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En cyklopa edie
der Naturwissenschaften
Gustav Jäger, Wendelin Förster
•(He
ENCYKLOP^DIE
I •
DER
NATURWISSENSCHAFTEN
Prof. Dr. W. FÖRSTER, Prof. Dr. A. KENNGOTT, Prof. Dr. A. LADENBURG, Kustos P. MATSCHIE, Prof. DR. A. SCHENK, Geh. Schulrath Dr. O. SCHLOMILCH, Prof. Dr. W. VALENTIiXER, Prof. Dr. A. WINKELMANN,
Prof. Dr. G. C WITTSTEIN.
XIL ABTHEIX^UNG
n. THEIL:
HANDWÖRTERBUCH DER ASTRONOMIE
HERAUSGEGEBEN VOK
Professor Dr. W. VALENTINER.
BRESLAU VKRLAG von EDUARD TREWENDT
1898.
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HANDWÖRTERBUCH
DER
ASTRONOMIE
UNTER HITWIRKUNO VON
Prof. Dk. E. BECKER -Strassburo, Prof. Dr. E. GERLAND -Elausthal, Prof. DR.M.HAID-KAiasRum, Dr. N. HERZ-Hbidilsbro, Dr. H. KOBOU)-Strassburo, Dr. N. KONKOLY'BuoAPisT» Prof. Dr. C. W. PETERS (f), Dr. £. v. RESEXm- PASCHWITZ (t>, Dr. Fr. RISTENPART -Hbidslbbrg, Prof. Dr. W. SCHUR- C^drmKCEN, Pkof. Dr. H. SEEUGER-MDmchcm, Dr. C. STECHERT-Hamburg, Prof. Dr. W. WISUCENUS-Strassburg« Dr. K. ZELBR-Br€nn
HERAUSGEGEBEN VON
Dr. W. VALENTINER
Ordcad. Tiohmot der AatronoRuc an der Umvmilit md Dinksot der Ailraoietritdien Abtbeilmig
der QroMheno^chen Sternwarte zu Heidelberg
ZWEITER BAND MIT 39 ABBILDUNOSN IM TEXTE UND 4 TAFELN
BRESLAU
VERLAG VON EDUARD TREWENDT
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665
Du Recht der Uebenetsung bleibt vorbehalten.
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Inhaltsverzeichniss.
Seite
Gnomon. N. Hkrz i
Regula parallactica 2
Qoadratum geometricum «... 3
Helioroeter. W. Schur 4
Erste Vorschlät;c zur Herstellung von Ilcliomctern 4
Bcobachtun^g'n von Trie5NKCKKR an einem Heliometer j
Die kleinen FRAUNHOFER schcn Heliometer 5
Verrin^^erung der Helligkeit des Heliometerhildcs 6
Uas Koni{,'sberger Heliometer 6
Beobachtungsweisc atn Heliometer 8
Distanzmessungen. Bestimmung des .Schrauhenwerles im Bogenmnass lO
Einthiss der Ocularstellung auf die Distan/incssiingen II
Messung der Positionswinkel 14.
Verschiedene Heliometer alterer Zeit 15
Repsold's neues Heliometer der Göttinger Sternwarte 17
Berücksichtigung der Instrun^entalfciiler bei den Messungen von I'ositionswinkeln . 24
Bclgiscbes Heliometer 25
Bemerkungen über die zukünftige Bedeutung des Heliometers 26
Heliotrop. Valknunkr 27
Horizontalpendel. Vai.entinf.r 27
Das Bendel von Hknoi.kr . . . . . . . . . . , , . . , . . , 2S
Da« Pendel von Zöllner 30
Das Pendel von v. REnKUR-PASCnwiT?. 32
Ablenkung des Pendels durch Sonne und Mond 36
Das Pendel als Sctstnometer 39
Interpolation. Valk-ntiner 41
Newton'scHc Interpolationsfo/mel 4»
Interpulationsformel für die Mitte 43
Berechnung der numerischen Werthe der DifTercntialquotienten einer nach gleichen
Intervallen fortschreitenden Function 4S
Jacobsub. N. Herz 48
Davisquadrant 48
Kometen und Meteore. N. Herz 49
Einleitung • • 49
A. Kometen ■ . . . 51
Zahl der heobacbtLtcn Kometen , .
Aeussere Erscheinung der Kometen ♦ » ♦ . $3
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VI Inlinltsvcrzeichniss.
Koma, Kern, getrennte Kerne 54
Schweife, anomale Formen SS
Lichtausströmungen 5^
Beobachtete Kemtlicnungen 59
Do]ipclkomcten 6o
Ra>m<»n der Kometen 66
Langpcriodische Kometen 68
Komet Hai.leV ♦ . 68
Komet Fons-Brouks 69
Komet Olbers 69
Andere Kometen dieser Klasse 7^
Kurrperiodische Kometen JO
Komet LA HiRK-DE Vicu; Koroct Grischow; Komet Heuk-nzriedkr • • 71
Komet Lexkix 72
Komet Biela; Komet Picott 73
Komet Enckk; Komet Tuttl« 74
Komet WtNNECKEi Komet Blanpaiw 75
Komet Fayk; Komet Brorsen ; Komet P^TKRS 75
Komet d'ARREST: Tkmpel's Kometen und Andere dieser Klasse .... 76
Helligkeiten und Periheldistanzen der Kometen 77
Vergleichung der Bahnen der periodischen Kometen mit denen der kleinen Pla- neten 97
Ursprung der Kometen 83
PhysT'iche Beschaffenheit der Kometen nnd ihrer Schweife 85
Einflus«. der Planeten auf die Kometen 90
TiysEKANU's Criterium für die Identität zweier Kometen 94
Kometensysteme 97
B. Meteore 103
Allgemeine Bemerkungen über die meteorischen Erscheinungen 103
Beobachtete Mctcorsteinfälle 104
Eintheilung der Meteormassen I09
Erste Bcstmimungcn der Hohe der Sternschnuppen HO
Sternschnu[)pcn(alle 113
Aeussere Erscheinung der Meteore, Grösse, Farbe, Schweife lao
Anomale Bewegungser^cheinungen 126
Apex und Antinpcx 128
Berechnung der Höhe der Meteore 132
Geschwindigkeit der Meteore, Einfluss der Erdanziehung und der Luft . . . 147
Die scheinbare Vcrtheilung der Meteore nach Zeit und Raum 158
Sternschnuppcnschwämic 177
Bestimmung der Mctcorbahnen . 190
Stellare Schwärme aoo
C. Betieluingen zwischen Kometen und Meteoren ao8
Bahnen der Lyraiden, Perseiden, Leoniden, Andromediden . all
Vergleichung der Kometen und Meteore nach den Radianten 212
Art des Zusammenhangs zwischen Kometen und Meteoren 221
Kosmogonie. E. Gerlawd 228
Einleitung 22S
Das Wesen de« UrstofTs 830
Die Nebelmassen und Fixstemsysteme 231
Die Fixsterne 333
Unser Sonnensystem 237
Neigungen und Excentricitäten der Planetenbahnen 341
Neigung der Axen der Planeten 24a
Entstehung der Satelliten 242
Inhalte verteichmss. VII
Der Ring dgs Satum 843
Die Kometen 244
Die Meteore 244
Das Zodiacftllicht 244
Die Quellen der Sonnenwärroe 245
Utogcnbeatimnating. Valewtinbr 247
Telegraphische Längenbestimmqng >49
Durch gleichzeitiges Registrircn der .Sterndurchgänge auf den App.iratcn
beider Stationen 249
Die Coincidenimethode 252
Die Signalnnethode »SS
Die Stromreit 2S7
Längenbcstinaroufig aus Chronometerübertragung 259
„ M durch Beobachtung top Mopdculminationen . 169
jj jj durch Beobachtung von Mondatiinuthen »7*
„ u durch Beobachtung von Mondhöhen ^73
JJ JJ durch Beobachtung von Monddistanien 273
Mechanik des Hinamels. N. Herz 278
1. Allgemeine Begriffe 278
2. Orthogonale Transformation a8o
I. Abschnitt. Die Translationsbewegungen 284
3. Kraftefunction 284
4. Bewegung de» Schwerpunktes .... a86
5. Princip der Flächen 286
6. Erhaltung der lebendigen Kraft 288
8. HAMiLTON'sches Princip 289
8. Laürangk's Form der Bewcgungsgleichungen 290
9. Differentialgleichungen der Bewegung in rechtwinkligen Coordioatcn . . . 291
10. DiflTerentialgleichungen der Bewegung in polaren Coordinaten 292
11. Differentialgleichungen für die Variation der Elemente » » 296
12. Erste Näherung. Bewegung in Kegehchnittslinien 299
18. Die Bewegung in der Parabel 304
14. Bewegung in der Ellipse und Hyperbel 306
15. Elliptische Bahnen. Entwickelungen nach der mittleren Anomalie .... 307
16. Nahe parabolische Bahnen 312
17. Berechnung der Coordinaten und Geschwindigkeiten 3^4
18. Transformation der Differentialgleichungen für die Variation der Elemente ■ 317 19- Variation der Elemente. Einführung der störenden Kräfte 3*9
20. Variation der Elemente für grosse Excentricitaten (nahe parabolische Bahnen)
und für sehr kleine Excentricitäten und Neigungen 324
21. Die Störung der Pcriheheit in der parabolischen Bewegung 327
22- Störungsrechnung 3^9
a) Berechnung der »peciellen Störangen 330
23. Specielle Störungen in rechtwinkligen Coordinaten. Bo^fD-ENCKK'sche Me-
thode 330
24. Beispiel 336
25. Störungen in rechtwinkligen Coordinaten. Uebergang auf osculirende Elemente 342
26. Störungen in polaren Coordinaten. HANSEN-TiF.TjEN'schc Methode ■ ■ ■ 343
27. Beispiel 35«
28. Störungen in polaren Coordinaten; Uebergang auf osculirende Elemente . . 356
29. Vergleichung der Störungen in rechtwinkligen und polaren Coordinaten.
Uebergang auf ein anderes Intervall 3S7
8Q. Variation der Elemente . . . . . . . . 1 i = = . • ■ • 360
8L Beispiel 3^3
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VIII Inhaltsvcrrctchniss.
b) Bercclmiing der allgemeinen Störungen 366
32. Vorbemerkungen 366
33. Entwickelung der störenden Kräfte 367
3t. Kleine Nrigiin^cti mid Exccntricitätcn 37^
35. Entwickelung der negativen ungeraden Potenten von E 372
36. Differentialquotienten der A' und P 377 g
37. Entwickelung der Störungstunction für rlanetenbewegung 379
38. Variation der Elemente 3^3
39. Sccularglicdcr (kr Störungstunction • 387
40. Secularstorniigen in ^, - 39^
41. Stabilität der Bewegungen 393
42. Sccularstörung der mittleren Länge 39^
' 43. Periodische Störungen. Glieder langer Periode 398
44. Beispiel 40t
45. Ar^'iimcntc langer Periode in den Planctcnbcwcgungcn 402
46. Bcincrkungen iila-r 'lic Slniungen ?\vciU'r l'otcn/ der Massen 4^4
47. Störungen in polaren Coordinatcn 4^5
48. Beispiel 409
49. Die canonische Differentialgleichung 41^
50. Ideale Coordinatcn, Hanskn's Metbode der Störungsrechnung 4^5
51. Difterentialglcichungen fUr Länge und Radiusvector 4^8
52. l"intwi<:kc]ung doi Sti>niri^cn in Breite ■ ■ 4^3
53. Entinickclung der Störungsfunction für grosse Excentricitätcn und Neigungen 426
54. Osculirende Elemente; mittlere Elemente 4^9
55. Proportionalcoordinaten. OrPOi-ZER'sche Methode 43^
56. Theorie der Bewemin^^ der Satelliten. Entvt'ickelung der Störungsfunction ■ 436 ^
57. IntL-gration tlcr DitTcniiiinlgkiulmng für die Lange und den Radiusvector . 440
58. Integration der nitTt.-renti,ilglcii.hiing tiir d:c Buiti.- 444
59. Elementare Glieder, Secularbcwegungcn von Knoten und Pcrigeum . ■ • 44^
fifl. Seculnraccelcration .. , . .. .. , . , , , , , : ■ : : : : \ 449
61. Andere Formen der Entwickelung 45*
fi2. Die Secul.->rncce)erntion de« Mondes 454
63. Bestimmung dci l ii^^ki»-liht%tcn aus Beobachtungen; pafallacti.sche Ungleichheit;
die Wirkung der Abplattung des Centraikörpers 45^
64- Die Coordinatcn der S.itcllitcn in iH-rtig auf 'iic H inptplanctcn 4*'"
65- Anomale Bewegung des Pericentrums: die Bewegung des siebenten S-nturn^-
sntelliten 4^4
fi6. Die Bewegung der JupitcrsatcUitcn 4^8
67. Die Sttiriingen in der Bewegung der Kometen 47^
68- Bewegung der Kometen bei grosser Annälierung an einen Planeten • ■ > 479
69. Anomale Ccwegungserscheinungen bei Kometen 484
70. Bewcgrangswidcrstande 487
71. Absolute Kalmen; intermediäre Balmen ; CvLDKN'sche Methode 493
72. Aufstellung der Differentialgleichungen 495
73. Zcrfiillung der Bewegungsgicichungcn in Differentialgleichungep für die inter-
mediäre Bahn und die Störungsgleichungen 499 ,
74. Die Differentialgleichungen für die intermediäre Bahn des .Mondes .... 50t
75. Die intermediäre Bahn des Mondes. Integration der Differentialgleichungen . 505
76. Entwickelung der störenden Kräfte 5*^
77. Die Störungen
78. Convergent der Entwickelungen 5*9
II. Abschnitt. Die Rotationsbewegung
79. Das Potential 5^3 ^
80.. Das Potential einer Kugel S^^
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InhaltSTcrzeichniss. IX
81. Das Potential eines EUipsoTides auf einen inneren Punkt 528
82. Das Potential eines Ellipsotdes auf einen äusseren Punkt 53^
83. Das Potential eines Massencomplexes auf einen sehr entfernten Punkt . . . 539
84. Die LAPLACE-PoissoN'sche Gleichung ^41
85. Attraction von Sphäroiden
86. Figur einer Aussigen rotircndcn Masse 547
87. Gleichgewicht von sphäroidisch geschichteten Körpern unter Berücksichtigung
äusserer Kräfte ; die Oberfläcbenform 552
88. Gleichgewicht von sphäroidisch geschichteten Körpern. Innere Lagerung . ggf;
89. Figur der Satelliten g6i
90. Die Differentialgleichungen der KoLitionsbcwcgung 563
91. Die Bewegung des Körpers im Räume 566
92. Die Bewegimg der Rotationsaxe im Räume 569
98. Integration der Differentialgleichungen für den Kall, dass keine äusseren
Kräfte wirken S70
94. Die störenden Kräfte 573
95. Die Bewegung des Erdkörpers 577
96. Die Bewegungen der Rotationsaxe der Erde 581
97. Pfäcession und Nutation 584
98. Xumerischf Wcrthe 588
99. Aenderungen der Ilaupttragheitsaxen 593
100. Einlluss auf die Rotationsaxe 60a
101. Die Libration des Mondes 604
102. Die Libration in Länge 606
108. Die Libration in Knoten und Neigung 60Q
104- Numerische Werthe 613
105» Berechnung der geocentrisclien Coorditiatcn eines Mondkraters 615
Mechanigche Quadratur. N. Herz 6i8
BerichtiBfungen 643
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Gnomon bis Mechanische Quadratur.
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Gnomon ist das älteste und einfac hstc astronomische Instrument, welches bei allen alten Völkern zur Bestimm ung der geographischen Breite (Polhöhe), der Schiefe der Ekliptik, der Richtung des Meridians und der Zeit verwendet wurde, und welches noch heute in einer etwas veränderten Aufstellung zur Be- stimmung der Zeit bei den Sonncnulireii dient (Fiqr. S48). Es besteht aus einem auf einer ebe- nen horizontalen Fläche senkrecht befestigten Stabe von entsprechen- der Höhe. Die An wen dung ist sehr einfach. Der Schatten, den der btab SI* wirft, wird sich im lAufe eines Tages dtehen und da^ bei seine Unge indem, der kOiaeste Schatten fiUlt natflrlich zur Zeit des wahren Mittags, zur Zeit des Durch- ganges der Sonne durch den Meridian (wenig- stens sehr nalie, da auf die Mittags Verbesserung hierbei keine Rttcksicht glommen so weiden braucht). Sei also der kflrseste Schatten PQ, so ist FQ die Richtung des Meridians, SQJ' die Mittags- btthe der Sonne, und die Zeit» su welcher der kOrscste Schatten beobachtet wurde, der wahre Mittag. Für einen gegebenen Gnomon wird natürlich jeder Schatten- ISi^e eine gewisse Sonnenhöhe entsprechen und man kann leicht eine Tafel anleiren, nu^ welcher mittels der gemessenen Schattenlftnge die Sonnenhöhe ent* nommen werden kann.
Zu gleichen Zeiten Vor- und Nachmittag wird die Schattenlänge dieselbe sein, und man kann daher zur Bestimmung des Meridians und des wahren
VAixMTUiEi, AMtrvDotxue, U. |
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GnomoD.
Mittags gleiche vor- und nachmittägige Schatten beobachten, was mittels einer Reihe concentrischer Kreise wesentlich erleichtert wird. Sind PR und FR' zwei gleich lange an demselben Tage beobachtete Schatten, so wird die Richtung des Meridians den Winkel RFR' halbiren und die Zeit des wahren Mittags wird ebenfalls die Zwischenzeit, welche zwischen den beiden Beobachtungen liegt, halbiren (s. a. Zeitbestimmung aus correspondirenden Höhen). Zur Erhöhung der Genauigkeit kann man eine Reihe von gleichen Vor- und Nachmittags« schatten R^P, H^'P u. s. w. beobachten.
In Folge des den Schatten umgebenden Halbschattens entsteht eine gewisse Ungenauigkeit der Beobachtung, welche dadurch Terkleinert werden kann, dass der Stab an dem oberen Ende mit einem I.iOGbe versehen wird. Höhe des Gnomon und Länge der Schatten werden dann vom Fusspunkte desselben bis zur Mitte des Loches bezw. bis sur Mitte des in dem Schatten entstehenden Hebten Flecken fremc^sen
Die uiUt;ij:l:( 1 en S( 1 atren werden natürlich je nach dem Stande der Sonne verschieden sein; im Sommer sind dieselben kürzer, im Winter langer, der längste mittägliche Schatten findet zur Zeit des Wintersolstitiums statt, der kürzeste zur Zeit des Sommersolstitiums. Man kann demnach hieraus die kleinste und grusste Meridiaohdhe der Sonne iwmitteln und aus derselben die geographische Breite des Beobachtungsortes und die Schiefe der Ekliptik; es ist nämlich die geo- graphische Breite ^»90**— |(^t+^s) ^'"^ Schiefe der Ekliptik wo mit ^s ^ beiden betreffenden Meridianhdhen bezeichnet werden.
Die Höhe des Gnomon war sehr verschieden; man findet Berichte von Obelisken, welche als Gnomone verwendet wurden, von 700 und mehr Fuss
Höhe; noch 1467 wurde in Florenz ein GnoiHon von 270 Fuss Höhe er- richtet. Nach der Meinung einiger Egyptologen waren die grossen Fyra^ miden, wenn auch gerade nicht au dem Zwecke er- richtet, so doch als Gnomon ver- wendet.
Zur Messung von Höhen ande- rer Gestirne als der Sonne ist der Gno- mon nichtverwend- bar, da sich sein Gebrauch auf die Messung der Schat> tenltfnge stützt.
Schon für den Mond bf^dicntc sicli Ptolfmai s eines anderen Instrumentes, welches er Regula parallactica nannte, da er 7i:r 'Beetimmting der Mondparallaxc (aus den gemessenen Höhen in verschiedenen Deklinationen desselben) verwendete.
(A.S4S.)
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GnoiBon.
3
Später wurde dasselbe auch Regula Ptokmaica oder auch Triquetrum genannt (Fig. 243). Ein nach Ptolemats jmindestens vier Ellen Innjrcr« Stab AB^ welcher mit HiUe eines Bleilotes vertical aufgestellt werden kann, ist in 60 Theile, und jeder derselben >in so viele Untertheile als mögliche getheilt. An dem oberen Ende B dreht sich ein anderer ebenso langer, unbiegsainer Stab B C, dessen zweites Ende C längs eines dritten, bei A ebenfalls drehbaren Stabes AC geführt wild. Da die Drehung von JfC, sowohl in der Verticalebenet als auch um den Sub AB herom (in venchiedenen Verticalebenen) erfolgen kann, so kann man VUtgß BC hinweg auf einen beliebigen Ort des Himnels visiren, und erhält dann in dem zox Sehne gehörigen Centn winkel CBA die Zenithdistani des Gestirnes. £& ist nlUnlich
AC^€hfirä CBA
oder in unserer Schreibweise
AC^ ^ sin \ CBA,
Die Länge von AC kann dann an der i heilung von AB ermittelt werden, indem man den Stab AC durch Drehung um A längs AB anlegt. Da Ftolemaus eine Sehnentalei construirt hatte, in welcher die Länge der Sehnen in Theilen ausgedruckt ist, von denen 60 auf den Halbmesser gehen, so eriülit sich daraus die TheHung von AB in 60 Thailen und deren Untertheile. CoPBt- Mcus vereinfachte die Ablesung dadurch, dass er die Theilung direkt auf dem Stabe >4Cauftrug.
Bei dem Gnomon und der Regula parallactica wurden die zu bestimmenden 2^nith- diataosen ans einer trigonoaie> tiiscben Linie derselben (bei den ersten aus der Tangente, bei dem sweiten aus der Sehne) ermittelt Nebst diesen hatte aber Ptolemäus auch an Instru-
)2(A. 24409
menten beobachtet, welche direkt die Zenithdistanzen abzulesen gestatteten. Eins — da-^ einfachste - bestand aus einem bchauenen pnsmatischen Steine (Fig. 244), desö-n eine Seite AB£>C \u die Ebene des Meridians gebracht und dessen emc Kante Aß durch ein Bleiloth vertical gestellt wurde. Um den Punkt A, in welchem ein Stift senkrecht zur Fläche ABDC befestigt war, als Mittelpunkt, war eine Kreistheilung ^ C angebracht. Zur Beobachtung des mittäglichen Schattens wurde ein zweiter Stift längs der Theilung BC so lange verschoben» bis der Schatten des Stiftes A auf denselben fiel; der al^elesene Tbeilstrich gab, wenn die ThcilQQg von B auigmg, sofort die Zenithdistans der Sonne. Pbokbach, welcher dieses Instrument GnanMn geamtirku» oder Qtutdraium gtmefrictm nannte, ersetzte jedoch die Kreistheilung wieder durch die viel leichter herzustellende Theilung der Seiten BD, CD, sodass die Zenithdistanz bezw. Höhe der Sonne, durch ihre Tangente gegeben wird. ri tiRTiACH gab auch eine Tafel, welche aus der Ablesung (jede der beiden Seiten ist bei ihm in 1200 Thle. getheilt) die Winkel gab (Tafel von Antitangenten). N. H£R2.
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4
Heliometer.
Heliometer. Erste Vorschläge sur Herstellung von Hello • metern. Khe das mit dem Namen Heliometer bezeichnete Instrument sich Eingang in die astronomische Beobachtungskunst verschafft hatte, war man bei der Bestimmung des gegenseitigen Abstandes zweier Gestirne hauptsächlich auf das Fadenmikrometer angewiesen. Bei diesem Apparat wurden die festen F^en senkrecht zur täglichen Bewegung der Gestirne gestellt und daran zur Bestimmung des Rectascensions- Unterschiedes die Durchgnr!(:s>'e;f L-n wahrgenonunen, ferner wurden die Deklinations-Unterschiede dadurch bestimmt, dass man den voran- gehenden Stern auf einem festen Faden entlang laufen liess und dann auf den nachfolgenden durch eine Mikromcterschraube einen beweglichcu l aden einstellte, so dass man aus der Ablesung der Schraubentrommel in Verbindung mit einer «weiten Ablesung, die der Colncidenz des beweglichen und des festen Fadens entsprach, den Deklinations-UnterBchied in Einheiten der Schraubenumdrehung ausgedrückt bestimmen konnte. Nach demselben Verfahren war auch der Durch- messer eines Himmelskörpers, z. B. der Sonne, in zwei auf einander folgenden Richtungen, nämlich parallel und senkrecht zum Himmelsäquator zu bestimmen. Dagegen versagte die Anwendung des Fadenmikrometers hei der Bestimmung des Durchmessers in einer beliebigen Richtung gegen die tägliche Bewegung so lange man die zu Anfang dieses Jahrhunderts durch Fraunhofer eingeführte Uhr- bewegUDg der Aequatoreale noch nicht kannte.
Aus dem Bedürfniss, den Durchmesser eines Himmelskörpers in jeder beliebigen Richtung zu bestimmen, entstand bei dem französischen Astronomen und Geodäten Bijugurr in Paris der Gedanke, durch Anwendung zweier in dem- sell' -n Kolire befindlicher Objective von demselben Himmelskörper ein Doppel- bild herzustellen, welches durch eine niessbare Verschiebung eines der Objective so angeordnet werden konnte, dass sich die Ränder der beiden Scheiben be- rührten. War diese Berahrnng einmal hergestellt, so musste sie auch erhalten bleiben, wenn durch die tägliche Bewegung das Gestirn Uber das Gesichtsfeld des Feinrohres vorttbersog. Die erste Nachricht Aber diesen Vorschlag von BoüGUBR findet sich in der »Histoire de l'academie royale des sciencesc, Ann^e 1748, pag. 87, und in den tM^moires ,de l'academiec, pag. ii, und nach der hier gegebenen Beschreibung bestand die vorgeschlagene Einrichtung darin, zwei volle Objective anzuwenden, die so standen, dass die Ränder der neben einander sichtbaren Sonnenbilder sich berührten. Hei der scheinbaren Vcrgrosserung der Sonncnscheihe im Wmter mussten die Bilder dann übereinander treten, im Sommer dagegen einen freien Raum zwischen sich lassen und diese kleinen Segmente oder Zwischenräume sollten mit einem Fadenmikrometer gemessen werden, um additiv oder subtractiv xu dem festen Abstände der beiden Objectivmittelpunkte hinsugefügt, auf diese Weise den veränderlichen Sonnendurch- messer SU geben. Wttrde man die Objective noch weiter gegen einander ver* Bchiebbar machen, so könnte man auf diese Weise Abstände von 3 — 4* messen.
Einige Jahre später machte SH(mT in den »Philosoplucal Transactions« der Royal Society in London, Vol. 48, pag. 165, darauf aufmerksam, dass eine solche Erfindung von Savsry in Exeter schon im Jahre 1743 angezeigt worden sei und swar hat Savery in einem hier wörtlich mi^etheilten Vortrage den Vorschlag gemacht, ein Objectiv durch drei einander parallele Schnitte in vier Segmente SU zerlegen und entweder die beiden äusseren oder die beiden inneren Segmente in der Weise aneinander zu befestigen, dass die von ihnen entworfenen Sonnen- biider sich mit ihren Rändern nahezu berühren.
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Heliometer.
5
In den >Phil. Tr. for 1753« Vol 48, part. I, pag. 178, wird ferner von John DoLLOND der Vorschlag gemacht, ein zur Messung beliebiger Abstände verwend- bares Heliometer dadurch herzustellen, dass übereinstimmend mit der jetzt ge- bräuchlichen Form dieses Instrumentes ein Objectiv durch einen Schnitt durch den Mittelpunkt und in der optischen Axe in zwei Hälften von der Form einer halben Kreufläcbe terlegt und 4en eiiuelnen Theilen dne menb«» Bewegung in der Richtung des gemeinschaftlichen Halbmessers gegeben wird. Danach könnte man Dollond als den Erfinder der gegenwflrtigen Form des Heliometers ansehen (man veigl. noch seine nähere Auseinandersetzung »PhÜ. Tr. for 1753«. VoL 48 part. II. png. 551), wenn nicht La Gouioieiue in den »Comptes rendusc der Pariser Akademie, Band 88, pag. 215, datauf aufmerksam gemacht hätte, dass auch diese endgültige Form des Instrumentes schon von Bouguer im Jahre 1748 in der »fiibUoih^ue impartialec Vol. IQ, pag. 214, in Vorschlag gebracht worden sei.
In diesen Schriften ist auch mehrfach die Rede von der Verbindung eines Hciioiiicierübjectivs mit einem Spiegelteleskop, jedoch hat, soweit bekannt, eine solche Einrichtung keine praktische Bedeutung erlangt.
Die Beobachtungen von Tkiesnbcicbr an einem Heliometer. Wenn auch BoucuKR als- der eigentliche Erfinder des Heliometers in seiner jetzigen Gestalt anzusehen ist und er dem Instrument mit Rücksicht auf die Anwendung auf die Sonne diesen Namen gegeben hat, so wird doch Dollokd als derjenige zu bezeichnen sein, der ein solches Instrument zum ersten Male zum Gebrauch für die Astronomen hergestellt hat, und fernerhin muss man das Verdienst, zum ersten Male eine grössere Reihe von werthvollen Beobachtungen mit solchem Instrumente angestellt zu haben, vmzwcifelhaft dem Wiener Astronomen Franz von Paula Triesnkckek zuschreiben. Das von ihm angewandte DüLLONiVsche Objectivmikrometer ist in den »Wiener Ephemeriden« für 1796, pag. 314, näher beschrieben. Dasselbe war an einem Fernrohr von 3^ Fuss Länge und 2^ Zoll Oeflfoung angebracht, und die Scala zur Messung der Stellung der Objectivhälften war in englische Zoll und deren Unterabtheilungen eingetheilt. Die beiden ObjcctiFhälften bewegten sich von der optischen Axe aus gleichzeitig nach ent- gegengesetzten Seiten, und während einer der Objectivschteber eine Scala trog, war an dem anderen Schieber ein Index angebracht, der auf den NilUpunkt der Scala zeigte, wenn die optischen Axen der beiden Objectivhälften zusammen- fielen und das Fernrohr nur ein einfaches Bild des Gestirnes gab. Eine Zeirhnnng eines Instrumentes dieser Constructton findet sich in Pkakson's > Practica l Astro- norny« und auch Lalanpf/s >Astronomie< Vol. 11 cntbak Beschreibungen und Zeichnungen älterer Hehometcr. Die von Trtesnf.c k i i< an diesem Instrument angestellten Beobaciitungen, namentlich Uber die Stellung des Jupiterstrabanten gegen den Planeten würden ihres Alters wegen einen hohen Werth besitzen, wenn zuverlässige Daten zur Verwandlung der Scalenablesungen in Bogenmaass vorhanden wären; aber es lässt sich nachträglich Nichts darüber ermitteln, da wohl der DoLLOND'sche Refractor, aber nicht mehr der Mikrometer-Apparat auf der Wiener Sternwarte Torhanden ist.
Die kleineren Fraunhofer' sehen Heliometer. Der nächste Schritt auf diesem Wege war die Herstellung einer Anzahl von kleineren Heliometern durch Fraunhofer in den ersten Jahrzehnten dieses Jahrhunderts für die Stern- warten in Berlin, Breslau, Göttingen, Gotha und anderen Orten, aber abgesehen von einigen Beobachtungen an den Instrumenten in Breslau und Berlin durch Brandes und Winnecke in den Zwanziger und Ftinfziger Jahren und einigen Kometen
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6
HclIofDeter.
Beobachtungen in Gotha von Hansen haben diese Instnimente erst später Bedeutung erhalten als sie von Repsold in Hamburg mit neuen Einrichtungen versehen auf den Vcnusditrcligangs-Expeditionen in den Jabren und 1882 \prwr\ndt
wurden. Die kleineren FRAUNHOFER'schen Heliometer haben eine Brennweite von 1*15 m und eine Objectivöflfhung von 76 mm. Die beiden Objectivhälften lassen sich mit Hilfe von Stangen bewegen, die neben dem Rohre hin zum Ocnlar gehen, und durch Uebertragung ihrer Drehung werden feine Mikro* meterscbranben in Tbädgkeit gesetzt, die einerseits die Bewegung der Objectiiwcblitten in einer zur optischen Axe wnkrechten Ebene ausCtthren und andererseits durcb die Zabl ibrer Umdrehungen und der an einer Trommel ab< gelesenen UnterabtbeUnngen ein Maass für die Grösse der Bewegung geben* Um den Spalt zwischen den beiden Objecdvbälften in die Richtung der beiden gegen einander zu bestimmenden Gestirne zu bringen, ist der ganze Objectivkopf um die optische Axe mit flilte einer ebcnfnüs am Rohre entlang führenden Stange drehbar und die Grösse der Drehung wird mit Hilfe zweier Nonien an einem Kreise abgelesen, der sich nahe dem Objectiv am Umfange des Femrohres befindet. Das Material der Rohre war, wie überhaupt bei den meisten I'ern- röhren aus älterer Zeit, Holz und erst in Veranlassung der Expeditionen wurde dafür Eisenblech gewflbk. Schon diese llteren Instrumente hatten parallactische Aufstellungen, und mit den spJUer eingeführten Verbesserungen haben sie in Bexug auf Abstandsmessnngen Resulute geliefert, welche denen der voll* kommensten und besten Apparate der Neuzeit durchaus nicht sehr nachstehen» und nur die Kleinheit der Objective legte eine Beschränkung in der Wahl der SU beobachtenden Gegenstände auf.
Es wird hier die Bemerkung am Platze sein, dass bei dem Gebrauche einea Heliometers unter allen Umständen ein Verzicht auf die Helligkeit geleistet werden muss, denn so wie das Heliometer als solches in Thätigkeit tritt und die beiden
Hälften des Objectivs gegen einander verschoben werden, muss die Helligkeit des von einer einzelnen entworfenen T^ildes auf ein ITa1!) rerhicirt werden; beispielsweise wirkt die emzelne Hälfte cmcs sechszölligen Heliometers nur noch
wie ein Femrohr mit der Oeffnung y ^ ^ 4>S4 Zoll, also etwa wie ein vier*
zölliges Obiertiv, von Deformationen der Bilder abgesehen, von denen später
die Rede rem wird.
Das Königsberger Heliometer. Das grösste Ereigniss auf dem Gebiete der Anwi.i <li;iig des Heliometers in der astronomischen Beobachtungskunst war die Lieierung des Hclionieleis von G Zoll Oefinung für die Konigsberger Stern- warte durch Fraunhofer im Jahre 1829, von wann ab es dann in den Händen BassKL's in den folgenden Jahrzehnten su einer Reihe der wichtigsten Unter- sttchuQgen gedient hat. Die Beschreibung desselben findet sich theils in den »Astronomischen Nachrichtenc, theils in den »Astronomischen Beobachtungen der Königsberger Stemwartec, sn einer Besprechung wird es sich jedodi empfehlen, die Stellen nach dem Werke ansugeben: > Abhandlungen von Fried- rich Wilhelm Bessbl«, herausgegeben von Rudolf Encelmaiix. 3 Bde. Leipzig 1875. Abbildungen des Konigsberger Heliometers findet man u. A. in den »Astronomischen Nachrichtenc Bd. 8 und in Bd. a der soeben genannten Ab- handlungen.
Im 2. Bde. des Werkes, pag. 95, findc»^ sieh zunftchsl: ein Atifsatz von Bessel betitelt: »Vorläufige Nachricht von einem auf der Königsberger Sternwarte bc-
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Hdionwler.
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findlichen gro ssen Heliometer«. Hiemach begann Fraunhofer mit der Her- stellung des Instrumentes im Jahre 1824 und von ihm rührt das Übjectiv und die Einrichtung des Heliometer-Apparates her; da sein Tod aber schon 1826 erfolgte, to ww das Daichflcbiuriden des Objectivs und die VoUendung der paraUactischen Aufetellung sdaeiD Nachfolger UxtscmaiDBR vorbehalten. .
Es nag an dieser Stelle erwähnt «erden, auf welche Weise ein Heliometer* objectiv hergestellt wird. Der etste Schritt besteht natOrlich darin, ein gewöhn- liches achromatisches Objectiv, welches aus einer Crown- und einer Flintglaslinse besteht, herzustellen und es dann durch einen Schnitt in zwei halbe Objective zu zerlegen. So lange man noch mit kleineren Linsen zu thun hatte, mag wohl der mei'^tens einpc^rhlac^ene Weg derjenige gewesen sein, jede der beiden Linsen rund herum mit emem Diamant zu ritzen und durch einen Schlag mit einem hölzernen Hammer die beiden Hälften von einander zu trennen. Bei den in den letzten Jahrzeh nten hergestellten grosseren Heliometerobjectiven, deren W'^erth mehr als 2(KX) Mark beträgt, dürfte diese Trennungsweise aber wohl mit Gefahren f&r die Linsen verbunden sdn, und es ist daher das nachfolgend beschriebene Verfahren an die Stelle getreten. In eine eiserne Kapsel Yon demselben Durch- messer wie der des ObjeclivB wird xnnächst eine gewöhnliche Glasplatte gelegt^ deren untere Fliehe eben und deren obere entsprechend der Krümmung einer der äusseren Flächen des darüber zu legenden Objectivs ausgehöhlt ist, und den Abschluss nach oben bildet eine zweite plan-concave Glasplatte. Durch den Mantel des eisernen Cylinders gehen nnn senkrecht zur Grundfläche zwei schmale, diametral gegenüber stehende Schlitze hindurch, und dtirch diese wird die Schneide einer feinen mit Fett und Diamantstaub behafteten Stahlsäge hin und her geführt, bis beide Linsen des Objectivs und die werthlosen, zur Be- festigung dienenden, darüber und darunter liegenden Glasscheiben durch einen feinen Schnitt zerlegt sind. Werden nun die einzelnen Objectivhälften in halb- kreisförmige Fassungen gebracht und diese mit den Objectivschiebem verbunden, so ist noch die Einrichtung su trefien, dass durch kleine, zur Schnittlinie senk« recht wirkende Schrauben die optischen Mittelpunkte der beiden HSlften genau mit einander zum Zusammenfallen gebracht werden können. Es mag hier ferner noch die allgemein gültige Bemerkung binzugerugt werden, dass eine etwa mit der Zeit o der bei verschiedener Neigung des Fernrohres und Richtung des Spaltes wieder auftretende seitliche Entfernunf^ der Objectivmtttelpunkte bei pressen Siernabständen einen nahezu verschwindenden Kinfluss hat, bei sehr kleinen Abständen, wie z. B. Üoppelsternen einen Fehler von erheblichem Betrage gegenüber der zu messenden Grösse selbst hervorbringen kann, dass aber durch Messung von Positionswinkeln engerer Doppelsterne in zwei symmetrischen Stellungen der Objectivh&lften, oder wie der flbliche Ausdruck lautet^ vor und nach dem Durchschiauben aus dem halben Unterschiede der gemessenen lUchtungen in Verbmdung mit den Distanzmessungen der Abstand der beiden Sterae berechnet werden kann.
Nunmehr wieder zu dem augenblicklichen Gegenstande, nftmlich der Ein* richtung des Königsberger Heliometers zurückkehrend, ist zu bemerken, dass dns Instrument im October i8?o nufgestellt werden konnte. Das Fernrohr hat S Par. Fuss oder 2 6 m Brennweite und 70 Linien oder 158 mm Oeffnung. Die beiden Objectivhälften können jede für sich durch Schrauben bewegt werden, die zugleich auch zur Messung der GroshC der Bcwc L'ing dienen, indem sie am Ende mit ZahlLrommeln versehen sind, an denen Hundertel-Umdrehungen direkt abgelesen und Tausendtel geschützt werden, so dass die Ablesungen bis auf
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HcBomefcr.
^ Secunde in Bogenmaass gehen. Eine andere Vorrichtung, mit welcher man die Verschiebung der Objectitwhlittea dmcb Scalen und Miknoekope messen kann, ist bei den Beobachtungen nicht tm Verwendung gekommen. Die Ver- schiebung der ObjectiThfllften geht in einer vollkommenen, auf der Axe des Rohres senkrecht stehenden Ebene war sich und erstreckt sich auf 56 Bogen- minuten nach jeder Seite, so dass man einen Raum von 1* 52' Ubersehen kann. Bessel hat schon damals Fraunt^ofer den Vorschlag gemacht, die Objectiv- hälften auf einer Cylinderfläche beweglich zu machen, deren Axe durch den Brennpunkt des übjcctivs geht, wodurch die später 7u erw Lohnenden Unter- suchungen über optische Ungleicl licit nnnöthig geworden wären, und bei den neuen Heliometern ist diese damals u u constmctiven Schwierigkeiten verbundene Einrichtung überall eingeführt worden. IJas Ucular des Fernrohres kann ebenso wie eine Objectivhftlfte senkrecht rar optischen Axe verschoben werden und die Richtung der Verschiebung wird durch einen eingetheilten Kreis angegeben. Die 5 Oculare haben die Vergtösserungen 45, 91, 115, 179 und 390. Gegen- Ober den ausserordentlichen Vortheilen, welche die Einrichtungen der neueren Heliometer gewähren, die Ablesung der Objectiystellttng und des Positionskreises vom Oculare aus besorgen zu können, rousste das Königsberger HeKometer ffir jede Ablesung um die Deklinationsaxe gedreht werden, bis das Objectivende dem Auge des Beobachters nahe war. Dadurch entstand nicht nur eine grosse Unbequemlichkeit, sondern noch das Bedenken, dass durch die Veränderung der Schwerewirkung auch eine Veränderung der Stellung der Objectivschlitten eintrat. Bei dem ähnlich construirten Bonner Heliometer ist eine Einrichtung an- gebracht, die Ablesung mit Hilfe eines kleinen Fernrohres vom Ocular aus zu besorgen.
Die von einem halben Objectiv entworfenen Bilder eines Sterns sind be- kanntlich nicht l(rcis:förn)ig, sundern haben eine etwas birnförmige Gestalt, deren Längsrichtung zur Richtung de& Spaltes senkrecht steht Diese Eigenschaft muss sich besonders stark bei bellen Sternen seigen und bei dem neuen GCittinger HeKometer verschwindet dieser Eindruck erst bei Sternen von der siebenten Grosse ab, aber Bbssbl hat gezeigt, dass die dadurch entstehenden kleinen Verschiebungen in der Lage der Sternbilder bei symmetrischer Anordnung der Beobachtungen vor und nach dem Durchschiauben eliminirt werden.
Die Art und Weise, wie an einem Heliometer Distanzen und Positionswinkel gemessen werden, ist von der Beschaffenheit des zu beobachtenden Gegenstandes abhängig. Bei engen Doppelstemen, die nur einen kleinen Theil des Gesichts«
feldes einnehmen, biingt man die vier von beiden Objectivhäl(\en gebildeten Lichtpunkte durch Drehung in Distanz und Positionswinkel zu gleichen Abständen in eine gerade Linie, liest beide Coordinalen ab und wiederholt dann die Messung in umgekehrter Ricliiung, um die jedem erfahrenen Beobachter bekannten systematischen Unterschiede in den Einstellungen zu vermeiden; darauf werJen die beiden Objectivliälften, wie in Zukunft immer kurz gesagt werden wird, durchgeschraubt und nun diese beiden Beobachtungen wiederholt, so dass man in jeder G>ordinate vier Ablesungen erhält und bei der fiinriclrtung der Ablese» Vorrichtungen am Königsberger Heliometer maass Bissel auf diese Weise den vierfachen Abstand.
Handdt ea sich dagegen um die Messung des Durdimessers eines Planeten, so bringt man die Bilder der Scheiben mit abwechselnder Drehungsrichtung m Berührung mit einander und erhält daher fUr eine Messung ebenfalls vier Ab*
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ITelioiQCter.
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lesungen. Soll die Lage des Trabanten eines Planeten gegen den letzteren bestimmt werden, so würde es am einfachsten sein, das Bild des Trabanten nach dem Aiip;enmaass in die Mitte des von der anderen Hälfte herrührenden Bildes des Planeten 711 stellen, jedoch ist man dabei zu sehr auf das Augenmaass 3ngevii«»en und man wird daher in den meisten Fällen besser thun, mit Bessel den Trabanten nach einander aui zwei einander gegenüber stehende Punkte des Randes zu bringen, indem man ihn vorher nach dem Augenmaass in die Mitte des Flaneten einstellt und ihn dann durch Drehung in Position oder in Distanx je nach dem Zweck der Messung auf den Rand bringt. Ist das Licht des Flaneten su hell gegenflber dem des Trabanten« so dass letzterer flbentrahlt wird» so kann man die den Planeten abbildende ObjectivhAlfte mit einem feinen Drahtgitter überdecken. Bei der Bestimmung der gegenseitigen Lage zweier, weit entfernter Sterne kann das iOr Doppelsteme beschriebene Ver> fahren nicht mehr zur Anwendung kommen, da man nicht mehr alle vier Licht- punkte im Gesichtsfelde übersieht, sondern nur zwei, nämlich bei einem Stern- paare a b etwa das vom Objectiv 1 entworfene Bild von a und das von H entworfene Bild von b. Das einfachste Verlahren wäre nun offenbar, diese tjoden Bilder unniiitelbar mit einander zusammenfallen zu lassen und bei verscliiedener Richtung der Sdiraubendrehung und mit Durchschrauben zusammen vier Ein- stellungen zu machen. In Wirkliehkeit ist dieses Verfahren aber nicht zulässig, denn bringt man etwa eine kleinere Sternscheibe auf eine grossere, so fehlt jedes Unheil darflber, ob die Bedeckung der Bilder eine centrale ist. Es tritt deshalb nachfolgendes Beobachtungsverfahren an die Stelle. Vbui nähert die beiden Sternbilder einander und lÜhrt bei Distanzmessungen mit der Positions* schraube kleine Schwankungen aus, so dass die Sternbilder bald nach der einen, bald nach der anderen Seite ein wenig von einander abweichen, und wird dann bemerken, dass der Weg, den ein Lichtpunkt fliegen den anderen beschreibt, als gerade Linie erscheint, wenn die l'unkte in der Rulielage sicli genau bedecken würden. Nach Vollendung einer Messung bringt man die Bilder zuerst absicht- lich nach der entgegengesetzten Seite etwas aus einander, und bei der Messung der Positionswinkel veifthrt man ganz ähnlich, indem man dann die Einstellungen durch Schwingungen mit der Distanzschraube prQft.
Dieses Beobachtim^verfahren iUhrt bei Messungen entfernter Sternpaare er&hmngsgemfas zu sehr genauen Resultaten, dagegen unierliegt es einer Be- schränkung bei kleineren Sternabständen. Sieht man nämlich beide von einer Hälfte entworfenen Sternbilder im Gesichtsfelde , so ist es vorzuziehen, die Sternbilder in der Ruhelage des Instrumentes mit einander zu vergleichen, indem man :'. B. das Bild des Steines a der Haltte II so nrhen das Bild des Sternes b in der Hälfte 1 setzt, dass ein rec:ht\vinklir»es Dreieck mit einer so ktjrzen Calhete entsteht, dass man gerade im Stande ist, ihre re htwinklige Stellung zur längeren Cathete ab beurtheilen zu können und zwar su, dass man etwa bei der eisten Messung a über b und bei der zweiten a unter b setzt. Mit Hilfe der am Poritionakieise abgelesenen Amplituden kann man dann die kleine Reduction, die ans der Ausweichung im Pontionswinkel entsteht, berechnen (siebe darUber Schuir >Astronomische Nachricbtenc, Bd. 94). Etwas anders hat J. Franz bei sdnen Messungen weiterer Doppelsteme am Kdnigsberger Heliometer verfahren, indem er die vier Sternbilder zu einem Trapez mit einer sehr kurzen Diagonale vereinigt, und es lässt sich zeigen, dass in diesem Falle eine Reduction wegen der Grösse der Amplitude in Posidonswinkel nicht erforderlich ist (»Astronom. Nacbr.c, Bd. 111).
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HeKometer.
Das wchticjste Erfordernis?; bei der Anwendung eines Heliometers ist die Verwandlung der iti Schraul)cnunidrehungen oder in Scalentheilen abgelesenen Distanzniessungen in Bogenniaass, und es stehen daxu mehrere Wege offen. Eines dieser Verfahren besteht darin, sowohl die Höhe eines Schraubenganges oder eines Scalentheiles als auch die Brennweite des Objectivs in derselben Maasseinheit auszudrücken. Die Kenntniss der Brennweite gewinnt man durch die bekannte Methode der Bestimmung der vierfachen Brennweite. Diese Methode wandte Bessbl auf das Ktfnigsberger Heliometer an and fand nach wiederholten Versuchen für die Brennweite des Objectivs 1134*134 Par. Linien bei -h 12°-8 C. mit einem wahrscheinlichen Fehler von ±; 0^-015 oder einem 7S000tel der ganzen Brennweite. Femer bestimmte er die Höhe eines Schrauben- ganges durcli Vcrglcichung mit einem auf dein Objectivschiebcr II befestigten Stahlblatt, worauf eine Lange von 24 P. L. verzeichnet '.vir, für verschiedene Stellen der Schraube und fand danach 82*5212 Windungen euics Schraubenganges = 24 00006 P. h. und aus beiden Zahlen für die Kurmakemperatur von 16°-2ü C. den Winkelwertli einer ümdreiiimg = 52"-89329.
Die Kenntniss dieser wichtigen Constanten verschafllke sich Bksskl ferner noch auf folgende Weise:
1. Beobachtung der Stellung eines Fadens im Brennpunkte durch das Objectiv hindurch. Zu diesem Zwecke wurde das Heliometerfemrohr mit dem Objectiv nach unten vertical gestellt und darunter ein REicHRNBACH'scher Theo* dolit mit Höhenkreis gebracht. Die Objectivhälfte I wurde in die Axe des Helio- meters gebracht und die Hälfte II der Reihe nach um — 5 und H- 5, — 10 und -4- lü u. s. w. bis — nO und HO Schratibenwindungen versclioben und mit dem Theodoliten die entsprechende Enliernung der beiden Bilder des Fadens gemessen Das Resultat war ■= 52"-90299 m. F. ± 0" 00275.
2. Hessel hatte hauptsächliclt in den Jahren 1838 — 40 in der l'lejudcngruppe die Abstände einer grossen Zahl von Sternen gegen Alcyone gemessen und hiervon wurden zehn besonders häufig beobachtete Sterne ausgewählt; deren Oerter durch Durchgangsbeobachtungen am Meridiankreise festgelegt waren. Die Ver- gleichung ergab für den Schraubmwerth H « 53"'881S7 dt O"'O0880.
3. Es wurden sechs Sterne gewählt die nahezu in einem durch die Plejaden hindurchgehenden grössten Kreise liegen und mit a, ö, r, d, e, f bezeichnet. Von diesen sind die Steine a, c, f von Br^^cir zu wiederholten Malen in den Jahren und 1840 am Meridiankreise l)estimmt, und Sc in.CTF.R hatte zwi<!ohen je /'.vei aut einander folgenden Sternen Al st;u\<ie und Positionswinkcl ebenfalls in uen Jahren 1839 und 1840 am Heliometer ^< messen. Die Vergleichun«^ der Bogenlängen ac, c f und a f, nach den Pcubachtungen an beiden Instrumenten berechnet, ergab das Resultat; R — ä2" ±: 0"-0ü314.
Das Resultat der Bestimmung eines Schraubenwerthes nach verschiedenen Methoden ist also das folgende:
1. Beobachtungen mit dem Theodolithen 52''>d0299 m. F. ±0**00375
S. Beobachtungen von Plejadenstemen SS *88137 ±0 '00880
8. Beobachtungen von 6 Sternen im grössten Kreise 58 '89036 =kO '003H
4. Messung der Brennweite und einer Schraubenwindung 52 *89329>
Die Ueln rninstimmung ist eine befriedigende. Bkssel entschied sich aber doch dafdr, das K rgebniss der Messunc: der Ikennwette und der SchraubenhAhe allein anzunehmen, nänilicli = 52' •8932'.) in der Wanne 50° F. Die Refiuction der bei einer anderen Temperatur t gcmet.sencn Abstände wird mit einem Coelficienlen bestimmt, der sich aus der Beobachtung von zehn Plejadenstemen
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Hdlimtdtr. it
gegen Alcyonc zwischen den Temperaturen — 1 "'ö und 74** F. oder — 18° und -4- 23° C eigeben bat. Demnach ist der Ausdruck für die Verwandlung der
Schranbenumdrehungen in Kreisbogen 7^^^ -5(p-(,iiuuü.^7765 "
Indessen druckt schon Bessei über die Richtigkeit des hier angewandten Temperatur-Coefficicnten einen Zwcitel aus, indem er über das bei sehr niedrigen Temperaturen entstehende Zittern der Sternbilder klagt und das Ver- härten des Odes an den Schrauben beHlrchtet. Beobachtungen von Schlüter allein, bei denen die sehr tiefen Temperaturen vermieden sind, ergeben für die Temperaturco^ffictenten anstatt des von Bbssbl angewandten, n&mlich rund 378 Einheiten der achten Decimale, einen solchen von 1243 Einheiten und spätere Untersuchungen von Avwers haben dafür 854 ergeben, welche Zahl wohl die zu- verlässigste und auch rückwärts f!tr die Beobachtungen zu Bessel's Zeit an- zuwenden hf Mit diesem Tetnperatur-Coefücienten berecitnet ist der berichtigte Schraubenwerth nach der Brcnnweiten-Bestiminunp /? — Ö2""894ö6. Es ist bei der Vergleichung neuerer Resultate aus Heliometer-Beobachtungen mit den BESSEi/schen mehrfach die Rede davon gewesen, ob es nicht zweckmässiger sei, anstatt des nur einmal aus physikalischen Experimenten hervorgehenden Schrauben* «etdies den auf Stembosbachtmigen in det Nähe der Flejaden beruhenden Werth ansunehmen, (verg). Schur, »Bestimmung der Masse des Planeten Jopiterc, i88s, und Elkdi, »Triangulation der Flejadenc New Häven 1887), jedoch hat sich keine Veranlassung ergeben, davon absuweichen. In den letzten Jahren hat J* FktANZ den Winkelwerth aus Beobarbtimgen der fUr die Venus- durchgangs-Eipeditionen und auch an den neueren Heliometern für diesen Zweck verwandten Sterne im grössten Kreise im Cygnus tind in der Hydra beobachtet, und es hat sich der Werth R = 52"-87567 ergeben, der von der BESSEL'schen Annahme nicht unerheblich abweicht, dagegen wieder ziemlich nahe einer Neu- berechnung älterer Bestimmungen kommt, nämhch
aus Schlüter's Plejadenbeobachtungcn 52 ' 00469 SchlÜtbr's Taurusbogen 52 '87584.
Diese Unterschiede swtschen den verschiedenen Bestimmungen des Schrauben- werthes des Königsberger Heliometers sind von grossem Interesse für diefenigen Astronomen, die sieh mit der Vergleichung dieser älteren Beobachtungen mit solchen an neueren Heliometern beschäftigen, aber man wird wohl bei dem von Bessel selbst angenommenen und von Auwbrs verbesserten Werthc, nämlich 5S"*89456 stehen bleiben müssen, weil man nicht wissen kann, ob die Brennweite eines Objectivs auf so lange Zeit constant bleibt und sich nicht durch allmählich eintretende kleine Veränderungen des Druckes, mit welchem das übjectiv in seiner Fassung gehalten wird, um Grössen, wie sie iuer in Frage kommen, verändern kann. Da die grösste am Königsberger Heliometer messbarc Distanz etwa ßO Umdrehungen beträgt, so bringt der Unterschied der Annahmen 52" 8?45ti nach Auwers und 53" '87567 nach Franz oder 0"'01889 im äussersten Falle den Unterschied von etwa 1" h«vor. Man wird daher bei Beobachtungen aus der älteren Zeit den BBSsiL'schen Werth mit der Verbesserung von Auwbrs anwenden und bei der gegenwärtigen und ferneren Benutsung den Schraubenwerth mit Franz aus Stem* beobachtungen bestimmen.
Es eittbrigt noch einige Worte über den Einiluss der Ocularstellung auf die Distanzmessungen zu sagen. Bessel hat das Ocular so gestellt, dass er von den zu beobachtenden Gegenständen deutliclie Bilder erhielt und die bei verschiedenen Temperaturen beobachteten Distanzmessungen mit Hilfe eines später von Auwsss
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Heliometer.
verbesserten Tcmpcratur-Coefficienten auf eineNornialtemperatur von 50**?. reducirt. Späterhin ist dann amOcular eine Scala ans;cbraclu, und dasselbe ist bei den auf den Venus-Expeditionen benutzten FkAUNHoFi-K schen und bei allen später constniirten grösseren RßPSOLD'scben Heliometern gesclielien. Es wird jet/,t von jedem einzelnen Beobachter bei möglichst verschiedenen Temperaturen das Ocular mit einem an dem Rohre angebrachten Triebwerke so eingeslellt, da» man von einem Gestirn, am Besten einem engen Doppelstern «in deutliches Bild erhält und dabei die Temperatur des Instrumentes an den Thermometern abgelesen; aus der Aui^leichung dieser Beobachtungen erhfllt man dann die dem Beobachter zukommende Ablesung für 0" und die Veränderung mit der Temperatur, und bei dem Gebrauche des Instrumentes hat man dann dem Ocularrohre die der Temperatur entsprerhende Stclhinf^ zu geben und darüber eine Bemerkung im Beobachtungsbuch zu machen Ist das Ocular für sich allein noch gegen das Ocularrohr beweghch, was bei einem Heliometer eißcnthch überflüssig ist, soweit man nicht etwa Fäden im Ocularko|)f genau sehen will, so hat man es bei diesen Untersuchungen und bei dun Beobachtungen selbst, natürlich fe^t in seine Fassung hineinzudrücken. Da man die richtige Ocularstellung schon in Folge der allmählichen Temperaturabnahme während eines Abends nicht völlig genau treffen wird» so wird immer ein kleiner Unterschied zwischen der be* rechneten und der abgelesenen Einstellung Übrig bleiben und die gemessene Distans dafür verbessert werden müssen. Der nächstliegende Gedanke ist nun der, die Abweichung der Ocularstellung durch die Brennweite zu dividircn und die gemessene Distanz mit diesem Quotienten zu multipliciren, um die Reduction der Distanzmcssung auf die normale Ocularstelhinsr zu erhalten.
Auf Veranlassung von Auwers sind jcdocii an den Expeditions-Heliometern und ausserdem auch an einigen der neueren Kkpsoi.d sehen Heliometer, an denen Beobachtungen zum Zwecke ihrer VerwcrUmng für die Reduction der Expeditions-Beobat htungen, z. B. Beobachtungen der Sterne im Cygnus- und Hydrakreise ausgeführt worden waren, besondere Untersuchungen darüber an- gestellt und grössere Stemabstände gemessen worden, wobei die Stellung des Oculars um kleine Quantitäten, z. B. 1 mm nach der einen und der anderen Seite von der der Temperatur und dem Beobachter entsprechenden Normal- stellung abwichen. Dabei hat sich nun herausgestellt, dass die Reductionen meistens ein wenig kleiner als nach der Rechnung sind. Einen Ueberblick darüber gewährt eine Zusammenstellung in dem grossen Werke: >Die Venus- diirr]i?ünge 1874 und 18S2. Bericht über die deutschen Beobachtungen. Im Au Krage der Commission für che Beobachtung des Venusdurchganges, heraus- gegeben von Aüwf.ks, ^■or.sit/.cIHler der Commission«, 5. Bd., pag, 172. Danach ist der Mittelwerth für die Expeditions-Heliamcter, sowie Uir die alteren Instrumente in Königsberg und Bonn nnd das neue Göttinger Heliometer etwa 0 95 des berechneten Werthes. Die Ursache dieser Abweichung ist noch nicht aufgeklärt, aber wenn man sich bemüht, dem Ocular möglichst genau die dem Auge und der Temperatur entsprechende Stellung zu geben, so wird eine kleine in dem Coefficietiten für einen Beobachter steckende Unsicherheit naheau verschwinden. Nimmt man ein Heliometer in Gebrauch, so wird man jedoch in erster Linie bemüht sein müssen, seine Normal Ocularstellung und die Veränderlichkeit mit der Temperatur zu bestimmen, und so lange man diese noch nicht kennt, womöglich an jedem Abende auf Doppelsterne zu focussircn.
Im Früheren ist schon kurz von der opii-schen Verbesserung die Rede ge- wesen, die die Distanzmessungen an den Heliometern mit ebener Objectivführung
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Heliometer.
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betrifit. Zur genauen Verfolgung dieser Frage dient die BisSBL'sche Original- abhandhing in den Astronom. UntersuchungeDj Bd. I» pag. 104, oder nach Engei>
mann's Ausgabe Bd. 2, pag. 14S, ferner in seiner Anwendung auf das Bonner Heliometer durch Winnecke ist auf die >Astvonom. Millheilunpen von der Kgl. Sternwarte zu Göttingen«. 4.' Tbl., pag. 198, enthaltend die Abhandlung von Schur über die Triangulation der Praesepe, hinzuweisen, und in B. zug auf die Expeditions-HeliomcLer auf A. Ai;wERS »Venusdurchgänge 1874 und 18821. 5. Bd., pag. 204. An dieser Stelle toU ^ne kuize Erläuterung dieser Angelegenheit ge- geben werden.
Stehen eine Objecdvhälfte und das bei den älteren Helionetem sesütch vefsdiiebbare Ocular in der Axe des Fernrohres und richtet man das Letztere auf dnen Stern, so werden die davon herkommenden Lichtstrahlen in axialer Richtung durch die beiden Linsen hindurchgehen, wenn der Stern in der Mitte des Gesichtsfeldes erscheint. Bringt man dagegen das von der anderen Objectiv- haitte entworfene Bild eines zweiten Sternes dahin, dass es mit dem Bilde des ersten Sternes zusammenfallt, so gehen die von ihm kommenden Lichtstrahlen in einer schiefen Richtung durch das Übjectiv entsprechend dem Winkel zwischen eleu beiden Sternen.
BfissEL bat nun auf Grund seiner Kenntniss der Krümmungsradien und der BrecbungsverhAltnisae der beiden Unsen berechnet, dass bei einer Neigung des Sttahlencylinders sur Ferarohraxe von 94' das von einem Punkte ausgebende Licht sieb Aber einen Raum von 1"*? und bei einer Neigung von 48' sich über
ausbreitet In Folge dieser Erscheinung ist an die an der Messvorrichlung abgelesene Distanz zweier Steine eine Verbesserung anzubringen, die im Ver- hältniss des Cubus der Distanz wächst und wobei eine Constante a zu ermitteln ist, welche man dadurch erhält, da.ss man eine Reihe von Abstandsmessungen zwischen zwei \'. cit entfernten Steinen ausführt und dabei dem Ocular mit Hilfe der an den alteren Heliometern angebrachten Bewegungsvorrichtung senkrecht zur optischen Axe eine Verschiebung in der Riclitung der Verbuidungslinie der beiden Sterne ertheilt. Diese Messungen werden dann unter sich Unterschiede zeigen, wckhe von dem schiefen Durchgänge der Uchtstrahlen durch die ObjectivhäUlen herrflhren, und dazu benutzt werden, um durch Redinung die an die Distans* messongen anzubringende Verbesserung zu ermitteln. Bei dein Königsberger Heliometer, bei dem die Messungen in der Weise angestellt werden, dass eine Objectivhälfte immer in der Axe des Rohres stehen bleibt und die andere Hälfte sieb bald auf der einen, bald auf der anderen Seite der Axe befindet, ist der grösste Werth der optischen Verbesserung nahe 1" und bei dem Bonner Heliometer etwas weniger. Bei den auf den deutschen Venusexpeditionen angewandten kleineren FRAUNiiOFF.R'schen Heliometern, bei denen nach der neuen Einrichtung das Ocular beständig in der Mitte stehen bleibt und die beiden Objectivhalflcn sich gleichzeitig nach entgegengesetzten Seiten bewegen, wo also die Bewegung jeder von ihnen auf die Hälfte reducirt wird, ist bei einer Distanz« menung von 3500" die optische Verbesserung nach den Untersuchungen von Aowns auf höchstens 0"*1 su veranschlagen.
Die Frage, wie bei den Alteren Heliometern auch ohne Untersuchung Ober die Gestalt der Sternbilder auf diesen Umstand Rflckmcht zu nehmen is^ hat AMBROlor an dem kleinen, auf den Auckland-Inseln und in Punta Arenas benutzten Heliometer der Göttinger Sternwarte dadurch beliandelt, dass er eine Reihe von 13 Slernpaaren zwischen 377" und 3100" Abstand, deren Oerter nach Meridian kreis-Beobachtungeo bekannt sind, gemessen hat. Der daraus folgende Ausdruck
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Hdiometer.
für die Berechnung einer Distanz von r Scalentheilen hat die Form A = 17""91129 / — 0"- 000000053 r 2. (>Mittheilungen von der Kgl. Sternwarte zu Göttingen. 3- l'hl. Triangulation der Plejadengruppe.«) Nach diesem Ausdiuck ist an die mit einem constanlen Scalenwerth berechnete Messung des Sonnendurchmessers noch eine Verbesserung von U"'06 und an die an der äusserten Grenze der Mess* barkeit liegenden Abstände von einem Grade etwa 0"*4 anzubringen. Wenn aber, wie es jebtt durchweg geschieh^ die Verwandlung der Distaaemessungen in Bogenmaass auf Messungen anderweitig bekannter Stemabstände beruht, ]so filllt eine etwaige Unsicherheit in der Be^mmung des CoCffidenten zum grössten Theil wieder weg.
Nach eingehender Besprechung der Abstandmessungen ist jetzt noch eines Umstnnde'; 7.u erwähnen, der die Messung der Positionswinkel betrifft. Dabei wird nämlich vorausgesetzt, dass der Positionskreis richtig am Instrument ange- bracht ist, so dass sicli für zwei in einem Stundenkreise liegende Sterne die Ablesung 0 oder 180 Grad ergeben würde; andernfalls sind die Messungen noch um den Indexfehler des Positionskreises zu verbessern. Zur Ermittelung dieser Correction brachte Bbssbl bald nördlich^ bald afldlieh vom Heliometer im Siwtt der Orehkuppel in der Höhe des in die Meridianebene und nahe borixontal gestellten Femrohres ein Collimatorfemrohr an, dessen Objectiv gegen das des Heliometers gerichtet war und in dessen Brennpunkt sich ein Fadenkreua befand. Bringt man nämlich die beiden Objectivhälften auseinander, SO wird man -vom Fadenkreuz des Collimators zwei getrennte Bilder erhalten, und stellt man den Spalt des Heliometerobjectivs vertical, so kann man es nach einer Reihe von feinen Prehiingen mit dem Positionswinkel und der Rectascensionsschraube dahin bringen, dass bei dem Auf- und Abbewegen des Heliometerfernrohres sein Fadenkreuz bald mit dem einen, bald mit dem anderen Bilde des Fadenkreuzes des Collimators zusamnienföllt, und bei dieser Stellung des Spalls musste die Ablesung am Position^reise entweder 0 oder 180 Grad sein und die Ab- weichung davon ist der Indexfehler des Positionskreises. In gleicher Weise kann man den Indexfehler auch bestimmen, wenn man den Spalt horisontal stellt und das Heliometer im Stundenwinkel hin* und herschwingt, nur ist in letzterem Falle noch auf die Aufstellungsfehler des Heliometers als Aequatoreal Rück- sicht au nehmen, die bei der vorausgehenden Meäiode nicht in Betracht kommen. Im Jahre 1833 machten C. A. F. Peters und Selander, die sich damals in Kcmigsberg aufhielten, die Bemerkung, dass sich Hlr den Indexfehler verschiedene VVerlhe ergaben, je nachdem sich bei der Emsteilung des Fernrohres auf den Collimator die Deklinationsaxe, an deren Ende das Fernrohr befestigt ist, zur Linken oder zur Rechten befand, oder wenn der Collimatur im Süden war, die Axe dem Fernrohr bei der täglichen Bewegung folgte oder voranging. Der Grund dieser Erscheinung liegt darin, dass das am Ende der Axe befestigte Femrohr durch die Wirkung der Schwere eine kleine Torsion erleidet, in Folge derer bei horisontal oder vertical gestelltem Objectivspalt die Ablesung des Positionskreises in der einen Lage etwas zu gross und in der anderen lAge ebenso viel zu klein ausfällt. Es ergiebt sich dann, wenn diese Drehungsconstante ermittelt ist, der Einfluss bei der Richtung des Fernrohres auf einen bestimmten Funkt des Himmels durch Multiplikation des horizontalen Maximalwerthes mit einem vom Stundenwinkel und der Deklination abhängenden Coefficienten.
Nachdem die Besprechung der Einrichtung des Königsberger Heliometers und der im Wesentlichen von Bessei. aufgestellten Beobachttmgsmethoden der Hauptsache nach erledigt ist, sind jetzt noch einige Worte den anderen Heho-
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H^omcter.
metern aus älterer Zeit zu widmen. Ein Heliometer, welches dem Kunigsberger in seinen wesentlichsten Theilen gleicht vind mit dem von Winnfckk und KRi f;p.H eine Iveilie von wichtigen Untersuchungen ausgeführt sind, iül das im Jahre 1840 von Merz in München hergestellte Heliometer der Bonner Sternwarte» woran Wdinecke Ende der fünfziger Jahre eine VermessuDg der Frfisepe aosfilhrte, die mit einer ähnlichen Untersuchung von Schur am Göttinger Heliometer im Jahre 1895 nachträglich herausgegeben isc Nahetu gleichzeitig mit dem Bonner Heliometer wurde ein anderes fttr die Sternwarte in Pulkowa gebaut. Eine Beschreibung davon nebst Zeichnung findet sich in W. Struve, »Description de lobservatoire astronomique central de Poulkovac, St. Petersburg 1845. Das Objectiv hat 7*4 Pariser Zoll Oeffnung und 123 Zoll Brennweite und übertrifft daher die Heliometer in Königsberg und Bonn, welche G Zoll Oeffnung und 95 Zoll, also nicht ganz 8 Fuss Brennweite haben. Bei der Beschreibung dieses wohl haupt- sächlich der starken Winterkälte wegen wenig benutzten Instrumentes stellte W. Struve einige Forderungen auf, die bei den neueren Instrumenten von Repsold aur Ausffihniog gekommen sind, nämlich die unveränderliche Stellung des Oculars in der Axe des Rohres, die Bewegung der beiden Objectivhälften symmetrisch nach entgegengesetsten Richtungen, Heiatellung des Rohres aus Metall anstatt Höh, Inte Verbindung des Objectivträgers mit dem Rohre, so dass sich nicht wie bisher der Objectivkopf allein gegen das feste Rohr dreht, sondern das ganae Fernrohr mit allem Zubehör, wodurch sich auch eine bequemere Ablesung des Positionskreises ermöglichen lässt, der sich dann nicht mehr am Objectivende des Fernrohres zu befinden braucht, sondern dem Ocularende naher gebracln werden kann, und ausserdem wünschte oTRüve noch ein Metalltlicrnio- meter im Innern des Rohres, welches vom Ocularende abgelesen werden kann.
Ein Heliometer, bei dessen Herstellung schon mehrere der von Bi-bäLL und Stkotk aufgestellten Forderungen berücksichtigt worden sind, befindet sich auf dem Radcliffe Observatory in Oxford und eine Beschreibung und Zeichnung dieses von A. Repsolo in Hambuig hergestellten Instrumentes ist in »Astronomical observations made at the Radcliffe Observatoiy, Oxford, in the year 1850«, Vol. XI, Oxford 1852. Das Objectiv von Merz & Söhne in München bat 7*5 inches = 7 2 Pariser Zoll Oeffnung und 10 ^ engl. = 10 0 Pariser Fuss Brennweite und die Objectivhälften bewegen sich auf Kreisflächen, deren Mittelpunkte mit dem Brennpunkte des Objectivs zusammenfallen. Jede Objectiv- halfte hat cme Bev/er^iinc: von 1^ Grad nach jeder Seite, so dass sie um 2} Grad von einander entieriit werden können. Die Bewegimg der Objectivhälften kann auf zweierlei Weise gemessen werden, nämlich entweder durch die Umdrehungen der Mikrometerschrauben, wie am Königsberger Heliometer oder an Scalen an der mneren Seite der Objecttvschieber, die durch glflhend gemachte Platin- dilbte beleuchtet und durch ein bis zum Ocularende gehendes Mikroskop ab» gelesen werden. Bei den Messungen wurde die letztere Einrichtung benutst und der Winkelwerth dnes Scalentheiles dadurch bestimmt, dass man das Heliometer mit vertical gestelltem Spalt auf einen CoUimator richtete und den Deklinations« kreis ablas, dann eine Objectivhälfte bis zu 260 Theilen der Scala verschob, das Fadenkreuz des Heliometers auf das des Coilimators einstellte und wieder den Deklinationskreis ablas. Auf diese Weise erhielt man einen Theil der auf Theilungslehler untersuchten Scala zu 29"'4. An den auf diese Weiüe gefundenen Scalenwerth wurde j -ifer noch eine kleine \'erbesscrung angebracht, die sich AUS der Vergleichung der Heliometerbeobachtungen zwischen Plejadensterneo und Sternen in der Nachbarschaft von 1830 Groombridge mit Meridianbeobachtungen
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Heliometer.
und Beobachtungen am Königsberjrer Heliometer ergab. Der Indexfehler des Poäitiunskreises wurde durch Messungen von Sfornpnnren bestimmt, deren gcr;en- seitige I.nge aus Beobachtungen am Königsberger Heliometer bekannt waren; dabei ergab sich die Drehungs-Constante zu 17 Minuten, also viel grösser als in Königsberg, wo sie nur etwa 2 Minuten betrug. Die Einstellungsweise der Sterne am Otforder Heliometer mr bei Johnson versdiiedeii von derjenigen, der sich Bessbl und alle übrigen Heliometerbeobaehter bedient haben; es worden dort nämlich die Bilder der Sterne in symmetrischen Stellimgen nebendnander- gebracht und die Scalen und der Positionskreis abgelesen, und we^n die Sterne imgleich hell waren, so blendete Johnson den helleren nicht durch ein Gitter, sondern in der Weise ab, dass nur ein kreisförmiger Ausschnitt der Objectivhälfte 7.m Geltung kam. Bei den Messungen blieb eine Objectivhälfte unveränderlich stehen und die andere wurde bald nach der einen und bald nach der anderen Seite bewegt. Johnson beobachtete vorzugsweise Sternparallaxen und Doppelsterne und Planetenclurchniesser, und nach seinem Tode war Main i86i bis 1870 mit Messungen von Düppelsternen beschäftigt, aber unter Stonk wurde das Helio- meter nur bis 188 1 als solches benuut.
In Deutschland begann sich zu Anfang der siebziger Jahre wieder dne neue Epoche der Beschäftigung mit dem Heliometer anzubahnen, indem die flir die Beobachtung der Venusdurchgänge von 1874 und i8$s eingesetste Reicha- comroission den Beschluss fasste, dasu Heliometer su verwenden, und su diesem Zwecke wurden die schon erwähnten pRAUNHOFER'schen Heliometer der Stern- warten in Berlin, Breslau, Gotha und Göttingen durdi A. Repsoid & Söhne in Hamburg mit verschiedenen neuen Einrichtungen versehen. Die älteren Holz- rohre wurden durch eiserne erse';^ die Srellung der Objectivschieber wurden nicht mehr an den Schraubentrommein, sondern an zwei silbernen Scalen mit Hilfe eines Mikroskops vom Objectivende abgelesen, und die Objectivschieber wmdcn SO eingerichtet, dass sie sich gleichzeitig in entgegengeset acn Richtungen be- wegten. Die Oculare, wenn auch die ältere Einrichtung ^ur sdtlichen Ver- schiebung zum Zwecke von Beobachtungen fttr die optische Verbesserung noch beibehalten war» worden ftlr die Beobachtungen «elbst stets in die Axe des Fem^ rohres gebracht^ am Ocularrohr wurden femer Scalen angebracht, und die kunen für die Aufstellung auf einen Tisch eingerichteten Säulen mit Dreifuss wurden durch lange eiserne Säulen und starkem Dreifoss zur Aufstellung in Fussboden- höhe ersetzt. Audi mit diesen Instrumenten wurden vor den Expeditionen in Strassburg Beobachtungen zur Bestimmung der Brennweite nach der BESSEi/schen Methode angestellt, aber zur Reduction der Distanzmessungen wurden ausschliess- lich die Resultate der Messungen von Sternen im Bogen grössten Kreises benutzt, deren Üerter durch Meridianbeobachtungen auf einer grossen Zahl von Stern- warten festgelegt waren. Die Resultate aller Beobachtungen an diesen Instru- menten von einer grossen Anzahl von Astronomen, sowohl auf den Venuadurch* gangs-Stationen selbst als auch sur Vorberdtung auf diese Erschdnungen und tut nachträglichen Untersuchung, sind in dem schon erwähnten fttnfbändigen Werke enthalten, welches Auwers im Namen der Reichscommisdon verfasst hat, und welches als dne der bedeutendsten literarischen Erscheinungen auf dem Gebiete der Astronomie zu betrachten ist. Die in diesem Werke niedergelegten Vorschriften und Methoden liaben auch vielfach sur Richtschnur bei der An- wendung der neueren grösseren Heliometer gedient.
Wahrend also die deutschen Expeditionen sich älterer Instrumente bedienten, wurden für andere Nationen durch Repsold's Reiseinstruroente dieser Art von
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Tafel I.
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HcHometcr.
neuerer Einrichtung hergestellt, darunter zwei Heliometer auf Bestellung der russischen Regierung, von denen jetzt eins in Dorpat und eins in Kasan auf- gestellt ist, von deren Leistungen für die Expeditionen aber 1)is jetzt noch nichts bekannt geworden ist, abgesehen davon, dass später Backlünd und nach ihm HARTvvtG das Heliometer in Dorpat fleissig benutzt haben.
Ein von Oi;demams zur Beobachtung des Venusdurchganges 1874 benutztes Instnimeot dieser Act beBndet sich auf der Sternwarte in Leiden, und ein Helio- meter von 107 MM Oethung und 1*63 m Focallänge ist im Jahre 1873 für Lord LiNDSAY hergestellt worden, welches von Gill auf MAUBrrius 2ur Beobachtung des Venusdorchganges, cur Bestimmung der Sonnenparallaxe aus Beobachtungen der Juno und später zu demselben Zwecke su Beobachtungen des Planeten Mars auf der Insel Ascension benutzt worden ist, und schliesslich durch Gill und Elkik in der Capstadt zur Bestimmung von Fixsternparallaxen Verwendung gefunden hat. Eine Besciueibung dieses früher dem Lord LiMDSAY gehörenden Heliometers findet man in iDun Echt Observations«, Vol. 2.
Der närliste Schritt war dann die Lieferung eines Heliometers neuester Con- struction durch Repsolds an die Sternwarte der Yale Univcrsity in Newhaven in Nordamerika, welches von Elkin in den »Transactionsc dieser Sternwarte Bd. i beschrieben und zunächst auf eine Triangulation der Plejaden angewandt worden IsL Das Objectiv hat 151 mm Oeflnung und 3*5 m Brennweite. Noch etwas grössere Instrumente dieser Art sind Ende der achtziger Jahre fUr die Sternwarten in Leipagp Capstad^ Göttmgen» Bamberg und neuerdings flir die von KuFimcR'sche Sternwarte in Wien von Repsolds hergestellt worden. Da von dem Göttinger Heliometer eine grössere Untersuchung vorliegt (»Astronomische Mittheilungen von der Kgl. Sternwarte 7\\ Göttingenc, vierter Theil), so soll als Beispiel für die .\rr und Weise, wie Instrumente dieser Art jet^t lienutzt werden, und welche Resultate sie liefern, eine niihere Beschreibung dieses Instrumentes im Vergleich zu den äitcren Kinrirhtungen hier gegeben werden.
Das neue REpsüLD'sche Heliometer der Göttinger Sternwarle hat ein Objectiv von 6 Pariser Zoll oder 162 mm Oefibung und 2*6 m Brennweite von Rbinfeldir & Hbrtsl in Mttnchen. Eine Abbildung des ganzen Instrumentes und etnselner Theile (S. die hier beigefllgten Gopten), sowie eine ausführliche Beschreib bung und Darstellung aller Untersuchungen findet sich an soeben genannter Stelle, wo sich zugleich eine Abhandlung Uber die Oerter der Prttsepesteme von Schur befindet Die Bewegung der Objectivschlitten geht w ie bei allen neuen Heliometern auf einer Cylinderfläche mit der Brennweite als Radius vor sich, und die auf der Rückseite der Scliieber befindh'chen Scalen werden durch ein neben dem Ocular endigendes Fernrol r ab!je1e?en. fede der beiden Objectivscalen ist in 200 Thle. ge- theilt, und um Verwechse!urii:en zu \ t-rni ; lüen, geht auf Scala I die Bezeichnung von 0 bis 200 und auf Scala II von 200 bib 400; die Ablesung der Stellung der Scalen geschieht m Gutüngen derart, dass zuerst durch Verschiebung des ganzen Ablese- mikrometers mit Hilfe einer Schraube ohne Trommel ein Fadenpaar auf einen TheQstrich der Scala I und darauf mit Htlfe einer mit Trommel versehenen llikrometarschraube ein anderes Fadenpaar auf einen benachbarten Strich der Scala n gebracht wird. Die Stellung der Trommel kann wohl abgelesen werden, aber dies geschieht nicht, sondern es sind die Unterabtheilungen und die Be> zifferung der eiiuelnen Hundertel erhaben aufgetragen, und daneben befindet sich eine bewegliche Bezifferung der ganzen Umdrehungen, und mit Hilfe einer Druckvorrichtung werden die f^^anzen und die hundertel Umdrehungen in einen vorüber gezogenen Papierstieifen abgedruckt, und nachträglich, 2. B. am folgen-
VALMnutUM, AatVOMOM«, iL S
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Hcffiomclcv«
den T.iRe, werden dann nach dem Augenmaass noch die tausendtpl Umdrehungen abgelesen. Ua bei einer Distanzmessung vier einzelne F nv teliungen gemacht werden, nämlich je zwei vor und nach dem Durchschrauljcri der Ohjectivhälften, so wird bei der vierten Einstellung der Abdruck noch /.weimal wiederholt, um mit Leichtigkeit die Einstellungen für die folgende Oistanzniessung unterscheiden zu kdnneii. Die Beatimmong der periodischen Fehler einer Mikrometerschnittbe nach den BissBL'schen Vorschriften ist bekanntlich insofern etwas umständlich, als man bei jedem Eingriff in den Mechanismus des Mikrometers auf eine Aen- derung gefasst sein muss; es ist deshalb dem Mikrometer die bekannte Einrichtung gegeben, dass zwei Fadenpaare zur Ablesung der Scala II verwandt werden, deren gegenseitiger Abstand ein ungrades Vielfache einer halben Schrauben- umdrehung beträgt, so dass bei abwechselnder Benutzung der beiden Paare die Hauptglieder des Ausdruckes für die periodischen Fehler sofort eüniinirt werden. Die Ablesung des Positionskreises, der bei den neuen Heliometern nicht mehr am Ohjectivende, sondern mitten auf dem Femrohr, nahezu in der Verlängerung der Deklinationsaxe angebracht ist, geschieht mii Hille zweier um 180° abstellen- der Mikroskope, die an einem das bewegliche Fernrohr umschliessenden und an der Deklinationsaze befestigten eisernen Cylinder angebracht sind, und deren Trommeln den Raum von 10 Minuten in 60 Theile theilen, so dass man 10 Se- cunden dh«kt ablesen und einzelne Secunden schätzen kann.
Zur Ablesung des Positionskreises wird nur eine Hälfte des Gesichtsfeldes der beiden Mikroskope verwandt, und in der anderen Hälfte erblickt man durch ein die Hälfte des Rohres einnehmendes Prisma hindurch ein Bild des Dekli- nationskreises, der ebenso wie der Positionskreis eingerichtet ist, und um Ver- wechselungen zu vermeiden, sind beide Kreise durch verschiedenartige Dia- phragmen im Brenni)unkt des Ablesefernrolnes bezeichnet. Zur Drehung des ganzen Rohres in Positionswinkel dienen drei verscliiedene Triebe, mit welchen man den Uebergong von sehr schneller Bewegung bis zur (einsten Mikrometer- bewegung machen kann. Um Sterne von verschiedener Helligkeit neben einander einstellen zu können, ist vor dem Objectiv senkrecht zur Axe ein in sieben See* toren eingetheiltes Blendrad angebracht und drei dieser Sectoren sind mit Draht- gittern von verschMdener Dichte ausgefllUt, so dass man nach Bedflrfeiss eine der Objectivhälften damit bedecken und einen Stern um 1*4, 2*2 oder 2*5 Grössen* Massen abblenden kann, und mit Hilfe von zwei dichten Zusatzgittem kann man einen Stern erster Grösse als von achter Grösse erscheinen lassen, ohne den Eindruck des Bildes zu stören, und wenn bei sehr hellen Objecten , z. B. dem Planeten Jupiter, Beugungserscheinungen auftreten, so bcfinden.sie sich in solcher Entfernung, dass bei der Messung keine Störung entsteht.
Die Temperatur des Heliometers wird durch zwei Thermometer bestimmt, von denen sich eines im Objectivkasten und das andere am Ocularende in einer Kapsel befindet, so dass die Erwärmung durch die Nähe des Beobachtm stark abgeschwächt wird. Ein Metalltherroometer neben dem Ohjectivende sollte im Ablesefemrohr iUr die Objectivscalen sichtbar sein, aber duich die Erschütterungen auf der Reise von Hamboig nach Göttingen war diese Einrichtung in Unordnung gerathen und es gelang auch nich^ es ohne Störung lür die Objectivscalen sicht- bar zu machen, als die Messungen am Instrument schon im vollen Gange waren. Es ist deshalb auf den Gebrauch verzichtet worden, da man durch die beiden Qutcksilbetthcrmomcter dip Temperatur des Instrumentes genügend kennen lernt.
Bei den Messungen mit einem Heliometer wird vorausgesetzt, dnss bei zu- sammengeschraubtem Objectiv die beiden Bilder eines Sternes sich völlig decken,
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Heliometer.
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dass also keine seitiiche Venchiebang der Objectivhälften senlciecht cum Spalt vorbanden ist, weil man sonst keine engen Doppelsteme messen kann und aucb bei grösseren Abständen nur eine Projection davon zu Stande kommt. Um die
Mittelpunkte möglichst nahe zusammenzubringen, lässt sich eine der Objectiv* hälften durch Correctionsschrauben parallel mit der Spaltriclitung verschieben, aber auch nach erfolgter Corrcction kann sich im Laufe der Zeit wieder ein kleiner Abstand einstellen und dieser Icann sogar sofort auftreten , wenn man in . Positionswinkel bewegt. Bei Messungen von Doppelsternen geben die Ablesungen des Positionskreises vor und nach dem Durchschrauben immer ein Mittel, die Abstandsmessungen für diesen Fehler zu verbessern, misst man dagegen Durch- messer von Planetenscheiben, und sucht die Abweichung der Objectivhälften durcb Messungen an einem vielleicht weiter abstehenden Doppelstem mit wesent- lich anderem Positionswinkel zu bestimmen, so sind die daraus erhaltenen Resul- tate auf die Messung der Planetenschetbe nicht anwendbar. • Bedient man sich dagegen eines doppeltbrechenden Ocularprismas, welches einen einfachen Stein m einen Doppelstem verwandelt, und am Heliometer vier Bilder von einem Stern hervorbringt, so kann man die Abweichung der beiden Objectivmittelpunkte mit Hilfe eines am Ocularende angebrachten Positionskreises ermitteln, und in Götiingen wird dazu der kleine, eigentlich flir die Oculareinstellung bestimmte Kreis benutzt.
Zur Untersuchung der Theilungsfehler der Objectivscalen dient ein Mikroskop in der Nähe der Scalen und parallel dazu, und ein an seinem Objectivende an- gebrachtes reflcktirendes Prisma lenkt das Bild der Scalen um 90° ab, so dass sie im Ocular des Mikiu^kops sichtbar werden. Mit Hilfe eines groben Trieb- werkes lässt sich dem Mikroskop eine Bewegung in einer Längsrichtung geben, so dass es über die verschiedenen Theilstriche geführt werden kann.
Die Beleuchtung der Scalen, Kreise und Mikrometertrommeln geschieht durch acht Üiuhlampen, die ihr Licht von vier Accumulatorcn erhalten.
Sowohl für die Bestimmung des Indexfehlers des Positionskreises, als auch zur Prüfung der Abhängigkeit der Brennweite des Heliometers von der Tempe- ratur und zur Herstellung von künstlichen Doppelstemen und Planetenscheiben, befindet sich in einem Aufbau des neben dem HeKometerthurme stehenden Treppenhauses ein horizontales Collimatorfemrohr von 1'3 m Focallänge. Diese Einrichtung ist in den ersten Jahren benutat, aber aus nachfolgenden Gründen spAter aufgegeben worden:
1) Der Indexfehler des Positionskreises wird mit Hilfe eines CoUimators nur in einer Lage des Femrohres, nämlich ausschliesslich im Horiaont bestimmt; da nun die Ableitung des Scalenwerthes Ittr die Objectivscalen schon auf Stembeob-
achtungen beruht, die an Meridiankreisen gemacht sind, so ist es consequenter, dasselbe auch in Bezug auf die Positionswinkel zu thun. 2) Die Prüfung der Abhängigkeit der Brennweite des Objectivs von der Temperatur geschieht viel genauer durch Einstellungen auf einen Doppelstern und nach den Erfahrungen in Göttingen am Tage durch Einstellung auf das Bild des stets sichtbaren Polar- sternes, als durch einen Collimator, der wohl meistens eine kürzere Brennweite als das Heliometer iiaben wird und dessen Focallänge, wenn auch bei geschtititer Aufstellung in geringerem Maasse, von der Temperatur abhängig ist 3) Unter- suchungen Uber den fönfluss des Positionswinkels auf Messungen von Doppel- stemen und Flaneiendurchmesser lassen sich viel einfacher mit Anwendung des Oculaiprisma ausfuhren, und Untersuchungen Aber die absoluten Fehler von
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Heliometer.
DarchmesserbestimmuQgen erhält man mit eioem solchen Collimator auch nur in ungenügender Weise.
Die vorhin schon erwähnte Untersuchung der Theihingsfchler der Objectiv- scalen hat in folgender Weise stattgefunden. Die Beweglichkeit des Unter- suchungsmikroskops geht nicht so weit, dass man die ganzen Längen beider Scalen unmittelbar mit einander vergleichen kanoj auch ist nicht die ganze Länge von 200 Theüen auf jeder Scala zu untersuchen, sondern nur eine Lfinge von 180 Theilen kommt bei den grössten Ausweichungen der Objectivhjllften zur Geltung, und femer bildeten, so lange nodi die Ablesung des Metallthermometers in Frage kam, nicht die Striche 100 und 900 die sichtbaren Mitten der beiden Scalen bei zusammengeschraubten Hälften, sondern 104 und 304, weshalb sich die Untersuchung auf den Raum 14 bis 194 auf Scala I und 214 bis 394 auf Srala IT ru erstrecken hat. Es wurden nun zunächst die Ix iden Hälften einer Scala mit Hilfe einer Hälfte der anderen Scala miteinander vcrgii( hen, wodurch die Fehler des Striclies 104 gegen die Mitte von 14 und 11)4, und '604 gegen die Mitte von 214 und 394 bekannt wurde. Nachdem auf diese Weise beide Scalen halbirt waren, wurden in verschiedener Weise Räume von 30 Theilen einer Scala mit den aufeinanderfolgenden Räumen der anderen Scala verglichen, wodurch die Theilungsfehler der Striche 44, 74, 104 ... . 134, 164 auf Scala 1 und 344, 374 . . . 884, 864 auf Scala II bekannt wurden, indem man die Fehler der vier Endstrtche 14, 194, 314, 894 als Null annehmen konnte. Durch eine zweite Dreitheilung , nämlich durch Abtragen des Raumes zwischen 10 Theilstrichen, wurden dann die Fehler von 24, 34, 54, 64 u. s. w. bekannt, dann durch eine Reihe von Fünftheilnngen die Fehler aller mit i;r;iden Zahlen bezeichneten Striche, und schliesslich durch Halbirung dieser Käu nie ercabeti sich die Theilungsfehler auch für alle einzelnen Striche. Diese L'ntersncluinf^ wurde in den Sommermonaten von i8So und iSqo von Sem r und Ambkonn ausgeführt, und jeder von ihnen hat darauf an 9ü Tagen je eine Stunde verwandt, im Ganzen hat also die Untersuchung von der Berechnung abgesehen, 180 Stunden in Anspruch genommen. Ohne auf Einzelheiten einzugehen , hat die Rechnung gezeigt, dass durch Vernachlässigung der Theilungsfehler eine Distanzmessung uro 0"*3 unrichtig werden kann, während die Unsicherheit der Messung des Ab* Standes zweier um 4000 Secunden von einander entfernter Sterne etwa 0"*17 beträgt und durch Wiederholung natürlich erlieblich geringer wird.
Am Posiüonskreise sind Untersuchungen über Theilungsfehler nicht angestellt, da nur 7\\c\ nicht verschiebbnre Mikroskope vorhanden ^infi. Da aber dieser Kreis von RusoLD auf derscllK-n Theilmascluno getliLili ist, wie der Kreis am Meridianintrunient der Strassluirger Sternwarte, bei dem nach den Uiitersu( hunc^en von Schur der Fehler eines Durchmesseis nur ausnahmsweise eine Secunde l)e- trägt, so werden wohl auch bei dem Göttinger Heliometer nur ausnahmsweise Fehler entstehen können, die bei Messungen zwischen um 2" voneinander ent- fernten Sternen den Betrag von 0"'08 im Bogen grössten Kreises erreichen; auch zeigt es sich bei den Messungen, dass die zufälligen Beobachtungsfehler den möglichen Betrag der Theilungsfehler bei Weitem Überragen.
Die Abhängigkeit der Ocularstellung von der Temperatur des Instrumentes ist durch häufiges Einstellen auf Doppelsterne bei Nacht und auf den Polarstern vor Beginn von Sonnenbeobachtungen bestinunt worden. Aus Gründen, welche hier nicht nalier auseinanderf^eset/t werden können, wird die Temperatur des Instrumentes aus den berichliglea Angaben des Objectivthermometers 0 und des pcularthermometers <? durch den Ausdruck / = C? -+- ^ (</ — (?) berechnet, und
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Hdioinetef.
II
fttr die jetzigen beiden Beobodhter haben die Ablesungen der in Millimeter getheilten Oculaiscala bei venchiedenen Temperaturen ergeben:
Schur N= 2M8 -+- 0 019 t° Celsius
Ambromn 21*40 + 0 025,
also nicht nur fOr den Eispunkt swei um \ mm verschiedene Zahlen, entsprechend der ungleichen deutlichen Sehweite, s(»ideni auch etwas verschiedene Werthe der Temperatu^Coe^ficienten aus Untersuchungen awischen + 23 und — 1%'* Celsius.
Von der Reduction der Distansmessnngen auf die normale Stellung des
Auges ist schon früher die Rede gewesen; dieselbe beträgt fUr Schur 0*96 und für Ambrosn 0*90 des aus der Rechnung folgenden Werthes. Zur Bestimmung
der Abhängigkeit der Distanzmessungen von der Temperatur des Instrumentes sind vorzugsweise die AliKtSrdc z'^vischen z^^ci tinweit des Pols gelegenen Storren im Winter und Sommer gemessen worden. Der Ort des Mittelpunktes zwischen den beiden Sternen, der Positionswinkel und die Länge der Verbindungslinie sind lur 1900
«—12*1- 8- + 86* 18* / — 82*64' und 1-6780",
der Abstand ist also nur um einige Minuten kleiner als die grösste am Helio- meter mesbbarc Distanz von 2°.
Aus zahlreichen Messungen zwischen -f- 27 und — 17° C. hat sich ergeben, dass eine Distanz von 100 Scalentheilen oder 4000 Secunden bei einer Tempe- xaturänderung von einem Grad Celsius verschieden gemessen wird,
von Schur um 0*00079 Skalentheile oder 0"'033 „ AiiBRONir tt 0*00091 „ „ 0"*036.
Auch hier zeigt sich wieder eine durch die Einzelwerthe viel su sehr be- gründete Verschiedenheit, um mit einem Mittelwerthe rechnen zu dürfen.
Vereinigt man die Einwirkung der Ocularstellung und der Temperatur auf die Grösse der Distanzmessungen mit ihrem richtigen Zeichen« SO zeigt sich, dass sie sich, wenn auch einzeln nicht unbedeutend, in der Gesammtwirkung nahezu
compensiren. Bei der augenblicklichen Kenntnis der Zahlenwerthe stellt sich lieraus, dass bei den grösstcn am Heliometer messbaren Distanzen und Tempe- raturextremen von 40'^' C. nur folgende Acnderungen hervorgebraclit werden, bei Sein K — 0"'25, bei Ambronn — 0"-14, so dass die vollständig reducirten Messungen eigentlich von der Temperatur so gut wie unabhängig sind, umsomehr als auch die Bestimmung der Scaknwerthe auf Messungen bei verschiedenen Temperaturen beruhen.
Zur Bestimmung des Scalenwerthes sind in Göttingen keine Experimente wie frulier m Königsberg vorgenommen worden, deren durchaus nothwendige Wieder- holung bei verschiedenen Temperaturen die sehr störende Abnahme des schweren Fernrohres erfordert haben würde, sondern wie schon bemerkt, beruht der Scalenwerth wie bei den Heliometern der Venusexpeditionen auf Beobachtungen einer Reihe aufeinanderfolgender Sterne, deren Oerter durch sahhreiche Meridian- beobachtungen auf Veranlassung von Auweks festgelegt sind. Diese Beobacb- tungen haben folgende Resultate für den Scalenwerth bei 0** C. ergeben.
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Cygnuskreis
Hydrakreis
Polbogen
Gill's Standard stars für Victoru .
SCHUK
40" Ü1601
40"01915
Ambkonn
0150$ 01486 01750
01610 01599 01710
und die einfachen Mitteliverthe sind . 40" 01586 40" 01710.
Der zwischen beiden Beobachtern auch hier bestehende Unterschied hat auf die grössten am Heliometer messbaren Abstände von einen Einfluss von nur 0"'S1. Da sich schon bei den anderen Constantenbestimmungen zwischen beiden Beobachtern Unterschiede von olTenbar individueller Natur gezeigt haben, so rechnet auch jeder mit dem von ihm bestimmten, durch spätere Beobachtungen noch weiter zu bestätigenden Scalenwerth, und nur die Tabelle für die TbeilungS' fehler der Objectivscalen ist bis jetzt gemeinschaftlich benutzt worden.
Wie für die Distanzen, so sind auch Ittr die Posidonswinkel Untersuchungen über die innere Uebereinstimmung angestellt und werden die Ergebnisse für letztere «Ulf den grössten Kreis reducirt, so bat man zur Vergleichung für einen Bogen von 4000 Secuoden
Die Fehler verhalten »ch nahe wie 1 zu S und das Gewicht einer Distanz- messung ist daher viermal so gross als das einer PositionswinkeUMessung. Wenn
man also eine grössere Zahl von Sternen miteinander durch Messungen verbinden will, so ist es für die Bestimmung der g^enseitigen Lage am zweckroissigsten,
ein Dreiecksnetz libcr die Gruppe zu lejjen und darin die Seitenlinien zu messen und ausserdem die Orientiruiie der Gn-| pc durch Messung einiger möglichst langen l^inien am Fositionskreise auszutuhreu.
Nachdem nun bei den neuen Heliometern, gegenüber der früheren geradlinigen Bewepimp:, den Objectivhälften eine Kreisbewegung mit der Brennweite als Radius gegeben ist, hätte man erwarten sollen, dass die an diesen Instrumenten erlialtenen Distan/nicssungen zwisciicn zwei Sternen vollständig einwandsfrei seien, dass also der Abstand zwischen zwei Sternen einlach durch Multiplikation der an den Scalen bestimmten Objectivbewegungen und eines constanlen Scalcn- werthes erhalten werde» und zwar ist man zu dieser Amuihme deshalb berechtigt, weil Focussirungen auf enge Doppelsteme bei zusammengeschraubten sowohl wie bei möglichst weit von einander getrennten Objectivhäliten in der Ocular- stellung keinerlei Unterschiede zeigten, die Bewegung der Schieber also als voll* kommen kreisförmig zu betrachten ist
Nichts desto weniger zeigte sich bei der Ausgleichuqg der am Göttinger Heliometer angestellten Distanzmessungen in der Fraesepe (siehe »Astronom. Mitthlg., vierler TheiU), dass die aus den Messungen einer grossen Zahl von kleinen Dreiecksseiten hervorgehenden Entfernungen zwischen vier an den Grenzen der Gruppe liegenden Sternen weder mit den Meridianbeobachtungen noch mit den darauf angestellten Heliometermessungen zwischen denselben über- einstimmten. Nahezu gleichzeitig machte auch Gill (Astr. Xarhr , Rd. t ^o, pag. 163 und 188) darauf aufmerksam, dass sich bei Cielegcnheit der Bestimmung der SonnenparaUaxe aus Beobachtungen des Planeten Victoria im Jahre 1889 bei der Vergleichung der an den Helionictern in Capstadt, Newhaven und Göttmgen erhaltenen Distanzmessungen im Vergleich mit den Resultaten von Beobachtungen
den wahrscheinlichen Fehler emer Distanzmessung =b 0"-176 „ ,» „ eines Positionswinkels :^0"'359.
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an zahlreichen Meridiankreisen Unterschiede herausgestellt haben, über die er folgende Uebersicht giebt:
|
Mittlerer |
L.ap«!tnat |
Neunavcn |
Göttingen |
|||
|
Abstana |
Gill |
FiNLAY |
Jacoby |
Chajsk |
SCHUA |
Ambronn |
|
1000" |
+ 0h(» |
+ (Al7 |
+ CP18 |
+ 0*14 |
-h0'20 |
+ 0-U |
|
2000 |
4-0-01 |
000 |
4-013 |
4-0-08 |
+0'08 |
4- OOS |
|
3O00 |
-f-OOl |
— 0-0» |
4-013 |
4-008 |
4-009 |
— Oll |
|
4000 |
4- 0 01 |
000 |
000 |
— 001 |
— 0-08 |
— 011 |
|
ÖÜOO |
-0-06 |
— 005 |
— 015 |
— 010 |
— 001 |
— Olö |
|
6000 |
—im |
— 013 |
— 0-21 |
— O'IO |
— 012 |
-0-22 |
|
7000 |
0-00 |
— 0-18 |
— O-l« |
— (M» |
— (MW |
— O*«! |
Aul noch grössere Correctionen dieser Art ist Elkfn bei der Trianp;ulation zwischen Polsternen gekommen, wo sie bei 634 Secunden Abstand ein Maxitnum von 4* 0^*50 erreichen.
Gill glaubte diese Eigenthflmlichkeiten, die besonders die Distanzen von etwa 1000 Secunden betreffen, dadurch erklären su können, dass man sich bei den neueren Heliometern bei der Beurlheilung des Durchetnanderschwtngens der
Sternbilder nach einem im Gesichtsfelde des Femrohres befindlichen Quadrat aus MetaUläden richte; da aber diese Art der Messung am Göttinger Heliometer gänzlich ungebräuchlich ist, indem man sich dort des Quadrats nur vorüber- gehend bedient, um bei sehr genauen Pn-^nionswinkelmesstingen die Milte des Gesichtsfeldes zu bezeichnen und es dann wieder bei Seite schiebt, bei den Distanzmessungen aber in der Weise verfahren wird, dass mit Hilfe des Prismas am Ocular das Durcnschwingen der Sternbilder nacn dem Augenmaass in genau verticaler Richtung vor sich geht, so ist die GiLLsche Erklärungsweise auf die Götcinger Beobachtungen nicht anwendbar. (Siehe Schur, Astr. Nachr., Bd. iji, pag. 381). In Güttingen ist deshalb eine grössere Reihe von Versuchen an> gestellt^ die auch in Zukunft noch weiter fortgesetst werden, zwi^ben einer Reihe von Sternen in der Praesepe und m der Vulpecula, die nahezu in einer geraden Linie erscheinen und deren Abstände durch Rechnung mit den aus Meridian* beobachtungen folgenden Oertern auf den die beiden äussersten Sterne ver-- bindenden grösstcn Kreis reducirt werden können, alle möglichen Abstände zu messen, um auf empirischem Wege die Gestalt einer Curve zu bestimmen, welche die an die Distanzmessungen anzubringenden Verbesserungen ergiebt. (Siehe Astr. Nachr., Bd. 134, pag. 65 und Astr. Mitthlg. Göttingeti. Vierter Theil, pag. 153.) Danach wachsen diese Correctionen für Distanzen von 0 bis 1600 Se- cunden schnell bis zu einem Maximum von 4- 0"'27 an und verschwinden dann wieder fOi grössere Distanzen. Es wird dort femer gezeigt, dass diese Correctionen viel zu gross rind, um durch Constructionsfehler des Heliometers erklärt zu werden. Diese Correctionen sind also in ihrem Verhalten einigermaassen be- kannt, aber die Ursache liegt noch nicht klar vor Augen, jedoch ist zu hoffen, dass die Fortsetzung der darauf gerichteten Untersuchungen über diesen höchst wichtigen Umstand noch die nöthigen Aufklärungen geben wird, so dass man den Betrag nicht nur auf empirischem Wege ermitteln kann, sondern der Grund, sei es in der Constructions weise des Instrumentes, sei es durch Einwirkungen physiologischer Natur, klar vor Augtr. ii 'gt.
Bei der Behandlung der lVa.sci)e'ucubachtungen ist auf Grund des empirisch bestimmten Verlaufs der Correctionen eine Ucbereinstimmung mit den Heliometer- messungen des erwähnten grossen Vierecks erzielt worden, die durch fortgesetzte
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Hdiomelier.
Untersuchungen Uber diesen Gegenstand vermuthlich nicht erheblich abgeändert werden wird.
Es erübrigt nun noch, in Kürze darzustellen, wie die Messungen von Positions- wiukehi am Heliometer von den Instrumentalfehlem zu befreien sind und zu diesem Zwedce soll der Gang angedeutet werden, wie nmch den Vorschriften von Bbssxl so verfahren ist Ausser Brsssl's Schriften sind übrigens f&r die Theorie des Heliometers noch su erwfthnen:
P. A. Hansen, Ausführliche Methode mit dem FnAinmoFER'schen Heliometer Beobachtungen anzustellen u. s. w. Goüia 1827.
H. Seeugbr, Theorie des Heliometers. Leipzig 1877.
H. Battermann. Untersuchungen übet die Gestalt der Bilder u. s. w. Astr. Nachr. Bd. lao.
Es seien
t und $ berechnete Werthe des Stundenwinkels und der Deklination eines
Sternes mit Kinschluss der Refraction, T und D die an den Kreisen abgelesenen Werthe von Stundenwinkel und
Deklination,
X und^ die Abweichung des Pols des Instrumentes (der Richtung der Stunden- axe) vom Htmmelspole und swar x in der Jticbtung des Meridians gezihl^ Y Indezfehler des Stundenkreises,
C Collimarionsfehler des Femrohres bezogen auf das Ende derDeklinadonsaxe, f die Neigung der Deklinationsaxe gegen die Stundenaxe bezogen auf
das Ende der Dcklinationsaxe, p die horizontale Biegung des Femrohres,
a die Biegung der Dcklinationsaxe,
6 Indexfchler des Positionskreises,
{A Drehungs-Constante bei demselben,
7 die geographische Breite des Beobachtungsortes,
dann hat man auf? den Beobachtungen von Sternen verschiedener Deklination zur Bestimmung von x und y die Gleichungen
/ — IbT— löT -h (pcsmi— -yfosf) tätigt und wenn T/ und T9 die auf das Mittel der Uhrzetten bezogenen Ablesungen des Stundenkreises bei Aze folgend und Axe vorangehend sind und man die Ausdrucke A7*si ^{T/ — T„) bildet, so erhält man Gleichungen <ttr C, ig und a von der Form
Ib^TtosH ea C — i, sin ttcffsff cos (cos 8. Die l)este Bestimmung von C, /, und a ergiebt sich aus Durchgangsbeob- achtungen im Meridian und in dz 6'' Stundcnwinkel, Und nachdem <j gefunden ist, folgt die Neigung der Axen / = <| — si^i <p-
Zur Reduction der Positionswinkel-Messungcn ist dann /u rechnen X = (x sin t — y cos t) sec 6 ß cos cp iang 5 sin t J — / 1 sec ö — C tang ö -h |i. (x/« f^cosh — cos ^ sin d cos t), oder wenn man setzt
sin tsect = X eos f tang ismi^S
so hat man
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Heliometer.
25
Der Positionswinkel p zwischen zwei Sternen gezählt am Mittelpunkt zwischen denselben ergiebt sieb aus der Ablesung F des Fositionskreises nach den Ausdrücken
Axe folgend p^F+k-^\-^/ „ vorangehend ^ P-k- k \ — /.
Um eine Abweichung des Fadenkreuzes von der optischen Axe des Fern- rohres zu eliniinireii, werden die Beobachtungen an derselben Seite der Säule nacheinander immer in zwei verschiedenen Lagen angestellt, zwischen denen das Fernrohr um seine Axe um 180 Grad gedreht ist, und um alle in obigen Ausdrucken enthaltenen Instrumental^Constanten zu bestimmen sind sowohl Beobachtungen im Meridian an Sternen in der Nähe des Pols und nach Süden bin alr auch zu beiden Seiten des Meridians in 6 Uhr Stundenwinkel ansnstellen.
Auf die Bestimmung des Index-Fehlers des Positionskreises mit Anwendung des Collimators ist, wie schon bemerkt, im Laufe der 7eit verrichtet worden und es sind später Beobachtungen weit entfernter Sterne, deren Oerter aus Meridianbeobachtungen bekannt sind, an die Stelle getreten. Um sich ein Ur- tlieil Uber die dabei erreichbare Genauigkeit zu bilden, soll iiier eine Uebersicht über die Resultate gegeben werden.
a) CoUimatorbeobachtungen.
Index-Fehler Drehungi*ConttMite
|
1889 Juni |
13 |
H- 0'-27 |
|
|
Aug. |
16 |
0 -92 |
— 0'-25 |
|
Sept. |
30 |
-f- 0 60 |
— 0-18 |
|
1890 Febr. |
13 |
+ 0 18 |
— 0 14 |
|
Nov. |
13 |
+ 0 17 |
H-009 |
|
1891 Apr. |
16, 33 |
— 0-22 |
— 0-3« |
|
Oct |
33 |
+ 0'37 |
— 0-60 |
|
1892 Apr. |
14, 16 |
-l-0'64 |
— 0-58 |
|
Mittel |
+ 0-36 |
— 0*28 |
b) Sternbeobachtungen.
Abstand
189a Hydrakreis Stempaar 1/ 4-0 30 « 0102 lI8'-3
aä -f- 0-89 +0179 III '3 1889, 90 Stand. Stars. Victoria + 112 — 53 '8
Mittel mit Gewichten 4- Ü (39 -f- 0" 18 und die abgerundete Annahme ist
k = ^ 0'-6 = 0''18.
Die Besprechung des Hehometers kann nicht abgeschlossen werden, ohne noch einer ganz besonderen Form zu erwähnen, welche von belgischen Astronomen bei der Beobachtung des Venusdurchganges im Jahre 1882 benutzt worden ist, and wovon man eine Beschreibung in den »Annales de Pobservatoire royat de Brnzelles, Tome V 1884« mit Abbildungen findet Man hat nämlich auf Veran« bsiung von Houzbav eine achromatische Linse von 4*34 m ßrennweite und 0^ M Oeffiiung, irie bei den HeKometerobjectiven in zwei halbe Objective zer- legt und jede der beiden Hälften an den Enden zweier verschiedener Femröhre angebracht und an jedem Femrohr die Hälfte eines anderen, viel kürzeren ObjectivB so eingeführt, dass die Brennpunkte der ungleichen Linsen mit ein- Inder zusammenfielen nnd /war wählte man die Brennweite des kleinen Objectivs 10, dass sie sich zu der Brennweite des grossen Objectiv| nahe so verhielt wie
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Hdtomcter.
der Üurchmesser der Venus zum Durchmesser der Sonne, so dass, wenn man die Sonne durch das kleine und die \ enus durcli das grosse Objectiv durch ein gemeinschaftliches Ocular beobachtete, bei geeigneter Einstellung des Abstandes der beiden opUschen Axen in Posiüontwinkel und Distanx das Bild der Soime dasjenige der Venus mit einen schnalen Ringe umgab. Auf die allmibliche Veränderung der Lage der Mittelpunkte der beiden Himmelskörper wurde da- durch Rflcksicht genommen, dass das kleine Objectiv mit Hilfe einer Mikrometer* schraube verschoben und das ganze Fernrohr im Positionswinkel gedreht werden konnte. Die centrische Einstellung des Venusbildes auf das wie bemerkt etwas grössere Sonnenbild wurde nicht direkt durch das Ocular, sondern durch Pro- jectron auf einen davor angebrachten Schirm beobachtet und da bei einem solchen Instrument die Objective natürlich nicht durchgeschraubt werden, so waren noch besondere, hier nicht näher zu erörternde Untersuchungen nothwendig, um aus den jedesmaligen Ablesungen der Mikrometerschraube den Abstand der Mittelpunkte von Sonne und Venus zu bestimmen. Diese beiden gleichgestalteten Heliometer wurden bei dem Venusdurchgang 1882 in Amerika unter — 38^ und 89^ Grad Breite benutst Zum Schluss dttrften wohl noch einige Betrachtungen darüber anzustdlen sein, welche Stellung das Heliometer in Zukunft gegenüber der sich immer weiter ausbildenden Anwendung der Photographie auf die Astronomie ein* nehmen wird.
Unter den astronomischen Instrumenten nimmt in Be/ug auf die Genauig- keit das Heliometer entschieden die erste Stelle ein; während man aber den gewöhnlichen Relractorcn, wie der Erfolg lehrt, immer grössere Dimensionen geben und dadurch immer schwächere Sterne beobachten und auch photo- graphiren kann, sofern bei genügend langer Exposition die an sich schwache Lichtwirkung sich immer mehr steigert, was bei Beobachtungen mit dem Auge natflrlich nicht stattfindet, so ist diese Aussicht dem Heliometer mit seiner complicirten mechanischen Construction wohl nicht beschieden und selbst bei den grössten erreichbaren Dimensionen filllt immer der Nachtheil ins Gewicht^ dass man bei dem Gebrauche des Heliometers zuerst damit beginnt, die beiden Hälften auseinander zu schrauben und dadurch die Lichtstärke des Apparates sofort auf die Hälfte zu reduciren.
Nachdem man liei den Venusdnrchgängen in diesem Jalirbundert neben den Heliometern auch photograpUische Apparate angewandt liatte, zeigte es sich bei der Bearbeitung, dass die aus den Helionictcrbcobachtungen der deutschen Ex- peditionen erhaltenen Resultate, wenn aucli die Erwartungen wohl etwas weiter gegangen waren, doch vollkommen auf der Höhe der Zeit standen und dass die photographischen Aufnahmen der Nordamerikaner Dank der ausserordentlichen sorgsamen Vorkehrungen damit nahezu gleichwerthig waren, das« dagegen die photographischen Aufnahmen auf den deutschen Expeditionen schon viel zu wünschen ttbrig liessen, weshalb sie bei dem zweiten Venusdurchgang im Jahre 1882 nicht wiederholt wurden, während anderweitige Versuche, soweit darüber etwas in die Oeffentlichkeit gedrungen ist, als vollständig verunglückt anzusehen sind.
Im folgenden Jahrzehnt hat die Anwendung der Photographie auf die Astronomie freilich sehr bedeutende 1 ortschritte gemacht und bei der Schnellig- keit, mit der man heutigen Tages einen Sternhaufen photographisch auf» nehmen kann, dessen Bestandthcile an Helligkeit weil jenseits der mit dem Heliometer zu erreichenden Grenzen liegen, hat die photographische Methode
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auch mit Rüf ksif ' t auf den Zeitaufwand gegenüber den mllhsamen beliometrischen Vermessungen einen sehr grossen Vorsprung gewonnen, natürlich unter der Voraussetzung, dass die Genauigkeit der aus photographischen Aufnahmen ab- gelöteten Stenposttionen an die der heliometriscben Vermessungen heranreicht In letzterer Hinacbt wfirde man schon viel früher sich eine Vorstellung haben verschaffen können, wenn nicht die RuTHEitPURo'schen photographischen Auf- nahmen von Sternhaufen aus den sechziger Jahren so lange Zeit so gut wie vollständig unbeachtet und unbearbeitet liegen geblieben wären. Nach dem, was darüber aber aus den letzten Jahren von der Sternwarte in New- York be- kannt geworden ist, in deren Besitz diese ältereir Photographien übergegan.fren sind und wo sie von Harold Jacoby vermessen werden, hat man schon vor zwanzig Jahren eine recht befriedinende Genauigkeit erreicht. In noch höherem Maasse wird dies wohl bei den neueren Aufnahmen der Fall sein, wie man sie in Potsdam, Paris und an anderen Orten anstellt, und eine sehr günstige Gelegen- heit stt Vergleichungen wird das Erscheinen der auf der Göttinger Sternwarte in den letzten Jahren vorgenommenen Triangulation der Praesepe liefern. Es ist za vermutben, dass auch dem Hdiometer in Zukunft immer noch eine sehr be- deutende Rolle vorbehalten bleibt, wenn es sich in Händen von Astronomen befindet, die der mühsamen und schwierigen Behandlung eines Präcisions- instiumentes gewachsen sind, aber in Bezug auf die Schnelligkeit der Auf- nahmen und der raumdurchdringenden Kraft wird es hinter den photographischen Rcfractoren zurückbleiben. Man wird sich in Zukunft wohl nicht mehr darauf einlassen, am Heliometer Oerter von Sternen bestimmen, die nahe an der Grenze der Sichtbarkeit liegen, aber ohne Zweifel wird es auch in Zukunft bei der Aulnahme von Sternhaufen durch die Photographie von unschätzbarem Warthe sein, die Abstände der helleren und von einander entfernteren Sterne dnes photugraphiscb angenommenen Sternhaufens durch heliometrische Beob- achtungen festzulegen, um die Dimensionen der Gruppe durch ein sicher be- stimmtes Winkelmaas ausdrucken zu können. Wenn die Heliometerbeobachter dorch den Vorsprang der Photographie entmuthigt, die Hände in den Schooss legen und Alles der Photographie überlassen wollten, zu deren Ausführung am Femrohre selbst vielleicht nicht einmal wissenschaftlich ausgebildete Astronomen erforderlich sind, so könnte vielleicht eines Tages ein ganz unlicilvoUer Rück- schlag err'>li:ren. Auch kann woh! kein Zweifel darüber besti licn. dass man die Bestimmung der Grösse des Sonnendurchmessers und dessen von einigen Astronomen vermuthete, aber keineswegs erwiesene VeränderHchkeit mit der Sonnenfleckenthätigkeit wohl noch auf lange Zeit und vielleicht uiii Ausschliessung der Photographie für immer dem Heliometer überlassen muss. Dieses Instrument wird also, ausser seiner grossen Leistungsfähigkeit auf anderen Gebieteni eine Rolle spielen und einen Namen verdienen, der ihm mit Rücksicht auf seine erste Anwendung von seinem Erfinder zuertheilt worden ist Schreiber dieser Zeilen erfÜlU es mit einer gewissen Befriedigung, dass die Göttinger Sternwarte die Verfolgung solcher Untersuchungen r.u einer ihrer Hauptaufgaben ge macht hat Schur.
Fleliotrop ist ein ursprünglich von Gauss nngccrcbcncr kleiner Apparat, welcher bei geodätischen Messungen dazu dient, einen anvisirten Punkt durch reflektirtes Sonnenlicht als sternartiges Oliject erscheinen zu lassen. Es besteht aus einem kleinen, um zwei Axen (horizontal und vertical) drehbaren Spiegel, der in der Mitte eine kleine, kreisförmige Oefihung hat, und einer etwa ^ Meter
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HorizonUlpcndel.
davon entfernten Röhre mit einem Fadenkreuz. Spiegel und Röhre sind auf einem Brett befestigt, welches auf einem Pfeiler genau über dem anvisirten Fixpunkt aufgestellt wird. Durch die Oeffnung des Spiegels und das Fadenkreuz vnsirt man nach der Beobachtungsstation, dreht hierauf am Spiegel so lange, bis das Sonnenlicht das Fadenkreuz erbellt. Dann geht das Sonnenlicht nach dem Stationspunkt hin und erscheint dort als stemartiger Punkt je nach der Kntternung von grösserer oder geringerer Helligkeit. Um die Einstellung des Spiegels gut kenntlich zu machen, ist die Röhre am vorderen Ende durch einen Deckel ver< schliesabar, es erscheint dann bei richtiger Einstellung ein kreisrunder, von der Oefihung im Spiegel hentthrender dunkler Fleck in der Mitte des Fadenkrenses. Man hat natQilich den Spiegel dem Lauf der Sonne entsprechend nachzudrehen um das Centrum des dunklen Flecks stets in Coinddenz mit der Mitte des Fadenkreuzes zu erhalten. Mit einem kleinen Spiegel kann man in dieser Weise sehr entfernte, sonst nicht mehr mit einem TbeodoUtfemrohre erkennbare Punkte zur scharfen Einstellung sichtbar machen. Valbntiner.
Piorizontalpendel, ein Instrument von äusserstcr F.mijfmdlichkcii, welches ursprünglich bestimmt war, die Massen und Entfernungen von Sonne und Mond durch die von letzteren geflbten ttiziehenden Wirkungen zu ermitteln. Es beruht auf der Idee, ein Pendel um eine nahezu verticale Axe schvingen zu lassen. Schon GRumiuiSEM sprach in seinen »Analecten für Erd' und Himmelskunde» München i8z8< den Gedanken aus» dass es möglich sein mUsse, die anziehenden Wirkungen der genannten ROrper direkt zu bestimmen. Er wotlle dazu lange und feine Bleilothe verwenden, die er tief im Erdinnern aufzustellen vorschlug. Bei Vorversuchen, die er mit einem solchen Instrument machte, das er ElkysmO' meter nannte, glatibte er deutlich die »\\'irkungen der Schwere und Bewegung der Erde und die der zunclimcndcn Nahe anderer grosser VVeltkörper« zu er- kennen. Wenngleich es keinem Zweifel unterliegt, dass Gruithi'Isen in seinen Resultaten irregeleitet wurde und diese nur durch äussere zufallige Störungen veranlasst sind, da die kleinen Grössen, um die es sich hier handelt, durch so rohe Hilfsmittel, wie er rie beschreibt, nicht zu erkennen sind, so verdient sein Name hier doch Erwähnung, weil ein SchUler von ihm, L. Hengixr, in der That bald nachher das später von Fr. Zöluibr und E. v. RBHEUR-PASCHwrrz construirte Horizontalpendel im Princip angegeben hat
L. Hengler, damals Student der Astronomie in München, später katholischer Geistlicl^er in Württemberg und a<^tronomisch nicht mehr thätig, schreibt in Dimcler's Polytechn .-Journal 1832, Bd. 32 folgendes:
(Da in seiner Abhandlung, die lange in Vergessenheit gekommen war, und erst viele Jahre nachlicr, als Zollner ganz unabhängig die Idee des Horizontalpendcls crfasst und das Instrument zur Ausführung gel>rarht hatte, wieder bekannt wurde, das Trincip deutlich ausgesprochen ist, mögen hier die betreftenden Stellen wiedergegeben werden.)
>Das so verschiedentlich angewandte und tür so viele Zwecke wichtige Pendel ist nach einer Richtung hin noch nicht gehörig benutzt, nämlich als In- strument, diejenigen bewegenden Kräfte zu messen, welche nicht in paralleler Richtung mit der Schwere wirken. Es ist nämlich bekannt dass das Pendel, wenn es von der Schwere allein alfictrt wird, nur in verticaler Lage ruht, und dass eine gewisse Kraft, die aber nicht parallel mit der Schwere wirken darf, erfordert wird, dasselbe aus der senkrechten Lage zu bringen, welche Kraft dem Sinus des Elevationswinkels proportional ist; daher Hesse sich durch das Pendel
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HorizoDtalpendel.
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jede solche einwirkende Krnfl genau bestimoieii. Allein, da es viele Kräfte giebt, die im Verhältniss zur Schwere so gering sind, dass wir den Sinus des durch sie erzeugten Elcvationswinkels bei einem Pendel von der Länge, die wir ihm zu geben im Stande sind, unmöglich wahrnehmen können, so sind wir auch nicht im Stande, solche Kräfte durch ein gewöhnliches Pendel zu messen. So wissen wir wolil, dass z. R. jeder Körper auf der Oberflache der Erde gegen den Mond, gegen die Sonne u. s. w. zu einer Zeit stärker gravitiren müsse, als zu einer anderen, je nachdem er auf der diesen Körper zu- oder abgewandten S^te sich befindet, und das Pendel mflsste diese Difieienz seiner Natur nach genau anzeigen; allein hierzu vire schon ein Pendel von mehreren tausend Fuss Länge nöthig, um nur eine Stmr von dieser DifferenK wahrnehmen zu können. Ebenso verhält es sich mit vielen anderen Kräften, welche alle ganz genau durch das Pendel bestimmt werden könnten, wenn wir im Stande wären, ihm jede be* liebige Länge zu geben. Diese Scliwierigkeit nun glaube ich durch eine Vor- richtung tiberwunden zu haben, sodass man im Stande ist, ein Pendel, oder eiofentlich eine Pendelwage zu verfertigen, die an Empfindlichkeit einem gewöhn- lichen Pendel von jeder, selbst von unendlicher Länge gleichkommt, und man daher ein Instrument hat, jede auch noch so geringe Kraft, welche nicht in paralleler Richtung mit der Schwere wirkt, zu messen. Diese Pendelwage beruht auf dem Princip, dass man ein Pendel in einer gegen den Horizont geneigten Ebene schwingen lässt, anstatt in einer senkrechten, wie es bei gewöhnlichen Pendeln der Fall ist, und hier gilt folgender Lehrsatz: Bei einem in schiefer Ebene schwingenden Pendel verhält sich die Elevadonskraft zur Schwere, wie das Product aus dem Sinus des in dieser Ebene beschriebenen Elevationswinkels in den Sinus des Neigungswinkels der schiefen Ebene zu dem Produkte aus der Länge des Pendels in die Länge der schiefen Ebene. Oder wenn y die genannte Kraft, G die Schwere, a der Sinus des Elevations* ^ Winkels, L die Länge der schiefen Ebene, / die Länge des Pendels, und a der Sinus des Neigungs- winkels ist, so ist
7 : ^ M «« :
oder
Nach Beweis dieses Satzes beschreibt Ht.VG- i FR sein Instrument wie folgt:
>Uro einen Körper in einer gegen den Horizont geneigten Ebene schwingen tu lassen, wobei die Reibung fast gänzlich aufgehoben ist, mache man folgende Einrichtung:
Es seien A und B senkrecht Aber einander stehende feste Punkte; Dff und AF zwei Fäden, welche in A und H befestigt sind und den Hebelarm DP, dessen Schwerpunkt nach P ÜXXt, in horizontaler Lage halten; so wird dieser Hebelarm nur in einer mit der Linie MN (welche durch H wndB gezogen ist) parallelen Lage ruhen, und jedes Mal wieder dahin zurückkehren, wenn er durch irgend eine Kraft aus dieser I^ge gebracht worden ist, oder eigentlich nach Art
JCJ3
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3»
HomooUüpeodeL
eines Pendels hin« und benchwingen, und swar in einer schiefen Ebene, deren Neigungswinkel « < HAB ist. Man mag daher ein Gewicht oder eigentlich
den Schwerpunkt des Hebelarmes auf jeden beliebigen Funkt desselben über- tragen, so beschreibt er Schwingungen in einer unter dem Neigungswinkel HAB gelegten Ebene, wobei die Länge des Pendels dem Abstand von dem I'unkte Z (wenn dieser der Punkt ist, wo die Linie II A den Hebelarm schneidet) proportional ist. Denn man wähle sich den ]\mkt F, ziehe Fa senk- recht auf AH tmd drehe den Hebelarm um die Linie //// als Axe (denn diese ganze Linie ist unbesvcgiich, weil die Punkte A und // unbeweglich sind), so beschreibt die Linie Fu eine Kreisfläche und F einen Kreis in einer Ebene, welche gegen den Horizont unter dem Winkel uF% ==» HAB geneigt ist, was sogleich einleuchtet, wenn man sich das Dreieck AFu als festen Körper denkt, welcher alsdann einen Kegel beschreibt, dessen Axe Au ist und dessen Grund- fläche uF xum Radius hat. Aus dem nämlichen Grunde beschreiben die Punkte jfj /* Kreise in einer schielen Ebene, deren Neigungswinkel vxt w Pz = uFs = HAB sind und deren Radien dem Abstände von » proportional sind, d. h. für den Punkt P ist Pw, für x ist xv der Radius.
Will man nun ohii^e Gleichunjr hier anwenden, so ist fIB der Smus des Neigungswinkels der scliiefen Kl)ene ^a^AH die Länge derselben == X, wF die I4inge des Pendels = /, daher
^ AH'WF^
oder da man, wenn der Winkel HAB >=> wFm sehr klein ist (wie hier gewöhn- lich) ohne merklichen Fehler AB statt AH und Pz statt Pw setzen kann, so ist auch
^ = ^ßTY^ ^-^
Es müssen nun, worauf Hengler besonders aufmerksam macht, die Punkte A und D tmbeweglich fest sein; es dürfen die l'aden AF und I>H keine drehende Kraft haben, auch keine bekommen durch barometrische, liygrometrische, thermometrische Verändcrun^'en ; sie dürfen daher nicht aus geflochtenen Stoffen oder dergl. sein; es müssen aucli alle fremden Kräfte, Luftzug, Magnetismus u. s. w. abgehalten werden, endlich muss eine Vorrichtung vorhanden sein, den Hebelann in Ruhe ta bringen.
Mit einem solchen Instrumente stellte Henglsr verschiedene Versuche an, die ihm die ungemeine Empfindlichkeit desselben su teigen, aber jedenfalls auch in ihren Resultaten durch Zufälligkeiten weit mehr zu liefern schienen, als tbat* sächlich der Fall gewesen sein kann, da der Apparat erst in ungleich verfeiner- ter Ausführung die Bedeutung erlangen konnte, die er gegenwärtig tbat-
Säcblich hat.
Kbenso wie die HrNOLERSche Abhandlung übrigens keine Beachtung fand, erging es auch einer Mitiheilung Perrots in den sComptes Rendus Bd. 54t (1862) über einen nach gleichen Principien construirten Apparat. Selbst die ver- schiedeneu Abhandlungen ZöLi ner's haben längere Zeit zu keinen neuen Ver- suchen in der Richtung, für welche das Horizontalpcndcl eigentlich bestimmt war, angeregt, und doch waren die Ergebnisse der ersten Beobachtungen Zöll> ker's der Ar^ dass eine verbesserte Construction des Apparats wichtige Folge* rungen hätte erwarten lassen. Andererseits hatte aber schon Zöllner darauf hingewiesen, dass, wenn das Pendel nicht su den von ihm erwarteten Resultaten besflglich der Constatirung der Ansiehungswirkungen von Sonne und Mond
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Horisontalpendel.
3«
führen sollte, es jedenfalls ein sehr empfindliches Seismometer abgeben müsse. Und nach dieser Ricbtuiig hin fand es zahlreiche AnwendungeD, die zu all- mählichen Verbesserungen in der Construction des Horizontalpendels vmd zw seiner leuten Vollkommenheit r^erührt haben. Zöllner beschreibt seinen ursprünglichen Apparat in folgender Weise;
An einer eisernen Säule mit Dreifuss, dessen FUsse möglichst lang sind, um durch feine Bewegungen der Fussschrauben möglichst kleine Aenderungen in der Lage der Aufhängepunkte zur Richtung der Schwerkraft nach Belieben her« stellen zu k<kinen, befinden sich oben und unten Klemmringe mit Ansatzstücken anr Befestigung zweier X^rfedem (an Stelle derselben hatte Zöllnbr ursprünglich feine Drähte genommen, die sich aber bald als unbrauchbar erwiesen) die mittelst eine« S kg schweren Bleigewichtes mit einem vom befindlichen Spiegel in Spannung gehalten wurden. Das Gewicht stellte mit einer Glasstange, die durch Ringe gelegt wurde, welche ihrerseits mit dem einen £nde der Uhrfedern ver- bunden waren, das ei^^entlichc Pendel dar. Auf der p^et^enUberliegenden Seite der Säule war ein Gegengewicht angebracht. Eine l''n<^ssrhraube, welche mög- lichst in der durch die beiden Aiifliängepunkte gelegten Verticalebene stehen muss, gestattet ^anz nach Bedürfniss die Empfindlichkeit des Instrumentes /u verändern, indem durch die relative Lage der Aufhängepunktc die Schwingungs- dauer des Horizontalpendels bedingt ist. Eine Schwingungsdauer von 30 Se- conden (halbe Periode) war leicht zu erreichen. Bevor das Pendel in die Ringe gelegt wurde, welche in kleine» auf der Axe angebrachte Einschnitte eingreifen, wurde es unter dem direkten Einfluss der Schwere vermittelst einer im Dreh- punkt provisorisch angebrachten Schneide in Schwingungen ve»etzt und ergab als Schwingungsdauer sehr nahe 0"'3öO. Der Spiegel am Pendelgewicht diente zur Ablesung der Ablenkung an einer Scala. Die Beobachtungen, welche Zöllner mit diesem Instrument im fahre 1870, anfangs in einem Kellerraume der Leipziger Universität, dann im Garten der Leipziger Sternwarte unter Berück- sichtigung aller denkbaren Einflüsse anstellte, führten beiläufig ixx folgenden Re- sultaten und Ergebnissen. I^a der Abstand der Scala vom Spiegel 318G mm betrug, die Dauer einer Schwingung 14"'444, ergab sich unter Berücksichtigung der Sdiwingungsdauer bei verticaler Aufhängung von 0"'25, dass 1 mm Sealentheil am Horizontalpendel einer Ablenkung von 0*0097063 Bogensecunde eines ge- wöhnlichen Pendels entsprach. Da der 10. TheU eines Scalentbeils leicht tu schitxen war, so war eine Ablenkung von der Lothlinie von nur 0*001 Bogen- secunde auch leidit au constatiren.
Nun hat C. A. F. Prtbrs in seiner Schrift »Von deu kleinen Ablenkungen der Lothlinie und des Niveaus, welche durch die Anziehungen der Sonne, des Mondes und einiger terrestrischer Gegenstände hervorgebracht werdent (Bull, de la classe physico-math. de l'Acad. Inip. d. sc. de St. P^tersbourg, t. III, 14, 1844) nachgewiesen, dass die mittlere Ablenkung, welche der Mond in günstiger Lage hervorbringen kann, {)" ül74 beträgt, diejenige, welche unter gleichen Verhält- nissen durch die Sonne hervorgerufen wird 0""0080. Wird nun das Horizontal- pendel so aufgestellt, dass die Gleichgewichtslage mit der Ebene des Meridians susammenflül^ so werden jene Maximalablenkungen entgegengesetzte Zeichen annebmeni je nachdem das Gestirn sich im Osten oder Westen befindet, man würde darnach also die doppelten Wirkungen, nämlich 0"*0348 bezw. 0"'O100 erhallen. Es müssten sich also in der That nach jenen Vorversuchen diese GfOsten erkennen lassen.
^LLN« selbst gebing dieser Nachweis nicht, er hat einestheüs keine
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3a
Horizontalpendel.
genügend ausgedehnten Beobachtungsreihen angestellt, anderentheils musste der Apparat erst weiterer Vervollkommnung entgegengeführt werden, bevor man wirklich so feine Resultate zu erzielen hoffen konnte. Nach ihm sind ver- schiedene Verbesserungen vorgeschlagen, alle zu dem Zweck, das Horizontal- pendcl zur Constatirung der leichtesten Erschütterungen der Erdkruste zu ver- wenden. Sie richteten sich auf den empfindlichsten Punkt des Apparats, die Aufhängevorrichtung, sowie auf die Ein- führung einer Dämpfung, welche das Pendel nach wenigen Schwingungen zur Ruhe kommen Hess. Beobachtungen sind aber mit den zuletzt genannten Vorrichtungen, die darin beruhten, dass ein am Pendel befestigter Draht in ein mit einer Flüssigkeit gefülltes Gef^ss tauchte, nicht angestellt. In ersterer Beziehung sind Ewing und Gray zu nennen, von denen letzterer die Aufhängung nach der aus Fig. 246 ersicht- lichen Weise durchführte. Hier ruht das Gewicht C in einer Gabel der Stange die sich mit der Spitze auf ein Stahl- lager am Stativ stützt, während der Faden a vertical über diesem Stützpunkt befestigt ist. E. v. Rebeur -Pasch WITZ nnhm 1887 die Arbeiten zuerst an einem ganz primitiven Apparat in höchst ungünstiger Aufstellung in Karlsruhe auf, wo er
(A, 246w)
CA. Iii i
damals Assistent der Sternwarte war. Dann, als die Möglichkeit genauer Resultate bei Construction eines verbesserten Apparats unzweifelhaft wurde, lieferte Repsold mehrere Pendel, die, an verschiedenen Orten aufgestellt, in Potsdam, Wilhelms- haven, Strassburg, Puerto Orotava (Teneriffa), zum Theil sehr überraschende
Ilorizontalpendcl.
33
Ergebnisse hatten. Endlich hat Stückrath in Berlin-Friedenau das Horizontal- pendel auf V. Rebeur's Anregung noch weiter vervollkommnet und namentlich zwei senkrecht zu einander aufgestellte Pendel an demselben Apparat vereinigt, um mit dem gleichen Instrument die Ablenkungen und Schwankungen zu unter- suchen, welche genau in die Ebene eines Pendels fallen und daher hier un- vermerkt bleiben. Obwohl mit letzterem Instrument auch noch keine Beob- achtungen angestellt werden konnten, da der Tod den jungen Gelehrten ereilte, so mag doch jetzt hier die Beschreibung gerade dieses Instrumentes, welche der genannte Mechaniker in der »Zeitschrift für Instrumentenkunde Bd. XVIc, pag. loff. (Berlin 1896) veröffentlichte, wenigstens im Wesentlichen wiedergegeben werden, da wohl kaum auf frühere Constructionen zurückgegriffen werden dürfte.
»Das Instrument ist im Ganzen in der Fig. 247 abgebildet. Die Haupttheile sind ein leichter, als durchbrochenes, gleichschenkliges Dreieck aus Aluminium
(A.348)
gefertigter Körper, das Pendel ABC (Fig. 248) (wie es ähnlich vorher von Repsold gemacht war) und die beiden am Gestell angebrachten feinen Spitzen S und S', um welche die Drehung des Pendelkörpers stattfindet. Bedingungen für die Empfindlichkeit und Brauchbarkeit des Instrumentes sind 1) möglichst feine Spitzen aus möglichst widerstandsfähigem Material, 2) die Erzielung einer, soweit irgend thunlich, reibungsfreien Bewegung des Pendels, 3) die Möglichkeit der feinsten Justirbarkeit der Lage der Spitzen gegen einander bei stabiler Lagerung derselben im Gestell. Als vierter Punkt kommt dann noch in practischer Hinsicht hinzu, dass dafür Sorge getragen ist, das Aufhängen des Pendels auf die Spitzen bewirken zu können, ohne Gefahr zu laufen, die feinen Spitzen durch Gleiten der Pfannen auf denselben zu beschädigen. c
Bei der noch mangelnden Erfahrung über das für einen solchen Apparat zweckmässigste Material zu den Spitzen nahm Stückrath Stahl und Achat, und
Valoitimkr, Astronomie. 11. i
34
HoritontBlpcndd.
(A. 248.)
es gelang ihm der Schlifl mit beiden Sorten der Art, dass der Krümmungsradius der äussersten Spitzenabrundung nicht mehr als 0 005 mm betrug. Um ein möglichst freies Spiel des Pendels auf den SpiUea ai erreichen, verfuhr der Verfertiger folgendemaassen: »Sei (Fig. S49) das Dreieck A£^C' in A um eine horizontale Aze drehbar aufgehängt Sein Schwerpunkt {?' liegt dann selbst-
▼efstllndlich senkrecht un- ter A. Um dies Dreieck in der gewünschten I«age ABC zü erhalten, muss jl bei C ein horizontal ge- richteter Gegendruck an- greifen. Auf das System wirken nun folgende Kräfle: in O die Schwer- kraft in senkrediter Ridi- tung OUtlxk C der Gegen* druck borixontal, dessen Richtung sich mit OUia X schneidet. Soll im Sy- stem Gleichgewicht herr- schen, so muss die Druck- richtung in A durch X gehen. Werden nun die Axe A und der Tunkt C durch Planflächen ersetzt, welche senkrecht zu AX bezw. CX stehen, und stützen sich diese Flanflächen auf Spitzen, deren Axen in AX und CX liegen, so kann das System, ohne Neigung abzurutschen, auf diesen beiden Spitzen schweben, mit der denkbar leichtnten Drehbarkeit um die Verbindungslinie der beiden Spitzen als Axe. Analog einem Wagebalken kann das System im stabilen, indiflferenten, und labilen Gleichgewicht sein. Es ist stabil, solange die Projection (y* des Schwer- punktes O auf die Verbindungslinie der Spitzen auf der entgegengesetzten Seite der Verticalen AI^ bleibt wie O, tmd labil, wenn auf dieselbe Seite von AF ftUt wie O. Die Empfindlichkeit des Instrumentes wird, ähnlich der Wage, um so grösser, je näher O" an AF herankommt. Im Gleichgewicht, also in Ruhe, kann das Pendel nur hängen, wenn die Ebene, welche durch die Punkte A, O, C gegeben ist, zugleich die Richtung der Schwcrhnie enthält. Verscliiebt man also den Punkt C in der Richtung senkrecht zur Kbene der Zeichnung, so muss nothwcndig eine Drehung um die Axe AC eintreten, bis sich die neue Ebene ACO wieder in der Richtung der Schwerlinie befindet. Da das Instrument ausseFordenttich empfindlich ist, so kam alles darauf an, die Jufltirbarkeit der Spitze C so fein und sicher als möglich zu machen.c
Bs genagt nun bei der weiteren Beschreibung des Apparats, nur ein Pendel au berOcksicbtigen, da das zweite genau gleich construirt ist und in genau derselben Weise wie das erste, nur in der dazu senkrechten Ebene zu functioniren hat.
»Eine starke runde gussciseme Platte ££ (Fig. 248), welche auf 3 kräftigen Fussschrauben ss ruht, dient dem Instrument als Grundplatte und kann durch die Fussschrauben soweit liori/^ntal qestelit werden, als es mittels der in Fig. 247 sichtbaren Rohrenübellcn möglic h ist. Auf dieser Platte steht als Umhüllung des Instrumentes ein kupferner Cylinder, der durcl» eine oben auigelegle starke Spiegelglasplaite geschlossen wird. Durch die Grundplatte geht für jedes Pendel
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Horiiontiilpaiidd.
35
(A.9SIU
ein zahnartiger Conus H derart, dass seine Axe nahezu senkrecht unter der oberen Spitze S liegt, welche das Pendel trägt. Jeder Conus trägt unten ein Schneckenrad R, welches durch eine Schraube ohne Ende sehr langsam gedreht werden kann. Auf der oberen Conusfläcbe ist das Lager für die untere Spitze S befestigt Die Spitze 5' gebt als lifikrometeischraube durch ihr Lager nnd kann ebenfalls durch Schraube ohne Ende und Schneckenrad r sehr fein vorwärts bewegt werden. Da es sich für die Femstellung der Spitze höchstens um eine Umdrehung der Mikrometerschraube handeln kann, so ist die Bewegung durch Schneckenrad nnd Schraube ohne Ende sehr gut möglich, wenn das Rad nicht dem Durchmesser der Schraube entsprechend am Rand ausgedreht ist, sondern seine 2Ulhne der Neigung der Schraube entsprechend schräg auf den Umfang nufpeschnitten sind. Unter einem Mikroskop wird nun die Spitze S' so eingestellt, dass sie etwas, sagen wir 0 5 mm ausserhalb der Axe des Conus H steht; sie wird also bei der Drehung von 7/ einen Kreis von 0*5 mm Radius beschreiben. Nur durch diese Ein- richtung ist es möglich, die Pendel, während sie schwingen, in eine bestimmte Gleich- gewichtslage SU bringen. Ueber den beiden Conis H steht ein dreibeiniger Bock DDD, dessen Grundriss und Stellung zu //// aus Fig. 250 ersichtlich ist. Auf den beiden winklig zu einander stehenden Oberflächen dieses Bockes sind 2 Schlitten G durch Schrauben verstellbar. Auf diesen Schlitten sind die Lagerbocke L befestigt, welche ihrerseits die Lager / für die oberen Spitzen S (Fig. 251) tragen. Analog den unteren Spitzen 6" gehen die Spitzen S ab Mlkiometerschrauben durch die L«ger / hindurch, durch Gegenmuttern ge- sichert. Die Spitsen S werden unter dem Mikro- skop so eingestellt, dass sie in die Axe der Zapfen Z des Lagers / fallen. Es tritt dann durch Drehung von / in den Lagerböcken L keine Verschiebung der Spitzen S im Kaum ein.
In den Kopf A des Pendels ist ein Messing- sapfen M drehbar eingcpasst, und durcli eine Mutter mit demselben vcrschraiibt. Dieser Zapicti ist senkrecht zu seiner Axe durclibohrl und in ihm die Schraube V durch Gegenmuttern be- festigt. Die Schraube V trägt an ihrem einen Ende einen eingekitteten Achatstift a, der als Pfanne, auf der das Pendel schwingen soll, gut plangeschliffm ist. Der Kopf ist soweit ausge- 6ist^ dass man Jlf mit K ca. 80^ drehen kann, um der Schraube V die richtige Lage Sx geben zu können. Die plane Fläche nm a soll möglichst genau in die Axe von M fallen. Die untere Hälfte von M ist weiter ausoredreht als das Gewinde V\ um Raum für die Arretirung des Pendels zu bekommen. Im untern Kopf C des Pendels ist die Achatpfanne ebenfalls in eine Schraube eingesetzt und die Schraube im Kopf C durch Gegenmutter gesichert.«
3»
I.
|
t/ |
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(A. 2äU
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3*
HoriBonte1|>eiidcI.
Die Arretining; des Pendels geschieht mittels Schlüssel, die nach aussen laufen und durch welche Stahlhiilsen auf den cyhndrisch gedrehten Theilen der Spitzen S und .S"' verschoben werden. Zur Bestimmung der Schwingungsdauer der Pendel in verticalcr 1 age dienen noch die kleinen Stahlspitzen Ä/i'. Es ist nun nicht schwer, den Apparat zam Gebrauch tertig machen. Mit dem beweg- Itchea Schfitten G wird die obere Spitze S möglichst genao aenkredit Uber die untere S* gebracht; die Arretirungshalten werden soweit vorgeschmuH daae die Spitten in ihnen verschwinden, das Pendel auf erster« aa^esetsl^ diese dann surttckgeschraubt» womit das Pendel frei ist Der Schlitten G wird dann soweit verstellt^ dass das Pendel schwingt, und die einer Schwingungsdaaer von S5 — 30 Secunden entsprechende Empfindlichkeit erreicht ist. Die FeinsteUong geschieht dabei an der unteren Spitse S'. Um die Pendel ohne Berührung des Instrumentes in kleine Schwingungen versetzen zu können, sind noch im Innern 2 kleine lAiüknnmiern / nnpebracht, und kann man durch Gummischlauch und Ball Luft gegen die Pendel blasen, welche die Pendel in Bewegung setzt
Was nun noch von wesentlicher Bedeutung bei den RbBEi K'schen Apparaten i?t, ist die Finfllhrung der photi)<;iapbischen Registrirung der Beobachtung, sodass der Apparat sich selbst iibcrlassen ohne Unterbrechung (abgesehen von der Er- neuerung des photc)gra[)hischen Papiers u. dergl.) alle in Betracht kommenden Erscheinungen aufzeichnet. Diese Registrirung wird durch ein etwa 3 m vur dem Apparat aufgestelltes Benzinlämpchen. dessen Licht durch einen feinen Spalt auf den Pendelapparat fiiUt, und geeignete Spiegelvorkehrungen bewirkt. Auf einer durch ein Uhrwerk gleichmissig fortbewegten Trommel befindet sich das photo> graphische Papier und auf diesem seichnen sich dann die Pendelschwankungen mit genügender Deutlichkeit auf.
Was nun die Anstellung der Beobachtungen anbetrifil, so bandet es ndi darum, die Schwingungsdauer des Pendels zu ermitteln, denn wenn man den Neigungswinkel der Drehungsaze des Pendels gegen die Lothltnie mit i be- zeichnet, Tq die Schwingungsdauer bei horizoittaler Lage der Axe^ so hat man filr die Schwingungsdauer T bei sehr kleinen Schwingungen
Man kann also durch Beobachtung der Schwingungsdauer in gewöhnlicher und beliebiger Lage der Drehungsaxe die Neigung der letzteren leicht ermitteln. Bei einer Veränderung der Lage der Drehungsaxe gegen die Lothlinie wird sich das Azimuth a der ersteren verändern und die Art dieser Veränderung ist zu ermitteln. Solche Veränderungen können in sehr verschiedener Weise verursacht werden, es können lokale Ursachen auftreten, Temperaturschwankungen, Ver- änderungen des Instrumentpfeilers u. dergl., sie können durch Ansiehung von Sonne und Mond bewirkt werden, durch iigend welche Vorgänge im Erdimtem, Schwankungen in der Richtung der Lothlinie oder durch Aenderungen des Horizonts in Folge von Schiebungen in der Eidkroste. Man kann in jeden Fall die Azimuthveränderung sowie die Aenderung in der Neigung der Drehungf» axe gegen die Löthlinie in folgender Wei'^c erhalten. Es treffe eine mit dem Pfeiler fest verbundene nahe verticale Gerade die Himmelskugel in einem Punkte S, die ebenfalls mit dem Pfeiler fest verbundene Drehungsaxe des Pendels treffe in ihrer Verlängerung die Sphäre in einem Punkte jD, es sei Z das Zenitlj. und nennen wir nun ferner in dem so gebildeten sphärischen Dreieck SJJZ die
oder
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Hbffiiontalpciidet.
Seite SD m, den Winkel ZSD k, die Seite SZ /, ZD i, das Acimuth von S % das von D Ofto eigeben sich die folgenden Gleichungen
Da nun cd constant ist, kann eine Aenderung der Richtung von D als
zusammengesetzt gedacht werden aus einer Aenderung in der Lage von .S und einer Aenderung des Winkels jt. Diftcrenzirt man daher obige Gleichungen, um die Abhängigkeit von / und a von a, /, « zu erhalten, und lässt man dabei die wegen der Kleinheit von i, f, to gestatteten Abkürzungen eintreten, so ist
0 r= di[sin I cos{a. — a) — sin i\ 4- dl[sin icos (a - a)— sin I\--d{a — ä)sin isinlsin (« — d\ U = i/it sin i sin (a — a) —di cos (a — a)-i- d/-t- d(i — a) sin i sin (a — a) H—d'\sin i cos (a— a) — sin I\-+-äism{ai — ä)-{- d{<i — a) sin i cos (a — a).
Daraus folgt also
nnd man sietat» dass die Beo1>achtung der Azimathftnderungen in zwei zu einander senkrechten Vertiailkretsen die Niveanftnderung des Pfeilers sowohl nach Richtang als Grösse um so genauer ergiebt, je kleiner i ist. Man erhftlt die betreffenden Ansdrttcke fttr da, wenn man einfach 0 der Reihe nach 0^ 90^ 180^ 270^ setzt, und kann annehmen, dass die mit da und die bezeichneten Bewegungen des Pfeilers gegenüber den«i ^/verschwindend sind, wenn man sie nicht durch Anwendung von Miren in geeigneter Weise bestimmt.
Da '^irh nun ah>er von vornherein nicht entscheiden lässt, welche der oben- genannten Ursachen eine Ablenkung des Pendels hervorrulen, so wird man dahin /II trachten haben, das Beobachtungsmaterial in der Art zu sammeln und zu ordnen, dass sich eine Trennung lokaler, kurz- oder langperiudischei Einflüsse ermöglichen lässt. Hinsichtlich der Entwickelung der Ausdrücke Air die Kraft- componenten, die ans dem Unterschied der Anziehung ^eines Himmelskörpers attf einen Ponkt der Erdoberlliche und den Erdmittelpunkt resulttrenp kann auf die verschiedenen Abbmdlnngen verwiesen werden, z. B. auf die genannte von Prcrs oder auf eine solche von Haobn (A. N. 2568) »on the deflection of the Level due to solar and htnar attraction« oder auf die RESEua'schen Arbeiten, weichen letzteren dieser ganze Artikel im Wesentlichen entnommen ist, da der frühzeitige Tod ihre^; Verfassers die 1-ieferung eines zugesagten selbständigen Anfsatzes für das Handworterbuch vereitelte. In Kürze ergiebt sirh, wenn mit a, z Azimuth und Zenithdistanz eines Himmclkörpers P, mit m eine Masse in Theilcn der Erdmasse, mit r, A seine Entfernung vom Erdcentrum und einem Punkt der Erdoberfläche, auf den sich a und z beziehen, mit ^ die Schwere, p der Erdndios besctchnet wild, der Unterschied der Anziehung von P im Erd* mittelpmikt ond dem Pankt der Erdoberflärhe
m 0» s casj cffs I+smism Icos (« — «) iav o f IC = co^ i sin I — sin i «af /ow (a — «) $m m siniz =s sin i sin (<x — a).
und
äi V älees (a — a) + än sm Ism (a — a) äa^ äa-h [sin i — sin I cos (a — «)] -t- sm (a — 0)
und mit Vernachlässigung von im Ausdruck Itir und der Parallaxe in «
= r* — 2rp cos z,
sodass auf den Punkt der Erdoberfläche die nach gerichtete Kraft
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Horixontalpcndel.
wirkt. Wird nun diese in drei senkrechte ^mponenten X, Y, Z zerlegt, von denen X, Y dem Horizonte parallel und bezw. nach Süd und West, Z der Lotb« linie parallel und nach dem Nadir gerichtet ist» so hat man
X = 1 Sinz cos a K = 7 sin z sin a Z = — T coss*
Setzt man nun in dem Ausdruck für 7 r s A und ^ ^sinie, wo « die
HorizonUlparallaxe von P bedeutet, so erhält man filr die hoiizonUlen, bei der Bewegung des Pendels in Betracht kom melden Componenten
Y = mg sin^T. sin 2 ff sin a.
Hieraus lolccn dann leicht die iJcwej^ungcn eines Pendels, das in specieüer Ebene auigehangt ist, z. 1>. !ur die Aut liangung im Meridian eri^iebt sich, da K = 0 wird, für z — O", z = \\KV , ,7 - 0 , a — löO dass sich das I'cndcl zur Zeit der Culminalion und des Aut- und Untergangs des Gestirns im Meiidian befindet, dagegen wird es nach Westen abgelenkt zwischen oberer CulminatioD und Untergang, unterer Culmination und Aufgang, nach Osten in den Übrigen Zeiten; die stärksten Ablenkungen treten ein. weim das Gestirn im ersten Vertical eine Zenithdistanz von 45*^ hat.
Hieraus ergeben sich dann auch die numerischen Beträge für die Ablen- kungen, welche z. B. durch Sonne und Mond bewirkt werden mttssen, und auf die bereits oben hingewiesen wurde.
Die seitherigen Beobachtun<^en, welche mit den neuen Apparaten, wie er- wähnt, an verschiedenen Orten angestellt wurden, können nun, was den cigent- liclien Zweck des Horizontnlpciulcls betrifft, nur als vorläufige angesehen werden, die zu sicheren hrgehnis.scn noch nicht führten. Wohl ist auf allen Stationen die Einwirkung des Mondes auf das Pendel klar zu Tage getreten, aber da sich in den photographischen Aufzeichnungen periodische Aenderungen der ver- schiedensten Art gezeigt haben, die in täglichen und jährlichen Osdllationen zum Ausdruck kommen, so ist es noch nicht leicht, die Ursachen und "Wirkungen genügend von einander zu trennen. Bei einer kurzen Beobachtungsreihe in Wilhelmshaven trat eine Mondwelle sehr deutlich zu Tage, und die Co^fficienten der einzelnen Glieder unterlagen Aenderuni^en, die als Functionen der Deklina- tion des Mondes zu erklären waren; in Potsdam und in Puerto Orotava waren solche Aenderungen angedeutet, aber die Sicherheit war keine grosse. In Strass- burg, wo die ausgedehnteste Untersuchung angestellt und in den »Beiträgen zur Geophysik, Bd. II«, veröffentlicht ist, ergab sich die Mondwelle im Jahres- mittel zu 0" 00ö51 cos{:z — 251 '•4) -f- 0" 00522 (2t — 195°'5), sodass die lialbtägige und eintägige Welle nahe dieselben Coefficienten haben, die aber dera Mittel aller möglichen Deklinationsstellungen des Mondes entsprechen. Werden nach dieser Formel für stündliche Werthe von 7* die Osdllationen berechnelv so ergeben sich die Abweichungen
|
0»- |
0"0069 |
6* |
— 0"0(I02 |
12*— O^'-OOSS |
1«*+ 0"0102 |
|
1 — |
0-0082 |
7 |
+ 00005 |
13 — 00019 |
19 -h 0<0096 |
|
2 - |
00079 |
8 |
-f- 0-0002 |
14 -h 0 0005 |
20 -H 0 0073 |
|
3 — |
00064 |
9 |
— 000 10 |
15 0 0036 |
21 -h 0-003S |
|
4 — |
00041 |
10 |
— 00023 |
16 H- 0 0067 |
22 — 0(i()()3 |
|
5 - |
00018 |
11 |
— 00032 |
17 0 0091 |
23 — 0 0041. |
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HorizoDtalpendel. 39
lEs beträft darnach die ganze OsdlUtioii 0"'01B. Vergldcbt man mm diese Werthe mit der theoretisch geforderten Ablenkung
•i s — 0*0174 sm%Mma'Bt *^sm Ss eas a,
wo M und a die Zenithdistanz und das Aamuth des Mondes (nöidlidie AUen« kungen als positiv gesählt) nnd, welche Ausdruck man unter Einftlbrung der Polhöbe f und D^linadon 2, Stundenwinkel x transfonntren kann in
so ist zuerst der erste Theil als constant mit dem Nullpunkt des Pendels zu vereinigen. Das zweite Glied erhslt für die Breite von Strassbnrg (7 = 48° 35') den Faktor — 0"'0031S sm^i und variirt daher zwischen den Grensen O^'-OOlSl. Das eintägige Glied bleibt daher immer sehr klein und verschwindet bei Beob- achtungen eines Monats. I^e Theorie erklärt also hier noch nicht die beob> achtete Variation. Das halbtägige Glied ergiebt den mittleren Ausdruck fllr SossSg^ zu + .0"*00798 CM (St — 180°), es ist also etwas grösser als das beobachtete, und letzteres weicht auch in der Phase in dem Sinne etw.is ab, dass das Maxi- mum der Ablenkung um etwa eine halbe Stunde später eintritt, als es die Theorie fordert. Nimmt man aber an, dass die Erdoberfläche elastisch deformirt wird, sei es durch die direkte Einwirkung des Mondes auf die Erde, sei es durch in- direkte Wirkungen, in irolge des Urucks der vom Mond bewegten Wassermassen, so wUrde »ch dne solche Verzögerung erkhiren, während die Uebereinstimmung des numerischen Coefficienten in diesem Falle zunächst als genügend angesehen werden dflrfte*). In Betreff der Elasticitftt der Erdoberfläche sind die Beob- achtungen in Wilhelmshaven sehr interessant und lehrreich. Dort, wo die obere bis auf einige Meter hinabgehende Erdschicht aus schwerem Thonboden bestand, der bei anhaltenden RegengHssen gänzlich durchweicht, zeigte sich, dass wenn der Luftdruck um 1 mm stieg, die Lothlinie um den Betrag von 0"-29 nach Osten wanderte, mitbin das Niveau des Ortes sich um diesen Betrag nach Osten senkte. Da Barometerschwankungen bis zu 85 ffif/i beobachtet wurden, so entsj^rach dies Acndcrungen im Niveau von mehr als 10". Die Bewegungen des Pendels ent- spreclien so genau flen Üarometersch wankungen, dass man das Pendel geradezu als sehr emptindliciies Barometer ansehen konnte. Eindüsse der i empcratur sind, wie zu erwarten, audt deutlich wahrgenommen, indessen bei der Jeweils sorg- fältig beobachteten Au&tellung des Apparates nicht in direkter Art, sondern als eine Abhängigkeit der Sonnenstrahlung auf das Gebäude oder den dasselbe um- gebenden Erdboden.
Wie schon an anderer Stelle erwähnt^ hat nch das Instrument sehr empfind- lich gegen seismische Erscheinungen gezeigt. Die photographische Registrirung giebt hier im Gegensatz zu vereinzelten Beobachtungen über Erdschwankungen eine fortlaufende Controlle fiber den Grad der Ruhe oder Unruhe des Erd- bodens. Es lassen sich hier aus dem gewonnrnen Material bereits drei ver- schiedenartige Phänomene unterscheiden, v, Kebeur sagt über dieselben: iKine regelmässige Erscheinung in den aufgezeichneten Curven ist die mik rose is- mische Bewegung. Dieselbe entsteht vermuthlich durch kleine Schwmgungcn
fitere Beobachtupgcn in Stnusborg, welche R. Ehlbrt angestellt und discutirt hat, er[^iiuai dieie Angaben nach verschiedenen Richtungen hin. Es wird dabei die Differenz in Verbindang mit dctn eintägigen Glied tnr Berechnung einer Doformationswclle verw.indt. Man wtlrde darnach für Strassburg für die durch Deformation entstehende Mondwelle den Ausdruck . ^ 0" 0aß51 a>s (x - 25l*'-4) + 0"-00326 ofs (2t - 334°-7)
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des Pendels, die durch liorizontal gerichtete OscQlationen des Bodens erzeugt werden, ohne dass dabei eine Veränderung der Gleichgewichtslage eintritt. Man muss dies daraus tchliessen, dass wie bei den Erdbebenstörungen fTininetrische Figuren entsteben. Wenn Eidwellen, wie die sogleich «i er- wähnenden, im Spiele wären, so mflssle diese Symmetrie suweilen gestört sein, oder die Amplitude der Wellen müsste so klein sein, dass sie gegenüber den Ausschlägen des schwingenden Pendels nicht in Betracht käme. Die mikro- seismische Bewegung ist in Strassburg im Winter häufiger als im Sommer, er- reicht aber niemals die Grösse wie auf den frttheren Stationen Wilhelmshaven und Potsdam«.
»Eine «weite, sehr eigenartige und bisher in dieser Weise wohl noch nirgends wahrgenommene Erscheinung bilden die Erdpulsationen , welche wir nach dem Aussehen der Curven und auch aus anderen Gründen als etwas von der mikro- seismischen Bewegung durchaub Verschiedenes anzusehen berechtigt sind. Sie haben mit ihr nur das gemeinsam, dass das Maximum ilirer Kntwickelung etwa in dieselbe Jahreszeit fällt. Als dritte auffällige Erscheinung ^ind die zahlreichen Störungen anzulühren, die wohl alle von entfernten Erdbeben herrOhren.« »Diese Störungen dauern meistens nur einige Stunden, und ihr Zusammentreten mit gleichzeitigen Erdbeben ist in sehr sahlreidien Fällen nachgewiesen, wobei solche aus den grössten Entfernungen, Japan, Persien u. s. w. deutlich tut Re* gistrirung kamen. Bei 869 correspondirenden Beobachtungen in Strassburg und Nicolajew in der Zeit von 1892 Februar bis 1S93 August wurden 114 correspon- dirende Störungen verzeichnet, und wenn bei diesen Registrirungen nicht ftir jede Störung am Pendel eine entsprechende Ursache aufzufinden war, so ist zu be- denken, dass fast | der Erdoberfläche vom Ocean bedeckt sind, dass es anderer- seits noch weite Strecken auf der Erde giebt, die noch kaum oder nur sehr selten ion Kulturmenschen betreten, daher direkter Beobachtung oder Ver- gleichung unzugänglich sindc
Auf weitere Einzelheiten einzugehen, ist liier nicht der Ort, es muss daßir auf die in grösseren Abhandlungen niedergelegten Untersuchungen verwiesen werden; insbesondere sind zu erwähnen:
I. Fr. Züllnek. 1) Uebcr eine neue Methode zur Messung anziehender und abstossender Kräfte. 2) Ueber die Construction und Anwendung des Horizontal- pendels. 8) Zur Geschichte des Horizontalpendels (sämmtlich in den »Berichten der K. Säch. Ges. d. W.« ; abgedruckt im 4. Band von Zöllner's »Wissenschaft* liehen Abhandlungen!, in denen auch eine urq[>rünglich in Pogobhdomt^s »Ann* d. Phj«kc veröffentlichte Schrift Sapamk's »Bettrag zur Geschichte des Horiaontal* pendels« wiedelgegeben ist).
n. £. V. Rbbsur-Paschwitz. 1) Ueber das ZöUMm'sche Horiaontalpendel und neue Versuche mit demselben (»Verhandl. d. Naturw. Vereins in Karlsruhe, 10. Bd.«, 1888). 3) Das Horizontalpendel und seme Anwendung sur Beobachtung
der absoluten und relativen Richtungsänderungen der Lothlinie (»Nova acta der Kaiserl. Leop. Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher, 60. Bd. No. 1«, Halle 1892). In diesem Werke ist am Schluss ein ausführlicher Literaturnachweis mitlnlialtsangabe gegeben, wo auch die verwandten Arbeiten von Russf.ll, d'AnnArtiE, Plantamoür, G. H. Darwin, Milne u. A. besprochen werden. 3) Hüri/.ontal- pendelbeobachtungen auf der kaiserlichen Universitäts-Sternwarte zu Strassburg 1892 — 1894 (»Beiträge zur Geophysik, herausgegeben von G. Gerland, II. Bd., 2. Heft, No. 7«, Stuttgart 1895). 4) Verschiedene AufsStie und Mittheilungen in
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InterpolatioB.
4»
doi »Astron. Nachr.«, dem »Seismological Journal of Japan«, und verwandtea Zeit- schriften.
m. Hecker, das Hoiizontalpendel (»Zeitschrift fUrlnstramentenkunde, x6.fid.,
1. Hefte), Berlin 1896.
IV. A. Schmidt, die Abenratioo der Lotblinie (»Beitrüge zur Geophysik, 3. Bd.,
1, Heft No. 1«).
V. R. Ehlert, Horisontalpendelbeobachtungen im Meridian zu Strassburg t. E. (ebenda». »No. 6«). Valkmtinbr.
Interpolation, in den astronomischen Hilfstafcln und Ephemeriden, wie solche in verschiedenen Jahrbüchern und in zahllosen specicUen Fällen gegeben %md, finden irir die nnmemclien Werthe für regelmässig fortlaufende Tafel- argumente berechnet. Mag dieses Argument nun die Zeit oder ein anderes Element sein, welches als unabhängige Variable ftlr die entsprechenden Functions- werthe zu betrachten ist, so wird es häufig vorkommen, dass man letztere für einen Werlli des Argumentes gebraucht, der zwischen zwei Tafelargumenten Uegt. Man muss dann den verlangten Werth interpoliren. Zur Ableitung bequemer FoTmclausdrlicke für diese Rerhmmg sollen hier die von Encke in seiner ersten Abhandlung über Mechanische Quadratur (>Berliner Astron, Jahrbuch 1837«) ein- gelührten Bezeichnungen angewandt werden.
Nennen wir zunächst die Werthe des Arguments, für welche die numerischen Werthe der Function gegeben sind
a, a-H«», 04*3 41», a + di*...*
und die entsprechenden Functionswerthe
Aa), /(«-HI), /(«-HS), /(«H-3)
sodass also die gewählte Intervalleinheit tu utucr dem 1* unctiunszeichen fort- gelassen wird. Ein beliebiger unbestimmter Funcdonswerth wird dann durch /{s + ««•) für das Argument (« + »•) ausgedruckt werden können, wo dann » eine positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahl sein kann. Die ersten Differenzen von/(«), /(a -h 1), /(« -t- 2) u. s. w. werden dann durch das Functions- zeicben /' ausgedrückt, und um den Ort der Differenz anzudeuten, wird unter/* das arithmetische Mittel der Argumente derjenigen beiden Functionswerthe hinzu- gefügt, welche zur Bildung der Differenz dienten. Damach ist
/f« -H 1) -Aa) ^f{a -h i)
/(« + 1) -/'(«» t- 1)
/(« -h S) — /(« + 8) -h I) u, s. w.
Aebnlich geht man weiter zur nächsten Differenz, welche nämlich durch Abliehen zweier aufeinander folgender Diffisrenzen gebildet wird. Man bezeichnet diese zwcute Differenz mit /'* und g^ebt ihren Ort dadurch an, dass man wieder dss arithmetische Mittel aus den Argumenten hinzufügt, welche bei den betdoi
vorhergehenden Hauptfunclionen lagen, deren DifTeren/. die neue Function ist. Ebenso wird mit /*" die dritte Differeozenreihe bezeichnet, mit /"" die vierte u. a. f. B. wird
fia I) -/'(tf H- i) -/'(tf H- 1) U. S. f.
/>+ 1) -/"(^) i)
/>-*- 2) —f\a + 1) «/"'(a -h I) u. s. f.
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4i Interpolatioti.
So entsteht folgende Uebersichfc:
Aisnment HaupdonctioD I. Diffcfcns IL Diflineiu HL Diffieicos IV. Diffcieok
/(«-8) ,r/-_i>
^-2« /(a-2) /"C«-2)
a + - -^/^^l
Es stehen also hier immer die geraden Diflerensen mit gleichen Ausdrücken im Functionsseicben auf gleichen Linien, die ungeraden Differense» mit i^eichen Ausdrücken im Functionsseichen zwischen den Zeilen der Functionswerthe.
Nach dem TATLoR'scben Lehrsatx ist
Nun sind uns aber die Difierentialquotienten nicht bekannt, sondern nur die Differenzen der Functionswerthe» wonach wir haben
/(« H- fftü) =/(a) + A/* (fl -h i) H- B/"(a 4- 1) H- ...
Setsen wir nun aber fiir n die verschiedenen Werthe, 0, 1, 2, 3 . . . em, so haben wir in der TAVLOR'schen Reihe
fifl -I- <») =/(«) -»- «« -h P»» H- Tf»« H- . . ftfl H- Stt) =/(«) 4- 2«*» H- 4P»* H- 87»* -h . . /(ä -t- 8«) — /(«) 8«« -f- 9?«» -H 277»» -+■ . .
u. s. w., andererseits ist
tür Argument (a tü) f\a H- n») =/{a) -h/'(a h- ^)
(a 2») /(« + 2co) = /{a) + f\a 4- \) 4-/'(a -h |)
«/(tf) + 2/'(^ + i) + r (« + 1)
{a -h 8») /(« + 8«) +8/'(ÄH-i)+8/"(«H- l)+/'"(«H-i)
u. s. w.
Hieraus findet sich
1) + i) = «« + p«« + 7»"
2) %f*{a -h \) +/"(a + 1) « 2«tt -I- 4?«» + 87»«
8) 3/*(ä 4- + 8/"(ä + 1) + {) = 3« w 4- 9P»» + 277»«.
Multipliciren wir Gleichung 1 mit 8» Gl. 2 mit — 8t GL 8 mit 1 und addtren,
so kommt ^ ,
7<o> = \r\a -H i)
ebenso, wenn wir Gl. 1 mit b. Gl. 2 mit —4» Gl. 8 mit 1 ^multipliciren und addiren
und, wenn wir Gl. 1 mit 9> Gl. 3 mit — 4t^, Gl. 3 mit 1 multipliciren und addiren
+ i) - + 1) + + 1).
Setzen wir diese Werthe von ao», ßa>', 70)* in die TAVLOR'sche Reihe ein, so kommt
/(a 4 «cd) -I- /;/'(« + i) 4- ^~'V(^ H- 0 -H
-!)(«- 2) 0) ^ 1.2 3 ^ (« t) +
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(8)
IntefpoUtioii. 43
welche Fonnel die Nswroti'sche Interpolatioiisfonnel ist, und aas der sich andere Fonnefai, die sur Beiechmuig besondeis in speciellen Fällen bequemer smd» ohne Mtthe herinten. Zunächst ist
/"\a -4- l; «/'"(a H- i) +/""(« H- 1) u. s. w.
Daraus wird
/(a -t- «0») =/(a} + n/'{a -h |) -f- "^^^7g^V"W +
1.2.3 ^ + + 1.3.3.4 W»
wozu wir gleich hinsufUgen, indem wir n ne^tiv nehmen, und beachteui dass
/■"(« + ^) ~ 4)
Q. s. w. ist
/{ü - ff») -/(a) - «/»(a - i) + -
fTäTs («-i)-»- 1.8.3-4 ^
Während also die NEwroN'scbe Formel (1) die Difierenzen benutst^ die fort- laufend eine halbe Zeile tiefer stehen, verwendet die sweite Formel ittr die un> geraden Difierensen, welche zwischen der Ausgangsiunction und der nächstfolgenden, also eine halbe Z^ilc tiefer, liegen, für die geraden Differenzen dagegen, die auf gleicher Zeile mit der Ausgangsfunction liegen. Wie die Formel (2) die vorwärts- schreitende, nach unten gehende (ungerade) Differenz verwendet, so die Formel (3) die rückwärts, nach oben gehende. Bei beiden Formeln kommen also die Functionswerthe zur Verwendung, welche dem, von dem nian ausgeht, voraufj^chen und folgen, während in der NKwroN'schen nur die folgenden gebraucht werden. Was den Vortheil der Benutzung von {2) und (3) betrifft, so wird man (2) annehmen, wenn der gesuchte Werth näher an a als an a + a> liegt, (3^ im entgegengesetzten Fall, da dann beide Male »< \ ist
Die Formel (3) läust sich auch so schreiben
/{a 4- ««») + n/\a - i) -H !ti^^/"(a) +
Nehmen wir aus (8) und (4) das arithmetische Mittel und setzen SO kommt
(« 4- — 1) .
Setzen wir in (2) « = ^, so kommt
/(*, + i«) j/' («4- +
und ebenso in (3), wenn man von {a -+- to) ausgeht und das Mittel aus diesen beiden Gleichungen giebt
/la + i») - /(« + i) - ir (-f + i) + t!t/""(« H- i) - tA* /^K*» -h (6)
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welche Formel ein sehr bequemer Ausdruck ftlr das Interpoliren in die Mitte ist. Die Bc ir itunf:: 'st so auszusprechen, dass man da«; Mittel der den gesuchten Werth einsctüiesscnden beiden Functionswerthe nimmt, von diesen ^ des Mitfels der beiden zweiten Differenzen, die auf gleichen Zeilen mit den Fun< tions- werthen stehen, abzieht, hierzu (^) des Mittels der entsprechenden beiden vierten Difibrenzen addirt u. s. w.
Die vorigen Formeln (bis su 5) lassen sich auch in der Weise schreiben, dast man nicht die einzelnen Differenzen mit den entsi>TCchendeii Coi^cienlen moltiplicirt und darnach die Summe der einzelnen Glieder bildet;» sondern dass man die Glieder so anordnet, dass das folgende jeweils als eine O>rrecdon des vorhergehenden erscheint. Es ist dieses Verfohren Ittr die numerische Rechnung oftmals bequemer. Damach gestaltet sich s. B. Formel ^3)
+ «•) «/(a) -I- n [/"(a + i) -I- [/"(a) [/'"(a -I- i) +
.^[."■.). ...]]]] ^
^ . «(»—1) (« H- 1)«(« — 1) Für die Coefftcienten — — » T^iTS mehrfach
Tafeln mit dem Argument n gerechnet, die aber in den allermeisten Fällen dem geübten Rechner keine Erleichterung gewähren, da er in jedem speciellen Fall durdi Kürzungen in den Britchen und Diüerenzen rasch zum Ziel kommen wird.
Beispiel: Die Rectascension des Mondes werde nach dem Berliner Astr. Tahrbuch gesucht für 1897 April 8' 15^. Wir finden daselbst folgende An- gaben der Rectascension en und ersten Difierenzen, womit die nebenstehenden höheren Difierensen gebildet sind.
April 1 0^ 0* 8«" 23^94
LDiff. iLDiff. ni.x>ai: nr.DHr. v.oiff.
12 0 30 11-77 "^«J'ir^f H- lO'-n
2 0 0 52 9 77 ?! f?*?? 15 72 ^ f _ 0^ 45
12 1 14 23 49 'flj + 20-82 ^ -0^69 ' "^ff
3 0 1 36 58 03 -1- 25 23 _ q-ÖÖ 12 159 57 00 2^1! H-28 7y
4 0 2 23 26 36 **"
Wenden wir zuerst Formel (2) an, so haben wir, da die Functionswerthe in 12 ständigen Intervallen gegeben sind, für A|)ril 2 15* zu interpoliren zwischen April 2 12^ und April 3 0* und es ist >i = ^ zu setzen. Ferner ist hier
»/'(II H- I) — ^ (-f 28-34^64) — 6*8»-685
^^^^/"(ö) = -;^(4-20'-82) « - IW
'^"7.2^^.^3^ ^ i) - - ifs - - ^'^^
-fiL:^^^ - 0-012
Abu die gesuchte Rectascension =1* 14'« '23^-49-1-5« 36'-497== 1* 19*» 59*-99.
Wählen wir die Form (7), so gestaltet sich die Rechnung in folgender Weise :
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InlcfpoliticMi.
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t/'" + + o»ai] - A (+ + - +
^--^^ [/" («) + l'-M) — — I (H- 80^82 + 1**98) =» — 8^55 + i) — 39*»84'54 — 8"5ö} « ö-*88*'ÖO
wie vorher.
Endlich wollen wir die Interpolationsformel (6) io die Mitte anwenden und erhalten darnach für April 2 6^ und 18^ folgendes;
- kf'ifl i) = - I (18-27J = 2-28
-^- tI¥/""(« + i) « A(- 0-57) = - 001
also 1« 3^ 16**68 — 2'-29 » 1^ 3«" li'*84 ittr April 2*6*. Ebenso
— i) = — f (-4- 23-02) = — 2"88
+ i) = O'-^T) — 0-02
also lA 35« 40**76 2"90 » 1* 28;;37**86 Ittr April 2 18*. Daroacb finden sich folgende in 6stQiidtgen Inteivallen fordaufende RecUscensionen nebst den bei- stehenden Differenseo:
April 2 0* 0»ö2-»9'^7 ,
6 1 8 14*84 ^ \\ f ,; +4-68
12 1 14 28.49 :r ^^-^ ir'
18 1 25 37-86 +5*80 "^^^^
SO 1 86 58-08 "^^'^^
Wenn wir hier wieder swischen 12* und 18* in die Mitte interpolirten, wttiden wir ftr April 2 15* finden: 1* 19* ö9'*99 wie voriier. Es mag an dieser Stelle bemerkt werden, dass es sich bei der sehr bequemen Interpolation in die Mitte oft empfiehlt, die ursprünglich in grösseren Intervallen gegebenen Reiben, bei denen die Differenzen sehr beträchtlich sind und daher hohe Differenzen berück- sichdgt werden nnüssen, die Reihe durch fortgesetztes Interpoliren in die Mitte so umzuformen, dass schliesslich nur kleine Differenzen bleiben, sodass es dann genügt, die erste oder allenfalls noch zweite Differenz mit in Rechnung zu ziehen.
Es ist nun noch kurz der Fall zu behandeln, wo man die numerischen Werthe der Differentialquotienten der nach gleichen Intervallen fortschreitenden Werthe der Function gebraucht.
Die NswTOM'sche Inierpolationsformel (1) können wir auch wie folgt
schreiben;
/(« + nm) ^Aa) + n[f{a + - 4/"(a + 1) + + |) )
Nach dem TAYLoa'schen Lehrsatz haben wir aber woraus dana
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4^ Inteipolatioii.
« -H 1) H- */"' + 1)
+ l) -/"' Ca + i) + . . .
Bequemer itt die Anwendung der Formel (5), die sich dafltr nach den steigen» den Patenzen von n geordnet in folgender Form scbreibt:
/{ß + «.) - /c«) + » [/• («) - i/'V) + jä^w - -nö/^c) + • • • J
Hier kommen nün die Werthe /"(<»)»/""(<') s. w. wirklich in den Diflferenzen-
reihen vor, dagegen sind /' (a), /"' {a), {a) die arithmetischen Mittel, welche in dem allgemeinen Schema auf einer Horizontallinie stehend gedacht werden können, die durch die /(a), /"(a) u. s. w. gelegt ist. Durch Vergleicbung kommt dann;
- ^ -/•(•) - + ^/m - ^^rm . . .
Wir erhalten hiermit die Werthe der DitTerentiaU|Uotienten für den gegebenen Functionswerth , von dem man ausgeht. Will man dieselben filr eine Function, die nicht unter den gegebenen vorkommt, so hat man die Differenzen erst für diese zu berechnen. Wenn man die TAYLORsche Reilie differenzirt, so kommt
di "~ * 1 . 2 äa^ ' *
55» " da da * '
In diese AusdrOcke sind darnach die vorher berechneten Werthe tflr
dAa) dVia) 'TT' da^
einzusetzen. Man erhält
ä^/{a~h ««>)
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HDteipoUiioD.
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Wollen wir aber die Differentiale von f{a H- ^w) suchen, so kann man folgende Interpolationsformel, die sich leicltt aus den obigea ableiten lässt, indem man n mit « J vertauscht, benutzen; wonach
/(« H- i)«; « f{fl -H i) ^ nf (a -H i) + + i) ^ i^y» ^ ^)
+ iTFi ^-'^ («-»•♦)-»- 1.3,5.4 ' -H i) +■
ond wo/(a 4- /"(a + 1) . . . . die arithmetischen Mittel der einschliessenden Differenzen sind. Nach der Formel (6) (Mitte) ist aber
Jifl 4- i«) «/(a + i) - \r\a + i) H- Y|g/""(a + i) - i^/^H^ -H i)
da« sind also die von n unabbttngigen Glieder, und wenn wir nun nadi steigen- den Potensen von n ordnen, kommt:
+ \ + i) - •+■ i) + + i) + . . . 1
+ i [/•" -H i - + i) + TillF/^(-> +
4-1^«* [/""(^ i) - q-,r^{a + 1) -]
-H TiTr«*[/^(« -H - -H i) +].
Nach dem TAVLOR'schen Lchrsata ist wieder
ond daher
— ^ ^/'(« + > ^i^/"' (« + 4) ^ ^-f^/T + ^) - . . .
«»4^/(a-^^o>) a f»^u^^i\jL. ^ /vir« j_ i\ ^^s 24/ + 5760«' ^ * * •
U. 8» W.
Beispiel Es sind au berechnen die ersten Differentialquotienten fllr die Mondrectascension im obigen Beispiel und zwar für April 3, 19*, 90*, 31*. Wir haben nacb obigen Zahlen zunächst fUr
/»(a) . ^(H- S»» 13"73 + 39*" 34«-54) » + 33^ 34^)3
f\a) = H- 20'-82
f'\a) = i(H-5'10-h4"4l)«-*'4^76
= — (y-e^ /V(ö) = \{— 0*-24— 0*-l6) = — 0"20. Diese Werthe gelten nun flir April 2 12^', für M)'', %\'-, haben wir, hei dem 12 stundigen Argument n der Reihe nach zu setzen = x und erhalten
/■(«) •/"{•)
|
+ 33'" 34" 13 |
H- 33'" |
34'13 |
-1- SS" |
S4«*13 |
|
-h 18-14 |
-h |
18-88 |
15-61 |
|
|
-h 001 |
0-26 |
0-54 |
||
|
-4- 001 |
0-00 |
0*01 |
||
|
-h 22»« 29 |
-f- 2'J"' |
-h 22- |
40"27 |
Will man den ersten Differentialquotienten lür eine Stunde haben, so hat man obige Zahlen noch durch 12 zu dividiren und erhält tlcr Reihe nach 1- W 02, 1- 53*19, 1"» ö3'-36. V Ai^küHNKR.
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JtcobMiah.
Jacobsstab ist ein frtiher gebrauchtes Instrunent 2ur Bestimmung der Winkeldistanz zweier Objecte. Die Oeiter der PUuieten wurden in den ältesten Zeiten meist nicht durch direkte Bestimmung der sphärischen Coordinriten er- niiitcJr, sondern durcli sogen. 7\!if?nements mit anderen, bereits bekamiteii Steinen verbunden. Man suchte zwei Sterne, mit welchen das zu bestimmende Object in derselben geraden Linie (in einem grüssien Kreise) stand und schätzte die Entfernung derselben von dem einen der beiden bterne im Verhältniss zur Ent- fernung der beMen bekannten Sterne; oder aber man bestimmte den Ort det zu bestimmenden GestimB als den Durchscbnittspunkt der beiden Verbindungs- linien )e zweier bekannter Stempaare u. s. w. Diese Schätzungen waren nur sehr rob, und Regiomontan fttbrte statt derselben die direkte Messung der En^ femung des zu bestimmenden Objectes von zwei oder mehreren bekannten Sternen
(A. 2S2.)
ein. Zu diesem Zwecke bediente er sich des schon frfiher bei den Feldmessern verwendeten | a r o b s t a b e s, den er Radius astrouomkus nannte. Derselbe be- stand aus einem ziemlich lanpen Stabe AB (Fig. 252), welcher in gleichen Ent- fernungen mit Löchern verschen war, in welche ein kurzer Querstab CD ein- gesteckt wurde. Man legte das Auge in A an, und visirie über C und D nach den beiden Objecten, deren Distanz zu bestimmen war. FUr kleine Winkel ist
daher der Winkel umgekelirt proportional der Entfernung AE, in welcher der Sub CD von unveränderlicher Länge eingestellt wnrde. Fttr grössere Winkel (kleineie Entfernungen AE) konnte
genommen werden, wenn der Stab CD stets bis zu seiner Mitte eingesteckt wurde. Wurde diese Vorsiebt nicbt gebraucht, so konnte daraus ein kleiner Fehler der
Winkelmessung entsteben, der aber damals keinesfalls in Betracht zu ziehen war* und jedesfaUs z. B. von dem Fehler übertroffen wurde, der in der nicht ganx sicheren Stellung des Auges in A beirringen wurde. Statt der Rechnung nach der Trinp;entenformel bediente sich dann Regiomontan einer Tafel« die mit dem Argumente AE direkt den Winkel CAD gab.
Das Princip, durch einmaliges gleichzeitiges Visiren nach zwei Objecten den Winkel zweier Objecte im bestimmen, wurde seither auch beibehalten; eine Ver- vollkommnung der Idee findet sich in dem später zur Bestimmung von Sonnen- Mihen auf dem Meere verwendeten Davisquadranten. Zwei Bogen AB und ab (Fig. 253)« welche sich zu 90^ ergänzen, sind von besw. a aus getheilt Die Dichter D und d kdnnen längs der beiden Bögen verschoben werden, während in dem Mittelpunkte C sich ein drittes Diopter befindet Zur Beob* achtung wurde d auf einen gewissen Theilstrich gestellt, so dass der Winkel dCa = m bekannt war. Sollte dann z. B. die Sonne beobachtet werden, so stellte mjvn sirV; so, dass man die Sonne im Rücken hatte, und drehte das Instrument so lanLif, bis die Sonnenstrahlen durch das Diopter <^ auf die Oeffnung von C helen, was an dem entstehenden Sonnenbiidctien leicht zu erkennen war.
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Kometen und Meteore.
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Wurde nnn noch das Diopter D so gestellt, dass man, durch dasselbe auf C visirend, den Meereshorizont sah, so gab der Winkel dCD die Höhe der Sonne in dem Augenblicke der Beobachtung, und da man den Winkel ^ = 9 ander Tbeiiung ablesen konnte, so war /4 = « -h ».
Später wurde zur Erhöhung der Genauigkeit statt des Diopters in d eine Linse von der Brennweite iC angebracht und im weiteren Verlaufe entwickelte sich mit Zuaiehung von Spiegel und Femrohr ans diesem Instramente der HADLSv'sche oder Spiegelsextant nnd der Frismenkreis (s. Sextant) N. Hinz.
Kometen und Meteore. Zu den Meteoren (gnech. (intf«kpa •» die
I.ufter&cheinungcn, vergl. anch das aus liy^p ^ Luft und Xtf^o; ~ Stein zusammen- gesetzte »Aerolith«) wurden in den ältesten Zeiten aucli die Kometen (^riech. rvi.y^Tii<i Haar- oder Schwanzstern, von y^jxr,, latein. coma — Haupthaar, Haar gezählt Die durch, die Luftfeuchtigkeit bedingten Krscheinungcn : Regen, Schnee Hagel; die von der Lufttemperatur und dem Luftdruck abhängen: Wind und Stiinn; die elektrischen LufterMfaeinungen: Blitz und Donner, u. s. w.; Feuerkugeln, StemscbDnppen, aus den Wolkenregionen tut Erde gefallene Steine, ja selbst viel ^ter noch mitunter neue Sterne, endlich auch die Kometen bildeten zusammen die Erscheinungen des Luitmeeres: ti yun&a»^ Aber alle diese Erscheinungen hatten pach der verbreitesten Ansicht nicht nur ihren Sitz, sondern auch ihren Uisprung in der irdischen Atmosphäre; sie wurden in dieser erzeugt, entstanden und verschwanden in ihr. Insbesondere mag bemerkt werden, dass ARisroTFr ks die Kometen tüi eine aus trockenen Ausd<in^tiin(?en entstr^nrlcne und entzündete Masse hält , HsRACLroES aus Pontus erklärt sie für hochstehende, erleuchtete Wolken.
Vaimtoom, AatTonooik. U. 4
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JO
Wenn aber diese Anstchten auch die verbreitctstcn waren, so findet man doch auch schon im Alterthimie abweichende Memungen. Anaxagora? und Demokrit erklärten die Kometen für eine Conjunctiun zweier oder mehrerer Sterne, die ihre Strahlen vereinipen, eine Ansicht, durch welche aiierdmgs die Kometen von irdischen Luftge bilden ausgeschieden, daiür aber zu den Phantasiegebilden ver- wiesen wurden. Nach Plutarch (>De placitis philosophorum«, III. Buch, a. Kap.) hatte Diogenes die Kometen für wirkliche Sterne gehalten« Sbmbca erwähnt in seinen »Naturales questtonesc (Vn. Bttch, 3. u. 4. Kap.), dass sich diese Annahme nach der Meinung des Apollokius bereits bei den Chaldäem findet« während Epigf.nes gerade das Gegentheil hiervon, dass nämlich die Chaldäer die Kometen für Ausdünstungen der irdischen Atmosphäre hielten, berichtet. Dieser Widerspruch löst sicli, wenn man, was ja ganz wohl möglich ist, annimmt, Hass In de ihre Kenntnisse aus verschiedenen (Quellen schöpften, d. h. dass einzelne unter den gelehrten Chaldäem der erstcrcn, andere der letzteren Meinung waren.
Selbst die Meteoriten sollen bereits von Diogenes im 5. Jahrhundert vor Christi Geburt für Weltkörper erklärt worden sein. Er hält den berühmten bei Aegos Potamos gefallenen Meteorstein fflr einen ans dem Welträume zur Erde gelangten Stein, und spricht dabei die Meinung au^ dass es unsichtbare Sterne giebt, die nur dann sichtbar werden, wenn sie auf die Erde herablallan.
Seneca selbst hält die Kometen nicht fllr vergängliches Feuer, sondern für ewige Werke der Natur, wofür er als Beweis aniühr^ dass sie einen bestimmten Lauf haben, nicht schnell entstehen und vergehen, und ihre Stellung am Himmel nicht nach der Windrichtung ändern. (sQu.iestiones naturales<, Kap. 23>. Den Einwnr d, d.iss sie als Wandelsterne nicht im 'rhierkreise stehen, erklärt er für belanjilos, »denn wer hat den Sternen Grenzen vorgeschrieben?* Dass man ihre Wiederkclir noch nicht beobachtet, und ihre Bahnen noch nicht berechnet hat, ist kein Grund, ihnen die Beständigkeit abzusprechen, denn man sieht einen Kometen, me schon Apollonius hervorgehoben hat, nur, wenn er aus den obeten, entfernteren Regionen des Himmels in den unteren, »der Erde nahen Theil seiner Bahn kommtc
Diese vollständig richtige Ansicht theilte das Schicksal anderer, ähnlicher, s. B. der Ansicht von der Bewegung der Erde: sie wurde im Mittelalter voll- ständig verlassen, vielleicht nicht einmal gekannt, weil — nichts davon im
Aristoteles stand.
Mit den Meteoriten befasste man sich im Mittelalter g.ir nicht Vereinzelte Er.scheinungen wurden nicht beachtet, und auHallende Objekte am Himmel waren in dem aberpläiihisclicn Mittelalter immer nur Vorboten, göttliche Zeichen, genau so wie die Kometen. Soll man annehmen, dass weniger Erscheinungen dieser Art auftraten? Stemschnuppenfälle, Feuerkugeln, Meteoritenfälle bieten sich ja gerade in einer Form dar, welche mit blossem Auge beobachtet werden kann, sodass auf ihre Beobachtung die astronomischen Hilfsmittel der späteren Zeit (Fehmrobr) keinen Einfluss haben konnten. Nichts desto weniger ist es viel wahr- scheinlicher, dass man weniger beobachtete oder vielmehr weniger beachtete, wie dieses an dem Beispiele der Sonnenflecken ersichtlich ist.
Namentlich seit Regiomomtan waren die Kometenerscheinungen GegeiMtand der Tieobachtunccn von Astronomen; und jeder bedeutendere Astronom rop, die- selben in den Kreis seiner Betrachtungen, und versuchte die Gesetze ihrer Be- wegung zu erforschen; in der That machte die Kometenastronomie auch relativ bedeutende Fortschritte nicltt ohne dass sich nebenbei im grossen Publikum die Meinung von der astrologischen Bedeutung der Kometen als göttliche Warnungs-
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zeichen zur Verkündigung von Strafen u. s. w., erhalten hätte. Ja selbst im
i8. Jahrhundert war die Komctenfurcht nicht völlig geschwunden, und selbst noch im Anfang unseres Jahrliun krts fanden die Untersuchungen der Astronomen über mögliche Zusammenstössc eines Kometen mit der Erde ein verzerrtes Kcho bei der grossen Menge, welche in diesen Untersuchungen nichts weiter zu finden glaubte, als die genaue astronomische Festsetzung der Zeit des bevorstehenden Wdtuoterganges.
Anden veibiett es ach mit den Meteoren. Der Volksglaube mass den Feuer* erscheinungen in der Luft, wenn sie nicht massenhaft auftraten, keine besondere Bedeutung bei, was wohl seine Ursache darin haben konnte, dass sie alba ver- glnglich sind; wenn auch jemand ein bedeutenderes Meteor sah, so war dasselbe eben nur für ihn vorhanden, nicht aber für andere, die sich von der Erscheinung desselben nicht wie bei den Kometen überzeugen konnten. Der astronomischen Untersuchung der Stprnsrhnuppenfälle hingegen stellte sich als Hauptliinderniss die scheinbare Uniegelmä&äigkeit im Auftreten derselben und in deren Bewegung
entgepcn.
Aunallig waren nur die Meteorsteinfällc; allein diese wurden angestaunt, wohl auch als vom Himmel gefallene Steine verehrt; aber die Bedeutung der Kometen legte man ihnen nicht bei. Man dürfte wohl nicht fehl gehen, wenn man den Grund dafilr darin sucht, dass diese sur Erde gefallenen Steine sich von den Kometen wesentlich dadurch unterschieden, dass man ihre Natur kannte, wahrend man von der Beschaffenheit der Kometen so gar nichts wusste.
Seit Regiomontan hatte man nun aber die Erscheinungen der Kometen und der Meteore wenigstens von wissenschaftlicher Seite vollständig getrennt Die Kometen waren Objecte der Astronomie geworden; Meteore irgend welcher Art mussten aus dem Bereiche derselben gewiesen werden. Dieses blieb so bis zum Ende des vurigen Jahrhunderts. 1794 erschien die für die Meteorastronomie epochemachende Schrift Ciii.admi's: »Lieber den Ursprung der von Pallas ge- fundenen und anderer, ihr ähnlicher Eisenmassen und über einige, damit in Ver- bindung stehende Natnrerscheinungenc ; 1799 fand der grosse, von Alix. v. Hini'- BOLDT in Cumana beobachtete Stemschnuppenfall statt, und 1803 wurde durch die im Auftrage der Pariser Academie von Biot voigenommene Untersuchung des Meteorsteinfalles von l'Aigle die immer wiederkehrende, und damals von wissen- schaftlicher Seite immer wieder geläugncte Thatsache von SteinfiLllen wissen- schaftlich ausser Zweifel gestellt, und damit waren auch die Meteore in den Kreis der astronomischen Forschung gerückt.
Im Jahre 1866 wurde S( niAPARKLi-i durch seine Untersuchungen über perio- dische Steinschnupjjen auf die Identität der Hahnen grosser Schwärme mit einzelnen Kometenbahnen geftihrl, und damit eröfinete sic h der astronomischen Forschung ein neues Feld. Wieder traten Kometen und Meteore als zusamnien- bingende Glieder in dem Reiche der Naturerscheinungen auf, aber sie sind nicht mehr Erscheinungen unseres Luftkreises, nicht Gebilde tellurischen Ursprungs, wdche Gegenstand der Meteorologie sind, sondern zusammenhängende Objecte kosmischen Charakters, Glieder des Sonnensystems, welchem sie seit Zeiträumen angehören, die nch selbst der astronomischen Forschung entstehen, oder denen sie sich erst in späteren Zeiten einverleibt haben, um demselben längere oder kttrsere Zeit anzugehören.
A. Kometen.
Die ältesten beobachteten Kometen waren selbstverständlich besonders auf- fallende Himmelserscbeinungeo. Sie hatten mächtige, sich Uber weite Himmels-
4*
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ICoBMtm und ICcteoic.
striche hin ausdehnende Schweife, woher auch der Name derselben rührt. Ihrer Ortsveränderung am Himmel wendete man keine Aufmerksamkeit 7u, denn sie wurden als der terrestrischen Atmosphäre angehörige Objecte anL:t_-chen, die, ähnlich» wie die ^^orgen- und Abendrothe jeden Tag neu entstehen und ver- schwinden. Merki»v iirdig ist, dass Aristoteles, der derselben Meinung huldigte, für den Kometen (1)^}, 372 v. Chr. Geb. rohe Ortsbestimmungen gab (Auftreten in dei Gegend des Ftflhlingspunktes, Bewegung gegen den Gflitel des Orion tn, wo er vencbwand)» so düs PikgkA sogiu' seine genlheite Bahn berechnen konnte.
Von wirklich systematischen Kometenbeobachtungen, d. h. von Bestimmungen der Positionen der Kometen nach ihren Coordinaten an der Himmelskogel kann erst seit Rbgiomomtan, welcher in dieser Art im Jahre 1473 den Kometen (23)
') Et wiie der KOnc wegen gut, wenn man die KonetCD, deren Bahnen bestimmt sind,
ähnlich den Planeten consequent durch Nummern beieichnen würde. Daraus ergicbt sich aller- dings die J^chwicripkeit, das« in dem Maasse, als die Bahnen von alffri-n Komt-ten bestimmt werden, neue Zahlen eintuschaUen smd, während andererseits durch identihkation älterer Kometen mit ^Iter bcobsehtcten, aBdeic Zahlen «nafiJlco. Dieter Wechtd der Bctiflierung ertticckt tidi jedoch nnr auf die iclatlT nnriehcMn. nuncntlick mm diiBCsitches Bcobaditiintea «bgdciletea Bahnen der lltetcn Kometen. Da diese aber keineiw^ mehr als eine Diidtüve fitr die tpiteien Untersuchungen Uber die Identität dieser Kometen mit den in unserer Zeit beobachteten geben, so kann hieraus kaum ein Uebelstand erwachsen, und kann die Nunierirting des ersten Galle' sehen Kometenvc*r£eichni&&&& (aus dem Jahre 1847), welches seither manchen späteren Werken la Grande gelegt wurde, betbdtllen werden. Dica getehah in dtm dictem Bbnd- wiMeibuelie iimi Schlotte beigegebenen VeRciehnItte der Kometenbahnen. Hkisu Itt nur das Folgende tu bemerken: Die älteren Erscheinungen des HALUy'schen Kometen ans den Jahren I2 vor Chr. Geb., ferner 66, 141, 837, 989, 1066. 1301, 1378, 1456, 1531 erhielten die Nuromer 19 de« GAii.K'schen Vertetchnis«e^; die von Ck.i.oria aus den ToscANELLi'scher» Beobachtungen ermittelten Bahnen der Kometen 1449 und 1457 I erhielten die Nummern 18 bea. SOt «Ihread die fattchtt nnticheren Bahnen der Kometen ana den Jahren 240, 539, 565, 1351 nnd 1533 dea alteren GAlxx'fchen KoraetenTcneidmitici die Bcicichnmigea a» 4, r und I die Kometen am den Jahren 1006, 1408» 14991 1500 des sweiten GALLR'schen Ver- zeichnisses die Bezeichnungen /, ^, A, und die wegen mangelhafter und der Zahl nach un- genügender Beobachtungen cbcnla l'v nur tinsithercn Bahnen der Kometen l8l6 und 1818I die Bezeichnungen l erhielten. Hierdurch correspondiien die Nummern von 22 angefangen durchweg mit der GALUi'tcben Beteicbnung.
Gewöhnlich bezeichnet man die Kometen nach dem Jahre ihrea Eneheinent, nnd ftgf^ um sie von einander an untencheiden, itf mische Ziffern, nach dei Zeit ihres Perihddurch-
ganges bei. So ist der Komet 1892 I, der am 6. März 1892 Ton Swift in Rochester N. Y. entdeckte Komet, welcher sein Pcrüic! April 6*7 M. Z. Berlin passirtc; der Komet 1892 II ist der am 18. März von Df.nnLno in Bristol entdeckte Komet, der Mai 11*2 durch das Perihel ging; Komet 1893 III der am 6. November von Holmks in London entdeckte Komet, dessen Durch« gang durch da« Perihd auf Juni IS'S fid. 189s IV ist der am 18. Mär^ (aUo iror dem Ko- meten 1891 in) von SrtTALUt in Wien nach der Ephemeride von t. Habiotl wieder aalge- fundene WiMmci^iehe Komet, dessen Perihclzeit Juni 80*9 fiel. 1892 V ist der October tS (also ebenfalls vor dem Kometen 1S92 ITT) von BaknARD auf dem Mount Hamilton auf photo- graphischcm Wege entdeckte Komet, <lcr Dec. 11*1 durch da's l'crihel gmg; 1S92VI der von Brooks in Geneva N. Y. am 28. August (also vor den Kometen III u. V) entdeckte Komet, weldier Dec. S8'l durch icin Peribel gmg , wihrend der ebenfallt von Brood ie Genera N. Y. am 19. November 189a entdedile Komet bereits nUt 1893 1 bezeidiaet werden must, da seine Perihelieit 1893 Jamuar 6'5 fällt. Diese Bezeichnung muss hier cor leichteren Oficntinmg bei* behalten werden. Die nach der Jahrcsrald beigefügte Bezeichnung a, d , , * nach der
Zeitfolge der Entdeckungen ist jetzt fast allgemein aufgegeben worden.
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Kometen und Meteore. 53
beobachtete, gesprochen werden. Die Zahl der beobachteten Kometen betrSgt in den Jahren
|
vor 500 vor Chr. Geb. |
8 |
700 |
DlS |
799 |
nach Chr. Geb. |
1 41 13 |
|||||||
|
499 |
bis |
400 |
t» |
n |
n |
6 |
000 |
n |
899 |
» |
II |
II |
31 |
|
399 |
ff |
n |
» |
» |
7 |
900 |
n |
999 |
II |
II |
$t |
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|
|
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» |
30O |
n |
n |
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1099 |
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|
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|
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n |
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14 |
1200 |
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1299 |
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II |
II |
25 |
|
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n |
99 |
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u |
1* |
21 |
1300 |
II |
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II |
II |
31 |
|
100 |
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199 |
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II |
18 |
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II |
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II |
35 |
|
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399 |
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II |
•1 |
35 |
1500 |
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II |
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|
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399 |
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M |
n |
21 |
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n |
1699 |
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II |
II |
27 |
|
400 |
tt |
499 |
W |
n |
19 |
1700 |
II |
1799 |
II |
II |
II |
96 |
|
|
500 |
n |
599 |
» |
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n |
24 |
1800 |
f» |
1895 |
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II |
II |
S84 |
|
600 |
n |
699 |
n |
Sl |
wobei aber, vas natn entlich für das letzte Jahrhundert zu beachten ist, die periodischen Kometen in jeder Erscheinung wiedergezählt, hingegen für die Zeit von 1800 bis 1895 24 Kometen, die nur ein- oder zweimal gesehen und dann nicht mehr wiedergefonden wurden, nicht mitgerechnet sind.
Aus dieser Tabelle ist zu ersehen, dass bis soo vor Chr. Geb. die Zahl der Kometen noch merklich durch die Zahl der auffälligen Kometen gegeben ist; erst seit soo, d. i. seit Hipparch wurde diesen Himmelskörpern — wie Oberhaupt der Astronomie — eine grössere Aufmerksamkeit zugewendet, woraus sich die pldtzliche Zunahme der gesehenen Kometen leicht erklärt: dass thatsächltch mehr Kometen erschienen sein sollten, kann nicht wohl angenommen werden. Merk- würdigerweise erhält sich die Zahl der beobachteten Kometen bis 1700 ^iemh'ch constant; selbst die Anwendung des Fernrohres bringt hierin keine Aenderung hervor. Dieses scheintauf den ersten Augenblick sonderbar; das Befremden ver- schwindet aber, wenn man berücksichtigt, dass das Fernrohr nicht zur Aufsuchung von Kometen, sondern anfänglich nur zur Betrachtung, später (seit Gascoicne 1640) SU Ortsbestimmungen verwendet wnrde. Der erste teleskopisch entdeckte Komet war der von Sarabat 1729 entdeckte Komet (60), was eigentlich sehr merkwOrdig ist, da er in relativ sehr grosser Entfernung von der Erde und Sonne entdeckt wurde, indem seine Feriheldistanz vier Erdbahnhalbaxen (die grOsste überhaupt bisher bei einem Kometen gefundene Periheldistans) bt, also nahe der Jupiter- bahn fiült.
Aber erst in unserem Jahrhundert nahm die Zalil der teleskopisch entdeckten Kometen besonders zu, und unter den bis Ende 1895 entdeckten 284 Kometen ist die weitaus grösste Mehrzahl teleskopisch.
Die Kometen unterscheiden sich von den Planeten durch ihr nebelartiges Aussehen. Während die Planeten im Fernrohre das Bild von gut bestimmten, von scharfen Contouren begrenzten Scheiben (grosse Planeten) oder feineren, fixstemartigen 1 ichtpttnktchen (kleine Planeten) bieten, haben die Kometen das Aussehen von dunstartigen, den NebelSecfcen ähnlichen, kleinen, mebt kreis- runden Wölkdien von mehreren Bogenminuten Durchmesser, deren mattes Licht allmählich, fost continuiriich gegen den dunklen Himmelshintergrand abnimmt, so dass der Komet meist mit verwaschenen, sich von dem dunklen Hintergrunde nur unscharf abhebenden Contouren erscheint. Von dieser den teleskopischen tut ausschliesslich eigenen Form unterscheidet sich diejenige der mit freiem
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Kometen JxnA Meteoie*
Auge sichtbaren Kometen durch eine oft nur kurze, oft ziemlich ausgedelmte, bei manchen besonders auffälligen Kometen sich fiher einen grossen Theil des Himmeis ausdeimendc mächtige lAusstrahlung'^ , den Schweif, welchem die Kometen ihren Namen verdanken. Man nennt den Kimietennebel, welcher das eigentliche Objekt des Kometen bildet, die Coma, mitunter auch den Kopf; doch findet man, namentlich in älteren Werken, den Namen »Kopf« in sweierlei verschiedener Bedeutung gebraucht. Schrötir nennt die Coma des Kometen die »KemlichtkugeU, die vordere, der Sonne zugekehrte Begrenzung des Kometen- schweifes, welcher sich z. B. bei dem Kometen (123) 1811 I auf einen, anfänglich ca. 18-, später bis zu 7 fachen Durchmesser der Coma erstreckte, den Koi)f. Dieses schliesst sich mehr der älteren Redeutunc: an, bei welcher unter Cuma (Haar) der eigentliche Schweif verstanden war. Hevel gebraucht in seiner Konietographie den Namen >Ko)jf des Kometen* (caput cometae) \r\ der jetzt üblichen Bedeutung, für den Komete nnebel, zahlt aber die Nebelhülle (die Cuma) bereits zum Schweife, während er als Kometen nur den in der Mitte des Nebels auftretenden Lichtpunkt, den Kern cmw^iSnM^ erklärt i). Lichtpunkte dieser Art, Kerne, sind nicht bei allen Kometen sichtbar. Selbst bei grossen, mit freiem Aage sichtbaren Kometen fehlen dieselben manchmal. So war bei dem Kometen (298) (1887 I) keine Spur eines Kernes zu finden; die Coma, als Begleiterin des Kernes auch »Nebel- htille« genannt, war so verwaschen und difius, dass der Komet im Fernrohr früher verschwand als dem blossen Auge, und dass mikrometrische Messungen (Ortsbestimmungen) überhaupt nicht gemacht werden konnten; die Positions- bestimmungen dieses Kometen waren, ein in diesem lalirhundert einzig da- stehender Fall, blosse Einstellungen am Aequatoreal und Ablesungen am Kreise,
Mitunter treten l)ei Konicten mehrere Kerne in dem Kopfe aut; mitunter haben dieselben nur das Aussehen von undeutlichen Lichtansammlungen, Ver- dichtungen, so dass bei einer grossen An/ahl \(jn Kernen der Kometenkopf ein granulirles Aussehen erhält. Ein deiaiiigcs Ausseiien hatten nach den Hevel- schen 2[eichnungen (vergl. in seiner 9Cometographie< die Tafeln swischen pag. 452 und 453 und «wischen pag. 458 und 459) die Kometen von 1590, 1607, 1647 and 1661. Eine ähnliche Erscheinung beobachtete Schiapakblu bei dem Kometen (284) (1863 m)9) am 35. August 1863.
Mehrere getrennte Kerne sahen Tycho und Cornkuus Gbmma bei dem Kometen von 1577 (No. 29). Spektroskopische Beobachtungen haben geceigt, dass selbst bei denjenigen Kometen, bei welchen ein deutlicher Kern nicht wahr- zunehmen ist, ein solcher vorhanden ist. Das Spectrum des Kometen besteht nämlich 3) aus einem continuirlichen Spectrum, das von einem festen (oder tropf barflUssigen) Kern herrfihrt, und mit der Hclliqkeitszunahme dieses Kernes auch an Intensität gewinnf*} und aus einem Ljniens[)ectrtim, das den in der Nebclhülle (Coma) auftretenden Stoflt-n angehört. Das continuirüche Spectrum zeigt sich nun selbst bei denjenigen Kometen, bei denen ein deutlicher Kern nicht constatirbar ist.
I) Cti/nä CmHuu, nempe tmUms tma atm drcumjuso jubart (vcrgl. c B. seine •Cometo- gn^hie«, pag. 341,
Ve^l. »Eatwurf einer astronomischen Theorie dei Sterasclunq»peD«, deatsche Aasgabe
▼on BocuSLAWSKr, pag. 173.
') Vergl. den Artikel »Astro<!pertroskopic«, pag. 408.
*) Ebenda, pag. 409, vcrgl. auch H&KZ, »Bcstumiiung der Bahn des grosfen Kometen von l8ti«, pag. aoa
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K«»aclen und Meteore.
5$
Der Kern des Kometen ist nicht immer in der Mitte des Koples. Bei dem Kornett« (122) (iSii I) sah Herschel den Kern excentrisch, und zwar »immer weiter von der Sonne entfernt, als die Mitte üeb glaiuendbten Theiles der ihn umgebenden AtmospKftic. Diese excentriscbe Li^ war so beträchtlich, dus bei der Sdiwterigkeit, mit welcher der Lichtpunkt gesehen war, letzterer sehr leicht dem Beobachter entschlüpfen konnte« Bei dem Kometen (870) (i88o I), dessen Bahn sehr nahe mit derjenigen des Kometen (161) (1843 1) übereinstimmt, erklärte GouLD die geringen Abweichungen dorch die Nichtübereinstimmung des optischen und physischen Schwerpunktes.
Bei den grossen, in den ältesten Zeiten allein aufnilligen Kometenerscheinungen bildete eine dct merkwürdigsten Erscheintmgen der Kometen derSchvveif. Bei dem Kometen ^161) (1843 1) und bei dem DoNATi'schen Kometen (213) (1^58 VI) betrug die Schweitlänge nahe 60"; bei dem Kometen (122) (dem grossen Ko- meten von 1811) nahe 90°; bei dem Kometen (ü7) (dem grossen Kometen von i6z8) über 1Ü0^ und bei dem grossen Kometen des Jahres 1861 (221) sogar 120**. Rechnet man hiermit und mit den wahren Entfernungen der Kometen von der Erde mit Rückncht auf die Richtung der Kometenschweife deren absolute Längen, so ergeben sich gans ungeheure Werthe; für den Kometen (9SI) findet sich S5 Millionen Kilometer, für den Kometen (313) 80 Millionen Kilometer, Ar den Kometen (ISS) 110 Millionen Kilometer, und für den Kometen (161) 350 Millionen Kilometer.
Schon Seneca bemerkte, dass die Kometenschweife die Sonne flielien, und dieselbe Regel findet sich in den griechischen Berichten (Iber den Kometen (19) vom Jahre 837. Neuerdings wurde diese Beobachtung von iRACAbTüR und von Petrus Apiamis an dem Kometen von 1531 gemacht. Seither hat sich die Kegel^ dass die Kometenschweife stets von der Sonne abgewendet sind, bestätigt g^eigt, wenngleich die Kometenschweife nicht mit der Verlängerung des Radius- ▼ectors der Kometen zusammenfallen, sondern von demselben oft nicht unbe- tTichÜich abwdchen.
Die Form der Kometenschweife ist meist schwach gekrflmmt, an den Rändern lachtstärker als im Innern, so dass sie das Aussehen einer cylinderförmigen, im innem hohlen Dunströhre gewinnen, sonst aber ausserordentlich mannigfaltig; der Schweif geht als dünne Säule aus dem Kometenkopfe an der der Sonne abpewendeten Seite he^^or und wird allmuhlit h breiter, wie beim Kometen (37); oder er umgiebt den Kometenkopf in einer ziemlichen Entfernung, durch einen dunklen Zwischenraum von dcmsell)en getrennt, wie eine kleine Hohl- kugel, die auf der von der Sonne abgewcndeLen Seite in eine n^ächtige, äich ail- mAhlich erweiternde R5hre übergeht, so dass man eigentlich swei Schweife zu sehen glaubt, die nahe parallel, aber von dem Kometen weg schwach diver- girend verlaufen und sich gegen die Sonne zu um den Kometen herum durch einen Kreis schliessen (Komet 123); oder der Schweif des Kometen besitzt an der einen Seite eine scharfe Begrenzung (Lichtlinie) und ist nach der anderen Seile verwaschen, federartig geschlitzt (Komet 29). Bei dem Kometen (37) beobachtete Horatius Crassus am 30. November 1618 in der Mitle des Schweifes von dem Kopfe des Kometen ausgehend, über eine kurze Strecke hinziehend eine schmale, helle Linie, instar nuduUae arboris^).
I) Monatliche Cortei|iondcBS zw Befbcdeniog der £rd- und HimiDclskunde von v. Zach,
Bd. «8, pag. 459.
^) Hi.vsL, Cometographie, pag. bSi.
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5«
KouMtcn and Metcort.
Diese Formen bilden schon mannigfach den bebergang zu den anomalen Kometenscliweifcn. Nebst der Hauptform des von der Sonne weggerichteten, nur wenig gekrümmten Schweifes hat man nämlich wiederholt kürzere Neben- schweife beobachtet, die zu den Hauptschweilen geneigt, oft auch gegen den Rftdittsvector der Kometen senkrecht stehen, oder xur Soime gerichtet sind, und die deshalb als anomal bezeichnet wurden.
Unter den älteren Kometen, von denen Hkvbl in seiner Kometographie be- richtet» bietet die merkwürdigsten Erscheinungen in dieser Art der Komet (29), bei welchem Cormblids Gbmma nebst dem Hauptschweife noch einen zwdten, kürzeren Schweif yon derselben Krümmung in nahe derselben Richtung sah, überdies aber noch drei nahe gleich lange, ziemlich kurze Nebenschweife, von denen der eine nahe 30° g^en den Hauptschweif geneigt, von der Sonne weg gerichtet, der zweite nahe senkrecht aui dem Kadiusvector des Kometen und der dritte cur Sonne gerichtet war.
Zunächst wäre dann der grosse Komet von t68o (No. 46) zu erwähnen, bei welchem Gottfried Kirch ebenfalls einen gegen die Sonne zu gerichteten Schweif beobachtet hatte, weiter der Komet von 1744, welcher 6 fächerförmig geordnete, 30 bis 40° lange Schweife hatte; der Komet von 1807, der einen längeren, fast geraden und einen kürzeren, stark gekrümmten Schweif hatte. Der Komet von XÜ23 halte zwei mehrere Grade lange Schweife, von denen der eine der Sonne zu, der andere von der Sonne weggerichtet war.
Merkwürdige Erscheinungen bot der DoNAXi'sche Komet (213). Derselbe hatte nebst einem langen, gekrümmten Hauptsdiwdf noch einen zweiten, be- deutend schwächeren, geraden, ebenfalte von der Sonne weg gerichteten; die 2ur Sonne zugekehrte Schweif hülle, gewöhnlich die Lichtausströmung genannt, welche, wie oben bei dem Kometen (132) erwtthnt wurde, eine durch «nen dunklen Zwischenraum von der Coma getrennte Dunsthülle bildete^ war beim DoHATi's hen Kometen geschichtet, gleichsam aus einer Reihe von concen- trisch übcreinandergel^ten LichthüUcn bestehend; eine ähnliche Erscheinung beobachtete Winnecke auch bei dem Kometen 1862 II.
Anomale Schweife wurden auch beobachtet bei dem Kometen 1844 1 und
bei dem Kometen 1862 II.
Der \Vi:":NF.CKE'sche Komet (ni) hatte im Jahre 1875 zwei kurze, einen Winkel von 60 einschliessende Schweife, zwischen welchen sich mehrere andere fächerförmig ausbreiteten.
Der Komer 1888 I zeigte einen gegen den Hauptschweif unter 60^ geneigten Nebenschweif (vergl. die Fig. 1 und '2, 1 iV).
Besondere Aufschlüsse über die Kuaiciensclnveife brachte seit 1892 die Photo- graphie. Bei dem Kometen 1892 1 zeigten die auf dem Mount Hamilton und in Sydney aufgenommenen Photographieen eine Theilung des Schweifes in mehrere, bis ta 8 Strahlen, während er direkt (im Femrohre) nur von Barn ARD am 3. April doppelt gesehen wurde. Am 7. April zeigten die Aufnahmen eine in Ent- femung vom Kopfe sich zusammenballende Anschwellung, welche das Bild eines zweiten Kometen darstellte, aus dessen Kopf ein neues System von Strahlen hervorbrach. Eine ähnliche Erscheinung zeigte der Komet 189a III auf einer pbotographischen Aufnahme, welche Barnard auf dem Mount Hamilton am 10. November, vier Tage nach seiner Entdeckung, erhielt: eine schwache, diffuse Nebelmasse am Ende des ca. 1** langen Schweifes, welche Anschwellung übrigens auch von Campbell schon am 8. und 9. November beobachtet worden war.
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Koni6leii und Ucteotc*
57
Ebenso zeigten die photographischen Aufnahmen der Kometen 1893 II,
1893 IV, 1894 II Theihmgen des Schweifes; bei dem Kometen 1895 beob- achtete man einen Nebenschweit, der gegen den Hauptschweif um etwa 30° geneigt war, und tiberdies eine fächerförmige Ausstrahlung gegen die Sonne zu.
Eine besonders bemerkenswerthe Erscheinung bot sich bei dem Kometen
1894 I dar; dieser Komet hatte eine fächerfürmige Coma, welche ätcii nur in der zur Sonne senkrechten Richtung in einen kurzen, schwachen Schweif von etwa S' Lttnge und 1' Breite fortsetzte.
Dass die ScbweiflSnge bei den verschiedenen Kometen variirt, wurde schon eiwfthnt; allein besonders bemerkenswerth sind noch die Verfinderungen in der Schweiflitnge eines und desselben Kometen. Im allgemeinen hfingt dieselbe von der Intensität des Schweifes und von der Vergrösserung des bei der Beobachtung verwendeten Instrumentes ab. Je stärker die Vergrösserung, desto mehr wird das scb.wache, nebelartige r.irht des Kometen zerstreut, geschwächt, desto kürzer erscheint der Schweif, während bei lichtstarken Objekten selbstverständlich starke Vergrösserungen den entgegengesetzten Eftekt hervorbringen. Aehnliches gilt natür- lich auch von den mit freiem Auge angestellten Beobachtungen; je schärfer das Auge des Beobachters, desto weiter wird er den Schweif verlolgen können, debto langer wird er den Schwei! sehen. So erkUren sich die unteronander oft so widerspredienden Angaben Ober die beobachtete Länge der Kometenschweife.
Die länge der Schweife ist jedoch nicht constant, sondern wechselt von Tag zu Tag; ganz ausserordendiche tägliche Veränderungen zeigte s. B. der Komet 1893 n. Allein viel merkwürdiger sind diejenigen Veränderungen, welche sich innerhalb weniger Secunden an dem Schweife zeigen: Fluctuiren, Schiessen« Spielen. Wohl die älteste Beobachtung dieser Art ist die von Cysatus an dem Kometen (37) gemachte. Hevel berichtet über die Beobachtnnt^ von Cysatus am 4 Dezember 1618, dass der ganze Schweif des Kometen fiuctuirte, und die Strahlen des Schweifes von dem Kopfe des Kometen wegschössen und sich dann piotxlich zusammenzogen, so dass der ursprünglich an seinem äussersten Ende mehr spiuige Schweif auseinandergezogen und besenartig zerstreut war. %Qfma Comeiae ioia ßuihtabat, quan venia ieviUr agUala; radü quoque Cnnae e ea^Ue avitra^nhtr, subUoque rärtthebaniur » , . ita fiekU haee radiarum e capite Cmeiu efoaUatiff, uf ätfüque Cma aUas in extremo aeuihr mni^m äUaiareiur et seaft^vm msinr sfargerehtr*. Ein solches Fluctuiren und Schiessen im Kometenschweife hatte SCHRÖTKR bei dem Kometen von 1807 und bei demjenigen von 181 1 beobachtet. Endlich wurden ähnliche Erscheinungen bei dem Kometen 1893 IV auf photographischem Wege constatirt. Die mannigfachen Photographien weisen Veränderungen auf, welche mit Rauchsäulen verglichen werden k^innen, die sich in den umgebenden Raum hinaus zerstreuen'-').
Zu diesen Fiuctuationen im eigentlichen Schweife gesellen sich mitunter Erscheinungen in der Coma, welche als »Ausströmungcat bezeichnet und auch seit BfcäSEL als Ursache dieser Fluctuadonen angesehen wurden. Hessel be- schreibt diese Erscheinung^ bei dem HAixsv'schen Kometen in seiner Sonnen- nähe 1835, am a. Oktober» als eine >Ausströmung der Lichtroaterie aus dem
') Cometopraghie, pag. 883. Hieriu ist ru bemerken, diss hier das Wort mwa noch die altere Beteicbnung > Schweif« bat, indem der Kern mit der NebclhUUe, welche jetzt als Coma bezeichnet werdeo, immer als mput beieidinct etschemt.
*) Veigl. Kasun, Bericht Uber die Kometca ; Vioieljahnicbrift der AilR«. Ceselbduilt, Bd. 39. peg. 64.
^) AttroiL. Nachiichten, Bd. 13, pag. 187; gewmmehe Werke. I. Bd.. pag. SS*
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Kometen nnd Meteore.
Kerne, welche einen Kreissector von etwa 90° bildete, beiläufig der Sonne zu- gekehrt war und bis aut i2 bis Ij" Entfernung von dem Mittelpunkte von dem nebligen Grunde, auf welchem sie lag, unterschieden werden konnte . . . Am 8. Oktober heiterte es sich wieder auf . . . Die Ausströmung war stärker ge- worden als am 2., der Winkel ihrer Ränder kleiner, etwa 45^; ich konnte sie bis su 15 bis 80" Entfernung von dem Mittelpunkte von dem hellen Grunde unterscheiden, auf welchem sie lag«. Nach und nach wurde der Winkel an der Spitze des Kegels, nach welchem die Ausströmung scheinbar stattfand, kleiner, d. h. die Ausströmung mehr cylindrisch, jedoch nicht geradlinig begrenst, sondern etwas seitlich gekrümmt; am 12. Oktober war der Winkel der Begrenzung nahe 30 ; »der Kein des Kometen und seine Ausströmung gewährten das Ansehen einer brennenden Rakete, deren Scliweif, durch Zugwind seitwärts abgelenkt wirdc (vergl. Taf. III, Fig. 1). Am 13. Oktober war das Aussehen, wie Taf. III, Ficr. 2 leigt, völlig verändert; an Stelle der Ausströmung >lag eine unbegreniie Masse von Lichtmaterie, links von dem Mittelpunkte.« Am folgenden Tage, dem 14. Oktober, hatte sich aber (vergl Taf. III, Fig. 3) die Lichtausströroung wieder hergestellt, und blieb so mit grosseren Veränderungen bis sum ss. Oktober, an welchem Tage sie die durch Taf. m, Fig. 4 dargestellte Form angenommen hatte. Diese war aber am «5. Oktober wieder verschwunden, und an ihre Stelle eine der Lichtanhäufung vom 13 Oktober ähnliche, aber weniger intensive und weniger ausgedehnte Lichtanhäufung getreten. Zu bemerken ist dabei noch, dass der Komet während der Zeil des Ausströmens einen besonderen Glanz entwickelte. Schon am 2. Oktober bemerkte Bessfi. eine starke Vermchruns; des (»lanzes; am 12. Oktober erschien der Komet heller als die Sterne /.weiter Cirössc im grossen Bären; ebenso am 13. Oktober; am 22. Oktober er.>cliien er wie ein Stern dritter Grösse, und am 25. »war der Kern des Kometen so glänzend, dass man ihn, als die Dämmerung den Nebel noch fast unsichtbar machte, mit der schwächsten Vergrösserung des Heliometers filr einen Fixstern hätte halten können.«
Gans ähnliche Ausströmungen wurden von Hboisius bei dem Kometen von 1744 wahrgenommen^), und in jüngster Zeit zeigte sich ein auflfälliges Beispiel derselben Art bei dem Kometen 1888 I. Am 31. Mai nahm die Helligkeit des Kernes um 1 bis 2 Grössenklassen zu, und aus dem Kopfe des Kometen schössen zwei sehr helle Ausläufer liervor, die sich kreisförmig nach beiden Seiten umbogen (v er^l. Taf. Kig. 3) und den eigentlichen Schweif an Helligkeit Ubertrafen. Henierki niuss noch werden, dass der Lichtausbruch zwei Monate nach dem Durcligan^];e durch das Perihel stattfand.
Lichlausbruche, welche sich durch mehr oder weniger schnelle, oft durch plötzliche Vermehrung der Helligkeit des Kernes äussern, ohne das sonstige Aussehen des Kometen wesendich zu verändern, sind bereits mehrfach beob- achtet worden.
Der Komet 1884 1 (No. 134) war bis zum 22. September 1883 stemartig, von der 12. Grösse* Am 2$, September stieg seine Helligkeit auf die 8. Grössen- kiasse; der Kern war aber dabei nach Schiaparelu nicht sternarüg, sondern
hatte einen erkennbaren Durchmesser und verwaschene Conturen. Am 25. September hatte sich der Kern ganz verloren, nnd der Komet bildete einen sehr heilen Nebel; hierauf fols^te rasche Abnahme der Helligkeit; am 1. Januar 1884 bildete der Komet nach Beobachtungen in Pofsiiam einen feinen Lichtpunkt mit schwacher Ausstrahlung; 1^ Stunden später war an Stelle des Kometen ein
>) BxstiL'i Wcrice, Bd. I, pag. 64.
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Ronctcn und Uctcofc«
59
Stern 7. Grösse getreten; von 7* 20"« bis 8* 10»* M. Z. Potsdam fand eine weitere Zunahme der Hel!i«;keit statt; dabei trat das continiiirltche Spectrtim ausser- ordentlich stark hervor, während das Bancknspectruni bedeutend zurücktrat. Auch am 13. und 19. Januar war das continuirliche Spectruni besonders hell (der Komet ging durch sein Perihel am 25. Januar).
Der Komet (321), entdeckt am 6. November 1892 bereits lange nach seinem am 13. Juni erfolgten Periheldürchgange, wurde am 14. Januar 1893 noch als ein mit Schwierigkeit zu erkennendes Object von Hough in Evanston gesehen; am 16. Januaf wurde er aber von Kobold in Strassburg, sodann in Nordamerika wieder als ein fixstemartiges Object 8. Grösse mit einer Nebelhttlle von Durchmesser gesehen, und am 33. Januar war seine Helligkeit noch 8 Grösse.
Obgleich die mächtige Schweifentwickelung der grossen, mit freiem Auge sichtbaren Kometen jedenfalls zu den grossartigsten Naturschauspielen zu zählen ist, so bieten sich für den Astronomen bei ^pwissen Kometen noch viel merk- würdigere Erscheinungen dar: die Theilungen der Kometen.
Theüungen von Kometen wurden schon in doppelter Art beobachtet: Theiiungen des Kernes, wobei die sauimiiiciien Kerne in derselben Nebclimiie eingeschlossen waren, sodass der Kopf des Kometen aus einer Coma bestand» in welcher sich mehrere Kerne befanden; und Theilungen des Kometen in mehrere Theile, von denen jeder ans Coma und Kern bestand.
Offenbat kOnnen die bereits ftfiher erwähnten Kometen mit mehreren Kernen» sofern diese deutlich begrenzte Lichtpunkte bildeten, ebenfalls zu denjenigen Kometen gerechnet werden, welche vielleicht ursprünglich ebenfalls nur einen Kern hatten, bei denen man aber die Theilung nicht beobachten konnte, weil sie vor dem Sichtbarwerden des Kometen stattfand.
Schon Aristotele«; berichtet in meiner »Meteorologia < Kap. VI, dass Demockit voii der Er&ctiemung von in Sternen aufgelösten Kometen spricht. Die Mittheilung ist aber zu unbestimaU und von keiner anderen Seite bestätigt, um derselben grosses Gewicht beizulegen. Ueberdies muss bemerkt werden, dass Theilungen von Kometenkemen in Anbetracht der Kleinheit des Kopfes nicht wohl mit freiem Auge wahrgenommen werden können^}.
Wohl die erste beobachtete Theilung eines Kernes ist die von Hbvbl in seiner Kometographie^ berichtete Theilung des Kometen von x6i8. Die aus* ftttirlicbsten Beobachtungen rühren von Cvsatus her, der dieselben folgender» maassen beschreibt:
Am 8. Deccmber war der Kern bedeutend grösser geworden und nicht mehr rund, sondern in drei oder vier unregelmässige, kugelförmige Figuren getheilt, die aber mit einander verbunden waren (qtiales solent apparcre Saturni comites).
Am 17. December waren an Stelle des Irüb.er festen Kernes einige kicme Sterne getreten, welche am 18. noch deutlich getrennt gesclien wurden.
Am so. December, Der Kern scheint aus mehreren Sternen zu besteben, von denen sich drei durch besondere Helligkeit auszdchnen.
Am 24. December. Kern und Schweif wurden grösser, aber weniger hell; von den drei hellen Punkten wurde nur mehr einer gesehen; die ttbrigen Kern- punkte schienen an Zahl gewachsen, aber mehr zerstreut.
1) ifan beadite aar, dau tchoo ein «ieoklidi scharfies Auge data gehört, uni die Sterne * nnd 5 Ljrrae, welche etwa 3^' von einander entfernt sind, oder selbst die beiden Stemc a, und ex, Capriconi, wddie ca. 6^' von einander entferat sind, getrennt <u sehen.
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6o
KoncMn und Metcotc;
Auch Gottfried Wendelin hat eine Theilung in 3 oder 4 Theilc gesehen i).
In der ^ncen folgenden Zeit blieben diese Beobachtungen ganz unbeachtet Erst 1846 trat eine noch viel auffälligere Eracheinang auf: die Theilung eines Kometen in zwei andere, von denen jeder lUr sich einen voUkommenen Koneten mit Coma und Kern darstellte. Es war der BiBLA'sche Komet von 6*7 Jahren Urolaufszett, welcher nach seiner Erscheinung 1832, in welcher er nichts aufßilliges darbot (bei seinem Periheldurchgange im Jahre 1839 wurde er nicht gesehen) bei seinem Wiedererscheinen 1845 (Periheldurchgang 1846 Februar ii.) in zwei Kometen zerfiel. Schon am 19. December 1845 nahm Hind eine Verlänpenmg des Kometen wahr; Encke sali den Kometen am 21. December noch ungetheilt; erst am 29. December wurde er, zuerst in Amerika, bestimmt getheilt gesehen. Mauky in Washington beobachtete noch einige Zeit nach der Theilung eine eine Verbindung zwischen beiden Kometen bildende Strahlenbrücke; die Ent- fernung der beiden Kometen, von denen der kleinere nördlich voranging, stieg bis sum so. Februar auf 6' Distans; Ende Mftrs war der kleinere annchUMtr geworden, Mitte April auch der grossere, folgende. Bei der nächsten Wiederkehr 185s wurde der Komet am 95. August von SaccHi entdeckt, suntichst aber nur einfach; erst am 15. September wurde, ebenfalls von Seochi« auch der andere Theil in Entfernung gefunden. Die Entfernung war also jetzt, entsprechend seiner geocentrisclicn Distanz, auf 2^ MiUionen Kilometer gestiegen; doch fanden sowohl HunuARD als d'Arrest bei ihren Berechnun/^en der Bcol^achtungen, dass das Maximum der Entfernung sowohl i8}6 als 1852 im Penhel stattfand, d. h, dass die Kntfernung bis zum Ferihei wuchs, und nachher während der Zeit der Beob> achtungen wieder etwas abnahm.
Die beiden Theile wechselten wiederholt die Helligkeitsverhältnisse, waren Itberhaupt siemlich lichtschwach und schwierig zu sehen, und worden nur in Rom, Cambridge, Berlin und Fulkowa beobachtet. Am 28. September war der Komet verschwunden, und ist in den folgenden Perihelien nicht wieder gesehen worden.
Ueber die muthmasslicbe Wiedererscheinung desselben im Jahre 1896 vergL
I»g> 73-
Das zweite bestimmte Beispiel eines Doppelkometen bot der Komet (216); derselbe wurde am 26. Februar 1860 von Ltais zu Olinda in Brasilien entdeckt, konnte aber nur durrh 7 Tnj'e I^cobnchtet werden Ppf^ürLK hat aus den Beobachtungen die Bahnen der beiden Köpfe gesondert berechnet.
Ein besonders auüalliges Beisjiiel von Kerntheilungen bot der Komet (281); er ging am 17. September 1882 durch sein Perihel in einer Entfernung von 0 0077^ Erdbahnhalbaxen, d. i. nahe 1157000^ vom Sonnenmittelpunkte, also fast in BerQhrung mit der Sonnenoberfläche. Er erschien so hell» dass er bei Tage in der Nähe der Sonne gesehen wurde. Fihlay und Elkin beob- achteten am Cap der guten Hofihong am 17. September seine Berflhrung mit dem Sonnenrande. Beide beobachteten den Eintritt des Kometen in die Sonnen- scheibe wie ein Verschwinden hinter der Sonne; auf dieser war keine Spur
') Hier muss auch der Kr'-chcinung des Komctt-n \on 1652 gedacht werden, von welchem HEVii.L berichtet, dass er in Amerika von Pater Jon. KüNiCK, und auch in Europa b«i seinem Endici&ea, aa« mdireren Komcteik bcftebeinl gesehen wurde, die lieh spKtcr vcreiatgtca (L c. peg. 351). Dan der Komet mehrere Kerne halte, wurde aUerdings «udi von Hbvrl lelbtl (ibid. pag. 889) und von Bi^LLIALOUS (ibid. pa^:. ^qo) beobachtet; allein von einer späteren Vereinigung der Kerne ist dabei keine Rede. Auch sind Erscheinungen dieser Art später nie wieder beobachtet worden, und muss diese l'hatsache vorläu6g bis auf weitere Bestfttigungen mit gros^er Reserve aufgenommen werden.
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Kometen und Meteore.
des Kometen xn seheo, «äbtend die Rechnung ergab, das« die BeolMchtong einem Durchgange des Kometen vor der Sonnenscheibe entsprach. Finlay verfolgte
den Kometen an einem sechszölligen Aequatoreal von 4* 40'" M. Z. Cap; um 4* dO»* 58^ M. Z. Cap war der Komet plötzlich verschwunden; 3 Secundcn spater glaubte er noch einen Schimmer desbclljen zu sehen, aber war dessen nicht mehr sicher. Elkin beobachtete am HcUomcter das Verschwinden des Kometen ain Sonnenraiide um 4'' 60^ 52*; 4^ vorher war der Komet noch deut- lich » sehen er vergleicht die Beobachtung mit der Bedeckung eines Sternes 4. Grösse durch den hellen Mondnmd.
Statt der zahlreichen Beobachtungen Ober die Theilung des Kernes genügt es, die folgende Zusammenfassung der Erscheinungen von Kreutz ansuftthren^):
»Bei der Entdeckung des Kometen September 8. war der Kern durchaus rund, 1<K* — 15" im Durchmesser. Mit der Annäherung an die Sonne nahm derselbe eine stetig stemähnlichere Gestalt an; September 17., ^ Stunde vor dem Eintritt in die Sonnenscheibe, betrug der Durchmesser nur mehr 4", desgleichen am nächsten Tage bei Gelegenheit des Durchganges durch den Meridian am Cap der guten Hoffnung; September 21*0 M. Z, Berlm wird der Kern zuerst von VE BERNARDifeRES als oval notirt. September 22'2 betrug nach den Messungen ScHABERLEs die Ausdehnung desselben in der Längsaxe n"'9, in der Breiten- aze 4''-a.
Gegen Ende des Monats wurde die Verlängerung allgemein bemerkt; Sept. 30*7 entdeckte Finlay zuerst zwei Lichiballen im Kopfe des Kometen und damit die ersten Anzeichen der vor rieh gehenden Trennung des Kerns in
einzelne Punkte.
Die weitere Entwickelung in den Monaten October und November wird von
den Beobachtern je nach der optischen Kraft ihrer FemrÖhre abweichend geschildert Die 7ahl der sichtbaren Kernpunkte variirt zwischen 2 und 6, stets aber waren de iin nac Ii folgenden mit (2) und (3) hezeichneten") bei Weitem die hellsten, und von beiden wieder (2) der hellere. Die Identificirung der von den verschiedenen Beobachtern gesehenen Punkte unter einander ist nicht immer leicht . . . Von den einzelnen Bescltreibungen scheint mir die von Eddie in Grahamstown am besten dk Entwickelung der Kernpunkte wiederzugeben.
Vom Monat Dezember ab waren die einzelnen Kernpunkte, so weit flber- haupt das Schwflcherwerden der ganzen Nebelmasse ihre Sichtbarkeit noch er- laubte, in Folge der zunehmenden Ausdehnung der ganzen Kemlinie inel leichter von einander zu unterscheiden als früher, und ihre Identification kann von jetzt ab keinen Schwierigkeiten mehr unterliegen. Die relative Helligkeit der einzelnen Punkte erlitt in.sofern gegen früher eine Aenderung, als jetzt allmählich der Punkt (3) den Punkt (2) an Helligkeit erreichte und ihn übertraf, sodass derselbe in der späteren Sichtbarkeitsperiode im Gegensatz zu den trüheren Beobachtungen fast ausschliesslich den Ortsbe^tinlmungen zu Grunde gelegt wurde. Charakte- ristisch ist noch die zunehmende Entfernung der Punkte (1) und (2), die nach und nach die relativen Entfernungen der anderen Punkte untereinander bei weitem überwog. Im iMafe des Monats März 1883 wurden auch fllr die stärksten Fernrohre die Punkte unsichtbar; die wen^^en Ortsbestimmungen, welche noch angestellt wurden, beziehen sich meistens auf eine schwache Verdichtung nahe der Mitte der Kemlinie . . . Dass die Länge der Kemlinie bd den verschiedenen
<) •Untersuchungen Uber dM Komctcotyttem 1843 I, 1880I and i88sll«, LTheil, pag 93* s) VcfgL die Fig. »öi.
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6«
Kometen iib^ HcteoiVt
Beobachtungen <;o sehr variiit» darf bei der Unbesdmiiitheit der Enden derselben nicht weiter belrenuien«.
Ausser dieser Kemtheilung, welche nur im Fernrohr sichtbar war, traten bei diesem Kometen überdies Nebenkometen auf, die, wenigstens theilweise,
Süd
AnblidK des Kometeo im omkehrendeD Femrohre fOr «fdiclie Stundcnwinkel ittr wcstticlie Stondcnwinkel
(Aufgang TOT der Sonne; vor dem (Untergug nach der Sonne; nach dem
Periheldurchfjange) Perihcldurchgangc) nachKKBUTZ (»UDtersucbungen Uber das Komctensjrstem 1843I, 1880I und
lA. 254.)
sogar mit dem freien Auge gesehen wurden. Am $. Oktober soll sich der Komet angeblich in Escuintla (Guatemala) vor den Augen der Passagiere eines Dampfers in fünf deutliche Körper zertlieilt haben. An demselben Tage um 4* Morgens, frtiher, sah Markwick in Pietermarit/burg südlich, dem Kopfe vorangehend, in einer Flntfernung von 1 1" zwei ncljtlartige Gebilde, die er aber an den sjjateren Tagen nicht mehr finden konnte. Am 10., 11. und 12. Okiober Morgens sali Schmidt in Athen einen Nebel, der an der Bewegung des Hauptkometen im GroMNm und Gänsen theilnahm, sich aber von diesem täglich um eont 1' entfernte. Diesen Nebenfcometen bemerkte Hartwig ebenfalls mit einem kleinen Handfemrobre auf der Reise nach Buenos Ayres, an Bord des Dampfers »Petropolisc.
Am 14. Oktober morgens sah Barnard in Nashville südwestlich von dem K-ometön in der Entfernung von etwa 6^ sechs teleskopiscbe Nebel mit Anzeichen
von Verdichtungen in der Mitte.
Am 21. Oktober bemerkte Brooks in Plielps 8" östlich vom Kometen einen schwachen Nebel von etwa 2^" Länf;e, mit einer deutlichen Verdichtung an der gegen die Sonne zu perii htelen Seite; diesen Nebel sah er nochmals am 22. Oktober, obzwar bedeutend schwächer und kleiner.
Endlich sah DB Ouveira-Lacaillb am 16. November in OUnda (Pemambuco), 6^ sttdlich vom Kometen eine kleine Nebelmasae von sphärischer Form und schwacher Verdichtung in der Mitte.
Der Komet 1883 1 zeigte Anfangs April nach Pkitchbtt im Kopfe zwei sehr nahe bei einander liegende Concentrationspunkte.
Der bereits wegen seiner bedeutenden Aenderungen im Schweife erwähnte Komet 1888 1 war auch in dieser Richtung merkwürdig. Am 19. MSrz sah CharI-OIS in Nizza nebst dem Hauptkern 8. Grösse einen zweiten Kern 11. Grosse, und am 27. März Cruls in Rio de Janeiro noch einen dritten Kern. Alle drei Keine waren von einer gemeinschaftlichen Coma umgeben. Bei dem Lichtausbruche
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Kotneien tnid Meteore.
«3
rem 31. Mai blieben die drei Kernpunkte unverändert siebtbar; sie wmden com letzten Male am 4. Juni, wieder von Charlois in Nizza gesehen.
Auch bei dem Kometen 1889 IV trat nach Ricco in Palermo Anfangs August eine Verdoppelung Hes Kerns, am 11. August eine Dreithcilung auf.
Auch mag bemerkt werden, dass die bereits erwähnten T.ichtanscliwellungen, welche die photographischen Aufnahmen der beiden Kuuicten 1892 I und 1892 III zeigten, hierher zu zählen sind. Mehrfache, isolirte, also wahrscheinlich plötzlich auftretende und rasch verscbwtndende Kebelmassen in der Nähe des Schweifes, ähnlich denjenigen bei dem Kometen (381), wurden auch bei den photographischen Aofiiahmen des Kometen 1895 IV beobachtet.
Getrennte, den Hauptkometen begleitende Kometen wurden beobachtet bei dem in mehifacher Beziehung interessanten Kometen (809). Am i. August 1889 hatte Barnari) in Nashville zwei Begleiter des Hauptkometen A gefunden, welche er B, C nannte; jeder der beiden Begleiter hatte einen sehr kleinen Kern in einem kleinen Koi)fe (a very small nucUus and condertsation in a very small head)^) und einen kurzen, feinen Schweif, und bot so ein vollständiges Abbild des {.'rossen Kometen dar. Es war absolut keine nebelartige Verbindung (mbuiüus connection) zwischen dem Kt-ineitn und den Begleitern, weder l\xx Zeit der Entdeckung noch jemals später, weder in dem 12-Zöller noch in dem 36 Zdller zu sehen. Aug. 4. entdeckte Barnard noch 2wei andere Begleiter D und jß; welche bedeutend schwächer waren und nur in der Nacht der Entdeckung gemessen, später nur selten und schwer gesehen wurden. Vom f.— 5. Aug. entfernte sich By,A tägl. um 0"'93; v. 16.— «4. Aug. tägl. um 0"'20
Die Entfernungen betrugen: Aug. 3: = 6^" 48 Aug. 38: .^.«4 7.^' 22
CA = 263"-46 CA ^ 328"-i4
Am 4. August war die Entfernung CD — 78"; CE = 156".
Der hellste von den Begleitern war C\ am 2. August hatte C bereits die Helligkeit von lA, wurde immer heller, und war Ende August heller als der Haupikomet A, ubzwar bedeutend kleiner. Seit Mitte September wurde er immer grösser, aber minder hell und verBchwand Ende November. B war An- fimgs etwas heller als C, verlor aber bereits Mitte August an Helligkeit, und verschwand schon Mitte September.
Der Komet wurde im nächsten Jahre nochmals in der Opposition beobachtet^ von den Nebenkometen wurde aber dabei keine Spur gesehen.
Für den Kometen (281) hatte Kreutz 16 verschiedene Elementensysteme abgeleitet, je nachdem der Schwerpunkt in den verschiedenen Kernpunkten an- genommen wurde, die Beobachtungen vor der Theilung ausgeschlossen oder berücksichtigt wurden, u. s. w , denn die Kenn'niss des wahren Schwerpunktes des Systems konnte selbstverständlich aus den Beobachtungen nicht erlangt werden. Allem dem Wesen nach kommt diese Untersucl'ung darauf hinaus, die Bahnen der einzelnen Kernpunkte zu untersuchen-); die Resultate sind im Folgenden zusammengestellt *) :
') A«tTonomical Journal, Bd. 9, png. 77.
£s ist dabei zu beachten, dass die Coefhcienten der Normalgleichungen fut alle Kero- puakte dieselben siod, und nur die absolaten Glieder um die Rectasceosions- bezw. Deklioatioas- Diffmas der beiden Funkte in iadera sind; es wird dieM» Bofint klar, wenn man bedenkt,
c B. die Bahn des Pnnktes (8) «us derjenige» dci Pnttktes (3) M> erhalten werden Icmhk als ob die Beobachtungen von (2) um die Beobachftmgs^erensea (8) — (i) fehlerhaft wttrcn.
^) KaxuTZ, L c, II. Theü, pag. 35 ff.
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«4
Kometen und Meteore.
er
a ^
. < • • oo CO
Elemente mit Berücksichtigung aller Beobachtungen für die Punkte:
(I)') (2) (S) (4)
r= 1882 Sept. 17-261318 17'2<;iH08 17-261298 17-261291
«» s 69"35'i5"-4 69° 35' 16 ' ü 69" 35' U"-2 69" 35' 2"-8
^ «= 34e 0 39-9 346 0 38 8 346 0 33'4 346 0 SO'6
141 59 45*3 141 59 44*3 141 59 43-5 141 59 88*4
hgq^ 7*8693086 7-8893177 7-8893361 7-889S473
0-9998987 0*9999078 0*9999153 0*9999199
76*67 84*14 91*48 97 00
Uwm 671*3Jahre 771*8Jahre 875-OJahie 955*8Jahie
Elemente mit Ausschluss der Beobachtungen vor der Theiluog für
die Punkte:
(1)«) (2) (3) (4)«)
r= 1883 Sept. 17-259805 17-262826 17-260737 17-259G59
69'*35'24"-5 69^34' 3.V'-0 69" 35' 45" 5 G0"3.V34"-2
B 346 0 42-7 345 59 58 7 346 0 56 5 346 0 42-7
141 59 44*6 141 59 32 2 141 59 48*7 141 59 44*6
7-8895744 7*8889619 7*8897746 7*8897581
e = 0*9998983 0*9999077 0*9999158 0-9999306
76*33 83-98 93*30 97*80
665*6 Jahre 769*7 Jahre 886'8 Jahre 967*3 Jahre
Aus den Beobachtungen vor der Theilung ergab sich für den ungetheilten Kern:
o*
1^
i88s Sept. 17*3611873 Uf^q — 7-8888971
» = 69" 54' 36"-3 , a * — 0 9999407
ft= 346 0 52-9 l^'^'i!?' 130-9
I« 141 59 43-0 I CT« 1497 Jahre
Man sieht hieraus, dass nach der Theilung jeder der Kernpunkte eine andere Bahn beschrieb. Der Haupteinfluss der Theilung zeigt sich auf die Excentricitflt und mit dieser, da die Feriheldistans nur unwesentlichen Veränderungen unter- worfen ist, auf die grosse Axe und die Umlanfszeit In dieser Richtung aber ist bemerkenswerth, dass man nahe dieselben Werthe erhalt, ob man die Beob< achtungen eines Kernpunktes mit Rücksicht auf die Beobachtungen vor der Theilung oder auch mit Ausschluss dieser Beobachtungen bestimmte, dass aber für die verschiedenen Kernpunkte die Differenz sich nicht in demselben Sinne erfrnb. Die Excentricitut war am kletns»cn für den der Snnne nächstpele^cnen Kernpunkt, und um so giösser, je weiter der l'unkt von der Sonne entlernt war, ein Resultat, welches <? priori erklärlich ist, da man, wenn nicht die Resultate durch Beobachtungsfehler entstellt sind, für den von der Sonne entfernteren Punkt eine grössere Umlaufszeit finden mnss. Man kann nämlich annehmen, dass im
') Mit (1) ist dabei der der Sontie uüchste KeTn{iunkt bezeichnet (vcrgl. Fig. 254).
*) Bei diesen Bahnen der Punkte (1) und (4) wurden dabei fUr die Lage der Bahn keine ConcctioDCn getoclit; und / sind d«hcT die Ausgangselemcnte. Die Beseidmung der Elemeote ist die allgemein OMtehe, sss Linge des anfsteigcndco Knotens, i = NeigvDg der Bahn, m » Abstand des Perihels vom Knoten, t, ■= Länge des Perihels; a = halbe grasic Axe , e = E^centricitüt, / » Parameter, f ^ Peribeldistaoz, T » Zeit des PcriheldurdifUifes U Umlaufszeit, •
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Kometen und Ifcleote.
«5
Perihel die Kernpunkte noch dieselbe Geschwind^keit v bitten; da nun (vergL die »allgemeine Einleitung in die Astrcmoinie«, pag. 135)
• — = — — ff* a r
ist, 90 «ixd 0 timso grfieier, je grdaser r ist» und da
folgt, so werden bei grossen Werthen von a und kleinen r die Unterschiede in den grossen Axen sehr beträchtlich. Nimmt man a = 88 und für das Perihei togr = log q ^ 7-889, so wird Aa = 260ÜO0UUÜ oder (tir = 0-0000018 ent- sprechend einer Aendernng von log q um eine Einheit der 4. Decimale wird d<2 = 471; eine derartig starke Diffeienz zeigt sich aus den Beobachtungen nicht.
Aus dem Gange der Differenzen in den Excentricitäten kann man aber lolgern, dass ein in der Nähe von (2) gegen (3) hin gelegener Punkt eine Bahn beschrieb, die sich sowohl unter Berücksichtigung als unter Ausschluss der Beobachtungen tot der Tbeilung voUstttndig idcntiBcb ergeben wttrde; da jedoch die Bahn vor der Theilung eine wesentlich verschiedene war, so ISsst sich faiet^ ans immerhin noch ksin weiterer Schluss auf die Lage des Schwerpunktes sieben. Denn fttr den Schwerpunkt mUsste sieb eben die Bahn vor und nach der Theilung identisch ergeben; die Differenz kann aber von der Wirkung äusserer Kräfte, welche möglicherweise auch als Ursache der Theilung ansusdaen sind, herrühren, und mUsste sich, wenn die Beobachtungen vor der Theilung hinreichend zahl- reich wären, um die Elemente aus dieser Zeit für genügend sicher zu halten, vollständig heben lassen, wobei auch unter Bestimmung der wirkenden Kraft die Differenzen zwischen den Bahnen der einzelnen Kernpunkte erklärt würde.
Bei dem Kometen (;i09) war die Theilung nicht beobachtet worden; die Nebenkometen waren schon als Begleiter entdeckt worden. Chandifr be- stimmte nun die Bahnen der Nebenkometen Für die Elemente des Haupt- kometen A wurde angenommen:
r= 1889 Sept. 30 0119 M. Z. Greenw. <? = 0*470704 «— r26'i7"3 1„. , . « = 3-684682
a - 17 58 45.3 ''"1^1^" ^ = 1-1>Ö02S9
6 4 10-5 1 " CT« 7 0780 Jahre
Fflr den Begleiter C waren 155 Positionen, Qber den Zeitraum von 114 Tagen vertbeilt; und von 16 Beobachtern beobachtet, gegeben ; viel weniger gut war der Begleiter B bestimmt; flir diesen waren nur 28 Beobachtungen auf der Lick* Sternwarte und '6 Beobachtungen von Wien, vertheilt auf einen Zeitraum von 85 Tagen, vorhanden, wobei nebst der Kttrse der Zeit noch der zweite UebeU stand auftrat, dass die Beobachtungen vom Mount Hamilton und Wien von ein» ander stark abwichen.
Für den Begleiter C ergab sich das Resultat, dass die Differenzen Aft, iir>d \e gegen die Bahn des Hauptkometen verschwindend klein waren; Chandler nimmt daher an, dass A^l, = A/=0 wäre, woraus der Schluss folgt, dass die Kraft, welche die Trennung bewirkte, in der Bahnebene wirkte'). Unter dieser Voraussetzung folgt für den Begleiter C:
Astfononiicat Jounal, Bd. 10, p«g. 153» ^ Eine VonuuMtnnig, wdcke 'such Mhon von KaauTZ b«Uc1uichHgt wuide, indem icm« IV' ttätsr der AonahsM «fam ttsgetndertca j% und t ■hgekitet nnd.
S
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Komctm tud Mcleoie.
Äü) = — .')55"'46; ^e = 0. Für den Begleiter £ nimmt Chandler sofort an, dass die Bahnlage nicht geändert wurde; unter dieser Voraussetzung findet sich:
4» » 4- 32"-95 1588 -03 AT; ^e ^ — 0 000456 — 0-000^551 äT
— — 0-000153 — 0 0014133 AT.
Nun wurde auch hier die Voraussetzung geoMiidi^ dass die Fonn der Bahn dieselbe ist^ also A/ « 0 wäre; dann folgt:
AT* V — 0^697 Af -i + 0-000831 A» — 1074".
Daas hier der Einiliiss von e viel geringer ist als bei dem Kometen (SSI) bat seinen Grund in der Form der Bahn selbst: der Komet (309) beschreibt eine Ellipse mit kurser Umlaufszeit, wobei auch starke Aenderangen in der Escentridtät nicht so merklich hervortreten.
Unter der Annahme, dass die Theilung in der Bahnebene selbst statt- gefunden habe» leitet BuDicimt iQr den Begleiter £ dessen Bahn ab und findet
Ar» + 7^*8987 A|i » -h 0"-000SS5
Äff -> + 3** 18' 82" Af - + 7' 5r'-3.
Berechnet man die Schnittpunkte der Bahnen der beiden Begleiter Cund £ mit dem Hauptkometen, so findet man fflr beide nahe denselben Punkt in der N&he des Aphelsi). Die Entfernung des Aphels ist aber flir diesen Kometen 0 (1 H- 0 5-42, also sehr nahe gleich der Entfernung des Jupiter; in der
That war der Komet im Jahre i886 dem Jupiter sehr nahe gekommen, und hatte durch diesen bedeutende Störungen in seiner Bahn erfahren, und ist es daher denkbar, dass auch die 1 heilung des Kometen durch die Wirkung des Jupiter hervorgebracht worden war.
Die Kometen erscheinen auf kurze Zeit und verschwinden meist, um nie wiederzukehren: ihre Bahnen sind sehr nahe parabolisch. Sie scheinen daher nicht dem Sonnensysteme anzugehören, sondern fremde, im Welträume herum- irrende KOiper zu sein, welche nur dann sichtbar werden, wenn ae in das Bereich der Sonne gelangen, so dass die Anziehung derselben hinreichend krftfijg ist, nicht nur um ihre etwaige geradlinige Bahn abzulenken, sondern auch, um sie soweit anzuziehen, dass sie in die Sonnennähe kommen und hier durch die Wirkung der Sonne (Licht, Wärme etc.) sichtbar werden. Aber nicht nur die Sonne fibt eine anziehende Kraft auf die Kometen aus; eine qualitativ gleiche, abt-r nach Maassgabe der Masse viel schwächere Anziehung üben auch die Planeten aus, und es ist daher möglich, dass auch durch die Anziehung der Planeten, bei hinreichender Annäherung an einen derselben, der Koiuct der Sonne zugeführt, in eine weit geringere Periheldistans gebracht wird. Es sind daher im Folgenden Wirkungen zweierlei Arten zu untersuchen: die Wirkungen der Sonne und diejenigen der Planeten.
Die Wirkung der Sonne äussert sich zunächst durch die allgemeine Atlractton als eine den Kometen dem Sonnensjrsteme näher bringende Kraft.
Der Werth dieser Berechnung darf nicht Sil hoch angeschlagen werden; denn bei 4er
kleinen Verschiedenheit der drei Bahnen hat man e« nothwcndij^ mit <!ehr •;chicrcn Schnitten stt thun, die DatuigcmäM kcinwfalU auf irgend welche Sicherheit Anspruch erheben können.
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KoBclm und Mtteow»
«7
Die Bnhn, welche der Komet um die Sonne beschreiben wird, hängt nur ab von der Geschwindigkeit, welche er in einer gewissen Entfernung hat; ist v die Geschwindigkeit des Kometen in der Entferoung r, so würde die grosse Me der Bahn bestimmt durch
und die Bahn wird eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem sich a positiT, Null oder negativ ergiebt. Unter der Annahme, dass v alle möglichen Werthe haben kann, würde es also auf den ersten Blick scheinen, dass aUe möglichen Bahnen gleich wahrscheinlich wären. Dabei ist aber su buchten, dass ftir r ein bestimmter Werth nicht wohl angenommen werden kann; wo beginnt denn eigentlich die Wirkung der Sonne auf den Kometen merkbar zu werden? Strenge rrenommen wirkt die Sonne, sowie jeder Körper auf jeden anderen selbst in un- endlicher Entfernung, nur mit ausserordentlich geringer, der Null gleich zu setzender Intensität, Die Bahn des Kometen kann dann noch immer geradlinig, oder wenigstens äusserst nahe geradlinig bleiben, mit so geringen Abweichungen, dass dieselben sich der Beobachtung, wenn eine solche möglich wäre, völlig entaehen würden; aber eine Wirkung ist vorhanden. Aus diesem Gmnde moss also ftlr V die Geschwindigkeit in der geradlinigen, noch nicht von der Sonne gestörten Bahn des Kometen, also 9Sa r der Werth oe gesetzt werden; dann
wird ^ = — v'^f d. h. alle Kometenbahnen würden hyperbolisch sein.
Betrachtet man aber die Bahnclemente der beobachteten Kometen^), so wird man eine verhältnissmässig sehr geringe Anzahl von hyperbolischen Bahnen finden. Dieses hat bereits Laplace veranlasst, unter Anwendung der Wahr- ücheinlichkcitsrechnung i\x untersuchen, welche Wahrscheinlichkeit daiur besteht, dass eine Kometenbahn hyperbolisch sei; er findet diese Wahrscheinlichkeit äusserst gering^}, indem unter 8264 Kometen nur immer eine hyperbolische Bahn beschrieben wird, deren grosse Halbaxe gleich oder kleiner als 100 wttre, d. h. welche sich von der grossen Halbaxe oe (Parabel) merklich entfernt Die späteren Untersuchungen von Schiapahblu*), Sesugbr^), Niessl*) u. A., welche mehr oder weniger weitgehende Voraussetzungen über die Vertheilung der Kometen- bahnen, deren Perihele, über die Eigenbewegung des Sonnensystems etc. machen, führten zu theilweise einander widersprechenden Resultaten über die Wahr- scheinlichkeit des Auftretens von Bahnen der drei verschiedenen Kegelschnitts- formen. Eine befriedigende, in dem Sinne der durch die Beobachtungen ge- gebenen Erfaliningen liegende Beantwortung der Frage ist bisher unter der An- nahme des stellaren, d- i. nicht zum Sonnensysteme gehörigen Charakters der Kometen noch nicht gegeben: die Beobachtungen ergaben bisher ein merk- wtediges Hervortreten einer bestimmten, specieüen Bahnform, in welcher Ver- theilung allerdings durch die in neuester Zeit entdeckten Kometen eine kldne Verschiebung einzutreten b^innt.
*) VergL hierzu das Kometenvenccichniss am Schlosse des Werkes.
CoBMiHMO«» Tcnpt ftr tSi6. pag. 213. ^ Eatwoif einer Mironoidsehcn Theorie der SteimduiiqipcB, peg. s6i«
AstTon. Nachrichten No. 2968. •) Aatraa. Nachikhlen Ko. SS84.
f
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6»
Von den 578 erwähnten Kometen, welche bis 1799 gesehen worden waren sind nur für 135 Erscheinungen zusammen 122 Bahnen berechnet, indem sich 13 Er- scheimmgen auf den periodischen HAi.LLv'schen Kometen und 2 Kr.rr.LMnungen auf den ])eriodischen PoNS-ENCKE'sclien Kometen beziehen. Unter diesen 122 Bahnen sind 8 elHptiscli mit grossen Halbaxen kleiner als 10, 5 elliptisch mit grossen Halbaxen grösser als 10, und 2 hyperbolisch. Ueber die 284 Er- scheinungen bis 1895 giebt die folgende Tabelle Anfschlus«.
a V
In der Zeit
Von 1801 bis 1830 „ 1831 „ 1850
i8si
1861
t ?7 t i88i l«9t
n
1860
1870 1880 1890 1895
8v o SP
II " g
wurden Kometen entdeckt, deren Bahnen sind:
Ellipsen mit Halbaxen
Ideiner «Ii 10
•Is 10
7
10 10
7
13 10 7
2 S 1
8 I
8
5
U IS 18 <
8
9 3
Pmnbdn
Hjpeibeln
35 Sl 16 SO 17 H 8
S S
Ibnlicbe
88 88 80 S6
25 35 11
E B S
47 46 41 88 89 58 2S
Zusammen
64
22
61
181
198
884
Hienu mms noch erwttbnt werden, daw ausser den hier angeführten noch einige Versuche gemacht wurden, für einzelne Kometen die Beobachtungen durch hyperbolische Bahnen besser darsustellen. Alle berechneten Hyperbeln
unterscheiden sich von den Parabeln so wenig, dass sie als parabelähnlich su bezeichnen sind: dasselbe gilt von denjenigen Ellipsen, welche in der Columne »Ellipsen mit Halbaxen grösser als 10« aufgenommen sind, wenngleich hier die Grenze etwns ucitcr hinauspest hüben hätte werden können. Unter diesen 61 e11iptiscl>en Bahnen sind 9 mit einer Umlaufszeit von weniger als 100 Jahren; es sind die folgenden:
1) Komet (19); der Hali.fv'scIic Komet; im Jalire 1682 von Fi.amstked am 25. August zuerst beobachtet (naclidem derselbe schon am 23. August von den Jesuiten in Orleans gesehen worden war). Seine Bahn wurde von Halliy be- rechnet, welcher aus der Aehnlichkett der Elemente mit denjenigen des von Apian 153X und von Kepler und Lomgomontan 1607 beobachteten Ko* meten auf die Identität derselben schloss, und seine Wiederkehr iflr 1759 vorhersagte. In der That wurde er, zuerst am 35. und 27. December 1758 von einem Landmanne, Palitzsch, bei Dresden, gesehen, so dass die Zusammen- gehörigkeit der vier Erscheinungen von 1531, 1607, i68a und 1759 unzweifelhaft festgestellt war. Lai (;ier berechnete aus diesen 4 Erscheinungen Elemente, mit denen er die Berechnung des Kometen zu rUck verfolgte und die Identität desselben mit älteren Erscheinungen ft- st/ustellen versuchte. Später wurden diese Rechnungen von HiND wieder aufgenommen; aus den Jahren 1456, 1378, 1301,
') Für die Zeit von iSoo bis 1895 «ind nur diejenigen Kometen berücksichtigt, deren Bahnen bestimmt worden sind; eimcine Kometen, welche nur einmal gesehen wurden, deren Bahn daher nidit bcttiniiDt werden konnte, wwden, wie t dton enridwtt nicht milgeiedinet. Dahin gehttren : der Sonneafintterninkomet von 188s Bfoi 16, 1893 April 16$ ek> von M. Wolp «af den photographttcben Planen 1893 Mir» 19. und so^ gesehenes Objeet vu e. w.| wdche in der ZnMuomen tteUung nicht aufgenomnen sind.
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Kometen und Meteore.
69
1993, ii45t 1066» 989, 913, 837, 760, 684, 608, 530, 451, 373, 395, 3x8, 14X, 66 n. Chr. Geb. und 12 v. Cbr. Geb. sind die Bahnen der Kometen 1456 und 1378, femer die Bahnen der Kometen aus den Jahren 1301, 1066, 989, 837, J41
und 66 n. Cbr. Geh. und vom Jahre 12 v. Chr. Geb. thatsächlich, soweit die rohen Beobachtungen die Resultate als zuverlässig zu betrachten gestatten, von der Bahn des HALLEv'schen Kometen nicht allzu verschieden, obgleich einzelne etwas stärkere Abweichungen zeigen.
Die Vorausberechnung ergab eine Wiederkehr für 1B35, in welchem Jahre er «OH Dumouchbl in Rom am 5. August wieder aufgefunden wurde. Ueber wme Erscheinung in diesem Jahre wurde bereits gesprochen; die Folgerungen, so welchen BsasML gelangte, werden weiterhin besprochen werden. Seine £le> mente^) sind:
1835 November 16. f = 0586 R = 165^48' r = 0-967
Ä = 55 10 ö = 18
i » 162 15 £^»76 Jahre.
Die nächste Wiederkehr wird 19x1 stattfinden*
S) Komet (124) FDiis-Biuioxa; am 30. Juli 18 13 von Poms entdeckt. Arn seinen Beobachtungen 181 3 fimd Enckb, dass die Bewegung in einer sehr ge- streckten Ellipse stattfand; die von ihm gefundenen Elemente ergaben eine Ellipse von nahe 71 Jahren Umlauftaeit; vor seiner Wiederkehr 1883 wurde die Rechnung neuerdings von ScHOLHOF und BosSBST in Parts angenommen, welche fttr den- selben eine sehr ausgedehnte Aufsuchungsephemeride gaben. Indessen wurde cnr unabhängig von dieser Ephemeride am i. September 1883 von Brooks in Phelps wieder entdeckt. Ueber die an demselben beobachteten LichtausbrUche s. pag. 5Ö. Die Elemente von Schuluof und Bossert sind:
T = 1884 Januar 36. f = 0*7757 98" IT'*« 0'95öO
a«-2M 6-7 a= 17-24 1» 74 8'6 71-58 Jahie.
Die nächste Wiederkehr wird 1955 stattfinden.
3) Komet (127); der OLBKRs'sche Komet, den 6. März 1815 von Olbers entdeckt. Auch dieser Komet wurde bald als elhptisch erkannt; vor seiner Wiederke'nr wurde die Berechnung von GiNZEL in Wien wieder aufgenommen, der ebenfalls sehr ausgedehnte Aufsuchungsepiiemeriden gab; er wurde, nachdem er schon 1886 vielfach aber vergeblich gesucht worden war, am 24. August 1887 von Brooks in Phelps, ebenfalls unabhängig von der Ephemetide, neu entdeckt Die aus den beiden Erscheinungen abgeleiteten Elemente sind:
Tm= 1887 OctoberS. ^— 1*1991
r = 149° 52-5 ft= 84 32-3 / = 44 34-3
. * ^ = 0-9311 Mittl, Aequ. ^ _ 17.41
1890*0 72-64 Jahre.
Die nächste Wiederkehr wird i960 stattfinden.
*) Hier sowie im folgcndtii, warn Bichls betomleNs cfwibnt ist: Ifitdeiet AeqiihiMtiiiai <lcr Bpodie.
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70
Kometen und Meteore.
4) Komet (172): der db Vtco'sche Komet 1846 IV entdeckt 1846 Februar ao.
6) 9)
I»
M
(181): „ BRORSEN'sche
(193): „ WESTPnAr,'sche „
(238) ; „ TF.MPKL'sche „
(239) : „ CoGGrAsche „ (270): „ GouLD'sche „
1847 V 1852 IV
1867 i 1880 1
tt II
1847 Juli 20.
1852 Juli 24. 1865 December 19. 1867 Januar 22. 1880 Februar 4.
sSmm^ch nach ihren Entdeckern benannt; ihre Elemente sind:
|
Komet |
r |
1t |
a |
i |
e |
a |
ü |
Zu erwartende Wiederkehr |
|||
|
m |
1846 Mtos |
90 |
»97' |
77« 88' |
85 |
" 6' |
0-6688 |
0^699 |
17*6 |
78-7 |
1919 |
|
181 |
1847 September 9 |
19 |
8 |
809 50 |
19 |
9 |
0-4888 |
0-9789 |
18-1 |
811 |
1928 |
|
198 |
1852 October 13 |
43 |
14 |
346 10 |
40 |
55 |
1-2500 |
0-9190 |
15-4 |
60-7 |
1913 |
|
238 |
1866 Januar ii |
4-i |
24 |
231 2G |
162 |
42 |
0-9765 |
09054 |
10-3 |
33-2 |
1899 |
|
239 |
1867 Jfuiuar 20 |
75 |
59 |
78 28 |
18 |
13 |
1-5773 |
0-8654 |
11-7 |
401 |
1907 |
|
270 |
t88o Januar 27 |
74 |
i4 |
356 19 |
143 |
8 |
00059 |
0-999J |
III |
36-9 |
1917 |
den letsten 6 Kometen ist daher die Urolaufsseit noch nicht durch die beobaditete Wiederkehr bestätigt, doch wird bei allen schon am Ende dieses oder im Anfange des nächsten Jahrhunderts diese Bestätigung erfolgen können.
Der Komet (238) hat ein erhöhtes Interesse durch seinen Zusammenhang mit den Sternschnuppen, und der Komet (270) durch seinen Zusammenhang mit den Kometen 1843 I, 18^2 11 und 1887 I, flir welchen Fall jedoch für den ietzteien die von GouLX» und Kreutz berechneten parabolischen Bahnen eine grössere Wahrscheinlichkeit haben (vergl. auch pag. 55).
Für die Kometen mit kurzer Umlaufszeit soll zunächst eine Zusammenstellung ihrer Elemente bei ihrer Entdeckung und bei ihrer letzten Erscheinung gegeben werden.
— ^
c c
tt) ^ § M
B
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C
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M« B. Zt
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ü
I 1
2 3 4 5 5 5
45 164
65 79 81 84
184
92 9G 96 102 102 102
9{131 131 9181
1678
ISUI
17481
1766 II
1770 I 177^
1852 III A 1839mfi 1788
1786 I 1895 I 1790 II 1858 1 1885 IV
1819 m
1858 U 1898 IV
August 181 Sept 9*6 Jenosr 8*2
April 27 0 August I3'G Febr. 16-7 Sept. 23-7 Sept. 24'0 Nov. 90-0 Januar 30-9 Febr. 4-77 Januar 28*3 Febr. 23 6 Sept. 1118 Jttli 18-9 Mai 2 07 Jtmi 80-98
322" 48' 849 80-8
93 251 356 110 109 108 50 156 158 III 115 116 974 275 76
19-6 13
16- 8 I6ti 53
58-8
17- 4 38
42-32 45 51-6 98*98 41 118 .H8 f> 'll8 11-071104
63" 20' 68 49*6 54-5
11
590 15-6 49-G 58-5 40*5 8
44-8.^ 9
3-2
86 74 131 257 245 245 55 334 334 2G7 269
2*52' 3 54-8 58-7
2 34-5 3 1 83-5 83-8 6-9 36
54-4C!'J
969 49'0S54
11
31-8 4-62
1
8 1
17 12 19
45
13 12 56 54
10
10
0-0589 0 0742 9-9353 9-6010 9-8289 9-9939 9-9346 9-9348 (»•1641 9-5248 ■58 ■)3284^57
38" 50'
38 46 59 51 46 49 49 ä)3
58 '0-0267 24-2 00109 19-75001061 9-8885
9-8859
48
482
55 55
49
49
7-5 9-8
46
49-4
25-7 2-6 7-4
89-1 2
0-4872 0-4914 0-4901 0-4674 0-4988 0-5538 0-5458 0-5476 0-5188 0-3440
48 23'0-34597
10-5
659" -6
649*9
659^8
7C6-1
633-6
524-0
538 7
585-8
588-9 1081-4 1074-108
14 81-57j9-9477l|46 83 08|0-50994
0-7578 j 258 97 14-8«0-75906 957-865 2-5 0*4997 681*6 0-7 0-4955 638-7 609 679
5-38 5-46 5-44
503
5- 60
6- 77 G-59 6-63 6*09 3-27 3-30
13-70 18*76 5*69
5- 56
6- 82
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Ü fc
-53 >
133 I6S 1« lälTI
1-2 171 13 174
189
16|M0
16i44 iU i5l 251 ld<77 19(286 286 30 286 81293 SS 295 SS 295 SS|309 24 310 25|316 26 381 87 328 88387 S9339 80 330
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1819 IV 1843 m 18811
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Nov. 20-3 Odoh. ll'S Jaowr 8S*T
Febr. 25-4 Mfin 30*6 Juni 1-8 Juli 8-7 Sept 17 5 Mai 88-9 Mai 72 Not. 18'8 Nov. 150 Juni 25-2
April 28-3 Sept. 184
Nov. 17.8 Scptcmb.3"5 Juni 6*6 Nov. 22-4 JoBlS^ Sept 80-4 Nov. 29-6 Octob. 26-5 Jnni 13-2 Dec. U-0 F«br. 9*5 OctobcrlS-5|li5 89-9 SS8
67 49 50
116 116 240 322 319 886 238 42 43 306 306 18 806 19 19 229 7 7 1 40 58 345 16 180
19
84*8
77 1809
14 S9-8
48-78 M9 85*4811 19-67 0*84008 88 17-970*58598 468*948 7*57
28 141 7-6 570 14-57 10 16 59
14- 271
6
15- 00 88-8 11-0
10 10-73 460 84-5 59*57 84*98 15*0 S3-7 58-5 526 87-7 19*8
4*8
102 lOl 260 148 146 101 78 296
m
120 121 85
5
206
■m
53 52 58 17
330 45
331
m
84 48 170
41
190
290
25-5
16-53
9 46 46 81-25 57 1009 54*8
9*0 18-5 22-28
3-4 28-9 87*78 59'07 860
5-3 41-2 38-7 81-8 44*6 181
9 11
1
22-5
9-9506 0-2285
30 i9 30 13 15 6 9 5 5 12 12 6 5 25 26 12 3 8 6 10 12 20 31 5 8 8
56
23- 2
24- 4 55-4
9-8130 9-7707 0-1843 0-0695
42-690-1219038
0*9488 87 88*8 9*5179
85 10-1941
46 24
23-23 45
44 37
0-0266
Ü 1284 0-1305333 56
50-7 9-8607 87*6 0*1071
15-7 14-57
560 1-7
14-9 50-4 47-3 125 81-8 57-9 0-3
0-1964 0-20216 ü 1-261 99989
8-039 9958646
4*110-89000
0-1815 0-2595 0-3308 0-1551 0-0597 0-1438 01131
9
48
33
22-4 466
52
54 46 41
90
80-2
4-8 100 16-5 50-30 88*7
loga
U
Jtlir.
0-4547 0-5811
0-4978
0-4916
0-7392
0-5376
0-55034
0*5087
41
10
33
9-3
0-4927
44-780-49537
32-7
0-4777
26-450-47836
85
34
33 37 45
7*1 44-8
7-2
61-68 •27-2 52-8
28
42 28 24 35 44 34 40
31-2 8-5 11-9
17-6 52- 1 39-5
786-9 476-8
4-82 7-44
0*6807 0-4888
0-5539 0-55594 0-5329 0-5465 0-88 0-54783 5*1010-56686
0-5366 0-5594 iO-5331 0-5802 0-5121 0-5710
685-7
649-5 276-2 554 1 530-272 688*1 598*1
647-1 641-189 681-4 679-939 401*7 857*1 523-8 520-1181 563-1 5337 588*809 501*789 415-8 556-0 513 9 562-8 478*4 605*1 498^7
5*58
5- 46 1385
6- 40 6-69 5*89 5*98 5'18 5-53 5-21
5- 22 8*88 5*40
6- 77 6-88 6-30 6-65 6*88 7*07 8-53 6-88 6-90
6- 80
7- 48 5-88 7*19
1) Der LA HiRi-Di Vico'sche Komet Der Komet wutde 1678 von la Hire entdeckt, nach dieser Erscheinung aber nicht wiedetgesehen. Die AehDlichkeit iwiscbeD seinen Elementen und denjenigen des am aa. August 1844 von db Vico entdeckten, veranlasste le VCriubr und BrOmnow zu einer genaueren Untersuchung, welche die Identität der Kometen ausser Zweifel stellte. Nimmt man in der Zwischenzeit 31 Umläufe, so wird die Umlaufszeit 5*86 Jahre. Seit 1844 ist der- selbe aber wieder nicht mehr gesehen worden. In neuerer Zeit wurde auf die ent- fernte Aehnlichkeit seiner Bahn mit denjenigen der periodischen Kometen (285) und (-295) hinfrcwiesen. Der blosse Vergleich der Balincn genügt dabei niclit, da wie bei den Kometen (81), (286) und (309) bedeutende Störungen nicht ausgeschlossen sind. Genauere Rechnungen von Kruecer und Boss ergaben auch, dass diese Kometen nicht ideniiäch waren. Mehr Aehnlichkeit zeigt seine Bahn mit der Bahn des periodischen Kometen (829); nimmt man in diesem Falle 9 Umlaufe des Kometen an» so wttrde sich die Umlauftceit zu 5*618 Jahre ergeben; die genaueren Unter- suchungen von ScHULHOF biertlber sind noch nicht abgeschlossen, scheinen aber die Identität au besatigen.
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8) Der von Grischow 1743 entdeckte Komet wurde ebenfalls später nicht wiedergesehen. Clausen, der seine Bahn berechnete, hält ihn jedoch flir identisch mit dem periodisclicn Kometen (132) und ist der Meinunp, class die betrachtlichen Aenderungen durch eine Störung des Jupiter bewirkt wurden, welcher die Umlaufs- 7,eit von 6-73 Jahre (vor 1758J auf ö"60 Jahre (nach 1817) vermindert hatte (vergl. auch pag. 90).
8) Auch dieser, am i. April 1766 von Hbusnzriedir entdeckte Komet, ist nlcbl wiedetgesehen worden. Man bat neuerdings die Vennuthung ausgesprochen, dass der Komet tdendsch wäre mit dem periodischen Kometen (131); mehr Wahrscheinlichkeit hat die Annahme der Identität mit dem Kometen (S77) oder (89$)i immerhin unter der VoraussetKung von bedeutenden Störungen; ausftthrlicbe Untersuchungen hierüber sind noch nicht ai^estellt
4) Für den von Messier am 14. Juni 1770 entdeckten Kometen hatte bereits der erste Berechner Lexkli,, nach welchem der Komet auch der LKXELr.'sche Komet genannt wird, eine Umlautszeit von 6^ Jahren gefunden; man wart daher die Frage auf, warum er nicht früher gesehen worden war. Als er dann bei heuier in den Jaliren 1776 und 17hl erwarteten AViedetkehr nicht gesehen wurde musste der Grund hierfür angegeben werden. Zweifel an der Ellipticität der Bahn, an der Güte der B^bachtungen, veranlassten, dass die Frage wiederholt von ver- schiedenen Berechnern insbesondere von Bubckhardt aufgenommen wurde. Laplacb hatte als Ursache eine starke Annäherung des Kometen an Jupiter ge- funden, durch welchen derselbe im Jahre 1767 aus einer nahe parabolischen Bahn in jene elliptische übergeführt worden war, welche nch aus seinen Beobachtungen im Jahre 1770 ergeben halte, in welcher er aber nur bis 1779 blieb, in welchem Jahre neuerdings eine so bedeutende Annäherung des Kometen an Jupiter staltfand, dass seine elliptische Bahn wieder vollständig umgestaltet wurde.
Die Apheldistanz dieses Kometen ist in seiner elliptischen Bahn zwischen 1767 — 1779. gleich 5'63, also etwas grösser als die grosse Halbaxe der Jupiters- bahn. Steht nun Jupiter in der Richtung des Aphels, wenn der Komet dasselbe pasäirt, SU ist die Annäherung der beiden Korper so stark, dass die WirKung des Jupiter nicht mehr als Störung angesehen werden kann, indem sie die Wirkung der Sonne ttbertrifit, und Laplacb wandte flir die Untersuchung eine Methode an, bei welcher die Bahn während der grossen Annäherung als eine jovicentrische angesehen wird^). Später wurden diese Arbeiten in weit ausge- dehnterem Umfange von Le Verrisr wieder aufgenommen"). Da es denkbar ist, dA«s einem gewissen Werthe eines Elementes, z. B. der Knotenlänge, andere Elemente entsprechen, welche die mögliche Bahn des Kometen vor der ersten Störung bezw. nach der zweiten grossen Störung innerlialb der zulässigen Bcob- achtungsfehler dar'-'ellen, bo kann man die bämmtlichen nKicrüchen Elcmenten- systeme als Funktionen eines Elementes darstellen, oder, wie dieses Le Vfrrier that, alle Klcoiente von einem gewissen Parameter (unabhängige Variable), weichen er |i. nennt und welcher mit der Genauigkeit der Beobachtnngen zusammenhängt, abhängig machen. Le Verrkr fand so, dass unter den bis dahin entdeckten Kometen kein mit dem LsxBix'schen identischer sein könne. Erst in neuer«' Zeit wurden durcli die Untersuchungen Chandlgr's über den Kometen 309 (s. hierüber das später über die Störungen durch Jupiter Gesagte) auf die mögliche Identität dieser beiden Kometen aufmerksam gemacht.
') Vcrgl. den Art «Mechanik des Iliimncls« §68. *) Auoales de TObienratoii« de Paris j T. lU.
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Ki)DM!leB und MeiMK.
5) Der BiELA'sche Komet wurde 1772 von Moni Aia>n!: am 8. März entdeckt und von Messier viermal beobachtet, u. z. am 26. 27. 30. Marz und i. April. Die erste Bahnbestimmung war daher äusserst unsicher. Die Äehnlichkeit der Elemente mit denjenigen des am 10. November 180$ von PoNS entdeckten Kometen (x8o6 1) war nicht aufflllUg genug, dass er schon in dieser Erscheinung als perio- disch erkannt worden wttre, obswar Gauss bei seiner Bahnbestimmung bereits auf eine stark elliptische Bahn geführt worden war. Der am 27. Februar 1826 von BlILA ZU Josefstadt in Böhmen und unabhängig von diesem am 9. März von Gambart in Marseille entdeckte Komet wurde aber bald von beiden als identisch mit demjenigen von 1806 erkannt, und dadurch wurden beide auch auf die Identität derselben mit dem Kometen von 177? gelTihrt. Bei seiner nächsten Wiederkehr wurde er am 25. August 1832 nach der von Rtf.i.a vorausgerechjeten Ephemeride im CoUegio Romano wiedergefunden. Hubbard und d'Arrfrt, wt-lche für die nächste Erscheinung die Vorausberechnung ubernahmen, fanden nahe identische Bahnen. Ueber seine späteren Erscheinungen in den Jahren 1846 und 1853 wurde bereits gesprochen. Eine Schwierigkeit bei der Bahnbestimmung ergab die bereits er- wähnte Thatsache, dass die Entff^mung der beiden Köpfe im Perihel ein rela- tives Maximum erreichte. Auch schliessen sich die beiden Bahnen nicht voll' kommen den beiden Kometentheilen an. Als der Komet im Jahre 1859, wie man damals annahm, wegen der sehr ungünstigen Stellung des Kometen nicht beobachtet wiirde, setzte man grosse Hoffnungen auf die Wiederkehr desselben im Jahre 1865 behufs genauerer Bestimmung der Bahnen. Allein, wie schon erwähnt, ist der Komet seither nicht wiedergesehen worden. Zwar hatte im Jahre 1865 am 4. November Talmagr, am 5. Htnd, am 9. Buckhingham, am 18. Barber und bei der Erscheinung 1872, von Ki inkkrfues aufmerksam gemacht, Pogson in Madras am 2. December in der Nähe des Ortes, wo der Komet sich befinden musste, einen koinetenartigen Nebel gesehen, allein alle diese Beobachtungen ergaben, mit der Ephemeride vergltchen, so bedeutende XTnterschiede, dass man das beob- achtete Object nicht mit dem BiiLA'schen Kometen identificiren kann.
Am 8. Desember 1896 wurde vonFmuKB ein Komet entdeckt, für welchen lüSToiPART die folgenden elliptischen Elemente berechnete:
7*= 1896 November 24 7433
it = 50" 21' 37"-7 '
Uif^ 0046412
f — 44" 12' 27"-8
|A — 503"'490 U^a= 0-565344
Umlaulsxeit 7 047 Jahre,
aus welchen er sofort auf die Äehnlichkeit mit dem BniA'schen Kometen geführt wurde. Doch bleibt vorerst ohne ausfflhrliche Störungsrechnung, bei denen in erster Linie die Wirkung der Erde in Betracht cu ziehen ist, der grosse Unter- schied in der Lage des Perihels sowie in der Durchgangszeit durch das Perihel noch unaufgeklärt, und muss erst die genauere Rechnung, bei denen zunächst eine engere Verbindung der Erscheinungen von 1846 und 1852 unerlässh'ch ist, dartiber entscheiden ob der erwähnte Komet mit: dem BiEi.A'schen identisch ist oder sich nur in seiner ursprtlnglichen, später durch P>dstörungen modificirten Bahn bewegt. Dass der Komet zur Zeit der grössten Störung, also in der
Mittl Aequin. 18d7-0
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1
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ICometen und Meleoee.
grössten Krdnahc, nicht hat beobachtet werden können, kann nicht c^ep-en die Identität s[)rechen, da er in seinen frütteren Erscheinungen an Inicnsitat verlor; auch spricht dafür, dass er i8g6 erst nach seinem Periheldurchgange, also wahr- scheinlich in Folge eines plötzlichen Anwachsens der Inieiisität, entdeckt wurde.
6) Der von l'ir.on am iq. November 1783 entdeckte Komet unterscheidet sich von den anderen kurz periodischen Kometen wesentlich durch die grosse Neigung; eine noch grössere Neigung hat nur der Komet (102), der aber schon den Uebergang zxx den lang periodischen bildet. Der Komet ist seither nicht wiedergesehen worden, und kann auch nicht leicht ohne ausführliche Stöntngs- rechnungen mit einem anderen Kometen verglichen werden.
7) Der EKCK^sche Komet. Der Komet wurde von MfiCHAiN am 17. Januar 1786 entdeckt lAd ausserdem nur noch einmal am 19. Januar von MteHAiN und Messier beobachtet; an eine Bahnbestimmung war daher damals gar nicbt tu denken. Als Enckk die Berechnung des am 26. November tSiS von Fons ent- deckten Kometen übernahm, wurde er auf eine Ellipse von 1207 Tagen Umlaufszeit gelUhrt, woraus er auf Hse Identität desselben mit dem von Rouvard, Pons und HuTH am 19. Oktober 1805 entdeckten, ferner mit dem von Mi'^'^ Caroline Hf.rrschkl im Jahre 1795 entdeckten aber nur vom 7. bis 27. November beob- achteten Kometen geführt wurde; eine weitere Zuiutkrechnnng ergab, dass auch die Beobacliiung tlcs Kometen 17S6I diesem Kometen angehöre.
Der Komet, welcher übrigens lichtschwach und nur teieskopisch ist, wurde seitdem fast bei jedem Periheldurchgange beobachtet: 1822 in der ersten voraus- berechneten Wiederkehr wurde er von Ounlop in Paramatta aufgefunden und von ROmker daselbst vom a. bis 29. Juni beobachtet; 1825 wurde er von Vau in Nimes am 13. Juli wiedergefunden; 1829 von Enckb in Beriin am 7. Oktober, 1839 von MossoTTi in Buenos-Ayres am x. Juni, 1835 von Kreil in Mailand am 2», Juli \ 1838 am 16. September und 184a am 8. Februar von Enckk in Berlin; 1845 am 4. Juli in Washington; 1848 von Bond in Cambridge U. S. am 27. August; 1852 von Vogel in Bishops Observatory in London am 9. Janaar; 185$ von Maci.ear am Cap am 12. Juli; 1858 am 7. August und 1861 am 4. October von Förster in Berlin; 1865 Febiuar 13 von Bruhns und Enoklmann in Leipzig; 1868 Juli 17 und 1871 September 19 von Winnkcke in Karlsruhe; 1875 Januar 76 von Holden und Tuttlk in Washington; 1878 An^just 3 von Tobutt in Windsor; 1881 August 20 von WiNNECKE in Strassbnrg; 1004 Dezember 13 von Tkmpel in Arcetri; i888 Juli 8 von l krhi ii in Windsor; 1891 August i von Barnard auf dem Mount Hamilton ; 1S95 gleichzeitig von Wolf in Heidelberg und Pkrrotm in Nizza. Seine Vorausberechnung hatte später v. AsTfiN, und in letzter Zeit Bacxlund übernommen; seine nächste Wiederkehr ist fllr das Jahr 1898 zu erwarten.
Die zahlreichen Beobachtungen dieses Kometen ermöglichten selbstverstilndtich eine äusserst genaue Bahnbestimmung; dabei zeigte es sich aber, dass steh seine Umlaufszeit stetig, um ungefähr 3 Stunden filr jeden Umlauf verkürzt Enckk wurde hierdurch auf die Einwirkung eines widerstehenden Mittels geführt, worttber ausführlich in der »Mechanik des Himmels« gesprochen werden wiid.
8) FOr den am 9. Januar 1790 von MAchain entdeckten Kometen ergaben «ich die in der Tabelle angegebenen parabolischen Elemente. Der von Tuttlk am 4. Januar 1858 in Cambridge U. S. und unabhängig von diesem am xi. Januar von Bruiws in Berlin entdeckte Komet erwies sich gleich nach der ersten Bahn- bestimmung als identisch mit dem Kometen 1790 II, so dai^s inzwischen 5 Umläufe Stattgefunden hatten, und die Umlaufszeit 13 7 Jahre beträgt. Der Komet wurde
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Kometen nnd Ikleteent.
7$
in der nächsten Erscheinung 187 1 am 12. Oktober von Borelly in Marseille und am 15. Oktobervon Wiknecke in Kaisruhe wieder aufgefunden und am S.August 18S5 von Perrotin und Charlois in Nizza. Für die letzte Ersclieinnnj^ hatte die Bearbeitung Kahts übernommen. Die nächste Wiederkehr ist für das Jahr 1890 zu erwarten.
9) Der WiNNECKE'sche Komet; entdeckt im Jahre 1819 von Pons am 12. Juni, wurde für denselben von Encke eine elliptische Bahn gerechnet. In ganz der- selben Weise wie beim TuTTLE'schen Kometen und im selben Jahre, unmittelbar nach der Entdeckung des Kometen 1858 X wurde dieser Komet von Winnecke in Bonn am S. Min 1858 entdeckt und als identiacb mit dem Kometen 1819 III erkannt. Unter der Annahme von 7 Umläufen seit 1819 wurde Winnecrs auf eine Bahn von 5*d4 Jahren Umlaufszeit geführt Bei dem nächsten Periheldurchgange 1864 wurde er nicht gesehen; 1869 wurde er am 9. April von Wimkbcrs in Karlsruhe wieder auf- gefiuideii, sodann 1875 Februar i von Bounxv in Marseille, 1886 August 19 von FiNLAV am Cap, endlich X892 März x8 von Spitalbr in Wien. Die nächste \^ederkehr ist 1898 zu erwarten.
10) Der Komet wurde am 27. November 1819 von Bt.AKPAiN in M.nrseille entdeckt, «pätcr aber nicht wiedergesehen. Uebcr die Versuche Clausens ihn mit dem Kometen (65) zu identificiren, s. pag. 90. In neuerer Zeit ist auf die mögliche Identität mit dem Kometen (316) hingewiesen worden.
ii; iJei Favl sehe Komet; gleich nach seiner Entdeckung 1Ö43 November 22 dorcb Faye, als elliptisch erkannt. Die genauere Bahn ergab sieb erst nach den Er- scheinungen 1851, wo er nach den in der Tabelle mitgetheiltoi LB-VBRBisR'schen Etementen von Challis in Cambrigde (England) am s8* November 1850 und 1858, wo er von Bruhms in Berlin am 7. September aufgefunden wurde. Die Verbindunj; dieser Erscheinungen schien anfänglich nach den Rechnungen von Axel Möller ebenfalls (die Berücksichtigung der Störungen durch ein widerstehendes Mittel sn fordern. 1865 wurde er nicht beobachtet, in der Erscheinung 1873 wurde er von Stephan in Marseille am 3. September wieder aufgefunden, sodann 1880 August 2 von CoM'v'ox in Ealing (1881 I); in der Erscheinung 1888 wurde er nach Aufsuchungseplienicndcn von Kreutz, denen die MöLLER'schen Elemente zu Grande liegen, Aug. 9 von Pekrotin in Nizza und in der letzten Erscheinung 1896 nach einer genäherten Ephemeride von Engstrüm, welche ebenfalls nach den MöLi£R'scben Elementen abgeleitet war, am 26. September 1895 von Jav£LL£ in Nisca aufgefunden.
IS) Der BROBSBN'sche Komet; sofort nach seiner am «6. Februar 1846 durch Brorsbn in Kiel erfolgten Entdechung als elliptisch erkannt; bei seiner ersten Wiedererscheinung 1851 wurde er nicht gesehen; erst in der folgenden Erscheinung 1857 wurde er von Bruhns am 18. Män neuerdings entdeckt, während die Ephe* meride in Folge der nach van Galens Elementen zu kleinen mittleren Bewegung(623") den Periheldurchgang zu spät angab. Für die Erscheinungen des BRoasEN'schen Kometen giebt Kreutz ') die folgende Zusammenstellung: Die Krscheintmgen des Kometen theilen sich wegen der fast genau 5J, Jahre betragenden Umlaut's/.eit in Frühjahrs- und Herbsterscheinungen. Gut zu beob.Tchten ist er nur in den ersieren. Im jaiire 1857 war aber seine theoretische Helligkeit ') kleiner als die Hälfte der- jenigen der ersten Erscheinung im Jahre 1846; nichtsdestoweniger wurde er be- deutend heller gesehen. Schmidt, damals in Olmfltz, glaubte den Kometen sogar 1857 April 8 bis 12 mit blossem Auge gesehen tu haben. In der nftchsten
Vieiteljahnheft d. Astron. Gcsdlsch. Bd. s6, pag. 76. ^ Uebcr die Hdüi^eit, Ter^ pag. 77.
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^ Roneteii iiod MctcoK^
Herbsterscheinung 1862 wurde e? nicht svahrc^enommen; 1868 wurde er von Schmidt in Athen wieder auf>i;etun(len ; in der nach^ten Hcrhsterschcinung wuide er am 31. Auj^ust 1873 von Stkphan in Marseille wieder aufgefunden; der Komet war diffus, ohne merkbare Condensation ; seine Hellis^keit war deijenigen der ersten Er- scheinung 1846, thatsächlicli war er aber, wahrscheinlich in Folge seiner ungünstigen Stellung« noch viel schwflcher. 1879 wurde er, weder im Frtthjahr un 14. Januar von TniPBL in Arcetri aufgefunden, mehrere Wochen nach dem Periheklutch- gange zeigte er eine rapide Lichtsunahme und eine VergrOsserung des Kernes, eine Erscheinung, die übrigenff auch schon, wenn auch weniger decidirt in den fittheren Erscheinungen wahrgenommen worden war. In der Herbster« scheinung 1884 wurde er nicht gefunden, aber ebensowenig in der FrUhjahr&- erBcbcinuDg 1890, obgleich seine Stellung in diesem Jahre nahe so günstig war, wie 1846; in der Herbstcrscbeinnnfj 1805 war seine Stelhtng besonders ungünstig; die nächste Wiedererscheinuri: isi uir das Frühjahr 1900 zu erwarten.
13) Der Komet wurde von C. H. F. I'ki ers am 26. Juni in Neapel entdeckt; er wurde nur in dieser einen Erscheinung beobachtet, sjiäter nicht wiedergesehen. Zu beo^erken ist übrigens, dass diese Bahn aus Beobachtungen abgeleitet ist, welche im Gänsen einen Zeitraum von kaum einen Monat umfassen.
14) Der d'ÄRRESr'sche Komet; am 27. Juni 1851 von d'AMiBST in Leipzig entdeckt und bereits in der ersten Erscheinung als elliptisch erkannt; in der nächsten Erscheinung 1857 am 5. December am Cap wieder aufgefunden, sodann, nachdem er in der nächsten Erscheinung nicht gesehen wurde, 1870 August 31 von WiNNECKE in Karlsruhe aufgefunden, 1877 Juli 9 von Tbupbl in Arcetri, 1890 Oktober 6 von Barnard auf der Lickstemwarte. Der Komet war in seiner Erscheinung i8go unf^efahr unter denselben Umständen »^irhtbar, wie bei seiner F.rscheinung 1870; die reriheldtirchgänpe fielen auf 1^70 September 22, und 1890 September 17; dennoch wurde er im Jahre 1890 nur mit grosser Mühe gefunden; lange blieb das Suchen erfolglos, bis er, schon nach dem Perihel- durciigange, am 6. October von Baknard gefunden wurde. Der Komet hat daher ausserordentlich an Idchistttrke verloren. Die nächste Wiederkehr ist 1897 SU erwarten.
15) Der erste TstiPSL'sche periodische Komet» mit kurser Umlaufszeit: Tbhpbl, entdeckt von Tempil am 3. April 1867 in Marseille; er wurde in der nächsten Erscheinung 1873 von Stephan in Marseille am 3. April wiedergefunden, sodann
1879 April 24 von seinem ersten Entdecker Tempel in Arcetri. Bei den folgenden Periheldurchgängen 1885 und 1892 wurde er nicht au^efunden, die nächste Wiederkehr ist 1897/8 zu erwarten.
16) Der dritte Tempel' sehe Komet: Tempel, ■ Swit r; entdeckt am 27. November 1869 von Tempel in Marseille. Die Ellipticität seiner Bahn wurde nicht gleich bei der ersten Bahnbestimmung erkannt, wenn auch die Abweichungen von der Parabel schon damals angedeutet waren. Bei dem nächsten Periheldurchgang wurde er nicht beobachtet und erst durch die TJeber* einstiromung seiner Bahn mit derjenigen des am 10. Oktober 1880 von Swift in Rochester entdeckten Kometen wurde er als periodisch erkannt (die Bezeichnung TfeHPBL| war inswischen für den von Tempel entdeckten periodischen Kometen 1873 n gewählt worden). Die Berechnung des Kometen wurde sodann von ScHULHor und Bossert durchgeführt. Bei seinem Periheldurchgange 1886 wurde er jedoch nicht gefunden; 1891 wurde er am 37. September von Barnasd auf dem Mount Hamilton wieder aufgefunden; seine nächste Wiederkehr findet im Früh- jahr 1897 statt; da aber die Frühjahrserscheinuogen bei diesem Kometen sehr
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nngtinstig sind, so dürfte er nur unter besonders gtinstigen Helligkettsverhältnissen gesehen werden, und erst im Herbst 1902 kann «eine Wiederkehr mit Sicheiheit
erwartet werden.
17) Der periodische Komet 1 kmim entdeckt am 3. Juli 1873 von Tempel in Mailand, wiedergefunden 1878 voi» dem ersten Entdecker Tempel, in Arcetri am 19. Juli und 1894 von Finlav am Cap als äusserst schwache, kreisrunde Nebel- oiasse von 1' DuichmeMer. Nflchate Wiederkehr: 1899.
18) Der erste DnmiNo'sche Komet i); warde bei seinem zweiten Perihel- darcfagange 1890 nicht gesehen; tUicbste Erscheinung 1898/9.
19) Der erste BARNAitD'sche Komet wutde bei seinen folgenden Perihel- dnrchgftngen 1890 und 1895 nicht gesehen; nächste Erscheinung 1900.
20) Der WoLF'sche Komet wurde bei seinem zweiten Periheldurchgange 189T von Spttaler in Wien wieder aufgefunden; über seine Störungen dufch Jupiter wird später gesprochen. Nächste Wiederkehr 1898
21) Der erste BROOKs'sche Komc<^ wurde bei seinem zweiten Periheldurchgange 1892 nicht wiedergefunden; nächste Wiederkehr; 1899.
22) Der FrNi.Av'sche Komet; in seinem zweiten Periheldurchgange 1893 von FiNLAY selbst am Cap wiedergetunden ; nächste Wiederkehr 1900.
23) Der periodische Komet Brooks, hatte eine ungewöhnlich lange Sicht* batketrsdauer, und sind die von Bauschinger abgeleiteten Elemente bereits sehr nahe richtig. In der zweiten Erscheinung wurde er am so. Juni 1896 von Javellb in Nissa wieder aufgefunden. Ueber die Begleiter wurde schon frtther gesprochen; sdne Störungen durch Jupiter werden später behandelt.
Die folgenden 7 Kometen: (810) » Komet SwipTi, (316) = Komet Sphtaler, (321) = Komet Holmes, (322) — Komet BarnarDj, (327) = Komet Dbnnikg,, (329) = Komet SwtfTo, (330) = Komet Sv^tft^ sind bisher erst in einem PeriheldurchgancTe beobachtet worden. Die nächsten Periheldurchgange fallen bezw. für den Kometen (316) in das Jahr 1897; ft'r (310) in das Jahr 1898; fl^r die Kometen (321) itnd (322) in das Jahr 1890; für den Kometen (329) in das Jahr 1900, für den Kometen 1^327) in dasjaiir lyoi und lur den Kometen (330)
m das Jahr 190s.
Dass die Kometen nur in der Nähe des Perihels gesehen werden, hat seinen
Grund darin, dass sie in grösserer Entfernung von der Sonne zu lichtschwach sind. Ihre Lichtintensität wird bestimmt durch die von der Sonne erhaltene
Licbtmenee, welche umgekehrt proportional dem. Quadrate ihrer Entfernung r von der Sonne ist; weiter ist für eine durc!^ ihre Entfernung von der Sonne bestimmte Lichtintensität die von der Erde gesehene Lichtstarke umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung A von der Erde. Ihre Helligkeit wird daher
wobei die Helligkeit in der Entfernung 1 von der Sonne und Erde eine für den Kometen (abgesehen von Helligkeit:>underungen, Lichtausbrüchen) constante Grösse ist. Abwdchungen von diesem Gesetze deuten auf Eigenlicht-Entwickelung* Kometen werden daher nur in der Nähe ihrer Perihele entdeckt, und daher kommt es auch» dass die beobachteten Kometen Überhaupt nur mässige Perihel- distansen haben. Veigleicht man die bis Ende 1895 beobachteten Kometen,
'} Di» KoncCca iMch ihren fintdcdKm bcnuBt^
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Kometen und MtlBOfft«
deren Bahnen berechnet wurden, nach ihren PeriheküiUiiieB, bo erbält oum die folgende Tabelle:
Periheldistanzen
zwischen 0 0 O l 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0*7 O S 09 10 1*2 1'5 2'0 3*0 5*0
Bis iSoo^) 5 4 4 16 9 25 10 18 11 13 U 4 2 11
i8ot bis 1850 533 15 8674 13 61! 953 —
i85ibisi88o 3 2 3 15 — 9 9 11 9 13 15 13 11 2 —
i88it»8i895 3 1 272 1 5568 10 10 IS 4 —
Zusammen 16 10 13 59 14 41 81 38 89 40 47 86 80 10 1
Dabei sind jedoch die nach Epberoeriden gefundenen Kometen mit ge- rechnet; zählt man diese nicht mi^ so eigiebt sich die folgende Tabelle, in welcher jedoch die wiederholten Erscheinungen desselben Kometen, falls der- selbe nicht nach der £phemeride wieder gefunden, sondern neu entdeckt wurde, mitgezählt sind^:
Periheldistanzen
zwischen 00 O l 02 0 3 04 0-5 O G Ü 7 0 8 0-9 TO 12 15 2 0 S'O 5-0
Bis 1800 1) 5 4 4 16 9 25 10 18 11 13 11 4 2 1 1
1801 bis 1850 53363674 11 511 953 —
i8sibisi88o 3 2 3 6 — 5 9 11 8 13 14 10 6 2 —
i88ibisi89S 81S82155679894 —
Zusammen 16 10 12 31 14 87 31 88 96 38 45 31 38 10 1
In diesen Zahlen zeigt sich auffallend die Wirkung der grösseren, licht- starkeren Kometensiicher. Bis iSoo fand sich das Maximum zwischen 0*5 und 10 der Feriheldistanz; zwisclien 1801 und 1S80 zwischen 0"7 und 1-5; nach 1880 zwischen 0*9 und 2 (). Selbstverständlich kann diese Tabelle kein voll- ständig getreues Bild geben, da jfl viele Koineien in neuerer Zeit schon weit vor ihrem Periheldurchgange, andere erst nach demselben entdeckt wurden. Noch weniger zeigt sich hierin die Wirkung der grossen Femrohre der neuen Zeit, mit denen ja keine Kometen entdeckt werden. Doch zeigt sich die Wirkung derselben in der Dauer der Beobachtung nach dem Periheldurchgange.
') Bei dem ersten Kometen von 372 vor Chr. Geb., dessen Bahn Uberhaupt nur genähert bestimmt werden konnte, bleibt die Feriheldistanz unsicher; man findet nur, dass sie »klein« war.
Speziell mögen die Kometen, deren Periheldistaiu kleiner als 0*2 und jene, deren PerihcldittBBi grösser als 8*0 ist, aogefttlirt werden.
|
1668 (Ol 1880 1 1 |
.: 0-005 |
1874 I 1816 |
: 0044 : 0-048 |
1830 JI : 0-126 i8a7m:0'188 |
1836 n i«35l |
*. 8-008 : 8-041 |
|
1680 \ |
1883 T |
: 0-061 |
185t IV: 0*141 |
1854 1 |
: 2-045 |
|
|
: 0-006 |
1689 |
: 0-064 |
1582 : 0-168 |
1890 IV |
: 2 048 |
|
|
1887 1 J |
«593 |
: 0089 |
1853 IV -.O ITS |
1847 II |
: 21 15 |
|
|
1882 u |
: c ot 8 |
1821 |
: 0 U92 |
1577 : 0-178 |
1892 III: 2-189 |
|
|
1865 1 |
: 0036 |
1780 I |
: 0 099 |
i8a6UI:0*188C) |
18551 |
: 8*184 |
|
1836 V |
: 0*087 |
164$ |
:0'106 |
1895 IV ! 0*193 |
1747 |
: 8*199 |
|
18471 |
:0048 |
1769 |
: 0*188 |
1889 II 1885 U 1739 |
: 9-36& : 2-507 : 4-048 |
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19
Der ente Komet, der in einer sweften Oppoaition beobachtet wurde die nicht mit seinem Periheldurchgange zusammenfiel, war der Komet 1811 I, der von WiSNiEWSKi in Neu T'^rhcrkask im Jahre 1812 beobachtet wurde, wo er \on seinem Perihele bereits sehr weit entternt war. Die Beobachtungen des Kometen 1882 n bilden nach dem Durchgange desselben vor der Sonnenscheibe am 17. September eine ununterbrochene Reihe bis Mitte März 1S83, obzwar er schon am 4. Januar 1883 in Opposition war. Der Komet 1889 I wurde in der »weiteii Oppositk»! 1890 Mflrs 38 in Wien wieder au^elhndent und der Komet 1889 V wurde in der «weiten Opposidbn 1890, in welcher die Entfernung des Kometen fon der Sonne bereits 8'8» diejenige von der Erde S-8 Erdbahnhalbaxen war, . wiedergesehen, und bis 1891 Januar i beobaditet, sodass dessen Beobachtungen vom ersten Periheldurchgange bis au seinem Verschwinden einen Zeitraum von 556 Tagen nm&sst
Besonders bemerkenswerth jedoch ist die Thatsache, dass die Bahnen mit grossen Periheldistanzen seit 1881 weniger die parabolischen als die elliptischen Kometen mit kuraer Umlaofiweit betreflbn.
Von den seit 1881 entdeckten periodischen Kometen sind swei mit Perihel* distancen kleiner als 1 (davon einer, dessen Periheldistana sehr nahe gleich 1 ist), und 11 mit solchen grösser als 1. Es hängt dieses damit zusammen, dass die Excenuici täten dieser Kometen immer mässig sind, sodass die Bahnen derselben denjenigen der Planeten ähnlicher werden.
Vergleicht man die periodischen Kometen mit den kleinen Planeten, so
findet man übrigens nicht nur diesen einen Berührungspunkt zwischen denselben. In erster Linie tritt der Umstand hervor, dass die Halbaxen derselben von den- jenigen der kleinen Planeten nicht sehr verschieden sind. Unter den sämmtlichen beobachteten kurz-periodischen Kometen haben zwei eine mittlere Rewei:i:ng kleiner als 300"; mit Rücksicht auf ihre Periheldistanz wird daher in demselben Maas- e ihre Apheldistanz. wachsen; sie ist für den Kometen (174) gleich 9 44, lur den K-unicien {102) gleich 10*43, für den ersteren daher etwas kleiner, für den letzteren etwas grösser als der Halbmesser der Satumsbahn. Diese beiden Kometen bilden gewissermaanmi den Uebergang zwischen den kuraEpertodtschen Kometen und denjenigen mit langer Umlaufszeit. Ihnen zunächst kommen daim die folgenden Kometen:
Komet
|
<P |
/ |
||
|
(277) |
402" |
56°-l |
6°'8 |
|
(310) |
41G |
42-5 |
10-2 |
|
(163) |
46S |
33-3 |
11-3 |
|
(327) |
478 |
44-3 |
5-5 |
|
(330) |
494 |
407 |
8*0 |
*) Bei Kometen »It nahe pmiboliicfaen Bahnen wird, aobald der Komet in gitaere Ano- nudicn gdrammcn iil, aciae Bewegung sienlieli langiun, und die Richtung von der Sonne snm
Kometen sich nur wenig Kndernj sie nähert sich immer mehr und mehr dcrjcnii^cn Richtung, welche dem Perihe] cnff^ef^rnge«^f t7t ist, und welche fllr Ellipsen das Aphel ist, und fUr Para- beln oder parabdaiinhchc Hyperbeln auch so genannt werden kann. Da die Erde «ich in- iwiacfacB in Um Bshn foftbtirägt bat, so geht aie dann zwiadwn der Sonne und dem Kometen datdi, woMNM ciaichtlieh iat, dam die nül den Feribcllen nicht ««tammeoMlenden Oppoaip twaen (filr alle Kometen, deren Periheldistanzen kleiner alt 1 sind) sehr nahe an der entgegen« l>;rfH?tcn Seite des Himmels (in der O^cnd de* Aphde» ftr Hyperbeln genauer in der Richtong der Asymptoten) «tattftndea.
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Kometen tnid Meteore«
Zum Vergletcbe mögen hier diejenigen bis Ende entdeckten Icleinen Planeten, deren mittlere Bewegungen kleiner als öOO" sind« nebst den Excen* tricititen und den Neigungen angeseut werden:
|
1* |
9 |
1 |
|
|
Planet (279) |
403" |
40.7 |
2**-4 |
|
(301) |
450 |
11-8 |
12-6 |
|
(163) |
451 |
9-4 |
7-9 |
|
(190) |
452 |
9-5 |
6 1 |
|
(334; |
456 |
0-4 |
4-6 |
|
Kometen mit den kleinsten Halbaxen sind: |
|||
|
1* |
9 |
« 1 |
|
|
Komet (96) |
1080" |
57*»S |
l8'-9 |
|
(152) |
737 |
48<4 |
9*0 |
|
(79) |
706 |
Ö9'8 |
80 |
und die Planeten, deren mittlere Bewegungen grösser als diejenigen der periodischen Kometen sind;
|
V- |
9 |
/ |
9 |
t |
|||
|
Planet (323) |
1120" |
16*0 |
19''-3 |
Planet (270) |
1089" |
8''-7 |
2°-4 |
|
(244) |
1106 |
7-9 |
28 |
, (341) |
1087 |
110 |
5-7 |
|
(i4y) |
1106 |
09 |
(8) |
1086 |
90 |
5-9 |
|
|
(281) |
1098 |
7-6 |
53 |
(228) |
1086 |
13-9 |
26 |
|
(352) |
1092 |
3-4 |
(43) |
1085 |
9*7 |
3-5 |
|
|
(254) |
1091 |
7-0 |
4*5 |
überdiess noch 20 mit mittleren Bewegungen zwischen 1000" und lOSO".
Von den übrigen 20 Kometen br hen 10 mittlere Bewegungen zwisrhen 500" und 599" und 10 zwischen tiOO ' und «i'JO". Soweit also die relativ noch geringe Zahl der periodischen Kometen einen Schluss gestattet, unterscheiden sich die- selben von den kleinen Planeten nicht wesentlich durcli die Axen und Neigungen, sondern wesentlich durch die Excentricitäten*).
Bezüglich der Neigungen ist zu bemerken, dass mit
Neigungen rvi cl.en 0" b° 10" 15° 20° 30° 40** 50° 60° die Anzahl d. kur^ periodisch. Kometen 6872231 1
beträgt, wobei fiir die Kometen, bei denen die Neigung ausserhalb der gewählten Gienzen veränderlich ist (z. B. für den Kometen 84), stets der grössere Werth a;ir'esei/t ist. Man ersieht liieraus ein Ueberwiegcn der kleinen Neigungen; zusammen 23 unter 20* und 7 über 20*^, ganz ähnlich wie dies bei den kleinen Planeten der Fall ist. Immerhin ist zu beachten, dass die relative Zahl der Kometen mit kleinen Neigungen nicht so gross ist, als bei den kleinen Planeten. Von den bis Ende 1895 entdeckten kleinen Planeten and die Bahnneigungen ,
') Auf die nabea Eexiehuogen zwischen Kometen mit kurzer Umlaufszcit und den kleinen Flaneten hat tdion V. Mabsh im Jakre 1863 ktngewicieB. Er sagt: »// it perhafs wortJ^ rmark, Aat A* aaUttid P9fyjfym$m ^fr«edUf 4» auttilridfy m mar 0 tkt €»m«ü A»rt ptri$d»
as tc surfst the suspkion, timt SWM 9f Astercids may ytt bt found to partakt scfmeu'hai ef the ccmttary ckaracter, and to fmtrmih a tünmctin^ link betxvetn tht piunU ond SOWtttt, (SUXOIAII American (ounuü of Scieoces and Arts IL. Sehe, Bd. jj, pag. 94.
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Kometea uod Meteore.
8i
swiscben O"* S"* 10" 15" SO"* dO<* 40* für 136 149 79 S7 95 1
demnach in § ausgedrückt
zwischen 0° 5° 10° 15« 20" 30* 40° darüber für die kurz periodische Kometen 20 27 23 7 6 10 7 für die kleinen Planeten 31 37 19 7 6 0 0
Mit Neiguniren Ureter )0° sind daher 68^ von den kleinen Planeten, hin- gegen nur 47^ der kurz periodischen Kometen. Ganz auffällig unterscheiden sich aber auch die periodischen Kometen von denjenigen mit parabolischen oder nahe parabolischen Bahnen. Unter allen bisher entdeckten Kometen fand i
mit Neigungen zwischen O"" 5" 10° 15** 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
Bis i8oo 54536766776 Zwischen x8oi und 1850 03913397595 Zwischen Z851 und 189$ 866957857 14 13 Zusammen 8 18 13 6 14 17 93 18 19 93 94
mit iSeigungen zwischen 90° 100° 110° 120 130° 140° 150° 160° 170° 180°Zus.
Bis 1800 998 12 10 7 642 122^)
Zwischen x8oi und 1850 471766309 76 Zwischen 1851 und 1895 11 9 9 10 5 11 6 5 9 144 Znsammen 17 95 18 99 91 94 15 9 6 349
Von 30° zu 30° ztisammengefasst erhält man hier Kometen mit Neigungen zwischen 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°
54 58 66 60 74 80
daher auffallend wenige Kometen mir retrograden Bewegungen und kleinen Neigungen, während im übrigen die Kometen nahe gleich vertheilt erscheinen. Kechnet man jedoch die periodischen Kometen ab, und zwar
Mit Neigungen zwischen 0* 5° 10° 15° 20° 30° 40° 50° 60^ 70°
die kurzperiodischen 687 223 1 1 —
ferner die langperiodischen ") — — — 9 2 — —
soMeibtf. d.Kom.m.parab.Bahnen 9 5 6 9 19 14 90 17 19
Mit Neigungen zwischen 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° die kurzperiodischen — — — — — — —
femer die langperiodischen*) 1 1 — — — — —
sobleibtf. d. Rom. m.parab. Bahnen 99 93 17 95 18 99 91
Mit Neigungen zwischen 140° 150° 160° 170° 180* Zus.
die kurzperiodischen _ _ _ . 30
femer ^e langperiodischen*) 1 ^ 9 • 9
so bleibt f. d.Kom.m.parabw Bahnen 93 15 7 6 303
oder swischen 0"* 30" 60" 90" 190" 150" 180" parabolische Kometen 97 51 64 60 73 98 oder ia% 9 17 91 90 94 9
daher ziemlich gleich viel direkte und retrograde Kometen mit kleinen Nci» gungen, aber eine überwiegende Aiuahl von Kometen mit Neigungen swischen
*) Eid Komet isit nnbettimmter Neigung. *) Wt UmbutbseitcB unter 100 Jahitn.
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8a
Kometen und Meteore.
80' und 150^ Diese Erschetoutig bietet ab«r durchaus nichts aufßUHges, Nimmt man nämlich eine gleichmänige Vertheilung aller Kometenbahnen aiii so wird sich dieses darin äussern, dass die Pole aller Kometenbahnen an der Himmelskugel gleichmässig vertheilt sind, worin dann so',vo1il die Vertheilung nach der Neigung als auch diejenige nach dem Knoten enthaken ist. In diesem Falle wird die Neigung gegen irgend eine beliebige feste Ebene gegeben durch den Abstand des Poles der Bahn von dem Pole der festen Ebene; die Zaiil der m einer gewissen Calotte enthaltenen Bahnpole muss nun proportional der Oberfläche dieser Calotte sein, wobei es ganz gleichgttltig ist, auf welche Ceste Ebene die Bahnoi bezogen werden. Bahnra, deren Neigungen nun kleiner als f sind» jsind in einer Calotte enthalten, deren Mittelpunkt der Pol der festen Ebene ist, und deren Halbmesser sini ist; die Oberfläche dieser Calotte ist proportional ihrer Höhe, also proportional 1 — f^i; ist daher JV die Anzahl aller Bahnen, so ist die Zahl » derjenigen Bahnen, deren Neigung kleiner als i ist, gegeben durch
n = cos i) = 2 Nsin^ \i.
Dabei ist ein Unterschied zwischen direkter und retrograder Bewef^ung nicht gemacht; es sind also z. B. die Neigungen zwischen 0" und 10** und diejenigen zwischen 170° und 180° zusammengezogen.
Rechnet man diesen Ausdruck flix Nw^ 100 (in f) so erhftlt man fllr die Zahl der Kometen deren Neigungen
zwischen 0*» 10*' 20" SO" 40^* 50° 60° 70° 80° 90°
ist den theoretischem Werth 1*5 4 d 7*8 10*0 iS-d 14 $ 15-8 16'9 17*4
wahrend sich a. d. 803 beobacht
nicht period. Kometen eigiebt 18 15 27 87 41 46 87 47 40 oder in ^ 4*S 4*9 8*9 18-3 13'5 15-3 18'3 15*5 13-3
Verhäiteissraassig zeigt sich demnach noch ein geringes Ueberwiegen der kleinen Neigungen; dass die retrograden und direkten Bewegungen aimlich gleich vertbeilt sind, zeigt die vorhergehende Tabelle.
Es zeigt sich also hier eine aufiallende Trennung der Kometen awischea den periodischen und parabolischen, so dass die ersteren sich mehr den kleinen
Planeten nähern, gegen welche die Unterschiede in den Neigungen nicht so bedeutend sind. Hingegen besteht ein sehr bedeutender Unterschied in den
Excentricitäten. Die grüsste bisher bei einem kleinen Planeten beobachtete Excentricität ist noch immer kleiner als die kleinste bei den periodischen Kometen beobachtete. BezUghch der Anzahl hat man unter den 407 bis Ende 1895 entdeckten Planeten:
97 deren fixcentricitätswinkel zwischen 0° und 4° 59'-9
175 „ ,. „ 5 „ 9 59-9
III „ „ „ 10 14 59-9
21 „ „ 15 „ 19 59-9
3 „ „ Uber 20 ist
Die grössten Excentricitäten haben
Planet (332) : 9 = 22° 7'-9 « 605") (183)*: 20 18-2 (pL = 761") (164)*: 20 160 (|t = 831") (33)* : 19 38-9 0fc«731"). -
Planet (324) f « 19° 38'-l(|i = 806") (132) 19 21-2 (j*«904") (393) 19 13*6 (t* * 768";
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XiOittcteB und Bfeteore.
83
Von diesen sind jedoch nur die mit * bezeichneten genügend sichergestellt, da die Planeten (33) und (183) in mehr als 10 der Planet (UM) in 6 Oppositionen beobachtet wurde, während die vier anderen nur in je einer Opposition beob- achtet wurden; speciell der Planet (132) ist seit seiner Entdeckung nie wieder- gesehen worden. Von den 30 periodischen Kometen sind:
I dessen Excentricitätswinkel kleiner als 26 ist (Komet 321)
3 deren „ zwischen 25° und 29° 59' 9 sind (Komet 309, 316, 240) 5 „ „ „ 80 „ 34 59-9
5 ,f ff ff 35 ff 39 69'9
5 „ „ „ 40 ,. 44 59-9
5 „ „ „ 46 „ 49 59-9
S ff M 50 jy 54 SI9'9
4 „ „ „ 55 M 59 59*9
«nd; dftbd sind die amserhalb der angegebenen Grenzen veränderlichen Excen- tricttiten mit ihrem Ueberen WerAe berücksichtigt
Hienm wird sich unmittelbar die Frage knüpfen, ob alle möglichen Excen> tridtSten gldcb wahrscheinUcfa sind. Wird über die Entstehung der Himmels- körper keine besondere Annahme gemacht, so kann man offenbar annehmen, dass alle Ezcentridtäten zwischen 0 und 00 gleich wahrscheinlich sind; allein eine solche Annahme würde den thatsächlichen Verhfiltnisf^en nicht entsprechen; Ebensowenig kann man annehmen, dass alle grossen Halbaxen gleich wahr- scheinlich sind, denn die Elemente sind stets bedingt durch äussere Umstände, nämlich durch die Aniangsconstellationcn der Himmelskörper (Integrations- constanten). Aus der pag. 6$ angeführten Formel für die Geschwindigkeit folgt, wenn man r = 00 setzt;
1 r.
a
also, wie schon erwähnt, sämnttliche Bahnen hyperbolisch. Setzt man fllr die Hyperbel « an Stelle von a, so wird diese Formel:
1
oder da
ist^ so folgt
Die Excentricität wird sich daher um so mehr von der Einheit entfernen, je erösser 7 und je grösser 7^ ist. Gemäss der F<.)rniel, aus welclurr dieses- Resultat abgeleitet ist, müssen ^ und v in zusamnicngeliorigen Einlieiten, also z. B. f in Einheiten der Erdbahnhalbaxe, v in Einheiten der mittleren Geschwindigkeit der Erde uro die Sonne ausgedrückt werden. Für v hat man aber nicht die absolute, sondern die relative Geschwindigkeit des Kometen gegen die Sonne zu wfthlen, dabei ako die Richtung der Bewegung der Sonne in Betracht su ziehen. Aas dem Umstände nun, dass die meisten Kometen Parabeln beschreiben, wird man folgern können, dass v in grossen Entfernungen nahe Null ist, d. h. dass die Kometen an der Bewegung des Sonnensystems theilnehmen, und nur jene, bei denen eine starke Abweichung von der Parabel bei kleinem Warthe von f stattfindet, wird man als stellaren Ursprungs (dem Sonnensysteme vollständig fremde Körper) anzusehen haben. Dass die ersteren dem Sonnensysteme
6*
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Kometen und Meteoie.
angehÖfen, und dabei dennoch sich nach ihrer einm.iligen Annäherung fortwährend entfernen, entliält keinen Widerspruch; es liegt darin nur der Ausdruck der Thaf'^nchp, f1n^s rüe meisten Kometen, die beobachtet werden, schon vor ihrer Ersclieinung dem Sonnensysteme angehoften, und mit dem Sonnensysteme sich auch noch weiter bewegen werden. Dieses eilt auch für jene Kometen, welche streng parabolische Bahnen beschreiben, al^u ihat^chhch nicht wieder beubaciilet werden können.
Die periodischen Kometen nehmen nun aber nicht nur an der Bewegung des Sonnensystems theil, sondern mUssen auch mit demselben in engerer Vev' bindung stehen; entweder sie sind durch die Ansiehung der kleineren Körper des Sonnensystems, also der Planeten, wenn sie denselben hinreichend nahe gekommen rind, in ihre Bahnen gelenkt worden, oder aber sie mussten von vornherein mit den Planeten einen gemeinsamen Ursprung haben, was seinen Ausdruck in der berithmtc-n KANX-LAPLACE'schen Hypothese über die Entstehung des Weltsystems 1) findet. !")icses zeigt sich auch in zwei Thatsachen ganz augenfällig: dass sie sich rechtiäufig bewegen, und dass ihre Bahnen gegen die- jenigen der Planeten nur wenig geneigt sind.
Nach den Knaiirungcn der letzten Jahre wird man vermuthen müssen, dass, sowie es in dem Gürtel zwischen Mars und Jupiter eine grosse Zahl von kleinen Planeten giebt, in demselben Gürtel auch eine grössere Zahl von Kometen sich bewegt, und dass vielleicht, ebenfalls gegen die Ekliptik nur wenig geneigt, noch eine grössere Anzahl von periodischen Kometen längerer Umlaiifsseit mit grösseren Periheldtstansen existirt. Die Entdeckung von Kometen dieser letsteren Art kani& natürlich nur mit lichtstarken Femröhren stattfinden, die aber in ihrer jetzigen Construcdon zum Suchen von Kometen wenig geeignet sind, da sie nur ein geringes Gesichtsfeld zu überblicken gestatten. Mit den gegenwärtigen Hilftmitteln bleibt also die Entdeckung derselben dem Zufall überlassen.
Die Frage, ob der Unterschied zwischen den kleinen Planeten und den periodischen Kometen ein in der Natur derselben gelegener ist, oder eine Folge ihrer Bewegung, hängt aufs innigste mit der Frage nach der Ursache der äusseren
Beschaflenlieit der Kometen /usaminen.
^\'en^ die Kometen kurzer i Tnlaufs/cit inid die Planeten einen gemeinsamen Ursprung haben, so kann ihr au^:>crer Anblick nur eine Folge der Verschiedenheit ihrer Bahnen sein. In der That wird das Aussehen derselben wesentlich bedingt erscheinen durch die Wärmewirkung der Sonne. Bedenkt man, welche Verschieden- heit die Sonne in den verschiedenen Zonen unseres Erdballes erzeugt, wie hier tropische Hitzen und dadurch bedingte Verdampfungen mit eisigen Kälten und den begleitenden allseitigen Erstarrungen wechseln, und bedenkt man weiter, dass die Wärmewirkung der Sonne im verkehrten Quadrate der Entfernungen steht, io wird man, — abgesehen von den verschiedenen Wärmewirkungen auf die einzelnen TheÜe eines und desselben Körpers, welche theils durch die Rotation desselben, theils durch die Lage seiner Rotationsaxe bedingt sind, — auf die Abhängigkeit der Veränderungen jedes VVeltkorpers von seiner Bahn gefilhrt. Körper, die sich in nahe kreisförmigen Bahnen bewegen, werden nahe dieselbe Wärmemenge in allen i'unklen ilirer Bahn erhalten; so wie aber die Excentri- cität grösser wird, wird die Wirkung im Peiihel bedeutend stärker als im ApheL
Man hat füt das Verhäitniss y der Wärmemenge
>) VergL dcD Artikel «Kosmogonie«.
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Kometen und Meteor^
0-2 0-3 0-4 0-5 0*6 O»? 0-8 0-85
5 '»•7 1-494
11-5 2-250
17-5 3-449
23-6 5-444
300 9000
368 16*00
44-0 SS'II
58*1 81-00
68-9 15S-]
0-95 0-9G 0-97 0-98 0*99
64 "'2 361
71-9 1521
73-7 2401
75-9 4312
78-9 9801
81-9 39600
WShrend also die Wirkung der Wärme bei den Planeten, bei denen die Eioentridtäten kleiner als 0 4 ist, im Perihel höchstens das vierfache von der- jenigen im Aphel ist'), wird dieselbe bei den periodischen Kometen schon be- deutend grösser; wie die kleine Tafel zeigt, wächst dris Verhältniss 7iemHch rasch. So ist es erklärlich, dass von den auf den Kometen befindlichen Stoßen, Wenn diese in die Sonnennähe kommen, unter den gegenüber der Sonnenferne vollständig veränderten Verhältnissen, ein Theil in Dampf verwandelt wird und nch «b DunsthüUe (Coma) um den Kometen lagert Bei der Entfernung des Koneten von der Sonne werden dann die Stoffe wieder condensirt, und so ist die Abnahme der DunsthüUe nicht ein bloss optiscbesi sondern ein physische^ von der Verkleinerung der Coma abhängiges Phänomen.
Allerdings können auch Planeten mit grossen Excentricitäten beobachtet werden, die sich von den Kometen mit kleinen Excentricitäten eben durch das Fehlen der Coma unterscheiden. Man muss also jedenfalls eine gewisse Stoff» liehe Verschiedenheit annehmen, und wenn a\!< h gemäss den spectroskopischen Untersuchungen die Grundstoffe, aus denen die Kometen bestehen, von den- jenigen der Planelen nicht verschieden sind, so ist doch in der Zusammensetz.ung ein Unterschied: die Kometen zeigen das Kohlenwasserstoflfspectrum (modificirt durch Kohlenoxyd). Da gewisse Kohlenwasserstoffe (Methylen) selbstleuchtend sind (phosphorescirend), so wird das durch Polarisationsversuche unsweifelhaft erwiesene Selbstleuchten der Kometen Ifaeilweise auch hierdurch erklärt Dass sber die Kometen auch andere Grundstoffe enthalten, ist durch das Auftreten der Natriumlinie (zum ersten Male bei dem Kometen 1889 I am 27. und 28. Mai in Dunecbt gesehen) und /zahlreicher Bjsenlinien nachgewiesen. Es ist aber bemerkenswerth, dass die MetalUinien bei der Annäherung an die Sonne auf- leuchteten und bei der Entfernung der Kometen von der Sonne an Intensität abnahmer;. Weiter mu?s hervorgelioben werden, dass die bedeutenden Licht- ausbrüche m der Naiic ües l'eriheis (plöt^liclie Lichtzunahme) ebenfalls durch ein in Folge starker Erwärmung auftretendes starkes Glühen (grosse Intensität des continuirlichen Spectrums) oder durch Ausbrüche von brennenden Gasen (grössere Intensität des Koblenwasserstoffspectrums) erklärt werden können. Hierdurch er- scheint die erbOble Wärmewirkung der Sonne auch durch Beobachtungen constatirt.
Es ist hierbei bereits von den nicht periodischen Kometen die Rede. Dass rieh in dieser Richtung die periodischen Kometen von den nicht periodischen nicht unterscheiden, ist wieder durch spectroskopische Beobachtungen erwiesen; aber bei den nicht periodischen Kometen ist, wie die obige Tafel für das Ver-
^ Ifier nag btOMtlEt werden, dau die von mandicn Geologen tnr EiUiniiis der Efaweit kwngeiogene Vcrtuderlicfakcit der Exeeniricitit der Erdbalw kemeiwegi die enrahnte Folge haben kann, wie ja auch der Unterschied der Jahresreiten nicht auf der Entfernung; der Erde von der Sonne beruht (da die Erde im Winter in der Sonnennnhe ist), sondern wegen der Kleinheit der Excentricitat tmd ihrer Yerttoderaog, auf der Stellung der Erdaxe.
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8<
KomcflMi lind MdcoNw
hältniss der Wärme Wirkung zeigt, die Wirkniif^ der Sonne noch unvergleiclilich viel stärker. Es kann daher nicht Wunder nehmen, wenn bei so kleinen Perihel- distanzen, wie diese bei den Kometen vorkommen (vergl. pag. tlieil weise Verdampfungen und Massenverluste in den Weltraum entstehen. In Hinsicht auf die Bewegung bleiben derartige Massenverluste nicht ohne Wirkung: ein Massenverlust ist stets von einer Verzflgemng der mittleren Bewegung begleitet. Bei den Kometen mit parabolischen Bahnen kann diese Erscheinung nicht wesent- lich hervortreten; hingegen kann diese Störung bei den periodischen Kometen mit grosser Sonnennähe merklich werden. In dieser Richtung mag hervor' gehoben werden, dass unter allen bisher bekannten periodischen Kometen, Wenn man von dem nicht wiedergefundenen Kometen (79) absieht, der FNCKE'sche die gtösste Kxcentricität.und (selbst einschliesslich des Kometen 79) die kleinste Periheldistanz hat*).
Es ist aber eine bekannte Thatsachc, dass bei manchen ivometen eine plötzliche Verkleinerung der Dunsthülle unmittelbar vor der Annäherung an das Ferihel, und nach dem Durchgange durch das Perihel vrieder eine langsame Vergrösserung der Coma stattfindet. Diese Erscheinung haben a. B. Hbvsl bei dem Kometen von x6x8, Winvickr bei dem DoNATi'schen Kometen 1858 VI, Schmidt bei dem EKCKE'schen Kometen beobachtet. Diese Erscheinung läsat sich eben wegen der nncMierigen Vergrösserung der Coma durch einen Massen- verlust nicht erklären. Ebenso lassen sich die längere Zeit nach dem Perihel- durchganfje erfolpten l,ichtausbriiche nicht wohl auf die Wirkung der Sonne zurückführen. Kine Kisc heinung dieser Art ist der zwei .Monate nach dem Perihel- durchgange erlolgte Liclitausbruch bei dem Kometen 1884 !• Auffällig in dieser Ritlitung ist auch der Komet (321), der erst 4 Monate nach dem Pcriheldurch- gange al» ziemlich helles Object entdeckt wurde, und 6 Monate nach seinem Feriheldurchgange, nachdem er bereits ein sehr schwaches und schwierig zu beobachtendes Object geworden war, neuerdings eine sehr starke HelKgkeits- zunähme in einer schon sehr grossen Entfernung von der Sonne erfuhr.
Ein noch viel schwierigeres Problem bietet die Erklärung der Kometen- schweife. Dass man, um 2tt einer befriedigenden Erklärung zu kommen, nebst der allgemeinen Gravitation noch andere Kräfte annehmen muss, war schon am Ende des vorigen Jahrhunderts erkannt; es war selbstverständlich, eine Reptilsiv- kraft anzunehmen, weil die Kometenschweife von der Sonne weggerichtet sind. Da eine solcl;e abstossende Kraft mit den aus ihr folgenden, für irdische Ver- hältnisse grossartigen Natuieiscleinungen in der Elektricität bekannt war, so war es naheliegend, diese abstossende Kraft mit der Elektricität zu vergleichen. Schröter nimmt eine »unserer elektrischen ähnliche, ab« und fortstossende Natur- kraftc an; OtBBKS identificirt diese Repulsivkraft mit der Elektricität; er sagt: »Enthalten kann man sich indessen schwerlich, dabei an etwas, unseren elektrischen Ansiehungen und Abstossungen Analoges su denken. Wanna sollte auch diese mächtige Natuikraft, von der wir in unserer leuchten, stets leitenden Atmosphäre schon so bedeutende Wirkungen sahen, nicht im grossen Weltall nach einem, weit Uber unsere kleinlichen Begriffe gehenden Maassstabe wirksam sein?€
*) Eine EnchemitDg» «af welche tcboD PatacB und Mitchell hiocewiesen hsbcn (s. Americaa Jouraal of Sdenccs mkI Arte, s. Seriem Bd. 3% peg. 99), Dodi UlMt eicii die fie> •ckleaniguBg der roitderen Bewegung de« EMCKK'schen Kometen keinesfalls durch einen Massenveitast erklHren; hmgegen würde ein Mawenvcrlust die Erscheinung erklären, das^ zwischen 1865 und 1S71 eine Beschleun^ung der Umlaufsxeit , wie dieselbe vor 1865 und nach 1S71 tich ergab, nicht staufand.
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«7
Bbssel unterwarf die Erscheinnngen der Rechnung, indem er die Grösse der Kratt (das Verhältniss derselben zur Sonnenattraction) zu bestimmen suchte, welche nöthig ist, um die Schweifform, d. i. die Krlimmung der Schweife za eifclSfCB. Ist — > ^ das VerhiltniM denelben ziir Sonnenattraction, negativ, da sie im entgegengeaetsten Smne ^rk^ so ist die Smniiie der ftümenanziehung der Sonne und der Abstossuog durch die Polarknft l^i^. BREDtctON hat die Bt8SEL*sche Thvorit ««f die Bevechtiang der Schweife einer grossen Zahl ?on Kometen an» gewendet; er findet drei Grundtypen: fUr den ersten Tjrpns 1 ~ p, « 11-0; fUt- den zweiten Typus 1 — |i ««= 1*4; für den dritten Typus: 1 — |a = 0'3. Bei den Kometen mif mehreren Schweifen (anomale Schweife) gehört dann jeder der Srhv eite einem anderen Typus an. In den : Astronomischen Nachrichten« versiK i.t et, um dte Beobachtungen mit den Rechnungen zu vergleichen, Ephe- Dienden lUr die Kometenschweife zu rechnen, und Marclsf, geht sogar so weit, den Typus der Kometenschweife als charakteristisches Eieaieni für einen Ko- flsel^ ansnselien: >dani wllidm Aeselben eine widitige Rolle bei der Identi- ficantng von Kometen spielen*)«.
Das Leuchten des Schweifes entsteht dann dadurch, dass zwischen den elek' triach polatWften, «on dem Kometen aa^gestossenen Theilchen elektrische Ent- ladungen» Ansgleichongcn, stattfinden.
Bredichin nimmt an, dass die Verschiedenheit der Kraft auf die eincelnen Schweiftheile dadurch ei klärt wird, dass sie aus anderen chemischen Elementen be- stehen. Unter der Annahme, dass die Grösse der Abstossung von dem Molekular gewu lite abhängt, so dass auf die leichtesten Moleküle die stärkste Abstossung ausgeübt wird, erhält BKfc,DieHiN die folgende Scala, in welcher die auf Wasser- stoff ausgeübte abstossende Kraft gleich 12 gesetzt ist:
|
H |
12 |
Na, Mg 0 5 |
|
Li |
1-7 |
P. S 0 4 |
|
C |
10 |
a 0-3 |
|
N |
0-9 |
K, Ca ü-3 |
|
O |
0-8 |
Fe, Co, Ni, Cu 0*2 |
für alle Elemente, deren Gewichte zwischen 100 und 200 sind, 0*1. Hiernach würde auch die Erscheinung erklärt sein, dass der Typus I sicli ziemlich scharf von den beiden Typen IL und iH, weiche lu einander ubergehende Zahlen iieieru,
sdhcidet
Hiergegen ist eimnweaden, dass Kräfte, welche nach Art der allgemeinen Gravitation wirken, von der Maaae unabbfingig sind, da eine der Masse propor^ tionale Kialt «ine der bewegten Masse ttmgekehrt proportkmirte Beschleunigung ertheilt, und dass Kräfte, welche der elektrischen Anziehung und Abstossung analog wirken, ebenfalls nicht von der ponderabeln Masse, sondern von anderen. Umständen, bei der Elektncität selbst von der Dielektricitätsconstanten, die mit der Mas^e in keinem einfachen Connexe steht, abhängen. Von diesem Finwurfe frei ist die Annahme von Marcuse, dass man es mit magnetischen Kräften zu thun hat, und dass die normalen Schweife aus paramagnetischen, die anomalen aus diarnagnetischen Stoffen erzeugt werden. In beiden Fallen aber bleibt eine Variation der Intensität dieser Kraft mit der Zeit, wie dieselbe von BaEDtCMiK dnrcb seine Rechnungen in einzelnen Fällen nachgewiesen wuide, unerklärlich.
*) Bd. 107, No. 336$.
*) Ucbcr di« flqpiitdic Betdiaffieaheit der Komttcd, ps|f. 51.
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Kometen und Meteore^
Weiter aber ist zu bemerken, dass die Uebereiastianinung in den Rechnttogett ▼Oll BiBDiCHDi nur eine scbeinbere nt, und dess die verschiedenen Schwetflypen sich veder scharf trennen^), noch auch chamkteristisch sind, indem sich, wie dieses bei der Unsicherheit der Schweiftjrpen nicht anders möglich ist, bei ver^ schiedcnen Erscheinungen desselben Kometen der Schweiilypus ändern kann.
Es lassen sich aber pegen die Annahme von materiellen Schweifen, welche durch elektrische Entladungen sichtbar werden, noch manche andere, nicht minder wichtic^e Bedenken erheben: Entsteht der Schweif durch unausgesetzte Ausstossung von Materie aus dem Kometenkörper, so muss sich dieser, wenn auch die Dichte des Schweifes äusserst gering wäre, dennoch erschöpfen. Zweitens haben die Theilcheo des Kometenschweifes, da sie in sehr verschiedenen Ent- fernungen von der Sonne sind, aber gegm den Radiusvector immer nahe die- selbe Neigung behalten (entweder in der Richtung des Radiusvectors von der Sonne weg oder gegen die S<mne su, oder gegen den Hauptschweif unter einem bestimmten Winkel geneigt)^ die verschiedensten Geschwindigkeiten in der Bahn, welche bei den normalen, ton der Sonne we^erichteten Schweifen der sehr sonnennahen Kometen mit grossen Schw*cifcn zu ganz ausserordentlichen Unter- schieden führen. Der grosse Septemberkomet 1882 II hatte die wahre Anomalie — 120° bis 120°, also einen Bogen von 240^ in 9 Stunden 20 Minuten zurückgelegt; dem entspricht eine mittlere Geschwindigkeit von 143 /'w in der Secunde, und eine wahre Terihelgeschwindigkeit von ca. 238 ^fft in der Secunde. Bei einer Schweifiänge von nur 1°25' musste der Jtusserste Scbweifpunkt eine lineare Geschwindigkeit von 1000 Jbn, und bei einer Schweifiänge von 30* eine lineare Geschwindigkeit von nahe 15000 Jim in der Secunde gehabt haben. Aber die Geschwindigkeit von ausströmenden Theilchen verändert sich ja nicht bei ihrer EntCemung vom Ausgangspunkte; ein von einem bewegten Körper ausgehendes Frojectil behält die Geschwindigkeit dieses bewegten Körpers nebst seiner eigenen, und so müssten die Schwciftheilchen, welche an der Bewegung des Kometen mit der diesem eigenen Bewegung theilnehnien, eine starke Krümmung nach rückwärts zeigen, welche, wenn die Ausströmungsgeschwindigkeit wesentlich kleiner ist als die Geschwindigkeit des Kometen, dem Schweiie eine mehr tangentiale Richtung geben würden-). Ein solcher Fall ist thatsächlich bei dem Kometen 1894 I (vergl. pag. 57) beobachtet worden. Endlich, wenn man auch annehmen wollte, dass die Geschwindigkeit der Ausströmung bei einem con- stanten, sich stetig erneuernden Schweife mit \ im pio Secunde, wie sie Bsssbl Ar den HAU.tv'schen Kometen erhält, oder selbst mit 90 km pro Secunde, wie sie sich aus den allerdings nicht ganz einwurfsfreien Rechnungen von Olbers für den Kometen 181 1 I fand, als zulässig erklärt wurde, so bleibt das so oft beobachtete Fluctuiren des Schweifes, das Schiessen und Spielen, wobei der Schweif sich wahrend eines kleinen Bruchtheiies einer Secunde, anscheinend plötzlich um mehrere Tausende Kilometer verkürzt und verlängert, ganz unauf« geklärt.
erhSh fiainicoN flir den Kometen: 1858 VI: 1 — 6 1811I, 1— |»=104
1472 6-2 1835 (HaULEV) 10-9
1807 9-3 1862 n 11
1877 U 9 3 1682 (Hallev) 12
*) MioMttt mm ein widcialebcndn Mittel an, cowird «a dioem ScUtinc nidits geändert; im Gcgenfheile «iifct des wideietehcnde Mittel nur in dcmielbcn Sinne, de» KomiHcaseLweif nodi lUbkcr surUdckrttninieiid»
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KoiBCteto lud BlcteoM«
«9
Viel wahrscheinlicher erscheint es, den Kometenschweif als eine opiiäche Begldiencliemting tttik eldctritcli pokrisirter KonM^en ftnrawhen. Gertde so nlmlicb, wie die Sonne Lich^ and W&nnewtrkungea aitsflbt^ orass sie «ach als eine Qaelle von Elekiricität angesehen werden, welche in den sie umgebenden oder amkreisenden kleineren Körpern Elektridtät darch elektrostatische Indaction (Lsflnenz) erregt. Die Menge der inducirten Elektridtät ist abhängig von der Natur des Körpers selbst (seiner Dielektricitätsconstante) und von der Entfernung. Bei denjenigen Körpern, deren Bahnen stark excentrisch sind, wird, gerade so wie bei der Wärmewirl^:iinp eine grosse Verscluedenheit in dem elektrischen Zustande, eine bedeutende Erhöljung der elektrischen Ladung und elektrischen Spannung in der Sonnennähe auftreten, wodurch sich elektrische Ausgleichungen mit anderen in der Nähe befindlichen Körpern (Entladungen) namentlich Aus- gleichungen in einem etwa vorhandenen wenig dichten Medium (ähnlich wie bei den GusLFa'schen Rohren) auftreten werden. Diese elektrischen Aus- gleichongen weiden nan wohl auch mit einer Ueb^ffihrung von Messen ver- bunden sein, welche aber in einem Massenaustausch zwischen den nichstgelegencn Messen, ohne nennenswerthen MassenveVlust bestehen. Da die Endadung in der Richtung der Kraftlinien (senkrecht zu den Niveattfläcben) stattfindet, so Ist die Richtung der Entladung in der Richtung des Kadiusveciors (von der Sonne weg), während sich bei in der Nähe befindh'chen selir stark polarisirten anderen Korpern in nrderen Richtungen auch in diesen Ausgleicliungen, also anomale Kometenschwelle ergeben werden. Kine besondere Stütze erfährt diese Annahme noch dadurch, dass jetzt, seit Anwendung der Photographie die Erscheinungen der anomalen Kometenschweife viel Öfter beobachtet werden; dass übrigens auf den Platten viel mehr Details auftreten, als man mit freiem Auge wahrzunehmen in der Lage ist,- deutet darauf hin. dass das Licht der Schweife stifker aktinisch ist, also auf der brechbareren Sdte des Spectnims liegt.
Auch das Fluctuiren, Schiessen, Spielen der Schweife erklärt sich durch diese Annahme ganz ungezwungen. Beobachtungen, durch welche diese Theorie eine specielle Stütze erhält sind noch: das Zurücktreten des Kohlenwasserstoff- spectrums bei dem Auftreten von MetalUinien, eine Erscheinung, welche nach Hassfi.rerc speciell den elektrischen Entladungen eigen ist, und die Beobachtung von Hkrschel, dass die Farbe des Kometen i8ii 1 in allen Teleskopen grün- lich oder bläuHchgrUn war, während die Farbe der Lichthiillc eine sehr bestimmt gelbliche, in auffallenden) Contrasic mit der grünlichen Farbe des Kopfes stehende war, was auf eine disruptive Entladung an einer negativen Elektrode schliessen
Schon Schröter nimmt an »dass schlechterdings die Regionen des Rimmels den ätherischen Lichtstoff selbst enthalten mttssen, welcher von der fortstossenden oder fortwirkenden Kraft der Sonne und des Kometen zum Lichte des Schweifes erweckt wird.« Ziemlich präcis ist die Elektricitfit als Ursache der Kometenschweife 1S62 von V. March in folgenden Worten ausgesprochen^): ». . . / ventured the Suggestion, tJutt thc tail of a Comet is prolnib/y of the same ftature^ it heing simply an elcctric current, rendered visible by its atvn tUumination of a stream of particks tvhich it is continually transforting with nearfy the velociiy of electricUy itsdj Jrom the atmosphere of the Comet.t Allein hier wird noch
') *The distiDguishing Features ofComets conxidered u Phases of an Electrical dischargc tcnilting firom Exceotricity of Orbit«. American Journal of Sdcnees ttid Alts, II Serie, Bd. 83, FSC*<9*
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90
B.lKDCt«Il an« MSnOVB»
die unwahrscheinliche Annahme gemacht, daas der elektrische Strom die Ursache ist, dus die nwteriellen Paftycelchen von den Kometen mit nahe der Oescbwindig keit der Elektricität von de« Komelenkörper fortgerissen werden.
Was nun zweitens die Wirkung der Planeten auf die Kometen bcttifi^ so wt sie im allgemeinen bedeutend scbwicher» ah diejenige der Sonne, wird aber dmnoch nicbt zu vernachlässigen, wenn der Komet den Planeten sehr nahe kommt; im letxieren Falle kann der Einfluss zweierlei Art sein: er äussert sich in einer Umgestaltung der Bahn, und ferner, wenn die Wirk im c int" verschiedene Theile des Kometen merklich verschieden ist, in einer Iheihmg des Kometen in mehrere 1 heile, welche im Laufe der Zeiten auch ganz verschiedene Bahnen bcschreibi.il können.
Die erstere Wirkung wurde zuerst beim Kometen (81) constatirt und in Rechnung gezogen, nichts desto weniger aber Unlangs von mancher Seile tumA angezweifelt; wührend aber dieser Komet die Astronomen immer wieder be* schflftigte, wurde der Frage selbst weiter keine Aufmerksamkeit angewendet. Mit den beiden Kometen (6d) und (79) besch&Aigt« man sich damals noch gar nich^ vielleicbt weil die Beobachtungen derselben eine genaue Bahnbestimmung nicht vorsanehmen gestatteten, ein Umstand, der bei denselben noch jetst eine nicht unerhebliche Rolle spielt. Aehnliche Umstände waren zufälligerweise bei den folgenden periodischen Kometer vorhanden, wie aus den Bemerkungen über den BiELA schen und ENCKK.'schen Kometen, pag. 73, ersichtlich ist. Die Excen- tricität des Kometen (102) war zu gross, als das^ niari dio Abweichung von der parabolischen Bahn i»otort der richtigen Ursache zugcsciuieben hätte, und so kam es, dass man erst nmdk der Erscheinung der beiden Kometen (131) und (132), deren Bahnen als elliptisch erkannt worden waren, auf die Frage nach den Ursachen getObrt wurde, waram diese Kometen denn nicht schon frtther gesehen worden waren, und ob nicht frflhero Eiacheinungen mit denselben idestiscb wären oder Störungen durch die Planeten, namentlich doroh Jupiter stattgefunden haben konnten. Clausen versuchte es, die beiden Kometen (65) und (IBS) au ideniificiren ^). Für den ersteren Kometen leitete er die in der Tabelle, ptag. 70. gegebenen Elemente rib: für den Kometen (132) interpoUrte er zwischen swei von £nck£ gegebenen Elementensystemen das Folgende:
r= 1819 Xov. 20-8 it = 67« 39 -4 /<5ff 1^ 9-9501
Ä = 77 32-8 f « 46*' W'l
i = 9 10-9
Er schloss nun folgendermaassen : W^enn die beiden Kometen identisch sein sollen und die Bahn des ersteren durch die Einwirkung des Jupiter in die Bahn des letzteren verändert worden sein soll, so müssen sich die Bahnen n(Jthwendig in einem Punkte schneiden, welchen einmal gleiclizeitig die beiden Kometen und Ju|>iter eingenommen haben. Clausen fand nun Air den Schnitt- punkt der beiden bahnen
X« 254°ö3'-3; ß*0**25'-8
in der wahren Anomalie des Kometen (65): — 199** 30'-8 und des Kometen (ISS): — 172*' 48' 1 mit sehr nahe den Radien-Vectoren gleich der Entfernung des Jupiter von der Sonne. Jupiter hatte diesen Ort eingenommen 1805 -k-nx ll«*86ä.
V Altron. Nadv. Bd. lo^ psg. 34$*
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Kometeii md Nteteoie. ^
T-m jefioc h von der Unpiclicrheit der Bahnen frei zu sein, rechnete Clausen ftir beide Koineten mit r gleich der Entfernung» des Jupiter von der Sonne und den vorhin anpepehenen valiren Anomalien nel)St den aus den beobachteten Er- bciicinuugen von 1743 bezw. 1819 gefolgerten i cnheidistanzen die grossen Halbaxen and fand:
/«?^a = 0 55187 ftir den Kometen (65) und 0-49877 flir den Kometen (132)
oder die Urolaufszeiten bezw.: 6'73 und 5*60 Jahre, woraus folgte, dass im Jahre 1759 oder 1760 beide Kometen in demselben Punkte in der Nähe des Jupiter gestanden waren, d. h. dass der Komet (G5) nachdem er seit 1743 zwei und einen halben Umlauf vollführt hatte, in die Jupitersnähe gekommen war, und dadurch hl die Balm des Kometen (132) gedrängt worden war, in welcher dieser nach etwa zehn und einen halben Umläufen gefunden würde. Die auf Grund seiner Unter- suchungen ▼oigenommene Vorausberechnung endes sich jedoch als trügerisch, wie erwähnt wurden die bdden Kometen nicht wiedergesehen.
Da alle kursperiodtschen Kometen sowdhi w^en ihrer geringen Neigung als auch wegen der eigenthOmlichen Verhältniste ihre grossen Axen ilnd ^centri« citäten in ihren Aphelien sehr nahe der Jupitetsbahn kommen, so sirild Störungen derselben durch Jupiter nicht ausgeschlossen; da aber die Störung nicht dutch die Jupitersbahn, sondern durch den Jupiter ausgehl, so bleibt bei der Beurtheilung, ob eine solche Störung vor nicht gar langer Zeit stattgefunden hat, oder statt- finden wird, der Umstand maassgebend, ob bei einem der letzten Durchgänge des Kometen durch das Aphel der Planet in der Nähe gestanden ist. Hierfür wird man sehr rasch durch eine rohe Näherung einen Ueberblick erhalten. Ist T die Zeit des Periheldurchganges und x die Umlaufszeit in Jahren, so sind T'-H (« H- T die Zeiten der Apheldurchgängc, wobei n jede beliebige positive oder negative ganze Zähl bedeutet. Sucht man für diese Ztiten die heliocentrischen Längen £ des Jupiter, und ist diese für einen der Apheldürchgänge genähert gleidi 180* H- « (Länge des Aphels), so wird eine Jupitersnähe wahrscheinlich, nnd eine besondere Untersuchtfiig' erforderlich.
Für den Kometen (386) seigte sich eine git>sse Jupitersnähe im Jahre 1875. LKBHAznff-FkLHfes nahm Mdie Berechnung der ehemaligen Bahn auf). Er fand (Ür den Kometen mit ROdcncht attf die Störungen die heliocentrischen Elemente:
1875 August 13-0 : 330* 17' 34" f « 34" 33' 38"
n«« 18 18 57
i«' 0 a- 0-55600
A -> 207 40 51 MittL Aequ. 1880 0 }i = 580^'-011 37 37 36 6-83 Jahre.
Der Uebergang auf jovitentrische Elemente becogen auf die Ekliptik') ergab
Perijovium 1875 Juni 0 90 Mittl. Berl. Zeit
= 43° 53' 13" = 289 3ö 14 «66 7 50
n — 0 02067
Mittl. Acqu. 18800 Distanz im rerijovium p = 018189
Asymptotenwinkel 16" 45'
Damit wurden Sonnenstönmgen berechnet zwisrlien 1875 September 12. und Febninr 74, und ftir 1875 April 5, neuerdings auf heliocentrische Elemente über« gegangen i es ergab sich
•) A«tTon, Nachr. Bd. 124, ptg. I.
') Yergi. den Art. • Mechanik des Himmels., § 68.
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««« 5 39-8 A«308 86*8 29 96*6
Komefen und Meteort.
1875 April 50: 226* 82'-6 f 1» 23*» l'-2
/sü*«» 0*62084 Mittl. Aequ. 1880-0 |t ^ 415"-668
CT» 8*54 Jahre.
Noch bedeutend grösBcren Störongcn war der Komet (309) auagesetzt, dessen grOsste JupitersnAhe p » 0'0095 war. Die Rechnungen hierflber hatte Chandlbr
ausgeführt*), wobei er während der Zeit der Jupitersnähe die Sonnenstörungen, d. h. die Anziehung der Sonne vemachltoigte; er erhielt die folgenden Elemente*):
Angenommene heliocentrische
Elemente a. d. Beoliftchtungen Jovicentrische Heliocentrische Elemente
mieh der Jupttcmilbe Ettnente vor der grauen SNIning
r BS 1889 Sept. 30 018 z886 Mai 20-747 x886 Nov. 28779 Mittl. Zeit Greenwtch
««B 1°26'17" 29r52'6 203° 8'-7
ftt«17 f^H 45 242 20 6 179 13-4
/= G 4 10 37 5,^>,') 7 43-8
ff= 3-68468 -0 Hii/2y 8-9896
e = 0-47070 l-ü.'jhO 0-3947
g= 1-95023 0-ÜÜ981 5 4411
Cr= 70730 Jahre — 26*95 Jahre
Es war daher die Periheldistanz vor der grossen Störung fast genau gleich der Apheldistana nach derselben während die Richtung der Apsidenlinie nur um 88* gedreht wurde, d. h. durch die Anziehung des Jupiter wurde die Bahn des Kometen so stark verändert, dass der Ort des fraheren Perihels zum Aphel wurde.
Auch die Knoten wurden vertauscht, d. h. der Komet, der bei seiner Jupiter»* sähe nahe seinem niedersteigenden Knoten war, wurde so weit abgelenkt, dass er an dieser Stelle seinen aufsteigenden Knoten erhielt, während die Drehung der Knotenlinic nur etwa 19** betrug.
Die Umlaufs/.eit war vor der grossen Störung nnhc \-iermal so gross als nach derselben; mit dieser waren al)er vier llinlä\ife des Kumet'jti in7*8 Jahre, wahrend neun Umläufe desJupiter lOG-6 Jahre sind; K»? Jahre friilier liuisste also wieder eine Jupitersnahc stattgefunden haben, diese hei aber in das Jahr 1779, das Jahr der grossen Störung des LsxELL'scben Kometen. Allerdings bestehen wohl zwischen den Elementen des Kometen (309) vor seiner Störung 1886 und den Elementen des Kometen (81) nach seiner Störung 1779 noch sehr grosse Abweichungen, allein bei der grossen Unsicherheit der letzteren Elemente giebt dieses noch keinen ausreichenden Grund gegen die Annahme, und Chandler hielt die Vermutung der Identität beider Kometen ftir hinreichend gesichert.
Diese Resultate wurden durch die Untersuchungen von C. Lane Poor*) etwas modificirt. PooR berücksichtigte während der Jupitersnähe bei der jovi- centrischen Bewegung des Kometen auch die durch die Sonne bewirkten Störungen, und rechnete nach dem Uebergange von den jovicentrischen Elementen zu den heliocentrischen Elementen noch mit diesen ftlr einige Zeit die durch Jupiter bewirkten Störungen, wobei die heliocentrischen Elemente nicht unertieblfch veiändett werden; das hauptsächlichste Resultat ist, dass die Uro» lauCneit sich vor der Störung zu 38*19 Jahren ergiebt; dann sind vier Umläufe nahe IIS Jahre, und damit fällt die grosse Jupitersnähe von 1779 also auch die
') ARlsronomical Journal Bd. 9, pag. 100.
') T bedeutet für die beliocentrischen Elemente die Zeit des Perihels, für die jovicentrischen Elemente die Zeh des Perijoviain», llmlidi Ar die and««n fileinciiie. *) Attrooomical Jourasl Bd. 10, pag. 91.
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Kometen und Meteore.
93
Wahrschetnlichkeit der Identität mit dem LexKLiTschen Kometen weg. Da aber mOgUcberweise eine» wenn auch nur ganz geringfügige Aenderung in den Aus* gangselementen die kleinste Entfeniung vom Jupiter und damit auch die Wirkung dieses Planeten wesentlich ändern kann, so ist das Resultat noch nicht voll- kommen sichergestellt.
Bemerkenswerth ist üfirigens, dass in der jetzigen Bahn des Kometen füni Umläufe desselben gleich 35 4 Jahre sind, also nahe drei Umläufen des Jupiter; es muss also im Jahre 192 1 eine neuerliche Annäherung des Kometen an Jupiter stattfinden. CuamdlbrI) hat die Rechnung fttr dieselbe durchgeführt und findet die jovicentriache Hyperbel:
1923 Juni 13*46
A « 98 31 5 l Mittl. Aequ. 1980-0 p — 0-2854
/ = 86 65 2 J
also &ne nicht allzugrosse Annäherung, so dass die Aenderungen in der Bahn,
wie man durch eine Vergleichnng mit den oben angesetzten Aenderungen des Kometen (28f)) leirht überblickt, nur sehr massig sein werden.
Inzwischen hatte Tisserand^ eine Beziehung gefunden, welche zwischen den Elementen der Bahn vor der Störung und nach derselben bestehen muss. Bezeichnet man mit AI, m, m^, bezw. die Massen der Sonne, des Kometen und des stierenden Planeten, mit die grosse Halbaxe und den flir die 2^t der Störung gültigen Radiusvector des störenden Planeten, und beseichnet man die wegen der Kleinheit von m (man kann m = 0 setzen) nur von dem stören- den Planeten abhängige Grösse
r M-h m r^-
so besteht zwischen der grossen Halbaxe a, dem Parameter p und der Neigung 1 der Bahn vor der Störung, und diesen Grössen (a', i') nach der Störung die Bej(iehung') | j _
- + ^v-qVP ' = 2 jJ-o ^P' cos i' K,
wobei also AT die Stelle einer Charakteristik der Bahn und des störenden Himmels körpers bezeichnet, welche Cai.t.andreau *) die Invariante fUr den Kometen (mit Bezug auf emen gewissen störenden Planeten) nennt.
Es handelt sich zunächst darum, für verschiedene Kometen zu bestimmen, ob dieselben den Planeten nahe kommen; als Wirkungsspliare bezeichnet man seit Laplace die Entfernung in welcher, wenn Sonne, störender und gestörter Himmelskörper sich in gerader Linie befinden wttrden, die Wirkung der Sonne und diejenige des störenden Körpers einander gleich wären. Diese ist gegeben durch
und wird für
5 $ $ (i* 4 t* <i y p « 0-001 0-003 0-005 0-003 0-380 0-316 0-896 0-501
ScBUUiOF hat die kleinste Entfernung der Bahnen, flIr 56 Kometen, Ktr velche elliptische Bahnen berechnet worden sind, bestimmt*). Aus diesem Ver-
I) AstroDomical Journal Bd. 10. pag. 124.
BoIletiD Astronomique Bd. 6, pag. 291. ^ Vcfgl. d Art «Mecfasaik des Himmelst % 68. *) Conpt. rend. Bd. Iis, pag. 1304. *) Bolivtin AitraDomiqae Bd. 8, pag. S91.
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94
Kcnncten md MMiok.
zeichnisse sollen im Folgenden die ipricbtigsten an^egeb» werden. AU Grenze wurde dabei angesehen
für die vier äusseren Planeten 0 8 für die Erde 0 6
für Mercur, Venus und Mars 0 06
|
No. |
Name |
IT c/ |
- |
AiiULic Dkurcu* |
||
|
JHIlflC |
% |
ÜTrii II ae fwoipcr |
||||
|
19 |
Halley |
78 |
0'8 |
|||
|
46 |
i68o Kirch |
8810 |
0 005 |
0<4 |
||
|
76 |
1763 Mcssier |
7334 |
0025 |
|||
|
80 |
1769 Messier |
2090 |
0-8 |
|||
|
M |
Bida |
6-6 |
0-011 |
|||
|
96 |
Btoeke |
88 |
-_ |
$ (H»17 |
||
|
108 |
M^duun-Ttatüe |
14 |
0-8 |
|||
|
107 |
1793 II Pemy |
422 |
0*6 |
|||
|
123 |
181 1 II Pons |
875 |
. ._ |
015 |
||
|
m |
Poas-Brooks |
78 |
|
$ 0-076 |
||
|
187 |
Olben |
74 |
|
|||
|
18« |
183s IV PlOB* |
6150 |
0*18 |
|||
|
149 |
1827 III PODS |
2611 |
$ 0-036 |
|||
|
169 |
1845 III Cülla |
250 |
0^5 |
? 0-031 |
||
|
172 |
1846 iV de Vico |
76 |
MM |
$ 0 06; ^ 0-7 |
||
|
174 |
1846 VI Peters |
13 |
|
0-6 |
||
|
in |
1846 Vn Broiwn |
50O |
0-057 |
cT 0*048 |
||
|
181 |
1847 V Bnmen |
81 |
0*5 |
|||
|
186 |
1849 III Schweiler |
8375 |
0*6 |
_, |
||
|
193 |
1853 IV Westphal |
61 |
|
0-4 |
||
|
195 |
1853 II Schweiler |
782 |
0 073 |
|||
|
SOI |
1854 iV KJinkerfues |
1309 |
0016 |
0-18 |
||
|
909 |
1854 V Wtwweke |
994 |
0-8 |
|||
|
203 |
1855 1 Scbweiser |
1059 |
1 0-94 |
|||
|
207 |
1857 m Kliokerfttei |
7040 |
5 0 003 |
|||
|
208 |
1857 IV Peters |
235 |
$ 0-083 |
|||
|
S09 |
1857 V Klinkerfues |
2465 |
$ 0-085 |
|||
|
918 |
1858 VI Dooati |
1880 |
_ |
■ |
g 001 |
|
|
914 |
i8s8 vn Tntik |
6000 |
$0-56: y^^k% |
|||
|
320 |
1861 1 nmeher |
415 |
0-009 |
0-8 |
||
|
221 |
1861 n Tebbutt |
409 |
|
0-G |
||
|
224 |
1862 III Tutllc |
180 |
0Ö05 |
0-76 |
||
|
238 |
1866 I Tempel |
33 |
0 007 |
|
0-45 |
1 0-4 |
|
989 |
1867 I Coggia |
34 |
— |
— |
— |
cJ» 0-021 ;^C-05 |
|
io7i « WiBnecke |
5200 |
O'l |
||||
|
950 |
1871 IV Tempd |
8«90 |
0-068 |
|||
|
258 |
1874 IV Coggi» |
306 |
,r 0 04 |
|||
|
275 |
1881 III Tebbutt |
2954 |
% 0-008 |
|||
|
279 |
1881 VIII Swift |
2740 |
0-46 |
|||
|
284 |
1883 II Rots |
94 >) |
$ o-oss |
|||
|
988 |
1885 m Braok« |
496 |
0*8 |
|||
|
809 |
1888 1 Sawcrtfail |
9189 |
$ 0-097 |
|||
|
307 |
1889 ITT Bamard |
128 |
0*5 |
^ 0-04 |
||
|
308 |
1889 IV Davifbon |
5187 |
00^ |
') Weitere eliiptiscbe Elemente nicht publicirt, Umlaufueit als unsicher angf^b^.
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Kometen und Meltof«.
95
Hi^bei ist Aber nur die kttrsest« Eotfeniiing der Bahnen gegeben ; um dann m einem gegebenen Falle zu entscheiden, ob zwei Kometen identisch sind, hat man durch eine genauere Rechnung den Ort (die Länge /) der grössten Nähe des Planeten zu bestimmen, und für die Anwendung des TissERAND'scIien Criteriums den Ausdruck K zu bestimmen. Schulhoit hat mit Ausnahme des ersten periodi- schen Kometen (45) und des Kometen (174), die bis Ende 1890 erschienenen dieser Untersuchung unterzogen, und die folgenden Resultate erhalten i):
Komet / A* Kowct / A' Komet / AT
6d 871" 0*536 138 0-517 285 ISG** 0*556
79 80 0-498 168 810 0*508 ««^ i 0-498 (vor 1868)
/O* \ 0-
0*486 (1770) 164 163 0*537 10*497 (1884)
81 184 ^ ^.^^g ^^^^ jyy^j . Q.^gg ^jg^jj ^
84 209 0 482 \ 0 475 (1890) 395 305 0 483
92 233 0-473 189 153 0-504 1 0 531 (vor 1886)
96 335 0-591 240 59 0 590 '"^ '^^ \ 0 530 (1889)
102 263 0-337 244 223 0-527 310 189 0 462
131 108 0*509 251 126 0 562 316 828 0*540
277 223 0-414
Hier ist nun besonders hervorzuheben:
1) Die Veränderlichkeit des Ä' ist eine sehr geringe.
2) Es sind gewisse Kometen, bei denen die Differenzen in / und JC nur sehr gering sind, und die dennoch als nicht zusammengehörig bezeichnet werden mllasen; 2. B. (81) und (286); (163) und (244) u. A.; iotbeiondan ist die Gleich- heit der Richtung der Proadoiitätspunkte und die Gleichheit der Invariante JC Mr die Kometen (851; und (885) su bcracfcsicbtigen, und
3) Ist die Vefttnderung von X fttr den BRORsni'schen Kometen (17 IX ohne deas bei demselben eine bedeutendere Störung stattgefunden hätte, aufflUlig.
Dass die Veränderlichkeit von AT eine geringe is^ hat schon Schulhof in den >Astron. Nachriclitent No. 2964 hervorgehoben; was jedoch den zweiten und dritten Punkt anbetrifft, so wird eine Untersuchung über den Eintiuss der Elementenanderungen auf den Werth von AT erst ein Urtheii Uber dessen Schwankungen ermöglichen.
In der Gleichung
A'=-i + 2|i»y>^<;ii (k)
itt fi^ eine von den Elementen des gestttrten HimmelskörperB unabhängige Grösse. Unterliegen daher a, i gewissen Aenderungeo, so wird X eine Veränderung eifsbico, welche gefunden wird aus
Vp
Es ist ausreichend genau, fttr diese Untersuchung in dem Werthe von die Masse des störenden Himmelskörpers gegenttber der Sonnenmasse zu veinachp liasigen» und die Jupitersbahn als hreisfönnig ansusehen; dann wird:
1
«si — — ^ cos i dp — 211^)//) sin idi.
*) Astrap. Nicjirielitcn Bd. 124, No. 29^4 fitr die asten 88 und Bollctiii Artroaeeii^,
Bd. 8, tta die letzten zwei. Dabei hat er / und ßC bei den meisten f)lr die ci»te und letsle Erscheinung gerechnet, und dabei nur fffuiaffft Untetsdiiede g<ämßts^, Wf» «ach dem oben Gesätes nicht aufiWig sein liam».
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96
Kometen und Meteore.
und da » d*S036 ist, {Aq es 0'OS427. In dem leteten Gliede ist flbrigens di im Bogenm.iasse aussudrficken; soll es in Graden ausgedrückt werden, so muss der Co^ificieot noch mit ar^ l** = 001745 multipUcirt werden; es ist demnach:
ÄJT — — -4- 0-0H43 ^ A/ — 0-00294y>iM«Af.
Aendert sich die Periheldistanz eines Kometen beträchtlich, so dass dieselbe grösser als 2 wird, so wird er meist nicht wiedergesehen; bei den kurzperiodi- schen Kometen sind Uberdiess die Neigungen nur mässig; für i = 10° /> = 2, — IG"" würde der tinfluss des letzten Gliedes 0007, was sich mit den bei der TissERAND'schen Gleichung Teroachlässigten Gliedern vereinigt, und es reducirt sich demnach die Beziehung auf eine solche zwischen a und was auch aus der Gleichung (A) ersichtlich ist, da dann w i als constant angenommen werden kann; dann giebt aber diese Gleichung keinerlei Aufschluss aber die Zusammen- gehörigkeit der Bahnen, indem nur Elemente, die von der Form der Bahn, nicht aber solche, die von ihrer Lage abhängen, in die Gleichung eintreten. Ist aber / gross, so wird das letzte Glied in (X') überhaupt klein, und mit den vernach- lässigten ("ilicHicm zu vereinigen sein, so dri'^s finrai?s die Constanz der grossen Axen der K inetenbahneo — innerhalb der Grenzen der vernachlässigten Glieder — folpcn wurde.
Es kann daher aus der Uebereinstimmung der Werthe von A' und /^j aui die Identität der fiahnen kein sicherer RQckschluss gezogen werden; und ebenso ist die grössere DilTerens zwischen den Werthen von K fttr die Kometen (79) und (277) oder fOr die Kometen (81) und (399) noch nicht gegen die Identität beweisend.
Durch die ungleiche Wirkung einer attrahirenden Masse, sowohl der Sonne, als auch eines störenden Planeten, oder durch Einwirkung äusserer Kräfte auf verschiedene Theile eines Kometen kann es vorkommen, dass die Massen sich trennen, wie diess durch die Beobachtungen von Kerntheilungen und Kometen-* komplexen (Hauptkomet ur.d Rei l'^rer) constatirt ist.
Kreutz*) untersucht den Kmlluss, welchen eine in der Richtung der Tan- gente wirkende Kraft (also ein Widersumd des Mittels) auf die Bewegung der verschiedenen Kernpunkte haben müsste, und sucht die Constante A' des Wider-
?'«
Standes, welchen er nach dem Gesetze A"^, d. i. proportional dem Quadrate
der Geschwindigkeit und umgekehrt proportional dem Quadrate des Radiusvektors (ent8prech':nd einer immer stärkeren Verdünnung in concentrischen Schichten von dem CentralkOrper weg) annimmt, so zu bestimmen, dass, ohne Rttcksicht auf diesen Widerstand alle Kernpunkte dieselbe Bahn beschreilien würden. Hierbei erscheint also die Trennung ! r . erschiedenen Theile des Kometen eine Folge der auf verschiedene Punkte desselben verschieden wirkenden Widerstandes eines im Weltraum vertheilten Mittels.
Charlifr') nimmt als Ursache die l)lossc Attraktion nach dem Gesetze der allgemeinen Gravitation. ("»t'^cn die Ableitung der Difierentialgleichungen lässt bich nichts einwenden; dagegen wird die Integration derselben unter ganz
') Dass / nur gcnkhert Übereinzustimmen braucht, folgt daraus, dass di« Störung nicht in dem Pankte der gröbsten NMlie der Bahnen, »ondern nur in der Umgebung dicici Funktet sisttsafinden bimudiA.
^) «Untersuchungen Uber das Kometensystem 1843I, l88oIlmdl88sII*, swdlerTheO, pag. $3* >) BnUetin de TAcedcmte de Su Petcrsbonig, Bd. 3s, peg. 38J.
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Kometen and Meteore.
97
unberechtigten, dem Probleme nicht entsprechenden Voraussetzungen vorge- nommen. So wird als »Referenzcurve«, d. i. die gemeinschaftliche Bahncurve, von welcher ans die Abweichungen der eimeinen Thetlchen gesucht werden, ein Kceis angenomnent eine Voraussetzung, durch welche allerdings, entgegen der Behauptung Charubr's sehr bedeutende, dem Problem anhaftende Schwierig* keiten yerschwinden, welche aber bei der Bewegung der Kometen durchaus nicht zutrifft. Weiter wird bei der Ableitung de r Stahilitätsbedin^ung (Gleichung 15) ein Zustand relativer Ruhe vorausgesetst; die Stabilität der Ruhe ist aber eine wesentlich andere, als die Stabilität der Bewegung, wie schon Laplace bei einer anderen Gelegenheit hervorhob^).
Treten in dieser Weise durch irgend eine Ursache Theilungen der Kometen auf, so werden sich die einzelnen Theile im Laufe der Zeit in p:e nähert gleichen Bahnen um die Sonne bewegen, sich dabei aber von einander ent- fernen; so entstehen Kometensysteme, für welche einzelne oder mehrere Elemente nahe dieselben sind, während andere von einander abweichen können. Welche Elemente identisch sein mttssen, lässt sich nicht allgemein angeben. In der Regel wird man zunächst eine genähert gleiche Lage der Bahnebene, also nahe dieselbe Länge des Knotens und nahe denselben Werth der Neigung an« nehmen mUssen, während die Lage des Perihels, die Excentricität und die Umlaufszeit schon ziemlich weit von einander verschieden sein können, und die Zeit des Durchganges durch das Perihel überhaupt jeden Werth haben kann, indem dieselbe von der Form der Bahn und auch von dtm Zeitpunkte der Trennung abhängt*). In speziellen Fällen können aber auch andere Elemente Starkeren Schwankungen unterliegen; ist z. B. die l'crihcldistanz sehr klein, so kann eine Trennung in einer zur Bahnebene senkrechten Richtung üwei Bahnen erzeugen, deren Neigungen von einander stark difieriren, u. s. w.
Die ersten Untersuchungen über Kometensysteme rühren von Hoek her'). Es wird zunächst die Aphelrichtung lür 33 Kometen bestimmt, und diejenigen Kometen zusammengestellt, bei denen die Richtungen weniger als 10^ im grössten Kreise ab\\eichen; so entstehen acht Systeme von je 8 Kometen, und die folgenden beiden Systeme von je drei Kometen:
107 (18451), 173 (1846 V) und 176 (2846 Vm) 318 (1860 336(1863!) und 231 (1863 VI),
Ar welche die Längen und Breiten des Aphels bez. sind:
IGT: >. = 280 5, ß « — 41*' 6 218: X = SOS" !, ? = — IS'^'i 173 275-3 — 55-4 226 313-2 — 73-!)
176 381 -0 — 49-5 231 313 -y — 76 -4
Nun wird untersuclit, ob und wann die Distanz aller drei Kometen einander nahe gleich waren. Dieses war der Fall für die ersten drei Kometen im Jahre 66-97 mit den Distanzen 600*00, 600 42 und 600-25; und iür die IcUtcren drei Kometen im Jahre 1020*87 mit den Distanzen 500 00, 500-56 und 500 36.
>) Bei der iDtcrprctation der Glcicbuog (15) muss es Qbrtgens hefssen, »die beiden Körper mflSMB also VZ — 1*783 mal (nicht aber, wie Chakliee meint, S mal) eine Rotation tun den gcmrimsincn Schwerpunkt ausHlhren, während der Schwerpunkt »elbst einmal einen Umlsttf vm
die Sonne voüfnhrt. » Q ist nümlich nach der Definition das Quadrat einer mitflcTen Bewegung.
^) In diesem Sinne kann vian dann auch voD KomctcDsystetoeo ohne direkt nachweisbare, physische ZuMmmengehör igkeit sprechen.
*) >On tbe Comctt 1860 m, 1863 I, i86j VI,« MonUiIy Nedcea, Bd. 25, pag. 243. TAimraiMiB, AfiiMwnia. O. 7
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Mitd. Aequ. 18640
9I Kometen und Mcteoce.
Die nächste Bedingung ist nun die, dass die drei Bahnen einen gemein- Kbaftlichen Durdischnittspttnlct haben, dieses ist für die drei ersten Kometen nicht der Fall; die Durchschnittspunkte sind:
Für die Kometen: 167, 173 X=17rir ß«— 14'53'
167, 176 249 26 — 46 49
178, 176 m 45 — 47 5.
Diese drei Kometen bilden daher kein System. Für die drei letzten Kometen hingegen finden sich die Durchschnittspunkte:
Für die Kometen: 21b, 226 X = 316*'42'-9 ß = — 7f>°31'-5
218, 231 312 18 6 — 75 39 5
226. 231 320 46 2 —78 39 3 also in genügender Ueberein-
stsrnmung; demnach im ftCttel X9>S16 S5'9 — 76 d6*7
und HoKK nimmt daher an, dass diese drei Kometen ein System gebildet haben. In der Nähe dieser Schnittpunkte aber muss auch eine Ursache für die Trennung gesucht werden, und Hoek macht die Hypothese, dass dort ein Bewegungs- cratrum war, um welches früher die Bewegung stattgefunden hat
Hoek setzte später seine Untersuchungen for^ und ddinte sie anfalle Kometen seit 1556 aus; aus diesen Untersuchungen mag noch das System der drei Kometen (43) (167a), (44) (1677) und (47) (1683) hervorgehoben werden. Er findet lllr die Durchschnittspunkte der Bahnen^:
Fttr die Kometen: 48, 44 X*b275*>*5 p — — 7S°'8
48, 47 SS6*9 —89*4 44, 47 815 *9 — 78 «8,
also im Mittel, reducirt auf das Aequinoctium 1864 0:
X«818'-5, ß»= — 78°-8
sehr nahe dem Durchschnittspunkt der Bahnen der drei Kometen (318), (336), (381).
Die Radienvektoren der Kometen 44 47 waren im Jahre 1076-54 400 402 4
613-86 000 602-0
woraus Hoek schh'esst, dass gegen die ursprüngliche Identität derselben kein Ein« wand zu erheben ist^).
Man darf jedoch in den Conjekturen hierbei nicht zu weit gehen. Sucht man nach Achnlicbkeifen zwischen Kometenbalmen, «^o wird man bei der Identi- fikation oder bei der Zusammenstellung derselben in Gruppen oder Systemen etwas vorsi( luig sein müssen; einerseits können Kometen identisch sein, bei denen die Elemente nicht die geringste Aehnlichkeit ^eigen; Identität solcher Konicien kann aber nur eine eingehende theoretische Untersuchung zeigen, unter Berück- sichtigung der Störungen seitens anderer Himmelskörper. Beschränkt man sich aber auf die AehnHchkeit der Bahnelemente, so wird man selbstverständlich nach
•) Monthly Notices, Bd. 26, pag. 4.
•) Mit demselben Rechte könnte man aber mit Rücksicht anf die Unsicherheit, welcher die Bestimmung dieser Kadienvectoren aus den doch nicht absolut genauen Elementen in An- b«tracbt der Entfetmmg fribtt vnfciliqgt, tdiUesieii, daw die Keeictcn wlhrea4 dietttr ganzen Zeit nicht verbunden waicn, als Mcb, daM sie vm diese ZdfMMh eteia tlflsIgCB Koneten bildeten.
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Kometen und Ifeteore.
99
Maassgabe des Anwachsens der Zahl der Konneten immei gewisse ähnliche
Elementensysteme finden, ohne dass desshalb an eine engere Verbindung ge- dacht zu werden brauche Bei den neueren Kometen, bei denen in Folge der guten, hauptsächlich aber zahlreichen, über einen grossen Zeitraum sich erstrecken- den Beobachtungen eine ziemlich sichere Bahnbestiinmung ermöglicht ist, wird man die Grenzen für die zulässigen Unterschiede zwischen den Elementen ziemlich enge zu ziehen haben; bei den alteren Kometen, namentlich etwa vor dem Jahre 1700, also für die eisten 50 Kometenbahnen, witd man auch weitere Grenten in den Unterschieden ftr snlässig halten können.
So sind die Elemente der periodischen Kometen (131) und (2i})b namenüich die Bahnlage, nicht alls« verschieden; und weim nur sehr wenig periodische Kometen bekannt wären, etwa wie im Anfange unseres Jahrhunderts die 4 kleineren Planeten, so könnte man ganz wohl, sowie ursprtinglich bei diesen, an einen gemeinsamen Ursprung, einen Zusammenhang in historischen Zeiten, denken. Geml s der Zahl nnd T.age der periodischen Kometen wird man wohl aber alle kurzpenodischen Kometen als eine zusammengehörige Gruppe auffassen können, ohne zwischen ein /einen derselben einen besonderen tieferen Zusammenhang zu vermuthen, wenn nicht die i^iemente durch aus&ergewöhnliche Uebereinstimmung auf einen solchen hinweisen.
Der Komet (94) zeigt eine grosse Aehnlichkeit mit dem Kometen (1^) Von 74 Jahren Vmlaufszeit; seine Elemente sind:
r = 1785 Jan. 27; it = 109 -9; = 264°-2; i = TO'^ ^; q = 1-143.
Da jedoch der Komet (124) im Jahre 1812 durch sein Perihcl ging, so kann
der Komet (94) mit ihm nicht identisch sein, wohl aber in der Zwischenzeit von 27 Jahren ihm vorangehen. Unter der Annahme einer nahe gleichen Umlaufs- würde er um 1859 wieder durch sein Perihel gegangen sein; doch ist die Umlaufszeit kein charakteristisches Element.
Mit den kurzperiodischen Kometen haben folgende 4 Bahnen Aehnlichkeit: Komet (4): T = öbb August 29; ir = 317°; A = 294''; / = 4^ log q = 9 96 mit dem Kometen (81); ail«rdings sind hier die Knotenlängen um nahe 180° verschieden, allein unter der Annahme einer Neigangsänderung von nur 5^ wobei der aoisteigende Knoten zum ntedersteigenden würde, wttrde die Knoten- iadening nur etwa 17* betragen. Aber der Komet (81) hatte vor 1766 eine gans andere Bahn, ond wenn die beiden Kometen früher ein System gebildet hätten, io mttsste der Komet (4) sich in der alten Bahn des Kometen (81) bewegen 1^). Weiter:
Komet 89 1661 Jan. 37; icsll6<>; a«8S<'; i^^d**; legf^^^h
mit dem Kometen (171) und
Komet208 7"= 1857 Aug, 24; 21*8; ft» 200-8; /= 328; %^ = 9 873
Komet 358 1874 Juli 18; ic « 5*5 ; A = 21ö-9i f = 34*1 \ logq^ 0227
mit dem Kometen (822);
die beiden Kometen (808) und (858) sind jedoch als ellii>tisch erkannt, mit den grossen Halbaxen 88, bezw. 45, Urolaufszeiten 235 und 306 Jahren, und es ist daher nicht ausgeschlossen, dass der Komet (322) durch eine bedeutende Störung aus eioer Ähnlichen Bahn in seine jetsige ttbergefUbrt wurde.
*) Es ist dieses ein auflKUiges Beifpiel* dass tnan bei der Vergleichung der Bahnen steti a<tf die der entcn Vcrglcichung UDsug^gliehea oSberen Umstände Rücksicht nchinen muss.
7*
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lOO
Romettn und Meteore.
Eine bedeutende Aebnlkhkeit in den Bahnen findet sich bei den folgenden Kometen^):
13. 247 70, isn (b) /, 254
30, 313 (a) 101, 279, 334 134, 203, 232, 326
35, 262. m 118, 275 (c) 161^ 270, 281, 298
38, 331 257, 274.
Sodann in etwas weniger guter Uebereinstimmung in einxelnen Elementen:
13, 55 (mit einer Aendcning yon 10* in der Neigwig, bei welcher
der aufsteigende Knoten sum niedersteigenden wird), 119, S2j^ 8S8 mftssiger Unterschied im Knoten, il8, 8S4, S64
Durch die Lttnge des Perihels unterscheiden sich die folgenden Bahnen:
265. 299 76, 263 151, 169 und Gruppe (c)
28, 53 90, 269 S36, 306
40, 314 103, 268 260, 89S.
48, 118 104 und Gruppe (a)
Bei sonstiger Uebereinstimmung der Elemente finden sadi grösse» Unter- schiede im Knoten bei den Kometen:
46, 72 125, 314 273. 275 lüG, 245 137, 292 275, 308, 118, 273 149, 253,
in der Neigung bei den Kometen:
94, 103 265, 320,
femer bei Gruppe (b) und Komet (30);
in der Peiiheldistans bei den Kometen:
76, 263 237, 320 266, 287,
in der Lage des Perihels und Periheldistanz bei den Kometen:
68, 350 327, 378;
in der Peiiheldistans und im Knoten bei den Kometen:
130. 296.
Die Bewegung der Konuten, und zwar die ungestörte um die Sonne, sowie die Störnngen durc.li die Planeten, sind unabhängig von der Masse der Kometen'); umgckehtt wären aber die Bewegungen der Planeten von den Kometen beeinHu'-'-t, wenn diese eine bedeutendere Ma'ise hätten. Im Volke hat siel» auch, narhdem der astrologische Abeiglaube über die Bedeutung der Kometen zu schwinden begann, die Kometenfurcht herausgebildet, die Furcht, dass durch den Zusammenstoss eines Kometen mit der Erde die Well^ d. b.
^) Eine dmitige Zusammenstellung giebt, wie schon enrHlmt, nicht unmittelbar die ZnsMBmengeiittriglieit der Kometen an; die Fixining der Grenten bleibt daher immer mehr oder
weniger dem subjektiven Ermessen anhcimgcstellt (vcrgl. pag. 98).
') l?o lange diese niclit mit der Ma-i-i; dts Ccntr.nlkftrpers vergleichbar ist, d. h. so lange in der Summe /)/ -t die Masse m des gestörten Körp^s gegen die Masse M des Centralkörpera vernachlässigt werden darf.
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ICometcn und lileieotfr.
die Erde, ?^^ Crunde gehen würde: es wurde an die Frscheinung eines Kometen der Weltur, [t^TL^ang geknüpft. Nun hat man abci bisl er n';cl> keinerlei Störungen der Planeter» durch irgend einen Kometen angibcn können. Der KNCKF.'sche Komet kann sich, wie sclion Bi:ssEL 1819 bemerkte, dem Alcrkur bis auf 0*017 Erdbahnhalbmesscr nähern, so dass seine Entfernung vom Merkur etwa ^ umtat Entfernung von der Sonne wifd, und die vom Merkur auf denselben aus- geübte Kraft sieb zu der von der Sonne ausgeübten wie 6500 m:M verbält, wenn M die MeriEurmasse ist, und <Ue durch Merkur bewirkten Störungen in der Be- wegung des ENcu'schen Kometen sur Bestimmung der Masse des Merkur dienen können. In der That hat Enckk zuerst auf diese Art eine genauere Bestimmung der Merkursmasse durchgeftlhrt, und durch die fortgesetzte Beobachtung des F.NCKE'schen Kometen hat diese Bestimmung später durch von Asten und Back- I T Nn einen hohen Grad von Genauigkeit erlangt. Umgekehrt hat man aber eine Einwirkung des EMCKE'schen Kometen auf die Bewegung des Merkur nicht constatiren können.
Ferner hat bereits Olbers auf die grosse Annäherung des BiF.LA'schen Ko- meten an die Erde hingewiesen; seine Entfernung kann bis auf 0 011 herab- sinken, d* h. bis auf etwa ^ der Entfernung der Erde von der Sonne. Die von der Erde auf ihn ausgeübte Kraft ist dann etwa der 41*5te Theil von der von der Sonne ausgeübten'); wäre die Kometenmasse nur der i»te Theil der Erdmasse,
so würde die von dem Kometen auf die Erde ausgeübte Krafl . , \ — sein. Für
41 • 5»
den BiELA'schen Kometen allerdings ist zu beachten, dass diese Eventualität ein- treten kann, oder eigentlich hätte eintreten können, aber nie eingetreten ist, und vielleicht nie eintreten wird, da inzwischen der BiBLA'sche Komet verschwunden zu sein scheint.
Noch rälier kann die Erde dem Komet ("220' (1S61 I) kommen; die kleinste Enlternung der Bahnen beträgt Üü02, und es wuidc die Wirkung der Erde auf den Kometen, wenn beide Körper zur selben Zeit den nächsten Punkt ihrer Bahnen passiren würden, 7*3 mal stärker als die Wirkung der Sonne auf den
7-3
Kometen, und die Wirkung des Kometen auf die Erde — , wenn die Masse des
Kometen der n te Theil der Erdmasse wäre.
Dass man durch den Schweif und selbst mitunter durch die Coma Fixsterne fast ungeschwachi hindurchsiciit — die mitunter beobachtete geringe Licht- schwächung lässt sich durch die Contr.istw irkung iTt'J^en den dtmklen Himmels- hintergrund einerseits und gegen den lielleien Hinter^^rund des Kometen anderer- seits erklären — kann nicht als Beweis für die geringe Masse gelten. Bei einer noch so geringen Dichte des Kometen müsste eine geringe Schn^hung des Lichtes, überdies aber auch eine Ablenkung stattfinden, wenn der Fixstern nicht im Centnim des Kometen oder in der Schweifaxe sich befindet. Wenn aber auch mit
bei r die Eotfemnog de$ CentraUcörpers, diejenige des störenden Kcrpers, Af und m die Massen de« enteren und letzteren sind{ filr kldiie Entfemufai ist Aewr Antdnick mdit aus* «tidMnd (wegen der vetiMcblli^iCten Glieder). Da aber die Wirintng der Sonne and de« HOfcnden KOipcis in der Bntfemnng p k dem Radius der WirkungsspkMre cinuider ^ieh eind,
«0 igt die WMkung In der Entfenumg r gleich (^)' ; flir die Bide let der Kadiw der Wiikmgi-
V^^n^i^y" 0 00540.
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KometeD und Meteore.
Gewissheit constatirt werden könnte, dasB eine Lschtablenkung nicht stattfindet, so wU« damit noch nichts erwiesen, denn dann ist der nächstliegende Scbluss, wie auch Olbirs bemerkt, dass der Schwei! ans discreten Theilchen besteht: bei der enormen Ausdehnung des Schweifes könnte dann die Masse noch eine ganz beträchtliche sein. Die Kerne selbst scheinen allerdings nicht sonderlich gross zu sein; für den Kometen 1811 I war der wahre Durchmesser des Kerns nicht über 4000 Jk/n) für den grossen DoNATi'schen Kometen 1858 VI nur 1000 km, bei dem grossen Kometen von 1862 nach Winkfxke's Messun!:^en bloss 40 — 50 J^m. Die Messungen dieser kleinen Winkel, unter denen die Kometenkerne erscheinen, sind aber dann mehr Schätzungen, mit erheblicher Unsicherheil behaftet. Würde man für den Kometen (220) einen Halbmesser von etwa 1000 xw und für seine Dichte etwa diejenige der Erde annehmen, so würde n = 258 5, und seine Wirkung aui die J r^ie .^^..^ der Sonnenwirkunp, also 4158 mal starker die Wirkung des Jupiter. Allem, wenn der Halbn, csser nur des inil eren, also 100 kftt angenommen wird, so wäre die W ukung schon l'^liereu, aiso
isi^ir» und nimmt man für den Kometen etwa die Dichte des Wassers, so wäre die Wirkung im Verhalimss b h : 1 /u verkleinern, also nur jgj^ der Sonnen- wirkung, wäre aber noch beinahe gross, wie die Wirkung des Jupiter.
Ob man auch für den Kometenkern, dessen Spectrum jcdonrai)«^ dasjenige eines festen oder flüssigen Körpers ist, eine Dichte, etwa v.ac dit^jciiige der atmosphärischen Luft annciiinen dürfte, bleibt fraglich; über die Grösse der Kerne befinden wir uns noch ziemlich im Unklaren; viele sind, wie erwähnt, selbst im Fernrohre nicht sichtbar (vergl. pag. 54) und verrathen sich nur durch das Spektroskop. Auf diese Weise können wir also über die Wirkimg der Klo* meten kaum Aufschluss erhalten, um so mehr, als eine solche hypotbelische Annäherung nicht oft stattfindet, da die angeführten Proximitätspunkte sich auf die Bahnen beziehen, die Körper selbst aber äusserst selten gleichzeitig durch diese Punkte gehen werden und man bleibt bei diesen Schlüssen zur Zeit auf den Mangel jedes Einflusses des FxcKE'schen Kometen nuf den Planeten Mcrrur angewiesen. Um so wertlivoller ist für die Beurtheilung der Kometenmassen da':. er noch die Thatsache, dass im Jahre 1886 der Komet (309) mitten durch das Jupitersystem ging, ohne in den Bewegungen der Satelliten auch nur die geringste merkliche Störung hervorsubringen. Der Komet niherte sich dem Jupiter bis auf (HX)98 Erdbahnhalbmesser (vergl. pag. 92) oder ${0*88 Jopiterhalbmesser, während die Entfernung des äussersten Jupitersatelliten S7 Jupiterhaibmesser betrSgt.
Diese Thatsachen beweisen «ur Genüge, dass die Kometenmassen nur äusserst klein sind, und dass man bei der Berechnung der Störungen der anderen Himmelskörper ihre Massen, wenigstens bei der jetzt angestrebten und erreich- baren Genauigkeitsgrenze, und vielleicht noch sehr lange hinau% in völliger Strenge gleich Null setzen kann. Ks gilt dieses nicht nur für die grossen Planeten, sondern auch für die kleinen Planeten, ja sogar tur jeden Stein auf der Frde, da die Wirkung nicht von der Masse des beeinflussten (gestörten) Körpers, sondern nur von dem Verhältniss der Massen des störenden und des Centraikörpers ab- hängt Man könnte nur noch einwerfen, dass die Wirkung eine wesentlich andere sein müsste^ wenn die Annäherung bis aur Bertthnmg statlAiden, d. h. wenn ein Zusammenstoss stattfinden wUrde. Die WahtschetiiKchkeil dieses Zn« BMomenstoises ist nun wohl äusserst gmog; aber selbst wenn mm lolcber stattfinden sollte, so wUrde er nur von verderblichen Folgen für den Kometen,
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KometeD und Mdeoiew
103
nicht aber für die Erde, begleitet sein. Zwar ist die Geschwindigkeit der Ko- meten, ebenso wie diejenige der Erde weit grösser, als die Geschwindigkeiten, welche man bei terrestxischen Objecien zu beobacliicn Gelegenheit iiat, und wenn der Komet der Erde mit dieser Geschwindigkeit begegnen würde, so könnte er cum mindesten ein hflbscbes Loch in sie hineinschlagen; denn die Ge- schwindigkeit des Kometen ist, eine parabotische Bahn vorausgesetsti 1*4142 Mal so gross» wie diejenige der Erde« also, da die letztere Jtm pro Secunde be- tragt, iUr den Kometen 42 is» pro Secunde. Die relativen Geschwindigkeiten werden daher «wischen 12 und 72 im variiren. Aber, wie später gezeigt wird, kommt der Komet eben nicht mit dieser Geschwindigkeit zur Erde; so wie er in den Luftraum treten würde, müsste er sich entzünden, und, wie ein riesiges Meteor leuchtend, zum grössten Theile verbrennen; der Rest könnte detonirend zerspringen, oder auch als ein grosser Block zur Erde fallen; aber die (ie- schvvindigKCiL des Falles würde, wie gross auch die kosmische Geschwindigkeit beim Eintritte in die Atmosphäre wäre, lange bevor er die Erde eireicht, unter Um- Ständen schon in den oberen Regionen der Atmosphäre, unter 1000 m gesunken sein. Die Luft wirkt dabei wie ein elastisches Polster, das die Erde und ihre Bewohner g^en Katastrophen von Aussen schützt
B. Meteore.
Auffallende Erscheinungen in den Luftregionen, von welchen bereits im Altertburo berichtet wird, waren hellglänzende, leuchtende Feuererscheinungen, oft von dem scheinbaren Durchmesser der Mondscheibe, an Glanz dem Monde nicht viel nachstehend, ihn mitunter Übertreffend; Erscheinungen, welche mad in spgteier Zeit mit dem Kamen Solide, Feuerkugeln belegte; ferner die >vom Himmel gefallenen Steinet, welche meist aus einer detonirenden Feuerkugel, d. h. aus einer Feuerkugel, welche unter einer heftigen, weithin, <^ mehrere Meilen weit hörbaren Explosion zerspringt, zur Erde fallen, und welche man als Aerolithe, oder je nach ihrer Beschaffenheit als Meteor- steine oder Meterreisen bezeichnete. Die Mctcorerscheinungen, welche Meteormassen zur Krde entsenden, nannte man früher wohl aucli zum Unter- schiede von den anderen, Meteorite. Es ist jedoch schon hieraus klar, dass zwischen euerkugeiii und den Meteormassen ein Unterschied nicht bezieht. Nichtsdestoweniger hielt man diejenigen Feuerkugeln, welche ohne ZurQcklassung irgend einer sichtbaren oder hörbaren Spur verschwinden, wesentlich verschieden von denjenigen, welche Meteormassen zur Erde senden, und bezeichnete wohl auch als Feuerkugeln vorzugsweise die ersteren. Heute tat dieser Unterschied hinfilllig, und Me^eormassen sind nichts anderes, als die zur Erde gefallenen Reste der Feuerkugeln, diese nichts anderes, als die in der Atmosphäre befind- lichen oder sich bewegenden Meteormassen.
Nicht alle Feuerkugeln sind gleich gross und glänzend. Schmidt beschreibt eine besonders glänzende in seinen >Resultatcn aus zehnjährigen Beobachtungen über Sternschnuppen» Berlin i.'852c (pag. 44) folgendermaassen:
»1848 Januar 21. Von allen Meteoren, die ich seither gesehen habe, das glänzendste und grösste. ... Es schien mir, als sei das Meteor im Zenith ent- standen; ich erblickte es erst in etwa 60° Höhe, gleich einem Sterne 2'" an Glanz, wo es bald Aldebarans Ilr-llit^keit und Farbe erreichend, in wenig ge- srhlängelteni Laufe dem Kopte des i^egasus sich zuwandte. Hier nahm das Meteor schnell einei^i gewaltigen Glanz ui^d das intennvite SroaragdgrUn an,
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104 Kometen und Meteore.
dem sich hinten, in der Richtung der Bewegung, ein ganz unscheinbarer grauer und kurzer Sch\*eif anschloss. Das Merkwürdigste jedoch war der feurige T.irht- schein, der rothcn, carminfarliigcn Nordlichtghuh Shnh'rh, welcher, soviel ich er- kennen konnte, sich zu heiden Seilen des Meter» s so an die grüne Hauptmasse anlagerte, dass es an beiden Seiten wie zmücku eilendes Haar, von dem scharf elliptisch abgerundeten Kopfe in zwei .sclinialcn Zonen den Uebergang des grünen Lichtes in die graue Schweifmaterie begrenzte. Diese Lage und die beiderseitige scharfe AbsondeniDg von der Umgebung macht es mir augenblicklich während der kurzen Dauer der Erscheinung durchaus wahrscheinlich^ dass hier kein subjektives Phänomen vorwalte. Das Meleor glich einem langgedehnten fallenden Tropfen geschmolzenen Metalles» . . . Als das Meteor einen fast blendenden und ungeachtet des Mondscheines schattenwerfenden Glans erreicht hatte, trat es, schon in der Nähe des Südwest-Horizontes, hint^ mässige» vom Monde erhellte Scbneewolken, durcli welche das grüne Licht, zwar verwaschen und vom Nimbus bei reit, doch vvundeibar stark in grosser Scheibenform durchstrahlte. Den Durch- messer des scheinliar begrenzten grünen Theiles schätzte ich in 10° Höhe auf
SO Minuten wenigstens Die Dauer der Sichtbarkeit des Meteors tiberstieg
schwerlich 4^ Es verschwand um Ib"' bi' Mittl. Bcrl. Zeit«.
Nicht jede FcueikugCi giebt Anlnss zu einem Meteorsteinfall. Im Gegentheile bind die Meteorsteinlällc weil seltener, als das Aufleuchten von Feuerkugeln. Wenn nichtsdestoweniger, namentlich in den chinesischen Annalen, von siemUch sahireichen MeteorsteinfiUlen berichtet wird, so hat dieses vielleicht nur darin seinen Grund, dass den »vom Himmel gefallenen Steinen« mehr Aufmerksamkeit zugewendet wurde, als den spurlos verschwindenden Feuerkugeln. Arago giebt die folgende Zusammenstellung der in historischen Zeiten bemerkten Feuei^ kugeln.
Vor Chr. Geb. 3 Im s.Jahrh. 3 Im lo. Jahrb. S7 Im 15. Jahrh. 13 Im t. Jahrb. 7 Im 6. Jahrh. 20 Im 11. Jahrh. 39 Im 16. Jahrh. IS Im 2. Jahrh. 2 Im 7. Jahrh. 13 Im 12. Jahrh. 4 Im 17. Jahrh. 39 Im 3.Jabfh. 1 Im 8. Jahrh. 13 Im 13. Jahrh. 8 Im 18. Jahrh. Ober 100, Im 4. Jahrh. 17 Im 9. Jahrh. Ii Im 14. Jahrh. 7
während in unserer Zeit fast in jedem Monate in der einen oder anderen Gegend der Erde eine glänzende Feuerkugel gesehen vi^rd. Hingegen hat Biot aus der Zeit von 644 v. Chr. Geb. bis 335 n. Chr. Geb. 16 MeteorsteinfiÜIe nur allein in den chinesischen Annalen verzeichnet gefunden.
Das Auftreten derselben ist sehr verschieden. Zumeist sieht man sie nach mehr oder weniger heftig detonirenden Feuerkugeln, deren Theile nach allen Seiten zerstieben, von denen einzelne als Meteormassen zur Erde gelangen. Viel seltener kommen Meteorsteinfalle vor, ohne dass vorher eine Feuerkugel gesehen worden wäre; in diesen Fällen wird oft nur eine starke Detonation vernommen, oder aber es fällt eine grosse Zahl kleiner Meteorsteine aus einer dunklen Wolke.
Ebenso verschieden ist die 0 rosse der Meteonnassen. Die meisten sind nur
kleine Bnuhstticke von wenit^en Grammen, doch sind aucli müssij» grosse von einigen Kilogrammen Gewicht nicht allzu selten. Sehr grosse Meteormassen, die
>) Alto etwa gleich der GrKtse des Mondes.
') Man spricht von Meteorsteinfüll i n ohne Unterschied auf die BeschaflTenheit der g^Uenen Maucd, also ebensowohl bei cigentUchen Mvlvorsteinen als auch bei Meteoreisenmasaen.
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dann vereinzeU zur Erde fallen, gehören zu den Seltenheiten und erregten zu alten Zeiten Aufsehen. Zu den merkwtirdi^isten sind die folgenden zu zählen.
Der grosse Stein, der 465 v. Clir. Geb. bei Aegos-Potamos in Tbrnkien zur Erde gefallen war, soll »zwei Mühlsteine gross und eine ganze Wagenlast schwere gewesen sein.
Im Anfange des zehnten Jahrhunderts fiel bei Narni in Italien ein Stein in die Nera (Nebenfluss des Tiber), der noch eine ganze Elle über dtir Obcrüache det Wasten henrorragte.
Am 7. November 1493 awischen 11 und IS Uhr Mittags fiel bei Ensisheim im Elsass eine bedeutende Meteonnasse in ein Getreidefeld, einen Meter tief in den Boden eindrillend.
Im Jahre 1750 wurde in Sibirien auf einem Hflgel in der Nähe des Jenissei Ton einem Rosaken, Medwedeff, eine Meteormasse von 635 iiigr aufgefunden, von welcher die Tataren behaupteten, dass sie vom Himmel gefallen sei. Diese . Masse, obzwar keine von den grös'^ten , h.it in^^ofern ein besonderes Interesse, als sie Chladni Veranlassung zu seiner ersten berulimten Abhandlunf^ >Ueber den Ursprung der l'ALLAs'schcn *) und anderer ihr ähnlicher Eiserunassen und über einige damit in Verbmdung stehende Natureracheinungen; Riga 1794« bot.
1783 fand eine von den Spaniern zur Ausbeutung von Silberminen nach Otnmpa im Bezirke San jago del Estero, Provinz ChacO'Gualambo der Laplatap Staaten komntende Expedition daselbst eine Meteoreisenmasse von 3*5 «»Länge, S m Breite und \ m Dicke mit ca. 15000 J^r im Ge.wicht.
1784 wurde von Bbbnakdiiia da Mota Bertbllio in der Näbe von Bahia (Brasilien) eine Eisenmasse von über 2 m Länge, 1 m Breite und nicht ganz 1 m Dicke im Gewicht von ca. 7000 kgr gefunden.
Noch grössere Fisenmassen, welche den Charakter meteorischen Eisens tragen, sollen sich nach Chladni'^) am rechten Ufer des Senegal in Afrika finden.
In neuerer Zeit hat NoRr>F,NSKjöi d 1870 im siidhclien Theile der zu Cirönland gehörigen Insel Disko mitten unter Granit- und Gneissblöcken 15 Blöcke meteori- schen Eisens gefunden, von denen die drei grossten bezw. 2ÜÜÜ0, ÜbOO und 4300 Jk^r Gewicht haben»).
Za den grösseren Massen gehören auch diejenigen, Uber welche DaubreA b den Comptes rendos, Bd. 64 berichtet, von denen die eine, aas den Seealpen, 6S5 J^, die andere, aus Mexico, 780 ^gr im Gewicht haben.
Kleinere Meteormassen fallen zumeist in grösserer Zahl in den sogen. Stein- regen. Von den iUteren Steinregen, welche sich z. B. in der bereits erwähnten Schrift von Chladni über Feuermeteore erwähnt finden, sind manche, wenn auch nicht mythologischen, so doch mythischen Ursprungs. Dass dieselben nicht als Steinregen im eigentlichen Sinne des Wortes aufzufassen sind , erwähnt schon Chladm bei einzelnen (vergl. z. B. in seiner Schrift pag, 233) Die grosse Mehrzahl derselben ist allerdings zweifellos sichergestellt. Zu kriliijclien Untersuchungen in dem Gebiete der Meteoraslronomie können nichtsdestoweniger erst die Meteorfalle seit der Mitte des vorigen Jahrhunderts herangezogen werden, weil bei den froheren die nöthigen Detailangaben fehlen. Wohl der erste gut bestimmte ist der am 36. Mai 1751 stattgefundene Steinfall bei Hraschina in Slavonien, wo Abends
^ Sie winden ron dem ReliCDden Pallas in PttanibarK unteisucht
^ »Uehcr Fcacimetcore und tlber die mit denselben heimt^geMIenen BIa$ten, Wien 1919.«
m- 333-
*) Deren meteorischer Urspnmg wird ttbrigeni mehrbch «ogexwcifelt
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Komettn mid Ucieoi«.
gegen 6 Uhr aus einer in einem grossen Theile von Deutschland sichtbaren Feuerkugel, die unter heftigem Getöse zersprang, zwei Meteormassen im Gev\ ;i liie von db kgr und 8 k^r in einer Kntlernung von ca. \i><iO m von euiander zur Lrde fielen. Der erstere grössere drang ungefiibr 6 m lief in die Erde, wohl die grösste Tiefe, bis su welcher das Eindringen der Meteore constadrt wurde.
Eine gewisse Berühmtheit erhielt der grosse Steinregen von Barbotan in der Gascogne am 24. Juli 1790. Aus einer zwischen 9 und 10 Uhr in verschiedenen Gegenden gesehenen Feuerkugel mit langem Schweife fielen «wei Minuten nach ihrem Zerspringen eine Menge Steine zur Erde, die gesammelt, und mit einem von dem Maire unteizeichneten Berichte an die Academie geschickt wurden. Der mit der Untersuchung betraute Gelehrte Hkutholi^n erklärte aber diesen ganzen Bericht als ein dem Volksglauben ent$ijrui iLiciies Märchen') — vielleicht die letzte Erklärung dieser Art, welche von einer \usscnschafihchen Kt rperjjchaft gegeben wurde. I ür die am 26. April 1803 bei L'Aigle gefallenen Meteoimassen, von denen die gr<>s8te nahe 9 kgr wog und welche ebenfalls der Akademie ein> gesendet worden waren, gab der Physiker Biot, wie schon erwfthnt, die richtige Erklärung. Der ^all von L'Aigle gehört übrigens zu den eigentlichen Steinregen; auf einer elliptischen Fläche» in der Ausdehnung von \\ km von S. O. nach N. W. und 44 ibn in der datu senkrechten Richtung fiel eine grosse Menge Steine. Ein ähnlicher, wenn auch nicht so ausgedehnter Steinfail war der vom 20. Januar 1868 bei Pullusk; aus einer, im ganzen östlichen Deutschland, in Polen, Böhmen, Mähren beobachteten Feuerkugel fielen nncli einem unter donnerartigem Getöse erfolgten Zerplatzen über 3()(i(' Steine, von tienen die grössten ein durchschnittliches Gewicht von 1 \ bis 2 kgr hatten, aut einer 1^ lache von mehr als 7-5 km Länge und 2 km Breite.
Ausser den Mcteorsteiofällen ist noch der Staubfälle Erwähnung zu thun, 2u denen vielleicht auch, wenigstens theilweise die Erscheinungen des rotben Schnees, des rothen Regens, Blutregens, Schlammregens u. s. w. au zählen sind. Q11.ADNI zählt in seiner zweiten Schrift eine grosse Menge auf, welche haupt- sächlich aus dem Grunde Beachtung verdienen, weil die wdtaus grösste Mehr- zahl auf ganz bestimmte Daten fällt. Die wichtigsten mögen deshalb hier an- geführt werden.
1) 1548 November 6 fiel im M.msfeldischen eine rothe Flüssigkeit, wie geronnenes Blut, nach einer Feuerkugel (10. November)').
2) 1560 Ueceniber 24 in Lillbonne: Blitz und Krachen bei heiterem Himmel; teuer am Himmel. Aiibi atcitur, pluisse sanguine (December 28).
3) 1618 in der zweiten Hälfte des August. Steinfall, Feuerpieteore und Blutregen in Stetermark.
4) 1623 August 12 Blutregen zu Strassburg (August 15).
5) 1637 December 6. Zwischen 7 Uhr Abends bis den folgenden Tag S Uhr auf einem Scbifl im Meerbusen von Volo: zwei Finger hoch SCaab&U. (December 9).
Vier Jahre frUber war bei Luce (in Maine) am 13. September 4^ Uhr Nachmittags aus einem dunklen Ge«ttlke nseh einem kMBoneotclmttiUuilicheo Donner dn c«. 3} %r tdiwcm Stein rar Etde gefiiUen, wddier «benfaUs mit noch cwei anderen rar sdhen Zeit bd Aire la Artois und bei Coutances m Manche geCillcnen der Academie gescbidtt wurde, voo dieser «her
alü irdisches Gestein erklärt würfle.
') Die in (} bcij^c'M.'.'fcn Znhlcü geben die Rcduction auf eine gemeitisanic Epoche (1850) wie dieselbe von H. A. NtwroN fUr die Sternschnuppen lics BlC'T'scben Kataloge« m Siuman American Joninal of Scieace and AiU., II Serie, Bd. 36 durcbgcfubiit worde.
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Kometen und Meteore.
6) 1643 Januar in Weinsberg blutiger Schnee.
7} 1645 Januar 33/24 in Henogenbusch blutiger Sehne (Januar 26).
8) 1646 October 6; um 7 Uhr Morgens in Brüssel rother Regen (October 8).
9) 1731 Mitte März in Stut^art rother Schlamniregen.
10) 1755 October 14 Morgens 8 Uhr in Lucarno ein warmer, wie aus einem Backofen kommender Wind; die LmTi füllte sich mit Dünsten, um 10 Uhr voll von einem rothem Nebel, um 4 Uhr blutrother Regen, der beim Aufsammeln ^ roihen Bodensatz gab. Onrnach ein entsetzliches, 8 Stunden währendes Gewitter. Regenmenge 9 Zoll. Der Regen fiel auch auf der Nordseite der A'pen bis nach Schweden. Auf den Alpen lag 2w hocii rother Schnee (October 15).
11) 1755 October 20 schwärzet Staub wie Lanipenrusä auf der Insel ZcLlaad (eine der Orkney inseln) bei Sudwestwind (daher kein vulkanischer Staub vom Hekla); in der Nacht vom 23. auf den 34. October schwarser Staub auf einem Schtt zwischen den ShetlandS'Inseln und Irland (October ai, 24« 25).
13) I7SS November 15 rother Regen in Russland, Schweden und am Boden- see; das rothe Wasser schmeckte sftuerlich, der Bodensats aum Theil vom lli^net angezogen^).
13) 1781 April 24 weisslicher Staub S mm hoch in Sictlien; nach den da> maligen Untersucliungen kein vulkanischer Staub.
14) 1803 März 5/6 in Udine, Venedig, Neapel, Knaul rother Schnee.
1.')^ 1813 März 13/14 wurde in Catalonien und den Abbruzzen eine rolhe Wolke beobachtet, von welcher nach und nach di.r ganze Himmel (he Farbe des rothgluhenden Eisens annahm; dabei wurde es finster, so dass man Licht anaflndcn mussle, hierauf fiel loäier Schnee; der Rückstand bestand aus Kiesel- erde, Thonerde, Kalkerde und Eisen.
16) 1814 October 27/38 im Thale bei Onegha bei Genova Regen von rother .Erde,
Nun kam es allerdings auch vor, dass man eine papierardge Substanz» Seide, Menscbenhaare, ferner ölige, thcetige, klebrige, schlammige, gallertartige Massen, Pilze imd Srhimmelsubstanz in dem gefallenen Regen erkannt hat, und selbst aus Feuerkugeln fallen gesehen haben will. Die gallertartige Substanz welche früher auch als >Sternschnuj)pensubstanz« bezeichnet wurde, ist aber, wie schon Mekett 1667 in seinem Kataloge britischer Thiere, Pflanzen und Mineralien bemerkt, nichts anderes, als eine aus Eingeweiden von Fröschen bestehende m-gamsche Ma»e. Diese Bemerkui^ wurde neuerdings von Carus geprüft, welcher in jener Substana sogar gewine Theile von £iogewelden erkannte. Die Eileiter der Frösche haben nfimlich die £igenthamlicbkeit, dnrdi Aufnahme von Feuchtigkeit stark aufzuquellen, und awar bis auf das hundertfache ihres Volumens, so dass ein einziger Frosch einen Liter Gallerte liefert. Doch lässt sich dieses Aufquellen nicht immer gleich beobachten» und scheint zur Laichzeit am grössten zu sein, und nach, dem Laichen zu vei^ schwinden«). Hiemach wären die gallertartigen Massen Auswürfe von im Magen von Vögeln stark aufgequollenen Froscheingeweiden. Welche Bewandtnis« es mit den Pilzen, Schimmel, Papier, Seide, Menschen haaren hat, ist dabei nicht aufgeklärt. Ob dabei in manci^en Fallen nicht Verwechselungen mit Asbest,
') Hier wlvd die Vermuthung ausgesprochen, dass diese Erscheinung vielleicht identisch ist mit derjenigen rom 20. October; dieses ist jedoch nicht nttthigi Tidmehr iit jctst bckaDnt, daw sich an beiden Daten SteroacbnoppcoflUk ereignen.
^ Die Unacbe liegt in der TenDehrten Absondemng von Mucin in dem 4ie Si«r htfBcndcii Sdildme.
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Kometen und Meteor«.
Glimmer etc. vorpckommen sind (in einzelnen Fällen wird ausdrücklich die Un- verhrennlichkcit dci selben erwähnl, in anderen die Brennbarkeit m'\l einenn brenzlirhen Cieriiehe), in anderen Fällen nicht that^äcl lich orqani'-cl c Substanzen durch den Wind mitgerissen wortien waren, lassl sich ans den älteren Berichten nicht njehr deduciren. Wo aber mineralische Stofte als nachgewiesen anzusehen sind, ist der lellurische Ursprung nicht so unmittelbar anzunehmen. Allerdings hmt die Artnahme, dass man es nirht nur mit Meteorstaub, sondern mit sogen. Passats tanb au thun hat, der meist simmt- oder blutfarbig Is^ und namentlich an der Westküste des tropischen Afrika, zwischen Cap Bojador und Cap Blanco so hnufig ist, seine Berechtigung — allein: der Passatstaub ist nicht an bestimmte Daten gebunden; allerdings kann am lo. August oder am 13. November oder an den nächstgelegenen Daten ebenso gut Passatstaob &llen, wie an Jedem anderen Tag, aber umgekehrt: an jedem Tag ebenso gut wie an diesen gana bestimmten Tagen.
Nebst den obigen Mittheili.n^ von CuLADM mögen noch die folgenden auffalligen Beobachtungen bemerkt werden:
17) Olmsteü^/ führt einen Bericht von roilieiii ötaub 1755 November 13 und von rothem Regen in der Picardie von 1765 November 14 an.
is; Aus der neueren Zeit ist der Fall von rothem Schnee am 25. Februar 1879 im sttdlichen Europa bekannt; er wurde als Wflstenstaub aus der Sahara erklärt; G. Rohlfs und Dr. Stbckbr, die sich damals bei Lokna (Tripolis) anf- hielten, berichteten von einem am »4. Februar daselbst stattgefundenen heftigen Samum.
19) 1880 März 30 war ein heftiger Staubfall in Catania.
20) 1885 Oclober 14 Srhlammrepcn unter heftigem Sirocco in Klagenfurt.
21) i8q6 Februar 25 26 roiher Schnee im ■westlichen l^tigarn, Steiermark, Niederösterreich, Mahren, bis nach Schlesien, wo (in Troppau) bei leicht bewölktem Himmel und Wmdstillc grauer Staub fiel. Üass tiieser Staub nicht aus den Sandebenen Ungarns herrühren konnte, wird dadurch erwiesen, dass gleichzeitig in Serbien» Kroatien, im Banat, SadoststQrme wehten, welche grosse Suubmassen Itthrten Auch die Erklärung, dass es Wüstenstaub aus der Sahara gewesen sei, trifft nicht su, da sonst Sttd- bis SQdwestwind hfttte wehen mflssen. Auf 1 Liter Schnee kamen 3 gr Staub, welcher nach chemischen Untersuchungen frei von jeder organischen Substanz war, und hauptsächlich aus Quars bestand.
Nach den einzelnen Daten 7usa mm engestellt hat man: Januar 26: No. 7; im Januar: No. 6. Februar 24: No. 18; Februar 25/26: No. 21.
Mär/. 6: No. i.^; März 13/14: No. 15; Mitte Marz: No. 9; Marz 30: No. 19.
April 24: Xo. I V
August 15: No. 4; zweite Hälfte August; No. 3.
October 8: No. 8; üctobcr 14: No. 20; October 15: No. 10; October 21 bis 94: No. xz; October 27/28: No. 26.
November 10: No. i; November 14: No. 17; November 15: No. 12. December9: No. 5; December 28: No. 2.
Hält man diese Daten mit den später gegebenen charakteristischen Daten
Air die Stemscbnuiii enfilile zusammen, so wird man nicht umhin können, diese Falle als höchst wahrscheinlich nicht terrestrischen, sondern ebenfalls kosmischen Ursprungs anzusehen. Ebenfalls kosmischen Ursprungs ist Jedenfalls
') äitUMAN, Bd. a6, paß. 133.
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Kometen und Meteore.
der Meteorstaub, den tueist (1872) Nordemskjöld auf dem Polareise in Grön- land, dann in Spitzbeigen und auf dem Schnee in Schweden und Finnland gesammelt hat.
Die zur Erde gefallenen Meteormassen sind im Momente des Fallens in einem Zustande holicr Erhitzung, von einer sogen. »Schmelxrinde«, d. i. von einer geschmolzenen, erst in Erstarrung begriftenen, dünnen, glatten und dunklen Kruste umgeben. Aerolitbe ohne Rinde führt SciiiA^AKELLii) nur zwei an: den von Cbantonnay, gefallen am 5. August 1812 und von Stftif, gefallen 9. Juni 1867. Versuche über die Schmelcrinde an terrestrischen Körpern gleicher Natur haben ^eigt, dass das Aussehen und die Constitution der Kruste durch eine plötsliche, blitsartige Schmelning erklärt «erden können^.
Ihrer chemischen Constitution nach bestehen die Meteormassen entweder aus gediegenem, metallischem Eisen oder aus Gesteinen, oder aus Gemengen beider; in den Steinmeteoren findet man kleine Krystalle eingesprengt, was ebenfalls auf eine rasche Abkühlunpr oder heftige Erschütterung während der Krystallisation hindeutet, da bei Schmelzung und langsamer AbkUblung sich grosse, ausgesprochene Krystalle bilden.
Unter den vielen Eintbeilungen, welche f^ir Meteormassen gegeben wurden, ist die consequenteste die von Daubr^e^^ gegebene; er theilt die Meteor- nassen in:
A. Siderite, welche Eisen enthalten,
B. Asiderite, welche kein Eisen enthalten.
A. Zu den Siderite n gehören: L Holosideren, welche nur Eisen enthalten, oder Gesteinsbeimengungen in so geringen Quantitäten, dass nur die chemische Analyse sie nachzuweisen vermag, sie sind sehr selten, etwa 1 % aller Meteorfälle. Diese nach Rose vorzugsweise als Meteoreisen benannten Massen bestehen aus einer Lcgirung von Eisen mit geringen Quantitäten (bis zu 20 f,) Nickel. Die auftretenden nichtmetallischen Bestandtheile sind: phosphorsaures Nickeleisen (Schreibersit), Spuren von Silicium. An der polirten Oberfläche des Meteoreisens treten, wenn dieselbe mit Salpetersäure geätzt wird, die sogen. VVidmannstattkn- schen Figuren, d. s. zarte Linien und Zeichnungen hervor, aus welchen man erkennen kann, dass die Masse krystallinisch ist, aus dttnnen Lagen einiEelner, feiner Krystalle bestehend.
') »Entwurf einer astronomischen Theorie <ler Sternsdinuppc'n«, pag. 27.
I) Wohl die ersten Versuche dieser Art rühren von Schreiukks (1816) her. In neuerer Zeit Würde Ton H. RsuscH versucht, diese SchmelxriDde als durdi wiederholte oberflSchliche Schndsuiig der Masse heim Durchgänge durch das Perihel su erklKren, Der Widerlegung dieser Ansicht hat v, Nirssl einen grossen Thcil seiner Abhandlung »Ucber die Periheldistanzen und die Balinelrmcnte jener Mctenriten, detcii Faner^clieinnngen mit einiger Sicherheit beobachtet v^-erden koimtcn Rri-nn 1S91« gewidmet. Kr untersuchte die Bahnen von Meteoriten iintl fand, dass von dicstn nur für einen, denjenigen von Ticscbitt (gefailen 15. Juli 1878), gicichgiltig ob man die konniiche Gctchwiadigkeit gleich ?, Vi oder |/ 1 »5 WAatnm^ die Pcriheldistans kleiner ist als diejenige des Mereur: und ausserdem noch für 5i resp. 6 kleiner als diejenige der Venns, and swar fllr die FStle von Tontouse (gefallen 10. April 18 la), Hraschinn (gefallen 26. Mai 1751), Villanova (fjefallen 29. Februar t868), Blansko (gefallen 25. November iSj*;"^ unter jeder der drei Ann.nhmcn, und für diejeni^a-n von Jova Ciiy (gefallen 15. November 1S61), fUr ^ \' t oder 2 oder aber für die beiden von Stnnnem (gefallen 22. Mai 1S08) und Agen (gefallen 5. September 1814) lllr die Annahme Yvt» An eine Schmeltung in diesen Entfernungen kan aber bei der bckamitcn ConMitation dieser (cur Erde gefiülenen) Meteore nicht gedacht mrdcD.
*) Gompt rend., Bd. 65, pag. te»
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HO
Kometen und Meteore.
n. Sj8sid«rea, wo in den Gemengen von Eisen und Gestein das entere
in compakten Massen auftritt, und die Gesteine, zumeist Olivin, Brontif, nur in massigen Quantitäten eingestreutt vorkommen (nach Rosa Fallasit genannt)»
in. Sporadosideren, in denen die Gesteinsmassen vorwiegen. Sie ent* halten das Eisen:
1) in grösseren Massen, compakt: Polysi deren (nach Rose Mesosiderit).
2) in kleinen Massen, eingestreut: Oligosideren. Sie bestehen aus Silikaten, und zwar vorwiegend aus Aluminium-. Calcium-, Eiaen«,Magne8iumsilikaten(Anortbi^
Augit, Bronzit, Diopsit, Enstatit, Olivin), ans reiner Kieselsäure (Quarz) und ent- halten ferner die Sulfide von Eisen, Kupfer, Chrom (Magnetkies, Magneteisenerz, Kupferkies, Chronieisenerz), dann das metallische Fisen, Nickeleisen, Phosphor- nickeleiscn. Rost unterscheidet: a) Chondrite, feinkörnige Gemenge von Bronzit und ülivin mit eingelagerten Eisenkornem (Ciundrenj. b) Howardite, fein- kömige Gemenge von Anorthit, Augit, Olivin mit eingelagertem Eisen, Schwefel- eisen und Chromeisenerz; von diesen trennt er die l)eiden folgenden, seltener auftretenden Formen: c) Chladnit, nur durch zwei Exemplare vertreten: die Meteorsteine von Bishopirill und Bussi; d) Chassignil (eisenretcher OUvin) nur durch ein einzelnes Exemplar vertreten (Meteorstein von Chassigny). ,
3) Eisen in äusserst kleinen Quantitäten: Cryptosideren. Zu dieaen gehören die von Ross als Eukrit bezeichneten Meteormasien.
B. Die A aide rite, welche Qberhaupt kein Eisen erhalten, bilden die Asideren. Zu diesen gehören unter anderen die folgenden beiden Porroen von Rose: a) der Shalkit (nur durch ein Exemplar vertreten: Meteorit von Shalka) und b) die kohligen Meteorite von Bokkeweld und Alais.
Auf die viel kleineren Feuererscheinungen, welche in der Luft auftreten, wurde man, obgleich dieselben viel häufiger sind, erst viel später axifmerVsam. Die Haiij)tursache daftir ist wohl darin zu suchen, dass sie in grösserer Zahl nur in den Morpenstimdcn sichtbar sind, und dass die vereinzelt auftretenden der frühen Nachtstunden, wenn sie liberhaupt beachtet wurden, nicht viel Anlass zum Nachdenken ^ben. Erst Lichtenberg (seit 1770 Professor in Göttingen} scheint denselben eine grössere Aufmerksamkeit zugewendet zu haben, und zwei seiner Schaler Bkamobs und Benzenbchg, fassten schon 1798 den Plan, correspondhrende Beobachtungen dieser vereinzelten Feuererscbeinungen, Sternschnuppen, an verschiedenen Punkten zu machen, um deren Höbe zu bestimmen. Als Standlinie wählten sie ursprünglich die etwas Aber eine deutsche Mole von einander ent- fernten Funkte Clausberg und Ellershausen bei Göttingen, später Clausberg und den etwa drei Meilen davon entfernten Ort Sesebühl bei Dransfeld. Zwischen II. September und 4. November 1798 beobachteten sie zusammen 402 Stern- schnuppen, aus welchen sie aus der Beobachtungszeit und den begleitenden Umständen (Bewegungsrichtung, Grösse etc.) 22 als identisch erkannten. Aus diesen fanden sie die Hohe derselben: für 7 unter 10 Meilen, für 9 zwischen 10 und SO Meilen, fUr ö zwischen SO und 80 Meilen, und fOr eme Aber 90 Meflen. niese Höhen zeigten zum ersten Male zur Evidenz, was finlber nur aus einzelnen Beobachtungen gefolgert und immer wieder angezweifelt wurde: die grosse Höhe der Sternschnuppen und ihre Identität mit Feuerkugeln. Schon Chladni hatte in seiner 1794 erschienenen Monographie über die PAi.LAs'sche Eisenmasse die Höhe cin^^elner Feuerkugeln berechnet» und daraus im Verein mit der Länge des zurückgelegten We^es am Himmel im Bogen auf die Länge des Weges in Kilo- metern geschlossen, welche mit Rücksicht auf die Zeitdauer der E^heinung die Ge-
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KcMDCten und Mctcoic«
III
schwindigkeit gab Sind -i^, die Rectascension und Deklination des Autblitrens, Oj, Rectascension und Deklination des Verscliwindens einer Feuerkugel, so wird die Länge des Weges am Himmel (der Bogen des grössten Kreises) aus dem sphärischen Dreieck, dessen Ecken der Pol des Aequators und die beiden genannten Punkte sind, gefunden:
cfiss sin sin -f- cas 8^ <ffs £as (a^ — a^).
Ist die Höhe der Feaerkugel gleich A im gefunden worden, so wird diesem Bogen s ein linearer Weg Aares entsprechen Hat man nun die Dauer der Ersehei-
nung gleich /Secunden notirt, so wird die Geschwindigkeit
/im proSecunde.
Chladni tand für die Feuerkugel vom 17. Mai 17 19 wenigstens 5 deutsche Meilen pro Secunde, für diejenige vom 26. November 1758: 6^ deutsche Meilen; für eine andere vom 17. Juli 1771: 4^ bis G deutsche Meilen, also die Ge- schwindigkeit der Bewegung vergleichbar mit der kosmischen Geschwindig« keit der Erde und anderer Himmelskörper in ihren Bahnen^ Die Resul- tate worden vielftch lllr nicht beweisend erklärt; bei der körten Dauer der &scheinong ist man selfastverstSndlich bei dieser Art von Beobachtungen auf Schitsungen der Orte am Himmel fllr den Anfanga- und Endpunkt der Bahn angewiesen, und ebenso wird die Angabe der Zeitdauer- der Erscheinung eine blosse Schätzung sein. Aus einigen wenigen Beobachtungen wird daher der Schluss nur sehr unsicher. Noch fraglicher blieb aber die von Chladni ver- mnthete Identität zwischen Feuerkugeln und Sternschnuppen. Seine Beobach- tungen beruhten ja ausschliesslich auf den, wenigstens öfter und an verschiedenen Orten beobachteten, also in gegebenen Fällen leicht als identisch zu erkennen- den Feuerkugeln, aber durchaus nicht aul Sternschnuppen. Chladni erklärte, nachdem er die älteren Ansichten über den terrestrischen Ur&prung der Feuer- kugeln ansfllhilich widerlegt ha^ die Feuerkugeln als didite, schwer^ im Welt* imom zerstreute Massen, >in welchem sie sich, durch die Wurtkraft oder An* «ehtmg getrieben, so lange fortbewegen, bis sie etwa einmal der Erde oder einero anderen Weltkörper nahe kommen, und von dessen Anziehungskraft er- griffen, darauf niederfallen. Durch ihre äusserst schnelle und vermöge der AUp Ziehungskraft der Erde noch mehr beschleunigte Bewegung muss nothwendig wegen der beftipcn Reibung in der Atmosphäre eine sehr starke Flektricität und Hitze erregt werden, wodurch sie in einen brennenden und geschmolzenen Zustand gerathen, und eine Menge Dünste und I.uttarten sich darinnen ent- wickeln, welche die Masse zu einer ungeheuren Grösse aufblähen, bis sie endlich bei einer noch stärkeren Entwickelung solcher elastischer Flüssigkeiten zerspringen muss. Gegen das wirkliche Brennen dieser Körper ist von efaiigen eingewendet worden, dass in einer so beträchtlichen Höhe die Luft so dflnn und so unrem sein muss, dass kein Brennen daselbst stattfinden könne« Aber abgesehen davon, dass man noch gar nicht weiss, in welcher Höhe die Luft nicht mehr zur Unterhaltung des Feuers tauglich ist, so wird auch die etwas geringere Tauglichkeit der Luft durch die Schnelligkeit der Bewegung dieser Maasen reichlich ersetztt Auch hebt er gleidi eingangs seiner Schrift hervor.
■) Dsbei ist raf'£e vcneliiedcii« HlShe des AufbKtceiw and Vcndiwindeiis nicht RUck- »cht genommen. HierOber vergl. pag. 134 AT. Die älteste Messung bt wohl dicjeatge TOD HauaY| wdcbcr fur die Unh>- einet Feoeriiugel 90 englische Meilen (li4'8 A») fiind.
*) 1. pag. 24^5.
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I»
Komcim und Mctcon.
dass die Meteormassen ihren Ursprung in den Feuerkugeln haben, und dass sich diese in einer wahrscheinlich parabolischen Bahn im Welträume bewegen (was er, wie es scheint, aus ihren kosmischen Geschwindigkeiten schliesst). Endlich bemerkt Culadni, dass Sternschnuppen sich von den Feuerkugeln nur durch ihre schnellere Bewegung unterscheiden womit bereits alle drei Arten von Meteorerscheinungen als identisch erklärt erscheinen, was er auch (pag. 56) besonders hervorhebt: »Aus dem, was bisher vorgetragen wurde* ist su ersehen, dass folgende 4 Naturerscheinungen, von denen roch keine einsige auf eine befriedigende Art erklärt worden, sich durch einander selbst erklären, sobald man ihre Identität annimmt: 1) die sonderbare Beschaffenheit des Pallasi» sehen und Shnlirher Eisenmassen; 2) die Feuerkugeln, 3) die Sternschnuppen, 4) das Herabtaiien eisenhaltiger Massen.«
Für die Sternschnuppen war jedoch in keiner Weise ein Beweis geliefert; die Annahme der Identität derselben mit den Feuerkugeln war ein, allerdings sehr naheliegender Inductionsschluss. Nichtsdestoweniger findet man noch viel später eine Trennung dieser Erscheinungen. Qustklit meint, man habe sehr häufig Sternschnuppen mit Aerolithen, BoKden und Staubfldlen verwedisdt; er hält aber ihren Ursprung für sehr verschieden: Niemand hat noch eine Stern* schnuppe berührt*). Es ist jedoch eine der Logik widerstreitende Forderung, eine Sternschnuppe berühren zu wollen. In dem Momente, wo sie zur Erde filll^ ist sie, in der ursprünglichen Bedeutung der Worte, nicht mehr als Stern- schnuppe, sondern als Meteorsteinfall zu bezeichnen. Schiaparelli meint allerdings'), dass drei sicher verbdrgte Fälle angeführt werden, wo Sternschnuppen auf die Erde fielen; damit ist aber nur dm wirklich beobachtete Fallen von Meteor- massen unter den bekannten Begleiterscheinungen der Feuerkugeln verstanden, welche hierbei an Stelle der sonst die Meteorsteinfälie charakterisirenden Begleit- erscheinungen treten.
In Deutschland waren «Ue ersten Anhänger Chlasni's v. Zach und Olbbrs; der letstere hielt die Meteorsteine anfibiglich für Mondsteine, d. h. für Steina welche aus Mondvulkanen mit einer grossen Geschwindigkeit herausgeschleudert wurden, so dass sie bis zu jenem Funkte kamen, wo die Anziehung der Erde diejenige des Mondes überwiegt, und sie in Folge dessen von der Erde aa> gesogen würden und nicht mehr zum Monde zurückkehren könnten.
Die Beobachtungen von Brandes und Bfnzfnbfrg aber über die Höhe der Sternschnuppen bildeten den bi«; dal in fehlenden Beweis für die Identität der Sternschnuppen mit den Feuerkugeln, und gleichzeitig den Beweis, dass die kos- mischen Gcscliwindigkeiten, wie sie früher in vereiii/.cllen h'a'.Ien gefunden wurden, allen Köipern dieser Art zukommen. Olbers gesteht^}, dass es die Beobachtungen von Brandes (die inzwischen wesentlich vermehrt worden waren) Uber die Geschwindigkeit der Sternschnuppen waren, welche seine frühere An- nahme, widerlegten. Die Geschwindigkeit, welche einem KOrper auf dem Monde ertheilt werden müssce, damit er nicht mehr zum Monde zurückkehren könne, wSre nflmlich ca. 7967 Pariser Fuss (2*59 Jhn), und dann würden die Massen mit einer Geschwindigkeit von 35 000 Pariser Fuss (11 "37 J^m) zur Erde gelangen. Damit dieselben aber mit den beobachteten Geschwindigkeiten von 4 bis 6 deutschen
') Jeut ist d.is Gcgcntheffl erwieten. ') I'hysiquc du Globe, psgi 319. ') 1. c, pag. 197.
*) ScuumacH£R's Jahibuch lur 1837, pag. 54.
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Kooctni nsd HcteoK*
113
Meilen (30 bis 45 km) zur Erde gelangen könnten, müsste man annehmen, dass dieselben Tom Monde mit einer Geschwindigkeit von 110000 Pariser Fuss (35*7 km) pro Secunde fortgeschleudert worden wären: dieses aber hält Olbbrs fttr nicht mehr wahrscheinlich.
Ueber die Beziehungen zwischen Stemichnuppen und Feuerkugeln spricht sich Olbbrs in »Schumacher'» Jahrbucht für 1837 dahin aus, dass sich zwischen beiden kein Unterschied angeben lässt; »sie gehen in einander flberc Sie haben dieselben Höhen, dieselben Geschwindigkeiten, dasselbe Aussehen, ganz ähnliche Schweife. Allein unter den Sternschnuppen selbst macht Olbers einen Unterschied, der allerdings nicht in ihrem Aussehen begründet ist, sondern in ihrer uns unbekannten Materie. >Ein Theil der Sternschnuppen weniE^stens muss also mit den Keuerkugeln gleichen Ursprung, plfirhe RescliafTcnhcit liaben, und wir können ohne Bedenken das, was von den i-euerkugcin erforscht, erwiesen, oder wahrscheinlich gemacht ist, auch auf diese Sternschnuppen anwenden. Aber sind denn die Sternschnuppen wirklich untereinander wesentlich verschieden? Ich glaube es mit Brandis, ob ich gleich nach meinen Erfahrungen nicht alle von ihm angegebenen Verschiedenheiten bestätigen kann ... es mag unter den Sternschnuppen einige geben, die bloss elektrische Funken sind, oder in unserer Atmosphäre aus bekannten oder noch unbekannten, sich entzündenden oder bloss phosphorescirenden Gasarten und Dämpfen oder auf andere Art entstehen : der grösste Theii der Sternschnuppen bleibt mit den Feuerkugeln identisch^)«
Auch Olmsted hatte 1834, als er bereits nicht nur den kosmischen (nicht tellu« rischen) Charakter der Sternschnuppen erkannt hatte, sondern auch die ersten Versuche zu einer Balmbestimmun« für die Novembernietcore vomahtn, die f*letch- artige Zusammensetzung der Sternschnui^pen und der Mcteormassen geleupnet; als Grund hierfür führt er an, dass er nicht begreifen könne, wie solche Massen in so kurzer Zeit einer so vollständigen Zerstörung unterliegen könnten').
In England wurde Chladm s Schrift durch Kf^uard King, welcher 1796 cmen Auszug derselben in seiner Abhandlung »Hemnrks concerning stars, said to have fallen from the Clouds« gab, bekannt, jedoch in einer etwas modificirten, oft entstellten, und nicht zu billigenden Form. Dass Chladni's Meinung in Frankreich unbekannt blieb oder nicht gebilligt wurde, geht schon aus dem pag. 106 von dem Gutachten der Pariser Akademie Uber den Steiniall von Barbotan gesagten, hervor. Erst der Steinfall von L'Atgle bewirkte einen Um« Schwung der Meinung, und 1804 erschien «ne französische Uebersetzung der CBLADif^schen Schrift von EvGfiNR Coquerbrt.
Den Beobachtungen von Brandes und Benzenrerg wurde allgemein wenig Interesse entgegengebracht; ihr Beispiel fand auch keine Nachahmung. Er«;t als in Europa die Einzelheiten des grossen Stemschnuppenfalls von 1799 be- kannt wurden, änderte sich die Sachlage. In Europa selbst war der Stern- schnuppenfall wenig auffällig; er wurde zwar an vielen Punkten Deutsclilands gesehen, auch im Norden Europas, und selbst in Grönland wahrgenommen; nirgends aber bot er besonders auffallige Momente, wenn auch die Zahl der Sternschnuppen über den normalen, gewohnten Durchschnitt stieg. Um so gross- artiger entfaltete sich das Schauspiel in SUd-Amerika, und theilweise auch in den sfldlicben Theilen von Nord-Amerika. Humboldt beschreibt denselben in
») l. c, pag. 50.
*) SttXDUN, L Serie, Bd. a6, png. 15z.
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fCoBicIra und BfctooK«
seiner »Reise in die Aequinocdalgegenden des neuen Continent5^)< folgender« maassen.
»Die Nacht vom ii. zum 12. November (1799) war kühl und ausnehmend schon. Gegen Morgen von 2^ Ulir an, sah man gegen Ost höchst merkwürdige Feuermeteore. Bonpland, der aufgestanden war, um auf der Gallerie der Kühle zu geniessen, bemerkte rie saerst Teuaei^ von F«ierkugeln und Steroscbnuppen fielen hintefeinander, vier Stunden lang. Ihre Richtung war sehr regelmässig ▼on Nord nach Sfld; sie filllten ein Stück des Himmels, das vom wahren Ose* punkte 80° nach Nord und nach Sfld reichte. . . Nach Bonpland's Aussage war gleich zu Anfang der ' Erscheinung kein Stück am Himmel so gross als drei Monddurchroesser, das nicht jeden Augenblick von Feuerkugehi und Stern- schnuppen gewimmelt hätte. Der ersteren waren wenigere; da man ihrer aber von verschiedenen Grössen sah, so war zwischen diesen beiden Klassen von Ersrhcinungen unmöglich eme Grenze zu ziehen. Alle Meteore liessen 8 bis 10° lange l^ichtstreifen hinter sich zurück, was zwischen den Wendekreisen häufig vorkommt. Die Fhosphorescenz dieser Lichtstreifen hielt 7 bis 8 Secunden an. Manche Sternschnuppen hatten einen sehr deutlichen Kern von der Grösse der Jupiterscbeibe, von dem sehr stark leuchtende Lichtfunken ausfuhren. Die Feuerkugeln schienen wie durch Explosion zu platsen; aber die gitfssten, von 1^ bis 1* 18' Durchmesserp verschwanden ohne Funkenwerfen, und liessen leach- tende, 15— SO Minuten breite Streifen (trabes) hinter sich. Das Licht der Meteore war weiss, nicht r^ithllch, wahrscheinlich, weil die Luft gana dunstfrei und sehr durchsichtig war. . . Fast alle Einwohner von Cumana sahen die Er> scheinung mit an, weil sie vor 4 Uhr ans den Häusern gehen, um die FHihmcsse zu hören. Der Anblick der Feuerkugeln war ihnen keineswegs gleichgültig; die ältesten erinnerten sich, dass dem grossen Erdbeben des Jahres 1766 ein ganz ähnliches Phänomen vorausgegangen war. . .* (pag. 51/52).
»Von 4 Uhr an hörte die Erscheinung allmählich auf; Feuerkugeln und Stern- schnuppen wurden seltener, indessen konnte man noch eine Viertelstunde nadi Soonenau%ang mehrere an ihrem weissen lichte und dem raschen Hinfahren er*
kennen < (pag. 5a). »Da bei meinem Abgange von Europa die Physiker
durch Cbladiii*s Untersuchungen auf Feuerkugeln und Sternschnuppen besonders aufmerksam geworden waren, so versäumten wir auf unserer Reise von Caracas nach dem Rio Negro nicht, uns überall su erkundigen, ob am 12. November
die Meteore gesehen worden seien Der Kapuziner in der Mission San
Fernando de Apure, die mitten in den Savannen der Provinz Varinas liegt, die Franziskaner an den Fallen des Orinoko und in Maroa am Rio Negro hatten zahllose Sternschnuppen und Feuerku^^eln das Himmelsgewölbe beleuchten sehen. Maroa liegt 780 km hüdwestlich von Cumana. Alle diese lieobachter verglichen das Phänomen mit einem schönen Feuerwerk, das von 3 bis 6 Uhr morgens
gewflhrt Am Sfld'Eode von spanisch Guyana, im kleinen Fott San Carioa,
traf ich Portugiesen, die von der Mission San Tosfi dos Maiavitanos den Rio Negro heraufgefahren waren. Sie versicherten mich, in diesem Thefle Brasiliens sei die Erscheinung tum wenigsten bis San Gabriel des Cachoeiras, also bis cum Aequator sichtbar gewesen.
»Ich wunderte mich sehr Uber die ungeheure Höhe, in der die Feuerkugeln gestanden haben mussten, um tax gleicl cr Zeit in Cumana und an der Grenze von Brasilien, auf einer Strecke von 1035 km gesehen 2U werden. Wie staunte
*) Gesammelte Werke, Cotta'fcbe Ausgabe, Bd. 6.
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KontctOB und Mttcoic«
ich aber, als ich bei meiner Rückkehr nach Europa erfuhr, dieselbe Erscheinung sei auf einem t!4 Breiten- und 91 Längengrade grossen Stück des Erdballes, unter dem Aequator, in Südamehkat in Labrador und in Deutschland gesehen Würden 1 . . .« (pag. 53/54)-
»Von Weimar an den Rio Negro sind es 3340 km, vom Riu Negro nach H^mhut m GrönlADd 5860 hn» Sind an so wdt «umeinander gelegenen Punkten dieselben Meteore gesehen woiden, so setzt dies für dieselben eine Höhe von 1850 km voraus .... leb möchte fast glauben, dass die Chaymas in Cumana nicht dieselben Feuerkugeln gesehen haben, wie die Portugiesen in Brasilien
und die Missionire in Labrador Die Physiker (Benzenbb&G und Brakdbs),
welche in neuerer Zeit über die Sternschnuppen und ihre Parallaxen so mühsame Untersuchungen angestellt haben, betrachten sie als Meteore, die der äussersten Grenze unseres I nttkreises, dem Räume zwischen der Region des Nordlichtes und der der leichtesten AVoUicn angehören. . . . Welchen Ursprung nun auch diese Feuermeteore haben mugen, bu halt es schwer, sich in einer Region, wo die Luit verdünnter ist, als im luftleeren Räume unserer Luftpumpen, wo (in 49 km Höhe) das Quecksilber im Barometer nicht 0 024 mm hoch stände, sich eine plötsUcbe Enisttndung au denken. . . . Man könnte annehmen, bei den frttbesten UmwäUungen des Erdballes seien Gase, die uns bis jetzt gans unbekannt geblieben, in die Luftregion aufgestiegen, in der sich die Sternschnuppen bewegen; aber aus genauen Versuchen mit Gemischen von Gasen von verschiedenem speci- fischen Gewichte geht hervor, dass eine oberste, von den unteren Schichten ganz verschiedene Luftschichte undenkbar ist .... Diese Schwierigkeiten würden grossentlieils beseitigt, wenn man fhe Sternschnuppen nach der Richtung, in der sie sich bewegen, als Körper iiJit festem Kern, als kosmische (dem Himmels- raumc ausserhalb unseres Lullkreises angeliorige) nicht als tellurische (nur unserem Planeten angehörige) Erscheinungen bctracliten könnte.« (pag. 57).
Humboldt führt hier in seinem Berufung auf Chladni an, dass dieser die Sternschnuppen als den äussersten Grenzen des Lufikreises dem Räume zwischen der Region des Nordlichtes und der der leichtesten Wolken angehörig, betrachtet* dieses kann jedoch nur auf ein Missveistehen der CiiLADNi'schen Meinung zurttck* gefilhrt werden. MerkwQrdig ist, dass sich in der nächsten Zeit die Hebung herausbildete, dass die Sternschnuppen, aus dem Welträume kommend, duvch die Anziehung der Erde zu Satelliten derselben werden. Laplace sieht dieses als eine bekannte Thatsache an, er schreibt in der Connaissance des temps für i8t6 (pag 213) in einem Aufsatze: -»Sur les Com}tes<.\ sT.es Comötes serraient ainsi re- lativement au Systeme solaire, cc que les aerolithes sont par rapport ä la terre, a la- quelles elics paraissent ctrangeres.s Die Erscheinung der Kometen, als aus dem Welt- räume kütiiuiende, dem Sonnensysteme einverleibter Körper, wird hierbei mit den- jenigen der in gleicherweise aus dem Weltraum kommenden, zu Satelliten der Erde umgewandelten Aerolithen erklärt. Dieselbe Meinung äussert H. Davv in seinen t Untersuchungen Ober die Flammect). Er sagt: »Die Tbatsacben, welche in dem ersten Abschnitte dargestellt sind, enthalten den Beweis in sich, dass das Licht der Sternschnuppen und der Meteore nicht von einem Entflammen (m- flammation) elastischer FlQssigkeiten herrOhren kann, sondern dass es auf dem Glühen (ignition) fester Körper beruhen muss. . . . Diese Körper bewegen sich auf jeden Fall mit einer ungeheuren neschwindigkeit, bei der sie fähig sind, in der allerverdüontesten Luft eine Verdichtung zu bewirken, welche hinreicht, aus ihr
Gilbert' 6 Annalen der Physik, I. Serie, Bd. 56, pag. 340.
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Kometen und MeleoM.
hinläng^Hch viel Wärme zn entbinden, um diese Körper zu entziinden. Man wird daher alle diese Phänomene erklären können, wenn man annimmt, dass die Stern- schnuppen kleine, feste Körper sind, welche sich um die Erde in sehr excentri- scben Hahnen bewegen, und sich bloss dann entzünden, wenn sie mit unermcss- liciier Geschwindigkeit durch die oberen Theile der Atmosphäre hiudurchziehen, und da» diejenigen dieser Bl^ore, welche Steine heransschteudern, indem sie explodiieot ähnliche iCörper sind, welche eine verbrennliche oder elastische Materie enthaltett.f.
In seiner zweiten Schrift »Ueber die Feaermeteore und Aber die mit den* selben herabgefoUenen lAassenc beschränkt sich Chladni nicht bloss auf eine Erweiterung seiner ersten Schrift sondern er macht auf einige bei den Stern- schnuppen cfemacbte Beobachtungen, auf p^ewisse anomale Bewen^mgen, auf das Verhältniss der kosmischen Geschwindigkeiten, mit denen die Meteore in die Luft eintreten, zu denjenigen, mit denen sie zur Erde gelangen, auf den Ursprung der Sternschnuppen u. s. w. aufmerksam, wovon später an seiner Stelle die Rede sein wird. Ferner vergleicht er bereits die Zahl der Sternschnuppen nach den Tages- und Jahreszeiten, wo allerdings mehr die Anregung zu diesen Zählungen, als seine ans nur wenigen Beobachtungen gefolgerten, von den späteren wesent> lieh verschiedenen Resultate, zu erwähnen sind.
Brandes hatte im Jahre 1833 neuerdings correspondirende Beobachtungen zur Bestimmung der Höhe der Sternschnuppen aufgenommen, und einen weit ausgedehnteren Plan dafür entworfen. Seine Mitarbeiter waren Scholz in Leipe bei Bolkenhain und Ottawa in Trebnitz (beides Schüler von Brandes), LiEDTKY und Wolf in Gleiwitz (Gymnasiallehrer daselbst), Tetzoldt in Neisse (Gymnasiallehrer daselbst), I.ohrmann und Pressler in Dresden, Baron VON RicHTHOFEN auf Brechclshof bei Janer; ],ieutenant von Pkittwitz in Berlin, Krzizanowskv in Krakau, Dr. Heilbronn in Brieg und Brettner, Dove, Feldt, Gebauer, Nepillv, Türku£im, Weber und Wicher in Breslau. FUr diese Zahl der Beobachter waren aber die erhaltenen Beobacbtungcm nicht gerade allzu zahl- reich: Brandes erhielt Höhenbestimmungen fUr €8 Sternschnuppen. Bemerkens- werth aber ist, dass er bereits das Vorherrschen einer gewissen Bewegungsrichtung bei den Sternschnuppen constatirte, und dafiir auch die richt^ Ursache angab.
Um dieselbe Zeit hatte auch Quetelet, ohne von den Untersuchungen von Brandes zu wissen, seine Untersuchungen über die Sternschnuppen be* gönnen"); bald darauf, nach der Wiederkehr des grossen Sternschnuppenphänomens im Jahre 1S33, wurde Ol . mstept auf die Periodicitat der Erscl ciming geführt und damit waren, um die Worte Bessels zu gebrauchen, die Sternschnuppen »zu Gegenständen der Aufmerksamkeit des Astronomen geworden, und forderten diesen auf, auch ihre nähere Untersuchung, alü nicht ausser seinem Kreise liegend, zu betrachten.« Die erste praktische Aufforderung dieser Art war wohl diejenige, welrhe Araco in den Instructionen fitr die Offictere des Schiffes »La Bonite« bezüglich der astronomischen Beobachtungen der Sternschnuppen giebt. Die Officiere des Schiffes wurden angewiesen, die Zeit der Erscheinung der Stem- schnuppen» ihren Ort am Himmel und die Richtung der Bewegung zu noUren").
Gegen den kosmischen Ursprung der Meteore schien auch der Umstand zu sprechen, dass dieselben oft mit heftigen Winden und plötzlicher Abkühlung auftraten. Dass dieses eine nothwendige Begleiterscheinung der StemschnuppenfiUle
') Ve^ teine »UnterhtltungeD fOt Freunde der Physik u. Aetronomic«, Lcipcig l8s|i pag. 5. ') »Phytiqne da Globe«, pag. «67. Conipt. read., Bd. I, pag. 393.
Kometen und Meteore. 117
ii^ ist längst widerlegt; hingegen treten Fälle von Metenrmassen, detonirenden Feuerkugeln u. s. w. mitunter mit derartigen Begleiterschcintm^^en auf, und es herrschte daher die Ansiclit, dass die meteorologischen Processe primär und die auftretenden Feuerkugeln eine secundrire Erscheinung wären. Oi.mstfdt war der erste, der die meteorologischen Processe als eine Folge der Sternschnuppen- falle - er dehnt dabei die Begleiterscheinungen auf alle diese Processe aus — darstellte: es wird eine grosse Menge Luit aus den oberen Regionen von der grosseren Geschwindigkeit der tfiglichen Bewegung in die unteren Regionen kleinerer Geschwindigkeit geführt, wodurch nothwendig ein Westwind entstehen muss; da flberdiess die starke Erhitzung der Luft sich nur auf die die Stern- schnuppen unmittelbar umgebenden Theile der Luft erstreckt, und auf entferntere Theile nicht so schnell fortpflanzt^ so wird die mitgeführte Luft zumeist kalt und eisig sein, daher die plOtsltche Abkühlung. Jedenfalls kann dieser Verlauf der Erscheinungen eintreten, wenn die entwickelte Wärme nicht jene abnorme Höhe, wie beim GUihen der Meteormassen hat, also hei den StaubföUen, welche daher auch zumeist von plötzlichen Condensationen der in der Luft befindlichen Dünste, also von heftigem Regen begleitet, auftreten.
Ana spätesten wurden die Grösse und Farbe, überhaupt das äussere Aussehen in den Kreis der Untersuchungen gezogen, zum ersten Male geschah dieses, wenigstens in systematischer Weise von Schmidt, welcher erwähnte, dass es zur Untersuchung Aber die physische Constitution nicht genügt, die Sternschnuppen als Funkte zu betrachten.
Die Sternschnuppen erscheinen als plötslich am Himmel aufbltbsende, fixstem- artige Lichtpunkte von verschiedener Grösse; als feine, kaum und selbst mit freiem Auge überhaupt nicht wahrzunehmende, nur im Fernrohr sichtbare Licht- pünktchen, durch alle Grössenabstufungen bis zu solchen von der Helligkeit der Fixsterne erster Grösse und selbst vom Glänze der Venus in ihrer Erdnähe: man hat solche beobachtet, die deutliche Schatten geworfen haben, und zu den zahlreiciien kleineren Sternschnuppen treten auch zur selben Klasse von Körpern gehörige Feuerkugeln. Manche Sternschnuppen ändern ihre Helligkeit während ihrer Erscheinung; sie erscheinen klein, unansehnlich, und werden dann immer heller; oft entwickeln sich aus solchen Sternschnuppen Feuerkugeln der grössten Gattung, wie schon in einem Beispiele pag. 103 erwähnt ist. Eine andere, von Hbis am s6. September 2851 in Aachen beobachtete leuchtende Kugel nahm allmählich an Helligkeit und Grösse zu, bis sie auf etwa | Monddurchmesser angewachsen war, und wurde dabei so bell, dass sie die ganze Stadt wie mit einem bengalischen Feuer erleuchtete. Am Ende ihrer Bahn blieb sie etwa 10 Secunden wie unbeweglich am Himmel, und verschwand durcli Abnahme an Helligkeit.
^'on diesen sternartigen, scharf begrenzten Sternschnuppen trennt Schmidt*) eine gewisse Gruppe von nicht scharf begrcn^dtcn, verwaschenen, deren Zahl durchaus nicht unbeträchtlich ist, und die er nebelige nennt. Der Grösse nach lassen sie sich in eine der sechs Grössenklassen einreihen, hingegen bleibt bei denselben, wie aus den Sciuill>T*schen Zusammenstellungen ersichtlich ist die Farbe unbestimmbar.
Dass die Sternschnuppen feste Körper sind, geht daraus hervor, dass sie continnirliche Spectra geben; dabei ist zu bemerken, dass bei denselben vorzugs- weise das GrOn mit bedeutender Intensität hervortritt*).
>) •Resultate mut tehnjährigen Beobachtungen tther Stemwlianppca, Bedin l8ss«i P*g* 4< *) Vergl. den Axtikd •Astrospektroikopie*.
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ii8
Kometen und Meteore.
Die Stemsclinuppen beschreiben am Himmel Bahnen, die oft nur 1" bis 2", oft jedoch 8 bis 10° lang und auch langer sind, und verlöschen dann meist plötz- lich. Ob das Aufleuchten plötzlich stattfindet oder ncht, kann im Allgemeinen nicht angegeben werden; meist sieht man eme Sternschnuppe erst, wenn sie schon einen, wenn auch nur kleinen Bnichtheil einer Secunde geleuchtet hat; nur dann, wenn man zufällig sein Auge auf die Stelle des Aufleuchtens gerichtet hatte, kann man dieses wirklich beobachten. Mit grösserer Sicherheit kann man Aber das Versdiraden der Sternschnuppen sprechen. Im Allgemeinen wird das Verschwinden derselben als pltftslich bezeichnet. Doch berichtet schon Bbsskl über einen Fall, in welchem FKldt eine fast oder gans verschwundene Sternschnuppe atifii neue leuchtend werden, ihren Weg am Himmel noch be- trächtlich weit forteetzen und dann allmählich verschwinden sah. Fälle dieser Art sind später mehrfach aufgetreten. Zezioli beobachtete 4 Fälle, wo das Meteor in der Mitte seines T-aufcs unsichtbar war, und 4 andere, wo das Meteor abwecliselnd erschien und wieder verschwand. Hierher gehörte z. B, auch der oben beschriebene Fall der von Heis am 26. September 1851 beobachteten Sternschnuppe.
Der Weg, den die Sternschnuppe an der scheinbaren Himmeiskugel be- schreibt, ist zumeist, wie man sich ausdrückt, eine gerade Linie, d. h. ein Bogen grössten Kreises. Ihre Bahn ist also entweder geradlinige oder wenigstens in einer Ebene gelegen, die durch das Auge des Beobachters geht; dass aber die wirklichen Bahnen der Sternschnuppen gerade in Ebenen liegen, die eine gans bestimmte Lage su einem ganz bestimmten Beobachtungspunkte habm würden, in Ebenen, die durch diesen Beobachtungsort gehen sollten, ist viel weniger wahrscheinlich, als dass alle Bahnen geradlinig und beliebig im Räume vertheilt wären. Ucberdies hat man bei jenen Sternschnuppen, welche gleich- zeitig an mehreren Orten gesehen wurden, an sämmtlichen Orten ihre schein- baren Bahnen als grösste Kreise beobachtet, woraus folgt, dass ihre wahren Bahnen in denjenigen Ebenen liegen müssen, welche durch die bezüglichen
grössten Kreise und <fie bezüglichen Beob* achtungsorte gehen, also in der Schnitt' linie dieser Ebene, d. h. in einer Geraden. Hieraus folgt dann aber auch, dass, wenn eine Sternschnuppe an mehreren Orten zu- gleich gesehen wur- de, die sämmtlichen grössten Kreise sich in demselben Punkte an der Himmdskugel (A.9SS1) schneiden mflssen,
nämlich in dem Punkte, in welchem die durch die Beobachtungspunkte zur Bewegungsrichtung gelegte Parallele die Himmelskugel trifft. Schneiden sich die grössten Kreise nicht sämmtlich in demselben Punkte, so gehören die Beobachtungen nicht derselben Sternschnuppe an.
Von der Bewegungsrichtung im grössten Kreise f:nden sich auch mannigfache Abweichungen; man sieht schlangenförmig Fig. 255), wellenlörmig (r) ge-
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KoncteD und Mcteotc*
119
krümmte Bahnen; manche Sternschnuppen scheinen sich plötzlicb(//) oder auch stetig {e) zurückzukrfimmen, um ihre Bahn in einer gegen die frühere um einen beMchtUcben lA^nkel, oft sogar um 180^ geänderten Richtung fortzusetzen; andere scbdoen auch einen Moment still su stehen» und dann ihre irtthere Bahn fortzusetzen, oder auch in dieselbe wieder zurQckzukehren ; oft beobachtet man eine spiingende» schnellendt Bewegung wie beim mehrfachen Abprallen eines bewegten Körpers ▼on Widerstttnden. Schmidt beschreibt einige Ffllle von ganz merkwürdigen Bewegungsanomalieo ; so z. B. bemerkte er am 17. September 1843 ein Meteor, das schussweise Sätze mjich^e'); am t t Novem!->er 1849 beobachtete er in üonn ein solches mit schlangentörmig gekrümmter Bahn, während !Ii:is- in Aachen dasselbe sich in einer geradlinigen Bahn bewegen, aber abweciiselnd aufleuchten und verschwinden sah. so dass für den ersten Anblick die Meteore als zwei verschiedene gelLcn konnten 3).
Viele Stemscbnoppen hinterlassen auf den zurückgelegten Bahnen eine leuchtende Spur, bei maochen sehr kleinen Sternschnuppen ist weiter nichts als diese Spur zu sehen, so dass sie sich nur als Lichtitnie darstellen. Olustedt') bezeichnet diese als fh^ktrie Imti, und unterscheidet sie von den kmm^ui iadiis, wdche ihre Bahn für längere Zeit sichtbar fortsetzen und der dritten Gattung, den grossen firc balls.
Von diesen Lichtlinien, tleuchtenden Bahnstückenc, welche nur subjektive Phänomene sind, entstanden durch den zurückbleibenden Eindruck, den das helle, rasch bewegte Meteor auf der Netzhaut des Auges zurücklässt, ist aber wohl zu unterscheiden der eigentliche Schweif der Sternschnuppe, welcher oft erst nach dem Verschwinden der Lichtlinie erscheint. Schmidt beschreibt diesen folgendermaassen
»Der Schw«f hat selten parallele Riinder, manchmal eine besondere Farbe, und äusserst selten erkennbare, und dann sehr merkwflidige Bewegungen. Ge- wöhnlich ist der Schweif an seinen beiden Enden, namentlich am Anlange der Bahn, zugespitzt, und ist gegen den Funkt des Verlöschens hin, etwas breiter, znw^en auch etwas heller. Ausnahmen mannigfacher Art sind sehr häufig. Der Schweif ist in einigen Fällen ganz gerade, mit deutlichem Durchmesser, und an seinen Rändern äusserst scharf begrenzt; er ist in der Mitte breiter, oft so breit, dass das Fragment eine elliptische Gestalt annimmt, zuweilen stellen- weise abgebrochen, aus Stücken liestchend, die wiederum in der Mitte breiter, an den Enden zugespitzt erschemen. Bei w eitem in den meisten Fällen zeigt das Schweiffragment keine Spur von Bewegung. Dass solche aber, wenn auch äusserst selten, wirklich vorkommt, und dann gewöhiüich in auffallender Weise, iät nidit zu bezweifeln. . . .
»Am Z4. Oktober 1845 um Mitternacht^ als ich bei sehr heiterem Himmel mit Herrn Prot Argilamdir im Garten der Bonner Sternwarte Vergl«chungen aber die Helligkeit verschiedener Hzsteme anstellte, leuchtete plötzlich ein roter Blitzschein aul, der die Nacht schwach erhellte. Wir sahen sogleich gegen das Zenitbt woselbst eben das letzte gelbrothe Fragment eines von O — W durch den Perseus ziehenden bedeutenden Meteors erlosch. Zwei 5^ lange, breite, ganz gerade Sch weitstücke blieben stehen, und von ihnen erlosch das östliche schon
>) 1. c, pag. 10. ^ 1. c., pag. loi.
*) SnxiMAN, I. Serie, Bd. 25, pag. 339.
*K«tnltsts an» Kdinjihrigen Bcobacktnogen«, pag. 92.
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ISO
Koneten und Meteore.
nach lü Sccuntlen. Aber höchst .luffallend war das Verhalten des grossen, gelblicl'.wcissen, in der Mitte breiteren Schweifstückes unter a Persci ; nachdem es ungefähr 15 Sccunden stark geleuchtet hatte, bemerkte zuerst Prof. Akgklandkr dass es sich zu krümmen begann. . . Das Schweiflfragment, am Ende der ersten Minute der Sichtbarkeit schlangenförmig gekrümmt, hatte am Ende der xweiten Minute die Sichelform angenominen. Um 12* 3** bemerkte ich im kleinen Fern- rohre» dass an dem Punkte der stärksten Krümmung die Sichelgestalt des schon lichtschwächer gewordenem Schweifstdckes auseinanderging. Es trennte sich dann völlig in zwei kleine Nebelflecken, deren letzte Spur ich mit freiem Auge noch um 12* ^'5 erkannte, mit dem Hernrohr aber um 12^ 5«* erlöschen sah . . Der Durchmesser der kleinen Nebelmassen war gewiss 10 Bogenminuten.«
Diese mehr oder weniger kurzen Anhängsel, wirkliche Schweife der Stern- schnuppen, welche übrigens nicht allzuhäufig auftreten, scheinen thatsächliclic Resi- duen des durch Verbrennen »hcilwcisc oder vßni im Auflüsen begriffenen, oder bereits aufgelösten Meteors /u sein. So beobachtete Schmidt am 2;^. September 1845 Meteor, das ein nebclaitiges Fragment hinter sich zog, in \velclieni verschiedene matte, phosphorcscircnde Punkte zu crkcnnct:i waren*), imd am 10. August 1850 ein Meteor, das einen in der Mitte breiteren Schweif zeiptc, der lüiil Sc- cunden nach dem Verlöschen des Meteors nochmals stark aufglühte, und erst am Ende der zwansigsten Secunde verschwand*).
Nach dieser allgemeinen Uebersicht kann nun an die Erörterung der wesent liebsten Punkte geschritten werden.
I. Die äussere Erscheinung der Meteore (Grösse, Farbe, Schweife). Mit normalem, nicht sehr scharfem und nicht sehr geschwächtem Auge sieht man in klaren Nächten die Sterne, welche man in die ersten sechs Grössenklassen getheilt hat» und es gehört nicht alUu viel Uebung dazu, diese Stemklassen von einander zu unterscheiden. Man wird daher auch leicht die Sternschnuppen der verschiedenen Grössen in eine dieser Klassen einreihen können.
Teleskopische Fixsterne sind in viel grösserer Anzahl vorhanden, wie mit freiem Auge sichtbare, und nach Argelander beträgt die Zahl der zur 7., 8. und 9. Grössenklasse gehörigen Sterne etwa das 40 fache der mit freiem Auge sicht- baren. Teleskopische Sternschnuppen hingegen gehören zu den Seltenheiten: nach Schmidts Beobachtungen etwa 36 telc-^kopisrhe auf 1000 mit freiem Auge sichtbare. Das^ erste teleskopiscl.e Meteor sali ]. H. Slhroeter im Jahre 1795. Er beschreibt da'^selbe'*) folfrendeini.ias'-en : >Am 28. Juni 1795 ""^ ^1" 15"^ sich ein äusserst Icuies und mattes, einer ausseist entternien, sogenannten Stern- schnuppe völlig ähnliches Lichtpünktchen von oben bis unten mitten durch das ganze Gesichtsfeld, so dass es dieses ungefähr in einer Secunde Zeit passirte . . . es strich zwar deutlich, aber so fein, und in mildifarbig gräulichem, äusseist schwachem Lichte darch das Gesichtsfeld, als wenn es kein Meteor in unseier Atmosphäre, sondern ein ätherisches, in dem sehr entfernten Himmebraume wäre.c Olbers l>c/ueifelt in vielen Fällen die Realität der Erscheinung: »Die höchst seltenen Beispiele, wo andere Astronomen in grossen Teleskopen sehr kleine und blasse Sternschnuppen gesehen haben wollen, scheinen zum
ibid., pag. 22. >) ibid., pag. 69.
3) »Aphroiiitographische Frsgineoto, Hdmstadt 1796«, pag. 341.
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Kometen und Meteore«
Theile auf Verwechselung mit änderet! Gegenständen zu beruhen^).« Niehl lange darauf aber sah Mason bei der Gradmessun^ in Pennsylvanien iingeföhr ^0 teleskopische Meteore, und 1839 zog SCHMIDT auch die teleskopiscben Meteore in den Rereich seiner Untersuchungen.
Die Ursache der relativen Seltenheit der teleskopischen Meteore ist aber leicht einzusehen: Die Fixsterne sind bleibend, und können leicht verfolgt werden; die Sternschnuppen siod ephemere Erscheinungen, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beobachter «em Fernrohr gerade auf einen Punkt des Himmels ge* richtet bat, wo eine Sternschnuppe aufleuchtet oder passirt, ist nur sehr klein, und um so kleiner, je kleiner das Gesichtsfeld des Femrohrs ist; daher werden die grösseren lichtstarken Fernrohre mit kleinem Gesichtsfelde sich zu Stern» scbnuppenbeobachtungen nicht eignen ; man muss su dergleichen Beobachtungen kleine Handfemrohre, eventuell die Kometensucher verwerthen, welche lichtstarke Objcctive, bei kurzer Brennweite und daher ziemlich grosses Gesichtsfeld (bis zu 4*^) haben. KLtiBER findet'), dass ein Beobachter, der, ohne seinen Stand- punkt und seine Stellung zu verändern, seinen Blick gegen den Hii^mitl richtet, ein Gesichtsfeld von etwa bO" Üeßhungswinkel umfassL Nimmt man an, dass das von Schmidt filr seine Beobachtungen verwandte Fernrohr ein Gesichtsfeld von 8** hatte (er erwähnt nur, dass er hiersu ein »mittelstarkesc Fernrohr ver* wandte), so wttrde das von diesem umspannte Gesichtsfeld etwa (^)* des sich dem freien Auge darbietenden betragen; die Anzahl der durch das Fernrohr am ganzen Himmel gesehenen Sternschnuppen wird gleich der Zahl der Stern- schnuppen, welche durch eine grosse Anzahl, nämlich (Y)* auf verschiedene Punkte des Himmels gerichtete Fernrohre gesehen werden; setst man voraus, dass
>) »SCKUniCACIIKR's Jahrbudi 1837«, pag. 37; bei nlteig «mit bewegten terrestrischen Objekten (fliegenden Vfigeln) mttsste «b«r die Gescbwindigkeit selbst bei scbwachen Veigr(l«enmgett schon sehr gross sein; Objekte, die sich in stärket vergrÖMenidien F«nirobfen langMm bcwegeo,
können daher kaum terre?trischcti Objekten angehören.
*) Astronomische Nachrichten, Bd. 110, No. 2621 und No. 2638. Ist / eine der Grösse des Gesichtsleldes proportionale Grösse, welche die Wahrscbeinlichiccit für das Aufleuchten eines Meteot» dsislellt, so ist die Wslmchcinlidileeit, des» dieses Meteor nicht gesehen wird: ^ = i — ^ nnd die Wahisdieinlicbkeit, dus * Beobachter dasselbe nicht sehen, ^ » (t — j»)«, daher die Wshncbeinlichkeit, da<.<i dieses Meteor wenigstens von einem der n Beobachter gesehen ^td, I - ^f. Ist nun «OS Beobachtungen bekannt, dass 1, 2, 3 ... ff gleichseitig beobachtende Beobachter m^, . . . Mt« Meteore sahen, so ist
1 — ^ BS am^i l — f » •= a«,; .... 1 ~ ^» k at»„.
Danras folgt dntch Bfimhiation des PTopOftionalitiltsfBktois üt
l + y , 1 ^ 4- ^> = -4 . . . . 1-1-^4-^84....+ oH-i _5 und durch Subtraktion:
, - (-'■^) -
Vcisnche in dieser Richtong worden von NxwTOtf mit 12 Beobachtern gemacht, and spiter TOA Xutsna mit 8 Beobachiem.
Ist die Zahl der Beobachter 1 2 3 4 ?) 6 7 8 9 10 11 12 so ist d. Zahl d.v. .Icns. j Newton 325 CSS 834 1000 DU 1200 VIl'^ !;U2 üi'} !456 1608 1660 geseh,Stemschn.nach iKl.eiBER 380 i)bi 8/>3 lüüt) Wlb 1250 1H4U 1405 — — — _
Aus diesen Zahlen folgt nun q « 0-768, demnadi p — 0-232, d. h. ein Beobachter sieht dws ^ sUer a« lÜBunel erscheinenden Meteore. Diese Aiuahl ist der Grösse des Gesichts* ftldes proportionaL Das Gesichtsfeld der Obeiflllche fur die ganxe Halbkogel ist Sic, das Gesichtsfeld einer Calotte vom Gesichtswinkel 2a ist 2n (1 — cos n) =^ An sin* demnach / =s 2 liM'^a. Hieraus bestiount sich der Gesichtswinkel 2a — 79^ 40' also etwa 80°.
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1»»
Koflictni osd l&taoic«
die Zahl der Beobachtungsstunden, welo+ie Schmidt auf teIesko[nsche Meteore ver- wandle, gleich war derjenigen, welche er mit freiem Auge beobaciitete, so würde die Zahl der teleskopischen Meteore etwa die 700 fache der von ihm beob« achteten, also auf 1000 etv« S5000 Min» demnach das 35 fache der mit freiem Auge sichtbaren. Diese Zahl hat natürlich nicht einmal die gleiche Sicherheit wie die von Asoilamder lür die Fixsterne gefundene, es ist eben nur eine lOhe Schätzung. ThatsMchlich hatte Schiodt im Femrohre einmal eine Sternschnuppe 1*>, einmal eine zweiter Grösse, S mal solche dritter Grösse, 4 mal von vierter und 8 mal von iiinfter gesehen, zusammen also solche der 6 ersten Grössenklassen 16, d. i. nur den neunten Theil der von ihm beobachteten teleskopischen. Zu einer wesentlich abweichenden Zahl kommt H. A. Nf.wton Aus gleichzeitigen Beobachtungen von Pape und Winnecke, bei denen der erstere mit freiem Auge, der letztere in einem Kometensucher beobachtete, wird geschlossen, dasä, wenn mit dem Fernrohre der ganze Himuiel dherblickt werden könnte, die Zahl der teleskopiscben Meteore das 300 fache derjenigen mit freiem Auge betragen wttrde. Das Gesichtsfeld war nämlich nur der 1371te Theil des mit freiem Auge sichtbaren, und da Winnbcu 4b beobachtete, während Pape 31S sah, so ist das Verhältntss ^^-ISTl. Eigentlich mttsste man sagen, dass man durch dieses Fernrohr Sternschnuppen bis zu einer gewissen Grössenklasse in 800 facher Zahl wie mit freiem Auge sichtbare beobachtet, und Newton bemerkt, da» man mit einem stärker vergrössemden Feinrohre noch mehr sehen würde*)* Schmidt beobachtete:
1842 an 57 Tagen 311 Meteore, darunter 50 geschweifte.
|
»843 |
n |
93 |
II |
385 |
»» |
r> |
18 |
n |
|
1844 |
»» |
128 |
II |
523 |
If |
f» |
58 |
n |
|
1845 |
>f |
153 |
II |
613 |
H |
1* |
53 |
II |
|
1846 |
If |
93 |
II |
411 |
ff |
tr |
39 |
II |
|
1847 |
>» |
98 |
II |
473 |
» |
n |
80 |
II |
|
1848 |
1» |
i3d |
M |
488 |
n |
»» |
55 |
II |
|
1849 |
f* |
90 |
$» |
505 |
»* |
1» |
77 |
II |
|
1850 |
II |
II |
364 |
II |
»» |
101 |
II |
Zusammen 4068 Meteore, darunter 531 geschweifte.
Der Grösse nach waren dieselben^:
|
1« |
2«* |
3»« |
4*. |
5"* |
6*" |
darunter geschweifte 1"' |
2- |
3« |
5- |
||
|
1842 |
90 |
95 |
7G |
32 |
15 |
3 |
40 |
8 |
2 |
||
|
1843 |
88 |
110 |
108 |
68 |
14 |
8 |
14 |
4 |
|||
|
1844 |
88 |
99 |
155 |
115 |
54 |
13 |
36 |
18 |
4 |
||
|
i«4S |
65 |
98 |
168 |
153 |
93 |
33 |
87 |
18 |
8 |
||
|
1846 |
74 |
81 |
76 |
98 |
51 |
12 |
84 |
10 |
3 |
1 |
|
|
1847 |
98 |
85 |
81 |
104 |
52 |
19 |
48 |
L7 |
8 |
3 |
|
|
1848 |
81 |
91 |
105 |
125 |
54 |
16 |
30 |
17 |
6 |
1 |
|
|
1849 |
44 |
83 |
III |
140 |
69 |
37 |
22 |
24 |
20 |
C |
|
|
1850 |
36 |
64 |
79 |
71 |
45 |
21 |
23 |
29 |
25 |
10 |
b |
1) SnüMAM, n. Serie, Bd. 39, pag. aot.
*) Es idieiiit jedoch, dsas hier das Fcmtohr suf eine bestimmte Gegend was Zeit ejoes
stärkeren Erscheinens von Meteoren gerichtet war, es mtisste sonst auffallen, dass die meiileD Beobachter in den Fernröhren that^hchlich so selten Sternschnuppen beobachten.
*) Die Summen sUmmen bei Schmidt nicht immer; er hat bei seinen Zählungen hin uod viader 1 oder 2 Uberseheo.
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KoncMii und Meteore«
Der Farbe nach waren (einschliesslich der teleskopischen)
|
184s |
wcisso |
||||
|
264 |
5 |
81 |
8 |
18 |
|
|
38$ |
86 |
46 |
19 |
18 |
|
|
1844 |
86S |
86 |
17 |
87 |
40 |
|
1845 |
415 |
50 |
89 |
8 |
93 |
|
1846 |
880 |
55 |
87 |
15 |
85 |
|
1847 |
269 |
72 |
35 |
7 |
90 |
|
1848 |
248 |
107 |
29 |
11 |
87 |
|
1849 |
207 |
142 |
20 |
8 |
128 |
|
1850 |
187 |
102 |
11 |
8 |
61. |
Ini^iesainint waren
unter 8151 weissen 813 geschweifte, also 0*099 aller geschweift
„ 589 gelben 159 „ „ 0*370 „ „ '
„ 213 gelbrothen 89 „ „ 0-183 „ „
97 grünen 36 „ „ 0-371 „ „
f, 577 nebeligen 8 n » 0014 „
unter 566 Meteoren 1** waren 884, alsc 0-895 aller geschweift
« 711 „ 8" „ 119 „ 0167 „
„ 877 „ 3- „ 69 „ 0078 „ „
n 868 „ 4u. 5*» H 86 „ 0*029
Hieraus folgt, dass die helleren Meteore am Oftesten geschweift erscheinen, and dass der Farbe nach die Schweife am öftesten bei den grauen Meteoren auftreten.
Auf 100 Sternschnuppen ent&llen:
|
1« |
2»/ |
?,"• |
4>w |
5« |
6«. |
weisse |
gelbe |
gelbrothe |
grüne |
whGfl |
|
|
1842 |
290 |
30-5 |
24-5 |
10-3 |
4-8 |
0-9 |
84-9 |
1-6 |
6-7 |
26 |
4-2 |
|
1843 |
22-3 |
28-6 |
280 |
16-3 |
3-6 |
0-5 |
73-2 |
6-7 |
11-9 |
4-9 |
3-4 |
|
1844 |
15-8 |
UM |
29-9 |
22-2 |
10- 4 |
2-5 |
C7-3 |
16-4 |
3-2 |
5-2 |
7-6 |
|
1845 |
10 8 |
16-2 |
26-8 |
25-2 |
16-4 |
5-5 |
68-6 |
8-3 |
6-4 |
1-3 |
15-4 |
|
1846 |
18-8 |
20-6 |
19-5 |
250 |
130 |
3-1 |
55- 1 |
13-4 |
6 1 |
3-8 |
21-6 |
|
1847 |
223 |
193 |
18-5 |
23-8 |
118 |
4-3 |
Ö8-4 |
13-4 |
7 3 |
1-6 |
19-8 |
|
IS4S |
17-3 |
19-8 |
88-3 |
86-5 |
11-4 |
8-4 |
51-9 |
83-1 |
5-5 |
2-3 |
181 |
|
J849 |
91 |
17-3 |
83-9 |
38-9 |
14-3 |
7-7 |
41-3 |
87-9 |
8-7 |
1-7 |
85*5 |
|
1850 |
11-4 |
80-8 |
850 |
88-4 |
14*3 |
6-7 |
56-7 |
83-8 |
3-8 |
0-6 |
16*3 |
|
im Mittel 17*4 |
81*8 |
84-1 |
88-3 |
11-0 |
3-8 |
61*9 |
14-8 |
60 |
3-7 |
14-6 |
Hier aeigt sich nun ein Gang, sowohl in den GrOssenbestimmungen, als auch in den Farbenan^ben. Schhidt schreibt dieses aber, wie selbstvenrtind- licb , der fortgesetzten Uebung tu; es waren ja 184» Überhaupt die ersten Beobaditnngen dieser Art, und Schmidt der erste Beobachter; er mussfie sich also erst successive die passendste, bequemste und sicherste Beobachtungs- att aurechtlegen, und sich auf Grössen- und Farbenschätzungen einüben. Es ist eine jedem Beobachter bekannte Thatsache, dass im I,aufe der Zeiten den scbwficheren Objecten eine grössere Aufmerksamkeit zugewendet wird, und die helleren etwas schwächer geschätzt werden; es wird daher die Zahl der beob- achteten schwächeren Objecte steigen, die Zahl der helleren abnehmen, wahrend ungefähr die dritte und vierte ürösscnkiasse ziemlich constant üleibL. Noch mehr umerKegen die Farbenschlttzungen subjectiven Elementen; Schmidt
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Kotnctcn und McIgok»
bemerkt: »Es ist mir oft auffallend tjewesen, dass verschiedene Personen sowohl Fixsterne als Sternschnuppen, die ich entschieden grün nannfe, als l)laLi oder blaujjrtln bezeit imeten ' j. « In der That hatie er ein blaues Meteor nur ein ein- ziges Mal gesehen und zwar 1842, Juli 31; das Meteor erschien anfangs bell- grün, veränderte aber dann seine Farbe, und schien mit blauem lachte zu zer- springen. Wirklich rothe, carmin und blutfarbige bemerkte Schmidt ebenfalls nicht; die roth gefärbten waren stets mit einer Mischung aus Gelb, also gelb- loth*).
Von teleskupiächen Meteoren beobachte Schmidt:
711« gM 9m iQm 11 M> Zusammen
|
1844 |
0 |
0 |
S |
0 |
0 |
8 |
|
«845 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1846 |
2 |
6 |
4 |
4 |
% |
18 |
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1847 |
4 |
8 |
6 |
3 |
0 |
Sl |
|
1848 |
2 |
0 |
5 |
2 |
0 |
9 |
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1849 |
1 |
8 |
6 |
3 |
4 |
22 |
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1850 |
5 |
n |
18 |
14 |
0 |
48 |
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1851 |
1 |
5 |
10 |
6 |
2 |
24 |
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Zusammen: |
16 |
39 |
52 |
32 |
8 |
146 |
|
daher unter 100: |
10-3 |
26-7 |
35-4 |
21-9 |
5-5. |
Die häufigste Farbe ist das Gelb, doch hält er dieses fiir subjeciiv, wie ja auch mit freiem Auge die meisten Fixsterne, mit Ausnahme der auffällig ge- färbten, wei^s ersclieinen, während im Fernrohr das Gelb mehr hervortritt.
Nebelige hatte Schmidt im Fernrohre keine gesehen.
Das sonstige Aussehen der teleskopischen Meteore war von denjenigen der mit freiem Auge sichtbaren nicht verschieden: sie beginnen schwach und enden im Maximum des Glanses.
1869 giebt Schmidt für die von ihm spater beobachteten > Meteore eine Zusammenstellung der Helligkeit nach den einzelnen Monaten und nach den einzelnen Tagesstunden; welcher er später eine Ergänzung ittr die i^teren Beob- achtungen folgen Hess. Es war die Helligkeit
Atti den Bcobichtungen bis 1869^ ans den BeobBcbtungen bis 1876^)
im Januar 4 06 aus 19 Beobachtungen 4*22 aus 35 Beobachtungen
im Februar 4'98 „ 27 „ 4 80 „ 44 „
im März 4 03 „11 „ 4 33 „ 33 „
im April 4-30 „ 8 „ 4-31 „ 54 „
im Mai 4 21 „ 20 „ 422 „ 80
im Juni 4-12 „ 47 „ 4-32 „ 103
*) L c, pag. 8$. Dodi ist die bltae Färb« oidit gar so setten, irie denn namentlidi die weissen Sterne stets einen Stich ins BUuliche baben. Jedenfalls scheint hier eine snbjec- tive Disposition Schmidt's vorzuliegen. Sr iiMri)T beobachtete ziemlich viele Meteore, deren Farbe gegen Hns Ende ihres Laufes in grün bis smaragdgrUn Uberging; dieses ist der Fall bei den Meteoren No. 318, 1171, 2< 87, 2289. 2733 fda«s grosse Meteor %'om 21. Januar 1S48) 2813, 356v>, 3084- Wahrscheinlich auf Contraslwirkungcn ist es zurückzuführen, da»s er nach den hellen, prachtvoll grünen Meteoren meist schwach fOthliche, tittbe und lichtschwacbe, einer Ter;8^mmenden Kohle Xhntiche Fragmente als RttdatHnde beobachtete.
*) In den Astron. Nachr. Bd. 88, pag. 348 bezeichnet er aber kmweg diese Meteore ab roÜL
*) »Astron. Beobachtungen Uber Meteorbalmen, Atlien 1869«, pag. 5a.
*) • Altron. Nachr.« Bd. 88, i>ag. 343.
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» I»
Kometen tmd Mateoie. i«5
Am den BeobaditiiDgen bie 1869 ms den BeobaditimgCD bis 1876
im Juli 4' 16 nua 95 Beobachtungen 4*34 aus 315 Beobachtungen
im August 4*05 „ 119 » 4*09 „ 360
iniSeptember4-33 „ 56 „ 433 „ 114
im Oktober 4 09 „64 „ 4-14 „ 92
im November 4 0-2 „ 31 „ 4 09 „ 49 „
im Dezember 4- 12 „ 44 „ 4*26 „ 78
Der Unterschied steigt bis auf eine Grössenklasse; die geringste Helligkeit war im Februar, die grösste im November. Dass dieser Unterschied auf die Rein- heit der l,uft xtirfirkzuflihren wäre, ist nicht wahrscheinlich, einmal, weil für diese Zusamnien.sieUung nur die heitersten Nächte gewählt wurden, und anderer- seits, weil sich ein solcher Unterschied bei anderen Beobachtungen nicht con- statiren lässL Nach den Tagesstunden ergieht sich aus den Beobachtungen bis 1869 für die Zeit^)
6-5* 7-5* 8-5* 9'ö* 10*5* 11-5* 13-5» 18'6* 14*5* 15-Ö* 16-5* die mittleivHelligkcit 4*36 4*34 4*31 4-07 4 19 4*38 4*36 4*13 3 88 8'91 4*34
Die mittlere Helligkeit aus 11000 zwischen 1853 und 1876 beobachteten Meteoren ergab sich zu 4*37; fllr die verschiedenen Nachtstunden war ein merk« lieber Unterschied nicht zu oonstatiren.
FOr die mittlere Dauer der Meteore fand Schbiidt
ftar die wdsien geBitD gdbfoihen pOnen ndicligen
imjah.t844 V-OO (34B.) 1<*51 (I8B.} — 1«*96 (13B.) —
1849 0-8G (64B.) 0*90 (BOB.) l'-SS (14B.) 1*60 (SB.) 0^91 (17B.}
1850 1-16 C12B.) 1-25 (8B.) 1-41 (6B.) — — 1842-18500-82 (lOOB.) 1-03 (106 B.) 131 (20B.) 1-85 (17B.) 0-91 (17B.) 184z-- 1876 0*746 (886B.) 0-983(4006.) 1 '627(188 B.) 1*973 (135 B.) —
Die Constanz dieser Zahlen im Laufe* der Jahre zeigt, dass der Unterschied in der Dauer bei den verschieden gefärbten Meteoren reell ist; die Meteore von kürcester Dauer sind die weissen; die längste Dauer haben die grünen. Hierzu mögen noch die folgenden Angaben hinzugefügt werden: JIerschel tand aus 17 Sternschnuppen am I2. u. 13. Dez. 1863 die mittlere Weglänge ll°-7, die mittlere Dauer 0^78');
aus 23 Sternschnuppen am 28. und 29, December 1864 die mittlere Weglänge 11* 0, die mittlere Dauer 0"64');
aus 19 Sternschnuppen am 18. October 1864 and so. October 1865 die naiitlere Weglflnge 19^0, die mittlere Dauer 0^68*);
Newtoh fimd aus 867 von 6 Beobachtern angestellten Beobachtungen die mittlere beobachtete Weglänge 13*'*6 und mit Rücksicht auf perspectivische Ver« kflizung daraus 16^4 als wirkliche mitüerc Weglänge und, die mitüere Zeit- daner 0«*45*); also wesentlich kleiner; auch bemerkt er dazu, da<;s die Zeit Schätzungen im AUgem«nen zu klein werden. Hing^en haben andere Beob-
>) 6'5* i^eh 6^ bis 7^ u. t. w.
^ Radiant: «m 105% ( » + 30* in der Nlbe von t Gcminomm. Monthljr Notiees,
Bd. 25, png. 163.
») Radiant: o — 94*. 8 = -i- dl ° in der Nähe von 0 Gcminorum; MontUy Notice», Bd. 25, pag. 165.
Badiaat: « » 90*» ( — + IS-ft** MontUy NoHoee, Bd. s6, peg. S'* *) SauMAM, n. Serie, Bd. 59, p«£. S03.
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XoHMtni und Ifatcocc»
achter die Bemerkung gemacht, dass die ZeitschaUungen im Allgemeinen zu gross werden. Es scheint hier jcdctilalls ein subjectiver Unterschied vorzuliegen, welcher vielleicht in der Gewohnheit begründet ist Man schälst den Ein- tritt eines Phänomens zu früh oder za spät, wenn man gewarnt ist^ und dasselbe nicht zu spät oder zu frtth beobachten will, und man schätzt die Daner einer Erscheinung zu g^ss oder zu klein, wenn man dem entgegengesetzten Fehler entgehen will. Im Allgemeinen dürften die Zeitschätzungen eher zu gross au»> fallen, wie man denn bei sehr kleinen Grössen immer geneigt ist, grössere Werthe anzugeben. Im Mittel aus allen würde sich die mittlere ^Zeitdauer sehr nahe 0*'7 ergeben.
II. Anomale Bewegungserscheinungen. Schmidt sah 17ö von dem grössten Kreise abweichende Meteorbahnen; auf 1000 Meteore kamen 43 mit anomalen Bahnen. Von den 175 beobachteten entfallen:
auf das Jahr 1843 1843 1844 1845 ^^4^ i^47 ^^4^ ^^49 ^^S^ Anzahl von anomalen Bahnen 13 9 1? 26 32 31 26 37 ö.
Im Ganzen waren unter den Beobachtungen 184a bis 1850 von den ge- krümmten Bahnen: 68 unter den weissen. 49 unter den gelben, 31 unter den gelbrothen, 13 unter den gitlnen, 17 unter den nebeligen; relativ am häutigsten ist daher die Anomalie bei den grünen. Es muss jedoch bemerkt werden, dass dieser Srfilnss mit Rücksicht auf die geringe Zahl der grünen Meteoie noch nicht als erwiesen an^usehcn ist.
Nach den Grössenk lassen waren 48 anomale Bahnen bei Meteoren der ersten, 45 bei Meteoren der zweiten, 45 bei der dritten, 26 der vierten, 9 der fünften und 3 der sechsten Grosse.
2izn>u land unter 6853 beobachteten scheinbaren Bahnen 48 gekrümmte (vom grössten Kreise abweichend^ 24 wellenförmige, 23 geschlängelte, 10 schwan- kende, zusammen 104| daher auf l\)O0 Meteore 15 mit anomalen Bewegung»- erschdnungen, also eine wesentlich kleinere Anzahl wie Schmidt« r*-
Die Unregelmässigkeiten in der Bewegung können zweierlei Ursachen haben: sie können wirklich stattfinden und auch nur optisch sein, d. h. durch die l äge des Beobachters gegen die Balm der Sternschnuppe bedingt. Wäre die Kahn der Sternschnuppen stets gradlinig, so könnten Anomalien übcriiaupt nicht vor- kommen. Aber die blcrnschnuppen bewegen sich mit sehr grosser Geschwindig- keit, welche die auf der Erde beobachteten weit übertreffen, in einem wider- stehenden Mittel: der Luft, und schon Chladni erklärte 1819, dass der Grund fttr die schlangenförmige oder Zickzackbewegung »in nichts anderem als in einem Abprallen oder Ricocbetiren von der einer so schnellen Bewegung wider- stehenden Atmosphäre Hegen kann.« Dieser Meinung schlössen sich auch im Allgemeinen Bramdbs und Olbbrs bezüglich der stetigen Richtungsänderungen an. Die sprungweise geänderten und auch die au&teigenden Bewegungen erklärt jedoch Brandis, und hier stimmt ihm Olbers bei, aus partiellen Explosionen, welche die Feuermeteore nach Art der Rakete in die Höhe treiben. Viel ein- gehender haben sich mit dieser Frage Schmidt und Scutaparelli beschäftigt. Ob nun das Leuchten der Meteore nach der ursprünglich (1794) von Chi-.\dn{ geäusserten Meinung durch die Reibung der Meteore entsteht, oder ob nach der von Davy 181 7 geäusserten Meinung, welcher sich später (1S19) auch Chladni anschloss, die grosi>e Erhitzung durch Compression der Luft stattfindet, in allen Fällen wird man es als erwiesen anzusenen haben, dass der leuchtende The il der Bahn sich in d«r atmosphärischen Luft befindet. Aber der Einflusa der
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Kometen und Meteore.
i*7
Bewegung der Luft kann auf die Bew^ung der Stentschnappeii nicht merk- lich sein; die Geschwindigkeit eines heftigen Sturmwindes ist etwa 40 m in der Secunde^); die Geschwindigkeit der Luft in Folge der Erdrotation erreicht ihr Masdinum im Acquator; sie betrtigt hier auf der Erdoberfläche 464 m und in der Höhe von 100 im 471 m, während die direkt gemessenen Geschwindigkeiten der Stem» schnuppen melir als das 50fache betragen. Nimmt man dieselbe zu 30 km an, so tritt daraus eine Ablenkung in der Richtung von etwa 0C° auf; da dieses jedocb nicht plötzlirh geschieht, so wird die Bahn etwas gekrümmt; die hieraus resuUirende Krümmung wird aber so schwach, dass sie nie bemerkt werden kann.
Wesentlich anders aber wird der Einfluss der jährlichen Bewegung der Erde, die Anziehung, welche die Erde auf die Sternschnuppen ausübt, ut)d die Ein- wirkung des Luftwiderstandes. In Folge der Erdanziehung würden die Stern» schnappen Hyperbeln um die Erde beschreihen, die, in so lange sie sehr grosse Distansen im Ferigenm haben, nicht merklich von der Geraden abweichen werden; dieses gilt aber nur für diejenigen Sternschnuppen, welche von der Erde weitab vorObergehen, während fllr jene, welche in die Atmosphäre der Erde gelangen, ganz merkliche Krümmungen auftreten werden'). Die durch die Bewegung der Erde hervorgebrachten Aenderungen in der Richtung der Bewegung werden sich aus zwei Theilen zusammensetzen: eine scheinbare®) und eine wirkliche, welche daher r ilirt, dass sich die Bewegung der Erde auf die Bewegung der Stern- schnuppen überträgt; diese letztere wird ebenfalls nicht plötzlich auftreten, und auch hierdurch wird eine Krümmung der Bahn folgen. Da hierbei von der Rotation der Erde abgesehen werden kann, so genügt es, der Luft die jährliche Geschwindigkeit der Erde beizulegen, wobei also während der karten Dauer der Erscheinung einer Sternschnuppe die Bewegungsrichtung der Luft stets mit der Bewegungsrichtung der Erde um die Sonne susammenfiUlt
Fällt eine Sternschnuppe ans dem Zenith gegen die Erde, so wird die An- ziehung der Erde die Bewegung beschleunigen, der Luftwiderstand dieselbe ▼erzögem und die Bew^ngsrichtung ^ wird geradlinig bleiben, wenn die Zenith- nchtung mit der Richtung der Krdbcwc- gung zusammenfällt. Fällt dagegen die Sternschnuppe nicht aus dem Zenith, so wird sie durch die Erdan^ieiiung aus ihrer Bahn abgelenkt und der Erde ge» nähert (vergl. Fig. 268). In allen Fällen aber wird sich die Ctomponente der Ge- schwindigkeit des Meteors in der Rich- tung der Erdbewegung verändern und schliesslich die Geschwindigkeit der Erd- bewegung selbst erlangen.
Man nennt den Punkt am Himmel,
gegen welchen sich die Erde bewegt,
nach Fritchard den Apex, den ent-
>) Favf. (Compt. rend., Bd. 63, pag. 1100) bctracbtet die mckM, tcUlDgeliidai Bahaeoi
Ha? rnnche Aufleuchten und Verschwinden der Meteore als optische Täuschungen, verursacht durch meist nicht sichtb.irc Wasserdünste (Cirrcamtth^s, Cirrtis); hingegen die langsam »chläageindeo als Folgen von Strömungen in den höheren Luftregionen. ^ Vagi, hierttber dv ipiter bei der ZenlthatMietimi Gctagie.
*) Vagi, iplta aba doi Untendiied twisdien dein Mbeinbaen and wahren lUdlaslai.
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i>S KoBMlen und Mctcoi«.
gegengeseteten Punkt den A n t i a p e x. Sei S ( 1 ig. 256) die Sonne, O die Erde, so ist OA die Richtung nach dem Apex, OS diejenige nach der Sonoe; da nun die Be- wegung der Erde in der Ekliptik suttfindet; so wird auch die Tangente OA an die Bewegungsrichtung stets in der Ekliptik liegen, folglich die Breite des Apex stets Null sein. Ist Or die Richtung mach dem Frtihlingspnnkte, so ist r 0^4 die Lftnge / des Apex; rOS die Länge "Jder Sonne, daher die Länge des Apex stets nahe 90* kleiner als diejenige der Sonne. Bei den Rechnungen über die Meteore wird man riimetst d.imit ausreichen, die Erdbahn als Kreis anzusehen, daher / ~ (7) — 9(1' ^i^, setzen; doch ist die Berechnung des Winkels 7i' zwiscl en der Tangente und dem R.idiusvcctor der Krde nicht schwer, und in manchen Fällen dennoch erwünscht. Man hat, wenn man die Ellipse auf recl ; v-. i -:li£;e Cuordi- naten bezieht, von denen die X-Axe mit der Richtung nach dem i'enhel zusaninjen- fiUl^ und a, e, 9 die halbe grosse Axe, Excentricität und Excentricitälsinnkel, r, v, E Radiusvector, wahre und excenttische Anomalie bedeuten:
dx
jf = a £osf $inE ^ atosff cosE
und da
, _ r shtv — CVS V ~t e r{cos v e)
Stfi£ ^ , t9SM «s= = i'^^
acos^ \ ecosv a cos f "
ist, so wird
äy Mtv e simv
Ist 7* der Winkel, welchen die Tangente mit der posidven Richtung der Jf-Axe einschliesst, so ist
UtngT»* : , tangw = —
daher
smv ' tsmv Setst man nun
so ist
tont» — — 1 = ~ ^ 5 Rsm (0 — n), (1)
wenn II die Lange t'er Sonnenpcrigäums, also
n « 280** 21'-3 4- 1 ■02ö(/— lööO)
ist. Da nun / = 0 — «/ ist, so wird
/ = 0 -H üj _ 90^ (3)
und wenn a, ä die Rectascension und Dekhnation des Apex sind und « die Schiefe der Ekliptik bedeutet:
cos d cos a = -\- sin (0 4- ^)
cos d sin a = — cos {G) -\- «>) cos t (4) sin d ^ £os{0-h ^) sin t. Zur Berechnung der Rectascension und Ddclinaticm dn Apex dienen die Formeh) (1), (2) und (i), in denen der Radiusvector ü und die Länge O der Sonne aus den astronomischen Epbemeriden su entnehmen sind.
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Xoncfcn und Mcteow>
129
Beispiel: Fflr 1865 JuU 38-6 ist 0 = 125° 48'; hgR « 0*0065
n = 280 37 0 — n = 205 n hg Umg^ = 7-8598 iog stn (0 — D) « 9-6289II w « h- 0** 24'-9
ügYznf^ " Ä*^^ /-86* 18'.
Sei nun OA (Flg. 257) die Richtung der Erdbewegung, d. h. die Richtung nach dem Apex, SS* die Richtung der Bew^ung der Sternschnuppe. In dem
Momente, wo dieselbe die Frdj^eschwin- ✓ digkeit voUs-andig recipirt liabcn v/ird
wird man ihre BewegungsricntLin[^ er- ^x"^^
halten , indem man die Geschwindig- ^"""^ / keilen nach dem Geschwindigkeitsparal- / ^^^>^ /
lelognunm sasttDmentetBt ^dlt 9S die l q-'''^' \ J( 5 Geschwindigkeit der Sternschnuppe vor, l | I A /• '
wenn 09 dieselbe fllr die Erdbewegung \ ; J / \^
ist, so wOtde schliesslich die Bewegung \ ■
der Sternschnuppe i>3 sein; da aber diese iik«.......lkl
Mittheilung der Geschwindigkeik eben / \
nicht plötzlich stattfindet, so wird die X |
Sternschnuppe thatsachhch eine Curve \ beschreiben, welche in gewissen Fällen auch nach aufwärts gekrümmt sein kann.
In dieser Weise wird nun allerdings die Erscheinung nicht auftreten; denn man sieht sofort, dass es sich hier um eine Stosserscheinung handelt, und die Uebertragung der Geschwindigkeiten findet etwa in folgender Weise statt; Seien M, tn die Massen der Erde und der Sternschnuppe, oa — G die Gesc'uAindig- keiL der Erde, und zerlegt man die Geschwindigkeit v der Sternschnuppe in die beiden Componenten 9i = in der Richtung der Erdbewegung, «b senkrecht dszu, so würden die beiden Körper sehltesslich in der Richtung OA .
MG H- tnv%
die Geschwindigkeit — ^ * haben, und da m gegenüber M verschwindend
klein ist, die (Sescbwindigkeit welche sich mit der Geschwindigkeit
snsaromensetzen würde. Die relative Bewegung der Sternschnuppe gegen die Erde wäre aber in der Richtung O A gleich Null, so dass schliesslich die Stern- schnuppe sich in der Richtung der Tangente des Auffallsortes bewegen würde. Dieses wird aber nur der Fall sein, wenn die beiden Körper vollkommen un- elastisch sind; sind die beiden Körper vollkommen elastisch, so wäre, wieder unter der Voraussetzung der Kleinheit von m, die Endgeschwindigkeit der Stern- schnuppe in der Richtung OA gleich IG -^v^^ daher die relative Gescbwindig« keit gegen die Erde die resultirende aus den Geschwindigkeiten (r h- in der Richtung OA und in der dazu senkrechten Richtung. Nun ist die Stern* schnuppe allerdings nicht daslnch, hingegen erfolgt ihr Stoss gegen einen elasti- schen Körper, die Luft; aber die jeweilige gesto^ne Masse ist veränderlich, und hingt von der Dichtigkeit der Luft ab. Das Problem, die Untersuchung der Bewegung einer unelastischen Masse bei dem Stesse gegen eine elastische Masse von veränderlicher Dichtigkeit, ist aber nichts anderes, als das Problem des Luftwiderstandes. Aber es ist hieraus klar, dass die Wirkung des Luft- widerstandes sich nicht nur auf die Veränderung der Geschwindigkeiten, sondern
VAiAMTiNUi, Auionoaü«. (L 9
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Konwten und MdcoK.
auch auf die Aenderung der Bahntorm bezieht, nnd dnss der Einfluss dieser Geschwindigkeit auf die Bahnform infolge des Umstandes, dass die Geschwindig- keiten der Sternschnuppe und der Erde vergleichbar sind (Grössen derselben Ordnung) unter Umständen grösser werden kann, als selbst die AnsulKing
Die Aosiebung der Eide wiikt in der Ebene dee Radinavectors OS und der Bewegangsrichtung der Sternschnuppe SS^, und in Folge derselben wOide die Sternschnuppe eine in der Ebene SSO gelegene kramnie Bahn beschreiben. Der Luftwiderstand wird, wie später gezeigt wird, die Bahnebene unter der Voi^ aussetzong, dass die Sternschnuppe eine Kugel ist, nicht indem. Die Zusammen- setzung der Geschwindigkeiten aber findet in derjenigen Ebene statt, welche durch die BewejTungsrichtung der Sternschnuppe parallel zur Beweg ungsnchtung OA der Erde gelegt wird. Fallen diese beiden Ebenen zusammen, oder mit anderen Worten, schneidet die Bahn der Sternschnuppe die Bewegungsrichtung der Erde, so wird die von ihr beschriebene Curve eine ebene Curve sein. Diese wird rieh aber als grösster Kreis an der Ifimmelskugel nur dann projidren, wenn der Beobaditer sich in derselben Ebene befindet In allen andern FiUen muBS die Sternschnuppe eine von einem grOssten Kreise abweichende Bahn beschreiben; die Krammung der Bahn wird aber nur nach der einen Seite statt- finden ; es treten Bahnen ^on der Form ^ t Fig. 355 auf.
Fftllt aber die Richtung der Erdbewegung nicht in die Bahn der Stern- schnuppe, so wird die Sternschnuppe in Folge der Erdanziehung und der Erd- bewegung eine doy^pclr {rekrümmte Curve beschreiben, die, von verschiedenen Erdorten aus gesehen, eine sehr verschiedenartige Gestalt haben kann.
Wie später gezeigt wird, ist aber der Einfluss der Erdanziehung nur be- deutend iür die aus der Nahe des Antiapex kommenden Sierusclmuppen; fflr alle aus grösserer Entfernung vom Antiapes kommenden Sternschnuppen wird demnach die Aenderung der Bewegw^ in die Ebene iallen, welche durch die Bewegungsrichtnng der Sternschnuppe parallel snr Tangente an die Erdbewegung in dem Momente des Eintritts des Meteors in die Atmosphäre gelegt wird, und die Bahn wird wenig von einer ebenen Curve verschieden sein. FUr die aus der Nähe des Antiapex kommenden Sternschnuppen ist aber wieder der Einfluss des Luftwiderstandes gering, und für diese wird daher die Bahn in der durch die Anfanc:srirlitiinfr der Sternschnuppe tmd den Erdmittelptinkt gelegten Ebene enthalten sein, die Balm daher ebenfalls eine elunc Curve, so dass die Bahnen sich zumeist in den Formen d, e darstellen werden. In denjenigen Fällen, wo der Einfluss der Erdanziehung und Erdbewegung gemeintschaitlich wirkt, wird derselbe jedoch nur mjissig sein, und die Bahn wird zur doppelt ge- krttmmten: es treten mässig gekrümmte Curven von der Form k waL
Im ersten Theile der Bewegung, wo die Masse der Luft wegen der sehr geringen Dichte nur klein ist^ wird ausser dem Verluste an lebendiger Kraft und dem damit verbundenen Glühen und Verbrennen eine merldiche Aenderung in der Bewegungsrichtung nicht auftreten. Eine bedeutende Aenderung in der Richtung wird aber dort auftreten, wo die Geschwindigkeit des Meteors bereits abgenommen, und die Dichte der Luft zugenommen bat, nlso in den unteren Theilen der Bahn; daher kommt e*;, dass gerade gegen das Ende der Bahn oft starke Krümmungen sichtbar werden, und dieses zumeist bei den hellen und lange sichtbaren Meteoren.
Manche mögen thatsftchlich ihre Bewegungsrichtung so weit ge&ndert haben, daas sie wieder aus der Erdatmosphäre heraustreten, ihren Weg im Welträume
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KoiMteD und Mcteoitt.
131
fortsetzen. Kleinere Meteore werden schon in den obersten Schichten der Luft aufgezehrt, ohne dass eine Ahweichunf?; ihrer Bewea^ungsnchtunp vom rrrö^,9.{en Kreise sich merkbar machte; grössere ändern ihre T>cv,cgungsnchtung, wie er- wähnt gegen das Knde ihrer Bahn, und nur diejenigen grossen Meteore, welche trotz des fortwährenden Verbrennens noch hinreichende Masse haben, um in die unteren Luftschichten zu gelangen, beschreiben dann Bahnen von der Form / (Fig. 355); nur wenige Meteore, und lEWar nur jene, welche nahe aus dem Zenifli fidlen, gdangeo tbatsScbUeh tat Eide. Auch in dieser Richtung wirkt die Luft wie ein elastisches Polster^).
Eine zweite Ursache, durch wekhe die Bewegungarichtung thatsSchlich ge- ändert wird, ist die unregelmässige form der Meteore. Jeder Körper von un- regelmässiger Gestalt, der in einer TransiatkMisbewegung begriffen ist, wird durch den Luftwiderstand in eine Rotationsbewegung versetzt, wodurrli rujch die Richtung seiner Bewegung geändert wird. Derartif^e Complikationen treten bei der Be- wetrung von Kugeln aus gezogenen Geschützen auf; l>ei diesen ist der Lauf schwach schraubenförmig gedreht; dadurch erhält die Kugel eine Rotationsbewegung, und da sie nicht kugelförmig, sondern conuidiach ist, so wird sie aus der verücalen Ebene etwas abgelenkt
Noch Gomplicirter werden die Bewegungen, wenn der Schwerpunkt einer solchen, in dieser Weise in Rotation vecsetaten Kugel ansserlialb der STmmetrie- axe liegt Schiessversuche wurden in Cbxistiania mit derartigen Kanonenkugeln vorgenommen; sie wurden hergestellt, indem man in der Form seidich an dnem Stäbchen ein Tbonkflgelchen anbrachte. Dieses wurde dann herausgeschabt, und die Oeffnung an der Stelle, wo das Stäbchen das Kügelchen hielt, durch einen Fiscnpfropfen verschlossen. Bei einem vierzehnpffindiii^en Geschütze, das unter einem Elevationswinkel von 10** mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 1000 engl. Fuss (ca. 300 m) abgeschossen worden war, war nach einem Wege von 8400 engl. Fuss i^l b km) die Kugel uu) 40 Fuss (12/«) von (ter ursprünglichen Richtung nach der Seite abgewichen; die Hofisoatalprojection der Bahn war ungeflLhr ein Kreis von 370 km Radios. Eine vierpittndige Haubitze, unter einem Ble- valionswinkel von 45" abgeschossen, wich in der Entfernung von 2816 Fuss (400 m) um 87 Fuss (8*5 m) ab; die Horisontal- projection der Bahn war ungefähr ein Kreis (aber etwas ge* scblüngelt) von nahe 10 km Radius.
Sehr instructiv in dieser Richtung ist das von den Austra- liern benutzte Wurfojeschoss: der Bumerang, eine knieartig gebogene Scheibe abcä, Fig. 258 die etwas wmdschief, also wie eine Schraubenfläche gebogen ist, so dass z. B. die Ecken ac über die Zeichnungsfläche heraustreten; wie ein Piiril abgeschossen, gerftUi dieselbe in eine drehende Be* wegung und wird dabei in einem weiten Bogen sum Ausgangspunkte aurOckkehren.
Manche Abweichungen von den Bahnen lassen sich durch optische Unregel- mSsaigkeiten erklären. Schmidt erklärt die schlängelnde Bewegung dadurch,
>) Dieses ididttt aadi die Ursache, dass bei den teleskopischen MMMtCfi annmalc Bcw^nncwn^etntiafcn vid tdlencr «ailreten. Scrmdt iah (Resultate, p«(. 173) unter 146 tttabopitebcn Heteoten nur eine ridicr als anomal tii bacidwende Bahn (und eine möglicher* «eise schwach gekrUrorote) wahrend er unter 40€8 mit freiem Auge beobachteten Meteoren 175 anomale Bewegungen sah; diesem entspricht der Prorentsatr von Ü 68 g bei den teleskopischeo. hiqgcgen i'-4^, also nahe 1 mal so viele bei den mit tretem Auge sichtbaren.
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KomcteD nnd Mctcotc*
dmss ein Meteor eine rotirende Bewegung senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung hat, so also, dass die Rotationsaxe in die Richtung der Bcwecijiinn: fällt, aber nicht das ganze Meteor, sondern nur z. B. ein Punkt ausserhalb der Axe, welcher vielleicht aus leichter entzündlichen Stoffen besteht, zum Glühen oder Verbrennen kommt. Je nach dem Standpuukte der Bcubaciitcr wird dann ein solches Meteor einen verschiedenen Eindruck auf das Auge machen; ist die Rotatinnaxei also die Bewegungsrichtung gegen die Ge^chtiUnie nur wenig gencigti so entsteht die acblJUigelnde Bewegung; ist eine starke Neigui^ steht sie s. B. beinahe senkrecht auf der Visirlime, so wird das Meteor in regelmässigen Intervallen aufblitsen und verschwindeci eine Eischeinung, welche sich z. B. bei dem bereits erwähnten Meteore vom ii. November 1849 (vergl. pag. 1x9) den beiden Beob- achtern Schmidt und IIeis darbot.
Eine Bahn von der Form e, Fig. 255, wird einem Beobachter in der Richtung mm' je nach der Neigung in allen möglichen Formen zwischen ä und e er- scheinen, und wenn die Ebene, in wlU ner die Curve d liegt, durch das Auge des Beobachters geht, so wird das iMeleor eine gerade i.inie nacli dei emen Seite zu beschreiben scheinen, sodann einen Augenblick still stehen, und in seine frühere Bahn surttckkehien. Bei einer Bahn von der Form b wird, wenn sich das Auge in der Richtung mn/ befindet^ das Meteor, während es die Bahnstrecke «p aurUcklegt, still zu stehen und dann in seiner Irttheren Bahn fortsufahren scheinen, u. s. w.
m. Die Höhe der Meteore. Einer der wesentlichsten Punkte in der
Theorie der Meteore war die Ermittelung ihrer Höhe. Nur durch wirkliche Bestimmung derselben, ohne jegliche Hypothese darüber, kann erwiesen werden,
ob sie terrestrischen Ursprungs sind, oder nicht; nur wenn ihre Höhe bekannt ist, kann ihre lineare Geschwindigkeit pefnnden werden, welche für die Bc- urtheilung ihrer wirkin hcn Bahn im Räume von wesentlicher Bedeutung ist.
Ein einfaches, zum i heile graphisches Verfahren zur Bestimmung der Höhe 15t das lolgende; Man tragt von üeni ikobachtungsorte A die Richtung Ax^)^ in weldier das Meteor aufblitzte (das Azimuth) auf einer in genügend grossem Maass- Stabe ausgeiührten Spezialkarte der Gegend ein, und notirt die beobachtete Höhe tt über dem Horizonte. Hat man die Anmuthe von zwei oder mehreren Orten Bf C u. 8. so werden sidi die Richtungen By, Ca, .... in einem Punkte O schneiden« über welchen eben das Meteor S aufblitzte. O ist dann die Projeclion von S auf die hierzu in dem Bereiche der Erscheinung des Meteors als eben angenommene Erde; AO, BO, CO . . . sind die Projectionen der Visirlinien AS, BS, CS, und OS ist die Höhe, in welcher das Meteor p<iifc:eblitzt ist. Die Entfernungen AO, BO . , . können mit einem Maassstabe entnommen werden, und dann folgt
OS = AO fang a - BO tatig ß = tang-i • • • In derselben Weise erhält man die Höhe O'S' de«: Verschwindcns, und dann ist die Länge des Weges, welchen das Meteor zurückgelegt bat;
IV= yipO')* -H (OS - Ö'Ä')» und die Geschwindigkeit des Meteors
W
wenn / die Zeitdauer der Erscheinung ist
Die Figur kann jeder leicht selbst ergänzm.
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Kometen nnd Metfore.
Bedingung, dass an allen Orten dasselbe Meteor beobachtet wurde, ist zuerst Uebcreinstinamung der Zeiten, wobei aber auf die Längendifferenz Rück- sicht genommen werden muss. Meteorerscheinungen, welche z. B. in Berlin, Heidelberg und Breslau gesehen werden, können nur dann als demselben Meieor angebörig angesehen werden, wenn die Encheinung in Heidelberg um die Längendifferenz, d. i um SO Minuten Ortszeit fHtber, und m Breslau um 14| Minuten Ortsteit später gesehen wird, als in Berlin.
Die aweite Bedingung ist, dasa sich die sttmmtlicben Richtungen AO^ BO CO . . . und ebenso die Richtungen Ä0\ BO', CO' ... in denselben Punkten O, O' schneiden, und dass sich aus allen beobachteten Höhen «• ß, 7 • • a', ß', y' . . . dieselben Abstände von der Erde OS, O' S' ergeben; Bestimmungen dieser Art waren e^, welche schon im vorirren Jahrhundert die c^ross.e Höhe der Meteore über der Erde und ihre grossen Geschwindigkeiten darthaten.
Selbstverständlich wird der Schnitt der T.inien AO, BO . . . nicht genau in einem Funkte stattfinden, denn die Beobachtungen können nicht absolut genau sein, und sind stets mit gewissen Beobachtungsfehlem behaftet, die bei den Meteoren eine nicht unbetrifditKche Grösse erreichen. Erstrecken sidi daher die Beobachtungen nur auf einen geringen Bereich, so wird diese Methode ausreichend genau s«n. Will man aber den graphischen Weg verlassen, und die sämmtlicfaen Operationen durch Rechnung ersetzen, so wird man besser auf die Krümmung der Erde Rücksicht nehmen, wenn das Beobacbtungsbereich wie in dem obigen Beispiele (Berlin, Breslau, Heidelberg) etwas grösser ist.
Diesem Umstände trägt bereits die von Olbers gegebene Metbode Rechnung. Olbers leitete aber seine Formeln unter der Voraussetzung ab, dass sich die Gesichtslinien von sämmtÜchen Beobachtungsorten in einem Punkte schneiden. Unter dieser Voraussetzung werden jedoch die Resultate nicht ganz correkL, und Brandes schlägt eine andere Berechnungsart vor^}, bei welcher auf die Möglich* keil HOckdcht genommen is^ dass sich die Gesichts- linien im Räume nicht wirklidk schneiden, son- dern krensen, wie dieses in Folge derBeobachtungs- fehler zumeist der Fall sein wird. Die Berechnungsart von Brandes lässt sich am einfachsten in tuigender Weise darstellen:
Sei O (Fig. 259) der Mittelpunkt der Erde^ OC die Rolationsaxe^ AB der Aequator, ein Beob> achtungsort, also CP^ des- sen Meridian, p^OP^ = B^ dessen geographische Breite, und sei ftlr die Zeit der Beobachtung OA die Richtung nach dem Frühlingspunkt, so ist p^OA der Stundenwinkel des Frühlingspunktes, also die Stem/.eir ^ , für die in gemachte Beobachtung. Bezieht man nun alle Punkte auf ein rechtwinklipes Axensystem, dessen X-Ax& durch den Frühlingspunkt, dessen y-Axe nach dem Punkte, dessen
') »Unterhaitungen für Freunde der Physik uod Astronomie, Lcipiig 1829«, pag. 17.«
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»34
Rcctascension 90° ist, und dessen Z-Axe nach dem N( rd[uil gerichtet ist, so werden die Coordinaten von F.^, wenn man mit a den Erdhalbinesser bezeichnet: a cos cos 0^; yx~ i?, sin 64 ; «1 = (1) Es möge nun mit den Rectuceiudoneii und Dddinatioiieii Sp d^, der von /"i aus beobachtete Ort der Stemscbnuppe am Himniel sein; ist nun P^S die beobachtete Richtung, PxS? die Ftojection dieser Richtung aui die K-Ebene, so wild, wenn man /"i'CT) parallel zn OT nnd F^s paiaUel P^'S^ sieht,
sein. Ist Q ein beliebiger Fnnkt in der Richtung P^S mit den Oft«fenden) Coordinaten i,i^K» findet man leicfaiv wenn man PiQ* Pi seist
i^-i^ = ^-P, (S)
Wttj «»«1 tttHgh^ " ^'
und dieses ist die Gleichong der Geraden /\ S. In gans gleicher Weise hat man fttr einen swdten Beobachtungsort P^i
x^^aeasB^cfisB^; y^v^ aeos B^sin^^\ z^ = asinB^ (la) und ist $9 mit den Coordinaten a,, der von aus beobachtete Ort der Sternschnuppe^ so wird die Gleichung der Visur für diesen Ort:
- = - h. (2a)
Sei nun die Determinante
! cos 1,. ana.^ tong
und die Uoterdelerminanten der ersten Zeile
= -h J/« tangHf — sin n^tang 6j J}^ = — cos Oj tang 83 4- rt^j ^ang 8, (3a) ^3 === 4- COS ttj 1/« a j — sin Kj rt^j = sin («j — ag),
80 ist die Bedingung fUr das Schneiden der beiden Visuren
/? = 0. (4) Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so wird der kürzeste Abstand der beiden Visuren _
Die Grösse dieses fcflnesten Abstandes wird auch einen Aibssstab geben lllr die Gute der Beobachtungen besw. Ilir die Zusammengehörigkeit derselben. Da
2> - Z?i (x, - -f- />,(jv, -/,) + i), (r, - s,) (3 b)
ist, so wird D in demselben Maasse erhalten, in welchem a ausgedrückt ist: Man kann a = 1 wählen und erhält dann k in Einheiten des Erdhalbmessers ausgedrückt; in dieser Einheit ist 1 km — 0*000157 oder 0*0001 == 0*637 km a= 637 m. Nähert sich k diesem Werthe, so sind entweder die Beobachtungen sehr schlecht, oder die an den beiden Punkten gemachten Beobachtungen gehören nicht derselben Sternschnuppe an. Schneiden sich die beiden Geraden, so sind die Ausdrttdce
«1 =
wobei
tos a,(Ä, — «1) — tong (.r^ — x{) (ga) M3 = sm — xj) — cos - >' J
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Kometen und liM«ore. 135
ist, einander gieich, also =: </j = //^ = pj, wenn jetzt p, die Entfcmang der Projektion S' des Schnittpunktes S der beiden Visiiren von ' bedeutet und man hat dann tür die geocentriscben Coordinaten Xq, j/q, dieses Schnittpunktes, ftlio Ar die CoonfiiMtea der Stemschnoppe:
= + p^cosa^^
«0 = *i 9i^*^^i' Die Entfernung p^ der Sternschnuppe vom Eidmittelpunkte und ihre Höhe A über der Erdobeiflüche werden gegeben durch
Po = V^o -^yo + ^o'^ ^ = Po — ^- .(7a) Da sich die Gieichungeo (6) in der Form schreiben lassen
J>%d^^m^\ J^^d^i^m, (6b)
10 kann nuui, wenn die Bedingung des Schn«dens nicht erfltllt ist, und die Abweichungen als Folge von Beobachtungstehlem «ngesehen werden kdnneo, als den wehrscheinlichsten Werth von P| den Aasdrack^}:
betrachten. Gans Ihnliche Ausdrttcke erhUt man flir die Bntfemang fttr
die Coordinaten x^, y^', die geocentrische Entfernung p^' und die Höhe M des Verschwindens, wenn man an Stelle der beobachteten a^, 8j, aj, d| des Aufleuchtens die Coordinaten a^', Verschwindens setzt Der
smückgelegte Weg IV folgt aus
und die Geschwindigkeit Uq aus
•»0 - T • <1^>
wenn die Dauer der Erscheinung /* ist IV und Uq sind in derselben Einheit ausgedrückt, wie a\ wurde daher fllr a die Einheit gewählt, so hat man PV und Uq, um dieselben in Küouieiern auszudrücken, mit 6370 3 «= 3'80416) zu multipliciren.
Die Bedingung (3) hat eine einfache geometrische Bedeutung. Beteichnet man den Punkt an der Himmelskugel, wo die Verbindnn^inie /i/f in der fiichtuQg Aber verlängert die Himmelskugel trifft, mit $ und seien dessen Rectasoeosion und Deklination A, A, so ist, wenn die Entfernung /i^f » P ist
jr^ — s P^^^Aiüf A (11) ~.Si s PimA
und die Gleichung (3) wird
D^FtM^ cos A. smk ta$tgL cos 9.1 sma.1 tMfgi^
und die Bedingung (4) wird:
üesif AiMi(aa — a^) + UmfiiSmik — a,) — igßgttsm {k — «|) — (4')
•) Brandf«' «ch1ri<^t hier natürlich einen andern Weg ein.
') Selbstverständiicii kann man auch ganr ähnliche Ausdrticke für die Bnttenaogen Pitfj* vom s««im Bflobaditungspuiikl» crhalMi, indeiB unr in (6a) a,, a, durdi a,, «nctit winL
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Komciett und Mcteoie.
welche Gleichung aussagt, dass die drei Punkte 8,, in einem grusstcn
Kietee am Himmel liegen müssen. Dieses ist auch selbsiversundlich; sollen di« ViBuren derselben Sternschnuppe angehuren, so müssen sie sich schneiden, also in einer Ebene liegen, welche die Himmelskugel in dem gt<jssten Kreise schneidet Sind nun die Beobscbtnngen fehlerhaft, so
weiden die Punkte (Sp ^ nicht in einem gtössten Kreise Kegen, aber wenn
die Beobachtungen thatsichlich einer und derselben Sternschnuppe ange> hören, so werden die Abweichungen vom grössten Kreise nur mässig sein, und die kleinstmöglichen Aende- rungen, welche man an die Orte S^, @3 anbringen rouss, um sie auf einen grössten Kreis zu reduciren, geben nach Bessel^} ein Maass mr die Genauigkeit der Beobachtungen. Die anzubringenden Aenderungen werden aber am kleinsten» wenn man ittr den grössten Kreb den durch den Halbirungspunkt @ (Fig. 260) von @, gehenden grössten Krds wählt Diese Aenderungen sind dann ©^öj = wenn die Kreisbögen
(Sj Ü.^ senkrecht auf stehen. Man hat nun zunächst die Grössen s^,p^, j,, ^, zu berechnen, wobei^^, die Posjtionswinkel der l.inien j^, (vergl. die Fig. 260) bedeuten, wo also der grüsste Kreis gegen den Nordpol gerichtet ist. Die Berechnung erfolgt aus den Dreiecken S^-gJ-Pol des Aequators, @,-gJ-Pol des Aequators; man erhält:
B jmAx««^! -h cosAcosii r<?j(a, — A)
sim X, xw/j = «, sm («, — A),
und ebenso für den swetten Ort; setzt man daher
sin Öj = sin A\ sin 8, = /Jj sin A\
W CM («1 — A) » c<^s A\ cos 5, cos (a, — A) = /t, cos K^,
(A.260.)
(13)
so wird:
wx, «i,««r(jri-^ A) sm tg Mspi « i| sm (Kg — A) sm Sj siHpg » CM bg sin («i ^ A)
Ist M der Positionswinkel von ®^ so ist
sm/ vmsinst sin (J/ — p^) =. ^ «» — ^w) und daraus « vrj /
cos Sf = ^, (Ä", — A) Jw» X, cesp^ ^, «•« (AT, — A) (12 a)
XMXiMK/t a ifsin («, — A).
(18)
smSf oder
sins^-irS^St siHipt — AQ-h siM{M- p,)
siMiM^jp^y smsg^sms^^ sm{p^^U)^siHiM-^j^j
Nachdem aus (14) berechnet ist, erhält man /aus (18). Unter 48 von Brandes als correspondirend angegebenen Sternschnuppen fand Bessel unter der Vorausseteung ihrer Gleichseitigkeit
*) Astron. Niehiiebten Bd. i6. pag. 321; gesammelte Werke, III. Bd., pag. jaS.
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Kometen und Meteore.
»37
U.96U
Fehler / zwischen 0° 1° 2° 3" 4° 6** 6** 7** 8"
in 14 11 5 7 5 8 2 1 Fällen und srhliesst hieraus, dass die Beobachtungen eben nicht als streng gleich- zeitig anzusehen sind. Nimmt man aber an, dass die Sternschnuppen an den beiden Beobachtungspunkten nicht wirklich gleichzeitig aufleuchten und ver- schwinden gesehen wurden, so werden sich auch manche Anomalien der Be- wegung erUiren lassen. Bsssil ftthrt den folgenden charakterisiischen Fall an: Sei AM (Fig. S61) der Weg einer Sternschnuppe j Aber den beiden Beobacbtungspunkten wobei der Einfachheit halber die Bahn der Sternschnuppe und die beiden Beobachtungs- punkte in derselben Ebene angenommen werden, und werde ihr Autbiit/.en in bemerkt, wenn sie in ist; ihr Verschwinden, wenn sie in S^' ist; von aus bezw., wenn sie in 5,, S^' ist, so ergiebt die Rechnung lür den Ort der Stern- schnuppe im Raitme aur Zeit des Aufblitzens den Schnittpunkt der beiden Visuren PiS^^, P^S^, abo flir den Ort des Verschwindens so dass man dnrdi die Rechnung an Stelle der Bahn AB eine andere^ davon ganz verschiedene, aufsteigende A^B^ erhSlt. In der That giebt die Rechnung in sehr vielen Flllen aufsteigende Bahnen; wie aus dem Fraheren folgt, sind aber aufsteigende Bahnen nur dann als reell zu betrachten, wenn die scheinbare Bahn der Sternschnuppe merklich vom grössten Kreise abweicht; wo nber nur der erste, normale Theil der Bahn gesehen wird, was man leicht daraus schliessen Icann, dass von verschiedenen Beobachtungspunkten aus die Bahn der Sternschnuppe sich als grösster Kreis darstellt, kann von aufsteigenden Bahnen nicht woinl die Rede sein.
Wenn nun ttberdies die Ebenen P^S^S^' und P^S.,S^' nicht zAJsammen- fallen, so werden sich die Visuren P^S^, P^S^ und ebenso die beiden anderen kreuzen, und einen Schnittpunkt Oberhaupt nicht eigeben.
Bissel ersetzt nun die Voraussetsung der Gleichseitigkeit des Aufbiitaens und Veiacbwindens durch die Annahme, dass die Bahn der Sternschnuppe eine gerade linie wäre, welche Voraussetzung bei allen je- nen Sternschnuppen, wel- che keine ßewegungsano- malien gezeigt haben, zu- treffend ist.
Seien (Fig. 262)
die dusch <fie Rectascen- nonen und DeUinalionen
^t' ^i'' ^i' ^ ^ Him- melslnigel bestimmten
Punkte des Auiblitaens
und Verschwindens der
Sternschnuppe vomPunkte /*! aus gesehen, so stellt unter dieser Voraussetzung der grösste Kreis ©,* die scheinbare Bahn der Sterr schnuppe, gesehen von P^, dar; seien die Projectionen des Kntzün-
dungsi- und Versciiwindungspunktes der Sternschnuppe von Wenn nun die
(A-Stt)
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«3«
Cometcn and Hel««re.
Beobachtungen gleichzeitig wären, so müssten die drei Punkte der Himmelskugel in einem grössten Kreise liegen, und ebenso die drei Punkte Si' Ss'^^. Da dieses nicht der Fall ist, so entsprechen die Beobachtungen nicht denselben Zeiten, und zu den Zeiten, zu denen die Sternschnuppe von i\ aus in gesehen wurde« würde sie von aus in zwei Punkten 2g» Ij' gesehen wordni sein» welche man erh<^ wenn man die grOssten Kreise f^S^' cum
Schnitte mit dem grössten Kreise 6t@t' bringt.
Aas der Figur folgt sofort dass die Beobachtungen als i^dcfaseitig anzusehen sind, wenn die Positionswinkel /, = =^ p% sind.
Führt man die auf den Deklinationskreis von $ besttglichen Polarcoordinaten p, s ein, so sind die Polarcoordinaten von 2„ wenn man die Strecken ipS, ■= <r,, — rsr/ setzt, bezw.: p^, <'i,p\t
Die Bedingung, dass ein Pnnkt K auf dem grössten Kreise ©jiSj' liegt, ist, wenn = 5 das Perpendikel von ^ ist, dessen Positionswinkel mit be- zeichnet war, ausgedrückt durch
cos {p — = üin^ S c0ts.
Ans den Coordinaten der badm Punkte 6,' folgt daher:
— -P) ^ Awg S€0ii^\ £os tang S Mts^\ (15)
woraus sich F und S bestimmen^ und dann ist fUx die Punkte Z,, 2t': e9s {p^ — P)^ kmgSt$i9^\ t^t {pi — P) Umg S t^9^\
Aus den beiden Gleichungen (15) folgt:
t^ts^ epijpt — P) ' und dann in dersslben Weise wie bei (14) aur Bestimmung von P,
A,«^[iC/>,+i>.')--P]«^^4^<»/iü>,-M (16)
dann folgt S aus einer der Gleichungen (1$)^ und endlich
eoi9^^iffiSew(p^ — P)
eai 9^* mm fofSi»s{Pg' — P), ^ '
Aus den Grössen p^', 9^* erhilt man nunmehr die Rectascensionen
und Dedinationen «, V. der Punkte 2^* 2,' nach:
simlem tos 9^sm A H- IM 9ffos A Mtr/i ff9t i tfit (a — A) n eos 9^MS A — xm 9fSm A Mtp^ cos h sin (a — A) a «M 9^stn und ebenso (Ür a'd'; oder wenn man
cos (Tj = I sin L cos a^* = l' sin L*
(18)
sin ffg cos Px^ l cos L cos cos p^ =^ V cos L* setzt*
8 » IC9S{L — A) sm V » /'^(Z' ^ A)
r4»xd^<»i(«--A)-i/m(Z- A) AwaVM(s'- A)B/'i»i(Z' — A) (18a) r«f d (« ~ A) JM 9« Mw/i ^«r 8'\rüit (s' — A) » i«fi e^' ^*>*^|
Eisetst man ietst die Beobaditungen durch die mit 4en Beob-
achtungen in Pj gleichseitigen, fiktiven, der wirklichen Bahn der Sternschnuppe angehörigen Beobachtungen ^^1^' in so werden sich die Visuren gewiss
schneiden, die Bedingung (3) oder (3a) ist erfüllt, und man würde durch die Gleichungen (6) denselben Werth erhalten; es wird also genügen
p.^gJ A sin (g — A) , ^ . « cos ^ sin ja' - A)
2U berechnen, uud liaua nacii
Ly Google
»39
Xq —
Pi cos «1
J^Q = }'i P 1 " « 1
*0 = ^1 + pj^«^^öj
Jfo' = *i -t- PlVöJ
«o' = «1 -+■
Ä = Po — «
= Po' —
(7JI)
die Höhen der Sternschnuppe und nach (9), (10) ihre Geschwindigkeit.
Be^sft leitet nun anch Formeln ab {i\r den Emfluss von fehlerhaften Beob- arhtimgen auf die Resultate Hierbei setzt er aber voraus, dass der Gesammt- fehler sich in 5 äussert, und die f> fehlerfrei sind; man kann jedorh auch Formeln ableiten, welche diese Voraussetzung nicht erfordern, und zwar durch Diffeicnüation der Formeln (12)*); man erhält dann *
wenn e— cos H da = dt der in den Rectascensionen und Deklinationen voraus- zui^etzende Fehler ist, und mit diesen Werthen wäre weiter zu operiren. Da man jedoch auf einfachere Weise zum Ziele {gelangen kann, so sollen die Wcithc für die Coefficienten /j, /"j, ^ji^a nicht weiter abgeleitet werden.
Die Resultate werden nämlich etwas übersichtlicher, wenn man von den Foranelii ausgeht, welche ImuMK^nJOs in leiner ünaoguialdiflsertatioii »Zur Theorie der Stemschnuppenc, BeriJn 1878, gab.
Die Richtimib aas welcher die Stemschnoppe komml^ ist bestimmt durch den Durdiscimittq»un1ct ihrer geradlinigen Bahn (oder anch der su ihr patallelen Geraden durch das Auge) mit der Hirn- melskiigeL man ein rechtwinkliges Axensystem, dessen A'y- Ebene der Aequator, dessen XAxe nach dem Früh- Ungspunkt, und dessen Z-Axe nach dem Nordpol gerichtet ist, zu Grunde; ist ST (Fig. 263) die wieder als geradhnig ge- dachte Stemschnuppenbahn, und T ihr Durchschniitspunkk mit dem Aequalor, TSf ihre Frojection auf den Aequalor, so ist (y)TS^ 9' die Rectascension, STS? — 1^ die Dekfination des schein^ baren kosmischen Au«gangq>unktes; die- ser ist aber nichts anderes, als der Ra* diant. Sind nämlich mehrere Stern- schnuppen beobachtet, die m derselben Richtung kommen, so wird die durch das Auge des Beobachters gelegte Parallele den Verschwindungspunkt (Flucht- punkt) bestimmen, in welchem sich die scheinbaren Bahnen schneiden müssen*). Den Radianten für dne einselne Sternschnuppe kann man aus den Beobachtungen an einem Orte nicht bestimmen; hierzu mttssen Beobachtungen von mindestens tüti Orten vorliegen; hingegen ist der Radiant mehrerer Sternschnuppen durch den gemeinschafUidien Schnittpunkt aller ihrer scheinbaren Bahnen (grOsste Kieise am Himmel) bestimmt.
Sind die Coordinaten des Durchstosspunktes T der Meteorbahn mit der
(A.26S.)
*) Am besten vor Finfühnmg der Hilfswinkel.
*) Vetgl. auch »AUgemcme Einleitung m die A&troaomic « , pag. 161.
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14«
Konem wid McteOK.
XK-Ebcne /», q, 0, die laufenden Coordinaten der Sternschnuppenbabn ^ i], so ist die Gleichung derselben
wenn p = 7*5' die Entfernung der Projektion des Punktes, dessen Coordinaten 1], C sind, von T bedeutet.
Ist nun ein Beobachtungsort, dessen Coordinaten wie früher Xy,y\, 2^, seien, und , uj, \ Projeclion der Entfernung, Rectascension und Dekli- nation des Punktes S von dem Beobaihtungsotte so werden fttr den Anfangs- und Endpunkt die Grossen a|, d^, a^', a,' bekannt sein, hingegen sind 1*1, rx unbekannt» Nun ist aber fllr einen beliebigen Punkt «, 8 der Steinschnuppenbahn:
I as + re9$% ^p-¥ fCcsV
i| j^i -I- r JÄ» « lA ^ p (80) C = «1 + rtangh = ^kmgV Diese drei Gleichungen lassen sich schreiben:
*\^p-^ rcosu. — p^wÄ' « 0
— ^ + rm« — p j/« 31' = 0 (Sl) #1 H- r /mv Ä — p AM|r 3)' = 0.
Eliminirt man hieraus r und p, so folgt
«0
i'^' j a rm a tang h oder
(«1 — « ttmg H)' — -jw «) — Cj»i — « AMjf I©' — Vkmg «) ^j.« .
-fSjXÄ»(ll'-a)-0.
Setst man fllr die vorlftofig unbestimmten Coordinaten 8, die Coordinaten des Aufleuchtens «i» <| und diejenigen des Veischwindens a/» an dem Beob- achtungsorte i}, so erhält man zwei Gl«chungen fttr diesen Beobachtungsort; ebenso erhAlt man aus den Beobachtungen ftlr das Aufleuchten und Verschwinden
an dem zweiten Beobachtungsorte zwei Gleichungen: zusammen 4 Gleichungen, aus denen sich die vier Unbekannten p, g, ^' bestimmen lassen T^ie Gleichung ist jedoch in Bezug auf 91' rieht von der ersten Ordnung, indem sie sin und cos%* enthält. Man wird jedoch leicht genäherte Werthe für ?!' und S"' erhalten; verschaftt mau sich gleichzeitig genäherte Werthc lür p und q und setzt die Ausdrücke
in die Glachung (SSa) ein, und entirickelt nach Potensen da* locremente AS), Ckp, ^q, wobei man diese Aenderungen einfach als diflerentiell ansehen kann, so erhUt man:
» A/ + ^ Af H- A% AS)» (S3)
wobei
-^ sin iang SJ^ — sin 51 ^ fang 8^ = «,
— cos a, iang'S)Q (OS ^^tang ö, = by^
— [(a-^ — sttt <J-i — ij'i — g^j ios a,] ict^ i = </j
f.v, — ;»,j>fl, -I- _ ^^)^^ 4- sin — sj) =
ihi, uder lür die Keclinung bequemer:
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Kometen und Meteore.
Hl
j a= + sin a , fang — sin 3t (, ta»g 8, =s — r«7j aj Äi»^^ ©0 -4- ^o/a/i(^di ^1 = flj A, X/« y^ — ^0
s= ^, ^-öj H^-= Xy — pQ
£i ^ k^cos {H^ — St^) lang — Sj^^t'i (il,, — aj) </j -* sin (/r, — a^) sec^ %q
(83a)
(M)
In llmlidier Weise erhält nuui ittr die drei flbrtgen Beobachtiingen aj', «f ^a' Wcrtbe lllr «^'^i' ... . und damit die Gleichuogeo
«j'A/ -h H- ^i'A a -h if/AS) «t » <it + + ^, + AS) (SS')
Sind nebr als «wei Beobachtnngsoite, so erhält man mehr Gleichungen als Unbekannte, und man vird hieraus die Wertfae für A/, Af, A9f A2> nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen.
Hat man nur zwei Beobachlungsstationen , so wird es gut sein, diese Gleichungen unbestimmt aufzuldsen, was am besten durch Determinanten ge^ schiebt; man erhält dann leicht:
A/ •= A^n^ + + -rfjÄf 4-
A; «= B^n^ + ^8«8 ^i^t
A31= C,«i -4- Cj'«,' Cj«2 -t- Ca'«j'
Dabei wird es (wegen des folgenden) praktisch, die Coefficienten Cy, unverändert beizubehalten (nicht mit arc l' zu multipliciren) und erst die er- haltenen CorrectioDen ASt, AS) durch Division mit arc 1' in Winkeimaass über- zutübren.
Die Gleichungen weidim nur dann unanwendbar, wenn 2), oder dne der beobachteten Deklinationen nahe 90^ sind; in diesem FaUe wird es am besten, auf ein anderes COordinatensystem flbersugehen, etwa auf das der Ekliptik. Um jedoch einfache Transformationsionnein zu erhalten , schlägt L£hmann-Filh£s nach dem bereits früher von v. Oppolzer bei einer anderen Gelegenheit em- pfohlenen Vorgange vor, das Coordinatensystem so zu wählen, dass der Frühiingspunkt zum Pole wird. Zählt man dann die Coordinate |a analog der Rectascension vom Pole über das Winter- aolstithun weiter (vergl. Fig. 204) und die Coor- dinate V der Deklination analog, so hat man fttr (a. a««) einen Funkt 5 der Himmelskngel aus dem sphärischen Dreiecke FSlI^i
cos sin IX. wm — cfisdsina
cos vcfisiu^ sin S, v stets positiv;
imd die Berechnung wird dann SO wie frUher durchgeführt^ wobei nur m v an
Stelle von a, 5 tritt.
Wurden W, 2)' aus nur zwei Beobachtungsstationen ernnttelt, so wird die Gleichung (22) vollständig erfüllt sein müssen, und eventue]! noch Übrigbleibende Fehler werden nur sehr klein sein und nur von der Vernachlässigung der Qua*
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14« Kometen imd Meteort.
drate und Produkte der Correctionen ^p, herrühren i). Sind aber
die Correctionen aus mehr als zwei Orten bestimmt, so werden die Gleichungen (22) nicht vollständig erfüllt hein können, und es Vierden gewisse Fehler übrig bleiben, die Ton den den a, d anhaftenden Beobacbtungsiehlem berrtthren. Settt man also in die Gleichungen (22) die bereits corrigirten Wetthe ff, S)'f P» f, hingegen an Stelle von a^, . . die sur Brilllluog der Gleichungen nothwendigen corrigirten Werthe «i + 6, 4- Aft^ . . . und entwickelt, so ethilt man:
^j^ÄriiA«! -H /j A«j = <w,. (25)
Da man jedoch nur die ersten Potenzen der Correctionen zu berücksichtigen braucht, so vnrd man bei der Berechnung der CoöfSdenlen ausreichend g^nan die Werthe p^, anwenden können; bei der Bestimmung von hingegen musa man die corrigirten, definitiven Werthe q, W, S)' verwenden, weil der durch das Btnsetsen derselben hervorgehende Unterschied gegen Null die Fehler A«„
bestimmt Da jedoch die Werthe «| ^ p% fx — q überdies zur Berechnung von ri tmd erforderlich sind, so kann man setsen:
kl « (— I, f^s (/, — a,) Ar«^2>' + *, (SP — «i)} set
«= (jTj ^ p) {sin «, tang — sin i[' fang 8 , ) - ^ '
— O'i — q) ifos «1 iang jS>' — €os Ä' iang d|) + S| sm (*' — «J.
Macht man nun die Annahme, dass man in jeder Richtung einen gleich grossen Fehler ^ s begeht, dass also ^M3|Aa| « A8| v ± c anzunehmen ist» so wild
wobei [Z] den absoluten (stets positiv zu nehmenden) Betrag einer Zahl Z be- deutet"). Führt mnn diese Rechnung für jede Beobachtung ((Mr das Aufleuchten und Verschwinden, lür jeden Beobachter getrennt) aus, so kann man durch ent- sprechende Combinationen den Beobachtungsfehler e für das Aufleuchten und Verschwinden für jeden einzelnen Beobachter oder auch für Sternschnuppen verschiedener Grössenk lassen u. s. w. erhalten.
Bestimmt man aber den Fehler Aa, Ao aus der Gleichung
wobei für die Coefficientcn nicht die absoluten Beträge, sondern die wirklichen Werthe eingesetzt werden, so erhält man die an die beobachteten Werthe a, d anzubringenden Correctionen Ao = e. Aa = z sec h, damit die Visuren die Stem- schnuppenbahn schneiden, luhrL aum dann die corrigirten Werthe aj -J- Aa^, d| + Ädj, ttj' H- Attj', 4- A8j', + Aa, . . . fltr alle Stationen eb, so
') Dieses Übersieht Lkhmann-Filh^ in seinem Beispiele. Zwar iüt im Räume eise Gerade 4«k]i 4rci ddk kfiOMnde Oende botiniiDt, hier nnd ihcr die vier sich kreintendeii Genden in einer q>eddleD Lage: es sdmeidcn sidi swei und swei deisdben. Und in der ThsC ist durch diese vier Geraden eine eile vier schneidende mO^icb: die Schnitdmie der dovch sie gdegtea Ebenen.
LEHMANN-FoHis bestimmt die Correctioneo Aa» A8 so, dass die Febler<^uadntsuaune ein Minimum wird.
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KometMi mid Metcoie.
■43
werden die Gleichungen (21) gleichzeiticr erffilH sein, und es genügt zur Be- siimmung von r und p zwei dieser Gleicluingen zu verwenden (die dritte ist dann von selbst mit erfüllt); verwendet man dazu die beiden ersten, so folgt:
sin (31' - «,} ' - («• - «i)
für den Punkt des Aufleacbtens, und'
für den Punkt des VerschinndenB. p| »t die Entfernung der Projection des Ent- iflndungspunktes von T, pj' die Entfernung des Verschwindungspunktes; p,, P|' weiden sieb also für die verschiedenen Stationen nicl.t identisch ergeben müssen; je grösser ihre Werthe, desto früher wurde ihr Aufleuchten, ber.w. Verschwinden beobachtet. Die Ubige des beschriebenen Weges folgt hieraus:
-p,')w<©'. (87)
Die Goordinaten des Punktes des Aufleuchtens und Veiscbwindens .sind für den eisten Ott:
loi Pi"« 31' Voi = q 9i'sm%' (28)
und es werden die Entfernungen dieser Funkte vom Erdmittelpunke und von
der Erdobertiache:
'^i'^Poi-« *i' = p'oi-«
Verwendet man statt p^, p^' die Werthe p„ pj' für den zweiten Beobachtungs*
ort, so werden die Endwerthe 5o>» »)o»» • • • ^s» '^j' natürlich etwas verschieden erhalten werden; denn nach der Annahme wird das Aufleuchten und Ver- schwinden nicht an allen Orten gleichzeitig wahrgenommen.
Hat rnan mehrere Beobachtungsstationen, so wird man durch die Auflösung der Gleichwigen (23j, (23') nach der Methode der kleinsten Quadrate bereits die Beobachtungsfehler unschädlich gemacht haben. Hat man aber nur zwei Bcobachtungsstaüonen, so wird die Gleichung (22) strenge erfülll s>cin, aber man hat kem^rlei ControUe über den Einfluss der Beobachtungsfehler, und dann kann es anch vorkommen, dass sich aufwitrts gerichtete Bahnen » nur als Folge von Beobachtangsfeblem, ergeben. Es ist also n6tfaig, den Einfluss von Beob- achtoDgsfehleni m «, d auf die berechneten Höhen su ermitteln.
Diflierenzirt man die Gleichung (SSa) nach allen darin vorkommenden Grössen, mit Aosnahme der festen Werthe ^r^, j^i, s,» so erhttlt man, wie man sofort sieht:
4i|A/» H- ^,A^ + <iAtC H- 4f|Ä2) + ^(^«r^tÄai + ^ 0. (80) Würde man nun hier <9id|Aat » A4| » s setsen, so würde dieses voraus- setsen, dass immer nur Fehler desselben Zeichens h- c möglich sind. Wollte man femer :fc c zulassen, so müssten die Gleichungen mit jeder der Zeichencombi-
nationcn -± .1'^ tdc/^t aufgelöst werden; es ist daher am besten, den Finflnss der Fehler i^osi^lay = 6], = ^j, cosi^^oi^ = Ej . . . . zuerst getrennt zu untersuchen. Hat man die Gleichungen (23), (23') unbestimmt aufgelöst, so er- hält man sofort die Auflösung der Gleichungen (30), indem man die Grössen
"tf "i * *h dufcii tlie correspondirenden Werthe ^i^i ATi» -f- /i'fji', ^>e, H- /,f„ H- /»'fj' ersetzt; es wird also:
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t44
KonMtcB und McImk»
A« - (i, + /, + Cj'(*,'t,' + //T,') + «. + f t) + ^ ^
Es ist zu bemerken, dass alle hier auftretenden Coöfficienten schon (rtther
berechnet sind.
Den Finfluss von AlJl, A'J^, ^f>, ^f/ auf p^j, p^,' kann mnn mittelst der Gleichungen (29) bestimmen; das Resultat wird jedoch übersichtlicher, wenn man alle drei Gleichungen (20) verwendet. Es wird dabei besser Ar zu bestimmen, als Ap; denn Ar,, enthalten Aül, AS), A/>, Aj? sowohl unplicüe in Ap als auch explicite, hujgegen, wenn man Ar benutzt nur implicite in diesem Ausdrucke; das Resultat muss «war identisch sein, doch werden die Reductionen im ersten Falle etwas IXnger. Elimimrt man also aus der ersten und dritten, und dann aus der zweiten und dritten Gleichung (SO) pi% so folgt:
Tg {f»s «1 toßf S)' — Wiea^9i) «= s, ««r V ^ (v^ — iMg 2)' r| (xM Am^r S)' — sim tätig 1 1) « «1 x«pi X' — O', ~ #) /«v 2)'.
Dtflerensirt man diese Gleichungen, so folgt:
AS)
är^{(üS9L^tang%' — wVAwtfdi) = — ^icos ^^^j^. — p, tang%'smWM 4-
-I- ^piamgl^ r^sm^^Umg^* LvL^ -4- r, ^^^./^ Aft,
A3) *
Arj («« ti^tang 2)' — «» Ai^ij' — pjf/« 4- Pi to«^^ 2>Vof AÄ -h
t- A ^ lan^'^* — rj ^^Xtti A>«(^2)'Aai 4- r, ^^^^^ Ad,.
Mnhiplicirt man jede dieser Gleichungen mit dem Co£fficienten von A^i
und addirt, und setzt:
■= Xj cos C, = X, cos Z| -^1' = %i cos Ä',' Cj' = Vi?? Zj' JTj = X, i/« A', />j = Xj sin Zj B\ = t.^* sin K^' = K^'sin Z,'
-/^j *= Xj cos Ä', = X, Zj -^s' = X, Ä",' C,' = X^'cos Z j'
= X|i/« Ä'j Z>^ = Xj i/« Zg a= Xj'jl« Ä'5' Z>,' es Xj'i/« Zj'
ÄM5f • 2)' -f- ' 8, — 2 <r^.r (H' — «,) /an^- 2)' /a«^' 8, = Ni €«s (y — g/) fang S)' <»y d, .
-j^^ = (I, tfw 2^
— = "^'^^^ ^*
H- ^ = Xitm Tt sttt (St' — «,) Aiiy S)' .fiwa,
<w (y — et.) tang^* — Umg^
(81)
(8«)
^ Ilm kSuite ndi aad^ VoUiidungen wählen, doch werden die ZwiMhemcndtaie iif«r tyiMBCtffaclw
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Tafel III.
Valentiner, Handwörterbuch der Astronomie.
Band II, pag. 58.
Hen del.
Verlag von Eduard Trkwkndt
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Tafel IV.
VALENiiNtk, Handwörterbuch der Astronomie.
Band II, pag. 58.
Fig. 1 (1888, April 10—17)
Fig. a (1888 April 17, 6a)
Ifen Jel.
Flg. 3
(1888, Mai at)
Komet Sawerthal 1888 I (nach Wutschichowsky , Astron. Nachrichten No. 2844)
Vcrl.ig von EnUARU Tkkwkndt
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XomeMi und Meteone^ 14}
so wird:
-»-[— p, !j/X2<rw(24 — Zj) 4-t,X2/rt/;^3)Vöx(7; — Ä',)] (^,8, f-Zjfj) /=1, 1', 2, 2' H-[-p.a,XaV<7j(2,-Z/)+T,x,Va;^rS)Vf;j(7;-/:,')](^»'6,'-+-/8'<p,')
Endlich ist
A|o, = Ar, oTj — Tj 5, Aaj A1201 «= iir^sitt + r| w Aa^
Ae^
Pol Pol Pol
VPoi Poi Pol /
* Vpoi * Pol »; » ^ 1 w»»!
Sctzl man also noch
^i^i a, H stn OL, H — — iang 0, = i*,
Po< Po' Po*
suHii^ tos a, — ^ün^^yu (M) \Po' Po' /
Po*
{— p* <ti V '^«'^ (2/ — LJ) -¥ t, X, /a«^ 5)' f t'i (T; — A;)j = E,j (33 a)
so wird:
Die Berechnung der Coefficienten ist viel einfacher als es auf den ersten Blick erscheint Da die Coefficienten der Gleichung (30a) bereits früher berechnet sind, so hat man nur noch nnch den Gleichungen (31), (32), (33) und (33a)i (33b) die in (34) auftretenden Coctficientcn zu bestimmen und erhält dann:
A4 = ± Qi%.
Es wird demnach die berechnete Höhe hi untor der Annahme eines Fehleis i in den beobachteten Coordinaten
hi ± Qit
werden können. Ist nun eine Bahn als aufsteigend gefunden worden, so wird man aus dem Glicdc Q,i finden, ob durch einen Fehler e = ih 0°-6 (oder cmen den Umständen entsprechenden Fehler)^) die Hüben so geändert werden können, daas die Bahn absagend wiid; in letsterem Falle kann man die aufsteigende Bahn als eine blosse Folge der Beobacbtangsfehler ansehen; wird jedoch durch eine zulässige Annahme ttber s das Resultat nicht geändert» so sind einselne Beobachtungen zu verwerfen; aber nur dann, wenn die Güte der Beobachtimgen ausser Zweifel gestellt ist, was wohl selten mit Sicherheit zu constatiren isl^ ist die Bahn thatsMchlich ansteigend.
') Das Resultat wird dann sofort in derjenigen Einheit erhalten, in welcher a ausgedfUcit wir, wenn r«-, di niAt mit «rv 1' nollqilieirt wurden.
▼.MMiMi^ A<iP«twli. IL 10
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■46
KoBMtMi und IfctCQfC«
Zur Bestimmung der Höhe und Ge cl windigkeit der Meteore ist die Kcnnt- niss der Rectascensionen und Deklinationen des Anfangs- und Endpunktes uner- lässlich. Ein geUbter Beobachter, der ein scharfes Auge und eine genügende Kenntnias des gestirnten Himmek hat» wird dabei meist ausreichend genau die Coordinaien der beiden Punkte durch die Lage derselben au den Fixsternen be- sdnnien, und durch Einadchnen in eine Sternkarte fixiren. Man hat xwar auch ein Instrument hierfür construirt, das Meteoroskop, welches, selbstvecstindlich ohne Femrohr und selbst ohne Diopter, die Visur längs eines Stabes gestattet, welcher, azimuthal montirt, Höhe und Azimuth giebt. Selten aber wird man Zeit haben, auf beide Punkte einzustellen, und inzwischen für den Punkt des Auf- IcKcliicns abzulesen, selbst wenn zwei Beobachter thätip wären. Die Genauigkeit der Beobachtung dürfte liierdurch keinesfalls erhöht werden. Feldt giebt die Genauigkeit der Schai^^ung nach der erst angegebenen Methode auf etwa an.
Oft kLininn es darauf an, einen Punkt der scheinbaren Meteorbahn und die Richtung derbeiben zu kennen; dieses ist der Fall, wenn a)an für mehrere Meteore am selben Beobachtungsorte den Funkt finden soll, in welchem sich ihre scheinbaren Bahnen seimeiden. In diesem Falle ist der von Lbhiiamm- Ftajits^) getfaane Vorschlag empfehlenswerth.
Brandes fand nach seiner Metliode^; unicr 63 Meteoren
die Höhe zwischen 0 3 6 10 16 20 Meilen und darüber für . a 8 12 23 10 7 Meteore.
Unter 81 neu reducirten Meteoren fand Bbssix. die mittlere Höhe
awischen 0 8 6 10 15 90 95 Meilen und darflber mr 1 _ 5 14 e 3 3 Meteore.
Schmidt und Hbis fanden^) für die Meteore 1*» 9«" S** 4"» und kiemer die nuttlere Höhe 16 2 15*9 10*8 8 5 Meilen
aus 14 30 94 91 Beobachtungen.
Hieraus würde folgen, dass die höheren Meteore die helleren sind. Diesem widerspricht die frühere Annahme» dass nur die grösseren Meteore bis zur Erde gelangen, durchaus nicht; nur die grosseren Meteore gelangen in die tieferen Regionen, allein ihren gröbsten Glans entwickeln sie in den höheren Regionen, wo ihre Geschwindigkeit und daher auch Wflrmeentmckelung am grössten ist. Allerdings geben die hier angefahrten Zahlen noch keineswegs definitive Werthe, indem die Zahl der Beobachtungen noch zu gering ist Nur das eine ist aus allen diesen Angaben jetzt wohl schon mit Sicherheit sa schliessen, dass die Höhe der Meteore jedenfalls swischen 6 und 90 Meilen an- zunehmen ist.
1865 gab Newton die folgende Zusaromenstellung der Resultate Uber seine Rechnungen«): Die Höhe der Meteorbahnen war
zwischendenGtensen 0 80 60 90 190 150 180 910 940 970ifaw u. darflb.
daher d.mittl. Höhe«» * 45 75 105 185 165 * * Jim
fttr p— (39) 114 943 977 106 57 (90) (90) (8) (19) Meteore.
AstTon. Nachrichten, BcL 96, No. 2296. ^ »UoterhaltuDgen für Freunde der Physik und Astronomie«, pag. $3.
aRendtatc«, pa^. iia. *) Americ«! Jwmui ot Sclcncci aad Arti, n. Serie, Bd. 39. psg. 193.
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Kometen Bnd Meteore*
U7
Als Mittel der Höheo findet er hienus, indem er die Höhen unter 30 und aber IHO km weglftsst
k » s 95*55 km.
Femer Oaiid er aus correspondirenden Beobachtungen
mittlere Höhe det Encbeineni dceVerittidieiig der Ifitte der Bahn
tat 39 Meteore ▼om lo/i i. Aug. 1863 1 \%-Akm 68*9^ 90*1 km
Ar 78 Meteore vom 13/X4. Nov. 1863^ 154*9 97*8 1S6*4
Hieibei encbeinen daidne Meteore in Hdhen über SOOifaM. Niwton ist der Anncht, daas alle Höben ttber 150^ verworfen werden sollten i)^ MAsoN g^ebt aber an, da» sich die teleskopischen Meteore in s«nem Femrohre mit 80 iacher VergrOesernng nicht schneller sn bewegen schienen, als die sonst
mit freiem Auge gesehenen; ihre thatsächliche Winkelgeschwindigkeit war daher nur ihre Höhe unter der Annahme derselben linearen Geschwindigkeit 80 mal so gross als diejenige der letzteren. Mason schätzt ihre Höhe auf 1200 engl. Meilen (1930 km). Auch Esman fand für einzelne Meteore die Höhe Uber 100 deutsche Meilen (750 km).
Obzwar hierüber noch viel zu wenig Erfahrungen vorliegen, kann doch das Vorkommen viel grösserer Höhen als derjenigen, welche man im Durchschnitte findet, nicht schlechtweg geleugnet werden. Schiapasklu nimmt an, dass dieses Meteore von g^ns bedeutenden Massen wären, welche einen bedeutenden Luftwiderstand erfahren, und schon in den äusserst verdünnten Schiebten der Atmosphäre verbrennen. Schon Quktelet*) sagt, dass die verschiedenen Metnungen Uber die Höhe der Sternschnuppen daher rühren, dass wir eine un- genügende Kenntniss von der Höhe der Atmosphäre haben, und Schiaparelu bemerkt noch»), dass die allgemein angegebene Höhe der Atmosphäre zu 28 bis 47 km sich eben nur auf jenen Theil erstreckt, welcher noch Licht reflektiren kann. Er bemerkt, dass alle über die Höhe der Atmosphäre »von vielen grossen Mathemalikern publicirten Arbeiten grösstentheils nur scharfsinnige Rechnungs- übungen sind, deren Resultate keine grössere Genauigkeit gewähren, als die mehr oder weniger willkürlichen Hypothesen, die der analytischen Beweisführung zu Grunde liegen.c Qoktblbt theilt die Atmosphäre in eine aimunphtri ttakU, den oberen Theil, der sich in relativer Ruhe befindet, und die Domäne der Sternschnuppen ist; der untere Theil, von Winden bewegt, die Region der von uns als Site der meteorologischen Erscheinungen bezeichneten Phänomene, ist die atmosphire imiakle. Doch nimmt er die Höhe beider Theile noch leUtiv^ niedrig an.
IV. Die Geschwindigkeit der Meteore; Einfluss der Erdan- ziehung und der Luft. Dividirt man die Weglänge eines Meteors durch die
Zeit, so erhält man seine Geschwindigkeit. Hier sind aber zwei Faktoren, die der Beobacli'jing zu cninehmen sind, und beide sind mit gewissen Unsicherheiten behaftet. Nichtsdestoweniger sind die erhaltenen Resultate alle insoweit im
*) American. Joanwl of sdcnen aad ttti; IL Seile, Bd. 36, pag. 303. *) lUte, n. Seile, Bd. 40^ pag. S5a Der ScUtus, daat di« Novembcfmeteore beMekdidi UAer encbeiwii, bt TOiUttfig oodi aiclit genügend iichergesteOt.
*) Ibidem, Bd. 39, pag. 203.
*) »Phyfiqae <\n Globe«, pag. 313.
*) •Entwarf«, pag. 4.
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14«
Komtten und Meteort.
Einklänge, dass sie flir die Meteore eine Geschwindigkeit ergeben, welche mit der Geschwindigkeit der Lrdc in ihrer Baiui vergleichbar ist.
ScujdiDT giebt in leiDCD »Resultaten« über die Geschwindigkeiten keine Zahlen; die Resultate waren niclit befriedigend^ meist enorm gross, so dass er es vorzog, »alte Ungewissbeiten nicht durch neue schwankende Angaben su vermehrenc^).
Hält man fllr die mittlere WegUnge 16^ für die mittlere Höhe 100 km, für die mittlere Sichtbarkeitsdauer 0"7 fes^ so folgt die mittlere Geschwindigkeit 16 X 0 01745X100
Diese Gcschwindiirkeit ist das TOfnclic der Geschwindigkeit einer Kanonen- kugel, und etwa um die Hälfte grosser, als die Gesclns indigkeit der Erde in ihrer Bahn. Sie ist aber, wie später gezeigt wird, nicht die wahre kosmisclie Geschwindigkeit (z/), sondern die relative Geschwindigkeit gegen die Erde (»); 9 ist im allgemeinen kleiner*). Allein man hat su beachten» dass diese Ge- schwindigkeit die mittlere Geschwindigkeit nicht nur aller Meteore, sondern auch jedes Meteors im Laufe seiner Bahn ist, und zwar die mittlere Ge- schwindigkeit während seiner Sichtbarkeitsdauer. Beim Beginn seiner Sicht- barkeit war seine Geschwindigkeit schon grösser und hat su Ende seiner ^cbtbarkeit in Folge des Luftwiderstandes schon abgenommen. Aber bereits, wenn es sichtbar wird, bat es so viel an lebendic^er Kraft verloren, dass es zum Glllhen kommt, und dieser Verlust an lebend ii^er Kraft ist natürlich auf Kosten seiner Geschwindigkeit eingetreten: die Geschwindigkeit der leuchtenden Sternschnuppe ist schon bedeutend kleiner, als diejenige der noch nicht leuchten- den. Man kann also annehmen, dass die kosmische Geschwindigkeit der Meteore eine weit grossere ist, als die Geschwindigkeit der Erde.
Denkt man sich im Räume eh) beliebiges, festes, rechtwinkliges Axen^tem, und seien ««i^o*'« ^ Coordinaten der Erde, *ityx**x ^ Coordinaten einer Sternschnuppe S, so werden die Differentialgleichungen der Bewegung der Stern- ichnuppe im Räume in der Nähe der Erde^
^'^1 _ ^» — ^» I y
dt^ r*
= (*i — *o)* — >o)* -+- («1 — ^0)*.
wobei k die Constante der Erdanziehung ist. Wälilt man als Einheit den Aequatorhalbmesser der Erde, als Einheit der Zeit die Zeitsecunde (an Stelle des mittleren Sonnentages), so wird
{sin . 24 • 60 • 60 ' wobei die Constante der Sonnenattraction, m die Erdmasse und ic die Sonnen*
parallaxe ist; also mit m «=» ^^^^^ , s = 8"*815:
log k = 7 093615 — 10, % A" = 2 408040.
•) I. c, pag. 144.
') Weil die mcialen Stenudmappcn ans der Gegend des Apex kommen. Weg^ den Artikel •Medinnik de* Hittttdt«, § 9 nad § 35.
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Kometen und Meteore.
»49
Die Anziehungskraft der Erde ist dann ^ ; diese ist aber identisch mit der
(mit der Entfetnaog ▼erXnderlicheo) Bescbleuoigung der Schwere, weiche mit f besäcbnet wird; es ist «Iso
Für die Erdobertidche ist also - x', gleich dem Werihe der Beschleunigung an der Erdoberiiachc ; in der That ist dieser Werth, aber in Einheiten des Erdhalbmessers; will man denselben in Metern erhalten, so muss er mit dem Radius der Erde in Metern (Jo^ — 6*80464) muldplicirt werden.
X, y, Z sind anderweitig auftretende sttfrende Krflfte; von der AnsiehuQg der übrigen Himmelskdrper kann in den Entfernungen, in welchen Stern- schnuppen beobachtet werden, jederzeit abgesehen werden; mittiia bUSbt dabei nur d«* Widerstand der Luft. Dieser ist eine Function der Dichte der Luft und der Geschwindigkeit, sowie des Querschnittes und der Masse des Meteors. Die erstere ist eine Function der Entfernung r vom Eidcentrum und kann durch
a -/('■)
angedrückt werden. Die Function der Geschwindigkeit, und swar der relativen Geschwindigkeit u des Meteors gegen die mit der Erde bewegten Lufttheilcben werde mit f (») bezeicbnet. Ist endlich p der Halbmesser des als kugelförmig
4 Ttp^Q
gedachten Meteors, so wird sein Querschnitt «p*, seine Masse ^ — — t wenn
** ^
Q sein specifiscbes Gewicht ist, daher der Luftwiderstand: wobei
gesetzt wurde. Die Ck>mponenten des Widerstandes werden daher, da dieselbe in der Richtung der Tangente an die Bahn wirkt:
X^-A/{r)fiu)^i Y^^A/{rMu)^i Z^-4/(rMu)^.
wobei das negative Zeichen zu nehmen ist, weil der Luftwiderstand der Bewe- gung entgegengesetzt wirkt. Weim man die absolute Geschwindigkeit des Meteors im Raum mit v beteichne^ so wird
und da
dSi di ^ dx^ dyj^ _1 dy^ dz^ ^ ^fi d$ ^ d$ ^ V di * ds ™ V di * ds ^ V di
isl^ so werden die Dillierenzialgleichungen
d^x^ k\x^ - ^o) dx^
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t$9 Kometen und Meteore.
Bei der Untersuchung der Bewegung des Meteors kommt es jedoch wesent- lich auf die relative Bewegung des Meteofs gegen die Erde an ; führt man daher die relativen Coordinaten des Meteors g^;eQ den Erdmittelpunkt
*i *o " yi "~ j'o ^ y» #j — *^ « #
ein, so wird
'dt^'df'^^'* ^7e*~ ™ IT» ^Tt*'
Nun kann man für die kurze Zeit, währen ti welcher die Bewegung der Sternschnuppe untersucht wird, von der ungleicliiuimigen Bewegung der Erde «bsebeui und diese als geradlinig und gleichförmig betrachten; es «ifd also
^ ^ ^
Weiter wird die Erdgeschwindigkeit constant zu setzen sein; sei dieselbe für den Munient der Beobachtung G und ihre Componenten nach den drei Azen G^, G^, G^, so wird:
dt '^^t' dt ='*^«» "57"^»
sein, und man hat:
und die Differenzialgleic'nungen werden:
d} X . .. X , , miti) ( dx
4-.*.i-H4/«S^(^-..?.)-0 (4)
MultipUcirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit 0, — dann mit z, Ol — Xf endlich mit — y, x, 0, und setzt fllr den Augenblick
^ dt ' ^/
dx d» .
dy dx
so erhält man die Gleichungen:
dfx
dt
A/ir) ^ [a {G^ - G^z)^ = 0
^^A/ir)^[/,-^iG,s-G,x)j=^0 (5)
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Kometen und Ifeteore. 151
Wäre die Erde ruhend, alto G^a^ 0, u^v, so könnte man
dieae Gleichungen integrixen; es wird, wenn
(9«)
gesellt wird:
/, = A = f% = c^m (Äb)
und da gemäss der Bedeutung von fx*
isl^ so erbalt man durch Multipltcatton mit », y, s:
oder da ^(i) nur dann veisdiwinden kann, wenn der EbqKMient — wird, so wird allgemeine
d. h. die Bahn der Sternschnuppe würde eine Ebene sein, was an sich klar ist. da in diesem Falle der Widerstand in der Ebene der Bahn wirkt, also eine Ver- änderung der Bahnlage nicht bewirkt werden kann.
dx dy d%
MultipUcirt man die Gleichungen (4) ^ und addirl^ so folgt
mit Ulickncht auf (8):
du dr . . , . 9 («) / „ ^ dx ^ dy ^, dz\
FQr den Fall der ruhenden Erde wird hieraus
du Jt^ dr
Betrachtet man sunichst die Erdattiaction in jenem Bereiche, in welchem der Luftwiderstand noch nicht vorhanden ist^ so folgt:
du k* dr ^
Diese Gleichung integrirt giebt
und da für r^~c<^'.u — u^, d. i. die relative, von der Erdattraction nicht beemÜushLc Geschwindigkeit der Sternschnuppe ist, so wird^)
I»* ~ — ; »> u$ + %gr,
u, «0 drückt man gewöhnlich in Einheiten der mittleren Erdgeschwindigkeit aus; dann muss man für g, r, k die entsprechenden Einheiten wählen, k gilt aber Üb die Einheit des Radius des ErdSquators. Nun ist
log Halbmesser des Erdäquators = log 6377 4 km = 3 80464 log Geschwindigkeit der Erde hi ihrer Bahn « Ug 29*6 km » 1 '47189 Erdhalbmesser in Einheiten der Erdgeschwindigkeit log{r) »3^8135
hgk (filr die Secunde und r « I) s 7*09861
jSy(r)l» 8'50008 ^>^>^ = 0-59363
hg%k*i{r)^9'ibm
= -k 0 14287.
') Die Formel folgt natürlich viel einfaclier, wenn man die Bewegung einfoch als einea bochlennigten Fall an ieht: es «ude aber hier iregen dei spUcfta die Ablcinaig m* den Difiercnualfl^ieidiungen gewählt
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15« fComtttn nnd Utteore.
Hiernach ist die Tafel auf pag. i68 gerechnet Fflr grosse Werthe von
<H>7148
ZU nehmen. Beispielsweise sei
A^^ir« «9*7408 /0^ff,i ^ 9-4816
ifig^^r mm 9- 1549 üitfu» ^ 9*6493
Add. «01677 äf^u =9 8246. Setzt man Sternschnuppen voraus, welche sich in parabolischen Bahnen um die Sonne bewegen, so ist ihre (Geschwindigkeit in der Entfemtmg der Erde von der Sonne, also in der Erdnähe 29 n ^ 4\-7 km] die grösste, bezv,- kleinste relative Geschwindigkeit wird daher 7 13 /:m, bezw. 12'i km, fnr die von ScHiAi'AKtLLi als Gren?\'. ertlie angenommenen Anfangsgeschwindurkciten Uq — 712{X) und 12200 Meter werden die durch die Erdattracüon veränderten Geschwindigkeiten ; u = 72070, bezw. 16545 Meter, daher die Geschwindigkeits- sonahmen 870, besw. 4S45 Meter. FOr das Eintreffen der Meteore in der Nähe der Eide wird man diese Geschwindigkeiten an Stelle der kosmischen Ge- schwindigkeiten zu setzen haben; ein Theil dieses Zuwachses entfiiUt allerdings schon auf die Bewegung in der Atmosphäre» aber innerhalb der Erdatmosphäre werden diese Geschwindigkeiten nur noch unwesentlich geändert. Um diesen, von dem früheren abzutrennenden Theil zu bestimmen, kann man
u\R r) u u' '
setzen. Niinmt mm die flir das Aufleuchten der Meteore maassgebende Höhe wieder zu 100 km, so wird
u' -^u= 13-6 bezw. 59 3 Meter.
Diese Beträge können gegenüber den grossen Geschwindigkcitsanderungen, welche die Meteore durch den Luftwiderstand erfahren, als vollständig ver- schwindend angesehen werden.
Nimmt man jetzt die Erde als ruhend an, und vernachlässigt die Attraction innerhalb der Bewegung in der Luft, so hat man
k* 0, s s G j = 0
zu setzen, und erhält dann die Integrale (5 a), (5 b) und an Stelle von (6) tritt:
du
and da udi ^ds lAi
14 du
— - = 4/(r) ds
»♦ '0
Nnn ist tt^'*ds das von der Sternschnuppe in der Zeit dt verdrängte Luft- volumen, daher dm sa /(O^-^ zugehörige Luitmasse; versteht man unter
die Geschwindigkeit der Sternschnuppe im Welträume (relativ gegen die Erde), so kann man die augehörige Grenze für m gleich 0 setzen, und es ist
fudu Ag r . A
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«53
Hieraus folgt der Satz: tBei der Bewepnng in einem widerstehenden Mittel wird, wenn keine anderen Kräfte wirken, die Endgeschwindigkeit nicht von dem Ciesetze abhängen, nach welchem die Dichtigkeit sich ändert, sondern nur von der Menge der verdrängten Materie«*). Die verdrängte Luftmasse ist aber, wenn die Sternschnuppe vertical falli, gegeben durch das Gewicht der, der Luftsäule das Gleichgewicht haltenden Quecksilbersäule, und wenn die Sternschnuppe in der Zenithdktaiu Z flUlt, wenn man ibie Bewegung als geradlinig ansieht, in dem VerbUtnisse su Z veigfössettv also
m ^ — - - — St£ iL.
wenn q das spezifische Gewicht des Quecksilbers, und H die Höhe des Baro< meters in dem Punkte ist, welchem die Geschwindigkeit u entspricht; man hat daher
du g Q
—r\ — AHq sec Z— — 4 — ffiee Z,
Sei
*
" I
SO wird für alle Stemschnoppen, die mit der gleichen AnüMgsgeschwindlgkeit
Uq aus dem Welträume in die Atmosphäre treten, dieser Ausdruck eine blosse Function der Erdgeschwindigkeit sein. Wenn für verschiedene Meteore die Geschwindigkeit denselben Werth erreicht hat, so wird der Aasdruck
eine Constante sein; und dann wird:
IT
^QtfisZ
Eine andere Sternschnuppe von dem spezifischen Gewichte Q* und dem Halbmesser p' wird, mit derselben Geschwindigkeit in der Rirhtnng aus dem Weltraum kommend, dieselbe Geschwindigkeit //, erlangen m emer Luftschicht, für welche der Luftdruck durch die Barometerhöhe iV' angegeben ist; dann ist für diese Sternschnuppe
^Q'tMZ'"'
demnach, wenn A' die Dichten derselben sind, da Q : Q' ^ ^i^* ist:
JSr : JSr « p Ä r#f Z : p' A' ^«f iT.
Hieraus folgen die Sätze:
1) Sternschnuppen gleicher Dichte, welche in derselben Richtung aus dem Weltraum kommen, werden dieselbe Geschwindigkeit erreicht haben in Luft- schtchteD, für welche die Barometerhöhen sich verhalten wie die Halbmesser* Für kleinere Sternschnuppen wird also die Geschwindigkeit bereits in höheren Luftregionen (bei kleineren Baromeierhölien) auf denselben Werth reducirt sein; die grösseren werden daher tiefer herabsinken.
S) Bei Sternschnuppen verschiedener Dichtigkeit wird caeteris pofi^ die» sdbe Endgeschwindigkeit in Luftschichten erreicht» für welche die Barometer*
I) ScHiAPAiiB.i.l, »Entwurf einer astronooüschen Theorie der StemschDttppen«! pag. aji.
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«54
Komcteii und McteoM»
höhen sich verhalten wie die Dichten: die dichteren steigen also tiefer hinab. Hieraus folgt die geringe Wahrscheinlichkeit lür das Herabfallen kleiner, wenig dichter Stoffe. Solche können nur dann in tiefere Regionen herabgelangen, wenn sie, durch grosM Meteoistdne gedeckt^ hinter dietea neb bewegen, oder aber erst darch Explosion von grossen Meteoren in geringen Tiefen entstanden nnd. Meteoistaub kann nicht als solcher zur Erde gelangen, da seine Ge* schwindigkeit schon in den obersten Luftschichten ati^esehrt wird; er ver- brennt. Doch ist es immerhin nicht ausgeschlossen, dass in der Luft ver- brannte Staubmassen als Oxyde (Eisenoxyd, Silicate), die sich in der Luft schwebend nicht erhalten könT>en, nach und nach als Meteorablaperungen zur Erde gelangen. Dass auch die verbrannten Meteore Rückstände in den Dämpfen zurücklassen, wird aucli schon von Daubk^^^: cnvähnt.
3) Je grösser cos Z, d. h. je kleiner Z, desto grösser wird H für dieselbe Geschwindigkeit u, d. h. desto tiefer steigen die Meteore in die Atmobpliare herab (ein Übrigens an sich klarer Sats). Ist w Z sehr klein, d. h. bewegt dcb das Meteor nahe in horisontaler Richtung, so wird der Geschwindigkeitsverlust in sehr grossen Hflhm stattfinden.
Die Höhen N^, Jf^, fflr wdche din gegebenes Meteor die Geschwindigkeiten »i, ff, eiTMcht, folgen aus
/^äu Zqg , r udu Zqg
und daraus .
Nun ist f («) fUr die kosmischen Geschwindigkeiten der Meteore sehr gross (es wächst wie die dritte oder vierte Potenx der Geschwindigkeiten), demnach würde das Integral in (8a) nur klein sein gegenüber den Integralen in (8), und daraus folg^ dass die stärkste Verminderung der Geschwindigkeiten in den
oberen, dünneren Theilen der Atmosphäre stattfindet, und dass im unteren Theile der Bahn die Bewegung beinahe unabhängig von der Antan^r^geschwindig- keit der Meteore ist, eine Thatsache, die bereits vt n Bknzf.nb^:rg erkannt wurde.
Die wirkliche Berechnung des Integrales kann nur vorgenommen werden, wenn man das Gesetz <jp (») kennt. Schiaparelu legte der Rechnung die folgen- den beiden, aus ArtUlerieschiessversuchen abgeleiteten Gesetse su Grunde: I. Das Gesetz von Didion:
m
/;
f («) = 0 026 «3 4- 0 0OÜOG6 « 0*026 (l ^
II. Das Gesetz von S. Robbrt:
^ (») -= 0*08874 «» + O-OO00O007a97 = 0*08874 [^1 + (g^)*]
wobei als Einheiten das Meter, die Zeitsecunde, und das Kilogramm j;i:wahii sind. Es ist nun allerdings noch weitaus nicht erwiesen, dass diese, iur mässige terrestrische Geschwindigkeiten geltenden Gesetze euch fUr die kosmischen Ge- schwindigkeiten der Sternschnuppen gelten; legt man jedoch diese Gesetze su Grande, und schreibt
das Gesetz I in der Form ^ (n) « a (1 + « »)»* » » n „ „ „ ^(i#)«ä'(H- so erhält man durch unbestimmte Integration:
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FOr das GeseU l:f^^ -fau^xl.u) =
Für da. Gesetz n : J = f^^^,%,.^,^ = / 1 " 1^^) " Nimmt man daher das Integral swischen den angegebenen Grensen, so wird
Hier sind tdr ^, ^ If das Meter als Einheit, und ebenso g und Q das
spezifische Gewicht, bezogen auf dieselbe Einheit, zu setzen. Da aber die spezifischen Gewichte sich wie die Dichten verhalten, und die Dichte des Queck-
siJbers 18'60» bezogen anf Wasser ist, so kann man ^ = setzen, wenn d
die Diclite des Meteors, bezogen aui Wasser ist. Will man die Quecksilber- böhen statt, wie dieses hier geschehen ist, in Metern, Heber in der flblichen
Weise in Millimetern ausdrucken« so ist ff^ j^^q erhAlt, wenn ttberdiess
von den natttrlichen Logarithmen durch Multiplikation mit dem Modul Af = 0*43429 auf BRiGG*sche Logarithmen übergegangen wird, und die Zahlenwerdie der Co<^denten eingesetzt werden^):
Ar das Gesecz I:
. 400\ , /. 400\ 8 9-805xia'6x0-036x0*43489 .
^^V^i^)-^^V'^t;)''4öö^ *
log 400 == 2-60206 i;i«^0*0011293 = 7 05280,
f&r das Gesetz II:
''(-(^)']-M-(?n-
6 9 805xl3 6x0 G3874x0-43429 ^
4000 ^bkCOiZ
h
Ä>^696 = 2 84261 ÄV^O>0O3ä6ö8 » 7 Ö2702.
ScBiA»AaiLU hmt fttr f inIbllaiKch des Werth 10-5; a«hcr wird- der CoeificieBt iiir dts eiste GcMti ifianadicb 0*0006719; die Tabelle von ScHiAMasixi kann aber wunfttellier
Ikj. behalten wcrrlen, wem statt der von ihm aogcnonineiien Dichte des Meteors 3*5 die D.cl te gleich 2 7( 2 angenooimeD wird. Dasselbe gUt beim sweiten Gescts, für welche» der Co«fficicnt O-00278 wurde.
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156 Komde» und Meistti«.
Aus der Form der linken Seite wird schon klar, wie gering der Einfluss von Uq bei sehr grossen Anfangsgeschwindigkeiten wird; selbst eine Anfangs» geschwindigkeit ^ oo würde an dem Resultate nichts wesentliches ttndein. Beispiebweise möge
»0 — 73000 m; «i » 9000 m angenommen werden. Dann wird fllr das
I. Gesetz II. Gesetz
Ug^l ^ » Atf J S «- 0-07918 Ug [l + (~^)'] = 0*04964
^^(l ^) > 0 00241 log [l H- = 0 00004
V »•J äÖ767=r , y^^^ y 0-04960
log ... . 8-88519 A;^ . ... 869548
705280 7^52702
1. 1 83239 log -5 = = 116846"
für eine aas dem Zenitb fallende Sternschnuppe (Z ■= 0) vom Halbmesser p s 4«si 63 0*04 s» und dem specifiscben Gewichte A » 3*7 wird
r«r Z s 9*08343,
demnach für das erste Gesetz A = 7 34 MilUmd^, fllr das tweite Gesetz A — 1*60 Millimeter.
Für einen Eisenblock (A 7*79) von der Grösse des in Otumpa gefundenen (15000 Jtgr Gewicht) wUide der Halbmesser unter der Voimussetsnng der Kugel' gestalt p B 0*773 lifeter; ittr diesen Fall wire, wenn der Block aus dem Zenith gekommen wire: iog pA <w Z » 0*77916, daher wird die Geschwbid^keit 9000 Meter nach der DmtOM'schen Formel in der Luftschicht vom Lnfldrock 408*9 MM, nach der RoBBRT'schen Formel in jener vom Luftdruck 88*6 mm ge- wesen sein. Der Block wttrde zur Erde gekommen sein, wenn er die kosmische Geschwindigkeit 72000 m gehabt hätte mit der Geschwindigkeit 1008 m (nach der DiDioN'schen Formel) bezw. 5H9 H rn (nach der RoBERx'schen Formel); wenn seine kosmische Geschwindigkeit ItjiKKl m gewesen wäre mit der Geschwindig- keit 944 m (nach der DiDioN schcn Formel) oder 539"0iw (nach der Rorkkt j-chen Formel). Die Wirkung der Erdbewegung wurde dabei näherungäweise berück- sichtigt, indem an Sfedle der wirkUchen komischen Geschwindigkeit die rdative Geschwindigkeit gesetzt wurde.
Der hier auftretende Verlust an leboidiger Kraft ist ein ^ns enormer* Eine Reduction der Geschwindigkeit von 79000 m auf einige hundert Meter wflrde eine Erwärmung von mehreren Millionen Graden sur Folge haben. Dass diese Temperaturen, welchen kein KOrper widerstehen kann, nicht wirklich auf- treten, hat seinen Grund darin, dass der Prozess sich nicht in dieser einfachen Weise abspielt. Zunächst wird vor dem Meteor Luft comprimirt: die hierdurch erzeugte Wärme wird theilweise weggefülhrt, theilweise in Töne, also wieder in lel)endic:e Krnft umgewandelt. f^r^HiAPARELLi findet i), dass die hierbei erzeugten 'i'empcraturen bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 72000 w auf 11000°, bezw. 42500° C. steigen, und bei einer Anfangsgeschwindigkeit von löOOO m auf 2800** bezw. 7050° C., je nacli dem man die DiDioN'sche oder Robert sehe Formel anwendet.
I) L ptg. a J9.
i
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KoncliB md Mdcoic* 157
Um nun auch noch die Bewegung der Erde zu berücksichtigen, möge zunächst vorausgesetzt werden, dass die Geschwindigkeit der Erde nur klein ist; dann hat nan nach (3):
v-uV^"^ üt -^^J
ttnd da* sweitc Glied in (6) wiid: i</(r)9(«)
vV^ S5 )
Es ist aber <?i ^ ^» ^ ^ **** Projection der Geschwindigkeit
der Erdbewegung auf die Richtung der Bewegung des Bleteors. Der Winkel swiscben diesen beiden Richtungen ist gegeben durch den Bogen des grössten Krets«i am Himmel swischen dem Antiapex und dem Radianten. Sind S*» 9* Länge und Breite des Radianten i), / die Länge des Apex, also 180° -h t die Länge des Antiapea^ so ist der Cosinus des Winkels zwischen dem Antiapex und dem Radianten: — €9S ^' ms (S' — /); demnach wird der obige Ausdruck:
^/Wn«)«[l - i ^ [1 - ^^^^ ^^s* («' - Ol] . (8a) Sei xweiteot > so wird
~^ g\} G^ y
Setst man wieder
so wird
V
daher
?- ^ [' + ^ (»"-fl +♦ ^ •
4fir) ^ c.^^ ^) - [1 - ^^^^
Der Fall (a) tritt ein bei den aus der Nähe des Apex kommenden Meteoren, der Fall (b) bei den aus der Nähe des Antiapex kommenden; u kann nur nahe
^ Und mar des lehdabtictt Radianten.
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15S Kometsn mid Httect«.
gleich G werden, wenn die Bewegung:>nchtungen nalie auf einander senkrecht stehen; dann kann man aber
setaen und erbüt 9* la + und das letzte Glied in GleSdiung (6) wird Man erhält daher flir die drei Fälle die Resultate» wenn man an Stelle des
/uäu fÖÖ ******
^ ^ ^9c)
Die weitere Behandlung dieser Integrale, welche übrigens, wie man leicht nebt, keinen theoretischen Schwierigkeiten unterliegt, wttfde an dieser Stelle zu weit Ähren. Als Resultat mag jedocb bervorgdioben werden, dass die frfiber erhaltenen Resultate eine sehr wesentliche Modifikation erleiden, und dass man au dem Schlüsse kommt; dass ftlr die kosmischen Geschwindigkeiten weder die DlDlOW'sche noch die RoBERT'scbe Formel das Widerstandsgesetz darstellen. Dass aber durch diese Nftherungsformeln die analytische Behandlung des Problems durchaus nicht erschöpft ist, aieht man sofort an der Form der er baltenen Näherungen.
V. Die scheinbare Vertheilung der Meteore nach Zeit und Raum.
Ueber die Vertheilung der Meteore im WeUraum können wir natürlich nur Schlüsse ziehen aus der Vertbeüun? der Meteorerscheinungen, wie sie sich uns direkt darbieten. In dieser Beziehung hat man die Häufigkeit und die Richtung der Meteore zu untersuchen.
Meteore sieht man in allen Naclitstunden, des Sommers und des Winters, aber sie erscheinen nicht gleich häufig. Die grösste Zahl der Sternschnuppen erscheint in den Morgenstunden, worauf bei der lostmction Ulr Beobachter besonders Rflcksicht genommen werden sollte, da die meisten Beobachter nur in der ersten Hfllfte der Nacht beobachten, und dann das Wachen aufgeben; und die meisten Sternschnuppen erscheinen in der zweiten Hälfte des Jahres^). Die Meteore erscheinen in allen möglichen Richtungen, ab«r dodi sind gewisse Richtungen vorherrschend; endlich scheinen viele Meteore aus einem und dem- selben Punkte al1s^>!str;)hten, als wenn sie hier entstehen und sich dann vondem> selben entfernen würden.
Man hatte nicht so bald begonnen, sich mit den Sternschnuppen zu be- schäftigen, S9 mussten diese Erscheinungen auch auflallen; sie bildeten antang- lich ebensoviele Einwände gegen den kosmischen Ursprung der Meteore, und hauptsächlich CouLfm-GitAViBii sog aus ihnen Argumente filr den terrestrischen
■) Jedoch aar für die Beobaehtniigtoxte sof der nttnDicbeD Halbkogd.
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Koncten uiid Meteore.
'$9
Ursprung*): vorherrschende Windrichtung, Zeilen der Bewölkung, der elektri* sehen Erscheinungen, u. s. w. Aber so wie bei dem CopEKMCANi'schen Systeme alle anfanglich gegen dasselbe geltend gemachten Argumente schliesslich nur dazu dienten, dasselbe zu bestätigen, so auch hier: alle diese Erscheinungen sind die noUiwendige Folge des kotinfadM» Ursprungs, wenn man auf die Erd- bewegung Rttcksicht nimmt.
Das Gesetz der stflndlichen Variation der>SternschnuppeD wurde soerst von HnwCK 1858 erkannt. Chladni untersuchte swar bereits 1819 die stQndliche Häufigkeit der Meteore; das ihm vorliegende Beobachtungsmaterial erstreckte sich natürlich nur auf die Meteorstcinfalle und Feuerkugeln. Unter den seit 853 bis 1818 beobachteten Meteoren findet er
swischen 18 18 0 6 12 Uhr
18 16 37 11 bis 12 Fälle.
Dass auf die Nachtstunden eine geringere Anzahl entfällt, erklärt er damit, dass wahrend dieser Zeit weniger \fen<!chen im Freien «;ind, und schliesst, dass ein Einfluss der Zeit sich hierin nicht kundgiel t !5c :uglich der Vertheilung der Detonationen und Meteoritenfälle nach den Tagesstunden meint auch Schmidt*), dass eine sie darstellende Curvc in Zukunft darthun werde, dass sie .»weniger die Variation jener Phänomene, sondern weit mehr die mittlere Gewohnheit der Lebensweise der Menschen repdUentirt, von denen verschwindend wenige in den Nachtstunden beobachten, wfthrend welcher die halbe Bevölkerung der Erde achlAftc
BesOglich der Vertheilnng nach Jahresseiten findet Crladmi:
im Jfan. Febr. Mirz April Mu Juni
die Zahl d. StemschnnppenftUe: 7 8 18 9—10 18 8—9
die Zahl der Feuerkugeln: 84 81 81 18 17 8
Juli August Sept. Oct Nov. Des.
die Zahl d. Stemschnuppenftlle: 9—11 9—10 8 10 7 7
die Zahl der Feuerkugeln: 81 87 30 23 27 23
wo die in einzelnen Monaten auftretenden Doppelzahlen daher rühren, dass sich die Fallzeiten nicht genauer ermitteln Hessen. Auch hier schliesst Chlapni, dass sich ein Einfluss der Jahreszeiten nicht bemerkbar macht.
Coülvier-Gravier in Paris hatte auf diese Veränderlichlceit em besonderes Augenmerk gerichtet, und wenn auch seine Erklärungen, nach welcher die Meteore in der Atmosphäre entstehen, längst veraltet sind, so verdankt man ihm doch ein werth volles Beobachtungsmaterial. Er fand aus 12jährigen Beob- achtungen fdr die durchschnitüiche Anzahl der Sternschnuppen in den einselnea Nachtstunden die in der folgenden Tabelle eingetragenen Zahlen. Schmidt giebt 1869 die Resultate der Zählungen während eines Zeitraumes von 87 Jahren, während welcher 1346 Beobachtungstunden waren, in welche nch Schiodt mit einigen Gehilfen theilte. Ersterer beobachtete zusammen 1637, die letzteren 1594 Sternschnuppen; die Resultate sind in der zweiten Columne der folgenden Tabelle eingetragen; als Mittel fttr die stündliche Anzahl findet er dabei 11'63>
1) HmaoiDT sehrieb t8so im Konaott »Et ist schwer, die Ursadi« einer soIclieD stündlichen Variation, «faMn BinfloM des Abstandet vom BCitleimdiispuiikte m enairn«.
(Cotta 'sehe Auisgabe, 3. Band, pag. 439).
•) »AstTon. Beobachtungen Uber Meteorhahnen», pag. 54.
*) Doch sind dabei die periodischen Novembenneteore ausgeschlosften. HAiDWCSa (Sitsaicsbaidite der Wiener Aosdemie, Bd. 55, pag. 131 und 187) venächt« eine AUiln^kcit
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KttnclCB und Mcteoi«.
ist die mittlere stündliche Aiixabl
nach CooLViER- nach Schmidt
10-7 14 07
13'1 16-32 16-8 1791 156 18-21 18-8 18*75 13*7 14*9) 18-0 —
Die jihrlicbe Viuiaticm wurde soent 1838 toii Baandes bemeikt; er fimd, dus die Zahl der Sternschnuppen im Herbste grösser sei. Von den späteren Beob* achtungen sind in der folgenden Tabelle die stündliche Anzahl der Meteore aus 15jährigen Beobachtungen von Wolf enthalten; Schmidt giebt in seinen »Resul- taten* aus den von ihm in der Zeit 1842 bis 1852 beobachtefcn Sternschnuppen die mittlere Anzahl der in einem Jahre gesehenen Sternschnuppen 470^), davon entfallen auf die einzelnen Monate die in der zweiten Columne eingetragenen Zahlen; die durchschnittliche Anzahl der Beobachtungsnächte, welche einen BiMutHtab für die Gttte der AtmoBpblre in den dnninen Monaten giebt, ist in der dritten Columne eingetragen. Mit Rücksicht darauf, daas die grossere Ansabl der Meteore der grösseren Zahl der Beobacbtungsnttchte entspringt, lüast sich hieraus kein sicherer Schluss auf die Häufigkeit der Sternschnuppen stehen, da das Ansteigen der Zahlen ebensowohl als eine Folge der häufigeren Beobachtungen angesehen werden kann; doch ist die grössere Häufigkeit der auf eine Nacht entfallenden Meteore auch aus dieser Tabelle ersichtUch.
|
Wolf aus 1*2- jlhrige&Beob- aehtangen stUntil.Aniahl der Meteore |
SCHMIIJT , , , V, Idurdiscluiitt- (lurchscnnitt-' , , 4 II liebe Ansabl der Meteore n^"^^^'" 1 titiig»nttcbte |
QUKlKXJiT Zah]d.NScbt. ni. ausseror- ilentl. ^Tosscr Zahl V. Stcrn- acbnappen |
.SCHN Zusammenst« beobachteten penbahnen ZusammcQ |
III>T .■Uung aller Stcrnscbni^' ^■j bis t868 Schmidt aUciQ |
||
|
Januar |
5-5 ' 17 |
7 |
n |
93 |
15 |
|
|
Febrtwp |
5-4 |
5 |
4 |
12 |
Ar, |
8 |
|
MäT£ |
n |
6 |
14 |
7 |
||
|
Apiü |
4-6 |
11 |
6 |
19 |
76 |
16 |
|
Mal |
41 |
18 |
9 |
7 |
60 |
15 |
|
Jiial |
6*4 |
14 |
8 |
8 |
66 |
88 |
|
Juli |
9-8 |
45 |
10 |
14 |
484 |
soo |
|
August |
12-9 |
188 |
16 |
68 |
1531 |
612 |
|
September |
7-4 |
38 |
1 12 |
13 |
329 |
157 |
|
Octob«r |
6-4 |
37 |
10 |
9» |
686 |
266 |
|
Kfovcnber |
6-0 |
69 |
10 |
87 |
1184 |
178 |
|
Deccmber |
4-1 |
99 |
8 |
17 |
871 |
98 |
der MeteoritenfiUle aiekt iroB der Ortsacil, sondern von der Zrit ttbciltaiiiit m conslatircB, tmd lodncine au dkiciii Zwedie alle FalltciteD auf Gteenwicher Zeit Daduieh aber gdangle er nur
zu dem Resultate, dass die Häufigkeit der Nachmittagsi^e verscbwindet, indem ja «was fUr einen Ort NachmitUg ist, fOr einen iin IHC verMbiedeneo Voimitlag uL9 Hien« bedarf «8 allerdings keiner umsthndlichcn Reductioncn.
') Die periodiscben Novembermeteore ebeofalU ausgeachlosaen.
^ BcolMdrtete Coovdilwlai dce Aahagt- and Bndpnaktea.
In der Zeit ist die mittlere stündliche Antahl in der Zeit
swischen oadi Cotaviu- nacb Schmidt awiscben
^ 75 417
6 13
J (5-5 5*33 "
68 667 \l
10 rn 17
11 18
12 S
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Kometen und Meteore.
161
Aas Quetelet's Katalog tob Meteoiencfaeinimgen leit 1800 vor Chr. Geb. ergtebt «cb überdiess
fUr die Zeit Januar bis Juni Juli bis December
Die Zahl der Meteorsteinfälle 186 S16
Die Zahl der Feuerkugeln 553 843
Nach den von ihm in der vorigen iabelle mitgetheilten Beobachttin f^cn ent- fallen auf das erste Halbjahr 69, auf das zweite 178 Nächte mit besonders grosser Zahl von Sternschnuppen; doch giebt dieses auch nur mehr ein allgemeines Bild über die VertheiUing der Meteore. Emc die stündliclie und jährliche Ver- tbeiluog berücksichtigende Zutammenstellung giebt Schmidt in den Astron. Nach- richten, Bd. 88, pag. 321. An den Beobachtungen hatten sidi nebst Schmidt noch vier Beobachter: IV (Wuioisch), Ck (Cüantzidakis), IV* und G betheiligt Es beobachteten gleichseitig:
5 222d Meteore und IV 2606
277 „ „ C/i 321 1399 „ „ 1326 1101 „ „ G 755 S 5002 „ „ — 5UU8 wurde die stündliche Häufigkeit der Meteore für jede volle Stunde abgeleitet, wo also 2. 13. die Zeit 12''' als die Stunde zwischen 11* 30'" und 12*30« anzusehen ist: es folgt*) für die stündliche Hautigkeit der Meteore.
in 136 Stunden« 29 100
51
Zusammen 316 Aus den Beobachtunget>
n
|
6*0 |
7*0 |
8*-0 |
9*0 |
10*0 |
11*0 |
r2*-o |
13*0 |
14*0 |
15*0 |
l6*-0 |
||
|
Janaar |
7-0 |
3-7 |
3-4 |
4-7 |
51 |
9-0 |
4-i |
6-5 |
14 2 |
11-3 |
11-5 |
|
|
Februar |
2-6 |
81 |
3-6 |
4-7 |
4-0 |
5-2 |
7-8 |
91 |
6-6 |
10-2 |
7-0 |
|
|
Min |
4-0 |
41 |
51 |
51 |
45 |
7-6 |
70 |
90 |
6-0 |
7-7 |
||
|
AiMil |
4-7 |
4*4 |
5-9 |
6-5 |
91 |
8-8 |
8^2 |
6*8 |
8-3 |
|||
|
Mai |
4-4 |
51 |
6-8 |
6-9 |
7-2 |
7-7 |
80 |
|||||
|
Juni |
50 |
68 |
6-8 |
6-8 |
6-4 |
7-8 |
8-3 |
|||||
|
Juli |
81 |
8-8 |
12-1 |
18-4 |
12-4 |
160 |
19-1 |
^30 |
||||
|
Aaguit |
12-7 |
14-5 |
17-9 |
251 |
32- 1 |
37-3 |
24 ö |
26-3 |
||||
|
Sc|iteiDl>> |
6-2 |
5-6 |
7-9 |
8-9 |
11-2 |
9-0 |
10-4 |
18*0 |
12-2 |
10- 1 |
||
|
Odober |
6-3 |
7-3 |
87 |
9-9 |
12-3 |
13-8 |
20-0 |
25-0 |
17-8 |
290 |
29*8 |
|
|
HoffCBab. |
5-5 |
6-5 |
90 |
10-4 |
10-6 |
12- 1 |
14-8 |
18- 1 |
189 |
17-9 |
14-4 |
21-5 |
|
Dcocmb. |
6-0 |
«•2 |
7-7 |
11-4 |
ii-O |
11-2 |
lJ-6 |
17-7 |
18-9 |
10-4 |
15-6 |
Die Zahlen dieser Tabelle wurden nun graphisch ausgeglichen, und diejenige Zeit T' gesucbt, für welche die sich hieraus ergebenden Monatsmittel m geilen; das Maximum eigiebt sich fttr die einzelnen Monate.su den Zeiten T,
Es folgt:
in den Monaten Januar Februar März
die stündl. Häufigkeit z = 8 62 5-62 den Zeiten T* « 1 1* 05 11^ 60
7U
Zeil des Maximums 7*» 15-10
in den Monaien Juli die stündl. Häufigkeit s= 11 13 SU den Zeiten 7"«siiM5 Zeit des Masamums —
15-75 August
20 60 10«-80
14-60
6-47 ll*-55 14-60
Septb.
9-81 10*76 14*60
April 6-40
KV' -60
13- 75
Octob.
14- 15 12*-30
Mai
605 11^-15 14-60 Nov. 13-29 ll**7ö 15*25
Juni 6-12
10''-53 14-75
Dec. 12*16 10**40 14*75
im Jahre 10-03
11*60 14*80
Dil- ptriodischen Novembcrmeteore ebenfalls ausgeschlossen. ifjüJomKMMt AjtnNKnaic iL
II
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t69
KoOMten und MetMie.
Als Jahresmittel ergiebt sich die atüodliche Häufigkeit < = 10 in der Stunde iwischen 11 und 12 Uhr; wollle man also die BeobaclAungen abkür^en, und nur die Mittel werthe aus den Beobachtungen direkt erhalten, so würde es genügen, die Beobachtungen m der Stunde zwischen 11 Uhr und 12 Uhr Nachts vorzu- nehmen. SuiMiDT gelangt zu den loigenden Schlüssen:
1) Die mittlere stündliche Häufigkeit der Meteore illr einen Beobecbter ist
im Jahre 2 = 10.
2) Das mittlere Maximum der Häufigkeit tntit auf 15 Uhr
3) Die Epoche des jedesmaligen (täglichen) Mittelwerthes von 9 ist 11^ Uhr Nachts.
4) Das allgemeine Minimum fallt in den Februar, das Maximum in den August, wobei die grossen Noveniberströme ausser Betracht blieben.
5) Vom Januar bis Anfang Juli ändert sich z nur wenig und erreicht im Mittel nicht 7; dann erfolgt die rasche Zunahme mit bedeutenden Maximis im Juli und August. Der September zeigt allgemeine Abnabme, und in den drei folgenden MoiMien wächst s wieder zum doppelten Betrage des < im ersten Halbjahre.
Es muss jedoch darauf hingewiesen werden, dass der Scbluss No* S oicbt mit voller Sicherheit gezogen werden kann. Vergleicht man die Tabelle, so findet man zunächst im Juli und October innerhalb der Beobachtungszeiten ein fort» währendes Ansteigen: fttr T ergiebt sich das Maximum erst später. Auch im November ist das Ansteigen gegen 17^ ziemlich gut angedeutet, wenn dem Ab« falle gegen 16^ kein besonderes Gewicht beigelegt wird. Erwttnscht wären jeden- falls noch Beobachtungen aus den späteren Morgenstunden, nur müssten dieselben mit den übrigen Beobachtunj'cn eine homogene Serie bilden, also auch die dtirch die Dämmerung bewirkte \ crminderung der Anzahl berücksichtigt wird.
Dass die Meteore vom 13. und 27. November ausgeschlossen wurden, hat seinen Grunrl darin, dass die Häufigkeit der Meteore an diesen beiden Tagen unvcrhaiinissniassig gross ist. Die Maximalwer the für die stündliche Anzaiil waren für die einzelnen Monate'):
Im Januar: am a: 29 Im August: am 10: 136 Im November: am 37: 2777 Februar! nm ^: 18 „ „ am 11: 81 „ „ am 13: 2052 März; am 7: 30 „ „ am 9: 65 „ „ am xa: 120 April: am 27: 20 „ Septemb.; am 3: 28 „ „ am 7: 46 Mai: am 6: 35 „ October: am 16: 81 „ December: am 6: 120 Juni: am 30: 24 „ „ am 15: 80 „ „ am 7: 82 Juli: am 31: 56 „ „ am 14: 64
r)as<^ die Sternschnuppen nicht aus allen Richtungen mit gleicher Häufigkeit kommen, hntte schon Bp.ANnFs heobarbtet*). Die Richtungen, nach welchen sich die Meteore zu bewegen scheinen, waren iUr 34 von ihm beobachtete Meteore in den folgenden Oktanten
nacbd.Richtungawiscben 36<' 71<* 116'' ItV 206** Sdl*" S96'' UV* Se"* Aamutfa schjenen sich so bewegen 94 6S — 38 7
<) Dfafl« Mutiinalv^tlie wurden iiMlIrUdi nidit jcdei Jahr, aondem nur in cfac« der
36 Bcobachtungsjahre gefunden.
^) Ar AGG hatte in leinen bereits enrähntcD Inttniktionen (CompL rcn4 Bd. I, psg. 391) auch auf diese Thatsache hingewiesen.
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ICoBctw und McteoMi
CouLTiER-GiumER giebt die folgenden Zahlen:
Aus der Richtung zwiacheni) 202" 247" 292*» 337° 22" Anmutb schienen zu kommeo 246 293 268
Aus der Richtung zwischen 22* 67° 112° 157* 202° Aamuth schienen tu kommen 88 87 90 198
H. A. Newton giebt ZttoammenBteUuDgen für die Zahl der Meteore, welche m dcD einzelnen Azimuthen zu sehen waren (also nicht Richtungen); die Vcrtbeiliuig war eine ziemlich gieichinässige, mit einem kleinen Ueberschuss in Südost.
Branhes gab auch schon die rirhHpe FTklaninnr; DJe meisten Sternschnuppen müssen entgegengesetzt der BewegungsnchtunR der Krde zu kommen sclieinen: die meisten Sternschnuppen kommen aus dem Apex; denn wenn sie kosmischen Ursprungs sind, und sich Sternschnuppen aus allen Richtungen gleichmässig gegen die Erde zu bewegen, so wird diese Vertheilung auf der Krde nur dann gleichmSisig eneheinen, wenn die Eide robend ist; sobald sich aber die Erde gegen einen gewissen Punkt hin bewegt^ so werden die hinler der Erde kommen- den xurQckbleiben, einselne, deren Geschwindigkeit kleiner ist» wie diejenige der Erde* weiden diese gar nicht erreichen, wflhrend vor der Erde nicht nur die* jenigen aor Erde (in die Atmosphäre) gelangen, deren Bewegung gegen die Erde zu gerichtet ist, sondern auch andere, welche sich mit kleinerer Geschwindigkeit als die Erde in derselben Richtung bewep:en, welche also gleichsam von der Erde eingeholt werden. Nun findet Brandes, dass die Bewegungsrichtung der Erde im Mittel gegen das Azimuth 228° 10' gerichtet ist'); aus dieser Richtung nuiss also die Mehrzahl der Meteore zu konunen scheinen; d. h. ihre Bewegungsrichtung muss gegen das um 180° verschiedene Aztmuth 48° 10' gerichtet sein, was sich ancb aus seinen Zahlen ergiebt
Diese Idee von Bramdbs wurde in sehr glflcklicher Weise von Bompas 1856 av EiUlnmg der stündlichen Verlnderung in der Ansahl der Meteore und des Mp""""— der HAufigkeit denelben in den Morgenstunden hetaagesogen^ und acht Jahre ^ter von A. S. Hskscbkl zur ErkUbmng der jihrlicben Ver inderung*).
Die Richtung gegen welche sich die Erde bewegt ist immer um 90° von der Sonne entfernt, gegen diese zurück. Wendet mr\n sich also mit dem Gesichte gegen die Sonne, so hat man den Apex zur rechten Hand in yo Entfernung (vergl. Fig. 256) in der Ekliptik. Vernachlässigt man zunächst die Schiefe der Ekliptik, und nimmt die Bewegung der Erde im Aequator an, so kann auch der Apex als im Aequator gelegen angenommen werden. Am Abend, wenn die Sonne im Westen untergeht, ist also der Apex im Norden in seiner unteren Oilmination (uBicr dem Boriaonte)» es ist »meteorische Mitternacht«. Um Mittemacht, wenn die Sonne in ihrer nuMmi Colminalion ist, geht der Apex auf, es ist »meteorischer Uiesgen«. Des Moigcna ist der Apex in semer grOssten Höhe, es ist »meteorischer
Hier find also die Aiimuthe um 180** verschieden gegen Brandes.
>) Dabei ist die Beobachtungszeit also iwischen Abend und Mitternacht vorausgesetzt, wihrend welcher Zeit der Apex von der unteren Culmination (Azimuth 180°) zum Aufgangs- ponkt (Azimuth 810 steigt E» iM mcikwlird%, dsBi Biandu i&tat Idee aidit irater rv folgte; lUMe er dicMt gcdum, to UUte et nodnieiidJg «of du Muiamm der Häufigkeit in den MmguMtiinden geführt werden nOeteB. Bd Osolwil-Gravier flUlt da« Murinum auf g70* «ie dieses der Fall sein muss, wenn die Bcobnchtungcn Qber die gense Niehl TeithcUt siadi
*) «Monthly Notices of the R. Astr. Soc«, Bd. 17, pag. 148.
*) «Montbly Noticcs of the K. Astr. boc.t, Bd. 24, pag. 133.
II»
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Kometen und Jicteoi«.
Mittage, und wenn die Sonne in ihrer oberen Culmination ist, ist der Apex im UntCTgehen begriffen, es ist »meteorischer Abende i). Nun kommen aber die Sternschnuppen am zahlreichsten aus jener Halbkugel, in welcher der Apex sich befindet; von dieser Halbkugel ist zur Zeit des fineteorisdien Mittags«, also bei Sonnenaufgang, der grösste Theil Uber dem Horizonte, ttnd zur Zeit där >meteori«chen Mitternächte, bei Sonnenuntergang der grösste Thdil unter dem Horizonte, zur Zeit der oberen nnd unteren Culmination der Sonne gerade zur HMIfte aber dem Horizonte, und zwar um Mittemadit auf der Ostzeite. Daiauz folg^ dazz daz Maximum der Häufigkeit der Sternschnuppen um 6 Uhr Morgens eintreten müszte. Nach den übereinstimmenden Angaben aller Beobachter tritt aber das Maximum n\chf um diese Zeit, sondern etwa 5 Stunden früher ein; diese K.rscheinung ist zur Zeit noch nicht genügend erklärt.
Die Häufigkeit der Meteore ergiebt sich hier als eine Function der Zenith- distanz des Apex; je höher der Apex (Iber den Horizont steigt, desto grösser wird die Menge der sichtbaren Sternschnuppen. In Folge des Umstandes nun, dazz der Apex zieh nicht im Aequator bewegt, wird er in verschiedenen Jahres- Zeiten vetzchiedene Höhen erreichen. Am ai. Juni, wenn die Sonne m der Ekliptik am höchzten zteht, izt der Apex um 90° zurttck, im Frtthlingqmnkt, es wird alzo Mitte dez »meteorizchen Ftühlingzc ; am a$» September zteht der Apex am höchsten; seine Deklination ist gleich der Schiefe der Ekliptik, also H-S8°S7', er erreicht die grösstmögliche Höhe, es ist also Mitte des »meteorischen Sommersc ; am 2 2. December ist der Apex im Herbstäquinoktium, es ist Mitte des »meteori- schen Herbstesc und am si März, wenn der Apex die Deklination — 23*^27' hat, ist Mi'tc des »roeteoriscl cii W inters«. Die grösste Höhe, welche der Apex erreichen kann, ist am 23. September, morgens 6*; dann ist seine Höhe für die Breite von Mitteleuropa ungefähr 70°; am 21. März wird seine grösste Höhe nur ungeföhr 23"; während der ganzen zweiten Hälfte des Jahres steht daher der Apex auf der nördlichen Halbkugel höher, wihrend der erzten HlUte dea Jabrez tiefer; daher der grössere Reidithum an Stemacbnui^pen In der swdtcn Hälfte dez Jahrez>).
Um daz Verhtfltnizz der Zahlen durch Rechnung zu beztimmcn, hat man su beachten, dasz durch die Bewegung der Eide die Richtung, auz wefefaer eine
Sternschnuppe kommt, geändert erzcfaeittt; es ist dies eine dem Aberrationsphänomen all tili che Erscheinung. Ist £ (Fig. 265) der Ort der Erde, EA die Richtung nach dem Apex, £a die Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn, Sjt^ die Richtung der Bewegung der StcfAZChnuppe, ihre Geschwindigkeit, zo giebt die Diagonale dez auz s£, a£ construirten Paralellogrammz S'S die acbcin- bare Richtung und Gezchwindigfceit dez Meteores. Die Richtung ES bestimmt nun den Radianten, und es ist daher SEArst^ die Elongation des wahren Radianten vom Apex. Da die Sternschnuppe
') Die meteorischen Tageszeiten folgen der Sonnenzelt, wdl die tZf^idie Bewegung dei
Apex entgegengesetzt der jührlichcn Bewegung der Erde in ihrer Bahn ist.
Coulvu^r.Gravikr brachte diese Uttufigkeit in Benehung zur Lage des Pcrihels der ErdtwhD.
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Kometen und Heteof««
am der Richtnng S^E tn kommeii seheint, so wird die dnrch d«e Aage ge* legte paiaUde Gfade die Himmelskiigel in der Richtung treffen; diese Richtung bestimmt den scheinbaren Radianten, S^BA^s^ ist ihre Elongation vom Apex. Durch die Erdbewegung werden also die Radianten aller Stern« schnnppen dem Apex genähert
Die scheinbare Eloogation vom Apex ^ länt steh aus der wahren 9 und den Geschwindigkeiten £a = G und t£^v der Erde und der Sternschnuppe einlach berechnen; es ist:
V sin <p
Umgekehlt erhält man aus der beobachteten Elongation ^ diejenige f aus
der Formel _
(f * ^) » - sm f
Allein diese Formeln sind nur verwciidbar, wenn die walue Geschwindigkeit F bekannt ist; die aus den Beobaditungen gefolgerte ist aber nicht die kos« mische v, sondern die durch die Erdbewegung veribiderte denn indem die Erde ach in Folge ihrer Bewegung dem Meteore en^egen, oder von ihm weg* bewegt» werden atfs den durch die Beobachtungen erhaltenen Erscheinungen nur die relativen Geschwindigkeiten erhalten. Man erhält aber aus dem wahren Radianten und der wahren Geschwindigkeit den scheinberen Radianten und die scheinbare Geschwindigkeit durch
tang <if
oder
Uq sin 4* = 9 xüi 9
«0 ^^S'^ = ^ cos 4»
G -k- V cost^ «— + ^Gv cos f
imd aus den beobachteten Radianten und der beobachteten Gescbwindigkett die wahren Grössen durch die F<»meln:
oder
V sin 1^ = Uq sin <|» vcosff = c&s ^ — G.
u^CPS^ — G
Ist aber der scheinbare Radiant beobachtet, wlhrend man Aber die wahre kosmische Gesehwindigkeit dne Annahme su machen in der Lage ist, so sind p und f gegeben, und man erhält f und p aus den Formeln
G
sin 0
Eine Unbestimmtheit bleibt ftlr 9 = 0 und 180°, da u in der Form f auftritt, in diesem Falle wird aber
Denkt man sich aus allen Punkten der Himmelskugel Sternschnuppen kommend gegen den Mittelpunkt einer Kugel, in welcher sich der Beobachter befinden soll; sei OD (Fig. S66) die Richtung nach dem
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i66
Kometen und Meteore.
Apex. Eine Stenucbnuppe, die cur selben Zeit von C ausgebl;, su welcher der
Beobachter von A ausging, trifft diesen in O, wenn CO die Geschwindigkeit der Sternschnuppe und AO die Geschwindigkeit des Beobachters ist. Ist AB der Horizont des Beobachters, so wird eine von B nach O gehende Sternschnuppe in allen Punkten ihrer Bahn im Horizonte BA bleiben, der sich mit derselben Geschwindigkeit in der Richtung bewegt, so dass der Beobachter und die Sternschnuppe B gleichzeitig in O ankommen. Von allen Sternschnuppen, die sich mit derselben Geschwindigkeit CO gegen O hin bewegen, werden daher alle ttber dem Horizonte ߣ befindlichen sachtbar, und übor dem als rahend gedachten Horizonte £*£* erscheinen; umgekehrt: wenn der Apex D unter dem Horizonte ist, so bleiben alle aus dem KugeltheUe BDE kommenden Stern- schnuppen unter dem Horizont, weil sie mit diesem gleichzeitig nach O rttcken und nur diejenigen werden über dem Horizonte sichtbar, welche aus dem kleinen Rugeltheile BJßF kommen. Die Zahl der sichtbaren Sternschnuppen wird also von der Lage von AD gegen BE, d. i. von der Höhe des Apex abhängig sein.
Denkt man sich die Sternschnuppen itn Raum gleichmässig vertheilt, so werden aus gleichen übcrflächentheilen der Kugel BDE auch eine gleiche Anzahl Sternschnuppen fallen; die Zahl der aus irgend einem Kugeltheile, d. i. in irgend einer Richtung fallenden Sternschnuppen ist daher der Oberfläche dieses Theiles proportional. Die Oberfläche der Calotte BDE ist aber
IR-K 'GH =1RTi{R 4- OAcost),
wenn z die Zeniihdistanz des Apex ist. Ist demnach N die Gesammtzahl der Sternschnuppen, n die Zahl der über dem Horizont sichtbaren, so ist
N=K'iRft\ n = Ä - 2RviR -i- OAcos»),
wo AT ein Proportionalitätsfaktor ist, hieraus:
Da nun OAtRmtGiv so ist
Wttrde G^O sein, so wäre stets n s= d. h. es würden immer die Hälfte aller Stemacbnuppen sichtbar sein; der Faktor
wenn // = 90" — z die Höhe des Apex über dem Horizonte bedenfet, stellt daher den Vergrösserungsfaktor der sichtbaren Stemscbnuppenzahl dar; es ist für » = ^2 :
|
lfm, 0° |
F^ 1-000 |
//= 0" |
F^ 1000 |
|
-hlO |
1123 |
— 10 |
0-877 |
|
+ 20 |
1-242 |
— 20 |
0-758 |
|
+ 30 |
1-354 |
— 30 |
0-64G |
|
+ 40 |
1455 |
-40 |
0-545 |
|
+ 50 |
1-548 |
— 50 |
0*458 |
|
+ 60 |
1-613 |
-60 |
0-887 |
|
+ 70 |
1'6€5 |
— 70 |
0*385 |
|
+ 60 |
1-697 |
— 80 |
0-303 |
|
+ 90 |
1-707 |
— 90 |
0-998 |
i^iyui^co Uy Google
Um die Höhe des Apex zu finden, hat man zunächst seine Rectascentian
und Deklination zu berechnen (vergl. pacf. 128) und dann wird, wenn B die geo- graphische Breite des Beobnchtungsortcs, 8 die Stemaceit der Beobachtung, also B — a der Stundenwinkel des Apex ist;
tmH^ sm Bünd •\' m B tos icos (6 — a).
Die grosste Zahl der Sternschnuppen würde man, abgesehen von der durch die Helligkeit der aufgehenden Sonne stattfindenden Störung, sehen, wenn der Apex im Zenilh ist, die geringste Anzahl, wenn er im Nadir ist. Im cibien Falle ist ^ — 90**, im lebeten Falle —90''; und es wird sich die Zahl der sichtbaren Stermtchnnppen in beiden Fttllen verhalten, wie
(l + I) : (1 - = (t; + C!).
Würe 9 < (r, so würde man keine Sternschnuppe sehen können, wenn der Apex im Nadir ist; flir 9 |/s wftre das Verhältniss
(VTh- I) : (V^ — 1) » 3-4U8 : 0*4U3 = 5*8884.
In der folgenden Tabelle giebt der erste Theil die wahre Elongation f vom Apex mit dem Argumente: beobachtete scheinbare Eloiigatbn <|> ftlr die Geschwindigkeitea v ■> y2*2, "^S • 1, i/S • 0, ^1 • 9, "/l «8 entsprechend den hyperbolischen Bahnen mit den Halbaxen 5, 10^ der Parabel and den Ellipsen mit den Halbaxen 10 und 5; der »weite Theil giebt für dieselben Annahmen die kosmischen relativen (nicht von der Erdaltraction affiditen) Geschwindigkeitea die zweite Tafel giebt mit dem Argumente die verftnderte Geschwindigkeit u und den Werth ^, der später eiklflrt whd.
|
V = |
V — |
V = |
1 |
Tß = |
||||||
|
|
VVlG |
VV9G |
yT^G |
yidG |
||||||
|
Werthe ftlr |
9 |
Werthe ftii |
||||||||
|
«•O'-Ol |
<r o'<J |
^•O'-fl |
0" O' O |
0" O'-O |
2-4882 |
8-4491 |
8*414^ |
8-3784 |
»8418 |
|
|
•1 |
ff 48<4 |
\%mt%\ |
17 8-8 |
17 14-3 |
17 S6-2 |
2-4579 |
2*4884 |
8-8888 |
8*3588 |
9-8158 |
|
SO |
88 19-9 1 |
83 89- 1 |
88 69-7 |
84 3f-0 |
84 46-2 |
2-8835 |
2-8479 |
■2-3118 |
2-2750 |
8-8870 |
|
30 |
49 42-0 |
50 H O |
50 4S-8 |
51 161 |
5! 52-9 |
2-2625 |
i-8261 |
2-1888 |
8- 1505 |
21110 |
|
40| |
65 40^ |
66 19-9 |
67 9-1 |
67 47 8 |
68 37-7 |
2- 1028 |
2-0648 |
20257 |
1-9854 |
1-9487 |
|
50 |
81 67 |
Öl 54-6 |
82 47-9 |
88 45 8 |
84 49- 1 |
1-9129 |
1-8729 |
1 8815 |
1-7887 |
1*7448 |
|
eo |
»8 48^ |
98 48K) |
87 4&'7 |
88 88^ |
100 18 2 |
1-7042 |
1-6619 |
1-6180 |
1-5784 |
1*5847 |
|
70 |
100 18-7 |
HO S5'6 |
III 88-6 |
IIS 88« |
114 87 7 |
1-4896 |
1-4452 |
1-8988 |
1-8504 |
1-2996 |
|
80 |
121 SCI |
\n 48-6 |
124 8-2 |
125 35-9 |
127 13-G |
1-2828 |
1-2367 |
1188G |
1-1381 |
1-0847 |
|
90 |
182 23-7 |
133 38 1 |
135 00 |
136 30-6 |
iS8 11-5 |
1-0954 |
1-0488 |
1 0000 |
0-9486 |
Ü-8944 |
|
(00 |
141 86 1 |
142 48-6 |
144 8-2 |
145 85-9 |
147 13-6 |
0-9855 |
0-8895 |
0-8413 |
0-790Ö |
0-7874 |
|
110 |
149 18 7 |
lüÜ 25-5 |
151 88*6 |
152 58-8 |
154 27-7 |
0-8056 |
0-7611 |
0-7148 |
0-6664 |
0*8155 |
|
IM |
188 48^ |
188 480 |
187 48*7 |
158 88*4 |
180 12 2 |
0-7042 |
0-6619 |
0-6180 |
0-5784 |
0*5847 |
|
180 |
181 5-7 |
Kl 64'« |
188 47*8 |
188 48-8 |
184 49 1 |
0-6273 |
0-5874 |
0-5460 |
0-5031 |
0-4586 |
|
140 |
165 40-9 |
166 19-9 |
167 2-1 |
167 47-8 |
168 87-7 |
0-6707 |
0-5327 |
0-4986 |
0-4583 |
0-4115 |
|
150 |
169 42-0 |
170 110 |
170 42 3 |
171 161 |
171 52-9 |
0-5304 |
0-4941 |
0-4568 |
0-4185 |
0-3789 |
|
160 |
178 19-9 |
173 391 |
173 59-7 |
174 22-0 |
174 46-2 |
i 0-5036 |
0-4685, U-4ä2ö |
j 0-3956 |
0 35^6 |
|
|
170 1 |
176 48-4 |
176 52 9 |
177 3 i |
177 14-3 |
177 26-2 |
,0-4882 |
0-4540 |
0-4186 |
0-8824 |
0-8455 |
|
180 |
180 0^0 |
180 OK» |
180 8 0 |
180 0-0 |
180 O'O |
! 0*4888 II |
8*4481 |
0*4148 |
0-8784 |
0*8416 |
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|68
Kometen und Meteore.
|
<» |
«0 |
II |
<» |
9in Ci |
u |
|
9 |
||||
|
0-85 |
0-5152 |
2r37'-of 0-60 |
0-7091 |
32' 0 |
1-25 |
1-3059 |
2» |
30-8 |
|||
|
0-36 |
0-5221 |
20 |
49 1 |
' 0-62 1 |
0-72GI |
9 |
1-1 |
1-80 |
1-3538 |
2 |
19-4 |
|
0-57 |
05290 |
20 |
8-4 |
0-64 |
Ü-7433 |
8 |
32-4 |
1-35 |
1-4019 |
2 |
9-7 |
|
0*38 |
0-5S60 |
19 |
19-8 |
0-66 |
0^606 |
8 |
5-7 |
i 1-40 |
1*4808 |
8 |
1*1 |
|
0S9 |
0'54S1 |
18 |
88-8 |
0*68 |
0-7780 |
7 |
41*2 1 |
\ 1-45 |
1*4985 |
1 |
58*1 |
|
040 |
0-5503 |
17 |
58-5 |
0-70 |
0-7955 |
7 |
18-4 |
1-50 |
1 5469 |
l |
45-8 |
|
0-41 |
0-5576 |
17 |
20-7 |
Ü-72 |
0-8131 |
6 |
57-2 |
1-55 |
1-5954 |
1 |
39 2 |
|
0-42 |
0-5660 |
Ifi |
44-7 |
0-74 |
0-8309 |
6 |
374 |
1-60 |
1-6440 |
1 |
38-2 |
|
0-43 |
0-5725 |
16 |
iO-4 |
076 |
0-8487 |
6 |
19-1 |
1-65 |
1-6928 |
1 |
27-7 |
|
044 |
0-5800 |
15 |
87-8 I |
0-78 |
0-8667 |
6 |
1-8 |
1*70 |
1*7416 |
l |
28-9 |
|
0-45 |
0-5876 |
15 |
6*6 ^ |
0-80 |
0-8847 |
5 |
45*7 |
1-75 |
1-7904 |
1 |
18-4 |
|
046 |
0-5953 |
14 |
86-8 |
0-82 |
0-9029 |
5 |
30-5 |
1-80 |
1 8392 |
1 |
14-2 |
|
0-41 |
0-6031 |
U |
8-3 |
0-84 |
0-9211 |
5 |
16-8 |
1 -85 |
1-8882 |
1 |
10-3 |
|
0-48 |
0-6109 |
13 |
4M |
0-86 |
0-9393 |
5 |
29 |
1-90 |
1-9372 |
1 |
6-7 |
|
u-4a |
Ü-6188 |
13 |
15-1 1 |
1 088 |
0-9577 |
4 |
50 5 |
1-95 |
1-9863 |
l |
34 |
|
Odo |
0-6S67 |
12 |
50-8 1 |
0-90 |
0-9761 |
4 |
38-8 |
2-00 |
2*0354 |
1 |
0*8 |
|
0*51 |
0-6S47 |
19 |
86*4 1 |
0-92 |
0-9945 |
4 |
«7-7 |
205 |
2H)845 |
0 |
57*4 |
|
0-52 |
0-6428 |
12 |
094 |
10131 |
4 |
17-2 |
2 10 |
2-1337 |
0 |
54-8 |
|
|
0-53 |
0.6509 |
11 |
41-7 |
0-96 |
1-0817 |
4 |
7-3 |
2-15 |
21S29 |
0 |
52-3 |
|
054 |
0-6591 |
1 1 1 1 |
I 0503 |
8 |
57-9 |
2-20 |
2-23-22 |
ü |
50-0 |
||
|
055 |
0-6673 |
11 |
0-8 ^ |
100 |
1-0689 |
3 |
49 1 : |
2-25 |
2-2815 |
0 |
47-8 |
|
0-56 |
0-6756 |
10 |
41-6 j |
105 |
l-tl59 |
8 |
89-1 |
8-80 |
8*3306 |
0 |
45*8 |
|
0*57 |
0 DoSv |
10 |
»8>1 1 |
MO |
1 »ififti l*103i |
• 9 |
Ii 9 |
• 90 |
A Q |
iB 9 |
|
|
n-58 |
0-6923 |
10 |
5-3 . |
115 |
1-2106 |
2 |
56-8 ; |
2-40 |
24206 |
0 |
42*9 |
|
0-7007 |
9 |
48-3 ' |
1 20 |
1 2581 |
42-6 ; |
2-45 |
2-4790 |
0 |
40-5 |
||
|
0-60 |
0-7091 |
9 |
82-0 i |
1-25 |
1-3059 |
2 |
30-3 |
2-50 |
2-5284 |
0 |
88-8 |
Die Dichte der Sternschnuppen in den beiden Halbkugeln, in denen sich der Apex befindet, und in der anderen Halbkugel verhalten sich wie 5*83:1; aber die Dichte wird nicht in allen Punkten gleich sein. Gleiche Flächen- elemente der Kugel, welche man von O imicr gleichen Gesichtswinkeln sieht, erscheinen nämlich dem Beobachter in A ungleich, und da bei fjleirhcr Ver- theilung der Radianten auf gleiche Flächentheile eine gleiche Anzahl '.on Srern- schnuppenradianten kommen muss, so verhalten sicii die Dichten umgekehrt wie die Gesichtswinkel, unter denen gleiche Flächentheile erscheinen; diese ver> bftiten Bich aber wie umgekehrt die Quadrate der Entfernung, daher ist die Dichte der Sternschnuppen in einem Punkt Cpioportional AC*, d. h. proportional dem Quadrate der relativen Gesdiwindigkeit, und hftniet daher von der Elon- gation vom Apex ab. Es verhalten sich demnach die Dichten der Radianten im Apex und Antiapex wie (l/2 -H 1)« : 1)' = 38*97 : 1.
Der Faktor giebt ein Gesetz für die Vertheilung, aus welcher sich die tägliche und jährliche Variation ableiten lässt. Vergleicht man die aus diesem Gesetze folgende Anzahl mit den Beobachtungen für verschiedene Annahmen von V, so kann man hieraus auf den wahrscheinUchsten Werth von v einen Rückschluss ziehen. H. A. Newton vernachlässigt für die Untersuchung der täglichen Variation die Veränderlichkeit von ä, und setzt </ = 0, d. h. er nimmt die Bewegung der Erde in der Aequatorebene an; es wird dann
und da in diesem Falle der Stundenwinkel des Apn auch immer um 90* grösser 0 American Journal of Sciences and Avts, IH. Seriei Bd. 39» pag. 205.
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Kometen und lletMCC
169
angenommen werden kann, als derjenige der Sonne, so ist / T die wahre Sonnenaeic ist; es ist also
cos z 1^ ^ (0$ B sin T und damit der Coefficieni von N
r+ 90% wenn
Newton rechnete diesen Ausdruck fttr die Breiten von New Häven und
G
Paris fttr drei verschiedene Werthe von und erhält:
Paris 48^50'
v^iG v^G v = GY2
7*» 6« 0-08» 0-171 0-268
9 0309 0*368 0-386
18 0-500 0-dOO 0-dOO
15 0-791 0732 0*664
18 0*911 0-889 0-733
New Häven, 18' v^^G v^G v^GY^
0-080 0-168 0-500 0-833 0-970
0*135 0*835 0-500 0*765 0-875
0*335 0-311 0-500 0-687 0*765.
Je kleiner v ist, desto grösser muss selbstverständlich der Unterschied zwischen der Zahl der am Abend und am Morg^ sichtbaren Sternschnuppen sein; die VerhälCntsssahlen des Maximums und Minimums werden
ffir Paris 10 34 4*85 3*73
fttr New Häven 33 33 7*00 3*30. Newton vergleicht nun diese Zahlen mit den von CouLViBR-GitAViBR aus Beobachtungen gefundenen; nach ihm ist dieses Verhältniss (vergl. pag. 160) 16*8
SS 3*667. Daraus zieht N«wton den Schluss , dass die kosmische Ge- schwindigkeit V noch grosser sein müsse als C ^2, d. h. die Sternschnuppen be- wegen sich mit hyperbolischen Geschwindigkeiten. Berücksichtigt man aber das spätere, aus viel zahlreicheren Beobachtungen abgeleitete Resultat von
18'75
ScBMiDT, wonach dieses Verhältniss a 4*497 ist. so wttrde folgen, doss
die Mebfxahl der beobachteten Sternschnuppen elliptische Bahnen nm die Sonne beschrieben, deren kosmische GÖchwindigkeiten in-derEnt- fisniung der Erde von der Sonne
grösser als die Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn, aber kleiner als die parabolische Geschwindig- keit ist.
Dieses Resultat steht auch im Einklänge mit einem auf ganz an- derem Wege erhaltenen, welches sich aus der Bewegung des Sonnen- sjrstems ableitet
Das Sonnensystem bewegt sich gegen einen Punkte der sehr nahe die Rectascension 360^ und die Deklination -1-32° hat (Apex der Sonnenbewegung). Sei in (Fig. 267)
(A- 367.)
A der Aequatorpol; 0, VI, XIT, X^'^III der Aeqnntor; ttj Tg r
lie Ekli|nik
also 0 der i'ruhlingspunkt, so stellt ic^, den Apex der Erdbewegung Air den
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17»
Kometen und Meteore.
December vor (wenn die Sonne m «| itt); «|, ir^ sind die Orte des Apet lllr die Monate MMn, Juni, Se[)tcmber; dabei ist A;?, = 66*5^ Ist II der Apex der Sonnenbewegang (im Sternbilde des Hercules), so ist
K^AU^ 10**; AU « 58".
Die Geschwindigkeit der Bewegong ist nahe gleich, fllr die Erde 39'5 hu
pro Secunde, fttr das Sonnensystem etw.i 34 km, allerdings mit beträchtlichen Unsicherheiten; es soll für die Geschwindigkeit des Sonnensystems V = 0'SG = 23'6 /tm festgehalten werden. Legt man durch Fl und tcj einen grössten Kreis, und theilt ihn so, dass «« flllg : IlgTCg = 6" : P = 5 : 4 ist (vergl. Fig. 265; es ist if = [\Tt^; <ji=IIßi:j. und F tritt an Stelle von v), so erhält man in fl^ den Ort des resultirenden Apex für den Juni. Ebenso folgen die übrigen Orte desselben. Nun sieht man sofort, das^ zwischen dem März und September die Rectascension des resultirenden Apex kleiner ist, flir die Monate von September bis Mllrs hingegen grösser als dkjenigen des Apex der Erdbewegung. In den Sommermonaten wird also der resultirende Apex früher culminiren (vor 6* Morgens), in den Wintermonaten sp&ter (nach 6* Morgens). Wenn eine solche Verschiebung der Culmination, die im Sommer und V^ter im entgegengesetsten Sinne stattfinden würde, nicht beobachtet ist, so kann» da eine über das ganze Jahr sich erstreckende VerfrUhung des Maximums der Häufigkeit der Sternschniii){)en nicht dieser Ursache zugeschrieben werden kann, gefolgert werden, dass die weitaus grösste Mehrzahl der beobachteten Sternschnuppen an der Bewegung des Sonnensystems theilnimmt In dieser Allgemeinheit ist der Satz jedoch vorläufig nicht erwiesen. Vergleicht man die von Schmidt in der Tabelle auf pag. i6o gegebenen Zahlen, so findet am, wie achoo dort erwihnt, data die Zeit des Maximums noch nicht mit ge- nttgender Sicherheit festgelegt ist Eine Entscheidung hierüber muss also erst späteren Zdten vorbehalten bleiben. Allein auf andere Weise kann man wenigstens Anhaltspunkte flIr eine Bestätigung dieses Satzes erhalten; doch muss su diesem Zwecke die Rechnung su Wkh gezogen werden.
Sind A, £f, Rectascension und Deklinatien des Sonnenapex, T wie bisher die Geschwindigkeit der Bewegung des Sonnensystems, und haben «» 6, ir die- selbe Bedeutung für den resultirenden Apex, so ist
fnnt'BiTstf:D^Gsmd = r si» D ^ GcosQ) sin %
•\€mIc0S%™ ^ cos D cos A + G€Osdcosa «= l cos D cos A -h GsinC') (1) fWsismvivmV tctDsmA H> G tMäsma Vc^sDsmA — GcüsQtaf*
Sind 9® Rectascension und Deklination der Sonne, so hat man
tm « f m 0 s
cos cos = cos O (S) cos i^sma^ ^ simQ cos %
daher wird:
fcoshcosh^cotifl^ — «) «B r cosDicosAcosQ+smAsin 0 cos t)-\-G sin OcosQsmH *lcosicosiQsm («0^ a) » rcosD{cosAsmQcost — cosOstMAyh Gcost '
und femer folgt aus (1) mit ROcksicht auf die Besiehungen
sin D sin e cos D sin A cos t = cos sin Ä cos Dcos A^ cos ß cos X
wo A, ß die Länge und Breite des Sonnenapex sind:
•y» » 6=» -f. r* — äCr^iff ßx«(X — O). (3a)
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Rottcteo und Meteore. 171
Dk Zemthditbac m des iradtirenden Apex folgt aus:
£0S S aa SM B Stft d -|- COS B COS 8 COS (0 — a)
und CS ist 6 = 7* H- a^, wenn T der Stundenwinkei der Sonne, also die wahre Sonnenzelt ist; daher
t9SM ^ smBsimi + cesBtos < Ttot («0 — a) — tnBtoslsm Tsm («® ^ «), daher mit Rttckndit auf (8), wenn
T^wd© ^ ^'^ Jvil cos 0 4- sin A sin Q) cos t) -t- 6 j/« 0 ^ 0 sm '^ ej = / (4)
CC"! B
''icos6^ [T t$tl>{f0s AsmOtM • — t^sOsin A)-hGm*\^m gesetzt wird;
coss =^ k i cosT — m sin T, (5)
Hier itt ntm in (1 + « «) wie leicht ersichtlich « « ^ au Betzen, und dann ist
Da
^« N
jy— l» aisin ammT^
ist, so wird fUr die Zeit des Maximums und Minimums;
IsmT^ mcosT^sm(i
«nd die nigehOfigeB Matinud- und Mninialwcvthe weiden:
*i, » - =fc « »"H-ai*>
IHntwti folgt daa< Veililltnfas iwiwlun dem Maxianrai und IMmnm:
Mao kann nun schreiben
— i «lü^ • /*Q ; /*• cosB • Jq ', m cosB-m^ und es wird daher
*0
unabbjlndig von der geographischen Breite. Ferner wird:
oder wenn man
Mttt:
(7)
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Kouiclctir und Ucicora«
Berttcksicbt man die Formeln (2) so lurnn man schreiben: k^v:^- ^Ti^JD^ GtosQsin t]
(9)
Für r s= 0 wird
A.«^7"- 10686«
Die Maxiroalabweichung von » 6 Uhr und 18 Uhr findet statt flir sm%0 = ], oder 0 = 45% 135% 2S$% S15% und schwankt zwischen zt 19*8 Minuten; die Berücksichtigung der Schiefe der Ekliptik giebt daher keinen Auftcbluss ßlr die VerfrUhung des Maximums der Stemscl nuppenzahl auf die Zeit gegen 14^ und 16*. Für das VerhMItntss F findet man für T = 0:
H- ff'o ~ ^' "*~ ^'^ f*0* ■» * — •
und da, wie man hieraus steht, + H- » 1 ist, so wird xsl»
cosK' = — tf« 0 r*» e. (7 a)
Um nun den Einfluss der Sonnenbewegung auf die Sternschnuppen zu be- rechnen, müssen die Coefficienten numerisch entwickelt werden. Man hat
und mit der Annahme F 0*8 (fllr G « 1):
-r« -= 1-64 (1 + 0-5604 m (0 + 104'* 51'*5)]. Die Wertbe von 7. i^, Z^, m^, {füXt das Minimum) 7*i (für das Maximum), ferner Äya, JT'und K* sind in der folgenden Tsbdle susammengestelk: '
|
Meaat |
0 |
T |
^•0 |
^0 |
'«0 |
_T, |
A' |
|||||
|
1-590 |
0045 |
- 0-074 |
0997 |
b'' 43"' |
17M3'" |
0-tK)03 |
87° |
2»' |
1 !3°?8' |
|||
|
April . . j |
10 |
1-572 |
,0-049 |
— 01-iä |
0-992 |
5 31 |
17 . 3i |
00005 |
87 |
11 |
11^ 5 |
|
|
SO |
1-547 |
0068 |
-0-176 |
0-984 |
5 19 |
17 19 |
00007 |
86 |
87 |
III 68 |
||
|
80 |
1'6U |
0K)64 |
— 08S9 |
0-978 |
5 7 |
17 7 |
0-0010 |
85 |
18 |
nölo |
||
|
40 |
1-473 |
0-114 |
- 0-285 |
0955 |
4 54 |
IG 54 |
0-0014 |
83 |
28 |
107 45 |
||
|
50 |
1-425 |
0-152 |
- 0 344 |
0-932 |
4 39 |
16 39 |
Of.()2] |
^\ |
](H 50 |
|||
|
60 |
1-371 |
0 198 |
- 0-405 |
0-900 |
4 23 |
16 23 |
O-oü^ö |
3^ |
iui 29 |
|||
|
70 |
1-312 |
0-254 |
- Ü-4G4 |
0858 |
4 ü |
16 6 |
0-0036 |
75 |
IS |
97 49 |
||
|
Juni . . i |
80 |
1-250 |
0-321 |
— 0*619 |
0-806 |
8 49 |
15.49 |
0^7 |
71 |
88 |
98 88 |
|
|
90 |
118Ö |
0-897 |
-0-564 |
0745 |
8 88 |
15 88 |
QrOm |
66 |
19 |
80 0 |
||
|
100 |
1-119 |
0-482 |
— 0-592 |
0-675 |
3 15 |
15 15 |
00081 |
61 |
47 |
86 2 |
||
|
Juli > « . < |
110 |
1055 |
0-574 |
— 0-599 |
0 6fK) |
3 0 |
15 0 |
00103 |
55 |
54 |
82 51 |
|
|
1-20 |
0-996 |
0672 |
- 0 579 |
0-524 |
2 49 |
14 49 |
0-0180 |
49 |
17 |
78 81 |
||
|
130 |
0943 |
0-772 |
- 0-526 |
0-452 |
2 43 |
14 43 |
00160 |
41 |
56 |
76 10 |
||
|
Ai^uft . , |
140 |
0899 |
0-862 |
- 0-440 |
0-887 |
8 45 |
14 45 |
0-0184 |
84 |
10 |
78 15 |
|
|
150 |
0-867 |
0-937 |
-0-881 |
0-885 |
8 5 |
15 5 |
0O801 |
86 |
80 |
69 80 |
||
|
16u |
0-851 |
0-992 |
- 0177 |
(1-299 |
3 58 |
15 58 |
0-0216 |
19 |
18 |
68 2 |
||
|
September < |
170 |
<»-851 |
1-015 |
— 0021 |
0-283 |
5 43 |
17 4o |
0-0224 15 |
37 |
66 55 |
||
|
180 |
0-8<;7 |
l-(Ht.' |
-!- i\ yM\ |
II-2S7 |
7 41 |
19 41 |
0-0216:i7 |
86 |
66 32 |
|||
|
190 |
0-898 |
0-960 |
+ 0-278 |
U-3iU |
8 4T |
^0 47 |
00197 |
23 |
27 |
66 55 |
||
|
Oetobcr . | |
200 |
0-941 |
0-897 |
+ 0-899 |
0-850 |
9 15 |
81 15 |
0O176 |
80 |
87 |
68 J |
|
|
810 |
0-994 |
0-881 |
+ 0-491 |
0*408 |
9 88 |
81 88 |
00154 |
87 |
44 |
68 80 |
Digitized by Googl
Köineten nad'lffeteon. >if3
|
(o |
1 T |
K L |
||||||||||
|
220° |
1054 |
0-735 |
+ 0-552 |
ü-466 |
9* 19« |
21*19« |
00131 |
44°29' |
15' |
|||
|
NOVCBbtF • |
1 |
230 |
1-118 |
0-649 |
+ 0*585 |
0*586 |
9 10 |
81 10 |
0-01 lÖ |
50 48 |
75 |
10 |
|
1 |
240 |
1183 |
0-566 |
+ 0-593 |
0-609 |
8 57 |
20 57 |
0-0090 |
56 99 |
78 |
81 |
|
|
250 |
1-248 |
0-486 |
+ 0-577 |
0-682 |
8 41 |
•20 41 |
0-0073 |
61 27 |
82 |
51 |
||
|
Dexember . |
260 |
1-311 |
0-411 |
+ 0-54 1 |
0-752 |
8 23 |
20 28 |
00058 |
66 3 |
86 |
2 |
|
|
1 |
270 |
1-370 |
0-343 |
+ 0-488 |
0-816 |
8 4 |
20 4 |
0-0046 |
70 10 |
90 |
0 |
|
|
( |
280 |
1-424 |
0-282 |
-V 0-424 |
0-870 |
7 44 |
l'J 44 |
U0035 |
73 46 |
93 |
58 |
|
|
Jamiar . . |
29U |
1-472 |
0-227 |
+ 0'858 |
0-914 |
7 94 |
19 94 |
0-0bi5 |
76 ,57 |
97 |
49 |
|
|
\ |
SCO |
1-619 |
0*160 |
+ 0*481 |
0^7 |
7 6 |
19 6 |
0<}019 |
79 48 |
101 |
89 |
|
|
310 |
1-546 |
0-140 |
4-0 213 |
0-970 |
6 50 |
18 50 |
0-0014 |
"I 5!) |
104 |
50 |
||
|
Februar |
1 |
320 |
1-572 |
Ol 07 |
+ 0149 |
0-986 |
6 34 |
18 34 |
S 3 'i 3 |
107 |
45 |
|
|
330 |
1-5ÜÜ |
0-080 |
-h 0-089 |
0-995 |
6 20 |
18 2U |
U-0008 |
%[} 'l 5 |
1 10 |
10 |
||
|
340 |
1-599 |
0060 |
0032 |
0-999 |
6 7 |
18 7 |
0-0006 |
86 '61 |
m |
58 |
||
|
Min . . |
1 |
UiO |
1-599 |
0 049 |
-0-02S |
0-999 |
5 55 |
17 55 |
0-0004 |
87 11 |
118 |
6 |
|
360 |
1-590 |
0045 |
- 0*074 |
0*997 |
5 48 |
17 48 |
OO008 |
97 94 |
113 |
98 |
Rechnet man nach dieser Tabelle für die einzelnen Monate (Sonnenlänge 0»=29ö°, 355° . . .) unter der Annahme v—'^^G den Werth von V, so erhält mao
|
r = |
0 |
r = |
0-8 6^ |
Beobachtet v. Schmidt |
|
|
B = 40** |
B = 50° |
B = 40*" |
B = 50° |
(vcrgl. pag. i6i) |
|
|
Januar |
3-740 |
2-929 |
5-650 |
3-688 |
4-2 |
|
Februar |
4090 |
3-181 |
9039 |
4-950 |
3-9 |
|
März |
4-083 |
3266 |
11109 |
5 581 |
2-2 |
|
April |
4-053 |
3-226 |
0-455 |
4-806 |
1-9 |
|
Mai |
3-858 |
3039 |
5- 137 |
3'493 |
1-8 |
|
Juni |
8-444 |
2*784 |
3*185 |
2-476 |
1*6 |
|
Juli |
8*983 |
8*886 |
8-088 |
1*787 |
S*8 |
|
August |
S-618 |
8*158 |
1*451 |
1*346 |
3*9 |
|
September |
8*459 |
8 048 |
1*323 |
M74 |
8*8 |
|
Octobcr |
2-537 |
2-096 |
1-571 |
1*430 |
4*7 |
|
November |
2-837 |
2-300 |
■ 2-274 |
1-907 |
8*9 |
|
Oecember |
• 3-282 |
2-610 - |
3-489 |
2-680 |
31 |
Schlösse hteimus xu a^en» geitattet die Unvollstindigkeit der Beobachtungen nicht. Die bereits früher erwähnte Verschiebung der Zeiten für die Maxima irt aus der Tabelle auch ihrer Grösse nach ersichtlich ; sie überschreitet 3 Stunden;
die Verfrühung in den Sommermonaten ist damit erklärt, allein die Verspätung erreicht ihr Maximum Ende October^); bis zu den in der Tabelle angegebenen Zeiten fllr die Maxima kann natürlich nicht beobachtet werden, aber ebenso wenig könnte ein weiteres Aufsteigen der Zahl der Sternschnuppen der Beob- achtung entgehen.
Aüch ftlr das Verhältniss V ergiebt sich eine genügende Uebereinstimmung mit den Beobachtungen weder unter der Annahme F = 0, noch unter der Annahme T mm 0*8 G\ im Allgemeinen zeigt sich, mit Ausnahme der Monate Juli» August, September eine bessere Uebereinstimmung fllr r«s O. Hiersti kommt aber, dass mit wachsendem v, a kleiner wird, also auch» weil fllr die Mttimalvergrdsserung ^^JT negativ ist, K kleiner wird; die Uebereinstimmung
*) £<; ist jedoch zu beachten, riass die groMeo fJovembttPrtwwc ibi MAzimam. ebenfallft vor der CuUniiMtiOD des Apex habeo.
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Komcm und Mctcvic»
wird also fttr hypcrbolucbe Bahnen beaacr, gleictimMiiaj; in beiden Annahmen
für r.
So wird ßlr 9 a S:
r 0 r = oHG
B = 40° 50* = 40^ 50°
y= 2-350 2067 3-952 2'983;
doch sind, namentlich im ersten Halbjahre, die Beobachtungen noch sii wenig zahlreich, um einen sicheren Schluss daraus zu ziehen.
Im Grossen und Ganzen überwiegt die Wahrscheinlichkeit F = 0, woraus der bereits aviso-esprochene Satz folgt, dass die Mehrzahl der Sternschnuppen an der Bewegung des Sonnensystems theilnimmt. Für die Verfrühung des Maximums der Erscheinung ist hierdvirch keine Erklärung gegeben; doch folgt dieselbe naturgemäss, wenn eine thatsächliche physische Concentraüon der Sternschnuppen in der Richtung von OA (Fig. 256) weg gegen die Verlängerung des RadittBvectors zu» also etwa in der Richtung Or (wo r nicht den Frühlinge- punkt bedeutet), statt6ndet» weil dann dieser Hauptpunkt der Concentration vor dem optischen Concentrationspunkte (dem Apex) cuhntnirt In der That findet^ wie LitRiiAN^FiLiats gezeigt hat, eine solche Concentration statt, wenn man in Ellipsen sich bewegende Sternschnuppen annimmt, so dass auch hieraus wieder die Annahme der Zusammengehörigkeit der Sternschnuppen mit dem Sonnen« ^fSteme eine Stütze erhält.
Die Richtung der Meteore wird noch etwas durch die Anziehung der Erde geändert. Die Sternschnuppen werden in F<)lge der Erdanziehung Bahnen um die Erde bc=^cbrcibcn. deren Form von der Geschwindigkeit abhängig ist. Man kann bierfür wieder die Fundamentalgleichung
verwenden*); will man V, a und r in Einheiten des Erdhalbmessers ausdrucken, so hat man Vsinit, astnr,, rstnr., an Steile dieser Grössen zu setzen; weiter wird, da fiir m die Erdmasse zu setzen ist und die Masse des Meteore« als verschwindend klein angesehen werden kann:
P,, hV^ i/2 1
sinn-^smic y ^ «1 ' uad die Geschwindigkeit ergiebt sich dann für die Einheit des mittleren Sonnen* tages. Will man dieselbe fltr die Secunde, so folgt mit BerackikMigimg der fieeiehttngea auf pag. 148:
welche Gleichung übrigens aus den Gleichuiq^ca (4) pag. 150, wtan il » 0 ge» letzt wild, sofort folgt
Nun war geAinden (pag. 151) « ir/ 4- S/r, wobei »0 dit koiniicbe nelaliTe (von der Srdattraktion freie) Geschwindigkeit der Meteore bedeutet Hienu» folgt:
*) Nimmt man die Geschwindigkeit der Erde als Hahcit an, SO «M (vw^ »AU-
gemeinc Eiolcitong in die Attxoaomie«, pag. 135).
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Kometen und Maleofe.
Die pTo<;5e Halbaxe ergiebt sich also stets negativ, die Bahnen werden H,^|>ecbein sein. £« soll in der Folge der positive Werth
a =s — a«
dieser Axe eingeführt werden, und dann ist
(0
Sei nun O ^Fig. 268) der Mittelpunkt der Erde, QC die von der Erdan- ziehung nicht gestörte Sahn einer Sternschnuppe aus einem Radianten in der Richtung AO, undteidiedafch die Eidande- hang gelndeite Bahn5JK Diese Aenderung fin- det in der durch die Anfangsrich- tung und den Erdmittelpunkt gelegten Ebene statt, wird also dne kfurome Linie in derVer* ticalebene des Panktes M er- geben. DieRich- tnng der Stern- schnuppe er- scheint dem Be- obachter in der Tangente TAf dieses Punktes an der Bahn, vsfd also stets
mit dem Zenith einen kleineren Winkel bilden, weshalb Schiapariiju diese Wrkung die Zenttbattraction nennt
In dem Punkte Üf ist die Geschwindigkeit der Sternschnuppe m; daher
ihre Flächengeschwindigkeit ^U'rsins» weun r der Halbmesser der Erde und jr der Winkel ZMT, «wischen der Richtung nach dem Zenith und der Richtung der Tangente an der Bahn, also nach dem scheinbaren Radianten, d. h. die Zenithdistanz des scheinbaren Radianten ist. Diese Flächen- geschwindigkeit ist gleich \ k p, wenn / der Parameter ist (veigL den Artikel »M. d. H.< § 12, Formel (.*>), folglich wird:
t
(&.S68)
demnach
u r sin s ^ — 1)
a (<r2 — 1) =
u* sin Z'
(2)
Multiplictrt man die Gleichungen (1) und (3) und sieht die Quadmtwurseli
so erhält man iQr die conju^te Axe:
- rusing
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176
KoflMicii und MctcoN»
Ist OD die Richtung der grossen Halbaxe, E der Scheitel der Hyperbel«
ED = a, so ist, weil DQ die Tanpente in der T Unendlichkeit, also die Asvmp- 'ote der Hyperbel ist, CDE^ A der halbe Asytnpiotenwinkel, gegeben durch
und
e = sieA,
Die in Folge der Erdanziehung sUttgefundene Verschiebung des Radianten ist gMT^yi, Die Aufgabe ist eine rein geometrische: Für einen durch seine Entfernung r vom Brennpunkt O gegebenen Punkt einer Hyperbel den Winkel i) zwischen der Tangente und Asymptote m bestimmen. Macht man D(y ^ DO, so ist & der zweite Brennpunkt; neht man OC und 0*C senkrecht su QD, so ist
CD = C D — OD cos A = a e cos A = a,
daher CC ^ 2 a. Verbindet man M mit dem zweiten Brennpunkte O', so ist MO' = r -h 2tf.
Da die Tangente den Winket zwischen den I^eitstrahlen halbirt, so ist
<0'Mf = tMO = TMZ = z, <tMm =5 7Mq = 7) folglich 'iiO' Mc == a — ij; OMm = a -t- i), und man erhält:
Mc = mc -+■ Mm O'Mcos O'Mc = CC OM cos OMm \r 4- 2a) cos (» — ij) « 2ä -H r€OS (s -I- v)) (4)
aus welcher Gleichung sich t] bestimmt Setzt man für a seinen Werth aus (1) ein» und dividirt durch r, so folgt
1 -h -^j COS (* - ij) 4- (a + ij)
oder da %gr «■ ir* ^ ist, so wird
«•iÄi» i (« - = «0* i (* H- n)
»iiie^ (s » 1)) B dr ff^ im ^ (s + 1))
demnach:
Da nun t; immer von dt r Ordnung der durch die Anziehung bewirkten Aenderung in der Geschwintligkeii, also von der Ordnung u — ist, so müssen die oberen Zeichen gewählt werden, und es ist
Wird fUr den Fall, dass die Sternschnuppe in horizontaler Richtung zur Erde gelangt (« — 90°) die Ablenkung mit ^ bezeichnet^ so ist
^ (6) tätig ^ Umg^^ tätig (6a)
Die Werthe von 4> sind in der Tabdle pag. i68 mit dem Argumente eingetragen.
4> wird am grössten, wenn u — Uq zm grössten ist, und nimmt mit u — Uq ab; u — Uq ist am grössten im Antiapex, am kleinsten im Apex, daher wird
die Zenitbattraction am stärksten im Antiapex. Die Zenithaltraclion wächst vom Apex an langsam bis etwa 120% wo sie ihren mittleren Werth erreicht, und
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Kometen und Meteore.
»77
von hier aas nemlich rasch bis sum Antiapeic, wo sie im Horizonte ungefilhr 17® beträgt.
Die Zenithattraction beeinflusst aber auch die scheinbare Elongation des Radianten; strenge genommen wtirde man also avis dem scheinbaren Radianten seme Elongation vom Apex, mit dieser die Zenithattraction zu bestimmen haben; dadurch erhält man die corrigirte scheinbare Elongation vom Apex, mir welcher man erst die wahre Elongation vom Apex und damit den wahren Kadianten bestimmen muss. Zu diesem Zwecke wird die Tafel auf pag. i68 stets aus- reichend sein, da es genügt, den Radianten auf ganse Bogenminoten genau zu eihalten. Dabei ist zu beachten, das 4^ mit dem Argumente ^ (scheinbare Elon- gation vom Apex) zu entnehmen ist, s hingegen <fie Entfernung des wahren Radianten. Die Berücksichtigung der Zenithattraction auf die Coordinaten des Radianten kann daher so erfolgen, dass man aus seiner Linge und Breite oder direkt Rectascension und Deklination Azimuth und Zenithdistanz ermittelt, letetere um T] vermehrt, und mit der corrieirten Zenithdistanz rückwärts Rectascension und Deklination bestimmt. Man kann jedoch diese zweimalige Coordinaten- translormation umgehen, wenn man sich, was meist ausreiciit, gestattet, t] als eine differentielle Aendening anzusehen; man hat dann, wenn ^ der paraliactische Winkel ist:
Man erhält ftir die geographische Breite 3 und Stemsdt 6 der Beob- achtung gleicbzeitig s und p aus den Formeln: smM smp AB €OsB sin (6 — K) smxcosp « sin B — sin% cosBe9$ (0 — St).
Hier wird rechts in erster Näherung K', %' angesetzt;, damit a, p bestimmt, ferner <b aus
cos^^ cos^'cos -
Mit ^ eriialt man aus der Tafel pag. 167, 168: damit femer A^i, li®, welche an S>' angebracht werden. Diese dienen zur Bestimmung der Cöordinaten des wahren Radianten (vergl. pag. 165), welche, wenn nöthig. zur Wiederholung der Rechnung flir s und p verwandt werden.
Bei dieser Rechnung ist nun allerdings die Wirkung des Luftwiderstandes nicht betDcksichtigt: Die Rechnung kann aber auch nar auf Sternschnuppen an^wendet werden, deren scheinbare Bahnen nahe grösste Kreise sind, und wenn dieses der Fall war, so ist immer anzunehmen, dass die Wirkung des Luft* Widerstandes auf die Form der Bahn noch nicht sehr bedeutend war. Hier kann Übrigens da?; bereits frfthcr tlbcr die Wirkung der Erdanziehung erwähnte aus den Zahlen selbst ersehen werden: Die Anziehung der f'rde wird nur bedeutend in der Nähe des Antiapex, \\o die relative Gcbciiwindi^keii bedeutend kleiner, und demnach auch der Lultwiderstand geringer ist. Stark gekruumite Bahnen werden daher auch meist in der Nähe des Apex vorkommen; bei solchen Bahnen ist aber an eine Bestimmung des Radianten überhaupt nicht zu denken, oder doch wenigstens nur aus demjenigen Stücke im Anfange der Bahn, welches ein grOsster Kreis ist.
VI. Sternschnnppensch wärme. Die durchschnittliche Zahl der von einem Beobachter per Stunde sichtbaren Meteore ist 10. Nebst der Verschieden- heit, welche in der beobachteten Dichtigkeit der Meteore zu den verschiedenen Tages- und Jahreszeiten aurtritt, und welche sich aus der Bewegung der Erde erklaren, muss aber noch eine zweite Ursache für das Vorkommen einer grösseren VaumtimsIi AstroDODi«. IL 12
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17«
Kometen und Bleleore.
Anzahl von S^crn clmu j)pen zu bestimmten Zeiten vorhanden sein, zu welchen dieselbe per Stunde auf hundert und tausend steigt. Ein solcher grosser Stern- schnuppenfall im Jahre 1799 lenkte die allgemeine Aufmerksamkeit auf die Sternschnuppen, und ein mit diesem im Zusammenhange stehender ebenso grossftrtiger, im Jahie 1853, auf die gesettmässige Wiederkehr derartiger Erscheinungen.
Am 13. November 1831 hatte CapitAn BArard auf der an der franzOsiKhen Kttne kreuzenden Brigg »Loiret« eine bedeutende Anzahl von Sternschnuppen
becbachtet; am 12. und 13. November 1832 wurden aus Frankreich, der Schweiz und den Niederlanden, besonders aber aus Russland grosse StemschnuppenfiUle gemeldet. Besonders grossartig aber entfaltete sich wieder der Sternschnuppen- fall vom 13. November 1833 in Nordamerika. Ol.msted hatte über denselben die Berichte gesammelt, und im »American Journal of Sciences and Arts>, Bd. 25 (pag. ^^6t,) veröffentlicht. Die ausführlichsten Schilderungen sind von einem (nicht genannten) Beobachter in Boston, der s.eme Wainnciiniungen schon früher im »Boston Centinel« publicirt hatte. Er schätzte die Zahl der Stern- schnuppen innerhalb eines Zeitraumes von 15 Minuten vor 6 l^r auf 8660: die Gesaromtzahl der an diesem Morgen gesehenen Sternschnuppen auf Uber SOOOOO. Der Fall begann zwischen 9 und 18 Uhr Abends» war am stärksten zwischen 8 und & Uhr Morgens, im Ma»mum etwa 4 Uhr Morgens. Dieser Beobachter weist auch schon auf den Siemschnuppenfall desselben Datums vom Jahre 1700 in Cumaoa bin.
Der Bereich der aussergewöhnlich grossen Zahl der Sternschnuppen war aber nicht sehr ausgedehnt. C'apitän Parkfr am Schiffe >Junior«, das sich am Eingange des Hafens von Mexiko befand (Breite 26", westl. Länge von Green- wich 85^**), begann zu zählen, musste es aber aufgeben; er berichtete, dass die Sternschnuppen nach allen Richtungen von einem festen Punkte auszugeiien schienen, der ungefähr 45^ Hfilie hatte, aber während der Beobachtung b** bis 10" zu steigen schien.
Am Schiffe »Fnnciac, dass sich nordöstlich von den Bermudasinseln betend (in 66' Breite^' 61' westl. Länge von Greenwich), waren die Meteore sehr sahlreicb, aber ihre Zahl konnte leicht gezählt werden.
Am Schiffe »Douglas«, das sich in der Nähe der Mündung des Amazonen- Stromes befand (in 2° Breite, 41° westl. Länge) wurde bei vollständig freiem Himmel nichts besonders Auffalliges bemerkt, desc^leichen am Schiffe ^St Georg« auf hoher See in Brene und 20** westl. Länge. Dass die Sternschnuppen
auch in Europa m grösserer Zahl beobachtet wurden, wurde schon oben erwähnt.
Aus den Berichten aller l^eobachter zieht Olmsted den bemerkcnswerthen Schluss: dass die sämmtlichen Sternschnuppen aus einem Punkte des Himmels an kommen schienen, welcher sich im Sternbild des Löwen befand^), und dass dieser Ausstrablungspunkt (der Radiant) der täglichen Bewegung folgte*). Damit war aber eine der wichtigsten Grundlagen f&r die späteren Untersuchungen Uber die Novembermeteofe und im allgemeinen über die MeteorfäUe gegeben.
Dieser Radiant ist nichts anderes als der bereits früher erwähnte Radiant jeder einseinen Sternschnuppe, der Punkt, in welchem die durch das Auge zu
') 1. c. Bd. 25, pag. 405. 1/ 1. c. Bd. 26, pag. 140.
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KoiDCten und Meteore.
t79
ibier gendlnugen Bahn gelegte Parallele die HimmelBkugel trifft Haben abor alle Sternschnuppen denselben Radianten, so kommen sie in untereinaoder
parallelen Bahnen zur Erde: sie bilden einen Schwärm z u m m en p^eh ?5 nVer, sich in parallelen oder wenigstens in der Nähe der Erde sehr nahe parallelen Bahnen bewegender Körper, einen »Sternschnuppen-
8Ch war nri «.
Der beobachtete Radiant giebt nur die Riclitung der i angente m derjenigen Bahnstrecke, welche eben beobachtet wurde (TV, Fig. 268). Olmstkd nimmt jedoch^) einen efiekdven Amstrahlungspunkt in der aus seinen Rechnungen folgenden Höhe von 3238 englischen Meilen (8600 km) von der Erdoberfläche ait
Es waren nun swei Fragen zu beantworlen: 1) Üt die Erschönung des fixeik Radianten im Löwen eine dem Meteorfalle vom 13. November allein angdiöiigt Eiscbdnnng, oder giebt es noch andere Radtanten, aus welchen eine grössere Anzahl von Sternschnuppen zu kommen scheint, und 2) war das Wiedereintreten des grossen Sternschnnppenfalles 1833 am selben Datum wie 1799 eine att* fällige Erscheinung, oder musste man hier eine Gesetzmässigkeit vermuten^)?
Beide Fragen können von einander nicht getrennt werden; man fand bald, dass es that^achlich eine grössere Anzahl von Punkten am Himmel giebt, aus welchen Sternschnuppen zu kommen scheinen, und awar stets an besummten Tagen des Jahres; d. h. das Bild» welches die Sternschnuppen im Grossen und Gänsen darbieten, ist swar so, dass aus allen Punkten des Himmels Stern- schnuppen auszustrahlra scheinen, also in allen Punkten des Himmds Radianten gelegen »nd, welche aber, ohne bestimmtes Gesetz vertheilt^ jeden beliebigen Tag des Jahres Sternschnuppen liefern, und bei denen die Ungleichmässigkeit der Vertheilung mir eine Folge der Bewegung der Erde ist; nebst diesen Sternschnuppen, welche, vereinzelt von verschiedenen Radianten kommend, als sporadische bezeichnet werden, giebt es aber noch gewisse Radianten, aus denen Sternschnuppen in grosser Zahl, in ganz bestimmten Zeiten kommen, und welche Radianten von Sternschnuppenschwärmen oder (nach Scuiaparelli) syste- matischen Sternschnuppen bilden.
QutnLBT machte schon 1836 auf den Radianten im Ferseus aufmerksam, ans welchem am 10. August eine grosse Zahl Sternschnuppen ausstrahlt Diese Erscheinung war flbrigens schon frflhseitig bemerkt worden, wenn man auch derselben keine weitere Bedeutung — am allerwenigsten eine astronomische bei* legte; ihrer wurde als der »feurigen Thrttnen des hl. I.aurentiusc bereits in alten Kirchenkalendern gedacht welche Bezeichnung sich im Volksmunde auch noch jetzt erhalten hat.
1836 und 1837 machten HuKjnoLDT und Herrick auf den bedeutenden Stern- schnuppenfall am 6. Dezember aufmerksam, welcher mit einem am 6. Dezember
I) L c, Bd. 26, pag. 144. Die Höhe ist aus den an verschiedeoen Punkteo beobachteten Ortok des BadiantMi hcreclwct. Da diese Beobacbtaegen auf den Bahnen der Slenitduiiip|»eD «BH Hinnd beilelien, aw denen eist der Radiant cischloacn werden mnii, io kann der •ng^ebene Ort ftlr diesen selbst um mehrere Grade (eUeihaft sein.
') Der Stemschnuppenfall wiederholte sich in aussergewöhnlicb grossnrtigen Dimensionen wieder im Jahre 1866; dieses Mal aber sehr stark in Europa, während er in Amerika nur schwach war. In Greenwich zählte man um li^ 42"*: 70 Sternschnuppen in der Mfnale» un 1A5>»: 118, am 1^90 das Maxfanum toq ISB Steroadmiippcn fn der Hinnte. Pavb, der in Fm» bcobaditete bemeikt dasa (Gnnjit read. Bd. 63, pag. 849): »Ce ftd wfa k fhu frapfi im fm touUs m Mkt mtf dmx dknrgi^mi de Jk fartk n^Metart d» h «msttUUlm JJom ttmm m iSjS'*
»•
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l8o
Kometen und Meteotc.
1798 beobachteten coincidiite*). Arago fand einen fixen Radianten für den Sternschnuppenschwarm vom 21. April; Hei«; einen solchen fÜx den 36. Mai, und für den 1. 2. und 3. Januar; Schmidt Rlr den 29. Juli.
Hieraus kann man nun zunächst schliessen, dass solche Schwärme sich im Welträume in Bahnen bewegen, welche die Erdbahn schneiden, und zwar in Punkten, in welchen die Erde an den angegebenen Daten rieh befindet Diesen Schluss zog bereits Ouisted 1854 aus dem Novemberphänomen. Er erwigt noch die Möglichkeit, dass die Sternschnuppen Satelliten der Erde wären; der von ihm gefundenen Entfernung de« Radianten von 3600 /faw von der Erdoberfläche:
d. i. nahe r « 9970 Jim « 1*665 Erdhalbmesiem entspricht aber die mittlere
^.
Bewegung in einer Sccundc = 130"*7 oder cnu l uilauis/.eii vun ddll^
= 2*45"' M'. In diesem Falle aber müsste sich der Radiant zwischen den Gestirnen weiter bewegt haben, und zwar der oliii:cn mittleren Bewegung entsprechend, um 130*'7 in einer Stunde, während er nach den Beobachtungen zwischen den Ge- stirnen fest war. Olmsted schUesst demnach, dass der Schwärm sich uro die Sonne
bewegt'). Die Umlaufsseit des Schwanns muss aber genau — Jahre sein, da sonst
der Schwärm nicht immer aur selben Zeit die Erde begegnen wQrde: dann aber wird die halbe grosse Axe in Einheiten der Erdbahnhalbaxe:
««-^ also für ««8,8 a«|^ = 0"680, ^«0481 ...
Da aber das Aphel die Erdbahn erreichen muss, weil sonst die Sternschnuppen nicht zur Erde gelangen könnten und das Ferihel auf der anderen Seite der Sonne liegen muss, so muss 8« mindestens gleich der Entfernung der Erde von der Sonne, also mindestens gleich 1 sein; die Umlaufsieit kann daher nicht ^Jahr sein; und daraus schliestt Oliistbd, dass die Umlaufsxeit ein halbes Jahr, die halbe grosse Axe 0 630, daher die Entfernung des Perihels 0 260, also nodi etwas innerhalb des Mercurperiliels sein muss. Die Bahn liegt weiter so, dass die Richtung des Aphels nacli dem Krdorte am 12, November, daher die Richtung des Perihels gleich der geocentrisclien Länge der Sonne nm 12 November, also gleich 21** Scorpion ist, und dass die Neigung der Bahn gegen die Kkliptik so ist, dass die Richtung der Tangente an die Bahn gegen den beobachteten Radiationspunkt geht, also etwa 7 bis 8**. Auch H. A. Newton hielt später noch an der Annahme einer kurzen Umlaufszeit, nahe ein Jahr, fest
Gegen diese Resultate waren aber zwei Bedenken: die Erscheinung wiederholt sich nicht alle Jahre, und wenn man die hierbei gemachte Annahme festhalten wollte, rottsste man Htr alle an bestimmten Daten periodisch iriederkehrenden Stemschnuppenschwärme genau dieselbe Umlaufszeit von einem halben Jahr oder einem Jahr annehmen. Olbers folgert daher viel richtiger, dass der November* schwärm sich in einer viel länger gestreckten Ellipse mit einer Umlaufszeit von mehreren Jahren in einer Bahn um die Sonne bewegt, die die Erdbalm am 13. November sciineidet. Dass durch rneiirere aufeinandertblgende Jahre Stern- schnuppen beobachtet werden, die diesem Scliwann an<j;ehören, hat seinen Grund darin, dass die Sternschnuppen niciit in einem Funkte concentrirt, sondern über ein
I) A«lter« Angaben, vor 1773, finden «ich fbr diese SchwMime nldit
Aach Arago schlicssi sich dieser Meinung «n, ond bexeicbnet die Stemselmuppen als eine neue planetariüchc Weh : » C 'est un muotm moikk pümäairt, pd tmmtmu k M Ttviitr k fiaus* (Couipt. rend., Bd. I., pag. 393.)
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Kometen und Meteore.
grösseres Bahnstück vertheilt sind, so dass man >im Jahre 1834 nicht dieselben wiederkehrenden Körperchen sah, die man im Jahre 1832 und 1833 gesehen hatte i)c. In der That kann man, wenn man die Erscheinungen 1833, 1799 mit der bereits friiher von Humboidt erwähnten von 1766 zusammenhält auf eine Umlaufszeit von 33 Jahren schliessen; der !SternsrhriJit])enfall von 1866 führt dann unmittelbar darauf, dass 1899 wieder der Punkt der stärksten Cuncentration die Erde treffen wird, und 1S98 und 1900 noch bedeutende SternschnuppenfäUe als Vorlaufer und Nachzügler zu erwarten smd.
Bei den Beobachtungen der Sternschnuppen musste aber nunmehr das Augenmerk nicht nur auf die Sternschnuppen selbst, sondern auch auf die Radiation gerichtet werden. Bei denjenigen Beobachtungen mehrerer Stern- schnuppen an demselben Orte oder an verschiedenen Orten, flir welche sich Radianten bestimmen Hessen, wurden diese ermittelt, und alle berechneten itadiantcn in ein Verzeichniss eingetragen. Solche Radiantenverzeichnisse sind:
Greg: Verzeichniss von 56 Rndinnren in dem »Report of thc British Ässo- ciation^ für 1864 (pag. 98), nebst emer Erweiterung in der Scientific Revue Hir 1868.
Heis. Verzeichniss von 84 Radianten, Astron. Nachrichten, Bd. 69 (No. 1642).
ScHiAPARELLi: Vcrzeichniss von 18Ü Radianten aus den Beobachtungen von Zezioli; »Entwurf einer astron. Theorie der Stemschnuppenc 1866 (pag. 84).
Schmidt: Verzeichniss von 150 Radianten; in den »Astron. Beobachtungen Aber Stemschnuppenc« 1869.
Endlich fasste Kuibbr 1490 berechnete Radtanten, welche von Corder, Dknnino, Gri.g, Gruber, Heis, KomcoLv, Neumaybr, Schiapareuj, Schmidt, TupMANN, Zezioli in 3(»049 Nächten beobachtet worden waren, in einem Radianten-Katalog zusammen.
Untersuchungen über die Vertheilung der Radianten rühren wieder von dem um die Mcteorastronomie hoch verdienten Schmidt her. Kr gicbt die folgende Zusammenstellung der in seinem Kataloge vorkommenden Radianten:
Im Jan. Febr. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.
Sif licr bestimmte Rad. 1 0 ü 1 2 0 18 26 9 12 5 2 Genai-crtc Radianien 3 1 1 0 0 8 8 8 17 9 6 121
Zwischen der Anzahl der Radianten einer Nacht, und der stündlichen Häufig- keit der Sternschnuppen findet Schmidt die folgende Besiehung:
für «at 13 8 4 5 6 7 Radianten in einer Nacht ist die stündliche Häufigkeit der Sternschnuppen ««4-7 6-7 9*9 18*8 Sl'O 33*0 dO'S aus 35 885 888 185 131 51 61 Beobachtungen*}. Redocirt man diese iHmRadianten gültigen Zahlen auf einen Radianten, so folgt für
HS 1 3 8 4 5 6 7
- = 4-7 3-3 3-3 8-4 4-2 3-7 44
im Mittel als Antahl der von dnem Radianten stündlich ausgehenden Stein- schnuppen 8*9.
Noch ausgedehntere Untersuchungen über die Vertheilung der Radianten hat TiLLO') gestützt auf den KLKiBEk'schen Radiantenkatalog, vorgenommen. Die 1490 Radianten vertheilen sich auf die einzelnen Monate folgendermaassen;
1) ScamiACHiui's Jahrbuch für 1837, ptg. 60.
*) Astron. Nachrichten, Bd. 88, pag. 341.
*) BuUctia AstionoDii(j,ue, Bd. 5, pag. 237 uod 383.
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Komcftea undJMeteore.
Im Jan. Febr. März April Mai Juni Juli Aug. Sept Oct. Nov. Dec
Zahl d. Radianten 106 95 136 180 108 115 238 306 188 219 169 115 in l 5-4 4-8 6 9 9*1 5-5 5-8 12'0 15-5 9-6 11-0 8 6 5 8 Zahl der Tage in | 5 4 61 5 6 7*6 5-5 5 9 109 13 4 12 4 ITO 8 6 7 6 Zahl d. Meteore in J 3 4 2 2 2-1 6*8 2-6 2 9 121 381 5-1 8 5 113 4 9 Um die Vertheilung der Radianten auf der Himmelskugcl zu untersuchen, wird diese durch Deklinationskreise und Farallelkreise von 30° zu 30° getheilt, nnd für jeden Monat die Zahl der Radianten untenucht, welche in eines dieser Vierecke fallen. Fflr daa ganse Jahr wird diese Tafel:
0« — 30** — 60** Zu-
In Procenten
r. die n6rdl.| tOr «lle De-
Meteore klinationen
7 10
5
2 0
2
|
143 |
10 2 ^ |
9.« |
|
146 |
10-3 l 29-8 |
9-8 \ 28-1 |
|
129 |
9-3^ |
8-7^ |
4 4
6
4
1
93 98 89
19-7i
6-2
6 6
6 \ 18 0^
8
17 10 17
S7 18 19
144
3 8 4
5 4 8
81
100 118 138
184 148
136
1490
61 8-0 8-9
•0 l 23 0 •9 J
9*4 9
8
•4 J«7»l
•7'
6-7 7
9-3
•9 1 33-9
10-3 9 9
1
•8 \ 98-S
Die Zahl der Nichte, in welchen wahrend des ganzen ZeitraumeSp Ober den sich der Catalog erstreckt, Sternschnuppen aas diesen Radianten beobachtet
wurden, ist in der folgenden Tabelle eingctrnr'cn :
-'1-90*'
80«
0* SO
I 60
90
120 U 150 180
SlO m 940 970 800 IV 880
3(50 zasiunmcn
881 617 406
418
1887 1191 1015
998 858 788
790 618
607 664 688
-80» -.60» x».
saxnmen
310 181 43
80 108 186
60 0 88
90 188 88
880 868 605
Ui 572 297
4966
712 469 884
SU 562 686
1005 783 788
657 682 810
359 829 374
•294
178 492
65 66 121
8180 8687 8887
f. alle nOrdL|ftlr alle De- Meteore
18*6^ 11*8 [88-8 8-6 J
1888 1988 1618
7-4
7
6-5
1
•8|81-
•Iii
I2K
10*4 UlHI 8.5 J
7«.
7-7 \ 20 9 6-2'
1767 1578
2120
6 0 » 6-8 X
5-7 l 18 9 60 1 20- 7-2 J 81 '
80 103
63
2377 3368 24 .SO
8-9 8- 8-
9735
7920
2607
■'1 '■')
•8 1 26-1 8-7 J 371 •4 ' 9-4 J
821 I 36049
>) Die Gcsnmmtzahl betrügt hier 1976» indem 486 io mehmeo Monalen voifconmcode
RadiAntcn wiederholt angeführt erscheinen.
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Kometen und Meteore. 183 Dadi dtr Deklinktkni geordnet entfallen:
Zwischen d B H- W -I- 80* +70* +60' H- SO" + 40* H- 80*
In 0: 8-8 5*9 110 12*8 18*1 11-9
Zwischen 8 s + SO*" -h JO* +10* 0 — 10* und darunter: Jn%: 10*8 U-5 7*4 5*0 6*7
Nach der Stellung zur Sonne vertheilen «ch die Radianten folgender*
1) <in Procenten):
Im Heiion Im Andapex Im Anthelion Im Apex
315° 45' 135° 225"*
330 60 150 240
0 90 Ii 180 J«t 270
30 120 210 ";x 300 2:
45 ^ 185 225 315
Zusammen 5*4 18*5 47 0 85*1
Es sind daher im Antiapex nur etwa der dritte Theil wie im Apex, in diesem aber etwas weniger als im Antbelion; dabei ist aber su bedenken» dass, da der Ort des Apex von dem Orte der Sonne nur um 90^ absteht, in dem Oktanten S70** bis 315*' die Zahl der Radtationspunkte in dem Maasse verringert werden muss, als die Gegend näher zur Sonne rttckt
Bei der Vergleichung der von verschiedenen Beobachtern gefundenen Radianten zeigt sich, dass nebst einer grossen Zahl von spnrrtfiischen Meteoren sich auch einzelne Radianten finden, die sich innerhalb der Unsichcrlieit, welche der Bestimmung derselben aus den Beobachtungen zugeschrieben werden darf, als identisch ergeben, welche sich überdiess durch mehrere Nächte erhalten, welche also den Charakter der l'riiher erwähnten Radianten im Löwen und im Perseus tragen, wenn auch das Phänomen fUr das blosse Auge nicht so auffilUig zu Tage tritt So fand Schbodt von 150 in seinem Kataloge aufgenommenen Radianten 36 identisch mit von Hbis beobachteten, 45 identisch mit GaBG'schen, und 17 mit von Nbubiavicr bestimmten Radianten.
Die grosse Mehrzahl der Schwärme ist nicht so sehr hervorstechend durch Zahl und Helligkeit der Sternschnuppen, als durch ihre regelmässige Wiederkehr an ganz bestimmten Tagen.
Ob es auch Sternschnuppenschwärme giebt, welche die I^rdbahn nicht sclmciden, kann natürlich nicht behauptet, weil nicht erwiesen werden; solche Schwarme musbien, um gesehen zu werden, wenn sil- iih ht in der Atmosphäre eines anderen Himmelskörpers zum Leuchten korrmicn, selbstleuchtend sein; wenn sie aber in der Atmosphäre eines |nderen Himmelricörpers in grosser Zahl xnm Lencbten kommen, so können sie bei diesem eine Erhöhung der Licht- intensitlt, ähnlich wie bei Lichtausbrachen bewirken. Es ist nicht unmöglich, dass a. B. der zwei Monate nach dem Periheldurchgange erfolgte Lichtausbruch des Kometen 1888 1 auf eine solche Ursache aurficksufUhren ist Für den Kometen 1884 I machte Chapbl*) die Bemerkung, dass er am 13. Januar durch den Schwärm der Bieliden und am 19. Januar durch den Schwann vom 6. bis 13. Derember gegan<Ten sei
Ueber die Beol^u l.tung eines thatsfichlich teleskopischen Meteorschwarms belichtet Schmidt in semen »Resultaten« (pag. 173). Während der Tagesbeob-
I) Die ZOäm iwischen 30^ und 60^ twiscben ISO* und 150* sfod hier halbiit, um di« Quadranten gemäsü der Stellung r.ur Soimc bcwcff zu trennen. Compt reod., Bd. 98, pog. 591.
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achtungen des Polarsternes am i6. Mai, sah er im Fernrohre einen Strom von feinen Liclitpunkten in ausserorJcutlich grosser Menge, die das Fadennetz unter «inem Winkel von 40" durchschnitten, und aus dem Heis' sehen Nordpol- radianten OL — 353", 8 == -h 85" zu kommen schienen. Schmidt lialt diese Lichtpunkte für einen Meteorstrom.
' Von groMea Stemscbnuppenachwärmen sind in enter Linie die 4 folgenden SU orwtthnen, wobei das Datam: die »Fallseitt vorangesetot ist:
1) April t6. X9. so. Radiant: e =- 867**; a -> + 33^ in der Nthe des hellen Sfems Wega in der Leier; der Schwärm wird aus diesem Grunde auch die Ljrraiden genannt.
S; August lo. II. 12. Radiant: « «« 45°, « = 4- 57° in der Nähe des Algol im Sternbild des Perseus, daher auch Perseiden (im Volkesmunde die Thränen des hl. Lauklntius) genannt. Bei diesem Schwärm ist jedoch tw be- merken, dass hier weniger von einem Radianten, als von einer Radiati r>^L;egend gesprochen werden muss, \\ eiche sich nördlich und östlicli von dem Algol hin erstreckt. Nebst dem erwähnten Ilauptradianten sieht man zur selben Zdt stets noch ehie grossere Ansaht anderer Radianten in der Umgebung thätig^); hiersu kommt» dass auch die Fallseit sich bedeutend länger erstreckt^ ab bei anderen Strömen; swischen 3. und 13. August sieht man unausgesetst eine auffallend grosse, wenn auch nicht so Übermässige Ansah! von Siemschnupi»en; seihst schon von Ende Juli angefangen kann man, und zwar aus derselben Ra^iationsgegend, eine erhöhte Ansah! von Sternschnuppen beobachten, welche jedoch von Schmidt als ein besonderer, nicht su den Perseiden gehöriger Schwärm angesehen werden.
Coli. VIER- Gravier glaubt bemerkt zu haben, dass der Augustschwarm von Jahr zu Jahr an Intensität abnimmt; Quetelet führt, um dieses zu untersuchen, die Mittelwer the lür die Anzahl der beobachteten Sternschnuppen zwischen 1837 und 1853 an, und hält aus denselben diese Behauptung f\ir bestätigt Zieht man aus den Beobachtungen an verschiedenen Stationen das Mittel, so findet man:
|
Auguat |
8. |
9- |
la |
II. |
IS. |
Zahl der ßcob- acbtungaorte |
|
1837 |
65-5 |
S |
||||
|
1838 |
58-0 |
1 |
||||
|
1839 |
28-3 |
54- 1 |
1. 2 |
|||
|
1840 |
148-7 |
1, l |
||||
|
1841 |
8tO |
1 |
||||
|
1843 |
6i'5 |
IM^ |
L 8. 6 |
|||
|
1845 |
l |
|||||
|
1846 |
27-6 |
1 |
||||
|
1847 |
48-(> |
111-3 |
86*7 |
1. 1. 1 |
||
|
1849 |
820 |
50-8 |
38-0 |
1. 1. I |
||
|
1850 |
80-0 |
88-8 |
8fH> |
1. 6. 3, 1. |
||
|
i8S3 |
M-4 |
69*7 |
t* 9. 1 |
Aus diesen Zahlen scheint jedoch eine Verminderung der Intensitgt nicht hervorzugehen; allerdings scheint nicht jedes Jahr dieselbe Intensitttt su beirschen, aber eher eine Andeutung von Stellen stärkerer Verdichtung aufsutreten, wenn sich auch eine Gesetsmissigkeit nicht venüth.
') Man gebraucht das Wort «die ihätigkcU« ciocs RadiaptfD für die Enckciottoft du*
VOQ lüiu SteroacbnuppcD cu kotiituen scheinen.
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Koradcfi viid Mctcoic« i8j
3) November 13. 14. 15. Radiant: a = 149°, 5 = H- 21** in der Nähe des Regulus im Stcrtibüdc des l öwen, daher Leoniden genannt. Der zuerst be- ](annte und reichste SternsL linuppenschwarm.
4) November 27. Radiant: a = 24°, S = -H 44°. Im Sternbilde der An- droDieda, daher Androoicdiden und aus einem später ersichtlichen Grunde Miaeh Bieliden genannt
Andere bemerkenswerthc Sternschnuppenfälle finden statt:
am 2. 3. Januar; Radiant im Hercules am 16. — 24. October; Radiantim
„ 19. 20. Februar; Radiant im Hercules Orion (Orioniden)
„ 12. — 15. Aj)ril; Radiant in der Leier „ 8. — 12. December; Radiant in
„ 25, — 31. Juli; Radiant im Schwan dcü Zvviilitineri 1 (i e miniden).
Ueber die mittlere Helligkeit der einzelnen Ströme giebt Schmidt*) die folgenden Daten:
für den Strom vom
1. — 5. Januar U = 414 aus 13 Beobachtungen
19. 20. Februar 4*80 „ 44
30. 3 t. April 3'71 „13 „ (meist Lyraiden)
35.-31. Juli 4'22 M 84 „ (Vorläufer der Perseiden)
7.— 13. August 8'99 „ 15 „ (meist Perseiden^
17. — 34. October 8'4S „ 49 „
13.— 13. November 3*31 „ 12 „ (meist Leoniden)
11.-^13. December 3*90 „ 14 „
Ein besonderer Unterschied der Helligkeit gegen die Helligkeit der spora-
dischen Meteore in den einzelnen Monaten ist dabei nur für die Lyraiden, den Oiionstrom und die Leoniden, welche etwa um eine halbe Grössenklasse heller sind. Auch die Perseiden sind durchschnittlich nicht heller wie die sporadischen Juli- und August-Meteore.
Newton hat im Jahre 1863') aus den älteren Erscheinnnccii diejenigen herausgesucht, \\ t iche der Zeit nach mit diesen Schwärmen idcnctsch sind, inJem er die Zeitangaben miUels der Lange des siderischcn Jahres auf den Grecoriani- scben Kalender und die Epoche 1S50 reducirte. Er findet die folgenden An- gaben von bedeutenden Stemscbnoiq>enAllen als susammengehörig:
1} Die Ljrraiden: 687 und 15 v. Chr. Geb., dann n. Chr. Geb.: 583, 1093, 1094, <09S> 1096, 2193p II 33, 1803 siemlich genau coincidirend zwischen April 19 tnid 31.
8) Die Perseiden: n. Cbr. Geb.: 830, 833, 835, 841» 924, 935, 936, 933,
1343,« 1451 zietTibch genau zwischen August 8 und 10 fallend; nur 933 giebt die Rechnung Au^^ust 6~^ii; ausserdem noch in der Nähe die folgenden vier Einzelangaben: nach Chr. Geb.: 36 Juli 21, 784 Juli 29, 714 August 3, und 865 August 19. Hier kann noch von einer Ausdehnung der Radiation über mehrere Tage in der jetzt beobachteten Art nicht gesprochen werden.
3) Die Leoniden: n. Chr. Geb.: 585, 902, 1582, 1698, 1799, 1833, No- venber 11 — 13.
4) Fttr die BieUden findet sich keine ältere Angabe.
Nkwtoh redudrt auch die übrigen Sternschnuppen aus Qubtblbt's Katalog und findet die folgenden Resultate:
') Astr. Nachrichten, Bd. 88, pag. 348.
American Jouroal of Science and Arts, II. Serie, Bd. 36.
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|
iS6 |
Meteore. |
|||||||||
|
Januar |
S;xix$/9») 1 |
[Mftn 28: |
861 |
Mai |
30: 965 |
Kovemb. |
3: |
; itot |
||
|
II |
14 |
1 |
849 |
Juli 9— II : X022 |
»f |
4! |
855 |
|||
|
f " |
Anril |
• |
839 1 |
/ • ■*'«3/ |
M |
4! |
Itot ^ |
|||
|
II |
Iii : |
1108 1 |
l M |
/ • 1003 |
II |
5: |
; 856 |
|||
|
T j| C > 745 |
II |
840 |
n |
1 ft ■ C 1» |
II |
6: |
1366 |
|||
|
K CUlUtU |
9 |
> o*^" |
w |
16 * |
1000 |
»» |
•^Ä ' X i\t *> |
»1 |
7 : |
»533 |
|
*V |
1 U 1 o |
1» |
'4 • |
538') |
Octob |
1* |
14: |
979 |
||
|
" |
Tn »9 |
' Q lO V* V |
l> |
28 : |
1009 |
n |
»» |
18 : |
1058 |
|
|
«V |
Oll |
tt |
401 |
tt |
1 6 • I 7A2 |
• 1 |
20 : |
970 |
||
|
1 " |
29 |
I io6 < |
»> |
20 * |
927 |
tt |
16 • 1 708 |
Decemb. |
2 : |
899 |
|
Imir |
9 |
»1 |
II 1 |
839 |
tt |
i> |
ti : |
157» |
||
|
1:: |
3 |
I cSa |
1» |
41 • |
934 |
II |
18: 288 |
II |
IS : |
930 |
|
4! |
: 937 |
Mai |
1» : |
1x58 |
19 : 1439 |
II |
13 s |
: 901 |
||
|
i6 |
; 807 |
»» |
19: |
84s |
f " |
31: 93" |
»1 |
16: |
848 |
|
|
: 843 ^ |
f |
24: |
954 |
31: 934 |
'» |
.1565 |
||||
|
l » |
a6 : |
839 " |
l " ^ II |
31 : 1002 |
Hiernach gruppiren sich die StemschnuppenfUle um gewisse Daten, von denen die aufl&lUgsten durch Klammem verbanden sind. Insbesondere ist hervor* zaheben, dass nebst den oben erwähnten beiden Schwärmen von 585 und 90a deren Datum (reducirt) auf den 12. bezw. 11. November fällt, sich von 855 an eine Reihe von Daten findet, die sehr wohl mit den späteren Novemberphänomenen 1582, 1698, 1799, 1833 vereinbar sind, wenn man eine sucsessive Verspätung in der Fallzeit annimmt. Newton nimmt dafür einen Tag in 70 Jahren. Nun fand zwischen dem 11. November 1790 und 12. November 1833 eine Verspätung von einem Tage statt, und ebenso wieder bis zum 13. November 1866, flir welche Humboldt und ülüers eine Erklärung in der Verschiebung des Knotens der Bahn gaben. Durch die Störungen, welche die Planeten auf die übrigen sich um die Sonne bewegenden Himmelskörper ausüben» wird näm- lich die Bahnlage geändert Hierfür wurden bereits in der »allgemeinen Ein- leitung in die Astronomtec Formeln entwickelt (Formel 8, pag. iio)» welche auch hier angewendet werden können, wenn man nur unter C* GX beiw. die Länge dte gestörten, des störenden Himmelskörpers» und die Elongi^on der beiden versteht Das seculare Glied ist übrigens von diesen Grössen frei, und daher von dem Orte des Himmel':Vörpers in der Bahn unabhängig. Dabei ist M = f/Q, das Differential der Störung in der Knotenlänge, a das Differential der Bewegung des» gestörten Körpers in Länge. Es ist aber zu beachten, dass diese beiden Grössen im entgegengesetzten Sinne zu nehmen sind: a im Sinne der directen Bewegung, o» im Sinne der retrograden Bewegung (wie aus Fig. 40 pag. Z08 folgt) 3). Ist daher die Bewegung des gestörten Körpers ^ed^ to ist die Secularbewegung des Knoten (das consiante Glied in Formel 8) retrograd. Da nun das Verspäten der Sternschnuppen des Novemberschwarmes auf dn
*) titS D««anbert7, vedneirt suf 1850: 1119 Jsfwtrs.
Vielleicht zu den Lyraiden gehörig* •) Daran wird auch nichts gelndert, wenn man den anriehenden (störenden) Körper statt in der Richtung BS in der entgegengesetzten Richtung (rechts von E) annimmt, Ueoo die Störaog äussert sich in der Differens der Anziehung auf den Körper E und S; da der gestdute KOipcr d«Dn weiter vom stOreoden KOtper cntferot {st, sIs der CentnlkOrper, 10 wird Istiteiw itlrkcT u^iciofei}, so dass die Differeo» der Aasielmiigen «ich glelehssn ia «iner Ahstoimng, wkder in Sbme RS offinbait.
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Vorrücken der Knotenltnie (zu einem Orte, wo sich die Erde in einem späteren Datum befindet), deutet, so schloss schon Humboldt, dass die Meteore des ^^.ovemberschwa^ms in ihrer Bahn retrograd sein müssen» «ine Vermutung, die sieb später auch bestätigte.
Die Störungen, welche die sich in elliptischen, parabolischen oder hyper- bolischen Bahnen um die Sonne bewegenden Stemschnuppenschwürme erleiden, cind, solange sie sidi den störenden Himmelskörpern nicht adlsusehr nähern, so gross oder so klein auch die Sternschnuppen sind, ganz von derselben Art, "wie <Ke Störungen aller andern Himmelskörper. Ihre Berechnung kann auch auf die- selbe Art erfolge, und gehört nicht hierher. Nebst diesen Störui^m erleiden aber die Sternschnuppen, ebenso wie diejenigen Kometen, welche sich einem Planeten auf sehr kleine Distanzen nähern, weitaus grössere Störuntgen, welclie aber bei den periodischen Schwärmen genau derselben Art sind, wie sie bereits bei den sporadischen Meteoren angeluhrt wurden: GeschwindigkeitsänderUQgen und Aenderungen der Radianten (Zenithaltraction).
Infolge der Zenithattraction können nun aber diejenigen Sternschiiup[)en des Schwarms, welche bei einem Umlaufe sehr nahe bei der Erde vorbeigehen, so weit aus ihrer Bahn abgelenkt werden, dass sie ihre Umlaufsceit beträchtlich ändern i). So kann ffir den Novemberschwarm, dessen Umlaufazeit Sdf Jahre beträgt durch die Erdansiehung diese Umlaufszett aul S8{ Jahre verkttrst oder auch auf 50 Jahre verlängert werden; eine parabolische Bahn kann durch die Erdanziehung in einen elliptischen ^trom verwandelt werden, flir welchen die Umlaufszeiten je nach der Entfernung, bis zu welcher sich der Strom der Erde nähert, selbstverständlich verschieden sind Nähert sich der Strora zur Entfernung p, so wird die Halbaxe a und Umlaufszeit T gegeben durch ^):
ftir p=\ 2345678 9 10 Krdradien wiida=2'65 5-04 7-43 9 90 12-40 14-77 17-19 19 64 22*08 24-45 Erdbahnhaibax. 7=4-31 11-31 20 26 3115 43 08 7 i-27 87-04 103-75 120-90 Jahre.
Dadurch werden dann diese Theiie aus der Sternschnuppenwolke abgelöst, sie eilen vor oder bleiben zurück, treten theihveise auch aus dem ganzen Schwarme heraus, sodass dieser in die lÄnge gezogen und verbreitert wird. Im I^ufe der Jahre bei wiederholten Vorübergangen niuss dann durch die fort- währende Zerstreuung eine Vertheilung des Stemschnuppenschwarroes und eine Verringerung der Dichtigkeit entstehen. Diese Zerstreuung ist aber um so grösser, je grösser die Zenithattraction ist, d. h. sie ist stärker fUr Ströme, die aus dem Antiapex kommen, welche sich also direkt bewegen. Daher kommt es, dass der sich retrograd in getinger Neigung bewegende Strom der Leoniden (Entfernung des Radianten vom Apex etwa 14°), so wenig zerstreut wird, und daher mit so grosser Regelmässigkeit nach je SB |- Jahren mit seinem Maximum auftritt, während die Zerstreung des Stromes sich auf etwa 3 Jahre, d. i. ungefähr ^ seiner Bahn- iari^e erstreckt Mehr zerstreut ist der Strom der Perseiden, fdr welchen der Abstand des Radianten vom Apex 40° ist; dieses würde aber noch nicht hin- reichen, die sonderbaren Erscheinungen der grossen räumlichen und zeitlichen
') TwLNiNG (American Journal of Sciences, II. Serie, Bd. 33, pag. 255) bemerkt, dass durch die ZeaidMttrsctioD auch der KDOtcn eine ictrogmdc Bewegung erhSlt, indem die Stemtehnuppeo sdiiidler, «Ito frOhcr, d. h. «d einem etwas niilicUiegienden Punkte der Erdbahn, inr^dt gt- Ingcn; doch betrifft dieses nntfirlieh nur die zur Erde oder in unmiltdbarste NShe deiselben gdsngendpn Metf-nre, nicht aber den ganxen Schwam.
') ScHiAPAHioxi, 1. c, pag. 153.
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KouMtra und Mcicofc.
Zerstreuung dieses Stromes zu erklären. Weniger intensiv, fast unauffällig sind die stark zerstreuten Ströme der Lyraiden (Elongation des Radianten vom A])ex 57**) und der Bieliden (Elongation des Radianten vom Apex 115*^. NamentliGh der letztere Strom scI^einC in stetiger Auflösung begriffen iv. sein.
Ganz ähnliche Wirkungen mUssen natürlich auch die anderen Planeten hervorbringen; nur wird bei ihnen die Wirkung in dem Maasse kleiner, als die Mane und die Entferauofl^ von der Sonne kleiner wird, d. h. je kleiner die Wirkungssphäre ist. SottAPAKELU giebt die folgende TafeU):
|
.Strümc aus |
dem Antin |
\ Strome aus dem A|3 |
cx |
|||||||
|
.or- |
Rela- |
Bc- |
ZcnitU- |
Kch- |
ZcnilU- |
|||||
|
halb- |
tive |
sclileu- |
attiaction im |
tivc |
schleu- ni^'tc |
attnction im |
E |
|||
|
mecMT |
1 GeschwiDtiigk. |
Horicoole |
Geschwindigk. |
Horixonte |
||||||
|
Mercux . |
0-390 |
008 |
19tS3"' |
■>oi^:) |
l^vi' |
1 T |
1 1 13558 |
1 13(171 |
U° 3' |
|
|
Venus, . |
0-909 |
0 8r. |
|U132 |
17717 |
12 22 |
7-30 |
83i-81 |
83743 |
0 35 |
|
|
Krdc. . |
1-COO |
1 ■{ 0 |
121-JO |
17 20 |
1 171 |
7U(U2 |
71520 |
0 12 |
||
|
Mar». . |
0-545 |
0-12 |
9818 |
11129 |
7 10 |
215 |
57224 |
57165 |
0 U |
|
|
Japiter . |
11-640 |
3380O |
6814 |
60419 |
79 56 |
20651 |
S097I |
67686 |
40 48 |
608 |
|
Saturn . |
10*010 |
tOI-00 |
39i4 |
85694 |
77 «7 |
Ii3l4 |
82873 |
33 6 |
S38 |
|
|
Unmui . |
4-790 |
17-00 |
27G7 |
-J1221 |
75 1 |
3830 |
iin-^o |
•26512 |
27 22 |
113 |
|
Neptun . |
4-460 |
la-üOi |
2227 |
Ubli |
78 45 |
1 12890 |
25898 |
m 5 |
L87 |
Dabei ist als Einheit der Entfernung* der Erdhalbmesser, als Einheit der Masse die Erdmasse gewählt; in der mit E Oberschriebenen Colonoe ist die äusserste Distanz 'n Krdradien) angesetzt, bis zu welcher sich der Körper nähern
muss, um eine Ablenkung von 4° im Horizonte SU erfahren.
Je kleiner die Wirkungssphäre ist, desto geringer ist die .Aenderung der (jcschwindigkeit, desto geringer dalier auch die Zenithattraction ; dieses ist bei den inneren Planeten der Fall. Für die äusseren Planeten, deren Geschwindig- keiten nur massig sind, werden hingegen die relativen (jcschw indigkeitcn aus ver- schiedenen Theilen des Himmeis nicht sehr verschieden, daher gleicht sich der Unterschied zwischen den Strömen aus dem Apex und Antiapex aus.
Bei dem Anlegen von Radiantenveraeichnissen muss man noth wendig jene Radianten zusammenziehen, welche am Himmel nur so weit von einander liegen, dass man die Unterschiede als aus Beobachtungsfeblem entstanden ansehen kann. Dabei ist jedoch zu beachten, dass der wahre Radiant fest ist, nicht aber der scheinbare, von der Erdbewegtmg afficirte. Es genügt, den Werth des scheinbaren Radianten aus demjenigen des wahren Radianten zu suchen, und den Einf^uss einer Veränderung des Apex auf den Ort des scheinbaren Radianten zu bestimmen, um sich von dem Fortrücken des letzteren von einem l äge zum anderen zu überzeugen. Auf diesen Umstand hat schon Ermann*) im Jahre 1840 hingewiesen. In den bisher festgehaltenen Bezeiciuiungcn wird, wenn noch mit g die Rotationsgeschwindigkeit der Elrde am Acquator, also gcosßi^t Rotations- geschwindigkeit in der Breite B, und o, 8 die Rectascension und Deklfatttioo des Punktes, gegen welchen die Erdrotation zu stattfindet, bedeuten:
V tos %cos % -\- G cos a cos d g cos B cos a cos l = «0 cos %! cos S)'
V sm%tos^ Gsmmtos d + gcos B sm9,tosi ^ «0 sm cos S)' vsi9t1S>'¥ Gsiftd-^gtosBsini^ u^stn^K
') 1. c, psg. 156.
*) AstroD. Nachrichlcu, Bd. 17, pag. 8.
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KoneMn und Meteove,
Aendern sich nun die Grössen a, ä, a, o so werden sich auch bei Constanten Werihen von p, % ® die Grössen Uq, S)' ändern. Die Untersuchimg wird am einfaciibien, wenn man die Gleichungen auf die Ekliptik bezieht; dann ist an Stelle von St, % a, d, S)': % o 0 (weil die Breite des Apex Null ist), 8', S' zu seuen. Die Richtung der Erdrotation ist senkrecht auf den Meridian gegen die Westseite su, und parallel sum Aequator; also die Rectascension des Apex der Erdrotation gleich der um 90^ verminderten Stemseit 8, und die Declination Null, also a « 8 90^ t « 0; hieraus folgt illr die lünge und Breite (X und ß)
cos ß cos Ä = -f- sin Q COS ß sin X = — Cüi^ cos % si»^ = -h cosQsint
und damit:
cos if' cos 33' ^vcös%€0s^ H- Gcosl-k- gC0sBsm% ff, sm 8' cos 3d' = V sin ? eos^-k- G sin / — ^ c^sBms 8 €9t s «0 ^'^ 23' = » sin Ö 4- ^ cos B cos 8 sin t.
Durch Differentiation dieser Gleichungen bei constanten 9» 8, 9» Cr, «t ^ erhält man:
cos 8' ö' Ä»o — «0 «■« ''^^ A«' - «0 '-''^ ^' 35' Aa' «
GsinlM -\- g cos B cos 8^8 iM 8' ^4?* 35' Alf, -¥ »0 '-''^ 9' Sö'Al" - f/o .r/« «' sin ^'A^' =
-I- G cos l '^l -\- gcos B sin ^ cos sin SB' A»o «0 ^''^ JÖ'A^' = — ^r^^J i^«« 8 j/« eA8,
folglich^)!
93' A2' = -+ 6" ^f?^ (/ — M — g cos ß [sm )i' cos 8 — cos sin 9 cos ej A8 »0 Aa' — 4- C? X/« (/ - 8') smSÖ>*M-- g cos B [{cos 8' 8 + + smVsinScos%)sin9^ H- f^dfüMtr^SIAa
Nun ist 8s , wenn p der Eidhalbmesscr, und o die Anzahl der mittleren
Ztitsecunden in einem Sterntage ist; femer 6^ , wenn die mittlere Ent«
fernunp der Krde von der Sonne, T die T.änge des 'ncobachtungsjahres, tind tuj die Aozabl der mittleren Zeitsecundcn in einem mittleren Sonnentage also
^ — 1002738 ist; daher ist m
G m
p
und da ^ =sin-^ ist, wobei tcg die mittlere Aequatorcai-Hürizonlalparallaxe der Sonne bedeutet, so wird
g^G^ Tsm = 00165 G = 460 m;
soll in Stunden ausdrückt werden, so hat man 15^=0 247 G oder hinreichend genau z\x substituiren; man kann daher schreiben:
w«'A8'-= ~ [cos{l~^ VyM-icosBsinpsmf^B]
^fS^''-^[sin{d-'2')sin^'A/-i cos B{cos p sin »' + sin 8 sin t cos 8') A 8J A8 in Stunden; Ai; A8', AS' in Graden,
I) Ermann erhält ASB' von ^/ unabhängig, weil er A»^ vernachlässigt.
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I90
KoiMln und Meteore.
wobei / und q eine einfache geometrische Bedeutung haben: es ist / der Winkel zwischen dem Meridian und dem Breitenkreis des scheinbaren Kadianten, und q die Breite des DttTchschnittspciiiktes dieser beiden Kreise.
G
Da nan — < 1 ist, so wird bei einer z. B. 3 stündigen Beobachtung €os^*U'^
und LWl noch nicht ^ sein. Man sieht flbngens hieraus auch» dasi man die von g abbSngige Verschiebung des Radianten, die sogenannte >tägHchc Abeirationc desselben, gnnz übergehen kann^). Für die Verschiebung des Radianten, irelche in Folge der Aendening des Apex eintritt, hat man daher:
cos Ji3' 8' - — cos (/ —
«0
Da der Apex täglich um nahe 1 fortrückt, so erhält man die tägliclie Veränderung des Radiationspunktes, indem man d/ = 1 setzt. Man wird daher den Radianten nicht ffir längere Zeit als constant ansehen dürfen. Hieraut Itat bereits Schmidt aurmerksam gemacht; doch kann man Muielwerthe filr mehrere oder einzelne Tage nur nehmen, wenn ftlr jeden Tag eine genügende Anzahl von Bestimmungen vorliegt; da dieses jedoch bisher nicht der Fall ist, so muss man sich jetzt noch mit Mittelwerthen aus mehreren und selbst einer grösseren Reihe von Tagen begnügen. Immerhin wäre es angezeigt, die Radianten mehrerer Tage, ehe sie zu einem Mittel vereinigt werden, auf eine gemeinschaftliche Epoche zu reduciren.
In aller Strenge aber dürfte man dann nicht die zuletzt abgeleiteten Formeln anwenden, sondern wie dieses v. NiESSi. zuerst gethan hat'), auf die kosmische Verschiebung des wahren Radianten Rücksicht nehmen, welcher aber erst aus der Betrachtung der Bahnen, weiche die Meteorströme um die Soone beschreiben, herviirL^cht.
VII Bestimmung der Meteorbahnen. Die Bestimmung der Bahn eines Meteorschwarmes unterscheidet sich wesentlich von der Bestimmung einer Planeten- oder Kometenbahn dadurch, dass man nicht drei oder mehr Positions- bestimmungen hat, sondern nur den Radiationspunkt« die Richtung ans
^) Denkt insD sich d«n wahren Radianten bereits wegen der Bewegvng der £rde in ihicr Bahn oorrigirt (mit Ausschlus« der von ^ dtbBngigrn (Miedn), und sucht dann noch die Correction wegen g; so kann man Afw^ Mi SB' ms s^mr 9mü9, u. t. w. b«liachten; man criiilt dann in geoau derselben Weise
Up
= - ^e»sß [(SM e
«0
Dabei ist der Coilffident, wenn man die Aendemog ^eich in Graden erhftUen wiÜ:
Die Fomcln werden hier noch einfocher, wenn nwn sofort die Vcnchichnng in Rcctsscension and Dedtnalion sucht; dünn iit c » 0, und man bat:
&S>' . ~ X ,os BHh (9 — «') sm 2)'.
«0
*) SilxuDgibcTichte der Wiener Akademie der WiMensdiailen, Bd. 83, p«g. 96.
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Konctm md Meteore«
191
welcher die Meteore zu kommen scheinen. Ein zweites Datum ist allerdings die Beobachiungszeit; diese giebt den Ort der Erde, also den Schnittpunkt der Sternschnuppenbahn mit der Ekliptik , d. i. den Knoten, und zwar den auf- steigenden oder niedersteigendf-n Knoten. Die Entscheidung hierüber ist nicht schwer. Ist die Breite iö des Kadiationspunktes positiv, so kommt der Schwärm aus der Richtung der positiven Breiten zu denen der negativen, der beobachtete Schnittpunkt mit der Ekliptik ist daher der niedersteigende Knoten, und die Richtung des aufsteigenden Knotens befindet sich in der Richtung der Sonne; es ist also die Länge des aulsteigenden Knotens gleich der SonnenUnge 0; ist hingegen die Breite 9 des Radiationspunkies negativ, so wird die LSnge des aufsteigenden Knotens ISO** + GX Angenommen wird nun, man habe den scheinbaren Radiationspunkt direct aus den Beobachtungen abgeleitet, was ja keine Schwierigkeit hat, wenn man die Schnittpunkte der scheinbaren Bahnen einer grösseren 7nhl von Sternschnuppen an der Himmelsku<:el in einen Globus oder eine Sternkaste einträgt. Dieses graphische Verfahren wird bei dem jetzigen Stand der Genauigkeit der Sternschnup})enbeübachtungen stets ausreichen. Aus diesem scheinbaren Radianten ist zunächst der wahre Radiant zu bestimmen. Dazu können aber die auf pag. 189 angegebenen Formeln nicht dienen, weil dieselben die Kenntniss von u^, der relativen kosmischen Geschwindigkeit Toraosaetzen. Kennt man diese (ebenfalls aus den Beobachtungen), so hat man alle £ur Berechnung ndthigen Daten» Allein man kennt nur Mittelwerthe aus ver- einzelt erhaltenen Beobachtungen an verschiedenen Punkten, und gerade fllr die Meteorschwärme ist es zunächst unmöglich, oder wenigstens nicht leichter als für vereinzelte Meteore Bestimmungen von absoluten Höhen zu machen, da die ungewöhnlich grosse Zahl der nahe gleichzeitig erscheinenden \Tetcorc eine IdentJtikation der an verschiedenen Punkten gemachten Beobachtungen erschwert. Man ist dann auf gewisse Annahmen über die wahren kosmischen Geschwindig- keiten angewiesen. Unmittelbar gegeben ist diese dort, wo die Umlaufszeit des Schwarmes bekannt ist; dieser Fall findet z. B. bei den Leoniden statt; die Umhwfsseit ist fllr sie 83*25 Jahre, daher die grosse Axe 10*84; hiernach wird die Geschwindigkeit in der Entfernung r « J? s 0'8911 (fllr November 13):
1/2 i
0)
daher lur die Novembermeteorc (A' = 0*9911 iür den 13. November) w = |/l*92l2 = J-3861. Ist umgekehrt aus der beobachteten relativen Geschwindigkeit die wahre Geschwindigkeit p gerechnet^ so erhflt man
a =
l
(2)
wobei V m Einheiten der Geschwindigkeit der Erdbahn auszudrücken ist, also wenn dieselbe in Kilometern gefunden wurde:
V aas
(v) Kilometer
29-6
Sei £ (Fig. 269) der Nordpol der Ekliptik ^ der Apex, S' der scheinbare Radiant; nach
Fig. 265 ist dann AS' = ^ und man findet <|i und die Neigung 7 des grössten Kreises AS' gegen die Ekliptik aus dem Dreiecke AES, in welchem A£=90^t ES « 9Q'' — a', AS' = ^ AES' « 8' — /, < S'A£= 90** - 7 ist:
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i^s Kometen und Mcleoie.
cos tj; = cos COS (8' —
sin '} stn f = stn ii' (3) sin ']/ (OS 7 = cos 33' «*« (V — /).
Da < 180** angenommen werden kann, so wird sin ^ stets positiv zu nehmen sein.
Nun ist der walire Radiant (vcrgl. Fig. 265) in der P'.hene Apex — Beobachter — scheinbarer Radiant £;elegen, also an der Himmclskugel der wahre Radiant S in dem ^^russten Kreise AS'', sei derselbe S, so ist yiS = f und
In dieser Formel ist jedoch, wenn die Excentnciiai der Erdbahn nicht ver- nachlässigt wird, G die wahre Geschwindigkeit der Erde, in Einneiten der mitUeren Geschwindigkeit, also
oder ausmcbend genau mit Vernachlässigung der zweiten Potenten der Eacentri- dtätenO
Ö = (4a)
Dann folgt aus dem Dreiecke ESA, in welchem EA'»^", AS^f, ES = ^Q" - Jö, SEA e - / ist:
cos 35 siti — /) = sin ^ ^«f 7
cos 8 — /) = cos 9 (6) sin 33 = sin 9 sin 7.
Dann sind die ComponcTitcn (ier wahren Geschwindigkeit v nach den drei Axen, von denen die AT-Axe nach dem Frühlingspunkte gerichtet ist:
äx
^^^veos^sMi (6) ^ « —
Die Coordinaten der Sternschnuppen tur Zeit der BeoiMchtung sind identiicb mit den Coordinaten der Erde; sind also 0^ i?, Lttnge und Radiusvector der Sonne, so ist
x= — RcosQ) y = — RsinQ i = 0.
Da nun (vergl. d. Art. »M. d. H.«)
dy dx , .
dz dy ,
dw dx r~
') Setet man A = 1 + >> 10 ist a von der Ordnung der Excentricität, daher
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ist, wobei p der ParaiMter der Bahn, i Knoten und Neigung derselben, und k^, da man es mit einer heliocentrischen Bahn zu thun hat, die Constante des Sonnen sy?;teTn<^ ist. Wählt man aber für v ah Einheit die mittlere Geschwindig- keit der Erde in ihrer Bahn, so ist ^ \, daher
Ypcos i = R V cos © sin (8 — 0) . '
Ypsin sin i ■= R V sm i3 sin 0
cos Sh sin i = Rvsin^ cos 0.
Nun ist aber, wenn der Kürze halber alle auf den Fall »iB positive bezüg-
Uchen Formeln mit a, alle aof den Fall >^ negative bezüglichen mit i bezeichnet
werden: ^ * ^
ft«0 (la) a-18O*H-0 (Ib).
Setit man dieaea in die zulelat «ilialtenea Pormelo em, ao weiden ^ letiten beiden identisch, und man erhxlt:
Ypsini= Rvsrnfß ^ Yfi sin i ^ — R v sin
Hieraus werden / und ^ bekannt; da v und a nach (2) gleichzeitig bekannt werden, so folgt dann
p
1) filr den Fall der Parabel; die Periheldistanz f ^ ^
8) „ der Ellipse: ew* ^ ^ a* (^)
3) „ der Hyperbel: ^»l-h^. Aue der Gleichung des R^ielscbnittes:
t
in welcher V £e wahre Anomalie bedeutet, folgt
dr km esm V
Es ist aber
dr dx dy d*
^Tt'^'^Tt'^^'di'^^ dt
und da fUr den Augenblick der Beobachtung r » ist, mit ROcksicht auf (6) und (7)
R t sin V ^ M <^
— T= — '^Rvw^cüii^ — QSi
demnach
e (OS ^ ~ ^'
> Im Augenblicke der Beobachtung stehen aber die Sternschnuppen des
Schwarmes im Knoten, es ist also — V der Abstand des Perihels vom Knoten, im Falle a) vom niedersteigenden, im Falle b) vom aufsteigenden; es ist daher der Abstand des Perihels vom Knoten:
0, = ISO** - V (a); « . — K (b) und folglich die Lttnge des Perihels in beiden Fällen:
««180"- K-4-0. (V) Die Durchgangszeit durch das Pehhel ist belanglos, da sie bei einem Schwärm (toiLdie einzelnen Scemscbnuppen nicht dieselbe ist.
o. 13
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Beispiel; Es sei Juki 8'^32ö"i)'; Si' .^s' — 17^24; JsepbAc^tct., ■
Man bat für. diesen Tag (yeq;!. pag. 129): . , . \ , \
/— .86°13'; 0« 125^48'; /^i? = 0 0065j lciGfm9^d5.^. Jn Ennangelung irgend welcher^ Kenntnisse ttber die Gescbwindkkeit« irisd
V K ^ -^^ , also eine parabolische Bewegung angenommen, also
Die veit^ Recbnung wird:
Uff €9s (8' — /) — 9*5895 hi t»s (8 — 0) -i 9-9744»
Ug (9t 9' -> 9*9797 kg(cs%^ 9*9788
ü^sm (8» — /) — 9-9644« hgim (8 - O) = 9 5231 logsm^smt^^Albln iP» = 01537
*/» 4» fi^j 7 = 9-9441« sin 8 = 9-4837«
log sin ^ = 9-9679 hg^sin i = 9'6374
% cos ^ = 9-5r)n2 9*8584 hg sin (9 — 4») = 9 8 142 % V> * = 9*6556
%y7 = 9-7972 A»^/« 9-5914
ib»i'y79- 9*9444 i^«'^tfx9rM(8— 0)« 9*9588«
log^^ 9 5879
5«i^/r = 0-1994 • Zog sin V = 9-8976« log (OS V BS 9-7873« F= — 127°49'
A*» 805' 48'
43 48
- . . . . - I' > . . 1 ' * = 73 37
/ojr q ^ 9'2934
Würde man eine Ellipse vorausscUea mit <ier Halbaiie gleich 5w ao wäic
a-5, % (I ^) - 0*2480, ^9^^18401 Asrf — 9*8894
ülgsm{<f — == 9-8373 (? — 0) = 157° 39' ' log Ypv « 9-92ß9
9=lir40' %w(Ö-0)=9-566U Ä)!ftfw»^<?j(8-0)= 9-9454
% f/« 7 = 9-5078« %<:e7^Ö = 9-9796 /
9-9688 Ä^^w/iCe-©)« 9 5801 Ayjg — »-5998
Ar^A^XT« 9*9762« Atr^v» 0*1305 5»Mr« 0*1807
Ä^r»58^«(8-0^ 9-5678fc A^r jä»8 = 9-4760, Av/^im l^i- 9*872(^
9-9648 Ar 9*6065« Ar^im ri«9*780Qb
Ajj'tfwaj/ViCe^O^ 9 9444« 9-8878 — -m^SO'
8 — /= 247° 14' /e?^v> r^jrtr. 9-6902 — ■
^ = 283 27 yj^ 9-8029 A 1— 805* 48'
© = — 17 25 Ä)-^/« 9-6058 /— 39 31
/ P 74 44
&^--8-«06« Aya = 0-6990
= 9 4534 logtma 9-9817
-i - ^
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|
68"* 14' |
|
|
108 55 |
|
|
9-6078« |
|
|
9-9759 |
|
|
9-9762« |
|
|
kg COS ^ cos {^ — l) 1= |
9-5108«. |
|
9-9733 |
|
|
/i?^ J<» (8 — /) = |
9-9521« |
|
8-/ = |
250° 6' |
|
8 = |
286 19 |
|
9^ |
—17 44 |
I
Die RedmuBg Umt ach jtdosh. noch in bequemerer Weise ftnordnen. Be- rücksichtigt man, dass / = 0 m — 90°, und m ein kleiner Winkel i«^t, dessen Sinus man mit dem Bogen und dessen Cosinus man mit der £wheit vertauschen kaoD^ 80 erh< man aus (5): * > ^ • •
\ . . , -h cüsB cos (Ö — O) cos sm {'!t^~Q)-ta^sinfCot^ . • . . • — cos 93 sin (8 — 0) -h cos S3 (2 — 0) • to = cos 9,
daiier mit Kücksicht auf die Formeln pag. 165, und wenn man in den Coeffi- denten von m die ersten Kttheiungen einfiihrt (die zweiten Poteikzen von u vemacblüfisigt):
V cos ^ cos — ©) ^ *0 ^ cos Ui (Uq cos ^ — G) . , . V
Vt»s!dtm{i'^0)'^'~ f^ocos^-i- G <o {Uf^sin <J* cos 7)
Entwickelt man in Shnlicber Weise die Formeln (3) und setxt die Weithe in diese Gleicbitngen ein, so erhalt man:
I» a <-<»x (8 — O) = w 33' (8*.^ O) — »
indem ridi alle flbrigen von der eisten Fotens von o abhängigen Glieder weg- heben* Hier Ist noch die Kenntniss von »q nOthig; es ist aber:
uj^&^ f»i+ %Gv€9$^ ta <P + i?t^_ ^Gv€»sBe^(!i — 0 CS 4- „1 _ 2 1? » © jÄi (8 — 0 - •) » tß— %Gv [Mr 9«w (8 — 0) — » fäsfdtos (8 — 0)]
oder
»g* — ^Guq cos^ v'* — G*
tf« ^G(0s^ ±y G^ cos^ «j» -f- f » — G* « Gcos^±. — G^sm^ 4». Hieraus folgt, dass der Minimalwerth von v, welcher ein reelles giebt,
d, h welcher mit dem beobachteten Radiattonspunkte bestehen kann, v = G sin^ ist; eine Bcmerkimg, die bereits Kfman t3,}o p^emacht hat. Es ist dieses jedoch nur eine rein geometnsclie llezieiumg, welclie besagt, dass in Fig. 265 as>aa' sein muss; in der That lässt sich sonst in der angegebenen EloQgation ^ kein Punkt s hnden.
Ist v> Gsin<^, so sind drei FtÖle zu unterscheiden :
a) Ist — CP stn^^ ^ < G cos und <]; < 9Ü°, so giebt es zwei Lösungen für dieses findet statt, wenn v> — G^sin*^< G^cos^^ oder v <G ist; es lind di^ beiden Sttedum ^a, ^ß, wenn a, ß ,die Schnittpunkte des aus a als Mittelpnokl.mitf.d^m'H^Q>me9se^ ««B^ tfßn.ff besebnebenea Ctdi^bogens mit MSf iBüA. ^ ' , . ■
b) tst r< und ccs^ negatiV, ^Sb ^>90** ßii Big.Ü6Ä Ifi'die Richtung der StemSchnlippd und < (5) £^ so sind' beide l^sungen für negativ, also, da Uq eine wesentlich positive Grösse sein muss, überhaupt keine brauch- baren T önungen; die beiden Schntt^unkte fallen in die VerlAngerung der Geschwindigkeitsrichtung.
c) Ist Yv* — 5m ^ > <? eo!^ also v'> G, so kann nur das obere Zeichen genommen werden, und es giebt nur eine Lösung
Uq — Gcos^ + |/»»_ G^sin^^ (8) für tj/ < 90** der von E entferntere Punkt t' und iUr <^ > 90"* der in der Richtung des Radianten gelegene Punkt («').
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196
Der erstere Fall entspricht einer elliptischen ^ewegiiflg, ^ %elclie di« Halbaxe kleiner als die Erdbabnbaifaaxe isi; da nämlich
ist, so wird p ■< G, wenn n < 1 ist. Ehman schlies^t diesen Fall nicht aus und hätte daher folgerichtig für jene Fälle, in denen er (für den Augtistschwarm) t> = 0"657, 0774, 0"99ü annimmt, beide Lösungen untersuchen müssen^). Schliesst nian nach den jetzigen Kenntnissen von der Geschwindigkeit der Meteore diesen Fall aus, so erhalt man nur eine positive, brauchbare Losung in Fomel (8). I>er Atisdrtick unter dem Watteltelehen «iid:
<?» ^M» ♦ H- — -h 1 — ~ .
Für den Fall, da^s der absolute Werth von a nicht sehr klein angenommen
wird, WS8 bei Stemschnttppenschwimeii stets der PaU sein wird, kann man
1
nach Potenzen von ~ entwickeln. Führt man cas ^ = £fis ^' ms (8' — /) ein, und
a
Mttt;
so folgt
Da »0 positiv sein muss, so wird 2< 180 zu nehmen sein; also im ersten oder zweiten Quadranten, je nachdem cotang z positiv oder negauv ist.
„Die Convergenz dieses Ausdruckes wird noch erhöbt durch das Auüreten voD-iiis* M im ZfUüer'). Man hat daher an reeiiiiaB:
cos cos (g' — /)
mw^w^mt a<180*. .< . l/~ <aa**
oder
M Sinz r. . fsin^zX , /fi«' «\* ' I
Ist Uq direkt gegeben, so wird der Werth bei der Rechnung sofort benützt. Weiter die Formeln a) oder b) je nachdem.^' postUv oder negativ ist;
*) Die zwciia LBcuog gicbt, wie die untcB feigeadeB FoimelD II se^|wi, cincB adn- UeintB Werth der Ncigong. NBemf Dadite ment PmCB in den •TnaiMlioBi of tbit Anuäncap. PbiliMopliieal Soeictf, Bd. 8« mfincrkttun.
FBr « w oe «ihilt man hicnmt den bekannlcB WeMi flIr die FHii)d: » mt^—-
vcqjL T. OnoLZia: letiilweh snr BuhnbeMiainaBf von Flaaeten «nd Kometen I. Bd.« % AelL,
pag. 350. Es mag bemerkt werden, dass dort in den Ausdrücken JY dw Zozatxglied m Cdiit^ welches nicht ohne EmfluM auf di« Uebereinsttmoiung der Resultate Air # «M den Femda III aod IV blcibu
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19«
ß = 0 (la) R= ISO'^-hO (Ib)
FUr die Fanbel: qws\p\
ter die Ellipse: €
ftlr die Hyperbel: = 1 ^
(ni>)
(in)
e^tff Fi» *
Es soll das frühere Beispiel gerechnet werden. Es wird:
(IV) (V)
g' — /=292°52' 15' =—17 24 y — 0 = 203 17 («'-/)=» 9-5897 tf<wi^%^ »99995 i^^rM 9' «9-9797 A»^iM(8'— 0)-9-S969» A;^^ r«f (Z* — 0) « 9*9691«
kg 9^ 69° 56'
las p== i^ ö944 0, = 4- 25' = 0 00727 /e;^ t ^ ^c^i (1'' — 0) = 9-9428«
hgu^cos^Uosi^'^Q)) = 0 098U
ib^v^rArS'^wfCS'— 0)— « «- 0*1006«
Z^;^ ^ « 9-5879
5i*^/r •=» 01995
log sin F= 9 8978« iij5^^<?j J/=r= 9 7874« -127°
1^0« C0tang\z = O l 553 hg sin = 9-4757,
Ä»^«o ^ = 01618 -127° 48'
Ä7g 35' (9' — 0) « 9-5766, ksRu^cos iÖ'««(8' — 0) « 9-73Ö4.
iliA/ — «-9179 • bg €0$$^ 9*6565
9*8584 :
FUr die elüptiidie Bewegung mit der Halbm wiid die Rechnung:
A = 305° 48' 48 '48 «B 78 36 iSiVf — 9*8984
1-0480 IßgComJä 9
'90000
8=9718 0^904 >l|-9989
'0-1558
0-<H41
0-0039 10480
Subtr = 9-9691 . U^u^ .»0-1244
ÄST*«»'«» 9-4757, /t7^;^o^» 0*1809 ^»i^^tff 9' - 0) » 9*5766» togBu.t0tf&^$m{V-Qy) = 9-7075«
^—9-9898
Vt**' * 9-6898 9-8871
Ugypsini= 9-6066 lagYp^ 9-8027
Ä»^ I = 8*9064 .
log cos 9-4532
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1^ Konten mkl
%<rwöV£?x(8' — 0)«9'9428« . ■ .
iky *<w»' (?'- 0) = 0 0672«
/f;^ü» « 7-8615 . Suifr = 0-0026 /ff^[Uf^cos':b'£osi;i'-0)—in] = 00698« .
i^^ ^ « 9 ^989
5«^ 0-1813 805« 48'
. 9*8787« (i- 39 33
98909 «— 74 44
i^g»/-«^«»; r= 9-7802« 0*0990 K—— 128* 66' it^f 9-9818 Wären die Gleichungen II and IV von einander unabhängig, so wttrden nch hieraus, wenn man für Uq seinen Werth substituirt, ood 4tenn die Glei- chungen H qnadrirt und addirt und ebenso die Gleichungen IV, zwei Glei- chungen /^wischen f>, e, a ergeben, oder da = <7 (1 — e^) ist, zwei Gleichungen zwischen c und a, so d:iss diese aus dem gegebenen Radianten bestimmt werden könnten. Dieses kann aber nicht sein, da ja die Axe nur von der Grosse der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung abhängig ist. Hieraus folgt, dass diese vier Gieicliungen nicht von einander unabhängig sind; in der That lässt idch dies auch dvdtt zeigen. Geht ntn so diesem Zwecke von den (Heidiungen auf pag. 193 aus, so erhMlt man:
^ . je<9> 8iM* (8 0)H- Ms*iq
Suh4titp]iit.n«n hiec. und seist Rflne halber
— 0) + «»«» — «»; «••ö^iM^ -0)=-'«»
so {(»Igt :
• . * * . ...
Setit m^ weiter »'^ '■g • m folgt:
P . J'. ' .
1 —
Eliminift man ^ , so erhilt man die Gleichung
1 — (2 — /w;c (2 — « « 4- [(2 — «) » — IJ«
oder
(t — «) [(S — «) tw (si -h lO " ^ ^ + iH^O « 0» welche Gleichung, da «» + n 1 ist, eine Identitit eigiebt
Die geihndenen Formeln reichen aus, um die umgekehrte Auignbe sulOsen: Aus den gegebenen Elementen eines Stemschnnppenschwarmes seinen Radiatioos- punkt SU beatimmcn.
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Kometen und Meteore. 199
Als Elemente können angenommeö werdeii: V;' e] ftlr die Parabel ni gs^ ], p ^ Ar die EUipse ist ^ » 0 (l — e*) and für die Hyperbel pssz a {e*— 1); man kann daher M %mm dieser drei Crossen die dritte leicht finden. Nun muss
0 (In) oder O = ISO** A (Ib)
sein. Mit diesen Sonnenläogen erhalt man dann
y= 180° H- 0 — 7t und aas den Ephemeriden den zur Sonnenlänge ^ {gehörigen Radiusvcctor
Zur wahren Anomalie y gehören nun zwei Radien vectoren r, je nachdem man die Sonnenlänge aus (la) oder (Ib) verwendet; es ist
\ ecos V*
Soll nun der Stemschnuppenschwarm die Erde schneiden, so muss r R sein; der zweite Wertli wird verworfen; wird r — R lür die Sonnenlänge aus la, so ist der Stemschnuppenschwarm im niedersteigenden Knoten beobachtet; ivewi f&r Ib^ so irt Ae Beobaclitung im aofrteigenden Knoten. Dann folgt
cos ib' sin («• - 0) = Vf^'^" ^ eo$ »' C9S (8' — 0) =
(Ula)
artV
(inb)
.»0 sm iö = — ^^jp: ;
Beispiel: Bs sei Ä*«a45*'53' ^ ^ ■• «
■ , • - • ■ 12 33 - • ■ ' ' '
-"• ••• = ^ N y - IC 108 58^ : > '.r . . , •• ,■
.-^ • - ' ' • • • • ■ ' logp « 0 1794 • • • I > t.; 'j . : ' " hge^ 9-8785 ' • : '
' Es ist zu untersuchen; 0= 245**ö3* and 0 = 65^ 63''
Hierfür wird 316 55 136 55 •" ' ^
' ■ = 99986 ' 04949;
es ist daher der zweite Werth zu verwerfen; die Erde wird vom Schwärm in seinem niedersteigenden Knoten getroffen, und zwar am 28. November, zu welcher Zeit die Sonnenlänge den angegebenen Werth hat; für dieses Datum ist Zog R « 9*9958 ttnd « = -H 46;9' — 0'0I86; die wettere Rechnung vM:
hgtstnV^^-im» logYp^o-am VF kg(^€9si^i)^9'mt
^m*^ S*13S5 hgR^ 9-9958
Aid^ 9-9866 lag Ypsimi^ 9-4S67
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too
ii?f«»^MÖVw(r — Q) « 9-6889»
9-9577
üf^ cos SÖ' ^ 9-6S12 9-9414
A7^»oj^a'<- 9*4809 (8' - 0) — 155"» r
41 0 ff— «ew
ö' + 29 20 ©'—+48 37 " 49»^ »0 « 9*7408
Hier wäre noch die Zenithattraction xu berOck^cbtigeD; man erhIÜt mit dem Argamente 0^5506 ans der Tafel pag. i68: 0—10^ 59*7'; die Berechnung der Veränderung des scheinbaren Radianten crrordert aber die Kenntntes der Zenithdistans, und kann daher nur von Fall zu Fall durchgeführt werden.
Die scheinbare Elongation des Radianten vom Apex ist gegeben durch (as']^ = ros 5^' i'os (I?' — 0) und ergiebt sich 4» = 112** 14'; damit erhält man flir die wahre Elongation und wahre Geschwindigkeit nach den Formeln pag. 165: f » 157 lö'; /o^v = 0 1204, in&n eriiält direkt mit dem Werthe /ci^a ^ 0*5476
1/2 r
die Geschwindigkeit v = y — - ik^ p ^ in genügender Ueberdn^
Stimmung.
Vni. Stellare Sch w arm e. Für die Berechnung der Stemsclinuppenschwärme legt man, sofern nicht durch die Umlaufszeit eine Kenntniss der Geschwindig- kdt erlangt wird, die parabolische Geschwindigkeit «1 Grande« Man retcfat damit tnmeitt ans, und kann diese Näherung mtt- demselben Recht anwenden, wie man bei der Bestimmung von ersten Kometenbahnen die Parabel an Grande legt Allein in vielen Fällen wird man dadurch doc^ |p einen Fehler ver^ Gillcn; fllr detonirende Meteore und zur Erde fallende Meteormassen hat man &st ausnahmslos Geschwindigkeiten gefunden, die die parabolischen weit ttber* treffen. Das Meteor von Pultusk hatte nach Galt e eine Geschwindigkeit von 7-28 deutsche Meilen, d. i. nahe 55 v. NjtssL giebt eine Zusammenstellung der von ihm berechneten , und in verschiedenen Bänden der Sitzungsberichte der kais. Akademie der Wissen schaflen in Wien publicirten Resultate^) in seiner Abhandlung »Uebcr die Periheldistanren und andere Bahnelemente jener Meteoriten, deren Fallgeschwindigkeiten mit einiger Sicherheit beobachtet werden konnten^. Die Geschwindiglceiten ergaben sich su 55 bb 150 An^ im Durchachnltte zu 75 km, Hierduvcb scheint sich eine neuerlicbe Trennung swischen den Meteo* riten und Sternschnuppen au ergeben, und thatsächKch spricht auch ScmAPasnu von swei Arten von Kdrpem: Kometen und Steraschnuppen, die in parabofi* sehen Bahnen und Meteoriten, »Boten der Stemenwelt«, die in hyperbolischen Bahnen zu uns kommen').
Der Unterschied fällt aber wieder, wenn man die Erscheinung näher be- trachtet: Es giebt kosmische Körper, die sich mit verschiedenen Geschwindig- keiten bewegen; je grösser die kosmische Geschwindigkeit, desto grösser die Wahrscheinlichkeit, dass sie tiefer in die Atmosphäre eindringen, oder zur Erde fallen; folglich werden in die tieferen Regionen der Atmosphäre und zur Erde
«) Vergl. Bd. 75, 79. 83, 88, 93, 96, 97, 98.
') Verhandlungen des naturfoncbenden Verems ia Bittnn, Bd< 99»
'j 1* c*» P*& 219 tu>*l 232.
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nur jene gelangen, deren kosmische Gesell windi ekelten eben die grös&ten siodi also, die sich in hyperbolischen Bahnen bewegen.
Hierin ist auch eine sehr einüAche Erklärang der Erscheinung gelegen, dass SU den Zeiten der grossen Stemschnuppenfälle so wenig detonirende Meteore und MeteoritenfälJe zu verzeichnen sind; diese Erscheinung wird um so auf- fälliger, je mehr Aufmerksamkeit man den Meteorerscheinungen zuwendet. Nun ist aber die Detonation eine secundäre Erscheinung, welche von der Zusammen- pressung der Luft (^ümbctzung der Warme m Bewegung) herrührt, und hängt wesentlich von der Entfernung des Meteors ab. Detonationen können daher nnr bei den tief nach unten gelangenden Meteoren, also bei jenen, welche mit grosser Geschwindigkeit in die Atmosphäre gdangen, auftreten. In der Tbat haben sich ailcb bei den grossen Stemschnuppenfilllen. noch am meisten Meleoritenftlle cur Zeit der Leoniden, die aus der Nähe des Ape]t (veigL pag. 187) kommen, geseigt
Wenn die Meteorite nnn auch wahrscheinlich stellaren Ursprungs, als nicht zum Sonnensystem gehörig anzusehen sind, so seigt ihre chemische Beschaffen- heit, dass rie sich nichtsdestoweniger ihrer Zusammensetzung nach von den dem Sonnenqrstem angehörigen Körpern nicht unterscheiden; hieraus einen Grund gegen ihren stellaren Ursprung zu schöpfen, ist aber durchaus unzulässig, da man ja bei den Untersuchungen über die Fixsterns)iectrr\ pcnnu zu denselben Resultaten gelangt. Dass sie aber stellaren Ursprungs sind, ^igt auch noch eine eingehendere Untersuchung ihrer Radianten.
Es zeigt sich, dass gewisse Radiationspunkte durch mehrere Wochen, selbst durch Monate, ihren Ort am flimmel unverändert beibehalten, stationär bleiben. Beispiele von stationären Badianten führt Denming aus seinen Beobachtungen 1877 und 1885 an:
Zwischen Juli 13 bis September «a: « 7*: ^' — -h 13*
„ „ «7 „ December 4 30 -(-36
n M 30 „ November 7 31 -i- 18
„• Juni 26 „ „ 30 60 H- 50
„ August 21 „ September 21 61 '4-36
„ October 9 „ October 29 92 • 16. ,
NnessL (tthrt^) die folgenden Meteore mit nahe demselben Radianten, an: 3. Juni 1883, 7. Juni 1878, 17. Juni 1877, 13. Juli 1879; St' = 249^ S)' = — dieser Radiant findet sich auch noch im Monate Mai und August und zwar am
18. Mai 1874, 20. Mai 1869, ao. August 1864, 11. August 1871, 19. August 1847, 31. August 187 1.
Femer den Radianten St' = 21 °, ©' « 4- 19* bei den Meteoren vom 5. September 1863, 19. September 1861, 25. September 1862, 15, October 1889,
19. October 1877; den Radianten: = 216'', i^' — -1- 4** bei den Meteoren vom II. April 1871, 21- April 1877, 12. Mai 1878; hiermit im Zusammenhange stehen die beiden Radianten: V = 193°; ^' = 17** vom 5. September 7872, und ^' = i3ö°, = o*; vom 26. September 1865 ""^ 27. September 1870*). Femer die Radianten.
') Astron. Nachr. Bd. 107, No. 2566.
8) Kosnüscbcr Ausgangspunkt: 8g =^ 182% ^0 +
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W = 100% S)'^ -H 28* für das Meteor vom 27. November 1S62 109 -+- 26 I, 24. December 1873
114 -h 22 „ 17. Januar 1894
86°, 28° „ 14. Mai 1Ö67
90 +28 „ 9. Juni 1888
86 +44 M IX. „ 1867 1).
TuPMANN untenachte zuerst die Bedingungen, anter denen ein Radiant flUitioaSr sein kAnne, und fand*) als Bedingung hieffllr: schwache Braite, diickte Bewegung, Periheldistans des Condcnsatiomcentrains nahe 1, und die Lage das Badiantea (tir die lAitte der Zeit der AnsBtrabluqg nahe dem Antiapex.
Eine ausfilhrliche Untersacfanag dieser Exschemusg gab v. Niissl^. Die Aufgabe ist soDftchst: aus der kosmischen Richtung und Geschwindigkeit eines in die Breite gezogenen Schwanns, der die Erdbahn in einem ziemlich ausgedehnten Bereiche trifft, die Bahnelemente und den scheinbaren Radianteri zu finden, welche den verschiedenen Knoten entspreclicn. Auf Grund der im 1- rüheren hier erhaltenen Resultate kann die Ableitung lulgendermaafjsen geluhri werden:
Da es sicli um Schwärme handelt, welche aus dem Weltraum kommen, so werden die Bahnen Hyperbeln sein, deren Asymptote die Richtaag im Welt- raum giebt Sei also (Fig. 268) Ifjt die Erdbahn, O die Sonne» «SAf die Bahn eiaeaStemschnup- penschwanns, weldier die Eide, in AT schnei<iet^ so ist QD die Richtnog, aus walcher der Schwärm kommt, und diese Richtung ist bestimmt durch die Parallele O^, weiche mit der grossen Axe, d. i. mit der Richtung nach dem Perihele E den Winkel IbO'^ — A einschliesst. Ist nun l'^ die heliocentrische Län^e, iö© die heliocentrische Breite der Richtung OA, also des kosmischen Ausgangspunktes (lur den stellaren Schwärm idaatiscb mit der geoceotrischen Länge und Breite der Richtung Mg), und ist derselbe datipestellt dudb den Punkt A (Fig. 270) in dar Baba HA der Stern- scbonppe, so iet der Abstand dieses Punktes von dem Pofikel £ gleich 180^ — A, also ASwm I80» — ^.
Ist a> ebi Stttck der Ekliptik, und AJ^ senkrecht dnaufr so ist
und man erhält, wenn man den Bogen A^e=r nennt und diesent^ ih der Richtung der Bewegung der Himmelskörper von 0^ bis 860° zählt:
sm isiuV ^ sin
isin V «= eos ä)^ sin — ft)
casV'^m i6o (^0 — A )•
Nun ist wie iruher:
Ä=»0 (2a) oder A « 180° + 0 (2b)
» — r — (180° — -4) -1- = r + ^ + ft — 180°
18O*-« + 0.
-0-r-a--<<.
*) Kotmischer Ausgangspunkt : 8« ™ 88^ m + 8*.
also
*) Monthly Notices, Bd. 38, pag. 115.
•äiUungBbericbtc der kait. Academie der Wissenschaften in Wien«> Bd. 83, (lag. 36.
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MS
Hiermit sind die Elemente i, Q,^ it, F durch 9^, 39 0, A ersetzt, und sind noch a und A durch J?, f auszudrucken. Man bat aber
Ib Folge der einfachen Benehnng swischen v und « «iid es gestattet Min, # an Stelle von v beinibehalten; man hat nur xo beiflckachtigen, dass für die Hjpefbd «negpliv in; aettt man, um mit positiven Graasen su rechnen, a « — «j, so ist
i
Dann wiid
Subitituirt man tlkt£^$tcA, e*^\mi imig*A und setzt Kthne halber
0_r-Ä--ir, (5)
wobei also
w « -H r (6a) oder w « 180** -h T (6b)
ist, io wird:
cos w — sinw iang i(tng* A — 1
Seist man daher:
|/^«.t; xsm^w ^ iangy (7)
so wird
Aliii|f^«irds9Tri«iserAnHr(M*Ti/) (S) wobei, waa: ftlr das Folgende zu beachten ist, Correspondens der Zeichen stattflhdtn möss^ Dann wird^)
« i»! H- v< + A — 180*; K» » (nr -h 4)
- e^mÄ\ p^m^iaqt^A (9)
Setst man die Werthe fllr <(, V, p, iin dSir Fome&i m, pag. 199 ein, so erhMlt nnan lUr einen von einem gegebenen kosmischen Ausgangspunkt 80» So mit der Geachwindi|^eit v (gmi&t iaat a^) kommenden. Strom den scheinbaren Radianten fßf in demjenigen Punkte der Erdbahn; für welchen die Sonnen- linge 0 jst; die daao dienenden Foimeln sind (l), (3X (4), (5), (7), (8) und (9).
Seiwneh kann man sehr etDtach die Aenderungen d^, df& tiestiromen, welche der scheiabare Radiant bei constantem kosmischen Ausgangspunkt 'i.^, S3o in Folge der Tcrilnderong des Erdoctes (Aendenmg der Sonnenlftnge um dQ) erfährt.
Aus (2) folgt:
(1):
() Dan biet besonders eingeführt ist, hat seinen Grand darin, dass in dem Fnktor für g', ©' nicht /, sondern nuftritt; das durch das Ausziehen der Quadratwurrel entstehende pappebeichen ist aber, gemäss dem Werthe fUr tan^A nicht beliebig mit dem Zeichen von jr «n Yeri>tnden, sondern es Sndet wieder Corrcspondena der Zeicben statt.
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• ' • sin i cos Y dY cos i sinV di 9=^^
cos i cos YdY — sin i sui V dt — — cosY dz) ' . '- ' — sin i V r = -h cos i sinT dO
und daraus
dV ^ — cosidO
di ^ -\- sinicotwdQ) (10) dw « dV,
Für das Weitere kann man JR wflbrend des Zeitraums, während dessen maft .die Veränderung des Radianten sucht, constant nehmen; dann ist dR = 0, da^ ^ 0, d. h. alle Sternschnuppen beschreiben Bahnen mit derselben Halbaxe^); dann folgt aus (7) und (8):
</j> s= -j- ^-ccos^w £os^yd r
^ r«s\u,^^^, Jü^ T Ttoy (48« :^\,)smimdr
und nach einigen leichten Reductionen
m^^iiati^^w zt sinycoi^w) dA^lmsm^AeffsidQ
und weiter
dV^{l^^msm2A)cos(d3 d-f ^ msikAimigAeütidO • (12) dp^^pmcütidG).
Difterenzirt man jetzt die Formeln Iii (pag. 199), so folgt: ' ' '
d cos ^' cos («' — 0) — « 0 ^' c*'^ (^'' — 0) <^ 33'
— «0 cos ©' sin (8' — v0) O) = I dO
duQ cos 3Ö' sin — Q) - «0 C^'^- 0)
m
35' f^;^ ^' = =t ^(iX . sin y de ^ e sin V dp ecos V d V
■ ... . , :(,4,
wobei
und damit
yj-d(5-y^"^^7ö
. sind dp , /— . di
=^-If*«<ö'^<»i(«'~0)--^«aiB'««(«'-0)±^;<»*ib'^^ (U) «o^<;jSVi*'-^G)=[-I««a''-0)4-?<:<7x(^'-0)j//0. : . ' "
*) Ein geniliertes Bild von dem Ausseben eines soldxen Scbwarmt (Adiilt nia, #enn man lich in Vig, 968 eine Reihe von HypeAdn mit paiBÜdcn Aqnttptoten in dcrKiZbittiig OA und mit den Perfhdien in E*, E", £"*. . , «ddme^ nad ^ Ffgär im Ov4 als Aze dvdit;
die Erdbahn AfM* muss nicht in der ZeichnungsflXche liegen, sondern in einer die JSeichnungsftiche in AfO schneidenden Ebene; alle die Erdbahn treffenden Hjrpeibeln haben dann |^«iche
Ualbaxen £V, E D\ D'
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XoMcteB und lUMnt. ,«05
Durch Substitution yoit (10) und (J3) in ^4) erhält man nach einigen Re-
ductioncn: *' • ' \ ,
I— ^{msmw + e€M V) . «= ~^ [^«f w Hr (m — Ai«^^ j^w]
U= v> tvj» / — cotwsin^ t)^^yp [coiw — (« H- cotw) cas^ i\
Es ist aber: demnach
{m ^ tang A)sifi w = ii/»3^a<;db j/«^ ^ sin w £&i^w iangy tan^^ {^b" :^^y)
Seist man daher: oder*}
' y«2^Äj'(4ö°.=Fij'):F*^^AwV(4Ä°qpij^), 06)
10 wird
Weiter ist:
Deomach wird
^Ypi^aiw — cot\w ccs^ i sin^ (40" ± ^ j^)] (17)
Um nun die Rechnung. 4urchsuf&hien. hat man die Werthe filr K p* h m die Gleichnngen m (pag. 199) zu setzen. Man erhttlt:
•o^^ö'^^nS' -0) +
V? _
nnier + <«f w\/ i- smw-^ eoswtang A r a
Man hat dah^ an rechnen: .jFttr Sß^ positiv die Formeln (a); fiir-i^^ negativ
die Formeln (b)j;
sin i sin w sin SB© sin t sm «- = — sin
cos t sm w = cos g3<> — 0) (la) w i.sin w = cos sin («^ — 0) (Ib)
tos W = (^^ — 0; w = tas iSb^ (2^ —
- ^ . . W
cos i/« (2' - 0) = ^ ^ (üla)
' ■ ypsini ■ .
Uq Sin = —
• r ■ - ...»
1) K wird ftr die Panbel gleich 1 ; und da gemüM den GIeiehiii«en (7) fllr groMC Werth«
von fl, nur Vlcin Mcibt, so wird K mir wenig von der Einheit verschieden . Sein } man kann leicht nüt dem ArgumcDte y eine T^el für Y rccboen. : ^ '
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m6 KbHIb ud'lfttMMi
«0 J«l 20 = '
i ist ttets positiv swiscben 0^ und 180*; aus den FonDdti HI Islgt daher» das» mid y/f gjeicbbesdchiiet sein mOssen» also stets positiv; lueFans folgte dass in II die oberen Zeichen zu ndimen sind; wenn w < 180^ ist, und die unteren, wenn w > 180° ist, und zwar sowohl in dem ganzen Ausdrucke,
als auch in fang (45'* dt \y), weil, wie erwihnt, Correspondenz der Zeichen stattfinden muss. Aus der dritten Gleichung (I) folgt aber, dass w ^ ISO** ist, jenachdem O-o — 0) > ^80" oder i'o J 180° H- 0 ist, d. h. je nachdem der kosmische Ausgangspunkt recbU oder liitka (iq der Nacht westlich oder östlich) vom Anthelion liegt
Die Berechnung von ä'i.', d^' erfolgt dann nach den Foimeln (16), (17) und (15).
Als Beispiel soll der Fall einer parabolischen Gesch^ndigkeft mit d«n kosmischen Ausgangspunkt in der Ekliptik genommen weiden. Es ist dann:
und man hat:
ans I: # — a s»-?o— O aus U: yp^dL^/TMt^^w
(stets positiv; die obeiea Zeichen Air sir<l80*; die unteren lllr fv> 180*)
aus III: 58' — 0;
(«' - 0; - - + - K * • + i?7r ^^^^
Aus (16): y-l; aus (17): I-*^—^; n-|y?Äivl»i
oder: I — ± coslw\ 3— ± »i« |str.
Aus (15): <^SÖ'«0;
Multiplicirt man die Gleichungen (18) mit (osi^i' —O) und sm{^' —0) und addir^ so folgt
•'s - =F (|«r - (8' - 0)] -^si» («' - 0) -i- ^«''(«' - 0)-
demnach
al " 70 '* " ~ " ~ s**» - ®> sIt -
Soll der Radiant stationär sein, so inuss ^^' = 0 sein; hieraus folgt:
yn'"^' ^ ^) - & ^ »^2^ie '«*-)•*•<«■- ('»)
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liluUiplidrt man diese Gleichung mit und setzt für Uq cos (9' — 0), sin (9' O) ihre Ausdrücke aus (18) ein, und führt die Multipiika4ioo aus, so erhäljt man:
- dp i JP l/Ä vT (-^ + ^ =F ^ ^« 4 w) oder wenn % gesetzt wird:
«,i«r-=fc(H.|.)jJ!(3-8a=F^^,Ä.i«.)
Das zweite Glied bSngt von der Sonnenlänge selbst ab; abgesehen von diesem GUede wird daher
für cos\w^ = -1- — |— : w/j = 30'' Ö6'5 (und 821'' 3-6}
für <ri»x i o/j = 1— : = 321 ° 3'-5 (und 38" 56'"d).
Dass, das obere Zeichen für «e^i < 180", das andere fdr Wx > 180" gilt, irird hier gegenstandslos, da aie aossoschliessenden Warthe in Folge des Umstandes, dass / 0 ist, sich mit den beinibehaltenden decken.
Ein stationftrer Radiant kann also in der Ekliptik nur auftreten, wenn der kosmische Ausgangspunkt 33© die Elongation 39° nach Osten oder Westen von der Sonne hat. Dann ist mit VemachUlssigung der von der ExcentricitJtt der Erdbahn abhängigen Glieder:
y7B + V^^M 19" 88*
— 160 3S; hgp = 0*8499.
Man kann 9' — 0 unmittelbar erhalten, wenn man fttr siH\w» (o$\w die Ausdrücke aus (18) in (19) substituirt; man erhält dann nach gehöriger Re- dttcttön'und Vernachlässigung der von der EicentridtiU der Erdbahn abhängigen Glieder:
sin (8' — 0) — »0
und aus (18) durch Quadriren:
. SaM daher » 0*57785; ^ -p- 0 • 85" 16' oder 144" 44*. Diese beiden Wfitiie enliiirechcD den. beiden kosmischen Aosgangspunkt« «rj, es bt mbar .tiierans nicht ersichtlich, wie die Werthe sosammengehOren. Setxt man «her filr w noroitlelbar in die Gleichung (18) ein, so sieht man, dass, da ^ positiv. aein jBusi^ ^(81 -r 0) negativ ist fUr w < 180", dass sich daher
«r «0 - 0 - M" ö6'-5 «' - 0 - 144" 44- , ^ ^ ^^^^^
mr«o — 0 — Wl «'5 «» — 0— 35 16 }
entsprachen. Der zweite scheinbare Radiant liegt der Sonne sehr nahe^ und es kdnnen daher nur Hassent helle Meteore^ die ans demselben kommen, gesehen werden; es bleibt also nur der ersterc, der aber durch eben gansen Monat stationär erscheinen kann. Für denselben kosmischen Ausgangspunkt 9o 9«
werden sich daher auch nach den verschiedenen Sonnenlängen verschiedene
scheinbare Radianten ?' 5?' ergeben; es ist nutlr'n möglich, dass aus ganz ver- schiedenen scheinbaren Radianten kommende Meteore aus demselben kosmischen
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m8
Ausgangspunkte kommen können; dabin gehöien z, B. die auf pag. aei an- «eiUbrtto FäiXt^).
Eine genauere Untersuchung im allgemeinen Falle, wenn nicfat Null iü^
ist selbstverständlich weniger einfach und muss hier Ubergangen werden. Es
zeigt sich, dass kein ausserhalb der Ekliptik Hegender Radiant stationär sowohl in Länge als in Breite bleiben kann; dass aber die Veränderungen sehr klein sein können, kann aus der folgenden Tafel von v, Nif.ssl^) ersehen werden, welche die Verschi ebung im grössten Kreise für verschiedene Elongationen und Breiten für äQ = 1 °, also täglich, in Graden ausgedrückt, giebt
8'-0
!9ü"
0" 20 40 60 80
oo
li(f
V
0- 45 0 09
1- 24 ü-66
2- 22 317 6*T?
1-22 1-7C 8»77
180° 2 1(/
r = 2
240**
0-50jO 6510-70 0-63 O T(i U-75
270°
J,
091 1-82 8-08
0- 8;>
1- 23 8*80
0- 93
1- 51 504
90 ° 1 20° 1 5(»° 1 80" 2 1 0" 240°;270°
V = 2-5 90°!
V =
9(f
rV
0-50'0-
43 0 IHiO iö 0-33
I . J , _ I
^7(J° '^^ 270°
0-43, 0-50
O-60!()-46 0 26 0-25 0-36 0-43 0-50
0-5i;0 5I,04lj0 36 0-52jO-54 0-5l|o-49 0-53 0-54 0*53 0-53
0-40
0-40
043
0-4fi 0-5l! ()-41
CGI 017
0-33 0-33
0-28 () 33
0 49 O jt'iO-62Lo 4LO-37. 0-34 0*58|0-88|0'58|0-4l|0*41 io-84
'S
180"
0-06 014 0 23 080 0*84
Im Pole der Ekliptik ist für tr s S 9-5 '3 die tägliche Venchiebung oo O^'ii O^^-iS 0*^84.
Die Resultate können kurz zusammengefasst werden:
1) Die Verschiebungen werden um so kleiner, je grösser die Geschwindig- keitea sind; scheinbar stationäre Radianten setzen grosse Geschwindigkeiten, daher hyperbolische Bahnen voraus.
2) Die kleinsten Verschiebungen finden stets in der Nähe des Anthelions, in kleinen Breiten statt, und können bei grösseren Geschwindigkeiten selbst in mttdeten Breiten noch durch mehrere Wochen scheinbar stationäre Radianten ergeben.
Ca BttMumfon swisdiCD Kometen und Mctcofcn«
Siebt man von jenen historischen oder vielleicht mehr prfthistoiiscben Ver- gleichen der Kometen und Meteore, welche beide Klassen von KOipem in die Luftregion versetzten, ab, so treten in späterer Zeit swiächst die Vergleiche von Kepler, Cardan u. A. entgegen, welche sich auf die änssesen Eracheinungen:
die Vergänglichkeit derselben, den Glanz, den Schweif u. s. w., stützen. Chladhi
hatte 1819 die Meteorite als Trümmer einer vergangenen Welt betrachtet; dazu wurde er vornehmlich durch zwei Gründe veranlasst; der erste Grund war darin gelegen, dass er die damaligen Untersuchungen Uber die Massenverluste, welche die Kometen in der Sonnennähe durch die Ausstrahlungen in den Schweifen erleiden, mit dem Vorhandensein von kleinen Körperchen im Welträume in
') Es muss jedoch erwähnt werden, dass man hierbei wesentlich auf Annahmen über kosmische Geschwindigkeiten angewiesen ist, und durch Variation dieser Geschwindigkeiten ent- 'sprechenclc CoiDcidei»eii herheifilhrcn kaon; die «ngefiUntcn FlOc fcBnneii also dmdiMit nicht tb wirklich rasanmeiigehtfrtg eridirt werden, toadera Dur als nnter gewincn AaDsluaen ftber die Geschwindigkeiten nttglichcrweise snsanunengebttrig.
*) L c, pag. 14a
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Kometen und Meteore.
einen Zusamtnenlumg su- bringen versuchte; der «weite Grund lag in der damals von Olbers angenoinmenen Hypothese, dass die vier bis dabin entdeckten
kleinen Planeten: Ceres, Pallas, Juno und Vesta Trümmer eines grösseren Welt- körpers wären*). Auch die bereits erwähnte Meinung von LaplaC£, dass die Meteoriten Satelliten der Erde waren, p;ehört hierher.
In diesem Stadium der Vermuthungen blieben die Beziehungen zwischen den Kometen und Meteoren lange Zeit, ohne dass man auch nur den ge- ringsten Beweis flir diese Zusammengehörigkeit gehabt hätte: die früher be- kannt gewordenen Theilungen von Kometenkeraen, mehrfachen Kernen, bUeben vergessen oder doch wenigstens unbeachtet.
Die erste auffällige Erscheinung, welche eine Bestätigung dieser Ansicht zu enthalten schien, war die im Jahre 1846 beobachtete Theilung des BiELA schen Kometen. Als derselbe in den beiden folgenden Periheldurchgängen 1859 und 1865 nicht zu sehen war, war «fie, ebenso unerwiesene Vermuthung naheliegend^ dass weitere Theilungen stattgefunden hätten und die Theile sich in irgend einer Weise im Welträume weiterbewegten, als Meteorscbwärme, ähnlich den Persetden und Leoaiden.
Auch die Frage nach der Berechnung der Bahnen der Schwärme war ihrer Losung noch nicht weit entgegengetreten, und nach den ersten Rechnungen Sriiam's über die Perseiden wurde lange nichts wesentliches hinzugefügt. Erst
ScHiAPARELU War durch seine weiteren Untersuchungen unter der Voraussetzung des kosmischen Ursprungs der Meteore auf die parabolische oder der paraboli- schen .-ihnliclie Bewegung der Meteore um die Sonne geführt worden, und hatte im Jahre 1866 unter dieser Voraussetzung die Bahn der Perseiden berechnet. Dass aber nicht auch diese Rechnung resuUatlos verlief, hat wohl hauptsächlich darin seinen Grund, dass vier Jahre vorher der für die Meteorastronomie deshalb vielleicht als epochemachend «1 bezeichnende Komet 1869 III beobachtet worden war. Die um dieselbe Zeit publicirten Resultate von v. Oppolzer über diesen Kometen ergaben Elemente, deren Aehnlichkeit mit seinen Elementen der Penseiden Schiapakslli auf den Gedanken eines Zusammenhangs des Stern- schnuppenschwarmes der Perseiden mit dem Kometen 1863 III brachte. Die Resultate waren:
Elemente der Peiseiden nach Schupareuj Elemente d. Kometen (334) (i86sIII)
Radiant; W 44% S)'= -1- 56^ . ^.
Blaxinram der Häuigkeit August 10-75 ^* uppolz» Durchgang durch das Periliel: Juli 98*6S 7*» i86s August 32*9
Durchgang durch d. niedersteigenden Knoten: _ August 10*75
«»-S98'Ö4' IC 290* 13'
a«-l88 16 a — 187 27
I— 115 57 1= 113 34
g = 0-9643 g — 0*9626
U » 108 Jahre {7^181-5 Jahre.
Mit der Periode von- 2Ö8 Jahren war Schxaparelu auf die Identität der bereits von H. A. Newton erwähnten älteren Erscheinungen (vergl. pag. iS 5) ge- führt,, denen et. noch die. Erscheinungen von 1029» 1779» 17^4* ^7^ hinzufilgte.
*) Uebcr Feaenndeere, p«g. 41a.
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310
KwHMlM und MdMitw
ScmAl>ARlLU uTid A^ciehzeitigLs VsRSiiR hatten Oberdies die Bahn derLeoniden
berechnet — und im selben Jahre noch erschien der zweite in dieser Richtung denkwürdige Komet (238), dessen Flementc, von v. Oppolzfr berechnet, von C. VV. F. Peteks sofort als mit denjenigen des Schwarmes der Leoniden identisch erkannt wurden. Die Resultate waren:
nach V. Üfpol^er
lüemeDte der Leoniden nach SohapariluI) Etemeiite des Kometen (338) (1866I)
Radiant: 8*^^143** 13', S'^lO^^ie'; Maximum der Häufigkeit: Nov. 13, 13* 11*'
/■«November 10-092 T*« Januar 11*130
46''30'-5 ic= 42''24'-2
Sl = 231 28-2 Ä = 231 26 1
1= 162 löö /■= 162 41-9
^ = 0-9873 f = 0-9765
g = 09046 € = 09054
a « 10-340 a «= 10-324
er« 33-25 Jahre «7«= 33-176 Jahre.
H. A. Nkwton hatte schon Irüiicr gefunden, dass die Knotenbewegung des Schwarms jähilich l'-711 direkt ist; indem auf die Fräcession 0'*837 entfällt, verbk'ibi eine direkte Knotenbewegung von 0''874; dass der Schwärm eine retrograde Bewegung besitzt, ergab sich übrigens aus der Bahnbestimmang von selbst« und so schloss Li Vbrribr*}, dass der Schwärm nicht immer dem Sonnen- system angehört haben könne; da nnn die einfiiche Sonoenattraction unter allen Umstünden die Bahn eines aus dem Welträume kommenden Körpers immer in eii.e hyperbolische Bahn lenk^ so kann nur durch die störende Wirkung eines Planeten diejenige Aenderung seiner Geschwindigkeit stattgefunden haben, welche seine Bahn in eine elliptische Form brachte, und Le Verrier fand, dass diese störende "Wirkung auf den November^^rhwnrm im Jahre 126 n. Chr. Geb. durch Uranus stattgefunden haben müsse. Dieser Schluss wurde nun durch die bald darauf gefundene Beziehung zu dem Kometen (238) stark erschüttert ; allein ehe weitere Schlüsse gezogen werden, muss die im Jahre 1899 statt- findende Wiederkehr des Kometen abgewartet werden.
Ks war schon früher crwälmt worden 3) dass Newton für den Schwärm an der Umlaufszeit von nahe einem Jahre festhielt; er nahm fUr dieselbe 354*62 Tage, sodaa 34 UmUufe des Schwarmes nahe gleich 33 UmlättfiBB dec Eide wlren. Um Aber die Richtigkeit der einen oder andeieR AniMthmcFsn entsdieiden, be- rechnete nun Adams die SecularstörungsD des Kometen durch Jui»ler, Sntnm und Uranus nach der GAVSS*schea Methode; die Slöiangen mttssen natür- lich verschieden sein, wenn die Umlaufszeit nahe 1 Jahr oder wenn dieselbe 33 Jahre ist; die Rechnung ergab eine BestAtigung der letzteren Annahme, indem sich mit dieser die Seculnrstörungen für die Dauer eines Umlaufs (33^ Jahr) durch Jupiter 20', durch Saturn 7|', durch Uranus 1^', zusammen 29'» also jährlich 0''872, übereinstimmend mit den Beobachtungen ergab^).
') Die Rcsult.ntc von Lf. Vkrkifr (Comj>t rcn 1, Bd. 64, pag. 248) Sind guu ähnlich, uur in der Neigung hndet sich eine stärkere Abweichung. *) Compt KBd. Bd. 64, pag. 94.
^ VcTgl. pag. rSo; die Stcmente von La Vtaaim ood ScBisrAaiiu granden tidi snf <Be Voraus sotr ung, daM die Umlaa^eit 33^Jabr wüte, aus welcher die Gescfawfaidi^Ecit Iblgle. *) Compt. read., Bd. 64, pag. 651.
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Kometen and Meteoie.
311
Im folgenden Jahre (1867) berechntite Gallk die Elemente der Lyntden; bald nach dem Endieinen des Kometen (SSO) hatte Pape auf die ungemein grosse Aimabeiung des Kometen an die Eide autoerksam gemacht*). Nach den definitiven Elementen von y. Oppolzir ergebt sich diese Entfernung zu 0*00351 Erd- baiinimibmessem, im auftteigenden Kröten, dessen Liltige 30°, also der Stellung der Erde am . 10. April entspricht Hiermit war der erste Anknüpfungspunkt fttr die Beziehungen zwschen den I.yraiden und diesem Kometen gegeben, und in Her That ergab die Rechnung eine Uebereinstimmung der Bahnelemente. Diese sind;
Elemente der Ljrraiden nach Galli
Radiant 5tf' = 281°-6, ©' H- 57 ° 0 1CS 886*" a<-80
iSV'f 1-9*980 Uia « 1-746 € » 0-9889
Elemente des Kometen (880) (1861 1)
nach V. Oppolzer 843" a«30 «»80 hgq^ 9*964 loga -a 1*746 t « 0*9885
Der im Jahre 1836 von Humboldt und HtKRiCK erwähnte S^om vom 6. December hatte sich 1847 wieder am 6. December wiedelholt; ausseidem wuide dann 1839 ein spärlicher Fall (nur 18 Sternschnuppen) aus demselben Radianten am 37. und 39, November von Capoco beobachtet; ebenso 1850 zwischen dem 36. und 39. November von Hbis; 1853 November 38 und 1866 November 30 von Hbrschil und 1867 November 30 von Zezioli. 1873 und 1885 traten am 37. November ausserordentlich reiche Sternschnuppenrälle auf, und endlich 1893 dieses mal wieder mit 4 Tagen VerfrUhung (am 33. November).
1867 wies nun d'Arrest auf den Zusammenhang dieses Schwarms mit dem BiELA'schen Kometen hin (daher der Name Bieliden), welcher seit 1852 ver- schwunden war. Auf pag. 199 ist filr diesen Kometen der Radiant aus den Kl« n cnten berechnet; der Radiant der Andromediden ist: $1' =* 24°, ^' = 4- 44 also sehr nahe der dort gefundene Radiant.
Es muss hier noch darauf aufmerksam gemacht werden, dass die Schwärme nicht an einem einzigen Tage erscheinen; Corrigan rechnete') für die cr- walintcii vier Schwärme die folgenden Bahnen mit den den verschiedenen Tagen entsprechenden Radianten:
Lyralden.
|
Sdienbarer Radiant WahMr |
April 18 «—810*5; ID«— »-M*7 |
April 19 «—888*9, S— +581 |
April 20 Ä'-274<»-Oj S)'=+58°-ö K »888-8; S-+61-0 |
Komet t86il |
|
« ' |
%by 42' |
248«» 64' |
240° 84' |
24Ö 42' |
|
a |
89 5 ' |
50 4 |
81 8 |
80 16 |
|
■ 71 81 |
Tl » |
81 89 |
79 48 |
|
|
r |
0M78 |
0-8944 |
O9408 |
O9870 |
<> AstroD. Naebiiehten, Bd 55, |»g, 306.
<) Sideieal Ueatciiger, Bd« 5, ptg. 146 uad 147.
14^
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312
Kometen und Meteore.
Persciden.
|
Scheinbarer Radiant wahrer Radiant |
Juli 26 «1=359 1; 25 =+81-3 |
Ancnst 10 «l'=45°-0; 2)'=-f Sr-O «=S5-2; S)= + 83-8 |
Aogoat 19 «=114-2; S)=+78ö |
Komet [862 UI |
|
IC & i f |
12i 4 109 56 0-9491 |
188 86 114 11 0-9555 |
888*85^ 147 6 117 7 0*8664 |
S9QP8S' 187 46 113 34 0-9626 |
Leoniden.
Scheinbarer
Wahrer Radiant
a i
9
November 13
H..150S: S^o+SS'S « -151*5; 2)»4>86-8
November 14
ll'-14»»0; jB'-+81S)|r
49° Zt' 281 50 164 17
0.9664
50*» 5' 232 49 166 81 0-8888
Andromediden.
November 16 160POfS)'«+82*M)
t( »151*8; S>*»+S8-5
57« 22' 284 50 164 11
0W8
Komet 1866 1
42" 24' 281 26 168 48 0-9788
|
Scheinbuvr RacUant Wahrer Radiant |
November 37 SS"*?; «y— + 44*8 « = 352-0; 3> = + 9-3 |
BmA'adicr Kunct |
|
« |
ioe»i6' |
108*58' |
|
245 67 |
845 58 |
|
|
1 |
18 8 |
12 88 |
|
1 |
0-8578 |
0-8606 |
In wieweit die Veiänderlichkett desselben Rjidiuiten itmeibalb dfeser weiten Grensen tbatsäclilich den Beobachtungen entspricht, läMt sich allerdings dardi den blossen Anblick nicht constadren, und mttsste Gefenstand einer besonderen Untersuchung sein.
Seilher sind noch eine grosse Zahl von Kometenbahnen mit Radianten ver» glichen worden. Eine ausführliche Zusammensteilung gab HtRSCHtL 1878^)^ welche im folgenden abgekürzt wiedergegeben wird.
In der ersten Columne ist der Name des Kometen ?n der üblichen Bezeichnung in der zweiten das Zeichen ^ oder y je nachdem er sich im aufsteigenden oder niedersteigenden Knoten der Erde stark nähert, nebst der Entfernung der Bahnen in Einheiten der Erdbahnhalbaxe, positiv oder negativ, je nachdem der Komet innerhalb oder ausserhalb der Erdbahn vorbeigeht; in der dritten und vierten Columne das Datum, zu welchem sich die Erde in dem Knoten der Kometen* bahn befindet, nach weldiem die Reihenfolge angeordnet ist^ und der ans den Elementen berechnete Radiant tSÜ, ^\ in der fttnften Columne die diesem Datum entsprechenden Daten von StemschnuppenfiUlen; in der sechsten Columne der Radiant ^}{\ und in der letzten Columne die Berufung auf den Beobachter oder das Radiantenverseichniss. Dabei bedeutet: *
') MontM7 NoticeB, Bd. 38, pag . 369.
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Kometen und Meteore.
313
C: CORDIR
D: Dbnza
Hk: Hbrrick N: Nkuubver
Sch: Schmidt
D,: Radianten von TuPMANN'schen und T: Tupmann
anderen Metcorbahnen nach Däkning GH: Katalog von Greg und Herschk,
Dj : Denntng
Gr; Gkuber H: Heis
179s n
1860 IV
1S40I 1746
1759 m
i6Ta
1833
1718 t«99l
mt
iS4sm
1746
1590
(HM5| 004
tJ+007
Januar 20 Janiur 16
Januar 19
V+O08
tf — 0"21 ft+0-04
t^+ois
tf+006
ty-003
a~o-3o
jäDuai ay
Februar 12
Januar 29
Fetmiar 14 Febmar 18
Febroar 36
Februar 25
lOlB 10
März S
HN; Katalog von Heis und Neumeyer SZ: Katalog von Schiaparelli nach Beobachtungen von Zkziou.
AuloritSt
187» - a»*»
60" +40"
194 * +24^-5 Ifanoar u—m
M 4- 3t
1-25
Januar ) Februar f
261«+ 98«
Januar 5 •»
Januar 28 Dccemb. 20 (?) Febraar 6
Jaauars— II
Februar 3-10 Februar 17
Januar 1 Februar | Januar •) |
Februar
135*»+ 25« l^anuar 28-31 3»
Febmar 3
Februar 3—10 Jan. — Febr. Februar 13 3)
Februar 13 Mira 3—3
Febmar to
Februar 20 \ biaMKn l J
Februar bis 1 März 12 /
188«+«8«
180"+ 35" 188" + 36"
188«— 26"
144"+ 24"
206 "-ö - 31"
266"+ 9" 211«+ »•
288«-4«-6
83" + 83"-ö
82« + 81"
276"— 38"
145"- 25" 145" — 40"
67°+
65" + 20"
210«^ 6"
219"- 23" 218"— 13" 204"— 10" 210"- 18"
251«+ 28«
13A»bi»140"; + 40«
134"+ 40"
153"+ 21"
133"+ 26" 198"— 22"
213"— 32"
260" 0" 205"+ 4"
209°+ 18"
290" — 12"
88»+ 86«
28"+ 3ä° 270"— 22"
S. Z.
T, G. H.
D,. T.
T.
II N.
S. Z. O. H.
T, T.
T. D,. T.
G. H. S. Z.
s. z. s. z.
T. Dl. T.
T.
T. ■
T.
T.
Dl.
D,. S.
T.
•) Weiter entfernt ist der Radiaat ftlr den Kometen 1863 V Jaonar 84,- 272* + 26*
and für den Kometen iSto Januar 29: 277"+ 21*. Mit Verschiebung de» Knotens.
In dar Uihe noch ftlr Februar 13—15 die Radianten ftir die Kometen 1858 IV, 272" + IS«, ond 17990: 264« + 17«.
*) In derNllw die Radianten ftr den Kometen: 1506^ + 048; Febraar 6; 266«'5— 87» «uid für den Kometen 1877 1 ft — 0185; Ulra 37: 278« — 40».
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»14
KoBwtBo und UcicovBi
|
Name | |
Erdnihe | |
Komet Datum |
Radiant |
Met Datum |
Mit Radiant - |
AotorltMt |
|
Märt I |
250**^ 12*'^ |
Ittn 2~7 |
235"— !&• |
T, |
||
|
MMR 3—25 |
247'*— 3« |
S. 7Lt G.H» |
||||
|
iS6aIV |
t;— <H>ia |
MMR 16 |
Mär» 7 |
246« 0« |
T. |
|
|
Märt 14, 15 |
266«+ 6« |
T. |
||||
|
März 2 — 7 |
246°+ 16« |
T. |
||||
|
1683 |
an- OOS |
MMR 16 |
207« — 48''-5 |
März |
192° — 38« |
H. N. |
|
Man II — 19 |
2U3°ä— 3Ü°ä |
1 . |
||||
|
1763 |
Märe 18 |
312*'-5-+-21«-5 |
Man 1 5 bis ') 1 |
305*»+ 37* |
G. H. |
|
|
1 790 III |
— 006 |
April 24 |
819«+ 19" |
April 20 1 |
||
|
ß + OiJO |
Mä» 19 |
179*- 26« |
MMix |
1740—30« |
H. N. |
|
|
1S64 |
0 02 |
Min 25 |
188 »'S- 88» |
|||
|
1*77 I |
ft-0185 |
Man27 1 |
April |
280*— 88* |
H. K. |
|
|
06t |
??+ 0-27 |
MMr 23 |
806*+ 18« |
MMR*} 1— 19 |
301»»ß+ 12^5 |
Dl- |
|
1857 V |
tf— 0*88 |
April 4 |
802»+ !!• |
AprQ 1—22 |
304*+ 12« |
|
|
99«- 0*95 |
April II |
281 "^5+ 27® |
April 13 |
231«+ 27« |
S. 7.. |
|
|
Märx27— Mai 22 |
234°+ 29° |
s. z. |
||||
|
Mär« 12 — Ap.30 |
223° + 40° |
G. H. |
||||
|
April II — 30 |
241«-5+24«-5 |
D,. |
||||
|
AprU 12 bis |
235 bis 840* |
G H- |
||||
|
Jirnl 30 |
+ 26* |
|||||
|
Aptfl I — 13 |
238* + 25* |
D,j S. |
||||
|
1830 I |
April 15 • |
116--5- 86» |
April |
126« — 42« |
H. N. |
|
|
März |
125* - 38« |
H. N. |
||||
|
1743 n |
ty— 0-30 |
Märe 26 |
291;° -f- i° ö |
Märr2 5^)bis1 |
290*— 10* |
G. H. |
|
1808 III |
- 0 27 |
April 15 |
307°+ 4° |
April 30 j |
||
|
1861 1 |
April 20 |
270«-5+ 82« |
April 19 — 21 |
277°+ 34« |
Lyraiden |
|
|
April 20 — 22 |
272° + 32° |
|||||
|
1748 n |
ö— QU |
April 22 |
255°ä+27«ö |
April 23 |
260«+ 40° |
S. Z. |
|
April 2$ |
260* + 24* |
s. z. |
||||
|
MMniS— Ap.23 |
268*+ 26* |
|||||
|
April t— 13 |
285«+ t7» |
Djt S. |
||||
|
1844 n |
April 8t |
888"'5+ö» |
April 19—23 |
287« + 22« |
D». |
|
|
28,1° + 12° |
T, . |
|||||
|
298"+ .')° |
T. |
|||||
|
1853 n |
- 0 07 |
1 Mai I |
2iM;°-5+13=-» |
Apnl 19 — 27 |
286«+ 5° |
D,. |
|
1737 1 |
a- 013 |
1 April 13 |
215«- 28« j |
Mai |
223^— 12« |
SCH. |
|
1 |
IIMnso- Mai29 |
227*— 6* |
G. II. |
|||
|
837 1 |
ft+003 |
|
384»-5— 16« |
Apr. 30 bu ) |
386 — 2''*o |
T. |
|
183510 |
tJ— 0-06 |
Mai 4 |
887» 0"» |
Mfä2, 3. f |
||
|
1618 m |
Jimi to |
27S*-5 + O^-ö |
Juni 10—13 |
278*— 8* |
||
|
Juni |
282«— 3« |
Sca. |
||||
|
Juni |
266«— 12« |
Seil. |
||||
|
Juni |
269«— U« |
H. N. |
)) In der Nähe auch die Radianten flii die Konwten 184$ I und 1854 V (Febnur 13 «. 2$) und fttr die Kometen 1580 u. 1784 II (April 12 u, 26).
*) In der Mibe auch die Radianten fttr die Kooieten 1763 (Uin l8)s 9^1 (Mlis 23); |8S7 V (April 4) u. 1825 I (April 9).
3} In der Nähe auch der Radiant fUr den Kometen 1790 III (April 04)- 319°+ li)«>
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Kometen und Meteore.
|
™ ■ ■ — BranSne |
Komet A/UIUD |
Raount |
Meteore 1 Datum 1 RaiUant |
AUtoritit |
||
|
1781 1 |
tJ— 0-19 |
Jimi 14 |
888*+ 67*» |
■Mai 26 - Ttini 13 1 Mai I— 31 Joni |
337° + 59° 325° + 55° 333° + 42° |
Dj.; S. H. H. |
|
1850! |
tl +0-065 |
813*-6+60'-5 |
Mai 26— Juni 13 /uni 1 1 — Juli 1 1 Juli 1 — 15 Juli 16—31 Juli 8 Juli 13 |
812°+ 63° 315« 4. no° 315° + 54° 320° + 70° 288*+ 64* 888*+ 65* |
D,.; .S. \*. n. H. H. s. z. s. z. |
|
|
i8ft4n>) |
9 <K)0 |
Juaiao |
8*+ 5* !«•+«• |
Juli JttK JnH |
7°+ 4° 18* 0* 0*+ 17* |
Sc«. Sca. |
|
9+0-14 |
Juni 25 |
348*^6+ 28* |
Juli Juli 18 |
845° + 25° 842*+ 28* |
Scu. s. z. |
|
|
183a m ITTOll |
ü -4-011 9-009 |
Juni 30 Juli it |
•6^^+ 14° j 349*+ 12* |
Juni 1 — 13 Juni Joni s8 Juni 29 his| August 24 J JuU 1-6 |
34;i°+ 16° 335° + 10° 888*+ 18* 3S0*b»845° + 14° 387°+ 1° |
Dri S. u7«m1« T. a |
|
770 |
9 + 0-20 |
Juli 8 |
890+45° 1 |
Juni I— 13 Jttu §— ao |
85* + 47* 86* + 47* |
i>f; s. |
|
1770 I 1770 I '> |
9-0-8S |
JofiS |
276°- 21**-o 288*- 20° |
Juni «9 bit JuU 6 Juli — August Juli 18 I)1S 1 August 31 J |
288*- 13* 266*— 12* 286*— 26* |
T. Sc». |
|
JHI 39 |
'IfO -t* «1 |
Ende JoU |
166*+ 62° |
SCH. S. Z. G. II. |
||
|
568 568') |
ft-001 a-006 1 |
Juli 23 August 5 |
262°-5 - 33° 259° - 36° |
Juli AugUFt August |
258° - 20° 250°- 35° 266° — 42° |
N. N. SCH. |
|
1764 i86a m 18701 |
9-{)n 1 y 4-0 02 9+<H»8 |
Jnli 25 August 10 Augojt 12 |
4ö-^ + 57°-5 48°-5+ 53° |
Juli 12 — 20 August 7—12 |
47° + 45° OD |
D. Pendtdeu |
|
I8S3 m |
9—0-69 |
August 12 |
299° +80° |
Juli 24 — Aug. II Juli 16— Aug. 31 Julia8— Sept. 10 August 10 — 22 |
315°+ 87« 859° + 89° 270°+ 83° |
s. z. H. G. H. T. |
|
1877 u |
August 9 |
32° - 18°-5 |
August I — 12 |
26° — 6° |
Sc». |
|
|
1853 II 1827 u 1858 |
ß + ÜOlS ft-016 a-o-n 1 |
August 10 August II August a6 |
40°-5 — 13°-5 48°— 8° 85*— 22° |
August |
55° - 18° |
0 Mit gdndMloB Kaottn.
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»|6
Name
Mcteofe
Erdnlbe {j Datum
Radiant
Datum
1S62 U
1780 u
1808 n 1797
1596 184s I"
1854 IV
i8$8VI
1763 961
1769 1769»)
1683
i83Q]n
i»47Vl 17*3
1580
1779
1850 u
1843 II 1848 1
IS - 0 025
+003
- 018
ß - 0 09 - 0 25
Ä + 0U2
V— 0-29
ft— 003 a-0-03
tJ — 002
ty+0-175
tJ— 0-265 Ä+(H)65
ft+018
ty-0 22
ty— 014
August 7 August 19 Aosuat M
August 14
August 16 August 23 August 27 August 31 September 10
Septanbcr 8
September 20 Septb. 96,
September 19 September 28
September 19 September 30
Oetober 4
October 9
Octobet 7
Octob» 16
October 19 October 19
October ai October 3$
1
41** + ll*'-5
Radiant
Autorität
R9°
6° 0"
49° — 9** 47o.5_ (^o
16°
100» + 59°
44°'5- 24° 82» — 13°
l7°-5+ 18° i4°-ö+17°-5
17Ä*'ö+ 68« 54» +520-5 118«-5- 7«
134°-*- 77'
61° ~ 7°
39°— 29°-5 8°+ 54°
81«+57» 78« + 80*
August 10 Aiigiitt 4, tz Augutt 3~ 15
August 3 — 12 August 20-25 Scptemb. 3—30
Juli 28— Sept 3 Au^ust 3— XI
Jii]is7~Aiig.S3 August 8^13 August t— 31
August 29 August 31
August August 20 — 25
September Septcmb. 3^27
Aug., Sept,Octb Septb. I— 15
September Septb. 13 — 15 Septb. 3—27
S^b. I— 10
SepL 17 bis I Oet ftl i
September
Oetb. I— IS
October Octb. 11—16 October 14
üctb. I — 15 Sept.20— Oct.29
Octb. 5—6 Octb. la, 13 October
Octb. M— s8 Octb.| Novemb.
September s8 Octb. 14—25
Spi.17— N0V.24
October 15, 16
47»+ 18» 40*+ 30° 55«+ 26°
55° + 7° 53°+ 1° 51°+ 14°
lbi8l6°+36° 10»-|-42*
2*+ 29° 11°+ 30°
78° + 23° 85° - 15°
53°+ r
53°+ 1°
55''-
68«— 28**
101° + 57°
99° + 57°
40° — 8°
65°+ 6° 66° — 22°
17°+ 9° 21°+ 18°
150 +11«
142°+ 67°
51*+ 81»
115*— 10*
107° 1 — 2»-5
110°+ 6°
IÜ5° + 81° 161°+ 84°
54"— 14° 76°-5 - lO»
40°- 30«*
5° + 53" 15«»+ 59»
83»+ 54»
90°+ 58° 83° bis 92°; + 50° bis 55 86°+ 45°
S. Z. ; T. T. G. H.
SCH.
ScH.; T.
SCH.
G. H. D. T.
D .; T. Sc»i,
T. T.
SCH.
T. SCH. SCSL *
D,; T.;S. D, ; S.
SCH.
T.
SCH.
SCH. SCH.
H.
SCK.
T. T.
H. D,.
T. T.
Sgr.
SCH.
I>1-
5. Z. Dj.
6. H.
T.
') Mit geändertem Knoten.
*) Newton hat hier inthUmlicb 1864 II.
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KottctCD und McteoiK.
«17
|
Name |
Erdnähe |
Komet Datiim 1 Radiant |
Meteore Datum 1 Radiant |
Autorität |
||
|
"739 "757' ■757 •) i8s7 IV i69S 1864 IV 1097 8i7l . 158a iSsi 18661 1813! 185« in 170a 1798U |
9+008 9+008 9-0-88 9-0-2« 9-012 9+0 045 y-o-üc 9+0-84 9 00(0 a+0O3 9- 0O16 ft-^o-ao 9+0-005 9-0-07 9 — 014 |
Octoberaa October 8 Odobera) October 14 November l October 16 November l November 4 November 9 November 11 November 13 November 94 November a8 November 37 1 Dccembcr 2 |
167»+ 39« I9*'ö+ 19» 80»+ 26" 278" + 55° 318° + 53° 209 '-5+42 °-5 20.") ° + 48° ' 104°Ä+27° 89» +36° 86°+l9°-5 löO»-ö+28»S 147» 0» 28»-4+48» 56» + 20» 162°+34°/)| |
Octb. s-'ao November 7 October 17 Octb. 19—27 November 3 Nov. 9-10 Scpti7~ Oct25 Nov. 1- 13 Nov. 7 - «5 Nov, 1—15 N0V.13— Dcc.io Nov.2i~Dec.20 Octb. 20 — 26 Octb. 22 — 27 Octb. 21 — 25 Oed». 18—27 November Oct25— N0V.23 Nov. 16, 17 Octb. 16—31 Oct. 19 — Nov. 10 October 24 November 10 Oed». 10— «7 November Nov. 7—17 Nov. 7 — 10 Oct 17 — Nov. 13 Octb. 10—27 Oetb. 18- 27 Nbv.ao->I>ee.8 Nov. 13, 14 Nov. 19, so Nov.as->Dec.2i Oct. 31— Dcc.i2 December November «7 Nov. 16-17 November 30 December 6 Oct. 25 — Nov. 21 N0V.28— Dec.24 November 10 N0V.22— Dec.14 Nov.20— Dcc.13 • December 9 Dcc. 5—14 |
14«»+ 44» 160» + 40» 24»+86»-5 33°+ 21° 30° + 22° 23°+ 10° 317°+ 57° 282°+ 57° l 807» + M»J 299»+ fiO» 279» +86» 201°+ 44° 208° + 43° 99° -1- 26° l09°-5 + 25°-2 111° -t- 29° 108»+ 12° 1 118» + 14»! 110° -h 23° 106° + 28° 72° + 44° 71° + 43° 77° + 45° 87» + 47» 71» + 31»l 82° + 46°I 75° -»- 45°l 86° + 86°i 90° + 15° 79° -f 13° 98» + 17» 80» + 28» 149» + 28» 149» + 22» 148° + 2° 134° + 6° 146° + 16° 25» + 48° 24» + 48» 17» + 48» 25» + 40» 64° + 18° 57° + 26° 70° + 20° 79° -t- 24° 155° + 36° 154» + 26» 1C3» + 32« |
G. H. T. Gr. Seil. T. C Scu. H. D.. Hk. Gr. S. Z. Scu. D,. C H. D. S. Z. s. z. Scu. c G. II. SCB* SCH. ^>.. Lconiden Dj. G. H. SCH. Andro- mediden l>t. 8. Z. H. G. H. Dl- s. z. D,; C. D,, s. z. c. |
') Mit geftndcrtem Knoten.
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Kometen und Meteore.
|
Name |
Erdnähe j |
Komet Datum |
Kaiiiant _ , |
1 Meteore Datum j Radiant |
AullMlItt |
|
|
3500 • 530 |
Nov. Dec. |
n |
||||
|
IBIS |
UeCeiODCf 0 |
grifio 1 üa er SSUU TÖÖ i> |
Dec. Januar 'Nov. 25 — Dcc. 14 |
209° + 67<» 210*»+ 67* |
C. |
|
|
1743 I |
a -0-025 |
Nnvembcr 13 |
21°+ 4° |
Oct. 18— Nov. 10 |
23*' + 8" |
Grrg |
|
1 74 ^ I ') |
Dccomber 21 |
December |
4° + 40 |
SCH. |
||
|
1S16 VII J 0 W V AM. |
99 4_ 0-09 |
Dcc. i 2 — 1 7 |
Dec. Januar |
207° -f- 5** |
n |
|
|
December 20 |
DcCi 1^15 |
210° -4- 70" 228» + 78"' |
D,. iL |
|||
|
t68o |
ty— 005 |
Dccember a6 |
December 9 |
135»+ 87» |
s. z. |
|
|
Deeember |
SCH. |
|||||
|
Dec. -Januar |
117*»+ IS"! |
|||||
|
Dec. 2 1 - Jan. 5 |
130'' 20" |
D. |
||||
|
December |
130"+ 30» |
So HU |
||||
|
December i 2 |
i;5«^+ 3U° |
1 H. |
Die Zahl der Kometen und Sternschnuppen, welche hier in einer Beziehung stehen, erscheint demnach ganz bedeutencl; aber, wie dieses schon bei einer anderen Gelegenheil bei den Komt-fen bemerkt wurde, mnss sich wohl die Zahl der anscheinend zubammengehongen Bahnen und Radianten in dem Maasse erhüben, als die Peohachtungen zalilreicher werden. Die Sicherheit der Knmeten- bahnen ist bis aul jenen Grad der Genauigkeit, weiclier lur diese lUentiiikaLion nothwendig ist, schon vorhanden ; nicht dasselbe gilt von den Radiationspunklen. In vielen Fällen wird man auch in dem obigen Verzeicbniste Radianten neben- einandergestellt finden, die um mehrere Grade von einander abweichen, und oft ist die Uebereinstimmung nur als eine sehr mässige tu bezeichnen. Erst wenn es mi^glich sein wird, genauere Bestimmungen ftir die Radianten va er- halten, wozu, auch schon nach dem jetzigen Stande der Beobachtungen, die Reduction der Radianten verschiedener Nächte auf eine gemeinschaftliche Epoche unerlässlich ist, wobei man, zunächst von stellaren Schwärmen absehend, die i ormeln von pag. i^g \ erwenden kann, wird man Über die wirkliche Zusammen- gebörigkeit entscheiden können.
Ein unleugbarer Zusammenhang ist aber unter den vielen Strömen und Kometen balinen doch bisher nur für vier naciigewiesen: liir die Lyraiden, Perseiden, Leoniden und Bieliden; bei den anderen mim erst die Zukunft die Entscheidung bringen.
Sucht man aus der Tafel auf pag. 94 diejenigen Kometen heraus, die der Erde sehr nahe kommen, so erhält man die folgenden viersehn:
19. — 4G. i6äo 76. 1763 84. -
136. i8s2 IV Poms
169. 1845 m COLLA
Grösste Erdnähe Hai.i.ev 0 050 Kirch OÜO^i MfissiER 0 025 Bula 0-011 Bieliden 0130 0050
175. 1846VII Brorsbm 0-057
Grösste Erdnähe 195. 1853 II S( iiwEi/ER 0-073 201. 1854 IV Klunkürfues 0 016 220. 186 1 I TuATCUER 0*002 Lyraiden 224. 186a in TÜTTLB 238. x866 l T£MPBL 250. X871 IV Tbupil 308. 1889 IV Davidsom
0-005 Perseiden 0*007 Leoniden 0-068 0*040
*) Mit geBnderten Knoten.
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KoflMlWB und MtelBoM«
Der nachgewiesene Zusammenhang bezieht sich also auf vier Kometen, für welche die grösste Erdnähe kleiner als ÜOlä bleibt; für den Kometen 1680 ist der Zusammenhang mit den Decembermeteoren sehr wahrscheinlich, aber immerhin bleibt dabei die Uiaadie der geringen Zahl der Stemschnappen noch SU erörtern.
Wild die Entfernung wesentlich grösser« so kann ein Theil des Schwanns die Erde nur dann treffen, wenn dieser sehr ausgedehnt ist, dann wird at>er der Radiant nicht fest bleiben, und es werden mehrere nahe bei einanderliegende Radianten an aufeinanderfolgenden Tagen i>eobachtet werden; sehr nahe lic^nde Radianten können dann demselben Schwarme angehören. Die Ent* feroung 0 01 Erdbahnhalbmener ist noch etwa 233 Erdhaibmesser; der Schwann muss also immerhin schon eine sehr bctraclitliche Ausdehnung haben, wenn er sich selbst in dieser Bahn bewegend Thcile in ciie Erdatmosphäre abgeben soll, die bis auf 150 km Hohe herabsteigen. So kann es wohl auch vorkommen, dass einzelne Stemschnupjien von minder ausgedehnten Schwärmen in den obersten Regionen der Aiiuospiiäre die Krdc streifen, und es wird kein aus- gesprochener Stemschnuppenfall von grossem Keichthum zu sehen sein; dieser Fall mag bei dem Kometen (46) vorliegen. Nichtsdestoweniger wird die Wirkung iler Etde auf den Schwärm in dieser Entfeniung noch ziemlich beträchtlich sein, und es können auch Bahninderungen für denjenigen Theil des Schwarms, der an der Erde vorflbergeht, auftreten, während der übrige Theil nicht weiter be- rührt wird. Hat nun der Sternschnuppenschwarm an onzelnen Stellen eine grössere Ausdehnung in der Breite, so kann von dem Wulste, wenn dieser an der Erde vorübergeht, selbst ein neuer, kleinerer Schwann abgetrennt werden.
Noch mehr ist dieses der Fall bei den Wirkungen der äusseren FUtnet», deren Wirkungssphäre bedeutend grösser ist; dadurch kann es auch kommen, dass ein der Krde sehr nahe kommender Schwärm in den aufeinanderfolgenden Erscheinungen, inzwischen gestört durcli einen anderen i'laneten, ein verändertes üiid darbietet. Rin solcher Fall \MircJL^ eintreten, wenn i. B. der Komet (201) als iiieii einea grossen bcluvanns gedaciit wird. Dieser Schwann müsste, da er sieb dem Jupiter auf O l 3 nähert (vergl. die Tafel auf pag. 94), vollständig aufgelöst werden, und der aufgelöste Theil kann in die Gegend der Erde nur als sporadischer Schwärm kommen. Das Fehlen eines Sternachnuppenschwarms, welcher diesem sich der Erde ebenfalls stark nähernden Kometen entspricht, ist daher ebensowenig direkt an Zeichen, dass dieser Komet eine Ausnahme gegen die anderen madtt
Dieson Kometen zunächst kommt, was Annäherung an einen grossen Pia* nelen betrtfl^ der Komet (220), welcher sich dem Saturn auf 0'8 nähert, und
der Komet (46), welcher sich dem Jupiter auf 0*4 nähert. Thatsächlich ent-
spricht dem ersten Kometen der mit den Leoniden an Zahl kaum vergleichbare Strom der Lyraiden; für den zweiten Kometen is>t hierin ein /.weiter Grund für das schwache Auftreten des ihm entsprechenden Stroms vom a6. December gelegen.
Callandrkaü ^) hat auch den Fall in Untersuchung gezogen, dass durch die Anziehung eines Planeten die Bahn eines Sternschnuppenschwarms vollständig geändert würde, und die in der Invariante A' der Bahn auftretenden Bahn- elemente durch die Coordinaten des Radianten ersetzt, so dass man eine Bedingung
') Compt. rend. Bd. II2, pag. 1303.
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KonMni und McMok«
erhält, welche zwischen zwei Radianten erfüllt sein muss, wenn diese demselben Schwärm entsprechen sollen. Die Bedingung lautet:
- 4«r*iö' smH^' - 0) - i^j (1 + (iH- ^ _ A-^l
|l - ^1 - J-^ [sin^ ©• + ^«f (r - 0)]J .
Bei der Unsicherheit der Radianlenbestimmung und der geringen Ver- änderlichkeit der Invariante wird diese Gleichung wohl nur ein rein theoretisches
Interesse beanspruchen können.
Erscheinungen der erwähnten Art können nun die mitunter nuffrillende Aehnlichkeit zwischen den Radianten einzelner nicht periodischer Kometen mit Radianten von Sternschnuppen erklären, welche nur einmal oder wenigstens nicht oft und nicht auUuilig genug hervortraten, und als grosse Schwarme im Sinne der vier zuerst angeführten nicht bezeichnet werden können.
Betrachtet man die Tabelle von Herschbl etwas genauer, so findet man eine sehr bemerkenswerthe Aehnlichkeit mit einielnen der dort angeführten beobaditeten Stemschnupperiälle bd den folgenden Kometen, die sich der Eide auf weniger als 0*06 Erdbahnhalbmesaer nihem kdnnen^).
Komet Fallseit Komet Fallseit
9. 1097 November i 87. 1779 October 19
10. 1231 März 10 133. 182 z Novembern
11. 1264 März 25 153. 1833 Januar 27 31. 1582 November 9 206. 1857 1 Februar 1 43. 1672 Januar 20 219. 1860 IV Januar 6 58. 17 18 Januar 29 225. 1862 IV März i6 65. 1743 I November 13 233. 1864 II Juni 20
— 1746 Februar 25«. niederstcigenden u. 2öo. 1864 IV October 16
August SS i. aoltteigend. Knoten 345* 1870 I August 12 78. I7S9 m Januar 19 Hingegen kann bei anderen Kometen, deren kleinste Entfernung von der Erde ebenfalls 0*06 nicht erreicht, der Zusammenhang mit den Sternschnuppen nicht behauptet werden, d. i. bei den Kometen*):
47: 1683 März 16 (4. Annlherung Sept. 19 bt nicht so bedcuteud; 103: 1790 m April 94 156: 1840 I Januar so 323: i86s n August 7.
Andererseits findet sich eine bemerkenswerthe Aehnlichkeit zwischen den berechneten Radianten von Kometenbahnen und den beobachteten Sternschnuppen- radianten bei den folgenden Kometen, die von der Erde ziemlich weit vorüber-
>) Zur Erleichterung des AufEndcns in der Tabelle ist die Knotenlänge (Falkeit) hiiuu- gefügt.
*) Von den bddcn Koaieten too 566 nnd 961« deren Entfenrangen — 0*06 'dnd — 006 icehnct «lad, kann natürlich abgesehen werden; fUr die Entfcroung wurde hier OHM als Gtcnsc
angenommen, da dieselbe durch mässige Acndcrung in den Elementen wesentlich geändert werden kann ; so sind auch die ausserordentlichen Annäherungen der vier Kometen (213) (0*0)i (225) (- C»-0i3; und (i 1) bczw. (87) je — O i 2) durchaus nicht sicher verbürgt
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Kometen und Meteore.
gehen (wobei jedoch nur die Kometen nach 1500 berücksichtigt sind), und swar bei den Kometen fUr welche elliptische Bahnen berechnet wurden:
134. 181 2 December 6 (kttneste Entfernung — 0 33)
1S6. 1832 IV Juni 25
175. 1846 VII December 12
208. 1857 IV October 14 (kürzeste Entfernung — 0-26)
209. 1857 V April 4 (kürzeste Entfernung — 0-28).
Bei dem Kometen (124) bemerkt Lehmann FiLHfis, dass die Abweichung im Radianten durch eine geringfügige Acnderung im Knoten beseitigt werden kann. Femer bei den parabolischen Kometen:
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27: |
1556 |
März 19 |
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35: |
1596 |
Februar 23 i. niedersteigend. Knoten, kürzeste Entf. -1-14 u. |
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August 27 i. aufsteigenden Knoten, kürceste Entf. —0-25 |
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37: |
1618 |
Juni 10 |
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51: |
1695 |
November i |
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55: |
1709 |
November 27 |
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59: |
1723 |
October 9 |
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68: |
1739 |
October 39 |
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70: |
1748 n |
April 29 |
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71: |
1757 |
October 99 |
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81: |
1770 1 |
August 6 |
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82: |
1770 n |
Juli 13 |
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89: |
1780 II |
August 14 |
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90: |
1781 1 |
Juni 14 |
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III: |
1798 II |
December 2 |
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125; |
18131 |
November 24 (kürzeste Entfernung — 0 30) |
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135: |
1822 III Juni 30 |
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160: |
184911 |
October 21 |
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177: |
i«47l |
April II (kttneste Entfernung — 0 95) |
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187: |
1850 1 |
Juni 94 |
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188: |
1850 n |
October 19 |
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213: |
1858 VI September 8 |
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261: |
1877 I |
Mftra 97. |
Bei den Kometen (70) und (177) ist die Differena in den Radtanten kleiner
als 1°, bei den Kometen (90) und (213) kleiner als 2°, und bei den Kometen (37), (136), (187) (kleinste Entfernung 0 065), und (209) kleiner als 3".
Tn diesem Falle muss man wohl, wenn man den Zusammenhang aufrecht erhallen wül, wie er 7. R bei den letzt erwähnten acht Kometen k,num tai leugnen ist, ausserordentlicli breite Ströme annehmen; insbesondere mag der Strom hervorgehoben werden, der mit dem Kometen (177) jedenfalls zu identificiren ist. Der Komet geht an der fcrde in der Entfernung von nahe einer Sonnenweite ▼oiQber; hier wird man unmittelbar auf die Idee geführt, dass sich nicht der Schwärm in der Bahn des Kometen, aondem der Komet als ein besonderes Glied, allerdtogs als ein besonders hervorragendes Glied in der Bahn des aus- gedehnten Schwarms bewegt, von welchem ausserdem trota der grossen Entfernung noch immer sehr hflufig kleinere Tbeile als Sternschnuppen in die Erdatmosphäre gelangen.
Ueber die Art des Zusammenhanges zwischen Kometen und Meteoren ist man vorltta^ ebenfalls nur auf Vermuthungen angewiesen. Da sich Kometen
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Kometen und Meteore.
und Meteore in denselben Bahnen bewegen, so haben vorzug^rarase twei Hypo- thesen Platz gefunden: diejenige von der Bildung der Kometen aus Meteor»
und von dem Zerfalle von Kometen zu Meteoren.
Gegenwärtig ist fn'^t allgemein die Hypothese anfrenommen, dass die von Kometen weggestosscnen i heile die Sternschnupjjen bilden. An sich ist diese Hypothese gestützt nicht nur durch die Schweifbildung der Kometen, sondern auch durch den wirklich beobachteten Zerfall einzelner Kometen. Aber die Schwierigkeit ist dabei die, dass die Kometenschweife nicht in der Bahn, sondern, namentlich in der Sonnennähe nahe senkrecht «i derselben, in der Richtung des Radiusvectors sind. Fayi') glaubt diese Schwierigkeit dadurch au beheben, dass er annimmt, dass nicht alle Partikel von dem Kometen durch den Schweif in den Weltraum gt^en, sondern einzelne Theile in der Nshe bleiben , welche dieselbe Bahn besdireiben. Dieses widerspricht aber geradesu der Annahme der abstossenden Kraft, wenn man nicht, was viel correkter ist, annimmt, dass sich die den Kometen entsprechenden Meteortheile von dem Kometenschweife selbst durchaus unterscheiden.
Bredichin löste diese Schwieriijkett in anderer Weise; er behauptete, dass die Sternschnuppen geradezu aus ganz bestimmten Theilen der Ausströmungen, nämlich aus den anomalen Kometenscliwcifen entstehen; eine Meinung, der sich später auch andere anschlössen. Man aiüsste aber hinzufügen: aus anomalen Kometenschweifen, die in der Richtung der Bahn liegen; da sotehe aber nur äusserst selten (insbesondere t. B. bei dem Kometen 1894 I) beobachtet wurden, so ist die Meinung Bredichin's wohl kaum in diesem Sinne zu verstehen. H. A. Newton, der noch 1865 die Sternschnuppen nicht als die Fragmente einer vergangenen Welt, sondern eher als das Material fllr eine zukttnftij^ ansah'), ^ieht 1894 die Sternschnuppen als diejenigen Theile eines Kometen an, welche nicht in den Schweif gestossen werden, sondern dem Kometen in seiner Bahn folgen'). Endlich findet man auch die Meinung, dass wenn in einem Mctcorstrom sich kein Komet bewegt, dieses ein Zeichen ist, dass der letztere scl.on g.nnz aufgelöst ist.
In dieser Allgemeinheit kann der Satz wüIjI nicht behauptet werden. Man kann wohl sagen, dass durch den Zerfall von Kometen jene Körperchen ent< stehen, die als Sternschnuppen in deren Bahnen um die Sonne kreisen: dass aber alle Sternschnuppen so entstanden sein mOssen, ist unrichtig. Im Gegen- thetl scheinen grosse und kleine Körper in buntem Durcheinander um die Sonne au schwärmen: von den kleinsten, unsichtbaren, die in die Erdatmosphäre ge- langend, dort als teleskopische Meteore oder auch Oberhaupt gar nicht sich^Mr werden, durch die Gruppe der Sternschnuppen von den verschiedenen Grössen- klasscn und den grossen Feuerkugeln, von denen oft trotz der ausserordentlichen Menge des verdampften Materials noch kolossale Stücke als Ueberrcste zur Erde lallen, hindurch, bis zu den grösstcn, nicht mehr mit den Sternschnuppen selbst, sondern vielmehr mit den planetarischcn Masseft vergleichbaren Körpern, welche die Kometen bilden^). Dieser (jualitativen Zusammengehörigkeit, welche nur einen Unterschied in der Grösse postulirt, hat Kirkwüod durch die Wahl des Namens Ausdruck gegeben; ganz ähnlich, wie man die kleinen Plaaetcn
1) Compt rend., Bd. 64, pag. 553
*) American. Jouin. of Sdencei and Aittj n. Serie, Bd. 39, pag. 207. ') Ibid. m. Serie, Bd. 47, pag. 153.
*) Non ad unam natun fonaam opus tmn» praectat, ted ipsa vaTieiate ac )aetat (Skhbca).
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Kometen und Meteore.
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tis Planetoiden beceichnet, hat Kirkwood fttr die Meteore den sehr passenden Namen K o in etoTd e n vorgeschlagen ; doch bat sidi dieser Name nicht eingebürgert.
Dabei tat eine Disgregation der Kometen zu Sternschnuppen ebenso wenig ausgeschlossen, wie eine Aggregation von Sternschnuppen zu Kometen, und dass in einzelnen Fällen periodische, früher nie p^esebene Kometen sich durch Aggrewation von in ihren Bahnen kreisenden Kmietoiden gebildet haben, ist nicht unwahrscheinlich. Dass man die Kometoiden nicht sieht, hat seinen Grund darin, dass sie der T-age ihrer Bahn nacli nicht in die Erdatmosphäre gelangen.
Diese Annahme wird auch wesentlich dadurch gestützt, dass sich in einer und derselben Bahn oft mehrere Kometen von ganz verschiedenem Aussehen: grosse und kleine Kometen bewegen, wie sich dieses in den »Kometensjrstemenc seigt Dass ihre Bahnen nicht identisch sind, hat seinen Grund in äusseren SCihrnngeni Massenanziehungen der Sonne oder der Planeten, gegen welche die- selben }a eme verschiedene Lage und verschiedene Entfernungen haben. In solchen Kometensystemen erblickt man eben die grössten unter den zahlreidien kleinen Körperchen, welche sich in diesen Bahnen bewegen; Körper, deren Dimensionen jedenfalls so gross sind, dass sie unter einem für ihre Belcuchtungs- intensität entsprechenden Gesichtswinkel erscheinen, um gesehen zu werden. Auch in den Sternschmippenschwärmcn muss die l'mlaufszeit aller Meteore nicht dieselbe sein; für die aufgelösten Schwärme war dieses bereits erwälint; in dem Schwarui der Lconiden hat Kirkwoüu überdies diei Loncentralionsccntra, drei msammenbängende Schwärme mit etwas verschiedener Umlaufszeit erkannt, der Hauptschwarm hat eine Umlaufszeit von 38'S5 Jahren, der zweite eine soldie von 33*81 Jahren, der dritte von 3d'll Jahren. Zum ersten Schwarme gehört der Komet (S38), welcher vielleicht ein Beispiel fllr die Aggregation emes Kometen aus Meteoren giebt Dieser Komet, der sich in derselben Bahn, man könnte sagen, mitten unter dem Hauptschwarm der Leoniden bewegt, wurde vor 1866 nie gesehen; man kann daher auf seine Wiederkehr 1899 wohl gespannt sein. Der zweite Schwärm bewegt sich nahe 12 Jahre später, der dritte nahe 20 Jahre später in der Halm. Eine Bestätigimg dieser Ansicht bleibt noch abzuwarten.
Das Verschwinden des BiELA'schen Kometen wurde so gedeutet, dass aus ihm der Meteorschwarm der Rieliden entstand. Wieder aber kann man nur be- haupten, ein Schwärm aus der Reihe der Andromediden; denn Andromediden wurden sdion beobachtet, lange bevor der BiELA'sche Komet sich theilte;, und dass die Andromediden von 1798 und 1838 von einem Fragmente des Kometen berrOhren sollten, ist wohl möglich, aber nicht gerade nothwendig. Scholhop meint, dass diese beiden Schwftrme von einem Fragmente herrtthren mflssten, Wiehes dem Kometen im Jahre 1798 um 4 Monate, 1838 um 7 Monate voran- ging und sich wahrscheinlich in 2 (dem ersten Erscheinen der Bieliden) ab- getrennt hat. Es bleiben aber noch die Kometoiden von 1830, 1847, welche von dem Kometen ?ehr weit entfernt waren, und selbst die grossen Fälle von 1872, 1885, 1892 können, wie Schui.hof zugiebt, nicht von den beiden Kernen herrühren, in welche der Komet im Jahre 1846 und 1852 zerfallen war; diese bilden also oiienbar, da ihre Umlaufszeit mit derjenigen des Bi£LA sciien Kometen Stimmt % dnen sdbstgndigen Schwärm, ein zweites Cüncentrationtcentrum, du von dem BmA'scben Kometen völlig unabhängig ist
*) Besüi^di der snMcrordendidi reichen StenMchnuppcnflÜle in den Jahren 1798 and 1838 hnt bereits d'AnmBST hcrvoi^Iioben, dess sie gerade um 8 Umlaafweiten des BiitLA'scben KoDMleB «OMiaMidcrltegeB.
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Komelen und lleleore.
Aehnlicbe Verhältnisse zeigen sich nach Schulhof bei den T.eoniden Newton identificirte den Kometen vom Jalire 1366 mit dem Kometen (23hj und HiND fand durch Discussion von rl im sim 1 en Beobachtungen diese Annahme gerechtfertigt. Im Jahre 1366 ging aber der Komet Anfangs October durch sein Perihel, 1866 im Januar. Daraus schliesst Schulhof auf die Möglichkeit, dass die Umtaoficeit«! des Schwanns und des Kometen nicht genau gleich, und der Unterschied (33*35 Jahre für den Strom, und 38*18 Jahre tttr den Kometen) reell wflre. In der That können sich Schwann und Komet von einander gans un- abhängig bewegen, und jedes Theilchen des Schwanns hat eigenüich füir nch seine eigene Umlaufszeit Immerhin aber ist es schwer, die Umlauftseit eines Schwarms, der sich Uber ein Gebiet ausdehnt, welches nahe ^ seiner gansen Bahn ausfüllt, auf einen kleinen Brurhtheil des Jahres genau zu bestimmen. Je nachdem man dem Bereiche der giössten Verdichtunp: eine mehr oder weniger grosse Ausdehnung giebt, kann die Abweichung auch in weitere Grenzen ein» geschlossen werden.
Das Vers< livviiiucn des Brei.A'schen Kometen ist keine alleinstehende That- sache, und ist nur deshalb aU eine erwiesene Thatsache angesehen worden, weil man den Zerfall desselben in zwei Theile als den Beginn zu seiner Auf- lösung ansah. Es giebt aber eine grössere Anzahl von als periodisch erkannten Kometen, die nach einer oder nach einigen wenigen Erscheinungen nicht wieder gesehen wurden. Es sind dieses (vergl pag. 70) die Kometen (45), der nach seiner ersten Erscheinung verschwunden blieb, bis er nach 31 Umläufen neuer- dings entdeckt wurde, dann wieder in den nächsten neun Umläufen nicht gesehen wurde; die Kometen (65), (79), (92), (132), (174), die nur einmal gesehen wurden (von den späteren Kometen, bei welchen nur die zweite Erscheinung nach ihrer Entdeckung nicht beobachtet werden konnte, kann natürlich vorläufis: abgesehen werden), der Komet (171), der seit 1879 nicht wiedergefunden wurde, und end- lich der Komet (189), der bei seiner letzten Erscheinung durch seine ausser- ordentliche Verminderung der Helligkeit auffiel. Hier scheint man es mit einem Zerfalle zu thun txt haben, der atNHr nicht vollständig ist, sondern mk einer partiellen Auflösung, welche eine bedeutende Schwächung der Licht« Intensität zur Folge hat, und einer späteren neuerlichen Aggregaiion» mit Vei Stärkung der Lichtintensität.
In dieser Form offenbaren sieb die Kometen, oder eigentlich einzelne Ko- meten als ephemere Erscheinungen einer anderen Art: sie entstehen nicht als ephemere Erscheinungen im Luftkreise, sondern als ephemere Erscheinungen im Welträume, und unterscheiden sich von den Planeten durch ihre geringere Con- sistenz. Aus kleinen Körpern bestehend. Über deren Kleinheit oder Grösse wir keinerlei sichere Anzeichen haben, bilden sich dieselben durch Vereinigung, viel- leicht durch eine sehr lose Vereinigung von solchen kleinen Körpern, die erst durch äussere Kräfte, namentlich durch die Sonnen wärme in der Sonnennähe wesentlich gelockert, aufgehoben wird, so dass man einen Zet&U des Kometen in mehrere Kerne und selbst mehrere selbständige Kometen wahrnimmt, welche sich, je nach der Beschaffenheit und den weiterhin wirkenden Kräften bei der Entfernung von der Sonne wieder in einen einzigen Körper vereinten, oder selbst in Theile zerfallen, in grössere, die selbständig ihre Bahnen als Kometen beschreiben, oder auch in ganz kleine Kometoiden.
Die Materie, aus welcher die Kometen bestehen, ist durch spectroskopische Untersuchungen schon genähert bekannt. Nicht dasselbe gilt von den Stern- schnuppen. Für letztere hingegen kann man zwei verschiedene Gattungen an-
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KmbcIcd und Meteore»
a«5
nehmen, welche nach den MeteoritenfiUlen misv^deutig enriesen sind: die metallischen (Meteoreisen) und die nicht metallischen (Meteorsteine). WShrend nmi die Massenanäehnng der Sonne auf beide Klassen von Kdrpem gleichartig •st^ kann die Wirkung der elektrischen Thätigkett gewiss nicht die gleiche sein ; ▼on dieser werden die inetaUischen KOrper mehr beeinflttsst^ und indem sie selbst in einen Zustand starker Ladung versetzt werden müssen, denn es ist vorerst kein Grund vorhanden, im Welträume andere Wirkungen anzunehmen, als wie wir dieselben auf der Erde kennen, so werden die mit Elektricität und wahrscheinlich auch mit Magnetismus geladenen metallischen Kometoiden aufeinander wirken, und zwar lediglich in Folge ihres elektrischen und magnetischen Zustandes, während die Massenanziehung derselben gegenüber der weitaus tiberwiegenden Sonnen- anziebung verschwmdet; dadurcii wird eine Aggregation von Meteoreisen zu grosseren Körpern sUttfinden können. Damit stimmt auch flberdn, dass man im Komeienspectrum, wo man nicht bloss das charakteristische Kohlenwasser^ stoflspectrum land, die Eisenlinien hervortreten sah. Umgekehrt wird es dann, wenn die elektrische Ladung in grösseren Entfernungen von der Sonne gegenüber der Massenandehui^ surOcktritl^ von der InteositKt der letzteren, besw. von der Masseuansiehung äusserer Körper auf die zusammenhängenden Kometentheile abhängig sein, ob dieser Zusammenhang weiter bestehen kann, oder gelöst wird. So können innerhalb ausgedehnter Meteorschwärme mit Halbaxen, welche Umlaufszeiten von mehreren hundert Jahren entsprechen, Kometen entstehen und vergehen, und die Sternschnuppen sind gleichzeitig die Bausteine fUr eine neue Weit, und das Resultat des Zerfalles einer gewesenen.
Gleichzeitig ist hierbei nicht zu ubersehen, dass wenn die elektrischen Ladungen die Ursachen dieser Aggregationen und Bildungen von Kometen sind, dieselben auch gleichzeitig zu Entladungen Anlass geben können und mflssen, welche sich dem Auge in den Kometenschweifen darbieten.
Es ist mm aUerdmgs keine absolute Bedingung Ar den Zusammenhang von Kometen und Meteoren, dass jeder Komet sich als ein Glied in einem Stern* schnoppenschwarme bewege. Dehnt man aber diese Aggregation auch auf die kurz periodischen Kometen aus, so kommt man, da alle sich nahe in der Ebene der Ekliptik und in einem Gürtel von nicht zu grosser Breite bewegen, zu dem Resultate, dass sich ein einziger Ring von Meteoriten nahe m der Ekliptik und in dem Zwischenraum zwischen Mars und Jupiter bewegt. Dass dieses nicht ausgeschlossen ist, ist klar; hier liegt wieder ein Bindeglied zwischen den Kometen und den kleinen Planeten. Die Erhöhung der optischen Kraft der Femröhre bringt immer neue GSeder dieses Ringes, kleine Planeten and kiin periodische Kometen, sq unserer Kenntniss.
Nicht anders aber steht es mit den nicht periodisdien Kometen; wenn jeder dieser Kometen dn Aggregationscentrum von Meteoren wäre, so mflssten sich den fortgesetzten aufinerksamen Beobachtungen, wenn auch nicht jetzt, so doch in späteren Zeiträumen und mit lichtstärkeren Instrumenten auch jene Fälle von Kometoiden offenbaren, die sich in den zugehörigen Bahnen bewegen, aber ihrer UnanffäHigkeit wegen sich der pinnlosen Beobachtung entziehen. So werden bereits seit einigen Jahren für alle neu erscheinenden Kometen die Radianten gerechnet; wenn das Resultat bisher noch negativ ist, so kann deshalb noch nicht geschlossen werden, dass die Kometen, welche zu den Aggregationscentren lu zählen sind, zu den Ausnahmen gehören: denn vorläufig entziehen sich alle Meteore, welche nicht in die Atmosphäre gelangen, und welche von Nbwtoh mit dem Namen Meteoride belegt wurden, sofern sie nicht eine schon ziem-
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KomcleB und Mdeorc
lieh beträchtliche Grösse haben, so dass sie mit den Kometen oder kleinen Planeten verglichen werden können, der Beobachtung.
Man darf nicht vergessen, dass man sich hier noch «nf dem Gebiete der SpekuUtion bew^ Die Monimg, welche die Komelea Ittr primbe KOiper er> kUu^ welche, durch ftussei« Kräfte affisirt^ seifidlen, Stemschouppenachwinne bilden, die durch die Erde oder irgend einen anderen Planeten gestöi^ auf- gelöste, in die Ulnge und Breite gesogene StrOme geben, kann als durch zahl- reidie Thatsachen der Beobachtung bestätigt angesehen werden. Nicht minder aber sprechen andere Thatsachen dafllr, dass man, bei anderen Kometen, nicht von einem Zerfalle sprechen kann, sondern von einer Neubildung. Und die Frac:c, warum ist ein Komet nnrh seiner ersten Erscheinung oder nach emer Reilie von F-rscheinungen nicht wiedergesehen worden, ist nicht mehr und nicht weniger berechfißt, als die Frage, warum ist er nicht früher gesehen worden? Bei der Beaiuwuriung dieser Frage dart uiau sich jedoch nicht von dem Gedanken leiten lassen, dass dabei eine den Kometen spedfische Erschdnong TorliQgt« Eine Reihe von kleinen Planeten wurde nach ihrer ersten Opposition oder nach einigen Oppositionen nicht wiedergesehen, und trotz der Mlannigfslligkeit der Natur in den Details ist kein Grund vorhanden, hier eine ftlr beide Klassen von Objecten verschiedene Ursache anzunehmen. Die nächstliegende Ursache bleibt aber die, dass man es mit einem Kreislauf der Erscheinungen zu thun hat, mit keiner fortwährenden Neubildung und keinem fortwährenden Zerfalle, sondern mit einem Wechsel von Erscheinungen tibeilweise constituirender, theU« weise destruirender Art.
Auch die Planeten sind in diesen Kreislauf mit eingeschlossen, indem sie durch die Meteortälle nothwendig Massen aufnehmen. Wenn auch nur die wenigsten Meteore 2ur Erde gelangen, so darf deshalb nicht übersehen werden, dass jede in den Dunstkreis der Atmosphäre gelangte Masse als mit der Erde vereinigt zu denken is^ und deren Masse vergrössert: denn sie lässt Ihre ganxe Masse in Dampfform oder in Form von kosmischem Staub, der sich langsam zur Erde niederBchläg^ zurück. Man hat daher für die MassenvermefaruDg nldit nur die Gesammtzahl der Meteorfalle, "sondern die G^ammtzahl der Stern- Schnuppenfälle zu berücksichtigen. Dass andererseits eine Ausstrahluof von Materie in den Weltraum stattfindet, stattfinden muss, folgt unmittelbar aus der jedem gasförmigen, flüssigen oder festen Körper eigenen Tension, vermöge deren er, wenn nicht ein gewisser äusserer Druck auf ihr lastet, Theiie in Dampftorra abgiebt, sich theilweise verflüchtigt. Dieser äussere Druck kann aber bei den Weltkörpern nur durch einen erfUllten Weltraum gedacht werden, und der noth* wendige Druck regulirt sich durch die Menge der Ausstrahlung von selbst Ob die Aufsaugung von Materie aus dem Weltraum oder die Ansstrahluiq; der Materie in den Weltraum sich gegenseitig das Gleidigewidit halten, oder ob eine derselben vorherrscht^ kann nur durch astronomische Beobachtungen en^ schieden werden. Durch die Aufsaugung von Massen muss in erster Linie eine Verzögerung der Translations- und Rotationsbewegungen auftreten. Für die Eide speciell müsste sich die Verzögerung der Rotationsbewegung in Form einer Secularbeschleunigung der Translationsbewegungen der anderen Himmelskörper, in erster Linie beim Monde offenbaren. Auch wurde diese Erscheinung in glück* licher Weise von v. Uppolzkr ^ur Erklärung des Umstandes herangezogen, dass die beobachtete Secularbeschleunigung des Mondes grösser ist, als die aus der 'i'heofie der allgemeinen Anziehung sich ergebende. Doch ist man bei der nume» rischen Bestimmung, vorläufig wenigstens, auch nur auf Vermuthungen angewiesen.
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Nicht minder wichtig ist die Betrachtung der zweiten Gattung von Strömen, der stellaren Ströme. Hier hat man es nicb!; mh Himmelskörpern tu rbiin, die dem Sonnensystem angehören; es sind Schwarme, welche an der Bewegung des Sonnensystems nicht theilnehmen, und durch die Anziehung der Sonne auf kurze Zeit dem Sonnensystem einverleibt, dasselbe wieder verlassen. Ein Unter- schied bezüglich ihrer Stellung zu den Kometen kann jedoch nicht angenommen weiden, dena ite stehen sa den «idi m hyperbolischen Bahnen bewegenden Kometen in denelhen Beziehung, wie die planetaren ScbwSrme «i den äch in eUiptiscben Bahnen bewei^den Kometen.
Besflglich der siellaren Schwärme ist jedoch eine noch grössere Vorsiebt geboten. Man hat in vielen Fällen bereits eine grössere Anzahl von idendschen Radianten Air lange Zeiträume, aber die erscheinenden Sternschnuppen tragen dabei doch den Charakter von sporadischen Sternschnuppen. Zumeist erscheinen während einer Nacht nur einige wenige Meteore aus einem gewissen Radianten, wenn auch durch längere Zeiträume hindurch, durch viele Nächte immer aus demselben Radianten; eigentlich stellare Schwärme, d. i. Sternschnuppen in grösserer Zahl, die aus einem stationären Radianten kommen, sind selten. Da ist es denn nicht ausgeschlossen, dass hin und wieder, wie sciion erwähnt Radianten, die m Folge der tuMssigen Beobachtungsfehler Ittr identisch gehalten werden, bei genauerer Bestimmung derselben sich als verschiedene ergeben wQrden; flberbaupt ist die sulästige Zahl der Radianten um so grösser, je mehr dieselben getrennt werden, d. b. je weiter die Genauigkeit der Beobachtung eine Difleren- zirung gesuttet. Bei dem beutigen Stande der doch nur sehr rohen Stem- schnuppenbeobachtungen ergiebt sich daher eine Uberwi^ende Wahrscheinlich« keit zu Gunsten der Identität von beobachteten Radianten, und damit eine er- höhte Wahrscheinlichkeit für planetare oder stellare Stemschnuppenschwrirme,
Nichtsdestoweniger muss das Vorhandensein von Radianten m Betracht ge- zogen werden, welche, nach Ausscheidung der den Schwärmen ancfchörigen Radianten, regellos nach allen Richtungen vertheilt sind, und den eigentlich sporadischen Meteoren angehören. Trotz der grossen Zahl der Radianten der ersten Klane bleibt die von Scbiaparilu erkannte Tbatsache im Grossen und Geusen di^ dass »der Apex als das hauptsächlichste Condensationscentrum der Meteorscbauer ansuseben ist; und dass alle Anomalien in der Vertheilung der Ströme nicht hinreichen, dieses Ikferkmal zu verwiscbend).
Eine gewisse Rectifikation hat dieser Satz allerdings in der auffälligen Er- scheinung der Verspätung des Maximums der Sternschnuppenfälle erfahren müssen, wodurch sich, wie schon Schiaparelli erklärt, unleugbar neb?^t diesem optischen ein physisches Condensationscenr.rum offenbart. Allein es tritt hier nur eine theilweise Verschiebung, eine resultirende aus zwei Wirkungen auf, von denen die eine, die ^Virkung des optischen Conden«;ationscentrum^ , imcnerhrn auf eme ausserordentlich grosse Zahl von sporadtschcu, regellos vertheilten Meteoren wdst
Dass diese Meteore, vereinzelt ohne Wirkung auf die grossen Himmelskörper, in ihrer ganzen Menge eber eine nicbt unbeträchtlicbe Wirkung auf die Bewegung der Himmelskörper austtben können, ist selbstverständlich. Walker bemerkte schon 1864, dass man in den um die Sonne kreisenden Meteoren den Wider- stand zu suchen hat, welcher die Anomalie in der Bewegung des £iiCiC£'schen Kometen eneogt. Fayb hat diese Idee später dahin erläutert, dass man es in
>) L c, pag. 131.
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diesem Falle mit einem sich bewegenden wiederstehenden Mittel zu tbun hat, mit de&sen Theorie er sich übngens schon früher (1Ö60 uod xäöi) be- schäftigt hatte. Dem widersprechen ab« zwei Tbataachen: Dieses von Fayb sopponirte widenldieDde Mittel setzt niisfidi eine dwtehweg reclitliiifige Be- wegung aller Sternschnuppen voraus^ und zweitens eine Geschwindigkeit» welche i^rcislömrigen oder nahe kreisförmigen Bahnen entspricht Beide Vonrosaetsengen sind d«jrch die Erscheinungen widerlegt Selbst wenn man Stemschnappen sich in Strömen bewegend annimmt, so sind diese Schwärme ebenso wie die sie begleitenden Kometen nicht durchweg rechtläufig, und die (veschwindigkeit ht in allen Fällen weit grösser als die «'iner kreisförmigen Bahn entsprechende, in emer überaus grossen Zahl vor 1 illen auch grösser wie die einer parabo- lischen Bahn entsprechende. Will man also die Sternschnuppen als die das widerstehende Mittel bildenden Kürpcrchen ansehen, so hat man sie als in regellosen Bahnen sich bewegend anzusehen, ähnhch den hypothetischen Be- wegungen, wdchen nach «ter Voraossetzang der kinetischen Gasdieorie die Mole* kflle jedes Gases unterliegen. Die in diesen Bewegungen begrifienen, sporadischen Sternschnuppen stehen in keinem unmittelbaren Zusammenhang zu den Kometen; sie sind Theile desselben Weltgansen, und können zur Veigrösserung der Kometen wie der Planetenmassen und zur Beeinflussung ihrer Bewingen führen, aber nur regellos, wie ihre Vertheilung ist: kosmisch derselben Art, sind sie immerhin in Rücksicht auf ihre WeltsteUung von den Sternschnuppen« schwärmen zu trennen. N. Hsaz.
KosmogOflie. Einleitung. Wenn es auch zu -keiner Zeit an Ver^ suchen, Uber die Entstehung des Weltalls Klarheit zu gewinnen, gefehlt hat, so konnten diese doch so lange nur dichterischen oder geschichtlich-philosophischen
Werth haben, als die Naturwissenschaft noch nicht Ober genügendes Beobachtungs- material und einwandsfreie Methoden, es zu bearbeiten, verfligte. Die in den Schöpfungsgeschichten und den philosophischen Systemen niedergelegten Welt- bildungshypothesen gaben demnach den Aufschluss, den sie geben wollten, in keiner Weise und können höchstens, worauf Favf^) zuerst aufmerksam ge- macht hat, dazu dienen, den Umfang der naturwissenschaftlichen Kenntnisse, welche ihre Urheber besassen, bestimmen zu lassen. So ist denn auch noch die Kosmogonie des Cartesius') trotz mancher brauchbarer Einzelheiten, viel zu sehr durch vorgefasste Meinungen beeiofiusst, als dass sie jetst noch Be- deutung haben könnte, und der erste Versuch dieser Art, mit dem wir uns hier zu beschäftigen haben, ist derjenige, welchen Kant*) 175$ in seiner anonymen,
•) Faye, Sur l'hypothcs« de LaplaC«, Compt. rcDd. XC, pag. 566. — Sur l'origine du Systeme Bolaire, Cooipt. rcnd. XC, pag. 637. — Sur Torigine du Monde, Thunes cosmographiques de» Ancieas et det Modcncs. s. Ed. Psrts 1885» pag. 8 ff.
*) Renati CAaTSSit, PHodiim PhiUwophia«. UH. Ed. Aaküalodtnu 1698.
*) Kant, Allgemeine Naturgescbichte tind Theorie des Himmels oder Versuch von der Verfassung und dem mechanischen Ursprung des ganzen WcltgebUudcs nach NKWTON'schen Grundsätzen abgehandelt. Königsberg und Leipzig J. Fr. Petersen i75S- Im Auszuge von Gbnsichkn 1791 nur bis pag. 94 der Originalausgabe nochmals abgedruckt unter BeifUgung dreier Abhandlttiigeti von W. HsascHZL und AnmcrkaDgeii tob SdOfsa. (Von Kamt dnreb- geseken und i^eaeliniigt) Neu herausgegeben 1798 tod M. F. Id der Augiibc der Wake Kant'<; von Rosknkranz und Schubkrt befindet sie sich im 6. Bande. Sie bildet 1890 von IL Ebert herjni<!ppgeben das 12. Heft der Classiker der exakten Wissenschaften. — Kintig möglicher Beweisgrund zu einer Demon^itration des Daseins Gottes. 1763. SämmtUche Werke berausgcgebea von HAZTiNSTzn« II, pag. iSo ff.
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Friedrich dem Grossen gewidmeten »Naturgeschichte des Himmels« veröffent- licht hat. Nach ihrem ersten Auftreten freilich blieb diese merk\vürdigc Schrift so unbekannt, dass noch im Jahre 1761 LamukrtI) seinen xkosmologischen Briefcnt eine Anzahl der von dem Königsberger Proieasor bereits behandelten Fragen nur nach Zweckmässigkeitsgründen, die nach des Verfassers eigenem Gestündniss keine grosse Tragweite hatien, glaubte beantworten zu können, und erst naclidein Laplacb's*) »Expositioii du Systeme du Monde« die allgemeine AttlnerkMinkeit anf kosmologische Ideen gelenkt hatte, entdeckte man, dass das Werk Kamt's reich an solchen war, die mit denen des framsösischen Geo- meters tum Tfaeil flbereinkamen. Dodi ist der Unteischbd in den An- schauungen beider grossen Gelehrten immerhin ein so beträchtlicher, dass es nicht angemaaea erscheint, sie als KANT-LAPLACB'sche Weltbildungshypothese tU8ammen?uwerfen, wie dies üblich geworden ist').
Seit dem Bekanntwerden der Arbeit Kant's ist die Frage nach der Ent- stehung der Welt nicht wieder von der Tagesordnung verschwunden. Spätere Arbeiten haben Neues dem Vorhandenen /.««[efügt oder sie haben, namentlich seit Helmholtz^j und Rii itK^; das Princip von der fc^rliainmg der Energie und die kinetische Gastbeorie auf die Lehren Kant's und Laplacb's anwendeten, Unhaltbares ausgeschieden. Darüber hat man aber vielfach aus dem Auge ver- loren, dass eine gerechte Würdigung der Verdienste Kant's um die Weltbildungs- theorie nicht den heutigen Standpunkt der Wissenschaft als Maassstab anlegen darf, sondern auf den der Mitte des vorigen Jahrhunderts surQckgehen muss.
Wii werden demnach am sweckmftssigsten ein Bild der geschichtlichen En^ Wickelung der Lehre und ihres gegenwärtigen Standpunktes erhalten, wenn wir, stets von den Ar)<;icliten Kant's ausgehend, deren Fortbildung bis zur Gegen- wart verfolgen und nacheinnnder das Wesen des UrstofTes, die Nebelmassen und Fixstemsysteme, die Fixsierne und unser Sonnensystem betrachten, um schliesslich auf die Quellen der Sonnenwärme noch etwas näher einzugehen.
Vorher jedoci) sei die Bemerkung gestaltet, dass Versuche, wie der Duprül's"), die Lehre Ca. Darww's auf die Entstehung der Himmelskörper ananwenden, vOlUg aussichtslos erscheinen. Fehlen doch den Himmelsköipem und den sie zusammensetzenden Massentheilchen die Grundbedingungen aller individuellen Fciilentwickeluog, wie die Mflg^cbkeit der Anpassung an gegebene Verhältnisse tmd die der Vererbung erworbener Eigensdiaften. Wenn Kant^ (pag. 18)
') 1-*MT<FiBT, Kosmologiiche Briefe. Äugspurg 176 1, pag. 70 und 102. ^ Lanuici, Oeumt, Pttrit 1846 VI, Note VIL Die »Exposition daSjstime du Hönde« ciscUia laont
I) So HnJmoLTX. PopoUie triwcnochtflilclte Vortrige. 3. Heft. Braunseh». 1876,
pag. !Oi.— Schopenhauer, Parerga II, pag. 117. — C. Braun, Die Kosmogooie vom Staml- ponkte christlicher Wissenschaft. 1889, pag. 49 ft. — Lami'a . NaturkrHfte u. Naturgesetze, Wien 1895, pag. 117 flf. etc. Scbematische ZusamrocnsteUungcu beider Ilyputhesen geben ZOuiaau Natur der KontMCB. Ldps. 1872, pag. 460, und G. EataHAan, die Koraiogcniie von Kamt» PubUcellonen der v. Kusmta'edien Slerewerte in Wien. HL Bd. Herauig, von L. DK Bau, Wien 1894, pag. XXMII ff.
«) Hfi vHOT TZ, PopulMr» Vortrige. Brennscb«. 1871 tmd 1876. a. Hefl> pag. SSO u. •34' 3- P^'^.-
^) KiTTER, Lntersuchungcti Uber die Höhe det Aluiosphäie und die Constittitioo gas> Enniger Wdfttfrper. WitD. Ann. V^VID, X-XIV, XX.
^ DuPtSL, Die Flaaetenbewolincf und die NebularhTpotheae. Leiptig 1880. Ent- wicltelungsgeschichte des Weltalls. Leipzig 1882.
') Ich citire nach dem Abdruck in lieft la der Clasaiker dct exacten Naturwisientcbafteo.
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Kounogonie.
sagt, >dass die Theilchen ihre Bewegung untereinander so lange einschränken,
bis sie alle nach einer Richtung fortgehen«, so ist das gewiss doch etwas ganz Anderes, rils eine solche Anpassung oder eine direkte Auslese im Sinne Dar* wim's, wie KfiKRT (pag. 99) und Eberhard (pag. YII) annehmen.
1) Das Wesen des Urstoffes. Soll eine WeltbildungsbypoUiese nicht von vornherein gegenstandslos sein, so darf sie nicht mit Newton^) die Wdt, wie sie ist, aus der Hand des Schöpfers hervorgehen lassen. Aber ebenso wenig kann sie mit dem absoluten
Nichts beginnen. Sie muss unter allen Umständen ein von Anfang Gege- benes voraussetzen. Dartiber, dass dies der noch nicht dif ferenzi rte , mit Anziehungs- und Abstossurgskräften ausgerüstete Stoff war, sind aiie Forscher, welche sich mit dem Gegenstand beschäftigt haben, einig. Während nun Kant (pag. 17) als anziehende Kralt nur die Gravitation voraussetzte, fügte man später auch die molekularen Kräfte hinzu und brachte sie zugleich mit der Wflnne in die Verbindung, die die kinetische Gastheorie fordert Die Entdeckung der Fähigkeit der Wärme, chemische Verbindungen su dissodirea, fttbrte dann weiter su der Annahme, dass der noch nicht difierenzirte Stoff ans den unverbundenen Elementen bestanden haben möchte, ^ als die Fortschritte der Spcctralanalyse es als mdg^ch erscheinen liessen, dass die in gegenwflrtiger Zeit als Elemente ai^^rochenen KOrper noch zusammengesetster Natur seien, da lag es nahe, sie als aus einem einzigen oder einigen wenigen Stoffen ge- bildet anzusehen, welche somit \m eigentlichen Sinne des Wortes die Urstoffe wären. Zu der nämlichen Ansicht führten Crookes') Versuche, die er mit den »seltenen«, namentlich Yttrium und Samarium enthaltenden Erden im äusserst luftverdünnten Raum unter Anwendung des Inductionstunkens und des Spektro- skops anstellte und deren Ergebnisse er zum Gegenstand emes am 18. Fe- bruar 1887 in der Royal Institution gehaltenen Vortrag machte. Danach sollen die bisher als Elemente angesehenen Stoffe aus einem Grundstofl; dem »Pro- tyle^f gebildet sein, aus dem sidi die Atome susammenballen, wie die Flocken aus den Niederschlagen oder die Wirbehringe aus Kauch. Indem die neuen Ge* bilde auf das Protyle weiter verdichtend wirkten, beschleunigten sie den Fort- gang der Atombildung. Als erstes Element entstand der Wasserstoff, der die einfachste Structur bei niedrigstem Atomgewicht aufweist; ihm folgten der Reihe nach Li'lI lum, Ben Umni, Bor, Kohlenstoü, Stickstoff, Sauerstoff, Fluor, Natrium, Magnesium, Aluniinuim, Silicium, Phosphor, Schwefel, Chlor etc., so dass die Elemente, aus denen die organische Welt besteht, zu den am frühesten auf- tretenden gehören. Ging diese Atombildung hinreichend langsam vor sich, so entstanden scharf ausgeprägte Elemente, wurde sie durch irgend eine Ursache beschleunigt, so konnten Gruppen einander ähnlidier Stoffe sum Vorschein kommen, woiür die Eisen, Nickel und Kobalt enüiattende ein Beiqtiel ist Die graphische Darstellungsweise Rbwolds' (Grookbs a. a« pag. S4), weldie die Atomgewichte als Abscissen, die Phasen der abnehmenden Schwingungsweite eines Pendels, dessen Schwingungsmittelponkt auf der Abscisse fortschreitet, als
>) Newtoni, Philosophiae naturaii» Principia mathematica. £d. altera. Colon. AUo- brog. 176a T. HI, pag. 672.
*) CaooKis, Die Geneik der Elemente, «io Vortrag, gdudten in der Royal ÜMtitiitioB ni London. Deuttcta von Dkuslk. Braunschw. 1888.
>) Nach der Abkltiing aus 1^ und 6X1) hlltto SHUi die BctciduMiBg »die Prdqrle« er- warten toUcn.
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Koonogonie.
«3t
Ordinaten benutzt, triebt /zugleich über das elektrische, vielleicht auch magne- tische Verhalten der Kuri er und ihre Stellung im NEWLAND-MENDELEjEFFschen System Aufschluss. Dass CtKuxwald^) zu ähnlichen ErgeLmsicn durch Unter- suchung der Gasspectren kam, darf hier freilich nicht als Bekräftigung herangezogen werden, da nach Kmser's') Kritik diese Ergebnisse schwerlich gerechtfertigt sind. IXt Fnge, was dem Protyle voranging, beantwortet Crookes nicht, er deutet nur a»^ dass dies Elemente mit negativem Aequivalent i^esen sein konnten, vielleicht auch £e Elektricitftt, die nach Helmholtz^ mfiglichen&Us aus Atomen bestehe und aus dem Lichtäther gebildet sein könne. Dieser setze demnach in seinen abgeleiteten Formen das Weltall zusammen. Mehrere Ent- deckungen der neuesten Zeit namentlich auf chemischem Gebiete dürften freilich dne Modifikation einiger dieser Annahmen fordern.
Die Nebelmassen und Fixsternsysteme.
Wenn Croous auch die Ursache, die das Proiyle cur Verdichtaiig an- regt^ im Dunkeln Hess, so hat er mit seiner Hjrpothese einen Schritt weiter zu thun versucht, als alle seine Vorgänger. Denn diese beschränken ach da- rauf, aus der Voraussetzung eines mit Kräften au^estatteten Urnebels oder Feuernebels die Entstehung von Weltkörpern mit rotirender und in bestimmter Richtung foitschreitender Bewegung, wie es die Fix- sterne sind, zu erklären.
Dass solche Nebeimassen, deren Theilchen gasförmig sind, in der That be- stehen, ist durch die Spectroskopie bewiesen worden, dass der Weltraum »geradezu ausgefüllt ist mit mehr oder weniger ausgedehnten Gebilden sehr dünn verstreuter Mateiie,c die vermnthlich in physikalischer Besiehung sehr ver- schiedene Constitutionen aufweisen, hat die Himmelsphotographie Ober jeden Zweifel erhoben^). Aber es giebt auch eine Anzahl Nebel, welche sich bei ge- nügend starker VergiOasening in Sterne auflösen, und die Beobachtung solcher war es, welche William Herscuel^) eine Ansicht wieder aufnehmen Hess, die Kamt bereits dreissig Jahre vorher auf eine Arbeit von Wright*) gestutzt aus- gesprochen hatte (pag. ii). Danach sollen alle Nebelfiecke Fixsternsysteme sein, die so weit von uns entfernt sind, dass die einzelnen Sterne nicht mehr als solche erkannt werden können, ihr Licht zu einem gemeinschaftlichen hellen Scheine zusammenfliesst. Diese v.ie Inseln im Weltall verstreuten Sternmassen sollten Systeme bilden, welciie Räume von verschiedenster Form emnahmen. Auch unsere Sonne gehöre einem solchen von linsenförmiger Gestalt an. Fttr das in der Riditung seiner grOssten Ausdehnung blickende Auge fliesse das l4cht der dort befindlichen Sterne susammen und erscheine am Himmel als eine Zone von grosserer Hdligkeit, irie die Umgebung, erscheine als uns
•) GrUnwald, Ueber die merkwürdigen Betichungen »wischen dem Spectrum des Wasser- danpfe« tind den Lioienspectren des Wasserstofis und Sauerstoffs, sowie Uber die cbemische Stmdnr der beiden Icttteren und ihie IMisodation in der Scmnenatinoeplilre. Astron. Naehr« 1887* Nik t797. — Madiemstiiclic Spectnlanalyse des Mugnenims und der Kohte. Sitsungiber. der Akademie der VHesenschaftcn tu Wien. 1887. XCM. Abt II, peg. 1154. — Spectral- ■nalyse des Gidmiums. Ebenda. 1889. XCVIII. Abt. IL 967.
*J Kaiser, Clicmikcr-ZeituDg 1S89, No. 100 und loa.
*) HsLMHOLi-z, Fakadav- Vorlesung 1881.
*y IL SinjCTS, Ueber den aeuca Stern im Sternbild Aiutge. Aitron. Neehr. 1893« No. 3ii8i
W. Hesschsl, On some observattons tending to invcsti^te die construction of the
heevens. PhilosopTiical Transactions of the Royal Society. 1784. <) Wucht, An original Theory of tbe Univcrs. London 1750.
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»3«
Kosmogonie.
Milchstrasse. Ein sokties System besitze eine rotirende Bewegung, die einen Mittelpunkt voraussetse, und zwar sollte diese nach Kamt's Vermuthuog (pag. 7)
flir unser Sonnensystem im Sirius Hegen. Wegen des grossen Radius erscheine uns diese Rotation nirht als solche, sondern sie mache sich in einer fort- schreitenden Bewegung unserer Sonne bemerkbar, wie Kant bereits annahm. Wenn nun auch Sirius als Centraisonne nicht beibehalten werden konnte, so ist es bekannt, dass man er^L in neuerer Zeil von den Bestrebungen zurtlckgekommen ist, ihn durch eine andere zu ersetzen.
Die Annahme Kamt^s und Hkrschbl's Iconnte in ihrer Allgemeinheit nicht beibehalten werden, nachdem die gasförmige Natur vieler Nebel unzweifelhaft dargethan worden war. Man hielt diese nun fttr in der Bildung h^riflene Fixstemqrsteme und wurde in diesem Glauben durch die Yon einigen von ihnen mit Hilfe der Photographie erhaltenen Bilder nur bestärkt. So zeigt der von RoBBRTS^) am «6. November 1892 photographirte Nebel M 77 Ceti einen dich- teren sternförmigen Kern mit einem ebenfalls starke Verdichtungen aufweisen- den Ringe, der von demselben Astronomen^) am T4. April 1893 phoiofrraphisch aufgenommene H 1 lü8 Ursae majoris Spiralform mit einem Stern in der Mitte und mit Windungen, von denen jede in Sterne aufgelöst ist. \'on diesen Sternen sind einige schart begrenzt, während sich die anderen in allen Stadien der Ent- wickelung zu befinden scheinen. Auch im bertthmten Sternhaufen im Hercules« in dem Nebel der Andromeda aeigen photographische AuAiahmen deuliich Sterne mit nebeUrtiger Umgebung, und Nebdtheile mit stemartiger Verdichtung, die die verschiedenen Suulien der Entwiclcelung darstellen mögen.
Soll ein Nebel über weite Räume ausgebreitet werden» so muss er eine grosse Menge von Energie augefUbrt erhalten» die er dann bei seiner Ver- dichtung wieder ausgiebt. Kant und Laplack legten seinen Theilchen nur die Eigenschaft der Schwere bei, um die Möglichkeit seiner Verdichtung zu erklären, wenn auch der französische Forscher sich den Nebel als im böclisten Grade erhitzt vorstellt, während Helmholtz in der von Anfang an vorhandenen beträcht- lichen Wärmemenge in iJebereinstimmung mit dem Princip der Erhallung der Energie den in Nebel enthaltenen Kratuorrath sieht Zur Erklärung dieser Wärme blieb nun nichts übrig, als die beim Zusammentreäen zweier Nebel auiiretende Stosawirkuog heranzuziehen. Das tbat zuerst 1870 Lane^ indem er aber zugleich darauf hinwies» dass die Contiaction einer Nebelmasse, welche in Folge ihrer durch StoM erzeugten Erhitsung weit Aber ihr froheres Votomen ausgedehnt worden sei» nachher keineswegs nur eine durch AbfcQhlang hervorgerufene Volumveiminderung scigen könne. Der 1877 von Groll*) gemachte Versuch» durch dieselbe An- nahme die kosmischen Nebeln inne wohnenden Wärmemengen zu erklSren, scheiterte daran, dass er seinen Rechnungen Geschwindigkeiten zu Grunde legle^ wie sie im Weltenraum nicht vorkommen. So blieb es Ritter vorbehalten, mit Vermeidung dieses Fehlers an der Hand der Errungenscliaften der kmetischen Gastheorie das Problem in einer Weise zu behandeln, die bei grossem Reich- thum ihrer Ergebnisse auch die Erklärung vieler an den kosmischen Nebeln ge- machten Beobachtungen liefert. Danach muss sogleich nach dem Zusammenstoss
>) Roasars, Moai% Notiees of die Royal Aitroaoailed Sodctj 1893. Vol. LEU,
*) RuBKRTS, Ebendas. 1893. VoL LIV, pag. 92.
Laub, On thcorctiad tempenturc of tlie Soiu SUlimans Journal, Juli i&jo.
CaoLL, niilofoplucil Maguittc. 1878, Scr. V, T. VI, pag. 1. Quartcrij Journal of Science 1S77, LV. Ueber die Unhaltbarkelt der gemacbten ADnahme veigl. Meli R. C Wolp; LcB hypotbisc» eotmogoaiqtiei. Bulletin urtfonorntque 1884, T. I, 1885, T. II.
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die innere Wärme so gross werden, dass die von ihr benroigerufene Expansion die Massenthetlchen des Nebels in heftige Bewegung versetzt. In Folf^e ihrer Trägheit überschreiten sie dabei ihre dem Zusannmenwirken der Expansion und Cohäsion entsprechende Gleichgewichtslage und die so entstehende (ihermässige Ausdehnung mnss AbkuiiUing hervorrufen. Dann tritt die Graviuüon wieder in Wirkung, die Theiichen gehen aber wieder nach der anderen Seite Uber die Gleichgewichtslage hioans, die innere Witrme und mit ihr die Leuchdcraft wird wieder erhöht, und so niuss sich der geschilderte Vorgang in regelmSsaigeii Schwingungen, Pulsationen, wiederholen. Weniger glticklich dflrfte die Annahme Lockvir's^) und G. H. Darwim's^ sein, die einen Meieorschwarm Torausaetst, welcher sich durch Verdichtung bis zum Verdampfen erhitzte und so den kos- mischen Nebel erzeugte.
Ein auf die obige Weise durch den Zusammenstoss eingeleiteter Neu» bildungsprocess kann nun auf doppelte Art <^cincri Abschlnss finden Je nachdem er in einer nach Innen oder nach Aussen gerichteten Bewegung der Massen» theiichen endet, müssen centripetale und centrifugale Gebilde entstehen. Zu den letzteren gelioren vielleicht die spiralförmigen Nebel, deren Eigen- thttmlichkeiten unter der Voraussetzung eines ezcentrischen Stosses sich erklären Isssen. Ihre nch ausbreitenden Massentheilchen können sich im Räume zer> atreuen und Rirm denkt daran, dass sie^ wenigstens tarn Tbeil, den Stoff ftlr die Kometen und Meteore lieferte. Doch ist es auch denkbar, dass die nach Anisen gerichtete fiew^|ung der Massentheilchen eines centrifugalen Nebels bei sunehmender Entfernung vom Mittelpunkt auf umherschwärmende Stofitheilchen Stessen, welche ihre Bewegung hemmen, so dass bei fortschreitender Verdünnung der im Innern gelegenen Regionen ringförmige Nebel entstehen können. Ebenso würde die Bildung strahlenförmiger Nc!)el und Sternhaufen ver- ständlich werden, vielleicht auch die Existenz der Mürh Strasse und das Verschwinden von Nebeln aus ähnlichen Vorgätii;en /.u erklären sein. Noch in langsamen Schwingungen begriffene Gebilde bind vielleicht die iuersl von Wdinecxe') beobachteten periodischen Nebel (Kitter XU, 461.)
3) Die Fixsterne. Sollten sich aus den kosmischen Nebelmassen Fixsternsysteme bilden, so mussten sich einzelne Parthieen ablösen und ilir Verdichtungsprocess musste zur Bildung von Fixsternen führen. Diesen Vorgang denkt sich Kant, der übrigens weder I)o[j|:)elster[ic, nocli viciiache Sterne kannte, folgendermaassen . Den solche Nebel bildenden Atomen kommen abstossende und anziehende Kräfte zu, die letzteren treten in verschiedener Stftrke auf. I>ie in geringerer Menge vorbandenen, mit stflikerer Ansiehung begabten Atome werden einerseits mit grosserer Kraft nach dem Mittelpunkt der Anxiehung hinstreben, andererseits aber «ne Ansah! anderer um sich sammdn und so snnächst au kleineren Atom* gtuppen susaromentreten, die sich durch dieselbe Wirkung je länger, je mehr veigrOssem. So kommen, wie Kakt es ausdrückt, >Klumpenc zu Stande, welche sich nach dem Mittelpunkt zu bewegen suchen. Da aber die Zurückstossungs- kraft der auf ihrem Wege liegenden Theiichen und Gruppen sie hindert, dies io gerader Linie zu thun, so werden sie seitlich abgelenkt und ertheilen der
*> Loocvaa, The meleotic hypodiesb. Loodon 1890. Bullctiii ■abcmoaikiiie. T. V.
pif. 408 Utd T. Vm, pag. 225.
*) G. H. Darwls, I'hilüsophical Transactioitt of die Kojü Societjr. 1889, V. 180^ pag. I. 3j WiNNKCU, AtUon. Nachr. No. 3293.
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ganzen chaotischen ^^as•^e mit der Zeit eine langsame Rotation um eine durch jenen Mittelpunkt gehende Axe. Das setzt allerdings voraus, dass die emzelnen Antriebe in einer bestimmten Drehungsrichtung überwiegen und dass das der Fall sein wird, ist in hohem Grade waiusct.ciniich. Das geringste, nach einer Seite hin auftretende Uebergewicht muss aber eine Drehung in einem bestimmten Sinae hervorrufen und so eine Rotation des Nebels verursachen. Ist diese nun eingetreten, so werden eine Ansah! solcher Theilchen oder Gruppen in tfreier Cirkelbewegungc in den Abstitnden vom Rotadonsnittelpunkt verhanen, in denen ihre Schwere der Centrifogalicraft gleich ist. Alle diejenigen aber, die nicht in diese Bewegung hinein gezogen sind, setzen ihre Bahn zum Mittelpunkte fort, bis auch sie eine rotlrende Bewegung erhalten oder bis sie an der Bildung des Centraikörpers Tlicil nehmen. Die gegenseitige Anziehung der letzteren wird diesem eine Kugelform crtheilen, während sich die rotirenden Theilchen m eine flache Scheibenform unluen, die ihr Entstehen dem Umstand verdankt, dass an alle dit jL-ni^en \nri ibnen, welche nicht in der Aequatorebcnc liegen, eine in diese sie wichen strcbeudc ivraticuuipunciue angreift.
0iese Entwidcelung Kant's ist aber unannehmbar, weil sie gegen das Princip der Erhaltung der Flächen verstösst Indessen darf man dessen NichtberOck» sichtigung dem Rtfnigsbeiger Philosophen nicht su hoch anrechnen. War auch das genannte Gesetz 1746 von Eui.er1) und Dahtbl BsaNOULU*), sodann in einer 1750 veröffentlichten Abhandlung noch einmal von D'Aacy*} angestellt worden, so war dies in einer Form geschehen, welche seine Gültigkeit für den vor- liegenden Fall nicht so ohne Weiteres hervortreten Uess^). Laplace (pag. 47 1) vermied diesen Fehler, indem er die rotirende Bewegung des Umebels als mit ihm gegeben voraussetzte. Ihm folgte Helmholtz (II, pag. 119), der sich sonst eng an Kant anschhessi. Ritter (XII, pag. 459) ist dagegen der Ansicht, dass »so lange man an der KANi-LAPLACE'schen Hypothese festhält, nach welcher die Sonnenoberfläche ursprünglich bis Über die Neptunsbahn hinaus sich erstreckt haben musstet, die Annahme nicht wohl umgangen weiden kann, dass uoMtx Sonnensystem »durch den Zusammenstoss von swet oder mehreren kosmischen Wolken, welche vor dem Stesse bereits gewisse interstellare An&ngsgeschwindig- ketten besessen«, entstanden sei. Dieselbe Forderung stellt er mit der bereits für die veränderlichen Nebel ausgeführten Begründung auch fttr die Entstehung der veränderlichen Sterne, während er »gegen die Annahme^ dass unter den ua* veränderlich leuchtenden Fixsternen der eine oder andere durch allmähliche Verdichtung einer einzelnen kosmischen Wolke entstanden sein könnte«, keinen wesentlichen Einwand zu erheben vermag.
Gegen diese Stosstheorie sind zweierlei Einwände gemacht worden, einmal der, dass die grösste Wärmemenge bereite auiigestrahlt gewesen sein müsse, ehe sich die Körper des betreffenden Systems ausbilden konnten, und sodann der andere, dass ein solches Zusammentreffen noch nie beobachtet worden sei Bei dem ersten Einwand ist aber übersehen, dass die Bildung des Systemes und die
• ') Ein.£R , Solutio problematis rocchanici de motu corpoitim tnbi* mobilibtu ioclusoraai, Opascula varii ArgumentL Bd. IL 1746.
D. BxaiioilUJ, Nowvcsn pnoUine de meonique rlsolu. Abhandlungen der Akademie der Wuscmdiaftat xu Bedin. Bd. I. 1746.
*) D'Arcv, Problfane de OTmunique. Mlrooires de rAcad&nie FmiQdsc. Paiii 1750, P^. 344-361.
^) DÜHRmc, Kritische Geschichte der allgemeinen Prindpien der Mechanik. 3* Aufl. Leipiig 1S87, pag. 281.
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Wärmeausstrahlung ja der nämliche Vorgang ist. Gegen den zweiten führt Ritter nn, dass die an der Erdoberfläche beobachteten Meteoritenfälle, die höchst wahrscheinlich auch auf der Sonne vorkonramen, ja nichts anderes sind, als gelegentliche Zusammenstösse von Thcilcn der im Weltenraunie zerstreuten Materie. Dem ist zuzufligen, dass wenn wir annehmen müssen, wie sogleich näher begiOndet werden soll, dass die Fixsterne gleichaltrig sind» solche Ereig- nisse ttberhatipt nicht mehr stattfinden werden. Indessen liegen auch Beob<- achtnngen vor, die vielldcbt auf einen aukflnfttgen oder aber auf einen thatsieh- licheo Znsammenstoss hindeuten. So sind mttglichen&Us die Doppelnebel Ge- bilde, für welche eine solche Katastrophe in verhältnissmässig naher Aussicht stdit^ so hat man von verschiedenen Seiten das mehrmalige Wiederaufleuchten des neuen, 5m December 1891 erschienenen Sternes im Fuhrmann auf solche ZiiRammenstosse /.Drückgeführt. VoCEL ^) macht darauf aufmerksam, dass die dabei beobachteten Erscheinungen sehr wohl ihre Erklärung in der Annahme finden wiircicn, dass ein Körper von der Grössenordnimg unserer Sonne durch das System eines andern ebensolchen gegangen und mit einigen von dessen Gliedern sosammengestossen sei, wihiend Sbblicbr*) meint, derselbe Zweck weide durch die Unterstellung erreicht, dass ein solcher Körper verschieden dichte Faithieen eines Nebels durchaogen habe. Dabei dflrfen wir jedoch su bemerken nicht unterlassen, dass HuoGnfsf) und Bbkbbrich^ diese Annahmen nicht für nöthig erachten, sondern das mehrfache Aufleuchten der Nova Aurigae durch GasausbrUche, die dort stattfanden, erkUlren su können glauben.
Die Fixsterne werden als Endgebilde der sich verdichtenden centripetalen Nebel angeq)rochen werden müssen, es wird von deren Form und Grösse ab' hängen, ob sich ein einzelner oder mehrere bilden. Die Theilchen eines ur* sprttngHch kugelförmigen Nebels können sich zu einer grossen Zahl kleiner Körper vereinigen und aus solchen sind vielleicht die kugelförmigen Sternhaufen im Hercules und in den Jagdhunden entstanden (Fave). Hatte der Nebel von vornherein, oder in Folge seiner Rotation eine abgeplattete Gestalt erhalten, so konnten mehrere grössere Stofifanhäufungen zu Stande kommen, wie sie die doppelten und vielfiichen Sterne zeigen, oder es trat im Mittelpunkt ein einziger Körper von grosser Masse auf, ausser ihm aber entstehen eine grössere oder geringere Annhl rasch erlöschender Begleiter, welche der Centralkötper xwingt, ihn nach dem dritten Kimjn'schen Gesetx su umkreisen, es entstehen Sonnensysteme.
Fassen wir zunächst den Centraikörper ins Auge, der durch die Verdichtung der in die Mitte des Systemes gelangenden Nebelmassen sich bildete, so werden bei diesem Vorgange in derselben Weise, wie wir dit s bei den Nebeln gesehen haben, j ulsirende Bewegungen Platz greifen, die eine abwechselnde Erhitzung und Abktihlung und in Folge davon ein periodisches Aufleuchten zeigen müssen. Während die Dauer einer Puls^xtion im Laufe der Zeiten sich nicht ändert, nimmt ihre Amplitude, je nach der Menge der schwingenden StofTtheilchen, in kürzeren oder längeren ZeitrSumen ab. Auf solche Weise wflrden die veränderlichen Stcme von nicht xu kurzen Perioden entstehen, die ihre Veiflnderlichkeit mit der Zeit verlieren müssen. Veränderliche Sterne von sehr langen Perioden wflrden vielleicht in manchen Fällen als plötzlich aufleuchtende erscheinen können
^) H. C. VocEL, Abhandluogcn du Akademie der WiMenschifteii «1 Berlin 1893.
H. SlUOJGKR, ri PI. O
^ W. HUGGUiS, Naturwissenschaftliche Rundschau. 1893. VIII, pag. 389. ^ BsimaiCB, Ebendns. 1893. VIII. pag. 307.
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(Ritter \TTI, XII, 459, XIII, 366), welche Annahme dem Ergebniss der
spcctralanalytischen Forschung wenigstens nicht widerspräche. V^eränderliche Sterne von kurzer Periode werden dagegen nach den an Algol gemachten Beob* acbtungen vtelfacbe oder Doppelsterae mit schwach leuchtenden oder dunkeln Begleitern sein. War die den Fixstern bildende Nebelmasse nidit gleichl6nnig vertheil^ so können im Innern der ihn bildenden Gaskugel noch unteigeordnete Schwingungen der Massentheilchen eintreten» welche die Ursache von secundiren Maximis und Mininis der Helligkeit würden.
Demnach zerfallt die Rrscheinungsdauer eines Fixsterns in drei Abschnitte (Ritter XX, 158). Während der ersten wird nur ein Theil der durch die Gravitationsarbeit erzeugten Wärme ausgestrahlt; der Rest wird verwendet, um seine innere Wärme und Oberflächentemperatur zu erhöhen. Da alsdann die Dichtigkeit des Sterns noch gering ist, so werden Strahlen, die aus seinem Innern austreten, kaum Absorption erleiden, da aber auch seine Temperatur noch sehr niedrig ist, so wird ausgesendet« Lichunenge nidit gross itnd namentlich arm an brechbaren Strahlen sein. Erfolgt nun die Zustandsändermig des Sterns am Anfimge dieses Abschnittes sehr langsam, so nimmt sie g^en dessen Ende, wenn der Stern beginnt, helleres Licht auszustrahlen, an Ge- schwindigkeit zu, bis ein Maximum der Hdlij^eit und der Menge der ausgegebenen brechbareren Strahlen erreicht, der Stern in den zweiten Abschnitt seines Be- stehens getreten ist. Dieser geht noch über den Zeitpunkt hinaus, in welchem sich ein centraler dichter Kern gestalten beginnt. In ihm nehmen zunächst die Oberflächentcmperalur und die innere Wärme fortwährend zu, auch dann nochf wenn die Stärke des ausgestrahlten Lichts bereits abzunehmen beginnt und die anfangs noch erfolgende Zustandsanderung langsamer geworden ist. So lange die umgebenden Gasschichten noch immer heisser werden, ist es möglich, dass das Spectrum eines solchen in seiner An&ngsperiode befindlichen Sterns die Wasserstoff- und Heliumlinien hell «eigen kann. Je mehr sich aber nun jene Gasschichten abktthlen und gleichseitig verdOnnter werden, in um so reicherem Maasse durchdringen die vom Kern ausgehenden Strahlen die Httlle^ indem diese aber Strahlen bestimmter Brechbarkeit absorbirt, zeigt der Stern nunmehr ein dem der Sonne Ähnliches Spectrum. Dieser Zustand zeigt die längste Dauer und ist dadurch ausgezeichnet, dass sich, während er anhält, die Oberflächentemperatur des Fixsterns nicht merklich ändert. Ihr absoluter Werth ist um so grösser, je grösser die Masse des Sterns ist, und da ein Kür[)er von höherer Temperatur brechbarere Strahlen in grösserer Menge aussendet, als ein solcher von weniger hoher, so mtissen die weissen Sterne eine grössere Masse haben, wie die gelben, damit stimmt überein, dass die Masse des Sirius vierzehn Mal grösser ist, wie die der Sonne'). Erst wenn hn dritten Abteimitt der Existens eines Sterns Oberflftchentemperatnr und Wärmestrahlung in steter Ab* nähme begriffen sind, strahlt der Stern wieder, wie im Anfang, nur wenig brechbare Strahlen aus, das Spectrum seines Lichtes untencheidet sich aber von dem, welches es damals zeigte, durch das Aufueten breiter Absorptionsbandeo, die auf das Vorhandensein von Verbindungen in seiner Atmosphäre hin»eiseo. Auch die Zustandsänderung in diesem Abschnitte erfolgt nur langsam. Aus dem Spectrum des Lichtes, welches ein Stern ausstrahlt, lässt sich demnach auf sein Alter schliessen, freüicii nur auf sein relatives, da er seine Zustands* änderungen um so rascher durchläuft, je kleiner seine Masse ist
<) NtwcoMii, r<>j nläre Astronomie. Deutsch von Engruiamn. Leipzig 1881, pag. 498.
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In den Efe<^cbilderten Zuständen der Entwickelung eines Sterns erkennt man unschwer die vier Sterntypen, welche Secchi^), oder die drei, welche Vogll') aus spectralanalytischen Beobachtungen abstrahirt haben. Auch liesse es sich mit dem beschriebenen Verlauf des Farbenwechsels in Einklang bringen, wenn die SchriitsLeller des Alterthums den Sirius einen rothen Stern nennen. Aber auch äM ^bleoTCrhiltiiisB der Sterne der verschiedenen Klassen, welches Vogel's UDtenochungen ergeben haben, stimmt damit flberein. Unter 3703 Sternen eber bestimmten Himmelssone gehörten 2165 der ersten, 1340 der zweiten und nar 997 der dritten Klasse an. Bei der langen Zeit, wihrend welcher der Stern in dem ersten Theil der «rsten Periode seines Bestehens veiluurrt, werden eine grosse Menge Sterne gleichzeitig in ihrem ersten nnrh dunkeln Zustand sein, viel weniger in dem bereits ZU grösserer Helligkeit fortg^ schrittenen. Sie bilden die beiden Abtheilungen a und b der VoGF.i.'schen Klasse I, jene mit 2155, diese mit nur 10 Kin:^elkorpern Aus demselben Grunde wird die zweite PencMlo, in der sich die Sterne der Klasse II na( h Vogfi. befinden, lange dauern, demnach reich an Beispielen sein. In da i hat wurden von solchen 1240 gefunden. Obgleich nun auch Uic druie l'eriode oder die Klasse DI Vogbl's eine grosse Zahl von Sternen enthalten muss, so kann ihre geringe Zahl von S79 nicht ttberraschen, da die meisten derselben in Folge il»er vorgeschrittenen AbkQhlung ihre Leuchtkraft mehr oder weniger einge- bflast haben. Vielleicht ist es dann auch nicht su gewagt^ die Fixsterne fttr aahesQ gleichaltrig zu halten und in denen, welche ihrem Erlöschen nahe sind» solche von geringer Masse zu sehen. Die von Pierson*) aus der Beobachtung der Farben von Doppelsternen gezogenen Schlüsse führen allerdings zu entgegen- pf^^etzten Anschauungen. Da sie aber mit den Erfabrnngen der Physik in Wider- spruch stehen, so werden sie einer erneuten Prüfung unterzogen werden müssen.
4) Unser Sonnensystem.
Kant und Laplace stimmen, wie wir gesehen haben» darin ttberein, dass der Nebel, au3 welchem sich die Sonne und ihre Planeten bildeten, Rotation besass und eine flache Scheibe darstellte. Ehe er sich in einzelne Körper differenzirte, reichte er bis Über die Neptunsbahn hinaus, die Frage Radau's*) aber, ob sich die beiden Forscher ihn aus staubförmigen Theilchen oder aus Gasmolekülen bestehend dachten, ist aus ihren Schriften nicht zu beantworten. Doch sei bei dieser Gelegenheit erwähnt, dass sie iür die Stosstheorie bedeutungs- los ist. »Da die Verdaropfungs wärme der bekannten festen Substanzen nur wenige hundert mnneeinbeiten pro Kilogramm beträgt, wihrend die beim Zusammen- Stesse grosser kosmischer Massen pro Kilogramm entwickelte Wärmemenge nach Hunderttausenden oder Millionen von Wärmeeinheiten sich beziffert, so darf es bei der vorliegenden Untersuchung als gteichgaitig betrachtet werden, ob die zusammenstossenden Massen im festen oder im gasförmigen Zustande sich be- fanden.« (Ritter XII, 453.) So würde die Sonne in derselben Weise j^bildet sein, wie die übrigen Fixsterne auch.
Wenden wir uns nun zur Betrachtung der F.ntstehung der Planeten, so finden wir hinsichtlich dieser Frage zwischen den Lehren Kant's und Laplace's
StccBi, Die Sonne. Dentieh von Scrbubr. Bnamchweic tSjz, pag. 77$« H. C. VoGiL, PiibUeatioaca des astfophTtHMlifchcn Obsemtoriami lu PMadam. 181(3. m, pag. 147.
') PiERSuN. Bulletin a«tTonomtque 1891. T. VlII. paß. 559. *) Radau, Bulletin attionoinique 1885. T. IX, pag. 309.
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weseDtliche Unterschiede. Nach Kant (pag. 21) sind die Keime der PUuiäeo die ttoterg^idneleo Centren der Anncbung» wdche wir .bereits erwähnten. Da bei ihrer Bildung die schwereren Tbdlchen durch die Menge der Widenttnd leistenden andern enr Sonne hindurch dringen und nidht leicbt von ihrem abgebeugt werden, als die weniger schweren, so nehmen sie ihre krdsftranp Bewegung erst in grösserer Nähe der Sonne an. Die unteren Planeten sind also die dichteren, eine Thatsache, zu deren Erklärung Newton nur anzuführen wnsste, dass sie in Folge dieser Eigenschaft die stärkere Erhitzung besser aus- halten könnten. Ware das der Grund, so müsste ja, wie Kant mit Recht be- merkt, die Sonne alle Planeten an Dichtigkeit übertreften, was nicht der Fall sei und auch nicht der Fall sein könne, da der Centralkorper aus Tbeilcben aller Art bestehen otusse.
Nehmen nun die Dichtigkeiten der Planeten in der Richtang nach der Some tu, so müssen ihre Massen in derselben Richtniq; abnehmen, weil unter sonst gleichen Verfaftltnissen die Ansiehungssphäre eines Planeten durch die Sonne um so weniger eingeschränkt wird, je weiter entfernt er sich von ihr befinde^ weil femer die Kreise, welche die Zonen der entfernteren begrensen, grösser sind, und weil endlich aus demselben Grunde der Raum zwischen den zwei Fliehen grösster Abweichung bei gleicher Anzahl der Grade, in grösserer Entfernung grösser i'^t Diese zu erwartende Anordnung wird nun aber gestört durch die Einwirkung der entstehenden Körper aufeinander, die zur Folge luil en muss, dass ein grösserer Planet in seiner Nachbarschaft die Bildung verhaitnissmässig kleinerer bewirkt, wouir der mächtige Jupiter in Mitten seiner beiden kleineren Nachbarn Saturn und Mars — die Asteroiden und die beiden äusäerslen Pla- neten waren noch nicht entdeckt, als Kant seine NatuigeKhichle des Himmels schrieb — ein einleuchtendes Beispiel liefern.
Wären alle materiellen Theilchen, welche von Anfang an sich in den Süsseren Theilen des Nebels befanden, sur Bildung der Planeten verwendet worden, so müsste sich die Masse der Sonne zu der Gesammtmasse der Pla- neten, wie 17:1 verhalten. In Wahrheit aber ist dieses Verhältniss 650:1 (ge» nauer 745:1). Es sind somit nicht alle Theilchen des Nebels in Rotation ge- treten, vielmehr haben sich solche au«; allen, auch aus den obersten Regionen zur Sonne begeben. Daraus muss geschlossen werden, dass die Sonne und die Planeten aus denselben Stoffen bestehen, ein Schluss, den die Spectralanalysc bestätigt hat. Dabei ist jedoch nicht zu übersehen, dass der Verdichtungs- process auch der Planeten keineswegs für abgeschlossen zu halten ist, und damit stimmt das Ergebniss der Untersuchung Rittir's (XX, pag. 619 ff.) Ober* ein, dass die kleinen Planeten in ihrer Zustandsänderung der Sonne voran- geeilt, die grdsseren hinter ihr mittckgeblieben sind. Auch die Dichtigkeit die der Umebel gehabt haben mOsse, berechnet Kamt, doch gehen die von seinen Nachfolgern dafür erhaltenen Werthe noch weit über die seinigen hinaus.
Näher denkt sich der Königsberger Weise die Entstehung der Planeten so, dass sich durch den Zusammenlauf einiger Elemente, >welche sich durch die gewöhnlichen Gesetze des Zusammenl anges vereinigenc, der erste tKlumpenc bildet, sobald dieser eine solche Grösse erreicht hat, >dass die NEWTON'sche Anziehung an ihm vermögend geworden« ist, zieht er Theilchen auch aus grosserer Eiui ernuiig heran. Vor jedem möglichen Lehrbegriffe, findet Kan i, hat der seinige das voraus, dass »der Ursprung der Massen zugleich den Ur« Sprung der Bewegung und die Stellung der Kreise in eben demselben Zeitpunkt darstellte. Denn tdie Planeten bilden sich aus Theilchen, welche in der Hdhe,
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Konnogonfe.
da s5e schweben, g-enaue Bewegungen zu Cirkelkreisen haben: also werden die aus ihnen zusammen 2:e?et7ten Massen eben dieselben Bewegungen, in eben dem Grade, nach eben derselben Richtung fortsetzen«, (pag. 20.)
TiAPi-ACE (pag. 473) stellt sich dagegen die Entstehung der Planeten folgender- maassen vor. Die Grenze der ursprünglichen Nebelmasse war da, wo die Cenlrifugalkraft und die Gravitation sich im Gleichgewicht hielten. Als sie sich abkahltei sog sie sich zusammen, wahrend im Einklang mit dem Princlp der Flächen die Rotationsgeschwindtgkeit der sich dem Ifittetpunkt nähernden Theil- cken wvdis. Dabei blieben diejenigen zuTflck, deren Schwerkraft durch die Centrifngalkiaft aufgehoben wurde — bildeten sich eme Anzahl concentriacher Gasiinge, welche um den gemeinschaltiichen Mittelpunkt kreisten. Bei regeU mSssig fortschreitender Abkühlung wären sie zu flüssigen, ja finten geworden, die geringste Störung aber verhinderte dies. Sie zerbrachen und die Bruch* stücke vereinigten sich mit der Zeit /ai Planeten.
Aus der Art ihrer Entstehung erklären nun Kant und LapI-ace die Rotation der Planeten um ihre Axen und deren Drehungssinn. Da nach des französischen Astronomen Ansicht der Centralkorper zur Zeit ihrer Bildung noch nicht vor- banden war, so musfite die Anziehung im umgekehrten Verbältniss der ersten Potenz des Halbmessers des betreffenden Ringes erfolgen, seine inneren Tbeile also eine geringere Geschirindigkeit haben, als seine äusseren und die Rotation der ans ihnen entstehenden Planeten somit, wie es bei den sechs unteren in der That der Fall ist, rechtläufig sein. Kant aber hätte, da er bei der Ent' stehung der Planeten die Ntwrosi^sche Anziehung und somit das Voifaandensein des Centraikörpers voraussetzt, den entgegengesetzten Schluss ziehen mQssen» Dass er gleichwohl die rechtläufige Rotation annimmt, ist offenbar ein Fehler, und selbst Zölt nkr^) muss bei aller Bewunderung fiir den grossen Philosophen bekennen, dass er diese Schlussfolgerung nicht verstehe. Darin liegt auch wohl der Grund, dass man Kant's Ansicht vielfach dahin ausgelegt hat, dass die fertig gebildete Sonne die Nebelringe, welclie die Geburtsstätten der Planeten wurden, abgeworfen habe. Wie Helmholtz (III, pag. 123) diesen Theil der KANT'schen Hypothese anflasst, wird nicht recht klar.
An Einwendungen gegen die Ideen Kanins und Laplaci's hat es nicht ge- fehlt. Wolf*) ist der Ansicht^ dass die Ringe sich überhaupt nicht hätten bilden kdnnen, während KnswooD^ glaubt, dass m der geschilderten Weise keine Planeten entstehen konnten, sondern nur eine grosse Menge kleiner Kdrperchen in dem die Sonne umgebenden Raum. RrrrBR (XX, pag. 918) wiederum hält dafltr, dass nicht die Entstehung der Ringe, wohl aber die der Planeten aus den Ringen einer besonderen Erklärung beddrfe, die er, wie folgt, giebt Während die in der Obcrflächenschicht einer ruhenden Gaskugel von grosser Masse ent- stehenden Condensationsprodukte sofort in heissere Regionen herabsinken unci sich hier wieder auflösen mussten, so mussten in dem rotirenden System diese Produkte schon vor der Abtrennung der Ringe vorhanden gewesen sein, weil sie sich durch starke Ausstrahlung von der Oberfläche in reichlicher Fülle bilden konnten, ihre Schwere aber durch die Condensationsprodukte aufgehoben wurde.
*) ZOtiMSft, Fhetdaetrlsclie Uotmn^ngco. Leipzig 1865, pag. 224. ^ R. C WOLT, Lcs HypodiiMS cogmogomqu«. BdUetlii Mtnwonüque 1884. T. I. 1885. T. n. tiehe T. 1, pag. 590.
KiRKWoon, Monthly Noticcs of thc Royal A^tronomical Societjf, T. XXIX, pag. 96. — Proccedings of thc Axnericao philosopbical Society April 1880.
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Xosmofimie.
Die condensirten Massen zogen aber noch nicht condensirte an sich heran und nar unter besonden günstigen UmstiUiden konme <fie Gondentttüm der Rmg« uMse eine »emllch volkländige werden und so rar Entstehung einer grosseren Menge iileiner KOrper, wie die Asteroiden, VeniUissung geben. Dass bei der Bildung der letzteren die ansiebende Wirkung des benachbarten grössten Planeten eine entscheidende Rolle spielte, indem er die Ausbildung eines hin- reichend kräftigen Mittelpunktes der Anziehung verhinderte, nahm Laplacb (pag. 474) an, der freilich nur %'icr Asteroiden kannte, hielt aber auch die von Olbers zuerst ausgesprochene Ansicht, diese kleinen Weltkörper verdankten ihre Entstehung einem zersprungenen Planeten, keineswegs für nnnioglirli. Neuer- dings haben sich KiRKWoop und Hornstein^) der Ansicht von Laplace an- geschlossen.
Den wichtigsten Einwand gegen die Meinung, dass die Planeten früher wie die Sonne entstanden sein mttssten, bildet dife aller Wahrscheinlichkeit nach vor- handene rückläufige Bewegung des Neptun und Uranus. Es ist Favk's Verdienst, diese Schwierigkeit gehoben su haben. Nach seiner Schilderung gestaltete sich die Bildung des Planeten in der folgenden Weise (pag. s66). Die Bewegung der Ringe in ihrer Gesammtheit liess den Molekülen genügend lange Zeit, ihrer gegenseitigen Anziehung zu gehorchen und sich nach einem in der Meridiaiif^ Schicht gelejT^-nen Mittelpunkte hinzubewegen. Endlich aber hatten die in den Ringen vorhandenen Bedingungen zur Hervorbringung von Wirbeln 7,ur Folge, dass sie sich in solche auflösten. Von diesen nalvmen die stärkeren die schwächeren auf, sei es durch Attraction, sei es, dass sie sie vermöge ihrer grösseren Ge- schwindigkeit einholten. Da aber die Cenuiiugalkrau der in ihnen rotirenden, noch homogenen Masse immerhin nur gering war, so bildeten die Wirbel sich zu Kugeln aus, deren Axe mehr oder weniger senkrecht su der Ebene des Ringes lag. Unterdessen setsten die Tbeilchen, welche von jenen Wirbeln nicht ergriffen wurden« ihren Weg langsam sum Mittelpunkte for^ und wuchsen- dort zur Sonne heran, welche je länger, je mehr ihre Ansiehung auf ihre Umgebung geltend machte. Nun ist allgemein die die Theilchen nach dem Mittelpunkt ziehende Kraft ^
* — «^ + 71 •
wo r den Abstand vom Mittelpunkt, a und b Constente bedeuten. Ist hier ^ SB 0, so wird k^wr^ und dieser Ausdruck giebt die GrOsse der Kraft ftr die Zeiten vor der Ausbildung des Ceotralkörpers. Wird dagegen a 0^ so wird
b
k = und hierdurch ist die Kraft nach dem Auftreten der Sonne bestimmt.
In den Zeiträumen nun, yro k ^ ar war, entstanden die sechs untersten Planeten und die Asteroiden, die Bildung des Neptun und möglicherweise des Uranus er^
folgte dagegen, nachdem k den Werth von erhalten hatte. Die Rotatilons-
verhältnisse des Uranus sind freilich noch nicht genügend aufgeklärt. Haben doch die Bestrebungen ScHiAPARF.Li.rs') und Young's^, eine Abplattung drs Planeten nachzuweisen, zu keinem Resultate geführt, während Sreugkr^) und
>) HotMSTEtN, Sitzungsberichte 4er Acadenie der ^MssenscltafteQ su VFica, Natnrw. Classe, n. Abt. LXXXIV, pag. 7.
*) ScHiAPARBLU, AstTOD. Nachr. No. 3536«
You.HG, AstTOD. Nachr. No. 2545. *) H* Sssucn, Sitsaagsber. der Aesd«»i« der WiitcueliaAcD ioMSadieii. 1864, pag. 367.
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Konnoconte.
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Meyer 1) keine, Lamey") eine sehr veianderliche Abplattung fanden. Man wird demnach einstweilen die aus der Rotationsebene der Satelliten gefolgerte Lage der Axe beibehalten mOssen, wonach sie in die Ebene seiner Bahn fällt Diese aber erklärt Fayb*s Theorie leicht» indem sie die Entstehung des Uranus in die Zeit setst^ wo weder a noch b Null waren. Die zu dem Planeten zusammen* tretenden Theilchen mussten alsdann in sich mehr und mehr verstärkendem Maasse den Sinn seiner Axendrehung ändern und dabei seine Aequatorebene nach und nach in ihre jetzige Axe heben. SoUte sich die noch sehr unwahr- schetnlirhe Bestimmung der Neigung der Uranusaxe zu 58° bei rechtläufiger Rotation durch Henry ^) bestätigen, so würde man nur die Annahme machen müssen, dass die Bildung des Uranus ebenfalls in die Periode vor Entstehung der Sonne falle, der FAVE'schen Theorie aber würde daraus durchaus keine Schwierigkeit erwadiben. In jedem Faii würde sie das abweichende Verhalten des Uranus zwangloser erklären, als dies die Annahme Radau's (pag. 315) 2U thun im Sunde ist, welcher die cur Sonne sich langsam bewegenden Theilchen dasu heranzieht Ist es doch nicht einzusehen, warum ähnliche Einwirkungen die llbrigen Planeten nicht erfahren haben sollten. Die sehr complicirte Theorie Rochb's*) wird durch die FAYB'sche vollends unnöthig gemacht
Die Neigungen und Excentricitäten der Planetenbahnen finden in den vorgeführten Theorieen ihre Erklärungen nicht. Den Grund der ersteren stellt Kant in Störungen, welche die sich bildenden Anziehungscentren auf- einander ausgeübt haben sollen. Nach TROwnRTDOE'^) dagegen soll sich, während sich die Planeten bildeten, auf der einen Seite der Aequatorebene des Nebels mtlir Masse befunden haben, \v;e auf der andern, und dadurch soll seine Rotationsaxe dauernd langsam gedreiii worden sein. Dieselbe Einwirkung habe dann die Axm der zurfickgelassenen Ringe ein wenig gegen einander geneigt Da aber auf solche Weise die starke Neigung der Mercursbahn, sowie diejenigen der Bahnen einiger Asteroiden nicht entstanden sein können, so suchen iJtvBMUSK*) und Hssandkr^ den Grund fllr diese in den Störungen, welche die Sonne und Venus auf Merkur, Jupiter, Saturn, Mars, Erde und Venus auf die Asteroiden ausüben mussten.
Um die Excentricitäten der Planetenbahnen zu erklären, ging Kant (pag. 31) V(m der Ansicht nii?, dass sie mit der FntfernuntT von der Sonne wücliscn. Die kleineren der unteren Tlaneten wollte er aus der Breite der Zonen, welclie zu deren Bildung das Material geliefert hätten, herleiten, während die grösseren der oberen ihren Grund zumeist in der stark excenirischen Bewegung der zur Sonne sinkenden schwereren Theilchen haben sollten. Die ausnahmsweise grossen Eaccentricitäten des Merkur und Mars leitete er aus der Wirkung der Sonne und des Jupiter her. Laplace (pag. 475) schreibt die Abweichung von der Kreisbahn sofllUigen Verschiedenheiten in der Temperatur und der Diditigkeit der Massen der Ringe au. Fave (pag. 263) glaubt dagegen« dass unter den ursprünglichen Bedingungen unseres Sonnensystemes eine gewesen sei, welche die Excentricität verursacht habe, da es nach den Grundsätzen der Mechanik gleichgültig wäre«
*) ICavnt, Astnm. Nichr. No. 2524.
^ Lambv, Conpt lend, T. C* pag. 137a.
*) Henry, Bulletin astnmoinique, T. n, pag. 331.
*) Roche, Essai sur la Constitution du Systeme Solairc. Montpellier l873> *) TROWBRroGB, SiLt.iMAN's Joumal, Scr. 2, T. XXXVIii, pag. 358. LEVERatER, Annales de 1 obserratoire de Paris. T. II, pag. 365.
*) THSMmiaa» Con^ lend. T. XCIV, pag. 947. VAunrara. AaMMMta. U. 16
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Koiinogonie.
ob die unpTQDglicbe Form der Kinge kreiiförmig oder elliptisch wnrde^ setst also als gegeben voraus, was erklärt werden soll. EssRHAaD (pag. vm) beruft sich ohne weiteres aof das Gravitstionsgesets, was nur statthaft sein wttrde, wenn die Sonne früher, wie alle Planeten eitstanden wtie*
FOr die Neigung der Axen der Planeten macht Kamt (pag. 6^) Unregel- mässigkeiten verantwortlich, die zur Zeit ihrer Erstarrung vorhan^n waren. Namentlich hätten sich seiner Meinung nach in der Gegend des Aequators Hohl- räume bilden müssen, in welche die Rinde mit der Zeit einsank. Das so ge- störte Gleichgewicht hätte sich dann nur durch eine Drehung der Axe wieder herstellen können. Dagegen hat aber G. H. Darwin geltend gemacht, dass die Grösse der Axenncigung durch diese Wirkung der Gebirge sich alle n n rlit erklären lasse. Darwin und Simon ^) iieiien deshalth zur Erklärung der Axen- neigung die Ansiebnng der Sonne auf die xur Zeit ihrer Bildung noch sehr ab- - geplatteten, vielleicht gar noch mit Ringen umgebenen Planeten heran. Dann mflssen sie freilich die weiteren Annahmen machen, dass Jupiter damals bereitv sur Kugel ausgebildet war, während die Wirkung der Sonne auf das complicirte System des Satums trots dessen grosser Entfernung besonders staik auftrat. Ueber die Lagen der Axen von Uranus und Neptun liegen noch nicht genügend genaue Bestimmungen vor, um über sie eine Entscheidung treffen zu können. Warum jedoch der jetzt wohl noch flüssige Jupiter mit seiner raschen Axen- drehung und bedeutenden Abplattung eine Kugelgestalt so frUhe erhalten haben soll, ist nicht einzusehen.
Um die Entstehung der Satelliten zu erklären, setzt Kant (pag. 34 ff.) eine weitere Sphäre der Anzichuugskrait der Planeten voraus, welche den ihr folgen- den Thdlchen eine genügende Fallgeschwindigkeit ertheilen konnte, um zu frriem Umschwung su gelangen, dann aber auch eine sur Bildung dieser Weltkörper aus- reichende Stoffmenge. Laplacb (pag. 477) erörtert seine Ideen am Beikel des Erdmondes. Bereits im gasförmigen Zustand musste dieser ein SphäroTd bilden, dessen grosse Axe sich bei der leichten Verschiebbarkeit der Theilchen stets gegen den Planeten richtete. Wenn nun auch Anfangs Revolution und Rotation nicht genau gleich waren, so wurden sie es je länger je mehr, da die Anziehungskraft des Planeten unausgesetzt auf dies Verhältniss hinarbeitete und mit um so grösserer Geschwindigkeit, je mehr auf dem sich verflüssigenden Planeten die Wirkung der Fluth auf bcaie Rotation hervortrat. Die merkwürdige Beziehung zwischen den Jupitersmonden, dass die mittlere Bewegung des zweiten vermehrt um die doppelte des ersten so gross ist, wie die dreifache des dritten, leitet Laplacb aus dem M^derstand her, den immittelbar nach ihrer Ent- stehung die in ihrer Umgebung in sehr verdflnntem Zustand noch vorhandene Materie diesen Bewegungen en^es^nsetste. Da jener Widerstand auf die ein- sdnen Monde in verschiedener Weise einwirkte, so musste sich das angegebene, durch ihre Anziehung geforderte Verhältniss ausbilden und immer mehr festigen. Gegen diese Annahme wendet Roche (pag* 123) jedoch ein, dass die Monde erst hätten entstehen können, als ihre Planeten bereits in ihrer Bildung weit fortgeschritten waren. Wäre das nicht der Fall, so m lssten ihre Abstände von den Planeten grösser sein. Nur der Erdmond bilde eine Ausnahme. Er ver- danke seine Entstehune Nebelmassen, welche von dem {^rossen ursprünglichen Erdncbel abgelöst, in cmem Zustand vurgeschrittener Erkaltung in die dabei
*) O. H. DAawm, »The Obsmatorfc. T. I, pag. 135.
*) Simon, Annale» de VteeA» Nora>«k. 1869. I. T. VI, pag. 73.
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Kosmogoni«.
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um die Erde gebildete Nebelringmasse eingetreten und hier der Kern einer Ver« dichtung geworden sei, welche je länger je mehr an der Bewegung der Erde thetlgenommen und sie nach deren vollständiger Verdichtung beibehalten habe. Auch hier wird wohl die Ansicht I^avf.'s die annehmbarste sein, wonach sich die Vorgänge be» Bildung der Planeten lediglich wiederholen. Wie diese Weltkörper sogleich, nachdem sie entstanden waren, ihre früher viel weiteren Bahnen in Folge der Gravitation und des Widerstandes der Übrigens zur Sonne sinkenden Theilchen «imcbiliikteii, bb dn Ranm Ton solchen gesMnbert war, so auch die Monde, ja es ist neuerdings die Ansiebt ausgesprochen worden, dass dieser Process noch nicht beendigt sei, dass jetst vielmehr koemiscber Staub und Meteore die Rolle des widerrtehenden Mittels abemommen httten^). Die ab- weichende Bewegung der Marsmonde Msst sich freilich auf solche Weise nicht erklären, während die Entdeckung Scbuparilli's^, dass Rotation und Revolution des Merkur und vielleicht der Venus von gleicher Dauer siimI, geeignet sein dürfte, jene Annahme zu stützen.
Die Forschungen der jUn^sten Zeit haben, eine Idee Cassini's wieder auf- nehmend, das merkwürdigste Gcb]lde des Planetensystemes, den Ring des Saturn, in die engste Beziehung zu den Satelliten der Planeten gebracht^). Sie haben gezeigt, dass er nur dann sich im Gleichgewicht halten kann, wenn er aus einer grossen Anaahl kleiner Satelliten besteht, und so stellt ihn Rrmnt in Paiallele mit dem Ringe der Asteroiden. Favb glaubt swar, dass ihn seine Rotationsgeschwindiglceit, die veihllltmssmissig grosse Masse des Saturn und die Leichtigkeit, mit der sich seine eoncentxischen Schichten gegen einander ver- schieben können, in den Stand setzen würde, den störenden Wirkungen der Satumsmonde Widerstand zu leisten, auch wenn er aus gleichmässig vertheiltem Stoffe bestehe und sieht in ihm einen der ursprünglichen Nebelringe, der durch besonders günsuge Umstände der Zerstörung entgangen sei. Er schliesst sich damit Laplace s Ansicht an, während Kant (png. 42), von der Annahme aua- gehend, dass die äussersten Planeten Uebergänge zu den Kometen darstellten und erst im i.aule der Zeiten ihre ursprünglich stark elliptischen Bahnen in mehr kreisförmige verwandelt hätten, ihn fUr einen vom Planeten aufgestiegenen, so ta sagen stabil gewordenen Kometenschweif erklärt, der Form und Lage der Umdrehung des Planeten verdankt Die eigentbUmlichen Rotationsp und Gr<ta8en- verbältnisse des Planeten im Gegensats su andern erklärten, warum sich nur an ihm ein Ring gebildet habe. Es ist Kant und Laplacb immer zu grossem Ver« dienst angerechnet worden, dass sie vor Herschsl aus den beobachteten Umlaufszeiten eines Satumstrabanten die Umlaufsieit der Tbeile des Ringes be< rechnet hätten. Unter Anwendung der Formel
wo T die Umlauiszeit eines Saturostrabanteo, Ji den Halbmesser von dessen
>) OffOLasa, Afltran. Nidur. Mo. «573. ~ Kimr", Ebeadai. No, »657 and S664. -> Nbwton, »Natafeflidur« 1885. XVni, pag. 427.
') ScHlAPARELLf , AstTon. Nachr. 1889, No. 2944. — Atti dclla Reale Accademia dci Lin<-<?! 1889, S^""- 4i Vol. V, pag. 283 — Feale Institute LombarHo. RcnHiconti 1890, pag. 2, Vcl XXIll. — Bulletin de l'Acadetnie Koyale ßelgicjue 1890, Ser. 3, T. XX, pag. 535, T. XXI,
<) MAXWitL, MnOOf Ketleet ef die Royal Aslioiiemieal Sodcty. 1859. — Haut,
Memoire sur les conditions de l'equilibfa mr la nature probable de Satanet pag. $t* — Mkxbb, Archhrei des Sciences phjaiqaes et natmelles. S£r. 3, T. X, pag. 73.
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Kosmogonie.
Bah», p den Halbmesser des Saturn und r den des inneren Ringes bedeutet, findet Kant (pag. 44 ff.) die Umlaufsseit des inneren Ringes au etwa IQ, die des äusseren zu etwa 15 Stunden. Dabei darf man freilich nicht Qbersehen, dass er
mittelst derselben Formel unter Bemtzung CASsiNi'scher Beobachtungsdaten die Umlaufszeit des Saturns selbst zu 6* 23'* 53' erhielt, dass aber die obige Formel einen von dem wirklichen viel stärker abweichenden Werth giebt, wenn man die Ergebnisse neuerer Beobaclitungen zu Grunde legt.
Die Kometen hielt Laplace (pag. 475) für Körper, welche unserem Planeten- system fremd sind und von System zu System irren. Dadurch erklärt es sich, dass sie in jedem Sinne und unter den verschiedensten Neigungen ihrer Bahnen zum Sonnenäquaior sich bewegen, und dass ihre Excentricität eine sehr grosse ist. Kant (pag. 33) und Faye (pag. 271) sehen dagegen in den Kometen Reste des Urnebels, welche aus so weit vom Gentium gelegenen Gegenden stammen, dass ihre Bahnen Ellipsen von grosser Excentricität wurden und sie dieselben sowohl im Sinne der Planetenbewegung, als auch im umgekebrlen durchlaufen können. Durch Einwirkung der Planeten können ihre Umlauftseiten verkttrzt, sie selbst zu periodischen Kometen verwandelt werden. So ordnen beide Forscher die Entstehung und Bewegungsart der Kometen swanglos in das Ganae ihrer Flypothesen ein, ohne das«? sie wie Lagrance*) die Annahme machen müssten, die Kometen seien von den Planeten abgeschleudert. Die Wahr- scheinlichkeit dieser Annahme prüfte Faye') zum Ucberßuss noch dadurch, dass er untersuchte, ob die Kometenbahnen mit «solchen von Planelen irgend welche Uebcrcinstimmung zeigen. Das negative Resuliai dieser Unierhuchung macht auch Proctor's Annahme der Abstammung der periodischen Kometen von den Planeten^ unannehmbar.
Dagegen glaubt der fransösische Akademiker die Ansiebt Laorahoi's f&r den Ursprung der Aerolithen festhalten sn sollen. Ihrer Zusammensetsung nach sind sie BruehstOcke, die aus den tieferen Schichten einer der Erde ähnlich zusammengesetzten Kugel stammen. Sie können also nur von der Erde oder dem Monde abgeleitet werden. Namentlich die Krater des letzteren scheinen in früheren Perioden Explo^ionskrator o^owesen zu sein, die vulkanischen .Ans- brticlien von der grössten Heftigkeit ihren Ursprung verdanken. Halten sie doch die Mondrinde auf weite Strecken hin gespalten! Jetzt ist ihre Thatigkeit längst erloschen. Das Ergebniss der Untersuchungen von Aerolithenbahnen, welche Newton^) anstellte, lässt sich mit Faye's Ansicht wohl vereinigen. Von 265 solcher Fälle konnten 116 au Bahnbestimmungen benutzt werden, und diese er* gaben sämmtlich rechtläufige Bewegungen. Freilich wären dann die Aerolithen von den Meteoren scharf zu unterscheiden, von denen die periodischen, die sich in Kometenbahnen bewegen, diesen Weltkörpem angeschlossen werden müssen.
Mehr Uebcrcinstimmung zeigen die Ansichten der Forscher, die sich darüber ausgesprochen haben, hinsichtlich des Zodiakallich tes. Kant (pag. 53) hielt da??selbc für einen die Sonne umgebenden Ring, der entweder in ähnlicher Weise, wie der Rmg des Saturn von diesem aufstieg, sich von der Sonne, viel- leicht als Verbrennungsprodukt, losgelöst habe, oder aus Theilchen bestehe, welche nach vollendeter Bildung des Sonnensystemes mit geschwächter, aber
>) Lagranck, Uteoh« In au Brntui «te» LoDg^tudM daal k S^aace da 99* Jswr* iSia.
*) FAVa, Cbmpt r«nd. iSSS, T. CVI, pag. 1703.
*S Newton, American Jounial of Sdtncc^ 1888, Ser. 3, V, 36, pi^. 1.
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Konnofonic*
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an semer Rotation theilnehmcnden "Bewegung herabsanken und durch eine ab- stossende Wirkung der Sonnenstrahlen an ihrem gegenwärtigen Orte gehalten werden. Die letztere Ansicht theilen I^aplace (pag. 476) und Helmholtz (II, pag. 119). Der crütere spricht sich zwar vorsichtig dahin aus, dass wenn in den von der Sonnenatmosphäre verlassenen Zonen Theilchen von so grosser Flüchtig- keit znrOckgebUebeD seien, du» ile sich weder mit dem Centrilkörper, noch mit einem der Planeten hätten vereniigen können, diese die Erscheinungen des ZodiakaUichtes bieten mussten, ohne der Planetenbewegtmg einen merklichen Widerstand entgegenzosetien, entweder weil ihre Dichtigkeit eine zu geringe sei» oder weil ihre Bewegung mit der der Planeten übereinstimme. Danach würde die Substanz, die der Träger des Zodiakallichtes ist, einen etwa linsen- förmigen Raum in der Umgebung ausfttllen und nach Helmholtz aus staubförmig zerstreuten Theilchen bestehen, welche sich nach dem Gravitationsgesets be- wegen.
Von der ZAisammenstellung einiger das absolute Alter der Sonne und der i^ianeten gebenden Zahlen sehe ich ab, da sie alUu grosse Unterschiede zeigen. Namentlich bieten die fttr das Alter der Erde aus kosmogonischen Voranssetsangen erhaltenen Bestimmungen viel kleinere Zeiträume, als sie die Geologen aus der Dicke der abgelagerten Schiditen gefolgert haben. W6nn auch Favi^s Theorie (pag. 279) diese Schwierigkeit zu heben im Stande sdn dfiifte, so ist es doch fraglich, ob eine solche in Wirklichkeit besteh^ und ob die seinen geologischen Zeitbestimmungen zu Grunde liegende Voraussetzung, zu allen Erdperioden seien gleiche Zeiten zur Ablagening gleich «Kcker Schichten iiodkwendig gewesen, genl^end begründet ist
5) Die Quellen der Sonnen warme. Wenn auch die AnnaliiiiLn der Entstehung der Sonne aus dem Urnebel ihre hohe Anfangstemperatur erklärt, so bleibt doch noch die weitere Frage zu beantworten, aus welcher Quelle sie die enorme Wärmemenge, die sie Jahr für Jabr anntrahlt und ausgestrahlt hat, deckt Mit dieser Aufgabe haben ridi eine Anzahl der berOhmtesten Gelehrten in eingehender Weise beschäftigt. Kamt (pag. 70) sah die Quelle der Sonnenwärme, ohne jedoch viel Gewicht auf diese Annahme zu legen, in einem Verbrennangsvorgang^). Er dachte sich, dass in dem ursprünglichen Gemenge der den Mebel bildenden Theilchen jeder Art sich auch befänden »heranschwebendc Sorten vorzüglicher Leichtigkeit, die durch die Widerstrebung des Raumes cebindert durch ihren Fall zu der gehörigen Schnelligkeit der periodischen ümwendungen nicht durchdringen und die folglich in der Mattigkeit ihres Schwunges tnsgesanirrit zu dem Centralkorper herab- gestürzt werden.« Diese sind die feuernährenden Bestandthcile, welche auf der Oberfläche der bonne verbrennen, wahrend die Verniengung mit schwereren und dichteren Sorten von Elementen die Heftigkeit des Verbrennungsvorganges mildem. Die aus den Höhlungen des Sonnenkörpers nachdrängenden Theil- chen des brennbaren Stoffes sollen die Flammen nähren, während die durch die Heftigkeit der Hitse serstreuten vielleichti wie bereits erwähnt wurde, den Stoff snm Zodiakal licht liefern. Folgt lueraus einerseits, dass dieses »unschätzbare Feuer, das die Natur zur Fackel der Welt aufgesteckte hat, nicht ewig währen kann, so wird auch andererseits klar, warum der Mittelpunkt eines jeden Flaneten- qfstems Ton einem flammenden Körper eingenommen wird. Diese Hypothese
1) Kant, Naurgeschichte des Himmels. Ausgabe von 1798, pag. 71. Anm. a.
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Kant's, deren gerechter Würdigung man wohl im Auge behalten muss, dass sie fast 30 Jalire vor Lavoisikr's Erklärung der Verbrennung ersonnen wurde, ist freilich in entsprechend abgeVnderter Form von Wiluam Siuifns^} neuer- dings wieder atifgenomnien worden. Alt Witnnequelle der Sonoe betrachtet Sir WiLUAii die Verbreonimg von Wuseistoff und von KofaleowasseistolfeQ in Sauerstoff, dessen Vorhandensein auf der Sonne er vorausseht Indem die Pro- dukte dieser Verbrennung vom Sonnenäquator in anhaltendem Strome weg- geschleudert werden, werden sie durch die Wirkung der sie in einiger Ent- fernung von ihrem Ausgangsort treffenden Sonnenstrahlen wieder dissociirt und strömen in diesem Zustand wieder an den Polen der Sonne ein, um von Neuem verbrannt zu werden und denselben Kreislauf abermals zu durchlaufen. Das hohe elektrische Potential, welches die Sonne durch die Reibung der sich an ihrer Oberfläche bewegenden Gasmassen, auf deren Weg die die Sonnentiecken enthaltenden Zonen liegen, erhält, wird dann vielleicht Ursache des Zodiakal- licbtes. Ohne dM Gewicht mancher gegen die Hypothese seines Bruders geltend gemachter Gründe su verltenneni ist Wekmer von Sibhins^} geneigt, sie anxunehnen. Indessen unterllsst er nicht, den wichtigsten Einwand di^egen dadurch m besdt^en, dass er wie I«aplacb den Theikhen, welche von der Sonne ausgestossen in die Nähe von Planeten gelangen, eine nach den KEPPLEft« sehen Gesetzen geregelte Umdrehung um den Centraikörper susch reibt. Er be- nutzt alsdann das sich ergebende hohe Potential der Sonne, um die elektrischen und magnetischen Eigenschaften des Erdkörpers, die Elektiicitftt der Gewitter- wolken etc. zu erklären.
Die Stosswirkung hat zuerst Buffon') zur Deckung des Wärmeverbrauchs der Sonne herangezogen, die nämliche Ansicht vertrat neuerdings Robert Mayer';. Danach sollen eine solche Wirkung meteorische Körper ausüben, die in dauern- dem Strome auf die Sonne stQrsen. Wenn nun auch aus den irdischen Zlhlun* gen der Meteore gexeigt werden konnte, dass die Menge der in der Umgebung der Sonne vorhandenen derartigen K<}rperchen hinreichen wSrde, um deren ge- waltigen Warmeheerd su speisen, und sich deshalb auch Lord Kblvin (William Thomson) anfänglich dieser Annahme zuneigte, soschlossder berühmte englische Gelehne sich doch später dem dritten in Vorschlag gebrachten Erklärungs- versuche an, der in der immer fortschreitenden Verdichtung die Vorraths- kammer siehr, aus welcher die Sonne ihren W-irmebedarf deckt Hatte doch Helmholtj' gezeigt, dass diese Annahme als nothwcndige Folgerung der Welt- bildungshypothese das Vorhandensein der So^ncn\^arme am zwanglosesten er- klärte. Nach seiner Rechnung (ii, pag. 135) wurde eioc Vetkür/,ung des Halb- messers der Sonne um 60 m hinreichen, um deren Wärmeverbrauch für den Zeitraum eines Jahres su decken, eine Verkttrsung des Sonnenbalbmessers um 0 0001 denselben Zweck fflr 2889 Jahre erßUlen. Der Ansicht Hiliiholiz's hat rieh RiTTift angeschlossen und sie weiter gelUhrt (XI, pag. ^s). Unter der Voraussetzung, dass die Sonne aus einem einatomigen Gase bestehe, welches die Eigenschaften «nes idealen Gases besitst, erblllt er statt des obigen Werthes
') William Siemens, Uebcr die Erhaltung der Sonnenenergie. Deutsch von Worms, Berlin 188$.
1) WtSMift SlBMSMi, Wnn. Ann. 1883, XX, pag. 108.
^ Bomni, Histoiie Mtnrelle gfoirale et partieiilifacw T. X nnd SoppL T. IX md X,
Pam 1778
*) May£R, Die Mechanik der Wärme in gesammelten Schriften. 3. Auä. berausg. von Weyrauch. Stottgait 1893, pag. 160 S.
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Länge nb estimmung.
«47
von 60 tn sogar nur einen solchen von 50 m, wobei der davon verschiedene Zustand der chemischen Kiemente in der jedenfalls nur dttnnen Oberflächen- schicht jedoch vernachlässigt worden ist. Die aus allen diesen Annahmen sich ergebenden Verkürzungen des Sonnenhalbmesser*^; "^ind so klein, dass "'it sich der direkten Beobachtung entziehen mussten. Mit der von Ritter, wie bereits oben erwähnt wurde, gezogenen Folgerung einer gegenwärtig unveränderhchen Oberflächentemperatur der Sonne slimoU auch Aitken's^) Annahme Uber die Quelle der SonnenwArme Oberein» nur begründet sie der englische Forscher wohl weniger swingend mit der sich im Laufe der Zeiten ändernden chemischen Constitution der Sonne.
Aus allen diesen Theorieen ergiebt sich der ftfr die Zukunft unserer Erde wenig erfreuliche Scbluss, dass der Energievorrath der Sonne ein beschränkter ist, also mit der 2£eit ihre Wärmestrahlung eine immer geringere werden muss. Mao hat ihn auf verschiedene Weise su entkräften gesucht. Poisson*) liess su diesem Zwecke das Sonnensystem durch verschieden warme Thetle des Welten- raomes wandern, von denen der eine wieder ersetzen sollte, was der andere zurückbehalten hätte. Riemann') weist tlarai;f hin, dass möglicher Weise der Raum iiiclii allseitig in geraden, sonflem in krununcn, in sicli 7:nnirk laufenden Linien uusgelirrifet sei, auf denen die ausgestrahlte Wärme zu üirer Quelle wohl ziiruckkelireii könne RANKrNF^) endlich denkt sich den vom Aether erftlllten Kaum von einem atherieeren umgeben, indem die au der Grenze beider an- kommenden Aetherwellen zurückgeworfen werden, kehren sie auf demselben Wege zurück, auf dem sie ausgestrahlt werden. Indessen sind das Hypothesen, mit denen die exakte Naturwissenschaft schwerlich sich befreunden dflrfte. Da sie Aber die Grenzen der Kosmogonie hinausgehen, so genügt es hier, auf sie hingewiesen m haben. E. Gbrlamb.
Lrängenbestimmung. Die Länge eines Ortes auf der Erdoberfläche kann als der Winkel definirt werden, welchen der Meridian desselben mit einem als An£argsmeridian gewählten anderen Meridian am Pol bildet; der Längen- Unterschied zweier Orte als der Winkel« welchen die Meridiane der beiden Orte am Fol mit einander bilden, und dieser ist gleich dem Unterschied der Zeiten, welche an den beiden Orten in demselben Augenblick beobachtet werden. Sind J*S, PM, PO, PJ6t (die Figur ist leicht herzustellen) eine Anzahl Stunden- kreise oder Meridiane, und sei in 5 der Sonnenmittelpunkt, so sind die Winkel am Pol P SFM, SPO, SPM\ die Stundenwinkel der Sonne oder die Sonnen- zeit für die durch O, Af bezeichneten Orte. Es ist also der Winkel MPO gleich dem Unterschied der im gleichen Augenblick stattfindenden Zeiten in .1/ und O, gleich der Länge des Ortes M gegen den Ort O. Nehmen wir den Meridian PO als Anfangsmeridian, so ist damit jener Winkel schlechthin die I^nge des Ortes M. Nehmen wir ferner an, dass S westlich von O, da- gegen U* östlich von O liegt, so ist der Winkel MFO als westliche Länge des Ortes M gegen O, der Winkel OFMt als östliche Länge des Ortes W gegen
1} AiTKEN. Proccediogs of the Royal Society of Edinburgh. 1888. Vol. XIV. pag. ii8. ^ PoissoN, Tb^oti« nulttilmatiqii« de k Chskw. Firti 1835.
*) RmiAMlf, GoMiunelte madwnatische Werke. Leipcig 1876, peg. 2s6, veigL NswcoHB, 4} ftAHKUfS, Amwlcs de Chfanie et de Pfafslqiic. S6r. 5, T. XXVII 188a, pig. 548.
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T J«>j*t>li*alhi«niiMin0-
O ZU bezeir.linen. Nennen wir die Ortszeiten für M, M* der Reihe neeh T, und X» die westliche Länge, X« die ^totliche» so ist
und
= r - 71
oder wenn wir die östliche Länge negativ nehmen, können wir allgemein L — — T setzen, wo nun mit T allgemein die Ortszeit eines östlich oder westlich vom Anlangsmeridian gelegenen Ortes ist und wobei dann audi die Zeiten immer westlich und astronomisch, d. h. von 0* bis 84* gesfthlt werden.
Dieser Ausdruck X « 7^ — T ist ttbiigens, wie leicht ersichtlicb, nicht nur gttitig für Sonnenxeit, sondern flir jede beliebige Zeit Mit <S bezeichnen wir dann einfach iigend einen Punkt der Sphäre und und T sind die Stunden- winitel dieses Punktes für die beiden Meridiane, deren Längendiflferenz L ist.
Was den nullten Meridian betriffl, so wird allgemein bekanntlich jetzt der Greenwicher als solcher angesehen, wenngleich die verschiedenen astronomischen Tafeln und Ephemeridensammlungen auch verschiedene Nullmeridiane zu Grunde legen, für welche die betreileude Sammlung berechnet ist, so nimmt das »Berliner Asiron. Jahrbuch« Berlin, die >Cünnaiäsance des i cmpsc Paris u. s. w. als Anfangsmeridian an.
Aus der obigen Deßnition der Länge ergiebt sich, dass die Bestimmung derselben in einer doppelten Operation su bestehen hat, 1) in der Ermittelung der Zeit an den Orten, deren Längendifferens 2u ermitteln is^ mag nun der nullte Meridian direkt oder ein anderer in Betracht kommen, und S) in der Ver- gleichung der Zeit an den beiden Orten.
Diese Aufgabe lässt sich in sehr verschiedener Weise lösen. Man kann Signale, Erscheinungen, die für beide Orte in dem gleichen absoluten Zeit- monicnt sichtbar sind, an beiden Orten beobachten und die Zeitangaben der genau berichtigten Uhren mit einander vergleichen, der Unterschied dieser Zeit- angaben liefert sofort die Längcnditierenz. Als solche Signale kann man terrestrische, die aber nur auf kurze Entfernungen sichtbar sein werden, annehmen, oder himmlische, und fttr letstere ist wieder nicht immer die gleichseitige Beob» achtung nöthig, wenn nämlich an Stelle der einen die Berechnung treten kann, wann ein solches Phänomen am nullten Meridian eintreffen muss, und wenn man sich auf Grund der astronomischen Theorieen auf diese Vorausberechnung ver^ lassen kann. Insbesondere eignen sich hierfUr verschiedene Erscheinungen, die die Satelliten des Jupiter und unser Mond verursachen, sowie sich auch die rasche Bewegung des Mondes für die Längenbestimmung verwenden lässt. Die wichtigsten dieser Methoden sollen hier später angeführt werden, sie liefern aber sänmitlicli nicht den höchsten Grad der Genauigkeit und können nur zur An- wendung kommen, wenn zwei andere Methoden dnrrh die Umstände nicht be- nutzt werden können. Diese Methoden beruhen darauf, dass man an der einen Station den Stand und Gang einer tragbaren Uhr, eines Chronometers, so genau als müglich nach Stembeobachtungen ermittelt^ darauf unter Inachtnahme aller Vorsichtsmaassregeln, wie sie auch in dem Artikel »Chronometerc angegeben sind, mit dem Chronometer an die andere Station reist, und hier wiederum den Stand und Gang des Chronometers durch Stembeobachtungen ermittelt* Hat sich der Gang nicht in der Zwischenzeit geändert, so wird der nach dem Stand an der ersten Station und dem daselbst ermittelten Gang flir die Beobachtungs- zeit an der zweiten Station berechnete Strtnd verglichen mit dem hier direkt beobachteten, sofort die Längeadifiereiu ergeben. Diese Methode der Cbronometer-
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iJti^tnbcstiaiiniiiig.
Übertragung flihn, namentlich unter Anwendung einer grossen Zahl von Chrono- tnetern, zu guten Resultaten. Die äusserste (ienauijrkeit, wie sie /.. B bei den Längcnliestimmungen unter ständigen Sternwarten oder für die Zwecke der internationalen Erdtnessung gefordert wird, ergiebt die Benutzung der telegraphi- schen Ubrvergleichung, indem man an den beiden Stationen die Correctionen der Uhien fffsoxA beobachtet und dann tinmittelbar nadi oder zwischen diesen Beobachtungen die Uhren unter direkter Einschaltung in die Linie mit einander veigleicht, indem die Beobachter an beiden Stationen sich gldchsam surufen, welche Zeit für geutu verabredete Momente die genau berichtigten Uhren zeigen.
Zunächst mag nun mit der Besprechung dieser genauesten Metbode, die zugleich die einfiachste ist, sobald Telegraphenleitung vax Verfügung steht, be- gonnen werden.
Auch hier kann man in verschiedener Weise vorgehen, denn wenn aucli die tclegraphische Methode darauf beruht, dass an beiden Orten die Correction der Uhren aufs genaueste eruutteit una diese duich clcktribclie Signale mit einander verglichen werden, so ist doch in der Verbindung dieser beiden Operationen und in der Anordnung jeder einxelnen eine gewisse Mannigfaltigkeit möglich. Man kann nämlich entweder beide Operationen so zusammenlagen, dass eine eigent- liche Signalabgabe ganz fortfiUlt, indem die Stembeobachtungen selbst hierzu verwandt werden, oder man kann bei einer Trennung beider Operationen die Signale als Coincidenzbeobachtungen zwischen der Stationsuhr und einer ein- g^halteten Hilisuhr auffassen, oder sie unabhängig als registrirte Signale ab- geben. Alle Methoden haben Anwendung gefunden, die letzte ist diejenige, welche sich als die zwcckmässigste herausgearbeitet hat und demgemäss in neuester Zeit fast ausschliesslich gebraucht wird.
Für alle diese Methoden wird vorausgesetzt, dass an jeder Station ein Regisinrapparat vorhanden ist, dessen doppelte Elektromagnete einmal mit der Beobachtungsubr verbunden sind, sodass diese von Secnnde zu Secunde ein Zeichen auf dem sich abrollenden Fapierstreifen oder Bogen markirt, sodann mit einem Handtaster, mit dem der Beobachter auf demselben Streifen oder Bogen ober- oder unterhalb der Uhrsignale ein Zeichen fUr den Moment des Stemdurchganges durch einen Faden des Passageninstrumentes giebt. Femer muss die Telegraphenleitung zwischen beiden Beobachtungsstationen zur Verw lUgung stehen, und zwar als vollkommen direkte, bei der keine Uebertragung irgend welcher Art stattfindet.
Man kann nun in solchem Falle dieselben Sterne in der Art an beiden Stationen beobachten, dass zunächst an der östlich gelegenen, wo der Stern früher in den Meridian tritt als an der westlichen, die Durchgange regristrirt werden, die sich dann auf beiden Registrirapparaten verzeichnen; sodann wird na der wesdichen Station, sobald die Sterne in diesen Meridian eintreten, jeder Fadendurchgang registrirt und zwar wieder mit Markirung auf beiden Apparaten. Man hat In dieser Weise eine doppelte Bestimmung der Längendifferenz, indem mnmal auf der (istlidien Station, bezw. dem östlichen Registrirapparat unter Einschaltung der östlichen Uhr allein nach dieser der Durchgang desselben Sternes über die beiden Meridiane verzeichnet ist, sodann dasselbe auf der wes^ liehen Station.
Nennen wir die auf den Mittelfaden reducirten Fadendurchgänge, die für die Instrumentaitehler des ostlichen Passageninstriimenies corrigirt sein sollen, 7\, die an der westlichen Station beobachteten und ebenso behandelten Durchgänge
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9$0
LMagcnbcMtmiBunc*
Tv„ so wllrcle die Differenz — die Längendifferenz sein, wenn der Uhi- gang null v äre und keine Zeit für die Uebertragung des Stromes verloren gmge. Der Uhrgang muss aber, wenn er besteht, was meistens der Fall sein wird, in Rechnung gezogen werden, da die Durchgangssdtcn ja in einem um die Lftngen* differens verschiedenen Zeitmoment wahrgenommen werden. Nennen wir den stOndlicben Uhrgang (für die Östliche Station) und drttcken die Längeodiffeienx Z in Stunden aus, so haben wir, um auf au reduciren, ^on Tm noch £y, ab- zuziehen, oder die entsprechende Grösse au Ta zu addiren, um auf Tu- zu re- duciren. Ferner ist zu beachten, dass wenn wir wieder Apparat und Uhr auf der östlichen Station annehmen, dass dann die Beobachtungen an der westlichen Station in Folge der endlichen Stromgeschwindigkeit (^worunter liier überhaupt die Zeil bis zum Ansprechen des A|)|)arates verstanden wird) zu spat markirt werden müssen, es wird also 7\,. und ebenso die Längeiiujfierenz um eine Grosse T ZU gross eri>ciicinen, sudasb die an der östlichen Station gewonnene Längen- dtfferenz
— r„ — r, + Zjf, « Z 1
ist. Nun liefert aber der westliche Apparat ebenfalls eine Längenbestimmung, nennen wir das hier gewonnene Resultat Z«,, so haben wir
Z^ =. Tu. — 7; H- Z>'„. Z — -c,
wo dann mit yw der stündlicl,e Gang der westlichen Stationsuhr bezeichnet wird. Hier Vieiden nämlich in f olge der >Stronueit<i die Signale der östlichen Station zu spät und daher die Längendifierenz au klein erhalten. Nimmt man nun aus beiden Bestimmungen das Mittel, so hat man
es ial dasselbe also von der Stromzeit voilkomuiea irei.
Bei allen Methoden spielt die sogen, »persönliche Gleichungc des Beob- achters eine grosse Rolle. Das beste ist natürlich dieselbe au eliminireo, waa dadurch geschieht, dass die Beobachter die Stationen austauschen, d. h. einige Abende etwa in der Combtnation jtfon» Z^wm beobachten, dann einige, ungeflKhr die doppelte Zahl der Abende erster Combination in der Combination Awmit Bqu» dann wieder wie anfangs Ao^t, Bweti- Das Mittel aus allen diesen Bestimmungen wird frei von der persönlichen Gleichung sein. Es ist aber bei dem Wechsel der Bcubachter zugleich von Wichtigkeit, dass die Beobachter auch ihr Instru- ment mitnehmen, da sich herausgestellt hat, dass die persönliche Gleichung in Abhängigkeit vom Instrument, vom Fadennetz, des Sternbildes, der Beleuchtung u. s. w. steht. Kann man nicht diese Elimination bewerkstelligen, so bleibt nur übrig, die persönliche Gleichung durch gemeinschaftliche Beobachtungen au bestimmen, was aber dann vor und nach der Längenbestimmung selbtt an geschehen hat, um eine etwaige Veränderung derselben in der Zwischenseit in Rechnung ziehen zu können. Uebrigens wird unter Anwendung der Rbpsolo- schen Registiitoculare (s. den Artikel »persönliche Gleichungc) diese Fehlerquelle auf ein Minimum reducirt.
So bequem die Methode scheint, so haftet ihr doch ein wesentlicher UebeU stand an, der auch zur Folge hatte, dass man von ihrer häufigen Anwendung abgekommen ist. Man gebraucht nämlich die Telegraphenleitung während eines grossen Theüs d«*s Abends, was in der Regel mit Schwierigkeiten des all- gemeinen Verkcl wegen, dem die Leitungen zu dienen haben, verbunden ist. Für vollständige Zcnbestmimungcn zu einer Langenbestinuiiuug muss in der Regel auf 16—20 Zeit- und einige Polsteme gerechnet werden, letztere zur Ermittelung
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der Instrumentalfehler, und hierzu sind wieder etwa zwei Stunden nöthie, so lange muss also unter allen Umständen die T.eitung verfügbar sein. En kointnt über noch femer hinzu, dass wenn die Langendtfferenz gross ist, die Zeit für die Leitungsbenutzung noch um «ben sond vergrOssert wird, da die Sterne um die Längendifferenz später in den weiüicben Meridian eintreten. Ist die Längvn« diffciens aber nicbt sebr bedeutend» so wird es schwer werden, die xa beob« acbtendcn Sterne derartig aussuwäblen, dass die Beobachtungen an den beiden Stationen sich nicht gegenseitig auf dem Registrirstretfen stören. Endlich wird man von dem Ort des Sternes nur dann unabhängig, wenn es gelingt, an beiden Stationen dieselben Sterne zu beobachten; misslingt dagegen an einer Station die Beobachtung eines Sternes, so hat auch die gelungene Beoitachtung auf der andern Station keinen Werth, vorausgesetzt, dass man nicht ein anderes Reductions- verfahren anwenden will, indem man unter Berücksichtigunj? der Rectascension des Sternes aus jedem einzelnen Stern einen Uhrstand ableitet und aus dem Mittel dieser dann die Längendi£ferenz berechnet, ein Verfahren, welches aber auf einen der HauptvorzUge dieser Methode, der vollständigen Elimination der Rectascension der Steme, von vornherein versichtet
Beispiel. Im Jahre 1863 wurde zwischen der Sternwarte Leipzig und dem temporären Observatorium Dehlitz bei Prag eine Längenbestimmung unter An- wendung verscfaiedener Methoden, auch der eben besprochenen Registrirmethode auigeftthrt In der folgenden Tabelle werden die Beobachtungen vom 5. October aiitgetheill^ und zwar unter I die Beobachtungen nach dem Dablitzer, unter II die nach dem Leipziger Registrirstreiren. Die Bedeutung der in den einzelnen Columnen befindlichen Ziffern ist durch die Ueberschriften klar, nur sei bemerkt, dass die in der 3. und 6. Columne gegebenen Correctionen des Instrumentes aus der hier nicht mitgetheilten Verbindung der Zeitsteme und Polsterne ab- geleitet wurden.
|
DnrchiMigi- |
Owr. |
Stern |
Durchgang»* |
Coir. |
Stent |
Dabüte |
|
|
zeit |
des |
im |
zeit |
des |
im |
minus |
|
|
Sternes |
Dablitz |
Instr. |
Meridian I |
Instr. |
Meridian |
I.ieipzig |
1863 October 5
I. Dablitxer Imtram. KreisUge Ott; Lciptiger Imtmin. Kreishige Wett
|
1 |
31^06 |
—1*19 |
29' -87 |
22* 52«« 48* -48 |
—iy-ba |
47« -98 |
-8«« 18'-li |
|
|
i |
«4*96 |
—0-96 |
23-99 |
22 68 4S07 |
— 0'99 |
49*15 |
18*16 |
|
|
s |
n 58 |
I0'61 |
—095 |
9-72 |
23 6 28-99 |
—GM |
9805 |
18*88 |
|
4 |
23 0 |
3606 |
-1-04 |
350i |
23 8 54-01 |
-0-76 |
53-25 |
18-23 |
|
5 |
23 3 |
36-08 |
-0-99 |
35-0 1 |
23 II 5:?«7 |
-C-86 |
5301 |
17-97 |
|
11 |
23 45 |
17-41 |
-0 8.J |
iG-56 |
25 53 85 kiU |
-117 |
34 43 |
17-87 |
|
12 |
23 bi} |
ÖÜÖ |
—117 |
6*86 |
23 6S 2ö \>b |
-0 54 |
2äll |
18-25 |
Mittel -6^ iSt-m DabL Instr. KitiaL West; Leipt. Inslr. KrdsL Ost .
|
6 |
23* 14* 67' -45 |
-0'-26 |
67'-19 |
•23*2-2'- 14' 95 |
-t-0'-50 |
15"45 |
—8^. 1 8' -26 |
|
7 |
23 16 I.0 06 |
-0-27 |
49-79 |
23 25 7-90 |
-i-0 05 |
7-95 |
18-16 |
|
8 |
•23 19 J^(;-92 |
-0'27 |
3fi-65 |
•23 27 54 87 |
-013 |
04*74 |
18-09 |
|
9 |
23 29 42 75 |
—0-27 |
42-48 |
•23 38 0-87 |
—0 16 |
0-71 |
1823 |
|
10 |
98 88 96^9 |
-0*96 |
96*93 |
23 41 49*96 |
+0*88 |
4SS3 |
18-10 |
Mittel - 8<** 18<*168
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Ubi^rabcttHDiiMiDf .
|
Dorehguigs» |
Com |
Stern |
Darehgaog»* |
Corr. |
Stsni |
Lisoim |
|
|
des |
«eit |
de« |
im |
zeit |
des |
im |
minus |
|
Sternes |
Dablitz |
Instr. |
Meridian |
Leipzig |
Instr. |
Meridian 1 |
I^einiif |
|
n. DtU. Instr. KreisL Ott; Leipx. Initr. Kieisl. Weit |
|||||||
|
l |
22* 31'« 49^ -80 |
— 1^-19 |
48<-61 |
22*40*' 7-' 17 |
~0''60 |
6* 67 |
— ö** lo' ÜD |
|
2 |
22 35 43-68 |
—0-96 |
43-72 |
22 44 1'15 |
-0^2 |
0-83 |
toll |
|
8 |
fi 45 S9-S6 |
-0-95 |
S8-41 |
n 58 47<60 |
— 0-«4 |
48-6< |
18-88 |
|
4 |
22 47 54-72 |
-1-04 |
53G8 |
22 56 12-63 |
—0-76 |
11-87 |
18- 18 |
|
5 |
22 50 54-73 |
-0-89 |
5374 |
22 59 12-43 |
—0-86 |
11-57 |
17-83 |
|
11 |
23 3-2 35-75 |
-0-85 |
34-90 |
23 40 53-90 |
— 1-17 |
52-73 |
17 83 |
|
12 |
23 37 26-33 |
— 117 |
25-16 ,|2S 45 43-94 |
-0-54 |
43-40 |
18-24 |
Mittel — 8*< 18'-078
Dahl. Instr. Kreisl. West; Leipr. Instr. Kreisl. Ost.
|
6 |
23* |
1»» |
I6i-01 |
-0^-26 |
15^-76 |
23* |
9»« |
83* -45 |
-f-0'-50 |
33* 95 |
—8»« 18^-20 |
|
7 |
28 |
4 |
8-61 |
-0-27 |
8-34 |
23 |
12 |
26-86 |
+0-05 |
26-41 |
18-07 |
|
8 |
23 |
6 |
55-42 |
-0-27 |
55 15 |
23 |
15 |
13-33 |
-018 |
13-20 |
18-05 |
|
8 |
28 |
17 |
|-8(> |
-0-27 |
0-98 |
28 |
25 |
1927 |
-016 |
1811 |
18-18 |
|
10 |
28 |
20 |
48-92 |
—0*28 |
48-66 |
28 |
89 |
1*84 |
+0-88, |
1-72 |
18-08 |
|
Mitte |
—8« 18»ai8 |
MiUci aus beiden Kreislagen I —8"* 18*'149, Corr. f. ührgang -f-(V 032
n —8 18*092 —0 018
£/ — g*« 18'-n7
Zff—S 18110
In diesen Wertlien für Z steckt nun noch der Unterschied der persönlichen Gleicluingen der Beobachter und die Strooueit; wenn man erstere mit leutere mit s bezeichnet, so würde man haben
— 8« 18" 117 = H- X
— 8 18 • 110 = / -H/> —
sodass das Mittel aus beiden Werthen, — S*^ 18'-n3 von der Stromzeit, nicht aber von der persönlichen Gleichung frei ist. Letztere ist durch Wechsel der Beobachter bei dieser Längenbcstimmung eliminirt.
Die beiden anderen Meiiioden, bei denen der elektrische Telegraph zur Anwendung komn>t, können als Coincidenz- und Signalmethode bezeichnet werden. Der Unteischied liegt nur in der Vergleichung der Uhren.
Für die Coincidenzmethode gebraucht man auf jeder Station noch eine Hilfs- uhr, deren Gang so regulirt ist, dass sie im Zeitraum von etwa 2 bis 3 Minuten einen Schlag gegen die Beobachtungsuhr gewinnt bexw. verliert Hat man näm- lich z. B. zwei Secundenuhrenj von denen die eine nach mittlerer Zeit, die andere nach Sternzeit regulirt ist, so gewinnt die letztere in einem Tag gegen die erstere 8<" 56* 286« oder Fendelschläge. Fallen also in einem gegebenen Augenblick die ScbUge beider Uhren genau zusammen, so werden sie bald auseinander gehen, um nach etwas weniger als 6 Minuten wiederum zusammen zu fallen, wobei dann die Sternzeituhr eine Secunde gegen die mittlere Zeittthr gewonnen hat. Will man zwei solche Uhren mit einander vergleichen, so ge- schieht dies am schärfsten durch die Beobachtung einer sogen. Coincidenz, d. h. des Momentes, wo die Schläge zusammenfallen. Mit einiger Uebung lässt sich diese Beobaciuung sehr genau machen, man hOrt nämlich bei der Cumcidenz
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Littgcnbestittinung.
«53
nur einen Schlag, wogegen das Auseinandergehen der Schläge sehr auftallend bervortrirt Da nun aber auf ca. 350 Secunden der Unterschied zwischen beiden Uhren eine Secunde beträgt, so würde bei 35 Secunden die Abweichung nur 0^-1 beiragen, es lässt sich aber namentlich bei prärisem nietallischem Schlage der Uhren das Auseinandergehen schon nach einigen Secunden deutlich hören, sodass der Fehler einer einzelnen Coincidenzbeobacluung kaum 0*'02 betragen kann. Es ist daher in der Astronomie bei Uhrenvergleichungen die Coinddens- beobüchtung die gebrftuchlichste. Das seltene Eintreffen einer Coinddens, nach jeweils 6 Minntenp wird durch die grosse Sicherheit au^ewogen« da andere Vergleichungsarten, s. B. indem man Signale nach der zu vergleichenden Uhr anf dem mit der Normaluhr verbundenen Registrirapparat giebt, wobei in weit kflnecer Zeit die Vergleichung bewirkt wird, oder indem man besondere Coinridenzzwischenuhren verwendet, die (s. weiter unten) in geringen Intervallen in 6 bis 12 Secunden Coinridenzen geben, entweder mit starken systematischen und für die gerade vorliegende Bcobachtungsreibe constanten Fehleni, oder mit starken sonstigen Unsicherheiten behaftet sind.
Diese Coincidenzbeobachtungen hat man nun bei den Längenbestimmungen in der folgenden Weise verwandt. Sei auf der einen Station A neben der Haupt* nhr 27 die Hilftuhr C aufgestellt und diese in der Art mit der Telegraphen- leitung verbunden, dass jeder ihrer Schlage ein Relais auf der Station JB zum Ansprechen bringt, wo sich die Hauptuhr U* befindet. Zu gewisser Zeit wird nun der Stromschluss amfA hergestellt und hier (zu wiederholten Malen, um die Sicherheit der Beobachtung zu erhöhen) das Zusammenfallen der Schläge der Uhren [/ und C beobachtet und notirt, zu gleicher Zeit wird auch aul B das Zusammenfallen der Schläge des die Uhr C vertretenden Relais' mit denen der Uhr U' beobachtet und notirt. Es ist ohne Weiteres ersichtlich, dass wenn die Uhren C/ und U' genau richtig gehen, oder ihre Fehler genau ermittelt sind, die auf die gleichen Zeitmomente reducirten Coincidenzen in ihrer Differenz den Lflngenunterschied geben müssen. In dieser ist nun noch die oben erwähnte sogen. Stromzeit enthalten, indem die Schläge von C um die Stromzelt verspätet in S eintreffen. Man wird daher auch in B neben CT noch eine Coincidenzuhr aufttellen, und diese ebenso wie in S mit CT auch in A mit U veigleichen
Was die Beobachtung der Coincidenzen betrifft, so kann man diese juch anstatt nach dem Gehör durch Selbstregistrirung ermitteln, indem man die Coincidenzuhr mit dem Tasterelectromagneten des Registrirapparates verbindet. Hat man bei der Zeitbestimmung die Registrirmethode angewandt, so wird auf diese Weise die FinfUhrung einer Beobachtung, bei der das Gehör die Haupt- rolle spielt, vermieden. Denn wenn auch starke persönliche Fehler Lei der Erfassung der Coincidcnz nicht in Betracht kommen, so wird doch jede nu mögliche Quelle solcher Fehler zu umgehen oder zu eliminiren sein.
Wenn der gegenseitige Stand der beiden Hauptuhren nahe bekannt iat, was in der Regel sehr bald der Fall sein wird, so kann man dann von einem beliebigen Schlage der Coincidenzuhr ausgehen und leicht die den folgenden Coinddensen zwischen Haupt- und Coincidenzuhr entsprechenden Secunden nacb letzterer durch Weiterzählen angeben, ohne Gefthr zu laufen, etwa die eine Secunde zu einer falschen der Hauptuhr zu zählen. Es ist dann einfach, die Coincidenzen eines jeden Abends auf ein nahe der Mitte sämmtlicher Coincidenzen gelegenes Zeitmoment zu reduciren. Wenn nämlich T dieses Zeitmoment, / die Secunde der beobachteten Coincidenz nach der Coincidenzuhr bezeichnet, und T* und die entsprechenden Momente nach der Hauptuhr, ferner (t das Yer*
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«54
LlngCDbutiiBiiMiDg«
hMltniss der Serunde der Coincidenziihr 7U der der Haiipfuhr, also die Lftnge einer Coincidenzuhrsecunde ausgedrückt in Hauptubrsecunden, so ist
r = f -i- (T- f)yi.
Hier lässt sich {jl aus der beobaclueten Zwischenzeit zwischen der ersten und letzten Coincidenz bestimmen.
Ein Uebelitaod dieser Methode liegt ebenfklb in der langen Benutzung der Leitungen» da zur erforderlichen Genauigkeit eine grössere Anzahl Coincideosen beobachtet werden nflssen, and m dem Zeitverlast, der durch die zwischen den Coincidenzen nutzlos verfliessenden Pausen, entsteht, endlich in der Schwierigkeit, den RelaisanscMag zn einem scharf zu beobachtenden Uhrschlag zn gestalten.
Beispiel. Bei der schon vorher erorfthnten Lingenbestimmung I^ipzig» Dablit/ wurde auch die Methode der Coincidenzen angewandt. Am £. Ootober fanden folgende Beobachtungen statt:
L Die Coincidenzohr in Dabli z.
a) Dablit?
Coincidenzen gehört
nach der Hauptuhr Coinddenzuhr
1*
1
1
1
1
1
0-45' 3 13
5
8 10 13
36 9
3ü 0
— 28' -4-121 265 419 567 712
b) Leip7i\n^
Coincidenzen gehört
nach der Hauptuhr Coinddenstthr
0-* 48 0 50 0 53 0 55
0 58
1 0
m 3p
58 21 47
la
38
0- 14«
292 439 586 732
a) Dablitz
Coincidenzen gehöit
nach der Hauptiilir Coincidenzr.hr
II. Die Coincidenzuhr in Leipzig
b) Leipzig
1*
1 1 1 1 1
18 21 24 27 30
13'
18
17
15
19
SS
Coincidenzen gehört
nach der Hauptuhr Coincidenzuhr
— 11'
355 534 719 903
1*
2m 42* 5 45
8 11 14 17
47 47 46 46
C 184 367 548
m
909
Werden nun diese Angaben mit dem Reductionsfactor, der sich s. B. ans den Beobachtungen unter la ergiebt, wenn man die erste und letzte Beobachtung von einander absieht, nämlich 19« 15« -> 785' der Hauptuhr gleich 740 Schiigen der Coincidenzuhr, auf eine bestimmte Zeit tedudrt^ so erhAlt man
redudrt auf 350* für
n
reducirt auf 450« für
Dablitz 14 7*0^45
0-46
0-47 0-47 0-44
Mittel 1*7'"0"45 Leipzig'Dablitz
Leipzig 0* 54-* 16^61 18*69
18'60 18T)1 18-62
18^62^
0^ 54"' 18-61 — 12"» 41' 84
DabliU l*S3w51f.47
51*49
51-48 51-46
51-48 51-48
l*22«5P-48 — 12 -41' 95
Leipzig lA 10" 9**53 9*54
9-64 954 9-53 9-52 1* 10- 9'-53
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Längenbettimmuog.
«55
Zu diesen Unterschieden Leipzig-Dablitz hat man nun noch den durch die
Zeitbestimmungen pefundenen Unterschied der ührzeiten in Dabl<t/ und T^eip^ijr unter Bt:rücksic!iti;;ung des Ganges hinzuzufügen. Derselbe ist für den Unter- scliied I (1*12) i 4"' 24^ 10, für den Unterschiedll (1*'41) H- 4«* 24'-17, sodass darnach fUr die Längendifferenz die Werthe
ZI — 8- 17* -74 Zn — 8 17 78
fölgeo.
Die in neuester Zeit am all^emeinstra zur Anwendung kommende Methode ist; wie schon vorher engedeutet, die Signalroethode, der vorigen ilhntich in der Anwendung der Operationen. Der Unterschied liegt in der Art der Uhren- vergleichung. An Stelle der einzuschaltenden Coincidcnzuhr tntt der Handtaster, mit dem eine Reihe auf einander folgender Signale gegeben werden, die an beiden Stationen gleichzcitic,' gehört und nr^ch den Schl^rrn der Hauptuhr auf- gefasst werden. In der Kegel wird dies Signal nicht mehr nach dem Gehör mit der Hau]jti;hr beobachtet, sondern es wird auf dem Registrirapparat beider Stationen autgetangen, wo es sich dann neben den Secundenpunkten der iiaupt- Dht verzeichnet. Mit aller wflnschenswerthen Schärfe kann dann dies Signal abgelesen weiden. Es liegt auf d«tr Hand, dass dies Verfahren dasjenige ist, welches in der allerkOnesten Zeit und unter Vermeidung aller persönlichen AufiasBungsfehler ausgeführt werden kann. Man kann die Signale in I — S Secunden« intervall geben, erhält also im Zeitraum einer Minute ohne Schwierigkeit 90 Sig> nale. Und da cur Elimination der Stromzeit die Signale von beiden Stationen gegeben werden müssen, wird man in 2 Minuten die Vergleichung vollenden können, al'^o f'tr die ganze Operation der elektrischen Vergleichung, wenn sonst alle Maassnahmen gut getrofTen und verabredet sind, die Telegraphenleitung kaum länget' als 5 Minuten benöthigen.
Es sind nun aber hier noch eine Reihe von \ orsichtsmaassregeln zu treffen, welche das vollkomiaene Gelingen dieser Operation erst gewährleisten. Voraus- gesetit wird, dass die Zeitbestimmungen registrirt werden, und swar local, dass der Beobachter in A die Fadenantritte der Sterne auf dem eigenen Registrir- apparat versdchnei^ wie der in B seine Beobachtungen auf dem in JB befind* lieben Apparat. Zu einer vollkommenen Zeitbestimmung gehören nach der Methode der Beobachtung im Meridian etwa 6—8 gleichmässig auf beide Kreis- tagen vertheilte Zeit- (Süd'*)sterne und ein Polstern mit Umlegung, und zwar wird man die Sterne so anordnen, dass der Polstern in die Mitte fällt, also erst 3 — 4 Zeitsterne in einer Kreislage beobachtet werden, dann ein Polstern zur Hälfte in der gleichen I.age, zur zweiten Hälfte in der anderen, in welcher dann die übrigen 3 — 4 Zeitsterne angeschlossen werden. Nach einer solchen vollständigen Zeitbestimmung erfolgt darauf die Uhrvergleichung beider Stationen durch elektrische Signale unter Benutzung der Telegraphenleitung, Um nun von einem Uhrgang der beiden Stationsuhren unabhängig zu sein, ist es noth* wendig, gidch nach dem Signalaustausch eine zweite Zeitbestimmung in gleicher Anordnung wie die erste vorzunehmen, sodass die Uhrvergl«chung gerade von swei unabhftngtgen Zeitbestimmungen eingeschlossen ist Hiermit ist dann eine Längenbestimmung durchgeführt. Man wird aber in der Praxis zur Erhöhung der Genauigkeit eine nochmalige Bestimmung an diese erste unmittelbar an- schlicssen, indem man nach der zweiten Zeitbestimmung einen zweiten Signal- wcchsel vornimmt, dem dann zum Schluss eine dritte Zeitbestimmurtc: zu folgen bat. Da bei dieser Anordnung die zweite Zeitbestimmung in beide Resultate
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LKngeobetttmmung.
eingehf, so ist es nothwendig, durch Hinzufügiing einiger Sterne ihre Sicherheit zu erhöhen, wenn man es nicht überhaupt vorzieht, um zwei ganz unabhängige Endresultate zu erhalten, an die zweite Zeitbestimmung sofort, oder nach kleiner Pause, eine dritte anzuschliessen, auf welche dann erst der zweite Signalwechsel mit der unmittelbar anschliessetiden vierten ZeitbesttmiDttQg xa folgen bat Es hat also ein mehrfacher Uebergang vom Localregistriren auf den Signalwechsel stattsufinden, und da hierbei entsprechend der korsen Leitung im Beobachtungs* raam und der langen zwischen beiden Stationen mit sehr verschiedenen Strom- quellen gearbeitet werden mus«, so ist es unbedingtes Erfordemiss» dass die tax Erzielung gleicher Wirkungen auf die Empfangsapparate nöthigen Operationen leicht und rnsch auszuführen sind. Es müssen sowohl beim Localregtstriren als auch beim Signalwcchsel und zwar bei letzterem sowohl bei ankommenden als abgehenden Strom stets Ströme ganz gleicher Intensität durch das mit einer T.ocalbatterie und dem Signalanker des Registrirapparates verhundcne Relais geilen. Wenn dies nämlich niclit der Fall ist, so ist das gleichmassige Ansprechen des Signalankers bei den verschiedenen Operationen nicht gesichert, und nur unter dieser Annahme wird das Resultat der Längenbestimmungen im AGttd aua den entsprechend angeordneten Beobachtungen als frei angesehen werden dflrfen von den unter der Bezeichnung der Stromzdt inbegriffenen Vertdgemngen, die zwischen dem Stromschlnss und dem Stgnalempfang vorkommen. Es ist, una diese gleiche Relaisthätigkeit au erxielen, übrigens auch nothwendig, dass der abgehende und ankommende Strom das Relais in gleicher Richtung durchläuft, was erreicht wird, wenn an den Iteiden Stationen die entgegengesetzten Pole der Lmienbatterie mit dem »Erddraht verbunden werden. In den »Veröffentlichungen des Königl. Preuss. Geodätischen Instituts« sind die Hauptnormen mitgetheilt, welche sich auf Grund der bei den zahlreichen Längenbestimmungen gemachten Erfahrungen als noth wendig zu beachtende Regeln ergeben haben, und die aosserordendicbe Genauigkeit, welche genaimte Behörde bei ihren Aib^en er- reicht hatf ist ein Beweis für die Richtigkeit solcher Regeln.
Um die Stromstärke jeweils festsetzen und controliren zu können, ist die Einschaltung einer Tangentenbussole und zur Regulirung der Stromstirke die eines Rheostaten erforderlich. Die sonstigen Hilfsapparate, Galvanoskop, Blitz- ableiter, ein Schreibapparat mit getrenntem Taster gehören selbstredend in den Stromkreis, wie die Uhr und der Chronograph. Die Linienbalterie ist am besten getrennt von der T.ocalbatterie zu halten, doch kann man natürlich auch als letztere eine Anzahl Elemente von der Linien batierie abzweigen. Um rasch von der einen Operation auf die andere übergehen zu können, bedarf es femer eines dreifachen Kurbelumschalters, dessen einfache Drehung die Leitung für Localregistrirung, für Signalwechsel und für die geschäftliche Correspondenz schaltet.
Bei der raschen VerSnderlichkeit der Stromstärke, die niclit allein von Tag ztt Tag zu bemerken ist, mflssen fttr den abgehenden und ankommenden Strom die einzuschaltenden Widerstandsgrössen jedes Mal neu bestimmt werden, was
in der Weise geschieht^ dass erst die eine Station den Strom 1—2 Minuten lang beständig schliesst und beide Stationen während dieser Zeit die Widerstands* grÖBsen so lange variiren, bis die Tangentenbassole den Normalausschlag giebt. Hierruif wird man von der anderen Station nus ebcnst» \ crfnhrcn. v.nd man knnn nun jedes Mal bei Abgang und Ankunft der Signale den su ermittelten Wider- stand einschalten. In gleicher Weise muss auch vor der Zeitbestimmung für die Lucaircgiätnrung die Widerslandsgrusse ermiiteit werden.
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Die galvani'^rhen Apparate sind nun erfahningsgemäss so zu wählen, dass die Tanpentenl ussnle bei Anwendimg eines MEiDiNCER'schcn Elementes von mittleier Grösse und bei Kinschaltung von lü km Widerstand einen Nadel- ftosschlag von 45- 60** zeigt, dass der Rheoflttt tOD l-^-lOODO Obm (0*1-^1SOO km Leitmgslänge) von Einheit sn Einheit legnlixher ist. Die Ltnienb«tterie man anter «llen UnMinden sehr kHlftig genommen werden, die Locidbetterie ent* sprechend schwäch«jlr, jedoch so, . des» bei der eisten Bertthrong der Relai»- conticte die Signale auf dem Hegistrirapparat erfolgenr ^ den Durchgang dttrch die Uhr ist ein möglichst schwacher Strom zu nehmen, r '
Was die Stromzeit betrifft, so haben die von Th. Albrecht am Kön Preuss. Geodät. Institut angestellten Untersuchungen SU dem Resultat gefUbrtf.dass maja für dieselbe angenähert den Ausdruck
0 = 0* 0000208 Z -H 0"0O0O000206 Z« annehmen kann, wo Z die Leitungslänge in Kilometern bedeutet. Es ist abge- leitet aus sämmtÜchen T ärtfrenbestimmungen, die 1874 — 1884 vom Geociatischcn Institut unter Anwendung gleicher Apparate und gleicher Beobachtungsmcthoden ausgefiilirt wurden, und wo Leitungen von 14ti /iv/z — 1230 ^« Länge in Benutzung kamen. Die l^inzelwerthe fUr diese Längenbestimmungen uud die Darstellung der Stromseit durch obige Formel giebt folgende Tabelle:
|
LBügcnbcstimmang |
Jahr der Aus- führung |
Unge der Leitung |
SiHM Beobachtung |
udt Rechnung |
Beob.- RmIw. |
|
Btocl(Cii«GOtliD£eo • * • |
1874 |
146*" |
+<y-oo8 |
+ 01-004 |
— Ot-Opl |
|
1876 |
167 |
0-008 |
0-004 |
— 0HM>1 |
|
|
Bradm>Leipzig .... |
1874 |
229 |
0010 |
wm |
-4-0-00* |
|
Altona-Wilhelmshaven . . |
1878 |
334 |
0006 |
0006 |
0-000 |
|
Berlio-bwincmUnde * . . |
1883 |
245 |
0-008 |
0-006 |
-1-0-002 |
|
BcHin-Göttiogen .... |
1874 |
403 |
0011 |
0013 |
— 0-üOl |
|
Bim»>¥Fi]hdiiidMT«ii . . |
1878 |
416 |
0^16 |
0-018 |
+ O-0O8 |
|
Kiel-SwincmUnde .... |
1883 |
448 |
C-018 |
0014 |
— 0-001 |
|
Strassburg-Bonn .... |
467 |
0-016 |
0-014 |
-4-0-002 |
|
|
Altona^Bonn |
1J578 ■ |
536 |
0019 |
0-017 |
-♦-0 002 |
|
Berlin- Warschau .... |
666 |
0-024 |
0-033 |
-4-0 001 |
|
|
SwiMfliaiidfr-EllD^Edwrg |
1884 |
678 |
0-088 |
0*084 |
— OM |
|
Bcriitt~Boiiii . « • • . |
1877 |
680 |
0-OS8 |
0'OS4 |
— OKWl |
|
Bonn-Paii» ...... |
1877 |
706 |
0-034 |
0025 |
— 0 001 |
|
Königsberg'Warscban . . |
1884 |
766 |
0-O20 |
0-028 |
- 0-008 |
|
Berlin-Strassbtirg .... |
1876 |
778 |
0-030 |
0029 |
-H 0-001 |
|
BerltD-Paru |
1877 |
1230 |
0-059 |
0 057 |
-i- 0-002 |
Die Darstellung der Beobachtungen durch die ohige Formel ist also eine sehr gute, so dass man nicht zweifeln kann, dass letztere als empirischer Aus- druck der Wirklichkeit entspricht. Es ist aber doch hervorzuheben, dass sie bei
der Abbänf^igkeit der Stromzeit von den benutzten Apparaten immerhin nur für die hier angewandten gilt, dass bei Benutzung anderer Apparate wohl die Formel sich anders gestalten kann, wenngleich anzunehmen ist, dass die hier gegebene auch für andere Fälle einen Anhaltspunkt liefert. Das in der Formel auUretende quadratische Glied wird aber als die Wirkung der Verzögerung angesehen Wf^rden ktooen* die durch das allmähliche Anwachsen der Stromstärke bis zur i^oUieii Intensität an der EndstatiQn gegenüber den Verhältnissen an der Abgangsstation yMJiiiiiiM, Aauwrtfc IL 17
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enuteiu. Denn wenn wir mit Uro und die Uhrdifferenzen bezeichnen, die sich aus den Ablesungen der foo der westiicheii und ttiüidien Station gegebenen Signale auf den Registrintrrifien ergeben» mit r« und r«' die VenOgerung der Relais anf der Östlichen und westlichen Sution bei den von der östlichen Station, mit ^»d bei den von der westlicben Station gegebenen Signalen» so ist der Aosdracfc für die Foitpflanznngssett des elektrischen Stromes
' »— + r--*-~i —
Bei langen Ldtungen wird nun die durch Torgenommenen Ausgleich der
Stromstärken möglichst erstrebte Gleichheit von r, und rJ, r„ und rJ doch nicht in Strenge erreicht werden, und es werden wegen der allmählich ansteigen- den Stromstärke die Werthe von r,' und r.J stets grösser sein als die und
und zwar desto mehr, je länger die Leitung ist.
Es mag nicht unerwähnt bleiben, dass Albrecht auch darüber gelegentlich Untersuchungen anstellte, in wiefern sich eine Abhängigkeit dieser Stromzeit von der Stärke der in Anwendung gekommenen Batterie zeigte. Bei zwei iJtngenbesdmmungen zwischen Berlin und Bonn, und Bonn und Paria war die eigentliche Linienbatterie aus 140 litaMiiOTt'schen Elementen mittlerer Grösse sttsammengesetst Sie wurde dann auf das möglichst geringe Haass redncir^ sodass aber der Sjgnalwechsel noch in normaler Weise voigenommen werden konnte. Bei möglichst empfindlicher Relaisstellung genügten noch Ih l^emente zum Signalwechsel, es bestand aber dabei nur ein ganz geringer Spielraum für die Stellung der Relais, sodass sich die Bedingung, diese Stellung so zu wählen, dass sie licreits im ersten Starlium des Anwrtchsens des Stromes functionirte, nicht ganz erfüllen liess. Im Uebrigen wurde auch hier für thunlichsten Aus- gleich der Stromstärken bei abgehendem und ankommendem Strom gesorgt* Es ergaben sich folgende 4 bezw. (» Bestimmungen an verschiedenen Tagen:
|
140 Elemente |
15 Elemente |
Differenz |
|
|
Berlin>B(mn» Stromseit |
=- -t- 0' 024 |
H- 0* 030 |
0^ 006 |
|
0021 |
0028 |
+ 0 007 |
|
|
0032 |
0033 |
0 000 |
|
|
0*036 |
0-035 |
+ 0009 |
|
|
Bonn-Paris |
-+- 0 029 |
-H Ü U4ä |
-4- 0016 |
|
0*030 |
0-047 |
H-0017 |
|
|
0-095 |
0-044 |
-h0009 |
|
|
0-0S7 |
0-040 |
4-0*013 |
|
|
0-080 |
0-049 |
H- 0-019 |
|
|
0*084 |
0-057 |
H- 0-033 |
Im Mittel findet sich also bei Berlin*Bonn eine Versögerung von O'-OOO, bei Bonn-Paris eine solche von 0^016. Da beide Leitungen sehr nahe gleich lang waren, spricht sich in diesem Unterschied zwischen beiden Resultaten nicht eine Abhängigkeit von der Länge der Leitung aus, sie wird vielmehr, da die Ver«
suche gleichzeitig von Bonn ausgingen, in der Verschiedenheit der in Berlin und Paris angewandten Appnrntp liegen. Sie liefern aber vor allem das wich- tige Resultat, dass wenn bei emer Abschwächung der Batterie auf den 9. Theil die Differenz der Stromzeit nur etwa (V OI beträgt, von den vorübergebenden Einflüssen der Witterung auf die Leitungswiderstände unter Beobachtung mög- lichster Ausgleichung der Stromstärken, wie oben angegeben, kein nennen»* werther, schädlicher Einfiuss auf die Resultate der Lä^genbestimmungen selbst
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zu beflirchten ist. (Vergl. hierüber Ai.brecht'«? Mittheilungen in den >ARtron, Narhr,<, in den Veröffentlichungen des Geodät. Instituts 1883 — 84«, und seine »Formeln und Hilfstafeln für geograph. Ortsbestimmungen«.)
Soll schliesslich der Ausdruck für die Berechnung der Längendifferenz unter Anwendung der (elegraphischen Methode gegeben werden, so folgt derselbe in einfacher Weise. Es seien dazu Ut und die den Zettbeidvimiiig^ hervorgegangenen Ubntände auf der östlichen und westlicben Station mit dem event Uhrgang ledncirt auf die Zeit der Mitte des Signalweehsela oder auf einen sonstigen gleichen Zettmonient, R, und Rm die Verzögerung der Relais beim Localregistriren, und rj die bei den von der ösdtchen Station aus gegebenen Signalen, r« und r«, die auf die westliche Station bezüglichen Grössen, sodass der Index ftir den ankommenden Strom gilt, endlich seien die Uhrdifferenzen bei den von der östlichen und der westlichen Station aus gegebenen Signalen und 4^., so <^ie Lftngendifferenz L
bt nun durch den Ausgleich der Stromstärken R^t:^ r0rm rj und R^^r^
SS und wird die Stromzeit Uberhaupt durch das Hin- und Herregistriren eli- minirt, so fallen damit ja die letzten beiden Glieder fort Will man da^e^en Pf >rh die persönliche Gleichung berücksichtigen, oder dieselbe andererseits aus den Abendwerthen ermitteln, so findet sich
wo dann 1\ die persönliche Gleichung, so zu ver^tdicn ist, dass man Beobachter auf der östlichen Station, weniger Beobachter aut der westlichen Station nimmt. Treten nun die EinzeKveithe verschiedener Abende zusammen, so wird man in der Regel letztere nicht als gleichwerthig ansehen dürfen, da auf der einen oder snderen Station oder auf beiden die Uhrstttnde nicht immer mit gleicher Sicher' heit erhalten werden, indem der eine oder andere Stern verloren geht, oder daich die Luftbescbaflenheit und sonstige Störungen Unsjcberheiten hinautreten können; dabei ist noch au beachten, dass die Beobachtungen der Polsteme sur Ermittelung des Admuthfehlers der benutzten Instrumente führen, also ebenso- wohl wie die Zeitsterne, welche direkt zur Bestimmung des Uhrstandes führen, bei einer Gewichtsbestimmung hinsichtlich der abendlich erreichten Sicherheit herangezogen werden müssen ^^-ych. OppoLZBR kann man für die Bestimmung des Gewichtes der Ubrstände die Formel
G ^
0-7/> H- U-3a
verwenden, wo p und z die Zahl der beobachteten Pol- bezw. Zeitsteme be- zeichnen. Das Gewicht der Längenbestimmung seibbi selül sich dann aus den so ermittelten Gewichten der Zeitbestimmung an der östlichen und westlichen Station zusammen, und lautet
+
und das Endresultat der Längenbestimmung aus allen Abenden wird das unter Berttcksichtigung dieser Gewichte gebildete Mittel sein.
Üie Längenbestimmung aus Chronometertibertragungen, auf welche Methode nun im folgenden näher eingegangen werden soll, wurde zuerst von
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LftDgcnbatunnutng.
Schumacher zur Ausführung gebracht, indem er im jähre 1817 die I-angenditlerenz zwischen Hamburg und Kopenhagen auf diesem Wege zu bestimmen versuchte. Das Resultat, welches er mit Benutzung zweier Chronometer erhielt, zeigte aber noch von ebem im Jahre 1820 wiederholten Versuch mit drei Chronometern Abweichung von etwa 8 Secunden. Auch eine Reite im Jahre iSsi mit 5 Chrono- metern lies« grosie Unticherheilen in den Ergebnissen der einselnen Uhren. Indessen lag die Unsicherheit ersichtlich in der Schwierigkeit der Betse, welche theils 2U Wagen, th«ls mit Segelschiff bei stQrmischem Wetter viele Tage in Anspruch nahm. Umstände, welche die gegen jeden Stoss empfindlichen Chrono» meter nicht vertragen konnten. Es trat dies deutlich hervor, als Schumacher noch in dem gleichen Jahre durch Zahrtmann eine Rei«e mir serlis Chronometern unter Benutzung des Dampfschiffes von Kiel nach Kopenhagen, und anderweitiger Uebertragöng von Kiel nach Hamburg ausfuhren liess. Hier waren die grossten Abweichungen unter den sechs Chronometern nur eine Secunde, wogegen die Rückreise mit vier der gleichen Chronometer aber unter Benutzung einer um Skagen herumgehenden Brigg, die 11 Tage unterwegs war, au Einaelresuttaten führte, die fast 18 Secunden von «nander differirten. Es geht schon aus diesen ersten grösseren Versuchsreisen hervor, dass man auf genaue LAngenbestimmongen nur rechnen kann, wenn (He Reisen schnell und unter grosser Schonung der Chronometer bewirkt werden können. Selbstverständlich wird man auch nur ausgesucht gute Uhren und eine grosse Anzahl verwenden, ausserdem die Reis«i thunlichst mehrmals wiederholen. Diese Bedingungen haben Veranlassung zn sehr ausgedel nten ( 'hronomcterexpcditionen gegcl)en. Die erste derartige kam im Jahre 1824 zur Ausführung, wo die engli.sche Aclmirahtat ein Dampfschiff aus- rüsten liess, um einestlicils die Längendifferenzen /.wischen dänischen und cnuli- sciien Dreieckspunkten und einigen sonst wichtigen Häfen der Nordsee la be- stimmen, sodann sur Untersuchung anderer flir die Marine wichtiger Fragen, die hier nicht in Betracht kommen. Das Schiff erhielt 88 Chronometer, und da Helgoland eine Referensstation bildete, wo ein passageres Observatorium rar gleichen Verbindung mit Altona errichtet war, so wurden Jenen 38 englischen Chronometern noch 9 dänische hinsugefflgti von denen sich aber im Laufe der Reise 2 unbrauchbar erwiesen, sodass im ganzen 35 Chronometer aur Verfügung standen. Das Schiff war vom 30. Juni bis 10. September unterwegs, und wieder» holte in dieser Zeit die Verpleichungen an den einzelnen in Betracht kommenden Haien häufiger, sodass z. B. die Langendifl'crenz Ahona-Heigoland acl tnial durch die 7 dänischen, viermal durch die 28 englischen Chronometer bestimmt wurde, i'nd die zwischen Helgoland und Greenwich viermal durch die 7 dänischen und sechsmal durch die 28 englischen. Die hierbei erreichte Genauigkeit entsprach, was die Uebereinstimmung der dnselnea Reben und Cbronomefier betrifft; aUen Wünschen und Erwartungen.
Eine aweite grosse Chronometereipedition wurde In Rosaland unter der Leitung des Generals Schubert ausgeführt, um die Langen der ittr die Schiff- fahrt wichtigsten Hftfen der Ostsee zu bestimmen. Auch Preussen, Dänemark und Schweden waren durch die Antheilnahme der auf ihren Gebieten belegenen Sternwarten an diesem Unternehmen betheiligt. Ein russisches Kriegsdampf- schifl war besonders dazu auscjcrüstct und machte wnhrend eines Zeitraums von 115 Tagen im Jahre 1H33 eine dreimalige Reise nnt Anlaufen aller im Programm aufgenommenen Hafen. Nicht weniger als 5G Chronometer kamen xvr Ver- wendung. Zum ersten Mal wurde bei diesen Längenbestimmungen auch aui die Ermittelung der persönlichen Gleichung Bedacht genommen, denn auch diese
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LSogcnbeitiiiiiiianf,
muss, was schon Schumacher gelegentlich der ersten Expedition erwähnte, in sofern von Bedeutimg sein, als die Chronometer vor der Abreise mit der nach den daselbst erhaltenen Beobachtungen regulirten Pendeluhr und nach der An- kunft an dem nächsten Ort mit der dortigen Zeit verglichen werden, die im All- gemeinen wenigstens von einem anderen Beobachter bestimmt wurde. Zu einem ganz genauen Resuluit gehört Übrigens auch noch streng genommen die An- stellung ciDheitlicher Zeitbestimmungen, d. b. tinter Anwendung denelben Sterne und gleicher Rectascensionen.
Hiernach sind vielfach kleinere Verbindungen vorgenommen worden, da diese Metbode ohne Zweifel zu den besten Ergebnissen fllbrt, so hinge mcht die telegraphische LftngenbesttmniunK möglich ist und wenn die Benutzung terrestri- scher Signale versagt. Die grössten derartigen Unternehmungen gingen aber von Russland aus, wo nach der Gründung der grossen Centraisternwarte Pulkowa die Anschlüsse an andere H^iuptsternwarten mit Siisserster Genauigkeit zu er- streben waren. Die liaupt-ac Vilu libten Bestimmungen der Art waren die Chrono- meterexpeditionen zwiichci^ l'ulkowa und Altona im fahre 1843, sodann die sich iast unmittelbar anschliessende zwischen Altona und Greenwich im Jahre 1S44, wodurch Pulkowa mit Greenwich verbunden wurde. Später, im Jahre 1854, folgte dann die aar grossen russischen Breitengradmessung gehörige Verbindung swischen Pulkowa und Dorpat. In den drei auf diese Unternehmungen besüglichen aus- fthrlichen Werken ist alles gesagt, was zur Ausführung einer Längenbestimmung auf dem Wege der ChronometerQbertraguQg gehört. In neuester Zeit hat die Methode auch noch Anwendung gefunden, so bei Gelegenheit der Expeditionen zur Beobachtung der Venusvoriibergänge, WO insbesondere von Lord LmDSAY eine Längenbestimmung zwischen Mauritiu«: und Aden durch 50 Chronometer ermittelt wurde, wogegen an anderen Stationen nur cinr- geringe Zahl Chrono- meter zur VerfUgung stand, wo denn auch durch mehrfache Reisen die erlorder- liche Genauigkeit erreicht werden musstc, die aber nicht den Resultaten an die Seite gestellt werden kann, welche auf den genannten russischen Expeditionen erlangt wurde.
Fttr die erste der genannten russischen Expeditionen waren insgesammt 86 Chronometer sur VerfUgung, von denen aber einige ausgeschieden wurden oder zur Vergleichung der Chronometer unter einander dienten, sodass im
Ganzen 81 verblieben. Die Vergleichung bei einer so ungeheuren 2^hl von Uhren erforderte eine betrftchtliche Zeit und wäre kaum mit genügender Genauig» keit durchfilhrbrir G:ewesen, wenn man die gewöhnlichen Coincidenzen zwischen Stemzeit und nuttierer Zeit hätte anwenden wollen. Es kam daher hier ein 1 30-Schläger, eine Uhr, die 130 Schlage in einer Minute macht, wo sich also die Coincidenzen sehr rasch Folgen, zur Verwcndnnj». Die ganze Vergleichung war damit in etwa cmer Stunde vollendet und konnte auch täglich während der Reise gemadit werden, sodass man über etwaige Sprünge im Gang Aufschluss erhielt Die Reise selbst wurde natürlich mit der erdenklichsten Sorgfalt unter» nommen, sie setzte sich aus mehreren Theilen zusammen und bestand erstens aus einer Wagenfahrt von etwa 40 km von Pulkowa nach dem Hafen Oranien- baum, zweitens aus einer Bootfahrt von dem Hafen nach Kronstadt, wo ein Dampfschiß nach Travemünde bereit lag; drittens folgte die Seefahrt von Kron- stadt nach Travemünde und A'iettens wieder eine Wagenfahrt von etwa 80 km von Travemünde nach Altona. Der Vorgang war folgender. T^nmittelbar vor der Abreise von Pulkowa wurden die Chronometer mit der dortigen Normal- pendelubr verglichen; sofort nach Ankunft an Bord des Schitües geschah eine
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Vergleichung durch einen in Kronstadt an einer dortigen temporären Stern- warte angestellten Astronomen. Auch in Lübeck befand sich ein kleines Ob- servaiünum, wo die Vergleichungcn auls Neue vorgenommen wurden; endlich geschah unmittelbar nach der Ankunft in Alton« die Vergleichung mit der dor- ttgen Normalabr. Nach kunem Aufenthalt in Altona von etwa l-^S Tagen erfolgte die Rttckrebe, auf welcher die Veigldchungen ebenso, nur natOrlich in umgekehlter Rethenfolge, vorgenommen wurden. Kein Tag verging ohne Vergleichung, selbst wenn sich die Chronometer an demselben Ort und in Ruhe befanden. Diese Reise, welche hin und her mit der Pause in Altona und einer etwas längeren in Pulkowa 14 Tage erforderte, wurde vom 19. Mai bis 8, September achtmal wiederhoU, sodass jedes Chronometer 16 Bestimmungen lieferte, oder, wenn man die Hin- und Rückreisen zusammen nimmt, 8 Einzel- bwtimmungen.
Den Zeitbestimmungen in Pulkowa und Altona wurde selbstredend grösste Auimetksamkeit zugewandt, hängt doch von der Ermittelung der absoluten Zeit an den betreflfenden Orten und den daraus abgeleiteten Gängen der Hauptuhren die Genauigkeit des Endresultates ab. Da ja in der Regel nicht im Augenblick der Ankunft die Zeitbesdmmong au erhalten ist^ so kommt es darauf an, mit mOglidister Zuverlässigkeit die Uhrcorrection für den Moment der Vergleichung interpoliren lu ktenen.
Die Berechnung der Längendifiereaa aus den Vergleichungcn bildet eigesb* lieh eine Interpolation, die sich aber nur unter der Annahme gewisser Hypothesen (Jber den Gang oder überhaupt das Verhalten der Chronometer in der Zwischen- zeit durchfuhren lässt. Denn an und für sich ist die Beret linimg m sofern eine unbestimmte, als bei uiner qcwissen Anzahl von Reisen eint.: {/rleit hiini:; weiiiger vorhanden ist als Unbekannte, s^elchc let/,tcfe die jeweiligen Gange und die Längendifierena sind, während die Gleichungen durch jede Reise geliefert werden. Die Unsicheiheit des Ganges wird aber um so grösser, als sich derselbe xusammeifc- setst aus dem Gaog der Uhr zwischen Beginn der Reise und Ankunft an der aweiten Station, sodann aus der Zeit des ruhigen Aufenthalts an der swciien Station und endlich dem Gang zwischen der Abreise von der zweiten Station und der Ankunft an dem Ausgangsort. Wenn ein Unterschied zwischen dem Reise* und Ruhegang nicht vorhanden wäre, so würde man einfach die Uhr- correction vor Abgang vom ersten Ort und bei Rückkehr an denselben ver- binden, und durch Division mit der Zwischenzeit den mittleren Gang erhalten. Eine solche Constanz ist aber kemesfalls, selbst bei nller Sorgfalt in der Be- handlung der Chron Hi etcr anzunehmen. Und wenn wirklich ein Chronometer diese Annahme rcchtierii^ie, so dürfte dieselbe darum lur ein andcrcä Chrono meter noch nicht gemacht werden. W. Struvi hat nun den folgenden Weg eingeschlagen:
Nennen wir den Abgang von der ersten Station A, die Ankunft an der aweiten B, den Abgang von der aweiten die Ankunft an dem ersten Oit A*, aodass diese Hin> und Herreise als eine vollständige Reise betrachtet wird. Es seien die betreffenden Zeiten /, /, /", die beobachteten Uhrcorrectionen ^1» ^i» ^t» 's* ^'^ Zwischenzeiten t,, p,, t,, sodass mit p, die Zeit des Auf- enthalts am zweiten Ort gemeint wird, endlich 71,73... die mittleren Uhr- gänge in der Zeiteinheit während das Chronometer sich auf der Reise behndei, dann ist, wenn wir annehmen, dass der Gang des Chronometers während der Hin- und Herreise t^, tj derselbe blieb, und wenn mit a die westliche Lange bezeichnet wird
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- T, *
woraus
^ ^ (r^ - T, (<r, - >^,) Tt
Tj + T,
Fttr die Recbnung kann man diesen Aosdruck noch wesentlich etn&dier machen, wenn man ea den GrOsien und die Difiierena — htnauffigt» um so den Ruhegang au eliminiren.. Dann hat man die 4 Uhreorrectionen t^, kl. Alt 4- ^s ^ 't' Zeittntervallen T| und t,. Nennt man jetst
r = (V - ^i) (0 = ^1 -H^
so ist die Länge
Beispiel. Bei Gelegenheit des Venusdtirchganges im Jahre 187 4 wurden T.ängen- Uestimnnungen der BeobachtungssUtionen auch nacii der Methode der Chrono- meterübertragung ausgeführt, so z. B. wurde die Station Tschifii in China mit Nagasaki in Japan durch mehnnalige Reisen mit mehreren Chronometern vts^ banden. Auf einer der Reisen lieferte das Chronometer Nieberg No. 56S folgende Daten: Abreise von Tschiiii December IS, Ankunft in Nagasaki December 18, Abreise von Nagasaki December 35, Anktmft in Tschifii Januar % Damadi ist
/ — Decemb. 18-08 ^1 — 8* St"* S6"7S /' « „ 18*88 55 88*65 ki^it^"^^^
r = „ 25-83 *j « 8 55 40 18 8* Sl- 44*'48
/"'i^ Januar 2 92 = 8 21 52 01
T 6-f'25 = 150A-0 t» « S^'-OS — 1W*-1 r,' — = H-7'76
(<) s H- r « 8* 2I* 40"10 \ mm (0- - 83* 5S»*55.
Nun wird aber diese einfache Literpolation in der Regel nicht genau genug sein, man wird vielmehr suchen mflssen, zweite Differenzen su berttckaichtigen, da der Gang des Chronometers kein so constanter ist Selbst eine regelmässig sunehmende Beschleunigung oder Verlangsamung des Ganges wird nur als eine watere Annfthemng anzusehen sein, bei der man aber in Ermangelung genauer Gesetze über den Gang eines Chronometers, und bei möglichster Inachtnahme der Synr»metrie in den Reisen stehen bleiben kann. Wenn man die Recl.nung so anordnet, dass man nicht beständig von derselben Station ausgeht, sondern ▼ielmehr alnvec 1 seltui von der einen und anderen und so zuerst die zweite Station zwischen die Beobachtungen an der ersten Station einschliesst, dann die an der ersten zwischen zwei an der zweiten, so gestaltet sich die Rechnung nach SninfB wie folgt:
Nehmen wir vier Beobachtnngsepochen /, /, f" und die zugehörigen Correctionen Jki, e^, mit den Zwischenzeiten t, t', V, wobei also die Robi^Huisen anaser Betracht bleiben. Wenn nun der Gang dn gleicbmässig beschleunigier oder verzögerter ist, so folgt
*j — H- «T H- ßT» — X
rj = r, a (t -f- t') H- p (t -H t')«
*s -t- « (t H- x' t") + ß (t t' t")« - X.
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Bilden wir nun den Werth von (c), der für die Zeit /, also für gültig wäre, indem wir einfach für diese Zeit zwischen und interpoliren, so er- halten wir
and indem fttr €^ der obige Amdnick getetzt wird
(£) = f , -h ax H- (t -H V) und darnach wttrde die Länge herauskommen
sodass die sich so ergebende Länge den behier pTx' enthielte Wenn wir nun aber die Ausdrücke berechnen, indem \^ir vom zsveiiti. Ön, l-, ausgehen und den ersten, einsciiliesscn, so wird sich für {Ä:j durch einfache Interpolation xwiscben und Jk^ entsprechend ergeben
«oraos die Länge
X"-=tf, W = X — ßt'r".
Bs erleidet also die wahre Länge das eine Mal den Fehler — ßtT', das andere Mal + ßtV, und wenn wir beide Resultate ausammenfitssen, so wird dann der Fehler
sein, der voUkonm^en vcrscliwindet, wenn die Zwischenzeiten t" und t einander gleich sind, eine Bedingung, die allerdings schwerlich je strenge erfüllt sein wird, der man sich aber zu nähern nach Kräften beroObt sein wird» and jedenfalls siebt man, dass ein solches Vorgehen in der Rechnung den Einfluss der regel- mässigen Veränderung des täglichen Ganges auf ein Miniroum herabdrflckt
Beispiel. Wir setzen obiges Beispiel fort, indem wir von Nagasaki ausgehen und folgende Angaben zu Grunde legen. Die Abreise von Nagasaki erfolgte December 25, die Ankuntt in Tschifu Januar 2, die Abreise von Tschifu Januar 6» die Ankunft in Nagasaki Januar 10. Damach ist
/ — Decemb. 2ö-83 = 8* 55« 4018
f «Januar 292 8 21 52 01 Jk^^ — A^ ^ —
/'«Januar 6-92 /t, = 8 21 53 20
/•" « Januar 10-92 = 8 öö 49 '50 « 8* 55- 48"31
T = 194*-1 Ti = 96*0
— <r j = H- 8*13 r « -4- 5^ 44 (0 = 8* 55- 45'-62
X «= — 33«- 53'-61.
Von grosser Wicliugkeit ist nun aber die Berücksichtigung der Gewichte der einzelnen Reisen. Es ist von vornherein klar, dass wo der Ubrgang von solcher Bedeutung fttr das Endresultat ist, die einzebien Reisen je naeh ikatt Länge, nach den Vorgängen auf derselben, ihrer Art u. s. w. von Genauigkeit und Sicberhdt sein werden. Indesseh ist es nicht möglich, Genauigkeit durch eine gewisse Gesetzmässigkeit gegen einander auszudrillen. Immerhin wird die Länge der Reise d.if; Hauptkriterium abgeben, und wenn man nach obigen Bezeichnungen für die Länge k bei einfacher Interpolation zwischen und ff
X « (<•) —
fand, SU liegt die Hauptunsicherheit gerade in dem interpoiirten Werth (^). Struvk hat nun bei andwer. Gd^erabät gefonden, dass fttr zwei Pulcowaer
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•LAngenbestimmung. 265
Pendeluhren der wahrseheintichie Fehler eines zwischen zwei beobachteten Werdien der Ubrcorrection interpolirten sich in folgender Weite ergiebt. Es seien die durch die Beobachtungen gegebenen Ubrcorrectionen u und »' gültig
filr die Epochen 7", V mit den wahrscheinlichen Fehlem s Es werde für die zwischen T und T' liegende Epoche v die Ubrcorrection w gesucht» deren vom wahrscheinlichen Eehler e herrührender wahrscheinlicher Fehler dann mit dw bezeichnet wird, während der wahrscheinliche Fehler, der aus den Unregel- mässigkeiten im Gange der Uhren entsteht d'w^ und der gesammte wahrschein> liebe Fehler von w A«r ist. Dann ist, wenn, mit t und die Zwischenzeiten * — T and T — x bezeichnet sind
aw ^
T -t- t - T t'
/'W s ■ } 9
T 4- 1
y/t« t'») e» + -c» x'* a*
^Wtm^ — T »
wo dann a eine von d'w abhängige, lür die betreffende Uhr zu ermittelnde Con* stanie ist
Wir werden also hier fUr die berechnete Länge den aus der Unregelmässig-
\mt des Ubrginges henflhrenden wahrscheinlichen Fehler /«= ; und das
Gewicht
haben, wo % eine willkflrliche Constante ist Nun ist aber hierbei die Zeit der Ruhe wllhrend der Reise ausser Betracht gelassen. Nehmen wir diese Zttt« die ja die Reisedauer verlängert, mil^ so kann man, immer unter Annahme gleicher Verhältnisae bei den Chronometern und den in Puloowa untersuchten Uhren, folgendermaasaen verfishren. £s war
O ^ ^ (gj ~ ^1) '^8 i'i —
T, + T,
Die in ^1 — und — bestehenden Ungenauigkeiten werden aus» gedrückt durch '
'i + «s * und sehen wir die 4f (<, k^) und d(c^ — k^) als die Unregelmässigkeiten im Ubrgang in den Zeiten tj und an, so finden sich hi«rfttr nach obigem für -
und
wo dann p die Zeit der Ruhe der Chronometer an der zweiten Station zwischen Ankunft und Abgang daselbst bedeutet. Diese Werthe in eingesetzt kommt :
VI T, (t, + 2 p)
und als Gewicht
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wo
und JT eine wiükflrliche ConsUnte ist, welche so za wählen ist, dass die Ge-
Wichte bequeme Werthe für die Rechnung erhalten.
Dieser Ausdruck fUr das Gewicht hat aber den Nachtheil, auf den Struve selbst aufmerksam wurde, dass er nämlich bei der Verbindung einer Hin- und Rückreise von sehr ungleiclier Dauer das frlcirhe Gewicht geben wird, wie für eine Hin- und Rückreise von gleicher, allerdings beiderseits längerer Dauer. Da nun die längeren Reisen in der Regel duich stürmisches Wetter auf der See und cnt^prectiendes Schwanken des Schiffes oder ahnliche Verhältnisse hervorgerufen werden, so wird die daraus entspringende Unsicherheit im Ubr* gang kaum genügend durch eine besonders gflnstige Reise aufgewogen werden Stmivb hat daher an Stelle dieses Ausdruckes eine rein empirische Formel ge* sets^ nämlich
T
welche noch den Vorzug sehr grosser Einfachheit hat und weiche bei der Dis- kussion der Altona-Pulcowaer Expedition im Allgemeinen die gleichen Gewichte wie der obige Ausdruck gab, aber dabei solchen besonders extremen Fallen thatsächlich mehr Rechnung trug.
Bd Gel^nheit einer sptter wieder von Pulcowa aus|^gangeoen Eatped^oo sor Ermittelung der Lange zwischen Pulcowa und Dorpat hat Limdeloif die Berechnung in anderer Weise behandelt Er gebt davon aus» dass die Ao^be, aus eber Reihe Conectionen eines Chronometerst die abwechselnd für s«ci Oerter gegeben sind, die Längendifferenz «wischen beiden zu bestimmen, eigent- lich eine unbestimmte ist, indem selbst, wenn die Uhrcorrectionen fehlerlos sind, doch die Länge zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitbestimmungen an beiden verschiedenen Orten mit der Längendifferenz vermischt, oder her Fli- ininaiion der Längendittcrenz nicht der ein/.elne Gang, sondern die Summe zweier aufeinanderfolgender bekannt -.ind. Es wird daher eine Gleichung weniger vorhanden sein als Unbekannte, und es bleibt die Autgabe, die fehlende Gleichung durch eine möglichst wahrscheinliche Annahme zu ersetzen.
Sei der Längenunterschied / swischen A und S zu ermitteln, sei dne gerade Anzahl Reisen gemacht, wobei wie vorher die Correctionen eines Chronometers fit ^1* ^t* ^s * • ■ • Abwechselnd in A und ß bestimmt sind. Die
Zwischetutmten zwischen den einzelnen Epochen der Zeitbestimmungen seien T]^, Pi, pi . . (wo mit p . . die Ruhegänge bezeichnet s'md}, endlich seien die zuTgjt j, Tj . . . gehörigen mittleren Gänge in der Zeiteinheit 7|, i^, 7|, « . Jdan hat also folgendes Schema
Correct. ZwUcbcn- MittL Gang in Rdte d. Uhr seit der Zcileiaiieit L A
B ^> ^1
U, B Jk.
A ^« T>
JU. A Ci
Ps
s ^»
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LSi^eobestimiDang. «67
Zwilcben den n-h 1 Unbekannten /, tu Tt> Ti • * • jbesteben dann folgende n Bedingungqgleichungen
■B f|
— f| — /t, TjY,
Um nun also hier die passende Gleichung zu ersetzen, verfthrt I.indeloef wie folgt: ünier Annahme eines constanten Ganges wird aus den Reisen I« II die Länge berechnet und man erhalt dann den Werth
^ ^2
Ebenso geben die Reisen IQ, die III, IV ... n. a. w.
u. s. w. Das Mittel aus allen Besdnmungen bt, unter ZufUgung der Gewichte '* (O - ' + i (T. - T.) - f, (T. - T.) + . ,
Nimmt man aiso (/) « so macht man damit den Ausdruck in der Paren- these — 0 und die Gewichte müssen so bestimmt werden, dass diese Annahme mö^chst erßlllt ist. Nennt man
4- p, -1- = U. 8. W.
und aetat
- 7f 7i ^ _ Ts ~ 7t ^ _ 74 Tg
SO wird der Ausdruck in der Parenthese
Bei einem gleichförmig acceletirten oder retardirten Gange ist «, «»#1 a d^^i. Wenn aber die Beschleunigung gleichförmig au- oder atmimmt, so sind bei einer ^mmetrischen Anordnung der Reisen (d. h. wenn «1 s t|
BT, und f I « s f I . . .) die Difierensen dieser Grössen constant,
d. b. 0, ^ «1 «s ~ » «4 — a, w . . . . Damach wird also die An« nähme
tf| H- 4- <?s -i- • . ■ -h ^-1 0| «j- -H an-a
berechtigt sein, da sie bei constanter Besciileunigung ganz genau, bei einer gleichförmig zu- oder abnehmenden Beschleunigung sehr nahe richtig ist Dann aber müssen die Gewichte Px* P%* p% • • • sein:
wo K eine willkürliche Constante ist.
• - (r, + pjx, X, ^* (r, H- p,)T,t, i« - 1 •
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«66 UngcnbettiimiMiiigl
Man wird also in der Praxis däft Gewicht einer jeden Länge A^, B^, A^, ßm . , . nach der Formel
X{T- p)
berechnen und unter BerticksSrlitigung dieser Gewichte das Mittel aus allen A und das ans allen B nehmen und darnach den Mittelwerlh aus beiden, womit die Länge gegeben ist.
Uebrigens muss erwähnt werden, das« gerade bei der Dorpater Langen* beadnimung» welche mit 89 Chronometern dorch 10 Reisen swischen Dorpat und Pulcowa ausgelOhrt wurde, Strüvb mit Rflcksicht auf die kurse Dauer jeder eintelnen Reise (im Mittel - nur 4Ö Stunden)- ausser der obigen Ableitung noch eine andere Methode anwandte, indem er ftlr jedes Chronometer einen an sich Constanten Gang annahm, der nur durch die Temperatur beeinflusst wurde. Er ermittelte (t!r jedes Chronometer die Temperaturcoefßcienten und bestimmte so die Längendifferenz. Es ist auffallend, ein wie verschiedenes Verhallen die einzelnen Chronometer nach diesen zwei Methoden zeigen. Das Chronometer, welches nach Struvl a Methode das grösste Gewicht hat, steht nach Lindeloef's Rechnung an 25. Stelle, ist also dort fast das schlechteste, uoigekehrt ein Chrono> meter, welches nach Lindelobf an 5. Stelle steht, kommt nach Struve erst an S3. u. s. w. Es spricht sich hierin aus, dass ein Chronometer, welches einen starken Temperaturcoiiffieienten hat, im tibrigen seinen mittleren Gang längere Zeit beibehält» dass dagegen em andres einen mit der Zeit stark verKnderlichen Gang hat Bdde Methoden ergttnxen nch daher in gewiHer Weise. Nad» LiNDiLOir wird den Gangänderungen mehr Rechnung getragen, aber die Temperatureinflüsse weniger berücksichtigt, welches letztere bei Struvb vorzugs- weise geschieht. Was übrigens das Endresultat, das auf beiden Wegen erhalten wurde, betrifft, so ist der Unterschied äusserst gering, indem sich im Mittel aus allen Chronometern und Reisen nach Lindeloef findet 14*» 24''86i nach Struvc 14*« 24"90 mit dem wahrscheinlichen Fehler ± 0* 033.
Die nun- folgenden Methoden können sich an erreichbarer Genani^eit nicht mit den oben besprochenen messen, indessen ist aus dem Gesagten genugsam klar geworden, dass jene nur an festen Observatorien oder sonst unter günstigen Verhiltnlssen anwendbar sind. Es werden aber oft genug Fälle eintreten, wo man nur auf geringe instramentelle Hilfsmittel angewiesen, fern von jeglichem Anschlussort, überhaupt in entlegenen Gegenden auf Reisen die Länge zu er- mitteln hat. Dann ist man fast ausschliesslich auf die Beobachtung des Mondes angewiesen, der in Folge seiner raschen Bewegung, insbesondere in Rectascension seinen Ort am Himmel in kurzer Zeit merkbar verändert. Kennt man also seinen Ort für einen bestimmten Zeitpunkt, für den Durchgang durch einen bestimmten Meridian, und wdss «rie viel er sich in einer Stunde oder einem sonst bdiebigen Zeitintervall weiter bewegt, beobachtet man schliessUch seinen Ort beim Durch* gang durch einen andern unbekannten Meridian, so kann man daraus die Lage dieses Meridians geg^n den bekannten berechnen* Da nun die absoluten Orts- bestimmungen SU viele unsichere Elemente in sich bergen, so verOUirt man in der Weise, dass man den Rectascensionsunterschied gegen einige bekannte Sterne ermittelt. In den astronomisclien Tafelsammhnigen finden sich nun für jeden Tag vier Sterne angegeben, von denen zwei kurz vor dem Mond, zwei kufTi nach dem Mond culminiren, und deren Deklination im Mittel mit der Deklination des Mondes an dem betreffenden l ag übereinstimmen. Ist n&mlich d, d' die
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Lii)i£enbeitiiMnanK.
wahre Stemzeit der Culmination von Mond und Stern, d. h. sind die beob- achteten Stempelten wegen der bekannten Inslrumenlnl- und Uhrfehler ^'t rhessert und sind a, a' die Rectascension von Mond und Stern für den Augenblick des Monddurchgangs, so ist natürlich die Rectascension des Mondes ausgedrückt (durch die des Sternes und die beobachteten Momente
Durch die Gleichheit der Deklination des Mondes und des Mittels der Sferne werden die Aufstellungsfehler des Instrumentes in nahe gleicher Weise aul die Durchgang&zeilen des Mondes und des Sternmiiteis wirken, immerhin ist doch der Pehlerbestimmung grosse Sorgfalt xu widmen, da die daitl) dite fehlerhafte Aufstellang in der Zeit des Durchgangs verursachte GrOise die Lftnge am genau den gleichen Betrag fehlerhaft giebt
Sind nun an swei Orten correüpondirende Beobachtungen erhalten, ao er- giebt sich die LMngendiflferens zwischen beiden in ein&cher Weise. Hat man nimlich nach obiger Weise die Rectascension des Mondes an beiden Orten er- halten und bezeichnen wir dieselben mit gtj, a^, sei X die wahre Längen» differenz und //^ die Vnnation der Mondrecta^rerision für I Stunde in Lftnge» während der Mond von dem einen Meridian zum andern geht, so ist
wo dann, wenn i , - i , tind v¥„ in Secunden qcj^eben sind, X in Stunden und deren Bruchrh eilen crbnltpn wird. Hier kann nun für 1 »ängenunierschiede, die kleiner als zwei Stunden sind, //q als constant anj^enommen werden, wenn man den Wert tür das Mittel der Längen der beiden Orte annimmt. Ist die Langen- differenz grösser als zwei Stunden, so kann man in der Weise verfahren, dass man fttr jeden Ort die beobachtete Rectascension berechnet, dats man dann ifttr eine genäherte Länge der beiden Orte aus den astronomischen Jahrbflchern die Rectascension berechnet und die DiflFerensen der Rectascensionen mit einander vergleicht WOrde der Ephemeridenort fehlerhaft, aber für die Stunden des Lftngenunterschiedes constant fehlerhaft sein, so kommt ein solcher Fehler doch nicht in Betracht, denn man wttrde statt der berechneten Rectascension fUr den einen Ort statt A, A -\~ e (wenn r dt-n Fehler bezeichnet) haben, ftir den andern Ort statt A^, -+-<•, sodass die Differenz wieder A^ — A^ wilrc Wenn nun \v(-iter die beobachtete Rectascensjonsuifferenz gleich der bereciin(jter\ ist, so ist, vor ausgesetzt dass die angenommene Länge des einen Ortes na' e richtig ist, auch die Differenz richtig, ist dies nicht der Fall, so kann mau die Correcuon der Längendifferenz AZ erhalten, wie vorher, indem man setst
wo dam y der Unterschied der beiden RecUscenRionsdififerenzen ist, und N die siflndliche Rectascensioiisänderuttg, die der Mitte «wischen den Meridianen des unbekannten Ortes und dem durch AZ gegebenen entspricht. Streng genommen irird man, da noch unbekannt ist, nur eine vrste Näherung* erhalten, in- dessen wird bei kleinen Grössen von AZ eine nochmalige Rechnung kaum nötbig sein. Sonst wird man zuerst Air H den xur (genähert bekannten) Länge
des zweiten Ortes gehörip;cn Werth nnch ÄZ = berechnen, daraus dann AZ
genau genug erhalten, um nun H für jene Länge n- zu berechnen und
damit den definitiven Werth von AZ abzuleiten. Will man AZ in Secunden
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»TO
statt nach obigem Ausdruck in Bnichtheilen der Stunde haben^ so hat raan zu setzen
Es ist hier »i bemerken, dsss stets der eine oder andere Rand des Mondes beobachtet wird, während in den Ephemeriden die Rectascensionen des Mondes auf seinen Mittetpunkl bezogen sind. Man mass daher die Culminationsseit des
Mittelpunktes aus der Beobachtung berechnen. Beobachtet man nun den ersten Randy so beobachtet man vor der Culmination des Mittelpunktes, man muss also eine Grösse der l eobacliteten Zeit hinzuftlgen, welche gleich der Zeit ist, die der Mondiiaibmesser gebraucht, um durch den Meridian zu gehen. Beob» achtet man den zweiten Rand, so beobachtet man entsprechend später, und hat jene Zeit von der beol>at:htcien abzuziehen Die Zeit aber, welche der Mond- halbmesser zum Durcligang durch den Meridian gebraucht, ist gleich dem Slundenwinkel, welcher dem Mondbalbmesser entspricht und fbr diesen findet «ch ohne Weiteres (aus dem rechtwinkligen sphSiischen Dreieck zwischen Pol, Mondrand im Meridian und geoccntrischem Mondmittelpunkt)
smx^ ^ oder x^-^£set9,
wo t den Stcndenwinkel des Mittelpnnkts, Jl und 8 den geocentrischen Halb- messer und die Deklination des Mondes bedeutet und wo der zweite Ausdruck x unmittelbar in Zeitseconden (pebt
Wie an anderer Stelle (s. d. Art. Passageninstrument) näher ausgefllhrt ist, hat man nun bei der Reduction des im Meridian beobachteten Mondrandes auf seinen Mittelpunkt zn berücksichtigen, dass die Rectascension des Mondes be- ständig zunimmt, es ist daher die Zeit, die der Mond gebraucht, um den Stunden-
Winkel x zu durchlaufen, gleich y^~x ' ^ ^ ^ Zunahme der Rectascension
in einer Zeitsecunde bedeutet, oder unter Benutzung der in den Jahrbüchern gegebenen Bewegung fUr I Stunde mittlerer Zeit
0-9972693 , 3600 •
indem durch ü 'J97269;i das Verhallmss des bterntages zum miLLieren läge, und durch die Bewegung in einer mittleren Stunde autgedrilckt wird. Es ändern sich aber beim Mond auch J? und d und so hat man die Zeiten, in denen der Rand des Mondes an den beiden Orten beobachtet wurde um
zu corrigiren, wo das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem der erste oder zweite Rand beobachtet wurde.
Eine Schwierigkeit in der Anwendung dieser sonst so einfachen Methode liegt darin, dass es nur in relativ seltenen Fällen gelingen wird, dass der Mond gleichzeitig an den beiden Orten, deren Längendifferenz ermittelt werden soll, beobachtet werden kann. Wäre die Mondephemeride, wie sie in den Jahr- büchern gegeben wird, fehlerfrei, so würde man an Steile der einen Beobachtung den der Ephcmeridc entnommenen Mondort, der also für den Meridian der Ephemenue gilt, setzen können, und erhielte so ohne Weiteres aus der beob- achteten Mondculmination die Längendifferenz gegen den Meridian des be- treffenden Jahrbuchs. Es wOrde dann sogar der wabrseheinfiche Fdiler des
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LangcnbCftfaimrailg^. 971
Endresultats erheblich geringer sein, nämlich einfach = t, während er sonst = ye' ■+- k'' wäre, wo e und e' d^e wahrscVteinlirhen Fehler der Beobachtungen an beiden Orten sind. Diese Annahme eines genau richtigen Monriortes ist aber nach dem Stand der Mondtheorie unzulässig, und kann man die stündliche Veränderung der Mondrectascension für die bei 1 -ängendifferenr.en in Frage kommenden kurzen Zeitintervalle als richtig annehmen, so kann man das nicht mit den abtolnten Kectascensioncn. Ein geringer Fehler in deisdben ruft sehr eihehüche Fehler in der Lingendiflerens hervor. Porcb hat ▼orgeschlagen, die Mondephenetide gleichmm von Fall m Fall su corrigiten und swar in fol- gender Weise. Die Fehler der Mondtheorie können (Or jede Uination in xwti Glieder zusammengefasst werden, von denen das eine constant, das andere eine Periode einer halben Lunation hat, und man kann mit genügender Genauigkeit die Ephemeridencorrection filr jede Halblunation in die Form
bringen, wo A, B, C Constante sind, die aus den Gesammtbeobachtungen des Mondes an allen Hauptsternwarten während der betreffenden halben Lunation zu besfimmen sind, und wo / die Zeit bezeichnet, welche von einer passend gewä liLD Epoche in Tagen gezählt wird. Seien dann
■l» «j . • . die Rectascensionen, welche an einer Sternwarte an den Daten /|, t^y /j von der angenorr rr enen Kpoche aus bcohnchtet wurden,
*i'f «t' • • • die Kectascensionen, wie sie die Ephemende für dieselben Daten giebt,
«1 — «1 ' — ' *3 — «1» *j» '^s ^'-f
dann sind diese «j, die Verbesserungen, welche die Ephemeride an den betretieaden Daten turderL und daraus entsteiien dann die bcdingungs- gleichungen
* ^-H-ff/, H- C/ — — 0
A +- Bt^ -h Ct^ — ff, s 0 ^ -H -ö/, ~ ffg « 0
mit den Endgleichnngen der Form
mA + TB f- r,C - A^, = 0
TA -h T^B 4- T^C — iV^, = 0
T^A -4- T^B 4- T^C- ^, = 0 wo m die Zahl der Beobachtungen gleich der Zahl der Bedingungsgleichungen ist, T die algebraische Summe aller /, T^ die aller T^ die aller /*, T^ die aller iV die aller «, A^j, N^^ u. s. w. die der Produkte von n und /, bezw. n und Aus diesen Gleichungen bestimmen sich dann B, C.
Was den Grad der Genauigkeit betriflFt, den man mit einer solchen Ver- besserung der Ephemeride erreicht, gegenüber der Benutzung correspondirender Beobachtungen, so kann man den wahrscheinlichen Fehler der LängenbesCimmung nach erster Methode auf Grund plausibler Annahmen tu etwa f des wahr- scheinlichen Fehlers lauterer Metbode scbätsen; kann man aber correspondtrende Beobachtungen an zwei oder gar drei Sternwarten verwenden, so wird man darnach ein Resultat erhalten, welches dem der verbesserten Ephemeride min> destens gleichwerthig ist. Die Sicherheit, die sich überhaupt in der Längen- bestimmuP!? durch Mondculminationen erreichen lässt, ist aber nicht besonders gros?, lind man hat jedenfalls eine sehr beträchtliche An:'nM von Beo!>nchtunf?en anzustellen, wenn man den wahrscheinlichen Fehler des Resultats auf eine halbe
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37*
Sern Tide fierabdrdcken will. Für die eingehende Bebnndlung von Mondcuimi- nationen, die zu Längen besiinimungen unter zum i heil selbst ungünstigen Ver- hältnissen auf Reisen beobachtet wurden, ist das AuwERs'sche Werk Uber die «leotfcheD VenuMspeditioiteii Bd. VI za vergleichen.
i Anf ' Reiten namentlich kann et sich treffen» dass man auf die . exakte Auf • stdlung. des Instrumeati .in der Ebene des Meridtans versiebten mvss, oder daas man mögUcbst rasch, eine Ijftngenbeadmmung ausfuhren will und nidit die Ar die Mondculminationen gtestigen Zeiten abwarten kann. Dann Aihrt auch die Beobachtung in beliebigen Asimuthen zum Ziel. Allerdings wird diese Methode nur dann /u angenähert genauen Res ikaten, wie die Mondculminationen führen, wenn man in roöglichüt gleichen und kleinen A?:imuthen östlich und westlich vom Meridian beobachtet, wo also in der Regel auch die Mondculmination selbst wahrzunehmen ist Für solche Beobachtungen dient dann das Universal- insirument und es kann aut die ausführliche Besprecliung der Betiandlung dieses Instrumentes in dem betreffenden Artikel verwiesen werden. An dieser Stdle mag eine kurze Darstellung des Ganges der Beobachtungen genügen.
Auch hier kommt es darauf an, den Mond möglichst genau an andere Sterne, die auf demselben Parallel sind und als welche atu besten auch die tMondsteme« benutzt werden, anzuschliessen. Man berechnet rieh dann Zenith« distanz und Azimuth für Mond und Stern flir einen pauend angenommenen Zeitpunkt, oder umgekehrt für ein als passend angenommenes Azimuth die Zeniihdistanz und die Zeit aus der Rectascensirn nnH Deklination nach be- kannten Formeln, namlichi bei üblicher Bezeichr ii^ v rul. Bd. I pag> 659) ftSr den Mond für den Stern
/==r4-Ar— a /• = 7* -f- AT" — «•
iang M — lang i sec t tang M* = iang h' sec t'
lang A » t0t M tang t cos€c{^ — M) fang A ■= tos M' fang t* tffHt(f — M*)
iangh « eotang (7 — M) tos A tang K « iötang (7 ~ M*) ecs A\
wo sin A dasselbe Zeichen hat wie sin t. Hier braucht h nur genähert be- rechnet SU werden, A dagegen mit aller Schärfe. An die so berechnelra Aai- muthe sind nun die Instrumentalcorrectionen anzubringen, wie »e fttr das Universalinstrument abgeleitet werden, nUmlich wenn c und b den O>llimations> fehler und die Neigung der Horizonlalaxe in dem an betreffender Stelle ange- gebenen Sinn bedeuten
zj* c sec h b tang h,
das obere und untere ^.eichen je nach der Kreistage der Beobachtung und k als Höhe des Mondes bezw. des Sternes genommen. Ferner ist noch zu be- rücksichtigen, dass man beim Mond strr^ den Rand bcnbarhfer, mnn also je nach der Beobachtung des ersten oder zweiten Randes r sec h (r der geocen- trische Halbmesser des Mondes) zu addiren bezw. zu subtrahiren hat, dass endlich hier die Parallaxe nach dem Ausdruck p;i (f — sin \" sin A sec A zu addiren ist. Man würde darnach die Instrumentalazimuthe für Mond und Stern wie folgt erhalten:
/l , (Mond) = A ±i r sec /i -+- p^t — 9') sin 1 " sin A' Sfchzs^c sec h^ q^ö tan^ Ai' ^Stem) — A' c sec ö' fang A^' ,
wo ^1 und die scheinbaren, um Relrat tion, bezw. auch Parallaxe verbesser- ten Höben sind. Aus einer etwaigen Abweichung zwischen beiden VVerthen ist dann- die Correction der angenommenen Länge zu ermitteln.-: Hieibei ist zunächst die Veränderung zu suchen, welche die Aenderung der Reetascfuision
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LingeobcBtimniiBg.
«»3
und Deklination des Mondes (in der Zeiteinheit) aui das Äzimuth ausUbt, und dazu hat man die Bd. 1, pag. 667 gegebene DifiFerentialformel
dA = cos 8 cos q scc h dt -4- iin q sec h dö SU benutzen. In denelben ist q, der parallactisrhe Winkel, zu berechnen nach
tang q = ia»ig^/ sin v sec (8 v) tan^ ^ im tüSi t^ang f. Itt dann v und w die Zoofthme der RccUscenstoo und Deklination des Mondes in einer Stemseitsecunde, der Fehler der LSnge» so wlid der Aas- dinck Ittr dA
dA = — cos l cos q sec hv ^ L -i- sin q sec hw^Z,, woraus dann soforf folgt.
Ueber die Genauigkeit der Methode kann man im Aligemeinen annehmen, dass eine doppelte Beobachtung des Monda/in^uU^s, symmetrisch zu beiden Seiten des Meridians der einfachen Monden imination gleich zu achten ist; man könnte also durch Vermehrung der symmetrischen Mondazimuthe das End- resultat eines Abends genauer machen als durch Beohachtmig der Culminatioo. Indessen wird die Einlacbheit der Berechnung der Letzteren doch die Vefan- Isssnng sein, dass man, wo es sich nicht um besondere FäUe, s. B. auf Reisen, handelt, die Beobachtungen der Culmination foisiebt
In ganz ähnlicher Weise kann man durch die Beobachtung von Mondhöhen die Länge bestimmen, und zwar durch Bestimmung der absoluten Höhe des Mondes, wobei aber mit den gewöhnlichen Instrumenten genaue Resultate nicht lu erwarten sind, oder durch Ansthluss an Mondsterne, indem man Mond und Sterne zur Zeit der elcichen Höhe beobachtet. Im Princip ist diese Methode ganz ähnlich der vorlit;r besprochenen, wo Azimuthe beobachtet werden, es mag daher genügen, hier nur auf dieselbe hinzuweisen und einige Punkte hervor- gehoben zu haben. Man berechnet für den Mond unter Annahme nur ge- niherter Länge nach den in den astronomischen Jahrbflchem gegebenen Oertem» sowie fllr den Mondstem (der dem Mond möglichst nahe ist) Zenithdistanx und (tur Einstellung genähert) Asimutfa, und vergleicht die Zeiten, au denen diese Zenithdistanz erreicht wurde, mit den berechneten. Nur wenn die Längen- difTerens richtig angenommen wurde, kann die berechnete Zenithdistanz der beobachteten Zeit entsprechen. Im anderen Falle hat man die Beziehung zwischen der Veränderung der Zenithdistanz und der Länge abzuleiten. Streng genommen hängt auch hier die Aendenirrr der Zenithdistanz nicht allein von der I^nge, sondern auch von den Fehlem der Ephemeride und Beobachtung !>elbst ab. Diese von Kaiskr herriihrcnde Methode wird mit Vortheil nur in der Nähe des ersten Verticals und in niederen geographischen Breiten, also in beschränkten Fällen ansuwenden sein; durch Beobachtung gleicher H(>hen zu beiden Seiten des Meridians werden dabei die Fehler der Ephemeride im Ganzen eliminitt.
Es muss nun noch einer. Methode gedacht werden, die freilich fiut aus- sdiliesslich auf Reisen und namentlich auf der See, hier aber besonders oft, angewandt wird, die Methode der Monddistanzen. Das Princip ist, dass man
den .Abstand der Sonne oder eines Sterns, Planeten oder Fixsterns vom Nfond misst und dass man aus den Jahrbüchern und Ephemeriden berechnet, für welchen Zeitpunkt des Nullmeridians dieser Abstand stattfand. Es sind zu diesem Z\se( k die Monddistanzen von der Sonne, den Haupt])laneten und einer Anzaid heiler i-ixsicrne in engen Zeitintervallen in den Ephemeridensammlungen angegeben. Die Methode ist darnach im Princip auch einfach, erfordert aber
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in Wirklichkeit eine zusammengesetzte Berechnung, da die beobachteten schein- bwren DicttoseD durch die Rcfmction and die Fatallttft Afficht iind und diete Correctionen berechnet weiden mttasen, dasu tritt dinn nocb die BeriIcksichtigunK des Mond- und event Sonnenhalbmeneis, um den auf den Mittelpunkt be- logenen Abtland su erhalten, da man direkt nur die Entfernungen der Sünder roisst Es haben sich viele Astronomen mit dem Problem beschäftigt, bei dem es sich vor Allem darum handelt, bequeme Näherungsausdrücke zu erhalten, die doch im einzelnen Fall die genügende Genauigkeit im Resultat ergeben.
Sei (in leicht herstellbarer Figur) Z das Zenith des Beobachtungsortes, sei AJ' der scheinbare, AI der wahre Ort des Mondes, S' der scheinbare. .S" der walire Ort der Sonne oder des Sterns, so ist AI' S' der Bogen grössten Kreises, der die scheinbare Distanz des Mondes von der Sonne darstellt, MS die wahre Distanz. Die Höhenparallaxe wirkt der R^rai^n entgegen, letstere Ist beb» Mond geringer als erstere, bd der Sonne findet das entgegengesetzte slat^ es wird daher der scheinbare Ort des Mondes geringere Höhe, der der Sonne grössere Höhe haben als der wahre. Es kommt nun darauf an, aus der sdidn- baren Monddistanz die wahre hersulMten. Nennen wir dalttr
ZM^ 90 — A ZäT s 90 — ZS ^ 90 -M ZS' -90-ir. Zuerst mag die Erde als kugelförmig angesehen werden, sodass M und S auf der Ebene des betreffenden Vertikalkreise^ auf ZM* und ZSf liegen. Es kann dann auch der Winkel MZS — M' ZS' gesetzt werden. Nennen wir ferner Af S' = if die gemessene Distanz zwischen den Mittelpunkten beider Objecte, und MS = ä die wahre, die berechnet werden soll. Aus den Dreiecken ZMS und ZM*S' folgt dann
cos ä = ün h sin H -k- cos /i cos H cos MZS cos tf =^ sin h' sin -h cos h' cos H' cos MZS
oder Itlr gesetzt
woraus
iCsMZS « "S^cM^^MZS — 1
cos d = — cos {h -\- ff) •¥ 2 t 6i ^ AfZS cos h cos Ii cosd =^ — cos {h' + //') 2 cos^ | MZS cos h' cos H\
cos h €os H tos Uftes H* '
Wird <f + >!' + ^ » 2x gesetzt, so ist
woraus
tos'*\{h -*r H) — sin'^ \d cos s cosjs — d') cosh cos H tos h' cüs H*
oder
mtiL YTs cosh cos H , ..^
stn^ cos* Uh H) -rj ==t cos s cos (s — d ),
' ^ cos A' tos M' ^ '
welcher Ausdruck die Grundformel ist, die nun in verschiedenster Weise um- geformt worden ist. Zunächst kann man, da die linke Seite stets positiv und folglich auf der rerhten Seite das zweite Glied kleiner als das erste sein muss, einen Hilfswinkel M in der Weise einführen, dass
_ 1 €OS\IJl -H H)
ist, dann wird
. _ - j -t/ cos h cos FI ^
smJf*^ - ,TT ^..1/ , , ^, cosstos(s — ä'}
' cos h cos H ^ *
sm\d^ cos 4(4 'i' H)tosM
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eine schon von Borda gegebene und durchaus bequeme Formel. Indessen ist die Genauigkeit sehr von der Grösse Her Disran? und der Summe der Höhen abhängig. Wird die Distanz und die Summe der Hol en klein, so r'tckt der AVinkel Jf nahe an 90° und der Uebergang vom Sinus auf den Cosinus wird unsicher. Wenn z B. die Summe der Höhen « 20" und die Distanz = 5°, so wird eine mit sieben Decimalstellen gefllhrte Rechnung noch ganz unsicher Verden. Eno» hat dieser BoKDA'scheo Fonnel eine etwas andere Gestalt ge- geben, indem er einen Winkel C derart bestimmt^ dass
ist, woraus dann
wird. Aber auch hier ist wenig gewonnen. Ganz erheblich einfacher ergiebt sich die Rechnung, wenn man zwei Fälle von einander trennt, wo die Distanz nämlich kleiner als 90° und grösser als 90° ist In ersterem Falle, wo die Distanz kleiner als 90° ist, wird geaetst
-^«^Z ^ "« K-/' + * - J50 i*. - (* - -
und
SO tst
— i-^iatig^f^
IM *a ™« ■ — — • •
' stn fi cos (i.
Im anderen Fall, wo die Distanz grösser als 90° ist, wird dagegen gesetzt
und
so ist
= tang V^*
, . sin i (/i -H ^
' srn {JL cos p.
In beiden Ausdrücken geht man von tang ]l und tang\i.' auf den Sinus oder Cosinus der Winkel über, wählt also für sini^d oder cos \d d\t erste, bczw. zweite Formel, je nat lidcm und |*,' grösser oder kleiner als 45° sind. Die Winkel jx, fi' selbst werden nicht gebraucht. Wenn auch diese Umformung die grösste Schürfe in der Rechnung gestattet, so ist es doch stets unbequem Fülle unterscheiden zu müssen, und besonders bei dem am ersten in Betracht kommenden Zweck die Länge zur See zu ermitteln. Brbmkbr hat daher eine andere Umformung gegeben, die ebenfalls ausreichende Schürfe der Rechnung gewährt und dabei höchst einfach ist sodass selbst fUnfstdlige Rechnung gentigt
Man kann die Grundgleichung auch so schreiben:
j COS h COS H r ,, cos d = cos (/; — H 1? ETF [cos d' — cos {h' — Jf )i
Setzt man hier den Faktor
cos h cos H l
cos h' cos Jr ~ Z*
so wird C in den meisten Fällen grösser als 1 sein. Nur wenn die Hol e der bunne sehr gering und zugleich die Höhe des Mondes sehr gross ist, wird
at*
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476
C< 1 sein, z. B. wenn H= 2 und h über 70° ist. ist also C> 1, so kann man setzen ^
= COS d und ■ ^ " tf^j Zr
und erhftlt^ wenn H—^h^d und If ^ Jf ^ d* gesetst wird
r«f .O" — jy wm t9t d* — €»s d".
Wird nun hier die VUSatoz der Cosinna durch die Prodahte der Sinus der halben Summen und Differensen enetst und «l8 emsige Näherung der Bogen statt des Sinns der kleinen Bögen genommen, so ist
jy ^2) ^4 ^——^y
Hier kamt schliesslich mit seltenen, im Laufe der Rechnung leicht kenntlichen Ausnahmen sm ^ (ly + statt im ^ (27* H- genommen werden. Setzt man dann noch J/* ^ £y ^ m, so ist
und jy t gleich der reducirten Distans. Sollte aber D' von Z>" erheblich abweichen, so muss die letzte Rechnung wiederholt werden, indem mit dem suerst gefundenen Werth von D noclimals s berechnet wird.
Es kommt nun aber bei der Berechnung der Monddistanzen in Betracht, dass man nicht vom Erdmittelpunkt aus beobachtet, dass die Höhen durch die Refraction beeinflusst sind, dass die Ränder der Mond- event. Sonnenscheibe zur Berührung gebracht werden und dass endlich die Scheiben der Gestirne ^durch die Refraction eine Verserrung erleiden. Hieiaus ergeben sich folgende noch ansubringende Correctionen,
1) Parallaxe. Fttr die Sonne hat man einfach f^ft€9shvsL rechnen, wo « die mittlere Aequatoreal-Horisontalparallaxe der Sonne ist Für den Mond hat man dagegen
9 (« - Tf)
wo
iak, oder genähert
t B (0sA{ff — ff')
und
worin die Bezeichnungen bekannte Bedeutung haben, nlmltch p der Eidradhis fttr den Beobachtungsort, f die geographische, f ' die geocentrische Breite des Ortes, A das Asimuth (bezw. wahres und schembares), z die Zenithdistans (wahre und scheinbare), f die Aequatoreal-Horizontaipaiallaxe des Mondes.
S) Refraction. Man sucht fOr die mit der Parallaxe behaftete Höhe Refraction mit Rücksicht auf die meteorologischen Instramente, bringt an und hat damit die scheinbaren Höhen der Gestirne. Da man aber fUr die Berechnung der Refraction schon die scheinbare Höhe haben muss, so ist diese Rechnung doppelt zu führen. Um Uberhaupt die Höhe zu erhalten, wird sie auf der See vor und nach der Beobachtung der Monddistans direkt beobachtet.
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LXogenbeiliiDimiiqi. 277
Sicbeier ist jedoch, sie nach den Bd. I, pag. 659 gegebenen Foraieln aus ^ ^ ftr die Zeit der Beobachtung unter Annahme einer genäherten LSoge zu be- rechnen.
3) Distanz der Mittelpunkte. Da man nicht die Mittelpunkte, sondern die Rander beobachtet, so muss man daher noch die Summe der scheinbaren Halbmesser addiren oder subtrahiren, je nachdem man die näheren oder ent- fernteren Ränder nimmt. Nun ist aber der Mondhalbmesser durch die Faraliaxe vergr^i&sert und zwar ist der vergrösserte Halbmesser
wo Zi, A' die Endemung des Mondmittelpunktes vom Erdmittelpunkt bezw. dem Beobachtungsort aut der Erdoberfläche ist, und da
sin p' = p sin (z — f)
10 ist
A' SB A €^ p* — p eos (< — p') cos -h p sin {z — p') sin p' « Atös — p <wf 9
A ^(M B p <wr a -f- A' A p
^, = secp'-^^ cfis s sec p' =s l p skt h, also
wo p die Horizontalparallaxe ist
Die Refraction verkürzt den Verticaldurchmesser, während der horizontale
derselbe bleibt. Diese Verkürzung, die die Scheibe in eine Ellipse verwandelt, lässt sich aus der Refraction finden. Ist t: der Winkel, den die Richtung der Distanz mit dem durch das eine Gestirn gehenden Verticalkrcis macht, h' die Höhe des anderen Gestirns, A die Distanz beider, so ist
smu sin^ = cos h' sin {A — A),
woraus
und da so ist
mithin
cos //' sin (Ä — A) * iÄ.-Ä
sin h' — sin hcosCi-^- cos h sin A cos k,
sin K — sin h cos A
cos 15 s=s T — ?— Ä
sin (A h) — sin h' cos \{^-^ h + h') sin ^ (A ^ // — h')
sin (A — h) H- sin h' sin \ (A h! — h) cüs \ (// -J- — A) "
Setzen wir dann in der Gleichung der Ellipse x^rsinit nad r cos k, so haben wir
r> ^' sm* « + IC «• ^»
düMtt
^1 ^0 — — _
und
Zur Erleichterung der Rechnung giebt es auch hierfttr in den nantischen und endeten Tafelsammlungen Hilfstafeln.
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ayS Mechanik des Hiramels. I.
Es ist noB Docb ui beachten, dtts m der enten Entwickelang die Erde «Is
kugelförmig angesehen wurde» was aber nicht der Fall ist, in Folge dessen iBt der Winkel MZS nicht gleich dem Winkel AT ZS\ denn die Parallaxe wirkt auf das Azimiith, sodass der Unterschied der scheinbaren Azimuthe des Mondes und der Sonne nicht gleich dem Unterschied der wahren Azimuthe der beiden Gestirne ist. Wir haben daher, wenn wir mit die Aenderung des Aximnthes des Mondes durch die Parallaxe bezeichnen,
pfw/ sin (ff ^^') . ^ sm A
- ^ ^
sin z
oder
^ ^ psinp sin (y — y') sin A
wo h die wahre Hflhe bedeutet; statt des Winkels MZS haben wir dann in der enten Formel, pag. S74, MZS — ^A su setsen. DÜTerendrea wir
€0i ä ^ sin h sinH €0S h cosHcosMZS^
so giebt dies
. , MS H cos h sin MZS . ^ AffBs ^A
sin ä
psinp sin (y — y') smAcosH sinMZS sin d
ein Ausdruck, der aber gewöhnlich — 0 ist.
In Beireti der V^erwendung der ijonnenimsternisse und verwandter Er- schuinungcn iwi Längenbestimmung kann auf den Art. Finsternisse um so eher VLTU lesL-n werden, als diese Erscheinungen ja doch zu den seltenen gehören und ihre Üenutiiung Tür vorliegende Zwecke daher eine beschränkte bleibt.
Valkhtiner.
Mechanik des Himmels.
i. Allgemeine Begriffe. Ob/war in der »Allgemeinen Einleitung in die Astronomiec im wesentlichen ein kurzer historischer Abriss gegeben wurde, so wurden doch auch, wenigstens im l'rinri[i, die Hauptfragen, welche die wissen- schaftliche Astronomie der Gegenwaii besciiaftigen, berührt. Seitdem am Ende des vorigen Jahrhunderts Newton das Gesetz der aUgcmeinen Gravitation aui- stellte, ist es die Aufgabe der theoretischen Astronomie geworden, alle Bewegungs- erscheinungen, welche <Ue Himmelskörper dem Beobachter darbieten, aas diesem Gesetze einheitlich absuteiten und in jenen Fällen, wo nach soigfiUtifer Berfldc- sichtigong aller Umstände eine Uebereinstimmung mit den Beobachtungen nicht SU ertielen ist, jene accessorischen Ursachen su suchen» welche die beobachteten Wirkungen zu erklären ermöglichen: Die theoretische Astronomie wurde Mechanik des Himmels.
Die allgemeine Gravitation sowie auch alle anderen eventuell aufb'etenden Bewegungsursachen werden unter dem Begriffe der Kraft subsumirt. Die Natur, das Wesen der Kraft bleibt dabei v(3llig gleichgültig. Ganz unwesentlich i^•t e?, ob man sich die Anzielning als eine >natürliche Verwandtschaft*, als emen »Willen c oder ui irgend welcher Form vorstellen wulle, oder ob man sich eine »unvermittelte An,:ichungj überhaupt nicht denken könne: wesentlich ist nur das Wirkungsgesetz, der mathematische Ausdruck,- d. h. das Verhältniss der Wirkungen fttr verschiedene gegebene Elementariustände.
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Mecbaoik des Himmels. I.
»79
lüe der Eiiahrang entoommeoen Elemente, welche einen Zuitand mechanisch heitimmeD, sind sunächst die Massen der aufeinander wirkenden Kdzper, ihre Entfeniungen von einander und die Richtungen ihrer Verbindungslinien.
Die Masse eines Kdrpers kann nur aus der Wirkung selbst durch die Er- fahrung erschlossen weiden; man sagt, die Masse eines Körpers ist die doppelte, dreifache . . . «fache, wenn ihre Wirkung (z. B. die bei einem und demselben zweiten Körper erzeugte Geschwindigkeit oder Beschleunigung) die doppelte, dreitacl^e . . . n fache ist. Sind in verschiedenen Fällen gleiche Massen in ver- schiedenen Räumen enthalten, so sagt man, die Körper haben verschiedene Dichten, und nennt Dichte das Verhältniss der Masse zum Volumen. Das Wesen der die Räume ausfüllenden Massen, die Materie, bleibt uns dabei eheoso verborgen, wie die Kraft, und es ist vom philosophischen Standpunkte eine Inconsequenz, von der Unvorstellbark«! einer »Wirkung in die Feme« su spredien, wenn man nidit ebensowohl von der Unvorstellbarkeit »verschieden dichter Manen« spricht
Eine nothwemfige Folge der gemachten Annahme ist die Proportionalität der Kraft mit der Masse i).
Weitere Erfahrungselemente sind: das Gesetz der Trägheit, das Gesetz von der Zusammensetzung der Bewegungen, Geschwindigkeiten und Kräfte nach dem Be wetT'in G^s- , Gesrhwindit'keits- und Kräfteparallelogrammei und das Gesetz der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung").
Die Intensität der Kraft wird gemessen durch die erzeugte Bewegung: Ge- schwindigkeit oder Beschleunigung, und ist dieser proportional. Da andererseits die ei/ieugic Besciileunigung g (bei continuiriichen Kraiten; verkehrt proportional der bewegten Masse m ist, so wird
Kennt man das Gesetz, nach welchem sich die Kraft Pändert in analytischer Form, so wird man die Bewegung der Masse m durch analytische Operationen verfolgen d. h. die Bewegung beschreiben können.
Hat man es mit der Ansiehung sweier Massen zu thun, so wird P pro- portional den beiden wirkenden Massen ifund tw, und überdies eine Function der Entfernung sein, also
für den Fall des NfiWTOx'scben Attractionsgesetzes ist die Intensität der Kmit bestimmt durch
Die Richtung der Kraft ftUt erfahrungsgemiis (s. 1. Band, pag. loo) mit der Richtung der Verbindungslinie der wirkenden Massen susammen, und unter
*) D«M such Entfernung und Richtung Erfahrungselemente sind, mag nur beiltta6g ' erwähnt werden. Zu Grunde gelegt muss nach unserer Erfahrung der Euci.m'sche Raum werden in dem sich durch jeden Punkt zu einer gegebenen Geraden nur eine sie nicht schneidende Gerade legen lässt, und in welchem Strecken ohne Grössenänderungen verschoben weiden kttnoen. Die Bcweiae fllr du KiiAepanUdograniiii sind ebenso Scheinbeweiae wie diejenigen fllr die Winkel- «nBme des Drriedn.
*) Der Vollständigkeit halNT mag erwähnt werden, dass der in philosopblichen Sdviften Sfier wipdeTVehicniie F,in\viirf gegen die Möglichkeit einer »Wechselwirkung« nur auf eine falsche Deutung if-, WUn-js zurUckruführen ist, indem es sich dabei nicht um eine »ab- wechselnde«, »ondern um »bimultanwirkungen« der Massen auf einander handelt.
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aSo Mechanik des Himmels, l. %.
diesen Voiauasettungeii sind mm die aus der gefenseittgen Wirkung allet Hinmids- köiper^) auftieleiiden Erscheinungen so erklären.
Die Erscheinungen eelbst smd nun doppelter Natur:
1) Translationserscheinungen: Die Ortsverändenmgen der Gestirne gegen- einander, bei deren Untersuchung dieselben im allgemeinen als Masseopunkte
angenommen weHen
2) Rotationserschcinungen : Die Drehung der Gestirne um Axen, bei deren Untersuchung auf individuelle EtgenthUmlichkeiten des untersachten Objektes Rücksicht genüuuncn werden muss.
2. Orthop:onale Transformation Um im Folgenden der. (i;in^ der Kntwickelungen nicht zu unterbrechen, mögen vorerst einige allgemeine, immer wieder verwandte Beziehungen angeführt werden.
Seien die Coordinaten eines Punktes mi Räume, bezogen auf ein recht- winkliges Axensystem x, z] die Coordinaten desselben Punktes bezogen auf ein anderes, ebenlaUs rechtwinkliges Axensystem x', f, z', so bestehen awischen diesen Coordinaten die Begehungen:
X = a^x' ßij'' jj £ jc' = ttj a -i- Ojj -t- «3«
j,««,x'-+-ß^'4-7,'' (1) y = ßi*-t-ß3JK-Hßs« (2)
Die dabei aultretenden Coclficienten a,, a,, . . . sind die Kichtungs- cobinus der Axen des einen Systems bezogen auf diejenige des anderen, und zwar sind ß^, die Cosinus der Winkel, welche die X*; IT', Z'-Axe mit der XAxe einschlittsen» ß^, 7« die Cosinus der Winkel mit der K-Axe; a,, ßj,, 7, die Cosinus der Winkel mit der Z-Axe. Von diesen neun Richtungscoiiinus sind natttrlich nur drei von einander unabhängig, es mflssen daher Bedingungs- gleichungen awüchen denselben bestehen. Aus der grossen Menge der Relationen, welche im folgenden angelUhrt werden, sind aber nur sechs von einander unabhängig.
Man bat zunächst fUr die Determinante der Coefficienten
« 1.
«I Pi tt
a, ß, 7,
«s h 19
(3)
Eine Substitution (1) oder (S), für welche die Determinante der Substitutions- coefficienten gleich der Einheit ist, nennt man eine orthogonale Substitution. Fflr diese bestehen die Besiehungen:
-I- a/ H- — 1 «i» + Pt* + 7i* — 1
P.*-HP/-+-ß^-l (4) a.*-l-P/ + Tf/«l W + 7/ H- 7s* - 1 «s* + W-1-7/-I
«1 Pi »tPt «sPs - 0 «i«f H- PiPt + 7i7i - 0
Pi7i Pl7s H- P«7s 0 («) «1 «I Pi Pi H- 7i7i = 0 (7)
«i7i + a,7, -h «,7, « 0 St«! H- PiPt + 7s 7s ^ 0
•1 Pt7s — PsTt «s ^ Pi 7i Pi 7i «s " Pi 7s ~ Pt7i
Pi — Tf«s— 7s«t W Ps — 7»«t— 7i«s W Ps — 7i«i — 7f«i (W)
7i ■=»«iPs 7s — "iPt^ÄiPs 7» ^ «iPs~ «sPi-
^) Unter dem Ausdruck Körper ist dabei eine auf einen endlichen Raum verthethe oder auch in Cincm Punkte concentrirt gedachte Masse i^u verstehen, ohne dMs hienntt irgeod welche metapbjMScbc VorausicUungen tu verbmden wären.
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Mechanik des Himmels. ^. 1^1
tn d«n Untcnudiungen üktt die BewegODgen der Körper kommt es wieder- holt TOT, dass man eines der beiden Axensysteme beweglich annimmt; danii werden die sämmtlichen neun Coefficienten als mit der Zeit /verfladerlichaososehen sdn» und man erhftit aas (4):
äa, dam da.m .
y ^-uv itit-i-T
Seist man nun
|
H-ßs |
da.2 |
+ ß» |
||||
|
'dt |
« r |
|||||
|
+ 7, |
||||||
|
Tfi |
dt |
|||||
|
<// |
dt |
dt |
(12)
|
7,^ — a,r |
= ß,r |
— |
|||||
|
dt ~ |
a,y — |
«fß, |
«ß,r • |
||||
|
«s^ — |
ßs^ |
^ßt |
dft^ dt |
-7i? |
so ergiebt sich aus (G);
'ßi ^ ^ß«
ßl -57 P» ^ H- Pj ^ « — (1»)
da, d%m '^^-di-^-^^-di^'^^-dt--^'
Die drei Gruppen (11), (13), (18) liefern durch entsprechende Combination^;
Bildet man hieraus die links in (lj>) angegebenen Summen von Produkten, so erhält man:
dt dt dt dt ~^ dt dt ^*
dj^ d^ da^ d^ dj^
dt dt dt dt dt dt ^^F^ \^^y
£^f£7i.^f{l».f%£l3^ dt dt dt dt ^ dt dt
Setzt man ferner
(^) V (^y- (^)'-.
so erhilt man ans (11) duicih Difierentiation:
») Multiplidrt man z. B. die dritte Gleichung in (12) mit Oj, die /weite in (13) mit ßj und die dritte in (11) mit 7, und addirt, so folgt di« mte Gltidittng von (U).
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3fa McdMoik des Htamicli.
ii* tti ä*a^ d*a
r — ^
Pi + P» -jji + p» 7^ « — Ä, (17)
Die Differentiation derAusdrflcke (12), (13) liefert mit Berücksichtigung von (15):
|
«1 |
w ca |
** rl |
4^r |
||||||
|
Pt |
4r/> |
-*-Pf |
-*-Pt |
^7, |
|||||
|
1t |
■Mi |
rf/» |
+ 1« |
dt |
|||||
|
Pi |
+ ß, |
+ P« |
dr dt |
||||||
|
Ti |
ä/* |
Ta |
+ 7i |
-h |
dp dt |
^qr |
|||
|
«1 |
^7, |
H- a, |
^7« |
H- |
dq dt |
(la)
Endlich erhält man aus (14);
dfx^ //ß, ^ dJ^ ^It^'^ldt^^
^ dt ^^^'^Itt^^
und aus (16), wenn ntan die Werthe der 1 hiierentiaifiuoticnten aus (14) einführt: A^=^* i A5=r2 4-/»» = -4- ^r«. (20)
Seien die Schnitlpnnkte der sechs Axen mit einer aus dem Coordinatenanfangs- punkt als Mittelpunkt beschriebenen Kugel X, Y, Z, X' , V, Z', (t'ig. 270), sei der Schnittpunkt der Bögen X V, A" in ft, so wird die I^ge des zweiten Axensystems bestimmt durch den Ab.stand ÄSi = Sl, durch den Neigungswinkel i der beiden Ebenen tmd den Abttand g^X' =^ m. Nun ist
a, = cos XX' p, c= cos Xy 7, « cos XZ'
= cos YX* ß, « cos YY* « ms YZ*
«, « CM zx* p, = ZK' 7, « tM zz:
Man findet nun leicht aus den sphärischen Dreiecken, von denen swei Ecken in den Endpunkten der Axen, die dritte immer in A ist, sofort die Formeln:
«1^4- COS ^cosm — sin ^ sin cd cos i
B — eot^sitf^smSitCosmtPsi Yi H- SMf^smi
^ + smS^t^m e^i S^immeasi
e — sin Sk sm m CM C0S a> cosi (81) 7»« — tos sin i -h sinmsini
B + o» i
Tf, = -h f<7X I,
durch deren Differentiation sich die Folgenden ergeben:
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Medwnik dt« BnsiimU. %
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aS4 MeeliMik des MniBeb. % K
dQt di
'■■"TT» Ä
Da die Cosinus der Neigungswinkel der Flächennormale der A!"-y^-Ebene gegen Sm X; Y^, /-Axe, bezw. Yj, 7,, sind, lo wild die Projection eines in der X\ F'-Ebene gelegenen Flttcbenstackes / «tf die drei Ebenen der X*Y^ Y'Z und Z-X sein:
fy» — Ti/ — /«» isin (25)
I. Abschnitt Die TranslntioDsbewegungen.
8« Krftftefunction. Die Dimensionen der betrachteten Himmelskörper sind gegenüber den von denselben beschiiebenen Bahnen so klein, dass die- selben zunächst als verschwindend angesehen werden können, d. h. dass man
sich auf die Betrachtung der Bewef»ungen vot\ Massenpiinkten beschränken kann'). Seien demnach gana; allgemein ri Massenpunkte tjepelicn, die sich gegenseitig mit Kräften anziehen, welche proportional ihren Massen und einer i^ewissen Function /(r) der Entfernung sind. Diese in verschiedenen Richtuneen wirkenden ivrat(.e müssen, uin vereinigt werden zu kunnen, in drei aui einander senkrechte Richtungen zerlegt werden. Die Anziehung, welche ein Massenpunkt m n^t den rechtwinkligen Qiordinaten y^, 2, von einem andern Massen^ pnnkte eriSlhrt, dessen Coordinaten jr,, y^t sind, wird m^m^f{r^^) sein, wenn r, , die Entfernung der beiden Massenpunkte besetchnet Da die Cosinns
der Winkel, welche die Richtung /•,, mit den drei Axen bilden, — —
''19
, — sind, so werden die drei Componenten der Ansiehung
''11 ''tt
Ml Mt Mt
Zerlegt man in derselben Weise die Componenten der Anaiehung der Übrigen Massenpunkte ar,, at^, . . . und summirt die aämmtlichen in derselben Richtung wirkeiiden Componenten, so erhilt man in der Richtung der JT-Axe die Kraft
'^It MS
daher in ktlrcerer Form die drei Componenten:
t " 2, 3, • • • • ff«
^) Di« Bciadwichtigniic der Abweidnaagcn von dicicm UoMtMide folgt qpller Ca Ü
und 8L
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MeduoiUi dei Himmel*. 8. s8S
Aehnliche Ausdrücke erhält man für die Componenten der auf die Massen punkte wirkenden Kräfte, und allgemein für den Massenpunkt mp
X, = m,^mj{r,:i ; = '^^'>'> ^^^^ ^
* * 5 _ * (2)
^ I a 1» 9» ... .
r.x* = r,»» = (xi — jrO* {y, — y^)^ -+- («i — «0*- Zwiachen diesen KriUlen bestehen einige aUgemeine Besiehungen. Man bat
^x.=oi 2^'*^' t • I
denn ein von r,« abhängiges Glied kann nur in JT, und Xx enthalten sein*) und
ist in erster en m^tnx/{r^%) in letzterem «isiMk^(r«i) — « deren Summe
'"im M«
vencbwindet Weiter ist
t « «
Sucht man vom Beweise der ersten Formel wieder die von ri» abhängigen Glieder, so findet man:
•I- mnmt/i,r,n)^* ^ — «»iw»/(r,u) "^'^ «»
ako gleich NulL Sei
und bildet man die Function
-|-«t|«j/'(r,,)-h H-»»,«i,/^(r]j«)
• •
so lassen sich die drei Componenten X^, Y^, Zf. als die partiellen Oifferential- qiiotienten dieser Function ü nach den zugehörigen Variabein o;^», darstellen; es ist
^^^Vr ^''^Tf/
Für die Differentiation nach kommen nur jene Glieder von C/ in Betracli^ die von r/m abhängen, also ein Theil m^U/, wenn
Da aber
') Eigentlich wäie auuuschliesscn ; man siebt aber kicbt, dass die auf t ^ b«-
sl^dien AnidrtdK ▼endnrindeii.
*) Wo 1^ Ihnlidie Bctn^tuagen fttr alle drei Coofdimtcn gdtco, wird Kttne halber
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986
llecb«Dik des Himmeh. 8. 4. 5.
ist, so sind die Beziehungen (7) unmittelbar ersichtlich. Die Function U nennt man die K räftefunction, F^otentialfunction, oder das Potent iaP).
Die Translationsbewegungen der n Massenpunkte werden nun
nach (1) durch die Gleichungen bestimmt:
- äu, dir
^-dpT'^^p '^-diT'^jr/
Durch die Integration dieser Difierentialgletctiungen gelangt man zur Kemit- niss der Werthe von x^, », als Functionen der Zeit. Die 3» Differential' gleichungen zweiter Ordnung führen vollständig integrirt auf 6« allgemeine In* tegral^ (3« Coordinaten und 8» Geschwindigkeiten); aber die Ausfllhrong dieser Integrationen stösst auf zur Zeit noch unüberwindliche Schwierigkeiten, und es ist bisher nur gelungen, zehn Integrale in geschlossener Form anzugeben, wShiend die 6» — 10 ttbrtgen nur in einigen wenigen speziellen Fällen bestimmt werden konnten.
4. Bewegung des Schwerpunktes. Die Coordinaten i i), C des Schwer- punktes des gegebenen Systemes von m Massenpunkten sind bekanntlich bestinrnt durch die Gleichungen:
Durch zweimalige Differentiation folgt
folglich mit Rücksicht auf die Beziehung 8. 8*)
^^ = 0; m!^~0; M^~0. (1) Diese Gleichungen geben integrirt:
dt^*"^' di'^^^* dt"^'^
(«-tf,/+at; c — + (3)
Die sechs Integrale (2), (3) geben den Satz, dass der Schwerpunkt des Systemes in einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung begriffen ist (Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes.)
&. Princip der Flächen. Drei wettere Integrale erhält man auf folgende Art: Multiplicirt man die die Bewegung des Massenpunktes JW| bestimmenden
') Sehr liaufig (Indct man den Namen Potential nur für den Kall angewendet, das?, d*? Kraftgesete das Newton sehe Attractionsgesetz ist, doch spricht man auch von logahthtnischcm Poteotifl] u. f. w. Auch findet man miniDt«r dss Ptotortial ab Wecdi der PotentislliiMtioa ftr die BfasBeneiDheit, d. b. ohne einen von der Vam abhllngigen Fdrtor» doch spricbt naa lüa* vieder atieh tob eiocm Potealitl auf die MasMMinhcit u. i. w. Nach der obigeB DuttcOnag (rin das Potential als eine blosse Function der Entfernung auf; dodi können immerhin auch dif Tnordinaten selbst eintreten, nur muss es dann, wie su sehen, die Invarianteneigenschaft besitzen, d. h. der Ausdruck fUr das Potential darf durch eine orthogonale Sut>stitutioo »ein« Form nicht ändern.
*) Kttne lialber wird ia Folgendes stets darch die beiden Ziflem die Nmnowr dc« Pua^ gwpben und der Foimci aogegebeb; «s bedeutet also s. B. iL 9: Paiagiapb 8, Fennd 9.
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McdMnik des Himmd». 5.
387
Gleichungen der Reihe narh mit: 1) — ■+■ x,, 0; 2) ü, — s,, yi', 3) + z„ 0, — jr„ und addirt die für die einzelnen Massenpunkte erhaltenen ^rüdukle, so fulgt:
Mit Rücksicht auf die Gleichungen 3. 4 werden aber jetzt die rechten Seiten verschwinden, und da die linken Seiten vollstftndige Diflerentiale sind, 10 erhält man durch einmalige Integration:
Sind r, / die Polarcoordinaten eines Punktes in einer Ebene, dessen recht- winklige Coordioaten m, n sind, sodass
tA, so findet man leicht
dn dm di df
wenn df das Element der von dem Radiusvector überstrichenen Fläche be- deutet. Werden nnn für den Massenpunkt ni, die Projectionen des Radius- vectors r, auf die Ebenen der YZ, X-Z, Z-X mit r/, r,", r^'" und die von diesen Projectionen beschriebenen Winkel mit bezeichnet, so sind
die Projectionen der von lern Radiusvector ri in der Zeit df beschriebene Eicmeniarllachc ( wobei lueliL zu fihersehen ist, dass der Radiusvector im Räume keine Ebene, sondern die Mantelfläche eines Kegels beschreibt), und man hat
Im,dfi^\Adt\ tm^dfV^\Bdt, Xm,dfr^\Cdt, (3) daher integrirt:
welche Gleichungen sagen, dass die Summe der Projectionen der sämmt- liehen, von den einzelnen Radienvectoren aller Massenpunkte des Systemes tibcrstrichenen Mantelflächen, auf eine beliebige Ebene im Räume genommen, der Zeit proportional wachsen. Diesen Satz nennt man das Princip der P>haltung der Plachen, und die Constanten A, C die Constanten des Fiächensatzcs fiir die drei bettachteten Ebenen.
Ueber den Anfangspunkt des Coordinatensvstemes wurde keinerlei Voraus- setzung gemacht, man kann diesen daher auch in den gemeinsamen Schwer* ponkt aller Massenpunkte verlegen, da die Bewegung aller Punkte des Systemes um diesen so erfolgt, als wenn dieser sich im Zustande absoluter Ruhe befinden «llrde (die Coostanten a,, ^1 in 4. S und 8 gleich Null).
Für verschiedene Ebenen werden die Constanten A^ B, C verschieden sein; da dieselben aber bei einer endlichen Anzahl von Körpern nicht über alles Maass wachsen weiden, so wird es nothwendig eine Ebene geben, bezüglich welcher
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288
Mechanik de« Himmel* 5. 6.
diese ConsUnte ein Maxtmum sein wird. Diese Ebene, sowie der Maximslweith selbst bieten ein besonderes Interesse; um sie xu finden möge das System der Massen auf ein anderes festes Coordinatensjstem besog^n werden. Man eifajUt zunächst aus den Gleichungen 2. 1» % mit Berücksichtigung der Relationen % 4 bis 10 (mit Weglassung des Index i):
daher
. äy . dx' ( dz dy\ ( dx dt\ ( dy dx\
^ ^ -^j =^ -^^tC^S (5)
^ ^ ^) = ■'»^ T.i^-h T.C- C Definirt man eine Grösse F durch die Bedingung
so wird gemäss den lefsteren Besiebungen auch
/?t « ^'s -H 4. C* sein» und es können A, C nach den Gleichungen (5) als die Projecttonen der Grösse F auf die drei ursprünglichen, A\ ff, C auf die neuen Frojectionsebenen angesehen werden. Hieraus folgt unmittelbar, dass F der grösstmögliche Werth aller Flächenconstanten ist, und wählt man das neue Coordinatensystem so, dass die Constante für die Jf-K-Fbene F sei, so wird C = F, A' = B' — 0 sein, und die 1 Ji^e der Kbene, fiir v eiche die Constante des Flächensatzes ein Maximum sein soll, wird durch die Ciletchungen bestimmt:
A oL^ B -h 1^ C — 0 ß, A -h H /? + ßj C = Ü
tt^-^U^-^ Y, H- B^ H- C» = F,
aus denen man
^ B C
Ti=j75 Ts «7-; Ks- 7- iß)
erhält. Die Lage dieser Ebene ist daher von der gegenseitigen Lage der Massenpunkte völlig unabhjlngig, und nur abhängig von den Constanten A, B, C. Laplacx hat daher diese Ebene die unveränderliche Ebene genannt, indem, solange die Constanten der Fiächengeschwindigkeiten ungeändert bleiben,
d. h. insf>lange nur innere Kräfte wirken, und keine äusseren, nicht dem \N clt- system ange!u>rii^er. Ursachen hinzutieteo, die Lage dieser Ebene im Welträume
unveränckrt lileil)en muss.
6. Erhaltung der lebendigen Kraft. Multiplicirt man die Difieieotial«
gleichungen der Bewegung der Reihe nach mit ^ ' > ^^'^ addir^ so cr^ hält man einerseits:
andererseits aus 3- oder aus 8. 10:
rcU dx\ dy^ dU^ dz\ _ dü_
V^JK» *// dy, dt dt, dt)~ dt'
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Mechanik des Himmels. 6. 7.
Da nun
ist, wenn man mit r« die Geschwindigkeit des Massenpuoktes m% bewichoet, und die lebendige Kraft dieses Masienpunktes ist, so wird
die Summe der lebendigen Kräfte aller Massenpunkte sein, welche Summe man als die lebendige Kraft des Systemes beseicbnet Wird nadi / integrirt, so folgt aus 9. 9:
^=/(^'^'^^'^+^^)'"'
welcher Ausdruck jedoch nur in q)edellen Fttllen tntegrabel ist, s. B. wenn X eise blosse Function von Yi eine blosse Function von y,, eine blosse FunctlOB von ti ist, ein Fall, der in der Natur nicht vorkommt FUr die in der Nimr voikommenden FXlle bestehen jedoch «lie Gleichungen 8. 7, daher die Bewegungp^ gleidiungen 8. 10, aus welchen man
T^U+M (S)
eihill^ wenn ä eine Integrationsconstante bedeutet Dieses ist das sehnte IntegnU*) der Bewegungsgleichungen; es besagt, dass, so oft das Blassensyitem einen Zustand erlangt den es berdts frfther einmal inne hatte (die Cooidinaten, und
daher auch die Kräftefunction die früheren Werthe erlangen), auch die lebendige Kraft des Systemes denselben Werth erhält. Dieser Satz heisst der Sats von der Erhaltung der lebendigen Kraft
7. HAMiLTON'sches Prtncip. Wenn es auch durch weitere Tnuisformattonen flicht möglich ist, ein weiteres Integral su erhalten, so lassen sich doch einige allgemeine Sätse au&tellen, welche von besonderem Interesse sind und eine vielfache Anwendung gestatten. Hierher gehört das HaMiLTiiM'sGhe Prindp; es besagt, dass
nßT-i' u)ät^o (1)
ist, wo die Variationen 6 sich auf Verschiebungen der Coordinaten beziehen, die mit den Bedingungen des Problems vereinbar sind'). Die Richtigkeit lässt sich leicht durch die Ausführung der Variationen erweisen. £s ist, wenn man Kürze halber
dt dt » <// *•
*) Es IDUSS hervorgehoben werden, dass die in 4 und 5 gegebenen neun Integrale in dieser Form nur gelten, wenn die Bedingungen S. 3t 4 erfüllt sind, wenn also z. B. in dem System nur iaaere Kilfte wMicd, und dais ferner das sebate Integril in 6 an die Bcdiognng der Esitteiut einer Kttfkcliiaclion gebmnden ist Et itt noeh in bemerkeii, dait sich bei den mediuiitdiai FroblecaeD, irenn es gelungen ist, alle Integrale bis auf ebes ansageben, das letzte in Porai von Qiindrnturen finden lüsst. S. Jacobi: »Thcorin novm mottiplicatorM sjatemati mcquaiiiDnai differentialium vnlgarium applicandi.t fWerke 4 Bd ^
*) Die V'ariationen «rstrecken sich nur auf die abhängig Veränderlicheo, die CoonünatCD,
sidtt aber anf die Zeit
Vmmiii—, ÄatwoMi» IL 19
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a90 McchMiik des Himnictt. 7. 8»
Nun findet man durch theilweise Integration:
f r.' ^/ «= ^ät^\ x^üx. -J ix, ^ ^
da die VariadoDen flir'die festen Grenzen des Integrales verschwinden* Da weiter
(dU du dU \
\%t, weil die Krftftefunction von den Geschwindigkeiten tmabbangig ist, so erhalt man:
Für den Fall, dass die Variationen fixt, by» keinen weiteren Bedingungen unterworfer, d. h., dass sie völlig willkürlich sind, zerfällt diese Sumnoe in die Gleichungen 3. 10, da jeder Klammerausdruck für sieb verschwinden muss.
8. Lagkange's Form der Bewegungsgleichungen. Nimmt man an, dass in den Ausdrücken fUr die lebendige Kraft und die Kräftetunction beliebige andere Variable 6j • • . k^m substituirt worden sind, so werden sich die Differentinleleirhungen der Bewegung flir diese neuen Variabein aus dem Ausdrucke 7. 1 unmittelbar ergeben. Ks wird wieder:
wenn ||' «s ^ gesetzt wird. Man hat weiter wie in 7:
WO wieder der erste Ausdruck verschwindet, weil d£i flir die festen Grensen verschwindet. Ebenso wird:
folglich erhält man
Flir den Fall der freien Bewegung aller Punkte (wenn keine beschränkenden Bedingungen auttreten) sind die 65i völlig willkürlich, webhalb jede einzelne Summe verschwinden muss, und man hat;
d(dT\ dT dU ^ , o .
■) Der Fall, dass fUr das Problem gewisse Bedingungen «tt erfUlett sind (AnftrctCll «oo BcdiDguDgsgleichuogvn), ist hier nicht weiter tu betrachten.
I
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MccSittiik des Hiraniel** 9. 991
welches die von T.agrange gegebene allgemeine Form der Differentialgleichungen
der Bewegung ii>t^).
9. Differentialgleicbnngcn der Bewegung in rech twinkHf^en Coordinaten. Zur Bestimmung der rechtwinkligen Coordinatcn der Himmels- körper dienen die Difterentialgleichungen 8. 9 oder 10. Für die praktische An- wendung wird es aber bequemer, jeden einzelnen Massenpunkt für sich zu ver- folgen. In Anbetracht des Umstandes, dass im Sonnensystem stets die Anziehung eines Ctetnikdtpers fiberwiegt, empfiehlt es sich, die relative Bewegung tkm Planeten um diesen Centnlkörper su betiachten.
Seien die Cooidinaten des Centralkörpers i), Ci die Masse desselben Jf; die Coordinaten des Massenpunktes st, dessen Bewegung betrachtet wird, des sogenannten gestörten Kdipei« ^, y, s', dessen Entfernung von der Sonne r; die Coordinaten der übrigen anziehenden, störenden Körper mit den Massen «1 seien x^', s,'; r, die Entfernung der Masse tHp r,' diejenigen der Massen M, von der Sonne, und rg, die Entfernung des Massenpunktes m, von m. Die Bewegungsgleicbungen für die Sonne werden, wenn der gemeinschaftliche Faktor M weggelassen wird
Die Gleichungen, welche die Bewegung des Körpers m bestimmen* werden: Subtrnbift man (1) von (S), so erhält man:
i0 = - iM-^m)j{r) + —f;^ — ^^""^ "ttJ * ^ ^
Nun sind
— 6; -yt'— 1| s,«#/-C
die rechtwinkligen Coordinaten der Massenpunkte m und si^ bezogen auf ein sweites Coordinatensystem, dessen Axen parallel den Richtungen des ersten Systems sind, dessen Ursprung aber in den Centraikörper fiOlt; die durch diese Substitution aus (8) entstehenden Gleichungen
ä*x X r ^i— ^ ^il
-5^ = - (-^-i- 7 •+• |_/(ro^ -/(n) -J (4)
bestimmen daher die relative Bewegung der Masse m um die Masse M* ' Setst man daher
') Ec muss erwähnt werden, dass auch die Gleichungen (l), (2) in fUeser Form die Existenz einer von der Geschwindigkeit unabhängigen Krhfteftinrtinn voraussetren.
Bezüglich der canooischeD Form der DifTereDtialglcicimngcD, so wie der EinfUhrmg esBonUeher Elemente, uu denen sieb dann die LAOKAMca'scheii GteidungeB fllr die Veratioii der ConttuteD ebenso einfiwh ergeben, muss anf die Abhandlmig von Jaoobi: «Nova meäiodus aequaüones differentialcs paitiales primi ordinis inter nitmcrum variabilium quemcumque propotitae intejrrnnrüi und »Ucber diejenigen Probleme der Mechanik, in welchen eine Kräfte- function <-;i^!irt, \!n(l fther die Theorie der Störungen« (Werke, 5. Band) und »Dynamik« (24. und 36. Vorlesung) verwiesen werden, lieber eine exphcite Form dieser Differentialgleichungen, wddie bei AeoretisdieB Untersudmiigen lehr fintehtber seheint, *.: StJLckbl »Ueber dk anal^tisclie Aequivalei» djuainiscber Froblene«, CKixxb, Jounal fllr die Mine and aagewmdte Matfwnwtiki Bd. 107, psg. jss«
19'
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99^ Mechuiik dvt Hioiniek. 9. IC.
- 2«. \f{r^.) ^ -/(r.) ; K= K«-*- (5) 9ö iracden die Differentialgleicbttiigeo fttr die Bewegung des Massenpoaktes m:
Ifi"^^* Ifi"^* IF"^*
(JlfH-i*)/(r)^
Ist wieder so findet man
wenn
^('••t) -/W J; ü«ü,-i-u» (7)
ist In den Anadruck für U treten nur die Entfernungen ein; es ist daber sofort klar» dass der Differentialquotient nach irgendeiner Riding die in dieser Richtung wirkende Kraft giebt. Allein in Q treten auch die Coordinaten selbst ein, und es wäre sunMchiA au erweisen, dass man die Kraft in einer beliebigen Richtung x' erhält, wenn man Q nach dieser Richtung diflferenziirt. Da Qq nur von den Entfernungen abhängt, so genügt es, dieses lUr tt| nachzuweisen. Nun ist
Nimmt man x' als Axe eines zweiten Systems, in dem die beiden anderen Axen willkttriich sind, so hat man nach 2. 1, S:
dx dy ds ,
äj? ^ = «i «1 ^-+- «a'i-^^'-
Transformirt man aber fl| auf das neue Axensystem, so wird
-I- ry, H- SS, B X* Xt* H- y j^' + s' s,',
woraus man sofort siebt, dass die oben angegebene Differentiation nach ^ die Kraft nach dieser Richtung giebt.
10. Differentialgleichungen der Bewegung in polaren Coordi* naten« Es mögen die fol^mden Beteichnongen gelten: Sei r d«r Radtus- rector, r seine Projection auf eine feste Ebene (^K-Ebene), b der Winkel zwischen r und r (Brette des Himmelskörpers); / der Winkel von r gegen eine feste Richtung in der A'F'Ebene, der X'Axt (Länge des Himmelskörpeis); s sein linearer Abstand von der Projectionsebene; u der reciproke Werth von r und s die Tangente der Breite, und bezeichnet man die Differeniialquotienten durdi
angeftigte Striche, also: =/'(x), so ist:
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Mechanik des Hinomels. 10. 293
T^rtPsh, M^rsmb^xUmgh^Ts
s . 1 I i/TTT«. (1)
t^tangb wa»-=«
^* r r<Mb r
I) Wählt man als Polarcoordinalen r, 4 behi&U dabei s als dritte
Variable, so wird:
dx
dT
und ebenso für die beiden anderen Coordinaten 4 oo^n erhält daher aus den Gleichungen 8* 2 unmittelbar^).
■^■^
3) Wählt man als Polarcoordinaten r, /, ^, so folgt:
X «= reosb€osl x*^ cMbcosl'^ rsmb€9sl¥ — rt^bstniV y^rtosbsmt f^r^fosbsml — rsinbsmiif'^rtüsbeosiV M ^rtmb z' = r'sind -^ r cos b b' '
folglich
■^j — '■^^^^l^J ~''V^) = -f?™Xeasbcosi + VtPsbsml-hZsmb
^^r»«i»^ ^^^^^Xrfcsbsml-^YrfüsbeosL (C)
3) Führt mnn in (B) an Stelle von s die Variable s ein» so tritt an Stelle der dritten Gleichung die folgende:
4) Die Einftthning der Variablen u, s, l&hrt auf sehr häufig mit Vortheil verwendete Foimdo, wenn die unabhängig veränderliche / an Stelle der Zeit / eingefltbrt wird^. Setxt man Kürze halber
In 7* tfcttn Wcxthe ftr den bciiadileten l&ticnpiiRfct m naUlrlieh sneh ein; c« ist 6«her fUr ( auch der Werth t = 0 xu setMn» wobei jedoeh der Index Null vnegzulatN» ist. Die Aasdrttckc fUr die DifEeicatialqnotienten von Q folgen unmittelbar «Iis
dr dx dr dy er'
^) Die Ableitung der Formeln aus der lebendigen Kraft führt hier auf sehr ausgedehnte Rechnu ngen.
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I
M eclNmik 4es Hiamwl«. 10.
so siebt die cweite Gleichung (C):
Multiplicin loan beiderseits mit 2f^i^/ und integnrt, so folgt: und dann aus (4):
Ana den Formeln (1) folgt: ^. . ^
1 1 dt
womit aian aus der dritten Gleichung (C) findet^):
^ J_ ^\ jL ^ — ^ ^ äi \u* dl) ^/ - di
dt äs\ „ „d^s dsdVdt d^dt
JiVJi)-^'''-''ln^di-didi^'''-dhdi
Um auch eine Differentialgleichung für u zu erhalten, wird der Ausdruck für l:u zweimal differenzirt; man erhält:
d (l\ .dr dl
</* /n d^r ^ . ^drdb ^ (dn* . .d*d
^ (u) - ^ TiTt t vj 5r
,d*r .(däy sml[d( äd\]
o.?'^AM sinb \dQ ^ ,
ancr
dt \u) dt"^^ dldt^ ^ dl
d^ (\\ dVdu d^udl 9üdu
di^Xu)^" dt dl" dl* dt^ dl dl
ist, so wird ^ '
Behufs Einftlhruogder Differentialquotienten vodQ nach «i, an Stelle derjenigen nach ^ hai man
md, da / bdbehaltett wM,
dü du £o
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Mechanik des Himmel!«. 10. ^}
düdu »> ds SU r aäl
so wird
d^u i_ r , ^ ^ ^
'dP - y* l* du'^ ds di äl^ SeUt man daher
di
d*u 1
^ jf _ 1
U (D)
An Stelle der Ableitungen der Kräfkefimcdon fi kOnnen hier die folgenden Kfifte eingefQhrt werden: Die Kraft P, welche in der Richtung des Radios- vecton wirkt, die Kraft Q, senkrecht sa dieser in der Prqgectionsebene, und die Kraft Z senkrecht auf die Projectionsebene. Fttr diese hat man
Pt^XeMi-¥ Ysini Q^Yccsi-^ Xsini
« ^ ^ . ^ P Zt
or au u*
Hiermit gehen die Differentialgleichungen (B) und (D) in die folgenden Ober:
£jr (diy di 1
\dt) dl^ W
i ^dldX ^ 1 V
d^s 1 /
l>ie hier auftretenden fortnein, in denen X, } , Z, ^ entlialten sind, be- halten auch ihre Gültigkeit, wenn eine Kräftefunction nicht besteht, wenn also s. B. beim Hinautrcten von accessorischen Kräften, diese sich nicht als Differential* quottenten einer einsigen Function angeben lassen. Bei der Verwendung der Öifferentialquotienten der Störangsfunction hat man jedoch noch folgendes su be- achten. Die durch die störenden Kräfte bewirkten Increroente der Coordinaten, die Störungen werden von den Cooidinaten der störenden Körper abhängen, und es wird
y ^ y(o) ^/g {x„ y„ ZO (I2> S = «(0) + {x^ t,)
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•96
MedwDik det Hiandi. 10« II.
w&n, wcBD xi«>), ^o), 5(0) die ungertörten Coordinaten bedeuteo. Sand nan jc« *t von den Coordinaten x, y, $ unabhingig, so wird offenbar
Beitlcknchtigt man in fi die ungeattttten Coordinaten xM, ^«), so er- hält man die Stdrangen mit Rücksiebt anf die ersten Potenieo der Massen ; diese geben dann zunlchst/,, von der Ordnung von m%; verwendet man nun in
0 die Ausdrücke (13), so «erden die von m abhängigen Glieder /s,/«t/a neuer* dings mit niultiplisirt» also in Q Glieder zweiter Potens der Massen auftieten. Für 4Pm Si sind aber auch die gestörten Coordinaten zu verwenden, die selbst von X, y, 9 abhängen werden; bei der complcten Differentiation nach .r wäre auch nach den in x,, yx, x, enthaltenen Coordinaten r, 3-, z rn differenziirert, und man sieht sofort, dass dann das Resultat der üiticrciiLiation nicht mehr die störenden Kräfte sind. Set z. B. die von x abhängige Storune von a.\ gleich xx, wobei X von der Ordnung von m ist, so wird der zweite Ausdruck in fl,
durch dessen DifTerentiation nach x man
(«.(•)-!- «X«) + [x{xS^) + X«) -h yy, + ssj ^^^j
erhält, einen Ausdruck der von den störenden Kräften verschieden ist Es folgt daraus, dass man bei der Berücksichtigung der von den zweiten und den höheren Potenzen der Massen abhängigen Glieder in der Function S2 stets die un<^e- störten Coordinaten der störenden Himmelskörper zu verwenden und erst nach allen vorgenommenen Differentiationen die gestörten Coordinaten der störenden Körper einzuführen hat.
11. Differentialgleichungen für die Variation der Elemente. In allen diesen Formeln wird man in der j)raktischen Anwendung die wirkenden Kraite m zwei Theile zerlegen, so dass der eine zunächst betrachtete analytisch und numerisch überwiegt und den allgemeinen Charakter der Bahn bestmimt, während der übrige Theil die Abweichung der wahren Bewegung von der zunächst bestimmten, ^näherten, giebt. Sei fiir die Gleichungen {A) in 9 eine solche Zerlegung
X = Xq -h X ^ ; y — Yq z — Zq -+-
wobei diese Zerlegung mit der dort vorgenommenen identisch sein kann, aber auch nicht identisch zu sein braucht. Führt man Kürze halber die Beseichnung der Dißerentialquotienten wie in 10 ein, so wird
. äy' ds' = d ; = ; ^ = Zj, -t- ^, . (1)
Angenommen man habe die Differentialgleichungen unter der Annahme in- tegrirt, dass JTj 0 Kg ^ Z, = 0 sei; dann wird
[^]=-.> m-^'^ [a=^-
und seien die Integrale dieser Gleichungen:
lx\ - ü, cj, g, h); [y] = ^{t,a,b,(J,i, h)\ [z] = \{t,4i,k,4j,g, k) (3)
Functionen der Zeil und der sechs Elemente a, c, J, g, h \ aus diesen findet QMn durch Diflerentiaiton:
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Mectuinik des Himmels. I i.
»97
trobd
a<> au^
ist, welche durch nochmalige Difierentiation die Gleichungen (3) geben.
Man kann nun annehmen, daaa die Integrale der DifTeTentiatgleichungen (1)
*-W-h5; j^-W + h; »«W + C (5)
seien, und kann & y), C d. i. die Störungen in den rechtwinkligen Coordi* naten ermitteln. Man kann in derselben Weise aus den Gleichungen {B), (C), (2)) Störungen in den polaren Coordinaten ableiten. Blan kann jedoch auch annehmen, dass sich unter Berttcknchtigung der störenden Krftfte X^,Y^, Z, die Coordinaten (rechtwinklige sowie polare) in derselben Weite ergeben, dass also
sem wird, unter der Voraussetsang jedoch, dass die Elemente a, c, f, g, k nicht mehr constan^ sondern verSnderfich seien. Dann wird:
jf = Z('' ^' ^' ^'Z' + ^' ^"
wobei X*^ y, Z' ebenfalls Functionen der Zeit und der sechs Elemente sein werden, welche von der Differentiation der Functionen O, W, X nach den ver*
Anderlichen Elementen herrühren. Es ist nämlich
^ ^ ^ ^ ?^ ^ ^<l> //A
dt^ di ~^ dä äi'^ dö 'dt'^ C£ dt~^ d/ di'^ dg di ~^ dÄ dt '
folgUch:
da dl ^ Jb Tt'^ '^c dt"^ df Tt'^ dg dt d/i dt ~"
Wda db ciJ ^ dW dg ^1" i///
Ja di db It cc dt "^7 <// cg dt c/t dt ^
ax^ £1^/ fll^ — y
da dt'^ db dt'^Jedi'^ Zf di"^ dg di'^ dh di~^'
Ebenso vurd:
dx* Cf d<^ da dh cf de äf df^ dg 3(|p dh
dt'^ Ya ~di'^ Tb Tt'^ de ~dt^y dt ^ bg di Jh ~dt
dX' djr_da dJTdb dX^dc ^ 4f gJir' dh
■*""ar"*" da dt'^ dh dt"^ de If"^ dj dt^ dg dt^ dh
Da nun ^ ^ ist, so wird man, wenn man Kttrze halber
da \da)' Tb"^ db \db) J^i- '^K^h
da^da \da) dt ^» ~ ^/ —
aetat, die Besiehungen erhallen:
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ft^S Mechtnlk des Htmnieb. It.
(h\ ^^(^A "^'(lA H^i^A -fv.
\da) ä/'^ycfij ä}'^\cc) iit^\c/) dt'^yclt) dt-^-^^
(d<,\ da (d^\ db {d^\ de }d^\ ä/ (d^\dg ]d^\dh
\da) Tt^\Jö) -J}-^\Te) Ti-^yTf) di-^Wg) dt^\ch)di = ^^^
\da) df^Xdb) df'^Xdt) df^\d/) d/^[r^) u/^\dA) dt^^^^'
Die r.leichungen (7) und (9) sind sechs Gleichungen zwischen den Ver- änderungen der sechs Elemente mit der Zeit; diese lassen sich daher daraus bestimmen. Die Elimination wurde im Allgemeinen auf sehr complicirte Aus- drucke iuhren; es ist jedoch nicht schwer, zunächst sechs andere Gleichungen abzuleiten, von denen jede nur fllnf Differentialquotienten enthält» und die in der Folge Verwenduog finden werden. Multiplicirt man «fie Gieidiangen der Rohe nach mit
{h\ (^J\ £5 ?!
und addirt, nnd führt die folgenden Bezeichnungen ein:
d^(d<f\ d<t>(d<f\ d^fc_^\ ??pn^ax/ax\ ax/ax\
II - c.) . (.) II - ■ (II) - r (H) - (lÖ .
if i irgend zwei der sechs Elemente,
so wird
wobei zu bemerken ist, dass
/; ,{ =0; = — \ki\
Für irgend eines der Elemente folgt hieraus
äk
= i'UA «, *. c,f,g,h) (11)
und durch Integration dieser Gleichungen cihält man die Elemente als Functionen der Zeit. Diese Methode, welche man die Methode der Variation Her Con- stanten nennt, wurde iheilweise st hon von Nrmti'ON, später in ronäei|iit*nterer Durchfithnmg von Ei lek verwendet; die Piincipien der hier gegebenen Ab- leitung riihren in dieser Form jedoch erst von Lagrange her. (Vergl. Bd. I, pag. io8 und 135).
Die Auflösung der Gleichungen ist im Allgemeinen nicht sehr einfach^). Legt man jedoch der Rechnung osculirende Elemente (s. Bd. I, pag. 133) zu Grunde, so hat das Gleichung^^tem {E) die Eigenschaft in leicht aufldsbare Gruppen zu zerfallen.
Osculirende Elemente sind solche, aus denen nicht nur der Ort des Himmels- körpers, sondern auch die Geschwrindigkeit ihrer Grösse und Richtung nach in jedem Augenblicke durch die Formeln der ungestörten Bahn gegeben werden; es ist daher
(d^\_c^ (d±\_d^
folglich
*) Die inveis« Lflswo^: din^ BetdauaiiBg de« DUEeresiU^dentea jedes dMcbeD EkmenlM gab WfHUxx (tltoS) Poissiw; doch reicht man «umelil mit dea oUfen Fonndii avt.
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Mechanik des Himmels. 11. 12. 999
ao» a4>a? a^aj» dWd^ £xax l^ax a,' a*^ dk di ai a^^*«* a« ai ^^a*
gd» av ax
(12)
welche Weithe in die GleichQOgen £ einzuseUen sind. .Lassen sich JT,, K,, Z, sb die Diflerentialqootienten einer Function fi nach den drei Coordtnaten M, dantellen, so wird, wie man sctfort sieht
Die CoiSfficienten [i Jk] haben die bemerkenswerthe Eigenschaft, dass sie von der Zeit unabhängig sind, was bei ihrer fieiechnung (vergl. 18) mit Vortbeil ver* wendet werden kam. Denn es ist
j_ idx a«* dx ^ ^ dx' dx' _dx dx" _ dx' ay
di\Ji Tk'^Ik 9i)^di di di dk dk d$ di Ii
dx dX_ dx dX ^ di dk ~ dk di '
Besteht nun eine Krftftefonction, so wird:
d[ik\ (dX dx dYdy^ dZ ds\ (^X d^ IT ^ M ^\ dt '^ydk di'^dk di'^ dkTi}~'\di dk'^ di dk'^ di dk)
~'^\di[dx di'^ dy di'^ dz 'di\ " \dx didk^ dy didk"^ dz didk\] jd rdQ dx dQ dy ^ Ifl \^ 8»:c dQ d^y ^2 \ ~ [ä* Tk'^'dy dk'^ dä dk\ *" ^i^k dy bidk dz dick] ]
daher, weil die Kräftet'unction von den Geschwindigkeiten unabhängig ist, folglich die Ausdrücke der eckigen Klammem die partiellen Differentialquotiente i von Q nach den betrefienden Elementen sind:
d[ik] _a_ ao ?_ 1^ _ n
dt dk di di dk "
also [»i] von der Zeit unabhängig.
12. Er.ste Näherung. Bewegung in Kegelschnittslinien. Ehe an die weitere» Entwicklungen geschritten werden kann, müssen nunmehr die Coordinaten als Functionen der Elemente ausgedrückt werden. Sind die stören- den Massen genügend klein, so wird man in erster Linie von denselbon voll- ständig absehen können und die Bahn des Himmelskörpers unter der Voraus- setcnng der alleinigen Attraction des Centraikörpers bestimmen^). In diesem Falle werden die Differentialgleichungen (Ä):
^«-(ilf+«)/(r)|
^=-(Jlf+iw)/(r)^ (1)
^ = -(^+ «)/('•) 7-
Aus diesen Gleich ungen erhält man auf dem in 6 eingeschlagenen Wege die drei Flächenintegrale:
') Ueber dne andere Art der Zerlegung, bei welch» auch gewisse Hauptgiiedcr der Kiäfkc in der cntn MUicrang berttektichtigt werden, siehe 71.
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300 MccbMMik dct Himmels. \i.
dz dy . dx dz ^ dy dx -
^-di-'it""*' *Ä-*s>-"»' '-^-y-Tt-^' <«>
aus denen sofort folgt:
Ax ^ By -\- Ct = 0. (3)
Diese Gleichung zeigt, dass sich der Himmelskörper in einer Ebene bewegt,
die durch das Attractionscentrtim geht. Legt man zur Vereinfachung dit-
A' K-Ehene in diese Bahnebene, so entfallt die dritte Differentialgleichung; es
bleiben norli zwei Differentialgleiclumgen zweiter Ordnung, deren vollständige
Integration vier Constante einführt, während die zwei übrigen durch die Lage der
Bthnebetie (Länge des Knoten» und Neigung gegen eine feste Ebene) eraetst
lind. Die beiden DifTerentialgldchungen in y geben, entsprechend transfomitt,
die Gleichungen (J9) aus lO, in denen nur r » # » 0 au setzen ist, und
es wird: , ^
d'^r (dt\}
// dl\ w
-dt di\ -
Aus der zweiten Gleichung erhält man das Fläcbenintegral
und daraus
Ik schreibt der Himmelskörper eine geschlossene Curve, und sei die L^^m- laufä^eic in derselben Xf die von der Linie eingeschlossene Gesammttiäche so ist
F^)^cT\ c~ (6)
Führt man (5) in die erste Gleichung (4) ein, so folgt:
d^ i-
— _^H.(ifH.„.)/(r) = 0,
Multiplicirt man diese Gleichung mit 2 , so wird sie integrabel, und giebt integrirt
dt) -2(if/+ w)/^(r) = r,.
und daraus
dt^-—
|/fi-h2(ii/-l-«i)/^(/-)-^
Ftthrt man den Werth von dt in (5) ein, so wird
^. cdr
Für die üeschwindigkeit V erhält man
^ - (^) ^ ^^^^ "^^^^"^
welche Gleichung auch aus dem Satze von der Erhaltung der lebendigen Kraft unmittelbar folgt.
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de» Himmels. IS. 30t
Sei nun /(r) = ^ , also die Ansehung der Massen bestimmt durch
— , so ist k* die Ansiehungsknift sweier Masseneinheiten in der Einheit der
Entfernung; der numerische Werth di^er Constanten urird daher von der WaU der Einheiten abhingen. Dann ist
-PW = 7 •
Der Werth von r wird ein Maximum oder Minimum, wenn ^ 0 ist, d. h. wenn
ist Sei das Maximum (1 #), das Minimum 0 (1 " so dass a der mittlere Werth und dtftf die Differenz «wischen dem Maximum und Minimum ist, so folgt:
und daraus:
Durch Substitution dieser Wertbe folgt:
-- "»^ ' r_ " _ . ^/ 5_ — /g)
ryStfr - r» - — e*) ' y^Jf -I- — r») ' ^ '
und für die Geschwindigkeit die bereits vielfach angewendete Formel (vergl. den Artikel »Kometen und Meteorec, II. Bd., pag. 65 u. 83)
(-■-i)
Integrirt man die erste Gleichung nach bekannten Methoden (Integration von Wurzelgrdssen aus Polynomen zweiten Grades) so erhält man:
g (1 -
1
*o « die Integrationsconstante bedeutet. Fflr das Minimum von r, Pericentram i), niuss « gleich Null sein; es ist also « die Länge des Pericentrums und l-^m^ V die wahre Anomalie. Für den Fall e <. \ beschreibt der Massen- punkt eine Ellipse; in diesem Falle ist ^» a^ic — folglich:
und <bmit
KuLEK lässt den Faktor 2 im Zahler weg, nimmt die Sunncnmasse. 1 vetnachlflssigt die Erdmasse {m » 0), setzt 365-256 Tnge, a « 100000 und
>) Itt das AttnictioDfoentnuD die Sonne, Erde, Japiter« Setuni, ... so nennt man die UeiMie EntfciMiBg IN«iliel, Petigeuoii Pcrijovhwit Periaatnniiam ti. «. w.
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30«
Mediftntk des Hiimael«. IS.
findet hgky^ = Ö-4345.'>25139»). Lambert setzt ö= 1, 7*= 3G5-25659, führt aber den reziproken Werth durch die Beziehung T = k^Kni ein; er findet U/^i^ = 2 Ui>j4481 '). Gauss seUt a = 1, T = 360-2563835 Tage, m = 1:354710 und findet
U^A^S nb 5814 414-10 i(» 0*017 3020 9896
Ug^ je' a i^g 3*550 0065 746.
Diese Constante i' ist seither unverändert beil ei alren worden; bei derselben wird als Einheit der Masse die Sonnenmasse, als Einheit der Zeit der mittlere Sonnentag, als Feinheit der Entfernung die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne zn Grunde gelegt. Da aber ebensowohl die Jahresläugc, als auch die Erdinasse einer Verbettemng bedürfen, so wflrde man im Laufe der Zeiten iromei andere, allerdings nur wenig geänderte Werthe dieser Constanten ni Grunde so legen haben. Statt dessen behält man diese sogenannte Gauss *s che Constante des Sonnen System es unverttndert bei, und genügt den Terftuderten Recbnungs» elementen, indem man fllr eine der GrOssen eine andere Einheit wfthlL L^t man als Einheit der Masse stets die Sonnenmasse, als Einheit der Zeit stets den mittleren Sonnentag zu Grunde, so wlid akh (ttr die jeweiligen besten Werthe von Tf m, und dem festen Werthe von k ein gewisser, von der Einlieit ver- schiedener Werthe von a ergeben. Nimmt man z. B. nach Lk Vrrrikr die mittlere siderische Bewegung der Sonne in einem julianischen Jahre (SGd'S.V*^ gleich 1295977" 4427 an, so wird r= 365-2563574"'; dann wird mit «= 1 : 330000
Zog a ^ 0-000 0000 099 d. h. als Einheit der Entfernung ist eine Strecke zu wählen, welche gleich ist 0-9999999772 der Erdbahnhalbaxe. Wählt man, wie dies fUr manche FäDe, z, B. bei der Berechnung der speziellen Störungen, vorttieilhaft erscheint, dne andere Einheit fttr T, so wäre auch fUr k ein geänderter Werth zu setzen. Sei als Einheil der Zeit «v mittlere Sonnentage, so wird in dieser Einh«t T:m folglich s
Führt man in den Ausdruck für r die wahre Anomalie v und den Parameter oder die kleinste Distanz (Distanz im Fericentrum, Periheldistanz) f ein, M> wird:
l + etasv \^ eeosv l-^ecosv ^ ^
und damit der Ausdruck fllr die Zeit aus (9):
- ^0
wo Kttrze halber ^ V-^ ^ gesetzt wurde. Es ist also
^, = ^l/^|/l -h^.
Für die Bewegung von Körpern, z. B. der Satelliten um die Hauptplaneten wird hiemach die Constante verschieden sein, und zwar ist nach {15) fflr
(13)
^) Theoria motuum planetarum et comctarum. Berolini 1744, pag. 3.
') Insigniores orbitae cometarum propritatcs. Augustae vindeliconun 1761, § 73- Es
ist also i| » ^i»(lC(000)^; ^t'^j Rttcksicbt auf die ErdmtMC und die gfmdeitcn
Werth« des Mderiftdicii Jahre*.
«
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Mechanik det Himmeb. 12.
303
irgend einen Planeten, wenn man als EinVeit der Zeit den mittleren Sonnenlag, als Einheit der Entfernung die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne wählt:
wobei m die Masse des Planeten in Einheiten der Sonnenmasse ist, wenn k^ — k die Gauss'scIic Constante (für die Sonnenmasse = 1) bedeutet. Dabei ist jedoch die Masse dc^ angezogenen Tlimmclskörpers vernachlässigt, und handelt es sich um die Untersuchung der Bewegung einer grösseren Masse, so ist zu set2en
wenn (I. die Masse des angezogenen Körpers in Kinheiten der Planetenniasse ist.
Wählt man als Einheiten die Secunde und den Aequatorealhalbmesser des Planeten, so wird:^; *
^(0)^ ^> ,
^ {sin p)l . 24 • 60 • 60 wobei p der scheinbare Halbmesser des Planeten in der Entfernung 1 ist (also flir die Erde die mittlere Aeqoatorealhorixontalparallaxe der Sonne). Der Weith Ton kp in Secunden ausgedrückt, also
~ arc 1"
ist, wie aüs Formel (10) folgt die mittlere tägliche Bewegung eines in der Ent- fernung I hetindlicl en Massenpunktes von verschwindender Masse, um den Planeten, und ebenso ist
arcV
die mittlere Geschwindigkeit in einer Secunde eines an der Oberfläche des Planeten um diesen kreisenden Massenpunktes.
k^^* ist aber weiter die Attraction des Ruri/ers von der Masse M auf die Masseneinheit in der Entfernung gleich dem Halbmesser des Planeten, also die Beschleunigung der Sclnvere auf diesem Planeten in Einheiten des Planetenhalb-
roessers; multiplicirt man daher k^^^^ mit dem Werthe des Planetenhalbmessers in Metern, so erhalt man den Wertli g die Beschleunigung der Schwere in Metern. Hiernach wird die iolgende Zusanintenstcilung leicht verständlich sein.
Masse')
OarchmesseT sch«inbareri wahrer i. d. Entt 1 in km
i
m
Metern
in Einhei- ten d.Brd- schwere
Merkur
VCDQS
Eide
Mars
Jupiter
Saturn
Uranu»
Neptun
1:631000C
1:410000
ItSSOOOO
1-.3100000
Ir 1047-609 1 :3501-6 1 :22600 1:19500 1
6" '455 17190
9-780 19600 164-80 78-68 83U 1919-8
4670 4-8730S42 12437 5-4391895 1975ft 5-4768245
7089 4-9899006
1418006-7254818 119230 6-4634482 62582 6-0585272 60i50 6 09O.'>641 1888900 8'8856BU — 10
0 187459S 0-7436146 0-7907496
0- 3048257
2-0399069
1- 7778733 1-3729523 l-40498;)2 8-5500066
7-144859 7-062044 7-098615 6-994400
6778767 (^ 624681 G7 53073 6-697518 6-797585 — 10
2-459284 2-877870 9-408041 9-808825
2-088192 1-939106 2067498 2 011943 9111961
4-550
8- 810
9- 815 3-480
25015
10- 586 8-433 7-469
979*981
0-464
0- 847 Kloo 0*849
2-549
1- 079 0-869 0-761
97-8U
•) Vergl. auch Hcn Artikel »Kometen mu! Meteore«, II. Bd.| pag. I48. ') Uebcr diese Annahmen vergl. deu Artikel «liancten«.
*) Mit der Maue » welche hier bei den schon vor einigen Jahren gerechneten
len angewendcc wurde, xA l^k^ 6'73.'i*486— 10.
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304 Meehanik dte Hfmmels. lt. 13.
Die Gleichung für dt gtebt, integriit:
wenn der Zeit / =s 7^ die wahre Anomalie r = 0 entspricht, d. h. wenn die Zeit des Durchganges des HimmeUkOrpert durch das Peric^itraiD (Zeit des Pericentrums) ist. Führt man zur Integratioo an Stelle von V eine neue VariaUe T ein, definirt durch die Gleichung
t tang \ Vp (U)
so geht die Gleichung über in
oder wenn gesellt wird
2^(1 + /t(l + 0 -H (1 - 0 ^'J* '
13. Die Bewegung in der Parabel. Für diese ist / » i, s 0» daher
^s(^- ^o)
—yf^f— = ^ng^v -h^iang* iv. (1)
wo die Integrationsconstante 7*q Terscbwtndeti wenn die Zeit vom Durchgange der Hiromelskdrper (Kometen) durch das Perihel (p = 0) gesählt wird; dann wird:
-| « M — ^~ Äini^^v + 4 /üng-» i». (2)
Zu ehiem gegebenen Werthe von / wUrde sich der sug^hörige Vierth von (ang^v durch eine Gleichung dritten Grades ergeben, die Auflösung dieser Gleichuag wird durch Hilfstafeln ersetzt, welche suerst von Hallev^) gegeben, und später in grösserer Ausdehnung und etwas geänderter Form als BARKER'sche Tafel eingeführt wurden. Der Werth von M ist fUr eine gegebene Parabel (gegebene Wertlie von ^ und Tq) und eine gegebene Zeit / Icichi ?n bestunrnen.
Diese Tafel gilt zunächst nur für einen gegebenen Werih von k, also für die l'.cwegung der Himmelskörper um die Sonne; will man dieselbe auch für cuicn Planeten anwenden, so hat man zunächst zu beobachten, dass fiir diesen
^ XM 1^2 1/2
ist. Multiplicirt man diese Gleichung mit -r^ «= ^m, wobei m die Masse des
attrahirenden Planeten, um welchen die Bewegung untersucht wird» ist (vergl. Vt), so folgt
1/2
M ym = ^— fang -i- ^ /a«^3 ^
woraus man sieht, dsss man die BARKCR'sche Tafel (ffir die Bewegung um die Sonn«) benutzen kann, wenn man mit dem Argumente My^M in dieselbe eingeht.
I) FbU. ttansact No. 393. Blae Tafel, wddie idt dem Argumente v von 10" ss 10" tiadi Fomel {2} «oloxt M bcsw. M giebt, findet lich in OfPOLXia, »Ldnbaeh rar Balin- bcttimnittng von Planeten und Kometen«. I. Ttieil, 2. Auf)., sowie in wenige! •lieh em Schinne dieses Werkes. FUr Kometen kann dabei ^(ev m Q)
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MeebanOt des Hinmeli. 18.
305
Für grooe Wertfae der wahren Anomatt« wird die Interpolation aus der Tafel unbequem, da sehr kleine Aenderungen in v sehr grossen Zwischenzeiten entsprechen und ilberdiess auch höhere Differenzen berücksichtigt werden inüssten. In diesem Falle wird es besser, das folgende Verfahren einzu- schlagen Da
lA, SO iviid Es ist aber
2 ^ '
^•^^^^"^ — M « i /am* i »(1 + 3 foüi»^^ i»).
Ist die Aoomalie u nahe 180^ so wird efiiMif^o eine sehr kleine Grösse, und es unterscheidet dch daher der letstere Ausdruck von dem ersteren nur um sehr kleine Grössen der sweiten Potenz von c^Um^* ^v, Setst man daher
, ° a= « . oder sitt w = -z- » (3)
so wird
ji« V = b sin w (4)
gesetzt werden können, wo <^ sich von der Einheit nur um Grössen von der Ordnung £otang^ \v unterscheidet. Ks ist, wenn
X SS coiang,'* (^)
gesetzt wirdi
Ist 9 gegeben, so rechnet man x nach (5)« b nach (6)1 w nach (4) und / aus (8). Büm wird jedoch den stt einem gegebenen Werthe von v gehörigen Werth von b zu dem bierags folgenden Werthe von w gehörig ansehen, und dsher mit dem Argumente «* tabuliren können, wo dann die Formeln (3) und (4) unmittelbar den zu einem gegebenen Werthe von / gehörigen Werth von v finden lassen. Die Berechnung von / bei gegebenem 7' kann unmittelbar aus (1) oder ebenfalls mit Benützung der Hilfstalel für b aus (3) und (4) mittels einer kleinen indirekten Rechnung gefunden werden.
Die Gleichung für smw kann geschrieben werden:
wobei
2 1/2
■ Man hat mit den Werth en des § 12 (pag. 303) fiir die Bewegung um
die Sonne Äj^^ « O-THOaoo? Mercur 1-9011498 Venus 1-7157G47 Erde 1-7000530 Mars 1 -8621943
•) a V. Oppolzer, »MoBatsbericbte der königL preuss. Akademie der WiMcnschaften«, 1880^ P*g. 511.
n. so
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3o6 Bfadunik dei Htaudhi. 14.
Jupiter 1) kg€ n 1 '2836673
Sntum 1-3710118
Uranus 1*0059855
Neptun 1-4953065
14. Bewegung in der Ellipse und Hyperbel. Für Ellipsen massiger Excentricitaten sehr klein, « nahe 1) erhält man durch direkte Integration von 12. 16:
— ^ (/ - r.) — + ^ arct^i^V^i (1)
wobei die Constante Tq gleich Null zu setzen ist, wenn die Zeit vom Durch- gänge durch das Pericentrum gestthlt wird. Setat man
(2)
und berücknchtigt die Besiehtmgen 18* 11, lo reductit iich die Gleichupg (1) auf
oder wenn man
setzt, auf
M^M^^^\ E—timS^M. (4)
iBk der Werth von M flir die Zeit / « 0, |a die Verlnderang von M für einen mittleren Sonnentag, die mittlere tägliche sidertiche Bewegung, jif die mittlere und E die excentrische Anomalie (veigl. LBd. pag. 9i)l Fuhrt man statt der Excentridtät t den EzceniricititBwiiikel f cm, bestimmt durdi die Gleichtmg
IT- mit (6)
so wird
iang tan^' (45'* -h |f ) kmg ) ^51 (6) Die Gleichungen (3), (4), (5), (6) und
r «B (7)
bestimmen den Ort des Himmelskörpers in seiner Bahn. Aus diesen Gleichungen leitet man noch auf elementare Weise die folgenden ab")
r CGs \ 71 -= ( 1 — e)cos }^ E ^ r rot 7> = a (cos E — e)
yr sitt^v =i y« (1 -h sin ^E r sinv =^ atasf sin E
r = a{\ — e ros E). (10)
Aus (4) und (6) folgt ferner noch die bäu6g verwandte Beziehung
IM"^' ^^^^
•) Mit der bei dem folgenden Beispiel angewandtenjupitermasse ^^^^^^ ist /ff ^ = 1 •288686.
') Subslituirt man in (7) fUr v die Variable t, so erhält man die erste Gleicliunf^ multipliart man diese mit (G), no folgt die zweite Gleichunp (81; quadrirt und addirt man die Gleichungen (8), »o ergiebt sich (10); quadrirt und subtrahirt man (8), so folgt die ente Gleidmng (9); multiplicirt man die beiden Gleicbungen (8)« so cdillt ana ^ swdie
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MtdiMift de» IBBUDeb. 14» Ib.
307
Die Schwierigkeit in der Baechnung der PlaneteBOrte liegt in der Ldsnng der Gleichung (4): aus der mittleren Anomalie die excentrische zu bestimmen. Ist ein genäherter Werth von E und der daraus folgende Werth von
= £1 ■+- e sin F.^, so wird sich die Correction ü — Zf, = aus der Differenz M — = leicht finden lassen; denn wenn die I>cwegungen genügend klein sind (als differentiell angesehen werden kennen), so wird
Aif- A£{i — etüiJS) folglich Äi?» 1 ^fcos E
sein. Bei £phemeridenrechnungen wird man einen genäherten Werth von E^t wenn auch ^dit fttr den emen «1 bestimmendfflik Ort, bo doch fflr die folgenden leicht aus dem Gange der Wenhe entnehmen. Man kann flbrigens die Difierena E-^M^x leicht auf folgende Weise ermitteln; es ist
— €MmM[\ — |jr* H- —..,.] H- e€0sH\x — \x* ^^x* , . . . ] oder wenn das GUed x*tt»sJlfnntk links gebracht wiid:
so wird
= 1 H- i 1* 4- |iri* -+- t)' . . . . Durch Umkehrung der Reihe findet man dannO
« = — ^ cotang Mr^^ + ^t)» .j^g^ cotangMy\^ . . . . ; E ~ M-\-x. (13) Für die Bewegung in der Hyperbel hat man in 12. Ki: t negativ zu setzen; schreibt man dann e = — t| und führt die Integration aus, so crli alt man
oder
(«41)1 ^^"l-tl/^"
also
/««^ ^ = tan^ ^ ß'yLt-l (14)
und zählt die Zeit vom Perihel (Tq = 0), so wird
J^^.^jr.^^^; M^.i^Wmi (.6)
Beispiel: Es sei für die Bewegung um den Jupiter:
^t;^r a = 8-9300000«;; % ^ « 0 0046135; v = 169" 6' 59"-39,
so wild:
E « 74** 50' 3"-22; — ^ « 0-233568; / = 80 0096<
15» Elliptische Bahnen. Entwickelungen nach der mittleren Anomalie. Fttr das Folgende wiid es nöthig, statt der Bestimmung der tu gegebenen Specialwerthen von M gehörigen speciellen Werthe von £ einen allge*
') Die TOa Enckb vorgeschlagene Einführung der Grösse 1] bewirkt das Wegiaüen der Glieder swritcr und dritter Otdtraog.
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3o8 Mediatilk det Hinundb. tft.
meinen Ausdruck E^/{Af) zu finden, und ebenso gewisse Functionen des Radiusvector«; und der wahren Anomalie direkt durch die mittlere Anomalie ansxudrttcken. Sei zunächst:
-f-OO -f. OO
Nach der Lehre von den FouRiBR*schen Reihen ist
» I ^sin mBumx MdM Cf">— cos mMfcsi MdM, (S)
FUr t — 0 erhttit man sofort durch die Substttntion von dM^(X~'ee4s£)d£ und Ausführung der bitegration:
S^^ti\ S^i^O; Ci«>-5; Cö>- — (a) und 5j*> » 0; Cj^ » 0 (fttr alle m mit Ausnahme von mm, 0 und 1). Fflr beliehige % folgt durch partielle Integration
^ ~ fc0Si{E — esm£)easm£d£
0
und ebenso
C/*^ = * J^os [(i — m)E — asm £\äE — ^<:<»j [(i -f- — c i j/«
Bezeichnet man nach Bessel
ias \\E — %sm£]dE « (4) so wird, ausgedrückt durch diese BasssL'schen Functionen
Um nun r'"-^'<cosmv und r'»-^»sinmv durchs auszudrücken, wird man am kürzesten folgendermaasscn vcriaiircn. Sei
pun, = asinQ '^' = 1=1^ (».)
so erbiUt man durch EiniUhrung der Exponentiellen mit imaginären Exponenten >X wenn i = y— 1 ist:
folglich
>) Die Einfllhntng von r «k Bub der natürlichen Logarithmen, kain in Imngta Itebea Anlast geben; / bcdcvlet hier ebenfalls, wie leicht su sehen, nidit den Paiancttr.
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Mechanik des Himmels. 16. 3^09
itg,p + — - w-'Q— |«»*-«/Q — |«** -l^Q_ ^«4^-4/Q_ . _ ,
l^^p — « — — ia^r+Ä'Q — ^a» rM'Q— f a*r«»Q —
daher durch Addition und Sobtraction dieser beiden Gleichungen;
iognp ^ — acosQ ~ C0S2Q - ^d^cosZQ ^ \ti*£osAQ ^ . . . ,
Ferner erhftlt man durch MiütipUcation der Gleichungen (7):
Entwickelt man hier jeden Faktor nach dem binomiichen Lehrsatae» bildet dann die Producte der beiden Entwickelungen, und aetct
K-^ 1 . . (-^^^ ....
so wild
A-i«) ^. 2jpW ö -H 2i?j2) -i- 2ä;^^ 3 C + . . . (10)
Für gerade n wird es etwas bequemer
zu seuen, wobei Zj*^ mm jK^'^ , daher
"^^71 1.» (1 + 2) + • • •
iit Quadrirt man die Gleichungen (7) und multipUcirt die aus der ersten ent- stehende mit rWQ, die aas der zweiten entstehende mit e-'Q, so erhält man:
Erhebt man diese Gleichungen aur asten Potena, und fttgt der grösseren Symmetrie wegen zum ersten Ausdruck in der Klammer einen Faktor ß hinau, der schliesslich gleich I gesetzt wird, so folgt:
Ans dem ersten Ausdnjcke folgt durch Entwickelung der 2mten Potenz (die Entwickelung des zweiten Ausdruckes folgt einfach durch Vertauschung von a und ß):
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3IO McdmOr dei Himmdi. Ift.
Die additive und subtractive Verbindung dieser Gleichung mit der Ent- Wickelung der xweiten Gleichung (11) giebt:
f'^cos mi^q -h (i H- a*'")^^^ — j *(! + a««-») cos (m — 1)C
Schreibt man ^* in der Form: wobei Also
ist, und multiplicirt mit (Ha), so folgt wobei
11=0 \ * /
Durch Addition und Subtraction der icuien beiden Gieiclmngeii erhalt man endlich :
Ans der Gleichung 14. 6 folgt nun« wenn fUr einen Augenblick ittif {45°+^ f) s n geseut wird:
/^..i/« r\ fang\v-fang\E {n — \)tang\B
{n — 1) srn j E cos \ E _ {tt — \)sinE usm£
™ TfiS^^E^n sin*^E l + tcsE — eo$£) ^ 1 — «w^*
„ __ 1 fang (45 -h 4 ®) — 1 wenn a « = (45^ 4. ^ y) 4, i = ^1«^- ^ <p ist. Weiter folgt aus 14 10:
Setzt man daher in den Gleichungen (6) oder (6 a)
a = /ang \ «p, (15)
SO ergiebt sich sofort:
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Medunlk des tlUrnndB.
311
1(9— £)s asm£ -h\a* sin 2£ -t- a> sin 3£ + . . . J^„r^ieilm{acos*^ff)—2[(ic0s£-^^ti*tfis2£-i-^Qk^ffiS^£'h* . .1(16)
Hier ist noch die cxcentrische Anomalie durch die mittlere Anomalie zu enelwn; zu diesem Zwecke mttisen die BtssiL'schen Fuadioiien entwickelt weidcD. Scbietbt man
/.^ a [eMk£(fis {%sm£) 4- sm i£sm {Tiism£)ä£,
0
entwickelt hier cos ix sm K), sni {y. sin E) in Reihen, ersetzt die Potenzen von sm£ durch die Sinus und Cosinus der Vielfachen von £ und integrirt^), so wird
« ö. Fl _ _!_ MV 1 f ^v« 1
(19)
Da nun in den Formeln (5) für x der Werth zu setzen ist, so werden und Ct^"*) als Reihen erhalten, die nach Potensen von t fortschreiten. FUr die einfachsten Functionen r, v, cos v, sin », r cos v, r sin v, cos v : r', sin v ; r*,
in denen die Coefücienten der Sinus und Cosinus der excentrischen Anomalie einfache Functionen von e sind, wird die Substitution der Sr , C^'" einfach durch- geführt werden können; man erhält die in 37 angegebenen Reihen. Wegen der Entwickelung von r^'*'" cos mv und r"^" sin mv wird es jedoch besser auch in y,'' die Grosse a = ^a»^ einzuiühreii Für x = i< wird
X Ott
2 H- «> •
Setzt man diesen Werth in den Ausdruck fUr ein und ordnet nach Potenzen Ton so ertiäit man
*) Ueber die Ausführung der ReduMWg liehe s. B. BSSSBL. Ges. Werke, I Band. pag. 18. Ucbcr eine Kettcnbiuchentwickelung für dieselben Functionen siehe ebenda, I. Bd., pag. 96.
•) Dabei mma jedoch bemerkt werden, dass die Reihen schwächer ronrcrgiren ; a ist die von Hamskn in seiner »Entwickelung des Produktes einer Potenz des Kadiu&vectors mit dem sin oder «w dna VieUachen der wahren Anomalie« (AbhandL der kOnigL sticht. Gesdbchalt der WimtiKchaftam Bd. IV» pag. 183) nit p beieichncte GtBaae. Vci^ beaglukn pag. S4t xuA für die CoMBdeiilca (iX)», pag. S57.
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3t« Mechanik des Nmmdfc 15. 16*
wobei
/ ^\ (^'^^\^(^'^ ^\ 3\ t*
C».x;, = ^ S ;"*"V 8 j 1.(Xh- 1) ^ 1 ; 1 .2(Xh- l)(X-l-2)
A -H 5\ t«
0 j 1.«.8(Xh- l)(XH-9)(X-l-a)
0. x;, « ^ 4 j ■** V 8 j l • (X + 1) V 8 ^ ]*S(X-f-l)(XH-8)
A -H 6\ i;;
V 1 ; 1 • 2 . 3 (X -M) (X -H 2; (X -h 8) ^\ 0 7 l -2-3-4(XH- l)(X4-2)(X-i-3j(XH-4)"
16. Nahe parabolische Bahnen. Für diesen Fall wird es am Tordieil* härtesten, in der Gleichung 12. 16 vor der Integration nach den Potenzen der kleinen Grösse c /n entwickeln. Ist e positiv, so wird die Bahn eine Ellipse; negative c gelten für eine hyperbolische Bahn. Man erhält:
^^8^1 (/ - To) = T + i T» - 2 e (i t3 ^ t5) ^ 3 .2 ^6 ^ ^ ^7) _ . . . (j)
Um aus dieser Gleichung den Werth von t Alf eine gewisse Zeit su be- stimmen sei, wenn die Zeit vom Periheldufcbgang gezählt^ also T^^O an* genommen wird: _
oder _
MZ-^CA + CS)
dann wird man /x mit dem Werthe M/ aus der BARKFR'srhen Tafel entnehmen können, wenn / bekannt ist. / blcilu aber vorerst willkürlich, und es ist ge- stattet, no( h eine Bcdingunj^ dafür anzunehmen, v. Opp0I 7FR nimmt an, daas / so gewählt werde, dass sich t durch x mit Hilfe der Gleiciiung
T = X [l €X* -t X* + A^t^ X* . . . .] (4)
hnden las r, wobei die A^, von der nullten Ordnung der Excen-
tricität seien'). Nun muss
■) V(ui '!cn verccb;e(!cnen, von Bks^fI , BrÜNMOW, GaUSS ttnd V. OpVOLZBK V<WfCSChlageaai MetliodcTi genügt is die lef/ti-re annifuhrcn.
•^j Diese Bedingung, denen die A unterworfen werden «oUen, drückt v. nicht explicite aus, s. sein «Lebrbacii zur Bahnbesttmmang«, I. Theil, H. Avil., pag. 66; aie liegt aber in den darauffolgeiidcn Glcieliangen (6), pag. 67. Radav, Bullet astr., Nov, 1885 enelit diese Bedingung durch eine andere, welche die Ableitung scheinbar vereinfilcht. Unter der Annahme, dass t eine ganae Function von x sei, mttsscn in dem Ausdmcke
I + (/-«)» und 1 -I- gleichzeitig verschwioden* daher x und /x glekhicitig 1 werden. Fttr diesen Fall crbslt allerdings / den Werth, den die v. Qppouaa'sche LOtnng feidcit, aber
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Ilfduulik de» Himnteb. 16.
3«3
jr-hi/»«»«TH.iT*- 2e(lT«-|-iT»)+ . . . (5)
sein. Substituirt man hier für t die Reibe (4), so erhält man tnr Bestimmung der Co^lficienten A die Gleichungen:
2 — 3 t = 5 t/^, + 5 (1 — 2 e)
3 - 4 £ = 7 t^a + 7 (1 - 2 e) C^a -h ^ ») - 7 (2 - 3 a) (6)
— 9 (2 — 3 e; (.4, + 2 A^») H- 9 (3 - 4 0
Sei /» ] + zip, so folgt aus der ersten Gleichung A^ = -|- |; dieses in die zweite Gleichung substituirt, gicbt als Bedingung daftlr, dass A^ eine ganze Function von c sei, wenn <pj der constante Theil von f ist:
T»i-t"T = 2 oder
Die WeitlXufigkeit der hierbei auftretenden Operationeo umging v. 07poi,zbr dadurch, dass er die Functionen A und f in der Forin '
«1 4- «j « H- a, t* . , , .
annahm, und in die Gleichungen (6) substitoirte. Es folgt:
jf 2 2 w_ 3
*"* 6 nS ■ 7875 * • • • • ^ _ 87 128 .
— i?i — «JS • • • • • (7)
• • • •
« • «
und nach Kadau:
3yr=» pi + ^t-h^t^H-^t« ... (g)
Für die praktische Anwendung wird dann geüetzt
n = t£x*
0 = 1+1 . . (10)
WO die Coefficienten der Reihe G die Anlangsglieder ^^^O, ^,(0), ^^(o) . . . . der Reihen (7) bilden, dann wird» wie sich leicht ergiebt
-ii^xGH, (11)
wobei
1 -t- ^ [(^, - ^,(«> -ff •)t»**H-(i<, — -<,(•)-£») ... 0
(12)
Tabulirt sind: /, E mit dem Argument «, G mit dem Argument «, und H als kleine Eigänsungstafel mit doppeltem Eingange mit den Aigumenten t und
die Idcntitüt dt-r Bedingungen ist nicht a priori ersichtlich. Dieses wird offenbar, wenn man einen aoderen Werth von / betrachtet, der den Charakter der Function T nicht ändert, aber die gestellte Bedingong nicht erfttllt. Angenommen, es werde / so bestimmt, dass in (4) dM Glied mit i4jt Tcndiwindet; daitii wird nach der ersten Glddiaog (g; /i i 2t su
S 8
setzen sein. Dann wird — 0, und die iweitc Gleichung (6) giebt '^i *° » ^^'ä*
lieh wUrde sich ergeben
Dlgltlzed by G() ..^ ,
3t4 MeebMiik 4c* Htaandt. \1*
X. Man wird dann zunächst mit dem Argumente c die Werthe von / und E (Constanten ftlr einen Kometen) entnehmen; mit dem Werthe von M/ aus der BARKER'tchen Tafel den Weitli von w, dann ist
Hienntt wird n gerechnet G vaad H ans den Taleln entnommen, und es frt scUiesslIdi
17. Berechnung der Coordina^n und Geschwindigkeiten. Die Grössen r und v bestimmen den Oft des Himmdsköipers in soner Bahn. Um auf eine feste Ebene ttbertugdien, sei diese die A'-F-Ebene (Fig. 37 IX während die X* K'-Ebene die Bahnebene vorstellt Dann werden ^ i die die Bahninge bestimmenden Elemente sein, und es ist
rto$ Vf y^rtmp, s* 0; « + u. s. w.,
folglich
X ^ r [cos St) cos (»-+-«)) — sin 9- sin (v -h ») cos $\
r \sin ß cos {v -\- ta) -\- cos ^ sm (r -H a») cos »] (l) %^ r sin{y -\- vi) sm x.
Setct man
^aiksA ^ •¥ tm^ st» d sinB ^ + sin C^O
so wird>)
r = r sin a sin (J' H- v)
J = r siH b sin {ß' -f- v) (8} M = r sin c sin (C" -h v).
F(ir den Fall, wo die Coordinate z* über der Bahnebene nicht verschwindet, was z. B. in der gestorten Bewegung eintritt (s. z. B. § 29) treten nocb die Glieder Ks'» 7»'' hinzu, und man erhält:
4P e= r sin a sin {A' -\- v) + s' cos a
y=i rsinb sin {B' 4- f) 4- «' cos b (Sa) M = r sin c sin (C + v) -f- s' cos c.
Sind die Polarcoordinaten , heliocentrische Länge und Breite, gegeben (Coordinaten der störenden Planeten), so findet man hieraus die rechtinnUigen Coordioaten nach:
X = r cos ! cü^ b, y — r sin l cos b, z = r sm b. (4) Sind die Polarcoordinateti /, zu bestimmen, so hat man, wenn die Jt-Axe in die Knotenlinie gelegt wird, emerseits in (4) / — Stelle von / zu setzen
und andererseits in den Formeln (3) p. = 0, z = r sin zu setzten, wenn j^i die Breite des Himmelskörpers über seiner Bahnebene ist. Ua ^ stets sehr klem »st, so kann ^arc l" für sin ß gesetzt werden, und man erhält die beliocentrischen Coordinaten /, bezogen auf eine feste Ebene (Ekliptik, Ebene A m Fig. S7S) aus den auf die Bahn^ne bexogenen Coordinaten p, ß durch:
') Ucber die Bciedmaiig der CMUtaaten fllr den AeqiMtor i. »BaluibMtiniiBUBgc, I. Band, pag. 471.
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ItcdMDik dct Ifiinneli. 17.
cos (/ — ß,) cos b = cos {v -\- tu)
sin (/ — Q)cos 6 = sin {v -f- tu) cos i — ß arc x/jf / (6)
3 = sitt {v -\- ta) sin / -f- ß i?'*^ 1 " cos i.
Es tritt Iiautij; der Fall auf, dass man die Polarroordinaten Z,, des in der Ebene li^ sich bewegenden Himmelskörpers bezogen auf eine andere
OL 373 J
Fundamentalebene B die Coordinatcn des störenden Himmelskörpers, be-
zogen auf d]e liahncLicnc des gestörten) zu beziehen hat. Man hat dann zu- nächst aus dem spl^anschen Dreiecke, dessen eine Seite A, — A und dessen anliegende Winkel t und 180° — /j sind, die beiden anderen Seiten <tf und und den dritten Winkel J zu bestimmen, wozu die Formeln dienen;
sui \ / SIN \ (1) Oj) = sin ^ (ß, — ft) sin ^ (/, 4- i) sin \ / cos ^ (a> 4- a)i) = cos \ (fti ^ A) im 4 (/i - i) cos iJstn i (0» - <I>,) = sin ^ (ß^ - ft) ^ (x, 0 4 (<l> - O,) « 4 (ft, - ft) (TW i (/i - i>
Dann ist f j 4- e», — = A'w (Fig. 272) das Argument der Breite des Himmelskörpers gezählt vom aufsteigenden Knoten K der Bahnebene i>, aul der Fundaroentalebene B\ es ist daher nach (5):
cos [Zj — (C -t- <I>)] cosB^ = röjf (t'i H- »1 — <I>i)
xi« [X^ — (Ch- a>)] cosB^^ sin (t;, ^ «, — (I),) r^.?/ — ß, arc l" sin / (Qb)
sinB^ = j/« (», -f- (o^ — <I)j) sinj ßj arr 1" i-^^^y.
Die Längen Z, sind dabei von einem Punkte gezählt, der um C gegen zurückliegt, so dass C die in der Eigene B gezählte Länge von ^ ist. Wird C s A genommen, so isi die Lange in der Bahn, A4-«» die Lange des Peribels des gestörten Körpers.
Sind die auf die Ebene A belogenen Cooidinoten /, , ^ j (aas den Ephemeriden) bekannt, ao eiliilt man L^B^ aus de« sphärischen Dreiecke, dessen Ecken die Pole der beiden Ebenen B und der Ort P sind, durch:
eatBy tPsLx ■= €&s tüs (/| —
i^B^ smZi sMk^smi + Mt itm (/| *- A) (7)
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3t6 Uechuiik de« HtmndB. 17.
welche durch die EiniiJhrung zweier Hilfsgrössen Q die folgende Form an» nehmen:
^1 sinQi B sin ^, tffsß^ eosL^ « €0S (0$ (/, — j^)
f**öt " t^fbx sm (/| — fl) t^sB^ sinL^ « ^, r^j {Q^ — i) (8)
Die rechtwinkligen Coordinaten dt, y, m, besogen auf die Ebene B weida dann
*i «= ri cosB^ £OsLi ; yj = rj (^^sB^ sinL^ ; *j = smB^ (8b) Die Entfenntng der Maasenpankte PvA gegeben durch
''Ol' = i^i - '-^y + {yx-y? + («, -«)*.
Für die numerische Berechnung aus den rechtwinkligen Coordinaten würe zu rechnen:
f-Qj COS ü toi W •= — X
r^x fos% $m%' = — y (9) r^i « t, — t.
Führt man die Folarcoordinaten, bezogen auf die Fundamentalebene A eiq» •o wird
y^ — y = cos sin /i — W b tmt — § wm sm b^ ^rsmb.
Legt man die Fundamentalebene ß zu Grunde, so treten Zj, an Stelle von l^, b^, es Wud r cos b = r, r sin b ^ », l ist die Länge in der Bahn, und wenn Ö' — / = 6 gesetzt wird:
r^j cos Fl — rj ^-^'^ j^, rf^^ (Zj — /) — r
r^i d J/« ^ — cos sin (Z, — /) (10)
Aus den Formeln (3) lassen sich die Geschwindigkeiten nach den drei Axen leicht ableiten; es ist
dx dr dp
SS sin a sin (A' v) ^ i4'
aber
-^^esmv; ^=-^(I^-..^,^,) = ^ (U)
fllhrt man diese Werthe ein, löst sin (A' -t- v), cos (A' + v) auf, so erhalt uun mit Einführung sweier Hilfsgrdssen 7» r die Formeln:
ism r sinv -7 ^TsmaCM(A* V)
-jj^tsmt eas(C ■+■ r)
Da die Constanten A, B, C, in den Formeln 12, S die Projcctionen der
Flächen geschwindigkeit ^^YJ auf die drei Coordinatenebenen sind, so hat man nach 2. 35:
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Mechanik des HirancU. 17. tft. 317
dy dx , ,
^^-,^-i,v7«i,ii».ft (13)
äx dz , /— . . _
' ^ ~ * ^ *" oder, wenn man die Variabein r, t nach 10. 2 einführt:
.dz . , dl , dr ./—«..
T cos l X sm i'* -^^^ s cos l ^ ^orP Ä
18, Transformation der DifferentialgleicbuDgeti Iflr die Variation der Elemente. Die Diflerentialgldchungen der Bewegung in rechtwinkligen
und polaren Cooidioaten bis Z>) (pag. 393— 295) können mit einigen leicbteur bei der Berechnung der Störungen vorzunehmenden Transformationen sofort ver« wendet werden. Die Gleichungen (£) (pag. 298) jedoch müssen noch weiter aus- peftthrt werden, um die Variation jedes einzelnen FJementes fiir sich zu er- halten. Zu diesem Zwecke sind zunäctist die Coordinaten Xt Jfi * als Functionen der sechs Elemente a, e, Mq, fl,, 1, «j darzustellen.
Sind Xf^, die rechtwinkligen Coordinaten eines Himmelskörpers in seiner Bahn, wenn die X^'Axc in der Richtung des Perihels angenommen wird, so erhalt man die Coordinaten, bezogen auf eine feste Fundamentalebene nach 2. 1 nebst den Geschwindigkeiten gemäss der Bedingung A^'«sK'^27aO(s.§ 11) 0.
jF . V » «,*o + PtJ'o / ♦ - «**o' PtJ'o' 0) « X — «,*o + Pi.ys — X — + Ms'-
Die Formeln (1) haben die EigenthQmlichkeit, dass die drei Elemente a, e, nur in den s^, hingegen die drei anderen Elemente A> ^ >» nur in den Coiifficienten «|, e,, «n p,, ß,, auftreten. Seien b» e zwei Elemente der eisten Gruppe»/ g swet Elemente der zweiten Gruppe, so wird daher
^"^0 -^fi ^0 , ^^0' , o
^ «"FT"*""« a/ ^/ ~ • a/ a/ •
Man hat daher, wenn 2 die Summe dreier Ausdrücke für t es 1, 2, ä bedeutet:
V a^ ~~ J V a^ j ^P»
^{^y^ ^£i! ^V_^i-^o a.ro ajo'\y^ft^
daher mit Rücksicht auf 2. 4 bis 7: ') E» Ut
X* . L ^'o ft ^-^«"i '''' ^ in j- ft ^'»'«'^ ^' ^ L ^■'o j. A ly±\ r* M TO) ^ ^ ( • ^ ^-^^ ^ ^ 77*
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3lS Mcdwaflc des Hinaidit 18.
^^^J- dh de d( " dt db ^ de '
Ebenso erhält man
NoD itt
(6)
Die Ableitung der Auidrttcke (2) fOhit oua «n ziemlich complicirten Aw» drOcken; man kann jedoch die Rechnung Teretn&chen, wenn man bedenkt^ dass die Co^ificienten die Zeit nicht explicite enthalten (a. § 11); da dieietbe demnach im Resultate herausfAllt, so kann man sofort einen Spesialwerth an*
fahren, der so gewählt weiden kann, dass die Rechnung sich möglichst verein- facht. Hierzu ist imm^Jif^iyk m setzen, weil dann E^O wird; es wird daaa
dE dE dvi . d£ dE I
d0"^ d^ d4t~^^^Tp~e'* 'W^* dJd.
Es wild nun s. B.
dtf de \\—eecsE) 1 — eewE de
da der erste Ausdruck wegen des Faktors smE, der zweite wegen des Faktoit
dE
-g^ verschwindet. Man erhält auf diese Weise
0
X— ■fü—zr ffi! n ^*«»' <»|fc
* •r 1-^ 77 " dM^ ^-*ri-#
Weiter wird
Ca^ da^
dB. 96« dB*
^a, caj
äli"*"^" a,o="'*"P» ä^"*"*"**»
(10)
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Mecbanik des Himmels. iS. 19. 319 Folglich
[f Jf«] * 0 - 0
Hiemit werden die Gieichungeii {£) (pag. S98):
da dü
-l-aVyi -57-^
Aus diesen Gleichungen erhält nui sofort
äa ao
dt^'^a\idM^ dU^ ^ _ dfi
dt W *17
£1 1 ao rgj/ ao ^ ^
" «Vyi — i aft ö Vyi — XI« / ^ •
— yi^<* ftfxi aa
yi — ao 1 — ^» ao if/ «*|ik^ a«» aiif^
19« Variation der Elemente. Einführung der stdrenden Kräfte Q, Zffi\ Will man statt der Differentialquottenten der Stfirungsfunction die slftrenden Kräfte X, Y, Z dnfllhren, so hat man
ao ao a« ao a^ ao a«
wenn ^ irgend eines der sechs Elemente ist Bfan hat daher sunächst die
Die Glddiidifm «el$ldMBi der Reihe nadi in fblgeader Weiie: t) die dritte deidnmg*
I t*
1) Die rmfle ondtiplieirt mit ■ und zur eraten addirt. 3) ei» der filnften. 4) Die
■edute maltiplicirt mit — <osi und zui vierten addirt; 6) 6) durch Substitution der bereits er- Weitbe in die zweite und sechste.
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(3)
3««» M«chMiilt de* Hiiinieb. It.
Differentialquotienten der rechtwinkligen Coordinatea xn ermitteln. Aus dea Formeln 14. (4), (lO; und (6; folgt»),
— « 1*^ . ^ _ siif£ gig I
^» sin V
aJ/. ««Vt«»» ^ 7« SetK nuui
m (f H- «») <-<7xÄ — iw«(» + •) A I M I
fifs (V -h ^) sin Q, + stM (v + w) A <-<?f / = II sin (v -H u») -I- W (r -4- w) xiVf /-^^j / = HI
sin {v + II») stM A — <«r H- <•) f A i^TV,
so wird:
* = rl ^ = rll s ^ rsin(v u») fi« '
Bx ^ ' dy dt
^=.+i«i(t^+«)r«i
3jif 9« _ cy da dz
9x fl«
jTms-^rsm{p-i-vi)smQ^sini jj^^rsin^v-i-a^eMSlySmi •^^'trfm{V'i-io)iMi, foJgUcb
^ — j — Iii//«««'? *«• »I + 1 f m
j^^j — iiL/fan^ffsmvll+^-y-cos^lV
* , au./
Yä~a '~ '<"»4rSP sinip-i-^)sin i — \ —p- cos f '
hx _ . rsinv
^ « « « „ n - (2 + * ^i»x 1^) I V
— acosvsinip + fo) sin i (2 c cos v) ccs (v fo) stM i
jjf^ + «Ä»nff x*«»i v- -^r^if in
» «AiÄif'f J»«irll —e^s^Vf
dz a* ÖJÖJ ^ iang^ sm v sm (t» H- w) xÄ» # H- — w? (» 4- ») xi« Ä
. Et gtaOgt. Utr die ZwbdicaieBdllatt umtfiUiTeii, du di« AMflOnaig der Püfaembitow ttnd die Rcdnciioii der eifaelteMB Audittdce keinen ScIiwiciigkeiMii Httcriicgt.
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Mechanik des lOmme]«. 19. 3,1
Führt mni hier die angezeigten Operationen durch, so erhält man nach en^ fptedieiMlar Itcdactioiii):
— /_._ITT .0 » ^J^ y » P-^
Ä - - ii^ (-^ III ~ 'ßx) - ~ IV ~ .p, )
dM Z , ja/ ,
dz a .
Hi«nu» erhält man nuii
^Q xXy-^ yY,-^ zZ, ,
07 ^^^«7 ö ~ «^'i-'^i + a, H- «aZi)
ä^" "** 9 + + ß» ^1 ^»^i)J
dfi (6)
ao
woM
— m JTj - IV K, + tfi$(p^m)smiZ^ getebt ist. Aus den Gleichungen 1& l folgt aber
«1« + Bjjr sg« a OB
and da Krtfte ebenso msammengesetst weiden, irie die Cooidinaten selbst, so ttt
d^X, -H aj -H a,Z, « A'(o) — aj^T«» h- r«) + 7^2(0)
PjA'i + pjK, -h PjZ, = K(») y, =a,^(o) -,.p,yto) H_Y,Z(«) (?)
0 Bi wird t. B.
37 - 7 " * "SJ^ ""^ t i - (1 + ' «» nq «
Die Ausdrücke für
«UBben dci euch uamittdlMr, «ena nan die Xilfie J«o)^ k(o), etatthn^ dem es irt t. B. VAUlmnl^ AMMMMi^ IL
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339 Mechanik des üinunels. 19.
wenn Xi^i die störende Kraft m der Riditang des Feribels, die ttOreode Kraft senkrecht duo in der ungestörten Bahnebene, und ZW dße störende Knft senkrecht aof die ungestörte Babnebene sind. Hiermit findet sich:
oder
I K, — ITA', = 73 Q — Z(«) H- «,) 5f« I
Q ist demnach die Kraft senkrecht zum Radiusvector in der ungestörten Bahnebene; führt man noch die Kraft in der Richtung des Radiusvectors ein, so dass
t&tv — X^ smv
ist, so wird
dü r Ii/ SO s
9fi dO
j^mm+rtasiQ^ rZi^e9s(v + m)sm $ — + r sm(p + m)^».
Damit werden die Dififerentialgleichungen ftir die Elemente: da S
dÜftk 2 r / r sin v cos ' •
^ß, rsin(v -+- co)
^/ JXt t'i <p J
r cos{y 4- to)
Z<»)
(10)
dt }i 9
im _ _fjmp_ Q_ffS2 r «>, (V + «,) », I
dt a^}^ecos f ^ «yie |ft f jrsKi
In den Diflerentialquotienten (tlr <», J/, ond « sind noch X^ und y<*l durch P und Q su enetsen. Es ist aber
Nach einigen leichten Reductiooen erhält man dann fUr m die in den Formeln (11) enthaltenen Resultate. Far dM^ jedoch ist noch eine Bemeikoag SU machen, da hier die Zeit noch explicite vorkommt; trennt man diesen TheQ abb so wird der erste TheQ
sein» dessen Reduction ebenfalls keinen weiteren Schwierigkeiten unterliegt Da zweite Theil lässt sich schrdben
und man hat daher
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MeebMik des HimiMhi 19i.
323
dt |JL cos 9
dQ, rsiniv 4- m)
4t a* (1 cos 9 xm <
"37 «■ [(ifü £ -h ffis 9 smv)Q — t^s 9 m v*P\ s-^^ -r—r-
dM^ 1 r/ ^re^ . \ ^ , • ,^1 (dMA ^^^^
dt tüs •
^ -I- {{fos E -h f)Ö sin V I\
Der JEweite Thdl in ^^f- wird
dMt\ Bt ,„ „ ^ u. da du. da du.
Man kann nun die Störung ^^^^ ^ doppelter Weise berücksichtigen. Es ist nimlich in der ungestörten Bewegung:
Für die Berechnung von M in der gestörten Bewegung hat man für die gestörte mittlere Anomalie zur Zeit der Epoche tu nehmen, welche durch Ver^ inderung der Elemente, ohne Rflcksicht darauf, dass auch |t veränderlich ist, bestimmt wird. Da nun die in / multipliciiten Glieder, wie aus dem Anfange Paragraphen ersichtlich ist, daher rühren, dass auch ^ veiltnderUch ge-
dE u./
nommen wurde, indem hieraus der Dittereniiaiquütient -r— = — i — eintritt
^ da ^ r
(rergl. die Formeln lg (6) und (7)], so wird dieser Theü die Störung der mittleren Anomalie j* ^J^f^ ^'^^ nian nun erstens mit der constanten mitücren Bewegung nach der Formel Mbs + |i/ rechnen, so wird wegen:
die von der VerSnderlichkeit von |a herrührende Variation von M in die Störung der mittleren Anomalie zur Zeit der Epoche einbezogen sein und es wird:
w . A . . ^^^0 (dMA^ (dMA , ,
üf-iM^ + ii/^Aiifo wob« —si^^y^j^-^x-d);* (13)
Mr ist die ungestörte, constante, mittlere Bewegung zu setzen.
Man kann aber auch in der Formel M^'^^t fttr die gestörte Be- wegung |fc als veränderlich ansehen, und dann an nur den ersten Theil der Störung anbringen; dann ist
dt \dt);^\dt) \dt )^
und |K veränderlich. Daraus erhält man durch Integration
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Mechanik des Ilümnels. 19. M>
Da aber
Is^ wobei
3/ ^ ~ 2 ö di~'~ oM^
^« AJ/o + C (15a)
ist, so wird man erbolten, wobei
20. Variation der Elemente für grosse Ezcentricititen (nahe parabolische Bahnen) und fttr sehr kleine ExcentricitAten und Neigungen. Führt man statt der mittleren Anomalie die Zeit desPetibd* dorchganges ein« so wird man l&r die slUnmtlichen Elemente dieselben
Formeln erhalten, nur an Stelle von tritt die Störung der Pehhelzeit, für
welche sich
(I)
ergiebt, wobei an Stelle von / hier / — 7*« als die seit der Epoche verflosm Zeit eingesetzt ist
In dieser Form sind die Formeln auch für nahe parabolisciie Bahnen sä* wendbar, in welchem Falle t nahe der Einheit sein wird. ^ ist aber in diesem Falle noch durch \ a\ zu ersetzen. Da übrigens a sehr gross und sehr klein wird, so wird man a fiberaU durch p ^acßt^^ en^tun» Es wird dann zunftcbst
während in den übrigen Ausdrücken a voUstlndig verschwindet Um auch hier a SU eliminiien, kann man
bestimmen; hieraus wird also:
oder man sucht an Stelle der Aenderung a diejenige des Parameters. Da
d^ dt
ist, so erhalt man mit Einfllhning der Warthe von und
^« H£l^ Q
Di\idirt man noch durch — ^pV~p so erhält man die erste Furmel (3)i d'C übrigen folgen unmittelbar aus 19. 11. Man hat:
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Mc^aaik des fiBnineb. SO. 33$
^Ay^/ k^iX+etosv) dt k^ip^
— [(3 * r - / o) /> 4- (r + /) J«» P ÖJ -
dSi,
In dem Autdracke fflr tritt der Nenner im t auf, in den Auadrttcken für
dßfm dv» dvi
—j^ , der Nenner i, in ^ Uberdiess ebenfalls xmi. Sind daher die Neigungen
mid Eicentridtiten klein, so wird daraus eine belrächdiche Ungenauigkeit ent- stehen. Dass die Störungen bedeutend werden, ist theilweise in der Natur der Sache gelegen, da ja bei kleinen Neigungen der Bahnen sehr beträchtliche Verschiebungen der Knoten stattfinden können, ohne dass der Ort des Himmels- ItOfpets dadurch wesentlich geändert würde, und andererseits in sehr nahe kreis- förmigen Bahnen starke Drehungen der Apsiden ebenfalls nur ganz unwesentliche Aeruieruni^en der Pianelenorte mit sich bringen. Alicr auch das uragekehrle ist der Fall: ein nur geringfügiges Hniausireten des Himmelskori)ers aus seiner Bahnebenc wird bei kleiner Neigung derselben eine bedeutende Knotenverschiebung der osculirenden Ebene erzeugen, und ebenso wird ein nur unbedeutendes Ab- weichen des Planeten von einer nahe kreisförmigen Bahn eine sehr bedeutende Tcnchiebung der Apsuien der osculirenden EllifMe aur Folge haben. Wenn aber auch die Störungen in der Länge des Knotens und in der Richtung der A|»riden durch keinetlei Transformationen verkleinert werden können, so können doch die fttr die Bestimmung des Ortes des Himmelskörpeis nöthigen Störungen von jenen starken Aendernngen, die sich schliesslich wegheben, befreit werden. Zanächtt kann die von der Neigung abhSngige starke Aenderung der Apsiden- riditong^ die sich in w xeigt, eliminirt werden, da eine nahe gleich grosse, ent- gegeogesetste Aenderung in auftreten muss. SeUt man also
A + «» K (Länge des Pericentrums),
so wird
von der Xcigungsänderung nur minimal beeinflusst. Ebenso werden bei starken Aenderungen der Richtungen der Apsiden nothwendie nahe ^jlciche und ent- gegengesetzte Störungen der mittleren Anomalie aufircLen, aci/.i man daher
a + SB (mittlere Lange in der Bahn für die Epoche),
so wird:
SB ^ ^ — r«f f «X » taug \ f ^/'H- Uimg\^{fm E + ecs^ sin v)Q^ -k-
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3a6 Mechanik des Himmels. 80.
■
wobei das letzte Glied wieder in genau derselben Weise betücksicbtigt werden kano, wie bei der mittleren Anomalie* In der Form
dL^ 1
= - [(— costf — p€0sv fang ^f)/* 4- (r p)sm v tang \^ • Q\
rsiniv w) . , 3(/ — T^) [ . p ^ ^ tan^\i' ZCo) 4- -^-^ — - cos y f^srnv-F-^^Q^
(6)
ist die Formel auch auf nahe parabolische Bahnen anwendbar. Handelt es sich um die Berechnung der Störungen in ^ und «, so wird man für sehr Meine Weifbe yon # oder € das Auftreten der Nenner umgehen, indem man andere Variable durch die folgenden Gleichungen dnftthrt:
Da
i9)
dE dt dn, de dn
-jj =s gas isin ß -h sin i€0S A -jj-
dVi . di , . . da dW de . dj:
ist, so folgt dB 1
lU ^ a*^easf ' ''^"'^ (2' -+- » -H Ä) — 2 H- iü)sm^sm'^ \ i\ ZW dSi 1
rsm (v '\- to) cos K ^ ^ . . .
^ 1 r, 1 J^^^
— [{ — sittnsinE-h coiTzcos h cos 'f + cos'^cos{^-\- vy^Q 4- cos^sui/^-^- lf)JP\
aus welchen Formeln die kritischen Nenner verschwunden sind. Sind diese Dift'crcntialausdrücke integrirt, und die Aenderungen der Elemente H, ^ gelunden, so wird man mittels der Formeln (7), (8) die Elemente /, P,. e, tr er- halten, wobei allerdings wieder die Nenner i, e aultreten, da sie jedoch erst zum Schlüsse erscheinen, so werden sie die Genauigkeit der numerischen Opera- timien nicht beeintrlchtigen.
An Stelle der Grösse « kann auch eine andere v eingeführt weiden, die mit A und «• durch die Beziehung verbunden ist
.d£i, dm . ^«mi^-t--^. (in
Fttr diese ergiebt sich
^ = --^ [(r -^p)sinvQ -pcosvP\, (H)
Da weiter geschrieben werden kann, so folgt
dt^€OS^\dt)^
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MedMOc dct HnDindi. 91, 3S7
21. Die Störung der Perihelzeit in der parabolischen Bewegung. Sämmtliche Formeln bleiben brauchbar, ebensowohl für sehr nahe j)arabolische
dl'
Bübneii, als auch für die Parabel seibstr mit Ausnahme der Formel für ,
in welcher der Faktor a, die grosse Halbaxe auftritt; welcher flir die Parabel unendlich wird. In Folge dessen muss der xweite Faktor Null werden, und für die Parabel wird sich der Ausdruck in der Form 0*oo darstellen; für sehr nahe parabolisdie Bahnen wird derselbe das Prodakt zweier Faktoren, von denen der one sehr gross, der andere sehr klein ist Um diesem Uebel stand abzuhelfen, kann der follgende dem von v. Oppoubr eingeschlagenen Ähnliche^) Vorgang dienen. Es ist:
Setst man den GoSfficienten in der Klammer bei Q gleich sodass (r^J)sjnv _ 8^.(/-r.)V^ _ _J_\( ,+t\^,_
so wird der KUunmercoCfBdent von Pt
Ire—pcosv r € sin v ^ resinv (r -h p)sinv
— — r — U-^- =— — — I — I £fisv — estn^vi 1 -4- — II
resinv r*
f f*
>) Vergl. deaacB »Lehrbodi sur BihabetHnimiing von Aanetcit nnd Kometen«! U* Thcil« pig. 326 u 39S.
^) Dieser Coefficient hat einr einfache analytische Bedeutung. Ersetzt man in den Elementen und den Differenttalquotienten nach denselben a durch /, so wird
ldv\ . (Zv\ da
«na 4» « M ^ ^ ^ ^ Fonndn 19 (S)
daher, wie man leicht fmdet, wenn man die Relation —-=14- *€MP befVcksichtigt ;
r dv i de
V. Oppo&cia enctet a nielit durdi p, tondem durch q (FMllieldiftui). Bexelchnet man
m diesem i-aile den Differentialquoiit-ntcn mit [^■^J » so findet man leiclit
9» r^*i j_ 1 ~ ' (^\
«vmil ddi die UentHlt der Uer gegebenen Foimeln fttr mit der von v. Orrou&R gegebenen •ofeit vcrifidit.
«
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3aS Mcdmik da HnuMb. Sl.
und es handelt sich noch um die Entwickelung von U. ist aber für aalie panbolisch« Bahnen nadi Gldchung 14 (1). wenn die Perihelxeit ist:
^•^^ ^ ' (/— TV) « i? - T -I- it» - 2c(it» H- ix») + 3»Mt» -h ^t»)
2^* wobei
ist. Benützt man den ersten der beiden Werthe, so erhält man für [/ einen ge- schlosserscn Ausdruck, jedoch in der Form ^, da im Nenner der Faktor ros^ff steilen bleibt; es wird daher besser, sofort die Reiheoentwickelung vorzunehmen. Nun ist:
I " I 1 -I- — |«M 9 « (3 €CMP) smV " 77— vi
\ {\ €cosvy
P* X (3-t-t)-h(l-».3t)T> ~ r» 1 -h # (l-f- tT»)» 3^o(/- JV)/7.r 3(1 ~ .)
Sdit man nun
e-sT«
and fttr den Augenblick der Kflne halber
— i^-Ä
so wird:
1 « stt[i + e + i. 4- ^^1 - ^-j^^ j -
[20 H- 8»!
n — «(1 — t)j? -
-«T(i0-|8»4-4e'- . . . )-«TU|-i8 1«* - . . . )]
„ a j^x + ix» - - i»x8 - («T^ - »»x^XI - |8 -H 18« - . . .)] •
Nach einer leichten Reduktion folgt daher II ?t ex [t^^ ^^^=f^ + i^
I - II =
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Uednidk dm HhmneU. 8 t. 98. 329
Setzt man daher
(l-ie-hie»-Ae'-HÄe*- ; (i +e) = H,
so wild
^ - " nre ~ ^ (1 - «')Ht*j
und demnach
Setzt man noch b ^(i + ^) und ersetzt Überall e durch so wird der GoäflScieot vor der KlammergrOsse:
+ 1 + e ^ 2 1-« l4-e "'"'T 1 - «
folglich
£^ — 1^ ^^^'^ j«i »[©t — Ö Aj/^^* ^ 1/ 4- (1 — «»)H /ö/s|^4 »j.
Die Entwickeliing der Auadtllcke fttr und 9' in Reiben wird nicht vor- dieilhaft; hingegen lassen sich die Ausdrücke etwas vereinfachen. Es ist nämlidi, wenn man in 0^ auf gemeinschaftlichen Nenner bringt:
^^4e-ne«^ie« Hi-t-6)-Me>(i.<.e)-^e« e«
Die Beihe iUr H wird, wenn mit dem Faktor (1 + 0) ausmultiplicirt wird, stark convergent; man erhält:
«-l-Ä» + *«»-jB»' + iik«'- ••
und hat daher aur Bestimmung von V die Formeln;
Die Rechnung wflrde erleichtert durch Hilfstafeln, welche S«, 8', H mit dem Argumente 6 gebend). Fflr die Parabel ist t 0. 0 » Op daher 9^ m |) 9^ a I, H s demnach
tt* Stdrangsrechnung. Bei der Untersuchung des Einflusses der stören- den Maasen kann man swei wesendich verschiedene Wege einschlagen. Man kann die auftretenden Störungen durch numerische Rechnung bestimmen, wobei man diese, in gleichmässigen Zeitintervallen fortschreitend, IQr jeden Zeitpunkt ipeaell ermittelt. Der Vorgang ist dann der, dass man ftlr einen gegebenen Moment den wirklichen, gestörten Ort des Himmelskörpers als brennt (bereits
*} Deshalb wurde der Coefficient von tang* nicht zusammengezogen,- dieser CoefBcient ^t>)H] itangt nlBÜlch ansier von den Argnineiile 6 noch von c selbst ab. Tnfeln ^ 9m 9\ H nnd vom VerCuser bctechnet, aber bisher noch nicht pnblicirt worden.
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330
Mechanik des Himmels- 8S. S3.
I
berechnet) ansieht, die aus dieser Lage und der gleichzeitigen Lage aller störenden Körper reiohiefenclen Kräfte numerisch bestimmt (in ihrem VerbältniM zu der An»^upg des Centraikörpers) und aus diesen Kräften den Ort des Himnodi* k&rpers für das nächste Zeitdieilchen sndit. Man nennt diese Methode <Se Methode der spesiellen Störungen. Sie wird verwende^ wenn es sieb um'^die Berechnung der Störungen nicht periodischer Kometen handdt, oder am <fie Ermittelung der Störungen eines periodischen Kometen oder eines kleioen Planeten in den ersten Jahren der Erscheinung, wenn noch nicht genügend sichere Elemente bekannt sind, und dieselben erst aus der Verbindung mehrerer Er- scheinungen unter Berücksichtigung der Störungen abgeleitet werden sollen.
Handelt es sich jedoch darum, die Bewegung eines Himmelskörpers in der Art darzustellen, dass man durch analytische Formeln jederzeit den Ort desselben sofort, ohne die numerische Berechnunp der früheren Orte, crVäit, so wird man analytische Formeln aus der analytischen Form der störenden Kräfte ab- zuleiten habLn. Diese Methode der Störungsrechnung nennt man die Methode der Berechnung der allgemeinen Störungen oder (nach Hansen) ab- soluten Störungen. Sie wird zweckmässig, wenn man die Erscheinungen eines periodischen Kometen, eines Planeten, des Mondes oder der anderen Nebenplaneten su vertolgen hat, einestheils, weil man jfllr jene Zeiten, wflhrend welcher der Himmelskörper unsichtbar ist, die Störungen nicht zu kennen braacht und andemtheils, weil durch die einmalige Berechnung der allgemeinen Störungen Formeln gegeben sind, welche während betrSchÜicher Zeiträume ungeändert anwendbar sind, während die Berechnung der speziellen Störungen immer wieder von Ort SU Ort weiter geflihrt werden muss.
Bei der Ermittelung der spesiellen Störungen lassen sich die Methoden der Berechnung der Störungen in rechtwinkligen, in Polarcoordinaten und in den Elementen ziemlich scharf trennen, nicht so bei der Bestimmung der allgemeinen
Störungen, wo die Versuche zur Integration der Differentialglcichimgen oft auf mannigfache Combinationen zwischen den zu wählenden Vaxiabeln führen.
a) Berecfanimg der spesiellea Stönmgeii.
28* Spezielle Störungen in rechtwinkeligen Coordinaten. Boho- ENCKB'sche Methode. Belehnet man wie fiHher
L Vi ^»J '
so gelten flir die ungestörte Bewegung die Gleichungen (8), fttr die gestörte die Gleichungen (3):
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Ilechttlik dw ISnundj. 98. %%i
Man wird nun nicht die gestörten Coordinaten x,y, s, sondern die Störungen
* — -^0 = ^- y—yo = f\* « — «o = C ermitteln, und erhält hierzu durch Subtiaction der Gleichungen (S) von (3I>:
'(4)
Die Berechnung der störenden Kräfte X^, Y^, bietet keine Schwierigkeit, Zwar sind in denselben auch die gestörten Coordinaten x, y, z, enthalten; da sie aber mit den störenden Massen m^, mukiplicirt sind, so wird es genügen, für dieselben Näherungen zu setzen, welche man stets haben wird. Legt man näm- lich osculirende Elemente der Storungsrechnuiig zu Grunde (die vorhandenen Elemente können dabei immer als osculirende Elemente für eine gewisse Epoche angesehen werden und die durch eine defoitive Babnbestimmung mit BerOck- achtigung der Störungen gefundenen ElementenverbeBserungen geben dann Conedionen dieser osculirenden Elemente für die angenommene Epoche) so nnd die Störungen für die Epoche der Oeculation gleich Null, und slei^n sehr langsam an. Im weiteren Verlaufe der StOrungsrechnung wird man bereits eme Reihe von Störungswerthen haben, aus denen sich die in den störenden Kräften JTi, Y^, auftretenden gestörten Coordinaten ausreichend genau finden lassen. Nicht dasselbe gilt von den in den Gleichungen (4) auftretenden Schlussgliedem. Diese !^ind nicht mit störenden Massen multiplicirt, und ihr Einfluss hängt gerade von der Differenz der gestörten und ungestörten Coordinntcn ab. Es ist daher zunächst nothwendig, diese sogen, indirekten Glieder m einer ftir die Be- rechnung brauchbaren Form darzustellen. Man hat:
Nun ist
'•^ + 5)» + (To -H l)» + («•-*- 0*
= rf H- (2*0 -I- + (^0 + (»»0 +
Setit man daher
(*a H- H- (yp -t- tii)n + («o -H iOC _ ^
q, ^ÖJ
10 wird
- riil + 8^); Ii- (1 + a^)-!-. 1 - 8^ + S^» - -I-
Setzt man daher
/-3[l-i^ H-M^'-TO^'-*- 1. <6)
so wird
Setzt man noch
i4 = ^^(^ = >i. CT)
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33* Mediaidk de« Hlniiids. SS.
so gehen die Gleichungen (4) in die lolgenden über:
^ -H yii) « H- VäT (8)
TTT + - ^1 + *•
In diesen Ausdrticken ist nun <7 von der Ordnung der Störungen*); allein die Differentialgleichungen sind für die numerische Integration noch nicht ver- wendbar, da sie noch Ei iii d selbst enthalten. Die Difierentialquotienten ^« ^5
^/^ di^ ' dJ* flir gleicbroSsrig fott>chrdtende Intervalle von z. B.
w Tagen, eine regelmässige Reihe von Functioiiswerthen /^^ /(. Da die Störungen f&r die Osculationaepoche venchwiadeo und in der Nihe derselben sehr klein bleiben, so kann man ittr awei Zeitmomente \w und \w vor nnd \w tmd f w nach der Osculationsepoche die Werfte der Differentiahpiotienten (störenden Klüfte) nach (8) mit alleiniger Berflcksichtignng der X, Y, Z berechnen, indem far diese 4 Orte die I, i), C gleich Null gesetzt werden. Hiermit erhllt man zniUlchst 4 Wertbe der Differentialquotienten und deren DifTerenzrdhen /*,/", aus denen sich sofort die ersten und zweiten Summen yt, ^J/^ Vl> (s- den Artikel »mccbr^nische Quadratur«) bilden lassen, wobei man nur die Anfangsconstante f(ir die Suumiation so zu bestimmen hat, dass die Integrale für die Osculationsepoche vcrscl winden. Man hat also, wenn die für die Oscu- lationsepoche giltigen Grossen den Index 0 erhalten (die Indices k, »j, können weggelassen werden, die Operationen sind gletchmässig lür alle drei Reihen aus- zuführen) und die Functionswerthe, welche sich auf die unmittelbar vorhergehende und folgende Störungsepoche beneben mit den Indices — \, -h ^ versehen werden:
yf-AA'+iH»/."*
- + * y. - A/. -
Mit diesen Werthen erhält man sotort n/^, ly,, ^/^ für den nächsten Ort, welche sur Bestimmung der Doppelintegrale fttr diesen Ort bereits dienen
können. Gana allgemein wird man daher, wenn der Di£ferentialquotient "j^
(und ebenso die beiden andern DifferenttalqnotienteQ) fOat den iten Ort be- rechnet ist^ durch Addition dieser Werthe sur Summe }ft—\ Weitb Vi-^^ und durch Addition dieses Werthes sur Summe ^fi den Summenwerth erhalten. Da aber das Integral S nach
t-n/j -»-t»i/5- 4iff/s"
berechnet wird, so könnte man die Störung (Ür den {i 4- l)ten Ort finden,
wenn f\ und die Differens /" auch fax den (i + l)ten Ort bekannt wtren.
Dieses ist aber nicht der Fall. Setzt man aber in
*) Will man nur Störungen von der ersten Potenz der Massen berücksichtigen, »o wird man in den stifrenden Krtften X^, K,, «n Stelle von x, y, z die ungestörten
*• »«txen haben, und / "VC-^oS -♦"/•^ + «eC); 3.
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Mechanik des Himmel». 23.
333
den Werth für aus (8) ein, so erhält man
oder wenn man •
"A -H J'i - Tiir/r/' = ^/ (9)
letxt, welche Wenhe Ittr jedes Intervall bekannt «erden» sobald die X^, Yi, 2g bettimmt sind:
{(1 + ^ = 5. -h ^A/fx
Diese Werthe von \, ij, C können noch nicht verwendet werden, denn q enthält alle drei Grössen; mnn könnte diese Gleicbunpen auch als drei (Tleicbungen mit den drei Unbekannten \, rj, C ansehen, und dieselben daraus bestimmen; einfacher jedoch wird es, die aus (10) folgenden Werthe von \, ij, C in die Gleichung (5) einzuseUen, wodurch man eine Gieicliung zur Bestimmung von q erhält, die \, tj, C nicht mehr als Faktor enthält^). Set&t \\Yä,\\:
_ ''o*(i-HA'*r vci+A'»)' ^ ^
so erhält man
Substituirt man nun die aus (10) folgenden Werthe von 5. tj, in denen jeut q durcii (12) bestimmt erscheint, in die Gleichungen (8), so erhalt man
d^X h h
folglich,
(18)
^ = -H Ä V?^' - 5,) (14)
'^-^^Z. + hUqz- S^i.
Nachdem man daher flir die ersten 4 Orte (swei vor, swei nach der Osculationsepoche) die Differentialquotienten, unter der Voraussetzung Sj, ™ Sy es 5, s ^ BS 0 berechnet hat, wird man die erste und zweite summirte Reihe bilden, womit die für den nächsten Ort bekannt werden; die zweiten Difiereozen /" in Formel (9) wird man, da sie mit dem kleinen Faktor
') Die IncTcmente \\, Jij, von jr^, y^, %^ können beibehalten werden, da das RcsulUt in Anlietracht ihrer Kleinheit gegenüber rVn t y^. nicht wesentlich geändeit wird, wenn Biao fUi dieMlben auch nar genäherte (cxtiapoiirte) Werthe substituirt.
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334
Mechanik des Himmels. 23.
niultiplizirt nnd, genügend genau durch Extrapolation erhalten. Sobald dann für die
rf*« d^Z
vier örsten Orte ^Jjf f "J^* bekannt sind, bestimmt man die Integrations-
constanten so, daas die ersten und zweiten Integrale ^ ' ^ ' ^ t» ^ t
gemäss der Hestimiriung, dass die Elemente osculiren sollen, für die Osculations- e poche verschwinden; hiertur hat man*)
1/ (a i) = - ^\/'ia - i) ^/'" (a - i)
- 1) - - i Vi^-k) -^ii/i^ - - läß/'V -
Dann hat man flir jeden folgenden Ort*) daa FortnelayaieBa 1, 6, 7, 9, 11, 18» 13, 14 zu berechnen.
Bei Anwendung dieser Methode wird man awcckmiisig als Fnndameiital* ebene eine feste Ekliptifc wählen; man drOckt dieses dadurch ans, dass man die osculirenden Elemente 0» «», $ auf die feste Ekliptik und das mittlere Aequinoetium eines bestimmten Jahresanfanges bezieht. Alle Coordinaten werden auf diese bezogen. Die Berechnung der ungestörten Coordinaten x^, y^, wird nach IX 2, 9 vorgenommen; die der Coordinaten der störenden Planeten 'i* yv erfolgt nach den Formeln 17. 4, wobei man nur zu beachten hat, dass die heliocentrische Länge und Breite (/j, auf die gewählte Ekliptik und das gewä]i]fc Aequinoetium bezogen werden. Da sich die Störungsrecbnung über mehrere Jahre erstrecken kann, so wird man die in den Jahrbüchern an- gegebenen Daten, falls dieselben wahre Längen und Breiten sind, von Nutation befreien, und durch Anbringen der Präcession auf das gewählte Aeciuinoctium beziehen. Die Kntlernungen r^, bestimmen sich aus 17. 9, wobei selbstverstand* lieh die Hilfiwerthe ^ %' nicht gebraucht werden.
Bei der Wahl der Daten wird man sich zweckmässig an diejenigen halten, für welche das »Berliner Astronomische Jahrbuch c die Coordinaten der störenden Planeten giebt, und es mag noch erwähnt werden, dass diese, ausgedrückt in Tagen der julianischen Periode von der Form 40» H- 24 sind.
Die Stöiungen \, tj, C bezichen sich ebenfalls auf die Ekliptik; da man aber bei den Ephemeriden stets Aequatorcoordinaten wählt, so wird man aus den Slörungswerthen C am zweck massigsten sofort die AequatorealstOrungen 5'i V» C ableiten, was durch die Formeln
E's(; ii^iieos% — Ksm%\ C' » ii<f^« + C^-f • (15)
geschieht, wobei e die mittlere Schiefe der Ekliptik filr das angenommene Aequinoetium bedeutet.
Das Argument q füx die Reihe / wird erst durch (IS) bekannt; in erster Näherung kann man in (12)/« 3 setzen, oder in (6) für f einen extrapoUrten Werth verwenden, und wenn nötKig die Rechnung mit einem verbesserten Wertfae wiederholen. Die Rechnung der Formel (6) wird umgangen, wenn man / mit dem Argumente q tabulirt hat. Eine solche Tafel auf 6 Decimalen findet sich in V. Oppolzer , ■ ! ehrbuch zur Bahnbestimmung von Planeten und Kometen«, II Bd., pag. 590; auf 5 Decimalen abgekürzt ist dieselbe:
') Vergl. den Artilccl »Meclmni";cht? Quadrattir«.
") Man Wnnn filr die vier der Ösciilationsepoche nüchst fjclepencn Orte mit dcn bcKitS be> kannten Werthen der c die Rechnung auch wenn nöthig vriederholen.
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Mechanik de» Himmels. 38.
335
(H)80000
O029OOO 0-OÄÖOOO
0OS5000
0-024000 0-023000 0-O2S00O 0-021000
0-020000 0-019000 (M»I8000
o^nooo
0*016000
• 0-015000 0-OUOOO
- 0-üiäOOO <H)1M00 •OH»1100O
-<M>1€000 -0*009000
• 0 008000 0-007000 0-006000 0-005000 0-004000 OKXI8000 OKN»000 O'OOlOOO
Diffi.
■ranamin
0-51080 0-509R4 0-50848 0*S07M 0*50610 0-50503 0-50388 0-50274 0-50160 0-50046
0-49819 0-49106 0*49598
0-49480 0-49868 049256 04i^l44 0'49089 0-48891
0*48810 0-48699 0-48588
0-48478 0-48368 0-48258 0-48148 O-48089 0-47980 0-47891
0-47712
116
U6 115 115 115 115 114 114 114 114
113 113 113 113 118 119 119 112 III III
III III 110 110 110 110 109 109 109 109
0-000000 + 0001000 + 0-002000
+ oKKnooo
+ O1XMO0O
-i- C 005000 -f 0-006000 + 0-007000 -f 0 008000 + 0-009000
-f 0010000 -h 001 1000 4-0-019000 -f 8-018000 + 0014000 + 00 15000 + 0016000 + 0^17000 + 0018000 + 0019000
+ O-O90O0(i + 0*091000
+ 0-022000 + O-023OOO + O0'2400O + 0-025000 + 0-088800 + 0-097000 + 0-028000 + 0-099000
n-naoccn
047712 0-47604 0-47495 0-47887 0*47980 0-47172 0-47065 0-46958 0-46851 0*46744
0-46688 0*46589 0*46496
0-46320 0 46215 0-46109 0 46004 0*45900 0*45795 0*45691
045586 0-45489
0-45379 0-45275 0-45172 0-45069 0-44966 0*44868 0*44761 0-44659
0'M557
|
116 |
115 |
1 .14 |
118 |
119 |
III |
110 |
109 |
|
|
1 |
11-6 |
11-5 |
11-4 |
11-8 |
11-2 |
11-1 |
HO |
10-9 |
|
2 |
23-2 |
230 |
22 8 |
22-6 |
22-4 |
22-2 |
220 |
21-8 |
|
8 |
84-8 |
34*5 |
84-2 |
83-9 |
83-6 |
83-8 |
38-0 |
82-7 |
|
4 |
46-4 |
46-0 |
45-6 |
45-2 |
44-8 |
44-4 |
44-0 |
48-6 |
|
5 |
580 |
57-5 |
57-0 |
56-5 |
56-0 |
55-5 |
55-0 |
545 |
|
6 |
69*6 |
69-0 |
68*4 |
67-8 |
67-2 |
66-6 |
66*0 |
65-4 |
|
7 |
81-2 |
80-5 |
79-8 |
79-1 |
78-4 |
77-7 |
770 |
7C S |
|
8 |
92-8 |
920 |
91-2 |
90-4 |
89-6 |
88-8 |
88-0 |
87-2 |
|
9 |
104*4 |
108-5 |
108-6 |
101-7 |
100-8 |
99-9 |
99-0 |
98-1 |
|
108 |
107 |
106 |
105 |
104 |
103 |
102 |
|
|
1 |
10-8 |
10-7 |
10-6 |
10-5 |
10-4 |
10-8 |
10-2 |
|
9 |
91*6 |
91*4 |
91-9 |
91-0 |
90-8 |
90*6 |
90*4 |
|
8 |
894 |
32- 1 |
81-8 |
31-5 |
31-2 |
80-9 |
80-6 |
|
4 |
48-2 |
42-8 |
424 |
420 |
41-6 |
41-2 |
40-8 |
|
5 |
54-0 |
53-5 |
53 0 |
52-5 |
620 |
51-5 |
510 |
|
6 |
64-8 |
64-2 |
63-6 |
630 |
62-4 |
61-8 |
61-2 |
|
7 |
75-6 |
74-9 |
74-2 |
78-5 |
72-8 |
72- 1 |
71-4 |
|
8 |
86-4 |
85-6 |
84-8 |
84-0 |
83-2 |
82-4 |
81-6 |
|
9 |
97-9 |
96-8 |
95-4 |
94-5 |
93-6 |
92-7 |
91*6 |
Dilt
108 109 108 107 108 107 107 107 107 106
106 106 106 105 106 105 104 105 104 105
104 108 104 109 108 108 103 102 109 109
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336 Mechanik dc$ HinimcU. 23. 24.
Die Störungen t» i)» C werden selbitveiitiiidlich succcaah anwachsen, es ist aber keineswegs ndtbig, dieselben f&r jeden Tag sn berechnen. Das zu wählende Intervall hingt wesentlich von den Grössen der störenden Kräfte und den
Aenderungen der Distanz z^yischen dem störenden und gestörten Körper, ab; das Intervall kann erfribninf^smässig bei kleinen Planeten 40 Tage angenommen werden; bei Kometen werden oft kleine Intervalle l)is zu 10 Tagen, und auch noch kleinere, nöthig werden ; natürlich tritt an Stelle von Jb überall (7if^).
Da die Störungen btets kiem sind, so kann man, um das unnöthige Ansclneiben von Decitnalen zu vermeiden, gewisse Grössen in einer kleineren E inheit ausdrucken.
iPl (P-n ä-i
In der Praxis wählt man als Einheit flir t i)» C und ^» ^ die siebente
Decifliale; der Anblick der Foimeln (8) und (14) zeigt dann, dass diese Grössen sofort in dieser Einheit erhalten werden, wenn man X^t Vu n> Einheiteii der siebenten Dedmale ausdruckt Geniss den Formeln (9) weiden dann nucb die Summen 5«.» 5« in derselben Einheit erhalten. Drückt man jt» < und
folglich nach Formeln (II) auch a, b, c in der gewöhnlichen Einheit ^der Erd- bahnhalbaxe) aus, so folgt nach (18) auch q in Einheiten der siebenten Deciroale, und da / nahe 3 ist, so werden auch die Glieder fqx, fgy, fq% in (14) in Ein- heiten der siebenten Decimale erhalten, während h* Verhältnisssahlen an der gewöhnlichen Form sini].
Um die störenden Krät'te sofort in Emheiten der siebenten Decimale zu erhalten, genügt es an Stelle von {wk^my die Werth e ""^Wj • 10^ einzuRlhrcn. Dieselben smd mit den pag. 303 angeführten Werthcn für die Massen;
hg{ivky m, 10» loi^wky m 10»
Mercur 9'950S— 10 Jupiter') 8'65ö084
Venus l'OeSö Saturn 3*I310S
eideH-Mondi)l*lS44 Uranus S-8317
Mars 0*1888 Neptun S*8868
84. Beispiel. Es wird aweckmüssig sein, ein Beispiel au wählen, bei welchem die Störungen beträchtlich anwachsen, weshalb ich die Berechnung der Störungen des Kometen 1889 V, Brooks wähle. Die zu Grunde gelegten Elemente sind die von Bauschoigbr aus der ganzen Erscheinung 1889 bis 1891 abgeleiteten*):
Epoche 1889 Sept 30-5 mittL Zeit Berlin. « O'» 1' 5" 01 f =« 28'' 5' 5"-75
|i «50r''72306 Ekliptik und /0g a = 0-5663617
Aequinoct. 1890 0 iog sin f = 9 6728179
hg p = 0 4575457
Die Epoche der Oscnlation wird bei Kometen am :^\verkmassig ten in die Nähe des Perihels gelegt; da sich nämlich hier die Coordiaatcn ausserordentlich rasch verändern (in Folge der schnellen Bewegung der Kometen), namentlich aber hdbeie, \m «1 dai vierten und tflnften Diffierena«!, beträdiüfeb werden, so wttrden, wenn die Störungen bereits grösser sind, diese Difierensen sich auch in den Stöfungen zeigen, und einen sehr unregelinimgcn Gang derselben er* zeugen, weshalb es nöthig wOrde, viel engere Intervalle zu nehmen. Iii der Nähe der Osculationsepoche aber sind die Störungen natllrlich sehr klein, weÜ
« = 1 84 54-99
tu — 343 35 50-62
ft = 17 59 4-87
f« 6 4 6-57
Masse 1 : 355500. ") Mit der Masse 1 : 1047 87 J gleich 3-6j497i.
*) Untciwchongen Ober den periodiMhen Kometen 1889 V (Bkooks) I. Theil. pag. jS.
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MMfwaik dei Hlniiiieli. S4.
35T
eben die Elemente osculiren, und die rasche Veränderung der Coordinaten bleibt ohne Einfluss, wie man sich aus dem folgenden Beispiele selbst leicht überzeugen kann. Es ist jedoch nicht nöthig die Osculatiunsepuche direkt mit dem Durchgänge des Kometen durch das Perihel zusammenfallen za lassen, imd «ifd Bum dtbei sweckmUssig alt Osculatiomepoche einen Tag «äblent welcher in der Mitte zwitcben zwei Daten des >Berliner Jahrbuches« liegt» weil dann die Bestinnrang der Integrationsconstanten (Integration fOr die Milte sw^er Intervalle) am cinfMbslen wiid.
Die vorigen Elemente lind ala osculirend für 1889 Oct 8 angesehen» und die Störungen ^ tj, C für die zwei der Osculationsepoche vorangehenden und für die zwei nachfolgenden Daten, also für 1889 Dec. 7, Okt a8» Sept 18« Aug. 9 gleich Noll angenommen.
Das nachstehende Beispiel ist natürlich bedeutend verkürzt wiedergegeben; für den Beginn der Rechnung sind sechs Orte angeführt; zwischen 1889 Mai 21 bis 1887 Dec. 18 sind die Details weggelassen, und sodann bis 1887 Juni i wieder angegeben Die Berechnung der störenden Kräfte ist auf pag. 339 fiir Jupiter (die ganz gleichartige Berechnung für Saturn ist weggelabscn) und zwar für die vier ersten und die zwei letzen Orte mitgetheilt. Es wird dieses sdbst fllr den Anflinger sur Orientirung vollstSndig ausreichen; das Fehlende wird nit Hilfe der Zusammenstellungen auf pag. 341 leicht ergänzt werden; aus dem Richen Grunde sind hierbei cüe Difierenzwerthe weggelassen.
Auf pag. 338 finden sieb die Beseichnungen und Z, und es ist
1 — Jir«= ^hf{ax *y -I- ^»); Z = aSjt bS, €S^
Zu bemericen ist Übrigens, dass die Weräie der 5^, 5^, ^« (iOr die ersten vier Orte bei Beginn der Rechnung unbekannt sind, und daher gleich Null an- glommen werden müssen; es wird dann auch f = 0« daher auch die mit UtXt beseicbneten Zusatjcglieder in 28 (14) verschwinden und folglich i^xk d^i:
Ä i ; -jß K, ; ^ 8= . Auf pag. 338 sind jedoch auch für die vier
ersten Orte bereits Warthe für S^, S^, S: eingesetzt, indem mit den aus einer provisorischen Rechnung erhaltenen Werthen die Rechnung wiederholt wurde.
Die Rechnung ist nur f^tnfstcllig durchgeführt, und die Störungen in Einheiten der sechsten Decimale angegeben. Für diese Einiuit wird daher z. B. für Jupiter /pg (7(' i-V'' m^\0^ = 2G5508. In Einheiten der sechsten Decimale ist dann z. B. für K^Sy Juni l'O : = — 21646 60 (vergl. pag. 343). Hiervon sind für die Siorungsrechnung nur 5 Decimale beizubehalten, d. h. nur die vier ersten Stellen zu berücksichtigen; daher würde für die Störungsrechnung r) = — 2165, «oflir vor Sdiluss der Störungsrechnung für (Keses Intervall der ausreichend genäherte, extrapolirte Werth — 8164 verwendet erscheint
Die Sttfrungsrechnung wurde hier nach rfIckwXrts geföhrt, man hätte daher
l/^
dt negativ zu nehmen, da sonst ^/ und somit auch ^ (nicht aber ^/)
mit entgegengesetzten Zeichen erscheinen würden. Es genügt aber, für die Be- rechnung die ungeänderten Formeln beizubehalten, aber die erhaltenen Werthe nach rückwärts einzutragen und in diese| Weise die Differensen au Inlden, wie dieses aus pag. 341 ersichtlich ist.
Bezüglich der Bestimmung der Constanten der Integration vergl. den Artikel »mecbanische Quadraturc.
^ Die eplwttcildenattig ger«dineten Zeiten rind diirdi bcsdcluict.
*a Digitized by Google
33« Mechanik des Hünioels. 84.
|
1889 |
Dec. 7 0 |
— 1 Oct. 28-0 Sept. 18 Ü |
Aug. 9 0 |
Mai 21-0 |
||
|
AI • • • • |
y 0 1 0 |
3" 61' 2 '-4 |
358° 16' 33"-5 |
352° 42' 4"-5l347° 7' 35"-6iS4 1 ° 33' fi"7 |
||
|
^JS .... |
17 3o 00 0 |
7 !5 31-8 |
356 44 38-0 |
3J6 19 25-2 |
336 in 22-2 |
826 46 18 4 |
|
V ..... |
20 00 io b |
12 4 20-7 |
354 34 27-9 |
337 23 23-0 |
3-^1 23 57-5 |
307 6 15-2 |
|
^iofr «... |
U oU 1 bOu |
0-899088 |
0-290622 |
0-300820 |
0-991486 |
0*948979 |
|
|
H- 1-74700 |
+ 1-90798 |
+ 1-94699 |
t Ovw I Q |
_i_ l'67ü9i |
-4- l-39i42 |
|
5 |
u |
0 |
0 |
A W |
« |
|
|
*4 • • ' |
H- l*««49ft |
- i*mo8 |
+ 0*94601 |
+ 0-64976 |
+ 0*86984 |
+ 0<>6a76 |
|
jif . • ■ • |
■+- 1 fffUU |
+ 1-90798 |
+ 1-94699 |
+ 1-86978 |
+ 1 67090 |
+ 1-39988 |
|
" — l'ololo |
— 7-68546 |
7-64810 |
7*40618 |
-7'96978 |
— 7*10696 |
|
|
V« .... |
+ 1*03741 |
+ 046496 |
—0*19709 |
— 1.1BMI7 |
— 1.7S996 4 6M#*V |
|
|
^ . . . , . |
u |
0 |
0 |
n u |
_ 1 |
9 |
|
. . . . |
j| 'OJ AI *7 — 4"y4017 |
- 5 03522 |
- 5-11315 |
— 5-17885 |
— 5-21727 |
- 5-94S39 |
|
|
-f- 1 f4 1 |
4- 0-46486 |
— 0-12702 |
— 0-71060 |
- 1-25808 |
— 1 -73228 |
|
.... |
+ 509578 |
4- 5-28042 |
+ 5-46186 |
+ 5 64000 |
+ 5-814T3 |
|
|
•«0 .... |
+ 0-04691 |
— 0-01667 |
- 0-07676 |
0-18156 ■" w »W*4rw |
||
|
t |
A |
0 |
0 |
A U |
0 |
A V |
|
*4 • • • • |
— UVlolft |
-0H)0986 |
-OD0987 |
+ 0110469 |
+ 0*01189 |
+ 0*01898 |
|
S • • a < • |
(ru4D€l |
— 0^1667 |
— 0'07676 |
— 0*18808 |
- 0-18166 |
— 0-99987 |
|
.... |
A.O0 1 00 |
+ 0*99974 |
+ 0*91419 |
+ 0*90687 |
+ 0-19660 |
+ 0-18761 |
|
•/yr/ . . . |
0-87996 |
0*87187 |
0-90946 |
0-96446 |
1HM694 |
|
|
fv^ n . , , . |
0 IJiOO |
8-79608 |
8*80841 |
8-77282 |
8-71082 |
8-62834 |
|
U UU/U4 |
0 00226 |
0-00229 |
0-00214 |
0-00186 |
0*00154 |
|
|
•/<'rr» . . . Ä 0 • • • |
06 1530 |
0-58617 |
0-58124 |
0-60164 |
0-64297 |
0-69796 |
|
•^A*» . . . |
0-61734 |
0-58843 |
0-58858 |
0 60378 |
0-64483 |
0-69950 |
|
0 28057 |
0-28936 |
0 27088 |
0-22296 |
()■ 14376 |
||
|
l0g(Vn + Iii) |
00 Ii 74 |
J 66685 |
9« 10388 |
9„85163 |
0«09797 |
Ü.28&62 |
|
^^i' («0 H- 40 • |
8-66663 |
81.19520 |
8„88511 |
9« 12396 |
di.25902 |
9«34414 |
|
^ . . , . |
A.OilQOQ |
0-28057 |
0-2S936 |
0-27038 |
0-22295 |
0 14876 |
|
loga . • . . |
962596 |
9-69214 |
9-70588 |
9-66660 |
957818 |
9-4U26 |
|
..... |
0«80550 |
9ii86889 |
9*87506 |
Ob86196 |
1«S9818 |
11.66979 |
|
Mgy .... |
U Ul 1 (4 |
966685 |
9«10S88 |
9.85163 |
0<,09798 |
0«23862 |
|
/lyi .... |
9*89440 |
9-07842 |
8«69086 |
91^786 |
9»45814 |
|
|
AäP^r . . . |
0*14992 |
8-84610 |
8«47719 |
0.07188 |
0.79688 |
1^19 |
|
•«5b* . t • < |
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34S M echanik dM Himmelt. %b*
25. Störungen in rechtwinkligen Coordinaten. Uebergang auf oscolirende Elemente. Im Laufe der Zeiten wird es eintreteo, dass die Bahn des Himmelskörpers sieb merklich nach beiden Seiten von der ursprflng^ch angenommenen Ebene entfernen wird, und sieh eine geänderte Bahnebene tmd eine andere Ellipse dem wahren Laufe besser anschmi^en wird. Die Störungs» werthe, bezogen auf die ursprünglich angenommene oscuHrende Bahn weiden dann sehr beträchtlich, and der Gang der Differenzen ziemlich unregelmissig (auch die höheren Difierenzen sehr bedeutend). Hat man die Stönrngsrechnang durch einige Zeit fortgeführt, und bemeikt man, dass die Störungen, insbesondere aber die ersten und höheren Differenzen zu gross werden, so wird man für eine neue, zu wählende Epoche, von welcher ausgehend, man die Störungsrechnung fort, et /en will, neue osculirende Elemente ableiten, welche man aus den Coordinaten und Geschwindigkeiten für diese Epoche leicht erhält.
Man rechnet zunächst für die neue üsculationsepociie die ungestörten Coordinaten nach den Formeln 17.. 2, 3, und die ungestörten Geschwindigkeiten nach 17. 19. Aus den Tafeln fUr die Störungen entnimmt man die numerischen
dm dt
Wertbe der Störungen I, v), C und ihrer Oifierentialquotienten -j^, die
entweder durch nmneriscbe Differentiation der Störungen oder durch einmalige Integration der störenden Kräfte erhalten werden, dann hat man fUr die neue Epoche
dx dxp ^ ^ _ ^ ^ _ dZf^ dC
~dt ^ ~dt Jr ~di ~ ~di ~dt* ~di ~'~di 1t*
Hiermit erhält man die Lage der neuen Bahn nach den Formeln 17. 13^^ welche nebst dem Knoten und der Nei 'nng anrh den Parameter p geben« Dann wird mit den gestörten Coordinaten und Geschwindigkeiten
dr dx dy dz
und aus 11. 11, 14. 7 und 17. 1:
Vp dr
M^E—etmE
« s U — 9.
Hieiaus leitet man noch für elliptische Bahnen
ab. Die strenge Berechnung dieser Formeln erfordert Tafeln mit 7 Decimalen; dabei weiden die osculirenden Elemente unmittelbar erhalten. In vielen Fällen wird es sich abn empfehlen, nur die Aenderung der oscnliienden Elemente, d. h. die Difibrenz der neuen gegen die urq>rflnglichen abzuleiten. Da diese
^ In den Fonnela 8, IS »lad sdbitvatlliidlicli die ungertflrten Coordiiistai md Gcschwin^gkcilcn, Ja dfn fitlgenden Formeln lg aber beieits die gestttrteq sn verwcadca. Ein MtemttM&dniat kann hieniis nicht entstellen.
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tlednnik des Kinncb. iS« 26.
341
Differenzen stets mässig sind, so wird man mit weniger Decimalen ausreichen; doch sind die Kcclinungsvorschriften, da man die Aenderungcn keitieswcgs als düferentielle ansehen kann, etwas weitläufig i). Insbesondere jedoch wird sich dieser Vorgang fttr die Bestimmung der neuen Eaccentridtät {e€«tv bestimmt sich ja dufch die sehr kleine Differenz — 1) und der neuen mittleren Be* w^uBg |k empfehlen» welche sehr genau bdcannt 8«n mus^ weil mit Hilfe der* selben Aber eben rdativ nemlich bedeutend«! Zeitraum hinaus die mitderen Anomalien zu bestimmen sind. Endlich ist noch zu bemerken, dass, wenn fllr die Stdrungsrechnung ein Intervall von w Tagen zu Grunde gelegt wird, auch di dii
die Werthe * 'dt ' U diesem Intenrall ausgedrOckt sind, und daher überall (wi) an Stelle von k zu setzen ist
Beispiel: Für Juni 1*0 erhält man aus der Tafel der ersten und zweiten summirten Werthe (pag. 141) fttr den Kometen 1889 V Brooks')
( a - 8991*91 11 — 81646 Ö8 C =^ -h 4009*07
ii du dl
^-H- 1707 09 5/=-»" 4419-71 ^ = - 75.
Fttr die ungesttHrten Cooxdinaten erhAlt man, da « 99' 48"'7 ist: «0 ^ — 4-974010 J^e — — 8*337995 '0 ^ — 0-091895^ und fttr die Geschwindigkeiten nach 17 (19):
r = 3S6'' 86' 45"'7 hgfw^ 9*789907 l^wk)i = 9*686948 («r -» 40^, d. b. die Geschwindigkeit in 40 Tagen, die Einheit, auf welche sich
^1 du di
auch J^* ^ beziehen), und damit:
jj^-f 0 187300 ^ — — 0161709 57 — — 0-028848, Hieraus erhält man
hg wk^ cos fesO-0602666 log sinf^sin 9aB9„938S188 hgrcos«= 0„69 10993
iogwky psini sin Sh = 8-6214046 % sin f cos v = 9„G3C055 1 hg r sin u = 9„8993796
hgwfc^sinicosQ,==^mi%nb z; = 206° 22' au 42 f/=189*'l(i 34
fi«=19° 4'26"-56 9= 28 53 5186 ü»=342 42 4 23
ij== 6 21 22 73 Ļg 0=0-5661102 i 46 30 79
^i^y> »0*8858083 |tsd03"*1597
«948** 80' 1«"*96.
26. Störungen in polaren Coordinaten. Hansen -TiETjEN'schc Methode. Für die Bestimmung der polaren Coordinaten r, /, dienerv die Gleichungen {ß{^ No. 10. Legt man als Fundamentalebene die ungestörte Bahnebene des Itosenpunktes m (die osculirende Bbene su einer gegebenen Epoche) zu Grunde, so werden die Coordinaten des störenden RöipeiSi bezogen anf diese Ebene durch 17. 6a, 6b oder 7 bestimmt, und r^^ folgt aus den Gleichungen 17. 10. Die störenden Kittfte werden hier, wenn man filr Y, Z ihre Werthe vk F, Q einführt:
wo^ wie man lekfat findet
>) S. Ucrflbcr OrrouRB, L c. IL Bud, psg. 89. ^ Vci^ AiHkd »Mcehanischc QMdniur«.
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344
Medtaiiile dct lOmmeli. W.
ist. ScUt man^)
H = lA^frKj r, cos cos {L,— I)'K fV^ 1 k^m^ r.sinB, - K
10 findet min leidik
/*! =a» rJ? — rar; r^, « —
und die Diliereüüaigleichungen werden:
(I)
In diesen Gleichungen tritt nebst den su betrachtenden Variabehi r, /, noch r auf, welche Grösse aber mit r, m dnich die Gleichung veibanden ist,
- r» H- ««.
Es ist daher wenn
2»
gesetzt wird. / ist die bereits bei der Berecl nurif; der Störune^en in recht- winkligen Coordinaten eingefühitei von dem Argumente g abliängige Reihe (28. 6). Setzt man noch
9 8 AI
- «res
^ _ A = ^0 ; -h = ^f;^,
so werden die Difierentiaigleichungen
rf/V*^ di)
In der ungestörten Bewegung hat man
(ro' ^) - 0. (3a)
£ dt
^) Die Abtrennung gewisser Faktoren bleibt dabei immerhin willkürlich; doch wird bei gewi&»eD Anordnungen die Rechnung am Ubersichtlichsten oder cintachstcn. Der Nenner f in H wird z. B. eingeführt, damit in der ersten Gleichung (1) der l aktor r autuiit, der später bei der Eiafthrung der VatiaMn v (s. Gleidrang 12) wegfiOft.
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liedwnik des HimiDek. iß, 345
Integrirt man die Gleichungen (3), (3a), so erhält man, da sich die Inte- graüonsconstaate in der ungestörten Bewegung {Q = 0) gleich y/> ergiebt:
Nun ist
— + ^0»
wobei je nach der Lage des Anfangspunktes der Zählung f&r die / den Abstand des Peribels vom Knoten (Anfangspunkt im Knoten der Bahn auf der Ekliptik) oder die LMnge des Perihels (Abstand vom FrUhlingspunkt gesählt in der Ekliptik bis aum Knoten und von hier in der Bahnebene) bedeutet. Da hier die ungestörte Bahnebene als Ftodamentalebene angenommen bl; so wird man Ar die gestörte Bewegung d>enfalls
i^yj^^nr (6)
Selsen und V als eine wahre Anomalie, gezählt vom beweglichen Perihel und N als Abstand des Peribels vom beweglichen Anfangspunkt nehmen können. Die Zeilegung bt nun ganz wiUktlrlicb, sofern nur die erste Gleichung (6) er- füllt ist Setzt man also
so könnte man N (constant) setzen, und die ganze Veränderung auf den
Werth von V werfen; oder man könnte V-=Vq setzen, und hiernach die Aendenmg von N hc?tinirnen, was im Grunde genommen auf dasselbe hinaus- läuft. Am bequemsten erweist es sich, die Veränderung von N durch die Differentialgleichung ^)
N^N^^^N', i^^L^QSi (7)
zu bestimmen; dann wird y nicht gleich sein, da der Faktor r nicht der angestörten Bewegung entspricht. Es muss also
sein. Zur Bestimmung der wahren Anomalie Vq in der unpestörten Bewegung dienen die Formeln 14. 4 und 9; an die so bestimmte wahre Anomalie Vq wäre dann eine Correction Hiv anzubrinp;en, so dass F= z/^ 4- Az^ wäre; statt dessen kann man aber an die seit der Epoche verflossene Zeit / eine Correction A/ anbringen, so dass sich durch Berechnung der Formeln 14. ^ 9 sofort V eigiebt Dann wird also:
M^M^ -H -+- A/) cosV^a {cos e)
J&^esmEmm M r^sm acfitfsm £ (IV)
Nun ist nach 11
Wihlt man als Ausgaoppuokt der Zählung filr / und N den FrUhlingspunkt, m ist iV die
Liage d«s PMÜids. Der Aindrnek ftr knm natBrHeh nit deoijenistn für dfe Actutetmig
von « (20. 4) keneswegs identisch sein, da hier und es nicht einer osculixoidMi Sbcae Mkgdmm; citlmt ist ttbftrliat^ Uta den gunen Verlmif der Stttningsrechanag ab constant
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346 Mechmnik des Himmdi. S6.
Die mittlere Anomalie ist hier aber sowohl wegeo des Gliedes i»/ als auch wegen der von der Zeit abhängigen Conrection Af veränderlich, so dass
dM [
-dt^^y
'^-dt)
dV KVP ( dAf\
d^ To« V ^0
ist. Setzt man dies in (8) ein, so folgt
Sobald r aus der Gleichung (2) bekannt wird, folgt hieraus äi. Setzt man nun
r-ro(H-v), (V) so erhält man nach einer leichten Redoction:
-jjr^-av, wobei o^-^TT^' ^
Diese Formel ist auch fUr parabolische Bewegungen anwendbar, da aus derselben (& verschwunden ist. FUr die elliptische Bewegung wird es Itttezer, so- fort die Störung der mitüeren Anomalie sa erhalten; sie ist
dlAf
Um die Störung im Radiusvector zu berechnen, hat man zu beachten, dass der Radiusvector tur wahren Anomalie V gehört, daher nach (IV) und (V):
\-\- ecosV
ist. Hieraus toigt durch Dififerentiation:
dr _ p dTv /(l 4- "^y^sinJ^dV^
lÜ ~~ t cos V Tt "(l e cos dl
dV
und daher, wenn man für seinen Wetth aas (8) einsetst:
Difierensirt man nochmals, tmd setzt in dem entstehenden Ausdrucke fiir dz
den Werth ans (10) ein, so folgt:
rf>r r rf>v A^etfisV dV
(11)
di^ i-h V i//» ^ (iH- v)y7 dt
d»T r i^v Vi__i£_ <f/« " 1 + V r* (l 4- v)r» *
Weiler folgt aus (5): folglich, wenn Wird:
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Mcdianik dct Knuadt. 86.
347
Hiermit wird die Gleichung (2)
1 + V
MuldpUcirt man hier mit — - — und setzt:
wild:
r«
H-Av«>/r. (18)
Nachdem man die Coordiriaten Z,, und die Entfernung r^^ nach 17. 0 oder 7 und 10 bestimmt hat, erhalt man die störenden Kräfte R, Q, IV, w nach I; A, A', ^^0' ^0 nach II, <2', i?,, >^ nach Illa, lUb; V, /, r sind be- stimmt durch die Gleichungen IV, V, wobei die Störungen A/, AA', v und die Breitenstörung 2 senkrecht zur ungestörten Bahnebene durch die Üiiterentiai- gleicbungen
dM (2 1- v)
^H-Av-Jy (VI) ^«
"JP^H- ^0' =» ^e
gegeben sind, fo den störenden Kiftften treten allerdings beieitt die gestörten Coordinaten r, /, s auf, für welche aber, da sie mit den störenden Massen multipUcirt erscheinen, die Störungen immer genügend genau extrapolirt werden können. Die Integration der Differentialgleichung für A/ bietet keine weiteren Scbwierigkeitenf da sie auf einlache Quadraturen führt, denn es ist:
^ — /ev^/,
wobei allerdings zuerst der Werth von v ftlr das (1 H- l;te iniervuü bekannt sein muss, wenn man den Werth von A/ für dieses Intervall bestimmen will.
Zur Lrleicl terung der Rechnung kann <? mit dem Argumente v tabulirt werden; eine solche Tatel hndei sich m v. Oppolzer's iLehibuch zur Bahn- bestimroung von Planeten und Kometenc, II. Bd., pag. 597 auf 6 Decimalea; im folgenden ist dieselbe auf 6 Decimalen miigetheilt; dabei ist Ittr / der Tag als Zeiteinheit gewählt; wenn also die Zeiteinheit fttr die Stöningsrechnung (das Stdrangsintervall) 1» Tage betragt, so ist an Stelle von |t at setsen; Über- dies ist in der Tafel der Werth von 9 mit 10"* moltiplicirt, wobei also vonuts* gesetzt ist^ dass v in Einheiten der sechsten Decimale ansgedrflckt wird. Wenn also s. B.
V « 0 002340
ist, äo wird
daher für diesen Ort hg ^ 7i<66d73 und die tägliche Störung = -<HM)4664.
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34B
Meclumilc dn Hiimnda. 96.
|
V |
In« |
|
— 003Ü000 |
432092 |
|
. 0 029000 |
4*3i0S5 |
|
-0-OSBOOO |
4*819ft7 |
|
-wxncßQ |
4-31890 |
|
— 0-02GOOO |
4S1823 |
|
— OO25000 |
1 317.^6 |
|
— 0'0240C0 |
4 31t.89 |
|
— VvmUUII |
4 OIQOO |
|
— 0'02ü0ü0 |
4-31421 |
|
~<H)19000 |
4*81865 |
|
— O-O1800O |
4-81888 |
|
»OOITOOG |
4-81222 |
|
■ — O'OlfiOOO |
4-31! 55 |
|
- 0-01 .SOOÜ |
4-31089 |
|
— Oü 14000 |
4-31022 |
|
— U UloUUU |
|
|
— ITvllOUU |
|
|
^O-OIOOOO |
4-30758 |
|
— O-OOMOO |
4*80098 |
|
— 0-008000 |
4*806S7 |
|
- 0 007000 |
4 30561 |
|
— 0-OOGOCO |
4-30496 |
|
— 0 005000 |
430430 |
|
— 0 004000 |
4-30364 |
|
% 0UZ99 |
|
|
-0-ooaooo |
4-80883 |
|
— 0-001000 |
4-80168 |
|
0-000000 |
4*80108 |
67 68 67 67 67 67 67 G7 67 67
66 67 66 67 66 67 66 66 G6 66
66 65 66 66 65 66 65 66 65 65
log 9
OOUOÜÜO + 0-001000 4-0-009000
+ O-0O3OOO -f 0-004000 H- 0-005000 4- 0006000 + OKI07000 + 0-008000 + 0-009000
-H O OlOOOO + OOI1000 + 0-018000
+ 0-01SOOO 4-0014000 + 0-016000 -»- 0-0 i 6000 + 0017000 + 0-018000 + 0-019000
+O'O9600O + 0-081000
+ 0022000 + 0023000 + 0-024000 + 0O2501K. + 0-026000 + 0-087000
+o-ostooo
+ 0-089000 + 0*080000
4-OÜ103 4*80088 4*89878 4-29908 4-29843 4-2Ö7*i8 429713 4*89649 4*89584 4*89580
4-89455 4*89891
4-29327 4-2!>2n-2 4-29198 4-29134 4-29070 4*88006 4*88848 4*88879
4*886 15 4*98751
4-28688 4 38624 4 28561 4-28498 4-28434 4-88871 4-28308 4*88845
4*98188
Differenx
65 65 65 65 65 65 64
f;5
64 65
64 64 65 64 64 64 64 63 64 64
64 6ä 64 68 68 61 68 63 63 68
|
68 |
67 |
66 |
65 |
64 |
68 |
|
|
1 |
6-8 |
6-7 |
6-6 |
6-5 |
6-4 |
6*8 |
|
8 |
18*6 |
18-4 |
18*8 |
18*0 |
18*8 |
18*6 |
|
8 |
80^ |
80*1 |
18*8 |
18-5 |
19*8 |
18*9 |
|
4 |
27-2 |
26-8 |
26-4 |
260 |
25-6 |
85*8 |
|
5 |
84-0 |
88-5 |
88*0 |
88*5 |
88-0 |
81-5 |
|
6 |
40*8 |
40*8 |
89*6 |
88*0 |
88*4 |
87-8 |
|
7 |
47-6 |
46-9 |
46-2 |
45*5 |
44-8 |
Ul |
|
8 |
54*4 |
58*6 |
58*8 |
58*0 |
51*8 |
60*4 |
|
9 |
61*8 |
60*8 |
68*4 |
58*5 |
87-6 |
56*7 |
Die Integration der beiden anderen Gleichungen Albrt auf DoppeUntegralei wenn man sie in der Form schreibt r
^^G--gx: (14}
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Mechanik des Himmelt. 26.
349
Doch erfordert dies bereit! einen aosKichend genSherten Werth von x. Für den Beginn der Rechnung wird man denselben in folgender Weise er- langen: Set
=» H- F^t + 4- . , .
so wird = ^^(O); ^, = ^'(0); = i^F'{0) .... Sind daher eine Reihe von Funclionswerthen F{— |), F{— F(-h F{-+- bekannt, so kann ma.n F{0), F'(0), F"(0) . . . nach der Methode der mechanischen Differentiation (s. den Artikel »Interpolation«, pa?. 43, 1 ormel f und pag. 47), und damit die CoefBciemen Fq, F^^ F^ . , . t)cstimmen. Man findet
^.-/'(0)-^/"'(0) ' , .
^f-i[/"(-i)+/"(H-i)J ^'"^^ -^^i - i/"'(0).
wo die /"^ . . . die eisten, aweiten, dritten . . . DUTerenxen bedeuten.
Man wSrd so ans der Reihe der numerischen Werthe der ^ die Reihen ab- leiten
Seist man x ebenfalls in der Form voraus:
x,fi + + . , , (17)
so wird man die Coeflteienten Xq, at^ . . . durch Einsetsen in die Differential-
äx
gleichung (14) ermitteln. Fflr die Osculationsepoche muss aber x^O, ^ 0
idn, worant XgwmXi^O ibtgt. Für die flbrigen Co^fficienten ergiebt sich durch die Subetitutioii in (14)
X, - X, - MG, - \^^G, - C^o).
Substituirt man nun die Ausdrücke (18) in (17), so erhalt man allerdings bereits die Störungen selbst; um dabei jedoch eine genügende Genauigkeit su erstelen, mflsste man nicht nur xg, sondern oft auch noch folgende Glieder be- rttcksichtigen. Da man jedoch iür die spAtere Rechnung ohnediess die «weiten Diflerentialquolienten bendthigt, so wird die Formel (17) mit den Coefficieaten (18) (selbst mit Vernachlässigung von x^) ausreichen, um die zwei der Osculation vorangehenden und die beiden folgenden Differentialquotienten mit Hilfe des nach (17) ermittelten x nach (14) zu finden. Aus diesen werden die summirten Reihen berechnet, nachdem die Anfaogsconstanten so ermittelt wurden, dass die Integrale fllr die Osculationsepoche verschwinden. Für die folgenden Intervalle hätte man dann aus den zweiten summirten Reihen die x nach den Formeln zu bestimmen
= + 1) ^/{i + 1) - ^h^"is 1).
Den Werth von /" (/' H- 1) wird man wetjen des kleinen Faktors mit ausreichender Genauigkeit nach dem Gange der Differenzen extrapoliren können; um die Unsicheiheil:, welrl.e aus der Extrapolation der /(/-hl) aus den bis /(i) reichenden Funclionswerthen entsteht, zu heben, kann ir.an
einsetzen, und erhält dann
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I
3$o Hcdnnfli det lliimndt. S6.
Setzt man daher
5,«n/(i+l)-Th/"(' + l) + ^t<?. 09) und settC den hiennit folgenden Werth
1
in die Gleichung (14), so erhidt man
wobei (r, gt die Functionswerthe W^, iOr den (« + 1) tea Ort sind.
Zu dem folgenden Beispiele sind noch einige Bemerkungen erforderticfa. Die Längen Z,, / sind vom Knoten der Bahnebene auf der Ekliptik gerechnet.
wird nicht gebraucht, daher auch nicht aufgeschlagen, daher sind nur cosB^ und sin angeschrieben. Die störenden Kräfte sind wieder in Einheiten der sechsten Decimale gerechnet; ebenso natürlich h und Wq\ hingegen treten die
Grössen //: (1 -+• -^^h) und Wq'. (l ^^Vq) als Faktoren von den ebenfalls in Einheiten der siebenten neciniale ausgeddirkten Sk und auf (s. die Formeln 20) und müssen daher durch Multiplikation mit 10"^ aui die gewöbnlicbe Einheit reducirt werden
Für das eintache Integral jQät und die Integration fOr ist nichts be- sonderes zu erwähnen; nur wird zweckmässig, da AiV in Bogensecunden aus- gedrückt wird, sofort JQdt: arc V verwendet.
Es wird hier für die Anwendung bequemer, die serstreut erhaltenen Formeln SU sammefaiL Man hat:
M^JIf^ + ^(i-h Ä/} ^ if, H- it/ -I- Aüf f^eosV^ a {€üsE^e) tmE^ M f^smV^at9S^tmE
r» cos cos (Z, — /) =s 5» R^lk^mxj'K r^MsBiSin (/, — /) = t). Q = lk^m^%,xK
d^H d^9 Für ein Intervall von w Tagen ist wieder {wk^) an Stelle von su setaeo.
') Dasselbe gilt naiüriich auch für die Summanden -^h, yj!".
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Mechanik des Himmels. 27»
351
89« Beispiel. Zar Befechnung der stOreoden Krftfte bedarf «an der Coordi- naten des atOrenden Körpers, besogen auf die Bahnebene des gestörten Himmels- körpers. Das »Berliner astronomische Jabrbncht giebt nun seit 1S80 lUr die störenden Himmelskörper die Lage: LAnge des Knotens und Neigung gegen die* Ekliptik einer als fest angenommenen Bahneben^ femer die Längen in der Bahn und die Breiten des störenden Körpers bezogen auf diese Bahnebene; iUr das Decenium 1885 bis 1895 sind die Grössen
für Jupiter: ftg =- 99*» 20' 31"-6 ij «= IM8' 33"-2 Saturn: 112 41 48*8 2 29 34 2.
Für die Berechnung der Störungen des Kometen 1889 V (Brooks) ergtebt steh unter Zugrundelegung der pag. 536 angeAlhrten Elemente nach 17. 6a:
mr Jupiter: ^ ^ 167° 32' 43"-7 0' 86° 15' 23"-7 /«= 6** 0' 44" 0 • „ Saturn: 158 20 37*8 63 45 47'6 6 44 44*1,
womit die Coordinaten L^» des störenden Körpers mit Berücksichtigung der im »Berliner Astronomischen Jahrbuchc gegebenen Breiten ttber der ange- nommenen Ebene nach 17 (6 b) ermittelt werden können.
Für die zwei der Osciilationsepocl^e vorangehende und nachfolgenden Inter- vallen sind nun die Störungen gleich Null anzunehmen. In dem folgenden Bei- spiele ist die^^es jedoch nicht der Fall, da die Rechnung mit den nach der ersten Bestimmung sich ergebenden Störungen wiederholt wurde. Die ftlr die Be- stimmung von A und A' nöthigen Rechnungen wurden nicht angesetzt, weil in Folge der Kleinheit von x beide Werthe verschwinden.
Eine theilwdse Controile der Rechnung erhfllt man doich Voigleicbung der extrapolirten Werthe für (1 + v), die fttr die Berechnung von r aus r0 verwendet
werden mit den schliesslich erhaltenen, welche zur Bestimmung von ^j- dienen.
Ueberdies ottssen, wenn man die Störungen nach verschiedenen Methoden be- rechnet, die Tg, selbstverständlich in allen Methoden sich innerhalb der Unge- nauigkeit der Rechnung identisch ergeben. Eine durchgreifende Controile erhält
man natürlich ei^t durch die Uebereinstimmimg der nach den verschiedenen Methoden erhaltenen osculirenden Elemente für dieselbe Epoche. (Vergl. pag. 366.)
Das folgende Beispiel ist wieder bedeutend verktirzt wiederf;cc:enen Zu erwähnen ist noch, dass die auf pag. 354 unten angeheizten Rechnungen für z und V nebst den daraus folgenden Reihen zur Bestimmung der Anfangsconstanten nach den auf pag. 349 gegebenen Vorschriften dienen:
Digitized by Göogle
3S* Uecbanik des Himmels. S7.
|
1889 |
Dec. 7 0 |
Ocu 28-0 |
Sepl. 180 |
Aug. 9-0 |
Juli 0-0 |
Mai 21-0 |
|
|
+ 0"-3 |
0"-0 |
0"0 |
— 0"*8 1 |
— l"-0 |
— r*-8 |
||
|
A 1/" |
• • |
+ 0-1 |
0-0 |
00 |
-Ol 1 |
- 0-8 |
— 0« |
|
•4- Ii./ . . |
S'öl' 2"-4 |
358° 1(5' 38"'5 |
352« 42 40 |
347° 7'S5"*6 |
341' SS' 6 " |
||
|
M . . . , |
9 25 31 4 |
3 51 2-4 |
3r8 16 33-Ö |
352 42 4-4 |
347 7 35 3 |
S41 88 61 |
|
|
17 88 58*6 |
7 15 818 |
856 44 88-0 |
546 18 85*8 |
886 18 81-7 |
886 46 18*5 |
||
|
y . . , » |
88 58 18-7 |
13 4 90-7 |
854 84 87*9 |
887 88 88*4 |
881 88 57*1 |
807 8 188 |
|
|
* • |
848 85 50'8 |
848 85 50-6 |
848 85 50*6 |
848 85 60*4 |
848 85 49-6 |
848 85 478 |
|
|
18 88 7*8 |
855 40 11*8 |
888 10 18*5 |
880 59 18*8 |
804 19 46*7 |
890 48 W |
||
|
l+v . . . |
* |
0-999997 |
lOOOOOO |
1-0(10000 |
0-999996 |
0999998 |
0*999992 |
|
0S07650 |
0-293082 |
0-290623 |
0-300817 |
0*881187 |
0-S48980 |
||
|
0 307649 |
0-2930S2 |
0-200623 |
0'd00815 |
0-981484 |
0-348976 |
||
|
^21 . . . . |
+ 11-67 |
+ 5'92 |
— 2-15 |
— 12*55 |
— 24*90 |
— 38 4(» |
|
|
o«7 |
0 0-2 yj \j it |
4- U |
|||||
|
( r\ mm -f- 0*67 |
+ 0 15 |
+ 1*68 |
+ 4-89 |
+ 9-78 |
|||
|
^ • • • |
4- 0 |
||||||
|
^i^'»; . . . |
— ÜGI |
— 0-3 1 |
+ 012 |
+ 0*75 |
+ 1-65 |
+ 292 |
|
|
4- Ü-OS |
+ 0 <)ä |
+ 0-Ü4 |
+ 0<)4 |
+ 0*05 |
+ 0-05 |
||
|
-H 212 |
-f-2-66 |
+ 8-48 |
+ 4-56 |
+ 618 |
+ 8-47 |
||
|
«'^ • • . ' |
4- 0-12 |
4-0-11 |
+ 010 |
+ 0*10 |
+ 0*09 |
4- 0 09 |
|
|
hii x—^ . . . |
• • |
9-38470 |
9-41384 |
9-41875 |
9-39837 |
9-35703 |
930205 |
|
• • |
0-99255 |
0-22011 |
9-49 i 36 |
0'9ü2W |
1-42781 |
1-76515 |
|
|
JogQ^ . . . |
0-99255 |
0 22011 |
9-49186 |
0*90200 |
1*42782 |
1*76516 |
|
|
1-35999 |
058755 |
9-85880 |
i- 26944 |
1-79526 |
2-i:'.2fn |
||
|
r 17*233 |
116249 |
1-20326 |
1-28594 |
l-^59o |
|||
|
+ 0-77 |
+ 019 |
+ 0-48 |
+ 202 |
+ 5-24 |
+ 10-11 |
||
|
• • |
-284 |
— S-77 |
- 3-58 |
— 4*66 |
-6*87 |
- 8*56 |
|
|
- 1-47 |
-8*58 |
-310 |
- 8-64 |
-1-08 |
+ 1-55 |
||
|
-hl'84 |
+ 0-86 |
+ 0-05 |
+ H6 |
+ 8*88 |
+ 5*45 |
||
|
(h88885 |
0-87985 |
0-87187 |
0-90844 |
0*96445 |
1-04688 |
||
|
-018 |
— 8-32 |
-805 |
- 1-48 |
+ 8*20 |
+ 7-00 |
||
|
+ 5637-5 |
+ 62522-6 |
+ 63593-7 |
+ 59*269-6 |
+ 51384 4 |
+ 42496-0 |
||
|
-1-2-24 |
+ 2-77 |
+ 3-53 |
+ 4*66 |
+ 6-27 |
+ 8-56 |
||
|
^ - • ■ » |
• « |
4- 56537-6 |
+ 6-2524-9 |
4 r:',>96-7 |
+ 59271-1 |
+ 51882-2 |
4- 42489-0 |
|
8-75234 |
8-79604 |
880344 |
8-77284 |
8-71081 |
8'6?8f8 |
||
|
000-204 |
000225 |
0-0O229 |
0 (A)214 |
0-00185 |
0-(>)U7 |
||
|
Ü«39i7 |
9n50j| |
9m544 1 |
0»5079 |
0»85673 |
0.9294S |
||
|
8*75080 |
8*79879 |
8*80115 |
8-77070 |
8'70688 |
8*61681 |
||
|
+ 0*15 |
+ OK)S |
+ 008 |
+ 0^80 |
+ 0*87 |
+ <^86 |
||
|
~n 00909 • |
J_ AMOR.!. |
'X' OWiTf II |
^ 00* I* m |
||||
|
• • |
8-75234 |
8-79606 |
8*80344 |
8-77886 |
8-71088 |
V V0VW |
|
|
0-00204 |
Ü0i)225 |
OKX)288 |
0-00214 |
0-00185 |
0KX)147 |
||
|
9m4624 |
8m0001) |
9-3010 |
007555 |
0-58659 |
|||
|
8-75032 |
8-79381 |
8-80115 |
8-77072 |
8-70903 |
86^697 |
||
|
• • |
-0-58 |
— 0-28 |
+ 0-16 |
+ 0-79 |
+ 1*70 |
+ 2*97 |
|
|
+ 0-08 |
+ 0-01 |
0-00 |
-001 |
'0<»6 |
— 0*16 |
||
|
— 84o |
— O'o» |
— 085 |
— 8*81 |
— 7*17 |
— 8-47 |
||
|
Om880» |
9i.S05 |
8.544 |
0x5065 |
0»855S8 |
0.98788 |
||
|
log 9 . . , |
• • |
4-8010 |
4<801 |
4*801 |
4*8010 |
4-80108 |
4*80108 |
|
• • |
91018 |
8-171 |
8-182 |
1 91526 |
9-45907 |
9-53H? |
|
|
• • |
9-e916 |
8*8488 |
8*8845 |
1 9*6148 |
0O9987 Digitized |
by fioo^ |
MedMnik des Hinmids. 97.
|
Aug. |
Juli 11-0 |
1 Juni 10 |
April 22 0 j |
Min 13-0 |
Febr. I<0 |
|
|
.... |
+ 0'24"-5 |
^ I'14"-3 |
+ 2' 21 "-5 |
+ 3'5n"*7 |
5'4C"-4 |
+ 8'27"-2 |
|
A.V .... |
-4- lü 29'() |
-f 12 43-4 |
+ 15 29 0 |
+ 18 37-8 |
+ 22 16-4 |
+ 26 17*3 |
|
+ . . . |
252° 21' 23 "-9 |
246" 46' 55" 0 |
241" 12' 26 '1 23.^°37'57"-2 |
230° 3'28"*3 |
•224" 28' 59"*3 |
|
|
M |
268 Sl 58-9 |
846 59 88*4 |
241 27 55-1 |
235 56 35 0 |
•230 25 44-7 |
224 55 16*6 |
|
E |
881 86 81*5 |
887 18 7*1 |
288 8 5-5 |
818 58 85*5 |
814 58 9*9 |
811 1 18-8 |
|
r |
818 18 87-8 |
809 88 18*8 |
206 87 81*9 |
208 58 10-9 |
201 24 5-4 |
198 54 9-4 |
|
343 3ß 151 |
343 37 4-9 |
343 88 18*1 |
848 89 41*8 |
848 41 87*0 |
848 44 17*8 |
|
|
/ ..... |
195 50 12-3 |
192 59 23-1 |
190 15 84*0 |
187 87 58*8 |
185 5 48*4 |
188 88 87*8 |
|
l+v .... |
1 003354 |
1008877 |
1-004443 |
1 005049 |
1-005700 |
1-006401 |
|
IfifTt .... |
U D10II4 |
U bobooo |
KJ 0 J -i 1 D 1 |
y) (Oiöoy |
0-708039 |
0*713440 |
|
loFT .... "»5 I .... |
0-679568 |
0-688578 |
0-696692 |
0-70;^997 |
0-71Ü507 |
0-71621 1 |
|
Qit .... V4 .... |
1734-98 |
+ 2272*76 |
+ 2989-24 |
+ 3984-48 |
-t- 5434 41 |
-H Tw !'85 |
|
Ol ... . |
+ 3-06 |
+ 8-07 |
+ 308 |
+ 309 |
^ 0 yJO |
|
|
.... 4 • • • • |
697-98 Vi/ • |
+ 905-88 |
+ IZW |
+ 1676 06 |
+ 2442*28 |
-h 3801 39 |
|
^ . . . . |
+ 002 |
+ 0-01 |
+ 001 |
0-0 1 *T" V/ V/ 4 |
0*00 |
|
|
iVti .... 4 • • • • |
+ 200-27 AVA/ • 1 |
-t- 244 42 |
+ 303*04 |
+ 384*64 |
+ 504 63 |
+ 692 59 |
|
IFti . , . . |
+ 007 |
+ 007 |
+ u uo |
+ 0 06 |
-t- nofi |
|
|
»4 .... |
+ 622-72 |
+ o22'72 |
+ 1115*86 |
+ 1568-83 |
+ 2315 09 |
+ 3643*62 |
|
tm .... |
+ 0-11 |
+ 0-11 |
+ 0-11 |
+ 0*11 |
+ 0*12 |
+ 0 18 |
|
8-640864 |
8-622844 |
8-606616 |
8*592006 |
8*578986 |
8-567578 |
|
|
3m6702S7 |
3'-967948 |
4« 1054 16 |
4^240816 |
4.,' 37 8 134 |
||
|
. . . . |
]|_oofti7/k «MOZO 1 IV |
3«968214 |
4„ 103034 |
4«237558 |
4. r 37 3 (^60 |
|
|
4'.Uä6^ö |
4»190614 |
4><3<^3658 |
4»470478 |
4«605U02 |
41741104 |
|
|
«tt* .... |
8*718878 |
8*754818 |
8-786768 |
2-815998 |
2*842028 |
2*864844 |
|
X |
+ 905*89 |
+ 1209*26 |
+ 1676-07 |
+ 2442-23 |
+ 3801-89 |
|
|
— • .... |
— 888*88 |
— 888WI |
— 1116*97 |
— 1568*94 |
— 881^81 |
— 8648*68 |
|
* |
+ 78*17 |
+ 88*06 |
+ 9889 |
+ 107*18 |
+ 187*08 |
+ 157-77 |
|
-80-88 |
— 87*31 |
-85*88 |
— 46*18 |
-67*94 |
— 75*81 |
|
|
r» |
8*03870 |
206573 |
S109006 |
8*11199 |
8*18158 |
8*14868 |
|
ff |
+ 54-35 |
+ 55-75 |
+ 5806 |
+ 62-00 |
+ 69*08 |
+ 8*2*56 |
|
M.)»:r» . . |
+ 4830*91 |
+ 40b9-57 |
+ 3847-75 |
+ 365R-41 |
+ 3497*63 |
+ 336*2*41 |
|
» |
^ 622-83 |
822-83 |
+ 1115-97 |
+ 1568 94 |
+ 231509 |
+ 8643-62 |
|
^ |
+ 4276 56 |
-+- 4013-8-2 |
+ 3789-69 |
3596*41 |
+ 3428*45 |
+ 3279 85 |
|
7-63109 |
7 -60356 |
7*57860 |
7*55687 |
7-53510 |
7*51585 |
|
|
0-00015 |
0HX)OU |
0<I0014 |
0KXX>18 |
0-OOOlS |
0<)0018 |
|
|
.... |
8*58577 |
8*58885 |
tt*CÄTtUt. 0 m 100 |
3 7U99D |
8*75597 |
8*80688 |
|
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7-69094 |
7*60848 |
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7*68498 |
7*51578 |
|
|
- ^s; — — *v |
— 14*85 |
— 15*57 |
— 16-84 |
— 18*16 |
-19*64 |
-8099 |
|
|
+ 4958-74 |
^ 4892-40 |
+ 4yD»* i£ |
+ 00 |
+ 5812*62 |
+ 7006*03 |
|
log 10-« Zf'o . . |
7-G9t93 |
7-68952 |
7*RQSft1 1 0900 1 |
7-76437 |
7*84547 |
|
|
ÜÜÜÜ18 |
0-00018 |
000018 |
0000 19 |
0-00021 |
000025 |
|
|
.... |
3-56577 |
8-66882 |
3*76886 |
3*86671 |
3-96335 |
4*05998 |
|
w |
7-69475 |
7*68934 |
7*76416 |
7*84522 |
||
|
+ 800-84 |
+ 844*49 |
+ 808*10 |
+ 884*70 |
+ 504*69 |
+ 698-64 |
|
|
— 18*28 |
— 88*81 |
— 8914 |
-88*44 |
— 58*40 |
-80-89 |
|
|
' « . • . • |
+ 8854*4 |
+ 3878-8 |
+ 4448*6 |
+ 50495 |
+ 6699*6 |
+ 6899*7 |
|
Ä'J'V .... |
3-52562 |
3-58870 |
?-64772 |
3-70325 |
3*75584 |
3*80616 |
|
.... |
4-29885 |
4-29851 |
4-29814 |
4-29775 |
4-29783 |
4-29687 |
|
2« 12699 |
2» 18973 |
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2'.30352 |
2«35569 |
2„40555 |
|
|
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1«76167 |
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|
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Jupiter.
|
1889 |
Dce. 7-0 |
OcL 88-0 |
Scpt 18-0 |
Aug. 9-0 |
Jdi 80-0 1 |
Min 18-0 1 |
Febr. 1*0 |
|
|
• * t t • l^gB^ . . . . |
28" 9 2Ä' 0.1461 |
283° 48' 16' 0-0792 |
2>^(f' 17 0«ü4i4 |
27T' 9 27" 9.9542 |
273° 51' 43" 9x8451 |
208*51 2 ' 4 0 322-i |
200" 3'26"-5 0-3424 |
|
|
logtmß^ . , . ''^«f log (OS . , . |
9-011190 0-718507 9-997702 |
9015622 0714746 9-997654 |
9 018521 0-715982 9-997622 |
9-019937 0-717212 9-997606 |
9-019902 0-718432 9-997607 |
8- 602795 0-736141 9- 999651 |
8- 542856 0-736423 9- 999735 |
|
|
■^1 • » • » • / logm{L^ — /) . logr^cosBy^ . . hgsin{Lj^ — I) . |
269° 9' 56" 12 20 8 9x36246 0-71121 9«i98816 |
265*»47' 46" 355 40 1 1 7'34359 0-71240 0..00000 |
262°26' 43" 838 10 18 9*39191 0-71360 9«96688 |
2.59" 6' 47" 320 59 14 9-67339 0-71482 9.94543 |
255*47' 58" 304 59 47 9*81522 0 71604 9x87907 |
189°55'10"*4 185 5 42-4 9-998458 0-735792 8-984811 |
186*54' I8"-9 182 38 27-2 9-998796 0-736158 8-671881 |
|
|
log^i .... Ä»^r .... |
0*07867 0-30765 |
HOW99 () :^^i*308 |
0 10551 0-29062 |
0*38821 0-30081 |
0-63126 0-3214S |
j 1 |
0*734250 0-710507 |
0734954 0-716211 |
|
.... iog» .... |
9-72470 3i»491 |
9-78087 |
9-73450 |
9-78715 3-880 |
9-73833 4-080 |
9-338936 7-96808 |
9-27P?:!> 8009904 |
|
|
logr^^^cos ^ €os% hgr^^eot % tiH% t A '^oi • • • |
0«50726 0«69937 0-77441 9-72470 9-22387 |
0x29056 O7,7r240 0-74Ub 9 7303 1 9-25646 |
9«83100 0^69999 0-70392 y73450 9-29359 |
9-64896 0x66025 0-66230 9-73715 9-33466 |
0-11456 0x59511 0-61765 9-73833 9-37860 |
9-460187 9-660603 9-73S255 9-320265 0 236532 |
9-360782 9-607489 9-667950 9-252249 0*302187 |
|
|
Äyr-» . . . t»gr-^ . . . Ä»f AT .... |
7-67160 7-85948 71.40502 |
7-7G939 7-8Ö576 7-IU88 |
7-88078 7-85205 6-68707 |
8-00897 7-84836 7-48274 |
8-13579 7-84470 7-82459 |
0-709596 7-791577 0-709071 |
0-906561 7-790731 0-906228 |
|
|
%5,:r . . . üo^ij^r. . . . ^ Ü^C| . • |
9n76603 0«05999 liiOOTOl 7.18971 |
7'7G290 9«76H8,^> l»üüü48 6«84SS5 |
9-81489 9-34204 0x99061 6-48157 |
01)6741 Ol 8772 0x96106 7-81988 |
0*20977 0*47956 0x91660 7M898 |
0-023743 3-364048 0-371110 0<M8007 |
0-018743 3-561200 0-323700 0-185607 |
|
dir H |
|||
|
^0 • • • . |
-h 0-06371 |
+ 0-06371 |
|
|
g\ .... |
— 0-00109 |
- 0-00109 |
|
|
. . . . |
-w» |
— 0D81 |
|
|
ff, ... . |
+ 0*764 |
- 0*488 |
V — - 1*468 + 0*1878 ^ — OD058 ^« — 0-0078 |
|
ff, ... . |
+ 0*935 |
+ 0*082 |
|
|
ff, ... . |
— 0"187 |
-0 008 |
t * * 0«40/* - 0*078 1* + 0*0070 —0*0008 /* |
|
4r, . . . . |
— 1-459 |
— 0-040 |
|
|
X, . . . . |
+ 0-1273 |
— 0-073 |
|
|
. . , , |
- 0-0062 |
+ 0-007 |
|
|
— 0O079 |
— <H)008 |
|
V i |
s |
|||
|
1889 August 9-0 .. . |
— 3-473 |
— 1-28 |
+ 0186 |
+ 0-78 |
|
September 180 . |
-0-356 |
— 3-03 |
— 0-001 |
+ 0-16 |
|
October 28 0 . . |
— 0-825 |
- 2-30 |
— 0 019 |
— 0-27 |
|
Dccember 7-0 . . |
— 2*716 1 |
+ 0-02 |
- 0-302 |
-.0-56 |
Digitized by Google
Mechanik dei Himmch. 27.
355
V
|
18S7 Febr. |
i-o |
— 23885* 51 |
|
Ma» |
18*0 |
I IV |
|
Aprfl m |
— 1 '2747-23 |
|
|
Juni |
1-0 |
|
|
Jiüi |
110 |
|
|
Aug. |
SO'O |
— 4679*90 |
|
Sept. |
29-ü |
|
|
Nov. |
80 |
— 2()03-8() |
|
1S87 Dec |
180 |
— 1143 04 |
|
l8t8 Jan. |
«7*0 |
— 517'72 Vit i * |
|
März |
70 |
|
|
April |
16-0 |
_4_ 903- 'iS |
|
Mai |
260 |
+ 370 54 |
|
Juli |
5-0 |
|
|
14D |
-i- 460 61 |
|
|
Sept. |
230 |
|
|
Nov. |
2-0 |
+ 370"46 |
|
ISftO JJcc. |
V£\J |
299 8^ |
|
1889 Jan. |
210 |
-j- 227*28 |
|
März |
2-0 |
|
|
April |
HO |
l(.X)-87 |
|
Mai |
210 |
ö8-23 |
|
JuH |
80-0 |
-H 26*78 |
|
Aug. |
0-0 |
-7-98 |
|
Sept. |
16-0 |
-f 05 1 |
|
Oct. |
280 |
+ IG6 |
|
Occ. |
70 |
+ »•88 |
- 27966*00!
-20281 -071 -14843-5Si -10856-01'
- 7868*69
- 5587-86i
- 3849 82
- 2526 191
- 1529*78
- 795 33,
- 271-48 -r 83 22 -f 804*1N ^ 421-!*f^ H- 4fi2'9-l 4- 460 03 + 402-55 -i- 336-23
263- 17 -r 192-28 4- 129-51 -j- 78*85 A- 40' SO ^ 153^ 2-4C u-33 ; 79
-i- 15Ü4|
Q
f 7674-93 + 5487*49
+ 3987-57 '+ 299-2-32 -f" 2275'83ji { 1738*0i|| 1+ 1323-69 + 996-41 4- 734-45,.
— 58S*85| -l 354-70 - 221 02 -4 117-72
+ 40-98
— 12-91
— 47-48
— 60-32 -73-06
— 70-89
— 62-77
— 5110
— 3805
— 24-92
— 12-92
— 2-79 + 5 J2 + 10-85
-r>70l-97| -t- 1447-55 4-1220-73 -f 1019-58 + 842-41 -f 687-G3 + 5o3-66 -i- 438-96 4-841*95 + 261-04 + I9i'63 4- 141-13 -f 98*95 --■ 66-5^ ^42-43 -f 2517 H- 18-44 + 601 + 1-77
— Ü-2Ö
— 0-88
— 0-79
— 0 45
— Ol 6
— 0-02 iVOO
•■ 00 i
-r 014
dl
- 254"-42
- 226*82
- 201-15
- 177-17
- 154-78
- 188-97
- 114 70
- 97 01
- 80-91
- 66*41
- 53-Ö0
- 4218
- 32*40
- 24*12
- 17-26
- 11-73
- 7-43 -4 24
- 2-02 0-63
+ 010 -^0-34 + 0*29 ^0-14 '- 0 02 -1- 001 + 0-13
+ 603-11 + 421-08 + 284-86 + 182-U9 + 104-65 + 46-88 + 4-66
— 25-16
- 45-06
- 57-06
— 62-84
- 63-81
— 61-20^
— 56-Oj
- 49-25
— 41-55 ~ 88-601
- 25-89
- 18-82
— 12-68
— 7-72 410
— 1-69
— 0-43
— 00-2! 0-(X)j
+ 0-09) + Ü58|
— 182"03
— 186-22
— 102-77
— 77-44
— 57-77
— 42-22
— 29-82
— 19-90
— 12-00 -5-78 ~ 0-97 + 2-61 + 6-15 + 6-80 + 7-70 + 7-95 + 7-71 + 7 07 + 6 14 + 4-96 + 3-62 + 2-41 + 1'26
0-4 1 + 0-02 + 0-09 + 0*49
'dt*
1S87 Febr. rO IIInl8-0 April 22-0 Juni 1-0 juU 110 Aug. 20*0 Sept. 29 0 Nov. 8-0
m^ Dec. 18 0
t888 Jan. 27*0
Würz 7-0 April 26 0 Mai 26 0 Jifli 5-0 Aug. 14-0 Sept. 23-0 NoY. 2-0 t888 Dec. 12 0 1889 Jan. 21-0 M-r.: 20 AprU U'Ü Mai 21*0 Juli 80*0 Aug. 90 Sept. 18-0 Oct. 28 0 De«. 7*0
7ir)5-4(( ,+ 6101-48+ Ü394ß(;l + 5701*21 + 8695-4)
+ 5051-03-^ .vnvst;
4444-91 I 444* » (17 1+ 3880- 1 4, i 387j-5i» + 8855-64|+ 3351*11
+ -287 1-16— 'im^'->
24-:6-8=.
24 2 •-^•4 8
1+ 202-2-92+ 2018 63| 1+ 1659-49+ 1655'32|
-f- 1336 34 -f- 1053-0<; + 808-72 + 601-89 + 430-G8 + -292-76 — 185-531 + 105-77 + 50-40
+ 15-(;7
- 2-44 -8*5G|
- 7-19
- 3-22
- 0-35 -0-32
- 2*47
— 1332-29 h 1049-17,
80.V0}| + 598-461
427-511 — 289-90'
182-931 + 103-:)8'
— 48-58|
— 14-25'
— 3-44i
— 9'09|
— 7-3S,
— 3-0>
— 010
— 0*18
— 2*46
— 4*77
- 7no-74
- 699-17
- 649 63
- 605*79
- Ö61-57
- 524-39
- 4Ö4'39
- 444*24
- 403-85
- ;;63-:ii
- 323 0^
- 283-12
- 244-13
- 206- j9
- 17(194
- 137-61
- 106*97
- 79-35
- 55 (K.)
- 34-3:!
- 17*69
— 5-6f) -\- 1-71 + 4-23 + 3-00
— u d;',
— 2
-2-31
r
.-rGr57 ! -49-54 j-i-43-81 '+4122 ■-hlü-18
--40-00 II 1 + 40-15
--40-39
- -40-54,1 ^40*28 II j-L3'J-91 !'
-3S-99 -37-54 -85-65 -33-33 :u) 64 -^27-62 ;-24*80 1-20*67 ' i 16-64 ^-1- 12-01 I + 7-36 : -V- 2-57 1 - 1-28 I - 3-03
- 2-30 + 002
+ 143iO-8-2; -[-lUSÜ-9i;-T- 1 1423-66 + 9190*821 + 9148*75
+ 7357-14; - 73-25-13 + 5.S73-00| 5817-77 + 4G64-7lj + 4644-37.' + 3679-321 + 3662-65
■- 2876-85 I- 28i;:VO'' •- 2226-o'> + 2214-59
+ 1288'24| + 1275*27
— 952-67; 1-916 10 - G!)5-05 -■ 689-66
-r 497-26, + 348-od + 237-45 + 157-331 + 100 66 + 61-70 -;- 35-80 '- 20-05 I' 9-95 + 3-86 + 1*19
- ■ (* 20
0-uo
— 0-01 -0-29
-r 492 90, + 844'S0|
— 2 ;4-7i ■\- 155-22 I- 99 07 + 60*52 + 34-95 -i- 18-71 + 8-98 + 8-61 1-Oj + 0 13
— ÜOl
+ o-oj|
— U-24| — 1-05
- -2887- 16
- 2274-91
- 1823-62
- 1477*36
- 1203-40
- 981-7-2
- 7 99 '60
- 648*46
- 522-34
- 416-98 -329-17
- 256*44
- 196-76!
- 148-4ol
- 109-79!
- 79-49
-56-15;
- 3S-55
- 25-57
- lß-24
— 9*73
— 5-37
— 2-5i^
— 0-9?
— 0 14 + 0-02
— Ü-2Ö -0-81
+ 612-25
+ 451-29 + 346-26 + 273-96 + 221*68 + 182-12
— 151-14
- 126 12 + 105-36
+ 87-81 + 72-73 + .59 68 + 48-36 + 88*61 + 30-30 + 23-34 + 17-60 — 12*98 + 9-33 + 6-51 + 4-36 + 2*81 + 1-64 -~ 0-78
+ O'ib — 0*87 -0*56
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3S6 Mecbiiilik des Hinmeli. S8.
28. S'öriirgen in polaren Coordinaten; Uebergang auf osru- lirende ] Icn^enie. Durch die Störungsrechnung erhält man die Coordinaten r, /, M und I re DifTerentialquotienten filr die neue Osculaiionsepoche und mit diesen die IK icriu rien der Flächengesc luvindigkeiten in Be/ng auf tias feste Axensyi>tein d. i. aul die ungestörte Balmcbcne und zwe» dazu senkreciite Ebenen. Beteidmet man die Neigung der neuen Osculationsebene gegen die alte mit / und die Länge des aufsteigenden Knotens der neuen Bahnebene, gesihlk Tom Anfangspunkte der / mtt 4^, so gelten (veigl. Fig. 87S, pag. 315} die Fomeln 17. 14i aus denen man leicht die folgenden ableitet^}:
^oVpsi»/sini/-<l>)^r»^^ (1)
Aus den Grössen <!>, / in Verbindung mit den Sq, Q,^ kann man nun leicht f (die Lage der neuen Osculationsebene) finden. In dem Dreiecke AfAiT bat man
- '•> = pSiSt^S ^-
Ist /\ der Ort des Planeten für die neue Osculationsepoche, und JPm acfik* recht auf der ursprtinglichen Bahnlage, fto wild / — daher, wenn man
KF^ — (»} setzt"):
lani^ («) = tan^ (/ — 4^) sec J, (4) Da r* BB 4- 1* ist, so wird
— ^ L — L ^
dt^ r dt"^ rTi* w
und dann ist:
•i/p dr
« Ol («) -H 0 — 9
Beispiel: Aus der Störungstafel p«g. 355 erhftlt man durch mechanische Quadraturen fllr 1887 Juni 1*0:
/ Qdt «- — 9290-60 Ail/ « 4- 15' 29" 07 v = -h 4448*49 « — -h 5870-52
sodann
*) r* ^ könnte num in der mten und «weiica Fomcl sofort durdi kjlfp^ + /S«''
^ Die Aosdrllcke filr die AenderuBgCD de« FaimincleTi, der Bxcentridltt «.•■«. i. Y. Ovrouia, 1. c. IL Band, peg. 163,
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|
77 = 4/ |
20ß° |
00' »^M '-qg |
||
|
SS 0 Sl |
49 10-17 18 S9'49 44 11-28 |
JA ^ |
0\t6 IDUoI 223" 27' 31"-38 242 30 12*74 |
|
|
a- |
19 |
4 26-28 |
842 42 4-65 |
|
|
6 |
Sl äS-56 |
1 46 dO-93. |
lle^hanik de« namieb. tt. S9. 3Sf
Damit wild:
241" 27' ö5"17 r- 206 37 2202 190 15 34 17
i^/r« 0-6966921 Aii^r = 0-6966924 ii«^^r:^/-8i,94ö6d59
Si« Vergleichung der Stdrangen in rechtwinkligen und polaren Coordinateo; Uebergaog auf ein anderes Intervall. Hat man die
Störungen nach zwei verschiedenen Medioden bestimnit^ so wird es sich, in jenen FaUen, in denen die Störungsrechnung ohnediess von einer neuen Osculations- epoche aus weiter geführt werden soll, zum Vergleiche der Resultate empfehlen, auf neue osculirende Elemente überzugehen. Wurden die Störungen in recht- winkligen Coordinaten und nach der folgenden Methode der Variation der Elemente berechnet, so genügt es für die ersteren aui osculirende Elemente tiberzugehen, da die Methode der Variation der Elemente für jeden Zeitmoment osculirende Elemente giebt. Dasselbe gilt, wenn man die Störungen in polaren Coordinaten mit den Elementenstörungeo zu vergleiclien hat Sind aber die StOrtmgen in fechtwinitligen und polaren Coordinaten ermittelt, und erscheint ein Uebergang auf neue osculirende Elemente uondthig, wie s. B. bei der Be- rechnong von Störungen Ar nicht periodisdie Kometen, so kann die Vergleichung auf wesentlich kUixere Weise erlangt werden. Zur Correction der Zeit ist eine Correction der wahren Anomalie und des Radiusvectoxs gehörig, welche nach 17« 11
sind, und es sind daher die aus IV abgeleiteten Werthe r^, V durch die un* gestörten r^*, 9* angedrückt;
F— f(o)-4-At/; r,«>ro<*)+A#'; r— (roWH-Ar)(H-v)— roW-hAr-i-r,(«)v. (S) Nach 17, 3 ist:
= r^/o^ sin c sin (C iK©)). Durch Ditlerentiation erhält man hieraus: d :s d sin u SM {A! 4- r^(»)ii« a cos (A' + v^'^i) (Ö f -h « A!)>
D* nun
a«««-|, l/«— 1), a««— C; 4^'— d^'»dC->AiVr; dtr^Atr, dr«— r««»«' (3) ist, wenn
V:.v4-^- ^ -^"i^tsmvät (4)
r
0
ist, überdies noch die in 17, 3 auftretenden, von z abhängigen Zusatzglieder in den gestörten Coordinaten zu berücksichtigen sind, so wird
( s «^v* + ro<oJxm a cos (A' 4- tM) (äv -h AiV) -i- t cos a 1) a. v' -h ro<«> sin b cos (B' + tAoY) (^v + ^N) + $ cos ö (ö) C — v' 4- r»t<»> sin c cos (C 4- tA»)) (Av s cos c.
Obzwar der Uebergang auf ein anderes Störungsinlervall keinen theoretischen Schwierigkeiten unterliegt, wird es für die praktische Anwendung nicht un-
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3$8 Mechanik des Himmels. 29.
«rwanscht sein» hier das Wichtigste xu bemerken, um so mehr, als in den l«hr' bttchem hierflber meist nichts erwAbnt ist
Ueber die Wahl der Constanten (wk), {wJkymt u. s. w. ist nichts besonderes SU bemerken; man find«^ sofort ittr die Beredinung der Störungen durch Jupiter in achttägigen Intervallen:
ififkymi^ ' 10« « 1-207032 hg {^wk) 10« » 5-e6S474.
Ifingegen ist ein besonderes Augenmerk auf die Bestimmung der Summations-
constanten zu richten^ bei der Aenderung des Integrationsintervalles wird man nämlich nicht die Summationen mit den ursprünglichen Summationsconstanten fortsetzen dürfen, da sicli mit diesen die Integrale aus den neuen Störungstafeln nicht ricbtie ergeben würden. Man wird daher zunächst für ein gegebenes Datum die Störungen (Integrale) aus der bisherigen Siörungsrechnung bestimmen, und die Summationsconstanten iür die Fortsetzung der Siörungsrechnung so bestimmen, dass die Integrale die gefundenen Werthc annehmen. Man findet fUr das vor- liegende l'ciaiiiel (Komet 1889V, Brooks):
für 1887 Febr. 130: /^ö'/ = — 21705 16
Ai/— 4>U97"*82 v»H- 6188-87 710^0
^N^^- 4öd-34 « = + 10731-65 ^ *= — 2390-95.
Die luerbei aus der Sloruni/slaici lolüeuden Ucrthc lur -,: und ^zelten
. ^ dt dt'
natürlich (Ur ein vierzigtägiges Intervall; für ein achttägiges Intervall wird daher:
dg
5^ - — 142-16; "37^— ^78-19.
Da nun für die Mitte zweier Intervalle (die neuen Störungsdaten sind Febr. 17 Ü und Febr. 9 0)
das erste Integral -
ist, so wird die neue Summationsconstante
für Febr. 13 0: 1/ = Integral — /' +
Man erhält so, indem man zunächst ausreichend genau die bisher erhaltenen Werthe von ^ , durch — 26, und —jf t —jj- > Q durch w 5 dm-
dirt, die in der folgenden Störungstafel^ (pag. 359 und 360) in eckigen Klammern [] eingeschlossenen Werthe.
Fttr die »weiten Summen s und v wird es nöthig, das Integral <ttr ein Stöningsdatum selbst ^u ermitteln; da es ganz gleichguiu^ is^ für welches Datum man die Summationsconstanten bestimmt, indem man von jedem beliebigen Datum au^ehend, tu jedem anderen gelangen kann, so wird es am einiachsteup Daten SU wählen, welche der ursprOoglicben Störungsrechnung angehören, weil für diese die Formeln am einfachsten sind. Für Februar 1-0 erhält man
M ». 1 U74 S9 ; V « H- 6899-74; und da für ein Störungsdatum
dns Doppelintegral = ^/ — , . ,
ist, so folgt die Simimationsconstante
ny~ integral für das Störungsdatum — i;/ -j- • • •
womit sich die in der Störungstafel (pag. 360) in eckige Klammern eingeschlossenen Werthe ergeben.
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Ucdunik Hnmelt. 9$,
3S9
Im Folgenden sind noch die wichtigsten Zwiscbenr€<;u1tate für die ersten vier und die letzten drei Intervalle fiir das bereits begonnene Beispiel an- geführt (wobei jedoch nur die Jupiterstdrungen berücksichtigt sind) während Kürse halber die zwölf Zwischenintervalle weggelassen wurden.
|
1887 |
Februar 25-0 |
Febnur 17-0 |
Febntar ^ 0 |
Februar 1 0 |
1886 Okt. 20-oj Oktober 12 0 |
Oktober 4 0 |
|
|
+ 6'4i"-6 |
+ ri6"*6 |
-f 7'ÄO"-9 |
+ 8*87«^ j |
+ 20* 85"*8 |
+ 88* 88 '*8 |
+ 84*11"^ |
|
|
+ S3 44*6 |
-i-84 88*6 |
-f 85 88-1 |
+ 86 m |
-f-W 09*6 |
-|-iO o'O |
+ 41 19*0 |
|
|
228" 18' 25"-3 |
227" 1 l'»"-7 |
■226' r 15"-2 |
2-24" 55' 11" 7 |
210 38 19 7 |
i5ü9 32 34 9 |
208" 26' 51 "-6 |
|
|
il3 J2 55-9 |
212 35 32 9 |
211 48 17-8 |
211 1 10-4 |
/UU 00 OU < |
100 lo 12' 0 |
199 27 39-5 |
|
|
y . . . |
^00 28 33-8 |
199 53 35-6 |
199 23 46-9 |
198 54 7-4 |
19^ 40 06 6 |
1^4 IZ ODO |
191 44 45-4 |
|
i . . . |
184 6 8-9 |
183 36 42-8 |
183 7 28-4 |
182 38 25-6 |
176 37 19-2 |
1^6 10 55*5 |
175 44 47-2 |
|
Agr, . . |
0^1084? |
0*711447 |
0*718519 |
0-718560 |
0-784584 |
0-785857 |
0W894 |
|
0*718984 |
0-714095 |
0-715888 |
0-716881 |
0-788806 |
0*789061 |
0^89799 |
|
|
log ^/ . |
Oh o"* t |
Om Oi4oO |
4»- 08341 |
4« 12266 |
Am 16424 |
||
|
• • ■ |
+ 5Ö0 1 |
+ Ö-74 |
-f 600 |
+ 6-29 |
+ 16-77 |
+ 19-02 |
+ 21-97 |
|
* • • |
— 2-67 |
— 2-70 |
- 285 |
- 301 |
— 6-90 |
— 7-50 |
— 8-20 |
|
H . . . |
+ 2-98 |
-f 304 |
+ 315 |
+ 3-28 |
+ 9-87 |
+ 11-52 |
+ 13-77 |
|
4- 137-58 |
+ 136-48 |
+ 185-41 |
+ 134-38 |
+ 123-71 |
+ 123-07 |
4- 122-45 |
|
|
1 |
-j- 110-14 |
+ 180-84 |
+ 188-64 |
+ 146-88 |
+ 899-61 |
+ 1118*65 |
4-1407-00 |
|
-i- 88-19 |
+ 84-89 |
+ 95-96 |
+ 87-81 |
+ 103 47 |
+ 181-51 |
+ 146^18 |
|
|
— A' 5» . |
— 0-81 |
- 0-82 |
- 083 |
- 0-84 |
- 098 |
— 0-98 |
~ 0416 |
|
— 8*49 |
— 8*70 |
— 2-94 |
- 8-88 |
— ll'OD |
— 87*69 |
— 35^ |
|
|
Jupiter. |
|||||||
|
• , • |
188°42'47"-5 |
188," 6'37"-21187°30'27"-7 |
186°54' 18"-9 |
179° 5'13"-3 |
178° 29' n"-l |
177" 53' 9"-8 |
|
|
L,-l . |
4 36 38-6 |
4 29 54-4 |
4 22 59-3 |
4 15 53-3 |
2 27 54 1 |
2 18 15-6 |
2 8 22«0 |
|
. . |
0-734539 |
0-734686 |
0-7348 lö |
0-734954 |
0-736370 |
0-736448 |
0 736520 |
|
9-64112 |
9-69051 |
9-61933 |
9-60753 |
9-37083 |
9-34111 |
930890 |
|
|
9-91680 |
9-80489 |
9-89199 |
9*87988 |
9*06078 |
94»784 |
9*01365 |
|
|
kg% . , |
8-00186 |
802119 |
8-04048 |
805971 |
8-32562 |
8-34889 |
8-87154 |
|
026163 |
0-27482 |
0-28854 |
0-30275 |
0-66571 |
0-59660 |
0-63042 |
|
|
log /C . . |
0-7844t^ |
0-82 10^ |
0-86527 |
090793 |
1-69708 |
1-78976 |
1-89125 |
|
iböö Oct. 4 0 |
— 15084 45 |
|
Oct 18*0 |
-18665*74 |
|
Oct. 900 |
— 18450-18 |
|
Oct 86*0 |
— 11395-80 |
|
Not. 5-0 |
— 10471-93 |
|
Nor. 13-0 |
— 9b5.S'30 |
|
Nov. 21-0 |
— 8i>28Ü8 |
|
Not. 89*0 |
- 8875*68 |
|
Dm. 7*0 |
— 7687*84 |
|
Dcc 150 |
— 7155-01 |
|
Dec. 23-0 |
— 6669-78 |
|
1886 Dec. 31-0 |
— 6226-21 |
|
i887 Jan. 80 |
- 5819-25 |
|
Jan. 160 |
— 5444-66 |
|
Jia. 84*0 |
-* 8096*88 |
|
FAt. 10 |
— 4778-70 |
|
Febr. 9 0 |
— 4481-63 |
|
Febr. 17-0 |
— 420'>-38 |
|
Febr. 25 0 |
— 3947-97 |
[-
15875*80
14337- 12 13028 06 11898-91 10914-29 10047*89 9876-05 8590-42 7971-99 7412-85 6904-86 6441-42 6016-99 5626*89 5267-23 4934-71 4626-52 4340-20] 4078*70 8825-07
dt
4t
■V
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 1538-08 + 1809-06 + 1189*15
984-62 866-90 769-34 687-63 616*43 55914 507-99 4^3-14 424-43 390-10 859-66 888*52 80619 286-32 266-50 848-63
+
\
+ 8514*90
+ 2443-48 + 2373-78 + 2305-71 4- 22^9-20 + 8174*19 + 8110*68 + 2048-43 + 19?7-r,9 + 1!):^S':^4 + 187U'Ü9 + 1813*81 + 1757*58 + 1703-16 -i- 1649-94 + 1597*90 4- 1547-02 [+ 1497 27 + 1448-64 + 140118
7l"-42
69*70
66*07
66-51 65-01 63-56 62-15 60-79
'59*45 5815 56-88
• 55-63
- 54-42 -58-82 -58-04 -50-88
- 49-75
- 48-C3
- 47-52
+ 1506*10
+ 1398-11 + 1299-95 + 1210-21 + 1127-80 + 1051*77
961*41 916*09
855-30 798-60 745-60 695*98 649-45 605-77 :iG4-70 526*06 489-66 [+ 455-35J + 488*99 + 898-45
+
+ + + + + + + + + +
— 107"-99 -96*16 -69*74
— 82*41
— 7603
— 70-36
— 65-32
— 60*79 -56*70
— 5300
— 49-62
— 46-53
— 43-68 -41-07
86*64 -86*40
— 34-31
— 32-36 -30-54
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36o
Meebaiiik des Hinuncls. S9. 80.
1886 Oer. 4 0 + Oct. 120-1- Oct. 20 0 + Oce. S80 + Not. 5-0 + Nov. 130 + Nov. 2 10 + Nov. 290 + Dec. 7 0 + Dec. lö 0 + Dcc.23-0 +
1886 Dec 81-0 +
1887 Jan. 80 + Jwj. 160 + Jan, 24 0 + Febr. 10 + F»bf. 9 0 + Febr. 170 + Febr.S5<0 +
901701
879807
8390-27 8198-44
801319
7833-73 7659-40 7489 63 7;i2.i-98
imih
7003-74
6848-501
6696-22
6546-74
6399-81
6255-33
611817
6873-23
+ 9247-42 + 9015-87 + 8797 11 + 8588-89 + 8889'66 + 8187-81 + 80J2R3 + 7833-23 + 7n58-94 + 748921
+ 78mi
+ 7161-79
+ 7003-40
+ «8 48- 18
+ r,t;9rr92
+ 6546-45 [+ 6399-54] + 686.'>-07 + 6112-92 + 5;^72-99 + &tö5-18
dt*
231-55 818*76 808-22
199-33
191-75
185-18
179 40
174-29
169-73
165*60
161-82
158-39
155-22
152-26
149-50
146-91
144-47
142-15;
139-93
137-81
+ 12-79 +10-54
+ 8-89
+ 7-58
+ 6-57
+ 5-78
+ 5-11
+ 4-56
+ 4-13
+ 3-78
+ 3-43
+ 317
+ 296
+ 2-76
+ 2-59
+ 2-44
+ 2-32
+ 2-2-2
+ 21 i
+23532-55 +2230253 +21166-90 +20113-22 + 19132-18 +18215-10 + 17355-59 + 16547-79 + 15786-67 + 15068-09 +14888*38 +13744-38 + 13133-32 + r^5,V2-74 + 12000-48 + 11474-56 + 10973-25 +10495-00 +10038-32
+ 24857-68 + 23520-45 + 22292-41 + 21158-29 + 20105*98
+
+
+
+ +
+
+
9185*68
8209-36
735048
6543 20
5782-53
5064*88
4384-95
3741-23
3130 42
2550-06
1997-98
1472-24J
0971 09
049296
0036-42
9600' la
[-
1337-23 1228-04 1184-12
1052 31 980-35 916-27 858-88 807-88 760-67 718-20 679-38 n4372 610-81 580-36 552-06 585-74 501 15 478-13] 456-54 436-24
+
+
4-
+
+ +
109-19 93-92 81-81 71-96 64*08 57-89 51-60 46-61 42-47 38-82 85-66 99^1 30-45 -2S-28 26-34 24-59 23-02 21*59 20-30
80. Variation der Elemente. Die Gleichungen, welche die Variation der Elenente geben, sind bereits in den §§ 19* 80 abgeleitet, und kOnnen mit geringen Modifikationen auch sofort zur numerischen Berechnung verwendet werden. Die störenden Kräfte F, Q, 2^ sind identisch mit den in M mit Q^, bezeichneten Grössen. In diesen tritt der Faktor k^Mt auf.
Fuhrt man in den Formeln 19. 10 an Stelle von ja seinen Werth k^i(A ein, so tritt in den Nenner; dieser kann daher sofort weggelassen werden, wenn in den störenden Krflften einfach k^m als Faktor geschrieben wird. Die Aenderungen von j^, i, o»» ergeben sich im Bogenmaass; um dieselben in das Winkelmaass umzusetzen, wird man durch arc 1" dividiren, welcher Nenner auch passend mit k^nix verbunden wird. Es wird dann auch bequemer statt der Aenderung der Excentricität die Aenderung des Excentricitätswinkels f zu bestimmen« indem
1 de dt tos <f dt
ist. Da k'* = k.atc i" ist, so wird man durch Einlührung von k in ßogensccunden die störenden Kräfte gleich in Bogensecunden ausgedrückt erhalten. Bei der Ausführung findet man aber flberdiess, dass die störenden Kräfte mit dem Nenner verbunden erscheinen, und man erhält daher, wenn man die sämmtlichen Längen von dem (veränderlichen) Knoten der momentanen oscuÜrenden Ebene des gestörten Planeten zählt, also die Coordinaten des störenden Himmels« körpers nach 1? (8), die Entfernung r^y nach 17 (10) ermittelt:
') Zur besseren L'cbcrsicht mng noch 1>omcrkt werden, dass bei der Berechnung der Stöning^en in rechtwinkligen C'dordinaten, liiesc i\c\\ auf die ICkliptik beeichen, bei der Methode der Störungen in i'olarcoordinaten dieselben auf die feste, ungestörte Bahnebene des gestoitcn HimmelskOtpers, und bei der Methode der Variation der Elemente auf die vertnderUehe, je- weilige oaeoliretide Ebene.
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Mechanik des Himmels. 30. 36 1
^^V^io J 1_
£j = r, cos B, cos (Zt — /) r^i« >%»
Dann wird -Jp
dt
^ = [{cos £ H- w 5mv'F\a tos f
Der zweite Theil der Slörunt^ der mittleren Anomalie wird in der Praxis direkt berechnet, so dass man die niiuiere Anomalie stets mit dem constanten
Werthe fi« rechnen kann. An Stelle des Integrals Ji^dt, schreibt man aber
rf du,
hier allgemein, allerdings nicht ganz richtig JJ
ist, so setzt die übliche Schreibweise voraus, dass das zweite Doppelintegral vernach- lässigt werden kann. In allen Fällen bedarf man hier der Kenntniss der Aenderung der mittleren Bewegung. Man wird daher besser diese an Stelle von da einfUhreru Man
Entsprecilcnd zusammengeäiciit eriialt man daher zur numerischen Berechnung ft'" = rsmu €OS€e i i"' ^rcosu
f^stt f «" •= + (r -f p) sin V t9sH f ^ rsm u Umg^i
f' mB ^ atffsifsmv f " «■ -^atifs r^cos E-^cos v) (S)
u.' -y= e sinv l* 7=
di
jj^rzf^^ ^-,p'/>+<p"ö (3)
Zu diesen Formeln ist noch ra bemerken, dass Überall wk an Stelle von k so setsen ist» wenn man als Störung^ntervall «r Tage wiLhlt; dann wird auch
an Stelle von d. h. die Aenderung der w-tägigen mittleren siderischen
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llcdMilk des ICiiiiDds. 80. 81.
Bewegung iu>\i (staft derjenigen der täglichen siderischen Bewec^imp; jx) erhalten,
welche in der Gleichung für AZ^, unmittelbar wieder zur Verwendung kommt Dabei sind die Logarithmen der zu verwendenden Werthe von {wk)" für
ein 40tägiges Intervall für:
Mercur . . 8-4270—10 Jupiter . . 2- 1318681)
Venus . . 9-5898—10 Saturn . . 1*60780
Erde+Mond 9'8019->10 Uranus . . 0*79796
Mats . . 8*6607—10 Neptun . 0 86SO.
Will »an in nahe parabolischen Bahnen die Störung der Perihelseit ein»
flihren, so bat man nach SO mit den hier angegebenen Modifikationen
Da hier noch der Faktor a auftritt, so wird man für parabolische Bahnen die Formeln von tl stt verwenden haben, und iUr die Bestimmung der StOraog der mittleren Lftnge:
dL
-j^ ^ [(- tr €0s ^ — p €«S9 tang \rf)F {r tinv Uuig \^ Q\
wo Air paraboUscbe Bahnen das letzte Glied verschwimlet Zur Berechnung der Elemente X, H, 0» V an Stelle von j^, ic hat man hier aus M. 9 und 10:
^ B r[sin{y » H- ft) — 2 ^« (f 4- «») ««ß sin* |/] ZC«)
dVi
« \r sin vcosn-^p eosEsinn + p sin {n -i- v)]Q — p cos (« -h v)F
-H r sin (t^ H- o>) cos ir sin <f lang \ i Z^^)
dV
§!• Beispiel. Fflr die numerische Berechnung bedarf es hier keiner weiterca Auseinandersettung. FItr swei der Osculationsepoche vorangehende und swei ihr folgende Zeitmomente werden die Elemente con&tant angenommen, die Dilferential«
Quotienten für die Eiementenstörungen berechnet, hiermit dieSummationsconstanten so bestimmt, dass die Integrale für die Osculationsepoche verschwinden, worauf die numerische Integration mit den erhaltenen summirten Werthen von Intervall SU Intervall vorgenommen wird.
In dem folgenden Beispiele wurden jedoch auch für die ersten vier Intervalle die Elemente nicht constant angenommen, sondern die aus einer ersten vor- läufigen Storungsrechnung cihalienen Weiihe verwendet, was bei bedeutenden Elementenstöningen stets zu empfehlen ist Kleinere Unregelmflssigkeiten im Gange der Differensen und nicht zu vermeiden, und rühren von der unvermeid« liehen Ungenauigkeit der Extrapolation her; nnd die Un reget müssigkeiten etwas grösser, wie dies namentlich bei den Elementenstörungen wegen der bedeutenden Grösse derselben auftreten kann, so wird es sich stets empfehlen, die Rechnung Uta (tos betretende Intervall mit den schliesslich erhaltenen osculirenden Elementen an Stelle der für die erste Rechnung verwendeten extrapolirten (in dem Beispiele auf pag. 365 in den ersten sechs Zeilen angeführten) zu wiederholen.
>) Mit der Mmm ^ Co«fficiciit gleidi 2* 18 1766.
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244 16 51 8 |
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1 34 58.1 |
1 34 51-8 |
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|
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247° 58' 2"-2 |
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|
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356 44 39-7 |
346 19 32-5 |
231 51 35-6 |
227 37 18 0 |
223 27 15-5 |
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|
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|
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343 35 47-4 |
343 35 38-5 |
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-i- 2-227 + 0-560 — 01M8 |
+ 3-735 + 0-117 0-000 |
+ 4-477 + 0*029 — 0*001 |
+ 8-918 +0-585 - 0-009 |
- 497-052 — 66*815 — 2-381 |
— 572 753 — 80-149 -2*409 |
— 667-193 — 95-86S ; — 2-849 |
|
./ATt* . . . ^Äjr" . . . |
+ 2-821 + 4 755 — 0 002 |
+ 5-340 + 0-990 0 000 |
+ 6527 + 0-245 — 0 001 |
+ 5-259 + 4-547 — 0-0C9 |
+ 321-316 - 547-590 - 2-381 |
+ 371-604 - 651022 — 2-409 |
+ 432-861 — 769-887 — 2-349 ' |
|
dli^' , . . •'A^' . . . |
— 0-831 + 5*626 |
— 0-609 + 2*954 |
+ 0-3S1 — 1*641 |
+ i 169 — 7*047 |
1 ~ 110-354 1 —805*830 |
— 114-275 - 4I40U |
~ 118-981 . — 559*452 |
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Mccbraik des Himmelt. 8t.
365
|
1/ |
|
|
t8S7 Juii 1*0 |
-hl9'82"-38t; |
|
Juli 110 |
+ 15 lO-.W, |
|
Aug. 20 0 |
+ II 44-471 |
|
SeptS9 0 |
+ 9 1103 |
|
Nov. 8-0 |
4-6 50946 |
|
1887 Ücc. 18 0 |
+ 5 7-377 |
|
Jao. 21 0 |
-f-3 4ö-r)R |
|
MlTx 7-0 |
+ 2 41-392 |
|
April ICO |
+ 1 52101 |
|
Mai 'HVO |
-f 1 u\m |
|
Juli 50 |
-f-O 47 814 |
|
Aug. 14-0 |
4- 28-598 |
|
Sept. 23-0 |
+ 15-597 |
|
Nov. 2 0 |
+ 7-292 |
|
iSSS Dec 12 0 |
+ 2-007 |
|
1M9 Jan. 21*0 |
- 0-148 |
|
Märt 2 0 |
— I 178 |
|
April 110 |
- l-32'> |
|
Mai 210 |
— 1040 ' |
|
Jttli 84H) |
- 0-626 |
|
Aug. 9 0 |
- () 263 |
|
Sept. 1 80 |
- 0-O4.') |
|
Oct. 28 0 |
-r-OOÜG |
|
Oce. 7-0 |
— 0092 |
|
— 0-297 |
dt
■ 4'2r'-990
- 8 25-925
- 2 43-3(;8
- 2 10 lf.7
- 1 43 5GJ)
- I 21-919
1 4()()r)
- 0 49 2;>i
- 37-111 -27-176
- 19 21fi
- 13001
- Ö-30Ö
- 4895
- 2 545
- 1030
- 0147
-f- 0-285
- 0 415 + 0'362 -i- 0-218 + 0-051
- 0 098
- 0-205 I
!rf 68'3l"0e9
;4-G2 8-939 i-i- 5o 29 010 !+ 48 46 978 ! + 42 14076 \-V 35 .58-481 :+30 Ü-4-22 ; -f 24 43-159 11+ 19 52-480 + 15 3G 844 + 1 1 57-393 + 8 53-885 + fi 24-729 + 4 27- 183 + 2 57 r,79 + 1 52119 -7- 1 (',-224 + 0 35 835 -i- 57128 ^ 6-744 + 1-8.55 + 0 182
— 0-011 + 0059
- 0-870
6' 22"- 150 6 39-929
- (i 41 841 6 32-902
- 6 15-595
- 5 52-059
- o 23-203
- 4 50-ß79
- 4 15 b36
- 3 39-451
- 3 3-.50S 2 29 15(;
• 1 57 54<; 1 29-504
- 1 o-5f;o
- 0 45-895
— 30-389 — 18-707
— 10-384
- 4-889
- 1-673
- 0193 + 0070
- 0-429
+ 16'4"-ir>7 + \\\ 4G 0O7 + K; 41-R87 + 10 3 785 + 15 2 209 + 13 44-589 + 12 17122 + 10 44-884 + 9 12027 + 7 41-921 + 6 17-226 + 4 59-938 + 3 51-428 + 2 52-4^ 3-888 23-935 - 0 53-5(;2 + 31-391 + 16-809 + 7 032 + 2 1(;8 + 0-278
— 0-029 + 0012
- 0-577 2-474
2
-I- 1
II
-h 4r'-840
— 4-320 ~ 37-880
- til 576
- 77-620
- 87-4(i7
- ;»2-238
- 92-857 -90-10..
- 84-(;95
- 77-288
- 08-510
- 58-940
- 49- 100
- 39-453
- 30 373 —22-171
- 15 082 ~ 9-27
— 4-804
— 1-81)0
— 0-307 + 0-041 -0-589 — 1-897
T
|
1887 Juni |
1-0 |
|
JaU |
11-0 |
|
Aug. |
20-0 |
|
Sept |
29-0 |
|
Nov. |
80 |
|
1887 Dee. |
180 |
|
1888 Jan. |
27-0 |
|
März |
7-0 |
|
April |
160 |
|
Ifid |
26-0 |
|
Juli |
50 |
|
Aug. |
14-0 |
|
Sept. |
23-0 |
|
Nov. |
2H> |
|
18S8 Dec. |
12-0 |
|
1889 Jan. |
21-0 |
|
lOn |
20 |
|
April |
11-0 |
|
Mai |
910 |
|
Juli |
300 |
|
Aug. |
9-0 |
|
Sept |
18^ |
|
Oct. |
28-0 |
|
Dec |
7-0 |
+ 79'14"-712 + 66 29-3C8 + 55 38-9S7 + 46 7-449 + 37 55 116 -) 30 47-017 + 24 36167 + 19 17-508 + 14 47K)45 + 11 1-209 + 7 56-513 + 5 89-281 + 3 35-461 + l 10-691 + \ 10-441 + 0 80-167 + 5-487
— 7-5.55 — 12-459 — 12-141
— 8-908
— 4-464 + 0-041 + 8-893 + 6'676
dt
l2'45"-404 10 65-811
- 9 26-548 -8 12-333 -7 8-099
- 6 tO-850
- 5 18-659
- 4 ?0-463
- 3 45-836 -8 4-696
- 2 27-232
- 1 53 820
- 1 24 no
- 1 0-260
- 0 40-287
- 24-670
— 13042 - 4-904 + 0-SI8 + 8-233 + 4 444 + 4 506 + 3-852 + 2-785
+ 14' 80"-725 + 8 51-350 + 4 9^23 + 0 20-868
- 2 39-841
- 4 56-314
- 6 32 112
- 7 81-191
- 7 57-687
- 7 56-290
- 7 32-198
- 8 60*964
- 5 58-188
- 4 59-327
- 3 59-311
- 8 9-278
- 2 11-436
- 1 28-960
- 0 65-905
— 82*181
— 16-550 - 6-753 + 0 018 + 6-848
+ 18-922
dt
~ 5'39"-375 -4 41*827
- 3 48 tl:i5
- 3 0-709
- 2 16-478 - 1 35-798
- 0 59<79 - 26-496
+ 1-897 + 24-092 + 41-244 + 52-766 + 58 861 + 60-016 + 57-038 + 50-837 + 42-476 + 33*066 + 23-724 + 15-631 + 9-797 + 6-771 + 6-380 + 7-574
1/
+ 64'40"-070
+ 43 21 637 + 34 33-348 + 27 37 164 + 22 6-667 + 17 43-164 + 14 12 694 + 11 24 521 + 9 10-275 + 7 22-758 + 5 56-406 + 4 46-647 + 3 49-376 + 3 1-901 + 2 21-918 + 1 47*800 + 1 18-612 + 0 53-892 + 33-576 + 17-867 + 7-036 + 1-168 — 0-152 + 8198 + 6-987
dt
ll'l8"-433 8 48-289 6 56' 184 5 30-497 4 23-503 8 80*470 2 48*178 2 14-246 1 47-517 1 26-862 n 859
— 0 57 171
— 47-475
— 89-988
— 84-118
— 29188
— 24-720
— 20*816
— 15-709
— 10-831
— 6-878
- 1-810 + 2-345 + 4-794
— 1
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366
Mechanik des Himmels. S1. 89.
Da die erhaltenen Elemente, wie bereits wiederholt erwälint, flir jeden Zeit- momrnt osciilircn, so sind die Resultate mit den beiden andern Stönmgsmethoden unmittelbar vcrgleu hbar. Berechnet man nun aus der Integraltafel pag. 365 die Werthe der Integrale für 1887 Juni 10, so erhält man die in der dritten Columnc eingetragenen osculirendea Kicaiente, denen behufs Vergletchung die frfllMHr durch die Serechnang der StArangen in rechtwinkKgen und pokren Cootdinaten erhaltenen oscttliienden Etemente beigesetzt sind:
Epoche und Oscolation 1887 Juni 1*0
|
Keehtwinklige Coordinaten 244'* 16' 44" 05 |
PoUrcoordinaten |
Elementenstöningea 244*» 16' 44" 97 |
|
|
244*lG'43"-67 |
|||
|
249 30 13-26 |
242 30 12-74 |
24-2 30 13-84 |
|
|
342 42 4-23 |
342 42 4-65 |
342 42 4-48 |
|
|
a |
19 4S6-56 |
19 4 96-88 |
19 4 96-65 |
|
1 4ft 80*79 |
1 46 80-98 |
1 46 8118 |
|
|
i |
6 21 22 73 |
6 21 23-55 |
6 21 22-60 |
|
9 |
28 53 51-80 |
28 53 51-91 |
28 53 51-95 |
|
502"- 1597 |
502"- 1608 |
602"1627 |
|
|
hgp |
045C60t>4 |
9-4506058 |
0-4506038 |
|
Ar« |
0-5661107 |
0-5661099 |
0-5661061 |
b. Berechnung der allgemeinen Störungen.
32. Vorbemerkungen. Die Entwickelung der Störungen in analytischen Ausdrücken erweisen sich für die rechtwinkligen Coordinaten aus mancherlei Gründen als 11 lu. weck massig. Während der Radiusvector wenigstens für elliptische Hahnen nur innerhalb enger Grenzen veränderlich ist, und die wahre I-änge von einer der Zeit periodischen Function nur massig abweicht, die F.Iemente selbst aber, von den secularen und periodischen Störungen abgesehen, Constante sind, sind die rechtwinkligen Coordinaten an und fllr sich periodische Fnn^onen von starker Veränderlichkeit, da sowohl x als auch y bei jedem Umlaufe alle Werthe «wischen — r und + r durchlaufen, und nur die dritte Cöordinate (a) fUr den Fall, wo die Bahnebene nahe der Fundamentalebene bleibt, sirischen mässigen Grenzen eingeschlossen ist. Hierzu kommt, dass die Berücksichtigung kleiner Lageänderungen der Fundamentalebene (bewegliche Ekliptik) in rechte winkligen Coordinaten wesentlich complicirter ist, als bei polaren Coordinaten. Mannigfache Versuche, Störungen in rechtwinkligen Coordinaten zu ermitteln, welche schon bis auf Euler zuriickzufdhren sind, und bei denen die Ent- wicklungen meist durch Einführung von rechtwinkligen Coordinaten, bezogen auf ein bewegliches Axensystem vereinfacht werden, erlangen in ihrem weiteren Verlaufe stets den Charakter der Methode der Störungen in Polarcoordinaten. Endlich ist, wenigstens Air die Sonne und den Mond, die Veigleichnng der Polarcoordinaten mit den Beobachtungen einüscher, indem die Ulngen und Breiten direkt vergleichbar sind, während dieselben aus den rechtwinkligen Coordinaten erst abgeleitet werden müssen.
Wenn auch in dieser Richtung die Methode der Störungsrechnung in polaren Coordinaten als die zwecktnässigste erscheint, so bietet andererseits auch die Methode der Variation der Elemente nicht unbedeutende Vortheile. Zunächst hat man es hier nur mit Differentialgleichungen erster Ordnung zu thun, während die Bestimmung der Tolarcoordinaten an die Auflösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung gebunden ist. Von besonderer Wichtigkeit aber ist es, dass sich aus der Form der Differentialgleichungen selbst einige allgemeine, f&r die Erkenntniss des Weltsystems wichtige Relationen ableiten lassen, welche die
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UedumUc des Hlrnttcl«. 89. 88. 367
secolaren Störungen betreffen, und die Berücksichtigung dieser sccularcn GKeder selbst sich relativ einfach gestaltet. Viele Theoretiker zogen es daher vor, die Elementenstörungen zu ermitteln, die Seculargiieder dadurch zu berücksichtigen, daat man sie mit den Elementen vereinigt, so dass man den weiteren Rechnungen mit der Zeit langsam veränderliche Elemente zu Grunde legt, und ans den pertodisdien Stönmgen für die Elemente die periodischen Störungen in den Poiarcoordtnaten ableitet Man hat; wenn M^L^xt die mitdeie Anomalie, L die mittlere Unge, k die Unge des Peiibels ist« und Ä„ Ä„ . • Fonctionen der Excentricität sind: = ö[H- E^€0t{L -«)-!- E^tös%iL - ic) H- E^t9tl{L — /=Z-h^,'i»(Z^ic) + Ä,'xw2(Z-ic)-|-^,'jw8(Z — ir)+ .... Sind daher die Störungen der Elemente ha, ie, 8«, so wird
— «[-^1 — ir) -h 2^, siH2{L — «) 4. . . . ](az — 8«)
["^^«».(^ — «)•*- sin 2(Z - it) -h . . . 4- aZ H-
-^[E^' cos{L — n)4- E^cosliL — ir) . . . ](ÖZ — Sk).
Dieser Vorgang hat jedoch den N:uhiheil, dass man die beträchtlich grösseren Elementenstörungen zu besiinimen hat, welche sich bei der Suh titutiun m die Formdn fllr die Störungen der Coordinaten thcilweise vereungen und wegbeben. Ueberdiess sind die Formeln nicht mehr strenge, wenn die Störungen der Elemente su gross werden; die dann erforderliche BerOcksichtigung der sweiten Potenzen von la, BZ, 81c macht aber in diesem Falle die Rechnung siemlich beschwerlich.
Aus diesen Gründen entwickelte sich das Bestreben, die periodischen Störungen der Polrirroordinaten mit möglichster Berücksichtigung der secularen Störungen der Klenienfe gleichzeitig zu bestimmen, wobei jedoch zu beachten ist, dass der Beobachtung nur so viel Daten cninommen werden, die Zahl der durch die Differentialgleichungen besiinimten Integrationsconstanten er- fordert.
tS. EntWickelung der störenden Kräfte. Während flir die Ent- wickelting der störenden Kräfte filr die numerische Rechnung (spezielle Störungen) direkt die Werthe X, Y, Z, P, Q, m «mhtelt werden» erweist es sich bei der Ableitung allgemeiner Störungen vortheilbaft; die Stömngslbncdon zu entwickeln
und die störenden Kräfte durch die Differentiation derselben zu erhalten. Nun ist die Störungsfunction Ü der in 9 (7) mit 0^ beseicbnete Tbeil, also, da
ist:
Setzt man hier x «^x€9sv, rsmv, was darauf hinauskömmt» die JIT-axe in die Richtung des Pericentmms des gestörten Himmelskörpers zu legen, so
wird:
0 - 2*»«. - 7" "^+"■1 . (1 ,)
Hierbei ist:
r,« — «i» H- y9 H- gi « r.« + s/* (2) ''s?- (*» - *)» "4-Cy»- y)» -h {«t- s)» -r»-i-r.» +s« H-*,'«-S(*4f,+ jyr, + tt^
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368
Meehanik des Htanneb. 88'
XXi~i- xy, H- ««, ist darstellbar durch den Costnus des Winkels P zwischen den beiden Radienvectoren r und r,. In allen Fallen, wo nicht auf die ursprünglichen Differentialgleichungen der Bewegung {A) (pag. 292) in rechtwinkligen Coordinaten xurflckgeigriflen wird, werden die Differentiationen nach »,7 durch diejenigen nach den polaren Coordinaten oder den Elementen ersetzt; hingegen wird häufig die dritte Differentialgleichung, nach 9, beibehalten» da a selbst als Störung an^gefinat werden kann, wenn man die nngestötte Bahnebene als Fundamentalebene wählt. Da dann DifTerentiationen nach * auftreten, so muss z explicite bei- behalten werden. Aus diesem Grunde wurde auch r an Stelle von r eingeführt Da aber:
xxt 4- yjfi ■+■ ««, = rfi cos T — C© (3) ist, wobei Co cina noch zu bestimmende Grösse ist, so wird
r*^ = r> -f- r.» — 2rT,c0s H- -4- 4- SC«. (4) Hierin tritt zunächst der Ausdruck
fo? = r" 4- r,* ^ 2rhcas T auf; in diesem kann man schreiben:
Setzt man daher
so wttrde
^-i(i-««,r)-i.
Die Entwickelung dieses Auadruckes hat keine Schwierigkeiten und könnte nnch dorn in 15 eingeschlagenen ege durchgeführt werden. Allan es ist an beachten, dass r und r, nicht constant sind; ist:
T = a{l -h 9); r, — a,{\ -h s,), wobei a, a, die Halbaxen sind, so werden 5, von den Exccntricitäten der Bahn und von den mittleren Anomalien abhängen, ilberdit^ss aber, da für r, f die gestörten VVeriiie lu setzen sind, bei der Berücksichtigung der Störungen höherer Ordnung der Maasen, die Störungen enthalten. Dann wird:
ji atffltO -h g)ci g«)
■ «»(1 e)» 4- eO* "
Die angefiihrte Formel wird daher nur dann Tortheilhaft, wenn man die Störungen nur mit Rücksicht auf die ersten Potenzen der Massen berechnen will (ff, ff, von den Störungen unabhängig) und überdiess die höheren Potenzen dej Exccntiicltät vernachlässigt. Tbnt'^rirhlich tritt diese Entwickelung nur in den ersten Arbeiten und auch da nur in vereinzelten Fällen auf, und man zog
alsbald vor, Entwickelungen nach Potenaen des Verhältnisses y oder y voran*
nehmen, je nachdem n^r iat
1) Sei r<ri, d. h. der gestörte Fbwet ein innerer. Dann wird:
To' - — 2« ^^'J r 4- a « . (5a)
3) Sei r > r» d. h. der gestörte Planet ein äusserer. Dann wird:
Ts? — r«[l — 2a cas 14-««]; a « y • (6b)
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Mechanik des Himmels. HS. 369
Es ist mr beide Falle
daher, wenn a = 1 — ß gesetzt wird:
folglich, da f1 < 1 ist, stets S — o positiv, also <5 > a.
Die Entwickelung nacii a bat aisu scheinbar den Vortlieii cicr stärkeren Cowcrgenz 1). Da r^,»« A*(l — d^itff F), so wird, wenn Btaisintf gesetzt wird:
wobei
Nun ist aber gemäss der Definition von f.
r* - r.« ^ r.» _ r» «'t-imr oder
jenachdem r > n oder r» > r ist; demnach folgt
oder
Setrt man daher
= a oder — ä a, M r
so wird
*^i'U(-iyr-(y)..^[-|. - | '
Ff = (- lyr." (?) a'F [- I , - ^ / 1, at j > r
ttbereinslimmend mit 1( (10).
Es giebt allerdings einen l all, in welchem die Kntwickelung nach a un- thunlicli wird; wenn nämlich r und r, sehr nahe pleirh sind, oder wie dieses bei ivomctenbaitnen der I'ali ist, die eine Kxccntncitat so gross, dass r in dem einen Theile der Bahn kleiner, im andern grösser wird, so wird die Entwickelung nach s in dem einen Theile der Bahn nach der ersten, in dem anderen Theile nach der «weiten Zerl^iong voigenommen werden mflssen. Eine solche TheOung der Bahn ist bei den Kometen allerdings mit Vorthetlen verbunden, wird jedoch nicht immer anwendbar; da aber (r — r^* stets positiv tsl^ so ist
r» H- n« > 2rr* daher 3 < I, und nur in einzelnen l'unkren. für r ■= r, wird 5 = 1 werden. Wenn aber auch u) den meisten lallen die Enlwickeiungen in Folge der Continuität für r = r, gültig bleiben, wenn sie ftlr unendlich benachbarte Werthe gültig sind, so werden sich, und dies ist bei der Berechnung der Störungen der kleinen
•) wurde die Entwidcdang i. B. nacli Potenten von 1 8 d. i Polensen von {j^^'^j )
fortschreiten, so würde die Convergen» dieser Kntwickclung im Gcgcntheil stärker sein, da wie vnleidit findet«- 1 -4(1 - ip^j—^L—j alio « > i« iA
U. a4
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37«
Mechanik <ics Hitnneli. 88. 34.
Planeten uateretnander oder bei der Berechnung der allgemeinen Störungen eines Kometen wichtig, der numeritchen Anwendung ganz bedeutende Schwierig- keiten entgegenstellen.
84. Kleine Neigungen und Excentricitftten. Fttr die Entwickelung ▼on r ist erforderlich, dass die Coordinaien «r, y, z, jc^ y^, #i auf dasselbe CoordinatensTStem bezogen werden. Im g^benen Falle war das Axensystem so gelegt, dass die .X^Axe in die Richtung des Pericentnims und die JTK-Bbene
tn die Bahnebene des gestörten Himmelskörpers fallen. Auf die Kugel projt- drt, wird die Richtung der Jf-Axc in II (Fig. 272) treffen, die ATy-Ebenc in dem Kreise II schneiden. In den Formeln 2. 1, welche jetzt auf die .t, y, an- zuwenden sind, bedeuten dann x ' — r, cos 7'., y,' = r,s/ni\ die rechtwinkligen Coordinaten, bezogen auf ein Axensv^tem, dessen X' A\e in die Richtung des Pericentnims des störenden Körpers iällt (Schnittpunkt auf der Kugel in Dj). Es wird also in den Formeln 2. 21: HKas^t — «o an Stelle von Q, und II^K M — 4^, an Stelle von m, endlich / an Stelle von i zu setzen sein. Es soll jedoch Kttrze halber von nun an nur ein störender Körper betmchtet werden, und die auf ihn bezOglichen Grössen durch obere Accente unterschieden werden, also r*» ^, «' an Stelle von Fi 9« «i u. s. w. >). Dann wird:
iB r* — vi)efis{i^ 4- — — — m)sm{v' h- «• — ^c^s /]
-I- sin — •) sm /•«' j «a [sM — •) (ff' + m' — O') H- cos — ») sm (»' -h «' — c^s /]
*, = r' SM (»' + «' — <b')sinl-^ *' /, folglich')
xxi-¥yyx -h *«i = tr'{c&s (<!> — » — «) cos {v' lu' _ <I>')
— — V — Vi) sin {v' -f- w' — O') cos /] r sin (<!>—» — «») sin /•«' (2)
-t- r' sin (v' -i- a>' _ O') sin I* -H tz' cos I.
Ersetzt man in deui zweiten Gliede des ersten Klammerausdruckes cos I durch 1 — ^sin^^I, und setzt
u, — d» = ,Co, «• — 0' « «o'» so ist die in 88. 3 mit Co bezeichnete Grösse
— Co ~ ^ ^rfsin *\/sin (f 4- ico) + '^o') — f (p K^)sm /«'
-h r' sin {v' -+- -kq ) sin /.z -h zz' cos I (3) + lfy\ «*i — rr* cosip -H — — — C«- W
Handelt es sich nur um die Störungen durch einen Himmelskörper, so wird man alle Längen von dem Schnittpunkte K der beiden Bahnen (Fig. 272) zählen können. Dann ist die T "inpe des Perihels des gestörten Himmels- körpers von K aus (gezählt m der Richtung der Bewegung al-^o in Fig. 272 HK — 360° — und der Ali t and des Perihels des störencien. Körpers von K; daher sind v Kq, f' -+- -g' die wahren Längen der beiden Körper von K aus. Bei mehreren störenden Körpern muss selbstverständlich ein anderer Anfongspunkt gewählt werden, da nicht alle Bahnen dieselbe Schnittlinie haben.
*) Die rechtwinkligen Coordinaten bezogen auf die Bahnebene de«: gettttrten Körpert sind dabei jr, x' v' s' fUr die auf das Pericentrum und die Ebene der ebenen Beltt
(des störenden Körpers) betUglichc Grössen vorbehalten sind.
*) Dendbc Auidiuclt entsteht natttrlich, von welchem Axensystem immer man ausgebt.
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McclHuiik det HimiDda. 84.
371
Der grösseren Allgemeinheit wegen wurden liier die auf der Bahnebene •cnkrechteii CoorAnaleD 9, s* beibebalten. Beidmnt man Neigung und Knoten* linie deiait, dass die nomentane Bahnebene stets durch den gegebenen Ort geht {z. B. bei osculiienden Bahnen), so wird a s* 0; reducirt sich auf das eiste Glied, und es ist r « r, f* « r*. Unter der hier gemachten Annahme, dass die Neigungen klein sind, welcher Fall bei den Planeten und Satelliten (mit Ausnahme der durch die Sonne bewirkten Störungen der Uranus- und Neptunstrabanten) einrrifft, wird man *ls eine Grösse von der 7weiten Ordnung der Neifjungen (von der Ordnung des Quadrates von /) ansehen können; es wird daher, wenn man ; = 2Co^-*'-+-*'* setzt:;
r
*^ = r' + r'» — 2rr' cos {v -h — v' — Kq") -+- C
C s= -t- 4 rr' ^/ sin (v h- it^) sin {v' hq') -h 2t sin {v 4- tt|,) sin Im* (ö) — ar' si» Cv' sin Im — 2**' cos / 4- n- s'»
Da
ist, wo für kleine Bxcentricitäten 9, 9', v, v' mSssige GfBssen sind, so kann man setzen:
^ « a» H- a'» — 2aa' (os (il/ -h «0 — Af' - ic,'),
Da
H- «0 — «•') — w(Af + «0 — ^ — i:o')''<'(* ~
ist, so wird
[^(, _ _ ^(v - v')* -h ]
— 2a a' (M-+- ~^ — AF — 7:<,')(o h- a'
[1 _ |(v _ v')^ -h ^(v - v')* . . .]
-h 2aa' sm {AI «0 — ilf — ««')(! 4- a)(l -H a') ((, _ v') - i(v - v')« ] 4- C.
£ stellt, wie man sieht, die Entfernung des störenden und gestorten Himmelskörpers dar, wenn man annimmt, dass sich beide mit gleichförmiger Geschwindigkeit in zwei in derselben Ebene befindlichen concentrischen Kreisen bewegen. Nach (7) ist dann:
1 _ 2 A 1 , Iii £!
r^^ ~ £y E*) ^ ^ ~ * 2.4 -ff» " • • • *
(6)
Diese Form der Entwlckclung, scheinbar die einfachste, wxrd wenig über- sichtlich; man erhalt eine übersichtlichere Entwickelung auf die folgende Art: Man hat oflfenbar
r*^ = p» 4- C wenn p» = 4- r'^ — 2rr' cos (» 4- »Cg — 1»' — u^')» W folglich unter der Voraussetzung kleiner
(10)
Hierdurch sind zunächst die Glieder, die von der Neigung und der Breite abbftngen, insoweit sie nicht in n^' enthalten sind, abgetrennt Zur £ot'
Wickelung von — kann man aber die TAVLoa'sche Reihe benutzen, indem man
09, d 9't V, v' als Incremente der Grössen a, a\ Mt M' ansieht. Es wird dann;
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37S Mechanik dei Himmeb. 8i. 86.
wo Kürze halber Q = M -i- rt^ — AJ' — tiq' gesetzt ist. Es ist aber
(r)«^ JSJ (r)o^ ^ (^)
da in dem Ausdrocke fdr £ ttberall a auftritt, wo in dem Auidrucke Ittr p der Weith «(1 + 9) vorkommt Man hat daher, wenn
«
entwickelt ist, sodass die Co<Kficienten B}*^ nur von den a, a' abhängig sind:
Da (Ür j = 1, 2, . . . die Faktoren Z, . . . . auftreten, so wird man sich M diesen Ausdrfldcen auf die Mitnahme einer geringeren Anzahl von Gliedern beschränken, während fllr ^ » 0 eine weitergehende Entwickelung nöthig ist
8(> Entwickelung der negativen ungeraden Potenzen von £. Diese Entwickelung ist gemäss tt* (5) an die Entwickelung der Potenzen des Ausdruckes
^ l — 2a cos Q -i- a' (1) o = y oder a ™ - j* , « < 1
gebunden. Die direkte Lösung dieser Au%sbe ist bereits durch die Formdn lä (9), (10) gegeben. Da es sich nur um die n^ativen ungeraden Potenzen handelt, so sei « » ^ Si ^ 1
^L- = /5<0)^ 2Pi^^cos Q -i- 2Ji^\0s 2 C 2J^^C0s 3 ö -f • • • • (2)
/i«-(?i±i),-.(li±-')(?£±iü±^)
i»W /Sr-hJ 2jr4 3\ 1\ /2f4-l 2f4-3 2f-f 5\
-^""V 2 4 "^V 2 A 2 4 "~6~j
Die Bestimmung aller Coefficienten durch diese Reihen würde ziemlich weitläufisr, und es ist daher i'werkmässiger nur einzelne (im Allgemeinen zwei, und hin und wieder emen zur Probe) direkt zu rechnen und aus diesen die anderen abzuleiten i). Seut man Ki~''^= K^^, so kann man schreiben*)
tt
') S. LAPtACK. »Mccanique Celeste L Bd.«, LEVEMUta, »An», der Paiiwr Sternwarte, II.Bd.«; Hansen, »Entwickelung dcc negativen ungera<1cn Potenren ti. 5. w.« Die recurrente Entwickelung der /* wurde zuerst von Lagrange und Laclace gewählt, während Eulek noch bedeutende Sdnricrigkeiten bti der Bestirnznung dieser Coi>fiicieoten fUr die wechselseitigen Störungen ron 4 vad $ oder $ «nd $ ftnd.
*) Die Buii der mMbUdien Loguilhinen gleich e, nad die iangiaire EIiiImH K^»i
a«.
(3)
a* -h . . . .
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Mechaolk des Himmels. 35- 373
wobei die Summe nach % von e» bis H> «e zu nehmen ist. DiSferenziit man diesen Ausdruck, so folgt:
und da nach (1):
i^^«i«imC=4a(e'Q-e-*Q)
ist, so wird
FOhrt man hier die Multiplikationen aus und beachtet, dass diese Be* dingungen fttr jeden Werth von Q identisch erfüllt sein müssen, so erhält man fllr die Co4ifficienten die Bedingungen:
««(i^iü'* - J^ilt'^) - - s«ir« (5)
und ebenso 1)
oder
(1 ■+■ aä)2xArj"^ = a[(« 4- 2x + 2)ä;<'-^^> _ (« - 2x + 2)i^^''-'^] . (6)
Um hieraus eine Recursionsformel zu erhalten, werde J^*"*"^ gesucht; es folgt;
Sind daher für ein gegebenes n zwei der Coef6cienten IC bestimmt, su kann man nach (7) die übrigen finden, und dann nach (5) die Coefficienten lur die Obrigen Potenten. Da i» » — (2 ^ 4- 1), so würde man nach (5) die Coeffidenien der negativen {%s ■+■ 1) Potenz aus denjenigen der (2x + 8)» diese aus denjenigen der (2^ «f* 5) u. s. w. erhalten. Je ^sser s ist, desto schwächer convergent sind aber die Reihen (8) und es wird sich daher empfehlen, umgekehrt die
Co^^ffidenten aus den 0>efficienten XS'^ zu ermitteln; Gleichung (5) ist daher noch umzuformen.
In Gleichung (7) tritt der Nenner « auf; bei mässigen Werthen von « (z. B* filr die wechselseitigen Störungen der £rde und Venns, oder des Jupiter
und Satum), bei welchen die Berechnung der Formeln (3) am unbequemMen wird, kann hieraus keine Schwierigkeit entstehen. Bei kleinen Werthen von a werden diese Formeln aber unzweckmässig. Fttr kleine Wertbe von a hat zuerst
Beitpiclsweise gicbt die Muhiplication fUr die beiden Werthe der ersten Glcichnng: nnd indem man « 4- 1 s x\ x — 1 s «" ictxt:
X X
Schreibt man nun an Stelle der Summntion^tndices x', r" wieder % und beachtet, dSM
beide ebenfalls alle Werthe von — co bi^ -f- co erhalten, so wird
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374 Medunik de» Hiauneb. 85.
Gaubs^) ein Verfidiren angegeben, am diese Schwierigkeit xu beheben. Setzt man für diesen Fall:
/CJl*) « (8) so g^t die Gleichung (7) Uber in:
* ^ '«4-2x4-2 «4-2x-h2 "
wonuis nunmehr
= _ (1 + a*) 1^4-5 .ti"^^ "-^^^[^^ .Ji«-^« (9)
" ^ 2x-<-2 * « — 2x4-2 " '
folgt Rechnet man daher fllr zwei gewisse Werthe von x die Werthe von Jk}^ und nach (9) die sämmtlichen vorhergehenden bis so erbftlt
man dann nach (8) /Ci*K Noch bequemer wird das folgende Verfahren. Setzt man
so wird
- 2x «_2x4-2 (7- - 1)^- = «-2x4-2
-I- S«(S« «) (^-"^ - Oti*"*"*^ = «»(» + 2x 4- 2).
(«t — 2x)(« 4 2x 4- 2)
4x(x 4- 1)
Für f}*^ eigiebt sich demnach der Ketten bnich (jiH-2x4-2y«
4(x 4- l)(x f- 2) Vl4-
4(x 4- 2)(x 4- 3) (iT^)
demnach
oler Ketten bnic
OlH- 2x 4- 2X« - 2x) / g y
\l4-aV
(«H- 2x ^ 4X« - 2x - 2) r ^ y 4(x 4- l)(x l-""2) U4-aV ' (» 4- 2 X 4- 6)(» — 2x — 4)
i 1^ » • • .
Da Übrigens
»•M / .N 2) . . . . («— 2x-h2) « « . ,\
^i'^- (- 1)« a«-^ 2.4.. . 2x ' ^[-2' - 2+*'
ist» wenn JF" {a, ^ -j, x) die hypergeometrische Reibe ist, so wird woraus der Ketienbrucb folgt (Gauss, Ges. Werke, IH. Band, (»ag. 134):
j^P^?-«^
1 — ... .
ft.W _ «(« 2) _ Co - 2x)(« 4- 2x 4-2)
4x(x 4- 1) -h l)(x 2)
_ - 2){^4- 4)_ (.j _ («_- 2x - -2X/^-^2x4- 4) , 5. . 4(x 2nx 4- 3) P*.-*" -h aXx 4- 4) '
d « « _ (« - 4)(« 4- 6) _ („_2x-4)(«4-2x4- 6)
4(x 4- 4)(x 4- 5) 4(x 4- ö)(x 4- 6)
') Für ff — 1 ,• Brief an BSSSKL vom 3. Sqitembci ite}. V«ig|. mueh Hamiif L c
und Lusu, Störungen der Uctit. ^. , , ^ ^ ,
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Medianik des Himneb. 86.
37$
Hat man ^j*^ nach (12) berechnet, so erhält man ti'~*\ nach (11);
da nun
ist, so erhält man die sämmtlichen sobald einer der Coeflicienlen bekannt ist. Formel (13) bat dabei den Vortbeil« dass man KJ»i ... aas Jr«(«>)
erhält.
Mit Rücksicht auf (5) gentigt es die Coeffidenten (ttr ein einsiges « so er- mitteln; man könnte x= 1 wählen; die Reihen werden aber convergenter für
f = 0; allein noch zweckmässiger wird es s — — 1 zu wählen, d. h p zu ent- wickeln; lässt man für diesen Fall die Indices weg, d. h. bezeichnen die Grössen 7H ßxW, Z^") die Werrhe 7+1», ßx,+iW (« = 1, i = — 1), so wird:
1 1 -t- g«
* 1— .
und man erhält die sämmtlichen /* für f = — 1 mit gleicher Sicherheit auch für sehr kleine Werthe von o; es ist zu bemerken, dnss diese Formeln auch für grosse Werthe von a (immer a < 1) rnit Leichtigkeit verwendet werden können, wenn nur für die Bestimmung von -f^») der Werth von x genügend gross gewählt wird. Schreibt man in (5) n + 2 flir » und setzt ^«Cs-m) aus (7) ein, so folgt:
Sacht man aus (7) IC^*'^^ und subttituirt in (14 a) (nachdem hier wieder « -I- 9 ftkr <f geschfieben wiidX so wird nach einer leichten Reducüon
oder indem man x — 1 für x setzt:
Aus den Gleichungen (14a), (14 b) kann man nun K^^K K^'^'^ bestimmen; man erhält ohne Mtthe
1 -3
x(x-+-l) 1 . 5
BW« 4-4 Li!
P» ^* (x + l)(x + 2) SM , , (2*-H)(2x-h5) (x + 8)(x + 4) . . (2x + 3)(2xH-7) ■ + ♦ (x + 5)(x-l-6)
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37^ Mecii&nik des Himmel*. 35.
(1 -..)«^i-««'^^/A+i2,^(^^
(15)
/^i -\>/jf W_i_ x'C«-!)^ _ « -t- Sx + 8 _(,) — 8k -i- 4 „(,-1) (1 — a)> (Ä.^ -H — — j-^-^ — Ä^Va H —
-+- a; — • ; = iir+2 + 8 '
Geht man auf die P, Aber, so wird
zu setzen sein, und es wird
(1 -f a2) 2 X i'/''^ « « [(2 f + 2x - 1) (2f — 2x — 1) -P,^*"^'^] (U)
+ -pw [(2 x+ 2i~ 3>p,Slr^^ - (2 X - 2i + Oi'.Üjj
1 (üb) - -P.^'^=(2i-l)(l+«)> l(2x + 2*-3)i>;:r'^ +(2x-2.+l)i'il!,j.
Hieraus folgt für « ^ 0:
^0^'-'^ + A^*^^ - /T~^ t^2x - 3) /»<«-«- (2x 4-
^ * (Ula) A««-"- -P.W« - ("i^ LC2ii - 3)-P<«-«) + (2x + \)Pi-)l und fi!r f =* 1 :
folglich
(li^LÜfi^^w. (mb)
Nachdem die Werthe /^») nach I berechnet sind, erhält man aus (lila) und (Illb) die Werthe für « = 0 und 1 (die negative erste und dritte Potenz), und «US (IIa, nb) die Übrigen Co^jficienten. Für grosse Werthe von c werden hier die Coefficienten wegen des Nenners (1 — bedeutend vergrüssert; dieses ist aber in der Natur der Sache gelegen» da, wie die Reihen (3) zeigen» die filr grosse Werthe von a rasch zunehmen, und ihrer j^ringeren Convergenz wegen ebenfalls mit Vortheil durch die Formeln II ersetzt werden. Aus (14a), (14 b) erhält man noch die im folgenden benutzten Beziehungen:
und
(1 -h a^) 1^ - 2a /yO = _ C2x - 3) -P<»-1)
(1 4- — 2a^o(>-»> = H- (2x4- 1)^(«)
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ist, so wird
demnach
Mcdunik dtM Hiiiiiiidi. 8&. 86. 377
Differentialquotienten der iT und P. Dilierennrt man die Reihe M. 4 nach a, so folgt:
nnd da
Es eischeint manchmal praktischf auch hier an Stdle der Z^^+i <lie selbst
einzuführen, da sonst bei den höheren Differentialquotienten die Wertbe
von ^bis zu J'g+x nothwendig wären, deren Bestimmung ttberflüssig ist. Mit Rücksicht auf WL (tö> wird aber:
folglich
- (1 - a>)»(iS:ÜL-i*>-H = _ ^(l 4- ot») ((« - 2x + 2)it^'-«-f
_H (« 4. 2x 4- 2) ATj*-^*^] - 2a«^i*\ Da sich die zweite Gleichung (15) auch schreiben lässt:
SO wird, indem man aus dieser Gleichung, und der ersten SS» (15) das arith- metische Mittel nimmt:
«0(1 - a*)»-Äjl>t««»(ii+ 2x+ 2) Ari«-^»>+ a»(«- 2*+2) demnach
(« H- 2« 4- 2)Äi*-*-'>J - ««(I - «»)^^^
folglich
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37^ Mechanik des Himmels. 36.
Diese Gleichung kann man in swei vefschiedenen Formen achrdben, je> nachdem man und Aj^"^^' oder it.^ und ^i^'^^ einftthien will; es wiid dann
«(I - «») -^l' « -(« H- a» + a^Ä-i**«-!- [« -h (x - »)«*lir««
folglich wird:
3/>(*)
a(l — a«) = (2x — 2« — \)aP}*^^'^+ [« h_ (g, » _|. i)a>]
aCl — a») = (2j + 2« — 1)«/»/*-*^ - [x - (2* — x H- l)a»J/^«\
Aua Formel (i) erhAlt man durch nochmalige Difierenriation:
Setst man hier fUr die Differentialquotienten rechts die aus (1) durch Ver- tauschung von / mit f + 1 und von « mit x ^ 1, x 1 folgenden Werthe ein» so erhält man:
l^-S?"- «« + ««*)^ *.-AifJ"+
(2)
Wendet man hierauf die Formeln (IIa) an, indem man auf den ersten ThcÜ
die zweite Gleichung und auf den zweiten Theil
die erste Gleichung anwendet, so erhält man nach entsprechender Reduction:
+ (2j - 2x - 4- ot»)/',^*t^^ (2x + 2}4o/'/.'^t^^ + + [2(2* + 3)[(1 + a«) - »a« + 2««(l -h ««)J - 4(1 - «»)«Ji'iÄ|
und wenn man die Ausdrücke I*^^ und 1^^^ durch -PjJJ"" «'S?!» -'Äi** ausdruckt und wieder reducirt den eleganten Ausdruck
')/Är"+*(' + i).-fäi- (" + D-fÄn (*)
Dieser Ausdruck giebt, wenn man noch in derselben Weise die ^, einführt:
^ = 2^(1 1,»;» 1(3« 8* - DK« - 1) + (x + 4f + 8)«t]/?-«-|-
+ (ax - 2* 4- 1) [(x 4- 1) 4- (x - 4* - 3)a«]/^''+« + (d) H- 4a [*(f f + 1) - 2x» + + l) (2r H- 1) a«]/»;")), welche Gleichung auch durch Dtfierentiatlon von (2) erhalten wird.
Um endlich die Col»fficienten in 85 (11) und ihre Differentialquotienten XU erhalten, hat man tu beachten, dass
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ICedMnIk dei HiHiiii*]«. M. S7.
379
_L_=,_J 1— . daher } r^'*^(''\
daher i?/"> = ^,
(6)
(7)
ist, wo der Deutlicbkeit halber, das Aigument bei Z*^^ beigel> ist FOr die DUferentialqaoticDteii bat man:
1) für« = j
da
a' du J
~7a
(«)
womit alle für die Entwickelung von p-(2(+i} in |5 (12) nöthigen Grössen be- rechnet werden können.
Die zur Rechnung zu verwendenden Constanten sind!
hg (1)'-. 9*S97940O
log (^)**« 8*1988SdO
*!f(rT^r= 7-5917600
71835300
6-6238386
A?r(J^'- 6-9344900
^^^^dd». 7.8386686 ÄÄ'P.*'«- 7-9087854 i;iy^^p>«.S-3979400 i^pjU9»8'6165886 Üf^ß^dO)«. 8*7504046
|
. (2x hg |
-h l)(2x — 3) 4x(x — 1) |
, 2x — 3 2x |
|
= 1 |
9,6989700 |
|
|
3 |
9-7958800 |
9-397940(1 |
|
8 |
9-9490081 |
9-6989700 |
|
4 |
9*9719718 |
9*7958800 |
|
5 |
9-9834007 |
9-8450980 |
|
6 |
9-9890046 |
9-8750618 |
|
7 |
9-9921747 |
9-8952647 |
|
8 |
9-9941443 |
9-9098234 |
|
9 |
9-9954524 |
9-9208187 |
|
10 |
9-9963657 |
9 9294189 |
-99178475 A)Sr^<i«- 9-8580379 Ar^p^UO). 9.8108304 i^j^ß^dm» 9-7785566 Ar^ß^(J(9. 9-7408819.
87. Entwickelung der Störungsfunction für Planetenbewegungen. Siebt man zunächst von den Excentricitäten und Bahnneigungen ab, und be- trachtet nnr Störungen erster Ordnung, so wird sich die Entirickelung 84 (10) auf das erste Glied redociren, die Entwickelung 84 (13) wird daher nur fUr 1 M 0 nötbig und in dieser wud nur die erste Summe su betrachten sein. Es wild daher
— = ßi^^-^ 2£^^hosQ + 2£i^^£os2Q -i- . . . -+- Glieder von der Ordnung der Excentricititen« Neigungen und Störungen,
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380 Mechanik des Himmels. 37-
Ist a klein, so seigen die Formeln •! (3), dass dem Wesen nach F^W » i,
= 1^ a, Bf^i^i = ^ und da auch ^ = Glieder von der Ordnung
der Excentricität, so werden die Hauptglieder in Q wegfallen; für sehr kleine Wertbe von a (Störungen der Satelliten durch die Sonne) wird es daher angeseigt» ü in anderer Weise zu entwickeln.
Beschränkt man sich auf die zweiten Potenzen der Neigungen und Excen- tricitäten, so wird, weil C von der «weiten Ordnung ist:
'^©1 P P
» " I» K
A « »e ^ « - i/' H- «0 - (3)
Hierzu ist noch zu bemerken, dass für a<j, a'o', v — v' in der ersten Zeile von (2) die zweiten Potenzen der Excentricitaten, in der zweiten und dritten Zeile nur die ersteu roiciuen beizubelialtcn .sind; in (3) genügt es wegen des Faktors C die von der Excenthcität freien Glieder mitzunehmen^). Mit Berück- siditigung von gt (4) wird:
kl * J
und da
r»« "~ \r') r*« ~ r*» L r*» « r'» 2.4 r** * * J
ist, so wird
fi «= Ö' -(- Ü".
Der erste Theil von & ist hierbei von z unabhängig; es ist also
" az •
Von den Ausdrucken, welche hier auftreten, lassen sich alle mittels der
Beziehungen
(5)
auf
Mm sldit leicht, «ri« bd BeiUdLsichtigung der hSberen Poteosen der Exoentricität und Ncigungeii die Fonnela an Umfang sunehmeo.
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Mechanik des Himmels. 37. 38 1
[vergl. 16 (i; und (18)J iurückführen. Für die zunächst nöihigen Faktoren
r, easiv+B), stH(v+N), r£ai{v+If)t tsiniv-^H)» — — ^, — — -
lassen sich die Formeln verdaltnissmässig einfach ableiten^). Sei: r = a(l — i2p, kM) cosv = ^2(7, r*»* \ M
r a*
(») (10)
wobei t mlle Werthe von ^ oo bis -i- oe annimmt und
P— »""pi C-|S=C» Y-»«=T» «-> V ~ «, S-t — 5» x_, — — 1, — ff»
ist. Difierensirt man (8), so folgt mit Rücksicht auf 14 (11):
a>yi — tf» a'li^l ^*
daher durch Vergleichung mit (10): Dififerenzirt man (9), so folgt:
(/ • r . cos V e sin v \ a^y i — , _ . , _ smv -\ J-. — Y\ I — » — 42"^»«« li/
(r sin V r' ^ ^/n v \ a'^' ^ \ — e'* , _
+ 7 + -L- + 42«.«,, ir,
daher nach entsprechender Reduction der linken Seiten:
— sin V , cosv e und :
folglich durch Vergleichung mit (8):
S, « — ir. ; Q ^ y/T^'e^ is, mit Ausschluss von i «= 0, wofür sich C^j = — 2^ ergiebt; es wird daher
Co = - 2^ C. = ii/l — ^»f. To = 0 u= i*^» ^jj^
und es handelt sich noch um die Bestimmung von Su p» ««. Da aber
— cosv^epfB- €
A X
— xmv ■» yi — €*sin£
r SB a(l — ecosE)
1) S. BxMBL, Gm. Wcikc L Bd., p«g. 93.
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Mechanik det HinineU. 97.
ist, 5o wird
r. ~ CO) «0-0 ^
Die Ausführung der Operationen liefert:
(12)
125 «
und, bis auf die Quadrate der Excentridtat inclusive:
C-.-l-l^" Ti = l-|*» <'t-l-|'» (13,,^
T.-f'" n-f*'
Zwei Reibeii
in denen t-, = 7.. 7~/ ^ — Ti*. schreiben
a <^ = ^ 2(7. -h 7,') m iß; ö an b = ^2Ct. V) »P» da sich in dem ersten Ausdrucke 7,' in dem zweiten Ausdrucke 7, für gleiche positive und negative Werthe von t weghebt Hieraus erhalt man sofort: a cos {b -(- //) -t- 7,><?i(i? -h //); asin{b^H)^ ^^(7. -h 7i')"«0ß
£s wird daher:
<»i(»+jy)«i2(C,-t-50^<»i(t-«4-i5r); «(»(f'+Ä)-i2(C;+ S,)siniiM-^B) ^rosiv-^B) = kl{(,-^s,)cPs{%M+ir); •^*f«(»H-J50-i2(^t+A)»«i(tÄ4-^ (U)
Setzt man nun die auf die Bahticbenc senkrechten Coordinaten s, z', welche bis»her wegen späterer Entwickelungen beibehalien wurden, gleich Null, so wird:
2 = 0, «' =s 0, r = r, r' -=
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Mccilaafk des Himmds. S7. 88. 383
Man ändet nun leicht I— * pi ^ = rcos(v H- IC,) — ^-pi — — H- rsin{v 4- ito) p| — ^
I- ^ H- ^o-Ki** + »'0 - xjr -I- - V) (16)
BerOckncbtigt man nur die xweitcn Poteoxen der Eacentricitäten und Nei- gungen p so wird man sich in II, m auf die von denselben freien Glieder au bescbritnken haben, und es wird
n -B \üa*[eps(M— ^ + «0 - V)— €0s{M-^ -h «0 + V)]
m = I ^ [cosi,M - AV 4- «0 - «0') - co5i,M -h i»/' H- JCo 4- «,')].
Die Berücksichtigung des Gliedes I in dem Ausdrucke für fi' kann in ein- facherer Weise geschehen. Entwickelt man hier nach der TAVLOit'schen Reihe, indem man fttr r, r*, tr, ^ die Auidrttcke M (6) einsetzt, so wird:
^ cosQ -h i^(^) -I- «'''^ (^^j'^^^s* -(^ - v ) j^i« ö + . . .
Vergleicht man dieses mit der £ntwickelung (2) fllr 1 : p, so sieht man, dass sieb der Ausdruck Ittr I mit den Gliedern von (2) Ar « » 1 vereinigen Uss^
wenn man B^^ — ^ an Stelle von B^^ setzt. Es wird daher wenn
» ^ W für X - 0, 2, 3
ist:
ß'= ^B^^hos%q->ran^ £üs*Q+a' 9' 1 ~j^r ^^«6— (v-v')2x:5 Wj^xC- (30) Dabei ist:
e— — ^ 2 ^cos iM^\r*~~erosM-U^ros2Af o' = -h 1 ^ ' 2 ~ cos M' — ^e'^ cos 2 J/' V = ^ 2a. jm uV/= 'ie s$nM 4- ^e^sin %M v' ^ ^ 2 j/« yl/' | jm 2 J/'
<ra' — H- i ^ ^<?i (iV/ — AI') \e£' cos (J/ h- Af') (21) a(v _ v') = — e^sittiM-h ie'sin{Af-h Af') — ee'sin^AI— M') a»(v - v') « + «« 2i/' — e/smiM-h JH') - - Jif ')
(v-v»)t- 2(^tH_/i)_4*/^<»,(j|/_.jf' )+4^/ö,i(j|/_,_j|f' )_2«»f«^r2ilf- 2/»m2^.
38. Variation der Elemente. Wenn auch die wirklichen bubstitutionen bei BerOcksicbtigung der höheren Potenzen der Eawentricität und Störungen auf sehr ausgedehnte numerische Operationen führen, so wird es doch nicht schwer, gans allgemein ein Bild über die Form der Reihen zu erhalten» In den Ausdrücken S7 (SO) sind e, «' und sammtliche Potenzen derselben, sowie die geraden Potenzen (v — v')^^ Cosinusreihen, die ungeraden Potenzen (v^v')^^ Sinusieihen; da aber die geraden Potenzen von (v^^v') in den
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384 Medumik dci Himmelt. S6>
Ausdrücken M (18) mit den Differentiftlquotienten gerader Ordnung yon t^sxQ, also wieder mit Cosinus multiplicirt erscheinen, die ungeraden Potenzen mit Differentialquotienten ungerader Ordnung also mit sin xQ, so werden die sämmtlicben Reihen in t'-i durchweg Cosinusreihen £s wird daher fl eine Cosinusreibe, also
Q = IKa^osi^Äf- \A/' -i- Va). (1) wobei die CoclficienU n K Functionen von a, f, i, die Winkel T.) Functionen von i*/oi fl, sind. 1 III die Variation der Elemente gelten nun die Formein 18. 12. Da ilf = Mq -Hl*/ ist, so wird
aa \ da
Dabei ist aber zu beachten, dass bei dieser Differentiation nach /, nur insotem als Variable anzusehen ist, als es mit |i verknüpft ist*;, und et ist
1 aa
dt 1 dü cos i
yi- tf* aa €0si aa
dl yr^ji äQ 1 aa
d^Mg^ 2 aa i^^saa
^/ «fi a« a*pte 'S}* Hierzu ist noch zu bemerken, dass bei der Differentiation nach « auch {■>
als veränderlich anzusehen ist; es ist daher, wenn Differentialquotient nach dem explictte vorkommenden a ist,
wobei aber das zweite Glied dem Ausdrucke 1* entspricht, und
daher weggelassen werden muss, wenn man die Furm zu Grunde legt
Dam i<^^r in r2) der DitTerentialquotient nach a nur nach dem explicite vorkommenden a zu nehmen.
a« " \a«J " * T
') Man hat dabei cur zu beachten, da&s sich die Produkte €0s A cos B und sim A sin ß dtticli Cofinas, die Frodakte tbtA t»sB durdi Sinm •mdittdtcn. Die vorliifeDdco Uebev' l^iungea gdtea indessen nur flir die Sttfrangen oster Ofdumg.
*) Iis« pflegt disses dadurch mundailea, dass aaaa itÜ an Stelle von dük tstst; es aboi
fbl^eh:
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UcdiMilk des IDumdif 88.
385
Diese Formeln lassen sich noch für die Anwendung bequemer umformen. Führt man zunächst ic an Stelle von u> ein, so wird^)
ät^ dt
wobei T.\!c (rliher der eingeklammerte Difierentialquotient nach der explicite vor- koniiiienden Variablen zu nehmen ist. Führt man weiter an Stelle der mittleren Anomalie die nuLtlere Lange für die Epoche ein, so wird:
dt ^ dt dt' djf~ ~Tl^'' ~ \It) TlI ~d7 " iä^j "dLl '
Set'^t man diese Werthe in (2) und (2a) ein, und lässt dam die Klammern bei den Differentialquotienten nach Sl und r: weg, da ^ nach der Substitution als Function von 6,, n, Lq erscheint, so wird
da 2_ Jö_ dt*"^ av^ dZ^
di__ I gO ^ tang \i fdQ gQ \
dt (0S 9 sin i 3ß ~ a^i».cos <j> dL^J
du costf tang\i dQ
dt^ a' fA «■» ^ 2* ~^ f<?j 9 ^AZq ^ cos f tang dQ fiJnKh' ^2
Da die Differentialquotienten von ö nach rr Sinusreihen geben, die
Differentiation nach a, c, i jedoch Cosinusreihen, so sieht man, dass die Differentialquotienten der Elemente a, e, i rein periodische Functionen ohne constanles Anfangsglied sind, die Differentialquotienten von Sl, «», £q jedoch constante Anfangsglieder haben. Setzt man U in der Form (1) vor- aus, 80 erhält man für die Elemente Ei, E^ der beiden Grappen:
^ - sjra'iw {xM- xjf -h r») ^ = jr,-i-zjr,x'VM(tif-xirH-r'), (4)
wobei Kq das constante Anfanpsplied für i, X und T" gleich Null ist. Wurde
man hier T', F" als Cons.tanLc betrachten, so würde
wenn mit ^, , ^, periodische Functionen (Sinus- oder Cosinusreihen) bezeichnet werden. Die Integrationsconstanten /^j^^) sind die Werthe der Elemente
für / s= 0. Hier treten daher in beiden Elementengiup|jeii (.iicder auf, die mit der Zeit unbeschränkt wachsen, sogen, seculärc Glieder. Die^e^ Kcsultat kann aber nur fUr sehr beschränkte Zeiträume als richtig angesehen werden, flir Zeit« ittume innerhalb deren F', P' tfaatsädilich als constank betrachtet werden können. Nimmt man auf die Veränderlichkeit dieser Winkel Rücksicht;, und ist
») Man hat fi =/(a., ft) .-/(« - ft, ft) »ACn, ft).
a as
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386
Mcdunuk des Himmels. 38.
dt ^* dt ^ *
so wird
- H- JTo/ + 2 ,^,_ ^;^t^y* OiW'- Xilf' + r ").
Es treten daher nur in den Elementen der zveiten Gruppen seculare Glieder auf. Diese Bedingung ist aber erforderlich, wenn das System der betrachteten
Wcltkörper ein stabiles sein soll; denn wfirden in den Elementen der ersten Gruppe auch seculare Glieder anffreien, so würden die grossen Axen, Kxcentri- citäten und Neigungen unbeschrankt wachsen oder abnehmen können; es v, iirden z. B. auch die grossen Axen Null werden können, d. h. einer der Hinimelb- körper sich mit dem Centraikörper vereinigen. Q,, n und können hingegen tiidi StOrangen Ton .ii*S60^ erlangen, was den Becularen Drehungen der Apsiden und Knoten und einer geinderten mittleren Bewegung entspricht
Es treten jedoch Glieder mit kleinen Integrationsdivisoren auf, und zwar für i s X •= 0 die Nenner i\ i" und weiter, wenn t|i — Xfi' einen sehr kleinen Werth erhfll^ d. b. wenn das Verhfiltniss der mittleren Bewegungen sehr nahe commensurahel ist (vergl 46). In dieser Richtung jedoch unterscheidet sich die Differentialgleichung fttr a Ton detjenigen für t und L Glieder langer Periode^) fon der Form
können nämlich wohl in e und i erscheinen, da r* die Elemente O, a enthAlt» und das Glied K^, e&sV^^ aus (1) bei der Differentiation nach ie ni^t verw sdiwindet. Hingegen tritt nur in Verbindung mit M auf; es wird daher F^^
kein Zq enthalten, das erwähnte Glied bei der Differentiation nach Zq ver- schwinden. Daraus folgt, dass in den grossen Axen weder seculare Glieder noch langperiodische mit dem Nenner 7' auftreten. Damit ist aber norli nicht ausgeschlossen, dass langperiodische Glieder inn dvm Nenner ija — >.fi' vorkommen; solche werden in der That erscheinen, und insbesondere in C» wo das Quadrat dieses Nenners auftritt, besontiers nicrklich werden.
Um in den Ausdrücken lur e und i auch die erwähnten langperiodischen Glieder mit dem Nenner 7' zu berticksichtigen, und gleichzeitig die Secular- störungen von n zu erhalten, führt man wieder die in 20 gewählten Functionen S, H, 4», ^ ein. Es ist
^ = sm t C0S — sm i sin ^ ^ ~ siniz^qi^ -i- cos r: ^
^« cffstsmSl,^+ cffsicasa^ Ji('^''^'''^i§~^^'"''dW und da nach den DifTerentialformeln für 3, H, V aus 2Ü.
(6)
*) Wegen der langsamen Verein "Lrlichkeit von f. üie Periofle von V ift 7 ««■ (86O°-6O-60):y', wenn y' in S<cundcn ausgedruckt wird; ist f' die Bewegung des Argumentes in einem Tage, «o wird T in Ttfen eiliaiien.
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3«7
dQ
cosrp bi
dZ ^ cos i sin ^ 00 _ tang ^icosisinS^ fdQ da\ <r<?jfi dt ^ a''^ licosfSi/u' dS^ a^\i.cos^ \dic ~^ ^^o) li-cos
dB. _ cosicosSl BÜ Umg\u0sitos&> (dQ dä \ sinQ, 90 dt " a*^costfsini gft ä*Y.cos^ \d% dJ^%j A^^cos'f Ti
d^ ccs^siuK 90 en^simitiang^^ gO cm^£üsx 90 iang\isinffCüSn 90 9«"^ ö'lt 9Z9"^ Tt"^ a^^cosff Ti
cosr^cosT.cü costfcosrjang^f^ cQ. cos ^ sinn dü iang^isin^sin-x dQ dt a*|ti»R99«~~ 9Xq tf*|fc «*|Ltf»#f ?#*
ist, 10 wird
1^ cosi 90 Awf ^ifgj isin 9a
dt ^ a*^ cos ff 9H a"^^ cos ff dL^
tcmg^i cos isin fsi»^ ( 90 , dQ\
cos i dä tang \ i las i cos dt |i cos 9 9S ~ fl* fi cos (f 9Zq
(7)
tangiitosism^€9sQif 90 90\ \^^i0S^
^^^7 90 cos ff simitang\ff dQ 'di"'^~^ dW 5zi
tang^i cos i sin IS stH Ti ( . 9ö\
89. S c c u 1 a rg 1 i t de r der Störiingsfunction. l'rennt man von Ö jene Glieder ab, wclctic weder die mittlere Anomalie des störenden, noch des ge- sturten Planeten enüialten, so erhält man die secularen, bezw. langperiodischen Glieder. WUrde man die Gleichungen 38 (3) durch einfache Quadraturen in^ tegriren, so würde man Integrale der Form (5) erhalten. Da aber, wie erwähnt^ die Elemente der Gruppe in F" enthalten sind, so werden die Gleichungen (8) die Form von Differentialgleichungen erster Ordnung annehmen, in denen nebst den DifTerentialqnotienten auch die Variabein selbst als Argumente trigo» nometrischer Functionen auftreten. Gerade fUr diesen Fall empfiehlt sich dann die Form (7), indem didiTrch die Difterentialgleichungen linear werden. Ent- wickelt man Q und behält nur die von M, M' freien Glieder, so erhält man^);
0 Da (2 Dor M^M* cnliilll, <Ft o*. v', aber nur oHweder M oder ÜT,«» «fad bdn Anlldieii der Produkte der sm aad cht in die Snanneii und OiBcrmen denelben nldit M nad M* gleichzeitig wegfallen können, weshalb in S nnr £f cottitanten Theile von 0, ff',
V — v' und der hei denselben auftretenden Faktoren in berllck^^ichtigen sind; dasselbe gilt ron
a'*. In den Produkten, in denen ff«', «(v — v'), o' (v — v'), (v — v')' ab Faktoren auf-
treten, wnd man alle jene AiudtOcke dieser Incremente zu berücluiditigen haben, walcbe das
A^ameM M — M* haben; lo wird «m den Tim ve* abUIng^ini AiudrOcItta \et' tax {M — Jf)
3' B (t) 3' S
^^^^1 i'^ "~ "|- — ^0 ) Glied ^ee' ^^^^t '"^ ('^o — '^o ) eotstehcn. Der
Faktor 2 bei dem mit / (it^ — n^') multipliciiten Gliede rührt daher, Has« für x =s -j- l und X » ^ 1 gleiche Glieder entstehen. An Stelle toq B^K'i) wkre nach 87 (19) eigentlich
^1) zu setzen; man überzeugt sich aber Idchl» dau die von den Zatatigüede — » her- ittbnadcn llicyc in ▼«ndiwindiea.
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38S Mednaik des ffiauneU. 29.
rao- 8«*a) 1
+ *[-r SS?!? i'-TS- + *• -37- + "».'"]"*"(«. - «.)
Setzt man daher
a^c) 8ä<'> a«Ä(')
80 wird
y = V 2 Cj (no — «0') — aa ß sm\p]. (2)
Aus 17 (6«) erbäU man, wenn man die beiden ersten Gleichungen qoadrict und addiit:
- [1 - - - ^^^(' ' + 0] [1 4- r^i(a' - ft))[i - 0]
= 2[1 — cos 1' f^J / — sin i' sin icos (ft' — ft)]. 2«««^/= 1 — (1 — *ksin^\i — 2x1«»^/' -f- 4 UV/«' ^/')- sinisini' cos{S^ — Q>) 2««' i/= 2 m'"'* I / 4- 2 .a>?ä — 4 sin' \ . ' / sin t' cos (ft' — ft) (3)
2i#«»i/«2i;>r^ — sm' \i) -f- 2i/«« (1 - j;«^ ^1')
— 4 sin'^ ^ism^ ^i' -j- 2 sin*^ ^< 4- 2 i///* ^1' — sin isin i' cos (ft' — ft) 4MiH/a / -H f«» i' — 5 X« isin i* cos (ft* — ft) 4- 4 {sin^ ^i—sm* ^i')\
folglich mit Vemachlfiasigung der Grössen vierter Ordnung:
4 I/» mi* « + sm* i* —^timism t ' ms (A' — A). (4)
Für das weitere ist nun zu beachten, dass n^, -rq' die Längen der Perihele, gezählt Yom Knotenpunkte JT (Fig. 272) der Bahnebene des störenden auf der Bahnebene des gestörten Himmelskörpers ist^), wtthiend V die Lingen der Perihele« geiählt von den Knotenpunkten der beiden Bahnebenen auf der Ftandamentalebene sind. Es ist also:
« — «ft + O -H A; — «ft' + + A* «ft-«ft'-«-«'-A wenn A - (0 - - (A' - Ä) (ö)
ist Aus den Formeln 17 (6 a) folgt durch Multiplication der beiden letzten
(fis* ysin (O — ) « sin (ß,' — eos |(/' 4- /) cos \{i' — i)
= sin i^^l' — ^) "}uos^ ^i cos'^ ^z' — sin^ ^isin* ^i") « sin (ft' — ft;(l — sin^ ^i — sin^ ^/ ),
daher
Setzt man sin ^i=B, sm\ V = 0', so wird nach (3)
jÄs« ^/ « e» e'* - 2e>8'» — aee' yT^e«yi — 8'«tfw(Ä' — A),
daher
>) S. pag. 370 Uebcr die Einführung der Senilf rändcrung des Punktet AT t. ÜAJtZia »Ucbcr die Aigumente des Problems der n Körper«. Astr. Nachr. No. 2S69.
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Mfi€h>iiik de« Himmels. 89. 389 sin {9 — ^0 1 _ 98 — e'^
sin (Ä'- a) 1 _ 91 _ 8'» 4- «ee'tee* -h yrirpyrire?!^« (ä» _ q^^] *w(«-*')-*«(a'-Ä)«*«4[(^-«0-(Ä'-Ä)]^^^i[(«>-^')-H(Ä'-Ä)]-
folglich
A - e , x«i (ft' - Ä) 4- 8, ^lÄ 2 (ft' - Ä) + ö » ^ '« 3(ä' — ft) +
wobei 8/ Functionen von 9, 9' mindestens von der xweiteD Ordnttog sind, aodtM man bier innerhalb der gesteckten Genauigkeilagreiuen ^ «0' a n <-> «' setsen kann* Man hat dann:
oder io den B, H, 0, W ausgedrQckt:
- ^aa'i?! a)[a> + H> 4- S'« -h H'» - 2(Ba' 4- HH')]). ^ In C sind noch die Excentricittten eodialten. Man erhalt Air i v 0 aus den Fonnehl S6 (8) und (9) für a » ^ .
dii 1 da a
Sa'«
da
^„ ^i^'4-« J4-^,3^2 4-a J-
+ i«* - ;^ ^« da ^^"^ d^)
Setzt man daher so wird
a'C«-PW4-4(^' + «'%; = ao'£P='^,Pi^l (9a)
1^
Für « e- — eriiAlt man auf dieselbe Weise: 0
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390 McduHiik dci mnüBda. 59« 40»
Man erhält leicht aus S$ (2), (3):
(1 - «•)« [. ^5^] = «'i^*'- + «•)/$«- - i«/«« (10.)
(, - 8.') ^ + ^' - «•) - /•.<•> -H « ^ - ^
[4* pd) d* a^+i«*^^ =_ol«/>a)^-^.(l4.a»)/>i•)« + ^a/'W, (10b)
Substituirt man diese Werthe in (8), (da), (9b), so eihält man fiir beide Fälle (a = a:af oder a':a):
H- i (^^rl.^jr»)» (S' + H« + H'» -H r» - 2(SS' 4- HH')]},
wenn BW, die den J'W, Pm entsprechenden Ausdiücke MÜ^i bedeuten.
40. Secularstörungen In c, i, ^, <. D« bei den Differentilalquotienten von Q nach Zg keine Secularglieder auftreten, und die letzten Ausdrücke in
38 (7) mit tan \i fang multiplicirt sind, also von der dritten Ordnung der kleinen Parameter, welche bereits in 39 (!) vprrttrhlässifjt wurden, so müssen dieselben consequenterweise auch in den i)it^erentialglei( hangen weggelassen werden, und aus denselben Gründen müssen die Coefticieaten cos ^, cos i = 1 gesetzt werden'), wodurch die Gleichungen die l orm annehmen:
J_ ^ 1 du
dt~'^ aV dt ^'^ aV
_ * iS. rfv _ i aa w
^/ aB dt ^ «^ilW
Da in dem Attsdracke für Q die Vaiiabeln H einerseits und die yariabeln ^, V andererseits getrennt nnd, so werden in den Differential> gldcbongen (I) nur die ersten beiden, in (8) nur die leisten beiden auftreten, und es ist daher mOglichi die beiden Gruppen su trennen^ Setst man
wobei der Indei Ol bei den ß andeutet, dass es die Entwickelungscoiiffidenten der Entfernung der beiden KOrper 0, 1 sind, dann wird fUr die Störung durch einen «weiten Himmelsköiper
*) Bei BattdcdchtiguDC der hOberen PotCBien dtr kleinen Fwmnetcr werden die Unter« inclNiQ||M Adicf wcmdidi oonpliarlcr«
*) Die IMfl^reDtialgleiehiiDfen haben die canoaiseiie Fom.
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Mcduuitk des Himmels. 40. 3191
tt. 8. w. Es wird daher, abgehen von dem conslanten Theile, der hier bei der Differentiatioa Terschwindet:
- ^ 2(01)[S' H» -H a'» -h H'» - 2(as' + HHOl
wobei die Summe sich auf die vetfchiedenen störenden Körper besieht Hieraiu erhAlt man:
^ = - 1(01) + (02) 4- (03) ) H H- (Ol)fl'-h (02)H"h- (03)H"' ....
^ « ^- j(01) H- (02) (03) J S - (Ülji - (U2; 3" — (03)S'
H- {(Ol) (02) 4- (03) .... jV 4- [01]V' H- [02J'F"h- [OSjV"
^ - - J(01) + (02) + (08) . . . . j^-IOlJ^^» - [02] ♦"-(08]
dt dt
Sieht man in diesen Gleichungen H' H" . . . S' H" . . . <D' <I>" . . . V V" . . . als bekannt an, so erhilt man je ein System von swes simultanen Imearen Differentialgleichungen, dessen Integradon weiter keine Schwierigkeiten bereitet 1). Sieht man H' H" . . . * aber selbst als unbekannte Functionen an, so werden für sie ähnliche Differentialgleichungen bestehen. Wenn man die analogen Grössen für die Störungen des Planeten m' durch die Planeten si, . . . mit (10), (12) . . . bezeichnet^ z. B.;
tt. s. w. und wenn man Kfkrze halber
(Ol) H- (02) 4- (03) -h ... =^ [üj (10) 4- (12) 4- (18) 4- ... - [1]
setzte dann ist;
[0jH4-(01)H'4-(02)H"-h .... ^ =4-[0J5-(01)5'-(02)5"- . . .
^«-[1]H'4-(10)H4-(12)H"4-.... ^«4-[l]3'-C10)2-(12)3"-... (8)
[2]H"4-(20)H4-(21)H'4- .... -^«4-(2]a"-(20)8-(21)*B
^ -4-tO] V4-[0lir4-[02J V"4- ... ^ — [0]O-[01J^'-[02]^"- . . . ^ « +[1] V'4- [10jV4-[12]r ' 4- . . . ^ « -[lJO'-[10]O-[12jO"- . . .
') Vergl. S. Newcomb, »On tbe Secular Vnrintions and Mutual Rclations of thc Orbits of the Asteroids*, wn im ersten Theile die Secularstorungen für dif Klemerste von 25 der ersten Asteroiden aus den bekannten Secularbewegangen der Elemente der sturcndcn Planeten (mit AsnddiiM vm Mercur) bcraekiMt aind. * ' ' t
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39«
Medmik d«^EIiiuiie1s. 40.
(10)
Die Differentialgleichungen (8) unterscheiden sich von denjenigen (9) niir unwesentlich; es genügt daher, die letzteren zu integriren, da sich die Integrale von (8) in derselben Weise ergeben. Dem System (9) kann genügt werden, wenn man setzt:
<1> = /sin (tpf + F) ; d)' = /' sin {r^t ^ F)] <I»" = /" sin (9/ -h F) ^=.fcos (<p/ -h F) ; = /' cos (9/ + /') ; ^" = /" cos (9/ -h F)
wobei 9, F, /, /"... Constante sind. Dift'erenzirt man diese Ausdrücke und substituirt in (9), so erhält man iilr die Bestimmung dieser Constanten die Gleichungen:
(? - [0])/- [Ol]/' - [02]/" i» 0
- [10]/-*. (T - [1])/' - [12]/" 0 (11)
- [20J/- [21]/' -h (f - mr — - 0
Dieses ist ein lineares homogenes Gleichungssystem, in /,/',/"... , welches nur d«nn lösbar is^ wenn die Determinante der Coeffidenten ver- schwindet Es muss also
[0]-»b [Ol], [02]
[10], [12]
[20], [21].
«0
(12)
sein. Sind n Körper, so wetden n Gleichungen (II) sein, daher wird die
Gleichung (12) vom »ten Grade sein. Ist f hiemach bestimmt, so werden sich aus den Gleichungen (11) fUr jeden der n Werthe von 9 die Verhttitnisse der Unbekannten bestimmen. Seien die Lösungen der Gleichung (12);
•Pi Ts ?s ?*»
so findet man aus (11) die augehörigen Werthe von
(7).= *''' 6^).=^-'- --(7).= ^'''
Allgemein werden die Löaangen
?xi g% i% I g%
ein Sjrstem von particulären Lösungen der Gleichungen (9) repräsentiren, su denen noch zwei willkürliche Constanten /x, Fx gehören. Es wird daher
0 =/j sin (?i 4-/, sin + J^a) + • ■ •
= ii/x si" (?i ^ ^ ^1) -f- ^aVj sin / -H F^) + . . . ♦"=^i"/i sm ((p, i^F^) + sin {^^t + F^) ^ . , .
=/, cos ('fj/ + F^) -H/j cos^f^t + F^) -4- . . . 'i'' = cos (?i / H- i^J + ^s'/j cos (9,/ 4- -/^s) H
(13)
das System der vollstKndigen Integrale, in dem %n Integrationsconstanten/^/, . . .
F^ . . . F» enthalten sind. In ganz ähnlicher Weise erhält man die In^ tegrale von (8) durch die Auflösung der Gleichungen:
5 + [0], -(Ol), -(02)
-(10), 5-l-(l], -(12)
-(20), -(21), 5 + 12]
(12a)
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Medumflk dai fBmneh. 40» 41.
393
il [0]) - (Ol)/ - (02)/' = 0
— (10) -k-ii-h [W - (12)/' — ... - 0
in der form:
3 = >t, sin(jii/-t A'i) *2 sin -h A',) -h . . . . S'= ifcj/j'im(6j/ 4- JCi) -h >i,/,'iy«(^,/ -f- iTj) 4- . . . .
E = kl cos (5i/ -H A'i) H- ife, -h K^) 4- . . . . (Wa)
H' = kj^; cosiX^t-^ K^) + k^'l^' cos {i^i -H ^,) -H . . . .
mit den 2/i IntegrationscoDStanten Jk^, /t^, . . . kn, K^, K^, . . . K^.
41. Stabilität der Bewegungen. Um bieiaus die Werthe für e, h ^ SL zu eriialten, hat man zu beachten, dass
sm^ i B» -h H « ^1 « + qpi
ist. Sind die Werthe von e, i, tc für sämmtliche Himmelskörper für eine gewisse Zeit gegeben, so erhält man hieraus die zugehörigen Werthe von 2, H, O, V und daraus die Constanten /, F, k. K. Aus (2) folgt:
folglich
<*<(/i -H/, 4-/3 H- . . .)* „«rf* h*««» sin^i<,{ki ^k^ + k^ + _ *'»<(^//i + . ..)' 5*««i'<(/t,/,'+ Vf' + - • 0'.
Diese Gleichungen zeigen, dass die ExcendrietlKten und Neignngen trott der
nach 38 (5) auftretenden kleinen Integrationsdivisoren 7' stets nur zwischen ge- wissen, durch die zu irgend einer Zeit gegebene Configuration bestimmten Grenzen bleiben. Dieser für die Stabilität des Weksystemes wichtige Satz lässt sich noch auf eine andere Art ableiten, wclclie gleichzeitig die Beziehungen im ganzen bysteme naher beleuchtet. Man erhält nach 40 (8):
S H- H « - (01)(8H' - HS') - (02)(8H" - HB")
s' 4* H' ^ — - (io)(a'H - H'3> — (aoxa'H" ^ h s") .... (s)
S" ^ « - (20Xa"H - H"8) - (21)(a"H' - H"a')
und ttbnliche Gleichungen für ^« V, in denen (Ol), (03) . . . durcb [Ol] [02] . . . eiietxi sind. Es ist aber nach 40 (3X (9<0b (Sb) allgemein:
iolglich
i»*-.v(a.^+H.^)-oj x».«.v(«.^ + ».^)-ft
Da nun
-^••y^ (5)
Ist;, so eriiAlt man, wenn man den gemdnschaftiidien Faktor weglässt und tntegrirt:
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394
Mechanik des Himmels. 41,
Im, yar(a.» H.») = Const. 2«, y/a, -h W,*) « Consta,
daher
wobei ^, ^1 Integrationsconstante sind, welche sich durch die Werthe der be- treffenden Summen zu einer gegebenen Zeit bestimmen. Gemäss (5) sind ffc und
yö^ gleichbezeichnet; setzt man daher |i fllr rechtiftufige Bewegungen positiv
voraus, so ist j/a, ... in (6) ebenfalls positiv zu nehmen; da die Massen,
die Quadrate der Eaccentricitäten und die Sinus der Neigungen an und ftlr sich positiv sind» so werden in einem Systeme von rechtläufig sich be- wegenden Himmelskörpern, deren Excentricitäten und Neigungjen in einem gegebenen Momente sehr kleine Grössen sind, die Werthe dit sLT Grössen stets sehr klein bleiben, und überhaupt nicht grosser werden können als
' Sin* ix^-^^t (7)
welche Werthe aber nur dann erreicht werden könnten« wenn die Neigungen, bezw. Excentricitäten aller anderen Kdrper verschwinden wUrden.
Diese Schlussfolgerung ist nicht mehr gestattet, wenn eine der Massen sehr klein wäre; für die Veränderung der Bahnen der anderen Himmelskörper wttrde
dies allerdings keine weitere Folge haben, da das betreffende Glied: mny^«^* bezw. m^yai^sin* h wegen des Faktors m\ sehr klein wird. Fttr die Masse mx selbst werden aber <x» 4 bei constanlen €, <^ sehr bedeutende Veränderungen erfahren können, ohne dass dadurch die Stabilität der Übrigen Bahnen gefährdet würde. So hat z. B. der LEXBix'sche Komet von 1770 durch die Störungen des Jupiter so bedeutende Veränderungen erfahren, dass er bei der ersten An- näherung aus einer nahe parabolischen Bahn in eine Ellipse von etwa b\ Jahre Ümlaufszeit gebracht wurde; bei der zweiten Annäherung wurde er wieder aus dieser Bahn in eine nahe parabolische gedrängt, ohne dass diese gewaltigen Störungen in e und a von irgend einer Rückwirkung auf die übrigen Kcjrper des Sonnensystems begleitet gewesen wären, woraus umgekehrt gesciiiosseu werden kann, dass die Masse an ausserordentlich klein sein musste.
Fttr die Veränderung von j% erhält man (für ir gelten genau dieselben Schlüsse):
~ *i MsiS^i + K^) 4- (5, / -ä:,) H- '
Sei in dieser Formel der grösste der CoSl&cienten und
*i>*, + ^, + (8)
so kaim man schreiben:
|a iwße, - 5,)/ + (ir, - ^J] +
Gemäss der über gemachten Annahme wird die Summe der veränder- lichen Glieder im Nenner nie grösser werden als 1, der Nenner kann daher nie Null werden, der Zähler bleibt eine endliche, periodische Grösse, fol^tch wird S^-^Xii — stets nur um den mittleren Werth Null oscilliren; es wird:
= JTj 5i/ H- XI« — ifiT), (10)
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Mechanik des HimmcU. 41<
395
wobei A nsinige Co4iffideiiten sind. Es bedeutet demiwcli JC^ den Werth von A Ahr / « 0, die VerJtaiderong von A in der Zeiteinheit; in diesem Falle drückt sich daher die Secularbewegung des Knotens sehr einfach aus. Wenn aber die Bedingung (8) nicht erfüllt ist, so wird sich die Secularbewegung
nicht so einfach ausdrücken. Thatsächlich wurde lange Zeit angenommen, dass in diesem Falle eine Serularbewegung von nicht stattfindet, und erst GyldAN^} wies nach, dass aiiclj Iner eine knjTsame Secularbewegung stattfindet.
Die Integrale 40 (13), (13 a) andern ihre Form, wenn die Gleichungen (12), (12 a) gleiche oder imaginäre Wurzeln haben. Würden gleiche Wurzeln auf- treten, so werden die denselben entsprechenden, particularen Lösungen zusammen- fallen; das allgemeine Integral enthält dann aber der Zeit proportionale Glieder. Das Auftreten von imai^nllren Wuneln hingegen wQrde Exponendalgrössen einführen. In beiden Fällen würden t und sm i mit der Zdt anwachsen, und die Stabilität des Sjatemes gefthrdet werden. Der Schluss aus der Unmöglichkeit eines derartigen nicht stabilen Weltsystemes aus den Gleichungen (6) auf die Unmöglichkeit von gleichen oder imaginären Wurzeln, welches den älteren Be> weisen hierftlr zu Grunde liegt, ist keinesfalls einwurfsfrei. Es lässt sich aber strenge beweisen, dass Determinanten der Form (12) lauter reelle verschiedene Wurzeln haben*).
Die numerischen Rechnungen wurden schon von I.agrange und L.aplace, später Rlr die damals bekannten sieben Planeten im II. Bde. der Annalen der Pariser Sternwarte von Leverrier und 1873 für alle acht Planeten (einschliesslich des Neptun) von Stockwill durchgeftihrt
Eine von der behandelten grundsätzlich verschiedene Meäiode fttr die Be- rechnung der Secularstörungen hat Gauss in Vorschlag gebracht. Betrachtet man den Ausdruck 99 (7), d. i. den Theil der Störungsfunction, von welchem die Secttlarveränderungen abhängen, so sieht man, dass derselbe von der gegen* seitigen Lage der Himmelskörper völlig unabhängig ist, und nur von der Lage und Form der Bahnen abhängt. Die Aenderungen dieser Bahnen werden dem- nach dieselben sein, wie jene, welche zwei mit Masse belegte Rincr durch ihre p:t jenseitige Attraction in üiren gegenseitigen Lagen hervorbringen. Auf die l$L'\vegung der Himmelskörper muss dabei insofern Kucköicht genommen werden, dass man die Ringe nicht homogen annehmen darf, da die Wirkung in dem- jenigen Theile der Knge offenbar stäricer sem wird» in welchem der Körper länger verweilt. Das Maass fttr die Zeit, welche ein Himmelskörper braucht, um eine gewisse Strecke in seiner Bahn (in dem Ringe) su durchlaufen, ist aber die Fläche des von dem Radiusveclor fiberstrichenen Sectors; es wird dem- nach die Masse des Ringelementes proportional der Fläche dieses Sedor» su setzen sein^).
*} Tkvtfc des mbitet abtohiM, Bd. I, pag. 114—123.
*) Für M 8 Im dies die Gleiduiag, durch welehe die Richtung der diel HMaptasen der
Flächen sweiter Ordnung mit Mittelpunkt, die Richtung der drei Hauptträgheitsaxen, die Richtung der Hanptaxen der ElasticitSt etc. gegeben sind. Den Beweis für den Sati hat ftlr eine Deter- minante dritten Grades suerst Lagrangi. in den »Memoiren der Berliner Academic der Wissen« Schäften ftlr 1773« (Werke, Bd. HI, pag. 606) cur Bestimmung der Hauptträglteiü>axeD gegeben. Den «UgcotdacB Beweis ftlr eine Gletdmog MteuGrudes KsbenCAtfCinr (Bxerdces des MsdiiuMtiques Bd. IV) und jACOn (QtSlXB't Joonal. Bd. XU« Ges. Werke Bd. in, pag. S07).
^ S. Gauss: Dcterminntio attractionic, quam in punctum quodvi? po«itionis datae exer- ceret planeta, si ejus mas&a per totam orbitam ratione tempoiis quo aingulae partes describuatur uniformiter esset dispertita. (Werke III. Bd., pag. 331).
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396
Mechanik des Hunmek. 41. 43.
Eine besondere Erscheinung bietet in Hinsicht der Secularbewegong der Elemente der Mercur dar. Leverrier bemerkte 1859'), dass die Secularbewegung des Mercurperihels, wie sie sich aus den Beobachtungen crqicbt, um nahe 43" ini Jahrhundert grösser ist, als der theoretisch bestimmte Werth. Wollte man die Difl'ercnz durch eine unrirlnige Annahme der Massen der störenden Planeten erklären, i>o konnte üit^ses nur durch eine Acnderung der Venusmasse geschehen, weil, da die Venus keinen Satelliten bat, ihre Masse nur durch die Stöninga> bestimmt werden kann, welche sie auf andere Himmelskörper aasübt. Die ans der Secularbewegung des Mercurperihels folgende Venusmasse würde aber um nahe den sehnten Theil ihres Warthes von demjenigen abweichen, welcher sich aus den durch die Beobachtungen stemlicb genau bekannten Störungen in der Lage der Ekliptik ergeben. LEVEStlUSR vermutete die Ursache in dem Vorhanden- sein eines innerhalb des Mercur gelegenen »intramercuriellenc Planeten, der später den Namen Vulcan erhielt, für welchen aber die Nacbforscbungen bisher zu keinem Ergebnisse geführt haben'').
Bauschinger ^) berechnete die Störungen nach der Methode, welche Hansen Ittr die kleinen Planeten angewendet hat, kommt aber ebenfalls zu dem Resul- tate, dass der rechnerisch bestimmte Werth der Secularbewegung des Mercur* perihds mit dem beobachteten nicht Übereinstimmt; allein er gelangt au dem Schlüsse^ dass nach der Uebereinstimmung der Resultate es nicht ausgeschlossen ist;, dass der Mangel in den Methoden der Störungsrechnung liegt, und dass >die vorhandenen Störungstheorieen ein empirisches Glied erfordemc.
Har/ep*) findet, dass sich die Bewesfung des Mercurperihels erklären Hesse, wenn man die Sonnencorona als flache Scheibe von der Dicke eines Sonnen- durchmessers bis auf etwa 4 Sonnendurclmiesser im Aetjuator der SonMc aus- gedehnt annimmt, und deren Dichte etwa ^ der Dichte des Wasserstoäes an- nimmt.
42. Secularstörung der mittleren Länge. Für die Secularstörung in der mittleren Lange bat man nach 38 (3), wenn coir^, cos^^ gleich 1 ge- setzt werden:
dt " Ofida'^ «V 9e äV 9» ' Nun ist, wenn man den in 40 (4) weggelassenen, constaaten Theil der von d«D betrachteten störenden Körper herrührenden Störungsfunktioii mit ^l) be- zeichnet
Ö = 2 (01) H- 4 (01)(<r« -h -h [ÜljeeUüs (it — u') — ^ (01)[ji»» i 4- stn^ i' —
— a sin ism i'cffs (Ä — ft')].
Die Coe£ücienten {ui|, (Ol), [Ol] sind Funktionen von 0; sei
-2a^{0l) = {0l)'; - 2a ~ (Ol) = (01)'; ~ Sa ^ [Ol] = [Ol]', so wird
— 2a 1^ - 2 llOl)' -4- i(01)' (<» -i- ^'«) -h \QVlee'c0s (it — «') — — ^(Oiy[fM> i-^sm^ V — %sinismi*f9s{S^ — A')]]
•) Comptes rendus Bd. 49, pag. 381. ') Vergl. den Artikel »Planeten«. ^ Altron. NachhchtcD, Bd. 109, Na 2594* AitKuomiiehe Nadnichten Bd. 137, No. 303a
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ifeciiaiift de* HfaiMcla. 4t. 397
smi^i^ Z[(01) ^M» I (Ol) sm ism i'ffis(a — A%
Substituirt man hier an Stelle von e, e\ ic« it\ i, i', Sl! wieder ^, V, B, H» so erhält man
^ - 2 [{Ol|' 4- «(3« -H H») + <x'(H'a -H ff«) H- ßCSB' -h HH';
Während daher die Differentialquotienten von S, H, <I>, W von der ersten
Ordnung in den kleinen Parametern sind, ist der Difierentialquotient der mittleren Länge von der zweiten Ordnung dieser Grössen. Mit VemachUissigung derselben wtlrde sich ergeben
und da [Ol]', [02]' . . . nur von den grossen Axen abhängen, diese aber eeculuen Störungen nicht unterworfen sind* so würde X constant sein; die mittlere Lilnge wftrde nur der Zeit proportionale Glieder enthalten, welche sich in der nitderen Länge L mit dem der Zeit proportionalen Gliede mbtnden. Da nun
ist so wird
(Hl) = pi 4- X (6)
ist. Aus der Beobachtung folgt aber nicht der Werth k (ungestörte mittlere
Bewegung), sondern der Wertli ([ji); die Beziehung u = /'^ <7 ? ist aber ftlr den ungestörten Werth von h- güidg. Bestimmt man daher einen Werth (a) nach der Beziehung
so wird der aus dein beobachteten Werlhe (y-) gefolgerte Werth von (a) nicht die grosse Axe sein. Man erhält den wahren Werth der grossen Axe a aus der Gleichung
Es ist z. B. für die Erde in einem jalianischen Jahre fx = 1295977"-443; X = + 2" ö07. Hiermit folgte, ohne Rücksicht auf JL in §12, mit der fest be- haltenen GAUSS'schen Constanten:
(«) « 1 — 0'000000022d
und da
1 4. f A ^ 00000012896,
so folge danu^ dais die Gauss'sche Coostante, wenn man die mittlere Länge der Erde vom den Störungen befreien würde, einer Längeneinheit entspricht;, in welcher die Erdbahnhalbaxe gleich ist 1*0000012668.
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39S Mcdunik dts Rfanoidf. 41« 48.
Berücksichrigt man nun aber auch die Quadrate der Excentricitäten und Neigungen, betrachtet diese aber als constant, so wird, wie man lofort deh^ die Form der Difierentialgleictiung dieselbe, nur werden X und die von den Excen- tricitäten nnd Parametern abhängenden Glieder geändert Anders aber wird die Sache, wenn man auf die SecuUirstörungen von S, H . . . . Rflcksicht nimmt. Für die langperiodischen Glieder 40 (18), (I8a) kann man in kursen Zeiträumen eine Entwickelung nach der Zeit setzen :
und ähnlich fttr 8', H', B" . . . ; hieraus leitet man ab
Das Glied giebt die im L Bde^, pag. 119, angedeutete Secularacceleration. Lagramgc hatte auf diesdbe tuerst aufmerksam gemacht; die numerischen Rechnungen gaben ihm aber für die Planeten verschwindende Beträge^ weshalb er die Anwendung auf den Mond nicht verfolgte. Dies that cuerst Laplacx (vergl. § «0).
48. Periodische Störungen. Glieder langer Periode. Führt man die in 37 angezeigten Operationen durch, so ergiebt sich für Q die Entwickelung 88 (1) und die Störungen können durch Formeln (2), (2a) oder (3), (6) bestimmt werden. Da in 38 (1) T von den abhängt, so wird:
fi » w(tür- ]Lir + an -l- ßtt' + TA -H dA ) (i)
oder, wenn man Kürze halber
— /) « t(ii^; + pi/) - -k^ii^ 4- + P»' H- ift H- aa' (a)
aettt, wo i, X, o, ß, 7, i ganae Zahlen bedeuten:
^^l.Kacos D. (la) Führt man an Stelle der Ditferentialquoiienten von Ki\ die Symbole
ein, so wird aus 38 (2);
dt 0|*
dt a'^^cos^sini TT »BS ^ — :— r 2(lf — « €ÜS i)Ki\Sm X>
dt ^a^ncosfsmt ^* * dt a'iftiMff ^ ^'
dt «i* V /
Die Integration dieser Gleichungen bietet kane Schwierigketten. Sieht man die Elemente als constant an, so wird man die periodischen Glieder durch Quadraturen erhalten. Werden die Resulute der ersten Näherung substitnirt,
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Ifcdualk des Hiamd«* 48.
399
SO treten neue periodische Glieder hinzu u. s. w. Es ist jedoch vortheilhaft, Bchon in der ersten Näherung die secularen Glieder in <d und A za berttck- skhtigen, wie dies Poisson that Sei daher
u) = u)„ -t- 10. /; = Aa -+- ÄiA
so wird
« Z?g -t- (ip — X|a' H- e)/
und man erhAlt z. B.:
Ebenso A/» . . . und / = /q + A/, g = -\- £ie . . wobei «Zq, f'o, . . . die ungestörten Elemente sind. Die Glieder für « b X = 0 sind dabei auszu>
schliessen, da dieselben bei der Bereclinung der secnlaren Störungen bereits ber^irksicbtifTt wurden. Hingegen erfordern jene Glieder eine besondere .Auf- merksamkeit, bei denen t\i. — X\t.' eine sehr kleine Grösse ist, und 7Avar besonders in dem Ausdrucke für d bei welchem eine doppelte Integiation auszuführen ist. Es ist nämlich:
4Jf- + ^2.^'*./>; ! — fa-x|.' + .)'
Nach 15 (19) ist von der X ten Ordnung nach x, wenn man die niedrigsten auftretenden Potenzen als die Ordnung des Ausdruckes nach den kleinen Parametern bezeichnet; daher ist von der X ten Ordnung nach e,
die S^^\ c!'"^ von der (i — m) ten Ordnung ; die in 87 auftretenden Co^cienten
pi, a, sind nach 37 von der t ten Ordnung (mit Ausnahme von p^, welches von der ?wcitcn Ordnung ist, und o^, , welches verschwindet). Um über die Ordnung der Coefhcienten der Potenzen von a und v zu entscheiden« kann man schreiben
«« = 2 p,^*^cos iM; V« = 2 o/*^ sin i Af.
Da nun a«-^i«= o*a ist, so wird das Glied mit (^i%Mdtn Coöfficienten haben:
f^.f,f^+ p. (,&\ + ftW.) + „ ft«,) ....
Es aber p[*^=Pii daher p^^ im Allgemeinen ebenlallb von der ■ ten Ordnung und ebenso pP\ p,^*^ .... Dies gilt jedoch nur fUr t > e, denn da u den Faktor e enthält, so wird a« von der Ordnung e sein und für i < t werden alle Coöfficienten von der i Lea UrUnung. Dasselbe gilt von v; es wird daher
af*^ von der Ordnung wenn i > und von der Ordnung • iUr i < t.
In den Produkten a'«/'. meiden die Produkte XM'); e^^^«'][*Vftr(t^± X Jl/') auftreten, in denen die Cofiffidenten bezw. von den
Ordnungen t, X oder mindestens t, «' sind. Eben dasselbe gilt von den Aus- drücken (v — v')*, woraus sofort folgt, dass in den Ausdrücken 87 (2) oder all- gemeiner in dem Ausdrucke H (12) die Produkte der auftretenden Grössen
Am{%M±,\M')'BeM%Q (7) von der Ordnung t in ^ und X in e* sind. Die Bedingung, dass sie mindestens von der Ordnung e seien, entfällt hier, da sie in den Gliedern erster Ordnung der TAYLOR'scben Entwickelung von der ersten Ordnung sind, und auch die
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400 Medmlk de« IBninelt. 48.
Ausnahme für i = 0, X = 0 entfallt, da in der Summe die Glieder nuUter Ordnung 'S.ß,^cos%Q vorkommen. Löst man in (7) die Produkte auf, so folgt:
daher
fllr die oberen Zeichen: Ccos [(» -i- x)3/ (X — x)M' -h — %tiq\
-H Ccos [(i — x) J/ (X 4- *)Af — «i^o *«o'] für die unteren Zeichen: Ccos [(i 4- — (X -i- «) Jf + «tc^, — «iCo*]
+ Ccos [(t — «)Jlf — (X — — «IC, -h xico'].
In dem Ausdrucke fUr p-S'-i ist daher der CoCfficient einet Gliedes t4s{<^M^ ^Jt •+• in * von der Ordnung [a — t], in i von der Ordnung [ß — 9] wenn mit \Ä[ der absolute Betrag von A bezeichnet viid.
In dem Atudrucke fllr 0 treten su nocb die mit I besdchneten Glieder, welche sich aber mit den obigen ftlr x ^ } vereinigen.
Die Glieder in I, II und III, welche von C0s{xM — kJlf H- ~ '^0') hängen, sind nach 87 (16), (17) und 0^' ftlr positive t und X von der (t — l)ten bezw. (X — l)ten Ordnung, für negative t, X von der Ordnung i -f- 1, bezw. X -h 1 in da im ersten Falle [a — y] = ' — 1 1 — ^1 = X — 1 ; im zweiten
[a — y] s= i -I- 1, [ß — 8] = X -+- 1 ist, so gilt der obige bau auch für den von den Neigungen abhängigen Theil von 0.
Genau dasselbe gilt von den Ausdrucken II, U*, . . . daher «ich von den Ausdfüeken II*p-*; n*p-5 . . . Diese sind noch ni multiplidren mit Mtm* tm* 1/ . . . , welche nach M (4) nach Potenzen von sm^ ^1, sm* \f entwickelt wnden können, und es wird
wo wieder jjf nach derselben Schlussweise von der Ordnung SXist, fllr X>
und von der Ordnung 8 t fllr X < t. In derselben Weise schliessend, gelangt man zu dem Resultate, dass der Co^filcient C in dem Ausdrucke
von der Ordnung [a — 7] in e, von der Ordnung [ß — 8] in / und von der Ordnung St in den Neigungen isl^ wobei aber 7 -h d s 0 ist
Man kann diese Beziehung«! in etwas einfiwherer Form aussprechen. FQhit man statt der mittleren Anomalie die mittlere Länge ein, so dass M^pt «■ |ft/ + — IC isl^ 80 wird das Argument
A — «if + ^M' -I- T«s + ««0' «(fl — ftO «I*' -^* Pl»'' «-^s P-^s' ~ a« — P«' + 7(«o — ^0) -H «(ft — ftO« Da aber -Rq — ir^' « ic — it' -h A ist, so wird A = D + ^, wenn V^9L^-^ P|i'/ -H «Z, 4- PZ,' - (a — - (pH- 7)«' «(Ä — ft)r is^ und A die auf pag. 389 angegebene Bedeutung hat; wdter ist
cos ^ cos _ ^ f *>» « . A sm im ^ cos
FUhtt man hier Ar jm A, cosA die Reihen an, Itfst «fie Produkte der gomu*
metrischen Functionen in Summen auf, so verbinden sich die Vielfachen von a — A' mit den bereits vorhandenen, und die Argumente werden daher die allgemeine Form haben
Z> « a|fc/ -H p,.'/ -I- aZo -4- pZ,' + + -H «a + W. («) wobei, wie man sofort sieht^ die Besiehung besteht:
u-hP-hf + «' + s-hC«0. (9)
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McdtaBUc duM HifimidA. 44.
401
44. Beispiel: Kur den Jupiter ist [i = 299"12lR3fi; für den Saturn «' = 120"'45466, daher öh-' — 2{j^ = 4" 0J6Ö3. als tägliche Bewegung des Ar- gumentes 5M' — 2Mf die Periode ist daher d83-4 julianischc Jahre, die Dif- ferenz (d|A' — 2{^)ar^ 1" B 0 000019473. Die Glieder niedrigster Ordnung in den EiGcentricttilten mit dem Argumente bif — Sif entgehen, wenn in den Entwickelungen von die Glieder mit den Argumenten tQ, 4Q, bQ
bexw. mit denjenigen Gliedern mnltiplidit werden, deien Aignmente ZM\ 2M* M, M* 2M, SM sind. Die Glieder mit dem Argumente dJT — iAT i(»ro — "t^o') haben daher den Faktor g't+i und sind, wenn man nur bis zu Gliedern 6. Ordnurn der Excentricitäten geht, zu vernachlässigen. Dasselbe gilt von den Gliedern mit dem Arpumente bAf — 2M, welche als Faktor
enthalten, und von den Gliedern, deren Argumente bAJ' — 2M— (t -4- 6)(ir0 — it^') sind, da diese den i'aktor e^-^'^-t-i enthalten. Man hat daher nur die Glieder zu berücksichtigen:
/fe'* cos [5 hf — 2 M — 2 (11« — »To')] P^^^ [5 3/* — 2 A/ — — n^')]
Be*'^c cos \bAr — 2M^ Z{it^ — n^*)] QeU* cos [bM' - 'IM— ^{r.^ —
CeU^ cos [5M' — 4(ito — iCo'))
De* f^{5ßr — ^M— b{n^ — ito')]-
Bleibt man bei den Gliedern dritter Ordnung stehen, so sind nur die Coef- ficienten A, J>, C, D xu berechnen.
Dm Glied mit dem Coafficienten A entsteht offenbar ans dem Produkte €9i^M^ €9$%Q vaad sm3M* sin^Q. Zu betrachten sind daher die folgenden Verbindungen, bei denen die durch die Auflösung der Produkte entstandenen Glieder, die nicht das Argument A ^ bM* ^ — ^itt^ ^ ttf) enthalten, durch * bezeichnet sind.
'^•%Bf*sin^Q^-k-^^^sm^M'-^£fl>sm^Q^-^^tf*Bf^cosA -h*
^a"^<^^-j^.,^-coslQ=-^^d^e'^cos6M'-^^ cos^^Qt^^-^^e a -^-^^cosA-k-*
— (v - v')> . 4 cos2Q = — 4a' e'* cos M'cos 2 M' -j^ cos 2 ^ =
Ca
-+- ^(v- v'J» .8i5f)«» 2 C = - I c'^BS^Um 3 i/'w« 2 C — ^e'^ß'i^os ^ -h
Die Summe der hier angesetsten Co^fficienten giebt den Coefficienten A\ in ähnlicher Weise sind B, C, D zu entwnckeln. Für die von der Neigung ab- hängigen Glieder sind in dem Ausdrucke II«p-8 nur die Glieder erster Potenz der Excentricität beizubehalten; daher hat man für t, X die Werthe 0, 1, 2 zu s( t/en. Beachtet man, dass c, — um zwei Ordnungen höher ist, als c, x so fiadet man, dass aus dem Gliede nuUter Ordnung in und den Gliedern
1) Die Dattn «1» den »Bcrhncr «alroBomiflehen Jahrhaeh« Air
U. a6
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408 Mechanik &n Hiimnd». 44. 45.
erster Ordnung in II kein Glied dieser Gattung entsteht. Die Glieder nnllter Ordnung in II entstellen lur i = X = 1 , und man sieht sofort, dass sie mit den Gliedern erster Ordnung von aa, a' und v — v' die Argumente Af, M\ 2M' ±i M, Ai' dt *iM geben, aus welchen das gesuchte Argument bM' — 23/ nur lÜr ««S in Verbindung mit 2 ' -j- i*/ und x = 4 mit M' + 2ilf emteht Man findet Ar den enten Fall die beiden Glieder:
— a'4' (»sZQ'^ aa'cas {2M' -4- i/ 4- -f- Rp) und
woraus
««' (i ^> - \a' (im» i H- *»« *') iifi (6 jr —%M-^ 4««' — 2iro)
-I- €os{&M* — 2 i/H- 4 V — 2«o — ft' -H Ä)l entsteht Sollte man bei diesen Entwickdungen auch die Glieder 5ter Ordnung beilicksichttgen, so mflsste in den Gliedern dritter Ordnung «o' dnrch « — + A ersetst werden. *
4B. Argumente langer Periode in den Flanetenbewegungen. Aehnliche Glieder treten bei der Entwickelung der Störungen aller Planeten anf.
u.
Man kann die betreffenden Glieder finden, indem man in einen Kettenbruch entwickelt» und dessen Nilherungswerthe sucht. Sei
I* 1
~r = * H 1
7H- • •
UDd die aufeinanderfolgenden Näherungswerthe und eingeschalteten Werthe
X * X" X
so werden die Ausdrücke if* — Xp.'; i'y. — X^'; i'V — ^'V. welche als Integrations- divisoren auftreten, kleine Werthe erlangen, aber nach dem Gesagten mit iinmer höheren Futenzen der Excentricitäten und Neigungen muhiplicirt sem. Die mittleren täglichen siderischen Bewegungen ^) der grossen Planeten sind: Für Mercur . 14732"-41967 Jupiter. 299" 12836
Venus . 0767-66982 Saturn . 120'4Ö465
Erde . 3548*19386 Uranus. 42'2807U
Mars . 1886*51831 Neptun. 21*53802.
Damit erhält man für die folgenden Combinationen (die mittlere Länge des Planeten durch sein Zeichen ausgedruckt):
|
Stttrongen iWMclien |
AlgUIBCIlt |
tägliche Verilndening des Aig. |
Periode |
|
1. Mercur-Venus . . |
. 25- 5? |
626"'490 |
5*67 Jahre |
|
2. Venus^Erde . . . |
. 5Ä— 8? |
437-955 |
8*1 Jahre |
|
452-806 |
7-8 Jahre |
||
|
4. ,, ,1 . a • |
. 8 $ - J3 $ |
14-8514 |
240 Jahre |
|
5.. Erde-Mars . . , |
. 2 J - t |
224-844 |
16 Jahre |
|
6» »» »» ... |
. 8 S — löd* |
87-7682 |
40 Jahre |
>) |x muss wegen de* Wctdtct von Jl fUr die ElohetC des »itllefeD Sonoeiilafes gcdiOckt werden.
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Mechanik des Himmels. 45. 403
|
AipiDWIK |
"MiynT vcruiQening uc* aij» |
Periode |
|
|
ö — 0 0 |
an Ifthm vv JMII« |
||
|
Ä Ttiniter-Satiim |
Aß Q 2L |
^ %¥ 1 Kf U *!' |
|
|
9. Satum-Uranus . « |
. 8^ - ^ |
6-23772 |
560 Jahre |
|
10. Jupiter-Uranus . . |
351283 |
1010 Jahre |
|
|
11. Uranusj-Neptun |
0-83525 |
42Ö0 Jahre |
|
|
12. Satum-Neptun |
. 2t) — 11 y |
4-04608 |
877 Jahre |
Zwischen den mittleren Beweßuns^en der äusseren und inneren Planeten be- steben keine genäherten Beziehungen dieser Art, denn die niiidereu Bewegungen sind zu venchieden. Doch isT s. B. d* — 6 2^ 9l"-748, woimus ein Glied mit ca. 89 jähriger Periode entsteht
Die Störungen sind selbstverstftndlich wechsetiettig; berOckrichtigt man von der Störungsfanction nur jene Theile, welche sich auf die Masse si' bezieheo, so ist:
Umgeke! rt wird die Störang, weiche die Masse m' durch m cHährt, bestimmt durch die blürungsfunction
woraus folgt, dass in beiden Entwickelungen dieselben Argumente, also auch dieselben Glieder langer Periode auftreten.
Die Dauer der Periode J' ■) giebt ein Maass filr die Kleinheit des Divisors; die Differenz t — > X die Ordnung des CoSfBcienten. Bexeichnet man die kleinen Parameter, welche als Grössen erster Ordnung aufgefasst werden können» all« gemein mit p, so wird man als ungeÜihren Maassstab für die Beurtheilung der Grösse des Coefficienten in den Integralen von 48 (4) den Ausdruck Fp^-^m ansehen können, während dieser Cocfficicnt in C von der Ordnung P^p^-^m wird. Numeri^ch allerdings \^«Tclen die Austlriirke noch sehr verschieden sein können, da die nunicrischcii VVcrilie der Parameter p von einander sehr ab- weichen, So ist die Excentriciiat des Mcrcur das 3ü fache derjenigen der V'enus- bahn, diejenige der Marsbahn nahe das 6 fache derjenigen der Erdbahn u. s. w.
Von den angeführten Ungleichheiten sind einige besonders wichtig. So die 4te, 6te und 7te, die letzten beiden sind von der ersten Ordnung der Excen- triciUlt. Die letzten fünf werden bedeutend wegen der relativen Nähe der stören- den Massen gegenüber der Entfernung des Centraikörpers. Die 8te und Ute haben eine historische Bedeutung. Die von dem Argumente 5b — 24 abhängige Unc:leichheit in der Bewetjun? der beiden Himmelskörper hat wegen der sehr langen Periode innerhalb des Zeitraumes von mehreren Decennien einen sernlarcn Charakter; sie ist die von Hai.i.ky angegebene Secularbeschleuniguno; des b und Secularverzögerung des 4 (s. 1. Bd., pag, 119). Die von dem Argumente 2^ — \. abhftngige Ungleichheit bewirkt in der Bewegung des Uranus Störungen, die sehr bedeutend sind. Allerdings ist hier die Periode so gross, dass innerhalb kurser Zeitriume die Verlnderlichkeit des Gliedes nicht merklich wird; hier aber werden die von den doppelten und dreifachen Argumenten abhängigen Glieder noch
^) Für ein ArgaineDt ciV— XM^ d«sieD tSgllche Voliultnnig I|a — Xfi' ist, wird die
„ . . 360* -^^^ ^^.^^ 36Ü°X 60x60 Penode -r—r Tkge oder, da u and li' m Secunden avsgedvttdrt werde», ^— tt.j*.- .i^oo
Jahre.
s«*
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404 Mechanik 4t9 Hinmd«. 45. 46.
maassgebend, da die Intefirriti'onsdivisoren noch immer scl.r klein sind, und die Glieder von der Ordnung der zweiten bezw. dritten Potenzen der Parameter sind. 50 Jahre nach der Entdeckung des Uranus konnte, da die Theorie der Störungen bereits über die Wechselwirkungen der Planeten ein ausreichendes Bild gegeben hatte, ein Zweifel darüber nicht mehr bestehen, dass die grossen Abweichungen» welche die beobachteten Oerter des Umnus gegenttber den be- rechneten ergaben, einem st<>renden Körper sugeschrieben werden mflssten. Die analytische Verfolgung dieser Annahme führte sur Entdeckung des Nepcnn
46. Bemerkungen ttber die Störungen sweiter Potenz der Massen. Substituirt man in die Störungsfunction an Stelle der Elemente ihre gestörten Werthe, so wird man nebst den Veibesserungen der in der ersten Nflhemng
aufgetretenen Glieder noch andere erhalten, von denen einige beträchtlich werden können. Da man jetzt in der Störungsfunction die Störungen zu berücksichtigen hat, v.elche von allen störenden Körpern berr(ihren, so treten in dieselben GHeder mit den Arcumenten i' Af — X'M'] i" M - k"M"\ i"M - X'" Af" . . , welche mit den von den Argumenten M und M\ M und M'^ . . . abhängigen Glieder niuUiplicirt werden. Es treten daher nunmehr Combinatiunen der 1 orm %M ^AV + T^f" auf. Auch diese können fUr gewisse Werthe der ganzen Zahlen a, ß, 7 numerisch sehr kleine Integrationsdivisoren erhalten, wenn ai»H- ßt^' H- 7H^" nali« Null ist. Beschränkt man sich dabei auf die Glieder niedrigster Ordnung der Parameter, so findet man fttr derartige Argumente s. B. : 5 — 2 $ — 4 d« (Periode 39 Jahre), 2t - - 4^ (3G0 Jahre), 4^ -h 3^ - 3* (350 Jahre), 2^ -I- 3 - 4 (560 Jahre), ^% (630 Jahre), $ H- 4 V - ^
(440 Jahre) u. s. w. Die Inlegrationsdivisoren werden aber vielfach modificirt durch das Auftreten der Secularglieder in der Bewegung von Knoten und Perihel; sie werden dann
A - «K ßj*' + tffc" H- a'icj ^ ß'«,' ß>," -h «"ft, H- ß"ft,' H- t"Ä,".
Bei den Störungen, die von der dritten Potenz der Masse abhängen, werden,
wie man .sofort sieht, noch die von dem vierten Planeten abhängigen Grössen
hinzutreten. Bei gegebenen Wcrthen der ;a, |*" . . . it,, r,', r," . . wird man aber imnr.er panzzahlige, positive oder negative Werthe der Coefficienten a, p, Y, a' . . . finden, welclie dem Integrationsdivisor d einen sehr kleinen Werth erlheilen, und je grösser die Anzahl der verfügbaren Daten, d. h. je grösser die Zahl der betrachteten Argumente, desto leichter wird es, dem Nenner A einen immer kleineren Werth su geben.
Sei ein Argument A « -\- ^Af -k- -(M" -i- . . . -h «'« -I- ß'ic* 4- . , derart, dass die tägliche Bewegung gleich Null wttrde, also
äA
— «I* -h ßf»' -I- Tl*" + . . . -f- «*1C| -I- ß'«i' -h ... — 0
und ü = C ^os A. Bildet man hier die Ableitungen nach den einzelnen Ver- änderungen, so wird lUr irgend ein Element:
-gr TsC . A ». B. -r, = — — aCsmA,
dt stn dt a\k
dA
Da aber es 0 ist, so ist A constant, und es wird die aus diesem GUede entstehende Störung des Elementes
sm \«|» j
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Mechanik des Himmels. 4fS. 47. 405
daher ein thatsächlich seculares Glied. Die Werthe der Cuefüclenten und Ar* gumente sind aber von den angenommenen Elementen abhängig, daher können
kleine Aenderun^en in den mittleren Bewegungen die Form der Glieder ver- ändern: aus langperiodischen Gliedern werden seculare tind umgekehrt. Mit den Aenderungen fier mirtlcien rKwc^untjen sind al)er rorrespondirende Aen- derungen der grossen Axen verbunden, und in dem Maa^^c als, den Aenderungen
von m fa' . . . en^rechend, ^ stetig kleiner wird, wird nothwendigerwetse
äA
auch der Coefficient C stetig abnehmen, und für = Q wird endlich der
Coefficient des Integrales in der Form ^ auftreten; durch eine zweckentsprerhende Intc^rrationsmctbode könnten daher diese secularen Glieder zum Verschwinden
gebracht werden.
Für die grossen Planeten sind die mittleren Bewegungen derartige, dass die von den er&ten Potenzen der störenden Massen abhängigen Glieder solche ComplicationeD nicht beibeifttbren, obzwar die mittleren Bewegungen des Neptun find selbst des Uranus noch beträchtlichen Unncherheiten unterliegen. Wesentlich anders ist es jedoch bei den kleinen Planeten; die mittleren Bewegungen der- selben schwanken «wischen 403" (Planet S7d) und 1170*' (SaO) und es treten viel&ch nahe com mensurable Verhältnisse mit der mittleren Bewegung des nahen und mächtigen Jupiter auf. So s. B.^):
«r (279): 3^ — 4ti' = 13" 04 fttr (188): 2|i — 5|*' « 2"-00 „ (153): 2fit-3j*'= 2-88 ,» (266): Sf^^V«« 15*34
„ (190): 2|* — 3|fc'= 7-38. n. s. w.
Hierzu kommt noch, dass die kleinen Planeten sehr beträchtliche E^en- tricitäten und Neigungen haben und daher die StörungscoefBcienten ziemlich bedeutend werden, ein Umstand, der sich ttbrigens auch bei allen anderen Inte* grationsmethoden fühlbar macht.
Eine besondere Wichtigkeit erlangt der Fall eines constanten Argumentes auch für die Theorie der Jupitersatellilen. Bezeichnet man die mittleren Be- wegungen der fünf Satelliten der Reihe nach mit ji' ja" ja'" jx"'' ix(i') so gelten für die drei mittleren die folgenden Beziehungen:
fi" _ 2fii"' und — 2fi"" sind äusserst kleine Werthe,
die Differenz ((x" — 2^^'") — ({*"' — 2f*"") = |x" — 3^'" 4- 2h^"" = 0 ist völlig strenge Null. Souillart, der für die Satelliten die Störungen der Elemente be- stimmt'), berücksichtigt hierbei auch sofort die secularen Variationen der Elemente Qi, IC, wodurch die Schwierigkeit umgangen wird, und die Methode sich mit der von La^laci angewandten Berechnung der Störungen in polaren Coordinaten (s. No. 67) deckt*).
47. Störungen in polaren Coordinaten. So verschieden die Integrations» methoden hier, je nach der Wahl der Variabein siml» so liegt allen das gemdn* BchafUiche Prindp au Gninde, die auch hier auftretenden secularen Glieder auf die eine Coordinate, welche der Natur der Sache nach «n der Zmt proportionales
>) Aus den ersten 830; fUr (iSi) tot UberdieM ja' ^ 3(1 — 6" '30, der Excentricttäts- Winkel nnhe 20°: der Planet ist aber nur in einer Opposition beobachtet und später nicht
wieder gc^elit^n worden.
*) Mcmoirs oi tbe Royal Society, Bd. 45. L c. pag. 14 und 30.
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4o6 llediMitk des Himmels. 47.
Glied enthalten miiss, die Länge, zu beschränken, d h. die durch die Integration auftretenden secularen Glieder im R.idiusvcctor untl in der Breite /u eliniiniren.
Die älteste Form der Uifterentialgleichuntren, welche der Störiingsrechniint: /.u Grunde gelegt wurde, iNt(Z>)(pag. 295); indem der rcciproke Werth des Radiusvcctors in der ungestörten Bewegujig sich in einfacher Weise durch die wahre Anomalie darstellt, war es natürlich, auch fiir die gestörte Bewegung nicht den Radius- vektor selbst, sondern seinen reciprokeo Werth als zu bestimmende Variable einzuführen. Während Clairaot an Stelle der dritten Differentialgleichung {D), welche die Breite bestimmt, die Variationen von Knoten and Neigung ermittelt^ benützt er zur Bestimmung des Radiusvector und der Zeit die beiden ersten Gleichungen (J9). Clairaut integrirt dieselbe in folgender Weise: Durch Multi» plikation mit res/ wird die Unke Seite ein vollständiges Differential; man er- hält daher durch Integration
^ / usin/ = / UUos Idl -h ; V*^ y~ U,
Wird diese Gleichung mit sec^ldl multiplicirt, so wird die linke Seite wieder ^n vollständiges Differential, und giebt intergrirt:
7 = / TT / cos Idl 4- C, / y-r -h C,.
Durch partielle Integration des ersten Gliedes folgt daher
u ^ stn/J U' coi l dl — cos l f U' sin Idl -|- C, sin l -4- C^cos i. Sind »xf zwei particuläre Integrale der Differentialgleichung
fllr y= 0; so kann das allgemeine Integral flir jede beliebige Function Y nach der Methode der Variation der Constanten erhalten werden. Es ist:
dz^ dz^ / dz^ dz^
dt dt J^^ dt dt
wobei C, C, Constante sind. Zwei particuläre Integrale der reducirten Differeutial- gleichung (1) ((Ur Ks 0) sind aber, wenn N constant ist:
= sin A7; z^ = cos Nt\ Das allgemeine integral der Gleichung (1) wird daher
y^C^smNt-^C^cosNt-h^-^^^jYe9sNtdt^^-^^j YsinNiit. (2b)
Zerlegt man U' in 6^q Q, wobei Uq die Attraction des Centraikörpers, Q die störende Kralt darstellt, so wird fUr fi s 0 die elliptische Bewegung resul- tiren, also
Um ^ -r Cxsm i C^coslsa •
F P
Es ist daher
ir.ijZlf^-t. wobei nnli^t9tlii ^ cotl^^tk^lil (vergl. L Bandy pag. 124).
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Meelwotk des Himmels. 47. 409
Man kann die Differentialgleichung für die Störungen des Ratiiusvectors selbst auf eine ähnliche Form bringen. Das Integral der lebendigen Kraft J' = U h wird in Pol.ircoordinaten für einen einzelnen Himmelskörper
die Foru) annehmen')
wobei mit «tü das totale Differential der StOrungsfunction in Bezug auf sämmt- liche Coofdinaten dM gestörten Himmelskörpers (die Cöordinaten der stdtenden Körper dabei als constant angesehen) beseichnet wird. MultipHcirt man nun die erste Gleichung {€) (pag. 293) mit r und addirt daau die Gleichung (8), so crbilt man
Setat man + an Stelle von Q indem die Wirkung des Centraikörpers
für sich betrachtet wird, so geht diese Gleichung über in
Ist der elliptische Werth (ohne RUcksicht auf Störungen), so ist;
'0
Sei nun r »» 4- «r, so wird ^ ^ (2r — ir)ir = 2r*r — (Är)* 1 1 6r rtr
i-^^- — (4a)
daher
Wenn die von den zweiten und höheren Potenzen von tr abhängigen Glieder in erster Näheiung vernachlässigt werden, so wird
'-^^^.*«.^-^=./^-H.^. (5)
Diese Gleichung geht ans (4a) hervor, wenn man die rechte Seite in (4)
als das aus der Vririarion von r4a) entstehende Zusatzglied ansieht.
F(ir die Bestimmung der Störungen in I änce und Breite dienen die zweite und dritte Formel {O. Mit Hilfe des Integrales der lel)cndigen Kraft lässt sich jedoch ein Differentialquotient elin^iniren. Führt man zunächst an Stelle der Länge / den wahren, vom Radiusvector t^schriebenen Winkel L (die wahre Länge in der oscnlirenden Bahn) ein, so ist:
dß €»s -h db'^ « dL*. (6) Die Gleichung ftr die lebendige Kraft wird dann, wenn an Stelle von 0 k *
wieder — H & gesetzt wird:
<) ybeoL t&HSx diese Gldchmig tudi, wenn man die drei DiffereotialgleidittQgeD C der
dr dt db
Reibe nach mit -Ji% -r^t -ji «nultiplicirt und integrirt.
V* 9t mt
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40$ lledMuflc des ICmmeb, 47.
Subttabirt man von dieser Gleichung die Gleichung (4) und beachtet, dass^)
V^/j " ♦ dt* " dn
ia^ lo erhiUt man
, (diy d^r kl dfi Fflr die ungettttrte Bewegung ist wieder
dn ^'
Subtrahirt man die beiden Gleichungen und vernachlässigt Grössen zweiter Ordnung der Störungen, so kann man das Resultat einfach durch Variation der linken Seite von (7) erhalten, und hndet:
dZ dBL ^ (dLW ^ d*r d*^r K^rir BU
^ , dZ dBZ „ (dZ\\ . d*r
dt* r« ""^^ ar
<// dt dt* r* dt* dr dr
Substituirt man hier fUr rir seinen Ausdruck aus (5), so folgt:
^^dZdSZ ^ d*r ^d*{rdr) dHr ^ ^ ^2 ?ö a;ö
4^/ dt* dt* dt* <Jr dr dr
Tr-*-**''!?
Mit VernachläMigongen der zweiten Potenzen der Störungen ist aber r*4L in dem Codficienten von dBL gldch imnem Werthe in der uogeslörten Be- wegung» alto gleich k^y^il — e*)* Vcrnachllsaigt man dann ebenao rechts das Product von 8r in die stttrenden Riifte, so folgt duich Integration*):
Die dritte zu verwendende Differentiaigleichung wird;
d*s k*z £fl
dt* r» — a«'
(«)
0)
Die Gleichungen (5), (8), (9) (mit Benutzung der Beziehung z = r^) sind die von Laplace für die Theorie der grossen Planeten verwendeten Differential- gleichungen. Die Gleichungen (5) und (9) integriren sich unmittelbar nach (Ij, (2) i in der Gleichung (8) treten nebst der bereits bekannten GrOsse 9r und ihrem ersten Differentialquotienten nur Quadraturen auf. Aus dem Weithe Z lisst sich / leicht ermitteln; es ist nach (6):
di* ( ds \*
daher
1) Wurde mtn die Variatioa der Gleichung (6 a) bilden, so erhielte man ir und in
nicht unmittelbar integrablcr Form *) Da SS |id i ist, so wir
Air die cntea beiden Glieder die erite, fttr di« beiden Ictslen OHeder die zweite Form.
*) Da SS ud i ist, so wird — «= -i- oder — ^ = ^ . LaplaceI verweadet
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Mcdunik des Himmels. 47. 48. 409
Ninimt man alB Fundamentalebene die ungestörte Bahnebene, so ist / Z
zu setzen.
Um hiernach die Störungen 2u berechnen, braucht man die Ausdrücke
1^ , ?^ und rf*0.
dr OS
Was umflchsl die letztcare Grösse antw^fit, so hat man ofibnbar
denn entwickelt man alle Variabein nach efis und sm der Vieiracben der mittleren AnomalieUp so werden nur diese nach der Zeit veränderlich sein, das totale Diffe> rential nach allen Veränderlichen des gestörten Himmelskörpers wird daher gleich dem toulen Differentiale nach der mittleren Anomalie. Zur Bildung
des Ausdruckes r~ hätte man in dem Ausdrucke für fi vor der EinfUhrung
der mittleren Anomalie zu differen/.iren. Da aber r = a{\ j) ist, und a nur durch diesen Werth, nicht aber durch andere Variable eingeHihrt wird,
so wird
9^_dÜdm dü l 9r'~ da dr^ da 1 -1- «*
folglich
welche Operaiion auch auf den entwickelten Ausdruck von & angewendet werden kann.
48. Beispiel: Es sollen nun hier beispielsweise die Ausdrücke bis ein- schliesslich den ersten Ordnungen der Excentricitäten und Neigungen ent- wickelt werden. In der Zerlegung •? (4) ist fi" von der sweiten Ordnung der Neigungen; für die Differentiation nach s müssen diese Glieder mitgenommen werden» weil sie sich durch die Differentiation um eine Einheit erniedrigen; hingegen können sie bei der Differentiation nach r weggelassen werden. Man bat daher fUr die hier festgeseute Näherung:
dü dof , da dü"
Für die EntwickcUing von ü' kann der bereits berechnete Ausdruck 87 (20) verwendet werden; mit den Ausdrücken 87 (21) wird fUr den vorliegenden Fall:
— t^i'(9s Af £ MS%Q — (2« smM— 2c' sin M')l%^y>tm xQ\ •
Li den in 87 entwickelten Ausdrucken fllr fi" erhalten C C« die Ausdrucke t4 (ß), (ö); da r* von « unabbingig sind, so wird nach •? (4):
- »I J * p» as ^ r»» rf* • • J und indem man in C Co ^^"^ ' unabhAngtgen Glieder weglilsst: (Co) ^ ^f'tüni^ •¥ ica') / - (0 — — 2r'i sm (»' -i- ti^y sm/^ 2*s' cos J +
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410 MediMrik dci Himmels. 4tt>
Da Übrigens von der Ordnung der Störungen des störenden Himmels- körpers ist, so wird man z' ■= 0 setzen können, und hat:
dz I p* r'* J
Hier sind noch die von der Excentricitttt abhängigen Glieder wegzalassen, und es wird
Schreibt man Kürze halber ir^ — «q' s= so wird Q <^ M Jf* i, und
II* « S*»jw' |jjt»)^i;5(xü/— xi^'H- «x)— »Jr H-«x]
— l)Af— xM' H- xx)]J
— <2ii5«r^« I(x — \)M — xM' -4- *xl — [C* + O-W"- xi#' + xyj] + /2«ÄJ«>[<rM [x A/— (« H- «Xl — ^'^^ [xiW— (x — l)iir -h xy]].
Fuhrt man hier, da die Summen von — oo bis -4- e» zu nehmen sind, in den Gliedern, in denen « — > 1 voricommt, den Summationsindex x « — > «' ein,
so folgt daraus, da dann x' ebentalls von — oo bis -t- geht, und Bq*^
= i^J-"^ ist:
oder
B' » 2«*M'|Z?(">«^^(xif — xitf' + «x)
xif^«) — j (OS IC* l)M - %M' + »xl
_o (x) \
_ ^a' L»^ - (x 4- 1)^1/' 4- xx]|.
Um den Vorgang zu zeigen, nach welchem der Ausdruck Jd'ü~hr~
gebildet wird, soll dieses Heispiel weiterentwickelt werden^). Bei der Differentiation nach j\/q werden alle W'erthe verschwinden, welche von AI unabhängig sind; scheidet man diese Glieder aus, und transformirt zu diesem Zwecke den Summationsindex so, dass überall %M auftritt, wodurch man in allen Summen das Glied fttr x » o absondern kann, so wird:
+ 2^2 (x J ia' rw[xilf - (x -h 4- xx)|
1) VcigL «Mb MicMiiqiie cilctte , Bd. I, 3. Buch, 6. Oip.
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9Q'
dr
Mechanik des Himmels. 48. 411 - i rf'Ö* « 2A'm'^2xBi''>SM (xM - xM' 4- xx) (4) + 2^2x \{x - l}i^i«-»>- ia ) sin \xM - (* - + (x - l)x]
-Ha^V,(.^i;;!Vcx-l)x-^^^^-^ i)_i/^^:i;),.,tx^-(x-l)i/'+(x-l)xl
oaoa' da ^
[((.- ,)^<»-»-. « ^fp) +
-H2.'v rrx^c«)-!«' ^^«""l ^^^^^^ +
X« - iaa- jj .vx [X M - (X 4- 0 "H xx]| .
Der Ausdruck (5) ist nun in die Gleichung 47 (5) einzusetzen; dabei aber bfct man Rlr den CoCIfirienten von (tär) eine Constante anzunehmen. Setzt man dementsprechend in erster Nsberung = ^ so folgt:
Die particulttren Integrale werden
In den beiden Gliedern h- C^Cg erhält man dalicr die von der ersten
Potenz der Excentricität abhängigen Glieder der elliptischen Bewegung. Betrachtet man diese als gegeben, so reducirt sich die Gleichung 47 (2b) auf:
^rnr) = ^SY,osy,idt- ^^jYsin^tdt (6)
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4»
Mediraik d«a Hinmeb. 48. 49.
Die Ausführung der Integration ist nach den Bemerkungen auf pag. 124 des I. Bandes ohne weiteres klar. Integradonsvar^le ist an Stelle von / die Zeit /. Die Störungsfunction seUt sich aas Gliedern sosammen, bei denen sich unter den Argumenten der trigonometrischen Functionen auch der Werlh m l vorfindet; damit ist aber das Auftreten von Secularglledem der Form /«wf /verbunden. Diese können aber vemacblttssigt werden, wenn man die Secularvariationen der Elemente
(dB W\
auf. Diese giebt in {r^r) ein Glied
welches sich mit dem constanten Gliede a des Radiusveciors verbinden würde. Ist aber a die thatsAchliclie mittlere Entfernung des Hinmebdtörpers, so kOnnen constante Zusatsglieder nicht mehr auftreten, und die Integtationscoostante C wird so EU bestimmen» dass das letsterwihnte Glied verschwindet; dL h. es wird:
C=-lk*m'a
0
9a
Substituirt man dann den erhaltenen Werth fltr dr und die Werthe (4a), (4 b) in 47 (8), so folgt AX. Zu bemerken ist, dass aus den constanten Theilen der Eatwickelungen der Zeit proportionale Glieder entstehen. Ist C" der
(dr d8r\ ^ ar + Sr j und C die Constante, die bei der Integra- tion der letzten beiden Glieder von (8) entsteht, so wird in 6Z ein Glied
Wl^' [c c" - (i c ]
auftreten. Die Constante C-l-C" verbindet siel mir der Constante der Epoche, und das von / abhängige Glied wird durch Einlührung des Werthes von C:
(1
Der hier auftretende Coäfficient von / ist die in 48 mit X bezeichnete Grosse.
49. Die canonische Differentialgleichung. Setzt man voraus, dass in der Differentialgleichung
-H W)y = *(^. y)* (»)
welche in dieser Form in der SlOrungstheorie immer wieder auftritt und daher
als canonische Differentialgleichung der Störungstheorie ^) bezeichnet werden kann, jr) sehr klein ist, etwa von der Ordnung der störenden Masse, und f (/) sich von einer Constante nur um ebensolche Glieder unterscheidet, so dass
ist, so kann das Glied 4'(0*J' ■"^^^ ^(A fi vereinigt werden, und die Gleichung seht Uber in
rf«v
welche mit 47 (1) zusammenftUlt. Denkt man sich P in eine Reihe von tri> gonometrischen Functionen entwickelt^ so dass
>) Eine VerwecbscfaMig mit der von Jacobi eugefilhrten •canonischeo F«Hm <lcr DlArcnlial- Skichuogen der Beweguog« kann «nt dieser fieteiehBiing nicht catatehcn.
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Mechanik des Himmds. 49.
413
P^lk, cos {-tj -4- A') ^k* sin (x// 4- K',) (3) ist. wo in der Kntwickelung entweder Sinus oder Cosinus auttreten können, oder aüch beide Functionen mit denselben oder auch verschiedenen Argumenten, so erhält man, durch Substitution dieser Glieder in 47 (2 b) die entspreciiendcn ZuMtsglkder, wenn Nm^ y^p geseUt wird. Noch einfacher erhält man dieselben, wenn »an ites Integral sofort in der Form vorsussetst:
jf =r A, sin Ypt + h^cos^pt I/, cos {xj K,) -\- Ii,' sin (x.'/ -h K„) (4)
wo jedem Gliede der Reihe (3) ein Gh'ed in dem Integral (4) entspricht. Sub- stituirt man (4) und (3) in (2) so erhalt man leicht;
Enthält P ein constantes Glied k^, so wird anch y ein solches erhalten, und es wird
4-^- (4")
Durch die Integration entstehen daher die bereits im I. Bande pag. 127 er- wähnten secularen Glieder, wenn eines der x oder x' gleich Yp ist, and lang- periodisrb«; Glieder, wenn diese Gleichheit «ehr nahe stattfindet.
Für den Fall nun, dass die Grösse ^Glieder mit dem Argumente {'\^ P t K) enthalt, wird die Integration in dieser Form unmöglicli, und es wird die Aufgabe entstehen, die Integration tu ^oizunehmen, dasn seculare Glieder nicht auftreten.
Der erste Versuch in dieser Richtung rührt von o'Alembert her^). Im wesentlichen kommt seine Methode darauf hinaus» die Differentialgleichung
^^y-^^^^iy^ x^y^ H- . . . (ö)
unter der VorausseUung, dass Jf^ ^, JT, . . . Consiante sind, durch ein Integral TOn der Form
y = -f- ^1 ros {kv + A) a.^ t0s2(Xv -t- A) + . . {5a) zu integriren. Führt man diesen Ausdruck in die Hiticrentialgleichung ein, so bleiben und >. unbestimmt, was in der Natur der Sache gelegen ist, da dieses die beiden lntegration.->constanten der DifTerentiaigleichung zweiter Ordnung i>ind, Während sich fttr die übrigen Consranten die Werthe ergeben
a^^ X^-h^X^a* -h . . . i X^X, -f- A-, -+- SX^X^)a^* -i- . . .
a, - - » . . . - (i^i A', H- iAT«^,)«,' -h . . . (5b)
X - 1 - i Jf, - JJir,«/ X^X^ - iX^*-{^X^X^ + ^Xi)af , . ,
Ein Mangel, welcher dieser Methode anhaftet, ist, dass die X aUl Constante vorausgetetat werden. Dass die Form des Integrals als bekannt vorausgesetit wird, ist nicht so wesentlich, da es naheliegend ist, dieselbe anzunehmen, indem sie den analytischen Ausdruck l&r die Bew«gimg der Apsiden enthält (veigl.
den I. Band, pag. 128).
T. Maybr') bringt die Differentialgleichung auf die Form (5), wobei
') Memoiren der Pariser Akademie fUr 1745, pag 38J.
*) Verg^ sa^ O. BACnvMD in den Aatroo. NadtrickteBk No. «469.
^ •Thtorla Ivbm jnztai ^ttcroa Ne«toni«nBm«, Londioi 1767 (pag. 17).
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414 Mechanik des Ilimmch. 49.
ist, und X, Y störende Kräfte sind, und integrirt die Gleichung nach der Meüiode
der unbestimmten Coefficienten.
V^on wesentlit her Redciitunp: wnren die ArbL'itcn von T.agramgr und LapLACB* Lacranc£>) schreibt die Differentialgleichung in der Form
-0 H- JSTV + ^ H- -t- «* AO»« -h ... - 0. (5)
wobei «if eine Function der ersten Ordnung der stör«iden Massen* a*^ von der xweiten Ordnung u. s. w. ist SeUl man sanicbst JfoBO, N^O, L constant» so wird das Integral
f < L
y ^ -^cos Kv -\- stfi Av-i- {ios Kv — 1) (5a)
wo /, V <Ii« Integradonsconsunten sind. Setzt man der Einfachheit wegen
^ = 0, ~ ^ substituirt, so erhält man:
^ + K^y-^ L -g- A i ) —^^^—^ cctKv-K ^ — eos%Kv-\- ... (6)
Das Integral dieser Gleichung würde aber, auf dem gewöl nlichen Wege integrirt
Glieder von der Form t sin Kt ercfcben. In (.5) wurde nämlich jedes Glied acoi Ki -!- Ä) ein Glied mit dem Nenner A - — a'^ ^eben; um diese Glieder zum Versth winden zw bringen, verfährt Lagrange auf toigende Weise: Multiplicirt dy
man (5) mit ^ » 4P und integrirt, so folgt:
a:' H- ä''>« + 2 Ly 7/ H- 2 -H ^--^ y^ -+-... (7)
und aus dieser Gleichung erhalt man, wenn man nun die von M, N abhängigen Glieder vernachlässigt:
Verwendet man diesen Weith fllr die Bestimmung der von j ... ab> hängigen Glieder in (7), so Tolgt hieraus, da dabei kein unendlich anwachsendes Glied entsteht, dass y stets endlich bleibt. Setzt man nun:
^ — B y X «1«. -H a> V, wo X* {n, V unbestimmte Constanten sind, so geht die Gleichung (5) Uber in:
-h Ä*y + ^ -I- «(^ + My"') 4- a^C -h + iVy 3} -H . . = 0. (8J
wo
ist. Integrirt man f8) nach der frOheren Methode, so wird in erster Nttherang
/ A
Setzt man dieses Glied in (8; ein, so entsteht ein Glied mit cos Rv, dessen Coifificient
^) aSolttlions de diflBEmis probtömct de calcul integnüe*; Mt»c«U. Tavriiwnst« m 1763/5: Ocnms \ pig. 469.
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Meehairflc dM Himmeln 49. 50.
41s
ist. Dieses Glied, welches wieder seculare Glieder geben würde, kann siim Verschwinden gebracht werden, wenn A ^0 gesetzt wird. Dann wird
und hierdurch ist man im Stande, die secuiaren Glieder /.u vermeiden.
Complicirter wird die Aufgabe, wenn die FancHonen M, N veränderlich sind. Lagrangb erhält dann die DifTeiendalgleichung
-1- iSTV + « ^ycosBv-^N^sinHv^ - T, (9) welche er durch Einführung der Funcdonen:
auf ein System von fttnf Mnultanen Differentie]gl«chungen in jr, w» W »irttckftthtt.
Lapi.ace leitet zur Elimination der Secularglieder zwei Methoden ab; die eine besteht im Wesentlichen in Folgendem:
Erscheint das Integral einer Differentialgleichung (1) in der Form
y = X + tY t^Z, wobei X, y, Z . . , periodische Functionen von / und von gewissen constanten i^arametern sind, so werden sich die ausserhalb der trigonometrischen Functionen vorkommenden CoefBcienien /, . . . zum Verschwinden bringen lassen, wenn man die in den Functionen X, K, Z enthaltenen Parameter nicht mehr constant^ sondern veränderlich ansieht; <tthrt man fUr die betreffenden Parameter, welche nichts anderes sind, als die elliptischen Elemente, die GrOssen S, H . . . ein, so erhält man für die Bestimmung derselben gerade die Difierenttalgleichungen 40 (8), (9), welche die Secularveränderung der Elemente bestimmen. Daraus folgt, dass man die Scciilaiglieder im Rndiusvector und in der Breite einfarh weglassen kann, wenn man nicht fr tr F^lcmonte zvi Grunde le^t, sondern die Polarcoordinaten auf die um die Sc'( u ir. ; nationen corrigirten fc^leroente bezieht. In den durch die Differenti.dgleu lumgcn 47 (5) und (9) gegebenen Ausdrücken sind dann nur die periodischen Störungen beizubehalten. In Gleichung 47 (8) treten tn Cr auch nur die periodischen Glieder ein; fllr die durch die beiden Integrale auftretenden Secularglieder gilt das in 42 Gesagte.
Nach der sweiten Methode werden die Elemente als constant vorausgesetzt, und die Secularänderungen von Knoten und Pericentrum direkt durch die Integration der Störungsgleichungen lUr Radiusvector und Brdte erhalten. Die Auseinandersetzung dieser Methode s. u. No. 69.
Die Wep'^rhafrnnf: der Glieder <i;elinpr auf diese Wei^e nicht vollständig. Bei Beriicksichiigting der höheren l'otenzen der Massen erscheint zunächst wieder die Zeit als Coefficient der periodi.sclicn Glieder [at eosiat X)], später auch in nur secularen Gliedern [at\. Erfolgreicher waren in dieser Beziehung die Be* strebungen der neueren Zeit, Ober welche später in den §§ 71 ff. gesprochen wird.
50. Ideale Coord 1 d af en, Hansen's Metliode der Stö riingsr echnung. So einfach wie die vorliegenden Eniwickeliingen werden nun dieselt)en bei der Mitnahme der höheren Potenzen der Excentncuäten nicht. Wesentlich complicirter gestaltet sich die Durchführung aber, wenn man auch die höheren Potenzen der Massen berttcksichtigt Zunächst dürfen dann in 47 (4) die von abhängigen Glieder nicht vernachlässigt werden, und ebenso würden in 47 (8) rechts Glieder auftreten, welche die zweiten Potenzen der Störungen explicite enthalten. Deshalb
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4t6
Mecfaantk des Himnids. M.
halte auch sclion 1,aim,a( E für seine Mondtheorie die Differeniialgleichungeft (D) gcwahk^). Die Bertu ksicbtigunj; Her höheren Poten/cn der F.xeentricitäten und Neigungen wird aber eine Noihwendigkeit bei den kleinen Planeten, deren Excentrtcttäten und Neigungen webentiich grösser imd, sehr oft betrichtlicher als diejenigen der Mercursbahn; eine Rxcentridtflt Uber 19" haben*): (33) mit f « 19**40' S; (164) mit ? = SO« 17'-9; (183) mit ^ « 90* 18' 8 und (384) mit ^sl9«4l'*5; die grfissten Neigungen finden sich bei (2) mit i»34''4r'8; (31) mit /• = 2C°28*-| und (183) mit / = 26*26*-0.
Schon bei den erstentdeckten Pbneten machte sich dies bei der Be- rechnung der Sfönins;en als Uebelstand fühlbar. Für die Planeten (2) und (3) sind die fcxcentricitdtswinkel ^ ■= 13^ 41 'h, be/.w. 14*^ }:V (>, Hie Meimmpen I=34°41'8. bezw. 13°l''9. Da überdies die grosse Naiie des Jupiter den Einfluss der störenden Kräfte liedeutend vernichtt, so bietet die Bestimmung der Störungen der kleinen Planeten nicht unbedeutende Schwierigkeiten.
P. A. HAMUtM hatte nun, um dieselben tu heben, bei seiner Berechnung der absoluten Störungen eine von der früheren prinzipiell verschiedene Methode ao' gewendet. Die Unterschiede bestehen: 1) in der Einfilhrung der »idealen Coordinatenc, 8) den Entwickelungen nach der excentrischen Anomalie und 8) der numeri^chen Integration und Multiplikation.
Unter idealen Coordinaten versteht Hansen') solche, welche die Eigen- schaft haben, dass nirbt nur sie selbst, sondern auch ihre ersten Differential- (juotienten nach der Zeit in der gestörten Bewegung dieselbe I'orm haben, wie in der ungestörten Bewegung. Sic verliaUcn sich denmacli /u irgend welchen anderen Coordinaten, wie osculirendc Elemente zu beliebigen anderen Elementen. Sei in der ungestörten Bewegung irgend eine C!oordinate (t echtwinkelige oder polare) tr, und sei dieselbe als Function der Zeit und der constanten Elemente:
u — F{t, ao, e^t Ao* ^°*) J ^ «o< 'o» Äs» «oi^*^)» so wird in der gestöiten Bewegung ebenfalls:
U = F{t, a, e, 0», /, J/^,); ^ <»• », ft, M^)
sein, wenn man einzelne oder alle Elemente nunmehr verilnderlich annimmt Hieraus folgt, dass, sofern man es nur mit ersten 1^0erentialquotienten zu thon hat, d. h. mit Fnt Wickelungen \ou ersten DifTerentialquotienten, oder mit dem Uebergange von diesen auf ihre Integrale, in den Ausdrücken für die idealen
Coordinaten die Elemente als constant angesehen werden können, und die Infinitesinia]ui)erationen nur in Rucksicht auf die explicite vorhandene Zeit vorzunctiinen sind. Um diesen Vorgang besonders zu charakterisiren, führt Hansen für die ausserhalb der Elemente vorhandene Zeit einen andern Buchstaben t an Stelle von / ein, und unterscheidet die hieidurch ent- stehenden Ausdrücke von den mit den verKnderlichen Elementen zu berechnen- den durch besondere Typen. Es möge die zu U gehörige Coordinate, wenn in
*) S. hiciOber § M. Ansführlidie EDlwickeluiigeD der StttnmgslanclioD finden lidi s. B.
in PONTllcoOLAMT, Theorie analytique du syst^e du mondc. Bd. 3. 4; in den Anntüen der Pariser Sfrrnwartc von Li Vkrru k, in <kn Astronomical Papcr«. III Bd. von NfeWCOMB 0. %. w. *) Vergl. hierfür den Artikel »riiineten«.
HANSEI4, Auseinandcrscttung einer sweckmüssigen Methode die abfoliiteB StBnmgen der Ueiacn Planeten n lierechncn. Alihandl. der königl. sKche. GewUidt. der VTiiseBidMAcB Bd.^5, 3, 7; A. N. No. 168. M4, 4SÖ. 799, tU.
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BIceltaiifk da Himmeb, 60.
4*7
derselben die Kiemente als Constante, und nur / als Veränderliche angesehen wird, also t an Stelle von / gesetsk wifd, mit betdcliiiet werden. Soll dann nach den vonunefimenden Differentiationen wieder / an Stelle von t restituirt werden, bo wird dieses dadurch angedeutet, dass der betreffende Ausdruck über- strichen wird; es bedeutet daher
dass in dem Werthe von U die Eloaente als constant anzusehen sind, d. h. r
an Stelle von / zw setzen ist, dann nach x zu drfferenziren ist, worauf bei (a) noch vollzogener Differentiation wieder x durch / zu ersetzen ist. Bei (bj ist noch nach / zu integnren, und nach der Integration / Alf t zu setzen. Schreibt dU
nan so wäre das Resultat dasselbe, wie bd (ah aber wMre nach / total
SU differensiren, d. h. es wären auch die Elemente als verftnderlich anzusehen. Wenn aber U eine ideale Coordinate ist, so weiden nach der Differentiation die von der Verinderlichkeit der Elemente herrfihrenden Glieder von selbst wegftllen, welche bei der Differentiation nach t gar nicht entwickelt sn werden bttudien.
T«;t weiter Z irgend eine Function von idealen Coordinaten, oder oscuHrenden Elementen, so wird zufolge der angeführten Eigenschaft derselben auch der erste Difterentialquotient von L im Resultate identisch, ob man auf die Veränderlich- keit der Elemente Rücksicht nimmt oder nicht. Man kann daher auch derartige Functionen als ideale Coordinaten im weiteren Sinne bezeichnen^).
Sind nun m ideale Co<Mdinaten, so werden in den Transformations*
formein S (l^ ^ ^ i^ ebentells ideale Coordinaten s«n, wenn
dv.* da^ da,
^ dt di ^ ' dt ^ ^ *
* dt dt ^' dt ^
ist. Substituirt man in diesen Gleichungen die Ausdrücke % (1), so erhiUt man mit Rücksicht auf 2 (13), wenn hier X, (i, v an Stelle der bereits in anderer Be- deutung verwendeten Zeichen p, q, r gesetzt werden:
vy — = 0; \t' — vx' = 0; jix' — W = o. (2) Da die Gleichungen (1) immer erfüllbar sind, weil vermöge der Gleichungen 2 (14) die Determinante der Coefficienten
5 -u ^1 ^
*^ dt dt dt
verschwindet, so wird es unendlich viele Systeme idealer Coordinaten geben; setzt man noch fest, dass 2' = 0 sein soll, d. h., dass die X'K'-Ebene stets durch den gestorten Radiusvector gehen soll, so folgt aus (2): v = 0, d. h.
fTa^ rf«, « £!i j.« ^ j.« ^ « ö l%\
^ W "7? "37 " «1-?/ +«»"5/'*-«tTr
Die beiden ersten Gleichungen 2 (11) geben
*) 1. c. Band VI, p«g. 9A. / VAUomMM, AitnaMBk. IT. 97
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41«
Meelianfk des Himmels. 50. 51.
daher nach bekannten Sätzen der Determinantentheorie aus (3) und (Ba*^:
und ebenso für die I^A»enti«Iqiiotienten der 9; toinlt nadi S (8), (9) und (10)
Ii ' dt * dt di ' di ' äi folglich nach S (19)» (13):
1 rfß/, 1 d9i
Am den Gleichungen S (1) folgt durch zweimalige Difieientiation fitr a' » 0 wegen der Bedingung, das« Xfj^, § ideale Coordinaten seien:
4^/""*» ' rf/»"*» rf/» dt^ dt dt ^ dt dt
ebenso y,M, und daraus:
d^x d^y d^z dx* , df
'f^-if-^'f^-dr-^'^^-df-^-dT^^^'
Die Difiercniialgieichungen 12 (1) geben daher
Verbindet man hiermit die dritte Glcicluing (2):
— I*«' 4- Xy* «= 0,
so erhttlt man
[^iir-'^'dt)^--'''i^»*[y-df it) ^ — y a?'
iß)
Da nun
, dy' , dx' , y—
"^■jt-y-di^^oVF
ist {x' y sind ideale Coordinaten, stehen daher mit osculirenden Elementen in derselben Beziehung w ie in r^er -ingestörteo Bewegung) so wird, wenn filr X, |i ihre Werthe aus (4) substituirt werden:
du:_ juy_dQ d^ t,x' aa
dt k^Yp dg" dt dä*'
Zwischen den in den Gleichungen 2 (21) auftretenden Winkeln m, i, welche im allgemeinen von einander unabhängig sind, wird aber hier gemSss
den Beziehungen (3) eine Beziehung be'^tehen. Der Werth von m werde in diesem Falle mit — 9 bezeichnet; setzt man die Werthe 2 (22} in die Gleichung (3) em, so erhält man
.da
Tt'^'^^lü-'''*-di'
Unter der hier gemachten Voraussetzung fiült daher die X'-Axit nicht in die Richtung des Perihels. (« bedeutet daher nicht den Abstand des Peribets vom Knoten.)
51. Differentialgleichungen fttr Lflnge und Radiusvector. In der Ausführung geht HAMSBit von den in 26 abgeleiteten Differentialgleichungen aus, welche jedoch gegenüber der ihnen von HAMStN ursprünglich gegebenen Form ftlr die allgemeinen Störungen etwas modificirt sind. Mit den idealen
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Mechanik des Himmels. 5L
4»9
Cooidinaten r, v, welche aicli aus den ocicalirendeii Elementen a, t, * , , nach den Foimehi
Mq -\- \Lt = E — e sinE i = v k
t C0SV — a{cos E — e) r nnv = a cos^smE ~eÄ ergeben, stellt Hansen die Formeln
if - Mi""^ -H -H 1*0/ = - e^sin E' r = ro(l-4- v)
To w a^{€ot -ff* - ^o) / - F + itg (2)
zusammen, in denen a^, • ■ • constante Elemente dnd. Vergleicht man diese Formeln mit M (IV), so sieht man, dass die dort in xwd Theile seHMlte Sifinmg in Y und N hier zusammengezogen eiscfaeint'X da If den constanten Werth «o hat. Man hat daher dN\ di^O mid
wobei hier^o an Stelle von p gesetzt ist, weil die m 26 (5) eingelührte Grösse p eine Integrationsconstante be^clchllet und der Index >0« dort nur wegblieb, weil die Elemente daselbst überhaupt nicht veränderlich waren. Substituirt man hier flir dVidi den auf pag. 346 erhaltenen Werth, so folgt:
daher, wenn v eingeführt und die coiiigiite (gestörte) Zeit / -f* « 7* gesetzt wird: dT , d^ \ r 1
yp^J
-rfT (r:F^ö*
Die Diflerentsalgleichung <ttr v wird aus 96 (13) erhalten; es ist
Dann ist = ^^dt und die Coordinaten des Himmelskörpers werden aus (9) erhalten.
Um diese Gleichungen in fttr die Praxis verwendbarer Form zu bringen,
werden die Grössen v und T durch o^culirende Elemente ausgedruckt, in welcher Form sie dann als ideale Coordinaten behandelt werden können. Aus (1) und (2) erhAlt man zunächst durch Vergleichung i^v-i-tt^ ^-^icpi
und da ist; so wird
r^a 1 a fcs^f^f, r^e^cosV x^ecosV , . esinV . ^ \ fg\
ra^ l-f-vtfg «»j'tV »i*«*f» «o^M»fo «o^^ fs o-'y w
*) Dictct lit Jedoch nur chi rda löiinlcr UntencUed; dem Wesen nacii ist die Metiiode diisclbc: die Bcfcduimg der SWniiig der nitdiaen AmoMlie.
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4aQ Mccinnfk du Himmd«. 51»
An Stelle von a, £, tc werden nun drei Funktionen 4i i}> X c^crselben einge- führt durch die Beziehungen:
« <«f(ic — K^} » ( , -t- sin f 0- * ' Qnftdrirt and addirt man die beideii Gleichungen (7) und sieht von der Einheit ab, so wird
cos^ ^ = [1 - n*m - ({» -H ol »*'f • (8)
während die Gleichung (,5)
wird. Bestimmt man hieraus 1 + v, setzt fUr ihre AusdritclLe durch fs ein, so wird mit Rücksicht auf (G) und (8):
IH- V 1 - 2e sm — U'' -t Tj^) cos'' yp ^^^^
Weiter ist, wenn « ein osculirendes Element, daher /eine ideale Coordinate ist:
d/ dv dV dv dv
dV dV dM' flo* ''o' äT
somit
dT JA a' fp* cos ff
Führt man hier für ^ seinen Werth aus (9j und ftir ^^^^ seinen Werth aus (8) ein, so folgt:
Die Formeln werden etwas einfacher, wenn man an Steile von x ^ Verhältniss der Parameter
^-6. (7.) einführt Dann wird aus Gleichung (II):
i// r ^„^^ r» a v)» ' rf/ * (1 + v)« " ' und aus Gleichung (9):
1 H- V
«0
Die Gleichungen (13) und (14) bestimmen gemeinschaftlich die .Werthe von
dT
und V durch die Grössen i, i), d. Man kann an Stelle einer dieser Gleichungen auch eine beliebige Combination derselben setsen. Nun ist
di'^i-t-^ * (i + v)» IT I. 0 J'
Der Ausdruck
fV^ ^ - • - 1 « |(l S ^ iT^x K 4- Tj - » - l (15)
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Mechanik des Himmels. 51.
421
erhilt, da 9 sehr nahe die Erabeit vA, 'tets kleine Werthe, und man erhSlt:
Da T und v den Charakter idealer Coordinaten haben, so erhält man aus (13) und (16):
är % dT
d% (IH- v')»' dx und ddfch DUferentiAtbii nach t
dx'» dx
— 2
(rrv)
dT " dx
d*T dW^ dT 2V ^ _ dVi^ a 2v ^
" (i V)« rfx ~ ar (i -i- v -i- v)« i^t '
folglich
dfv d _ dJV^ 0 2vd ^
~ ^ TT ■ (1 + v)» (1 -h v)> (1 H- V)»
i/v , a»^ dH . jnr ^
wtthiend durch die DiflerendalgleichuDg (16) besliniint ist Durch Integration folgt demnach:
•= '^'-/['^^^»(^)']'"
Mit Rflcltncht auf die ersten Poten«en der stOienden Massen ergtebt sich hieraus: _
v-.-i/^i//; HM^^jWidi, (17a)
wo in Störungen nicht berücksichtigt sind. Um hieraus die Störungen mit Rücksicht auf die zweiten Potenren der Massen zu erhalten, hat man su beachten, das»
dT
ist, und daher
(Wb)
Hier sind daher die Störungen v und l^M auf drei Functionen \, y\, d der
osrulirenden Flemente zurückgeführt. In der Function IV^ sind für diese auch nur die Störungen erster Ordnung zu berücksichtigen, welche selbst von den störenden Kräften abhängig sind. Um diese einzuführen, kann auf zwei Arten vorgegangen werden. Erseui man ij durch liire Ausdrücke (7), so wird*), da nach (i) und (2):
r + ic, — «TH-K* - Kist:
>) Hamsui, Abh. der königL Bichs. GcseUsch. der Wisscoschaftoi, Bd. 5, pag. 100. Bei HANStN ist fflr t gcietit
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4aa Mechanik des tümineb. 51*
"5~|ro' ''o'^^^'To <»o^^**?o|
Um die störenden Kräfte einstifUhren, muss nach / differeniirt, und vi diesem Zwecke zunächst f (o^ e sin v nach 13 diifch die Difierentialqaotienten von 9 und r ersetzt werden. £s wird:
Hier sind 9^, nar von t abbllngig, daher ab oonstant annisebeo, and nnr r, p, V nebat d veiSnderlkli. Da
ist, so wild:
(I«)
Würde hier vor der Integration i^x gesetst, so erhielte man sofort V^V, a r^, und da in IV^ir^^r xa setsen ist, so wttrde')
Setzt man diese Werthe in (17a)« (17b) ein, so verflUlt man auf die Ausgange* gletchungen.. In manchen Fftllen, wo es sich nur um die Entwickelung einselner Glieder handelt, hat Hanskn dieses Verfahren auch thatsächlich gewflhlt*). Im all-
gemeinen aber wird erst nach (19) entwickelt, sodann nach / integrut,
und nach der Integration r s= / gesetzt^). Die Ursache ist im wesentlichen die, dass hierdurch die Reibenentwickelungen selbst bei grösseren Ezcentricititten
convergenter werden'*).
In der dritten Abhandlung') wird eine zweite Entwickelung von IV^ vor- gcnomrucn, welche aut die bturungen der Elemente luhrt. Aus dem Ausdrucke (15) erhslt man
*) 1. c, pag. lot.
3) z. B. fid. 6, pag. 45.
') Vergl. L c, Bd. 6, pag. 63, 76, 126, 146; Bd. 7, pag. 104 u. s. w. ^ L c. Bd. 5, pag. 99. •) Bd. 7, pag. 87.
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Ifedunik de» Hiiameb. 61. 5"!. 433 »'«X+r cäs l^o) W sm V (»0)
Befttckftichtigt num zanüchst nur StöiungcD enter Ordnung^), so wird an Stelle von W «1 setsen sein, dann vird aber, wenn mit % die Störungen erster Ordnung beseicbnet werden:
1-1 -«(f)i »-!-»(»)
£s ut aber
tf/ ^ da ^ de
und demnach, da für die Störungen erster Ordnung in den Coefficienten
SU setsen ist:
db \ da _ €^ de . jif m
daher durch Integration:
0
IF0» - - 1« 4- 2 f^«^ r + 2 Jj«^ r.
• ' Ä0 «01*^0 \«0 ^10^-^ tf«r»^0 «0
(21)
98. Entwickelung der Störungen in Breite. Die Gleichungen 17 (5)
w P xw» (X — = eos i sin (/ — a)
ß cos — = cos (/ — <x) (I) sm^^sm ism (/ a)
geben die heUocentrischen Coordinaten X, mit den gestörten Werthen der Elemente m, i, und dem gestörten Wertbe von v, wobei su beachten ist, dass die Lftnge in der Bahn i von demsdben Anfangspunkte wie « gcsählt wird, also von dem durch (60) (8) fixirten Funkte. Es handelt sich jedoch darum, die Störungen der Breite direkt zu finden; dabei können auch tweckmässig gleich die beiden ersten Formeln (1) so umgeformt werden, dass sie aus Hauptgliedern, von den ungestörten Kiementen und kleinen, von den Störungen abhängigen Zusatzgliedem bestehen. Schreibt man daher an Stelle von (1):
') B«TUckficbti£t man in \, X, V anch die «weiten Potenzen der StöruDgen, so kann mm dma toitit dHc Formeln (17) verwenden (vergl. 1. c. Bd. 7, pag. 95 ~ 97) ; dodi wird himoa kdn Gdnawdi g«aackk, in pag. 9g wild mt die Foimda (17 b) fUr die srnhai Potenten der SuSrangcD lUfttekgBgsBgMi.
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424 Mechanik des Himmels. 52.
m Pm» (X — — r) = cos /o sm (/ - a«») -r •
so sind die Grössen /q, «>, s so zu bestimmen, dass die von x ab>
hängigen Zusatzglieder kleine Grössen sind. Da zur Bestimmung von 6 Un- bekannten drei Gleichungen bestehen, so können noch drei Bedingungen erfüll^ werden. Bezeichnet wieder e die Basis der natürlichen Logarithmen, i die imaginäre Einheit, so wird, wenn Kürze halber X — ft^ — T = tj gesetzt wird:
^ox ß(e-*-'^i — <r~"i) = cos i(,(e+'{'-öo) — e-'^'-öo)) — \s A{e'^*'»-\- ^i») ß(e+"}-f- ^•-''5) = (e+'^'-ßo)-+- e-K'-öo))— if/i(e->-«"— e-'*).
Diese Gleichungen geben, addirt
(9$ pc+in— tM^ ^ig eiC/-ft*)-h i^t e- J«/-Ö«)— w^c*-. (8a)
Die Gleichung, die durch Subtracdon enlateht, braucht nicht angeschrieben tu werden, da sie durch die Veruuschung von t mit — i entsteht Aus Gleichung (1) folgt in der^lben Weise:
«»yß(e+5(»^-Ö)— e-'f>-f^))= <'<^ji(e+'('-«))— e-»('-<) fi?jp(e-»-if^-Ö>-h e-K^-ß))=a c+i('-»)-»- e-i('-«) r«pe+»(^-Ö)« tf<»f»4iciV-«>-i- fj»«iie-'C/-«),
daher
fox ße'T<e' Cßo-ß-^r)= e— föo^tox'^i e'('-ßo) e-^i^' Ji ^~'('~öo). (3b)
Die Vergleichung der dritten Gkichung (1) mit der dritten Gleicbapg (S) liefert:
t^sm isin{i — ») — sin i^sin (/ — ftj) 2» = MV i(e+*('— )— e-*(/-«)) — /.(^W-a*)— c-Kz-ß«)) OS »•(c-^(öt-«)e-H(/-ß#) — c-»tao-«>e-ä('-Oo)) — im (e+i</-0.) — e-K'-Q«)). Führt man den Werth von is in (Sa) ein, setzt
t-i'^y; c-4<ß»-»)«tf; e-*»<-»{Öt-Ö+n— (4)
so wird
— ^sm i ^~ «-»■i(/-a»)_ ae-K'-Ö«)^— im ».(c+if-Oo) — e-iU-ßo))j
j^fMße'^— -^rfx' i/e+'('-ßo)-j- a*««*i/e-»('-ßo). • (5)
An Stelle von T, treten hier y, a, x; s ist eliminiert; die Unbekannte
T| tritt an Stelle der heliocentrischen Länge )..
Als nächste Bedingung kann nun die Forderung gestellt werden, dass die Ausdrücke für x und von / unabhängig seien; dann werden in der Ditiereni der beiden Gleichungen (5) die Cuefficienten von e+K'-öo) und e-K'-ßo) für sich gleich Noll su setzen sein, wodurch man erhält:
A X
yim^ 4/0 4 i<«xm « — \A^i^ — »asm^ \i » a
A A
Hiermit erhält mau lur die \ erhäilnisbe — und — ia und «n bleiben dabei
X y ^ "
beliebig) :
y{a* sin^\i eos^ \ — cos^ i'"«*i'o) — \ A\asini — smi^ifl^ sin^\i~>r cos^\i'^ = 0 *(ä* jwi« \ i £es^ \ — cos"^ ^ isin* ^i^) + \ A[a sin i^ — sitt t(a^cos^ | xi«* |/,)] 0.
Diese beiden Gleichungen nnd du^ asm\i co^ \ — cos \ i sm theübar; dtvidirt man durch diesen gemeinschaftlichen Faktor, so folgt:
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Mechanik des Hlmmelk 5i. 425 üC0s\ »V»! i ■♦■ stm\i^(0s\i ^ A a tos \ $im\i-^ üh \i^cos \ i
X g f j I f'q rgj ^ / — sin \ sin \ i ^
jf ~~ £Osj[ tQ cos \i — a sin^i^sm \i
Durch Vertauacbung von + i mit — i entstehen zwei den Gleichungen (6) analoge, in denen an Stelle von Xtjft^ ibre redproken Werthe stehen. Man er- hält daher aus diesen:
^ €os \ Iq ^ 1 4- a sin \ i^cos \ i ^ g9S^i^sm^ i ^- a$m\ i^^cos \ i
y cos \ /(, cos \ i — a stn \ i^sm \i ^ *
X ~ acos\i^cos\i — sin^i^sin^i
«od da jr + «• 2Mf«k>— \ SiiWM ist, und ähnlich fitr so wirdr
• . »
/ft^i'J / + cos ir.sin i cos {o — ftn)
' Acosta ^ ~
*
II« (ft — fto — — i ^
X = 1 -f- £ / COS /p — j/« / sin /'o (a —
'0» ßo dabei keinen weiteren Bcdinpiinf:en unterworfen. Wählt man für
eine Consiante, die sich von nur wenig entfernt, so werden A, co und s kleine Grössen; für s erhält man
s »s» sin i sin {i — ß,) cos (Äo — «) -H ' — At) <"« (A« — •)
— sin Sq sin (/ — Q,^).
Setzt man daher
jw» icos (0 — — sin « f» (9a)
so wird
* « 4r jm (/ _ ftfj - Äo) (9b)
und die Gleichungen (2) werden dann:
£ps ß sin (X — ft, — T) -I i^sin (/ — ft,) — j ^äw^ ^^^J
<r<>j^fw(X ^ftj - T) = (/- fto) + ^
tp SQ
Die Zttsatsglieder , — ^—r- werden, wenn s, p, f als kleine Grossen erster
X X cos
Ordnung angesehen werden, von der zweiten Ordnung. Da aus Gleichung (8):
sin (<x — ßo) — (Ä — Äo — n = tfis i) (1 — tfm I0) — ji» i x<g i'a (g — fl^)] jwi (g ft^)
X
folgt, so wird auch T von derselben Ordnune: wie q, s', p wird numerisch noch kleiner, l'ührt man an Stelle von s eine neue Variable u durch die Beziehung
0^ ^
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4s6 Medittft 4m Himndi. 52. SS.
ein, so wird
Ks wird dalier, wenn man t an Stelle von / einfuhrt, und den dadurch ent- stehenden Werth mit u bezeichnet:
1^ - ^ ^,«(r -h «0 - fto) - ^P^f + «• - a«) - i^sm (r + »0 - Äo)^ ^'«(»^ + «• Äi)^.
Es ist aber:
/ «. ^ Ol, w — ßi Ao ; ^ + Pi SU — a» —
demnach mit Rücksicht auf M (7):
nnd ^ y ^tsatt, «'»ro»«/ iirt (gestählt von der nach M (8) definiiten ^''•AxeX M> wild:
6a. Entwickelung derStörungst'unction für grosse Excentrici täten und Neigungen. Die Entwickelungen haben im Wesen den Zweck, die ent- stehenden Reihen convergenter su machen* Nebst der Wahl der Cowdinaten flir die Differentialgleichungen nnd die Integrationsmethode selbst ist hierxu in erster Linie maassgebend die Entwickelung der St0rungsfnnction, lllr welche Hansbk die Entwickelung nach der excentnschen Anomalie und wie bereits erwähnt, ein mechanisches Integradons* und Multiplikationsverfahren cur Er* leichterung der Rechnung'; vorschlägt.
Fttr die Entwickelung von — ist tunächst:
r r 0) — S ~ ~p a [tos 4- isj,) (OS (f' 4- 15,') H- sin (f -t- ic,) sin {p' H- %^')C0S /j
a
beut man
fps Jiin ^ ksmK sm «o' « sm
und substituirt fUr r, r' ihre Ausdrüdce durch die excentrische Anomaliei so wild
To - -ix £'-h ^' h («)
wobei')
1) Dicm iit «a neh U«r, d* der GoMfidcnl von smE, t»t£ ab Fimetien voa« nnr die Hülle des Coeflficienten von sinv, cosv ist.
*) Vrrg!. auch Hanskm: Uiiter»ucbniig;cn Uber die gegenseitigen SMnmgCB des Jiq»iier und Saturn. Berlin 1831.
') Ueber die fUr die Praxis vortheiUMifteste Form zur Berechnung der CoüfficieDten 7^, 7|, ^^ «. AMi. der kflai^ ildie. Godlsdi. der VKieenecbsftcii, Bd. 1», pag. 139.
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Medwnik de« Hinnneli. SS. 427
-I- «t _ ^ecosE + e*cos* £ — 2aee' k cos (kq — K)
^ c( '•' k cos (itq — K) cos E — In e' cos ff ' k sin tr.^ — AT) sin E •\^ = ^n.'*e —%<iekccs{r.Q—K)-Y1'^kcos{T.Q ~ K)cos E — '^ixcos^ksin^^^- K)sinE ßj= — %%e cos ^' sin (TTp — A', ) 2 et cos 9 ^t^jj f'k^cos (k^ — ATj) Ji« E ^ -+- 2 a ^' — Aj j £
ß,= ««.'«.
Hierin ist 7^ nahe 1; 7,, sind von der ersten, ^, von der /weiten Ordnung der Excentrici täten. Der Ausdruck (3) kann stets in zwei lineare Faktoren mit reellen CoSfficienien serlegt werden, so das»
i^y^ [C--fcos{£' - - f,c^si£' -i- Q)l (4) MnltipUdrt man, ond veigleichl mit (8), so folgen die Gleichungen:
tt — (f + ftO»'Ö Pi — — ^' aus denen die Unbekannten ^j, Q, C tu bestimmen sind, sind von
der ersten Ordnung der Eatcentricitftten, C von der nullten Ordnung. Setzt man
f «w ö « 7, — ij (6) so wild §1 Ct9i C " ^ (7)
und man hat die Unbekannten i 1}, Ci f 1 zu bestimmen. I, i| sind von der ersten Ordnung, C von der zweiten Ordnung* Es wird
Setzt man — = so wird auch " _ = »>, und daraus:
(8)
3 V ^
Demnach werden die Gleichungen C^):
Um aus diesen Gleichungen h und C zu bestimmen, erhält man succesidve:
ly p,-c. 0-1 Pi i/P7^
fl_Ti>^-Hß.yß,-c
2>^M}/g» g ^. i « __2liiX=,
7i - ßi V'!'! - C' 7, l/C'- ßt Vß, - C
(d-_l)t- 4ß,>(ß,-C) '* 4a^C C - ß»» (P, - C) « 4(P, - g C (To + 0 «• + (Ye - Ps)C* + i(Pt« + Y? - 4t.P,)C - iP,»P, - 0 (12) Diese Gleichung hat, da sie ungraden Grades, und das letzte Glied negativ ist^ nothwendig eine reelle Wurzel*); da C eine sehr kleine Grösse ist, so kann de durch Näherungen bestimmt werden; ein erster Näherunpwerth wäre (mit Vernachlässigung von C*, C'):
*) XMe beiden aadem Wurzeln sind ebenüdls reell; es entsprecbeo ihnen aber imsginäre Wodie von t, ij; L c Bd. 5. pag. 14^
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4^ Mechanik d«rs {limmels. £8«
da aber, wie erwähnt» C von der zweiten Ordotiiig der Eacentricitäten ist, so sind in (IS) nur und ß^C' von der sechsten Ordnung, die übrigen Glieder (vierter Ordnung) geben die Gleichung
TsC» + 4- 7i» - 4TaP»)C - W^t - 0 (lÄa)
deren Lösungen
sind; fUr das untere Zeichen wird C negativ, daher 0, folglich auch ^ ij, imaginilr; es ist daher
Dann erhält man d nach (11); t) nach (9); ^, C nach (G) und ^, nach einer der Formeln (7). Ist die Kxcentricität des gestörten l'lanelen wesent- lich grösser'), so wird man an Stelle von (13)
setzen können. Aus (7) folgt dann:
<
i^y^ - g cos {£' - Q)]-^[l - cos {£' H- <2)]"» .
Jeder dieser Faktoren kann ohne Schwierigkeiten nach der in 15 angegebenen Methode in einer nach cos der Vielfachen von {£' Q) fortlaufenden Reihe entwickelt werden, wobei ftir die Bestimmung der Coe£&cienten ein dem in Wi angegebenen ähnlicher Algorithmus auftritt Sei
^^tfi(^'-0]'»*=«i»)+a«("W(Ä'-ö)H-s«S*w«(-ß'-C)+- (14)
JW-) =( 1 - cos{£'-i-Q)] ' ' = ßf")-!-??« 0 + 2pW<r<»f 0 . . .
so ii.L uocli /,u beachten, d.iss die Cocfficienten C", ^, ^, Licninach auch a^'', a|.'*) . . . ß W, ß(») . . . und Q Functionen von £ sind. Sei £x ein bestimmter Werth von £, für welchen sich nach (3a) die zugehörigen Werthe von 7^,, 7^, ßj, ßj, daher auch ganz bestimmte Werthe ^x, ^x, ergeben, denen die Werthe
*/x^ .... Pojc » k^ix^ • • • entsprechen, so muss
Setzt man die einem g^benen Werthe von sugehOrigen, leicht su berechnenden Werthe
so wird
-h 25/;« sin {£' - Ä) 2^a^ '^ x«i 2i£' - ii.) + . . .
'} Hamskn berUckftichtigt our den Fall grosser Excentricitäten, wo ß,, 7, numerisch gegea
Kp, ttbcnrlcgeu und crfallt dann die Formel (13 a).
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Medianik des Himmeh. SS. 54. 429
Aus den Coefficientcn (16) kann man aber die Colinidenten der allgemeinen
Entwickeiungen
AM^ Si"^ + 2 ^Z"-^) cos (£' — £)-h 2^,^'" cos ^(E' — £) . . , ,
-f- 2 6/«''' sin {£' — £)-i- 23^"-'^ sin 2{£' - £) -\- . . . . ^ ^
nach bekannten Methoden leicht finden, wenn man die Werthe der 5,x auf eine Reihe über den f^anzen Kreis äquidistant vertheilter Werthe von Ex bestimmt').
Hat man auf tln.se Weise die Reihen für A^"), B^") in der Form (17) mit numerischen Codficienten dargestellt, so werden dieselben weiter numerisch multiplicirt, wodurch man
f — y « 'tf) cos (i£ — i'£') -h 22(ii'i) sm (i £ — i'£')
erhält. In diesen Reihen wird an Stelle der excemrischen Ancmialie E* des störenden Planeten dessen mittlere Anomalie M* eingeföhrt"), was in der mehr- fach erörterten Welse geschieht, wodurch die Reihen die Form annehmen:
f— V= i'^]; cos {i £ — i'M') -h Ili[ii's]) sin (i £ — i' M').
I>er zweite Theii der Srönmgsfunction kann auf dieselbe Form gebracht werden. Wird endlich in der Summe
substituirt» so erhält man die Störungfunctton in der Form:
ö = 2 2 [/ . ' ... - i ' £ - , '( J/.' - ^ M,))
-h lliii's] sin |(i - I' ^) Ä - i'^M, - 1; i»/,]}
wo E die e)n7!ge Variable ist.
l 'nrch die Kinhihrung der Grössen /i, X'j, A', A', (Formeln 2; unti die nu- niensclie Bestimmung der Grössen 7q, y 1 » ^1 - ^2 nebst den davon abhangigen ^, g^, Q, C sind die für grosse Excentricitäten und Neigungen schwach convergenten Ent- wickelungen umgangen. Analytische Entwickelungen ilir diesen Fall hat zuerst Le VsitiUBR (Anoalen der Pariser Sternwarte I. Bd.) vorgeschlagen, die später mehrfach von anderen weiter ausgeführt wurden.
B4. Osculirende Elemente; mittlere Elemente. Die volIstSndige Ausführung der hier angedeuteten Principten würde an dieser Stelle viel zu weit führen, und muss auf die hier gegebenen Erörterungen beschränkt bleiben. Allein besflglich der Integration sind noch einige sehr wichtige Bemerkungen
nöthig.
Die Elemente, wie sie für die Störungen der Hauptplaneten in Anwendung Vommen, wurden durch Verpleichung der Beobachtungen mehrerer Jahrhunderte erhalten, und repräsentiren mittlere Werthe derselben. Bei den klemen Planeten werden aus den Beobachtunf^en einer einzigen Opposition (einer Krscheinung) bereits Eiemenle abgeleitet, welche dann eine Baiin darstellen, die sich den gegebenen Beobachttingen am Besten anschmiegt, d. h. eine osculirende Bahn. Da die verschiedenen osculirenden Bahnen nur um die Störungen von einander
*) Vgl. den Artikel «Mechanische Quadratur, II»; Hansen. 1 c png. 159.
*) Für den störenden Planeten wird hierdurch die Convcrgenz nicht wesentlich verindert, da <Ke Execnlrieiliten der tlOraiden Kttiptr klein tümi. Beim Uebergange von M* •»(£ wird dit Convogeas nicht idmiefaer, soodan eher tnm erhilht
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430 Mcelumik des Himmels. 54-
verschieden sein können, so wird man bei der Berechnung der Störungen mit versrhiedc?ien Elemenfensystemen Fehler begehen, die von der zweiten Ordnung der störenden Massen sind, welche sich aber bei L:eTiUgend weit getriebener Annäherung ausgleiclicn müssen, da ja die Störungen, v elche Elemente immer für die Bewegung derselben zu Grunde gelegt werden, durch die gegenseitige Lage der HimmeltköipeT eindeutig besdnifiit tind. Ein Unteiadiied kaiia sor in den Werthen der Integrationsconstanten liegen.
Diese aind stets sechs an 2£«hl. Sie sind entweder tettot Incremente (Ver- besserungen) der sn Grande gelegten Elemente, oder sie sind Functionen dieser Incremente. Bestimmt man die Integrationsconstanten so, dass die Stöniogeo für eine gewisse Epoche verschwinden, so werden die aus denselben sich er> pebendf-n Elemente fllr diese Fporl.e osculirt-n N.TtflrhVh werden die osculiren- den Elemente successiv erhalten, denn jede weitere Näherung biingt Cofrectionen der Elemente, welche bezw. von der ersten, zweiten, dritten . . . Potenz der störenden Massen sind.
An Stelle der osculirenden Elemente, welche sich der Definition nach nur fttr eine gewisse Epoche der Bewegung möglichst nahe anschUessen, wird es besser mittlere Elemente eintufahren, welche dahin definirt werden» dass sie zwischen den Oberhaupt möglichen Grensen der oscvltren* den Elemente in der Mitte liegen. Für diese werden daher die Störungen zu beiden Seiten gleichmässig, daher, absolut genommen, kleiner, als unter Zugrundelegung irgend welcher osculrrender Kiemente: Daraus folgt, dass in den Ausdrücken für die Störungen jene Glieder, welche die grössten periodischen Störungen erzeugen, für mittlere Elemente verschwinden müssen. Nun bilden die Störungen Reihen, in denen die von cos E, sin E, coslE, sm%E . . . ab- hängigen Glieder immer kleinere Coefficienten erhalten; die grössten CoÖfBcienien erhalten in den Ausdrücken für v und it diejenigen Glieder, die von smE und t»tB abhttngen; setzt man deren Coöfficienten gleich Null, so werden die absoluten Beträge der Störungen nunmehr den Maximalwerth der Coj^fficienten der nttchsten Glieder erreichen, daher die gestellte Bedingung dir die mittleren Elemente er^ flillt^). Damit sind dann die mittleren Werthe (Ur A, /, e, tu, festgelegt wobei aber nf>ch zu erwähnen ist, dass der analytische Ausdruck dieser mittleren F.lemeiite noch seculare Glieder enthalt, also A = -H Sl' ( u. s. w. und daher irgend ein System numerischer Werthe derseil)en sich anfeine gewisse Epoche bezieht
Der mittlere Werth der mittleren Bewegung {jl ist selbstverständlich derjenige, bei welchem in den Störungen der Lange keine von der Zeit abhängigen Glieder auftreten. Er ist also fi + X » (Vergl. No. 4<) und stimmt mit dem aus den Beobachtungen sehr langer Zeiträume erhaltenen wahren Werthe der mittleren Bew^ng ttberein. Hierzu tritt dann noch in der mittleren Länge ein dem Quadrate der Zeit proportionales Glied, die Secularänderang der mittleren Länge ^
') Bf?. 6, pag. 90. Eipentlich ist die Aufgabe ein Problem des Maximums und Minimums: denn es kann ganx wohl vorkommen, dass die Störangen noch geringer werden, wenn die Coüfficientcn Ton sim E, cos E in den beiden Ausdrücken fllr v and « fclir kleine, abcff endUdie, nicht rctichwindendc Werthe erreichen. Die Bestimmung <üe«ei Minimanw wlre dae ctwit compitcilltra, dabei aber im Gnmde «nnttdiige Au^be; die HANSSM'iche Methode llnft aaf ^ Definition hinaus : Mittlere Elemente sind jene, in welckcn die aufiretendeo StttlttDgeo TQH der xweitcn Ordnung der kleinen Parnmctoi werden.
-) Ha.nskn, Bd. 6, pag. 122: tcber die Verwandlung der von oscuUrendcn Elementen ab- hkngigen SWntngen in «ohlK» die Ton nitdCKn Ekncnten abkbgcn, vergL fUmm^ Bd. 7, 308.
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Mechanik des Himmels. 55.
43»
65. P r o p o r t i o ti a 1 c o o r d i n a te n. OppOLZER'sche MethoUe. Beachtet man den in 2tt abgeleiteten Ausdruck;
SO lassen sieb die Formeln 22 (3)
schreiben, wobei
(2)
ist. Es mögen nun die Coordinaten x, y in andere x, J und eine Störung P, welche als ein Proportionalitätslaktor desselben auftritt, derart zerlegt werden, dass vorerst Uber x, y und über V nur die eine Annahme gemacht wird, dass
X Ä JcP; ^ = y . r, daher r = r • T (8)
sei. Weiter wird an SteKe der "Ltvi. i eine andere Variable C eingeführt welche durch die Beziehung definirt ist.
oder ^-TT. (4)
wobei U ebenfalls eine vorläufig noch willkttrlich gelassene Function ist. Aas (3) folgt:
i» dV , U dx ...
(6)
(7)
und durch nochmalige Difterentiation und entsprechende Kedurtion
~ * d:-' ~ er d: \d: " T dz) dt^
^ dü* ^ C/ di \dl f d:) ~ ^ dt*
Aus diesen Gleichungen erhält man durch Multiplicadon mit — y und x» beaw. mit + X und -)~ > und Addition
* dv ^ dv u rfc V ' ö':/ - ^ V ^ do) dc
* rfc» <^c* i/ di y d^ ' k) r V //:«
( d^x , d*y\
£s ist aber nach (1):
wobei die Bedeutung der stierenden Kräfte Q, F aus M leicht ersichtlich ist.
Bnbcr war zwischen den Grössen J, J, C nur eine einzige Beziehung fest- geictst» niinlicb: sij^siy\ denn in der Differentialgleichung fUr C liegt keine
(8)
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43«
Mechaalk des Hfanmeli. 55.
Beschränkung, da dieselbe durch die Wahl der noch unbestimmten Function U unter allen Umständen erfüllt werden kann. Es soll nunmehr angenommen werden'), dass x = x^,y=y^ die ungestörten Coordinaten für die ungestörte Zeit C seien, so dass
(9)
ist. Hiermit erscheinen die noch erforderlichen nm Bedingungen folgclegt, daber werden r und U bettimmt sein. Man bat »mlicbst:
folglich entsteht aus (7) mit Rücksicht auf (8):
\ dU ,„ di
oder
und integrirt:
1 dU
Ca-
Da ohne Rücksicht auf Störungen dt = sein müsste, so wird C = 1. Setzt man daher das Integral
so wild
(0
2^-1+1; ~-r»(i + i). (10)
Wird nunmehr r i h- t gesetzt, so wird
„ (, 4. 4. 1). (,0a)
Dann folgt aus den Gleichungen (B), wenn man tttr den Augenblick
dy äxQ ^ ^ ^ dZ
letst:
wobei
j:__frr_ ,1 dU dx^ ü
Das Integral der linearen Differentialgleichung (11) wird nach bekannten Methoden*):
•) Eine andere Annahme s. No. 72.
') In der ersten Abhandlung: •EnnitteiaDg der Stürungswertbc in den Coordinaron durch Variation entsprechend gewählter Constanten*, Denkschriften der iiaiserl. Akademie der VViMen- uhkften in Wies, Bd 46, pag. 49, wild die Integratioo otme Udiergang nif dieie Uocftf« DifltemtialgIciGhiing fofgenonwm». Dadmch wirdta in dtv Forndn (4S), L e. pag. |3 die DiffczeKtialqQpiieDtCD der Audtttdw H, ID 'wm 0, also tob den Inlegiilai Ut m adlNt ab-
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Mechuiik des HimmeU. 65.
433
und da Ar » 0 auch f 0 werden muas, demnach Ca» 0 ist: Es ist aber entsprechend txansfonnirt:
SeUt man daher
so wird
(12)
Wflrde aus diesen Gleichungen ^ bestimmt werden, so erhielte man durch
eine nochmalige Integration 7; der erhaltene Werth muss aber die beiden Gleichungen (12) identisch erfUUen, und daher mit dem aus denselben durch dt
Elimination von ^ erhaltenen Werthe identisch sein. Multiplicirt man daher
diese Gleichungen mit bezw. — Aq und addirt, so erhält man sofort:
21+1^ II.Yq-II
(1 + 1;'' 1 + i
T " /i j_ na ' 14-1
oder wenn
n«o — my^ es s (m)
gesetrt wird;
'+T-7rTT)r + rTT- 0*)
Setzt man die Werthe aus (12) in (5) ein und berücksichtigt (3) und (10]^
so iolgt:
- i. t/t n -I- ^ ^>'<>
av)
Aus der Gleichung (10) kann man nun die zu einer gewissen Zeit gehörige Stönmg der mittleren Anomalie erhalten; es wird
Ubigig. Diese Fonneln werden dthcr eigentlich simultene DifferentialglcMiungeii enter Ordnung,
uod da die Cocfficicnten von derselhcn Ordnung sind, wie die von II und III unitbhinglgen Glieder {w und s .sind nahe !), so werden die Quadraturen im allgemeinen die angestrebte GenauigkeitsgTcnze nirht zu erreichen gestatten. Die AMcitunp in der zweiten Abhandlung »Entwurf einer Mondtheorie«, Denkschriften, Bd. 51, i!>t hiervon befreit, da die Gleichung (17) pag. 8S als Integnl der linearen OiSerentialglcichung (15) pag. 87 auf diesen Umstand cnt- qifechend Rfldcsidit nimmt. Die seUiessBch auftretenden linearen Differentiaigleicbungen (16)< (11) sind mit Rttcloichl auf die in denselben auftretenden Cogflicienten anderer Natur, indem für •pecieOe Störangen die rechts auftretenden, von den Integralen selbst abbttQgigen Glieder aus den früheren Näherungen entnommen werden können.
VAIJu•Tl^u, AiuoDoaut, II. sS ,
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434
Mechanik des Himmels. 65.
daher mit BertlcksicbtigODg von (14):
Die Gleichungen I, II, III, IV, V bestimineii die gestöfte Bewegung in Länge. Die in diesen Formeln auftretenden Grössen , werden aus den
Formeln in No. 1' Ar die ungestörte Bewegung ermittelt Far die Bestimmung der Störung in s erhalt man aus (1):
Setzt man daher
#0 « *(1 t). (Sa)
wobei zu beachten ist, dass Zq kein der ungesiorien Bewegung angehönger Werth isti), und
so wird
dz dy , . — .
^57 - ' ^ •"^•V/s-iV; - - *oV>f V
und daraus durch Multiplication mit besw. -^J' und Addition, da mit ROdtsicht auf (8) und (I):
ist:
(1+I)# — — IV.jp^
folglich
V • y- —IV • *a «0
In den störenden Krähen X, V treten die gestörten Coordinalen x, y auf. Setzt man für diese die aus (3) folgenden U'erthe, so sieht man, dass in den drei Integralen 1, ü, Iii [i-ornieln (i; und (ii;J die Ausdrucke l -H I und 1 -H 7 in verschiedenen porativra und negativoi Potenzen anibeten. Sieht man I und ^ als Grössen erster Ordnung von den störenden iMlassen an, so weiden sich die rechten Seiten in (I) und (II) nach steigenden Potenzen von I und 7, und da letztere Grösse von den Integralen I, II, m selbst abhängt, nach steigenden Potenzen dieser drei Grössen entwickeln lassen. Man eibSlI; wenn man sich auf die ersten Potenzen beschlinkt:
<^II
— - Äp, + «1,1 -h tf„n + a„m (16) -jp- — + 0^,1+ «itn+ «itin.
') «0 nJ'ch den Formeln (VIT) be^limmt, sobald für die Integrale IV, V,
Näherungen bekannt sind, in denen s. B. suent <g ■> 0 angenommen werden kana.
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435
Ebenso folgt dann, wenn I, II, III bereits enoittelt. sind:
^IV
äV (")
Zur Integration dieser Gleichungen durch successive Näherungen schlägt ▼.Oppousr den folgenden Weg ein. Da
^/•'''+ ^ '-'^
ist, so können die Gleichungen (16) und (17) in folgender Weise geschrieben
dl ^ f da. f ^ dm t
5? - «•! - -JiS^tx^i— Sihti^*
^ ^Ai''^- ^ >»4^/ + ^ (iV/a,, dt + V/a», I//)
und ebenio für die vier flbrigen. Setst man nun:
|
»1 |
dl . |
|||
|
- diJ^^^^^- |
//II ^ . </in ^ |
|||
|
dn f diu . -^Jaudf— Ja |
||||
|
rflV ^ _^ |
(18)
SQ erhält man durch Integration von (17a)'.
I « + lfa,,df + ll/a,, III/«»,,.//
n = «2 + 1 j'^ij i ll/iiaa*/'/ - 09a) m = «, + l j jj,^/ + U/a„rf/ + mj a,,,// IV - 1.4 + IV/«,,rf/ + V/a„i//
BeachiSnkt man sich in den Gleichungen (18) xunSchst auf die ersten Glieder, «0 werden die bekannte Grössen; damit kann man dann die Gleichungen (19a), (19b) auflösen, und erhält die Integrale I, II ... . als
Grössen von der Ordnung der Substituirt man die resultirenden Warthe in (18), so würden daraus Ziisarzglieder entstehen, die aber von der zweiten Ordnung der a, t sind, so dass hierdurch eine Lösung durch successive Näherungen ge- geben ist. Würde man in (16), (17) die Produkte von I, II . . in die a,y sofort vernachläääigt l;aben, so erhielte man die Losungen I 'ae II = . . . . . In der Form (18), (19) erscheint bereits bei der ersten Integration eine grossere Annäherung erreicbt»
l>ie in den Entwickelungen der CoCfficienten «n auftretenden Constanten geben Anlasa sum Entstehen von der Zeit proportionalen Gliedern, u. a. gemttss der Form der 'CoKfildenten in 6ßa AusdrOcken flJr «r, und Da jedoch bei
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436 tfedunik dei ffimmds. M> 56.
der Entwickelung auch -j^ , enchetnen, so kum BMii diese so liestiiiiineii«
dass auch in den Integralen TT und V die der Zeit proportionalen Glieder ver- schwinden, wodurch sich aus der Entwickelung selbst die Bewegungen des Knotens und des Perigäums bestimmen lassen.
66. Theorie der Bewegung der Satelliten. Entwickelung der Störungsfunction. Es war schon in No. 37 bemerkt worden, dass die Ent- wickelungen füi die Satelliten sich dadurch von denjenigen für die Planeten unterscheiden, dass das Verhältniss der mittleren Entfernuagen a bei denselben eine sebr kleine Grdsse ist Es genügt ^iasm s^mdst, die erste Potenz dieses Verhiltoisses beisubebaltenr die von diesem abhängigen Glieder jedoch ab* zutrennen» und spenell su berechnen. Wegen des von dem Yeriiältniai der Parallaxen bei diesen auftretenden Faktors werden diese Glieder mit dem Namen der parallaktiscben Glieder belegt Sie erlangen auch insofern eine besondere Bedeutung, als sie aur Bestimmung des Verhältnisses a dienen können, ivan der Coefficient der aus denselben resultirenden Störung durch Beobachtungen mit gen(igender Genauigkeit bestimmt werden kann, wie dieses s« B. iUr den Erdmond der Fall ist (vergl. No. 63).
Es ist nicht schwer, diese Trennung der Glieder m den Ausdrucken für selbst durchzuführen, doch wird es einfacher, die Störungsfunction für diesen Fall direkt zu entwickeln. Die Ableitungen gelten ebenso gut für die übrigen Satelliten wie fttr den Mond, müssen aber für diesen weitaus genauer sein, sowohl wc^en seiner grossen Nfthe aar Erdei in Folge deren die Beobachtungen viel mehr Unregelmiten^eiten au constatiren gestatten, als auch andereneit% weil bei den anderen Satelliten die wechselseidgen Störungen sumdst flbenriegen; es tollen daher die Darlegungen mit Beiiehung auf den Erdmond erfolgen.
Bezeichnet man Kürze halber die Entfernung r^^ = A (indem sunlchst nur auf die Störung durch die Soime Rtlcksicht genommen wird)» so wird:
a-iwg-^, (1)
wobei M die Sonnenmasse beaogen auf die Eidmasse als Einheit^ und
A> = r» H- - %rr'B\ H - . ^
ist. Hieraus folgt bis einschliesslich der dritten Potena des Veifailtmesea der Entfernungen:
daher
Bei den Difierentiationen von ö nach den Coordinaten des Mondes (r, u, s, ! o. s. w.) wird das erste Glied verschwinden, so dass es sofort weggelassen
werden kann. (Die Störungen des Mondes, welche in p vorfcoromeOi geben nach der Bemerkung in 10 keinen Betrag.) Es wird daher:
ö = k^*M^ j^CdJSr« - 1)+ ^ (ÖÄ^* - 8Ä)j
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Mediuik des Hlniiidi. S6. 437
Es sollen beispielsweise kurz die Hauptgiieder durch Integration der Differentialgleichung in No. 47 ermittelt werden i). Hierzu ist jedoch zu be-
merken» dus in diesem Falle die flir ^ in 4S angefahrte Vereinfachung: nicht
gestattet ist, wenn, wie dies fllr die Satelliten gewöhnlich geschieht, nicht die Bahn des gestörten UimmelsIcOrpers (des Satelliten) sondern die Bahn des Haupt' platteten (die Ekliptik) als Fundamentalebene gewählt .wird*).
') Auf VoUitändigkeit kann selbst bei den Hauptgliedern nicht gesehen werden. Sollten meh aar dioe vUllig xiditig cntwidiclt weiden, so nUissten auch sweite und dritte Potenscn der EieeiitilctHiteii uad die htfhetea Poleaieii der Manen baOdkdcktict weideo. Hier loll jedoch nur der Weg angedeutet werden, inf welchem die lategntioii ▼oigcnonuncn wird, tun qualitativ die Resultate über<.ehen zu können.
•) Um die Fntwickclung der Störungsfiinction noch an einem zweiten Beispiele ru zeigen, mögen die Entwickcluogen von Laplacx kurz erwähnt werden. Laplacr gebt von den Diflfefenild^elclMBgeo lOZ' an». Diber aantt II dnrdb u, t, L ausgedillelBt «cfden. B» ist
aber (VergL Na Ii): ^
Kr+*» cesL sinL 9
u u u u
wo L die Länge des Mondes, geiählt in der Ekliptik, ist. Für die Sooae wud ebenso:
«f, ir, #,
daher
oder da /| B 0 gesetst werden kam:
- * *» Jlf ^ [1+8 «f 2(Z - Z,) - +
+ iA'Af ^ [5«fa(Z — Zj) -i- 8flw(Z — Z,)— lS«*<»f(Z — Z,)J
— ^ [5Mf 8(Z * Z,) + 8aw(Z - Z^) — lS«s«f(Z — Z^)]
— — «)«2(Z-Z,)-|ASilf ^ [Sjfo8(Z— Z|)+i««(Z-Zj)->4j>«K<^- Z^)]
^ ^ [8**«8(Z - Z,) 4. 11/ «v(Z - Zi)- 4i»w(Z - Z,)] - ^
[S«»»(^--^i)+>'«(^-A)-4*»««(^-Z,)]- ^
Dieae Ausdrucke sind noch inneriuüb der ersten beiden Fotenscn von p strenge. Für das weitere brandit aaan ^ ^ ^ * Fllr die Boedurnng der StOmngen von der ersten Fbtens der Ifssse werden Air s ond «1 die elliptisdtcn Weidie substitnirt; fbr diese ist
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438 Medittrfk d«g Himmel». 56.
Legt man der Einfachheit halber die X-Axe in die Richtung der Knotenlinie der Mondbahn und ist uj^ der Abstand des SoDD«operigeun)S von diesem Knoten, so werden die Sonnencoordinaten
:i m^f* tos («1 -h «'); y sm (»i + o'); m* 0
anil die Coordinaten des Mondes:
X ^ r cos {iü -\- v)\ y ^ r sin (cu + v) cos i\ z f^r sin (« -H v) sin i, demnach
JST» CüS (v -f- <u) cos iv' H- tB|) -4- IM (fr «>) sin {v^ m^y^i
-h • — »* — ••,) — %sm (v -h m) sin {v* -+■ »j) #M*^f.
Behält man vorlauhg die zweiten Potenzen der kleinen Parameter (Excen- tricität und Neigungen) bei, so wird, wenn die mittleren Anomalien der Sonne und des Mondes mit 0, C beseichnet werden, nnd man Kürze halber iw » 7 setzt:
«»(1 — Sc cos C)
4i- « (1+ I V + 3<|^w0 + ^^4»«* 20) ~ •'1
' — 3^*1 ^«(0 + C) — 3if tfOJ(0 — C)J
pj- « -4 (1 — Sr<»J C + 4*1^0)
3in (Z — A)
Vi + umg' im,' (L - ß)
^ tos Ui cos {L — C4}s i iüsinyL — t»t(L — — 2 sin ' ^ ;' eos tu eos (Z — ^)
ios /I'l /-(J«^'" (Z — p) /'I'l 4- i sin' (L — ß)
Die weitere F^ntwickeliing ist nunmehr ohne we-Vrcs klar. Laplace fuhrt nun aber die Ableitung in der Art, dass sofort in der ersten Näherung Jene Rechnungen vorgenommen werdeo, welche die folgenden Nihcningen mit tu erledigen gestatten. Zn ^eieai Zwc^ weiden nicht die eUlptisdien Weithe, Mtodcm die wehten Werdie «Tq + 9«, nibetitiuit« wo
ellipti^chL-n Wcrthe, 8^ die noch unbekannten Störungswerthe in der Form von
trigrinrinictrischen R«ihen mit unbestimmten Cotifficicnten .-/, B ir_ die Störung-^ftinrHon sub- sliiuirt werden. Diese treten dann in den störenden Kräften, also multiplicirt mit dem kleinen
Faktor (i* = auf, und gehen in die analytischen Ausdittcke Air die Coeffidenten selbtl Uber, weiche die Form erhalten:
Die erste Näherung ist bb ApMi « B^'^^h werden diese Werthe in die folgenden Aii-^drUcke substituirt, so erhü!t man bessere Werthe n* c* W. Da (a> «ehr klein ist, so wnd die Rechnung im allgemeinen coorergent.
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Mechanik des Himmels. 56»
439
^e*)smZ ■^esin2<l l sin (l +|^«jm3C (osv = — t + —e^)c(fs(l-i-etos2(L— ccs ^ 4- f 3 C im (» H- ») « (1 — . *»)*fli ((^ -H a>) — ^ sin « 4- <r (2 -i- «) + sm (C — «)
-H I sin (3 ^ -h cu) (ffS (» -+- o») (1 — (C 4- o») — ^ ^^'J ö> -+- <r C4fs (2 C -h w) — ' ^-t^J (C — w)
-4- f ^« fi7j (3 ([ H- tu) COS (V -h — V' — «>i) = (C 4- u» — O — "^i) — ' ' i i,vC 4- «o — lüi ) 4- ^i<ri'j(C + »— 20— <o,) — ^^<?j(cD — 0 — <i>,)-h ^f<7i(2 C 4-u» — 0— «01)4-/^ S^C9S{t — 0 — »i) — ^i<^<'j((C4-«»— »i) 4- ^i<-<?x((C4-c»~ 2 0 — »j) — e t»s(n 0 — •») ^MX(SC H- • — 0 — a»i) 4- ^
— — 4- w(C 4- • — 0 — •,)
— i^^ri^^CC — • 4- 0 4- «,) 4- C • — 0 — »1)
4- cos{*a — toj) — <-«(20 4- »1 — ») — «^i^tff (ä{^ 4- » — »i)
t'^7T (2 4- ü> — 20 — <ij^)
— sm* ^ / [ cos iX — y> — tuj) — riJj' (C 4- u 4- 0 -I- Wj)].
Die Anzahl der Glieder, die von der /wci'.en Potenz der Excentricität ab- hängen, wächst nun ziemlich rasch an, und sollen deshalb weiterhin nur die ersten Potenzen berücksichtigt werden, wobei allerdings die Neigung herausfällt. Dann wird:
\{^H^—\)^\-»t-\cos%(l +«, — 0 — «,,)— ^r, ^-<7j(2(£ 2u»— 0 — 2«ii)4-
' 4- \c^cos{^ 4- 2üi — 30 — 2u)| — — -hS»— 20 — 2u»i) 4- i^^<7iC3 X 4-2» — 80 — 8«,)
4^(Siy«— 4-itf<?*2((t 4-»— 0— «j)— i^tftff c ^-i'l«'*0 — — |/M«f(C -1-8» — 80— 8iiii)4-|*<M(8C 4-8» — 80 — 2»,) —
— + 2<ü — 20 — 2mi)— |^f<;x(3([ 4- 2» — 20 — Su)/)] —
— |^i^<^j(2(I 4- 2«> — 0— 2a)i) 4- 4<r,^^i(2 { -h 2(0 — 30 — 2»,) 4- + f^i^«>i(2C 4-2» — 0—2»i) 4-1*1 *w(2C 4-2» — 30- 2«,)
i -p^ (5Ä« - 3/0 fr (* '^''^(^ -^- • - 0 - «1) I '^^^ 3(c 4- » - 0 - «,i)J
demnach
U — k*M--i fr — l*4rtf/(t*4-i<i*i'*0t4-i^-<?J2((C4-»— 0 — »i)*t — — f +8»— 80— 8«, ) • 4- i * (8 (^4-8»— 80— 8»|4-
4-7^1 (4<(8(( H-8«»— 80— 8o|)— |/,«0l(8^4-8«i— 0— 8»i4- (^)
4- [| rfiCC 4-«» — 0 — «i)*4-|tfw3((£ 4- tt» — 0 — »j)jj, a
Das Verhältniss — ist ftlr den Erdmond nahe xfirl für den äussersten a,
Jupüersmond, ebenso wie für den äussersten Saturnsmond etwa ebenso gross, für die übrigen Satelliten dieser Planeten, sowie auch lür die Satelliten der anderen Planeten noch wesentlich kleiner. Eine Berücksichtigung derselben wird dab.er nur für den Erdmond nolhig. Es mag jedoch gleich bemerkt werden, dass das constante Glied in S
C *» ^(1 4- |r» 4- i^i« — 67» 4- Glieder 4. Ordnung) (a)
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440 Meduuiilc de« tSniflielt. 6T.
67. Integration der nifferentialgleichung für die Lär^ge und den Rar] i u s vector. Bei der !iirc;uration der Gleichung 47 (5) treten nun gemäss ^4^ Nenner p — x'^ auf, wenn p den constanten Co^fficienten von (rör) be-
k '
zeichnet Dieser ist nahe gleich » Z'*» wenn L* die mittleie siderische Be>
wegung des Mondes ist Glieder mit kleinen Nennern treten daher auf, wenn « sehr nahe ±.L* ist Wäre x«»Z', so würden hieraus seculaie Glieder entstehen; indem aber auch A und m veränderlich gewählt wird, kann dieser Nachthetl be- hoben werden. Kleine Nenner treten nur auf bei den mit * bezeichneten Gliedern;
das erste würde sich mit der Mittelpunktsgleichung verbinden, das zweite giebt die Evection das dritte die parallactische Ungleichheit. Ungleichheiten dieser Art treten im Radiusvector auf, und gehen nach 47 (8) in die Lange über. In dieser tritt ausserdem noch ein Integral auf, welches kleine Nenner erhält, wenn y, «selbst eine kleine Grösse ist; dies ist der Fall bei dem aut f bezeichneten Ghede, welches die jährliche Gleichung gicbt. Daraus ersieht man, dass die jährliche Gleichung nur in dem Ausdrucke fiir die Länge, nicht aber in demjenigen filr den Radiusvector bedeutend erscheint Eine ganz exceptionelle Stellung nimmt das mit *t bezeichnete Glied ein, da es keinen kleinen liitegrationsdiviaor er- hält, der Coefficient ist aber von der nullten Ofdnang; ans ihm entsteht die Variation.
Beschränkt man sich auf die angeführten Glieder, nebst den Constanten, und führt statt der mittleren Anomalien die mittleren Längen X, Z| ein, da der bisher festgehaltene Anfangspunkt (der Knoten) nicht fest ist, so wird:
Hieraus folgt, wenn man für die Gleichung 49 (5) das Qied \e^cos[L^—T^) noch weglässt, und die Diflferentialquotienten von Z, Z,, i^irj mit Z', Z^ bezeichnet:
«s
Wird der Coöfficient von — ^ in mit A^, der Coefficient von — ^ mit A^
bezeichnet, so ist
und es wird
BU da a>
Hiermit erhält man
wobei
') Das Doppdinlegrsl kann diese kleinen Glieder nicht crlialten, da jene Glieder, in denen / nicht im Argumente enthalten ist, in «Ctt vcnchwinden. B«i dei LAPLACS'scheii Methode ist dieses nicht so unmittelbar ersichtlich.
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Mednaik 4cs HiiMiMlt. 57. 441 lJt(»s{%i + ^) Cj H- 2C-I- * (1 -»- i; t X/) ^«^(-^ — X,) -
und die Diflerentialgleicbung^ wird
Es ist aber, da die Sonncnmasse in Einheiten der Erdmasse ausgedruckt ist
wenn \l das Verhähniss der mittleren sidensclien Bewegung der Sonne 7,u der- jenigen des Mondes ist. Für die Coefficienten von (r8r) kann man in erster Näherung k^a- '^ ~ L'^ setzen, indem das Produkt der in voi* dtr Excen- tricität abhängigen Glieder mit den Störungen in der ersten Näherung veroach- Ittsstgt» in zweiter Nflberung rechts beriickaichtigt weiden kann. Dann wird die Gleichung
-1- X'a(r6r) « — ^'lA cos{xt -h K), (8)
Die Integration lielert daher, wenn man durch dividirt, und mit dem rechts auftretenden Faktor k^a-^^L*^ Glied Air Glied multtpUcirt; wodurch nur Verhültnisse von mittleren Bewegungen auftreten >):
(^) * (0 ^ ^» -^'^ H- h^cos L't-i-
3 f (2Z' — Xi')Z'>
- K'(Z'-.n') - ^) - ^ (2Z, ' - u')(Z'- SZ/H-O '''^^^ -H
r>(5Z'- 3Z,') ^.-1
U; ^ c^^Zi )z, (2z - z/) ^^'<^ - A)J •
Multiplicirt man diesen Ausdruck mit
so erhält man die von der ersten Potenz der störenden Massen abhängige Störung dr bis einschliesslich Grössen von der ersten Ordnung der fixcentrici* täten.
Die bisher willkürlich gelassene Integrationsconstante C,, welche durch die Integration von <f ^ eintrat, kann so bestimmt werden, dass z\xhr kein constantes
^ b fat s. B. der CoefRdent der BveetioB:
" *'jr'>[Z,'«- CZ'-2Z/-HÖ^] ^ ~ *'(Z'-8 '-}-Ti')C/:'H-Z'- 2/:j'-j-«0(-^'— Z'+8Z,'^) •
& Mt: doch kann in der hier beibebaltenen N;
i1/ k
yfffqV'M. —> ist; doch kann in der hitr beibehaltenen Näherung v" vernachlttMigt werden.
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44« Uediuilk dcc Himndi. 57.
Glied hinzutritt; hiermit wflfde Ci » — S C folgen. Doch wiid eine andeie Besiininning iweckmissiger, weahalb die Constante vorlftufig noch beibehalten werden soll.
Die Int^grationsconstanten A,, A^, welche aus den Beobachtungen zu be* stimmen wflren, können gleich Null gesetzt werden. Ist nttmlich A^mzAsiM (L^ — Ä); A^ m (Z^ — JI^
so würde
//, Sit; L t ^ //, cos L't== h cos {Lq Lt^ H)^ h cos (X — H), d. Ii. H sind mit — ef, rt zu identifiriren.
Entwickelt man nun die einzelnen Glieder in 47 (8} und schreibt fUr den Coefficienten
1 a-^ 1 1
so erhält man mit Vernachlässigung von e^:
^ (-«0 - «r^" [-h 3 ^5^>^YzrX3Z'-4Z.') - +
_ Z'(5r-8Z.') _ 1
'UJ* z/(3Z'~Zi') '«»(^-A)J-
dr
Da ^ von der ersten Ordnung der Exceniricitäten ist, so wird innerhalb der hier gesteckten Grensen das erste Glied keinen Beitrag liefern; ans dem dritten Gliede entsteht» wenn wieder die mit $ oder multiplicirten Glieder ohne kleine Integrationsdivisoren vernachlässigt werden:
Endlich entsteht aus dem letzten Gliede
- J^JV ^/^^ = " [<^,-+- 2/c;ZV/ + I jAjQ sin 2(Z - Z,)
Vereinigt man die Ausdrücke von (10a), (10b)i (lOc^ so erhält man für die St<»ning in Länge:
ÄZ « la» |- (|Co+2C,) -/(I Ci -h 4C)Z'if/ H-
r (2Z' — z,')z' i. -^'^ 1 1 • /
(5Z'-4Z,')(3 ZCIiZ^) ~ * (Z'-Z/)» - ^ (Z'-Z,')J ?(^- A)
Z' *Z' ^ Z' ^ '
4- 2* fi«(Z— jt)-4- 9 i/«(Z— 2Zi4- n)— 3 ^ , im(Zi— «,)—
. Damit wird nun die wahre Mondlftnge X Z^ 4- Z'/ + Üfittelpunktsgleichung -h ftZ
«»[^ — (|Co+8C,)|ft«] -hZ'tl— (|C|-t-4C}]'+8^m(Z— «)-hperiod.Glicd. wo das Hauptglied der Mittelpunktsgleichung besonders angeschrieben ist. Be> stimmt man nun die mittlere Länge Zp und die mittlere tägliche siderische
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Ifechanlk det RfaBiadi. 57.
443
Bewegung Z' aus Beobachtungen, so werden diese die wahren, bereits um die Störungen corrigirten Werthc sein, daher wird man
zu setzen haben ^) oder C| « — |C, damit wird die Constante im Radiusvector
Ein wdteres, ans den Beobachtungen su bestimmendes Element ist die ExcentricttiL Diese kann aus dem grössten Gliede der Mittelpunktagüeicbung %ttm(Z — t) ermittelt werden. Dabei ist aber vorausgesetxt, dass der CoSfficient dieses Gliedes eben 2e ist; dann aber darf in kein Glied mit diesem Ar- gumente auftreten. Dieses ist nun nicht der Fall, im Gegentheil ist hier ein Glied mit sehr kleinem Tnte^rationsdivisor enthalten, welches aus dem Glied — \eafs{L — tc) in ü entstanden ist. Dass dieses Glied aber zum Verschwinden gebracht werden kann, wird in No. 69 gezeigt. Dann wird:
fr (2Z' Z ')£' Z'* Z' 1
(a\ . Z'(5r-8Z,-) . _ .\
Man pflegt (Itr den Mond nidit die Entfernung, sondern seine Aeqnatoreal- HorizontalparaUaxe anzugeben. Ist dieselbe so wirdi wenn p der Aequatoreal« balbmesser der Erde ist
sin p «■ — — r- ,
wenn man unter den elliptischen Theil des Radiusvectors versteht und die Störungen 8r abtrennt Dann wird:
r r. + ir r^\ rj
tm
Berttcksichtigt man nur die ersten Potenzen der Eaccentricitäten nnd Massen, so wird g^-i
««/ « ^ 1 1 — it) — - J
hr 1 ° Nun ist — = — j (^Q^r); es wird daher der Ausdruck (9) mit 1 2^ cos (Z — ic)
zu multipliciren sein, wobei aber die mit e multiplicirten Glieder ohne kleine
Integrationsdivisoren in der hier beibelialtenen Näherung wegzulassen sind. Weiter wird man die Integrationsconstan'.cn h^, und ebenso wie in SZ auch das zweite periodische Glied, welches von dem Ausdrucke — \ccos{L — tc) der Störungsfui,t:Liün lierrührt, weglassen, und dann gemäss der Bestimmung der Integratiünsconstanten Cj : C'j -4- 2 C— — \ setzen. Zieht man dann die sämmüicben Constanten (nicht periodischen) Theile der Entwickelung zusammen, so wird das
Produkt derselben in — ebenfalls eine Constante, der Sinus der mittleren Aequatoreal-Horizontalparallaxe des Mondes; für diese ist also:
+ ) = -^'''^o 0«)
und dann wird")
I) Wurde die CoBStante so bestimmt worden stiiii dass zu %r kein coniltntcs Gli«d hinsa- tlitt, «o würde eine Störung in der mittleren B«_'we<jung tlbrig bleiben.
*) Selbstverständlich ^inf? r?ie Cocfhcicnteii Kr periodischen Theile duich den gemein« ftcbaftlichen Faktor xu dividucn. i-ur die vorliegende Näherung kann dies unterbleiben.
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444
MedMoik des ISnndi. 57. 58.
Der Werth von ^) iit aus Beobachtungen zu bestimmen, und er ist nadi Hanbbn:
3422"-7.
ft& Integration der Differentialgleichung fttr die Breite. FQr die Stdniogen tn Breite hat man die Diflerentialgleichung
Iii -^1^"^ Ii' (1)
Es wird jedoch geocentriach nicht m, sondern die Mondbrdte beobaditeL Ist wieder die Tangente derselben gleich s, so wird
rs
z =
Es sollen nunmehr, da nur Glieder erster Ordnung der Meinen FMoneler beittcksichtigt werden, Kttrse halber sofort die Glieder sweiter Ordnung weg* gelassen werden, da der Gang für die BerQcksichtigung derselben ans dem frflberen ausreichend klar sein wird. Setzt man also
so wird:
dt* r dt dt'^ r dt^ r* ^ r ds' Nennt man den ungestörten Werth von /, also
so sind Sq und ds^ von der Ordnung der Neigung, also als Grössen erster Ordnung anzusehen. Für ist aber
'li^'^Tllitlii'^T^'lt^'^-Tf^^' ^^^^
Subtrahirt man die beiden Gleichungen (2 a) und (2 b), so folgt
dt~ ro dt) dt'^ ro dt \dt ~ dt)^\r^ rj dt*
r, \dt* " dt*)'^ V'*' ^t) "* Setit man hier s^s^-k-is, r » #-0 + Ar ein, so erhält man in der an- gegebenen Nüherung')
') Es muss hervorgehoben werden, dass in den Lehrbüchern der sphärischen Astronomie die mittlere Aequatoreal-Horigontalpanülaxe des Mondes durch sin mm ^- definirt wird. Sclbi^>
verstfindlidi iit diete Tcrdafaehcnde Voraussetzung, welche fUr die weiteren Entwidwkagen
imDierbin gemacht werden kann, nur richtig, w.nn die Mondbahn als krctsförmig vonuugeseClt wird, d. h. sowohl auf Excentricität als Störungen nicht Rücksicht genommen wird.
"*) Wobei jedoch noch aus den rechts mit hs multiplicirteo Gliedern die constanten Theüe CD dem CDeffidcMta Z'* gctogcn veideD nttnen; TsigL No. Mi
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MedtADik des HinuneU. 68.
44$
(4)
aus dem zweiten GUede 4- ~ ; das dittte und vierte Glied nnd su veiiiAchlftisigen,
der fUnfte Ausdruck ist ~ "rf/F*
der sechste Ausdruck « auf der tecbteo Seite kann man flir r Bchreibcn, and eiliäll daher
Es ist nun conlchst:^)
^ ^ " - 155- - - 'THT (1 3 ^ •)
— — ^ it.' sin i sind «)
— - Z » isin{Z — ft).
Weiter ist zu beachten, dass bei der Integration wieder die Nenner Z'* — x* hervortreten, welche nur merklich werden wenn das Argument des betrachteten Gliedes der rechten Seite X mit dem Coefftcienten 1 enthält.
Berücksichtigt man, dass die Hauptglieder in 8r und seinen Differential- quotienten Z enthalten, diese aber mit s ^ •= sin i sin {L — ß) multiplicirt kein derartiges Argument geben, so können diese Glieder ebenfalls wegbleiben; nur die Variation liefert einen Beitrag, indem das Produkt der trigonometrischen Functionen, deren Argument {L — A) ist, nebst deren Ableitungen, mit dem M» S(Z — ' Zj) in dem resuliirenden Argumente Z mit dem ColSffidenten 1 erhält. Beseicbnet man fllr den Augenblick Kflrse halber den Cotfificienten der Variation
(aZ' — 4Zt )(6Z' — 4Z,0 " ^*
so wird
8r » « ü tos 2 (X —
I ^ - - «(Z'-Z/)o sin 2(Z - Z,); J ^ — 4(Z'- Z/)«b ^« 2(Z - Z»)
die drei letzten Aasdrflcke geben daher den Beitrag
sinism{L — ft)[— 4(Z' — L^'y\> (os 2{L — Z,)— 3Z^D<rtfj2(Z — Xj)] -h 4 f w (Z — ft) (Z' - Ä') ( ^' — .^1 ') 0 2 (i^ - ^ , )•
') Es mass natürlich dasselbe Resultat aus M (8) hcnroigefacD} BOT ist SU beachten, dMi Jü ebenfalls von c abhängig ist. Es wird
^ - + *• 4f ;ä |j [(IÄ> - 0+ » ^ (&/f» - » Ä)] +
tmd da ftr s'hO 4er nach den eupfidte vofkoannciidcii « fenoninieBe Diffcrciitialqwiticiit: onll ist, und
\d»f ^ g// _ ^ —
istf so wird
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446 Mechanik des HijntneU. 6$. 59.
Löst man hier die Produkte auf, und betttckrichtigt nur diejenigen Glieder» welche in Argamente Zt mit dem Faktor I enthalten, ao erhAlt man:
[- 2(Z' - Z,')* - |Z'» H- S(Z'- ft')(Z'- Z|')]»j»i<x«<Z - SZj + A)
daher, wenn man in dem Ausdrucke
Z'*
Ä Z' o. Z •
Z'-Z/ -»--^t
seist,
(3Z^"4X, X^Z' - 4Z;') *«»**«*.(Z - 8Zi + ft).
Die Differentialgleichung wird daher:
-jji- 4- Z'««j = — Z '> u.^ ' J'« (Z — ft) -h
(3 a)
+ I Z'»,*t,«, v„__iJi^^^ - 2Z, Ä)
und daraus
Z'^ f
- (az'^a')A' - ft>
. . /-'V*(2Z'- Z/)(3Z'- Z/H- 4ft') w . o /
*(2Z'- 2Z| ft'X8Z,'-ft'XöZ'~4Z/X»-^'-^i') """'"^^
Eleroeotäre Glieder; Secularbewcgungen von Knoten und Perigeum. In den Gleichungen 57 (9). (11) und 68 (4) treten sweieiiei stark ver* gröaserte Glieder auf; in den einen wird die VergrOssening durch den Faktor
Z' 1
•jr-t — — bewirkt, so dass die resulUrenden Coefficienten nur mehr von der I*
Ordnung d. h. der Quadratwurzel aus der störenden Masse, sind; ausserdem
aber eine zweite Gruppe von Gliedern, welche im Nenner A' und n' haben.
Z* Z' I Die Verhältnisse — , > ^ sind aber von der Ordnung , so dass in diewn
Gliedern der Faktor jx^ ganz verschwindet, die Coefficienten von der nullten Ordnung der störenden Massen sind. Sie verlieren den Charakter der Störungen, und werden mit Gliedern der ungestörten Bewegung vergleichbar. Diese Glieder eihielten von GYLotN den Namen elementäre Glieder. Es können aber im weiteren Verlaufe auch Glieder auftreten, in denen nicht nur der Faktor im Zfthler verschwindet, sondern wo noch überdies« die störenden Massen in den Nenner treten: es entstehen hyperelementftre Glieder. Es ist sofort klar, dass eine derartige Entwickelung unbrauchbar ist, indem man es nidit mehr mit Näherungen zu thun hat, sondern die Reihen divergent werden.
Diese Glieder haben aber die Eigenschai^ dass sie aus denjenigen Gliedern der störenden Kräfte entstehen, die ausser Z noch oder tc, aber kein anderes Argument enthalten; denn nur dann kann (Z'* — x') — — x) ( // -+- x) den Faktor oder n' erlialten. Wenn man daher in den störenden Kräften diese Glieder zum Verschwinden bringen konnte, so würden eben auch die Glieder nicht auftreten. Hierzu giebt es aber ein Mittel, welchem nicht nur zu diesem Zwecke tauglich, sondern lür eine streng richtige Lösung unbedingt er* forderlich ist
Die Auflösung der canonischen Diül'erentialgleichung ohne letztem Gliede war, da hier |// =ss Z' ist:
A«ii(Z7-4- ZO «= ksm{l, -h H),
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McchMiik de* Himmelt. 59.
447
WO h und H di« IntcgntionBCOfittantefi sind. Für r wiid fk^^ t, JST ^ 90 * ~ r; der aus der Beobachtimg so bestimmende TheU — ^rtfi(Z s); lllr $ ist h ^ sin i, M — das betreffende GKed tm ism (Z ^ Sk)
Diese LOsung setzt voraus, dass Q, und n constant sind; es wäre dann nicht gestattet, bei der Integration der canonischen Differentialgleichung mit letztem Gliede diese Grössen als veränderlich anzusehen. Die Folge davon wäre aber, dass nunmehr jene Glieder, welche dieselben ArrTim cnte enthalten, und welche zur Entstehung der elementaren Glieder Veranlassung geben, die Nenner oo erhalten würden. Die Lösung der canonischen Difiereniialgleichung in der bisher benutzten Form setzt also geradezu voraus, dass in dem letzten Gliede kein Ausdruck mit dem Argumente (Z7 4- iST) vorkommt Wenn solche Glieder auftreten, so muss die Integrationsmethode geändert werden; dies ge> schiebt eben durch die Annahme eines veränderlichen
Es wird in der canonischen Diftmnttalgldchung sofort jenes Glied mit dem kritischen Argumente betflcksichtigt Dann wird dieselbe, wenn sofort X' fttr
geschrieben wird:
^ + Z' V ^fski^pt + Ä) (1)
und das Integral in der Form
y = hsin{L't-h H), («) wobei jeuL U, und der grobseren Aiigemeinheit wegen, sogleich auch /* als ver« ändttUch angenommen werden. Lässt sich die Gleichung (1) durch den Aus» druck (S) unter dieser Annahme befriedigen, so wird, wie man sofort sieht, die Integration der Gleichung mit letxtem Gliede su denselben Resultaten führen, wie früher, wobei aber die in den Argumenten K anfbretenden Grfissen H eben- fiills als veränderlich angesehen werden, d. h. wo in den Werthen der (x/ + K) in «/ die sämmtlichen veränderlichen Theile eingezogen sind, wie dieses in No. 49 geschah. Nur in diesem Falle werden daher die in 4M erhaltenen Resul- tate theoretisch richtig. Aus (2) folgt:
^ - hVcniJLU sin {Vi -^H^^htQt {Vi -^H)^
~Asia{Z'i+If) ^^^V ^^^*(XV-I- Setzt man dies in (1) ein, so folgt:
^ ^'-^ ^ ^ v!i] + ^ (^''
woraus sofort zu ersehen ist, dass in der Lösung (2) für H derjenige Werth genommen werden muss, der in dem kritischen Glied von (1) enthalten ist, und
*\-il)^^''^-Ji—3ü /
, d^H ^dh dH „ dk „ „
(S)
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44«
Mechanik des Himmelt. 59>
g^ietst werden muts. Wird nun xunflcbst «ngenoimneii, dats k constesit ist, so werden dmns die Gleichungen folgen:
ät) ^ dt
*^=0. (5)
Die zweite Gleichung giebt: wo und Hl c<Miatant nnd. und dieses in die erste substituiit:
4- 2L'M^ - 4
wo das obere Zeichen zu nehmen ist, wenn die Veiinderlichkeit von B als klein vorausgesetst wird. £s wOrde daher
ir,-r(|/i-^_i) (7)
oder wenn / gegenüber hV^ nur klein ist: In dem vorliegenden Falle ist:
1) Fflr die Gleichung 67 (8) mit der Besiehung (7 a), da ^-J-r«,(i-.). (^)'-l-S««(Z-.>
4 — — Ä^— 90» — »; /= -ä-i -r'fi H- 2f~"i?) /?. *
ifff
Hier tritt allerdings rechts noch ^ « ic* auf; vernachlässigt man es gegen- ttber Z', so wird
% = ^V>L\ (8a) 8) Für die Gleichung S8 (da) ist:
da
dt
^--iZV*. (8b)
Die Ikdinpiing des Versrhwindens der elcmeniären Glieder giebt also soioit eine Bestimmung flir die Bewegung der Knoten und Apsiden.
Die in No. 57 und 58 erhaltenen Ausdrücke geben die Störungen, die von der ersten Potenz der Masse herrühren. Setzt man diese in die rechte Seite der StöruB^anction, so werden neue Ausdrücke entstehen, die aber, da fi den Faktor pb* ha^ mit multiplicirt auilreten. Bei der Beiticksichtigung der dritten Potenz | der störenden Massen tritt noch j»* hinsu, so dass also eine nach Potenzen von i yfi (d. i. der störenden Masse) geordnete Reihe erhalten wird; da it* nahe j\% 1 ist( so werden die aufeinanderfolgenden Näherungen als convergent angesehen werden können, insolacge nicht durch das Auftreten von kleinen Integrations^
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Mcehuik des Hinnnel« A9. 60.
449
divisoren diese Convcrgenz gestört wird, eine Erscheinimg, die nun aber nicht vermeiden ist. Die Entwickelungen können vollständig numerisch , oder analytisch geordnet nach Potenzen der kleinen Parameter oder geordnet nach Potenzen von fx^ durchgeführt werden. Dem Wesen nach ist dieses die Methode von Laplace, welche auch mit mehr oder weniger bedeutenden Modifikationen von Plana und Damoiseaux verwendet wurde. Völlig consequent hat z. B. PovTicovLAMT die Entwickelangen nach Potenzen von |&* voigenommenj dabei aber auch die Nenner, welche X' — iL^' ^ L'{\ — iy) entfialteo» nach stdf en- den Potensen von |i. au^elöst (wodurch auch Ungerade Potenaen auftreten), ein Vorgang, der jedodi vom Standpunkte der Convezgens der Reihen als.nidit sa- lüssig erklärt werden muss.
60« Secuta rac c e 1 e rati on. In Gleichung ft7 (1 1) f&r die mittlere Lloge trat das Integral auf:
- ^^f(iC,-h4C)L'd/,
in v\-elchem die Integrntiorisiijnstante so bestimmt wurde, dass L' die aus den Beobachtuneen folgende mutlere Bewegung reprascniire, d. h. dass dieses Integral verschwinde. Die Grösse C ist aber nicht voüig constant; sie ist nach 56 (ö), abgesehen von Gliedern 4. Ordnung:
und da die Kxccntncitat der Erdbahn nicht constant ist, sondern einer secularen Veränderung unterliegt, so wird C als variabel angesehen werden müssen. Setzt man, da die Excentricität der Erdbahn abnimmt:
so kann C| als Integrationsconstante nur so bestimmt werden, dass der constante Tbeil der unter dem Integral befindlichen Summe verschwindet; der von / ab- hängige jedoch muss stehen bleiben, so dass dieses Integral in
+ ^*jB€ii'>UiUrdt^ +fir,(«)*i'Z>«/» (3)
übergeht. Dieses Glied ist sum Ausdruck 67 (12) hinzuzulegen, es giebt die Secularacceleration des Mondes.
Der Coerficient / in Gleichung 59 (1) ist aber ebenfiüls von ef abhängig. Schreibt man:
/=/,+/.V. (*) so werden jetzt die Gleichungen (9 (4):
.</»Ä ^dh dH „ dh ,, ^ ^ '
'•-dn^^diHt+^ü^-'*
und man sieht, dass die Gleichungen 59 (5) wegen der VeränderÜchkeif von / nicht erfüllt werden können. Daraus folgt, dass auch h veränderlich angenommen werden muss.
Die zweite Gleichung (5) lässt sich schreiben;
d^H dh dt^ ^ dt
-T--0;
^ ^ dt
deren Liteigration Uefert
log H- -j- 2 Ä»^ A - kgc*V (6)
oder
Valu<tii> IX, AfUonoiaic II.
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450 Mechanik des Himneb. ISO.
WO € die Integratignsconstante ist. Hieraus ersieht man, dass die VerXnderiich*
d Ü
keit von h jeden&lla eine sehr geringe iat| da gegenttber L id» klein ist; mm kann demnach auch
selten. Sieht man daher m der eisten Gleichang (5) von dem svciten Difleien- tialqnotienten von h ab, so folgt;
oden wenn der Nenner entiHckdt wird:
Eine Nlherung wird, wie unmittelbar ersichtlich, und auch aus 69 (4) folgt:
ab genaueren Werth erhalt man:
dB \ 1
oder, wenn man die dritten Fotensen von / vemachUssigt^ und tf^gW* — S^(%// einseut:
dB ( 1 1 ^ ,\
dt
siz' A +
Es werden daher auch dei Knoten und das Pcrigeum der Mondbahn einer Secularvariation unterliegen. Überdies aber auch h veränderlich sein. Der Werth von h wird nämlich:
Schreibt man daher
H^H^-^HU^H'U^', h^h^-^Ki, (IIa)
so wird
*o = <-+-42^</i+/s^f>'); ^--i-^/»-
Damit wird nodi
(Hb)
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Meefaaaik des HimmeU. 60. 61.
45»
welcher Werth in (11 a), (IIb) ei&xusetzen Wäre; doch wiid Air die Torliegende NAherung ausreichend
wodurch die Resultate für die Bewegung von ü und k mit den in 69 (8a), (8 b) erlangten identisch werden. Um «Ue Secnlarvariationen su erhalten sei: 1) Der Co«ffident von e^iZ — «) in S7 (5):
so wird in erster Nftherung pi^l tmd weiter (vergl. pag. 448 den Werth von /): demnach der Coiifficient von /* in dem Ansdrucke fOr «:
S) Sei der Golifficieni von (Z — A) in <8 (3a): Z*^yk*sm i{p^ + qt*f\ 80 wird in erster Näherung ebenfalls ^1 « 1 sein, tmd
/j ^ — Z''}fc*iM I ^j, B JMS I
demnach der Co^fficient von in
Vergleicht man die Coclficienten von in den Ausdrücken (6), (Uc), (Ud), so findet nch
dHZ d*a
6L Andere Formen der Entwickelung* Dslaumay, Airy, Hahbin. Obgleich die Entwickelung der periodischen Störungen nach diesen Piincipien an und ftlr sich keine analytischen Schwierigkeiten darbietet^ so erfordert die- selbe praktisch eine sehr grosse Aufmerksamkeit, damit nicht ein oder das andere merkliche Glied ubergangen werde. Thatsächlich sind die bei den Untersuchungen verschiedener Forscher auftretenden Unterschiede in den Coefficienten einzelner Glieder dem Umstände zuzuschreiben, dass bei der Berechnung derselben einzelne Comliinrifionen von Gliedern, deren Produkte zu einem gegebenen Ar5i:umente gehören und merkliche Resultate geben, Übersehen, oder als unmerklich übergangen wurden. Um diesem Uebelstande vorzubeugen, hatte DEi AUNAvdie Entwickelungen nach der folgenden Methode durchgelürt: Bei der Integration der Differential« gleichungen wird von der Störungsfunction zunächst nur ein einziges Glied berück- sichtigt; dann lässt sich die Differentialgieichung in einfacher Weise tntegriren, und man erhält, ohne eine specielle Annahme Uber die Form des Integrals au machen, dieselbe durch die Entwickelung der Störungsfunction direct bestimmt. Redudrt man in erster Näherung die Störungsfunction auf die Anaiehung des Central" körpers, so erhält man die ungestörte Bew^ng mit den sechs Elementen als Integrationsconstanten. Man kann nun, nach der Methode der Variation der Constnnten, diese als variabel betrachtend, die ganze Störungsfunction oder einen Theil derselben berücksichtigen ; im letzteren Falle, wenn an Stelle der Störungs- funciioD fi ein Hauptglied W berücksichtigt wird, erhält man die Elemente in
a9*
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45«
Mediuiik des ilunncli. €1.
der Form + E\ wo E* von dem Gliede ü' in der Störungsfunction herrührt. Substituirt man an Stelle der Elemente ihre Werlhe -4- E* in die Störungs- function, so wird diese geändert, denn das berücksichtigte Glied wird, der Be- stimmung von gemäss verschwindeo, während die übrigen, noch nictit be» rQcksichtigten Glieder in Folge der Correctioo gciaderte Wertbe erhalten. Sei die neue Entmckelung Bj, »o wird nuin die Integrationsconstanten der letxten Integration, welche wieder mit bezeichnet werden können, nenerdings «Ii variabel ansehen, und so bestimnen, dass ein weiteres Glied fi" von fi|, etwa das Haiiptglied dieser Entwickelung, berflcksichtigt wird. Dadurch werden Störungen auftreten, so dass die Elemente E^ •\- E^ -\- £" sein werden. Substituirt man diese Werthe in 2j, so wird der Bestimmung von E" gemäss das berücksichtigte Hauptglied verschwinden, und üj durch die geänderte Ent- wickelung fi^ ersetzt, mit welcher in derselben Weise zu verfahren ist. Auf diese Weise werden nach und nach alle Glieder der Störungsfunction berück- sichtigt, und wenn man dafür sorgt, dass immer die üauptgiieder mitgenommen werden, so werden die aufeinanderfolgenden Correctionen JS', £*', £*** . . . und daher auch die in Q^, auftretenden Zusatzglieder im allgemeinen
immer kleiner.
Auf die weitere Ausführung der Metbode kann hier nicht eingegangen werden 1); die Methode ist, wenn auch nicht schwierig, so doch mit bedentcnden
Weitläufigkeiten verbunden, die übrigens nach Maassgabe der zu berück- sichtigenden Glieder, gerade so, wie bei anderen Methoden, unverhältnissroässig anwachsen. Ks ist allerdings möglich gewisse Gruppen von Argumenten zu- sammenzufassen, ohne dass dadurch die Integration erschwert wird, und daiinrch das Verfahren wcsenilicli abzukürzen; nichtsdestoweniger musste Dti-AUNAV bei den späteren Operationen, wo die kleineren Glieder in sehr grosser Zahl auf- traten, gewisse Vereinlacliungen vornehmen, und trotz des ganz ausserordent- lichen Aufwandes von Arbeit kann man schliesslich praktisch nicht constatiren, ob die vernachlässigten Glieder nicht thatsächlich merkliche Werthe erreichen. Um hierüber Gewissheit zu erlangen, mttsste entweder die DsLAUKAv'sche Methode auf die von ihm vernachlässigten Glieder erweitert werden, d* h. die Grenzen für die zulässigen Vernachlässigungen mttssten wesentlich weiter gesteckt werden, oder aber die erhaltenen Coöfficienten mflssten in andeier Weise derart corrigiit werden, dass sie den Differentialgleichungen der Bewegung genügen. Der erstere Weg wtlrdc unzweifelhaft neuerdings eine grosse Zahl merklicher Glieder mit Argumenten ergeben, welche Dklaunav selbstverständlich nicht mehr erhielt; die letztere Methode könnte nur die Correctionen der Coefncienten derjenigen (iliedcr liefern, welche von Dei.aunav gefunden wurden. Bei der Durchführung dieser Arbeit entschloss sich Airy (»Numerical Lunar Theoryc) für den zweiten Weg, welcher, obswar selbst noch sehr umfangreich und mühsam, dennoch der kürsere schien. Airy ging von den Diflerentialgleichungen 10 (C) (in einer unwesentlich geänderten Form), aus. Zu den aus der DELAUNAv'achen Theorie folgenden gestörten Werthen der polaren Coordinaten werden die Coefficienten je mit einer unbekannten, zu suchenden Correction versehen, so dass an Stelle des Gliedes asinArg oder a^' cos Arg ein (ilied {a + öko) sin Arg bezw. (0* ^a') fos Arg angenommen wird. Diese Werthe werden in die störenden
Fttr — , crhilt er dicfclben, naeh ^ geordneien Rcüicd, wie lis io No. tt
gegeben sind.
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Mechanik det Hinioeh. €1.
453
Kräfte eingeführt, und die Heihen numerisch multiplicirt. Weiter werden die in den T^ifferentialgleirbungen auftretenden Combinalioncn der Difi'erential- quonenten aus Hen lur <'ie polaren Coordinaten gegebenen Reihen abgeleitet, und durch Gleichselzung der bezüglichen Werthc lineare Gleichungen lur Be- stimmung der unbekannten Correctionen abgeleitet.
Ohne in grössere Details einzuüeten, muss doch in Kürze eines sehr verdienst- vollen Veisache« von WnuR Erwähnung geschehen, die Störungen durch die Integration der geschlonenen Ausdrücke fttr die störenden Kräfte (ohne Reihen- entwickelungen) zu erhalten. An Stelle derselben tritt dabei eine Reihe von partiellen Integrationen, welche so angeordnet werden, dass der au integrirende Theil der partiellen Integration gegenüber den bereits integrirten von höherer Ordnung der Kleinheit wird, indem die kleinen Parameter als Faktoren auftreten^).
Auch muss hier einer sehr interessanten Arbeit von Boklin (Astron. Nachr. No. 2882) Erwähnung geschehen, der die Schwierigkeit der auftretenden kleinen Integrationsdivisoren durch Zurückführnng der Differentialgleichungen auf partielle zu umgeben sucht. Ad Stelle der DifferenUalj(leichuDg
tritt die partielle Differentialgleichung
wo Ktirze halber n^n't gesetzt ist. Ist das Integral dieser Gleichung
- i (J,C iC?o'«» ^Oiism (iC - 7»). (3) so erhält man zwei Integrale von (l):
+ i)» + J^.«(.>-,».)-o.
Das Integral von (2) kann aber durch das Eintreten von willkürlichen Functionen «=0 bestimmt werden, dass kleine Integrationsdivisoren nir]:t auftreten. Hingegen tritt nn deren Stelle eine Reihe von partiellen Differentiationen nach C, bei welchen stets ganzzahlige Cocfficientcn als Faktoren auttreten, so dass es aus diesem Grunde jedenfalls tvertrüht wäre zu behaupten, dass die erhaltenen Reihen convergent sind«
Ueber die HANSSM'sche Methode genügt es hier auf das in No. 51 und 52 gesagte hinzuweisen. In der Methode völlig identisch, tritt ein Unterschied nur dadurch auf, dass auf die Bewegung des Perigeums des Mondes schon in den Differential' gleichungen Rflcksicht genommen wird. Es wäre in 51 (S) : / ic« 4> ic' /
zu setzen, wodurch in den Difierentialquotienten von n' abhängige Zusatzglieder aulb'eten. Die Störungsfunction wird für den Mond nach den Cosinus der mittleren Anomalien vorgenommen, da hier mit Rttcksicht auf die kleinen Exccntriciiäten
') Vcrf^l. «. a. a. »Astr. Nachr. 2515/6, 2768 und 3307.. In der Praxis wcrdoii jedoch die Resultate so verwickelt (vergl. A»tr. Nachr. No. 2611), dass sich ihre Anwcrdung Itaum als fruchtbringend erweist ; ob die Ursache davon lediglich die von Waiua an^'c^^cbenc, in der WsU der baden wahren AnosMlicn als AiKumente gdagcne iil, bleibt nadi den sfdUeren UiBtcnndiongcn Wmaa's immerhin fraglich. Ueberdies ist sowohl theoretisch wie pmktisch keineswegs der Beweis eibncht, dass die Entwickelangan conveigent sind.
*} L c. pag. 34.
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4S4
Mcelmik d«s HimmelB. 61. 69.
sich einfachere EntvicVelungen ergeben; endlich ist zu erwähnen, dass Hansen die Auflösung der Integrationsdivisoren in Reihen, die nach steigenden F'oten-en von fortschreiten, als eine der Hauptursachen der mangelhaften Convergenz der Resultate, unterlässt.
62. Die Secularacceleration des Mondes. Für den numerischen Werth der Secularacceleration des Mondes hatte Laplace 10" angegeben Dieser Werth wurde auch von Plana und Damoiseaux bestätigt gelunden. Aikv land anfangs denselben Werth; bei seinen spateren Untersachungen den beträchtlidi grösseren von IS". Die von Hansen gefundenen Wertbe weichen von einander um ca. 1" ab und bewegen sich zwischen ll"-5 und lS"-5.
Der Coeffident des Integrales ft^^^e^ tJÜ ii ist nach Formel 60 (8) Sp*. Dieses ist natürlich nur ein erster Nftherungswertht das Anfangsglied einer Rdhe^ welche nach Potenjten von ^ fortschreitet. Nach den Entwickelungen von Plana und Damobbaux ergab sich der Coefficient
ein Werth, welcher auch von Hansen nach seiner Methode bestfttsgt wurde. Derselbe ergab sich jedoch in Folge eines Fehlers in der analytischen Ent- wickelung, den zuerst (1853) Adams*) corrigirte. Die von Pijina, Damoiseavi und Hansen gemachten Vernachlässigungen Ias<>en sich nach Adams dahin präcisiren, dass der Einfluss der Veränderlichkeit der Exccntricität der Erdbahn auf die Tangeniialbewegung, also auf die Flächengeschwindigkeit, nicht berück- sichtigt erscheint, und nur die in l'olge der veränderlichen Kxcentricität der Erdbahn auftretende Variation der störenden Kraft in der Richtung ries Radius- vector in Rechnung gezogen wurde. Unter Berücksichtigung sammüichcr bintlu^e
erhielt Adaiis
Der Unterschied betragt in dem CoSificienten von /> mit den numerischen Werthen von /jW, V und i*:— 1"-66*).
Plana und Damobiavx erklärten jedoch die Methode von Adams fttr in- correkt, und als Delaunav im Jahre 1859 in der Pariser Academie der Wissen- schaften die von ihm auf einem ganz anderen Wege erhaltenen mit den Adaiis> schen Übereinstimmenden Resultate mitthetlte, war es in erster Linie PoNTticovLANT,
Die numerischen Weithr der Störungscoefficientcn sowie der SecuUracceleration des Uopdcif scinei Knotcni und Pengemi» kOnnen miis den Ponneta in No. 19 and i9 keineswegs eriMlIen «crdea. Die daselbst ToigcnommcncD VeraacUbiigatigeD sind vid sn criicblieh, «b dies die RcsultAte der numerischen Rechnung auch nur cinigermaassen auf Richtigkeit Aa^rnch
erheben kannten. Schon die Mitnahme der zweiten Potenzen der ExcentricitHten, um so mehr aber die Berücksichtigung der zweiten Potenzen der Massen würde die Coefhcienten wesent» lieh verändern. Es muss besonder« hcrvorgehuben werden, dass hierbei die analytischen Opciationev nur sur Aodeutuiig des Weges dienen, denn ohne diese Darlegung irttrde it* Attfticlen von ckncntlbctt Gliedera, das W^diaffen detselbeD, die Beslimmoiig der Vcriliidnangen in den Apsiden und Knoten aus den DifTerentialgleichungen für die polaren Coordinaten wohl kaum verständlich gewesen sein. Andererseits aber fallt die vollständige Theorie der Mond- bewegung nicht in den Rahmen dieses Werke«; Wenn an anderen Stellen auch numerische Beispiele gegeben sind, so ist dieses immer nur dort, wo die zulässigen Vernachlässigungen u. s. w. nickt ttbcfschritten sind. Da dieses beim Mondfe flir die Ableitung der nameriscben Werdie nicht ab saticfleDd gelten kann, so wurde auch von den niuacdscben SobsthotioBea I Abstand genommen.
') Philosophical TransactioDS, Band 143, pag. 397*
*) 1. c pag. 405.
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lleebMiik dts Himmels. St, 45$
welcher für die Richtigkeit der älteren Werthc eintrat. Adams hatte inzwischen seine Untersuchungen fortgesetzt und fUr A den Werth erhalten^).
^ - » I»' - W I** - HP - - i^iP I.' + f ^' «• - f I.' 7»,
WO e die ExcentridtiU und t die Tangente der Neigung der Mondb«bn gegen die Ekliptik bedeuten. Numerisch entwickelt gab dieser Werth für den Coeffi- denlen der Seculamccelention 6"'78f also Cast die Hälfte des älteren Werthes.
Die aosgedelmtesteD Untersuchungen hatte aber Dslauhay nach seiner Methode voigenommen, welche ihm den folgenden Werth ergaben*).
iUt' + - W T* - ^ ^> ^ 27t« ei + 675 . «)
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i
Für die Coöfßcienten des obigen integrale:» in den Aubdrucken iür die Secnlarbewegung des Perigäums (B) and des Knotens (C) erhielt Delaunay*)
fiUm 8043 „9 476743 2126949 54936 IS93 375
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_ /«TS _ 708» , _?W22^«\^4 _ 1«Z2 _ 18^0991 „ e !» « s fl . Vliö 512 T 64 ' /'* W »* :M576 ^64** ff «
Die Ausdrücke, welche Plana und liA iorsEAux hierfür erhielten, waren von diesen nicht sehr verschieden; Plana erhielt die Glieder mit ji^, ja*<?', fi'<?i*, jx* 7', ft\ fA'*"*, fi'^"!*, jji'l* denselben numerischen Coöfficienten, ausser
diesen noch die Glieder
• p. 61-55 4 1811049 „$
• 9(85 ..4 74601 .. t
Der Einflass der Veränderlichkeit der Flächengeschwindigkeit auf die Secular- bewegung des Knotens und des Perigeums ist also wesentlich geringer als auf
die Secularbewegung in Länge.
Schon im Jahre 1853 hatte aber Airv*) und 1860 Hansen') gezeigt, dass die historischen Finsternisse (die Finsternis des Thales im Jahre — 584, des Xerxes — 480, des Ennius — 399, des Agathokles — 309, endlich die Finsterniss von Stik-lastad 1030) mit einer Verkleinerung der Secul aracceleration nicht dargestellt werden, und eher eine Vergrösserung derselben
■) Cempt fcnd. Bd. 48, p«g. 24? und 8S7.
Compt rend. Bd. 48, pag. 817.
•) Compt. rend, Bd. 49, ])ag. 309
*) Philotophicai Traiuactions Bd. 143, pag. 179.
*) Compt rend. Bd. 50, pag. 455.
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456
Mechanik des Himmeb. 62.
«r fordern. Dieses bestimmte auch Levkuiir sa der Meinung, dass die Rechnungen von AoAiis und Dxlaumay fehlerhaft sein mflssleo; der Streit wurde in der französischen Academie — oft sehr persönlich ~ geftthrt Hansen blieb lange bei seinen theoretisch gefundenen Resultaten stehen» gab aber später die Richtigkeit der ADAiis'schen und DELAUNAv'schen Resultate zu, wobei er aber praktisch den grösseren, empirischen Werth beibehalten zu müssen glaubte* durch weldien die historischen Finsternisse dargestellt werden, und Delaumay vertrat schon damals die Ansicht, dass die Abweirlninp; der auf theoretischem Wege erhaltenen von dem aus den Beobachtungen geiolgerten Wcrtbc irgend einer bis dahin noch nicht erörterten Ursache zuzuschreiben wäre.
Im Jahre 1865 glaubte er diese Ursache, oder wenigstens eine dieser Ursachen in der Wirkung der Ebbe und Fiuih gefunden zu haben Die Wirkung Ulsst sich kun folgendetmaastn erörteni: Der Mond wird an der ihm zugewendeten and ab- gewendeten Seite in der Richtung des RadiusYectors des Mondes eine Anschwellung der Erde erzeugen; diese wird sich aber im Sinne der tiglichen Drehung weiter- bewegen. Wenn sie stabil bliebei so wOrde sie an der dem Monde zugewendeten Seite vom Monde stiiker angezogen als der Erdmittelpunkt, an der abgewendeten Seite schwächer, so dass ein Drehpaar entstehen müsste, welches immer eine Drehung der Erde gegen den Mond zu, also entgegengesetzt der täglichen Bewegung erzeugen wllrde; dadurch müsste die Drehung der Frde verlangsamt, der Tap etwas länger werden ; in diesem nach und nach immer länger werdenden i age würde der Mond immer grössere Strecken beschreiben, so dass also, reducin auf die als Einheit angenommene Tageslange, der Mond sich immer schneller zu bewegen scheinen muss. Diese Anschwellung ist nun allerdings nicht stabil, sondern wird vom Monde in der Richtung des Radiusvectors stets neu erzeugt; aber da sie in Folge der stetigen Zusammenwirkung der Mondanziebung und Eidrotation immer etwas in der Riditnng der Erdrotation vorgeschoben ist, so wird an der Art der Wrkung nichts geändert» nur wird die Grösse derselben wesentlich vermindeit. Bald darauf hatte Bbrtrakd*) bemerkt, dass diese Anschwellung auch eine Reaction auf den Mond, eine Anziehung auf denselben und darauf erfolgende Verringerung seiner Bewegung erzeugt, wodurch aber nur der numerische Werth
etwas redncirt wird.
Eme andere Ursache, welche eine Acceleration in der Bewegung; er/cuL^t-n kann, wurde 1884 von v. Oppolzer in dem Niederschlagen von kosmuschem Staub auf die Erde angegeben^). Die Wirkung derselben ist eine dreifache: 1) Durch Vergrösserung der Massen der Erde und des Mondes wird die Be- wegung beschleunigt. Ist:
so wird zur anziehenden Kraft ~| die störende Kraft in der Richtung
des Radiusvectors iP, s« — — ^— -j 1 hinzutreteui welche in der mittleren
Lftnge eine Störung erzeugt, die durch die Differentialgleichung
dt ^ '
bestimmt ist^ so dass
') Compt. rend. Bd. 61, pag. 1033. *) GDmpL icnd. Bd. 62, pag. i6a. *) Astrmu NMhr. Bd loS« p«g. 67.
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Mechanik des Himmeb. 62. 457
wird^). 2) Durch den Massenzuwachs der Erde wird die Rotationsgeschwindig- keit derselben vermindert. Nach dem Princip der Flächen muss nämlich das
Produkt der Masse in die Rotationsgesdiwindii^keit cor^stant sein, wobei aber für die Masse, da man es mit einem rolirenden Rör[)er zu thun hat, die diesen in der Entfernung 1 von der Rotationsaxe ersetzende Masse, also das Massen- moment K gesetzt werden muss; es ist also:
demnach
ätß^ — ^ dK,
Fttr die Kugel ist das Massenrooment ^ttf^h, daher dK « | « 8, ^p,
wenn die Dichte der Erde, 8^ die Dichte der abgesetzten kosmischen Massen und f der£rdradiu8 ist Lagert sich im Jahrhundert eine Schicht von der Höhe h ab, und nimmt man die Dichte des kosmischen Staubes gleich derjenigen der Erde, so wird in / Jahrhunderten eine Schicht von der Höhe ht angesetzt, demnach ist = ht dt
P • P •
Dieser Verminderung der Rotationsgeschwindigkeit entspricht eine Ver-
längerung des Tages um — und in dieser Zeit legt der Mond in seiner Bahn
4.
das Stück JJ zurück, so dass die hieraus folgende scheinbare Beschleunigung
•0
seiner Bewegung
P
ist. Endlich wird 3) durch den Widerstand, welchen der Mond in einem wider- stehenden Mittel tindet, ebeniailb cm Üccuiarglied von der Form dZj = a/* entstehen; die Gesammtbeschleunigung wird daher
Durch die Substitution dtr numerischen Werthe erhielt v. OppoLztR
= -4- 1"-8I /^/',
wobei /[ in Millimetern, / in Einheiten des Jaiiriiunderts auszudrucken ist. Es genügt daher, um den Unterschied zwischen dem beobachteten und theoretisch bestimmten Werthe zu erklären
h ^ 8'S mm im Jahrhundert
anzunehmen.
Der hiergegen gemachte Einwurf, dass das hierfür erforderliche Quantum
kosmischen Staubes viel grösser wäre, als das wirklich beobachtete, ist ungerecht- fertigt; denn die beobaclitete Niedersclilagsmenge ist durchaus nicht zu ver- wechseln mit der thatsächlich erfolgten; zu den beobachteten gesellt sich noch jener Massenzuwachs, welcher durch die in der Luft stattfindenden Verbrennungen von Meteoren u. s. w. in nicht controUirbarcn Mengen erfolgt, und die weitaus grösser als die beobachteten sind.
<) Eine genauere Unteisuchaag dic«es TbeUet der Sttfrong GvLDiN in den »Astroa. Nacht « Bd. 109, pag. i.
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Meehaiiik de« lliauneb. 6i< 63»
Anrli bei der Bestimmung der numcriachen Werthe der %'on Delaunay an- gegebenen \S irkung muss xnaii gewisse Voraussetzungen über das Gesetz der Dichte in der Erde machen; überdies ist hier nicht £u übersehen, dass dorch die Querlagerung der Continente die Wirkung der Anschwellung wesenütch ge- ändert wird, und sich der strengen Rechnung beinahe ganz entsieht. Ueber- haupt ist man bei derartigen numerischen Rechnungen immer auf gewisse Hfpoäiesen oder vereinfachende Supposidonen, welche an Stelle der strengen Gesetze treten, angewiesen, und es ist ganz wohl denkbar, dass nicht eine dieser Ursachen allein, sondern irehrere zusammengenommen wirken, um einen gewissen Efiiekt zu erzielen.
Secularandcrungen in den Elemenien müssen aucii entstehen, wenn die Schwerkraft sicli nicht momentan foriptlan^t. Diesen Umstand hat schon Laplack in Rechnung gezogen unter der Voraussetzung, dass die Schwerkraft sich durch em Jbluidura (Fluide graviUque) fortpflanzt; neuerlich wurde diese Frage von einem anderen Standpunkte aus von LcHHAiiH-FiLHts') erörtert. LiHifAiiN>FiLiuts kommt zum Resultate, dass die Störungen um so bedeutender sind, je grösser die mittlere tägliche Bewegung und die Excentricität sind; unter den Planeten wird daher die Wirkung am bedeutendsten beim Mercur hervortreten; allein die bei diesem beobachtete anomale Bewegung des Perihels llisst sich nach Lbbuamn« FiLHte lücht durch diese Ursache erklAren.
68. Bestimmung der Ungleichheiten aus Beobachtungen; parallactische Ungleichheit; die Wirkung der Abplattung des Centraikörpers. Von den periodischen Gliedern hat, wie bereits erwähnt^ das
Haup^lied der mit dem Colifficienten behafteten Reihe eine wichtige tbeofctische
Bedeutung. Dieselbe ist [vergL Ö7 (12)J;
- ^ J5*ji3e (Z - Z,).
Aus einer grossen Reihe von Beobachtungen lässt sich aber der CoefBcient N
der I.ängenstörunpj N sin {L — L^) ermitteln. Es wird Hier nicht unnöthig über die Bestimmung der Coelficienten aus den Beobachtungen emiges zu erwähnen. Angenommen, man habe auf irgend eine Weise gefunden, dass sich eine zu beobachtende Grösse in der Form
X — ö' sin (a' / + a" sin (a" / + A") + a'" sin (a " / + ^'") -f .... —
^ ~H ^ ~\~ > . • .
darstellen lasse. Inductiv gelangt man zu dieser Erkenntniss dadurch, dass man zunächst die Periodicität der Erscheinung X erkennt, damit die Dauer ihrer Periode und die Bewegung i' des Argumentes in der Zeiteinheit, aus der Amplitude derselben den Coelficienten a' und aus dem Werthe zu einer gewissen Epoche den Werth von A' ermittelt Ueberwiegt das eine Glied, so wird man unschwer den analytischen Ausdruck X* oder eine dasselbe reprisentirende Formel (Epicykel) finden. Bildet man X — X\ so ergiebt sich ein regelmlssiger Verlauf des Restes, aus dem man neuerlich einen periodischen Theil JT" ausscheiden kann u. 8. w. Dieser Weg bei der empirischen Bestimmung der Ungleichheiten wurde ursprünglich verfolgt (veigl. hierüber die »allgemeine Einleitung in die Astro- nomiec, pag, lo, 36, 36, 59, 68, 89, 119). Ist jedoch die Form der Entwickeluqg (die Argumente) durch theoretische Untersuchungen bekannt, und es handelt
*) Attran. Nftchr. Bd. 1 10, No. 2630.
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HedMnik d« Himmels. 69.
4S9
sich nur um die empirische Restimmnnp; der Constanten a' , A' , a", A" .... so können diese aus einer grossen Zahl von Beobachtungen durch lineare Gleichungen ermittelt werden. Schreibt man
X = a' COSA' sin a' / + a' sin Ä cüs a' t-\-a" cos A" sin a"/-|- a" sin Ä' cos s" / -t- . . .
so gfiebt jede Beobachtung eine lineare Gleichiinp; in den Unbekannten a cos A', a' sinA', a"cosA'', a"sinA", .... Sind mehr Beobachtungen als Unbekannte so werden die letzteren so bestimmt, dass üicii die Reihe den Beobachtungen roöghchst anschliesst (nach der Methode der kleinsten Quadrate). In Folge der unvermeidlichen Beobachtungsfehler werden in der Differenz
X—{X'+X" + X'" + . . .) bei Berücksichtigung aller mitgenommenen Glieder noch gewisse Fehler übrig bleiben. Zeigen dieselben einen unregelmäsüigen Gang, so werden sie that^ächlich den unvermeidlichtn Beobachtungsfchlern entsprungen sein; zeigt sich hingegen ein gesetzmüssiges Verhalten (einseitiges Ansteigen oder periodtsdies Ansteigen und Fallen)» so wird man daraus schliessen können, dass die angenommene Reihe unvollständig war und durch Hinsufttgung eines weiteren Gliedes jf(OT) SB nU«) cfis (aH / + i^)) eine bessere Uebereinstimmung er»elt werden kann. Auf diese Weise bat Bürg in der Längenbewegung des Mondes ein Glied mit einer Periode von nahe 180 Jahren gefunden, dessen Coefficienten er zu 18"'8 angiebt. BuRCKiTART> fand dieselbe Ungleichheit und den Coefficienten derselben 12" "5 (Laplace hat für das Argument (t: 4- p — angegeben; die theoretisclien
Untersuchungen zeigten aber^ dass der Coefficient dieses Gliedes völlig unmerk- lich sei) u. s. w.
Bestimmt man nun auf diese Weise den Coefficienten des Gliedes Nsin{L — Zj) aus Beobachtungen, so erhält man 120" (die älteren Bestimmungen gaben 122"; nach Hansen ist jedoch der Coelficient grösser). Hieraus kann man dann, da F aus der Theorie bekannt ist
finden. Nimmt man die Mondparallaxe als bekannt an, so ergiebt sich hieraus dann die Sonnenparallaxe.
Da der in dieser Weise entstehende Fehler in r® nur etwa den 140. Tbeil des Fehlers von N beträgt, so wird ein Fehler von 1'' in der Bestimmung von N nur etwa 0"'007 von ic® erzeugen, vorausgesetst, dass /'hinreichend genau be- stimmt ist. HANSEN findet — , it® 8"*916.
Bei der Untersuchung der Bewegung des Erdmondes sind die Störungen durch die IManeten keineswegs zu vernachlässigen. Diese Wirkung äussert sich dabei in doppelter Weise. Einmal direkt durch die verscliiedene Atlraclion auf die Erde und den sie begleitenden Mond. Nachdem zu wiederholten Malen der Ausdruck für die Störungsfunction angesetzt wurde, erscheint es Überflüssig, nochmals hierauf zurückzukommen; ist die Störungsfunction entwickelt, so wird jedes Glied derselben genau so behandelt, wie die Glieder, die von der Attraction der Sonne herrühren. Nebst dieser direkten Einwirkung wird aber noch eine indirekte zu berücksichtigen sein, welche an Einüuss der ersteren nicht nachsteht, nümlich die störende Wirkung der Planeten auf die Bewegung der Erde um die Sonne. Diese verändert, insofern sie den Radiusvector und die wahre Länge der Erde beeintiusst, die Lage des grossten der störenden Körper, der Sonne gegen den Mond; man trägt diesem Umstände dadurch Rechnung,
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Mechanik d«s Hhnaielt. fiS. 64.
dass man in die störenden Kräfte die gestörten Coordinaten der Erde hetvr. Sonne cniführt, oder indem man die aus den planetan-clieii Störungen der Erdbewegung lierriihrenden Zusatzglicder in der Storungstunction sucht.
Endlich ist noch hervorzuheben, dass die Secularveränderung der Ekliptik auf die Lage der Mondbahn nicht ohoe Einflan bleibt Laplacb land, da» die Ekliptik in ihrer Secularbewegung die Mondbahn nach sich aeht^ d, h. daas die mittlere Schiefe der Mondbahn gegen die mittlere Ekliptik constant bleibt, ein Sals, den Hansin dahin lectifidite, dass die Mondbahn gegen diejenige Ekliptik» welche drei Jahre vorher stattfand, eine constante Lage behält
Eine letzte Gruppe von Störungen entsteht aus der Abweichung der Erde von der Kugelgestalt. Bisher wurden nämlich die Himmelskörper als Massen- punkte nnpesel'.en; die Resultate bleiben un\ er ändert, wenn die Körper die Kugelform besitzen, oder der angezogene Körper sich beständig in der Aequator- ebene des abgeplatteten Centraikörpers bewegen wurde. Es folgt dieses un- mittelbar aus dem Ausdrucke des Potentials eines abgeplatieten KoLauons- spbäorides auf einen äusseren Punkt. Derselbe ist [vergl. No. 87 (16)J:
wo r der Radiusvector des Mondes, p der Erdhalbmesser, a die Abplattung der Erde, i) das Verhältniss der Centrifugalkrafl zur Schwerkraft am Aequator, 8 die Deklination des Mondes (90° — 0 nach der Beseichnnng von No.87) bt>). Der erste Ansdrack giebt die Wirkung der Erde, diese als Kugel vorausgesetst; als Stdntngsfunction ist hier nur II au berOckrichtigen.
Beseichnet man mit X die wahre Lftnge des Mondes» mit (k seine Breite, so ist, wenn • die Schiefe der Ekliptik ist:
oder wenn An^p =■ s gesetzt wird:
wofür ausreichend genau
sin 6 = y l — s ^ st/i t sin X -\- s €05 \
gesetzt werden kann. Wird dieser Ausdruck in S substitr.irt, und dann für r, X, $ ihre Werthe durch die mittlere Anomal n. geset zt, so erhält man ö in der fUr die Berechnung nöthigen Reihenform und kann nach irgend emer Methode die Integration vornehmen.
64k Die Coordioaten der Satelliten in Besug auf die Haupt- Planeten. Bevor einige, die Störungen der Satelliten betreffende Untmochungen erwähnt, werden, ist in Rflrse die Art und Weise darsul^jen, in welcher die Beobachtungen der Satelliten auf das Centrum der Hauptplaneten belogen werden.
Sei B Fig. 273 die Erde, H ein Himmelskörper, und Punkt in der Nihe desselben; EH die Visur von der Erde nach dem Centrum des Körpers ßP die Visur nach dem Punkte P\ geocentrisch werden die Oerter von zwei einander nahe liegenden Objecten festgelegt durch ihre Distanz und ihren Positionswinkel; denkt man sich um den Erdmittelpunkt eine Kugel gelegt, und sei J/q der Schnitt derselben mit der Aequatorebene (oder einer anderen
1) Attf die Glieder, welche von einer eveatnellen Verschiedenheit der beiden ErdhilAen
herrühren, kann hier nicht eingegangen werden; ilirf ill rigen» nicht nncrwShnt bleiben, dass aus der Abweichung des Mondes von der Kugcl^fcstalt, welche durch die £r«clietnungea d«r Libratiuu ausiscr Zweifel gesetzt ist, Zusatxgliedcr derselben Art entstehen.
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Mechanik des Himmels. 64-
461
Fundamentalebene, t. B. der Ekliptik) aho der grösste Kreis an der Himmels- kugel, welcher den Aequator repräsentirt, der Pol dieser Fundamcntalebcne, endlich O^, Pq die Punkte« in denen die beiden Visuren £//, EI' die Himmels» kugel freffep. Oq ist dann der Deklination-^Vreis von welcher den Aequa- tor in ff tnöt, ^«/o der Deklinatinskreis von J^^, so dass C^^/^f = < HEF — $
die Distanz der beiden Punkte, A^O^F^ der Positionswinkel des Punktes be- zogen auf den Punkt ist. Dieser wird von dem nördlichen Theile des De- klinatioiitkfdieB Dach linka (alao ittr im Sflden gdegene Punkte über Ort) geiihlt; nod '% d Rcctaicennon und Deklinatioo (oder Länge und Brette) dei Tunktet J?» abo wenn Et die Richtung nach dem Fitthlingapunkte ist: Vi?« « «i 0EQ^ m %\ «\ V die Cöordinaten des Punktes so hat man aus dem Dreieck AO^^.
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Mechanik des i-iimmels. 64-
CMS ^ smismV + m 9m tf m («' — «) smssüip »« ^tff 8' j/« (a' — a) (1) sinstpsp B8 {csisin d' — smitcs V tos («' — a).
Um Punkte und Ebenen in Bezug auf den Mittelpunkt H eines Himmels- körpers, also siderocentriscb (heliocentnscb, selenocentriscb» jovicentrisch, krono-
ccntrisch, areocentrisch u. s. w ) festzulegen, denkt man sich durch H eine sur Grundebene Mf^N^ parallele Ebene ifiV gelegt, welche eine um beschriebene
Kucel in dem grössten Kreise MN schneidet. Die durch ff zu ET yiarallele Gerade //{"Y) ist dann die siderocentrische Richtung nach dem Frühlingspunkte, NA die Richtung nach dem Pole der Fundamentalebene, der siderocen- trische Dekiinationskreis (oder Breitenkreis) des Punktes {T) Hq =^ a und qllF = ä die siderocentrische Rectascension und Deklination (oder Länge und Breite).
Eine durch H gelegte Ebene (Bahnebene eines Satelliten, Mond- uder Sonnen- ftquator u. s. w.) schneide die Himmelskugel in dem grössten Kreise i^X') N", welcher die Fundamentalebene in treffe, so ist A der auftteigende Knoten * dieser £bene, (T) Bf^ » A die Länge des autsteigenden Knotens, (demnach A/Tf i-> n -~ j^), {X')Sk9 « i die Neigung der Ebene. Ist B der Pol der Ebene {X*)N*, so wird auch AB a / sein und der grösste Kreis BAba trifft die beiden Ebenen (JC')N* und in swei Punkten ^, a, welche von A um 90** abstehen, so dass
ist. Ist z. B. {X')N' der Sonnenäquator, so ist die Länge des aufsteigenden Knotens des Sonnenäqualors auf der Fundamentalebene, und ist P ein Punkt auf der Sonnenoberfläche, so ist FD' = b die heliographiscl e Breite, DSi, — U die heliographische Länge des Punktes, gezählt vom aulsteigenden Knoten des Sonnenäqualors auf der Fundamentalebene. Ist {X')N^ der Mondäquator, so sind U, b selenographische Länge und Breite, erstcre ebenfalls vom Knoten des Mondflqaators auf dem ErdSquator getäblt; ist {X')IP die Bahnebene eines Satelliten, so ist, wenn /?* der Ort des Satelliten in seiner Bahn ist, U das Argument der Breite, besogen auf die gewählte Fundamentalebene. Da man in letzterem Falle nur ^ » 0 su setzen hat, so soll sofort der allgemeine Fall be- handelt werden, aus den gegebenen VVerthen von ^, die geocentrische Distanz und den Posittonswinkel p zu bestimmen.
In dem Dreiecke AB P sind die Seiten
AB = i; AP^ 90* - i\ BP^W—h
und die Winkel
ABP^ arcbD' =^^0° — U\ BAP= m° — aAq=^ 18ü"-öf = 180*— [90"— (a — ä)]^-90° + (ä — ft).
Man hat daher
sin d = sin b cos i -t- cos b sin i sin U cos d cos (a — ft) = cos b cos U (8) C0sdsin{a — Si>) — — smb sm i ■+- cos b e»s i sin U.
Bezieht man nun alle Punkte auf ein rechtwinkliges Ax<'n>\ stem, dessen A'-Axe ET, dessen K-Axe senkrecht dazu in der Fundamentalebene in der Richtung der Bewegung liegt, und dessen Z-Axe EA^ ist, und ist EH » p, MP^ f,' HP^ r, so werden
*) Die BewcKin^iridilnng ist in der Figw duck Pfeile aiugedriMEt.
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Mechanik des Himmels.
463
die leebtiriiiklig«! Cdoidinaten von S: pepsie»sa; peastsha; p Wn d
Die rechtwinkligen Cooidinateii von F, besogen auf das durdi H parallel gelegte Axensysten, sind:
r€osä€osa\ rttMdshm*, rsmd;
denmach wird:
p' £os fi' fos «' = p CCS i COS « 4- ^ cos d t0$ s p' cos 8' sin a' = p cos 8 sin 1 r cosdsma (8) p' sin Ä' = p sin 8 -H r sin d.
Multiplicirt man hier die erste Gleichung mit cos a, die zweite mit sin a und addirt, dann die eiste mit — sin% die sweite mit ios% mid addirt wieder, so erhält man:
p' cos 8' cos («' — 9) •= p cos h '\- r cos d cos {a — «) p* €0s9f tim{ii' 9) ^ r e9s dsm{a - «).
Multiplicirt man jetzt die Gleichungen (1) mit p' und substituirt die Aus* drücke (3) und (3a), so erhält man:
p' j Ä p r sin ä sin ^ -\- rcosd COS 6 COS (a — a) p' sin s sin p ^ r cos d sin {a — a) (4) p' sin s cosp = r sin dcos 6 — r cos d sin 0 cos {a — «).
Für den speciellen Fall, dass man es mit der Bewegung eines Satelliten zu tbun hat, ist b ^ Q\ dann wird:
smd's^ sintsimU w$dt0* (a — A) « MS U cos dsm {a^ ism ü
und daraas durch Multiplikation mit tos (« — A) und sin (« ~ ^):
cos d cos (a — o) = -h cos Ucos (o — ft) + sin Usin (a — ft) cos i tos d sin (fl — a) « — tos Üsm (a — ft) + wi Ütos (a — ft) cos i,
demna^
p' cos s '^p-\- rsmhsmi sm U +
rtosh [tos U tos (« — fl) + sm Usm{^^ ft) «»r 1) p* smssinpwf ^ r [tos üsm (a — ft) — C/ir^.r (a — A) tos i\ (5) p*smstosp^ + r cos6 sin i sin U —
rsi» ^Itos U tos (« — A) -h (« — A) tos ij,
womit die Aufgabe gelöst is^ s und ^ durch die Elemente A« die von
den übrigen Elementen abhängige Grössen r, U nebst den aus den Ephemeriden bekannten, oder aus den Elementen der Hauptplaneten leicht su berechnenden geocentrischen Coordinaten o, h aussudrücken. Man hat
C^sfr + wsfT + K^A»
wobei V die wahre Anomalie, und • der Abstand des Pericentrums vom Knoten, tc die l änge des Pericentrums ist
Sind die Elemente noch veibesserungsbedürftig, so erhält man durch
Differentiadon von (5) drei Gleichungen von der Form:
/Ae'-H^Aj4'>kÄ/-^^A + ^Ai + CAic + i>Aa + ^ü« + ^A7:
Aus diesen Gleichungen kann man A p', A r, A/ bestimmen, von denen man da man A p' weder kennt, noch braucht, nur die beiden Gleichungen
A * iJ* AA + ^' Äi + CA« + i^Äa + jB'ä* + J^'A r A^ i4"A A ^'A j + C"A it + a 4- £"A t + ^'A T
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Mecbsnilt dn Hhnmcl*. di. 65.
beibehält; jede beobachtete Distanz und jeder beobachtete Positionswinkel
gicbt einen Werth von A s und A fi, daher eine Gleichung zwischen den sechs F.lemertencorrektionen d ß, A /, A it, Ätz, A ^, A7\ welche hiernach aus den beobachteten Distanzen und Posilionswinkeln zu bestimmen sind. Die Be- stimmnnp der Cocfficienten A', J?, . . . A" . . . ist eine einfache Aufgabe der Differenliatioti und ^ limin.ition und kann hier übergangen werden.
66. Anomale Bc'>vegnrf: des Perice ntrums" flie Bewec^tinf^ des sicbentenSatiirnsatelliten. Für die Kntwickelung der Secitlarstorungen müssen von der Störnngsfunction jene Glieder beibehalten werden, welche von den mittleren Anomalien des störenden und gestörten Körpers unabhängig sind; werden hierbei die absolut constanten Glieder von denjenigen getrennt, welche die Elemente endiahent deren Seculanttfrungen eben bestimmt werden sollen, so erhttlt man Hir diese simultane Difierentialgleicbongen, deren Integration aar Kenntniss der gesuchten Störungen fUhrt. Hieraus folgt unmittelbar» dass, wenn in der StArungs- function selbst durch irgend einen Umstand cinaelne Glieder« welche sonst au den periodischen gehören, denselben Charakter erhalten, diese Glieder bei der Bestimmung der Secularstfirungen mit zu berücksichtigen sein werden. Ein solcher Umstand tritt aber ein, wenn in der Entwickelung der Störnngsfunction einmal in einem Gliede nM •¥ ßJ/'-J- + + l^n»' die mittleren Bewegungen derart
sind, dass a yV4- ß M' oder i Af -\- ^ M' ~{- cmem oder mehreren anderen Summan- den nahe Null, also das Argument nahe constant wird. Sobald diese Cilieder von höherer Ordnung der Exccntricität werden, wie dieses bei der Bewegung der Hauptplaneten der Fall ist, werden dieselben allerdings für die Berechnung der Secularstörungen gegenüber den Hauptgliedem der Entwickelung, in 40 anmeik- lieh und nur durch das Auftreten kleiner Integrationsdivisoren in den bereits betrachteten Gliedern langer Periode au berücksichtigen. Anders aber ist es» wenn die Glieder von der ersten Ordnung der Bxcentricität, also prädominirend werden. Ein auffallendes Beispiel dieser Art bietet sich unter den Satelliten des Saturn. Die acht Satumsatelliten bilden drei durch weite Zwischenräume getrennte Ringe; 7um innern gehören fünf Sn'elliten, deren ausserstcr 9*5 Satums- halbmesser entfernt ist; nach einem beträchtlichen Zwischenraum folgen dann die beiden: Titan und Hyperion in den Entfernungen von 22 und 26 8 Saturns- halbmessern und abermals durch einen weiten Zwischenraum getrennt der achte: Japetus in 64 Saturnshalbmessern Entfernung. Besonders merklich werden daher die Störungen, die der siebente Satellit durch den sechsten. Titan erfUirtp um so mehr, als dieser der hellste und daher wahrscheinlich grösste ist Die mittleren Bewegungen sind:'}
für Titan: |*j « 22 ''•57700 ftlr Hyperion: ^ 16°-91988,
so dass 4(» — 3t<t| ^ — O^'Oöld täglich, oder ^IS^'-S jährlich beträgt. Berttck-
sicht man nur die ersten Potenzen der kleinen Parameter, was hier %'ö!!ig aus- reicht, so hat man in der Störungsfunction 2 den von der Neigung an hängigen Theil gleich Null zu setzen, und aus 37 (20) nur die mit e, tj, multiplicirten Glieder beizubehalten, welche das Argument 4 ^/ — 3 enthalten. Nebst den in W (2i cmgeführtcn Gliedern entstehen noch, wenn wieder der Kürze halber
Q » M— + tc — itj
gesetzt wird:
I) Die folgenden Ableitungen sind den UnterstichuagCD «Ott NlWCOlü *0d Hküt «Hrtkn Ol Hyperion. ▲ ocw cm« in Cckttic»! Mccbanici« cntBommen,
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{
Mechanik des Himttielfi. 66. .4^5
aus dem iweiten Gliede: aaS cosxQ:
d d Bi^i
— attmM £osZQ = — \ ae cos (4if — 3 A/i H- 3it — 3ic,)
aus dem dritten Gliede: f^x^x^ ^ cos %Q:
— a^e^wMi t0sAQ — ~ ^d,«, -tt^ t«s{AM~ ZM^ -4- 4it — 4iC|)
aus dem vierten Gliede: — (v — v,)2x^J'^/«» x^:
— 2r«« il/. 3 ö « 4- ZiBf\os {AM- ZM^ -+- 3« — Sn»)
^ S«, JOT - 4^(«4M 4 C » — At^B^fiüft (4if — 3i/, + 4« — 4ic,).
Diese Glieder sind su verdoppetn, da dieselben Werthe fttr positive und n^stive » entsieben. Berücksichtigt man, dass if -h « » X»
F — 4Jir— 3^j + 3ic — 3iti = 4Z — 3Zi— « K| t-4Jr— 8jlf|H-4it — 4it, — 4Z — 8Z| —
ist, so folgt:
fi « f C + Co *» + 2 ^ / , (x - n , )
wobei die Constanie C von No. 35 in einen von e unabhängigen uiui einen mit roultiplicirten Theil zerlegt und der Coefficient ebenfalls durch C, :« ersetzt ist. Dabei ist, geroiss 89 (9b) mit Veroachlassiirung des von ^j* abhängigen Gliedes;
und nach 86 (d):
Es wird daher weil a = 0*825 ist C»«= H- 2-266; C"= -h 1304; = - 2 078; C, = -H 1-636; C,= — 1-416.
Da dieser Tbeil der Störungsfunction von i und A unabhängig ist, so wird x-r, verachwindenj demnacb
^/ dt ^
oder i?, = 1^0, i = constant. Für die übrigen Elemente folgt, wenn man im Resultate die Glieder zweiter Ordnimg weglässt:
dt cos 9 dü , _ . - ^ ^ .
di a*yLStn^ dii a'jii ^ ' ' ^ *' ■ '
'0
di
oder da ^ «= ja' ist:
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M ecbaatk d«t HiimiMli. «5.
und man findet leicht
d0
und numensch
«^--8-91»; + 9-099.
Mit den Excentricitfiten #«0*1000 ((ttr Hyperion); 0*0387 <f&r TiUn) wird
^ «= «1 1*« (+ 3-927 sin y — ü y7o sin V^) ^ »iw,|i(— 3-273 V)
^ — «ii fi(4-58l — 1'108 w (« - Kl) + 83-738 tos V)
(8)
= jw, 0-219 + 4-830 c^t K— 1*307 f^, )
Die Jährlichen Bewegungen der Argumente V, V^, sind nun ^.4f»— 3Fti— «' « — (I8*-8 + ic') F/« 4 1* - 3 - - (18*'8 + In Folgte dei Kleinheit von 4|a — 8|<k) ist dessen Werth mit den Bewegungen der Perisatumien vergleichbar. Da icj' + 0**5 jfthrüch ist» so wird in der Bewegung des Perisaturaiums des Tiun ein langperiodisches Glied der Periode von (4 p — 3(i|) auftreten. Bei der Bew^ung des Hyperion ergiebt sich mm aber die anomale Erscheinung einer retrograden Bewegung des Perisatumiums in dem Betrage von ic' s — 20°'3 jährlich, so dass
4 — 3 f*, — = + r-5 jährlich wird, wodurch ein Glied mit der Periode von 240 Jaliren entstehen w tirde, SU dnss wegen des grossen Coelficienten von cos sich umgekehrt wieder die retrograde Bewegung als zeitweilig ergeben würde. Wenn jedoch nur uui wenige zehntel Grade geändert wird, so wird die Periode ebenso wie der Co<!flicient noch bedeutend vcrgtossert, und wenn ic'» — 18^*8 wftre, so wird 4itf — ZAt « constant, und es wird von dem Werthe, den dieser Ausdruck xu irgend einer Zeit (also stets) annimmt, abhMngen, wie gross der negative Co*ffi- J-
cient in ^ ist. Andererseits ist zu untersuchen, ob die Constaoz von V dem
wirklichen Zustande entspricht.
Durch zweimalige Differentiation erh< man:
dV dL dr är. dM dx dLV
— = 4^ -3 -^--^ = 4^- 3^,-4-;^ -^-8-^ (i)
1*^ .äv^ ^äv! , d^äL d*% , d^MJ
dti dt ^ ^ dt ~dl* di* ' ' W
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Mcchaaik 4m Hinunda.
467
Hier waren aon ib aller Strenge die StdruQgen des Titan auch su berück- sichtigen; da aber Titas, wie schon erwähn^ der grösste der Trabanten ist, so werden die von Hyperion in seiner Bewegung bewirkten Störungen viel schwächer; vernachlässigt man dieselben und berücksichtigt nur die von den Argumenten y und abhängigen Glieder, so wiid:
da
4 ^ « 15-71 sin V— 3-90f»» V{)
— 4 = f* (h- 16-88 sittV— — 4-83 sin
(dv^ dV\ 1571 sin r— 3-90*«» — 4-88 iinP^^-h Üd-BlsiitV^] (6)
sodass äj_y
dV
ist. Jedenfalb ist wegen der zwischen m v^i und «' 8tattfinden«ien Beziehung eine
'Sehr Meine GrOsse, und kann weggelassen werden. Leitet man in derselben Weise «ine Difierentialgleichuiig fUr ab, so folgt, wieder mit Vernachlässigung von dV:
« M|i,> ^15-7i sin K— 3 90 sin 6 0 Vx - (6*)
Nun ist zwar dy^ nicht Null, da 4|a~ 3|Aj — von Null verschieden ist; doch irird sein Werth so klein, dass die damit multiplicirten Glieder vernach- lässigt werden können; durch Vergleichung der Gleichungen (6) und (6a) erhält Nkwcomb dann die Beziehung')
15-71 3*90 iinr^^O; xm Fi » 0 S49 T
K«180*— M^'-Siwri (7) CM — 0 98d — 0-016 m 3 Ti, oder wenn ^ -~ y^n — berflckstchtigt wird;
tas r « — O'935-O'Olö w 3 [(« — n^) + F). Hier kann man wegen der Kleinheit des Coöfficienten den Näherungswerth 160^ setzen, und erhält mit diesen Werthen
du
^ SV, |A 27*71 — 1*19 (« — «1) — 0*49 eos 2 (it — n»)].
Der seculare iheii der Bewegung des l'ens.ilunuums wäre daher
it = — 27-71 Ii. (3)
Da nach (7) F nur einer Libration unterliegt, so müssten 4 [a — 3uj und Tt' einander pleich sein; nimmt mat\ für beide Werthe das Mittel 19*^*3, so wird für die Masse des i iian hieraus luigcn
') Die Godfidenten lind bei Nbwcohb «tirai inderi. E« iit jedoch sn bemerken, daw die LibmtioB 14''9 sin V nicht durch IntegratioD entotanden ist und daher weder mit der physitdicik noeh stit der logcnanatca wilUcIlrlicbcn Libration ve^ciehhar ist; die letztere wlire
hsim{y\hMm[yit'^ir) und hKtte daher die Periode , also mit der Masse m,
gleich 1-4 Jahre, während die Periode des von Nkwcomb berücksichtigten Güede« IS G Jnhrc ist, FUr die seculare Bewegung des Pehsatumiums ist dies Ubngens belanglos, da dieselbe von der UbrStion imabhln^ Ist. VergL Ubrigens andi die tindidien Entwiekelmigea fllr die beides Sjatene: MiaaS' Thetis und BnccladnS'^Dionc von R Stkovb in den Aslron. Nachr. No. S9S3/4.
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468 Mechanik des Himmels. G&. 66.
Mi * 87-71 1& « 19^*8*
wenn m die mittlere Bewegung des Hyperion in einem Jahre ist, ond es wird
19;3 _1_
*i 27-7]x8«5-85*Xl6-91d88 * 8800*
66. Die Bewegung der Jupitersatelliten. Die zwisclien den mittleren Bewegungen der drei mittleren^) JupitersatelUten bestehende Beiiehung erfordert es, dass für diese auch die Störungen von den «weiten Potenaen der Maasen berücksichtigt werden, indem erst bei diesen Argumente mit den mitlleren Bewegungen dreier Körper auftreten (vergl* No* 48).
Störungen mit dem Aigumente
werden erscheinen, wenn man in die Störungsfuoction die Störungen erster Ordnung substituirt, wobei man je nach dem Grade der su errdchenden Genauig- keit die Auswahl unter den «u berflcksichtigenden Gliedere treflen wird. In erster Linie werden natürlich jene Störangsglteder erster Ordnung au berflck- sichtigen sein, welche in Folge kleiner Int^raüonsdivisoren selbst bedeutend .geworden sind; diese «nd jene> welche die Nenner r^^s — 2|a, oder fh, — erlangen. Berücksichtigt man von der Störungsfunction 87 (SO) nur die von den Excentricitäteo unabhängigen Glieder, so wird
(0
und es sind nun zunächst die Hauptglieder in den Störungen erster Ordnung zu suchen, welche durch kleine Integrationsdivisoren beträchtlich werden. Integrirt
man zunächst die GlcTcbung 47 (5) als canonische Differcntialj^leichunf^, so wird in dem Integral nach 49 (4) aus jedem Gliede der Entwickelung (1) ein Glied mit demselben Argumente entstehen. Der Coefficient von {r^r) muss dabei
constant angenommen werden; er wird oder wenn ans der Entwickelung
der rechten Seite eine Summe von Gliedern S|iv(r8r) entstehen sollte')^ die Form annehmen:
(jr + (rör) = |t» (l + (rdr) » M>(r«r).
Es wird daher, wenn man von den Inlegrationsconstanten absieht, welche die elliptische Bewegung darstellen, die aus (1) entstehenden Zusatsgtieder lUr einen der störenden Körper:
+ *^J»>
Der fünfte, /iilctrt LnUlccktc ist der innerste, und müsstc in der Rfifionfolge derselben als der c:^tc bcieichritl werden. E- mögen daiier die drei libripfen aln ilrr rwcile, dritte und vierte und der ausserste nls der fünfte bezeichnet werden. Der er^tc und fünfte Satellit sind, nsdi ibreo UmUaftidten von dem Systeme der drei mhtlcreo BMiimdilicnea.
^ Der Cojiflicieut dieser Glieder C wfid sehr klein sein, nnd ist in die Pona tjuv goeW« »od«ss also V der Quotient dieses CotflGdenieo C dnicb i\f, iü.
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Mechanik des Himmels. 60.
469
Der Neimer (xfi — x(a' — M)(x|x — > xf»' M) wird sehr klein, wenn einer der Faktoien sehr klein wird. Es ist aber
demnach der Nenner
- ~ (x - l)jik + x|i'J[v + (x + - x^'J,
woraus man die kleinen Divisoren Itlr die verschiedenen Satelliten erhalten
wird. Es ist nun auch ersichtlich, warum der Ausdruck v berücksichtigt wird^), durch seine Vernaclilassigung kann nämlich der kleine Integrationsdivisor wesent- lich alterirt werden. Bei denjenigen Divisoren, welche selbst nicht klein werden, kann derselbe natürlich weggelasseii werden. Man erhall kleine Divisoren.
a) für den /weiten Satelliten bei der Störung durch den dritten m.^, wenn 2 ist, der erste l'aklür wird |Xj — 2jA3 — vj, der /.weite öja^ - "-V-'i. oder wenn und 2^, gleich Null gesetzt werden, einfach Die
Störung wird daher, wtnn man die Bewegung der Perijovien vemachlfissigt:
» » d«! 1*1 — 1*1 ' *■
wobd der Lidex 0 bei B ^veggelanen wird, da nur BJ^ vorkommt, und statt dessen der Doppelindex %% gesetzt ist, welcher auf die Störung des sweiten
') Um den Werth von v ru crbalten, hat man in ß' jene Glieder, welche (rSr) enthalten, mit dem tweitcn Glicde der linken Seite der DitTerentialgleichung 47 (.*>) vereinigen. Die Berücksichtiping dieser Glieder ist nicht schwer. Es war r=a(l -{- r,) ^eset^t worden (34, 6). Versteht man nun unter «is nicht die von der Excentricität abhangigen Glieder, sondern die Stttrang, so wild in 87 (30) 9r an Stelle von as ca sctien sein; der hieinus entstehende Aus-
dmck in 8/<^'fi' '\' r wird dann
und weiter:
Be^eiclinct man den const«Qten Tbcil von ir mit so wird damit das xweite Glied der Differentialgleichung :
HietEii sind noeh cwei Glieder tu sctccn: du eine, von der Einwiricqng der Sonne her*
rührend, entsteht aus der Störungsfunction Q in 66 (3), wenn man hier ebenfaUs r 8r an Stelle von r s^trt- der 7Wfitf von der EllipticitHt des Jupiter abhängige Theil wird au« dem Ausdrucke für i2 in Ö8 erhalten, A ist dabei vorerst unbekannt, und wird nach der Be- stimmung von rlr (DurchHihrung der ersten Näherung) als der constante Theil der Stflrung nngesetat. Es «iid dann, alles nisanmenfebsst:
und daraus
«obd sidk das Smamcnseichen nuf die Wiikang aller andern Satelliten anf den betraehtcten besieht. Veigl. Laplacb, lif£e. cdesle, IV. Bd., pag. i$.
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4t^ Mcekaitik det Htnimd«. 68.
Satelliten durch den dritten hindeutet. Die hieraus resultirende Störung in Länge erhält man aus 47 (8); in den beiden letzten Gliedern, welche nur Qaadimturen enthalten, können die kleinen Integradonsdtvttoren nicht auftreten; mit Ver- nachlXssigung der lutcentricität wird weiter är = 0« und
demnach
V'f^i — 2|*| — V,) ^ * 1*1/
Setzt man hier noch in den nicht kleinen Co^iflicienten fif « bo wird
(«Z), = - sin(2M, ~ 2.1/, -h 211. - 2«,). (8b)
Bei den Störungen des zweiten Satelliten durch den vierten treten keine kleinen Divisoren auf.
b) Beim dritten Satelliten wird fflr die Störung durch die Einwirkung des zweiten der Nenner klein fdr « « l ; der Nenner wird:
folglich wenn 3}fc| an Stelle von fi, + gesetzt wird
(8Z),' = - ^^^'ll^L^^ C^^t - il/, -H IC, - IC,). (4 b)
Für die Einwirkung des vierten Satelliten tritt ein kleiner Nenner anf fflr X BS 2; er wird (|fc, — 3|i4 — v,)(8ti, 21»«). Demnach die Störungen:
■ * a^j f*i — * »*
(8Z)," = ~ — ^f^^^ «•« (23/, - SiV; -I- 2«, - 21C,). (5b)
In Folge der Beztebung
Z, — 3Z, + 2Z4 180**
ist nun aber
2J/a — 2 + 21C3 — Sit, = ISO'* 4- (M.^ - M^ + r.^ — r.^),
und da auch [X;, — 2^^ = {i, — !2p.3 ist^ ao lassen sich die Wirkungen des zweiten und vierten vereinigen, und es folgt:
Z), Un{M, - i/. + «, - (eb)
c) Für den vierten Satelliten ist nur die Wukung des dritten zu berück- sichtigen, da der zweite kein Glied n ii kleinem Integrationsdivisor lieiert. Ein kleiner Divisor entsteht aus der Wirkung des dritten fiir x = 1; er wird
und die Störung:
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Mecbttnik des Hlnnnd». $6.
471
(7 a)
1*1 — 1»»
Bei der Bestimmung der Störungen, welche von der zweiten Poteoe der Masse abhängig sind, wird es ausreichen, von allen Störungsgliedern der ersten Potenz, deren Bestimmung im wesenth'chen keine Schwierigkeiten hat, die in den Formeln (3), (6), (7) gefundenen zu berücksichtigen. Auch von diesen werden aber einige auszuschliessen sein; zunächst jene, bei deren cU r kleine Nenner H-j — 2[jLj oder fx, — nicht neuerdings auftritt; aber ^^elbst jene Glieder,
bei denen dieser Nenner Heraustritt, werden klein gegenüber denjenigen, bei denen die swdte Polens von ({i, — 3(&, — 2114) erscheinen würde. £s sind also sunftchst diese zu unteisacheo*)«
: Die «weite Polens des erwftbnten Nenners tritt in dem Doppelintegral
in Formel 47 (8) auf, wenn Argumente
K«« — ai/g + + «, — 5«, -h 2114 ^ Z, — 8Z, -I- SZ4
Vorköminen* Substitairt man r-h 8r an Stelle von r in Q, so tritt aa + ir an Stelle von av und wenn man, was für diese Zwecke ausreicht, die Glieder, die von der Excentricität abhSngen, weglasst, um nur die grdssten Stdrungsglieder zu erhalten, so tritt einfach ir an Stelle von tf«, ebenso ir' an Stelle von tf^«',
SZ an Stelle von v, 8Z' an Stelle von v'. Da dies ebensowohl in ^ in 87 (2),
als auch in dem zweiten Theile von &' in 87 (4) gescineht, so sind wieder an Stelle von die Bq^*) zu seuen, und es werden die hieraus entstehenden
Zusatzglieder aus 87 (20):
IMf Störungen des zweiten Satelliten brauchen nicht berücksichtigt r.w werden; in die Störungsfunction für die gegenseitigen Störungen des zweiten und dritten Satelliten substituirt, entsteht
JJJ*(^s ^ti^^^iMt — ^s)»
<) Bei der Eotwickdung iller SUtonngigUeder crhilt man dieselben nebst vielen anderen; •bor die Theorie der Satelliten wird dorcb den Umstand in etwas vcrein&cht, dass man sieb in. allen
FMllen auf die Berechnong der Hanptglieder beschränken kann, weil die Unregelmässigkeiten der jcviccntrischen Bewegungen von der Krde nw bctraclitct, so «t.irk verringert werden, dass die kleinen Unregelmüssii^! fiten sich der Beobachtung überhaupt cnttichcn. Dadurch entfallen auch für die Jupitersatellitcn viele Schwierigkeiten, welche in der Theorie des Erdmondes auftietcn; wagfkdirt tveten bei diesem die Conplicalionen nidrt auf, wekhc aus der Wechsclwiitcung mehrerer Satelliten nodiwendig entstehen. Bvcction, Variation, jahrliche Gleichung (mit der Peciode der Umlaoftseit des Jupiter) und parallactiscbe Gleichung treten bei den Jupitcrsatelliten wohl auch auf, ihr Einfluss verschwindet alier gcgentlber demjenigen der wechselseitigen ättfraogen.
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47*
Medwnflc des ffimiBeli. €€.
Bodass gar nicht eintritt, und für die gegenseitigen Störungen des zweiten
und vierten bezw dritten und vierten, bleibt überall hezw. 5 .U., stehen,
sodass ein Argument V nicht entstehen kann. Aus denselben Griinden sind, wie man auf dieselbe Weise findet, die Störungen des vierten Satelliten nicht weiter zw berücksichtigen. Es ist demnach flir die Störungsglieder zweiter Ordnung, die von Fabhängen
(«r), = 0, (4rj4 = 0, (ÖZ), « 0, («Z)^ = 0
sn setsen, und nur die Störungen (6r),, ijüL)^ zu betrachten. In diesen aber
müssen die beiden Theile getrennt behandelt werden*), der erste Thcil mit dem Argumente (Zj — /, ) giebt nur durch Combination mit dem Arg\imente 2(Z3 — L^) das Anzument V\ der zweite mit dem Argumente (2Zj — 2Z^) nur durch Combination mit dem Argumente (Z, — Z,); der erste Theil ist daher nur in der Störungsfunction des dritten und vierten, bei ihren gegenseitigen Störungen, der zweite Theil nur in der Störungsfunction des zweiten und dritten zu berücksichtigen.
a) Für den zweiten Satelliten wird das zu berücksichtigende Glied der Störungsfuneiion:
Hier ist nnn aber die am Schlune von 10 gemachte Bemerlrang lu betOd- sichtigen, dass man bei den vorzunehmenden Differentiationen die StfiniQgen aU conttant atuniehen hat. Man erhält daher, bei der Differentiation nach /, insofern es von den Coordinaten des zweiten Satelliten abhilngt, d. h. nach i»,/, und nacbberigem EinsetMn der Störungen:
- ^^I^T^ ti-«^.' -(2^» - 2Z,).^ (Z, - Z.) ^ H- A^' 3JS sm (%Lt - 8Z^) c^s (Z, - Z,)]; entwickelt man hier, und behält nur das Argument P, so folgt
oder
</««Z,
Berücksichtigt man, dass
"jiüi,: h ^ ^ _ j Sin] «ta f
und sehr nahe jii « | «*?. f^i — 2|i4 = |aj — ^y.^ isi, so wird
dt^ 8 1*1"— 2|A, — V, * ■ ^'
*} Die ZuiamDCiinehuDg der Argumente ist aar muneriscli fettetet, nidit ibcr flv aaa* Ijrtisehe Untenuchunfen; hingegen kdnnea jene Azgnmeate fllr die nttmerisdie SnnuBalion
auch vor i!cr Integration eusaminenge fasst werden, da nicht nur die Bceichuag Air die Aign* mente »«Ibtt, sondern auch die analoge für die Aendcrangea derselben befllelitn.
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Medttnili dct Hinmels. 66. 473
b) FUr den dritten Satelliten bat man als Theil der Stfirungsfunction:
daher durch Differentiation nach und Einsetzen der Störungswerthe:
^-'^H-\ ^" - ^>)'^n2^, - 2Z,) -h
;;X;-v; i- ilf '^«(z. - z,).«,(z. - z.) +
+ S^Rw5(Z, - ZJ i/V/ (Z, - Z,;],
c) Für den vierten SatalUten hmt man als Theil der Stdrongslnnicdon:
**mJ^{irj^^tMnz^^ z,) + (az,y.2^S««2(z,-z,)j .
also durch Differentiation nach ^^t und oachheriger Substitution der Störungen
- 2B?ism (Z, - Z,) .r^x 2(Z, - Z,)]
Die Coefficienten in diesen Gleichungen lassen sich noch wesentlich ver- einfachen. Es sind nämlich B^^l und B^l Entwickelungscoeflicienten von und rl^t also identisch; weiter ist
Fuhrt man hier die angezeigten DifTerentiationen aus, so folgt
Es ist aber
er
mit Rücksicht auf die }ieziehung zwischen und Berücksichtigt man diese Beziehungen auch bei den Co^tficienten A, so erhält man
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474
MeelutBlk dct Himmel*. 06.
ff
Führt man ttberdiess, um die Ausdrucke vergleichen zu kOnnen, tiberall and im Nenner die Differenz — 2|i| ein, so erhält man:
Nun !«t = 1*2 — 3}Aj + 2fX4 äusserst klein; die doppelte Integration
der A isdrücke (12) würde daher, wie schon bemerkt, durch das Auftreten des Quadrates dieses Nenners nebst dem bereits vorhandenen kleinen Nenner (fxg — 2ii3 — v^) ausserordentlich vergrossert, und diese Störungswcrthe werden gegenüber den andern weitaus überwiegen. Setzt man nun
wo Z/<>) der der Zeit proportionale Werth der mittleren Litnge, und SZ/ die aus (13) folgenden StArangswerthe sind, so wird
und damit aus (IS):
li^"^ dt* * a, l*,-8ii.-v,V^
Setzt man die Constante
10 wird
d*V
-^^-^ksmV. (1«) MttltipHdrt man mit und inlegrirt, so folgt
wenn mit t* oder ^ 4- 2^ « r die Integrationsoonstante bezeichnet wird. Es folgt daher
dt^ ; (14)
l) Ist oAk (oder >2^), so wird der Nenner stets reell bleiben, f^wird mit wachsendem / ebenfalls beständig wachsen (oder abnehmen, je nachdem das Radical mit positivem oder negativem Zeichen genommen wird); der Ausdruck — 3Z., 4- wird im Laufe der Zeiten den ganzen Umkreis dmchUufen; dieses entspricht nicht den Beobachtungen.
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Ileduulk des Uimidt. 66< 4j$
2) Wenn c < (oder £' < 2^') ist, so wird der Nenner innerhalb gewisser Grenzen imaginär werden; ist k positiv, so muss c eberuailä positiv sein, da sonst das Radical beständig imaginflr wäre; setzt man dann
SO irifd
di^ , ■ , = (I4a)
' ' Sur •
und es muss ' .
— z<\V< t . . . ^
bleiben, d. h. y schwankt um den Nallwerth zwischen den GrenaöB' ±"2%. ' >• ^ •
3) Wenn k negativ tsu ^ is^ so wird -• »;.'! ;;* .i '
V ... l W »
Wäre e positiv, so wflrde das Radical stets reell, und wie im- entea Falte F durch den ganzen Umkreis im. positiven oder negativen Sinne wachsend; dieser Fall ist wieder aussuscbfiessen; es mass diüier auch ^negativ sein -^.77- Hil- das Integral wird: . « „
dv
und es muss numerisch ^, < 4>(, sein (welche Bedingung identisch ist mit c > 4/1), da sonst das Integral stets imaginär wäre; daher kann läan
4i:
setzen, und es wird
dt^ • , „ (14b)
Hier muss nun an ^ > j bleiben, d. h*
d. h. F schwankt um 180° herum zwischen den Grenzen +2t^ und 360° — 28|.
Da nach den Beobachtungen K sehr nahe 180° ist, so wird für die Jupite^ Satelliten der letzte Fall stattfinden; es ist eine Schwankung, eine Vibration um 180° herum. Die Grösse derselben hängt von und X'j ab /tj ist eine gegebene Grösse; die integrationsconstante wird daher bestimmt werden können, sobald die Amplitude der Libration bekannt ist. Bisher ist eine solche noch nicht constatirt worden, woraus folgt, dass die Constante <rj gegenüber 4)t| jcdenftlls eine kleine Grösse ist Da Übrigens — k^ negativ sein muss, so folgt daraus, dass der Co^fficient
( AA' \
^. . . Vi - 2^. - W
nothwendig negativ sein muss.
dV
Die nächste Folge is^ dass jedenfalls nur eine periodische Function
ohne Consta ntem Anfangsglied ist, demnach F für die Integration der Gleichungen (12) als constant anzusehen ist, sodass durch die Integration keine YcrgrObseiung der Coefficienten eintritt. Wäre aber y von iöO'^ nur um emeu
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476 Mcciwnik <les fiiminel«. 4M. A7.
sehr geringen Retrag \ f-rsrhitden, würde hierdurch eine Seciilarbewegung der mittleren Längen der drei Sateiüien auftreten, und zwar beim zweiten und vierten eine Secularbeschleunigung, beim dritten eine Secularverzot'erung, jedoch so, dass auch diese in derjenigen Be/iehung stehen, dass y constanl bleibt, und nur dann wenn V^d oder 180' ist, wird eine tolche nicht stattfinden. Das Verhältniss dieser Secularbeschleunigungen wäre:
— 3^8 : -H f <^ ; : — ^ ^4 = — 8ö, : -h Ca, : —
oder mit den nunienschen VVerilien sehr nahe
— 45-588: + 54-399: — 14 462 = — 3-152: -^ 3-761: - L
Scculargleichungen dieser Art treten nicht auf; hingegen «st es nicht aus- geschlossen, dass V einer penudisc hen l Ingleichheit unterliegt; diese ist gemäss den Beubaclilungen jedenfalls sehr klein; setzt man aber deoigemass V sehr nahe 180^ voraus, so kann die Gleichung auch geschrieben werden: .
V
deien Integial
ist, wobei et und A die Integratiooaconstanten sind. Der wahre Werth von V wird daher einer Schwankung mit der AnpHtade Sa vm 180* herum unterliegen, d. h. 1 entspricht dem in (14) auftretenden Werthe Setst man den Werth (16) in (13) ein, so folgt, da « sehr klein ist:
' — a^n sin {yk t -¥ A)
dfi
= + i — » stfi {y'k i A)
deren Integrale, da
•4
0
i _
ist:
^^'^^~eL ^ —^siniYkt^A)
*^t~^—7. —•smiVkt^Äi (16)
|
4^ |
||
|
«s Ms |
||
|
-h 9 — M, |
||
|
4^ Sf, |
^ 9 * |
»»4 |
«Z, .SSM iVÄi^A)
M, '/'j «4
sind. Die Periode dieser Libration ist nahe 2270 Tage oder etwas mehr aU 6 Jahre.
§7. Die Störungen in der Bewegung der Kometen, Für die Be- rechnung der Störungen der nicht periodischen Kometen erscheint es, wie schon
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Mecbmik dn Himmeb. 67.
477
In 33 erwähnt wurde, am geeignetsten, sich auf die Berechnung der speciellen Störungen zu beschränken, und dabei die Methode der Berechnung derselben in rechtwiDkligen oder in polaren Coordmaten so verwenden. Für «Ke Störungen von periodiwben Kometen wird es sich jedoch empfiefalen, nicht die Zeit, sondern die excentrische Anomalie als Unbdtannte sa wählen, da dann einerseits eine ^cichmXsngwe Eintheilung der Bahn stattfindet, und andererseits eine Reihe von CMSffidenieii fllr jeden Umlauf des Kometen wieder verwendet werden können. Dieser Vorgang soll hier für die Berechnung der Störungen in den Elementen dttrcbgefttbrt werden*). Es ist, wenn Nirgend eine Function bedeutet:
dF ^ . <// ry^
dE dt d£ d£~ Jk^ '
Leitet man in dieser Weise die Difierentialquotienten der Elemente nach der excentrischen Anomalie £ ab, und setst
so wird ans den Formeln 19 (II):
^ = [/ r sin v{J*) +pr {cosE -H cos v) {Q)\/
Ii = [- ^ cosv{P) + '^iJ smv{Q) -H r> sin (v + co) /a^H^)]/
dSh r^sinjv 4- o>) (iE ^ U^i ^^^^ dt cos (v m) ^ ^
dE W«7 ^^^^
(äMA
/^m^sec^ (Sa) Um nach diesen Formeln*} die spesiellen Störungen eines Kometen so be*
1) Nach T. OraoLZia: SituiDgibcrichte der k. Acad. der WiMfiHchaftro fai Wien 1S70,
Bd. 53, pag. 66 r.
') An Stelle der Sturung in ti kann auch gesetzt werden:
^-l/r.(e)/i od., ^=[-?^.,Ä,{i>)_i^^<C)]/.
O« die Hauptttffnmg ia die NMbc des Perihels ftUt, so wird man auch manchinal mit
Vortbeil die EintbeOttttK Mch der wahreo Anomalie wdhien können. Dadurch wird von sdbtl eine Eintheilung in rrlnfiv engen Intervallen während der Zeit des Pcrilwls und in inmCT grosseren Intervallen bei der Entfernung vom Peribel eintreten. Da
dF^dF dE A i£ ^y^--^
fv^ d£' dv dv^ p
so bleiben die Formeln genau dicselben, nur ist an Stelle von m^sec^ der Faktor
Olb)
ni iclacn, wo aber Ar die BcreduNing ,der Faktor r von dem eoostantcn Theite -7^ abmtreiiBen
/
und mit dm CoCflicie&len in (2) so vereinigen ist
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47^ Mechanik des Htnunels. 67.
rt^hn^il, thdlt man den Umkiets in n Theile; dann werden fitr jedes Intervalt
r, V, E dieselben Werthe haben, es werden daher die Co^fiicienten der stören- den Kräfte fUr alle Umläufe dieselben bleiben; an Stelle von *dE' tritt
360" ' = — ^ und drückt man IkE in Bogensecunden aus, so erhttlt man die
Klementenstorungen ebenfalls in Bogensecunden. Von den störenden Rraiten ist die störende Masse abgetrennt, indem dieselbe in den Coefficientcn tit^se€ ffi^E gezogen wird, welcher in allen Formeln auftiitt Es wird daher:
^' Stf und sind, da sict. nicht in Bogensecunden gegeben werden, mit arcl" zu multiplictren. Will man die Aenderung des ExcentridtätBwinkels y an Stelle deijenlgen von e, so wird
Ö ^ ^ ■ * 1
Zu berücksichtigen ist dabei noch, dass man die Coordinaten x\ y\ z' des störenden Himmelskörpers fUr jene Zeitmomente nimrot^ welche den einzelnen Intervallen von £ entsprechen.
FUr die Entvickelung von altgemeinen Störungen wird hierzu in die Aus- drücke filr die heliocentrischen Coordinaten des störenden Himmelskörpers die mittlere Anomalie fi'/ oder die Zeit durch die excentrtsche Anomalie des Kometen zu ersetzen sein, wozu am bequemsten der von Hamsbit eingeschlagene Weg (vergl. Nu. 53) gewählt werden kann.
Die Störungen der Kometen, welche sich in i»arabolischen Halmen bewegen, oder innerhalb elliptischer Halmen mit sehr grossen Halbaxen, wei<lcii nur inner- halb des Hereichesdes Sonnensystems vt)n Hedentung; in selu grossen h,ntfernungen wird die Balm als eine KUipse angebciien werden können, deren Brennpunkt der gemeinsame Schwerpunkt der sämmtlicben anziehenden Massen ist Berechnet man die Störungen eines Kometen fUr sehr grosse Entfernungen von der Sonne und vom störenden Himmelskörper, so hat man in der Entfrickelung der störenden Kräfte (vergl. No.28):
r gegenüber sehr gross zu nehmen. Da nun
^~y^V~^ ?i ^7«J -7^ + 3—* ?s*
ist» so werden die Differentialgleichungen der Bewegung unter VeraachlMsstgung der Kometenmasse, wenn man mit x, y, m die ungestörten Coordinaten, und mit + 1, ^ + 1}, s + C die gestörten Coordinaten, mit r + die gestörte Entfernung bezeichnet:
dV^-^-l) k^{x-irl) „ 4P, — « X. .V,— .r^
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lltdia&lli dn HimBidi. 67. 68. 499
wobei in den störenden Kräften die ungestörten Coordinaten verwendet wurden, weil auf Störungen zweiter Poren? der Massen nicht Rilrksirbt genommen wird. Vernachlässigt man in dem letzten Ausdrucke, welcher im Nenner liat, die Quadrate der Coordinaten des störenden Himmelskörpers, und berücksichtigt« dass
ist, so folgt
^-^TT ^ — ^ + ^*'''i-7^H-*»'«i7r +
und zwei ähnliche Gleichungen für und Diesen Gleichungen wird gentigt durch
C i^i ' H- Ml si-
M. Bewegung der Kometen bei grosser Annftherung' an einen Planeten. Wesentlich complicirter werden die VerblUtnisse bei grosser An- näherung eines Kometen an einen Planeten. Es war schon früher (vergl. den Artikel »Kometen und Me.teore<) der bedeutenden Störungen gedacht worden,
welche die Kometen erfahren, wenn sie in die Nähe eines grösseren Planeten gelangen. Kommt drt Komet in so grosse Nähe der Planeten, dass die ur- sprünglich als störende Kraft des Planeten angesehene Wirkung derselben grösser wird, als die direkte Kraft der Sonne auf den Konieien, so wird man, gerade so, wie man bei den Nebenplaneten die Sonne als störenden Körper ansieht, auch hier den Planeten als Centralkörpcr, und die Sonne als störenden Körper an- zusehen haben. Geht man von den Differentialgleichungen der Bewegung in rechtwinkligen Coordinaten aus, so hat man, wenn Kttrte halber wieder p Air ^•1 geschrieben wird, flir den Kometen
^ + ^«(ilf -»- ^ 4- *'«,;rj- - 0» (öa)
und iUr den Planeten, flir welchen beispielsweise Jupiter gcsetst werden kann:
i- LZ^. ^t«^ = 0. (5b)
Für den Uebergang auf die jovicentrische Bewegung mttssen nun die jovi- centrischen Coordinaten der Sonne und des Kometen eingeführt werden. Die enteren sind x^ ^ — Xi \ y^' ^ ^ s^* ^ ^ der jovicentrische Radtus- vector der Sonne ist ; die jovicentrischen Coordinaten des Kometen sind jr — «, cBx'; y — ^, der jovicentrische Kadiusvector des
Kometen daher p und fetner r die Entfernung des Kometen von dem störenden Himmelskörper, der Sonne. Durch Subtraktion der Gleichungen (da), (db) folgt aber
oder wenp hier x = ^ x = x — x^' gesetzt wird: •
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48o Mcchuik des Himmtls. 68.
welche DifTerentialgleicViunpen man auch tinmittelbar hätte aufstellen könncD» indem sie aus den (ileichungen (5a'), (!^h) muiatis mutandis hervorgehen.
Nach (öa) ist nun aber das Verhaltniss der Wirkung der Sonne zur störenden Wirkung des Jupiter
* k^m.ix — X.) X. «1. X — x^ X.
und nich (6) das Verhältnits der Wirkung des Jupiter zur störenden M^ikung der Sonne:
V, Z.«i+i?_E!_.
Je nachdem K| > oder > ist, wird man die Differentialgleichungen (Öa) oder diejenigen (6) verwenden. Der Uebergang von der heliocentrischen Bewegung auf die jovicentrische wird vorzunehmen sein, wenn wird, und die Grenze hierfür wird gegeben durch = V^, d. h. durch
Fdr den einfachsten Fall, dass die drei KOrper in gerader lAnie sind, mtd x^ r\ ^1 — «1 ^ « «B p B — r\ demnach wenn die Kometenmasse m vernachlässigt wird:
oder
Man kann aber wegen der grossen Annäherung des Konieten an den FJaneten genügend genau + r =» 2r, 2rrj — r* = setzen, und dann wird
mithin
Diesen Werth bezeichnet man nach Lapiace als die Wirkungssphäre des Planeten.
Für Jupiter ist ^ » yi^, demnach r| ^ r « 0-0639 r;
für Saturn ist ^ = und damit r, — r = 0 0332 r.
Im Ausdrucke (6) kommen die jovtoentrischen Cooxdinaten des Kometen vor ; dieselben tUr jeden einzelnen Zeitmoment aus den heliocentrischen Coordt- naten nadi den Formeln ^s=x — 4P, u. s. w. abzuleiten» wäre sehr unpraktisch, da sie zur 2^it der grossen Annäherung sich als Differenzen sehr nahe gleicher
(Frössen ergeben wUrdcn. Ks wird in diesem Falle am besten, jovicentrische Kiemente ctes Kometen zu berechnen. Ist ffir einen gegebenen Moment die Gleichung nahe erfüllt, so berechnet man für diesen Moment die heliocen-
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Mecbmik dci Himmela. 68.
4«!
triteheo Coorduwten und GeBchwmdigkeitfln dtes Jupiter ond des Kometen^ nach 17 (3) nnd (IS) und bieimuf die jovkentriachen Cöoidinaten und Gescbwiiidig* keiten des Kometen fitr diesen Moment nach
do^ äx dx^ dj^ dy dy^ ^ ds^ dz dz^
dt ~ dt ^ dt ' ~dt ^ Tt ~ ~dt'' Ii ät Mao erhält dann sofort die für den betrachteten Moment osculirende jovi- centrische Bahn nach den Formeln 17 (13) und den Formeln 26 (2) bis (6); wenn die jovicentrische Bahn nicht a!s Ellipse anzusehen ist, so erhält man die Zeit des Durchgangs durch das Pcniovium, indem man die Zwischcn/eii sucht, welche der Komet braucht, um die wahre Anomalie v, wie sie sich durch *^ (3) ergab, zu durchlaufen, also nach
y 2
Zu bemerken ist hierzu nur, dass sich die Bahnelemente auf eine Fundamentelebene beziehen, welche durch den Jupitermittelpunkt parallel aur unprtinglichen Fundamcntalebene gelegt ist Waren also beliocentrisdie Coor- dinaten und Geschwindigkeiten ursprünglich auf die Ekliptik besogen, so erhlQt man die jovicentrische Bahn bezogen auf eine durch den Jupiter, parallel ^r Ekliptik besogene Fundamentalebene, also auf eine jovicentrische Ekliptik, und der Anfangspunkt der Längen ist eine durch den Jupiter parallel zur Richtung nach dem Frühlingspunkte gelegte T.inie, also das jovicentrische Aequinoktium. Es sind also iovk entris( }>e Elemente, bezogen auf die Ekliptik und das Aequi- noctiiim emer gegebenen Epoche.
Hat man hierauf die Störungen der Sonne in ir£rend einer Weise z. B. nach der Methode der speciellen Störungen in rechtwinkeligen Coordinaten, welche sich bieför am meisten empliehlt. gerechnet, bis der Komet aus der Wirkonga- sphftre, d. h. aus der Sphäre innerhalb welcher die Wirkung den Jupiter stärker ist, als diejenige der Sonne heraustritt, so wird fUr diesen Punkt neuerdings die Gleichong (8) erfüllt sein, und dann wird man mit den gestOrten jovicentriachen Coordinaten und Geschwindigkeiten, welche direkt durch die Störungsrechnung in rechtwinkligen Coordinaten gegeben sind, oder welche aus den osculirenden Ele- menten fllr diesen Moment abgeleitet werden, und mit den zugehörigen heliocentri- schen Coordinaten und Geschwindigkeiten desT\i!>iteT- neuerdings die heliocentrischen Coordinaten und Geschwindigkeiten des Kometen berechnen nach den Formeln
, dx dx^ dx^ ^
Mittels dieser heliocentrischen Werthe werden neue oscniirende l eliocen- trische Elemente des Kometen abgeleitet, mit denen die Storungsrechnung iqrt- gesetzt werden kann.
Beispiel: Für den Kometen 1889 V wurde die StDrungsrecbnung bis 1886 Oct. 4 fortgeführt (vergl. pag. 359). -Für 1866 Oct. 8 erhält man nun die osculirenden Elemente: . > • »
AT« «- SlO«' 57' U^'-Oe «1- S 46 44*9» 18 M 14-89
iwm 7 45 15-49
f a> 82 36 33 Ö6
III.,
Ekliptik und - mittleres Aequinoct. 1890*0
&97"-7310
VAUMTom, AamaoHM. II. 3^
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^Sju Mechanik de» Himmel». 68.
und aus dieicii die beUocentriBcfaen Cooidmftten und Geicbwiadigkeiteii des Kometen:
X •> «- d*3087S0; y^-- 1*997106; s + 0-069683
^ = H- 0»018484; ^ — — 0 037054; ^ — - 0-005589.
Stellt men hiennit die heliocentrischen Coordinaten und Geschwindigkeiten des Jupiter zusammen, io erhält man die jovicentrischen Coordinaten and Ge- tdiwindigkeiten des Kometen
«" — -h 0*081869; y'« + 0S33758; — — 0061197
^1 -H 0002174; ^= + 0-018069; ^ — — 0'00Ö496,
und hiermit die jovicentrischen Elemente (Hyperhel):
Zeit des Peiijoviums: T«- i886 Joli 19-9904.
« - 989' SO» 9"'9 hgi^ O'0046l8
< » 68 8 48-8 J ^ ItHf 6-958555.
Mit dem Werthe fSx Jopiter (vergl. pag. 303): /«^^ A » 6*795496 nnd du Intervall wma% Tage wird mit der Sonnenmasse « 1047*879
iog iwk)^ 10« « 4-977848. Hiermit ethSlt man s. B. Ar October 4 als störende KriUte:
JCj -r itju^^flJZ-f « ^ egg.84; Jf, - - k*M9^ « - 611 85
y, — i/<s>-^* 7 ^ « H- 156-57; y, « - Jk^M^zi - - 176*26
Z, «>fe>il/©-'-^ = - 802; 14 44.
daher die störenden Krifte
X^^-h 96-99; y» — - 18-69; h- 6-49.
Diese kanen Andeotnngen werden mit RQcksicht auf die früheren ausfllhr* licheren Beispiele genOgen, um das Verfahren auch numerisch annideuten. Auf einige andere, die Berechnung erleichternde Deteils kann an dieser Stelle nicht eingegangen werden.
Rühren starke Aenderungen der Elemente eines Kometen von der Attraction eines Planeten her, in dessen Nähe derselbe kam, so muss zwischen den beiden verschiedenen FJementensystemen eine Beziehung bestellen, welche zuerst von lissERAND angegeben wurde. Im foltrendcn soll die sehr elegante Ableitung dieser Beziehung mitgetheili werden, welche von Seelicer in den A. N. No. 2965
dx dy
gegeben wurde. Multiplicirt man die drei Gleichungen (5a) mit 9-^, 9*^»
dt fdxY (dyY ( dzY
2^, und integnrt, so folgt, da I^J H- \dt\ Vdi) ~ Geschwindig- keit des Kometen ist, weim die Integrationsconstante mit c heseicbnet wird:
, fJk*iM^m) rdt[, ^ds , .df
,t«^^.-.i_ ^-h9i««ijp|^(*,-*)jj-Kyt-.j^)^ +
V ^«1 « ( \ dx dy dnK
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Mechanik de» Himmels. 6B. 4S3
Da 1111B
- - » - ^) dt ~ rf/
and
ist, so wird
(9)
Während der Zeit» wihreod welcher der Kooiet in der Nähe des störenden Planeten weilt, kann man dessen Bahn als kreisidrnig und mit gleichASmiger
dv.
Geschwindigkeit durchlaufen ansehen^), also und = jA| constant ansehen,
und dann hat man, wenn man noch die Bahnehene des stttrenden Planeten als
ds,
Fundamentalehene, also s, 0 annimmt:
dx* dvt *i — r^cosv^; — — rjjm»! IT ~ ^^^^
dfx dv*
demnach
Multiplicirt man aber die Gleichungen (öa) (fiirxund>') mit —y, -t-jp, und addirt, so erhält man nach der Integration
wenn die Integrationsconstante weggelassen wird, welche steh nach der Sub' stitution mit t vereinigt. Die Gleichung für 9* wird daher
Es ist aber demnach
Da die mittlere Bewegung des störenden Körpers allgemein:
•) Die*e Voraussettung, welche bei der Ableitung des Satres wesentlich ist, ist durchaus nicht unanfechtbar, im Gegentheil wird die Beweguog meist viel eher geradlinig (h/perboltscb mit sehr kleiner Distanz des Pericentnims^ sein.
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484
Mfcbtnik dd HirameU. 68> 69.
ist, die Geschwindipkeiten in den verschiedenen Theiien der Bahn Abti sieb verkehrt wie die Quadrate der E^tferoung verhalten, so wird
v-x'^x) «i':'-»*; 1*1 — -^^ — '
DmdiTt tD«ii daher die leiste Gleichung durch + m) uml beseichnet
die selbst willkürliche Constante . .. , ,/ . r wieder mit f und tettt:
wird
^ - ' ^ + 8|i.y?wi ~; (p« - rt). (lOa)
Betrachtet man nun einen Kometen an zwei verschiedenen Orten seiner Bahn, in denen er dieselbe Entfernung von dem störenden Planeten hat, das eine Mal also in seiner Bahn vor der Annäherung an den Planeten, das zweite Mal »ach der grossen Störung, so werden die Elemente a, p, i sich in a\ f, / verwandelt haben; die heliocentriscbe Entfernung des Kometen wird im ersten Falle r, im zweiten r' sein, und es gilt demnach vor der grossen Sidrung die Gleichung (10a) und nach derselben die Gleichung:
0-<r-|-^ + ^ H-2,i,V>'tf«i'^- (lOb)
wobei withrend der Dauer der Störung r conslant angesehen wurde. Aus den Gleichungen (10a), (10b) folgt durch Subtraction:
j ^ -h «Ii, ypt9si - y?^r«i' + ^ (r * - H) - 0.
Vernachlässigt man das mit der Masse des störenden Planeten multiplicirte Glied, so folgt daraus der TissteAMD'scbe Satz:
~ + «|isV7'«»- i + 2i<i.yy^«i'-jr. (II)
Die Constans der Verbindung + ^V^VP ^ * awischen grosser Axe, Excen-
tricität und Neigung bildet daher ein Kriterium dafllr, ob die Aenderung der Bahn eines Kometen durch die Annäherung desselben an einen Planeten stattgefunden hat, oder nicht. Zunächst gilt diese Formel allerdings ihrer Ableitung nach nur für jene Punkte der Bahn, in welchen der Komet gleich weit von dem störenden
Phmeten entfernt ist, und für die Rahnebene des störenden Planeten als Fundamentalebene; da aber die Pabnelemente, abgesehen von der grossen Störung keine durchgreifenden At nderungen erfahren, und die Bahnneigungen der störenden Planeten sehr klein sind, so kann man dieselben für beide Thcile der Bahn vor und nach der grossen Störung als constant betrachten, und diese Gleichung gilt dann für Elementensysteme vor und nadi dwser Störung.
Dass die Bedeutung dieser Gleichung stark ttberschittst wurde, wurde bereits in dem Artikel >Kometen und Meteore« hervorgehoben.
69. Anomale Bewc^uugserscheinungen bei Kometen. Berücksichtigt man bei der Untersuchung der Bewegung des Kometen die Störungen, so weit sie durch die Einwirkung der Planeten entstehen, so li«st sich wohl fllr kleine Zeiträume, also bei den nicht periodischen Kometen, dann wAhrend einiger
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Meclianilc des Himmels. 69. 4S5
weniger Umllttfe einet periodiichen Koneten eine hinreichende Uebereinitimmoiig xiriscben der Theorie und den Beobachtungen ensielen. Hingegen ergab sich xnnfichst bei dem von Pons entdeckten, von Encke untersuchten und nach ihm
benannten Kometen mit etwa 3^ Jahren tlmlaufszeit, wie schon im T. Bande pag. 160 erwähnt wurde, aus der Discussion einer grossen Anzahl von linjläufen, dass sich die Umlaufszeit stetig verkürze: Enckk zog daraus den Scbluss, dass die Bewegung in einem widerstehenden Mittel stattfinde.
Um zunächst zu untersuchen, ob nicht eine Störung anderer Art die Ursache dieser Erscheinung sein könne, möge angenommen werden, dass irgend eine unbekannte störende Wirkung in der Richtung des Radiusvectors wirke; dann erhält man, da in den Formeln 87 (S) (0eaO su setsen ist:
* ^^rsinHJ-l/t: S-^-^-'W- (')
Darai» folgt, wenn man das Integral
frsinvCJ^/^äv^/ (2)
0
setzt, für die Acnderunfren der mittleren Bewegung und des EzcentricittttBWinkels von der Zeit des Periheidurchganges bis zur Anomalie p:
demnach für das Verhältoiss V dieser Aenderungen:
Für den ENOu'scben Kometen ist ^^^a » 0*346, fa67'*48', demnach
— 0-0248.
I«egt man die von v. Asten für emen vollen Umlauf gefundenen Zahlen
öji. = -I- 0" i044; dy = — 3"*68
XU Gronde^ so wird
Eine selbst vollkommene Uebereinstimmung dieses Verhältnisses, mit dem aus den Beobachtungen folgenden Werthe ist jedoch noch nicht ausreichend, um das Vorhandensein von Kräften dieser Art als erwiesen zu betrachten. Nächstdem kommt es ja auf die absoluten Beträge der Störungen selbst an. Nimmt man an, dass z. B.
itl^ so wird, wenn der constante Faktor mit W vereinigt wird:
Et ist aber
demnach
und damit
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486 Medwnik des Hbunels. 6$.
Ist nun n gerade, so wird das Integral Uber einen vollen Umlauf verschwinden, demnach o}i = 0 sein; ist n ungerade, so wird
Weiter wird
y^J IVe^-^J sin" vcosvdVf (6 b)
daher das Integiai Aber einen vollen Umkreis genommen fttr jedes beliebige n
gleich Null. Daraus folgt demnach, dass ein in Form des WsBKR'schen Gesetzes modificirtes Attractionsgesetz wohl geeignet wäre, eine Beschleunigung der mitt- leren Bewegungen zu erklären, dass jedoch das WEBER'sche Gesetz selbst solche Störun£;en nicht ZU erklären vermag« da in demselben » a 3 ist. FUr « « 1 würde folgen:
IV kann dabei als eine absolute Constante angesehen werden, indem die Abhängigkeit der Kraft F von dem verkehrten Quadrate der Entfernung bereits durch den Nenner r* ausgedrückt erscheint. Das Attractionsgssets wird datm gegeben durch die Formel^):
Nimmt man hier W als absolute Constante an« so wire für zwei Terschiedene Himmelskörper ^
«
Das Auftreten des Faktors bei Ifii ist nicht ausreichend* um die Erscheinung
zu erklären, dass bei den Planeten eine Secularbeschleunigung nicht stattfindet; insbesondere aber ist hervorzuheben, dass Kräfte dieser Art nach (6bJ nicht
geeignet sind, die anomale F?ewegung des Mercnrperihels zu erklären.
Es sollen noch in Kürze u caigstens die Re";ultate angeführt werden, welche man erhält, wenn IV nicht constant, sondern mit r veränderlich angenommen wird. Man kann dann annehmen, dass
o — 7=U) w
ist, wo nunmehr IV wieder als constant angenommen werden kann. Man er^ hält dann, wenn j^-^j die grOsste in ^ enthaltene guue Zahl ist:
a) für gerade n;
\ä/Zj(«-»-aX«H-*)- -(»-t-2F)(i*-i)i UJ '
»«1
*) Vcrg^. Opvouir, Attr. Naebr« M«. S319.
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Mcclmiik de* HiniMb. 69> 70. 4(7
b) Fttr ungerade n:
=_a2/ / «+i \ -2) (>>i-3). ■ ■ ■ (m-2 ti-1) 2/£^y
<»0.
Diese ReiulUte leigen dalier die Unvereinbiuflieit der Annalime dieaer Attractionsgesetw inil den BewegongBencbeinniigeo der HimmelskAiper.
Die Untersuchung der Wirkung von Kräften, die in der Richtung senkrecht zum Radinsvector stehen, hat praktisch keine Bedeutung, da keinerlei Gxund für die Annahme von solchen vorliegt.
70. Be wegungswiderstftnde. Die unter dem geringen äusseren Drucke stattfindenden Gasausstfömungcn und Verdunstungen von Flüssigkeiten, theils von den festen und flüssigen Bestandtheilen, theils von den Gashllllen der Himmels- kürjjer müssen noiliwendig zur Folge haben, dass der Wehrnum mit einem wenn auch äusserst feinen Fluidum erfüllt ist. Dieses Fluidum hat man sich dann als einen gas- oder dampfiförmigen Körper von äusserst geringer Dichte zu denken 1), der sich in der Nähe der Himmel&küiper zu Atmosphären ball^ oder eigentlich die in den Weltraum lieh erstreckende und mehr und mehr verdünnende Atmosphäre ist. Wie die Atmosphäre selbst kann dann dieses Medium um die WeltkOrper kreisen, aber in immer grösseren Entfernungen nach ICas^gabe des» selben immer langsamer, sodass jene Himmelskörper, welche immer in nahe derselben Entfernung bleiben (Bahnen von kleinen ExcentricitHten beschreiben) in ihren Bewegungen nicht wesentlich gehindert werden; hingegen solche, deren Entfernungen stark variiren (welche stark excentrische Bahnen beschreiben) merkliche Störungen erfahren können, und zwar um so stärker, je dichter das Medium ist.
Es finden sich aber im Welträume nebst den grossen pianetarischen Massen eine sehr grosse Zahl von sehr kleinen Körperchen, welche als Meteorschwirme regel> mlnige Bahnen besehreiben, awar entweder im terdche eines Sonnensystems diesem aagehOrig, oder als stellare Schwärme, sich in paraboliscben oder hypei^ bolischen Bahnen im Welträume bewegend. Hiersu kommen vereinielte Meteor- massen, die sich als Meteorite, Feuerkugeln u. s. w. offenbaren, so dass man die Annahme wenigstens nicht ganz von der Hand weisen darf, dam der Weltraum von derartigen discreten, relativ kleinen, aber festen Körperchen erfüllt ist. Diese Massen werden, wenn sie in die Atlraclionssphäre einer relativ grossen Masse (eines Fixstcmci: odLr einer Fianetenmasse) gelangen, von dieser angezogen sich dieser nähern, oder um dieselbe mit der dieser Entfernung eigenthtimlichen Geschwindigkeit kreisen; so werden um die grossen Massen Anhäufungen, Ver- dichtungen von Massenpartikelchen stattfinden.
Wenn auch die Verfolgung der Bewegungen dieser Massen, sofern es ndi um die einseinen derselben handelt, ganz bedeutende Schwierigkeiten darbieten würde, so ist es nicht schwer, sich ein Bild von ihrer Wirkung im ganscn an machen — genau so, wie man in der kinetischen Gastheorie die Bewegung der GasuMlekUle nicht ins einzelne verfolgen, hingegen ein Bild der Gesammt- wirkung erhallen kann. Es ist dann aber auch zum mindesten denkbar, dass die Wirkung derartiger kosmischer Massen in ihrer Totalität auf die Bewegung
1) ladMMO bleibt teclbs «m pondcnblcr Stoif und darf vut dem hypodietis^ta Wdt^ Itter, der ds Tkiger der Ltdit> und WlmcwcUcn gedadit wird, nickt venraoliselt werden.
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4^8 Hechmik da Himmfli. 7<K
der zu untersuchenden Himmelskörper als qualitativ gleichartig mit der Ein- wirkung vün Gasmassen auf terrestrische Objekte sei, und sich mit derjenigen eines wirklich gasförmigen Mediums confundirt Dass hierbei ein quantitativer Unterschied stattfinden kann, ist selbstverstllndlich; doch wird dadurch nur das ohnehin unbekannte Gesets der Dichten und des Widerstandes alterirt.
Es möge aunächst Uber die Dichte p dieses Mediumi» ob es nun in der Form einer Gasmasse allein, oder von kosmischen, ihrer Grösse nach mit kleinen ^) terrestrischen Objekten vergleichbaren Körperchen gedacht werde, nur die eine sehr wahrscheiii> liehe Annahme gemacht werden, dass sie eine Function der Fntfemnng vom anziehenden Körper sei. Die Wirkung dieses Mediums wird man natJi dem gewöhnlichen \Viderstandss;esetze in der Riclitung der Tangente, c-ntgcgongGseLzl der Bewef^unp^srichtung annehmen können. Ueber die Abhängigkeit des Wider- Uandes von der Dichte und Geschwindigkeit soll jedoch vorerst nur die, eben- falls sehr natürliche Annahme gemacht werden, dass der Widerstand in der Nihe der Sonne am stärksten ist^ nach Massgabe der Entfernung aber nach einem vor- läufig ebenfalls nicht nfther au bestimmenden Gesetze abnimmt. Besetchnet man den Widerstand mit —k^W, so werden seine Componenten
jr--*/fr^; K--i^|F^; Z--i^l^^.
Wählt man als Fundamentalebene die Bahn des gestörten Himmelsköipeis, so werden # und ^ sehr klein, und Z kann gleich Null gesetzt werden. Geht
man auf polare Coordinaten Uber, so wird:
Wenn man nur Störungen erster Ordnung berücksichtigt, d. h. in den störenden Kräften die Elemente als constant ansieht, so wird sich ergeben:
-jj ^ smi (l -h teosv) -h t^s l -~ emv
und damit:
dy , *ö y. % . . . *
dx . , \ eeosv esmv -T- B — iml s tosi
di M ^ • R
, \ ecosv osl s h smi
dy . \ ecosv . , esmv
wobei
ds
Jt SS y i t^sv (Sa) geselat ist. Durch Einflihrung der excentrischen Anomalie erhält man
y — 1 /A e COS E
>) Schon die Bezeichoimg »klein« iffl efaic relativ«, tind man bnuicht nicht alUu minimale Objekte sn wühlen, um dm VeihttttniM dendben cur Sonoeonnaic ab Grttste detMibcft Ordnung stt cflwnnai mit deijenigen von Gnsmolckuka su »kleinen« leimtrieehen Objectien.
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MeehMiik dei HinnMjt. 10» 489
Setzt man die Werthe (2) in (1) ein, so folgt
JT — [eeosism v — sm /(l + et^ivy^
Hlennit folgt nach 19 (8) (in «elcher Formel jedoch v durch / zu ersetzen ist): - ^i^gsmv <2 - - ^ (1 + €t0tv).
Vergleicht man diese Werthe mit den in 67 (2) auiire(enden, so folgt, dass man
{P)^ i sin V, C0 = 1 * £0S V (4)
W
und an Stelle von den Faktor — etnzuflihren hat; es wird daher
/ «• — ^ und man erhält für die Variation der Elemente
+ 2a»/(l -H #^«r^/ ^ - 0
^ — H- V« ^smE'f j — */''/(l + * £)/dE.
t
Hiemus folgt zunächst = Ao ' = <o konstant; die Lage der Bahn*
ebene wird daher durch den Widerstand eines Mediums nicht geändert, was ja an und für sich klar ist, da der Widerstand in der Bahnebene selbst wirkt Führt man als unabhängige Veränderliche v ein« so wird
de W dv ^ P
_.«-2r«(*H-^«ft») ^ , (6)
dp V- -i- ^ ^ ^ 3^
rf» e R'
Sei nun
jr^WJtdvr=./{v), jr'^äv^J^ivl (7)
so wird
^ /W; - - y /(IT) + ^^/,
folglich
a# yä> 1 — yä/ /i (»)
daher das Verinatoiss V
NtmdBt man die Integrale y,/, von 0 1ms 860% so erhilt man die Verilndeningen 8|k, 8« wihrend eines vollen Umlaufs des Kometen. Je nfther e an die Etn-
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490 IfeciMnik d« Himmcb. 70.
heit kommt, desto mehr wird sich der Werüi von tPi'^^ \ , i der Null nfiheni,
Ik
desto näher kommt daher das V erliaitniss V dem Ausdrucke sin f eos'^ ^
wild daher von dem Gesetze des Widerstandes völlig unabhängig. Im All- gemeinen aber wird V von dem Verhältniss der beiden Integrale f{v\ welche Functionen des Widerstandes sind, abbäns:ig sein, und der numerische Werth dieses Verhältnisses wird eine KnCscl cniunt; darüber gestatten, in wieweit sich aus den beobachteten Veränderungen der £xcentncität und mittleren
Bewegung auch ein WidersundageteU folgern iSsst Der Coeffident — -^/«if f
ist übrigens vüUig identisch mit dem in 69 (4) unter gan^ anderen Voraus- aetsuogen erhaltenen; die Uebereinstiromung dieses Verhältnisses mit den Be- obacbtungen kann daher noch kein Kriterium ittr die Richtigkeit der einen oder anderen Hypothese bilden. Dast der aus den Beobachtungen folgende Werth von V mit dem ersten, von dem Widentandsgesetee unabhängigen Paktor übereinidmml^ könnte allerdings zu dem Schlüsse führen, dass, wenn die anomalen Bew^ngserscheinungen Folge eines Widerstand leistenden Mediums wären,
das Widerrtandsgesets ein solches sein mftsste, bei welchem das Verhiltniss
jedenfalls sehr klein ist*). Immerhin wird es nöthig, die absoluten VVerthe der Störungen zu bestimmen. Dabei wird es jedoch etwas bequemer die excentri sehe Anomalie als Integrationsvariable beizubehalten, wobei der l:'aÜ e ^ \ von der Betrachtung ausgeschlossen werden kann. Es wird
^ Wsec y W t/I --^ ecos M
Nimmt man an, dass da^ Widerstandsgesetz analog dem auf der Erde beobachteten der Dichte und dem Quadrate der Geschwindigkeit direkt propor- tional s«, so wird , ^
wo der Proportionalitätsfaktor in p hineingesogen werden kann. Laplaci seist nun
IV
pr* = kf^r^It ^ A eB eosv f- e^Ccos 2f h- . . . .
Dann wird
pr* IVJi = ^ -h €Bcos V -h Ccos ..,...) {\ %ec9SV + HB [i<(l -h e*) -I- i?^«] -h periodische Glieder
IV 1
r«(* + C9tv) ^ =^ p i^O -t- pettodiicbe Glieder
und damit
äe 2
') V. OppOLZfc.K ^efrt in den A»tr. Nachrichten No. «319 für den Faktor 1 eevt Eim An»- le täs — den Wert i, wodarc
■r
■ickt gWH itKD|ei gefolgert wIiiL
drucke tüs ~ den Wert i, wodurch daim die WiükUrlichkeit des WideTStandagesetzca, aUerdiog»
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Ilcchuiik den Hinmcli. TO. 491
Diese beiden Oleiclningen enthalten a und e nicht getrennt ; Laplace leitet daraus eine Gleichung zwischen a und e ab; man ändet leicht durch Division
äa*^ %a[A -i-{A B)e*)]'
Hieraus erhült man zunächst eine Functionalbeziehung zwischen a und e\ drttckt sieb s. B. 0 durch e aus, und substituirt man den Ausdruck für a in
die Gleicbong fUr , so erhSlt man dann t und damit auch a durch v aus>
gedrückt. Die Gleichung ist (tbrigens leichter zu behandeln, als es auf den eiäten Bück erscheint, es lassen sich nämlich die Vanabein trennen, und man erhult
%[A-\-{A + B)e^'\ ^ {%A-i-M)da ^(1 _ a
oder
ßA %A-k-B 2^ + ^\ j ^ ^da
[-r^-T^e T+T-J^^^-^a^ + ^T'
woraus durch Integration
1 — <r*
folgt; c bestimmt sich aus zusammengehörigeu Werthen n^, es ist
1 2A-^B — — •
Hiermit wird
. _ B
demnach
B
Durch Integration folgt: t *
1
%A
wenn die Integrationsconstante mit t^{^A h- ^ beseicfanet wird. Hienus folgt endlich
bestimmt sich aus dem Werthe für eine gegebene Zeit Fttr die Parabel
• ist ^0 >tB 1, demnach ^ » 0, « constant; wie auch aus dem Werthe für ^ folgt;
dann wird auch a constant, d. h. eine Parabel würde bei dem Vorhandensein eines widerstehenden Mittels ihren Charakter nicht ändern. Die Ableitung ist aber durchaus nicht eiowuiftfiei, sie seut nttmlich die Entwickelung in einer nach Mi der IHel&chen der mittleren Anomalien fortschreitenden Reihe voraus.
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49*
Medunik de« Himmeti. 70.
Die Coefficienten A, B, C können natürlich erst bestimmt werden, wenn p s= /(r) bekannt ist, d. Ii. die Abhängigkeit des Widerstandes oder der Dichte des Mittels vdh der Entfernung vom Centraikörper.
Dass <r nicht sehr gross werden kann, selbst wenn B negativ wäre, kann auf folgende Art gezeigt werden. Man hat
für «r« 180°; ^ ^ j =(^~^*-i- . . .) ^^-—j'«^ [A^^A-k-Bie-^ . .
Da nun die Dichte des Mittels sowohl als auch die GeschwiDdigkeit des HioiDelskörpers in grosserer Entfernung von der Sonne geringer sein mussp so wird
sein mflssen; daraus folg^ dass (Qr den Fall einer conveigenten Entwickelnng, wie man dieselbe ja voraussetzen muss, %A-^B dasselbe Zeichen haben wird wie^,
also 2A .f. ^ jetientaiis positiv sein muss.
Fflhrt man die exoentriscbe Anomalie ein, so hat man
ä£^^^ p ^» ^« K \-tcoiB
demnach
0
U — %,ktj,^Ey\±^iS (10.)
die — — 2 V acotang ^ Usm -ßl/L± JL^L^
J »1 — e cos
Nimmt man für p die Beziehung
so weiden für ganzsahltge n die Integrale dliptische Integrale werden; die Werthe Sp, 6'^, Br: lassen sich dann durch vollstlndige elliptische Integrale an- geben^), welche Tafeln entnommen werden können. Man erhält für den ENOUt'schen Kometen:
^) Vagi. PoNTltcouiANT, »Theorie analytique du Systeme du monde«, II. Bd., pag. 288. (Die 4iMllMt gcgAcDcn Fooatza'selitn ReUiea ^d jedoch tun bedingt richtig.) Pcnicr die Bat* wicbdnageii ▼on BAOCUmD \n den »JMnwau Nadwieliten« Bd. tot, No. 3414.
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Uechanik des Himmels. 70. 71.
493
für « = 0: 8|i, «= + 0-4102 Po ss — 9-7116 ^ = — 0 04224 für n = 2: 4- 1-45 17 Po — 51-4267 Po — 0-02823.
Diese beiden Zahlen zeigen thatsächlich eine Abhängigkeit des Verhältnisses V vom VViderstandsgesetze; mit dem aus den Beobachtungen gefolgerten Werthe 0*0284 stimmt der zweite Werth sehr gut Uberein, und könnte man hiernach das Widerstandsgesetz ausdrücken durch
wob«! steh, die Coostante po in fiogenwcundeB auagedrOckt ergiebt Das Verbähnin derselben von Soonenansehung wird
^-^^^^^mm^^ (II)
sebr nahe der ENOCB'scfae Werth.
n« Absolute Bahnen; intermediäre Bahnen. GYLOfiN sche Methode. Unter Zugrundelegung der Kepler' sehen Ellipsen werden fllr die Störungen der Himmelskörper Reihen erhalten, deren Omvergeax nicht nur nicht nachgewiesen iat^ sondern in welchen bei Berflcksichtigang der höheren Potensen der Massen jedenfalls die Zeit ausserhalb der trigonometrischen Functionen erscheint. Der- artige Lösungen können natflrlich nur fttr beschrinkie, wenn auch relativ sehr lange ZeitrSume als gültig angenommen, jedoch keinesfalls als wirklich conecte Entwicklungen einer absolut richtigen Lösung angesehen werden. Unter einer »absoluten« Lösung versteht nun GvfDfiN^) eine solche, welche, sei es durch streng geschlossene Integration der Dififerentialgleichungen, oder auf dem Wege der successiven Näherungen erhalten, geschlossene Aus- drucke oder Reihen für die CuorUmatcn der Himmelskörper giebt, weiche auf unbeschränkte Zeiträume gültig sind, d. h. bei denen die Zeit nur in den Ausdrttcken ittr die den ganzen Umkreis durchlaufenden Coordinaten (Lange» Knoten und Perihel) sonst aber nicht ausserhalb der periodischen Functionen auttreten darf, und bei denen die in jeder Näherung eventuell auf- tretenden Reihen im sich selbst, aber auch die aufeinanderfolgenden Näherungen convergent sind. Von der Voraussetzung ausgehend, dass es nur eine einzige absolute Lösung geben kann, nämlich die sich in der Natur darbietende, in der mathematischen Analyse in verschiedene Formen gekleidete, kann dann ge- schlossen werden, dass das Resultat der successiven Näherungen, wenn diese den zuletzt erwähnten Bedingungen genügen, mit dem Resultate der Entwicklung der auf strengem Wege erhaltenen geschlossenen Integraltormen identisch sein müsse. Dass die sammtlichen, im früheren erwähnten Methoden absolute Lösungen in dem angefQhtten Sinne nicht geben, ist klar. Will man zu einer solchen gelangen, so ninss man von vornherein die Rechnung so anlegen, dass bereits in der eisten Näherung jene Glieder gewonnen werden, welche, als «weite Näherung angesehen, viel zu gross nnd, um die Methode als convergent er* scheinen zu lassen. Es gilt dies ebensowohl für die Mondbewegung als für die Flanetenbew<^gnng; aber in erster Linie ist hierbei an die Entwickelungen für
') AstroD. I<iachhchten 2453, Acta inatheinatica Bd. I : «Eine Näbeningunethode im Probien der drei Köipcr« ; Traite des orbites abtolues.
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494
Mechanik des Himmels- 71.
den Mond zu denken, da bei den Planeten die störende Wirkung der übrigoi Himmelskörper gegenüber der Ansiehung des Centraikörpers bedeutend zurücktritt. Erfahrtingspemäss erscheint dies auch dadurch ersichth'ch, dass die Bahn des Mondes sirh Kchon in sehr kurzen Zeiträumen, ja selbst während eines UmLnufs so sehr von der Ellipse entfernt, dass sie kaum als solche bezeichnet ^ve^den kann, walirend bei den Planeten selbst wählend einer sehr grossen Anzahl von Umlauten eine Abweichung nicht allzu merklich hervortritt.
Soll schon in erster Näherung ein analytischer Ausdruck gewonnen werden, welcher die wahre Bahn des Mondes einigermassen genau reprlsentirt, so wird es durchaus nicht ausreichen, nur die Attraction des CentralkOrpers, der Erde, sn berttckstchtigen. Es erscheint nothwendig, von vornherein das Dreikörperproblcm ab solches anzuwenden, d. h. die Bew^;ung des Mondes unter der Einwirkimg der Erde und der Sonne zu untersuchen. Da es nun aber nicht gelingt, die wahre Bahn, d. h. eine streng absolute Lösung zu finden, so muss man wenigstens zunächst eine solche Bahn suchen, von welcher sich die wahre Bahn nur um geringe Störtmgsbeträge untersclieidct r>icse Bahn nennt GvLDfeN eine unter- mediäre« Bahn*). Sie wird erhalten, wenn man von der Kräftefunction, weiche die Wirkung beider attraiiirender Korper berücksichtigt, und die demgemäss hier nicht in ihrer Toulität als Störungsfunction betrachtet wild, diejenigen Glieder abtrennt die von der niedrigsten Ordnung derjenigen Grössen Änd, welche die Abweichung der Bahn von der Kreisform darstellen, und, die Summe der Obrigen Glieder als Störungsfunction betrachtend, die Untersuchung der Ein- wirkung dieser auf die Gestaltung der wahren Bahn, einer zweiten Näherm^ vorbehält. Welche Glieder in erster Näherung zu behalten sind, zeigt die ana- lytische Untersuchung selbst.
Die Stabilität der Rnhnen erfordert, dass sie sich zwischen endlichen, nicht verschwindenden Grenzen bewegen. Liegt dnbcr die Bahn nicht vollständig in einer Ebene, welches der allgemeinere und auch thatsächlich in der Natur vor- kommende Fall ist, so wird dieselbe ganz in dem Zwischenräume zwischen zwei homocentrischen Hohlkugeln liegen, und wird bei jedem Umlaufo sowohl die äussere als auch die innere Kugel erreichen können, oder auch nicht Im letzteren Falle kann man aber annehmen, dass die von dem Himmelskörper beschriebene Curve diaisächlich bei jedem Umlaufe zwei Kugeln, eine äussere und eine innere, jede mindestens einmal betflhrt, sonst aber beständig innerhaS) des zwischen beiden liegenden Zwischenraumes fällt, dass aber die Distanz dieser Kugeln von einem Umlanfe 7um andern variirt. Derartige Curven nennt GvLDfiw periplegmatische Curven, den Abstand der beiden Grenzkugeln das Dia-^tema, \ind es werden daher periplegmatische Curven mit constantem und veränder- lichem Diastema unterschieden.
Die periplegmatischen Curven werden als Raumcurven über irgend einer angenommenen Fundamentalebene verschiedene Höhen erreichen; mmmt man als Fundamentalebene eine Ebene, über welche sich der Himmelskörper dem» lieh gleichmässig zu beiden Seiten entfernt, so wird die Gesammtbewegung de* Körpers in der zu dieser Ebene senkrechten Richtung, d. h. der Abstand zweier paralleler Ebenen, zwischen welchen sich der Körper beständig bew^l^ ohne sich jemals tiber die durch dieselben gesetzten Grenzen hinaus zu entfbraen,
') »Undcrsöknitigar af Theorien for himlakroppamas rörelser». Abhandlungen der k. tchwtdi- schen Academte der Wiccen^chnften Bd. 6 und 7. Ferner A. N. No. S383 vnd »Die inttnnedlitC Bahn de» Mondes«, Acta maUicmatica, Bd. 7.
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MediADik de$ HinuneU. 71. 7S. 495
das Aaattema genannt Dai Aigument, weichet den Radinsvector bestinnit^ d. i. der Winkel, welchen dieier Radiosvector von einer festen Richtung ans geiSblt, beschreibt» und von welchem eben die Gr<iiae deuelben abhingt, heiast das diattematische Argument; das Argument, welches die HKhen (Ent- fesnm^en von der Fundamentalebene) bestimmt, heisst das anastematische Argument. Das erstere entspricht der Länge oder wahren Anomalie in der elliptischen Bewegung; das zweite dem Argument der Breite.
72. AuffJtelhinpderniffereritialgleichungen. Seien r, / die Projection des Radiusvector und das diastematische Argument, y die rechtwinkligen Coordinaten in der Fundamentalebene X-Y, so wird
X ^ \ cos l, y ^ X stnL (1)
Bestimmt man die Cordinaten y so, dass
i «r,_/«a y r. daher auch r -= r T (2) X («7, y ^ r sm7 (la)
is^ so wird zunächst, da
Anv/-= — =i ist, 7-/
sein. i:'ühit man hier noch die reducirte Zeit C durch die Gleichung
ein so ergeben sich hier vorerst dieselben Gleichungen die in No. 65 auftreten, wenn Ii U wieder als unbestimmte Functionen betrachtet werden. Die Glcichuagen SS (7) werden unter Einführung der Folarcoordinaten (1 a), wobei aber statt / sofort / geschrieben wird:
d dl\ X dU dl ^ 'R\^T^-u'di'''T^--T^<^
X d^ -'Jäl\^ IdU^dt r»M»r }_äUdr\ U^kl U7P~' \d^ r''Ü'dt '^'dC''TldF'^ t/ dli rfcj" T*^" T F*
wo nach K (8):
J>^H ^{xX+yY); Q^ixY-yX) (5) ist. Es soll nun weiter / in swei Theile L und x serlegt werden, sodass
ist, und Z so bestimmt werden, dass
wird, wobei, wie man leicht siebt, / eine dem Parameter der elliptischen Be> wegung analoge Bedeutung bat. vorerst jedoch nicht als constant, sondern ab vcrlinderlich angesehen werden soll.
Die erste Gleichung (4) lüsst sich nun schreiben:
demnach: oder
äc\i/' Iii) r» •
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496 Hedmik 4e» Himmeb. 1%
Cdie Int^gntioiMcoiifttaiite ist, die. wie mao sofort sieht, Ji^Vfi Da
ist, so wird
oder wegen
1^ ^- ^{^•VÄ -r j^/^ ^ C^x] . (8a) Um die zweite Gleichung (4) in derselben Weise zu transformircn, ist:
dV ^hVE ^ iL ^oV.^
dl " dL r » • dX,^ dL' P i/C» " F* //Z» ~ * dL dL~^^ dL dL
folglich
7» rfZ»
rfC* r* dL'^ ^ V''-^/ * F* äL äL
In dieser Formel sind noch zwei Functionen willkUrlich; sanitcbst folgt aus (9) dass, wie immer man auch r in der intermediären Bahn wfthlt^ T hiemacfa so bestimmt werden kann, dass die Gleichung (4) befriedigt wiid. Nimmt man
nun noch für 1/ und / beliebige Functionen, so folgt aus (8) x* und aus (7) C (als Function von L, welches überall als unabhängige Variable auftritt) aus (3) / und aus (6) /. Wählt man hingegen 5^ beliebig, was darauf hinauskommt, in (6) eine gan/ bestimmte Zerlegung vorzunehmen, so wird durch (8) 1/ bestimmt Hierfür erhält man durch Differentiation:
^^^p-dh^^^^-m^fik-ll -ü —
oder
rfZ» ^y-^ dL) dL'^ U 4L) " T«" V/
(10)
Diese Formeln sind noch fUr jede beliebige Annahme überl' gültig; indem man für F den elliptischen Radiusvector wählen würde, erhielte man eine spectelle Integrationsmethode, unter Zugrundelegung der elliptischen Bewegung alt erster Näherung. Dann wilre in der Formel
p constant und e cosv zu setzen. Wird nun r in derselben Form voraus* gesetEt, dabei aber / als verUndetlich angesehen, und auch ttber p vorläufig keine weitere Annahme gemacht, so erhält man aus (11)
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AfechMiik de« Himmels. 72.
497
dl 1 dp p _££_
rfX IH- p "Ä" ~ (1 -H p)» dL .jj. ^ > g S/» /^/pV^ ;» 4/*p ^
^Z» *1 -hp i/X«^ (1 -l-p)» </Z i^Z (1 -+- p)' v^J (1 P)* ^^**
Setzt man diese Werthe in (9) ein, so erhält man nach einiger Reduction:
^2/ 1 dp dp \(dpY_ P ^'P ^iP(^P '^pV
</Z»"''*H-p dL dL~^ p\dL) ~ 1 -f- p dL'^" U dl\dL l-hpdLJ
(t />u»r. \ dv dp 2_ dv dp^ i.^£tl
""TT (14- p)» " r iH-p'
Da hier noch dici «iUkflrliche FonctiGneii: x ^ ^^'^ / fügung stehen, so wird man durch passepde ZerOllung an Stelle der zweiten Gleichung (4) mehrere erhalten können, welche die Bewegung bestimmen werden. Von der Art der ZerftUang wird es abhängen, die elementären Glieder des Radiusvectors sammtlich in p zu vereinigen, so dass in V keine Glieder dieser Art mehr auftreten. Ist dann p = t) [(1 — c) f — Tt], so ist t) der Hauptsache natli das Diastemn, und die Bahn ist so zu bestimmen, dass die Werthe p und p die einzigen sind, welche nicht mit störenden Massen multiplicirt auftreten (von der nnllten Ordnung der störenden Massen sind).
Ehe nun an die Fortsetzung der Gvi n^N'^rhen Untersuchungen geschritten wird, soll eine Modifikation derselben kurz ciwahnt werden, welche von Harzer gewählt wurde. Dieser setzt x ^ ^ ^ = C> wodurch zwei der zu wählenden Functionen bestimmt »nd, so dass nur mehr eine Bedingung freisteht Zunächst folgt dann / s Z und aus (10):
\ dp \_dU C/i* (Qr'\ ip dl U dl^T^
2/
Da überdiess / = C vorausgesetzt ist, so wird nach (3): Setzt man nun
sodass
d^ _ 1 i/v
dl ' (iH- v)yi +v <// '
d^V _ ^ 1_ (^h^ jt 1 ///vV
dn = * (n- v) VTT"v \ äi^) ^ (1 + v)« J/rPi \di)
Jl^__?^-. \_ d^
U dl" t dl » 1 4- V ^
wird,, so wird die Gleichung zur Bestimmung von v:
1 jrfv J_ ^ 1
» i-h V rf/ 2^ ^/ VV/j
oder da
ist:
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49^ Mectwnik dei Himmels. 73.
Weiter folgt aus (13), wenn v an Stelle von V substituirt und entsprechend reducirt wird:
dn ^ * \ + ^ di dl " ^ p \äi ) 1 4- p ^
1 4* p
Mttltiplicirt man hier mit — j-^ and reducif^ so erhält man:
r i 4- p ^«v . i -H p fd^Y . , 1 -h p rfv ^i»v
Die Gleichungen (14) und (15) sind die Fundamentalgleichungen von Harj«r1). Die Gleichung (14) dient zar Bestimmting von v. In Gleichung (ib) kommen noch p, v, p vor, und man kann nun noch eine Bedingung festatellen» wodurch erst die Lösung völlig bestimmt wird. Es wird die Gleichung (15) in swei andere serftll^ von denen die eine
^H.(l««)»p«jf (Ida)
xur Bestimmung von p dient, während die übrigen Glieder vereinigt, eine Gleidiung zur Bestimmung von / geben. X wird dabei so angenommen und die störenden Kräfte ausgeschieden, daas durch die Integration von (Ida) die sämmtlichen elemeniären Glieder in p vereinigt auftreten*). Seien in (15a) diejenigen Glieder, welche zur Entstehung von elementären Gliedern ftthren:
A-« — »' w((l ^ «')/- - x"tM[0
wobei e', o" . . . ebenso wie c von der Ordnung der störenden Massen sind, so wird das fntegral von (15a):
x'
(16)
P = X ...[(1 - 0/ - BJ - "'^^ - ^'i
wo it und B di« lotegratioiuconMaleii Mid. Seut man:
x'
V« - B) = X + '« [{«'-«)'+ A' - UJ +
1, rt. (, - B) - + ä^^yii^^,-:^ «■« KV - c) / + A- -B) + so folgt:
P = t,wKl-0/-4 (IS)
Bei der Zerfällung der Gleichung (15) wurde dabei eine Grösse c eingeftthrt; welche dann in dem Integral (16) oder (18) erscheint. Die Bestimmung des
(17)
') »Untersuchungen Uber einen speciellen Fall des Problems der drei Kurper«; Memoiren der Acadcmic dtr WbteiHcbsftci» in St PMcnlNirg, Bd. 34, No. 12, pag. 34.
*} L c, psg. 4S. Nach GyuHlN. VetgL »Traiti des ofhitei abtolaei«, pag. iss.
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Mechanik des Himmels. 72. 73.
499
Weithes von c> welche aUeidiogs auch mir tucccniv erfolgen kenn, und tma
nach Maassgabe der auf der rechten Seite von (15) immer neu eintretenden Glieder Ap, mit constanteo Coeßicienten ik, ermöglicht eben die Vereinigung der
elementären Glieder in p. An Stelle der Tntegrationsconstanten x, H treten hier die durch die elementären Glieder veränderten, nicht mehr constanten Grössen irj, ic; die durch (17) definirte Grösse t) ist das veränderliche Diastema. Er- wähnt ma)? noch werden, dass die DifTerentialquotienten von t], tt nach / von der Ordnung der störenden Massen sind, d. h. den Charakter cier elementaren Glieder verloren haben, da die Faktoren ^ — c» ~ c heraustreten.
73. ZerfMlliing der Bewegungsgleichnngen in Differential- gleichungen tür die intermediäre Bahn und die Störung Sgieichungen. Die in den Differentialgleichungen 72 (3), (10) und {l'ö) auftretenden Functionen r und U sind nahe der Einheit gleich. Setzt man also
so wird:
dt^ dt *
dt^
d*1 1*9
Doch fuhrt GvLDtN an Stelle der Grösse f eine Grösse i tm^), die mit 7 durch die Gleichung verbunden ist:
ri
Es wird dann
P
folglich
d*r
dZ*
dv
dZ
1
1 -h p 4-/5
(1)
i dp
4- -T—r- -Tr —
2
^ dZ \ -k-y dZ
dp d\ 2/
(I -h p)« dZ dy dl 2S
^p dp
l-l-y dZ*^ 1 + ydZdZ (l-h p)* dZ dZ (1 -f p)* dZ dZ a d*p . 2/5 (dpY p^ d*p
^ p </Z» ^ (1 -f- p)3 \dZj (1 p)» dZ* Werden diese Werthe in 72 (13^ substituirt, und berücksichtigt, dass
1 —
i-hp
r(n-p) = i-hp4-/S
pi 1 H-p
r
T(l-f.p) 1 + iat, so erhält man nach einiger Reduction:
ill il±P/^V i±£ 1 dl/ dp dp\
dZ^~^ß dZdZ'^^'J^Xdz) yU^'^ er dZ^\ p dZ~ dz)"
"^^XdZ^^^ pdZdZ^ UdZ dZ\ r l^pk^'^'''
1) TraitI des orbites absolues, pag. 517; Act« nathoMtica, Bd. 7i ptg, 134. C^kaan xunichst Kttne halber betbebalten «erden.
3a •
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500 Mechnnik des Himmels. 73.
Nun ist
\ dU f \ -\- ^ dp ^ ^(tÜ
2 dU (\ -4- p dp_ jrfp\ U dL\ p dL" dh)
rO-^-^i+^xj -^1— ^^zj — —m-^udL^\-rdZ-d2j^
' />' \d^) p dL*'^ U dL p dL U dL dl'^
Trennt man daher in Gleichung (4) die nur vom p abhängigen Glieder von den mit \ und U behafteten ab, so erhält man:
dL^ pdLdL-^W} dz) \dZ) - p ^Z«JP="^«^^"'
dH \ dp 1 dU\dl f ^\%_ \ dU \^d^ \ dV \ dp
dL^^X' p äL~ UdL )dL ^\ di)^~ Ü dL' p dL ^ U dL y dL^
V \dL) ~ ^Z» ^ U dL dZ"^ pY '^dz) J
wobei Uf eine vorläufig willkürliche Function sein kann, und
ist Sctst msfi weiter in 72 (3):
^-C-^T; (8)
so wird:
1 =
oder
dT dZ
(9)
Durch ZerföUung der Gleiclnmg (4) in zwei andere ist für die bisher will- kürlich gebliebenen Functionen die erste Verfügung getroffen, indem die Be- stimmung von p diejenige von ^ (d. i. T) nach sich zieht oder umgekehrt. Eine analoge Zerfällung kann man mit Gleichung 72 (10) vornehmen. Sei
so wird man setzen können:
^ - 0. (10)
und dann erhält man für die Bcstimnrirg von p oder U die Differentialgleichung*):
1 dp _ \_d_U__ Q,
2/ dL U dZ" dx' ^ ^
* dL
Die Art der Zerlegung in (7) und (7r0 wird erst im Laufe der Integration durch die bei denselben su erillUenden Bedingungen näher präcisiit werden
') Der CoefßcicDt von in Gleichung ((J) ist die hier in (II) auftretende Grösse.
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lleclianik des Himmels. 73. 74.
können. Endlich tritt noch die Gleichung 72 (7) hinzu, welche in die Form gesetzt werden kann:
dl ^ k^il-hp)* ' ^^^^ Es erftbrigt noch eine Gleichung für die Bewegung in Breite abzuleiten. Setit man in der dritten FundunentBlgleichuug 9 (A):
» = ra. (la)
so wird
d*i dl d^T
^dn^^dJ dt "^^ di*
Nun ist
dt dz u *
dt^^\dL^^%pdLdL^T'iLTL^ T dL dL^U dL dL) ^ Cn' Hiermit folgt, da [vergl.No.86 (1)]:
dt Vr dL^ r« dL) ■ T« u
d*r (diy V
0/) - r'
(14)
dt* \di) r« (1 4-
ist naich einigen leichten Reductionen:
dL* ^ ^'-t i7 rfZ J ^ V '^^y ^ ~
Die Gleichungen (10), (5). (12); (11), (6), (9), (14) sind jetzt die zu inte- grirenden Differentialgleichungen wobei (5)» (6), (14) ci^nonische Differential gleichungen sind. Für die intermediäre Bahn erhält man aus Gleichung (10): X! hierauf aus (5): p, sobald über p eine Annahme gemacht ist^X damit den intermediären Radiusvector; (12) bestimmt sodann die zur gegebenen intermediären tAnge Z gehörige reducirte Zeit C Ist die intermediäre Bahn be- kannt, so erhält man dann aus (11) den Werth von U\ aus (6) die Störung des intermediären Radiusvectors, aus (9) die Störung der reducirten Zeit, endlich aus (14) die Störung in Breite. Die Form der intermediären Bahn wird nun wesentlich von der Art der Zerlegung der anziehenden Kräfte {P^ und ; Qq und abhängig sein. Je mehr von den bedeiiteridsten Gliedern der Kräfte-
function benützt werden können, desto näher wird sich die Losung der Wahr- heit anschmiegen.
74. Die Differentialgleichungen ftlr die intermediäre Bahn des Mondes. Sieht man p als cunstant an, so werden die Diheientialgleichungen sur Bestimmung der intermediären Bahn:
*) Statt dessen können «adl gCWISM erfüllende Bedingungen vorgeschrieben werden.
Eine solche ist tluich die Bcdinf^imgen (7) und (7n^ t!itilwci«c fixirt. Die Störung T der Zeit erfordert nocli flir eine ah^olule Lomuij,' eine ^eet^netc 'I raiij-fi)mi;»tion. Weiter wird man für j cbculalis eine Zerliillung vüinclitncn können, ähnlich derjenigen für p, doch iBiits telbMvcfsttadlich sn dieicr Stelle von zu weitgebenden Ausführungen abgeteben werden^
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5M Ueehüidk des Hlnaid«. 71.
ZZ^ - Öo (1)
wobei Qq und /'^ diejenigen Theile der siörenden Kräfte sind, welche eben beittcksichügt werden sollen, <L h. die Hauptglieder in den Entwickelungeo:
0)
I
Zunächst sind demnach P und Q zu ermitteln. £s ist nach 72 (5):
und da es aich hier cunttclist um die Bestimmung derjenigen TbeÜe der stören- den Kräfte handeU, welche die intennediäre Bahn ergeben, so können alle Aus- drOcke weggelassen werden, die nur zur Entstehung sehr kleiner Glieder Veran- lassung geben können. Es können also vor allem die in [So. 56 (2)] multi- plicirten Glieder in den Kräften X, Y weggelassen werden; sodann ist nach 23 (1), wenn man sich auf die Wirkung dreier Körper beschränkt, die Sonnen- masse gleich M setzt, und Kürze halber die Entfernung des Mondes von der Sonne = A setzt:
xY, -yx, - *»ir[(«y - ^)] •
Nach 6<» (1) und (2) ist:
daher, wenn von den parallaktischen Gliedern abgesehen wird:
Ffllirt man an Stelle von r die Grössen r und s dn» und analog Utr die Sonne, also:
r» = r«H-«»; r'3 = r*» -h «'»
und sieht dann von den Neigungen der Bahnen ab, indem zunächst die Breiten* bewegungen nicht weiter in Betracht gesogen werden, so ist
r*» * r** rr'
Da weiter
XX* H- a» -h rr* w(/ — /,); — jrV «■ — rr'xi»(/ — /j) ist, so wird
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Mechanik des Himmels. 74<
503
* - = - i> il/pr, 3 i/« (/ - /J cosij - /J, demnach;
wobei i^if BS H- m) ist, wenn die Erdmasse gleich 1 gesetzt ist, und m die M<Midmasse bedeotet Settt man hier
7 / , "?
beracksichtigt bei den flir die intennedUtre Babn «i verwendenden Kräften nur die von i unabhängigen Glieder und führt statt der wahren langen /, die iotcmiediären Langen Z, ein, so wird:
"(jyjTH • - + X - X.)
Hieraus lassen dch dann die störenden Kräfte leicht finden; wenn man die vollständigen Entwickelungen der Ausdrücke S, W, [ii (7) und (7 a)] vor- nimmt (in denen allerdings die noch unbekannten Störungen ^ T, i und even> tuell ein SU / tretender veränderlicher Factor eintreten), so wird dann'}:
Aus (3) folgt
-äi ^4 —
Sei der Radius der äusseren Grenzkugel a(l 4- cierjeisige der inneren a (1 — e), so ist 2<J'<' der Normalabstand der beiden Kugt-ln, /wiächen denen sich die periplegmatische Curve bewegt; a ist das aruhmetische Mittel aus den beiden Halbmessern; a {l + ^) ist der grosste Werth, den der Radiusveclor erreichen wird, ^ (1 — ^) der kleinste. Setst man
/ = a (1 - d) (6) so wud in der intermediären Bahn (d. h. abgesehen von Störungen):
der Mmimalwerth: «=» i _^ ^ — Ot
der Maxtmalwerth: = a a(l + *),
folglich
p ist nun aber eine periodische Function , in welcher crfahrungsgemäss ein Hauptglied Uberwiegt, so dass der Hauptsache nach, p nahe gleiche positive
I) Hierin tind atUldich flir und nicht die fOx die eiste Integmtion noch nidit id venpoidendeD AasdiHdce (4«), sondern die aus {4b) psg. $04 folgenden, eventuell, iiodi weiter cdncirten, einsusetscn.
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504 Mechanik des Himmds. 74.
und negative Werthe erreichen kann. Hieraus folgt» dass d von höherer Ordnung der Kleinheit sein wird, wie e> Bei veränderlichen Diastemen wird nun aller* dings nicht constant sein« man kann aber immerhin in dem Ausdrucke
d so bestimmen, dass die Entwickelung
(1 "*"d)t ^ ^ periodische Glieder (6a)
besteht, d. h. dass der constante Theil dieser £ntwickelung gleich 1 wird. Dann wird
Z Z(o> + ^ C + periodische GUeder
oder, wenn man
setzt,
Z » Zi«) -h X'C + periodische Glieder.
Z' hat daher die Bedeutung der mitderen siderischen Bewegung in der Zeit- einheit £benso hat man für die Sonne:
Z| Z{*> f L^*l'+ periodische Glieder,
wobei Zi die mittlere stderische Bewegung der Sonne ist Wird Ittr das Ver« hflltniss der mittleren siderischen Bewegung:
- 1^ (7 a)
gesetzt [vergl. No. 6? (7)], so wird;
Z, ^ Zi<«> + {ftX'C -H period. Glieder ^ Z^Co) + |ft(Z ^ Z(«)) + period. GUeder, daher abgewben von den periodischen Glinlero:
Z — = (1 — |l)Z — Z^W-i- y,£iO),
Setzt man jetzt:
ZjW— ^ZW— A (8) und vernachlässigt für die Sonne die Abweichung der intermediären Länge von der wahren, setzt also Xi so wird:
sm 2(Z — Zi + X - Xi) = siM%(kZ 4- x — A); w 2(Z — Zj + X — Xi) ™ 2(XZ X — A). Weiter hat man, wenn man in den CoSfficienten von (4 a) an Stelle von /, /, deren constante Theile einführt:
und wenn man nur (ilicdci der traten roten/, von p, pj berücksichtigt:
Qo = - ll^ni 4-3p, -4p: i///2(XZ-|-x-A)
= — -4- 3pi — 3p;ll -h -icos 2(XZ 7 - A)],
und die zu iiitegrirenden Difierentialgleichungen werden« wenn noch Kürze halber
gesetzt, und in der Gleichung ftlr p die in mit dem Faktor p behafteten Glieder mit den übrigen links vereinigt werden :
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Mechanik des Himmels. 74. 75.
^« -1*1(1 + 3pi-4p)«>i2(XXH-x~ A)
[l - I*» - 3Hi,r^* 2(XZ -j- X - A) -h 2^ -I- (^)']p («)
^ — — 1*1 Pi — H- X — A) — 3|friP|<^0f S(XZ H- X — A).
Hierin ist noch x endialten; vernachlftssigt man dies in der ersten Gleichung rechts« so erhält man eine erste Nflhening:
^==-*-2X'^'2(^^-^)' X = + iXF««2(XZ-A). (9) und setzt man dies in die zweite Gleichung (8) ein, und vernachltfssigt ebenso
wie in (9"» die zweite Potenz von ja^, welches die störende Masse repräsentirt, und die Produkte von |A| in die kleine Grösse P| und in das Quadrat von p^), so erhält man:
Setzt man daher noch;
^* (10a) H^mm — ||ti — cos 2(XZ — A), so wird die Differentialgleichung
1^ H- (1 - |i, - t^^cos 2(XZ - A)Jp « Py. (10)
95. Die intermedittreBahn des Mondes. Integration derDifferential- gleichungen. Um die Gleichung (10) der vorigen Nummer zu integrireni wird
XZ - A = — 90° (1)
gesetzt, wobei K ein vollständiges elliptisches Integral erster Gattung ist'-'), dessen Modul X erst bestimmt werden soll. Dann erhält man die Difierentialgleichung :
*) Dm Produkt ^t.^ p muss Ijcibehaltcn werden, da hiervoa der CoSfficIcnt von p in der iweilen Gleidmng (8) abbüngk Es lüsst sieb auch Air die intcrmediXre Bahn seibatTCistilndlich
die Näherung fllr p und auch filr / weiter führen ; doch kann auf diese vollständige Berechnung hier nicht eingegangen werden. Vcrgl. hierzu GviJJEN, »Die interroedtäre Balm des MomK'S', Acta matheniatica, ßd. 7, pn^. 140- 145. Es mag hier nur erwähnt werden, dass die genauere Berücksichtignng von auf eine Gleichung führt, welche durch die Subätitutiun
p = £ J/l + ij toi (kL
auf eine der Gleichung (10) völlig gleich gebaute DifferentUlgleichung ftthit, bei weldicr nur die CoCflicienlen um GiOssen swciter Ordnung in (A| gdtndett werden.
^ Die Einführung der elliptischen Functionen in die Theorie der Bewegung der Iliunnels- körper hat sich als äusserst fruchtbringend erwiesen. Zwar kann man ohne dieselben cl)enfalls Entwickelungen erhalten, welche von den M.ingeln der früheren Methoden frei sind, wie dies t. B. bei den Entw ickciung«n von LlNDSlbüT (Astron. Nachr. No. 2462, 2482, 2503, 2557), Hnx (American Journal of Mntbemntics, Bd. I), HAazza (Astroo. Nachr. No. aSaÖ und 8850) «• a. der Fall ist, 'doch bat die Einfllbrune der elliptischen Functionen den Vonng, daas man, ^ S. B* in dem Integrale (10) eine grössere Anzaltl von Gliedern vereinigt, diese überhaupt in anderer, und wie es scheint condensirterer Form geordnet erhält, und Uberhaupt in vielen Fällen rum minderten eine grossere Cnnvergen£ erreicht. Vergl. hierfür das sehr instructive Beispiel, welches Gylukn aus dc^r Bewegung der Pallas in den Astron. Nachrichten No. 3S86 giebt.
Sehr bemerkensweith sind auch die Eotwicicelnngen von Hm. in »Acta mathcmatica« Bd. S, pag. 1, welcher ohne £mfuhrung der elliptischen Functionen die Bewegung des Mondperigeums bis «uf den 19. Theil richtig erhült.
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So6 Mechanik des HimmeU. 75.
Nun hat man die Entwickdung
Wübci
(3*)
q ms e K
ist. Hieraus folgt:
Substitoirt man dies in die Differentialgleichung (2) und berficknchtigt, dass is^ so folgt:
oder:
W
Der Modul x soll nun zunächst so bestimmt werden, dass der CoefBcient von 2fM* ümx gleich x* wird, d. h. dass
wird. Setal man noch^):
«* 1 — > IC*
4jf?Xt (1 - l*t) + — JTfiXi 1 - x»*i«««»#oi. (6) so geht die iJiiterentialgieichung Uber in:
1) Du Imagintfc niiM hier ciDgefllbit werde», well die linke Seile der deidrang (6;
grösser als 1 ist; wUrde man aber 1 + x' sm* amv» setzen, so wUrde die Form der Gleichang (7) gdlndert. Das Imaginäre fillt •chlietslich henua» da ja smtmifm^ x) « < AMg-«w(«i, x') iit.
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Mechanik des HiinmcU. 75. 507
Dm Iniegnl dieser Difiereotialgldchang ohne letttem Gliede ist nach HBRmrt: wobei in der jAOOBi'scIien Beseichnungsweise
ist. Um tür wieder die Länge L einzuAihren, sei
e'(/«)
= /gT^V. (9
dann wird
Seist man dies ein, so wird:
oder wenn man an Stelle der Constanten , zwei andere r*« C durch
einführt, wodurch der in der letzten Formel auftretende Winkel von 90** in die Constante C" eingesogen erscheint:
- «»[Ä^C« -h «0») + H{x - /•»)] [v(XZ - A) - 0 — (10) — yV'[^(jc H- itt) — Hi^x — f«)] [v(XZ — A) — C].
hl den Ausdrucken JSr(« -1- 1») h- H{^~im) und « [Zr(x-hf«i) — Ar(«'itt}] ist das Imaginäre verschwunden. Der Modul der hier auftretenden elliptischen Integrale und Funktionen ist bestimmt durch die Gleichung (j^); aus dieser folgt:
f t*» 1— f« 16X»
^ ^ 16 X» V " Ö6T«)» -»-•••• j ■ (»)
Hiermit erhält man nach den Formeln für die elliptischen Functionen: (S. z. B. Jacobi, »Fundamenia nova theoriae functionum ellipticarum« , Werke, Bd.1, pag. 159):
= ^^4 - 3-:;^ ^ ^n) - 3(1 ^. ^3) 4(1 q^) '
oder die noch stftrker convergente Reihe
Aus der letzten Formel (12) folgt
9» dz i%- Hang am («o, %') «= qp x/oni^ a« («1, x'}.
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5<A Mechanik des Hiroinels. 7h,
Eine i»ch Potenzen von m fortschreitende Reihe» welche geMtttet, aus a
8' (ito)
sofort 7rr^"\- zu erniiltein, erhält man durch die WEiERSTRASs'schen ^/Functionen; 0(»<i))
doch sind diese Reihen, da sie nicht nach Potenzen von f fortschreiten, Air grössere Warthe von x nur schwach convergent, und ist daher eine indirekte Lösung vorzuziehen. Es ist
^ a r^'Tf (8c)
der zu — «» (^hörige ^•Werthi und daher, wenn man BRiGO'sche
Logariüimen versteht:
% y . Ä?^ ^' « it« i»/» = 1-86 15229 (/^ir = 0 2G98683,7) 2K' 4y' ig'' V Ag'*
womit man :^ur Probe nach der Gleichung (3c) den Werth von ^' wiederfinden muss. Dann wird:
... ^ L 4/* . jca> 4tf'* . ^ ir»
j)»v««»(«.«)'= 2xÄ^f'''^2ir-r:^:7i'*«ir + rT7^'^^ ir-
demnadh
Awij'j^««» — «/««'««(•i «) + I y», sm-^t— I _^ ^4 «I» 2 H- . . . Odert)
TT» „ AT' i^t ^ 4^4 . „ ^tu)
'^^Sjr'^^T ••*"rr75'«jr ■■ ^^^^
Hier tritt noch rechts auf; da aber hierbei die Coöfficienten f f . . .
vorkommen, so ist dieselbe leicht durch Näherungen zu lösen; um sofort einen provisorischen Werth su erhalten« welcher in die rechte Seite substituirt, einen
genügend genäherten Werth von tang giebt, sei
dann kann man mit Vernachlässigung von schreiben: und daraus
t = /a«^ «= (13b}
1H-(1 -h4a)if>
*) Man brauclit hier nur dn Zeichen zu berilcksiditigen ; nimmt man fttr s das entgegen»
gesetzte Zeichen, so wird auch das eutgegengetettte Zeichen erhalten (Qbeidiess treten nodi
7ca>
swei Weitbe von — auf. die am 180* gTBaer tind, welche aber in Ab qnd tey wieder mit
den bdden früheren tdentiscli weiden). Es wflrde dann auch v das entgegengesetste ZeidwB erhalten, und damit geben die beiden Glieder In (16) in einander Uber, wenn man mir midi bei der InlegiationtcoiMlanten C das Zddien Ündert
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Mcduuiik de« Hinmidt. 7). Ist bestimm^ so kann sofort
berechnet werden. Wenn man dann weiter die Formel
, ■\ßK%* (1— 8ftftf>2tP»-hf«X^— 2y'<^<?J2«^»t-t-^'')(l— 2g*w8wg-l-y'*)>».
logarithmisch differenzirt, ^ w i^Ut, so folgt:
e'(/«.) 1 ®»'(2ä)
8(10») .
0(
2»t . / (ü ~ [ 2^^ 2^'
1
Nun ist
Sin
demnach
9' C/to) /r
e(/a») 2A
i'ili-''
^Jl^, _ ..^j- , • • J
^ J
C15)
In den Ausdrucken (10) ist nun 1, allerdings nur scheinbar enthalten; um es aber thatsächlich zu eliminiren, und für die Berechnung brauchbare Formeln zu erhalten» muss (10) weiter entwickelt werden. £s ist aber:
// {x) == ftj (2^) = 2 stn X - qhin^^x-^ g^sin ^ 3^ * — • • • • daher
und ebenso flir — m), demnach
i[Ä(* -4- I«) — Hix — I«)] —
Setzt inan dies in (10) ein, und berücksichtigt, das^ j/ii[(2» 4- 1)90** H- A] = (— 1 /'(Ti^i A
Ist, so wild endlich
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5IO Hcchantk dci Hhnmeb. 71^
H- ^+<2-+iMi''\v^ [(2« -I- 1 4- v)(XZ - A) - C']] .
Diese Reihe ist, da sie nach den Potensen von ^ geordnet isl^ stark C0fi> vergent ; die beiden Hauptglieder entstehen fOr « 0, sie sind:
Je nachdem nun ß oder ^ grösser als 1 ist, wird nach (15) v positiv oder
negativ: es sei * positiv, wozu es genttgt <r s — ixsmami» su setsen^); dann ist der Coiifficient des xweiten Gliedes grösser. SeUt man
(1 -I- - 1*) - J - c ^"•^
und führt, statt der Constante C die ConsUnte C — (1 H- v)A H- C ein, so werden, da
1 — 2f£os ^ + • • •
ist, mit Vernachlässigung der höheren Potenxen von f die Anfimgsglteder der
Entwickelung:
f £4>s [(1 - t)L^ C] + f^tos U2( 1 — I») - (1 — - 2(1 - v)A + C]. (17)
Das erste Glied ist das HaoptgHed der Mittelpunktsgleichung, das aweile die Evection. Sieht man c^, C an Stelle von c', C als Integrationsconstante an, so haben dieselben die Bedeutung der Excentricität und Länge des Perigeums für eine gegebene Epoche. (L ist die Bewegung des Perigeums und es folgt aus (17):
c-!^-v(l -jx). (17b)
Die Bestimmung von v erhält hierdiuch emc besondere Bedeutung. Endlicb ist noch zu bemerken, das«; = ^, fi ist. Gvldkn nimmt"):
% « •= 7 -230002, /og n' = 6- U 2594,
damit folgt
8-877598.
Die wegen Glieder höherer Ordnung corrigirten Coeffidenten der Gleichung (1) werden:
^^l&^-i 7-915348, /tf^ts — 9010769.
Damit wird:
lo^f^ 7-874755, üigf' «= 9*124091 /0g X « 9-528562, /cg ^ » 0-012923, Zog -~ « 0-205397
^ » 28*" 54'4"-9 0*504424, ^^^^ 9 895270
hgY^ «- 0-341236, /^^ V * 8-855730
« — + 0-0091 15; ^1 e 0-2077 e^.
') Man braucht darauf nicht weiter Rüclc.«iclit zu nclnien; indem 0 sich durch den WerA der QundrptwurzLl in (12) Itistimmt, nnd «Ucse W'sbl von 0 bereits in (13) beiUdatclitigt ist; vergl. die Anmerkung auf pag. 508.
^ Die Formeln von Gyldem sind etwas anders, führen aber tu deniselbem Kesultmte.
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Mcdumik des Hfinmds. 75. 511
Hat man in dieser Weise das rntep:r3l der reducirten Gleichung, so erhält man fUr das Integral der completen Differentialgleichung (1) die Zusatzglieder
Äp - - t/F^{x)SF^{x)HrdL -h i/J^^{x)jF^{x)HrdL, (18) wo / ein oonsUmter, reeller Coftfficient isCp und
die beiden particnUlren Integrale der Gleichung ohne letztes Glied sind. Für die Entwichelung der Hsuptglieder kann wieder 6 (jc) 1 gesetxt werden, und es wird:
und in derselben Weise 2iF^{x), indem nur — » und — v an Stelle von -I- »1 -h V gesetzt wird. Ist nun ein Glied von IV:
(^)t = 2g tos (7Z 1') « ^' [«««Tr^+n^. ^-/(T/^+Dj^ (19)
so wird
+
2l(v - 1)X - Tfi 2[(v 1)X - 7)
8[(y - 1)X H- TT] 9[(v + 1)X + T] J
und ebenso für j F^{x) (IV)^äL. Vernachlässigt man im Nenner die kleine Grösse v gegenüber der Einheit, was immer gestattet ist, wenn 7 nicht nahe gleich X ist, so werden die Nenner bezw. — 3(X -f- 7} und + 3(X — f), und man erbiUt durch die in (18) angezeigte Multiplikation und eine leichte Reductton
oder
Ap = -/gVi ('f^- . y _ <^'>' (T^ -H T). (90)
^ 7
Berücksichtigt man nur die beiden Glieder von W, die in (10a) der vorigen Nummer angegeben sind, so wird:
fllr das erste Glied: = 0, P = 0, ^ = — ^1 „ „ zweite Glied: 7 « 2X, T » — 2A; ^ — \V'i,
demnach
Das variable Glied dieses Ausdruckes ist die Variation. Die intermediäre Länge ist eigentlich Z; doch kann schon in der ersten Näherung (in der inter- mediären Bahn) die Correction / aus 74 (9) berttcksichtigt nnd (Z + x) ^ Länge des Mondes benutzt werden. Bs ist ttbrigens nicht schwer» schon in dieser Näherung weitere Glieder zu entwickeln, wodurch jedoch schon der lieber- gang auf die wahre Bahn stattfindet*).
'} Vergl. Acta niathematica, Bü. 7, pag. t6o.
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$12 IfediaDik dn IfiipBid». 7d. l€»
Zunächst ibt noch die Gleichung 74 (3) zu intepriren, welche die Beriehung zwischen der intermediären Lanpe und der rcduclrten Zeit giebt BeschräJikt man sich hier ebentalls auf die ersten Potenzen von so wird
oder mit Rücksicht auf 74 (7):
demnach mit Berücksichtigung der Hauptgheder in (17) und (21):
+ z'c - ^ - rir^^'«[0 - c)Z - C] -
- 8^|_^)'i(i,,)^^l[aa «)]^ - 2(1 - v)A -I- Cl - (22)
wobei das Z proportionale Glied /vV^t* ~~ ^} ' ^ Gliede Z ver-
einigt, und durch den Coefficienten
dividirt wurde. Man hat dann unter dem Coöfficicnten Z ' wieder die wirkliche,
aus der Beoharbfunp: In stimmte, mit den Störungen behaftete mittlere Bewegung zu denken '). Das VerbÄltniss der Coefficienten der Mitielpunktsgleichung und Evection wird
£pijZ_?MJ:i.0-874'-4-4-11.
Während das wirkliche Verhältniss 4 93 ist.
F n t wie k c 1 im i: der störenden Kräfte. Hie störcndtn Kräfte sind Functiuncn des Radiusvectors un<i der ualircn Länge, welche als Functionen einer Variabein darzustellen sind Zieht man dabei für den Radiusvcclor die sämmtlichen elementaren Glieder zusammen und berflcksichtigt die übrigen, nicht elementären Glieder durch die Störung i, so wird man
= p = r,^*;^f(l -c)X-ic) (1)
wählen können. Treten in p eine Reihe von elementären Gliedern mit ver- schiedenen Argumenten auf, so werden dieselben zu einem einzigen vereinigt, sodass dann ij und « veränderlich sind*). Die dabei Uber / gemachte Annahme giebt dann in Gleichung 98 (11) eingesettt, eine Bestimmung der Function
1 dp
Es ist zu bemerken, dass — , ebenso wie Q. von der zwttten oder höheren
f> uL,
Ordnung der Massen sind, sodass U ^ \ -\- U' sich nur um Grönen zweiter Ordnung der störenden Massen von der £inheit unterscheidet Dann wird:
a\_ (2)
eine Gleichung» welche, wenn
(l_c)Z — IC«» (3)
gesetzt wird, in die folgende übergeht:
■) Vergl. No. 48.
■) Vcfsl. die Fonneln (1«), (17), (18) in No. 7t.
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Mechanik des Himmelt. 76.
5»3
welche mit derjenigen in der elliptischen Bewegung, bis auf die Veränderlichkeit von 1) und ic Übcreiastiiniiit. Durch diese Verinderlichkeit wird jedoch dielotegmtion etwas Crtchwett GvustN ftihn dnen HÜfswinkel £ durch die Beziehungeo
ein, wonach
— (8)
wird. Aus (6) folgt:
und daraus durch Differentiation: — (1 -hij (1 — i)^9x.ß)«iff 9^9— (1 — m^^M^/^T) = 0.
Da aber nach (3):
ist, so wird
(1 ^ti€9s£)Mmv\{\'' t)dZ—äit] — (1 H-i|^^X9)^m.£4f^— (I — (csvcüs£)d^ — 0, folglich
und damit aus (4) nach einiger Reduction
Z.'(l — ^)dZ =(1 — riCQs£)dE H ' ^ if« 4- ^ — y— I g rf«, (10)
daher durch Integration:
(1 - c)rc - « + -ff— iiiwi^ + (X - ^)X, (II)
wobei
(l-c)jr:=y ^^^^ ^dn-i- j-^j^f=^dic^ftm£dn'-Jdn
o-o^=/^^£^^^^^^. - ^]^^- ^^^^
Setst man
(i^O(^'c-jr)-««iM; (13)
so wird
M'^£ — rism£. (14)
Die Besiehungen swiscfaeo (7) oder (8) und (14) zeigen» dass swischen p und M dieselben Beziehungen bestehen, wie in der elliptischen Bewegung (vergl. No. 14), mit dem Unterschiede, dass an Stelle der constanten Ekcentri- cität das verftnderlidie Diastema i) getreten ist Der Werth von M ist jedoch
hier von der mittleren Anomalie (1 — <)Z'C — ic um den Betrag (1 — (:)X ver» schieden. Die Berechnung von M aus Gleichung (13) erfordert bereits die Kenntniss von X\ Gleichung (12) zeigt aber, dass X von der Ordnung jär^ und Jy^dn, d. i. von der Ordnung der Veränderlichkeit des Diastemas ist; hieraus
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Mechulk d» Hiiimds. 7€. 77.
I
folgte dass sich die an (1 — c)X'C — n ancubria^de Conectton in eine mch convcrgente Reihe entwickeln lassen wird.
Hiemach werden auch die weiteren Entwtckelungen lür die positiven und negativen Potenzen des Radiusvectors der gegenseitigen Entfernung Öl u. s, w. der Hauptsache nach mit dem bei den früheren Infegrationsmethoden an- gegebenen Vorgange ideniibcli, obwohl sich auch bei diesen Entwickelungen verschiedene Formen angeben lassen, die mehr oder weniger von einander ab- weichen (vergl. die »Allgeoi. Einleitung in die ABtronomie«, pag. 15S). Diese Diftrensen sind jedoch nicht durch die Metbode der Integration der Differential- gleichungen bedingt; aui diese Abwetcbungen braucht nach den bereits durch- geführten Beisinelen von No. 89, 44, 48» 66 und 66 nicht näher eingegangen SU weiden.
97. Die Störungen. Hat man eme erste Näherung iltr C durch die btermediäre Bahn erhalten, so geben die Gleichungen 73 (6), (9). (11), (14) die Störungen. Würde man die in 78 vorgenommene Zerlegung der Krälte in der
in 74 (4b) angezeigten Form als definitiv betrachten, und die gesammten übrigen Theile JP^, Qi nach 74 (5) zur Ermittehmg der Störunr^en %'erwenden, so würden gerade so wie in den früheren Methoden im Laufe der Entwickelungen neculare oder elementare Glieder entstehen. Diese Zerf ällung darf daher nicht als definitiv angesehen werden. Treten im Laufe der Entwickelungen in den störenden Kräften (also vor den vorzunehmenden Integrationen) Glieder derselben Form wie in 74 (4 b) auf, so höimen diese von /^j, Q^ abgetrennt, und, wenngleich von höherer Ordnung der Klemheit, doch mit J'^, Qq vereinigt werden; es smd dies die in 78 (ö), (6) mit w, besw. pw beseicbneten, dort noch willkflilich gelassenen Functionen. Hieraus folgt, dass in der gestörten Bahn der durch p bestimmte intermediäre Radiusvector nicht ungeändert bleibt, sondern dass die Störung in zwei Theile zerfiUlt erscheint, von denen der eine sich un- mittelbar mit p verbindet, der andere $ dabei bestimmt v,i;d, dass er von elementaren Gliedern frei ist. Bei dieser Zerfällung wird nun gleichzeitig die bei der Bestimmung von p auftretende Grösse c in jeder Näherung so be- stimmt werden können, dass eben elementare GHetkr n p nicht auftreten. Es wird daher der bei der Bestimmung der intermcdiaien Bahn gefundene erste Näherungswerth von c in jeder folgenden Näherung neu bestimmt besw. corrigirt.
Es sind nun zweierlei elementäre Glieder zu unterscheiden. In Gleicbung 78 (10) würden elcmentäte Glieder durch die doppelte Integration aus Eat- wickelungsgliedem entstehen, welche die Form haben
a cos [«Z — A\ und a sin [<s L — A\ (1) wo 9 von der Ordnung der störenden Kräfte ist Die Integration der Gleichungen (5), (6) hingegen liefert, wie aus 76 (20) hervorgeht, elementäre Glieder aus jenen Entwickelungsgliedern, in denen 7 nahe gleich X, also von der Form (l — 9)Z ist, d. h. wenn in den störenden Kraitcn Glieder von der Foim
b £os [(1 — <7)Z — M\ oder b sin [(1 ^ a) L — B] (2) vorkommen. Gvld£n nennt diese Glieder bczw. »Glieder vom Typus (A) und vom Typus (ji9)«. Die Gleichung 73 (6) kann nun auch geschrieben werden
3^ + [' + ^]'«-« « wo das «weite Glied» da es — TT ^ ^on höherer Oidnung der
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lltduulik dn Himnid». 77.
störenden Kräfte nach rechts geschafft werden kaim. Die Gleich iin;^ hat dann denselben Charakter wie 78 (5), nur dass die störenden Kralte von höherer Ordnung? sind. Damit dann in i keine eien^entliren Glieder auftreten, genügt es, die Zenaiiung von .S so vorzunehmen, dass J\ keine Glieder vom Typus {B) enthält, diese daher in der Summe w vereinigen, von 1*^ wegzunehmen, und dafür in (5) zuzulegen, und die entsprechende Correction su suchen« Da nun faüsi jeder folgenden NIhemng die Glieder von um eine Ordnung höher in den störenden Massen sind, ebenso auch die Glieder in P^, so wird fflr die Stöning in i eine convergente Entwickelung erhalten, ebenso wie Ittr die ele* mentSren Glieder für sich betnuchtel^ so dass auch die Bestimmung von c durch ein convergentes Näherungsverfahren bestimmt erscheint. Die Integration der Gleichungen 73 (5), (C) bietet hiernacb weiter keine Schwierigkeiten.
Schwierigkeiten anderer Natur treten aber bei der Integration der Storungs- gleichung 73 (10; und der entsprechend transfonnirten Gleichung für 7" auf. Die Integration der Gleichung fllr y gab in 74 (9) auf leichte Art einen genäherten Werth für allein die Unbekannte x tritt in den Argumenten selbst auf^ und allgemein werden die beiden ni betrachtenden Differentialgleichungen die Form habend):
^ « 2 - <Tifi«(«iX -H ^.^ -H Ai% (4)
wo die in den Argumenten auftretenden Functionen ÄiZ + A^'^ beikannte Functionen von £ sind. ««, ^i, sind dabei Constante; kann stets als positiv vorausgesetzt werden, da es im entgegengesetzten Falle genügt, das Zeichen des Argumentes und des Gliedes zu andern, um i, positiv zu erhalten; <j, kann ebenfalls als positiv und das Zeichen aller Glieder als negativ vorai; gesetzt werden, da im entgegengesetzten Falle durch die Vermehrung des Ar- gumentes um 180^ diese Form resultirt.
Die Glieder der £ntwickelung können nun vier verschiedene Formen erhalten; es können und At entweder von der nullten Ordnung in den störenden Massen oder auch von der Ordnung der störenden Massen sein («i ist immer von der Ordnung der störenden Massen). Im ersten Falle mögen sie mit e, , , . At B * » , im letzteren Falle mit p, e . . . P, Z bexeicbnet werden, ^ie Grösse der Coo- ftanten ^<o) ist dabei gleichgültig). Es wird dann % ^ Theile x'> x" ttAnltt so dass
X = x' ^- X" (5) ist, und die beiden Theile so bestimmt, dass
— J — asmiAx + -rfZ + H- X — ^smi^X -¥ BL-^B^ — w (Sa)
^ — I ~/sm{9X -h PZ H- Po) + J — (ex 2Z H- 2^) + » (Äb)
ist, wo in der ersten Gleichung alle jene Glieder vereinigt sind, in denen die in den Argumenten enthaltenen bekannten Functionen von der nullten Ordnung, in der zweiten Gleichung, wo ihre Coeffidenien von der ersten Ordnung der störenden Masten sind, und w vorläufig gaos willkttrlich, etwa gleich Null gesetzt werden kann.
Da die ColHificienten «, A, /, ^ von der Ordnung der störenden Massen sind, so wird Xf sofern et möglich ist, die kleinen Integrationsdivisoren von der
') Es ist dieses auch die Differentialgleichung, welche bei den früher erwähnten Integrations- nwtbodeo fur die Läage auftreten. Vergl. 19 (15) und femer das Doppclintegral in 47 (8).
33*
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5i6
Mechtntk des Himmels. 7T
Ordnung der stöfendoi Massen tu venneideiif ebenfiilli klein edn; nimmt
man dieses vorerst an, so wird a^^ von der ersten, ^ zweiten
Ordnung der störenden Massen sein, und es Hesse sich entwickeln:
sm{9x -^-AL-k- A^) «= sin (AI + A^) -+- a(x' + x") <^<»* {AL A^) —
- i (■/' + z")» sin (AL ^ A^) . . . (6) sin (px 4- 4- i?o)= {-ß^-^ ^o) p(x' -H X") <rw (-ff Z 4- — • • •
Integrirt man nun die Gleichung (5 a), so folgt mit VemacbUsngung der ni (6) rechts mit (x' + x") multiplicirten Glieder:
X* Z j7 iM^Z -I- ^o)^ 2 ^ B^y. (6a)
Substituiit man diesen Werth rechts in (6), so entstehen nebst den noch anbdmnmen Gliedern, weidie von x" berrtihren, Argumente, fai denm 2A^Z, ^B^L, {A^ ±, Bit) (A^ ±. An) £, (Bi dt B^) L vorkommen. Sofern die A und B untereinander so weit verKhieden sind, dass ihre Summe oder Diflferens nidit von der Ordnung der störenden Masse ist, werden die Glieder wieder den Typus der rechts tn (5a) enthaltenen Glieder haben, und die nächste Näherung wird von der zweiten Ordnung der störenden Massen, u. s. w. Treten aber Glieder auf, in denen eine Summe oder Differenz der A oder B von der Ordnung der störenden Massen wird, so kann dieses Glied von der ersten Gleichung in Abzug gebracht (es wird die Function w) und zur zweiten Gleichung hinzugelegt, also aus der ersten Gleichung in die zweite geschafft werden. Treten hingegen irgendwo in x' oder x" selbst Glieder vom Typus {E) auf, so werden diese, in (6) eingesetzt, nur wieder Glieder geben, welche der Form nach denen in (5 a) gleichen, und in dieser weiter behandelt weiden können. Diese Gleichung bietet daher weiter keine Schwierigkeiten.
Die Glieder der rechten Seite in (öb) können jedoch nicht auf diese Weise behandelt werden. Setzt man voraus, dass mindestens von der ersten Ordnung der störenden Massen ist, so werden die rechten Seiten in (5 b), wexm keine kleinen Integrationsdivisoren auftreten, von der zweiten Ordnung der störenden Massen; lässt man aber jetzt die Produkte von x. gegenüber den bekannten Functionen weg, und integrirt auf gewöhnlichem Wege, so treten die Quadrate der kleinen Zahlen P, 1 in den Nenner, es entsteht also hier ein Ausdruck, der nicht, wie vorausgesetzt wurde, mindestens von der ersten Ordnung der störenden Masse ist, sondern es werden im Gegentheil noch die ersten Potenzen der störenden Massen im Nenner bleiben, d. h. in x" treten elementire Glieder- vom Typus (A) auf; dann aber dflrite man % ^ Klammem nicht vemadi* llssagen: ^e Integrationsmetbode ist fehlerhalt.
Zerlegt man x" in mehrere Tbeile Xii Xs* Xs * • • • Xi'* Xt' • • • • >o dasi X"-Xi + Xt+. . . -*-Xi' + Xs'H-- • . sei, und sctst den Differentialquotienten jedes Theiles einem Gllede rechts in (öb) gleich, so erhält man die Differentialgleichungen:
^ - (axi PX 4- P,) - Jf,
^ « -fün (a'x, -H P'/. + Po') - JT. (7a)
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Mechanik des Himmels. 77. 517
wobei in den Argumenten der einselnen Diffierentiaigleichungön rechts an Stdle von X nur derjenige Theil von / gesetzt is^ deiteii «weiter Differentialqaotieiit
links auftritt, wälirend die innerhalb des Argumentes weggelassenen Thcile zur Entstehung von Zusatzglieriern Veranlassung geben, die in X^, . . . X^, X^' . . . zusammengefasst sind'). Die Gleichungen (7a), (7b) haben alle dieselbe Form, und CS genügt eine derselben zu behandeln. Sei 2. B. in der ersten Gleichung (7 b)
SU kann diese Zerlegung so vorgenommen werden, dass u gegenüber ^ seiir klein sei, so dass man nach Potefizen von m entwickeln kann; dann wird:
und diese Gleichung kann in die folgenden beiden zerfällt werden:
^ - - fsm(ü^ -h 2Z + 2.} (8a)
^ ~^w(94»H-2Z+2o>«»+i^jyii(94>+2Z-|-2o)9*sf*-l- — Jfj'. (8b)
Setzt man in der Gleichung (8 a):
•tj, 4- 2Z -t- 2o =• ^» (ß)
BO g!riit dieselbe Aber in
irr
aus welcher man durch Multiplication mit ^ und Integration das erste Integral:
und daraus
erbttlt. Setzt man nun
to wird
folgUch
iV-«i|3^(Z-Zo); V-S«iil^(Z-Zo). (U)
Zu Gleichung (10) ist zu bemerken, dass, da <j und g positiv vorausgesetzt werden konnten, x reell sein wird, wenn auch lur die Iniegrationsconstante C ein positiver Werth gewählt wird. Diese, sowie die sweite Integvationsconstanle Z« lassen sich in folgender Weise bestimmen, bexw. durch die Constanten der Dillerentialgleichmig ersetsen: filr amx hat man die Entwickelmu^:
*) Um die Berediticung dieser ZerlegOBC, benr. der Vcmsdiltsiigiuif von JT,, JT,, AT^'» . . uden, sind ausgedehntere Untertadutogen Ober die Convergti» der Rcilisn ciCoideilkh; man vcigl. hieno GyldAn in den »Acta nialheaMtica« Bd. 9, pef. 19s und sii*
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$1«
Mechanik des Himmels. 77.
r.r 2^ - 2£r« r 2^' -
WO X| f, K die frühere Bedeutung haben. Man erhält daher:
Vergleicht man diesen Werth mit dem in (9) angenommenei), so folgt:
2Z H- 2o ;^ ^ (-^ - ^o)
folglich
♦ • »
^ ^ (12) V - a«« ^ (2Z H- 2»)
«« (2 Z: + 2o) + i(T$j4) H- So) -h ^^^^
Die erste Gleichung (IS) giebt eine Bestimmung fUr den Modul x* Subititunt man die Reihe fQr K*%^, to folgt:
(U)
In den Gleichungen (7 a) tritt a an Stelle von 9; fllr diese wird daher f von der Ordnung og, also da q stets kleiner als « ist^), mindestens von der ersten Ordnung der störenden Masse. Flir die Gleichungen (7b) ist der Nenner e aber ebenfalls von der Ordnung der störenden Massen, q bestimmt sich ans
Gleichung (14), und es wird von dem numerischen Werthe von X abhängen, welchen Werth q annimmt. Jedenfalls läsät sich q zwischm 0 und 1 bestimmen. Ist a sehr klein gegenüber 2, so wird g von der Ordnung: von a, daher 4* von der Ordnung von 2, also von der Ordnung der störenden Massen; ist umgekehrt
S sehr klein gegenüber e, so wird q nahe 1 und ^ von der Ordnung von ~
daher wieder von der Ordnung der störenden Massen. Ftr mllssige Wetthe von X tttsst sich die Reihe (14) umkehren, und es wird:
^« j(Xt- jx« + ^X«»-^Xt*H- ). (Ua)
Diese Reibe kann noch bis X b 1 benutzt werden« und zeigt, dass wenn 9» 2 und f von derselben Ordnung und auch numerisch in jener Besiebung stehen» dass X sehr nahe 1 ist, q nahe 1 bleibt, und ^ von der nulften Patens
der störenden Massen wird Für dies^en ganz speziellen Fall kann es daher thatsächlich eintreten, dass auch in dieser Form der Entwickelung elementlre Glieder nicht xu vermeiden sind.
•) Zwischen f und f' hcsicht die Gleichung 76 (I2b), es wird fj = q' für q = 0-043Ä wenn y < Ü 0482, so wirU ^'^ 0 0432. \N cnn sr> 0 54 21, so wird <. ü üOOOOOi und wenn q > 0*6510, to inid f' < OtCOiCCCCOI ; dsnn viid x*^ C, 1: AT'» ^n^ 00 j fUr ; > 0>5481 muis aber X > S>£64. Wenn daher X > 1, so wird f rasch anwadMcn, ebenso wie bei WcrUien von X < 1, ^ iMcli •bnehmeo wird.
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Mediatlik de« ffimiBch. Tf, 18. S>9
Ist ^ bestimmt, so giebt die zweite Gleichung (8b) die Ziisatiglieder ff« Hier kann u* veraechlfiatigt werden, und mim erhält die Gleichung
Setit min in denelben:
so geht sie Aber in
ihr Integral wird^)
u - c^^aml + c^äami ^ ^} - >Tp ^/ 1^/^«'^**^'^ ^*®>
wo £ das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung ist. Die Discussion dieser Gleichung kann biet nicht vorpenommen werden, und möpe nur das Resultat derselben mit den eigenen Worten GvLDfiN's«) wiedergegeben werden: >Mais le resultat auquel on est parvenu de la sorte, doit-on le consid^rer comme une vraie approximation, c'est ä dire comme une approximatton par laquelle on n'aura pas de developpement divergent? En g^n^ral ce n*est pas ainsi. En effist^ si Ton revient k l'öquadon compl^te, et qu'on y suppoie tot^out la foncUon X consisiant en an seul tenne, on verra naltre des developpements qui procMent snivant les puissances d'une fiactioa dont le nam^aieiur est une quanbt^ du quatri&me ordre, et le d^nomtnateur le carrtf du coöffident «. Ce developpement peut 6tre convergent, tl est vrai; mais dans le cas des termes ätoentaires, oü 9 est une tris petite quantittf de Tordre des masses troublantes, il peut fadlement £tre divergent«
78* Convergens der Entwickelungen. Sind durch die im vorhergehen« den erwähnten Untersuchungen auch die Hauptschwierigkeiten bei der Integraüon der canonischen Differentialgleichung beseitigt, so bleiben nichtsdestoweniger
noch andere, nicht beseitigte. Nebst den elementären Gliedern, welche von der secularen Veränderlichkeit der Klcmente herrühren, und welrlie ^ich durch die Bestimmung dieser secularen Aenderungen selbst elimmiren lassen, treten noch Glieder mit kleinen Integrationsdivisoren auf, wenn bei der Entwic k'jlung der störenden Kräfte in den Argumenten kleine CoefhcieiUen der Variabein in Folge der nahen Commensurabilität der mittleren Bewegungen entstehen. Diese sind unter den hier betrachteten elementären Gliedern nicht enthalten, geben atMsr Anlass cur Entstehung von Gliedern mit grossen Coefficienten und langer Periode*). Hierdurch haben sie auf die Ausdrücke für die Coordinaten des ge- störten Himmdskörpers dieselbe Wirkung, wie die elementären Glieder, und kömien als secundär-elementäre Glieder bezeichnet werden*). In allen Fällen mflssen die in den auftretenden Divisoren zu verwendenden Werthe der mittleren Bewegungen (?owr)h! de«; gestorten und störenden Himmelskör|ier, als auch ihrer Elemente) die wahren Werthe sein. Wenn diese nicht bekannt sind, und man
1) Vci]^ •TVtil^ des orblte« abflolnetti pi^. $6S. »Acl» Mathwnatica«, Bd. 9, pag. 237. *) ibid., pag. $70.
*) Vergl. hierfür die bereits ctwUiöt* Abhsndliiiig von HAtZIt: »Ucber einen
Fan des Problems der drei Körper».
*) Von GvLS^ a charakteristische Glieder« genannt.
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•{<o Maduinnt da Ifimiacji. 18-
irgend ein Systtn» genäherter mittlerer Bewehrungen (aus der Theorie bestimmter Bewegungen der Elemente oder oäcuiirende initiiere stdensche Bewegungen) ver» wendet, so werden schon hierdurch die Coefficienten ganz bedeutend alterirt, Im Falle» dats man es mit 'tecundär>elementflren Gliedern au thun hat, kann et vorkommen, dacs gewine osculirende Elemente eine vollständige Commen- surabilitik zwischen den mittleren Bewingen andeuten^), welche thatriLdilich nicht stattfindet Verwendet man aber statt des wahren Divisörs^ (dioisettr €ff€€^ irgend einen bekannten genäherten Werth desselben (diviseur Unfair), so ^ wird dies eine Darstellung geben, in welcher die auleinanderiolgenden Nähenmgon eigentlich nach Potenzen des Verhältnisses
wahrer Divisor — genäherter Divisor genäherter Divisor
entwickelt sind, sodass, wenn dieses Verhältnis« nicht genügend klein ist, neuere
dings schwach convergente Reihen auftreten. Auch diese Srliwierigke?t wird durch die letzterwähnte Methode nicht vollständig beseitigt. Gylb^n nennt die dadurch auftretenden Glieder kritische (leinies critiques), und bemerkt: »Dans Ic cas des termes critiques on est oblige de refaire plusicurs fois, Ics approxi- mations d^s le debut, mais on pourra aussi oiettre k probt des m^thodes de tfitonnement conduisant plus promptement au but*).c lÄui ist demnadi wieder vor die Frage gestelh, ob man es mit thatsächüd» convergenten Entwidtelungen an thun bat
Zunickst ist hervorzuheben, dass eine strenge Definition der Conveigeni nirgends festgestellt erscheint, so dass der Ausspruch von PoiHCAat, dass sich die Astronomen bei ihren Entwickelungen vom Instinkt leiten lassen, beinahe gerechtfertigt erscheint. Sodann aber ist, wie PoincarA treffend bemerkt, wohl zu unterscheiden zwischen der Convergenz einer Reihe im Sinne der Mathematiker und Convergenz im Sinne des praktischen Rechnens. Die erste, am passendsten und kürzesten als »theoretische Convergenz * bezeichnet, fordert, dass die Glieder einer Reihe von einem gewissen angefangen, beständig abnehmen (wenn sie auch anfänglich bis zu einem gewissen Punkte ab- oder auch zunehmen) und dass die Summe derselben, bis ins unendliche genommen, einen festen be- stimmten endlichen Werth hat Die zweite, im Gegensatz zur ersten als »piak- tische Convergenz« zu bezetcfanen, erfordert, dass die Glieder von dem ersten an, wenigstens bis zu einem gewissen hin, beständig abnehmen, und die Sumoi« dieser Glieder die gegebene Function bis auf einen kleinen, als praktisch zulässig erklärten Fehler, darstellt In diesem Sinne sind demnach die zuerst von Stirling betrachteten semiconvergenten Reihen, als »praktisch COttvergent« zu bezeichnen. In dieser Weise ist z. B. die Reihe
TT' W
WO A eine sehr grosse Zahl, z. B. 1000 oder auch nocli mehr, ist, »theoretisch convergente, nicht aber »praktisch convergente; und umgekehrt die Reihe
jP 0»
»theoretisch divergent«, hingegen »praktisch conveigent«. Wihicnd eine dieo-
') Kin Fall, den man als Libration bezeichnet.
Ucbcr die Berechnung des wahren Werthes dcs Diviso» Sltt dem Gylo^m in »Acta Mathematicac Bd. 9, pag. 201 ff. Tfah£ dcf orbttcs abtolues, pag. 564.
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MedmBc 4tä Ifimindi. 78. 521
reciflch converg^te Reihe thatiäcblich gemäss den der Definition entsprungenen Criterien der Convergenz einen endlichen, fest bestimmten Werth hat, wird dieses
flir den Fall der praktisclien Convergenz durchaus nicht der Fall sein müssen; die Sunjnie cJcr Reihe (b) ist thatsächlich unendlich, und wird nur dann als eine praktiicli verwendbare zu bezeichnen sein, wenn ausdr.u klicli bekannt ist, dass die Summe der ersten Glieder als die zu berechnende Function zu be* trachten ist.
In Folg» dessen bleibt der Begriff 'der praktischen Convergent iein wissen* schaftHch nicht genttgend prMcisirler, weshalb es nach dem Vorschlage Pom- CAKt's vorsnsiehen ist^ den Ausdruck Convergens stets im analytischen Sinne in veiatehen; dann aber ist es nöthig, den allgemein ttblicben, aber nicht ge- nttgend präcisirten Ausdruck der praktischen Convergenz durch andere, analy- tisch definirbare zu ersetzen. Als solche werden von PoiNCARfe*) die »asymp- totische Gleichheit« (tfgalit6 asymptotique) und die »formelle Beglriedigung der Differentialgleichungen« (satisfaire fonnellement aux ^quations dtif<ärentielles) in Vorschlag gebracht.
Betrachtet man in dem Ausdrucke
/o -»-/i'w + (1)
in welchem die Coetficienlen /,, ... Functionen von einer Veränderlichen
X oder auch von x und m sind, die ^ -4- 1 ersten Glieder
^(x, m) «/o -h/i« -h/,«* -h (2)
und sei die Function f{x, m) derart beschaffen, dass
iim'^-^^ «0, dir //« « « 0 (3)
ist, so wird Ittr verschwindende m die Function ^{x, m) oAenbar durch die Reihe (I) darieestellt, welches dadurch angeaeigt wird, dass man schreibt:
^(«, m) — /o -i-Am -h/fM^ -4- . . . • (4)
Diese Darstellung wird als eine »asymptotische Gleichheit« beaeichnet Hat man eine sweite aqrmptotische Gleichheit:
^{x, m) ^ +gxift -\-g%m* -I- . . .,
so wird gemäss der Defini^n (8):
demnach
oder
daher
f + l' — C/oH-^o) + (/i H-^i)«-H(/» -e . . . (5)
Aus (3) folgt
f — 1^ SM/,
wenn s eine mit m veiichwfaidende GrOsse beseichnet; ebenso wird demnacb
wenn r die kleinere der beiden Zahlen pt f ist, folglich ist
^) Lep mUkodM nomveUe» de la mfeanique oäestc, U. Bd., pag« 5 und 3.
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^ss Mcöbnfli des HhBnwii. 78«
und ebenso wird folglich
9^ ■- (/o -^-/«'«' • • • -^-^t*»' -*"....)
jp ^/o-^/^w4- Am^-f- ^ (6)
Asymptotische Gleichheiten können daher addirt, subtrahirt, multipHcirt, di- vidirt werden wie gewöhnliche Gleichungen. In den Störungsausdrücken treten immer derartige Reiiien aul, in denen m die Bedeutung einer störenden Masse hat: die analytischen Ausdrücke werden streng richtig, wenn die störenden Manen verschwindettr und die nach Potensen der Masten entwickelten An»' drttcke können daher als Entwickelungen gewisser unbekannter Functionen be> trachtet werden, welchen sie asymptotisch gleichen.
Betrachtet man das System von » linearen Diforentialgleichungen
^~A,«0, «=1,2....«, (7}
wo X,' eindeutige Functionen von /, x^» , . , und einem Parameter si sind^}, deren Lösungen ^ « seien; lassen sich n Reihen
Aber deren Convergenz oder Divergens keinerlei beschrankende Annahmen ge-
macht werden, derart finden, dass die Differenz — Xi durch m/ theilbar wird, wenn
S,<^) =Ao +/..im+/,,2m' -h . . . //,^«> (8a) an Steile der subatituirt werden, d. b. also, dass
ist, so wird das System der Si als eine »formelle Lösung des (Systems der Differentialgleichungen (7)f angesehen, und dann ist*)
m) » Si, («
d. h. die Reihen Si sind asymptotische Darstellungen der strengen Lösungen der Differentialgleichungen (7).
In den Störungsrechnungen treten die störenden Massen als kleine Parameter Si auf. Gelingt es daher, für die Differentialgleichungen Integrale anzugeben, welche in der + l)ten Näherung sämmtiiche Glieder bertlck sichtigen, die von der pten Ordnung der störenden Massen sind, wozu also gehört, dass die elementären Glieder, bei denen die störenden Massen im Nenner auftreten, eben- Calls entsprechende Berücksichtigung finden, so werden die erhaltenen Lösungen
'} Diese« System von linearen Diflferentialgleichuogen enthält die ollgemeioste Form, denn die Diflierrntialgleichungen htfhcrer Oidmuig laMca ikft dnvdi die SnbctitatiMi
auf die lineare Fonn bringen, indem die durch die Substitution entsMndeaCil GleieliiiDgal Wt
den Gleichungen (7) ein lincnrr'^ System der gegebenen Form liefern.
Eine Autoahme findet nur statt in den siogulKren Punkten der Fonktionak Xi,
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Mechanik des Himmels. 78. 79.
533
formelle Lösungen der DifferentialgleidniDgffo Im Siime FonfCAxtf^i sein, und sich mit verschwindender Masse asymptotisch den wahren Lösungen nflhern. Ueber die Convergcnz des Coefßcienten in den Reihen (8) ist, wie er- wähnt, keinerlei Annahme nöthig, womit erwiesen erscheint, dnss der in der astronomischen Praxis gebräuchliche Vorgang, Kntwickelungen nach Potenzen der störenden Massen, ohne Rücksicht auf die prak- tische Convergenz der in den aufeinanderfolgenden Näherungen auftretenden numerischen Störungswerthe vorzunehmen, als gerecht- fertigt angesehen werden kann. DerSaU erleidet auch IQr die Berechnung der Störungen der Satelliten keine Ausnahme, da dann ^* [(vergl. 63 (7) und 74 (7 a}] als kleiner Parameter m anzufassen ist Für die secundir elementären Glieder werden die Reihen der dadurch divergent, dass die Nenner
Ii' M
i — Ä V sehr klein werden; sei dann — «=a eine endliche Grösse, und
tritt in fik ein Glied ^ /^l auf, so wird das hieiaus entstehende Glied ge- schrieben werden können:
und es kann demnach als zu den Störungen der l)ten Ordnung der störenden Massen gehörig angesehen werden, woraus folgt, dass der Satz auch Itlr secundftr elementare Glieder gttlt^ bleibt
n. Abschnitt Die Rolatieii^eweguii|f,
79. Das Potential. Bei der Untersuchung der Rotatimisbewegung der Himmelskörper spielt die Figun derselben eine wesentliche Rolle, indem gerade
die wichtigsten zu Tage tretenden Erscheinungen eben durch diese bedingt sind. Andererseits aber wird die Figur eines Gestirnes durch seine Rotation
mit bestimmt; beide stehen daher in einer Wechselbeziehung, welche es er- fordert, das wichtigste über die Figur der Himmelskörper den Auseinander- setzungen über die Rotationsbewegunpr voranzuscliicken.
Bei diesen Untersuchungen spielt die in No. 3 eingeführte Function
CTm^i*!^ (1)
wo u die gegenseitige Entfernung der Massenpunkte bedeutet, eine wichtige Rolle. Handelt es sich um die Wirkung eines aus Massenpunkten m, m', m" . . . bestehenden Massencomplexes J/ = « -h »»' 4- w" . . . aul den Massenpunkt SO kann an Stelle von (1) gesetzt werden:
i/^k»m^l^. (la)
Nach der ntomistischen Hypothese bestehen die ivlassen aus discreten Massen- theilchen (Molekülen), die durdi relativ sehr grosse ZwischenrHume (Poren) ge- trennt rind, und es ist nicht nur gelungen, unter dieser Annahme die Entfernung der llolekUle, sondern auch die GrOsse dieser selbst annihemd su ermitteln« FQr die analytischen Operationen der Mechanik, welche sich nicht auf die Molekularbewegungen oder Molekularveränderungen (Molekularphysik oder Che- mie) erstrecken, ersetzt man diese Hypothese mit gleichem Vortheil durch die philosophisch gleich berechtigte einer continuirlichen Etfüllung des Raumes und nimmt die in einem eepebenen Volumen eingeschlossene Masse proportional diesem Volumen und einem constanten oder veränderlichen Faktor 2, welcher
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$«4
Mechanik des Ifinaelt. 79.
die Dichte genannt wird. Es wird dann die in einem Volumelemente dv ein-
ge§ch1os!=;ene Masse hdv, und die Summimne 'Iber die «?ämmtlichen discreten Massenpunkte des Complexes M geht über m eine Integration über die sämmt- lichen Volumelemente. Ist für ein Massenelement des betrachteten Complexes u die Entfernung von dem angezogenen l^unkte, so wird der m U autcreLende Faktor von m^:
ausgedehnt Uber das gan^e Volumen v. Diesen Ausdruck nennt man das Po- tential der Masse M auf den von der Masienetnheit erfllllt g^aehten Pookt . Zerlegjt man den Massencomplex Mt welcher Kttne halber stets als Körper M bezeichnet . «ird. durch iigend eine krumme Fläche in die beiden Körper My und so dass
Mx + if,; fr «s H- ir„
ist« so kann das Integral (8) ebenfalls in awei Theüe ttber die beiden Volumina ausgedehnt werden, so da»
(fi dv /B dv
V^V^^V,- = — ; F,==^»j — . (3)
(i'i) (fj) ist Legt man ein rechtwinkliges Coordinatcnsystem zu Grunde, und seien \, T), C die Coordmaten des Punktes \ x, y, t die (veränderlichen) Coordmaten des Massenelementes dv, so wird
dydM
(2 a)
Das Potential tritt als Function der Coordinaten i i), C auf, und kann daher geachiielten werden:
Durch Differentiation desselben nach diesen drei Grössen erhftlt man die Kräfte in den Riebtungen der drei Coordinatenaxen;
x^^-Z- K«if rt)
Die Kraft in irgend einer beliebigen Richtung v, welche durch die Ricbtnqgi- Cosinus «, % 1 geg^n die drei Axen bestimmt ist, wird
Ist aber v in die Function Keinget&hrt^ so erhalt man die Kraft durch bifierentiation nach v selbst:
'-ff- (4«)
In derselben Weise, wie sich [nach (3)] das Potential einer Masse zerlegen
läs«;t, wird aucli das Potential verschiedener Massen gleich der Summe der Po« tentiale der einzelnen Ma«;scn, Befinden sich unter diesen einzelne Massen- punkte, so ist das i'oicntial cmcs jeden derselben gleich der in diesem Massen- punkie gedachten Masse m, .dividiri durch die Entfernung u desselben von der Masse und es wird das Gesammtpotential der Massen J/', M", Jf" . , , m', m", m'" . . , auf m^ :
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Mechanik des Himmels. 19. S>5
K- v*+ y"+ . . . , + F'H- F'-4- r"+ . . . .
Da ^-s-^\ ^-^^ die von den verschiedenen Massencomplexen und Punkten
auf die Massenemheit in «, au^geflbten Krttfkc in der Richtung v nnd, diese
aber unmittelbar summirbar sind, so folgt, dass ^ die von den stmmtiidien
wirkenden Massen auf die in «, befindliche Masseneinheit ausgeübte Gesammt- kraft in der Richtung v darstellt. Der Ausdruck
WO C eine Constante ist, stellt bei veiänderlichem 5, tj, C eine Fläche dar, welche die Kigenscha(t hat, dass das Potential der sämmtlichen wirkenden Massen aul die einzelnen Punkte tj, ; überall denselben Werth hat. Solche Flächen nennt man äquipotentielle Flüchen od« ans dnem sofort ersichtlichen Grunde Ntveanfltchen. Zwei Niveauflächen können sich nicht schneiden. Für eine gewisse NiveauflSche hat nfimlich die Constante C in ihrer ganzen Ausdehnung denselben Werth; verschiedene Niveauflächen entsprechen verschiedenen Con- stanten C, C. Würde es einen Punkt Ei. T)p d geben, in denen sich diese beiden Niveauflächen schneiden, so müsste ViSx, »In C,) « C, V\Sxt ni» Ci) C^» C sein, was der Voraussetzung widerspricht
Legt man ein Coordinatensystem in einen Punkt i, T^, (. emer Niveaufläche, so dass die ;c>'-Eberc in die Trmgt ntiaiebeiie, und die s-Axe daher in die Nor- male der Niveaufläche lallen, so w,jrd man bei dem Uebeigange von einem Punkte i, T}, C 2U einem bcnachbaiten i -h dl -i- dr^, C in der Niveaufläche selbst bleiben, da man sich längs aweier aufeinander senkrecht stehender Tan- genten der Fl«che bewegt; da für diese Punkte der Werth des Fotcotials der- selbe isL so wird
wo g die Kraft in der Richtung der Flächennoroiale ist, hier also gleich der Gesainmtkraft^ welche auf den Punkt wirkt Denkt man sich z. B. eine Flüssigkeitsniasse, auf welche verschiedene Kräfte wirken, so wird ihre Ober- fläche unter deren Einwirkung eine gewisse Form annehmen, welche aber derart sein muss, dass die Gesammtkraft senkrecht zur Oberfläche wirkt: die Ober- fläche wird demnach eine äquipotentielle Fläche (daher der Name Niveautlache) und wird dadurch erhalten, dass man das Potential der sämmtlichen wirkenden Kräfte auf einen Punkt der Flüssigkeitsmasse sucht, und dieses Potential gleich C (constant) setzt. Besteht die f lüssigkeitsmasse aus Flüssigkeiten verschiedener Dichte, so wird jede Trennungsfläche ebenfalls eine Niveaufläche sein, und dasselbe gilt von den Schichten einer nicht homogenen Flüssigkeit von conti- nnirUch verinderlicher Dichte. Der. Werth der Constanten C idrd aber fttr die verschiedenen Niveauflächen verschieden sein, und kann aus der Gesammtmasse oder dem Gesammtvolunen der innerhalb . dieser Niveaufläche befindlichen Flfissigkelt ermittelt werden.
Unter den Massencomplexen von geometrisch l^p'^tiinn.bnrcr Gestalt sind für die Zwecke der Mechanik des Himmel* besonders hervorzuheben die Kugel und das Ellipsoid*
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Hceiiaidk lUmmdt. 80^
80. Das Potential einer Kugel. Sei znnäch'^t fWr die Ktjc^cl die Knt- fernnn):,' des ane[ezogciicn Massenpunktes fn^ \on dem Mittelpunkte der Kugei O (Fig. 274; <. ^Vahit man die Linie Om^ als jc-Axe und bestimmt die Lage irgend eines Punktes in Räume durch die Polarcoordinaten : die Entfernung r
|
1 1 X \ 1 |
* ^ — |
|
|
l » / |
(A.27i)
von 0, den Winkel 6, welchen r mit der x-Axe einichliesst, und den Winkel welchen die Ebene ri mit der xy-Ehene einschliesst^ so wird:
y tsB rsin% cos m
t = r sin 9 sifi <n dm — sin \iä% ätuär
demnach
■///—
(1)
wo KQne halber t statt kH gesetzt ist Integrtrt man hier xunlchst nach m tob 0 bis S«, so wird dabei 9 und u constant bleiben, und es wird
■//■
Integrirt man nach 8 und lässt dabei r constant, d. h. integrirt man nach einer Kogelschale vom Halbmesser r, so ist
foli^ch
-..//:
hrdr du 1
Nach u ist dabei zu integnren von demjenigen Werthe von u, welcher 9 = 0 entspricht, bis zu dem 9 = it entsprechenden Werthe. Hierbei ist nun zu unter- schaden, ob ausserhalb oder innerhalb der Kugelschale hegt
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Mcdwiik det iBmiMlt. 80. $»7
1) Für einen äusseren Punkt «| werden die beiden Grenzen: »^ss ( — i# j I daher
»«/'-^ Kl + r) - ({ - m -
2) Für einen inneren Punkt [M|] werden die beiden Gienten: [u]^ « r — ^ es r + i demnach
F/« ai^y?^ [(r + D - <r - ?)] - 4ic/«r i^r.
Dabei wurde aber vorausgesetzt, dass S von «» und 0 unabhängig ist, d b. in der ganzen Kugelschale vom Hall iiK-sser r constant, eine Annahme, welche bei den Hinmielskorpern als die wahrscheinlichste gelten kann. Ftir verschiedene Schalen wird aber die Dichte verschieden und als Function von r auigeiasst werden können, so dass
ist. Bd dem Uebergange auf die Wirkung d« ganaeo Kugel vom Halbmesser a wird aber wobl der Pnnkt ein Süsserer sein, nicht aber [m^] fUr alle Schichten ein innerer. Man hat daher:
1) Pflr den äusseren Funkt w,:
r- ~f%{r)r*dr - i . wenn ^^J^ir)rUr («)
* 0 ^ 0
ist. M ist, wie man siel t, die Masse der Kugel; die Anziehung in der Richtung | (d. b. die Totalanziebung) wird;
wo die Cbnstaote k* (wie im Folgenden stets) in die Masse ebbesogen ist. Die Wirkung einer Kugel auf einen iusseren Funkt ist daher dieselbe, als wenn die Gesammtmasse in ihrem Mittdpunkte vereinigt wibre, wodurch ndi die bisher festgehaltene Betrachtung der Himmelskörper als Massenpunkte rechtfertigt.
2) Für einen Punkt [otj] im Innern der Kogel muss man die Gesammtmasse in zwei Theile theilen ; für alle Schalen, für welche der Halbmesser kleiner als I ist, ist der Punkt ein äusserer, für die flbrigen Schalen« vom Halbmesser \ bis a ist er ein innerer; es wird daher
Sei nun so wird:
J^{r)rUr J^{r)rdr «/,®. (4)
4k + 4«[/,(a) = 4« - /, 4- 4«/,(a). (6)
Fttr ( w a gehen die Ansdrflcke (S) nnd (5) in einander ttber. Aus (5) folgt Ittr die Grösse der Anziehung:
4f - - li/i (5) + X !• f (4) - (D - - %/x («>■
Nun ist 4n/j(^) kb M% die Masse der Kugel vom Halbmesser also
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5>S McclMBilc dct ranneb. 80. 8t.
Da die Maf?se, abgeseVten von den Dichtenändeningen, proportional ?' ist, so folgt daraus die Anziehung proportional der Entfernung vom Mittelpunkte. Setzt man voraus, dass sich die Function (E) in eine nach Potenzen von ^ fortschreitende Reihe entwickeln lässt, dass also*)
ist, so wird ^ ^ '
- 4«a + i «^e» -h t a"5* + — *). (8)
Ist die Kugel homogen, so sind 8' s 2" s . . . . a 0 und es wird
y^Ma*-i%ti»i (9)
8L Das Poteotisl eines Ellipsoides auf einen inneren Punkt Legt man den Ursprung des Axensystems in den angesogenen Funkt [m^], so
viid das Vohimelenient ^ . , ,
dv = «' do au,
wenn do der von den Radienvectoren der ßegrenzimp des Flächenelementes einpeBchlossene Winkel (das Flächeneleroent der EinliciLäkugel) ist, und u die stets puüitiv zu nehmende Entfernung des anziehenden Massenpunktes von ist. Dann wird: fff^uduä.^^ijtuU. (I)
(A. 275 )
Die Integrationsgrenzen für u sind von 0 bis zu demjenigen Werthe von u, welcher der Oberfläche des anziehenden Ellipi»oids entspricht. Um .diesen Werth SU erhalten, seien x, y, » die Coordinaten eines Punktes, bezogen auf ein Axen* System, dessen Ursprung im Mittelpunkte O (Fig. 275) des Ellipstilds ist,' und
') Bei nach dctn Innern lunel rncndcr Dichte wird natürlich V negativ; negatlTe Polcaseii von % können nicht «oftreten, da sonst die Dichte ftlr ( b 0 unendlich wUrdc.
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Blecbanik det Kimiiiels. 81.
5«9
für welches die Richtungen der Axen mit den Richtungen der Ellipsoidaxen zusammenfallen; 5, t). C die Coordinaten von [/«,]; K v die Winkel, welche die Strecke u mit den Coordinatenaxen cinschliesst, so wird:
X ^ ^ u cos X
* «= C -h U€MV
und fUr einen Tunkt des EUipsoides muss
yi
5r + ^ + 7i-i («
sein, wenn ^, c die drei Hauptaxen des EUipsoides sind. Substituirt man (2) in (3), so erhält man für u die Gleichung:
Au*+2iu = /, (4)
wenn
cas^X eos*ix, cos^y = ^i— H ir- +
a» ^ ^ tfi
' '
ist. Für einen Punkt rj, C im Innern des EUipsoides ist / positiv; und da und A ebenfalls wesentlich positiv sind, so wird in dem Ausdrucke
« 1=^ /t '
welcher stets positiv su nehmen ist, das obere Zeichen beizubehalten sein, daher
« = (6)
und das 2Seicheo der Quadratwurzel positiv. Die Winkel X, v sind von ein« ander nicht unabhängig, und lassen sich durch zwei andere 6, a> ersetzen, welche, bezogen auf das Axensystem, dessen Ursprung in [m^] liegt, dieselbe Bedeutung haben, wie die in Fig. 274 auf das durch O gehende Axensystem belogenen Winkel; dann ist
tfis X SS 9; m (1 s= sin 6 cos w ; cos v am sinB sinn^ (7)
dp^sm^d%d» (8)
und die Integrationsgrenzen sind:
für 9 : 0 und «; ittr »: 0 und 3«.
Substituirt man den Werth
,» = 2 ^ y?r+ hl (6.)
in den Ausdiuck (1), so erhält man eine Reihe von Integralen, deren Ausführung durch die folgenden Sülze theilweise umgangen werden kann. £s sei in dem Integrale
A^fjF{1b,m)d0, (0)
0 «
a) Fiß, %^my^^ JHß, o»), so wird
J « K KT. 2r
v4 « / /^(8, a>) sin %dBd^ = Jsin ö äki [)Jh\%, m) d^ 4- j> (Ö, «) dv»\ .
• «
34
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530 Mechanik des HimneU. 81.
Setzt man im zweiten Integrale cu = :t -h u>j und lässL zum Schlüsse den Index 1 wieder weg, da die Bezeichnung der Integrationsvariabein willkürlich ist, so folgt:
A = jsitt % d% ») ^«» - (ö, ui) </u»] , d. h. =- 0. (9a)
« « 0
b) Es sei F{%, « 3b «) F{%, w). Zerlegt nsn das Integral nach m in xwei andere zwischen den Grenzen 0 und k und zwischen ic und 2it und substituirt in dem zwdten » ^ ir -i- »i. so wird;
n n « 9
Zerlegt man nunmehr das Integr»! nach «i neuerdings in zwei andere zwischen 0 und und zwischen und « und substituirt im zweiten « » « — «t,, so erhfllt man
A «= ißin ^ä%JJ' (6, u.) äm. (9 b)
0 0
c) Set Fi%, « + «) s /"(e, tt); ^(d» « — — /"(e, «»)p so erhält man in derselben Weise
A = 0. (9c)
d) Sei i^(« — 8, «») s F{ßt m), so wird man in der Zerlegung
A^ Jäu»[jF{^, t^)smiiä% (8. «»)/werf8]
0 0 K
in das zweite Integral b = n — ti^ substituiren, und erhält:
'2t. "
^ = 2jäl* JF (6, «>) J/« 8 äi^. (9d) • •
e) Sei Z*^« — 8, w) «= -^(8, »); ^(8, r d: ») « ^^(B, so folgt durch Combination von b) und d):
A -= sfjilß, w) ^//i « i/t* </«». (9e;
0 »
/) Sei /"(ir — 8, r h- w) — /^(B, <»); 7er1egt man das Integral nach •» in zwei andere zwischen den Grenzen 0 und ;c und zwischen ie und Sr, und sub- stituirt im zweiten 8 r — 8}, «i b « -)- «]» so folgt
^oü. (90 Wendet man nun auf k^, hi die Substitution (f J an, so bleiben ihre Werthe ungeändert; da aber k eine Function ist, welche der Bedingung/) genügt, so
ist auch - j- \'k^ -\- hl eine solche Function, so dass dieser Theil des Integrals Ju^äo verschwindet. Ks bleibt daher, die Dichte als constant vorausgesetzt:
Hier ist weiter:
^2 y.2 2 ; n 2ll 2 r ^
Xf^ —.c</s^k-i- 7- rw-tt-»- ^fw* v-i- ^^:i-ji£<fs)i(osyi'^ ■^-i^ccskces'i-i- -r^^cosu-iosi. fl* i>* a*v* a'c* b*€'
cosXffispi und €osX£4>S'» genügen der Substitution a;; c^s^c^fyi der Sub* stitution c); A* bleibt hierbei unverändert, so dass die Integrale der drei letzten Glieder verschwinden, und man erhält:
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Mechanik des I^Iimnids. 81. $31 SP fir»' 5''*
K=-^X-t--^il/-+--^iVH-6/Ä; (10)
vobei
6 = 0 . . . . tt; m = 0 .... Sit ist Hier genügen die zu integrirenden Functionen sämmtlich der Bedingung e),
so 4ass:
KÄ «Jt Sit HK
00 9 9 00
Nun ist
+ Ji 75
Setzt man daher so wird
* - «»» « + C, .; y, - J ("•)
K^4f/ism94B. (14a)
Aus (13a) erhält man:
« «
0 0
demnach
0 0 0 -
Nun ist
demnach^)
») Nw* (10a) oder (II) ist
^-^- + ^ + 7.=-2A. daher a^ + ->-^+. -^ = 27,. . wcldie Oleichttog als Piobegleichaog dienen kaaa. <.
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Mechanik das Himmels. 81.
und
Nun ist
daher
(14c)
Durch die Substitution
cos ö
erhält man
demnach, wenn
geteUt wird:
r AT f
Setatt man:
M'^K^-jsJ^-^^l —r TT (20a)
so wird*)
•) Si kt r + IT' + iV' — ^.
(19)
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Mechanik d«:i> Himmels. Sl. 532
8n* «C* ^* * (21)
In diesen Fonneln spidt die x-Axe insofern eine besondere RoUei als der Winkel • auf sie bezogen ist. Es ist sofort klar, dass man ähnliche Formeln erhalten «Urde, wenn man von der j^- oder s-Axe ausgehen wQrde. Set dann:
"7i ' 'ti~ — ^» ^« ^s
so wird
« w
Die Identität dieser Integrale mit dem früheren folgt sofort durch die Substitution:
tos 9 BS ; 8 -7==== ,
indem für ^ sofort die Form (19) resultirt. Die drei anderen Integrale erhält man in den Formen:
/ H- ?)
(30 b)
(äOc)
sodass man einfach schreiben kann^)
.J .-^n'-^sä) .-^n'^**) --^n'-^'^)
Hifimii» folgt dum die für be&cbige Weidie von «, ^ r gflitlfe IdcntitKt:
• U + ii '+7? ' + 7iJ •
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534
Ifeclttnik des Himmels. 81.
Durch die Substitution
, 1 -
erhält man» wenn
<7» - a'i - r'-«
x'»= j — ; H«|/(l -x^ö*)(l -x'»0«) (23)
gesetzt wird:
(24)
Setzt man
so wird
0 0
so dass sich die drei Attrnctioncn auf ein einziges Integral zurückführen lassen^). Für $ = Tj = C = 0 i^eht F in ö • A' über; dieses ist demnach das Potential des Eilipsoides auf einen im Mittelpunkte fiesselben i;elegenen Punkt.
Kür ein EUipäuid, dessen Halbaxen a, ö', c' dasselbe Verhältniss haben, so dass
^ ib' \ ^ ^ aiki€
ist, werden % and x' dieselben Werthe erhallen, daher sind nach (21) und (35a) die Attractionen auf einen inneren Punkt dieselben« Denkt man sich nun ein con- centrisches Ellipsoid, dessen Axen e* kleiner sind als b, c, so wird die
Attracdon des inneren, kleineren E)h'[)soides dieselbe sein, wie die des äusseren, grossen, folglich die Attraction der zwischen beiden befindlichen Schale gleich Null. Eine von zwei conrentrisrhen ähnlichen Ellipso'iden begrenzte Schale übt demnach auf einen in ihrem Holiiraume befindlichen Punkt keine Anziehung aus^). Man kann dalier die Attraction eines beliebigen Eilipsoides aut einen inneren Punkt durch die Attraction desjenigen ( oncentrischen ähnlic iien Kllip- soideö ersetzen, welches durch den angezogenen Punkt [///jj geht; für dieses ist dann der angezogene Funkt auch bereits als äusserer an der Oberflache desselben liegender anzusehen; es ist
_i_ ^* _ 1
flS ^8 + ^8 — *
und die Formeln (20), (24), (25) gelten daher auch für diesen Fali; flir das Potential kann auch sofort in (10): / s 0 gesetzt werden^).
■) Wollt« man ftlr «Ue drei AttnctioneD tyiunetriich« Fonociii so wttiden abcidiM die Vcr«
b^ — a^
bältnUse — ; — u. s. w. eintreten.
*) Nicht denelbe giU von dem Poteatiale. Dieses wird, wenn
. — — «
ilt:
^) Doch dürfen die Kräfte niclit aus dieser vereinfacliten Form J" abgcleittt werden, d* tiic Bcchngung / — 0 erst nach der Diffcrcntiaüon eiogelUlirt wwrdcn darf.
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Mechanik d«s HicntueU. 82-
53$
88. Potential eines £llipsofdes auf einen äusseren Punkt. Für den äusseren Punkt ist / negativ; damit fallen die aus (6) und (6a^ in 81 sich ergebenden Vereinfachungen weg. Doch lässt sich die Berechnung der Anziehung auf einen äusseren Punkt mittels des Theorems von JVcrv auf den vorigen Fall zurückführen.
Die Componenten der Anziehung des Ellipsoides E (Fig. 275) auf den Funkt ///j, dessen Coordinaten mit i^j, Ct bezeichnet werden mögen, sind gegeben durch:
und ähnlich ftir Y, Z, wobei die Grenzwerthe u\ u" diejenigen Werthe von u sind, welche sich auf die Durch;»angspunkte der durch das Element Jm parallel zur A-Axe gezogenen Geraden A' A" mit dem Eliipsoide ') beziehen. £s ist daher:
(2)
das Integral ausgedehnt Uber alle Grenzpunkte A\ Ä\ d. h. Über die ganze
Oberfläche des £llipsoides R.
Ordnet man jedem Punkte des Ellipsoides einen anderen su> so
dass mit den Constanten b^^ (^\
ist, so wird da
a,» ^ '
sein , d. h. die zugeordneten Punkte bilden cbenl'alis em EUipso'id. Wählt man die Axen so, dass
et T 2 »• »
ist, so {>eht dieses zweite Elli|)soid durch den Punkt m^. Die den Punkten A" entsprechenden Punkte seien A^*', und umgekehrt möge dem Punkte M| ein Punkt entsprechen, dessen Coordinaten \, i), C bestimmt sind durch die Beziehungen
^i=-V^ ^'i-yj. <^i = 7« oder 5- — «,. ^^Y^nv
welcher ftlr das EllipsoYd ein innerer Punkt ist. Die Anziehung des EUip* Soldes auf i*»o ^ daher nach früherem bekannt; sie lässt sich schreiben:
Angenommen nun, es lasse sich das Ellipsoki so bchümmen, dass für iwei beliebige PunkteiJüarc J^{x'y'z' , P"{x"y"z"\ dcb Ellipsoides E und die entsprechenden -^i ' ('^i'>i"«i") die wechselseitigen Ent-
') Die Integration fUr Ave ^>Compon«nteo ist ja nach (0 tucr&t nach x Tonunehmen.
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5s6 MeeliBDflc des HimindB. 8f.
fcrnungcn F P^" ^ P^' sind, so wird auch A^' ^ Ä A^* u. s. w., also auch w4'ä»i= ^/«o! -^"'^i = ^\ '»*o> = = demnach
bc
daher
X^P-X', Y^-^T\ Zw^-^r,
d. h. die Anciehung des Eniptoides £ auf den Punkt m^ Usst aich aos den An- siebungen des correspondirenden Eltipsoides £i auf den entsprechenden, f&r dieses Ellipsold inneren PuniLt direkt ableiten* Es ist aber
I «= Z*'^,*' — - x^'y H- (y ->'|")* 4- («' - s^")* *
Fuhrt man hier fttr die Coordinalen der Punkte ^i', die Beaefaungen (S) ein» und seut
41 » SS ii> t»; « + t,; « tf« -h «t»
so folgt
I » + y*» + s»« +y'» + 1"» - « + ^ yy ^ «^'j +
n«s jc'» -I- y » -h »'» -h H-y* «"« — 2 + ^ y + ^ «'»" J +
Damit also I «■ U werde, muss
(jp's ys ,'t\ y» -^r 1« + Tjj + (*i - »i) H- («I - «1) Ti--
Da aber die beiden Punkte {x'ys'), (x"y''s") Punkte des Ellipsoides £ sind, so sind die auf beiden Seiten mit multiplicirten Ausdrucke gleich 1, und die letzte Gleichung reducirt sich auf
- «.) ";;•'') + {«. - «.) ('"' - «■
Diese Gleichung kann für l)cliel)ige Punkte nur erfüllt sein, wenn «1= «j ist. Dann ist, wenn der Index bei & weggelassen wird:
tf»=a«-l-e; b^=^b^^t\ (?)
d. h. das Ellipsoid Aj ist dem Ellipsoide E bomofocal. Durch den Punkt m, giebt es nur ein zu E Immofocales Ellipsoid, fUr welches sich der Werth von c aus Gleichung (5), d. i. aus
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Mechanik des HimmelK. 82. 537
bestitninti). Dann erhält man die Anziehungen X', V, 2^ nach den Fonneln 81 (21), (22) oder (25). wobei jedoch tiberall a«-h ^«-h i. -¥ % an Stelle von ä^, b*, und i i), ( an Stelle von Ci xu setzen ist Es wird also
dt
« r
Setzt man hier s -t> / /j, so transformirt sich dieser Ausdruck in
Man erhält daher das Potential und die Anziehungen eines EUipsoides, dessen Axen o, b, c sind, auf einen äusseren Punkt (^^, ij^, C|) ebenfalls nach den Formeln
X 'J^r: y m-, z ^ir.
wobei nun
(9)
'"/p4r'' "'i/f^p' "■^/(-"V-
und der Werth von a ans der Gleichung (8) au ermitteln ist. Rflckt der Punkt an die Oberflttche des £llii)suides heran, so wird « »0» und die Formeln gehen in die frttheren Aber. Setzt man wieder
so folgt
s
, x'* > H-«i/(l -»»d»)(l-x'«d»)
J(l-x>d>)H' tf» J (l-x'>ft»)H *
1) Da M, da iiiiMrer Punkt tot, daher «i, gttfwer dt ^, « wfa nOncn, to Diuss t positiv Min. FOr • ist dahtr die positiv« Wund der Gleichtroc (8) cu wlblcn.
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538
MecliamV des Himmels. 9t
Für das Rotationsellipsoid sei d = c, x'=x'». H= 1 — x'^ ft». Für das abgeplattete Rotationsellipsoid wird a<d, daher negativ t); sei also
d^ — a*
so wird
/ Ii = X ^^^^^^^f J -jT xä ~ x»
Ersetzt man noch durch Xd = /, so wird für die beiden Grenzen 0 Xa
und . - = zu nehmen sein; daher, weil sämmttiche Integrale filr die untere
Grenze verschwinden:
Sind die Coordinaten^l des ange^ogcnen l'unktcs in <leni Meridianschniite, welcher durch diesen Punkt geht. S,, p,, so wird t die Lösung der Gleichung
für einen inneren Punkt and für einen Punkt auf der Oberfläche selbst wird /— X.
Wesentlich schwieriger wird die Behandlung des Problems» wenn die Dichte nicht als constant angesehen werden kann. Das Gesets der Dichte wird dann durch eine Function des Ortes
ö = F{x, y, z)
gegeben sein müiisen, und die Integrationen werden dann in den ineisien Fällen
unau liilirhar. Eine verlifilfnissmässig einfache Lösung kann trän für den Fall erhalten, dass die Massen in concentrischen homofocalcn Sclialcn ^icu hcr nic!;tic- keit angeordnet sind. Sei für eine Schale die innere B<::,'rcnzung ein Kilipsuid mit den Hauplaxen «l, c, die äussere ein boleiies niii den 1 lauptaxen -t- i,
y'^^-i-oi, }/^' -h a, so ergeben sich dre beiden zugeliürigen Werthc von s aus den beiden Gleichungen:
a'i^t,^ b^^^^ * und ^
CS 71«
'J' ^ ==,1
a'-+- a e' -i- a + e t ^ h a -h '
woraus sotort folgt
= , — (13)
Potential und Auraction der Scliale erhall aian^ wenn man von dem für das äussere EUipsofd geltenden Werthe die auf das innere Ellipsoid bezüglichen ab- gieht; fttr das innere gelten die Formeln (J 1 ); fttr das äussere ist überall h- a.
+ % Yt*'^ a, t • « an Stelle von ^, « zu setzen. Daher wird, wenn man sieb auf das abgeplattete Rotationsellipsoid beschränkt: / /, daher:
'} Ist a > d, das EUiptotd ein ttb«rh<}htes» lo wiid x positiv, ond die IntegtBk drildwa
bicU durcli Logarithmen ao«.
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Mechanik dex Himmeln. S2 83. 539
daher
iM:' W iVr/ r:D ( ^ / \
i) |/i5Til «(^« H- «)- Nimmt man die Schichtung continuirlich, so dass die Dicke der Schichten nur unendlich klein is^ to wird a als unendlich kleine Gr<}cse zu betrachten lein, und dann wird
J) . ^- «« - — ^« -I- i^) a
oder da a der Zuwachs von beim üebergange von einer Schichte zur nächst- liegenden äusseren ist:
Da i^* — a* s der lineare Abstand der Brennpunkte der Meridianelltpse vom Mittelpunkte ist, daher fttr confocale Ellipsolde cimstant, so wird man, A an Stelle von A einführend:
D = (3a« -h A»)äa
erhalten, und es wird:
dX^ - « • + k^W - arctang l)da
äV^- 8 .(3a« + (arr/tf»^/- da
</Z « - a -(8«» -h [arctangi^ T^)
k
Da / a -7^ — r- wegen «* -l- + a -h t' fllr alle Schichten constant
ist, so werden die Coetäcienten
(/— arttangi) «= Z,. (areiOHg/- 1^7») ^« ebenfalls constant, und man erhält daher die Totalanziehungen
J!f — _ Z, ; 1/3 . (3«» H- A*)da
- ZjTj./s . (3ä« *»)rf4i (15)
«0
Z - Z, C,/«' • (3ä» H-
wobei nunmehr vorausgesetzt ist, dass als Function von a gegeben ist
88. Potential eines Massencomplex auf einen sehr entfernten Punkt. Sind die Dimensionen der anziehenden Maoe nur klein gegenüber der Kntfemung des angezogenen Punktes, so kann man sell>.<it (Ür unrcgclmässige
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Meclaiknik des Himmcbi. HS.
Formen der anziehenden Mas'ien leicht Reihenentwitkelungen <ibleiten, welche um so rascher convergiren, je weiter der angezogene Punkt sich befindet. I.etrt man den Coordinatenanfant: in einen vorläufitj beliebig gelassenen Punkt der anziehenden Masse, seien x, y, s die Coordin.iien und r der Radiusvector des Massenelementes; l, t), C die Coordinaten und p der Radiusvector des angezogenen Punktes, so ist
= (:c — ^- - rO'' H- (« - 0» « r« p» - 2(«£ -^ j^ij -h «C). Ist p sehr gross gegenüber r, so kum man — nach Potenzen von —
IT p
entwickeln; es wird demnach
y* dm — M ist die Gesammtmasse. Legt man das Coordinatens]rstem so, dass der Ursprung in den Schwerpunkt der anziehenden Masse fiült, so «erden die Integrale
/ xäm = 0, jyäm » 0, j zäm = 0
uud es wird
Die Glieder erster Ordnung sind verschwunden. Ist die Entfernung p so gross, dass man die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigen kann, so wiid
P
d. h. das Potential wird dasselbe, als wenn die Gesammtmasse im Schwerpunkt der anziehenden Masse vereinigt gedacUi wird.
Wenn man die Richtungen der Cuordinatenaxen nüi den drei Hauptträgheits- axeo lusammenfallen Iffss^ so wird
Jxydm «= 0, / xMdm «= 0, Jyxdm — 0 (3) und die Trflgheitsroomente, besogen auf die drei Haupttrigheitsazen weiden:
Um die JT-Axe: A^fiy^^ B*)dm um die F-Axe: B ^f(x* -h z^)dm (4) um die Z-Axe: C™J{x* +y^)äm.
Hieraus folgt:
fx*dm-= ^{B-hC— A) i 4- -ff C) «/ r^dm J'y^dm = ^(A -h C — B) (4a)
jz-^dm = 4- ^ — C).
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Mechanik des Himmels. 83. 84. 541
Führt »an die Werthe aas (3) und (4) in (2) ein, so folgt: oder reducirt:
Sind die Winkel, welche die Verbindungslinie des Schwerpunkles und des angezogenen Punktes mit den drei Hauptträgheitsaxeu bildet a, 7, so wird i =s f(asa, y] = pcos ^, C = p ^fJ Tf, demnach
oder auch
«— -hi C)(l -Sr<^i»a)H-(^-0(l -3^M»p)}
i^urch Differentiation von k' nach ^, rj, 4 [Ausdruck (5)] erhält man die Kraftcomponenten :
'-'^'{"^ip)- y-'^hm '-"Pi'^wi,
<^ - ' W' - w *•*
Für Rotationskörper sind /.v^ei von den drei Hauptträgheitsmonicnten einander gleich; sei C das Tiagiieitsmonnent um die Kotaiionsaxe, j>o wird A = B sein, und dann erhält man nach einiger Reduction:
Für ein homogenes Rotationsellipsaid, dessen Pclaraxe dessen Aequaloreal* halbmesser a 'tet, wird
Ist daher t die Excentricität der Meridianellipse, also «'^'»(a^—^*), so wird:
^= ^ [1 + ^Ml - a T) (^)'] . (7a)
a — c
Bezeichnet man mit c die Abplattung « = — ^ — , so wird
f « P « ^ .
demnach fllr sehr kleine Abplattungen /* — St und
^ [1 i •(! - 8 r^^« 7) (^)'] (7b)
84. Die LAPU^CE-PoissoN sche Gleichung. Bildet man die zweiten Differentialquotienten des Potentials nach den drei Coordinaten, so hat man, wenn man sich zunächst auf eine Masse beschränkt (ftir mehrere Massencomplexe
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54«
Mechanik de> Himmd«, 94 >
hat man die Summen der flir die einseinen Massen gültigen Ausdrücke za
bilden):
Es ist aber
d
Fflhrl: man nun ilSr eine beliebige Function F die Beseidinung ein
so wird
Es ist aber
demnach
A 0 (4)
die tJknACB'sche Gleichung. Es ist jedoch nicht su übersehen, dass hierbei vorattsgesetst wurde, dass kein Element des Integrals unendlich wird, d. h. dass nirgend v ^ 0 wird. Die Bedehung (4) gilt daher nur fttr den Fall, dass der angezogene Punkt ein äusserer ist, d.h.richt seilet der anziehenden Masse angehört. Für einen inneren Punkt, d. i. für einen solchen, der innerhalb der anziehenden Masse liegt, wtlrde für ein/t-lne Elemente des Integrals « = 0, und es ist zu untersuchen, ob die Gleichung (4) auch für diesen Fall noch gültig bleibt, oder was an ihre Stelle tritt.
In der Fctini "0 f2a) ist aher tiidit einmal ersiciitli(h, dass das Potential und >eiiic Diflercnt.alquo'.icntcn endlulte, bestimmte Wcillic haben, da schon in dem roteniial ein Element des Iniegr.iles unentllich wird; legt man aber wieder ein Polarcoordtnaten.system zu Grunde, dessen Ursprung im angezogenen Punkt ist, so wird
V^l j j ~ «I I I d'usmiiakiätadu.
Für das Potential selbst wird also die zu integrirende Function auch iÜr innere Funkte nicht unendlich, sondern für tm 0, Null; das Potential hat daher einen endlichen, bestimmten Werth. Der erste Differentialquotient des Potentials wird, wenn man unter dem Integralzeichen differennrt:
^'Sm%€0S%ä%dmäu (6)
- -SIS
demnacli die xu infegrirtnde Fnr.ction wifder für keinen l'unkt (am h riebt mr den angebogenen Punkt) unendlich; e«; bclalten demnach auch die ersten Diflferentialquotienten, d. h. die Darstellun nn der Kralle in dieser Form, ihre Gültigkeit. Der zweite Differcntiahiuotieri \'.ircl nach (1) und (2):
^ r r . sin Qt^H äm du „ . ,ax
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Meebanik des Himmels. 84.
S43
Die zu intcgrirende Function wird f(ir // = 0 unendlich. Nichts desto weniper wird aber das Integral selbst nicht unendlich. Um dies zu zeigen, und glejclizeitig seinen Werth anszuniiitehi, werde das Potential nach 79 (3) in zwei Theile zerlegt, indem man um den Massenpunkt ein geuisses Volumen 7'^ ;>o ausschiiesst, dass für das übrige Volumen z/| der Funkt ein äusserer wird; es wird daher ^V^&O, und demnach
Wählt man für das Volumen ein solches, für welches sich ^2 leicht auswerthen lasst, so können die zweiten Diflerentialquotienten ans dem berechneten Werthe von k'^ gebildet werden; fiir soll nun eine um w, concentrische Knjiel K vom Halbmesser n genommen werden. Sct/i n.an die Diditc ilerselben cunsiani gleitli 6 voiaus'), so wird das Potential auf einen Punkt im mneren derselben im Abstände p vom Mittelpunkte nach 80 (9):
und es wird:
j^--}Ka^P^ daher A - fit« • A (p»). Nun ist
p8 = 52 ^. ^2 _^
folglich
ilÖ«9„^P«ne. !L(pL)«« Ü1p1)-o
demnach A(p2) = G unabl ängig von p, daher dJ^^j s= — 4j:ö. Folglich wird
Ay^ — 4itL (7)
Dabei ist i die Dichte der (unendlich) kleinen Kugel um W], d. h. die Dichte in diesem Punkte seihst. Die Gleichung (7), weid e von Poisson ge- funden wurde, ist eine Etweitcrunp der Gleichung (4)i enthält aber diese als speziellen Fall» denn lür Punkte, welche dem Massencomplexe nicht angehören, ist 8 = 0.
Führt mau d:e*Po)aicooid:na(en r, B, <u ein'), so geht Ute Gleichung (7) Uber in
_ ^ e ^ _ — -H ^ _1 _J 4 « ca)
oder wenn |i = cosü gesetzt wird:
J^Y ^^^^ I — |i* Ti^»
V c2 (r Vj
Bei nicht con.stanter Dichte wird man dieselbe Dickt als concentrisch gcscliichtet ansehen können, sontkrn die Scliicliivn wetdm <lie klein«. Kugel in nnhe parollelcn Niveauflächen durch- setzen ; die Refultate bleiben jti'och auch in diesem I-'alle dieselbin. wie schon daraus hervor- gebt, dss& n an cie Kugel lu.o.ei >i> k.cin vol len kann, das!» iunetlialb demselben die Dichte ah coDstsnt bettftchlet werden kann. Für »tterge Bcwei«« ». auifuhrlidie LehibUchfcr der Potential» tfaeorie s. B. VtvUAüH, «Vorle^uDgen Ober dts Potential«.
tx er cx e^ix cviCx cx ex r
-5— » 0 »t, so wird -5— — <o$% 'S -s-^ n. 1. w.
cx Cx er r d%
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S44
Mediasik de* Htmmelr. 84- 85.
Da die Gleichung (4) fUr das Potential aus der anatogeo Gleichung A ( «) ™ ^ hervorging, so wird auch ^ den Gleichungen (8) und (9) (für 8 « 0) genügen. Es ist aber
«a. r» -h p> ~ 2rp cffSf (10)
wo 6, »u, y- sich in der früheren Bedeutung auf das Massenelemenl äm, H^, «j^, ji^ in derselben Bedeutung auf den angezogeiicn Tunkt beziehen, ija nun nach
Potensen von ^ oder - entwickelt die Codficienten der einseinen Potensen Functionen von ^«r^ sein werden, so wird
i 1 4- FWicosf)^ -h J^i){£0St) ^ . . . . p < r
und es wird
Substiluirt man (10) an Stelle von 1^ in die Gleichung (9) und setzt die Codfficienten der einseinen Potenzen von ^ oder ^ gleich Null, da die Gleichung
identisch für jedes p und r bestehen muss, so folgt
(18)
Die aus der Entwickelung von ^ hervorgehenden spedellen Functionen i^^,
welche den Gleichungen (12) ijenfigen, heissen K u ge 1 1 u nr t i o n e n ; sie sind garze, rationale Functionen von fi,, }/ 1 — p.^ und yl — }x^j/«ui. Eine allgemeine
Kugeifunction yt'l ist jede solche ganze rationale Function von ii, |/ 1 — fi* w }/i — ]A*f«fiai, welche der Gleichung (12) genügt Für das folgende genügt der Sats, dass die Entwickelung einer Function /((i, w) nach allgemeinen Kugelfunctionen in der Form
00
möglich ist, wenn die Coefificienten
y(-) Oi, lü) « r r ») -^|*<a^« (13b)
sind^).
86. Attraction von Sphäroiden. Unter Spharoiden versteht man nach Laplace Körper, welche von der Kugelgestalt nur wenig abweichen. Ist p der Halbmesser der Kugel, der selbst vorläufig gans beliebig sein kann (die Kogel kann ganz mnerhalb oder gans ausserhalb der gegebenen Begrenzungsfläche liegen, oder auch diese schneiden), so wird der Radiosvector der Begrensüngs* fläclie in irgend einer Riditung« 6, • dargestellt werden kOnnen in der Form
r«/>(l + «jr). (I)
wobei
> — KW 4. yc« -4- yt») . . . (la)
Ucber die allccineircn Eigemchaften Tcrgl. «tas Lehrbuch von Niuuann* Oie «lllcaiiiqm cikttc* von iMiACiL u. a.
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Mcehiaik de« HiniDck. 85.
545
eine Function von p, H, u» ist, deren hier vorgenommene Zerlegung in die Summe mehrerer anderer vorerst noch willkürlich ist, und wo a eine kleine Grösse ist, deren Quadrate und höhere Potenzen vernachlässigt werden können, wenn, wie hierbei vorausgesetzt wird, die Abweichungen des Sphäroides von der Kugelform nur sehr klein sind.
Substituirt man nun für - die Reibe 84 (11) in den Ausdruck für das Poten-
dalf so erhält man:
«) für einen äusseren Punkt:
— Jf//« • ««e d% r*+3 dr ^ f^fdm d^ /«-A») r^+a ir. (2a)
-1 0
Nimmt man an, dass die Dichte o nach Schichten constant ist, welche durch sphäroidische Begrenzungsflächen von der Form (1) getrennt sind, und seien die äussersten BegrenzungsAttchen^) gegeben dufch die Gleichung
so wird, wenn man zuerst nach r integrirt, also ö und ^ als constant ansteht:
dr
dr^-^df
sein. Die Integration nach r ist aber von dem kleinsten Wcrthe p = (innere Oberfläche) bis zum grössten Werthe p ^äussere Überfläche) vorzunehmen,
d. h. es wird:
-»•1 Sic "1
B ist nun eine blosse Function von p, J^"^ hingegen eine blosse Function von m, 6; man kann demnach auch schreiben:
«1 +1 3i
Lftsst sieb r"-«-* in eine Reibe von Kügelfiincdonen
entwickeln« so wird nach 84 (13):
K,= - ^ fi^dp ^S! . (5)
Um die Gleichung (4) anwenden zu können, muss r nach Kugelfunctionen entwickelt sein. Sind daher Yi-^ Kugelfunctionen, d. h. genügen sie der Differentialgleichung 84 (12), so wird')
r«4-s = ^«+3ji 4- «(» 3) (FW H- K(l) 4- -H • • )) (» -h 3;a^+8 y(o)i Ki"^ « (« -H d)a^-+8
daher
>) FOr » 0 gtht di« Sdule in einen Kitoper obne HoUiattm Üb«. ^ Zn den •Ugemeuietl Kugelfunctionen treten noch ijcwisse Coefiicientcn auf. dit hier FoDctioiieB TO« / »ind» so daM die Fonn der Becreuwkgvfliche von Schichte xu Schichte wechselt.
VALBimMsii, AMioaoBMi U. 35
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54^ Mcchinik des Hinmcb. 8«'r.
•1 («)
1\ ist nichts anderes, als die Masse des Sphäroides; denn es ist
0"
«•
Wählt man daher Ittr jedes einzelne Sphäroid den Halbmesser p der Kogel wo, dass diese (mit der der zugehörigen Schicht eigcothümlicben Dichte) an Masse gleich der Maioe des Sphftroides wird, so wird y<*) « 0 au setzen sein, und zwar fUr jede Schicht.
Der Werth von Verlangt in einem speciellen Falle eine weitere Vereinfiscbung; setzt man in (4) Air den Werth /^U ein, so wird
^ fffB . r» drdfiäm[^y,^ -Hl/1 -tx^ V^l •,)]
— JJf^»t [.ru„ 4- y cos a»^"/l — z sin io^y/l —7?]
= \x.Qjxäm + j/l — 1*0* *a^yäm }/l — {Ao^^/^ *UqJ »dm.
Fallen daher die Mittelpunkte sämmtlicher Kugeln in den Schwerpunkt der ganzen Masse, so wirr! gleich Null zu setzen sein.
b) Ein im Innern der Masse gelegener Punkt wird auf irgend emcr der Grenzflächen liegen, für welche der Kugelhalbmesser a sein mag. Für alle Schichten, iUr welche p a ist, wird der Punkt ein innerer, für alle anderen ein ftnsserer sein. Für die enteren wird:
V^-^l^-Vn (7)
* - 1
Sei ^ = Yt:t!n) + K/l>,, 4- . . . , so wud Nun ist
also
^'(--) « ^ 0 - - 2) « yw], y/^l) - - (« - 2) a K^->,
demnach
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Meelmiik des Himmel«. 85. 86.
547
Die Ableitung wird unrichtig für « = 2; für diesen Fali wird aber Da aber
/tf^r *- 49Sf / + c (KCO) -I- KU) ■»-...)
ist, lo wird
a
im Resultate identisch mit dem aus (8) folgenden Werthc. Das Gesammtpotentiftl wird dnber für diesen Fall, indem nnrh der Integration in den von a freien Gliedern p « r *= « (i + a y) zu scucn ist:
86. Figur einer t lüs.si^cn rüiirenden Masse. Da die äussere Begrenzung eine NiveauflMche sein muss, so wird man dieselbe erhalten, wenn man das Potential aller wirkenden Kr&fte auf irgend einen Funkt der Oberfläche selbst gleich «ner Constanten setzt. Um aber das Potential su bestimmen, muss auch die Attraction der rotirenden Masse auf einen Punkt ihrer Oberfläche schon be- kannt sein, da diese nicht nur nicht vernachlässigt werden kann, sondern sogar überwiegt. Um diese zu kennen, muss bereits die Form der Masse, ihre Dichte- anordnung u. s. w. bekannt sein. Eine direkte Lösung der Aufgabe ist daher nicht möglich. Nachdem aber erfahrungsgcmiiss die Gleichgewichtsfigur einer von keinen Kräften afficirien Masse eine Kugel, diejenige einer rotirenden Masse ein Umdrehungsellipsoid ist, so wird es natürlich, zunächst die Annahme, dass die Gleichgewichtsfigur ein dreiaxiges Eliipsoid sei, der Untersuchung zu unter- ziehen.
Ist die lUytetionsgescbwindigkeit der Masse w, so itt das Potential der Fliehkraft, -wenn die JT'Axe als Rotationsaxe angenommen wird'): \w^{r^^ + C')* Fttgt man dieses Potential su demjenigen des Eilipsoides auf einen Punkt seiner Oberfläche No. 81 (Sl) hinsu, so erhält man als Gleichgewichtsfigur:
« -Z' + (S . Jl/' - i«;« (8. W — i»> ^r») ^ = ÖA"- comt, (1)
Bei der Ihehtug an die A>Axe wiid für jeden Punkt 6 (Fig. 274) unverilndcrlich, die Veiindcnnig w in der ZciteiBlieit iet gegeben durch die Winkelgeidiwindigkeit -j- « w.
Unter Voraussetzung einer constantcn Winkelgeschwindigkeit ^^csQ^ ist daher ;g--r«.e«e«^
d* dn d* e df
dt dt ^ dt dt
Diese drei Beschleunigungen mit entgegengesetzten Zeichen lassen sich als die Componcntcn einer Kraft, der sogenannten Fliehkraft auffassen, (tet?n i'otential daher ^w'^{y'^ + s') ist.
SS»
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Mrchanik des Hinunela. 8 .
wobei sich die Cunstante aus der GesammtOMisse bestimmt DiciC Glmchaog soU mit der Gleichung des ElUpioides
V c« ,
ideDti&ch werden, lolglich muss
i • L' = 8 ' M' ~ ^w^ ^ i • N' — ^w* (3)
seb. Fllhrt man hier flir X', Jlf, N* ihre Wcrthc ein, so erhalt mao demnach duich Gleichsetsung der beiden Werthe
^i:o /(i - »>)ft»^ft r X» Xf^ 1
;5" J H [tn-x»)(i-i.x«»«; - (1 + X'»)(l H- V«d»)J "
(4)
2£
oder
0
Die^e Gleichung wird befriedic:^ durch X = X', b ^ also durch ein Um- drehungsellipsoid. Fttr diese» folgt dann aus (4):
Ml^^'J (I-l-X»««)«
oder integrift^)
wobei
m - ^ ora^y^ - '»-'(ä.- + iKi. + 3)
wann
ist Hieiaoa folgt duicb dnfacha Diffcientiation:
>) Fttr ein ttbeiliölite* EUipsoid wOrde man doich Entwickehn^ des Locaridmos dk Fonnel crbüHm:
welche Formel aus der vorigen für — x> herrorgeht Da sonach w' negativ wuidc, »o
gteirt es kein reelle* w, flir wvkto dtcie Gleidiaaf beftiedigt vreidcn kann; das abtiliAl« ElUpiold kMm dcnoadi keiae GleiebflewiclUifigttr sein.
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Mechanik des HiinmcU. 86. 549
^^^^ (l-»-X«)»(X*+9)« Es itt, wie aus der entwickelten Form (7) hervorgeht : T (0) = 0 und V (00) a 0. Da nur positive Werthe von X in Betracht su siehen sind, so wird die Gleichung (ß) für eine gegebene Geschwindigkeit w reelle Lösungen in gerader Zahl haben, w enn W [\) ])osinv ist. Das Maximiun von 4'" (X) crgiebt sich aus der Gleichung ^'■'(X) = 0, also <I>(X; = 0. Ist eine Losun? dieser Gleichung Xq und der zupchunge T-Wcrlh 'F(Xo), so wird die Gleichung (ü) keine Lösunc: haben, wenn > 2ic8 • 1''(X<,); sie hat /.we\ Lösungen, wenn ai/' < 27c6^'(X<)), und dann ist die eine L<toung «wischen 0 und X«, die zweite zwischen X^ und 00. Die Gleichung könnte aber mehr als zwei reelle LAsimgeii haben, wenn die Gleichmif ^{X) » 0 mehr als eine positive Wurzel hat Da aber ^(X) « 0 wird, Af X s yt, SCI wird ^(X) (da der negative Werth von X nicht zu beriick- sichtigen ist) ein Masdmum fifar X ^ + und dieses Maximum «ird ^(/3) » 1/8 ^ arttgyi -» <M)SÖS. Da aber 0(0) — 0. ^(oc) » — |ic ist, so kann es nur mehr einen positiven Werth von X geben, für welchen 0(X) verschwindet, und dieser liegt zwischen ^3 und oo. Dieser Nullwerth von ^/X) ist
" Xo « «'ÖM8, V(X,) — 0*99467. (10)
^Venn daher > r4116fi oder w "> 118&iy ö ist, so ist die Rotation so tcbadl, dass sich eine Gleichgewichtsfigur nicht bilden kann^). Wenn w < ]*I88iy¥ist, so giebt es zwei Gleichgewichtsfiguren, für die eine ist X^ < X^^, f&r die awette X, > X,; die zweite entspricht daher einem sehr stark abgeplatteten Rotationsellipsoide. Von diesen beiden hat aber jedes ein anderes Rotations- moment Da sich dasselbe aber vermöge des Satzes von der Erhaltung d^ Flflchen nidit ftndem kann, so wird durch den Anfsngszustand, welcher das Rotationsmoment der gegebenen Masse bestimmt, auch die Form des Rotations* ellipsoides mitbestimmt. Ist das durch den Anfangszustand gegebene, con* stante Kotationsmoment, das Massenmoment, so ist
und da und
ist, so wird
J/=iicfia»(l^ X»), daher a ^^^^^^^^
_ 25 \l\ J_ _ _25_ yi> iy4it5(l 4- X«)
oder
0 + ^»)*- 2,8= i M* r 8S?"^-
f ist durch den Anfangszustand p. und die gegebene Masse M völlig be> stimmt^ und man hat daher X aus der Gleichung zu ermitteln:
X(X) - (1 + X»)IV(X) - f. (H)
Nun ist
') Wobei sieh jcdodi daidi die VcrlsogtsiBniig der Rotation die Bedingung fllr eine GUidigtwiditifigvr ergeben kann.
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5SO Meehttnfk d«t Himncb. 86.
" X 2 X* " ^^^^
ist. Hieraus folgt noch
X*(l-t>8Xt) (1 H- X»)(3 + 2X»)« *
Da x'(^) positiv is^ so wird x(^) bestftndig wachsen; nun istx(O) = o> ^(co) s ee, daher das Wachsen awischen 0 und oo, also x(A) ebenfalls beständig positiv. Demnach wird auch ^'(X) stets positiv sein, XQ) beständig wachsen, und da J^(0) ^ 0, X{oä) oo ist» so kann bei dem beständigo^ Wachsen ^(X) nur einmal den Werth q erlangen.
Fttr w = 1*1881 fallen die beiden Wurzeln ausammen; es wird X, «X) ^X je näher w der Grenze l-lBSly^S rückt, desto näher werden die beiden Lösungen Xj. X, XU X(^. Für sehr kleine Wcrthe von w hingegen weiden die Werthe beständig verschieden und für sehr kleine Werthe von w wird X| sehr klein, X^
sehr gross.
Für einen Punkt des Aequators wird 1 = 0, » ^, C Oj daher die An- ziehungskraft, d. i. die Schwere am Aequator
G: = - 4Öica]/l 4- - ^ X> X* . . . . ). (18) Die Fliehkraft ist iv*^. demnach das Verhältniss der Fliehkraft aur Sdiwerkraft
^ w^b V(X)
und daraus
Die Abplattung
folgt hieraus:
' G -2(i-^Xt. . .)
xa-|bH-Hö>. (13)
b—0
a —
/ThTx« ' *
a«ib. (U)
Ist T die Rotationsdauer der Erde, so wird
U.
wenn weiter / die Länge des Secundenpendels am Aequator itl^ so ist
6^ = IC»/
demnach
Nimmt man 7«i 861G4' mittlere Zeit, ^«»687834^, O'-99108« so würde a folgen; da jedoch a ™ y|j ist, so folgt, dass die bei dieser Ab-
leitung gemachte Voraussetaung der Homogenität der £vde nicht sittriflt
Mit dem zu w und d. i. au 7 und / gehörigen Wettiie a « folgt X* >« 0 008669 und damit
«J^CX} « 0 0022945.
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Mechanik des HiniiueU. HG.
55'
Fttr svei venchiedene Himmeliltörper Ist
daher
Drückt man die Rotationsdauer eines Himmelskörpers in Sterntagen (7"= 1 für die Erde), die Dichte derselben in Einheiten der Dichte der Lrüe (6 = 1) aus. so wifd
0-0022945
n>^') - -y^fjT- • (15)
Beispielsweise wird
7 i X'* a
für die Sonne . . 25«^ 4^ 0 25 0 000054 ! : 86800 für den Jupiter . . 9* 56"« 0 24 0*20925 1 : 9 56 für den Saturn . 10* 14»« Cl» 0 39439 1 : 5 07.
Da aber die beobachteten Abplattungen für den Jupiter fttr Saturn ^ sind
so zeigt dies, dass auch diese Körper nicht homogen sind.
Die Gleichung (5) wird ausser für X = \' noch befriedigt, wenn k von k verschieden ist, aber der zweite Faktor verschwindet, nämlich
6"
Diese Bedingung giebt ein sehr gestrecktes, dreiaxiges Ellipsoid, eine Figur, welche in der Natur nicht auftritt, welche daher hier nicht weiter in Betracht kommt').
Hiermit waren drei Gleichgewichtsfiguren gegeben, weldie theoretisch eine fotirende flüsnge Masse annehmen könnte, ein sehr wenig abgeplattetes Rotations- ellipsoid, ein sehr stark abgeplattetes Rotationsellipsoid und ein dreiaxiges, das »jACOBl'sche Ellipsoid«.
H. PoiNCAKe fasst das Problem in seiner wichtigen Abhandlung »Sur l'^qui- libre d'une masse fluide anini^e d un mouvenient de lolatiun« (Acta matlienialica, Bd. 7, pag. 259) von einem anderen Gesichtspunkte aus auf. Er findet, dass es unendlich viele Gleichpewichtsfigurcn giebl, die aber nicht alle stabil sind; daiiiiL die Gleicii^ewichtbii^ur stabil sei, müssen gewisse Bedingungen erfüllt sein, welche sich analytisch dadurch ausdrücken, dass die Zeichen der Coefficienten gewisser quadratischen Formen, von PontCAUft Stabilität sc o<ifficienten ge- nannt negativ sein mUssen. Verschwinden einselne dieser Coüfficienten, so gt' hOrt die Gleichgewichttifigur swei verschiedenen Reihen an, und wird tforme de bifufcationc genannt, wenn die unendlich benachbarten Formen reell sind; sind aber die benachbarten Gleichgewichtsformen imaginär, so wird diese Gleich gewichtsform »forme limite« genannt (I. c«, pag. 370).
So werden heis|>ielsweise für eine flüssige rotirende M.nsse alle abgeplatteten Rotationsellipsoide Gleichgcwicbtsfiguren sein; und ebenso giebt es eine unend- liche Anzahl dreiaxiger Ellipsoide, welche sämmtlich Gleichgewichtsfjguren sind; sie geniessen aber nicht die Eigenschaft der Stabilität. In der That wird für eine gegebene Geschwindigkeit der Ucucr^ang der EiussigkciL aus der Kugel-
*) Auf diese Ltttmig bat cueisl jACOSt ia F06O. Aan., Bd. 33. uifmefksam gebuusht. V«i||^ tadi LiouvtiXB't Jouraal, Bd. 16, pag. S41. !>•«• et nodi andere dcicl^ewiclitifigiiTeii l^eht^ bat svcist TttoiisoM aosge^Meclien, und splter PomcAsi bewieeen.
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55« Medhanik de« Hlimiidt. M. VI.
form in die ellipsoitli<;rbe Form durch ElHpsoide aller möglichen Abplattungen hindurchgehen, die sammtlich Gleichgewichtstiguren sind, aber kerne Stabilität besitzen, bii ein EHipsoid erreicht ist, für welches die Bedingung enullt ist, dass die Stabilitätscoefficienten der zugehörigen quadratischen Form sammtlich negativ werden; allein ausser den angegebenen drei Ellipsoiden ^) giebt es noch andere Gleichgewidilrfonnen, die eben&lUi Stabilitit besitsen, Rotatkmtkörper, die mber nicht symmetrifch nach drei Ebenen sind; eine solche iUbile Gleichgewichtsfigur von birnenförmiger Gestalt wird pag. 347 beschrieben.
87. Gleichgewicht von sphäroidisch geschichteten Körpern anter Berücksichtigung äusserer Kräfte; die Oberflächenform. Das Poten« tial der Annehung eines äusseren Punktes Mj (Fig. 875)» dessen Coordinaten
5,, Tj,, d sind, auf einMassenelcmcntdes Spharuides ist — . Von den Componenten
der Anziehung sind aber die Componenten der Anziehung auf den Schwerpunkt
abzuziehen, da es sich um d'e relative Verschiebung der Massenpunkte get^cn- über einem als fest angenommenen Punkte (dem Schwerpunkte des Systems £) handelt. Das Potential dieser Anziehung ist*):
Pl Pl
daher das Potential der Anziehung für den Punkt «r, :
(1)
F* « — — (ä w 8. -hjfsitt Btt^m, -i- msmB, sm m.) »t Pl Pt
= — ^ TT CffSf*.
•t Pl Pl* "
Da nun
- 7^ f A ^K^^sit) + 71 ^<WTi) + . . .
ist, so Wird
r~m, ^, (y^i«+ f- i^»>-r Ji'>+ ...). (»)
Das Potential der Fliehkraft ^w*{y* -t- §*) wird, nach Kugelfunctionen geordnet:
* >r =fte,*r«-i«/V^*f.»-J), (3)
wo die beiden Theile Kugelfunctionen nullter, bezw. zweiter Ordnung sind. Sind mehrere anziehende Körper m,, . . . , so wird sich das Gesammt-
potential der äusseren Kfäffce sasammensetzen aus den gleichartigen Bestand* theilen V, . . , . und dem Potential und es wird:
r-h r'H- . . . -h Ko = u/-'[Z(0)-i- ZWh- rZfi«>+ r«ZW-f- . . .]. (4)
«Z»=» - ^«»^t 2^ i>/» (4.)
9r
') Hicna miMS jedoch bemerkt wenten, dau die wenig abgeplaltiole Fofm seenkre Stabi- lität besitrt, die fUrk abgeplattete jedocb nicht; hiertlber veigl. 1. c, pag. 373.
^ Die Coailante — L iit himiisttfllfn, im das Fbtential ftr den Scbwerponkt idbit «er- tt^imnden nmts. ^*
') Der Faktor a wird hincugcfUgt, weil diese Tlicile des Potentiales geg^ttbct dem Hanpt« tbdlc, welcher du Potential des Spbltoidet selb«! danteUt, sebr biete sind.
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Mechanik de» Himmels. 87. 5J3
Fttgt man hier noch das Potential des Sphttroides 86 (2) und (6) auf einen Punkt der Oberflttche {r^ statt ^) hinzu, und seist die Summe gleich einer Constanten, so wird
rj zu bestimmen gestatten. Ist die sn bestimmende Gleichgewichtsfigur der Süsseren Oberfläche gegeben durch
r,=a,[l -+-«(KS»H- Y^?+ ...)]» (6)
so erhält man, wenn dieser Werth eingeführt und nur die erste Potenz von « berUcksichdgt wird:
£ [, _ a{ys« + ja:.. + ...)] + ^'^yW^l^ i ''''' Ä "'^'^'"^ *
* «• (öa)
Hieraus folgt, indem die Kugelfunctionen der einzelnen Ordnungen Ktr sich zusammengefasst werden:
M
M
- y}» = 0 (7)
Die erste Gleichang bestimmt die Übrigens weiter nicht benöthigte Constante C aus der Gesammtmasse. Aus der zweiten Gleichung folgt Y^}'^ — 0^ was selbst- verständlich ist, da der Schwerpunkt der Masse zum Ursprang gewählt worden war. Die dritte Gleichung giebt:
Die (ileiciumgen (6) und (Ö) bestimmen die Oberfläche des Spliäroides.
Aus (5) erhält man für die Kraftcoroponente in der Richtung des Radius- vectors r^:
-4- er, {^Zm 9Z« + 8rtZ» -h 4r^*ZW'h . . ).
Da die Abweichungen von der Kugelgestalt nur als äusserst gering an- gesehen werden, so wird der Radiusvector mit der Normalen nur einen sehr kiciren Winkel einschliessen, dessen Cosinus man gleich der Einheit setzen kann, so dass der Ausdruck (9) als die Kraft in der Richtung der Normalen, also als die Schwerkraft ^ in dem Punkte x, y, % angesehen werden kann. Er- setzt man hier wieder durch seinen Ausdruck (6), so folgt mit ROcksicht auf die Gleichung (8):
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554 Mechanik des Hiimnelit. 87.
^ - + ^ - 2«a,Z*)+ "-^^f; f/ - I) y(0 ^ , y (21 H- Daf-tZW. (10)
Für ein KouiionseUipsoid, dessen Halbaxen m, n sind, wird
— j -+- j — -a I
und daraas
oder mit VernachlässiRung von X*
ayi(2) = -iX»(^i;i«e-i), (11)
demnach
M M
a
^ *:^X» = a die AL^
^(i-i^-..),
Nun ist mit Vernachlässigung von : ^ X* = a die Abplattung
folglich weil *- selbst von der Ordnung von X* ist:
wobei X' wieder zu vemachlflssigen ist. Man erhält daher innerhalb derselben Genauigkeitsgrenze :
^ - + - - i) - ^
1
rx
Die von der Anziehung der übrigen Himmelskörper herrührenden Glieder
G sind praktisch von viel niedrigerer Ordnung wie X*, und können in dieser Näherung unbedenkhch vernachlässigt werden. Ist dann die Schwere an Aequator, die Schwere an den Polen, so wird
^,g-^g = --|(|b-o)
^s
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r'
MedMUltk dct ffiomda. 87. 86. S55
Die Gleichung (14) giebt eine Beziehunfr zwischen der Abplattung, dem Verhältniss der Centrifugalkraft zur Schwcikralt am Aequator und dem Verhält- niss der Schwerezunahme vom Aequator zum Pol zur Schwere selbst. Diese Benehung heiMt das OuHRAVi^Kh« Hwoieoi. Sie ist wie sofort su sehen, iinabbAngig vod der DichtenUgerang im Innern der Erde.
Mit Hilfe der Gleichung (8) kann man einfach das Potential eines sphttroi« dischen Körpers auf einen äusseren Punkt aus seiner äusseren Gestalt, ohne Kenntniss der inneren Schichtung ableiten. Es ist nach 85 (8) und (€):
Setzt man hier flir das Integral seinen Werth aus (8), so folgt
— + 2 -rtr M*^*?^ - . (i6)
P i=\ P
Vernachlässigt man für die Bestimmung der überfläcltenform des SpbäM ides die Wirkung der äusseren Kräfte und nimmt nur auf die Rotation RUcküicht, so wird
zu setzen sein. Kun kann man F|(n ^ 0 setzen, wenn man den Ursprnog in den Schweipunkt des KGrpers verlegt; nimmt man weiter an, dass man es mit einem Rotatioossphäroide zu thun hat, so wird
^ Fp) = - o(ji» - i), K,»^ - . . . - 0
und die Gleichung (15) geht über in
oder mit Rücksicht auf (12):
f.«_^___L^^5_.a)(|i»-i). (16)
88» Gleichgewicht von sphäroidisch geschichteten Körpern. Innere Lagerung. Für einen Punkt im Innern erhält man, wenn man das Potential der äusseren Kräfte und der Fliehkraft zu dem Foteniial 85 (9) hinzuiiigt:
2k
-+- aa»(Z(0) -i- im Hierdurch erhält man
4//
Ii (I - ayCO)) J « dp^^T. dp H- a«»2(0) . C
«0
4k
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5j6 Mechanik de» Himmels. 88.
Die erste Gleichung giebt eine Beziehung zwischen a, K(o} und C\ es kann daher wieder 0 so gewählt werden, d««s FC«) wm 0 ist Die swdte Gleidioiig liefert eine Bestimmung flir yi») (fttr Yi^ ergiebt sich eine gans ähnliche Gleichung, wo nur ZW — 0 ist). Smt man
so wird diese Gleichung
FW / I r c
(8« 1).
Dividirt man durch aß und diflferennrt nach a, so erhfllt man, da von « unabhängig ist, nach einiger Reduction:
wo Kürze halber
gesetzt ist. In dem letzten Ausdiucke ist noch Kl»») unter dem Integralzeichen; muUtpiiciri man daher mit (i3« + > und diflferenzirt neuerdings, so folgt
8^ A , />\
-JäT-^^-p^^^—^ ? ^y<.)-0. (8)
Durch die Integration treten swei wUlkflrliche Functionen von % und m ein; die eine bestimmt sich aus der Function Z't"), die aweite dadurch, dass die K für eine gewisse Niveaufläcbe (Oberfläche eines testen Kernes) bestimmt sind. Ist jedoch kein fester Kern vorhanden, so scheint es, als ob dadurch eine
Unbestimmtheit entstehen würde. Zunächst ist dann z.u beachten, dass ein leerer Holl 1 räum, wie er mnerhalb eines festen Körpers wohl denkbar ist, in Folge des Druckes der äusseren Massen, nicht entstehen kann. Es wird daher a^, = 0 zu setzen sein. Weiler tax beachten, dass in Gleichung (3) die KW Kugel- functionen sind, die auch von a abhängig sind (von Schichte zu Schichte yarnren). Da aber nur partielle Difiereiitialquotienten nach a voricommen, so wird der DiflTerentialgleichung genügt, wenn man setat:
FW s m Xi»), (4) wo At") Kugelfunctionen sind, die von a unabhängig sind, und A(«>) nur von « abhängt. Dann wird
Für eine homogene Masse ist^) jP^ ^£0'. Nun bt d die Dichte, welche
Der LAftACB'sdie Beweti» in dem neacien »Tniti de m^cmiqtte Celeste« von Tnsf- aAND fMt mveriiiMlert repiodueiit, Ut, trie men leicht eleht, narlehtig. LAnjkca wird nf die Gleicdimig gefblnt; ca*
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M«cliMik des HiiniDeb» 88>
557
an der äussersten betrachteten Niveauschicht von dem Parameter *a stattfindet. Da in allen Fällen durch den äusseren Druck eine Dichtezunahme gegen das Innere 2U stattfinden wird, und erfahrungsgemäss auch stattfindet, so wird
Sei also
3^ = 1 (6)
so wird
El wird nttn IfA in der Fona vorausgesetzt:
A<-) «= iJ,Ä» -H Ti«' a'' -H (8)
wobei f)»' . x' . . . von unabhängige Unbekannte sind. Dann geht die
Gleichung (7) über in:
=» 6-'^(«)[C* -i- U'M«^ - 4- is' + -h . . . . J- '
Er letst niiik B in der Fonn voreas: ( « — ^f» ^. + . . . ^ wo p negmtiT aogc-
nouiTnen ist, um dem Umstände Rechnung zu tragen, dast gegen du Innere tu eine Zu- nahme der Dichte stattfinden «tiss. Fftr positive x, X, . . wird nun die niedrigste im Nenner
d y(u
auftretend« Potens von a die sechste, daher würde — x — Alt « « 0 unendlich, wenn nldit
9«
<• = 0 ist. Hieraus schliesst Laplack, dass — ^ »s- 0. K' ■= r , constant, also, da es fUr
da *
eine gegebene Fläche (die übcrflMchc des Kernes) gleich Null ist, wenn man den Schwerpunkt als Ursprung wMhit, dass K'd) ftlr sämmiliche Schichten NuU ist, d. b., dass die Schwerpunkte ribmarfiBehcr Sdidrtttt suamoen<en. SEnnldist kann nun aber 8 dennoch eine gehioehsne FuaetioB sein, wenn nur die UacodUdikeilspunkte aosscihalb der lotegntionsgrensen 0 und «| fallen, da für die Rechnung nur der Verlauf der Dichte nwerhafb der Integratien^fettstB (des mit Masse gefüllten Raumes) von Belang ist. In dem Punkte / = 0 selbst wäre ausser- dem eine Ausnahme sulSssig. Wäre in der That der Nullpunkt ein Unstetigkeitspunkt aweitex Ordnung, also
so wäre
also CDdUeh. Ein« nicht homogene Kogel, deren Dichte nach dem Innern au nadi dem Gcsetae
(ß) zunehmen würde, würde daher allerdings im Mittelpunkte selbst eine unendliche Dichte
haben, aber in einem unendlich kleinen Volumelement, die Masse dieser Kugel (das mit 4it multiplicirte Integral f) wäre thatsMchlich endlich. In (a) tritt nun das Quadrat des Integrals (7) auf; wenn daher nicht a, ß Null wären, so wird der Nenner mindestens a* enthalten, dem> . dY{l)
nscn uoetidhch werden. Ist aber a — fi = 0, also
wobei ^ bit^ntioBsconstante ~r '''i da für « » tfj : y'CV Tenehwlndet Dann würde aber
K'O) nicht für alle Schichten verschwinden, d. h. die Schwerpunkte der Sdiiditen fielen nicht mit dem Sdiweipnnkte der ganzen Masse zusammen, bi diesem Falle wllrde nun aber der Un- stetigkeitspunkt p^Q mnerhalb des Bereiches lanetbalb dessen die Sehwerpunhte der sämml- lichen Schichten liegen unbestimmt. Den Mangel dieses Beweises bat soeist RisAL erkannl, und autt desselben den im Text angeführten gegeben.
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55«
tteehanik de« HinineU. 88i
Denkt man sich nun F (a) in dersclbfn Weise entwickelt, wie M^K so wird man durch Vergleiche der gleichl ohen Potenzen in (7 a) Beziehungen zwischen den Exponenten s in und denjenigen in F (d) ableiten können. In S (a) kann aber eine Constante nicht auftreten, da jF (0) = 0 ist. Da weiters von den Exponenten s, s' , , , alle wesentlich positiv sein müssen» weÜ sonst also Pt") anendlich wQrde, so kann, wenn man yon s ausgeht^ weder i 1 noch X -h « «4- $ verschwinden; es wird daher x — » -h 8 0,
Für n — l wUrde
a a '
demnach Y^^) für « = 0 unendlich. Ks muss daher t)i — 0, demnach Kd) = 0 sein; die Schwerpunkte sämmtlichcr Schichten fallen zusammen.
Fllr > 2 haben A("> und die Eigenschaft vom Mittelpunkte aus beständig
positiv und wachsend zu sein. So lange dieses der Fall ist, muss auch positiv sein; in der Gleichung
_ = 4- 1) - 6ll - na)\\ - ^ [1 - ^(a)]
ist aber fttr » > 2 : m(m h- I) > 6, daher a fortiori > 6[1 — -^(f)]^ demnach der Coefficient von A^"^ und ebenso der von stets positiv. Wenn nun
und illr irgend emen Werth von a noch positiv sind, so kann M»f nur
dann anfingen abcnnehmen, wenn zuerst null und dann negativ wird, also
selbst abnimmt , während negativen Werthen von - j - nothwendig positive
J^M") dA^") Werthe von enibprechen, für welche aber wachsen sollte. E*
ifM")
werden daher AM und ^ - , wenn sie für iigend einen Werth von « positiv
sind, beständig wachsen.
Set nun J^(a) nach steigenden positiven Fotensen von a entwickelt^):
QF(ä) = aa^ a'a^'-h ..... (9)
SO wird
H- » 8)(/ II + 8)ifc,V*»-l-(*''-+-« + S) + 2) . . .
und hieraus amichst:
Der Werth von s" wird bedingt durch den Werth von V; die Entwickclung von A^') ebenso wie von .^(tf) ist nadi steigenden Potenten vorausgesetzt Jenachdem daher
^ + — 2 J X' -h * — 2, d. h. X' > 2A,
>) Hier dürfen negmtive Potenten nicht auftrcteo, da (a) tUr « as 0 verschwinden muss.
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Mechanik des Himmel».
559
»t, wird — 8 gleich X + — 2 oder X' + * — 2, d. h. gleich 8X -f- » — 8 oder X'h- 3. Ut«) 8X, so wird
/'«8X + « — 8;
^* ~ 1 . 2X>(X -I- 2« 4- 1){2X 4- 2» -h 1) ^" 2X(2X + 8« + I) In derselben Weise X'" 3X annehmend, folgt s'" ^ 3 A 4- « — 2 u. s. w. Die Constante i), tritt überall als Faktor auf, und kann daher gleich l ge!?etzt werden, indem sie mit den Constanteo von Xt") vereinigt gedacht wird, und es wird:
- 1) /a\* - 1)
1 •2(X -h 2» 4- 1)(2X H- 2« -H 1) V^/ (2^ H- 2« 4- 1; V2>7
+
nm mm
„ («_i)(X-H«_l) nm —
, .»^ l)(XH-^-l)(2X4-l»-l) ^~ ^ •
^" l»a'8(X-h8«+ 1)(2X-|-8«H- U(3X H-2«
1) r(2X-h»^|) (2X4-2/»-2)1/a\/a'\ -1) /a"\
8(SX+8ii— l)[(2X + 8«-»-l)"*' (XH-2» + l)J\X JV2V (•^^+2ii-hl)\3X; *
Kann man a', ... in der Entwtckehing von I'la) vemachlflssigeD, so wird:
-1 (11)
1 .2(X 4- 2« r)(2X 4- 2« 4- 1) V-/ I* Im Allgemeinen wird es genügen, bei der Atiraction sehr entft;rnter Körper
sich auf das erste Glied — su beschränken. Dann wird
**'2r«-Ztt)= =0.
Lässt man diese Glieder in der zweiten Gleichung (1) weg, und erseut W durch Mßy XM, so folgt flir n > 3:
a
wobei JTC"), da es von p unabhängig ist (blos ^ und w enthalt) aucli vor das Integral gesetzt werden kann. Wendel man diese Gleichung auf die Oberfläche selbst an (a » a^), so verschwindet das letzte Integral, und es wird, wenn ^«) den Werth von AM flir die Obeiflllche bedeutet:
(8« -h 1)«,« JI^^^J ^dp^—^juS^ (/*+»>M-)) dA XM s 0.
0 0 ^
Durch theilweise Integration der beiden Integrale folgt:
oder, entsprechend reducirt:
') Da das Anfangsglied der Reihe ftlr 1 — ^(tf) die Einheit ist, so wird der allgemeinste Fall der Entwickelung X' = «X, wobei n .ine gnnte Znhl ist; dabei kann >. ganz oder ge- brochen sein; vergl. s. B, Könicsüi kckr »Vorlesungen Uber die Theorie der eiiiptiscbcn 1*, 1. Theil, pag. 109 und 137.
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5^0 Mechanik des Himmels. Sfi.
a und sind stete positiv, ^ negativ, weil die Dichte mit wichsendem
p abnimmt, und M^i < /{i-i, weil A^") eine nacli aussen beständig wachsende Functioo ist Da weiter — < 1 ist, so wird:
9« + 1 > 8 für « > 2»
dB
daher der Rlammerausdnick unter dem Integral positiv und da ^ negativ
ist, so wird der Faktor von AT^«) für ;/ > 2 aus /\sei positiven Gliedern bestehen, und kann daher nicht verschwinden. Mit verschwuidendem ZW muss also auch XM HE 0 sein, und der Radiusvector irgend einer Schicht wird von der Form
r^p(\ ^. « F(o) H- a K(2)). (12) Zur Bestimmung von K(^> hat man. wenn man wieder K(3) m äC?) A'<3) setzt;
Fttr die Oberfläche ergiebt sich hieraus .jf W » _
oder
0
tf^» «zw
4« •!
«Arp» 1—^ (18)
0
Sieht man von der Aturaction der entfernten Weltkörper gut ab, to wird Seiet man dann
a
3
b; , (U)
so wird *
r, « [1 -H a y<<>> — i«r»(|t» — |)iyW)J.
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Mechanik des Himmels. 88. 89.
$61
Die Unbestimmtheit von gestattet noch zu setzen') und dann wird
» P - *-ffW«r»(|t« - 1)] (lö)
Dabei ist
„jj , 1 {aa^\ 1 X .
I T^^s [—) 1.2(X-+-3)(2Xh-3) ^-Xj
daher für sehr kleine Werthe von « (Formel (9)] gleich 1 zu setzen. Die hier- durch bestimmte Fig:tir wird manchmal vorzugsweise als »Rotaiionssphärbid> bezeichntt. Ihr Meridianschnitt ist eine der Ellipse ähnliclie Figur mit den beiden Haibaxen + kJJ^W) und aj. Die Abplattung ist daher
0
wobei btt'' die früher mit b bezeichnete Grösse ist. Für < onstante Dichten folgt hieraus a = Jb (übereinstimmend mit dem Resultate 86 ^14). Da sich zeigen lässt, dass das zweite Glied des Nenners nicht negativ werden kann, und nicht grösser als für constante 8, so sind
n = und a = \)d die Grenzen zwischen denen a jedenfalls enthalten sein miiss.
89. Fi pur der Satelliten. Bei den Satelliten ist die Anziehung der Hauptplaneten nicht zu vernachlässigen; es ist dann
«ZÖ) - - i - -h
* -I- 1(1 _ ,fcS)(i _ ^j») 2(« - «»,)].
u>j, und e, oder {jlj bcsiimmcn dabei die Lage des anziehenden Punktes. FQr die in der Natur vorkommenden Fälle kann man sich auf swei Annahmen beschränken.
a) Im allgemeinen befindet sich der Satellit nahe im Aequator des Haupi Planeten ; es ist also 9| — 90^ {a^ = 0, folglich
« ZW « - i ^ I) . I (^s - I) + I ^ (1 - m 2(« - «,).
Pi Pi
Fuhrt man wieder die fiüheren Grössen b, k ein, so wird
und wenn man über die Constante so verfügt, dass
a
is^ so wird
») Wenn Y^ifi) = 0 wäre, so wäre öj der Halbmesser der Kugel gleichen Inhaltes. Bei der hier getroffenca Wahl tob K|(e) wird, wie «uFonnel (15) hervorgeht, <?, der Halbntcster der ciagMchriebeiieB Kugd.
VAUiNTifthk aatitMaia» H, 36
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563
Mechanik des Himmels. 89.
oder
r, = a, [1 - kN^{w^ H. _^ g SC« - » j} Ck> - o] • (3)
Hi craus erhält man: für die RotAtions&xc' d = 0| }ji ^ 1 die Ljingc tfjj fllr den Aeciuatorradius in der Richtung zum ansichenden Hauplplancten: 6 = 90% |fc «I 0, (0 — «üj s 0 oder 180**:
Ar den Aequatorraditta in der dasu senkrechten Riebtung: 6 »90°, )i » 0, «» _ <i)j a 90^ oder 270':
Die Figur des Himmelskflrpeis wird daher die eines dreiasigen EHipsoldes, dciten längste Aze gegen den Hauptplaneten su gerichtet ist Die Abplattung
der AequatoreUipse wird — ^kU^'^i, diejenige der Meridianellipse m der xur
Pi
Verbindungslinie des Satelliten ind Hauptplaneten senkrechten Richtung i(iS^O> «r'; das Verhältntss dieser Abplattungen ist daher
Nun ist
wenn T die Umlaufszeit des Satelliten um seinen Haup^laneten ist, und
t '
wenn / die Kotationszeit des Satelliten ist; das Verhältniss der Abplattungen wird daher
(^) '
Fttr den Erdmond ist / « 7*, daher die Abplattung der AequatoreUipse etwa ^ derjenigen der Meridianellipse und zwar bleibend» in der Art, dass die grönte
Axe des MondkOrpers stets gegen die Erde zu gelichtet ist. FUr die Haupt- Planeten gelten natürlich dieselben Formeln. Fttr die £rde ist z. B. Z-* 366*35/, demnach die Abplattung der AequatoreUipse
deijenigen der Meridian ellipse also verschwindend. Ueberdiess wäre diese Ab- plattung stets gegen die Sonne zu gerichtet (in der Richtung «» — . tt^ 0), wtlrde also eine veränderliche Gestalt des F.rdkörpers eine (alleidings ganz ttO» merkliche) Flutlibewegung mit 'äplirber Veriode erzeugen.
b) Wesentlich schwieriger gestalten sich die Untersnrhuncen Uber die Gestalt des Saturnringes, die auch an dieser Stelle zu erwähnen sind. Die erste Theorie derselben rührt von Laplace her. Er nimmt ihn als aus einer grösseren Anzahl von Ringen bestehend an, von denen jeder durch die Rotation einer sehr gestreckten Ellipse um eine ausserhalb derselben parallel zu ihrer kleinen Axe liegenden Geraden entsteht (elliptischer Wulstring). Jn der That giebt dies eine Gleichgewichtsfigur; doch hat schon Laplacb erkannt, dass diese sowie jede reguUre Figur des Satumringes nur eine labile Gleichgewichlsfigur scni kann. Die geringste ftu»ere Kraft, und deren sind ja schon durch die
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Mccbsnik des Himmels. 89. 90.
563
der HinmeMkörper tbatsScblicb vorbanden» niOsste bewirken, dass der Ringmittel- pnnkt sich von dem Satumsmittelpuokt entfernt, so dass der Ring sich schHess» lieh mit dem Saturn vereinigen mOssle. Dieses gilt sowohl, wenn der Ring einfach, als auch, wenn er aus swd oder mehreren derartigen stark ab- geplatteten Hngldrmigen Körpern besteht. S. v. Kowalewsky nahm die Frage so auf, dass sie den Querschnitt des Ringes in einer durch den Satumsmittel- punkt gehenden Ebene so zu bestimmen suchte, dass stabiles Gleichgewicht bestehe. Diese, sowie die Untersuchungen Maxwkix's über einen rontinuirlich mit Masse belegten Ring führten jedoch zu keinem befriedigenden Resultate, weshalb sich Maxwell zu der Annahme veranlasst fand, dass der Ring aus discreten Massentheilchcn bestehe, die sich wie eine grosse Reihe von Satelliten um den Saturn bewegen, eine Annahme, die u. a. auch darin eine Stütze findet, dass in ähnlicher Weise die kleinen Planeten einen ringförmigen Gttrtel dieser Constitution um die Sonne tu bilden scheinen. Die Untersuchung der Bewegung discreter Massen bietet aber selbstverständlich besondere Schwierigketten durch den Umstand dar, dass man ttber die Anordnung der Massen keine auch nur durch die geringste Erfahrungsthatsache gestfttzte Hypothese machen kann. Erleichtert werden allerdings die analytischen Ope- rationen durch den Umstand, dass es sich nicht um die Bewegung der einzelnen Satelliten handelt, sondern um den Gcsammttfrekt, den die jeweilige Anordnung der Massen in ihren Bahnen nls Rint: übt. Insofern ist es möglich, aber durch- aus nicht erwiesen, dass vereinlachende Annahmen, welche die Behandlung wesentlich erleichtern, zu richtigen Resultaten lühren*). Annahmen dieser Art, zu denen Maxwell seine Zuflucht nimmt, sind: Gleichheit der Massen der einzelnen Partikelchen, specielle, regelmässige Anordnung derselben tUr den Anfangszttstand u. s. w. Aber selbst unter diesen Voraussetsungen unterliegt die Untersuchung noch bedeutenden Schwierigkeiten.
Dass der Ring nicht aus einer zusammenhängenden, mit durchaus derselben Geschwindigkeit rotirenden Masse besteht, wurde erst neuerdings von Reeleb auf spectroskopischcm Wege nachgewiesen*), indem es ihm gelang, bei den ver- schiedenen Punkten des Ringes verschiedene Rotationsgeschwindigkeiten na«^ zuweisen, woraus allerdings noch rieht gefolgert werden darf, dass der Ring aus getrenntf'n Körpern besteht, wohl aber, dass er mindestens aus melircren in- einander liegenden, selbstständig von einander rotirenden Ringen besteht'').
90. Die Differentialgleichungen der Rotationsbewegung. Handelt es sich um die Bewegung eines Massencomplexes, so wird nebst der Translations- bewegung seines Schwerpunktes auch noch seine Rotationsbewegung zu unter- suchen sein. Die hierlQr geltenden Differentialgleichungen nnd in rechtwinkeligen O>ordinaten:
Die Anzahl der veianderlichen Courdmaien x, y, z ist hier gleich dreimal der Anzahl der beweglichen Punkte, also fttr eine continuirliche Masse unendlich
') Vcrpl auch den Artikel »Planeten«. *) Asuophys. Journal, I. Bd , pag. 416.
•j Vergl. ÖKELiGKK, > Astron. Nachrichten«, Bd. 13&, pag. 9g.
CD
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Hcchuiik dei füiiiiiMlt. SO»
gross. Zwischen denselben bestehen aber, wenn es sich um die Rotation von
starren Körpern bandelt, gewisse Beziehungen, «^o dass im Ganzen doch nur eine endlicl e An/alil von \on einander qanz unabhängig Veränderlichen l*!eihi. Um auf die>e lilterzugelien, wird es am besten, ein in dem Korper feste«^ Axlh- systeui zu uahlen, den Körper auf dieses zu beziehen, und die Ut AC-uii: Jes Axensystems zu uniersuchen; hiermit ist auch die ZahM) der unter allen haiien nothwendigen und hinreichenden von einander völlig unabhängigen Veränderlichen bestimmt
Der Uebergang auf dieses Axensystem wird durdi die Formeln t (1) ge- leistet, in denen daher die Coordinaten x*, y, m' als constant ansusehen und mir die Richtungscosinus ßi» Ti» «t» * • * Yt verttnderlich sind. Klan hat daher
ä*x ,'!zh
rf/> äi» "^-^ dt» ^* ä/^
d*x d^y d^t
and ebenso fllr *. FQhrt man die Werthe fllr x^ §, -jß * ' *° iX)
ein, und berücksichtigt, dass die iranslorniation der Kraficüroponenten in der- selben Weise vorgesommen wird, wie diejenige der Coordinaten, dass aJso, wenn JC\ y Z die Componenten der auf den Punkt x^ y, m wirkenden Kraft, bezogen auf die im Kdrper festen Axen sind:
ist, so folgt
+ p,y + o (r- ^ +y ^) - -{«.«-+ p.y + ^- +y ^ + *' 9^)) -
und ebenso aus den beiden andern. Hierin bezieht sich die Sununaiion auf die Coordinaten x', y', z' und auf die Kräfte Jf, V, Z', während die Richlungscosinus «1» ßp • • • Ts Punkte dieselben sind. Diese, sowie ihre Diflerential-
quottenten können daher bei der Summation vor das Summenzeichen gesetzt werden. Löst man daher die Klammern unter dem 2 auf, so erhlüt man links Ausdtacke mit den Coefficienten lmx'\ Imy'^, Imt^*, Xmxfy\ Smj»'«', 'Zmx's\ Ueber die Lage des neuen Axensystemes war bisher keine weitere Verfllgunggetroffen worden, als die, dass es in dem Körper fest sei. Wählt man es nunmehr so, dass die drei Coordinatenaxen mit den Hauptträgheitsaxen zusammenfallen, so werden die drei letzten Summen vcrscluvinden, !.ö«t man auch die rechts stehenden Aus- diücke auf, und berücksichtigt die Gleichungen 2 (8), (9\ (10), so erhält man
p dfi dfl)^*^'' ^V^» d(* ^j^'^^
^) Der «Grad der Freiheit«.
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Mechanik des Hiaunds. 90*
5«5
Multiplicirt man diese Gleichungen nm a^, i.^, und addirt, sodann mit ßi' Ps» ßs» endlich mit y,, 7,, 7,, führt die Trägheitsmomente A, B, C nach 8i (4) und (4a) ein, und berilckstchtigt die Gleichungen 2 (18) und 2 (5) bis (lü), so erbftlt man die EuLBit'scbe Difierentialgleichung für die Rotationsbewegung.
-ff^H-C^-C)/r=ÜK (2) aÄ«2(i'Jr-*'Z') (3)
Ote Componeoten der Geschwmdigkeit der Bewegung für irgend einen
dx dy dz
Punkt sind gegeben durch die Ausdrücke ~ff ^ * Wenn einzelne i'unkte
des Massencomplexes sich in Ruhe befinden sollen, so müssen für diese die drei Geschwindigkeitscomponenten Null werden. Nach 2 (1) wird dann aber:
dt^"" dt dt ^* dt
dt ^ dt dt ^' dt ^ ^^'^
-d} = ''-di'^^ -dt--^' -di'^^'
Da man zur Bestinmiung der Coordinaten x', y', z' der in Ruhe betindlichen Punkte nicht mehr als drei Gleichungen hat, so wird die Lösung der Aufgabe möglich, d. h. es piebt stets solche Punkte. Multiiilicirt man die Gleichungen (4) mit aj, a^, a,, dann mit ßj, ßj, ßj, endlich mit Yj, y»» erhalt man an ihrer Stelle die folgenden
gz' — ry=^0; rx''-pz' = 0\ py' — ^jx'—O,
von denen aber jede die Folge der beiden anderen ist, so dass sie nur zwei unabhängige Gleichungen
X V 9
darstellen. Es wird mithin nicht einzelne Punkte der angegebenen Eigenschaft geben, sondern sämmtliche Punkte einer Geraden <?, welche durch die Gleichungen (4a) bestimmt ist, befinden sich zur Zeit t in Ruhe; die Bewegung tritt als eine Drehung um diese Gerade auf, und man nennt diese, da sie mit /, r also mit der Zeit veränderlich ist, die momentane oder instantane Rotations^ axe. Ihre Schnittpunkte mit der Körperoberilache bezeichnet man als Pole (für die Erde: Erdpole und zwar Nordpol und Südpol).
Die Richtung der Rotationsaxe ist bestimmt durch ihre Richtungscosinus gegen die Hauptträgheit^axen:
X. ' = cos Gx' = — ^ — — ; X,' «= cos Gy' = ;
X.' « cos Gz' . ^ .
y>» -h ^« -h r«
Da
cos Gx — cos Gx' cos xx' + cos Gy' cos xy' cos Gz' cos xz'
ist, so werden die Kichtungscosinus der iostantauen Kotatiooüaxe gegen das im Räume teste Axensy Stern der x, z:
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Mechanik des Himmels. 90. 91*
Um die Rotalioasgesefawindigkeit um die Axe su bestimmen, genügt es iiigend dnen beliebigen Punkt su betrachten, da ja die sämmtlicben Funkte des Kdfpeis in stairer Verbindung sind, und daher jederzeit dieselbe Rotataoosgeschwindig- keit haben müssen. Nimmt man als solchen einen Punkt der «'•Aze, dessen Coordinaten daher y = 0, / » 0, sind, so wird die absolute Geschwindigkeit im Räume gegeben durch
mit der Beaeichnung 2 (16). Der Abstand des betrachteten Punktes ron der Rotationsaxe ist aber
d^z' sin (Gz') = s' /r^^GVp = ^\yr-!?ti' w •
yp9 ^ ^ |.s
Daher mit Rücksicht auf 9 (20)
Daraus folgt nun die Winkelgeschwindigkeit w ^vid, also
vf SB y>» + ft^r* (7) und nach (5) sind dann f, r die Componenten der Winkelgeschwindigkeit, d. b. die Rotationsgeschwindigkeiten um die drei Axen s^i y, V, und die Zähler in (6) die Rotationsgeschwindigkeiten um die drei im Räume feststehenden Axen X, y, m.
Ol. Die Bewegung des Körpers im Räume. Die Bestimmung der /, ff r aus den Differentialgleichungen 90 (2) giebt die Lage der Rotationsaxe gegenüber den Hauptirägheitsaxen im Körper selbst [Gleichungen 90 (5)]. nicht aber die Lage dieser Rotationsaxe oder des Körpers im Räume. Zu diesem Zwecke ist noch die Kenntni^s der ürüsscn aj, a^, . . . 7, nöthig. Hierzu ge- langt man duich die Integration der Glcicluinpen 2 (14), sobald die darin auf- tretentlen (.ito^sen p, q, r bekannt .sind^). Man kennt dann die Lage des Körpers in jedem Augenblicke, indem man die Lage der drei ilauplLrägheitsaxen kennt* Von diesen 9 sind aber nur 3 von einander unabhängig. Gegen die im Räume festen Axen der x, y, m wird diese Bestimmung aber auch festgelegt sein durch die Kenntniss des Bogens XX (Fig. 271, pag. 383) und des Winkels JT'JirK— 7^; und den Bogen XY* oder XZ* » Ti* Führt man der gxiJsseren Symmetrie wegen noch die Winkel Y^XY^l^, ZXY^i^ ein, so best^en swiscben diesen sechs Grössen ebenfalls drei Beziehungen. Die eine derselben ist die erste der Gleichungen 2 (5); die beiden anderen erhält man aus aweien der drei rechtseitigen Dreiecke XX Y\ XX Z\ XT Z\ sie sind:
cos (/, - « ^ ^—=7-
') Diese neun Cosinus lassen sieb direkt durch Theta-Fuoctioncn^ausdrUckca. Vergl. Jacobi C^CB. W«ike, U. Bd.» pag. 306.
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Mechanik des HimiucU. 91. 567
Zur ' Besümmung des Winkels /| hat man zuoichst im Dreiecke XX* Y, wenn der Winkel XX* Y mit C bexeicbnet wird:
demnach
Differenart man die zweite Gleichung (1), so folgt
daher mit KUcksicbt auf die erste Gleichung (1):
Sttbstituirt man hier die Gleichungen 8 (U), so wird mit Rücksicht auf 8 (8): Die sechs Gleichungen
bestimmen die Lage des Körpers (der drei HaupttrSgheilsaxen) im Räume.
Da jedoch nur drei Winke) hierzu ausreichend sind, so wird es wieder am passendsten, von den Substitutionen % (31) Gebrauch zu machen, wobei jedoch eine kleine Aenderung angezeigt erscheint. Als Fundamentalebene, auf welche
alle anderen Ebenen bezogen werden, wählt man hier, so wie früher, eine feste Ekliptik. Es stelle daher in Fig. 271 die A' K-Ebene eine feste Ekliptik dar, und die A" K-Ebene die zur Hauptträgheitsaxe des grössten Momentes senkreciiie Ebene, also den Träglieitsäquator Conscquenterwc-iac wurde dann der aufsteigende Knuten dei> rrägheitsäquators auf der Ekliptik sein, da die Rotationsrichtung von JC gegen Y' zu stattfindet, und i wäre die Neigung des Trägheitsäquators gegen die Ekliptik, also die »Schiefe des Aequatorsc. Man spricht jedoch von einer »Schiefe der Ekliptikc, gemessen am aufsteigenden Knoten der Ekliptik am Aequator, gesfihlt in der Bewegungsrichtung. Wenn dann die Figur und die Formeln diesem Gebrauche entsprechen, 'so wird, wenn A FrUhlingspunkt darstellt, die Lage der X* K-Ebene SIA und in den Formeln — e' zu setzen sein. Ist nunmehr {X) eine in der Ebene des Trägheitsttquators des Körpers
Diese Gleichungen wurden von EuLza leioen Arbeiten tu Grasde gd^
»Mlmoires de racndcTnie de Berlin* fUr 1758, pag. 171 und ftlr 1750. pag. 279.
Diese Bereichnung wird gerechtfertigt dtirch die Nothwendigkcit der Unlcrsrlieiduug von dem Himmelsäquator, der senkrecht steht auf der Rotationsaxe ; er ist identisch mit dem gcographisckcii Acq^uilor.
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Mechanik des Himmela. 91. 92.
feste Richtung (eine der Haupttiägheitsaxen)» so «ird die Bewegung von {.!") nahe der Rotation der Erde (wenD vorerst auf die Rotationserscheinungen bei dieser Rücksicht genommen wird) entsprechen. Unter der Annahme, das die Erde ein Rotationsellipsoid sei, wird man für {X') jede beliebige Richthng in der Aeqnatorebene wlihlen können; nimmt man hierfür die Richtoig des Meridians eines gewissen Ortes, so wird <p der Stundenwinkcl des Frühlings- Punktes, also sehr nahe die Sternzeit des angenommenen Meridians (Normal* meridian). Setzt man daher hier f , — t' an Stelle von ^ m, % SO erhält man an Stelle von 2 (21):
= ^*ecs f — sm fCffSt' a-^^^-^sin cos 9 -4- cos ^'sin^eas %* pi = — cos ^'sinr^ — sin^'cffSf^e^s »' ^2= — sitt ^ysin cos cüt ^ ^ Yi — sm^'siat* T2 = ^'iin e'
a3 = — sin sin e' ^ '
ps = — cos sin e'
7j == 4- cost' und dam iL an Stelle von 2 (24)
d'Y dt' q^ — cos<i sm stn^-^ (5)
, d^' dfD
und hieraus durch passende Verbindung
sm «' ^ p smtf — q cos ^ ■
^ » — p cos -k- q sm ^ (6) dm
Ä r -h sin 9 cotang • p 4- cos^ cü(an§ *' q.
Die vollständige Auflösung der Aufgabe erfordert die Auflösung der Gleichungen
90 (2) und M (6).
92. Die Bewegung der Rotation saxe im Räume. In vielen Fällen ist es nicht nur wflnschenswerth, sondern sogar erforderlich» die Bewegungen
der Rotationsaxe im Räume selbst zu kennen. Hierzu kann man die Gleichungen
91 (6) benützen. Der Trägheitsäquator, wie er in 91 eingeführt ist, steht senk«
recht auf der Axe des grössten Trägheitsmomentes, kurz Trägheitsaxe genannt Fällt die R ot.itionsaxe in diese Axe liinein, so fallen Träf^heitspole und Rotations- pole, Trägheitsäquaiur und Ruiatioiis:u[uator /usaninien; lullt aber die Rotations- axe nicht in die Trä? heilsaxe, so wird ciie letztere durch die Richtung.-cosinus 7i» Ts» Tri' crstere aljcr durch die Richtungscosinus Xj, /.j, bestimmt sein.
Die Rotationsaxe bestimmt an der Himmelbkugel die Himmeispole und damit den Himmelsäquator, d. i. denjenigen grössten Kreis, auf welchen die Rectascensionen und Deklinationen der Gestirne bezogen werden. Ist also die Lage des Himmelsäquators gegen die feste Ekliptik bestimmt durch die den früheren analogen Grössen c, so wird:
X| » — Sm^sintt — ^ h Xte>eM>«g. (1)
Nach 90 (6) und (7) ist aber
w\ ^ ttj/» H- -k- 7jr; o/Xj ^- -h ^^q 4- 7,/-, = -H M 7t''*
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Mechanik des Htmmdt. 92>
5«9
Differenzirt man diese Gleichungen und berücksichtigt die Beziehungen 2 (19), so entsteht:
-^ßr- =- «i + 5? Tf« iff dt dt dt ^^^di*
oder wenn für X^, X^, X| die Werthe (1) gesetzt werden:
dw . . rfA ^ dq dr
, . dw . , . ^0» , dt dp ^ dq dr
i^ier . </• dp ^ dq dr
i/fc d% ilod wenn man hieraus *^ * » ^ bestiniDt:
dw dp dq dr
dt , . , K ^9
"^Jt " ^/ dt ^•>» ^'
WO die Co^demen (w)^ («r), .... (c), die folgende Bedeutung haben:
(7t') j — — «'« '|/ j/« e -4- ctj rtJj »j; sin t -i- m t {w)^ s=s — sin ^ siti 6-1-^2 cos sin e -t- ^3 cos e (24/), = — 7j jm (j^ j/// e -h 7, sin t + 71 ^O'f 1
= — (a , ^ + a, j/« »!<) = — «i 4» f'öX e -h ^<>i' ^ cos t — Oj 5m t
(«I»), = — (ß^ .| .f- ß,^ x/« 1^) (e)^ —'^^sifi'if cos e -f- ß., r^»^ rdPj- e — ßj 5^V» c Wil — Ui ^^"^ 'i' 7t (*)• ~ ~ 7i 4* • "Ii cfiSi — 7| sin t
Setzt man hier fttr a, . . . 7, die Werthe Ol (4) ein, so folgt: («r), IM 4- ^ j/« e sin — <]>) -h {sin t cos t' cos (4»' — +) — sin e' e) xm f
(w).^ — 9 x/w £ 5W («l** — 4') [^'" ^ ^' — — «' <W «J COSl^
{yo)i =» -i- « j/» «' ^<?i («1»' — '!')"*■ ^''^ *
(4»)i «s» ~ to$^€os (»j;' — «J*) -H sm^€ütfi sin (4»' — <J»)
^ -H ? ^«'^ (4'' — 4») -H ? W •* — ♦) (4)
(Ol + <W « ^<W (♦* — 4») + * ''^'^ ~ 4*) Jm e] f /« f
(t), » — f m e f/n (<^' — i) + {cos 6 rt'i «' C9S (<)>' ^ H- •] t9$ y
(t)| « 4- ^« « 5MI €0S (4»' — t^) — sin s MS e'.
Substituirt man nun in (3) lur die Differenliul4UüUenLen der p, q, r ihre Werthe aus 90 (2) und setzt:
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$TO ll«clH»ik des Hinindf. 93. 93.
(Ol 2 (Of ;g- -+- (Ol ^ - E
(♦)l
(Ol
to wird
|
^—o , ^ A—L , . |
Z> .0 — A c |
Vir |
|
B-^A c |
||
|
^ + («)» ^ Z'- + C«)» |
B-A |
|
(5)
(«)
W, ^, E drücken rieb duich die wiikenden Rrftfte aus; /r, E' «nd von /, q, r sdlMt abhängig, welche at» den Fonnehi 9t (5) benotet weiden kdnnen. Diese Glieder sind jedoch wegen der Paktoren {C^B^ {A^C), {B'—A) lehr kletn» and können in den Ittr die Pnudi wichtigen Fitten, wie to No. 9$ gezeigt wird, auch ganz übergangen werden.
93. Integration der Differentialgleichungen fUr den Fall, dass keine äusseren Kräfte wirken. In dteBCffl Falle werden die £u tntegrirenden Differentialgleicbiingen der Bewegung:
B^-^iA-C^r^O (1)
C^ + {B-A)ßf^(^.
Multi]iHrirt man die erste Gleichung mit p, die zweite mit q, die dritte mit r, addirt und integrirt, so folgt
-h Bq^ -H Cr» = k\ (S)
wobei k'^ die In!et;raiiunsconstanLe ist. Multiplicirt man hingegen mit Ap, ßq, Cr, addirt und integrirt, so erhält man mit der Integrationsconstante
A*p* -f- ^V* = (8)
Aus (2) und (3) kann man p, q als Functionen von r bestimmen; es wird
Werden diese Werthe in die dritte Gleichung substituirt, so erhält man
CV^'ABdr
dt^ ~r ^ J , ^ (5y
Die volbtändige Integration lässt sich demnach durch elliptische Functionen leisten. Ist r als Function von t durch die Integration von betdoinit^ so geben die Gidcbung^n (4) p und q.
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Mechanik des Himmels. 93.
57«
Sind Pt gt ^ verflDderUch, so folgl aus 90 (5), d«M die Rotationsue im Körper selbst ihre Lage ändert Dann werden die Pole auf der Oberilflcbe der Erde nicht fest sein; man kenn nur von inslantaneo Polen sprechen.
Sind pt q» r als Functionen der 2Mt gegeben, so bestimmen die Gleichungen 90 (6) in Verbindung mit der Gleichung der Oberfliche (belogen auf das feste Axen System: das System der Haupttrflgbeitsaxen) den Ort der Pole als Functionen der Zeit
d p iq d r Sollen pt qt r conslant sein, so muss ^^ = 0^ di^^* It ^'"^ ^
Gleichungen reduciren sich auf ihre zweiten Glieder. Sie können dann nur er- füllt sein, wenn zwei der drei Grössen q, r verschwinden. Sei also p^qss=Q r conslant In diesem Falle ftllt also die Rotationsaxe mit einer der Hauptträgheitsaxen susammen, und es ist dies auch der einstge Fall» in welchem sich die Lage der Rotationsaxe im Körper nicht JIndert. Der Werth n ist die Rotation^gesdiwindigkeit um die Haupttrigheitsaxe.
Treten störende Krftfte hinsn, so dam die rechten S«ten in (1) nicht mehr Noll sind, sondern Functionen der Zd^ so wird den Gleichungen nur durdi veränderliche Werthe von f, g, r genügt werden köimen. Bei den in der Natur vorkommenden Fällen wird jedoch die Rotationsaxe stets sehr nahe mit einer der Hauptträgheitsaxen zusammenfallen; denn durch die Rotation selbst werden, wie aus den No. 86 bis 88 heivorgeht, die Flimmclskörper jene Formen an- nehmen (abgeplattete Sphäroidc), deren eine Hauptträgheitsaxe m die Rotations- axe fällt. Wenn nun dieses Zubamnicntallen nicht auf die Dauer zu erhalten ist, so wird, wenigstens im Anfange der Bewegung, ob auch bleibend, muss erst die Unterbuchung zeigen, dieses Zusammeniaiien genähert stattfinden, und dann wird z. B. q, sehr klein sein.
Aus den Gleichungen (2), (3) folgL ahicr durcli Elimination von r: A{A — C)p'^ ß{B — C)q'^ = — Ck^ = D,
Sind nun für einen gegebenen Augenblick q ?;ehr kleine Grössen, so wird auch die Constantc D einen dem entsprechend kleinen Werth haben, woraus folgt, dass, da die Coefficienten A{A — C"), B{ß — C} Constantc sind« / und q stets kleine Werthe behalten.
Da überdiess nach frülierem auch B sehr nahe gleich A sein wird, indem die Figuren der Himmelskörper unter dem Einfluss der Rotation zum mindesten nicht sehr verschieden von Rotationskörpern sein werden, so kann man das Produkt (ß ^ A)pq in der dritten Gleichung vemachlissigen, und sie wird einilKh
coitttant; nunmehr allerdings nur gentthert, da die absolute Constanx sofort auch p, q constant ergeben ^flsste. Die beiden andern Gleidiungen werden dann:
') Dann wird e= C'i»', C»', und es werden die Gleichungen ^4> identisch
erf&Ut lein.
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(8a)
Mechanik des Hfanmelt. 9S>
Diesen simulUnien lineaien Di0erentialgleichuiigen wird genügt durch wobei m, H Constante «nd. Substituirt man diese Wcrthc in die Gleichung (7) und hieraus
mA (C^A)n^ (my __(C - A) (C - B)
A^^(C-B)n'^ mB ' \n) AB ■\/lC- A)C-B) _t/? T/£^ .
Da eine der beiden Constanten h, *' willkürlich bleibt, so kann man setien, und dann wird
Mit diesen Werthen würde die dritte Gleichung:
Sind B und A genau gleich, wo dann das TVKgheitsmoment filr irgend eine in der Aequatorebene liegende Axe ebenso gross ist, so wird, wenn keine äusseren stierenden KrttCte wirken, in aller Strenge r •» n constant Dann wird
■ )c-A ■ 1 (»»^
Es wird daher die Rotationsaxe um die Trägheitsaxe des grössten Momentes (die Erdaxe) einen Kegel beschreiben, dessen Oeffnungswinkcl ij und Umlaufs- xeit (Periode) t bestimmt sind durch
* A
Ist / die Rotationsdauer des Körpers um seine Axe, so ist
C A
Für die Erde ist») — 0*008272, und damit wird, da / — 1 Tag ist,
T « 304-8 Tage.
Bei der Kleinheit von i) kann man gegen die Einheit vemacblässigeD» und dann wird
1} VeigL No.
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00)
Mechanik de« Himmel«. 93. 94.
573
g ist demnach die Grösse des Oeflnungswinkels und oiass als Integmlioiis- coQStante aus den Beotwcbtuogen ermittelt weiden. C. A. F. Pbters fiind diesieti Winkel 0"'079; t « SOS«'-«?; NvRfaii) g = 0"*04, S28''-8 und ai «- 4S8*55, wenn fQr / als Einheit das tropische Jahr und als Anfangspunkt der Zählung
das Jahr 1860 0 für den Meiidtan von Pulkowa gewählt wird. Downing erhält durch Discussion lOjähriger Beobachtungen des Polarsternes in Greenwich 0"'07ö
so dass man für k jedenfalls einen reellen, wenn auch sehr, kleinen Werth an- zunehmen genüthigt ist. Nimmt man ^» 0"'06, so wird die hieraus resultirende Polhöhenänderu n e
()" 06 sin ;224^ H- a ^ An''^f^b{t - 1850)], (II) wenn X die westiiciie Lange des betrachteten Orich von Pulkowa ist, und / in Ein- heiten des tropischen Jahres auszudrucken ist. Die Gleichungen 91 (6) werden damit:
sin «' -H ^« («/ H- f +
-j^ ^ — gnsm {jnt -k- B),
Hiermit wird, wenn man in dem ersten Ausdrucke s' als constant ansieht, und berücksichtigt, dass gemäss der dritten Gleichung 91 (6): 9 « + ^ setzen ist:
smff'^'^^g ji» [(« 4- «) / -I- H- f t'^-hg ^as {(m + «) / + Ä-H- fnl
(13)
4»', e' bestimmen sehr nahe die Lage des Frühlingspunktes und die Neigung des Aequalürs gegen eine feste F.kiiptik. Man sieht aus den Ausdrücken (13), dass aus den Aenderungen der roihuhc in diesen nur periodische Glieder ent- stehen, deren Periode
2k 2ic 2iz A A
m+n fC \ n C C
n A
daher etwas kleiner als ein Tag ibt. Da der Faktor = nahe der Ein-
heit ist, so wird die Amplitude der Schwingung in <i/ gleich gcosec^ = 0"'15, in t gleich g = 0"-0G. In Folge der ra^rhen Veränderlichkeit derselben kann jedoch von diesen Gliedern in den meisten Fällen abgesehen werden.
Um nun noch die Ungleichheiten in f xu bestimmen, die aus der Grösse des OetTnungswinkels f) resukiren, hat man
und wenn hier rechts für ^ wieder die eiste Näherung ^ =. nt gesetzt und integriit wieder:
9^^9-^nt--g^ll^^^cotat^esin[{m-^n)t-^^^-^If) ^^^^^
f = f 0 + — 0"* 14 sin [(« H- «) / + f 0 + ^ M. Die störenden Kräfte. Sind die wirkenden Kräfte Anziehungen von Massenpunkten und betrachtet man zunächst einen derselben, dessen Masse dessen Coordinaten Vf C seien, so wird
Bestimmuog der Nutation der Eidaxe, Memoiren der Petersburger Academie der Wissen- •chaften, Bd. 19, No. a.
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S74 Mechanik des Himmels. 91.
u* = (X - xy H- (!,' -y)« + (C - 1*)».
Hieraiit Verden die Drehungpmomente:
und ebenso für ÜJl, 311. Führt man hier weiter das Totential
V^k^M.j^ (1)
eiiif Bo wild daher
Die Integralion in (1) bezieht sich auf den ganzen Körper, d. h. auf die Coordinaten x', y', z* desselben. In dem Potential V treten aber dann noch die veräncierliciien Winkel a,, ß,, 7j ... 7, auf, da die Coordinaten 13', C' des anziehenden Körpers, bezogen auf das in dem Körper festen, mit diesem vertederlichen Axemystem variabel sind. Statt dieser wird es besser, die drei unabbftngigen Winkel • einzufllhren, und auch die Difierentiatquotienten
nach den rechtwinkligen Coordinaten durch diejenigen nach diesen drei Winkehi au eisetaen. Zu diesem Zwecke hat man aunichst nach % (1);
^ = a^^ -I- ajtj -I-
Hieraus folgt durch Differratiation unter Berücksichtigung der Beaiebungen Jf» ^ < ^ **" 1 ^ Tip " — + «in
daher
smz wm r« • stn* ^ ^
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licchaBik de« HimmdA. 94. S7$
51-«.C-1,E' ^ i- ^ «*fC t4)
Hiermit wird:
" ar af an' a*' ac a^
oder
ZV
Hier treten die Momente 8> 9l> direkt alt Faktoren ein, es wild: dV
^ + sm f SR cas ^ 8,
demnach
g 8 sin rf 0 V sin <f cos %V
. a F £0S9 dy tosmcoit* dV .
91 — -h -35— •
Sind mehrere anziehende Körper, so werden die Moinenie i^, SDfi, Di aus einer Summe von Ausdrücken derselben Art bestehen, und man wird die Aus- drucke (5) unmittelbar verwenden können, wenn man
F- 1km f ^ (6)
setzt 1).
Die Dimensionen der arziehcncien Massen sind gegenüber den Entfernungen derselben stets so klein, dass das Potentin 1 V nach fallenden Potenzen der Ent- fernung p nach No. 83 entwickelt werden kann. Ist
p8 = 5« 4- i,a -j. ;a « 4- V« + C»,
so wird nach 88 (5):
Die nur von p abhängigen Ausdrücke verschwinden in den Ausdrücken (S),
weil
In (8) itt dieiCB nicht möglich, da i)', C von dem Orte de« anuchcnden Körpers abhängen.
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Sj6 Mechanik des HimmeU. 94.
ist, und können daher in dem Potentiale (7) gant weggelassen werden. Aus (5) ist dies übrigens sofort ersichtlich, da sie von ^, e, unabhängig sind. Es wird daher, indem nur die nicht verschwindenden Theile beibehalten werden - und dies durch Einschliesscn in eckige Klammern angedeutet wird:
K]-^"--.; K]=-^^v; ra-^cr.
folglich aus (S):
a»--2^p-(c (8)
vo I', 1)', C durch (S) sti erseteen sind.
Der hier auftretende Coefficient ^^^^^ anders ausgedrückt werden.
Man hat fllr die Anziehung der Sonne nach 12 (10), wenn mit die mildere siderische Bewegung der Sonne bezeichnet wird:
folglich, wenn gesetzt wird:
Wählt man als Einheit den mittleren Sonnentag, so ist die GAVss*sche Constante, und (*y die mittlere tägliche siderische Bewegung der Erde; wählt man als Einheit / Tage (z. B» das julianische Jahr), so hat man {ki^ fttr k zu setzen, und dann wird in die mittlere siderische Bewegung in / Tagen (bezw. im
julianischen Jahre).
Für den Mond ist ebenso
wenn unter die mittlere siderische Bewegung des Mondes verstanden wird. Folglich, wenn
^f-V («0
gesetzt wird: Da nun
ist, so wird, wenn man für den ersten Coefficienlen seinen Werth durch die .mittlere Bewegung ersetzt, p in Einheiten der mittleren Entfernung des Körpers von der Erde zu seuen sein.
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HedMttik des Himinds. 94. 95.
577
Wie schon in No. 98 ausgeführt ist, wird die RotatioDsaxe in der Natur stets nahe der HaupUrägheitsaxe fallen. Dadurch tritt eine Gruppirung der Differential-
gk-irhnngen ein, welche die Integration wesentlich erleichtert. Es werden näm- lich q stets sehr kleine Grössen, und da gleichzeitig A und B nahe gleich werden, so kann wieder das Produkt (^B — ^^p<i vernachlässigt werden, über- dies wird, da r der Hauptsache nach die Rotationsgeschwindigkeit um die Kotationsaxe selbst darstellt, der constante Theii n die Ungleichheiten, deren Summe mit r' bezeichnet werden möge, weitaus überwiegen, und es wifd:
Diese Gleichung führt zur Kenntniss von r unabhängig von den beiden anderen. Die beiden anderen Gleichungen 90 (2) werden jetzt simultane lineare Differentialgleichungen in / und q. Zwar tritt auch r auf; aber hier kann für r stets der constante Theil n mit Vernachlässigung von r' substituirt werden, da die i'todukte {C — B)qr\ (C — A)pr' unbedingt vernachlässigt werden können. Diese Gleichungen werden daher*):
dp (C^B \ 8
Dieselbe I rennung der Variabeln tritt nun in 91 (6) auf. Die dritte Gleichung kann geschrieben werden:
oder
9s n r' cotan^ e' sin ^ qcoi (Ulb)
wobei die Ungleichheiten r und gegenüber n nur äusserst klein sind, Sic
dient zur Bestimmung der Ungleichheiten in der Kotationsbeweguiig. Die sweite Gruppe der Gleichungen
d^*
bestimmt die Lage (Knoten und Neigung) des Trägheitsäquators.
Bei der Integration sind nun zwei Fälle zu unterscheiden. Bei dem ersten werden B und A einander gleich sein und die Rotationszeit ist von der Um- laufszeit des störenden Körpers wesentlich verschieden. Beim zweiten ist die Rotationsdauer gleich der Umlaufszeit des störenden Körpers; der Unterscliied zwischen den Hauptträgheitsmomenten B und A ist nicht zu vernachlässigen. Der erste Fall tritt bei der RoUtion der Erde ein (PritcesttOD und Nutatioo}! der zweite Fall beim Monde (Libration).
96. Die Bewegung des Erdkörpers. Setzt m&n B = A, so wird 9J 0, und r' — 0, da die Constante bereits in n berücksichtigt ist, d. h. es wird
r-«. (1)
I) Von dieMr Trennuiig der Variabeln wurde bcreiti in No. tl Cebnmch gemacht II. 37
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(2a;
578 MtcliMiflt des Hinadi. tt.
Die Ausdrücke 92 (5) erlialten ebenfalls eine wesentliche VereinfarViim^. Msn kann nämlu Vi an Stelle von y auch [^] schreiben, SO dass, in derselben Bedeutung wie früher:
= - i^^'"* ^1'» cc» -h(^ - o I'» + (B - o V*]
£ p
daher für diesen Fall
(»1 - + (c- 4 + v) = + (c- ^) - r«)
ist. Führt maa hier die mittleren Bewegungen ein, so wird
wo ^ in Einheiten der Erdbehnhalbeze, in Einheiten der Halbexe der Moad- behn aottudracken iiL
Da nun ^ s 0 ist, so wird s= 0, folglich 92 ^ Q übereinstimmend mit
dem früheren Resnltate, und weiter
^ dV sin ^ dV
^ . dV cos ff dV
Die Differentialgleichungen n bilden ein System, dessen Integrale, wenn fechten Seiten Null gesetct weiden:
p^Xcos I — -2 — n\t-^^sm i — -j— n\t
^ (C — A \ fC ~ A \
q ^\sm I — — n\i ^ ^cos 1 — — n\t
sind, welche aus 9t (9a) hervorgehen, wenn an Stelle der beiden Cdnstanten kt H die beiden Constaoten t ^ durch die Beziehungen
ctDgeIhhrt werden. Da die Gleichungen II linear sind, so kann man die Metbode der Variation der Constanten anwenden; die Wertbe (4) weiden eben- falls als Integrale der vollständigen Gleichungen angesehen, wobei aber C i| nicht mehr constaot, sondern variabd sind. Diflerencirt man die Gleichungen
(4) unter dieser \ orausseizung, j»ü iüigt, wenn wieder Kürze halber — — «"«1 beibehalten wird:
7/ — + T/ + Ti
äq C-A . .rf?
(4)
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Mechanik des Himmels. 95. 579
Substilnift man (4) und (5) in H, so folgt:
und damus
d% dti WL
stnmt -g-^ — cos "jj^ ™
^5 1 «m
(6)
daher mit den Weitiien für 8 und SR ans (8):
(7)
Bei der Intcn;ration dieser Gleichungen wird für die Integrationsconstante i^—j^fi sin H\ TJo — gn cos H zu setzen sein.
Die Integration der Gleichung (Illa) giebt sodann:
r d^^
*f^iff^-^n/ —Je0S t' dt, (8)
d^'
wobei zur Bestimmung des letzten Gliedes bereits die Kenntniss von -jj vorausgesetzt ist Aus den Gleichungen (I\ ) folgt aber:
(9)
und hier ist
sin t' " — 5 sinifHt -I- 4- 1 cosifltt + f)
I»/ -h (p =s «/ 4- — j fwt' -j^ (10)
Nachdem t; durch Integration von (7) erhalten sind, kann man aus (9)
d^' C
"j^ bestiromenf indem in erster Näherung flir sein Werth ^nt'^f^tnb'
stituirt wird. Sodann erbttlt man aus (8) einen besseren Werth fiir m/ + f und hiermit aus (9) die Aenderungen von ^* und s'. Man kann jedoch die Wertbe von ^ 1) aus (9) wegschafTen. Differenzirt man diese Gleichungen und setzt KUrze halber:
so folgt
d f . , d^'\ dl* . ^ ^ ^ rfl ^ ^ dr^
57 V"* "^J * ~ 5> '''' C*»^ + rfF
d ( dt>\ , . d^' , dl . ,
dl ^"if/J = - « -dt - ^^^t«^-*- ?)^/ - ?)
37^
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58o MeehMiik de» HHnmds. 95^
Substituirt man hier die Werthe aus (6) oder (7) uod bestimmt die ersten Glieder rechts, so ergiebt sich
mrstu t
oder
^' f = - dt ] ^ « - » T>
"^It^-^ dt V'"' rfTj ^
(11«)
(IIb)
Bei der Integration Milrdcn die ersten Glieder rechts ohne Integralzeichen auftreten; während also die Gleichungen (9) Integrale Uber \, \ d. i. doppelte
Quadraturen enthalten, werden in (IIa) oder (IIb) einfache Quadraturen er- halten. Ks tritt aber noch m\ und in der :".vci'en Gleichung sin^ als NVnner auf. £s sind aber, wenn man für ni seinen Werth einführt, die linken Seiten von (Hb)
C dt' . d^* dt* C . , </4»' . . . ^'1''
schafft man die zweiten Glieder, welche von der zweiten Ordnung sind, nach rechts, und muldplicirt mit so folgt:
d dl
im«'
«• A_ d(. Jl dV _^ ^d<y dt*
t ~~ Cn ätV^* dt) ~ L nsint' 1^» ^ Cn^^^^ dt dt d^ A d fdi'\ \ dV A , . . id^*\
'Tt^-c;idi\dt)^-cnT^^c;i'^'^''^' Kdi)'
(18)
Um die zwdfee Gleichung zu integriren, muss noch durch sm^ divkiiit werden; da aber
ist, so wird
in** dt\dt) ~ dt\sint' dt) ««« »• \dt )
dt — Cn dt \un £' dt)'*' Cn sin t' dt' A
Wdt) sin*t*\dt) J
(ISa)
Durch Integration der ersten Gleichung (12) und der Gleichung (12a) wird
endlich erhalten:
• L J sint c<^' Cn dt CnJ di dt
(18)
+ '^Cnjünt'd7^^--Cns^n\'dt ^ Cn J '''''[\dt)~sw^ t{d7) ^
Zu den einfachen Integralen, welche in den beiden ersten auf und t^, folgenden Gliedern enthalten sind, treten hier noch Doppelintegrale auf, welche allerdings von der zweiten Ordnung, aber, wie eine genaue Untersuchung zeigt, nicht ganz unnierklich sincP), sondern bis etwa 0" Ol ansteigen, daher fUr den Fall, dass die ausserste Genauigkeit gefordert wird, noch zu berücksichtigen waren.
<) Wrgl Oppolsvr, Ldirbuch sur Biliobcstiiiimiiiig vod FlsnctcD und Konctcn. LThcil,
8. Aufl., pag 1 53 .
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Mechanik des Hinnneb. M. 5S1
IM. Die Bewegungen der Rotattonsaxe der Erde. FUhrt man in die Formeln von No. M die Bedingung r«»«r«9l»*0 ein, so werden die-
selben:
^V-.(4.),8 + (4»).:aR (1) V - K*)»^ ^« («) - 8 + (.), SR E'-KOi^
|
C — .4 A • |
|
|
(*)t/l |
|
|
C — A |
|
|
A |
Ftthrt man für 8, SR die Ausdracke M (5) ein, so erhält man aus (1):
ZV \ ZV
A Wm» smtsmi^'- ♦) — [«» • tos t'e^s (f — — ii« t'»* t] ^ ^
^ W cos (4»' - 17 - '■^^'^«^ e' sin W — 4') ^ W
„ dV l ZV
AE^~ €os « jm (4»' — 4.) — \c0s % eos «V« (41'— 4») t*sin t] •
Fuhrt man in (2) an Stelle von p,g ihre Ausdrücke durch 91 (5) ein, so folgt:
, f dt d^'\C-'A
IF « I « cos i cos — 4») — sin t' cas «] — sm t sin (<}/'— '^)sin t | — *
fdt' d^'\ C—A
4- cos t'sin cosW - ^)sin s' -^j- « (4)
-h£m* ftfi rcps{^'—^)'\-sin %'sm «] -j^ — « siti{^' ^<^)sin t' n.
Die Ausdrücke (3) enthüllen bereits die in eleu DiUcientialgleichungen 92 (6) nöthtgen drehenden Kräfte, ausgedrückt durch die Differentialquotienten des
d<l/ d%*
Potentiales; die Ausdrücke (4) hingegen durch xin s' und Diese letzteren
können auch durch 93 (12) ausgedrückt werden. Die sämmtlichen Ausdrucke enthalten überdiess bereits die Werthe e und 4^ selbst, welche erst durch Inte> gTrtfion der Gleichungen 92 (6) bekannt werden. Wetm der Oeftnungswinkel ») beträchtlich wäre, so würden ^' — *\ und e' — £ auch mcrkHche Werthe et' langen. Setzt man sie dann in erster Näherung gleich Null, so können bei einer wiederholten Rechnung die bereitö erhaltenen Werthe von e eingeführt werden. AJan kann daher die Ausdrücke (3) und (4) so zertallen, dass ein Theil von — («' — e) unabhängig wird, und der andere eine kleine, von diesen Grössen abhängige Correction darstdlt Setzt man also
W^W^'\-MV\ tP-rVo+A^ ; E«E«+AE IT« JFo' + AfT'; E'-Eo' + AE'
und ISsst bei den mit multiplicirten Ausdrttcken die Grössen von der
zweiten Ordnung von — — t weg, »nd berftoksichtigt» dass
1 1 cos t' . , . . tos* t
«MS tm*' sm*t' ^ ^^*sm ist| so erhält man
-rfVj _ , l ZV V' „ . C-A
und
1 d-y d,' c-A
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5Sft Heebaiiik dct Ifiinmels. M.
— 5Ti +*l»(t'— 0 — S «»» 4(4»'— ♦) 77—7 -5-1 +
f dt' d^']C—
C-A -3 — n.
Die Ausdrücke würden, selbst wenn bis zu einem Grad gehen würde, ▼oUiUadig Aiisrdchcn. Berüdcsichtigt man sunichst die von V 4^ *' — e im- abhängigen Glieder, so wird
daher w constant; also w ^n; dann wird:
_ rfj _1 1 dV C—A
dt^"^ An sm** dt* A dt
d%_ 1 1_ ZV_ C-A ^
dt ^ An mm* A dt *
Setst man hier die Ausdrücke 95 (12) ein, so folgt: »
J !_ ^ C — .'1 dfdt'\ C— A dV C — A J ä^' \'
di^'^ An sint' de ~^ Cu sim' dt\<it )~ ACusifii' ~cV~ Cn ^'^^ \ dt '
d*^ 1 _1_ bj^ C~A . , ä^Y\ C—A dV C—A ^ d<i_ dt_
dt^ iLnsim'Z^' Cn Jt\*"^ ~diyACnim%'d^'^ Cn dt dt
daher in ähnlicher Weise rcducirt, wie in 95:
d^ _L_L?Z £z_^ '^i
dt '^'^ Cn sin t' dt' Cn d dt
d( 1 dt'\ C-A JWV 1 (dt'V\ d/\swt'dt) Cn ^^^^\\dt) ^sm^t'\dt) l «_ _LJL^^ C-A d ( . C-A ^di^' dt'
t -~ Cn smt' ~ Cn dt V**' Ii) " TT It dt
oder integrirt:
V _ C-A 1 ^
1 r 1 a^., C-A .
i f d'l' dt' ^
(12)
Vergleicht man diese Ausdrücke mit den Ausdrücken (13) der vorigen No. so findet man, dass die ersten Glieder in beiden identisch sind, die zweiten und
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Mcdwiiik des HImmds. 96. 583
dritten Glieder in ^ und t aber mit dem Coeflficient — — multiplicirt, also
wesentlich verkleinert erscheinen. Während also bei der Bestimmung der Lage des Körpers selbst (seiner Trägheitsaxe) die dritten Ausdrücke immerhin noch in gewissen Fällen zu berücksichtigen sind, werden dieselben, wenn man die Bewegung der Rotationsaxe untersucht, völlig belanglos, da sie noch nicht 0^**00003 errdchea. Was die zweiten Glieder in den Ausdrücken (12) anbetriflt, so wird, wenn man sie in exster Njlherung vemachlissigt, und mit den erhaltenen Werthen von •' berechnet» ihr Werth in c:0"*0008, in <{»:0"HX)06
nicht übersteigen; sie sind daher ebenfalls w^;en des Faktors — ^ — ver* schwindend. Man hat daher
• Cnj stn e'
Es ist noch nöthig den Antheil zu bestimmen, welchen die Zusatsglicder (7) und (8) erzeugen Bestimmt man aus 95 (18) und 96 (U) die Werthe von ^' — 4** * ■« so findet man :
(V - 1.^ - ^ % - \h " 0)'- mV'
(.._.)- (..' -..) + -,m,--^ + -J^,^-^-^^4t. Nun ist
*s Ts
und nach 90 (6):
x.-.(n...|H-».i)(:-*^-i^)
iolglicb
Hieraus folgt» dass s' — s stets von der Ordnung von pt q und ^ — 4 von
der Ordnung , , , ist, daher nach 91 (5) : s' — t von der Ordnung von
<ftl»' ^t' äit' 1 dt'
$mt* -jj , und 4»' — + von der Ordnung , j^-^ . Dasselbe gilt daher
von — 4*0' — 'o* Die Ausdrücke (14) treten aber in (7), (8) noch mul- tiphcut mit den störenden Kräften selbst auf; die Ergänzungsglieder (7), (S) sind daher mindestens von der sweiiea Ordnung dieser, und kOnnen ebenfalls anbedenielich Übergangen weiden. Man wird daher ftlr die Bewegung der Erd> axe durch die Integration der Gleichungen (18) die vollständigen Ausdrucke er- halten i).
(14)
*) Doch können immerhin kleine Zusattglieder ru den secularen Veränderungen (Präccssion) BertlcksichtigUDg ▼erdieneo ; es wtlrde aber die Ableitung dersell>eD an dieser Stelle viel xu weit (Uhren.
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584 Mechanik des Ilimmcls. 9t.
97. Präcession und Nutation. Die Eotwickelung der AusdrOcIie fllr ^' und «' erfordert nun zunächst die Kenntniss des Werthes von P und setner Differentialquotienten nach c' und 4»'. Nach M (2) ist
W p—
wobei
= Tfi 5 4- 7j -h r;f ^ " — ^ift sin t"i + ro^ <ysin i t\ cos t'C (2) ist. Sind nun Xq, die .tri. nt tische Länge und Breite, p die geocentri^che Distanz des anziehenden l'unktes, bezogen auf die feste Ekliptik XY i^xg. 271), so wird
Hi^^eos^^smX^ (3)
C B p JIM ^0.
Wild noch für den Faktor— die mittlere Bewegung eingefllhrt» so wird sonflchst lür die Wirkung des Möndes:
1 dV^ ZI*^ C^A
X{— sin ^*tpt t*m Po w h- ^cas t' cos J'« X,, — «« Po)
1 dp 3Z'> C-^ , , . _
X (— <»i i^'sm «Vw Po ^^x Xq — SM ^' f iv «V^x Po sm Xo)
oder
1 dy 3Z'« C—
X [mt t' Po sm (Xo — 4»») — i« iw po] ^
1 3Z** C J ^
irai? 1^'=^'^ (1-hvOp^ // c 1-'^' ^« ~ '"^""^ *' ^»i ^
X [sm «* «X Po ^« —
wobd man au beachten ha^ dass man als Einheit fflr p die mitdere Entfernung des ansiehenden Körpers su wählen hat, und v' durch die Gleichung M (10)
bestimmt wird.
Die Coordinaten ß^, des anziehenden Körpers beziehen sich auf eine feste Ekliptik, Die wahre Ekliptik ist aber in Folge der Anziehung der Erde durch die Planeten etwas veränderlich; ihre instantane Lage ist durrh die Theorie der Bewegung der Erde gegeben. In der astronomischen Praxis nun bedarf man die Cooidiuaten p, X, bezogen auf die instantane, wahre Ekliptik, auf welche dieselbe daher auch in den astronomischen Tafeln bezogen werden. Die Wertbe von ßg, rind denmach lucht direkt gegeben, und mflssen am den durch die Störungstheorie gegebenen Werthen p, X abgeleitet werden. Die Lage der wahren Ekliptik ist bestimmt durch die Länge To-^ "= n ihres auftte^penden Knotens in der festen Ekliptik, gezAhlt von dem festen Frtthüngspunkte Vo (Fig. 276) und ihre Neigung it gegen diese. Ist dann A^A^* der Aequator für eine gegebene Epoche -^i-^i' der Aequator für eine andere Zeit, so ist Y'^B, gezählt in der Bewegungsrichtung (also über /i) der bisher mit bezeichnete Winkel (Xa in Fig. 27 1). Hier ist aber 4> an Stelle von «[*' su Selsen, weil
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Mcclianik des Himmeb. 97.
5S5
AA* den Rotationsäquator xind nicht den Tragheitsäquator bezeichnet. Daher ist der kleine Bogen Tq^^ = 3^:0'^ — oder — -|. Winkel EBA^ ist der Winkel «. Für - und n ergiebt die '1 heorie der Störungen der Erdbahn, wenn man nur die secularen Glieder berücksichtigt:
fang tos n + f
wo nach Lbvbmobr
« H- 5"-84 — -H 0"196
^1 = — 4759 f , — + 0057
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5»
ICcdiinik 4cf Himmdfl. 97.
ist, wenn / in Kinheiten des julianischen Jahrhunderts gerechnet wird^). In Folge dieser Bewegung der Rkliptik rückt der wahre Frühlingspunkt nach 'V^j ; die Strecke BT^ = a bezeichnet man, obzwar sie eine Folge der fortschreitenden Bewegung ist, wegen ihres Einflusses auf die Präcessionserscheinungen, also eigentlich mit Unrecht 9Fräcession iJorch die Planetenc*). Bezeichnet man noch EX'x mit so hat man mit den weiteren aus der Figur ersichtlichen Bexeicb- nungen aus dem Dreiecke SP^P^, in welchem und ^^^^ festen
und instantanen Ekliptik sind*)
sin ßo = sin ß ic — > €»$ ^smnsm(j^ ^ X) £fis SM (n — X^) « IM p stM n-^ (fis ^ eos IC sm {b — K) €M ^0 £0S (II — X,) « eos p €0S (b — X).
Moltiplicirt man die swette Gleichung mit + (II — die dritte mit ^ Ms(ü — f '} und addirt; sodann die sweite mit — w (II — <^*), die dritte mit + iM(n — und addirt wieder, so erhält man:
f0s Po cos (Xo — 4;') = -h sm ^smftsm(ß'^^')-¥' e«s p [täs {b — k) eos (Ii — f + — X) (II — ic]
eos ß, Iii» (Xo — 4»0 » — P « ^«'^ (n — 4»') 4- (5) -h eos^[eos (^ — X) ii» (II ^ 4»') ^ sin {b — X) cos (H — Y)eosx] sin p0 SS p ^«r k ^ m p k «mi — X),
wodurch die erforderiiche Znrttckftthrung geleistet ist In diesen Formdn tritt aber noch die Grösse b auf; diese ist bestimmt durch die Seite II — ^ und die anliegenden Winkel k und t in dem Dreiecke ££^1', es ist dabei:
+ ^) - ^'»vi cn -
und hieraus durch Reihenentwickeinng*)
\{b-^m)m^^(ß—^)+^gßlg^t^n^^%s^(ü—^)+t8l^^•^M^
^ib^a)^^n—i/)^eotatif^tiunig^nsiniU-i)+eoittng*^ti^ . . .
^ = (n — ij») — 2 <:<^/a»^ c J 7t (II — 3 ^ , ^«^^ ^ i ^ ^ — 4*)-+- • • •
cos t C^)
Hier tritt noch die Grösse t auf, welche erst zu bestimmen ist; setzt man daher t = 4- Ae, wo eine Constante, die Schiefe der Ekliptik für die Epoche ist, so werden hierin die noch unbekannten kleinen Grössen ^ und
VergL T. OpPOLZER 1. c, pag. 124. Die folgende Ableitung sowie die numerischen Wcrthe riiMi der HauplMMlic Dsdi diocm W«rke CBtnoBUBCB. WlUt man dM jnliaaiidhe Jalir •Is Einhcitir m lind /,. ?| duxdi lOOi p^» t% dutch 10000 «1 diridireii.
*) Es wMie cODiequenter, die Strecke a auf dem festen Aequator tu tählen, da auch der Bogen n von dem festen FrUhlingspunkt 'Vo gcz^1>I< wird. Bemerkt mag MhoD hier werden, dass der Werth von ü bestMndig abnimmt (vergl. den Artikel » Präcession » ).
*) Es ist zu erwähnen, dass 180° — II und demnach auch 180° — ^ mässige Wuikd sind, wcflludb oisn itteist Midi 180' ~ ^ » ^' in die Redumag dnflUirL
*) Nach den Formdii!
^ « - 1
tamgy mm Httmg XI •» = — ^
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QHeeluuifle det Himmd». 97» 587
vorhanden sein. Nun ist bis einschliesriich Grössen «weiter Ordnung richtig: fati^^K = I ian^ u und
1 _^ __1 fffjo. W ^ r^i^tp 1 -4- ^tfj*tj ^
1 . 1 -+- iTf^^s \-^cas^tQ ^ cos ta -
Entwickelt man dann noch sin (II ~ sinUJA — '^) und seUt flir /tfn^uxiVfll, ian^ttcosH ihre Wcrthe (4). so erhält man;
,^4^,^ Ih - - -'^V- f .1 - : ' - /. ■ 4.'
Man erhält weiter, indeni man innerhalb der hier beisnbehaltenden Genauig- kettsgrenzen 4^' mit ^ identifidrt, und die zweiten Potenzen der Zeit wegUlsst>)
Sinz, sin \\\ — «j») = tangz. sin I i i:t>s ^ — ^angz cos 0 sin ^^p^t\ sin n cos (II — €0S {b — X) cos (II — 4») -f- sin {d — X) sin (II — 4») cos « ■«
= £os[i> — (n — 4-) — x; -+- jrt^T + (n — ^) — X] — _ (n — 4,) — xj)ii«> 4«
= X rtJj — (FI — 4')] 4- -i^'» ^» — Cn — 4*)]
=s f/» X -H X cotari),' ^rt P\t — cotang ^Qq^^ ' l — COS X -r-j — Ac • / ji/i IC {b — \) = cosX' p^^i '~' sin X' q^t,
demnach
cos cos (Xj — <^*)=-\- sin ß/i / + X — xw» X cotang t^p^ (] -h
(QS ßp^M (Xo — 4l') — **» Pf 1 ' + ßC*«! X + X ^tf/M^ tg/, i\ —
oder
eas ßp (Xg — 4»*) = »1 ß ^tff X + [sin ß/| — ß sin X <^Amtf «»/i 4- smXe^s^fßiangtQqi^/ + smlcos^ \ -A«»/
S t fl E Q
tfw ßo«« (Xg — 4»*) ^ ß X — [sin i — cos ß X r^AM^ «o/»]' — (8)
sin ßg = j/M ß — [r^^ ß — C0S ß x«i Xf |}/.
— CM X ^tfx ß eaku^t^ f 1 — X ^«f ß j^^j • '
^ Die Glieder mit den Produkten von Py, j^, und Ac, t}' 'ur zweiten Ordnung weiden vorerst noch beibehalten, um den EiofloM vom 4*1 At ku Ubcneheni fiür die tweitc Potenc von
t vcrgl. Ol'Poi /.ER, 1. c. pag. 163 fl".
Man erhält liberdiess für die wahre Schiefe der Ekliptik «j:
jw(n-4>) .
und biciatis udi einigen leichten Rcductionen (vcrgl. v. Oipolzer, 1. c, pag. 161): I, e. + A« + f ,/ -h [i«»Äv»,/|> 4- f -f /i
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^Sft Mechanik des HtouMls. 97*
Es ist hieraus ersichtlich, dass, wenn man nur die Glieder erster Ordnung berücksichtigt, <j» und Ai in diesen Ausdrücken nicht vorkommen. At tritt allerdings noch in den Ausdrücken (4) auf, wenn t' durch t + dt ersetzt wird; es wäre dann:
sin e' =s sin •+■ cos «0^*» ^*>5 •* ~ cotangt' ~ cotang — eoset^ A«-
ist aber, wie die Dnrrhftihninc; der ersten Näherung zeigt, von der zweiten Ordnung gegen 4-1 ^'^^ se< ulares Glied, welches von der ersten Potenz der Zeit abiuingt, tritt in de ubcrliaupt nicht auf, so dass n\ der ersten Näherung hier »' mit «0 identificirt werden kann. Dann wird bis auf Grössen erster Ordnung:
CQS sin (Xq — <]>') -h €otang t' sin '^^.^ = cos ^ sin k H- cotang sin ß
H- {cos fi sin X cotang — sin ^) q cos t^CüS j^gSm {\q — <!'') — sin i' sin p^, — cos p sin k cos Iq — sin ß sin Eq — — {cos ß sin k sin sin ß cos ^o)^'l ' ß '^«'^ ^ ^'^^^^ *o/i ^
«' W ßo (Xq — tf*) P X JWf -+- (jw tq sin ß — ftfj ß f «r X w *o)P\
Multiplicirt man diese Ausdrücke in der in (4) angegebenen Weise, so erhak man endlich:
( > gn,
ICOS 2 tn I -H f<7j> ßfm» X cost^ H- ^<>fß sin^sinl — sin*^cos |
- * ßfwi X X cosec -j- j/« ß ß X /i| '
TT-j "71^1"'" ß *«» > X tj 4- ß ß C9S \t05 «o) H-
3Z*a C—
— ^im ß ir<»J ß sin X + ^« X*»X — ß^M 'o j / i|
Für die Wirkung der Sonne ist ß a 0 zu aeUen, und ea wiid:
98. Numerische Warthe. Für ß, X sind die geocentrischen, auf du wahre Aequinoctium bezogenen Coordinaten des Monde.s, für Xj die geocentrischc, wahre Länge der Sonne zu setzen; von der Wirkung der Planeten kann man ab&ehen. Ist die mittlere Anomalie des Mondes, diejenige der Sonne, die Länge des aufsteigenden Mondknotens, u> der Abstand des Mondperigeums
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Mechanik des Himmels. 98.
S89
von dem ansteigenden Mondknoten, «»i der AbsUnd des SonnenpengeuiDS von demselben, bo wird, wenn nur die Haupl^lteder berücksichtigt werden:
Xs^ + tt + a + e** IV'Bsm C + !• 16*-5*Äi(C — 80 -+• S» — -t-
— 0*01 14 x/« (20— ü>H-2tD,H-ß)-l- 0-0108 i/«(2^ —20-»- 3ü> — 2»jH-ft)
X = -f- 0 9968 <r<;j(([ 4-o>4-ft)— 0 0650 cos{io H- 0-0546 fi?j(2 C ^-tI»-^ß) — — n 0ll4^<7j(2O— «> + 2ci>,4- ft)H- 0 0108r^5(2(r ^ 20 3<d — 2<0i -h ft) ß « H- 0-0894 -H tu) — 0 0048 Ji« a» H- 0 0049 i/« (2 + »)
-+- 0*0030 jm (([ — 20 -I- » — 2»4) 3 = -f. 0-9980 0 0020 cos (2 ^ -h 2o)) p-3a= 1-0047 -f- 0-1 G44 ^ —0 0134 les 2 C -+-0 0316 cüs{<l — 20-i-2u) — 2<i»i)-l-
-h 0-0266 (2 (L — 20 H- 2o) — 2a>i) Xi =0 + ü>i4- ft+ l*5ö'*6*«»0 Pi"»— 1-€001— 0*0168 ^«»^GX
Der Werth von ist für 1850*0:
»;*23'27'dl"-8, IM te» 0*3981, (Mt^^(ydl7ä, » i-7168
S1M Ig
2Cn
lo^sint^ = 9-59998; hg cos « 9 96253; iog —■. — & 0-23447,
Bei der Integration der Ausdrücke 96 (13) treten in den periodischen Gliedern gewisse Integrationsdivisoren auf. Haben die Ausdrücke L*, (^', 0', «»i', A' die bisher gewählte Bedeatuog, so wird s. B. C » + u. s. w., folglich
/
£s bleibt dabei gans gleichgültig, welche Zeiteinheit man wählt; da nämlich
L"* 0 '
in dem Coefficienten der gemeinschaftliche Faktor — , auftritt so wird
L* 0'
— , ^ eine Verhältnisssahl sein, und der zweite Faktor Z', 0' im Zähler mit
den Ausdrücken «<['-»- ß0' + y«»' + + wird wieder nur Verhältniss- sahlen geben; zum constanten Gliede der Entwickelung tritt der Faktor L*t besw. 0*/; es werden sich daher / und L*, 0* auf dieselbe Zeiteinheit beziehen.
Die periodischen Glieder wird man aber noch durch arc l" zu dividiren haben, um die Coefficienten in Bogensecunden zu erhalten. Es seien also 0', C%
•i', ft' die mit arc 1" muUiplicirten mittleren Bewegungen in einem Jahre, so
wird ancb n die mit are 1" multiplicirte Rotationsgrösse der Erde in einem Jahre sein; da die Rotation in einem Stemtage 360° ist, so wird in einem juliantschen Jahre die Drehung
365*25 •129ÜÜ0Ö-/,
wenn / das Verhältniss des mittleren Sonnentage« zum Stemtage, also hg/^ 0-0011874 ist. Hiermit wird:
Z' - + 88-9971 «»* - + lIMTTe ('- + 88*3869 «,'--1- 0-88786 (1) 0* — + 6-8830 ^1' = — 0-88757 II . 2301218.
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590 Medmiüi da Rionnels. 9S-
Für den gemeinsamen Faktor vor der Klammer sind die in Bogenaecundea
amgedrückten nittleren Bewegungen in derselben Zeit*):
r/')" 173*2nrin"; r -">')" — 1295977", (2)
womit die Coethcienten sofort in Bogensecuucicn t rhalten werden.
Unter den Integrationsdivisoren können .m eine für specielle Werihe der o, ß . . . kleine Werthe erreichen; dann werden die bezüglichen Glieder besonders vergrössert, und speciell zu beiückäichtigen. Dies wird der Fall sein, wenn im Ncnaer lämtr der drei rechts etebenden Divieoren fllr sich allein atifbitt
Betrachtet man nun in den Ausdrucken 97 (10) und (11) die von / unab« hftngigen Glieder, so ist tcs*^ nahe constant, geafthert 0-998, sm* ß sehr klein, das Hauptglied wird > (0*0894)* xw* (C daher in sm* ^ms*^:
0-0018(1 ^fPS%(^ +•»)}.
Dieses Glied wird bei der Integration nicht vergi<taseil In den AusdrOcken sm* X und sittXtfit X erhalten die grössten Glieder, abgesehen von dem in jm* l enthaltenen constanten Gliede das Argument welches durch die
Integration ebenfalls nicht vergrössert wird. Hingegen entsteht in den Aus- drücken sin ^ sin ^ durch Multiplikation der beiden grössten Glieder ein Ausdruck mit dem Argument gl- Hitses wird l)ei der Integration wesentlicli vergrössert, und ciebt sowohl in >\i als in t die giösstcn periodiscl^en Glieder. Die Ent- Wickelung selbst giebt, wenn man nur die grössten Glieder ansetzt*):
^ _ j
dt ~ n Csm «' öt'
0-4558— 0-4582 (9 (T H- S> H-SA) H- WXim w A
_ 8Z'» (C--A\
^- 0-0751 ^-iJ^C -»-f^'0144irt?A((C- 20+2a)—2o»,)-+-O 0122r^>j(2C —20-»-2«»— 2b>i)4- -h0 0128tw( i +2w-+-2ft;— 00868<'<?j^3(l4-2<uH-2fö)— 0 0115rt'i(4vC4 2tü4-2ß)— — 00 1 65 (3 vi — 2 0 4 ü» - 2 w , -f- 2ft)— 00 1 39 cosiji C — 20-h4u>— 2 «»4 H-2Ä)— ■
-OO761/^<ri(3C+2«»+a)-O'O145r<»i(3C4-9»+ß)-l-O'OO2lAi4(20+2iBi+^
— {^Tt) ^'^^ - 0*^584 (4fs{%Q) + 2«j + 2a) H-
H- 0*0281 mQ — OO269/tfi(80 + 2«»^ + 2^}+ 0>00S8 ^«f (0 + 2«, H- 2 A)| (8)
—0 0()55^/«(C +2 w-»-2ft)-h0 0377 ([ -i-2"»-4-9^))-H0 0049xm(4 -l-2«>-4-2A)-4- H-Ü-ÜÜ71 j/»(3C— 2C^)^-4ö^--2«»t-^-2Ä)^-ü•OU59^/«(4C•-20^-4«»-2ü»^-t-2ft)-1- + 00407 im (2C -l- 2« + a)| —
- |-H01989 m(2O-l-3»,-H2Ä)-»-0-01 17 *«(3(DH-2oiiH-2ft)| .
I) Ei itt tueh für die Sonne ein Unterschied zwischen der siderischen and •QOmalistischeo Bcwcpang ru machen; (0')" ist die sidcrischc, 0' die «BonMÜstucbe Bewccnnci der Unter* schied i&l jedoch fUr die Sonne 6ehr gering (0'CO029)-
*) Hierin ist der oomtantc Thcil des enien Gliedes in jt • H- 0*4690. de* dritten
Gliedes - 0 0037. In beiden .-VuMliiicl^en entstehen die Glieder mit Oft odcr 2^ de« ersten Gliede, di^igen mit 1 A dem sweitcn Glied«.
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M^hanik des Himmek. 98.
591
Hieffti» ist Kunichst zu etsehen, dass in f ein seculares Glied auftritt, da die Entwickelung mit einer Constante beginnt. Diesen, mit der Zeit / beständig wachsenden Theil nennt man die Präcession; die periodischen Glieder die Nutati on in Länge. In e tritt in dieser Näherung ein seculares Glied nicht auf, sondern nur periodische Glieder: die Nutation in Schiefe^).
Da in den Ausdrücken für sin X und cos X die Coefficienten derjenigen Glieder, welche dasselbe Argument haben, dieselben sind, und nur sin und cos miteinander vertauscht erscheinen, so werden die Glieder der beiden Produkte (OS ß sin ß sin k und a^s ^ sin ß cos Ä dieselbe Eigenschaft besitzen; die Glieder mit «tf besw. sin jl, welche aus diesen Produkten hervorgehen, müssen daher auch denselben Faktor haben; er ist 0*(M4S7. Das sugehörigc Glied
. d* 3X'« C—A
^ dt ' T+V nC ' ^'^^^^'^ '0 ^'
Hieraus erhXlt man dnrcb Integration die von der Bewegung der Knoten abhängigen Glieder: (^)smSL bexw.: und zwar ist:
3Z'» C—A 0Ö44S1 C0s2ta 3Z'« (C-^ 004487
Es ist folglidi
SB« 2.^/01,^2.0 = - 1-8704, (4)
Integrirt man die beiden Gleichungen für ^ und so folgt*) sunttchst
für die Hauptglieder:
♦—♦0 - 4" {7888351"/— 8»614S9"i«ift—4674a*'i«(2 C +«»+«ft)}
— ~ (594590"/— 47S76''fM{S0 + 3»j + Sft)|
o C—A V » • — S — TTZ-; ^ I- 2U2499"^M ft- 20277"tf«s (2 It + 2» + 2ft)}
— ^' j~ 20ö83'Vw (20 + 2<ui + 2Ä}).
C— A
In diesen Ausdrücken ist jedoch ein CoÄfficient — — , der in Anbetracht
der \inbekannten Dichtevertheilling in der Erde als völlig unbekannt angesehen werden muss; und ferner eine nicht genügend bekannte (i rosse v', welche das Verhältniss der Erdmasse zur MuiKlina^^se darstellt. (1 -h v kann dal ei gleich der Eml eit gesetzt Vierden, da es von der Einheit nur um -tt^^^ (, verschieden ist. Der crstere Coeificient lässt sich, wenn man gewisse Daten der Beobachtung entnimmt, direkt ziemlich sicher Ijestimmen, und auch v', wiewolU mit bedeutend grösserer Unsicherheit. Diese, der Beobachtung /.u entnehmenden Daten, sind daher zwei (abgesehen von den Constanten % Cg, welche för den vorliegenden
1} In der tweitni Nibcnmc tritt ein von ■bhlngigc» Glied hinsu
>) ES cnMdit c B. «HS dem Glicdc + 0^07699 mt^ ^» Iiit^gnl + 0*07699 \^ sinQ^
a. I. w. Dfa eoMtaatCB AnfnigagUcdcr geben die Intcgnle +0'45&8(Z^')" / und -|-0'4588 (0')"#.
*) Ysuol i^eicb NiiU geidtt weiden, da die WaU dei Anfangtpnnlttes der ZlUnng fUr t beliebig ist
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59»
Mecba&fk de» Himmeb. 98.
Zwetk nitht vorwendet werden können): die Constante der allgemeinen Präccssion und die Const:^nte der Niitation; erstere ist das jäiulichc Zurückweichen des Ftühiingbpunktes, letztere der Cocificictnt von ci>s ^ei der Natadon in Schiefe; der Coefficient von sinSl bei der Nutatson in Länge nt mit diesem durch die Relation (4) verbunden. Nimmt man iür letzlere nach
(0 « 9"-2366.
lUr entere nach Besssl für 1850:
/-»50"S857S, so folgt aunflcbst aus dem Wertbe ?on t:
8 C—A V ^ 2j J2499" — 9"-236d
^ 1 4- V* C n und damit 1)
£:Z-d (VOOOl 1979. (6)
1 -f- V C
Berechnet man hiermit die durch den Mond bewirkte Präcession» so wird der Coefficient derselben:
a Q AT*
— • 7m'6bl = — 34"-4bol.
1+v' C n
Die Grösse der Zurückweichung des FrOhlingspunktes mtd aber gegeben durch die Strecke CVi — d ^ ü ^ /, wenn X^E^CE ist. Es ist aber nach 99 (7) abgesehen von Gliedern h<jherer Ordnung:
oder
^ — / — colang t^p^ t ^ — 60"-370a.
Hieraus folgt (Ür den durch die Sonoe bewirkten Tbeil der Präcession der Coefficient:
3 C~A 0' g3^3Q„ „ - (W"*37a3 ~ 84"-48öl) =• — l6"-885a
l + v C n und hieraus
7^ « 0'00978öl. (7)
Da V als verschwindend angesehen werden kann, so lolgt hieraus
— 0 0(»S618 und — 0'0038719 (8)
und hiermit aus (6)
O-O007SHß
1 -h v' == — , = 81'68.
folglich v' s9 80*68, die Mondniasse der Erdmasse. Diese Werthe geben
für die Coefficienlen:
^^-tA ^ = 7Ö"-7Ö3, hgi 1-879400
30 2 6 - 1 ^ ^ 34"-628, : 1Ö39S70.
1-h v'
Derselbe Werth ntlwtc n«lttrlicb in Folge der Relation (4) «1» dem Coiffieiealcii von in 4* folgen.
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Mechanik des Himmeli. 9ft. 99.
593
MultipHcirt man die Reihen (3) mit diesen CoSfficienten und integrirt unter Berücksichtigung der in (1) angegebenen Aenderungen der Elemente, so ergiebt sich schliesslich^) (/ in Einheiten des julianischen Jahres):
^ s 50"-870a / — 0".000]0888 /*
— 17"'S74 si»a -h 0*"2O9 fmS A + 0"'OeS sm C + 0"-01 1 -l- 2«» H- 2 A) H-
— 0"-204m (2 C -f- 2 -h 2 - 0" 026 sin {S l -4- 2 «> H- 2 Ä) —
— 0"-034 sin (2 C -h 2 «> -t- ß) 4- 0"'0l2 sin (2 0 2 <«, h- ft) -t- Ü"127j/«0" l"-263j/>i(20-f' 2»i + 2ft) - Ö"-O49*i»(30H- 2«|»l-l-2ft)^- + 0"-ü21 sin (0 -h 2», SÄ) c =. 4- ü" 0000()713 /3 H- 9"-236 Ä — 0"-09ü föj 2 -f- 0"-089 ^^^x (2 C 4-2 i- 2 4-
H- 0"-01 1 cos (3 C -i- 2 -f- 2 ft) -f- 0".018 cos {2 l H- 2 «> 4- ft) -t- 0"-548 (2 0 H- 2 «Oj -I- 2 ^ 0"-ü21 rt^j (3 0 4- 2 «», 4- 2 ft).
Hierbei bedeutet die erste Zeile die lunisolarc Präcession (Mond- und Sonnenwirkung vereinigt), die zweite und dritte Gruppe in ^, und die zweite Gruppe in e die Mondnutation, die letzte Gruppe die Sonnennutation^.
99. Aenderungen der Haupttraglieitsaxen. Die bisherigen Ab- leitungen setzen voraus, dass die Hauptträgheitsaxen in dem Körper unveränder- lich wären. Bei absolut stanen Körpern ist diese Annahme allerdings tutreffend; aber die Erde ist nicht als absolut starr anausehen. Die auf derselben statt» findenden stetigen Veränderungen, sowie grosse Katastrophen bewirken Massen- verschiebungen, in deren Gefolge nothwendig eine geänderte Massenlagerung Platz greift, die mit Verschiebungen der Hauptträgheitsaxen verbunden ist.
Seien für ein rechtwinkliges Axensysteni, welches durcl. den Schwerpunkt eines gegebenen Körpers sonst ganz beliebig gelegt ist, die auf die sämmüichen Massenelemente ausgedehnten Summen
B a -H M^)äm £ = Jxzäm (1)
C»J{x*-\- y*)dm F = fxydm berechnet; dann wird das Trägheitsmoment für eine durch den Schwerpunkt, d. i. den Coordinatenursprung gehende Rotationsaxe welche mit den drei Coordinatenaxen die Winkel «, 7 einschlicKt:
Trägt man auf der Rotationsaxe vom Schwerpunkt aus Strecken auf, welche dem redproken Wertbe der Quadratwurzel aus dem zu dieser Axe gehörigen Trägheitsmomente gleich sind, so wird auf der Rotationsaxe em Punkt be- stimmt, dessen Coordinaten
t„{ffJ^. r.-^^'^' r_£^ fV\
^ VT' ^~77' ^^yr
sind. Die Gesammtheit aller dieser Punkte bestimmt ein dretaxiges EUipsoid, dessen Gleichung
-<44»-f--ÖT,»-f.CC»— 2-DiiC-2AU-2y^'£ij=l (4)
() Das Remlltt ist da^eaige der swetten Nlhciniig (wobei such die Glieder mit auf> genommen sind) aus Oppolkiz, 1. c, pag. 183, wobei aber alle Glieder, die Ueinei ab (»""Ol sind, weggelassen wurden.
*) Ueber die Anordnung der Fotmeln zur Reduction der Beobachtungen, s. die Artikel »FMceasion«, »Nutatioii« und »Orte.
▼aiBMiwo, AMMaia. XL 3« ^ ,
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$94
Mcchtnik des HtmmeU. 99.
ist. Der Radiusvector eines Tunkicb dieses Ellipsoides bestimmt das Trägheits- moment um die in der Richtung dieses Radiuivectors gezogene Rotationsaxe. Die drei Hauptaxen des Ellipsoides bestimmen demnach die HauptträgheitsaaieD. Wird daher das Axensystem in diese hineingelegt, so wird filr dieses spedelle Axensystem Z7-"0, JB^O, F^Q und
A (M* « + f»f ■ p + Cm* T, (5) Die Grössen A, ß, C sind die Hauptträgheitsmomente selbst Es möge nun in einem Punkte, dessen Coordinaten Xq, y^, Zq sind, eine Masse m hinzugefügt werden, und sei
k^m{x^ -»-V)
so werden die Ausdrücke (1) in {A -t- ^'), Aber es werden die drei ersten Summen nicht mehr die Hauptträgheitsmomente darstellen, indem nunmehr, bezogen auf das System der ursprangHchen Haupt- trägbeitsaxen die Gleichung (5) in
r, « H- ^) tL-h (B -i- eoi^ {C -t- i) cos^ •^ — übergeht. Die neuen Hauptträgheitsmomente ergeben sich als die Lösungen
(«)
{ß -4- //;, (C -4- k), ä, e, / übergehen
der Gleichung dritten Grades
~ + ^) /
e
e d , — (C-h>t)
und die Richtungswinkel \, fx, v der zu einer der Lösungen s gehörigen Haupt trägheitsaxe sind bestimmt durch die Gleichungen:
1 1 1
(9)
i^s-A''g)^ef'e{S''B—A)^d/ ' /{s ^C-k)-de
Es soll nun vorausgesetzt werden, dass die binsugefügte Masse m einen sdbr
kleinen Bruchtheil der ganzen Masse betragen möge. Dann wird die eine Wurzel sehr nahe A -\- g, die zweite sehr nahe B + h, die dritte sebr nahe C-^-k sein; sei also s^^A-^g + x^; und setzt man
(10)
1»
^11 ^ — •ll
so ergeben sieb die Correctionen x aus den Gleicbungen:
f
X,
e d
oder entwickelt:
0;
/ x^ d
0;
/ ft,,-t-.X, </ 1
e d xji
I s
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Mechanik des Htcamel». 99.
S95
Jede dieser Gleichungen hat drei Wurzeln; von diesen ist jedoch nur jene zu ermitteln, welche der Verschiebung der betre£fendeii Haupttrttgheitsaxe ent' ^richli dL h. die nttmerisch kleinste. Dann ist
cos X, : ... ,x, ; cos v, = 4i,%^^J»^)^e/ * 71^=^/ + Es sind nun drei Falle sa unterscheiden:
1) Die 0 und die ^ / sind von derselben Ordnung; in diesem Falle werden auch die x von derselben Ordnung sein, und es werden totale Ver- änderungen der Hauptträgheitsaxen auftreten.
Die Massenmomente eines drdaxigen Ellipsoides mit den drei Axen a, c sind aber bei den Drehungen:
um die a kxe: A = \M{b^ -¥ c^) um die b-hxt: ß = \ M{c^ ->r a*) uro die ^-Axe; C= |if(a« -t- ö*).
£s wird daher
B— Ar== \M{a^ — ^«); C—B^ \M{b^ - c^)\ C—A = ii/(a» — /■«).
Sind die d, e, / von derselben Ordnung wie die 0, so muss der Maximal- werth derselben \ma* mit diesen Grössen vergleichbar werden. Für die Rotation der Erde sind nun allerdings zwei der drei Massenmomente einander gleich; sei a SS ^, so wird das Verhältniss
d \ma^ m 1
Sollen nun ä und 0 einander gleich werden, so muss mit dem für die £rde gflltigen Werthe hg — — « 7'8244I0: M sein. Der Inhalt der Erde
ist aber gleich demjenigen einer Kugel von 6370 Kilometern Halbmesser. Für eine (|uadr;Uisciie Platte von 500 Kilometern Seitenlange und 5 Kilometern Dicke
von derselben Dichte wie die Erde v.ird »» = gg^QQ^; man wird dnher die
Massen momente der hinzugefügten Massen als Grössen zweiter Ordnung anzu- sehen haben.
2) Die sind von der ersten Ordnung, die g, h, k, ä, / von der zweiten Ordnung;. Bei dem dreiaxigen EHipso'ide wird dies für alle drei Gleichungen gelten, lur em Rotationsellipsoid ttlr eine derselben, z. B. für die dritte, wenn die Rotationsaze nahe der C-Axe liegt.
Die Annahme, dass Xi von der ersten Ordnung wftre, ttthrt, indem nur die Glieder niedrigster Ordnung beibehalten werden, sur Gleichung
Die kleinste Wurzel x^ss 0 entspricht nicht der Annahme, dass von der ersten Ordnung wäre. Sei von der zweiten Ordnung. Es ist nur ein Glied «tOj^üjg von der vierten Ordnung (die übrigen von höheren); diese gleich Null geaetsl giebt die der Annahme nicht entsprechende Lösung » 0. Sei tlso von der dritten Ordnung, so erhült man die Gleichung:
3»*
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(1»)
596 Mcdumlk des Hlmniel». 99.
also:
"^•^ ' '»"•.,'^»11* ^^^^
Die Annahme, dasa x von der (S H- «)ten Ordnung ist, giebt als niedrigstes
von X abhängiges Glied ein solches der (5 -H »)ten Ordnung und als niedrigstes von X freies Glied, ein solches von der 5ten Ordnung welche nur flir « » 0 gleich werden können. Mit (14) folgt aus (13), wem man überall die Glieder höherer Ordnung gegen diejenigen niedrigerer Ordnung vernachlässigt:
III e d
cos X, : cos a, : cos v, = -jk — : -5 — : — -r — -s: — : — « — : l.
Es wird darnach mit Vemachlüssigung von GUedem höherer Ordnung:
cas A- SB — "5 — ; cos u. « — 5 — ; cos v, « 1.
ist der Winkel der neuen (geänderten) C>Axe gegen die ursprüngliche C^'Axt'^), Kennt man die Länge der Ebene CC^ gegen die A'Z-Ebeoe i|, so wird
d
(OS t&i «» sm H^sm «g « — -5— •
Die Resultate bleiben dieselben, wenn man annimmt, dass die d^ / von
höherer Ordnung als der zweiten sind. Sei diese Ordnunc; ft > 3 und die sämmtiichen B von der ersten Ordnung, so wird die Ordnung der einzelnen Glieder in der dritten Gleichung (12), wenn man voraussetzt, dass die Lösung von der Ordnung X ist:
8X, 2X-I- 1,. X-h a, 2|H- 1.
FOr X B I, |x > 1 giebt dies den bereits erwähnten auszuschliessenden Fall; filr X > I wird nur das dritte mit dem vierten Gliede vergleichbar, und man erhält: X $|a — 1; das ResutUt ist identisch mit (U).
3) Es sei ein 0 von höherer Ordnung, s. B. von der CMiung x^. Hier sind eine gtosse Ansaht Fälle xu unterscheiden, je nachdem x < |fc und je nach» dem die d, e, / sämmtlich von derselben Ordnung sind, oder nicht Hier soll nur deijenige Fall erörtert werden, der neben dem früheren, dem den Gleichungen (IS) entsprechenden, in der Natur vorkommt. Es sei ^ «■ 2^; dann wird mit Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung
Da von den Aequatorradien keiner ausgezeichnet ist, so kann die ^ Axe so ge- legt werden, dass die m der Breite 9 aufgelegte Masse die Länge 45° hat, dann wird
0it 0, d^ avp* smfcos vVTt i^P* Y*
Die ersten beiden Gleichungen (13) werden jetat (die dritte Gleichung wird gegen den Fall 2) nicht geändert):
') Daher darf ms-^^ nicht {gleich — 1 pesetrt werden.
•) Zwei % können wegen der letzten Relation (1 1) nicht von höherer Ordnung §cio.
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Mecbaaik des Hiaunels. 99.
597
*i*»tl — *«(^ + — /*»ii — 0.
Diesen Gleichungen wird nur durch und von der zweiten Ordnung genflgt; man erhftlt:
x^ = zh/', *, = rf:/. (17) wobei Correspondenz der Zeichen stattfindet, nicht aber eine beliebige Combi- nation gewählt werden darf. Man überzeugt sich hiervon, wenn man z. B. den Fall betrachtet, wo Ojj, so wie /, h von der jiten Ordnung wären; dann werden die beizubehaltenden C'.lieder
und hieraus:
Ist nun positiv, so wird, da man die kleinere Wurzel zn wählen hat:
^1 = + (Vi ^i'j -f-/' - Jif* « - (i/i -»-/' - »is);
ist d|| negativ, so wird ebenso:
*i « - (VPA^"^- - + -
Fttr 9| s SS 0, , a 0 folgen hieraus die Gleichungen (17). Die ersten beiden der Gleichungen (13) werden hier, wenn man die oberen Zeichen beibebilt:
1 1 1
daher
CM ; LOS :
^^wjij = — — ; V, = H- 1.
•si
d»)
Hieraus folgt, dass die neuen Ilauptträgheitsaxcn der A und B gegen die
ursprünglichen gleich geneigt sind, d. h. dass sie die Länge 45" haben, also in die Richtur!!^ der hinzugefügten Masse und senkrecht zu dieser Richtung frillen, was eigentlich a priori klar ist. Sind die Neigungen dieser beiden Axen gegen die ursprüngliche Aequatorebene t|;j, <^^, so wird
daher
««+1 = -y? A
"3 1 "II
also mit Rttcksicbt auf die -Werthe der i und €
i»p* cos 9 sin o
Dies ist aber (nach den Zeichen von ccsX^,
cos fij) derjenige Theil der Axe, welcher mit den ursprünglichen Axen die Winkel 45° cinschliesst. Sie wird daher an dieser Seite gegen den zu- gefügten Massenpunkt hin gehoben, d. h. nach A (Fig. 277) gerückt,' so dass aA = ihL. Dass die neue C-Axe in die Richtung ACq von Cq weggerückt erscheint, und zwar um den Bogen «ji,, folgt auch aus den Formeln (15). Hiemach ist nämlich fttr den vorliegenden Fall:
(4. 977).
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}9S llaffhanik dt* Hioiinda. 90.
iiff v,rMi|, = — y* s-^ ^
/— mp^ cos <D sin 9 * ^
demnach üMv^ 1)1 B 1; i), 9 325^ wenn man iotV| positiv nimmt; die neue C-Axe liegt also in dem Meridiane aC^ Aber hinaus; der Bogen CC^ » va folgt dann ans
Jw»v3^i7j7j3 a»p»^y wy.
— i^iääÄ^ Hf;; — ' =
Die Wertiie jr^, x^, jr, gestatten auch die Grösse der nenen HaupttrSgheits- momente su finden. Sie sind besw.: A^'g-^ x^, ß-t' A-hx^, C+ i -t-
demnach, da o;, = 2 ^ — lat; oder
v4' = ^ /«p'(f<;j' f -h % sin^ y) h- ^ wp* r^^j* ^ = -f- wp'
B' = i wp»(^<;^8 f -i- 2«»»<p) — i mp^^i^i» y =a -h mp'sin^ f (20}
^ ^ . • m^Q* cos* 9sin^ 9 C^C-hm^^tas^f-i C— !^ ^•
Hiermit wird die Acnderung von C — A:
Das Maximum der Verschiebung findet statt i&r f ^ 45*; die Verschiebung von C betragt dann
Hierfür betrilgt die Aenderung von C ^ A:
oder
» f^V^py 1 . L_
Dabei wird die Entfernung p in Einheiten des Erdbalbmessers ausgedrückt; dann wird der Faktor N'.
"~*M tat —
Drückt man die Massen durch ihr Volumen in Kubikkilometem und ihre Dichten in Einheiten der mittleren Dichte der Eide aus» so wird
hg O'5889646-IO; hg -~tr — Ö-8638899-10.
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Mechanik des Himmels. 99.
599
€ ^ — Mp* sin tf f cüs X
Die Hinzufilgung der Masse eines Meteors von 10 km Durchmesser in 45° Breite würde dnnach eine Verschiebung von 0"'30*) und eine Veränderung
A) = - 0 0000002877 — C) bewirken. Eine Massenverschtebung kommt dem Fnfernen einer gegebenen Masse und dem Hinzufügen derselben an einer anderen Stelle gleich. Wird die Masse in dem Punkte weggenommen, dessen geographische Coordinaten (bezogen auf das ursprüngliche Axensystem) p, <p, X, sind, so wird: jCq = p cos 9 cos X ^0 = p cos f sin k «0 = p sifi <f
daher, wenn man die eine Axe in die Richtung desjenigen Meridians legt, in welchem sich die entfernte Masse befindet; X = 0, r;, = 0; die Verschiebung findet gegen den Oft hin statt, wo die Masse entfernt wurde» um das StOck CqCj ^ V,, so dass:
ö-A
Legt man nun die Masse m in ' einem Punkt meder, dessen Länge mC^ni (Fig. S78) ist, so wiid der neue Trägheitspol sein, and es ist
j ■ sin tp' cos 9'
«»V, ^ _ ^, _^ ^^^^ jrj) '
Die stattgefundene Polverschie- bung ist nun Cq = u in der Richtung, welche durch den Winkel w gegen den Ort m oder durch w -{- Z gegen jh' bestimmt wird. Man sieht sofort, dass die Verschiebung des Pols in der entgegengesetzten Richtung stattfindet, als die Verschiebung der Masse m. Finden diese Verschiebungen nicht allzunahe dem Pole statt, so wird man m'C^ m = L* mit m'C^ m — L identificiren und is{C — Ä) vernach- lässigen können und erhält dann aus dem Dreiecke C^C^C^^ wenn dasselbe als ebenes aufgelöst wird:
usinw » UnL
u tüsw » V| — V|' tos Lt
daher
(A. 878}
y/p^ sin y cos y /» p' ^ stn cos <p _ C A C^A
UۆSW
(21)
w ist hierbei im entgegengesetzten Sinne von L zu zählen, a. Findet eine Verschiebung im Radiusvector (Hebung oder Senkung) statt, so wird Z = 0, 9 = 9'i folglich
0 Um die hlaaas folgciide lineare Venehiebung su erhalten» hat man au beachten, dais 1" nahe 80 Heier enispfidit
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6oo
MecbwDik des HimoaeU. 99. 100.
iBt p' gi^ser oder kleiner als so wird w 180* oder 0; bei der Er- hebung einer Masse wird sich daher der Trlgheitspol in dem Meridiane des
Ausbruchs von der Ausbruchstelle entfernen; bei einem Einstürze wird sich der Trägheitspol nähern. Die Hebung oder Senkung einer prismatischen Masse von 100 Kilomeiern Länge, 100 Kilometern Breite und 1 Kilometer Dirke in der Breite von 45*^ um "^i Kilometer wird eine Verschiebung der Trägheitsaxe um 0""0011 zur Folge haben.
b) Findet eine ^' erschiebung auf der Oberfläche selbst statt, so kann gesetzt werden; dann wird
u sin w = mN sin 2 f ' sin L
ucosw = mN{sin 2<p — sin 2f ' cos Z).
Für eine Verschiebung in der Richtung des Meridians wird L^O,
usmw ea 0
u cos w = m JV(sin 2f — sin 2f '),
und es wird die Richtung der Verschiebung von dem Zeichen der Difiierenz
sin2tf — sin2ff' abhängen. Wird die Masse von 100 Kilometern Länge und Breite und 1 Kilometer Dicke vom Acquator zu 45° Breite transportirt, so wird w = 180°, daher der Pol im selben Sinne verschoben, und zwar um den Betrag von 0"-714; die Verschiebung derselben Masse von 45° Breite zum Pul ergäbe eine Verschiebung im entgegengesetzten Sinne (der Masse entgegen) um den- selben Betrag.
r) Findel eine Verschiebung auf dem Parallcikreise statt, so wird f = <p', daher
usmw mNsin ^^smZ ^Vim Nsim %^sm\Le0s\L
ueosw^ mNsin 2^(1 — eps Z) ■>> ^mNsin 2f sin \L sin ^Z,
daher wird SJf « 90* — ^ Z, u = 2mNsin^ifsiH^Z. Für die Transposition der obigen Masse in der Breite Ab*" um die Länge Z wird daher u = ]"'427 sin |Z. Die Bewegung findet in einer Curve CqC^Ci statt. Für Z^sQ ist w ^ 90^ die Bewegungsrichtung senkrecht zu C^m, und » « 0. Für X ^ 90" wird w ^ 4b'*, u r'-009. Für Z *s: 180** wird w^O, r'-427. Bei einer weiteren Be* wegung der Masse von pty in demselben Sinn, über die zweite Hemisphäre nach w wird der Bogen C, C'Cq beschrieben, wie man leicht findet, wenn man nun- mehr C^ als den Ausgnnpspimkt des Trä^l eitspolc«; ansieht. Die hierdurch be- schriebene Curve ergiebt i>ich leicht, wenn man usinw ^y, ucosw setst, und Z eliminirt; es folgt:
Die beschriebene Curve ist ein Kreis mit dem Halbmesser mNsin^^.
100. KinÜuss auf die Rotationsaxe. Stetige Veränderungen der C'-Axe, 7\\ denen die zuletzt angegebenen gehören, treten ein, wenn z. B. eine Wasser- masse in beständiger Rotation um die Erde begriflen ist. Dieses findet nun allerdings bei der Ebbe und Fluih statt, wo sich eine Flutliwelle von mehreren Metern Höhe in nahe 25 Standen um die Erde bewegen würde, wenn die ganze Erde mit Wasser bedeckt wAre. Man sieht aber leicht, dass die diametral
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Meehtirik det Hkameh. 100.
6oi
gegenüberslet enden Wellen ihre Wirkung vernicliten. Die Fluthweüe auf der Seite von m bewirkt bei der Bewegung derselben gegen m hin eine Bewegung von in der Tangente an gegon hin; die Welle auf der Seite von bei der Bewegung der Welle im selben Sinne eine Bewegung von in der Richtung von gegen C bin. Sind nun die beiden Fluth wellen völlig symme- trisch, so müssen sich die Wirkungen aufheben. Bei der ungleichen Vertheilung der Wassennassen wird nur die Differenz der so bewegten Massen in Rechnung zu sieben sein; in diesem Falle wird aber die durch den Widerstand des gegenttberstdienden Festlandes erzeugte Rflckströmung der Wassermassen eine der früheren entgegengesetzte» diese aufhebende Bewegung des C-Foles er- zeugen
Dasselbe gilt von den Bewegungen der zur Erde gehörigen Luftmassen.
Nicht unbeträchtliche Wasser- und Schlnmmmnssen werden durch die Flüsse befördert. Die grössten Flüsse in mittleren Breiten haben allerdings einen öst- lichen Lauf) und dürfte wohl ein Ueberschnss flir die ücbcrfUhrung von Massen in dieser Richtung verbleiben. Bei einer durchschnittlichen Tiefe von 25 Metern würde aber, da die Dichte des Wassers nur den fünlicn l iieit der mittleren Dichte der Erde beträgt, ein Wasserareal von 1000000 Quadratkilometern nur eine Verschiebung der C-Axe um 0"'07 bewirken. Doch beträgt der lieber* schnss der in derselben Richtung geftlhrten Wassermassen nur einen sehr geringen Bruchtheil dieses Areals, um so mehr, als auch hier die bewegten Wassermassen, die um 180* von einander abstehen, ihre Wirkung vernichten.
Eine andere mögliche Ursache, die fortgesetzte Vereisung im Winter und das Abschmelzen des Eises im Sommer, kann jedenfalls periodische Ver^ Änderungen hervorbringen. Diese Vereisung und nachträgliche Abschmelzung findet vorzugsweise in nvittleren Breiten statt, und zwar auf der nördlichen Halb- kugel durch das Ueberwiegen des Festlandes in Asien nicht gleichmässig um den Fol vertheiU'). Die fortgesetzte Massenablagerung in Asien würde den nächst-
1) Eine genauere Uotcnuchimg dieser VcilUlltiiitie mllnle von der Votnntctntng ausgehen, du» die Brdc kein starnr Kttrper i«t, sondern, wie die» der Natur der Sache cntsprieht, aus ciaen fotan Kerae bciteht, der von einer Schicht verSDderlkhar Bfasieii (Waaser und Luft)
umgeben ist. Es ist jedoch durchaus nicht ausgcschlossL-n, dass neben diesen sichtbar veränder- lichen Theilen noch andere im Innern der Erde vorhanden sind. %velche stetigen oder auch plötzlichen LagcMnderungen unterworfen sind. Entzieht sich schon die Beurtheilung des Ver- bUtnisses der sichtbar veränderlichen Tbeile sur ganzen Masse unserer Berechnung, selbst unterer Schftteung, so ist diese» noch viel mehr mit dem letsteren Theik der Fiall, und Imnii nur eine unter diesen Voraussetsungen durchgeführte Theorie durch Veig|efehen dersdben aait den Resultaten einen Schluss auf die Masse des veränderlichen Theiles ziehen lassen. Unter- suchungen dieser Art setfen aber eine durchgebildete Theorie der Ebbe und Fluth voraus. Doch sind bisher nur vereinzelte Versuche dieser Art zu nennen. Die Icti^te, noch jetzt adop- tirte Theorie der Ebbe und Fluth rtthrt von Laflacb her; sie ist aber kaum als abgeschlossen sn eiUSrnk» und könnte ihre Berücksichtigung auf die RotaMonscrschchnrngen schon ans diesem Grande gcgenstandsloa sein« Uebcr den Einfluss der veründerticben Oberflldwnachieht anf die Erscheinungen der Rotation veq^. u. a. DAawiN in den Philos. transact Air 1879^ und GviDiN, Astron. Nachrichten, No. 2226 und 3157.
") Die Ucborftihiung in der dazu senkrechten Kichtun^j hat, wie aus dem früheren erhellt, einen viel geringeren Emlluss; übrigens ist dieser nördliche und südliche Lauf ziemlich gleich»
*) Auf der sOdlidicn Halbkugel ist die wirksame Ablagerung dnc vid geringere, da Süd- amerika und Afrika nicht xu SO hohen Breiten reichen, und iSc fortgcsctite Eisablagerung am Ocean siemlich gleichmüssig um die Pole herum stattfindet.
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6oi Mechanik des Himmels. 100.
gelegenen Pol von m wegbewegen: die Massenablagerung im Anttpoden* punkte {m) voh m würde den xundchst gelegenen zweiten Fol (C«) ebenfalls in der Richtang (m) (Cq) von (m) wegbewegen, also die Axe im selben Sinne drehen. Hingegen würde die Eisablagerung in einem um 180** in Länge verschiedenen
Funkte auf derselben Halbkugel die Wirkung schwächen. Der Mittelpunkt der Ablagerung auf der südlichen Hemisphäre (zwischen Afrika und Südamerika fallend) fällt nun aber keineswegs in den Antij>odenpunkt der viel statkeren Ablagerung auf der nördlichen Hemisphäre, so da<5S sich die Wirkungen eher schwächen als verötärken. Beim Absehnielzen des Eises wird der Pol sich wieder nähern, demnach im Laufe eines Jahres eine pendelartige Schwingung in einer geraden Linie (grösslen Kreise) ausführen. Nimmt man an, dass sich im Laufe eines Winters nach und nach eine Kruste bis zur Höhe von durch- schnittlich 80 m ablagert» so wird sich, mit der Dichte des Eises gleich ^ der Dichte der Erde, ein Areal von S5 000 000 Quadratkilometern bedecken mllssea, um eine Verschiebung von 0"-l zu bewirken, wenn die Wirkung in allen Breiten gleich vorausgesetzt wird. Mit Rücksicht auf die schwächere Wirkung in grösseren Breiten mUsste das Areal noch ganz bedeutend grösser sein; nimmt man den Mittelpunkt der Eisablagerung in 60° nördlicher Breite (er ist eher etwas nördUcheri dabei 100° östlich von Greenwich), so würde Her Ucber.-chiiss
des wirksamen Areals in Asien gegenüber ^Sv.^^ dem in Amerika und dem auf der südlichen
/L...^^>>pÄ Halbkugel etwa 300Ü000Ü Quauraikilometer / : / betragen mtoen. Auch hier ist dieser Ueber- / : / schuss gewiss nur ein kiemer Brucbtheil; die / X Verschiebung der HaupttrSgheitsmomente be*
/ j/ ' t'^t daher nur wenige Hunderttheile der
/ / Bogensecunde — vielleicht nicht einmal ein
Hundertel Bogensecunde.
Um den Einfluss zu bestimmen, welchen ^ eine Veränderung in der Lage der Haupt-
trägheitsaxen auf die Lage der instantancn
■■ Rotationsaxc ausübt , sei Cq (Fig, 279) ein
^^f^ beliebiger fester Punkt der Erdoberfläche (etwa
eine mittlere Lage des Trägheitspoles) C der instantane Trägheitspol und der Rotationspol. Der letztere wird, wenn er mit dem Trägheitspol nicht zosammenflült, um diesen einen Kreis mit dem Halb* messer r zu beschreiben suchen i); in dem unendlich kleinen Zeittheilchen di wird daher der Kreisbogen
= rda ^ rmdt
beschrieben, wenn m (vergl. No, 93) die Geschwindigkeit im EuLER'schen Cyklus ist. Seien x, y, die Coordinaten des Punktes C in Bezug auf ein festes Axen- system; \, t) die Coordinaten von R in Bezug auf dassellie Axensystem, SO wird mit den in Fig. 278 gewählten Bezeichnungen
i/( — — RRwk « — rmdt ^ ~ ^ « — (i) —y^mdt
i — x
I) Man kann die Punkte als l'rojectionen der bezüglichen Punkte der Erdobertiacbe auf die Taagentiakbetie in «ntehcn, oder «ach wegen der Kletnhett der Entfenumgoi ab die Ptuikte Mif der KngdeberiJIclie telbit
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ICechanik des Himmels. !00. ^3
Die Differentialgletchongeii der Bewegung «erden daher:
— %fn = xftt.
Sei die Bewegung des Punictes C bestimmt durch die AnsdrQcke:
7 ldiCOS{io^f
<2)
so sind die rechten Seiten der Gleichungen (1) bekannte l unclionen der Zeit und die beiden Gleichungen werden ein System von linearen, simultanen Gleichungen, deren Integrale, wenn die rechten Seiten gleich Null gesetzt werden, die Form haben:
g — j| MW 4- JST)
Diffeieiizirt man diese Auadrtlcke nnd setst in die linken Seiten von (1) ein, so folgt }i = m, A » A'; die Integrale der voUstSndigen Gleichungen (1) weiden sodann:
I B — A stH{mt + + {toj -+-
wobei jedem Argumente in (8) ein Glied mit demselben Argumente in (8) enispticht. Diffeienzirt man diesen Ausdruck und setst in (1) ein, so erhält man die baden Gleichungen
nnd danuis:
Die ersten Glieder in & i) stellen die Bewegung im EuLBit'schen Cydus dar; die einseinen Glieder der Summe» die aus der Verschiebung von C resultirende Bewegung von iP. Da im Nenner der Coefficienten /„ die Differenz «• — auftritti so können, wenn dieser Divisor klein ist, die Coefficienten in (3) wesent- lich vergrössert erscheinen. Da m die T^t-wef^iinp im Ei LER'schen Cyclus darstellt, so werden merkliche Glieder nur dann entstehen, wenn auch u) genähert eine zehnmonatUche Periode hat. FUr eine jährliche Periode wUrde
der VeigrOsserungsfaktor 3'dl5.
a) Beschreibt der Punkt C eine gerade Linie im Laufe eines Jahres, wie dies bei der Vereisung und Abschmelzung der Fall wftre» so wird
Dann ist
a — m
daher
\^ — hsm{fnt^H)-^ 3*81 mtm {mf + 1) «s 4- A w («•/ -h iT) « 3*77 a m («/ + J),
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«04
MeehMük det Hinmiel«. 100. tOl.
b) Beschreibt der Punkt C einen Kreis, so wird
am
m
daher, wenn die Periode von to ein Jahr ist: f ist g ^ 0'5448a; die Coeffidenten erwheinen auf die Hälfte reducirt.
c) Ist X = asin (co/ -\- A)y y = — acos(mf+ A), SO wird die Bewegung wieder kreisförmig, aber der £uLBR'schen Bewegung en^;egengeaetzt, dann wird
am am
00 — m' ^ ~~ « — m '
also wenn m wieder eine jährliche Periodicität hat, ->^» e^OSa. Kreis* förmige Bewegungen der C-Axe entgegengesetat der EuLER'schen Bewegung «nd
jedoch schwer anzunehmen. Nimmt man als Amplitude der Bewegung der C*Axe bei ihrer Bewegung in gerader Linie 2a ■= 0''-15^), so würde die Rotations- axe eine srViwach gestt eckte Ellipse beschiciben, deren Axen 0"-25 und 0' 21 wären, wodurch Polhöhenschwankungen mit der AmpHtudc 0"".> erklärt würden, wie sie durch die Beobachtungen der letzten Jahre constatirt wurden. Doch ist nach dem früher gesagten die Amplitude der Schwankung der C-Axe mit 0" 15 jcdenialib viel zu hoch gegriffen. Ueberdiess muss benierk.1 werden, dasa neaer* dings CuANDLER die Polhöhenschwankungen in eine solche mit jährlicher Periode und eine mit der Periode von 430 Tagen aerlegt bat; für dieee wird aber der VergrÖsserungsfaktor nur S; man mOsste daher für eine Polhöhenscbwaokang von 0"'5 eine Amplitude der geradlinigen Bewegung der OAi/t um 0"*S5 annehmen^
101. Die Libration des Mondes. Als Ausj;angspunkt flir die Unter- suchung der Drehung des Mondes dienen die Formeln I, II, Illa, IV inNo. M, in denen die Drehungsmomente 8, SR, 91 durch M (8) bestimmt sind. Zu be* achten ist hierbei, dass der Mittelpunkt des festen und beweglichen Coordinaten*
(A. 280.)
Systems im Mondmittelpunkte liegen. Sei also selenocentrisch ££' (Fig. 280) die Ekliptik, M i»" die Mondbahn und AA' der Mondäquator. Die Neigungen dicker
I) Bitn fiadet sehr hXnfig, wiewdia filschlich, CHITS «1* ganse Amplitude angcgebeo. *) U«b«t den Einfluss von RefractioBiMCtOlDalicn auf die BetimmODg der Polhöbc, vci^ det Vcxfusci« Bcmcrknagen in den AstroDom. Nachrichten No. 30a I.
I
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Mechanik des Himmels. 101.
605
grössten Kreise am Himmel sind oatQrlich selenocentrisch dieselben wie geo* centrisch, da sie ja durch die gegenseitige Lage der bezüglichen Ebenen be> stimmt sind. Die Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik sei /, diejenige des Mondnqt;ntor.-. gegen die Ekliptik sei t]. Geocentrisch ist nun die l äge des aufsteigenden Knotens der Mondbahn auf der Ekliptik durch seine Länge be- stimmt; denkt man sich durch den Mondmittelpunkt eine Parallele zur Schnitt- linie der Ekliptik und des Erdä(iuatorR, d. h. zur Richtung von der Erde zum FrUhlingspunkt gezogen, so wird diese an der Himroelskugel denselben Punkt T treffen. Dieser, obswar iüT den Mond selbst ohne Bedeutung, wird jedoch auch flir die selenocentrische Ekliptik EE' als Anfangspunkt gewählt, weil sich hierdurch die selenocentrischen Coordinaten der Erde, welche hier den an- siehenden Kötper darstellt, einfach durch die aus der Theorie der Bewegung des Mondes um die Erde bekannten geocentrischen Coordinaten des Mondes darstellen lassen. Die selenocentn^cl^c Richtung nach dem terrestrischen Acquinoctium sei also gegtlen du?cli den Punkt T; dann ist der Bogen 'Vß = die Länge des aufsteigenden Mondknotens auf der Ekliptik. Derjenige Punkt, welcher für den Mond die Stelle des Frtihlingspiinktes vertritt, ist der Schnittpunkt C des Mondiiquators mit der Mondbahn. Statt desselben wird aber dei Schnittpunkt F des Mundäquators mit der Ekliptik eingeführt i); seine Lage ist bestimmt duich die Länge desselben auf der Ekliptik, gezählt ebenlalb in der Ekliptik von V aus; sie sei V = ß -i- a/, d. h. der Bogen F=w. Sobald «p, A «1 bekannt sind, ist die Lage von C ebenfalls bestimmt und man kann die selenocentrischen Richtungen auf das Fundamentalsjrstem der oder beziehen, wenn man analoge Grössen, wie die fQr die Erde flblichen einfilhrt
Seien nun die aus der Theorie der Mondbewegung bekannten geocentrischen Coordinaten des Mondes, bezogen auf eine feste Ekliptik: ß, und die Ent* femung des Mondes von der Erde p, so sind die selenocentrischen Coordinaten der Erde — 180° 4- A und — da die Richtung von der Erde zum Monde und diejenige vom Monde zur Erde die Himmelskugel m zwei diametral entgegen- gesetzten Punkten trefien. Selenocentrisch wird daher die Erde nicht in der selenocentrischen Ekliptik stellen; diese verschiebt sich eben mit dem Mond parallel zu sich selbst über oder unter die waiire Ekliptik, trifft aber die Ifimmelskttgel immer in demselben grössten Kreise. Hingegen flllt die Richtung nach der Erde bald über bald unter diese Ebene. Die Breite des Mondes ist bestimmt durch
die Breite der Erde durch
AMtf I» - tangiiinQ, A) » iamismQ^ — A).
Die rechtwinkligen Coordinaten der Erde, bezogen anf ein fntes Azen- system, dessen X-Axe nach V gerichtet ist, und dessen A'y-Ebene in die Ekliptik fillt, sind daher:
(5) = p cos^ CCS Iq ; (t)^ = p C(fs^ sin ; (0 = — (p sifi ß ^ p A C) = p tang i sin — Ä) — p ^C, wobei pAC die Stönmg in der Breite des Mondes bedeutet, und berücksichtigt werden muss, wenn man für i mittlere Elemente setzt; in ^, t] wird der Ein- fluss derselben wegen der Kleinheit von i belanglos. Hieraus erhält man die
■) Nach den CASsnn'schcn Gesetsen fidlen ttbrigeos Ai ^ tusammcn, wu hier TOfcnt natflilich noch nicht «ogcDommen werden kann.
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te6 Mechanik dct Himmdi. 101. 14».
auf das bewegliche Axensystem der X', Y*, Z' bezogenen Coordmaten 6', V aus 94 (3^ und »I (4), wo ß -|- w an Stelle von ^' zu setzen ist. Für den Mond ist aber t' der nach Fig. 280 mit tj bezeichnete Winkel etwa 1^°; vernachlässigt man daher die Quadrate von i), so kann man =1, sinyi^ti setsen und erhält dann:
= (9 4- ft -t- w) (£) -H sin («p H- ft -h «/) (t)) — t| *w ^ • (Q
V » — <rM + A -4- ce/) (5) -H r<7x H- a -I- w) (ti) — 1 ^''^ T * (0 C « — (ft + w) (5) -h Tjr^r (ß H- (0.
i ist für den Mond etwa 6 , vernachlässigt man daher auch die zweiten Potenzen von i and das Produkt i t), so wird
6* =■ -»- p ß cos ((p -1- ß -h — Xo)
Y « — p r«7J ß j/>z -f. 4- _ Xq) (2) C* = — [' r, ß sin (A w — X,,) -4- p i «« (X^ — ß) — p AC.
Diese Wcrthe sind in die Ansdrücke M (8) zu substituiren, und geben, mit Vernachlässigung des Quadrates der Mondbreite, wenn man Kürze halber
C^ß C-A ^ B — A
setzt, so dass v die von aus gezählte selenoceotrische Länge der Erde ist: a [ij (»— fw p -I- i fwi (» — 9) f«i (»-*-«/) — AC ^w.Cf — f)J
|
SR |
|
|
2p» |
7 2 (» — 9)
Die Difierentialgleichungen werden, wenn in m wieder V «enachlässigt «ud:
77 " * ' 57
102. Die I.ibration in Länge. Die wahre Lange des ^^ondes X setzt sich
zusammen aus seiner mittleren Länge Z und den Ungleichheiten 2>fe,i/«(x / K,),
welche sowohl die Mittelpunktsgleichung als auch die Störungen umfassen; es
wird daher: « _
X - Z -h lAism{*,t + iE/) (I)
und die selenoccntrische Länge der Erde
Xo = 180° -h Z-h lk,sin{%,i -H K.), (2)
wo 180" -+- /. die mittlere selenoccntrische Länge der Erde darstellt. Die von F aus gezählte selenocentrische Länge der Erde ist nach 101 (4):
«' = ^0 — C«' ii) = Iöü° Z — (tt; -J- ß) -h lki5in{t^t Kt). (3)
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MediAttik de^ Himmdi. lOS. 607
Mnn hat für A die mittlere Länge des Mondknotens zu wählen, wenn unter BB' die mittlere Bahnebene des Momics \erstanden wird und die Störungen sich auf diese beziehen. Dann ist auch w der Abstand des Punktes / vom mittleren Mondknoten, und die Grössen
dt dt"^^ sind constant. Den Winkel ^ kann man in swei andere serlegen, von denen der eine durch den Punkt />' bestimmt ist, wenn FD = FE? und yD die mittlere Lftnge der Erde ist, und der zweite u » iy(X'} von diesem Punkte D' aus ge- rechnet wird. (P fnVt dal er nahe in die Richtung des mittleren firdortes.) Es ist aber FD = lÄO** H- Z — (ft w), demnach
r . ISO"* Z - {7v -f- ^) 4- « (4) p _ ^ r-:^ v/.^ (x,/ -h AV) — u (6)
und die Differentialgleichung 101 (6) gebt über in
dr* k"^ M
^ « -H 3 7 2[I*/fmCiw/ -I- A» - 4 (6) Die zweimalige Differentiation von (4) liefert:
und die Differentiationen von 101 (8):
<// " Ji^
oder mit Berücksichtigung der zuletzt erhaltenen Gleichung und der Gleichung (6): Da M die Masse der Erde ist, so wird der Co^fficient
2p» 2«» Vpj J/J + Ml
Wird daher
v"
gesetzt, sodass v" » ist, wenn v' die in M angegebene Bedeutung hat» und drückt man p in Einheiten der mittleren Entfernung des Mondes von der Erde aus» so wird d^u BZ'* 1
Vernachlässigt man hier zunächst die Ungleichheiten der Mondbewegung, also auch die Abweichung von der Kreisbahn, setzt daher in erster Näherung p » 1, so wird die zu integrirende Gleichung:
du
Mukiplicirt man diese Gleichung mit 2^4// und integrirt, so erbält man ein erstes Integral
fdu\* , , Z'« ^ o . • • •
3Z''
wenn r. 7 = x gesetzt wird. Daher wird
1 V
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6o8 Meduoik des Hfanmdf. 108.
du
rb j/r — X sin* u
Hieraus folgt nun, dass u beständig wächst, wenn x entweder negativ ist, oder positiv und kleiner als « Da al er der Mond uns stets dieselbe Seite zu- wendet, so kann dieses ni< ht der Fall der Natur sein. Es muss also x >• f sein, in welchem Falle eine oscilliiende Ikwegung stattfindet (vergl. auch No. 66) und zwar um // = 0 oder IhU ; die Beobachtungen zeigen das erstere, womit also zunächst daigethan ist, dass in (4) der Winkel u, welcher die Abweichung der Belenocentrisctien Richtung nach V (gegen die Erde) von derjenigen gegen {X') (die Mauptträgheitsaxe) darstellt, nur um periodisch wachsende «md ab- nehmende Beträge variiren kann. Für diesen Fall lässt sich die Integration ohne ZurttckfÜhrung auf elliptische Functionen durchfuhren. Da ttberdiess in (7) auch die Ungleichheiten der Mondbewegung nur sehr klein sind, so kann in dieser Gleichung statt des Nenners p die Einheit und statt des sm der Bogen gesetst werden und man erhält
Das Integral dieser Differentialgleichung, wenn die rechte Seite Null ist, ist u ^ a sin{mt A), wobei «, A Constante sind, dann folgt
m = -E. — - 1/37.
Hieraus folgt, dass 7 positiv, d. \\, B> A sein muss. A ist aber das Trflgheitsmoment um die XAxe, d. h. um die gegen die Erde su gerichtete Haupttrttgheitsaxe; diese ist daher Axe des kleinsten Trftgheitsmomeotes. Setzt man jetzt wieder das Integral der vollständigen Differentialgleichung (9) in der Form voraus
u =- asm ^-j^=== . ^- llisin{%ii -¥ Ki\ (10)
wobei jedem Gliede der rechten Seite in ('j) ein Zusatzglied in (10) entspricht^ so folgt in der bereits wiederholt erörterten Weise
1 -h v" ^ ' 1 -H T''^-»'*
Der vollständige Ausdruck von u wird daher
3Z'» ,
TT T*»'
*"'**'( yi^V' ^ •*'*"^)^ 2 '/»(»^^ ('»)
1 -t- V
Der erste Theil enthSH die beiden willkiirlichen Integrationsconstanten a, A\ er wird aus diesem (irundc auch die > willkürliche Librationc genannt; der zweite Theil hingegen ist eine nothwendige Folge der ungieichmässigen Bewegung
') Da 1 je nach der Wahl dt-r Hauptträghcit&axen fllr diesen Fall positiv oder oegativ gewählt wcrdcD kum, so vird hierdiircb dss Integral *didii1>ir geliiidert; da aber i^ekkidlig die Grenxen und der Modul geSadert weiden, so kann daran* nicht getcbkxsen wcfdcn, da» der Rotationszustand instabil ^^ä^e. Doch gehören die weileien AoifitfinuigeB hl de Theorie der Transformation der elliptischen Functionen.
1
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Mechanik des Himmels. 103. 103.
609
des Mondes, die sogen, »nothwendige Libration«; bdde xusaomeB bewirken Schwankungen der Hauplträgheitsaxe des kleinsten Moments um den gegen die Erde zu gerichteten selenocentrischen Strahl: sie bilden die phjrsiscbe Libration
des Mondes in Länge ^).
Der Coefficient des dem Argumente n- K, entsprechenden Gliedes der nothwendigen Libration kann geschrieben werden
7»
37
Er kann beträchtlich werden, wenn ki selbst sehr gross wird, oder wenn der Nenner sehr klein ist; dieses letztere wird der Fall, wenn «i sehr nahe
y 1 -t- y^lf ^' ^* Argumente, welche mit dem Argumente der will-
kflrlichen Libration nahe dieselbe Periode haben. Diese ist^ wenn ^ ge- setzt wird:
360» ^ 860*60-60" y- ^ 1Ö-874 _ 0*043457 , .
T «s —n= y i v" «= -r-i^-F^ yi+v — — T=- Tage =— Jahre.
7 ist nun nahe 0*000346 demnach t = 2*336 Jahre mit dem Werthe X 0 151S"'8. Je näher die tagliche Bewegung des Argumentes diesem Werthe . kommt, desto stürker wird der CoefBcient durch die Integration vergrOssert. Von den Störangsgliedern des Mondes werden daher nur an berücksichtigen sein: diejenigen mit grosseren Co£fficienien, die Mittelpunktsgleichung und Evection und dasjenige Glied, dessen Periode der obigen am nttchsten kommt, die jährliche Gleichung. Mit V » 47435" ist
fUr die Mittelpunktsgleichung + 22643", x, « 47084", » — 28"*6
„ Evection — + 4467", x, — 40739", /, = - 6"*2
„ „ jährliche Gleichung k^^^ 657", x, — 3548", /, 147"*4, somit
u^asht f-F^^. y37/+^)— 28"*6im t — 6"-2 sm{^ +2»— 20— 2»,)h-
■4- 14 / 4 •).
Die Cirossen a, A mtissen als Intcgrationsconstanten aus den Beobachtungen bestimmt werden. Die ntuesten Untcrsurt ungen dieser Art rüliren von ]. Franz her; sie ergeben das Resultat, dasi, dicbc physiscl c Libration, wenn nicht ganz verschwindend, so doch für die beutigen Mittel der messenden Astronomie nicht angebbar ist").
103. Die Libration in Knoten und Neigung. Wäre das zweite CASSiNi'sche Gesetz strenge, so würde w gleich Null sein; nimmt man an, das$ dieses Gesetz als Näherung anzusehen sei, so wird w jedenfalls sehr klein sein. Setzt man nach Lacrakgb
. , tm^smj^s\ smi^tüSf^t*, (1)
so wird
ds . d-n , d9 d^ dji . . //•
daher mit Rücksicht auf 101 (8) und (9)
*) Hicfsii tritt noch die optische Libntion, T«rgL des L Baad, psg. isa *) J. FsANZ : »Die CoDstaaten der phytitefaea Libmttoii des Moadcf « ; Astienemitdie Beob« ■cbtuicen «a der k. UnWeisititMtcniinirte ip Kttnigibcfg, Bd. 38, psg. 97.
VMjnmnii^ AitroiMinl«. II. 39
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6io Ifeebddk dei Hteaidi. 108*
^ = <-<?^ Tj sin ^ ( — / £os<^-^ q sm <f) + C0S 9 sin ij (« + r') H- £0Sf {p sinvf-^q cos 9) ^«s: 1) (j> ( — p cos <f-¥ q stn <j>) — j/« ^ sin ij (« -H r') — j/« f ii« <p 4- ^ 9)
oder
^ — r') — ^ j/« 9 9 (I — > rfM tj) — / {sin* 9 fw* 9 tj).
Veniftchläasigt man hier die Grössen dritter Ordnung ptft qyf, so wird
Um hieraus p und ^ zu elenuniren, lA'ird nochmals dififerenzirt; dann wird: d ^ s ds\ , dr' dq
~d0^
ds . ,^ dr' dp
ds ds' dr\
Da die Grössen i, s\ von der Ordnung von üni\, -jj sind, so kann
man in denjenigen Ausdrücken, welche diese Faktoren enthalten, r* vernachlässigen. £rsetst man dann durch ihre Werthe aus 101 (7) und drückt die hier^
durch wieder eingeführten Grössen p und q nach (2) durch St s' aus, so folgt;
-dF ^ r^*"*- - ^""^ if ^"'^ ''^ ß
Vernachlässigt mnn hier die mit ^s, as' in die sehr kleine periodische Störung r' multipUcirten Gliedern, so erhält man
d»s A-^B-C ds' ds' ,är' ^ ^ ^ m
IF B ''Ti-' Tt -''-di'^^''^'--^B
d^s' A + B^ C äs'. ,ds . dr' , ., 8 ^H- 3 "di-^'' di '^'di'^'''' '^-A'
Beschrankt man sich auf die Grössen zweiter Ordnung, so wird:
^Ä^" p3(i-f-v") "f'''^ ~ + i{p—^)sm{v + «er) - ACCf — f)].
wobei gleich f -4- 7;' beibehahen ist, weil sich die^e Summe nach 102 (3) durch bekannte Grössen au sdrücken lässt. Thut man dies, und berücksichtigt, dass
9
ist, so wird, mit Ausschluss der Grössen dritter Ordnung, wenn 1}, t, *, und die Coefficieoten k als Grössen erster Ordoung angesehen werden:
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Mednnik des fUiniiidf. lOSk
SR 3Z'*
+ ^ — — jip^, P h sin V + iwV» + — Li€OS (» — f)J [1 + 3/ tfw C J
= + y^r7. ß sin {{L - ft) + 2 ^. (x, /-f X)- wlH- - ft) -f
+ lAism (x^ / + Ai)] + ACJ (1 + Utos (L)
oder*)
+ ^ = + f:r 7« P ((tj + O'ÄiCZ - a) + (ij + iyiki smitii + J&)^tff (X - A) -
^ 1] 7<> (Z — ft) + ilC H- (ij + <■) 3^ r^^J (C sin (Z - + AC • 3f <rw CJ.
Scbreibk man die nicbt mit n multiplictiten Glieder, welche ^ , ent»
halten und die nicht mit «i* multiplicirten Glieder, welche s, s' enthalten, in welchen
är'
übrigens die periodischen Functionen r* und als Faktoren auftreten, nach rechts, so werden die beiden Gleichungen (8) in die folgenden ttbergehen:
(4)
"5?»"
Diese Gleichungen werden, wenn man die rediten Seiten Null setzt, beftiedigl durch die Annahme
Substituirt man diese Werthe in die reducirten Gldchungen (4), so wird man auf die Gleichungen
(m> — ßii») A = (1 — p) nmA* (w» — A'm, (1 — a) nmJk
geführt, welche für m die Gleichung
(m* — (M* — an*) s (l — ß) (1 — «) in>
oder entwickelt
— (1 + aß) OT» »> + aß«* « 0 gtebt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind')
und da
*) Lagsangb schreibt statt des ersten Gliedes in
3Z'' SZ'*
Der eiste Theil ist mit VenMdillissigvng Ton v": — 8Z'*ßi, und dt «tte RelstioDsdimIt des Mondes sehr nshe gleich seiner Umkuftseit nm die Erde also JL* so veicfnigt
sieb dieses Glied mit dem in (3) links stehenden ll*ß# sn An^Bs. Die linke Seite der ersten Gleichung (3) unterscheidet sicli daher von der tweiten durch den Faktor 4 des letzten Gliedes. Die dadurch entsttihcndcn Unterschiede in den Resultaten sind jedoch nur unwesent- lich; Übrigens finden dadurch die Glieder erster Ordnung in Wl nur theilweise BerUcksichtignng.
*) Man bnncbt nor die positiven Lösttugen su berllcktiditigen; mit den n^ativen Werthcn UiUgt Jk'.A* cntgegengeactst beseiehoet, daher (wenn auch das Zeidien der ComtaoteJSr geindcn wird) dieselbe LOsing.
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Ucdunik des Himmds* 108»
ist^ so sind die susuDmengebörigeii Werthe: 1. SV}»»; üoii'^A}
Damit anii die Integrale thatsächlicb in trigonometiisdier Form nnd nicht ats Exponentialfnnctionen auftreten, müssen e, p positiv sein, d. b. es mass C'> B, C> A, also die Rotationsaxe die Trigbeitsaxe des grtfssten Mo* mentes sein.
Die Werthe 1) and S) bilden particuläre Lösungen, deren Summe in Folge der Willkürlirhkeit von A, und und der zugehörigen H.^, H^^ das voUstftndige Integral der reducirten Gleichungen (4) sind. Sei nun^):
^ H- v"
( ds dr'\ , ^
80 wird man für das Integral der vollständigen Gleichungen (4) setzen können') s^k^ tm{nt H- JSTi) + >^(1 — p)i,xM(y^ff / H- N^) + 2/^sm(xi H- ^0
mit den Bedingungen:
- /l X' (1 - ß) "/x ' •/. -H ^« V, = W -/i'x' H- (1 - «)«/iX + »«Vi' =
Hieraus folgt:
/, « J^^[ß(««» - X*)/' - «(1 - ß)«x/]
Kacb 102 (4) ist nun sir » 180" + (Z — A + » — 9), daher
sce w V fM(X A »^f)»»«M(Z — H-^^f(Z— Ah-»)«««^
«0« fp a — — ä -H IT — f ) « — w(Z — ft <+ ir) — ii«(Z— Ä-l- «)iMf Müi} Mivflir es ~ xxn (Z — ß, u)s' -h w (Z — Ä ir)i
/«« 1) W s _ (Z » A » (Z — A H- '
Vemacblitssigt man bier wegen der kleinen Faktoren s, ^ die sdir kleine Grosse u, ftthrt fUr s, s* ihre Werlbe (6) ein, und schreibt su diesem Zwecke
*) Es ist nicht schwer, diese Form heisustellcn, wenn die Produkte der trigoDometiischea Fuoctionen in Summen aitf{,'c!^ .-t. und ColffGcleDtcn von iebkodeo Gliedere Noll gesetzt werden. VeigL die Coefficienten in 104 (i).
^ FkAMX findet die Glieder mit dem Argumente ya^ nt-^J/^ in / tind f [vergl. seine FoiBMln (16)] md liast sie, da sie im Laofe kOficfcr Zeitiinne nahe oonttant sind, wtg, .Da jsdoek ttbcr ihre Grttsse eist aus den Ausdrucken ftlr 1). w ein Scbloss mttgUch wire, so roUsstcn diese Ausdrtlcke, wenigstens nls Constante, auch bei der Integration seiner Gleichungen (2(0 nnrh bcrtickiichtigt «erden, was Fsanz, der von der Kleinheit der Libration sofort au^ gebt, unicxias»t.
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Meclwnik des Hinmeb. 103. 104.
613
daher ^ ^^^^ ~ ' ^' * ^-^^
so wird:
f/>/ y) sin w — -\-Ai sm{nt -\- — L -\- o'i4ji/«(|/aß«/ + — Z -f- ß) +
104 Numerische Werthe. Fflr das weitere ist es nun nOthig, die einzelnen Aigumente H- ^ au betrachten. Die Col^ffidenten /,' enthalten den Litegrationtdivisor — x*)(^* — X*)* Dieser kann nur Null werden
fUr X y«ß» oder fttr x =^ ist sehr nahe gleich da die Rotationsseit des Mondes gleich seiner Umlaufszeit um die Erde ist; es sind also zunächst
Argumente zu berücksichtigen, für welche x nahe gleich L' ist, also in erster Linie in (]) das Argument (I 4- i". Ferner wären Argumente yt-^ F zu be« rticksii iuigcn, wenn x ^^^ir nahe V^a^X' ist; solche Argumente kommen aber nicht vor; ihre Periode wäre
360** 360 .60 -60 ,^ 360 • 60 • 60 ____ — Tage = -p= — — Jahre.
yaßZ' yaß- 47435 /«^ • 47435 • 365'2ö
Da a = 0 000272. ß » 0*000618 ist, so wird x — 182-4 Jahre.
Die Libration in Länge u, deren Co^fBcienten nur sehr klein sind, ebenso
wie die in (t) h- /) multiplicirten Produkte der Längen- und Breitenungleichheiten
[ A C I ^ f /« (xi / -I- A",)] und das Produkt 't\w können folglich vernachlässigt (oder eventuell, wenn nöthig in einer zweiten Näherung berücksichtigt) werden, und man erhält, wenn für 1kiSin{y.,t -i- K,) nur die Mittelpunktsglcichung %e sin (l^, für de die Breitenstörung 4- ^V' lb sin m = k^sinva gesetzt wird:
S
SR
+ (t) + 0* Brfm C *m (Z ~ ft) + *o t\ Führt man hier die Produkte der trigonometrischen Functionen in Summen Uber, vernachlässigt die Produkte von r' in s und ^ und ihre Diflerentialquotien> ten, und überdies wegen der Kleinheit von auch das Produkt Ztk^t so erhilt man Dir die Ausdrttcke in 103 (6):
Das Argument yt F*^ «» 2(^4-» C+»
mitdenCoefficienten: I ^r^t;/V/?. . 1'
Drückt man die Coefficienten /%,/% direkt durch /, /' aus, so ergiebt sich nach einigen leichten Reducttonen:
, X (X-ß«)«/-f-(y. - ctn^.ß/'
- 2 (X* + X)
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6i4
Mechanik des Himmels. 104.
Mit den Constanten
««»O-O0OS717 1*81' 22"» 6468" aa.^
^ c= 0-0006175 # — 5* 8' 44" = 18524" ^ — iV ' 0 05488
erhält mao fUr den Ausdruck lOS (10), da Z — ^ ^ C + ist* die folgenden Aiganente mit den daruntergesetzten Coölficienteni^):
Argument; L — A — — ^ — 0
Coöfficient: — A — 90"-46 + l"-25 5440"-7
Argument: L — £^ f^t ->r I" ^ (£-f2ü> 3^+2üj 2(<£ + «u)
Coefficient: — 6"-30 — 0"-59 — 10"-92.
In den Formeln 103 (10) ist «berdiess nt -»r = L' t -\- — L C\ das erste und zweite Giied mit dem Argumente it lassen sich rusammen- liehen und man erhält, wenn man die Glieder weglässt, deren Coefäcienten kteiner als 1" rind, und sini^ mit i) vertauscht:
r^smw-^ E ■= h^sin[^-\- C) \- 9.*h^ sin(yä~^n/ _ Z -j- -f -i- ji« ( /aß « / 4-Z — + //a ) - 9 2" i/« C — 11 " -f 2 ( X r - 6 ' 'sin( ^ -j-2 w) yiCosw=>£'^ — AyCosCa + O - a'^2^fi(y'«ß«^ — ^-Ä-|-/^^,)4- — 6"m((C + 2»).
Der Coefficient — welcher aus dem Argumente J^«b«+ in 8 und SR hervorgeht, giebt hier in i^c^fsw die Constante
£^ » 5440"-7.
Nun erhält mao aus (3)
«Mifttrs-^; + (4)
Die Beobachtungen zeigen, dass w ein kleiner Bogen ist, und rj nur massigen Schwankungen unterliegt; hieraus folgt, dass die Summe aller periudisciien Glieder in den Gleichungen (3) imnitf viel kleiner Ueiben »ust ala die Con> Staate E^, Man erhilt aber:
4. ^« « (544Ü 7)> + (90)» 4- (1 1)> + . . 4- A « + (aV/,)« + (ß'yi,)^ + • . + •f periodische Glieder
T — 6440-7^1 4- i ) ='5440"7xl-0ü01395 = 5441"-8. (5)
Wären die angewandten Elemente vollkommen richtig, und <= A, = 0» so mfltite der resultirende Werth von ij identisch sein mit dem Ausgangswertbe. Der Unterschied vertheilt sich nun aber auf Fehler der angenommenen Constanten Mi^ «, ^ V n. s. w., und auf die unbekannten Constanten der willkürlichen
*) El ift s. B. für das Argument -f- <^ - od ist:
X = + 84-3347 Ä>^C« - x) = 9«528402 Ay(x — a«)ß/' = 3 09G845
» r= -1- 88-9971 Ay(x' - aß«') •= 8-8.V2012 % i 4 0192-22
ais ~ + 0-0228 log^n + x) = -^ 226166 /<5p(x + ««) ß/ = 3 037080
9» — + 0O519 i^/* — 4-880820 ib^/« — 3«7S5658
a^ii«».^. 0-0012 A»// 1^1^088184.
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Mechanik des IlimmcLs. i(J4. 106- 615
Libntion in Knoten und Neigung. Die nothwendige Libration ist, wie man sieht, auch in Knoten und Neigung sehr klein; sie flberschreitet seleoocentrisch
nicht 1 1'. Die Gleichungen (4) zeigen aber, dats auch die Constanten Jk^,
a'A^, ^'^-2 der \\ ülk^irlicben Libration sehr klein sein mfissen und weiter, dass sehr kltiincn Wcrihen von w auch sehr kleine Schwankungen in Tj entsprechen werden und umgekehrt, d. h. dass das nahe Zusammenfallen der Knoten der Mondbahn und des Mondäquators auf der Ekliptik und die nahe Constanz der Neigung des Mondaquators aui der iikiiptik mit einander untrennbar verbunden sind.
Nimmt man an, dass = = 0 wflre, und dass ebenso in dem Aus- drucke ittr u die willkttriiche Libration verschwindet, abo « « 0 wäre, so liesse sich aus den Co<ifficienten ^ der Werth von x und aus der Beobachtung des Werthes von i)^ der Werth von ß bestimmen. Nimmt man fttr den Co4!fScienten von 1] in (5): 1*0001395, so wftre
548«" = — l'0001S95/t « 10001896 ^ rir^^ \T/- x %
Für das Argument y/ 4- = ([ -h « ist X C »' =■ — ft' und
/' a= I H- ij = 24006". Es wird demnach
2(1 4- V'') 5482 ß' _ X» - ttßi»*
3Z'» 240ÜG 1 0001395 t - in ' W
Rechnet man den letzten Coefhcienten mit euiern genäherten VVerthe von a, so erhält man ß. Sind ß und 7 bekannt, so erhält man aus der Relation
^ I — aß
also ausreichend genau
(7)
den Werth von oc.
Die vollständige Gleichheit der Rotationszeit des Mondes mit seiner üm- laufsseit um die Erde wäre eine Erscheinung, die an und fUr sieb zu den grüssten Merkwürdigkeiten der Natur gehören würde. Sobald aber die Libration hinzutritt, verliert die Erscheinung ihre Aufi^Uigkeit, und erscheint ganz natQr- lieh. Das erklärende Element ist hierbei die willkttriiche Libration, durch welche der Mond um seine Ruhelage, als welche diejenige angesehen werden muss, wenn die Träghettsaxe des kleinsten Momentes gegen die Erde gerichtet ist, pendelartige Schwingungen macht. Diese ist allerdings durch die Beobarihtungen als äusserst klein constatirt worden. Doch ist es nicht ausgeschlossen, dass, wenn die Himmelskörper sich in einem sehr dünnen Medium bewegen, dieses indem es gerade die pendelarligen Schwingungen viel stärker beeinflusst, als die Translationsbewegung, eine ursprünghch vielleicht sehr grosse Libration im Laufe der Zeiten vernichtet hat, ja sogar, dass eine ursprüngliche Rotation durch fortwährende Verlangsamung in einem Medium schliesslich in dne Libration Überging; eine Ansiebt, die bereits von d'Albubbrt ausgesprochen, seither jedoch in Vergessenheit gerathen und nicht wieder aufgenommen worden ist
105. Berechnung der g c uce ntrischen Coordinaten eines Mond* kra te r s. MMn hat [vergl. N. 64 (2)J zunächst aus den selenographischen Coordinaten ^ in Yerbmdung mit den Elementen i\ bezogen auf den Aequator die Grossen d und a zu berechnen:
smi^ $inbt0$i* t«s h sm V sm ü t»s d cos (a — A*) * * ^ (0 €0$ dtm (0 — A') ^ smhtini* "ir w k ios sin U
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6i6
Medmik det Himmeli. 105.
und sodann die Formeln 64 (4) in diesen haben aber die Coefficlenten von r eine einfache geometrische Bedeutung. Ist d der selenocentrische Winkel zwischen dem beobachteten Mondkrater und dem selenocentrischen Erdorte, also zwischen den Richtungen HP und HE (Fig. 273), so hat man, wenn a, ö die geocentrischen Coordinaten des Mondmittelpunktes, daher 180° -4- a, — 8 die selenocentrischen Coordinaten des Erdmittelpunktes sind, in dem Dreiecke APO:
die Seiten: AF^W — d, PO ^ /^ö = 90** H- «
und die den beiden ersten Seiten gegenüberliegenden Winkel PO A und OAP^ Dabei ist POA der Winkel zwischen der durch EH auf den Aequator senk- rechten Ebene AHOEA und der Ebene PH DE, also identisch mit dem Winkel P^^OqAq = p (selenocentnsch in entgegengesetztem Sinne gezählt wie geocentrisch) ; der zweite Winkel ist PAO = arc mq ^ l^^^ + a. — ««180** — {a — a), demnach
cos äk = — st'ft d sin h — cos d co$ % tCS (ä — «)
sin Ä sinp = -f- cos d sin {a — a) (2) sin ^cos p = + sm ä cos 6 — cos d sin d cos (a — a).
Setzt man dieses in die Formeln 64 (4) ein, so werden die beiden leuten identisch, und aus den drei Gleichungen erhält man
welche Gleichungen übrigens unmittelbar aus dem ebenenen Dreiecke HPE hervorgeben, in welchem die Seiten HP^ HE = EP = p' und die Winkel PHE m A, PEH^ s sind. Setzt man nun
^ wtt smk, 9
so ist A der scheinbare Mondhalbmesser, und dann wird
sin A sin ^
^rs^Y- sinhcosä' W
Will man statt Positionswinkel und Distanzen die Rectascensions- und Deklinationsdifferenz haben, so kann man einfach die l«ormeln 64 (da) und die dritte Formel 64 (3):
^* CM cos (a' ~ a) » ^CüsB rcasdccs{a — «) p* cos V stM (a' — a) « r cos dsin {a — a) ^'sinHf SS ^ sitt H + r sin d
verwenden. Hierbei ist jedoch nur die zweite praktisch» welche sofort a' ^ a
giebt, welche Differenz von der Ordnung -,sM~sinh ist, wobei man den Faktor
^ «B I setzen kann. Die dritte Formel giebt aber 8' 8 nicht direkt, sondern
es tritt noch die Diiferenz p' — p auf, indem die Gleichung:
p' {sm fi' — sin -H (p* p) Jrm d « rsind
geschrieben werden kann. Quadrirt und addirt man aber die ersten beiden Gleichungen, erhebt zur — |ten Potenz und behält nur die erste Pot«ia von
bei, so erhite man
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Me«;liamk des Biiwiidi. 105.
617
1 1
r . , cosd , 1
1 — stn n — ^ cos (a — aj I
p' cos d' f (OS
p' sin s= p sin * ^'^^J
demnach
/iwj|^ Ö' = /a/^^ Si 1 + /r ^Tj^ — j/« /< cos (a — a) I «= /««^ S H- ^^j^ stnäcosp und damit:
«Ä (8* — d) jü» X
pjnfacber erhalt man diese Formeln aus der Betrachtung des Dreiecks A^O^J*^ (Fig. 373); man hat in diesem:
siui* ^ s smi tin s cps d ce^ p cos 5' sin (a' — fi^ — sinsnnp tos cos (a' ^ fi^^ €OStt»s% — sms sin h cos /,
daber mit Rücksicht aaf die Kleinheit von s hinreichend genau
tL* ^ s sin p steh* V^h^scosp,
Hier handelt es sich noch am die Bestimmung von i\ Q,\ U, Vergleidit man die Fig. 878 mit Fig. 379» so sieht man, dass U die um 180* ver- grösserte Entfernung AD* ist, weil in Fig. 379 A der niedersteigende Knoten des Mondäquators auf dem Erdäquator ist« Beseichnet man daher den Ab*
stand FA mit 0. und ist (in beiden Figuren gleich bezeichnet) (X')D' = /, so wie bei den terrestrischen Längen positiv vom ersten Mondmeridian in der Richtung der Drehung, also gcoccntrisch vom Mondmittclpunkte nach rechts (von Süden gegen Westen; in der Figur ist daher {X')I?' s — so ist
(/^AD'^f + / + ^.
In dem Dreiecke ATF ist nun «= l»0* -h ft'; V-F« ft w (wobei
d der aufsteigende Knoten der Mondbahn auf der Ekliptik ist), AF^^'^ und die Winkel AjFT — ij, XAF^ J80° — i\ (die Schiefe der Ekliptik);
man hat daher:
tos^i'cos 1 C<I) + ftO — + '»Ha + i(^-n)
cos \ / ' sin ^ ((I) r ß') « — cos i (ft + w) cos | (e + »j)
sin \ i- cos ^ (0) — il') = — sin \ ^- w) sin i (e n) (6)
sin\i* sin ^ (O — ß') = -|- \ (ft + «') i l)
1S0°+Z — (ft + w) + » + /H-<J. (7)
Würde man in den Formeln (d) und (6) fllr 1) den mittleren Werth der Neigung des Mondäquators auf der Ekliptik, und a «r 0 setzen, so wflrde man die physische Libration vernachlässigen'); und wenn man in den Formeln (3) bis (6) für a die mittlere geocentrisi he Länge des Mondes und 8 0 setzen würde, so würde man die optische Vibration in Länge und Breite weg- lassen. Die Berücksichtigung von ij, u in den Formeln (1), (2) nach den
') Für die SonnL- ist rc = u — 0, t; constant; ß con-^tant gleich der LäDgc des absteigen- de Knotens des Sonnenäquators aut der Elch]>tik, demnach auch/', 0 constaoti und es ist
L^' + X/ /; L^' = Z„ 4- 180° -4- <I>. wenn di« Lange des eisten Mcrtdwos geiShlt vom aabteigenden Knoten des SonncnäquatoiS «uf der Eld^itikt daker Z,' die Llnge des eisten Meridians gesihlt vran aufslcigenden Knoten des Somcnlquatois atif dem Bi^oator und X die Rotation der Sonne in der Zeiteinheit Ist.
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6i8
Mechanische Quadrafur.
Formeln 102 (12) und 104 (3) giebt den Einfluss der physischen Librntion, und die Bertlcksichtigun^ der wahren Coordinaten des Mondes in den Formeln (1) und (2) gifbt den Kinfluss der optischen Libration.
FUr den dem scheinbaren Mondmittelpunkte naheliegenden Krater, Moestimg A hat man nach J. Franz:
/= — 5° 10' 19"; ^ = 3° 11' 24", wobei als erster Meridian der Meridian des kleinsten Hauptträgheitsmomentes gewählt ist. N.
Mechanische Quadratur. I. Die Aufgabe der mechanischen Qna-
dratur ist, aus den numerisch gegebenen Werthen einer Function fUr eine Reihe von Werthen des Aigumentes, die Integrale <<cr Function zwischen gegebenen
Grenzen zu bestimmen. Strenge genommen würden daher auch die verschiedenen Methoden der näherunj^-weisen Integration hierher gehören: Mittelwerthsatz, SiMPSON'sche Kegel, geometrische Quadraturen mit den verschiedenen Formen der Integratoren (Verzeichnen von Curven nach den gegebenen Functionalwerthen und Bestimmung des Flächeninhalies durch Planimeter), endlich die von HuMaoLLiX in sehr treffender Weise bezeichnete Methode der >Integration mit der Scheerec (Veneichnen von Curven auf dickem Canon» Ausschneiden derselben nnd Be- stimmen der FliLche nach dem Gewichte). In der praktischen Anwendung in der Astronomie wird jedoch nur eine Methode verwendet» welche an Genauig- keit alle diese angeführten Methoden weit flbertrifit; aber an gewisse spedelle, übrigens leicht zu erfüllende Bedingungen geknOpft ist: aus gegebenen iqui* distanten Functionalwerthen die Integrale von ganx bestimmten unteren Grenzen an zu ermitteln. Diese Methode, namentlich seit Encke's Darlegungen in den T^Rerliner Astronomischen Jahrbüchern« für 1837 und 183S besonders handsam gemacht, von v. Oppcjlzer in seinem »Lehrbuch zur Bahnbestimmung von Planeten und Kometen« II. Bd. weiter ausgeführt, und durch ausgedehnte Tafeln tür den j)raktisclicn Gebrauch zweckmässig eingerichtet, soll im Folgen- den allein auseinandergesetzt werden. Wegen der Finrichtung der Taicln wird es dabei zweckmässig, auch diejenigen für die mechanische Differentiation in Kurze SU behandeln.
In dem Artikel »Interpolationc wurden die beiden Formeln abgeleitete^):
/(a-l-ii«p)=/(a)+«/'(«)-h 2>*/"H-H ;V"V) + T.«*(«'->*l/""(«')-^ •
-h i) + nf\a + I) -h l W - -H i) -h
welche folgendermaassen geschrieben werden sollen:
f{a-{- n^\-= f{a)-^ N ^{n)J\a)^ N^{nY\a)-\^ ... (1)
J\it^Kn-r\)^»)=/{fl^-\)-^M^{ny\a-\-\)^M^^^^^ (2)
in weichen
N^{n)=n M{n)=n
*) Dicsct H«iidwtfrtcrbttcb, U. Bd., Form«! 6, pag 43 ttnd die enie Foniwl mf p^. 47.
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Mechanische Quadratur. 619
wobei man sich za erinnern bat, da8s/(«), fia-h /"(«X + d*« durch Differenxenbildung erhaltenen Werthe des Schemas auf pag. 42 sind, wftbrend /{a 4- i) = U/(a) ^/{a ^ = H/'(a - i) +/\a + |)]
11. s. w, arithmetische Mittel der im Schema enthaltenen Werthe darstellen.
Zu beachten ist, dass, wie die Ausführung der Multiplikation in lehrf die N («) und Af (n) sämmtlich Functionen von ri sind, u. z. diejcn!|^c:: uiit geradem Index ganze Functionen von «*, diejenigen mit ungeradem index ganze Functionen von muUiplicirt mit n, also
^2%{») = «o.x «1.»«* -+- ot2.x«* . . . . -h «x.««^* iV^2x+l(«) = «[8 .x-H ßl,x«' ß-i.x«* -+-.... 4- [ix.x«2«]
J/2x(«) a'ü., a'i.x«' -H «Vx«* -H .... 4- o'..x«2» i/2x+l(«) = /'IßVx 4- ?'l.x«» -f- ß'2.x«* -H . . . . + ß',.x«2xj,
Erthetlt man nun dem Argument x = a -t not ein locrement va> = äx, so
wird
/(« + dx) — /(ä + V») =" + v)/(«)(ä),
folglich
ijx -i- dx) - /\x) ^ -f- v) - iV>(«)
dx ^ dx V« J ^ }
Vi
und ebenso für die zweite Formel und für die zweiten Differentialquotienten. Nun hat man aber zu beachten, dass gemäss den Formeln (3a) die Diffeiential- quotienten der N^{n) wisder genau dieselbe Form haben, nflmlich
d^TiM
— «t3«l^ 4«9,»»* 4- .... -I- «X«»,»«^«-«]
dN2x+i{n)
dn
d^N^Aii\
~ ^„9 ' = -t- 4 • aaaxfl» -h . . , . 2x(2x — l)ci,.,«2x-2
= « [3 . 2?i.« 1- -h (2x H- l)2xß.,»«^«-2J
und ebenso fUr die Mx{u\ Settt man daher
— — ■» njv = Jv am+i(«)
— = 2xt«), ^j^i «= «^v
— ^r^^ — «-Af 2.(«), — »«üf
(5)
wo also z. B. 7V,'(«)= l ; --^Z/C«) = l ; 1; JW,»« 1; iV^,"(«) — 0;
il/i '(») = 0; iV,"(») a i; M^\n) » 1 ist, so wird
4- «[/"OO 4- AV(«)/^*K'0 + . . . JE SS a^- II«!
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690
Ifcdnaisdie Quadratur.
• ^ ^3'(«)/"'r^ H- 4) + -I- i) + . . .
-+ -H i) J/4'(/0/'"(^ + ji) + . . . ] ^ '
«» «/"(a -H i) + .»/^"(«y^'K'' + i) + M^'{n)f^^y{a H- ^) + . . .
H- «[/'"(a H- ^) i»fj"(«)/(«(a -I- |) H- . . , ] X w + (ff ^)a>.
Die Ausführung der Differentutioiien bietet nnmerisch keioe Schwierigkeiten, acbald die Reihen (3 a) durch die Ausführung der in (3) angezeigten Multipli- kationen erhalten sind. Man findet so z. B. die bereits auf anderem Wege auf pag. 46 erhaltenen Formeln (8a). In extenso sind diese Reihen abgeleitet in V. OppoLZtK s *l fl.rbuch zttr Bahnbestimmung von Planeten und Kometenj, IT. Bd , pag. 17, iS und 19, wo die Coefficicnten ax,x, ßx.x, a'x,>, [^',.) durch die Cumbinationssummen der Quadrate der natürlichen Zahlen (wie dies unmittelbar aus dem Anblick der Formeln (3) hervorgeht) dargestellt sind. Für die Praxis wird es bequem, tur diese Functionen Tafeln zu haben. Bedient man sich dabei der Formeln (la) und (IIa), wenn das Argument «wischen ^«u, hingegen der Formeln (Ib) und (IIb), wenn das Argument zwischen + ^« ^|-«» ii^t, so wird man das Argument der Tafeln nicht über «r *m db ^ auszudehnen brauchen. Für die Anwendung hat man dabei zu merken, dass man die DUTerentialquotienten der Function fllr Argumente, die in der Nähe der in dem Schema pag. 4a ein- getragenen Functionalwerthe liegen (um \ Intervall abstehen) nach den Formeln (la) und (IIa) zu berechnen hat, wobei die in der betreftenden 2^ile stehenden Functionalwerthe und geraden Difterenzuerthe, sowie die zu dieser Zeile ge- hörigen arithmetischen Mittel der ungeraden Differenzweithe zu benut.'-en sind, und dass man die Dtfferentialquotienten der Function für diejenigen Argumente, welche näher der Mitte des Inieivallcs liegen, nach (Ib) und (^11 b) /u berechnen hat, wobei die dieser Inlervallmitte entsprechenden arithmetischen Mittel der Function und der geraden Differenzwerthe und die zugehörigen ungeraden Differenzwerthe verwendet werden. Eine Tafel der N' und JI^Functioncn findet sich auf pag. 632 ^). FQr n ^ 0 erhält man die Differentialquotienten der Function für ein volles Argument bezw. fllr die Mitte zweier Argumente; da die mit n multiplicirten Reihen verschwinden, und die IP%t.Jk\ifi^ <^it-hi(«X iV'"2xCir), M'^'ixin) sich auf ihre Anfongsg'ieder reduciren, so findet man bis einschliesslich der zehnten Differenzen die Keihen
« 4) - ,-4/* " (« + i) + + - mö/^'^ + i) -H
-»-Ä/^'^c*»-*-*) ^
Zur Bestimmung der Integrale hat man die Formel (1) mit dx =s d{a + nn) ^ mdM zu multipliciren und zu integriren, und ebenso die Formel (2)
Abg«kUrst au» V. Ovvqlzka'» Tafeln, L c, png. 515 bis 545.
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Mechmisdie Qnadimtdr.
mit tm d [a {n ^ wä»^)* Man erhSlt durch unbestimmte Inte-
gratioD:
Integrirt man nun zunächst in (0) zwischen den Grenzen ^7 «a> = ; und 5 H- o), iird in (7; zwischen den Grenzen a -f- ^u) »"^ = t) »nd tj -h «*, d. h. durch ein ganzes Intervall, also rechts zwischen den Grenzen n und n -i- l, so folgt
1) « «
Will man nun für ein zvtites Ti tetvall inlegriren, so erhält man durch die Substitution x =ss x' -i- m, dx == äx' und ^ s ^' -h <0| dy dy' ',
^ J/(J')^J' = f/(y H- «)^;'' =-/(« 4- I) + ^) M^{n)dn 4- . . .
demnach, wenn Kttne halber das Argument n in den Functionen N und M weggelassen wird:
ljAx)dx J iV, f N^dn +
£+2«» «•♦■l «+1
^ j f{x)ix -/(ä + !)+/'(« -4- 1)J A^irf« + 0 ^l^tdn + . . . .
5-+30I «-»-1 «4-1
^ //(«)<'*«/(«-»- 2)+/' (« 2)y^ iV.rf« -|-/"(fl -i-2) jN^dn^ (8)
und ebenso
Die BcEcidinuDg der VaTubcIti ist BattttUcb gleichgültig, und »t nur der SCKne und Deutlichkeit lulbcr in einem Falle x, im «ndero / gesetEt; das bestimmte Inlegitl Iii Mrtttrlich nur eine Fnaclloa der Grcasen.
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6ia Meehtniidie QittdntDr.
1) an
«»+1 -+l
Additt man die Ausdrücke in (8), sowie die in (9), so eihill mui für die Integrale durch ; ^anze Intervalle:
i r/(*)</*«/(a)-h/(a-Hi;H-/(a-+-2;-H . . . ^(«-H/- 1)-+-
m
n
VI
Setzt man nun das auf pag. 42 gegebene Schema nnrh nrrth links fort, d.h. bildet man von einem vorläufig beliebig anzunehmenden Werihe die >erste sum- TnirieRcil e« und eben'-o 'Tür die z<Aeiten Integrale) die »zweite summirte Reihet so erhält man die folgende Uebcrsicht:
summirte Reihe HaupIfimclioB Diffcren»
a + "/(.-^2) ■^'^^i /(«+2) /(«^i)
Ä + 8 • il/^(a -1-3)
wobei also
-H I) - y (0 + 1) H- 2) (12)
1/ 4_ / _ ^) _ y^j -i- / _ ^) = /(ö / _ n.
ist. T^nbei bleibt i'UTiSclist ein Anf. rprweith. z. I>, '/w? — ^) beliebig, und man kann nach Maa&sgabe der Umstände darüber noch weiter verfügen.
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Meclmdtcht Qaaibalnr. ^3
Durch AddittoD von (12) folgt /(tf ) + /(ä + 1 ) + /(tf + 2) + . . . . + /(« + i - 1 ) - y (« -h i - i) - y(a - «.
Ebenso erhält man aus den bezüglichen Formeln auf pag. 41: /"(«) 1) -^-/"(« + 2) -h . . -rKa -H 1) «/'(a 4- / - i) -/'(a - \)
u. s. w., welche Summen aber gerade in der ersten, dritten» Ülnften . . . Zeile
der Formel (10) enthalten sind. Die zweite, vicTte, sechste . . . Zeile aber ver- schwindet, wenn man « — \ setzt; denn da die iV^3»4>i(«) ungerade Functionen sind« so ist
.H
•fl^J .+»(»)«'» = 0
und man findet:
i r/(*)^*-y(«H-i-i)--y(«-^i)-*-l/'(i»H-*'--*)--/'(«-i)] { NMän-^
Fuhrt num ittr die bestimmten Integrale der N, welche sich numerisch leicht ausrechnen lassen, kurxe Bezeichnungen ein, so dass
in) ^« = = 4. ^ r^V. in) ^« = Z'.' = -H s&
- i *
is^ so wild
■^Jf{x)dx^ Via H- _ i) + (a + ^ - I) + '/'"(a -f 1 - 4) H- . . .
- ["/(« - i) H- /\y'(a - i) + - i) + . . .1- (")
Hier ist die erste Zeile von Fall zu Fall su berechnen, wahrend die xweite Zeile eine von jedem so berechneten Integral abzuziehende Constante ist. Die Berechnung wird vereinfacht, wenn man diese Constante, welche je nach der Wahl von Yia — ^) verschieden ausfällt, zum Verschwinden bringt. Wählt man daher fllr die Bestimmung des Integrales von der unteren Grense jr^ B « — I «» angefangen:
i) = - - i) sfeü/'"^« - - - 4) • • • -
so wird das Integral
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6a4 HechaoMclie Quidmtttr.
l J/(x) dx - l/(a -I- # i) + + /- i) - + * - i) -4-
tu
Es ist 2u beachten, dass in der ersten Zeile von (13) als Argument die obere Grenie, in der zweiten Zeile die untere Grenze des Integrales auftritt; man pflegt dieses, wiewohl nicht ganz correct, so auszudrücken, dass man sagt, die erste Zeile ist der Werth des Integrales für die obere Grenze, die zweite Zeile der VVeith des Integrales für die untere Grenze, und bezeichnet dann die Be- din^ininr flV: a -• \) dadurch, dass man sngt, '/ [a — ^) wird SO gewählt, dass das Jniegral für die untere Grenze verscliuiiidct i).
In (11) verschwinden die zweite, vierte, sc( liste Zeile ebenfalls und die Summen in der ersten, dritten, tüntten Zeile lassen sich auch wieder zusammen- ziehen. Es ist nämlich
/(^ -H = f 1/ -+- 1) 1-/ = (« I) ~ i Vifl -
/(« i - i) = i y (« + ' ^- i) - i y i).
demnach
- i + i) -
wobei wieder die arithmetischen Mittel der ersten summirten Reihe eingeführt sind. Setst man daher analog dem früheren +4 +^
Jm, in) dn - öi' « -iJ ^M, in) dn - ö.» - - -\
/ («) rf« - ö.' - -H SS («) ^« - Cr' « + ini)
4 0 C'2x-i = /M. («) = 2/j/2x C«) = 2 jM^^itt) dn,
so wird
i f/(y) dy - + I) + <?//' (a + 0 + H- 0 + • .
/ (U)
Die Berechnung wird am einfachsten, wenn man die zweite Zeile zum Ver> schwinden bringt. Dazu ist
Man bat aber nicht das arithmetische Mitlei \f{js^, sondem d: ^) als Consunte zu bestimmen; da aber
') Umtsltchlich icigt Fonn«.l (13), dass das Itit<cral, wie ixnroer aach \f{fl — \) gewählt
wird, filT <'ic untfTc GitDs-e vtrsi hw ir«'ct, wenn nur die additiv« CoHStante, welche ducll die «weite Zeile ausgcriiUckt ist, entsprechend berücksichtigt wird.
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!/Ca) = iI/(tf + i)4-i!/(a-|)
«t.«, folgt ^/i^)-iVia^h)-in^-k)
+ 4) - VW + 4/{«) ; y - 4) - y W - (lö)
demntch sur Owistaateiibestiiiinung für die Berechäung des Istegrales ▼on der unteren Grenxe a aoge&uigen eine der beiden Formdn:
+ - + kAa) -h ä/* («) - ^f" (^) + 6^/W(«) • • . ,
l/ia - i) = - -f. {^/' {a) - Ij,/'" (a) + g^l/i^) (a) . . . ^ '
und dann wird der Werth des lotegrales, wenn jetzt wieder x als Integrations- variable gesetzt wird
a+im
^J/ix)dx^Yi<*-^i)-y\^-t-i)-^^"Xa-^i)-~^^H^+i) .... (V: I)
Alis Gleichung (0) erhfilt man durch Integration swiscfaen den Grensen « -> ^<tt und a, d. h. rechts swischen den Grensen n » ^ |> und 0:
oder
Subtrahirt man diese Gleichung von (13), so folgt: i//(*)^jr-l/(a + f-|)4./»//'CaH-/-i)4-/>,r''(«H-i-i)+ . . .
• - w(fl - i)^- ^//'c« - i) p.r"{^ - 4) + . • .
-4
Mit Rücksicht auf (15) redudrt sich der Ausdruck in der eckigen Klammer auf:
Es ist aber
2iVe(«)-i- ^6(«) « ^, 3)(« -h 2)(« -f- \)n{n - — 2).
Durch die Substinnion n — ti ^ — | erhall man allgemein ^f.Vi/^f'* Hh ^V^^-U«) = ^M2x{n\)\ demnach, da den Grenzen — ^ und 0 für ti die (grenzen 0 und -f- filr «1 entsprechen, die Coefücienten von ^'(a),/"'{a) nichts anderes als Qi', Qt\ folgUch
i - y(« 4-1 - f) -I- Pi'/'c« -+- ' - f) ^3 '^'"(« -*- * • 4) + ■ » .
- - \}m 4- CiYC«) Q^'r'ifl) J.
VikLnrmiB, Ahuvuium. II. 40
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M Mtdhaniiche Qwdntnr.
Hieraus folgt, dass das Integral zwischen den Grenzen a und a + (< — ^)<i» doich dieselbe Fonnel (V: i ^ ^) bestimmt ist, «emi die nveite Zeile wegf^It, d. h. die Anfeagsconstaote der ersten sommirten Reilie iMcb (IV: a) bestimmt wird.
Die Qeicfanng (14) kaim geschrieben «erden:
m-Hm
iJ/(4;)</*-V(4l + 0H-C,V'(a + <) + ö,'r>4.i) + .
m
Addift min su dieser Gleichung die Gleichung (16), so folgt
tu
^jAx)äx « i/C« 4- *} 4- <2, 7'(a 4- 0 4- ») 4-
-V -v
Der Ansdnick in den Klammem wird gleich und es wild daher mit Rttcksicbt auf (15):
-[I/(a^|)4--P,'/'(a-i)4-P,V"(«-i)4- . . . ].
woraus folgt, dass das Integral zwischen den Gren-^en a — ^u) und a 4- ««> durch die Formel (V: t) bestimmt ist, wenn die Constante der ersten Summen- reihe durch (IV: a — ^) bestimmt wird.
Um die Integrale fUr beliebige obere Grenzen zu erhalten» genügt es Integrale zwischen (a + i«) und a 4- (i 4- »)<», besw. «wischen « 4- (< — i)* und « 4- (/ — 1 4- n)m zu den Integralen (V: /), (V: 1 — |) zu addiien, wobei man sieb wieder auf Wertbe von m swiscben db \ beschränken kaim.
Schreibt man die Formehi (6) und (7) f&r « m « 4- h- »)• besw. « « 4- (« — i 4-['v)» eo, was darauf hinauskommt^ abetaU a 4* «« ao Stelle von « SU setzen, und integrirt dann nach n zwischen 0 mid n, so erhält man
•+<'-i)»*^ ^ • (18)
+ r(a + i-.4)^jW,(i,)</»4-. . .
Durch Addition von (17) (V: /) und (18) zu (V: i— ^) erhält man. wenn man filr die untere Grenze Xq gleich a oder a — die Constantcnbe Stimmung gemäss (IV: a) be^w. (IV: a — 2)- bestimmt, dass die Integrale ttet» in den Formen (V: 1) bezw. (V: 1 — ^) ausgedrückt erscheinen:
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Mcchmiadie Quidnitnr. 6*7
-i J {x)dx^Y{a+i)-htAa-hin{Qi' +Jn, (ft) dn)/\a-\-i)+(jN^ («) dn)r{a-^i)
~}~ • > ■ •
4-
BerOckflachtigt man aus die Formeln (8;, lo wird man sofort lehen, dast die Inlegrale der Functionen ^^in), ^^(n) .... den gemeinscIialUichen Faktor haben» daas hingegen die Iiit^;rale von M^{n), M^(n) .... den gemein» scbaftUchen Faktor n entbalien, nnd kann daher setzen:
(19)
Dabei sind die ^»'(ff) und /»'(«) simmtlich Functionen von n*, und man erhält, da ^«'(i») constant gleich \ ist:
Durch Ausführung der Integrationen lassen sich die Keihen für die Qxify und Fxiji) ennittelo; es wird z. JB.^)
- - A + i ; = J Ti ^« - ^1 "
Für die Praxis wird es wieder am bequemsten, Taieln dieser Functionen tu haben, welche in Folgendem auszugsweise aus den v. OppoLZEn'schen (!. c, pag. 546—564} unter Berücksichtigung aller Dilicrenireihen bis einschliesslich aar siebenten mitgetheilt sind.
*) Uehcr dae aadm Poim der DiitidhBigt %, v. Orroizsa, I. c, peg. 40 imd 4s.
40»
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638
Betrachtet man in VI das Integral als eine Function 4er obeven Gtente, so kann man neoerdiogs integriien. In diesem zweiten Integrale eilmgen zwtsdien den besflglidien Integrationsgrensen die einseinen Functionsweithe die dnrch die obere Grense des ersten Integrales bestimmten Werdie; es wird dem- nach die obere Grenze Air die zweite Integration deijeni^n Ar <£e erste iden« tisch sein; und flir das Verschwinden des Integrales Älr die untere Grense wird erforderlich, dass auch die unteren Grenzen zusammenfallen.
Bezeichnet man da«; Integral in VI mit / (r), so folgt durch Multiplikation mit •= ndfo und Intcgrat]on, wenn zunächst wieder nur innerhalb eines Inter- vallen integrirt wird, wofUr « = 0 bezw. 1 angenommen werden darf;
/{X) dxr=A^-^ i/ia)jän +/' (aj/Ci' («) dn -*-/'" (a/^,' (•) ^« H- . . . i J /{X) dx - B^ + V{^^\){än'^/\a+^)jF^\n)dn^r\a-^^)jj^^^
wobei sc beachten ist, dass die sSmmtlichen (tt) und Q^' (») gerade FunctioneD von n sind. Integrirt man snnAcbst (20) zwischen den Grenzen i und ( H- • und (81) zwischen den Grenzen i) und i| + «» nimmt also die fotegrale rechter Hand zwischen m und l, sodann zwischen den Grenzen ( «• und ( -4- bezw. T| H- «0 und i] -f- 2u>, wobei wieder, genau wie auf pag. 621 die Function unter dem Integralzeichen durdi die Substitution x ^ x' -i- «* \n /{x «•) ttber- geftihrt wird, und die Grenzen der Int^prale rechts sämmtlich m und «-1-1 werden, und addirt» so folgt
i J /(x)dx - p/(a} H- 1) -hy(«-h2) -»-.... -i-y(« +*-l)) J dn
H- Lf'ia) 4-/'(a 1) + /'(a -f 2) 4- . . . . +/ V "H ' - 1)] J QiWdm
• • • •
[^(«) + 1) 4- 2) -H +/{a + i - l)j j ndn
n
"I • • • •
i/A*K*-P/(«+» + y<« + *) + .... + V(« + »-i)]j^«
-*-[/'(« i) + ^' i) + + '"C« + ' - i)J / A'W-'«
-4- - — ^ • • • «
-h [/(a -i- i) 4- 4- I) 4- 4-/(« 4- i — i)j Jftdn
• • • «
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McchanUche Quadratur. 629
Integriit man nadi m von — ^ bis so faUen die lolegnle der ungeraden Functionen n*Qin{m) und nJ^%*{n) weg, und es bleibt -+(*-^-
^ = 4- H- 1) + .. . + l/(a + i - 1)] +
Ffihrt mui hier 619 sweiten Sammen eb, ao hai man
vi^) « i y(« + i) + i - i) - i "/'c« -H 1) - i °^(« - 1)
V{a H- = °/(« H- 1) -
+ 1) « -h 2) - n/(a -h 1)
folghch
y(aKi/(a4-l)+...+iAW-l)=in/(a4-/>^n/(a+,-i)-_|n^^^
and da alch die eisten, dritten» Anften Diflerensen in derselben Weise durch die Functionalwertfae selbst, die sweiten, inerten Diflerensen auadrOcken:
- P/^C^ - i) H-/(« - J Qx' {n)dn + /"(ä - i)J Q^\n)dn H- . . .]
^ ^ -Hi ^^^^
l J /(x)dx^Uf(^a^i)^/(a+i) J P^\n)dn^rifl^i) f PtXn)dm^ ...
- P/(«) + fia) J P,\n)dn -^f\a) j P,'{n)dn
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630 Mechanische Quadratur.
Die bestimmten Integrale der Q und /* sind Constanten, deren Berechnung keinen Schwierigkeiten unterliegt; ftthrt man diese Integrationen aus, und setzt wieder Kflcse halber
ai
mm
und bestimmt wieder die sonst willkürlichen Anlangsoonstanten f&r die zweite Sumroenreihe, so dass die zu dem Integrale htnsusufllgende Coostante (die zweite Zeile) verschwindet, so wird wegen
V(« - i) - i«/(«) + i "/(« - l)i i V(a - *) - i"/(«) - *°/(« - IX also
'flr die untere Grenxe m — ^«i
vnd fttr die untere Grente «:
und dann werden die Int^rale: •+(•■-*)•
J //(*)-^*«H/(«-H*-i)-^(a + /-i)-h^"(a+i-i)-
Auch hier dienen die Formeln VII «tr Bestimmung der Anfim^onstamen der sweiten summirten Reihe unabhingig von der oberen Grenze und nur ab* hSag^g von der unteren Grense, wenn die sum Bitegraie hinsusufOgende Coo- stante gleich Null werden aoll. (Veigl. pag. 6*5, doch ist die Ableitung hier etwas weitläufiger).
Um auch für beliebige obere Grenzen das Integral zn erhalten, hat man aus (21) für das Intervall a i — \, wobei die Integrationsgrenzen links a 4- (< — ^)tü und a -h (< — 1 4- »)o», also rechts « 0 und n sind:
- fAx}dx -i/(« ^i^^)[dn -h/'ia^i - i) / i'i*(»)rf« H-
M
-h/'"(a -ti-^)J F^\n)dn -+-... (24) -<-/Ca + i - ^"^fndn -J-/"(a -i- 1 — ^)JnF^%n)dn -»-...
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MechaoUche Quadratur. 63 1
und ebenso aus (SO) in dem Intemlle « ^ wobei die Integiatioiugrenzen links 0 »«• und a + (/ H- «)« und rechli wieder « «s 0 und n sind:
Ax)dx^a+i) f dn^/\a^i) j öi'(»y«+/"'(«+0 J Ö,W«H-.-
• • • (25)
+/(a -h i) fndn -»- /"(a 4- /) /ü» öj' -h . . .
0 0
Addirt man die Fonnel (24) zur Formel (Vni: i — D und ebenso (25) zu
(Vm: 0 und berficknchtigt» daas die Integrale fn*+i{n)än, J^Q'2n+i{n)än den Faktor n erhalten, so lolgt;
'•^ -t- J*^Wi%0 4-1 - + (IX:
-H Q^Hn)/W{a 4. /) 4. . . . (K: /)
+ «LJ/C« -+- 0 ^- Öi*(«)/'(« 0 + Cs* («)/'"(« + 0 -+-.-.].
wobei
iV («) « iV H-/«^« (») Ca* -h^ßd»
iii\»(i.) -/J»,'(ii)i/ii nQ{{n) ^fQt\n)dn nFiifi) ^fF^\n)dn nQiin) -/öi'(«)-^»
• • •
ist. Die P%*{n)t Qx^(n) sind Functionen von nß, deren Berechnung keine
Schwierigkeiten hat; beispielsweise ist Q^^ (n) = Go* Qi(») öi* i«'*»
^ «(«) = 0/ -h ^««i . . . P^{n) ^ -J^ ^n^ U.S.W. Für die praktische Anwendung wird es wieder am bequemsten Tafeln zu geben, bei denen man sich auf die Werihe von n zwischen r+: } beschränken kann; im Folgenden sind auch hierfUr aus;&ugsweise die v. OPFOLZ^R schen Tafeln (1. c, pag. 565 bis 5S6) mitgetheilt.
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63s
llechMische Qiudratnr.
9«<22i85
9wSS183
91.22067 9.2I976 9,.21858 9«2171S 9«S1648 931843 9.21116 9.20862 9-20579 9.20267 9.19925 9«19558 9 J Ol 50 9„ 18714 9.18246 9.17744 »»17907 9.16fi88 9.16022 9„15371 9„14680 9.13946 9I.U167
18 39 66 91 118 145 171 199 227 954 283 312 342 372 408 436 468 502 637 574 611 651 691 734 779
8-6999 8*6927
8-6222 8-5214 8-5203 8-5188 8*5110 8-5148 85124 8-5095 8-5063 8-5028 8-4989 8-4946 8-4899 8-4849 8-4791 84736 8-4673 8-4G0S 8-4588 8-4456 8-4874 8-4287 8 4195
2
6
8 11
15 18 22 34 29 82 35 39 43 47 50 55 68 63 68 72 77 82 87 92 98
7.8639
7.8537 7.8532
7.8523
7„8510
7.8494
IMIh
7.8461
7.84
7«8393
7.8358
7.8320
7.8277
7.8231
7«8180
7.8125
7«80G5
7.8001
7.7983
7„7859
7.7780
7.7696
7.7607
7„7512
7.7410
7.7808
2 6 9
13 16 19 24 27 83 35 38 43 46 51 56 60 64 68 74 79 84 89 96 102 167
8.9208 8.9207 8.9206 8„9200 8„9194 8.9186 8.9177 8.9166 8„9152 8.9137 8,9120 8.9102 8.9081 8.9059 8,9035 8.9008 8„8980 8.89Ö0 8.8917 8.8888 8«8SIG 8.8807 8«8766 8h8723 8.8677 8.8898
1 2 5 6 8 9 12 13 15 17 18 21 22 24 27 28 80 33 84 37 89 41 43 46 49
80468
8C456 8-0458 8-0448 80440 8-C480 8*0418 8-0404 8-0888 80369 8-0348 80325 8-0999 8H)27l 80241 80208 80173 8-0185 8-0Q94
s-oosi
8-0006
7-9957 7-9906 7-9852 7-9795
7-9735
3 8 5 8 10 13 14 16 19 31 38 36 38 SO 88 36 88 41 43 46 49 51 64 67 60
8«61978 8.61927 8.61770 8.61607 8.61187 8.60656 8.60061 8.59347 8.68508 8.57538 8.56487 8.55165 8.53740 8.52136 8.60334 8.48311 8«46040 8.43483 8.40597 8«87822 8.33579 8.29262 8.94981 8.18282 8.10947 8.01713
61 157 263 870 481 695 714 839 970 IUI 1262 1425 1604 1802 2023 2271 2557 288G 3275 3743 4317 5041 5989 7285 9174
7-6709 7 6704 7-6686 7-6657 7-6616 7 fi562 7-6496 7-6417 7-6324 7-6916 7-6099 7
7 5793 7-5615 7-6414 7-5188 7^984 7-4648 7-4324 7-3954 7-3630 7*8087 7-8455 7-1756 70884 6-9760
5
18
39
41
54
66
79
93 108 124 140 159 178 : 201 226 I 254 I 286 824 ' 370 424 493 582 700 871
r\
6.844 6.843 6.841 6.888
6.834 6.828 6.821 6.813 6.804 6.792 6.780 6.765 6.749 e«730 6«709 6.686 6 „659 6 «6 30 6.596 6.567 6.518 6.461 6.400 6.326 6'i 233 6»U0
1 2
8 4 6 7 8 9
12 12 15 16 19 21 23 27 29 34 39 44 52 61 74 93 123
9.31876 9.31872 9.31868 9.81846 9.31820 9.81789 9.31751 9.81705 9.31653 9.81598 9.31627 9.31453 9«3!373 9.31285 9.31189 9.81087 9J)0977 9.80860 9.30735 9.30603 9.30463 9*80816 9,.80161 9.29998 9.29827 9»99648
T
4 10
17 36 81 38 46 52 60 66 74 80 88 96 102 ilO 117 125 132 140 147 166 168 171 179
8-6529 86528 8-6597 8*6596
8-6621 8-(^517 Ö6512 8 6506 8-6499 8-6491 8-6482 8-6472 8-6461 8-6449 8W6 8-6498 8-6407 8-6392 8-6375 8-6357 8-6338 8-6818 8-6397 8-6275 8-6-^52 8-622ä
1 1 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 13 13 14 16 16 17 18 19 30 81 99
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Mechuibche Quadratur.
633
±n II fcfA^/'W I i^r^6"(») I
0 00 0-0 i (WM 0*08 0-04 005 0-06 0-07 IH)8 0-09 010 011 013 019 014 0*15 016 017 018 019 0-20 041 0-23 0-33 0-24 0-35
0-00
001 0-02 0-03 004 0^
o-oo
007 0-08 0-09 010 0-11
01s
0*18
.014 015 016 0*17 0*18 019 0'20 Ü-21 0S2 048 0»M 0*85
8. y -2082 Ö,a2056 8.91977 8.91847
8n9IGG3 8^91435 8«9ll33 8>.dU786 8.90881 8.89918 8«89395 8,88809 8ff88 1 57 8«87438 8»86648 8.89783 8x84839 8^83811 8.82694 8«8i480 8»80163 8.78784 8«7718S 8« 75498 8n73666 8«71670
26 79 130 184 338 292 347 4U5 463 533 586 659 719 790 865 944 1038 1117 1214 1317 1429 1551 1885 1882 1996
9.81876 9„318Ü5 9«31834 9i«31782 91.81709 9.81814 9KS1499 9..31363 9'<31S04 9i«S1023 9..30831 9.80586 9*80348 9.80078 9„29783 9«2d465 9^29122 9.98754 9^98800 9«27940 9«27493 9,27017 9.36513 9«iS5979 9«S6414 9«94818
11 81 52 73 95 115 187 158 181 202 225 248 270 295 318 848 868 394 420 447 476 504 534 565 596
8-0458 8-0454 8<Oi45 8*0418
8-0405 80375 8-0339 8 0395 8^0915 8H>187 80121 8 0047 79965 79Ö74 7*9774 7'9885 7-9545 7-9414 7-9271 7-9115 74948 74781 7-8558 7-8337 78095 7-7829
4
9 17 23 80 8« 44 50 58 66 74 89 91 100 109 120 ISk 148 156 169 185 203 991 949 268
9«39794 y»3a791 9.89789 9»89768 9.39748 9«39723 9x89690 9*39652 9.89608 9.89559 9.39503 9,39442 9«39375 9i.39302 9b89923 9.39138 9.89046 9.38949 9-38846 9«387o6 9.88890 9.88498 9-88370 9.38235 9.38093 9.37946
8 9 14 20 26 82 88 44 49 56 61 67 73 79 85 93 97 108 110 116 122 128 185 142 147
|
8-6529 |
9 4 7 10 18 15 19 91 |
9,09691 |
|
8-6527 |
9.09685 |
|
|
8-6523 |
9,09668 |
|
|
8-i>51t> |
9.09639 |
|
|
8>8606 |
9.0959S |
|
|
8*6498 |
9«09546 |
|
|
8*6478 |
9, .09482 |
|
|
8-6459 |
1 9,09406 |
|
|
8-6438 |
26 27 30 34 87 40 43 47 50 54 57 61 65 70 73 78 89 |
1 9«09319 |
|
8-6413 |
1 9«Ü9219 |
|
|
84886 |
9i^l08 |
|
|
8*6856 |
9.06985 |
|
|
86322 |
9/.08849 |
|
|
8-6285 |
9.08701 |
|
|
8 6-245 |
9,08541 |
|
|
8-6202 |
9.08368 |
|
|
84155 |
9.08163 |
|
|
84105 |
91.07984 |
|
|
8-6051 |
9.07773 |
|
|
8-5994 |
9,07549 |
|
|
8-5933 |
9.07311 |
|
|
8-5868 |
9.07059 |
|
|
8-5798 |
9.06794 |
|
|
8*5795 |
9<M14 |
|
|
8-5647 |
9,06221 |
|
|
8-5665 |
9M06919 |
6 17 29 41 52 64 76 87 100 III 123 136 148 160 173 185 199 211 224 238 252 265 280 293 809
8-7659 8-7659 8*7658 8*7655 8-7658 8 7649 8-7644 8-7689 8*7688 8*7698 8-7GI8 8-7609 8-7599 8-7589 8*7578 »7565 8 7552 8-7588 8-7524 Ö-750Ö 8*7489 8-7474 8 745G 8 7436 8-7416 8-7395
0 1 3 8 4 5 5 6 7 8 9 10 10 11 13 13 14 14 16 16 18 18
91
I
8-2849 8-2848 8-2846 8-2843 8-2886 84899 8-3831 8-2811 8'2799 8-2785 8-9770 84754 8-2735 8-2715 8-2694 8-2670 8-2645 84618 8 2590 8-2560 8-2527 8-2498 8-9458 84490 8-2880 84888
1 S 4
6 7 8 10 19 14 15 18 19 20 91 24 25 27 28 80 88 84 35 38 40 49
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MwlMHitacbe Qoftclnitnr.
|
±*> |
<?,'(-) 1 |
1 i^O.'W 1 |
1 AifO,'(«) 1 |
|||||||||||
|
000 |
8^92082 |
26 79 130 |
8-1841 |
8 7 |
7*499 |
A U |
6-838 |
I 0 |
8* |
U27 |
1 1 0 |
I ZD& |
||
|
u Ul |
8^92056 |
818S8 |
7i,499 |
0 o * |
6 837 |
«.1418 |
||||||||
|
0*03 |
8.91977 |
81881 |
18 |
7i«499 |
6-837 |
V 1 |
8.1496 |
Z |
||||||
|
ü Uo |
8«91847 |
184 888 292 |
81819 |
16 22 26 |
7*497 |
1 a « 3 |
6-836 |
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3 9 15 22 28 34 41 47 55 61 69 76 85 92 101 III 120 181 141 164 167 181 196 214 888
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61
-| 8-644 11 8-64820
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865257 8-65721 8-66213 8-66780 8 67271 8-67887 8-68425 8-69034 8-69665 8-70815 8*70988 8*71670
17
52 87 121 155 189 222 255 287 318 350 379 409 487 464 492 517 541 566 588 609 631 650 668 687
7.4700 7.4701 7.4 7C 4 7,4709 7,4717 7,4726 7,4787 7.4750 7,4765 7,4781 7,4800 7.4820 7,4843 7,4866 7,4892 7,4918 7,4947 7.49; 7.5007 7.5040 7.5073 7,5107 7,5143 7,5179 7.5816 17.596«
1 3 5 8 9 11 13 15 16 19 -20 23 28 26 26 29 29 31 33 83 34 36 36 37 88
6-579 6-579 6-579 6580 6-580 6-581 6-582 6-583 6-585 6-586 6-588 6-589 6*691 6-593 6-596 6-598 6-601 6-603 6-606 6-609 6-612 6-615 6618 6-621 6-624 6*687
5.778
5.778
5.778
5,779
5.779
5.780
5.781
5.788
5,783
5,785 5.786
6.788
6.790
5,792 5,794 6,796 5,798 5.801 6.800 5.806 5.809 5,813 5,814 5.817 6.8S1 ,6.894
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636
MechiiiiBclie Oudntnr«
Beispiele. Für die Berechnung der Störungen ist die untere Grenze der Integrale stets die Osculationsepoche. Wird diese zwischen zwei Störungsdaten gelegt (in dem hier gewählten Beispiele für den Kometen 1889V für 1889 October 8*0), so sind für die Bestimmung der Constanten der ersten und zweiten sum- miiten Reihen die Formeln (IV : a — ^) und (VIT : a — 4) zu verwenden. FUr
die ente summirte Reihe ist beispielswdse (Ür <^^(beideaElemeiiteDtl6rutigai pag. 365) ab Hauptfanction:
f»(a — ^) — + 8-665 — - i) «» — 0 W«8
/">{a - i) = - 0-293 .^/"'(« - i) — - 0-0009
/{5)(a — ^) « -j. 0-430 (cxtrapoUrt) - _ ^) = _ p opoi
demnach i/(a — ^) « — 01533.
Da durch ein Versehen (indem der zweite Ausdruck — 0 00009 angenommen wurde) ]/{a — \) =^ — 0*152 angesetzt wurde, so wäre zu jedem Integrale die Conslante — 0"*001 hinzuzufügen.
Für die Anfangsconstante der zweiten summirten Reihe für die Störungen
in den x (rechtwinklige Cuürdinaten, pag. 341), wird
— i) = - 0-03 -h ^y(a — ^) = — 0 015
/{a - ^) = — 5 945 ^/(a - ^) = ~ 0 248
/.'(a - « - 0-805 - - h) = 0-007
demnach "/(a) — — 0*256
Als Beispiel fUr die Berechnung der Integrale sollen das erste und zweite
Integnl von —jp und das ente Integral von (Elementenstöningen, pMg, 365)
für die neue OsculaLiunsepoche 1887 Juni 10 bestimmt werden. Da diese auf ein Störungsdalum fällt, so hat man die i^ormeln (V/; und (VIIL/) anzuwenden. Es ist
für ^Z^ fOr 40A|x
jf{a -4-0 -I- 73' Ö2"*0l + I8"-760
— + — 10*46 — 1176
Ä/'V 0 -h 0^ 4> OOQl
demnach AZ| » + l«" IS' 41"'71 40A|i — + 17" 585
A|i«-h 0"i8963
FUr das zweite Integral von ist
*) -h 16' 46"*007
-i-^fia-hi) =— 3-847
— ^/"{a 4- i) = -h 0 012 demnach AZj = -4- 16' 42"-172 Bildet man AZj -h AZ, = -4- 1° 29' 23"*88, so erhält man die Störung in der mittleren Lttnge für die neue Osculationsepoche. Als Beispiel tUr Integrale
bei beliebigen oberen Grenaen sollen das erste und aweite Integral von
(Störungen des Kometen 1889 V in Polarcoordinaten, pag. 355) für 1887 Febr. 7-0 und Febr. 13*0 gerechnet weiden. Das eiste Datum liegt näher einem Störangsdatum selbst» das sweite dem Mittel zweier StOiuofsdaien; im enten Falle werden daher die Formein (VI: t) und (DC: i), im swdten die Formeln (VI: 1) und (DC: / — ^) sur Anwendung kommen. Es ist: für Febr. 7^0: n « + A ^ 0'15; ingn^ — 7*5S8S7
*
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Mtchtiritctie Qmdntar.
637
logfia. -h 1) = 2-78692 8-97581
hgf'{a + i)
hg (//)
1-9805 7,6176
8«136B 1-3709 6-708
««85783 2.31967 8.90082
logf' \a -h i) logQii^ny
8 1279 logQ^\n)^l„Uh 1 «7 113 logß^\a + /) = 0.903 8-1660 %e5'W = 7-482
-h 15-937 — 0-322 -¥ 15-615 1-19354
2t-
H- 16*615
— 0*754 + 0*094
— S565-15
4- /) «= — 2581-035 «/(a4-/) = -h 91-837
Qi'(,n)ß^Ka H- I) — -h 0 022 <»»2|^— +__0-053
^ = — 8474-77
n/(a + /) — -I- 11488-660 Co'(«y(« H- 0 - -i- 57-007 H- 0 - — 0*896 QiW^H» 0 - -I- 0*018 «2, — 384-778
s » '^ 11096*41
für Febr. 13 0 ist » = — ^ « — 0-20
— hg F^'{n) = 9.0731 1 hg \n) = R-3436
Ä'.^/(''4-i—i)= 2-72573 hgJ'\a^i-\)= 1-87952 /i;^/W(a-i-/-:i)= 1-3008
hgP^^Xn)=%n^^bl^ hgP^{n)^ 7 8076 /b^i'/2)(„) = 7^588
hg P^' («)= 8-79005 A?«' /'(fl -h I — i) « 2„20672
8-68425
hg P^' {n) = 7 nbl 03 hgP^'(n)=GM7 hg Fl in) = 7.5073 hg PI («} = 6-6 12
/^CaH-» — ^) — + 631-770 P^*(n) f''{a-^ i- ^) = — 0-897 J*4,\n)m{a + i—\) c= -h 0-441
2. « -j. Ö31-314
4. <• — ^) 8274-910 ' («)/'(« H- * - i) « — 9-926 ^s'(«)/"'(fl + » — i) = 0-148 C«) ''^^H« + < — i) «= — 0-003 «2t « — 106 263
^ . — 8890-95
-1- X — I) « —2274-910 Pf («) /'(a 4- » - i) - — 7-780 (n) f»* (äH- I 4) « + o>ia8
0-008
S, -8888*565
n/(a 4. / - ^) « -1-10286-205 («y C« « - — 1 1-522 -''l («)/" (a 4- » — = + 0*487 («y W(a + f» _ I) « — 0089 «2, =^ 4- 456*518 s »> 4-10781*65*
n. Bekannflich lästt sich jede periodisd^e Fimction /{x) in eiae FotmiBR- whe Reihe ^
""i-^e -f- ^1 X -h -<4,r<7i 2* 4- 3* 4- . . .
4- sin x-\- sin + B^sinZx ^ ]
eotwickelo, deren Co^ffidenten durch bestunmte Integrale
Am^-^j f{x) cot nxd»\ Bm^-^j f{x) sm nxdx
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63S Ifcdnalfdie QiMdntnr.
gegeben sind. In vielen Fällen werden einzelne Werthe der Function / (jc) ge- geben sein, oder es wird leicht sein, sich solche zu verschaffen, so dass sie aus« reichen, die Coöfficienten A^, Bn zu ermitteln. In diesem Falle wird daher der analjrtiKh durch bestimtnte Integrale gegebene Amdruek dendben «of munerisclieiii Wege ermittelt, weshalb Hansbn dieee Methode ebenfidls als die Methode der Bestimmang der CoCfflcienten von Reihen durch tnechaniache Quadratur heieachnete.
Auch hier wird man sich auf den Fall beschtttnken können, dass die Algth> mente» Ar welche die Function als gegeben angesehen wird, eine flquidistante Reihe bilden, und zwar derart, dass das Intervall ein aliquoter Theil des Kreis- umfanges sei. In diesem Falle aber wird man rwr Bestimmung der Integrale nicht nöthig haben, auf die im vorigen Abschnitte gegebenen Methoden zurück- zugreifen, indem ein einfacherer Weg zum Ziele führt.
Betrachtet man zunächst die beiden Summen:
r„ == 1 -+- a tOsQ -h a« 2^ -^ . . . . ^ a«-! cos {n — 1).^ i:„ — asinQ -f- a^sin^Q -+-....+ a—ij;« (n — 1) Q.
Muiiiphcirt man behufs Bestimmung der Werthe derselben die zweite mit
i SS y — i und addin sie zur ersten; so folgt:
Durdi Tteonung des reellen vom imaginiren tolgt hieraus^):
1 — tt <W — «* « ^ + flf'*'^ f^S (ff — 1) ^
*^«»"* l-^8a^«f Q + tt'
asitiQ^te'si»mQ + sm{n — l)Q
Fitr a 1 erhilt man nach einer leichten Reduction:
«-1
_ ^ stninQ cos \{n — V\Q
r.-g,«re — *-hs^f^ — ^
(»)
Setzt man an Stelle von Q und beachtet die Anadrttcfce Ar »H%rQt eM%rQ, 80 folgt aus (jt):
«-1
smrQcosrQw»^ jrjj-g
^ « - n , , sinnQ cos t « — 1) ^
(*)
2 * sinQ
1) Für N H o» erUilt vn imtcr der VomiMetsing — !<«< + li wcob pt 9 dank
p sm f SS a sin Q; p cos g \ — tieesQ bettinunt sind (veigL dca Aitikd »Mecbaiiik dci Himmels«» p«g. 308):
r.-=f; i..-^.
F t
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MffdiMihfthe Qoadmiur. 6|9
Btittt DftB Q SB , SO wird
sin \nQ sin n«^ sinnQ sin Sjatc
■ im — jwr -s—
» n
Diese Ausdrücke verschwinden im allgemeinen, wenn p. eine ganze Zahl ist; sie werden aber gleich n, wenn p, ein Vielfaches von n, also fi = in ist; dann giebt die erste Formel (3) sowie die zweite Formel (4) n, die drei übrigen geben Null. Der zweite Ausdruck giebt übrigens ebenfalls n, wenn n
M
eine gerade Zahl, ond i» i ^ uqgefade; fttr gesade i reducirt es sich auf
den ersten AusnahmefaU); dann giebt die xweite Formel (4) n, die ttbrigen vier NoU. In diesen FAllen sind flbrigens die linken Seilen direkt die Summen von lauter Einheiten oder Nullen. Es ist daher
Wenn |fc dne gme Zahl und Wenn (i eine ganseZaU und kein Ifldbclictvoaji ist»
kein Vielfaches von « kl und ftr gomde % mm pk kein ^l&dics von |« ist:
^c üs r ^ -» 0 ^^sm r ^ C0$ r — 0
2}t1C V* • • 2|A7I
Fttr |i wird
««— 1 o "-1 ft
2u.li . 2uff
^^'J r ■» »; ijj^»« ^ " 0, (5a)
n
Ffir |ft BS und IQr |» » f (n eine gerade Zahl; wird Da nun
» tt n ' ff
. 2ji« . Svic , 2(|* — v)ii , 20t + v)n sinr"^ smr — i^«! r-^^- ^ — 4<^grr ^-
^?Ä*^^.*2vir . .... . 20t - v)n 2(|t + v)«
(6a)
ist, so erfaSlt man die Resultate in den Cohimnen:
I), wenn von v verschieden, und weder (t — v noch |i + v ein Vielfaches von n ist
D), wenn von v verschieden » und entweder yk — v oder ftHrv ein Viel- iacfaes von n, also
fft » 1« ± V
ist.
III) Wenn und v gleich und keine Vielfachen von n sind
IV) Wenn |t und v gleich oder auch verschieden, und beide Vielfache von n sind;
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640
Bfeduotiscke QiiMintnr.
I
»-1
«-1
Siiic 2v« M n
2ttie . SvK
smr-^ tmr
n n
2u,ic 2vic
sin r cos r
n m
I 0
0 0
|
n |
m |
|
3 |
^» m |
|
in |
|
|
0 |
0 |
IV n
0
0
(7)
Sind jetzt die Wertlie von / {x) fHr « Aifameate s Manat, so erhilt man am den Gleichungen (1) h Gleichungen, aus denen aich n Coiifficieaien be- admmen lanen, und swar als Funcdonen der flbiigen. Die Auflösung dieser Gleichungen wird sehr einfach, wenn die Werthe des Argumentes gleichmissig
2n 2ic 2it
über die reripheric vertheilt sind. Seien für *• = 0, — , 2— - . . . (« — 1)-^ die Functionswerthe:
so ist ganz allgemein:
Ä » "
(9)
n • ~» ff Muldpltdrt man diese Gleichungen mit
81t
3«
(fisry-— besw. mit
so wird der Co^ttcient von
2ic Sk : jir — ^«f vr —
B . Sk 2ic /fjt: ini |»r — —
2« m 8«
l*r — V'*
Sie II 8«
sm |tr — i»i vr — .
Es genügt offenbar für v alle Werthe zwischen Ü und n — i tu setzen, denn für v 1« 4- v' wird *
2it
2k
jwrv' —
2« , Sir
IS ft fl
Addirt man die sammtlichen mit den erwähnten Faktoren multiplicirten Gleichungen (9), so erhält man mit Berücksichtigung von (7), da v der letzten Bemerlttmg su Folge kein Vielfaches von » ist:
JJifrÄMrv V — -5 (^• + ^-»+ A9^-\- A9m+^+ . . . )
^^Xrsm — MI ^ — ^«-v Hh ^«h^ — «^sn*« + ■^s^-h —-••)• Und fttr V IM 0 folgt:
Ist ;j eine gerade Zahl, und v = -jr , so tritt ^ « in der ersten Formel (10a)
* ¥
zweimal auf, nämlich mit Afy-ty„^ und Atm^^ und es wird demnach
J^Xriäsrit^niAM-^Atn'^A^n+...y, (10c)
wahrend sich fQr die «weite Zeile in (lOa) Null eigjebt
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Mechanische Quadratur. 641
Die n Functionswerihe tiefem demnach die Co^fficienten
A^, ^, . . . A»; B^p . , . Bh ^ für gerade n Aq, . . . A^-i ; jßj . . . B*~i für ungerade «
als Functionen der übrigen. Sind aber die Reihen hinreichend convergent, so dass man die h(}beren Coefficienten vernachlässigen kann, so wird man die linken Seiten als die Ausdrücke der gesuchten Coeflicienten selbst ansehen können, wobei aber A,,, B^ um die Beträge .4 , , . . . , B„ \- . . . fehler- haft sind, woraus folgt, dass die Coefficienten um so p;cnauer erhalten werden, je grösser n gewählt wird, dass aber unter allen Umstancl .n die späteren Coeffi- cienten immer ungenauer werden. Mit dieser Beschrankung hat man:
cosrn
2t:
n
r=0
r=0
(11)
"in
Man \siid stets n als gerade Zalil arvsclica kunnen, überdies von der Form 4 m, da man hierbei in jedem Quaüraie gleich viele Theile hat, wodurch die Formein für die Anwendung etwas bequemer weiden. Berttcksichtigt man zu- nächst jeden Quadranten ittr sich, so wird:
in dem Quadranten für
der Coelficient von Xr daher für gerade v
und für ungerade v
in dem Quadranten lUr
der Cüctnciciu vonAV daher Ittr gerade v
und für ungerade v
0
r ^ r
€05
US
sm
SSM Sm — 1
r SS m r*
cos ( :z , r,\
1) 3 cos ^ """^
B SlM 8iN — 1
€0S
sin
cos sin
"fr"v— ^
stn \ 2mj
COS
sin
Es lülgt daher für die Eintheilung des Umkreises in 4i« Theile: für gerade v:
Ai^ nur mit dem halben Betrage zu nehmen;
Astmmnl«. II. 41
(12a)
1t m
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Mechaniscbe Quadratur.
lUr ungerade v:
_1_ 2m
r=0 «•-1
(I2b)
Setzt man daher für die Summe und Differenz der Function swerthe, deren Argumente um 180** verschieden sind:
ein, 80 wird:
(13)
Ittr gerade v <
«•-1
(Ua)
iflr ungerade v
(Hb)
Ist eine Function ^(«, jr) durch ihre analytischen Ausdrücke oder eine Reihe von Functionswerthen g^eben, so wird diescj in eine FouROBR'scbe Reihe entwickelt:
sein, wobei die Cochicientcn durch FouRiER'sche Doppelintegrale ausgedrückt werden. In vielen Fallen, ist es aber möglich, zunächst eine analytische Entwickelung nach einer Variabein einzuftlhren. Sei also
(16)
-f- Z^'sin y Z^,sin ^y -h Z^'sin 3y H- . . .
gefunden, so werden Z^, Z^, Zf . . . Z^', Z^ . . . Functionen von «sein, deren analytische Form
z,^Mx)] z.'=/.*(^)
bekanT>t rt. Auf diese lassen sich daher die Methoden der mechanischen Quadraturen anwenden, und man erhält durch dieselbe;
Z,*^\Ci^ -4- elftes Ci^m%x + . . . D^imx^J>i^sm%x -h . . .
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Ueeliaiiiidie Quadntor.
643
Setst man diese Reihen in (16) ein^), und multiplicirt mit cosKy, siniy aus, so erVMlt man die gesuchte Form f!5). Auf diese Lösung lässt sich leicht der Fall reduciren, dass die Entwickelung von F{x,y) die Form hat:
F{x,y)^X^-^ X^cos(j - X)■^- X^cosliy - X) + X^cos%{y - X) . . .
'¥X^*smiy^X)^X^'sm2(y — X)-^X^'sinZ{y^X)-k'*. ^
wobei X, Xq, X^, X^ . . . Jf,*, Jf,' . . . Functionen von x sind, deren analytischer Ausdruck bekannt ist. Es Iftsst sich nftralich schreiben:
F{x,y)>^X^MXieosX-X^'smXjeo$y'^{X^€9S%X^X^*sm%X)€^^y'^. . .
'¥iX^siaX+X^UüsX)smy-^{X^sm2X'^X^*iM%X)tm%y+.^^r^^
woduicb wieder die Form (1$) hergestellt ist N. Hbrz.
1) Diese Metiwde venrandet Mansbn t. B.. indem die nDendlidicn Reihen »aclt den nitdeicn Anomnlien des lUteenden Himmelikttipen analytisch entwickell werden, wogegen er fbr
die Coefficienten, welche Functionen der Anoniah'c des gestörten Körpers sind, die mechanische Qnadxatur anwendet Vo^ den Artikel »Mccbanik des Himmelsc, No. SB.
Berichtigungen.
a) Zum ersten Band.
|
43. |
Zeile |
10 V. 0. statt »OD* lies »0' /)*. |
|
|
«1 |
57. |
»1 |
6 V. u. nach 'Februar* ist einzuschalten 1 1473«< |
|
tt |
63. |
n |
16 V. <K statt »CCjM^y lies »C^CM ^ y. |
|
II |
65. |
II |
20 T. 0. und IS u. statt R^^* lies »4- |
|
I* |
1» |
19 V. u. statt • ^ si»Af^e9s {M^ + «)« lies »+ jw» ü^, »s (Af, + u)«. |
|
|
II |
ii4> |
>t |
17 V. u. ist der Doppelpunkt Tor |i. tu streichen nnd nach ein Komm« au setzen. |
|
i> |
>54. |
» |
17 T. D. statt lies »m^«. |
|
n |
II |
12 V. u. statt *li>i^ü^sA' lies *logdA*, |
|
|
M |
167, |
1. |
3 u. 3 V. u. fehlt dreimal «S«. |
|
1« |
168» |
II |
8 0. statt >(ft« lies pi«. |
|
n |
17P^ |
.t |
18 V. 0. statt .0 00187« lies .O'OOllflT«, |
|
ft |
«74. |
n |
17 T. u. Statt »— =« lies «= — «, |
|
It |
»1 |
M |
6 u. statt »— km lies »4* |
|
it |
•1 |
M |
5 V. u. statt y ' l"es »— |
|
II |
iSs. |
II |
16 V. 0. stott »Fj^ZQ* lies »F^Q/.*, |
|
»1 |
ti |
l> |
18 0. statt »PnQ* lies »/*,Öi«' |
|
w |
.. |
.1 |
14 T. u. fehlt »=«. |
|
»1 |
183, |
»I |
13 V. u. stau •/*• lies •/',«. 16 V. 0. statt • lies »SO' — f «. |
|
»t |
i84f |
II |
|
|
» |
It |
II |
17 V. 0. statt des zweiten »/« lies »/j«. |
|
II |
185, |
II |
21 V. u. Statt >6< lies »9«. |
|
•» |
tt |
t» |
SO tu statt •+/€ostw lies »-^/eosi; |
|
» |
9 1 |
.1 |
15 V. u. statt »-|-y"€ lies »— |
|
II |
196, |
II |
4 V. u. statt «a« lies <a^*. |
|
II |
»97. |
II |
3 t. 0. statt *tm%m lies *sm^*- |
|
•i |
«99. |
II |
7 V. 0. statt des zweiten »v,« lies *Vj«* |
|
n |
II |
II |
19 V. 0. statt »at lies »%^*. |
|
M |
.1 |
10 0. statt »logp* lies »log iangp*. |
|
|
II |
253. |
1 1 |
19 u. statt '6« lies >7«. |
|
II |
486, |
.1 |
2 V. n. statt »M« lies «»jC. |
|
II |
489, |
II |
6 n. 7 «. statt •iang^t lies mtoiang^'. |
|
II |
507. |
10 V. 0. statt lies |
41*
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644 Berichtigungen.
pag. 511, Z«ik 10 ▼. IL ttett Uet »pA«.
H 514» w 6 V. o. statt .(A-, -f- lies -H
S1S> >3 V. o. statt »gstn'*(f Ücs
520, „ IS Y. tt. ititt »1* Het »0«.
„ 12 V. u. statt (2 4- l-j)* l»«» + ^^t)**
„ 522, „ II V. o. statt >j/>/' lies »eas*.
H 539. .. >« o- »(0 - (II)' I'cs •(!) — (III)«»
„ „ „ 12 V. o. statt »Y« lies »loff.
t, 545> M 3 u. 4 V. o. statt »G* Ite« «(2«.
.. 550, M 3 V. o. Btmtt »7*9459961« lies •7*9544961«.
» S5li n >7 V. ü. Statt .9 3950738« lies »0'395<>738'.
„ $$2, „ 18 u. 30 V. u. statt und y'' lies und i^/**
w S57» M 3 V. o. statt .9-4-24341« lies •9-824341«.
5581 >. 16 V. o. statt «0-236616« lies «O'^SSeie«. „ s^i> 5 V- *^ 0226*« lies •S96°«.
n $6*» M 8 V. o. statt »C« lies »|«.
„ ., 14 V. o. statt »J* lies
„ 566, ., 6 V. Ob statt •6'893817« lies •6-894817«.
M n „ II V. o. Statt «0*981032« lies »0'S710S3«.
8*4 . V „ « . ^ •
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It M «• M M •» II II M
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I« 5*7» n 4 o. statt •+ y-g «.'«^ f • ^J«* »-^ ' flrttour* ^ II 619, „ 15 V. u. statt •2099* lies »1999«.
n 663, „ 22 t; <;trTf » P* * lies
21 V. u. Statt »90" — o« lies »90** o«. 14 V. u. statt »dmtsimi* lies »— simtswAt. 6 V. u. statt 'ios .\" tr>s t sift lies »ov A^* ( ms 668, „ 16 V. o. statt >6^c lies »659«.
In dem Beispiel fehlt Hie Angabe 7 » 49^ 0' 80*'. 68t, n i V- statt »(8) und (9)» lies *(^) und (10)«. 683, n 4 V. o. statt eC<-<'.r2Ä* ^'««^ » + >C 2 ji^"«
6 Y. o. statt »+ 2B r0/2A' ü«* SiwSft«. 683. II 5 V. o. statt *(15)« lies »(14)«.
1 ' .. 1 „ 697, „ 14 Y. a. statt 7 * Ii** * 2 TT '*
n 7391 H 9 V. u. Statt des zweiten •/« lies «/i«.
735> II 15 u. 16 T. o. stan »BrechungscoSflicienten« lies •AiMdcbnaQgsco#föcteiktei»«. „ 744, in der Figur (220) ist Q und verwechselt.
b) Zam zweiten Band
pag. 23, Zeile 4 Y. o. statt •NenhaYen« lies »Newham»«.
49, ZeUc 12 V. u. fehlt hinter »Hnar« die SchloSsUanttCCi
5I1 „ 6 V. u. ftatt »denen« lies »dem«.
67, I» 6 V, o. statt »<i« lies » — •
72, „ 6 V. u. statt »wurden« lies »wurde«* 89, H 1 1 V. o. ist »sich« tu streichen.
„ 14 Y. o. statt »auftreten« lies »bewirkt«.
,, 2! V. Ct. Statt »in anderen* lies »andere«.
92, iu der Anmerlvun^; statt »Astsronomical« lies »Astronomical«. 883, statt »Figur 272« lies »Figur 271«. 304, Zeile 12 V. u. statt »beobachten« lies »beachten«. 319» II 7 s'»" ^> ^* Ii" ^1« ^\''
35O1 M 4 ist —j^ ~ IQ'^* hinzuiusettcn.
II n
II
II II II II II II
II I»
351, Ictrtc Zeile i?tatt »dienen« lies »erhalten wurden«. 383, fehlt in Formel (20) bei ft' rechts der Faktor *»«•.
439, Zeile 17 Y. n. die eckige Kkmincr ] am Sclihiss der Zefle ist von hier an den Schlnas der 1$, Zeile y. n. zu scteen.
Breslau, Eduard I rcwendt » Buchdntdterei (SeuerinoeoKhule).
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