit eineu beliebigen inbe- schriebeuen angefangen, so brauchte dieses erste Viereck nicht mit dem dritten überein zu stimmen; stimmt es aber mit ihm überein, so existiren auch nur 2 Arten von inbeschriebeuen Vierecken.

Setzt mau die Art von Beschreibung der Vierecko in und um den Kreis fort, so wechselu uur 2 iubeschriebeue und 2 umbeschrio- bone Vierecke ab.

Ist bei einem inbeschriebenen Viereck

oz' - r yV»— «*

a

so ist auch

a

Das Viereck, zu welchem die Linien XZ' und XY' Diagonalen sind, und die ganze Schaar, deren Hauptvicreck es ist, sind in diesem Falle die Trapeze, deren Diagonalen durch X gehen.

Bei dem Hauptviereck der dieser Trapezschaar coujugirten in- beschriebeueu Vierecksschaar schneiden sich die Diagonalen recht-

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432

Alücellen.

winklig und eine ist Durchmesser, dieses Hanptviereck ist also sym- metrisch, rechtwinklig. Die Ecken in YZ dieser Vierecksschaar liegen paarweise gleich weit von O entfernt. Die umbeschriehene Vierecksschaar znr ersten Schaar besteht aus symmetrischen Vier- ecken , deren Diagonalen rechtwinklig auf einander stehen und deren eine ein Durchmesser ist. Das Hauptviereck der zweiten umbeschriebe- nen Yierecksschaar ist ein Trapez ; sodass bei der fortgesetzten Vier- ecksbeschreibung bei den inbeschriebenen Vierecken ein Trapez mit einem rechtwinkligen symmetrischen Viereck abwechselt, bei den umbeschriebenen Vierecken ein symmetrisches Viereck mit einem Trapez.

Liegt X im Mittelpunkt, so rückt YZ iu die Unendlichkeit. Beide inbeschriebene Vierecksschaaren sind Rechtecke mit parallelen Seiten und die beiden Hauptvierecke sind die unter diesen vorkommenden Quadrate. Die Seiten, oder auch die Diagonalen dieser Quadrate bilden Winkel von 45°. Die beiden umbeschriebenen Vierecks- schaaren sind Rhomben, deren Diagonalen gegenseitig Winkel von 45° bilden, und die ihnen gehörigen Hauptvierecke sind wieder die vorkommenden Quadrate.

Berlin, den 12. Sept. 1888.

Dr. Bcyssell.

2.

Geometrischer Beweis eines Satzes der Flachentheorie.

Der Beweis des Satzes von der Unver&nderlichkeit des Krüm- mungsmaasses einer Fläche bei einer Biegung derselben wird auf den Gauss'schen Satz gegründet, dass das Krümmungsmaass durch die Fundamentalgrössen £, F, G und ihre ersten und zweiten Ab- leitungen allein darstellbar ist. Wir teilen nachstehend einen Ver- such mit, den erwähnten Satz geometrisch zu begründen.

Es sei M der betrachtete Punkt der Fläche, T die Tangential- ebene, Ht , Ht die beiden zugehörigen Hauptnormalebenen , MN die Normale; bezüglich der Richtung der letzteren wollen wir, um au bestimmte Vorstellungen anzuknüpfen, voraussetzen, dass sie, wenn die beiden Hauptnormalschnitte in der Umgebung von M auf der nämlichen Seite von T liegen , nach dieser selben Seite gerichtet sei; im andern Falle denken wir sie auf derjenigen Seite von T liegend, auf welcher der Schnitt mit IJX sich befindet.

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Aliscellen. 433

Auf den Hauptnormalschnitten mögen nun von AI aus nach beiden Seiten unendlich kleine Bögen </*,, beziehungsweise */*a auf- getragen werden, welche, bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung, mit den zugehörigen Sehnen übereinstimmen, so dass mit dieser Beschränkung

MP, — JfP,' — dsl , MP% = AfPt' - tUt

gesetzt werden kann.

Die Normalen der Fläche in den Punkten Pu Px'\ Pit PJ dürfen als in den Ebenen //n //,, liegend und mit den Normalen der zu- gehörigen Normalschnitte zusammenfallend angesehen werden. Die Winkel, welche die Normalen in />, und Pt mit der Normale AfN in M bilden, seien tlau bzhw. dot\ dann sind

1^ €h,j 1 tl<st

(1)

die beiden Hauptkrümmungen.

Die Winkel, welche die Haupttangenton *s mit den Sehnen MPU AfPt einschliessen, sind -~ respective.

Um das Krümmungsmaass der Fläche im Punkte AI zu bestimmen, betrachten wir das Dreieck A1PJ\ auf der Fläche und seine Abbildung M27,I79 auf der Einheitskugel. Beide können, wenn es sich um ihre Fläche handelt, mit Beschränkung auf unendlich kleine Grössen der zweiten Ordnung wie ebene rechtwinklige Dreiocke angesehen werden ; demgemäss sind

rfio — fc&jrft, (2) dö — m (3)

ihre Flächeninhalte und

K-f- %g - -i (4) das verlangte Krümmungsmaass in AI.

Die vier Dreiecke A/iyP», Afiyp,, ÄPfPf', ATPx'Pt', welche hier als der den Punkt 3/ umgebende Teil der krummen Fläche be- trachtet werden, bilden eine vierseitige gleichseitige Pyramidenfläche, welche im Falle gleichgerichteter Hauptkrümmungsradien ganz zu einer Seite von T liegt und bei AI spitze Kantcnwinkel hat, während sie im Falle ungleichgerichteter Hauptkrümmungsradien von T ge- schnitten wird und bei Ai stumpfe Kantcnwinkel aufwoist. Bezeichnet

Xich. d. mth. u. Phj«. 2. K.ihe, T. VII. 28

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434 Misctllen.

man den Kantenwinkel mit y, so folgt für ihn aus dem in der Kanto MN rechtwinkligen Dreikant M(PxPtN) die Bestimmung

aus welcher bis auf Grössen der zweiten Ordnung

l-t=±-'fi <*)

folgt ; das obere Zeichen gilt für gleichgerichtete, das untere für ent- gegengesetzt gerichtete Hauptkrümmungsradien.

Denkt man sich nun mit der Fläche eine Biegung, ohne Deh- nung und Zusaramenziehung, vorgenommen, so erleidet die eben be- trachtete Pyramidenfläche eine Deformation, die jedoch nur die Flächenwinkel alterirt, während die Seitenflächen ungeändert bleiben; die Seitenkanton MPlt MPl'\ MPit MPt' bewegen sich dabei in den Ebenen Hv //, beziehungsweise. Da also y constant bleibt, so än- dern sich die Grösson d<j„ dat vormöge der Gleich. (5) derart, dass

flff, dsai -f- das (P<sl — 0 (6)

ist. Die sphärische Abbildung MTl^ erfährt gleichfalls eine Ver- änderung, welche der Gleich. (3) gemäss durch

rf*ö = J(^ff, d*<st +dct d8^) (7)

dargestellt ist und daher vermöge der Gleich. (6) verschwindet, so dass </*ü — 0 wird. Bei der Biegung behält demnach nicht allein <lw, sondern auch !<2ö), somit auch K seinen Wert bei, d. h. das Krümmungsmaass bleibt bei jeder Biegung der Fläche in allen Punkten derselben nngeändert.

Brünn, 1888.

E. Czuber.

3.

Ein geometrischer Ort.

(Schüleraufgabe.)

Es ist der geometrische Ort des Mittelpunktes des einem Drei- ecke eingeschriebenen Kreises zu bestimmen, wenn die Endpunkte der Basis des Dreiecks die Brennpunkte einer Ellipse sind, deren Umfang der Scheitel des Dreiecks durchläuft.

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43o

Bezeichnet man die laufenden Coordiuaten der Ellipse mit a^y,, die Coordinaten des Kreiscentrums mit g^, so findet man aus der Bedingung, dass der Kreis dem Dreiecke eingeschrieben ist, leicht

i) v=^t-

Daher *T

a-f- e

Nennt man dio Segmente der Dreiecksseiten, welche durch die Berührungspunkte des Kreises gebildet werden, s und t, so finden sich, wenn die Radienvectoren des Punktes mit r„ r* bezeichnet werden, leicht die folgenden Relationen

i+t — 2e

<+» - ra daher, da r, -f-r8 — 2a ist:

u — a — e

Es ist aber auch

dfi- *)"+ (*i - 9" - - (« - <02

daher

(*i-5)2-(a-«)a~y18-i-2y1i/

substituirt man hierin statt >/ seinen Wert aus 1) und nimmt für rx — 5 das positive Vorzeichen ist, so findet man nach einigen ein- fachen Reductionen

ä l/a— «

daher

= aYa + e__^

Xl * aVa + e—bYa-e Es besteht aber zwischen xt und y, die Bedingungsgleichung

Daraus findet sich die Gleichung des geometrischen Ortes d. h. eine Ellipse mit den Axen

«5

a-}-e

28*

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436

Miscellen.

Ich brauche wol kaum hinzuzufügen, dass a, A, e gewöhnliche Bedeutung (grosso Halbaxe, kleine Ilalbaxe und Excentricitüt der Ellipse) haben. Dio zum Verständnisse nötige Figur ist leicht her- zustellen.

Waehring, 1888. December.

K. Zelbr.

Ueber eine Differentialgleichung.

Sei (p eine beliebige Function von a*, so lässt sich die Gleichung

immer integriren. Denn setzt man

2 = ye-f ffdX ^x

so folgt

dieses ist aber eine homogene Gleichung. Oder man setze so folgt

<Z*tt z du U dx* x dx * x* "™

Diese Gleichung gehört zur Form:

dky

0

deren allgemeines Integral

»i

y -= ZAkxßk 1

ist, wobei ßn die verschiedenen Wurzeln der Charakteristik

Zak (ß | k) - 0

o

, in welcher

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MUcelUn. 437

if | 0) - 1 (/J|*) - 0or_i)(,_2) ... (/S-*+l)

zu sotzcn ist. Sind etwa drei gleich, so sind

N

y — «ftC^+^logas-f 4, log*«) -f 2:^*x^ sind zwei conjugirt imaginär, so folgt

N

y — xm { At COS [n log as] + ^42 sin [n logx] } -f >ü xßk

wobei

0, - m-f-n», ßs — m — ni

angenommen wurde. Man sieht, dass diese Gleichungen eine Ana- logie zu jenen mit constanten Cocfficienton bilden.

Prag, November 1888.

W. Laska.

Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung.

In Brünnow's Lehrbuch der sphärischen Astronomio wird im Abschnitt über „die Refraction" bezüglich der verschiedenen Re- fractionstheorien bemerkt, dass die von Cassini gemachte Hypothese einer f Atmosphäre von gleichförmiger Dichtigkeit mit einmaliger Brechung die mittlere Refraction bis zu 80° ganz gat darstellt.

Es lässt sich demnach erwarten, dass dio Annahme einer zwei- maligen Brechung in zwei an Dichtigkeit verschiedenen Schichten die mittlere Refraction bis zu einem höhern Grade genau darstellen wird. Wir haben diese Berechnung angestellt und geben im Nach- stehenden eine Lösung dieser Aufgabe.

Wir bezeichnen mit den Einfalls-, mit den Brechungs- winkel , mit da, die Refractionsablenkung, mit u, den Brechungs- exponenten und mit r, den Radius der ersten oder äussern Schicht der vorausgesetzten Atmosphäre. Dann gelten folgende Gleichungen :

sin», - t^sin/i, *»i - (%— l)Wt

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438 A/iscellen.

Für die zweite Schicht hat man ebenso:

sin*, = m, ein «, = /i + &„ ^ = K~l)tg/i

Bezeichnen wir den Erdhalbmesser mit a, die scheinbare Zenith- distanz des Sterns mit z und bemerken, dass

r2 sin 4 = r, sin /, und a sin a — r2 sin /,

ist, so erhalten wir vermittelst der Relationen

sin i\ = ^- «jtijsina

0

smu = -Mjsin« durch Einsetzen in die vorhergehenden Ausdrücke

V a^u^sina» 1 Pa'sina» 1 als vollständige Refraction

dz = Jz1 -|- £a2

Für eine 3- oder n-malige Brechung würden analoge Glieder hinzukommen. So wäre eine 4-malige Brechung

*, _ +

i/foy ;v.- , - 1 i/w^-i

r \«/ ttas«38f44s8inss V \a ) u3*M4ssina8

K(« ) VslnT8 - 1 K^)'^ ~ 1

Indem wir uns zunächst auf eine zweimalige Brechung beschrän-

ken, haben wir die Unbekannten w, und tu und ferner — und —

a a

zu ermitteln, über [welche nichts weiter bekannt ist. Da aber die obigen Gleichungen in Bezug auf die Unbekannten nicht linear sind, so würde eine directe Uerleitung derselben ans a und dz Schwierig- keiten unterliegen. Wir schlagen deshalb den folgenden Weg ein:

Schreiben wir den Refractionsansdruck in der Form

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MücelUn. 439

dz — _|_ g* _

VcoU'-j-y, Vcot.«-t-y,

oder

= — ***** - _i_ ***** _

und entwickeln ihn nach Potenzen von tga, so kommt

6z - (aei+ar^tgÄ-^^+afj^tg^+K^y^+aPjy^tgs5

In dem genannten Lehrbuch ist nun bis zu diesem Grado eiue analoge Reihe entwickelt, welche wir in folgender Form benutzen werden

dz = 57, "5234 tg.-O, "066365 tga»

+ 0, ;000 20 986 tg •» - 0, 000 000 996 tg *7

Die Coefficienten der vorhergehenden Reihe sind demnach als bekannt anzusehen, so dass wir auf das nachstehende Gleichungs- system gekommen sind:

*iyi-f*iy« = h *jyi8+**y«8 = d

Aus diesen Gloichungen erhalten wir der Reihe nach die Werte

b — ayt _ c — byt d — eyt

Xi vi — Vi ~ vi (yi - vi) ~* yif(yi — y*)

und die Verbindung dieser Relationen liefert

« y\ yi — ft(yi +y«) +c - 0 &yiy*— <?(yi+y2)-r-<*"=-°

Demnach stellen sich y, und ya als Wurzeln einer quadratischen Gleichung

y8-(yi+y2)y+yiy* -°

dar , deren Coefficienten sich aus den beiden vorhergehenden Gloi- chungen ergeben, so dass man hat

y* (&* — ac) — (bc — a<T) y -f c* - M = 0 Hierin sind einzuführen

a- 57,5234, Ä- 0,132 731, c «= 0,000559 66, rf = 0,000 003 1878

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440

Die Auflösung dieser Gleichung, deren Wurzeln zugleich auch x, und bestimmen, führt schliesslich auf folgenden Refractions- ausdruck für eine zweimalige Brechung

8m - 44,96 12,585

Vcou*-r-0,U01 J28 Vatf^-f 0,006 228

Um zu sehen, bis zu welchem Grade genau diese Formel die Refractionen wiedergiebt, haben wir die Refractionen für die fol- genden Zenithdistanzcn berechnet, und geben die in Klammern dar- unter stehenden Decimalen den Unterschied zwischen der genauen mittleren Refraction und der berechneten in Bogensecunden :

45"	60°	70°	75»	80° 85°
57,5"	1'39,4*	2'36,9"	3'31,6" 5'15,6" 9'46,6"
(0,2")	(0,3*)	(0,4")	(0,5")	(0,5") ( - 0,1')
86°	87°	87°10'	87°30'	88° 89» 90°
11'38,9"	14'15,1"	14'46,8	15-55,8"	17'53,8" 22^23,5" 25'
(0,0")	(-0,5")	(1,"0)	(5")	(15") (2' i") (10')

E. Oekinghaus.

6.

IMe Refractionsfläche des Meeresbodens.

Betrachtet man Punkte, Linien oder Flächen durch lichtbrechende Medien, so erscheinen sie im allgemeinen verschoben. Ein inter- essanter Fall ist derjenige, die Gleichung des scheinbaren Meeres- grundes aufzustellen unter der Annahme, dass das Meer eine Kugel- oberfläche bedeckt.

Wir bezeichnen mit r ihren Radius, mit a den des Meeresspie- gels, mit h die Entfernung des Auges vom Mittelpunkt der Kugel. Durch h legen wir eine Ebene und nehmen in dem Meridianschnitt vom Radius r einen beliebigen Punkt r(y) in Bezug auf A als Axe an, lassen von ihm einen Lichtstrahl ausgehen, welcher in a(y) des zweiten Meridianschnittes, also im Meeresniveau mit dem entspre- chenden Radius a den Winkel ? bildet und dann nach erfolgter Brechung unter dem Winkel a ins Auge gelangt.

Nehmen wir endlich noch an, dass ein zweiter, dem ersten un- endlich naher Lichtstrahl von r(y) ausgeht und in's Auge tritt, so werden beide divergirenden Strahlen rückwärts verlängert sich in

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441

einem Convergenzpunkt R{t) schneiden, welcher der Bildpunkt von ny) ist Nach dem Brechungsgesetz haben wir zunächst

sin a — nsinß

und ferner

Äsin(a — xj>-f-e) — asino rsm(ß — 1r+y) = asmß

als Gleichungen für den ersten Strahl. Die Gleichungen für den zweiten entwickeln sich aus den Differentialformeln

cosa Je — ncosßdß ÄCOS (o— v + «)(f/a — rt» = «COSada r COS (|3 — *-f-y) (dß — drp) = aC08fldß

in welchen R und e zunächst als Constante zu betrachten sind.

Die Resultante der Elimination von da, dß, dy ist

n 1 an a

Cosa ~ cosjS 0 Äcos(a — V^HKc) rcos(ß — ^ + y)

oder auch, wenn wir die rechte Seite vermittelst der ersteren Glei- chungen transformiren

yn._,iD0. V¥-**

Hierin ist für a eine andere Variabele, welche zur Polargleichung der Refractionscurve des Meeresgrundsmeridians hinlcitct. Hierfür stehen zwei Wege offen.

Aus der 2. und 3. unserer Gleichungen folgt

8in(a-f-e)cos V — cos(a-{-*)siny = ^ sina

und

sin (/J-f y) cos y - cos {ß + y) sin V> — - sin ß

cosysin(a-f i -jS-y) «= -sinacos (0+y) - "sin0cos(a-f *)

8in^8in(a + g — ß — y) = ^ sina sin (/5+y)— ^ sin/? sin (a-|-c) folgt

Bezeichnen wir a + « — /3— y mit ü und climiniron y, so folgt

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442 M

a8 «8 2a8

sin u* = Ri sin a8 -f- ^ sin ff* — Rr sin o sin ß . cos u

und da

. sin« sinf- —

auch

. , sin */8 sin ft* = ~z 1 K-z

Hz r*n* Krn

Führen wir diesen Wert für sino1 in die obige Refractions- formel ein, so werden 2 Wurzelausdrücke rational und es bedarf nur noch einer Relation von ü als Function von R und f, um dio ge- suchte Gleichung zu erhalten.

Wir bonutzen hierzu die Formel

Asin(a — = asina

aus welcher

- = cost/; — sin^.cota

folgt. Da wir vorhin schon cos y und sin y entwickelt haben, so or halten wir nach Einsetzung ihrer Werte in die letzte Formol

sin(«~ff+g — y) __ sinj , 8in («-ff— y) h nr * R

• rr/1 C0S*\ I rr 8il1 £

8inf7U-^J + C08r;-ira

nr

und man hat cos U aus der Gleichung

^„/l 2 cos« . 1\ 2sin£8 , sin«8 1:08 D' U» _ T8T + K'J ~ 008 ü + TIM

/l C08«\* _

zu berechnen und in die betreffende Gleichung einzusetzen.

Da aber diese Polargleichung für R(t) etwas complicirt ist, wollen wir statt ihrer die einfachere für p(<p) einführen, in welcher q den Radiusvector vom Auge zum Convergenzpunkt R(e) , und q> seinen Winkel mit h, d. i. mit der Normalen vom Auge zum Meere bedeutet Dann ist

Äsing> — asin a, 7?cos(a— ^-fe) — hcosy — <?

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MücelUn. 443 rCQB(ß ~* + Y) - Vr*-a* sin0* = |/r» - £ Bin a»

ttnd die Relation

n 1 an a

cosa cosjJ i2cos(a — tj/-|-*) rcos(0— i/>+y)

geht über in die folgende einfache Polargleichung der Bildcurve eines grössten Kreises des Meeresgrundes, dessen Ebene durch's Auge geht:

h COS qp — Q

Va»- Aising)1 V^n* — A'sin g>» ^ Vn'r1- A» sin g>«

Diese Curve und demnach auch die entsprechende Rotations- flache als Bildflächo des Meeresbodens liegen symmetrisch gegen die Axe A, deren Pol im Auge ruht Ihr veränderlicher Parameter ist A, welcher von dem jeweiligen Orte des Auges abhangig ist.

Die Form der Curve oder Fläche ist in Bezug auf mässigo Höhen das betrachtende Auge im allgemeinen concav. Der Meerosbodcn scheint gehoben und napfförmig sich nach oben auszubreiten.

Setzen wir nämlich <p — 0, so erhalt man den scheinbaren Ort des dem Auge nächsten Punktes aus

_1 1 __ J_ , 1

h—Q "° a na* nr

wobei wir nr > a voraussetzen, welches der Fall der Natur ist.

Es sei die Tiefe des Meeres gleich e und * die Höhe dos Bild- punktes beim senkrechten Sehen, dann ist

* n — 1 e " e n + r

oder die scheinbare Tiefe y — e— x des Meeresbodens unter dem Meeresspiegel

1+-

y = —

" + r

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444

MUcelUn.

Dieselbe hängt also ausser von « von der Meerestiefe « und ihrem Kugelradius r ab. Jo grösser e und r ist, um so grösser wird auch x.

Ist dagegen * = 0, d. h. die Oberfläche und der Grund dos Meeres eine Ebene, so ist die Tiefe

e

» = n

Blickt das Auge zum Meereshorizont, wofür die Bedingung

a«Asin<p

gilt, so ist

Q mm ÄCOSp

Demnach scheint der Meeresboden, den wir als kugelförmig an- nehmen, sich bis zum Horizont zu erheben, wobei aber die Bedin- gung r >» - erfüllt sein muss.

Ein lebendes Wesen, welches sich aus dem Grunde des als voll- ständig durchsichtig vorausgesetzten Meeres in Wirklichkeit immer weiter vom Auge des Betrachtenden entfernt, scheint in Folge der Rcfraction einen ganz andern Weg zu nehmen, indem es sich in auf- steigender Curvo scheinbar dem Mecresniveau nähert und schliess- lich im Horizont verschwindet Dio Sehrichtung in diesem Ver- schwindungspunkt ist zugleich auch eine Tangente der scheinbaren Bahn, wie sich leicht aus dem Differentialquotienten der Gleichung ermitteln lässt.

Ist r im Verbältniss zu a klein, die Meerestiefe also gross, so erscheint für grössere Höhen A dio Refractionscurve des Meridians dem Augo convex. Für bestimmte Verhältnisse kann es demnach möglich sein, dass die Curvc nur schwach gekrümmt erscheint, wel- ches dann eintritt, wenn die coneavo Krümmung in convexo über- geht. So kann es vorkommen, dass die Gerade zwischen dem Ver- schwindungspuukt und dem dem Augo nächsten Bildpunkt senkrocht zur normalen Sehrichtung steht.

Setzen wir also jetzt

nr — Äsinqp, ÄCOSqp = Q

Q COS cp <= k — r — e

so folgt als Bedingung aus diesen Formeln

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Afiscellen.

445

wobei h ^ a sein muss.

Ist z. B. * — f, r= 3, « -= 4, so ist A — 5.

Diese specielle Curve würde also der obigen Bedingung genügen. Ihre Zweige tangiren den grösseren Kreis in Punkten, deren Ver- binduogsgerade durch den obern Bildpunkt geht. Dagegen ist

h — (nr-f-a — r)

zu setzen, wenn für a — h sin <p die Curve das Niveau erreicht.

Um die Wendepunkte der allgemeinen Curve zu bestimmen, wäre der zweite Differentialquotient y" derselben gleich null zu setzen, wofür in Polarcoordinaten auch die Relation

gültig ist. Doch hat die Durchführung dieser Rechnung nur neben- sächliches Interesse, weshalb wir darauf verzichten.

E. Oekinghaus.

7.

lTeber die Bewegung eines Luftballons in ruhiger Luft.

Das Volumen des Luftballons sei r, das Gewicht eines Liters Luft in der Höhe x beim Barometerstände b und der Temperatur t sei das Gewicht eines Liters Gas =#, das angehängte Ge-

wicht =>P.

Der Auftrieb des Ballons ist also Vp, das Gewicht des einge- schlossenen Gases Vs, demnach die nach oben wirkende Kraft in der Höhe x gleich

Vp— V*-P Vt4-P

Diese wirkt auf die Masse * ein, und die Beschleunigung q der Bewegung ist folglich, wenn wir noch F#-f P— Q setzen

Vp-Q -« 5— 9

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446

Indem wir nun die Formel vdv — qdx benutzen, erhalten wir

vdv =■ — Vp q ~ <?<fe

Gemäss der barometrischen Höhenformel in ihrer einfachsten Gestalt

J>o = ™ *

oder

6

geht die Differentialformol über in

x

vdv = —(j}Poe A—l)gdx

worin p0 und &0 sich auf die Erdoberfläche beziehen.

Nehmen wir an, dass die Bewegung in der Höhe //zur Ruhe kommt, wo also Vpx — Q ist, so hat man

i

vtfo fee A-\jgdx

und integrirt

x_

Da nun tür v — 0, * -» // wird, so ist die Geschwindigkeit des Ballons in der Höhe x durch

; 5

gegeben. Darin ist &i der Barometerstand für H.

Die Anfangsgeschwindigkeit für x = 0 wäre also vermittelst

bestimmt.

Führen wir noch für ;r- die Geschwindigkeitshöhe für den freien

A b.

Fall ein, setzen also c* — 2?A, so ist einfacher wegen e = ~

__l_log-

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MisctUen. 447

Der Coefficient A bedeutet eine gewisse Höhe, bei welcher das

ftft 760 mm

Verhältniss der Barometerstände — « ist. Für bt - g ?I8 wird

A ungefähr gleich 8000 m. Dabei haben wir keine Rücksicht ge- nommen auf die Veränderlichkeit der Schwere, der Temperatur und der Breite, um die Formeln nicht zu complicirt zu machen. Doch

genügt die Formel x — 8000 log jj für die Breite von 45° und die mittlere Temperatur = 0.

Um die Zeit dos Steigens zu finden, gehen wir aus von

*

2gA bt

dx

V = dt

woraus

x

Die Integration ist nicht ausführbar. Für mässige Höhen kön-

nen wir indes e A in eine Reihe entwickeln, so dass man hat

d-

Um nicht auf elliptische Integrale zu kommen, lassen wir die dritten und höheren Potenzen fort und erhalten, wenn * eine be- stimmte Grenze nicht überschreitet, das Näherungsintegral

d -

J VA~\h -~1)A + 2blA*

b\A~~ 2/l*"t"6/ls 24,1* ' "J^A^A

Nach Bestimmnng der Constanten haben wir

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448

Mitcelkn.

1 —

1 ^ /i

oder nach Einsetzen von

für den Grenzfall * — H, b = b1.

Die Zeit des Steigens bis zum höchsten Punkt

darin bedeuten &0 und beziehungsweise die Barometerstände am untern und am obern Punkto, g die Acceleration der Schwöre und A = 8000m.

Entwickelt man für ~ — 1-f x den log(l-f-*) in eine Reihe, so wird 1

welche Formel man für kleine Werte von x noch weiter verein- fachen kann.

Beispiel. Ist b0 — 760mm, bt =690 mm, also H = 761m, so ist T ca. 73 Secunden.

Gräfrath, den 21. Septembor 1888.

E. Oekinghaus.

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Litterarischer Berieht XXV.

1

Litterarischer Bericht

XXV.

Lehrbücher.

Anfangsgründe der Zahlen- und Raumgrössen-Lehre. Im Auf- trage der Königlich Prcussischen General-Inspektionen der Artillerie zum Gebrauche als Leitfaden bei dem mathematischen Unterricht in den Regiments-Schulen der Artillerie, sowie zur Benutzung beim Selbstunterrichte bearbeitet von K. Foth, Fouerwerks-Hauptmann. Mit 135 in den Text gedruckten Holzschnitten. Dritte Auflage. Hannover 1888. Carl Meyer. 284 S.

Das Buch ist mit ungemeinem Fleiss und Geschick für den klar erfassten und stets im Auge behaltenen besondern Zweck, für den es bestimmt ist, bearbeitet. Die für wissenschaftliches Studium er- forderliche Exactheit und Gründlichkeit ist nicht zum Ziele ge- nommen, demgemäss wird die Grundlegung der Begriffe grossenteils durch populäre Erläuterung vertreten. In Hinsicht auf den aus- schliesslich praktischen Zweck der angestrebten mathematischen Aus- bildung aber ist es sehr anzuerkennen, dass der Verfasser, wie es auch im Vorwort ausgesprochen ist, den grossen Gewinn, den die Schüler aus der Theorie für leichtere Aneignung der Lehren ziehen können, richtig gewürdigt, sich nicht mit Aufstellung von Regeln begnügt, sondern das Selbstdenkcn in umsichtigster Weise erweckt und ein eingehendes Verständniss eines grossen ümfangs von Be- griffen zugänglich gemacht hat. Die Lohrweise ist, namentlich im Anfang, auf ein sehr geringes Fassungsvermögen eingerichtet, doch, wenigstens soweit Erklärung oder Hcrleitung durch die Sache ge- fordert war, derart, dass die grössere Ausführlichkeit stets instruetiv auch für die fähigeren Schüler bleibt Dies möchte wol nicht mehr

Arch. d. Math. u. Phju. 2. Reihe, Teil VII. 1

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Litterarischer Bericht XXV.

gelten von den Einschaltangen zwischen Lehrsatz and Beweis, welche zur Auftindung der Beweise Anleitung geben sollen. Diese Anlei- tungen sind weniger einfach und schwerer zu verstehen als der Be- weis selbst und werden selten gerade den Weg repräscntiren , auf dem ein Schüler den Beweis findet. Statt ihm Vertrauen zu eigner Fähigkeit einzuflössen, machen sie ihn vorher unselbständig, indem sie ihn am Gängelbande führen. Höchstens durften in manchen Fällen kurze Winke gegeben werden. Dass der Verfasser es mit Angaben zur Bestimmung von Grundbegriffen nicht genau nimmt, würde kaum der Rüge wert erscheinen. Findet sich aber zu diesem Zwecke ein Satz aufgestellt, der in jedor Beziehung unrichtig ist, so kann man wol, auch wo der Fehler keine pädagogische Wirkung haben sollte, Abänderung verlangen. Auf S. 4. steht der dreifach unrichtige Satz: „Ist man berechtigt, eine Grösse für eine andre zu setzen, so sagt man, die beiden Grössen seien einander gleich'1. 1) ist die Bedingung unzureichend aufgestellt. Innerhalb seines Eigen- tums ist doch wol Jeder berechtigt Ungleiches für einander zu setzen, und wenn jemand für 2 Mark, die er zu zahlen hat, 20 Mark setzen will, so wird man ihm die Berechtigung wol meistens nicht absprechen. 2) Ergänzt man die verschwiegene Bedingung, dass nämlich das Ergebniss, sei es Grösse oder Gleichung, bei der Sub- stitution bestehen bleibt, so ist der Begriff der Gleichheit voraus- gesetzt, und auf Umwege nur derselbe Begriff dadurch bestimmt- 3) Auch alsdann ist der Satz eine falsche Umkehrung eines richtigen Satzes: Gleiches kann man für einander setzen, das Ergebniss bleibt bestehen; aber bekanntlich ist dies auch oft bei Substitution von Ungleichen der Fall, z. B. in algebraischen Identitäten. Also nur der ursprüngliche Satz, nicht seine Umkehrung war hier auszu- sprechen; dieser sagt ebensowenig, was gleich heisst, aber dafür, wozu die Erkenntniss der Gleichheit nütz ist, und damit wird das Wesen des Begriffs deutlich. — Die Herleituug der Sätzo der Arith- metik geschieht im Anfang an speciellen Zahlen; wie bekannt, tritt die Bündigkeit dabei, solange es sich um einfache Dinge handelt, mindestens ebensogut ins Bewusstsoin. Weiterhin werden die Buch- staben zum Ausdruck und zur Deduction gebraucht Die Operatio- nen werden zuerst an positiven ganzen Zahlen gelehrt, dann wordon Brüche und bonannto Zahlen eingeführt, negative Grössen nur bei der Subtraction erwähnt, von da an von aller Betrachtung ausge- schlossen; selbst die zur Uebung gegebenen Gleichungen sind so ge- wählt, dass ihro Lösungen positiv ausfallen. Ausser den 4 Species sind noch behandelt die Proportionen nebst den darauf beruhenden bürgerlichen Rechnungsarten , die Potenzen, Wurzeln und das Wur- zelausziehen, die einfachsten Bestimmungsgleichungen. Die Uebungs- aufgaben sind sämtlich für militärische Zwecke eingerichtet Der

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2. Teil des Buches enthält die Elemente der Planimetrie vollständig (ohne Trigonometrie). Aus der Stereometrie sind die wichtigsten Körperformen nebst Inhaltsberechnung behandelt Der Anhang be- trifft die Landesvermessung mittelst Kette und Stäben. H.

Leitfaden der elementaren Mathematik von Adolf Sicken- berger, Professor am k. Luitpoldsgymnasium in Manchen. Erster Teil. Algebra. Zweiter Teil. Planimetrie. Dritter Teil Stereo- metrie. — Trigonometrie. 75 -f- 88 + 76 S.

Leitfaden der Arithmetik nebst Uebungsbeispielen von Adolf Sickenberger, Professor am k. Luitpoldsgymnasium in München. Vierte Auflage. 192 S.

München 1888. Theodor Ackermann.

Von letzterem Buche ist die erste und zweite Auflage besprochen im 228. und 247. litt. Bcrichto Seite 33 und 24. Die dritte war mit einer völligen Umarbeitung verbunden, der Lehrtext ist erheblich vereinfacht, der Uebungsstoff beträchtlich erweitert worden. Die 4. Auflage ist der dritten soviel als möglich gleich erhalten.

Das erstere Buch soll nicht zur Unterweisung dienen, sondern nach empfangenem Unterrichte das Erlernte in bester Ordnung vor- führen. Zu diesem Zwecke ist die Darlegung so kurz gefasst als möglich. Sie spart also alle Erläuterung dessen , was bereits ver- standen sein muss, und alle Ausführung, zu welcher die Fähigkeit vorausgesetzt worden kann, enthält dagegen vollständig alle Elemente des Lehrgangs, Definitionen, Sätze nebst Andeutung des Beweisver- fahrens, Aufgaben nebst hinreichender Angabo des Weges der Lö- sung, sämtlich in höchst übersichtlicher Form. Die Aufstellungen sind derart, dass sie sich einem logisch correcten Unterrichte an- schliessen können, mit Ausnahme einer Stelle in der Algebra nebst ihrer noch einmal auftretenden Consequenz, welche sich der Ver- breitung von Irrtum schuldig macht. Zuerst ist es falsch (S. 12.),

wenn man sagt, = sei unendlich gross. Deutet jemand symbolisch

durch q einen Bruch an, dessen Nonner stetig verschwindet, so setzt

er die Infinitesimalrechnung als bekannt und geläufig voraus. In diesem Buche aber, wo weder vom Begriffe des Unendlichen noch von symbolischen Ausdrücken etwas vorkommt, ist das Aufgestellte geradezu Unsinn. Dieser Unsinn wird noch ärger auf S. 21, wo aus der Gleichung Ox = a der Verfasser schliesst z = od. Offenbar ist die Gleichung, gleichbedeutend mit 0 = a, sagt also über * nichts

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aus. Weiterhin wird richtig bemerkt, Oz — 0 sei eine analytische Gleichung ; aber Ost «=» a ^ 0 ist auch eine solche, nur ist sie falsch.

Die Algebra (d. i. Buchstabenrechnung) teilt sich zuerst in die 4 Species (erste und zweite Rechenstufe) und die Potenzenrechnung (dritte). Dio erstere Abteilung umfasst auch die linearen Glei- chungen und die Proportionen, die letztere die quadratischen Glei- chungen, die Logarithmen, die Reiben und die Combinatorik. Bei den Logarithmen hätte dio Formel nicht fehlen dürfen: log* (für

locf X

Grundzahl a) — (für beliebige Grundzahl). Dann nur durch

diese wird es verständlich, warum das brigg'sche System für jede Grundzahl ausreicht, was im Buche gar nicht erklärt ist und doch ein wesentliches Element der Lehre bildet. Im 2. Teil, Geometrie, wird nach einander behandelt: der Winkel, das Dreieck, das Vier- und Yicleck, der Kreis, Flücheninhalt, Proportionalität und Aehn- lichkeit, Kreismessung — im dritten : offene Gebilde (Lage der Ebe- nen und Geraden im Räume), geschlossene Gebilde (Körper), Tri- gonometrie (ebene und sphärische). H.

Leitfaden für den Unterricht in der Arithmetik. Bearbeitet von Prof Dr. H. Suhle, Direktor des Herzogl. Friedrichs-Real- gymnasiums zu Dessau. Erstes Heft. Zweites Heft. Zweite Auf- lage. Cöthen 1888. Paul Schettler. 100 -f 147 S.

Das erste Heft erstreckt sich auf die 4 Species, an welche sich die Lehre von den Gleichungen 1. Grades und von den Proportionen anschliesst. Der zweite der 3 Anhänge behandelt, mit Ueberschrei- tung dieser Grenzen, die Ausziehung der Quadrat- und Kubikwur- zeln. Dieses Heft ist in 1. Anflago bereits im 244. litterarischen Berichte, S. 44 besprochen. In 2. Auflage ist auf das Bemerkte keine Rücksicht genommen, und obgleich der Verfasser im Vorwort auf 2 empfangene Recensionen, insbesondere auf eine darin ent- haltene Missbilligung, die wir sowenig wie er als gerechtfertigt an- erkennen, antwortet, doch der oben citirte Bericht ganz verschwie- gen, der darin gerügte elementare Schnitzer unverändert beibehalten worden. Eine einfache Hinweisung hat also nicht genügt, es muss noch einmal und schärfer gesagt werden. Jeder denkende Anfänger weiss, dass der Ausdruck a+A nicht 2 Zahlen, a und i, sondern nur eine Zahl bezeichnet. 3 Stellen im Buche entsprechen ent- schieden der falschen Auffassung, alle übrigen lassen beide Auffas- sungen zu. 1) Auf Seite 4 steht: „Zusatz. Die Addition ungleich- namiger Zahlcnausdrücke kann nur ausgeführt werden, indem man

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dieselben durch das Additionszeichen verbindet". Die Ausführung einer Rechnung kann offenbar nur die Form , nicht Sinn und Wert eines Ausdrucks ändern. Hiernach würde also a-\-b nichts anderes als a und b, wie es vor der Ausführung vorlag, bedeuten. Es musstc heisseu: „ — kann nicht ausgeführt werden" — sofern die Grösse a-\-b nicht anders aasgedrückt werden kann. 2) In grösserm Um- fange spricht sich schon auf Seite 1 der Mangel an klarer Auffas- sung aus in dem Satze : „Aus gegebenen Zahlen neue Zahlen finden, welche zu den gegebenen in bestimmt vorgeschriebener Beziehung stehen, heisst Rechnen." Der Rechner findet nie eine neue Zahl, sondern eine Zahl ist ihm explicitc oder implicite gegeben, immer aber voraus bestimmt, ehe seine Tätigkeit beginnt; an dieser Zahl darf er nichts ändern als die Ausdrucksform. Man gehe alle Fälle der Anwendung des Wortes Rechnen durch, nie wird die damit be- zeichnete Tätigkeit in Bildung neuer Zahlen , also in Wertverände- rung von Zahlen bestehen, vielmehr ist letztere stets ein willkür- licher durch äussere Umstände auferlegter Act, welcher dem Rechnen vorhergeht. Addire 25/» zu 14 a oder in mathematischen Zeichen Ua-f-25«, sagt der Lehrer oder das Aufgabenbuch; letzteres neunt man den Ansatz der Aufgabe, die Ausübung des Rechnens besteht allein darin, die willkürlich gegebene Zahl 14a-f-25a ohne Wcrt- äuderung in der beabsichtigten Form 39 a darzustellen. In der Hcchenschule , wo die dekadische Form stets die beabsichtigte ist, können jene falschen Begriffe nicht wol aufkommen; in der Algebra hingegen, wo die Definitionen der „Rechnungsoperationen" dem Miss- verständniss nicht wehren können, sofern es sich darin um Forde- rung und Ausführung gar nicht handelt, ist es wesentlich im Bc- wusstsein zu erhalten, dass alles Rechnen ein zu einem Ziele führen- des Transformiren ist und mit dem Willküracte der Bildung neuer Zahlen nicht verwechselt werden darf. 3) Auf Seite 2 steht — „Wenn das Resultat einer Rechnung (eine Summe, Differenz u.s.w.) selbst wieder als Zahl gelten soll etc." — Hiernach soll a + b nur dann als eine Zahl gelten, wenn es in Klammern geschlossen ist.

a

Auch die unrichtige Formel q -» 00 ist in der neuen Auflago bei- behalten. Was zur Erklärung vorausgeht, ist zum Verständniss nicht hinreichend und würde, wenn man es vervollständigte, doch die falsche Formel nicht richtig machon. Wann und mit welchem Rechte man für die Variable ihren Grenzwert, für die Unendlichkleine die Null setzen kann, ist gar nicht erörtert, in dem hier vorliegenden Unstetigkeitspunkte ist es bekanntlich nicht gestattet.

Das 2. Heft behandelt zuerst die dritte Rechenstufe (Potenzen, Wurzeln, Logarithmen). Hieran schliessen sich dann die Gleichungen

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2. Grades und Exponentialgleichungen, die Progressionen, die Combi- nationslehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung, der binomische Lehrsatz, die Kettenbrüche, die unbestimmten Gleichungen. Gegen eine De- finition der Potenz, welche als zweite der ersten, auf ganze positive Exponenten beschränkten, detail lirten Erklärung beigefügt wird, ist von andrer Seite Einwand erhoben; der Verfasser erklärt, ohne den Einwand zu nennen und zu widerlegen, auf die angefochtene Defini- tion nicht verzichten zu wollen. Schon im 1. Hefte war der Er- klärung des Products als zweite die folgende beigegeben: „Das Product ab entsteht aus dem Multiplicandus a ebenso, wie der Multi- plicator h durch Addition aus der Einheit'1. Dies ist ein Hinweis auf eine Analogie, den der Verfasser nur nicht hätte Erklärung nennen sollen, der aber mit Hülfe der vorausgehenden detaillirten Erklärung verstanden werden konnte. In der Potenzlehre kehrt dasselbe Verfahren wieder, aber mit weitgehenden unbegründeten Ansprüchen. Erklärung wird hier folgender Satz genannt: „Die Potenz a» entsteht aus der Grundzahl a durch Multiplicatiou ebenso wie der Exponent n durch Addition aus der Einheit". Ob der Sinn dieses Satzes aus der vorausgehenden detaillirten Erklärung für ganze positive n deutlich wird, soll uns nicht beschäftigen. Allein eine Anmerkung dazu behauptet sogar, nach dieser Definition ergebe sich die Entstehung der Potenz auch für negative und gebrochene Exponenten. Also >il entsteht durch Multiplication aus a, wie £ durch Addition aus 1. Und wie entsteht dann \ durch Addition aus 1 ? Das ist eine Verweisung auf etwas, was nicht existirt. Stelle dich auf den Nordpol und schaue nach Osten, dann wirst du's sehen 1 Die Anmerkung ist aber keine beiläufige, sondern der Satz wird bei der Rechnung mit Potenzen mit gebrochenen Exponenten wirklich als Bcwei8glied gebraucht, also ein Beweis auf recht grobe Art er- schlichen. Das ist es, worauf der Verfasser erklärtermassen nicht verzichten will. Hoppe.

Die Grundlagen der Arithmetik unter Einführung formaler Zahlbegriffo dargelegt von Dr. Otto Reichel, Professor am Kgl. Kaiserin Augusta-Gymnasium zu Charlottenburg, Dozent an der Kgl. landwirtschaftlichen Hochschule zu Berlin, Mitglied der Prüfungs- kommission für Landmesser daselbst. Hülfsbuch für den Unterricht. Teil I. Natürliche, algebraische, gebrochene Zahlen. Berlin 1886. Haude n. 8pener. 33 S.

Dies Buch ist bereits im 18. litt Bericht, S. 13 besprochen worden. Inzwischen ist es mit einer Abänderung auf S. 29. wieder- erschienen, wo 2 Sätze nachträglich eingeschaltet, die folgenden bis

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Ende §. 25. durch andre ersetzt sind. In dor citirton Besprechung ist die Angabe zu berichtigen (S. 16. Z. 6.), dass die Buchstaben durchweg natürliche Zahlen bedeuteten. Vielmehr sind zum Aus- druck natürlicher, algebraischer und gebrochener Zahlen bzhw. das deutsche, lateinische und griechische Alphabet verwandt. Die vor- ausgehende Aussage indes, dass den Erweiterungen des Zahlbegriffs der Schlussstcin fehle, bleibt dabei in Geltung. Denn wenn bis zu Ende 3 Zahlensysteme in der Lehre figuriren, so kann der Schüler nicht leicht inne werden, dass die Algebra eine einzige ungeteilte Theorie ist, vielmehr scheint dio Erweiterung statt der erwarteten Vereinfachung nur immer neue Verwickelung herbeizuführen.

H.

Regeln und Erläuterungen zum Rechnen nebst einer Skizze eines Lehrganges und Masstafel. Zum Gebrauche an Gymnasien und andern Mittelschulen. Von A. Moroff, k. Studienlehrer zu Landshut. Bamberg 1888. Buchuer. 42 S.

Das Buch besteht aus 3 Teilen. Der erste enthalt die Er- klärungen und Hauptsätze über die 4 Species und Proportionen mit positiven unbenannten gauzen Zahlen, gemeinen und Dezimalbrüchen. Jeder Satz ist allgemein in Worten ausgesprochen, bisweilen eiu Beispiel beigefügt. Der 2. Teil entwickelt eingohend den Lehrgang, welcher auf 4 Gassen verteilt ist. Der 3. Teil gibt Uebungsbeispiele in numerischen Ansatz. H.

Leitfaden der Elementar-Mathematik. Herausgegeben von Prof. Dr. H. Lieber, Oberlehrer am Friedrich- Wilhelm-Realgymnasium in Stettin, und F. von Lüh mann, Oberlehrer am Gymnasium in Königsberg i. d. Neumark. Erster Teil: Planimetrie. Mit 6 Figuren- tafeln. Fünfte Auflage. Berlin 1887. Leonhard Simion. »9 S.

Das Buch zeichnet sich zuerst durch Reichhaltigkeit aus: es gibt nicht allein das Notwendige, sondern auch das Interessante. In extensiver Hinsicht erstreckt sich der Inhalt über die gewöhn- lichen Grenzen hinaus auf harmonische Teilung, Potentialitat und Construction algebraischer Ausdrücke. Aber auch in den grund- legenden Abschnitten stehen viele wissenswerte Sätze, einige in voller Ausführung unter den notwendigen Sätzen, die übrigen als Uebungs- sätze verzeichnet. So finden sich auch die in jedem Abschnitte sich darbietenden geometrischen Oerter zusammengestellt. Ausserdem ist die concinne, einfache Darstellungs- und Entwickclungs weise hervor- zuheben. Die Fassung ist fast durchgehends exaet und geht in

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dieser Beziehung in manchen Punkten mit gutem Beispiele voran Dennoch ist der Parallelensatz mit einem Beweise aufgestellt , der sich anf einen ganz gemeinen Trugschluss stutzt. Der Fall ist nur insofern nicht der gewöhnliche, als der Betrug nicht durch incor- recte Fassung der Winkel-Theorie vorbereitet ist Ganz sachgemäss wird hier vielmehr erst der Winkel, und zwar durch die Winkel- tigur erklärt, dann der Richtungsunterschied zweier Geraden durch den Winkel zwischen ihnen bestimmt. Hiermit ist es ausgesprochen, dass das Wort Unterschied nicht das Resultat einer Subtraction be- deutet, sowenig als der Unterschied zwischen Vogel und Fisch, son- dern erst durch den Winkel gemessen zur Grösse wird. Dio Be- handlung des Pnrallelcnsatzcs aber löscht das angezündete Licht wieder aus, kehrt das Sachverhältniss um und schliesst von der Gleichheit der Richtungen auf die Gleichheit der Winkel. Obgleich indes jene principiellen Sätze von den Winkeln tadellos aufgestellt sind, so sind sie doch noch unvollständig ; denn der Winkel ist nicht als Grösse definirt: es fehlt dio Bedingung der Gleichheit und Un- gleichheit, welche die Messung eines Winkels durch einen andern ermöglicht Dieser Mangel steht in naher Beziehung zu der Unklar- heit, welche der erste Satz des Buches einführt mit den Worteu: „Dio Geometrie hat die Betrachtung der Raumgrösson zum Gegen- stande." Sind Punkt, Lage, Richtung, Stellung, Grössen? oder kein Gegenstand der Geometrie? oder endlich, fängt dio eigentliche Geo- metrie erst da an, wo jene qualitativen Elemento auf Grössen zu- rückgeführt sind? Im letzten Falle würde die ganze elementare Geo- motrie blosse Vorbereitung zur analytischen sein. Der gerügte Trugschluss zeigt, dass es nicht überflüssig ist das Unterscheidende der Grösse zum Bewusstsein zu bringen. Hoppe.

Vorschule der Geometrie. Von Prof. H. Kö stier, Oberlehrer am Domgymnasium zu Naumburg a. S. Fünfte und sechste, ver- besserte Auflage. Mit 47 in den Text gedruckten Holzschnitten. Halle a. S. 1887. Louis Nebort 21 S.

Leitfaden der der ebenen Geometrie für höhere Lehranstalten. Von Prof. H. Köstler. Mit vielen in den Text gedruckten Holz- schnitten. 2. Heft Lehre vom Flächeninhalt. Konstructionslchrc. Zweite, teilweise umgearbeitete Auflage. Halle a. S. 1888. Louis Nebert 42 S.

Die Vorschule ist in 3. und 4. Auflage im 8. litt Bericht S. 41, das 1. Heft des Loitfadens im 2. litt Bericht S. 14, das 3. Heft im 241. litt. Bericht S. 29 besprochen. Das vorliegende 2. Heft besteht aus 3 Teilen, welche nach einander behandeln die Flächenglcichheit,

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Flächenmessung und Constructionslehre. Auf dio Sätze folgt eine Reihe von Zu- und Uobungssätzeu , dann von Aufgaben, und zwar erst in unmittelbar geometrischer Gestalt, dann Beispiele aus der Praxis. Die Aufgaben, namentlich im 3. Teile sind vermöge des kurzen Ausdrucks und der Systematik auf kleinem Räume reich- haltig und vielseitig. Auf Seite 28 sind aus Versehen die Wörter „überbestimmt" und „unbestimmt" mit einander verwechselt. Ferner ist doch gemäss auf Seite 20 der Ausdruck nicht sachgemäss: „Das Messen der Flächen durch das umständliche Abtragen des Flächen- massesu (Einheit in Quadratform) „ist nicht nötig — Da es nur in besondern Fällen möglich ist, so kann von umständlich nicht dio Rode sein. Offenbar kann der Begriff von Flächenmessung nicht der analoge von Streckenmessung sein. Wir verstehen unter Flä- chenmessung stets Flächenberechnung auf Grund der Linearmessuug, das durfte bei der Erklärung nicht verschwiegen werden. Allerdings gibt es auch einen rein geomet riehen Weg zur Ermittelung des In- halts: man kann das Quadrat in solche Teile zerlegen, dass sie sich auf das gegebene Flächenstück auftragen lassen. Diese Aufgabe ist wieder als speciclle in der allgemeinen enthalten: 2 gegebene gleiche Vielecke in congruente Stücke zu zerlegen. Letztero Aufgabe lässt sich mittelst der vorausgehenden elementaren Theorie lösen, sie ist instruetiv uud ihre Lösbarkeit jedenfalls wissenswert. Anlass ist also da, sie in den Curaus aufzunehmen, wiewol es sich empfiehlt, sie dem Studium vorzubehalten. Für dio Definition von Flächen- messung aber kann dio construetive Darstellung schon darum nicht in Betracht kommen, weil sie bei krummer Begrenzung versagt

H.

Constructivo Geometrie der Kegelschnitte auf Grund der Focal- rigenschaften. Einheitlich ontwickolt von Adalbert Breuer, k. k. Rcallchrer in Trautenau, Böhmen. Ein Lehrbuch für höhere Lehr- anstalten und für den Selbstunterricht. Mit 83 in den Text ge- gedruckten Original-Figuren. Eisenach 1888. J. Bacmeister. 110 S.

Die Kegelschnitte werden durch ein© Focalcigenschaft als Orte von Punkteu defiuirt, dann die übrigen Focal- und andern Eigen- schaften, die Beziehungen der damit verbundenen und sie charak- terisirenden Gebilde und die Lösungen der wichtigsten Aufgaben daraus construutiv hergeleitet. Die Behandlung ist zuerst eine ge- meinsame für die 3 Curvenformen, weiterbin werden Ellipse, Para- bel, Hyperbel einzeln betrachtet. Warum ist aber, da doch dio Einheitlichkeit der Methode betont ward, der Krümmungskreis der Ellipse nur in den Scheiteln, der von Parabel und Hyperbel allge-

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mein untersucht? Der Vortrag ist so einfach und leichtfasslich , als er nur sein kann; auch das trägt zur leichten Auffassung bei, dass von gewöhnlichen und nahe liegenden Kürzungen nirgends Gebrauch gemacht wird. Die Anwendungen vom Uebergang zur Grenze wer- deu dem Anfänger keine Schwierigkeit verursachen. Das Buch ist denjenigen, welche ohne Mühe mit den Elementen dor Kegelschnitts - lehre bekannt werden wollen, sehr zu empfehlen. H.

Lehrbuch der Geometrie für Gymnasien und höhere Lehran- stalten. Von Professor Dr. F. W. Fischer, Oberlehrer am Gym- nasium zu Kempen. Drei Teile in einem Band: Planimetrie. — Stereometrie. — Ebene uud sphärische Trigonometrie. Zweite Aus- gabe. Mit vielen in den Text gedruckten Holzschnitten. Freiburg i. Br. 1887. Herder. 203 -f- 105 -f 172 S.

Das Lehrbuch charakterisirt sich durch Ausführlichkeit und Reichhaltigkeit. Ueber die Grenzen des für die Theorie notwendigen Inhalts gehen die hinzugefügten Abschnitte über Transversalen, Maxima und Minima, harmonische Teilung, Pol und Polare, Poteuz uud Poteuzliuie und ein Anhaug zur Goniometrie über einige analy- tische Themata hinaus. Ausserdem ist das Buch reich an Aufgaben. Die Abfassung ist grossentcils correct, die logischen Erfordernisse mit Umsicht berücksichtigend. Als Ausnahme ist zu nennen die Behandlung des Parallelensatzes und des Winkel-Begriffs. Ersterein ist ein angeblicher Beweis hinzugefügt, der nichts ist als Wioder- holuug der Behauptung mit andern Worten. Der Wiukel soll die Grösso der Drohung sein; wodurch aber die Drehung zu oiner mess- baren Grösse wird, ist nicht gesagt, und lässt sich doch so leicht sagen. H.

Lehrbuch der Stereometrie. Auf Grund von Dr. Ferd. Ko Hi- mer cl Ts Lehrbuch neu bearbeitet und erweitert von Dr. Guido Uauck, Geh. Regicrungsrat und Professor an der Königl. Techni- schen Hochschule zu Berlin. Sechste Auflage. (Fünito der Neu- bearbeitung.) Mit 67 in den Text eingedruckten Holzschnitten. Tübingen 1888. H. Laupp. 226 S.

Die 4. Auflage ist im 261. litt. Bericht, S. 31 besprochen. In dieser war bereits die Neubearbeitung vollzogen. In der gegenwär- tigen sind noch viele Acnderungen im einzelnen hinzugekommen: einige Bezeichnungen, veränderte Fassung von Lehrsätzen, Ver- mehrung von Anhängen und Aufgaben u. a. m. H.

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Leitfaden der Experimental-Physik für Gymnasien. Mit einem Anhang: Mathematische Geographie und Grundlehren der Chemie. Von Prof. Dr. Georg Krebs, Oberlehrer an der Masterschule (Realgymnasium) zu Frankfurt a. M. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 412 Figuren, 2 lithogr. Tafeln, 1 Farbentafol und Logarithmen- tafel. Wiesbaden 1887. J. F. Bergmann. 476 S.

Die Bezeichnung der Physik als experimentale auf dem Titol lässt sich nicht als unterscheidend verstehen. Der Vortrag besteht zum grössten Teil aus Beschreibung und elementar theoretischer Erklärung der Naturerscheinungen ergänzt durch Experimente, wo sie erforderlich sind. Die Erklärungen, sofern sie die physikalischen Begriffe zu entwickeln haben, auf die daher das grösste Gewicht zu legen ist, sind mit Fleiss und Umsicht bearbeitet Was ihnen an Exactheit fehlt, beruht zum Teil auf dem approximativen Fortschritt aller induetiven Wissenschaften, welcher von geringem Einflüssen anfanglich absehen muss, aber auch zum andern Teil auf Connivenz gegen die populäre Anschauung. Die Schwere der Anziehung ge- radezu gleichzusetzen ist ein Absehen von einer kleinen Differenz; dagegen Ruhe und Bewegung direct als absolute zu betrachten , wie es hier geschieht, dient nur der vulgären Unklarheit. Die Haupt- abschnitte des Buches sind: Eigenschafton der Körper, Mechanik, Wollonlehro und Akustik, Licht, Magnetismus, Elektricität, Wärme, mathematische Geographie und Astronomie, Grundlehren der Chemie.

H.

Leitfaden für den wissenschaftlichen Unterricht in der Chemie. Für Realgymnasien, Gymnasien, Realschulen und zum Selbstunterrichte. Von Dr. W. Cassel mann, weil. Professor und Lehrer der Chemie and Technologie am Realgymnasium zu Wiesbaden. Erster Kursus* Zweiter Kursus. Fünfte, umgearbeitete Auflage, bearbeitet von Prof. Dr. Georg Krebs, Oberlehrer an der Musterschule (Realgymna- sium) zn Frankfurt a. M. Mit in den Text eingedruckten Holz- schnitten. Wiesbaden 1887. J. F. Bergmann. 139 -f- 137 S.

Der Lehrgegenstand ist die anorganische Chemie. Der erste Cursus ist für Secunda, der zweite für Prima bestimmt. In beiden folgt der Lehrgang der Reihe der Grundstoffe, Metalloide in 5 Gruppen, Metallo in 5 Gruppen, und knüpft an experimentelle Unter- suchung von Natur- oder Kunstproducten an. Die Versuche im 2. Cursus sind jedoch andere und unterscheiden sich dadurch von denen im 1. Cursus, dass sie auf Entwickelung der Theorie ausgehen. Veränderungen in der theoretischen Auffassung haben die Umarbei- tung mancher Teile in der gegenwärtigen Auflage notwendig gemacht.

H.

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Leitfaden der Physik. Von Dr. W. von Beetz, weil, ordcntl. Professor der Physik an der technischen Hochschulo zu München, ord. Mitglied der k. b. Akadcmio der Wissenschaften. Mit 339 iu den Text gedruckten Holzschnitten. Neunto Auflage Nach dem Tode des Verfassers bearbeitet und herausgegeben von J. Henri ei, Pro- fessor am Gymnasium in Heidelberg. Loipzig 1888. Th. Grieben (Kornau). 354 S.

Die 6. Auflage ist im 260. litt. Bericht S. 40 besprochen. Das Buch hat iu den sucecssiven Auflagen sehr an Umfaug zugenommen. Die 8. Auflage erhielt entsprechend der Einführung absoluter clektri- sehcr Masse und der Anwendung des Potentials zur Erklärung elektrischer Erscheinungen eine Reihe von Zusätzen, welche in der gegenwärtigen mit dem Ganzen enger verknüpft worden sind.

Vermischte Schriften.

Rmdicouto dell' Accademia dellc scieuzo fisicho e matematiehe. (sezione della Sociota Reale di Napoli). Serio 2* Vol. I. (Anno XXVI). Napoli 1887.

Die Zeitschrift erscheint in monatlichen Heften. Jedes Heft gibt zuerst dio Verhandlungen, dann einzelne Arbeiten, denen mei- stens ein Bericht von Seiten eines Mitgliedes der Akademie unmit- telbar vorausgeht Der 1. Band enthält folgende mathematischo Arbeiten.

E. Pascal: Ueber die Construction des regelmässigen 257ecks. — Ueber ein neues Symbol in der Theorie der binäron Formen zu 2 Reihen von Variabein. — Uober eine Methode, eine beliebigo invariantive Form einer binären kubischen Function mittelst der des vollständigen Systems auszudrücken.

P. dol Pczzo: Ueber eine fundamentale Eigenschaft der Flä- chen und der in einem Räume von mehr Dimensionen enthaltenen Maunichfaltigkeiten.

G. Emery: Uebor die Lago der Ccntralaxo der Momente der Bewcgungsgrössen in einem in sphärischer Bewegung begriffenen starren materiellen Systeme.

A. Cape Iii: Beobachtungen über die Relationen, welche zwischen den invariantiven Operationen identisch stattfinden können. — Be-

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Stimmung der invariantiven Operationen zwischen 2 Reihen von Variabein, welche sich mit jeder andern Operation derselben Art vertauscheu lassen.

M. Pannell i: Ueber die involutorischen vielfachen Transfor- mationen zweier Räume.

A del Re: Correlationen, welche die doppelt gekrümmte Curve 4. Grades in die Abwickelbare ihrer doppelt berührenden Ebeuen verwandelt

F. Amodeo: Ueber einen speciellen Connex (2, 2).

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Mathematische und physikalische Bibliographie.

XXI.

Geschichte der Mathematik and Physik.

Encke, J. F., gesammelte mathematische u. astronomische Ab- handlungen. 2. Bd. Methode der kleinsten Quadrate. Fehler- theoretische Untersuchungen. Berlin, Dümraler's Verl. 8 Mk.

Fortschritte, die, der Astronomie. Nr. 13. 1887. Leipzig, E. H. Mayer. 2 Mk.

Fortschritte der Elektrotechnik. Vierteljährliche Berichte. Hrsg. v. K. Strecker. 1. Jahrg. 1887. 4. Ilft. Berlin, Springer. 6 Mk. 20 Pf.; kplt. 20 Mk.

Fortschritte, die, der Physik im Jahre 1882. Dargestellt v. d. physikal. Gesellschaft zu Berlin. 38. Jahrg. 2. u. 3. Abth. Berlin, G. Reimer. 31 Mk.

Jahrbuch üb. die Fortschritte der Mathematik, begründet v. C. Ohrtmanu. Hrsg. v. M. Henoch u. E. Lampe. 17. Bd. Jahrg. 1885. 3. Hft. Ebd. 10 Mk.

Unger, F., die Methodik der praktischen Arithmetik in histo- rischer Entwicklung vom Anfange des Mittelalters bis auf dio Gegenwart. Leipzig, Teubner. 6 Mk.

Wahle, R., üb. die geometrische Methode d. Spinoza. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Methode und Priucipien.

Lindemann, F., über Molekularphysik. Versuch e. einheitl. dynam. Behaudlg. der physikal. u. ehem. Kräfte. Königsberg, Koch. 1 Mk. 60 Pf.

Schellwien, R., optische Häresien, erste Folge, u. das Gesetz der Polarität. Halle, Pfeffer. 2 Mk. 50 Pf.

Zimmermann, W. F. A., Naturkräfte U.Naturgesetze. 4. Afl. 16.-18. Lfg. Berlin, Dümmler's Verl. ä 50 Pf.

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Lehrbücher.

Sickenberger, A., Leitfaden d. elementaren Mathematik. 1—3. München, Th. Ackermann, ä 1 Mk. 20 Pf.

— vierstellige logarithmisch-trigonometr. Tafeln. Ebd. 40 Pf.

Sammlungen.

Geerling's Rechenbuch. Hand- n. Hilfsbuch f. höh. Subaltern- beamte, Militäranwärter u. Praktikanten, welche zum Zwecke ihrer Anstellung od. Beförderung in höh. Amtsstellgn. e. Rechenexamen abzulegen haben. 4. Afl. Frankfurt a/M., Gestewitz. Geb. 2 Mk.

Genau, A., Rechenbuch f. Lehrersem ioare. 2. Afl. v. A. Genau u. P. A. Tüffers. 2. Bd. Für die Mittel- u. Oberstufen d. Seminare. Gotha, Thionemann. 1 Mk. 80 Pf.; Antwortenheft. 2. Afl. 60 Pf.

Kley er, A., vollständig gelöste Aufgaben-Sammlung aus allen Zweigen der Rechenkunst etc. 422.-443. Hft. Stuttgart, J. Maier. ä 25 Pf.

Lichtblau, W., u. B. Wiese, Sammlung geometrischer Rochen- aufgaben zum Gebrauch an Seminarien sowie zum Selbstunterricht. Breslau, Hirt, Verl. 1 Mk. 25 Pf.

Martus, H. C. £., mathematische Aufgaben zum Gebrauche an den obersten Klassen höh. Lehranstalten. 1. Tl. Aufgaben. 7. Afl. Leipzig, Koch's Verl. 3 Mk. 60 Pf.

Servus, II , Sammlung v. Aufgaben aus der Arithmetik u. Algebra f. Gymnasien, Realgymnasien u. höhere Bürgerschulen. 1. u. 2. Hft. Leipzig, Teubncr. Kart, ä 60 Pf.

Zähringer, H., methodisch geordnete Aufgaben üb. die Ele- mente der Buchstabenrechnung u. Glcichungslehre. 1. Hft. 5. Afl. Von C. Enholtz. Zürich, Meyer & Z. 60 Pf.; Autworten dazu. 1 Mk. 80 Pf.

Tabellen.

Gezeiten-Tafeln f. d. Jahr 1889. Hydographisches Amt der Admiralität Berlin, Mittler ÄS. IM. 50 Pf.

Markoff, A., Tables de valeur de l'integrale fii-*** Leipzig, Voss' Sort. 2 Mk.

Schrön, L, siebenstellige gemeine Logarithmen d. Zahlen von 1—108000 u. d. Sinus, Cosinus, Tangenten u. Cotangentcn aller Winkel d. Quadranten von 10 zu 100 Secunden. (Ungarisch.) Hrsg. v. J. Sztoczek. Taf. 1 u. 2. Neue Asg. Braunschweig, Vieweg & S. 4 Mk. 80 Pf.

- dasselbe. Taf. 3. Neue Asg. Ebd. 1 Mk. 80 Pf.

Arithmetik, Algebra nnd reine Analysis.

Blaschke, E., üb. die Ausgleichung v. Wahrscheinlichkeiten, welche Functionen e. unabhängig Variabel en sind. Leipzig, Freytag. 90 Tf.

Lembcko, K., allgemeine Arithmetik u. Algebra in ihrer Be- ziehg. zu einander u. zu den höheren bürgert. Rechnungsarten, etc. Wismar, Hinstorff. 3 Mk.

Lie, 8., Theorie der Transformationsgruppen. I. Abschnitt. Leipzig, Teubner. 18 Mk.

Lurtz, F. E., Rechenschule. 1. Tl. 7. Afl. Kronstadt, Zeidner. Geb. 1 Mk.

Mertens, F., invariante Gebilde v. Nullsystemen. Leipzig, Freytag. 40 Pf.

Pitra, K., das Rechnen m. gemeinen Brüchen. Leipzig, Fock. GO Pf.

Rotter, L., das Rechnen m. ganzen Zahlen u. m. Dezimal zahlen, einheitlich behandelt. Ebd. GO Pf.

Schwarz, II. C, e. Beitrag zur Theorie d. Ordnungstypen. Halle, Schmidt. 1 Mk. 60 Pf.

Schwärze's, B., Unterrichtsbriefe d. gesamten Rechnens. 2. Afl. Neu bearb. v. Th. Kolbe. Berlin, Liebel. In Carton. 4 Mk.

Siekenborger, A., Leitfaden der Arithmetik nebst Uebungs beispielcn. 4. Afl. München, Th. Ackermann. 1 Mk. 60 Pf.

Spieker, Th., Lehrbuch der Arithmetik u. Algebra m. Ucbungs- Aufgaben f. höhere Lehranstalten. 3. Afl. Potsdam, Stein. 3 Mk.

Stadt nagen, H., üb. die Genauigkeit logarithmischcr Berech- nungen. Berlin, Dümmler's Verl. 2 Mk. 50 Pf.

Wolff, H., Sätzo u. Regeln der Arithmetik u. Algebra nebst BeispieleU'U. gelösten Aufgabeu. Leipzig, Teubner. Kart. 1 Mk. 60 Pf.

Ucoinetrle.

Feaux, B., Lohrbuch der elementaren Planimetrie. 7. Afl., besorgt v. A. Balkcnhol. Paderborn, Schöniugh. 2 Mk. 50 Pf.

Genau, A., Leitfaden der elcmeutaren Geometrie f. Lehrer- seminare. 5. Afl. Büren, Hagen. 2 Mk. 10 Pf. j

Klimpert, R., Lehrbuch der Goometric. Stuttgart, J. Maier. 3 Mk.

Knoblauch, J., Einleitung in die allgemeine Theorie der krum- men Flächen. Leipzig, Teubner. 8 Mk.

Koitzsch, A., Grundzüge d. Raumlehre. 1. Ilft. Leipzig, Mersoburger. 60 Pf.

Reeb, W., methodischer Leitfaden f. den Unterricht in der ebenen Geometrie. Nach konstruktiven u. heurist. Lehrverfahren f.

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Oppolzer, Th., Ritter v., zum Entwurf e. Mondtheorio ge. hörende Entwicklung der Differentialquotienten. Nach dessen Tode vollendet unter Leitg. v. R. Schräm. Leipzig, Frey tag. 10 Mk.

Schwann, P., üb. Aendergn. d. Lage d. Figur- u. d. Rotations- axe d. Erde sowie üb. einige m. d. Rotationsproblem in Beziehg. steh. geophysische Probleme. Berlin, Mayer & M. 2 Mk. 50 Pf.

Sirius. Zeitschrift f. populäre Astronomie. General-Register. (Neue Folge.) I-XV. Bd. (1873-1887. Jahrg.) Leipzig, Scholtze. 2 Mk.

Zenker, W., die Vertheilung der Warme auf der Erdoberfläche. Berlin, Springer. 3 Mk.

Nautik

Jahrbuch, kleines nautisches, f. 1889. 28. Jhg. Bremerhaven, v. Vangerow. 60 Pf.

Jahrbach, nautisches, od. Ephemeriden u. Tafeln f. d. Jahr 1891 zur Bestimmung der Zeit, Länge u. Breite zur See nach astronom. Beobachtungen. Hrsg. vom Reichsamt des Innern unter Red. v. Tietjen. Berlin, C. Heymaun's Verl. Geb. 1 Mk. 50 Pf.

Ludolph, W., Leuchtfeuer u. Schallaignale der Erde. 17. Jahrg. 5. All. Bremerhaven, v. Vangerow. Geb. 6 Mk.

Physik.

Fr icke, A., Leitfaden f. d. Unterricht in der Physik. 2. Kurs. 2. Afl. Braunschweig, Bruhn's Verl. 1 Mk. 40 Pf. ; geb. 1 Mk. 75 Pf.

Fröhlich, J., allgcm. Theorie d. Elektrodynameter. Ein Beitrag z. Anwendg. u. zur Integration der Differentialgleichgn. d. olectro- dynam. Induction. Berlin, Friedländer & S. Kart. 10 Mk.

Jahn, H., Expcrimentaluntersuchungon üb. die an der Grenz- fläche heterogener Leiter auftretenden localcn Wärmeerscheinungen. Leipzig, Freytag. 60 Pf.

Kley er, A, die elektrischen Erscheinungen u. Wirkungen in Theorie u. Praxis. 81. u. 82. Hft Stuttgart, J. Maier. ä 25 Pf.

Krieg, M., die Erzeugung u. Verteilung der Elektricität in Central-Stationen. 2. Bd. Die Erzeugg. u. Verteilg. der Elektricität durch Gleichstrom-Maschinen m. u. ohue Verbindg. v. Accumulatoron. Magdeburg, Faber. 6 Mk.

Meyer, G., üb. die thermische Veränderlichkeit d. Daniell'schen Elements u. d. Accumulators. Göttingen, Vandenhoeck &R. 1 Mk.20Pf.

Obermayer, A. v., Versuche üb. die „Elmsfeuer" genannte Entladungsform der Elektricität. Leipzig, Freytag. 40 Pf.

untere Klassen höherer Lehranstalten nnd höhere Mädchenschulen. Gicssen, Roth. 1 Mk.

Salmon, G., analytische Geometrie der Kegelschnitte m. besond. Berücksicht. d. neueren Methoden. Frei bearb. v. W. Fiedler. 5. Afl. 2. TL Leipzig, Teubner. 8 Mk.

Spieker, Th., Lehrbuch der ebenen Geometrie m. Uebuogs- Aufgaben f. höhere Lehranstalten. 18 Afl. Potsdam, Stein. 2Mk.5'JPf.

Vonderlinn, J., Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Bearb. nach System Kleyer. 1. Buch: das Projektionszeichnen. 1. u. 2. Hft. Stuttgart, Maier. a 25 Pf.

Weyr, E., üb. Raumcurveu fünfter Ordnung vom Geschlechte Eins. 3. Mittheilg. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Mechanik.

Centrai-Zeitung f. Optik u. Mechanik. Red. 0. Schneider. 9. Jahrg. 1888. Nr. 13. Leipzig, Gressner & Sehr. Viertelj. 2 Mk.

Technik.

Jahrbuch f. Elektrotechnik f. d. J. 1887. Hrsg. v. G. Krebs u. C. Grawiukel. 4. u. 5. Hft. Halle, Knapp, ä 3 Mk.

Optik, Akustik und Elastlcltät.

Ambronn, L, Beitrag zur Bestimmung der Refraktions- Konstanten. Göttingen, Yaudeuhoeck & R. 2 Mk.

Drude, P., üb. die Gesetze der Reflexion u. Brechung d. Lichtes an der (grenze absorbirender Krystalle. Ebd. 1 Mk.

Klimpert, R., Lehrbuch der Elasticität u. Festigkeit. Stutt- gart, J. Maier. 5 Mk. 50 Pf.

Stokes, G. G., das Licht. 12 Vorlesungen. Uebers. v. O. Dziobek. Leipzig, Barth. 5 Mk.

Erd- und Hinimelskunde.

Beobachtungen der meteorologischen Stationen im Königr. Bayern. Hrsg. durch C. Lang u. F. Erk. 10. Jahrg. 1888. (4 Hfte.) 1. Hft. München, Th. Ackermann, prcplt. 18 Mk.

Exner, F., weitere Beobachtungen über atmosphärische Elec- tricität Leipzig, Freytag. 20 Pf.

Jahrbuch d. metoorolog. Beobachtgn. der Wetterwarto d. Magde- burg. Zeitung. Hrsg. v. A. W. Grützmachor. Jahrg. V. 1886. Magdeburg, Faber. Kart 6 Mk.

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Pürthner, J. II., Methode u. Apparat zur Erzeugung gleich- gerichteter Inductionsströme, sowie Anwendung derselben zur Wider- standsbestimmung der Elektrolyte. Ebd. 20 Pf.

Urban itzky, A. Rittor v., die Electricität d. Himmels u. d. Erde. 16—20. (Schluss ) Lfg. Wien, Hartleben, a 60 Pf.

Weinstein, B, Handbuch der pbysikal. Maassbestimmungen. 2. Bd. Einheiten u. Dimensionen, Messgn. f. Längen, Massen, Volu- mina u. Dichtigkeiten. Berlin, Springer. 14 Mk.

Winkler, C, praktische üebungen in der Maassanalyse. Frei- berg, Engolhardt'sche B. 6 Mk.

Vermischte Schriften.

Abhandlungen der königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus d. J 1887. Berlin, G. Reimer. Hieraus einzeln : Mathematische Abhandlungen. 20 Mk. Physikalische Abhandlungen. 13 Mk.

Annalen, mathematische. Begründet durch R. F. A. Clebsch. Hrsg. v. F. Klein, W. Dyck, A. Mayer. 32. Bd. (4 Hfto.) 1. Hft. Leipzig, B. G. Teubner. prcplt. 20 Mk.

Bibliotheca mathematica. Zeitschrift f. Geschichte d. Mathematik. Hrsg. v. G. Euoström. Jahrg. 1888. (4 Nrn.) Nr. 1. Berlin, Mayer & M. prcplt. 4 Mk.

Doch er, 0., die Prismcutrommel. 2. Ad. Müuchen, Th. Acker- mann. 2 Mk.

Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Ma- thematisch-naturwissenseliaftl. Classe. 54. Bd. Leipzig, Freytag. Kart 36 Mk. 80 Pf.

Kley er 's Eucyklopädie der gesamten mathemat., techn. o. exaeteu Wissenschaften. 30.— 33. Lfg. Stuttgart, J. Maier. a 1 Mk.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftl. Classe. Abth. II. a. Euth. die Abhandlungen aus dem Gebiete der Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie u. der Mechanik. 97. Bd. 1.— 4 Hft Leipzig, Freytag. 9 Mk. 4 ) Pf.

Sitzungsberichte der mathematisch -physikalischen Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München. 1888. 2. Hft. München, Franz'scher Verl. 1 Mk. 20 Pf.

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Hilm. Tafl

/ Pe/tseÄ: (MderAxcn vtm ScAmu6en6m*gungen.

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TeilM. Tai: F.

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Bei Aug;. Stein in Potsdam ist erschienen:

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra mit Ucbungsaufgabcn für höhere Lehr- anstalten vi.n Dr. Th. Spieker, Professor. 8. vermehrte Auflage. Preis

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Lehrbuch der ebenen Geometrie mit Ucbungsaurgabeo für höhere Lehran- stalten von Dr. Th. Spieker. Mit vielen in den Text gedruckten Figuren. 18. verbesserte Auflage Preis 2,50 Mk.

Lehrbuch der ebenen Geometrie mit üebungsaufgnben von Dr. Th. Spieker. Aufgabe B. Für mittlere Klassen, «eb. 1,80 Mk.

Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie mit Ucbungsaufgabcn für höhere Lehranstalten von Dr. Th. Spieker, geb. 1,60 Mk.

Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben, verbunden mit ein- m systematischem Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik für höhere Schulen von Dr. H. Schubert, Pro- fessor. Heft 1: 2. Auflage, geb. 2 Mk. Heft 2: geb. 2 Mk. — Ausge- wählte Resultate zu beiden Heften, br. 80 Pf.

System der Arithmetik und Algebra als Leitfaden für den Unterricht in höheren Schulen von Dr. H. Schubert, geb. 2 Mk.

Die analytische und die projektivisohe Geometrie der Ebene, die Kegel- schnitte auch nach den Methoden der darstellenden und der elementar- synthetischen Geometrie mit Uebungsaufgaben für höhere Lehranstalten und für den Selbstunterricht bearbeitet von Dr. H. Funcke, Oberlehrer, br. 1,40 Mk.

Aufgaben aus der analytischen Geometrie der Ebene mit den Resultaten für höhere Lehranstalten und für den Selbstunterricht von Dr. Q. Janisch, weil. Direktor. Hernusgegoben von Dr. H Funcke, br. 3 Mk.

Geometrische Analysis und Synthesis. Snmmlung von 636 planimetrischen Konstruktion- au ijmWu mit rein-geometrischer Lösung von W. Adam, Seminarlehrer. Mit 363 Figuren, geb. 4 Mk.

Methodische Anleitung zum Unterricht im Rechnen von H. Claussen. br. 3 Mk. Inhalt: I. Allgemeine Methodik. II. Specielle Methodik.

Naturgeschichte der drei Reiche iu Einzclbeschreibungen für die Mittelstufe mehrklasiigcr Volks- und Bürgerschulen, zugleich ein Lesebuch für die Jugend von W. Wölkerling, Lehrer. Mit Abbildungen, br. 1,50 Mk.

Das Wichtigste aus der reinen und angewandten Chemie in Einzeldarstel- lungen für die Oberstufe mchrklassigcr Volks- und Bürgerschulen von W. Wölkerling, br. 60 Pf.

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Die «IriU* Auflage des

Leitfaden

der ebenen Geometrie

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höhere Lehranstalten

von Prof. H. Köstler. 1. Heft ( C o n g r u e n z ). Verlag von Louis Nebert in Halle a./S.

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F. W. Kunike,

Ruch- und Steindrucken.?!.

INHALT.

S«iU.

I. Uebcr den Ort der Axen derjenigen Schraubenbewegungen, durch welche eine Strecke in eine beliebige Lnge im Räume gebrncht werden kann. Von Pclisck ■ I

II. Einige Besiehungen zwischen den drei Höhen und zwischen den drei seitenhalbirrndcn Ecktransversalen eines Dreiecks. Von Carl Pabst 10

III. lieber trigonometrische Functionen von WinkeUummeu und Ober Relationen »wischen Polygonwinkeln. Von 8cipp . . 87

IV. Die elliptischen Integrale der Bewegung eines schweren Punktes

in der verticnlen Parabel. Von EmilOckinghaus . . . 34

V. Die flache Kreisschraubenflache. Von Franz Schiff n er . 54

VI. Metrische Relationen am Sehnen vicreck. Von Otto Zim- mermann 64

VII. Miacellen.

1. Zar Construction der KegelscbnitUlinien. Von Karl Schober 99

9. Eine einfache Ableitung der Bedingungen, welche die Coefficicnten einer Rotationsfläche zweiten Grades er- füllen müssen. Von Fritz Hofmann 101

3. Untersuchungen über die Fliehe 3. Ordnung, welche von Kreisen erzeugt wird, die durch zwei Punkte gehen und eine Gerado treffen. Von Fr. Schiffner . . . 104

4. Beweis eines Dreieckssatzes. Von R Caspar . . . 109

5. Reduction einiger Integrale. Von W. Läska . . . .110

ttreifawald. Ksdrackt bei V. W. Kaaike.

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Litterarischer Bericht XXY1.

14

Litterarischer Bericht

XXVI.

Sammlangen.

Stereometrische Aufgaben. Herausgegeben von Prof. Dr. H. Lieber, Oberlehrer am Friedrich- Wilhelm-Realgymnasium in Stettin. Berlin 1888. Leonhard Simion. 141 S.

Diese Aufgaben beziehen sich ausschliesslich auf Körperberech- nung. Construction wird durch ihre Stellung nirgends gefordert. Gleichwol wird durch ihre Bearbeitung die stereometrische Anschauung gründlich geübt, indem zu ihrer Lösung eine Vorstellung der Kör- per, sei sie nun frei oder unterstützt durch Skizze, notwendig ist. Zu präcisen Constructionen würde die Kenntniss der beschreibenden Geometrie erfordert werden, welche auf der Schule, für die das Buch bestimmt ist, überhaupt nicht, für andre wol schwerlich vor der Stereometrie getrieben wird. Die untersuchten Figuren sind Poly- eder, Cylinder, Kegel, Kugel und deren Zusammensetzungen. Die Aufgaben Bind erst nach den Figuren, dann gruppenweise nach der Behandlung geordnet. Das Resultat steht unter jeder Aufgabe.

H.

Geometrische Konstruktions-Aufgaben. Herausgegeben von Prof. Dr. H. Lieber, Oberlehrer am Friedrich-Wilhelm-Realgymnasium in Stettin, und F. von Lühmann, Oberlehrer am Gymnasium in Königsberg i. d. Neumark. Achte Auflage. Mit einer Figuren tafel. Berlin 1887. Leonhard Simion. 206 S.

Die 4. Auflage ist im 247. litt. Bericht, S. 30 besprochen. Seit- dem ist ein vierter Anhang hinzugekommen, welcher in den einzelnen Paragraphen teils neue Aufgaben, teils einfachere Lösungen nach- tragt. H.

Arch. d. Math. u. Phji. 2. Beihe, Teil VII. 2

15

Litterarischer Bericht XXVI.

Planimetri8cho Aufgaben für den Gebrauch im Schul-, Privat- und Selbst-Unterricht bearbeitet von Prof. Dr. F. Heidt, Oberlehrer am Gymnasium zu Hamm. Zweiter Teil. Aufgaben, geordnet nach Auflösungs-Methoden und mit Anleitung zur Behandlung versehen. Zweite, umgearbeitete Auflage. Breslau 1888. Eduard Trewendt. 127 S.

Das Charakteristische an diesem Aufgabenbuche liegt darin, dass es von den Postulaten als den unmittelbar durch die Instrumente dargebotenen Lösungen aus in allmählichen Variationen der Aufgaben und successiven Hinzufügungen , die kein erdenkliches Glied über- springen, zu immer mehr Mittel orfordernden Aufgaben fortschreitet. Die zu erlernenden Lösungsmittel sind unter folgende Titel geord- net: Methode der Hülfsfiguron, der geometrischen Oerter, der ähn- lichen Figuren, der algebraischen Analysis. Dieso Mothoden sind nicht definirt, sondern durch Beispiele erläutert. Die ganze reich- haltige Reihe von Aufgaben bildet daher eine Anleitung zur Lösung solcher, die jedoch fern von Einübung schematischen, die Erfindung ersparenden Verfahrens ist, (welches immer nur für einen gewissen Bezirk ausreicht, über die Schule hinaus keinen Gewinn bringt), die vielmehr darauf abzielt dio Fähigkeit zur Erfindung zu wecken, zu entwickeln und zum Bewusstsein zu bringen — gewiss die beste Hülfe für Schüler, denen das Suchen nach Lösungen zu schwer fällt

H.

Planimetrische Konstruktionsaufgaben nebst Anleitung zu deren Lösung für höhere Schulen. Methodisch bearbeitet von E. R. Mül- ler. Zweite Auflage. Oldenburg 1888. Gerhard Stalling. 68 S.

Die Reihe der Aufgaben ist zunächst geteilt in Aufgaben ohne und mit Verhältnissen. Die Aufgaben schliessen sich mit wenigen Ausnahmen an das Dreieck an und schreiten, von den fundamentalen beginnend, zu immer mehr impliciten Bestimmungen fort Auf jede Gruppe folgen dio ausgeführten oder angedeuteten Lösungen einiger Aufgaben und am Schlüsse jedes der beiden Abschnitte die Erklä- rung der Methoden. H.

Textgleichungen geometrischen Inhalts. Für den Gebrauch beim Unterricht entworfen von Dr. Th. Harmuth, ord. Lehrer am Königl. Wilhelras-Gymnasium in Berlin. Berlin 1888. Julius Springer. 66 8.

Das Vorliegende ist eine Sammlung von 450 Aufgaben zur Uebung in der elementaren Geometrie und Glcichungslehre. Von

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Litterarischer Bericht XXVI.

16

einer Fignr Bind einige Bestimmungsgrössen in unbonannten Zahlen, die Winkel in Graden gegeben, nach andern wird gefragt Mit An- wendung seiner Kenntniss von messender und abzählender Geometrie hat dann der Schüler die Relation zwischen bekannten und gesuchten Grössen anzusetzen, dann die Gleichung aufzulösen. Die Aufgaben sind nach den Figuren, zuerst ebenen, dann räumlichen, geordnet. Die Resultate aller Aufgaben stehen am Ende des Buches.

H.

Aufgaben aus der Elektricitätslehre. Methodisch geordnet und mit Berücksichtigung aller Theile der Elektricität sowie unter Zu- grundelegung der absoluten Maasse bearbeitet von Dr. Robert Weber, Professor an der Akademie in Neuchätel. Mit in den Text gedruckten Figuren. Berlin 1888. Julius Springer. 176 S.

Die experimentelle und rechnende Elektricitätslehre wird als bekannt vorausgesetzt, durch die vorliegenden Aufgaben soll die Rechnung eingeübt und Vertrautheit mit der untersuchenden und technischen Praxis erzielt werden. Die Reihenfolge seh lies st sich dem Lehrgange an und geht mehr und mehr zu den einzelnen tech- nischen Verwendungen über. Auf jede Aufgabe folgt die Lösung. Erklärung wird nicht gegeben, sondern nur auf den letzten 12 Seiten tabellarische Zusammenstellungen, aus denen die quantitativen Re- lationen ersichtlich sind. Nicht zu billigen sind häufig wiederkeh- rende nachlässige Kürzungen. Der Verfasser scheint sich in seiner Praxis daran gewöhnt zu haben, notwendige Grössenangaben nach Gutdünken wegzulassen, wenn Einheiten gemeint sind. Er spricht vom Gewicht einer Quecksilbersäule von 760 mm, von einer Kraft, die 1 cm Beschleunigung in einer Grammmasse erwirkt, u. a. m. Letztere Vernachlässigung ist so durchgehend, dass sie zu dem Mis- verständniss verleitet, der Verfasser habe einen eigentümlichen Be- griff von Kraft (sowie deren Einheit Dyn)\ erst Tafel CI. zeigt durch die Angabe AILT-% dass dies nicht der Fall ist. H.

Tabellen.

Nouvelles tables de logarithmes la circonference etant prisc pour unite (texte cn francais). Par J. de Mendizabal Tamborrel, Ing6nieur geographe, Professeur d'astronomie et de geodesic a l'ecole militaire, Membre de la sociedad cientitica „Antonio Alzate". Ancien 61eve de l'ecole d'ingenieurs. (Mexico.)

17 Literarischer Bericht XXVI.

Diese Logarithmentafel ist berechnet von dem genannten Pro- fessor de Mendizabal Tamborrel and wird auf Sabscription heraus- gegeben von der genannten Gesellschaft Antonio Alzate in Mexico. Die Zeit des Erscheinens ist nicht angekündigt. Der erste Teil ent- hält auf 125 Seiten die siebenstelligen Logarithmen der Zahlen bis 125000, der zweite Teil auf 274 Seiten dio siebenstelligen Logarith- men der Kreisfunctionen , letztere durch dio Millionstel der ganzen Periode von 4 Rechten. In Betreff der Frage, ob die ganze oder die Viertel Periode decimal zu teilen sei, führt der Verfasser als Autoritäten Yvon-Villarceau, Wolf und Hoüel an. Die zwei Erst- genannten sind der ersten Meinung. Hoüel dagegen nennt den Qua- dranten dio natürliche Einheit. Als rationales Motiv den erstem beizutreten wird nur geltend gemacht, dass bei Teilung des Tages bereits vom ganzen ausgegangen werde. Dieser Grund ist offenbar hinfällig; denn wenn factisch eine Decimalteilung des ganzen Tages angeordnet worden ist, so ist dies ohne Berücksichtigung oder mit Hintansetzung des Charakters der Periodizität, bloss den Tag als Zeitma8s im Auge, geschehen. Jede periodische Function, wofern keine besondern Eigentümlichkeiten eine Abweichung verursachen, durchläuft, vermöge ihrer doppolten Symmetrie, ihre sämtlichen ab- soluten Werte im Umfange eines Quadranten, und diese sind es, welche eine Tafel dem Rechner liefern muss. Die angekündigte Tafel wird daher für den Rechner stets die Bedeutung einer solchen haben, die den Rechten in 250000 Teile teilt, und die damit ver- bundene Unbequemlichkeit wird dadurch nicht verringert, dass sie auch an der Zeitrechnung haftet. Das gegenwärtige Unternehmen bat für uns nur das Schätzenswerte, dass dadurch dio Herausgabe einer siebenstelligen Tafel der Logarithmen der Kreisfunctionen mit Decimalteilung der Winkel, welche längst Bedürfniss ist, aum neue in Anregung kommt H.

Vierstellige logarithmisch-trigonometrische Tafel zum Schul- und Handgebrauch zusammengestellt von Adolf Sickenberger, Pro- fessor der Mathematik und Physik am K. Luitpoldsgymnasium in München. München 1888. Theodor Ackermann. 8 S.

Diese Tafeln stellen auf kleinst möglichem Räume die am häufig* sten gebrauchten Zahlenangaben zusammen: vierstellig die Loga- rithmen der Zahlen 100 bis 1000 nebst Differenzen, die der sin, cos, tg, cot durch alle halben Grade, dreistellig die genannten Functionen

selbst, vierstellig die Quadrate und Quadratwurzeln, -r, - und log*,

vT

dreistellig die Zinsen für 1 bis 10 proc vor- und rückgängig auf

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Literarischer Bericht XX VI.

18

48 Zeiten, Kuben und Kubikwurzeln von 1 bis 10, fernere Potenzen von 2, 3, 4, 5, Binoroialcoofficicntcn und Facultäten, 38 speeifischo Gewichte, 13 Geschwindigkeiten, Länge, Rectasconsion, Dcclination und Zeitgleichung der Sonne für 37 Jahrestage, Grössenangaben für die Erde, für Mond und Planeten, Breite und Länge von 11 Städten, 21 Sternorte, Präcession und Refraction. H.

Physik.

Lehrbuch der Elektricität und des Magnetismus. Von £. Mas- cart, Professor am College de France, Director des Bureau central meteorologiquc , und J. Joubert, Professor am College Rollin. Autorisirte deutsche Uebersetzung von Dr. Leopold Levy. Zweiter Band. Mit 137 in den Text gedruckten Abbildungen. Berlin 1888. Julius Springer. 716 S.

Der 1. Band ist im 5. litt. B. S. 8 besprochen. Der 2. Band handelt vom Messen, und zwar sind die successiven Gegenstände: die Mossungsmethoden überhaupt, einzeln Messung von Winkeln, von Schwingungen, von Kräfteparen, Eigenschaften der Kreisströme, In- duetionscoefficienten ; dann elektrische Messungen, und zwar Elektro - metrie, Messung von Strömen, Vergleichung von Widerständen, Mes- sung von elektromotorischen Kräften, von Capacitäten, Dielektrica, Constanten der Rollen, Messung von Widerständen in absolutem Masse, Yerhältniss der Einheiten zu einander; dann magnetische- Messungen, und zwar magnetisches Feld, Magnetisirungsconstantcn dann industrielle Anwendungen und numerische Constanten.

H.

Handbuch der statischen Elektricität. Von E. Mascart, Pro- fessor am College de France, Öirector der meteorologischen Centrai- anstalt in Paris. Deutsche Bearbeitung von Dr. Jgnaz G. Wall en- tin, k. k. Professor am Staatsgymnasium im IX. Bezirke Wiens. Mit in den Text eingedruckten Holzschnitten. Zweiter Band. Wien 1887. A. Pichler's Witwe u. Sohn. 690 S.

Der 1. Band ist im 278. und 17. litt. Bericht, rosp. S. 19 und 9 besprochen. Im 2. Bande kommen folgende Gegenstände hinzu; conduetive Entladungen, Geschwindigkeit der Fortpflanzung der Elek- tricität, dismptive Entladungen, Dauer, Schlagweitc des Funkens, Formen der Entladungen, elektrische Versuche und Eigenschaften

19

Litterarischer Bericht XXVI.

des Funkens, Lichtwirkungen der Entladung, elektrische Bewegun- gen, physiologische, chemische Wirkuugeu, Magnctisirung uud In- duetion durch die Entladung; Maschinen, Reibungsmaschinen, Ma- schinen, welche auf die Iufluenzwirkung und die Uebertragung gegründet sind, Inductionsapparate, Vergleichung der Elektrisirma- schinen , Elektricitätsquellen , Contactelektricität , Spannungsreihen, elektrostatische Erscheinungen in den Säuleu, thermoelektrische Er- scheinungen, Gosetzo der Fortpflanzung der Elektricität , Pyroclek- tricität, mechanische und physikalische Wirkungen, Verdampfung, chemische Erscheinungen, physiologische Elektricität, clektrocapillare Erscheinungen, atmosphärische Elektricität. H.

Elementaro Vorlesungen Aber Elektrizität und Magnetismus von Si Ivan us P. Thompson, Professor der Physik am technical Col- lege zu London. Autorisirto deutsche Uebersetzung auf Grund der ueuesten (28.) Auflage des Originals von Dr. A. Himstedt. Tü- bingen 1887. H. Laupp. 487 S.

Das Buch ist für Anfänger bestimmt und beschränkt sich rück- sichtlich der Anwendung von Mathematik auf das Elementarste. Es soll, laut der Vorrede, denselben „eine klare und genaue Kenntniss verschaffen von den Experimenten, auf welchen die Lehre von der Elektricität und vom Magnetismus basirt ist, sowie von den Gesetzen, welche dabei entdeckt worden sind." Von dem Ziele klarer uud exaeter Kenntniss bleibt indes, wie wir nicht anders sagen können, die gegenwärtige Darstellung weit entfernt. Manche, auch vom Ver- fasser erkannte Schwierigkeit liegt in der Natur des Gegenstandes selbst, welche eine schrittweise Entwickelung der Lehre nicht zu- lässt. Die so äusserst verschiedenartigen Erscheinungen stehen ohno Theorie in keinem sichtlichen Zusammenhange, sind daher nicht be- lehrend, die Theorie aber beruht auf Erscheinungen in ziemlich grossem Umfange. Da sich also beides nicht trennen läset , so ist die Anordnung getroffen, dass in einem ersten Teile nur die wich- tigsten experimentellen Facta, einzeln von der Reibungselektricität, vom Magnetismus und von den elektrischen Strömen beschrieben werden, dann im zweiten Teile die Theorie nebst technischer An- wendung in 9 Abschnitten, nämlich Elektrostatik, Elektromagnetis- mus, Messung der Ströme, Wärme, Licht und Arbeit der elektrischen Ströme, Thermoelektricität, Elektrooptik , Inductionsströme, Elektro- chemie, Telegraphen und Telephone — folgt. Am Schlüsse sind zu jedem Capitel eine Reihe von Uebungsaufgaben aufgestellt, einige mit Angabe des Resultats. H.

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Litterarischtr Bericht XXVI.

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Physikalische Einheiten und Constanten. Von J. D. Everett M. A., Mitglied der Royal Societies in London und Edinburgh, Pro- fessor der Physik in Belfast. Nach der dritten englischen Ausgabe unter Zustimmung des Verfassers den deutschen Verhältnissen an- gepasst durch Dr. P. Chappuis, Savant attache au Bureau inter- national des poids et mesures, und Dr. G. Ereichgauer, Assi- stent Leipzig 1888. Johann Ambrosius Barth. 126 S.

Der Hauptinhalt des Buches ist eine geordnete Zusammenstel- lung der wichtigsten und am meisten feststehenden physikalischen Grössenangaben in den Grundeinheiten, Centimeter, Gramm, Secunde, nebst ihren Relationen. Voraus geht die Theorie der Einheiten; dann folgen die Constanten und Relationen der Mechanik, Hydro- statik, Elasticität, Astronomie, Akustik, Optik, Wärme, Magnetismus, Elektriciät. Alle eingeführten Elemente sind nach Wesen und Be- deutung ausreichend, exaet und leicht verständlich erklärt. Wiewol der Verfasser alle jene physikalischen Zahlen nur als Beispiele für den Gebranch der Einheiten gelten lassen will, so kann deren Zu- sammenstellung sehr wol auch den weitern Anspruch machen, einem unzählig oft eintretenden Bedürfniss beim Rechnen als Hifsmittel zu dienen. Die Uebersetzer haben zugunsten der Verbreitung in Deutsch- land, ohne wesentliche Aenderung des Originals, den exclusiv engli- schen Charakter, welcher sich namentlich in Bevorzugung englischer Untersuchungen zeigte, zu mindern gesucht. H.

Handbuch der physikalischen Massbestimmungen. Von Dr. ß. Weinstein, Privat-Docent an der Universität zu Berlin und Hilfsarbeiter bei der Kaiserl. Normal- Aichungs-Commission. Zweiter Band. Einheiten und Dimensionen, Messungen für Längen, Massen, Volumina und Dichtigkeiten. Berlin 1888. Julius Springer. 552 S.

Der 1. Band, welcher die Ausgleichung der Messungsfehler lehrt, ist im 17. litt Bericht S. 10 besprochen. Der Inhalt des zweiten ist: Theorie der Einheiten und Dimensionen, und zwar Einheiten und Dimensionen, Rechnen mit Einheiten, die praktischen Einheis- beträge; dann mechanische Messungen, und zwar das Principiclle der Vorrichtungen und Methoden bei Längenmessungen, Ausführung einfacherer Längenmessungen, Abbildung vermittelst optischer Instru- mente, Längenmessungen auf Apparaten mit optischen Einrichtun- gen, die geometrisch mechanische Einrichtung von Längenmessungen, Einfluss von elastischen Deformationen auf die Länge von Strecken, die optische Einrichtung, Bestimmung der Teilungsfehler von Mass- stäben und Scalen, Bestimmung von Schraubenfehlern, Pointirungs- und Schätzungsfehler, Bedeutung der Wägungon als Massenbestim-

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Litterarischer Bericht XXVI.

mungen, Gewichtesätze und deren Untersuchung, Einrichtung und Theo- rie der Waage, Massenbestimmung durch Wägungen, Theorie und Ein- richtung, Wägungen in der Luft zu Massenbestimmungen, Volumen- und Dichtigkeitsbestimmungen. Es ist Überall erst das Wesen der betreffenden Massbestimmung dargelegt, dann sind die zugehörigen Instrumente und Apparate beschrieben, hierauf ist die nötige theore- tische Entwickelung für die Rechnung vorgenommen, meist mit einer Untersuchung der Fehlerquellen unter Angabo der zur Vermeidung der Beobachtungsunsicherheiten nötigen Vorsichtsmassregeln. Die Litteraturangaben machen nur da Anspruch auf Vollständigkeit, wo dio botreffenden Arbeiten benutzt worden sind. H.

Die Elektricität des Himmels und der Erde. Von Dr. Alfred Ritter von Urbanitzky. Mit 400 Illustrationen. Wien, Pest, Leipzig (1888). A. Hartleben.

Der Titel des Werkes hat nicht den Sinn, den Gegenstand des- selben auf die natürlichen Erscheinungen der Elektricität zu be- grenzen. Es behandelt vielmehr die gesamte Elektricitätslehre und scheint, nach der 1. Lieferung zu urteilen, zur Vorbereitung der Eenntniss im Volke bestimmt zn sein. Das Ganze soll in 18 bis 20 Lieferungen erscheinen, deren erste 3 Bogen gibt. H.

Praktische Physik, Zeitschrift für Elementarphysikcr, Studirende der Physik, Mechaniker, Optiker u. s. w. und Organ für den physi- kalischen Unterricht. Unter Mitwirkung hervorragender Autoritäten und bewährter Fachmänner herausgegeben von Dr. Martin Krieg. I. Jahrgang 1888. A. u. R. Faber in Magdeburg.

Diese neue Zeitschrift erscheint in monatlichen Heften von 16 bis 24 Seiten. Sie hat sich zur Aufgabe gemacht „die Interessen aller derer zu fördern, die direct eder indirect mit der Praxis der Physik in Verbindung stehen." Die darin enthaltenen Aufsätze sind vorwiegend dem physikalischen Unterrichte, namentlich den Demon- strationsexperimenten, gewidmet, doch finden auch Mitteilungen über Versuche, Apparate und deren Verbesserungen ohne diese Beziehung Platz. Ausser den Aufsätzen enthält jedes Heft Litteraturanzeigen, Inhaltsverzeichnisse und Besprechung von Büchern, Vereinsnach- richten, Fragen und Correspondenzen. H.

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Litterarischer Bericht XXVI.

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Vermischte Schriften.

The Journal of the College of Science, Imperial University, Japan. Vol. L part. IV. Vol. II. part. L IL Ul Tokyo 1887. 1888. Published by tho university.

Die ersten 2 Hefte geben Fortsetzungen der im 21. litt. Bericht S. 13. aufgeführten Untersuchungen des Prof. Seikei Sekiya Ober Erdbeben. Die Arbeiten sind betitelt:

Ein Modell, welches die Bewegung eines Erdteilchens während eines Erdbebens zeigt.

Erdbebenmessungen der letzten Jahre besonders bezüglich auf verticale Bewegung.

Der erstem ist das vom Seismographen-Apparat gezeichnete dreifache Diagramm der verticalen, westöstlichen und südnördlichen Bewegung beigefügt.

Ausserdem enthält das letztgenannte Heft die deutsche Arbeit:

R. Fuisawa: Ueber die Darstellbarkeit willkürlicher Functio- nen durch Reihen, die nach den Wurzeln einer transcendenten Glei- chung fortschreiten.

C. G. Knott und A. Tunakadate: Eine magnetische Unter- suchung von ganz Japan.

Die übrigen Artikel handeln von Japans Landesproducten.

H.

Proceedings of the Canadian Institute. Toronto. Being a con- tinuation of the „Canadian Journal" of Science, Litterature and ffistory. Third series. Vol. V. Toronto 1888. The Copp. Clark. Compagny Limited.

Der 5. Band enthält in 2 Heften folgende mathematische und physikalische Arbeiten.

C. Fessenden: Ein neuer Planimeter.

Rosebrugh: Doppelte Telephonio.

J. Ives: Geologie in den öffentlichen Schulen H.

Aunual report of the Board of Regents of the Smithsonian In- stitution, showiug the Operations, expenditures and conditions of the Institution for the year 1884. 1885. Washington.

Jeder von beiden Jahrgängen enthält einen Bericht von George F. Bark er über die Fortschritte der Physik nach europäischen Zeitschriften. H.

Verlag von B. F. Voigt in Weimar. Lehrbach der

Optik.

Dritte Auflage

von Dr. F. W. Barfuss' „Populäres Lehrbuch der Optik, Katoptrik und Dioptrik",

vollständig neu bearbeitet von

Ferdinand Meisel,

Direktor der gewerblichen Zeichenuchule in Halle ». S.

Mit Atlas von 17 Foliotafelu. 1889. gr. 8. Geh. 12 Mark. Vorrätig In allen Buchhandlungen.

In unserem Verlage erschien;

Inhaltsverzeichniss

zu

Teil LV— LXX

dos

Archiv der Mathematik and Physik.

I. Abt., nach den Autoren geordnet.

II. „ nach der Materie geordnet.

Geh. Preis 1 Mk. 80 Pf. Leipzig. C, A. Koch's Verlagsbuchhandlung.

(J, Sengbusch.)

Naturwissenschaftliche Wochenschrift".

Redaktion: Dr. II. Potonie\ — Verlag: Hermann Kiemann, Berlin.

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Literarischer Bericht XXV21.

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Litterarischer Bericht

XXVII.

Methode und Principien.

Das Problem ;der Continuität in Mathematik und Mechanik. Historische und systematische Beiträge von Dr. Ferdinand Au- gust Müller, Privatdocent der Philosophie an der Universität Giessen. Marburg 1886. N. G. Elvert. 123 S.

Sofern das Vorliegende der Geschichte der Mathematik, einschl. der Mechanik, gilt, erstreckt sich dieee auf die Autoren Descärtes, Leibniz, Huyghens, Cavalleri, Kant uud Robert Mayer. Wissenschaft- liche Objecte der Schrift sind factisch drei: die Stetigkeit und das Unveränderliche in der Substanz und in der Kraft. Angeblich ist nur die Stetigkeit zum Gegenstande genommen: die Zuziehung der zwei andern Objecte motivirt sich zunächst durch den Gedankengang von Descärtes und Leibniz, in welchen eine unklare BegrifFsraischuug einspielt Aber der Verfasser erklärt sie sogar sachlich für unum- gänglich, und dies vermag am allerweuigstens der fernere Gang der Schrift selbst darzutun, der als reiner Abschweif erscheint In der Tat betrachten wir fast nie eine Veränderung ohne eine Snbstanz, die sich verändert, und wenn keine solche bekannt ist, so legt die Sprache eine passende unter. Die Unveränderlichkeit der Substanz mag also zur Auffassung der Veränderung notwendig oder doch eine Hülfe sein. Was hat aber die Existenz eines Constanten mit der Stetigkeitsfrage zu tun? Wenn wir uns an die Schrift halten, so wird nur erwähnt, dass Leibniz eine Zeitlang das Wesen der Stetig- keit im Fortbestehen der Substanz gesucht hat; sonst kommt keine Beziehung beider Begriffe vor, und auch jenem Versuche schreibt der Verfasser keine Fruchtbarkeit zu. Ueberlassen wir es indes dem Verfasser, ob er von einem oder von drei Dingen sprechen will.

Anh. 4. M»th. n. Phje. 2. Reihe, TeU VII. 3

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Literarischer Bericht XXV 11.

Charakteristisch für das Ganze ist: auf dem Titel steht „Problem der Continuität", und nirgends ist ein Problem kenntlich gemacht. Was ist gegeben? was gesucht? ist es noch Problem, oder eine Lö- sung bekannt? glaubt der Verfasser eine Lösung gefunden zu haben, und wo steht diese? Von allem dem ist kein Wort zu lesen. Ver- sucht man aus dem Zusammenhange zu erraten, was der Verfasser mit dem Problem gemeint hat, so spricht alles nur dafür, dass er sich selbst darüber keine Rechenschaft gegeben hat. Als Erschei- nung gegeben ist offenbar die Stetigkeit der Bewegung. In der Tat legt auch die Schrift die Stetigkeit dem Räume und der Zeit bei, aber ohue sich zu erklären, ob sie damit ein Gegebenes oder ein Resultat bezeichnen will. Gesucht kaun sein der exacto Begriff uud der brauchbaure, wissenschaftlich erfolgreiche analytische Ausdruck. Diese sind Problem gewesen, und manche verfehlte Lösungsversuche damit aufgestellt worden; heutzutage sind sie es nicht mehr. Der Verfasser lehnt es ab auf die Theorie einzugehen, was ihm offenbar gestattet ist; wäre nur in seiner Darstellung des historischeu Ent- wickelungsganges eine Annäherung an das erreichte Ziel zu erken- nen. Der erste Teil der Geschichte ist wol das Beste im Buche: hierin ist wirkliche Arbeit zu erkennen; namentlich ist die Auslese aus den Schriften von Leibuiz, ihre Zusammenstellung mit Stellcu aus den übrigen geuanuten Autoren, ihre Auffassuug von Seiten des Verfassers gemäss seinem Themata iustruetiv und zeugt von Fleiss. Dass er in der Geschichte nicht weiter zurück gegangen ist, wird ihm wol niemand zum Vorwurf machen und brauchte er nicht in der Vorrede zu motiviren. Dass er aber, nachdem er erklärt hat, Leibniz habe das Problem nicht zu lösen vermocht, von dessen Zeit- genossen Newtou ganz schweigt, dessen Fluxionstheorie doch gewiss dem Ziele näher kommt, als die Monadenlehre des erstem, ist auf- fallig genug. Der Verfasser schliesst vielmehr den ersten Teil der Geschichte hier auf dem Puukte des Miserfolgs ab und eröffnet den zweiten Teil mit der neuen Aera, in welcher Kant die Frage von höherem Gesichtspunkte angegriffen habe. Auch diesem zweiten Teile müssen wir eine Leistung zuerkennen, nur ist es die umge- kehrte. Wenn er die formale Logik uud Metaphysik in ihrer Dürf- tigkeit, Schalheit und Hohlheit, dazu in ihrem Hochmut, der sie als Quelle aller wissenschaftlichen Entdeckungen weit über die speciellere Untersuchung stellt, vor Augen führen wollte, so ist die Abfassung gelungen zu nennen. Die Satyre wird durch die begleitende Lobprei- sung der Metaphysik, durch Hervorhebung der Bescheidenheit Kaut's, der auch der spcciellen Arbeit, mit der er sich nicht befassen wolle, Verdienst zuerkennt (!), noch verschönert. Ihre Wirkung hätte nur noch erhöht werden können, wenn er die Caricatur etwas gemildert und auf plausibele Weise aus dem Schema: „Quantität: Allgemeine,

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Literarischer Bericht XX VII.

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Besondere, Einzelne — Qualität: Bejahende, Verneinende, Unend- liche — Urteile" Sätzo über Stetigkeit und Infinitesimalrechnung hervorgeleitet hätte. Er zieht nur daraus das Schema: 1, a, ao, uud damit ist Stetigkeit und Unendlichkeit abgetan. Dagegen sticht doch die Behauptung, es sei durch Metaphysik ein höherer Stand- punkt erreicht, in zu schroffer Weiso ab. Grösser kann selbst durch dio angefügte Betrachtung übor Mayer's Entdeckung der Aequivalenz von Wärme und Arbeit, die er seiner Neigung zur Metaphysik ver- danken soll, die Caricatur nicht werden. Ob nun dor Verfasser mit oder ohne Absicht eine Satyre geschrieben hat, mag immer noch zweifelhaft bleiben; es gibt Leute genug, welche die Ironie für Wahrheit nehmen, und andere, welche der formalen Logik und Meta- physik alle Ehre erweisen, bloss um damit verschont zu werden, somit ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen , dass er auf beiderlei Leser gerechnet hat. Hoppe.

Was sind und was sollen die Zahlen? Von Richard Dede- kind, Professor an der technischen Hochschule zu Braunschweig. "Atl 6 avttQmnog ag&priTtCu. Braunschweig 188a Friedrich Vieweg u. Sohn. 58 S.

Auf diese Frage gibt der Verfasser im Vorwort die Antwort: „Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter uud schärfer aufzufassen." Dieser Satz ist ziemlich unbestimmt und cbarakterisirt nicht sichtlich das Folgende; er sei daher ohne Ein- wand übergangen. In näherer Beziehung zur Schrift steht die Aus- sage: „Diese Schrift kann Jeder verstehen, welcher das besitzt, was man gesunden Menschenverstand nennt" In der Tat zeichnet sich die Abfassung, bis auf wenige, aber sehr bedeutungsvolle Ausnah- men, durch bewundernswerte Umsicht und Schärfe aus; mit äussor- stem Fleisso ist für den Leser gesorgt, dass er nichts znr Auffassung nötige vermissen soll; andrerseits ist auch Kunst und Umsicht dazu verwandt, die Namen der noch zu erklärenden Begriffe zu meiden; während doch der Leser jenen Begriffen beständig begognet und sie zur Auffassung nicht entbehren kann. Hiermit mag soviel erreicht sein, dass jeder Leser auf den ersten 10 Seiten dem Vortrage leicht folgt und die Meinung gewinnt alles verstanden zu haben. Weiter- hin wird es ihm nicht so leicht gemacht; er befindet sich in der Lage eines Wanderers, dem der Führer lange auf ebener Strasse mit der Laterne vorgeleuchtet hat, nun aber, wo der zerklüftete Weg kommt, bei Annäherung an die gefährlichen Stellen die Laterne auslöscht. Die Abhängigkeit einmal definirter und fremdartig be-

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30 Literarischer Bericht XXV1L

nannter relativer Begriffe wird nicht mehr ausgesprochen, man mnss beständig, um einen Sinn zu finden, die Citate vergleichen, und schliesslich bleibt nach vielem Hinundherseheu allerhand zweifel- haft. Was der Verfasser im Vorwort an Widerwärtigem einräumt, ist dagegen unerheblich und trifft nicht einmal zu. Er sagt, man- cher Leser wurde in den vorgeführten schattenhaften Gestalten kaum seine Zahlen wieder erkennen, Im Gegenteil würde man die ge- gebenen leeren Rahmen, um doch etwas dabei zu denken, kaum an- dors auszufüllen wissen als durch die bekannten Zahlen. Ferner sagt er, mancher Leser würde durch die lange Reihe von Schlüssen und durch die Zergliederung dessen, was er in der Kürze vollständig nnd sicher zu verstehen glaubt, abgeschreckt und ungeduldig wer- den. Hierzu ist die Abfassung nicht angetan. Die geschickte und sichere Handhabung, der durchschauliche Fortschritt bei beständiger Offenherzigkeit üben einen dauernden Reiz, der Ungeduld nicht auf- kommen lässt, und erweckt Hoffnung neue Seiten des bekannten Gegenstands kennen zu lernen. Erst nach Durchlcsung uud Durch- studiren des Ganzen wird man leider gewahr, dass man in dem schönen Aufbau kein neues Licht über die Zahlen gewonnen hat, sondern nur durch eine geistige Gymnastik unterhalten worden ist, die mitunter auch zu Falle bringen kann.

Nach dieser Schilderung des Eindrucks der Schrift wenden wir uns zur Prüfung des Einzelnen. Um der Natur der hier gebrauchten Methode willen ist Folgendes im voraus zu bemerken. Es leuchtet ein und hat wol noch niemand zu bestreiten versucht, dass Bedin- gungen einen Begriff nur dann zu bestimmen vermögen, wenn der positive Inhalt als bekannt vorausgesetzt werden kann. Sie be- grenzen stets nur Bekanntes gegen Bekanntes. Die Kreisfläche würde durch den Kreis nicht bestimmt werden, wenn der Begriff der Ebene unbekannt wäre. Auch Beispiele zum Beleg der Existenz des posi- tiven Inhalts können den Mangel nicht ersetzen. Dies berücksich- tigt der Verfasser im Anfang, indem er zur Erläuterung des Be- griffes eines Systems vorher an die „Dinge" erinnert, die zum Sy- steme zusammengefaßt werden. Es fragt sich aber: Ist hiermit der ganze Inhalt kund getan? Zunächst wird man an vorliegende Dinge von fester Anzahl denken, und an andre wird auch nicht erinnert. Doch ist auch der Sinn von Systemen «„ a,, . . . a„ für allgemeines n bekannt und mit keinem Worte ausgeschlossen. Lässt man aber einmal zu, dass nicht die Dinge, sondern nur das Gesetz ihrer Bil- dung gegeben sind, so kann man auch die Gesamtheit aller Punkte auf einer Linie, Fläche u. s. w , die keine Anzahl haben, ein System nennen, und nichts gibt Gewähr, dass der Verfasser den Begriff nicht auf Ungedachtes und Undenkbares anwendet. Hieraus ist er-

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LÜterarücher Bericht XXV1L

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sichtlich, dass der Begriff „System", wofern er nicht ausdrücklich auf auszählbare Dinge beschränkt wird, diejenige Bestimmtheit ent- behrt, welche der Basis einer streng logischen Theorie zukommen muss, dass der Zahlbegriff schon zugrunde liegt, wenn der System- begriff zur Klarheit gelangt, dass es also eine didaktische Verkehrt- heit ist, jenen aus diesem ableiten zu wollen. Bis §. 3. und viel- leicht noch weiter steht nichts entgegen die genannte Beschränkung festzuhalten. Es folgt eine Reihe von Erklärungen, Sätzen und Be- weisen. „Abbildung" hat die gewöhnliche Bedeutung. „Echter Teil eines Systems" heisst ein solcher, der dem ganzen nicht gleich ist, während „Teil" selbst das genannt wird, was man als echten Teil nicht zu denken weiss. „Aehnlich" heisst hier eine eindeutig um- kehrbare Abbildung, was sich aus keiner bekannten Bedeutung des Wortes entnehmen lässt. „Abbildung" in sich selbst" ist gleich- bedeutend mit Permutation. Soweit und nicht weiter wird eine ge- wöhnliche Fassungsgabe beansprucht. Jetzt wird die Erklärung ge- geben: „AT heisst eine Kette, wenn K' Teil von K ist" — mit der Bemerkung, dass durch vorher bestimmte Abbildung (bezeichnet durch Function q>) K in K' übergegangen zu denken ist. Diese Bemerkung zeigt die erste Relativität des Begriffs an, die jedoch bei dessen Anwendung nie ausgesprochen wird. Ihr zufolge stellt sich nun die Frage ein: Wie können dann irgend 2 Systeme K und Kt Ketten sein ? In der Analysis ist durch <p(z) auch q>(y) definirt. Im Vorliegenden hingegen, wo nur an tabellarisch gegebene Abbildungen gedacht wird, hat dasselbe <p für verschiedene m keinen Sinn. Wäre also die Eigenschaft der Kette nur von tp abhängig, so müsste JT, Teil von K sein. Aus dem Zusammenhange ist zu ersehen, dass K Teil eines Systems S sein soll; dann sind alle Ketten als Teile von S zweitens von S abhängig, und wenn etwa, was gestattet ist, S die ganze Welt bedeutet, so muss eine Tabelle der Abbildungen q> so lang, dass kein Buch sie fasst, bekannt sein, um nur bezüglich auf ein spe- ciclles <p eine beliebige Kette zu denken. Diese zweite Relativität ist gar nicht ausgesprochen. Hierzu kommt nun eine dritte durch eine Einführung. Kette von A, einem Toile von £, heisst „die Ge- meinheit aller derjenigen Ketten, von welchen A Teil ist" Eino solche Lehre, meint also der Verfasser, könne Jeder verstehen, der gesunden Menschenverstand besitzt Eher wäre es begreiflich, dass jemand, der mit so complicirten Begriffen von dreifacher Relativität operirt, sich vor jeder Controle sicher glauben könnte. Der bald folgende zu rügende Fehler indes verbirgt sich nicht hinter diese Schwierigkeit, sondern stellt sich ganz offen dar. In Nr. 64. wird erklärt: „Ein System S heisst unendlich, wenn es einem echten Teile seiner selbst ähnlich ist.*' Bedingung dafür ist, dass in irgend einer Abbildung S ' jedem verschiedenen Elemente von S ein verschie-

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LitUraritcker Bericht XXV II

denes Element von 8' entspricht, dass ferner jedes Element von Sf in 5, aber nicht jedes Element von S in S' enthalten ist. Dies ist ein offenbarer Widerspruch, wofern wir an der oben geuauuten Be- schränkung des Systembegriffs, unter der allein er durch Aufweisung seines Inhalts klar ist, festhalten. Dem entgegen wird nun in Nr. 66. die Behauptung aufgestellt: „Es gibt unendliche Systeme." Der an- gebliche Beweis verlässt gleich von Anfaug den objectiven Boden, der für Evidenz, für einen zwingenden Beweis, stets gefordert wird. S soll „meine" Gedankenwelt, <iie Abbildung S' „mein" Denken der- selben Gedanken sein. Nun ist aber die Gedankenwelt eines Men- schen nur zumteil objectiv, d. h. lasst sich von allen Menschen in identischem Sinne auffassen. Nur soweit dies der Fall ist, kann von exaeter Uebertragung der Gedanken vom Verfasser auf den Leser die Rede seiu. Der übrige Teil ist zur Zeit ein auf das Subject beschränktes psychisches Phänomen, das für deu Leser keine in- tellectuolle Geltung hat Mehr als irgendwo tritt dies in der ent- scheidenden Frage hervor: Enthält S eiu Element, das in S' nicht enthalten ist? Als Beispiel — und wir müssen betouen, als einziges Beispiel im ganzen Buche, mit dem alles steht uud fällt — führt der Verfasser an: das Ich. Dieses als Original aller Gedanken des Ich steckt freilich nicht in S', aber auch nicht identisch im S des Lesers, beidos aus gleichem Gruude, weil es kein Gegenstand soin kann. Ein Beispiel, das für alle Menschen in gleichem Siune gälte, ist nicht aufgewiesen, demnach bleibt die Behauptung (66.) unbe- gründet. Jetzt kann es sich noch um die Anwendung des Satzes 66. handeln, da diese noch immer richtig und anderweit begründet sein könnte. Es wird erklärt: „Ein System N heisst einfach unendlich, wenn es eine solche ähnliche Abbildung <p von iV in sich selbst gibt, dass N als Kette eines Elements erscheint, wel- ches nicht in q>(N) enthalten ist." Dieses Element wird mit dem Symbol 1 bezeichnet; die vorstehende Erklärung soll also den Be- griff der Einheit definiren. Es folgt der Satz: „In jedem unend- lichen Systeme «S ist eiu einfach unendliches System N als Teil ent- halten." Der Beweis stützt sich auf Nr. 64. zum Nachweis der Exi- stenz des Elements 1, sofern die Eigenschaft von S zur Voraus- setzung gemacht ist. Ist aber die Eigenschaft widersinnig, so ist es auch die Behauptung, und zwischen Unsinn und Unsinn einen strengen Zusammenhang zu statuiren ist ein logischer Fehler. Es war des- halb doch nötig sich auch auf Satz 66. zu berufen, der noch unbe- wiesen ist. Auch mit dieser Widerlegung wollen wir uns nicht be- gnügen; die Erkläruug gibt an die Hand zu versuchen, ob die Ein- heit, also ein objectives Element, im Beweise des Satzes 66. als Beispiel gebraucht werden könnte. Die uneudliche Zahlenreihe 1, 2, 3, ... sei das System 5, jedes Element werde durch Additiou

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von 1 abgebildet, es sei also S' das System 2, 3, 4 ... Ersteres enthalt alle Zahlen, mithin das ganze System 84\ letzterem fehlt das Element 1, und damit ist die Bedingung erfüllt. Der Trugschluss ist ein sehr bekannter und oft gerügter. Dor Begrift des Systems ist nur für fertig vorliegende Objecto erklärt, die unendliche Zahlen- reihe aber liegt nicht fertig vor, im erklärten Sinne gibt es also kein solches System. Wollen wir den Begriff nach Bedarf erweitern, so müssen wir, um die Gesamtheit der Elemente cinzuschliessen, statt ihrer die Fähigkeit sie zu bilden setzen. Bilden wir die Elemente und zugleich ihre Abbildung, so entspricht jedem n ein n-f-1 in welches in S nicht enthalten ist, und zwar ohne Aufhören, folglich allgemein, d. h. allgemein, S' ist nicht Teil von S.

Auf deu übrigen Teil der Schrift , welcher von einigen arith- metischen Operationen bandelt, einzugehen, möchte wol, nachdem die Basis als fehlerhaft nachgewiesen ist, zwecklos sein. Was der Verfasser mit dem Ganzen hat erreichen wollen, bleibt durchaus dunkel. Hoppe.

Die Eigenschaften der Materie. Von P. G. Tait, M A. Pro- fessor der Physik an der Universität in Edinburgh. Autorisirtc Uebersetzung von G. Sichert. Wien 1888. A. Pichler's Witwe u. Sohn. 322 S.

Das Buch gibt eine populäre Erläuterung von Fragen, welche die Materie und ihre Eigenschaften betreffen, sucht Vorurteile, die in minder gebildeten Kreisen herrschen, zu berichtigen und nach gegenwatig erreichtem Standpunkt die grösst mögliche Klarheit zu verbreiten. Die vielteiligen hier behandelten Themata sind unter folgende Titel zusammengefasst: Hypothesen über die letzte Structur der Materie, durch den Sprachgebrauch der Materie beigelegte Eigen- schaften, Zeit und Raum, Undurchdringlichkeit, Porosität und Teil- barkeit, Trägheit, Beweglichkeit und Centrifugalkraft, Gravitation, Deformabi] ität und Elasticität, Zusammendrückbarkeit der Gase, Flüssigkeiten, fester Körper und deren Starrheit, Cohäsion und Capillarität, Diffusion, Osmose, Transpiration, Zähigkeit u. s. w., Aggregation der Massenteilchen. In den meisten hieran geknüpften Fragen ist der heutige Standpunkt der Wissenschaft noch weit von seinem Ziele entfernt. Ist es nun überhaupt geboten, Lehren der Wissenschaft einem Laienpublicum erst dann mitzuteilen, wenn sie gesichert und unbestritten sind, so begegnet auch der Versuch einer Darstellung unfertiger Lehren grossen Schwierigkeiten, sobald etwas ganzes und instruetives geliefert werden soll. Im Vorliegenden ist Deduction ganz ausgeschlossen, Kritik nur in sehr geringem Masse

34 Litterarucher Bericht XXV1L

vorhanden; daher konnten bei Verschiednheit der Ansichten nur Meinungen unbegründet gegenübergestellt werden. (Mehr Begründung findet man, namentlich in den 4 Anhängen, wo der Verfasser andere Autoren reden lässt) Bei dieser Sachlage, wo der grössto Teil des Vorgetragenen noch Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchung ist, können wir uns indes nicht darauf beschränken die Schrift als ein- fache Belehrung für Laien anzusehen; das Hauptinteresse fällt viel- mehr der Cuarakterisirung des Standpunktes jeuer Untersuchungen zu. Die Schrift macht deu Eindruck ungemeiner Klarheit, reifer Ueberlegung und Freiheit von Vorurteilen. Um so mehr fallen zwei Punkte dos Gegenteils auf. Beide weisen auf eine gemeinsame Quelle in einem populären Vorurteil und Mangel an Ueberlegung hin. In der Tat findet man nirgends die Frage erörtert, was natur- wissenschaftliche Erklärung heisst, und was ihr Ziel ist. Dass der Verfasser sie auch sich selbst nie vorgelegt hat, darauf deuten seine Aeusserungen wenigstens hin. Als ob ihm die Antwort unbekannt wäre: Erklärung beobachteter Vorgänge heisst die Aufweisung un- abänderlicher Gesetze, aus deuen sie notwendig folgen; ihr Ziel ist grösstmögliche Einfachheit und geringst mögliche Anzahl der Ge- setze; für Unveränderliches hat Erkläruug keiueu Sinn - adopürt er naiverweisc die roheste Auffassung, der man wol unter Unkun- digen oft begegnet, welche in der Erklärung nur Zurückführung auf bekannte Begriffe uud Vorstellungen suchen. Zuerst ist auffällig, dass or im Gegensatz zur Euergie , welche vollkommen objectiv sei, im Begriffe der Kraft eine gewisse Subjectivität fiudet, sofern ihm nichts wirkliches zugrunde liege als die auimalische Kraft Es ver- hält sich vielmehr umgekehrt: im Begriffe der kinetischen Energie ist eine absolute Geschwindigkeit onthalten, die weder in der Be- obachtung noch in der Idee existirt, und wenn man sie durch rela- tive Geschwindigkeit ersetzen will, so sind nicht einmal die Diffe- renzen der den verschiedenen Auffassungen entsprechenden Werte der Energie coustaut Demnach ist die Objectivität des Energie- begriffs eino sehr mangelhafte Dagegen ist im mechanischen Be- griffe der Kraft nichts unbestimmbares enthalten: die nicht definir- barc Constante der Translation ist eliminirt, die Rotation gerade durch Kraftwirkung bestimmbar. Jene Aeusserung zeigt, dass der Verfasser den Begriff der Kraft nur dadurch uud nur soweit für er- klärt hält, als sich etwas analoges im Bewusstsein des Unkundigen vorfindet. Ob sich jemand den abstracten Gedanken der mechani- schen Kraft unter dem Bilde der analogen animalischen Kraft ver- gegenwärtigen und sich denken will, der Dampf im Kessel fühle sich durch die Menge beengt und drücke im Streben nach Erwei- terung auf die Wände, trägt zur Klarheit des Begriffs nichts bei, denn das Substituirte ist nicht einfacher als die Erscheinung. Was

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Litter arisch er Bericht XXV11.

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auf den wissenschaftlichen Begriff übergegangen ist, ist bloss der der Name. Jene kurz vorübergehende Aenssernng steht indes nicht allein. Sehr ausführlich wird die Wirkung in die Ferne besprochen. In der Einleitung wird behauptet, dass heutzutage nur Wenige eine räumlich und zeitlich unvermittelte Fernwirkung annehmen. Hier hat wahrscheinlich der Verfasser alle diejenigen nicht mitgezählt, welche die Frage als längst erledigt mit keinem Worte mehr berühren. Das Newton'sche Attractionsgesetz besteht im Einklang mit allen Er- scheinungen unveränderlich, und niemand denkt daran es zu verein- fachen; daher hat Erklärung der Fernwirkung keinen Sinn, sondern nur Erklärung durch Fernwirkung als letzte Ursache. Dagegen hat die Fern wirkuug kein Analogem im gemeinen Leben: wer auf einen Gegenstand einwirken will, muss ihn mit Arm, Stange, Draht oder durch Wurf (Lichtstrahl u. s. w.) orreichen. Auf dieses vulgäre Bedürfniss eines Analogous reducirt sich also das Desideratum so zahlreicher Grübler, welche die Fernwirkung durch Stösse vermitteln wollen und diese Einfügung des Complicirtesten und selbst Erklä- rungsbedürftigsten statt der einfachen Attraction für Erklärung aus- geben. Der Verfasser constatirt selbst, dass bis jetzt kein Erfolg davon gewonnen ist. Sein eigenes Urteil findet sich nicht ausge- sprochen, doch begünstigt er durchweg jene Grübeleien. Er führt an, dass Newton auf Anfrage die unvermittelte Fernwirkung eine Absurdität genannt hat, verschweigt aber, wie Newton zu dieser un- überlegten Antwort gedrängt worden ist, ferner dass er später die Erklärung der Gravitation als secundäro Frage bezeichnet, noch später es definitiv ausgesprochen hat, dass die Attraction als causa simplicissima keine Frage übrig lässt. — Die im Vorstehenden be- richtigten Vorurteile haben ausschliesslich Beziehung zu den Aus- führungen, zu denen sie den Anlass gegeben haben. Obgleich sie als Fragen fundamentaler Natur auftreten, ist doch in der ganzen übrigen Schrift nichts darauf gebaut, und würde keine Lücke ent- stehen, wenn die betreffenden Stellen wegfielen — ein Zeichen dass jene Fragen überflüssig sind. Demzufolge bleibt aber auch der Wert des so reichlich dargebotenen instruetiven Stoffes unvermindert durch die ausserhalb stehenden Vorurteile bestehen. Hoppe.

Die Structurformeln. Geschichte, Wesen und Beurtheilung des Werthes derselben. Bearbeitet von R. Bonn. Frankfurt a. 0. 1887. Trowitzsch u. Sohn. 56 S.

Es wird zuerst die Gestaltung der Theorie der organischen Chemie geschichtlich entwickelt, dann an Beispielen der Wert der

36 Btrkto XXY11. |

gewonnenen Structurformeln gezeigt, der darin besteht, dass sie einen Einblick in die chemische Natur der Körper gestatten , und dass durch sie die Isomerion eine befriedigende Erklärung erlangen.

h:

Grandzüge einer neuen Moleculartheorie unter Voraussetzung Einer Materie und Eines Kraftpriucipes. Von 0. Simony, stud. phil. in Wien.

Die Arbeit ist veröffentlicht in Schlömilch*s Zeitschr. für Math, u. Pbys. XVIII. 463 - 510. XIX. 299 — 323 und XX. 1 — 35. Daran schliesst sich noch ein Aufsatz betitelt:

Ueber die Beziehung der mittleren Bewegungsintensität der Atome eiues beliebigen festen Complexes zn dessen absoluter Tem- peratur.

Die hier entwickelten Grundzüge einer neuen Moleculartheorie erstrecken sich nach Aufstellung einer einheitlichen Hypothese auf Berechnung von deren nächsten Consequonzen. durch welche vor- läufig ein noch nicht zu übersehender Raum für Erklärung physi- kalischer Erscheinungen und Gesetze geschaffen wird, ohne diese Erkläruug selbst in Angriff zu nehmen. Es wird angenommen, dass allo Stoffo aus uuveräuderiiehen Atomen bestehen. (Es ist un- wesentlich , dass hier die Atome als homogeue Kugelu gedacht wer- den, deren Volum allein die Masse bestimmt; man kauu dafür auch Puukte mit denselben Massen setzen.) Die Atome verschiedener einfacher Stoffe babeu verschiedene Grösse oder Masse. Die An- ziehung je zweier Atome ist ausgedrückt durch

wo mn m, ihre Massen, r ihren Abstand, « eine Function von m„ bezeichnet. Für sehr grosso r ist, wie man sieht, die Ab- weichung vom Newton'8chen Gesetze unmerklich. Für hinreichend kleine, dann immer kleiner werdende r wird die Anziehung, suc- cessivo wiederholt, negativ. Es ergibt sich also eine Reihe stabiler Gleichgewichtslagen, derart dass der Uebergang aus einer in die fol- gende immer schwieriger wird. Damit ist die Verbindung mehrerer Atome zu Molecülen erklärt, die nur mit Widerstand getrennt wer- den kann. Der erste Artikel untersucht die aus der Störung des Gleichgewichts zwischen 2 verbundenen Atomen folgende Bewegung, der zweite ebenso die des dreiatomigen Molecüls mit Vernachlässi- gung höherer Potenzen der Verschiebung, der dritte dieselbe mit deren Berücksichtigung. H.

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Litterarischer Bericht XX VII.

Elektricität und Magnetismus als kosmotellurische Kräfte. Von Dr. Theodor Höh, Professor der Physik am königl. Lycenm in Bamberg. Wien. Pest Leipzig (1888). A. Hartleben. 264 S. Elektrotechnische Bibliothek. Band XXXVII.

Da die Himmelskörper mechanisch , optisch und thermisch be- kanntermassen auf einander wirken, so liegt die Vermutung nahe, dass auch eine magnetische und elektrische Fernwirkung statt hat. Die vorliegende Schrift fuhrt nun so erschöpfend als möglich die Tatsachen vor, auf welche sich die Erforschung der Beziehung zwischen Sonne, Mond und Erde in dieser Hinsicht stützen kann. Es werden die hierher gehörigen Beobachtungen betreffend Magnetr nadel, Erdmagnetismus, Nordlicht, elektrische Erdstöme, Elektricität der Luft, Elektricitat der Wolken, Ozon, Heleoeufeuer, Blitz und Donner: Verbreitung der Gewitter aus alterer und neuerer Zeit durchgegangen, dann am Schlüsse die Gedanken über die Beein- flussung dieser Erscheinungen durch Sonne und Mond iu allgemeinen Umrissen ausgesprochen. H.

Beweis, dass es eine Quadratur des Kreises giebt, und dass die bisher zur Berechnung des Kreises benutzte Ludolph'sche Zahl etwas zu klein ist. Von G. Kerschbaum, Steuerrath in Coburg. 2. vermehrte und verbesserte Auflage. Coburg 1888. E. Riemann jr. 18 &

Von der 2 tun, obwol ganz veränderten Auflage gilt dasselbe, was schon bei Besprechung der ersten (20. litt Ber. S. 44) gesagt ist: Der Verfasser hat soviel Geschick und Verständniss an den Tag gelegt, dass er wol fähig sein wird seinen Fehler selbst aufzufinden. Die neue Arbeit nimmt auf die vorige keinen Bezug, sie ist länger und beansprucht noch grössere Geduld des Lesers. Hoppe.

Die Quadratur des Zirkels. Sichere Lösung einer bislang als Problem betrachteten wissenschaftlichen Frage. Dargestellt in 3 Zeich- nungen und erläutert von F. W. Lolling, Redacteur. Hamburg 1887. G. Kramer. 15 8.

Diese Schrift, obwol sie sich mit demselben Unsinn wie die vorige (von Kerschbaum) beschäftigt, ist doch das Gegenteil von ihr hinsichtlich der darin kund gegebenen Befähigung des Verfassers. Gleich im Anfang, um nur den ersten Fehler zu nennen, wird ver- langt, eine Tangente an einen Kreis so zu legen, dass sie durch 2 vorher bestimmte Punkte d und e gehe. In der Tat würde die Ge- rade de den Kreis wirklich berühren, wenn die Abstände der Punkte

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Litterarücher Bericht XX VII.

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von den Axen V2 — 1 statt f des Radius wären. Hiernach scheint der Verfasser seine Relationen durch Messung der Figur gefunden zu haben, wobei ihm die kleine Differenz 0,014 entgangen ist Der Fehler des Resultats ist c. 35 mal so gross als bei der Archimedi- schen Zahl. Hoppe.

Die Quadratur der Hyperbel nach einer neuen Methode be- rechnet ?on F. Sarau d a. Graz 1888. Styria. 16 S.

Das Vorliegende ist ein Gemisch von Richtigem, Unbestimmtem und Falschem. Die neue Methode" besteht in der Anwendung von „Analogieschlüssen." Durch Aualogie, wenn sie auf richtiger Auf- fassung beruht, kann man Sätze auffinden, aber nicht beweisen. Hier hingegen ist die Auffassung, der Schluss und das Ergebniss jedesmal unrichtig. Richtig ist allein die Proportionalität der be- liebigen und gleichseitigen Hyperbelfläche, welche nicht erst gefunden ward, sondern schon im anfänglichen Ausatz ausgedrückt lag.

Hoppe.

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Mathematische und physikalische Bibliographie.

XXII.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Clerk e, A. M., Geschichte der Astronomie während des 19. Jahrhunderts. Deutsche Asg. v. H. Maser. Berlin, J. Springer. 10 Mk.

Graf, J. H., Geschichte der Mathematik u. der Naturwissen- schaften in bernischen Landen vom Wiederaufblühen der Wissen- schaften bis in die neuere Zeit. 1. Hft Das XVI. Jahrh. Bern, Wyss. 1 Mk.

Loria, G. , die hauptsächlichsten Theorien der Geometrie in ihrer froheren u. heutigen Entwickelung. In's Deutsche abertragen v. F. Schütte. Leipzig, Teubner. 3 Mk.

Methode und Principlen.

Frerichs, H., die Hypothesen der Physik. Ein Versuch e. einheitl. Darstellung derselben. 2. Afl. Norden, Fischer Nachf. 2 Mk. 50 Pf.

Kerz, F., weitere Ausbildung der Laplace'schen Nebularhypo- theso. Ein Nachtrag. Leipzig, Spamer. 3 Mk.

Lehrbücher.

Lieber, H., n. F. v. Lühmann, Leitfaden der Elementar- Mathematik. 1. Tl. Planimetrie. 6. Afl. Berlin, L. Simion. 1 Mk. 50 Pf.

— , dass. 3. Tl. Ebene Trigonometrie, Stereometrie, Sphäri- sche Trigonometrie. 4. Afl. Ebd. 1 Mk. 25 Pf.

Sammlungen.

Adam, W ., 6500 Aufgaben f. d. Unterricht in der Arithmetik a. Algebra. 1. Tl. Neuruppin, R. Petrenz. 2 Mk.

I

Baur, L., Sammlung v. arithmetischen Aufgaben für Lehrer u. Zöglinge des niederen u. höheren Lehramts. Stuttgart, Stein- kopf. Geb. 2 Mk. 20 Pf.

Daurer, F. s . , Uebungsbuch zum Studium der elementaren Mechanik. Wien, Hölder. 2 Mk. 40 Pf.

Fe tue her, M , Arithmetisches. Auflösungen zu den arithmet. Aufgaben aus den Reallehrer-Prüfungen in Württemberg. Stuttgart, Metzler'sche Buchh., Verl.-Cto. 2 Mk. 30 Pf.

Graefe, F., Aufgaben u. Lehrsätze aus der analytischen Geo- metrie d. Raumes insbesondere der Flächen zweiten Grades. Leipzig, Teubner. 3 Mk.

Hauck, G. , Uebungsstoff f. den praktischen Unterricht in der Projektionslehro (Parallelperspektive, Centralperspektive u. Schatten- lehre.) 1. u. 2. Hft. Berlin, J. Springer, ä 1 Mk.

Hei s, E., Sammlung v. Beispielen u. Aufgaben aus der allge- meinen Arithmetik n. Algebra. 76.-78. Afl. Köln, DuMont-Scbau- berg. 3 Mk.

Heuner 's, J. F., Aufgaben zum Kopf- u. Zifferrechnen m. den Ergebnissen. Hft. C. Für die Oberklasse. 7. Afl. Lehrer-Asg. Ansbach, Seybold. 80 Pf.

— Ergebnisse nebst weiterem Uebungsstoffe zu den Rechnen- Aufgaben u. zwar zum IV. u. V. Schülerhefte. Mittelklasse. 3. Afl. Asg. f. Lehrer. Ebd. 60 Pf.

Hocevar, F., geometrische Uebungsaufgaben f. d. Obergym- nasium. l.Hft Planimetrie u. Stereometrie. Leipzig, Freytag. Geb. 80 Pf.

Kellner, F. W., methodisch geordnete Aufgaben f. das Kopf- rechnen. 1. Hft. 3. Afl. Reval, Klugo's Verl. 1 Mk. 20 Pf.

— methodisch geordnete Aufgaben f. das Tafelrechnen. Ebd.

2. Hft. 6. Afl. 50 Pf.; 6. Hft. 4 Afl. 80 Pf.

Kley er, A., vollständig gelöste Aufgaben-Sammlung aus allen Zweigen der Rechenkunst etc. 444. — 477. Hft. Stuttgart, J. Maier. ä 25 Pf.

Lieb lein' s, J., Sammlung v. Aufgaben aus der algebraischen Analysis zum Selbstunterricht. 2. Afl., hrsg. v. W. Laska. Prag, Neugebauer's Verl. 4 Mk. 50 Pf.

Löbe, M., Sammlung v. Aufgaben aus der Arithmetik. 3. Hft.

3. Afl. Leipzig, Brandstetter. Kart. 80 Pf.

Magnus, K. H. L., Lchrerheft zu F. Heucr's Rechenbuch f. Stadt- u. Landschulen. Zu Asg. A. u. B. 3. Tl. Hannover, Meyer. 1 Mk. 60 Pf.

Matthiessen, L., Uebungsstoff f. den Unterricht in der Arith- metik und Algebra. 2. Afl. Köln, Du Mont-Schauberg. 2 Mk.

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Zähringer, H., methodisch geordnete Aufgaben üb. die Ele- mente der Buchstabenrechnung und Gleichungslehrcn. 1. u. 2. Hft. 5. Afl. Von C. Enholz. Zürich, Meyer & Z. 1 Mk. 50 Pf.-, Ant- worten dazu. 3 Mk. 40 Pf.

Tabellen.

Adam, V., Taschenbuch der Logarithmen f. Mittelschulen u. höhere Lehransalten. 15. Afl. Wien, Bermann & A. Geb. 1 Mk. 20 Pf.

Sprecher, A. v., Reductions-Tabellen f. Elektrotechniker zur

Berechnung v. tgu und sin? aus der Skala-Ablesung. Zürich, Schult- hess. 1 Mk.

Arithmetik, Algebra und reine Analysis.

Ameseder,A., üb. die linearen Transformationen d. tetraedalen Complexes in sich. Leipzig, Frey tag. 30 Pf.

Czuber, E., zum Gesetz der grossen Zahlen. Untersuchung der Ziehungsergebnisse der Prager u. Brünner Lotterie vom Stand- punkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prag, Dominicus. 80 Pf.

Frömter, A., Lehrbuch der Grundrechnungsarten. 1. Buch: Das Rechnen m. unbenannten ganzen Zahlen. Stuttgart, J. Maier. 3 Mk.

Hochheim, H., Leitfaden f. den Unterricht in der Arithmetik u. Algebra an höheren Lehranstalten. 1. Hft. 4. Afl. Berlin, Mittler & S. 2 Mk. 80 Pf.

Kley er, A., Lehrbuch der Differentialrechnung. 1. Tl. Die einfache und wiederholte Differentiation explizirter Funktionen v. einer unabbäng. Variablen. 2. Afl. Stuttgart, J. Maier. 5 JAk.

Kuics, K., Lehrbuch der Arithmetik f. Real- und Latein- schulen. 1. Tl. 3. Afl. München, Kellerer. 1 Mk.

Mertens, F., üb. die invarianten Gebilde e. ternären cubischcn Form. Leipzig, Freytag. 1 Mk. 40 Pf.

Neumann, C, über die Methode d. arithmetischen Mittels. 2. Abhandlung. Leipzig, Hirzel. 6 Mk.

Scblömilch, 0., Handbuch der algebraischen Analysis. 6. Afl. 2. Druck. Stuttgart, Frommann's Verl. 9 Mk.

Villi cus, F., Lebr- u. Uebungsbuch der Arithmetik f. Unter- realschulen. 1. Thl. f. die 1. Classe. 9. Afl. Wien, Piehler's Wwe. & S. Geb. 1 Mk. 44 Pf.

Geometrie.

Bohnert, F., Bestimmung e. speciellen periodischen Minimal- fläche, auf welchen unendlich viele gerade Linien u. unendlich viele ebene geodätische Linien liegen. Göttingen, Vandenhoeck & R.

1 Mk. 50 Pf.

Disteli, M.f die Steiner'schen Schliessungsprobleme nach dar- stellend geometrischer Methode. Leipzig, Teubner. 4 Mk.

Fiedler, W., d. darstellende Geometrie in organischer Ver- bindung m. der Geometrie der Lage. 3. Afl. 3. Thl. Die construir. n. analyt. Geometrie der Lage. Leipzig, Teubner. 16 Mk.

Fischer, E., Zeichen-Vorlagen aus dem Gebiete der Stere- otomie. 1. Hft. 6 Blätter Original - Steinschnitt - Aufgaben. Mit erläut. Text. Nürnberg, Korn'sche B. 5 Mk.

Heis, £., n. Th. Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauche an höheren Lehranstalten. 3. Afl. 3. Tl. Ebene u. sphärische Trigonometrie bearb. v. Heis. Köln, Du Mont-Schauberg.

2 Mk. 80 Pf.

Ho^evar, F., Lehrbuch der Geometrie f. Obergymnasien. Leipzig, Freytag. Geb. 2 Mk. 10 Pf.

— Lehr-Uebungsbuch der Geometrie f. Untergymnasien. 2 Afl. Ebd. Geb. 1 Mk. 50 Pf.

Kleyer, A., Lehrbuch der ebenen Elementar-Geometrie (Pla- nimetrie). 1. Tl. Die gerade Linie, der Strahl, die Strecke, die Ebene und die Kreislinie im allgemeinen. Stuttgart, J. Maier.

1 Mk. 80 Pf.

Koitzsch, A., Grundzüge der Raumlehre. Leipzig, Merse- burger. 60 Pf.

Ko estler, H., Leitfaden der ebenen Geometrie. 1. Hft Kon- gruenz. 3. Afl. Halle, Nebert's Verl. Kart. 1 Mk. 25 Pf.

Kröger, M., Leitfaden f. den Geometrie-Unterricht in Mittel- schulen u. gehobenen Volksschulen. 2. Afl. Hamburg, Meissner^ Verl. 1 Mk.

Lie, S., zur Theorie der Berührungstransformationen. Leipzig, Hirzel. 1 Mk.

Michalitschke, A., die archimedische, die hyperbolische n. die logarithmische Spirale. Prag, Härpfer. 3 Mk.

Mo<"nik, F., Ritter v., Geometrie u. geometrisches Zeichnen f. Knaben-Bürgerschulen. 1. — 3. Hft. 6. Afl. Leipzig, Freytag. Geb.

2 Mk. 50 Pf.

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Napravnik, F., Geometrie u. geometrisches Zeichnen f. Knaben- u. Bürgerschulen. 1. Tbl. 7. Afl., 3. Thl. 3. Afl. Wien, Pichler's Wwe. ÄS. ä 76 Pf.

Rottok, Lehrbach der Planimetrie. 3. Afl. Leipzig, Schnitze. 1 Mk. 20 Pf.

— , Lehrbuch der Stereometrie. 3. Afl. Ebd. 1 Mk. 5 Pf. Sehl o milch, 0., Grandzüge e. Wissenschaft! . Darstellung der

Geometrie des Masses. 1. Hft. Planimetrie. 7. Afl. Leipzig, Tcub- ner. 2 Mk.

Spitz, C. , Lehrbuch der ebenen Geometrie. 9. Afl. Leipzig, Wiutcr'sche Verlagsh. 3 Mk.; Anh.: Resultate u. Andeutgn. zu Auflösgn. der Aufgaben enth. 1 Mk.

Steiner, J. , Studien-Blätter. Eine systemat Folge vorge- druckter Annahmen zur graph. DurchfQhrg. grösserer Constructions- Aufgaben aus der darstell. Geometrie. 2. Afl. Durchführungen. Wien, Hölder. 72 Pf.

— dasselbe. Schattenlehre. 2. Afl. Ebd. 72 Pf.

Villi cus, F., Lehrbuch der ebenen Geometrie f. die 2. u. 3. Realclasse. 3. Afl. Wien, Pichler's Wwe. & S. Geb. 1 Mk. 50 Pf.

Yonderlinn, J., Lehrbuch der vorstellenden Geometrie. 1. Buch. Das Projektionszeichnen. 3. — 12. (Scbluss-) Hft. Stutt- gart, J. Maier. ä 25 Pf.

— Lehrbuch des Projektionszeichnens. 1 Tl. Die rechtwink- lige Projektion auf e. u. mehren Projektionsebenen. Ebd. 3 Mk. 50 Pf.

Weidemann, H., Lehrbuch der Planimetrie. Berlin, Deubner. 3 Mk.

Trigonometrie.

Nies, K. , Lehrbuch der ebenen Trigonometrie f. den Schul- gebrauch. Darmstadt, Bergstraesser. 1 Mk. 20 Pf.

Spitz, C, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie. 6. Afl. Leip- zig, Winter'sche Verlagsh. 2 Mk.; Resultate u. Andeutgn. zu Auf- lösgn. der Aufgaben. 1 Mk.

Praktische Geometrie, Geodäsie.

Barfuss, F. W., Handbuch der Feld -Messkunde. 4. Afl. bearb. v. W. Jeep. Weimar, B. F. Voigt. 6 Mk.

Bauernfeind, C. M. v., das bayerische Präcisions-Nivellemcnt. 7. Mitthcilg. München, Franz'scher Verl. 2 Mk. 80 Pf.

Jordan, W., Handbuch der Vermessungskunde. 3. Afl. 2. Bd. Stuttgart, Metzler'sche Buchh., Verl.-Cto. 22 Mk.

Stambach, J. J. , die Planimeter Coradi, ihre Theorie, Con- strnction u. Genauigkeit. Stattgart, Wittwer's Verl. 1 Mk.

Verhandlungen der vom 21. bis zum 29. October 1887 auf der Sternwarte zu Nizza abgehaltenen Gonferenz der permanenten Com- missioii der internationalen Erdmessung, red. v. A. Hirsch. Mit Suppl. Berlin, G. Reimer. 27 Mk.

Mechanik.

Bicler, A., Leitfaden u. Repetitorium der analytischen Mecha- nik. 2. Tl. Analytische Dynamik der feston Körper. Leipzig, Violet 1 Mk. 80 Pf.

Poisson, S.D., Lehrbuch der analytischen Mechanik. Deutsch hrsg. v. A. Pfannstiel. 2. u. 3. Lfg. Dortmund, Meyer, a 2 Mk. 75 Pf.

Technik.

Ayrton, W. E. , Handbuch der praktischen Elektricität Deut- sche Bearbeitung von M. Krieg. Jena, Costenoble. 13 Mk. 50 Pf.; geb. 14 Mk. 50 Pf.

Bibliothek, elektro-technischc. 39. Bd. Materialien f. Kosten- anschläge elektrischer Lichtanlagen. Von E. de Fodor. Wien, Hartleben. 3 Mk ; geb. 4 Mk.

Einer, C, Ob. e. Scintillomoter. Leipzig, Freytag. 16 Pf.

Fortschritte der Elektrotechnik. Vierteljährliche Berichte. Hrsg. v. K. Strecker. 2. Jhg. 1888. 1. Hft. Berlin, J. Springer. 5 Mk.

Fuhrmann, A., Auwendungen der Infinitesimalrechnung in den Naturwissenschaften, im Hochbau u. in der Technik. 1. Tbl. Naturwissenschaftliche Anwendung der Differentialrechnung. Berlin, Ernst & K. 3 Mk.

Maier, J., u. W. H. Preece, das Telephon und dessen prak- tische Verwendung. Stuttgart, Enke. 9 Mk.

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Thompson, S. P., die dynamoelektrischen Maschinen. 3. Afl., übers, v. C. Grawinkel. 1. Hft. Halle, Knapp. 4 Mk.

Optik, Akustik und Elasticität.

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Ernecke, F., 150 optische Versuche zur Veranschaulichung der Grundlehren der Ausbreitung, Spiegelung und Brechung des

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Pabst, C, Leitfaden der theoretischen Optik. Halle, Scbmidt's Verl. 1 Mk. 25 Pf.

Snellen, H., optotypi ad visum determinandum secundam d

formulara v — - . Ed. 9., metrico systemate. (36 Blatt.) Berlin,

Peters. 3 Mk. 50 Pf.

Wislicenus, W. F., Untersuchungen über den absoluten per- sönlichen Fehler bei Durchgangsbeobachtungen. Leipzig, W. Engel- mann. 3 Mk.

Eni- und Himmelskunde.

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Bauschinger, J., üb. die Biegung v. Meridian-Fernrohren. München, Franz'scher Verl. 1 Mk. 50 Pf.

Beobachtungen, meteorologische, in Deutschland v. 25 Stationen II. Ordnung, sowie stündliche Aufzeichnungen v. 3 Normal -Beo- bachtungsstationen der Seewarte und Kaiserslautern, die Stürme nach den Signalstellen der Seewarte. 1886. Jahrg. IX. Hrsg. v. d. Direction der Secwarto. Hamburg, Friederichsen & Co. 13 Mk.

Böhmer, G. H., elektrische Erscheinungen in den „Rocky Mountains". Leipzig, Freytag. 40 Pf.

Br6dichin, Th., sur la grande coraete de 1887. I. Avec note suppleraentaire. Leipzig, Voss' Sort. 60 Pf.

Dziobek, 0., die mathematischen Theorien der Planeten-Be- wegungen. Leipzig, Barth. 9 Mk.

Gerling, Ch. L., die Pothcnoth'sche Aufgabe, in praktischer Beziehung dargestellt. 2. Asg. Marburg, Elwert'sche Verl.-Buchh. 1 Mk. 50 Pf.

Messer, J., Stern- Atlas f. Himmelsbeobachtungen. St Peters- burg, Ricker. Geb. 10 Mk.

Nachrichten, astronomische. Hrsg.: A. Krüger. 120. Bd. (24 Nrn.) Nr. 1. Hamburg, Mauke, prcplt 15 Mk.

Niessl, G. v., Babnbestimmung d. Meteors vom 23. Oktbr. 1887. Leipzig, Freytag. 60 Pf.

Stern-Ephemeriden f. d. Jahr 1890. Berlin, Dümmler's Verl. 6 Mk.

Stern-Karte, drehbare, f. Mittel-Europa. 6. Afl. Frankfurt, Dt sehe. Lehrmittel-Anstalt. Asg. A. 1 Mk. 25 Pf.; Asg. B. Trans- parent. 1 Mk. 60 Pf.; Asg. B. Transparent m. Beleuchtungsapparat. 1 Mk. 85 Pf ; letzterer apart. 35 Pf.

Vertheilung, die, der in beiden Bonner Durchmusterungen ent- haltenen Sterne am Himmel. München, Franz'scher Verl. 2 Mk. 60 Pf.

Vierteljabrsschrift der astronomischen Gesellschaft Hrsg. v. E. Schönfeld u. H. Seeliger. 23. Jhrg. 1888. 1. Hft. Leipzig, W. Engelmann. 2 Mk.

Wittstein, A., ein Beispiel zum Theodor v. Oppolzer'schen Kanon der Finsternisse. Leipzig, Köhler's Antiqu. 10 Mk.

Behse, H. W , Lehrbuch der Physik f. höhere Bürgerschulen, Realschulen u. techn. Lehranstalten. 2. Afl. Weimar, B. F. Voigt. Geb. 3 Mk. 75 Pf.

Bolz, C. H., die Pyrometer. Eine Kritik der bisher construir- ten höheren Temperaturmesser in wisscnscbaftlich-techn. Hinsicht. Gekrönte Preisschrift. Berlin, J. Springer. 3 Mk.

Dubois, Untersuchungen üb. die physiologischen Wirkung der Condensatorenentladungen. Bern, Wyss. 1 Mk. 50 Pf.

Exner, F., Vorlesungen über Elektricitat. Wien, Deuticke's Verl. 14 Mk.

Hoppe, E., die Accumulatoren f. Eloctricitat. Berlin, J. Sprin- ger. 6 Mk.

Jaumann, G., Einfluss rascher Potentialänderungen auf den Erklärungsvorgang. Leipzig, Freytag. 1 Mk. 20 Pf.

Kley er, A. , die elektrischen Erscheinungen und Wirkungen in Theorie u. Praxis. 83. — 90. Hft. Stuttgart, J. Maier. a 25 Pf.

Kohlrausch, F., üb. den absoluten elektrischen Leitungs- widerstand. München, Franz'scher Verl. 3 Mk. 50 Pf.

Lehmann, 0., Molekularphysik m. besond. Berück siebt, mi- kroskop. Untersuchungen und Anleitung zu solchen , sowie ein Anh. üb. mikroskop. Analyse. 1. Bd. Leipzig, W. Engelmann. 22 Mk.; Einbd. 2 Mk.

May, 0., u. A. Krebs, Lehrbuch des Elektromagnetismus. Stuttgart, J. Maier. 4.Mk. 50 Pf.

Physik.

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Netoliczka, E. , Lehrbuch der Physik u. Chemie f. Bürger- schulen. 3 Stufen. Neue Afl. Wien, Pichler*s Wwe. & S. Kart.

2 Mk. 24 Pf.

Recknagel, G., Kompendium der Experimental-Physik. 2. Afl. Kaiserslautern, Tascher. 16 Mk.; geb. 18 Mk.

Schmidt, A., der tägliche Gang der erdmagnetischen Kraft in Wien u. Batavia in seiner Beziehung zum Fleckenzustand der Sonne. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Schulze, L. R. , das Buch der physikalischen Erscheinungen. Nach A. Guillemin f. das Verständniss weiterer Kreise bearb. Neue Asg. Braunschweig, Salle. 10 Mk.; geb. 12 Mk. 50 Pf.

— die physikalischen Kräfte im Dienst der Gewerbe, der Kunst u. der Wissenschaft. Nach A. Guillemin f. das Bedürfniss weiterer Kreise bearb. 2. Afl. Ebd. 13 Mk.; geb. 15 Mk.

Schneide wind, W., üb. die negative Natur organischer Ra- dicale. Göttingen, Yandenhoeck & R. 1 Mk.

Sumpf, K., Grundriss der Physik. Hitdelsheim, Lax. 3 Mk. 20 Pf.

Wallentin, J. G. , Lehrbuch der Physik f. die oberen Classen der Mittelschulen u. verwandter Lehranstalten. 5. Afl. Asg. f. Gym- nasien. 3 Mk. 20 Pf.; Asg f. Realschulen. Wien, Pichler's Wwe. & S. Geb. 3 Mk

Yermisehte Schriften.

Abbandlungen der mathematisch-physikalishen Classe der königl. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften. 14. Bd. Leipzig, Hir- zel. 42 Mk.

Journal f. die reine und angewandte Mathematik. Hrsg. v. L Kronecker. 104. Bd. 1. Hft. Berlin, G. Reimer, prcplt, 12 Mk.

Radzio, die Mathematik u. deren Nutzanwendung im bürger- lichen Leben, insbesondere zur Vorbereitung auf die Prüfung u. s. w. f. Militär-Anwärter, Verkehrskassenbeamte u. s. w. Colbergerm., Pickel. 1 Mk. 30 Pf.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftl. Classe. Abth. IIa. Enth. die Ab- handlungen aus den Gebieten der Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie u. der Mechanik 97. Bd. 5. Hft Leipzig, Froytag.

3 Mk.

— dass. Register XII. Zu den Bdeu. 91 -9G. Ebd. 1 Mk. 40 Pf.

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Litterarischer /Wicht .VA 17//.

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Litterarischer Bericht

xxvm.

Geschichte der Mathematik und Physik.

G erber t. Beiträge zur Kenntnis der Mathematik des Mittel- alters. Von Professor Dr. H. Weissenborn. Mit C Figuren-Tafeln. Berlin 1888. Mayer n. Müller. 251 S.

Uebcr das Betreiben der Mathematik im Mittelalter besitzen wir, wol infolge seiner geringen Fruchtbarkeit, noch so äusserst fragmen- tarische Kenntniss, dass Beitrüge sehr willkommen sein können, namentlich wenn sie auf Herstellung eines annehmbaren Zusammen- hangs gerichtet sind. Letzteres Augenmerk fehlt grossenteils den gegenwärtigen Beitrügen-, sie sind noch in höherem Masse fragmen- tarisch. Der erste Teil der Schrift sucht Entscheidung über die zwei Fragen: ob die Werke Gerbert's, nach Mauuscripten 1807 heraus- gegeben von Olleris, von Gerbcrt selbst verfasst sind, und ob der- selbe seine Lehre von den Arabern oder Römern empfangen habe. Näher liegende Fragen werden mit Stillschweigen übergangen. Nur aus den citirten Angaben von Olleris: „Gerbert, pape sous le nom de Sylvcstrc II." — ersieht der Leser, sofern Sylvester II. im Jahr 1003 Papst war, dass vom 10. Jahrhundert als Zeit seiner Lehr- tätigkeit die Rede ist. Nachdem, in Betriff der erstem Frage, die Gründe dargelegt sind, welche Cautor für die Echtheit von Gerbert's Geometrie anführt, begegnet der Verfasser denselben mit der Kritik einer grosscu Anzahl von Stelleu, welche ihn zu dem Schlüsse führt» dass wol der erste Teil des Werkes und Einiges aus dem zweiten von Gerbert berrühreu mag, der ganze dritte Teil aber höchst wahr- scheinlich ihm fälschlich zugeschrieben worden ist. Sehr eingehend wird nun das Capitcl über Messmethoden und Messiustrumente be- handelt, bezüglich auf Höhen- und Distanz-Messung und Darstellung des Himmelsglobus auf der Ebene, nach Gerbert's Schrift. Man findet darin ein rationales theoretisch - praktisches Zuwerke^ehen,

Arch. d. Math. u. Tbyu. 2. Reihe, Teil VII. 4

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Lüteraritcker Bericht XX VI II.

welches einen cigcucu Standpunkt der Entwickeluug gegenüber den griechischen Methoden charakterisirt. Die goniometrisehen Functio- nen kommen bei diesem Verfahren gar nicht in Frage: denn statt des Kreisquadranten wird zur Wiukclmessung ein Quadrat gesetzt, und die Seite in 12 gleiche Teile geteilt, also statt des Winkels direct dessen Function lang gemessen. Zur Darstellung der Kugelfläche auf der Ebene dient die stenographische Projection. Die vom Ver- fasser erläuterten und interpretirteu Sätze der Schrift geben einen guten Einblick in die damalige Doctrin und den Lehrgaug. Stark contrastirt nun von dieser auf achtbarer Höhe der Entwiekelung stehenden Geometrie die Rechenkunst, die gegen den natürlichen Vorstaud der Wilden sogar im Nachteil sich befindet. Um das Rechen- verfahren zu erklären, sagt der Verfasser, man solle sich jemanden denken, dem es zu schwer sei das Einmaleins bis 10. 10 zu erlernen, und der es etwa bis 5.5 wüsstc. Dann würde er, um grössere Zahlen G bis 9 zu multiplicircu, sich dadurch helfen, dass er die Factoren zu 10 ergäuzte, und müsste so auf das Verfahren kommen, welches hier, nach Gerbcrt, complemoutare Multiplication heisst Der Verfasser ist also wol der Meinung, die Schule habe diese com- plementare Multiplication zugunsten wenig begabter Schüler einge- fühlt. Es kann wol kein Zweifel sein, dass ein Kiud ohne Kenntniss von Zahlzeichen leichter das Einmaleius bis 20.20 auswendig lernt als die complicirto Regel auch nur vorschriftsmässig ausübt,"wie es hier gefordert wird. Verständniss derselben verlangt auch Gerbert nicht; der Schüler soll sich auf „die RegcP berufen. Muss man nun an- nehmen, dass für die Multiplication mit Zahlen > 10, von welcher der Verfasser kein Wort sagt, ähnliche Regeln aufgestellt wurden, so eröffnet sich ein Prospect so zurückschreckend wie er nur sein kaun. Nicht für schwach begabte Anfänger war der Unterricht be- rechnet, sondern einander überbietende Rechenkünstler sollten an- geleitet werden. Die Erkläruug dieser sonderbaren Didaktik bietet sich aber leicht genug dar iu dem Gebrauche der römischen Zahl- zeichen und der Einrichtung des Rcchenbretcs für die Zahlclasseu I, V, X, L, C, D, M. Wir sehen darin ein Roispiel der Herrschaft des schulmeisterlichen Zopfes: die auf die Rechenkunst verwandte Mühe war jedem Gelehrten einmal nötig und spornte jede neue Ge- neration an, die gleiche Leistung an den Tag zu legen, bis es 600 Jahre später dem unermüdlichen Eifer Adam Riese's gelang den Strom zu hemmen und die Einführung des läugst bekannten Ziffer - rechneus in die Schule durchzusetzen. Pas Folgende knüpft nun nicht an die Ausführung der Multiplication, sondern an die durch die Regel gegebene Formel au, findet dariu allgemeine arithmetische Sätze und führt deren Beziehung zu griechischen und arabischen Autoren aus Ist di< sc vergleichende und interpretireude Untcr-

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Litterarischer Bericht XX V III.

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suchung dem Fortgange des Gerbert'schen Textes entsprechend , so scheint derselbe kein geordneter Lehrgang, sondern die Ueberlieferung eines zusammengetragenen Fonds au arithmetischen Kenntnissen der Vorgäugcr zu sein. Nun wird noch ein drittes Thema behandelt: Rechenbret uud Rechuen bei Gerbert. Den Anfang macht eine Stelle in Richerus über dessen mathematischen Uuterricht in Rheims, welche über den Abacus viele Angaben macht, ohne dass daraus irgend eine Vorstellung von dessen Einrichtung und Gebrauche zu entneh- men wäre. Der Verfasser erklärt sie weder, noch erwähnt er irgend eine Frage nach ihrer Erklärung; er geht darüber hiuweg zu ange- knüpften Bemerkungen, zu deren Beurteilung wir nun einmal immer erst fragen müssten: Wie ist auf dem Abacus gerechnet worden ? Aufstellungen darüber von Seiten andrer Autoren stimmen weder unter sich überein, noch lassen sie sich mit den Augaben von Ri- cherus vereinigen. Als bekannt lässt sich also die Einrichtung nicht betrachten. Zuerst bemerkt der Verfasser, dass der Abacus auch geometrische Anwendung gehabt hat: er ist mit Sand bestreut, und Figuren darauf gezeichnet worden; diese werden mit den figurirten Zahlen in Verbindung gebracht. Dass aber deren Zeichuuug mit dem Rechnen auf dem Abacus iu irgend eiuer Beziehung gestanden habe, ist schwerlich zu ersehen. Am Schlüsse des Gauzeu verspricht der Verfasser, „ein Bild der Mathematik des Mittelalters, wenn auch nur in allgemeinen Umrissen uud in groben Zügen, zu entwerfen". Statt der allgemeinen Umrisse findet mau jedoch wieder nur Einzel- heiten. Als Vorarbeit mögen die vorliegenden Beiträge viel Nütz- liches enthalten; zu definitivem Resultate würde jedenfalls erst cino neue Arbeit erforderlich sein. Hoppe.

Joachim Jungius. Festrede zur Feier seines dreihundertsteu Geburtstages am 22. Oktober 1887 im Auftrage der Hamburger Oberschul be hörde gehalten von Dr. Emil Wohl will. Mit Beiträgen zu Jungius' Biographie uud zur Kenntnis seines handschriftlichen Nachlasses. Hamburg und Leipzig 1888. Leopold Voss. 85 S.

Die Rede charakterisirt in lebensvoller Weise die das Wieder- aufleben der Wissenschaften anbahnende Lehrtätigkeit des Jungius, anbahnend durch Bokämpfung der unumschränkten Autorität des Aristoteles in Betreff der Naturerkenntniss. An biographischen An- gaben kommen in der Rede folgende vor. Joach. Jungius, geboren in Lübeck den 22. Oct. 1587, ward 1609 Professor der Mathematik und Logik in Giessen, gab später diese Stellung auf, erwarb in Padua den medicinischen Doctorgrad, kehrto in die Heimat zurück, gründeto 1622 die erste naturwissenschaftliche Vereinigung, genannt die ereu- ik tische Gesellschaft, ward 1624 Professor der Mathematik iu Rostock,

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LUterarücktr Bericht XXVJ1L

1625 Professor der Medicin in Helmstädt, erhielt 1626 erstere Stel- lung zum zwoitenmale , und ward den 19, Mörz 1629 Reetor der classischen Schule uud zugleich des Gymnasiums in Hamburg-, von 1640 an bis zu seinem Tode 1657 blieb er Rector des Gymnasiums allein. Seiu Vorganger in Hamburg war Petrus Lauremberg, der noch ganz der alten aprioristischen Naturlehre anhieng, welcher Jungius entgegentreten musstc. Seine schriftstellerische Tätigkeit uud seine eingehenden äusserst vielseitigen naturwissenschaftlichen Forschungen beginnen mit 1622. Seine Werke, obwol im ganzen von sehr grossem Umfange, sind in kleinen Heften als Manuscript in Hamburg auf- bewahrt. Es wird nicht erwähnt, dass irgend welcho dieser Arbeiten im Druck erschienen seien. Daher konnte es kommen, dass ein grosser Teil derselben in der Feuersbrunst zugrunde gieng Auch sind sie infolge davon, sowie auch der Kriegszeiten , dem Publicum ziemlich unbekannt geblieben, während die grössten Gelehrten jener Zeit sie mit Ehren hervorhoben. Der Rede sind einige ergänzende Notizen am Sehluss beigelügt Eine Biographie besitzen wir seit 1850 von G. E. Guhrauer unter dem Titel ,. Joachim Jungius und sein Zeitalter". So wertvoll diese auch ist, wird doch eine neue Bearbei- tung für notwendig erachtet, weil der Verfasser dem naturwissen- schaftlichen Fache nicht angehört. Hierzu liefert ein Auhang der gegenwärtigen Schrift Vorarbeiten. H.

Bouwstoflen voor do geschiedenis der wis- en natuurkundige wetenschappeu in de Nederlanden. Door D. Bierens de Haan. Twcede verzanieling. Overgcdrukt uit de Verslagen en Mededcelingen der Kon. Akademie \au Wetenschappeu. Af d. Natuurk. 2" Recks, Deel XIV, XVI, XVIII, XIX en XX, 8« Recks, Deel I en III. 1887. (Niet in den handel.) 465 S.

Nach der im 249. litt. Bericht besprochenen ersten ist dies die zweite Sammlung von Berichten über Form und Inhalt alter mathe- matischer und physikalischer Werke, welche zu jenen 17 Numeru noch 113 neue hinzufügt. Die Gegenstände dieser Schriften sind sehr verschieden und mögen hier genannt werden. M. C. Crezfeidt: Rech- nen im 16. Jahrhundert. — N. S. Cruquius. M. Bolstra: P>ster Ge- brauch der Isohypsen bei niederländischen Ingenieuren. — W. J. Blaeu: Seckartcu. — C. S. van Leeuwcn: Landmessung, Placate. — J. H. J. van der Ley : Seefahrt, Erdmessung. — C. H. Gieter- maker: Geometrische Fragen. — B. Spinoza: Regenbogen, Wahr- scheinlichkeit u. a. — S. Stevin: Arithmetik, Singkunst, Mühlen. — D. J. B. van Burmania : Wetterkunde. — R. des Cartes: Wissen- schaftliches Inventar. — J. J. Stampioen de Jonge: Wurzelausziehunpr. Ueber das Leben dieser Gelehrten und die Beziehung zu ihren Zcit-

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LiUeraruvher Bericht XX VUL

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genossen Huden sich viele Mitteilungen. Zum Schlüsse feigen Er- gänzuugeu, Lebeusberiehte und ein Bücherverzeicbuiss. II.

Bulletino di bibliografia c di storia dclle scieuze uiatcmaticho c Bliche pubblicato da B. Boncompagni. Tomo XX. Roma 1H&7. Tipogratia dello scieuze inatematiche c tisicho.

Der 20. Band enthält folgende Abhandlungen.

M. Steinschneider: Studien über Zarkali. 2. Artikel (Forts.) — F. Jacoli: Uni?edruckter Briefwechsel zwischen Tycho de Brahe, Johann Kepler und auderen berühmten Astronomen und Mathema- tikern des 16. und 17. Jahrhunderts und zwischen Giovanui Antonio Magini, entnommen aus dem Arehivio Malvczzi de' Modici in Bologua, publicirt uud erläutert von A. Favaro.

A. Favaro: Documentc zur Geschichte der Accademia dei Liucei enthalten in Galileianischeu Mauuscripten der Biblioteca Nazionalo von Florenz. — Von Giovanni Tardo und einem Besuche desselben bei Galileo vom 12. bis 15. November 1614. — Allgemeine Biblio- graphie der Astronomie, gedruckte Werke und Manuscript, vom Anfang der Buchdruckerci bis 1880 von J. C. Houzeau und A. Lan- castcr, 2 Teile. — Die römische Wissenschaft in der Zeit des Augustus, historischo Untersuchung nach Viteuve vou A. Terquom.

E. Narducci: Leben des Pythagoras geschrieben von Bcru- ardino Baldi.

Ch. Henry: Brief an den Fürsten D. B. Boncompagni über verschiedene Punkte der Geschichte der Mathematik.

A. Marre: Theorie des Quadrats der Hypotenuse.

R. Schräm (in französischer Uebersetzung vou E. Pasquier): Notiz über die Arbeiten von Theodor von Oppolzer nebst dem voll- ständigen Vcrzoicbniss seiuer Publicationeu.

T. Bor toll i Barnabita: Von einigen alten uud neuen elektro- seismischon Theoricu und Untersuchungen.

P. Riccardi: Ferneres über Giovanni Battista della Porta's Abhaudlung Do quadratura circuli.

G. Govi: Von der Ertiuduug des Mikrometers für die astrono- mischen Instrumente. II.

Die Quadratur dos Zirkels iu berufeneu uud unberufenen Köpfen. Eine kulturgeschichtliche Studio von Dr. Hermann Schubert, Professor an der Gelehrtenschule dos Johauueums in Hamburg. Hamburg 1889. Verlagsaustalt uud Druckerei. 40 S.

Diese vortrefflich abgefasstc kleine Schrift gibt Unkundigen der Mathematik Aufschluss über die Bedeutung des Problems der Qua.

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Literarischer Bericht XXVlll

dratur des Kreises, erklärt zunächst das Interesse, welches sich seit Jahrtausendi n daran geknüpft hat und führ? eingehend die Geschichte der intclleetuellen Fortschritte, der praktischen Aushülfe durch Näherungswerte und der auftretenden Irrtümer hei deu Acgyptern, Babylouicrn, Iudiern, Arabern, Chineseu uud Griechen im Alterturae, dann in Europa bis zur Gegenwart durch. Hieraus ist, weil wol weniger bekannt, hervorzuheben, dass schou Archimcdcs die Möglich- keit unbegrenzter Annäherung erkauut uud gelehrt hat. Der Sinn des Problems knüpft sich überall an dio Construction nach geome- trischen Postulaten. Am Schlüsse wird der Gaug des Lindemaun'schen Beweises der Unmöglichkeit der Lösung mitgeteilt, welcher diese Grenze weit überschreitet. H.

L e Ii r b ii c h e r.

Elements des Mathcmatiques. Par M. S i b i r i a k o f f. St. Peters- burg 1888. Aug. Deubncr. 8 S.

Die russisch und französisch erschieneno Broschüre besteht aus 3 Capiteln, von denen das erste die Bedeutung der Null und der negativen Grössen, das zweite die der imagiuäreu Wurzeln der Glei- chungen erklärt, das dritte die algebraischen Gleichungen für x in solche für x — 1 transformirt. Hiernach könnte man etwa vermuten, dass die Broschüre, sofern ihr Inhalt nur Anfängern unbekannt sein kann , zur Ergänzung irgend eines Lehrbuchs der Algebra dienen sollte. Doch bezeichnet der Verfasser die Schrift im Eingang als seine Untersuchungen und insbesondere das Gesetz der Coefficieuten der trausformirten Glcichuug als seine Entdeckung. Dann freilich muss man das Ganze als Specimen seiner Studien auschen. (Auf besonderen Wunsch des Verlegers hier besprochen.) Hoppe.

Lehrbuch der ebenen Trigouometrie für den Schulgcbrauch. Von Dr. Karl Nies, Lehrer an dem Grossherz. Realgymn. und der Realschule in Darmstadt. Darmstadt 1888. A. Bcrgstrasser. 78 S.

Der erste Abschnitt des Buches behandelt die Geometrie. Die wichtigste Frage ist hier, iu welcher Weise dem Schüler der Begriff der Krcisfunctionen vorgeführt wird. Der Verfasser definirt dieselben zunächst als Vcrhältnisszahlcn der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, später durch Linien am Kreise vom Radius 1 und schliesslich mit Hilfe der Parallelcoordiuateu eines Punktes. Jede der drei Defini- tionen wird zur Ableitung einer Reihe von Eigenschaften der Functionen

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Litterarücher Ütncht XXV11L

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benutzt. — Will mau aus pädagogischen Gründen nicht mit der all- gemeinsten Definition beginnen, so erscheiut es mir erwünscht, die spcciellen doch nur als Vorübungeu vorauszuschicken. Jedenfalls sollte nach Einführung der allgemeinen Dcfinitiou gezeigt werden, dass die früheren in ihr enthalten sind, uud sollten alle Eigenschaften der Functionen aus ihr mit wisscnschaftl;cber Strenge abgeleitet werden, so dass der Schüler bei Repetitiouen das der allgemeinen Defiuition Vorausgehende fortlassen kann. Die zweite und dritte der oben angeführten Definitionen sollten nicht von einander getrennt werden. — Dio für den Schulgebrauch notwendigen Formeln sind vollständig abgeleitet, die Beweise sehr ausführlich, so dass auch schwache Schüler sie leicht verstehen werden. Für dio Functionen der Summe zweier Winkel werden dio beiden üblichen planimctri- scheu Ableitungen gegeben. Im zweiten Abschnitt, der Trigonometrie, werden zunächst das rechtwinklige und das gleichschenklige Dreieck ausführlich behandelt, dann die für die Auflösung des allgemeinen Dreiecks notwendigen Sätze abgeleitet, die Einführung des Hilfs- wiukels besprochen und die verschiedenen Lösungen der vier Fun- damentalaufgaben gegeben, wobei vielleicht die einfachsten Lösungen hätten mehr hervorgehoben werden können. Für sämtliche Aufgaben werden Zahlenbcispielc durchgeführt. Am Schluss folgt ein Paragraph, iu dem dio bei den verschiedensten trigonometrischen Aufgaben vor- kommenden Stücko durch r und die Winkel ausgedrückt werden. In einem Anhang bietet der Verfasser eine grosso Zahl von Uebungs- beispiclen mit den Resultaten. — Ist somit das Buch im ganzen für den Unterricht brauchbar, so hat es doch im einzelnen einige Mängel, deren Beseitigung bei einer neuen Auflage erwünscht erscheint. So heisst es in § 21: „Der Sinus stellt sich am Kreis als die Senkrechte vom Endpunkte des gedrehte?) Schenkels auf den ruhenden Schenkel . . . dar". Wenigstens sollte doch gesagt seiu: „am Kreis vom Ra- dius 1." — „Der positive Sinn der Drehung ist derjenigen des Uhr- zeigers entgegengesetzt." Nein! Wir nehmen die ciue Drehuugs- richtuug, ganz gleichgiltig welche, als positiv an, dann ist die entgegengesetzte negativ. — „Iu einem rechtwinkligen Dreieck, wel- ches die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks ist, beträgt der eine Winkel 30°; in diesem Fallo ist e — 1, a — — § 33. „ . . .

man versteht nun für Winkel über 90° uuter 1., Sinus eines beliebi- gen Winkels die Ordinate des Endpunktes des gedrehten Schenkels «= y, *2., Cosinus . . . , imm?r unter der Voraussetzung, dass der Radius des Coordiuatenkivises r = 1 ist." Das ist die letzte und allgemeinste Defiuition, die der Verfasser giebt! Die scheint also nur für beliebige Winkel über 90° zu gelten. Statt Ordinate sollte es Masszahl der Ordinate heissen, damit sich dem Schüler fest ein- präge, dass der Sinus eine Zahl und keine Linie ist. Gleich darauf

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UiUranschtr Üerkhl XXV III.

definirt der Verfasser ja auch die Tangente eines Winkels als „Quo- tienten der Mass/.ahlen seiner Ordinate und Abscissc". Hier ist nou allerdings wieder vergessen, von der Ordinate eines Winkels zu 6precheu. Es giebt nur Ordinalen von Punkten. Aehulicho Un- genauigkeiten Huden sich au verschiedenen andern Stellen. — § 55. Die Moivru'sehe Formel wird für die 2. Potenz bowieson uud ihre Gütigkeit für die u. Potenz und sogar für gebrochene Exponenten als selbstverständlich hingestellt ! — Iu § 63 beziehen sich dieselben Buchstaben teils auf* Figur 3, teils auf Figur 19. Das vorwirrt den Schüler. — lu § 68 werdeu „Formel" uud „Wert" als gleichbedeu- tende Wörter gebraucht. — § 83, 3: „Die Formel I ist ungenau". Der Verfasser meint natürlich das nach ihr berechnete Resultat. — Es wird nicht nötig sein, noch weitere Beispiele anzuführen, um den oben ausgesprochenen Wunsch , dass der Verfasser das Buch vor einer neuen AuHage einer genauen Durchsicht unterwerfen möge, berechtigt erscheinen zu lassen.

Dr. Edmund Schulze.

Lehrbuch der ebenen Geometrie nebst einer Sammlung von 800 Uebungsaufgaben zum Gebrauche an höheren Lehranstalten und beim Selbststudium. Von Dr. Carl Spitz. Neunte, verbesserte und ver- mehrte Auflage. Mit 251 in den Text gedruckten Holzschnitten. Leipzig 18*8. C. F. Winter. 290 S.

Anhang zu dem Lehrbuche der ebenen Geometrie. Von Dr. Carl Spitz. Die Resultate und Audeutuugcn zur Auflösung der in dem Lehrbuche befindlichen Aufgaben enthaltend. Neunte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 112 in deu Text gedruckten Figuren. Leipzig 1888. C. F. Winter. 113 S.

Das Lehrbuch nebst Auhang ist iu 8. Auflage im 264. litt. Be- richte S. 11 besprochen. Aenderuugcu iu der ueueu Auflage siud im Vorwort nicht augezeigt. Das gerügte trügerische Zuwerkegehen beim Parallelonsatzo ist beibehalten worden. H.

Lehrbuch der ebenen Trigonometrie uebst einer Sammluug von 030 Beispielen und Uebungsaufgaben zum Gebrauche an höhercu Lehr- anstalten und beim Selbststudium. Von Dr. Carl Spitz. Scchsto, verbesserte uud vermehrte Auflage Mit 47 in den Text gedruckten Figuren. Leipzig 1888. C. F. Winter. 140 S.

Anhang zu dem Lolirbucho der ebenen Trigonometrie von Dr. Carl Spitz. Die Resultate uud Andeutungen zur Aurlösung der in dem Lehrbuchc befindlichen Aufgaben enthaltend. Sechste, vorbes- serte und vermehrte Auflage. Mit 23 iu den Text gedruckten Fi- guren. Leipzig 1888. C. F. Winter. 73 S.

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Literarischer Bericht XX VII J.

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Ueber die Lehrmethode ist zunächst zu bemerken, dass die goniometrischen Functionen von Anfang au (als Zahlen, nicht Linien) für beliebig grosse Wiukel eingeführt werden. Verbessert wird die Methode durch die anfängliche Allgemeinheit weder vom ideellen noch vom praktischen Gesichtspunkte Die Goniometrio des 1. Qua- drauten (Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks) ist kein blosser specieller Teil der gesamten Theorie, sondern umfasst vollständig dio notwendige Voraussetzung trausceudeuter Abhängigkeit; der übrige Teil ist algebraische Anweudung. Auch für Auffassung und Orien- tiruug ist es ungünstig, mit einem überflüssig weiten Feldo der Be- trachtung zu beginnen. Für die fernere Entwickelung der Lehre wird nichts gewonnen-, denn die Allgemeingültigkeit der Formeln muss jedenfalls an diesen selbst bewiesen werden, wie es auch hier geschieht. Die Darstellung zeichuet sich nicht durch Concinnität und Uebersichtlichkeit aus ; sie lässt das Lehrpensum als ein grösseres erscheinen als os in Wirklichkeit ist. Dagegen versäumt sie auf den für Anfänger wichtigen Punkt, die Vieldeutigkeit der inversen Func- tionen, aufmerksam zu machen. Zu Anfang ist es zwar an 2 Stellen ausgesprochen, dass der Winkel durch die Function nicht vollständig bestimmt wird; doch weiterhin und besoudersiu den Uebungsbeispielen wird darauf keine Rücksicht mehr genommen. Ebenso bleibt das doppelte Vorzeichen dor Quadratwurzel unbeachtet, und dio Formel

tgi« = s[^°a~ * welche sich doch leicht rational herleiten lässt,

wird durch Quadratwurzel gefunden ohuo nur zu erwähnen, dass dann nach dem Vorzeichen gefragt werdeu müsstc. Die Trigonometrie bohandelt erst das rechtwinklige, dann das schiefwinklige Dreieck, und zwar au ersterra 4 Aufgaben, über letzteres erst 5 Lehrsätze, dann 4 fundamentale und viele üebungsaufgabeu. H.

Lehrbuch der Planimetrie. Für den Schul- und Selbstunterricht. Von EL Weide mann, Oberlehrer der Mathematik am Landesgymna- sium zu Fellin. Berlin 1888. A. Deubucr. 210 S.

Ueber den Zweck der Herausgabe eines neuen Lehrbuchs wird im Vorwort reichlich Rechenschaft gegeben. Es werden darin keino neuen Grundsätze aufgestellt, noch nach irgend einer Seite hin eine Vollkommenheit in Aussicht genommen ; vielmehr ist es Ziel der Be- arbeitung, im einzelnen, ohne Bevorzugung des Alten oder Neuen, zu bessern, wo sich das Bedürfniss zeigt. Dass dies mit Fleiss und Umsicht geschehen, ist anzuerkennen Kürze und Beschränkung auf das Notwendige hat sich der Verfasser nicht auferlegt: es werden keine Worte gespart um alles, was dem Verständuiss uud dem Auf- finden der Lüsuugeu der Aufgaben dienlich ist, beizubringen; nament-

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Litterarischer Bericht XX VI 11.

lieh hielt dies der Verfasser für erforderlich , um dem Schüler das Nachholen versäumter Lehrstuuden zu erleichtern. Doch ist dabei darauf Bedacht genommeu worden die Uebersichtlichkcit uicht zu beeinträchtigen. Ueber die Anordnung des Stoffes ist zu erwähnen, dass die Kreislehrc ganz ans Ende gestellt ist, während die Erklärung des Kreises in der Einleitung vorausgeht. Allerdings muss der Kreis zur Bestimmung der Läugo vou Geraden bei uubekannter Richtung schon im Anfang dem Schüler bekannt sein, ohne dass er darum die Kreissätzc zu kennen braucht. Aber eben, weil er bekannt genug ist, fällt auch jeder merkliche Grund weg dio Theorie des Kreises so auszusondern, als ob seine Scheidung wesentlicher wäre als die zwischen Gleichheit uud Aehulichkcit. In diesem Punkte ist also dio Veränderung keine Besserung zu nennen. Verdienstlich ist es, dass der Verfasser nirgends die strenge Logik und wissenschaftliche Wahrheit hinter falsche pädagogische Rücksichten zurückstellt; es sind nicht wenigo Lehrbücher, denen er damit entgegentritt. Auch was dio Beueuuung betrifft, findet man es hier einmal ausgesprochen, dass der Kreis eine Linie ist, während unzählige Lehrbücher, ob- gleich sie im ganzen Verlaufe eine Linie daruuter verstehen, doch in der anfänglichen Erklärung ihn entweder als Fläche bezeichnen oder doch beide Bedeutungen zulassen. Dagegen ist die Verpflanzung der Steiuer'schen Bedeutung des Wortes „Strahl" in die Elementar- geometrie nur geeignet Verwirrung zu schaffen Unter Strahlen «— Radien versteht man Gerade, die vou einem uud demselben Punkte ausgehen. Hierfür bedürfen wir oin besonderes Wort um der viel- fachen Ceutralbetrachtuugen willen. Für unbegrenzte Gorade hin- gegen bedürfeu wir keius; denn eine Gerade ohue Angabo vouGreuzeu, mit Absehen von Grenzen, sofern sie ohne Einfluss sind, unterscheidet sich nicht vou einer unbegrenzten. Hier hatte also der Verfasser nicht den mindesten Grund von der gewöhnlichen Terminologie ab- zugehen. H.

Allgemeine Arithmetik und Algebra in ihrer Bczichuug zu ein- ander und zu den höheren bürgerlichen Rechnungsarten, insbesondere zu den den Kapital- und Rcuten-Versicherungeu grundleglichen Zinses- zinsrechnungen. Für Seminaristen und Lehrer in einer für den Selbstunterricht geeigneten Form bearbeitet von Karl Lcmbcke, Semiuarlohrer. Wismar 1888. Hinstorff. 170 S. Text und 6 Tabellen.

Der Abfassung zufolge ist der Teil des Buchs, welcher Lehreu der Algebra enthält, mathematische Vorbildung für die Rentenrecbnuug, welche als Hauptziel dos Gauzeu erscheint. Er umfasst die alge- braischen Gleichungen 1. uud 2. Grades mit einer und mehreren Un- bckauuteu, die Lehre vom Logarithmus und dem Gebrauche der

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Lilterarischtr Bericht XX VUL

Tafeln, die Exponentialgleichungen und die Progressionen in einem gänzlich auf praktische Ausübung eingerichteten Vortrage mit Bei- spielen. Der ttbrigo Teil lehrt, die einzelnen Fälle durchgehend, die Anwendung auf dio zum Versicherungsfach gehörigen Aufgaben mit Ausschluss derjenigen, bei welchen dio Wahrscheinlichkeit in Rechnung zu ziehen ist. II.

Vermischte Schriften.

Nicuw Archicf voor Wiskunde. Deel XV. Amsterdam 1888. Sikken en Co.

Der Inhalt dos 15. Bandes ist folgender.

C. L. Landrc: Leibrente in Terminen und durchlaufend. — Ueber den Einfluss der Lcbensfällc und des Rcutenfusses auf den Reservetarif bei Lebensversicherung.

J. C. Kluyver: ücber dio invariante Beziehung zwischen 2 in und um ein Vieleck beschriebenen Kegelschnitten.

A. Eecon: Lösung der Preisfrage 11: Ein Kraftsystem, das eine Resultante hat, wirke auf die Ecken eines Vielecks. Durch welchen Punkt muss bei gleichzeitig gloichor Drehung aller Kräfte dio Resultante beständig gehen? — Untersuchung der Bewegung einer Ebeno in oder über einer andern, bei welcher 2 Gerado in der ersten Tangenten zweier Kreise in der zwoiten bleiben.

F. J. van den Berg: Forts, von IX. und XI. über Wurzclpunkto. A. J. A. Prange: Ueber die Lösung der Aufgabe, Mittelpunkte

und Radien der Kroiso zu finden, die 3 gegebeno Kreiso berühren.

G. Sc ho uten: Beantwortung der Preisfrage Nr. 3 für 1887.

H.

Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas publicado pelo Dr. F. Gomes Teixeira, Professor na Escola Polytechnica do Porto, Antigo Professor na Uuiversidado do Coimbra, Socio da Aca- deraia Real das Sciencias de Lisboa etc. Vol. VIII. Coimbra 1887.

Der Inhalt des 8. Bandes ist folgender.

M. Lerch: Ueber einen Satz der Thcorio der elliptischen Functionen. - Modificatiou des dritten Gauss'schon Beweises des Legrendre'schen Gesetzes der Reciprocität — Ueber eino Eigenschaft der Zahlen.

H. Novareso: Ueber die vollkommenen Zahlen.

E. Cesäro: Bemerkungen über die Theorie der Reihen.

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Lttterarischer Utricht XX VIII.

F. Gomcs Teixcira: üebcr dio Entwickcluug der Functionen imaginärer Variabein iu Reiben. - Ueber die Derivation der zu- sammengesetzten Functionen. — Ueber dio Reduction der hyper- elliptischcu Integrale.

R. Guiraaräes: Ueber die Rcetitication der Ellipscnbogeu.

A. Gützraor: Ueber eine von M. Lcrch betraebteto Reihe. — Bemerkungen über dio Theorie der Reihen. - Ueber gewisse arith- metische Mittel der Functionen einer eomplexeu Variabelu.

II. le Pont: 2 Noten aus der Integralrechnung. — Ueber die asymptotischen und Krümmungslinicu.

A. Schiappa Mouteiro: Ueber das gleichschenklige Dreieck.

J. M. Rodrigucs: Ueber die Lagrango'scho Reihe.

M. E. Weyr: 2 Bemerkungen zu den Reihen.

M. d'Ocague: Ueber ein arithmetisches Problem. — Ueber die Kegelschnitte. — Algebraisches Problem.

Bibliographie. Auszüge aus ueuou Arbeiten. II.

Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, pour los sciences matbematiquos et les sciences physiques, publiees par un comite de redactiou composc des i»rofesseors de mathematiques, do physique et. de chimio de la faculte. Sous les auspiecs du Ministdre de Tiustructiou publique et de la Municipalitc de Toulouse. Avec lc cou- cours des Conseils Geueraux de la Hauto-Garouue et des Haute*- Pyrenees. Tome II. Annee 1888. Paris 1888. Gauthier« Villars et Iiis.

Der Iuhalt des 2. Baudos ist folgender.

Ch. Bio che: Ueber die asymptotischen Linien gewisser wind- schiefer Regelflächen.

P. Painleve: Ueber die siugularen Linien der analytischen Fuuctioueu.

Her mite: Bemerkuugeu über die Zerlegung der doppelt perio- dischen Functionen in einfache Elemente. - Ueber die Transfor- mation des elliptischen Integrals 2. Gattung.

F. Tisserand: Ueber eiue Differentialgleichung, welche eine wichtige Rolle in der Mechanik des Himmels spielt.

B. Baillaud, Ergänzende Untersuchungen über die Ent Wicke- lung der Störungsfunction.

G. Koeuigs: Beiträge zur Theorie des Kreises im Räume.

A. Destrem: Verrückungeu des Kupfers in einigen Lösuogeu von Kupfersalzeu durch Zink und Cadmium.

F. J. Stiel tj es: Ueber die lineare Transformaiiou des ellip- tischen Differentials dx : y x.

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Litterarischer Bericht XXYUL

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P. Duhem: Historische Studie über die Theorie der Magneti- sirung durch Induction. — Von der Magnetisirung durch Induction.

H.

Mathesis, recueil mathematique ä l'usage des 6coles speciales et des Etablissements d'instruction moyeuue. Publik par P. Mansiou et J. Neuberg avec la collaboratiou de plusieurs professours beiges et etraugers. Tome VIII. Gaud 1888. Ad. Hoste.

Der 8. Band enthält folgende Abhandlungen.

G. de Longchamps: Ucber eine merkwürdige Trisectrix. — Ueber die Normalen der Kegelschnitte.

Verniory: Eine Zerlegung in Partialbrüche.

Barbarin: Iuhalt einiger Dreiecke. — Aufgaben über die Profil-Gerade.

Cl. Servais: Anwendungen der linearen Quasi-Inversiou auf die osculirenden Curven. — Ueber die Theorie der Transformationen.

E. Cesäro: Developpauten des Punktes. — Trägheitsmomente des Dreiecks und Tetraeders. — E. C. uud E. Catalan: Ueber einen Satz von Oltramare.

J. J. Sylvester: Ueber die vollkommenen Zahlen.

M. d'Ocagne: Ueber die complementaren Punkte. — Zu einer früheren Note über das Dreieck (t. VII.)

Bergmans: Sätze von der Parabel.

Jerabek und Neuberg: Ueber die der Euler'schen Geraden inverse Hyperbel.

E. Catalan: Ueber die vollkommenen Zahlen.

Fuhrmann: Ueber die Hyperbel T'.

P. Mansion: Methode der Unendlichklcinen.

J. Neuberg: Ueber die involutiven quadratischen Transforma- tionen.

E. Waste eis: Ueber das Viviani'sche Theorem.

E. Lemoiuo: Ueber das Mass der Einfachheit in den mathe- matischen Construetionen.

Ph. Gilbert: Bestimmung der Axen eines centralen Ellipsoid- schnitts nach Grösse und Richtung.

Ausserdem Auszüge, viele Fragen und einige Lösungen.

H.

Annuaire pour Tan 1889, publie par le Bureau des Lodgitudes. Avec des notices scientifiques. Paris, Gauthier-Villars et fils.

Outre les renseignements pratiqnes qn'il contient chaque annee, 1'Anuuaire du Bureau des Longitudes pour 1889 renferme des articlos

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Literarischer Bericht XX VIII

dus aux savauts los plus illustres sur les Monnaios, la Statistique, la Geographie, la Mineralogie, etc., enfin les Noticcs suivantes: Sur les quatre sessions de l'Association geodesique internationale ä Paris, Berlin, Nico et Salzbourg; par H. F'aye. — Sur la mesure dos masses en Astronomie; par F. Tisserand. — Une expödition au massif du mont Blanc; par J. Janssen. — Uno ascension au pic de Teueriffe; par Bouquet do la Gryo. — Discours prononc6 ä finaugaration de la statue d'Ampere ä Lyon, par A. Cornu. — Revue des prineipaux travaux du Buroau dos Longitudes eu 1888; par le Secretaire. In-18 do IX-830 pages, avec 2 Cartes magnetiques. (1 fr. 50 c.)

Gauthier-Villars et fila.

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Mathematische und physikalische Bibliographie.

XXIII.

Methode und Priuciplen.

Natauson, L., üb. die kinetische Theorie der Joulo'scken Erscheinungen. Dorpat, Karow. 1 Mk.

Zimmermann, W. F. A., Naturkräftc u. Naturgesetze. 4. Afl. Bcarb. u. hrsg. v. B. Dürigen. 21. u. 22. Lfg. Berlin, Dümmler's Verl. ä 50 Pf.

Lehrbücher.

Frankenbach, F. W., Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. 1. Tl. Die Planimetrie. Liegnitz, Krumbliaar. 1 Mk. 50 Pf.

Sammlungen.

Bardey, E., arithmetische Aufgaben, nebst Lehrbuch der Arith- metik, vorzugsweise f. höhere Bürgerschulen, Realschulen, Progym- nasien und Prorealgymnasien. 5. Afl. Leipzig, Teubner. 2 Mk.

Kley er, A., vollständig gelösto Aufgaben-Sammlung aus allen Zweigen der Rechenkunst etc. 476.-499. Hft. Stuttgart, Maicr. ä 25 Pf.

Klunzinger, K . Aufgaben f. das mündliche u. schriftliche Rechnen zum Gebrauch f. Schulaspiranten, gehobene Oberklasscn u. Fortbildungsschulen. Lehrerausg. 2. Afl. Nagold, Zaiser. 2 Mk.; geb. 2 Mk. 20 Pf.

— Schülerausg. 1 Mk.; geb. 1 Mk. 20 Pf.

Knies, K. u. 0. Bachmann, Aufgabensammlung f. das Rech- nen m. bestimmten Zahlen. 1. Tl. 3. Afl. München, Kellerer. 1 Mk. 20 Pf.

Ldska, W., Sammlung v. Formeln der reinen und angewandten Mathematik. 1. u. 2. Lfg. Braunschweig, Vieweg & S. 13 Mk. 50 Pf.

Lieber, II. u. F. v. Lühmann, trigonometrische Aufgaben. 3. Afl. Berlin, L. Simion. 4 Mk.

Reeb, W., algebraisches Uebungsbuch m. eiuleit. Fragen, einge- reihten Sätzen u. Kegeln, sowie ausgeführten Musterbeispielen. 3. Afl. Gicssen, Roth, Verl. 1 Mk. 50 Pf.

Schubert, II , Sammlung v. arithmetischen u. algebraischen Fragen u. Aufgaben, verbunden m. e. systemat. Aufbau der Begriffe, Formeln u. Lehrsätzen der Arithmetik. 2. Hft. Für obere Klassen.

2. Afl. Potsdam, Stein's Verl. 1 Mk. 80 Pf.

Servus, II., Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik n. Algebra f. Gymnasien, Realgymnasien u. höheren Bürgerschulen.

3. Hft. Leipzig, Teubner. Kart. 75 Pf.

Arithmetik, Algebra und reine Analyst*.

Dom, J. u. P. Nakcl, Anleitung zum Unterrichte im Rech- nen. 4. Tl. Dio schwierigen Fälle der Bruchrechuung, die Decimal- brüchc u. die bürgert. Rechnungsarten. 7. Atl., besorgt v. P. Nakel. Breslau, Handcl's Verl. 2 Mk. 50 Pf.

Forsyth, A. R., Lehrbuch der Differeutial-Gleichuugen. Mit e. Anh.: Die Resultate der im Lehrbuche angeführten Uebungsauf- gabeu cuth., hrsg. v. II. Maser. Brauuschwcig, Vieweg & S. 14 Mk.

♦Lic, S., zur Theorie der Transformatiousgruppen. Christiania, Dybwad. 35 Pf.

Menzel, J., Lehrgang f. den Elementar-Unterricht im Rech- nen. 5. Afl. Bielefeld, Velhageu & Kl. Geb. 3 Mk.

Schlesinger, L., e. Beitrag zur Theorie der linearen homo- genen Differentialgleichungen dritter Ordnung m. e. Relation dritten Grades zwischen den Elementen e. Fuudamentalsystemes v. Inte- gralen. Berlin, Mayer tt M. 1 Mk. bo Pf.

Win ekler, A., über ein Kriterium d. Grössteu und Kleinsten in der Variationsrechnung. Leipzig, Freytag. 40 Pf.

Geometrie.

Brock mann, F. J. , Materialien zu Dreieckskonstruktionen nebst Anwendung auf fast vierhundert Aufgaben. Leipzig, Teubner. 1 Mk. 20 Pf.

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End, W., algebraische Untersuchungen üb. Flächen m. gemein- schaftlichen Curven. Tübingen, Kues. 80 Pf.

Ganter, II. u. F. Radio, die Elemente der analytischen Geo- metrie der Ebene. Leipzig, Teubncr. 2 Mk. 40 Pf.

Hu ebner, L., ebene u. räumliche Geometrie d. Masses in or- ganischer Verbindung m. der Lehre v. den Kreis- u. Hyperbel- funktionen. Neu dargestellt. Leipzig, Teubner. 8 Mk.

Johannes J.,die rationellen Raumkurvcn sechster Ordnung er- zeugt durch geometrische Transformationen aus e. Kegelschnitte. Tübingen, Fues. 1 Mk.

Kerschensteiucr, G., üb. die Wcndepunktsgleichung G.Gra- des und die ihr zugehörigen rationalen Kurven vierter Orduung. Nürnberg, Ballhoru's Verl. 1 Mk.

Krieg v. Hochfolden, F., Frhr., üb. projective Beziehungen, die durch vier Gerade im llaumc gegeben sind. 1. Mitthcilg. Leip- zig, Freytag. 60 Pf.

Leu ch, S. R. A., Erzeugung u. Untersuchung einiger ebenen Cnrvon höherer Ordnung. Leipzig, Fock. 2 Mk.

Macher, G., Repetitorium der elementaren Mathematik. 1. Tl. Planimetrie. Würzburg, Hertz. Kart. 1 Mk. 20 Pf.

Meugcr, G., Elcmcuta di geometria deserittiva ad uso delle scuole reali superiori. Wien, Hölder. 2 Mk. 80 Pf.

— geometrische Formenlehre in Verbindung mit dem Freihand- zeichnen. Für die 1. Classe der Realschulen. 2. Att. Ebd. 80 Pf.

Simon, M., der erste Unterricht in der Raumlehre. Berlin, Springer. Kart. 50 Pf.

Waeisch, E., üb. das Normalsystem u. dio Centraifläche alge- braischer Flächen insbesondere der Flächen 2. Grades. Leipzig, Engelmaun. I Mk. 40 Pf.

Wapienik, A., Lehrbuch der Geometrie f. d. oberen Gassen der Mittelschulen. Wien, Graeser. Geb. 2 Mk. 40 Pf.

Wiedcmann, II., Lehrbuch der Planimetrie. Für den Schul- u. Selbstunterricht. Berlin, Dcubner. 3 Mk.

Trigonometrie.

Focke, M. u. M. Krass, Lehrbuch der ebenen Trigonometrie, zum Gebrauche au Gymnasien, Realschulen und anderen höhereu Lehranstalten. Neueste Afl. Münster, Coppeurath. 1 Mk.

Praktische Geometrie, «eoUäsie. Veröffentlichung d. königl. preuss. geodätischen Iustituts. Astro-

nomisch-geodät. Arbeiten I. Ordnung. Telegraphische Längcnbe- stimmungeu im J. 1887. Bestimmung der Polhöhe u. d. A/imutes auf den Stationen Kaumberg u. Kiel in den J. 1880 u. 1887. Berlin, Stankicwicz. 15 Mk.

Zeitschrift f. Vermessungswesen. Organ des deutschen Geomc- ter- Vereins. Hrsg. v. W. Jordan u. C. Steppes. Jahrg. 1889. (24 Hfte.) 1. Hft.. Stuttgart, Wittwer's Verl. procplt. 9 Mk.

Mechanik.

Feunel, L., üb. dio Bewegung e. festen Körpers in c. tropf- baren Flüssigkeit. Kassel, Freyschmidt. 2 Mk.

Poisson, S.D., Lehrbuch der analytischen Mechanik. Deutsch hrsg. a. m. e. Anhang versehen v. A. Pfannstiel. 4. Lfg. Dort- mund, Meyer. 2 Mk. 75 Pf.

Kausen berger, 0., Lehrbuch der analytischen Mechanik. 2. Bd. Mechanik der Zusammenhang. Körper. Leipzig, Teubner. 8 Mk.

Technik.

Echo, elektrotechnisches Stimme aus allen Ländern. Red.: M. Krieg. Jahrg. 1889. (52 Nrn.) Nr. 1. Leipzig, Leiner. Vier- telj. 3 Mk.

Gaisberg, S. Frhr. v., Taschenbuch f. Monteure elektrischer Beleuchtungsanlagen. 3. Ali. München, Oldenbourg. Geb. 2 Mk. 50 Pf.

Geist, E. II., Berechnung elektrischer 'Maschinen. Handbuch für Fachleute. Ebd. 2 Mk. 40 Pf.

Gerard's, E., Elemente der Elektrotechnik. Deutsche Asg. v. J. Kareis u. W. Peukert. Wien, Deutickc. 9 Mk.

Gohletz, G, der Telephouist. Leitfaden zur schucllcn u. sicheren Bedienung d. Telephon- resp. Mikrophon-Apparates. Berlin, Conrad. 40 Pf.

Hoppe, Elektrotechnik. 1. — 3. Afl. Klausthal, Grosse. 50 Pf. Thompson, J. P., die dynamoelektrischcn Maschinen. 3. AM. übersetzt von C. Grawinkel. 2. Hft. Halle, Knapp. 4 Mk.

Optik, Akustik und Elasticltitt.

Füchtbauer, G., einige Eigenschaften der optischen Linse in Bezug auf Zentralstrahlen. Nürnberg, Ballhorn's Verl. 9 > Pf.

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Johnen, P. J., Elemente der Festigkeitslehre in elementarer Darstellung. Weimar, B. Fr. Voigt. 0 Mk. 75 Pf.

Mach, E. , üb. d. Fortpflanzungsgeschwindigkeit des durch schwere Schüsse erregten Schalles. Leipzig, Freytag. CO Pf.

Erd- und Himmelskunde.

Anleitung zur Beobachtung uud Moldung der Gewitter-Erschei- nungen. Hrsg. vom königl. preuss. meteorolog. Institut. Berlin, Asher & Co. 60 Pf.

Beobachtuugs-Ergebuisse der kgl. Sternwarte zu Berlin. 3. u. 4. Hft. Berlin, Dümmler's Verl. 7 Mk.

Bredichen, Ch., sur 1'origiue des etoiles tilantes. Leipzig, Voss' S. 2 Mk. 40 Pf.

Ephcmeriden, astronomisch-nautische, f. d. J. 1890. Deutsche Asg. Red. v. F. Anton. III. Jahrg. Triest, Schimpff. Kart.

2 Mk. 70 Pf.

E mm er ig, A. , unser nächtlicher Sternhimmel. 2. Afl. (Mit 1 Sternkarte u. 47 Fig.) Bamberg, Buchner. Kart. 2 Mk.; geb.

3 Mk.

Günther, S., die Meteorologie, ihrem ueuestcu Staudpuukte gemäss u. m. besond. Berücksichtigung geographischer Fragen dar- gestellt. München, Th. Ackermann. 5 Mk. 40 Pf.

Ha r lach er, A. K., die hydromotrisehen Beobachtungen im Jahre 1887. (Hydrograph. Commissiou d. Köuigr. Böhmen. Hydro- metr. Section. No. XII.) Prag, Calve. 3 Mk.

Haertl, E., Frhr. v., die Bahn d. periodischen Kometen Win- uicke in den Jahren 1858 — 188G, nebst e. neuen Bestimmung der Jupitermassen. Loipzig, Freytag. 4 Mk. 80 Pf.

Hirn, G.-A., Constitution de l'espace Celeste. Colmar, Barth. 16 Mk.

Instruktion f. die Beobachter an den meteorologischen Stationen II., III. u. IV. Orduung. Hrsg. vom königl. preuss. meteorolog. Institut. Berlin, Asher & Co. 2 Mk. 50 Pf.

Lizuar, J., die lötügige Periode d. Nordlichtes. Leipzig, Teubncr. 60 Pf.

M eissei E., Tafel der Bessel'schcn Functionen I°k und I'k von k = 0 bis k =» 15,5 berechnet. Berliu, G. Reimer. 2 Mk.

Neumaycr, G., Linien gleicher magnetischer Variation (De- klination), gleicher magnetischer Inklination u. gleicher magnetischer Horizontal-Intensitüt. nach Gauss'schen Grundsätzen 1885, 0. Hrsg. von der deutschen Secwartc II. 3. Blatt Hamburg, Friederichseu & Co. 3 Mk.

Porntcr, J. M. , Scintillomctcr-Bcobachtuugen auf dem Hohcu Sonnenblick (3095 m) im Febr. 1888. Leipzig, Freytag. 30 Pf.

Peter, B., Monographie d. Sternhaufen G. C. 4460 u. G. C. 1440, sowie c. Sterngruppe bei 0 Piscium. Leipzig, Hirzel. 4 Mk.

Pia mann, J. , die veränderlichen Sterne. Darstellung der wichtigsten Beobachtungs-Ergebnisse u. Erklärungs- Versuche. Köln, Bachem. 1 Mk. 80 Pf.

Planta, G., die elektrischen Erscheinungen der Atmosphären. Deutsche Ausg., besorgt v. J. G. Wallentin. Halle, Knapp. 5 Mk.

See liger, II., fortgesetzte Untersuchungen üb. das mehrfache Sternensystem f Caucri. München, Franz'sche Verl. 2 Mk. 80 Pf.

Sirius. Zeitschrift f. populäre Astronomie. Red. H. J. Klein. 21. Bd. od. Neue Folge. 17. Bd. 1889. (12 Ufte.). 1. Hft Leip- zig, Scholtze. procplt. 12 Mk.

Struve, M., Beobachtungen der Saturutrabanten. 1. Abth. Beobachtungen am 15 zölligen Refraktor. Leipzig, Voss' S. 10 Mk. 60 Pf.

Viertcljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft Hrsg. v. E. Schönfcld u. H. Secligcr. 23. Jahrg. 1888. 2. u. 3. Hft Leip- zig, Engolmann. 4 Mk.

Wetter, das. Meteorologische Monatsschrift f. Gebildete aller Stände. Hrsg. v. R. Assmann. 6. Jahrg. 1889. (12 Hftc.) l. Hft Braunschweig, Salle, procplt 6 Mk.

Wochenschrift f. Astronomie, Meteorologie u. Geographie. Neue Folge. 32. Jahrg. 1889. No. 1. Halle, Schmidt's Verl. procplt. 10 Mk.

Zeitschrift, meteorologische Red. v. J. Hann u. W. Köppen. 6. Jahrg. 1889. (12 Hfto.) 1. Hft. Wien, Hölzel's Verl. procplt 20 Mk.

Nautik.

Döring, W., der wetterkundige Navigateur. Die Orkaue. 2. Afl. Oldenburg, Schulze. 3 Mk.; geb. 4 Mk.

Physik.

Annalen d. physikalischen Centrai-Observatoriums. Hrsg. v. H. Wild. Jahrg. 1887. 2 Thlc. Leipzig, Voss' S. 25 Mk. 80 Pf.

Anzeiger, elektrotechnischer. Wochenschrift f. d. elektrotechn. Industrie und deren verwandte Fächer. Red.: A. Wilke. 6. Jahrg. 1889. Nr. 1. Berlin, Günther & S. Viertelj. 1 Mk. 50 Pf.

Handl, A., Lehrbuch der Physik f. die oberen Classcn der

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Mittelschulen. 4. Afl. Ausg. f. Gymnasien. Wien, Holder. 2 Mk. 72 Pf.

— Ausgabe f. Realschulen. 2 Mk. 48 Pf.

Kleyer, A., die elektrischen Erscheinungen in Theorie u. Praxis. 91.— 96. Eft. Stuttgart, Maier. a 25 Pf.

Lehmann, 0., Molekularphysik m. besond. Bcrücksioht. mi- kroskop. Untersuchgn. u. Anleitg. zu solchen, sowie e. Anh. üb. mi- kroskop, Analyse. 2. Bd. Leipzig, Engelmann. 20 Mk.

Physik, praktische. Zeitschrift f. Physiker, Techniker, Aerzte, Fabrikanten, etc. Hrsg. v. M. Krieg. 2. Jahrg. 1889. (12 Ufte.) 1. Hft. Magdeburg, Faber. Halbjährl. 3 Mk.

Sattler, A., Leitfaden der Physik und Chemie. Für die oberen Classen von Bürger- und höheren Töchterschulen. G. Afl. Braun- schweig, Vieweg & S. 80 Pf.

Sumpf, K.. Anfangsgründe der Physik. 3. Afl. Hildesheim, Lax. 1 Mk. 50 Pf. j geb. 1 Mk. 80 Pf.

Vermischt« Schriften.

Abhandlungen der mathematisch-physikalischen Classe der königl. bayr. Akademie der Wissenschaften. IG. Bd. 3. Abth. München, Franz'sche Vorl. 6 Mk. 50 Pf.

Abhandlungen der mathematisch -naturwissenschaftlichen Classe der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften vom J. 1887—1888. 7. Folge. 2. Bd. Leipzig, Freytag. Kart. 25 Mk.

Annalen, mathematische. Begründet durch R. F. A. Clebsch. Hrsg. v. F. Klein, W. Dyck, A. Mayer. 33. Bd. (4 Hftc.) 1. Hft. Leipzig, Teubner. procplt. 20 Mk.

Berichte üb. die Verhandlungen der königl. sächsischen Gesell- Schaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathcmatisch-physikal. Classe. 1888. I. II. Leipzig, Hirzel. 2 Mk.

Encke, J. F., gesammelte mathematische u. astronomische Ab- handlungen. 3. (Schluss-) Bd. Astronomische u. optische Abhandlgn. Berlin, Düramlor's Verl. 5 Mk.

Kley er, A., Encyklopädio der gesammton mathematischen, technischen und exaeten Naturwissenschaften. 34. Lfg. Stuttgart, Maier. 1 Mk.

Siemens, W., wissenschaftliche u. technische Arbeiten. 1. Bd. Wissenschaftliche Abhandlungen u. Vorträge. 2. Afl. Berlin, Sprin- ger. 5 Mk.; geb. 6 Mk. 20 Pf.

Sitzungs-Anzoiger der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-naturwissenschaftl. Classe. Jahrg. 1889. Nr. 1. Leipzig, Freytag. procplt. 3 Mk.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissensehaften. Mathematiseh-naturwissenschaftl. Ciasso. Abth. Ha. Abhandlungen aus dem Gebiete der Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie u. der Mechanik. 97. Bd. 6. u. 7. Hft. Leipzig, Freytag. 6 Mk. 40 Pf.

Zeitschrift f. Mathematik u. Physik, hrsg. v. 0. Schlömilch, A. Kahl u. M. Cantor. 34. Jahrg. 1889. 1. Hft. Leipzig, Teub- ner. procplt. 18" Mk.

Zeitschrift f. mathematischen u. naturwissenschaftl. Untorricht Hrsg. v. J. C. V. Hoffmann. 20 Jahrg. 1889. (8 Ufte.) 1. Hft. Leipzig, Teubner. procplt. 12 Mk.

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ARCHIV

der

MATHEMATIK und PHYSIK

mit besonderer Rücksicht

«

auf die Bedürfnisse der Lelirer an höheren Unterrichtsanstalten.

Gegründet von

J. A. Gruner t}

fortgesetzt von

R. Hoppe.

Zweite Reihe.

Achter Teil. Erstes Heft.

(Mit 1 Ii thogupbi rt.n T»M.)

G. A. Koch's Verlagsbuchhandlung,

J. Stngbntch.

1889.

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Verlag von Georg Reiner in Berlin,

zu beziehen durch jede Buchhandlung.

Jahrbuch

über die

Fortschritte der Mathematik

begründet von Carl Ohrt mann.

Unter Mitwirkung von Felix Müller und Albert Wangerin

herausgegeben von

Max Henoch und Emil Lampe.

Achtzehnter Band. (1886.) (In 3 Heften.) Zweites Heft. Preis: 8 Mk.

Bieler* Rector Dr. A., Leitfaden and Repetitariim der Analytischen lerhanik. Für Studirende an Universitäten und technischen Hochschulen.

I. Teil: Analytische Statik der festen Körper mit 18 Holzschnitten.

M. 1.80.

II. „ Analytische Dynamik der festen Körper mit erläuternden Bei-

spielen und 15 Holzschnitten. M. 1,80.

Jeder Ttil auch eüixetn xu haben.

Verlag von W. Violet in Leipzig.

Verlag von 0* Kreuschmer in Bunzlan. Ossum«, A. F. £>. Tb., (Prof. am Gymn. zu Bunzlau):

Die Hauptsätze d. Elementar-Mathematik. Zum

Gebrauch an höheren Lehranstalten. 2. verbesserte Auf- lage.

I. Teil: Arithmetik u. Planimetrie. M 2,75.

(mit 130 Holzschnitten.)

II. Teil: Stereometrie u. Trigonometrie. H. 1,40.

(mit 53 Holzschnitten )

Jede gute Buchhandlung ist in den Stand gesetzt, auf Wunsch dieses gut empfohlene Lehrbuch der Mathematik den Herren Interessenten zur Ansicht vorlegen zu können.

V

In unserem Verlage erschien:

Inhaltsverzeichniss

Teil LV-LXX

dos

Archiv der Mathematik and Physik.

I. Abt., nach den Autoren geordnet.

II. „ nach der Materie geordnet.

Geh. Preis 1 Mk. 80 Pf. Leipzig. C. A. Koch's Verlagsbuchhandlung.

{J. Sengbutch)

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VERLAG VON QUANDT & HÄNDEL IN LEIPZIG.

Zu beziehen durch alle Buchhandlungen.

Physikuli sc 1 1 e Demonstrationen.

Anleitung zum Experiraentiren im Unterricht an Gymnasien, Realgymnasien, Realschulen nnd Gewerbeschulen.

Von

Dr. Ad. P. Weinhold,

Professor an den technischen SUaUlehranstaitan in Chemnitz.

Mit 4 lithograpbirten Tafeln und 517 Holzschnitten im Text. Zweite verbesserte und vermelvrte Auflage. Preis 22 M. 50 Pf.; — Gebunden 24 M. 75 Pf.

/

Der Verfasser dieses jetzt in 2. Auflage vorliegenden Werkes bat es sich seit einer Reihe von Jahren zur ganz besonderen Aufgabe ge- macht, für die mittleren Stufen des physikalischen Unterrichts (also für Gymnasien, Realschulen und Gewerbschulen) die möglichst instruetive und zweckmässige Form der anzustellenden Experimente aufzusuchen. Er will dem Lehrer der Physik behülflich sein, mit thunlichst geringem Aufwand an Zeit und Mühe den experimentellen Theil seines Unterrichts möglichst erspriesslich /u gestalten und er giebt in dem vorliegenden Werke eine für diesen Zweck sehr reichlich bemessene Auswahl von Demonstrationsversuchen mit ganz detaillirter, durch zahlreiche Illustra- tionen erläuterter Beschreibung der erforderlichen, zum TheU ganz neu construirten Apparate und der Art ihres Gebrauches.

Die Auswahl der Versuche ist getroffen mit Rücksicht auf die Aus- dehnung, welche der physikalische Unterricht an Mittelschulen äusser- sten Falles erlangen kann und mit Rücksicht auf die Grösse der an solchen Schulen vorhandenen Auditorien; viele der aufgenommenen Ex- perimente werden auch in weiter gebenden Vorträgen brauchbar sein.

Demonstrationsversuche haben theils den Zweck gewisse Erschei- nungen dem Schüler überhaupt vorzuführen, theils sollen sie die Richtig- keit mathematisch ausdrückbarer Gesetze nachweisen. Im ersten Falle Ist das Hauptaugenmerk darauf gerichtet, dass das Wesentliche der frag- lichen Erscheinung deutlich hervortritt: im zweiten Falle ist durch eine Reihe messender Versuche die Beziehung der in Frage kommenden

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Verlag vom Qüakdt & IIIkdel in Leipzig.

Grössen darzuthun. Solche Messungsreihen können im Unterrichte Im Allgemeinen nicht in der Weise ausgeführt werden, wie es bei wirklichen Arbeiten im physikalischen Prakt.kum und bei der erstmaligen Auf- suchung neuer Gesetze geschieht; die Apparate müssen möglichst einfach und übersichtlich sein und wo nur irgend möglich eine gleichzeitige Beob- achtung durch alle Zuhörer gestatten; die nachzuweisende Gesetzmässig- keit muss aus den erhalleneu Ueobachtungswertheu ohne verwickelte und zeitraubende Rechnung deutlich hervortreten. Deshalb müssen die Appa- rate mit besonderer Rücksicht auf die demonstrative Art ihres Ge- brauches construirt und die anzuwendenden Messungsgrössen müssen so gew.ihit sriii. dass ßie einlache und übersichtliche Resultate geben — nach beiden Richtungen hin soll das Buch zweckmässigen Rath ertbeilen.

Die für den ganz elementaren Unterricht erforderlichen Dinge Bind mit derjenigen Ausführlichkeit behandelt, die für den in Demonstrations- versueben noch völlig Ungeübten wünschenswert!) ist Versuche die nur in einem etwas weiter gehenden Unterrichte am Platze sind, konnten zum Theil etwas kürzer beschrieben werden, weil bei dem, der sie an- stellt, wenigstens einige Erfahrung und Uebung vorauszusetzen ist; gans allgemein verbreitete und bekannte Dinge konnten mit einer kurzen Er- wäunuug ab 'ethan werden.

Aus den Urtheilen über die erste Auflage'.

„\V. hat sieb nicht damit begnügt, die besten Versucbsanordnungen, die ihm irgendwie zuganglich gewesen sind, zu sammeln und sorgfiiJ»''*» zu beschreiben, sondern er bat auch durch Erliudung neuer und neuer Apparate, durch zweckmässige Umgestaltung altert . ^n struetionen uud durch eine systematische Anweisung zum Experio ,-i:nn die Methodik des physikalischen Unterrichts ganz ausserordenl iai,en* fördert. — Die Ueschreihung der Appurate und die Anordnung. Leber« suche ist so klar, so eingehend, so leicht fasslich und wird Professor so grosse Anzahl trefflich ausgeführter Figuren unterstützt, o Fjo-tircn. Derjenige, der sich noch wenig oder gar nicht mit der A- v Unterrichtsexperimenten beschäftigt hat, sich nach dem* ».'beb zurechtfinden und etwas Ordentliches leisten kann. — Auf die .n ^irischen Rathschlage, die W. in seinem Huche giebt, kann sieh jeder Expi>ur den tator ganz verlassen; da ist jede Einzelheit oft und gewissenhaft eiteren probirt, jeder Theil 1er Versuchsanordnunis' ist wohl überdach *■ hoch dem W. 'sehen Buche darf somit eine wesentliche Verbesserung des »ritte sikalischen Unterrichts aus vielen Gründen erwartet werden. Den An»un* dazu gegeben zu haben, ist ein sehr erhebliches Verdienst, für welcMe- alle Betbeiligten dem Verfasser der trefflichen „Pbys. Demonstrationen?" herzlichen Dank schuldig sind.' Zciischr. /. Math. u. Physik.

„Weit über die vorhandenen Hilfsmittel dieser Art hinausgebend, bietet der Verfasser ein nach Umfang und Gründlichkeit des behandelten Gegenstandes höchst beachtenswertes neues Werk. — — Soviel dürfte feststehen, dass den Lehrern der Physik für die experimentelle Seite ihre« Unterrichts formell und materiell eine reiche Fundgrube hierin ge- boten wird.- Zeitschr. f. mathem. w. nalurw. Unterricht.

„Wenn je ein Buch einem bringenden Bedürfniss' entgegen kam, so

ist dies bei den ,Physikal. Demonstrationen' der Fall; nicht nur

für den weniger Erfahrenen, sondern auch für den mit der praktischen Physik Vertrauten von hohem Iuteresse."

Central-Orynn f. Jiealschulwesen.

Verlag vos Quaspt & Händel iis Lritzio.

3

Einführung in das

Physikalische Praktikum,

R. T. Glazebrook und W. N. Shaw,

Dsroonstratoren der Pbysik am Carondiah-Laboratoriam in Cambridge.

Deut6cb herausgegeben von

W. Schloesser,

teehn. DOlfsarbeiter bei der kaiaerl. Normal- Aicbangs- Commiaaion in Berlin.

Mit 86 in den Text gedruckten Figuren. Preis 7 M. 50 Pf. — Gebunden 9 M.

Inhult: I. Allgemeines Uber physikalische Messungen. — II. Maassun- heiten. — III. Du* physikalische Rechnen. — IV. Messung einfacherer Grossen. Lungenmessungen. — V. Diu Messung von Massen und die Bestimmung des spccitischcn Gewichts. — VI. Mechanik der festen Körper. — VII. Mechanik der flüssigen und gasförmigen Körper. — VIII. Akustik. — IX. Tbermumetrie un 1 Ausdehnung. — X. Kalorimctrie. — XI. Dampfspannung und Hygro- motrie. — XII. Photometrie. — XIII. Spiegel und Linsen. — XIV. Spectra, Mrechungaimliees und Wellenlängen. — XV. PolarisirU-s Licht. — XVI. Far- npfindung. — XVII. Magnetismus. — XVIII. Elektrizität. Definitionen \ iclilrnngen elektrischer Ausdrucke. — XIX. Experimente Uber die fun- alen Eigenschaften des clektr. Stromes und der elektrorootor. Kraft. — t Ohln'sche Gesetz. Vergleichung elcktr Widerstände und clektromotor. - XXI. Messung einer Elcktricitattmenge und der Capacität eines . Condensators mit dem Galvanometer.

c on

'Verfasser des vorliegenden Werkes verfolgten bei der Herausgabo y ift c fn ahnlichen Zweck, wie Prof. Kohlrausch in seinem ,Leit- praktischen Physik* , nämlich den, Lehrern und Studirenden im ysschen Laboratorium ein Ililfsbuch bei messenden Versuchen zu Dass ungeachtet der analogen Tendenzen der beiden BUcher eine je Ausgabe des englischen Wtrkes nicht ttberftlssig war, dürfte dem m des letzteren bald einleuchten; die beiden Werke ergänzen sich in jvfacbcr Beziehung, so dass derjenige, welcher Messvorsuche auszuführen kaum in Verlegenheit kommen wird, wenn er mit dem Inhalte der bei- Bücher sich vertraut gemacht bat. — Die Form des in dem vorliegenden ehe gebotenen Lehr- und Uebungsmateriales unterscheidet sich wesentlich >n jener im Buche von Kuhlrausch; wilhrtnd in letzterem an den meisten llcn von den Ergebnissen der Theorie, ohne auf dieselbe näher einzugehen, Gebrauch gemacht wird, ist dieses Buch insofern elementarer angelegt, als in demselben die wesentlichsten Sätze der Theorie dem Leser vorgeführt wer- den nnd erst dann a*if die Bestimmung der Constanten eines Versuches durch messende Experimente eingegangen wird; aus diesem Grunde erscheint dem Referenten das vorliegende Buch vortrefflich geeignet zum Selbststudium

zu sein. Dos Werk kommt nach dem Mitgctheilten jedenfalls einem

Bedürfnisse entgegen, da es bislang in der deutschen Literatur an einem Buche, welches, ohne erhebliche Voraussetzungen zu machen, zur Einführung in die praktische Messkunde dienen konnte, gefehlt hat." — —

Wien. ZeiUchr. f. HeaUchulweten. 1888. 7. Heft.

4 Verlag vok Quaxdt & Händel ik Leipzig.

Vorschule der Experimentalphysik.

Naturlehre in elementarer Darstellung, nebst Anleitung znra Experimentiren und zur Anfertigung der Apparate. Von I>r- Adolf F. Weinbold , Professor an den technischen Staatsleur- anstalten in Chemnitz. Dritte verbesserte und vermehrte Autlage.

Mit 427 Holzschnitten und 2 Farbentafeln. Preis 10 M. ;

Gebunden 1 I M. hi) Pf. ; .Der Verf. bat den guten Gednnkpn gehabt, einen Leitfaden der Physik in elementarer Darstellung zu entwerfen und denselben gleich- sam als Schema zu benutzen, um fortlaufend bei den einzelnen möglichst einfachen Versuchen nicht minder einfache Apparate zur Selbstverfertigung anzugeben, ferner die Hilfsmittel su solcher Arbeit, nach Handgriff und nach Handwerkszeug zu beschreiben Ref. spricht die l'eherzeugung aus, dass der Verfasser durcli sein Buch ein wirkliches Bedürfnis! be- friedigt uud kann nur dringend anrathen, dass die Lehrer, namentlich der Volks- und Mittelschulen, das Werk gehörig studiren. Sehr gerathen würde es sein, ein solches Buch in den Schullehrerseminarien einzuführen und danach üben zu lassen." Litcrur. CentratWatt.

Die Fnndamental-Eigenscliiiften der

dioptrischen Instrumente.

Elementare Darstellung der Gauss'schen Theorie und ihrei Wendungen. Vou Galileo Ferraris, Professor am Kgl. T Gewerbe-Museum In Turin. Autorisirte deutsche Ausgabe, setzt und mit einem Anhange vermehrt von F. Llpplen^ an der Universität Prag. Mit 76 in den Text gedruckten^

Preis 5 Mark 20 Pf.

.Eine elementargeoroetrische Behandlung von Gauss* dio Untersuchungen, wie sie in Ferraris' Buche vorliegt, hat nicht Vorzug, die Resultate der abstrakt analytischen Theorie einem w Kreise als bisher zugänglich zu machen, sie besitzt auch das nie! genug anzuschlagende Verdienst, dem Studirenden bei jedem Sc die geometrischen Beziehungen vor Augen zu führen, in denen der mittelbare Grund der Thatsachen gelegen ist. Die geometrische thode in der Dioptrik, die bereits durch Neu mann. Reusen u. a. an bahnt wurde, erfährt hier eine strenge und elegante Durchführung, dadurch besonderen Werth erhält, dass sie in den Anwendungen optische Instrumente den Bedürfnissen der praktischen Physik entgegen kommt." Central-Orqan f. d. Interessen d. Reatschul Wesens.

„Die Schrift darf als eine dankenswerthe Bereicherung unserer wis- senschaftlichen Literatur bezeichnet und ihr Studium Allen angelegent- lich empfohlen werden, denen eine gründliche Orientirung in den Lehren der Dioptrik von Werth sein kann."

Zeitschrift für Instrumentenkunde.

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Inhalts- Verzeichnis

des achtel Teil».

.Ud.r Abhandlung Hift. Seite

Arithmetik, Algebra und reine Analysls ohne Integralrechnung.

V. Die harmonische Reihe. Ein Beitrag zur alge- braischen Analysis. Von Heinrich Simon . II 113 IX. Ein allgemeines Theorem aus der Theorie der re-

currirenden^Reihen. Von W. Laska II 222

X. Allgemeine Parameterdarstellung von Substitutionen involutorischen Charakters, welche eine rationale Function in sich selbst überführen. Von F. Hof- mann III 225

XI. Ein Sataüber Binomialcoefficientea. Von J. Her- mes III 269

XII, Independente Darstellungen der Tangenten- und Secanten-Coefficienten. Von F. Kogel .... III 295

XIV. üeber harmonische Reihen ungerader Ordnung.

Von F. Rogel III 320

XIV. Zahl der Combinationen , die n Steine auf dem

Damenbrette von 100 Feldern bilden können.

Von C. Boecklen III 326

XIV. Bemerkung zum Königinnenproblem. Von R.

Hoppe Hl 333

IV

Geometrie der Ebene.

IL Die Lemniskate. (Fort*, ron T. VII. Nr. XVIII.)

Von E. Oe kinghaus I 24

IV. Zur Theorie der Kegclschnittslinien. Von E. Czu-

bor I 108

VI. Verallgemeinerung des Entstehungsgesetzes derFuss-

punktcurven. Von E. Janisch II 171

VIII. üeber Parabeln höherer Ordnung. Von Him- stedt II 210

XIII. Die merkwürdigen Punkte derjenigen Tangenten- dreiecke einer Cm re 2. Ordnung, welche von 2 festen Tangenten und einer beweglichen gebildet

werden. Von Th. Meyer III 307

XIV. Construction des Schnittes einer Geraden mit

einer Hyperbel. Von F. Ruth III 315

XIV. Zur Construction der Kegelschnittslinien. Von

F. Schiffner III 317

XV. Ucber den Brocard'schen Kreis als geometrischen Ort und die demselben verwandten Kegelacbnitt-

scharen. Von An dr. Miller IV 337

XVIII. Die Curven, welche ron Punkten von Kegelschnit- ten, die sieh ohne zu gleiten längs andern Curven wälzen, beschrieben werden. Von H. Ekama . IV 388 XX. Vielceke, deren Hübenlote sich in einem Punkte

schneiden. Von R. Hoppe IV 447

Geometrie des Raumes.

I. Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte und des

geraden Kegels. Von F. Ruth I 1

III. Ueber Raumcurven-Singularitäten. Von C. F. E.

Björling I 83

VII. Zur sphärischen Schleifenlinie. Von E. Janisch. II 184 XIV. Ergänzung des „Beitrags zur Inhaltsberechnung der Körper.« (Bd. XXVI. 8. 204 des Arch.). Von Ligowski III 319

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V

.Ii dsr Abhandlung. Heft Seite.

XIV. Nachträgliche Bemerkung tu Nr. VII. Von B.

Janisch III 334

XIV, Zur Bestimmung der Curven durch die Relation zwischen Krümraungs- und Torsionswinkel. Von R. Hoppe III 335

XVI. Ucber das sphärische Polarsystem und seine An- wendung auf das Tetraeder. Von Th. Meyer . IV 363 XVII. Anwendung des Taylor'schen Satzes zur Rectifica- tion der Ellipse und zur Complanation des Ellip- •oids. Von C. Benz IV 378

XIX. lieber die Rcctification der Krümmungslinien auf

Röhrenfiachen. Von A. Ahrendt IV 442

Mechanik.

IV. üeber Gleichgewichtspunkte der Anziehung von

Linien. Von R. Hoppe I 94

IV. Inkreiscentrum als Gleichgewichtspunkt. Von R.

Hoppe I 112

IX. Aehnlichkeitspunkt als Gleichgewichtspunkt der

Anziehung ebener Flächenstücke. Von R. Hoppe II 221 IX. Gleichgewicht der Anziehung einer ringförmigen

Fläche. Von R. Hoppe • II 223

Eni- und Himmelsknnde.

IV. Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung. (Forte-zu T. VIL Nr. XXUI. 5.) Von E. Oe king- haus I 92

Litterarische Berichte.

XXIX. Sturm (Anal.) Vandermonde (Abhdl.) H.C.Schwarz (Ord.

Typ.) C. F. Gauss (höh. Ar.) Forsyth (Diff. Gl.) Czuber (Ges. gr. Zal.) Bleicher (Zinsr.) Holzingcr (pol. Ar.) Fein (Königinnenpr.) Redlich (höh. Gleich.) Dziobek (Flan. Bow.) Th. Schmid (Erde). Caspari (Astr.) Neumaier (Beob.) He*ment (Sternschn.) Fei. Müller (Kai. Kart.) Littrow (astr. Kai. 1889) Hann u. Köppcn (Met. Z. V.) Soc. Math, de Fr.

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VI

(Bull. XVI.) Fac. de Toul. (Ann. II.) VenL en Meded. (III. IV.)

XXX. Kaiser (neu. Gcom.) Schoen flies (Geom. d. Bow.) Beye (G. d. Lagc> Pcschka (Persp.) Wi 1 1 i g (Kcgclscbn.) Dorat (Krcis- wkl.) Wacgc (Netze). Vonderlinn (dam. G.) Brill (Mod.) Katzer (Kryst) Bicler (Mech.) Land (Trigh.) Samuel - son (Dampfcxp.) Stokes (Licht). Pabst (Opt.) Line. (Bend. IV.) Mittag-Lefflcr (A. M. VIII.)

XXXI. Reiff (Gesch. un. Ith.) CurUe (Jord. Ncm.) Böklon (Hist. im Unt.) Helm (Encrg.) Harm» (Rech.) Schräm (Jd) Fr- Meyer (Unendl.) Krumme (anal. G.) Newcomb (Am. J. XI.) Mittag-Lefficr (A. M. XII.)

XXXII. Schräm u. Schüssler (Vorsch.) Otto u. Dicsener (nied. M.)

Kleyer (Encykl.) Köstlcr (eb. G.) Rottok (Plan. — Ster.) Wallen t : □ (Naturl. — Fhys.) Reck nagel (Mech.) Mcissel (Taf. Boss. F.) Ligowski (Taf. Hyp. F.) Bas so t (5 u. 4 st. Log ) Blater (Taf. Quadr.) Versl. cn Meded. V.

Berichtigungen im VIII. Teile.

Seit« Zeile

150 3 t. u.	statt	Bestimmung setze Restbestimmung
211 3 v. ob.	m	n
11 . „	streiche mau
15 >, »	statt	9	setze q
212 7 „		Zahlen	„ Primzahlen
12 M „	M	**	„ y*
213 3 u. 2 v.	u. „	a	>1 «
218 10 v. ob.		a»	II ^
220 2 v. u.	n	<i	„ g (zweimal)
320 3 v. ob.	M		n **
12 „ „	n		« *8

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Journal f. d. reine u. angewandte Mathematik. Hrsg. v. L. Kronecker. 105. Bd. (4 Hfte.) 1. u. 2. Hft. Berlin, G. Reimer« prcplt. 12 Mk.

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Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München 1889. 2. Hft. München, Franz'scher Verl. 1 Mk. 20 Pf.

Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftl. Classe. Abthcilg. IIa. Abhandlun- gen aus dem Gebiete der Mathematik, Astronomie, Physik, Meteoro- logie u. der Mechanik. 98. Bd. l.Hft. Leipzig, Freytag. 3Mk.50Pf.

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III. Heft: Die Aehnlichkeit der Figuren, gr. 8°. geh. 1 Mark.

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Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte etc.

1

L

Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte und des

geraden Kreiskegels.

Von

F. Ruth

in Leoben. (Mit einer T.fel.)

1) In der vorliegenden Abhandlung sollen die Eigenschaften der die Asymptoten eines Kegelschnittes berührenden Kreise erörtert werden, wodurch wir einerseits zu einer Definition der Scheitelkreise als Einhüllende gewisser Geraden gelangen, andererseits zu gewissen Constructioneu, teils die Kegelschnitte selbst, teils die Bestimmung des Schnittes derselben mit zu den Uauptaxen parallelen Geraden u. s. w. betreffend, die, wenngleich sie, was Einfachheit anlangt, durch manche der schon bekannten übertroffen werden, immerhin als Beiträge zur Vervollständigung der Theorie der Hyperbel und Ellipse von einigem Interesse sein dürften. Die Hyperbel besitzt zwei reelle, die Ellipse zwei imaginäre Asymptoten, die Doppelstrahlen ihrer Durchmesserinvolutionen; als Grenzfall zwischen beiden tritt die Parabel auf, bei welcher die beiden Asymptoten mit der unendlich fernen Geraden ihrer Ebene zusammenfallen, daher man bei der Parabel von Kreisen, die die Asymptoten berühren, nicht sprechen kann, und die im Nachfolgen- den erhaltenen und besprochenen Resultate sich nur auf die Ellipse und Hyperbel bezieheu.

Wir gelangen zuerst ganz allgemein durch Betrachtung einer gemischten Kegelschnittschaar, bestimmt durch zwei Punkte und zwei Tangenten (jener Schaar, die sich selbst dual ist), zu eiuem

Arch. der Metu. n. Phjs. 2. Keine, T. VIII. I . r

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2

Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte

Satze, durch dessen Spocialisining sich die fraglichen Eigenschaften ergeben; denn die Kreise einer Ebene gehen alle durch dieselben zwei unendlich fernen imaginären Punkte, und jene davon, welche zwei gegebene Gerade berühren, bilden eine speciello Art einer solchen Kegelschnittschaar. Wir werden dann aber noch einen an- dern directon und elementaren Weg der Ableitung einschlagen, der nur die Kenntniss gewisser einfacher Relationen zweier Kreise vor- aussetzt, und schliesslich einige Uebertragungen in den Raum machen.

2) Bekanntlich sondern sich die Kegelschnitte durch zwei feste Punkte 7 und II auf * (Fig. 1.) berührend an zwei Gerade / und tv durch S, derart in zwei Gruppen, dass die Polaren von S (Be- rührungssehnen mit t und <,) durch einen vou 2 festen Punkten P oder Q gehen *), die so auf der Geraden * liegen, dass sie sowol / und 77, als auch t und harmonisch trennen; die Pole der gemein- samen Secante * liegen auf einer von zwei Geraden p oder g, die durch S gehen und ebenfalls / und 77, und t und tt harmonisch trennen, also durch P und Q gehen.

Betrachten wir jetzt die eine Gruppe der Kegelschnitte des Sy- stemes, z. B. die, für welche die Polaren von * durch P gehen, und bezeichnen wir einen beliebigen Kegelschnitt dieser Gruppe mit 7\*.

„Legt man einen Kegelschnitt A'* beliebig , der SI und Sil in „den Punkten I und // berührt, und legt man an diesen und jeden „Kegelschnitt iV* der Gruppe P die gemeinsamen Tangenten, so „liegen die auf den Pf befindlichen Berührungspunkte 1, 2, 3, 4 „derselben alle auf einem neuen Kegelschnitte A**2, welcher t und t, „in den auf s gelegenen Punkten T und 7', berührt, und den Kegel- schnitt K* in den auf p gclegeuen Puuktcu doppelt berührt44

„Wählt man umgekehrt einen Kegelschnitt Ä'*2 beliebig, der „jedoch die gegebenen Geraden e und t, in den auf * gelegenen „Punkten T und Tx berührt, so schneidet dieser die Kegelschnitte „TV der Gruppe P in Punkten derart, dass die Tangenten in diesen „au die Kegelschnitte 1\* einen neuen Kegelschnitt Ä2 umhüllen, „welcher K** in den auf p gelegeneu Punkten doppelt und die Ge- raden SI und SU in den Punkten I und 7/ resp. berührt."

Zum Beweise des Vorstehenden betrachten wir in Fig. 1. K* und P<*, zwei Kegelschnitte mit den auf * und *t gelegenen gemein- samen Punkten 7, 77, 777 und IV, welche C und C, als geraeinsame auf p befindliche Contingenzpunkte besitzen. Sind S und Z die Pole

1) Siehe Schröter: Theorie der Kegelschnitte. 2 te Aufl. p. 3€J. and H. Pfa/f, Neuere Geometrie II. Thl. j>. 176. u. s f.

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und des geraden KreUkeijels.

3

von * bezüglich K* und P,2, so bilden die von I nach C, Cu S und 2? gezogenen Geraden vier harmonische Strahlen, da ja IS und IE die Doppelstrahlen der in I durch dio Kegelschnitte der Schaar K*Pf bestimmten Involution sind, in der IC und ICX ein Paar bilden. 8, £ und CCj sind somit zwei Paare harmonisch conjugirter Punkte auf p und ihre Polaren os ccx bezüglich P.* werden 4 harmonische Strahlen durch P bilden. (ö die Polare von S, $ dio Polare von £ bez. P,*).

Dasselbe findet bezüglich S, und £t den Polen von tt hinsicht- lich Ä'* und Pi2 und Polaren in Bezug auf Pf statt, so dass ax ax ccx wieder 4 harmonische Strahlen durch P bilden.

A» und Pf haben gomeinsamo Tangenten und die Berührungs- punkte 1, 2, 3, 4 auf P? liegen auf e und c, und geben diese be- kanntlich dasselbe Poldreieck POR wie die Punkte I, //, III und IV. Legen wir jetzt aus S die Tangenten t und tt an Pf und bringen wir sie zum Schnitt mit $ und ebenso aus S1 die Tangenten x uud r( und bringen sie zum Schnitt mis *„ so erhalten wir 4 auf s und (und t *, und r und r, resp.) gelegene Punkte, die ebenfalls POR als Poldroieck haben, wie sich leicht ergibt1). Diese 4 Punkte müssen nun einem bekannten Satze zufolge mit den Punkten 1, 2, 3, 4 auf einem und demselben Kegelschnitte liegen — K*%. —

Da aber früher gezeigt wurdo, dass [8<scct) — —1, so sind t und ^ Taugenten in den Punkten T uud TY an A*s, denn A*> ist der ausser Pf noch durch 1, 2, 3, 4 gehende Kegelschnitt der t berührt, und mus8 der Berührungspunkt von jenem mit Pf durch c uud ct harmonisch getrennt sein, was mit T wogen {aaccx) — — 1 der Fall ist

Aehnliches l&sst sich für t und t, sagen. Zur weiteren Be- stimmung von K*% suchen wir die Schnittpunkte dieses Kegel- schnittes mit p\ da S und * sowol als auch St und *, Pol und Polare nicht nur in Bezug auf A8, sondern auch hinsichtlich K** sind, so berühren sich K** und K* iu den auf p gelegenen Punkten A und At doppelt, K% und K** sind also doppelt berührende Kegel- schnitte mit P und p als gemeinsamem Pol und Polare.

-

J) Legt man ans 2 Punkten einer Seite des gemeinsamen Poldreiccks eines Kegelschnittbflschels die von den Ecken des Poldreiecks harmonisch ge- trennt werden, Tangenten an irgend einen Kegelschnitt des Büschels, so treffen diese die durch die dritte Ecke des Poldreiccks gehenden gemeinsamen Se- canten zweimal in 4 Punkten, die dasselbe Poklrtiock, das des Büschels geben.

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4

Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte

Wenn wir jetzt A2 ungeändert lassen und den Kegelschnitt Pf derart ändern, dass er jederzeit durch die zwei festen Punkte / und II geht und die ebenfalls festen Geraden t und f, berührt (so dass die Berührungssehne durch P geht) und an jeden dieser Kegel- schnitte P,8 und an Ä'1 die geraeinsamen Tangenten legen, so liegen jedesmal die auf Pt* befindlichen Berührungspunkte mit TT, TtTl% AA, AjAj u. s. w. auf demselben Kegelschnitte, der durch die so- eben aufgezählten Bestimmungsstücke schon bestimmt und mit dem Kegelschnitte A'** identisch ist, wodurch der angeführte Satz be- wiesen erscheint.

Es ist wol nicht notwendig, den Beweis besonders zu führen für don Fall , dass die festen Punkte I und // oder die Geraden t und *j, oder beide Paare Bestimmungselemente der Schaar imaginär sind, ebenso darf hier von dem Beweise des zweiten Teiles, wo Rm gewählt wird, Umgang genommen werden.

3) An das Vorhergehende lassen sich noch unmittelbar fol- gende ergänzende Bemerkungen anreihen:

a) Auf A'*» Hegen noch jederzeit die Schnittpunkte der zweiten durch P gehenden K* und l\- gemeinsamen Sccante $x mit den Tangenten an Pi% aus dem Pole <S, der Secante *, in Bezug auf Ä* ; dieso Tangenten an Pt* sind zugleich auch Tangenten an A**.

b) Da es noch einen zweiten Kegelschnitt Pf gibt, der mit Pf ausser J, // noch dieselbe zweite Secante *, mit K* gemeinsam hat, so erscheint A** auch als die einhül- londo Curve der ausser t und *, noch vorhande- nen gemeinsamen Tangenten der Kegelschnitts - paare Pt* und Pf der Gruppe die sich auf A« ausser in / und II noch in denselben zwei Punkten schneiden ; auf der zweiten noch gemeinsamen Secante «, liegen auch die Punkte von K**.

Zur näheren Orientirung über die Paare Pf und Pf dient dio leicht zu erweisende Bemerkung, dass ihre Berührungspunkte auf t (also auch auf tx) Paare einer Involution bilden, deren Doppelpunkte auf K*s liegen.

Dio in a) und b) angeführte* Ergänzungen lassen sich auch leicht bezüglich der Fassung des zweiten Teiles des Satzes formu- liren, was aber hier nicht weiter verfolgt worden soll.

4) Bevor wir auf einige Specialisirungen übergehen , wollen wir noch die zweite Gruppe des Systemcs der Kegelschnitte (/, II, <, f,)

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und det geraden Kreiskegels.

5

in den Bereich unserer Betrachtungen ziehen. Es ergibt sich für diese Gruppe, welche Q und q als Convergenzpunkt der Polaren von S rcsp als Ort der Pole von s bezüglich der Qi', wie wir einen Repräsentanten dieser Gruppo bezeichnen wollen, haben , dass , wenn wir A' - von früher festhalten, und an A"~ und jeden Kegelschnitt Qt' die gemeinsamen Tangenten legen, die auf Qt* befindlichen Be- rührungspunkte auf einem neuen Kegelschnitte, Kq* wollen wir ihn be- zeichnen, liegen der ebenfalls t und i, in den Punkten T und Tt berührt und K 8 in den auf q gelegenen Punkten doppelt berührt. Be- trachtet man also beide Gruppen P<* und Qj* der Kegelschnitte des Systemes, so folgen für jeden beliebig gewählten Kegelschnitt K* in der angegebenen Weise zwei Kegelschnitte KP* und die sich in Tund 7*2 doppelt berühren, und deren jeder K% doppelt berührt ersterer mit p, letzterer mit q als Berührungssehne.

Wenn wir hingegen K** festhalten, und diesen Kegelschnitt mit deu Kegelschnitten Q»8 der zweiten Gruppe zum Schnitt bringen, in den Schnittpunkten au diese Kegelschnitte die Tangenten legen, so umhüllen diese einen neuen Kegelschnitt Kq*, welcher SI und Sil in I und II berührt, und K** doppelt berührt mit q als Berührungs- sehne. Kp* für die Gruppe Qt* und der demsolbeu Kegelschnitt K*2 zukommende Kegelschnitt für die Gruppe Q,2 berühren sich doppelt in den Punkten I und II mit SI und Sil als Tangenten in diesen, und joder berührt K*% doppelt, ersterer in den Schnittpunkten mit letzterer in jenen mit q.

Wir erhalten also aus beiden Gruppen von Kegelschnitten P<* und Qi3 deuselbon Kegelschnitt Ä"**, wenn wir die ersto Gruppe mit KP*, die zweite Gruppe mit in der angegebenen Weise in Be- ziehung bringen u. b. w.

Die in 3) gemachten Zusätze lassen sich ohne besondere Schwierigkeiten auch für den Fall dass wir die zweite Gruppe von Kegelschnitten benutzen ausdrücken, was jedoch für den allgemeinen Fall hier nicht geschehen soll-, nur mit Bezug auf die in den spä- teren Ausführungen folgenden Specialisirungen sei hierauf aufmerk- sam gemacht.

5) Gehen wir auf die Specialisirungen dieses allgemeinen Satzes und seiner Zusätzo über, so ergibt sich:

a) Ein System von Kegelschnitten durch 2 feste Punkte, welches einen gemeinsamen Brennpunkt besitzt, werde mit einem Kegelschnitte geschnitten, der denselben Brennpunkt und die Verbindungslinie der festen Punkte zur zuge- hörigen Leitlinie hat.

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6

Ruth: Beitrügt zur Theorie der Kegelschnitte

Legt mau in den Schnittpunkten an die Kegelschnitte des Sy- stemes die Tangenten, so umhüllen diese einen von zwei Kegel- schnitten, die sich in den festen Punkten berühren, in diesen die Verbindungslinien mit dem gemeinsamen Brennpunkt zu Tangenten haben, und welche den angenommenen Kegelschnitt doppelt be- rühren, und:

b) Hat man ein System von Kegelschnitten durch 2 festo Punkte, welches einen Brennpuukt gemeinsam hat, und legt man an diese und an einen Kegelschnitt der die Verbin- dungslinien des gemeinsamen Brennpunktes mit den beiden festen Punkton in diesen berührt die gemeinsamen Tan- genten, so liegen die Berührungspunkte (ausser auf dem angenommenen) auf einem von zwei ueuen Kegelschnitten, der ebenfalls den gemeinsamen Brennpunkt zum Brenn- punkt hat, und dessen zu diesem gehörige Leitlinie die Verbindungslinie der beiden festen Punkte ist.

Sind die beiden festen gemeinsamen Punkte unendlich fern, so erhält man:

c) Bringt man ein System von ähnlichen und ähnlich gelege- nen Kegelschnitten mit einem gemeinsamen Brennpunkt mit einem mit dem Brennpunkt concentrischen Kreise zum Schnitt, und legt in den Schnittpunkten desselben mit den Kegelschnitten an diese die Tangenten, so umhüllen diese einen von zwei Kegelschnitten, welche den Kreis doppelt berühren, und die Verbindungslinien des gemein- samen Brennpunktes mit den festen oo fernen Punkten zu Asymptoten (reell o. imag.) haben.

oder:

d) Legt man an ein System von ähnlichen und ähnlich ge- legenen Kegelschnitten mit einem gemeinsamen Brennpunkte und einen beliebigen andern Kegelschnitt , der die Ver- bindungslinien des gemeinsamen Brennpunktes mit den allen Kegelschnitten gemeinsamen Punkten zu Asymptoten bat, die gemeinsamen Tangenten, so liegen die Berührungs- punkte derselben auf einem von zwei Kreisen, die mit dem gemeinsamen Brennpunkt concentrisch sind ').

1) Di reo sind die beiden Scheitelkreise de? Angenommenen Kegelschnittes. Im Falle Ähnlicher Ellipsen wird der über der grossen Axc mit Hilfe der reellen Eilmsen, der über der klemm Axe mit Hilfe dir imaginären Gruppe erhalten.

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und des geraden Kreiskegels

7

Als Grenzfall lassen wir die beiden <x fernen Punkte in einen zusammenfallen, wodurch wir ein System von coaxialen confocalen Parabeln erhalten, ein specioller Fall einer Kegel Schnittschaar. Es ergibt sich hier:

e) Ein mit einem beliebigen Radius um den Brennpunkt als Mittelpunkt beschriebener Kreis schneidet dio Parabeln in Punkten so, dass die Tangenten in diesen durch 2 feste Punkte gehen, die Endpunkte des auf der gemeinsamen Parabelaxe gelegenen Kreisdurchmessers, und umgekehrt:

f) Legt man aus einem Punkte der gemeinsamen Axe eines Systemes von confocalen coaxialen Parabeln die Tangen- ten, so liegen die Berührungspunkte auf einem Kreise der durch diesen Punkt geht, und dessen Mittelpunkt der ge- meinsame Brennpunkt der Parabeln ist.

Der Kreis ist derselbe für die Berührungspunkte der Tangenten aus dem zweiten Endpunkte des auf der gemeinsamen Parabelaxe gelegenen Durchmessers ,).

Dieses Ergebniss ist übrigens auch direet elementar und leicht nachweisbar, mit Hilfe der bekannten Parabeleigonschaften. Ist nämlich Fig. 2. Z, dio Leitlinie einer beliebigen Parabel des Syste- mes, so liegt in der Mitte zwischen dieser und dem Brennpunkt F der Scheitel Si der Parabel. Die Schnittpunkte der Parabel mit dem Kreise vom Halbmesser r ergeben sich auf einer Parallelen zu U im Abstände r von dieser und der Schnittpunkt der Tangenten in diesen Punkten mit der Axe wird erhalten, wenn man den Abstand des Scheitels S, von der Sehne auf die entgegengesetzte Seite abträgt, wodurch, wie zu sehen, der Durchmesserendpunkt erhalten wird

U. 9. W.

6) Von den zahlreichen noch denkbaren Specialisirungen, deren der allgemeine Satz fähig ist, soll nun noch eine, allerdings die wichtigste, erörtert werden. Wir nehmen an, die beiden festen Punkte 1 und II seien die unendlich fernen imaginären Kreispunkte der Ebene, die Kegelschnitte des Systemes also ver- treten durch die zwei Gruppen von Kreisen, welche zwei gegebene (reelle oder imaginäre) Gerade berühren, deren Mittelpunkte daher

1) Spcci alfall tod: Legt man aus einem Punkte der gemeinsamen Haupt- axe eines Systemes confocaler Ellipsen Tangenten an diese, so ist der Ort der Berührungspunkte ein Kreis. Siehe Fiedler, Anal. Geometrie der Kegel- schnitte. 4te Aufl. pug. 282.

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Ruth : Btitr&g« zur Theorie der KefeUehnitte

auf einer von zwei Geraden a und b liegen, die, da sie conjngirt in Bezug auf die unendlich fernen Kreispunkte sind, senkrecht zu ein- ander und weil sie auch durch die gegebenen Geraden harmonisch getrennt werden, die Halbirungslinien der Winkel dieser sind (oder die Axen des die Geraden ersetzenden Strahlensystems).

Die in der allgemeinen Betrachtung mit P und Q bezeichneten Punkte sind in diesem Falle die unendlich fernen Punkte von a und 6, und der Kegelschnitt K* der allgemeinen Betrachtung ist ein mit dem Schnittpunkt der gegebenen Geraden concentrischer Kreis, den wir mit A* oder B% bezeichnen wollen. Der Kegelschnitt A *- ist dann ein Kegelschnitt, der die gegebenen Geraden zu Asymptoten hat, wenn diese reell, eine Hyperbel, wenn imaginär, eine Ellipse A* resp. B% zu Scheitelkreisen hat, da o und b die Axen des- selben sind, und in den Endpunkten dieser dio doppelte Berührung von K* und K** erfolgt.

Nach Vorausschickung dieses erhalten wir nun:

„Ellipse und Hyperbel ergeben sich auch als Ort der Borüb- „rungspnnkto der gemeinsamen Tangenten an einen Scheitelkreis, „und die Kreise, welche die Asymptoten berühren, und deron Mittel- „punkte auf der Axe liegen, über welcher der Scheitelkreis beschrieben „wurde,"

Man erhält daher durch Benutzung beider Scheitelkreiso , sowie beider Systeme der Kreiso, die die Aymptotcn berühren, in zwei- facher Weise die Kegelschnitte in der angegebenen Art, und:

„Die Scheitelkreiso der Kegelschnitte sind die Einhüllenden der „Tangenten an die, die Asymptoten derselben berührenden Kreiso in „ihren Schnittpunkten mit dem Kegelschnitte.44

Der letztere Satz lässt auch folgende Fassung zu:

„Die Tangenten an die, die Aymptotcn eines Kegelschnittes be- ehrenden Kreise in ihren Schnittpunkten mit dem Kegelschnitte „haben constanto Entfernung vom Centrum des Kegelschnittes und „ist diese Entfernung gleich der Grösse der einen oder andern Halb- „axo, je nach der Lage des Mittelpunktes des Kreises auf der einen „oder andern Axe.M

Ferner ergibt sich analog den in 3) gegebenen Zusätzen und der in 4) gemachten Schlussbemerkung:

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und des geraden Krtiskeyels.

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a) Jeder die Asymptoten berührende Kreis schneidet den ent- sprechenden Scheitelkreis noch in 2 Punkten einer Secante. Sncht man den Pol derselben in Bezug auf den Scheitel- krois (er ist auch der Pol in Bezug auf den Kegelschnitt) und legt aus diesem die Tangenten an den Kreis, so be- rühren diese auch den Kegelschnitt, und liegen die Bo- rungspunkte auf jener Secante.

Und:

b) Ellipse und Hyperbel ergeben sich auch als Einhüllende der noch möglichen gemeinsamen Tangenten der die Asymptoten berührenden Kreispaare, welche sich in den- selben zwei Punkten des Schcitelkreises schneiden, deren Berührungspunkte mit den Asymptoten auf diesen eine In- volution bilden, für welche die Doppelpunkte auf dem dem Kroissysteme entsprechenden Scheitelkreise liegen.

Die Mittelpunkte der Kreise, welche in jenen Punkten, wo der Scheitelkreis die Asymptoten schneidet, berühren, geben (wie be- kannt) die Brennpunkte des Kegelschnittes; denn hier fallen beide Kreise des Paares zusammen, ihre mit dem Scheitelkreis gemeinsame Secante ist die Gerade, welche die auf den beiden Asymptoten ge- legenen Doppolpuukte verbindet; aus dem Pole dieser Geraden, d.i. dem Mittelpunkte der beiden zusammen fallenden Kreise hat man an diese die Tangenten zu legen, die nach den unendlich fernen imaginären Kreispunkten der Ebene gehen, und weil diese auch den Kegelschnitt berühren, so ist dieser Punkt Bronnpunkt für den Kegelschnitt.

Wir begnügen uns mit der Anführung dieser Satze und be- merken, dass auch die andern Fassungen des allgemeinen Satzes sich leicht weiter ausführen lassen. Aus dem über die Ellipse und Hyperbel Gesagton ergeben sich nun leicht Constructionen , die wir aber erst später zusammenhangend behandeln wollen, nachdem wir die Sätzo noch auf einem andern directen Wego uns zurecht gelegt haben , weil daraus sich noch einiges Bemerkenswerte und für die Constructionen Brauchbare ergibt

7) Dass die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten eines festen Kreises und der Kreise, die zwei feste durch das Cen- trum des gegebenen Kreises gehende Gerado berühren (im System betrachtet) einen Kegelschnitt geben, der den festen Kreis als Schei- telkreis, die Geraden zu Asymptoten hat, können wir einfach und direct nachweisen, indem wir von gewissen Beziehungen zwischen

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Ruth: Beiträge xnr Theorie der KegtUchnitU

zwoi Kreisen aasgehen, die wir im Nachstehenden anfuhren, und soweit sie nicht allgemein bekannt sind, auch beweisen wollen.

«) Siud Fig. 3. Kx und Kt zwei Kreise, und legen wir aus

dem Mittelpunkt O, von Kx an Kt und aus 0, an k\ die

Tangenten, so schneiden diese Tangenten aus dem Kreise,

durch deren Mittelpunkt sie gehen, gleich grosse Sehnen aus, d. h. es ist

2,, = 2,,

Aus Fig. 3. ist nämlich

h « * — n • « \

$t t rf — rt : « J

also

2s, « 2«,

/?) Die Grösse dieser Sehnen ist auch gleich der Lange der Tangente an den betreffenden Kreis senkrecht zur gemein- samen Centralen zwischen jenen Geraden, die von dem Mittelpunkte des einen Kreises nach den Endpunkten des zur Centralen senkrechten Durchmessers des zweiten Kreises gehen. Es ist nämlich Fig. 4.

rt : r, — r, : « J •

Diese iu 0) gemachte Bemerkung ist insofern von Belang, als in jenen Fällen , wo von dem Centrum des einen Kreises (wie in Fig. 4 ) an den zweiten Kreis keine reellen Tangeuten gelegt werden können, hiedurch ein Ersatz für die durch die Tangenten sonst aus dem Kreise geschnittene Sehne gegeben ist.

y) Legt man Fig. 3. an die beiden Kreise Kx und Kt die möglichen gemeinsamen Tangenten, so sind die Berührungs- sehnen, die senkrecht zu der gemeinsamen Centrale stehen, von der gemeinsamen Cordalen paarweise gleich weit ab- stehend, d. h. sie bilden Zonen von gleicher Breite *). Für unsere Zwecke ist wichtig zu zeigen, dass diese Zo- nenbreite gl eich 2*j = 2t, = ... ist

1) Steiner, Ueber einige neue Bcttimmnngsarten etc. — . Steiner' • che Werke Bd. II. p. 450; rergl. auch Fiedler, Cyclographie p. 90.

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und des geraden Kreiskegels.

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Aas Fig. 3. ergibt sich leicht:

Ist 0,^— Vi 80 :

r, : r,

oder

und damit:

n — m

n—m ist nämlich die halbe Zonenbreite, denn die Polare des Mittelpunktes Ot von 2T, in Bezug auf Kx fallt aus leicht zu ersehenden Gründen in die Mitte zwischen den Polaren der beiden Aehnlichkeitspunkte der Kreise.

Dass diese Relation auch richtig ist, wenn die beiden reell vorausgesetzten Kreise nicht 4 reelle gemeinsame Tangenten zu- lassen, ist leicht zu ersehen. Für den Fall, dass beide Kreise ima- ginär sind, wird im wesentlichen nichts verändert, und der Fall, wo einer der Kreise imaginär, der zweite reell ist, hat für unsere Be- trachtungen, die wir hier verfolgen , keinen Belang und kann über- gangen werden.

<5) Im Falle, dass von dem Mittelpunkte des einen Kreises an den zweiten reelle Tangenten gelegt werden können, ist noch zu bemerken, dass die Zonenbreito auf einer solchen Tangente gemessen werden kann, und dass sie da gleich ist dem Stück der Tangente an Kt senkrecht zur Cen- tralen, welches durch die aus 0% an Kx gehenden Tan- genten begrenzt wird; es ist nämlich in Fig. 3.:

wo w den Abstand des Punktes O, von #, bedeutet. Es ist aber auch

woraus b — t folgt; es ist daher b gleich der halben, längs einer aus dem Mittelpunkte von Ot an JT, gezogenen Tan- gente gemessenen Zonenbreite der Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise.

8) Betrachten wir jetzt zwei feste und zwar zunächst reelle Gerade tt und Fig. 5., die durch den Mittelpunkt S eines Kreises

I : $t <— r, : u>

b : #, = r, : u»

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12 Ruth: Beitrage xur Theorie der Kegelschnitte

Ä* gehen, und alle die Kreise, die diese Geraden berühren and ihre Mittelpunkte auf der Geraden a haben. In diesem Falle ist * oder DG — \DD für alle Kreise des Systeinos coustant, und die Berüh- rungspunkte der gemeinsamen Tangenteu au A* und joden Kreis des Systemes bilden auf jedem der letzteren Zonen von constantor Breite — 2:

Betrachten wir tlts als die Projectionen der Umrisserzeugenden eines schiefen Kreiskcgcls, »Sals die Projection der Spitze, so sind dio Krciso des Systemes aufzufassen als die Projectionen von zur Basis parallelen Schuitten. Eine Ebene parallel der die Contourerzeugenden verbindenden Ebene schneidet den Kegel nach einem Kegelschnitte, dcBseu Projection die Contourgeraden zu Asymptoten hat.

Man findet nun Punkte der Projection des Schnittes, indem - mau die zur Basis parallelen Ebenen mit der schueidenden Ebene zum Schnitt bringt, und dio Projectionen bestimmt. Diese Schnitt- linien projiciren sich als Parallelen zu den Berührungssehnen der Kreise mit f, und fs und zwar in gleichen Abständen und nach der- selben Seite von diesen geuommen.

Trägt man also von den Berührungspunkten auf tl nach einer Seite ein constantes Stück b (oder parallel zu a das Stück DG — «) auf, legt die Senkrechten zu a, so erhält man in den Schnittpunkten dieser mit den entsprechenden Kreisen die Punkte der Hyperbel, für welche b = AB die absolute Grösse der Nebenaxe ist.

Dass b dio Grösse der Nebenaxe ist, ist zu ersehen, indem man sich auch jenen Kreis Ka Fig. 5. parallel der Basisebene gezeichnet denkt, der von der ihm zukommenden Schnittlinie mit der schnei- denden Ebene berührt wird, wo dann BN = BA, und A der Scheitel wird. Trägt mau dieselbo Grösse b (oder t resp.) nach entgegen- gesetzter Richtung auf, so erhält man wieder eine Hyperbel, die mit der frühern dieselbe Nebenaxe (mit Hilfe des Kreises Ka' leicht zu sehen) und Asymptoten hat, also mit ihr identisch ist Es ist daher gezeigt, dass tatsächlich der Ort der Berührungspunkte der gemein- samen Tangenten an A% und die Kreise, welche die Geraden tt und tt berühren und ihre Mittelpunkte auf a haben, eine Hyperbel von den früher angegebenen Eigenschaften ist l).

Auch aus der bekannten Eigenschaft der Hyperbel, dass, siehe Fig. 6.

1) Ganz analog lasst sich für den Fall der Ellipsen, wo die Geraden inaaginftr sind, der Beweis führen.

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und des geraden KreUkegelt.

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RXPX . RiP1 — R^Pt . RtPt = J8

ist, ist sofort mit Berücksichtigung des in 7), 8) Gesagten der Nach- weis, dass der Ort der Berührungspunkte diese Hyperbel sein muss, zu erbringen.

9) Aus dem aus dem allgemeinen Satze Gefolgerten und aus dem in 7) und 8) Erörterten ergeben sich nun einige Constructionen für die Hyperbel, die wir, wenn sie auch in Betreff der Einfachheit nicht gerade hervorragend sind, doch zur Erläuterung der gewon- nenen Satze und Eigenschaften, als Beitrage zur Theorie der Hy- perbel hier anführen wollen.

a) Eine punktweise Construction der Hyperbel (und der El- lipse) ergibt sich, siehe Fig. 5. aus der in 6) augegebencn Definition (die in 8) neuerdings bewiesen wurde), die keiner weitern Erläuterung mehr bedarf.

b) Man bringt, wie aus dem in 8) gegebenen Beweise hervor- geht, die Kreise, welche eine Gerade berühren (Fig. 7.) und ihre Mittelpunkte auf einer zweiten Geraden haben, mit den zur letzteren Senkrechten zum Schnitte, welche Senkrechten von den Berührungspunkten der Kreise und der ersten Geraden constanten Abstand haben und zwar nach beiden Seiten.

c) Ist Fig. 8 von einer Hyperbel die Hauptaxe und ein Punkt gegeben, so lassen sich die Asymptoten der Hyperbel dadurch finden, dass man aus dem gegebenen Punkte r&u den über der Hauptaxe als Durchmesser beschriebenen Kreis A* eine Tangente t legt, zu dieser PM senkrecht errichtet und mit M auf der Axe a als Mittelpunkt den Kreis durch P legt. Die Tangenten aus dem Mittelpunkt der Hyperbel an diesen Kreis sind die gesuchten Asymp- toten.

Aus P geht noch eine zweite Tangente an A*, und diese ebenso verwendet, liefert einen zweiten Kreis, und die ge- meinsamen Tangenten an diesen und den Frühem geben ebenfalls die Asymptoten.

d) Ist (Fig. 12.) die Grösse und Lage der Nebenaxe gegeben und ein Punkt P einer Hyperbel, so kann man auf Grund der erörterten Eigenschaften die Asymptoten finden, indem

man OT senkrecht auf OP macht, wo Tr* die Potenz von P bezüglich des imaginären Scheitelkreises B1 ist.

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Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte

Zieht man durch P die pt || a und sucht P} den Pol von p, bezüglich /** (er ist auch der Pol von Pt bezüglich der Hyperbel) , so ist PXP die Tangeute t an die Hyperbel im Punkte P. Trägt man auf t die Strecken

PTX = PTt — PT

ab, und zeichnet einen der Kreise, die ihren Mittelpunkt auf b haben, und t in Tt oder Tt berühren, so gehen die Asymptoten berührend an diesen aus O, (oder man zeichnet beide Kreise und die gemeinsamen Tangenten an diese).

f) Für die in c) und d) gegebene Aufgabe: Gegeben eine Axe und ein Punkt eiuer Hyperbel, die Asymptoten zu con- struiren — kann man die Construction einfacher durchführen auf Grund folgender Betrachtungen.

In Fig. 12V ist:

A OtBD ähnlich OtOxF

woraus :

rt i e — BD : OtF

oder, wenn man

BC — OxF- AB

macht:

OxEx 0,Oa = BD : BC

d. h., dass

BC \ EOt wird.

Da aber, wenn 0%E und A* unverändert bleiben, die Punkte £, wie wir gozeigt haben, auf einer Hyperbel lie- gen, so finden wir für die Hyperbel:

Das Stück auf einer Parallelen zu einer Asymptoto zwischen der reellen Axe und dem Punkt der Hyperbel ist gleich der Läuge der Tangente aus dem Punkte an den Scheitelkreis über der reellen Axe.

Man erhält daher die Asyniptoteurichtungen ') , indem mau Fig. 12d. aus P eine Tangente PV an den Scheitel- kreis legt, PT = Plx — PV macht, wo dann zufolge dos Vorbemerkten PT und PTX die Asymptotenrichtungen sind; aus O die Parallelen hiezu gezogen, gibt die Asymp- toten selbst.

Siehe Nourclles Annale« 1 875, p. 239. wo diese Construction von L.-A. Levat angegeben wird. Uebrigens gilt die Constrnction vcnillgcroeincrt auch für den zweiten, imaginären Scheitclkreis, indem man allgemeiner statt der Lange

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und des geraden Kreisicegels.

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g) Soll der Schnitt einer zu a senkrechten Goraden g mit der durch A% und die Asymptoten gegebenen Hyperbel be- stimmt werden, so trägt man Fig. 9. vom Schnitte der g

der Tangente des Hyperbelpunktes an einen Scbeitelkreis die Quadratwurzel aua der absoluten Potenz dca Punktes in Bezug auf den Kreis cinffibrt. Durch eine einfache Recbnung, die hier weggelassen werden kann, findet mun näm- lich (siebe Fig. 12*.), wenn PTS und PTlSl zu den beiden Asymptoten der Hyperbel durch den Hyperbelpunkt parallel gezogen werden,

PT = PTt — PV

wenn V der Berührungspunkt einer der beiden aus P an den Scbeitelkreis gebenden Tangenten ist (ist bereits oben in f) bewiesen worden), und wenn OZ senkrecht auf OP, und Z auf dem Schcitelkreis B* liegt, OZ also gleich

der absoluten Grösse der Nebenaxe ist, so ist LP* die Potenz von P in Be- zug auf den imaginären Scbeitelkreis aber der Nebenaxe, und es ist

PZ=PS=PSl

Man findet daher aus der Nebenaxe, und einem Punkt« /' der Hyperbel die Asymptote, indem man Fig. 12«. OZ senkrecht auf PO legt und

ps = rsx = pz

macht, wodurch man in PS und P5, die Asymptotenriehtungcn erhalt. Man hat hindurch:

Auf jeder zu einer Asymptote durch einen Hyperbelpuukt gezogenen Pa- rallelen wird durch diesen und die eine Axe eine Strecke abgeschnitten gleich der Quadratwurzel aus der Potenz dca Punktes in Bezug auf den über diese Axe beschriebenen Scbeitelkreis. Daher:

Auf jeder durch einen Hypcrbclpunkt zu einer Asymptote gezogenen Pa- rallelen schneiden die beiden Axen eine Strecke ab gleich der Differenz (oder Summe) der Wurzeln aus den Potenzen des Punktes bezüglich der beiden Scheitelkreise, nnd dieselbe Strecke wird durch die Parallelen ans dem Punkte der Hyperbel zu den beiden Axen auf jeder Asymptote bestimmt u. s. w.

Man kann die in den Figuren 12*. und 12*. zur Bestimmung der Asymp- totenrichtungen verwendeten Punkte / '/', und 5 und <S, noch anders finden, indem sich durch eine leichte Rechnung ergibt, dass Q und R Fig. 12b die Fusspunkte der ans P zu den Axen gefällten Senkrechten sind, und wenn man aus Q die eine Tangente QU an den Scbeitelkreis A% legt,

Qü= QT= QTl

ist. Bestimmt man von R in Bezug auf den imaginlren Scheitelkreis B% die die Potenz R~W*, so ist

RW=RS=zRSl

wie sich leicht ergibt. Mit Hilfe dieser Bemerkung sind in den Figuren 12«. und 12«. ebenfalls die Punkte 55, und 7T„ welche mit P verbunden die Asymptotcnricbtungen geben , bestimmt worden, und bedarf dieses keiner wei- teren Erörterung.

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Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte

und t anf letzterer b nach einer oder der andern Seite auf (oder # auf a von g weg und zieht die Parallelen zu g bis diese t schneiden). Dann ist nur nötig, einen der beiden Kreise zu construiren, welcher t in einem der so erhaltenen Punkte berührt und seinen Mittelpunkt auf a hat, welcher dann g in den gesuchten Punkten / und J7 schneidet

h) Man kaun stets vier Punkte, einer wie oben gegebenen Hyperbel zugleich finden, wenn man 2 parallele Gerade g und g Fig. 9. senkrecht zu a zieht, deren senkrechter Abstand — 2«, oder deren Abstand auf einer Asymptote gemessen — 2b ist. Der Kreis, dessen Mittelpunkt auf a liegt, und der die Asymptote im Mittelpunkt der durch g und g begrenzten Strecke berührt, gibt zufolge des Frü- heren die gesuchten Punkte der Hyperbel auf g und g' . (Hiervon können auch 2, oder alle 4 imaginär werden).

i) Entsprechend den in 6) gegebenen Zusätzen kann man den Schnitt einer zu a senkrechten Geraden g mit der Hyperbel auch finden unter gleichzeitiger Bestimmung der Tangenten in diesen Punkten. In Fig. 10. sucht man zu g den Pol G bezüglich A*y legt JT tangirend an A* und macht

JTt - jt

Legt man an den mit MTX beschriebenen Kreis aus O die Tangenten tt und so hat man in den Schnittpunkten I und // dieser mit 'g die Punkte der Hyperbel gefunden, und tx und t, sind die Tangenten in ihnen.

Oder, wie in Fig. 11., mau macht

JTt - JTt - JT

beschreibt die zwei Kreise mit Mx i\ und Mt Tt als Halb- messer, und legt die noch möglichen gemeinsamen Tan- genten an diese Kreise, und die Aufgabe ist gelöst, wobei hier die Construction des Poles Q dor Geraden g entfallt

k) Ist eine Gerade y parallel zur Hauptaxe gegeben, und ihr Schnitt mit der durch Ii- und die Asymptoten gegebe- nen Hyperbel zu finden, so kann unter gleichzeitiger Er- mittlung der Tangonten in den Schnittpunkten diese Auf- gabe gelöst werden, indem wie in Fig. 10. OK senkrecht auf OK gemacht wird, und

AT, = AT, - KV

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und de* geraden KreUkeijels.

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aufgetragen wird-, an die 2 Kreise, welche die Asymptote in Vl resp. Vt berühren, und ihre Centren auf b haben, sind die gemeinsamen Tangenten zu legen, die auch die Hyperbel berühren; undj deren Berührungspunkte auf y liegen. (Oder, man zeichnet nur einen der Kreise, und an diesen aus dem Pole von y bezüglich J3* die Tangenten).

10) Der Uebergang von zwei reellen Geraden auf zwei ima- ginäre wird gegeben durch eine Gerade und einen auf ihr befind- lichen Punkt, als Berührungspunkt für die Kreise des Systemes. Hiedurch erhält man ein System von Kreisen, die sich in einem Punkte berühren, und findet hiefür, dass die Berührungspunkte der gemeinsamen Tangenten an einen beliebigen mit dem gemeinsamen Berührungspunkte concentrischen Kreis und die Kreise des Systemes auf 2 zur Centralen senkrechten den angenommenen Kreis berühren- den Geraden liegen, und umgekehrt, schneidet man eiu System von Kreisen, die sich in einem Punkte berühren, durch 2 zur Tangente im gemeinsamen Berührungspunkte in gleichen Abständen von dieser parallelen Geraden, so umhüllen die Tangenten an die Kreise in den Schnittpunkten mit den Geraden jenen Kreis, welcher über der von den parallelen Geraden auf der gemeinsamen Centralen abge- schnittenen Strecke als Durchmesser beschrieben wird. (Dieses Er- gebnisB gilt offenbar auch für eine solche Gerade alloiu).

In Fig. 13. ist dargetan , wie sich dieses Resultat auch direct höchst einfach zeigen lässt. Es ist nämlich

A OtÄC^ O^F

und wegen

0XB = OkA

folgt auch

ß BDC £g AEF

so dass also

BD — AR — r

ist, und da sich dasselbe für jeden Kreis des Systemes ergibt, ist ersichtlich, dass der Abstand BD des Berührungspunktes B von der gemeinsamen Tangente in A constant und gleich r ist Ist die Ge- rade gegeben, so ergibt sich ebenso aus

BD — AE

dass jedesmal AE constant ist, also die Tangenten an die Kreise in den Puukten der Geraden den Kreis vom Halbmesser BD oder AE umhüllen.

Ai«h. d. Math. u. Phy». 2. Reibe, T. VIII. 2

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Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegehchnitte

11) Sind die boiden Goraden imaginär, so erhalten wir als Ort der Berübrung8punkte der gemeinsamen Tangenten an die Kreiso des einen Systemcs (welche ihre Mittelpunkte auf der einen der bei- den Axon des elliptischen Strahlensysteraes haben, dessen imaginäre Doppelstrahlen die gegebenen Geraden siud) und an eiuen mit dem Schnittpunkt der Geraden concentrischen Kreis B* eiuo Ellipse, wie sich aus dem allgemeinen Satze ergibt, wie wir aber auch analog, wie in 8) mit Hilfe dos Kegels dartun könnten, was aber hier nicht weiter ausgeführt werden soll.

Auch die Ellipse kann als Ort der Berührungspunkte der ge- meinsamen Tangeuten an den zweiten Scheitelkrcis (über der grossen Axe) und die Kreise des zweiten Systemes, welch letztere imagi- när1) sind, definirt werden, und umgekehrt ergibt sich jeder der Scheitelkreise als Einhüllende der Tangenten, B* als jener an die Kreiso des reellen Systemes in den Schnittpunkten der Ellipse y A- aU Einhüllende der (imaginären) Tangeuten in den (ebenfalls ima- ginären) Schnittpunkten des Systemes der imäginären Kreise mit der Ellipse an dioso Kreise.

Die construetive Verwertung der genannten Eigenschaften und der weiter aus dem Allgemeinen für diesen Fall noch herauszulesen- den ist für die Ellipse von noch geringerer Bedeutung als für die Hyperbel, und kann aus dem Vorausgehenden leicht selbst gefolgert werden, daher sie hier übergangen werden soll. Jedoch soll hier noch einiges bemerkt werden, was zur raschen und einfachen Verzeich- nung der die Asymptoten der Ellipse berührenden Kreise führt

Alle Kreise 0,0, ... Fig. 14. mit r,r, ... als Halbmesser haben S als gemeinsamen Aehnlicbkeitspunkt und berühren, wenn der Winkel g>, den die Gerade l mit b einschliesst, grösser als 45° ist, dieselben 2 durch S gehenden imaginären Geraden. Die Senkrechte a in <S zu b trifft die Kreise in Punkten derart, dass der Winkel v, unter welchem die nach diesen Punkten gehenden Radien zu b ge- neigt sind, constant ist. Die Grösse der auf a gelegenen halben Sehnen ist, nebenbei bemerkt, gleich der Kathete eines rechtwink- ligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der jeweiligen Quadrantensehne

1) Dass die Kreise des zweiten Systemes imaginär sein müssen, ergibt sich, indem wir aus einem Punkte eines Strahles x eine Senkrechte s zur Axe b und eine senkrechte Gerade o zur Axe a legen; x uud der conjugirto Strahl x, bilden mit * ein Dreieck und ebenso mit o. Ist das eine stumpfwinklig, so muss das andere spitzwinklig sein, und während für das erstere ein Polar- kreis mit reellem Radius sich ergibt, folgt dann für das zweite ein solcher mit imaginärem Radius.

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und des geradem Kreiskeyelt. 19

and dessen andere Kathete dem jeweiligen l gleich ist. Durch P| Pf ... gehen die Polaren von S bezüglich der Kreise, und von diesen hätte man zu beiden Seiten das constante Stück # (siehe 7 0, y)) abzutragen und die zu b daselbst senkrechten Geraden mit den ent- sprechenden Kreisen zum Schnitt zu bringen, wodurch punktweise die in Rede stehende Ellipse erhalten würde.

Das constante Stück » ist bei angenommenem l offenbar nur mehr von der Annahme des Kreises f?2 abhängig, gleich dem Stück der zu b senkrechten Tangente an Zf2, welches zwischen b und / "egt ( 7) fJ, y)).

Zur vollständigen Bestimmung der imaginären Asymptoten suchen wir den conjugirten Strahl /, zu l in der Involution, indem wir z. B. Fig. 15. zu l bezüglich eines Kreises den Pol suchen uud mit S verbinden.

Wir suchen den Pol für den Kreis, dessen Mittelpunkt B ist, und haben aus B die Normale zu / zu legen, diese mit. der zu b parallelen Tangente au diesen Kreis zu schueiden und erhalten den Pol von /.

In Fig. 15. ist

BC : CD - BS : BC - b : s

und

EFi CD — b im

daher

BC — EF-t

d. h. I und die conjugirte Gerade lt schueiden aus der zu b paral- lelen Tangente an B* das constante Stück $ ab, ein anderes Mittel um f, zu finden *).

Dass E ein Punkt der Ellipse ist, ist sofort zu sehen, wenn man einen jener 2 Kreise des Systemes zeichnet, die denselben Ra- dius wie B* haben. Man findet daher l im Falle dass die Ellipse gezeichnet vorliegt, indem man die zur Axe b parallelen Tangenten an B* mit der Ellipse schneidet, und einen der Schnittpunkte mit dem Mittelpunkte verbindet.

1) Ist die Involution durch die Axen und ein beliebiges Paar xr, ge- geben, so ist es leicht, die Gerade / zu finden (oder /. die symmetrische, in Bezug anf die Axen), indem man fOr xxt und einer zu b senkrechten Ge- raden s den Polarkreis ausmittclt, und die Endpunkte des zu 6 senkrechten Durchmessers desselben mit dem Punkte 5 verbindet.

2*

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Ruth: Beiträge tur Theorie der Kegelschnitt«

Es folgt damit auch

$ : b - b : SO

und

Da aber

ist, wobei a die halbe grosse Aie, c die halbe Excentricität der El- lipse bedeutet, so ist

ab

' = 7

und hieraus auch

a b

tg<3» = -, tgy--

wodurch wieder ein einfaches Mittel gegeben ist, die Gerade / zu zeichnen, wenn die Ellipse durch die Halbaxen gegeben ist; man trägt Fig. 16. auf der Scheiteltangente in A die halbe Excentricitat «— VF— AH auf, oder man macht OF' — OF und zieht l parallel mit AF'.

Gehen wir auf die imaginären Kreise Ober, welche die Asymp- toten der Ellipse berühren, so sind, wenn *■ dio Polare von S be- züglich eines Kreises dos reellen Systcmes, und a die Polare bezüg- lich eines der imaginären Kreise ist, und s und c sich in demselben Punkte von l treffen, Fig. 17. H und //, die Höhenschuittpunkte der Dreiecke *llt und tfZ/,; für das letztere ist der Halbmesser q des Polarkreises imaginär und die absolute Grösse desselben MB*. Wegen

BS : Sil - ZHi : SHi

sind die rechtwinkligen Dreiecke BNH und EMS ähnlich, und in Folge dessen SM \ BN oder SM senkrecht auf HN, d. h. Wkl. « ist -=■ 90° — t}', also constant. Die Bedeutung von » ist die, dass uns die Gerado sofort dio absolute Grösse der Halbmesser der imaginären Kreise liefert auf den zu a Senkrechten zwischen a und i.

Es ist demnach

e

tger = Ctg 9 — ^

d. h. t geht (Fig. 16.) durch 0 parallel mit BF, oder man erhält auch t (oder die zu den Axen symmetrisch gelegene Gerade /, wel- cher dieselbe Bedeutung zukommt), indem man in F die Seukrechto zu a mit A* zum Schnitt bringt und den Schnitt mit O verbindet, oder den Schnittpunkt der zu a parallelen Tangente mit O ver- bindet.

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und des geraden Kreisicegels.

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Wegen

AK : a = b : e

Fig. 17., folgt

d. b. man kann * auch erhalten, indem man anf der Scbeiteltangente h\'A an A* das constante Stack » <=* AK (Fig. 16). auftragt, und den Endpunkt mit O verbindet

Die Ableitung der Relationen für die Lage von i galt ganz all- gemein für irgend eine beliebige Lage von * resp. a. Ist # wie in Fig. 17. zusammenfallend mit der Tangente an Bt, so folgt

d. h. der Kreis des reellen Systemes, dessen Mittelpunkt mit einem der Endpunkte der kleinen Axe zusammenfällt, geht durch die Brennpunkte der Ellipse. Macht man hingegen

so wird

SA : SN - 6 : $ ab

SA :e = — : b e

und damit SA — a d. h. :

Man erhält den Mittelpunkt oinos Kreises des reellen Systemes der durch die Endpunkto der grossen Axe geht, wenn man aus einem der auf a gelegenen Punkte von B* die Senkrechte zu /, legt Die Grösse des Halbmessers des Kreises ist die Ordinate im Mittelpunkte, bis i natürlich.

Diese und noch andere Relationen ermöglichen es leicht, die Geraden l und iv, sowie t anzugeben, wolche geeignet sind, beliebig viele Kreise einfach zu legen (roell oder imaginär), welche die Asymp- toten einer gegebenen Ellipse berühren. Von der Wahl der l resp. » hängt aber offenbar auch die Form der Ellipse ab. Die ange- gebenen Relationen gestatten auch den Schnitt der zu b parallelen Tangenten an B% mit der Ellipse auf leichte Art zu finden, wenn diese durch die Axen (eventuell Excentricität) gegeben ist. Auf die, den bei der Hyperbel gegebenen, analogen Constructionon der Schnitte einer zu einer Axe parallelen Geraden etc. wollen wir hier nicht weiter eingehen.

12) Machen wir jetzt die Uebortragung von einigen der ge- wonnenen Ergebnisse auf den Raum.

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22 Ruth: Beiträge zur Theorie der Kegelschnitte

Sind txt% Fig. 5. die in der Ebene der Zeichnung gelegenen Er- zengenden eines Rotationskegcls , a die Axo und S die Spitze, so stellen uns £'„ £'„ Es . . . die Hauptaxon (grosso Axe der Ellipse *) oder die reello Axe im Falle der Hyperbel) von Schnitten des Ro- tationskegcls vor, deren Ebenen senkrecht zur Zeichnungsfläche stehen, und dio dieselbe Entfernung a von der Spitze des Rotations- kegels besitzen. Die Berührungspunkte dieser Geraden mit den Kroisen des tt und berührenden Systomcs sind aber nach eiuem bekannten Satze '-') die Brennpunkte der oben genannten Schnitte und liegen, wie wir ausführlich dargetan haben, auf der bestimmten Hy- perbel, die A* zum Scheitelkreis über der reellen Axe und tx und /s zu Asymptoten hat. Die Brennpunkte aller zu eiuer Hauptebene senkrechten Schnitte dieses Rotationskegels, dio denselben Abstand vom Scheitel haben, liegen auf jener Hyperbel. Man erhält:

„Der Ort der reellen Brennpunkte aller ebenen Schnitte eines „Rotationskegcls, dio dieselbe mit dem Kegel concentrische Kugel „berühren, ist ein zwoiscbaliges Rotations-Hyperboloid, welches den „gegebenen Kegel als Asymptotenkegel hat und die Kugel in den auf „ihr gelegenen Punkten der Rotationsaxe berührt."

Den Parameter irgend eines Schnittes, z. B. für Bg Fig. 15.)

finden wir als VüF9.F3Q\ welcher Wert aber einer bekannten Hyperbeleigenschaft zu Folge gleich 26 ist, d. h. alle diese Schnitte haben gleich grosse Parameter.

Uebrigens kann man die Richtigkeit des soeben Gesagten auch aus Fig. 6. ableiten. 2P, PQ ist der Parameter eines Schnittes des Rotationskegels, für welchen Schnitt ein Brennpunkt ist. i^P, ist aber gleich dem Abstände der zur Zoichnungsebene parallelen Ebene, die den Kegel nach einer Hyperbel schneidet, deren ortho- gonale Projection auf die Zeichnungsfläche die Hyperbel der Punkte P1I\ ... ist, von der Zeichnungsfläche, und ist dieser Abstand PqP!, woil der Kegel ein Rotationskegel ist, gleich 6, d. i. gleich der halben Länge der Scheiteltangcnte der Hyperbel zwischen den Asymp- toten; jeder Schnitt, der einen Punkt dieser Hyperbel zum Brenn- punkt hat, hat 2P0Pt als Grösse des Parameters, und somit haben wir auch die Richtigkeit eines von Jacob Bernoulli8) angegebe- nen Satzes dargetan:

1) Siehe Gugler, Theorie der Krcisprojcctionen.

2) Vergl. Chasles, Geachicbte der Geometrie, deutsch t. Sohnke, pag. 289.

3) Vergl. Cbasles, Geschichte der Geometrie, deotach t. Sobnkc, pag. 16.

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und des geraden KreUksgels.

23

„Der Parameter eines ebenou Schnittes eines Rotationskegels „ist gleich dem Durchmesser jenes KreisBchnittcs desselben, welcher „von der Kegelspitze ebensoweit absteht wie die schneidende Ebene."

Als Folge des Satzes von Bernoolli hat man dann auch:

Alle Ebenen, die dieselbe mit einem geraden Kreiskegel con- centrische Kugel berühren, schneiden diesen nach Kegelschnitten mit gleichen Parametern — und damit und im Zusammenhange mit dem Vorigen:

„Der Ort der reollen Brennpunkte aller ebenen Schnitte eines „Rotationskegels, die gleiche Parameter haben, ist ein zweischaliges „Rotationshyperboloid, das den Rotationskegel zum Asymptoten- „kcgel hat »).M

Dieser zuletzt ausgesprochene Satz gilt allgemein für Rotations- flächen zweiten Grades in folgender Form:

„Der Ort der reellen Brennpunkte sämtlicher ebenen Schnitte „einer Rotationsfläche zweiten Grades, die gleiche Parameter haben, „ist eine mit der gegebenen concentrische, ähnlich und ähnlich ge- legene Rotationsfläche zweiten Grades."

Es lässt sich das soeben Gesagte auch durch folgende Betrach- tungen beweisen.

Wenn wir in dem Abstände p gleich dem halben Parameter von einer Meridianebene eine parallele zu dieser legen, so schneidet diese die Rotationsfläche nach einem mit dem Meridiane ahnlichen Kegelschnitte, dessen orthogonale Protection auf diese Meridianebene eine mit der Meridiancurve ähnliche, ähnlich und concentrich ge- legene Curve ist. Ein Schnitt senkrecht zu dieser Meridianebene, der den Parameter 2p haben soll, muss seine Brennpunkte anf der zuletzt erhaltenen Curve haben. Umgekehrt wird auch jeder Punkt dieser Curve Brennpunkt für einen oder den andern durch ihn gehenden zur Meridianebene senkrechten Schnitt sein.

Durch Rotation um die Axe erzeugt nun diese Cnrve die früher angegebene Fläche, und der Satz ist bewiesen, weil ja jeder beliebig gewählte Schnitt auf einer durch die Rotationsaxe gehenden Ebene senkrecht stehen wird, und die bezüglich der zu einer durch die Rotationsaxe gehenden Ebene senkrechten Schnitte angestellten Betrachtungen allgemein gelten.

1) Für den imaginären Kegel ein Ellipsoid.

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24

Oekintjhaus: Die Lemniskate.

IL

Die Lemniskate.

Von

Emil Oeklnghaus.

(FortoetMBg Ton T. TO. Nr. XIT.)

Aus den, Soito 367, gewonnenen Relationen

r-f-a-f 90° - tf; t + o' + 90<> - o' ,, + <,' - 360°+2r

folgt:

86) a+a' = 180°

und somit der Satz:

Die entsprechenden Kreisradien q und e' nach dem Mittelpunkte der Lemniskate sind in dem Falle gegen die Achse gleich geneigt, wenn die Schnittpunkte beider Kreise und der Lemniskate in ge- rader Linie liegen. Dieser Satz gilt allgemein für die 3 Kreispaare, welche, wie oben abgeleitet wurde, hinsichtlich ihrer Radien durch die Beziehung gg' — c* verknüpft sind.

Eine allgemeinere Gleichung, welche das gesamte Kreissystem mit einander verbindet, geht aus der Cosinusresolvente der Geraden hervor. Für diese

cos (2 j — 2t)9 — + cos 2tj cos (2a — 2t)>+ =0

entwickeln wir aus

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Oeling hau*: DU Lemniskate. 25

8in(tf — 2t) e> Bin c "" |?

den Wert

o'sin2r g c* — ?*cos2t

und eliminiren mit ihrer Hülfe ans der ersten 0, was auf eine re- ciproko Gleichung führt. Man findet schliesslich

I») ($+ p)-co.Sr(£ cos 2»+ 2) (§+

+4(^,-1) ($+^(£_S«,fc)-0

Diese Gleichung zeigt den Zusammenhang der Radien jener Kreise an, welche sowol durch entsprechende Schnittpunkte der Geraden, als auch durch den Mittelpunkt 0 gehen.

Eine allgemeinere Betrachtung kann nnn auf folgendem Wege geschehen.

Ein Kreis schneide die Lemniskate in 4 Punkten. Durch je zwei derselben legen wir eine Gerade, deren Neigung gegen die Achse bez. t und x' sei. Vermöge der Formeln

. sina sind' cos 6 sin«

C08d-8in2«-T)' 008 * -8in2(p'-rT c^sT' ~ ~ sinT'

folgt hieraus

8in2(o— t) sin2(o'— rO

also

88) <+o' - 1800+*+t' = ^ + ^+^4.^

wo die 9 die Polarwinkel der Schnittpunkte von Kreis und Lemnis- kate sind.

Daher ist die Summe der Winkel <p1-\-<Pi-\-9s-t-<Pi um 180° grösser als die Summe * und t' der Winkel der beiden Geraden oder Kreissohnen gegen die Achse. Nnn haben wir aber nachgewiesen, dass, wenn die Strocko vom Mittelpunkt der Lemniskate nach der Mitte der Sehne mit dieser einen Winkel S bildet, die Formel

2tf - 90°+ 2H- S besteht. Für die 2. Sehne ist

2„'~ 90°+ 2t' + S'

also resultirt

* + *'-90°+T + T'+i(S + ,S')

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26

Oekingkaus: Die L*mni*kate.

Da aber

<s + o' = 180°+t + t'

so folgt

89) S+S*-180°

Oder: Verbindet man die Mitten der gegenüber liegenden Seiten oder Diagonalen eines durch den Schnitt von Lemniskate und Kreis gebildeten Vierecks mit dem Mittelpunkt O der Lemniskate durch Strecken, so haben diese gegen die Sehnen gleiche Neigung.

Dieser Satz ist, wie man sofort bemerkt, eine Erweiterung des vorhin über die Gerade abgeleiteten Satzes, die letztere als Kreis von unendlich grossem Radius betrachtet werden kann.

Wir bezeichnen mit h den spitzen Winkel, den die entsprechen- den Sehnen mit einauder bilden, so dass

t'-r - 180° — A°

Die Winkel S, S' wählen wir ebenfalls spitz, so ist unter diesen Annahmen

2tf - 90« -f 2t -f S+ 180° 2ö' = 90°+2r-S

2{o'-o) 2A — 2S+ 180°

5- f-tf7— a = 90° — h

6— 6' = S-\-h — 90° = 26- U o - 6' - r-90°

wo T der Winkel ist, den die erste Strecke verlängert mit der 2. Geraden einschliesst, und da

£^-sin(0-O-«n(2«-t/)

folgt

sin 6

coiS — •

w cos <3

gl

90) -jcoss — cosT

woraus neue Beziehungen gefolgert werden können, wenn • — q ist. Aus der Formel

9i+9*+9s + 9* — 180*+ 1 4- f'

lassen sich ebenfalls manche neue Sätze ableiten, wenn man die Winkel zwischen den Geraden und Radienvectoren einfährt

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Otkingha us: DU LemniskaU.

27

Aus dem Vorstehenden lässt sich noch ein Tangentenproblem lösen. Berührt ein Kreis die Lemniskate, so wird die eine Sehne znr Tangente, und der zugehörige Winkel S ist dem Winkel zwischen dieser Tangente und dem Radiusvector gleich, also =-90° — 2g?. Der Winkel S' der 2. Sehne ist also — 90°— 2T. Hierauf beruht die allgemeine Auflösung der Aufgabe, durch 2 gegebene Punkte der Lemniskate einen Berührungskrois hindurch zu legen.

Da S' als Winkel zwischen der die beiden Punkte verbindenden Sehne und ihrer Mittellinie nach O bekannt ist, so ist auch der Polarwinkel <p — ^(90° — S') des Berührungspunktes bestimmt, was auch ohne Rechnung klar ist, da die verlängerte Mittellinie den Berührungspunkt treffen muss.

Wir wollen hier die Relation

<Pi + <Pt+<Ps + <p4 — 180°-f-T-f t'

noch einmal discutiren. Die ? sind die Polarwinkel der Schnitt- punkte von Lemniskate und Kreis, x und x die Neigung zweier gegenüber stehenden Sehnen oder auch Diagonalen gegen die Achse. Jede dieser Sehnen schneidet aber die Lemniskate in noch je 2 Punkten, welche durch die Winkel y3 V>4, bezeichnet sein mögen.

Bei Berücksichtigung der Lage ist für beide Sehnen <Pi + 9*+*i+Vi - 360° -f 2t

+ ^ + - 360°+2r + 2r'

£9 =180° -f-T + t'

91) + +x + x.

Dieser Ausdruck stimmt aber mit dem in 88) abgeleiteten über- ein. Hieraus folgt, dass durch die Punkte Xi'h: ^3^4 ebenfalls ein Kreis hindurchgelegt werden kann. Und weil

9i+9>i-f9>s + 9>4 - h +fc +^s+^4 so folgt vermöge der Formel

/ 1 1 1 Ä* sin 2er

dass der Mittelpunkt dieses Kreises durch Ä(180°-f «) bestimmt ist.

Auch diese Ableitung steht mit schon früher Vorgetragenem in directer Verbindung, wie man leicht finden wird.

Ebenso leicht ergibt sich vermöge der Formel

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28

Oekingkaus: Die Lennukate.

j« sin (2a — U)

• 8in(2a'— ü)

und der Cosinusresolvente des Kreises vermittelst Elimination 2o— ü und 2a'— U eine Relation zwischen den Kreisradien «, die auf eine Gleichung 9. Grades führt.

Vergleicht man die Gleichungen für den Kreis und die Gerade etwa in der Form

cos?* — 2cos2tcos?s etc. (Ä4 - • 2ciÄf cos 2er -f- c4) cos 2?* — etc.

und untersucht, ob es möglich sei, die Wurzeln beider identisch zu machen, so findet man folgende Bedingungen

c8 — Ä» cos 2a — **cos2r Ä,sin2o = #»sin2T «*-Ä»==±2A, ♦ / j v TZ' sin 2«

Ä*-2c»Ä»cos2a-fc*- +

Genügen die R und * diesen Bedingungen, so sind die Wurzeln identisch. Man bemerke, dass die letzte Relation für constante ,* 94 eine Cassinische Curve reprasentirt.

Besonders einfach ist der Fall q — e. Die Parallelität der Ge- raden durch entsprechende Punkte möge noch bemerkt werden. Vergl. 90).

Andere Sätze ergeben sich von selbst.

Als Speciallfall fuhren wir noch an, dass, wenn zwei concen- trische Kreise, deren gemeinsame Centra auf der Y- Achse liegen, die Lemniskate tangiren, die Halbmesser dieser Kreise sich ver- halten wie die entsprechenden Radienvectoren ihrer Berührungspunkte.

92)

woraus

tg2r =

§ 9.

Die Lemniskate und die Parabel.

Eine gewisse sich auf eine Gleichung beziehende Verwandtschaft zwischen Lemniskate und Parabel lässt sich noch wie folgt nach- weisen.

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Oekinghau$: DU Lemniskat«. 29

Ein Kreis, dessen Centrum die Polarcoordinaten Ä(o) habe, gebe durch den Brennpunkt der Parabel , welchen wir als Anfangs-

Die Brennstrahlen r mögen mit R Winkel 2* einschliessen. Ans

r-2ÄCOS2„ r - jgp^, ^-8ini(2<p+«)tcos29 folgt für cos 29 eine biquadratische Gleichung

93) cos 2q>1 — 2 cos a cos 2<p* -f- 0^ cos a -f- cos a*) cos 2<p 1

welche mit der Gleichung zwischen Lemoiskate und Geraden über- einstimmt, wenn

Ä - Cn ■ —

angenommen wird. Diese Uebereinstimmung der Constanten beider Cunren genügt, um die Polarwinkel der einen durch die der an- deren darzustellen.

Die Cosinusresolvente der Parabel ist in diesem Fall

94) cosfr* + (^+cosa) cos*y*- |? = 0

worin die y die Winkel zwischen den gegenüber liegenden Seiten und Diagonalen bedeuten.

Noch allgemeiner würden diese Relationen ausfallen, wenn der Kreis durch einen Brennpunkt eines beliebigen Kegelschnitts hin- durch geht. Die Resolvente wird dann

95) cos |y3 ~ + Cosa) 608 |y*-f- COS y — cos a 1 ^

+ 7R-0

und ein kurzer Vergleich dieser mit der Lemniskatenresolvente 85) Iii sst die Identität beider erkennen, wenn

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30 Otkinghaus: Die Lern n ixkate.

eingeführt wird. Die weitere Untersuchung dieser Verhältnisse bietet manches Interesse, z. B. wenn der Kreis die Cnrvo berührt. Ueber eine Anwendung der Parabel hinsichtlich des Tangentcnprobloms der Lemniskate haben wir schon früher berichtet.

Es existiren noch andere Beziehungen zwischen der Lemniskate und den Kegelschnitten, worauf wir hier aber nicht weiter eingehen wollen. Wir worden später in der Theorie der letzteren darauf zu- rückkommen.

§ 10.

Die Lemniskato und die gleichseitige Hyperbel.

Da das Erstellungsgesetz der Lemniskate durch polarische Be- ziehung mit der gleichseitigen Hyperbel verknüpft ist, so lässt sich im Voraus schliessen, dass die gemeinsame Betrachtung beider Curven auf interessante Relationen führen werde. Einige davon verdienen bemerkt zu werden.

Die gleichseitige Hyperbel und ihre Fusspunktcurve werde von einem Kreise, dessen Centrum /2(a) und dessen Radius =» sei, in 4 Punkten geschnitten.

Aus

«« = Ii* -fr« - 2Rr cos (a - <p) a* — r*COs2gj

folgt

96) tg <p* ((Ä1 - «* — a«)* -f 4Ä*a* sin a*) -f- 4fl» a* sin 2« tg <p*

+ (2a* - 2(/*»-«*)l+4J2*a»coB2a)tga>*-4/**a»Bin2atga> + (*»-- ,« + a»)*- 472«a*cosa» = 0

Vergleicht man sie mit der analogen für die Lemniskate uud den Kreis

97) tgqp*( CR»-«*— a*)*-f 4Ä»a»8in«*)-f4JR2a*sin2atg<ps

-f ( 2 (R* — **)* - 2a* -f- 4J2* a» cos 2a) tg <p* - AR* a* sin 2« tg <p + .»-f-a»)»— 4Ä»a»cosa» - 0

so erkennt man die Identität beider, wenn

R*-8* = ±a* gesetzt wird. Daraus folgt der Satz:

Wenn der Radius « eines Kreises, der mit der Lemuiskato

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Oekinghaus: Die Lemnitkate.

31

r* = «Äcos2<p die Centralo R hat, der Bedingung

*»- Ä*±a*

genügt, so gehen die nach den Schnittpunkten beider Oarven ge- zogenen Radienvectoren r rückwärts verlängert durch die Schnitt- punkte des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel.

Umgekehrt schueiden diese Radienvectoren der Hyperbel rück- wärts verlängert die Lemni9kate in 4 Kreispunkten.

Bei den folgenden Darstellungen wolle man die Relation

Rr -a1

beachten, welche aus den Polargleichungen

r* — a*cos2<jt>, Ä* —

cos2<p

hervorgeht. Diese beiden correspondirenden Punkte r(q>\ R(<p) be- zeichnen wir mit P und P\

Von den Brennpunkten der Hyperbel ziehen wir Gerade nach dem Lemniskatenpunkte P, welche den Winkel E bilden, und ferner von den Brennpunkten der Lemniskate nach dem Hyperbelpunkte P' Gerade, welche den Winkel JE' einschliessen.

Vermöge der Formeln

und der Polargleichungen erhält man nach Einführung dieser die Relation

98) £+£' = 180°

und damit den Satz :

Die Lcitstrahlen der Lemniskate nach einem Hyperbelpunkte P' und die Leitstrahlen der Hyperbel nach dem correspondirenden Lem- niskatenpunkte P sc hli essen ein Kreis Viereck ein.

Eine weitere Verbindung beider Curven findet sich wie folgt.

Wir bezeichnen die Winkel, welche die Scheitelstrahlen von den Endpunkten ±a der Achse mit P und P' einschliessen, bezüglich mit y und y„ dann findet man wie oben

■

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Oekinghaua: Die Lemniakate.

coay ig<p

cosy'- tgtp

also

99) Y + Y' ~ 180°

Oder: Die Scheitelstrahlen zweier correspondirender Punkte der Lemniskate and Hyperbel schliessen ein Kreisviereck ein.

Für dritte Ableitung ergibt sich aus der Polargleichung der Hyperbel

at «

9 l-fV2cos^

Eliminirt man aus dieser und

den Winkel H>', so folgt für den einen Leitstrahl

für den andern

Q" = y^+7T» + a - -r (V^R + r) woraus zunächst

folgt und ferner, wenn die Leitstrahlen mn der Lemniskate durch

V2m = Vo'-p'-r

V2n - ya»+r*+r

definirt sind, dass

p' m

e w

ist, wonach das Vcrhältniss correspondirender Leitstrahlen für beide Curven das nämliche bleibt

Wir bezeichnen nun die Winkel, welche diese Leitstrahlen mit einander bilden, durch 0, S\ dann besteht zunächst für die Hyperbel die Formel

lGc*= + 2e' f"cose

aus welcher leicht

Äsin Jö'-a

folgt. Weil aber

Rr =• aÄ und r = a COS^S

ist, so ist

sin \S' = co&\&

oder

100) 8-f e'= 180°

woraus der Satz:

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Oekinghaux: Die Lemniskate. 33

Dio Loitstrahlen der Lomuiskate und Hyperbel nach correspon- direnden Punkten ihrer Curve schliessen ein Kreis Viereck ein.

Daran knüpft sich ein 4. Satz, den wir noch mitteilen wollen.

Wir haben oben die Focalwinkel der Hyperbel y' und y" ein- geführt. Dieselben stehen mit 2 andern in der Lomuiskate in merk- würdiger Verbindung. Diese Winkel V s'"^ nämlich denen gleich, welche der Radius vector r der Lcmniskate mit den Brennstrahlen mn bezüglich einschliesst, und die wie wir schon früher gefunden, durch i6-\-<p und J0 — <p definirt sind. Bei Betrachtung der Figur ergibt sich dann leicht dor Satz:

Die beiden correspondirenden Punkte auf Lemniskate und Hyperbel bilden mit je zwei ihrer zusammen 'gehörigen Brennpunkte cutspre- chende Kreisvierecke.

Die Tangente des Hyperbelpuuktes P' schneide die X-Achse in 3f, die Y- Achse in N\ nennen wir dann noch ihren zweiten Schnitt- punkt mit der Lemniskate P", so sind MNP'P" einander zugeord- nete harmonische Punkte, wie leicht zu beweisen ist.

Ferner möge der Focalkreis, der durch die Brennpunkte geht, die I- Achse in 2 Punkten Fund F* schneiden; ziehen wir nun durch die Lemniskate eine der X-Achse parallele Gerade, für welche die leicht abzuleitenden Relationen

bestehen, und halbiren die Focalwinkel 0t und Ö2 durch Geraden, welche die F-Achse in G und G' schneiden, so sind FF'GG' eiu- ander zugeordnete harmonische Puukto.

§ U.

Die Linie gleicher Producte.

Das Absolutglied in der Gleichung der Geraden 18) wird durch

1) R* — a* üt*COs2qp — sr, 3^*3X4

definirt. Es ist vou der Richtung der Geraden oder vom Winkel d unabhängig und drückt aus, dass das Product der vier von /?(<?) au gerechneten Secuuten ähnlich wie beim Kreise constant ist, wie auch die Geraden durch jenen festen Punkt gezogen werden mögen.

Wie aus der Formel hervorgeht, ist die Curve gleicher Producte eiue Cassiuische Liuie.

Arch. d. Math. u. Phy«. 2. R«ih«, T. VIII. 3

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34

Oekinyhaus: Die Ltmnukate.

Wir beschreiben um den Lerauiskateninittelpunkt O eiuen Kreis vom Halbmesser A, ziehen von R(q>) an diesen eiue Tangente ~ t und setzen fest, dass das Product gleich sein soll der 4. Potenz dieser Tangente, also dass

ist. Da aber

ist, so geht aus dieser Einfuhrung die Beziehung

7?*-a*Ä8cos2<p - (Ä*-A«JÄ hervor, welche auf eine Kegelschnittsgleichung

» —£-+—£ — i

2(Ä*-c») 2(A»-f<?"J

als geometrischen Ort der Punkte gleicher Potenzen führt. Sie stellt eine Ellipse dar, wenn A > c, eine Hyperbel, wenn A < c, eine Ge- rade y = Je, wenn A — c ist.

Legt man ailgemoin die Gleichung der Cassinischen Curven an- statt der Schleifenlemniskate zu Grunde, so modificiren sich die For- meln etwas, die Kegelschnittsgleicbungen aber sind analog den obigen.

Die Untersuchung kann auf 2 Lemuiskaten ausgedehnt werden in dem Sinne, dass das Prodnct oder die Potenz für beide gleich sei. Der Untersuchung legen wir demnach 2 Lomniskaten

r* — a*COs2<p, r* = a'*COs2<p

zu Grunde. Die Centrale beider sei R und ihre Neigung zur a- Achse — ?. Die beiden Achsen mögen noch den Winkel « ein- schliessen.

Die Ausführung der Rechnungen ergibt die Curvengleichung

3) a*(x*-y*)-2(x*+y*)(2Rxcosa + 2/tysina - -f (2Rx cos a -+- 2Ry sin a — R*)%

= a* cos 2ß(x* — y* — 2Rx cos c -f 2Ry sin o -f Ä* cos 2a) -f a* sin 2ß(2xy — 2Rx sin a — 2Ry cos «-{-/?* sin 2«)

welche dem 3. Grad angehört. Für R = 0, also für concentrische Lemniskaten reducirt sie sich auf ein System zweier senkrecht auf einander stehenden Geraden

2a,,sin 2a

«

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Oeltnghaus: Die LtmnUlatf. 35

Die Linie gleicher Producto wird sehr einfach und führt auf den 2. Grad, wenn die Achsen beider Curven in einer Geraden liegen, « nnd ß, also = 0 sind.

Man findet zunächst, wenn die Centrale mit g bezeichnet wird:

f 4g*> - (a* - a'» + V)** ± 2g(2g* - a")x - g*(g » - q'»)

Wir fuhren die Division durch und setzen das Restglied — 0, man erhält die Gleichung eines Kreises

mit der Bedingung

6) g*- J(a»+a*V + i(«,-«f *>* - 0

Benutzt, man sie, um die Kreisgleichung zu trausformiren , so wird letztere

und stellt die Linie gleicher Producte iu einfachster Form dar. Da die Gleichung für g* quadratisch ist, so ergibt sich aus ihrer Auf- lösung

8) V = a"± V(3a*-a'*;(3a'*-a»)

dass 2 Centralen existiren, so dass die zweite Lemuiskate 2 verschie- dene Lagen auuehmen kann. Wie aus oiuer weiteren geometrischen Botrachtuug hervorgeht, geht die Linie gleicher Producte durch die gemeinsamen Schnittpunkte der entsprechenden Lemniskaten.

Aus dem Bau der Gleichungen folgen noch gewisse Determina- tionen, weiche zu berücksichtigen sind, womit wir uns aber hier nicht weiter beschäftigen wolleu. Wir wollen nur andeuten, dass diese speziellen Sätze hinsichtlich der Cassinischen Curven einer Erwei- terung fähig sind.

Es möge hier noch erwähnt werden, dass, wenn xy Lemuiskaten- coordinaten darstellen, die daraus combinirteu

X -= x + ny F— y — nx Coordinaten Xi einer Gleichung

J?» - a*(l + n*Kos2(e + A), *g* - »

3*

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3G

Oekinghaus: Die Lemniskate.

genügen, die wieder durch eine Lemniskate repräsentirt ist uud bei variabolemn verschiedene Lagen- und Grö9senvcrbältnisse annimmt.

Wird dio Gleichung nach « differentiirt um die einhüllende Curve aller Lomniskatcn zu finden, so resultirt als solche die durch

Ä*cos2e - a*

dargestellte gleichseitigo Hyperbel.

Betrachtet man endlich noch die aus den obigen Ausdrücken hervorgehenden

X-nY nX+Y

y "

Coordinaten ry als die einer gesuchten Curvo, während XY der Lemuiskato augehören, so resultirt die Curvo

72» - a2 cosA2 cos 2(6 — Ä)

und die Einhüllendo aller für « — tg/* veränderlichen Lemniskaten führt auf dio Fusspunktgleichung der Lemniskate

Q -=> rtCOS^Öi

Dio Untersuchung der reeiproken Polare dieser Curve ist des- halb bemerkenswert, weil sie mit der gleichseitigen Hyperbel in Ver- bindung tritt. Auch die Annahme, dass die Lemniskate hinsichtlich ihrer Brcnnpunkto oder auch ihres Mittelpunktes als Katakaustik oder Brennlinio einer Curve aufgefasst werden kann, verdient wegen der daraus sich ergebenden Resultate Beachtung.

§ 12.

Die Roctification der Cassini' sehen Linien.

Dio folgonden Entwickelungen über dio Rectification der Lem- niskaten werden vielleicht aus dem Grunde bemerkenswert erschei- nen, weil wir eine Variabele einführen, die man bisher übersoheu hat,' aber als sehr geeignet erscheint, dio Integration auf einen ein- fachen Ausdruck zurückzuführen.

Ausserdem ist derselbe noch einer geometrischen Discussion zu- gänglich, welche manches Anregendo bietet

Anstatt der wenig geeigneten Variabelen x oder r oder <p wählen wir als Variabele den schon häufig benutzten Foealwiukel der Leit-

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Oekinghaus: DU Lemniskate. 37

strahlen eines Punktes der Curvo, der uns auch später noch wich- tige Dienste leisten wird.

Er hängt mit dem Radiusvector r der Curve

r*-2c* r*C0s2<p-f-ci — 3«

durch die Relation

r* = c*-f-22cos s zusammen. Die Beziehung zwischen q> und 6 findet sich aus

sing? =

2c yc*+qtc03e

Unter Beachtung dieser Formeln erhält man vermittelst be- kannter Methoden schliesslich das Integral

9) , , , AT g^=Z „ »_5

LJ r (Ä^-j-cos JÖ'XA' — siniÖ8) * ' q

Dies Integral werden wir nachher in Reihen entwickeln, vorher aber die interessanten Eigenschaften discutiren, welche damit ver- knüpft Bind.

Zunächst bemerken wir, dass die Grenzen der Integration davon abhangen, ob die Curve aus 2 Ovaleu oder aus einem ungeteilten

c

Gauzcn besteht. Ausserdem ist das Vcrhältniss h ~» - für beido Fälle

5

zu beachten, welches entsprechend < 1 oder auch 1 sein kann. Zugleich bestimmt

- «=» siuü

für die aus einem Zuge bestehenden Curve, für welche q^> c ist, die obere Grenze, während bei den Ovalen das Integral 0 bis n ge- nommen werden kann.

Nun möge das Integral sich auf oin Oval und

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38 Otlunyhaus: DU

auf eine aogeteilte Lcmniskate bezichen, deren Constanten ausser- dem noch von der ersten verschieden sein sollen. Die Grenzen sind in beiden vorschieden. Daher substituiren wir im zweiten Integral

12) siuiÖ'-^sinje

und erhalten nach einigen Umformungen das Integral

welches nun auch von 0 bis n genommen werden kann. Man be- merke aber wol, dass trotz der Transformation der Bau des Inte-

c'

grals derselbe geblieben ist, indem nur die Glieder - sich in ihre

reeiproken Werte umgesetzt haben. Daher ist das erste und dritte Integral überhaupt identisch, wenn

c q' i~c>

gesetzt wird, woraus

14) cc' - qq'

als Bedingung resultirt, wenn die nach 12) entsprechenden Lemnis- katen bogen in einfachem Verhältniss zu einander stehen sollen.

Nehmen wir der Einfachheit wegen confocale Lemniskaten an, so ist

15) c*-qq'

Bin 43'= ->sinjä q

welche Formel, wenn

C, - sin£'

eingeführt wird, auch in

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Otkinghatt$: Die Ltmmskale. 39

16) sin je' - sin E' sin

übergeht.

Für die Bogen bestehen nun folgende allgemeine Ausdrücke, wenn das Integral — J gesetzt wird:

c

17)

#' - q' . J

woraus

oder in dem zunächst betrachteten Falle von confocalen Curven

d. i.

*j, — sin£'s

c4

In confocalen Lemniskaten , deren Parameter q und 9' — —

sind, entspricht vermittelst 12) jedem Bogen » der einen Curve ein analoger «' der zweiten, welche beide in dem unveränderlichen q*

Verhältniss zu einander stehen. Daher besteht auch zwischen

den Um fangen beider Curven das nämliche Verhältniss sin E '•. (Vergl. Holzmüller, Lemniskatische Geometrie S. 351 und s. Schlussnote).

Wir fügen noch einige Bemerkungen bei. Aus

sinE' — btz\ü Bin

folgt

**« - r=%£

1 — cos w

Hierin drücken wir vermittelst der Formel

r* = «^-f-g'cos© 9 durch r aus, und finden zanächst

sin £'* — 1 i i-^-y

und weil

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40 Oekinghaus : Die Lemnitknte.

sin£'-^,

so folgt schliesslich der einfache Ausdruck

r o

also auch

sin£' -

so dass r oderr' mit Leichtigkeit gofundon werden kann, wodurch auch der eine Bogen durch den andern bestimmt ist.

Daher ist auch

■ r»

20) 7-7*

oder die entsprechenden Bogen verhalten sich wie die dritten Po- tenzen ihrer Radienvectorcn.

Oder: Bostimmt man in zwei Lemniskaten, welche die Parameter c*

q und q' -» - haben, 2 Punkte derart , dass ihro Radienvectoren in constantem Yerhaltniss

% = sin E

zu einander stehen, so verhalten sich die entsprechenden Bogen « und »' wie die dritten Potenzen dieser Radien.

Der allgemeinere Fall uicht confocaler Lemniskaten möge noch knrz erledigt werden. Dio Gleichungen sind jetzt:

r4 — 2c* r* COS 2<p -\-cA — r'*-2c'«r'*C0829>'-fc'*-9'4

die Brennpunkte Bind ±c und ±c\ die Parameter q und q'.

Aus der Hauptformel

cc' -» qq4

oder

c q>

folgt schon, dass die erste Curvc zwei Ovale, die zweite ein Ganzes bildet. Die betreffenden Bogen habon jetzt das Verhältnisa

21) ^~^sin£'3

$ c

wo wio früher

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Otkinghaut: Di« Lemniikate.

41

8111 = sin

ist. Ebenso entwickelt sich leicht das folgende Verhältniss

22) ^ = ^sin£'

Wollte man annehmen, dass etwa der Bogen $' das «-fache von » sei, so würde zunächst

«= n#

- — nsin£'8 c

bestehen. Ist die äussere Curve als bekannt oder gezeichnet voraus- gesetzt, so würden die Elemente der innern zu bestimmen sein.

Man findet leicht

23) „-5* * =

und ist aus diesen Data die Ovale gezeichnet, so entspricht jedem Punkt 8' der äussern ein durch

8in*0sin£'«= sinJ6'

bestimmter Punkt der innern Curvo, deren Bogen sich wie n : 1 ver- halten. Die Umfange haben ebenfalls das nämliche Verhältniss.

Aus dem Vorstehenden geht hervor, dass die Lemni6katenbogen in ähnlicher Weise mit einander verglichen werden können, wie dies bei den Kegelschnitten der Fall ist.

S 13.

Wir gehen jetzt zu den Reihenentwickelungen über, welche wir zunächst auf das Integral für die Ovale

n

2

t f }/ 1-ij*'8in»>' „w, A •

beziehen. Der Abkürzung wegen schreiben wir es

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42 Oekinghau$: Die Ltmniskate.

n

i «/ r (l-asinie'Ki-PBiniav**

0

uud entwickeln die einzelnen Ausdrücke in Reihen. Man findet

2

h

.(l-/y8inie»-^'8inie4-i/3»8in^6-^inje^<ijÄ

2

1-f J(«-/3)8inie«+|(3a>-2«/J-5A>)sinl©*

0 I -r-^öa^-Sw'^-öo/S»— 13/9»)sinJÖ« I./J« 4-1|8(35«4-^«¥-30a^»-52«/3»-Hl/J*;8iniö8

Die Integrationsgrenzen erstrecken sich von O bis ~m

n

2

Hinsichtlich der Bestimmung von C sin verweisen wir auf

o

bekannte Formeln und geben hier das SchlussresultaMndem wir den echten Bruch p mit k bezeichnen, da das Ergebniss zunächst für Ovale gilt.

• — **2 V (1+*)"

t JL ^(^4-1^*+ 4t— 16) \ + 256 (l+t)s "V

Die Rectification der ungeteilten Lemniskaten führt, wie wir oben nachgewiesen, auf ein analoges Integral mit reeiprokem Para-

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Otkinghaut: Die Lf mm skate. 43

Bezeichnen wir auch jetzt wieder mit k den Ausdruck -„ wel- cher ein echter Bruch ist, so wird der Bogen «' durch

26) • -«g (/ + *f+* + 64 (1+*)*

+ 256 d+*)3 "*J

Erwähnenswert ist noch die folgende Transformation.

Die Schnittpunkte ± a der grossen Achse der Cassinischon Cur- ven, also ihre Scheitelpunkte verbinden wir mit einem beliebigen Cur ven punkte, welcher den Focalwinkel h hat, durch Scheitelgeradeu. Dieselben mögen den (spitzen) Scheitelwinkel y einschliessen.

Man findet vermöge der Formel

2 ra sin <p , — =

tgy--^-^- etc. a-Vc'-f-g»

schließlich die einfache Relation

Daher laset sich anstatt 9 y in das Integral einfahren, und man findet

welches noch einfacher gebaut ist, als die vorhergehenden und sich

auf den Fall der Ovalen bezieht, wo ? < 1 ist. Das Integral ist

c

von O bis * zu nehmen. Die Entwickelungen in Reihen führen auf

•) 8. Sthlusinoie.

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44 Oekinghaus: Die LtmniikaU.

2

woraus schliesslich uutcr Benutzung bekannter Formeln

28) .=fc.|(i- ** + 16 ** - 55 *"+ Mi* - • • • )

als dio gesuchte lteihe für den Bogen $ hervorgeht. Darin bedeutet

und a ist die Länge der grossen Achse.

§ 14.

Dio geomotrischo Construction des Additionsthoorems der elliptischen Iutegralo 1. Gattung vermittelst der

Lemuiskate.

Dio von Jacobi gegebene Auflösung dieses Problems grüudet sich auf die Eigenschaften des Kreises. Dass die Kegelschnitte ebenfalls mit Erfolg verwertet werden können, haben wir schon früher mehrfach bewiesen. Wegen der Verwandtschaft der Lemnis- katen mit den Kegelschnitten ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass auch dio Lemniskate einen Beitrag zur Auflösung bringen wird. Es kommt nur darauf an, unter den mannigfachen Verhältnissen diejenigen zu treffen, welcho sich den Bedingungen der Aufgabo am natürlichsten und ungezwungensten anschmiegen.

Wir legen durch die Mitte der Lemniskate einen Kreis , dessen Centrum dio Coordinatcn Ji(a) bat. Eine Gleichung für die beiden den Schnittpunkten entsprechenden Focalwinkel 6 und 0', welche bekanntlich von den Lcitstrahlen gebildet werden, ist nun leicht auf- zustellen.

Sie ist

2c c» 29) tg|e*cos2«-f R sin «tg Je + 2 cos«» — R% -0

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Oekinghaus: Die Lemniskat*. 45

Wir fahren darin eino andere Varinbele ein, hervorgehend aus

tgytg© - V2

und erinnern darau, dass y der (spitze) Scheitelwinkel ist, den 2 von den Endpunkten der Achse ±a nach dem genannten Punkte der Curve einschliessen.

Die erste Gleichung geht dann in

/ c2 \ 2a

30) tgy» f 2co3o*— £5)+ R r siuatgy + 2cos2« — 0

über. Daran schliessen sich

sin y* (J*p -f siu a*)* 2 QRt - sin «*cos 2a)sin y* -f cos 2a8 -0

cos y* -f- sin —2 sin «*cos a* — — j cos 2«^cosy2

+ \V2Ä»~C0S°J "°

Diese bilden die Basis der nachfolgenden Aufstellungen. Die Fundamentalformel des Additioustheorems

ist bekanntlich

cos y, cos y% — siu yt sin ä(y) = cos y

Die constituirenden Werte siud nun aus den Gleichungen 30) und 31) bekannt, und wir haben

~Ri - cos <»* qp cos 2a J(y) — cos y QRi -f sin Wir fuhren

JfCOS« = x, A'sina «=■ y ein und ordnen die Formel demgemäss. Man findet:

32) z»(l ±z*)-f ys(cosyT ^) = c28iü *y*

Damit haben wir einen Kegelschnitt erhalten, der die Bedingungen des Theorems erfüllt.

Der geometrische Ort der Ceutra der durch den Mittelpunkt der Lemniskate gehenden Kreise, welche iu ihreu Schnittpuukten

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4G Ötkinyhaui : Die Lemniskatt.

die Scheitel- Winkel y als Amplitudon der elliptischon Integrale t Gat- tung bestimmen und damit das Additionstheorem lösen . ist eine Ellipse

1 — J(y) J(y) -\- COS y

34) * y m m |

oder eine Hyperbel

X*

c*s\n J y* " _ca si n $ ys 14- ^(yj zfy — cos y

Betrachten wir den Fall der Ellipse näher. Ihre Achsen sind

1 — J ' <4-}-cosy

Führen wir

tg£ = ^

ein, so erhält man aus

A = cos/:* — cos y sin E* sin/-; cos/-: Bin £ cos E

so dasa bei bestimmten E und k der Modulus y bekannt ist. Derselbe folgt auch aus

35) ^tgj^«——

welche Formel geometrische Bedeutung besitzt. Es ist nämlich der rechtsstehende Ausdruck das Quadrat des Kadiusvectors p, der mit der Achse den Winkel von 45° einschlicsst und also mit der Asymptote der Lemniskatt' (Hyperbel) zusammenfällt und eine Grenzlage des Kreises bezeichnet. Daher besteht die einfache Relation

36) tgtr - Qc

Die Auflösung des Theorems beruht zunächst auf der Conatruc- tion der Achsen der Ellipse, hervorgehend aus

2i» L~co!.y ?!? 1 — cos y 37) c» " 1— J ' * c» ~ /f-cosy

und der Ellipse selbst. Da die Amplituden y und yt bekannt sind, so ist der dem Scheitelwinkel y, entsprechende Punkt der Lemniskate

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0*kinyhaux: Die Lemninkat*. 47

leicht gefunden, ebenso der Mittelpunkt des Kreises , dessen zweiter Schnittpunkt den gesuchten Scheitelwinkel yg als Amplitude des ent- sprechenden Integrals bestimmt.

Man bemerke, dass bei gegebener Ellipse der Modulus durch

*-f 2/*»

fr'«

2{A* + B*)

gegeben, ist und es ist bemerkenswert, dass, wenn beide Curven confocal sind, gleich $ wird. Alsdann drückt das Integral

J yi-isi

siny*

den entsprechenden Lemniskatenbogen u aus, und das Additions- theorem wird zu Uj-j-ttj — tt, worin «1+«* Dei »Heil Lagen des Kreises die unveränderliche Summe oder Bogenlänge u erhält

Für die Hyperbel gelten die analogen Formeln

38) *.~^2-k'

l-f-J J — cosy

39) tgiy-*,, * -

worin q' die Bedeutung wie bei der Ellipse bat, u. 8. w.

Bei confocalen Hyperbeln folgt wieder fr* = \ und die Integrale gehen in Lemniskatenbogen über.

Ans den Entwicklungen geht hervor, dass das Theorem

r dr _ r äYi = r au

J yi -^siny* J Vl-^sinft* J Vi sin y,8

in welchem y und y' als gegebene Grössen construirt werden kön- nen, hinsichtlich der gesuchten Amplitude y, durch die Lemniskate gelöst ist , wodurch sich die Bedeutung der Lemniskate auch nach dieser Richtung offenbart.

Die zu Anfang aufgestellte Gleichung für tg£Ö wollen wir noch kurz betrachten. Wie wir früher gezeigt, ist durch

_ r ül

J Vi - isin

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48 Oekin<jhaus: Die Lemniskate.

ein Lemuiskateubogen defiuirt. Für zwei solcher Bogen wählen wir die Relation

ui + «« = K

worin K als vollständiges Integral einen Lemuiskatenquadranten aus- drückt Die Bedingung hierfür ist

tgtotgta, = V2

Beachtet man das Absolutglied der genanuten Gleichung, so geht daraas die Formel

c*

^p — 2cosft2 = ± ^2008 20

oder

hervor, welche auf eine Ellipse

2 — V2 V2

und auf eine Hyperbel

2-fV2 V2

führt, welche beide mit der Lemniskate confoc.il sind. Beide schnei- den sich auf dem Focalkrcise vom Radius c in der Asymptote der Lemniskate (gleichseitigen Hyperbel). Sie sind der geometrische Ort der Centra aller durch O hindurch gehendeu Kreise, welche auf der Lemniskate Bogeu constanter Summe begrenzen.

§ 15.

■

Die elliptischen Integralfuuctionen der Lemniskate.

Wir werden hier die Formelu benutzen, welche wir in unserer Abhandlung über diese Functionen entwickelt haben.

Die nachstehende werden wir besonders benutzen, da sie die einfachste ist.

Es liege vor die Gleichung

tg<jp* — atg<ps-f btgtp*— ctgip+d — 0

mit derselben ist verbuuden die Function

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Oelinghaus: hie Letnuislatt. 49

J Vi -A»siii9*

C'»+ 2Z>(1 — Ä -f- D ±V(J — C7)*+ (1— H+D)*)

Wir wenden Bie au auf die Gleichung der Geraden für tg<p

tg 9* (A2 -f 2cÄ cos t2) - 2c* sin 2t tg g>» + 2(A2 - cos 2t) tg <p*

+2c2siu2Ttgv-|-A2-2c28iQT2 -0

und finden

*>

±*ö2-^+Ä*2-^sinr2

Geht die Gerade durch einen Brennpunkt, so ist

ä esiu t

uud für das uutere Zeichen wird k2 — 2, also die Integral funetiou zu

J ycos2<p

welche Lemuiskatenbogen darstellt Aus der Relation

40) ^ + «, + „, + «^2*

ergibt sich demnach der Satz, dass jede Gerade durch den Brenn- punkt einer Lemniskate vier Bogen abschneidet, deren Summe der halben Lemniskate gleich ist.

ut und u, müssen von dem eineu Scheitel -f - a, «3 uud u4 von dem andern — o an gerechnet werden.

Wir können diesem Satze eine weitere Ausdehnung auf den Kreis nnd die Lemniskate geben.

Die entsprechende Gleichung haben wir schon früher aufgestellt, sie ist

41) ( (Ä8 — ä* - a2)2-f 4/*2a2sina2)tgfr4-f 4/f2«2sin2atg<*>8 -f- (2(Ä2 — #2) — 2a4 -f 4/f2 a2 cos 2a) tg <jp2 - 4Ä2 a2 sin 2« tg <p + (Ä2 - »2 -j- a2)2 - 4 Jf2 a2 cos o2 - 0

Die Rechnung wird dadurch sehr erleichtert, dass die Grösse uuter dem Wurzelzeichen des Modulus eiu vollständiges Quadrat ist. Wir setzen wieder

Arch. d. »Utk. n. Pbjrt. I. Reih», T. VIII. 4

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50

Of kinghaus: Die Lemniakat*.

*» — 2 also *'* - - 1 und erhalten die Bedingung

7?*a*8iu2«2 - (Ä«-#2)*((Ä»-#a)a + «*-2a2Ä2co8 2a)

oder

42) (~^2)2 = 2 Ä* cos 2« - -f y/^2^Ä»cos2a-fc* Schreiben wir wie früher

als Gleichung einer Cassinischen Carve, so wird das letzte Resultat in

43) (K2 — t3)2 - fr-^-q*)* umgewandelt

Mit jeder beliebigen Lage des Kreiscentrums ist also ein be- stimmter Radius * verknüpft, und der Kreis schneidet die Lemnis- kate in Punkten, deren entsprechende Bogen in der Relation

— M1+u,-ftt3+M4 2/T

zu einander stehen. Die Bogen sind wioder zu zweien von den ent- sprechenden Scheiteln an gerechnet. Rechnet man sie vom Mittel- punkt der Lcmniskate aus, so ist der grösste Bogen gleich der Summe der übrigen oder u, = -f- uj -f- «, , wo die Zahlen auch die Qua- dranten bezeichnen. Der geometrische Ort aller Kreiscentra kanu auch eine Cassinische Curve sein, und man bemerke wol, dass der Ausdruck c2-^ oder für solche eine geometrische Bedeu-

tung hat.

Demnach folgt für

— _ R*-b*

die Relation

44) j» = ä»± Vä*^Ä*

Sehr einfach wird die Formel für i2, wenn der geometrische Ort der Kreiscentra die Lemoiskate selbst ist, alsdann ist c — q und demnach b — 0. Daher ist

»2 - 2K* und sehr leicht zu construiren.

Daher erhält man den Satz:

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OakinghauM-. Dit. Ltmniulatti. 51

Jeder Kreis, dessen Ceutrum r(q>) auf der Lemniskate liegt und einen Halbmesser

* — rya

hat, schneidet die Curve in 4 Punkten, welchen Bogen entsprechen, deren grösster, vom Mittelpunkt der Lemuiskate an gerechneter gleich der Summe der ttbrigeu ist, nämlich

wobei wieder die Indices die entsprechenden Quadranteu bezeichnen.

Es verdient bemerkt zu werden, dass noch eine Relation zwischen den Radienyectoren r der bezüglichen durch den Kreis getroffenen Lemniskateupunkte besteht, welche geiiau derjenigen entspricht, welche wir für die Gerade durch den Brennpunkt schon früher ent- wickelt haben.

Wie wir bewiesen, ist mit jeder Gleichung 4. Grades

— a*8-f-^2 - cx-f-d — 0

die Relation

zYx- h — o

verknüpft, so dass

ZVx - 0

ist, wenn h — 0 wird. Die Bedingung ist nun hierfür

4d

(?-)'

Wir wenden nun diese Relation auf die in 83) gegebene Co- sinusgleichung an, in welcher

cos 2q>

a

>

ist, aber in dem Sinne, dass wir die reeiprokeu Wurzeln als x in obige Formel einführeu. Die Relation

H -f - = 0

*t rt *s r*

führt nun zu derselben Bedingungsgleichung 42), welche ausdrückt, dass

ist. Die Rechnungen übergehen wir, da dieselben keine Schwierig- keiten verursachen.

Auch die auf die Additionstheoreme gegrüudeten Formeln

4*

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52 Otkinghau *: Die f,f**ni*kate.

hj t ■ ■1(pi sin (<p, + g>Ä) ^Va ± d<?i "* sin (<p8 ± tp4)

lassen eine Auwendung zu. Da uämlicb

J<p = Vi — 2sin*» — £

ist, so gehen aus der Relation die neuen

riTrs sin (y, jf y,)

^±»•4" "8in(<p3±g>4)

45) üiTü . Bin^ Ty3)

r*T*-4~ " sin (<jpj ± <?«)

nT»4 _ _ sin (y, T r,±r8" 'sin(9t±79)

hervor. Diese Formeln gelten für die Lage des Kreises, in welchem 2 Schnittpunkte r, r4 im jl. und 4. Quadranten (r4 > r4) sich befinden, r, und bez. im 3. und 2. Quadranten liegen. Für eine veränderte Lage muss auf die Vorzeichen von <p Rücksicht genommen werden.

Für die Brennpunktsgerade bestehen analoge Ausdrücke, deren UnterBuchung sehr interessant ist.

Auch die übrigen Iutegralfuuctioueu köuuen erfolgreich auf ana- loge Verhältnisse übertragen werden.

§ IG.

Die Gleichung des Kreises für tg q> kann auch zur Bildung einer neuen Integralfunction verwandt werden, wenn wir die sin 2a, cos 2a als Variabele betrachten und nach früher gegebenen Methoden ope- riren. Dio Rechnungen führen zunächst auf das Differential

A<"*9

2a* Jfi(A tgy2 + i B y*Ä* - l B» - A ß tg q>* - (2A + A*) tg a> worin

4^ß« C2

Auf die geeignete Form gebracht , resultirt bei Weglassung des Factors

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0< kmghaus; DU Lermutkntc. 53

46)

£ C

Um dies lutegral auf die Normalform zu bringen, führen wir ein, und man erhält die Function

47) C + C dy' ■ — 4- /* — &

</ Vi— A^siny^^V Vi— iPsiny,* Vl-**sinys2

J Vl-^siny^ "V Vi— ^siny2

in welcher die Constante ein Integral ist

Zu bemerken ist der Fall R — *, wonach der Kreis durch den Anfangspunkt O geht. Es wird

cosy — tgq>

und jetzt wird y zum Scheitelwinkel, der dem Punkte r(g>) entspricht

welche Formeln man mit früheren vergleichen möge.

Werden in dem Hauptintegral noch gewisse Grössen gleich null gesetzt so resultiren entsprechende Integrale, die in einfachem Fällen integrirt werden können und neue Beziehungen zu Tage fördern.

Analoge Functionen lassen sich aus der Gleichung für tg}0 gewinnen. Sie ist

48) g*tgie*+2gRtmatgie*+(2g(g— c) — Ä8cos2«)tgi32 ■f 2R (g - e) sin a tg } 8 -f- (g - «)* — 2Ä* cos a». - 0

9

Hierin betrachten wir sina als variabel und erhalten

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54

Oekinghau*: Du Lemniskate.

49) £

r

Substituten wir

1Äfl , 2^-(Ä— *)* 2/?*

so erscheint die Normalform

V Vi- A3 sin ^

COs2*~ä2H-#* + 2ä/c^

Wie vorhin können für die Constanten des Hauptintegrals Mo- dificationen eingeführt werden, welche neue Relationen hervorrufen.

Entwickelt man die Formel für die Winkelsumme, so erh&lt man

5i) tg «0, + e, + e, + e*> - 2*?d^- = tg e

Der Ausdruck zur rechten hat eiuen leicht angebbaren Wert, es ist nämlich 9 der Winkel, welchen die vom Kreiscentrum R\a) nach den Brennpunkten gezogenen Lcitstrahlen mit einander einschliessen.

Daher ist

*j + *i + *s + *4 - 20

welche Formel nicht nur für die Lemniskate, sondern auch, wie leicht zu beweisen ist, für alle Cassiuischcn Cnrven gilt. Die Summe ZW ist überhaupt constant, wenn die Krcisccntra auf einem die Brenn- punkte enthaltenden Kreise liegen.

Wir wollen noch für die Cassinischen Linien dio Gerade durch den Brennpunkt einer Untersuchung unterwerfen. Ihre Neigung zur Achse sei x. Man hat

tg J04 — 2cotTtgi03 + ^(l-f-cotT2)tg|03 — 2cotrtgJe — 1 =0

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Oekinghaut: Di« Lemnükate. 55

Wir nehmen cot* als Variabele an und bestimmen die entspre- chende Integralfunctiou

s r 'fr

J J/(i-?,sinje') (l+i cosie«) welche wir mittelst der Relation

transformiren. Hierin ist y der Scheitelwinkel, welcher nns ans früherem schon bekannt ist. Die Function vereinfacht sich dann zu

52)

C <*Yi + r dy% + P dy%

J ^cos*» J j/l- £ cosy,' J j/ll £cosy.«

. f d?« ^

J j/l+£cosy4»

4-

Der eingeführte Scheitelwinkel y besitzt demnach für die Trans- formationen dieser Integrale bedeutenden Wert

Hinsichtlich der weitern Anwendung .der elliptischen Integral - funetionen erinnern wir darau, dasa zwischen den Curven dritten und vierten Grades und der Lemniskate eine morkwürdigo Verwandtschaft besteht, welche sich auf die Theorie der Invarianten dieser Curven gründet, und welche wir schon früher einer dynamischen Interpreta- tion unterworfen haben.

§ 17.

Conforme Abbildungen lemni skati scher Curven.

Die Lemniskate gibt Veranlassung zur Aufstellung einer merk- würdigen Curve, welche durch die Leichtigkeit, mit welcher sie sich in die Theorie der conformen Abbildungen einführt, einiger Auf- merksamkeit wert erscheint Sie charakterisirt sich durch die Glei- chung

53) y — log (Vl-f cos*1 -f- cos x)

oder auch durch

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5$ Otkinghaux'. Die Limnükate.

0 — Vl + C08Xa-|-C08x

54)

e 9 = Vi 4-C08X* — C08X

von welcher wir zeigen wollen", dass sie für die Theorie der isogo- nalen Verwandtschaft eine gewisse Bedeutung besitzt Die Curve, welche ungofahr einer Wellenlinie ähnlich ist , zeichnet sich durch besondere Eigenschaften aus.

Aus den letzten beiden Darstellungen folgen

cosx «= 4 («* — «-#) VF-f cosx" —

Da aber bekanntlich

siniy -» i - ~ ' '

so erhalten wir « ine einfache Relation

sinii — ico8x

55)

cosjy Vl + cos«* Der DifTerentialquotient ist

dy sina;

dx~~~ Vi +COSX«

und die Rectification der Curve führt auf

/dx Vl-JsinT»

welcher Ausdruck mit dem Integral des Lemniskatenbogens Über- einstimmt, wenn ac $8 gesetzt wird.

0 ist bekenntlich der Focalwinkcl, welchen 2 Leitstrahlen ;>, vom Punkte r(<p) nach den Brennpunkten ±1 mit einander bilden.

Daher ist auch

56) P = &, p' — e-*, pp' — 1

Bevor wir nun die eigentliche Bedeutung der Curve entwich In, halten wir es für nützlich, den oben gegebenen Relationen eine ein- fache physikalische Grundlage zu geben.

Wir nehmen an, in einem Bogen der Lemniskate befände sich eine leuchtendo Materie, die nach bekanntem Gesetz eine kleine im

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O« kinghaux: Die Ltmnitkat*. 57

Mittelpunkt der Lemniskate sich befindende Kugel in einer gewissen Starke beleuchtet. Um den Lichtbetrag oder die Stärke dieser Be- leuchtung zu bestimmen, haben wir zunächst das Bogendifferential d» durch r* zu dividiren und mit dem cos des Ausstrahluugswinkels 2<p zu ranltipliciren. Der Ausdruck würde sein, wenn

gesetzt wird,

/ds Aj^cos27> oder */ — •

weil

r* = a' cos 2<p

ist; daher folgt, dass die Starke der Beleuchtung in proportionalem Verhältnis mit dem Bogen wächst.

Wir nehmen ferner an, dass im Mittelpunkt O eine kleine in der X Achse sich befindende Fläche von einem Bogen der Curve in obigem Sinne beleuchtet sei.

Jetzt tritt der Unterschied ein, dass das letzte Integral noch mit sing? multiplicirt werden muss, so dass die Stärke der Beleuch- tung durch

k f* cos 2? sin 9

und wegen durch

Vcos 2<p , p cos2<p

1 Vcos 2q>

definirt ist. Das Integral ist leicht zu erhalten, man findet J=i-f 2* lOgCVl + cos*» -f cos x) + Const.

Wir setzen

k = 2c = 2 und beachten, dass J für x = 0 verschwindet.

Unter Berücksichtigung der eingeführten Curve hat man also 58) A-y-y'

worin h die Maximalordinate der Curve im Punkte x — 0 bezeichnet.

Die Beleuchtungsstärke wächst also jetzt proportional der ent- sprechenden Ordinate der lemniskatischen Curve

sinw = icosic

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58 Oekingkaut: DU LtmnithaU.

Endlich betrachten wir noch die Wirkung des leuchtenden Bo- gens auf eine kleine im Mittelpunkt der Leniniskate sich befindende und in der F-Achse liegende Fläche.

Das Integral wird jetzt

J — k I ^ COB2<pC09<p

wobei wir

cos 2<p — cos \&%

beracksiebtigen müssen. Das Endresultat ist

J=2c°

oder

59) J=iS

In diesem Falle wächst die Beleuchtung proportional mit der Abscisse der Curve

sini* — icos*

■

wobei wir hinsichtlich des 1. Falls daran erinnern, dass dio Lem- niskato mit der ihr verwandten gleiche Rectificationsvcrhältnisse be- besitzt, so dass die eiue Curve für die andere geuommen werden kann. Sio kann also als eine moditicirte Lemniskate betrachtet werden, deren Gleichung

©tny — cos«

ist. Umschreibt ein Punkt die Lemniskate in gleichförmiger Bewegung, 60 durchwandert in entsprechend constanter Bewegung der analoge- Punkt die verwandte Curve in ununterbrochenem Zuge und befinden eich beide in periodischer Wiederkehr bald auf der positiven, bald auf der negativen Seite der Curve.

Da die Curve in unendlichem Zuge verläuft, könnte man sie Zuglinie oder Tractrix der Lemniskate, oder auch kurz Lemniskatrix nennen, wenn man letztere Benennung gelten lassen will.

Die Quadratur derselben ist leicht durchführbar, wenn man die Reihe

, /,/T-T i i x -COS«* , 1.3 COBX6

l0g(yi + C0B*»-f-C08*) - COSI-i y- -f . ~^ . . .

benutzt. Die Fläche ist demnach

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Oekinghaus: Uit Ltmniskate.

59

2

//*/ . cos*» 1.3 cos*6 \

'*-J\™x-*-Z- + 2A' — '-) o

und ftthrt auf die interessante Reihe

60) yv-i-tH4-i«+§.--.

Vergl. Jahrb. üb. d. Fortschr. d. Math. XV. 229. Catalan.

§ 18. L

Schon an der Form der Gleichung

sim> = t'cosx

ist unmittelbar zu erkennen, dass die Curve in einfachster Weise auf Abbildungsaufgaben , oder auf Functionen complexon Arguments anwendbar ist, daher wollen wir sie jetzt in diesem Sinne unter- suchen.

In der Zahleuebene ist ein beliebiger Punkt z durch x-\-iy de- finirt. Bilden wir eino Function von z, so entspricht jedem Punkte » ein von der Function abhängiger conformer Punkt in der Abbil- dungsebene Z. Beschreibt z in der ersten Ebene eiue gewisse Curve, so wird in der Functioualebene der entsprechende cbcufalls eine Curve beschreiben, deren Bildungsgesetz von der Art der Function und andern Verbältnissen abhäugt. So führt bekanntlich die Ab- bildung von sin (x -f- 1», cos (x -f- *y) auf confocale Kegelschnitte, wenn x oder y als constant betrachtet wird. Wir werden in unserm Falle aber x und y als veränderlich ansehen und annehmen, dass sie Coor- dinaten der Lemniskatrix seien. Wir zeichnen also in der * Ebene diese Curve ein und versuchen, die conformen Abbildungen derselben für alle möglichen Functionen darzustellen. Dabei bemerken wir, dass die beiden Relationen

%\uiy = iCOSaj

sin.y = Vl-f cosz» für alle Fälle massgebend sind.

Als Function complexen Argumente wählen wir zuerst

C08(x-f-*y) — cosxcosiy-f sinÄ 8inV Die obigen Relationen hierin eingeführt, geben

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6Q OikinghauM-, Di«

X+ i Y — cos xV H^cosä" -f- sin* cos* . •

Mao findet

JT = COSzVl -|-C08 r*

Y — sinxcosx

JT»-f y" — 2c08x« - F» -» 2cosx*

also

61) (jt»+ = 2(jr* — f»)

woraus das ioteressante Resultat sich ergibt, dass für die eingeführte Function die Abbildung der Lemniskatrix die ursprüngliche Lemnis- kate mit den Brennpunkten ±1 ist

kann sie mit den oben genannten Kegelschnitten in ein- fachen Zusammenhang bringen, indem wir an bekannte Sätze er- innern :

Den Linien

x — a±_2nn

in der * Ebene entspricht in der Z Ebene die Hyperbel

— - — = 1 cosa* sina1

Daher sind die Halbachsen durch

A' = cos — cos«, B' — sinx

und demnach a durch \S oder den halben Focalwinkel der Lemnis- kate bezeichnet.

Ferner entspricht den Linien

y= ±y

die Ellipse

X* F1

deren Halbachsen

A — Vi -f- cos x*, B — cos* sind. Beachten wir

cosx — cos \Q — Vcoi2^ ■0 sind die Curven durch

X* Y% X* F*

62) 2 cos?*"*" CÖ729 " *• cos2<p ~ 2 cos 9»* " 1

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O ticin g haust Di« T*mni*1cate.

61

bestimmt. Daher folgt: Der geometrische Ort der Durchschnitts - punkte der vorstehenden confocalen Kegelschnitte ist eine confocale Lemniskate, deren Schnittpunkte die Polarwinkel <p und die Focal- winkel 9 haben.

Ferner: Bewegt sich der 0 Punkt eines rechtwinkeligen Achsen- kreuzes in parallelen Lagen des letztern mit den Achsen auf der Lemniskatrix , so entspricht in der Z Ebene dieser Beweguog unter Voraussetzung der obigen Fuuction die Wanderung veränderlicher confocaler Kegelschnitte, deren Durchschnittspunkte eine Lemniskate beschreiben.

Wir entwickeln den Differentialquotienten

dV , cos 2z Vi -f-cosa;*

dX— tgr - sinx(i^-2cosx«)

und da für die Lemniskate

sinz

tgT Vi H-cos x*

woraus

f 1 — cos** *** ~ 1 + cosz*

80 folgt

, 2C0BX*— 1

Die Elimination von cosz ergibt

also iit

tax' -

* 3tgT-tgT»

cotx' =- tg3t x' - 90° -3t

t' - 90°

und weil folgt

63) t = tp

Daher ist der Tangentenwinkel x der Lemniskatrix gleich dem ent- sprechenden Polarwinkel der Functionalcurve in den Punkte», deren Bogen einauder gleich sind. Hinsichtlich des Abgeleiteten bemerke man den Differentialquotienten von Z = cos«, er ist

dZ

- cos (90° - 2<p)-fisin(90°-2y)

woraus unmittelbar das Vergrösserungsverhältniss — 1 beider Curven nebst der Lage der Tangeuteu ihrer conformeu Punkte sich ergibt.

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62 Oekinf/haus : D!« Ltmnitkate

TL

Wir bilden jetzt die Function sin(x-f-»» Dio Entwickelnngen geben für Z — sio i

JJf-f-»r— sinxVl 4~ cos «*-|- cos z"i X — sin «Vi -f- cos** Y — cosx*

Daraus folgt

64) X*+F»- 1

Daher ist die conforme Abbildung unserer Curve der Eiuheitskrois.

Der Differentialquotient ist

dZ . . .

— r(C0S9-f-»8in<)(>)

wo r(f) die entsprechenden Polarcoordinaten des Leinuiskatenpunktes sind, wonach das Vergrösserungsverhältuiss 1 : r ist.

Wir wollen dieses Ergebuiss in dynamischem Sinne verwerten, indem wir die Bewegungsverhältnissc in beiden Curven discutiren. Dabei nehmen wir die Bewegung in der Lemuiskate und verwandten Curve als gleichförmig au.

Wir differentiiren X und Y nach der Zeit t

dX 2 Cosa;3 dx dY 2 COS x8 sing dx

* " yT+7os? ^""Vl '"—sin? *

und setzen

worin » die gesuchte Geschwindigkeit im Kreise r = i ist , welche der gleichförmigen

dt

v°~ dt

in der Lemuiskate entspricht. Nun ist aber

* - V2<te

CÜSX

rft= V2 <ir

<<* ~~ 90 " yr-f cos? '

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Di* LemnUkat*.

63

Daher kanu man

tlx dt

durch

dt

dt

vermittelst

in den obigen Formeln für v* ersetzen , und führt man diese Rech- nungen durch, so erhält man

wie es sein muss.

r ist der Radiutvector des entsprechenden Lemniskatenpunktes.

Der gleichförmigen Bewegung in der Lemniskate entspricht also eine gewisse beschleunigende Bewegung im Focalkreise, welche dem Radiusvector r in der erstem proportional ist.

Nun können wir aber nachweisen, dass diese Bewegung mit der eines schweren Punktes im Halbkreise r — 1 identisch ist.

Bezeichnen wir den Elougationswinkel mit 2g>, so führen die mechanischen Principien auf das Zeitiutegral

■» -

v — »o Vl-f- cos 2« = v0 V2 cos ■

Erinnert man sich aber, dass

C08X = C08*e-a-cV2

ist, so folgt wegen e — 1

65) »=t\,r

oder

während die Geschwindigkeit durch

v — Vfycos 2q>

und also in Uebereiostimmung mit dem Obigen durch

t>= Vgr

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64 O, kinghau

ausgedrückt wird. Die coustaute Geschwindigkeit in der Lemuiskate ist demnach Vg.

Man bemerke noch die aus der Relation

Y mm COS X% = COS 2<p

hervorgehende fernere Uebereinstimmung mit dem Abgeleiteten.

Vielleicht dürfte folgende Entwickelung als Beweis des eben Mitgeteilten nicht überflüssig sein:

Der Lemniskaten bogen wird durch das Integral

id<p

/adq> Vcos 2

Vcos 2<p

dargestellt. Wir differentiireu es nach der Zeit t uud finden

dg a d<p

Eine nochmalige Diflerentiation führt auf das Resultat

66) -f aFsm29> -0

welches die bekannte Differentialgleichung der Beweguug eiues schweren Puuktes im verticalen Kreis ist.

III.

Wir legen jetzt die Function tg(x-f-*y) zu Grande. Hierfür besteht zunächst

^"T" " cos2x-f +

ferner

K«ftr+«-%) - l+2cosx*

u. 8. w., also

*-*tgor, F

57) F* - X* = *

Die vorliegende Function bildet demnach die Lemniskatrix als gleichseitige Hyperbel mit den Brennpunkten ±1 ab.

Wenn also der Schnittpunkt zweier senkrecht auf einander ste- henden, den Achsen bez. parallelcu Geradeu eine Lemuiskatrix be-

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Oeki nghaut: DU T^emnühaU. Q[y

schreibt, so waudorn in der ^Ebene die Durchscbuitte der jenen Parallelen entsprechenden variabelen Kreise auf einer gleichseitigen Hyperbel mit der Geschwindigkeit

Das letzte Resultat kann direct oder auch aus dem absoluten Betrage des Differential quotienten hergeleitet werdeu.

Die Abbildung tg + führt auf den Kreis

68) JC»-f (r-t-l)*-2

Interessant ist dio conforme Abbildung der Curve für die Function

log sin (x -f i» — log (sin x Vi -fcos** -f cosxf 0 Wir haben hier

i(u-f n>) = Jlog(M»-f-t.»)-|-»arctg^ anzuwenden. Das Resultat ist

cosx*

F — arctg

'siuas Vi -f- cos x* also

69) F-*-2<p

Da X verschwiudet , so entspricht der gleichmassigen Bewegung in der Lemniskatrix cino Art oscillirender Bewegung in der F-Achse

um eine Gleichgewichtslage ^«

Um die Geschwindigkeit in den verschiedenen Phasen zu be- rechnen, differentiircn wir F nach t

dY <lv dt ~v*=3 1 <ü

Da aber

dj 2 dtp V<> " dt — r dt

ist, so folgt

0 — v0r

oder die Geschwindigkeit der oscillirenden Bewegung ist direct pro- portional dem Radiusvector der Lemniskate im conformen Punkte.

Die Abbildung log tg|(x-f-»V) ist bemerkenswert wegen der Cou- gruenz beider Curven.

Areh. 4. Math. u. Phya. 2. Reihe, T. VIII. 5

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ß(J Oekinghaut: Die Lemniskate.

IV.

Eine allgemeinere Betrachtung zeigt, dass die oben aufgestellten Relationon und Sätze nur spccielle Resultate sind, die leicht auf alle Leraui8katen erweitert werden können.

Anstatt der einfachon Function cos(x-fiy) führen wir jetzt ein C08(*-|-»y)» - - Ä(C08^+»»in^).

Man findet

1

cos x V 1 -f- cos x* — Rn cos n

X

sin* — Rn sin^

woraus

70) Äa-2»cos«—

folgt und eine Curvo höherer Ordnung vorstellt, wenn n >• 2 ist

Ist n — 1 , so erhalten wir eine Lemniskate. Für n — 2 wird die Curvo ein Kreis

R — 2cos

Setzen wir - statt n, so folgt die Curve

R» — 2 cos »iv

2

welche für n = ^ iu die Fusspunktcurve der Lemniskate übergeht.

Wird n negativ - n gesetzt, so erscheint das Curvensystem R»cos?«p «=■ 2 (s. Schlussnote.) welches für n = 2 in eine gleichseitige Hyperbel üborgeht.

Die Abbildung der Curve für sin (se-{-iy)M führt merkwürdiger Weise für alle n auf den Einheitskreis, wie man leicht findet.

Die lieber tragung der durch tg(x-J-*y)H vermitteiteren Function führt auf die Curve

2

- 2<p Rn cos — — — £ n

2

von tg(z-f-i»" auf 2

von tg(*-f«y) „ auf

R» COS nep — — |

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Oeking haut: DU Ltmnislale. 67

Rn — — 2cosngp

J_

während die Abbildung \%\(x+ iy)±n die Curve

71) J2«+2sin»<p«-^H

liefert, welche für n = ±2 in die Cassinische Linie übergeht.

Analog überträgt sich die Lemniskatrix bei Einführung der Function cos2(x-|-i»i auf die Curve

/?*'»— 2Ä"C08«qp = 3 1

und der Function (x-f-»y)n entspricht die Abbildung

72) sin iRn sin«? = ilf cosngp welche für n - 1 in die Lemniskatrix, für n — 2 in

cos(xf-y2; = JC«2"

übergeht In analoger Weise lassen sich die Functionen aresin, cos, tang verwerten, worauf wir hier nicht weiter eingehen.

Erwähnt möge noch werden, dass die allgemeinere Form

sin ty = p i cos x

in ähnlicher Art wie vorhin diskutirt werden kann, und dass die Rcctification dieser Curve

73) y - log ^ — ! —

auf das elliptische Integral

/dm

fahrt.

Die allgemeinste auf die Eigenschaften der Cassiuischen Linien basirte Curve ist nun die, deren Gleichung darch

74) y = log (VÄ* + cös ? + V A» - sliax*)

charakterisirt ist nud die Lemniskatrix als specicllen Fall enthält. Sie kann auch

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(58 O ikinghaus: Die L'tnnitlcaie.

I

cosi'y — Vä*4- cos«*

75)

8im> = Vh* -sinx*»

geschrieben werden und bat die merkwürdige Eigenschaft, dass die Rectification dieser Curve genau auf dasselbe Integral führt, welches bei der Cassinischen Linie auttritt.

Daher sind die vorbin gegebenen Auseinandersetzungen bei der speciellen Curve einer Uebertragung auf die allgemeinere fähig. Der Differontialquotient der Curve ist

dy sin x COS x

der Bogen

(A5t+cosx*)(Ait — sin**) <ir' A ™ 9

Daher ist wieder x — |Ö oder dem halben Focalwinkel gleich.

Ist der entsprechende Bogen der Cassinischen Linie S, so folgt nach früherem

76) - - f

Die bezüglichen Bogen beider Curven stehen in constantem Verhältniss.

Vermittelst der Fuuction cos(x-f-iy) verwandelt sich die allge- meine Lemniskatrix in

Vik*+X*± Vi/** - 7* - 1 d. i. in eine Cassinische Curve

77) (X »+ y «)« - 2 (A'» - F») - M - 1

mit den Brennpunkten +1. Wie früher ist nun leicht der Satz ab- zuleiten , dass der geometrische Ort der Schnittpunkte der conform veränderlichen confocalen Kegelschnitte

Y*

A2-f-COSx* ~ Ji* — sin x2 78)

x* r2

cosx*- sinx* "~ eino Cassinische Linie ist.

Die Abbildung für sin(*-f-»y)" führt wiederum auf einen Kreis

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Oekinghaus: Die LemmskaU. 69

79) JT*-f Y* - A2» R = AM, t> = »0^+0082^ und der gleichförmigen Bewegung t>0 entspricht die conforme

v = — r 2

Die Abbildung von tg(x-\-iy) gibt

80) (l-^) + 2ii»co829 + l = 0

1

Allgemeiner ist die Uebertragung von cosOr-f-ty)- n durch die Curve

81) (1 — h*)R*» — 2R2ncos2n<P— 1 =0 vermittelt. Bei der Abbildung von

log sin (a?-f iy) ergibt sich nach früherem analog

X = tgh

82)

so dass auch hier eine oscillircnde oder periodische Bewegung auf- tritt, welche der gleichförmigen in der Lemniskate entspricht

§ 19. Die Jonoiden.

Im Anschluss an das Vorhergehende wollen wir, aber unabhängig von der Methode des Imaginairen oder der conformen Abbildung, nachweisen, dass der Verwandtschaft der Curven eine solche der Bewegungen zur Seite steht Man kann n&mlich die Frage auf- werfen, ob es möglich sei, bestimmte Bewegungsverhältuisse der einen Curve auf eine verwandte andere derart zu übertragen, dass diese Verhältnisse sich in Ort, Zeit und Geschwindigkeit gegenseitig ent- sprechen. Diese Curven, welche wir Jonoiden nennen wollen, haben in so fern mit dem Hamilton'schen Hodographen einige Ähn- lichkeit, als sie in ihren Radienvectoren die variabele Geschwindig- keit des Punktes nach Grösse, nicht aber nach Richtung graphisch darstellen.

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70

Oeling haut: DU LcmnisIcaU.

Dagegen wird der Polarwinkel des bewegten Punktes als Focal- winkol auftreten, und die Aufgabe demnach dahin bestimmt sein, eine Relation zwischen Ort und Geschwindigkeit zu finden, welche der entsprechenden Uebertragung fähig ist.

Geometrisch verhält sich die Sache nun so:

Von den beiden Brennpunkten +c einer noch zu suchenden Curve ziehen wir nach einem Curvenpunkt Leitstrahlen der Art, dass sie einen Winkel 8 einschliessen, welcher dem Polarwinkei 8 der Curvo r(0), in welcher die Bewegung erfolgt, 'gleich ist Zu- gleich soll der Radiusvector Ä, welcher den Scheitelpunkt des Win- kels 8 mit dem Anfangspunkt verbindet, der Geschwindigkeit v in der ersten Curve gloich sein. R habe .gegen die Achse die Neigung

Geometrisch ausgedrückt, heisst die Bedingung

Demnach hat man in den Bcwegungsgleichuugen stets die Ge- schwindigkeit v «=* 11 zu setzen , ferner aus den beiden letzten Rela- tionen den Vcctor r zu eliminiren und den aus der Resultante er- haltenen Polarwinkei 8 in die erste Relation zu substituiren.

Wir wollen unter diesen Voraussetzungen die Jonoiden der pla- netarischen Bewegungen oder allgemeiner die der Ceutralbewegung

nach Newtou'schen Gesetz p zu bestimmen suchen. Die Polargleichung derselben ist

83)

r (6) — Const. ü-.Ä-f(r)

V

1 + «COS0

Die Geschwindigkeit

Aus der letzten Relation folgt vermöge v — R

R* " « (l+«cos6)— A

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Ot kinghau»: Die Lemniskate. 71

Da aber

CO8 0

Vß* — 2c*R* cos 2<p -f- c4 ist, so geht die vorletzte Gleichung über in

V \ ^"Vä*~ 2cJ»Ä»C08 2V-fcV

oder in

\P J P V** — 2e»JPc082? + **

Wir führen ein also

so resultirt

4«s ««

84) ß* — 2c* cos 29 -f- c*

und man kann schon jetzt das Resultat aassprecheo, dass die Jono- idcn der Centraibewegung Cassinische Curven sind.

Ferner wird sich zeigen, dass den drei Fällen dieser Bewegung in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln die aus getrennten Ovalen, bez. die Sehleifenlemniskate und die aus einem Ganzon bestehenden Cas- sinischen Linien entsprechen.

Die Unterscheidung dieser Falle beruht auf der Untersuchung

4 u* e* <^ des Ausdrucks — s— , der entweder — c4 sein kann.

* > In Folge der Bedeutung von c haben wir also die Relation

2 us < 2u

^m n P > P

geometrisch zu deuten. Es ist zunächst

<

2ne = 2t* - hp >

und da

ä — - a

10 ist

r

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72

Oekinghaus: DU Lemnitkate.

2(1-«)

und wegen

folgt schliesslich

<

c

>

Diese Beziehung bezeichnet aber bekanntlich die Art des Kegel- schnitts, und es gilt demnach der Satz, dass die Jonoido der plane- tari sohcn oder elliptischen Bewegung eine lemniska tische Ovale, die der kometarisrhen oder parabolischen Bewegung eine Schleifenlem- niskate, die der hyperbolischen Bewegung eine aus einem Zage be- stehende Cassinische Curve ist

Diese Curve hat also die Eigenschaft, dass, wenn der Polar- winkel oder die wahre Anomalie de« Himmelskörpers als Focal- winkel & in sie eingezeichnet ist, der entsprechende Radiusvector R die Grösse der Geschwindigkeit darstellt Ist umgekehrt die Ge- schwindigkeit gegeben, so erhalt man mit Leichtigkeit den zugehö- rigen Polarwinkel.

Welche Bedeutung c hat, erkennt man sofort aus der Formel

Den Fall der Parabel wollen wir noch etwas näher betrachten.

In der y-Achse der Lemniskato ziehen wir von einem Punkte y — n eine Tangente an die Curve. Der Berührungspunkt habe den Polarwinkel <p, den Focalwinkel 8. Aus

C - P(p)

n cos2<p r ö sin 3<p

, cos2<p = cosi©2, r««=.a*cos2v

ergibt sich leicht eine Gleichung für cos $8* nämlich

n

c

und entwickeln nach Potenzen von tgfre, so ergibt sich

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Otkinghaus: Die Lemnitkate. 73

85)

als diejenige Gleichung, welche das Kometenproblem löst.

vi

Die Excentricitat ist wie aus der Theorie hervorgeht. Die

Lemniskate bestimmt demnach noch mit Leichtigkeit vermöge der Formel

c* = nt

für jede Anomalio die Zeit und umgekehrt, wie wir dies schon früher nachgewiesen haben.

Die elliptische Bewegung bietet ebenfalls in ihrer lemniskatischou Uebertragung einiges Interessante.

Eine der X-Achse parallele Gerade schneide die Ovale in zwei Punkten, deren Focalwinkel 0, 0' sein mögen. Für diese specielle Lage ist

S+8' = 180°

Wir tragen diese Focalwinkel als Polarwinkel in die Ellipse ein; verbinden wir nun diese entsprechenden Ellipsenpunkto durch eine Sehne, so geht diese, sowie überhaupt alle analogen Sehnen durch einen festen Punkt der X-Achse, und die den entsprechenden Ano- malien 0, &' zukommenden Zeiten t t' sind dnreh die Relation

tg T * T " tgj(l-f«)e miteinander verknüpft

Wir ziehen ferner einen Radiusvector durch die Ovale, welcher sie in 2 Punkten schneidet. Aus der Formel

sin9>-|'

sin & Vc*+3*cose

folgt

4c* 4c4 cos 0*+ — , sin . cos S-\- sin — 1 — 0

woraus

4c8

cosö-f cosÖ' — — -jjß sing)1 4c4

cosOcosö' — -r^sin^—l 9

Aus der Verbingung beider geht die Relation

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74

Oekinghaus; Die Lemniikat*.

l-j-9,(CO8e4-CO8 0')-f C08ÖC08Ö' —0

hervor. Analog hierzu ziehen wir durch die Ellipse eine der X-Achse parallele Gerade y = y, womit die Formel

1-f «COS© l-f«COBÖ'

verbunden ist. Aus ihr erhalten wir 14- e*

1 + - 2^— (cosö-f cos6')-f cosöcob^' - 0

welche mit der analogen obigen wegen

c* 1 -he' g*"~ 2«

identisch ist

Den der X Achse parallelen Geraden der Ellipse entsprechen also Anomalien odor Polarwiukel, welche den durch den Radius- vector der Ovalen bestimmten Focalwinkeln gleich sind, und die ent- sprechenden Bogen in beiden Curven werden von beiden Punkten in gleichen Zeiten durchlaufen.

2. Die Wnrfbcwegung.

Auch dieso Bewegung lässt eine olegante Uebertraguug zu.

Um die Jonoide der Begung eines geworfenen Körpers im luft- leeren Räume zu finden , haben wir zunächst zu beachten , dass die Geschwindigkeit des Punktes in der Parabel derjenigen seiner Ent- fernung von der Directrix als Fallhöhe entspricht

Die Parabclgleichung ist

ß

r " sin"}©»

und r ist die genannte Fallhöhe, woraus die Relation folgt. Da aber

2Rg sin? 2 sin \S cos |g g Ä^Zc* l^sinT©«-

so können wir

»■!• - Vi

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Oekinghaus: DU Lemtiiskatt. 75

darin einfuhren, und indem wir hinsichtlich der Constanten die An- nahme

c» — 2Pg — 2a8

machen, erhalten wir als Curvengleichung dio Jonoide

86) 0>-f*-a>

also eine gleichseitige Hyperbel, deren Brennpunkte ± c sind.

Im Anfangspunkt der Bewegung habe v die horizontale Com- ponente

vx — v cos t «= v sin Vermöge des Obigen findet

also

vx=a

Die grosse Halbachse der Hyperbel bezeichnet also die Grösse der horizontalen Componente im Boginn der Bewegung und über- haupt

Indem also dio Brennstrahlcn der gleichseitigen Hyperbel den Folarwinkcl der Parabel einschliessen, drückt der Radiusvector R der erstem die Geschwindigkeit des geworfenon Körpers aus.

«

Auch dieser Fall der freien Wurf bewegung kann erweitert wer- den, wenn wir die Bewegung als in einer festen Parabel vor sich gehend betrachten.

Ist dieselbe vertical nach oben gerichtet und die Wurf höhe der Geschwindigkeit »0 Scheitelpunkt = ä, so ist, wenn die 0 vom Scheitel an gerechnet werden

- 2y(Ä-2tg$e8) - R*

Die Polargleichung ist jetzt

Aus der obigen Formel kann man tg \S berechnen und in

l-tgie« ~ r% — c*

einsetzen. Führen wir dies aus und nehmen zwischen den ConBtanten die Bedingung

an, so erscheint die Curve

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76

Oekinghaun Die LemniskaU.

also eine Ellipso, welche die Jonoide der Parabelbcwegung im jetzigen Fall ist. Da

2gh — 2gq= c*

ist, so schliessen jetzt die Leitstrahlen der Ellipse den Polarwinkel der Parabel ein, und die Geschwindigkeit in letzterer ist dem ent- sprechenden Radiusvector der Ellipse gleich ; mit demselben zu- und abnehmend. Die grosse Achse ist — »0.

Die Parabel sei jetzt vertical nach unten gerichtot.

Man findet die Hyperbel

c* = 2g(h+q)

welche Curve für h - q in die gleichseitige Hyperbel tibergeht, da alsdann die Bewegung eine freie ist.

Die Brennstrahlen schliessen den Polarwinkel 180° — B ein und die Geschwindigkeit wächst mit dem Vector ins Unendliche.

3. Die Bewegung auf der Cykloide.

Wie aus der Geometrie der Cykloide bekannt ist, sind die Coor- dinaten xy Functionen des Wälzungswinkels 0, also, wenn a Kreis- radius, ist

x = a(S — sin &)

y — a(l— C08Ö)

Wir lassen einen schweren Punkt jetzt die vertical stehende Cykloide durchlaufen. Die Basis möge horizontal liegen, und die Curve ihre coneavo Seite nach oben kehren. Die Bewegung beginne in einer Spitze mit der Geschwindigkeit null.

Der Fallhöhe y entspricht dio Formel

v*- 2g y = R*

so dass

J?* - 2^a(l--cose) Das hieraus entwickelte cos & führen wir in die Relation

2Rcs\n<p

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Ork in gh au s: Die Ltmnislcat«. 77

ein, setzen noch fest, dass c* — 2g a ist und erhalten schliesslich

89) H* - 2c»cos2<p

Hieraas folgt der Satz:

Die Jonoide der Bewegung eines schweren Punktes in der Cy- kloide ist eine Lemniskate mit den Brennpunkten ±c.

e bedeutet die Geschwindigkeit, welche der Fallhöhe a entspricht.

Ferner bemerke man

•-«)/<

was ausdrückt, dass der Focalwinkel & der Jonoide der Zeit pro- portional wächst, wie sich von selbst versteht.

Der betrachtete Fall ist wieder ein ganz specieller.

Eine Erweiterung tritt ein, wenn wir die den Cykloiden ähn- lichen Trochoiden einführen. Es sind dies verflachte oder verkürzte Cykloiden, welche von Punkten beschrieben werden, die entweder innerhalb oder ausserhalb des auf einer Geraden rollenden Kreises liegen.

Die Lage der hier kurz betrachteten verflachten Cykloide sei analog der früheren. Die Geschwindigkeit für die Fallhöhe geht aus

«1 . vQ*-{-2gy

hervor. vQ ist willkürlich.

Die Gleichungen der Curve sind

x = aS —bs'mS y — a — b cos S

Hierin bedeutet a den Radius des rollenden Kreises, b den Ab- stand des festen Punktes vom Centrum.

Man hat

Äf - V+2<7(«-*cos 6)

C0*S = b--2bT> t*8~ 7?r^r

Die Elimination von 8 führt unter Voraussetzung der Bedingung

v0* + 2ag - c»

auf die Curvengleichung

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78 Oekinyhaus: Dir Ltmniiiatt.

90) 7?<-2c»/?«cos2g> + c< - 4gH* woraus der Satz:

Die Jonoide der Bewegung eines schweren Paktes in einer Tro- choide ist eine Cassinische Linie.

Der Parameter ist

q* - 2gb

und für eine verflachte Cykloide, wenn v0 = 0, kleiner als c*t da &<a ist.

Wenn noch nicht bemerkt sein sollte, dass die Gleichungen der

genannten Trochoide mit denjenigen der planetarischen Bewegung

identificirt werden könuen, so wollen wir auf die entsprechenden

Gleichungen

x a . t Vi -f- m

- = & — e sin S — k ,J — -

a al

y

- — 1 — «COSÖ, y =— r o

aufmerksam maclien. 6» ist hierin der excentrische Winkel oder die mittlere Anomalie.

4. Die Bewegung eines schweren Punktes im verticalen

Kreise und in der Ellipse.

Wir bezeichnen mit v0 die Geschwindigkeit, des Punktes, welche der Elongation er, mit v0 die, welche der Elongation & im Kreise r — a entspricht. Alsdann folgt

— t'o* ~\~ %g a (cos © — cos a) Führen wir den hieraus berechneten Wert von

2gaC08 & — Rs — (r0* — 2yaCOS«) in die bekannte Relation ein und setzen

V — 2gaC08a — c*

so folgt schliesslich

91) fr — 2c*Ä,cos2<p-f c* - tg*a*

Also ist die Jonoide der Bewegung eines schweren Punktes im verticalen Kreis eine Cassinische Curve.

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Otkinghan$: Die Lemnltkettt. 79

Ist speciell c* — 2g a und o = 0, wonacb v0 die Geschwindigkeit im tiefsten Punkte bezeichnet, so ist die entsprechende Höhe 2a. Daher entspricht die Lemniskate

r* — 2 c* cos 9 tp

der asymptotischen Bewegung. Ist die Geschwindigkeitsböhe grösser als der Durchmesser 2a, so wird die Jonoide zur Ovale, deren Ra- dienvectoren und bezügliche Focalwinkel bez. die Geschwindigkeit und den Ausschlagswinkel 6 bezeichnen. Die Pendelbewegung kann ebenfalls bis zu einer gewissen Grenze durch die aus einem Zuge bestehendo Curve polarisch dargestellt werden.

Eine Anwendung auf die Ellipse ist noch leicht zu skizziren.

Die grosse Achse stehe vertical. Die Geschwindigkeit im tief- sten Punkte sei t>0 und der excentrische Winkel — ö, so dass

x = a cos &

Daher besteht die Formel

R* — 2gh-\- 2jraCO80

wo h die Geschwindigkeitshöhe des Punktes im Scheitel der kleinen Achse bezeichnet. Führen wir nun

c* — 2gh, q* 2ga

ein, so ergibt sich wieder vermöge der Gleichung

92) J2* - c'+o* cos ö

eine Cassinische Curve, deren Focalwinkel dem excentrischen Winkel der Ellipse gleich ist.

Wir wollen hieran noch eine Bemerkung knüpfen.

Entwickelt man das Zeitintcgral der Bewegung eines schweren Punktes in der Ellipse, so erkennt man, dass es zu den hyperellipti- schen gehört. Ks scheint aber unbemerkt geblieben zu sein, dass dasselbe in einem speciellen Falle in ein elliptisches übergeht, und zwar findet sich dieses auf folgende Art:

Das Bogendiffcrential der Ellipse ist Aus der Formel

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80

Otkinghaua: Die Lemniakate.

-f

folgt also

>-/vm

ds

V

Wir führen jetzt die Directrix ein, deren Abstand h vom Mittel- punkt = - ist, und wählen h als Geschwindigkeitshöhe, was bedeu-

tet, dass die Geschwindigkeit des Punktes in jedem Orte der Ellipse gleich derjenigen ist, welche er erlangt, wenn er bis dahin von der Directrix ohne Anfangsgeschwindigkeit herabgefallen wäre.

Der Punkt beschreibt also volle Umläufe Wir rechnen die e vom obern Scheitelpunkte au. Es ist zunächst

v* - 2g{h-x)

also

1 D//(a»-it)

demnach

93) t = ]/£-g f 308 ^

welches ausdrückt, dass die Zeit durch ein elliptisches Integral der 2. Art sich finden lässt, wenn die Geschwindigkeitsverhältnisse sich auf die Directrix der Ellipse beziehen.

Man kann das Integral schreiben Die halbe Umlaufszeit T ergibt sich also aus

T=2]/,

2^1 + ')E

demnach ist

i - £«(•)

oder

T . T 2it ( q nu . g* . 2*u \

5. Elliptische Schwingungen.

Wir betrachten noch den Fall der Centraibewegung, nach wel- chem ein Punkt eine Ellipse beschreibt durch die Wirkung einer Kraft, deren Richtung durch das Centrum dieser Curve geht

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Oekinghaus: Die Lemnükate. 81

Der Aasdruck dieser Kraft ist durch

definirt, so dass die Kraft, der Entfernung proportional, aoziebeud wirkt. Die Geschwindigkeit folgt

pS mm r0* — 2 J <pdr

und ist

c* c*

worin »J0r0 sich auf den Aufangszustand beziehen. Nun ist

rS " a»cos«H^liul^

indem wir 8 als Polarwinkel von der kleinen Achse an rechnen. Wir führen ein

und setzen v = R. Die Gleichung für tgö ist danu und da

Ä 272C'sin<|> ist, so erhält man für die Bedingung

C fr»

die Curve

94)

Ä4 — Ä* — — , —4 — j— R* cos <p*

+ £<«M-c»)-0 welcho in einen Kreis übergeht, wenn noch die zweite Bedingung

erfüllt ist. Die GleicliUDg ist dann

95) («-*c),+*,= »'

Arch. der lUth. u. Pliju. 2. Reihe, T. VIII. 6

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82

Of kinghaus ; Die LemnUlaie.

9 4a* 6« b

Die Constanten stehen in diesem spcciollen Falle durch die Re- lation

c» « + 3* c»

in Verbindang. Ferner ist

p a+b

Der Anfangspunkt dor Curve liegt innerhalb des Kreises und die

Strecke — C geht bis zur Peripherie , so dass S von 0 bis 90°

wächst. Die Geschwindigkeit erreicht daher in der 1>- Achse ihr Maximum, in der a-Achse ihr Minimum.

Auch die allgemeinere Gleichung hat in sofern Interesse, als sie mit andern Disciplinen in Verbindung steht und in leicht anzugeben- den Fällen reeiprok wird.

Zu S. 39 dem Citate beizufügen:

oder pftg. 139 der „Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften" von llolzwüller, welcher Autor zuerst die Be- ziehungen Icinniskatis» her Linien zu einander entdeckt hat.

Zu S. 43: Führt raun für ein zweites Integral, welches die Bezeichnungen <•', q't y' hat, die Tinnsformation cosy = ~-co«/ durch, so ist dasselbe dein

ersten ahnlich, und können beide wieder mit einander verglichen werden.

Zu S. 66: Cuiven dieser und ähnlicher Art nennt Herr Holzmüller „irre- guläre Hyperbeln und Lemniskaten m ter Ordnung".

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Björling: Uebtr RauiHcuiven-Siiigularitäten.

83

III.

Ueber Raumcurven-Singularitäten.

Von

C. F. E. Björling.

§ 1. Die Punktcoordiuaten a-, y, z, cioer algebraischen Man m- curve seien rational ausgedrückt in einem Parameter A, also

x y z w

w<> <Pi ^» 2» / ganze Functionen siud. Jedem A-Werte entspricht ein Curveupunkt und umgekehrt; uur einem Doppelpuukte zwei ver- schiedene A-Werte. Die A-Werte, die den Schnittpuukteu der Curve mit der Ebene

(2) Xx-t-Yy + Zz+ Ww - 0

entsprechen, befriedigen die Gleichung

O) r.*A)4 Z •*(*) + W.f{l) - 0

Dieselbe hat eine Doppclwurzel, d. h. dio Ebcno hat an irgend einer Stelle zwei aufeinanderfolgende Punkte mit der Cnrve gemein- sam, insofern zugleich

(4) X.9'(A)+F.^(l)+-2r.a;'(A)+ W.fW) = 0

die Ebene berührt in solchem Falle die Curve an jeuer Stelle, wo- fern nicht

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84 Björling: Urbtr liavmrvrven-Singularitaten

Diese drei Glcichungon seien nämlich von A — A, befriedigt Aos der Gleichung (3) folgt dann immer (4), welche Xy r, Z, W auch sein mögen; d. h. jede durch den betreffenden Punkt (A,) ge- legte Ebene hat daselbst zwei Punkte mit der Curve gemeinsam, uud diese hat da folglich einen statiouären Punkt oder Spitze ff?) 1). Jeder die drei Bedingungen (5) erfüllende A-Wert ergiebt folglich eine solche Singularität.

Wenn, nebst (3) uud (4) auch die Gleichung

(6) iy(i)+ryo)+f.rtD+ w.rm

0

von einem A-Werto befriedigt ist, hat die Ebene (2) an einer Stelle drei aufeinanderfolgende Punkte mit der Curve gemeinsam; sie ist also Schmiegungsebene oder eine „Ebene des Systems". Wir be- trachten (2) als „Zwischenform", d. h. X, Yy Z, W als die Ebenen- coordinaten der gegebenen Curve oder, was dasselbe ist, die Punkt- coordinaten ihrer Reciproken. Aus (3), (4) und (6) erhält man

(7) wo

(8)

Y

Z

0(1) V(A) X(l) F{k)

*t x, f *\ x\ f

ar, r

- gq)

-HA)

gemeinsame Factoren der Nenner setzen wir weggenommen voraus. Das Princip der Dualität ergiebt sogleich, dass jedem A-Werte iu (7) eine Schmiegungscurvc entspricht uud umgekehrt, und speciell jedem die drei Gleichungen

(9)

" «W " xq> " FW)

erfüllendem A-Werte eine stationäre Ebene («).

§ 2. Es seien nun

(10) <p(A) - Lk*+LiXl+*+Ltk'**+ . . .

(11) i^,(A) =. Mim + -Mi A**1 -f Jf,A"»+* -f ...

1) Wir benutzen die gewöhnlichen Beziehungen et, /?, 0 für die An- sah len der stationären Ebenen, Punkte und Taugenten der Raumcurren, aber auch, wenn kein Missvcrst&ndnis« möglich ist, um eine einzige Singula- rität der betreffenden Art ganz kurz zu bezeichnen.

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Bj Gi Ii ng: Lieber Raumcurven- Singularitäten.

85

(12) x(A) - JVA» + AiiMi + A'tW*+ ...

(13) f(k) = P+PJ + PsA»-f . . .

wo die rechten Membra endliche Reihen sind, und (wie immer im folgenden) 1 •< m < n, nnd JL, A/, JV, P nicht null. Die Curve goht dann für A — 0 durch den Anfangspunkt O, hat daselbst mit ihrer Schmiegungsebene (* — 0) n, mit ihrer Tangente (y — 2 =» 0) und jeder durch dieselbe gehenden £bene m Punkte gemeinsam, und schneidet jede andere durch O gehende Ebene daselbst in l Punkten. Einen solchen Punkt der Curve nennen wir einen (J, »», n)-Punkt; die Zahlen J, m, n seine Indices. Ein (1,2, 3)-Punkt ist also ein gewöhnlicher, nicht-singulärer *) ; ein (2, 3, 4) eine Spitze /J; ein (1, 2, 4) der Berührungspunkt einer stationären Ebene («) oder, nach älterer Terminologio , eine „einfache Inflation"; ein (1, 3, 4) eine „doppelto Inflexion", d. h. der Berührungspunkt einer statio- nären Tangente (ö).

Die Gleichungen (5) werden nun befriedigt von l— 1 Werten A— 0; die Singularität eines (i, m, ») -Punktes ist also mit /— 1 stationären Punkten (ß) aequivalont.

Aus (8) erhält man ferner, nach Verkürzen mit A**"»-8

(U) <D(A) - MNPm n (» - »)A»~« + L'kn-l+l + . . .

(15) *P(A)- XiVP/«(/ — «)A»-*-f-J/'A— »•+i-f- ...

(16) X(X) - Z3/PZm(w-0 + iV'A-f ...

(17) P(A) = L MN(n—m) (m -J) (i — »)A« -f P'A"+> -f- . . .

also, da die GoeMcienten der niedrigsten Dignitäten in den rechten Gliedern nicht null sein können, ist ein (/, m, n)-Pnnkt immer zu einem (» — m, n— /, n)-Punkte reeiprok.

Durch Anwendung des Dualitätsprincips auf das vorige ergiebt sich hierhaus:

Die Schmiegungsebene in einem (J, 1», n)-Punkte O gilt,

von einem beliebigen Punkte in derselben gezogen, als (n—m) -fache Ebene des Systems;

von einem beliebigen Punkte der Tangente in O gezogen, als (*— i)-facke Ebene des Systems;

)) Womit natürlich nicht ausgeschlossen ist, dass durch denselben Punkt des RAumei ein anderer Zweig der Curve, welchem ein anderer Parameter- wert entspricht, gehen kann.

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8(3

BjSrling: Utber Raumcvrven- Singular itättn.

vom Punkte O selber gezogen, als «-fache Ebene des Systems;

und ferner, da « und ß reeiproke Singularitäten sind:

Die Singularität eines (Z, m, n)-Punktes ist mit n— m — 1 stationären Ebenen (o) aequivalent.

§ 3. Setzen wir mm w = 1 uud bezeichnen die veränderlichen Coordinatcn der Taugentc der Curve mit 17, £, so werden

C8) ~ f~ = — [*o * " dk u. s. w.j

die Gleichungen dieser Tangente oder, für k als veränderlich, die Gleichungen der von dieser Geraden erzeugtet! osculireuden Deve- loppablen. Schueidet man diese Fläche mit einer Ebene £ — k (constant), so werden die Coordinaten der ebenen Schnittcurve

. k — x k — x

(19) H-9 + -f-.tf, ^-.V

oder nach Einsetzung d.«r Ausdrücke für ac, y, *, x', y', %'

(203 n - ^*Pkm~l+*rkm~l+l+ • • •

t = ^JL»-*+A"A»-Ht+ ...

Für A «= 0, d. h. im Schnittpunkt der Ebene mit der Tangente der Raumcurvc in O, hat diese ebene Curve einen (m— J, n-l)- Punkt, also eine Singularität, aequivalent mit m — l—l Spitzen (x)1). Jede Spitze in der ebenen Schnittcurve eiuer Developpablen ent- spricht aber einem Schnittpunkte der Ebene mit entweder der Cu- spidakurve selbst oder einer ihrer stationären Tangente (6). Da das erste Alternativ hier nicht in Frage kommen kann, so folgt:

Die Singularität eines (i, m, ») -Punktes ist mit m — l — l stationären Tangenten aequivalent

Diese Eigenschaft ist offenbar zu sich selbst reeiprok.

t) Der Begriff (m, »)-Punkt einer ebenen Curve ergiebt sich leicht als Specialfall dea vorigen. Er ist vom Verf. ausführlich detinlrt and behandelt in „Entsprechende Singularit&rcn in alg. ebenen Curvcn" (Nuva Acta Soc. Sc. Up«. Ser. III. 1879). Dass die Singularität eines solchen (m, n)-Punktos mit m — 1 Spitzen (x) und n—m — \ Inflcxioncn (<);acquivnlent ist, ist unseres Wissens «uerst vonCaylcy („On the higher singulnritics of a plane curve1*. Quint. Journ. of Muthcmat. VII) gefunden.

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lijörling: Ueber Jtaumcurvtn- Singularitäten. 87

§ 4. Jcnacbdem ein Iudex (der erste, zweite, dritte) ungerade (u) oder gerade (g) ist, durchsetzt die Corvo die entsprechende (ar- biträre, berührende, Schmiegungs-)Ebenc oder nicht. Eiuo reelle Curve muss daher iu O irgend eiue der folgenden acht Formen darbieten :

a) (u, g> u), d. h. der erste und dritte Index uugerade, der zweite gerade; die Curve durchsetzt die arbiträre und dio Schmiegungs-Ebcne, nicht aber dio berührende. Einfach- ster Fall: (1, 2, 3), der gewöhnliche, nicht siuguläro Punkt.

D) ("> <7> 9)- Einf. Fall: (1, 2, 4), stationäre Ebene (o).

c) K «, g). E. F.: (1, 3, 4), stationäre Tangente (©).

d) (»*, u, u). E. F.: (1, 3, 5), Vereinigung der beiden letzten Singularitäten.

c) (g, m, g). E. F.: (2, 3, 4), stationärer Punkt (ß).

0 (§% «*, «). E. F : (2, 3, 5), Vereinigung von a und ß.

g) toi 9, »*)• E. F.: (2, 4, 5), Vereinigung von 0 und ß.

h) (g, g, g). E. F.: (2, 4, 6), Vereinigung aller drei Singu- laritäten >).

Von diesen acht Formen ist offenbar b) reeiprok zu e) und d) zu g), jede der übrigen aber zu sich selbst.

§ 5. Auf sämtliche hier gefundenen Resultate haben die An- zahlen der Glieder uud die Grade der Functionen] <p, y, Xt f gar keinen Einfluss; jene Resultate behalten also ihre Gültigkeit, auch wenn dieso Functionen unendliche convergirendo Digni- tätsreihen sind.

In solcher Form können die Coordinateu jeder algebraischen Raumcurve, wenigstens innerhalb eines endlichen Gebietes dargestellt werden. Es sei nämlich eine solche Curve C gegeben; wir verlegen den Anfangspunkt in einen Punkt O derselben; wenn mehrere Zweige der Curve dadurch gehen, behandclu wir jeden für sich.

1) Die Modelle des Hm. Chr. Wiener (BriHs Verlag, Elfte Serie) stellen »ämtliche diese acht Formen dar. Kartonmodellc der Formen a), b), e) und d) sind ausgegeben im Werke: .Quatre modele» representant des sur- faee» dlveloppables par V. Malthc-Bruun et C. Crone". Auch vom Verf. sind Modelle der acht Formen ausgegeben.

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88 Björling. Utber Raumeurven- Singularitäten.

Nimmt man dio Tangente des Zweiges in O zur z-Axo, und seine Schmiegungsobene zur xy-Ebeue, so können bekanntlich die Coordinaten y und % der Projectioueu c.iy und CXB des Zweiges auf die xy- und xz ■ Ebene dargestellt werden durch zwei in endlicher Umgebung des Punktes O gültige, Reihen von der Form

m ro-f-l m-\-2

(21) y - Jf((*))y+^i((*))"T" + ^(W) I + •••

(22) z - N((ß)%+NMax)^+Nt({*)y^+ . . .

wo die Cocfficientcn völlig bestimmte Grössen sind , nnd m > n > J„ da die beiden ebenen Curven die x-Axe berühren.

I (resp. /,) giebt dio Anzahl der Punkte an, worin Cxv(Cxt) von einer in ihrer Ebene belegcncu, durch O gehenden, beliebigen, aber nicht berührenden Geraden, also auch von einer durch O gehenden, beliebigen, aber nicht berührenden Ebene in O geschnitten wird. Also ist l — J,, denn jede ist der Anzahl der Punkte gleich, worin der betreffende C-Zweig selbst von der genannten Ebene in o ge- schnitten wird.

Setzt man nun * «= A', so ergiebt sich aus (21) und (22)

(23) y - 3/A* + 3/1A"+i + jl/ti*+*-f. . . .

(24) •=sJWl«»+JV1l«^+iyti«*t+ ...

die Coordinaten der C sind also, wenigstens in endlicher Umgebung des Anfangspunktes, in der genannten Form ausgedrückt n ist >• *», da * = 0 die Schmiegungsebene ist.

§ 6. Die Gleichungen (18) der osculirenden Developpablen werden nun, nach Einführung dieser Ausdrücke für x, y, »

(9„ |— A' i?-AiA"-A/lA'»+'- ...

{ ' l Mm !••-*+ (»+ 1) -f- ...

t—NX** -.^A»-" — ...

~ iV » A» + iV, (» + 1 )A'-<+ » + . . .

wo jedem A-Werte eine Generatrix entspricht und umgekehrt. "Wir untersuchen ihre Schnittcurven mit den Coordinaten-Ebencn.

1) | = 0 giebt

(26) lr\ — M(l — m) Am-f- A/'A"»+i -f- . . .

JV(J-n)A"-f N*X»W+ ...

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Björling: Utber Raumcurven- Singularitäten. 89

die Coeföcienten der niedrigsten A-Dignitäteu können nicht ver- schwinden; die Schnittcurve hat also einen (m, n)-Punkt in O.

2) ij = 0 giebt nach Verkürzung mit km~l

(27) m*=(m — l)V 4.//ÄH14.... mf- N(m — n)A»-fiv-"A«H-f . . .

die Schnittebene enthält also die C-Tangente in O (m-l) mal und eine Curve mit (/, n)-Punkt in O.

3) t — 0 giebt nach Verkürzung mit A»-'

(28) nt = (n-l)V + L"W+ ...

»17 = 3/(n — m) A»»-J-Af -f . . .

die Schnittebene enthält also dio C-Tangente in O (n—t) mal und eine Curve mit (/, m)-Puukt in O.

§ 7. Wir bezeichnen die Plücker'schcn Charaktere der Schnitt- curve »s, die gebildet wird dnreh den Schnitt der Developpablen mit einer beliebigen Ebene P, mit

f*» «1 v, r, »

dagegen diejenigen dar Schnittcurve S\ wenn die Schnittebene P' die Tangente in einem (/, m, »)-Punkte O enthält (ohne Schmie- gungsebene zu sein), mit

p', ö', v', i'

und werden nun dieso mittelst jener und der Indices J, m, n aus- drücken.

a) Der Ebonenschnitt der P' enthält dio C-Tangente in O (m — l) mal; also ist

(29)

b) Die Spitzen (*) der Schnittcurve entstehen bekanntlich in den Punkten , wo die Ebene entweder die Curve C selbst oder eino stationäre Tangente (9) des Systems trifft. Wenn nun P' die Ebene ist, gehen von diesen Punkten verloren

1} die m Punkte, die P' mit C in 0 gemeinsam hat,

2) der einzige Schnittpunkt der P' mit der C-Tangento, welcher, wie oben (§ 3.) erwähnt ist, m- l — 1 Spitzen repräsentirt.

Dagegen kommen hinzu die l — 1 Spitzen, die S' in ihrem (/, n)-Punktc in 0 hat (§ 6., 2). Also wird

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90

Ji/ö rliny: Uibtr Üaumcitrotn-Sinyularitäten.

(30) x' =■ x -2(m-/)

c) Dio Inflexioustangentcu (i) der Schnittcurvo entstehen be- kanntlich durch deu Schnitt der Ebene mit deu statiouäreu Ebenen («) des Systems. Wenn P' die Ebene ist, geht ihre einzige Schnitt- linie mit der C-Ebeno in O, welche, wie oben (§ 2.) erwähnt ist, n — m—1 stationäre Ebenon repräseutirt , verloren, dagegen aber kommen hinzu die u—l — l Inflexioueu, die S' in ihrem (i, «)- Punkte in 0 hat Also wird

(31) i' = i+m — l

Iufolgo (29), (30) und (31) erhält man nun mittelst Plückers Formeln

(32) » = — ,)(»7,+7--»e-), .• -•-•+!

§ 8. Hierausfolgt vermöge des Dualitätsprincips:

Sind fi, fl, x, v, r, t dio Charaktere des aus einem beliebigen Puukto zu C gezogeueu Pcrspectivkcgch? , und fi\ d', x', v', x\ »' die Charaktere des Kegels, wenn der Punkt in einer Tangente eines (/, m, «)-Puuktes O (doch nicht in O selbst) belegen ist, so ist

(33) fi'-fi» 6' x' - x+ro-J, v' ss v-m-f-Z

(34) ,.4(M(.-m-t>) , = ,_2(m_0

§ 9. In diesem § haben fi, i» o\ x . . . dieselbe Bedeutung als in § 7 ; P' sei dagegen die Schmiegungsebcuc selbst in einem (/, m, n)-Punkte O, S' ihre Schnittcurvo mit der Developpableu und l*\ d\ x' . . . dio Charaktere dieser Curve.

a) Der Ebcueuschnitt der P enthält die C-Tangente in O (n— l) mal; also ist

(35) ji'«-fi-n-H

b) Von den Spitzen (n) der Schnittcurve gehen , wenn P' die Schnittebene ist, verloren

1) dio w Punkte, die P* mit C in O gemeinsam hat,

2) der einzige Schnittpunkt der P' mit der C-Tangente, welcher m - 1 - 1 Spitzen repräsentirt.

Dagegen kommen hinzu dio Z— 1 Spitzen, die S' in ihrem (J, w)-Punkto in O hat (§ 6., 3). Also wird

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Bj'Srling: Leber Raumcurven-Sinynlaritäien.

91

(36) x' = x — m — ro-f-2Z

c) Von don Inflexioncn der Schnittcurve gehen, aus demselben Grunde wie oben, » — m — 1 verloren, dagegen kommon hinzu die m— l — 1, die S' in ihrem (J, m)-Puukto in O hat. Also wird

(37) i - i—n + 2m — l

Infolge (35), (36) und (37) erhält man nun mittolst Plückers Formeln

(38) ✓ -„-„+«, r-t+<—l><—'+6-*it+m-l

(99) ✓ - ,+ (— ")(—8*+6~— ^t —

§ 10. Hieraus folgt vermöge des Dualitätsprincips:

Sind f, ö, x, v, r, t die Charaktcro des aus einem beliebigen Punkte zu C gezogenen Perspectivkegels , und d\ x', v', C die Charaktere des Kogels, wenn der Punkt ein (2, m, n)-Punkt der Curve ist, so ist

(40) ,4'

(41) ✓ r-r+^ + t-W+n-i,

Aus diesen Formeln (29) — (41) gebt hervor, dass das Ge- schlecht p der Schnittcurve und des Perspectivkegels durch die betreffende Specialisirung der Schnittebeue uud des Kcgelscheitels nicht geändert wird. Die Formeln enthalten als Specialfalle die be- kannten Nr. 1—4. 7, 8, 11 — 14 in §93. (S. 113) in Salmon-Fiedlcrs „Analytische Geometrie des Raumes", Th. II, 3« Aufl.

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92 MüctUtH.

IV.

Miscellen.

l.

Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung.

FortMtxnng in T. VII. Nr. XXIII. 5.

Aus der im citirton Aufsätze geführten Berechnung ergiebt sich, dass die Formel die Refractionen bis 87° ganz gut darstellt. Die Differenzen würden vielleicht noch geringer ausfallen, wenn die Con- stanten noch schärfer bestimmt werden könnten.

Man kann aus der Formel leicht die Brechungsexponenten für beide Schichten berechnen. Man findet

«j - 1,000062, = 1,000*18

Die Höhen dieser Schichten sind:

^ = 0,00332, ^-0,000564 a ' ' a '

Demnach würde die Höhe ti dieser Athmosphäre 2,68 Meilen be- tragen.

Die Anuahme einer dreimaligen Brechung führt zu analogen Rechnungen, welche indessen sehr weitläufig ausfallen.

Jedenfalls aber würden sich hierdurch die mittleren Refractionen noch genauer und vielleicht schon bis 88° Zenithdistanz darstellen lassen. Wir wollen indessen diese Rechnung nur theoretisch durch- führen und legen also jetzt die folgende Refractionsformol zugrunde:

dg 3 tg* i , *»tg»

Vl+y/tg* Vl+*,tg* Vl+yatg*

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93

Ans der entwickelten Heilienform folgen nach Gleichsetzen der entsprechenden Coefficienten gleich hoher Potenzen mit der vorhin angeftthrteu Reihe die Relationen

*i tri* -f y8s -f *8y88 — d *iyi'+*syt4-f-*8y8* — « *iyi6+**y*6-f*8y86-/

Aus diesen 6 Gleichungen sind die C Unbekannten zu ermitteln. Man findet der Roihe nach leicht folgende Werte:

_ « v\ v\— %i-f y<)+g ^yiy»—g(yi+ya)4- rf

1 (yi -y»)(yi-y8) 1 ^" y,(yi-y*)(yi-y8)

, gyiy»~-%i+y>)+ « _ ^yiy»-<<yi+ya)4-y 1 "" yif(yt — *%) (yi — y8) ' 1 " »Avt — y*) (yi — y8)

Durch Gleichtetzen zweier aufeinander folgenden Ausdrücke ergeben sich die Gleichungen

«yiy»ya— ^yiyt+yiys+yayiJ+^Cyi+yj+ys)— rf — 0 hviy* y8 — *(y» y* -fyty8 -r-y8 y\ > + +y« +y8) — « — o c yi vi y8 - <%i y« + y« y8 + y$ y*) + «(yi 4- ys + y8) - / = o

Hätten wir aus den Grundgleichungon die Werte oder x3 ab- geleitet, so würden wir in Folge des symmetrischen Baues der letzten 3 Gleichungen auf dasselbe Schlussresultat gekommen sein.

Dieses zeigt uns, dass die Lösung der Aufgabe von der Auf- lösung der kubischen Gleichung

y8— (yi+yi+y8)y'+(yjy«+y«ya+y8yi)y— y»ytys - 0

abhängt, deren Coefficienten sich aus den vorhergehenden Relationen berechnen lassen. Führen wir die Rechuung durch, so erhalten wir die Gleichung 3. Grades

(a (rf* — ce) -f- b(be -cd)-\-c(c* — bd) )ys

— {d (c> — bd) -f e{ad — bc) -f- f{b* — ac) )y * -f (d(ed - be) -f e(ae — c2) + f(bc - ad) )y

— + — cd) +f{c* — bd) = 0

Hat man hiernach die Wurzeln y,ysy8 berechnet, so sind auch damit nach dem Obigen die Werte ar,rfx5 bestimmt, womit die Aufgabe gelöst

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94

Ml u i I'e.ll.

ist. Wie man sieht, ist der Gaug raalige Brechung dem vorstehenden 4ten oder «ten Grades geknüpft

Sind demnach die Cocfficienten chenden Grade entwickelt, so stehen weitläufigen Rechuungsoperationen entgegen.

der Lösung für eine 4 oder n analog und au eine Gleichung

der Reihe bis zu dem entspre- der Lösung ausser einigen etwas keine weitern Schwierigkeiten E. Oekinghaus.

2.

lieber (Jlelchgewlehlspmikte der Anziehung: von Linien.

Das Folgende 'gibt ausser einigen allgemeinen Sätzen nur Be- rechnungen der Glcichgcwichtspuukte der Auziehnng einer Anzahl specieller Gebilde.

§. 1. Gleichgewichtspunkt der Anziehuug zweier symmetrisch begrenzter Parallelen.

Ist L eine begrenzte Linie (oder ein System solcher), und sind Af, Ar zwei Punkte auf £, deren gerade Verbindungslinie weder L berührt noch in einem dritten Punkte (zwischen M und JV) trifft, so ist die Componente X der Anziehung von L anf einen Punkt P der Geraden A/Ar in der Richtung von M nach N nahe bei M negativ, nahe bei N positiv, folglich gibt es eine ungerade Anzahl Punkte P wo sie null ist.

Dieser Satz gilt im Räume wie in der Ebene. Wir machen da- von Auwendung auf den Fall, wo L aus 2 Parallelen

x =- r; — y <^ « x c. „£— y— i

besteht, und M, N deren Mitten sind, und zwar seien ar, 0 die Co- ordiuaten von P.

Die Anziehung wirkt längs der x Axe und ist

x 2a 2b_

(c — x)g (c-j-x)a

wo zur Abkürzung

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MUctUm. 05

gesetzt ist.

Die Differentiation ergibt:

dX 2o^ 2a 2b ,2*

daher existirt zwischen (c, 0) uud ( — c, 0) immer ein und nur ein Gleichgewichtspnnkt.

Dieser hat die Gleichung zu erfüllen:

a(c+x)o - Hc—*:q (1)

daher auch die rationale 4. Grades:

a*(c+x)*a* - b*(c - z)V (2)

und genügt jede Wurzel der letztern entweder der Gl. (1) oder der Gleichung

a(b + x)c = -b(c — x)g (3)

Ol. (1) kann nur bei ** < <?*, Gl. (3) nur bei x* > c* erfüllt werden. Da nun Gl. (1) immer eine und nur eine reollo Wurzel hat, so ergibt sich:

Gl. (2) hat immer eine und nur eine reelle Wurzel zwischen c und -c Demnach kann sie nur 2 oder 4 reelle Wurzeln haben; im erstem Falle liegt eine, im letztern liegen 3 reelle Wurzeln ausser- halb des genannten Intervalls.

Sei a < b. In (2) geht für x — ± oc das Zeichen — über in <; für x -=» +c beziehungsweise in folglich ist stets eine reelle

Wurzel >c, die 2 übrigen sind entweder beide ><? oder beide <— c oder imaginär.

Setzt man

b*-\-a* a*b*

bt_at "«> bt_at

,4 i = nc*\ x — cm

so lautet Gl. (2) geordnet:

u4 — 4mu*-j-6i*3 — 4(w-f-n)n-f- 1 —0 und reducirt sich durch Substitution

u = v-\-m

auf

f,4 _ 6Jh>« — i(2mk+n)v — 3k* - \k - 4 mn - 0 (4) wo zur Abkürzung

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96 Misctlltn.

gesetzt ist

Sind die 4 Wurzeln dieser Gleichung

J>±«, —P±r

so genügt, wie ich T. LX1X. S. 111 gezeigt habe, 4p* einer kubi- schen Gleichung, die sich besonders einfach gestaltet, weuu mau

P9 -

setzt, wodurch sie übergeht in

zs + 4(*-f-mn)* — 2n* = 0 Jetzt kann man nach Cardani'scher Formel

als bekannt zugrunde legen und findet:

p - Vfr-f* (5)

Wie sich die 4 Wurzeln verteilen, wird durch folgende Rech- nung entschieden. Man hat:

und nach Gl. (5) in u ausgedrückt:

p'q*r* - (2*-ii)*(fc-H«)-(2frm + n)*

- — 2 — *ss - 4**(ifc + 1) - 2hnn - n» = — 2ifc*(A--|-2) — 2 *•«!-*» < 0

folglich sind 2* und r* von ungleichem Vorzeichen und ist r* als das kleinere negativ. ^

Jetzt hat Gl. (2) als eiuzigo reelle Wurzeln:

x — e(p±q)

deren eine > c, die andre Mittel zwischen c und — c ist Bezeichnet q die positive Quadratwurzel, so ist hiernach der Gleichgewichts- punkt

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97

x « c(p — q)

§. 2. Gleichge wichtspunkte der Anziehung dreier Seiten eines Rechtecks.

Geht von einem Punkte A einer begrenzten Linie L eine un- begrenzte Gerado AX aus, welche L nicht berührt und nicht zum zweitenmale trifft, und wird ein Punkt P auf AX von L nach New- ton'schem Gesetze angezogen , so ist die einem von 0 bis oo wach- senden AP entsprechende Componente nach AX zu Anfang und später definitiv positiv in der Richtung nach A hin. Denn für unendlich kleines AP ist die Anziehung eines höchstens in 1. Ordnung unend- lich kleinen angrenzenden Stücks von L unendlich gross 1. Ordnuug, und die des ganzen Restes von L endlich. Sobald nachher P die Grenze der Projection von L auf AX überschreitet, liegt die ganze Figur mit A auf einer Seite von P, zieht also P in allen ihren Teilen nach A hin. Hieraus folgt der Satz:

■

„Die Gomponeute der Anziehung einer begrenzten Linie in be- liebiger nicht tangirender Richtung nach einem Punkte der Linie „kann nur eine gerade Anzahl von Gleichgewichtspunkten ausserhalb ,derLinie haben, wofern man jeden Punkt, dem eine Componente „null und zugleich Maximum oder Minimum entspricht, doppelt „zählt"

Dieser Satz gilt ebensowol im Räume wie in der Ebene. Im Folgenden machen wir specielle Anwendung auf einen Fall der Ebene.

Die anziehende Linie II bestehe aus 3 Seiten eines Rechtecks. Sei AB — CD — o und 2*C — 2A, der angezogene Punkt P liege auf der Symmetrieaxe MN innerhalb des Rechtecks, wo M die Mitte von BC. Die Anziehung wird also repräsentirt durch ihre axiale Componente.

Diese Componente ist für jede der parallelen Seiten

1 _ 1 _ 1 1

" AP BP" Vfc^Äji -j- VÄH-^ die Anziehung von BC

BC 2b = hBP~ hVh* + b*

wo h = MB\ daher ist die Anziehung der Linie II

Arch. d. M»tb. u. Phyi. 2. Reihe, T. VUI. 7

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98 Miicelkn.

in der Richtung von P nach J/, die Bedingung des Gleichgewichts: h^K*+b* - (A-Ä)V(a — A)» + 6» (1)

woraus als notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung hervor- geht:

A*(A*-f-6*) -=» (Ä_ft)»[(a — Ä)*-f-A*] d. i. nach Potenzen von A entwickelt:

H{<h h) == (2) 2(a + £)A5-(a»+4ai + A»)A»-f 2(a*+ab + b*)bh-(a*+b*)b* - 0

und naeh Potenzen von a:

«»(A--&)*_2aA(Ä-A)* - A(2A ~i)(A»-H«).

was sich schreiben lässt:

Die 3 Wurzeln Ä von Gl. (2) teilen siebenter die 2 Gleichungen

hl/ht-^-b* — (A — i)V(a — h)*-^b* (4) h ytJ+fi - — (Ä-Ä) V(0 — A)»-f-4* (5)

Dem vorangestellten Satze zufolge kann erstere nur keine oder zwei reelle Wurzeln haben. Gehen wir nun von dem Fallo a = b aus4 so reducirt sich hier Gl. (2) auf

und hat eine reelle Wurzel A — £6, welche der Gl. (5), und 2 imagi- näre AJ— 4A(1±»V3), welche der Gl. (4) genügen.

Andrerseits ist leicht zu ersehen, dass die Function

h y'fS+b* h — b

von irgend einem Werte an mit A beständig und ins unendliche wächst Nach Gl. (1) wächst dann auch das stets positive a — A, und umsomehr a mit A, d. h. die Function a von A ist eindeutig umkehrbar, und jedem hinreichend grossen a entspricht ein reelles Ä.

Lässt man nun a von a=4 an bis zu diesem Werte stetig wachsen, so muss irgend einmal das anfänglich conjugirt complexe

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Miscelhn

99

Wertepar k in ein reelles übergehen nnd an der Grenze zusammen- fallen, wir wollen sagen in A = A0 entsprechend a — oq.

Ist ferner a = a, derjenige Wert , von welchem an A mit a wächst, nnd entspricht ihm Ä •= A,. so hat GL (4) für a > a, zwei reelle Wurzeln A, deren einer > A, ist, während der andre, weil A eindeutig in o, < Ag sein muss.

Gleichzeitig hat Gl. (2) 3 reelle Wurzeln, deren einer der Gl. (5) angehört. Diese aber kann nur für A < A erfüllt werden. Hier- nach bilden b und /-, feste Grenzen für die 3 Wurzeln: die beiden grössten, unter sich durch A, , gegen die dritte durch l> geschieden, bestimmen Gleichgewichtspunkte ; da sie für a — Oq in h0 zusammen- fallen, so muss A0 =- ht und oq = % sein.

Das letztere Ergebniss A0 — ht erhält man auch sofort bei Be- stimmung beider Grössen. Denn A — A, entspricht dem Beginn des definitiven Wachsens von a mit A; die Bedingung ist:

0; *(.,»> -0 (6)

Bedingung für A Aq ist die Existenz einer doppelten Wurzel, also dieselben Gleichungen (6). Es bleibt nur in Frage, ob diese nach Eliminatiou von A durch mehrere Werte von a erfüllt werden können.

Unmittelbar erhält man aus den Gl. (6):

3(a + i)Ä* - (a*+4aA-f A*)Ä-f (a*-j-aA+A*)A - 0 (a*-f-4aA-H»)A*— 4(a»-f«ä-H*^A-f-3(a»-f-A*)&* - 0

woraus zunächst: (7)

(a* — 4a*b — 6a*A*-16aA3-llA4)Ä = (a4 — 4asA-3a*A»-4oA*-8A4)A (a4 — 4asÄ-3a*A*— 4aA»-8A4)Ä - (a4 -4asA + 6asA*-4aA3 + A4)/>

und schliesslich:

2a6-12a6A+ 3a*68-40a3&3-24«W-12«Aft— 25A« - 0

das ist:

2(a-A)«~27(a*+ A*)8*2 oder, da a — A stets positiv:

y2(a-A)3-.3V3(a»-f-A«)A

Setzt man hier

a-«(y + 4); A — cr(y — 2)

so kommt:

yS_|_6y-4(5-f-3VG)-0 (8)

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100

MUceüen.

* a

y - V2 ( Vb + 3 V6 + V 8l+3Öy 6 + Vö + 3 - V 81+30 V6 )

y- 3,1285746

|«*±|- 6,8164430

Drückt man die Coefficienten der Gl. (7) in y aus, so kommt:

2(— y*+ 2y8 + 8y + 20V* = (— y* + 2y» - 6yf+ 32y -f- 32)4 (— y* + 2ys - 6y* + 32y + 32)A — 12b

Reducirt man durch Gl. (8) y* und ys auf niedere Potenzen, so geben beide Gleichungen übereinstimmend:

(2+*/6 — y)Ä - V6A

Demuach ist die kleinste Abscisse eines Gleichgewichtspunktes

-6- 1,8648866*'

und das kleinste a, dem ein Gleichgewichtspunkt entspricht:

a0 - 6 = 6, 316 4420* y — J

Um die Resultate zusammenzustellen, so existirt

für a < o0 kein Gloichgewichtspunkt,

für a = a0 einer, nämlich h = ^ ,

für a > «0 zwei, nämlich h = h' und ä", von denen

*' > »oi *o > h" > h

ist. Die dritte Wurzel von H = 0 ist hm < b und genügt der Glei- chung (5).

Eudlich ist es noch von Interesse die Lösungen für nnendlich grosses a zu untersuchen. Sei

so dass Gl. (2) Ubergeht in

W + ßW-V+W+Wtf+W + ß+Wv-il+ßW - 0 (9)

Für ß «=» 0 erhält man (2? — l)»j* = 0, woraus als grösste Wurzel rf «=• J hervorgeht, währeud die beiden andern vorschwinden. Ent- wickelt man also tj uach Potenzen vou ßy so ergibt sich der Wert

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Misctllttu 101

A'

von rf = — . Die Entwickelung muss, damit sich h" und Aw schei- den, mindestens bis zar 4. Potenz getrieben werden, wo man findet:

Setzt man diesen Wert in 61. (9) ein, snbtrahirt die Gleichung in »/ von der in r\ und dividirt durch rj — rf, so erhält man die quadra- tische, für rj — V' una* — V gültige Gleichung :

(1 + «,1-2^1+^+3^+11^+^(1+11+^») - 0 oder nach Division durch 1 + jS:

V — 2^(1 + 3/3«+ 8/33)^ + 1 + 4/3») = 0 und nach Auflösung:

v = ß±V2ß*

das ist:

»'»fs-ja-^i r-§+Vl*l Ä--*-V2^

Die 2 ersten Ausdrücke bestimmen für sehr grosso a : b annähernd die Gleichgewichtspunkte.

§. 3. Gloichgcwichtspunkte der Anziehung einer symmetrischen dreiteiligen gebrochenen Linie.

Die gebrochene Linie L sei ABCD, die Stucke BA und CD liegen symmetrisch zur x Axo 3/iV, und zwar sei M Projcction von B und C und Anfang der «y, N Projection von A und D auf die * Axe; ß sei Richtungswinkel von BA.

Der von X angezogene Punkt auf der x Axe sei P mit den Coordinatcn s, 0 uud j4i> «=■ p, i?P = «. Das Lot PQ von P auf AB sei — A. Dann sind die Coordinaten von A, B bzhw.

(x) - MN=a, 0

= AN=b + atgß, BM-b

und man hat:

p»- (a-*)» + (A + atg/J)*; «» = *»+*»

A = &sin0-f-£cos0

Die Componenten der Anziohnng von AB und BM in der * Richtung sind bzhw.:

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102

Mi$cetten.

b±atgß b_ b_ 1 ~ Qh ' cA' ~ ax

daher ist die Anziehung dor ganzen Figur L

und die Bedingung des Gleichgewichts:

0= ^6(x— Ä) — <j(ft+rttg/3)x = 0 während # > 0 die positive * Richtung der Anziehung anzeigt. Nach Multiplikation mit

Qb(z-h) + ö(b+atgß)x

erhält man als notwendige Bedingung die rationale Gleichung 4. Grades :

{(«-*)» + (* + a tg /*)•} &*(« - A)» - (*«+ &») (* + a tg 0) V -= 0 (1)

unter deren Wurzeln, solange b-\-atgß^> 0 ist, diejenigen, welche > h sind, auch die ausreichende Bedingung G — 0 erfüllen, mithin, soweit sie reell sind, Glcichgewichtspunkte bestimmen.

Da für x > a die ganze Figur L auf negativer Seite von P liegt, so ist hier stets G < 0. Hat nun G =» 0 reelle Wurzeln, und ist a; — xx die*grösste unter ihnen, so ist xt < <z. Verlängert man dann BA und CD um gleiche Stücke, so ist die Componente der Anziehung der Verlängerungen positiv, also wird durch den Zuwachs von a auch G > 0, muss aber für hinreichend grosses x negativ werden, folglich für irgend ein * > x1 verschwinden. Hieraus folgt der Satz:

Existirt für irgend ein a ein Gleichgewichtspunkt, so existirt auch für jedes grössere a ein solcher, und existirt für irgend ein a keiner, so existirt auch für jedes kleinere a keiner.

Demgemäss erhalten wir die äusserste Grenze der Existenz von Gleichgewichtspunkten, wenn wir a *=<x setzen. Dann geht Gl. (1) über in

x*sin8/3-f 68«*(2sin/J -l)+2&sxcosj3(l — sin/S) — b*cos*ß = 0 oder, wenn man

g mm bzCOSß] Sin/3 = 71

setzt, in

* Bf(l _ Mt) + Ä«(2„ -l)-f 22(l-«)-l =0 An den Grenzen zwischen zweien der Fälle, wo sie keine, zwei oder

♦

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Miscellen.

103

vier reelle Wurzeln hat, müssen 2 Wurzeln zusammenfallen ; hier ist also

2*3»'(1 ~ »*) + *(2» -l)-f-(l-n) =0 Eliminirt man z zwischen beiden Gleichungen, so kommt:

n*(lln6 - 36«5+ 19n* -f 32»3 - 19n« - lOn -f 2) = 0

das ist :

n*(llnJ— 14n -f 2) (n» — n — 1)* - 0

woraus 5 verschiedene reelle Wurzeln hervorgehen. Da die Elimi- nation der höhern Potenzen von * zu linearen Gleichungen führt, so entspricht jedem n nur ein *, und es ergeben sich die Werte:

_7±8V8 1 — 11 • * 'ä+V3'

3" — A

= T

V3' fccos/J^^VS

_1±V5 1TV5. s-A 1TV5

»— - 2 , « 2 i 6cos/3- 2

Der Fall n = 0 ist in §. 2. behandelt. Unter den 4 übrigen sind die Werte mit obern Zeichen zu verwerfen , weil n > 1 wird. Es bleiben nur die zwei:

1) Für positives ß hat man allein:

11

- (t+yj^bcosß - 2,542 4606 > h

sin/3-7 J*/8; 0- 0,104 8707 R

2) für negatives 0:

sinP = i=^; ß 0,424 1412R

«=1"^V56cos<3= 1,2720206 >Ä

Da nach §. 2. für ß = 0 und hinreichend grosses «, mithin auch für a — od zwei Gloichgewichtspunkte existiren, so müssen sich an der eben bestimmten Grenze das reelle und imaginäre Wurzelpar so scheiden, dass das reelle im ganzen Intervall zwischen 0 und jeder der beiden Grenzen statthat. Es hat sich also ergeben:

Für 0 < ß < 0,104 8707 ... R existiren für hinreichend grosses o zwei Gleichgewichtspunkte, für grösseres ß keiner, so gross immer a Bei.

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104 MUceUen.

Dio negativen ß würden in Betreff des eventuellen Durchschnitts von BA und CD besondcro Untersuchung erfordern, auf die ich hier nicht eingehe.

§. 4. Minimum der Kreisbogen, deren Anziehung Gleichgewichtspunkto hat.

Wächst der Bogen B eines constanten Kreises von 0 bis zum vollen Kreise, so hat (wie ich am Schlüsse des Aufsatzes XVII. T. VII. S. 336 bewiesen habe) seine Anziehung im Anfang bis zu einer gewissen Grenze keinen, darüber hinaus zwei Gleichgewichts- punkte auf der Symmctrieaxe.

Im Folgenden will ich in der Kürze das Verfahren angeben, nach welchem ich diese Grenze

\B - 1,806 9374 R

wo der Radius — 1 gesetzt ist, und R den Quadranten bedeutet, be- rechnet habe.

Da nur Punkte auf der Symmetrieaxe in Botracht gezogen sind, so ist vorhor die Berechtigung zu begründen. In der Tat gibt es ein- und mohrfach symmetrisch gestaltete Linien mit Gleichgowichts- punkten , dio auf keiner Axo liegen . Dass ein Kreisbogen nicht in diesem Falle ist, lasst sich leicht zeigen.

Wir nehmen an , P sei ein Gleichgewichtspunkt für den Bogen 2?, ziehen durch P den Durchmesser D und durch beide Enden von B Sehnen KL und MN normal zu D. Letztere teilen den vollen Kreis in 4 Stücke: Bog. KL und MN, einzeln symmetrisch zu D, und zwischen beiden Bog. KM und LN (in besoudern Fällen kann ein Stück null sein). Die zu D normale Componente der Anziehung von KL und MN, mögen sie zu .ß gehören oder nicht, ist stets null. Von KM und LN aber ist stets eins Toil von B, das andre nicht; daher ist die transversale Componente der allein übrig bleibenden Anziehung stets positiv nach der Seito dos erstem Bogens hin, und P befindet sich nicht im Gleichgewichte, wenn nicht beide Sehnen zusammenfallen, mithin D Symmetrieaxe von B ist, w. z. b. w.

Sei also der vom Bogen B angezogene Punkt V auf der Sym- metrieaxe D gelegen. Wir nehmen den Mittelpunkt des Kreises zum Anfang der xy , D zur Axe der «, positiv nach der Mitte von B hin, und zwar seien «, 0 Coordinatcn von P und cos?, sin<p Coordinaten des Bogenelcmcnts d<p. Den Enden des Bogens ent-

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105

sprechen <p = ±«R, und g sei die Entfernung von Pund Bg>. Dann sind die Componentcn der Anziehung

«R «R

sinV3g> = 0

€8

—o» — aR

= 1 -}"** — 2xC089

und die Bedingung des Gleichgewichts:

X = 0

wodurch * als Function von a bestimmt wird.

Zum Ausdruck des Integrals in elliptischen Functionen sei <p — 2amcu; oR — 2amcij

1— x ' " 1—x

dann wird

Einfacher und zur numerischen Rechnung geeigneter wird der Aus- druck durch Einführung der Functionen:

t) i°e— ''+2«"; S(v, x) - S^v-R, t)

H=-OD

Bfa *) — "~iV<"+l)'r+(2n+l)«. £T(«, T) = Vs(« — R, T)

»l=-OD H =

: — 00

Hier wird die Bedingungsgleichung:

t) v) G--L 9, (0, i)- ^-^j

Für k > V\ oder t < 2R kann man zum coojugirten Modul ff übergehen bestimmt durch

et - 4R»

zugleich nehmen wir dann das Complement von t> und setzen: dann lautet die Bedingungsgleichung:

sei-*. >-»«"-w

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106

Misctlltn.

Bei einer siebenstelligen Rechnung reicht es vollkommen die Reihen bis zur 4. Potenz von

q = C-', q' - fo

zu benutzen. Die Gleichungen werden dann: 4g «in 2*1 -ig» cos 2»)

l-2gcos2t,-f-9«cos4t> tr(K — t') (l) G -\^-*'(l+2g+2g«)*

sin 2iur

4g'— — (l-f-42'SCOs2«c) 1 + 2g'cos 2iw -f- 2g'4 cos 4iTo

- Jw (2)

Um nun für gegebenen Bogen die Gleichgewichtspunkte zu finden, wttrdo man x als Function von a darzustellen haben. Mit <?, q\ v, to stehen x und a in folgender Beziehung. Sei

k = sinjSR; k' = cosßR

dann wird

* = -tg»^p q - C-'; q' = C"«

001 2 V* /f.K r) V* cosü+g»«^» <W , te(,,r, o) 1 — 2g'COs2ug-f-2g'*C08 4»0

V ff(f«r, a)1" yk 2g'*(sinu/>-g'»sin3*ir)

Da in Gl. (1) und (2) v und w implicite von x und a abhangen, so ist eine directe Lösung nach x nicht wol möglich, ebensowenig die inverse. Man hat nur den einen Weg, erst die Gleichungen nach v resp. w (approximativ) aufzulösen, x aus g(g')» « aus g, ©, ('/', w) zu berechnen, schliesslich die erhaltene Darstellung von o in * umzukehren.

Diese Rechnung lässt sich in Reihen, die nach Potenzen von q resp. Vg1 fortschreiten, ausführen; doch convergiren die resultiren- den Reihen so schwach, dass sio zur numerischen Ausrechnung völlig unbrauchbar sind. Dagegen führt die gewöhnliche Approximations- methode, welche jeden Näherungswert dem resultirenden Fehler pro-

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107

portional corrigirt, sehr schnell and leicht zum Ziele. Die folgende kleine Tafel geht nicht von <?, sondern von ß aas. Die entsprechen- den Werte von q habe ich der von E. Moissel berechneten und herausgegebenen achtstelligen Tafel entnommen; aus ihnen gehen die Werte von q' leicht hervor.

ß	« I
0,1	1,993 8822	—0,006 1940
0,2	1,976 1331	-0,025 8856
0,3	1,948 5543	-0,057 6378
0,4	1,914 0766	-0,105 5728
0,5	1,875 3810	-0,171 5729
0,6	1,840 4380	-0,259 6162 .
0,7	1,815 4961	—0,375 5248
0,8	1,807 3806	—0,527 8639
0,9 1 1,947 3050	—0,729 4538

Zur Bestimmung des Minimums von «, welches der Tabelle zu- folge nicht weit von ß — 0,8 entfernt sein kann, würde sich die analy- tische Bedingung wenig eignen, weil die derivirte Gl. (2) schon com- plicirt ist und nach Elimination von 9g\ dw mittelst Gl. (3) noch complicirter wird. Dagegen ergibt sich das Minimum siebenstellig sehr bald, wenn man über die zweite Bruchstelle von ß eine neue Tafel berechnet, die sich nur auf die nachtliegenden Werte, etwa 0,78; 0,79; 0,81 zu erstrecken braucht; dann in der Nähe des klein- sten a mit der dritten Stelle ebenso verfahrt, u. s. f. Die vierte Tabelle lautet:

*
0,7808	1,806 9378	(4)
0,7809	1,806 9374
0,7810	1,806 9376

Sind die Differenzen der ß hinreichend klein geworden, wie wir hier z. B. annehmen wollen, so kann man in dem kleinen Intervalle die Curve o — gct. (ß) durch eine Parabel ersetzen , die durch die 3 Punkte (aß) geht, und deren Scheitel dann dem Minimum sehr nahe entsprechen muss. Sei also , wenn «0 — %ct (ß0) den Scheitel be- zeichnet,

a0 - 1,806 9378- 10~7JT; ß0 - 0,7808 + 10~*Y dann kommt:

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108

y*-.2pjr; (y-l)»-2p(jr-4); (F-2)» - 2f>(*-2) woraus :

r 49 v 7 1

also

ß0 — 0,780 9167 ; o«, = 1,806 9373 9167

Die 3 letzten Ziffern würden Geltung haben, wenn die Zahlen (4) bis auf 3 weitere Stellen genau wären. Für die siebenstellige Rech- nung lallen sie wog, und man hat für das Minimum:

ß = 0,7809 i « - 1,806 9374 ; * - 0,495 4

Von x können natürlich alsdann nur höchstens 4 Stollen gefunden werden. K Hoppe.

3.

Zur Theorie der Kefelschnittslinien.

1. Zieht man an einen Kegelschnitt in einem beliebigen Punkte A die Tangente und verbindet A mit den beiden unendlich fernen Punkten der Curvc, so ist das Product der Entfernungen irgend eines Punktes der Kegelschnittslinio von den beiden letztgenannten Geraden proportional seiner Entfernung von der Tangente.

Sei

«j + Sui+uo-O (1

worin

«, = aux% + 2auxy+any\ u, = ^,«4-0,,^ «o - a33

dio Gleichung des Kogelschnitts, bezogon auf rechtwinklige Axen. Transformirt man zu parallelen Axen mit dem Ursprung A(sr0, y0), so nimmt die Gleichung dio Form

«,+ 2< «0 (2

worin

*n» ais'i "ja' siQd lineare Functionen von xQ, y0 rn't Coefficienten der ursprünglichen Gleichung.

Die Gleichung der Tangente in A ist

«/-O (3

die Gleichung des Geradenpaars, welches A mit den unendlich fernen Punkten des Kegelschnitts verbindet, ist

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109

u,=0 (4

Zerlegt man us in die linearen Factoren und setzt dabei zur Ab- kürzung die positive Quadratwurzel

Yau* — auan = xo (5 so schreiben sieb die Gleichungen (3 und (4

«i4 — «is'*+«ts'y - 0 (6

tt* ~ aZph*9*tm (a,s ~ fas y -M«« + *W — 0 (6*

Bezeichnet 9 die Entfernung des Punktes 2f(ar, y) auf (2 von der Tangente, «, *' seine Entfernungen von den nach den unendlich fernen Punkten gerichteten Geradon, so ergeben sich auf Grund der Gleichungen (6 und (6* für diese Grössen die Ausdrücke

,» awy-Kflit+w)a! Hieraus folgt mit Zuziehung von (5

•4-«' y(«„-«»), + 4alt» Die Einführung dieser Ausdrücke in die Gleich. (2 gibt

(«m — «is)*+4«n8

(7

wo nunmehr *, q und die Quadratwurzel mit ihrem absoluten Be- trag zu verstehen sind. Damit ist der oben aufgestellte Sat* be- wiesen.

2. Die geometrische Bedeutung des aus den Coefficienten von

1 / ö '*4-o« '* (2 gebildeten Factors 1/ 7 — }*~-*ir?-A — • — Ä ergibt sich am ein-

r («11 — <4i)* + »«it fachsten, wenn man von der Axengleichung des Kegelschnitts aus- geht.

a) Für die Ellipse, beziehungsweise Hyperbel geht die Gleichung

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110 M eilen.

durch Transformation nach dem Ursprung A(x0y y0) über in ±b*z* + a*t,*±2t>*rQx + 2a*y0y ~ 0

es ist also

«11 — ± ftt, «i* =0, o» - a», aJS' = ±b*x0y a„' - a»y0 und

der Abschnitt n, welchen die Hauptaxe des Kegelschnitts auf der Normale des Punktes A bestimmt, ist aber

V&4V-f aAy„*

wenn also die relative Excentricitat mit € bezeichnet wird, so geht der Ausdruck für R in jt über, und Gleich. (7 schreibt sich für die Ellipse und Hyperbel

- 2nq (8 Für die gleichseitige Hyperbel wird insbesondere wegen

«#' =» nq (8*

b) Die Gleichung der Parabel verwandelt sich bei der näm- lichen Transformation in

y'-2px+2y0y>-0

so dass

«ii — «i» — 0, «*, — 1, a«' aM' — yo

und

wird; dies aber ist zugleich der Ausdruck für den Abschnitt n, wel- chen die Axo der Parabel auf der Normale in A bestimmt. Da ferner im gegenwärtigen Falle die beiden reellen unendlich fernen Punkte in einen zusammenfallen, so wird *' — *, und die Gleich. (7 nimmt für die Parabel die Gestalt an

«« = 2nq (9

Die Scheitelgleichung ist ein specieller Ausdruck für diese all- gemeine Beziehung.

c) Bei dem Kreise, dessen Gleichung die Form

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MtsctUen. \\\

** + yM-2*0* + 2y0y = O

annimmt, werden «, «' als Abstände eines Punktes von den Geraden absoluter Richtung durch A unendlich gross. Betrachtet man aber den Kreis als Grenzform einer Ellipse für ein gegen null conver- girendes f, so zeigt sich, dass das Product i%sn der bestimmten

(y-«)(y+£r)-**-rV = <r*

sich nähert, wobei e die Streke AB bezeichnet, während n den Wert r des Halbmessers annimmt. Mithin wird man hier zu der elemen- targeometrischen Beziehung

c' = 2rq (10

geführt.

3. Der obige Satz gibt ein einfaches Mittel zur Lösung der beiden folgenden Aufgaben.

a) Von einer Hyperbel sind eine Tangente a mit dem Berüh- rungspunkt A, ein Punkt B und die Richtungen der Asymptoten (die unendlich fernen Punkte) gegeben.

Man führe durch A die Parallelen zu den Asymptoten und fälle auf dieselben von B die Lote *, ebenso das Lot q auf a. Ver- möge der Gleich. (8 ergibt sich, wenn man den Asymptotenwinkel 29 einführt durch die Relation e — sec0:

(«sec 0)(«'Bec0) 2n

als vierte Proportionale der leicht zu construirenden Strecken «sec£, t'secÖ und der Strecke j. Wird nun n auf der Normale in A in der entsprechenden Richtung abgetragen, so erhält man einen Punkt der Hauptaxe und diese selbst als Parallele zur Halbirungslinie des Asymptotenwinkels. Damit ist aber auch y0 und die Subtangente t von A bestimmt; da nun

t — y*

(**-l)a-0 so ergibt sich

m (yocotgey *° 1

nnd hiermit der Mittelpunkt der Hyperbel. Die weitere Verfolgung der Aufgabe bietet keine Schwierigkeit.

b) Von einer Parabel ist eine Tangente a mit dem Berührungs- punkt A% ein Punkt B und die Richtung der Axe (der unendlich ferne Punkt) gegoben.

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I

112 MUcelUn.

Man führe durch A die Parallele zur Axe und falle auf die- selbe aus B das Lot * , ebenso das Lot q auf a. Auf Grund der Gleichung (9 findet man

i

durch Abtragen von n auf der Normale in A einen Punkt der Axe und somit auch diese selbst. Es ist nun leicht, die weitern Elemente zu bestimmen. E. Czuber.

4.

Inkreiscentruin als Glelchgewichtspnnkt.

Ist P ein Punkt innerhalb eines Vielecks, h sein Abstand von einer Seite AB, <p und q>' die Richtungswinkel von PA und PB, so ist die Componente der Anziehung von AB auf P«*(sin9' — sinqp):*, daher die Comp. d. Anz. des Umfangs die Summe aller den Seiten entsprechenden Werte, d. i. «=» 0, wenn h für alle Seiten gleich ist. Folglich ist in diesem Falle der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises ein Gleichgewichtspunkt der Anz. des Umfangs, beim Drei- eck bedingungslos.

Das Analoge gilt auch vom Polyeder und analogen Gebilden von n Dimensionen, nur muss die Anz. der (— «)ten Potenz der Entfer- nung proport. sein.

Sei nämlich Bf ein Element einer Polyederseite, q seine Ent- fernung von i>, h das Lot von P auf die Seite, <o eine um P mit dem Radius 1 beschriebene Kugelfläche, da die Radialprojection von Bf-, dann ist die Pyramide über Bf mit P als Spitze — \hBf — ie'd«, daher die Anz. von Bf auf P

Bf Ba h

Ist jetzt Bcol Normalprojection von Ben auf die yz Ebene, so ist Sa, ih die Comp. d. Anz. nach z Richtung. Davon bei gleichen h die Summe über die Oberfläche genommen gibt die Projection der Kugelfläche auf eine Ebene, d. i null — w. z. b. w.

Anlass zu derlei Untersuchungen war mir der Vortrag des Hrn. Oekinghaus auf der Naturforschervers. (Tagebl. LXI. p. 7.) welcher zeigt, dass die Bronnpunkte der Lemniskate deren Gleicbgewichts- punkte sind. R. Hoppe.

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Simon: Die harmonische Reihe.

113

V.

Die harmonische Reihe.

Ein Beitrag zur algebraischen Analysis.

Von

Dr. Heinrich Simon in Berlin1).

Einleitung.

Die Reihentheorie bedient sich zur Begründung ihrer Sätze vielfach des fremdartigen Hilfsmittels der bestimmten Integrale. Es mag in manchen Fällen schwer scheinen, dieses Hilfsmittel durch die Methoden der algebraischen Aualysis zu ersetzen — die Be- hauptung, dass ein solcher Ersatz wünschenswert sei, wird aber kaum vielem Widerspruche begegnen. Bezeichnet Herr Thomae1) es doch geradezu als „eine Forderung der Wissenschaft, dass sie dio Resultate, die sie auf elementarem Wege erhalten fcann, auch auf diesem zu erhalten suchen w««, wofern damit nnr nicht übergrosse Weitläufigkeiten verbunden sind". Mit letzterer Einschränkung ist wol der Haupteinwand berührt, den man jener Forderung entgegen- stellen kann: Ist Reinheit der Methode ein berechtigter Anspruch der Acsthetik der Wissenschaft, so ist es doch Eleganz und Kürze nicht minder, und wo beide in Widerstreit geraten, wird im ein- zelnen Falle der Geschmack zu entscheiden haben, wolcher von ihnen

1) Nachstehende Arbeit ist ein an vielen Stellen umgearbeiteter und er- weiterter Abdruck der unter derselben Aufschrift erschienenen Inaugurnl- Disser- tation des Verfassers (Halle, 1886). Vergl. auch den Aufsatz d. Verf. T. VI. 8. 105 u. 220.

2) „Elementare Behandlung der hypergeometrischen Reihe". Ztschr. f. Math. u. Phys. Bd. XXVI. (1881) S. 315.

Arch d. Math. n. Phys. 2. Reih«, T. VIII. 8

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114 Simon: Du harmonische Reihe.

dem andern unterzuordnen sei. Lässt sich aber beiden zugleich ge- nügen, so wird ein Versuch in dieser Richtung keiner weitern Recht- fertigung bedürfen.

Zu solchem Versuche forderte nun die harmonische Reihe be- sonders auf.

Dieselbe wird in ihrer einfachsten Gestalt, als Reihe der reci- proken natürlichen Zahlen, gerade in den Elementen der Rcihen- lehro häufig herangezogen. Sie pflegt als der erste Beleg dafür angeführt zu werden, dass die unbegrenzte Abnahme der Glieder allein nicht hinreicht, um eine, unendliche Reihe convergent zu machen; sie liefert, mit wechselnden Vorzeichen versehen, das ein- fachste Beispiel einer convergenten alternirenden Reihe; an ihr wird endlich seit Dirichlot1) die bedingte Couvergenz erläutert und mit den Mitteln der algebraischen Analysis nachgewiesen, dass eine ver- änderte Anordnung der Glieder von Einfluss anf die Summe sein

Allein damit sind die Eigenschaften der Reihe nur an der Ober- flächo gestreift.

Denn zunächst lässt sich das Unendlichwerden der harmonischen Reihe in Beziehung setzen zu dem des Logarithmus; im engsten Zusammenhango hiermit steht dann die G ausstehe Function *P(z), die als Specialfall die Euler 'sehe Constante enthält, und mit deren Hilfe die annähernde Summiruug der endlichen Reihe möglich wird. Das Umordnungsproblcm endlich, welches, in Ermangelung des mass- gebenden Grenzwertes eines n-gliedrigen , unendlich fernen Reihen- Ausschnitts, nur für einige wenige Specialfälle behandelt zu werden pflegt — und das in einer Weise, die den wahren Sachverhalt mehr verhüllt als aufklärt, — lässt sich mit Hilfe des gedachten Grenz- wertes allgemeiner und klarer lösen.

Die hierher gehörigen Sätze sind, wie eine Uebersicht der ein. schlägigen Litteratur weiterhin zeigen wird, an den verschiedensten Stellen zerstreut und fast ausschliesslich mit Hilfe der Infinitesimal- rechnung hergeleitet Insbesondere werden zur Ermittelung der Wert- änderung der alternirenden harmonischen Reihe für den Fall, dass man auf p positive Glieder immer q negativo folgen lässt, überall bestimmte Integrale herangezogen, so dass Herr Priugsheim, um solche Wertänderungen zu veranschaulichen, ein anderes Beispiel vor- schlägt, bei dem die Integralo entbehrlich sind *). Letzteres ist nun

1) Abhandig. d. Berl. Akad. d. Wiss. 1837. S. 48.

2) „Ucbcr dio Wertvei anderungen bedingt convergenter Reihen and Pro- dukte". Math. Annalcn, Bd. XXII. (1883). S. 459.

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Simon: Die harmonische Reihe.

115

aber, wie sich zeigen wird, auch bei der harmonischen Reihe der Fall, und damit ist das Umorduungsproblem der algebraischen Ana- lysis in allgemeinerer Gestalt zugänglich gemacht, als man zunächst erwarten sollte. Denn ein noch zu erwähnender Satz von Herrn Schlömilch führt die Wertänderung, die eine ganz belieldge con- vergento alternirende Reihe bei der gedachten Umstellung der Glie- der erfährt, auf die Wertänderung der harmonischen Reihe zurück, und dieser Satz lässt sich ohno Muhe für den Fall verallgemeinern, dass die Zahlen p und q variabel gemacht werden.

Es sei bei dieser Gelegenheit bemerkt, dass von den allgemein ablieben, bequemen Ausdrücken „Umstellung der Glieder41, „ver- änderte Anordnung4' u. s. w. hier nur unter dem Vorbehalt Gebrauch gemacht wird, dass dieselben, wie schon Herr Natani ') hervorhebt, „im uneigeutlichen Sinue zu verstehen" seien.

Was als Veränderung der Anordnung bezeichnet wird, ist eigent- lich die Bildung einor ganz neuen Reihe aus ausgewählten Gliedern der ursprünglichen und läuft auf das Fortlassen einer i A. unendlichen Anzahl unendlich ferner ^Glieder hinaus.

Bei dieser Auffassung ist das logische Paradoxon hinfällig, dass die Reihenfolge der Summaudeu von Einfluss auf die Summe sein könne, oder, wenn man lieber will, es lässt sich der Begriff der Ad- dition auch auf den Fall unendlich vieler Summanden übertragen, ohne das Vertauschungsgesetz aufzugeben. Um den Betrag jenes fortgelassenen Ausschuitts muss sich nun offenbar die Reiheusumme (algebraisch) vermindern. Damit ist denn unmittelbar klar, dass eine solcbo Fortlassung bei absolut convergenten Reihen keine Ver- änderung der Summe bewirken kann, weil die Convorgenz einer aus lauter positiven Gliedern bestehenden Reihe eben durch das Verschurinden jeder unendlich grossen Anzahl unendlich ferner Glieder definirt ist Eine Veränderung der Summe kann also nur bei bedingt convergenten Reihen vorkommen und wird gleichzeitig mit jenem Ausschnitte einen endlichen oder unendlich grossen Wert haben, in welchem letzteren Falle die neue jReihe divergirt. Auch bei be- dingt convergenten Reihen ist indessen das Verschwinden des frag- lichen Ausschnitts nicht ausgeschlossen, wie das Beispiel der Reihe

J 1 i _! L_ .

f(l) 2/(2)^3/(3) 4/(4)^ ••• zeigt, wo f(n) eine beliebige, mit n beständig wachsende, aber nicht

1) Mathemat. Wörterbuch (begonnen v. L. Hoffmann). Art. „Reihe". Bd. VI. S. 272.

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Simon: Die harmonische Reihe .

stärker als log»» unendlich werdende Function bedeutet. Leitet man aus ihr eine neue Reiho dadurch ab, dass man auf je ein positives Glied zwei negative Glieder folgen lässt, so entnimmt man aus den An ersten Gliedern zwar sämtliche 2n negativen, aber nur die ersten « positiven Glieder. Der fortgelassene n-gliedrige Ausschnitt

I + 2 . , L_

liegt zwischen

l2»+l)/(2«+l) Una (4«-l)/(4,r-l)

hat also für n — od die Null zur Grenze, so dass die vorgenommene Umstellung die Summe der Reihe, trotz ihrer nur bedingten Conver- genz, unverändert lässt.

Der oben gegen die übliche Behandlungsweise ähnlicher speci- aler Umordnungen der harmonischen Reihe gerichtete Vorwurf be- zieht sich darauf, dass nirgends von diesem Ausschnitt die Rede ist, der doch für jede eudliche Gliederzahl den greifbaren Unterschied der beiden Anordnungen darstellt, und dessen Grenzwert leicht ele- mentar zu finden ist.

Litteratur.

Eni er behandelt dio endliche harmonische Reihe als Beispiel zu seiner Summenformel !), wobei die nach ihm benannte Constauto c als Integrationsconstante auftritt. Dio hier, Gleichung (22) für dio allgemeine, Gleichung (28) für die speciello harmonische Reihe, ge- gebene Näherungsformel stimmt mit dem Aufaug der Euler'schen halbconvergenten Entwickelung überein. (Vgl. Formel 28 a.)

EulerB Summation scheint das erste wirkliche Resultat in der Theorie der harmonischen Reihe zu sein. Er zählt dieselbe auch bereits neben der Facultät 1.2.3...« zu den „inexplicablcn" Functionen, während Job. Bernoulli noch auf die Summirung durch einen geschlossenen Ausdruck hoffte und Leibnitz um einen solchen angieng8). Als Bernoulli später in einer älteren Ab- handlung Leibnitz' die Behauptung fand, man könne beliebig viele Glieder der harmonischen Reihe summiren, wiederholte er seine

J) Differential-Rechnung. II. § 142 ff.

2) Leibnitx' Matheraat. Werke, hcrausgeg. t. Gerhardt, III. S. 160. Briel vom 2. Febr. 1695. — Die bezügliche Stelle ist auch in Grunert» Archiv, Bd. XXVI S. 109 abgedruckt.

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Simon: Di« harmonische Reihe.

117

Bitte1), Leibnitz rausste indessen zugeben, er babe sich damals geirrt

Die Untersuchung der verallgemeinerten Facultät 17(z) führt Gauss8) dazu, die logarithmische Ableitung derselben als besondere Function *F(z) einzuführen, wobei — W{Q) die Eulor'sche Con- stante ist. Gleichzeitig wird für *F(z) der Ausdruck

gewonnen, dessen Zusammenhang mit der harmonischen Reihe er- sichtlich ist.

Aus beiden Quellen fliesson eine Anzahl Eigenschaften von *P"(z). Statt dieser ist hier (§ 5) dio ganz ähnliche Function

definirt, deren Grenzwert für n=oo mit der Gauss'schen Function durch dio Beziehung

C(z) VW

verknüpft ist. Dio Eigenschaften von C(z) lassen sich leicht aus dieser Definition allein und ohne Hilfe höhorer Rechnung ableiten (§ 6).

Herr Thomae berührt in seiner schon erwähnten Abhandlung über die Gauss'schc Reiho die Function nur flüchtig und

beschränkt sich auf dio Herleitung des Satzes, dass

wo 9(n) mit wachsendem n verschwindet.

Eine ziemlich vollständige Theorie der Reiho giebt Herr Na- tani1). Mit Hilfe bestimmter Integralo wird gezeigt, dass dio Dif- ferenz

1) Brief vom 12. Sept. 1696. A. o. O. S. 327.

2) Briefe vom 6. Oct. und 6. Nov. 1696. — Vgl. auch dio Einleitung Gerhardts zum Briefwechsel, a. a. 0. S. 119.

3) „Disquis. generalea circa seriem infinitam etc." § 30. Common t, soc. Gotting. II. 1813. — Werke, III. üebersetz. v. Simon, Berlin 1888.

4) Math. Wörterbuch. Art. „Reihe". S. 284 ff.

- "z+zTl+---+ zT^-l0g(3+n)

^(n)_l0g„ = S(n) = i+^

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Simon: Die harmonische Reiht.

sich mit wachsendem n einem Grenzwerte 9>(n, b) nähert. Nach Gauss' Bezeichnung wäre also

69(0, 6) " -log6-«r(^)

Es wird eine schwach convergirendo Reihe für <p(a, b) entwickelt und daraus in qp(l,l) die Euler 'sehe Constante gewonnen. Die Summe der alternirenden Reihe wird durch die Function <p ausge- drückt. Die positiven uud negativen Glieder dieser Reihe werden in Gruppen von p bzhw. q Gliedern zu einer neuen Reihe zusammen- gefasst, die Summe derselben wird auf die der ursprünglichen Reihe zurückgeführt, und der Betrag der Wertauderuug , die hier, wie es scheint, zum ersten Male als Ausschnitt einer divergenten Reihe dargestellt ist, durch ein bestimmtes Integral ermittelt.

Bevor auf die übrigen Behandlungen des Umordnungsproblems eingegangen wird, sind noch einige Arbeiten zu nennen, die darauf ausgehen, die endliche Reihe näherungsweise zu summiren.

Herr Catalan leitet1) durch bestimmte Integrale die Ein-

schliessung

* + log»+ ~ - j-^i < 1 +*+ • . . + l < c + logn+ ^

her, wo 0 die Euler sehe Constante bedeutet. Die Uebereinstim- inung der unteren Grenze mit den ersten Gliedern der Euler 'sehen Reihe wird merkwürdigerweise nicht hervorgehoben.

An einer anderen Stelle *) werden aus der geometrischen Be- deutung des bestimmten Integrals Sätze abgeleitet, wonach Summen zwischen Integrale eingeschlossen werden. Bei der Anwendung auf die harmonische Reihe ergeben sich Formeln von geringer Annähe- rung bei ziemlich umständlicher Rechnung. So wird die Summe der ersten tausend Glieder noch in der ersten Dccimalstello falsch.

Auf elementarem Wege gehen dagegen die Herren Mansion und Cesaro vor. Der erstere gelangt3) mit Hilfe der Quadratur der gleichseitigen Hyperbel zu der Einschlicssung

1) „Sur la sdrie harroonique". Comptes Randus do l'Acad. fr. 1856. II. S. 628.

2) „Traitf elementaire des senes", 1860. Cap. IV.

3) „On the harmonic scries nnd Stiiling's formnU". Messcngcr of Math. XI. (1881) S. 38. — Auch Matheais. I. S. 169.

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Simon: Di« harmonisch« Reihe.

119

Die eingeschlossene Reihe convergirt demnach, und ihre Summe c liegt, für n — 1, zwischen $ und }. Daraus ergiebt sich weiter, dass

c+logn+ < l + i+ .. . + ; < c+ logn + ^

Herr Cesaro gewinnt (dem Jahrbuch über die Fortschritte der Math. 1881 S. 199 zufolge) in einer mir nicht zugänglich gewesenen Arbeit ») die Formeln

log(n + *)+<),57 < l + < i0g(„4-i)+0,60

und

1+ J+ . + \ - c+iogV^+f) +e^HM) (0 < 9 < 1}

Eine (andere?) Herleitung der letzteren Formel giebt er noch in einer neueren Note »), wobei

00 1 oo 1

d-l-ilog2~i|p-J2:p-...

gesetzt ist, also wol durch diese Entwickelung definirt sein und aus ihr berechnet werden soll. Zur Rechnung ist jene Formel wegen der Unbestimmtheit von 8 nicht sehr brauchbar; den besten Nähe- rungswert würde & — 1 liefern, da dann die rechte Seite, nach Po- tenzen von - entwickelt, mit c+\ogn-[- ^ — beginnt, wie in der Eul er 'sehen Reihe.

Was die Wertveränderung der alternircnden harmonischen Reihe betrifft, so scheint Dirichlet, der an der schon angegebenen Stelle zuerst darauf hinwies, auch an anderen Orten keinen Beweis oder eine Ermittelung des Betrages jeuer Wertänderung mitgeteilt zu haben 3). Vielmehr scheint die erste nähero Behandlung der Auf- gabo von Ohm4) herzurühren, der aus der Reihe

1) Mathesis. I. S. 51 und S. 143.

2) „8ur la serie härm.*. Nouv. Annales de Math. 1885. S. 295.

3) Vgl. Pringshcim, a. a. 0. S. 456. Wenn daher Hr. Schlö milch in einer „Noti» über die bedingt converg. Reihen" (Ztschr. f. math. etc. Un- terricht. XII. (1881) S. 30) seinen Nachweis dorn von Dirichlet angeb- lich an der citirten Stelle gegebenen als einfacher gegenüberstellt, so liegt vielleicht eine Verwechselung mit einer Vorlesung Dirichlets vor.

4) De nonnullis seriebus infinitis summandis. Berlin. 1839.

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120

Simon: Die harmonische Reihe.

... = iog2

mehre andere ableitet, indem er dem Verbältniss der Anzabl der positiven zu der der negativen Glieder verschiedene specielle Werte und endlich den Wert m:n beilegt; die Reihen werden durch Inte- gration summirt, und so wird schliesslich der Satz gewonnen, dass

m

im allgemeinsten der behandelten Fälle die Reihensumme um J log —

wächst. Bei einigen der spcciellen Fälle wird nebenher darauf auf- merksam gemacht, dass die ursprüngliche und die umgestellte Reihe sich um eine Reihe von Gliedern unterscheiden, deren Summe den- selben Grenzwert hat wie die Wertänderung *).

Dieselbe Aufgabe wie Ohm behandelt Herr Sehl ö milch *) für die allgemeine harmonische Reihe, indem er zunächst die Summe der alternirenden Reihe durch ein bestimmtes Integral ausdrückt, und auch für die Wertänderung ein solches aufstellt und auswertet. Von der zweiten Auflage an wird-die Untersuchung ausserdem noch auf eine beliebige, convergento alternireude Reihe erstreckt, wobei sich der Satz ergiebt '), dass die mehrfach erwähnte Umstellung der

1 lim

Glieder der Reihensumme den Zuwachs « log - zuführt.

c n — Qo q

Die elementare und noch etwas verallgemeinerte Herleitung dieses Satzes wird möglich mit Hilfe einer von Herrn P rings- heim*) gegebenen Methode, die Wertbestimmuag eines unendlich fernen Ausschnitts einer divergenten Reihe positiver Glieder auf die des entsprechenden Ausschnitts einer andern solchen Reihe zurück- zuführen. Denn wie Herr Pringsheim bemerkt, beruht der Schlömilch'sche Satz unmittelbar auf dem Verhalten der harmo- nischen Reihe, und der in Frage kommende Ausschnitt der letzteren wird elementar bestimmt werden.

Schliesslich ist noch der in vielen Lehrbüchern übereinstimmend gegebenen Behandlungen der Umordnungen der speciellen Reihe 1 — i-f J — i-f — . . . für p = 1, q — 2 und p — 2, q — 1 zu ge-

1 ) Wie die Anmerkung „Series infinitae nunqnam non codem valorc gau- dent, si adhuc manent convergentee, ctiamsi omnes termini signo -|- (additio- nis) affkiantur" (a. a. O. S. 14) zeigt, hat Ohm sehr wol gewusst, dasi ab- solut convergente Reihen stets dieselbe Summe bchnltcn. Vgl. dagegen Pringsheim, a. a. O. S. 456.

2) Uebungsbuch zum Studiom d. höh. Analysii. II. Cap. V. § 23.

3) S. a. Ztschr. f. Math. u. Phys. XVIII (1873) S. 520.

4) A. a. O. S. 471.

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Simon: Die harmonische Reihe,

121

denken, wobei dio Summenänderung um |log2 elementar nachge- wiesen wird Inwiefern die dabei übliche Darstellung reformbe- dürftig erscheint, ist beroits ausgeführt worden.

1. Aufstellung der Reihe. Die Forderung, jedes Glied einer Reihe sollo das arithmetische Mittel zwischen dem ihm vor- hergehenden und dem ihm folgenden Gliede sein, führt zu der arith- metischen Reihe; soll jedes Glied das geometrische Mittel zwischen seinen Nachbargliedern sein, so gelangt man zur geometrischen Reihe; dieselbe Bedingung für das harmonische Mittel liefert dio harmonische Reihe.

Wir stellen uns die Aufgabe, dio allgemeine Form dieser Reihe zu ermitteln.

hH ist das harmonische Mittel zwischen hn-i und AH+i , wenn die drei Grössen der stetigen harmonischen Proportion

genügen. Dies liefert

d. h., wenn man die reeiproken Werte dor Roihenglieder betrachtet, so ist jedes Glied das arithmetische Mittel zwischen seinen Nach- barn. Die reeipnfken Werte der Glieder bilden also eine arithmetische Reihe , so dass das allgemeine Glied der harmonischen Reihe die Form

besitzt *). Lassen wir noch den Factor r fort und setzen wir

1) So bei Schlömilch, Algebraische Analysis § 29. — Scheibner, Ueber unendliche Reihen und deren Convergenz, Leipzig 1860, § 6. — Vgl. auch Lionnet, Note sur la se*rie 1 — i + J— ]H — ..• Nour. Annales de Math. 1S79.

2) Wie es scheint, ist die eigentliche Begründung des Namens der har- monischen Reihe zinnlich in Vergessenheit geraten; sonst würde wol kaum Scheibner (Ueber unendliche Reihen § 20) die Reihe der Potenzen der reei- proken ganzen Zahlen als harmonische Reihe bezeichnen und weiterbin gar (§21) dieselbe Benennung für die Reihen

Torscblagen.

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Simon: Di« hamonucht Reih«.

so schreibt sich die Reihe in einfachster Form

Dabei kann z jeden beliebigen, positiven oder negativen, reellen oder complexen Wert haben; ausgeschlossen seien nur Null and die negativen ganzen Zahlen, die eins der Glieder * machen worden, sofern die Reihe von k = 0 an in Betracht gezogen wird; anch Beschränkung fallt aber fort , wenn die Reihe erst mit

so grossen k begonnen wird, dass ist1).

Jede harmonische Reihe iässt sich leicht auf die angesetzte Form zurückfuhren. So ist

!+_!_+-!_+ +_1

* G/Ä <». * + 1 ' * ' «/* + ») =*^G) 1 i 1 , 1 , 1 1 » (a ,\

und die Reihe der reciproken natürlichen Zahlen

*+*+*+. .. + |-*-itt)

2. Grenzen für den Ausschnitt £»(*) — Die Rei-

hen-Ent Wickelungen

log <i + x) -«-(*' -...)

' ' <i

liefern

log(l-r-x) < x < logj^

Setzen wir hierin

1

1) AU SanMMtion.buoh.ube gilt, überall k.

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Simon: Die harmonische Reihe.

123

indem wir * positiv und so gross voraussetzen, dass *+* j^iiit, so erhalten wir

und wenn wir hier Dach und nach k die ganzzahligen Werte »i-f-1, m-\-2, ... n annehmen lassen und die so entstehenden Ungleichungen addiren

I >

in -\- 1 + z i „. . 1

Ist * reell, so ist die Geltungsbedingung erfüllt

bei z od ... —2 für m = 0, 1, 2 . . .

Z mm — 2 ... — 1 tn —- 2, 3, ...

*— — 1 ... 0 m = 1,2,...

z OJ ... 4-od m — 0, 1, 2, ...

immer vorausgesetzt, dass verschwindende Nenner (fc-f-*) vermieden werden.

Ist a complex, etwa gleich x-\-yi, wo also y nicht 0 ist, so kann für die Werte x — — od ... —2 und * — 0 . . . + od, bei ganz be- liebigem y, m = 0, 1, 2, . . . sein. Hat aber x einen der Werte zwischen — 2 und 0, die Grenzen ausgeschlossen, und ist k die kleinste ganze Zahl, für die

-2(*+*) -(*+»)«

erfüllt

ist, so kann m => k, fc-f-1» •• • gesetzt werden.

3. Divergenz der Reihe. Lassen wir in (2) n unendlich werden, während m endlich bleibt, so werden beide Grenzen für Sn — Sm unendlich, also auch SH selbst.

Die Formel giebt zugleich eine gute Vorstellung davon, wie ausserordentlich langsam die Reihe divergirt. Denn es ist für n=2m

2m 1

^ r-r- <log2

Wie gross man auch m wählen möge — die Summe der m ersten Glieder wächst durch die Summe der nächsten m Glieder stets um weniger als log 2 — 0,69 . . . Denkt man also die Reihe in Gruppen von je. m Gliedern zerlegt, so ist die Summe der zweiten Gruppe < log 2, die Summe der folgenden beiden Gruppen wieder < log 2,

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124 Simon: Die harmonische Reihe.

ebenso die Summe der auf sie folgenden 4 Gruppen, dann der näch- sten 8 Gruppen u. 8. w. Trotzdem wächst die Summe ins Grenzenlose.

Die Divergenz der harmonischen Reihe liefert ferner eiuen Beleg dafür, dass es zur Convcrgcnz auch von Reihen mit teechselmlen Vor- zeichen nicht ausreicht, wenn das nte Glied die Null zur Grenze hat. Denn zerlegt man jedes Glied der Reihe nach dem Muster

K—l L

so erhält man die divergente Reihe >)

CO 1 1 1

22

« *+* y«+i— i V'+i+i Yz+2-1

4. Endlicher Wert des Ausschnitts. Wird mit n auch m unendlich, aber so, dass lim w- endlich bleibt, so fallen in (2)

7/4

beide Grenzen zusammen, und wir erhalten unmittelbar den sonst nur durch einen Uebergaug zum bestimmten Integral hergeleiteten Satz

(3) Um *.)- lim jjlSk- l0* (■■ l) IZZ

Sind z. B. n und m ganze und ganzzahlige Functionen gleich hoheu

Grades einer unendlich werdenden Veränderlichen «?, so ist lim n

der Quotient der Cocfticienten der höchsten Potenz. So hat man ohne Weiteres

lim p*y>o 1 _ p

und wenn /,(«') und /*s(ir) ganzzahligo Werte sonst beliebiger Func- tionen sind

0 — 00 AM a jii

Dio erstere Formel allein reicht aus, um die Wertveränderung zu ermitteln, die die Reihe

1) Dieselbe findet sich, für t = 1, bei Catalan, Tra|U< Clcm. des s6- riei. Cap. IL § XV.

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Simon: Die harmonische Reihe. 125

1 -4L 4- A .

erfährt, wenn immer p positive Glieder mit q negativen abwechseln (§ 11).

Als eine einfache Anwendung diene die Summirung der Reihe 0+1+ ^+2 + • * ■ + *~+7») " + (rH + i + • • •

Dieselbe ist die Grenze des Ausdrucks

i »■+•* i ~~ «+i * + * für m = oc, somit hat man

2 ( i i _. i , . _J_

-,-!*} = loßn

wobei i ganz beliebig bleibt1).

1) Für n = 2 erhält man nach dem Obigen die Formel x / 1 1 1 \

f \s+2* + 3-+2Ä - H^J = log2

die von Herrn Catalan gegeben ist (Nouv. Corresp. math. L 1B79). — Lasst man « anbestimmt, setzt aber * = 0 nnd schreibt statt jjj— - noch n i

— , so kommt, zunächst für endliches wt,

nk

5f_L_. 1 . , 1

7 \(Ä -l)n+l't'(i-l)» + 2"r'"-n"Ar» — 1 An )

_m+l+m+2 + "'+nm woraus sich z. B. für n = 2 dio ebenfalls Catalan*sche Formel

1— — •••+2^1"* 2m" 7»+l + ^M+'-,+ 2f»

ergiebt, von der gleich Gebrauch gemacht werden wird. Wichst aber nun in ins Unendliche, so erhält man links eine schon von Euler gegebene Rcibo für logn (Integralrechnung II. § 147. Auch bei Lacroix, Traue" du calcul diff. et int. III. § 1003).

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126 Simon: Die harmoniache Reihe.

Bei der Wichtigkeit der Formel (3) möge sie noch auf folgende Art direct abgeleitet werden.

Zunächst ist ersichtlich, dass der gesuchte Greuzwert von

« 1 »11

£ 5-7— = £ r

weuu er existirt, zwischen

1 r/* -f- 1 N

liegen muss, also für m — od, n — oo, mit

lim ^J = Hmf ^T+ * + übereinstimmt Diese Summe liegt nun

n — m . n — m

—-z und

m-f- 1 n

oder zwischen

i_l 1

und ? —

bleibt also endlich mit lim " =» t und wird eine Function von t sein.

n

Setzen wir daher

lim / 1 i . *\

so haben wir

+ J- . + • - + rk) = '(2>+™

Nach einer schon erwähnten, von Herrn Catalan herrührenden Formel ») ist aber

1) Sie Unat »ich leicht so herleiten:

i+^2+- • + 24,-(1 + i+ - +^)-(1+*+ -+i)

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Simon: Die harmonische Reihe, 127

f(2) = lim (l— i + ^-i-h- ... - log2

also

f(2t) - log2-f-/(<)

Setzen wir /(<) — log q>(t) und gehen wir zu den Zahlen über, so kommt <p(2t) — 2<jp(0; die Functionswerte von <p(t) sind also pro- portional den Argumenten, d. h. <p(t) ist rein lineär, etwa = at. Die Constante a ergiebt sich aus f(&) = log2a = log 2, und wir erhalten

/(0~log< = log (lim ^)

5. Die Function Ck(z) und ihr Grenzwert C(t). Für grosse Werte von n und m wird nach (3) annähernd die Gleichung

Sn — Sm°~ log« — log w

gelten, oder

SH— log« — Sm — lOgm

sein, u. z. werden diese Differenzen einander um so näher kommen, je mehr n nnd m wachsen. Wenn nun zwar hieraus noch nicht zu schliessen sein dürfte ') , dass die Differenz sn— logn sich bei un- begrenzt wachsendem n einer von n unabhängigen Grenze nähert, so lässt sich doch die Existenz dieser Grenze folgendermassen zeigen.

Wählen wir m so gross, dass nach (2)

gilt, und subtrahiren wir überall

log (n-f z) — log(ro + *)-

so folgt

-(i+*+...+js)-9(*+i+- •■ + &)- !-»+*-!

^ • • • T 2m— 1 2m

Für i» = « hm man hierum unmittelbar

m = .(mil+mt2+-+^)-^

was anf anderem Wege Herr Unferdingcr bewiesen hat. (Sitigsbr. der Wiener Akad. 1867. Bd. 55. II. S. 93.)

1) Wie es bei Natani, Math. Wörterb., Art. „Reihe«, Bd. VI. 8. 384 f. geschieht.

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128 Simon: Die harmoninche Reihe.

«-fz-fl m + z-\-l

°g ' nHM l0g"^H- <

[*.(•) - log (» + »)] - [*,<*) - log (m + «)] < 0 oder, wenn wir die Bezeichnung

einführen,

lo«(1+»-b)+c'-w-,og(1+^) < c'"w < c-w

Bei featem m nähert sich für wachsendes n das erste Glied linker Hand der Nnll , bleibt also zwischen endlichen Grenzen , die

sich um

,0B(1+m+,)

unterscheiden. Da nun dies endliche Iutervall durch Vergrdsserung von m beliebig verkleinert werden kann, so nähert sich CN(s) mit wachsendem n, beständig abnehmend , einem nur noch von t abhän- gigen Grenzwert C{z).

Derselben Grenze strebt offenbar auch

Sn — logn - Sn — log («-{-;) -flog (l-f*)

zu.

6. Haupteigenschaften von C(z). Aus der Definition folgt unmittelbar

(4) 0»-C«-i-J-+:^I-j^i+— .. also

(5) C(.)-C(,+ l) = l

(6, = CW - g + + . . • + ^p^j)

(7) <?(.—) - cW+(sAI + ^+ ... + .4=)

Für 2 - 1 liefert (6)

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Simon: Die harmonische Reihe. 129

(8) C(m +1) - C(t)~ (l-H+H- . . . +

so dass für positive ganzzablige Werte von 2 durch C (1) und die specielle harmonische Reihe hestimint werden kann. Dabei ist

C(l)

die Eulor'8che Coustante, auf deren Berechnung weiterhin noch eingegangen wird.

Für z -= 0 oder gleich einer negativen ganzen Zahl ist nach (4) C(z) - 00 .

Für y = 1 — z liefert (4) die bekannte Reihe 1 1 1 1 1 . 1 1

; - rzi+ i+z - 2-r*+ 2+* ~ + - " wcot**'

so dass

(9) C(z) — C(l — c) = Trcotgjr*

Da C0tg»z für s =■ - ~~ö~~^ verschwindet, so bat mau hiernach für ganzzahlige, positive oder negativo m

(10) C(m-H)- <?( «H-i)

und da für ■ — 4m

cotg** 1 ist,

(11) <?<»+*)-<?( -»+£)-» n Aus

1 , 1 , L ,

1 1 11 1» -j- niz -f- fc

folgt, wenn wir über & — 1, 2 ... m suminiren

1 \ »*/

M 1 2m 1 3»» 1

£ i _i_ 2: — 4- 2: - - , 1

(nfl)m 1

m n -j- ms -f-

-}-... 4- 2,' — -J-- — £ log ""m f »«-{- f lo" (»»+«•■+*) +mlogw

Arth. d. lUth. u. Phy*. 2. Keibe, T. VIII.

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130 Simon: Die harmonische Reihe.

Nun ist

«*m4-m

2 S^X1= 8(m*+l) - C(m* + l) + log(*m + mB + m)

wir können also schreiben

2Cn(z+ ) - roC(roz -j- 1 ) + ,» log m-f £\og j—~ri

und da für « — oo jedes der n» Glieder der letzteren Summe ver- schwindet, ergiebt sich

(12) 2 C ^«-p- mJ = mC(m?-f 1) -f- mlog m

m

Hieraus für % »= 0

(13) ^^(m) " (■»— !><W+»to|

Beispiele. Für m =» 2 ist nach (13)

C(*) = C(l)-f 21og2

dann nach (5)

= C(4)-2 - C(l) + 21og2-2 Für wi — 3 kommt

c<i)+tf<l)-ac(i)+3iogs

dazu aus (9)

C(i)-C(|) - «cotgf «|V3

so dass

<?<i) - W) + 5 log3 4- e V3, C(| ) = £7(1)+ 1 log3 - \ V 3 m = 4 liefert

<?a)+C(i)+C(f) - 3C(l) + 41og4 also, da C(J) bekaont ist,

C'(i)-f-C(2) = 2C'(l)+61og2.

Mit Hilfe von

C{\)-C(\)-nzo\%~-n

ergiebt sich

C(\) - £7(l)+31og2+ * C(J) = C(l) + 31og2 - \ Für w — G findet sich

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Simon: Die harmonische Ruhe. 131

0(1) = C(l) + 21og2+|iog3 + f V3

C7(|)- C'(l) + 2log2-filog3-2 V3 Wie man sieht, gelingt es schon mit Hilfe der entwickelten Formeln, die Werte cfyi . . . ^r m = 2, 3, 4, 6 durch

C'(l), Logarithmen und Teile der Peripherie darzustellen. Für m — 5 aber erhält mau nur

- 2C(l)+flogft + * (cotg* + «>tg y)

und

C(l)+C'{l) - 2C(l)+|Iog5 -~ (cotg* + cotg y)

ohne dass zunächst eine weitere Trennung möglich ist. Ebenso kommt

0(1)+C(f) - 2C(l)+8log2+ 1 (cotg| -f-cotg ^)

C(|)+C<|) = 2C(l)-f-81og2-.j (cotg*+cotg3|)

Um nun C(z) für ganz beliebige rationale a im Intervall 0<s<l darzustellen, hat Gauss1) iudependente Formeln, u. z ohne Be- nutzung höherer Rechnung, abgeleitet, die sich nach unserer Be- zeichnung schreiben lassen:

2

C\m)am 6'(1) + 2Cütgm +logm-2£eos - log (2 sin m j

für ungerade m

2

-f (— l)«+,log2 für gerade m

Da nun mit Hilfo von (6) und (7) die Werte von C(z) für alle rationalen z > 1 auf C'(z) mit echt gebrochenem Argument zurück- zuführen sind, so können wir mit Gauss den Satz aussprechen,

1) Disquis. {jener. § 33. Formel (74) um) (7. 'S).

9*

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132 Simon: Die harmonische Reihe.

tich C(z), für alle rationalen, positiven oder negativen Werte von zy durch die fcWsche und Ludolf sehe Constante, swrie durch lAUjarithmen

Am Schluss der Gauss'schcn Disquis. gener. findet sich eine von Nicolai berechnete Tafel der numerischen Werte von — C(z-f-l)

1 2 99 1

für z «=■ 0, jöni j^q, . . . 1. Zieht man diese Werte von - ab,

so erhält man nach (5) die Tafel der Werte von C(z) für dasselbe Intervall.

Die zweite der Formeln (14) lässt sich noch zusammenziehen. Sei m — 2f±, und fassen wir in

f'-J l-tn

^cos~log(2s.n2-tt)

das ersto und letzte, zweite und vorletzte u. s. w. Glied zusammeu, so kommt allgemein

cos - log 2sm 2~ + cos"» - log2 sin ^— ' -

= COS— log 2 sin ^ + cos (mr - — j log 2 sin - ^ )

n

und wenn wir voraussetzen, dass - in kleinsten Zahlen gegeben sei,

tn

so dass n ungerade und cos wt — — 1 ist, wird dies

- cos y logtg ^

u —1

Ist die Gliederanzahl (fi — 1) gerade, so haben wir „umzufor- mende Gliederpaare , ist aber n gerade, so ist ein Mittelglied für k — g vorhanden, dessen Wert

cos^ log 2 sin ^ -= 0

ist. Demnach wird

(14a) c(£) = C(l)+ j cotg^-f log(2m)-2£cos^ogtg^

/ . m - 4 , m— 2\

In ungerade, »» gerade; fc— 1, 2, 8 ... — j— oder — ^— I

Nachstehende Tafel giebt eine Uebersicht einiger Fälle, in denen

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Simon: Die harmanitche Reihe.

133

sich C(g) verhältnissraässig einfach ausdrückt; dabei gilt das obere Wurzelzeichen stets für den in der ersten Spalte vor an stehenden Wert von z.

z	C(z)
	1	c
	l f	C-f- ^5 10g ^
1 V o	2 o o	*+|log3±£ V/3
1 4	3 4	c+3Iog2±2
1	4 *j	. . , V5. 3+V5 « « e + |log5+ log ' ±9cotg
2 o	3 O	i »1 e V5. 3 + V5 , * 2rr c-f-Jlog5 — 4 log ' ±öC0tg
1 6'	5 6	e+21©g2+flog3±£v3
1 8'	7 8	c-j-41og2 - V21og(V2— 1)± tyvV2 +1)
3 8'	5 8	c-f 41og2+ V21og(%/2- 1) ± | (V 2 - 1)
1 10'	9 10	c -f- 2tog2+ flog 5+ 1 Vb log ± £ cotg
3 10'	7 io	c + 2 log 2 + flog 5 - j V5 log ± | cotg ??
1 121	n 12	c + 3 log 2 + 1 log 3 - V3 log (2 - V3) ± | (2 + V3)
5 12»	7 12	c+31og 2+|log3+ V3 log (2 - V3) ± | (2 - V3)

7. Reihen für C(s). Schreiben wir der Kürze wegen

1 ,

also

Ck(z) - Su(z)+\ogh so ist, immer z als Argument gedacht,

Cu-i — Ck = S*_i-f-logÄ*_i — Sk — log*» = — A» -f log -*

Je nachdem wir nun

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134 Simon: Die harmonische Reihe.

h-i fr-j-g , 1

hk lc-\-z — 1 ^Ar + a-l

oder

1

schreiben, erhalten wir einen der Ausdrücke

tt-i - Ci = -Äi-Hog(*i-H*-i]

Ck-l—Ck ■=» —hk — log [1 — fa]

Jeder derselben führt zu einer Reihen-Entwickelung für C. Die ersto Form liefert entwickelt

Ck-i-Ck = -ht+hk-i — iÄJk_i*-|-i*t-i3--f . . . und wenn wir über k = m + 1, m + 2, ... n summireo,

Cm-Cn - ** - hH- i £a*-i3 f- • • •

m f 1 m+1

Benutzen wir, dass allgemein

H »1—1 M

£m*-i — Z uk ~ £uk-\-um — iht

m {1 m m \ l

ist, so sondern sich aus jeder der rechts stehenden Summen Aus- drücke von dor Form

v

aus, dio mit der Differenz (/<«,—*„) zu log(l -f hm)— log(l +hH) verschmelzen. Somit wird

(15) (?»(«)- C„(z) - log^t-*" -f- ...

l-r"A* »+i «»41

Der zweite Ausdruck

Ck-i-Ck - ~Ät_iog(l-Ak) - . . .

ergiebt, wenn wieder über Je = m-fl ... « summirt wird,

(16) CM-Cfr) = ...

mfl m + l

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Simon: Die harmonische Reihe. 135

Beide Reihen ') lassen sich zu einer dritten, rascher convergirenden, vereinigen; wir erhalten durch Addition sofort

(17) Cm(z) - CH(z) - * log + i * **» + } K*+ • • • und hieraas für n — od, da A«, =» 0

(18) Cw(.)-C(«) = *log(l + »M)H-i2**»+iÄ*5+ ...

wodurch, unter der Bodingung m-fz-f-l | _ 1 die Berechnung von

C(z) auf die von Cm(«) = &,(*)+ log zurückgeführt ist. Ist der reelle Teil von • einer der Werte — <x ... — 2, 0 . . . -f od, so darf (nach § 2) w — 0, 1 ... « gesetzt werden. So ergiebt sich z. B. für m =- 0, wo

<W*)-r+iog§ ist,

3

Man kann unmittelbar zu der Entwickelung (17) gelangen, wenn man von dem Ausdruck

1 4- hk

Ck-i — C*+1 Ä*— M+i + logj3^

ausgeht, denselben anf dio Form bringt

et . j - a f i = hk - h+i + 2 [^»3 + + . . .]

über fc — m-j-1 ... n summirt und beachtet, dass

Cfi = c?„4-Am+i— log(l+Äm)

ist.

Die Convergcnz der Reihen, die in den Formeln (15) bis (19), zum Teil stückweise, auftreten, kann zwar als bekannt vorausgesetzt werden, mag hier aber noch in einer Weise gezeigt werden, dio zu- gleich brauchbare Gronzcinschlicssungen für dio Berechnung der- selben liefert.

Bekanntlich *) gilt für positive a und p die Erschliessung

1) Eine mit (15) im wesentlichen übereinstimmende Reihe findet sich bei Natani „Reihe", a. a, 0.

2) Vgl. z. B. Schlömilcb, Uebungsbuch, L S. 3. f.

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]36 Simon: Die harmonische Rrihe.

wo die oberen oder unteren Zeichen zu nehmen sind, je nachdem jj^I ist. Durch Division mit paP(a -f- 1)p kommt

> il"1 i 1 > j

<p[nP (Y+1>J < «(« + !)*

oP(a+l) S p [«P

Zur Verstärkung der oberen Ungleichung ist links a für a-f-l, rechts a-f-l für « zu setzen; die untere Ungleichung wird aber durch die umgekehrte Substitution stärker, so dass beide dio ge- meinsame Form anuohmen

11

L_. i 1> i

Schreiben wir noch iu dem zweiten Teil dieser Erschliessung a — 1 für a, so erhalten wir für ^ ^ , dio Begrenzung

i\i 1 . < 1 < H 1 -M

/> \aP («H-1)PJ V «P*1 V p [{a — 1)P aP\

Jetzt werde a — «-j-jfc gesetzt und über die Werte k = w-f-1 • .. « summirt; daun ergiebt sich

1 r i i i » i

<pf(,-hm)p-(7^n)^]

und für » = oo

(21) -Aw+iP< S hkP*l<lhmP

Damit ist der bekannte Satz bewiesen , dass für jeden Wert p > 0 dio Reihe

2 1

T(*+*)'+1

convergirt; die in den Formeln (15) bis (19) auftretenden Reihen — auch in (15) und (16) kann ja n « od werden — sind besondere Fälle derselben. Der Fehler, den mau begeht, wenn man statt der Summe eine dor beiden oinschliessenden Grenzen setzt, ist kleiner als die Differenz der letzteren und mithin, nach dem eben benutzten Hilfssatz, sicher kleiner als hmp+l.

Was die Convergeuz der Doppel-Reihen für Cm--C», bzhw. für Cm—C betrifft, so bedarf es des Beweises nur für die zweite der- selben (16), da mit ihr sicher auch (15) und (17) convergiren. Dass aber die Reihe

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Simon-. Die harmonisch* Reihe. 137

f 1 »

2; - 27 M

convergirt, ist leicht ersichtlich Denn es ist

£htX+l — £ hk . hkl < hm 1 1 . 2? hKx

m + 1 m-fl Mfl

Der massgebende Quotient der Reihe ist also kleiner als j^.-jÄ»fli bleibt mithin auch für X = od ein echter Brach.

Die Formeln (20) und (2) lassen sich auch erhalten als beson- dere Fälle des Satzes

J f(x)dx < a,n+ n+/(»+ 2) + . . . + m < f m**

m\ 1 M

der unter der Voraussetzung gilt, dass /(*) positiv ist und im In- tervall *—»»... n-f-1 nie zunimmt, und der sich loicht aus der geometrischen Bedeutung des bestimmten Integrals ergiebt. In der Tat braucht man nur f(x) die Werte M1** und hx zu erteilen, um zu jenen Formeln zu gelaugeu.

8. G renzeinschlicssung von C(z). Wenden wir die For- mel (21) auf (18) an, also auf die Gleichung

so erhalten wir

<ilog(l + M+|i^

4-1)

Beide Grenzen lassen sich leicht nach Potenzen von hm ent- wickeln ; mit Rücksicht auf

hm}\ - Am -/l«2 + Äm3— "f . . .

findet

iAm - ~ - | A„,3 + l~ km* - • • • < Cm - 6' < - ^ Am*

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138

Simon: Die harmonische Reihe.

Die Differenz beider Grenzen beginnt mit

§*■»•-!*»«

wenn man also

(22) Cm(z) - C(z) = &,(*)— log(ro+*)-C(2)

- JA»— ~Am2

setzt, begebt man einen Fcbler, der sicher kleiner als JA*8 ist, der also durch Vergrößerung von m beliebig verkleinert werden kann.

Tatsächlich ist übrigens die Auuäheruug der Formel (22) er- heblich grösser, als es aus den obigen Rechnungen zu erkennen ist Denn die Reihe *)

(22a) *»»y-^-»w— e»-m

1. Ä, ^, i?ß

wo dio D die Bernouilli'schcn Zahlen bedeuten, liefert, wenn nur die drei ersten Glieder berücksichtigt werden,

also nach (5)

(23) C(m)~ -log^+^+Y^

und diesen Wert ergiebt Gleichung (22) schon für m = 0. Nuu ist bei jener Reihe, so lange dio Glieder abnehmen, der begaugeno Fehler stets kleiner als das erste nicht mehr berücksichtigte Glied, also bei (23) kleiucr als

B, 1

Schon für z = 10 genügt daher Formel (23) zur Berechnung von C'(z) auf 6 Decimalstellcn geuau, und man würde, von solchem Werte ausgehend, C(z) auch für kleinere z mit Hilfe von (6) hinreichend genau berechnen können.

Ist sonach C'(-) für jedes z als bekannt anzusehen, so bietet Gleichung (22) umgekehrt ein Mittel, um Sm(z), die Summe der end- lichen harmonischen Reihe, leicht zu berechnen.

1) Eulcr, DifT.-Kcchn. II. § 146. -— Natani, „Reihe", S. 320. Eben- da, S. 3U ff., findet man die Fehleibcstimmung nach Serret.

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Simon: Die harmonische Reihe. 139

Zur Ableitung dieser Nähcrungsformcln war oino Summirung der Reihen von der Gestalt

oo h2P

in geschlossener Form entbehrlich. Dieselbo hat indessen keine Schwierigkeit. Denn wegen

1 1 1

%»«H-1) 2p 2P +1 zerfüllt jede Summe in dio Differenz

co (7*s )p 1 oo A-'pf l 1/ l-L/j \

= i-jiog(i -;.»)- „logJ+J

Hiernach findet man

1 + i log (1 + *m) - (l+ ^;) log (1 + < C - C

<i^iog(i^)-iiogi±^

9. Dio speciello harmonische Reihe. Als solcho werde die Reihe der reeiproken natürlichen Zahlen bezeichnet, die aus der allgemeinen Reihe für z — 1 hervorgeht. Formel (2) lüsst sich dann schreiben

h 4- 1 * 1 , n Ä „ -

""•»TT *^fi i < l0g m ("' = 0,1,2...)

Hiernach liegt z. B. dio Summe des zweiten Tausends der Glieder der Reihe zwischen

log ~~ = 0,6926 ... uud log 2 = 0,6931 . . . Führen wir die Bezeichnungen

l + i + ... + -— '* und **— log* = ck ein, so ist nach (3)

** 1 n 1 | h CO

lim («h — $m) = lim 2 T — log lim -

Dio Function ei ist hier, da s den feston Wort 1 erhalten hat, nur

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«

140 Simon: Die harmonitche Reihe.

noch von ihrem Index abhängig ; sie fällt von c, — 1 mit wachsen- dem k beständig, bleibt aber positiv, da *N > log(n-j-l) > logn ist, nähert sich also einem constanten echten Bruch c, für den die Ein- schlieasung gilt (§ 5):

,-log(l+I)

< c < c.

Zur Berechnung von c aus einem bekannten cm dienen dann, entsprechend (15) und (16), die Reihen

/ 1 \ oo 1 CO l

^-«-^(i+s)-*fIp+tfIip-+--

oder besser die aus beiden hervorgehende Reihe

(24) fc-.-Ä(l+i) + 4fi + i$iJ| + ... Für m => 1 erhält man hieraus die Formel

(25) c = 1 - \ log 2 - i f k - ü £k - . . .

die sich iu der Theorie der analytischen Facultäten als Specialfall der Formel

logr<l+„> = Hog^-Hog^ + d-^a-^' | - . . .

für a — 1 ergiebt. *)

(•■<.)

Zu Formel (24) gelangt man, ohne den Umweg über die weniger convergenten Entwickelungen zu nehmen, wenn man in

ilogj— j =X.+3it3 + 5it6+-- Über & = m-f-1 « summirt. Man erhält so

* '<* ^ • "M -••-*•+ * * p + l|, i» + • • •

und mit Rücksicht auf

l) Natani, Die höhere Analyiis, S. 182.

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Simon: Die harmonische Reihe.

kommt

*>, -|iog»(»+i) - log» — Jlog^H—J

^-*iog(i+y-^+iiog(i+?)

was für « — oo in Formel (24) übergeht.

Eiue noch rascher convergironde Reihe entsteht, wenn mau

11 ?*+! 1 ii 1 I, i_

oder

2*+l 1,1, _1 ,

l0& jäfcZTi - 4 T 3.4t8 + 5. * ' '

über * — ro-fl . . . « summirt. Man erhält so:

und wenn man hiervon die Identität

log- = logn - logm

abzieht, kommt

- log— log— + fr+CT-*p+ also für n — od

(1 \ 1 2?1 1 gp 1

oder auch

, 2m-f-l 1 «? 1 1^1

(26) c-^-log-g 34w2 tft" ••■

So ist z. B. für m = 0

1 SR 1 1 »1

(27) c - logS-j^ f p - f p - • • •

und die für m — 1 entstehende Formel

1 ooi l •» 1 (27a) c-l-logi-g^ fp~0« f ~ '

142 Simon: Die harmonische. Reihe

würde sich aus dem oben angeführten Ausdruck für \ogT{\-\-a) durch die Annahme a = \ ergeben.

Schreiben wir (26) in der Form

und wenden wir die Erschliessung (21) für die Summen der reci- prok n Potenzen an, so erhalten wir, wenn wir nach Potenzen von 1/m entwickeln,

1 1 1 i 17 ' * ,

2m ~ 12m" ~ 24m* 210m* ' ' ' > " l0gm " C

< 1 + 1

^- 9... lO ...5t • 0

2m l2m«^24ma 80 m4

Das arithmetische Mittel zwischen beiden Greuzeu bis zum dritten Gliode

(28) »•-log«-^^-^

ist dann ein Näherungswert, der sich von dem wahren höchstens um °4"m* ent^erut' während die blosso Specialisirung der Formel (22)

zwar denselben Näherungswert ergiebt, aber für den begangeneu Fehler den vierfachen Spielraum lässt. In Wirklichkeit ist auch dieser noch viel zu weit gegriffen, denn aus der Reihe x)

(28a) + * J-t^

+ -•••+(-<>»<" ml

geht Formel (28) für » — 1 hervor, und der Fehler beträgt wieder woniger als

4m4 ~ 120m4

Nimmt man m = 100 an, so liefert (28) also c bis auf 10 De- cimaleu richtig. Die Addition der ersten 10 > Reciproken der natür- lichen Zahlen, die zu diesem Zweck auf 12 Decimalen berechnet wurden, ergiebt

*100 - 5, 1873 775 17G

während

1) Eiiler, Diff. R. II. § 14?.

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Simon: Die harmonische Reihe.

143

log 100 = 4, 6051 701 860

ist. Somit ist

e - 0, 5822 073 316 — ^ . 0,01 + 9 . 0,0001

c -0, 5772 126 649.

Für m = 50 erhält man c auf 8 Decimaleu richtig, für m=~25 auf 7. Bei m =• 20 beträgt dio Abweichung eine Einheit der 7. Stelle, bei m = 10 eine Einheit der 6. Stelle. — Euler hat raus der soeben angeführten Reihe, für m = 10, auf 16 Stellen berech- net. Wie aus einer Note bei Gauss1) hervorgeht, hat Masche- roni (in den mir nicht zugänglich gewesenen Adnittationes ad Euleri Calc. Int.) die Rechnung weifer ausgedehnt nnd ciuen Wert gefunden, der von der 20. Stelle an von dem durch Gauss auf 23 Stellen be- stimmten Werte abwich, sodass auf Ga uss' Veranlassung Nicolai dio Berechnung bis auf 40 Stellen erstreckte. Er fand 2)

c = 0, 5772 156 649 015 328 606 065 120 900 824 024 310 421 . . .

Jede der Grössen logm, <?, die dio linke Seite in (28) bil- den, kann übrigens aus dieser Formel berechnet werden, wenn dio beiden anderen als bekannt vorauszusetzen sind.

So hat man zur Ermittelung der Summe der ersten miläon Glieder der speciellen harmonischen Reihe

0, 5772 156 649 015 328 606 065 logm - 13, 8155 105 579 642 741 041 079

~ — , } s -= 0, 0000 004 999 999 166 666 607 2m 12 m*

*w« 14, 3927 267 228 657 236 313 811

Den Beitrag, den die zweite Million Glieder zur Summe liefert, findet man aus

und mit Benutzung von

1) Disquis. gener., Art 31. — 2) Vgl. Oettingcr, Ueber die Comtante de» Integrallognrithmus. Crclle Journ. I,X. 375—6.

bezeichnet m eine Million, so hat man

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144 Simon: Die harmoninche Reihe.

log2 - 0, 693 147 180 559 945 309 417 232

ergiebt sich

,-.«,„ = 0, G93 146 930 560 007 809 417 232

Dies Resultat zeigt recht deutlich die schwache Couvergenz der

Reihe l — i + J — H ... — log 2 Denn da, nach der schon iu

§ 4 benutzten Catalan' scheu Formel

1 2^3 4^ ••'^2//i-l 2m m+.l ^ ^ 2m

Reihe ist, so würde die Additiou der ersten zwei Milliouon Glioder der den soeben berechneten Wert 0, 691469 ergeben, während die Summe

durch das nächstfolgende Glied oinjp[ auf °i 693 1474 springt, so

dass beide Grenzen noch nicht in den sechs ersten Stellen überein- stimmen.

Formel (28) kann auch dazu dienen, die Berechnung der Loga- rithmen grosser Zahlen auf die kleinerer zurückzuführen, wie dies schon Euler1) getan hat. Wir wollen hier noch eine Anwendung auf die Logarithmen der Facultäteu inachen und eine Formel ablei- ten, dio mit der S tir Ii ng 'scheu sehr uahe tibereinstimmt. Herr Mansion hat so, aus der in der Einleitung angeführten Erschlies- sung für *„ den Ausdruck

1 1 ö

l0g(»!) - (n-H)logn-»-f y + g (0 < S < 1)

gewonnen. Nach der Stir Ii ng 'sehen Formel ist nun bekanntlich für wachsende n

log(n!) - (»-H)logn-«-Hlog(2*)

uud da

788 6078

* log (2tc) = 0,918 9385

ist, so bleibt jene Annäherung hinter dem wahren Wert erheblich zurück, um so mehr, als auch dio Stirli ng'sche Formel noch durch

llinzufügung von ~ sehr viel genauer wird *).

1) Diff. R. II. § 145.

2) Vgl. Kulor, Diff. llechn. Cup. III. 159 oder Gauss, Disqnia. gener. § 29.

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Simon: Die harmonische Reihe. 145

Wenn wir nun in

über k = m-f- 1 . . . n summiren, erhalten wir

-f . +f«) — («!+«»+ ...**) = log(n!)-log(m!)

1 " 1

+ („ _ W) fl -f. J(,„ - ,„) - 12 ^ p Wie man sich leicht überzeugt !), ist aber

•,+%+...+*■■" <*+!)* -*

also

log (» !) - log (m !) + (n + |K - (m + J),w, -(»-») (1 + c)

1 ** 1

Für das letze Glied liefert (20) die Grenzen

1 1 ,11

— r-f -fT unti

deren arithmetisches Mittel, wenn wir ^ , nach Potenzen von - entwickeln und bei den Gliedern zweiter Ordnung stehen bleiben,

wird. Setzen wir diesen Wort, sowfo für den Näherungswert aus (28) in die letzte Gleichung ein, so kommt, nach gehöriger Zusam- menziehuug

(28b) l0g(*!) - (n + l) logn - n + wo

Sm - log(m!) - (m + ^ £ + -^i)

ist. Die Formel wird mit der verbesserten Stirl i ng'schen um so genauer übereinstimmen , je grösser das feste m zur Berechnung der Constanto f*m angenommen wird. Schon für m = 1 unterscheidet sich aber St =0,92333 von $log2:r um kaum 0,01. Legt man m — 10 zu Grunde, so nimmt die Formel dio Gestalt an

1) Vgl. Mansion, a.a.O., sowie des Verfassers Notiz. nZnr Snmmation endlicher Keinen von der Form 2lcuku. Arrh. d. Math. T. IV. S. 107.

Arch. d. Mttfa. u. Phyi. 2. Keih», T. VIII. 10

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146 Simon-. Die harmonische Rtihe.

(28c) log (*!)-(» + *> log » - « + ^ + 0,918 9G58 (n > 10) Für « = 100 ist

(« + |)Iogii — n - 362, 819 6037

also nach unserer Formel

log (100!) = 363, 739 4028 während die Addition der Logarithmen der ersten 100 ganzen Zahlen in einer siebenstelligen Tafel den Wert

log (100!) = 363, 739 3755 ergiebt. Genau denselben liefert die verbesserte Stirling'sche Formel, die gewöhnliche dagegen eiueu um rg^ — 0,000 8333 zu kleinen. Nach der Formel von Manaiou wird

log (100!) - 363, 608 2115

Nimmt man m = 100 an, so findet mau mit Hilfe des genauen Werts von log (100!) uud von aI00 (der letztere wurde oben auf 10 Deci- maleu angegeben)

0,00—0,918 9386

also in den sieben ersen Decimalen mit \\og2n vollständig über- einstimmen.

10. Die alte mir ende Reihe. Versieht man die geradstel-

ligen Glieder der Reihe 2k]^_z rait negativem Zeichen, so erhält

man die Reihe

1 1.1 1 , 1

®2n{z) = - - z+1 + z + 2 - + • • ■ -s + 2n-l^- 1+2«

die für n = a> in eine convergento unendliche Reihe übergeht , da die Glieder sich unbegrenzt der Null nähern , beständig fallen und abwechselnde Zeichen haben. Die Summe der Reihe lässt sich leicht durch die Function C(z) ausdrücken. Fassen wir zu dem Endo iu <5iu(z) dio positiven uud die negativeu Glieder für sich zusammen, so ist

iä 3+1 2+»;

also

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Simon: Die harmonische Reihe. 147

2©2.W-SN(0-S.-,f-+-1)

Hier würde lür n=oo die rechte Seite in unbestimmter Form er- scheinen, was durch Einführung von C„(z) vermieden wird. Wir erhalten so:

282,(1) - log («+ |) + -log(»-l + ^-±1)

und für n => oo

(29) 6(.) ~ i [cg) - C }

wie auch durch (4) leicht zu bestätigen.

Zu einem anderen Ausdruck gelaugt man, weun man schreibt ') :

= - - cm*-»-. +.og 22^;±£T

(30) ® («) = C (») - C ii) + log 2

Die Vergleichuug beider Formeln ergiebt die Beziehung

(31) + C ^± = 2[C(.) + Iog 2] oder

C(z)-f C(*+ i) = 2C(2»)-f 21og2 Beispiele. Für c - 1 ist

Formel (30) giebt danu das bekannte Resultat

©(1) - log2

während aus (29) oder (31) der schon in § 6 gefundene Ausdruck

1) Vgl, N»tani, „Reihe", S. 28C.

10»

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148 Simon: Die harmonische Reihe.

C(J)=21og2 + c folgt. Nach (29) und (11) ist

1-H-i-f-h- • • • = i@(J) - K^a)-c(t)] - J*

Nach (30) :

i-l-B-AH = = i[C( J) -0(1) + log 2]

V3 + log2)

l-l+i - A+- . • • - *©<!> - »CT«-

= i(|V3-log2)

= * - 2 log 2 + V 5 log 3>/^ 1

Lcos lö J

Setzen wir z gleich der rationalen Zahl n, so ist nach (29)

Unter der Bedingung 0 < n < m liefert dann die zweite der Formeln (14)

nÄ/«\ «/ »* (»»-{- n)»\ "Vr*/ fern

- cos^in)) log2 sin** + (-1)» . 1 [1 - (-1« ,og 2 Da

COS — - COS ^— + t» j = COS — [l - (- 1)*]

ist, so fallen in der Summe die Glieder für gerades k fort, und es ergiebt sich,

wenn m gerade ist,

W Sita- 1 v *" '

DI

und wenn m ungerade ist,

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Simon : Die harmonische Reihe.

149

m-1

+ (-1)— 1 log 2 (0 < n < m)

Ist m gerade, so dass u und n-\-m als ungerade angeschen werden können, so lässt sich in

für die beiden C-Functionen Formel (14a) in Anwendung bringen. Man erhält so

TB- 2

sin — m

oder

2sm —

m

/n ungerade . . _ m—2 m \

Uganda ' *-l,2-..— oder p o<»oj

eine Formel, die sich natürlich auch aus (32) in derselben Weise herleiten lässt, wie (14a) aus (14) gewonnen wurde.

Die Umformung, die hier die Gliederzahl der zu summirenden endlichen Reihe auf die Hälfte herabminderte, hat diesen Erfolg im Falle eines ungoradou m nicht. Denn dann wird, je nachdem n ge- rade oder ungerade ist, einer der Zähler n und n-f-m in den auf- tretenden C-Functionen gerade, so dass Formel (14a) nur auf eine der letzteren anwendbar ist. Immerhin hat die Rechnung den Er- folg, die unter dem Summenzeichen stehenden Bögen zu verkleinern, so das wenigstens das Resultat angegeben werden möge. Man er- hält

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150

Simon: Die harmoniiche Reihe.

m-1

2

(33a) © (^) = -~ H-(-l)--ilog2-22:(-l)"(Mi)co8^ W 2sin — 1

(w ungcrado, « beliebig, 0 < n < ro)

wo das Funetionszeichen f den Sinus oder Cosinus bedeutet, jo nach- dem k ungerade oder gerade ist, so dass also auch

. «I (kn . kn\ \ logV(5)-IoB2 | „»(_ + -„-) |

geschrieben werden könnte *).

Beispiele.

<S(J) !L__2cos" logig g

2ßin4

also

i-l+i- • • • - WÖ - *V«5+iog(V2+i)]

wie sich auch aus (29) mit Hilfe der kleinen Tafel in Abschnitt 6. ergiebt.

@(*} " ^„'r22ro-2(co8 22io.logtglUOH-co867J<>logtg33}<>)

]) Die Formeln (32), (33) und (32a) finden sich bereits in einer alteren Abhandlung, auf die ich erst aufmerksam wurde, nachdem der erste Druck der vorliegenden Arbeit fast vollendet war , wobei übrigens, wie manches an- dere, auch die Umformung (32a) der Raumersparnis wegen fortblieb. Jene Abhandlang ist die von Prof. Schräder in Tübingen herrührende, überarbei- tete Losung einer im Jahre 1813 von der Knpenhagener Kgl. Gesellschaft gestellten Treisaufgabe, die unter dem Titel „Commentatio de summatione seriei

+ (t+^r+m + • • " " Weim"r 18,8 *"chicn- Die Bm-

mirung wird durch Integration bewirkt und liefert die genannten Formeln auf S. 17. Später (§ 15 ff.) wird die Reihe als Differenz zweier harmonischen Reihen mit Hilfe der Euler'schen semiconvergenten Summenformel behandelt und die Bestimmung nach Erchingor ausgeführt („qui ante paueos annot rusticus, nunc mathesin apprime sciens, earo in Lyceo Tübingens! docet" a. a. O. 8. 57).

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Simon: Die harmonische Reihe. 151

©($) - log 2 — 2 (cos y log 2 sin ^ -f cos y log 2 cos *

+ cos y log 2 sin jjj

2 sin y

somit ist

[2 sin y

cos y log 2 sin ^ - sin log 2 cos 7 — cos 7 X

XlOg2cOSy^-

Mit Hilfo der Formela (32) und (33) oder (32a) und (33a) lässt sich jede unendliche alternirende Reihe rationaler Zahlen, deren Nenner oino arithmetische Reihe bildon, summiren. Denn es ist

1 J , 1 . _1SM

a o-f a + 2b * * ' * = 6 \b)

Die Formeln geben © Q-J allerdings nur, wenn a<ft. Ist nun

a > J», etwa n =» />Ä-|-<f, wo /> und 5 ganzzahlig und q < & ist, so kann man die Reihe nach rückwärts bis zum Nenner q fortsetzen und hat dann, indem man das Hinzugefügte wieder abzieht

~q+ </>-!)*)]

wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem p gerade oder ungerade ist, so dass wir auch schreiben können

(34) © (P+ 1) - (- iy [s (f) - (I)] (, < b)

Zur angenäherten numerischen Berechnung von ©fc), besonders

für grosse Werte von z, hat man aus (30), wenn man für C{z) den Näherungswert aus (23) setzt,

,«rv ~. x 1 1,1 1 , , 2-1-1

(35) SW _ 2j _ ^ + _ ä^^+log -f-

Für a — 1 heben sich dio Ungenauigkeiten dieser Formel voll- ständig auf, sio liefert richtig

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152 Simon: DU harmonische Reihe.

®(1) = log2

2

Im allgemeinen ist der Fehlor für z > 1 kleiuer als igJ^Elp Wird in (35) noch nach Potenzen von - entwickelt, so ergiebt

sich

(35a) e(.) = 23 + ^-^i ...

Dieso Formel ist auch sehr brauchbar, um die Summirung einer endlichen Gliederzahl der alternircnden Reihe zu bewerkstelligen, oder was auf dasselbe hinauskommt, den Rest der unendlichen Reihe, beim Abbrechen nach einem bestimmten Gliede zu schätzen.

Offenbar ist nämlich

1 /a\ 1 1 (-1V»-1

+ (-!)-.> ©(? + m)

und auf das letzte Glied lässt sich, wenn m nicht all zu klein ist, Gleichung (35a) mit hinreichender Genauigkeit anwonden. Da- mit ist aber der fragliche Rest bestimmt, und sonach auch die Summe der m ersten Glieder.

Setzen wir nun in (35a) »+m statt z und entwickeln wir nach

Potenzen von — , so kommt

m

0<K, , , 1 2» -1 «(*-!) (2*-l)(2z»-2*-l)

2(5(2 + m) ~ m ~ W + ' »» W • • '

also ist der Rest

(35c) bB ^ + m j = .jhm - + ^3ms-

(2rt-fr)(2a» — 2a& — 6»)

Die Summe der m ersten Glieder der Reihe 1 — i H~i — iH • '. .

ist also um ( — \)m -p-« -f- r ± • • algebraisch kleiner als

\Im 4 m* Am* /

log 2, wie schon in Abschnitt 9, gefunden wurde. Sollte, um ein anderes Beispiel zu wählen, n aus der Leibnitz'schcn Reihe

J-1-H4 -♦+—•■

berechnet werden, so hätte man a = 1, b =- 2, mithin für n selbst

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Simon: iJie harmonische Reihe.

153

Nimmt man also m — 10M Glieder, so beträgt der Fohlcr fast genau eine Einheit der uten Stelle hinter dem Deciraalkomma, und zwar erhält man dici «te Ziffer um 1 zu klein, die darauf folgenden Stellen aber richtig, und eine Abweichung tritt erst wieder uach 2» weiteren Stellen ein.

Es sei noch darauf hingewiesen, dass Formel (35b) nicht nur dazu dienen kann, dio Summirung der endlichen Rciho auf die der unendlichen zurückzuführen, sondern dass danach eben so wol dio linke Seite berechnet werden kann, indem man dio Summation der endlichen Reihe soweit wirklich ausführt, dass zur Abschätzung des Restes Gleichung (35) oder gar die ungenauere aber einfachere Formel (35c) genügt.

So ist z. B. und nach (35)

S = 0, 12 308

während nach (35c)

<S (?) - 0, 12 285

kommt. Für * erhält man so die Werte 0, 78 535 bzhw. 0,7^524,

deren erster dem wahren Werte 0, 7^53 08 natürlich näher kommt. Man sieht leicht, dass man den Fehler erheblich verkleinern kann, wenn man nur einige Aufangsgliedcr mehr unmittelbar addirt.

11. Abgeleitete Reihen. Werden alle Glieder der Reihe © positiv genommen, so geht sie in die divergente Reihe -S über sie convergirt also nur bedingt Convergenz und Summo der Reihe sind daher abhängig von dem Verhältniss, in welchem die positiven und negativen Glieder in den ersten n Gliedern, als deren Grenz- wert die Summo der Rciho anzusehen ist, auftreten. Wio schon in der Einleitung und im § 4 angedeutet, ist die Untersuchung dieser Abhängigkeit mit den hier gegebenen Mitteln sehr einfach ausführ- bar. Der einzuschlagende Weg ist derselbe, dem Herr Natani f) gefolgt ist, nur dass wir keinen Gebrauch von bestimmten Integralen machen.

1) A. a. O. S. 287.

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154

Simon: Die harmonische Reihe.

Wir leiten aus der gegebenen Reihe @ eine neue ab, in der positive und negative Glieder nicht mehr in gleicher Anzahl, sondern im Verhältnis p : q vorbanden sein sollen , und zwar so , dass wir die p ersten Glieder der gegebenen Reihe unmittelbar auf einander folgen lassen, dann die q ersten negativen Glieder einschalten, dann wieder p positive und q negative Glieder nehmen u. s. f. Da p und q als endlich vorausgesetzt werden, besteht die neue Reihe aus alter- nirenden Gruppen von endlich vielen Gliedern. Diese Gliedergruppen werdon schliesslich unendlich klein; ob sie beständig abnehmen, ist nicht ohne weiteres ersichtlich. Hier genügt aber auch die erstere Eigenschaft zur Convergenz, da sich leicht ergiebt, dass die Summe einer endlichen Anzahl der Gruppen sich mit wachsender Anzahl einer festen Grenze nähert. Fassen wir nämlich die beiden ersten Gruppen

z^z + 2^--^z+2p—'2

und

1 1 1

a + 1 * + 3 z + 2q-l

zu einem Glicde u( der neuen Reihe zusammen, so können wir p > q vorausgesetzt, schroiben:

"i " G~i+3H •+H-~2,y-^~^27^+H^)

und erhalten, wenn wir np und nq statt p und q setzen, die Summe der 2n ersten Gruppen

2

also, wenn wir zur Grenze übergehen, und beachten, dass nach (3)

lim v-i 1 »

ist,

(36) U(z) - £(*) + * log?

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Simon: Die harmonisch* Rtihe. 155

Für q > p hätte man ganz ebenso

vn - @*n - -^p — ^2^+2 ~~ ' ' ' ~~ H- 2<Z

also

t/~8-*log^

mithin dasselbe Resultat.

Die Summe der 2« ersten Gruppen, oder der «(p-f-g) ersten Einzelglieder, der neuen Reihe bleibt also mit wachsendem n end- lich; da nun ein Oscilliren der Reihe durch das schliesslich»« Ver- schwinden der Gruppen ausgeschlossen ist, muss die Reihe, auch wenn man an anderer Stelle abbricht, demselben Grenzwert zu- streben.

Es ist deutlich, wie dio ursprüngliche und die neue Reihe sich für jedes endliche n um eine Anzahl Glieder unterscheiden, die mit

wachsendem n selbst eine unendliche Reihe mit der Summe $log-

bilden. Ist g=-p, so verschwindet dieser Betrag, und dio abge- leitete Reihe hat, wie zu erwarten war, dieselbe Summe wie die ur- sprüngliche.

Die Wertänderung ist übrigens einerseits von *, anderorseis auch davon unabhängig, wie dio einzelnen Glieder innerhalb der 2n ersten Gruppen angeordnet sind, da es bei der Ermittelung der Summe nur darauf ankam, wieviel Glieder jeder Art vorhanden waren. —

Die Trennung der Fälle p > q und p < q lässt sich auf fol- gende Art vermeiden. Schreiben wir

_1 , 1 . ,_ 1 _J L__

"* -;+i+2i"--"1"^ + 2p-2 *+l * + 3 •••

so ist

- j+^—i - (i) - Wt-1 (nr)

2 ' 1

also für n = od

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156

Simon: Die harmonische Reihe.

woraus sich nach (29) Formol (36) crgiobt. Beispiele. Es war

daher für /> = 2, q = 1

H-i-i + *+i1n-i + +--.-- llog 2]

-* + ilog2

Für z — 1 hat man

so dass mau die Logarithmen beliebiger rationaler oder quadratisch irrationaler Zahlen durch die reciproken natürlichen Zahlen dar- stellen kann. — Für p — 1, q — 4, erhält man so:

o«l-i-i-i -*-H-A-A ...

Eine Entscheidung darüber, ob die Gliedergruppen beständig abnehmen, oder aber bald steigen, bald fallen, lässt sich mit Hilfe der Formel (22) gewinnen , da jede Gruppe als ein Ausschnitt einer harmonischen Reihe anzusehen ist. Bezeichnen wir die Mo Gruppe mit Pki so ist die »tc positive Gruppo

Demnach ist

3(1) - 1-i-f i -H • • • - log2

'•2n-l —

z + 2(n — l)p"1"»-f-2(»-l)^-f-2

+ ...+

z+2np— 2

1

also

Nach (22) ist nun, für hinreichend grosso m und m,

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Simon: Die harmonische Reihe. 157 . v „ . v , m 4-x ,1/1 1 \

*.(*) - w*) = log ^ + 2 U+* - i^Tx)

*" i2 (w+*T* ~ (»hT^)1)

also, wenn wir ^ =- x setzen

_nj> — 1+* 1/ 1_ 1 \

2v2n-l - 10g ^ _p _ l -t^np-X+x np-p-1 +x)

_If 1 1 ^

V2\(np — 1-j-x)* (np — p -l + x)*J

- - log (1-v-xh-«)+ (iT1" * ~ iZH±E")

\ np /

Entwickeln wir nach Potenzen von so wird, wenn wir nur

n

die beiden ersten Potenzen berücksichtigen

Setzen wir hierin z-\-l statt z and q statt p, so erhalten wir

und ebenfalls aus 2t*,_i, für n-f-1 statt n Demnach ist

und zwar bis auf Grössen von der Ordnung ^3 genau. Für einen

hinreichend grossen Wert von n haben also die Differenzen t'2,,_i und «in— bzhw. dieselben Vorzeichen wie

z 1 — z

tfj = - H und ir4 — 2 —

3 P * 1

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158 Simon: Die harmonische Reihe.

Sind wx und »t Imtle JMMffe, *> nehmen , am jenem n an, die Glieder - gmppen beständig ah. Dies ist, wie leicht ersichtlich, für ganz belie- bige Werte p und q der Fall, sobald (z als reell vorausgesetzt)

ist, da dann auch %rt in demselben Intervall liegt, mithin trs sich

zwischen 1 und 2 bewegt. /ndtesondere gilt dies also con allen auf die in Heile stehemle Art ans der „Sf*etieüenu harmonischen Reihe abgeleiteten Reihen.

Ist aber z > 1 oder negativ, so häugt das Vorzeichen der Grössen w vou der Wahl von p und q ab. Ist z. B. * — 2, so ist

2 _ 1 _ 2p — q ** ~~q P ~ pq

also negativ, wenn p — 1, 9 =■ 3 ist. Iu der Tat ist dann

1 1 1 108»» -36» — 1

r*"~ 6h-3+G« - l + 6«-H ~~ 2i6ns— 108«1 — 6«4-3

" L r-,M*lra2«-Fä

3

und schon vou n — 1 an t^M_i < r-2«, aber p*,, > j^—py >• 1^41, so dass in der Reihe

i-(J+i+f)+J-« + i1r + A)+ü-(Tx5+t,r+A)+-...

~ 3(2) + J log $ = 1 -log2^3

die Gruppen von Anfang an abwechselnd steigen und fallen, kann also durch passende Wahl von p und q leicht Reihen vo dieser Beschaffenheit herstellen, die trotzdem convergireu.

ist auch ohuc die Beziehung ir, -f- trt = 2 klar, dass, wenn eine der beiden Grössen tr negativ ist, die andere nicht auch negativ sein kann, douu sonst würden die Gruppen bestandig zu- nehmen, ktantea also nicht unendlich klein werden.

Ist q «= jj, so fallt z ganz heraus, es wird

1 2P -1

«•i = -> "* = ~

d. h. beide Sind Stets positiv, Gruppen aus gleich vielen Gliedern fallen schliesslich beständig, aus rrelcher harmonischen Reihe man auch die Glieder

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Simon: Die harmonische Reihe. 159

12. Verallgemeinerung. Es liegt nahe, die Gliederzahl der alteruireuden Gruppeu in der abgeleiteten Reihe variabel zu machen. Bezeichnen wir sie mit pn für die positiven, qn für die negativen Glieder, so beginnt die neue Reihe also mit den ersten px positiven Gliedern der ursprünglichen, dann folgen die ersten qt ne- gativen, dann die nächsten p* positiven und ?8 negativen Glieder u. 8. f. Schreiben wir noch

• • ■ +9* = Pi+Pi~{- • • • H-P* — P*

so ist also die nte positive Gruppe

1 1

z-\- 2 Pn-x + * + *Pu-\ + 2 + ' * ' + * + 2Ph - 2

und die darauf folgende nte negative Gruppe

so dass also die Summe der ersten 2n Gruppen

1 t 1

ist, woraus

2

Es seien nun j>„ und g„ so gewählt, dass P» und Q„ mit n un- endlich werden.

Wäre nämlich etwa lim Pn endlich, so müsste \impH — 0 soin, also pH bei einem gewissen n unter 1 sinken; dies bedeutet aber ein Aufhören der positiven Glieder. Wäre dann auch limQ„ end- lich, so bräche die Reihe ab, während bei lim 3* _ 1 die negativen Glieder weiter laufen und die Reihe divergent machen würden.

Werden aber Pn und Q„ beide unendlich, so ist

(37) n ^ 1 2M ~ ©<«) -f * log [üm £"]

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160

Simon: Die harmonische Reihe.

Lim \r2n bleibt also endlich mit lim Pn : Qn. Kommt noch hinzu, dass die Gruppen v die Null zur Grenze haben, so convergirt die neue Reihe, und ihre Summe wird durch Formel (37) angegeben. Ist dagegen limr*2»»-i = limrow endlich, so wird die neue Reihe, als Summe der einzelnen v aufgefasst, in den Grenzen lim r>„ und limO'&i + f&i+i) oscilliren; indessen würde dann jode der Reihen

2 («»-l — 1'2*) =» lim r2„ und vt — S (v& — f i) = lim

als convergent zu bezeichnen sein, und je nach der Definition der neuen Reiho durch die eiue oder die andero Form, hat sie danu die eine oder die andere Summe.

Zur Untersuchung von hat man

a«*.!-. s,-i (§) -Ä^-ig)

also nach (3)

2iimt*~i = log^lim™^) ~ log[Hm(1+ (38) und ebenso

aiimesn = log (lim = log j^lim (l-f J

t'x, wird also immer und nur dann verschwinden, wenn PH uud QH stärker unendlich werden, als pH+i und q»+i,

Beispiele. Die Voraussetzung lim PH =oo, lim Q oo ist erfüllt, sobald die Reihen ?>,+j>*-f . . . , <Zi + <Z*-f- • • • divergiren, zunächst also sicher, wenn auch p„ und qH mit » unendlich werden, so dass dio Gruppen schliesslich selbst unendliche Reihen bilden. Dass die Convergenz der dann entstehenden Doppelreihe nicht ausgeschlossen ist, zeigt sich in dem Falle, wo jj« uud qn ganze rationale Functio- nen von n sind. Sei pn vom Grade r, qH vom Grade *, so ist Pn vom Grado r-J-1, Qn vom Grade «-f 1, uud da

. Pn ^ _ qn

«*»-« < z+2P~:s tf2H < i +r+ 2Q„r,

so folgt, auch ohne dio Benutzung von (38) unmittelbar, dass

limP2H-i = limi^w = 0

p

ist. Lim wird nun nur dann endlich und von null verschieden, weun beide Functionen von gleichem Grade siud, also r = $ ist-, ist

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Simon: Die harmonUche Reihe. \ö\

r ^ #, so wird der Quotient a> oder 0 , der Logarithmus desselben

also ±od, und die »-Reihe divergirt

So erhält man, um einen ganz einfachen Fall zu wählen, für «—1, j)=1, g — n, die Reihe

— (&+ • • • +20) H —

Die allgemeinen Glieder derselben sind

1

~2n -1

und da

^=l + 2+...+„ = ^A>

ist,

1 , 1

,,2w~* n(n-l;-f- 2"t" * ' * ~T~n{n -f 1)

Trotzdem nun gg» <C n(7t_ ij-fT^ also ,imt^n ™ 0 ist» wir<* ^ie Reihe mit

Pn .

log T. - log

negativ unendlich und giebt so ein einfaches Beispiel für eine, trotz der unbegrenzten Abnahme der Glieder, divergente, alternirende Reihe *). (Vgl. § 3.)

Ist aber # = r und pH — «r»r + . . . , g« — hr nr . • . , so ist

lim^-* -lim*.

Die Summenänderung hängt also nur von den Coefficieuten der höchsten Potenz in p„ und qM ab, so dass wir don Satz aussprechen können :

) ) Dass die ganz ähnliche Reibe, welche man erhalt, wenn man nmgekehrt p = n, ? = 1 wählt, eine gleichfalls divergente „Umstellung" der Reihe 1 - } + 1— i + — • • • iBt> hat Herr Lionnet in der schon angeführten Note nach- gewiesen. (Nonv. Annales de Math. 1879.)

Areh. der M.th. u. Phy«. 2. Reih«, T. VIH. I I

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162 Simon: Die harmonische Reihe.

Sind pn und qH ganzzahlige, ganze rationale Functionen gleichen Grades mn n, und bildet man aus den Gliedern der alternirenden harmonischen Reihe eiue neue Reihe, in der auf je pH positive Glieder der ersteren, je qn nega- tive Glieder derselhen folgen, so concergirt die neue Reihe, und ilue Summe übertrifft die der ersten um

Insbesondere wird keine Summenänderung stattfinden, wenn die Coefficienten der höchsten Potenz in j>„ und qH gleich sind. Dem- uach ist also, für pn = 2«— 1, qH = 2«,

i-<i+t)+<i+§+*) a+i+iln+1l2)+-.-.^iog2

und ähnlich

a+»-(i+f+A)+U+V>+A+A)-(A+iV I * 1 A 1 A)

4" • • • = 4

Sind die Functionen pn und q» vom Grade 0, also constant, so ent- steht Formel (36).

Ein Beispiel für den Fall, dass die Gruppen für n «=■<» nicht der 0, sondern festen endlichen Grenzen zustreben, bietet sich, wenn pH und qn Exponentialfunctionen sind Sei etwa pn — a"-1 und a > 1, also

so ist nach (38)

lim2t*»„_i = log Qim — loga

Die t>-Reihe kann also nur convergiren, wenn auch

lim2roM _ loga, was etwa durch die Wahl von

qn = a»-i-f&«-2(&<a) zu erreichen ist. Man hat dann

lim la» - ©(«) +1 log 1 -©(*)

und

lim T2M+i — <&{z)-\-\\oga

OD

2vk wird zwischen diesen beiden Werten oscilliren, wofern nicht

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Simon: Die harmonische Reihe. 163

durch Zusammenfassung je zweier aufeinander folgender Glieder in in der oben angedeuteten Weise für dio Convergenz gesorgt wird.

Wir wollen noch über das Grössenverhältniss aufeinander fol- gender Gruppen dieselbe Untersuchung anstellen, wie sio in Abschnitt 11. bei constanter Gliederzahl p und q geführt wurde. Wir brauchen in den dortigen Ausdrücken für v-2n-i und >■>„ nur PH statt np und Qn statt nq zu schreiben, um die jetzt in Frago kommenden Werte

zu erhalten; demnach ist, wenn wir noch * = * setzen,

2r2M_, ~ Spn-i(z) — SpM-\(x) und für hinreichend grosses r, wieder nach (22)

)

i'H-jj* — i-K

Hier können wir abbrechen, wenn wir bei der Eutwickelung nach Potenzen von ~ uns mit den Gliedern zweiter Ordnung begnügen wollen. Es wird so

2*2.-1

Pn + * V a/ + 2 p,.»y 2v2» - Qn + \ y^j - g ^

2*.+, - Pm- + i \fn-) + "2 - ,i

~ A 1 V A / "l" 2 PM*

wo die Formeln für t*, und r2„f i wie früher aus dem Werte von v2n-\ abgeleitet sind. Um die Vorzeichen der Grössen vin-i — v*» und »2h — v2n+\ untersuchen zu können, wollen wir voraussetzen, pn und qH seien ganze rationale Functionen gleichen Grades von n und dieselben wie vorher bezeichnen. Dann ist

Pn — ar2k' + ar-l . . .

1 1

und für unseren Zweck genügt es, zu wissen, dass diese Summen die Form

II«

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1(54 Simon: h v hturmonucht litih*.

lkr = J i n^+K-f . . . besitzen '). Wir liaben hiernach uämjich

^-41"'+,+(?+V)'"+--

also

r + 1

und, wenn wir wieder hui den Gliedi ni zweiter Ordnung stehen bleiben,

/>„ r+l_ r-f-1 /l gf-i . r-f 1\ /'„ — » "n* \r dr + 2 /

Da wir 'die Functionen ;> und </ mindestens als linear, also

r^l 1 voraussetzen können — der Fall r = ü ist in Abschnitt 11.

erledigt — so wird das in rj„_i auftretende Glied - i} ~ -*"t schon

für r = 1 mit Gliedern dritter Ordnung beginnen, also für uns nicht mehr in Betracht kommen. Wir haben daher

r+1 r-M Or-1 1 N r n, n

r+1 r-f-1 6r-l 1

n r br n*

mithin

r+1 r + 1/ ör-i\l r+1 (hr^\ ar l\ 1

r2n-l — t>jH = -2r \ £r «7,/ n~*

r + 1 / />r_i 1

Für hinreichend grosse Werte von n sind folglich die Vorzeichen dieser Differenzen dieselben wie die der Grössen

br-l Or-l Wi - fr ITt-r — »r,

1) Eine elementare llerleitnng dieser Eigenschaft finde! man in dem schon ohen anjrofflhrten Aufsätze „Zur Snmmalion endlicher Rethen u. 8. w." (Archiv d. Math. T. IV. S. 107.)

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Simon: Die harmonische Reihe.

165

sonach unabhängig von a, so lauge nicht ir, oder tr2 null wird, in welchem Falle die höheren Potenzen von n in Frage kommen, deren Cocfficienten z enthalten.

Das beständige Fallen der Gliedergruppen von einem gowissen n an ist also hier an die Bedingung

br—\ flr— 1

geknüpft.

Iu den beideu oben gegebenen Reihen für log 2 und j ist v>t

— ir2 = also die Bedingung erfüllt, während für pH — n, qM *= *— 1 sich ir, = — 1, ir.j — 2 ergiebt, so dass in der Reihe

ä+ (^+2+ - G+t) + (h^6 + « + 8+ ä+Iö)

-(,-^8 + ^)+-. .. = ©W

von einem gewissen Gliedo an jede positive Gruppe sowol kleiner ist als' die vorhergehende wie auch als die folgende negative Gruppe.

13. Der Schlörailcb'sche Satz verallgemeinert Wie in der Einleitung erwähnt, hat Herr Pringsheim eine Methode gegeben, um die Wertveränderung einer bedingt convergenten Reihe unter Umstäuden auf die einer andern zurückzuführen. So führt der ebenda genannte Satz von Sc hlö milch die Wertänderung einer beliebigen convergenten alternirenden Reihe für den Fall, dass die positiven und negativen Glieder nicht mehr in dem Verhältnis 1 : 1, sondern in dem Verhältnis p : q auftreten, auf die entsprechende Wertänderung der harmonischen Reihe zurück, die hier in § 11 er- mittelt ist. Wir wollen diesen, in so enger Beziehung zur harmo- nischen Reihe stehenden Satz elementar herleiten, dabei aber, wie in § 12, statt des constanten Verhältnisses p : q das variable pH '.qn, sowie die Bedingung Pqo — od, Qod — od einführen.

Zwei divergente Reihen positiver Glieder

m3, «5 ... und tt2, u4, uq ... seien nun zu der bedingt convergenten Reihe

•h— «t H — . — ö

vereinigt, wobei nicht erforderlich ist, dass dio u* mit ungeradem Index demselben Bildungsgesetz folgen, wie die Glieder mit geradem

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1(56 Simon; Die harmonische Reihe.

Index. Uk sei die Summe der ersten k Glieder. Bilden wir jetzt die neue Reibo

so ist (bei derselben Bezeichnung wie in § 12) die mit einer nega- tiven Gruppe abbrechende Summe der ersten 2n Gruppen oder Pn-\-Qn Einzelglieder:

V2n ~= («i-hM8+ • • • +«2/»M-i) — («I + ««4+ • • • +"«0

Je nachdem nun PH > Qn oder Qn > Pn ist', wird im Ver- gleich mit

Pn — Qn negative Glieder weniger, oder Q„— />„ solche Glieder enthalten, so dass wir schreiben können

F2h— Ü2Pn

= Z «2*, wenn i>» > Q„ = — 2u2k> wenn /'w < Qn

Ziehen wir nun nach der Pringsheim'schen Methode die har- monische Reihe zur Vergleichung heran, indem wir schreiben

Vin- UiPn = 2(k.U2k) .1 (Pn > Qn)

so muss es zwischon dem kleinsten und dem grössten der Werte

(QM-f-l;«2^M+2, (Q»H-2)«2oHHi ••• PnHipn einen Mittelwert A/„ geben, dergestalt dass

1

Ist nun

lim n — oo

wo m endlich (auch 0) oder unendlich sein kann, so nimmt auch jedes der Producte, deren Mittelwert ^fH ist, für n «=-oc den Wert m an, so dass auch Iim3/M mit diesem übereinstimmen muss, und wir erhalten

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Simon: Die harmonische Reihe.

167

(39) Um V2n = U+ n ^ [» . «*, log

und zwar auch für den Fall P» < Q„, da dann zwar P„ und QM zu vertauschen sind , dafür aber der Logarithmus das negative Zeichen bekommen muss, und beide Operationen einander aufheben.

Im übrigen gelten auch für Formel (39) die bei (37) gemachten Bemerkungen.

So ist £vk nur dann convergent und gleich lim F2«, wenn UmtsM 1 — 0. Nun ist

also, auf demselben Wege wie vorher,

limt**+i - n Ü^^r» • u2h-i log —-^l

(40)

= „^[—

Ist z. B.

Jfe.log(fc-fl)

sowol für gerade wie für ungerade fc, so ist

lim n «2h = limnt*2»-i — 0

Der Wert von f2»+i, sowie in (39) der von nt^log^ wird aber

ausserdem noch davon abhangen, wie PH und QH unendlich werden. Sind pn und qn, also auch PH und Q„, ganze Functionen gleich hohen Grades von n, so wird, nach dem in 12. Gesagten, limt^M-fi =• 0 und limr2f» — limrow+i — U sein, also keine Wertänderung eintreten. Während dort dagegen die neue Reihe divergirte, sobald der Grad der Functionen ein verschiedener war, wird hier die Con- vergenz noch statthaben, wenn der Grad von pH und der von qH sich um eine Einheit unterscheiden. Denn ist demgemäss etwa

so ist

Pn = a,+lflr+l + . . . Qn=br •'+...

Htt2wl0gQ7, = * log(2n + l)

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168

Simon: Die harmonische Reihe.

nähert sich also der Grenze \. Da ausserdem lim v-in\ i — 0, so convergirt die neue Reihe, und ihre Summe übertrifft die der ur- sprünglichen um |, während eine Verminderung um £ eintreten wird, wenn Pn vom Grade r, Q» vom Grade r-j-1 ist. Von dieser Be- dingung abgesehen, sind also sowol die Grade als die Coefficienteii der für pH und q» zu wählenden Functionen ganz gleichgültig. Ge- legentlich sei noch bemerkt, dass zwei solcher »-Reihen, wenn in der einen p», in der andern qH den höheren Grad besitzt, hiernach stets dio Differenz ±1 ergeben, so dass danach die Einheit auf un- zählig viele Arten durch Brüche von der Form jtlög~(l^pi) ^*rße" stellt werden kann.

Sind/) und? constant, so geht (39) in den Schlömi Ich 'sehen Satz über, wonach die Wertänderung der u-Reihe

$ log j. lim (nu,,)

beträgt. —

Versagen wird Formel (39) nur in den Fallen;, wo die Wert- anderung in unbestimmter Form erscheint Dies tritt ein, wenn

Ph

lim — -=»0 oder a> und gleichzeitig lim n U2n — 0

sowie, wenn

Ph

lim tp =1 und dabei limnu2>« =oo

ist. Da in diesen Fällen der wahre Wert von 0 . oo davon abhängt, in welcher Weise P« und Q« unendlich und t*2» null wird, lassen sie sich nicht erledigen, ohne über diesen Punkt besondere Voraus- setzungen zu machen.

Dabei ist ferner zu beachten, dass zwar mit limwtia* «=oo auch jedes der Producto

(Q» + l) U2Qn+2y ... PnU2Pn

und also auch ihr Mittelwert Mn unendlüA wird, dass aber der Grad des Unendlichwerdons — und auf diesen kommt es wesentlich an — für den Mittelwert i. allg. nicht derselbe sein wird, wie für umsh. Ist z. B.

1

"* ~ Vk pH = 2an-\-b

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Simon: Die harmonische Reihe. \QQ qH = 2a»

also

Pn - a(»«-f-»)-f bn Qn - a („»-(- n)

so sind jene Producta die Glieder der Reihe

Pn k an*-\-an-{-bn

* yl - s

VI

und jedes derselben wird oo wie n j/^ während »«2» — j/g

weniger

stark oo wird.

Bisweilen — und so auch hier — führt aber schon die Be-

Pn

merkung zum Ziel, dass der Ausschnitt Zun , der für PH > Qn die

Q«+i

Wertänderung darstellt, zwischen den Grenzen

Pn-Qn Pn-Qn

liegen muss. Für unser Beispiel fallen* nämlich beide Grenzen zu b

dem Werte zusammen, der mithin die Wertänderung angiebt die nach (39) in der Form oo.O erscheinen würde.

Ob limpan+i verschwindet, darf in solchem Falle ebensowenig nach (40) beurteilt werden, da auch diese Formel über die Art des Unendlichwerdens von Mn i- allg. nicht den richtigen Aufschluss er- teilt. Nach (40) wäre der Mittelwert für unser Beispiel mit

lim»u2n-i — lim ^\ in Anschlag zu bringen, während

1 (iiP»+l\ 1 A , 2an+(2a+Ä)\

1 2 nach Potenzen von - entwickelt, mit - beginnt. Hiernach würde

w n

limt*H+i mit j/^ . - verschwinden, während in Wahrheit, wie wir

limt^+i - lim nlog(l+ - V2a zu setzen ist. Da auch

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170 Simon: Di» harmonische Reihe.

an(«+D 1 lim - lim 2 Z7j= = V 2a

an(n-l)+iy^ ist, wird die neue Reihe zwischen den Werten

lim T2» - 1/+ ~= und limFsiH+i - IT+^L + oscillircn, aber convergiren, wenn wir sie in eine der Formen setzen:

Berlin, Januar 1887.

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Janisch: Verallgemeinerung dt* Entstehung sgesetze* etc.

171

VI

Verallgemeinerung des Entstehungsgesetzes der

Fusspunktcurven.

Von

Eduard Janisch.

1. Wir verallgemeinern das Entstehungsgesetz der Fusspunkt- curven dahin, dass wir den Pol Fauf einer Bahncurve B gleichzeitig mit dem Punkte P der Directrix D sich bewegen lassen. Wir er- halten dann, wenn wir durch die F auf die Tangenten t in dem ihrer (der F) Lage entsprechenden Punkte P der D Senkrechte fällen, in den Fusspuukten P* derselben eine Reihe von Punkten, die einer Curve C angehören, welche eine verallgemeinerte positive Fusspunkt- curve der D genannt werden mag. Dem analog werden wir eino verallgemeinerte negative Fusspunktcurve der D die Einhüllende aller jener Geraden t* nennen können, deren jede durch einen Punkt P der D geht und normal ist zur entsprechenden PF. — Es liegt nun die Frago nahe: „Was ist erforderlich, damit eine Construction der Tangente in jedem beliebigen Punkte P* einer vcrallg. pos. Fusspunktcurve, beziehungsweise eine Construction des Berührungs- punktes einer beliebigen t* einer verallg. neg. Fusspunktcurve leicht möglich wird?"

2. Wir bemerken zunächst, dass diese Constructionon zurück- geführt werden können auf die für die gewöhnlichen Fusspunkt- curven. Es lässt sich nämlich, wenn wir eine verallg. pos. Fuss- punktcurve vorliegen haben , auf jeder FP*(== p) ein Punkt F* so angeben, dass die erste pos. Fusspunktscuno der Directrix D be-

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172 Janisch: Veroilyemcinerttny des Entutehunytgesetzea

züglich dieses Punktes / * in P* eine Berührung mit der bewussteu verallg. Fusspunktcurve eingeht. Ebenso kann im andern Fallo, wenn wir eine verallg. ncg. Fusspunktcurve gegeben haben, auf jeder FP ein Punkt F* ermittelt werden, dem die Eigenschaft zukommt, dass die neg. Fusspunktcurve der D bezüglich desselben auf der t* zur Berührung kommt mit der in Rede stehenden verallg. Fuss- punktcurve. — Betreffs dieser Punkte F* ist zu sagen, dass die- selben nichts andres sind, als Punkte der Enveloppe aller FP* im ersten, aller FP im zweiten Falle und zwar ist der auf einer ge- wissen Fl**(FP) liegende Punkt F* identisch mit dem Berührungs- punkte derselben, — eine Tatsache, die die Anschauung ohne weiteres bestätigt. Wir brauchen demnach jetzt nur zu untersuchen, unter welchen Umstanden die Ermittlung der F* einfach von Statten geht.

3. Es sind in Fig. 1. zwei benachbarte, willkürlich gewählte Lagcu der Punkte Fund P mit F0, P0 und 7*j, Px bezeichnet, ferner mit P0*, Px* die entsprechenden Punkte der verallg. pos. Fusspunkt- curve. Der Schnitt der FQP0*y Ft />,* wird der zu ermittelnde Punkt F0*, für dessen Entfernung x von F0 sich aus dem Dreiecke F0F1F0* ergibt :

, sin v

x = dm — — : sini

da, wie aus der Figur ersichtlich, dm das Bogenelement FQFly v der Winkel bei und i der Winkel bei F0* genannt wurdo. Nun ist aber i offenbar auch gleich dem Winkel, den die beiden Taugenten in P0 und Pt einschlicsseu , er ist also ein Coutiugeuzwinkel, und wir haben daher

i= - 9

wenu tU das Bogenelemout i'ol'g und q den Krümmungsradius für PQ bedeutet. Schreiben wir im Ausdruck für x austatt siu*

sin» . . • t i

so erhalten wir, wenn für i der eben gefundene Wert substituirt wird, da unter den obwaltenden Verhältnissen

sinj _ i

zu erachten ist:

dm

x = q sin v

damit dieser Ausdruck und daher auch F0* für jede beliebigo Lage von F0, P0 coustruirt werden kauu, müssen also die entsprechou-

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d*r FtMsputtktcurvtn.

173

dm

<1«ü Q, js und v coustructibel sein. Hiezu ist notwendig, dass es

1) eine allgemeine Construction für deu Krümmnngskrcis eines Punktes der D gibt, ferner dass es 2) möglich ist, stets das Ver- hältuiss der gleichzeitigen Geschwindigkeiten der einander entspre- chenden Punkte F und P anzugeben

und endlich 3) dass man in jedem Punkte F der Bahncurve B die Tangente herzustellen vermag.

4. Wir untersuchen nun, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit als Berührungspunkt einer FP coustrnctiv er- mittelt werden kann. — Wir haben zu dem Behufo in Fig. 2. wieder eine Bahncurve B und eine Directrix D ersichtlich gemacht, und auf ersterer einen Puukt 7'0, auf letzterer don ihm entsprechenden P0. Der Berührungspunkt F0* der F0P0t als einer Tangente der Euveloppe aller FP, ergibt sich im Schnittpunkt der F, 1\ , wenn F,, /*, die zu F0, P0 benachbarten, von ihnen um dm, <i* abstehen- den, entsprechenden Punkte sind. Nun bestimmen aber die Punktc- paro F0, Fx uud P01 Px auf den Verlängerungen von dm, d» zwei ahnliche Punktreihen uud das Erzeugniss derselben berührt offenbar F0 P0 in F0*. Mit Benutzung dieses Resultates können wir also die Aufgabe „den Berührungspunkt eiuer Tangente der Enveloppe aller FP zu construireu", zurückführen auf die „den Berührungspunkt einer Tangente einer als Erzeugnis! zweier ähnlichen Punktreihen gegebenen Parabel zu ermitteln". Es hängt somit die Durchführ- barkeit einer graphischen Lösung uuserer Aufgabe davon ab, dass die beiden Reihen für jede Lage von F und P constrnirt werden können. Dies erfordert die Erfüllung folgender Bedingungen: 1) Es müssen ihre Träger, d. s. die Tangeuten iu F und P, construetiv

sein, und 2) es muss wieder das Verhältniss *~ der gleichzeitigen

Geschwindigkeiten der Punkte F und /% als das Verhältniss ent- sprechender Strecken der F- und der /'-Reihe, allgemein angegeben werdeu können — Auf eine Darlegung der Einzelheiten der nötigen Constructioueu brauchen wir nicht einzugehen. Wir erwähnen blos, dass man am zweckmässigsten die dem Schnittpuukte X der beiden Träger entsprechenden Punkte <Z> und U der F- und P-Rcihe be- nutzen wird, wenn sie samt X auf der Zeichenfläche zu liegen kom- men. Im andern Falle wird man sich noch zwei Tangenten der Parabel verschaffen und den Satz von Brianchon in Anwendung bringen.

5 In dem Art. sei es uns gestattet einige einfache Fälle her-

174 Janisch: Verallgemeinerung des Entstehungsgesetzes

vorzuheben, in welchen sofort zn erkennen ist, dass die Bedingung betreffend ^ erfüllt wird.

ds

a) Bahncurve B uud Directrix D sind ähnliche Curven. Zu- geordnete Punkte F und P sind homologe Punkte, ~ ist dann con-

stant und zwar gleich dem Verhältniss homologer Sehnen der B und D. Sind beide Curven congrueut, so haben wir

Wir können in diesem Specialfalle unter der weiteren beschränken- den Voraussetzung, dass B und D ein- odor mehrfache Symmetrie aufweisen, sogar Bahncurve und Directrix coincidiren lassen und erhalten bei einfacher Symmetrie blos eine verallg. pos. Fusspunkt- curvc, die als Ort der Projectionen aller Punkte der gegebenen Curve auf die Tangenten der symmetrisch gelegenen definirt werden kann. Die verallg. neg. Fusspunktcurve degenerirt nämlich in dem Falle in ein Parallelstrahlenbüschel. — Bei mehrfacher (n-fachcr) Symmetrie ergeben sich hingegen zwei Gruppen verallg. pos. Fuss- punktcurven und eine Gruppe verallg. neg. Fasspunktcurven und zwar enthält die erste Gruppe der verallg. pos. Fusspunktcurven n

kommen wie bei einfacher Symmetrie, während die zweite Gruppe, die dadurch charakterisirt wird , dass F und P sich hinter einander bewegen und zwar so, dass ihre Entfernung auf der Bahncurve ge- rn

messen stets coustant ■» - Teile deren Peripherie beträgt (m und n

n

ganz), im Falle, dass n ungerade ist aus (n— 1) Curven besteht, von denen je zwei congruent sind, ist aber n gerade, so haben wir ^ von ein- ander verschiedene Curven, worunter sich als bemerkenswerteste diejenige befindet, welche als Ort der Projectionen aller Punkte der gegebenen Curve auf die Tangenten in den diametral gegenüber liegenden erscheint1). — Weit einfachere Beziehungen walten hier ob

1) Für die Ellipse ist dies die KcelhofTsche Curve. S. Mathesis, VI, 16: „Le licu des projections d'un ellipse sur la tangente menle au point diame- tral ement opposl." In diesem Falle wird

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der Ftuspunktcurven.

175

bezüglich der verallg. negat. Fusspunktcurven. Die einzige Gruppe derselben, die vorhanden ist, setzt eine Bewegung der Punkte F und P voraus, die identisch ist mit der bei der zweiten Gruppe der verallg. pos. Fusspunktcurven angenommenen.

Nun ist aber die Enveloppe aller FP unter dieser Voraus- setzung stets mit der ersten neg. Fusspunktcurve der gegebenen Curve ähnlich, da deren (der Enveloppe) erste pos. Fusspunktcurve bezügl. des Centrums O mit der gegebenen Curve ähnlich ist, welch' letzteres Moment sehr leicht nachzuweisen ist, wenn man bemerkt, dass die Winkel FOP alle unter einander gleich sind. Ebenso leicht ist auch der Nachweis herzustellen, dass diese* Enveloppen des weiteren mit den verallg. nog. Fusspunktcurven ähnlich sind. Mithin können wir sagen: „Alle verallg. neg. Fusspunktcurven sind im vorliegendem Falle mit der ersten negat. Fusspunktcurve der gegebenen Curve bezüglich O ähnlich".

Wir gehen nun zu einem andern Falle über:

b) Bahncurve B und Directrix D sind Kreise. Die Punkte F und P bewegen sich auf deren Peripherien mit gegebenen Ge- schwindigkeiten gleichförmig fort. In dem Falle sind offenbar alle Bedingungen erfüllt, insbesondere ist

wenn r den Radius von /?, R den Radius von Z), y die unveränder- liche Winkelgeschwindigkeit von F und endlich r dio unveränder- liche Winkelgeschwindigkeit von P bedeutet Man sieht, dass der

Quotient r entscheidet, ob die auftretenden verallg. Fusspunktcurven

wie auch die Enveloppen der FP(FP*) algebraisch oder transcendent werden, auch wird man leicht bemerken, dass der specielle Fall

zu subsumiren ist unter a). — Es bietet aber gerade dieser letztere Fall bezüglich der Einhüllenden der FP ein bemerkenswertes Re- sultat, wenn wir noch die Beschränkung einführen, dass B und D

ist. Mit Rücksicht hierauf ergibt sich der Satz: „Beschreibt man Ober der Verbindungsstrecke eines Punktes A einer Ellipse mit dem Krüramungsmittel- punkt des diametral gegenüber liegenden als Durchmesser einen Kreis, so be- rührt dieser die Keelhoffsche Curve in dem A entsprechenden Punkte".

ry_

itr

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176 Janisch: Verallgemeinerung des Eni stehungge setze»

concentrisch liegen. (Selbstverständlich müssen die Bewegungen von F und P hier im entgegongesotzen Sinne erfolgen). Wir erlauben uns die nötigen analytischen Entwickclungen , welche die Natur dieser Enveloppe erkennen lassen werden, hier anzufahren:

Wir verlegen den Anfangspunkt unseres rechtwinkligen Coor- dinatensystemes in den gemeinsamen Mittelpunkt der Kreise B und D und leiten von den Lagen

y = 0), P0(*-Ä, y-0)

die angedeutete Bewegung dergestalt ein, dass gleichzeitige Lagen von F und P die Coordinateu haben :

X mm rcosg> i X = fiC03<p\>

y=rsinqpj ' y = — Rs\n<p)

Als Gleichung der Verbindungsgeradeu von F und P erhalten wir dann:

y — r sin <p (i?-f-r) sin q>

a — rcosqp _ ~ (72 rjensrp

oder nach gehöriger Reductiou:

I) (Ä + r) j-sin<p + (Ä— r)yC089 — 7?rsin2<p Durch Differentiation dieser Gleichung nach 9 ergibt sich:

II) (R-{-r)xCOS<p - (R-r)ySiü(p = 2/2»COs2<p

Aus diesen beiden Gleichungen bestimmen sich leicht die Werte von x und y, der Coordinaten des Berührungspunktes der FP:

tt w « 27?r . 2/ft> .

III) x — COS?8, y — ^r^Sinv»

Durch Elimination von q> aus den beiden Gleichungen III) erhalten wir dann die Gleichuug unserer Enveloppe:

2ifr )

welche dieselbe als die Evolute der Ellipse

zu erkennen gibt, — Mit Rücksicht auf dieses Ergebnis» könnte man zu einer Coustruction der Krümmungskreise für Punkte eiuer

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der Fusspunktcurven.

177

Ellipse gelangen *). — Wir gehen hierauf nicht ein, sondern wenden uns sogleich der Untersuchung eines weiteren Specialfalles zu , der dadurch gekennzeichnet ist, dass B und D coincidiren. In dem Fallo werden die Einhüllenden der FP congrueut mit den verallg. neg. Fusspunktcurven. Der Beweis hiefür kann auf folgende Art gegeben werden: In den Fig. 3 sind durchgeheuds zwoi entsprechende Lagen der F, P schlechtweg mit F, P bezeichnet und mit F' der zu F diametral gegenüberliegende Punkt, so dass F'P die der Taugente FP der Enveloppe zugeordneto der verallg. neg. Fussdunktcurvo wird. Ferner hat mau A' als als jenen Punkt auzusehen, in welchen die Anfangslagen F0, P0 vereinigt sind. Demnach kann man für das Verhältuiss der Winkel FOX — p, POX => y setzen :

* - p - *(const)

Wir stellen uns nun die Aufgabe einen Punkt X' auf dorn Kreise derart zu bestimmen, dass das Verhältuiss der Winkel F'OX =■ q>\ a>'

POX' =• y' : auch gleich l- wird. Es ist leicht abzusehen , zu v

welchem Zwecke dios geschieht. Stellt sich nämlich heraus, dass der für Winkel X'OX— 5 sich ergebende Wert blos von k abhängig ist, dann kann die Enveloppe der F'P analog zu Stande gebracht werden, wie die der FP uud ist folglich mit derselben congrueut, w. z. b. w. Dies ist aber tatsächlich der Fall, denn man fiudet für

gleichgerichtete Bewegung der Punkte P: wenn * - k < 1, (Fig. 3a):

1—2* *~ 1-**

J - k > 1, (Fig. 3b):

1) In Herrn Dr. K. Schwcring's Schrift: „Theorie und Anwendungen der Liniencoordinaten etc. Leipzig 1834". befindet sich anf S. 77, Art. 94 eine analytische Untersuchung der „Enveloppen aller FP*, wenn B und D

concentrische Kreise sind, für den allgemeinen Fall beliebig^, welche das

bemerkenswerte Resultat liefert, dass deren Brennpunkte aequidistant auf einem mit B und D concentriseben Kreise gelagert sind. Es wird dann auch der Fall in Betracht gexogen, dass die beiden Kreise zusammen fallen, und mit Zuhilfenahme des Imaginären sagar eine allgemeine Gleichung dieser Enveloppe hergestellt, ohne dass gesagt wird, dass dieselben mit den Cykloiden identisch sind. Wir werden dies weiter unten nachweisen.

Area. d. Math. n. Phy«. 2. R«ihe, T. VfH. 12

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178

Janitch: Verallgemeinerung des Entiitehungsgesetxe§

.. 2t -3

und für entgegengesetzt gerichtete Bewegung derselben:

wenn ? - k < 1, (Fig. 3c):

(Fig. 3d):

1

1

Die Ableitung des eiueu oder des auderen dieser Ausdrücke geht sehr einfach von Statten. Es sei uns gestattet die vollständige Rechnung blos für Fig. 3a hier anzuführen. Wir entnehmen dieser Fig.:

q>' = n — <p — £, t// — 2n — — £

2 — « — y — I

V 2* — • ^ — |

und hieraus §:

2<p— v 2Jfc — 1

Ebenso ergeben sich die Werte von 5 für die anderen Fälle. — Wir ziehen aus diesen Resultaten vorläufig keine Consequcnzen, sondern untersuchen jetzt, mit was für Curven wir es eigentlich zu tun haben.

Nehmen wir an, in den Fig. 3 bedeute OX die pos. Richtung der Abscissenaxc und es sei <p = pt> , y = q&, wobei p stets pos., q aber pos. oder neg. sein mag, so haben wir:

x Q COS p& \ x Q COS q& |

y =« psin j y — p sin )

Die Verbindungslinie FP erhält also die Gleichung:

y — q sin j>fr sin p& — sin g#

X—Q C,OSp& COS^tf — COSq&

oder

a-(siup^ — sing*) — y(cosj)# — cosgfr) — psiu(j) — q)&

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der Fu8*f>u»lteurvrn. 179

Diese Gleichung nach & diflerentiirt gibt:

II) „inP±*#_s,C08P±«# = e£-F»Si„^*

also bekommen wir für die Coordinaten des Berührungspunktes FP die Werte:

P+9

p cos </# -f- 7 cos p&

p-\-q

HD

, = p(sin^,.cos^.- ^cos^.sin^^)

psinr/tf-f-gsiupfr

Es seien nun p und q pos., p > 7. Setzen wir iu den Gl. III):

;r+i«-Ä+r' ;7-ft^r' «*-w» also p»-Rtr»

(* - R+ -V)

dann erhalten wir

lila) ' (

y « (/*-{-»•) sin w-|-rsiu a \

d. s. die Gleichungen einer Epicykloide, welche durch Wälzung des Kreises mit dem Radius r auf dem mit dem Radius Ii zu Staude kommt. — Dieselben Gleichungen hätten wir gefunden, wenn q"^>p angenommen worden wäre, uud wir

ff-p ff-q 9 - r, ,.9 - q» - K+r<»

substituirt hätten. — Anders gestaltet sich die Sache, wenn q negativ vorausgesetzt wird; die Gl. III) können dann geschrieben werden :

pCOSqfr — qCOSpd

x — p

III')

— psingft — qsinpft und, wenn nun gesetzt wird (p > g):

12»

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180 Jan iah: Verallgemeinerung des Entstehungsgesetze$

p ü R — r — — Q — Jl— r, 9 =s r, q& — w, t>£ — 0)

(p-i^r) dann ergeben sich die Ausdrücke:

sc = (Ä— r)C0S(0 — rC08^-^w i Ill'a) r V

y _ _ (j?— r)sm a — r sin — — a l

welche erkennen lassen, dass wir eine Ilypocykloide vorliegen haben, die durch Wälzung eines Kreises vom Radius r auf einem Kreise vom Radius R entstehen kann »). — Dass das Resultat einer ana- logen Substitution für den Fall p < q wieder Gleichungen einer Ilypocykloide gibt, ist vorauszusehen; wir brauchen wol anf das Nähere nicht mehr eingehen.

Interessant wäre es zu erfahren, ob nicht unter Umständen die finveloppe der FP mit der verallg. neg. Fusspunktcurve zur Coin- cidenz kommt. Um hierüber Aufschluss zu bekommen, müssen wir die Werte für $ heranziehen. Es wird dies offenbar dann eintreten, wenn die Gleichung

+ 2m»

erfüllt ist, unter q> den Winkel FOX verstanden , unter F einen Punkt der mit dem ihm entsprechenden F in X 1 zusammenfällt, und endlich unter m eine ganze Zahl. — Die dies bezüglichen Untersuch- ungen müssen für die durch die vier Fig. 3 veranschaulichten Fälle für die ersten zwei für jeden separat und könneu für die übrigen zwei für beide zugleich durchgeführt werden.

(Fig. 3a). In dem Falle [findet zwischen q> und ^ (W. ~FOX) die Beziehung statt:

^ — g> + 2«»

(n ganz), woraus folgt, da

V — I «P »st:

1) Wir hatten auch setzen können:

(2r'-*-e)

und wftnlcn dann allerdings ein anderes Gleich ungssystem Ill'a) bekommen haben, Dasselbe hatte aber nichtsdestoweniger dieselbe Ilypocykloide definirt, da ja r-J- r' = R ist.

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d«r Fus$punktcurvtn.

181

Dieser Wert, sowie der für g

1 — 2k

eingeführt in gibt:

hieraus :

IHK 1 i5K _

2m — 1

g 2(»»Hhn— 1) ~~ Ä+r eine Grösse, die tatsächlich für ganzzahlige m und n stets kleiner als 1 bleibt. Man sieht, dass das Verhältniss - gleich dem einer

kleineren ungeraden zu einer grösseren geraden Zahl sein musi, und dass ferner], da man findet

r 2m-f-l Ä 2n — 1

das Verhältniss des Radius des rollenden Kreises zum Radius des Grundkreises der entsprechenden Epicykloide gleich dem zweier un- gerader Zahlen ist (Beispiel: p — 1, q — 2; m •» 1, n = l, £ — 0; Kardioide).

(Fig. 3b). Hier ist

~~j = y-f 2nn 2nk

und

folgt

- . t 2nk , 2k -3

ja 2m — 3 Ä-f r

* " 5 ™ 2(m-n — 1) " r

welcher Ausdruck auch keinen Widerspruch birgt, daher kann in dem Falle die fragliche Coincidenz gleichfalls stattfinden, und zwar

geschieht dies dann, wenn das Verhältniss ^ gleich ist dem einer

grösseren ungeraden zu einer kleineren geraden Zahl, und die Epi- cykloiden die hier auftreten sind dadurch charakterisirt, dass das Verhältniss des Radius des rollenden zu dem des festen Kreises

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182 Janiich: Verallgemeinerung des Entstehungsgesetzes

gleich sein muss dem einer geraden zu einer ungeraden Zahl, denn man bekommt

r 2(m - n — 1 ) R ~~ 2n — 1

(Fig. 3c, 3d). Man hat in diesen beiden Fällen:

demnach rcsultirt für <p und somit wird:

— 2n* 1

»+i-i+-i» + iqri--a-r

und

k p 2m — 1 R — r ^ r* </ 2(»— m) r R — r

ein Ausdruck, welcher sowol grössere, wie auch kleinere Werte als 1 annehmen kann. Es ist also die Coincidcnz in beiden Fällen

möglich und zwar dann , wenn das Vcrhältniss ^ gleich kommt dem

Verhältnis einer ungeraden zu einer geraden Zahl. Bezüglich der Art der Uypocykloiden ist hier auch eine Beschränkung zu verzeich- nen, denn man findet:

r 2(n — m) r 2m— 1 R ~ 2n — 1 ' R~ 2«-l

mithin sind diejenigen ausgeschlossen, bei welchen das Vcrhältniss des Radius des rollenden zum Radius des stabilen Kreises gleich kommt dem einer ungeraden zu einer geraden Zahl, was übrigens

schon aus dem Ausdruck für - ersichtlich ist.

Die Ergebnisse dieser Untersuchungen berücksichtigend, können wir ungezwungen zu folgenden beiden, die hier aufgetretenen, spe- ciellcn Cykloiden betreffenden Sätzen gelangeu:

,,Ein Teil des geometr. Ortes aller Schnittpunkte von zu ein- ander senkrechten Tangenten an eine dieser Cykloiden ist deren In- boz. Umkreis44.

„Jede dieser Epi- oder Hypocykloiden ist die Enveloppe von mit ihr concentr. Ellipsen oder Hyperbeln, deren Hauptaxe constant = dem Durchmesser des Um- oder Inkreises derselben und deren Brennpunkt die Cykloide durchläuft14.

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der Fusspunlctcttrvtn,

183

Hiermit wollen wir mit dem sehr dankbaren Fall b) abschliessen und nur noch kurz eines weiteren gedenken:

c) Bahncurvo B und Directrix D sind ähnliche ein- oder mehr- fach schief-symmetrische Curven (kliuogr. oder axonometr. Projoctio- nen orthogonal symmetr. Curven). F und V sind zugeordnete Punkte, wenn der bezüglich einer bestimmten Symmetrale symmetrisch zu F gelegene Puakt Fl dem Punkt P homolog ist Für das Verhältniss

* dm dm dm' d* dm' ' dt

wo dm' das Bogenelement bei F' bedeutet, erhalten wir

dm FT tU " F'T'

wenn wir mit '/' den auf der entsprechenden Symmetrale gelegenen Schnittpunkt der Tangenten in F und F' an die B bezeichnen und unter k das Verhältniss homologer Sehnen der B und D verstehen wollen. Um alle Fälle zu erschöpfen, müssen wir die Zuordnung aber noch allgemeiner gestalten. Wir müssen nämlich zwei Sym- metralen #n »t herausgreifen und zu einem angenommenen Punkt F den bezüglich #, symmetrischen Fi und zu diesem den bezüglich *, symmetrischen F9 ermitteln. Zuletzt zu F% den homologen Punkt P der D. Wenn wir dann bezeichnen mit 5T, J, die beziehungsweise auf #, , #, gelegenen Schnittpunkte der Tangenten in F und Ft , Ft

und Fs, so haben wir für

dm dm dnix dm^ FT F\7\

d* ~ dmi ' dmt * ds ■S■F1^,F>^1•

unter dmt , rfm, , die Bogenclemente in Ft , Ft verstanden und unter k dasselbe wie oben.

Auch hier wird der Fall besonders hervorzuheben sein, dass k = 1 ist, die Curven B und D mithin congruent sind, in welchem Falle man noch weiter specialisiren kann, indem man dieselben zu- sammenfallen lässt. In's Detail gehen wir, des geringon Interesses dieser Curvon wogen, aber nicht mehr ein.

Wien, im Januar 1889.

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184

Janisch: Zur sphärischen Schltißnlinic.

m

Zur sphärischen Schleifenlinie.

Von

Eduard Janisch.

Herr Professor Schiffaer hat im 5. Teil der zweiten Reihe dieses Archivs interessante Untersuchungen mitgeteilt über eine Cnrve — die sphärische Schleifenlinie — , welche mich auch bereits vor län- gerer Zeit beschäftigte. Ich fand dieso Curve ursprünglich als Ort aller jeuer Punkte der (kugelförmigen) Erdoberfläche, deren geogra- phische Läuge gleich ist der geographischen Breite, oder allgemeiner, deren geographische Länge um eine constante Grösse von der geo- graphischen Breite differirt.

Bezüglich der Curve selbst können wir nicht viel mehr bemerken, wol aber werden wir im Folgenden uns eingehender mit geometr. Gebilden beschäftigen, welche mit dieser Schleifenlinio in gewisser Beziehung stehen.

Wählen wir die Erdachse zur z- Achse, die Ebene des Aequators zur ary-Ebene und die Ebene des Anfangsmeridians zur xz-Ebene, dann müssen wir einem Punkte F, dessen geogr. Länge k = der geogr. Breite q> (A — q> = ?*) ist, die Coordinaten zuweisen:

jr «=* rCOS2u, y = rsinuCOS«, z = rsinu

wo r den Erdradius bedeutet. — In der citirten Abhandlung des Herrn Prof. Schiffuer ist nun unter anderem gezeigt, dass die ste- reogr. Projection der Schleifenlinie aus deren reellem Doppelpunkte (x «= r, y «~ 0, z = 0) eine gleichseitige Hyperbel mit der Achse 2r

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Jan i »eh: Zur »phärüchen Schlei/enlmü. 185

wird. Hieran anknüpfend erwähnen wir, dass auch noch für die Projectionscentra (* =- 0, y - 0, * - ±r), (*- — r, y -0, * - 0) bekannte Curven als Projectionen auftreten.

Leiten wir zunächst die Gleichung der Projection aus dem Cen- trum (z — — r, y — 0, a — 0) ab. Wir finden als Gleichungen der Verbindungslinie eines Curvenpunktes P mit diesem Centrum:

sinucosu... , x . sinu .

Also sind für die Coordinaten des Schnittpunktes v derselben mit der ya-Ebene zu setzen:

sinucosu sinu l 0, r? - r 1 + CQgV C - r j + co8>u

und mithin werden wir die Gleichung des Ortes der 77, das ist die der gesuchten Projection der Schleifenlinie, erhalten durch Elimi- nation von u aus:

f' = cosu, W-r»^^

Wir finden leicht:

«•+,»)■ = .-««•

die Gleichung einer Lemniskate des Bernoulli

Für (* — 0, y — 0, a — ±r) als Projectionscentrum bekommen wir dagegen einej Strophoide. Wir haben in dem Falle als Glei- chuugen der Verbindungslinie des Projectionscentrums mit einem Curvenpunkte anzusetzen:

cos'u . sinucosu . .

£ — - -=-^(tZfr), « — - (£^-r), § = *jcotu

* sinu4-lv*^ " 1 8in u^p " '

und als Coordinaten des Schnittpunktes Tl desselben mit der xy-Ebene:

cos'u sinucosu * ~ 8inu^l' 1 T sinu^r *

Für £ kann auch geschrieben werden:

§ - ±r(sinu±l) - r(l£sinu)

Hieraus folgt für sinu:

sinu-±^~r

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186

Janiseh: Zur »phärtMchen Schleif tnlinit.

Mit Berücksichtigung dieses Wertes und dor Beziehung £ — rj cot u resultirt dann für cosh:

. £ $— r C08M-+ .— — V r

und wir erhalten endlich durch Substitution in sin*« +008*1* — 1 oder entwickelt:

Hierin den Factor £ unterdrückt und 17* isolirt gibt:

die Gleichung einer Strophoide, deren Doppelpunkt dio Coordinatcn (4 — r, 1? — 0) und deren Asymptote dio Gleichung g — 2r hat ").

Soviel wollten wir noch bezüglich der Schleifenliuie selbst be- merken. — Was nun des weiteren folgen wird, betrifft einfache Schnitt- und Durchdriugungscurven 1) jenes Kegels A', der die Schlei- fcnlinie enthält und seine Spitze im Anfangspunkt der Coordinatcn bat, und 2) jener geraden Konoide, die eine der Coordinatonachsen zu Achsen haben, und auf deren Oberfläche diese Curve ebenfalls zu liegen kommt.

Gemäss der Definition des Kegels K können wir eino beliebige Erzeugende desselben darstellen durch die Gleichungen:

fi — £.tgU, 1} — £. cosu

Hieraus folgt sogleich:

sinu |j

und wir haben daher:

1) Mit Hilfe einer Karto der Planiglubicn, die sich in jedem Atlas vor- findet, kann man sich dieses, wie das vorhergehende Resultat leicht veran- schaulichen. Verbinden wir nämlich beispielsweise ('auf der Hauptkarte) die Punkte, deren geogr. Coordinatcn sind: (90° w. L., 0° Br.) , 100° w. L„ 10 n. Br.), ... (170« w. L., 80° n. Br.), (180° w. L-, 90° n, Br.), (10« w. L., 80° n. Br.), . . . (80° w. L., 10° Br.), (90° w. L., 0* Br.), (100° w. L., 10° s. Br.), .. . etc., so erhalten wir eine Lemniskat«. — Verbinden wir aber ron diesen Punkten , etwa die auf der nördl. Halbkugel gelegenen, in dem einen Nebcnklrtcben, welches eben diese Erdhalfte in stereogr. Polar- projection dargestellt, so ergibt sich die Schleife einer Strophoide.

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Janisoh: Zur sphärischen SchUifwlini*. 187 8in*tt + C08*w - ^-f- £ — 1

als Gleichung dieses Kegols. Selbe gibt geordnet: rfp+tf^pp oder

Setzen wir hierin £ = 6, so erhalten wir:

die Gleichung eines in der Höhe £ — <5 zur xy-Ebene parallel ge- führten Schnittes. Durch Einführung der Polarcoordinaten p, 9 mittels der Relationen | — ^cosy, »7 — 9 sin 9» nimmt jene Gleichung die einfache Gestalt an:

t = ± dcosf

welche eine leichto Construction einzelner Punkte der Curvo an dio Hand gibt — Für ? «= 0 wird p = od und y — q sin 9 = ± 6*, so dass dio Geraden ^ = ± ö Asymptoten der Curve siud.

Für <p = * wird q gerade — ±5 und endlich für <p — ^ er- gibt sich:

was besagt, dass die Curve im Ursprung (der ein Doppelpunkt ist) die Ordinatenaxo berührt. Wir fanden, dass diese Curve identisch ist mit der Subtangentcn-Ordinaten-Curve des Kreises x*-f-y* = ö*.

Ist nämlich § — <'(Subtang.) — - und v — y y ein Punkt des

x

Kreises), so ergibt sich zunächst:

i

und nach Substitution dieses Wertes für x und des für y(— rj) in **+y«=ö-»: ^

|f- + ^ - o» oder i^-fV)

als Gleichung der Subtangenten-Ordinatcncurve des obigen Kreises, welche Gleichung übereinstimmt mit der für den 8chnitt unseres Kegels.

Führen wir in der Gleichung: ein rj -=> i, so erhalten wir:

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188

Janitch: Zur »phäriscken Schltifenlinie.

als analyt. Aeqnivalent des Schnittes einer in der Entfernung rj=z6 znr £«-Ebeno parallel gelogten Ebene. Diese Schnittcurve hat za Asymptoten: Die Achse der £ und die beiden Geraden £ «=> ± o\ Sie passirt die Achse der l nicht, folglich besteht sie aus vier zu den Coordinatenachsen symmetrisch gelegenen, getrennten Aestcn, deren jeder diesen Achsen die convexo Seite zukehrt. — Suchen wir diejenigen Punkte, in welchen die Tangonten an die Curve unter

j- gegen die Ox geneigt sind. Verbinden wir zu dem Zwecke ihre

Gleichung mit der eines Kreises um O mit dem Radius so haben wir nach Elimination von ? aus den beiden so sich bietenden Glei- chungen:

6* - - E» - <$*) oder ? — (q* - 6*)$* = — öl

woraus wir für die Abscissen der diesen zwei Curven gemeinsamen Punkte gewinnen:

Ist also

— <5*

4

i*-0

dann berührt der Kreis unsere Cnrve in den vier symmetrisch ge- legenen Punkten, in welchen die Tangenten die verlangte Eigenschaft haben, und wir bekommen für deren Abscissen:

und für die Applicaten:

Untersuchen wir endlich noch die Schnittcurve einer zur y*- Ebene in der Entfernung | — d parallel gelegten Ebene. Diese Curve bekommt die Gleichung:

Derselben kann vor allem entnommen werden, dass die Curve durch den Ursprung zweimal hindurchgeht. Um die Richtungen der beiden Tangenten in diesem Doppelpunkte zu erfahren, substituiren wir £ — Ar] und erhalten so:

d. i. für n = 0

A = ±l

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Janisch: Zur »qharitchen Schleifenlinie.

189

Somit sind die beiden Tangenten im Ursprung unter je 45° gegen die Achsen der 17 und f geneigt Im übrigen bemerkt man noch leicht, dass die Curve überall der Achse der 17 die convexc Seite zuwendet, und dass sie sich ins Unendliche erstreckt ohne Asymp- toten zu besitzen.

Nachdem wir jetzt die einfachsten, ebenen Schnitte erledigt haben, möchten wir uns erlauben complicirtere heranzuziehen: näm- lich Schnitte projicirender Ebenen, da auch diese Fälle einiges Be- merkenswerte liefern. Und zwar wollen wir da zuerst eine gruud- rissprojic. Ebene E wählen, die durch den Punkt ({ = ^=-0, C— 0) geht. Dieselbe habe die Gleichung

Die Projection von deren Schnittcurve mit dem Kegel auf die Ebene wird dann gegeben sein durch

i*? - a'(4 -6)* [5* +«*($- (1)

Dieser Gleichung kann sofort entnommen werden, dass selbe Pro- jection im Punkte £ = fl, f = 0 einen Doppelpunkt hat, ferner dass die C- Achse Asymptote ist Differentiiren wir die Gleichung, so er- halten wir:

also für t

Dieser Ausdruck verschwindet, wenn

^«-w+^-W)+«--VB4-«a*«3i - «■ (3)

Eliminiren wir aus der soeben erhaltenen Bedingungsgleichung und der Curvengleichung J* dann finden wir

oder nach einiger Reduction

a*ß _ d)> - $«+ 2a«5 ß - a>«

* - ~ «-«)•«+ 5 (4)

woraus sich endlich ergibt

( 1 + a*)i »- a* 6 1» - a* Ö*S + a* - 0 (5)

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190

Janisch: Zur sphärischen Schlei/enlinic.

eine Gleichung in £, deren einzige reelle Wurzel die gemeinsame Ab8cis8e des höchsten und tiefsten Punktes unserer Projectionscurve liefert.

Eliminiren wir aus (1) und (4) ... a* ... so erhalten wir

w— &[*-*&]

Nach gehöriger Zusammenziehnng und Kürzung

das ist die Gleichung jener Curve, auf der die höchsten und tiefsten Punkte aller jener Curven (1) zu liegen kommen, welche durch Variation von a, durch Drehung von »/ — a(£ — 6) um (£ = <$, »7 = 0) zu Stande gebracht werden. Wollen wir erfahren, welche Punkte des Kegels auf die Ebene der projicirt werden müssen, um die Curve (6) zu erhalten, so können wir hierauf die Antwort auf mehrfache Weise erhalten, am einfachsten dadurch, dass wir in (4) an die

Stelle TOB . setzen Es «gibt sie. auf die Art

- - jfj (7)

eine Bedingung, an welche die Ordinaten und Abscissen jener Kegel- punkte geknüpft sind, — nichts audres als die Gleichung ihres Grundrisses, einer gewöhnlichen Cissoide, deren Spitze im Ursprung liegt, und deren Asymptote die Gerade £ — — ö ist. Dieses Ergeb- niss wird man zweckmässig bei einer graphischen Lösung der Auf- gabe: die höchsten und tiefsten Punkte unserer Curve zu suchen — entsprechend verwerten. Wir halten uns dabei nicht auf, sondern gehen gleich daran die Richtung der Taugenten im Doppelpunkte ($ ■=» d, £ =■ 0) zu ermitteln. Wir köunen zu dem Ende nach der bekannten Regel für die Auswertung der unbestimmten Form J Zähler uud Neuuer des Ausdrucks (2) für £' differentiiren und iindeu so, wenn wir gleich $ — £ —■ 0 oinführeu:

also

f - ± a (8)

Nun bleibt uns noch die Frage nach den Asymptoten zu erledigen. Wir haben bereits die Achse der £ als Asymptote erkannt. Um die übrigen zwei zu bestimmen, die zweifellos vorhanden sind, setzen

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Janitch: Zur sphärischen SchUifenlim«. 191

wir in der Curvengleichung (1) £ — Ä$ und bekommen , wenn wir gleich anf der linken und rechten Seite durch £4 dividiren

.-..(.-ÖV-(.-!)l

also für £ — <»

A - a Y IT^» (9)

Substituten wir nnn so resultirt

- a«ß* + 5(6 - 8g)] [{»(1 + «») + «*<$(*- 25)] Dies ausmultiplicirt gibt:

- o8<Jl^(l + a*)(<J-2i)-f a*i»(d-2|)4-aM(a-2|)]

und wenn wir uns durch S* hierin durcligehends dividirt denken und und hernach § — <x eingeführt voraussetzen, dann hat man

2Äa V f+ o* 2a8 «5(1 -f 2«*)

also

a yr+? ' <10)

so dass die beiden Asymptoten die Gleichung haben

t - ±« yrr? [*- 3 ]

Die Construction derselben kann auf folgende Weise vorgenommen werden: Man lege durch die Spitze des Kegels K eine Ebene t parallel zu uuserer Schnittebene E\ bestimme, die in t gelegeneu Erzeugenden Ar,, L£ und die längs derselben tangirenden Ebenen t„ t, mit Hilfe der Schleifenlinie Die Schnittlinien von t,, r2 mit E geben dann bekanntlich projicirt die gesuchten Asymptoteu. — Sollte der freundliche Leser versuchen die Curve darzustellen, so

möge er 6 — 2 bis 3 cm annehmen und a Vf fa — tgo = tg SY

In dem speciellen Falle ist der aus Gleichung (5) sich ergebende

Wert für £ — ^ und die zugehörigen f — ±oV3. Ferner wird die

Gleichung der Asymptoten

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192

Ja nisch: Zur sphärischen Schlei/enlinic.

Aus der Figur dieser Curve wird ersichtlich sein, dass zu einem ausgiebigen posit. Werte von £ zwei zur gg' symmetr. Wendepunkte gehören, was nicht nur für a «- Vi, sondern allgemein gilt. Da die Bestimmung derselben aber auf eine zu weitläufige Rechnuug führt, so glauben wir hiervon absehen zu dürfen.

Wir gehen dader gleich über zur Untersuchung des Schnittes einer aufrissprojicirenden Ebene E mit der Gleichung £ — a('i — ö). Die Gleichung von dessen Grundriss wird sein

«»«-V 0)

Derselben entnimmt man, dass diese Projectionscurve den Ursprung und ebenso den Punkt (£ — d, t; = 0) zu Doppelpunkten hat, und ferner auch noch, dass die tj-Acbse die Tangente im ersteren Dop- pclpunkt ist, so dass in diesem Punkte zwei Aeste der Curve sich berühren. Um die Richtung der beiden Tangenten im zweiten Dop- pelpunkt zu erfahren, können wir wie folgt vorgehou. Wir setzen in (1) rj — A(1;-~d) und bekommen nach Unterdrückung von (£— ö)*

a*& = A>[P+Am-t)*] (2)

eine Gleichung, welche durch die Abscisscn der beiden noch übrigen Schnittpunkte der Geraden y — A(£ — &) mit der Curve (1) erfüllt wird. Soll aber diese Gerade in Q = o", fj = 0) tangiren, dann muss Gleichung (2) für £ = d bestehen, was nur seiu kann, wenn ^ = ±a ist. Mithin sind die beiden Tangenten in dem Dop- pelpunkte gegeben durch

n = ±*ß-*) (3)

Differentiircn wir (1) nach I, so erhalten wir und hieraus

, _ £ a»(g-3)(2:;--J)-y

* - v (4)

if verschwindet, wenn

ist Setzen wir diesen Wert für tj* in (1) ein, so ergibt sich eine Glei- chung in |, deren einzige, reelle, zwischen 0 und -)- ^ gelegeneWur-

zel die Abscisse des höchsten uud tiefsten Punktes liefert. Selbe Gleichung lautet:

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Janitch: Zur tpharitcheti Schleif enhnif. 193

a*l\Z- = a«a-a)(2f-a)u«+a»a-6)(2t-a)]

nach Kürzung:

- d) = (2* - *) B« + a» (| - a) (21 - «)]

oder o* isolirt

a,s=!""(l-a)(2s*-ä)» (5)

oder endlich nach fallenden Potenzen von § geordnet

(l+4a*)S8-8a«tf*+5aM*-a«<5* - 0 (6) Nehmen wir den Wert von a2 aus (5) und setzen deuselben ein in

«*-<.<<f-a)(25_a)

so resaltirt

Die Gleichung des Ortes der höchsten und tiefsten Punkte der Grundris8projectionen aller Scunittcurven, die durch Drehung von E um :.- ■• <3 . £ = 0) zn Stande kommen. Dieser Ort ist eine ellip- tische Cissoide, wie aus folgendem hervorgeht Es sei die Gleichung einer Ellipse

mr n*

oder

in Polarcoordinaten

p(n8cosV+^*8inV) = 2mn*C09gp

Ziehen wir durch O, den Ursprung, eine beliebige Gerado unter dem Winkel q> gegen die Polarachse geneigt, welche die Ellipse zum zweiten Mal in P und die Gerado £ = 2m in Q trifft, so hat der P entsprechende Punkt der elliptischen Cissoide die Polarcoordinaten

9und o~OQ-ol>-^~-9

Die Polargleichung dieser Cissoide wird sich demgemäss aus der für die Ellipse ergeben, wenn wir hierin einführen

2m

Q — O

r cos <p

wodurch wir erhalten:

(2m — acosq^Ct^cosV+w'sinV) _ 2mn*cos*9 Durch Wiedereinführung der cartes. Coordinaten resultirt:

Area, d. Math. u. Pbja. 2. Kalb«, T. VIII. 13

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194 Janisch: Zur sphärischen Schlei ftnlinie.

(2m - 0 (»*|*+ mV) - 2m »*|* oder nach Isolirung von 17*:

V* - ^ (8)

Vergleichen wir diese Gleichung mit (7), so finden wir, dass sie mi t derselben identisch wird, wenn

—5- = 0 und = 2

also

m « „ — - VJ

ist. Aus diesen Resultaten ersehen wir, dass unsere Curve tatsäch- lich eine Cissoide ist, uud zwar die einer Ellipse, bei welcher die kleine Achse gleiche Grösse mit der Exccntricitat hat —

Um dio Asymptoten der Curve (1) zu erhalten, setzen wir in deren Gleichung

n = a%

a

also für 5 — 00 woraus sich ergibt ')

dividiren beiderseits durch £4 und bekommen

a*-A*+A*

1) Wahlen wir für a der Reihe nach Werte, welche bewirken, dass

VT+ 4a* = 3, 5, 7, . . . wird, so ergibt sich folgendes Schema

Vl+4at* = 3; - V2\ At — VI — al=-AlAt

Vl-f4a2» =- 5; at = V6; At= V2 — c^^AtA3

1/1+4^ = 7; a3-V12; ^s = V'3 -a3 = i48^4

Vl-H«a8 = 9; a4 =» V20; >44 = V4 -a4 = A<A&

etc.

Man ersieht hieraus, dass, wenn o die Quadratwurzel aus einer Barlong'schen Zahl ist, A = der Quadratwurzel aus dem entsprechenden Gliede der natür- lichen Zahlenreihe wird.

(a = V »(«+!), A = V«)

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Janisch : Zur sphärischen SchlcifenUnie. \ 05

Führen wir nun in (1) ein

^ = £ yi+4a* + *

dann haben wir:

- *)* - [tf*(- 1 + Vi-R^) + *m y^-i-j-yi-fl^

Dies teilweise ausmultiplicirt liefert: nach Division mit £s:

woraus für £ =» «> gefunden wird :

B — — = °* — ==^-d (lü)

Vi + 4a*. VH— l + Vl + 4aO Mithin haben die beiden Asymptoten die Gleichung

V = ± ^4 (- l"+ Vl+4«*) I? - d 4<i* I (11)

Aus dieser ersehen wir, dass der (natürlich in die Abscissenachse fallende) Schnitt derselben stets zwischen die Punkte — *

und — dy rj — 0) zu liegen kommt, also in die zweite Hälfte der Strecke von g — 0 bis 4 — , während , wie wir schon früher be- merkten (was erst aus Gl. (7) hervorgeht) die Projection der höch- sten und tiefsten Puukte auf die Achse der £ im Gegensatze hierzu stets in der ersten Hälfte, zwischen den Puukten (f — 0, ij — 0),

^£ — 2* 1 ~ enthalten ist.

Das bisher Gesagte genügt, um uns von der Gestalt der Curve eine richtige Vorstellung zu bilden. Es gilt diesbezüglich folgen- des: 1) Die Puukte für die negat. £ gehören einem Aste derselben an, der überall der Abscissenachse die hohle Seite zukehrt, ferner 2) Es formiren die Curvenpunkte für die £ von £ = 0 bis ss ö eine Schlinge und dann endlich 3) Es wendet die Curve in ihrem

13*

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196

J attisch: Zur sphärischen Schleifenlinie.

weiteren Verlaufe anfangs der Abscissenachse die gewölbte und später bis ins Unendliche wieder die bohle Seite zu, so dass in dem letzteren Bezirke zwei , selbstverständlich bezüglich der Achse der 'i symmetrisch gelegene Inflexionspunkte auftreten müssen. Die Berechnung derselben, die auf erhebliche Weitläufigkeiten führt, sei ans erlassen.

Wir gelangen nun zur Untersuchung der Schnittcurve einer kreazrissprojicirenden Ebene: £ = a(ij — 6). Die Gleichung der Pro- jection derselben auf die Ebene der £, tj lautet

^Kt-W-iW+rt (i)

Diese Curve enthält den Ursprung als Doppelpunkt und berührt in in demselben sich selbst längs der Ordinatenachse; denn setzt man in (1) ti = so findet man :

^VU-f A*) - a*(i4* -i)»

welcher Ausdruck für § = 0 nur für A — od bestehen kann. — Isoliren wir in Gl. (1) £*, dann ergibt sich:

eiue zweite Form der Gleichung der Projectionscurve , aus der zu ersehen ist, dass diese Curve zwei zur £-Acbs3 parallele Asymptoten besitzt, deren Gleichungen sind:

n=~i', 1=^5* <2>

Man bemerkt leicht, dass dieselben zu beiden Seiten der Abscissen- achse zu liegeu kommen, wenn (ohne Rücksicht auf das Zeichen) a < 1 ist, während im Gegenfalle (a > 1) beide auf derselben Seite sich vorfinden. Endlich coiucidirt für die ganz specielle Anuahme o = ±l die eine mit der uuendlich weiten Geraden und die andre erhält die Gleichung »/ = Jfl. — Untersuchen wir nun, ob es nicht auch schiefgorichtete Asymptoten gibt. Setzen wir zu dem Ende in (P) $ = Ai}. Wir erhalten dann:

A* =

woraus für t\ — oo hervorgeht:

4 - ± Y&Ti (3>

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Janitch: Zur sphärischen SchUifenlinie.

197

Hierauf gesetzt

gibt:

»7

«» - 1 + y^Ti + * ~ - *)» - -«

nach Wegschaffung der Brüche

Dies zum Teile redueirt, gibt weiters:

B[2rj + 5] [(a* - - 2a»fy+a» - a*dy(2ij - ^) = 0

und hieraus folgt endlich, wenn durch r/s dividirt und hernach t\— od eingeführt wird:

Somit haben die beiden noch übrigen Asymptoten die Gleichung oder auf eine andro Form gebracht

n=±g V^l-^-i« (5')

Man sieht, dass dieselben nur dann reell sind, wenn a* > 1 vor- ausgesetzt wird, was auch geometrisch evident ist. Ferner bemerkt man , dass für den Grenzfall a* = 1 dieselben mit der unendlich weiten Geraden coincidiren. — Aus all dem, was wir bisher bezüg- lich der in Betrachtung stehenden Curve gefunden haben, erhellt zur Genüge, dass die absolute Grösse von a deren Gestalt wesentlich beeinflusst. Es wird sich dies noch weiters bestätigen, wenn wir untersuchen, ob nicht ausser dem Ursprung andere Punkte existiren, in welchen die Tangenten parallel zur ^-Achsc sind. — Wir be- stimmen zu dem Bchufe

_ 2irta«(i? - 0-)»- 17'! ~ V* [«'(17- g - >?]

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198

Janisch: Zur sphärischen Schlei fenlinie.

i' wird 0, wenn die Bedingungsglcichung erfüllt ist:

welche auch geschrieben werden kann:

rf{a* _ 1) _ 3a» örj + 2a* <J> = 0 (7 ')

Diese Gleichung gibt aufgelöst :

3a*ö ad ,— — ; — -

«M « 2(«^-=T) ± 2(«* - f) Va + 8 (8)

die Werte der Ordinaten der vou uns gesuchten Punkte. Es sind diese beiden Werte positiv und ist der kleinere derselben bereits

> (a ohno Zeichen zu nehmen), woraus schon hervorgeht,

dass für a* < 1 die zugehörigen tvl imaginär werden, also in dem Falle derlei Punkte nicht bestehen. Das letztere gilt auch fttr a* = l; hingegen ergebon sich, wenn «* > 1, zwei zur 17-Achsc symmetr. für den grösseren der Werte »y^, da sich von diesem leicht nachweisen

lässt, dass er nicht nur > -^rr, sondern auch > t ist, wäh-

a -j- 1 a — l

ad

rend der klciuero unter —? bleibt und daher zu koinem reellen

a — 1

Punkte führen kaun *). Eine Bestätigung werden diese

1) Die Behauptung, dass der kleinere der Werte ij,^ in dem gekenn-

aö

zeichneten Falle (« > 1) unter — _ - bleibt, llsst sieh auf folgende Art beweisen. Man setze

V2(a* — 1) - *

dem augenscheinlich kleinerem Werte. Damit diese Annahme besteht, must

offenbar

v •= 2 — a-fVa^-j-S sein, welcher Wert für a > 1 stets positiv ausfallt, und daher ist

n — ^=1 ~~ V 2(a*-l)

ad

factisch < — -. Auf ähnliche Art lassen sich auch die anderen oben a — 1

angeführten Tatsachen veriticiren.

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Janisch: Zur sphäritthen Schleifenlinie»

199

erfahren, weim wir wioder den gewissen geometrischen Ort durch Elimination von a ans (1') nnd (7) bestimme^ Wir finden als Gleichung desselben ohne Schwierigkeit:

Die hiedurch charaktcrisirte Curve besitzt nnr roelle Punkte für posit. Ordinaten > 2d; für rj = 25 ergibt sich g = 0 — ihr Scheitel, welcher demnach vom Ursprung weiter entfernt ist, als der Fuss-

0

punkt der einen Asymptote t\ — ^ von der Ordinatenachse. —

Um diejenige Curve des Kegels kennen zu lernen, deron Grundriss dio Gleichung (8) hat, verschaffen wir uns die Gleichung ihres Kreuz-

risses. Selbe erhalten wir, wenn wir in (5) für a . . . setzen; sie lautet:

Die bisherigen Resultato genügen um dio sypischen Formen der unserer Betrachtung unterzogenen Curve gonau festzustellen. Wir heben Folgendes hervor:

1) Ist a <C 1 1 so besteht dio Curve aus zwei im Ursprünge längs der Achse der r\ sich berührenden Zweigen, dio zwei zur Achse der £ parallele und zu beiden Seiten derselben gelegene Asymptoten besitzen, wovon diejenige, welche den dritten uud zweiten Quadranten durchquert, weiter von dieser Axe absteht, als die audere.

2) a> 1. In dem Falle besteht unsere Curve aus vier Aesten, von denen natürlich je zwei bezüglich der Achse der rj symmetrisch gelegen sind. Sie besitzt vier reelle Asymptoten. Zwei hiervon sind parallel zur Abscissenaxc und durchsetzen beide den ersten und vierten Quadranten, die übrigen sind zu den Axcn schief gerichtet. Der gemeinsame Punkt der letzteren liegt auf der negat. //-Achse. Die beiden ausschliesslich im ersten und vierten Quadranten gelege- nen Aeste der Curve haben keinen Contact mit einander. Sie schnei- den die Achsen nicht, und von den zur ;'- Achse parallelen Asymp- toten gehört ihnen die von dio von dieser Axe weiter entfernto an. Dagegen haben die zum grössten Teile im zweiten und dritten Qua- dranten gelegenen Aeste mit den Coordinatenachsen den Ursprung gemein, in welchem sie sich längs der 17- Achse berühren, und haben zur gemeinsamen Asymptote (von den beiden zur £-Achse parallelen) die derselben näher gelegene.

3) Für den Grenzfall a = l resultirt endlich eine Curve, welche aus zwei sich gleichfalls im Ursprung längs dor Ordinatenachse be-

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«

200 Ja ni »eh: Zur sphärischen SiMeifenlinie.

rührenden Zweigen besteht, die sich einerseits einer im ersten und vierten Quadranten gelegenen zur I-Achse parallelen Asymptote nähern und andrerseits parabolisch ins Unendliche sich erstrecken *).

Einfach gestaltet sich die Quadratur dieser Cur von, denn man hat für den zwischen einem Bogen derselben, der Ordinatenachse und zweien zur Abscissenachse parallelen Geraden ij = tjx , tj = ijÄ gelegenen Flächenraum das Integral

Vi

8 - C V*Hn

Vatt*-2a*ÖTi — (l — a*)ri*

Vi

welches mit Hilfe der bekannten Reductionsformcln zurückgeführt werden kann auf das folgende

1 _ = (l — o*)-i arcsm 2 '-f-1 —

Vi Vi - (a»-l)-.[lognat(- -^=+i,Y&=l

+ VW*— 2a»0,ij+(a*-l)i?*) J

Man findet nämlich:

r

Vi

1) In bemerkenswerter Beziehung steht zu dieser Curve die Neil'» he (semikubische) Parabel. Diese erscheint nämlich als Ort der Halbirungspunkte der durch den Doppelpunkt der erstcren gehenden Sehnen, wie aus nach- stehender Rechnung hervorgehen wird. — Es sei die Gl. einer solchen Sehne

£ = ml

Verbinden wir diese Gleichung mit der der Curre

§1 = t = _J2*_

(V-W-V* <W-2i7)

so ergibt sich:

i}*-|-2f»*Jij-fiiW == 0 woraus zwei Werte für tj folgen , welehc die Ordinaten der Endpunkte

jener Sehne sind. Bedeutet y die Ordinate und x die Abscisse des Halbi- rungspunktes, dann hat man

y = UVi -\-Vi) = — x — my

und mithin als Gleichung des Ortes dieser Halbirungspunkt«

y*=z- dz*

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Janisek: Zur »pkäritchtn SchUtftnlini: 201

Va» d*— 2a* itj — (1— a*)^

Vi

= id - a»)-« [ { (V i - V(l - a»)] Va» - 2a» *1J - (1 - a vj

, /* q«(l + 2q»)a».rfi? 1 V Va»a«-2a«d9-(l-^,J

woraus sich z. B. für ij, = 0, ijs = (a < 1) ergibt:

und für „ = - ih = 0

51 = ^T-a.)'vi-„.[(1 +2o,) (f +«*•) +«-vT=?].|i

so dass für 2(5|-{-A»\ das ist für die ganze von den Asymptoten und der Curve begrenzte (von der Achse der 17 durchschnittene) Fläche resulürt

Ist a — 1 , dann erscheint bei Benutzung der obigen Formeln das Integral für die Fläche S, in unbestimmter Form. In dem Falle könnte man wol die Auswertung nach den Regeln der Differential- rechnung vornehmen, weit einfacher ist aber die directe Behandlung

Man hat, wenn a — 1 ist:

Vt n*

yä»d>-2a»dij-(l-oa)i?> ~ V*J Vi-2n Vi Vi

welches Integral durch die Substitution übergeht in das folgende:

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202 Janisch: Zur sphärischen SchletfenlinU.

*7l £l £1

Setzen wir also

1/1 = 0, »7»=-^

dann ergibt sich die von der Asymptote, der Curvo und der tj- Achse eingeschlossene Flächo St:

0

Hiermit wollen wir die Untersuchungen über dio ebenen Schnitte des Kegels = — |— abschliessen und übergehen zur Be- trachtung der Projectionen eiuiger Durchdriuguugscurvcn desselben mit eirfachen Flächen zweiter Ordnung. Wir fassen uns dabei sehr kurz und geben blos eine tabellarische Ueborsicht,, welche der Reiho nach enthalten wird dio Projcctionsglcichungen der Durchdringungs- curven des Kreiscylinders = des Rotationsparaboloids

E,-|"^,'"*t> dor parab. Cyliuder i?* = — j>£, = pij und endlich des hyp. Cylinders = a*.

$»-f ij» = r«: = rV-J1) oder in rararacterdarstellung

g = rcOBu, C = rtg«; = r^f1 — i?") oder

»; = rsintt, f=rsinatgu

4»+ t= pt-. phf = t?8) ; die hierdurch charaktorisirte Curve

ist identisch mit dem Schnitto der Ebeno £ = p. Die beiden übrigen Projectionen sind Curven dritter Ord- nung

s H-r 12 ffl

»7* = — /)£ : Gibt denselben Aufriss wie S*-f-»?* = 7>f

p-rt

Per Gruudriss hat dagen die Gleichung:

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Janisch: Zur sphärischen SchUifenlinU.

203

i% = pv* : Bios bemerkenswert der Grundriss eine Cissoide.

= a* : Auch hier nnr die Grnndrisscurve hervorzuheben , da selbe uns später wieder begegnet, Gleiehung:

Unserm Programme nach kommen wir nun zu den geraden Konoiden, deren Leitlinie die Schleifeulinio und deren Achse eine der Coordinatenachscn ist und zwar beschränken wir uns auf die, deren Achse die Achse der § und f ist.

Eine Erzeugende des ersteren hat dio Gleichungen:

tt ti

£ — - = C08u, £ — « — rcos'a

somit besteht zwischen den drei Coordiuaten eines Punktes desselben die sehr einfache Beziehung :

Es ist dies Konoid also eine Fläche blos dritter Ordnung, wie man sieht. — Der Schnitt einer zur Grundrissebene parallelen Ebene C — i wird eine Parabel:

und der Schnitt einer aufrissparallelen Ebeno ? — ö wird die Dif- ferentialcurve einer Parabel :

Bemerkenswerte Ergebnisse liefern noch die Schnitte von Ebenen, welcho durch die rj- oder f- Achse hindurchgehen. So erhält man für t — roJj:

die Gleichung einer Neil'scben Parabel; für tj=m£:

die Gleichung einer gemeinen Parabel.

Von weiterem Interesse dürfte es sein, dass die Durchdringungs- curve des Kreiskegels

SMV - f

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204

Janisch: Zur sphärischen Schlfiftnlinie.

mit dem Konoido sich auf die Ebene der £, 17 als Cissoide des Diokles projicirt, denn man erhält durch Elimination von £ aus den Gleichungen des Kegels und des Konoids:

oder

Führt man diesen Wert von rf in die Konoidengleicbung ein, so ergibt sich:

r'P

p llL

S r— 6

die Gl. des Aufrisses der Durchdringungscurve. — Derlei einfache Projectiousgleichungen , wie die soeben erhaltene, haben auch die Durchdringungen Q, C, der Kegel Xfc . , . — JTf . . . ij* =

P-K*. Man wird finden:

+1 - "*-r

Nun wollen wir die Projectionsgleichungen des Ortes der dem Konoido und dorn Rotationsparaboloide »/'-f-C1 — j»| gemeinsamen Punkte aufstellen. Wir erhalten

als Gl. des Kreuzrisses einer Curvo, die uns hier schon wiederholt begegnet ist; ferner als Gleichungen des Auf- und Grundrisses:

d. s. Gleichungen, wclcho Curven angehören, die affin sind mit kurz vorher gefundenen.

Zum Beschlüsse geben wir eine Tabelle der Projectionen der Durchdringungen parab. und hyperb. Cylinder. In derselben er- scheinen zum grossen Teile Parabeln höherer Ordnung, nebstdera auch Diffcrcntialcurven solcher Parabeln.

9*Sj£: *-+Vrp, 6 Yrp

^-""^ P-p"

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JantMch: Zur tphätUchen Schltifenliuie. 205

r-w p-^

^-"^ |P-aV

Wir gelangen jetzt zum - Konoid. Die durch den Punkt (x, y, *) der Schleifenlinie gehende Erzeugende desselben hat die Gleichungen :

C = * = rBintt, | — - = t«M Demgemäss wird die Gleichung der Fläche sein:

oder

Schneiden wir dieses Konoid durch die Ebenen ; — J und ij ■ - 3, so erhalten wir als Gleichungen der Schnitte:

r-V-W-fV) «nd r«d« « P(|«+a») Dieselben gehen für i = r über in

rVSS5*V+*,> ^d r* - $*(*f-f-r»)

welche Curven angehören, die als Berührungsgrössenlinien der Kreise — r* resp. ^e,-f*, = r* erscheinen, und zwar ist die erstere die Tangenten-Ordinaten *) Curve und die letztere, die nebenbei bemerkt identisch ist mit der Aufrissprojection der Durchdringung des Cylinders mit dem Kegel V? - n*&+n*)9 ist

die Tangenten-Abscissen-Curve, wie aus folgendem hervorgehen wird. Dieses Konoid ist bereits Gegenstand früherer Arbeiten gewesen, welche in der Schlussnote angeführt sind.

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206 Janisch: Zur sphärischen Schleif enlinie.

1) Wir haben für die Grösse der Tangente / im Punkte (y, «) des Kreises y'+as* = rf den Ausdruck:

s

t — r-

y

Setzen wir nun rj — t—r*. f=* und elimiuiren wir hieraus mit

V

Hilfe von y%-\-z* = r* y und *, so ergibt sich zunächst

geordnet r*t]t = ^(rt-\-ti*) übereinstimmend mit der Gleichung der obigen Schnittcurve. Die Bemerkung dieser Identität führt uns auch zur einfachen Parametcrdarstellung der Curve. Man bekommt leicht

i7 = rtgw, £ — rsinu

2) Für die Tangente / des Punktes *) am Kreise x'-f-** — r* hat man analog

3

t = r -

x

Mithin sind die Coordiuaten der Tangenten-Abscissen-Curve

*-«— S. *«•

uud die Gleichung derselben wird sein:

? + Qff = r* oder {*(i;»+r») =

Von Interesse sind weiter die Schnitte der Ebenen £ = mrj und £ = mg. — Der der ersteren dieser beiden Ebenen ist eiue Ellipse, die sich auf die Grundrissebene als Kreis projicirt:

und der der letzteren hat zum Grundriss wieder die wolbekannte Subtangenten-Ordinaten-Curve

des Kreises

«*+*• = (I-,)'

Nunmehr führen wir noch einige Durchdringungscurven- an. Zu-

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Janisch: Zur sphärischen Schleifenlinie.

207

nächst die des Kegels £'-f-i?J = £*. Dieselbe hat zur Kreuzriss - projection die beiden Parabeln

?=±rV

zum Aufriss die Curve

d. i., wie man leicht findet, der Kreuzriss der Schleifenlinie und zum Grundriss die beiden Kreise

(l*+i|*) = ±nj

Diese Durchdringungscurve zerfällt also in zwei bezüglich der ££- Ebeno symmetrisch gelegene Raumcurven vierter Ordnung und zwar sind sie mit der als Leitlinie des Konoids fungirenden Schleifenlinie congruent. Bezüglich ihrer Lage ist zu bemerken, dass die beiden Doppclpunkte in den Ursprung fallen, und dass die Längssymmetrie- ebene beider die ijf-Ebene ist — Von den Projectionen der Durch- dringungscurve des Kegels tf -f- £* = '£* siud hervorzuheben der Grundriss und der Kreuzriss. Ersterer hat die Gleichung

oder in Polarcoordinaten

rsiud- 9 " Vcositf

und letzterer

welche durch die Substitution

* V2

übergeht in

die Gleichung der Subtaugeuten-Ordinaten- Curve des Kreises

folglich ist jener Kreuzriss affin mit dieser Curve. Schreiben wir die Polargl. des Grundrisses in der Form

rsintf

Q r .

rVcos2d

und setzen wir

rsintf = QX, rVcos2^ = qx

wo p. und qx beziehungsweise die Radien- Vecto reu eines Kreis- und Lemuiskateupunktes bedeuteu, dann haben wir die Beziehung

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208 Janisch: Zur sphärischen Schleifenlini«.

Q*

Endlich sei noch erwähnt, dass Grundriss und Kreuzriss der Durch- dringungscurve des Kegels tt-\-it = vt die Gleichungen haben:

fV und rV = JW-P)

Bezüglich des Krenzrisses ist zu bemerken, dass derselbe affin ist mit der Subtangenten-Ordinaten-Curve der gleichseitigen Hyperbel

Man findet nämlich durch Elimination von « und y aus dieser Hy- pergleichung und aus r\ = /' = — , £ = *

und wenn man hierin statt 17 setzt 17 V2, so erhält man:

die obige Kreuzrissgleichung. — Von den Durchdringungscurven der gewissen drei Rotationsparaboloide ist blos die von

m

bemerkenswert wegen ihres Kreuzrisses einer Neil'schen Parabel mit der Gleichung:

rs

F = J l"

Was nun noch folgt, ist eine Auswahl von Projectionsgleichungen der Durchdringungen einiger parab. uud hyporb. Cylinderflächen. Die Resultate wurden wieder in eine Tabelle geordnet

i* = prj: r»^ = tV+l*) identisch mit dem Schnitt der Ebene § = p\ C* «= p+ri ^er ^renzr*8s-

v* - pi: ? = (Different. C. einer Parabel) ; r V = P

für p = r wird die Curve identisch mit dem Schnitt der Ebene rj = r.

^» = p£: «7* (5a + = r*P*i diese Curve trat bereits auf als Grund- riss der Durchdringungscurve des byperb. Cylinders "ifc es a* mit dem Kegel V? = -f ij*).

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Janiach: Zur nphärischen Schleifenlinie. 209

Bloss zu bemerken der Grundriss

— eine Cissoide des Diokles.

££ = aÄ: r1^*^* = a4(5a-j-i7s) identisch mit dem Grundriss der Durchdringung des parab. Cylinders rj* = p£ mit dem Kegel in*=y*(? + yt)- — Durch Eiofachhait der Gleichung bemerkenswert der Kreuzriss

in Parameterdarstellung

a» 1 .

' r COS u

Bemerkung zu Seite 205.

Nähere» über dieses Kouoid, welches nach Pabst den Nu tuen „gerader parab. Cuno-Cuneus" tilgt, findet sich in T. LI II. dieses Archivs in einer Arbeit ron Dr. A. Hochheiui (S. 350—363), ferner in T. II (2. Reihe): Die Cuno-Cunei von Dr. C. Pabst (S. 281—319 und S 337 —382) und endlich in einer neueren Arbeit von H. Brocard in T. VI der „Mathesis" (S. 126 u. f.)

Wien, im März 1889.

Arch. d M*th. n. Phy.. 2. B.ib., T. TÜL U

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210

Himstedt: Utbtr Paraheln höherer Ordnung.

VIII.

Uiiher Parabeln höherer Ordnung.

Von

Himstedt.

§ 1. Einteilung der Parabeln höherer Ordnung. — Unter einer Parabel im allgemeinen versteht man eine ebeno Curve, welche der Gleichung

entspricht. Iu dieser Gleichung bedeuten x, y die rechtwinkligen Coordinaten eines in der Ebene beweglichen Puuktes, a eine con- stante Streike und »*, n zwei gegebene rationale Zahleu mit dem- selben Vorzeichen. (Haben m und n verschiedeuc Vorzeichen, so stellt obige Gleichung eine Hyperbel vor), lieber die Zahlen m und ii lassen sich noch einigo Voraussetzungen machen, welche die All- gemeinheit der Untersuchung nicht beeinträchtigen :

1) m und « sind beide positiv. Denn wären beide negativ, so könnten wir obige Gleichung durch Multiplication so umformen, dass die Exponenten positiv würden.

2) m und n sind ganze Zahlen. Penn wären sie Brüche, so könnten wir die Gleichung (1) durch Potenziren so umformen, dass die Exponenten dadurch zu ganzen Zahlen würden.

3) m und n sind relative Primzahlen. Denn hätten sie einen gemeinschaftlichen Factor A, so könnten wir auf beiden Seiten der Gleichung (1) die Ate Wurzel ziehen, so dass die Exponenten da- durch zu relativen Primzahlen würden. Daher ist mindestens eine der beiden Zahlen vi und n ungerade.

(1)

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Minstedt: Urber Parabeln höherer Ordnung. 211

Ferner wollen wir noch in Betreff der Constanten a bemerken, dass dieselbe stets als positiv vorausgesetzt werden kann. Denn wäre n < 0, so könuten wir bei derjenigen Achse, deren Coordiuate einen ungeraden Exponenten hat, die positive Richtung mit der ue- gativen vertauschen, wodurch dann a ein positives Vorzeichen er- hielte. —

Demgemäss haben wir nun zwei verschiedene Arten von Para- beln zu unterscheiden, je nachdem die beiden Exponenten m und n beide ungerade sind, oder der eiue gerade und der andere ungerade. Im letztern Falle wollen wir dann stets den Exponenten von y als gerade voraussetzen. Hütte man umgekehrt y einen uugeraden und x einen geraden Exponenten, so könnten wir durch Vertauscheu der Achsen diesen Fall auf dou angenommenen zurückfahren.

Die Gleichung der Parabel erster Art heisst also

und die der Parabel zweiter Art

(3) y*» — a*P-««-,.«ca!+1

Von den Parabeln der verschiedenen Ordnungen führen wir folgende an:

Die Parabel erster Ordnung, y = ar, ist eine Gerado und gehört zu den Parabeln erster Art.

Die Parabel zweiter Ordnung, »/* = «jt, ist die bekannte Apollo- nischo Parabel und gehört zu den Parabeln zweiter Art.

Der dritten Ordnung entsprechen zwei verschiedene Parabeln, nämlich :

a*y — xs und ay* — x*

jene ist eine Parabel erster Art; letztere ist semikubische Parabel und gehört zu den Parabeln zweiter Art.

Iu die vierte Ordnung gehören zwei Parabeln zweiter Art, näm- lich :

yA *=» ax* und yA == a*x

Die fünfte Ordnung umfasst vier verschiedene Parabeln, nämlich:

a*y = x5 ; aY = jfi ; a*y* = xh \ ayK = *5

hiervon gehören zwei zu den Parabelu erster Art, die beiden andern zu denen zweiter Art.

14«

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212

Himstedt: lieber Parabeln höherer Ordnung.

Der sechsten Ordnung entsprechen wieder nur zwei Parabeln, beide von der zweiten Art:

u. s. w. Um alle Parabeln rter Ordnung zu finden, combinire man die Zahl r mit allen positiven ganzen Zahlen, welche kleiner als r sind und lasse diejenigen Combinationcn unberücksichtigt, deren Ele- mente nicht relative Zahlen sind. Für die neunte Ordnung ergeben sich z. B. 8 verschiedene Combinationen: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89; von diesen kommen die dritte und die sechste nicht in Be- tracht, so dass wir im Ganzen 6 verschiedene Parabeln neunter Ord- nung haben, nämlich:

aBy = x9; «V ~ **i ab*1 Ä x*\ aV ~ x9"> "V — x9\ ay* — x9

Von diesen gehören 3 der ersten Art und die drei andern der zweiten Art an. (Ueberhanpt gilt die Regel, dass sich unter den Parabeln einer ungeraden Oudnung stets gleich viel von jeder Art befiudeu, (den Fall r ~ 1 ausgenommen), während die Parabeln gerader Ord- nuug nur solche der zweiten Art sein können.

§ 2, Lage und Gestalt der Curven. — Jede Parabel besteht aus 2 cougrueuteu, sich in's Unendliche erstreckenden Zweigen, welche im Coordiuatenanfaugspunkte zusammentreffen. Sind die Ex- ponenten m und u beide ungerade, so sind die Coordinaten ry ent- weder beide positiv oder beide negativ, wie sich aus der Gleichung (2) ergiebt. Hieraus folgt, dass alle Parabeln der ersten Art im ersten und dritten Quadranten gelegen sind. Dies ist z. B. der Fall bei der Parabel dritter Ordnung a*y — x3. Ist dagegen m gerade und « ungerade, so ist die Abscisso x stets positiv, denu für negative Abscisseu werden die Ordinaten imaginair, wie sich aus der Glei- chung (3) ergiebt. Jeder positiven Abscisso entsprechen alsdann zwei entgegengesetzt gleiche Ordinaten. Hieraus folgt, dass alle Pa- rabeln zweiter Art (wie z. B. die Apollonische und die semikubische) im ersten und vierten Quadranten liegen und zwar symmetrisch zur positiven x-Achse.

Eine durch den Coordinatenanfangspunkt O gezogene Gerade y — Xx schneidet die Parabel ausser im Punkte O noch in denjenigen Punkten, für welche

ist. Bei den Parabeln erster Art ist die Differenz w — « eine ge- rade Zahl, folglich liefern die Gleichuugeu (A) zwei verschiedene

yG = flu:5

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Himstedt: lieber Parabeln höherer Ordnung. 213

Schnittpunkte, deren Coordinaton entgegengesetzt gleich sind. Der Coordinatenanfangspunkt ist demnach Mittelpunkt der Parabeln er- ster Art. Uebrigeus sind jene Schnittpunkte reell oder imaginair,

je nachdem k ^ 0 ist. Für die Parabeln zweiter Art ist die Diffe- renz m—n eine ungerade Zahl, folglich liefern die Gleichungen (4) jetzt nur einen Schnittpunkt, und dieser ist für jedes A reell. Die Pa- rabeln zweiter Art haben demnach in O keinen Mittelpunkt

Der Coordinatenanfangspunkt ist ein vielfacher Punkt der Pa- rabel. Ist n» > n, so ist 0 ein n-facher Punkt, dessen n Tangenten sämtlich mit der y- Achse zusammenfallen. Die Parabel kehrt dann der x-Acbso ihre coneave Seite zu, wie sich aus dem Vorzeichen des Productes

•■3-=(HS

ergiebt. Ist dagegen m < n , so ist O ein m-fachcr Punkt, dessen m Tangenten sämtlich mit der x- Achse zusammenfallen. Die Parabel ist dann convex in Bezug auf die x-Achse.

Die Tangente des Anfangspunktes schneidet die Parabel in m, resp. n zusammenfallenden Punkten, je nachdem m > n odor umge- kehrt. Folglich muss diese Tangente bei allen Parabeln erster Art die Curve im Anfangspunkte durchschneiden, d. h. dieser Punkt ist ein Wendepunkt der Curve. Bei den Parabeln zweiter Art haben wir zwei Fälle zu unterscheiden. Ist to>w, so haben Curve und Tangente (hier die y- Achse) eine gerade Anzahl von zusammenfallen- den Punkten, folglich berühren sich jene, ohne sich zu durchschnei- den. Ist aber *»<»», so so haben Curve und Tangente (jetzt die x-Achse) eine uugerade Anzahl von zusammenfallenden Punkten und durchschneiden sich daher im Anfangspunkte. Dieser ist jetzt aber kein Wendepunkt, sondern eine Spitze dor Curve. Wir können demnach die Parabeln zweiter Art weiter einteilen in solche mit Spitze und solche ohne Spitze. £in Beispiel für den ersten Fall bietet die semikubische Parabel, während die Apollonische ein Bei- spiel für den zweiten Fall ist.

§3. Die Parabeltangente. — Durch Differentiation er- sieh aus der Gleichung der Parabel

wenn wir mit a den Winkel bezeichnen, welchen die Tangente im Punkte sry mit der positiven Richtung der x-Achse bildet.

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214

Himstedt: Utber Parabeln höherer Ordnung.

Da dieser Quotient stets einen endlichen, von null verschiedenen Wert hat, so giebt es keine im Endlichen gelegene Tangente, welche senkrecht zur »--Achse steht oder mit ihr parallel läuft, ausgenommen jedoch die Tangente des Anfangspunktes, welche, wie im vorigen § gezeigt wurde, mit einer der beiden Coordiuatenachseu zusammen- fällt. Als Gleichung der Parabeltangente ergiebt sich

(7) ny l — mx rj -{- ("* — — 0

wo irj die laufenden Coordiuatcn und xy dio Coordinaten des Be- rührungspunktes bedeuten. Dio Construction der Tangente geschieht am einfachsten mit Hilfe der Abschnitte, welche dieselbe auf den Achsen bildet, und für welche wir aus Gleichung (7) die Werte

n — m m — n

(8) §= n i|

erhalten. Diese Abschuitte sind also den Coordinaten des Berüh- rungspunktes proportional and können leicht, construirt werden, wenn letztere bekannt siud. Für die Apollonischo Parabel (m = 2, » = 1) ergiebt sich z. B. H = — x ; n = y und für die semikubische (m = 2, n = 3) | — i-r; t] = — \y. Rückt der Berühmngspuukt in unend- liche Ferne, so werden seine Coordinaten beide unendlich gross, folglich auch dio beiden Abschnitte (8), d. h. dio Parabeln haben keine Asymptoten. —

Für die Längen der Subtangrnte und Subnormale ergeben sich ebenfalls leicht construirbare Ausdrücke, nämlich

Subungente -

ii y*

Subnormale ■=

m x

Die Subtangeute ist demnach bei allen Parabeln der Abscisse des Berührungspunktes proportional. In dem speciellen Falle der Apol- lonischen Parabel (y* = ax) kommen wir auf die beiden bekannten Sätze zurück, dass die Subtangcnto gleich der doppelten Abscisse des Berührungspunktes ist, und dass die Subnormale eino constanto Länge hat. Für die semikubischc Parabel (ay* — xs) haben wir dio hoiden entsprechenden Sätze: Die Subtangeute ist der Abscisse des Berührungspunktes und die Subnormalc dem Quadrate dieser Abscisse direct proportional.

§ 4. Krümmung der Parabeln. — Da bereits in § 2. von der Art der Krümmung die Rede war, so haben wir hier nur noch

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Himstedt: Utber Parabdn höherer Ordnung.

215

die Krümmungsstärke der Curven zu untersuchen. Um Weitläufig- keiten zu vermeiden, wollen wir die Gleichung (1) durch das System

(9) x = o/*; y — a.<"

ersetzen, wo t ein beliebiger Parameter ist. Nach bekannten For- meln erhalten wir dann für den Krümmungsradius der Curve

fl[m*fg<>»-i>-fu»<g("-n]l

oder

m ,= -L

Aus dieser Gleichung folgt, dass der Krümmungsradius im Coordi- natenanfangspunkte (t = 0) entweder unendlich klein oder unendlich gross ist, je nachdem die hier auftretenden Exponenten des Para- meters t beide positiv oder einer von ihnen positiv und der audere negativ kist. (Der Fall, dass beide Exponenten negativ sind, kann offenbar nicht eintreten). Wenn nämlich

(11) 2>ir>*

so sind beide Exponenten von / positiv, folglich p = 0 für t = 0. In diesem Falle wächst der Krümmungsradius mit wachsendem t continuirlich von g — 0 bis g ^ oc. Dies findet z. B. Statt bei der semikubischen Parabel &y* — x*. —

Ist dagegen

(12) - > 2 oder 1 > -

n t»

so ist von den Exponenten der Gleichung (10) der eine positiv uud der andere negativ, folglich ist jetzt q — oc für t = 0. In diesem Falle nimmt der Krümmungshalbmesser mit wachsendem t zunächst von q = oo bis zu einem gewissen Minimalwerto q — q' ab, um dann wieder von g — g bis g =<x> zu wachsen. Dieser Minimalwert wird

da

gefunden, indem wir die Gleichung — = 0 nach t auflösen und das Resultat

/vi— 2n

n 1/m— 2 w* f 2m —

in die Gleichung (10) substituircu. Ein Beispiel hierfür bietet die Parabel dritter Ordnung a*y — x*. Der Krümmungsradius hat im Anfangspunkte den Wert p=oo, erreicht seinen Minimalwert

9 = laYt

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216

Uimtledt: Utber l*arabeln höherer Ordnung.

in demjenigen Punkte, welcher dem Parameter t — ■ (45)- 1 entspricht, und wächst von da an conünuirlich bis g = od.

Die obigen Sätze vou der Krümmungsstärke gelten für alle Pa- rabeln, mit alleiniger Ausnahme der Apollonischen, welche dem Grenz- falle ~ — 2 ^resp. ™ — ^ enspricht. Hier hat der Krümmungs- radius im Anfangspunkte einen endlichen von null verschiedenen Wert, nämlich q = ^, und wächst von da conünuirlich bis g — od.

§5. Fortsetzung. — Aus dem vorhergehenden können wir schliesscn, dass der Krümmungsradius für einen Wendepunkt nicht notwendig unendlich gross und für eine Spitze nicht notwendig un- endlich klein sein muss. Da nämlich der Wert des Krümmungs- radius im Anfangspunkte nur von dem Werte des Verhältnisses

ttl

- abhängt und jener Punkt für alle Parabeln erster Art ein Wende- punkt, und, falls m < «, für alle Parabeln zweiter Art eine Spitze ist, so kann es geschehen, dass der Krümmungsradius eines Wende- punktes unendlich klein und derjenige einer Spitze undendlich gross wird. Betrachten wir z. B. die beiden Parabeln erster Art

a*y — z* und a*y* = xb

Nach § 2. haben beide Curven im Anfangspunkte oinen Wendepunkt, und doch ist nach § 4. nur für die ersto g = od , während für die zweite g — 0 ist.

Ferner haben die beiden Parabeln zweiter Art

ay* — x* und aty* = x*

nach § 2. im Anfangspunkte eine Spitzo, während nach § 4. p = 0 für die erste und g = oo für die zweite wird. Um dies geometrisch zu erklären, gehen wir von dem ursprünglichen Begrifte der Krüm- mung aus. Hiernach versteht man uuter der Krümmung der Curve ihre Abweichung von der geradlinigen Form und demgemäss unter der Krümmungsstärke das Verhältniss der Winkelgeschwindigkeit der Curventangentc zur Bahngeschwindigkeit des die Curve erzeugen- den Punktes. Bezeichnen wir also den Winkel, welchen die Curven- tangentc mit einer festen Geraden (z. B. mit der x-Achse) bildet, mit r, die Länge eines beliebigen Curvcnbogcns mit « und die Zeit

mit <, so ist die Winkelgeschwindigkeit der Tangente = ~ und die

Bahngeschwindigkeit = ,y, folglich

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Himstedt: Ueber Parabtln höherer Ordnung.

217

dt d$ K ~ ds: dt

wenn wir mit K die Krümmungsstärke der Curve bezeichnen. Nun ist jene dem Krümmungsradius q umgekehrt proportional, wie sich aus der Untersuchung über die Krümmung [eines Kreises ergiebt, folglich

dt dt 9 * dt ' dt

die beiden Quotienten, die hier auftreten, sind im allgemeinen end- liche, von null verschiedene Grössen, können jedoch auch beide gleich- zeitig unendlich klein werden, iu welchem Falle q -= g, also unbe- stimmt wird. Liogen z. B., wie dies bei einem Wendepunkte stets der Fall ist, drei benachbarte Curvenpunkte in gerader Linie, so fallen zwei benachbarte Tangenten zusammen, und der Quotient dt

dt hat dann den Wert null. Liegen 4 benachbarte Curvenpunkte in

gerader Linie, wie z. B. bei der Parabel y* = a»*, so fallon drei

dx

benachbarte Tangenten zusammen und es ist dann ebenfalls ^ = 0.

Um aber diesen Fall von dem vorigen zu unterscheiden;, setzen wir fest, dass dieser Quotient dort unendlich klein von der ersten Ord- nung und hier unendlich klein von der zweiten Ordnung wird. Dies erkennen wir auch auf analytischem Wege, wenn wir in den Glei- chungen (9) den Parameter t als Zeit auffassen und dann jenen Quotienten berechnen. Allgemein können wir daher den folgenden Satz aufstellen: Wenn r benachbarte Curvenpunkte in gerader Linie liegen und demgemäss (r — 1) benachbarte Tangenten zusammenfallen,

dt

so ist der Quotient — unendlich klein von der (r— 2)ten Ordnung.

Was den Quotienten ^ anbetrifft, so wird derselbe nur dann

zu null, wenn 2 oder mehrere Curvenpunkte in einen einzigen zu- sammenfallen. Auch hier haben wir unendlich kleine Grössen ver- schiedener Ordnung zu unterscheiden und setzen fest, (in Ucberein- stimmung mit den auf analytischem Wege sich ergebenden Resul- saten) dass in dem Falle , wo 2, 3, 4 ... r Curvenpunkte in einen

dt

einzigen zusammenfallen, der Quotient unendlich klein von der

ersten, zweiten, dritten . .. (r — l)ten Ordnung wird. — Dies vor- ausgesetzt, können wir nun den Krümmungsradius einer Parabel im Anfangspunkte O einfach dadurch bestimmen, dass wir erstens unter- suchen, wieviel Punkte mit O in gerader Linie liegen, und zweitens,

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218

Himstedt: Leber Parabeln höherer Ordnung.

wieviel Punkte mit O zusammenfallen. Bezeichnen wir zur Ab- kürzung mit A irgend eine endliche, von null verschiedene Grösse und mit dr eine unendlich kleine Grösse rter Ordnung, so ergiebt sich Folgendes:

Bei der Parabel a*y = x8 liegen in der Nachbarschaft von O drei Punkte in gerader Linie und O ist ein eiufacher Punkt Folg- lich ist

— = 61 und V — A dl 1 dt

mithin

A

Die Parabel a*y3 — ** hat in 0 einen dreifachen Punkt, folglich

ds dt

~ = *i

Ferner schneidet die x- Achse die Curve in 5 Punkten, so dass, da O dreimal zu zählen ist, im Ganzen 3 Punkte in gerader Linie liegen; folglich

dt = '1 aml * = = 0

Die semikubische Parabel ay* = x3 hat in O einen Doppelpunkt, folglich

Die x- Achse schneidet die Curve in 3 Punkten, so dass, da O dop- pelt zu zählen ist, nicht mehr als 2 benachbarte Curvenpunkte in gerader Liuie liegen; folglich

S = * - , = 5-0

Die Parabel aV — *& °at in O ebenfalls einen Doppelpunkt, so dass

S-*

Die Achse schneidet die Curve in 5 Punkten, folglich liegen, da O doppelt zu zählen ist, 4 derselben in gerader Linie. Mithin ist

und p = ^=oo

Die Parabel y* — a*x hat in O einen einfachen Punkt , folglich

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Himstedt: Utber Parabeln hökerer Ordnung.

219

Die y-Achsc schneidet die Curve in 4 zusammenfallenden Punkten, welche hier als ebenso viele iu gerader Linie liegende Curvenpunkte zu betrachten sind. Folglich

(U=*i und p = ^ = oo

U. 8. W.

§ 6. Quadratur und Rectitieation der Curven. — Für die Fläche, welche von der Parabel, der x-Achse und einer beliebigen Ordinate begrenzt wird, erhalten wir

oder eiufacher

<13>

Die Parabelfläche hat demnach stets ein rationales Verhältniss zu dem Rechtecke, welches die Grenzordinate mit der entsprechenden Abscisse bildet Für die Apollonische Parabel (m =»2, n — 1) er- giebt sich aus obiger Formel F^liy, für die semikubische F=\xy.

Je nachdem m ^ n , beträgt die Parabelfläche mehr oder weniger

als die Hälfte jenes Rechtecks. Dies stimmt mit dem übereiu , was in § 2. über die Krümmung der Parabeln gesagt wurde.

Nicht so einfach ist dio Rectification der Parabeln. Nach einer bekannten Formel erhalten wir für den vom Anfangspunkte an ge- rechneten Bogen

X

(14) mLJ |/i+At.(jj)""\fc

o

wo A = * zur Abkürzung dient. Um dieses Integral zu berech- nen, führen wir eino neue Variabele ein, indem wir setzen

1

k—l

x — az

Dadurch geht die Gleichung (14) über in

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220

Hirn ittdt: lieber Parabeln höherer O'dnung.

2—1

(15)

X — 1

dz

Dieses Integral kaun iu geschlossener Form angegeben werden, so*

2 ~ X

bald der Exponent eine ganze Zahl ist Dies ist aber der

Fall, wenn

(IC) X - *+-

ist, wo k eine beliebigo positive oder negative ganze Zahl bedeutet. (Nur der Wert k — — 1 muss ausgeschlossen werden, denn in diesem Falle wird X = 0, was unmöglich ist). Die liectification der Para- beln ist also durch Potenzen, Logarithmen und Kreisbögen nur dann ausführbar, wenn dio Diffcrcuz der Exponenten m und n gleich der Einheit ist Dies ist z. B. der Fall bei der Apollonischcn und boi der semikubischen Parabel. Für erstere erhalten wir aus Gleichung

(14)

X

0

| Var(a-f4r) -f ^alog ^— a l)

für letztere

0

Loebau, Westpr., im April 1889.

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221

IX.

Miscellen.

l.

Aelinlichkeitspunkt als Glelch&ewlchtspuukt der Anziehung

Seien AB, A'B\ A B drei Parallelen, welehe die Schenkel eines Winkels ACB verbinden, <p, U> die Richtungswinkel der Schenkel

AA, CB gegen eine beliebige x Axo, A, hv, hx die Lote vou C auf

AB, A'B', A0B0y dann ist die Componente der Anziehung von A'B' auf C

also X'hdv die des Rechtecks A'B'.hdv, das ist eines Elements des Dreiecks ABC. Variirt v von x bis 1 , so erzeugt dieses Elemeut das Viereck ABCQAQy daher ist die Componeute der Auziehung von ABB0A9 auf C

Ist nun AB eine Seite eines Vielecks, A0B0 die eines ähnlichen und ähnlich liegenden, C Aehnlichkeitspunkt, so ist für alle ent- sprechenden Seitenpare x gemeinsam, also

Geht man bei unendlicher Seitenzahl zur Grenze über, so er- streckt sich die Eigenschaft des Vielecks auf beliebig begrenzte Flächen, und man hat den Satz:

ebener FlKchenstiicke.

X' -

siny — sintj; hv

X

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222

Miscrllrn.

„Die Anziehung der Ringfläche zwischen zwei geschlossenen und einander unischliessenden ähniieheu und ähnlich liegendeu Linien auf den Aehnlichkeitspunkt ist null."

Auwendung auf den Fall x — 0 führt zu einem Trugschluss.

R. Hoppe.

2.

EIu allgemeines Theorem aus der Theorie der reeurrireuden Reihen.

Für die recurrirenden Reiheu besteht folgendes Theorein : Sei durch

M

2(ikuu-k «=> 0 1) o

die sogenannte Scala relationis gegeben. Seien ferner

Vi Vi ■ • • Vi»

die Wurzeln der Gleichung

£akvm'k — 0 2) o

so lautot das allgemeine Glied in der independenten Form

,*„ = £bttik* 3)

wobei die Coeficienten bk aus den gegebenen Anfangsgliedern zu be- stimmen sind. Der Beweis wird geführt dadurch, dass man die Gleichung 3) in die Gleichung 1) ciusetzt und das Resultat in zwei Factoren zerlegt, deren einer eben die Gleichung 2) ist. Da nun der andere Factor nicht null sein kann, so ergibt sich hieraus zur Bestimmung von t\ die Gleichung 2).

Für die bekannte Reihe von Lame (Nouv. Corr. Mathem. Tom. I und V) ist

Un — Mm-1 — Wm-2 = 0 u, — 1 1^ = 2

Wir haben also die Bestimmungsgleichuug welche

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Mücrllen. 223

1 + V5 Vi 2

1 — V5

liefert. Also hat das allgemeine Glied die Form

mm - *° (—2 ) +m~~t-J

wobei 40 und bx aas den Oleichangen

za bestimmen sind. Prag, Januar 1889.

W. Laska.

3.

Gleichgewicht der Anziehung: einer ring-ftfrmig-en Flache.

Der auf Seite 222 ausgesprochene Satz lässt sich erweitern.

Seien L und M zwei geschlossene Linien, die einander und den Punkt C umschliessen ; C sei Anfang der rechtwinkligen y und der Polarcoordinaten p, <p. Das von den consecutivon Radienvectoren tp und cp-\-dcp uud den Linienelementcn von /. und M begrenzte Viereck, d. i. ein Element der Ringttäche 1t zwischen L und M lässt sich erzeugt deuken durch eine transversale Gerade NN' =■= / von constanter Richtung, welche auf p die Strecke CN = \>v ab- schneidet, indem r> von x bis 1 variirt, so dass (p, qp) und (px, <p) die Schnittpunkte des S'rahles <p mit /. und M bedeuten.

Bezeichnet hv den normalen Abstand der Geraden NN' von C, so ist das Dreieck

CNN' — \l.kv -

also

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224

Mueellen.

Die Grösse zur Linken drückt die von l nnf C geübte Anziehung aus, deren Componenten also sind:

~ Ar » * - hv

Erzengt nun / das Flachenelemeut l.hdv, so sind die Componenten vou dessen Anziohung

ftv Bv

folglich nach Integration die Componenten der Anziehung von R

4R ^ 4R

X = P log^cosg>8g>, Y = f log^sin^ay

o

Setzt man

log? = F(cos2?)

so verschwiuden X und r, denn nach Zerlegung des Iutcgraliuter- valls iu Quadrauten zeigt sich, dass die 4 Teilintegrale gleichen ab- soluten Wert und parweise ungleiche Vorzeichen haben.

Schreiben wir einfacher

x «= /"(cos2(p)

so lautet das Resultat:

„Die Anziehung einer Ringfläche auf einen innern Punkt ist null, wenn das Verhältniss der von ihnen ausgehenden Radienvectoren beider Grenzlinien Function des Cosinus der doppelten Amplitude ist". R. Hoppe.

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II o/m a »in: Allgemeine ParamettrdarsttlluiHj.

225

Allgemeine Parameterdarstellung von Substitutionen involutorischen Charakters, welche eine rationale Function in sich selbst

überführen.

Von

Fritz Hofmann.

I. Lineare involutorisch-orthogunalc Substitutionen.

§ 1. Zahl der homogcneu Veränderlichen = 2. Bildet mau die Substitutionen

1 J 2 Ol

deren orthogonale Eigenschaft evident ist, so erhält man durch Auf- lösung nach x und y:

i' JVJ+ H 1

»- ^x + ^.r-, ar-i+i»

so dass also genau dieselben Gleichungen die x und y durch A' und F ausdrücken, welche auch A' und F durch x und ?/ darstellen.

ArcU d. M .11, u. Pbji. 2. Reihe. T. VIII. 1 ■ '

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22G

II of mann : AUyruttine Ptiiameltnhu sttllutuj.

Dies steht im Gegensätze zu der gewöhnlich gegebenen Dar- stellung orthogonaler Substitutionen, wie mau solche mit Hilfe der schiefen Determinanto

1 k

-1 1

zu bilden pflegt:

l-;.* .21

JN

2, 2V

Der geometrische Siuu der „umkehrbaren" Substitutiouen A ist folgender:

Da dieso Formeln A auch geschrieben werden köuncn

i;:

- 8ina.sr-f-C0Sa .y fosa.x-f-sina.y

so kaun man, wenn in der Figur ox senkrecht auf oy, sowie oX senkrecht auf o\\ von einem Punkte;) der sry-Ebcuo aus Perpendikel füllen auf olr, oX: mau erhält als Längen dieser Perpendikel genau jeno Grössen A', r, wie sie aus den Gleichungen A algebraisch berechnet werden könnten.

Mau kann nun einen Punkt /' in der xy~ Ebene con- struiren mit deu so erhaltenen und als x und y zu behandelnden Coordinatcn Xy Y\ dieser neue Paukt /' wird im allgemeinen von p verschieden liegen (vergl. die Figur 1); jedoch

„fusst mau V auf als Punkt g der xy-Ebeno und wiederholt für ihn dieselbe Coustructiou, die von p nach /' führte (Senkrechte A'^, Yg fälleud auf oY, oX) — so erhält man als letztes Coustructions- resultat G den ursprünglichen Ausgangspunkt p wieder."

Die Ideutitäteu

(X) (Y) — sin«[— sina.x-f cosa.y]-f-coso[cos a .x-fsina.y] — *

(X) (F) + cosa[— sino.a:-f-cos«.y]-}-sin«fc09cf.x-}-8inof.y] = y

gestatten den Verlauf uusercr Coustructioucn schrittweise zu ver- folgen uud unseren Satz zu bestätigen.

Dagegen würde die Durchführung desselben Processes für

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II of mann: Allijt meine I'aram> (ei dar. ttllntirj.

227

. , f X <— cos «.*-[- sin«. y

' l Y = — siu« .x-f-cos«.y

aus dem Punkte p ein au derselben Stelle liegendes G(-f z, -f-y) liefern nur für o = n.7.

So sind demnach 2 verschiedene Classeu der linearen orthogo- nalen Substitution vorhanden, von welchen dio von uns betrachtete, A oder A„ geometrisch wie algebraisch die Bezeichnung „involuto- risch" verdient. —

Die Determinante dieser „involutorisch — orthogonalen" Sub- stitution A ist —1, daher ist genau die Hälfte aller überhaupt mög- lichen orthogonalen Substitutionen von unsrer speciellen Art (für den Fall von zwei Veränderlichen).

Sic sind — rein geometrisch — dadurch charaktcrisirt, dass der von den neuen Coordinateuaxen gebildete, körperliche Wiukel nicht mit dem von den ursprünglichen Axen gebildeten zur Deckung gebracht werden kann.

Auch geometrisch stellt sich somit die Wahrscheinlichkeit: in einer beliebig vorgegebenen rechtwinkligen Coordinatenaxenstelluug die „iuvolutorischc" Eigenschaft zu erkennen, gleich $ heraus.

b — a

Setzt man in den Formeln A statt X ein: , , , so nehmen dic-

o -f- a

selben die Gestalt an

a~ — b* "lab

a* x + at V

diese Formeln As enthalten den einzigen Parameter a-.b\ sie sind nur brauchbar, wenn

aJ_|_4* < 0

im übrigen können a, b reell oder rein imaginär sein. Für a = 0 erhält man eine sogenannto „Spiegelung", vgl. § 6, Anm. II.

Wir Dünnen As dio „Normalform" für die iuvolutorisch- orthogonale Substitution — aus späterhin ersichtlichen Gründen.

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22S

11 o fm ann: Allyewrine ParamettfdarsItUuiiy.

§ 2. Zahl der homogouen Veränderlichen = 3.

Hier fragen wir nach der Existenz und Darstcllharkeit von orthogonalen Substitutionen

X = «n^ + ff^y-f «ja» wobei aber gleichzeitig gefordert wird

Nun wird ciu System von 3 orthogonalen Ebenen geliefert durch die Formeln

IAA' = (1 + v* - - p*)x + 2(1 - |uv)y + 2(Av + M)* AF» -2(A+ mv)*+(1+h»— tf— v*)y + 2(v- AZ=2(Av- p)x - 2(v -f- *p)y + ( 1 + A* - - v*)3 A= l-j-^+^-j-v*

Dass aber unter diesen 9 Richtungscos. sich 3 Paare von je 2 gleichen befänden, ist aus obigem allgemeinen Systeme F nicht zu scblicssen; auch ein Vertauschen von Zeilen oder Reihen würde — im allgemeinen — die gewüuschtcn 3 Paare «,* — a*. nicht auf- treten lassen.

Wir sind daher auf Ermittlung eines besonderen Kunstgriffs angewiesen, der die Formeln F in solche von der gewünschten in- volutorischen Eigenschaft verwandelt — die Formen F werden bei diesem Process eiuen ihrer Parameter verlieren.

Schreiben wir für A, v respective ^. ~, J so erhalten die

9 Coefficienten von F folgendo Gestalt1) (indem wir tf* aus Zähler und Nenner, A, entfernen):

I d*+a9- fts— c* 2{tlc+ab) 2{ac—bd) F, -\-2(-dc-\-ab) d*— a*+b*-c* 2(bc+ad)

| -\-2(ae+bd) +2(bc-ad) di_a»_Ä*-j-c*

A, - a*-f-^ + c*-r-rf*

I) Vom Verfasser mitgeteilt in einer Note: „Zeitsehr. f. Mulh. n. rii.fc, XXXIII. 384.

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II»/ mann: Allgemeine Parameter durt>tellwtg.

OOQ

Diese Tabelle wurde abgeleitet unter der Voraussetzung eines nicht verschwindenden rf; für jedes solche d muss dieselbe orthogo- uale Substitutionen liefern, denn F, ist nur eine Umformung von F.

Da danach die 9 Glieder der Dctermiuante für beliebig viclo Werte von d die Eigenschaft besitzen: joder Zeilo oder Reihe nach die Quadratsummo =

aufzuweisen, so muss die Dcterminanto F1 identisch diese Eigen- schaft besitzeu (man kann diesen Schluss leicht durch effective Her- stellung der Quadratsumme bestätigen).

Wählen wir nun so ist auch

2ba 2ca

d — 0 2 ab

2cb

2 ac 2be

a*- 6»+ c*

eine orthogonale Substitution unter der Bedingung

Demnach erhielten wir durch eine Umformung der allgemeinen Formel Ff welche a priori für unser Problem wenig förderlich er- schien, das „iuvolutoriseb-orthogonale" System:

/ NX — (a* — b*— ct)x-\-2aby-\-2acz \ NY = 2bax-\- (— a8-f b*— c*)y-f 2bcz At j A'Z - 2ca*-f-2<%+(-a*-&* + cf)a

welches 2 wesentliche Parameter a-.b-.c enthält.

Der Wert der Coefficieutcndetcrminanto Ft ist hier zunächst =1, kann aber (durch aV— 1, bY—\, cY— 1 statt a, 6, c) auch — — 1 gemacht werden.

In letzterem Falle kann der von den neuen Coordinatenaxen gebildete „Dreistuhl" nicht mehr mit dem ursprünglich gegebenen kOrp« rlk hon Winkel der Axcu zur Deckung gebracht werden. Immer-

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230

Jlofmann: Allgemein* Parameter dar Stellung.

hin besteht nach dem Vorhergehenden der geometrische Satz: „Unter den orthogonalen Systemen XYZ, durch welche die durch das System der Ebenen xyz fixirten Raumpunkte transformirt wer- den können — ihre Anzahl ist <x3 — gibt es oc* von involu- tori scher Eigenschaft, derart, dass ein trausformirter Punkt P (aus p{ryz) entStauden), welchem als x^-Coordinateu die Perpendikel XYZ gegeben wurden, mit der Anfangslage p zusammenfällt, sobald er als y im a^c-System von neuem aufgefaBSt und] demselben Pro- cess uuterworfen wird, der von p nach P führte.":

Denn man hat, sich der Formeln Az bedienend durch Ausrech- nen:

(a* _ b* c») [ (a* _ 7,2 _ c*} r _j_ 2 ahy _|_ 2 ari] -f Iba [2 abx -f- (- a* -f £* - c*)y -f 2 aez] + 2ca [2cax+ 2 bey + ( — a* - b* + cf>]

= iV»*

Zahle ubeispiel. a = 1, 6 = 2, c = 4 gibt

21 .JT = — 19x -Hy-r- 8« 21. F— 4x —13y-f-163 21. 8* +I6jr + ll*

eiu Substitutionssystem, dessen Umkehruug dieselben Coefficieuten an denselben Stelleu auftreten Hesse.

§ 3. Zahl der homogenen Veränderlichen > 3.

Von n = 4 an verlieren die bisher gebrauchten Methoden, — nämlich: Vertausehuug von Reiben, oder: Einführung homogener Parameter — ihre Wirksamkeit. Denn die nach dem Cayley-Her- mite'schen Verfahren aus schiefen Determinanten herzustellenden Cocfficientcnreiheu für allgemeine orthogonale Substitutioueu geben z. 13. für 4 Veränderliche 16 vollständig verschiedene Zahlen als Schlusssresultat, andrerseits aber sind die allgemeiucu Ausdrücke, welche uns die Substitutionscoefticienten liefern, Brüche vom dritten Grade im Zähler (in Bezug auf die Parameter), vom vierten im Nen- ner, so dass ein Homogenmachen keiuenfalls weiter hilft. (Vgl. Baltzer, Determinanten. V. Auflage, pag. 195).

Es bleibt uns der Analogieschluss , um aus der „Normalform" für u — 2 und n 3 eine Coefficiententahelle, für « = 4 etwa, auf- zubauen. Wir bilden:

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// o/m n >i n i A //./< ineiti' R»ramttordar*ttffting,

231

A4

a* -b*—C*~<P 2 ab

2ha __fl*-|-/,s-c8 <i* 2ca Ich

2 da 2 dl

2ac 2 ad

2bc 2bd a*-bHc*-d* 2 cd

2 de _a«-4*-c*-frf*

iV = a*-f-/>»-f-c8 + rf*; N^O

und überzeugen uns nachträglich durch Ausrechnen, dass in dieser Tabelle alle wesentlichen Eigenschaften der „orthogonalen" Substi- tutionen sich finden, während zugleich ihr „involutoriseber" Charakter in ihrer Bildung ausgesprochen ist.

Das Quadrat obiger Determinante, gebildet nach dem Multipli- cationsgesetze der Determinanten, gibt (a* + b* -j- c* + d'f ; daher ist die Determinantn selbst — — ( . a -f b* + c~ + d*)* ~ w»e aus dem Vorzeichen von a8 zu entnehmen.

Somit ist die Determinante dor eigentlichen, mit dem Nenner

zu verseilenden Coefticienteu unter allen Umständen — —1, mag man

.... i . . . i . , Zeilen ),.,..

auch beliebig viele homolog benannte ßejijCnj gleichzeitig paarweise

mit - 1 multipliciren.

Die Zabl der orthogonalen und zugleich iuvolutorischen Substi- tutionen für 4 Veränderliche ist daher oc3, denn At enthält 3 unab- hängige Parameter a:b: c: d.

Lehrsatz. Allgemein wird die „involutorisch-orthogonale" Sub- stitutions-Coefticientcn-Tabelle dargestellt durch n — 1 unabhängige Parameter, wenn n Veränderliche vorliegen (diese Zahl bleibt von n > 2 au hinter der für die „allgemeine" Orthogoualsubstitutiou giltigen Zahl $n(n — 1) zurück).

Für ungerades u kann der Wert der Coefficienten-Determinanto nach Belieben als + 1 oder — 1 angegeben werden, durch eventuelle

Anwendung der Parameter «V— T, b^—i . . . statt a, b . . . ; für gerades » ist derselbe immer = — 1.

Der Beweis für diesen Satz ist einstweilen durch Ausrechnung

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Ii o/m a n n: Allgemeine ParameUidarttdlung.

zu führen — eine strengere Ableitung desselben, als die bisherige, durch Induction gegebene, bleibt demnach wünschenswert ').

§. 4. Directc geometrischo Ableitung der Coc ff iciente n -Tabellen.

Ist eine homogene quadratische Function vou beliebig vielen, n, Veränderlichen gegebeu in der spccicllcu Form

G xt + yt + t% + w*+ ...

so kann

G = 0

gedeutet werden als die Gleichung eines (» — 2)-dimen9ionalen Punkt - eontinuums im Räume vou (« — 1) Dimensionen.

Beispiel. Die Gleichung

rf+f Q

stellt eine imagiuäro Kugel vor im dreidimensionalen Räume; die

Gleichung

ist die eines Kreises mit dem Radius V— 1 in der Ebene.

Ein Punkt a, b, <?, d . . . ausserhalb dieser Fläche („Fläche" im übertragenen Sinuc), für welchen also

ai + bt+^ + tf^ , ..>0

kann dann mit einem Punkte r, y, *, te ... auf der Fläche durch eine Gerade verbunden werden Die Coordinateu X, F, Z, \V . * . des /weiten Durchstosspunktcs dieser Geraden mit der Fläche werdcu sich als lineare Fuuctioueu vou r% y, z vo . . . einstellen; es sei etwa

A' ■= <jp, («r, y, s, w . . .) Y tp. (a-, »/, z, w . . .) u. s. w.

Werden nun in der Gleichung

G -=>0

I) Auf mulei-rm Wege ist Herr Voltmnnn in ^Zeitschrift für Mnthero. n. rh.ü IM. It*... 523 LT. auf ähnln ho Uihlnngcn gelangt.

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HoJ mann: Allgemeine Parameter dar Stillung.

233

überall an Stelle der *, y, *, w . . . diese Ausdrücke für X, Y, Z, W . . . substituirt:

G' (*, y, w . . -)]2-f [>*(*, y, .)]* + • • • - 0

so wird, wenn ein System vou n Zahlen jt, y, «, w . . . der ursprüng- lichen G genügt, auch der durch Rcchnuug, durch die Transforma- tionsformclu <p ihm zugeordnete Punkt (das System) X, F, Z,W . . . der

<?' =- 0

gcuttgcn.

Ein Beweisversuch hierfür würde den Wert eiuer Tauto- logie haben; denn wir haben ja a priori uusoro Formeln <p so ein- gerichtet, dass eben der durch sie dem *, y, «, w ... zugeordnete Punkt auf G' liegen muss.

Einer logischen Tautologie muss, wenn zu ihrer Einkleidung mathematische Formeln verwendet werden können, die Mathematik mit einer nach ihren Operationsvorschriften darstellbaren Identität antworten. Somit ist sicher vorauszusagen: für jeden Punkt a-, y, z, w . . . , für welchen

(7 = 0

erfüllt ist, muss

0' — 0

identisch erfüllt sein, d. h. in geometrischer Sprechweise: die Fläche G muss einen Teil von G' bilden.

Da die Substitutionsformcln q> sicher linear ausfallen werden, so muss überhaupt die Flächo G' mit G zusammcufallcu ; d. b. die Form G' muss sich herausstellen als mit G bis auf einen constanten Factor identisch.

Die Beziehung zwischen (x, y, a, w . . .) und (X, F, Z, W . . ,) ist geometrisch eino reeiproke bei festliegendem Systeme a, b, c, d . . . ; demnach muss die Auflösung der Gleichungen

X mm q>t (y, Jf, I, W . . .), F— y, «, K» . . .) U. 8. W.

nach den ar, y, *, w . . . genau dieselben homolog gelegenen Cocf- ficienten aufweisen, wie die Functionen 9 selbst deren besitzen: un- sere Transformation wird eine „involutorische" sein und jedenfalls die „Fläche" G in sich selbst transformiren. Die Herstellung eines geeigneten gemeinschaftlichen Nenners für die qp-Functionen — um die Substitutions-Determinante =- — 1 zu erhalten — bildet eine Hilfsaufgabe; ist dieselbe gelöst, so würde für die independente Dar- stellung von „involutorisch - orthogonalen" Substitutionen durch n — 1 Parameter a\bic:d ... das Material gewonnen sein.

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234 II of mann: Allgemeine Rirameterdarsttllunq.

Wir schreiten nun zur affectiven Bestimmung der qp-Funetionen. Der unbekannte Durchstosspunkt Xt FJ Z, W ... hat als Punkt der Verbindungslinie von (o, &, c, d . . .) nach (z, y, », u> . . .) die Coor- dinaten

~= na-\-kx

Z =■ fic-f- As IV — fi<i-|-Au> u. s. w.

S

Die Einführung dieser Ausdrücke in

G = 0

liefert

p*{a*+b*+ . . ^+2Af»(o«+*y+«i-f dw+ . . .)

H-A2(x8-f y2-f ...) -0

da aber nach Voraussetzung (x, r#, 10 . . .) auf

0 - ü

gelegen, also

so erhält man

tl(a* + b* + cs + . . .)-J-2A(o*+$y-f-c*+ . . .) — 0

Demnach hat man zu setzen:

2(ax-f-fy-j-cs-f . . .):— (a»+*»+cf-f- . . .)

Somit wären die Coordiuatcn des Punktes JT, F, Z, W . . . bestimmt durch Einsetzen in G:

qr, = = 2(«*+*>+<»+ . . .).a — («2-f Ä« + c*-f*/*-f . . > g>, — Y — 2(«x + ty + es + ...)•* -(as4-i8+c*-f-f/*+ . . qpÄ=sZ=2(ax + ty + <*+...).«- ■ • •>•

u. s. w. ')

Iu der Tat wird nun die Einführung dieser ^-Functionen statt der x, y, s, 10 . . , in die ursprüngliche Gleichung

G = 0

das Resultat ergeben: (unsere oben vorausgesagte „Tautologie")

I) Dieselben Formeln fiuden sich in dem Aufsätze von Herrn A. Voss: „Ucber oithogoi.alc SubMitutionen" : Vatlum. Annalcn ; Band 13. (1878) pNg 341.

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H o fm ann: Allgemeine Pnrameto darstelluiig.

235

±{ax + by-\-cz+<hc+ . ■ .)8.(aM-i*-h**+<2*-|- . . .) — Ma* + l>* + c*-l-<r--\- . ..). (ax-f by-\-cz+<hc + . .

oder

G" (a*+b* + c*- + d* + . , ()i , Q o

Demnach hat dio Einführung der cp statt der x, ?,«,»... die Wirkung einer „involutorisch-orthogonalcnu Substitution für die homogene Function G — zunächst aber noch bis auf das Hiuzu- treten des Factors (a»+ft»+ c*+<P+ . .)».

Die ^-Functionen sind, ausgerechnet:

/ X— cpj — (as_Ä«_c*-. . .^-}-2aÄy-f-2rt^-f . . . \ y=T2 = 2&«a:-f(— al-f-£2 - c2 — t/2— ...)y+2Ä« -f ... T \ Z=> <n - 2c«* + 2<:AyH-(-a2-*2 + C2-d2— ...)*+..

( u. s. w.

Dividirt man aber jede derselben durch

80 wird dieser gemeinschaftliche Nenner iV in der umgeformton qua- dratischen Function G durchweg im Quadrat auftreten, somit sich gegen den Factor («2-f b*-\- c*-\-d*-\- . . .) im Ausdrucke für G'' fortheben.

Wir fügen, der bessern Uebersicht wegen, die Coefficienten als Determinante zusammengestellt, hier ein:

T

a2_|_6*_cs_,iS_ ... 2ab Vac

2ca 2ci _a«_£8_|-cs_,/*-

Hiermit erscheint unser Problem für homogene Functionen, dio nur Quadrate der Veränderlichen enthalten, vollständig gelöst.

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230

H o f m an h: Altyt meine Phrameterdarrttlltihg.

Die Formeln T siud im Einklänge mit den früher darch In- duetion gefundenen Ausdrücken AA\ den Beweis für ihre Eigen- schaften brauchen wir nicht mehr durch Ausrechnung zu erbrin- gen ; er liegt in dem Gedankengange, dem sie ihre Existenz verdanken.

II. Lineare inrolutorisehe Substitution für allgemeine

quadratische Formen.

§ 5. Herstellung der Substitutions-Coefficienten-, Eigenschaften ihrer Determinante.

Wir werden im Folgcndcu die rasch fördernde Methode der symboli8cheu Rechnung ausschliesslich benutzen — durch ihre An- wendung wird sich die Lösung der uns vorliegenden Aufgabe, sowie der Nachweis für einige merkwürdige, höchst allgemeine Determi- nanten-Relationen besonders übersichtlich gestalten.

Es sei eine homogeue quadratische Form von n Variabein vor- gelegt:

A <ix* = f>** = <•** == <IJ . . .

«* = «1*1 + + «3** + • • •

dann kann ein Punkt y ausserhalb der Fläche

A - 0

fest angenommen werden, so dass also:

Wird dieser Punkt y mit eiuem auf der Fläche sich vorfinden- den Punkte x verbunden, so müsseu, wie in § 4., die Coordinaten des zweiteu Durchstosspunktcs A' mit der Fläche — auf der Ver- bindungsgeraden von x nach y — sich einstellen als lineare Func- tionen von xi.

Man hat nun für A% eben weil auf jener Verbindungsgeraden gelegen :

Xi — pyi+l*i\ i=l, 2, 3 ... und daher zur Bestimmung von p:i die Gleichung

A' =0

oder

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Hof maus, Allgemeine Parameter dar Stellung. 237

Da nach der Voraussetzung

ax2 = 0

so erhält mau

demnach die „involutorischen" Substitutionen:

F N . X, r — 2(ax ag ) y,- - aM* . x»

Um für diese X einen Nenner N zu bestimmen , welcher nach der Transformation die Form ax* vollständig identisch mit sich selbst — ohno Zahlenfactor — erscheinen lässt, haben wir nachträglich die Wirkung der Substitutionen F in

A = 0

zu untersuchen.

Die Substitutionen Fergeben nun:

A' A{axay)(dsdy) b„* -i(axag) . + W • ^8 = 0

Man erkennt dies durch wirkliche Einführung der für die X be- stimmten Ausdrücke:

A' [2(ax ay) . bM — . - 0

denn dies gibt, nach Taylor 's Theorem entwickelt, genau unsere obige Form — iudem wir weitergehend noch neue Symbole ein- führten, um im Resultate A' die Vieldeutigkeit der symbolischen Ausdrücke zu vermeiden.

Die beiden ersten Glieder der Summe A' zerstören sich nun identisch, somit wird durch die Verwendung der JT-Formeln sich die Gleichung

.4-0

mit dem constanten Factor (ay8)(^8) behaftet — einstellen; dividirt man also gleichmässig sämtliche X durch (die Zahl) av\ so wird identisch

A'==A

Wir stellen demnach die Tabellen 7'x, T der „involutorischen" Substitution auf, welche „die Form A identisch in sich selbst trans- formirt" :

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238

Hof mann; Allgemeine Parameter JarsttUnmj.

oder (beispielsweise ausgerechnet für ft = 3):

A N

JN N iv* iV N N

Ohue jede Ausrechnung können wir aus der geometrischen Entstehungsart dieser Determinante, wonach die Substitutionen T involutorisch sein müssen, voraussageu :

„Es sei in der Determinante T das A te Glied der i'tcu Zeile mit a» bezeichnet, ferner mit Aa die Unterdctcr min ante der Stelle a&. Mau hat danu identisch:

a,k = Ak, x)

Schreibt man nämlich die Tx Substitutioneu mit Hilfe der a :

-VS =• «31 rl + anri + «33*3

so ist nach unserer geometrischen Herleitungsweise erwiesen, dass umgekehrt:

r, — an A\ -f «, j Xt + «is ^3

= rtj, Xj + «23 + «*3 «*3 *% = «31 4" at1 X% + «33 -*3

Aber nach deu Regeln der Algebra würde man erhalten haben:

wobei ^ die ausgerechnete Determinante T. Um nun r auszu- werten, lassen wir zuuäehst zur Einfachheit den Neuner weg — und können dio so entstanden* Determinante 4' nach den Potenzen der 3 in der Diagonale sich hervorhebenden Glieder at\ cf ent- wickeln.

4tx — Au Jf, -{- yl81 -f A91

I) Obige KiiFsunfr gilt für unser Beispiel einer 7*- Determinante für ^i = 3; »llgtnnin iit tlngegcn

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IIa f mann: Allymeine Purameterdarstelluntj. 239

Wir erhalten zunächst als Product dieser drei Grössen: - (V)3.

Fassen wir dann die Producte von je zweien jeuer 3 Grössen ins Auge, so findeu wir als weiteres Glied der Entwicklung:

au* . V . 2y3(<-3 <>„) -f V • V • 2fi («i aS> + <V* • <V ■ 2y*(*s h»)

■= 2 {#» tls d* -f- y* tl2 dt H- y\ <li d$ \

= 2(0»«)*. df a 2(V>8

Um jeno Glieder von //' zu bestimmen, welche ay*, Ä^*, <^2 gar nicht enthalten, haben wir an Stelle dieser Grössen Ü einzusetzen; so erhalten wir als Factor von (a/)°:

Cl\(ly a%nH aSaH

(l\ flu <f I 0(1

b b b b I ^er er8ten Potenzen — etwa c,*

was offeubar verschwindet — ; der gleiche Schluss würde auch gelten für die Factorcn — etwa — jener 3 hervorgehobenen Glieder. Demnach ist

s - _(ff,y+2(V)>- +(«,)»

dies gibt nach Division mit dem Kubus des Nenners [af) den Wert oder T -=> -f-1.

(Im allgemeinen Falle ist 4 =* (— l)"-1).

Zu unseren Formeln für J .xi und n zurückkehrend, finden wir somit den ausgesprochenen Satz

0, * = Akt

bestätigt.

Zahleubeispiel für Aufstellung einer Coefficiententabello und deren

Untersuchung.

Der Kreis

K flr1« + «rt«-l2x,»+6*i*« + 4*s*i « 0

mit dem Mittelpunkte f, f und vom Radius — 5 kann transformirt werden mit Zugrundelegung eines Punktes, wie

1, 2, 1

der nicht auf ihm gelegen, = 9).

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240

Hofmann: Allgemeine Jhrameter dar Stellung.

Die Tabelle F der A-Substitutionen ergibt sieb all

9 Xx = 2[(x, + 2*3) . 1 + (r9 + 3*,) . 2 + (2a-, + 3a-, - 1 2a-3 . 1 ] 1 - 9a-, 9A', - 2[(r1 + 2a-s).l + (z4+3x3).2-h(2a-t-|-3x,-12a-3).l].2- 9x, 9X3 = 2[(a-1-{-2a-8).l-f (x4-f3a-!|).24-(2a-1-|-3a-8- 12r3).l].l — 9a-,

oder ausgerechnet:

9A, - - 3a-,-fl0a-, - 8a-3

9A', - l&t+llff,— l&r,

9X,=- 6r, + 10a-, - 17a-a

Diese Formeln geben also zunächst, wenn ein Punkt beliebig auf der Kreispcripborie vorgegeben, etwa 1, 1, 1, denjenigen Puukt A", wo die Verbiudungsliuic vom festen Punkte 1, 2, 1 nach dem beweglichen Punkte (1, 1, 1) hin zum zweiteumale den Kreis trifft Dem Puukto 1, 1, 1 entspräche

9A-, - —1, 9X, - 7, 9A~3 1

Zweitens aber werden die Formeln für die AV, an Stelle der x% in die Kreisgleichung eingeführt, dieselbe identisch in sich trnus- formiren; und schliesslich ergibt sich durch Auflösung der 3 Glei- chungen nach

9a-, = - 3Af, 10At - 8A3 9,,= 12A', 4-llA't_l6A-3 9-r8 = 6A,4-10A8 _17A'a

Wie unsro früher gegebeneu Formeln (§§ 1. — 4.) nur Äusserst spccialisirte Fälle des in diesem Paragraphen gelösten, viel allge- meineren, Problems bilden, kann an dieser Stelle am besten über- schaut werden. Die dort in die Substitutionsformeln eingeführten Summen :

2(ax-f by-\-cz+ . . .) oder («»-H8-f-c»+ . . .)

sind nichts andres als die Polaren und Formen 2(axow)y af dieses Paragraphen; die feste Gruppe a, *, c, d . . . entspricht dem nuu- mehr benutzten festen Punkte y.

Ist der zu transformirende Puukt x so gelegen, dass so füllt X mit x zusammen, wie aus den Formeln F ersichtlich.

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Hofmann: Allgemeine Paramelerdarxtellung.

241

§ C. Formale Erweiterungen der gefundenen Formen, sowie verallgemeinerte Anwendungen dersolben.

Wenn wir die Formeln T des letzten Paragraphen ins Auge fassen und uns daran erinnern, dass die Coordinatcn y fest gegebene Zahlen vorstellen, so lehrt eine kurze Ueberlegung, dass für unser ganzes Transformationsproblem nicht die einzelnen Coefticienten a,k der zu transformirenden Form <ix* wesentlich sind, sondern immer nur gewisse Verbindungen derselben mit den Zahlen y, nämlich die Ausdrücke (ataM) . . . (auay)\ so dass man also recht wol

den Cocfficienten o* ganz neue Werte geben kann, wenn nur jene Verbindungen, beispielsweise

(a,a„) — any!-r- «is 2^8 + ^3^+ • • • + «MJfc bei gleichgebliebenen y, ihren effectiven Zahlenwert nicht ändern.

Man kann also jene Ausdrücke gleichsetzen resp. (ßxßy), ißtßy) . . . (ßfißy), entstanden aus einer ganz ueuen Form ßx*. So wird also durch die Transformation T nicht nur die Form a** in sich transformirt , sondern auch die mit vollständig verschiedenen Coef- ficieuten versehene Form ßx\ wenn eben nur immer

(fiißt) — iß*ß») - «• »• w.

Hier stehen rechts auszurechnende Zahlengrösssen — im ganzen

erhält man p Gleichungen für — - wesentliche Unbekannte,

nämlich die neuen Cocfficienten ß,%

Zahlenbeispiel. Es sei vorgegeben gewesen die Summe r,*+ *■«*+ fa*; sowie der „transformirendc Punkt" y(l, 2, 3). Man er- hält zunächst

Stellt man nun die Gleichungen auf:

fcfr = ft|.l + fti.2 + As.3 = p.l

^^ = ^1-1 + ^.24-^.3^0.3 welches System beispielsweise befriedigt wird durch (ßu — ßik) : 0 = 27; ß„ - 15, ßlf = - 3, ßiS - 6, ßn - 12, fu = 11,

so würde die auf den Punkt y(l, 2, 3) sich stützende orthogoual- involutorischc Transformation der Summe »V + av'+i'y1, nämlich (§4.)

Areh. d. M.th. u. Phy«. 2. R.ibe. T. VIII. 1 G

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242

Ho J mann'. Allgemeine Parameter dar Stellung .

NJL\ lfe^-f- 4*+ 6*,

aar,- 4*,- ex,-fi2r3

eine solche sein, dass sie auch den Kegelschnitt

/V = 16*^-6*,*,+ 12rt»+12*xrs+22*flvf y«-,* - 0

in sich transformirt — sie würde neboubei auch die Punkte dieses Kegelschnitts involutorisch ordnen.

üeber 4 Coefficienten ßa kann hier vor Auflösung der sie de- finirenden Gleichungen

ßißy = a%av

willkürlich verfügt werden — allgemein über ^ -« — ; aber trotz- dem wäre es ein Cirkelschluss , wenn man annehmen wollte, dass durch diese Verfügungsfreiheit über die ß etwa eine Verallgemeine- rung in der Parameterdarstollung der involutorisch - orthogonalen Substitutionen erroicht wäre.

Nachdem wir nun für die Entstehung der Formeln eine Er- weiterung erreicht haben — wenigstens eine formale — kann auch eine Ausdehnung ihrer Verwendbarkeit nachgewiesen werden.

Wir wissen, dass die Formeln F, Tx involutorischen Charakter haben — zunächst in geometrischer Weise und zwar für Puukte der Fläche

rt*2 = 0

die Coefficienten- und Variabein- Verbindungen aber, wie sie vom Verein der Transformationsformeln vorgestellt werden, bringen diesen Charakter auch algebraisch zum Ausdruck durch das Bestehen von formalen Identitäten, wie etwa die wichtigste

F(X) - x

in welchen dann den Symbolen t für die Veränderlichen nicht mehr die Beschränkung anhaftet nur 'als Coordinatcn von Punkten auf einer gewissen Fläche anerkannt zu werden.

Demnach transformiren alle bisher gebrachten Transformations- formcln nicht nur die Punkte der jeweilig ins Auge gefassten Fläche

a«* = 0

in Punkte derselbon Fläche, sondern sie ordnen in involutorisch. colUnearer Weise alle Punkte des (p — l)-dimensionalen Raumes einaiider paarweise zu.

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Hof mann: Allg'meint Parametf Klarstellung. 243

Für diese involutorische Ranmtransformation ist uach dem Schlüsse von § 5. die Fläche

axaM = 0

der Ort der sich selbst zugeordneten Punkte :

X = x

Unsere Formeln Tx gestatten überdies noch eiue eiufache Ab- leitung des Satzes:

„Die Flüche

aM ay = 0

trennt mit dem festen Punkte y jedes sich entspreeheudo Punktepaar ar, A' harmouisch."

Denn es sei ** ein auf der Fluche

a,a9 = 0

gelegener Punkt, daher

ax> . ay — 0 wir wollen dann zum Puukte

den nach unseren Formclu conjugirten Punkt Z bestimmen.

Das Einsetzen in die Tabelle Tx ergibt als zugeordueteu Punkt Z : Q.Zi<~ 2{a„i+ W . a„)yi - a,* . Igi+U'i)

da aber

a* ■ ay — 0

so hat man demnach

y% -f tei ; g .Zi = yi — Ar,'

was zu beweisen war.

Zusammenfassend also und wieder anknüpfend an das im Ein- gange Bemerkte: Nachdem eino Fläche

aufgestellt und benutzt worden ist, um eine involutorische Raum- Trausformation zu liefern, ist es nicht mehr nötig, sie für jene durch sie erzeugte Transformation ausschliesslich beizubehalten — im Ge- genteile sind dann unendlich viele Flächen

nachweisbar als geeignet die Stelle der

16*

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244

II of mann: Allgemeine Parameferdarstelluttg.

<T*'=0

zu ersetzen; das Charakteristische einer solchen Transformalion ist vereinigt in den fi Coordinaten (a, a,) der ebenen Fläche

Oder auch: Bei Involutionen dieser Art darf der transformirende Punkt y, sowie die Znhlenwerte der Coordinaten der Fläche der Doppelelemente beliebig vorgegeben sein, — nachträglich köuucn dann Flächen

gefunden werden, die gleichfalls geeignet wären jene Transformation zu ermitteln.

Anm. I. Von Herrn Mansion, Nouvelle correspoudance de mathematiques, Bnd. IV., p. 2f»7. wurde bewiesen, dass jede lineare involutorischo Zuordnung von dor Art sein muss wie unser aufge- stelltes System, d. h. dass sie sich stützen muss auf einen „trans- formirenden Punkt", sowie ein lineares Gebilde, welches die Doppel- elemente der Zuordnung enthält.

Anmerkung II. Ist vorgegeben

V\ - V* a • • • = y/u-l — O; ^ 0

sowie als Gleichung der Fläche der sich selbst entsprechenden Ele- mente

ay ■= 0

die folgende

^« = 0

so nehmen wir als transformirende Fläche zweiten Grades die folgende

~ 0

Ihre Anwendung gibt die Transformationsformeln

i («uy/O • x* — — {«nVn) ■ t««l, 2, 3, 4 . . . — 1)

Für 3 oder 4 Veränderliche kann man mit

*ii==0

die Vorstellung der Gleichung einer endlichen Coordinatenfläche (— Axe für n = 3), oder der Gleichung der sogenannten „unend-

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Ii of tnann\ Allgemeine Parameter dar Stellung.

245

lieh fernen" Funkte verbinden. Mau erhält dann als geometrische Deutuug uosrer algebraischen Spocialisirung in dem einem Fallo jene Transformation, für welche die Bezeichnung „Spiegelung" üb- lich; im andern Falle jene Zuordnung, wo zwei Punkte X und x jeweilig die entgegengesetzt gleiche Entfernung und Richtung vom sogenannten „Anfangspunkte" 0, 0, 0, ... 1 aus aufweisen. Der involutorische Charakter dieser boiden Transformationen ist evident.

III. Involutorische Transformationen von Formen dritten Grades.

§ 7. Iuvol u torisch-rationalo Transformation einer homogenen Form 3ten Grades in sich selbst.

1. Es sei vorgegeben

ax* = bx* = cx3 sowio ein Zahlensystem (Punkt) y, für welches

erfüllt ist.

Die Verbindungsgerade

X = py+Xx trifft, wenn x ein beliebiger Punkt auf der Fläche A «x3 - 0

dieso Fläche zum drittenmale in einem Punkte JT, dessen Coordi- naten rational ausdrückbar sein müssen durch die von x, sowio jene des festen Punktes y.

Wie früher schliessen wir weiter: angenommen, man habe For- ty)

mein y,(x) construirt, welche in ihrem geometrischen Aufbau uns verbürgen, dass immer der Punkt

X, = <p<

auf der Fläche A:

«xS«0

sich befindet, wenn y und x darauf liegen, so muss — als mathe- matische Identität — sich beim Einsetzen dieser «^-Functionen in die Flächcngleichung:

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24C Ho f manw. AUyemtine Parametei dartttllung.

A' af ■ - 0

ergeben, dass A ein Divisor vou A' ist

Denn stellen wir uns eiuen der unendlich vielen Punkte der Fläche

vor, etwa x', so weiss mau schon, dass nach effectiver Berechnung der <jp-Functioneu bei Einsetzung der Zahlen *t\ x,', . . . xM' in

(welch letzeres die Symbole 'x„ xt . . . enthalt), A' deswegen ver- schwindet, weil der Punkt <p auf A gelegen.

Da dies nun aber für jeden der unendlich vielen Punkte x' auf A gilt, so muss der algebraische Ausdruck von A — der durch die Allgemeinheit seiner alle Zahlen umfassenden Buchstabenzeichen x„ x, ... alle Punkte einer Fläche A aufzunehmen geeignet ist, indem man eben nach

a«s — 0

nebenbei schreibt — , durch eine zwischen A und A' bestehende Identität von der Form

A-f.A'

die logisch festgestellte Tatsache sichtbar machen, dass eine belie- bige Zahlengruppe x,' . . . xß' mit

A — 0 auch A' = 0

erfüllt (f darf dabei selbst eine Function der * sein). D. h. die Ausrechnung wird und muss zum Ausdruck bringen, dass die Fläche

^4 = 0

einen Teil der transfor mirten Fläche

A' = 0

bildet

Um die Transformation wirklich herzustellen, setzen wir Xi — Mi+Xzi in ««* = 0 ein, um zu erhalten:

wobei vorausgesetzt wird:

V - 0, a,s = 0

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H ofmann: Allgemeine Ihrameterdarstellung.

247

Wir finden: daher

p : A — (oya,*) : — (a/a*)

Schliesslich hat man

Diese Zuweisung 7' ist eine involutorische; denn wäre y sowie ein bestimmtes, aus x' errechnetes X\ vorgegeben, so wurde sich als dritter Schnittpunkt mit der Fläche auf der Verbindungsgeraden yX' offenbar wieder der Punkt x' einstellen müssen, der zur Her- stellung von A" gedient hat ').

Durch Einsetzen des WertcB von X in dio Flächengleichung erhalten wir A' und erfahren dabei, welches der Factor / ist, um welchen A! gegen A muttiplicativ vermehrt erscheint :

A' *) U*V)".V - 3(a,a,»)*.

(hierzu ist die Gleichung A mit dem Symbole c geschrieben worden, ebenso 2z mit a und b).

Nun ist nach der Voraussetzung

Demnach erscheint die ursprüngliche Form behaftet mit dem Kubus eines linearen Factors —(V6*)- Will man demnach Formeln auf- stellen, für deren Anwendung die üeberführung von A nach A' eine vollständig identische ist, auch der Form nach, so hat man statt Tx verbessernd zu schreiben:

NXi (a^y. + ^a*)*,; iV=(o,a/)

Es sei bemerkt, daas für den Punkt

Xi — yi

alle Transformationsformeln illusorisch werden. Denn man hat, mit oder ohne Nenner schreibend:

1) Et ici hervorgehoben, dasi der involutorische Charakter der Involution Tu nur erkannt tot, so lange Punkt« der vorgegebenen Fliehe A transfor- mirt werden. Dass obige Formeln überhaupt involutorisch sind, für alle Punkte (*!, x, ... wird spater (§§ 8-10.) erwiesen werden.

2) liier bedeuten die Klammern, dau jeder in ihnen enthaltene Aus- druck durch effective Bestimmung der Symbole ausgerechnet und dann erst Potensirt worden soll. Strenger wäre (a«fa,) .(d**^) . u- 8- w

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248 f/o fmann: Allgemeine Parameterdarstellung.

wegen

a„* = 0

Andrerseits entspricht jedem Pnnkto für welchen

afax' = 0 ist,

d. h. der ganzen Flächo

ay*ax — 0

entspricht der einzige Punkt y.

Die p Ausdrücke der Xi stellen also Flachen zweiten Grades vor, die den Punkt y„ yt . . . y? gemeinschaftlich besitzen ; man kann aber leicht zeigen, dass sie sich sämtlich dort berühren1)

Um dies nachzuweisen, bilden wir dio Gleichung der Polarfläche einer solchen Fläche A'„ genommen für den Punkt yu yt . . , yu als Pol und geschrieben mit z als laufenden Coordinaten.

Xi = (a,a«') yi—(a, a„*)zi

gibt polarisirt:

2(a, . Oy . af)y, — Vly« + I ö Vi • («A«)

da

Diese Tangenteufläche ist daher dieselbe für alle p Flächen X»\ sie ist überdies die Tangentenfläche an die vorgegebene Flächo dritten Grades

a*» = 0

Wir werden diese geometrischen Untersuchungen später erledigen und kehren zu unsern Formeln Jjf NX zurück , um denselben den Satz zu entnehmen:

„Für eine Function von höherem Grade als dem zweiten ist es

— im allgemeinen und auf einen beliebigen Punkt y sich stützend

— nicht möglich durch ganzo Functionen der Variabein als Traus- formationsformeln X dio Form in sich selbst ohne Factor überzu- führen."

Speciellc Beispiele für p — 3.

A a*!3 + ß*t *+ F38 + 6* . *, xt ar8 — Ü

liefert

1) Dir«: Berührung ist nicht die gewöhnliche, sondern die innigste *u- näch»t der Identität.

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üo/mann: Allgemeine Parameter dar Stellung.

249

= r1(«y11 + 2kyiys) + *s(/V + 2*y83r,) + ar8(m,+

2*y, yt) - *

(«,*.*) - y«(«i,+2fcrtri)+Ä(/fct« + 2*arf«1) + 8f,(l«s1 +

2kxlxs) — 3/

Dio Substitutionen:

— N.Xi - Myi—N.xi

liefern erstens, wenn 2 Punkte der Curve A bekannt sind, y und x, den dritten Schnittpunkt der Geraden ary mit der Curve, JC, ra- tional ; sie besitzen zweitens die involutorische Eigenschaft, d. h. sie geben nach n aufgelöst genau dieselben Functionen g>, in den -A'„ welche aus den ar, die A', direct zu bilden gestatten; und ihre Ein- führung in dio Gleichung der Curven dritter Ordnung A, an Stello der y, wird diese Gleichung identisch in sich überführen.

Zahlenbeispiel. Soi vorgegeben

a = ß-y = l- fc--|

d. h.

als y sei gewählt der Punkt

Vi = 1, y* = 2, ys -» 1 Die ausgerechneten Transformationsformcln sind

Q .Xx = 2V+'31-4a-1a-,^riar3- t(r1xs~2ar1s p . — 2x» * + 2<r3* — x, ar3 — $(4*, *3 — *t»)

•2*,') »)

Die Einsetzung

V+V+*38-- 5*^*3 gibt (x1»+x,M^s,-^*f*5).(*i- ^+*3)s

bis auf einen Zahlenfactor; die 3 Kegelschnitte Xx Xt X3 gehen durch den Punkt 1, 2, 1; in demselben dio Curventangente desselben Punktes, nämlich

berührend.

Dass sich die 3 Kegelschnitte X in y sogar dreipunktig be- rühren, wird später gezeigt werden,

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250 Hojmann: Allgemeine Pararnttttdanteliung.

§ 8. Geometrische Eigenschaften der Functionen, welche die i n v o lu torisc he Substitution vermitteln.

Setzen wir einen der 3 allgemeinen Ausdrücke <p, fflr die Irans - formirten Coordiuaten X»y etwa qn3, — 0, so hat man

<jpj = (<*, ys - («* V) 's - 0 ; - Xt Demnach wird jeder Punkt */, rt\ rs\ welcher

befriedigt und der Curve

«,»-0

angehört, transformirt in einen Punkt

Jf,' — endlich Xt' — endlich Xs' ~ 0

demnach liegen alle jene Curvcnpunkte X\ welche durch unsre Transformationen zugewieseu werden den Schnittpunkten des Kegel- schnitts

9s-0

und der Curve auf der Gnaden

*3 - 0

Nun hat aber diese Gerade mit der Curve dritten Grades nnr 3 Schnittpunkte gemeinschaftlich — daher kann der Kegelschnitt

mit der Curve nur 3 von y verschiedene Schnittpunkte aufweisen-, er muss demnach in y, y,y3 die Curve

a,»-0

dreipunktig berühren.

Wir können diesen Schlnss leicht verallgemeinern und zugleich neue Sätze gewinnen.

Wenn 3 Punkte X', X*» der Curve

gleichzeitig auf der Geraden

a Xx bX% -j- cXt «■ 0

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U n/mann: Allgemeine Paiamelet dar Stellung

251

liegen, so ist auch für jeden der drei Punkte x auf derselben Curve, welche die drei X durch Transformation erzeugt haben :

«*'*) • y, — (fx «,*] -f b [ (a, a/*) y, — (a, a,*)

+ c[(aya,'*)y3-(a,V)a-,'] - 0 D

dazu noch

ax>* = 0

sie sind also Schnittpunkte des Kegelschnitts D mit der Curve.

Dieser Kegelschnitt D nun hat an der Stelle y genau dieselbe Taugente

wie die 3 einzelnen Kegelschnitte <j„ aus welchen er additiv zusam- mengesetzt ist; d h. Z? berührt die vorgegebene Curve

A — 0 oder ax* — 0

im Punkte y — ; einstweilen also wäre eine — zweipunktige Be- rührung in y erkannt.

Nun gilt aber als Anwendung des bekannten Schnittpunktsatzes von 3 Curven 3ter Ordnung durch 8 Punkte der Lehrsatz:

„Liegen die 3 Punkte X1, X", Xlu einer Curve dritter Ord- nung auf einer Geraden, und sind x11, xui deren Projectionen auf dieselbe Curve von einem festen Curvenpnnkte y aus, so berührt jener Kegelschnitt Z), welcher durch x7, i"' sowie durch zwei in y unmittelbar benachbarte Curvenpunkte geführt werden kann, die Curve dritter Ordnung 3 punktig in y »)".

Demnach berührt unser obiger Kegelschnitt, der durch Trans- formation aus

aXi+bX^ + cXt — 0 entstand, in y die vorgegebene Curve dritten Grades

dreipunktig.

Somit wird jeder Kegelschnitt von der Form

die Curve

a,' = 0

in y dreipunktig berühren. Denn er geht durch die Projectionen x der 3 Punkte JT, in welchen die Gerade

J) Dieser Satz ist umkehrbar.

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252 Hof mann: Allgemeine PaiamelerdarMtellung.

aX1-{-bXt-\-cXi = 0

die Curvc schneidet — berührt scinar additiven Zusammensetzung nach die Curvc zweipunktig, somit nach dem geometrischen Satzo sogar dreipuukt'g.

Anmerkung L Die am Schlüsse des vorigen Paragraphen ge- brauchte einfache Form der Transformation lässt dieso Verhältnisse noch deutlicher werden. Der Kegelschnitt g>8 für Z, nämlich

| — (yz + oxy-f + ex») - 0

ist im Endlichen gelegen und schneidet die vorgegebeue Curve

Q yz* + z(axy + by* + cx*) + \ax* + ßx*y-\~yxy*+ VI - 0

im Eudlichen. Ist nun für einen bestimmten Punkt x'y'

zugleich

a -0

so liegen die transformirten Punkte X' Y' auf der Curve unendlich fern, da der Nenner Z' verschwindet.

Somit liegen die 3 transformirten Punkte der Curve, wio sie den 3 Schnittpunkten mit dem Kegelschnitte j zuzuordnen sind, auf der unendlich fernen Geraden.

Andrerseits könnte man auf die Lago der transformirten Punkto auch aus der Gleichung schliessen, die für den Punkt x'y' erfüllt sein muss:

v'

sie gibt 3 Richtungen ~ , an, in welchen erstens die endlichen Schnitt-

X

punkte x'y der Curve mit dem Kegelschnitte

9>s-0

liegen müssen, ist aber dabei identisch mit der Gleichung, welche die Richtungon der drei unendlich fernen — auf einer Geraden gelegenen — Curvenpunkte bestimmt hätte.

§ 9. Formale Erweiterungen der Transformationsf ormeln; das Netz von Curven dritter Ordnung, di e du rch dies clbc in volu torisch -quadratische Substitution in sich transformirt werden.

Immer deutlicher tritt der geometrische Charakter unsrer <p- Fuuctioncn, nämlich der einer quadratischen Crcmona-Transformation

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Hof mann: A llgr meine Parameterdarstellung.

253

mit 3 zusammen fallenden Hauptpunkten l) hervor — aber wir sind noch nicht berechtigt gewesen diese Bezeichnung principiell anzu- wenden, da wir bisher immer nur Geometrie auf einer Curve ge- trieben haben und nur für deren Transformation, nicht für die ganze Ebene, unsro Formeln construirt wurden. — Die formalen Er- weiterungen dieses Paragraphen bereiten den Ucbcrgang von der einzelnen Curve auf die Ebene vor.

Wie früher, bei dem Falle von quadratischen Formen können wie uus fragen mich den Zahlen, welcho bei unsror Transformalion von Curven dritter Ordnung in sich selbst wesentlich sind. Stellt sich hierbei heraus, dass deren Anzahl geringer als die der Cocf- ficienten einer solchen Curve, und dass diese 9 Coefficientcn nur in gewissen Verbindungen auftreten, deren Anzahl < 9, so ist damit die Aussicht eröffnet, dass unendlich viele Curveu — wenn eben nur ihre Coustauten in jeno Zahl you Bedingungen sich fügen, gleich- zeitig durch genau identische Substitutionen in sich transformirt werden.

„Für die Transformation einer Curve dritter Ordnung, die sich auf den Curvcnpunkt y stützen will, sind nur die 6 Grössen

«i*fl»; «3*«y; «si«*; «is«*

wesentlich; d. h. die 6 Coefficientcn des Kogelschnitts

a¥ax* = 0."

Beweis. Man hat zu zeigen: 1) dass jede Curve 3 ter Ordnung, für welche 6 Gleichungen bestehen

iß* • ß* = «i* • «* ; ßn • ß» = <hs • ß*'ß* — • ß» — «31 • a*

rV-ftr — 0ia • ßw = «j« • av

den Punkt y enthält, wenn

Oy' — 0

2) dass die Transformationsformeln <p« für die ß Curve iden- tisch sind mit jenon für die a- Curve, solange sich beido auf den Punkt y stützen.

ad 1) Die Gleichung kann geschrieben werden:

I) Snltni»n-Fio«Iler : Höhere ebene Curven. Art. 330.

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254 Hof mann: Aügtmtine ParamtterdnrMHllmn«.

ßxtßw ■ **+*ßmh Ms

+Ä,Ai • ys'+2/W,

Nun ist nach der Voraussetzung

ferner sind alle hier vorhandenen links vom Striche stehenden Grössen nach der Voraussetzung S gleich den für a entsprechend gebildeten ; das Zusammenhalten dieser beiden Voraussetzungen zeigt, dasa die Zahlen yxytys oben eingesetzt die Bedingung

befriedigen.

2) Ist das System S erfüllt, so sind die beiden Kegelschnitte

atax* = 0 und ßw ßÄ* — 0

vollständig identisch. Bildet man nun die Polare des nämlichen Punktes y (seine Tangente) in Bezug auf

OyO,* — Ü als a9 . a9 . aM — a*oÄ — 0

und andrerseits in Bezug auf

ß,ß,*-0 als = 0

so müssen beide Gleichungen der Tangente vollständig überein- stimmen. D. h.

a9saj «= 0

muss in allen darin vorkommenden 3 Coefficienten identisch sein mit

ßjßm = 0

Wenn man will, kann man diesen Schiusa deutlich machen durch das Hinschreiben von ß9ßj* — 0:

ßrßw yi *\-¥ßtißv • yir*-f-&i ß» • 9ir*

I j

ßitßw yt*x+ß*ßs -ytT*+ßs*ßw u**

ßnßp 9i*t + ßt*ß* -lirt + ßssß» ys's

wo wiederum links vom Striche Zahlen stehen, für deren Gleichheit mit den für

giltigen durch das System S Sorge getragen wurde.

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Hof mann: Allgemeine Parametertlarsttlluny. 255

Demnach sind die Formeln

qp, — Xt «> {avax*)yi -(asa^n

and

identisch bei Bestehen dor 6 Relationen S.)

Somit werden durch ein solches, einmal aufgestelltes System der <p, unendlich viele Cunren dritter Ordnung mit gemeinschaftlichem Punkte y (und gemeinschaftlicher Tangente in ihm) gleichzeitig in sich selbst traiisformirt und keine diese Curven ist vor den übrigen ausgezeichnet

Es sei bemerkt, dass die 4 Punkte, in welchen die 4 von y aus an eine solche Curve möglichen Tangenten dieselbe berühren, auf dem festen Eegelschuitte (a„ax*) — 0 liegen; somit auch die Doppel- punkte der im Systemo vorkommenden Curven vom Geschlechte 0. Dass solche Curven

sich überhaupt unseren Bedingungen, S fügen können, wird durch die geringe Zahl der letztern erwiesen.

Unser oft gebrauchtes Beispiel

gibt bei der Verfügbarkeit über aßyd die Existenz jenes Curven- systems von gleichen Transformationen nochmals zu erkennen.

§ 10. Erweiterung der Anwendbarkeit der für ebene

Curven dritter Ordnung gefundenen Transformation8formoln; Bildung von invol utorisc h - quadratischen Cremo na-Substitu tionen der Ebene.

Die Curven

0*' = O

welche einer vorgegebenen Curve

ax» = 0

in der Woise des vorigen Paragraphen zugeordnet sind durch die 6 Relationen <S, Überdecken die ganzo Ebene. Denn man hat Freiheit genug bei der Bestimmung von ihren 9 Coefficienten um dieselben durch einen beliebigen Puukt z der Ebene hilldurchzuführen.

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256

JJofmann: Allgemeine Parameterdar Stellung.

Lehrsatz. „Die Transformationen ausgerechnet mit Zugrundelegung oiner vorgegebenen Curve

und eines festen Punktes y auf ihr, sind, wenn angewendet für einen beliebigen Punkt der Ebene, eindeutig umkehrbar und zwar iden- tisch umkehrbar. Man kann ohne Ausrechnung schliesseo: setzt man in die Ausdrücke für die X, nochmals an Stelle der x, die für Xi gebiideten Ausdrücke ein, so erhält man identisch die Coordi- naton ar, ars ar3 wieder (allerdings behaftet mit dem sich gleichmässig einstellenden Factor

/■= (V «,)»)." Beweis. Für die Punkte der Curve

o,» = 0

ist der Satz aus der geometrischen Entstehung (§ 7.) der y-Formeln zu folgern.

Ist nun ein Puukt s vorgegeben, so kann man durch ihn ciue Curve dritter Ordnung

legen, mit gleichzeitiger Erfüllung der 6 Bedingungen

( /V fc = «i * an \ ßn ßv ra an av S < ßfß» — at*aM-y ßuß9 ■= os,«f

^ ßs* ß» = «a8«* '» ßtt ß» — «i« ö#

(dass ßS = 0 folgt hieraus)

Wendet man auf den Punkt « dieser neuen Curve ß die Trans- formation

Tj& <pi - Xi - (fc/V) . y, - (0* (V) *t

an, welcho vollständig in den darin vorkommenden Zahlen mit der für die a-Curve gebildeten identisch ist, so entsteht aus dem Curven- punkte z jener Punkt als zugehöriger 2, in welchem die Verbiudungs- gerade von y nach n die Curve

ßS - 0

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IIa f in an»: Allyeiiieint Parameterdar Stellung.

257

schneidet. Wendet man auf Z nun nochmals dieselbe zuletzt ge- brauchte Transformation TxW an, so muss man wieder den Punkt z erhalten — weil eben für alle Punkte auf

0x3 = O

die Zuordnung TxW eine involutorische ist.

Nachdem dieses bewiesen, können wir die Hilfscurve

jV «= 0

ganz eliminircu; wir können uns vorstellen als sei fortwährend nur mit der für

giltigen rx-Formeln oporirt worden ohne die Curve

jemals eflfcctiv hergestellt zu haben — und gewinnen, da ja die Tx- Formeln, als mit den 7'x^)-Formeln identisch, mit letzteren über- einstimmende Sihlussresultate liefern müssen, den Satz: die Formelu 'Ix führeu bei zweimaliger Anwendung den vorgegebenen Punkt z in sich selbst zurück; ihre Umkehrung ist demnach für jeden Punkt der Ebene eine eindeutige und involutorische ; d. h. jeder transfor- mirte Punkt Z liefert, wenn der ihn erzeugende Punkt z nicht ge- geben wäre, denselben durch Anwendung der Transformationsformcln auf Z.

Auch die direetc Ausrechnung der Formeln

(p i = Xi = (a,j ax*) y. — (ax ay*) xt

müsste die Umkehrbarkeit ergeben ; aber es schien uns wissenschaft- licher auf diesen für alle Punkte der Ebene giltigen involutorischen Charakter der Formeln zu sch Hessen, als ihn durch Rechnung zu erholen. Jeder algebraische (wie logisch-geometrische) Satz ist eine Identität, d. h. eine Baualität — nur durch das Vermeiden jedes Beweises, der sich auf directes Ausrechnen ciuer Formel stützen wollte, nur bei cousequenter ausschliesslicher Verwendung der Phantasie, die mit ihren Schlüsseu dem Rechner vorauseilt, verdient die Geometrie den Namen der htyxog wp«y^ttTiov ot; ßtenonhuv und ihre Existenzberechtigung. Dieses Gefühl Hess es uns entschuldbar scheinen, wenn — zur Constatirung des eigent- lichen Charakters unsrer Transformation bei ihrer Anwendung auf die Paragraphen 8 und 9 als vorbereitend eingefügt wurden.

Die Curven dritter Ordnung gewähren somit die Möglichkeit involutorisch-quadratische, d. h. Cremona-Transformationcn, zu bilden,

Arch. der M»tU. u. Phj*. 2. KoiUe, T. VIII. 17

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258

Ha I in am»: Alhfemrinr Pai nmetrrilarstelltnif/ .

und zwar erscheint hierbei von letzteren der specialisirondo Fall, wo 3 Hauptpunkte der Transformation in einen zusammengerückt sind. —

§ 11. Indepcndentc Herstellung von Beispielen für involutorisch-qnadratischeTransformationon.

Nicht jede Zusammenstellung von 3 Ausdrücken zweiten Grades PI, die man willkürlich gebildet hätte

Xt = X3 = ys(.r), Xt — <r3(x)

würde eine eindeutig umkehrbare Transformation der Kbenc vor- stellen — höchstens würden jene Formel ausreichen eine vorge- gebene Curvo in eine andre zu transformiren (Salmon-Fiedler, Höhere ebene Curv. Art. 341).

Noch viel weniger würden beliebig gebildeto Ausdrücke obiger Art, identisch umkehrbare Transformationen vorstellen. Beispiels- weise ist die von Salmon a. a. 0. Art. 330 gegebene Substitution:

trotz ihrer grossen Einfachheit nicht identisch umkehrbar; soudern die Auflösung nach den ergibt:

x, *v,~AV; r3 - X^ + mX^

Auf die Frage nun: „wie kann man Beispiele bilden vou iden- tisch umkehrbaren Crcmona-Transformationen mit zusammenfallenden Hauptpunkten V" vermag die von uus vorgetragene Theorie der Transformation von ebenen Curven dritteu Grades vollständige Aut- wort zu geben.

Durch Annahme eiuer willkürlichen Curvo dritter Ordnung könuen wir, nach dem Vorhergehenden, Transformationen der ganzen Ebene bilden, die identisch umkehrbar sind.

Zweck des gegenwärtigen Paragraphen soll es sein, uns auch von der Heranziehung solcher Curven zu emaneipiren und wo mög- lich direct involutoriseh-quadratisrho Transformationen zu bilden. In diesen Formeln wird in nichts mehr — äusserlich — der Ge- dankengaug erkennbar sein , dein sie ihre Existenz verdanken ; aber ebeu biuter dieser Bildungsweise verstecken sich Curven dritter Ord-

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Ho J mann: Allgemeine Parameterdarstellung.

259

nung — die übrigens niemals effectiv zu machen sind — uud nur die Vorstellung von dem Bestehen einer solchen Curve dritter Ordnung wird uns das Mittel geben, die identische Umkebrbarkeit der aufzustellenden quadratischen Transformationen zu beweisen.

Lehrsatz. „Sind a,,, «22, an, «23, a3J, a12 6 beliebig vorge- gebene Grössen, und erfüllen die Zahlen y„ y2, y3 dio Bedingung:

dann hat die Transformation

nicht nur den Charakter einer Cremona-Transformation mit 3 in y zusammenfallenden Hauptpunkten, sondern die Formeln für X, sind identisch umkehrbar."

Beispiel :

X, = 30,* + ars*-ars»)-(3rI + 4xJI - 5*3)*,

AT, - 4(V+*»,-«aJI)-(3*i+4*a ^ W** A^ = 5(a-,2-}-V — V)- (3a-,-f 4.ts — 5ar3)x3

ist entStauden aus der Gleichung

*tH-V -*»»-/<*)

welche von

y» — = 4, ys — 5

erfüllt wird.

Die Ersetzung der r, in diesen Formeln durch ihre homologen Ausdrücke A', selbst muss als Resultat ar, erscheinen lassen, bohaftet mit dem Kubus der linken Seite der Tangentengleichung für 3, 4, 5 an die 3 Kegelschnitte

Xi = 0

Beweis. Man unterwerfe dio Coefficienten einer Curve dritten Grades folgenden 6 Bedingungen, wo y dem f(y) — 0 genügt:

aiiay= amyi + »nsy«-r-«ii3y:j — P «u

Oj% = «33iyi + «3Myi-f-«3S3y* — Q'a3S

2a„«y= 2(0«,^ -}-«*3iyi + «*33 y3) - 2^.^ 2aslav = 2(asny,-f a31,yj, + o313y3) - 2.p.a3l 2aJ2ai, ~ 2(a121y1-4rcrls2j/2H-rt123y3)= 2.p.a12

17«

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2G0

Ilo f m a n n : Alljemtine PuraM*ttrdar*ltllu*g.

In diesen 6 Gleichungen siud die ?/, yä.y:i sowie die G Grössen (Coef- ficienten) bekannt, für die 11 Unbekannten a,n, g ergibt sich demnach noch grosse Bewegungsfreiheit.

Stellen wir nun die 10 Coeflicienten uns als fixirt vor, d. Ii. als wirklich gegebene Zahlen, so können wir die G Gleichungen multi- plicircu mit den G Grössen y, 2, yf2, y3*, yäya, y3yn y, yt respective. Wir erhallen rechts

"i i y i * -{- .vs2 + «aa y:»s + 2(««a y» y« + «n y\ + «i * y i n )

was nach der Voraussetzung — 0, links entsteht

«,« - 0

d. h. der Punkt y liegt auf der den Bedingungen entsprechend be- stimmten Corvo dritter Ordnung.

Diese Curve kann nun benutzt werden, um eine für die ganze Ebene brauchbare involutorisch-quadratischo Cremona-Transformation zu liefern:

aber man überzeugt sich leicht, dass (a!fax*) zusammenfallt mit

«n V+ • ■ • - /"(') ebenso, dass identisch ist mit

Denn es ist beispielsweise in {a^n,/) der Factor von rt:

{afa . y, -f «14 aa . ft-J~«ia «u • y3)

dies gibt aber nach der obigen Tabelle über die Werte der Coef- ficienten

("nyi-H'uya-f «isf») = i

Die Transformation durch die quadratischen Functionen unsres Lehrsatzes ist also dieselbe, welche - mit Hilfe einer bestimmbaren Curve dritter Ordnung gebildet — die Ebene involutorisch abbildet Dies war zu beweisen.

Beim Gange des Beweises war es niemals nötig die Coeflicienten aiki wirklich zu bilden — ; auch wenn wir im folgenden Zahlenbei- spiele eine Curve dritter Ordnung effectiv herstellen, so geschieht es nicht um den Beweis uusres Satzes irgendwie zu bekräftigen, soliden

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Hof m (i « : AilfpUttito Paranu t<rd«r.sltlhi<if}. 26 1

um das Material zu liefern zu nachträglicher, rechnerischer Bestätigung uusrer Schlüsse.

Zahlcubeispiel. Wenn vorgegeben so wird

m - o

befriedigt von

y, — lj Vt — Ii *i — 1

Wir iiuden als eiue der unendlich vielen Curvcu dritter Ordnung, deren Coeffieienton den 6 Bediiigungsglcichungeu genügen, die folgende:

2xI*-xss+5x8*

43{5.x2x3*4-l.x3x1* — 9.x, x,*} — 6x, x8x3 =» 0

Beide Curven, der Kegelschnitt wie dio kubischo Curve liefern dann die Substitutionen

*-i./w--*(£i+5£i+gi)'<

:= 1[— 5x,* — 6x8*4-17x3*+2(8x2x347x3*1 -18x,.r8)]

-(— l^-lQxt + ZVxJti

oder

p . >Y, - llx,*— 6x8*4 17x3*4-16x4X3— 18x, x, — 20x,xs p . *f « — 5x,*4- 10x8* + 17x3* - 16x, x34- Ux3x, - 20x, *, q . X3 5x,* - 6.^* - 1 5x3*-f 3'->x:ix3 + 30X3X, - 36x, x,

Diese Formeln haben involutorischeu Charakter; ersetzt man in ihnen die x, durch das homologe A',, so erhält man wiederum x,, mit dem Factor

(*i 4 *t — behaftet.

Zweites Beispiel. Unsere schon benutzten einfachen Formeln § 7. Schluss:

A'=— xy, y-»— y*, X — zy^axy^-byi + cx1

wclcho bei beliebigem a, 6, c die Eigenschaft besitzen, identische Umkehrungen zuzulassen, sind entstanden aus der Function:

2zy+axy + by*-\-cx* ™ 0

und dem Punkte 0, ü, 1. — Dcnu mau erhält iu der Tat

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262 Hof mann: All.jen.eine Paramtttrdarsteilung.

X^O.f-x.y X,~Q.f-y.y

X, = f—yz ~y -f- cury -{- by* -\- cx%

da hier

(df Bf df \

IT. Die Sylvester-Cnylej Vhe Methode der Zcrsnaltung- der involutorisch-quadratischen Transformation einer Curve

dritter Ordnung:.

§ 12. Beweis für die Möglichkeit, oiue Transformation einer Curve dritter Ordnung in sich selbst aus zwei eben solchen Transformationen additiv zusammenzusetzen.

Liegt die Gleichung einer Curvo dritten Grades vor, geschrieben in der Form

so kann mau auf dieselbe unsere quadratisck-involutorischcn Sub- stitutionen

T i Xi =» (ay ax2) yi — (ay2 ax) x,

anwenden, nachdem ein Punkt «, by c(y) der Curve bekannt ist und tiudet (vergl. dio Zahlenbcispiele am Schlüsse von Abteil 1. von § 7.):

Xj = ob xÄ2-}- ac x32 — Ä*<r, x2 — c2xa x3 -j- 2k\ a* x2x3 — bc x, 2 } Xf «= Äexa«-f tax,2 — c2x2x3 — a2xJx, + 2A{42xsx1— mxj,2} X, — tax^-j-cixjr2 — rt2x,r, — Ä2x3xs4-2t{c2x,xs — aZ»x32}

- (*i *f *,) + 2* V, (x,x8 x3)

= 0« (*1 *2 *3 + 2* ^2 (Xj X, X3)

- ^(*i*i*3)+2i^s(x1xgx3).

Herr Sylvester hat bemerkt, dass man die Voraussetzung

a3+b3 + c3+2knbc = 0

benutzend, für obige Formeln als identisch die Proportionen:

X. '.X^X,^ <P, : <J>, : <2>3 = V, : Vt ! : W3

nachweisen kann (für jeden Puukt der Curve Ä) — vgl. dio ersten Seiten seines Aufsatzes über ,,Cubischo Curveu" im Baude III des American Journal of Mathematics.

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Uoj mann : Allgemein* Paramclerdai 'Stellung. 263

Herr Cayley hat hinzugefügt, dass nicht nur oinc Curve A iden- tisch in sich selbst transformirt wird durch die Substitutioueu

Xi = <D, oder Xt -=

welche Formeln, für die Curve gleichberechtigt mit der Substitution

Xi - <D, + y.

vor letzterer den Vorzug grösserer Einfachheit haben — sondern dass auch die beiden Systeme

Xi - 0>,, Xi = Wi

ohne allen Zusammenhang mit einer Curve, bei beliebigen a, £, e — die Punkte der Ebene iuvolutorisch ordnen; so dass also die Auf- lösung der d>, nach den r, für letztere dieselben Formeln — zu schreiben in den X, — liefert, wie sie oben ausgerechnet stehen, geschrieben iu den x, — dasselbe gilt für die (John Hopkins Univcrsity Circulars, pag. 178).

Zahleubcispiel. Die Curve (§ 7., 1) mit dem Punkte 1, 2, 1

A *is+V + V--r>*i^3a - 0, A: S

wird nicht nur durch die dort gegebene zusammengesetzte TrauB- formatiou iu sich selbst transformirt, sondern auch durch

Xt = *2a*3 — 2*,* Xt — ixt x„ - x2* JT8 = xtxt — 2x3*

oder

Xt %2xts-{- r„s — 4x1 x, — xtx% X% 2x1>+2x3a_ .r8*3 Xs = x1i-{-2xii— *,*3 — Axtx3

Beide Systemo sind, jedes für sich, für alle Punkte der Ebeno iuvolutorisch.

Wir geben für diese durch Ausrechnung gewonnenen Sätze fol- genden

Beweis.

Wir wenden auf die vorgegebene Curve A f V+**s-f-*3S+2A:*,*Ä*3 - 0

die Transformationen *F

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204

JIo / m a h >i : Allgemeine ParameierJarsu Uunij.

QXt ==» bcxf — « a*s*3 qXs — caxs* — b* r3Xj qXx — abxt*—Cix1xt

an und erhalten als transformirto Curvc iu der JT-Ebcne , durch Elimination von 4 Grössen aus 4 Gleichungen : A, Wt, eine Curve 6tcn Grades dercu rechnerisch entwickelte Form uuteu folgt.

Uebcr die Gestaltung dieser Curvc können wir ciuiges geome- trisch schliessen: wendet mau auf die 9 Wendepunkte der Curve die ^-Transformationen an, so entspricht dem «-Punkte

Man findet, dass nicht nur dio ausgerechneten 9 Punkte X: 1' ... 9' der Curvcngleichuug A genügen, sondern auch jeweilig mit dem zu- gehörigen Wendepunkte auf einer Geraden durch «, b, c liegen.

Wollte mau dio 9 ausgerechneten Punkte als Tuukto der x- Ebenc auflassen und iu die „Y-Ebene trausformiren , so würden sich genau entsprechend die 9 Wendepunkte, diesmal der .Y-Ebcue zu- gerechnet, wieder einstellen.

Demnach werden bei Anwcnduug der ^-Transformation 18 Puuktc der Curve A iu 18 Tunkte derselben Corvo übergeführt.

Dies ist nur möglich, wenn die durch die ^"-Transformation aus A abgeleitete Curvo A' als Bestandteil die Curvc A enthält (da 18 Punkte der trausformirtcu Curve A' auf einer Curve dritter Ord- nung liegen, so trennt sich zunächst von A' eine solche Curvc ab; diese ist identisch mit A, weil sie mit A 18 Punkte gemeinschaft- lich hat) »)•

1) In der Tnt ist die trnnsformirte Glrirhung nnsgcrcchnct

0, -1, 1 der .Y-Punkt 1)' a, c, b

1, 0, -1 2)' c, *, « -1, 1, ü 3)' b, a, c

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Hojmann: Allyrmfine ParamcttrclarsKUunfj.

265

Demnach der Sylvestcr-Cayley'sche Satz; erster Teil: 7) „Die Curve A wird, wenn a, ä, c auf ihr gelegen, durch die Substitutionen in sich trausformirt."

Was die früher discutirte Determinante

bcxx* — a%xtxz caxj — ^3-3 ar, abxz* — e9xlx9

a

h

c

anlangt, so kann man für deren identisches Verschwinden aus dem soeben Gesagten einen Beweis ableiten. Bei beliebigem o, b, c ge- nügen ihr die Coordinaten *tx%xs jener 9 Wendepunkte 1—9; nebst den zugeordneten Punkten 1'- 9'. Nehmen wir nun weiter einen beliebigen Punkt dazu, etwa 0, 0, 1, der für allgemeine a, 6, c nicht auf der zugehörigen Curve liegen wird, so zeigt das Einsotzen der Coordinaten des dazu gehörigen -Y-Punktes in 4:

0 0 1 0 0 1 a b c dass auch für

a*, = 0, x2 = 0, x3 = 1 4 verschwindet. Da somit dio Gleichung dritten Grades

erfüllt ist für 18 Punkto einer Curve dritter Ordnung, sowie für einen ausserhalb derselben gelegenen Punkt 0, 0, 1, so muss sie eine Identität sein für alle Punkte der Ebene, bei beliebigem a, ft, c.

Man schliesst nun weiter für die Punkto der Curve A:

Ist der Curvcnpunkt z gegeben, und Z construirt worden durch dio ^-Functionen, so kann man zu Z den entsprechenden weiter transformirten Punkt Z' der JY-Ebcue suchen, nachdem Z als x- Puukt aufgefasst worden. Z' muss erstens der Curve augehören (Satz 7), zweitens auf der Geraden von Z nach a, 6, c liegen ( </=0) ;

(b c Xi -f ca-Y„ -f- flUU (Äc-Yj + c«f As -f £»X,) (fc^Yj -|- ca 1*2^ -f aif JY3)

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2fifi

// o I m (i ii ii : Af/'jcinciiic l'aramcU / ■tlaratcllwiy.

muss demnach mit dem a priori gewählten Curvcnpunkte z zusam- menfallen, der mit Z auf einer Geraden lag.

Daher der Satz:

8) „Die Formeln *P liefern , angewendet auf die Curve A , jo zwei involutorisch einander zugeordnete Puukte."

Die Erweiterung dieses Satzes wurde am Schlüsse des „Ex- curses" mitgeteilt, von ihr ist obige auf eine Corvo bezügliche Aus- sage nur eine specialisirende Anwendung. [Es sei hier einge- fügt, dass die Frage: „welches ist der Ort der x-Punktc, die mit ihren zugeordneten Punkten X Verbindungsgerade durch einen vou «, ä, e verschiedenen Punkt </, e, f liefern?44 auf eine zerfallende Curve führen muss. Denn jener Bedinguug genügen ersteus die x- Puukto die Verbindungsgeraden von c, f nach «, b, c, zweitens aber die Punkte des Kegelschnittes U in Satz 2) des Excurses].

Wir vollenden nunmehr das Theorem. Die Formclu

9 A'i — 0j (fi + 2* 's) p.Vs = <!>., (x, xt srs) -f 2k Wt (x, rs r3)

haben, da sie — in toto genommen, ohne Trennung — direct nach früheren Methoden abgeleitet wurden, die Eigenschaft ciueu be- stimmten Punkt 3,3233 der vorgegebeneu Curve A überzuführeu in eiuen Puukt ZlZtZt derselben Curve, der mit a, i, c und z auf einer Geraden liegt.

Die ausgerechneten Zahlen ZJZiZs sind detinirt durch

QZt ~ (Z>, (J, =2 *,) + 2*V, (*, z3) QZ, = <P2(2, **)+2**,(«|*t«8>

qZ3 = *5(*isriss) + 2**s(si«f«i)

Hätten wir aber die ^-Functionen allein angewendet, so hätten wir hierbei ebenfalls aus 2,23=3 einen ,nit 3 ond nie auf einer Ge- raden liegenden Punkt erhalten. Dieser durch die »F-Functionen ausschliesslich bestimmte Punkt kann kein andrer sein, als der vor- hin bestimmte Punkt Z. -Demnach geuügcu die 3 vorhin errech- neten Zahlen Z,ZSZ3 den Gleichuugeu

qZx - «P, fea*%)

OZ% = ^Fg (2, 2j 23)

aZ3 - ^3(2,2,23).

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Hof mann : Allijemtine Paramtterdarsttlluny.

267

Dio Grössen <1>, müssen demnach der Proportion:

Zx : Zt : 7^ = <P, (z, ^ 23) : <I>8 (s, s, «3) : <Z>8 (*, 4 )

genügen, für jeden Punkt der Curve A.

Kürzer: 9) „Für die Punkte der Curve A ist dio quadratische Crcmona-Transformation <P vollständig in ihrer Wirkung identisch mit der ^-Function. Beide liefern bei vorgegebenem Punkte x der Curve den auf der Vcrbindungsgeradeu von a, c nach x liegenden Curvcnpuukt als zugehöriger -^-Punkt."

In der Fassung:

| (D, : <2>s : Ö>3 - Vx : *PS : V,

\ «3 + &»+c» + 2ifcffftc = 0

findet sich der Satz an den beiden citirten Stellen ausgesprochen.

In der rechnerischen Durchführung dos Beweises für diese Iden- titäten wird die gegebene Voraussetzung auftreten; denn beide Sub- stitutionen O und 'P' sind a priori fast vollständig (für die Ebene) verschiedenartig, selbst wenn dio Werte der sie jeweilig bestimmen- den Constanton a, c gleich sind für beide Formeln — ; sie können gleiche Wirkung nur haben für eine ganz bo stimmte Curve, deren Lage von den Constanten «, &, c abhängen muss.

Wir geben schliesslich einige Resultate für die d>-Functioncn, wie sio aus obigen Sätzen folgen:

10) „Dieselben teilen mit den *F-Functioncn alle Eigenschaften, dio sich auf dio Lage der der Transformation unterworfenen Cur- venp unkte beziehen."

11) „Aber sie können mit den *F-Fuuetioneu nicht dieselben 3 Hauptpunkte gemeinschaftlich haben, mit Ausnahme von a, £, <?."

Beweis. Dio ^-Functionen verschwinden an den 3 Stellen a, 6, c; a, fte, et*; a, bt%, ce. Aber dio zusammgesetzton Formoln

können ihrer Entstehung nach nur für den einzigen „transformiren- den Punkt" a, £, c illusorisch, d. h. gleichzeitig = 0 werden. Dem- nach müssen die ^-Functionen für die beiden > Punkte: a, £f, ce*\ a, bi1, et, für welche dio 3* verschwinden, von null verschiedene Werte ergeben.

12) „Demnach ist für jede Tj-Transfonnation quadratisch-in- volutoriBchcn Charakters

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2(58 Hofin an n : Allgemeine ParamtterdarsUllung

eine Zcrtcilung der drei einzelnen Summen , welche jeweilig ein -X", vorstellen, möglich, so dass für Punkte der Curve a,Ä = 0 identisch

A7= <[>,+ 2kWt

und gleichzeitig

: <2>2 : d>3 - ?F, : Vt i «F5

Aber diese Zerteilung setzt die Kenntniss der Wcndepuukte der vorgegebenen Curve, d. h. die Auflösung einer Gleichung vierten Grades voraus.*4

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Ilrrmrs: Ein Satt ,H>er üi*omiah**ffiekntem.

2G9

XL

Ein Satz über Binomialcocfficienten.

Von

J. Hermes.

In der 6tcn Note der algebraischen Analysis beweist Caucby unter andern ähnlichen Sätzen auch den folgenden:

„Multiplieirt man die Binomialcocfficienten ß irgend einer Totcnz z. B. der vierten: 1, -4, G, -4, 1, mit abwechselnden Zeichen ge- nommen, der Reihe nach mit den aufeinander folgenden figurirten Zahlen einer höchstens eben so hohen Ordnung z. ß. mit: 3, 6, 10, 15, 21 uud addirt die Producte: 3, -24, GO, — GO, 21, so erhält man stets null, nur zuletzt: ± 1."

Mit Anwendung der bekannten Symbole für Combinationsan- zahlen ohne Wiederholuugeu:

uud mit Wiederholungen:

U-f-iJ

lässt sich der Satz in die etwas allgemeinere Formel 1)

zusammenfassen und leicht durch Schluss von n auf n-j-1, wie folgt beweisen. Man addire zur letzten Gleichung, falls sie schon galten möchte, die daun auch geltende:

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270 Herme t: Ein Satz über Binomialcoefßrienten,

2c-^0[-n+1-c-^H[-j2-]

in der Art hinzu, dass jedes Ate Glied der ersten Summe mit dem (Är-f-l)teu Gliedc der zweiten Summe vereinigt wird, so ergiebt sich,

©-(f)-

ist, Formel 1) für n-f 1, nämlich:

£<-ni)l .7 J=(-i)"+,Ip-..-iJ

Für n = 1 geht aber Formel 1) in :

über, was nach der Definition der figurirteu Zahl f ] für jedes m richtig ist, m und q zunilchst als positive ganze rationale Zahlen gedacht. Für negatives q ist

El—»

Die beiden Symbole ( ) und [ J, welche ja auch nicht wesent- lich von einander verschieden sind, da

[7]-<-*Q - (7) -<-»EI

gilt, kann man offenbar durch ein drittes ergäuzen und so fort.

1) Bekanntlich gilt auch

[;HS] - G)=«

Für * ss 0 und A rr n ist

für k < 0 n ml k > n ist

C) - •

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Iltrmos: Ein Salz über Dmomialcoefficienltn. 271

Wir gewinnen dann folgenden Satz 2)

2<M7*){S)-<-'><[7]<

der als specicllen Fall

n r = 2q — 2m (nach Division mit n) zwar ebenfalls dio Formel:

enthält, aber doch nicht direct mit einem der Cauchy'scheii Sätze, etwa mit Formel 9 a. a. 0. identisch sein möchte ')•

Beweis von Satz 2)

Ist derselbe auch ebenso einfach wie der vorher zu 1) gegebene, so wollen wir doch des Folgenden wegen vorher noch näher auf die

4 = | * J eingehen.

Erheben wir die Differenz

f) „ M—M-i

auf die wte Potenz und bezeichnen Mr-\-{ — l)rAf-r mit dr, so er- halten wir

a- - 3h- (*)a,-2-h(j)a»-4 -(3)^-«+

Indem hierin dM-2, ö«-4, B»-i wiedernm durch Potenzen ausgedrückt werden, entstehen die Ergänzungscoefficieuten d\ Es wird

Multiplicirt man nämlich Bf mit cV;, worin g und G gerade Zahlen uud G > g angenommen, so ergiebt sich :

Bgdn — Ba-g = Bo+g und aualog für ungerado Indices:

I) Indireot hangen diese Sätze oflfrnbar alle mit einander als Idendit&ten zustimmen. Vgl. auch: Baltzer, IMorininaiihn § 3, 7 und 10.

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272 Herme*: Ein Satz üher BUomialcQ* (fielen tem.

nebst

d*tBa-\-CG-u = Bn+n und Bgdv — Br-g = vi \.g.

Zur Rccursion sind nun am bequemsten die zweite und dritte Formel für u = 1 zu benutzen; zugleich erhellt, dass

Uf+lH-if U+W a,so ' IH-U~ XH-i)

wird.

Um also eine Tafel für die ö zu entwerfen, hat man zunächst

M SB U — 1

zu setzen

PM8„ — c, a, = 15S und = ao

muss hier natürlich 2 sein, sonst = 1, weil dann eben die 2 schon als Cocffieient berücksichtigt ist.

Bi f M = ?s

wird also lds-f2 Wird dies von neuem mit

BM = a,

genommen und hinzugefügt, so folgt

a3 = l3' + 33

Schreiben wir nur die Cocflicientcn <$, indem sich die stets geraden resp. stets ungeraden Potenzen von B von selbst verstehen, so lässt sich die Construction der Tafel für die ö

a

I1 Ii

a, - 12 a3 - 13

a4 =r 14 2

a5 - 155

ac — 16 9 2

8, — 17 117

I) In diesem der vier Fällt*, wo «uit uüB* und wie immer

bei geraden Iudex, mit 2 srhlicssr, ist Bi~m Si.lle nueh reclits au»-

7.infi ken.

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Herrn ex: Ein Salz äbtr Dinominlenefßcieuten.

273

a8 = 1 8 20 16 2

a9 — 1 9 27 30 9 ai0 — 1 10 35 50 25 2

folgcndermasseu zusammenfassen: ,,Wcrden je zwei aufeinander fol- gende Zeilen addirt und das Resultat um eine Stelle nach links ge- rückt, so erhält man die Cocfficieuten der nächstfolgenden Zeile" Zur Probe dt0 nach Formel

dudr-\-cir ~ u = dr+u hat man:

a7 - . . . 1 7 14 7 a3= 13

3 21 42 21 1 7 14 7

1 10 35 49 21 a7_3 - a4 - . . . 14 2

ai0 - 1 10 35 50 25 2 also

- aiü4-10a»-f-35o« + 5'>a4-f 250*+*

I»).,. (10LlO- !,0^-35 I 0) 1( Ii,10' l 2) ~ JJ -

Auch ist die Summe der in einer Colonne befindlichen Zahlen -=3.2r; die vorletzte Zahl in einer 29 teil Reihe ist q* etc.

Die Entstehung dieser Zahlen gtebt nun unmittelbar:

[si

/r-1\ _ r(*— 8) = r(r-l)(r-2)(r-3)

\ 2 ) '' 1.2 1.2.(r-l)(r -2)"

(r\ /r— 2\ /r-4\ _ r(r -4)(r-5)

13}™ V, 3 ; V 1 /~~ 1-2.3

r(r— l)(r-2) r— 3)(r— 4)(r-5) 1 2.3(r- f)(r— 2)(r— 3)

fr\ /r-(l— 1)\ /r-(H-l)\

l*J \ ^ ) \ h-2 )

Arch. a. lUth. u. PUy». ->. Ueilie, T. VIII. 10

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274 Herme*; Ein Satz über ISinomialcoe/Jicienten.

| r \ /r-*\ fr ~ (*+2)\

U+i) ~ U+i/ v /

/r~(t+l)\ /r— <H-1)\ /r— (H-S)\ /V - (H-3)\

"V * J + V H-i J" V )-{ *-i )

- t*+i J"r j * j

wenn da9 erste und dritte , das zweite und vierte Glied vereinigt werden. Dieä führt für r — 2 — n auf obige Dctiuitiou von <5 näm- lich auf

in\ f «4-2 \ ( n+1 \

zurück. Es ist aber auch :

| r I r(,— p - 1 Kr -p-2) . . . (r-2p-fl)

i p r 1 1 2 . 3 ... ^

Denn addiren wir

j r+1 | (r+t)(r-p -l)(r-p -2)_. _. . (r-2p-f-lXr -2p) \p+l) " 1.2.3 ... p7(p+l)

hinzu, so rcsultirt

(r -p-1) ... (r-2p-f-l) (rp+r-fra- Vp-fr-2e( 1 ... P l f-fl f

(r+2)(r+2-(p-f 2))... (r-f-2-(2p+ 1)) ( r+2 »

1.2 ...(p+1) ~ vP+W

wie oben, also muss auch, da beide Male dasselbe Gesetz erhalten wird, uud der Anfang identisch ist:

/r-p+l\ /r-p-l\ r(r- p - l)(r- p— 2)^. . (r- 2p-fl ) V f> ) \ P-2 ) 1.2.3 ... p

. Kr- DP'- 2) ... (r-2p-f-l) ~~ 1.2. . . p(r- l)(r-2) ... (r-p) /r\ (r-(p-fl)) ... (r-2p-fl) W (r-1) ... (r-p+lj

gelten, was auch leicht direct folgt Beispiel :

ra-Ti—- 0-0— 5

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Hermes: Ein Satz über Binomiakoefßaenten. 275

Es liegt aueh nahe, obige Tafel zu erweitern, indem z. B. f 10\ 10(-l)(-2) ... (-9) _

Uo y i . 2 . . . iü a 1

wäre. Dadurch würde dann die Giltigkeit des Satzes >) über die für

ursprünglich vorhandenen Grenzen ausgedehnt sein. Wir erhalten somit die erweiterte Tafel für ö

n

—3					1	-3	9	-28
-2				1	o	5	-14	42
- 1			1	— 1	•>	—5	14	-42
0		1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	-1	2	-5	14	- 42	132
2	1 2	— 1	2	-5	14	-12	132	-429
3	1 3 ü	1	-3	9	— 28	90	-297	1001
4	14 2 0	— 1	4	-14	48	-1G5	572	•
5	1 5 5 0 0	1	-5	20	- 75	275
6	16 9 2 0 0	— 1	G	-27	110		Ü

Es gelte nun für ein »• bereits:

±H80-(i)(3)+öt3— ]-M

— R

und in Bezug auf n — 2 für eiu beliebiges r schon:

- rrr]

so folgt durch Addition:

*[mo-t*fia3+rr}w— ]

"L * .

daher ist der Satz für jedes folgende r in Bezug auf n richtig und in analoger Weise aueh für jedes vorhergehende, wenn nur noch

18*

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270 Hermes: Ein Satz über Binomialcoe/Jirienten.

gezeigt wird, dass er für ein r gilt, etwa für r = n. Es folgt aber aus

8- - a„ - (") a.-* + a,. • - ... und - s»+ {" } s»- »

g« -2 = ?M_2 — ^ j ^ -4 + • ■ • CtC.j

oder auch

etc.

?». = ?,« — ?H-a -{-Q)a„_4— ... durch Vergleichung:

{*}"(0{*-i}+G)u--2|- ■ =°

und

in welche Formel der zu beweisende Satz für r = n übergeht. Zu-

gleich ergiebt sich , dass in	Formel 2)	eine	Vertauschung der (
und { } unter einander eintreten kann,	vgl.	Beispiel A) und Ii)
		6
A) ß - 1 -7 21	-35	1 ..	. 1	-7	21-35
1 - 5	10	10		10 -50 100
1	-3	35			35 —105
	1	51			50
es resultircn:			1	3 G 10
					ß
B) * = 1	10 35 50	25	2	1
	1	8 20	IG	2	-10
		1 6	9	9	45
		1	4	2	— 120
			1	2	210
				1	-252
wir erhalten: 1	0 0 0	0	0

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Hermes: Ein Satz über Iiinomiafcoefflcienten.

277

Eho wir eine Anwendung hiovon auf das Crellc Bd 87. pag. 107 ff. behandelte Curvensystcm 2krartt==0 raod. p machen, wollen wir die Cougruenz (£p nämlich

qu = +rmod2p

in welcher u und q ungerade Zahlen bedeuteu sollen, darauf hin untersuchen, ob der Rest r numerisch kleiner oder grösser als 2»-2 ist.

Findet dies Letztere statt, muss also mit dem halben Modul 2r~1 reducirt werden, so möge es durch einen dorn Rosto zugesetzten Punkt angedeutet sein ')• Dio Reste sind nun zwar schliesslich alle numerisch als positiv zu denken doch müssen die, welche sich ur- sprünglich negativ ergaben, markirt (etwa unterstrichen) werden. Benutzen wir die halbirende Anordnung, so gilt der Satz 3): „Ein mit Punkt versehener markirter Rest etwa r. in (£r wird au corre-

8poudircndcr Stello in durch das nicht markirte Supplement

2»-i — r (ob mit oder ohue Punkt, entscheiden die folgenden SätzeN ersetzt und ein mit Punkt versehener, nicht markirter Rest r. durch 2*-1 — r, denn auf eine Periode, schematisch durch

m2v m2*-\-&-1 (m-(-l)2*

. mit Punkt .A _ ohne Punkt

ohne Punkt; , mit Punkt; (raarkirt)

dargestellt, kommen zwei Perioden von (£P_i

| ohne, mit; mit, ohne j ohne, mit; mit, ohne |

so dass also dio markirten von CT* nur den nicht markirten mit Punkt, oder auch deu markirten ohne Punkt entsprechen können.

Hervorzuheben ist, dass die jedesmaligen Gruppen der Reste unverändert in ihrem Zusammenhange bleiben.

Satz 4) In der kleinsten Gruppe von vieren sind stets drei Resto oder nur ein Rest mit Punkt versehen. Bowois.

Dio Gruppe sei:

qu 2»'-- — qu

Da

1) Hiermit hangen, wie leicht ersichtlich, die Vorzeichen der cos in der Determinante Dv zusammen, vgl. Archiv der Math. u. Phys. 2te Reihe. T. VI. pag 276.

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278 Hermes: Ein Satz über Binomialcoejßcienten.

v ^ 4

ist, so ist

2*-4>v also 22*-* = 0mod2»

Ist nun q nicht = umod.4, so sind beide Reste in der Haupt- diagonale entweder mit Punkt versehen oder beide ohne Punkt Es sei m = lmod.4, so ist, je nachdem uq = r ; — r; 2»-1-f-»*; 2*_1 — r mod 2*\ offenbar: 2*~2 -«p* = 2»"* — r; + 2* 1 - (2»-!-r); -f2w-i ^_(2r-2_i). — (2»--2— r)mod.2y. Das kann also für u = lmod.4 zusammengefasst werden in: „nicht markirte Paare sind entweder beide mit Punkt versehen oder beide ohne, markirte Paare sind in Rücksicht auf den Puukt verschiedenartig"-. Bei u = — 1 mod. 4 sind markirte gleichartig, nicht markirte verschieden. Hieraus folgt deun auch schon Satz 4).

Endlich gilt noch, wio leicht zu beweisen, für den Rest rm in

[ r'

{ " , wenn mit r, die Gruppe von 16 zusammengehörigen Resten

I ui ' r

beginnt, dass in der linken Hälfte von ($v dieselbe entweder mit r, und r„ (wenn diese iu Bezug auf den fehlenden oder vorhandenen Puukt gleichartig sind) ebenfalls gleichartig ist oder andernfalls mit dem kleinem übereinstimmt, dass aber in der rechten Hälfte rm mit rt und rtt ungleichartig ist oder mit dem grössern stimmt.

Dieser Satz 5) gilt auch ebenso für r, in Bezug auf rm und rltlt. Auch kann er statt iu verticaler Richtung, natürlich ebenso in horizontaler angewandt werden; (obere und untere Hälfte von

6) Ferner gilt er für ruu in Bezug auf rt und rm etc. . . . jedoch dann für halb sogrosse Räume, (linkes Viertel(i), rechtes Vier- teid), linket Viertelf?), rechtes Viertel^) und so fort. ... Mit Hilfe dieser Rogein kaun mau nun aus ilP ohne eine Neben-

rechnung hinschreiben.

Ist ein Rest

r •= qu

so bleibt er fortan für alle grösseren v natürlich ohne Punkt Es ist also hiedurch, wenn mau so will, die Multiplication der Zahlen auf Addition uud Subtraction der Potenzen von Zwei untereinander gebracht, was wol die natürlichste Einführung in das diadische System sein dürfte.

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Hermes: Ein Satz über Binomiakoefßcienten. 279

Wir lassen G4, (£5, (£6 folgen ')

		<I4- 3	3 1.)
		6t- 7	7 1.	3 5.	5 3
		3	5.	7.	1.
		5	3	1.	7j
^6 \ x	15	7 9	3	13	5	ii
15	1.	9. 7	13.	3	11	5.
7	9.	15 1	11.	5.	3.	13
9	7	1 15.	5 _"	11	13.	3.
3	13.	11. 5.	9	7.	15	1.
13	3	5. 11	7.	9.	1	15
5	11	3. 13.	15	1.	7.	9
11	5.	13 3.	1.	15	9	7} etc.

Indem wir nun in

Ereydr = 0 mod. J> *)

die Substitution

M = 3/M

machen wollen, wo

Af*" = 1 mod.p vorausgesetzt, werden sich wegen (— l)r in

dr = Mr-\-(—l)M-r

für un gerades r' die Punkte bei nicht markirten Resten wie in (£„ vorfinden, boi markirten jedoch da vorhanden sein (resp. fehlen), wo sio dort fehlen (resp. vorhanden sind).

Für gerade r' ~ 2mod. 4 werden sie mit denen in (£r-i über- einstimmen, (wenn zuvor jede zweite Zeile ausgelassen, danu in ent- gegengesetztem Sinne mit Punkten versehen wird, wie die darüber- stehende) ; für gerade r = 4 mod. 8 mit denen von (£j?_2 , wenn je drei Zeilen zuvor ausgelassen und danu die erste von diesen mit Punkten in demselben Siune, wie die darüberstehende, die beiden andern im entgegengesetzten Sinne versohen werden und so fort ...

1) Die Anzahl der Punkte ist 1, 6, 26, 122, 478, 2030 ... allgemein?

2} Dies System Congrucnzen ergiebt sich unmitelbar aus den: Bachmann, Kreisteilung X. Vorl. pag. 127. aufgestellten Jacobi'schcn Congruenzen.

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280

Herrn* *: Al/i .Sute über Binomialcoefßcitnten.

Wir haben z. B.:

«4

-!

0 | 2 13 0 2. 3 1.

-!

0	4	2 6	1 7	3	5
o	4 \	2. 6.	7M	5.	3
u	;	6 2.	3 5.	7
0	! 4.	6. 2	5 3	1	7.

Der Punkt bei r' deutet dann an, dass in der betreffenden Congrucuz rrcV' negativ zu nehmen ist Eine Folgerung hievon ist, dass 7)

während

■ScU* == (— 1^2» und 2:a0* — »

statthat, die Summe über Glieder ausgedehnt. Setzen wir jetzt

er = tt . Za-r(*) 0»

wo i jeuaehdem r gerade oder ungerade nur gerade oder uugerado Werte annimmt < v \e0 cuthält noch das Glied ?0tf>o*\ uud fragen, wclehen Cocfficient (abgesehen vou Factor u) hat w o 1 82<Xav(,) für ein gegebenes u?

Da

8r, - 8«" + J fr'-*

ist, so wird das Product, wenu

,-J-r' - n ist:

± vrw (a» + { J* } a- *+ { 2 } *M-4+ • )

Nun aber ist:

9" = Ö« — ( j^w-a -f" 4 • • •

e«-2- a„-2-(M72)a„-4+...

Es wird also vou ?^'r(,) der Coefficicnt

Kl u I

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JJtrmts: Ein Salz üher Uinomiakoe/ßrienten. 281

lauten, das ist nach Formel 2)

±(-1)2f[r'7l - ±(-1>2f [71 - ±(-1),pO

also ein Binomialcocffieicnt ±(— wo -f- oder — davon ab- hängt, ob in (£/ der Rest

r'Erwrmod.2"

ohne oder mit Punkt versehen ist; jedoch ist bei der Formel 2) wie vorhin bewiesen ja die Giltigkeit über dio für ö ursprünglich vorhandenen Grenzen ausgedehnt; (nur bei r' = 0 nicht). Da gleich- wol aber diese Grcuzen vorhanden, so müssen wir, wenn

ist, etwa um g' die Summe

iu Abzug bringen. Es ist aber, wio sich aus der erweiterten Tafel für die Ö ergiebt,

mithin erhalten wir nach Formol 2) für die eben erwähnte Summe den Wort

(_1)^.4p-+r--..[-/-?+2'-']

__{_„*,['-•]-- (-*(»;:')— <-»(!,)

und im ganzen, da dieser Wert abzuziehen ist, als Coefficienten von dv X den Ausdruck:

± <->*{(;)+«

wo und

Q _ ,

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282 Hermes: Ein Satz über Binomialcot(ftcienten.

Der Coefficient K^uht+2(t-i) *) von B2t wird demnach 8)

0<r<2» — 1

und

Für r = r' = 0 würde

® - (;•)

es ist aber aus dem oben angeführten Grunde dennoch nicht zu ver- doppeln. Z. B. wird, wenn die Ordnung v = 6, also v — 8 ist,

A'3o(,) - ^o^-SOsTs^+ß^W-argW+agW+la-jP)

—x90)

-fl*,4(6) -7r3(")+lr3(ö) +15*6<«> -4*ti«>+l*6<2) -f 7r13(7>

-f-21rJ1(7)_(-5rn(5)_la.ii(S)

In das System der Grössen ÜT(,;) führen wir linear

*,<•> = S [9+*X\*l*#* ein.

Die Substitutiousdeterminantc dieser linearen Transformation von Elementen hat den Wert 1, daher sind auch umge-

kehrt die yr'»> bequem durch dio ärrM auszudrücken. Danu ergeben sich wieder Binomialcocfticicnten, also

1) Ä2/ ursprünglich als Coefficient von M-'/ gedacht, t ist höchstens

3

Werden daher die Congruenir.cn mit 3/3r_2 aufmultiplicirt. ko folgt

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Hermes: Ein Salz über Binomialcoe(ficien(en. 283 yr(.)ö^(_l)Ae+2A^«»2A)

Durch die Transformation wird dio Grösse

+ (-i)'y»<"^/t)

Nur für r «= r' <= 0 erreicht s-{-2k den höchsten Wert v. Greifen wir diesen Teil der £££ heraus, so wird derselbe, indem

( - D<*wfp* \ hinzugezogen und \£j -f einfach zu rechnen ist (vgl. oben),

_+(_1^xn.(«'-f)(;}n«"-o

nach 2), wenn

— * nicht =0

wenn aber

t — ^ also q — 0 ist, und (j bei A > 0 verschwindet, reducirt er sich auf

Ganz ebenso verhält es sich, wenn *-f-2A den Wert a annimmt, während r, somit auch r' constant gedacht wird. Zunächst ist für diesen Teil der dann auch nur immer eines der Zeichen (i)

giltig , das ja von r' in £p' abhängig war und überdies besteht er

wegen ^-J und aus zwei Summen:

2

Diese Summen verschwinden beide, ausser wenn

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284 Kermes: Ein über Uinomiakocfjiaentcn.

tf+r*. r' — « , c — r

'--jT~' "2~ oJer *- —

und A folglich =* 0 ist. Dauu orlialtcn wir

±(-l)Vrt); ±(-lW> und ±(-l)cy,(«)

Dies ist

- ±(-lW>

da

ö-f r' (T — r'

p = — 2 2 = r' = a mod. 2

wird. Ist endlich « — 0 und a = r\ so ergiebt sich

±(-l)*.2.yr«')

jedoch wieder: Dies mögo

- V

gesetzt werden, indem

V - W

eingeführt wird.

Satz 9) Es kommen also iu En+nt-i) für / > 0 und in Ä3P+a gar keine andern Coefficienten bei yri$) vor als: Null, -f1 oder — 1.

So wird z. B. für

v = G, v 8, t — 4, u — 1

der Coefficieut trausfonnirt

- + *w + //4<4) + !/u(4) + 4- //, i* + *<» + W2> + *,<T> - W7) + vi" - ^ i + y3 6> - n .<« + *5'3> -

Indem wir bei den so umgoformten Congrucnzen

£er ?r« = 0 mod. ;>

jedesmal das Glied mit Ä5t_2 ausschliessen , weil es offenbar teilbar durch p ist und dio Differenzen Äk-2<y+ 1)— A"5B_2(y-i) bilden, welche Ausdrücke auf diese Weise nämlich eine gleichartige Beschaffenheit

mit den übrigen g Grössen AT erhalten *) , lässt sich das Cocffi-

cicntenschcma für die yr(«), wie 3ich aus dem Vorhergehenden unmittelbar ergiebt, folgendermassen leicht bilden.

I) Diese Ausdrücke mögen deshalb, wie auch die übrigen K nnnmehr einfach mit KtW bezeichnet werden.

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Hermes; Ein Satz über lii'noniiulcoefjtcieiilen. 283

Man verteile r(t>-f-l)(*'s-|- 1) Felder in ein Rechteck, dessen verticale Scito r(v-f-l), dessen horizontale

1 + 2 2 ST 2 2 * * ' äf

Einheiten enthält, r — 2'-3.

Sehen wir von der ersten Rand-Colonne, welche ein Streifen von der Breite 1 und der Länge v(v-\-l) ist, vorläufig ab, so lassen sich

die Übrigen Streifen, resp. von der Breite *}, \y ~" • y • • • »•»

Rechtecke, 5 breit und »+1 lang, zerlegen, dio wir jetzt als

Gruppen ö,' bezeichnen, wo der Judex r' mit dem in ÜP überein- stimmt.

Die Gruppe enthält also Felder, dio mit uull, -f

oder — eins auszufüllen sind und die Cocfficienten der Unbekannten yr{>) repräsentiren. Als verticale Eingänge sind daher für die ein- zelne Gruppo

t 0, t = 1, t - 2, ... t — v — 1 ; * = v

als horizontale die Unbekannten yr(s) zu denken, wo * für gerades r dio Werte 0, 2, 4 ... w — 2, für ungerades r dio Werte 1, 3, 5 ... v - 1 hat

Gruppen, dio sich verlical untereinander befinden, gehören zu demselben r; Gruppen, dio horizoutal nebeneinander liegen, zu dem- selben «, welches die ungeraden Zahlen, so wie r alle Zahlen in der halbirenden Anordnung wie in (£r durchläuft.

In der Gruppe 6),-, wo

ru = r' mod. 2*

wird nun, falls r ungerade ist und in (£/ nicht mit einem Punkt versehen war, in der ersteu Verticalrciho

8 = 1

von v 4- 1 Feldern das zu

gehörige mit einem -f-, das zu

r'— 1

gehörige mit einem — zti fallen sein, in dor zweiten Verticalreihe

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280

Herme»'. Ein Satz über Bmomialcotjlhienltn.

S = 3

r'_l_3 r'--3

das zu — g - gehörige mit -f-, das zu —5— gehörige mit — uud so

fort, bis entweder der obere oder der untere Rand unter 45° erreicht wird, wo dann beide Male unter rechtem Winkel eine Reflexion stattfindet, beim obereu Rande ohne, beim unter mit Zahlenver- anderung z. B.

v - 8

i-0

+

/ = 1

+

t - 2

+

+

+

/ - 3

+

+

+

t - 4

+

+

/ — 5

+

+

t = G

+

+

t 7

+ -

+

t - 8

+

+

13 5 7

13 5 7

0

2 4

6

0

2 4

6

Ist r' gerade, so wird iu der ersten Verticalen der Gruppe ®r- nur ein Feld, das zu

r'

gehörende mit einem -|- gefüllt sein, in der zweiten Vcrticale die zu

t *= — — und zu t — —

gehörenden, beide mit -f- und so fort wie vorhin.

Ist r' mit einem Punkte in (S' versehen, so sind durchweg die entgegengesetzten Zeichen zu nehmen.

Bei (% ist nur eine Reihe von + Zeichen für

/ = 0, 1, 2 ... resp. in der ersten, zweiten, dritten Verticalen.

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Herrn es: Ein Satz über Dinomlalcoefßcienten.

287

In der ersten Rand-Colonno ist nur jedesmal das zu

gehörende Feld mit -J- zu bezeichnen.

Schliesslich müsseu alle zu

I

v

gehörenden Horizontalreihen fortgelassen werden, da wir das Glied mit

ausschlössen, und mögen überdies die jedesmal complementären Streifen 2r~2 — r statt der Anordnung ... *, * -f- 2, * + 4 ... die entgegengesetzte . . . *-j-4, *-f-*2, * . . . ihrer Verticalcolonnen er- halten. Wir gewinnen dann die «-Elemente (die Haudcolonue uicht eingerechnet) der a. a. 0. erwähntun Kreistoilungsdetermi- n ante und es dürfte vielleicht von Interesse sein, sie für

wirklich aufzustellen.

(Der Kürze halber sei hier nur das erste Viertel dieser Deter- minante gegebeu.)

ör-2 «= AV"'

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Wert, für Werl, für

1
c	cc
	1 1 IC
	1 *
o	IC
CS	1
1 1	. 09 X 1 * 9
w i 1	l 5
IC 5 I i
tc
IC	IC
00	1 C i^
o
o
OD 1 w	1 cc Cd \ ce
	i 1 IC
Ifl	M
o	c
o CS	tc 1 tc — 1 c 1
1 1	1
. * I tc tc -^J »c M
Q
1 1- CS 1 M 1 1 — Ii ~. IC	»-1 CS
m tc rc ic
	Ol

+

+

+

+

+

+

+ + '+ + + + : + + + + i + +

+ +

+ +

+

+

+

+ + + + + +

+ + +

i

—

4- +

i +

!

I

I I

! I

+ + + + +

4- +

I

! I I I

I I

I

. + i + +

+

+ +

+ +

+ ±

+

GC
CS	*
*»	1
tc	c
es
*»	{
IC	a
o
o
tc	1
	*-
—
CS	i
	I
IC	— IC
c
O
IC	i !
	IC
CS	"1
	Ii
IC
c
G
tc	1
	at
CS
cs
	\
tc

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Wert, für	Wert, für	-JOiCT'rffc.OOfcSl-'C	~JCSC*rf*.COI\Si-'©	Anscblass
o o ©	1 1	1 1 1 1 1 1 1	+ 1 + 1 1 1 + 1	" 1 cn m "1 Ol | CO ^
1 1 o	1 1 <©	1 + 1 + 1 + 1 +	1 1 1 1 1 i 1
i o © 1	CO M 1 1	1+ 1 + 1 + +	+ 1 ++ ' + 'l	"II
1 1 1 00	1 1— ' 1 1	+ 1 + 1 + 1 + 1	1 + 1 + 1 + 1	1 i CO C£j t— '
1 o 1	t, CO 1 Co 1 1— »	1 +• + + + + +	+ 1 + 1 + 1 + 1	» , Ct CO
10 o	1 1 W 13	+ 1 + 1 + 1 . +1	1 1 1 1 1 1 + 1	cn II CO M
o 1 °j	1 C CO M £	+ 1 + 1 1 1 1	+ 1 + 1 + 1 + 1	w 1 i * 1 CO £
1 1 o	1 r >—	i + 1 + 1 + 1 1 +	1 1 1 + 1 . +!
1 1 »-> co	1 1 S M rffc> M CO C* «1

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290 Hermes: Ein Salz über Binomialcoefßcienlen.

Satz 10) Die v* Grössen Ä#W müssen einzeln ver- schwinden. Hierauf wird man durch folgende Betrachtung geführt.

Da

Ö2o-f"Ö4r-2a = 0 mod. p

wo p von der Form M*v-\-l {und M= 2.2*?i~r\, so lassen sich die Glieder £t+y3t+Jy und *4»_y08»-*r in ^A'P+y — A3, ^ör+2y zusam- menziehen, und unser System Congruenzen wird, wenn wir es in Form von Gleichungen schreiben, für v Werte: u

i) «w«) +a',w a,+ /r2(«)a4-f- . . . ä-(")p_i dic-2) = . p

Nach Archiv der Math. u. Phys. 2te Reihe T. VI. pag. 293. gelten aber zugleich

2V — p und £ek $k+X — 0

ausserdem

c0 = — 1 mod. 4

Zur Vereinfachung behandeln wir diese Bediugungsgleichuugen unter der gemeinschaftlichen Form :

r=4«-l

£ er er+2y «= p oder 0

je nachdem y = 0 ist, oder oder die Werte 1, 2 . . . (» — 1) an- nimmt.

Dabei ist

fr —

wenn r um r grösser als 4« ist, und

wo -f bei ungeradem, — bei geradem r gilt. Dann noch

C2v = 0

Diese Beziehungen können offenbar auf die xr{9) übertragen werden, und wir erhalten für den Coefficienten von Bu für ein belie- biges y abgesehen von dem Factor n* den Ausdruck:

k=r-t /2tA-2k\ 4r-1

i=0 V * /.f.'=2H2* 0

1) Erst bei hohen Ordnungen v wird

e = 1 mod. 4

bei dir letzten wieder

= — 1 mod. 4.

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Hermes: Ein Satz über liinomialcorjiicienten.

291

wobei * und «' alle zulässigen Werte annehmen müssen; man wird also *-f-*' wie auch wenn beide ungleich sind, in Rechnung

ziehen müssen. Viele, keineswegs immer alle Glieder xr»xr |2y wiederholen sich, wenn r > 2» wird, indem die eben angeführten Beziehungen Platz greifen.

Wird nun, da M'*d»t p ist,

n - M"

angenommen, so ergieht sich, nachdem durch n2 dividirt, ein System Gleichungen:

Ii) »0(y)+ff1(y»at+ft,(y)a4+ . . . ^i(y>&,-Ä+<a,<»)-i)k< - o

worin das letzte Glied nur für

y = 0

hinzutritt. Da hierin die 3 von .1/ uud somit von n abhängig sind, die R(y) aber nur von v, da also jede Gleichung des Systcm's II) bestehen bleibt, auch wenn zu andern u gehörige 3 zu Grunde ge- legt werden, so müssen wir die $f<y> einzeln = 0 setzen und

donn die Determinante der 3

- 1

1 32 34 . . .

i a/ 3/ ... i aa" a4" • • •

• 82 + S-

3'* +

a* + !4i

0)d +

rs-ßrH ig...

i a* a* ...

1 B'* B'* ...

i a"* a'"» . . .

• • * •

=> /j(3(*)+a*)(a(*)-8a))i)

verschwindet nicht, wenn die B alle unter sich verschieden sind. JOb sieh die genügende Anzahl ungleicher 3, für welche II) gilt, vor-

1) Vgl. Dulizir, Determinanten. § 10.

19«

•

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292 Hermes: Ein Satz über Binomialcotfflcienten.

findet, könnte freilich io Zweifel gezogen werden, wenn die Keine der Primzahlen von der Form p abbrechen möchte.}

Weil die Coefficieuteu ß(r) verschwinden, und

11) 2 i;>r(«)a-r+2/' ) - |y _ ,J oder =0

ist, so muss offenbar :

( 2v \

i ■

*i»'=2t 0

sein, je naehdem

y = 0 oder > 0 ist.

Hiedurch erhalten wir r--f-l Gleicuuugen 2ten Grades für die Uubekauuteu afrW.

fte<o) ^Mji = i ergiebt:

*0<') 1

wo sich das Zeichen aus :

e0 = — 1 mod. 4

folgern lässt. flV-i wird $r„_i<y) wird

4r-l 4r — 1

=- 2*0<'><r2-/r-2)-f- £ K/r-*** H***-« ~ °5 etc-

Ueber die Natur der Zahlen av^ lässt sich hieraus wenigstens so viel ersehen, dass sie nicht vou (i abhängen, sondern von v, denn v war — 2r"s. Mithin wird die Determinante der aus den xr(«) zu- sammengesetzten Grössen AY") nämlich:

I Jf0U) Kfi) . . . D = A0(3) ^(3) . , ,

keineswegs den Factor p enthalten können, (von null mal p natür- lich abgesehen); es sind also auch in System I) die = 0, weil sich sonst aus der Auflösung des Systems I) nach den n* .B*t für diese Vielfache von p ergeben würden, was nicht angeht, so dass also das System der Congruenzeu schliesslich in die Gleichungen:

I') KJ*>+M1MB9+ . . . K—W a2»-2 - 0

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Hermes: Ein Salz über Binomialeotffieienten.

293

tibergeht, aus denen sich dann, wie vorbin ergiebt, dass die JftW einzeln =0 sein müssen. Dies sind daun v* lineare Gleichun- gen für u* Unbekannte av(s) oder nach der Transformatiou auch für yrM.

Da nun x0W bei &>t in den Binomialcoefficienten (— multiplicirt war, während r,*»-1) als Factor (±) (-1)'

also ebenfalls

!P+(i"-.)!

besitzt, so wird man

—fei.)

setzen können, jenachdem boi (£/ in Zeile u der Rest r| = 1 mit Punkt versehen war oder nicht, so dass sich z. B.

a:15(') = «,0) = x9(7) = :rs<7> - *n<7> 1

ergeben, hieraus wieder nach der Formel ®v-\{0) und die Werte:

*,(«) «= xlO)xäW-\-xsWxbW+ ... 3

ebenso

*4(8) - 2, *6« 1, x8<6> = 4, ar10W 3, *,,«•> - 2

ar14(8) ™ 1 etc-

Diese Betrachtung findet darin ihre Bestätigung, dass die pag. 288 unter die Kreisteilungsdetenniuaute gesetzten Werte yr(,) in der Tat die eiuzelncn Zeilen AVM> zu null raachen, wenn man sie an die mit + oder — gefüllten Stellen einsetzt (y«/8> = — 1) und dass die ans den yr(*> durch Multiplication mit dem beigefügten Schema der ö x) gewonnenen xA9) die in den Binomialcoefficienten ß aufge- stellten Gleichungen AV«> — 0 z. B.

I) Bei r = 0 hnt mnn aber:

{-1 {l 8 20 16 2

8 16 9 2

—24 mit 14 2

44 12

(V=~27); y0° 54} 1}

zu nehme». Hin «Up jt (•) zu ciluilten.

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294

Hermes: Ein Satz über liinomialcoefficienten.

auf pag. 282 erfüllen. Hicdurch haben wir also auf eine durch die Natur des Gegenstandes begründete Weise, nach bestimmter Kegel construirte Systeme linearer Gleichungen mit eben sovielen Unbe- kannten, als ihre Anzahl beträgt, erhalten, welche die Eigenschaft besitzen, durch ganze rationale Zahlen sich aurlösen zu lassen. Zugleich sind dadurch die Zahlen tr (ohne Indextabelle) direct er- mittelt, wie auch die liedingungsgleichuugen erfüllt, freilich nur in dem durch die Ordnung v bedingten Umfange, deuu v < seheint zunächst wenigstens erforderlich. (Ausdehnung auf v — f*-j-2 siehe a. a. 0.)

Königsberg i./Pr., den 19. Octobcr 1888.

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Roge!: Independente Darstellungen etc.

295

XII.

Independente Darstellungen der Tangenten- und

Secanten-Coefficienten.

Von

Franz Rogel.

Wenn in der bekannten Formel:

-•4J-Ä('-i)(1+!)('-9-

der Reihe nach «jx, ... aHx, wo a eine eigentliche Einheits-

m

wurzcl =Y-\-l und or = or ist, statt x gesetzt wird, so ergiebt sich durch Multiplication der n Gloichungen:

„ = 17, cos — j— * - ? L (2m+l)» J JJ

= (v12)w[1-/?mIM±" 1

worin

^^i^i 3^~T"5»^ 7» T • • •

also bei geradem n

1

und bei ungfradem »»

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296

Rogel: Jndependente Darstellungen der Tangenten- und

(— l)m

Bn - üu - 2? (2m+ 1)H ist.

Diese Reihen hangen in einfacher Weise mit den Tangentcn- und Secantcu-Coefficienten tw zusammen; os ist nämlich:

" nu+fn»V 2<]

bei ungeradem n sind die tm Tangenten- , bei geradem n Secauten- Coefficienten.

Mittelst des Mac-Laurin'schen Satzes kann y in eine zweite Reihe entwickelt werden; die Coefticientcn gleich hoher Potenzen von x gleichsetzt, führt zu

^^o-- [vi)**» 31

Der ntc Differentialquotient des Productes y kann nun entweder durch directes Differentiiren desselben oder durch das sogeuanuto logarithmischo Differentiiren gefunden werden.

L

Um y0(») nach erstorer Art zu bostimmen, sei allgemein

y — x, x, . . . rn

wo xx xf . . . xr ... beliebige Functionen von x bedeuten sollen; dann ist:

y' ■= x,' .xs . . . Xn-f-x, xs'x3 . . . xM-f- . . . y" = *i".x, . . . x«-f-2.r1'x3,x3 . . . x„-f . . .

woraus zu ersehen ist, dass jedenfalls ans der Summe von Pro- dueten P|, r, . . . /-V . . . bestehen wird, welche mit uoch unbe- kannten, von der Natur der Functionen xr unabhängigen, dagegen von u abhängigen Zahlencoefficienten C\ , 6'2 . . . behaftet sind , also

y("> mm ZCrPr

Die Bestandteile CVi\ vou y(") haben offenbar die Form Cjx/^.x,^ . . . x^"), unter x/a>, xs(/*) . . . Differentialquotienteu der Ordnung «, ß . . . der Functionen x,, xt . . . verstanden, wobei dieOrduungs-

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Stranten-Cnefflrirnten. 297

Exponenten die Werte von 0 bis n annehmen. Der Otc Differen- tialquotient ist die Function selbst, d. h es ist

«= x„ jr,W) - ^ . . .

Die Bestimmung der CocftieieuUn (\, Cs . . . geschieht am ein- fachsten auf die Art, dass für j-j, t* . . bekannte Functionen, deren höhere Differeutiahiuotienteu sich recht leicht angeben lassen, substituirt werden, etwa

a-, = e"'* . . . rr = cV . . .

dann ist

- ^«i ^ • • • - 2 ü Ji;..^1' • ■ •

da

o,«#*«* — a-,(«), aj.?)*'* ss xÄW . . .

ist, folglich

Die Zahlen C, , Ca sind daher die Polynomialeocfficienten , er- halten durch die Erhebung eines n giiedrigeu Polynoms zur nten Potenz. Das System der Wicderhoiungs-Exponcuten «, ß ... ist somit auf dieselbo Art, wio das der Potenz-Exponenten bei der po- lyuomialeu Entwicklung aufzustellen, es ist nämlich das vollständige Wertsystem «, ß . . . , welches der Bedingung

(a = 0, 1 . . . i»\ ß « 0, 1 ... » I

genügt.

In symbolischer Ausdrucksweise kann daher geschrieben werden

= Ar|>i+%+ . . . -f arj« 5]

Dieses Resultat kann nicht überraschen, da der Vorgang bei der Potciizirung eines Polynoms aualog dein des wiederholten Differen- türeus eines Productes ist.

Die Ausführung der in 5] angezeigten Operation hat in der Weise zu erfolgen, dass nach geschehener polyncmialer Entwicklung iu jedem Bestandteil die nicht vertretenen Glieder xu x2 . . . des Polynoms durch ihre Oten Potenze n und schliesslich alle Potenz- Exponenten durch die gleich hohen Wiederholungs-Exponenten er- 8etzt werden.

Die Auwendung des Satzes 5] auf y in Ij ergiebt:

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298 Rogel: lndependente Darstellungen der Tangenten- und

x=0

/ «rX-f-1 \

Entwickelt, and sodann jede Potenz leos — ^— n\ durch

o

ersetzt, ergiebt für r„ einen von den vorhergehenden rH-i, T„_a ... unabhängigen Ausdmrk. 1'jis positive Zeichen kommt alleu Ex- ponenten p von den Formen 4k- und 4fc-}-3 und das negative allen p von den Formen 4m-f-l uud 4m -f 2 zu. Erst nach erfolgter Zeichenbestimmung siud die Potenzen der Einheitswurzeln mit Be- rücksichtigung von

«r =* «r

zusammenzuziehen.

Sämtliche Glicdor der so cutstaudeuen Summe haben und weil sie n Cosinusse von der Form

2^ + 1 1

cos — i 7i - ± v^

enthalten, auch {^^j a^s gemeinschaftlichen Factor; folglich ist nach leichter Rcducirung:

*-« - - 2 ± xflTTT.- "•*"•*""" • • • 6J

oder in symbolischer Form

*-l [«-flt-rj«") 71

mit dem Vorbehalt, dass nach geschehener polynomialer Entwicklung für jede Potenz crP" mit Berücksichtigung der Form von ft das Vor- zeichen auf die bereits festgesetzte Art bestimmt wird.

Diese Formel erfahrt eine Vereinfachung durch die Bemerkung,

dass

rSar = 0 l

folglich auch

- Jr-i L*+t = o

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Secante>i-Coe/Jn:ienten

ist. Letzteres zu 7] addirt, macht die negativen Glieder innerhalb der Klammer verschwinden, während sich die positiven Glieder ver- doppeln; daher kann geschrieben werden

wo das positive Zeichen symbolisch andeuten soll, dass nur die nach dem hier geltenden Zeichengesetze als positiv auftretenden Glieder beizubehalten sind.

In der Formel 6] das gemeinsame nl vor das Summenzeichen gesetzt wird

*-i = - 2,.-, JJ

wenn für x, A, p . . . wieder nur sämtliche Glieder positiv machende und der Bodinguug

x-\-k-\-p-\- ... =» n genügendo Werte gedacht werden.

Da alle Vereinigungen der Einheitswurzeln mit derselben Ex- ponentenreihe x, A, /t . . . dasselbe Vorzeichen und deuselben Nenner x!A!ju! . . . haben, so ist ihre Summe eine mit einem gewissen Coef- ficienten behaftete symmetrische Function [x, A, f* . . .] der Eiuheits- wurzclu «„ o2 . . . c„, nämlich

v a^x a^-tt^ „ ^ fx, A, n . . .] ~ x! AI f»! . . . "* x! A! |*! ...

demgemä8S gilt auch:

(» — 1)1 y , [*, l, f» • • •] in1

wodurch die independente Darstellung der Tangenten- und Secanten- Coefticienteu durch symmetrische Functionen der Einheitswurzeln bewirkt wird.

Für x, A, jii . . . sind auf alle mögliche Arten solche gleiche oder ungleiche Werte von 0 bis n zu setzen, deren Summe jedesmal n beträgt und dio ein positives Vorzeichen bedingen.

Beispiel.

n - 3, a - y+T x, A, p

Vorzeichen :

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300 Rogel: Independente Darstellungen der Tangenten- und

3, 0, 0 + 2, 1, 0 + 1, 1, 1 -

entfällt daher

3.2

*s A>i-h«s+«aP

- - f«iH«23+«3S+ jjj3(« + «>)] = + 1

II.

Das logarithmische Diffcrentiiren führt zu einer schönen An- wendung des fruchtbaren Honpe'sehpn Satzes über höhere D.fferen- tial(juotieuten, welcher bekanntlich in folgender Gleichung seinen Ausdruck findet:

DSFlft) ^ F"fy)-f . . . + ^ F»)(,j)

In Formel 2] beiderseits die Logarithmen genommen ist: logy = Zlog cos — rii n

4

mit Benutzung obigen Satzes wird

(") (") ('■)

Für * = 0 ist

n = (J2)"

und alle Nullwertc der höh ercu Ditientialquoticntcu, deren Ordnungs- zeiger kein Vielfaches von n sind, verschwinden, somit ist

"•"'^(ö-fj+ö-^^'vw

Ebenso kann die Formel 11] zur Bildung der höhern Differential- en- x -f» 1

qnotienten von Zlogcos — ~ n verwendet werden;

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Secanten- CoefficienUn. 30 1

«rS-M «rar -}- 1

cos — ^ n t*r und — j !— =~ <jpr gesetzt, ist zunächst

Dx» ur - ("^"cOS (()Pr + ^) TT - 0)WCOS (<JPr + jj) 7t

Um die »ton Differentialquotieuten der aufeinanderfolgenden Potenzen von ur zu erhalten, ist es nur notwendig, dieselben in Vielfache des Argumentes q>rn zu verwandeln; es ist bekanntlich:

2™ cos> «= (q) cos + cos(m — 2)y -f (™ )cos (m - 4)<jp + . . . daher

- (*)" [(o ) m" C0S (m*'+ j|) 71 + (*) (»-2)»COs(»-2Vr + |) *

+ (2) <m ' 4)"C0S ((»-4)Vr+§) «+...] Für 0 — 0 ist

qpr = i und

7t

+ (7)(. -2)-«o. fe--2, + .. .]

Hier entfallen sämtliche Eiuheitswurzeln, der Ausdruck rechter Haud ist daher von r uuabhängig; da aber dio Formel 11] für eine Summe von 7» sich ebüti nur durch diesen Zeiger r sich unterscheidenden Functionen log«r zur Anwendung kommen soll, und nur die Nullwerte

benötigt werden, so ist, da

/>j"loi»}0-ü*"2nogii|o=

(a)

oder

]

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302 Kogel'. Jndependtiite Darstellungen der Taiujtnteit. und

cw -©"[© (^)5-(y(^*+(5)(w9

-+...]

2« l(c J 008 ■ 4 71

, /m\ , M 2«-f w — 2 "1

+ (l)(m-2)«C08 X4- * + ...J

und

2''-H(V'2)«

oder

Tm-1 —

AehnUchc independeute Ausdrücke für die Tangenten- und Se- canten-Cocflieienteu können bekanntlich mit Hilfe der höhern Dif-

1 eT

ferentialquotienteu der Functionen | , ^ uud 1_j_e2X aufgestellt werden, in welchen statt der Coeffieicnten Cm solche von der Form

Em - (™) »« - ("J (m - 1)-+ ^) (» ~ 2)" - • • •

erscheinen; letztere haben daher eine doppelt so grosse Gliederzahl als erstere. Diese independento Darstellung erscheint in 12] in ihrer allgemeinsten uud sehr zusammengezogenen Form. Durch Unterscheidung der Fälle eines geraden m und eines ungeraden n gelingt es die Zahl der Glieder von (\„ auf die Hälfte zu redueireu und die Cosinusse auszuwerten. Es ist für gerades in:

2»i-l Coswig es ^"^cosntgp-f- C0s(m -2) ... und für ungerades m

2M'-1C08w,qp = ^"^C0Sm«3p4 COB (f» — 2)f + . . .

+ (7"2 ") cos:i«p + !) cos gp

folglich ist

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Secanlen' Coefjicienten. 3(J3

a) bei geradem m

ZV «*« - 2 j" t (*)" [(o ) *»" cos far + ff

+ (m - 2)» COS (»i-2 <pr + "^K+ ... in

...+(^-1)2^03(2^ + ^ *] X — 0, <JPr — i

. / m\ , % 2»+« — 2 . + ^ J(,»-2)«cos - rr+ ...

. (<» ^ 2» +2 1 ...+\2 -1/2*008— ^-»J

b) bei ungeradem m:

iw» = s^(f)l(o)^m(fl>^i) *

+ Q'4) >-2)*cos ((m-2)<jpr + »+ . . .

...+ (m 3» eos (3*r + 1) • + fc --1 ) cos (f + ?) »]

* — 0, <JPr = i

1 /7t\»'r/»A 2tt-f-l» *V«r»}0 - 2w-i (4 ) [(0 ]«"cos— -

+ (7)(*-2)*caB^±^«+... .

(m-3^ 2n+3 . (m-l) 2n+l ]

. . . +V-yV 3» cos-^« + V 2 /cos 4— *J

Bei der Sondcruug der Tangenten- von den Seeanten-Coef- ficientcn lassen sich die von m unabhängigen Cosinusse der letzten Glieder sofort berechnen 5 es ist mitbin vorteilhafter mit dcnselbeu

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304 liogel: Independeult Dar Stellungen der Tangenten- und

beginnend die Reihenfolge der Glieder umzukehren, wodurch weitere Unterscheidungen der Zahlformen von m von selbst outfallen.

A. Die Tangonten-Cocffieienten , n gerade.

a) m gerade

+(»'_6)12. _+...]

b) m ungerade

3-

B. Die Sccanten-Coefficicnten, » ungerade, a) 7» gerade

Ds»«r>'% « — g.;.! (4>) I V2 -1/ 2« - \, -3/6«

+ (-5)10»-+...]

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Secanten-Coefficunlen. 3Q5

b) m ungerade

W~H r/ m \ / m v i>^.=^g)-[('=Fi)x.+(^)a.

-(--5) 5. -++...]

n -1

2"H(V2)» (-1)2 f/»\ , „ €,'

-G) <v2)!S + -••■]

^=(^>-a«-+civ6)^-. u]

Diese Formeln sind weiterer Iteductioneu fähig; die angeraden Po. tenzen von V2 können entfernt werden. Schliesslich lassen sich die Formeln für Tangenten- und Secanten-Coefficienten in eine einzige zusammenziehen, und zwar wird

Für die Tangenten-Coefßcienten ist

2

n gerade und

Arch. der Math. n. Phjs. 2. Eeilie, T. VIII. 20

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306 Rogel: lndependente Darstellungen der TangtnUn- etc.

Für die Secanten-Coefficienten ist

n— 1

2

e,-l = (-l)

n ungerade

^=(v2:2)2-C-3)-+(,2:5)--f...

fcH-n*)-+c5)--(Sf)--++-

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Meyer: Die merkwürdigen Punkte derjenigen Tangentendreiecke etc. 307

XIII.

Die merkwürdigen Punkte derjenigen Tangentendreiecke einer Curve zweiter Ordnung, welche von zwei festen Tangenten und einer beweglichen gebildet werden.

Von

Dr. Theodor Meyer

in Saarbrücken.

Der Satz von den Höhcnschnittpnnkten der Tangcntendreiceke einer Parabel logt die Frage nahe, ob derselbe ein besonderer Fall von einem für Curven II. 0. allgemeingültigen Satze ist, und er regt weiter zu Untersuchungen über die merkwürdigen Punkte iu den Tangenteudreiecken au, in deren Bilduug irgend eine Gesetzmässig- keit herrscht. Wir wollen im Folgenden diejenigen Tangentendreiecko einer Curve II. 0. in Bezug auf ihre merkwürdigen Punkte unter- suchen, welche von zwei festen uud einer beweglichen Tangente ge- bildet werden. Diese Aufgabe lässt sich vorteilhaft auf syntheti- schem Wege durchführen, und es wird sich dabei unter anderm eine Bejahung der aufgeworfenen Frage ergeben.

I. Dor Höhon8chnittpunkt.

Von einem Punkte A seien an eine Curve II. 0. die Tangenten tt und tt gezogen, und eine dritte Tangente t schneide dieselben in den Punkten S, und Sr Ferner sei H der Schnittpunkt der beiden

so»

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308 Meyer: Die merkwürdigen Punkte von Tangentendreiecken.

durch Sx und gehenden Höhen des Dreiecks i45,Sg und mit P, und 1\ mögeu die beiden unendlich fernen Punkte bezeichnet wer- den, nach welchen beide Höhen gerichtet sind.

Denkt man sich dann die Tangenten tx und tt fest, die dritte Tangente t aber beweglich, daun beschreiben Sx und St auf den er- 8tcren Taugeuten zwei zu einander projectivische Punktreihen I. O. und folglich ihre Verbindungsgeraden mit den festen unendlichen fernen Punkten I\ und 1\ zwei zu cinauder projectivische Parallel- Strahlcuhüschel. Je zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel schneiden sich in dem Höhenschuittpuukt // des veränderlichen Drei- ecks ASiSi\ folglich durchläuft dieser eine Hyperbel, wenn t längs der Curve als Taugento gleitet.

Diese Hyperbel geht durch die unendlich fernen Punkte Px und Pg, die Mittelpunkte der beiden Parallel-Strahlenbüschel, und trifft die Geraden und fs in 4 Punkten desjenigen Kreises, auf welchem die Schnittpunkte von je zwei zu einander normalen Taugenten der Curve liegen. Der Gcradeu vou welche diesen Funkt mit dem Berührungspunkt Tt auf der Tangente tx verbindet, entspricht in

dem andern Büschel die Gerado P%A\ der Schnittpunkt dieser bei- den zu tt und tx normalen Geraden ist also auch ein Punkt der Hyperbel. Ebenso erkennt man, dass die durch A gehende Normale zu U von derjenigen Normalen zu tx in einem Punkte der Hyperbel geschnitten wird, welche durch den Berührungspunkt T% der Taugente /2 geht. Nennt man ferner Bx den Punkt, in welchem tx von der zu <Ä parallelen Tangente geschnitten wird, und B3 den Punkt von — f2, durch welchen die zu tx parallele Tangento geht, dann entspricht

in den beiden Parallel-Strahlenbüscheln der Geraden PXBX die un- endlich ferne Gerade l\Pt und der Geraden i\Bt ebenfalls die un- endlich ferne Gerade 1\P%. Diese beiden durch Bx und Bt zu den Geraden ^ und tt gezogeueu Normalen sind also die Asymptoten der Hyperbel.

Entsprechen sich in den beiden projectivischen Punktreihen tx(Sx) und ^(»S*,}) die unendlich fernen Punkte, ist also die vorlie- gende Curve eine Parabel, dann haben die beiden Parallel-Strahlen- büschel Pl(PxSx) und Pt(PiSi) die unendlich ferne Gerade ent- sprechend gemein. In diesem Falle also liegen die Uöheuschnitt- punktc // der Dreiecke ASxSt auf einer im Endlichen gelegenen und der unendlich fernen Geraden. Weil erstere Gerade auch die Punkte enthält, in welchen tx und <2 von den zu ihnen normalen Parabel tangenten geschuitten werden, so ist sie identisch mit der Dircctrix, und wir kommen stets auf diese Gerade, von welchem

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Meyer: Die merkwürdigen Punkte von Tangente ndreiecken. 309

Punkte auch die Tangenten /, und ts an die Parabel gehen mögen. Schliesslich sei noch bemerkt, dass sich für jede Curve II. 0. der Ort der Höhenschuittpunkte auf den Punkt A reducirt, falls tx und *a einen Winkel von 90° cinschliessen.

Wir können nun als Zusammenfassung der vorhergehenden Aus- führungen folgenden Satz aufstellen:

„Die Höheuschnittpunkte der Tangentendreiecke, welche von „zwei festen und einer beweglichen Tangente einer Curve II. 0. ge- bildet werden, liegen auf einer Hyperbel, deren Asymptoten normal „zu den festen Tangenten stehen. — Dieso Hyperbel zerfallt in die „Directrix und die unendlich forne Gerade, falls die Curve II. 0. „eine Parabel ist. Sie reducirt sich auf einen Punkt, wenn dio „festen Tangeuten einen rechten Winkel bilden."

Gewöhnlich wird als Ort der Höhenschnittpunkto der Tangenten- dreiecke einer Parabel nur die Directrix erwähnt ; aus der Ableitung des vorhergehenden Satzes, sowie auch aus der geometrischen An- schauung geht jedoch hervor, dass auch die unendlich ferne Gerade zu diesem Orte gezählt werden muss. Weil nämlich der unendlich fernen Geraden keine bestimmte Richtung zukommt, so kann sie bei unendlich ferner Lage von Sx und S2 sowol als Höhe zu der Tan- gente tx als auch als Höhe zu t, angesehen werden, jeder ihrer Punkte also als Höhenschnittpunkt des von <n t% und der unendlich fernen Geraden gebildeten Tangenteudreiecks aufgefasst werden.

II. Der Mittelpunkt des Umkroisos.

In dem Dreieck ASxSi sei Mx der Mittelpunkt der Seite ASX und M2 der Mittelpunkt der Seite AS2. Dann entspricht auf tx jedem Punkt 8X ein Punkt Mt und ebenso auf t2 jedem Punkte ein Punkt 3/2, und es lässt sich leicht einsehen , dass dieso Beziehung eine projectivische ist. Denkt man sich nämlich die Punktreihe tx{Mt) um A in die Lage irgend eiuer andern Geraden tx gedreht, dann sind die Verbindungsgeraden der Punkte Mx auf tx mit ihren entsprechenden Punkten Sx auf tx alle zu einander parallel; folglich ist tx(Mx) perspectivisch zu tl(Sx) und daher auch tx(Mx) projecti- visch zu ti(Si)1). Ebenso überzeugt man sich, dass die beiden Puukt- reihen <g(il/a) und zu einander in projcctivischcr Beziehung

1) In gnnz ähnlicher Weise kann man zeigen, dass auch dio Punkte, welche die Strecken ASX in einem constanten Verhältnis teilen, eine zu tx(Sl) projeetmsche Punktreihe bilden.

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310

Meyer: Die merlwiirdyen Punkte von lanyentendreieclen.

stehen, Da uun aber die Punktreiheu <,(£,) und <8(&.) selbst zu einander projectivisch sind, so gilt dies auch von den Puuktrcihen f,(A/,) und ^(3/2) und daher weiter von den beiden Parallel-Strahlcu- büscheln, welche ',(3/,) und tt{Aft) aus den unendlich fernen und in normaler Richtung zu und tt gelegenen Punkten Q, uud Q9 pro- jiciren. Ucr Schnittpunkt Jf je zweier entsprechenden Strahlen dieser Büschel ist der Mittelpunkt des einem Dreieck A St umgeschriebenen Kreises, und wir erkennen jetzt, dass sich M auf einer Hyperbel bewegt, wenn t den der Curvo zugehörigen Strableubüschel II. 0. durchläuft. Für den Fall der Parabel haben die beiden Parallel- Strahlenbü8chel wieder die uuendlich ferne Gerade entsprechend ge- mein, folglich erhält man als Ort für M die unendlich ferne und eine im Endlichen gelegene Gerade. Wir können also bis jetzt fol- gendes Ergebniss aussprechen:

„Die Mittelpunkte der Umkreise aller Dreiecke, welche von „zwei festen und eiuer beweglichen Tangente einer Curvc II. O. ge- bildet werden, liegen auf einer Hyperbel, deren Asymptoteu normal ,.zu den festen Tangenten sind. — Dicso Hyperbel zerfällt in die „unendlich ferne und eine im Endlichen gelegene Gerade, wenn die „Curve eine Parabel ist".

In letzterm Falle haben alle durch die Ecken der Tangenten- dreiecko ASvSt gelegten Kreise ausser A noch einen zweiten Punkt gemeinsam. Nennen wir denselben h\ dann ist

Wkl. Sy FSj - 2R — Wkl. (/,!,)

als constant, folglieh ist F der Brennpunkt der Parabel. Damit sind wir zu einem bekannten Parabelsatz gekommen, aus welchem um- gekehrt der zweito Teil des vorhergehenden Satzes folgt.

Zu jedem Punkto A gehört bei gegebener Parabel eine be- stimmte Gerade w, auf welcher die Mittelpunkte Ar der deu Drei- ecken AS1Si umgeschriebenen Kreise liegen. Am einfachsten cou- struirt mau dieselbe, indem mau A mit dem Hrennpuukte .F ver- bindet und dann die die Strecke .4 F halbircnde Normale zieht. Siml die Berührungspunkte '1\ und Tt der beiden Tangenten tx uud /, bekannt, daun kann mau auch m in folgender Weise bestimmen. Mau zieht durch A die Normale zu tt und bringt sie zum Durch- schnitt mit derjenigen Normalen von fÄ, welche die Strecke AFi halbirt; ebenso errichtet man in A zu f2 die Normale und durch- schneidet sie mit der die Strecke ATt halbirendeu Normalen. Die Yerbiudungsgerade dieser beiden Schnittpunkte ist alsdauu die Ge- rade m. Vou der Richtigkeit dieser Construction überzeugt mau sich leicht, wenn man die veränderliche Tangente t mit tA und zu-

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Meyer: Die merkwürdigen I\nkte von Tangentendreiecken.

sammenfallon lässt. Mit derselben haben wir übrigens zugleich eine einfache Lösuug der Aufgabe: „Dcu Brennpuukt einer Parabel zu „bestimmen, wenn 2 Tangeuteu uud ihre Berührungspunkte gegeben „sind".

Liegt A auf der Hauptachse der Parabel symmetrisch zu dem Brennpunkt bezüglich der Directrix, dann fällt m mit dieser Ge- raden zusammen, und die Tangenten tx und /, bilden einen Winkel von 6<)° mit einander.

Im Anschluss hieran wollen wir untersuchen, ob bei einer all- gemeinen Curve II. 0. die beiden Hyperbeln h und m sich vereinigen können, auf denen dio Höheuschnitte uud die Mittelpunkte der Um- kreise von den Dreiecken ASlS% liegen. Zu diesem Zwecke be- achten wir zunächst, dass die unendlich fernen uud in normaler Richtung zu f, und ^ gelegenen Curvenpunkto Q, und Qs von der Hyperbel stets mit den unendlich fernen Punkten P% und Pt der Hyperbel h zusammenfallen.

Die Asymptoten der letztern Curve gehen durch B% und Ä2, die beiden gegenüberliegenden Eckpuukte des von <, und uud ihren parallelen Tangenten gebildeten Parallelogramms; die Asymptoten der Hyperbel m hingegen halbircu die Strecken ABt uud ABV Eiuo Vereinigung der beiden Asymptotenpaare kann also nur eintreten, wenn

Wkl. tt) = 60°

und zugleich

ABt — AB%

ist, also A auf einer Achse der gegebeneu Curve liegt Iu diesem Falle gibt es aber unter den Dreiecken ASlSt zwei gleichseitige, und folglich haben die beideu Hyperbeln ausser den Asymptoten auch noch zwei im Endlichen gelegene Punkte gemein, das hoisst, sio fallen ganz zusammen. Wir können also sagen:

„Schneiden sich zwei einen Winkel von 60° einschliessenden „Tangenten einer Curve II. 0. auf einer Achse derselben, dann liegen „dio Höhenschuittpuukto und dio Mittelpunkte der Umkreise der von „diesen Taugenteu mit den übrigen gebildeten Dreiocko auf ein „und derselben Hyperbel".

In den beiden Hyperbeln A und my welche durch irgend zwei in einem Punkte A sich schneidende Tangenten f, und ts eine Curve II. 0. bestimmt sind, können wir je zwei Punkte // und M einander zuordnen, welche merkwürdige Punkte desselben Dreiecks AS1Si sind. Es lüsst sich dann zeigen, dass die Punktreihen II. 0. h(H) und m(M) zu eiuaudcr in projectivischer Beziehung stehen. Da

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312 Meyer: Die merkwürdigen Punkte von Tangentendreiecken.

nämlich die Punktreiho *,(S,) pcrspectivisch zu dem Parallel-Strahlen-

büschel PX(P&) ist und dieser perspectivischo Lage mit der Punkt- reihe II. 0. h(H) hat, so ist auch <,(£,) projectivisch zu h(H). In fthnlicher Weise tiberzeugt man sich, dass auch /,(£,) und tn(Af) projectivisch sind. Aus beiden Beziehungen folgt aber, dass /«(//) zu m(M) projectivisch ist, womit unsere Behauptung bewiesen ist Wenn nun Winkel (f,*s) !) mehr oder weniger als 60° oder 120° beträgt, dann gibt es kein Dreieck A St Sit dessen Höhenschnittpunkt zugleich Mittelpunkt des Umkreises ist. Die beiden projectivischen Hyper- beln haben also im allgemeinen keine Punkte entsprechend gemein,

folglich 2) bilden die Geraden HM, welche die Euler'schen Geraden des Dreiecks AStS2 sind, einen Strahlenbüschel IV. 0. In der un- endlich fernen Geraden liegen zwei dieser Strahlen , da den unend- lich fernen Punkten der eiuen Hyperbel dieselben unendlich fernen Puukte der andern aber in umgekehrter Reihenfolge entsprechen. Ist aber

Wkl. (V,) *) = 60° oder — 1>0°

dann gibt es uuter der Schaar von Tangcutendreiccken zwei gleich- seitige, und mithin haben alsdann h und m 2 im Endlichon gelegene Punkte K und L entsprechend gemein. Ausser den beiden Strahlen- büschelu I. 0. mit den Mittelpunkten A'uud L erhält man also noch einen Strahlenbüschel II. 0. Da aber die unendlich ferne Gerade 2 Strahlen des Büschels enthält, so gehen durch einen Punkt, in welchem sie von einem andern Strahle geschnitten wird, droi und folglich

unendlich viele Strahlen des Büschels Schneidet ein Strahl HM die beiden Curvcn zum zweiten Male in den Punkten //' und 3/', so sind auch diese Punkte einander cutsprechend, und somit sehen wir, dass der Strahlenbüschel II. 0. in einen Parallel - Strahlen- büschcl zerfällt, in welchem jeder Strahl doppelt gezählt werden kann.

Um die Richtung der Strahlen zu bestimmen, betrachten wir dasjenige Dreieck j4S,Sj, welches bei S, eineu rechten Winkel hat In diesem ist die Gerade, welche Sl mit der Mitte der Hypoteunse AS2 verbindet, die Euler'sche Gerade und sie steht senkrecht zu der Halbirungsliuie des 60° betragenden Wiukcls (z,*2).

Folglich stcheu alle Euler'schen Geraden der Dreiecke j4S,<S, senkrecht zu dieser Halbirungsliuie, und wir haben beiläufig folgende Dreieckssätze:

\) Unter Wkl. (/, /,) wollen wir denjenigen Winkel der beiden Tangenten verstehen, innerhalb dessen Schenkel die Curve liegt.

2) Reyc, Geora. d. Lage. II Aufl. S. 116.

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Meyer: Die merkteürdiyen Punkte von Taiujentendreiecken.

313

„Die Euler'scho Gerade jedes Dreiecks, welches einen Winkel „von 60° outhält, ist normal zu der Halbirungsliuic dieses Winkels."

„Die Euler'sche Gerade jedes Dreiecks, welches einen Winkel „von 120° enthält, ist parallel zu der Halbirungsünie dieses Win- kels."

Liegen, nm diesen Fall noch zu erwähnen, die beiden Hyperbeln h und m auf einander, daun stehen /<(//) und m(M) zu einander in involutorischer Beziehung, und die Doppelpuukte dieser Puuktreihe sind zugleich die Scheitelpunkte der Hyperbeln.

Bei der Parabel sind die beiden projectivischen Punktreihen II. 0. durch zwei projectivische ähnliche Puuktrcihen I. 0., h und m, zu ersetzen, vou welcheu erstcre stets auf der Direetrix liegt. Da- her gilt der Satz:

„Die Euler'sehen Geraden aller Tangentendreiecke einer Pa- ,,rabel, welche von zwei festen und einer beweglichen dritten Tau- „geute gebildet werden, umhüllen im allgemeinen eiue zweite Pa- „rabel, welche auch die Direetrix der erstem zur Tangente hat.*

Man erhält einen Strahleubüschel, wenn A auf der Haupt- achse der Parabel liegt, und einen Parallelstrahlenbüschel, wenn A ausserhalb der Hauptachse liegt uud zugleich

WM- «,<,) - 60° oder - 120°

ist. Liegt A auf der Hauptachse, und ist zugleich

Wkl. (Vs) - 60°

dann liegen die beiden projectivischen Punktreihen auf der Direetrix.

III. Der Schwerpunkt.

In dem Dreieck A *S, werde der Schnittpunkt der Mittellinien

S1Mi und StMt mit S bezeichnet Schneidet danu die durch S gehende Parallele zu tx die Gerade t2 in V2 und die durch 8 gehende Parallele zu die Gerade tt in Vu dann ist

AVx-\A8i und AVi—iAS,

Diese Punkto Vt und Vs teilen also dio veränderlichen Seiten A^

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314 Meyer: Die merkwürdigen Punkte von Tanyentendreiecken.

und AS2 in einem constanton Verhältuiss, folglich i) ist f,(r,) pro- jectivisch zu /,(5,) und tt(V9) projectivisch zu ^(S*). Weil aber 'iW projectivisch zu ^(5,) ist, so gilt dies auch von den Punkt- reihen <,(F,) und t^Vt) und folglich auch von den beiden Parallel- Strahlenbüscheln, welche ts(Vt) und ^(F,) aus den unendlich fernen Punkten Rt und Rx der Geraden ^ und <, projiciren. Da nun der Schwerpunkt 5 des Dreiecks A 5,5, als Schnittpunkt von zwei ent- sprechenden Strahlen dieser beiden Büschel erscheint, ßo erkennt man, dass er sich auf einer Hyperbel bewegt, wenn t den zur Curve gehörigen Strahlenbüschel II. 0. beschreibt Diese Hyperbel geht durch die unendlich fernen Punkte J?, und 11% der Geraden f, und ti, und ihre Asymptoten teilen die Strecken ABX 2) und AB^ in dem Verhältniss 1 : 2. Für die Parabel erhalten wir als Ort der Schwer- punkte der Droiecke AS1St wieder eine eigentliche und die unend- lich ferne Gerade.

Wir können also folgenden Satz aufstellen:

„Die Schwerpunkte aller Dreiecke, welche von zwei festen und „einer beweglichen Tangeute einer Curve II. 0. gebildet werden, „liegen auf einer Hyperbel, deren Asymptoten parallel zu den festen „Tangenten sind. — Die Hyperbel zerfällt in eine eigentliche und „die unendlich ferne Gerade, wenn die Curve eine Parabol ist"

Lüsst man t mit den festen Tangenten I, und tt zusammenfallen, daun erkennt man, dass auch diejenigen Punkte dieser Geraden zu dem Orte gehören, welche die Strecken ATX s) und AT% in dem Ver- hältuiss 1 : 2 teilen. Die Gerade, welche bei gegebener Parabel diese beiden Punkte mit einander verbindet, enthält die Schwerpunkte aller eigentlichen Tangentendreiecke /15,5g

1) Vgl die Fussbcraei kung >»uf Seite 30'J.

2) Vgl. S. 308.

3) Vgl. S. 308.

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Misctllev,

315

XIV.

Miscellen.

1.

Constructlon des Schnittes einer Geraden mit einer Hyperbel.

Die Coustructionen , wcche den Zweck verfolgen, die Durch- schnittspunkto einer Geraden mit einein durch gewisse Bestimmungs- stücke gegebenen Kegelschnitt zu finden ohne den letzteren zn zeichnen, sind zahlreich und sehr mannigfaltig je nach den gegebenen Bestimraungsstücken, und die dabei zur Anwendung gelangenden Ge- sichtspunkte selbst dementsprechend sehr verschiedener Art. Be- sonders eiufacho Lösungen dieser Aufgabe ergeben sich für die El- lipso, wenn von derselben ein Paar conjugirter Durchmesser oder die Axen gegeben sind, indem dann die Ellipse durch einen ihr affin verwandten Kreis ersetzt werden kaun. Die Anwendung des Kreises als verwandte Figur des Kegelschuittcs kann auch bei der Hyperbel Platz greifen, wenn man dieselbe collinear auf ihn bezieht. Wollte man auch hier statt der Verwandtschaft der Collineation die 8pcciellerc der Affinität gebrauchen, so wird der Hyperbel wieder eine solche Curve entsprechen und die Aufgabe nicht vereinfacht erscheinen, wenn man nicht ein einfaches Mittel hat für diesen Fall jetzt, die Schnittpunkte der Geraden die der gegebenen affin ent- spricht, mit der affinen Hyperbel ohne diese zeichneu zu müssen, an- zugeben.

Im folgenden soll nun gezeigt werden, wie man mit Benutzung einer der gegebenen affin verwandten die Schnittpunkte einer durch ihre Asymptoten und die Hauptaxe gegebenen Hyperbel und einer Gcradon finden kann.

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316 Miscellen.

Im 1 . Bde. 2. Rh. dieses Journals wurde die Erzeugungsweise der Hyperbel und Ellipso als: „Ort der Berührungspunkte der ge- meinsamen Tangenten an einen Scheitelkreis ') und alle, die Asymp- toten berührenden Kreise, welche ihre Mittelpunkte auf der llauptaxe haben , über welcher der Scheitelkreis beschrieben wurde", ausführ lieh erörtert.

Hieraus ergibt sich aber, dass man die Schnittpunkte einer den Scheitelkreis über der reellen Axe einer Hyperbel berührenden Ge- raden mit dieser sehr einfach rinden kann.

Ist, siehe die Fisr.r, y eine den Schcitelkrcis A* berührende Gerade, von welcher die Schnittpunkte mit der Hyperbel, deren Asymptoten «, und sind, cnustruirt werden sollen, so hat man eben nur jene Kreise zu suchen, welche die Gerade g und die Asymptoten und «2 berühren und ihre Mittelpunkte auf der Axe « haben, um in den Berührungspunkten mit g die fraglieheirSchnitt- punkte zu erhalten. Diese Berührungspunkte lassen sich aber etwa in folgender Art Huden. Zuuächst rindet mau die Mittelpunkte 0, und Ot der oben geuauuten berührenden Kreise entweder

;i) indem mau die Winkelhalbireuden \Ot uud lo2 der Ge- raden g und der Asymptote a, construirt (oder 20l uud 20, von g und «s) oder:

2; als Endpunkte des auf der Axe a gelegeneu Durchmessers desjenigen Kreises, der seiueu Mittelpunkt auf a hat, und welcher durch die Schnittpunkte 1 und 2 von g mit den Asymptoten «, und </2 geht, wie leicht sofort einzusehen ist, da ja die früher erwähnten 'Wiukelhalbircuden senk- recht zu einander stehen. Dass man nur IS in m zu hal- biren und mw2 senkrecht zu g zu errichten hat , um den Mittclpuukt dieses Kreises zu erhalten, ist selbstverständ- lich.

Aus den Punkten O, und 02 sind danu die Scukrechteu zu g zu legen, um in ihren Fusspunkteu I und II die gesuchten Durch- schnittspuukte von g mit der Hyperbel zu erhalten.

Auf diesen Fall läset sich nun der allgemeinere, wo die ge- gebene Gerade den Scheitelkreis nicht berührt, zurückführeu.

Wäre z. B., siehe die Figur, die Gerade y, und die Hyperbel durch ihre Asymptoten c, und cr8, und den Uber der llauptaxe be- schriebenen Scheitelkreis 4* gegeben, und sind ihre gemeinsamen

1) Kreis, der eine der Kegelschnitt*« xen zum Durchmesser hat.

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Mitteilen.

317

Durchschnittspunkte anzugeben, so legt man aus dem Schnittpunkto g von y und der Axc o eine Tangente g au deu Scheitelkreis A% und betrachtet diese als affin ') verwandte zur gegebenen y. Die Gerade y schneidet z. B. die Asymptoto a9 in (2), und der affin ent- sprechende Punkt 2 auf g wird auch ein Punkt der einen Asymptote as jeuer Hyperbel sein, durch welche die gegebene zu ersetzen ist.

Die gegebene Hyperbel ist nun durch eine andere ihr affin mit demselben Scheitelkreis und den Asymptoten «, und as, die sich nach dem Bemerkten sehr einfach ergeben, ersetzt, und die gegebene Gerade durch eine deu Scheitelkreis der letztern berührende Gerade, der allgemeine Fall also auf diesen früher besprochenen speciellen zurückgeführt. Nach dem bereits Auseinandergesetzten wird man nun die Punkte I und II auf g construiren und dann mit Hilfe der Senkrechten in diesen Punkten zur Axe « die Punkte (I) und (II) auf y erhalten, wodurch die allgemeine Aufgabe gelöst erscheint.

Ist die gegebene Gerade parallel der Nebenaxo, so wird die Methode nicht anwendbar sein, aber hiefür sich noch einfachere Coustructionen auf Grund der früher angeführten Erzeugungsweise ergeben, die an oben citirter Stelle augegeben erscheinen

Auch für die Ellipse, wenn diese durch die Hauptaxen gegeben ist, lässt sich das Princip anwenden, indem hier an die Stelle der Asymptoten gewisse leicht aufzufindende Gerade treten; allein an- gesichts der für diesen Fall existirenden äusserst einfachen Coustruc- tionen siud die aus diesem Gesichtspunkte folgenden ohne Bedeutung.

F. Ruth.

2.

Zur Construetion der Kegelschntttslinien.

Unter diesem Titel hat Herr K Schober (Tricst) im 1. Hefte, (2. R. VII. T.) die von mir in dieser Zeitschrift (2. R. III. T. S. 108 — 110 und S. 223) veröffentlichten und mittelst analytischer Geome- trie bewiesenen Coustructionen „durch Specialisirung des Pascarschen Satzes4, augeblich „naturgeinässer" abgeleitet — wie er es schon in zwei andern Aufsätzen (Ztschrft f. d. Realschulwesen 12. J. 1887 und Programm d. k. k. Ob. Realschule in Sechshaus bei Wien, 1887)

1) Orthogonale Affinität; der Schcitclkreii bleibt derselbo ffir jede dieser Art affin verwandt« Hyperbel.

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318

Mitteilen.

getan hat — obgleich er selbst in einem soiner Aufsätze sagt, die analytische Geometrie eigne sich am besten dazu, die Richtig- keit einer gefundenen Construction zu beweisen. Welches Beweis- verfahren besser ist, das ist wol meist — Geschmackssache.

Ich zog das analytische vor, trotzdem ich jene Constructionen durch synthetische Untersuchungen gefunden hatte, weil ich glaubte, es sei weiteren Kreisen zugänglich. Das ist übrigens Nebensache; ich bringe nur deshalb den Gegenstand zur Sprache, weil ich von einer Vereinfachung der in Rede stehenden Constructionen Mitteilung machen möchte.

Das früher entwickelte Verfahren wird besonders bei der Ellipse nicht gern angewendet werden, weil man über die Fläche des um- schriebenen Parallelogramms KFGH hinausgehen muss; bei nach- stehender Construction entlallt nicht nur dieser Uebelstand, sondern mau erspart sich auch noch eine Linie.

Sind AB und CD conjugirte Durchmesser einer Ellipse, so schneidet die zu CD parallele Gerade S dio AC und AB in Punkten M und welche aus B und D durch Strahlen BM und FHi pro- jicirt werden, du sich in einem Ellipseupuukte P treffen, dessen Tangente durch den Schnittpunkt L jener Parallelen S mit der Tan- gente CF in C geht. Bei der Hyperbel ändert sich die Construction nur dahin, dass QP als Parallele zu BC (oder Parallele zur Asymp- tote FlI) zu zeichneu ist, und L auf der zu AC parallelen Asymptote KG liegt.

Ist CD eine conjugirte Sehne, dann ist das Constructionsver- fahren für alle drei Kegelschnitte gleich und lautet so, wie es oben für die Ellipse angegebeu wurde.

Bei Hyperbel- Constructioueu ist oft das Bedürfuiss vorhanden, die Taugeute unabhängig vom Berührungspunkte zu construiren ; wir geben deshalb in Folgendem noch ein Verfahren au, welches' diese Bediugung erfüllt und anderu gegenüber den Vorteil hat, ein kleines Constructiousfeld zu benötigeu.

Es seien wieder AB und CD conjugirte Durchmesser einer Hyperbel, ferner sei EFGH das Parallelogramm mit den Mittellinien AB und CD\ FH und EG sind danu die Asymptoteu.

Projicirt man einerseits die Punkte M der Geraden AC aus G auf FF nach 7f, andererseits durch Parallele & zu CD auf KG nach Ly so ist LH eine Hyperbel tangente uud ihr Berührungspunkt der Schnitt mit BM oder QP | FH.

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Misctllen.

319

Die Beweise für alle erwähnten Constructionen können auf mehrere Arten so leicht erbracht werden, dass es Überflüssig er- scheint, dieselben hier anzuführen.

Pola, im December 1888.

Fr. Schiffner.

3.

Ergänzung des „Beitrags zur Inhaltsrechnung der Körper"

Bd. XXVI. S. 204 des Archivs.

Die Ergänzung betrifft die geometrische Bestimmung des Inhalts eines Körpers, dessen Durchschnittsfläehe in der Höhe x durch

f(z) = d.x*

gegeben ist.

Da die Gestalt des Schnittes von keinem Einiluss ist, so soll folgende specielle Anordnung getroffen werdeu.

In der Figur stehen die Linien O-Y, OY und OZ senkrecht zu einander.

Die Coordinaten des Punktes C seien x, y und c und dabei:

z — d . px

die Curve OMB ist also eine Parabel in der xy Ebene. Das Rechteck ABCD hat zum Inhalt

yz — d.z*

Der Inhalt der Pyramide ABCDO ist also: $il.z*.

«

Das Parabelsegment OMB hat zum Inhalt:

X*

Der Inhalt des prismatischen Körpers von der Höhe z mit der Grund- fläche OMB ist daher:

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320

ifiscellen.

Subtrahirt man die Hitlfto dieses Körpers von der Pyramide ABCDO, so ergiebt sich als Inhalt des Körpers O MBA DOLO

Die Durchschnittsfläche dieses Körpers in der Höhe x ist ABCL, also:

f(x) ==d.x»

Die Zusammenstellung auf Seite 206 Band 26 wird nun:

Durchschnittsfläehe in der Volumen des Körperstücks

Höhe x von der Höhe x

1) n ax

2) bx \bx*

3) cx* £cx8

4) (lx* itlx*

und

i bx* . cx3 </x* f(x) — a-f-Ajr + caf' + '/x3 » — ax -f 2 ' 3 ' 4

Kiel, den 27. Mai 1889.

+/(•))

Ligows ki.

4.

Ueber harmonische Reihen ungerader Ordnung.

In der Reihe für log 11(1 -f-ju) treten bekanntlich als Coefttcienten dio harmonischen Reihen Sn auf, von welchen nur diejenigen ge- rader Ordnung summirbar sind. Im Folgenden sollen nun für die Reihen Sn mit ungeradem Stellcnzeiger — Recursionsformeln auf- gestellt werden; sie enthalton zwar auch uuendliche Reihen, die aber bedeutend rascher als die ursprünglichen Reihen Sn convergiren.

Dieso Transformation wird mit Hilfe der Function log sin J , welche

sich auf zweierlei Art in convergente Reihen verwandeln lasst, be- wirkt. Es ist gleichzeitig

. <P i *. CO»« , COB2» , ^ < <

-logsin^=logM- ^+ 2-+..., O^gO*

und

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MiscelUn. 321

- logsia f =-logqP+log2 | * @ + . . .

— 2* < g> < -f 2*

daher auch

C08Q3 , COS(jP . . . _ / <JP \* , , _ ( q> \4 .

1]

Durch wiederholte Integrationen dieser Gleichung entstehen links Ausdrücke, welche für die Werte

entweder in die Potenzreihen <Ss»+i oder

übergehen, jenachdem die Anzahl der Integrationen eino gerade oder ungerade ist.

Die erste Integration zwischen 0 und q> giebt:

f flr^(i-^)+1(2jljiT + !,(2?-5 +-..

Da rechter Hand log<p vorkommt, sind nur positive Werte von <p zu- lässig-, für qp — n cutsteht ein Widerspruch, endlieh eonvergirt das Integral des Bestgliedes von 1] gegen die Null; als Convergenz- bercich können daher die Werte von incl 0 bis exclusivo n ange- nommen werden.

Aus den weiteren Integrationen zwischen 0 und <p gehen mit Be- achtung von {?mlogqp}— 0 folgende Gleichungen hervor:

cosn<p <r,/1J1 . w S| 9* , s* P* i

- £ nS (Hi»log9»)4 + 2(2„75;6+ -

sin nq> <ps """ 5?~" + 8! <1+i+i-,0^+ 1(2^ LTO

^2(2«)* 5.6.7^* "

Areh d. Math. u. Pbyt. 2. R«ih*, T. VIII.

21

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322 UUctlhn.

0<y <*

Das ßildungsgesetz dieser Formeln ist ein leicht erkennbares; nach r — 1 Integrationen zwischen 0 und g> ist offenbar, wenn a) r au gerade :

r-1

r-1 r+1

l" 1(2*)* (r-f-l)!~<~*(2*)4 (r-f 3)! T ' ' ' ^ b) r gerade: r+2

2 Sinny yr-» r

g, 2V+* S4 4! <pn* "1"l(2»)3' (r-f l)!'t"4(2«)*(r^-3)!"t"••• *J

7t

Die Substitution 9> — 2 er8ieüt> da

(r ungerade)

und

x ÜS3 = (- ,)'"* 2 (|r - • L + L - + ...)-(-. , V v,

(r gerade)

ist, folgende Beziehungen zwischen den harmonischen Reihen &r+i

und den Reiheu f'ar einerseits und den bekannten Summen £2, an- dererseits:

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Miscellen. ß23

_A_ (* V"3 /«y-5,

(r-3)! \2/ (r-ö)! \jj + ~ ■ • •

+ "2! U/ + ( > Ä ~

(r ungerade)

r

+ (-i,2 s,_, 5 „ g)-1 f1+| + . . . + _t_ _log 5

(r gerade)

Da die in den Formeln 4] und 5] auftreteude Reihe °o 1 $2* 1

v* - Ttr_p2 v — 1 \ ' 42» uugloicft rascher als Sr oder t/r convergirt,

so kann erstero zur Berechnung der letztern Reihen mit grossem Vorteil angewendet werden.

Die Convergenz der neuen Reihon kann dadurch noch wesent- lich erhöht werden, dass zu 1J:

die Gleichung

addirt wird, woraus entsteht:

21*

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32i

Zwischen 0 und 9 wiederholt integriert, ergiebt zunächst: r <p ^

-f« I1" fe)]* - £ (»+*+■••+ ~ *»t»)

r tp r xp r <jp

0 00

r q>

somit r y

_/to,[1-te)>-^{(1+1+.„+i)[(1+0

Xlog(l-.^)}

Nach r -1 maliger Integration der Gleichung 6] ist nun a) r ungerade

r-fl r-1

>c[(^+(^^-(H-£r"*(H-ä

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MisctUen. 325

- - (?-.)-'..,(,-£)

b) r gerade

r H-2 &>Vr-a S»Vr-6 , , .,2 2 sinn?

Die trigonometrischen Reihen gehen für den speciollen Wert <p = 5 wieder in reine Potenzreihen Über:

a) r ungerade

£+1

l~ 3)!W *"(r-5)lV2/ " J 2!

+(-«*^^*-^(r,t(i+»+--

.. .+ r4j) [l+3'-*+ 5'-»] - log * - 5'-» log J - log |

b) r gcrado

r r+2

9]

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326

+ SMkrt-^logJ + l^gr \M+i l< + ...] 10]

\ 2 ) { 4 )

Bei Annahme eines grossen r verschwinden die rechten Seiten der Gleichungen 2] und 3], während der linksseitigen Teile zu den bekannten Sinus- und Cosinus -Reihen führen.

Franz Rogel.

5.

Zahl der Combinationen, die n Steine auf dem Damenbrette von 100 Feldern bilden kSnnen.

Wir suchen zunächst die Zahl C'p,q der Combinationen zu be- stimmen , die mit p einfachen Steinen und q Damen möglich. Be- zeichnen wir mit C'i,p-% die Zahl der Combinationen, die p einfache Steine, worunter i weisse und (p — i) schwarzo sich befinden, bilden können, ferner mit C"i,q-k die Zahl der Combinationen, die — bei p auf dem Brette befindlichen Steinen — mit k weissen und (q—k) schwarzen Damen möglich, so haben wir

Cp,q - 2C\,p-i.%C\q-k-(C'o,p.C\q + C'Pt<>.C',q,o) o o

Der Klammerausdruck ist von dem Product der beiden Summen abzuziehen, da wir die Fälle auszuschliessen haben, wo sämtliche auf dem Brett befindlichen Steine von derselben Farbe sind.

Indem wir in Betracht ziehen, dass ein einfacher Stein nicht die 5 Endfclder seines Gegners einnehmen kann, haben wir

*~ - CD CD C-7) + CD CS) CV5D

Mit Rücksicht auf die Baziehung

CIO = C) Co) + CID CD + L-D CO +

+■•■+©©

können wir schreiben

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MUcellen.

327

+©CÜ[(»©+(£0©] + CD C50 [C-'O CD + CEO CD + CEO CDJ

+CDC-5)[C^>Co)+C^DCD +CEOG> +CEDCD] -CDCr/)[CnCD+C-DCD +CÄ)0+-+CS)0]

+CS)Ö+-+C5)G)]

+CDCS)[CS3(D+CÄ)(D+

+G50O+CÖ©]

+©CEB)CD

woraus sich mit Hilfe der Beziehung (a ergibt

*~ - CD CO Ct) + CD CEO CO + CD CEO C-0 +•■•+© CEa) GS )

Nun ist

T 4ß--t ^ r45-^ (45-0 1 (45-./) 1

Lp-.-jJ L Wj ~ (jt>-»-J)! (45-p+J)! (.W)! (45-0!

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328 MücelUn.

(46-7)1 (p— 2J)\

" (p-2J)\(4b-p+J)\ (i—j)'Hp-i—J)\

- es

somit

''•■>- - © O CO + CD CA) C-D + CD CA) Q-Ö + +(D C -») 03°)

Insbesondere ist

- = CD CD CO - cd «

Setzeu wir in Gleichung (1) der Reihe nach » = 0, 1, 2 ... j» and addiren, so erhalten wir, da bekanntlich

+ CD CA) - + ■ + CO CAo) —

*

Es ist aber

CD - CD CtO - CO Ct?)

+COCtr,D-+ +<-»G)C-0 <>

somit können wir schreiben:

"~-G>[(D©-G)G-0 +CDCA)-+--CDCA)1 + CD -[CD CA) -CD CA) + CDCA)--+CDCA)1 + CD -[CD CA) -CD CA)

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Misctlle». 329

+ CD CA) -CD CA)]

tcD-°CAo) -QKD -CA)»1 C> +CA>2[CDCD*+CDCD*]

+ CA)2'-4 [CD O+CO CMDO]

Mit Hinsicht auf dio Beziehung

CD-CoOO^+CDC-t)2-3

ergibt sich schliesslich

+c2dca)-2-+-+c;dc/°1o)^ «

Ferner erhalten wir

CV) CS" 0

(60-y)I (50— p-*)!

fc!(50~j>— &)! (g— £)l(50— j>— $)!

q\(bÖ-p—qj\ k\(q-k)\ q J\kJ

(3)

Insonderheit ist

50— p

Aus Gleichung (3) folgt

C'^C\o-(™-p~) (3a)

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330 Ui**tl€*. Beachten wir nun, dass

■ p—t ) V. q J ™ !(5Ö-p)! gl (50— j>-$)!

_ (50- Q 1 (p+g- 0 1

(p-q-t)\{bQ-p-q)l (p-t)\ql so gibt die Multiplication der Gleichungen (2) und (4)

Au8 Gleichungen (la) uud (3a) folgt

C>*,.C\9+C<Pto.C»9* - 2(jjf) (™~P^ oder mit Rücksicht auf Beziehung (/?):

C.C-+C..C- - .cv)[©(j) -qx/-i)

+ © («,)-+... -Q) <£)]

wofür wir unter Beachtuug der Beziehung (*) schreibeu können:

+ o u8_2) (pT2) -+••-© (;,+r5)]

Somit ergibt sich

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MiscelUn.

331

+(52)U8-2)(p+r2)-+-

Setzen wir hierin der Reihe nach q = 0, 1, 2 ... « und gleichzeitig p — », » — 1, n— 2 . . . 0, so erhalten wir als Zahl der gesuchten Corabinationen

Bemerkungen.

Beziehung («) ergibt sich, wenn wir die beiden Seiten der Identität

(l+«)*4« _(l+«)r(l+*)«

uach dem binomischen Lehrsatz entwickeln und die Coefficionten dos Gliedes xm vergleichen.

In ähnlicher Weise erhalten wir Beziehung (ß) aus der Ver- gleichung der Coefficienten des Gliedes xm in der Entwicklung von

(l-*)-<«+U D (1— «)-(r+«»»+l)(l— «)« Um die Beziehung (y) zu beweisen, haben wir

«-©cv+crx:^)»-.

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332 Miellen.

+ © «[Co2) + (r72) + (?) +. • ■ + CP]

+ © Ö [(%*) + C fO + C f ) + . . . + (;:*)]

+ ® c;_42) Cö4) + © Cr,1) 2) + © © <p

+

Nun ist

(to \ ( w--*+u \ /r— 2*+2u\

m\ (to— s+u)\ (r—2«-f-2n)l

— («-«)! (m-3-ftö1 (r — 2s-\-'2u) ! (to— r-f-«— »0 ! u! (r— 2#-|-t»)!

I» ! (to — r-|-*) 1 (r -*) !

" ('* — *) ! (to— r-f-*) ! « ! (to — r-{-*— »*) ! (* — u) ! (r— 2«-j-u) ! / m \ /w — r-f-*\ fr — «\

— \r—$) \ u ) \s-tij

somit

*=(";)CY)W

+(^,)[(-7f')(71)+lTf*)C?)]

+(r:2)[C"-;+2)r22)+(m7+2)(72)

+("'1+2)(T2)

+

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Mitteilen. 333

+(r:jf(",-or+*)C:')+(m-1r+,)(::1')

+

oder mit wiederholter Anwendung von («)

-OO+WO+WO+-

■••+(".) 0+-+O0

- ( 2rw) q- e d*

Louisville, Juni 1889.

Carl Boecklcn.

6.

Bemerkung «um Königlnnenprobleni.

Wo das Königinnenproblcm, d. ist die Aufgabe, 8 Königinnen auf dem Schachbret so zu stellen, dass keine dio andere angreift, zur Unterhaltung geübt wird, da ist wol schon öfters bemerkt wor- den, dass bei jeder Lösung eine gerado Zahl von Königinnen auf Feldern gleicher Farbe steht. Der Grund dieses Umstandes, den ich hier auf Aulass geschehener Nachfrage angebe, ist insofern instruetiv, als er sich durch die elementarste Dctcrmiuantcnbetrachtung dar- bietet

Von den zweierlei Zügen der Königin kommt nur der Turmzug in Anwendung. Sei daher /** ein Turm auf dem iE; ton Felde der Aten Reihe. Entwickelt man die Determinante | tkk | für Jfc — 1, 2 ... 8; h — 1, 2 ... 8 in ihre 8! Terme, so drückt jeder Terra eine Aufstellung von 8 Türmen aus, die sich nicht angreifen, weil keiu Wert von k und von h zweimal darin vorkommt. Ausserdem ist ersichtlich, dass keine audre Aufstellung der Bedingung genügt, dass mithin jene Terme alle Lösungen des analogen Turmproblems reprftsentiren.

Ein Turm steht nun auf weissem oder schwarzem Felde (oder umgekehrt), jenachdem h-\-k gerade oder ungerade ist. Hiernach gibt der Anfangsterm tutn ... 8 weisse Felder. Aus diesem

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334

gehen alle andern Terme hervor durch wiederholte Vcrtauschung zweier Werte von k, z. B. k und V. Ist nun i-ffc' gerade, so bleiben die Farben unverändert; ist es ungerade, so wechseln beide betreffen- den Türme die Farbe. Folglich kann sich die Anzahl der besetzten Felder gleicher Farbe nur um eine gerade Zahl ändern und bleibt stets gerade.

Hiermit ist der Satz für Türme bewiesen. In einer Stellung aber, wo sich Türme bedrohon, bedrohen sich auch Königinnen ; daher können 8 Königinnen nicht auf ungerader Anzahl weisser und schwarzer Felder stehen ohne sich zu bedrohen, w. z. b. w.

Alles Gesagte, mit einziger Ausnahme dessen, was den Haupt- Coder I)iagonal-)Tcrm betraf, gilt offenbar auch für n Königinnen, resp. Türmen, auf einem Brete von n»i Feldern. Ist n gerade, so ist der Haupttcrm in gleichem Falle wie für w — 8, und der Satz besteht fort. Ist n ungerade, so gibt es, wie im Hauptterm, in allen Lösungen eine ungerade Anzahl Felder von der gemeinsamen Farbe beider Diagonalen, eine gerade Auzahl von der andern, welche aus null pai weise durch Permutation entstehen. 11 Hoppe.

7.

NttCütrU&llchc Bemerkung: zu Nr. VII. Wir haben auf Seite 206 d. Teiles gefunden, dass das Konoid

von dem Kegel

§2 + V = P

nach zwei untereinander und mit der Directrix des ersteren con- gruenten sph. Schleifeulinicn geschnitten wird. Hicmit war die Existenz von vier derartigen Schleifenlinien auf diesem Konoide nachgewiesen. Nun kann aber leicht gezeigt werden, dass sich nicht nur deren vier, sondern beliebig viele vorriuden. — Denken wir uns nämlich, es vollführe die Directrix (x = r cos m2, y ■= r sin u cos u, z = r sin u) eine gleichförmige Kotation im negat Sinne um die vertieale Axc (x = Jr, y — 0), während diese Axe selber gleichzeitig eine ebenfalls gleichförmige Rotation , aber nur mit halber Winkelgeschwindigkeit und im posit. Sinne um die £-Axe erleidet, so beschreibt jeder Punkt der Directrix (da deren Grundriss ein dnreh den Ursprung gehender Kreis — rtj ist) nach einem bekannten Satze der Kinematik

eine horizontale, die £-Axe schneidende Gerade, also eine Erzeugende

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Misccllen.

335

unseres Konoides, und folglich finden sich aaf dessen Oberfläche un- endlich viele sph. Schleifenlinien vor, — es kann durch die ange- deutete zusammengesetzte Bewegung der Directrix erzeugt werden.

Es ist dieses Ergebniss übrigens, wie leicht zu sehen, blos ein Ausfluss eines allgemeinen, für alle geraden Konoide giltigen Satzes, der wie folgt ausgesprochen werden kann : „Alle geraden Kreis- cylinder, welche congruentc Basen haben, und von denen eine Er- zeugende mit der Axe irgend eines gleichfalls geraden Konoides zu- sammenfällt, schneiden das letztero in congruenten Curvcn".

In Bezug auf den vorliegenden Fall ergibt sich demgemüss, dass die Durchdringungscurven aller Kreiscylinder, deren Gleichungen die Form haben

|8-f-»72 = r (g cos <p -f- Irsing))

mit dem Konoide

mit dessen Directrix congruentc pph. Schlcifonlinien sind, deren Doppelpunkte auf der Abscissenaxo liegen und zwar in der Strecke von x — i — r bis x — -f-r. Hieraus folgern wir weiter, dass die Kegel, beziehungsweise Kugeln mit den Gleichungen

(«, ß beide absolut genommen < r) aus dem Konoide, desgleichen mit dessen Directrix congruente Schleifenlinien herausschneiden, welche Resultate unschwer analytisch verificirt werden können.

Eduard Janisch.

8.

Zur Bestimmung der Curven durch die Relation zwischen Krttmmungs- und Torsionswinkel.

Ist der Torsionswinkel # als Function des Krümmungswinkels x gegeben, so lässt sich das Problem der Darstellung der Curvc bei willkürlich bleibendem Bogen, wie ich in Crelle J. LX. 182. LXIII. 122 und in d. Arch. gezeigt habe, auf die lineare Gleichung 2. Ordn.

Z'+^y+ir = o (1)

zurückführen, wo die Striche die Diff. nach r bezeichnen, und, wenn /; f\ l die Richtungscos. der Tangente, Haupt- und Binormalc sind, die Bedeutung von r aus den Annahmen hervorgeht:

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33G

Mitctllen.

/cos^+rsinn-l (2)

frfnp— /'cot(i-a (3) b5P

Unabhängig*) hiervon hat nun E. Goursat iu den Ann. de la Fac. de Toulouse I. C. dasselbe Problem bei der Annahme

f+a - f1 (5)

gleichfalls auf eine Gleichung 2. Ordn., und zwar für Y zurückge- führt. Es entsteht die Frage, ob sich die complexeu r und Y als mouodrome Functionen von einander explicite darstellen lassen, so dass beide Differentialgleichungen durch Substitution aus einander hervorgehen. Sei für reelle p, v

r—pc" (6)

dann ergibt sich durch Elimination von aus der reellen Doppel- gleich. (1) nach Integration:

p'*+ptv't+ipt - (constant) (7) und durch Elimination von v zwischen (6) und (7):

<**>'- C--F> = 7 <8>

Hiernach ist erst />, dann nach Gl. (6) v in r dargestellt. Ferner ist nach Bd. II. S. 421 Gl. (22) / = — 1 und f bekaunt, daher nach Gl. (2) (3) auch /, also nach Gl. (5) Y ausgedrückt als Function von r.

*) Goursat citirt meine oben gcnnnntc Arbeit, hat sie aber allem Anschein nach nicht gelesen. Was er (|>. 19) alt deren Inhalt angibt, kommt gar nicht darin vor. Trotzdem er sie nicht kennt, scheut er sich nicht (p. l) zu behaupten, sie behandle nnr einen specicllen Fall des Problems.

K. Hoppe.

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Müller: Uebtr dtn Brocard sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 337

■

XV.

TJeber den Brocard'schen Kreis als geometrischen Ort und die demselben verwandten

Kegelschnittsehaaren.

Von

Andr. Müller.

Die Sätze, welche hier erörtert werdeu sollen, wurden unter Anwendung barycentrischer Coordinaten gewonnen. Es möge des- halb gestattet sein, auch hier dieses Coordinatensystcm, das sich für die vorliegende Frage als ganz besonders geeignet erweist , beizube- halten. Zu diesem Zwecke möge zunächst daran erinnert werden, dass die Lage eines Punktes M in Bezug auf drei feste Punkte A, 2J, C (Fundamentaldrcieck) ausgedrückt wird durch die Gleichung:

M aA+bB + cC a-\-b-\-c

oder

M=aA+hB + cC

wenn a, b und c die Gewichte darstellen, welche man sich in den Punkten A, B und C zu denken hat, damit M den Schwerpunkt jener drei mit den bezüglichen Gewichten belasteten Punkte dar- stelle >).

1) Möbius: Der barycentrischc Cnloul 1. Absehn. 2. Cup. S. 10. o. IT. Bellavitis: Sposiziuuc tloi nuovi nu-todi di gconietria auulilica IV 92 pag. 44.

Arth. d. Math. u. PhyB. 2. Leihe, T. VIII. M

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338 Müller: Ueber den Brocardttchen Kreis ah geometrischen Ort etc.

Denkt man sich ferner den Punkt M mit den Ecken des Fan- damentaldreiccks A BC verbunden und diese Geraden bis zum Schnitt mit den Seiten BC in A\ CA in B\ AB in C verlängert, so ver- halten sich auch

A'M B'M CM B'B

oder auch

a : b : c

A'A ' B'B ' C'C a : bi c — &BMC. &CMA : & AMB

Ferner mögen hier im voraus die im folgenden zur Verwendung gelangenden Formeln zusammengestellt werden. Betrachten wir näm- lich zwei Punkte Mx und deren Coordinatcn beziehungsweise o,, blt c, und aÄ, bt , et seien, so müssen die Coordinaten eines dritten Punktes tc„ xt, ar3 auf der Verbindungslinie derselben die Bedingung erfüllen :

D1)

*3

= 0

Bezeichnen wir in der Entwicklung dieser Dcterminanto die mit x, multiplicirtc Unterdeterminantc mit a,2, die mit xt multiplicirte mit die mit a-3 multiplicirtc mit y,2 und ebenso in einer zweiten und dritten Determinante, welche die durch die Punkte 3, 4, be- ziehungsw. 5, 6 gehenden Geraden darstellen, die betr. Unterdeter- minanten mit «34 etc., o56 etc., so sind die Schnittpunkt-Coordinaten der beiden ersten Geraden bestimmt durcli die Gleichung:

2) xt:xi:x3 =

die Bedingung aber, dass die drei Geraden durch denselben Puukt gehen, ist:

«J2i 01*1 Yi*

«34» 034 1 ?34

1 ßl»		Yh,		•	«12.	ßu \
ßu,	Yu \ '	Ys*,	«34 1	•	«34»	^34 1

3)

«M)

- o

Bezeichnet man ferner die Länge der Strecken BC, CA, AB be- züglich mit <z, b, c, so ist ein Punkt Mx mit den Coordinaten x,, ar3 auf der dem Dreieck umschriebenen Kreisperipherie gebunden an

den Ausdruck

1 rt ^ ^ -r ^

1) Die Ableitung der Formeln 1—4 siebe im Programm des kgl. Gym- nasiums zu Kempten v. J. 1889.

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Müller: (Jeher den Brocarttichen Kreit als geometrischen Ort etc. 339

und die Gleichung, welche die Coordinaten eines Punktes, der auf der Kreisperipherie liegen soll, erfüllen müssen, ist :

a* 6* c*

*i xi *s

Nach diesen allgemeinen Erörterungen wenden wir uns der be- sonderen, in der üeberschrift bezeichneten Aufgabe zu.

L

Das Dreieck, an welches die Untersuchung geknüpft werden soll, und das zugleich als Fundamentaldreieck dient, sei ABC1), die Segmcntärpunkte seien Ot und Ot\ die Schnittpunkte von BOt und COs', dann von COi mit AOt\ endlich von AO% mit BO%' seien bezüglich AtBtC%\ dann sind zunächst die Punkte o, und 0/ bary- centrisch ausgedrückt durch

und

Die Coordinaten des ersten Ausdruckes ergeben sich leicht durch eine elementare Betrachtung. Verbindet man nämlich die Ecken A, B, C mit Ot und verlängert die Verbindungslinien bis zum Schnitt mit den gegenüber stehenden Seiten in Aa, ßß, Cr, so findet sich

AaO* 1 BßOi 1 CyO, 1

ÄaA BßB " und CYC ""a1

Die Coordinaten von Ot* ergeben sich ebenso, oder noch ein- facher unter Beachtung des Umstandes, dass Ot' der Winkelgegen- punkt von Ot ist. Aus diesen Coordinatcu lassen sich nun die der übrigen in Betracht kommenden Punkte berechnen, wenn man im besonderen Fall nicht etwa anderweitige Erwägungen anstellen will. Für At den Schnittpunkt von BOt mit CO%' sei diese Rechnung hier ausgeführt.

B hat die Coordinaten:

«i-0, 6,-1, ct-0

1) S. den Art.: „Der Brocard'sche Winkel" von W. Fahrmann im 6. T. der 2. R. dieser Zeitschrift und die demselben beigegebene Figur.

S2.

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340 Müller: üeber den Brocard sehen Kreis als geometrischen Ort etc.

08 die Coordinaten:

1 / -1 1 «« — hv bt — ci> c* at

ferner C:

«3 = 0, £3 = 0, cs — 1

endlich Oa':

1 a, 1 -1 a* = <* 4~~ a* C* - b*

Also wird nach 2):

1 1 1

oder

«j : xt : x3 «=» a8 : c8 : A8 Ebenso findet man für Bt:

xx : Sf : *s — c* : &8 : a8

und für CÄ:

xj : a*j : jr8 ■= : a8 :

Die Anwendung der Formel 3j ergibt nun zunächst folgenden Satz:

Verbindet man homologe Punkte auf den Seiten des Fanda- mentaldreiecks BC, CA, AB bzhw. mit den Punkten Aiy B2j C'a, so Bchueideu sich immer je drei derselben in dem nämlichen Punkte.

Unter homologen Punkten sind solche zu verstehen, welche man erhält, wenn man die drei Seiton des Dreiecks der Folge nach im nämlichen Vorhältnisse teilt. Teilt nämlich Pa die Seite BC im Ver- hältniss von m:n, so sind die Coordinaten dieses Punktes

Oj = 0, bl => «, t?j => tn

teilt Pß die Seite CA im Verhältuiss m : n , so sind dessen Coor- dinaten :

c8 — m, i8 = 0, ca = n endlich sind die Coordinaten von PY:

ab — n, bb = m, c5 =» 0

Die Coordinaten von B„ C\ aber sind:

o, =» as, i, — c8, c% =- &8 «4 = e8, 64 — &8, c4 — a* a6 — i8, bG = a8, c6 — c*

Dio Determioanto 3) erhält also unter Einführung dieser Werte folgende Form:

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Müller: Urber den Brocard 'sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 341

8 =

n£2 — mc2, ma2, — na2

— nb*, nc* — wia2, mZ»2

wie2, — wc2, nd1— mb*

Man ersieht aber sofort, wenn man sich die Glieder der einzelnen Colonnen addirt denkt, dass 8 — 0 ist.

n.

Diese Schuittpnukte nnn liegen sämtlich auf dem Brocard'schen Kreise, daher der weitere Satz:

Der Brocard'scbo Kreis ist der geometrische Ort der Schnitt- punkte von je drei Geraden, welche man erhält, wenn man homologe Punkte auf den Seiten BC, CA, AB des Dreiecks bzhw. mit den Punkten A2, C9 verbindet.

Um den Nachweis dieses Satzes zu liefern, müssen wir zuvor eine Coordiuatentransformation ausführen. Die Formel 4) gilt näm- lich für die Coordinaten eines Punktes, welcher auf dem Kreiso liegt, der dem Fun da mental drei eck umbeschrieben ist. Es muss also A ü% 6Tii um welches bekanntlich der Brocard'sche Kreis be- schrieben ist, als Fundamentaldreieck betrachtet werden. Das Ver hältniss der Grössen a2, Z»2, c2 in 4) ändert sich dabei nicht, da, (wie sich auch barycentrisch zeigen lässt)

A^^CjCVJ AABC ist.

Um aber die Coordinaten irgend eines Puuktes auf AtBtCt zu beziehen, erinnern wir uns, dass

a*A+c'B+btC

c*A+b*B+a*C B*~- a2-H2 + c*

b*A-\-a*B+c*C

Bezeichnen wir nun a2-f-£2+c2 mit 2 und setzen die Determinante

a2, c2, b* 4 - c2, b\ a2

ö2, a2, c2

so ist

= a2« + c2jS + 62y

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342 Müller-, lieber dem Brocartt ecken Kreis als geometrische* Ort esc

a - §<«*+p*,+rcy

Ein Punkt Pa also, welcher BC im Ycrhältniss von » : m teilt , hat. bezogen auf das Dreieck Af Z?,C„ den Ausdruck:

Pa = (mß + nr)At + (my+na)Bs + {m*+nß)Ct Der homologe Punkt Pß auf CA ist ausgedrückt durch

iV == {mr + na)At + (ma+ n?)Bt + (,»0 + .r)C, Endlich ist

Py = (mcr + -f ( + *y)Ä, + (my + »«)

Verbindet man nun Pm mit AtJ so hat man in Formel 1):

o, — mß-f- »y; A, =my-|-*a; = mo -f~ «,-1; 6, = 0; -0

und irgend ein Punkt auf dieser Geraden genügt also der Gleichung:

xt{ma -f nß) — xs(my -f«a) — 0 Ebenso genügt ein Punkt auf der Geraden P^Bt der Gleichung:

rt(mß+mf) — xs(wy-f»o) = 0 Endlich gilt für P7Ct die Gleichung:

(mß -f- »y)*i — (m« -f- »ß)*i — 0

Die Coordinaten des Schnittpunktes je zweier dieser Geraden genügeu den beiden betr. Gleichungen. Da sie aber dann auch der dritten Gleichung genügen, so ersieht man anch hieraus, dass die drei Geraden durch denselben Punkt gehen. Für diesen Schnitt- punkt ist also:

Xi(mß + n7) - xt{ma + nß) = x3(my + na)

Soll dieser Punkt auch auf dem um AtBtCt beschriebenen Kreise lieeen. so müssen seine Coordinaten der Gleichung genügen:

-H h - — o

*1 '3

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Müller: Utber den Brocard sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 343

Um nun darzutun, dass für denselben diese Gleichung erfüllt ist, rnultipliciren wir Dividend und Divisor des ersten Quotienten mit mß -f ny, des zweiten mit wo -{- nß, des dritten mit my+na Dadurch werden alle drei Nenner gleich, und dio linke Seite der obigen Gleichung erhält also dio Form :

a\mß -f- ny) -|- bl(mtt-\- nß) c\my + na)

oder:

m(« V+ « + c* Y) + »(«* Y + b*ß+

oder:

			b*	1			b*
m .			«»				a*
	c\

in welcher Summe ersichtlich jeder der beiden Summanden für sich gleich 0 ist. Da also die Gleichung für beliebige m und n erfüllt ist, so ist es selbstverständlich, dass auch die beiden Segmentär- punkte U8 und 0'8 (m = 0 bzhw. n = 0), ferner der Greve'sehe Punkt G% (m-f-n = 0), sowie der Puukt 3/2' (m =- n) auf jenem Kreise liegen. Da ferner die obige Gloichung auch für ein negatives m oder n erfüllt ist, so dürfen die homologen Punkte auch auf den Verlängerungen der Dreiecksscitcn gowählt werden.

in.

Die soeben durchgeführten Untersuchungen sind nun nach doppelter Richtung der Verallgemeinerung fähig. Zunächst ist näm- lich ersichtlich, dass die analytischen Formeln, wclcho seither zum Beweise der aufgestellten Sätze Verwendung fanden, auch dann ihre Giltigkeit behalten, wenn an Stelle der Exponenten 2, mit denen dio Coordinaten der in Betracht kommenden Punkte versehen waren, irgend eine andere Zahl tritt; des weiteren aber lässt eino genauere Untersuchung erkennen, dass, wenn man den Punkte« mit irgend welchen Punkten auf CA oder AB und entsprechend Bt und Ct mit den homologen Punkten auf AB und BC bzhw. BC und CA verbindet, sich ähnliche Sätze ergeben, wie die oben abgeleiteten, und dass auch diese Sätze sich wieder verallgemeinern lassen.

Um nun dio Untersuchung nach der eben angedeuteten dreifachen Richtung ganz allgemein durchzuführen, gehen wir von drei Punkten aus, welche mit Am* Äm, Cm bezeichnet seien und durch die Aus- drücke bestimmt sind1)

1) üeber die Construction dieser Punkte für den Fall, dass m eine ganze Zahl vorstellt, siehe das Programm des kgl. Gymnasiums tu Kempten rom Jahre 1889.

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344 Müller: lieber den Biocard' sehen Kreis als geometrischen Ort etc.

Am = amA + cmB -f- bmC Bm == ctA + bnB+a^C

CM == h«*A -f amB + cmC

in welchen Ausdrücken m irgend eino positive oder negative Zahl bezeichnet. Verbindet man nun homologe Punkto

1) auf BC mit AM auf CA mit B„, auf AB mit Cm

2) auf BC mit Cm auf CA mit vlm auf AB mit

3) auf BC mit Äw auf mit Cm auf ^/^ mit A,n

so schneiden sich in allen drei Fällen jo drei solcher Verbindungs- linien in demselben Puukte.

Es seien nämlich die drei Seiten des Coordinatendreiocks im Verhältuiss von q ; p geteilt, und es werde der Tcilungspuukt auf BC mit Apq auf CA mit Bpq auf AB mit CM bezeichnet, dann er- scheint der Punkt

APq = pB + qC

m ersten Falle mit Am im zweiten mit Cm, im dritten mit Bm ver- bunden. Sind ferner die Punkto •

BPq = qA+pC

und

Cpq = pA + qB

in der oben näher bezeichneten Weise mit den Punkten Am, Bm, Cm, jeweilig verbunden, uud bildet man in jedem der drei Fälle die der Formel 3) entsprechende Determinante, so ergibt sich:

1	pbm — qcm.	qa»\
1)		pcm — qam,	qb>»	= 0
	qc™,	pCm,	pam—qbm
	-pc",	pam — 5&m«	qcm
2)	qa»\		j)bm — qcm	= 0
	pcm — qa*».	qb-*,	—pb*»
	pam — qbm,		— pc*n
3)	—pa»\	pbm—qcm,	qam	- 0
	qb*»,	—pbm,	pcm — qam

Es ist also die nämliche Determinante (nur Colonnen und Reihen sind cyklisch vertanscht), welche man in den drei Fällen erhalt,

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M üller: Ueber den lirocard* sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 345

und deren Verschwinden die Richtigkeit der obigen Behauptungen erhärtet.

Für die Coordinaten eines Schnittpunktes erhält man in jedem der drei Fälle aus der betr. Determinante den Ausdruck:

1) r, : xt : ar8 — aM{q*bm + p2cm - pqam) : bm (q*cm -f- p *am — pqbm)

: cPitfa" -f-p^fr* —pqt")

2) xt : art : xs -=» bm{q*cP -r-p*«m — pqbm) : cF*{q*am +pHm —pqcm)

: am(qlbm -\-p*cm — pqam)

3) rl:ri:ri — cm(qiam-)-p'tl>m —pqc*») : am(7,6m -f- p*cm—pqam)

: bm(q*cm -\-p*am — pqbm)

Wie man sieht, treten in den drei Fällen die nämlichen Coordinaten, nur in veränderter Reihenfolge (cyklisch vertauscht) auf.

Setzen wir nun in diesen Ausdrücken , um einige Punkte näher kennen zu lernen, p = 0, so wird der Ausdruck für den Schnitt- punkt

2) r^A+^B + ^c

3) r^A + ^B + ^c

Der erste Punkt ist zu bezeichnen mit 0'm, der zweite mit G-mi der dritte mit Om.

Setzen wir q — 0, so wird

2) Y.^-A+^B + ^C

3) T.^-A+^B + '-C

Der erste Punkt ist wieder Om, der zweite 0'm, der dritte G-m.

Setzen wir p = g, verbinden wir also die Mitten der Seiten des Coordinatendrciecks mit den Punkten Am, Dmy Cm, so wird

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346 Müller: Ueber den Brocard' sehen Kreis als geometrischen Ort etc.

1) Y1 = o«(i«-f -a")4-f-6*"(a«-f c»» — b>»)B-\-c»>(a'»+ ft«"-c-)C

2) Yt = &"»(a» -f c"» - Ä*)i4 -f c~(a"»-f- A"» — c*)ü+a«"(*",4- c"»— am)C

3) Fs= c»(0iii-|-ft»_» cm^-|_ai»^»_|_c«_ am)B-\-b'»(am+cm -b»)C

Diese Punkte seien bezeichnet bezüglich mit Af«i, Mm2 und Mms.

Setzen wir g— — p, ziehen wir also durch die Punkte Am, Bm, Cm Parallele zu den Seiten des Coordinatendreiccks, so ergibt sich

1) F, = a^A-\-bmB-\-cmC

2) Yt = b»A -f ö>»B-\-amC

3) y3 = c»M-f a*Z? -f i«C

Diese Punkte sind dann zu bezeichnen mtt Gm\t Gm$ und ^,,,3.

Kehren wir nun zu dem allgemeinen Aurdrucke für einen Schnitt- punkt dreier cutsprechender Verbindungslinien der Punkte Ams Bm> Cm mit homologen Punkten auf den Seiten des Dreiecks ABC zurück. Derselbe ist für den ersten Fall

y, = am(q*bm -f p*cm —pqam)A -f- b*»(q*c>» + p8am — pqb"')B -\- em(qtam -\-p2bm —pqcm)C

Für den zweiten und dritten Fall sind die Ausdrücke von derselben Form , nur die Coordinatcn erscheinen cyklisch um eine bzhw. zwei Stellen verschoben. Da aber diese Ausdrücke, falls man m als con- stant betrachtet, eigentlich nur eine Unbekannte und diese in keiner höheren als in der zweiten Potenz enthalten, so erschliesst man daraus, dass allo in der angegebenen Weise für dasselbe m erhalte- nen Schnittpunkte auf Kegelschnitten liegen *), und dass mau für dasselbe m drei solche Kogelschnitte zu unterscheiden hat Gibt man aber dem m verschiodone Werte, so erhält man drei Scharen von Kegelschnitten.

Um nun noch Näheres über diese Kegelschnitte zu erfahren, transformiren wir die Coordiuateu, iudem wir das Dreieck AmBmCn als Coordinatendreieck betrachten. Das zu diesem Zwecke einzu- schlagende Verfahren ist dasselbe , wie es bereits früher beobachtet wurde. Man entwickelt aus den Ausdrücken für Am etc. die Werte für vi, B und C und setzt diese dann in die im ursprünglichen Coordinatensystem gegebenen Ausdrücke ein. Setzt man nun

1) Möbius, d. b. C. 1. Abschn. § 5».

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Müller: Ueber den Brocard sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 347 a,H, Cm, bm

dm — -

cm, Z»m, om

=> am am -\-cm ßm-\- bm y»n

so wird

A = cm^w + /Jm Ä« -f ywCm

-ö = /?m -^m -f- ym Bm -\- Ctm Cm O = i4m "I- f« flm -|- /3m C-'m •

Nun überzeugt man sich leicht, dass alle hier in Betracht kom- menden Kegelschnitte dem entsprechenden Dreieck AmBmcm um- schrieben sind. Liegt nämlich ein Punkt auf einem Kegelschnitte, welcher einem Dreiecke umschrieben ist, so müssen die Coordinaten xii x*i x3 desselben, bezogen auf eben dieses Dreieck, der Gleichung genügen

f- + 9- + h- -0«) ar, xt xz

in welcher /, g und h Constantc bezeichnen, deren Verhältniss durch zwei weitere Punkte, welche auf dem betreffenden Kegelschnitte lie- gen, bestimmt werden kann. Wir wählen zur Bestimmung desselben für den ersten Fall dio Punkte Om und O'm, für den zweiten die Punkte Om' und G-m, für den dritten die Punkte G-m und 0m, von denen wir oben schon gesehen, dass sie jedesmal auf dem betr. Kegel- schnitte liegen.

Zunächst sind nun die Ausdrücke für die Punkte Om, 0',» und G-m im neuen Coordioatousystem abzuloiton. Da nun im ursprüng- lichen Coordiuatensystcmo

Om = amcmA-{-ambmB-\-bmcmC

war, so erhält man nunmehr

Om S3 {amcmctm^ambMßm^bmcmym)Am^{amcmßm^a,nbm -f- {a^cmym-\-a'Rb^am-\-bmcmßm)Cm

Dieser Ausdruck lässt sich nun mit Rücksicht auf die Deter- minante Jm umgestalten. Es ist nämlich auf Grund dieser Deter- minante

ff« + bm ßm -(- am ym = 0

und

bm am-\-a»*ßm-\-cm yM -= 0 Unter Berücksichtigung diesor Gleichungen ergibt sich

1) Möbin«, d. b. C. 3. Abschn. § 250.

I

1

348 Müller: lieber den Brocard* sehen Kreis als geometrischen Ort etc.

Om = (6mc"* — alm)ymAm-\- (amcm —bt,H)ßt„Bm-{-(timbm — cim)amCm oder endlich

Om = am ym Am -f ßm ym Bm ~\- am ßm Cm

Der Ausdruck für 0'w war im ursprünglichen Coordinaten- systeme

ü'm = ambmA -\-bm c>» B + amcm C Mithin erhält man nuBmebr

_j_ (ambmym-\-bmcmam-\-amcmß„t)Cm

oder mit Rücksicht auf Jm

0'm = - a**)ßmAm -}- (a-c« - b**)amBm + - c")yMCra oder endlich

0'm = Om ßm Au> -|~ ffw #m "f"

Für schliesslich hatte man im ursprünglichen Coordinaten- system

G-m «=» bM cm A-^-amcm D -\- ambmC folglich erhält mau nunmehr

G-m=(bm<P(tm+am<?nßm+nmbmym)Am+(bmcmßm+amcm + (bmcmym+amcmam-\-a'»b>»ßm)Cm

oder

G-m == (omim - c,m)ym/4w -f (aMim — cJm)ormÄw-f (awew — b*»)amCm oder endlich

6r_w = ßmYmAm-{- ßm am Bm ~\~ fm «m Cm

Wir gehen nun zur Bestimmung der Constanten f% g und h für die drei Kegelschnittschaarcn über.

1) Es liegen auf jedem hiehor gehörigen Kegelschnitte die Punkte Om und O'm, mithin erhält man zur Bestimmung jener Constauten die beiden Gleichungen

ßmf-\-amg-\-ymh = 0 Ymf-\-ßmg-\-aMh — 0

Daraus wird

/'g:h — (o'm — ßm ym) : (y*m — a,n ßm) : ( j3Sm — «.« y,„)

Gestaltet man die rechte Seite der Gleichung entsprechend um, so wird

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Müller: Ueber den Brocard sehen Kreit als geometrischen Ort etc. 349

f:g:h = am:bm:cm

2) Auf den hieher gehörigen Kogelschnitten liegen die Punkte 0'm und GL-M„ deshalb hat man:

ymf-\-ßmg-\-amh — 0 «>«/"+ ymg-\-ß,nh — 0

Man erhält daraus

f'.gxh =» (ß*m - am ym) : («*,„ — ßm ym) : (yfw — or„, ßm)

f : g : h ■= c"» : aOT : bm

also

3) Es liegen auf don Kegelschnitten der dritten Schaar die Punkte G-m und 0M, deshalb hat man

«mf-{-ymg-jrßmh = 0 ßmf-\-amg-\-ymh— 0

woraus man zieht

f:g:h = {y*m — amßm) : (ß*m — ««.y«.) : (a'm — /J»,ym) oder umgestaltet

flr : ä — bm : c"1 : am

Dass nun in allen drei Fällen die betr. Schnittpunkte je dreier Ge- raden auf deu so bestimmten Kegelschnitten liegen, ergibt sich in ähnlicher Weise, wie dies oben bezüglich der Punkte, welche auf dem Brocard'schen Kreise liegen, ausgeführt wurde.

1. Für die Coordinaten x,, xt, a*s irgend eines Punktes auf der Geraden, welche den Punkt Am mit irgend einem Punkte auf BC, der diese Gerade im Verhältniss q:p teilt, verbindet, hat man in Bezug auf AMJimCm als Coordinateudreieck

d. i.

1, Of 0

Pßm + Wm, pym + q«m, p<*m + qßm

*t{p«m+qßm) = Xa(pym + qam)

= 0

Für die Coordinaten eines Punktes auf der Geraden, welche don entsprechenden Punkt auf CA mit Bm verbindet, hat man

0, 1, 0

P}'tn + qa„h pam -f- qßmj pßm -\- qym

- 0

Dinitiz

350 Müller: üeber den Brocarttsehen Kreis als geometrische* Ort etc.

d. i.

Für den Schnittpunkt beider Geraden also hat man

*i(pßm+qYm) — rt(pam-\-qßm) — xs(pym-\- qam)

Soll aber ein Punkt auf einem der ersten Reihe angehörigen Kegel- schnitte liegen, so müssen seine Coordinaten der Gleichung genügen

2? 4. !£ 4. f£ — o 'i *i *s

welchen Ausdruck man auch so gestalten kann

am(pßm+qym) . bm(pam-{-qßm) . ^(pYm + qam) Q

*l ( Pßm + qym) ' **( pam + qßm) *s( pym -f- qam) ™

Da für den vorliegenden Fall die Divisoren dieser Quotienten gleich sind, so müsste nur von der Summe der Dividenden erwiesen wer- den, dass sie verschwindet Dies ist aber in der Tat der Fall, da auf Grund der Determinante dm sowol

pi^ßm+V"«* + 0* fm) — 0

als auch

q(am yM + ß** + cm aM) = 0

ist. Also liegen alle hieher gehörigen Schnittpuukto auf Kegel- schnitten, welche den Dreiecken Am, Bm, Cm umschriebou sind.

2. Für die Coordinaten a-,, xÄ, ar3 irgend eines Punktes auf der Geraden, welche den Punkt Am mit einem Punkte auf CA verbindet, welcher diese Seite im Verbältniss q:p teilt, hat man in Bezug auf AmBmCm:

*t(pßt*-\-qYm) = Xsipam+qßm)

Für die Coordinaten eines Punktes auf der Geraden, welche den entsprechenden Punkt auf AB mit Bm verbindet, ergibt sich ferner

*i(PY» + 5««) — rs(pt*m-\-qßm)

Es muss aber für einen Punkt, welcher auf einem zur zweiten Reibe gehörigen Kegelschnitte liegen soll, die Gleichung erfüllt sein

*i *t **

oder

pym -\- qam) , am(pßm + qym) | l>m(pam+qßm) _ 0

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Müller: Geber den BrocarcT sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 351

Aach hier sind für die Schnittpunkte der in Betracht gezogenen Geraden die Divisoren gleich und die Summe der Dividenden auf Grund von dm gleich null.

3. Für die Coordinaten or„ ar„ <r8 irgend eines Punktes auf der Geraden; welche den Punkt Am mit einem Punkte auf der Geraden AB verbindet, welcher diese Gerade im Vorbältniss q : p teilt, hat

Ebenso hat man für die Coordinaten eines Punktes auf der Geraden welche den entsprechenden Punkt auf CA mit Cm verbindet

*t(p*m + qßm) — rt(pym-\- qam) so dass auch in diesem Falle

*, «3

ist, wovon man sich in derselben Weise wie unter 1. oder 2. über- zeugt

Wir haben also in der Tat für jedes m drei Kegelschnitte, welche alle drei dem Dreieck AmBmCm umschrieben sind, und von denen der erste und zweite ausserdem noch den Punkt 0'm, der erste und dritte den Punkt Omy der zweite und driite den Punkt G-m gemein haben.

Auf jodem dieser Kegelschnitte können wir nun noch drei merk- würdige Punkte unterscheiden, welche man erhält, wenn man einer- seits G0 mit AmBmCm, anderseits die Punkte Gm mit A, B, C ver- bindet.

1. Verbindet man G0 mit Am und Gmi mit A, so schneiden sich diese beiden Geraden auf dem der ersten Reihe ungehörigen Kegelschnitte; ebenso schneiden sich G0Bm und Gm\B und endlich G0 Cm und Gmi C auf diesem Kegelschnitte.

Verbindet mau nämlich G0, dessen Coordinaten auch in Bezug auf das Dreieck AmBm Cm wieder dieselben sind, wie in Bezog auf ABC, da er auch der Schwerpunkt des Dreiecks AmBmCm ist, mit Am(l, 0, 0), so wird (Formel 2)

«i* = 0, ßis = 1, y,a = — 1 und wenn man ferner den Punkt

Gmi == (a™ am -j-bm ßm~\~ C*ym) Am + (a^ßm + i-y« + (*m)B»> "f" + bm **** + ßm)Cm

mit

352 Müllen Ueber den Brocard ecken KreU als geometrischen Ort etc.

A = <*mAm-{-ßm Bm-\-ym Cm

verbindet, so wird

«34 = *>m(y*m — «« ßm) — ^"(ß'm — «m y«.) 034 = im(o2w — £m Ym) — Cm(y*m — Cm ßm) ?U = l>m(ß%m — am ym) — C^o'm — 0m ym)

Man hat mithin für die Coordinaten sc,, a^, a-3 des Schnittpunktes der beiden Geraden G0i4m nnd

*, : sc, : <rs = [Äw(/J4m — orm ym) — c"»(a*m — ^y„)

+ &""(«'». - ßm ym) — C"(ySm - aM 0m)]

: [c-(^m — «« y«) — 4-(y2m - «m 0m)] : O'"(0»m - am ym) — ^(y*» - «w ßm)]

Auf Grund der Determinante Jm lassen sich diese Ausdrücke um- gestalten, so dass mau schliesslich hat

: x, : xs = (—am) : (&•" -f-c«") : (6*+c"')

Soll nun der Schnittpunkt der beiden Geraden G0Am and GmU auf dem der ersten Reihe angchörigen Kegelschnitte liegen, so mnss man haben

(Im bm , cm _

=0

ff, ' *, 1 *3

also

am Im gm

' &w -|-CW ' 4"* C"1 = ^

was offenbar der Fall ist

Aus der Symmetrie der in Betracht gekommenen Ausdrücke kann man nun scbliessen, dass auch die Geraden G0Bm und Gmi B einerseits, sowie die Geraden GQCm und Gm\C anderseits sich aof dem betr. Kegelschnitte schneiden, und man hat im zweiten Falle für die Coordinaten des Schnittpunktes

a*, : xt : sc3 = (am -f-cm) : (—bm) : (am-\- c")

im letzten Falle aber

ar, : ac, : xs = (aw+&»») : (a-«+6"») : (— c»»)

2. Verbindet man <?0 mit Bm uud #„,2 mit C, so schneiden sich beide Gerade auf dem Kegelschnitte, welcher der zweiten Reihe angehört, ebenso schneiden sich die Geraden G0Cm und Gm«A und endlich die Geraden G0 Am und ö«2 ß auf diesem Kegelschnitte.

Man erhält, wenn man die Rechnung genau so wie unter 1. durchführt, für den Schnittpunkt der Geraden G„Bm uud GmiC

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Müller: Ueber den Brnarif sehen Kreit als geometrische* Ort etc. 353

»11 — Ii ßn - n> YtM = - 1 ßn - C\ß*m-amym)+t,'»(aMßm — y*m)

Mithin wird

: [c»>(ßsm - am Ym) + *"•(«« ** - y*m)J oder

a*, : rt : x3 -= (/>"' -f-cm) : — rt1" : Aw -\-c"1)

Da nun im vorliogeudou Falle für einen Punkt, wcleher auf dem betr. Kegelschnitte liegen soll, wie wir oben fanden, die Gleichung erfüllt sein muss

fm (lm . l>m

so erkennt man, dass der Schnittpunkt der Geraden G0 Bm uud QmiC auf diesem Kegelschnitte liegt. Es liegt aber auch der Schnittpunkt der Geraden G0 Cm und GmiA auf demselbeu, da für die Coordi- naten desselben die Gleichung besteht'

und endlich liegt der Schnittpunkt Jder Geraden G0 AM uud Gm2 B auf demselben, da man für jenen hat

ar, : x8 : ars = ( -tm) : («•» -J-An») : («"» -}-**")

3. Verbindet man <70 mit #m und Gmi mit >4, so schneiden sich beide Gerade auf dem betr. Kegelschnitte, welcher der dritten Schaar angehört. Auf diesem schneiden sich aber auch die Geraden G0Cm uud GmzB einerseits und G0AIH und G*aC andrerseits. Man hat nämlich für den Schnittpunkt von G0Bm mit G»,3A

«is - 1, ßn - 0, fit - - 1

«34 - <*m(Y*>n -ßmy,n)+l>m(«Mßm - y*m)

034 = — 0m ym) + /3w — y2t«)

Es wird also

a-, :av*s — [ow(«1« - 0»y»")+&l,,(<l,w0«« — y2»«)] : [«•"(«», + "in y«. — 0*», - y2,H ) -f ^(or*,,, -f- - am y.« - ß»n y». » ] : [«»•(«**. - fr.y«)+*"(irw/J« - )•*„)]

Arch. d. Math. u. Phy«. 2. Reihe. T. VIII. 2.»

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354 Müller', lieber den BrocarcT sehen Kreis als geometrischen Ort etc.

oder

*i : «i s H — («m + *w) s (— C") («m + ''w)

Soll aber der Punkt auf dem Kegelschnitte liegen , so muss für den vorliegenden Fall die Gleichung erfüllt sein

im cm am

*i ** T '3

was offenbar der Fall ist.

Für den Schnittpunkt von G0 Cm und Gms B hat man

*i — (6m + c"»):(im-|-cm): C— «"')

und für den Schnittpuukt von G^,« und GmsC

so dass also auch diese beideu Punkte auf dem betr. Kegelschnitte liegen.

Was nun die besondere Form der Kegelschnitte angeht, welche in den drei Fällen in der geschilderten Weise entstehen , so erhält man darüber Aufschluss, wenn man beachtet, dass ein Punkt im Unendlichen liegt, wenn dessen Coordinaten die Gleichung erfüllen

Die Summe der Coordinaten irgend eines Punktes, der auf einem der in Betracht kommenden Kegoischuitte liegt, ist aber in allen drei Fällen dargestellt durch den Ausdruck:

a»(q* bm -f-p*cm — pqam) + bm{qi cm -f- p*am —pqbm) -\-cm(q*am-\-p*bm - pqcm)

Unter Beachtung der obigen Bemerkung leitet man daraus leicht die ganz allgemein geltende Formel ab, dass der Kegelschnitt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel sei, je nachdem der Ausdruck

02w _|_ bim _J_ <&m — 2(am bm -\-amcm-{- bm cm) — 0

ist. Dieser Ausdruck lässt erkennen, dass im allgemeinen für jedes m je nach der Gestalt des Dreiecks alle möglichen Arten von Kegel- schnitten auf die geschilderte Art entstehen können. Nur für «- 1 und für m = 2 sind die Kegelschnitte immer Ellipsen

Ist nämlich m = 1, so lautet der obige Ausdruck

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Müller: Ueber den Brocard sehen Kreis als geometrischen Ort etc. 355

a* + i*+cf -2(ab + ac + bc)

dieser aber ist immer negativ. Man kann nämlich dafür auch setzen

(a — b)* --c(2a-j-2A — c)

Nun ist aber a — b<^c. Setzt man also dafür das grössere c, so wird die obige Differenz grösser, sie ist aber danu immer noch ne- gativ, wie mau sofort erkonnt, wenn man dieselbe folgeudcrmasseu ordnet

— 2c(a-f-& — c)

da ja a-\-b — c immer positiv ist.

Ist ferner m = 2, so wird wieder der für die Form des Kegel- schnitts massgebende Ausdruck

a4_|-&4-(-c4_2(a^* + ascSi-r-Ale8) < 0

Bezeichnet nämlich mg die Mittellinie zur Seite c des fraglichen Dreiecks, so wird

c* -f- (a* - b*)* — 2c»(as + **) = <**+ (b* + c* - 2*ccos « -

-2c'{$c*-\-2mci) = c*(c -2'>cosa)*-4<-2/«c* Unterdrückt man den Factor 4c2, so ist der Ausdruck

denu es ist () — bcosa dio Kathete, wie aber die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Hat mau für »« = 2 den Kegelschnitt im Auge, welcher der ersten Schaar angehört, so hätte es des vorstehenden Nachweises nicht bedurft, da für diesen Fall die Formel für den Kreis, deren allgemeine Giltigkeit erwiesen ist, zur Anwendung gelangt, und der fragliche Kegelschnitt mit dem Brocard'schen Krciso identisch ist. Ist i»>2 odf.r m<0, so häugt die Gestalt der entsprechenden Kegelschuitto von dem Verhältnisse der Drciccksseitcn a'bxc ab; so ist z. B. für das rechtwinklige Dreieck, dessen Seiten im Vcrhältniss von 5:4:3 stehen, und für i» = 4 der Kegelschnitt in deu drei Fällen eine Parabel. Es geht nämlich, wio noch bemerkt werdeu möge, aus der obigen für alle drei Schaaren geltenden Formel her- vor, dass die Form des Kegelschnittes in allen drei Fällen für ein bestimmtes m (vom Kreise abgesehen) dio nämliche ist.

Was endlich die Mittelpunkte der im Vorhergehenden betrach- teten Kegelschnitte angeht, so ist ganz allgemein der Ausdruck für eiueu derselben

2 1*

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356 Müller: Ueber den BrocarcTichea Kreis als geometrischen Ort etc. Z=f(g+h-f)A + g(f+h-g)B + h(f + g-h)C*)

falls die betr. Constanten des fraglichen Kegelschnittes /", g und A sind. Sind also die Mittelpunkte der ersten Schaar mit Z„,i, der zweiten mit Zm*, der dritteu mit Zm$ bezeichnet, so erhält man

Zw\ = am(bm-\-ctn—am)Am-\-bm{am-\~cm -b**)Bm-\-cm{am+bm—cm)C* Zm2 = cm(am-{-bm -cHt)AM^am{bm^cm—am)Bm^bM(aM-\-cm—bm)Cm Z„a = />™(am-fcw' -bm)A,n -\-cm(am-\-bm - cm)Bm-\-am(b»-\-cm —am)Cm

Um diese Punkte mit anderen vergleichen zu können, sollen dieselben anf das ursprüngliche Coordinatensystem zurückgeführt werden, für welchen Fall für Am, Cm wieder ihre Werte in A, B , C zu setzen sind. Führt man dieses aus und reducirt, so erhält man

Zm\ m a'»(2bmcm-\-aM(bm-l-LM— am))A-\-b^(2an*cm-\-bm(aM-\-cm — b-))B +c**(2a'»b>»-\-c'H(am-\-l>m—cm))C

Zm2 = bm(2amcm-{-bm(am-\-cm —bm))A-\-cm(2ambm-\-cm(am-\-bm — c"*))B ^-am{2bmcm-\-am(bm-{-öM— a»))C

ZmS — cm(2ambm-\-cm[am-{-bm— cm))A-[-am(2bmcm-{'aK\bm-\-cm -au'))B -\-bm(2amc<*-\-b**{am+e>»—bm))C

Jeder dieser Punkte Z liegt nun auf der betr. Geradeu GM, also z. B. Zmi auf der Geraden AAms&ms. Da der Beweis dieser Behauptung in allen drei Fällen derselbe ist, soll er nur für die eben genannte Gerade geführt werden. Die Determinante (Formel 1) nimmt für diesen Fall die Form an

&*% cM, aw

bm(a^-\-cm-bm), tm(am-\-bm—tft\ aw(bM-\-cm— d») bmf crM4 amt

worin r, * und t die betreffenden Factoreu der Coordinaten von Zm2 bezeichnen. Hebt man in dieser Dctermiiiaute die den Colou- nen gemeinsamen Factoren heraus, multiplicirt sodann die erste Reihe mit am-\-bm-\-cm una< subtrahirt dieselbe von der zweiton, so kann man unter Hinweglassung des Factors — 2ambmcM die Determinante so schreiben

1, 1, 1 bmy c"*, am r, *, t

1) Möbius, d. b. C. 3. Absrhn. § 267.

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Müller: Ueber den Brocard' schon Kreis ah geometrischen Ort etc. 357

Wenn man nnn die zweite Reihe mit am-\-bm-\-cm multiplicirt and dieselbe zur dritten addirt, so werden die Glieder der .letzten Reihe gleich, wie jene der ersten es sind, so dass also die Determinante verschwindet Da nun, wie wir oben gesehen haben, die Punkte Mm und Gm auf den betr. Kegelschnitten liegen, die Geraden MmGm also Sehnen derselben sind, so erkennt man nunmehr, da ja auch die Mittelpunkte der betr. Kegelschnitte auf diesen Geraden liegen, dass dieselben Durchmesser jener Curven bilden.

IV.

Wir denken uns nun durch die Punkte G Parallele zu den Seiten des Coordinatendreiecks gezogeu. Die Schnittpunkte der Parallelen zu AB seien bezeichnet mit L'm auf BC und ./",„ auf AC\ die der Parallelen zu AC seien auf BC:L"m auf AB:N'm, dio der Paral- lelen zu BC endlich seien auf AC'J'm und auf AB:N"m. Da für jedes m drei verschiedene G zu unterscheiden sind, so ergeben sich achtzehn solcher Schnittpunkte, und es sind entsprechend den G die ./, L und iV für jeden Fall noch mit den uuteren Indices 1, 2 und 3 zu versehen. Unter Hinweglassung der unteren Indices m erhalten wir daun für diese Schnittpunkte die folgenden Ausdrücke:

1) /,/ = (<**+b»)B+<TC

L," ~ bmB + {am+c*»)C

Jx" = (am-\-bm)A-{-cmC Nt' = (am-J- c"»)4 -f- bmB iV,"= a"M-f-(6»-f cm)B

2) c")tf-f a'»C

Lf == c^B+ia^ + b^C

Jt' = b*»A + (am + cm)C

J8'w == (bm -f cm)A + a**C\ Nt' = (am-\-bm)A + cmB Nt" = bmA -f (a~ -f cm)B

3) £5 (a»+«-)*+*"C

y3" = (a" + cm)A-\-bmC Ns' = (bm-\-cm)A-\-amß A73" = c«^-f (aw-fi"»)Ä

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1

358 Müller: Ueber den Brocard *chen Kreis als geometrischen Ort etc.

Was die Herlcituiig dieser Ausdrücke angeht, so ist dieselbe für die drei Gruppen die nämliche, sie möge daher nur für die zweite Gruppe durchgeführt werden. Wir hatten nämlich für Gwä den Ausdruck

Gm2 = bmA -f- c^B+a^C

Es hat also die durch diesen Punkt zu AB gezogene Parallele die Glcichuug *)

für den Schnitt dieser Geraden mit BC hat man zudem noch

«| «= 0

mithin wird der Schnittpunkt

/>,' = (Ä« + c-«)ff-f-a-C Für den Schnitt der Parallelen mit AC hat man noch

= 0

mithin erhalt man für den Schnittpunkt

J^EEV + ^A + a-C Die durch G„2 zu AC gezogene Parallele hat die Gleichung

für den Schnitt dieser mit BC und AB ist zudem

ar, « 0 bzhw. xs =* 0

mithin wird und

jVjj' = {am-\-bm)A + cmB Die durch Gma zu BC gezogene Parallele endlich hat die Gleichung

ii(am-{-cm) — (ar,4-a-3)Ä"» und da für den Schnitt derselben mit AC und AB zudem

xt «= 0 bzhw. 3-3 = 0

ist, so erhält man

Js' EEb-A + ia' + ^C

und

Xi" = b'»A + (a>»+cm)B

Dureh die sechs Puukte jeder der oben aufgestellten Gruppen lässt sich nun immer ein Kegelschnitt legen. Um dieses darzutan,

1) S. Programm des kgl. Gymn. zu Kempten r. J. 1889. I 5a S. 10.

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Müller: lieber den Brocar cT sehen Kreit als geometrischen Ort etc. 359

trausformiren wir die Coordinaten, indem wir für die erste Gruppe das Dreieck L/Jg'N^ als Coordinatendreieck betrachten. Nun war aber

V == {a™-\-bm)B+cmC Jtl = amA-{-{bm-{-cm)C Xx' = {a<a+cn)A + bmB

Entwickelt man aus diesen Gleichungen A, B und C, so erhält man

A = — bm(bm-\-cm)L1'-\-bmcmJ1,-{-(an<-{-b^) (bm-\-cm)Nlr B==(bm+ cm) (a™ +o")i1l — cm(am + dn)Jx ' -f- am C*^ ' C= anbm Lx '+ (a* + bm) (am -f cm)Jt ' — am(am -j- 6»W

Setzt man diese Werte in die oben für L", Jt"t N" gefundenen Ausdrücke ein, so erhält man

Lx" = bm\_(bm -f- c">) (a"»-f c™)^ ' — cm(am -f- -f a"» c"»^'] -f (a™ -f- <:•») [a™ ' -f- (a"» -f- b1*) (am -f c") jr/ — a^a^b»)^

oder nach vorgenommener Reduction

i," = + + «P(a» + c» Vi ' — a*»tf t '

Ebenso erhält man für

oder reducirt

JT^ 42». jr/ -f- c»(a- + b^)Jx' + 8»(<g" -f 6"»)^ '

Endlich wird

Nt" = a»[-Ä^6»+c")Z.,' + 6«nc«J1' + (a-» + 6'-)(&'-+c-»)iV1'] -f-(Ä"» + c-")[(6- + c-Xo" -f c»»)^' — c*(a» + a« c-iV/]

oder vereinfacht

Wir bestimmen nun, wie früher, durch die Punkte Z.," und ■JPJW die Constanten /, g und h des betr. Kegelschnitts. Man erhält zu diesem Behufe die beiden Gleichungen

_ L. . 2 _l ?L o

f _JL , * _n

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360 Müller: Uebtr den Brocanr*chrn Kreis ah gfometrisrhen Ortete.

wenn wir uns in den Ausdrücken für L" und ./," die Glieder in der Reihenfolge A'/, Lx\ denken. Aus beiden Gleichungen erhält mau

/ . g : h — am : bm : cm

Denkt man sich die Glieder von N" ebenso geordnet, wie jene von L" und so erkennt man aus der Gleichung

am j,m rm

ä^Jb^-e"*) ' Cmipm — |- c'm "~

dass auch der Punkt Nt" auf dem durch die fünf anderen Punkte bestimmten Kegelschnitte liegt.

Da nun die Coordinaten der Tuukte der zweiten und dritten Gruppe ganz ähnlich gebildet sind, wie jeuc der ersten, so dürften wir wol daraus sofort den Schluss ziehen, dass auch die sechs Puuktc der zweiten und dritten Gruppe immer auf einem Kegelschnitte lie- gen. Es soll indes wegen der Werte der Constanten /*, g und h in Kürze für die zweite Gruppe dieser Beweis noch durchgeführt wer- den. Zunächst erhält man hier, ganz so wie oben, bei Transfor- mation der Coordinaten auf das Ereieck L^JJX*' für A, B und C dio Ausdrücke

A = — cm(rt,"-fcm)Z2'-}- amcmJs'-\-(am-\-cmXöm-{-cm)Ni' B = (am -f cm) (am -\-bm) L,' — am(am -f- bm) ■/,' -f am bm Nt' C == bm cm Lt'+{am + bn>){b'n-\-cm)J*—bm{b'"-{-c'n)Xt'

Des weiteren erhält man im neuen Coordinatensystem

V SE (am -f bm)cm Ls' -f («» -f Js' — A2'

J2" = — c~m Lg -f- am(bm-\-cm)Ji'-\- cm,bm-\- cm)Ns' N9" == am(am + cm) Ls - «2« Jt' -f ^(a"» -f <rm) A^'

Benutzt man nun zur Bestimmung der Constanten /, g, h die Puukte Ls" und indem man deren Ausdrücke in der Reihenfolge I», Js'. A'2' nimmt, so erhält man

> + ? JL_0

J.m{„nt _\I.tn\ i:2tn

Daraus wird

f , .7 Ä

* j j _j_ " „ „ n

c Im ~C am^,» _|_ T cm(fti» _|_ j

/' : g : /i = cm : am : bm

und man erhält endlich für den Punkt A/, nachdem dessen Aus- druck wie oben geordnet:

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Müller: Urber den Brocartfichen Kreis als gcometriichen Ort etc. 361

cm am ftm

«"'(«'" -j- cm) ~ dt™ * cm) = ®

Für die dritte Kcgelschnittschaar, für welche die vorhergehende Ab- leitung wiederkehren würde, möge nur noch bemerkt werden, dass man, falls man nach Transformation der Coordinateu die Ausdrücke in der Reihenfolge J3', A*3', L3' nimmt, für die den Kegelschnitt be- stimmenden ( Vmstanten erhält

f:g:h = bm: c*" : am

Bestimmen wir nun die Mittelpunkte der drei soeben betrach- teten Kegclschuittschaaren , welche einstweilen mit Q| , Qä, (?3 be- zeichnet werden mögeu. Wir erhalten dafür im Coordiuatcnsystem L, ./, iV nach derselben Kegel wie oben:

Q] = am(bm+L™-a'»U\\'+b'»(am+c"'— b™)I^+c*»{am+h<" -c™)^'

Qt = bm(am-\-c,n — b'n)J^'-\-cm{am-\~bm — cm)Ns'-\-am{bm-\-cm — am)L3'

Gebt man nunmehr auf das ursprüngliche Coordinatensystem zurück, indem mau für «/, L uud iV die oben für dieselben aufgestellten Werte in A, B, C setzt, so erhält man nach durchgeführter Reduction die Ausdrücke

Q, = am('2bc"'+am(b'»+ c'n— am))A+ bnXlamcm-\-bm{am+cm -b*»))B -\-cm(}ambm-\-cm(am-\-bm—cm))C

Q, = bm(2amcm-\-bm(am-\- cm—bm))A+cm{2ambm-{-cn>{am-\-bm— c™))^ -{-am{2bmcm-\-am(bm-\-cm- am))C

Q3 = cm(2ambm+c,"(aT"-\-bm - cm)A+ am(2bmcm-\- am(/>w-f c^—am))B -\-bm(2amcm-\~bm(am-\-cm - bm))C

Vergleicht man aber diese Ausdrücke mit denjenigen, welche oben mit Z bezeichnet wurden, so findet sich, dass dieselben bzhw. iden- tisch sind, d. h. es sind immer zwei Kegelschnitte, welche in beiden Fällen zu derselben Schaar und zu demselben m gehören, concen- trisch. Zwei solche zusammengehörige Kegelschnitte sind aber auch ähnlich und in ähnlicher Lage. Dies ergibt sich daraus, dass die Mittelpunkte dreier deu beiden Kegelschnitten gemeinsamer Sehnen von verschiedener Richtung zusammenfallen, und dass somit die zwischeu dio beiden Kegelschnitte fallenden Stücke dieser Sehnen gleich lang sind. Es soll dieses für zwei zusammengehörige Kegel- schnitte der beiden ersten Schaaren dargetan werden. Es ist die Mitte der Sehne Jt' iV,", welche die andere Curve in AmGm\ trifft, ausgedrückt durch

362 Müller: Ütber den BrocarcTttften Kreis ah yeometrhchtn Ort etc. l[2amA -f (bm -f c™)!} -f (bm -f C") C]

dies ist aber, wie man sofort sieht, auch die Mitte von AmGm\. Ebenio erhält man sowol für die Mitte von LfHf als auch für jene von B„, Gm\ den Ausdruck

t[(am +cm)A -\- ?bmB -f (am -f- cm)C]

Eudlich ergibt sich sowol für die Mitte von V als für die Mitte von CmGmi der Ausdruck

^[(am -f bm)A -f- («"• -f b™)B + 2c" C]

Die nämlichen Betrachtungen aber führen boi den beiden anderen Kegelschuittschaaren zu denselben Resultaten.

Kempten (Bayern).

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Meyer: Ufbtr sphärnche Polartystem ttc. 363

XVI.

Ueber das sphärische Polarsystem und seine Anwendung auf das Tetraeder.

Von

Dr. Karl Theodor Meyer

in Saarbrücken.

Im Räume nehmen wir einen festen Punkt M an und ordnen jedem Punkte P diejenige Ebene * zu , welche normal zu der Ge- raden PM ist und diese in einem Punkte Q so schneidet, dass das Product PM. MQ einen constanten, positiven oder negativen Wert bat. Dann lässt sich zeigen, dass durch diese Zuordnung von Punkten und Ebenen ein räumliches Polarsystem von besonderer Art be- stimmt ist1).

Legen wir nämlich durch den Punkt P eine Ebene o und fällen auf dieselbe von M aus die Normale, welche n in A und die Ebene « selbst in B schneidet, dann folgt aus der Aehnlichkeit der Drei- ecke AMQ und PMB, dass AM. MB — PM. MQ ist, dass also die durch P gehende Ebene o dem auf n liegenden Punkte A entspricht. Ist ferner g eine beliebige Gerade durch P, und schneidet die Nor- malebene aus M zu g diese Gerade in einem Punkte Fund die Ebene

n in einer Geraden g\ deren Schnittpunkt mit MF F' heissen

möge, so sehen wir, dass jedem Punkte G von g die zu 'GM normale Ebene y von g' entspricht, und dass g(G) projV(y) ist. Nennen wir

1) S. auch Reye, iynth. Gcom. der Kngcln. Leipzig 1879. S. 29.

Dioitizsd CjOOqIc

3fM

Mryer'. Utber das sphärische Polarsystem

noch G' den Punkt von durch welchen die Ebene y geht, dann

ist in dem Dreieck GG'F' G'M Höhe zu der Seite GF\ folglich geht die dem Punkte G' entsprechende Ebene y' auch durch G uud somit erkennen wir, dass die projectivischo Beziehung zwischen g\(i) und g'{y) auch eine involutorischo ist. Hiermit ist der Beweis für die Behauptung erbracht, dass die oben angegebene Zuordnung von Punkten und Ebenen ein räumliches Polarsystem bestimmt. Es be- sitzt — und dadurch wird es zu einem besonderu — die charakte- ristische Eigenschaft, dass die Normalen aus den Punkten des Systems auf die entsprechenden Ebenen allo durch eiueu Punkt gehen, und von ihm so geteilt werden, dass das Product der entstandenen Ab- schnitte eiuen constauteu Wert hat.

Nähert sich P dem Punkte danu entfernt sich n von letz- terem Punkte und bei der Vereinigung von P und M wird n zur unendlich fernen Ebene. M ist also der Mittelpunkt des Systems, und folglich entspricht jeder durch M gehenden Ebene der in nor- maler Richtung unendlich fern gelegene Punkt

Die Ordnungsttäche des Systems ist nur dann reell uud zwar eine Kugclfläche, wenn das coustantc Product, die Potenz des Sy- stems, negativ ist, M also die Strecke PQ äusscrlich teilt. Die Kugel hat M zum Mittelpunkt und die Quadratwurzel aus dem absoluten Werto des Products zum Radius Wegen dieser Tatsache, dass die OrdnungsHächc des Systems eine reelle oder imaginäre Kugel ist, kanu das Polarsystem eiu sphärisches genannt werden.

Jedes Poltetraeder des Systems ist von besonderer Art, insofern sich in ihn» die 4 Höhen schneiden und zwar im Mittelpunkt des Polarsystems. Dicso Tetraeder sind entweder alle spitzwinklig, stumpfwinklig, oder alle rechtwinklig, je nachdem die Potenz des Systems positiv, negativ oder null ist ').

Bewegt sich in dem sphärischen Polarsystem P auf eiuer Fläche II. 0. /, dann durchläuft n einen Ebcnenbüschel II. 0-, dessen Ein- hülluugsflächc /' von besonderer Art ist, je nach der Lage, die M zu f einnimmt. Liegt nämlich M auf /, dann wird /' von der un- endlich ferneu Ebene berührt, ist also eiu elliptisches oder byper-

I) Auch in diesem Falle knnn man noch von einem sphärischen PoUr-

system reden. Jedem Tunkte P entspricht die tu PM normale Ebene roo M und jede Ehene, die nicht durch M geht, hat letzteren Punkt tu ihrem Pol. Enthält eine Ebene den Punkt J/, dann entspricht ihr jeder Punkt »uf ihrer durch M gehenden Normalen. Die Ordnungsfiache reducirt «ich auf den Punkt M.

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und seine Anwendung auj da» Tetraeder.

365

bolisches Paraboloid, je nachdem / eine nicht geradlinige Fläche II. 0. oder eine Rogelfläche II. 0. ist. Ist f eine Kegelfläche II. 0., dann wird /' zu einer Parabel, deren Ebene normal zu dem Kegel- strahl steht, auf welchem der Punkt M liegt. — Nehmen wir zweiteus M innerhalb / an und setzeu diese Fläche zunächst als krummlinig voraus, dann ist f ein Ellipsoid. Ist aber f eine Regel- oder Kegclfläche II. 0., dann wird f zu einem cinsehaligeu Hyperboloid oder zu einer Ellipse. — Für den Fall endlich, dass M ausserhalb f liegt, erhalten wir für /' ein zwei- oder eiuschaliges Hyperboloid, je nachdem f eine krummlinige Fläche II. 0. oder eine Kegclfläche II. 0. ist. f geht über in eiue Hyperbel, falls / eine Kegelfläche ist Jeder Kugel f entspricht in dem sphärischen Polarsystom eine Rotationsfläche IL 0. /*', welche AI zu einem Brennpunkt und dio Yerbiudungsgerade dieses Punktes mit dem Mittelpunkte O der Kugel zur Rotatiousachse hat. Nimmt man daher eiue Kugel als gegeben au und beachtet, dass in Bezug auf dieselbe das Product der Seh- nen- und Secautenabschuitte des Punktes M coustant ist, so erkennt mau sofort die Richtigkeit des folgeudeu Satzes:

„Legt man zu deu Strahlen eines Punktes in ihren Schnitt- punkten mit eiuer Kugelttächc die Normalebencn, so umhüllen diese „ein Rotationsellipsoid oder Rotationshyperboloid, jo uachdera der „Puukt innerhalb oder ausserhalb der Kugel liegt Der Punkt ist „ein Breunpunkt der Rotationsfläche."

— Die Tatsache, dass im sphärischen Polarsystem jeder Kugel eiue Rotationsfläche II. 0. entspricht, gibt uns ein Mittel au die Hand, um die Sätze der Kugel in eiufaoher Weise auf jene zu Ubertragen. So hat z. B. der Satz: „Durch 4 Punkte, von deueu keine drei in einer Geraden liegen , ist eine Kugel bestimmt" — den folgenden zu seinem reeiproken:

„Durch 4 Ebenen, von denen keine drei durch eine Gerade gehen, „ist eine Rotationsfläche II. 0. bestimmt, welche einen bestimmten „Punkt zu einem Brennpuukt hat."

Wir verzichten darauf, andere jKugelsätze zu übertragen, da dies wenigstens teilweise schon von Salmon iu seiner analytischen Geometrie des Raumes geschehen ist, allerdings nur unter der be- schränkenden Voraussetzung, dass die Orduungsflüehe des Systems reell ist Weil einer Curve II. 0. in dem sphärischen Polarsystem eine bestimmte Kegelfläche II. 0. entspricht, (die supplementär ist

t) Liegt der Punkt auf der Kugolfl&che, dann gehen die Normnlolicticii teils durch diesen Punkt, teilt durch seinen ücg««ii|»unkt nuf der Kugel.

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366 Meyer: Ueber da* »phäritcht Polar »ytem

zu der andern Kogelfläche, welche aus dem Punkte M die Cunre projicirt), so lassen sich auch zu don Sätzen über die Curven II. 0. bestimmte reciproke über die Kegelflächen II. 0. bilden. Es möge dies durch ein Beispiel gezeigt werden. Einem Brennpunkt P der Cunre II. 0. k entspricht eine Ebene durch den Mittelpunkt 0 der

Kegelfläche, deren Strahlensystem aus der Geraden ÖM durch eine orthogonale Ebeneninvolution projicirt wird. Weil nun eine Cunre II. 0. 2 Bronnpunkte hat, so ergibt sich der Satz:

„Zu jeder durch den Mittelpunkt einer Kegelfläche II. O. gelegten „Geraden gibt es zwei Ebenen von der Art, dass das Strahlensystem „einer jeden derselben aus der Geraden durch eine orthogonale „Ebeneninvolution projicirt wird.u

Weil ferner die Verbindungsgerade der beiden Brennpunkte durch don Pol der unendlich fernen Geraden von k geht, so folgt weiter:

„Jene beiden Ebenen schneiden sich auf der Polarebeno der „Geraden."

Man sieht leicht, wie mit .Hülfe der Curve II. 0. die Ebenen construirt werden können.

Auch auf diese Uebertragungeu wollen wir hier nicht weiter eingehen, sondern uns nunmehr zu dem Tetraeder wenden, um von demselben mittelst des sphärischen Polai Systems eiue Reihe von Sätzen abzuleiten, die noch nicht alle bekannt sein dürften.

I. Das allgcmeino Tetraeder.

Die Eckpunkte eines Tetraeders mögen mit J, />', <\ D und die ihnen gegenüberliegenden Seiten mit o, 0, y, ö* bezeichnet werden. Ferner seien in den bezüglich eines sphärischen Polarsystems reci* proken Tetraeder «', ß\ y', d" die den Eckpunkten des erstem ent- sprechenden Seiten und A', B\ C\ D' die den Seiten des ersten» entsprechenden Eckpunkte.

Ziehen wir nun im Tetraeder ABCD die Höhe aus A zu a, so hat dieselbe im reeiproken Tetraeder A'B'C'D' als entsprechendes Element diejenige Gerade von a\ durch welche die Kormalebene des Punktes M ') zu der Geraden^' geht Da nämlich A' der Ebene « entspricht , so ist die Gerade MA' normal zu a , also parallel zu der Höhe durch A und mithin auch normal zu der Ebeue, welche

I) AI wie üben Mittelpunkt de« Systems.

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und seine Anwendung auf das Tetraeder.

307

die jener Höhe entsprechende Gerade enthält. Da nun hei dem allge- meinen Tetraeder die 4 Höheu auf einer Regelschaar liegen, weil sie von den Normalen der Seitenflächen, welche durch die Höhen- schnittpunkto der letzteren gehen, getroffen werden, so folgt:

„Legt man durch einen Punkt die Normalebenen zu seinen Vcr- „bindungsgeraden mit den Eckpunkten eiues Tetraeders, so schnei- den dieselben die gegenüberliegenden Seiten in 4 Geraden einer „Regelschaar."

Diese 4 Geraden können in eiuem besondern Falle zu zwei Paaren in zwei Ebenen und in eiuem noch besonderen in einer Ebene liegen. Dies folgt daraus, dass die Höhen des Tetraeders mit 2 zu einander normalen Gegenkanten zwei Paaro sich schneidender Ge- raden bilden, und dass die Höhen des Tetraeders mit 2 Paar nor- maler Gegenkanten alle durch einen Punkt, den Höhenschuittpunkt des Tetraders, gehen.

Da den Eckpunkten A und B des ersten Tetraeders die Seiten a', ß' des zweiten entsprechen, so entspricht dem unendlich fernen

I' unkte Pqq auf der Geraden AU diejenige (zu AB) normale Ebene,

welche M mit der Geraden aß' verbindet. Weil ferner der Mittel- punkt A/| der Kaute AB von dem unendlich fernen Punkte 7*x durch A uud B harmonisch getrennt ist, so ist auch die entspre- chende Ebene f»' harmonisch getrennt von M durch et' und ß'. Ver- binden wir nun den Punkt Mx mit der gegenüberliegenden Kaute CD durch eine Ebone — die Mittelebeno der letztern Kante — , so entspricht derselben in dem reeiprokeu Tetraeder der Punkt, in

welchem p' von der Kante y'ö' getroffen wird, und da bekanntlich die 6 Mittclebenen eines Tetraeders durch einen Punkt, den Schwer- punkt S desselben, gehen, wobei sie sich 4 mal zu dreien in einer Geraden schneiden, so führt uns das sphärische Polarsystem zu fol- gendem Satze:

„Legt man durch jede Kanto einos Tetraeders die durch die „Seiten derselben von einem festen Punkt M harmonisch getrennte „Ebene und bringt sio sum Durchschnitt mit der gegenüberliegenden „Kante, so erhält man 6 Punkte eiuer Ebene, welche 4 mal zu dreien „in einer Geraden liegen."

Die Ebene soll gemäss der Bezeichuungsweisc bei dem ent- sprechenden Satze über das Dreieck die Harmonikalcbenc des Punktes M genannt werden, und sie werde, weil sie dem Schwerpunkt S ent- spricht, mit * bezeichnet.

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368 Meyer: Utber das sphärische Polarsystem

Durch reeiproko Ueliertraguug des letzten Satzes erhalten wir weiter den folgenden:

„Bestimmt man auf jeder Kante eines Tetraeders den Punkt, „welcher durch die Eckpunkte von einer festen Ebene harmonisch ge- trennt ist, und verbindet denselben mit der gegenüberliegenden „Kante, so erhält mau 6 Ebenen eines Punktes, welche 4 mal zu „dreieu durch eiue Gerade geheu."

In diesem Satze ist auch der von dem Schnittpunkte der 6 Mittel- ebenen eiues Tetraeders enthalten, und somit erkennen wir, wie un3 das sphärische Polarsystem von einem nur für einen besondern Fall gültigen Satze sofort zu dem allgemeiu gültigen geführt hat.

Bewegen wir nuu das^Tetraeder ADCD so lange im Räume bis sein Schwerpunkt S mit dem Mittelpunkte M des sphärischen Polar- systems zusammenfällt, dann rückt die Harmouikalebenc s des Punktes M in Bezug auf das reeiproke Tetraeder A'B'CD4 in die unend- liche Ferne, und folglich ist letzterer mit <S vereinigter Punkt auch Schwerpunkt des Tetraeders Äli'C'D'. Wir haben also für das sphärische Polarsystem den Satz:

„Fällt der Schwerpunkt eines Tetraeders mit dem Mittelpunkte „eines sphärischen Polarsystems zusammen , so vereinigt sich mit „letzterem Punkte auch der Schwerpunkt des reeiprokeu Tetraeders."

Legt man also zu jeder Schwerlinie eines Tetraeders die Ebene, welche die Strecke zwischen dem Eckpunkte und dem Schwerpunkte in 2 Abschnitte von constantem Producta teilt, so erhält man eio zweites Tetraeder, welches mit dem erstcren den Schwerpuukt ge- meinsam hat und zu ihm reeiprok in Bezug auf ein sphärisches Polarsystem ist. Zugleich erkennt man jetzt die Richtigkeit des folgenden Satzes:

„Die Normalebcnen der [Schwcrlinieu eiues Tetraeders in „ihren zweiten Schnittpunkten mit der dem Tetraeder umgeschriebe- nen Kugel bilden ein Tetraeder, welches mit dem ersten den „Schwerpuukt gemeinsam hat und zu ihm in Bezug auf ein sphäri- sches Polarsystcm reeiprok ist'*

Eiue eiufache Folgerung des Satzes von den 5 Mittelebenen eines Tetraeders ist auch der: Die Verbinduugsstrecken der Mitten zweier Gegenkanten eines Tetraeders werden durch den Schwerpunkt halbirt. Dio reeiproko Uebertragung dieses Satzes lautet:

„Legt man durch 2 Gegenkanten eines Tetraeders die durch „ihre Seiten von einem Punkte M harmonisch getrennten Ebcneu, so

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und seine. Anwendung auf das Tetraeder.

369

„schneiden sich diese auf der Harmouikalcbene des Punktes M und „sind durch M und diese Ebene harmonisch getrennt."

Wir denken uns nun zu dem Tetraeder ABCD die umgeschrie- bene Kugel mit dem Mittelpunkt U. Dann entsprechen den Punkten derselben die Berührungsebenen eiuer Rotationsfläche II. 0., welcho den Punkt M zu ciuem Brennpunkt hat und auch dio Seitenflächen des Tetraeders A'B'C'D' berührt. Dem Mittelpunkt U dor Kugel entspricht eine Ebene w, welche die Polarebene des Punktes M be- züglich der Rotationsfläche ist. Da sich nun in dem Puukte U die normal zu den Kanten des Tetraeders ABCD und zwar durch deren Mittelpunkt gelegten Ebenen schneiden, wobei sie viermal zu droiou durch eine Gerade gehen , so ergibt sich durch reeiproke Ueber- tragung folgender Satz:

„Legt mau durch jede Kante eines Tetraeders dio von ihren „Seitenflächen durch einen Punkt M harmonisch getrennte Ebene „und bringt diese zum Durchschnitt mit der Normale des Puuktes „AA zu seiner VerbinduDgsebeno mit der Kante, so erhält man 6 „Punkte einer Ebene, welche 4 mal zu dreien auf einer Geraden »liegen."

Diese Ebene ist die Polarebenc des Punktes M bezüglich der- jenigen Rotationsfläche II. 0., welcho die Seiten des Tetraeders be- rührt und Af zu einem Brennpunkt hat.

Verbinden wir nun den Mittelpunkt Af, der Kante AB mit dem Mittelpunkte Af2 der gegenüberliegenden Kante CD, dann wird, wio bereits hervorgehoben , die Strecke Af, Af2 durch den Schwerpunkt S halbirt. Ziehen wir daher durch Af, die Parallele zu CD, und nennen wir C\ und D1 die Punkte, in welchen diese Parallele die

Geraden CS und iäs trifft, dann ist CS = SC,, DS = SDt und folglich C, Dx =» CD. Ebenso geht die durch A/t zu der Kante AB gezogene Parallele durch die zu A und B bezüglich des Schwerpunktes symmetrisch gelegeneu Punkte Al und und wir erkennen weiter, dass die durch die Mitte der vier übrigen Kauten zu ihren jedes- maligen Gogcnkanten gezogenen Parallelen bzhw. dio Punktepaare GiÄtiCtBi9 D1A1, D^BX verbinden, has Tetraeder AlB1ClDt, welches durch jene 6 Gerade bestimmt ist, hat mit dem Tetraeder ABCD die Mitten der Kauten uud daher auch den Schwerpunkt ge- meinsam ; die Tetraeder liegen ferner zu einander perspectivisch und sind symmetrisch, aber nicht congrueut Wir haben also folgenden Salz bewiesen:

„Zieht man durch die Mitte jeder Kante eines Tetraeders die „Parallele zu der gegenüberliegenden Kante, so erhält man 6 Gerade,

A rch. der Matb. u. VUyn. 2. Ueihe, T. VIII.

■1\

I

I

370 Meyer: Utber das sphärische Polarsystem

„welche 4 mal zu dreien durch eiuen Punkt gehen, also die Kanten „eines zweiten Tetraeders bilden. Dieses hat mit erstercm den „Schwerpunkt gemeiusam, liegt zu ihm perspectivisch und sym metrisch."

Den roeiprokeu Satz wollen wir, wie folgt, aussprechen:

„Legt man durch jede Kante eines Tetraeders die von ihren „Seiten durch einen Punkt M harmonisch getrennte Ebene und bringt „letztere zum Durchschnitt mit der Verbindungsebcno des Punktes „3/ mit der Gegeukante, so erhält man 6 Gorado, welche 4 mal zu „dreien in einer Ebene liegen, also dio Kanten eines Tetraeders „bilden. — Beide Tetraeder haben dieselbe Harmonikaiebene in Bezug „auf den Puukt M und liegen so zu einauder perspectivisch , dass „sich je 2 entsprechende Ebenen auf der Ilarmonikaleboue schneiden „und von dieser und dem Punkte M harmonisch getrennt sind."

Dieser Satz enthält wieder den vorhergehenden, aus welchem er abgeleitet wurde, als besonderen Fall.

Errichten wir nun zu den Kanten des Tetraeders A1B1ClDi in ihren Mittelpunkten Af„ Mt . . . M6 dio Normalebenen, so gehen die- selben durch einen Punkt //, nämlich den Mittelpunkt der dem Te- traeder At Bt C, Dt umgeschriebeneu Kugel. Da nun die Kanten des Tetraeders ABCD mit denen des Tetraeders AiBlCiD1 parallel laufen und die Mittelpunkte gemeinsam haben, so können jene Ebenen auch aufgefasst werden als solche, welclio durch die Mitte der Kanten des Tetraeders ABCD normal zu deu Gegenkauten gelegt sind, und somit ergibt sich sofort der Satz von Monge:

„Die Normalebcnen aus den Mitten der Kanten eines Tetraeders „zu den Gegenkanten schueiden sich in eiuem Punkte, uud zwar gehen „diese Ebenen viermal zu dreien durch eine Gerade."

Da U der Mittelpunkt der dem Tetraeder ABCD, und H der Mittelpuukt der dem Tetraeder AiHl(\Di umgeschriebenen Kugel ist, so sind U und // entsprechende Punkto in deu beideu bezüglich des gemeinsamen Schwerpunktes S symmetrisch gelegenen Tetraedern- Folglich ergibt sich weiter die Beziehung:

„In jedem Tetraeder liegt der Schwerpunkt *S, der Mittelpunkt „17 der umgeschriebenen Kugel und derjenige Punkt // in einer „Geraden, in welchem die Normalebenen aus den Mitten der Kanten „zu den Gegenkanten sich schneiden Die Strecke UH wird durch „den Punkt S halbirt."

Der Satz von Monge lautet in seiner reeiproken Uebertragung:

„Legt man durch jede Kante eines Tetraeders die von ihren „Seiteu durch einen festen Punkt M harmonisch getreuuto Ebene

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ttnrt seine Anwendung auf das Tetraeder.

371

„und bringt letztere zum Durchschuitt mit der Normalen des Punktes „3/ zu sciuer Verbiudungsebcne mit der Gegenkante, so erhält man „6 Punkte einer Ebene, die 4 mal zu dreien auf einer Geraden liegen."

Aus dem vorletzten Satze folgt weiter, dass für jedes Tetraeder die Ebenen *, w und h durch eine Gerade gehen und dass * von u und h durch M harmonisch getrennt ist

Während es nur eine Kugel gibt, welche durch dio Ecken eines Tetraeders geht, gibt es deren 8, welche die Seiten des Tetraeders berühren. Zu dieser Erkenntniss führt uns folgende Ueberlegung. Ist ./ der Mittelpunkt einer die Seitenflächen «, 0, y, d des Tetraeders berührenden Kugel, dann hat dieser Punkt von den Ebenen gleiche Entfernung, liegt also auf der Halbirungsobeno der von den Ebenen gebildeten Winkel. In dem Punkte A stossen dio Ebenen /?, y, Ö zusammen und die Winkel, welche 2 von diesen Ebenen, etwa ß und y bilden, werden durch 2 zu ciuander normale, durch die Kaute AD gehende Ebenen halbirt; ebenso haben die Winkel, welche y und 6 miteinander bilden, zwei zu einander normale durch die Kante AB gehende Halbirungscbcnen. Dieso 4 Halbiruugsebenen schneiden sich ausser in den Kauten AD und Aß noch in 4 andern durch A gehenden Geraden. Jeder Punkt derselben ist von den Ebenen ß, y, d gleich- weit entfernt, also gehen auch die Halbirungsebenen der Winkel, welche ß und ö miteinander bilden, durch die 4te Gerade. Diejeni- gen Punkte dieser Geraden nun, welche von der vierten Ebene a des Tetraeders ebenso weit entfernt sind als von ß, y, <5, liegen offenbar auf den beiden Halbirungsebenen der von « mit einer der übrigen Ebenen gebildeten Winkel. Wir erhalten also 4.2 oder 8 Punkte, welche von den Ebenen glcichweit entfernt sind, also dio Mittelpunkte der die Seitenflächen berührenden Kugeln sind. Zu- gleich seheu wir, dass diese Punkte 16 mal zu zweien mit einer Ecke in einer Geraden und 12 mal zu vieren mit einer Kante in einer Ebene liegen.

Bilden wir nuu die reeiproke Beziehung, so erhalten wir den Satz : „Es gibt 8 Rotationsflächen II. 0., welche durch 4 Punkto gehou „und einen andern fünften Punkt zu einem Brennpunkt haben. Die „8 Polarebeucn des Brennpunktes schneiden sich 16 mal zu zweien „auf einer Seitenfläche des von den 4 Punkten gebildeten Tetraeders „und gehen 12 mal zu vieren durch einen Punkt auf einer Kante „des Tetraeders."

IL Das Tetraeder mit Höhenschnittpunkt.

Wir haben bei der allgemeinen Betrachtung über das sphärische Polarsystem bereits erwähnt, dass die Poltetraeder dieses Systems

'2 4*

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372

Meyer: Ueber das sphärische Polarsystem

solche sind, in welchen die 4 Höhen durch einen Punkt gehen. Um- gekehrt können wir jedes Tetraeder ADCD mit einem Höheuschnitt- punkte H zu einem Poltetraeder eines sphärischen Polarsystems machen, wenn wir nur bestimmen, dass II der Mittelpuukt des Systems und das constante Product der Höbenabschnitte die Potenz desselben sein soll. Aisdaun ist es möglich, in einfacher Weise zu den bisher bekannten Sätzen ]) über das Tetraeder mit Höhensch nitt- puukt noch audere interessante abzuleiten, die gleich den früher be- kannten recht deutlich die Analogie dieses räumlichen Gebildes mit dem Dreieck hervortreten lassen.

Indem wir nun beachten, dass den Eckpunkten AHCD des Te- traeders mit dem Höhenschnittpunkt H iu dem sphärischen Polar- system die ihuen gegenüberliegenden Seiten or, /?, 7, ö entsprechen, erkenuen wir sofort die Richtigkeit der folgenden Sätze:

„Durchschneidet man die Kanten eines Tetraeders mit Höhen- „schnittpunkt durch eine Ebene n in 6 Punkten und fällt zu jeder „Verbindungsgeraden dieser Punkte, mit dem Höhenschnittpunkt // „aus der gegenüberliegendeu Kante die Normalebene, so erhält man „6 Ebenen, welche durch eineu Punkt P gehen, der auf der Normalen „von H zu n liegt. Ist Q der Schnittpunkt dieser Normalen mit n, „dann ist QH. /Zugleich dem constanten Product der Höhenabschnitte ,,des Tetraeders."

„Verbindet man einen Punkt mit den Kanten eines Tetraeders „mit Höhenschnittpunkt durch Ebenen und fällt zu denselben aus dem „Höhenschnittpunkt II die Normalen, so treffen diese die jedesma- ligen gegenüberliegenden Kanten in 6 Punkten einer Ebene n, welche

„normal zu der Geraden PH liegt. Ist Q der Schnittpunkt dieser „Normalen mit *r, dann ist PH. HQ gleich dem constanten Product „der Hühenabschnitto des Tetraeders."

„Verbindet man eine Gerade g mit den 4 Eckpunkten eines „Tetraeders mit Höhenschnittpunkt und fällt auf diese Ebenen vom „Höhenschnittpunkt H aus die Normalen, so treffen dieselben die „gegenüberliegenden Seiten in 4 Punkten einer zu g normal gelegenen „Geraden g . Die kürzeste Entfernung dieser beiden Geraden wird „durch H in zwei Abschnitte geteilt, deren Product gleich dem con- stanten Product der Höhcnabschnitto ist"

1) Am eingehendsten scheint bis jetzt Vogt iu einer interessanten wissen- schaftlichen BeiInge zum Programm des Fricdrichs-Gymnasiums in Breslau vom Jahre 1881 das Tetraeder mit Ilöhcnschniitpunkt untersucht zu haben.

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und seine Anwendung auf das Tetraeder.

373

Dem Mittelpunkte Mt der Kante AB entspricht diejenigo Ebene (i1 durch die gegenüberliegende Kante CD% welcho normal zu der

Geraden MtH ist. Ferner hat der unendlich ferne Punkt Pm auf der Geraden AB diejenige Ebene n zu seinem entsprechenden Ele- ment, welche H mit CD verbindet Da nun aber Mx von Pw durch die Eckpunkte A und B harmonisch getrennt ist, so sind auch die Ebenen fi, und n harmonisch getrennt von den Seiten a und ß. Wir haben also den Satz:

„Ist in einem Tetraeder mit Höhenschnittpunkt letzterer Punkt ,.mit der Mitte einer Kante durch eine Gerade verbunden und legt „man zu derselben aus der gegenüberliegenden Kante die Normal- „ebene, dann ist diese harmonisch getrennt von dem Höhenschnitt- „punkt durch die Seitenflächen der letzteren Kante."

Oder:

„Legt man durch eine Kante eines Tetraeders mit Höhenschnitt- „punkt die von diesem Punkte durch die Seiten der Kanto harmo- nisch getrennte Ebene, so trifft die Normale derselben aus dem „Höhenschnittpunkt die gegenüberliegende Kante in ihrer Mitte."

Legen wir ferner durch eine Kante die Mittelebene, d. h. die Ebene, welche diese Kante mit der Mitte der Gegenkante verbindet, dann ist die von dieser Ebene durch die beiden Seitenflächen der Kante harmonisch getrennte Ebene parallel mit der Gegenkante, und es trifft die Normale aus dem Höhenschuittpunkt // zu letzterer Ebene die gegenüberliegende Kante in ihrem Höhenfusspunkt. Daraus folgt nun der Satz:

„In einem Tetraeder mit Höhenschnittpunkt trifft die Normale „aus diesem Punkte zu einer Mittelebene die gegenüberliegende „Kante in einem Punkte, welcher von den Eckpunktenderselben durch „ihren Höhenfusspunkt harmonisch getrennt ist."

Bestimmen wir nun auf jeder Kante den Punkt, welcher von den Eckpunkten durch ihren Höhenfusspunkt, oder, was dasselbe ist, welcher von den Seitenflächen der Gegenkante durch den Höhen- schnittpunkt des Tetraeders harmonisch getrennt ist, so erhält man 6 Punkte einer Ebene, nämlich der Harmonikaiebene des Höhon- schnittpunktes. Da ferner diese Ebene in dem Polarsystem dem Schwerpunkt S des Tetraeders entspricht, so folgt:

„In einem Tetraeder mit. Höhenschnittpunkt steht die Harmonikal- „ebene des Höhenschnittpunkts // normal zu der Verbindungsgeraden „dieses Punktes mit dem Schwerpunkt S. Heisst Q der Schnittpunkt

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374

Meyer: lieber das sphärische Polarsystem

„von Sil mit der Harmouikalebene, dann ist das Product SH.HQ „gleich dem Product der Höhenabschnitte des Tetraeders.41

Don Höhenfusspunkten der Kanten entsprechen diejenigen Ebenen durch die Gegenkanten, welche parallel zu den ersten Kanten laufen, und dio Mittelpunkte der Kanten haben zu ihren entsprechenden Elementen diejenigen Ebeuen durch die Gegenkanten, welche durch dio Seitenflächen derselben durch den Höhenschnittpunkt harmonisch getrennt sind. Da nun in einem Tetraeder mit Höheuschnittpunkt die Mittelpunkte dor Kanten und folglich auch die Höhenfusspunkte derselben auf einer Kugel liegen, welche den Schwerpunkt zom Mittelpunkt hat, so folgt:

„Legt mau durch jede Kaute eines Tetraeders mit Höheuscbuitt- „punkt

„1) dio Parallelebene zur Gegenkante,

„2) die von den Seiteuflächen der Kante durch den Höhen- Schnittpunkt harmonisch getrennte Ebene, so erhält mau 12 Ebenen, ,,welchc von einer Rotationsfläche II. 0. berührt werden, dio den „Höhenschnittpunkt zu einem Brennpunkt und die Harmouikalebene „desselben zu der zugehörigen Leitebeno hat."

Die Punkte, in welchen dio Berührnngsebenen einer Rotations- fläche II. 0. von ihrer Normalen aus einem Brennpnnkt getroffen werden, liegen auf einer Kugel, welche mit der Fläche den Mittel- punkt gemeinsam hat. Da nun in unserm Falle dio Ebeuen der ersteren Art von ihren Normaleu aus dem Höhenschnittpuukt in den Höhenfusspuukten der Kanten getroffen werden, so liegen auf der durch diese und die Mittelpunkte der Kanten gehenden Kugel aneb dio Schnittpunkte der Ebenen zweiter Art mit ihren Normalen ans dem Höhenschnittpuukt. Indem wir noch vorausschicken, was gleich bewiesen werden soll, dass der Höhenschnittpuukt des Tetraeders zu dem Mittelpunkt U der umgeschriebenen Kugel bezüglich des Schwerpunktes S symmetrisch liegt, so können wir nun folgenden Zusatz zu dem letzton Satze bilden:

„Die Rotationsfläche hat den Schwerpunkt des Tetraeders zum „Mittelpunkt uud den Höheuschnittpunkt und den Mittelpunkt der „umgeschriebenen Kugel zu Brennpunkten.44

Ferner erkennen wir die Richtigkeit des folgenden Satzes:

„In einem Tetraeder mit Höhenschnittpunkt liegen die Punkte, „in welchen die Verbindungsgeraden des Höhenschnittpunktes mit „den Mitten der Kantou von ihren Normalebeneu aus den jedes- maligen gegenüberliegenden Kanten getroffeu werden, auf derselben

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und seine Anwendung auf das Tetraeder.

375

„Kugel, welche auch durch die Mitten der Kauten uud die Höhen- „fusspunkte derselben geht."

Nach dem im ersten Abschnitt (S. 370) dargelegten Satze von Monge liegt in jedem Tetraeder bezüglich des Schwerpunktes S der Mittelpunkt U der umgeschriebenen Kugel zu demjenigen Punkte H symmetrisch, durch welchen die aus den Mitten der Kanten normal zu den Gegenkanten gelegten Ebenen gehen. Weil nun aber bei einem Tetraeder mit Höhenschuittpunkt je 2 Gegenkanten zu einander normal sind, so enthält die Ebene, welche normal zu der einen Kante durch dio Mitte der Gegenkante gelegt wird, die letztere Kante ganz, und somit erkennen wir, dass bei diesem besonderen Tetraeder der Punkt // identisch ist mit dem Höheuschnittpuukt. Es ist also jetzt gezeigt, was wir vorhin als erwiesen aunahmen, dass in einem Tetraeder mit Höheuschnittpuukt die Strecke zwischen diesem Punkte- und dem Mittelpunkte der umgeschriebenen Kuge durch den Schwerpunkt halbirt wird.

Dio Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte seien mit A%i B9, D2 bezeichnet. Dann ist das Tetraeder A^B^C^Df mit dem Tetraeder ABCD ähnlich und ähnlich liegend in Bezug auf H als äusseren Aehnlichkeitspunkt. Denn je zwei entsprechende Kanten z. B. A2Bt und AB sind zu einander parallel uud stehen in dem Verhältniss 1 : 2. Der Mittelpunkt üt der dem Tetraeder AiBsC^Ih umgeschriebenen Kugel ist der Mittelpunkt der Strecke UfI, also identisch mit dem Schwerpunkt S des Tetraeders ABCD. Folglich gilt der Satz1):

„Die Kugel, welche durch die Mitten der oberen Höhenabschnitte „eines Tetraeders mit Höhenschnittpunkt geht, hat den Schwerpunkt „des Tetraeders zum Mittelpunkt uud ihr Radius ist gleich der „Hälfte von dem Radius der umgeschriebenen Kugel."

•

Da nun in dem sphärischen Polarsystem dem Mittelpunkt eines oberen Höhenabschnittes dio zu dem Höhenschnittpunkt bezüglich der zugehörigen Seitenfläche symmetrisch gelegene Ebene entspricht, so gilt der Satz : Legt man zu jeder Seite eines Tetraeders mit Höhcuschnittpunkt diejenige Parallclebeno, welche mit dem Höhen- schuittpunkt bezüglich der zugehörigen Seitenfläche symmetrisch liegt, so erhält man 4 Berühruugsebeuen einer Rotationsfläche II. 0., welche den Höhenschuittpunkt zu eiuem Brennpunkt uud dessen Har- monikalebeno zur Directrixebeno hat.

1) Vgl. auch Vogt § 8.

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376

•

Meyer: L'cber das sphärische Polarsystem

Wir benutzen nun noch folgenden Satz und verweisen bezüglich seiner Ableitung auf § 10 der erwähnten Arbeit von Vogt:

„In jedem Tetraeder mit Höhenschuittpunkt liegen die Schwer- punkte und die Höhenschnittpunkte der Seitenflächen auf einer „Kugel, deren Mittelpunkt F auf der Verbindungsgeraden der Punkte „77 und U liegt"

Von diesem Satze führt uns das sphärische Polarsystem sofort zu folgendem:

„Legt man durch die Ecken eines Tetraeders mit Höhenschnitt- „punkt die Parallelebenen zu den gegenüberliegenden Seiteuflächen „und die Normalebenen zu den Verbindungsgeraden des Höhenschnitt- „Punktes mit den Schwerpunkten auf den gegenüberliegenden Seiten- Bächen, so erhält man 8 Ebenen, welche eine Rotationsfläche IL 0. „berühren, die den Höhenschnittpunkt zu einem Brennpunkt hat, und

„deren Mittelpunkt auf der Geraden HÜ liegt.

Da nun diese Ebenen von ihren Normalen aus dem Höhenschnitt- punkt in den Punkten einer Kugel getroffen werden, und 4 von diesen Punkten die Eckpunkte des Tetraeders sind, so folgt weiter:

„Verbindet man in einem Tetraeder mit Höhenschnittpunkt den „Schwerpunkt einer Seitenfläche mit dem Höhenschnittpunkt des Te- „traeders durch eine Gerade, so wird dieselbe von ihrer Normal- „ebene aus dem gegenüberliegenden Eckpuukto in einem Punkte der „dem Tetraeder umgeschriebenen Kugel getroffen."

Ist in einem sphärischen Polarsystem ein Tetraeder mit dem Uöhcnschnittpunkt H gegeben, und fällt letzterer Punkt nicht mit dem Mittelpunkt M des Systems zusammen , dann ist das reeiproke Tetraeder nur dann von derselben Art, falls M auf einer Höhe des

ersten Tetraeders liegt. Ist z. B. M ein Punkt der Höhe AH, dann entspricht der Kante AB in dem reeiproken Tetraeder eine Kante A'B', welche normal zu der Ebeno ÄBH, also parallel mit der Kante CD ist Die letzterer Kante in dem reeiproken Tetraeder entspre- chende Kante C'D' ist normal zu CD, also auch zu A'B4. Ebenso erkennt man, dass auch die Kanten A'C und BD' zu einander normal sind. Das Tetraeder A'B' CD' hat also 2 Paare zu einander normaler Gegenkanten, folglich schneiden sich seine Höhen in einem Punkte H'. Zugleich überzeugen wir uns von der Richtigkeit des folgenden Satzes:

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und seine Anwendung auf das Tetraeder.

377

„Nimmt man in einem Tetraeder mit Höhenschnittpunkt auf einer „Höhe desselben einen Punkt M an und legt zu den Verbindungs- „gcraden dieses Punktes mit den Eckpunkten des Tetraeders in ihren „zweiten Schnittpunkten mit der umgeschriebenen Kugel die Normal- „ebenen, so erhält man ein Tetrader, dessen Höhen durch einen „Punkt gehen, der auf der gemeinsamen Höhe beider Tetraeder liegt."

Aber auch dann, wenn M nicht auf einer Höhe des Tetraeders ABCD liegt, ist das reeiproko Tetraeder ÄB'C'D' noch von be- sonderer Art. Wir unterlassen es, seine Eigenschaften hier näher anzugeben; dieselben ergeben sich wieder am einfachsten durch reci- proke Uebertragung derjenigen des Tetraeders mit Höhenschnittpunkt.

378 Benz: Anwendung des Tayloi' sehen Satzes zur Rtct\fication

XVII.

Anwendung des Taylor'schen Satzes zur Rectitication der Ellipse und zur Complanation

des Ellipsoids.

Von

Herrn C. Benz,

Lehrer in Lackenwalde.

Bezeichnet a/v(f, q>) einen Ellipscnbogen , a die halbe grosse Achse, f die numerische Exceutrieitat, q> den Winkel des Bogens, von der kleinen Achse an gerechnet, so ist

I) o£(l,f)sa Up — 1 a gy'H

l

( 16t*- 60t4 + 45t6) . Tl <p?

. (64t*- 1008t* + 2520«6 — 1575t8) + 9! *

(256t»- 16320t4 + 105840t6- 189000t«-f 99225t") u I

11! * T" j

Nach dem Taylor'schen Satze ist nämlich, wenn wir £(t, q>) kurz mit und die aufeinanderfolgenden Differentialquotienten von /V nach q> bezüglich mit F^)1, F(9)n, F{rf*x u. 8. w. bezeichnen,

F<„ = ^=„) + (F(y=„)0.V+(^l^9'+^ff-)^+...

Aus der Gleichung dor Ellipse

* = a8inqp, y = icos<p

fol^t nun

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der Ellipse und zur Complanation des Eüipsoids.

379

aE(e, q>) -= a j* Vi — c'sin'qp

dq>

also

/ Vi — £*sin2<jp d<p

folglich ferner

F{9)' = Vl-f»8iii«9. ^(f=o)7 - 0

£2sin qjcosqp

77/ =

ca(co88y — sinV) c4 sin2g> cos2<p (1 - «* sin V)* " U — 5 sin* q>) V

F(f=s<»^ £*

4f2 sin g> cos <p 3t 4 (sin <p cos8 <p — sin3 <p cos q>)

(1 - £*sinV)i

(1 — £28iu2<p)3

3c6sin3<pcos3y

*v =

4f*(co8*q> — sin2<p) 22e4sin2gpcos*g» — 3eA (sin* <p -\- cos* q>) l-£*sin2<p)* (1 — €*8in*<p)if

18c6(8in2<pcos4qp— 8iu4y cos2?) (1 — €2sin29)5

15«4 sin4 qp cos4 <p (l — i* sin2 <p)5 1

71—

16c* sin <jt> cos <p , 60t4 (sin <p cob3 qp — sin8 qpcosqp) (1 -««sin»*)* (1 - f»sin»t

210£6sin3qp cos3<jp — 45 £ti(sin go cos5qo-f- sin5 g? cos qp)

(1— ^sin1?)**

1 50 e8 (sin8 <p cos5 <p — 8in6 qp cos3 qp) (1 — «*sin2g>)i

105£10sin5qpcos5qp r. A

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380 Benz: Anwendung de* Taylor* >che,t Satzes zur Rtctiftcation

F vu = _ 16*'(co8»<p--sin'tp) Cf) = (1 — esiia»9)i

+ 60 (sin* y + cos4 y - 6sin»<pcos»y) — 16g4sin»<pco8»y

(l-g'sin*y)3

_|_ 1035£6(sin V cos4 q> — sin4 q> cos'y ) — 45g6 (cos6 <p — sin6 <p )

(l-g^in*?)*

^_ 2550t8 sin4 <p cos4 g> — 675g8 (sin8 y cos6 g> -f- sin6 y cos* <p)

(1 — g«8in»<p)T

__ 105Qg10(8in4(r cosV — sin6<p cos4y) - 525g10(sin4y cos6— sinVopV)

(1 -g*sin*g))!

945 g1 1 sin6 g> cos6 w cos6 <p

und abgekürzt:

F/i/ ö 6^c'siP<PC08 y 1008g4 sin <p cos8 <p (f) (l-g*sin*g>)* (l-g*sinV)F

252Qg6sinycos6y 1575e8sinycos7 <p (1 — «»8iii»g>)*~ Tl-^sin^)^ ' F^o)ri11 - 0

F«F=o)'x - 64g*- 1008g4 + 2520g6- 1575g«

F(y=o,^= — 256g*+ 16320g4— 105840g6- 189000g8 -f 99225g10

U. 8. W.

Setzt man dio Werte von F{9=0), F{9=0)i, F(9=0)" u. s. w. it die Taylor'sche Reihe für aK(i, q>) — aF(f) ein, so erhält man die oben angegebene Reihe I).

Für den Ellipscnquadranten erhält mau

»> ^(•.f)-«{f-or,©V^(f)i

60e

"7!

(16g1 — 60g4+ 45g6) /ny \

und für den Grenzfall 8 — 1, <p = =■

. n mm asin^ — «

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der Ellipse und zur Complanation des Ellipsoids. 381

Aus den 5 ersten Gliedern der Reihe III) erhält man a «=1,0000036«, aus den 6 ersten a = 0,9999999 a.

Da E (f, rp) eino stetige Fuoction von £ und <p ist, und Reihe I) für die grössten und kleinsten Werte von E(e, q>) couvergirt, so muss sie auch für alle dazwischen liegenden Werte couvergircu.

Anmerkung. Den direetcu Beweis für die Convergcnz der Reihe I) vermag Verfasser nicht zu erbringen. Ebenso ist es dem Verfasser nicht gelungen, in AH für den grössten Coefficienten der bezüglichen Potenz von £ eiuo allgemeine Formel behufs Herleitung der Convergeuz zu finden.

Um bei solchen Werteu von f, welche sehr nahe bei 1 liegen, bei der Summirung der ersten Glieder eine grössere Genauigkeit für den Näherungswert zu erhalten, addire man in Reihe I) sin<p und subtrahire die Sinusreihe; mau erhält dann

c.y , I (1-**) , 1 — (4t 2 — 3c4) . IV) aE (t, <r) = a j sin <p + ^ qfl <p6

l-(16ca-60c4-f-45£6) _ \ + 7j 9>7-.-- j

Das Integral / — — — . lässt sich ähulich wie das In-

J a(\ - £8sin*g>)*

tegral a j\ i — £* sin*? dq> entwickeln. Für das zweifache Integral f f

j dtp j $* siu* tp dtp erhält man

9

a

r o

9

/• /•/ tV «2 A , (4£2— 3«4 . \

aj d> >JYi - e« sin* 9» - « \§ - räro » + "ei — <3P— 1

Für f => 1 wird diese Reihe = a(l -cosqp).

Nimmt man in Gleichung I) links und rechts den Differential- quotienten nach y uud dividirt beiderseits durch a, so erhält man

, £*<p* , (4£*-3£*) ,

Vi- f » sin» V == 1 + — il — V~

Anmerkung. Die Convergenz dieser Reihe lässt sich ebenso wio die Convergenz der Reihe I) beweisen. Für q> = 0 wird dieselbe — 1, für t — 1 wird sie =- cos<p, für £ = 0 wird sie ebeufalls — 1, convergirt also für den grössten und kleinsten Wert von f.

382 Bern: Anwendung des Taylor' sehen Satzes zur Rectißcation.

Will man nuu beispielsweise iu Reihe I) nur die ersten 6 Glieder berücksichtigen, so setze man

•j\ — r—r- * *2<)pS <~,-3«4) 6

9 V 1 - g* s.u* 1 jn + i ; 273X11 <Pb

(16g* - GOf4-f 45g6) ~ 6!. 11 * +—

m y^l — g*_in* tp

Addirt man nun in Reihe I) den Ausdruck — — — T nnd sub-

trahirt die demselben gleiche Reihe, so erhält man

«_(,,*) - « | n * illn *

, 6(4g2-3g*) 5 4(16£*-60£4 + 45£6) .

+ 51.11 » 7O1 *

. 2(64fa- 1008f*-f- 2520g6 - 1575c») .

+ _______ v

- 0 + ... |

Setzt man iu J Vi — g* siu*g> dq>

sin 9 0

also

/

*

und entwickelt letzteren Ausdruck nach dem Taylor'schen oder, was bequemer ist, nach dem binomischen Satze, so erhält mau

j/ r 1 — z* " 1.2.3 r 2*.5I

, 4.5.6(3.5— 9gÄ-3g4-3g6) , + 2» 7! ~x

5.6.7.8(3.5.7 - GQg* — 18t* — 12g6 — 15g8) + 2^91 *

, 101(1.3.5.7.9 - 525t8- 1 50.*- 9Qg6 - 75g8— 105g") ) + 51 2*. 11! ~M

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der Ellipse und zur Complanation des Ellipsoids. 383

Das wte Glied dieser Reihe ist immer kleiner als

{n(» + l) ... (2n — 2)}1.3.5.7 ... (2n -3) 2— U2n-1)! *

oder kleiner als

_ (fr- 2)1(—1)' (n-l)!2—1.(2« — 1)1^

das 7i -fite Glied kleiner als

(2»)!n*

r2Hfl

»!2«(2»+l)l also

Anx2n-i i fur - - ». Bleich

die Reihe convergirt also. Für t =» 0 geht dieselbo über in arcsiu x für e 1 in x. Entwickelt mau

9 9

j yi^^cos^r/g) - y yi— «»-f-c^nv^

Yl ^7*Bm*(p il<p in Gleichung I), so erhält man in den Gliedern der Reiho Ausdrücke von der Form

2

Für « — 1 werden dieselben «=- od. Für Werte von t , welche nahe bei 1 liegen, würde also die Reihe unbrauchbar sein. Sio ist des- halb zur Rectification der Ellipse nicht geeignet, um so für tp den

Ausdruck 2 einzuführen und die Reihe I) für den Grcnzfall auf £ zu reduciren.

Führt man in die Reihe I) statt des Winkels q> die geographi- sche Breite y ein, so ist

b b*

-cotgg> — - tgv, <p — arccotg{>' 1— «*tgt//} — 0

Ist nun gegeben

1) aE(t, /?,)-*

2) a£(f, W - * + Z,

3) a#(e, ßj = * +

i

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384 Bern: Anwendung des Taylor' sehen Satzes zur Rectiflcation

wo ßt <, ßi < 03, und diese Grössen, sowie Z, und bekannt sind, so erhält man nach Elimination vou x und «, wenn für e der rich- tige Wert eingesetzt ist, eine Gleichung von der Form

wo

Der Wert vod c lässt sich durch Versuche uud Iutcrpolation be- stimmen. Ist t gefunden, so hat mau

Ist /, und /4 für die Meereshöhe /< gegeben uud

gefunden, so ist

a = a, — /i

Ist z. B. gegeben « 70° 40' 11,23"

/, = 1370, 2159 km yt = 58 22 47,56

/, = 1451 , 5730 km - 45 20 2,94

also

& - 19 23 27,G3

fc = 31 42 25,11

03 - 44 45 46,93

Li 0,214 817 209 - 0,2l'7 574 788

f - 0,082 235

so ist wenn

gesetzt wird, ferner

log'1 — log =* — 0, 0. 0 005*2.

Anmerkung. Die benutzten Daten sind dem Werke des Herrn Pr. Martus, „Astronomische Geographie", Leipzig, Koch's Verlags- buchhandlung, entnommen.

Die gewöhnliche Berechnung von c aus den Krümmungsradien eines Meridians und den bezüglichen Breiten ist allerdings weit be- quemer und, da wegen der Kleinheit von t die Bogen des Meridians

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der Ellipse und zur C>wtplanatton den Eliipsot'ds. 385

von den Bogen der entsprechenden Krammungskreise unmerklich verschieden sind, auch hinreichend genau.

Das Differential einer krummen Fläche, welches man auch ans der Berechnung eines Parallelogramms, dessen zusammenstossende

Seiten V(rte)*-h und V(<ty)s und dessen Diagonale y ((ix)* (dzx— dzy)* ist, erhalten kann, ist

die Gleichuug des dreiachsigen Ellipsoids ist

x* y*

ä*+b*+? " 1 Berechnet man aus dieser Gleichung die Difforentialquotientcu, setzt

a*_Ät £*_ci a*_c*

d*~ n * = "TT-*

und führt Polarcoordinaten ein, so erhält man

!._ {(1— c*)i?8sinxx-f^C08<z}r>) i

Entwickelt man diesen Ausdruck nach t entweder nach dem Taylor- scheu oder, was bequemer ist, nach dem binomischen Satze, so er- hält man, wenn man im letzteren Falle nach r integrirt und

(1 — «»^»Biu^+Pcos^ - «* cos*x-|-(l -Osiu*Z = ß*

setzt,

x . | ■ {(l-^^sin Wcos»x{ t l{

r r\ : Li

J J ! l(l-t8)Bin^+co8^ . { * oo(l- a*{l-e*) r 1

rffl I L-*P-»q , 3 4.5 (30* -(«'+2«^}

J \ir_t" 1.23.4 r-1 1^6! r

o

, 4.5 6.7{1.3.5/3({-(3ac-f3aV8-r-3.3a^)} + 2».81 ^

+ ~^j-{1.3.5.7j38-(1.3£^^

+ ^^|{l.3.5.7.9/?l0-(1.3.5.7«l0H-1.3.5.5a^»+1.3.3.2.5a6/S*

+1.3.5/\5«*jSc-|-l 3.5.7.5«»/38;} r,8-f...| rf*

Areh d. Math. o. Vhjt. i. Reihe, T. VIII. 25

386 Benz: Anwendung de* Taylor' sehen Satzes zur Rectification

Setzt man nun

* / i

tgZ — -tg<p = yi— £ftg<p

r* = a^sinV-h^cosV _ a*(i _ £*cos'qp)

. , a*sin*<p 8 &8C08*y a*(l — gf ) C08*qp

81,1 * " <I*(l-£*C08»g>)' 1 a*(l^£W<p) a*(l — £*C08V)

ab dq>

dx - -8/

a*(l — f*C08*<p)

so geht das letzte Integral über in

v) y^+ä^) + 3-4-5|3,\^2yL^ + ...i^

WO

y* =- ^»sinV+^cosV = £*-h(v*— £*)sinV

und

<$' - 1

ist. Der Ausdruck ist also leicht zu integriren.

Die Reihe V) convergirt zunächst, wie aus den Bedingungen der Gültigkeit des binomischen Satzes hervorgeht, wenn sowol {{1-t>)vWx+?co,t)\ anch l(l-t»)sin»z +cos«ri

a"(l — €*) a*(l — f*) ^

da man aber nach dem Taylor'schen Satze dieselbe Reihe ohne Integration nach r erhält, weil F{r,X) sowol für r = 0, als auch für

q> = 0 verschwinden muss, ebenso ^ für r = 0, so convergirt

dieselbe auch noch, wenn

y* = »y^inV + ^cosV ^ 1

ist. Da sowol rj als auch f ^ 1, so ist diese Bedingung erfüllt

Das nto Glied der Reihe V) = AH.Fif) ist immer kleiner als

(2n — 1) i ! (n 1) worau8 sich für den Grenzfall und für « =» (n — l)^"-1 (2n)l ^'

Für f - 0, £ - 0, 17 = 0 wird die Reihe V)

» fi. _L . 3 15 105 1

~ a *\*-T2.4't~2*.1.2.6~1~ 23.3!.8_t" 2*. 41.10 "t" "(

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der Ellipse und zur Complanation des Elliptoidt 337 9 r

— aV wie sich ans / / rurq<? ergibt.

■/ m

0 0 r a

Anmerkung. Das Integra! für den Teil der Oberfläche des Ro- tationsellipsoids, welcher vom Wiukel <p umfasst wird, ist

n /»

ab g / Vi— ^sinVcosqpdqj). Setzt man nnn

ö

cos

s sin<p = sin <*<p = <ty

w /*cosÄti; so erhält man ab^l u- 8- w*

6

Für £ = 1, n = i wird die Reihe V) - ab

für « — 0, f «=* 1, 1? — 1 wird sie a* jp für 1 — £ = 1 wird sie =» 0.

Für <p = ^ erhält man in den Grenzfällen £ der Oberfläche

7t

der Kngel = a2^, resp. & der Oberfläche des Rotationsellipsoids

» (Vi— e1 , arc(8int)) = ab2 \~T~+~2T~j

71

einen Ellipscnquadranten — ab ^ resp. einen Kreisqnadranten — a*g

Nähert sich Reihe V) einer dieser Grössen, so kann man letztere zn der Reihe addiren und die der addirten Grösse entsprechende Reihe subtrahiren, um bei der Summirung der ersten Glieder für den Näherungswert eine grössere Genauigkeit zu erhalten.

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388 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

XVIIL

Die Curven, welche von Punkten von Kegel- schnitten, die sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden.

Von

H. Ekama.

Allgemeine Formeln.

In der Zeitschrift Nouvelle correspondance mathematique, Tome II and III hat Brocard getrachtet die Eigenschaften der Carve, welche ein Punkt durchläuft, fest mit einem Kegelschnitte verbunden, welcher ■ich ohne zu gleiten eine gerade Linie entlang wälzt, zu fiuden. Ich habe versucht die Betrachtungen über diese Curven allgemeiner zo machen, indem ich den beschreibenden Punkt nicht nur auf des Hauptachsen wählte und auch einige Fälle untersuchte, bei welchen die Directriz keine gerade Linie ist.

Die gesuchte Curvo wird bestimmt in einem geradwinkligen Coordinatensysteme, in weichem auch die Directrix gegeben ist Das Coordinatensystera, in welchem die Generatrix bestimmt ist, ist im allgemeinen schiefwinklig und ändert seine Lage in Bezug zum gerad- winkligen Systeme. Zwei conjugirte Achsen sind, wenn die Generatrix ein Kegelschnitt ist, die Achsen und zwar so gewählt, dass der be- schreibende Punkt auf der §' Achse liegt. $ und y sind die Coordi- naten eines Punktes der Directrix , welche vorläufig willkürlich ge- nommen wird, in dem festen Coordinatensysteme. Die Entfernung des beschreibenden Punktes von dem Coordinateuanfang sei p. g und i}, £' und rf sind die Coordinaten des Berührungspunktes der beiden gegebenen Curven in jedem Coordinatensysteme. Die von dem Punkte beschriebene Curve wird verschieden sein, je nach der Seile

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 389

der Directrix, an welcher die Generatrix sich wälzt. Die Normalen im Berührungspunkte an beiden Curven gezogen, können eine in der andern Verlängerung oder zusammen fallen. Ersteres ist in Fig. 1, letzteres in Fig. 2 vorausgesetzt

P und P' sind die beschreibenden Punkte, PE und P'E1 sind dio £' Achsen des Kegelschnittes, BE und B'E' sind die Normalen an dem Kegelschnitte in deu Punkten B und B' welche die Berührungs- punkte sind.

ff und <*' sind die Winkel, welche die gemeinsame Normale mit der £ und mit der t' Achse macht.

In Fig. 1 ist

Wkl. DBE = oi-ff'+1800

Wkl. DBC = w - ff - ff '+90°

Wkl. EPF~ ff + ff'— 90°

In Fig. 2 ist

Wkl. D'B'E' = a> — ff' + 1 80°

Wkl. D'B'C'=> 90°-(ff— ff'+a>)

Wkl. E'P'F' = 90° — (ff- ff')

Folglich ist für Fig. 1

ara - $ + Vcos(ff+ff'-<o)-(p-$')cos(ff+ff') ya = t7 + V8in(ff-f-ff'-«>)-(/>-r)8in(ff+o')

und für Fig. 2

Xi - g - 7,'COS { ff - (ff'- 0>) } + (p - V ) COS (ff - 0>)

yi=5 ^-Vsinj ff-(ff'-«o) } + (j>- 1') sin (ff -ff') (I)

« und y sind die Coordinaten eines Punktes der gesuchten Curven Aus diesen Formeln folgt, wenn wir x und y nach dem Bogen der Generatrix, welcher dem durchlaufenen Bogen der Directrix gleich ist, differentiiren:

± ft cos | o ± «'| ±(P- n sin (« ± «') j -£ ± % j

s - * ± * 8in 1 • ± (°'~ ")! ± Vc08 1 a±[e'~ a)] K ±d£ I

± 2 sin I * ± «' I T ( V ~ F) cob (ff ± ff ') { jj ± J

390 Ekamax Du Cttrven, welche von Punkten von Kegelschnitten y die

In diesen Formeln so wie im Folgenden haben die obenstoheuden Zeichen Beziehung auf den Fall, dass die Normalen eine in der andern Verlängerung fallen; die untenstehenden hingegen auf den Fall, dass sie zusammenfallen.

Nun ist

fti , , dt)

sin o = -,- uud ff — — —

tl* ti*

weil die Normalen an den gegebenen Curveu nach dem Krümrnungs- mittelpunkt gezogen werden. Ebenso ist

cos(w — ö') «=- — sin a> und cos ff' — — ~ sin m Man hat also

dx . cos a'cos { 0 + (o^- a>)} cos(a> — ff')cos(ff ±0

-r- sin o 4- • ~* ~ — —

dt sinw — sinw

T {ft± ^ } W sin { <J ± (ff '- a>) } - (/> - £') sin (ff ± o')]

rfy __cosa'sin \<s±(o'—a>)\ cos(ro — ff') sin (ff + ff') Ä - COS ff + 8ira) ±

± { t ± S | W cos { ff ± (a' - a,) } - (p - COS (ff ± ff')]

Folglich

2 - T { 5 ± ;£} W 8in 1 0 ± (a'~ w) 1 ~ (p " W «n (ff ± ff')]

(II)

£ « ± { £ ± ^ | ^'C°8 { * ± (*'~ ») } ~ (p ~ *') C08 (ff ± ff')]

Sei t der Winkel, welchen die Tangente der gesuchten Coro mit der X Achse macht, so ist:

dy rj'cos\o± (o'— <o)| -(?) — £') cos (ff ± ff') n ^"(it" V8in{ff±(o'--a))}-(/>-j')8in(ff±ö') 1 '

Ist £ der Winkel, welchen die Normale der gesuchten Cane mit der JTAchse macht, so ist

dx

— *

Nennen wir die veränderlichen Coordinaten eines Punktes der Nor- male a-, und yl , so wird die Gleichung

(«-*,) =

oder

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sich ohne zu gleiten längs anderer Gurren wälzen, beschrieben werden. 391

± l/cOS { 0 ± (o — 0)) } + ( P - §') COS (o ± o*) - *J tg Z —

f ± »7' sin { • ± (*'- a>) + (p - £') sin (o ± 0') - Nach Substitution des Wertes für tg 2 finden wir

was uns lehrt, dass die Normalo der gesuchten Curve immer durch deu Berührungspunkt der gegebenen Curven geht, was auch zu er- warten war, weil dieser Punkt das Momentancentrum ist. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass wenn an jeder Seite der Directrix sich dieselbe Curvc wälzt, bei demselben Punkte der Directrix aufangend und mit demselben beschreibenden Punkte, die Tangenten in zwei entsprechen- den Punkten der entstandenen Curven und an der Directrix im Berührungspunkte gezogen, einander in einem Punkte schneiden.

Ein Teil der Normalo liegt zwischen dem beschreibenden Punkte und dem Berührungspunkte. Nennen wir diesen Teil k, so ist

Wir können auch den Krümmungsradius /' in jedem Punkte der ge- suchten Curve bestimmen, wofür wir die bekannte Formel gebrauchen

d*y dz d*x dy d?d~s~ds*ds

d*x /d*<S dV\

& " T W sin { a ± <o'~ ») } - (p - g) sin (a ± o')] ± -gf)

+ i$ ±?)'h'coe { o ±(f- m)\ - (P- S') cos(« ±0')] ( da . da' \

0 - ± k cos { a ± (*'- o,)}- (p - tf) cos (0 ± ✓)] (0 ± * (ä ± ^ 8iD 1 0 ± (ö'" W) 1 ~ (P " s"} 8iD (ff ±

Folglich

c

P"±«^^-)-(,-r)«^S±5)V(S±S)'

oder

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392 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

P _ (IV,

± | »/'cos (o'- u) - (p - c') cos a'\ i{q±xfqt + *"

iu welcher Formel q und q die Krümmungsradien der beiden ge- gebenen Curven im Berührungspunkte 6iud.

Um den Winkel *, welchen die Normalo der gesuchten Corve im Berührungspunkte mit der Tangente an der Dircctrix macht, zu bestimmen, haben wir:

tj'ainfo'— w) — (p — :')8inö' cotge tg(«- X) - ± v.cos(i._ w)_fj>_|.)c5ioi

oder

1?' cos (q' — co) — — £') cos o'

~ V{V8-f(p-i')l~^(^-;>')cos^}

Folglich wird jetzt »)

Ar*

Die Curvo wird einen Wendepunkt haben, wenn

*-±?fi«to. (V)

Berühren dio beiden gegebenen Curven einander iuwendig, das heisst fallen die Normalen zusammen, so wird P=0 für q — = q'\ die ge- suchte Curvc hat eine Spitze.

Für die Länge eines Bogenelementes finden wir

£- ^'•+(P-r)«-^(,-ioco..)-(i+i)*

und

= ± \ d£ - dd* ! v + ip - *')2 - 2r),(p - n cos w)

± i« *»

Sei

5>5' also ,/ff<,/3<

und man hat

dLi= - {V«- Vi')**

folglich

elLa + dLi - 2i;q'kds (VI)

l) Salinem Fiedler. Höhere ebene Curven. Seite 347.

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sich ohne tu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 393

Ist immer q > q\ so ist die Summe der Curven an beiden Seiten der Directrix beschrieben, unabhängig von der Form der Directrix und zwar zweimal so gross als die Curve, welche bei einer gleich grossen Wälzung der Generatrix eine gerado Linie entlang durchlaufen seiu würde.

Sei aber q < q also und folglich

dLa — dLi - Vjq'k d* ( VII )

Nun ist die Differenz der Curvon an beiden Seiten der Directrix beschrieben unabhängig von der Form dieser Curvo. Während der

betrachteten Wälzuug darf die Form - — nicht die Zeichen wechseln.

Berühren die Generatrix und die Directrix einander immer in übereiukünftigen Punkten, während sie congruent sind, so ist rfLt immer null, folglich ist dann La zweimal so lang als die Curve, welche bei einer gleich grossen Wälzung längs einer geraden Linie beschrieben wird.

Um die Oberfläche zu bestimmen, welche eingeschlossen wird durch die Curve, die Directrix und die Normalen beim Anfang und beim Eude der Bewegung, so können wir uns die Oberfläche ge- teilt denken in kleine Vierecke (Fig. 3), von welchen dt die eine Seite ist, und die Normalen der durchlaufenen Curve, welche durch die Enden von ds gehen, die anliegenden Seiten sind, während die vierte Seite das Bogenelemont der gesuchten Curve ist

Teilen wir jetzt das Viereck ABCD in zwei Dreiecke ABC und ACD, so ist

AD =■ AC = BC ■= k

Ist weiter

Wkl. CBA — 180° — e und Wkl. DAC ~ d

so ist die Oberfläche eines Vierecks $£2<5-f-$fc<frsinf. Berühren die beiden Curven einander auswendig, so ist

S - do + ilo'

bei innerer Berührung ist

d — ± (do—dC)

die ganze Oberfläche eingeschlossen zwischen den beiden Curven, welche durch den Punkt bei einer Wälzung der Directrix an beiden Seiten der Generatrix durchlaufen werden, und die Normalen beim Anfang und beim Ende sind immer gleich

— / { IJ'COB (o' - (o) - (P - 1') cos «' } ds

+/W* + (P - (P ~ P) COS ■>) da' (VIII)

394 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegekchnitten, die

Innerhalb der Grcnzcu des Integrals dürfen jedoch die gegebenen Curven keine Spitzen haben. Man findet also, dass die gesuchte Oberfläche unabhängig von der Directrix ist, und dass sie immer zweimal grösser ist als die Oberfläche, eingeschlossen durch die Curve, welche durch den Punkt bei einer gleich grossen Wälzung längs einer geraden Linie beschrieben wird.1)

A. Die Gcncratrix ist eine Ellipse.

Seien die beiden halben conjugirten Achsen ß uud ß' und der Coordinateuwinkel a>, so ist

i'=*ßcos& und t/' = 0'8in0

in welcher Formel S die exceutrische Anomalie ist. ß kanu grösser uud kleiner sein als ß'.

Dio halben Hauptachsen der Ellipse sind a und by während tf> der exceutrische Winkel zwischen den Achsen ß und a ist, dann bat man

ß- — a2cos*i//-f-i2sm*tJ' J

ß"*= a2sin2t/>-f-&2cos2tj/ > (a)

und 200'cos w = a2) sin2 *\> '

Weiter ist:

cos (a>-o") <ti' ß

- - = _ = tg

8 (6)

(0

COS 0' dtj' " ß

und

cos (eo — o ) — -f- ds sin o) = — ß sin ©sin w — j

cos a' = — sin o) = — 0'cos 8 sin a> ^ |

Endlich finden wir2)

/f^\2 A/iVi WVi n'li' ,ltl'

= j8* sin1 ö+ jS'2 cos2 S — Ißß' sin * cos O cos o>

1) Man kann dieses Resultat auch auf einem viel längeren Wege au rein analytische Weise erhalten. Die oben gegebene Ableitung verdanke ich Prof. Dr. II. A. Lorentt xu Leiden.

2) Schlömilch. Comp, der höheren Analysis. Seite 385.

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 395

Liegt der beschreibende Punkt auf der Hauptachse, so wird ß — a, ß' = b und co — 90°.

Die Formeln (IV) und (V) werden

{ 0'8sin8 B + (p - ß cos 8)8 - 20' ( y -ß cos B) sin B cos gj V»

_ _ _v y (0'8cos8©+08sin2fl-200'cosösinöcosco) T ^ (P— />cos B) — — 1/g ±

-f { ff* sin2 © -f (p - 0 cos 0)8 — 2 0' ( j> — 0 cos e) sin B cos co }

und

j 0'8 sin8 0 -f (p — ß cos e)2 — 20' (/> — 0 cos S) sin ö cos w = (y ^

0'(0-pCQ8 0) 1

V'/ ± Vtf V 108sin8*9-|-0'8co88e — 200* sin© cos G cos»}

In diesen Formeln ist

1 da' 00'sin »

q " rf* ™ t/{08sin8e-f0'8cos8ö — 200'sinöco8ecos»}3

Die Formel (VIII) gibt für die Obcrflächo bei einer ganzen Willzung der Ellipse:

2a

ö ~ 0'sin» ^ (0— pco8Ö)f/0-|-00'8m» X

o

2*

ß' 8 sin8 B -f (p — /3 cos ö)8 — 2/3' sin 9 (p - /3 cos B) cos a>

0'8cos8 e-f 08 sin8 6 - 2/30' sin Öcos B cos«, o

oder

n

O = 200' sin o) { ^ rf6 o

V8 sin8 e -f p*-f 08cos* B -f 200' sin B cos 6 cos »

dB

0'8 cos8 0 -I- 08 sin8 B — 200' sin ö cos B cos co

o

- 200'sino,(08 + 0'8+^)X

71

dB

, / 0' 8 cos8 ö -f- 08 sin8 « — 200' sin ö cos 0 cos o>

o

olglich

O = 2*08 + 2*0,8-f 2*p8 (VIII»)

Dieses lehrt uns, dass diese Oberfläche immer gleich ist zweimal der Summe der Oberflächen von drei Kreisen, von welchen die halben

396 Ekama: Die Curven, weiche von Punkten von Kegelschnitten, die

conjugirten Achsen uud dio Eutfcrnuug des beschreibenden Punktes von dem Mittelpunkte dio Radien sind.

I. Die Ellipse wälzt eine gerade Liuie entlang.

Die gerade Linie sei die X Achse des festen Coordiuaten Systems und zum Coordinatenanfaug wählen wir den Punkt, wo dio § Achse die -V Achso beim Anfaug der Bewegung schneidet Nuu ist a «=- 270° und g ist gleich dem Bogen der Ellipse zwischen dem Berührungs- punkte uud dem Punkte, wo dio Achse, auf welcher der beschrei- bendo Punkt liegt, dio Ellipse schneidet. Nun ist o — 270° und c ist gleich dem Bogen der Ellipse zwischen dem Berührungspunkte und dem Punkte, wo dio Achse, auf welcher der beschreibende Punkt liegt, die Ellipse schneidet. Also wird (I)

x = S+iJ* sin(o' — (ö) — ( p — §') sin a' y= — q'gi&l«'— a>)-f(j>— £')co8 0'

g ist negativ, weil sich die Ellipse nach der negativeu Seite der X Achse wälzt. Nehmen wir die positive Seite der X Achse in Ueber- cinstimmung mit der Richtung der Wälzung, so finden wir:

x = | + V sin (cd — <j') -f- (p — i') sin a' y = — Vcos (co — o') + (p — Hcostf'

Diese Formeln können auch unmittelbar aus einer Figur abgeleitet werden.

Wir werden untersuchen, welche Culminationspunkte die Cum in Bezug zur X Achse haben kann. Es muss die Ordinate y ihr

du

Maximum oder Minimum erreichen, also -7 — 0 sein.

ds

Ji = cos(co-0')-»?'8in(co-ö') —

. , . , da' d? — ip — i ) ßin 0 -gj — cosa «= 0

und nach (c)

ij'sinfco— 0') — — {p — |')8ino'

Diese Formel ist, wie zu erwarten war, die Bedingung, dass das Perpendikel aus einem willkürlichen Punkte nach der Tangente der Ellipse gezogen so klein oder so gross als möglich ist. Es wird sein Minimum erreichen, Iwenn dies Perpendikel gerade durch den Be- rührungspunkt geht (Fig. 4.), sein Maximum, wenn es durch den Punkt P' geht, der auf derselben Achso gleichweit vom Mittelpunkte der Ellipse wie der Punkt P liegt (Fig. 5.).

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 397

In den Dreiecken PRC und P*C'R ist:

17' : §' — p — sin a' : sin ( co — o')

oder

V sin (co — cf') = — (p — S')^*' Transformiren wir diese Gleichung durch Einführung der 0:

i}' sin cd cos o — (rf cos M — p 4" IP) 8m a /S'*sin*cosin ö — {0'sin Ö cos co - p +/? cos 8\\ß tg 6 — 0' cos co} /3'2ain Öcosö — /JjJ'cos co (8insÖ — cos1©)— p0iiu 6+/?* sin© cos 0

-f-p/3' cos co cos 0 (1)

Aus dieser Gleichung muss & bestimmt werden, wenn wir ein- führen tg£0, so linden wir in Bezug auf diese Unbekannte eine Gleichung vom vierten Grade, welche im allgemeinen nicht zu lösen ist.

Für den Wiukel, welchen die Tangente der Curve mit der X Achse macht, finden wir nach (III)

tj' sin ( co — er') -f (p - §') sin o' g = i7'cos(co — a')— (p-ncoBC w

Für 6 = * wird er' = co also

tgr = — cotgeo

Die Tangente stoht in jenem Falle senkrecht auf der bewegten Achse.

Um zu linden, ob die Curve auch Wendepunkte hat, müssen wir (V*) gebrauchen, alsdauu linden wir

\ß—p cos S\ [ß*9m*e + ß'* cos'Ö — 2ßß' sin 0cos S cos co} — ß\ß*aiu*e+{p -/3co8Ö),-2/3'(p— f5cose)sin©coscöJ (3)

Auch aus dieser Formel ist B im allgemeinen nicht zu lösen.

Den Krümmungsradius Huden wir mittels (IV*)

Pa \ß'H\n*&+{p - ßcosß)* -2ß'{p - j3cose)sinecos co}S

\ß'*a\ii2e+(p-ßcose)* -2/3'(p-^c08e)sin^coso»} '^08^1 X (/3*sin*e+ ß'*cos*e— ^^sinöcosöcosco) (4)

Für 9 - 2nn ist

für 6 - (*2fi-|-l)7r

398 Ekamax hie Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

(p+ß)ß-ßr>

und für S «= (2n + l)|«

(0'±p)5

Für die Länge L des Weges, welchen der Punkt bei einer Wälzung der Ellipse durchläuft, findet man:

L-fW*+(p- 1 )" - V(P - £')cos o>} 4 da'

oder

. »tu . rCß'hi^S+ip-ßcosB^ß'ip -/?cose)sinecosrolj fiQ L=flJ rinaf ^81^64-^ ^08^-2^ cosösinöcoso, rf* (5)

Führen wir in diese Formel ein tg\9 — ac, so wird sie T - AA'«n« / [(p-i3)8+4(i>-^)i3'cosa,x-f 2(2/J'Hps-^5')^

4ß23?+ß'Hl-x2)2-Aßß'C08(OZ(l—Cl*) <tX W

Für die Oberfläche, welche eingeschlossen wird durch die Corvo, die gerade Linie und die Normalen beim Anfaug und beim Ende einer Wälzuug der Ellipse, linden wir nach (VIII) uud nach (VIIL*)

O - »r/S* -J- itp* + V - *«* + + V (7)

die Oberfläche ist also gleich der Summe der Oberflächen von drei Kreisen, vou welchen die halben Hauptachsen und die Entfernung des beschreibenden Punktes vom Mittelpunkt die lladieu sind '). Ge- brauchen wir diese Formeln für eiuige besonderen Fälle.

1. Der beschreibende Punkt liegt auf der Ellipse. In diesem Falle ist p = ß.

Die Gleichung (1), welche uns die Culminationspunkte gibt, wird jetzt:

|5'*sinecos0 = — 00'cosg>cos28 - 0ssinO(l — cosö)-f/3/3'cosa>cos0 2j3'Jsin iöcos \S cosö - 200'cos <a sirr \S sin 3 ö - 20*sin S sin« |6

folglich

dieses ist der Fall , wenn der beschreibende Punkt in die gerade Linie kommt.

1) Nonv. Corr. Math. Tome III. p. 11 und Jacob Steiner's Gesammelt* Werke 2 ter Band, Seile 136.

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sich ohne zu gleiten längs anderer Citroen wälzen, beschrieben werden. 399

Weiter ist

j3',cosiö(co3^ö-sin^e)=/3^cosw(3sinie— isin3^)— 2/S2sin2$ecosie folglich

^cotg^e — 3jS|S'coswcotg2$0-h(2/J2 - <S'a)cotgJÖ-f ßß'cosa = 0

Wir müssen untersuchen, wann diese Gleichung drei reelle Wur- zeln hat. Sei

ß

cotgjö = y+ £,coscü

so finden wir

0(J{ — 1— 3^2cos2a)j^ + 2^;J8in2töcos w = 0

Sollen die Wurzeln reell sein, so muss sein

(tf3 \2 4 {28* 0* \s

2^ sin2a> cos co J + 2? ^ -1-3 ^ cos2 wj < 0

oder

27/36sin4w-27|36sin6tu - (i3'i+02)3-f-9(|S'sl + |S»)jS«sin«a> — 27(/5'*-f- ^a)/3* sin*o> -f- 27jScsincw < 0

— (|3'2 + ^ + 9(/S'2 + /S2)*02sin2a> - 270'204sin4a> <0

Nach Einführung der Hauptachsen finden wir

a*62 a4&4 -(a»+ i2)3+9(a2+*2) ^ _ 27-^ < 0

folglich

(a2-f &2)4 - 9a2/>2(a*-f 62) + 27a46*

Soll 0 reell sein, so muss der Zähler positiv sein. Dieses ist immer der Fall, denn man kann ihn transformiron in

{ (a2 + £2)2 — 4,5 a2 } 2 + 6,75 a4 ft«

Sei o die kleinsto halbe Achse, so muss ß > a soin, also

* <m ^ «8-5«662+15aH4-5«2£«_|-^

°* < ^ < ü^fW (a)

folglich

8a6 — 12a4i2-f-6a264 — b6 < 0

oder

2a2 — &*<0

also

Soll die Corvo drei Culminationspunkte in Bezug auf die X Achse haben können, so muss die längste Achse der Ellipse grösser

400 -Ekatna: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

sein als die kürzeste Achse multiplicirt mit V'2; was übereinstimmt mit if — af > a\ das heisst, die Excentricität muss grösser sein, als die halbe kleine Achse der Ellipse.

Die Grenzen von ß sind durch die Formel (a) bestimmt. Die Gleichung (3) wird in diesem Falle

(t - cos 9){ß* sin*© + jS's cos*e — 2ßß'8\n S cos S cos «,} — 0'*sin8e + 0*(l— cos»)*,— 2/J/J'cos eosin ö(l — cos©)

Diese Gleichung kann dividirt werden durch 1 — cos 0, also 0«~2m dieses gibt wieder dieselben Punkte in der X Achse.

Auch ist

ß* sin*6> -f cos*e - 2ßß' sin B cos G cos w = ß'*(l -j-cos 6) -f — cos ©) — 2ßß'coa « sin ö

/3*(sin*e— l + co8Ö) + ^*(cos*e -cos0 -1) -f 2ßß' cos w(l - cos 0)siu 6 = 0

oder

0'*tg< i©+8j5/3'cosaitgs|e-f (2/3* — 4jS'*) tg*]e -(2/5*-f0'*) -0

Diese Gleichung hat immer zwei imaginäre Wurzeln, die beiden anderen Wurzelu werden reell sein, wenn die Curvo drei Culmi- natiouspunkte in Bezug auf die X Achse hat

In den Punkten, welche in der X Achse liegen, ist der Krüm- mungsradius P = 0; diese Puuktc sind also Spitzen.

Für die Länge der Curve, welche durchlaufen wird bei ciuer Wälzung der Ellipse, finden wir nach (6)

2. Der beschreibende Puukt liegt auf einer Hauptachse Die Gleichungen der Curve sind

x tlx V {/? ' \ — 2ßß' cos UJX -f- /?» x» } _

40V+jj'*(l — **)•- 4^ C08ö)x(l- a»)

x = {• -f- rj' cos <T* -\~ (p — i')sin •* y = -Vsinö'-r-^-l'Jcosff'

Führen wir die Werte für »/ und a' ein, so ist:

x~ f V(a5 sin'Ö + ^08*0)^8-

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 40 1

b{a — pCOS S)

Ist p > a, so werden verschiedene Teile der Carve einander schnei- den, wir werden den Ort dieser Doppelpunkte bestimmen.

Für zwei Punkte xly1 und xtyt muss

xx — x% und yx — y8

sein, folglich

j?co8 0 a— pcos 8'

V{q*-(a*-6*)cos*e} ~ y{a» — (q^-^COS3»©'}

Setzen wir so muss sein:

(q— pcos©)2(l— J*cos*e') = (q— j>cos0')»(l -J*cos*e)

— 2q(C08 0 — COS S') +p(C082© - cos2©')

-f-2qZ*(cos 0cos*0' - cos ö'cos*0) = 0 folglich kann

cos© = cosö'

sein und also

S' - 2nn-e

oder auch

— 2a -fj>(cos ö -f cos 0' ) — 2qJ 8 cos G cos ö' = 0

Dieser Gleichung können nicht zugleich reelle Werte von 8 und 6' genügen, weil entwoder cos0 oder cos©' grösser als 1 sein müsste.

Soll xt = xÄ sein, dann muss sein:

6

Nach Substitution wird

(&8— qs)co808in8-f-pq sine ~ V(q*sin»e+&»cos*e)

inn-B 9

—J* y (** tt^e+o* im*0)d6— J* V^cos'ö+q^sin*©)^

Areh. d. Math. u. Phy. 2. Bnih«, T. VIII. 26

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402 £kama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

Ncuueu wir eiu Viertel des Ellipscuumfanges bK% iu welcher Formel

i*

/ 1

ist, so haben wir nach der Lehre der elliptischen Functionen:

(b* — q») cos 0 sin S -\-pa sin & ~ V(a*8iu*0 + &»cos*ö)

^2nbK—f y(««8iu*ö+A,cos,e)«» /

Substituten wir dieses in die Gleichung für x, so fiuden wir für die Doppelpunkte

x 2nbK

Diese Formel lehrt uns,1 dass diese Punkte immer liegen auf Linien, welche senkrecht zur X Achse stehen, und welche den halben Umfang der Ellipse von einander entfernt sind.

Die Formel (1) gibt uns zur Bestimmung der Culmiuaüonspunkte

&2siu0cos0 = — pa sin 0-{-a* sin & cos 0

diesem genügt

sin® = 0 6 — nn

und

o ist die Achse, auf welcher der beschreibende Punkt liegt

a*— b*

Ist a > b so muss p <

a

sein, damit cos© reell ist.

Für die Culminationspuukto ist

nn

■

0

und

■ y^V(a*sin*ö-f-Ä*co81©) 2nbK y *=> a—p oder y = a-\-p

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ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 403

Gibt es noch zwei Culrainatiouspuuktc, so ist

T ««-*■

3. Das Ende der Hauptachse ist der beschreibende Punkt. Jetzt ist p = a, so gibt die Formel (1)

£*sin8cosö =» — a8sin0-f-a*sinfccos & folglich ist wieder

sin & = 0 also & — nn

und

cos e - a,_-^

Dieser letzte Wert ist reell, wenn > 2a* ist, wie wir früher ge- funden haben.

Die Ellipse, welche in Fig. 6. die gezeichneten Curven entstehen lässt, genügt dieser Bedingung; Fig. GA. gibt die Curve, welche durch das Ende der grossen Achse durchlaufen wird und Fig. GB. diejenige, welche durch das Ende der kleinen Achse beschrieben wird.

Die Cpordinaten der Culminationspunkte sind

für & = nn wird

x = 2nbK und y «= 0 oder y — 2a a*

für cos 6 = t_p wird

b*_

y — v(i*— a»)

Jetzt ist es auch möglich die Wendepunkte zu finden. Die Formel (3) wird:

(1 — cos ©){a*sin20 +6*008*0} - &*sin20-f a*(l - cos©)* 0t — (a* _ ht) C082ö = b*{\ + cos 0) + a* (1 — cos S)

also ist

1 - cos B — 0 oder e — 2nff Diese sind wieder die Punkte in der X Achse; auch ist

(«i _ ftt) C08*e - (a* — Ai) cos e + — o

folglich

cos0 = 4±i[/^TZF

26»

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404 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von KtgeUchnitlem, die

Für das -f Zeichen ist cos S > 1

cos© muss grösser sein als —1 oder —1 < \ — \ 1/ ~g _ bt

9a* — 96* < a* - 56*

oder

2a* < 4*

also b rauss grösser als a^2 sein, wenn 8 reell sein soll. Den ge- fundenen Wert für 9 können wir in y und tgr substituiren.

Für den Krümmungsradius finden wir mittels (4)

Für S = 2nn P— 0

4a*

„ 0«-(2« + l)* P-

2a* - b*

„ • -<*.+„». p=&-!>?

Die Längo der Curve wird nach (6)

" 4" V 4a* -26» + Sei i* + a».r* — y\ so ist:

y*dy

L - 4a»6

und

(6* -f 2a* 6* — 3a*) + 2y*(2«4 - a* £» - 6*) + *»*•

6

4. Der Brennpunkt ist der beschreibende Punkt.

In diesem Falle ist a > b und p = c, wenn a* — b* = c* ist

Um die Culminationspunkte zu finden, haben wir nach (1) &*sin©cos© — — ac sin© -f «* sin © cos©

sin© — 0 also © — n« cos 0 — - > 1

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sich

ohne zu gleiten läng» anderer Curven walzen, beschrieben werden. 405

also wie zu erwarten war, immer imaginär. Die Curve hat also nur zwei Culminationspunkte, für welche

x = 2nbK

und

y — a — e oder y — a -f- c ist Die Formol (3) gibt für die Wendepunkte (a — c cos e)(a*sins6> + £*co8J0) - a{&*sinSie + (c — acosö)*}

oder

(a — c COS G) (a* — c* COS*®) => a(a — c COS ©)*

folglich

cos & — - c

dieser Wert ist imaginär, und

a-f-ccosö=»a oder cos6=0

also

0= (2n-f-l)Jjr

Jeder Teil der Curve (Fig. 6C.) hat also zwei Wendepunkte. Mittels der Formel (2) finden wir den Winkel x, welchen die Tan- gente in ^diesen Punkten au die Curve gezogen mit der X Achse macht.

b* cos & sin 6 -f - (c — a cos 9) a cosß c gT bas\n29 -(c — acos6)bcOBS — b

Für diese Punkte ist:

x = (2n + l)bK^c und y — b

Für den Krümmungsradius in jedem Punkte der Curvo finden wir nach (4)

q{&*8in*0-f (c-acos G)*\*l*

P = — (a — c COS 3)(a« - c* cos* ö) -f- a { P sin*e + (c - a cos 0)* }

Ist die Länge der Normale

k — V{i2sin20+(c — acosö)*}

so finden wir

1,1 _ — (a — c cos B)(a* - c* COS'Q) -f 2a (a — c cos 6)» 1 P = " a(a— CC08Ö)3 a

Dieser Eigenschaft zufolge kann die Figur, welche entsteht durch die Rotation dieser Curve um die gerade Linie, eine Gleichgewichts- fläche einer Flüssigkeit, welcho keinen auswendigen Kräften ausgesetzt ist, sein. Diesem Rotationskörper hat Plateau1) den Namen von Ouduloido gegeben.

1) Plateau. Statique des liquide« Vol. I p«g. 83.

d

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406 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegel$c.hnUt*n, die

In den Culminationspunkten findet man

fttr0 = 2n* P--(a-c)

c

für 8 => (2n+l)jr P— -(«+«) Für die Länge eines Teiles finden wir mittels (6)

o o Sei 0 — 2<p so wird

(a -f- c) cosV + (a — c) sin*9

also

Die Länge dieser Cnrvo ist also immer gleich dem Umfang des Kreises, welcher die halbo grosso Achse als Radius hat, und diese Längo ist also immer von der kurzen Achse unabhängig.

Die Oberfläche

5. Der Mittelpunkt ist der beschreibende Punkt Jetzt ist P - 0 (Fig. 6D).

Für die Culminationspunkte finden wir durch die Formel (1):

b* sin 8 cos 8 = a*sin 8 cos 8 Dieser Formel genügt

sin20 — 0; also 8 = \n

Jeder Teil der Curve bat also vier Culminationspunkte, und die Coordinaten dieser Punkte sind:

x = nbK und y *=* a oder y — b

Die Formel (3) wird in diesem Falle

a»sin'0-|-&*cosse = &2sin*6 + a*cos2e

folglich

a*cos20 — Ä*cos2© und 20 — (2« + l) \n

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rieft ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 407

Jeder Teil der Curve hat also auch vier Wendepunkte. Bio Coor- dinaten ■) dieser Punkte sind :

ab V2

x = b (2» +1)$*} und y =

Durch dio Formel (2) finden wir

tgr =

ab

sin 9 cos &

folglich ist in oinem Wendepunkte

2ab

Der Krümmungsradius ist in den Culminationspunkten

für 6 = 2»

für 6 = (2n+l)j7i

Für die Länge der Curve bei einer Wälzung der Ellipse beschrieben, finden wir nach (5):

Sei

- -A

(62sin8e + «*cos*e)*

*sin*e+ Ä*cos*<J>

de

a' a* während wir immer dafür sorgen können, dass 0 < k' < 1 ist, so wird

dS

also

/• <IS P rfö

L = 4b{\ + l)J (> + ^ n>e } V{1_ jpjtfß) - «/ v(l-A»8in«e)

= 4b {(1 + n(i.*.J») -F(k.

IL Die Ellipse wälzt sich einen Kreis entlang.

Die Ellipse kann den Kreis auswendig oder iuwendig berühren; auf den ersten Fall beziehen sich in den folgenden Betrachtungen

1) Kouv. Corr. Math. Tome III p. 6.

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408 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitt*, die

die obenstehenden , auf den zweiten die untenstehenden Zeichen. Der Mittelpunkt des Kreises wird zum Coordinatonanfang gewählt.

Jetzt ist

S—flcoscp und rj — if*sin<p o = 180°-f-tf

x «- RcosvTy'cos \<p±(o'- <o)\±(p -£') cos (piff') y - JfsinqpT r\,*\*\<p± (*'-»)} ± (*>-£') sin (<p±o') Führen wir Polarcoordinaten ein, für welche

x = rcosj( und y = rsinx

so wird

ri _ 2i?'(p — §')cosa)q: Väcos(ö'- co)

±2R(p-?)coso' |

r8in<pcoB% — rcosqpsin^ g(<P — X) — reosepcos^-f- rsinepsin %

= V sin (ff'- <»)-(;)-$') sin ff'

Ä + 1?' COS ( ff * — CD) ± ( f> — 4') COS ff'

Beginnen wir die Anomalie zu zählen bei einem Punkte, in welchen die bewegende 5' Achse den Kreis in dem Berührungspunkte schneidet, so ist der Bogen zwischen einem Berührungspunkte und dem genannten Punkte dem Bogen der Ellipse gleich. Nennen wir diesen Bogen J3, so ist

V R arc tg RT ^C08 ± {p _ r) C08 0>

Wir müssen bestimmen, wann der Radiusvector ein Maximum oder ein Minimum wird, hier muss dr = 0 sein.

rdr t Vrf<_L .''Vi«*' ,

— 0> — £') ^ cos CO Ä cos (« — ff') qF Tfy'sin ( cö - ff ') ^ R ^ cos o' q: R(p - V) sin o' j

Folglich soll nach Substitution sein: 0 ={/S(p- /5cose)siuö-|-<3'2co868ine4-/3i3'coscösinje

-(;> -|?cos0)^'cos0cosco}^q:7?^-{»;'8in(co - ff'H-(j>-|')8»VI oder

0 = {0( p _ ß cos 9) sin 6 -f j5'* sin 0 cos 0 -f 00' cos co (cos»e - sin'e)

— pß' cos e cos co} X

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I

sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 409

jl±Ä00'8in*(^)S} (1') Dieser Gleichung genügt

ß( p - ß cos 9) sin 9 -f- ß' * sin 6 cos 8 + ßß' cos « (cos*e - sin'ö)

— p/3' C08 0 cos W "~ 0

Welche Formel ganz übereinstimmt mit der Formel (1) und also Anleitung zu denselben Betrachtungen gibt.

Wälzt sich die Ellipse ausserhalb des Kreises, so kann nimmer

sein, weil ~ positiv ist.

Jedoch kann sehr gut, wenn die Ellipse den Kreis inwendig berührt,

sein. Jetzt ist

in welcher Formel q1 der Krümmungsradius der Ellipse ist. Dio Bedingung für einen Scheitel ist also R — g', aber wenn a > £ ist, so hat man bei einer Ellipse

oder

Liegt nun der Wert von R zwischen dem grössten und dem klein- sten Krümmungsradius der Ellipse, so hat die Curve noch zwei Scheitel.

Wir müssen für diese Punkte S bestimmen, dazu bringen wir die Gleichung in die Form:

jS*sin*0-f jS'scos»0 - 2/3/S'8in0cos0cosw = V{R*ß* ß"*\n*a>)

Substituten wir in diese Formel die Gleichuugen (a) und * für 0 + so finden wir

i

a*8in*£-fÄscossf - t/r* a*b2

und

410 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

a* — Va*b* 72* cosh -at-bi

Dieser Wert von t ist also unabhängig vom Orte des beschreibenden Punktes. Soll f reell sein, so muss 72 der oben genannten Bedingung genügen.

Für die Wendepunkte finden wir mittels der Formel (V*)

, ß'(ß-pcose)

— V (|J5tsin5{0-r-/S'<cos*©-2/?i3'cos6>siuöcosQ))

n ßß's'uuo \

= \R ± V(0»sin»0+0'*cos*e— 2j3/Jfcos8sinecoso);»)

X Iß'Hm'O+ip— 00)80)»— 2ß'(p -0cos0)sin0cosa>} (2')

Der Krümmungsradius P kann null werden , wenn die Ellipse and der Kreis einander inwendig berühren, so

= = — — - oder R = q ist. R ils q

Dieses ist der Fall in den hier oben gefundenen exceptionellen Scheiteln, dieso Puukte sind also Spitzen.

Dio Formeln (VI) und (VII) können nur angewendet werden,

a* , 6»

wenn R nicht liegt zwischen - und - •

Auch hier werden wir eiuige Fälle untersuchen, jedoch sind die Gleichungen nur in den einfachsten Fällen zu lösen, weil immer eine Quadrirung vermieden werden muss.

L Der beschreibende Punkt liegt auf einer Hauptachse.

Wir werden damit anfangen, in diesem Falle den Ort der Doppel- punkte zu suchen.

Für zwei Punkte der Curve in einem Doppelpunkte muss r = r' und tf> = i// sein.

ri m -f-;,» _ 2«/> cos 0-fa* cos* 8 -{-&* — i*coB*e

a — p COS 8

4-2672 -77-

V'i«-— (a*— 6*jcos*B} 72*+j>* - 2n;>cose'-f o»C08*8'-f &* — i»cos*6'

n — p cos B'

± U R

V{a* - i2)cos*e }

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 41 1

Dieser Formel wird genügt durch

cosO - cose' das ist e' = 2n» — e Sollen die if> einander gleich sein, so muss sein x r9 \ap— (o»-&*)cose}sine

(a^inte4-^co82e)*cie-arctg^y^i^e+65{c()sfe)_i(a_7,cose)

-f^cos'e')*^'

\ap— (a»-J8)cose'}sine' - arctg^ (^in-.e'+A'cos'e')— *(o—j»coBe')

Substituiren wir in diese Formel den Wert für 6', so tioden wir

2nn-9 S

^ P (a*sin2e-f^cos?e)we-^y (a'sin'e+Äwe^/e o o

\ap— (a*— />8)C08e| sinB

2arct««y(a*sins{e-{-Ä*cos2e)-Ä(a-|>co8e)

Der erste Teil dieser Gleichung ist

0

InbK

- ^J1 (a«8infe+**co8,e)*rfe

o

folglich in einem Doppelpunkte

Sind die Umfange der Ellipse und des Kreises unter einander racss- bar, während ihr Verhältniss t : s ist, so ist

4«6 K = 2nRt

folglich

in

♦ —7

Der Winkel zwischen zwei auf einander folgenden Linien, auf welchen die Doppelpunkte liegen, ist also gleich also liegen dio

Doppelpunkte auf den Linien, welche die Oberfläche um den Mittel- punkt des Kreises in 2* gleiche Sectoren teilen l). Leicht kann man zeigen, dass diese Linien auch Linien von Symmetrie sind.

1) Arch. der Math. u. Phys. 2. Reihe, Teil VII. p. 209.

412 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

Aus der Formel (T) folgt, dass die Scheitel gefunden werden

00

für © *•>. n?t und cos © =» a

ax — «r

Wir finden dann für

>r> «. >» « < AnbK

e — 2nn r — R±(a — p) y = - —

8 - (2ii+l)» r-ı(a+^) tf; = (2n -f 1 )

Für 6 ™ arccos J—r„ im Falle dass dies © reell ist.

aJ — ö1

oder

Für dcu Ort der Wendepunkte gibt uns (2*)

b(a p cos©) jl^ a6 1

11 V(a*sin*©-f 4*cos*©J ™ [7l ± V^sin^ + ^cos2©)3)

X {6tsin*e-}-(p_acose)«} (f)

Für deu Krümmungsradius folgt aus IV*

P = {b* sin2© + ( p — a cos ©*} S (3')

b(a p COS ©) 1

^VC^sin^ + Ä^siu«©) ab

* V(a*8in8©-r-i5»coste)s

-ffc*sin*©-f-(j> -a cos «)1

Der Brennpunkt ist der beschreibende Punkt Jetzt ist a > b und p1 — a* — 6* = cs. Dio Radienvectoren der Scheitel werden also für

© = 2ww r-7? + (a — c) t// -

2fr £

© = (2n + l)* r = ÄT(a-rc) * = (2n + l)-£-

Die RadienTCctoren der Spitzen, wenn es diese gibt , sind

r« = /?*-f2«1- SVaWi* (aP - yW*Ä*)S

irMiilir

rr

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sich ohne xu gleiten längs anderer Curvelt wälzen, beschrieben werden. 413

Wir müssen jetzt suchen, ob die Curve Wendepunkte haben wird Die Formel (2") gibt:

b(a — c cos 8) (1 ab \

±i>(rt8 - c2C0826) = ^(a1— c2COS26)l(a — ccos&)±ab(a — CC08Ö)

Diese Gleichung kann dividirt werden durch a — ccosö, was nur für eiuen imaginären Wert, null ist,

Wir haben auch

±£ccos8 - gC*1— «,ew*8)l

oder

Ä* &*c2 COS2« — (a* — C*C08*6)3

Sei cos28 =s x, so haben wir eine Gleichung vom dritten Grade. c6*» — 3a51 c* «»+(30*0»+ Ä*6*c*>c-a6 — 0

Setzen wir -§ «- <2 und x = y-J-*1» 80 finden wir: c

R*b* , fl»i.»o» „

Der Coefficient der ersten Potenz der Unbekannten ist immer positiv, folglich gibt es immer nur eine reelle Wurzel.

Ausserdem muss 0 < x < 1 sein.

Für x = 0 wird die Linke negativ, „ x = 1 wird sie {- M-f-i22c2{62

folglich ist sie negativ für A2 > ite, alsdann gibt es keinen Wende- punkt (Fig. 7.);

sie ist positiv für b* < Rct alsdann besteht wol ein Wendepunkt (Fig. 8-, die Curven a. a. a. und b. b. b.)

3. Der Mittelpunkt ist der beschreibende Punkt. Nehmen wir b > a und p ist 0.

Die Scheitel werden gefunden nach (1 ) für S ==■ \nx und zwar

bK

für 0 = 2n\n r «= Jl±a und y = 2n R

bK

für ö-(2n + l)i7r r = J?±* und y - (2n+l)

414 Ekama'. Die Curven, weTche von Punkten von Kegelschnitten, die

Gibt cs Spitzen, so ist ihre Entfcrnuug vom Mittelpunkte des Kreises

>

Bestimmen wir jetzt, wann die Curvo Wendepunkte haben wird. Die Formel (2") gibt:

±ab{b* - a2)cos20 = = (^sin2© + a2cos-Ö)y (a2sin2e-f ^cos2©)3

±aA{2(&2C082e+a2sin2e)-(Ä2-f a*)} — -{(^-J-ai)

— (b* cos2© -|- a2 sin2) S\ vV sin2 0 Ä* cos2»)1 Sei V^si^Ö-l-^cos2©) = y

+ J*o4{2y*- (a2-H2)} = {(*2 + a2) -yV

oder

y6-(a2-f#V±2JRa£y2:f 2?aÄ(t2 + a2) — 0

Betrachten wir erstens den Fall, dass sich die Ellipse ausserhalb des Kreises wälzt, so haben wir:

y4 — (a2-f-t2)y»-f 2Ral>y2 — Rabfö + a2) =-0

Diese Gleichung vom fünften Grade hat höchstens drei positive und zwoi negative reelle Wurzeln, denn welches Zeichen wir den fehlenden Gliedern geben, wir finden immer drei Zeichenwechsel und zwei Zeichenfolgen. Für die Curve können jedoch nur die Werte, welche zwischen -\-b und -\-a liegen, gebraucht werden, während wir b > a voraussetzen : die negativen Wurzeln fallen also weg.

Vermindern wir die Wurzeln mit a, indem wir für y substitairen y-f-a, so finden wir:

y*.+ 5a y* + (9a* — 6 V 4" « (7a* — 36« + 2 R b) y*

-f a* {2a* — 'öb* + 4Ä b\ y — ab \a*b + R(b* — a')\ ~ 0

Die beiden letzten Glieder sind negativ. Das vierte Glied kann negativ oder positiv sein, aber wenn das dritte negativ ist, also für b* > 9a1, so ist das vierte es auch, folglich hat diese Gleichung nur einen Zeichenwecbscl, also eine positive Wurzel.

Vermindern wir nun die Wurzeln der Gleichung mit b durci Substitution von y-\-b für y, so hat man

y * -f 5b y< -f - ( 9t* — a») y 3 -f b (7 b* — 3a8 -f- 2 J?a) y*

-f- b* (2b* — 3a* + 4Äa) y — ab\ab*—R (b* - a*)| - 0

— a*

Das letzte Glied wird immer positiv sein für a < R — ^ — , dann ist

sich ohne zu gleiten längs anderer Curve» wälzen, beschrieben werden 415

das vorletzte Glied auch positiv, denn nehmen wir im ungünstigsten Falle B ~ £~ M wird diese. Glied ^-"ffl"». Da,

dritte Glied wird dann A J 2 , also auch positiv. Die Glei- chung hat jetzt nur Zeichenfolgen und wir finden also nur eine re- elle Wurzel zwischen a und folglich hat die Curve nur einen

b2 — a2

Wendepunkt (Fig. 8. e. e. e.) Für a > Ä — p— hat die letzte

Gleichung immer noch eine Zeichenfolge, also liegt keine Wurzel zwischen a und b und die Curve hat keinen Wendepnnkt (Fig. 8. d. d. d).

Betrachten wir jetzt den Fall, dass die Ellipse und der Kreis einander inwendig berühren, so ist die Gleichung:

Welches Zeichen wir auch den fehlenden Gliedern geben mögen, immer hat mau drei Zeichenfolgen und zwei Zeichen Wechsel , also höchscus zwei positive Wurzelu. Auch diese müssen zwischen a und b liegen. Wir finden, da die negativen Würzen ausser Botracht bleiben: für

y=oo f{y) ist +

y - b f{y) = -ab\ab^-\-R{bi — a'i)\ also -

y-<* f(y) = — ab{ba2 — H(b2-a2)\ also -f oder —

y — 0 f(y) ist -f-

Eine positive Wurzel liegt immer zwischen b und oo , die andere wird zwischen b und a liegen, wenn

a2

ba2 < R(b2-a*) oder R > Die Curvo hat also einen Wendepunkt (Fig. 8. c. e. e. und /. /. /.).

Für R < &£2__02 hat die Gleichung keine Wurzel zwischen a und b, die Curve hat also keinen Wendepunkt

Für die Krümmungsradien in den Scheiteln finden wir für

6 = 2«** I3=TRb* + ab*±a'R

. . b*(ct±bR)

6^(2«+!)^ 1>- Tw+ba*±PR

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M ohne zu gleiten läng, anderer Curve» walzen, beschrieben werden. «7

laufen durch den entsprechenden Punkt einer Cunre, welche mit der gegebenen gleichförmig ist, deren Parameter jedoch die Hälfte von jenem sind, und der wälzt längs einer Cunre, welche mit ihr congruent ist, während immer entsprechende Elemente einander berühren *) Der Coordinatcnanfangsponkt ist der Punkt, aus wel- chem die Normalen gezogen werden , also der Punkt der Directrix der übereinstimmt mit dem beschreibenden Punkte der Generatrix. '

Wir werden nur einige Bemerkungen über einige besonderen Fälle machen. Sei der Mittelpunkt der beschreibende Punkt so gibt uns (1*) '

x= Seröse 24«* «110

Folglich «We+*Wö '-«W+ÄSi

oder auf Polarcoordinaten

r = 2V(a*8m2<p-\-b*cos*q>)

Diese letzte Gleichung gibt eine einfache Construction der Curve (Fig. 9.). r ist dem Radiusvector der Ellipse gleich, deren Achsen 2« und 2b sind, und <p ist die exceutrische Anomalie. Hat man r auf die bekannte Weise construirt , so setzt man es auf eine Linie welche mit der -X" Achse einen Wiukel g> macht

Dio Scheitel in Bezug auf die Y Achse finden wir also

*? „ , , («*+q* cosje --Ä«co82e) sin 6

folglich de C***+*«*V 0

sin6 = 0 oder 8 =- nn

und

cos*e - g— 3 oder sin26 - &2~2-

Dieser Wert ist nur reell für b > aV2.

Bestimmen wir die Länge dieser Curve, so finden wir

oder

L - 8b {(1 + fi) n(l . h .\n) - F{k . J*) Dieses stimmt mit den Formeln iVI) und (y) übereiu.

I) Jacob Steiner'« gesammelte Werke. IL Bd. Seite 157. Arcli. d. Math. o. Plij«. 2. Heike, T. VIII. 27

1

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418 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von KeyehcbnilUn, die

Für die durch die Curve eingeschlossene Oberfläche finden wir

0 — 2xa2 + 2nb*= 4«t>*

Also ist sie der Oberfläche eines Kreises, welcher eine der gleichen Achsen der Generatrix als Radius hat, gleich.

Aus der Formel (I*) folgt für den Weg, welchen ein Brenn- punkt durchläuft,

j,2-f-(x-f-c)2 = 4a2

also ist, wie zu erwarten war, dieser Weg ein Kreis, dessen Radius die halbe grosse Achse der Ellipse ist.

Für die Oberfläche dieses Kreises fanden wir nach (VIII) 0 = 2*a* + 2nb2+ 2tcc2 - 4*a2

Die Länge dieser Curve ist 47to, was auch übereinstimmt mit den Formeln (VI) und (ß).

Endlich werden wir den Weg bestimmen, welchen die Scheitel der Ellipse durchlaufen, diese Curve stimmt auch überein mit der Fusspunktliuio einer Ellipse in Bezug auf einen der Scheitel. Weil diese Curve weniger bekannt ist, werden wir sie ein wenig ge- nauer betrachten,

Aus der Formel (I*) folgt, da p =» a ist, nach Substitution der Werte für g, 17 und <j:

2rt/j2sin28cose — q(l— cos 6) (b2CQ82S — q^sin^)

x - a cos e+ - 0a sin2e 4- ii cos26

oder

2/^cose — b2 cos2e+ a2 _sin28 xa~a- oWe+£2cos*6

folglich

cose(l — cos 6)

x-a - Wjrspe+PibÄ

Auch finden wir:

sinB(l - cos*») y — -° *a2sin2e + Ä2cos2H

also

und

Sei

so wird

x — a b 45 |(x-«)2-hy2}2 = 4a2(sec8-l)2(*-a)2

x — a = rC0S<p und y = rsinqp r-f-2acosg> ~ 2v>2sin2<p-f-a*cos29>}

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 419

Um die Scheitel zu finden, haben wir

d£ = 2focos 2<y+2(a - g) sin 2a} £

folglich

tj(l — 2 sin *<y) -f- 2 (a — ;) cos a sin a => 0 sein & sin 6(&2 C082e — a2 Sin26) -f 2ba* (1 - cos «) cos e sin ö - 0

also

sin6 = 0 demnach Ö — nn In diesen Scheiteln ist

y — 0 und a; = a oder x = 3a

Auch ist

(&2 - o2) C0S26 -f 2a2 cos 6 - a2 = 0

was uns gibt

cosö-4-

Sollen beide Werte reell sein, so muss b > 2a sein.

Für die Punkte ist

a* — J Iß x =» — oder x — a =>

und

» - £i

Für as — a ist

9 = 0 oder £?r

daher

y =» 0 ooer y = 2b Um die Wendepunkte zu bestimmen, haben wir nach (V)

2

i?sintf — (a — i)cosa «= — 5 &2

Nach Substitution

{aÄ sin2e — ab (1 - cos S) cos 0} ^

- 2aä ^y{^8in2e + a2(l - COSÖ)2}

(62-a2){cos20-2cose-f-l} -3A2

&V3

cose -= i±

ib*-a*

27*

420 Elcama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

Das positive Zeichen genügt nimmer, soll das andere Zeichen ge- nügen, so muss

oder

folglich, wie zu erwarten war, b > 2a sein. (Fig. 10).

Die durch die Curvo eingeschlossene Oberfläche ist

O = W + 2*&*

B. Die Goneratrix ist eine Hyperbel.

Dio Hyperbel sei gegeben in Bez. auf zwei conjugirte Achsen, welche einen Winkel co mit einander raachen. Sind dio beiden halben Achsen wieder ß und ß\ so wird dio Gleichung der Hyperbel

£ if i

p* ßr* = 1

Setzen wir

f - ßsee & und V — ß' tg S

so finden wir

fx d? .sin® dS cos ( . - 0 ) - sin «, - + ß c-os,e sm co -

und

dw' 1 r/6

cos ✓ = - ä ; Bin . - - ff ^ Bin . ^

(:

£)' " cos^ö ^■i»,«+^,+^,«in «cos co}

Weiter ist

<b /J'sini

/?£'sincocos3Ö

I (£)■(£)■"

(/*» 8in*0 -f 2/?/?' sinö cos co)t

— £ sin CO 8 a> — /?'

Bin (co - .) - (^siü*eH./*+2^8ineC08fl))4

und

, cos co-j-/Jsin ö

*ma ~ (/?*sin»e + ^'*+ 2^' sin© cos co)*

Auch müssen wir noch bemerken, dass nur die Werte von 0 einem Berührungspunkte der Hyperbel mit der Directrix genügen, welche liegen zwischen 90° bis 180° und von 180° bis 270°.

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sich ohne zu gUUen längs anderer Curven toälzen, beschrieben werden. 421

Wälzt sich jedoch die Hyperbel eine gerade Linie entlang, bis ihre Asymptote mit dieser zusammenfällt, so berührt auch der andere Zweig der Hyperbel die Linie. Wälzt sich dieser jetzt die Directrix ent- lang, bis die andere Asymptote mit der geraden Linie zusammenfällt, wonach sich der erstgenannte Zweig wieder längs der Linie wälzt, so bekommt man eine ununterbrochene Curvo. In Wirklichkeit werden diese Curven nio durchlaufen, weil die Werte S — 90° und S «= 270° bei einer endlichen Schnelligkeit nach einer unendlich grossen Zeit erreicht werden.

I. Die Hyperbel wälzt sich eine gerade Linie entlang.

Die allgemeine Formel (I) gibt uns wieder, weil <s — 270° ist, x Hyperbelbogen -f-t?'sin (©— a')-\-(p — £')sma'

y — — 1/'C0S(0)~ ff')-f(/>— i')COStf'

Nach Substitution finden wir

J- ßß' sin etgfl — (p- ß&cc Wlsin a> y ~ sin* ö 2^78i"n©C08 a) '

p — /?COS0

Für 6 - (2n+l)in- ist

pß' sin oj

y ■ —

V(P+ß'*±W cos«)

y nähert sich also bei der Bewegung einem bestimmten Werte, wel- chen sie jedoch nimmer erreichen wird. Der Nenner des gefundenen Bruches sind die Diagonalen eines Parallelogramms, welches auf den halben Achsen beschrieben ist.

Bestimmen wir den Winkel, welchen die Taugenten in diesen Punkten mit der X Achse macht

Nach (III) ist

q'Bin(<p- <t') + (p — £')sing' tgT™ Vcos(a— V) — lp— §')cbso*

„ (ßi + ß't)tgS+ßß'cosa»(t^Ssme-}-8ece)-p(ß^QS-\-ß'co&e)

ß' sinG>(/> — ßcosS)

Für S - (2n+ wird

tg t — oo also t = £t

422 Ekamat Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

In den Culminationspanktcn der Curvc in Bezog auf die X Achse

mnss

dß

0 sein.

dy

■Jq — — ßß ßinoa

jg*j-g^)8in 0+ fl^cos (o-j-^sin' Qcosw — ycos 6(^sip 6 +/Pcos») X ^8iü*8+/*'24-2^'sineco8«i)< ~ <j

also wird

(<92_j_/9'2)Sjnö_|.^'C0St(,_|_^C08(0Sill2ö_;,CO8e(/98inö+/?<cosa)) — 0 (1) Diese Gleichung ist im allgemeinen nicht zu lösen. Den Krümmungsradius finden wir mittels (IV)

\p*tx*e+( p—ß&cce)*—2ßftge(p—ßsece)cos(o\ i

{/?'2tg2e4-(/,_/?8ece)2-2^'tge(r-/?sece)cosö>} - p^f^

X (/*2sin2e+/*'2+2#*'sinecos») \ß''h'm2G+(pco8e—ß)2—?ß'&\ne(pcose—ß)co8co\*

oder

P«

cose^'2sin2e+0>cose-/?j2-2^'8iue(^cose-/?)cos«/}— '

ßcosB

9

(4*)

Für S ss 2ut

m e = (2»+i)i*

ist

P P

X (/^sin^+^H^/f'sinecosw)

(p-fl)2ß = pß-p-ß'2

(p + ß)2ß

= ^V(/?'2+^±2^'cosa»)

7

Wälzt sich die Hyperbel bis die Asymptote mit der gegebeneu Linie zusammenfällt, so kommt der Mittelpunkt in die gerade Linie. Wir könuen die Entfernung des Ortes, wo der Mittelpunkt kommt vom Punkto, in wolelioin die Scheitel der Hperbel" die. gerade Linie berührte, bestimmen. Diese Entfernung ist gleich dem Unter- schiede in Länge der Asymptote und eines halben Zweiges der Hy- perbel. Diese Differenz ist bekanntlich eine endliche Grösse und zwar gleich *) :

I) SchlÖoiilcli, Compcmlium. [. B<1 p. 389 und II. Bd. p. 350.

»ich ohne zu gleiten längs anderer Curoen wälzen, beschrieben werden. 423

in welcher Formel

k a

V(«2+&2)

Diese Punkte können wir also näherungsweise bestimmen, wodurch wir die Curve construiren können.

a. Der beschreibende Punkt liegt auf der Hyperbel.

In diesem Falle ist p = — ß und folglich finden wir für die Culminationspunkto y = 0. Wir wollen sehen , ob die Formel (1') noch andere Culminationspunkte gibt, diese ist

(ß*+ ß'*) sin 6 -h ßß' cos o>(8in2e + 1 -f cos S) -f 02 cos 9 sin S - 0

(ß*+ ß'2) sin \ S -f ßß' cos » cos | 0 (3 — 2 cos2 J 0)

+ 0*sin!4e(2co8*4e-l) = 0

folglich

cos|ö = 0 also S «= wx Diese sind die Punkte in der X Achse.

2/3* sin \ S cos2 J S -f 0' 2 sin £ 0 -f 00' cos c« cos ] 0 (3 — 2 cos2 1 Ö) = 0

2/?2 tg i © -f /?'2 tg ^ e (tg2 i © + 1) + cos o>(3 tg2 ^ e - 1) = o

Setzen wir tgJ0 =» y, so wird die Gleichung:

/J'V-r-3.^.C0S o>y*+(2jS2+ ß'*)y+0d' cos to - 0

Sei für y gesetzt y — ^cosw; so finden wir

C2tf2 /?2 \ /*3

f-t + 1 — 3 j,-t cosw J y — 2 ~3 cos ü) sin2a> - 0

Sollen alle Wurzeln reell sein, so muss

(2 ß~ cos ß>sin2*>)* -}- 24? (2^ + 1-3 cos2 •) < 0

sein; oder

- (/?2-^2)34-9(/?2-<f'2)^sin2c>4-27/3'2^8in*w < 0 Föhren wir jetzt ein

02 _ ß'2 OT a2 _ hi un(j 8in « = a£

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sich ohne zu gleiltn längt anderer Curoen wälzen, betchrieben werden. 425

Wir werden die Oberfläche bestimmen , welche eingeschlossen wird durch die Cnrvc, die Linie und die Ordiuaten beim Anfang and beim Ende einer Wälzung.

Jetzt ist

O — f ydx und dx «= yda' also 0=fy2dC folglich ist

3/ n

n _ P >%{p~ acosö)2

J (c2 — cx2cos26)2 n

p cosörfe t>2 siuQ ^2 /a ft\

*V (c2 -Wos2^ = 2tf* P + rfiiiFS + 2*'a ÜFC tg U 81,1 J

2 p co8aerf6 a2+&2 ain_g q*--&2 /« fi\

" J COd»Ö> 2A2 ^+a»siii*e+"~26»a arC tg \iS1U J

/» COS2erf6 ap Ig 6 /a \

~2^y (c2-a2cosä6)2 ~ *t+c*tg*Ö " ^arC,g U»8 V

folglich ist

O = «A ^ jJ^+ff^-P-Miictgj + o* f» (3')

Wälzt sich der andere Zweig der Hyperbel die gerado Linie entlang, während der beschreibende Punkt derselbe bleibt, so sind die Grenzen der Integrale 0 und \n und also

Folglich ist die ganze Oberfläche

- 2a2 V-n (4') c

c. Der Scheitel ist der beschreibende Punkt.

Sei p — — a (Fig. 12. a. a. a.). In den Culminationspunkten ist y = 0 und y = 2a. Die Formol (1') gibt für die anderen Culmi- nationspunkto

a2_l_£2

sin & = 0 und cos 6 = « —

aber dieser Wert ist imaginär.

Aus der Formel (2') finden wir

*2COS3ö — a2cos26 — 2(a2 + Ä2)C0SÖ— (a2-|-i2) - 0

426 Ekama: Die Curven, welche von Paukten von Kegelschnitten, die

Diese Gleichung kann dividirt werden durch cos S -f-1, und wir haben ausser

& = (2n-f-l)T

auch

b2 COS2 6 — (a2 -f £2) cos S — (a2 = 0

Wir finden eine positive Wurzel , welche nicht genügt, weil dieses cos6>>l, und eine negative:

as+42 1

cosö = ^ 2A2 V|(«i+Ä»;» + 4<a* + *»)AS}

Jetzt muss auch sein

a2-U2 1

3£2-fa2> V/{(«2-f-Ä2J2+4(a2 + ^2} oder > 0

also immer eine reelle Wurzel, folglich hat die Curve immer einen Wendepunkt.

An*

Für S = 2n* ist P — ^3

2a2 +*2

„ Ö-(2»+l)J« „ P-ö

d. Der Brennpunkt sei der beschreibende Punkt. Jetzt ist p = -c und cs — a*+£* (Fig. 12. b. b. b.) Wir finden für die Culrainationspuukto

y = a — c und y =» a-j-c Die Formel (1') gibt uns auch

sinö = 0 und cos S — —~

a

dieser Wert ist immer imaginär.

Für S = (2n+ l)in ist y = b (Fig. 12. 4'. b\). Um die Wendepunkte zu finden, gibt uns die Formel (2')

a2cos8e-}-2aecos & + c* = 0

folglich

rtCosö-f-c = 0 also cosö = —

0

a

gleichfalls imaginär.

jiicA ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 427

Der Krümmungsradius in jedem Punkte der Curvo ist nach (IV)

o{6»tg»e-f-(— c-q8ec6)*}ico88e

— {atg6sine+(— c— asecö)} {aWä+ft'j-f-a {b*tg*B

-K-c— asece)8}cos3e

uud die Normale ist

jfc=, V{42tg»Ö-|-(— c — osece)8}

folglich ist

i , i — (— c-ocosex^-a^os'e^qcose^cose-fc)8 1

JP ■ ifc ™" a(aCO80-f-<Oa = a

Diese Curve gibt bei einer Rotation um die gerade Linie eine Ober- fläche, die Plateau ■) die Nodoide genannt hat. Diese Oberfläche kann der genannten Eigenschaft wegen eine Gleichgewichtsfläche einer Flüssigkeit, welche keinen auswendigen Kräften ausgesetzt ist, sein.

Für S — (2«+ 1) }* ist P= a.

Um die Länge zu bestimmen, haben wir

oder

27t

dS cos ß

2 ab I — p-

0

folglich

dg)

,/ (c-j-ajeos^qp-f-^ — a)sin^qp 0

Für die durch die Curve und die gerado Linie eingeschlossene Oberfläche finden wir nach (4')

O = 2*a2

Diese Oberfläche ist also immer gleich zweimal der Oberfläche eines Kreises, der einen Radius gleich der halben reellen Achse hat, und unabhängig von der imaginären Achse.

e. Der Mittelpunkt ist der beschreibende Punkt. p — 0 und wir finden für die Culminationspunkte (Fig. 12. c

0. c.)

1) Finten u, Statique des liquides. Vul. I. p. 120.

428 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

y — Zfa und x = 2nY

Für y = 0, das ist für S «= (2n + l)fcr ist * — (2n-fl)F.

Aus der Formel (1') folgt

sin & — 0 nnd cos S — cd

also keine anderen Culminationspunkte Aus der Formel (2') haben wiri

— a(a*-f 62)cos3ö-f 2«(o*-f b*)cosS — 0

folglich

cos 0 — 0 und cos S — ± V 2 dieser Wert ist auch imaginär.

a*

Für S = Mi ist P— tj. Nach (3') linden wir für die eingeschlossene Oborflächo

O - -f (a2 — ^2) arc tg | (i)

Ist dio Hyperbel gleichseitig, also a ■= 6, so ist die Oberfläche = a*, folglich dem Quadrate gleich, welches die halbe Achso als Seite hat.

f. Der beschreibende Punkt liegt auf der imaginären Achse.

Um den Wog eines Puuktes zu bestimmen, der auf der imaginären Achse liegt, wechseln wir die und dio rj' Achse, so ist

a* ~~ b* - 1 Setzen wir i/ = asecÖ und = — &tgö, so ist

<*/ , sin 8 <IS dg* t 1 <J0

~ = — cos <s =» a y£v und — «= sin tf = — b — ^ -3-

rfr COB2® «f« COS*» !<fr

während Wir finden

a*sec 0sin ö-Hp-fMg S)b x - Hyperbelbogen y {a*sin*8-f b*)

und

psin S — bcosß

sich ohne zu gleiten längs anderer Curven walten, beschrieben werden. 429

r ur	A c\	• 18t	y = +«
		n
	»-*		» = — o
	e _ v

Um zn finden, ob die Curve auch Culminationspnnkte in Bezug auf die JT Achse hat, differentiiren wir y nach Ö

fl (;>cose+&8ineXa»3in»e+^^^

r (a»8in*e-|-M)i In einem Culminationspnnkte muss also

fycos ö -|- al sin 0-f&1 sine — 0

sein, oder

Ist der Brennpunkt der conjugirten Hyperbel der beschreibende Punkt (Fig. 12. d. d. d.)> so ist

p — <;

folglich oder

8inö " i nnd cos6 « q: --=1=:

dieses gibt

Ferner Ut '"''^Wr7^

. _ rfy _ (a24-&2)sine-P6

■* dx a cos ö(j> sin S — 6 cos 6)

Für 6 = nTi ist tgr = — -

a

m 3-(2n+l)fr „ tgr «od also T — 90°

y — 0 für psinÖ — 6 cos 6, so ist tgr — oo oder x gleichfalls

- 90°.

Die Curve schneidet also die gerade Linie immer senkrecht unabhängig von p.

Wir müssen jotzt untersuchen, ob die Curve Wendepunkte hat.

430 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

Aus der Formel (V) folgt in diesem Falle, da

da' ab /d©\8

<W _ab (dS\*

d& ~~cos*evw 18t*

(psinö-Äcosö) a»-f (p cos 6 + 6 sin 6)2

— r (a* sin- er 4- //2) -J - ■ 0~ =0

bcos*ß r /t^ cos26

oder

— (p sin 0 — £ cos 6) (a2 sin26-f

-f-£a2cos &-\~b{pcos Ö + isin 6)2cos 6-0

Betrachten wir nur den Fall ;> — c, so finden wir nach Substitution von a'-j-A2 =■ c2

— c»sin30-f 42csiuecos26 + 2Äc2cos6 — 0 Setzen wir tg 6 = y und - — so haben wir

C

y3— 2rty2 — A — 2</ — 0 Sei y =• «-f-*d, so finden wir

sein; so muss

Eine Wurzel ist immer reell; sollen die beiden anderen auch reell sein, oder

Q*7)V{44*-7'}<0

also muss sein

1593 < 0

Diese beiden Wurzeln sind also imaginär, folglich hat die Curve immer nur einen, aber auch nicht mehr als einen Wendepunkt Uns bleibt noch übrig den Krümmungsradius zu bestimmen. Nach (IV) haben wir:

_ b\a*+( pcosö-Msine)2}!

— (psia S— bcos e)(a*sin* e+&*)+&a*co8 ©-f-Afrcos 6-f bsiu 6)*cos0 Für ist P-(41f$r

p

sich ohne tu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 431

Ist jetzt p = <?, so finden wir für tg S = — -

c

und für y =■ 0 ist tg S — -( also ist

c

II. Die Hyperbel wälzt sieb eine congruente Hyperbel entlang, während entsprechende Elemoute einander berühren.

Nach dem bei der Ellipse betrachteten Gesetze werden die Curven, welche bei der Wälzuug eiuer Hyperbel längs eiuer con- gruenten Hyperbel entstehen, Fusspunktlinieu sein eiuer mit ihr gleichförmigen Hyperbel, welcho zweimal grössere Parameter hat.

Der Weg, welchen bei dieser Wälzung ein Breunpuukt durch- läuft, wird ein Teil eines Kreises sein, dessen Radius dio grosse Achse der Hyperbel ist

Der eine Brennpunkt durchläuft einen Kreis, welcher der Glei- chung

(j-^-fy* - 4as

geuügt. Der andero einen Kreis mit der Gleichung

(*-f-c)2-f-y3 = 4a2

Beide Kreise werden bei der Wälzung von zwei Zweigen nur zum Teil durchlaufen; lässt man jedoch danach dio beiden anderen Zweige einander entlang wälzen, so bekommt man ganze Kreise. Für dio Punkte, welche bei endlicher Schnelligkeit nacb unendlich grosser Zeit erreicht werden, ist

, 2 ab

Der Mittelpunkt durchläuft eine Curve, welche die Form einer Acht hat, jedoch wird nur die eine Hälfte durchlaufen, wenn man nicht auch die beiden anderen Zweige einander entlang wälzen lässt Die Gleichung der Curve ist

r* = 4(a2cos2<p — &2sin2(p) r wird «— 0 für tg<jp =■ r

Die Oberfläche, welche durch den durchlaufenen Teil eingeschlossen ist

432 Ekama: Die Curven, welche von Funkten von KegehehntUen, die

arc tg ajb arc tg ajb

0=3 f1*'1*? = 4 J (<*2COS2(p-b*sm2<p)d(p — 4: f (a2— c*s\n*<p)d*

Steig aß

= 2(a2-Ä2)arctga/Ä+(a2+62) | sin2<p |

oder

O - 2ai-f 2(a2 — £2)arctga/Ä Dieso Formel stimmt mit (d) überein. Für a — b wird O — 2a2.

Die Fusspunktlinie geht in diesen Fällen über in die Lemniskate von Bernoulli. Der Punkt hat nur die Hälfte durchlaufen, darum fiuden wir auch die halbe Oberfläche. Die halbe Achse der Lemnis kato würde 2a sein und also die Oberfläche 4a2 x).

C. Die Generatrix ist eine Parabel.

Der Winkel zwischen zwei conjugirten Achsen der Parabel w, und die Gleichung der Parabel wird:

,/2 = -2a' l'

in welcher Formel £' immer negativ sein muss.

Wir finden wieder

d? ij'sincu

COt(« - c ) - - - - V{n^a ^^WcMm)

, dr\' . a'sina»

cos c - - ^ sin« - - t^+.i^VcoM»

oder auch

a'— 17'cosw

81U(&>— O') mm —

V(Va+«*— 217'a'cosa))

und

, ff' — a'COSQ)

8iDff " -y(^2 + a'2-2i?'a'cos Ol)

Auch müssen wir bemerken, dass der Bogen der Parabel vom Scheitel abgemessen, gleich ist *)

1) Schlömilch, Höhere Analysis. Bd. I. p. 379.

2) Sclilümilch, Höhcrc Analysis. Bd. I* p. 386.

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werften. 433

I. Die Parabel wälzt sich eine gerade Linio entlang.

Die allgemeinen Formeln werden wieder sein

x = Parabelbogen -f- t/siu (a>— a')-\-(p — ^')sino' y ■■ — »?'cos(a> -a') +(t>— i*')co8 o'

Nur zwei Fällo werden wir betrachten.

a. Der Brennpunkt ist der beschreibende Punkt. l) Jetzt ist w = 90° und p = — Ja, folglich sind die Coordinatcn

x = \a\og

V - *V(«2"H'2) 2*

oder

und also

Wälzt sich die Parabel nach !der auderen Richtung, so werden uud x beide negativ, also

2x

ae * = - V4-Va* + V*

oder

2x 2x ae a -\-ae ° = 2Vaa-|-4ij'* «= 4y Sei i<t = a, so ist

fx x 2ä . ~" 2a] e -J-e

1) Die drei Cnrrcn, welche durch die Brennpunkte der Kegelschnitte bei der Wälzung längs einer geraden Linie beschrieben werden , haben eine gemeinschaftliche Gleichung; diese findet man bei Anwendung der allge- meinen Gleichung der Kegelschnitte, wenn der Scheitel der Coordinatcnan- fangspunkt ist,

in welcher Formel t die numerische Excentricität und a der Parameter ist. Im gebrauchten Coordinatcnsystemc muss £' immer negativ sein.

Area. d. Math. u. Phji. 2. Reihe, T. Till. 28

434 Ekama: Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten , die

also ist der durchlaufene Weg eine Kettenlinie *). Für den raungsradius finden wir nach (IV)

(«a+V2)a *2+V2

1 2a(a2-J-V2)2 2a

und für die Nonnale

also ist

Durch dieso Eigenschaft kann die Oberfläche, welche entsteht durch die Rotation der Kettenlinie um die gerade Linie, eine Gleich-

sina' - - yjyijnp^

and

^ («>-l)5'-a

cos 0 = — 3— = —

denn

„„ , V[')'8+{(«2 + Di'-«!2] - Vfo** + a>| folglich wird

s = Bogen des Kegelschnittes ~^^~^L^2| -Kf>-f ) y]^q^ nnd

w_ V!_ ,„ (*2-i)g'-a

y V(V2«2+a2) *P s V(i?'2e2-f a2) Nan ist bei allen Kegelschnitten die Entfernung des Scheitels vom Brenn-

punkte gleich . a. , also 1 + «

a

folglich

x - Bogen des Kegelschnittes - 1,'* je*' - ^'**2+a2}

y V(i/'2«2-f-a2) Diese Gleichungen geben den Weg durch den Brennpunkt durchlaufen für « ^ 1 bei der Hyperbel f = 1 bei der Parabel \ 1 bei der Ellipse 1 = 0 bei dem Kreise (eine gerade Linie || der Directrix).

2) Schell, Theorie der Bewegung und der Kräfte. I. Bd. p. 241.

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sich ohne tu gleiten längs anderer Curoen wälzen, beschrieben werden. 435

ge wichtsfläche einer Flüssigkeit,' auf welcher keine] auswendigen Kräfto wirken, sein. Den Körper durch diese Oberfläche einge- schlossen hat Plateau ') eine Catenoide genannt.

b. Der beschreibende Punkt liegt auf der Parabel.

In diesem Falle ist p 0. Wir müssen untersuchen , ob die durchlaufene Curve auch Wendepunkte bat Nach (V) ist

— to'cos (o> — o') + |'cos ö'} — {>/2 + £'2 + 2V£' cosa>} jr

oder Jetzt ist

jyf i

ety » ™ ä

folglich

sin2«

w+orti = ^2+r2+2vr cos a)}^ j-

LI

^7-f-l— -7COS

UJ

h*W*+** - 2i? '«'cos 4- «'2 {v2 + ^ - 5-cos ■}

Also */ = 0. Dieses gibt den Punkt in der geraden Linie, und auch 2(fl'2-f-a* — 2i?'a'cosw) — 4a'*-|- V2 — 4o'VC0Sai

oder

1/2 -= 2a'2

also

V = ±aV2 und §' — a' In den Wendepunkten ist, weil

Btow i_ tl t sin»

V(V* + a'* — 2Va'coso>) V(i?'* + «'*— 2»fVcos a>)

ist: a'sincö

V= V {3+ 2^2008*«}

Aus der Formel (III) folgt

1) Plats&u, Stütiqoc des liquides. Vol. I. p. 95.

28<

1

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden, 437

diese entstehen nur, wonn dio Parabel und der Kreis einander in- wendig berühren.

Wir finden dann

oder

a*)\ «= Ra*

Soll dieser Wert Ton ij' reell sein, so muss R > a sein. Bestimmen wir den Ort der Doppelpunkte:

±2R

oder

Dieser Gleichung wird genügt durch r\x' — dlVi

Bogen

'3

Bogen' ^" +

Setzen wir die beiden Glieder tj^ -» — 17/, so wird

Bogen — Bogen'

o \ Bogen

Also

folglich

arctg

— 0

Dieses lehrt uns, dass die Doppelpunkte liegen auf der Linie, welche durch den Mittelpunkt und den Punkt, in welchen der Scheitel den Kreis berührt, geht. Die Linie ist auch eine Linie von Sym- metrie.

438 Ehama: Die Curvem, welche von Punkten von Ki

Um die Wendepunkte zu bestimmen, gebrauchen wir die For- mel (V), dies gibt

7< I a 1 / J? -I ü_

1/ı 3

± w* -(p- m (v + a«> t h*1 + (p - r « «•

Ist der Brennpunkt der beschreibende Punkt, so ist p — — $a

± fo* + J«4 - WH-*I T + «PI «»

-w*+<i«+?/iii/äw,+^I

also folglich

o*+i7'»- 0

Der Wert der ijr, welcher aus dieser Formel folgt, ist imaginir. Weiter ist

oder

a

Dieser Wert ist nur reell für R > a. Diese Pnnkte stimmen fiber- ein mit den gefundenen Spitzen, wenn die Parabel und der Kreis einander inwendig berühren.

III. Die Parabel wälzt sich längs einer mit ihr congruenten Parabel während entsprechende Elemente einander berühren.

Schon aus der Analogie mit den Fusspunktlinien wissen wir,

dass der Brennpunkt eine gerade Linie durchlaufen wird, nad

zwar die Richtungslinie der Parabel, während der Scheitel eine Cis- soide beschreibt, von welcher der Parameter a ist.

Bestimmen wir den durchlaufenen Weg eines Punktes der Pa- rabel. In schiefwinkligen Coordiuaten finden wir (Fig. 14.) fär diesen Weg, weil

sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 439

a = 180°— (ff — w), ß =- 2ff— w und y = 2a — a ist:

sin2(ff — o>) _sin(2ff — w)

X = £ — « : f- (p — I) :

Bin(2ff — w) . sin 2a

Der beschreibende Punkt sei der sich bewegende Coordinatenanfangs- punkt, also p = 0

t a' — qcosm ,..(«' — i?C08 a>)a' — t?(«y — a'COSco)

x=>l+2y nt + a>%_ 2 rja' cos + o'* — 2 ^a' cos aT

a' — 17 cos o> X"1i ^-j-o'* — 2^a'cosw

af* — «'(»?— a'cos a>)

73-}-a'* — 2i7a'cosa>r i?*-|-a'a — 2^a'cos«

^ 17 — a'coscu y — 17 *7»-f a'*— 2 17a1 COS»

* a' — 17CO8 cd y 17 — a'cos 00

also

xcosw-{-y

t? = a — .

1 x-f-yCOSG)

folglich nach Substitution dieses Wertes in der Formel für x

, , (xeosw+y)9

ar-r-yC0Sa>=» a' 3-3-0 j — »

1 * x" -j- 2 xy cos w -j- y

Gebrauchen wir Polarcoordinaten, so ist

sin(oj— S) sin 6

x = r — uud y 0 r .

sm co sin cd

also

„8in(ca— Ö)4-sin 0cos© . {sin(<y — 6) cos £a-}-sin ö}2

r3 : = ar r- 3

sinw sin*co

oder

r C08 © «= a' cosV«»— 0) Sei ö= £-fo> — 90°; so ist

r = « —

, 8in*f

sin(€ +«0

Diese Gleichung geht, wie es gehört, für co => 90° über in jene der Cissoide. Wir köYinen den gefundenen Weg auf eiuo einfache

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440 Ekama: Die Curcen, welche von Punkten von Kegelschnitten, die

Weise construiren, welche mit der Constroction der Cissoide über- einstimmt. In dem Kreise (Fig. 15) ziehen wir eine Sehne AB und im Punkte B eine Tangeute am Kreise. Wenn wir dann durch A Linien ziehen, welche die Tangeute uud den Kreis schneiden, so müssen wir die Teile zwischen dem Kreise und der Tangente setzen auf die Linien vom Punkte A ab. Wenn wir die Enden dieser Teile mit einander verbinden, bekommen wir die gewünschte Curve. Denn

CD =» r = CB . 8,m* . oder CB - AB -!— 8in(w — f) sin w

folglich

r Aß sin*£

r — sin usin (* -f- w)

Soi der Diameter des Kreises a\ so ist

AB = a' sine»

folglich

, sin2*

r a

8!U(f -f- w)

Die Curve schneidet die Tangente PQ einmal, wenn e~(o ist, hier ist

r =*. ^i'tgw

Dio Linie PQ ist eine Asymptote.

Appendix.

Wenn wir an eine gegebene Curve /(i, t/) eine Tangente und aus einem bestimmten Punkte eine gerade Linie, welche mit der Tangente einen Winkel o> macht, ziehen, so können wir den geome- trischen Ort des Schnittpunktes dieser Linien bestimmen. Diese Aufgabe kommt überein mit der Bestimmung des geometrischen Ortes des Schnittpunktes eines Winkels, wenn die eine Linie immer durch einen gegebenen Punkt geht, während dio andere eine gegebene Curve berührt. Für diese Frage hat schon Weinmeister *) eine Lösung gegeben.

In einem geradwinkligen Coordinatensysterae , von welchem der gegebene Punkt der Anfang ist, findeu wir:

1 ~~ tg(T-«) — tgt tgaU + tg^r1"™ lgw;

und

1) Schlömilch, Zeitschrift. Bd. XXVIII. p. 256.

j

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sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. 441

*7-CtgT q — StgT , .

* =tg(r-o,)-t^tg(T-w) - -tTo>Ti+t?^(tßT'-tgo,)

Uebertragen wir die Curvc auf] ein anderes System, desseu Achsen mit jenen des gebrauchten Systemes cineu Winkel 90° — <a machen ; so ist:

x= a*| sin (o "|" cos co y = — ar, COS a>-|— yÄ sin co

Folglich wird

x 8ino>(l-|-tg2r)^T Binw(l-|-tg2ff)

und

= ig— Stgr l+»?tgff y sina>(l-f-tg*r) ~ sin a> (1 -f-tg*a) ß a

Diese Formoln stimmen mit den Formeln 1*** übercin. Hieraus folgt, dass die gesuchte Curvc mit der Fusspunktlinic in Bezug auf den gegebenen Punkt gleichförmig ist; dass aber ihre Parameter cobccw grösser sind; oder dass die gesuchte Curvo die Fusspunkt- linie einer Curve, welche der gegebenen gleichförmig ist, aber cosec co mal grössere Parameter hat. So wird z. B. die Ecke eines Winkels, welcher sich auf solche Weiso bewegt, dass die eine Linie immer einen Kegelschnitt berührt, während die andere durch den Brenn- punkt geht, einen Kreis beschreiben. Bei einer Parabel geht dieser in eine gerade Linie über.

Amersfoort, Januar 1889.

1

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auf Röhrenflächen. 443

(1) adl + iJrfij+yrff-O

(2) da{ß<% — yd^+dßiydZ — adQ + dyiadr, ~ ß<t$) - 0 überdies gilt

(3) a»+/3»+y«-l Weil nun

dx — d\ -\~q da, dy -» dr\ -f- q dß, dz «= -J* Q

ist, so folgt, falls man mit da und dt entsprechende Bogenelemento der Original- und Parallclcurve bezeichnet:

dg* — rfo*+2e(rf$da-f dridß + dldy) + Q*(da*+dß* + dy*)

Es wird behauptet, dass diese Gleichung von der Form

dg* — do*.(\+go)*

ist. Die hinreichende und notwendige Bedingung für diese Darstcll- barkeit ist:

(da* + dß* + dy*) do* = (<t$ da + dV dß -f d£ dy)*

= (dct* + dß*+dy*)dO*- Z{d'$dß -drjda)*

d. h.

E(d'dß -drida) = 0

Für er, 0, y galten nun dio Bedingungen, von denen man (3) und (1) auch in der Form schreiben kann:

ada-\- ßdß + ydy = 0 it£.dm+dii.dß + dZ. dy = ß-*n+r *Ö

aus diesen Gleichungen nnd aus (2) folgt:

da.da* =* —dt.(a.d*S+ß.d*fi + y.d*Q dß.dC* = —dri.(a.d*Z-\-(l.d*7\-\-y.d*Z) dy.da* = — d$ .{a .d*l;+ß .d*ti-{-y .d*Q

Hieraus ergiebt sich unmittelbar

Z(dadri — dßdl)* = 0

und daher ist

(4) tU = do(l+g.Q)

tla<fi + d߀lti + dydt

(5) g ^2

444 Ähren dt: lieber die Rectification der Krümmungslinien

Die so definirte Grösse g bedeutet die geodätische Krümmung der Originalcurve, falls man sie als auf der zu Grunde gelegten ab- wickelbaren Fläche A gelegen ansieht. Denn das System

y — i + Q-ß, * — t+Q.y

kann man als Gleichung der Torse A ansehen, falls man q als zweiten Parameter nimmt. Die Coordinatcncurven sind dann einer- seits die Erzeugenden der Torse, andererseits die Schaar der Parallel- curven. Die Coordinatcncurven schneiden sich orthogonal. Dem- nach ist !)

1 dVE

die geodätische Krümmung einer Curve q — Const. E und G be- deuten die Gauss'8chen Grössen.

E = 2 (^V- ld<J2 + 2Q2dida + Q*2da*] : da*

-* (S)""

Führt man diese Werte in den Ausdruck für g9 ein, und setzt 0, so folgt gQ — g, und dies war zu beweisen.

Man ersieht hieraus, in welcher Weise die Formel für ebene Parallelcurven sich specialisirt. Da dann nämlich die Torse zur Ebene wird, so geht die geodätische Krümmung in die gewöhnliche über.

Man kann aus der soeben gefundenen Grundformcl noch eine geometrische Beziehung herleiten. Durch Integration folgt:

a

a0

und das doppelte Zeichen entspricht den beiden Zweigen der Parallelcurve. Die Grösse o, giebt also an, um wieviel grösser oder kleiner der Bogen des Parallelcurvenzweiges ist als der ent- sprechende Bogen der Originalcurve. Den Bogen o, kann man dar- stellen als Schnitt einer Kugel vom Radius o mit einem Kegel, dessen Spitze im Centrum der Kugel liegt, und dessen Erzeugende

1) Knoblaach, Flftchentheoric, § 90.

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auf llOhrenßäehen.

445

parallel sind den Erzeugenden der Torse A. Denn die Gleichung des so definirten Kegels ist

x = Qa, V = Qß, * = QY

wo o vorläufig zweiter Parameter ist Das Bogenelement der Curve g = Const. ist also:

nach früheren Beweisen ist

yda* + dß* + dy* =g.do

also

das =- Q.g.do

dies war zu beweisen.

Man ersieht leicht, wie diese Darstellung sich für Parallelcurven ebener Curven und für ebene Parallelcurven gestaltet; im ersten Falle wird der genannte Kegel zum Kreiskcgel, im zweiten zur Ebene. In beiden Fällen sind die Bögen <r, Teile von Kreisbögen, oder auch ganze Kreise.

Schliesslich ergiebt sich noch das Resultat, dass die Krümmungs- linien einer und derselben Röhrenfläche constauten Umfang haben, nämlich den doppelten Umfang der Originalcurve. Denn die Längen der Zweige sind:

«" = o— a,

mithin

* - ,'+," = 2a

Ebenso lässt sich nachweisen, dass das Areal der abwickelbaren Fläche A zwischen den beiden Zweigen der Parallelcurvo constant ist, welche von den unendlich vielen abwickelbaren Flächen auch genommen wird. Denn das Element des Areals, begrenzt von zwei benachbarten Curven g «= Const. und zwei benachbarten Normalen, ist:

tlF' «= dadg-\-ggdadg dF" «= da dg — g g da dg

also

a q a q

F' - y J dodg+ f f ggdadg o0 0 a\ 6

446 Ahrendt: Ueber die Rectification der Krümmung dinien etc. F* «= ^ j* dodQ — j* j* ggdadQ

F- F'+F"-2<>(a-c0)

Dioser Ausdruck hängt nicht von der Wahl der abwickelbaren Fläche ab.

Für das Volumen der Röhrenfläche findet man in ähnlicher Weiso die bekannte Formel

Vol — e«*(a — o0)

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Hoppe: Vielecke, deren Höhenlote sich in einem Punkte schneiden. 447

Vielecke, deren Höhenlote sich in einem Punkte

schneiden.

Von

R. Hoppe.

Versteht man unter der Höhe eines (2n-f-l)ecks über einer Seite als Basis das Lot von der Gegenecke auf diese Seite, so bilden die- jenigen (2n-j-l) ecke, deren Höhenlote sich in einem Punkte treffen, eine speciello Gasse von bemerkenswerten Eigenschaften, die wir hier untersuchen wollen.

Der Höhenschnittpunkt C sei Anfang der rechtwinkligen ry und und der Polarcoordinatcn pg>. Die kte Ecko M habe die Coordi- naten p*<p* und auf der Gegenseite (h «- ^t+* ^»+"+0 den Höhen- fusspunkt Bk. Die Projection des Dreiecks CAkAk+i auf beide Axen ergibt die Relationen:

p* + lC08qp*fl — p*COS<p* + + ! sin J

Qk+\ sin qp*+i — Qk sin <pk — /*+ *+i cos <pn+n+i ' woraus durch Elimination von fef«fi:

P*flC03(<)P»fl — (JPifn+l) = Qk C08(q>k — <Pk+n+l)

(1)

(2)

Setzt man fe — 1, 2, . . . Sn-f-l, so ergibt das Product aller Glei- chungen eine Identität

Daraus folgt, dass man, um ein solches Violeck zu construiren, sämtliche <p* und ein p* willkürlich annehmen kann. Zeichnet man dann, von einem beliebigen Ak anfangend, alle Seiten der Reihe nach, jede normal zum nächsten Höhenlot, so gelangt man stets auf Ak zurück.

r

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448 Hoppe: Vieleck*, deren Höhenlote sich in einem Punkte schneid?*.

Nun ist jedes der Vierecke Bt+U CBt \n\\M ein Kreissehnen- viereck, da die Winkel bei den B rechte Bind; daher ist der Winkel bei C gleich dem Ausscnwinkel des Yielecks bei Ah. Nennt man letztern «*, so hat man:

<P*+«+i — qp*-| h ■= «* (3)

Setzt man in den 2 Gl. (1) k — 1 für k und eliminirt p*u* ?*> Qk-\ zwischen allen 4 Gleichungen, so kommt:

cos(<jp*^„fi— <p*f i)sin(<pt — <p*-i) =

cos (qp*> M — qp*-i) sin (<pk f i — tpk)

Drückt man nach der Formel (3) die Differenzen der <p in « ans und setzt k — n für £, so findet man:

J*.|-l8inajkCOS(a*f2-|-«r*+3+ ■ • • a*+n+l) a

/jfc8incjk-f-ico8(«jt-|-ff*4-i-f • • • W

Die hierin für k = 1, 2, , . . 2n-f-l enthaltenen Gleichungen geben vermöge der Relation er, -f- <** + • • • cf2«fi — 4R ein identisches Pro- duet. Demnach gibt es 2n Relationen zwischen den Seiten und Win- keln des Vielecks als Bedingungen des gemeinsamen Höhenschnitts, und zwar keine Bedingungen für die Winkel, ausser der bekannten Summe aller, Sind letztere gegeben, so sind dio Seitenverhältnisse eindeutig bestimmt. Sind die Seiten gegeben, so sind die Gleichungen zur Bestimmung der Winkel der Zahl nach gerade ausreichend; die Bedingungen, uuter denen sie reell werden, würden weitere Unter- suchung erfordern.

Litterariacher Btricht XXIX.

1

Litterarischer Bericht

XXIX.

Arithmetik, Algebra und reine Analysis.

Cour» d'analyso do l'Eeole Polytechuique. Par Ch. Sturm, Membre de l'Iustitut. Kevu et eorrige par E. Prouhet, Repetiteur d'analyse ä l'ßcole Polytechuique, et augmente de la theorio el6- meutaire des fouetions elliptiques par H. Laurent. Neuvierae 6di- tiou, revue et miso au couraut du uouveau programmc de la Licence par A. de Saint-Germain, Professeur ä. le Faleult6 des Scieuces do Caeo.' Paris 1868. Gautbier-Villars et fils. 1220 S.

Die erste Ausgabe ist von Prouhet uach dein Mauuscript von Sturm in dessen Auftrage bearbeitet. Bald uach Beginn dieser Ar- beit starb Sturm. Die Theorie der elliptischen Fuuctioueu kam später hinzu. Der gegenwärtigen Ausgabe geht eiue Lebensbeschrei- bung Sturm's voraus. Karl Sturm, geboren 1803 in Genf, ausge- bildet au der Akademie daselbst von Schaub, Dufour und Lhuilier, war anfangs Privatlehrer, von 1825 an iu Paris, wo besonders Arago, Ampere und Fourier an seiuen Arbeiten Iuteresso nahmen, ward 1830 Professor der Mathematik am College llollin, 1836 Mit- glied der Akademie der Wissenschaften, 1838 Kepetitor, 1840 Pro- fessor an der Polytechnischen Schule und Lehrer der Mechanik an der Sorbonne an Poissou's Stelle, erhielt von vielen Seiten Aus- zeichnungen und starb 1855 in Paris. Schriften von ihm werden 46 aufgeführt.

Sturm's Ruf gründet sich nicht allein auf seine wissenschaft- lichen Leistungen , auch die Klarheit seines Vortrags wird laut der Biographic sehr gerühmt. Da letztere in eiuem Lehrbuche wie dem

Arcb. d. Matli. n. Phya. % Reihe, Teil VIII. 1

2

Littirarischer Bericht XXIX.

vorliegenden von besonderer Wichtigkeit ist, so können wir nicht mit Nachsicht darüber hinweggehen, wenn der ausdrücklich alB Fnn- dumcntalsatz der Analysis bezeichnete Satz, nach 8 Revisionen die er erfahren hat, völlig unklar ausgesprochen ist und ein gänzliches Misverstehen von Seiten des Verfassers kund gibt Er lautet:

„Si deux quantites qui varient simultaneraent restent constam- raeut egales entre elles, daits tous lea etats de grandeur par lesqoels elles passent, et si Ton sait que l'une d'elles tend vers une limite, il est evident que 1'autre tend aussi vers la mßmc limite ou vers une limite egale u celle-lä."

Offenbar sind 2 Variable, die bei ihrer Variation einander stets gleichbleiben, nichts weiter als eiue Variable zweimal gedacht. Der Satz sagt also, dass diese Variable beim zweiten Denken noch den- selben Grenzwert hat, den sie beim ersten Denken hatte. Das ist ein Satz, desssen Inhalt null ist, und daraus folgt, dass jeder Beweiä, der sich auf denselben als notwendiges Glied stützt, falsch seia muss. So ist denn die gesamte Analysis nach Darstellung des Ver- fassers, sofern sie sich angeblich darauf slützt, auf lauter Trugschlüsse gebaut.

Der obige Satz geht aus demjenigen Fundamcntalsatze, an dessen Stelle er steht, durch eine wunderliche Verwechselung hervor. Der richtige Satz lautet: Zwei Coustantc, welche Grenzwerte einer, gleich variirenden Grösse sind, sind einander gleich. Statt aber zwei Constante und eine Variable zu betrachteu, nimmt Sturm zwei Variable und eine Constante; statt zwei Dingo durch ein Band zu vcrkuüpfen, wird hier ein Ding durch zwei Bänder mit sich selbst verkuüpft

Dass Sturm seinen Satz evident nennt und nicht beweist, ist gauz natürlich. Er gibt dafür eiue Anwendung von demselben, die wir als bestätigendes Beispiel unserer Aussage, dass jede solche einen Trugschluss enthalten muss, anführen wollen. Seien /, *, r Fläche, Umfang, Radius eines Kreises, fH, r die eines umschrie- benen regelmässigen necks; dann ist f„ = \r*n. Weil uuu der Kreis Grenze des Vielecks sei, folgert Sturm, sei vermöge seines Satzes /" =- \r*. Dies stimmt aber wie man sieht gar nicht mit jenem Satze; denn dieser sagt nur, dass, wenn lim/M«=/", auch Um ist uud umgekehrt, während \r* ganz unberührt und unbekannt bleibt. Verhüllt wird der handgreifliche Fehler bloss durch die vage vulgäre Vorstellung von der Grenze, ein Begriff der anfänglich richtig defiuirt, hier aber nicht dementsprechend angewaudt wird. In Wirk- lichkeit genügt eiue Grcnzrelation nicht zur Folgerung /" = \rs\ es

LitUraritcher Bericht XXIX.

3

moBB ausser / auch \rs als Grenze von /,,, oder, was dasselbe ist, s als Grenze von sH bekannt sein.

Auf die Erörterung des Grenzwerts folgt noch besonders einiges über den Begriff der unendlich kleinen Grössen, beginnend mit den Worten:

„Lorsqu' une quantite variable prend des valeurs de plus en plus petites, de maniere qu'elle puisse devenir moiudre quc toute quantite donneV, ou dit qu'elle devient infiniment petita."

Dem wird hinzugefügt, dass die Unendlichkleine wesentlich eine Variable ist, die den Grenzwert 0 hat. Letztere Angabe würde zar Definition genügen, vorausgesetzt, dass der Grenzwert vorher definirt ist. Dio angeführte Stelle aber ist durchaus unklar, geht um den Sinn und Gebrauch des Wortes herum ohue ihn zu treffen. Wenn in der Analysis von unendlich kleineu Grössen die Rede ist, sagt man nicht, dass irgend welche Grössen unendlich klein werden, Kon (lern man nennt jene Variabele einfach „unendlich klein"; dem factischen Gebrauche nach (welcher keine Licenz, sondern völlig exaet ist) sind sie also unendlich klein. Was unendlich klein ist, dar- über fehlt jede Angabe in jener Stello, dio doch gewiss eine Er- klärung sein soll; der Begriff bleibt rätselhaft und dunkel.

Das Angeführte zeigt wol zur Genüge, dass das Buch Anfängern der Analysis nicht zu empfehlen ist. Es bisteht aus 2 ßäuden; im ersten ist die Differentialgleichung mit Anwendung auf Reihen und Curven, im zweiten die Iutegralrechuung mit Anwenduug auf krnmme Flächen behandelt Hoppe.

Abhandlungen aus der reinen Mathematik vonN. V an dermo n de. In deutscher Sprache herausgegeben von Carl Jtzigsohn. Berlin 1888. Julius Springer. 104 S. Text und 4 Zableutafeln.

Es werden uns im Vorliegenden 4 Abhandlungen aus dem vorigen Jahrhundert durch deutsche Ausgabe näher gerückt, in einer Zeit, dio geneigter ist die Genialität der darin ausgeführten Gedanken zu würdigen als die vergangene, die mehr Vollendung oder sicherere Gewährleistung verlangte. Die erste Abhandlung „über die Auflösung der Gleichungen" betrifft die verschiedenen Auffassungen der alge- braischen Gleichungen. Die zweite „über die irrationalen Grössen verschiedener Ordnung nebst einer Anwendung auf den Kreis" geht von einer Erweiterung des Potenzbegriffs aus. Statt eines Products gleicher Factorcn wird das Product einer endlichen arithmetischen Reihe gesetzt, deren mte Differenz null ist. Die Bedeutung negativer

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Litterarischtr Bericht XXIX.

und Null-Exponenten liegt anf der Hand; die Einführung gebrochener Exponenten beschränkt sich hier anf den Exponenten \ \ hierzu dient der Kreis. Als dritte Schrift folgt nun ein Bericht über vorstehende Abhandlung aus den historischen Notizen der Königl. Akad. der Wiss. zu Paris 1772. Dieser legt Gewicht darauf, dass die Irratio- nalzahl n einen analogen Ursprung mit der irrationalen Potenz- wurzel erhalten hat, und sagt, durch diese Arbeit sei ein neuer Weg eröffnet, uud Vandermonde werde jederzeit gerechton Anspruch auf die ruhmvollen Erfolge haben, die man in späterer Zeit dadurch er- zielen werde. So hoch mau nun aber den originellen Gedanken des Verfassers auch schätzen mag, so ist doch letztere Aeusserung etwas zu phantastisch. Zunächst ist der Weg der Untersuchung kein of- fener, solange die Probleme, von denen er abhängt, nicht sichtlich lösbar sind. Wären sie aber auch gelöst, so kann der eine Fall der Zahl n kaum irgend eine Wahrscheinlichkeit bieten, dass die analogen Irrationalen mit den Zielen der Analysis in Beziehung ste- hen. Die vierte Abhandlung „über die Elimination1 * zeigt den Weg der Entdeckung der Determinantentheorie in der Forschuugsweise dcB Verfassers. H.

Ein Beitrag zur Theorie der Ordnuugstypen. Von Dr. Her- mann Cuno Sch warz. Halle a. S. 1888. H.W.Schmidt 43 S.

Das Vorliegende schlicsst sich an eine Arbeit von Georg Cantor an, welcher auch den Namen Ordnungstypeu eingeführt hat Der Gegenstand ist eine Mengo nach begrenzt vielen Dimensionen ge- ordneter Elemente, die zwar niebt durch Bescbaffenheit, aber durch ihren Rang (Ordinalzahl) unterschieden sind. Hierin liegt in der Tat eine specicllc Beschräukung des Themas; denn eine Menge kann auch nach einem Gesetze geordnet sein derart, dass sich die Dimen- sionen beständig mehren. Das Gegenwärtige stellt sich die Aufgabe, Uber dio Menge aller derjenigen Ordnungstypeu Aufschlus zu geben, welche auf dieselbo (Kardinalzahl fuhren, so wie über daran sich an- knüpfende Fragen. Es ergiebt sich , dass die Untersuchung betref- fend beliebig viele Dimensionen sich auf die für 2 Dimensionen re- ducirt. Schliesslich wird auf eigentümlich definirte Reihensummen Anwendung gemacht. H.

Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen Über höhere Arith- metik. (Disquisitiones arithmeticac. Theorematis aritbmctici demon- stratio nova. Summatio quarumdam serierum singularium. Theore- matis fundameutalis in doctrioa de residuis quadraticis dernonstra- tiones et ampliationes uovao. Theoria residuorum biquadraticoram,

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Litterarischer Bericht XXJX.

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commentatio prima et secunda. Etc.) Deutsch herausgegebeu von H. Maser. Berlin 1889. Julius Springer. 695 S.

Das Buch enthält in der Originalausgabe der gesamten Werke wie in der Uebersetzung die Zahlentheorie von den Elementen be- ginnend auf dem Standpunkte, auf den sie Gauss erhoben hat Es ist darin kein Unterschied gemacht, ob Teile schon vor ihm bekannt waren. Er hat die Werke seiner Vorgänger wie er sagt nicht vor- her gelesen, sondern alles selbst entdeckt, daher manches nach an- derer Methode hergeleitot. Die Abschnitte sind: Von der Congruenz der Zahlen im allgemeinen; vou der Congruenz ersten Grades; von den Poteuzresten ; von den Cougrucnzen 2. Grades ; von den Formen und unbestimmten Gleichuugcn 2. Grades-, verschiedene Anwendun- gen-, über diejenigen Gleichungcu, vou deuen die Teilung des Kreises abhängt; neuer Beweis eines arithmetischen Satzes; Summirung ge- wisser Reiben von besonderer Art; neue Beweise und Erweiterungen des Fundamentalsatzes in der Lehre von den quadratischen Resten; Theorie der quadratischen Reste, 2 Abhandlungen; einige Unter- suchungen aus dem handschriftlichen Nachlasso von Gauss II.

Lehrbuch der Differential - Gleichungen. Von Dr. Andrew Russell Forsyth, Professor am Trinity College zu Cambridge. Mit einem Anhange: Die Resultate dor im Lehrbuche angeführten Uebungsaufgaben enthaltend, herausgegeben von H. Maser. Auto- risirte Uebersetzung. Braunschweig 1889. Friedrich Vieweg und Sohn. 742 S.

Das Buch enthält der Reihe nach: als Einleitung die allgemei- nen Beziehungen zwischen den Differentialgleichungen und ihren Lösungen, dann Differentialgleichungen der 1. Ordnung; allgemeine lineare Gleichung mit con stauten Coefficienten; vermischte Metho- den; Integration durch Reihen; die hypergeometrische Reihe; Lö- sung durch bestimmte Integrale ; gewöhnliche Differentiale mit mehr als 2 Veränderlichen; partielle Differentialgleichungen erster, dann zweiter und höherer Ordnung. Mit der Theorie sind viele Uebungs- aufgaben, über das ganze Buch zerstreut, mehr als 800, verbunden und im Anhang jedes Abschnitts die Resultate oder Andeutungen zur Lösung gegeben. Bei der Wahl der Methoden wird dem prak- tischen Interesse vor dem theoretischen der Vorzug zugeschrieben. Die Uebersetzung entspricht der 2. Ausgabe von Forsyth's Werke „A treatise on differential equations", welche sich indes nur unbe- deutend von der ersten unterscheidet H.

6

Liiltraritchtr Bericht XXIX.

Zum Gesetz der grossen Zahlen. Untersuchung der Ziehungs- ergebnisso der Präger und BrUnncr Lotterie vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Emanuel Czubcr. Prag 1889. Dominicu8. 41 S.

Der Mittelwert von vielen gl eich möglichen Worten, resp. wo begünstigende Ursachen einspielen, von den mit ihren Chancen mul- tiplicirten Werten hoisst gewöhnlich der mathematisch wahrschein- liche Wert. Ebenso lässt sich die wahrscheinliche Abweichung von diesem Mittelwerte berechnen. Das Gesetz der grossen Zahlen sagt nun aus, dass der Umfang der Abweichungen für unendliche Anzahl von Fällen unendlich klein wird. Er hat offenbar keinen theoreti- schen Grund, sondern beruht rein auf Erfahrung. Der Verfasser hat nun die aufgezeichneten Ergebnisse der Prager und Branner Lotterie benutzt um es zu prüfen und gefunden, dass der wirkliche Umfang der Abweichungen weit kleiner ist als die wahrscheinliche Abweichung. Es werden eine Anzahl Wahrscheinlichkcitsfragcn be- rechnet, z. B.: Nach wicvielen Ziehungen, deren jede nur einen be- stimmten Teil der vorhandenen Numcrn umfasst, werden alle Numern erschöpft sein? — dann das Rechnungsresultat mit den Beobach- tungen verglichen. H.

Grundriss der Theorie der Zinsrechnung. Von Dr. Heinrieb Bleicher. Mit Tabellen. Berlin 1888. Julius Springer. 75 S.

In der Einleitung werden die Begriffe normirt und die 3 hier behandelten Fälle: 1) einfacher Zins bei dauernder gleichen Rente 2) Zinseszins bei wachsendem Capital ohne Rente 3) Aufzehrung des Capitals bei gleichmässigem Zuschlag zur Rente — erörtert, dann einzeln deren Theorie entwickelt, und am Schlüsse Tabellen ge- geben über Zinsfactoren für ein Jahr nach Monaten und auch Tagen innerhalb eines Monats, Zins- und Discont-Factoren für den Schluss des Jahres, Tafeln zur Ueberftihrung discontinuirlicher Ver- zinsung in continuirliche und umgekehrt. II.

Lehrbuch der politischen Arithmetik für höhere Handelsschulen (Handelsakademien) und zum Selbstunterricht bearbeitet von F. S. Holzinger, Professorauder öffentlichen Handelsakademie in Linz. Braunschweig 1888. Vieweg und Sohn. 156 S.

Das den Lehrplänen entsprechend für die 3. Ciasso der Handels- akademien von Wien, Prag, Linz, Innsbruck u. a. bearbeitete Lehr- buch behandelt nach einander: als Einleitung die einfache Zinsrech- nung, dann die Zinseszins- und Zcitrentenrechnung , Anlcbenscours

Litterarischer Bericht XXIX

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und Construction voii Amortisations-Plänon , Coustructiou von Lot- terie-Anlcbens-Plnncn, Wahrseheinl'chkoits- und Leibrentenrechnung, Capitalsversiehcrung, Verbindungsrenten (von der Verbindung zweier

Personen abbangend) und gibt Tabellen für logl 1±:^).( 1±

Sterblichkeit uud die davon abhängigen Renten. Es

ist gauz zweckmässig, dass bei specieiler Rochnuog nicht die allge- meine Formel, sondern die Methode eingeübt wird. Eine Unklarheit macht sich im Anfange des Buches bemerklich, wo gesagt wird: wenn ein Capital c zu p proc. n Jahre einfach verzinst würde, so wäre

cpn

es nach diesen n Jahren auf c_f"^j angewachsen. Dies ist ein

Widerspruch; denn wenn das Capital wüchse, so würden zufolge des Vordersatzes auch seine jährlichen Zinsen wachsen. Wäre diese unlogische Redeweise im geschäftlichen Verkehr in Gebrauch, so hätte umsomehr das Lehrbuch die Pflicht darüber Aufklärung zu geben und sich selbst wenigstens exaet auszudrücken. H.

Aufstellung von n Königinnen auf einem Schachbrett von «* Feldern, derart dass keine von einer andern geschlagen werden kann. (Von » — 4 bia n — 10.) Von Dr. August Pein, Oberlehrer an der Realschule zu Bochum. Mit 7 Figurentafeln. Leipzig 1889. Gustav Fock. 4°. 62 S.

Die bezeichnete Aufgabe ist für specielle Zahlen « bis « «-» 8 von mehrern Mathematikern behandelt uud gelöst. Es werden deren genannt: Gauss (und Schumacher), Nauck, Natani, Günther, Glaisher, De la Noe. Zu deren Arbeiten fügt die gegenwärtige als neu hinzu 352 Lösuugen für n — 9 und 724 Lösungen für « = 10. An der Vollständigkeit der erstem hat der Verfasser keinen Zweifel, letztere Zahl hält er noch für unsicher. Analytische Lösungen hat noch keiner der Vorgänger gegeben, und die gegenwärtige Bearbeitung geht auf keine solche aus. In dieser Hinsicht war, wie es scheint, Günther der erste, welcher die analytische Gestaltung des Problems als eigentliches Ziel ins Auge fasstc uud soviel erreichte, dass das Verfahren der Ausschliessung eine bedeutende Vereinfachung und Ueber8ichtlichkeit , daher auch grössere Sicherheit gewann. Hierzu fügto Glaisher noch eine Verbesserung. Der Verfasser hat diese Methoden zur Lösung in Anwenduug gebracht, der Standpunkt des Problems ist dabei derselbe geblieben. Der Inhalt der Schrift be- steht in der Vorführung aller Betrachtungen, welche zur Auffindung und Vervielfältigung der Lösuugen als bekannt zur Verfügung ste- hen, und der tabellarischen Aufstellung der Resultate. H.

1

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Litterarischer Bericht XXiX.

9

lässt an Gründlichkeit und Vollständigkeit nichts vermissen: keine Vernachlässigung findet statt ohne Nachweis der Berechtigung-, was in den Origiualarbeiten die Grenzen des Beabsichtigten überschreitet oder für dasselbe entbehrlich war, ist wenigstens durch Citatc zu- gänglich gemacht. Das Ganze liefert demnach eine vollständige Entwickelung des heutigen Staudpunktes des Problems. Nach dem vorbereitenden ersten Abschuittc, in welchem namentlich das Pro- blem zweier und dreier Körper behandelt werden, teilt sich die Auf- gabe des Buches in zwei Fragen: 1) Was ist in dem Problem der n Körper im voraus bekannt? 2) welche approximative Methoden stehen bei desscu Ergäuzuug zur Verfügung und siud in Anwenduug gekommen. Dieser natürlichen Teilung gemäss werden im 2. Ab- schnitt die vorhandenen Integrale augegeben und die allgemeinen Eigenschaften der Integrale entwickelt, im 3teu die Störungsrech- nungen gelehrt. Am Schlüsse jedes Abschnitts wird die Geschichte der betreffenden Entdeckungen zusammengestellt. Tabellen der neue- sten Wertangaben der Coustanten stehen am Ende. H.

Die Form, Anziehung und materielle Beschaffenheit der Erde. Von Theod or Sc hm id. Linz 1887. Verlag der k. k. Staats- Ober-Realschule. 65 S.

Ein Teil der Schrift ist im Jahresbericht der genannten Schule für das 36. Studienjahr enthalten, die Fortsetzung besonders heraus- gegeben. Es wird zunächst die Geschichte des Problems, in welcher 4 Entwickelungsphasen durch die Namen Newton, Clairaut, Laplace, Stokes kenntlich gemacht sind, vorgetragen, dann über sämtliche Untersuchungen und Theorien, welche aus dem Problem hervorge- gangen sind, mit Eingehen auf die Hcrleitungen Bericht gegeben. Die nach einander behandelten Gegenstände sind: das Potential, insbes. des Ellipsoids; Form und Anziehung einer homogenen, flüssi- gen Masse, welche um eine Axe rotirt; Potential eines Ellipsoids mit kleinen Excentricitäten ; Form und Anziehung einer flüssigen Masse, welche ein festes Ellipsoid bedeckt, das aus uneudlich vielen Schichten veränderlicher Dichte und Abplattung zusammengesetzt ist; Beschaffenheit des Erdinnern auf Grund einer Hypothese ; das Poten- tial mit Rücksicht auf die Theorie der Kugelfunctioncn ; das Geoid und die Störungen; Schwcremessuugen und Bestimmung der mitt- leren Dichte der Erde. IL

Cours d'astronomio pratique. Application ä la geographie et ä la navigation. Par E. Las pari, Ingenieur hydrograpbe de la ma- rine. Paris 1889. Gauthier-Villars et hls.

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Literarischer Bericht XJC1X,

Dies Buch ist bestimmt für Reisende zur Seo und zu Lande, welche eigene Beobaebtungcn zu macben beabsichtigen. Es erteilt ibucn reichlich alle dazu erforderliche Belehrung und Angaben aus der Astronomie und mathematischen Geographie. Das 1. Buch be- handelt die Probleme der sphärischen Astronomie, das 2te die Theorie der Instrumente, das 3tc die Bestimmung der geographischen Ele- mente, complementärc Breite, Zeit, Azimut und Länge nebst Ge- brauch des Chronometers, das 4to die Karten projectionen, zum Schlusss die Theorie der Beobachtungsfehler. H.

Anlcituug zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen t in Eiuzel-Abhandluugcu verfasst und herausgegeben vou Dr. G. Neu- mayer, Director der deutschen Seewarte. Zweite völlig umgearbei- tete, und vermehrte Auflage. Mit Zahlzeichen Holzschnitten und zwei lithogr. Tafeln. Berlin 1888. Robert Oppenheim. 82 Bogen.

Die Abhandlungen sind folgende. Fr. Tictjen: Geograph. Ortsbestimmungen. W. Jordan: Topogr. und geogr. Aufnahmen, v. Richthofeu: Geologie. H. Wild: Bestimmung der Elemente des Erdmagn. J. Hanu: Meteorol. E. Weiss: Anweis, zur Beob. allg. Phäu. am Himmel. P. II offmann: Naut. Vermess. C. Bor- gen: Beob. über Ebbe uud Flut. v. Lorenz-Liburnau: Beur- teil, des Fahrwassers in ungeregelten Flüssen. 0. Krümmel: Einige oceanograph. Aufgaben. M. Linde manu: Erheb, über den Weltverkehr. G. Neumayer: Hydrogr. und magn. Beob. an Bord. A. Mcitzen: Allg. Landeskunde, polit Geogr. uud Statistik. A. Gärtner: Heilkuude. A. 0 rth : Landwirtsch. L. Wi tt mack: Land- wirtschafte Culturpttanzen. 0. Drude: Pflanzengeogr. P. Ascher- son: Die geogr. Verbreitung der Seegräser. G. Sch w ein für th: Pflanzen höh. Ordn. A. Bastian: Allg. Begriffe der Ethnol. H. Steinthal: Linguistik. H.Schubert: Das Zählen. R. Virchow: Anthropol. und prähist. Forsch. R. Hartmann: Säugetiere. H. Bolau: Waltiere. G. Hartlaub: Vögel. A Günther, Reptilien, Batraebier und Fische, v. Martens: Mollusken. K. Möbius: Wirbelloso Scetiere. A. Gerstäcker: Gliedertiere. G. Fritsch: Das Mikroskop und der pbotogr. Apparat. Diese Abhandlungen sind auch einzeln käuflich. H.

Les etoiles tilantes et les bolides. Par M. F61ix Höment, Laureat de l'Iustitut, Iuspecteur geueral honoraire de Instruction publique. Paris 1888. Gauthier-Villars et fils. 108 S.

Dies Buch ist für Nicht-Astronomen bestimmt, welche für Ilim- molscrschcinuugeu Interesse haben. Es beschreibt die Erscheinungen

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Literarischer Bericht XXIX.

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von Sternschnuppen , charalttcrisirt ihre Unterschiede, macht Au- gaben über die Zeit ihrer Beobachtung, ihre Periodicit&t und Häufig- keit, nennt die Beobachter der bemerkenswertesten Erscheinungen nebst den Orten der Beobachtung und teilt die Ansichten über ihre Erklärung mit. H.

Kalender-Karten für die Jahre 1800 — 1999. Entworfen von Prof. Dr. Felix Müller. Berlin 1888. Rudolf II ertzberg. Format 10 X 7 ctm. 34 S.

Die Karten geben auf kleinst möglichem Räume mit geringst möglichem Aufwände von Mühe für jeden Monatstag jedes Jahres den Wochentag und für jedes Jahr den Ostcrtag. Je 2 Nebenseiten ent- halten den Kalender aller Jahre von gleichem Cyklus: links findet man die Beziehung zwischen Monats- uud Wochentag , rechts die Jahre, denen sie gemeinsam zukommt, nebst Oster tag. Am Schlüsse weist ein Register jedem Jahre die betreffende Karte zu.

H.

Astronomischer Kalender für 1889. Nach dem Muster des Karl von Littrow'schen Kalenders herausgegeben von der k. k. Sternwarte. Neue Folge. Achter Jahrgang. Wien, Carl Gerold's Sohn. 145 S.

Die Beilagen zu diesem Jahrgange haben folgende Gegenstände : I. Neue Planeten und Kometen. II. Das Chronodeik. III. Mars. IV. Uebcrsicht des Planetensystems, A) Bahnelemcute der grossen Planeten, B) der Satelliten, C) Vcrzeichuiss der Asteroiden, alphabe- tisch und nach ihrer Eutdeckungszeit, und ihre Bahnelemente.

H.

Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben von der österreichi- schen Gesellschaft für Meteorologie und der deutschen meteorologi- schen Gesellschaft. Redigirt von Dr. J. Hann, Wien, Hohe Warto, und Dr. W. Köppcn, Hamburg, Seewarte. Fünfter Jahrgang 1888. (zugleich XXIII. Bd. der „Zeitschrift der Oesterreichischen Gesell- schaft für Meteorologie"). Berlin, A. Asher u. Co.

Der 5. Jahrg. enthält folgende Abbandlungen.

Ferrari: Beitr. z. Gcwitterk. Hann: Bezieh, zw. Luftdruck u. Temp.-Var. auf Berggipfeln. Woeikof; Einfl. von Land und Meer auf d. Lufttemp. Weber: Photometr. Beob. während d. Son- neufinst. 1887. Wild: Regenvcrh. d. russ. Reichs. Ekholm: Abi. einer period. Funct aus einer Reihe beob. Grössen. Meyer: Ge-

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Lt'tleraritcher Bericht XXIX.

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T. J. Stieltjes: Ueber eine Verallgemeinerung der Formel der endlichen Ineremente.

A. Pellet: Approximative Teilung eines Kreisbogens in ge- gebenem Yerhältniss mit Hülfe der Regel des Zirkels.

Bioche: Ueber die KrummungBlinien gewisser Regel flächen.

Delannoy: Ueber die Dauer des Spieles.

£. Catalan: Verschiedene Sätze und Aufgaben.

J. Re reille: Ueber einen Satz der kinematischen Geometrie.

V. Jamet: Ueber das Genus der triangulären ebenen Curven.

Fabry: Zurück tu hrbarkeit der linearen Differentialgleichungen.

de Presle: Ueber die Eut wickeln ng von cot* in eine Reihe von Brüchen. — Successive Derivirte einer ganzen Potenz einer Function 1 Variabein ; dito einer Function nebst Anwendung auf die Bestimmung der bernoullischen Zahlen.

Williot: Einfachstes Verfahren der Berechnung der bernoulli- schen Zahlen.

R o uche: Bemerkungen in Antwort auf eine Note von Delannoy.

G. A. Laisa nt: Arithmetische Bemerkungen Uber die zusam- mengesetzten Zahlen. — Ueber ein System zweier ebenen Curven. — Ueber die factorielle Zählung, Anwendung auf Permutationen.

Weil: Ueber ciue Eigenschaft der Systeme ebener Curven.

E. Lemoine: Coordinatensysteme, welche am einfachsten einen Punkt durch Construction bestimmen.

M. d'Ocagne: Ueber die Hauptsysteme von Peninvarianten einer linearen Form. H.

Annales de la Faculte* des Sciences de Toulouse, pour les Sci- ences matbematiques et les sciences physiques, publiees par un co- mite de redaction compose des professeurs do mathematiques , de physique et de chimie de la Faculte. Sous les auspiecs du Mini- stere de Instruction publique et de la Municipalite de Toulouse avec le concours des Conseils Gencraux de la Haute-Garonne et des Hautes-Pyrenees. Tome II. Annee 1888. Paris, Gauthier- Villars et Iiis.

Der 2. Band enthält folgende Abhandlungen.

Ch. Bio che: Ueber die asymptotischen Linien gewisser wind- schiefer Flächen.

P. Painleve: Ueber die singularen Linien der analytischen Functionen.

Hermite: Bemerkungen über die Zerlegung der doppelt perio- dischen Functionen in einfache Elemente. - Ueber die Transfor- mation des Integrals 2. Gattung.

F. Tisserand: Ueber eine Differentialgleichung 2. Ordnung, welche in der Himmelsmechanik eine wichtige Rolle spielt.

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Litterarischer Bericht XXJX.

B. Baillaud: Ergänzende Untersuchungen Uber die En t Wicke- lung der Störungsfunction.

G. Koenigs: Beiträge zur Theorie des Kreises im Räume.

F. J. Stiel tj es: Ueber die lineare Transformation des ellipti- schen Differentials dx : yx

A. Destrem: Verdrängung des Kupfers durch Zink und Cad- mium in einigen Lösungen von Kupfersalzen.

P. Duhem: Historische Studie über die Theorie der Magneti- sirung durch Influenz. H.

Verslagen en Mcdedeelingen der Koninklijke Akademie van Weetenschappen. Afdeeling Natuurkunde. Derdo reeks. Derde, Vierde deol. Amsterdam 1887. 1888. Johannes Müller.

Der 3. Teil enthält 2 mathematische Aufsätze von

P H. Schouto: Ueber eiue enge Beziehung zwischen dem Bro- rard'schen Winkel uud Brocard'schen Kreise. — Allgemeine Regel für die Bahnform und Dauer der centralen Bewegung.

Der 4 Teil enthält die folgenden.

F. J. van den Berg: Ueber die graphische Auflösung eines Systems linearer Glcichuugen.

J. de Vries: Quadrupelinvolutioneu auf biquadratischen Curven.

Ausserdem verschiedenes Geschichtliches von D. Bierens de Haan und D. J. Korteweg. H.

Mathematische und physikalische Bibliographie.

XXIV.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Fortschritte, die, der Physik im J. 1883. Dargest. v. der phy- sikal. Gesellschaft zu Berlin. 39. Jahrg. 1. Abth., cnth. Physik der Materie. Rod. v. L. Rosochatius. Berlin, G. Reimer. 9 Mk.

Graf, J. II., Geschichte der Mathematik u. der Naturwissen- schaften in bernischen Landen vom Wiederaufblühen der Wissen- schaften bis in die neuere Zeit. 2. Hft. Das XVII. Jahrhundert. Bern, Wyss. 1 Mk. 20 Pf.

Jahrbuch üb. die Fortschritte der Mathematik, begründet v. C. Ohrtmaun. Unter bes. Mitwirkg. v. F. Müller u. A. Wangerin, hrsg. v. M. Hcnoch u. E. Lampe. 18. Bd. Jahrg. 188C. 2. Hft. Berlio, G. Reimer. 8 Mk.

Bolzano' s, B., Paradoxien d. Unendlichen, hrsg. aus dem schrift- lichen Nachlasse des Verfassers v. F. Pfihonsky. 2. Afl. Berlin, Mayer & M. 3 Mk.

Miller- II auenfels, A. Ritter v., Richtigstellung der in bis- heriger Fassung unrichtigen mechanischen Wärmetheorie uud Grund- züge einer allgemeinen Theorie der Aothcrbewegungen. Wien, Manz'schcr Hof-Verl. 4 Mk. 80 Pf.

Zimmermann, W. F. A., Naturkräftc u. Naturgesetze. 4. Afl. Bearb. u. hrsg. v. B. Dürigen. 23.-25. Lfg. Berliu, Dümmler's Verl. 50 Pf.

Otto, C, n. H. Diesen er, Lehrbuch der gesammten niederen

Mathematik. 5 Ufte. Hallo, Hofstottor. 11 Mk. 80 Pf.; in 2 Bde. geb. 13 Mk. 50 Pf.

Methode und Principien.

Lehrbücher.

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Gegenbauer, L, über windschiefe Determinanten höheren Ranges. Ebd. 60 Pf.

Lie, S., e. Fundamental satz in der Theorie der unendlichen Gruppen. ChriBtiania, Dybwad. 35 Pf.

Mertens, F., e. Beweis d. Fundaraentalsatzes der Algebra. Leipzig, Frey tag. 40 Pf.

Michaelsen, A., d. logarithmische Grenzfall der hypergeome- trischen Differentialgleichung «-Ordnung. Kiel, Lipsius & T. 1 Mk. 20 Pf.

Steinhauser, A., die Lehre von der Aufstellung empirischer Formeln m. Hilfe der kleinsten Quadrate. Leipzig, Teubner. 8 Mk.

Wirtinger, W., Beitrag zur Theorie der homogeneu linearen Differentialgleichungen m. algebraischen Relationen zwischen den Fundamental integralen. Leipzig, Frey tag. 30 Pf.

Zaiser, G. , das Speziesrechnen u. der Bruchsatz. Lehrbuch zur rationellen Behandig. d. Rechenunterrichts in den Oberklassen der Volks- u. Mittelschulen. Lehrer-Asg. Stuttgart, Bonz & Co. Kart. 2 Mk. 40 Pf.; Schüler-Asg. Kart. 45 Pf.

Geometrie.

Biel er, A., Leitfaden f. den Unterricht in der Raumlehre in gehobenen Volks-, Bürger- u. Mittelschulen. Jona, Mauke's Verl. 80 Pf.

Gl&nzer, K., die Gegenkurven der Kegelschnitte. Hamburg, Herold, Verl. 2 Mk. 50 Pf.

Hofmiller, 0., Grundzüge der orthogonalen Projektion. In Mappe. Bamberg, Buchner. 3 Mk. 80 Pf.

Koeltzsch, A., Grundzüge der Raumlehre. 2. Hft. Leipzig, Merseburger. 60 Pf.; Einbd. 10 Pf.

Ko estler, H., Leitfaden der ebenen Geometria f. höhere Lehr- anstalten. 1. Hft Kongruenz. 3. AM. Halle, Nebert. Kart. 1 Mk. 25 Pf.

Kuglmayr, L. , üb. Spiralen u. deren Tangirungs-Problera. Wien, Spielhagen & Sch. 7 Mk.

Mertens, F., Beweis der Darstellbarkeit irgend e. ganzen in- varianten Gebildes e. binären Form als ganze Function e. geschlosse- nen Anzahl solcher Gebilde. Leipzig, Freytag. 20 Pf.

Pelz, C, Note zur Abhandlung: „Ueber die Focalcurven d. QaeteleL" Ebd. 40 Pf.

Puchta, A., analytische Darstellung der kürzesten Linien auf allen abwickelbaren Flüchen. Ebd. 40 Pf.

Vries, J. de, üb. d. e. Vierseite harmouisch eingeschriebene Configuration 18s. Ebd. 40 Pf.

Weyll, der erste Uuterricht in der Raumlehre. Leipzig, Fock. 50 Pf.

Trigonometrie.

Conradt, F., stufenmässige Anordnung d. trigonometrischen Lehrstoffs der Gymnasien. Leipzig, Fock. 1 Mk.

Praktische Geometrie, Geodäsie.

Simon, P., Gewichtsbestimmungen f. Seitenverhältnisse in sche- matischen Dreiecksnetzen. Veröffentlichung d. königl. preuss. geodit. Instituts. Berlin, Stankiewicz. 2 Mk. 50 Pf.

Veröffentlichung des königl. preussischen geodätischen Instituts. Polhöheubestimmungen aus dem J. 1886 f. 20 Stationen nahe dem Meridian d. Brockens vom Harz bis zur dänischen Grenze. Ge- legentlich ausgeführte Polhöhen- u. Azimutbestimmungen aus den J. 1878- 1884. Ebd. 10 Mk.

Mechanik.

Brill, A., über die reducirte Resultante. München, Franz'scher Verl. 40 Pf.

Velde, W., üb. e. Spezialfall der Bewegung e. Punktes, welcher v. festen Centren angezogen wird. Kiel, Lipsius <fe T. 1 Mk. 60 P(-

Wolf, M. , die Differentialgleichung der mittleren Anomalie u. die Wahrscheinlichkeit der Convergenz in der Darstellung ihres In- tegrals. Heidelberg, Winter's Univ.-Buchh. 1 Mk. 60 Pf.

Technik.

Fortschritte der Elektrotechnik. Vierteljährliche Berichte. Hrsg- v. K. Strecker. 2. Jahrg. 1888. 2. Hft. Berlin, Springer. 5 Mk.

Fritsche, W., die Gleichstrom-Dynamomaschine, ihre Wirkungs- weise u. Vorausbestimmung. Ebd. 4 Mk.

Optik, Akustik und Elastieltät

Centrai-Zeitung f. Optik u. Mechanik. Red. : 0. Schneider. 10. Jahrg. 1889. Nr. 7. Leipzig, Gressner <fc Sehr. Vicrtelj. 2 ML

Einer, K., üb. e. Consequenz d. Fresnel-Huyghens'scben Prin- eips. Leipzig, Freytag. 20 Pf.

Koppe, C, die Photogrammetrie od. Bildungskunst Weimar, Verlag der dtschu. Photographen-Zeitung. 6 Mk.

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Straubel, R., üb. die Berechnung der Frauenhofen sehen Beu- gungserscheinungen durch Randintegrale m. besond. Berücksichtigung der Theorie der Beugung im Heliometer. Jena, Pohle. 1 Mk. 50 Pf.

Tumlirz, 0., Berechnung d. mechanischen Lichtäquivalents aus den Versuchen d. Herrn Julius Thomsen. Leipzig, Freytag. 30 Pf.

Beobachtungen, magnetische, d. Tifliser physikalischen Obser- vatoriums im J. 1886 — 1887. Hrsg. v. J. Mielberg. Russisch u. deutsch. St. Petersburg, Eggers & Co. 4 Mk.

Brosch, Ph. , Bahnbestimmung d. Kometen 1867. III. Leip- zig, Freytag. 50 Pf.

Hann, J., Untersuchungen üb. die tägliche Oscillation d. Ba- rometers. Ebd. 4 Mk.

Holetschek, J., Bahnbestimmung d. Pianoten (118) Peitho. 3. iL Ebd. 80 Pf.

Jahrbuch der meteorologischen Beobachtungen der Wetterwarte der Magdeburgischen Zeitung. Hrsg. v. A. W. Grützmacher. Jahrg. VII. 1888. Magdeburg, Faber. Kart. 6 Mk.

Jerofeieff, M., u. P. Latschinoff, der Meteorit v. Nowo- Urei. St Petersburg, Eggers <fe Co. 6 Mk.

Konkoly, N. v., Beobachtungen, angestellt am astrophysi kaii- schen Observatorium in O'Gyalla (Ungarn). 10. Bd., enth. Beobach- tungen vom Jahre 1887. Halle, Schmidt's Verl. 5 Mk.

Krebs, A., Beiträge zur Kenntniss u. Erklärung der Gewitter- Erscheinungen auf Grund der Aufzeichnungen über die Gewitter Hamburgs in den J. 1878-1887. Stuttgart, Maier. 1 Mk. 50 Pf.

Nachrichten, astronomische. Hrsg.: A. Krueger. 121. Bd. (24 Nrn.) Nr. 1. Hamburg, Mauke S. prcplt. 15 Mk.

Niessl, G. v., üb. das Meteor vom 22. April 1888. Wien, Hölder. 1 Mk. 60 Pf.

Palisa, A., Bestimmung der Bahn d. Planeten (211) Isoida. Leipzig, Freytag. 60 Pf.

Pernter, J. M., Messungen der Ausstrahlung auf dem Hohen Sonnenblick. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Pnblicationcn d. astrophysikalischen Observatoriums zu Potsdam. Nr. 23. 6. Bd. 3. Stück. Leipzig, W. Engelmann. 5 Mk.

Publicationen der v. Kuffner'schcn Sternwarte in Wien (Otta- kring). Hrsg. v. N. Hertz. 1. Bd. Wien, Frick. 15 Mk.

Singer, K., Temperaturmittel f. Süddeutschland. München, Th. Ackermann. 3 Mk.

Spörer, G. , Üb. die Periodicität der Sonnenflecken seit dem J. 1618, vornehmlich in Bezug auf die heliographische Breite der-

Erd- und Himmelskunde.

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selben, u. Nachweis e. erhebt. Störung dieser Periodicität während e. langen Zeitraumes. Leipzig, W. Engelmann. 2 Mk.

Yierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft. Hrsg. v. E. Schönfeld n. H. Seeliger. 23. Jahrg. 4. Hft. Ebd. 2 Mk.

Dass. 24. Jahrg. 1889. 1. Hft. Ebd. 2 Mk.

Physik.

Faraday, M., Experimental-Uutersuchungen üb. Elektricität. Uebers. v. S. Kalischer. 1. Bd. Berlin, Springer. 12 Mk.; geb. 13 Mk. 20 Pf.

James, E., l'electricitö. Cours public donne ä Bioune. Genf, Stapelmohr. 1 Mk.

Kleyer, A., die elektrischen Erscheinungen u. Wirkungen in Theorie u. Praxis. 97. — 100. Heft. Stuttgart. J. Maier. ä 25 Pf.

Müller-Pouiilet's Lehrbuch der Physik u. Meteorologie. 9. Afl. v. L. Pfaundler. 3. Bd. 2. Abth. Brauusch weig, Vieweg <fc S. 6 Mk. 50 Pf.

Troje, 0., Beiträge zur Analyse d. Uebergangswiderstande«. Königsberg, Koch. 1 Mk.

Tnmlirz, 0., n. A. Krug, die Energie der Wärmestrahlung bei der Weissgluth. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Vermischte Schriften.

Berichte, mathematische u. naturwissenschaftliche, aus Ungarn. Red. v. J. Fröhlich. 6. Bd. (Juni 1887 — Juni 1888.) Berlin, Friedländer & S. 8 Mk.

Kley er, A., Encyklopädie der gesammten mathematischen, technischen und exaeten Naturwissenschaften. 35. Lfg. Stuttgart, Maier. 1 Mk.

Melanges raathematiques et astronomiques tires du bulletin de l'Academie imperiale des scieuces de St. Petersburg. Tome VI. Livr. V. Leipzig, Voss' Sort. 3 Mk. 75 Pf.

Schriften der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft zu Königs- berg in Pr. 29. Jahrg. 1888. Königsberg, Koch. 6 Mk.

Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München. Jahrg. 1888. 3. Hft München, Franz'scher Verl. 1 Mk. 20 Pf.

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Litteraritcher Bericht XXX.

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Litterarischer Bericht

XXX.

Geometrie.

Einführung in die neuere analytische und synthetische Geome- trie. Für das Selbststudium leichtverständlich ausgearbeitet vou Dr. H. Kaiser in Dieburg. Mit 83 Holzschnitten im Text und 3 lithographirten Tafeln. Wiesbaden 1887. J. F. Bergmann. 190 S.

Der gesamte Inhalt des Buches zeigt, dass dasselbe eine Ein- führung in die neuere synthetische Geometrie ist, weit entfernt von der analytischen Geometrie eine Idee zu geben oder dieselbe irgend- wie zu berühren. Die weiter gehende Behauptung auf den Titel ist umso ausdrücklicher zurückzuweisen , weil die unbegrenzte Ausdeh- nung der synthetischen Geometrie leicht die ganze Universitätszeit in Beschlag nimmt, währeud die Studirenden von der Existenz der wirklichen analytischen Geometrie keine Ahnung haben und durch jene aumassende Aussage beständig im Irrtum erhalten werden. Die gegenwärtige Bearbeitung macht freien Gebrauch von Coordinaten in jeder zweckdienlichen Form, verbindet also Rechnung und räumliche Betrachtung. Die Berechtigung der synthetischen Geometrie dies zu tun kann niemand bestreiten, ihre Käme selbst weist auf die Tätig- keit hin. Auch der Ausfall der vorliegenden Lehre zeigt, dass durch Zuziehung des Rechnens keine abweicheudo Theorie entstanden ist Was dagegen der Verfasser in den dem Buche vorangestellten „ge- nerellen Bemerkungen'' über das Verhältniss der synthetischen und analytischen Methode sagt — sie verhielten sich wie Handarbeit (resp. Kopfarbeit) und Maschinenarbeit — ist lächerlich entstellend. Die Erfindung einer Maschine setzt voraus, dass, was sie leistet,

Aich, d. Math. u. Phyy. 2. Reihe, Teil VIII. 2

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Litterarischer Bericht XXX.

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gebilde nicht von ihnen abhienge. Zar Klarstellaug ist dreierlei za betonen. Erstens ist die Behauptung unrichtig, denn die Geschwin- digkeiten (naturlich die relativen der Teile) and die Erzeugnisse nach Gestalt und Eigenschaften bestimmen sich gegenseitig, es bleibt nur die Frage, wie mau sie aus einander findet Zweitens sind die Bestimmuugsgrössen kein blosses Hülfsmittcl der Deduction, soudern ein recht wesentlich zur Theorie gehöriges Element. Da der Ver- fasser im Anfange des Vorworts schlechthin von der Kinematik im gauzen redet, gleich nchher aber es erscheinen lässt, als ob die roin geometrischen Resultate dieses Gauze wäreu, so ist es wol nicht überflüssig zu erinuern, dass die so erhaltenen Gesetze doch nur dio eine, nämlich die qualitative Seite der Kinematik darstellen. Konuten diese Gesetze ohne Zuziehung der Quantitäten auch recht leicht und elegant gewonnen werden, bo würde man doch die vollständige fun- damentale Kinematik weit einfacher bei stets begleitender Formel herleiten , als wenn man die Quantitäten erst nachträglich aus den Lagenverhältnissen berechnen wollte. Drittens, wenn es sich um Vorzüge der einen und andern Methode handelt, so hat sich die rein geometrische bloss einen Mangel aus Maxime selbst auferlegt: sie kann das Erkannte nicht depouiren; sowol der Forschende als auch der Lernende ist genötigt die ganze Geistesarbeit des Vorstellens dauernd und immer von neuem zu vollziehen-, die Schöpfungen bleiben stets Privateigentum des Erzeugers, und wer sie fortsetzen will, muss grössere Gabeu besitzen als seine Vorgäuger. Die ordnenden Ge- sichtspunkte, welche über das Lagen verhältniss der Configurationen Licht verbreiteu, kommen der rein geometrischen Betrachtung nicht ausschliesslich zu: wer sie findet, hängt von der Begabung des Autors, nicht von der Methode ab, ihr Gebrauch aber kommt der Unter- suchung in jeder Form zugute.

Der Fortschritt in der Entwickelung der Theorie der Bewegung, unter welcher durchgängig dio Lagcuänderung in sich unveränder- licher Systeme verstanden wird, ist der, dass zuerst die Bewegung ebener Systeme in ihrer Ebene, dann die Bewegung eines räumlichen Systems um einen festen Puukt, endlich mit Ausschluss beider Spe- eiali täten die Bewegung eines Raumes im andern zur Behandlung gelangt. H.

Dio Geometrie der Lage. Vorträgo von Dr. Theodor Reye, o. Professor der Mathematik an der Universität Strassburg i. E. Erste Abtheiluug. Mit 82 Holzschnitten im Text Dritte, vermehrte Auflage. Leipzig 1886. Baumgartner. 248 S.

Die bedeutende Vermehrung besteht zunächst in der schon in

2*

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Lilteraritcher Bericht XXX.

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Methoden aufnimmt und in dieselben einfuhrt. Der I. Abschnitt be- handelt die GrnndzQge der Centralprojcction. Nach einleitender Er- läuterung der Sache und der allgemeinen Anordnungen sind die Gegenstände: die fundamentalen Beziehungen zwischen Punkten, Ge- raden und Ebenen und hierauf bezügliche Constructionen ; Beziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, welche von Längen- und Winkeigrössen abhängig sind. Der II. Abschnitt behandelt die Ele- mente der projecti vischen Geometrie, uud zwar: Allgemeines; Cur- ven 2. Grades als projectivische Erzeugnisse ; colliueare Verwandt- schaft zweier ebenen Systeme und deren specielle Formen; Aufgaben in centralprojectivischcr Darstellung mit Benutzung projectivischer und collinearer Constructionen. Der III. Abschnitt Transformationen centralprojectivischer Bilder. Der IV te aus Ebenen zusammengesetzte Gebilde, und zwar das Dreikant; die Darstellung durch Polygone, Polyeder, ihre ebenen und gegenseitigen Schnitte. Der 2. Band soll den krummen Flächen gewidmet sein. H.

Behandlung der Kegelschnitte mittels Linienkoordinaten. Von Dr. H. Willig, Realgymnasiallehrer zu Mainz. Wissenschaftliche Beilage zum Programm des Grossherzolichen Realgymnasiums und der Realschule zu Mainz. Herbst 1888. Mainz. 48 S.

Das Vorliegende teilt in elementarer Herleitung die Theorie der Liniencoordinaten und ihrer Anwendung auf die Elemente der Kegel- scbnittslehre zur Einführung in das Studium derselben mit. Der Verfasser empfiehlt, einige Teile davon schon auf der Schule zur Verwendung zu bringen. Dem werden wol Wenige beistimmen; die Betrachtungsweisen zu vervielfältigen, wo kaum Gelegenheit ist, die Bedeutung der Coordinaten in einer Form kennen zu lernen, möchte doch gewiss in pädagogischer Hinsicht das Allerunveruüiif- tigste sein und alle Orieutiruug vereiteiu. Nach einer Einleitung, welche die nötigen Anordnungen darlegt, sind die Gegenstände der Schrift: Transformation der Liniencoordinaten, der Kreis, die Pa- rabel, die Ellipse, die Hyperbel, Durchmesser der Kegelschnitte, andere Formen für die Gleichungen der Ellipse und Hyperbel, Dis- cussion der allgemeinen Gleichung 2. Grades. H.

Bing 's Kreiswinkel. Ein Beitrag zur Quadratur des Kreises. Rcdigirt von Regierungsbauführer Dorst. Düren (Rheinland), Carl Schleicher u. Schüll.

Das so benannte Instrument ist ein Linoal in Form eines recht-

winkligen Dreiecks mit einem Winkel, dessen Cosinus = L / . ist.

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Lilttrarücher Bericht XXX.

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Elemente der mathematischen Krystallographie in neuer leicht- fasslicher Darstellung. Nach den Vortragen von Johann Krejti, Professor an der k. k. Döbra. Karl-Ferdinand'schen Universität in Prag herausgegeben von Friedrich Katzer. Leipzig 1887. Wilhelm Opetz. 214 S.

Die Darstellung ist eine analytisch geometrische, welche vom vollständigen System der Krystallformen ausgeht, dieses übersicht- lich ordnet, dann diu einzelnen Formen nach dieser Ordnung ent- wickelt. Sämtliche werden aus dem Hexaid, sechsseitigem Paral- lelepiped, abgeleitet, welches in Winkeln uud Kanten 7 Variationen zulässt Die Geometrie und die Rechnungen der Krystallographie sind an sich einfach und leicht genug, das Verständniss wird aber in den meisten Lehrbüchern, wo dieselbe ciuen Teil bildet, erschwert durch den Gebrauch von Symbolen, welche die Vorstellung abschuei- den, während der Gewinn an Kürze ganz unerheblich ist. Die gegen- wärtige Bearbeitung bleibt bei der allgemein mathematischen Aus- druck s weise , mit welcher der Anfänger vertraut ist Die sich er- gebenden 362 Krystallformen sind auf 8 Tafeln gezeichnet II.

Mechanik.

Leitfaden und Repetitorium der analytischen Mechanik. Für Studirende an Universitäten und technischen Hochschulen. Von Rector Dr. Albert Bieler. In zwei Teilen. Analytische Dynamik der festen Körper. Mit erläuternden Beispielen und in den Text gedruckten Holzschnitten. Leipzig 1888. Wilhelm Violet. 91 S.

Das Vorliegende enthält dio analytischen Principion der Dyna- mik der Punkte, Punktsysteme und starren Körper in kurzer zu- sammenhangender Entwickelung. Diese zerfällt der Natur der Sache gemäss in 2 verschiedene Elemente: allgemeine Sätze als Basis aller Untersuchung und ausgeführte Lösung derjenigen speciellen Pro- bleme, für welche eine solcho möglich ist. Das gegenwärtige folgt grösstenteils letzterm theoretischen Gesichtspunkte und erstrebt Voll- ständigkeit , lässt sich aber auch manchmal vom vorwaltenden In- teresse leiten, z. B. bei der Bewegung eines Punkts auf einer Linie, wo die allgemeine Lösung unmittelbar bekannt ist. Am wenigsten motivirt ist aber die Zuziehung des Falles, wo die Bewegung durch Stoss, d h. also durch uuberechuete Zwischeuvorgänge, unterbrochen wird. Auch in Betreff der Ausführungen gilt es, dass nur grössten-

22

Litterarischer Bericht XXX.

teils die Fragen der Theorie beantwortet werden: bei der Bewegung eines Punkts auf einer Kugel z. B ist nur die Zeitgleichung berech- net, die Bahngleichung geradezu vergessen. So sind auch die Me- thoden grösstenteils, aber nicht immer, die einfachsten: das Alem- hert'sche Princip z. B., das doch bei richtiger Betrachtung aus dem Principe der virtuellen Geschwindigkeiten als unmittelbare Folge hervorgeht, wird hier durch eine gar nicht einfache Rechnung dar- aus hergeleitet, die überdies zum Verständniss noch weiterer Er- läuterung bedarf. Endlich sind auch die Begriffsbestimmungen grösstenteils correet, aber nicht alle: die Schwere z. B. wird in con- stantes Verhältniss zur Masse gesetzt und ein Coefficient angegeben, welcher nahezu der Breite 48° 27' entspricht, ohne ein Wort von seiner Abhängigkeit zu sagen. Im ganzen also ist die Arbeit eine erfreuliche Erscheinung, aber noch iu vielen Punkten besserungs- bedürftig. H.

Ueber die Berechnung und die bildliche Darstellung von Träg- heits- und Centrifugalmomenten ebener Massenfiguren. Von Robert Land in Dresden. Leipzig 1888. Arthur Felix. 66 S. (Civil- ingenieur XXXIV.)

Im Vorliegenden reproducirt der Verfasser die im Civilingenieur XXXIII vom Herrn Professor Mohr entwickelte Lehre und fügt eigene Bemerkungen hinzu. Es werden darin die „Centrifugal- momente", die Bestimmungsgrössen für die Lage des „Trägheits- schwerpunkts" — zwei Namen deren Bedeutung der Verfasser zu erklären uicht für nötig befunden hat - und die Trägheitsmomente eines ebenen Flächenstücks in einer für die Construction geeigneten Form durch Rechnung dargestellt, dann die Construction ausgeführt Nach dem Urteile des Verfassers über Mohr's Theorie gibt dieselbe „eiue äusserst übersichtliche und einfache Darstellung von Flächen- mome nten 2. Ordnung in Bezug auf beliebige Axen, welche Darstel- lung bei ihrer grossen Allgemeinheit für alle in der Flächeuebcne befindlichen Axen an Einfachheit wol schwerlich übertroffen werden kann und gegenüber der bisher meist üblichen Darstellung durch Trägheits- und Centralellipseu für die praktischen Anwendungen einen Überwiegendon Vorteil besitzt" H.

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Litterarischer Bericht XXX.

23

Technik.

Das wahre Gesetz der Dampf-Expansion and die Berechnung der dreistufigen Expansions-Dampfmaschinc. Von Arnold Sa- ni uel so n, Chef-Ingenieur der Stadt Wasserkunst zu Hamburg. Mit 4 lithographischen Tafeln und 14 Skizzen im Text. Hamburg und Leipzig 1888. Leopold Voss. 127 S.

Der Verfasser ist der Ansicht, dass der Wasserdampf im Cy- linder einer Dampfmaschiue iu der Expausionszeit, d. h. wo weder Dampf noch Wärme zu oder abfliesst, am genauesten der Pois>on- schen Formel

gemäss Druck und Volum ändert, wenu man darin auch w, d. i. das Vcrbältniss der Capicitäten bei constantem Druck und Volum vor- läufig als unbekannt betrachten müsse. Die Theorie von Clausius sei völlig ohne Anwendung, weil sie allein von gesättigtem Dampf bandle, der im vorliegenden Falle nicht dau rud bestehen könne. Die Techniker hingegen seien sämtlich abgeneigt auf Revision der Berechnungsweise einzugehen. Er hat zur Verteidigung seiner An- sicht 4 Vorträge gehalten und publicirt dieselben unverändert in der vorliegenden Schrift. H.

Das Licht. Zwölf Vorlcsungon gehalten iu Aberdeen 1883 — 1885 nebst zwei Vorlesungen über Absorption und Fluorescenz des Lichtes von George Gabriel Stokes M. A. F. R. S. F. P. C. etc., Professor der Mathematik in Cambridge. Autorisirte deutsche Uebersetzung von Dr. Otto Dziobek, Privatdocent an der techni- schen Hochschule zu Cbarlottenburg. Leipzig 1888. Johann Am- brosius Barth. 308 S.

Diese Vorlesungen sind in Ausführung der veränderten Bestim- mungen des Buruett'schen Legats, zu der dessen Curatorium das Thema gegeben und den Verfasser erwählt hat, gehalten worden. Die Bebandlungsweise und namentlich die Art, wie er den Anschluss an die ursprüngliche Forderung, welche die Wissenschaft in Be- ziehung zur Religion zur Aufgabe macht, bewahrt hat, unterlag dem freien Ermessen des Verfassers. Der Vortrag wondet fast gar keine Mathematik an, beschränkt sich also ganz auf rein qualitative Dar-

Vi

Optik.

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LiUerariacher Bericht XXX.

25

griffe dem Schüler eine zwei Seiten lange Betrachtung ohne alle exacte Schiassweise vorgeredet um ihm den Satz glaubhaft zu machen. Begründung des Brechungsgesetzes war nicht notwendig, weil die Fortpflanzungsgeschwindigkeit nicht weiter in Anwendung kommt; man konnte das Gesetz als empirisch erkanntes zugrunde legen. Es liess sich auch leicht elementar begründen; nur mussto der Strahl als Gerade, der momentan erreichte Punkt auf ihr und dadurch die Geschwindigkeit, endlich der Ort der gleichzeitig erreichten Punkte als Ebene construirt und die Hypothese gemacht werden, dass der Strahl auf ihr senkrecht steht, was sich wiederum elementar be- weisen liess, wenn man in der Hypothese noch weiter zurüekuriff. Im Vorwort wird behauptet, es sei die Hypotheso über das Wesen des Lichts vorangestellt, um deutlich darzutun, wio sich die ganze Lehre aus einem einheitlichen Principo ableiten lässt. Was im voraus über das Wesen des Lichts gesagt ist, möchte schwerlich Basis einer daraus folgenden Theorie sein können; denn die ein- zige mathematische Angabc, dass die Schwingungen transversale sein sollen, hat keinen Sinn, wenn keine Kichtung genannt wird, zu der sie es sind. Jedenfalls steht alles Folgende damit in keiner logi- schen Verbindung. Angeblich wird daraus bewiesen, dass die Licht- strahlen im isotropen Medium gerade Liuien sind. Was aber ein Lichtstrahl bedeutet, ist hier gar nicht erklärt; die Strahlen treten in der Rede auf als beliebig gedachte Gerade; von solchen weiss man auch ohne Optik, dass sio Gerade sind. H.

Vermischte Schriften.

Atti dclla Reale Accademia dei Lincei. Anno CCLXXXV. 1888. Serie quarta. Rendiconti pubblicati per cura dei Segrctari. Volume IV. Roma 1888. V. Salviucci.

Der 4. Band enthält folgende mathematische Abhandlungen.

Bianchi: Ucbcr die kleinsten Flächen in Räumen constanter Krümmungen. — Ueber die Fuchs'schen Flächen. — Ueber die un- bestimmten quadratischen Differential formen.

Cesäro: Ueber die Begriffe der Grenze uud dor Stetigkeit. — Formeln zur Bewegung eines Punktes. — Ueber eine Verteilung der Zeichen. — Starre Bewegung und theoretische Deformationen in krummen Räumen.

D'Ovidio: Ueber einige simultane Invarianten zweier binären Formen 5. und 4. Ordnung und über deren Resultanten.

26

Litttrarischer Bericht XXX

Pincherle: Ueber gewisse bestimmte Integrale. — Ueber die verallgemeinerten bypergeomctrischcn Functionen.

Vol terra: Eine Erweiterung der Riemann'schen Theorie der Functionen complexer Variabein. — Ueber die polydromen analyti- schen Functionen.

Pascal: Ueber ein Fundamentaltheorem in der Theorie des symbolischen Calcnls der nären Formen.

Gerosa: Ueber die Schallgeschwindigkeit in den Legirnugen.

Maschke: Auflösung der Glcichuug 6. Grades.

Rrioschi: Beobachtungen an vorstehender Mitteilung. — Die Normalform der Gleichungen 6. Grades (2 Noten). — Die Differen- tialgleichungen für die Perioden der bypcrelliptischen Functionen zweier Variabein.

Paladini: Ueber die rotirende Bewegung, welche im Vacnnm oder in incompressibler Flüssigkeit ein Körper unter dem Einfluss von Kräften mit dem Potential Ux cos^-f-^008^ annimmt.

Ricci: Ueber die Classification der quadratischen Differential- formen.

Münte. s an o: Ueber die involutorischen Transformationen des Raumes, welche einen linearen Complex von Geraden bestimmen.

Marangoni: Kriterien zur Aufstellung einer natürlichen Classi- fication der Krystalle. — Das Problem der capillaren Anziehung und Abstossung.

Favero: Eino neue Untersuchung über die Schwere.

Padova: Eiue neue Anwendung der Theorie der elliptischen Functionen auf Mechanik. — Ueber die krummlinigen Coordinaten.

Pittarclli: Ueber die zum Oktaeder gehörenden Formen. — Ueber diu Transformation des elliptischen Differentials ausgeführt mittelst typischer Darstellung der binären Formen 3. und 4. Grades.

Card an i: Ueber den Einfluss der elastischen Kräfte auf die transversalen Schwingungen der Saiten (2 Noten).

Govi: Neue Methode den Ort, die Lage und Grösse der von Linsen oder complcxcn optischen Systemen gegebenen Bilder zu coustruiren und zu berechnen.

Picrpaoli: Einfluss der Temperatur auf dio Schwiugungszabl einer Stimmgabel.

Betti: Ueber die Entropie eines Ncwton'scben Systems in Be- wegung.

Battag lini: Ueber die sestatischen Punkte einer beliebigen Curvo.

Ricco: Dcformirtes Bild der Sonne im Spiegel des Meeres und dessen Abhängigkeit von der Rundung der Erde.

Tone Iii: Ueber eine gewisse partielle Differentialgleichung.

H.

Digitizec

Literarischer Bericht XXX.

27

Acta Mathematica. Zeitschrift heraasgegen von G. Mittag- Leffler 8. Stockholm 1886. F. u. G. Beijer. Berlin, Mayer u. Müller. Paris, A. Hermann.

Der 8. Band enthält folgende Abhandinngen.

G. W. Hill: Ueber den Teil der Bewegung des Perigäums dos Mondes, welcher eine Function der mittleren Bewegungen von Sonne und Mond ist

Hj. Meli in: Zur Theorie der T Function. 0. Staude: Ueber hyperelliptische Integrale 2. und 8. Gattung M. A. Stern: Ueber einen Satz von Hermite bezüglich auf die. Function E(x).

H. Schubert: Anzahl-Bestimmungen für lineare Räume be- liebiger Dimensionen.

E. A. Stenberg: Einige Eigenschaften der linearen und ho- mogenen Differentialgleichungen.

E. Holst: Beweis des Satzes, dass eine jede algebraische Glei- chung eine Wurzel hat.

M. Noether: Ueber die reductibeln algebraischen Curven.

H. Weber: Theorie der Abel'schen Zahlkörper.

P. Appell: Ueber einige Anwendungen der Function Z(x, y, z) auf die mathematische Physik.

H. Puiucarc: Ueber die unregelmässigen Integrale der linearen Gleichungen.

F. Casorati: Die Functionen einer einzigen Variabein mit beliebig vielen Perioden. — Die fundamentalen Oerter der inversen Functionen der Abelscben Integrale und insbesondere der inversen Functionen der elliptischen Integrale 2. und 3. Gattung.

J. Bertrand: Ueber die elektrischen Einheiten. H.

Mathematische und physikalische Bibliographie.

XXV.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Epping, C. , Astronomisches aus Babylon od. das Wissen der Chaldäcr üb. den gestirnten Himmel. Unter Mitwirkung v. J. N. Strassmaicr. Freiburg, Herder. 4 Mk.

Fortschritte, die, der Physik. Nr. 12. 1888. Leipzig, E. H. Mayer. 3 Mk.

Jahrbuch üb. die Fortschritte der Mathematik, begründet von C. Ohrtmann. Unter Mitwirkung von F. Müller u. A. Wangcrin hrsg. t. M. Henoch u. E. Lampe. 18. Bd. Jahrg. 1886. 3. Hft. Berlin, G. Reimer. 9 Mk.

Lommel, E., Georg Simon Ohm's wissenschaftliche Leistungen. Festrede. München, Franz' scher Verl. 60 Pf.

Nemethy, G , Quaestiones de Firmico Materno astrologo. Bu- dapest, Lampel. 60 Pf.

Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. Nr. 1 — 3. Leipzig, W. Engelmann. Kart. 2 Mk. 10 Pf.

Reiff, R., Geschichte der unendlichen Reihen. Tübingen, Lanpp. 5 Mk.

Revue der Fortschritte der Naturwissenschaften. Hrsg. v. H. J. Klein. (17. Bd.) Neue Folge. 9. Bd. Nr. 1. Physik. Leipzig, E. H. Mayer, pro Nr. 1-6. 9 Mk.

Methode und Principlen.

Beetz, K.O., das Typenrechnen auf psychophysischcr Grundlage. 1. Tl. Theoretische Darstellung. Halle, Schrödel. 2 Mk. 50 Pf.

Bredichin, Th., sur l'origine des cometes p6riodiques. Leip- zig, Voss' Sort. 1 Mk.

Dorn, J. u. P. Nakel, Anleitung znm Unterrichte im Rech- nen. 5. Tl. 7. Afl. v. P. Nakel. Breslau, Handel's Verl. 2 Mk. 40 Pf.

Harms, Ch., zwei Abhandlungen üb. den Rechenunterricht Oldenburg, Stalling's Verl. 80 Pf.

Schulze, C, richtig Rechnen durch Selbstunterricht. Berlin, A. Schnitze's Verl. 3 Mk.

Steuer, W. , die Decimalfläche, ihr Wesen und ihre Stellung im Selbstunterrichte. 2. Afl. Breslau, Woywod. 50 Pf.

Zimmermann, W. F. A., Naturkräfto u. Naturgesetze. 4. Afl. Bearb. u. hrsg. v. K. Dürigen. 26.-29. Lfg. Berlin, Dümmler's Verl. a 60 Pf.

Samminngen.

Adam, W., Resultate zu dem arithmetischen u. algebraischen Uebungsbuch. 2. Afl. Neuruppin, Petrenz. 90 Pf.

Bardey, E. , methodisch geordnete Aufgabensammlung, mehr als 8000 Aufgaben enth. üb. alle Teile der Elementar- Arithmetik. 15. Afl. Leipzig, Teubner. 2 Mk. 70 Pf.

Bothe, A. , Sammlung v. Rechenaufgaben f. höhere Schulen. 2. Hft. 7. Afl. Annaberg, Graser. Kart. 1 Mk.

Dittmers, II., Rechenbuch f. Stadt- u. Bauschulen. 2. Hft. 8. Afl. Harburg, Elkan. 65 Pf.

F öl sing, Rechenbuch f. Gymnasien, Realschulen, Ober-Real- schulen etc. 2 Tie. 19. u. 20. Afl. bearb. v. 0. Hoffmann. Berlin, E. Goldschmidt. Geb. ä 1 Mk. 20 Pf.

Frick, F., Uebungsstoff f. das stereometrischo Rechnen. Nür- tingen, Zimmermann. 80 Pf.

Harms, Ob. u. A. Kallius, Rechenbuch für Gymnasien, Real- gymnasien, Ober-Realschulen etc. 14. Afl. Oldenburg, Stalling's Verl. 2 Mk. 25 Pf.

Kley er, A., vollständig gelöste Aufgaben-Sammlung aus allen Zweigen der Rechenkunst etc. 528. — 567. Hft. Stuttgart, J. Maier. ä. 25 Pf.

Lösungen der Absolutorial-Aufgaben aus der Mathematik an den humanistischen Gymnasien Bayerns seit dem J. 1861. Nebst e. An- hang: Die wichtigsten Formeln der Mathematik. München, Pohl's Verl. 2 Mk. 80 Pf.

Löwe, M. u. F. Unger, Aufgaben f. das Zahlenrechnen. Hft. A. u. B. 3. Afl. Leipzig, Klinkhardt, a 60 Pf.

Särchinger, E. u. V. Estel, Aufgabensammlung f. den Rechen- unterricht in den Unterklassen der Gymnasien. 1. Hft. Sexta. Leipzig, Teubner. Kart. 80 Pf.

Scharlach's Aufgaben zu Uebungen im schriftlichen Rechuen

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f. Börger- u. Volksschulen. Hrsg. v. A. Steger u. Wohlrabe. 5. Hft- 7. Art. Halle, Schrödel. 40 Pf.

Schellen, H., Aufgaben f. den Unterricht im Rechnen. 2. Tl. Für die mittleren u. oberen Klassen. 6. Afl. Bearb. v. H. Lemkes. Münster, Coppenrath. 2 Mk.

Schmehl, Ch., Rechenbuch für höhere Lehranstalten. 2. Tl. Die bürgerl. Rechnungsarten. Giesscn, Roth, Verl. 1 Mk. 60 Pf.

Steck, F. H. o. J. Vielmayr, Resultate zu der Sammlung arithmetischer Aufgaben. Kempten, Kusel. 45 Pf.

Steuer, W., neue Sammlung angewandter Aufgaben f. das Kopf- rechnen. 2 Ufte. 3. Afl. Breslau, Woywod. 2 Mk. 50 Pf.

Wrobel, E., Uebungsbuch zur Arithmetik u. Algebra. 1. Tl. Rostock, Werther. 2 Mk. 60 Pf.

/. epf , C, Rechenaufgaben f. die Oberklassen höherer Mädchen- schulen u. Töchterinstitute. Freiburg, Herder. 50 Pf. ; kart. 60 Pf.

Tabellen.

Gauss, F. G., fünfstellige vollständige logarithmische u. trigo- nometrische Tafelu. 30. Afl. Halle, Strien, Verl. 2 Mk.

Gezeitentafeln f. das Jahr 1890. Hydrographisches Amt d. Reichs-Marine-Amtes. Berlin, Mittler & S. 1 Mk. 50 Pf.

Arithmetik, Algebra und reine Analysis.

Adam, B. , üb. die Theilbarkeit der Zahlen. Leipzig, Fock. 50 Pf.

Biermann, 0., zur Theorie der Doppelintegrale expliciter irra- tionaler Functionen. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

Borchardt, B., Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre. Berlin, J. Springer. 2 Mk. 40 Pf.

Büttner, A.f die Elemente der Buchstabenrechnung u. Algebra. 9. Afl. Bielefeld, Velhagen & Kl. 2 Mk. 80 Pf.

Fürle, H. , üb. die eindeutigen Lösungen e. Gruppe v. Func- tionalglcichungcn. Berlin, Gärtner's Verl. 1 Mk.

Goldscheider, F., das Reziprozitätsgesetz der achten Potenz- reste. Ebd. 1 Mk.

Haentzschel, E. , Beitrag zur Theorie der Funktionen d. elliptischen u. d. Kreiscylinders. Berlin, Gärtner's Verl. 1 Mk.

Heilermann, H., u. J. Dieckmann, Lehr- u Uebungsbuch f. den Unterricht in der Algebra an Gymnasien, Real- u. Gewerbe- schulen. 3. Tl. 2. Afl. Essen, Bädeker. 1 Mk. 20 Pf.; gob. 1 Mk. 50 Pf.

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Igel, B., üb. die associirten Formen u. deren Anwendung in der Theorie der Gleichungen. Wien, Gcrold's S. 3 Mk.

Lackemann, C, die Elemente der Arithmetik. 2. Afl. Breslau, F. Hirt. Kart. 75 Pf.

Lurtz, F. E., Rochenschule. 2. Tl. 7. Afl. Kronstadt, Zcidner. Kart. 1 Mk.

Richter, P. B., der praktische Ansatz der Regeldotri- und Prozentrechnungen als Lösung der Aufgabe. Aehuliches f. Gesell- schaftsrechnung, Mischungsrechnung etc. Leipzig, Fock. 50 Pf.

Weber, K., arithmetische Regeln. Hilfsbuch f. arithmet. Aufgaben- Sammlungen. Braunschweig, Achtelstetter. 50 Pf.

Geometrie.

Berger, G., Lehre der Perspektive in kurzer, leicht fasslicher Darstellung. 9. Afl. Leipzig, Scholtze. 2 Mk. 40 Pf.

Bobck, K., Ober Dreischaarcurven. Leipzig, Frey tag. 60 Pf. - über die Steiner'schen Mittelpuuktscurven. Ebd. 50 Pf.

Bohle, G., Vorschule der Geometrie. Crcfeld, Greven. 50 Pf.

Braune, A., Raumlehre f. Volks-, Bürger- u. Fortbildungs- schulen, sowie f. Präparauden-Anstalten. 2. Afl. Halle, Schrödel. C5 Pf.

— dass. Methodische Erläuteruugen, ausgeführte Lcctiouen u. Auflösungen zu den Aufgaben. Ebd. 30 Pf.

Focke, M. u. M. Krass, Lehrbuch der Geometrie zum Ge- brauche an Gymnasien, Realschulen u. anderen höheren Lehranstalten. 1. Tbl. Planimetrie. 9. Afl. Münster, Coppenrath 1 Mk. 8) Pf.

Hahn, IL, Euler's Methode der Parameterdarstellung algebrai- scher Curven. Berlin, Gärtner's Verl. 1 Mk.

Kalbe, 0., der goldene Schnitt in Zeichnung u. Schrift, ins- besondere als goldenes Grundgesetz schöner Schriftformen. Hannover, Cruse. 1 Mk.

Kohl, E., üb. die Lemniscatentheilung. Leipzig, Frey tag. 50 Pf. Mahl er, Einleitung in die abzählende Geometrie. Tübingen, Fues. 60 Pf.

Müller, EL, die Elemente der Stereometrie. Ein Beitrag zur Methode d. geometr. Unterrichts. 2. Afl. Metz, Scriba. 1 Mk. 20 Pf.

Peschka, G. A. V, freie Perspektive (centrale Projektion) in ihrer Begründung u. Anwendung. 2. Afl. 2. Bd. Leipzig, Baum- gartner. 14 Mk.; geb. 16 Mk.

Rulf, W., Elemento der projectivischen Geometrie. Auf Grund neuer vom Prof. C. Küpper herrühr. Definitionen u. Beweise leicht fasslich zusammengestellt. Halle, Nebert's Verl. 2 Mk. 50 Pf.

Schub orth, II., illastrirtcs Hand- u. Hülfsbuch der Flächen- u. Körperberccbnung. 2. Asg. Berlin, Grunbach. 3 Mk.

Stahl, H., üb. die konforme Abbildung durch die lineare Sub- stitution. Tübingen, Fues. 50 Pf.

Weber, K., Lehrbuch der Planimetrie f. höhere Schulen u. zum Selbst-Unterricht. Braunschweig, Achtelstetter. 2 Mk. 75 Pf.

Trigonometrie.

The ol, E., Einleitung in die Trigonometrie, als halbjährliches Pensum f. Untersekunda. Berlin, Gärtners Verl. 1 Mk.

Geodäsie.

Arbeiten, astronomisch -geodätische, f. d. europäische Gradmes- sung im Königr. Sachsen. 2. Abth. Das trigonometrische Netz. I. Ordnung. Bearb. v. A. Nagel. 1. Hft. Berlin, Stankiewicz. 30 31k.

Boersch, 0., geodätische Literatur, auf Wuusch der perma- nenten Commission f. internationale Erdmessung, zusammengestellt. Berlin, G. Reimer. 10 Mk.

Nivellements der trigonometrischen Abtheilung der Landesauf- nahme. 7. Bd. Berlin, Mittler & S. 10 Mk.

Reinhortz, C, dio Verbindungs-Triangulation zwischen dem rheiuischen Dreiecksnetze der europäischen Gradmessung u. der Triangulation d. Dortmuuder Kohlenreviers der Landesaufnahme, ausgeführt v. der preussischen Katasterverwaltung iu den Jahren 1881—1883. Stuttgart, Wittwcr's Verl. 5 Mk.

Wernckc, II., Mittheilnngen aus dem Markschciderweseo. Vereinschrift d. rheinisch-westfälischen Markscheider- Vereins. 4. Hft. Freiberg, Craz & G. 3 Mk.

Mechanik.

Bigler, U., Potential einer ellipüschen Walze. Bern, Haber & Co. 2 Mk.

Geigenmüller, R., die Anfangsgründe der theoretischen Me- chanik m. Anwendungen auf Maschinen. Mittweida, Polytechn. Buch- handl. 3 Mk. 60 Pf.

Haussner, R., dio Bewegung eines v. 2 festen Ceutren nach dem Newton'schen Gesetze angezogenen materiellen Punktes. Güt- tingen, Vandcnhoeck & R. 1 Mk. 80 Pf.

Ohnesorge, A., hyperelliptische Integrale u. Anwondongeu auf Probleme der Mechanik. Berlin, Gärtner's Verl. 1 Mk.

Velde, W., üb. e. Spezialfall der Bewegung eiues Punktes, welcher vou festen Centren angezogeu wird. Ebd. 1 Mk.

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Wagner, K , üb. die Bewegung e. inkompressiblen Flüssigkeit, welche begrenzt ist v. 2 in gegebener Rotation befindl. Flächen. Tübingen, Fues. 1 Mk. 60 Pf.

Züge, H , das Potential e. homogenen Ringkörpers m. ellipti- schem Querschnitt. Lingen, van Acken. 1 Mk. 25 Pf.

Zw orger, M., der Schwingungsmittclpunkt zusammengesetzter Pendel. München, Lindauer. 4 Mk.

Technik.

Abdank-Abakanowicz, B., die Integraphen. Die Integral- kurve u. ihre Anwendgn. Deutsch bearb. v. E. Bitterli. Leipzig, Teubner. C Mk.

Calgary, A. u. J. N. Teufolhart, der elektromagnetische Telegraph. Umgearb. u. ergänzt v. H. Leel. 2. Afl. Wien, Hof- u. Staatsdruckerci. 5 Mk.

Elektro -Techniker, der. Hrsg.: G. A. Ungar -Szcutmiklosy. 8. Jahrg 1889/98. (24 Nrn.) Nr. 1. Wien, Porles' Verl. prcplt. 12 Mk.

Edler's Messblatt e. Apparat zum Bestimmen v. Neigungs- winkeln, Höhen u. Tiefen. Halle, Retchardi 50 Pf.

Fortschritte d. Elektrotechnik. Hrsg. v. K. Strecker. 2. Jahrg. Das Jahr 1888. 3. Hft Berlin, J. Springer. 5 Mk.

Grünwald, F., der Bau, Betrieb und die Reparatur der elek- trischen Beleuchtungsanlagen. 2. Afl. Halle, Knapp. 3 Mk.

Lindner, M., Leitfaden der praktischen Haustelegraphie. Ebd. 1 Mk. 50 Pf.

Thompson, S. ?., die dynamoelektrischcn Maschinen. 3. Afl. Uebors. v. C. Grawinkel. 1. Thl. Ebd. 12 Mk. — dass. 4. Hft Ebd. 3 Mk.

Optik, Akustik und Elastiettät.

Bach, C, Elastizität u. Festigkeit. Dio f. die Technik wich- tigsten Sätze u. deren erfahrungsmässige Grundlage. 1. Lfg. Berlin, J. Springer. 8 Mk.

Lübeck, G., die Umformuug c. elastischen Kugel durch Zu- sammendrücken zwischen zwei horizontalen u. starren, glatten od. rauhen Ebenen. Berlin, Gärtner's Verl. 1 Mk.

Wiechert, E, üb. elastische Nachwirkung. Königsberg, Koch. 1 Mk.

Kid- und Himmelskunde.

An ton. F., Bestimmung der Polhöhe d. astronomisch-meteoro- logischen Observatoriums in Tri est durch Beobachtung v. Sternpassagen im ersten Vertical. Leipzig, Freytag. 60 Pf.

Bidschof, F., Bestimmung der Bahn d. Planeten (175) Andro- mache. Ebd. 40 Pf.

Diestcrweg's populäre Himmelskunde u. mathematische Geo- graphie. Neu bearb. v. W. Meyer u. B. Schwalbe. 11. Afl. 1 u. 2. Lfg. Berlin, E. Goldschmidt. 60 Pf.

Droisbach, H., praktische Anleitung zur Vorausbestimmung d. Wetters. Paderborn, Schöningh. 40 Pf.

Garthe, E., üb. die tagliche u. jährliehe Periode der Varia- tionen der erdmagnetischen Kraft im Moltkehafen auf Süd-Georgien während der Polar-Expeditionen v. 1882 u. 1883. Güttingen, Vanden- hoeck <fc K 2 Mk. 80 Pf.

Grossmann, J., Wetterperioden? Berlin, Moesor. 1 Mk.

Himmel und Erde. Populäro illustrirte Monatsschrift. Red. M. W. Meyer. 1 Jahrg. 1888/89. 7. Hft Berlin, H. Paetel. Viertel- jährlich 3 Mk. 60 Pf.

Jahrbuch, Berliner astronomisches, f. 1891 m. Ephemeriden der Planeten (1) (274) f. 1889. Hrsg. unter Leitg. v. F. Tietjcn. Berlin, Dümmlcr's Verl. 12 Mk.

Kirsch, Th., die Vorbestimmung des Wetters. Breslau, Ma- ruschke & B. 75 Pf.

Klein, H. J., Stern- Atlas. Neue Asg. 1. Lfg. Leipzig, E. II. Mayer. 3 Mk.

Kreidel, W., Untersuchungen über den Verlauf der Flutwellen in den Ozeanen. Frankfurt, Kcitz & K. 2 Mk.

Lotabweichungen in der Umgebung von Berlin. Veröffentlichung d. königl. preuss. geodät. Instituts. Berlin, Stankiewicz. 12 Mk.

Nachrichten, astronomische. Hrsg.: A. Krueger. 122. Bd. (24 Nrn.) Nr. 1. Hamburg, Mauke S. prcplt 15 Mk.

Publicationen des astrophysikalischen Observatoriums zu Potsdam. Nr. 19. Leipzig, W. Engelmann. 2 Mk.

Riggenbach, A., Resultate aus 112jährigen Gewitter aufzeich- nungen in Basel. Basel, Georg, Verl. 1 Mk.

Ritzhaupt, F., der Sternhimmel m. seinen Veränderungen, nebst c. Darstellung üb. die Vcrtheilung d. Sonnenlichtes aof der Erdoberfläche. Karlsruhe, Macklot, Verl. 40 Pf.

Stern-Ephemeridcn f. d. J. 1891. Berlin, Dümmler's Verl. 6Mk.

Vierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft Hrsg. v E. Schönfold u. H. Seeliger. 24. Jahrg. 1889. 2 Hft. Leipzig, W. Engelmann. 2 Mk.

Nautik.

Jahrbuch, nautisches, od. Ephemcridcn u. Tafeln f. d. Jahr 1892 zur Bestimmung der Zeit, Länge u. Breite zur See nach astronomi- schen Beobachtungen. Ilrsg. v. Reichsamt d. Innern. Unter Red. v. Tietjen. Berlin, C. Heymann's Verl. Geb. 1 Mk. Pf.

Conrad, P., Präparationen f. den Physik- Unterricht in Volks- u. Mittelschuleu. Mit Zugrundelegg. v. Individuen. Nach Herbart'- schen Grundsätzen bearb. L Tl.: Mechanik u. Akustik. Dresden, Bleyl & K. 3 Mk.

C rüg er, J., Grundzüge der Physik, mit Rücksicht auf Chemie, als Leitfaden f. die mittlere physikal. Lehrstufe methodisch bearbeitet 23. Afl. Leipzig, Amelang's Verl. 2 Mk. lü Pf.

Csögler, A., Dimensionen u. absolute Maassc der physikalischen Grössen. Leipzig, Quandt & IL 3 Mk. fiü Pf.

Dvofak, V., üb. die Wirkung der Selbstinduction bei elektro- magnetischen Stromunterbrechern. Leipzig, Freytag. Pf.

Handbuch der Physik, hrsg. v. A. Winkolmann. 2, Lfg. Breslau, Trewendt, Subscript-Pr. 3 Mk. fiQ Pf.

Heussi, S., Leitfaden der Physik. 12. Afl., bearb. v. K. Wcinert. Braunschweig, Salle. 1 Mk. 5Q Pf.

Kley er, A., die elektrischen Erscheinungen u. Wirkungen in Theorie u. Praxis. 1ÖL=106. Hft. Stuttgart, J. Maier. ä 25 Pf.

Krebs, G., Lehrbuch der Physik f. Real- u. höhere Bürger- schulen, Gewerbeschulen u. Seminare. iL Afl. Wiesbaden, Bergmann.

3 Mk. fiQ Pf.; geb. 4 Mk.

Lipp ich, E., üb. die Bestimmung v. maguetischen Momenten, Horizontalintensitäten u. Stromstärken nach absolutem Masse. Leipzig, Freytag. 3Q Pf.

Mitthaler, J., üb. die Veränderlichkeit der speeifischen Wärme d. Quecksilbers m. d. Tomperatur. Königsberg, Koch. 1 Mk.

Münch, P., Lehrbuch der Physik. iL Afl. Freiburg, Herder.

4 Mk.; Einbd. 5Q Pf.

Schwartze, Th., E. Japing u. A. Wilke, die Elektricitüt. Eine kurze u. verständl. Darstellg. der Grundgesetze sowie der An- wendgn. der Elektricität zur Kraftübertragg., Beleuchtg., Galvano- plastik, Telegraphie u. Telephonie 3. Afl. Bearb. v. A. Ritter v. Urbanitzky. Wien, Hartleben. Geb. 1 Mk. 5Q Pf.

Stefan, J., üb. einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung. Leipzig, Frey tag. 4Q Pf.

Physik.

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Vermischte Schriften.

Annaion, mathematische. Begrüudot durch R. F. A. Clcbsch. Hrsg. v. A. Klein, W. Dyck, A. Meyer. 34. Bd. (4 Ufte.) 1. Hft. Leipzig, Teubner. prcplt. 20 Mk.

Berichte üb. die Verhandlungen der königl. sächsischen Gesell- schaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch -physikalische Classe 188U. I. Leipzig, Hirzel. 1 Mk.

Sitzungsberichte der kaiscrl. Akademie der Wissenschaften. Mathematiseh-naturwisscnschaftl. Classe. Abth. IIa. Enth. die Ab- handlungen aus dem Gebiete der Mathematik, Astronomie, Physik, Meteorologie u. der Mechanik. 97. Bd. 8. — 10. Hft. Leipzig, Freytag. 13 Mk. 40 Pf.

Silzungsberichte der mathematisch-physikalischen Classe der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München. 1889. 1. Hft. Mün- chen, Franz'scher Verl. 1 Mk. 20 Pf.

Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin i. J. 1888. 7. Jahrg. Red. v. E. Rosochatius u. A. König. Berlin, G. Reimer. 2 Mk.

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I

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Literarischer Bericht XXX J,

28

Litterarischer Bericht

XXXI.

Geschichte der Mathematik und Physik.

Geschichte der unendlichen Reihen. Von Dr. Ii. Reiff, Pro- fessor am Gymnasium zu Heilbroun. Tübingen 1889. EL Laupp. 212 S.

Mehr und mehr bereitet sich der Aufbau einer die neue Wissen- schaft umfassenden Geschichte der Mathematik durch successivo Be- handlung ihrer Objecte vor. Auch die vorliegende Schrift ist ein Bei- trag zur materiellen Grundlage des künftigen Uuiversalwerkcs und bedarf als notwendiger Bestandteil derselben keiner weitern Recht- fertigung. Wenn, wio der Verfasser sagt, es schwierig ist, die Theorie der Reihen von den Discipliucu, mit denen sie iu Zusammenhango steht, gesondert zu betrachten, so würde es noch viel schwieriger sein, ihre Geschichte in ihrer Verflechtung mit denselben darzustellen. Ihre vielseitigen Beziehungen sind es gerade, die ihren Eutwickelungs- gang in ein deutlicheres Licht stellen, und cho diese Klärung statt- gefunden hat, lässt sich überhaupt keine befriedigende Darstellung geben. Die Geschichte der uuendlicheu Reihen teilt sich in 3 Pe- rioden. Die erste wird genannt dio von Newton und Leibuitz. Zu ihr gehören auch Wallis, Jakob uud Johann Bernoulli. Von diesen werden specielle Reihen gebraucht zur Quadratur des Kreises, der Hyperbel und andrer Curven. Dio Convergenz tritt schon von An- fang au in Frage uud wird bewiesen; auch das Wort ist schon in Gebrauch. Die zweite Periode, hier genannt die der formalen Bo- haudlungswcisc, zu der Moivro, Stirling , Taylor, MaeLaurin, Euler und zum Teil Lagrange gerechnet werden, eharaUterisirt sich durch

Ar.li. I. M.if . u. Pips. 2. Koihe. Teil VIII. 3

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Litterarischer Bericht XXXJ.

Erweiterung. Die Aufhebung der Beschränkung dnreh die Bedingung der Couvergenz wird mehr antipicirt als zur Aufgabe, das Entwicke- lungsgesetz zur Hauptsache gemacht. Die dritte Periode, genannt die der exaeteu Behandluugswcise, welche mit Gauss beginnt, ist auf Herstellung der beiseite gesetzten Strenge gerichtet und bcgrüudet erst eine allgemeine Reihentheorie. Es handelt sich im Buche, nach- dem einiges über die Gauss'sche Reihe gesagt ist, ausschliesslich um die Kriterien der Couvergenz und deren Ausbilduug. H.

Jordan i Ncmorarii geometria vel de triangulis libri IV. Zum ersten male nach der Lesart der Handschrift Db. 86. der Königl. öffentlichen Bibliothek zu Dresden herausgegeben von Maximiliau Curtzc, Oberlehrer am Königlichen Gymnasium zu Thoru. Mit 6 Kigureutafeln. Tborn 1SS7. Ernst Lanibeck. 50 S.

Das herausgegebene Werk bildet zusammen mit einer zweizen Schrift desselben Autors „Liber de similibus areubusu das G. Heft der „Mitteilungen des Coppernicus- Vereins für Wissenschaft und Kunst zu Thon».1 Als Einleitung gehen voraus genauere Nachrichten über die einzelnen bekaunt gewordenen Schriften, Nachrichten nament- lich welche wir den Nachforschungen des Fürsteu Boucompagui ver- danken. Durch diese ist zuerst erwiesen, dass der Ordeusgeueral der Dominicaner Jordanus mit dem Mathematiker Jordanus Nemo- rarius dieselbe Person ist. Infolge dessen ist anzunehmen, dass dessen mathematische Schriften vor 1220 verfasst sind. Vor dem gegenwärtigen waren bereits 5 seiuer Werke gedruckt. Zuerst er- schien „Arithmetica libris X demoustrata" 1496 iu Paris-, dann .,Algorismus demoustratus" 1534 iu Nürnberg; dann „De numeris datis" herausgegeben von Trcutleiu iu Karlsruhe (Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, II. Heft, S. 125); duun „Tractatus de ponderibus", unvollständig schon 1033 von Apian iu Nürnberg, voll- ständig 1565 von Curtius Trojanus herausgegeben; zuletzt „Dcscriptio sphaerae in piano4' iu den Ausgaben des Planisphacrium vou Ptole- mäus. Iu Handschriften sind ausserdem vorhandeu : „Tractatus de isoperimetris propositioues Septem11; „Jordanus de speeulis et pon- deribus". Die Schrift „De numeris" ist dadurch bemerkenswert, dass hier zum erstenmal Buchstaben zur Bezeichnung von Zahlen als solchen, nicht erst in Liuicn dargestellten Zahleu auftreten, während die Operatiouszcicheu noch ziemlich unpraktisch siud. Eiu Beispiel von algebraischer Rechnung — es betrifft die Auflösung eiuer qua- dratischen Gleichung — zeigt, dass das Vcrfahreu dem heutigen ganz gleich, nur des Ausdrucks wegen nicht leicht verständlich ist.

H.

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Literarischer Bericht XXXI.

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Uebcr die Berücksichtigung des Historischen beim Unterricht in der Geometrie. Von Dr. II. Böklcn, Ileallchrer in Ludwigsburg. Tübingen 1889. Franz Fues. 23 S.

Der Titel lässt einen pädagogisch didaktischen Iuhalt erwarten-, letzterer ist jedoch durchweg historisch. Die Schrift gibt, nachdem sie die 3 Bearbeitungen der Geschichte der Mathematik, die wir aus neuerer Zeit besitzen, von C. A, Bretschneider, Hermann Hankcl uud M. Cantor geuauut, zuerst eine vortreffliche Uebcrsicht über die mathematische Litteratur des Altertums, in 4 Abschnitte geteilt: Acgyptischc Mathematik, Uebergang zur griechischen Geometrie, griechische Geometrie, höhere griechische Geometrie und Stereome- trie, und lässt danu alle nähern Angaben über die Schriften, die Lehre und den Staudpunkt in Noten folgen. Das hier entfaltete Bild der Mathematik der Alten ist weit reichhaltiger, als es wol ciu Schüler durch die Notizen gewinnen wird, die gewöhnlich beim Unter- richt eingeschaltet werden, gleichwol der Umfang klein genug um es sich leicht zu eigen zu machen. Die Schrift möchte daher für Schulen sehr zu empfehlen sein, mit der Bestimmung, dass die Schüler sie einmal durchlesen, später das Bezügliche darin nachschlagen.

H.

Methode und Principien.

Die Lehre von der Energio historisch-kritisch entwickelt. Nebst Beiträgen zu eiuer allgemeinen Energetik. Von Dr. Georg Helm, Oberlehrer an der Annenschulc zu Dresden. Leipzig 1887. Arthur Felix. 104 S.

Das Buch lässt sich weder zu den eigentlich historischen noch zu den eigentlich philosophischen Schriften zählen, obgleich es sich mit Geschichte uud Philosophie beschäftigt; zutreffender würde es sein , es ein poetisches Erzeugniss zu nennen. Zur historischen Dar- stellung würde gehören, dass der Ursprung und die Stadien der Ausbildung des Begriffs der Energie mit litterarischem Nachweis ans Licht gestellt wären. Hierauf geht die Schrift nicht ein: sie bleibt von Anfang an bei dem Worte Energie stehen , ohne irgend einmal dessen Inhalt zu entfalten, ohne das Problem darzulegen, um dessen Lösung es sich handelt, so dass ein Fortschritt in der Auffassung überhaupt nicht ersichtlich werden kauu. Eher poetisch als philo- sophisch aber stellt sich die Schrift dar, sofern sie ihr Intcrcsso nur der Aussenseite der literarischen Erscheinungen zuwendet, und ihre

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Literarischer Bericht XXXI.

Urteile, um deren cxacte Begründung sie sich uirgends bemüht, nur den Geschmack des Verfassers repräsentircn. Nach dessen Ansicht muss die Geschichte die. geäusserten Ideeu aller Schriftsteller, die das Wort Energie im Munde führen, des Phautasteu wie des For- schers, gleicherweise würdigen; denn auch das vergessene Wort wirko fort und sei als Grund späterer wichtiger Entdeckungen anzuerken- nen. Wie sehr seine Beobachtungen am Aeussern haften, verrät dio anfängliche Bemerkung, auch dio Wissenschaft habe ihren Styl. Der Wissenschaft wird hiernach die persönliche Vorliebe ihrer Vertreter zugeschrieben. Dass letztero zu verschiedenen Zeiten in verschie- dener Weise sich vorwaltend geltend gemacht hat, ist es, was nach des Verfassers Meinung den Eutwickeluugsgang der Wissenschaft charakterisirt. Ob sich während dessen dio Wissenschaft einem Ziele angenähert hat, scheint ihm gleichgültig. Das Ziel wird allerdings in dem Satze ausgesprochen: Bei jeder Verwandlung kinetischer Energie in potentielle oder potentieller in kinetische bleibt doch dio gesamto Energie unvei ändert. Wenn er aber gleich nachher dio analytische Gestaltung als das grösste Hinderniss auf dem Wege zu diesem Ziele verdammt, so kann mau darin doch kaum etwas an- deres als ein Urteil seines Geschmackes sehen. Dio Schrift teilt sich nach den verschiedenen Gebieten, denen die Bemerkungen zu- gehören. Der 1. Teil, Quellen der Energie-Ideen, hat dio Abschnitte: theoretische Mechanik, Physik, Philosophio, Technik; der 2. Teil, Begründung des Energie-Gesetzes: Aufstellung des Encrgie-Princips, experimentelle Belege der Aequivalenz, Erhaltuug der Energie, Eigeu- cuergic der Körper, Terminologie, Ergebuiss; der 3. Teil: Energie- gesetz als Iutegralgesctz , Einfluss des Eutropiegcsctzcs , Energie- gesetz als Grundgesetz, Formen der Euergie. Verweisungen auf dio Litteratur sind am Ende zusammengestellt. Hoppe.

Zwei Abhandlungen über den Rechenunterricht. Das Rechnen mit den Zahlen von 1 bis 100, eine didaktische Skizze. Ueber Rechenunterricht und Rechenbücher, eiuo Rück- und Umschau. Von Christian Harms, Professor. Oldenburg 1889. Gerhard Stall ing.

72 S.

Die erste Abhandlung beginnt mit einem Streite, der über zwei Methoden des Rechenunterrichts für Kinder schon längero Zeit ge- führt wird, obwol mau hätte erwarten dürfen, dass seine Entschei- dung heutzutage keino Frage mehr sein würde. Als vor 45 Jahren der Schulrat Schulz in einem Artikel seiner Zeitschrift die Methode zuerst ausführlich erörterto und empfahl, nach welcher die Eigen- schaften, Zusammensetzung und Zerleguug jeder Zahl einzeln von 1 an aufsteigend gelehrt, mithin die Operationen auch immer spccicll,

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Litterarischer Bericht XXXI.

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als zu jeder Zahl eiuzeln gehörig, betrieben werden, wurden sehr bald die damit verknüpften Uuzuträglichkeiton empfunden, und Ein- führung fand nicht statt. Indes verwarf man ihren Grundgedanken nicht, sondern verbesserte die Form der Ausführung dahin, dass statt der eiuzcluen Zahlen Gruppen auf einander folgender Zahlen in dieser Weise behandelt wurden. Ebenso verfahrt auch der Verfasser und zwar erklärt er die Gruppen bis 5 , bis 10, bis 20, bis 100 für dio geeigneten, weil sie dem Abzählen an den Fingern entsprechen. Er wendet sich hier gegen einen Autor Grube, welcher bei der ge- sonderten Behandlung aller Zahlen bis 100 verharrt, und demgemäss 100 Stufen des Unterrichts annimmt Dass jemand sich von einem solchen Zuwerkegehen Erfolg versprechen kann , scheint nur glaub- lich uutcr der irrigen, wiowol öfters angetroffenen, Voraussetzung, dass alles, was die Kinder in der Schule hören, ihr Eigentum bleibt. Es ist bekannt genug, dass eine unterschiedliche Menge des Gehörten oder Gesehenen nur durch Ordnung zur Gesamtaufiassung gelangt. Das Herauskehren der Individualität so vieler Zahlen aber macht jedes Ordnungsprincip unmöglich. Diese Ueberbürdung des Gedächt- nisses wird durch die Einteilung in 4 Stufen gäuzlich vermieden. Dio erste Stufo gibt Raum gonug für Entwicklung der elementaren Begriffe. Je mehr der Umfang sich in höhern Stufen vergrössert, desto mehr überwiegt das Gemeinsame, d. i. die Operation, dio In- dividualität, und hierzu rauss es doch einmal kommen. Es wird nun das Verfahren eingehend erörtert. Hierzu ist eine Bemerkung zu machen. Der Verfasser findet es schwierig den Kindern begreiflich zu macheu, dass aus ||| — j sich 2 ergeben könne, da sie doch 4 Striche zählen. Die Schwierigkeit zeigt nur an, dass dio Erklärung vom uurechteu Ende anfängt. Die Subtraction muss zuerst durch Invcrsiou erklärt werden; diese Regel entspricht nicht bloss der wissenschaftlichen, sondern auch der kindlichen Logik. Ist 0 -f- | -= ||| erklärt, so frage man ? -J- I — III* Wo Frage beantworten am leichte- sten die Fiuger. Soll durch Erhebung eines Fingers 3 entstehen, so muss dieser 1 Finger von den dreien vorher gesenkt werden. Das Senken der Finger aber bedeutet bei den Strichen dio Tilgung eines Striches. Warum der Verfasser die Inversion nie anwendet, ist nicht ersichtlich; hatte er einen Einwand dagegen, so war dieser auszu- sprechen.

Die zweite Abhandlung, Abdruck eines früheren Programms, bespricht den Gegenstand im ganzen und gibt keinen Anlass etwas daraus hervorzuheben. Hoppe.

Ucber die Identität geometrischer Gebilde. Ein Beitrag zur Didaktik der Geometrie. Von Jos. Schräm, Professor am Commu-

33 Literarischer Bericht XXXI.

nal-Hoal- und Obergymnasium in Marialiilf. Abdruck aus der „Zcitschr. f. d. Realschulwescn" III. Jahrg. VI. Heft.

Vor Verfasser erklärt zuerst, dass er bei Herausgabe seines Lehrbuchs der ebenen Geometrie keiue passende Stelle gefunden hat, seine vielfachen Abweichungen vom Gewöhnlichen zu rechtfertigen. Eine Besprechung des Lehrbuchs durch Herrn Dr. Obermann im III. Heft dieser Zeitschr. bietet ihm jetzt den Anlass dazu, indem sie einen Vorwurf enthält. Die betreffende Stelle ist wörtlich abge- druckt; sie sagt aus, dass die Definition der Congruenz (Identität) durch die ausreichenden Bestimmungsstücke bei Schräm einen augen- fälligen, bei frühern Autoren einen versteckten Cirkel gebe. Der Verfasser will den schuldigen Nachweis dieses Urteils nicht abwarten, sondern teilt sogleich seine Aufstellungen mit und sucht durch Musteruug aller einzelnen Punkte das Nichtvorhandensein eines Cirkels darzulegen. Halten wir uns nun, da Obermann sich nicht näher ausspricht, einfach an die mitgeteilten Aufstellungen, so liegt es uns jedenfalls näher gegen die mannichfachen Unbestimmtheiten Kritik zu üben als ein Urteil über sie zu fällen. Der erste Satz ist: „Zwei Gebilde heissen identisch, wenn sie sich nur durch den Ort, an welchem sie sich befinden, von einander unterscheiden". Dies soll doch gewiss keine Definition sein; denu es sagt nur: iden- tisch h eis st, was identisch ist bis auf die Lage. Aber diese Be- stimmung als definitive, fortgeltende ist überhaupt unzulässig; denn sie widerspricht dem natürlichen wie dem wissenschaftlich unent- behrlichen Sinne der Identität, demgemäss 2 identische Dinge nicht gleichzeitig existiren können. Wir können 2 geometrische Gebilde, COügrocnt oder nicht, als Darstellungen zweier Zustände desselben variabcln Gebildes betrachten, willkürlich weil die Geometrie von der Materie, welche in der Natur die Identität bestimmt, abstrahirt Schram's Einführung nimmt erstlich der Kinematik diese viel geübte Freiheit und verwechselt andrerseits die Betrachtung ad hoc mit der endgültigen Festsetzung. Er beruft sich auf andre Autoren ; einen Diebstahl aus Not mag man entschuldigen , aber nicht nachahmen. Der zweite Satz ist: „Identische Gebilde sind vertausebbar, nämlich das eine kann so an die Stelle des andern treten, dass jeder Punkt des einen G. durch einen Punkt des andern ersetzt wird". Das Wort „nämlich" an sich ist zunächst mehrdeutig. Vertauschbar schlechthin sind je zwei Dinge ; soll etwas damit gesagt sein, so muss eine Bedinguug hinzukommen, der Satz mit „nämlich" kann nur diese Bedingung ausdrücken. Allein dieser hebt die Unbestimmtheit nicht auf; denn „ersetzen" ist ebenso relativ zu einer Forderung wie „vertauschen": ein Ersatz für eine Forderung ist kein Ersatz für eine andere. Folglich ist die Vcrtauschbarkeit als eine Eigenschaft

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Litterarücher Bericht JVAAY. 34

überhaupt nicht dcfinirt. Es würde leicht sein die Vertauschbarkeit eiues Dreiecks mit eiuem Viereck bei materieller Identität und sogar bei unveräuderter Gesamtfigur entsprechend obigem Satze zu zeigen. Vielleicht im Gefühl der Unzulänglichkeit seiuer Erklärung fügt der Verfasser hiuzu : „Man sagt auch, sie decken einander". Wenn aber einmal zur Deutlichkeit der gewöhnliche Ausdruck nötig wird, warum geht er dann davon ab und führt erst Undeutliches statt des Deut- lichen ein? Eiu dritter Satz lautet: „Die (gegebenen) Bestimmungs- stücke einer Figur heissen eindeutig, wenn die Construction nur eine Figur oder mehrere vertauschbarc P'igurcu liefert, mehrdeutig etc." Der Sinn ist hier nicht miszuverstehen, aber das Attribut „eiu- uud mehrdeutig" wird dem verkehrten Subject beigelegt: statt der Ab- hängigkeit der mitbestimmten Strecken und Winkel, welche allein ein- oder mehrdeutig sein kanu, werden die gegebenen Strecken und und Wiukel so genannt, was offenbar der eclatauteste Uusinu ist, wenn auch der Kundige leicht versteht, was gemeint ist. Vergleichen wir dio hier dargebotene Didaktik mit der gewöhnlichen, dem Euklid folgenden Behandlung des Congrueuzbegriffs , so setzt sie an die Stelle einer verstäudlicheu und sehr einfachen Lehre, die allerdings auf die geläufige Vorstellung unveränderlicher Körper (Zirkel und Massstab) fusst, aber von aller Uuklarheit frei ist, eiue durchweg mit logischen Mäugelu behaftete Ueihe von Sätzeu, die dem Schüler teils überhaupt, teils in dem hier usurpirteu Sinne fremd sind. Fragt mau nun nach dem Zwecke der ganzen Umgestaltung, so können wir uur eine Ausführung, in welcher die praktische Wichtigkeit der Be- stimmuugsstücke hervorgehoben wird, als einzige leitende Augabc betrachten. Diese aber motivirt uicht im mindestens die Grüuduug des Begriffs auf dio Bestimmuugsstückc. In letzterer liegt in mehr als einer Beziehuug eiue didaktische Verkehrtheit. Zunächst ist sie eiuo verwerfliche Verweisung auf Späteres. Die hinreichenden Be- stimmuugssücke kann der Schüler erst successive wahre ml des Cursus kennen lernen, muss sich also bei der Definition mit dem Worte ohne Verstäuduiss beguügeu. Infolge davon geht den Schülern der leitende uud orientireude Gesichtspunkt verloren, welchen die gleich anfängliche deutliche Vorstellung des Deckens der ganzen Figur bei Behandlung von dessen einzelnen Erfordernissen darbietet. Eiue augenfällige Probe dieses Mangels ist der Umstand, dass durch alle Bestimmungsstücko der Unterschied zwischen cougruenten und sym- metrischen Figuren uicht erkannt werden kaun. Der Verfasser wehrt dessen Beachtung ab, indem or den Unterschied sogleich mit dem umfassenden (ohne Erkläruug gelassenen) Namen „Vertausch- barkeit" zudeckt. Abgeseheu vou dem pädagogi scheu Fehler, ist dio Motivirung auch logisch verkehrt. Wenn der Techniker von der Ellipse uur 2 I 'im ms innen misst, weil sie zur Bestimmung aus-

Literarischer Bericlit XXXI.

reichen , so ist die Messung doch nur das Mittel und bedeutungslos, wenn nicht der Zweck die ganze Ellipse zu bestimmen vorher im Bcwusstscin Hegt. So läuft denn Schram's ganze Auseinander- setzung darauf hiuaus, die gebrauchten Mittel zum wesentlichen Merkmal der Sache zu machen, deren Zweck im Dunkeln bleibt.

Hoppe.

Zur Lehre vom Unendlichen. Antrittsrede zur Ucbernahme der ausserordentlichen Professur der Mathematik au der Universität Tübingen gehalteu am 28. Juui 1888 von Dr. W. Franz Meyer an der Bergakademie Clausthal. Tübingen 1883. H. Laupp. 24 S.

Da die Lehre vom Unendlichen so ganz und gar keine Schwie- rigkeit darbietet, dass selbst Anfänger der Arithmetik, wenn sie uur überhaupt auf den Gedanken eiuer Veränderung eingehen , sie ohne Mühe und ohne subtile Anforderungen begreifen können, so sind ge- wisse Schriftsteller, die den Reiz des Wunderbaren und Unbegreiflichen zur Erregung der Aufmerksamkeit nicht entbehren zu können meinen, gezwungen, wenn sie davon reden, diese Lehre so zu verdrehen uud zu entstellen, dass niemand mehr das Gewirro zu durchschauen ver- mag, und sie nun zeigen können, dass allerhand Lösungsversuche der selbstgemachten Schwierigkeiten zu keinem Ende führen. Als ein Erzeuguiss dieser Art stellt sich auch das Vorliegende dar. Ein- leitend sagt die Schrift, die sogenannte reine Mathematik und Aua- lysis köuue erst dann reiu genannt werden, wenn sie, soweit es die Eigenart unserer Geistesanlagen zulasse, als eiu Bestandteil der reinen Logik auftrete. Hiergegen ist zunächst zu erinnern, dass factisch von reiner Mathematik uur im Gegensatz zur angewandten gesprochen wird, und dass weder der Name noch das Motiv einer Unter- scheidung mit der Quelle mathematischer Erkenntuiss zu tun hat. Für den Verfasser ist die Basirung auf die reine Logik das Llea! der Strenge; er möge sich doch fragen, wie er diese Lagik, dieses angeborene Gesetz des Geistes, von der vorgefassten bornirten Mei- nung unterscheiden will. Doch wollen wir hierbei nicht verweilen und uns zum eigentlichen Thema der Schrift wenden. Als Beleg dafür, dass die Arithmetik und Analysis nicht aus reiner Logik her- vorgehen, führt der Verfasser die Begriffe der Grösse, der Auzahl, des Irrationalen, des Stetigen und (diesen vorausgehend) des Unend- lichen an; das Uncndlicho ist von da an sciu einziger Gegenstand. Sehen wir nun zu, was er von diesem aussagt. Zuerst bemerkt er, dass fast allo unsere Autoren in der Definition und Einführung des Begriffs des Unendlichen von jeher von einander abgewichen seien. Freilich wenn man alle Faseleien, die in der Neuzeit über diesen

Litterarischer Bericht XXXI.

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Begriff zutage getreten sind, als verschiedene wissenschaftliche An- sichten gelten lässt, so mag es denen, die nie selbst aualy tische Untersuchungen gemacht haben, vorkommen, als gäbe es eine Menge verschiedene Begriffe und Auffassungen. Dennoch ist das Unendliche in allen wissenschaftlich analytischen Abhandlungen nur in einer Be- deutung in Gebrauch, uud seine Definition längst bekannt: unend- lich gross heisst eine Variable, die beliebig gross werden kann, un- endlich klein eine Variable, deren absoluter Wert beliebig klein werden kann. Der Verfasser erklärt es für uubedingt geboten, dass mau, um mit dem Unendlichen so familiär umzugehen, wie os ge- schieht, sich zuvor einer festen und untrüglichen Definition des- selben versichere, behauptet aber, das Gegenteil finde statt. Hier ist diese Definition; auf Grund ihrer ist die Uutrüglichkeit der Schlussweise der Infinitesimalrechnung streng bewiesen — s. d. Aren. Bd. LV. S. 50 - und in den seitdem vergangenen 16 Jahren kein Einwaud gegen die Richtigkeit oder Anwendbarkeit erhoben worden. Schien dem Verfasser vielleicht diese Lehre zu einfach und elemen- tar, um sie neben den hochgeschraubten Erklärungsversuchen, die er oft vernommen, und die wol für rhetorische Auslassungen ein rei- cheres Feld eröffneten, auch nur der Erwähuung für wert zu halten? Weiter sagt der Verfasser, um eine der mannichfaltigen Auffassungen des Unendliehen zu nennen, mau spräche in erster Linie vom Uu- endlich - klein - und vom Unendlich -gross- werdenden, u. s. w. Von solchen spricht sicher keine analytische Abhandlung; manche Grübler mögen in diese Unklarheit verfallen sein. Ferner sagt er, man bediene sich jetzt des Unendlichen nur als eines Sprachgebrau- ches für ein Veränderliches, entweder ab- oder zunehmendes, selbst aber durchaus endlich und bestimmbar bleibendes. Dieses Couvolut von lauter Unsinu nennt er eine „hochbedeutende Erkenntnisse. Er hat somit erkannt, dass dio Entdeckung Newton 's und Leibniz's nebst der ganzen daraus erwachsenen Wissenschaft sich auf eiuen Sprach- gebranch reducirt! Von den genanuten Merkmalen gehört das erste, das Ab- oder Zunehmen, nicht zum Begriffe, dafür fehlt das notwen- dige Merkmal, dass der Veränderung keine obere, resp. untere Grenze gesetzt ist; dass das Unendliche endlich sei, ist ein Widerspruch . bestimmbar kann es wol sein, nämlich als Fuuction eines andern Unendlichen, doch dies hat sicher der Verfasser nicht gemeint. Schliesslich behauptet er, man verzichte im allgemeinen von vorn- herein auf durchaus exaete oder reine Resultate, man gesteho frei- mütig ein, dass jeder Schritt vorwärts im Gebiete der veränderlichen Grössen mit Fehlern behaftet sein müsse, u. s. w. Im Anfang staunt man über die Dreistigkeit, mit welcher plötzlich solche ganz unwahro Aussagen hingeworfen werden; bald aber kommen die Schwächen seiner Stützpunkte zutage. Dass mit höherer analytischer Rechnung

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Litterarischer Bericht XXXI.

viele Probleme in Angriff genommen werden, die nur approximativ zu lösen sind, ist die Tatsache, auf welche das Folgende hinzudeuten scheint. Er verwechselt aber die Ursachen und statt in der Schwie- rigkeit der Probleme sieht er deu Grund der anfänglichen Unge- nauigkeit im Mangel des Begriffs des Unendlicheu, iguorirt auch gänzlich allo Lösungen in geschlossener Form. So ist denn der ge- samte Vortrag für ciue uuwissende Zuhörerschaft berechnet, der er durch Vorspiegelung falscher Tatsachen die Meinung einzuflössen sucht, die Infinitesimalrechnung soi keiuo oxaetc Wissenschaft. Hier beginnt nun der zweite Teil der Schrift, welcher zeigen soll, welche Aussicht wir haben auf Grund eines defiuirteu absoluten (constanten) Unendlich eiuo exaeto Intiuitesimalwissenschaft herzustellen. Diese Hoffnung schöpft der Verfasser aus der Schrift: „Was sind und was sollen die Zahlen"? von R. Dedekiud — uud reproducirt dieselbe ausführlich. Iu ihr ist u. a. eiu Versuch enthalten das absolute Unendliche detiuiren. Dieser ist jedoch gänzlich misglttckt, wie in ausführlicher Besprechung der Schrift, im 27. litt. Bericht, S. 29—33, bewiesen worden ist. Hoppe.

Der Unterricht in dor analytischen Geometrie. Für Lehrer uud zum Selbstunterricht. Von Dr. Wilhelm Krumme, Direktor der Obcr-Realsehulo zu Brauuschweig. Mit 53 Figuren im Text. Brauu- schweig Otto Salle. 311 S.

Das Vorliegende, weit entfernt dem Titel zu entsprechen, hat vielmehr zum Gegenstaude die rechuendc Geometrie der Ebeuc und umfasst insbesondere die Theorie der rechtwinkligen Coordinaten iu Anwendung auf die Kegelschnitte in rein synthetischer Eutwicke\uug. Motivirt wird die ßeneuuung iu sehr eigentümlicher Weise: die vor- getragene Lehre sei weder euklidische noch neuere Geometrie, heisse daher analytische Geometrie. Der Verfasser sollte doch wissen, dass man über ein Wort von so grosser und in so weitem Umfange be- reits geltender Bedeutung nicht nach Gutdünken verfügen kann. Er iguorirt nicht nur den eigentlichen Wortsinn, sondern auch einen ganzen Wissenschaftszweig, welchem der Name „analytische Geome- trie" mit vollem Rechte angehört. Analytisch betest die Erkcnnt- niss, dio von ihrem Ziele in allgemeinst möglicher Auffassung aus- geht und mit diesem im Auge ihre Erfordernisse zu beschaffen sucht. Kümo diese analytische Erkenntniss auch erst in der höhen» Mathe- matik zur Verwirklichung, so wäre es doch durchaus verwerflich auf der Schule eine Terminologie einzuführen, die gegen die wissen- schaftliche Ausdrueksweisc streitet. Aber selbst bei der Behandlung ganz elemeutarer Coustructionsaufgaben lerueu die Anfänger das

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Lüterariachtr Bericht XXXI.

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Wort „Analysis" im echten Sinne kennen , und zwar handelt es sich hier gewöhnlich um gar keine Rechnung, sondern um direct geome- trische Beziehungen. Letzteres zeigt zum Ueberfluss, dass, während das synthetische Verfahren die Anwendung von Rechnung uud Rcch- nungselemeQten, Coordinaten, nicht ausschliefst, auch das analytische ohne Rechnung möglich ist. An einer treffenden Bezeichnung fehlt es nicht: „rechnende Geometrie'1 und „Coordiuateulehre"' sagt ohne Erklärung deutlich, was es sagen soll; ein Grund, dafür das er- klärungsbedürftige uud gar nicht zutreffende Wort „aualytischo Geo- metrie" zu gebrauchen ist also nicht ersichtlich, wenn man nicht geflissentlich die Schüler irre leiten will.

Scheint vielleicht ein blosser unpassender Name nicht soviel wert zu sein, dass wir seinetwegen ausführlich längst bekannte Dingo wiederholen, wie es im Vorstehenden geschehen ist, so rechtfertigt uns wol die Schwerhörigkeit, von der das neue Auftreten eines so oft gerügten Fehlers, ohno zur Entkräftung der Rüge etwas beizu- bringen, Zeugniss gibt.

Das Buch begiunt mit einem „allgemeinen Teil", welcher das Verfahren des Unterrichts bespricht, der also nur für Kundige be- stimmt ist; danu erst folgt im „besondern Teil" die für die Lerneu- deu bestimmte Lehre. Letzterer wird in 3 Stufen geteilt, deren erste für den Unterricht iu Prima berechnet ist. Durch diesen soll der Schüler in 2 Jahren soweit gefördert werdeu, dass er den übrigen Inhalt des Buches ohue Hülfe des Lohrers für sich lernen kaun. Die erste Stufo behandelt die Coordinatcntheorie und einen gewissen Kreis ihrer Anwendung und teilt sich in 6 Abschuitte nach den Gegenständen: Punkt, Gerade, Kreis, Parabel, Ellipse, Hyperbel. Die zweite Stufe erweitert den Lehrstoff der ersten und hat dieselbeu Gegenstände. Der dritte behandelt die allgemeine Gleichung 2. Gra- des. Auf jeden Abschnitt folgen Uebungen. Durch diese lernt der Schüler, was der wichtigste Punkt ist, ein algebraisches Resultat geometrisch deuten. Ob er daraus die Nützlichkeit des Umwegs der Uebersetzung des Geometrischen iu's Algebraische und wieder zurück ersieht, ist wol zweifelhaft. Der Lehrgegenstand selbst ist ohne Zweifel für sehr Viele nützlich, die nicht Mathematik studireu, und denen doch mathematische Kcnntuissc zu statten kommen. Wer da- gegen die Mathematik zum Studium wählt, dem ist die hier gegebeue Unterweisung eine schlechte Vorbereitung dazu und eher hinderlich als irgeud förderlich. Er tut besser, das Betreiben der Coordinaten- lehre auf die Universität zu versparen und unmittelbar vom allge- meinern Standpunkte aus anzufangen. Hoppe.

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Lifterarucher Bericht XXXI.

Vermischte Schriften.

American Journal of Mathcmatics. Simon Nowcomb, Editor . Thomas Craig, Associato Editor. Published undcr tho Auspices of tho Johns Hopkins Univcrsity. U . • • fi«ru>v ÜEyxog ov ßkenotu£- vcov. Volume XI. Bnltimoro 1889. Publication Agency of the Johns Hopkius University.

Der Inhalt des 11. Bandes ist folgender.

P. A. Mac Mahon: Abhandlung über ciue neue Theorie der symmetrischen Functionen.

W. Woolsey: Ueber dio iu Reihen dargestellten Iutegralo binomischer Differentialgleichungen.

M. d'Ocagnc: Ueber gewisse Curven, welcho man mit den ebenen Curven zum Studium ihrer Iunuitesimalcigenschaftcu verbinden kann.

Cayley: Ueber die Flächen mit ebenen oder sphärischen Krüm- mungsliuien. — Ueber die Theorie der Gruppen.

J. Perott: Bemerkung zum Satze von Euklid über die unend- liche Anzahl vou Primzahlen.

A. E. H. Love: Wirbelbewegung in gewissen Dreiecken.

A. B. Basset: Ueber dio permauente Bewegung eines rotten- den flüssigen Ringes.

S. Lie: Dio Begriffe Gruppe und Invariaute.

E. Picard: Ueber die binären quadratischen Formen mit con- jugirten Unbestimmten und dio Fucbs'schen Functionen.

F. Morley: Ueber die Geometrie eiuer circularen kubischen Curvc mit Knoten.

H. B. Fino: Ueber die durch Differentialgleichungen detinirten Functionen nebst einer Erweiterung der Puiseux'schen Polygon-Con- Btruction dieser Gleichungen.

E. Goursat: Ueber die siugulären Lösungen der simullancn Differentialgleichungen.

H. A. Rowland: Elektromagnetische Wellen und Oscillationcn an der Oberfläche der Conductorcn.

J. C. F i e 1 d s : Der Ausdruck eines beliebigen Diffcrcntialcoef- ficienten einer Function einer Function beliebig vieler Variabcln mit- telst der entsprechenden Differentialquotienten von « Potenzen der Function, wo n dio Orduung des Differentialquotienteu ist.

0. Bolza: Ueber die Construction intransitiver Gruppen.

K. Heun: Dio Herstellung einer linearen Differentialgleichung aus einem gegebenen Element der Integralfunction.

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Litterarischer Bericht XXXI.

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L. Koenigsberger: Ueber die Rcduction vou Iutegralen transccndenter Functionen.

F. Franklin: Note über die doppelte Periodicität der ellipti- schen Functionen. H.

Acta Mathematica. Zeitschrift herausgegeben von G. Mittag- Leffler. 12. Stockholm 1889. F. u. G. Beijer. Berlin, Mayer u. Müller. Paris, A. Hermann.

Der Inhalt des 12. Bandes ist folgender.

P. Appell: Ueber die Bewegung eines Fadens in einer festen Ebene.

M. Lerch: Ueber eine Methode der Entwicklung einiger ellip- tischen Functionen iu trigonometrische Reihen.

C. Guichard: Ueber die linearen Differentialgleichungen mit algebraischen Coefficientcn.

J. do Vries: Ueber gewisse ebene Configurationen.

F. Brioschi: Ueber die Gleichung 6. Grades.

K. Hcun: Bemerkungen zur Theorie der mehrfach linear ver- knüpften Functionen.

J. Hacks: Schering's Beweis des Reciprocitäts- Satzes für die quadratischen Resto dargestellt mit Hilfe des Zeichens [*].

J. Horn: Ueber ein System linearer partieller Differential- gleichungen.

S. Kowalevski: Ueber das Problem der Rotation eines starren Körpers um einen festen Punkt

V. Vol terra: Ueber eine Verallgemeinerung der Theorie der Functionen einer imaginären Variabcln. I.

P. Tscheby8chcff: Ueber die Iutegrai-Rcsidueu , welche die angenäherten Werte der Integrale geben.

E. Picard: Ueber eiue Classe linearer partieller Differential- gleichungen 2. Ordnung.

H. Dobriner: Ueber das räumliche Achteck, welches die Schnitt- punkte dreier Flächen 2. Ordnung bilden.

H. G. Zeuthen: Note über die 8 Schnittpunkte dreier Flächen 2. Ordnung.

A. Hurwitz: Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Ent- wickelung reeller Grössen. H.

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Litterarischer Bericht XXXI 1.

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Litterarischer Bericht

XXXII.

Lehrbücher.

Vorschule der Mathematik für österr. Uutergymuasieu und vor- wandte Lehranstalten. Von Jos. Schräm, Professor am Commu- ual-Real- und Obergymnasium in Mariahilf, und Rud. Schusslcr, Doctor der Philosophie. Mit 384 Figurou. (Iu besonderem Heft.) Wien 1889. Alfred Hölder. 319 S.

Zwei Schriften vom erstem Verfasser sind hier bereits be- sprochen worden, die eine: „Lohrbuch der ebeuen Geometrie" — erschienen 1878, im 247. litt. Bericht S. 25, die andore : „Ucber die Identität geometrischer Gebilde" — ohne Zeitangabe, soeben im vorigen litt. Ber. S. 32. Letztere sucht die in einem mit erstercr gleich betiteltem Werke befolgte Didaktik gegen Angriffe zu vertei- digen und führt daraus die Sätze an, auf welche die Angriffe Bezug haben. Von diesen Sätzen ist der eine, welcher die Congruenz durch Vertauschbarkoit definirt, wörtlich unverändert auch in die „Vor- schule" Ubergegangen, während zwei audre, deren einer statt der Congruenz den Namen Identität einführt, der zweite dieselbe mittelst des falsch gebrauchten Ausdrucks „eindeutig" auf die Bcstimmuugs- stttcko surückführt, im gegenwärtigen Werke nicht vorkommen, und, wenn Ref. nicht irrt, auch in der besprochenen Ausgabe nicht ge- standen haben. Auf die Bezeichnung des gegenwärtigen als „Vor- schule" scheinen die Verfasser selbst kein Gewicht zu legen, da es im Vorwort stets „Lehrbuch" genannt wird. In der Tat Charakteri- stik es sich gegenüber andern Lehrbüchern gerade in entgegenge- setzter Richtung: es hat eher den Charakter einer Eneyklopädie, die

Arch. J. Matb. u. Phya. 2. Reibe, Teil VIII. 4

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Litterarischer Bericht XXX1L

in sachlich geordneter Reihe von Artikeln über alle Lehrthemata concinne vollständige Auskunft erteilt. Diese Darstelluugsweise vor-, liert natürlich im weitern Fortschritt mehr und mehr ihr Unter- scheidendes und fallt schliesslich mit der rational didaktischen Ent- wickclung des Lohrstoffs zusammen. Schon die Ausdehnung des Lehrbuchs auf Stereometrie und Kegelschnitte lässt dasselbe nicht als Vorschule erscheinen. Hauptsächlich aber ist es die Abfassuugs- weise, die einer Einführung vsn Anfängern in das mathematische Ge- biet am wenigstens entspricht. Während überall sonst auf exaeteu Ausdruck grosse Sorgsamkoit verwandt ist, treten gerade in den An- fängen, wo es sich um Erklärung der elementarsten Begriffe handelt, mancherlei Schwächen und Misgriffe auf. Der iu der Geometrie be- gangene und an bezeichneter Stelle gerügte Fehler, der in der Er- klärung der Congruenz durch Vcrtauschbarkeit liegt, entstellt auch den Anfang der Arithmetik, wo gesagt wird: „Zwei gleichartige Grössen heissen eiuauder gleich, wonu dio eine für die audere ge- setzt werden kann, ungleich, wenn dies nicht möglich ist." Die ein- fachste Widerlegung gibt wol jede Ungleichung a l - b , indem man für a jede grössere, für 1 jede kleinere Grösse setzen kann. Sie deutet darauf hin, tlass der Fehler ein Erklärungscirkel sei, da die Erklärung der Gleichheit die Gleichheit stillschweigend voraussetze. Allein auch in ax = U, wie in vielen Gleichungen, kann mau für a Ungleiches setzen. Der Fehler ist vielmehr dio unzulässige Um- kehrung des richtigen Satzes: Gleiches kann man für eiuander setzen. Ferner ist der Satz unrichtig: „Jedes Ding für sich allein betrachtet heisst Einheit." Im Gegenteil heisst es nur dann so, weun man es iu Verbindung mit auderu Dingen betrachtet, und, was wesentlich ist, wenn man von deren Verschiedenheit absieht Ferner zeigt der Satz: „Rechnen hat die Aufgabe, aus gegebeueu Zahleu nach be- Btimmteu Vorschriften eine neue Zahl zu bilden" — Mangel au Beobachtung. Nirgends, auch nicht iu diesem Buche, wird das Wort Rechneu in dem genannte« Sinne gebraucht. Nicht derjeuige, wel- cher aus den Zahlen 3 und 8 die neue Zahl 3X8 bildet, sondern derjenige, welcher die so gebildete Zahl in der dekadischen Form 24 darstellt, rechnet. Während der Verfasser bei andern Gegenständen selbständig mit Besserung vorgegangen ist und manchmal in der Ab- weichung vom Gewöhnlichen geirrt hat, ist es hier gerade ein recht häufig vorkommender Fehler, den er ohne Ueberlegung aufnimmt. Was zu dem Fehler verleitet, ist der Umstand, dass bei Erklärung der einzelneu Operation der Unterschied von Stellung und Lösung der Rechenaufgabe ohne Bedeutuug ist Hier ist daher auch der Fehler von keiner Bedeutuug-, bei den maunichfaltigeu Transfor- mationen der Algebra hiugegen bringt er Unklarheit mit sich ; dio falsche Defiuitiou hat zwar der Schüler hier längst vergessen, aber

Lüterarischtr Bericht XXX11.

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das Richtige weiss er darum doch nicht. In Betreff der Geometrie ist die verfehlte Definition der Congrucnz bereits ausführlich be- sprochen. Die behandelten Lehrthemata sind der Reihe nach fol- gende. Unter „besondere Arithmetik": dio Zahl und ihre Darstel- lung, die 4 Grundoperationen in ganzen Zahlen, Teilbarkeit der Zahlen, gemeine Brüche, Dccimalbrücho , mehrfach benannte Zahlen, Proportionen. Unter „allgemeine Arithmetik": arithmetische Zei- chensprache, Operationen erster, zweiter Stufe, allgemeine Brüche, Quadrat und Quadratwurzel, Kubus und Kubikwurzel, Proportionen, Gleichungen 1. Grades. Unter „Plauimetrie": Grundgcbilde, Drei- eck!, Kreis, Yiereck, Polygon, Längenmessung, Flächcngleichheit und Flächenmessung, Aehnlichkeit. Unter „Stereometrie": Punkt, Ge- rade, Ebeno im Räume, Prisina uud Cylinder, Pyramide und Kegel, Kugel, Polyeder, Kegclschuittslinien. Auf die besondere und auf die allgemeine Arithmetik folgen Aufgaben des Verkehrs, auf die Plani- metrie Constructiousaufgaben, die Lösungen sind am Schlüsse des Buchs zusammengestellt. Ausserdem sind au ciuzeluc Lehren Frageu uud Aufgaben augeknüpft. Hoppe.

Lehrbuch der gesammten niederen Mathematik umfassend Arith- metik, Buchstabenrechnung, Algebra einschliesslich der Logarithmen, Geometrie, ebene Trigonometrie und Stereometrie. Mit zahlreichen Beispielen und Uebun^saufgabcn uebst vollständiger Lösung und Aus- rechnung bearbeitet für deu Selbstunterricht sowio auch für deu Schulgebrauch vou C. Otto, Gewerbeschullehrer a. l>. und H. Die- sen er, Architekt. Mit 420 Holzschnitten. Abteiluug I. uud IL Arithmetik, Buchstabenrechnung uud Algehra. Abteiluug III. IV. u. V. Geometrie, ebene Trigonometrie und Stereometrie. Halle a. d. S. 1889. Ludw. Hofstetten 64 + 50 -f- 173 -f 132 -f- 97 + 75 S..

Das Buch lehrt, wie man ohne alles Denken und Verstehen eine gewisse praktische Fertigkeit im Rechnen uud Cunstruircn gewinnen soll. Es besteht nur aus Regeln (mit vorgängiger Angabe des Wort- gebrauchs) und Uebungsbeispielen. Von Begründung und BegrifTs- erklärung ist nirgends die Rede, ja dio Regeln uud Worterkläruugeu siud nicht einmal dafür abgefasst, dass der Schüler daraus das Ver- fahren entnehmen kann. S. 6. z. B. steht : „Multipliern heisst, eine Zahl , den Multiplicator , so oft zu sich selbst addiren , als eine an- dere Zahl, der Multiplicator Einheiten hat." Wollte ein Schüler hiernach 5 mit 3 multipliciren, so würde er 5 zu 5 addiren, dann wieder 5 zu 5, dann wieder 5 zu 5, und dreimal dasselbe Resultat 10 finden, was denn mit mehrfacher Bestätigung ergäbe, dass 3 mal

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Literarischer Bericht XXXII.

5-10 ist. Wahrscheinlich sind also die Regoln und Worterklä- rungen nur dazu da, im Examen hergesagt zu werden, und das Rechnen erlernt der Schüler, indem er es dem Lehrer nachmacht.

Hoppe.

Kley er s Encyklopädie der gesamten, mathematischen, techni- schen und exakten Natur- Wissenschaften. Stuttgart. Julius Maier.

Das Verzeichniss der bis jetzt erschienenen Teile dieser Ency- klopädie nennt 23 Lehrbücher, eiuo Logarithmentafel und eiue Ge- schichte der Geometrie, worunter die Mehrzahl von Kleyer bearbeitet ist Dem Ref. liegen die Auiauge zweier dieser Lehrbücher vor, nämlich der folgenden.

Lehrbuch der ebenen Elementar-Geometrie (Planimetrie). Be- arbeitet nach eigenem System von Adolph Kleyer. Erster Teil: Die gerade Linie, der Strahl, die Strecke, die Ebene uud die Kreis- linie im allgemeinen.

Lehrbuch dor Differentialrechnung. Bearbeitet uach eigenem System von Adolph Kley er. Erster Teil: Die eiufacho nnd w'e- derholte Differentiation explizieter Funktionen von einer unabhän- gigen Variabein. Zweite Auflage.

Die Einleitung des erstem ist ein Gemisch von richtigen und unrichtigen Gcdauken über den Rauinbcgriff. Die unrichtigen sind es, welche dem beginnenden Vortrag zugrunde liegen und, wenig- stens innerhalb der 2 ersten Hefte, ziemlich deu eiuzigcu Stoff dazu bieten. Jenen Gedanken zufolge ist die Linie eine Aueinander- lagerung von Puukten, die der Verfasser auch Atome und Infinite- simale nennt. Der Punkt ist ein Teil der Linie, aber so klein, dass er nicht mehr geteilt werden kauu. Ein Liuieuelcment besteht aus 2 Atomen. Dio Linie hat eine endliche Anzahl uuendlich kleiner Teile. U. s. w. Dies sind nicht bloss einmalige Aussagen, sondern der gesamte Lehrvortrag enthält nichts weiter als die Umsetzung dor gemeinen Vorstellung in solcho confuse Redeweise. Als äusser- licho Eigentümlichkeit ist zu erwähueu, dass jede Seite iu 2 Spalten geteilt ist. Links steht unter „Frage" die iu eine Frage gekleideto Ankündigung des Themas, über das der Verfasser, rechts uuter „Antwort" sprechen will.

Im Vorwort zum Lehrbuch der Differentialrechnung sagt der Verfasser, es sei ihm ergangen, wie es jetzt noch 100 Andern er- gehe, deren mathematisches Denken durch keine der Methoden, welche zur Herleituug der Differeutialformelii dienen, Befriedigung

Literarischer Bericht XXXII.

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fiuden. Er nennt 5 Methoden, aber, wie vom bösen Geist auf un- fruchtbarem Feldo herumgeführt, nur solche, die ordacht worden 6ind, damit mau die Principien der Differentialrechnung nicht ver- stehe, und geht mit Stillschweigen an den Methoden vorbei, durch welche sie leicht verständlich werden. Er beansprucht nun nicht, schon jetzt über die Frage zur Klarheit gelangt zu sein und die rechte Methode gefunden zu haben, vielmehr könne er zur Heraus- gabo seiner Bearbeitung gedräugt, sich uur auf einige Ergebnisse seines Nachdenkens, dio er für unumstösslich halte, stützen. In diesen sucht er eine Auffassung der Grosso, wio sie der Natur der Körpcrwelt entspreche, zu geben uud betrachtot daher dio Grösse als aus unteilbaren Teilen bestoheud, wie oben von der Linie gesagt ward; diese sind dauu seiuo Differentiale. Hoppe.

Leitfaden der ebenen Geometrie für höhere Lehranstalten. Von Prof. H. Köstler. Mit vielen in den Text gedruckten Holzschnit- ten. 1. Heft. Kongruenz. Dritte, teilweise umgearbeitete Auflage. Halle a. S. 1889. Louis Nebert. 66 S.

Das 1. Heft ist im 2. litt. Ber. S. 14, das 2. Heft im 25. litt. Ber. S. 8, das 3. Heft im 251. 1. Ber. S. 29 besprochen. Die 3. Auflage unterscheidet sich, abgesehen von kleinen Verbesserungen, durch folgendes von den 2 vorausgehenden. Dio „Systematik der Geome- trio" ist aus der Einleitung entfernt und in den Anhang gesetzt. Der Abschnitt über die Linien ist übersichtlicher gegliedert. Der erste Lehrsatz aus der Parallelenthcorie ist durch den entsprechen- den Grundsatz ersetzt worden, dieser lautet: Durch einen Punkt kann man zu einer Geraden nur eine Parallele ziehen. Hiermit ist eine Berichtigung eingeleitet, aber noch nicht vollzogen. Statt nun mit Anwendung des Grundsatzes dio Gleichheit der gleichliegonden Winkeln an Parallelen zu boweisen, hat der Verfasser erstem müssig liegen lassen und letztere auf einen sehr bekannten Trugschluss ge- stützt. Hoppe.

Lehrbuch der Ebenen Geometrie. Nach neuen Grundsätzen be- arbeitet. Von Karl Koch, Professor am Lyceum in Cannstatt. Erster Teil. Mit 80 Figuren. Ravensburg 1889. Dorn. 103 S.

Der Titel sagt, dass das Lehrbuch nach neuen Grundsätzen be- arbeitet ist Eigentlich ist es indes derselbo Reformgedanke, den schon viele Bearbeiter von Lehrbüchern verfolgt haben, und in dessen Verwirklichung das gegenwärtige Lehrbuch nur weiter geht als viel-

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Litttrarischer Bericht XXX1L

leicht alle Vorgänger: dem Schüler soll keine Verstandestätigkeit an Gegenständen zugemutet werden, die ihm zur Zeit noch fremd sind. Allein im Zuwcrkcgehcn zeigt sich doch eine bedeutende Verschie- denheit, welcher pädagogische Ansicht zugrunde liegen muss, so dass hier wirklich die Grundsätze füglich neu genannt werden können, wenn sio auch nur in Meidung früherer Mängel und Misgriffe be- stehen. Der grösstc und doch so gewöhnliche Misgriff ist es, dass diejenigen, welche die Pflege der Anschauung forderten, auch, als ob es notwendig damit verbunden wäro, oder um die euklidische Methode zu überflügeln, das Gesichtsfeld des Schülers recht bald zu erweitern und ihn so an allen Schwierigkeiten recht unmerklich vor- beizuführen strebten. Dadurch geht der Hauptbildungszwcck der mathematischen Disciplin, welcher das Verweilen auf engem Felde der Betrachtung als unerlässlich fordert, verloren, nicht das Ver- stehen , sondern das Nichtverstehcu bei der Meinung zu verstehen wird den Schülern leicht gemacht. Koch pflegt in nicht minderm Grade die Anschauung, aber er verweilt stets auf engstem Felde. Hierzu kommt, dass dio Beobachtungen an der Figur keine bloss äussere sind, dass vielmehr jede Beziehung, auch wenn sie selbst- verständlich ist, durch besondern Satz zum Bewusstsein gebracht wird. Hervorzuheben ist endlich die logische Genauigkeit in De- duetion, Urteil und Ausdruck, dio so häufig von den Verbessereru der Methode als Nebensache behandelt, hier aber trotz aller Kürze uud Einfachheit überall festgehalten wird. Bedenken könnte viel- leicht die sehr abweichende Anordnung des Lehrstoffs erregen, indem dadurch dio Systematik verhüllt wird, umsomehr weil die Sätze, wclcho einen wirklichen Fortschritt enthalten, mit vielen solchen, wo dies nicht der Fall ist, gemischt auftreten. Nach einer Aeusseruug im Anfang des Vorworts scheint der Verfasser zu verlangen, dass der Schüler zuvor wisse, wie man z. B. einen Winkel abtragt, hal- birt u. s. w,, che von abgetragenen, halbirten Winkeln die Rede sein dürfe. Eine solche Forderung würde geradezu dio Regel allea vernünftigen Handelns: Erst denken, dann tun — auf den Kopf stellen, und kann wol kaum seine Meinung sein. Die Dreiteilung eines Winkels wissen wir nicht auszuführen und können sie doch als geschehen denken. Hoppe.

Lehrbuch der Planimetrie. Zum Gebrauche an höheren Lehr anstalten und zum Selbst-Unterricht Von Dr. Rottok, vormals Professor und Rektor am Gymnasium und Realgymnasium zu Rends- burg. Dritte, mit Aufgaben vermehrte und verbesserte Auflage (Mit 57 Figuren im Text.) Leipzig 1888. Hermann Schnitze 96 S.

Litterarischer Bericht XXX11.

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Lehrbuch der Stereometrie. Zum Gebrauche an höheren Lehr- anstalten und zum Selbstunterricht. Von Dr. Rottok, vormals Professor und Rektor am Gymnasium und Realgymnasium zu Rends- burg. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. (Mit 28 Figuren im Text) Leipzig 1888. Hermann Schnitze. 65 S.

Das erstere Lehrbuch beginnt mit einem ganz unklaren Satze: es nennt die Geometrie eine Wissenschaft der räumlichen Grösseu, nur auf Ausdehnung Rücksicht nehmend, von andern, wie physischen u. s. w. Eigenschaften absehend. Wenn andere Lehrbücher — in der Tat sind es nicht wenige — im Eingangssatze die Raumgrösscn ausschliesslich als Gegenstand der Geometrie hinstellen, so ist dies ein einmaliger ungenauer Ausdruck, sie sorgen wenigstens, wenn auch öfters ungenügend, im weitern Verlaufe dafür, die Begriffe durch ihre Anwendung richtig zu stellen. Hier hingegen ist der ungenauo Eingangssatz die Quelle immer neuer Unklarheiten: die unklare Be- griffsmischung von Grössen und Qualitäten wie Richtung, Lage, Ge- stalt wird fortgesponnen und der dadurch erzeugte Maugel an Ori- entiruug zur Erschleichung eines Scheinbeweises für den Parallelen- satz benutzt. Ebenso wird durch eine unverständliche Auseinander- setzung die Nichtberücksichtigung des Falles der Incommensurabilität zu rechtfertigen versucht; statt Evidenz zu geben, erschwert der Verfassor nur die Erhebung eines Einwandes.

In der Stereometrie wird gleich von Anfang dio Bewegung der Gebildo in Betracht gezogen, es geschieht dies mit besonderer Be- vorzugung, ohne dass die Sache es erforderte und öfters in ausge- dehnterem Masso als dazu Anlass war. Es scheint daher die Tendenz vorzuwalten , das Gesichtsfeld des Schülers gleich anfangs zu erwei- tern, was aber nur dahin wirken kann, eine recht oberflächliche Auffassung zu erzeugen. Hoppe.

Grundzüge der Naturlehre für dio unteren Gassen der Gym- nasien, Realschulen und verwandten Anstalten. Von Dr. Ignaz G. Wall entin, k. k. Professor am Ober-Gymnasium im IX. Be- zirke Wiens, ehem. Privatdocont für mathematische Physik an der k. k. technischen Hochscbulo in Brünn. Ausgabe für Gymnasien. Mit 234 in den Text gedruckten Holzschnitten. Zweite, veränderte Auflage. Wien 1887. A. Pichler's Witwe u. Sohn. 207 S.

Das Vorliegende ist ein vortreffliches Lehrbuch der Physik für Anfänger, einerseits leichtfasslich in hohem Grade , andererseits in echt wissenschaftlichem Geiste bearbeitet, so dass es dem Zwecke der Einführung in das künftige Studium so gut genügt wie es der

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Litterarischer Bericht XXXJI.

populären Aufklärung und der Verbreitung nützlicher Kenntnisse zu dienen sich eignet. Der Lehrstoff ist nicht auf vorgezeichnete üreuzon beschrankt worden, doch omfasst er mehr als gewöhnlich zur Kcnntniss der Schüler gelangt, und zwar nach sehr treffendem Urteile das Wesentliche für richtige Auffassuug der Naturerschei- nungen. Der Vortrag bindet sich nicht an eine gleichmassige Form, sondern wählt diese deu Gegenständen in vielseitigster Behandlung entsprechend. Er ist nicht ausschliesslich beschreibend, sondern auch erkläreud, gibt nicht bloss die Qualität der Erscheinung, son- dern wo es hingehört auch das Mass uud dessen Gesetze. Wo auch von letztem das weniger Einfache ausgeschlossen werden mnsste, da ward um so grüudlicher das Einfache behandelt. In denjenigen Punkten, in welchen sonst häufig Irrlehren aufgetreten sind, fiudet sich hier stets der Grund sogleich so gelegt, dass die irrige Auffas- suug keine Stelle hat. Wie in einzelnen Fragen der Verfasser sich entschieden hat, ist im Vorwort ausgesprochen; um es zu würdigen würde eiu Eingehen auf dio Behaudlungsweise im einzelnen nötig sein. II.

Lehrbuch der Physik für die oberen Classeu der Mittelschulen und verwandter Lehranstalten. Von Dr. Ignaz G. Wall entin, Professor am k. k. Staatsgymnasium im neunten Bezirke von Wien, Ehrenmitglied der physikalisch-chemischen Gesellschaft zu Frankfurt am Maiu. Fünfte, veränderte Auflage. Mit 232 in den Text ge- druckten Holzschnitten und einer Spectraltafel in Farbendruck. Aus- gabe für Gymnasien. Wieu 18*8. A. Picklcr's Witwe und Sohn. 318 S.

Dieselben vorzüglichen Eigenschaften, welche die „Grundzüge der Naturlehre" besitzen, und die im vorigen Berichte dargelegt sind, eharakterisireu auch das Lehrbuch der Physik. Es werden darin, nach einer Einleitung über die Methode der Physik uud die allge- meinen Eigenschaften der Körper, nach einander behandelt: Mecha- nik, Wärme, Magnetismus, Elcktricität, Wellen, Schall, Licht, Wärme- strahlung, und im Anhang: Astronomio nebst mathematischer Geo- graphie und Chemie. Bei allen Lehrgegenständen sind die allgemeinen Gesetze obenan gestellt, an sie schliesscn sich dann die speciellen Erscheinungen, die Beobachtung und deren Mittel. H.

Job. Chr. Walberer's Anfangsgründe der Mechanik fester Körper mit vielen Uebungsaufgaben zum Schulgebrauche an Gym- nasien und verwandten Lehranstalten neu bearbeitet von Dr. Georg Recknagcl, Professor am Realgymnasium zu Passau, correspon-

Luttrarischtr Bericht XXXII.

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direndem Mitgliede der R. B. Akademie der Wissenschaften. Sechste Auflage. München 1889. Theodor Ackermann. 178 S.

Das Lehrbuch von Walbcrcr iBt in 2. und 4. Auflage im 228. and 268. litt. Ber. S. 34. S. 43. besprochen. Das Vorliegende stellt sich als Umarbeitung der analytischen Mechanik für den Schalgebrauch dar, d. h. der Lehrgang ward im ganzen beibehalten, was hingogen.im einzelnen nach Ermessen des Herausgebers zu hoch für den Stand- punkt der Schüler war, ward in mehr erläuternder Form vorgetra- gen, mitunter auch weggelassen. Diese Umsetzungen sind nun durch- aus kein Muster von Fleiss und didaktischem Urteil. Die mathe- matische Schärfo wird preisgegeben, mancherlei Unbestimmtheiten bleiben, wo die Klarstellung zu schwierig schien, das ursprünglich Einfache wird durch Umschweife dem Blick entzogen. Um nur ein Beispiel anzuführen, so ist der Begriff des Gleichgewichts eines Systems von Kräften, der doch durch die gleiche Wirkung mit Nnll- kraft sofort definirt sein würde, durch Bedingungen bestimmt worden, die sich auf die erfolgenden Bewegungen beziehen, Bedingungen die höchstens bei dauerndem, nicht aber bei momentanem Gleichgewicht zutreffen. Da bei Gleichgewicht der Kräfte dio mannichfaltigstcn Bewegungen stattfinden können, so ist es offenbar unvernünftig die Deutlichkeit des Begriffs darauf stutzen zu wollen. Ueberdies liegen die Bewegungsbedingungen nicht mehr im Bereich der zu beobachten- den Wirklichkeit, wenn ausser dem System im Gleichgewicht gleich- zeitig andro Kräfte wirken. Dio in den früheren Auflagen des Buches von Walbercr enthaltenen Irrlehren kommen freilich in der gegen- wärtigen Bearbeitung nicht vor-, doch zeugt es nicht von Beherr- schung des Lehrstoffs von Seiten des neuen Bearbeiters, wenn jene Fehler nur am Gängelbaudo der analytischen Methode vermieden worden sind, und er nicht vermocht hat, die gleichen Resultate in sicherem synthetischen Lehrgänge zu entwickeln. Hoppe.

Tabellen.

Tafel der Bessersehen Functionen 7*° und 7*1 von k = 0 bis k — 15,5 berechnet von Dr. E. Meissel in Kiel. Aus den Ab- handlungen der Königl. preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vom Jahre 1888. Berlin 1889. Georg Reimer. 4°. 23 S.

Die Tafel ist cino Erweiterung der Bessel'schcn Tafel für die Functionen

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Litterarischer Bericht XXXJL

11 ~ 2~i~2*A 2v.4^6+2*.4«.6«.8~'-

in deu Abhandlungen der Akademie vom Jahre 1824. Sie gibt inner- halb der genannten Grenzen für dio Iluudertel von k die Werte bei-

Tafeln der Hyperbelfunetioncn und der Krcisfunctionen uebst einem Anhange enthaltend die Theorie der Hyperbelfunetioncn. Von Dr. W. Ligowski, Professor an der Kaiserlichen Mariue- Akademie und Schule in Kiel. Berliu 1890. Ernst u. Koru. 104 S.

Die Haupttafel gibt die Werte der brigg'schen Logarithmen der Fuuctioneu Sintj/ = i(e*-e-*) - tg?, GoS y ~ !(«♦+«"*) = »ecv und die Werte der vermittelnden Function <p entsprechend der Hö- ft _|_ q>

lation tg — für jedes if> von 0 bis 12. Die Detaillirung

der ^ geht bis rj> — 2 auf Tausendtcl, dann bis V; — 9 auf die Hun- dcrttcl, von da auf Ganze. Dio Logarithmen sind bis y — 2 füuf- stcllig, von da bis y — 5 sechsstellig, von da bis v — 8 sieben- stellig, weiterhin zehnstellig. Die <jp sind bis y = 6, die Differenzen bei allen Functionen angegeben. Dieso Haupttafel ist mit vielen kleinern Tafelu verbunden, welche zur Erleichterung des Rechnens mit hyperbolischen Functionen dieneu. lu der Einleitung ist der Gebrauch der Tafeln erläutert, der Anbang enthält die Theorie der hyperbolischen Functionen. In der Berechnung von Tafeln dieser Functionen war namentlich G udermann vorausgegangen; das Nähere darüber ist im Vorwort ausgesprochen. H.

Nouvclles tables de logarithmes ä cinq decimalcs pour les lignes trigonometriques daus les deux systemes de la division centesimalo et de la division sexagesimale du quadrant et pour les nombres 1 ä 12000 suivics des meines tables ä quatre decimalcs et de diverses tables et formules usuelles. Paris 1889. Impriraerio Nationale.

Die gegenwärtigen Tafeln sind im Auftrage des Kriegsministers von der geodätischen Scction des Service geographique unter der Leitung des Oberst-Lieutenants Bassot zusammengestellt aus den bis jetzt ungedruckten, von Prony berechneten 14 stelligen Tafeln. Hiermit ist erst ein Teil des Auftrags erfüllt, dieselben Tafeln sollen auch 8stcllig herausgegeben werden; ihr Erscheinen in diesem Jahre

der Functionen auf 12 Bruchstellen.

H.

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Lilterarucher Bericht XXXII.

G. Schouton: Dio Regel für die Bnhnform und die Eigen- schaften der Ccntralbeweguug graphisch dargestollt. — Allgemeine Eigenschaften der reineu rollondcu Bewogung eines Rotationskörpers auf horizontaler Ebene angewandt auf dio Bewegung oincs Rotations- körpers um einou festen Puukt seiner Axe.

P. H. Schonte: Der lineare Complex (I. 1).

Jan de Vrios: Uebcr ebeuo Configurationcu. — Uober die har- monischen Configurationcn (24s, 184).

V. A. Julius: ücber die vibrirendo Bewegung eiuer deformirtcii Flüssigkeitskugel.

J. A. C. Oudcmann: Untersuchung der ßcdiugung, unter der im Doppelbildmikromcter von Airy der Wert einer schraubcuumlau- feuden Unabhängigen von der Accommodation des Auges kommt.

P. H. Dojcs: Uebcr einige Formeln, die sich auf dio durch Druck- uud Tempcraturvcräudcrungcu bewirkten Veränderungen in der Zusammensetzung von Lösungen beziehen.

K.J. vau den Berg: Die Coustructionsfigur für dio Auflösung eines Systems linearer Gleichungen, als Configurntion betrachtet. — Einigo Formeln für die Berechnung der bernoullischen Zahlen und der Tangcntencoefficieuteu.

C. H. C. Griuwis: Die Energie des kugelförmigen Coudcn- sators.

J. Cardinaal: Geometrische Theorie der windschiefen Flächen 4. Ordnung. H.

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Brock mann, F. J., planimetriscbc Konstruktiousaufgabeu. Leipzig, Teubner. 1 Mk. 50 Pf.

Gerke's, R, Aufgabensammlung aas der darstellenden Geo- metrie. 40 (autogr ) Taf. m. 350 Fig. 2. Afl. Hrsg. v. G. Schöner- mark. Fol. Hannover, Crusc's B. Kart. 6 Mk.

Heuner, F., Aufgabensammlung zum Rechenuntorrichte. 7. Afl. Ansbach, Seybold. 1 Mk. 20 Pf. j geb. 1 Mk. ÖO Pf.

— Ergebnisse zum 6. u. 7. Hft Oberklasse. Asg. f. Lehrer. 4. Afl. 60 Pf.

Hoffmann, J., u. J. Klein, Rechenbuch f. Seminaristen u. Lehrer. 9. Afl. Düsseldorf, Schwanu. 1 Mk.

Kley er, A., vollständig gelöste Aufgaben-Sammlung aus allen Zweigen der Rechenkunst etc. 56S.— 607. Hft. Stuttgart, J. Maicr. ä 25 Pf.

Kuiess, K., u. O. Bachmanu, Aufgabensammlung f. das Rechneu m. bestimmten Zahlen, bearb unter besond. Berücksicht d. f. Lateinschulen vorgesebrieb. Lehrpensums. Resultate. Muucbeu, Kellerer. 80 Pf.

Kraut h, Th . Aufgaben -Sammluug f. das gewerbliche Rechnen. Für Gewerbeschulen u. gewerbl. Fortbildungsschulen. 2. Afl. Schüler- Asg. Karlsruhe, Bielefeld. 40 Pf.

Läska W., Sammlung von Formeln der reinen u. angewandten Mathematik. 3 Lfg. 1. Ab:h Brauuschweig, Vieweg & S. 5 Mk.

Matek, B , Resultate zur Aufgabensammlung in Motuik's Lehr- buch der Arithmetik u. Algebra f. die oberen Klassen der Mittel- schulen. Wien, C. Gerold's S. Kart 1 Mk. 80 Pf.

Reich, A, die Hauptlehreu der Mathematik in. e. Sammlung ausführlich gelöster u. Anhängen ungelöster Aufgaben in. ihren Re- sultaten. (In ca. 90 Lfgu.) 1.-9 25.-47. Lfg. Hanau, Reich, ä 25 Pf.

Sachse, J. J., Uebuugsbuch f. e. praktischen, geistbildenden u. erziehlichen Recheuunterricht 1. u. 2. Hft 3. Afl. Osuabrück, Wehberg. 55 Pf.

Särchinger, E., u. V. Estel, Aufgabensammlung f. den Reeben- unterricht iu den Unterklassen der Gymnasieu. 2. u. 3. Hft Leipzig, Teubner. Kart 1 Mk. 80 Pf

Schmehl, Ch., Rechenbuch f. höhere Lehranstalten. 1. Tbl. Das Rechnen m. ganzen Zahlen, gemeinen Brüchen u. Decimalbrüeheu. Giessen, Roth, Verl. 1 Mk. 40 Pf.

Stockmayer, H., M. Fletscher u. G. Thomass, Aufgabeu f. den Rechenunterricht in den mittleren Klassen der Gelehrten- •chulen etc. 1 Bdchn. 4. Afl. Heilbronn, Scheurlen's Verl. Kart 80 Pf.

— Dasselbe. 2.-4. Bdchu. 5. Afl. Ebd. Kart. 2 Mk. 25 Pf.

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Tschebyscheff, P. L., Theorie der Congruenzcn (Elemente der Zahlentheorie). Deutach hrsg. v. H. Schapira. Berlin, Mayer & M. 7 Mk.

Geometrie.

Ameseder, A., die Quintupellage collinearer Räume. Leipzig, Freytag. 50 Pf.

— Theorie der cyklischen Projectivitäten. Ebd. 50 Pf.

Bobek, K., üb. die Steiuer'schcu MittelpunkUkurven. IL u III. MiUheilg. Leipzig, Freytag. 80 Pf.

Btttzberger, ein m. der Theorie algebraischer Flächen zu- sammenhäugeudes planimctrisches Problora. Bern, Jeut & Ii. 80 Pf.

Dietsch, Ch., Leitfaden der darstellenden Geometrie. 2. Afl. Leipzig, Deichert. 2 Mk.

Döhlemann, K., Untersuchung der Flächen, welche sich durch eindeutig aufeinander bezogene StrahleubQudel erzeugen lassen. Mün- chen, Th. Ackermann, Verl. 1 Mk.

Heilermann, II, u. J. Dieckmaun, Gruudlchren der Trigo- nometrie u. Stereometrie. 1. Tbl. Ebene Geometrie. Essen, Bädcker. 40 Pf.

Koch, K., Lehrbuch der ebenen Geometrie. Nach ueueu Grund- sätzen bcarb. 1. Thl. Ravensburg, Dorn. 1 Mk.

Kröger, M., Leitfaden f. den Gcometrie-Uutcrricht iu Mittel- schulen u. gehobenen Volksschulen. 4. Afl. Hamburg, Moissuer's Vorl. 1 Mk.

Krumme, W., der Unterricht in der analytischen Geometrie. Für Lehrer u. zum Selbstunterricht. Brauuschweig, Salle. C Mk. 50 Pf.

Lauermanu, C, zum Normalproblem der Ellipse. Leipzig, Freytag. 70 Pf.

Lötzsch, C, Geometrio iu konzentrisch erweiterten Kursen. 6. Afl. 2. Kurs. Mittweida, Polytechu. Buchh. 1 Mk.

Mertens, F., zum Normalproblem der Kegelschnitte. Leipzig, Freytag. 40 Pf.

Mink's Leitfaden der analytischeu Geometrie der Ebene u. des Raumes f. den Unterricht au höheren Lehranstalten 2. Afl. v. E. W. Fiedler. Berlin, Nicolai'sche Verl.-Buchh. 1 Mk.

Müller, C, zeichuonde Geometrie. 4. Afl. Esslingen, Mayer. Geb. 2 Mk. 40 Pf.

Müller, H., Leitfaden der ebenen Geometrie. 1. Thl. 1. Ilft. Die gradlinigen Figuren u. der Kreis. Mit Uebungen. 3. AM Leipzig, Teubner. 1 Mk. 60 Pf.

Nöther, M., zur Theorie der Berühruugscurven der ebeneu Curveu 4. Orduung. München, Frauz'scher Verl. 1 Mk. 50 Pf.

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Technik.

Thomson, S. P., die dynamoelektrischen Maschinen. 2. Afl., übers, v. C. Grawinkel. 5. Hft Halle, Knapp. 4 Mk.

Urbauitzky, A. v., die elektrische Beleuchtung u. ihre An- wendung in der Praxis. 2. Afl. Wien, Hartleben. 4 Mk. ; geb. 4 Mk. 80 Pf.

Optik, Akustik und Elasticltät.

Kay s er, U., u. C. Runge, üb. d. Spectrcn der Elemente. 2. Abschn. Berlin, G. Reimer. Kart. 4 Mk.

Erd- und Himmelskunde.

Bebber, W. J. van, Beitrag zur Kenntniss der täglichen Pe- riode der Windgeschwindigkeit an unserer Küste. Leipzig, Engel- mann. 50 Pf.

— Lehrbuch der Meteorologie f. Studierende u. zum Gebrauche in der Praxis. Stuttgart, Euke. 10 Mk.

Bibliothek, internationale wissenschaftliche. 68. Bd. Die wich- tigsten periodischen Erschciuuugeu der Meteorologie u. Kosmologie. Von H. Fritz. Leipzig, Brockhaus. 7 Mk.; geb. 8 Mk.

Diester weg's populäre Himmelskunde u. mathematische Geo- graphie. Neu bearb v. W. Meyer u. B. Schwalbe. 11. Afl. 3.-7. Lfg. Berlin, Emil Goldschmidt, ä 60 Pf.

Hayn, F., Bahn-Bestimmung d. Cometen 1862 III. Göttiugeu, Vandenhoeck & R. 2 Mk. 80 Pf.

Jahrbuch, deutsches meteorologisches, f. 1887. Beobachtungs- system d. Königr. Preusseu u. benachbarter Staaten. Ergebnisse d. meteorolog. Beobachtungen im J. 1887. Hrsg. v. dem königl. preuss. meteorolog. Institut durch W. v. Bezold. Berlin, Asher & Co. 22 Mk.

— Dasselbe f. 1889. Beobachtungssystem d. Königr. Preussen u. benachbarter Staaten. Ergebnisse der meteorolog. Beobachtgu. im J. 1889. Hrsg. v. dem köuigl. preuss. meteorolog. Institut durch W. v. Bezold. 1. Hft. Bcrliu, Asher & Co. 3 Mk.

Jahrbuch, deutsches meteorologisches, 1889. Bayern. Beobach- tungen der meteorolog. Stationen im Königr. Bayern, hrsg. v. der königl. meteorolog. Centrai-Station durch C. Lang u. F. Erk. 11. Jahrg. 1889. 2. Hft. München, Th. Ackermann, Verl. prcplt. 18 Mk.

— Dasselbe. Jahrg. 1888. Württemberg. Mittheilungen der m. dem königl. Statist. Landesamt verbundenen meteorolog. Centrai- station. Bearb. v. L Meyer. Stuttgart, Metzler'sche Buthb., Verl. 2 Mk. 80 Pf.

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Art der Bewegg. Hrsg. v. M. Planck u. C. Pulfrich. (In 2 Lfgn.) 1. Lfg. Braunschweig, Vieweg & S. 1 Mk. 20 Pf.

Echo, elektrotechnisches. Red.: M. Krieg. Jahrg. 1889. 40. Hft Leipzig, Leiner. Viertel j&hrl. 3 Mk.

Eiben, C. E., Physikstunden, angoschlossou au die Erechoiuun- gon d. täglichen Lebens. Ilaunover, Meyer. 1 Mk. 60 Pf.; kart. 1 Mk. 80 Pf.

Fischer, H. L., Versuch o. Theorie d. Berührungs-Elektricit&t. Wiesbadeu, Bergmann. 1 Mk. 60 Pf.

Hertz, H., üb. die Beziehuogeu zwischou Licht u. Elektricitat. Eiu Vortrag. Botin, Strauss, Verl. 1 Mk.

Hcussi, J., Lehrbuch der Physik f. Gymnasien, Roalschulcu u. audere höhere Bilduugsanstalten. 5. Atl. Neue Asg. Braunschweig, Salle. 4 Mk. 2) Pf.

Hübl, A. Frhr. v., u. A. v. Obermayer, üb. einige elektrische Entladuugserscheinuugen u. ihre photographisebe Fixierung. Leipzig, Freytag. 70 Pf.

Kley er, A., die elektrischen Erscheinungen u. Wirkungen in Theorie u. Praxis. 107.— 112. Hft. Stuttgart, J. Maier. ä 25 Pf.

Koller, H., üb. den Durchgang v. Elektricität durch sehr schlechte Leiter. Leipzig, Freytag. 1 Mk. 20 Pf.

Krebs, A., Lehrbuch der Iuductiouselektricität uud ihrer An- wendungen (Elemente der Elektrotechnik). Bearb. nach System Kleyer. Stuttgart, J. Maier. 6 Mk.

Reis, P., Elemente der Physik, Meteorologie u. mathematischen Geographie. Hilfsbuch f. deu Unterricht au höheren Lcbraustalteu. Mit zahlreichen Uebungslragen u. -Aufgaben. 4. AH. Leipzig, Quandt & H. 4 Mk. 50 Pf.

Waeber, lt., Leitfadeu f. den Unterricht iu der Physik m. besoud. Berücksicht der Meteorologie. 6. Afl. Leipzig, Hirt & S. Kart. 1 Mk. 20 Pf.

Zeitschrift f. den physikalischen u. chemischen Unterricht. Unter der besond. Mitwirkg. v. E. Mach u. B. Schwalbe. Hrsg. v. F. Poske. 3. Jahrg. 1889/90. 1. Hft. Berlin, Springer, prcplt 10 Mk.

Vermischte Schriften.

Abhandlungen der kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Aus dem J. 1888. Mathematische. Berlin, G. Reimer. 2 Mk

— Dasselbe. Physikalische. 2 Thle. Ebd. Kart 36 Mk.

Denkschriften der kaiserl. Akademie der Wissenschaften. Ma- thematisch-naturwissenschaftl. Classe. 55. Bd. Leipzig, Freytag. 54 Mk. 80 Pf.

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In meinem Verlage erschion soeben:

Lehrbuch

der

analytischen Geometrie.

IL Teil: Flächentheorle.

Von

I)r. R. Hoppe,

Profo»sor an der UnitermUt Berlin.

Zweite Auflage. Geh. Preis 1 Mk. 80 Pf. Leipzig. O A. Koch's Veriagshandlung.

(J. Bengbuach.)

INHALT.

XV. Ueber den Brocard'schen Kreis nls geometrischen Ort und die demselben verwandten Kcgclschnittschaarcn. Von Andr. Müller 337

XVI. Ueber da» sphärische Polarsystcra und seine Anwendung auf

das Tetraeder. Von Theodor Meyer 363

XVII. Anwendung des Tnylnr'achcn Satzes zur Rectirteation der Ellipse

und zur Coinplanntinn de» KUipsoids. Von C. Benz ... 37 B

XVIII. Die Curven, welche von Punkten von Kegelschnitten, die sich ohne zu gleiten längs anderer Curven wälzen, beschrieben werden. Von II. Kkaraa 386

XIX. Ueber die Rectitication der Kiümraungslinien auf Köhren- Hachen. Von A. Ahrcndt 442

XX. Vielecke, deren Höhenlote sich in einem Punkte schneiden. Von U. Hoppe 447

(ircifdw.ild, gedruckt bei F. W. Kunike.

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