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C AEL FRIEDRICH GAUSS WERIE

BAND IX

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CAEL FRIEDRICH GAUSS

A\nERKE

NEUNTER BAND.

HERAUSOEOEBEN

KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN

GÖTTINGEN.

Dl COHMISSION BEI B. G. TEÜBNEE Df LEIPZIG. 1903.

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BESTIMMUNG

DES

BREITENUNTERSCHIEDES

ZWISCHEN DEN

STERNWARTEN VON GÖTTINGEN UND ALTONA

DURCH

BEOBACHTUNGEN AM RAMSDENSCHEN ZENITHSECTOß

VON

CARL FRIEDRICH GAUSS,

BITTEB DES GUELPHEN- UND DANNEBROG-ORDENS ; K. GR08SBR. HANN0YER8CHEM HOFBATH;

PROFESSOR DER ASTRONOMIE UND DIRECTOR DER STERNWARTE IN GÖTTINGEN;

lOTOLIED DER AKADEMIEN UND SOCIETÄTEN TON BERLIN, COPENHAGEN, EDINBURG, GÖTTINGEN,

LONDON, MÜNCHEN, NEAPEL, PARIS, PETERSBURG, STOCKHOLM, DER AMERIKANISCHEN, ITALIENISCHEN, KURLÄNDISCHEN, LONDONER ASTRONOMISCHEN U. A.

GÖTTINGEN, BEI VANDENHOECK UND RUPRECHT.

1828.

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INHALT.

Einleitung S. 5

I. Die beobachteten Sterne »98

n. Die Beobachtungen ^^ . . . „10

in. Resultate ^tm . . . „ 29

Einfachste Combination der Beobachtungen zur Bestimmung des Breitenunterschiedes, Art. 1. Genauigkeit der Beobachtungen, Art. 2. Collimationsfehler, Art. 3. Absolut vortheühafteste Com- bination der Beobachtungen, Art. 4 — 7. Berücksichtigung der unregelmässigen Theilungsfehler, Art. 8 — 11. Lage der Beobach- tiingsplätze , Art. 12. Bestimmung der absoluten Polhöhe der Göttinger Sternwarte aus Beobachtungen des Nordsterns am REicHENBACHschen Meridiankreise, Art. 13 — 17. Endresultat der hannoverschen Gradmessimg, Art. 18 — 20. Vergleichung der Declinationen der beobachteten Zenithalsteme mit Bradleys und PiAzzis Bestimmungen, Art. 21.

IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg »> 52

Zusatz zu [Art. 20] S. 48 „56

BESTIMMUNG DES BEEITENUNTEESCHIEDES

ZWISCHEN

DEN STERNWARTEN VON GÖTTINGEN UND ALTONA

DURCH BEOBACHTUNGEN AM RAMSDENSCHEN ZENITHSECTOR.

EINLEITUNG.

Durch die von mir in den Jahren 1821 — 1824 durch das Königreich Han- nover längs des Meridians von Göttingen geführte Dreieckskette sind die Sternwarten von Göttingen und Altena auf das Genaueste trigonometrisch mit einander verbunden. Diese Messungen werden in Zukimft ausfuhrlich be- kannt gemacht werden: hier wird nur bemerkt, dass die absoluten Grössen auf der von Herrn Prof. Schumacher in Holstein mit äusserster Schärfe ge- messenen Basis beruhen, mit welcher das Dreieckssystem durch die Seite Hambui^-Hohenhom zusammenhängt; die Orientirung gründet sich auf die Beobachtungen am Göttinger Mittagsfemrohr, da die Sternwarte und das nördliche Meridianzeichen selbst Dreieckspunkte sind. Die Sternwarten von Göttingen imd Altena liegen durch ein merkwürdiges Spiel des Zufalls auf weniger als Eine Hausbreite in einerlei Meridian. Obgleich die absoluten Polhöhen durch die Beobachtungen mit festen Meridianinstrumenten bestimmt sind, so war es doch wichtig, den Unterschied der Breiten noch auf eine andere Art mit einerlei Instrument zu bestimmen, und ich war so glücklich,

6 BESTTMMI'XO DEÄ BRElTEMMERSrFIIEUES ZWISCHEN GOlTINGEN l'ND ALTONA.

dazu flen trrfFlirhen RAMSDE>flchen Zenithsector anwenden zu können, der be- kanntlich zu ähnlichem Zweck bei der englischen Gradmessung gedient hat. Die damit im Frühjahr 1S27 von mir angestellten Beobachtungen und ihre Resultate sind der Hauptgegenstand dieser Schrift.

Da die Beobachtungen mit diesem Instrument, wenn viele Sterne in einer Reihe zu beobachten sind, nicht wohl ohne den Beistand eines geübten Ge- hülfen gemacht werden können, so hatte Hr. Prof. Schubfächer die Güte, den Hm. Ingenieur-Lieutenant v. Nehus ' , unter Genehmigung Sr. Majestät ilvH Königs von Dänemark, für die Beobachtungen an beiden Plätzen damit zu beauftragen. Dieser sehr geschickte Beobachter hat fortwährend die Ablesung der Mikrometerschraube und die Einstellung des Lothfadens besorgt, während ich selbst die Antritte an die Meridianfaden beobachtete und den auf den Meridian senkrechten Faden auf die Sterne einstellte: nur in den beiden ersten Beobachtungsnächten in Altona war jenes Geschäft von einem andern (ieh Ulfen besorgt; allein diese Beobachtungen sind deshalb nicht mit aufge- nommen, zumal da die Erfahrung bestätigte, dass verschiedene Personen die Bisection der Punkte durch den Lothfaden ungleich schätzten.

Das Instrument ist durch die ausführliche von Mudge gegebene Beschrei- bung hinlänglich bekannt. In Göttingen konnte es in der Sternwarte selbst, unter dem östlichen Meridianspalt, angestellt werden. In Altona war dies nicht thunlich; es wurde daher in dem Garten des Hm. Prof. Schümachee, in welchem die dortige Sternwarte selbst liegt, unter demselben Beobachtungs- zelte, welches Mldge in England gebraucht hat, aufgestellt. Die Solidität der Aufstellung, auf eingerammten Pfählen, liess nichts zu wünschen übrig: das Nivellement der Verticalaxe wurde täglich nachgesehen, und gewöhnlich fast nichts zu ändern gefunden; dasselbe gilt von der Horizontalaxe.

Um die Ebene des Limbus in den Meridian zu bringen, wurde in Göt- ting(in das südliche Meridianzeichen benutzt, welches zwar in dem Meridian (l(»s westlichen Spaltes steht, dessen Azimuth am Platze des Sectors sich aber mit gr()8ster Schärfe berechnen liess. In Altona konnte ein ähnliches Mittel nicht angewandt werden: der Limbus wurde zuerst, mit Hülfe der Kenntniss der absoluten Zeit, vermittelst eines culminirenden Sterns sehr nahe in den

[*, Handschriftliche Bemerkung:] Nehus sterb an zurückgetretener Grippe 184 4 Apr. n.

EINLEITUNG. 7

Meridian gebracht; die Beobachtung mehrerer Sterne in der ganzen Aus- dehnung des Limbus gab dann leicht die noch nöthige kleine Correction der Aufstellung. Da, wie schon erwähnt ist, von den am Sector culminirenden Sternen in jeder Nacht auch die Antritte an die Meridianfaden beobachtet wurden, und die Rectascensionen der Sterne bekannt waren, so erhielt die richtige Aufstellung im Meridian dadurch eine fortwährende sichere Controlle, und nur einmal war eine unbedeutende Nachhülfe erforderlich. In der Regel wurde von einer Nacht zur andern mit der Stellung des Limbus, östlich oder westlich, abgewechselt, und nur gegen den Schluss der Beobachtungen wurde, um die Anzahl der Beobachtungen auf beide Lagen ziemlich gleich zu ver- theilen, von dieser Regel zuweilen abgewichen, und der Sector in Einer Nacht ein oder mehreremale umgewandt.

Der Stand des Barometers und des innem und äussern Thermometers wurde in jeder Nacht wenigstens dreimal, zu Anfang, in der Mitte und am Schluss der Beobachtungen aufgezeichnet. Eben so, nach dem Vorgang von MüDGE, der Unterschied der Temperatur oben und unten am Sector, da des- halb der Limbus und der Radius in ungleichem Verhältnisse verändert werden. Dass übrigens jede andere durch die Einrichtung des Instruments vorgeschrie- bene Vorsicht sorgfaltig beachtet ist, z. B. das Wassergefass , in welches das Loth hängt, gehörig angefüllt zu erhalten, von der Mikrometerschraube so viel thunlich dieselben Gewinde spielen zu lassen u. dergl., ist wohl über- flüssig besonders zu bemerken. Die Einstellung des Lothfadens auf den obem Punkt (das Centrum des Gradbogens) wurde bei der Beobachtung jedes Sterns von neuem unabhängig von der vorhergegangenen gemacht, und die Einstellung auf den nächsten Theiltingspunkt (oder die beiden nächsten) wurde in der Regel mehreremale wiederholt, und aus den verschiedenen Ablesungen der Mikrometerschraube, die meistens auf wenige Decimaltheile der Secunde übereinstimmten, das Mittel genommen.

I.

DIE BEOBACHTETEN STERNE.

Ich hatte zu Anfang 38 Sterne in schicklichen Lagen zur Beobachtung ausgewählt, denen ich gegen den Schluss der Beobachtungen in Göttingen noch fiinf andere beifügte, weil ich besorgte, dass durch ungünstiges Wetter der Schluss der Beobachtungen in Altona so weit verzögert werden könnte, dass ein beträchtlicher Theil der ersten Sterne wegen der bei Tage eintreten- den Culmination nicht oft genug würde beobachtet werden können. Diese Besorgniss bestätigte sich jedoch nur in geringem Grade, und nur ein ein- ziger Stern ist in Altona bloss einseitig beobachtet. Ich gebe hier die mitt- lere Stellung dieser Sterne auf den Anfang des Jahrs 1827 reducirt: die De- clinationen sind die Resultate, welche die Beobachtungen am Zenithsector selbst ergeben haben ; die Rectascensionen, bei welchen für den gegenwärtigen Zweck die allerschäl fste Bestimmung unwesentlich ist, gründen sich meistens nur auf eine einmalige Beobachtung am Meridiankreise, deren Reduction Hr. VON Heiligenstein gefalligst berechnet hat. Der Bequemlichkeit wegen bezeichne ich die Sterne mit fortlaufenden Zahlen. Nro. 8, 13, 15 und 31 sind Doppelsteme ; bei dem ersten ist immer der nachfolgende Stern, bei den beiden folgenden die Mitte eingestellt; bei Nro. 31 ist der Nebenstem so klein, dass er im Femrohr des Sectors, selbst bei versuchsweise verdunkeltem Felde, immer unsichtbar blieb, obgleich er von Hm. Prof. Schumacher im lichtstarkem Femrohr des REiCHENBAcnschen Meridiankreises sofort bemerkt wurde, ohne dass uns damals bekannt war, dass schon andere Astronomen diesen Doppelstem als solchen erkannt hatten.

BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ETC. I. DIE BEOBACHTETEN STERNE.

Beteichnung

G.Aufst. 1827

Declin.

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Bezeichnung

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n.

n.

DIE BEOBACHTUNGEN.

Ein vollständiger Abdruck des Tagebuchs in seiner ursprünglichen Ge- stalt, welcher die Stärke dieser Schrift mehr als verdoppelt haben würde, hat mir überflüssig geschienen: ich gebe daher die Beobachtungen sogleich nach den Sternen geordnet.

Die erste Columne enthält die Zenithdistanzen , wie das Instrument sie gegeben hat, d. i. die blosse Reduction der Ablesung. Nördliche Zenith- distanzen sind als positiv, südliche als negativ betrachtet.

Die zweite ('olumne gibt die Vereinigung der Refraction mit der Wir- kung der ungleichen Ausdehnung des Instruments wegen Ungleichheit der obem und untern Temperatur: die äussersten vorgekommenen Unterschiede waren -{-\^2 R^aum. (das obere Thermometer höher) und —0^6. Um ein reines Resultat zur Beurtheilung der Übereinstimmung der Beobachtungen unter sich zu erhalten, habe ich die Mühe nicht gescheut, den Betrag für jede einzelne Beobachtung zu berechnen, wobei jedoch einige kleine sich leicht darbietende Rechnungsvortheile benutzt sind.

Die dritte Columne enthält die Reduction auf den mittlem Ort für den Anfang des Jahrs wegen Aberration, Nutation und Praecession, wozu bei einigen Sternen noch die eigene Bewegung gesetzt ist: es ist nemlich die jähr- liche eigene Bewegung in Declination angenommen

für 10 — o;'42

25 4-0,33

37 -f 0,38.

BESTIMMUNG DES BREITEN UNTERSCHIEDES ETC. IL DIE BEOBACHTUNGEN. 11

Bei den beiden ersten Sternen ist die eigene Bewegung längst entschieden; bei 37 zeigt sie sich durch Vergleichung mit Piazzis Bestimmung so, dass, die Richtigkeit der letztem vorausgesetzt, sie nicht bezweifelt werden kann*). Der Berechnung der Aberration, Nutation und Praecession liegen Bailys schätzbare Tafeln zum Grunde, nach denen für jeden Stern eine Ephemeride von 10 zu 10 Tagen, unter Beihülfe der Hm. v. Nehus und Petersen, be- rechnet, und in diese mit Berücksichtigung der zweiten Differenzen interpolirt wurde.

Die vierte Columne enthält endlich die Summe der drei ersten, also die wahre nur noch mit dem Collimationsfehler behaftete Zenithdistanz für die mittlere Stellung zu Anfang des Jahrs 1827, wie sie sich aus jeder einzelnen Beobachtung ergibt.

*' Die Richtigkeit von Piazzis Bestimmung dieses Sterns, auf 8 Beobachtungen gegründet, erh&lt durch die nahe Übereinstimmung mit der Angabe der altem Ausgabe seines Verzeichnisses von 1803, ▼eiche auf 6 Beobachtungen beruhte, eine Bestätigung; die genaue Grösse der eigenen Bewegung bleibt aber deswegen noch etwas ungewiss, weil das Jahr unbekannt ist, welches dem Mittel der Beobachtungen entspricht. Es ist merkwürdig, diese nicht unbeträchtliche eigene Bewegung bei einem Stern der 7. Grösse zu finden. Auch Nro. ii scheint in dieser Beziehung die Aufmerksamkeit der Astronomen zu verdienen.

BESTIUML'KG DES BREITEN UNTEBSC HIE DES ZWISCHEN GÖTHNGEN UND ALTOMA.

1. (24 Canum Venaticorum) Göttingen. Limbua Ost. Göttingen. Limbus West.

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Mittel atia 4 Beobachtungen

Altona. Limbus Ost.

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Göttingen. Limbus Ost,

2. (83 Ursae maioris)

Göttingen. Limbus West.

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22

47, 73

60, 38

27

Mit

49,23

—3 22 0, 32

tel aus

— 3/32 — 3, 34 — 3, 29 — 3, 33 — 3, 26 — 3, 24

— 2/10

— 2, 65

— 3, 17

— 3, 51

— 4, 66

— 5, 29

— 3*21' 57/53 57, 85

56, 19

57, 11 55, 65 57, 76

6 Beobachtungen — 3 21 57, 02

Apr.

Jun.

5

m <

9 17 28 29

4

7 10 11 13 15

4. (86 Ursae maioris) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

-f 3*2' 46/67 46, 47 48, 07 51, 65

53, 35

54, 69

Mittel aus

Altona.

+ 1^2'

l'»I

io;'59 13, 02

12, 92

13, 73 15, 16

14, 13

+ 3/10 + 3,05 + 3,02 + 3,04 + 3,02 + 3,01

6 Beob

-1-13/4 0 + 12,84 + 12, 29 + 10, 02 + 6,85 + 6,56

+ 3*3' 3/17

Apr.

6

+

3*2' 54/56

2, 36

8

54, 79

3, 38

11

54, 86

4,71

20

58, 61

3, 22

27

63, 17

4, 26

30

62, 11

+ 3 3 3. 52

Mittel aus

Limbus Ost.

+ 1/05 + 1,04 + 1,03 + 1,02 + 1,01 + 0,98

— 2/61

— 3, 22

— 3, 78

— 3, 96

— 4, 31

— 4. 65

+ 1*2'

9/03 10, 84 10, 17

10, 79

11, 86 10, 46

+ 3/0 8 +13/12

+ 3, Ol +i2, 56

4-2,98 +11,73

+ 3, 04 + 9, 16

+ 3, 12 + 7, 13

+2, 92 + 6, 27

6 Beobachtungen +3 3 11, 04

+ 3*3' 10/76

10, 36

9, 57

10, 81 13, 42

11, 30

Mittel aus 6 Beobachtungen +1 2 10, 52

Jun.

6

9

12

Altona. Limbus West.

+ 1^2' 14/23 15, 43 15. 05

4 1/03 + 1,03 + 1,01

3/02

3, 60

4, 14

+ 1*2' 12/24 12, 86 11, 92

Mittel aus 3 Beobachtungen +1 2 12, 34

Apr.

s

7 9

17 28

29

Göttingen. Limbus Ost.

5.

+5»53'

49/88

+ 3/97

+ 13/40

+ 3»54'

' 7/25

52,89

+ 3,91

+ 12,84

9, 64

50, 18

+ 3,87

+ 12,28

6, 33

52, 14

+ 3,89

+ 10, 00

6, 03

56, 29

+ 3,86

+ 6,79

6, 94

58, 85

+ 3,86

+ 6,51

9,22

Mittel aus 6 Beobachtungen +3 54 7, 57

Apr.

Mai

6

8

11

27

30

7

Göttingen. Limbus West.

+ 3*53' 57/95

-1-3/94

+ 13/12

+ 3»54'

15/01

61, 17

+ 3,85

+ 12, 56

17, 58

57, 64

+ 3,82

+ 11,72

13, 18

64, Ol

+ 4,00

+ 7,08

15, 09

65, 16

+ 3,74

+ 6,22

15, 12

66, 07

+ 3, 93

+ 4,22

14, 22

Mittel aus

6 Beobc

Lchtungen

+ 3 54

15, 03

14 |jl,<inwMtN(i DEB BEETTENUNTEESCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

Altoim. Limbus Ost. Altona. Limbus West.

Mittel aua i Beobachtungen +1 S3

6. [Piazzi 13.289) Ottttingcn. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

Mittel Mii n Beübarhtiin){eii — 1 le U, ui

Altona. Limbus Ost.

Mittel aus 2 Beobachtungen — r. s: ^. •■:\

Göttingen. Limbus Ost.

IM^ + ,,311

7, 11 1—1,71 + 7.SI> _ Mittel sua fi Beobachtungeo — (

Altona. Limbus West,

|_S»S7'l"Sl

H. 11 — «, «L 1, II

Mittel au« t Beobachtungen — 6

7. (13 Bootis)

Göttingen. Thimbus West.

— i;'as

+i3:'i.7

+11, »1

S,TI

— 1,H

+ 3,1»

1 :;','- 7

— I/IB

+ l:i;'7,.

M, 61

+ 1S, 17

+ 11, SS

+ fl.»l

+ 1. »t

4,84

— 1,11

+ :. 10

Altona. Limbus Ost,

»,«7|-=

Mittel aui a Beobachtungen

Mittel au8 6 Beobachtungen — ;

Altona. Limbus West,

7"»1

'11

— 1

'3J '

— 3

2«

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■H

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—3

IV

—3

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«...

-'

.0

"

Mittel BUS i Beobaofatungen -

8. (x Bootis sequ.) Göttingen. Limbus Ost, Göttingen. Limbus West.

k

+i;'»fl

+is;'oi

+ 1,«'

+ 13, S»

+ 1,08

+ 12, SS

+ 1,0'

+ 10,61

+ 1,0fl

+ ',47

+ 1,0«

+ ', IS

+ 1,0»

+ S,ül

f Beobachtungen +t 4 iB, la

+1""«

+ ia

'HB

+ 1,06

+ 1!

IJ

+ i,os

+ n

+ 1,07

+ f

+ 1,10

+ 1

+ 1,03

+ f

+ i,os

+ '

BT

11. DIE BEOBACHTUNGEN.

15

Jim

4

7 10 11 IS 15

Altona. Limbus Ost.

©•56'35;'42

— 0/95

32, 68

— 0, 94

32, 68

— 0, 93

33, 33

— 0,92

31, 62

— 0,91

32, 63

— 0, 89

— 2;'35

— 0«

56'

38/72

Jun. 6

— 3, Ol

36, 63

9

— 3, 63

37, 24

12

— 3, 83

38, 08

14

— 4,22

36, 75

22

— 4, 60

38, 12

27

chtungen

— 0

56

37, 59

Altona. Limbus West.

— 0°56'

32;'26 31, 73 31, 78 31, 33 27, 35 27, 88

— 0;'93

— 2;'7n

— 0, 9 3

—3, 43

— 0, 91

— 4, 02

—0, 93

—4,41

— 0, 92

— 5, 79

— 0, 91

— 6, 51

-0*56' 35/98 36, 09 36, 71 36, 67

34, 06

35, 30

Mittel aus 6 Beobachtungen — 0 56 35, 80

Apr.

Mai

Jun.

5

7 9 17 28 29 14

9. (Piazzi 14.56) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+4*4l'2s;'l5 27, 90 29, 35 27, 85 32, U i 32, 09 35, 7!

Mittel aus

+ 4/78 ' +13/81 +4*41' 46/74

+ 4, 73 I +^3, 25 45, 88

-1-4,66 -fl2, 69 46,70

+ 4,70 -j-lO, 39 42,94

4-4, 67 + 7, 14 44, 75

+ 4, 66 + 6, 84 43, 59

+ 4, 63 + 2, 46 42, 80

7 Beobachtungen +4 41 44, 77

Altona. Limbus Ost.

10

+2®40' 51/32

11

52, 44

13

53, 59

15

53, 07

Mittel aus

+ 2/67 -J-2, 64 + 2,61 + 2,55

—1/31 — 4, 52 — 4, 9 2 — 5, 31

+2*40' 49/68

50, 56

51, 28 50, 31

4 Beobachtungen +2 40 50, 46

Apr.

Jun.

6 8 11 20 27 30

0 9

+ 4*41*34/56

33, 28

34, 13 38, 22 40, 87 42, 34

+ 4/73 + 4,(55 + 4,61 + 4,70 + 4,82 + 4,54

+ 13/53 + 12,97 + 12,13 + 9,51

+ 7,43 -h 6,55

+ 4*41' 52/82 50, 90 50, 87

52, 43

53, 12 53, 43

Mittel aus 6 Beobachtungen +4 41 52,26

Altona. Limbus West.

+ 2* in' 56/57 54. 52

—:»:'! 5

-1-2, 67 —4, IM

+ 2*40' 55/78 53, 09

Mittel aus 2 Beobachtungen -|-2 40 54, 44

Apr.

Mai

Jon.

5 7 9 17 18 29 14

4

7 10 11 13 15

10. (6 Bootis) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+ 1*7

Ol'

5/82

4, 51

6, 29

6, 21

10, 80

10, 09

15, 46

Mittel aus

+ 1/14 +14/24

-hl, 13 +13, 70

+ 1,11 +13,17

+ 1,12 +10,96

+ 1, 12 + 7,79

+ 1,11 + 7,51

+ 1,11 +3,20

7 Beobachtungen +i 7 19, 66

+ 1®7' 21/20

19, 34

20, 57

18, 29

19, 71

18, 71

19, 77

Altona. Limbus Ost.

-O» 53' 30/95 28, 57 28, 67 28, 37 27, 74 27, 44

— 0/90

—2/24

— 0, 90

—2, 94

— 0, 89

— 3, 58

—0, 88

— 3, 79

— 0, 87

— 4, 20

— 0, 85

—4,61

'0*53' 34/09

32, 41

33, 14 33, 04 32, 81 32, 90

Apr.

Mai

Mittel aus 6 Beobachtungen — -o 53 33, 07

Jun.

6

8 11 20 27 30

7

+ lM

' 11/72

13, 29

14, 33

15, 63

18, 75

19, 11 22, 14

+ 1/13 + 1, 11 + 1, 10 + 1, 12 + 1, 15 + 1,09 + 1, 13

+ 13/97 + 13,44 + 12,64 + 10, 13 + 8, 08 + 7,22 + 5,19

+ 1*7' 26/82

27, 84

28, 07

26, 88

27, 98

27, 42

28, 46

Mittel aus

7 Beobachtungen

+ 1

7 27, 64

Altona. Limbus West.

6

— 0*53' 26/07

—0/88 —2/71

-0«

53' 29/66

9

27, 24

— 0, 89 ! —3, 37

31, 50

12

24, 97

— 0, 88

—4,00

29, 85

14

24, 82

— 0, 88

—4, 40

30, 10

22

25, 39

— 0, 87 , —5, 87

32, 13

27

22, 54

—0, 87

—6, 66

30, 07

Mittel aus 6 Beobachtungen — o 53 30, 55

16 BEBTIMMUNÜ DES BBEITENUNTEUSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTOKA.

11. (Piazzi 14.131) Göttiiigeii. Limbu9 Ost. Göttingen. Limbus West.

Mittel au« a lleobtich tunken +1 t

Altona. I^imbus Ost.

!>l

■•f. +u.

f:< +«,

Itl +".

it

71 |+",

1 1—5

Mittet

aus S Be.

bachtu

". ■» 1+1. "+ : Mittel aus T Beobaehtunneti +1 t

Altona. LimbiiB West.

Mittel aui 4 Bwbacbtungen 4-0 t m.tt

12. iPiazzi 14.164)

Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West.

*»;'ii

+ i;-j-.

+n;'3ü

+1,1«

+ 13, S2

+ 1.44

+ 13,3»

SS, 11

+ 1.4«

+ ti,(IB

+ 1.45

+ T,80

i«, 16

+ 1.3-'

+ «. il

Mittel aus « BeobaehtUDgen +i li

Altona. Limbus Ost.

-I), SS —1, ß; BeobtichtuDgen

+ l*ln's4;'B«

+ i;'4i

+ ii;'i)n

+ '

'17' h;'ii

+ 1,44

+ 13. SS

+ 1,4S

+ 11, !•

8,11

+ t.48

+ 19, )t

+ 1,46

+ 1,41

+ S. 1»

+ T,3«

11,(1

+ 1,43

+ 3,18

Mittel aus T Beobachtungen +i

IJ 10.«

Altena. LimbuB West

— o«3j'44:'«;

— o;'s6

— S'.'OJ

— 0

•»j'48:'ii

43' 0»

— o'is

— ''«1

,,;„

'

-n. SS

—4,88

46,11

Mittel aus 4 Beobachtungeo

— 0

JJ 47.41

13. (30 Bootis med.) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West

— il'is

+ 14;'03

— i*s'4i;'i4

Apr. «

+ U, S3

+ 10, SB

+ S,J2

21

+ 8,03

»0

—1,00

+ 8,50

40, 4!l

Mai 14

— 1 S 41,3*

— i;'io

+i4;'i8

+ 13,78

+ 13,01

+ 8,81

+ T.'S

+ 3,«»

I Beobachtungeii — i s 3

n. DIE BEOBACHTUNGEN.

17

Jun.

Altona. Limbus Ost.

7

—4*6' 31792

10

29, 88

11

30, 57

ts

2S, 00

15

29, 10

Mittel aus

—471 8

—2776

—4,12

—3, 47

— 4, 07

—3, 70

— 4, 06

—4,15

—3,95

— 4, 60

5 Beobachtungen — 4 6 37, 71

—4*6' 38786

Jun.

6

— 4^6'

' 28730

37, 47

9

26, 45

38, 34

12

26, 90

36,21

14

24, 99

87, 65

22

20, 97

Altona. Limbus West.

—4« 6' 34790

33, 83

34, 86 33, 41

81. 08

Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 6 38, 62

—4709

—2751

—4,14

—3, 24

—4, 03

—3, 93

—4, 05

— 4, 37

—4, 08

—6, 03

Apr.

5

7

9

20

2S

29

Mai 4

Jun.

14. (Piazzi 14.235) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

— i'ii^

43757

41, 97 40, 64 37, 39 35, 26 35, 23 34, 89

-1722

+ 14758

—1,21

414, 08

— 1, 19

+ 13,57

— 1,20

+ 10, 62

— 1, 20

+ 8,32

— 1,19

+ 8, 03

—1, 14

+ 6,57

l^ll' 30721

29, 10 28, 26

27, 97

28, 14

28, 39

29, 46

Mittel aus

7 Beobachtungen

— 1 11 28, 79

Altona. Limbus Ost

/.

7

— 3*12' I67O8

—3726

—2795

—3^12' 22729

10

17, 60

—3,22

—3, 08

24, 50

11

16, 80

—3, 18

— 3, 92

23, 90

13

16, 89

— 3, 13

—4, 40

24,42

15

14, 98

—3, 08

—4,85

22,91

27

13,25

— 3, 17

—7,29

23, 71

Apr.

Mai

Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 12 23,62

6 8 11 27 30 14

■l^ll' 35713 34, 51 33, 89 28, 25 27, 88 23, 17

•1720 1, 19 1, 18 1, 23 •1,17 1, 18

+ 14734 + 13, 82 + 13, 06

+ 8,61 + 7,74 + 3,64

l'll' 21799 21,88 22, Ol

20, 87

21, 31 20, 71

Jun. 6 —

9

12

14

22

Mittel aus

6 Beobachtungen

-1 11 21, 46

Altona. Limbus West.

—3^12' 16701

—3719

—2770

'3*12' 21790

13, 32

—3,23

—3, 44

19, 99

14, 11

—3,14

—4,15

21, 40

13, 46

— 3, 15

—4, 62

21,23

11, 12

—3, 18

—6, 34

20,64

Mittel aus 5 Beobachtungen — S 12 21,03

Jon.

7

10 11

13 15 27

15. (44 Bootis med.)

Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

-3* 11' 52742

52, 48

53, 17 50, 04 50, 46

50, 45

Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 11 5i,50

Apr. 5

-3'

12'

11792

7

10, 79

9

8,02

20

6,46

28

4, 86

29

4,16

—3726

+ 14764

—3,25

+ 14,16

— 3,20

+ 13, 68

— 3, 23

+ 10, 80

—3,22

+ 8, 65

—3,21

+ 8,26

Mittel aus 6 Beobachtungen —

Altona. Limbus Ost.

— 5»12'

43789

—5732

—2769

45,88

—5, 24

—3,43

45,37

—5, 18

— 3,67

44,21

— 5, 10

—4,15

43,85

— 5, Ol

—4,62

40, 44

—5,17

—7, 13

— 3*11'60754

Apr.

6

59, 88

8

57, 54

11

58, 89

27

59, 53

30

59, 11

Mai

14

—3 11 59,25

—5*12' 51790

Jun.

6

54, 55

9

54,22

12

53, 46

14

53, 48

22

52, 74

3'

11' 63761

—3722

+ 14^41

63,21

—3, 19

+ 13,92

63, 18

—3, 17

+ 13,18

65, 57

— 3, 30

+ 8,83

55,27

—3, 15

+ 7,96

51, 19

—3, 17

+ 3,91

Mittel aus 6 Beobachtungen — 5 12 53, 39

Altona. Limbus West.

IX.

— 5*12'497l6 51, 15 51, 93 51, 16 49, 99

Mittel aus 5 Beobachtungen — 5 12 50,68

3

5*12'

41753

—5720

—2743

42, 70

—5, 26

—3, 19

42, 90

— 5, 12

—3, 91

41, 65

—5, 13

— 4, 38

38,66

—5, 19

—6, 14

18 VEamMMTSG DES BREITENUI^TERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

16.

Apr.

Mai

JUD.

Apr

Mai

Jan.

Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West

So

1'*

4

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7 10 11 13 IS

— J«18'

n. 72 ; —2, 30 -i-13, 71 14, 3i — 2,33 4■l*^84 10, 51 ; — 2, 31 + *. 2ö 10, fi'j — 2, 2o + *» *^ Mittel au« s Beobachtungen <— 3 18 5,07

»:'«2

3, 31 i, 81

4, 53 6, 06

Apr.

6

8

11

27

Mai 14

2» 18' li;'77 9, 11 8, 96 4, 34

•2 17 5», 03

Mittel auB

—2/33 — 2, 30 —2,28 — 2, 38 — 2, 2^

-|-14;'44 + 13, »6 4-13, 22 4- 8,87 + 3,87

-2*17'SS;'66

58,02

s;,ss

»7,44

5 Beobachtungen — 2 17 »g,

Altena. Limbus Ost.

Altena. Limbus West.

•4*1<»' 5l!'74

50, ÖS

51, 7% 50, 7 0 49, 65

— 4;'41 —4, 35 —4, 29 — 4,22 —4,12

— 2:'%9

— 3, 65 —3, »0 — 4, 39 —4, 87

•4«18' 59;'04

58, 98

59, 97 59, 31 58, 64

Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 18 59, 1 9

Jon.

6

9

12

14

22

•4*18' 49;'98 47, 40 47, 25 47, 05 43, 80

-4/31 — 4, 36 —4, 24 — 4, 24 —4,31

— 2;'63

— 3, 40

— 4,15 — 4, 63 —6, 46

18'»6;'»2

S5, 16

54, S7

Mittel aus 5 Beobachtungen —4 18 55,64

17. (Piazzi 15.39) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

5

+ 0»2'45;'a7

-f o:'o5

+ 14;'71

+ 0*2'60;'73

7

47, ih

4-0, 0 5

+ 14,21

61, 74

9

49, 4S

4-0, 05

+ 13,72

63,25

20

53, 09

+ 0, 05

+ 10,79

63, 93

28

50, S8

-f-0, 05

+ 8,48

59, 41

29

53, 96

+ 0,05

+ % iö

62,20

4

55, 86

+ 0, 05

+ 6,69

62,60

Mittel aus 7 Beobachtungen +0 3 1, 98

Apr.

6

8

11

27

30

Mai

7

14

Altena. Limbus Ost.

—3/21

— 4, 00

— 4, 25 —4, 76

— 5,26 —7,95

Mittel aus 6 Beobachtungen — 1 57 51, 14

7

— 1*57' 46/22

— 2/01

10

44, 24

— 1, 98

11

45, 52

,—1,95

13

44, 67

-1,92

15

43, 54

— 1, S9

27

41, 50

. — i, 95

1^57' 51/44

50, 22

51, 72 51, 35 50, 69 51,40

Jun.

6

9

12

14

22

+ 0*2' 54/39 54, 29 54, 24 60, 20 60, 93 64, 81 66, 31

Mittel aus

+0/05 + 0.05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0, 05 4-0, 05

+ 14/46 + 13, 9 7 + 13,21 + &. 7S + 7,90 + 5, 79 + 3, 68

+ 0« 3'

8;'»rt S, 31 7,50 9, ü3 8, SS 10,65 10,04

7 Beobachtungen +o 3 9, 04

Altena. Limbus West.

—1^57'

45/15 44, 07 43, 00 42, 67 40, 60

1/96 1, 99 1, 93 1, 93 1, 96

—2/94

— 3, 74 — 4, 51

— 5, Ol

—6. 89

— 1O57'Bö;'05 49,80 49,44 49, «t 49,45

Mittel aus 5 Beobachtungen — i 57 49,67

18.

Apr.

Mai

5 7 9 28 29 4

Göttingen. Limbus Ost.

+ 1*2' 58/79 60, 02 60, 00 63, 20 62, 63 66. 81

+ 1/07 + 1,07 + 1,05 + 1,06 + 1,06 + 1,01

+ 14/73 + 14,23 + 13,74 + 8,47 + 8,17 + 6, 68

Jt.

Göttingen.

+1Ö3'

' 14/59

Apr. 6

+ 1®3' 5/6 1

15, 32

8

5, 04

14, 79

11

5, 91

12, 73

27

12,27

11, 86

30

11,69

14, 50

Mai 7

15,22

14

17, 70

Mittel aus 6 Beobachtungen +1 3 13,96

Limbus West.

+ 1/07 + 1,05 + 1,04 + 1,09 + 1,04 + 1,06 + 1,04

+ 14/49 4-13, 99 4-13, 23 + 8,76 + 7,88 + 5,75 + 3, 63

+ l«3'2l/n

20, es

20, IS 22, 12 20,61 22,03 22, 37

Mittel aus 7 Beobachtungen +1 3 21, 22

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Apr.

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Jun.

7

10 11 13 1& 17

Göttmgen. Limbus Ost.

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BGttel aus s Beobaehtmigen +2 S8 2, S6

Altona. Limbus Ost.

+0'/9Si— 3'/62 |+0*i7' 7736

+0*S7' lO^'oO

13,72 -fö, »7 —4,46 12, SO +0,95 —4,73 13,02 +0,94 — i, 28 12, 85 +0,92— -5, 81 18, 48 1+0, 95!— 8, 74

Mittel aus 6 Beobaehtuxigen +o 57 9

»f.

10,23 9, 02 9, 58 7,96

10, 69

14

Apr.

Mai

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2T So 14

JuDu

6

9

12

14

22

Göttingen- liiubus Wos^t.

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5i. T4 -.-2.^?> +t,V.^t

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Mittel a\« 6 BtH>b*cM\u\^MX +1 >s

Altona, Limbus Wost,

+0*57'13:'5.H|+0:'^N —3. U 13,97 I +0, 9T - 4. 45^

13. 29 15. 40

IS, $S

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+ 0*57* U/OT UV TO

10. 5*0

Mittel aua 5 BeobaohtuuK*« +*^ *^ ^^'' '*^

3*

20 BEsrrauiuKa des Breitenunterschiedes zwischen oiVmNGEN und altona.

Göttingen. Limbus Ost.

+i;'*oi+t

Gottingen. Limbus West

4 BeobaehtimgeD ^

Limbos Ost.

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17

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Apr. a

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Altena. Limbus West

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Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West.

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+ .3,74 + 11,01,

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Apr. Mai

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+ 6,3« + 4,31

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Mittel auf 4 Beobachtungen

~» 1

49.11

Mittel Bua s Beobachtungen

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4U,.1

Altona. Limbus Ost.

Altona. Limbus West.

— 7*i«'s3;'?i — 7;'4«

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' 4J:'3B

Jun.

— 7'>lfl'18;'SS — Jj'lB

— 1/13

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Jo, 1,3 —7,1s

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41,88 40, »1

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44,^0

11

11,11 —7.33

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—7 1

41, «7

Mittel aui 6 Beobachtungen

—7 1«

3«, 74

l

Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West.

+4«48

Mittel aui s Beobachtungen +4 4S 34, !

Apr. B

+ 4»48'li;'«4

+4:'9s

+i4:'73

+4,76

--14. IK

+ 4,7«

--I3, SB

17

30, 1&

4-4, «7

-- o.n

30

+ 4,78

-- 8.11

Mai u

3S, 4«

+ 4,78

-- 3, 8«

Mittelau.

8 Beob.

n. DIB BEOBACHTtTNGEN.

21

Jan.

7

10 11

13 IS 27

Altena. Limbus Ost.

Altona. Limbus West.

+J«47'43;'09

+2/87

—3/62

+ 2«47' 42/34

Jun. 6

+2«47'

45/07

+2/80

—3/32

+2047*44/55

43,24

+ 2,83

—4,49

41, 58

9

45, 35

+2,84

— 4, 20

43,99

43, 44

+2,79

— 4, 78

41, 45

12

45, 69

+2,76

— 5, 06

43, 39

42, 85

+ 2,76

— 5, 35

40,26

14

47, 14

+2,75

—5, 63

44,26

44, 97

+ 2,73

—5, 91

41, 79

16

48, 40

+ 2,78

—6, 19

44, 97

45, 63

+ 2,85

— 9, 03

39, 45

22

47, 75

+ 2,82

—7, 78

42, 79

Mittel aus 6 Beobaohtungen +2 47 41, 15

Mittel aus 6 Beobachtungen +2 47 43, 99

24.

Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West.

Apr. 7

—1*9' 25/54

-1/18

+ 13/91

— 1*9' 12/81

Apr.

6

— 1«9' 17/28

— 1/19

+ 14/13

— 1«9'4/34

9

25, 17

— 1,16

+ 13,47

12, 86

8

18, 38

— 1,14

+ 13, 69

5, 83

20

21, 69

— 1,17

+ 10, 78

12, 08

11

16, 36

— 1,15

+ 13, 02

4, 49

29

19, 28

— 1,16

+ S, 32

12, 12

27

13, 49

—1,20

+ 8, 88

5, 81

Mai 4

18, 10

-1,12

+ 6,^8

12, 34

30

10, 61

— 1,15

+ 8,04

3, 72

Mittel aus

Mai

14

5, 94

Mittel aus

—1,16

+ 3, 89

3, 20

5 Beobachtungen

— i 9 12, 44

6 Beobachtungen

—1 9 4, 57

Altona.

Limbus Ost

.

Altona.

Tiimbus West.

Jun. 7

—3O9' 57/17

—3/24

— 3/28

— 3*10' 3/69

Jun.

6

— 3*{»' 55/99

—3/17

— 3/0(1

—3'» 10' 2/16

10

59, 67

—3, 21

— 4, 13

7, Ol

9

57, 92

—3, 22

— 3, S5

4, 99

11

59, 33

— 3, 16

—4,41

6,90

12

56, 34

— 3, 13

— 4, 69

4, 16

13

5S, 17

— 3, 12

— 4, 96

6,25

14

56, 22

-3,11

—5, 23

4, 56

15

57, 40

—3, 09

— 5, 51

6, 00

16

55, 56

—3, 13

—5, 78

4,47

27

55, 96

—3, 17

— 8, 55

7, 68

22

52, 12

—3, 19

—7, 34

2, 65

^ttel aus

6 Beoba

lohtungen

— 3 10 6, 25

Mittel aus

6 Beobachtungen

—3 10 3, 83

Apr.

Mii

Jun.

5

7

9

20

29 4

25. (6 Draconis) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+ 7«29' 32/55

33, 05

34, 36 36, 61

40, 62

41, 20

+ 7/66 + 7,64 + 7,55 + 7,57 + 7,65 + 7,25

+ 14/78 + 14,32 + 13, 85 + 10, 96

+ 8,31 + 6,77

+ 7*29' 54/99 55, Ol 55, 76

55, 14

56, 48 55, 22

Mittel aus 6 Beobachtungen +,7 29 55, 43

Altona. Limbus Ost.

+5029*2/10 0, 94 1, 59

2, 52

1, 68

1, 85

Mittel aus 6 Beobachtungen +5 29 1, 7 8

+5«29' 0/59

0, 40

1, 43

3, Ol

2, 80

6. 11

+6/62

- 4/1 1

+ 5,56

— 5, 02

+ 5,48

— 5, 32

+ 5,42

— 5, 91

+ 5,38

— 6, 50

+ 5, 50

— 9, 76

Apr.

Mai

Jun.

6 8 11 27 30 14

6 9 12 14 16 22

+7®29' 39/72 39, 87 42, 72 46, 63 48, 83 53, 64

+ 7/77 + 7,41 + 7,47 + 7,76 + 7,46 + 7,46

+ 14/55 + 14, 09 + 13, 36 + 8,91 + 8,01 + 3, 56

+70

30'

' 2/04

t,

37

h

55

3,

30

4,

30

4.

60

Mittel aus 6 Beobachtungen +7 30 3, 20

Altona. Limbus West.

+5029'

0/46

+ 5/49

— 3/80

+ 5029'2/l5

2,40

+ 5,57

—4,71

3, 26

2, 40

+ 5,42

—5, 61

2, 21

4, 13

+ 5,40

—6, 20

3, 3 3

5, 31

+ 5,42

—6, 79

4, 94

7,61

+ 5,54

—8, 46

4, 69

Mittel aus 6 Beobachtungen +5 29 3, 43

22 BESTIMMUNG DES BREITEN UNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

26.

Apr.

Mai

Jun.

5 7 9 20 2» 4

7 10 11 13 15 27

Göttingen. Limbus Ost.

— 0«63'

50;'3H 4», 7H &0, 43 iS, OK 45, 72 4«, 07

— 0

— 0 — 0

— 0 — 0 — 0

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+ 147«« + 14,27 + 13, »»6 + 11,17

+ S «« j + 7,2"»|

— O'SS'

3«;'«1 3fi, 42 37, 47 37, Hl 37, «3 3y, 71

Mittel aus 6 Beobachtungen — o 53 37, «>6

Altona. Limbus Ost.

—2« 54

' 24;'lM» 25, 37 25, 14 23, 34 25, 90 23, 20

Mittel auB

— 2;'»s

— 3:'22

— 2, 05

—4. 11

—2, Ol

—4,40

— 2, SK

— 4, OS

— 2, S5

— 5, 5«

— 2,02

— S 77

-2»54'

3i;'i«

32, 43 32, 45 31,20 34, 40 34, HO

Apr.

Mai

6 Beobachtungen — 2 54 32, 7 0

Jun.

11 27 SO 14

« 9 12 14 16 22

Göttingen. Limbus West.

—0*53' 4 5;'0>» I — o;'»3 ! +14;'48

44. 42

43, 27 3H, Ol 37, 43

33. 65

•0. K9 +14,05

•0, H« I +13, 39

-0, 03 I + 0, 25

0, HO + «i, 40

— 0, HO , +

4, 20

Sl.ll

so, 77 19,41

30,34

Mittel aoa 6 Beobachtungen — o 5S so, sg

Altona. Limbus West.

.2^54'Si:'« 92,00 31,15 30, 7S 91,40 90,91

Mittel aus 6 Beobachtungen — 2 54 91,24

2*54'25;'37

-.2:'»i

— 2:'92

25, 24

-J, »5

—8, 81

23. 61

— J,»»^

— 4, 69

22,62

— 2, H«

—5,27

22, 67

— 2, »S

— 5, S5

20, 46

— 2, »4

—7,49

Apr. 5

7

Jun.

7 10 13 16 27

27. (Piazzi 16.33) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

— 5«ll'44;'6«« 42, 77

-5/31 — 5, 30

+ 14:'46 + 14, 05

— 5«ll' 35;'53

34, 02

Mittel aus 2 Beobachtungen — 5 il 34,78

Altona. Limbus Ost.

•7*12' 17;'33 19, 26 19, 63 15, 93 14. 63

— 7^38 —7, 31 —7,12

— 7, 07 —7, 23

— 2;'84 —3, 71 —4, 56 — 5, 13

—8, 30

•7«12'27;'55 30, 28

Sl, 31 28, 13

30, 16

Mittel auf 5 Beobachtungen — 7 12 29,49

Apr.

6 14

Jun.

6

9

12

'5*11* 35/62 24, 24

— 5/40 —5,17

+ 14/26 + 4,38

■5«ll'26;'7« 25,03

Mittel aus 2 Beobachtungen — 5 11 2S,oo

Altona. Limbus West.

7«12' 17/73 13, 53 13, 43

—7/22

—2/55

— 7, 32

-3,42

—7,14

—4, 28

— 7«1J'27;'M 24,27 24, 6S

Mittel aus 3 Beobachtungen — 7 13 25,54

Apr.

Mai

5 7 9 29 4

28. (Piazzi 16.56) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+ 208'

5/31 4, 18 8, 38

11, 12

12, 30

+ 2/18 + 2, 18 + 2,16 + 2,15 + 2, 07

+ 14/76 + 14, 33 + 13, 90 + 8, 69 + 7,22

+2« 8' 22/25

20, 69 24, 44

21, 96 21, 59

Mittel aus 5 Beobachtungen +2 8 22, lo

Apr.

Mai

6 8 11 27 30 14

+2<>8' 11/57 10, 66 13, 94 17,23

20, 10

21, 98

+ 2/23 + 2,11 + 2,13 + 2,22 + 2,13 +2,13

+ 14/55 + 14,12 + 13, 45 + 9,27 + S, 40 + 4,12

+2«8'28;'SJ

26,89 29,52 28,72 30,63 28,23

Mittel aus 6 Beobachtangen +2 8 26,72

n. DIE BEOBACHTtTNOEN.

23

Jun.

Altona. Limbus Ost.

7

+OO7'

32;'06

10

31, 75

11

32, 78

IS

33, 38

1&

34, 30

27

36, 46

+o;'i3

+ 0,13 + 0,13 + 0,12 + 0,12 + 0,13

— 3;'46

— 4, 37

— 4, 67

— 5, 27 —5, 86 —9, 19

Altona. Limbus West.

Mittel aus 6 Beobachtungen +0 7 28, 11

4-007' 28;'73

Jun.

6

+0«7'

30;'66

27, 51

9

33,72

28,24

12

35, 21

28, 23

14

36, 76

28, 56

16

36,28

27, 40

22

38, 46

+o;'i3

+0,13 + 0,12 + 0,12 + 0,12 + 0,13

— 3;'15 —4, 07 —4, 97

— 5, 56

— 6, 16

— 7, 85

+ 0<>7'27;'64

29, 78

30, 36

31, 32 30, 24 30, 74

Mittel aus 6 Beobachtungen +0 7 30, 01

Apr. Mai

Jun.

20

29

4

Göttingen. Limbus Ost.

29.

+0«55' 6;'9 8

8, Ol

10, 7 7

+ 0!'93 +0, 93 + 0, 89

+ li;'22 + 8,74 + 7,28

+ 0<*55' 19/13

17, 68

18, 94

Mittel aus 3 Beobachtungen -f-o 55 18, 58

Altona. Limbus Ost.

Apr. Mai

27

30 14

Göttingen. Limbus West.

-|-0<^55' 15;'38 17, 40 21, 57

+ 0;'95 + 0,92 + 0,92

+ 9/31 + 8,44 + 4,21

+ OO 55' 25/64 26, 76 26, 70

Mittel aus 3 Beobachtungen +0 55 26, 37

Altona. Limbus West.

Mittel aus 6 Beobachtungen — l 5 34, 18

7

— 10 5';27;'77

— 1/12

— 3/36

—105*32/25

Jun. 6

—IO5' 27/88

— 1/09

— 3/05

—lO 5' 32/02

10

28, 15

— 1,11

-4,27

33, 53

9

26, 21

-1,11

—3, 97

31, 29

11

28, 98

— 1, 09

-4,57

34, 64

12

25, 34

— 1, 08

— 4,v>7

31, 29

13

29, 17

—1, 08

— 5, 17

35, 42

14

25, 91

— l, 07

— 5, 4 6

32, 44

15

26, 95

— 1, 07

—5, 76

33, 78

16

25, 21

— 1, 08

— 6, 06

32, 35

27

25, 29

— 1, 09

— 9, 11

35, 49

22

23, 02

— 1, 10

—7,76

31, 88

Mittel aus 6 Beobachtungen — 1 5 si, 88

30.

Apr.

Mai

Jun.

7

10 u

13 15 27

Gottingen. Limbus Ost.

5

+ 4*3' 53/89

7

56,29

9

54, 54

20

56, 09

29

58, 65

4

59,00

+ 4/16 + 4,15 +4,11 + 4,10 + 4,10 + 3, 95

+ 14/77 + 14, 35 + 13, 93 + 11,25 + 8,75 + 7,26

+A^A' 12/82 14, 79 12, 58 11, 44 11, 50 10, 21

Mittel aus 6 Beobachtungen +4 4 12, 22

Altona. Limbus Ost.

+2*3' 19/16 21, 13

21, 67

22, 97 23,99 24, 67

+ 2<>3'l7/69 18, 72

18, 92

19, 59 19, 99

17, 28

Mittel aus 6 Beobachtungen +2 3 18, 7 0

+ 2/10

—3/57

+ 2,09

—4, 50

+ 2,06

—4, 81

+ 2,04

—5, 42

+ 2,03

— 6, 03

+ 2,06

— 9, 45

Jun.

Göttingen. Limbus West.

Apr.

6

8

11

27

Mai

14

+ 4« 4'

3/51 2, 63 4, 64 7, 88 11, 62

+4/25 +4,01 -+-4,07 -+-4,22 +4,06

+ 14/56 + 14,14 + 13, 48 + 9,32 + 4,15

+4« 4' 22/32 20, 78 22, 19 21,42 19, 83

Mittel aus 5 Beobachtungen +4 4 21, 31

Altona. Limbus West.

6

+ 2° 3' 23/77

+2/06

— 3/26

+ 203*22/57

9

24, 11

+ 2,09

—4,19

22, Ol

12

24, 77

+2,04

— 5,11

21, 70

14

25, 41

+ 2,03

-5,72

21, 72

16

25, 51

+ 2,03

— 6, 33

21, 21

22

29, 42

+2,08

—8, 07

23, 43

Mittel aus 6 Beobachtungen +-2 3 22,11

24 BESTIMMUNO DES BREITEN UNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

Jvin.

31.

Göttingen. Limbus Ost.

Göttingen. Limbus West.

Apr. 5

— 5^33' &&;'79

— 5;'69

+i4;'j3

— 5<^3S'47','26

Apr. 6

—5« 3 3' 45/22

— 5;'78 ' +14;'05

— 5«J8'S«:'95

7

54, 79

— 5, OK

+ 13, b5

46, 62

8

45, 27

— 5,47 +13,66

37,08

9

54, 74

— 5, 04

+ 13,47

46,91

11

44,40

— 5, 57 +13, 07

S«,90

20

51, 43

—5, 61

-1-11,28

45, 76

27

42, 37

— 5, 77 + 9,27

38, S7

39

4S, 15

— 5, «u

+ S73

45,02

Mai 14

35, 09

—5,55 + 4,43

3fi,21

Mai 4

47, 81

— 5,41

+ 7,36

45, f^6

7 10 11 13 15 27

Mittel aus 6 Beobachtungen —5 33 46, 24

Altona. Limbus Ost.

Mittel auf 6 Beobachtungen — -5 3S 37.30

Altona. Limbus West.

— 7»34'

2!»;S(i

--7;'74

-2;'88

2h, 82

— 7, «5»

—3, 77

2S, «2

— 7, 5«

— 4, 07

27, H5

— 7, 53

— 4, 65

28, 36

— 7, 50

—5,24

25, 06

— 7, 60

—8, 57

Mittel aui 6 Beobachtungen — 1

—7« 34' 40/42

Jun.

6

— 7»34'

26/37

40, 2h

9

27, 67

40, 28

12

25, 22

40, 03

14

25, 32

41, 10

16

23, 99

41, 23

12

20, 31

—7 34 40, 56

Mittel aufl

—7/59

—2/58

— 7«84'56:'S4

—7, 70

—3.47

Zh,H

— 7, 53

—4, 36

37,11

—7,47

—5, 07

37,66

—7, 4»

—6, 54

37,02

—7, 67

—7,22

3&,2«

—7 34 37,10

Apr.

Mai

5 7 9 20 29 4

32. (16 Draconis) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+ 1042*

55/!»i*

55, 64

56, 59

60, 15

61, 53

62, 20

+ 1/7« + 1,75 + 1,74 + 1,73 + 1,73 + 1,67

14/60 + 14,21 + 13, 80 + 11,26 + 8,84 + 7,39

-hl®43'

12/:t5

11, 60

12, 13

13, 14 12, 10 11, 26

Mittel aus 6 Beobachtungen +1 43 12, lo

Apr.

Mai

6 8 11 27 30 14

+ 1<>43' 2/15

1, 23

3,20

6, 78

10, 11

13, 72

+ 1/7S

+ 14/41

+ 1,69

+ 14,01

+ 1,72

+ 13, 38

+ 1,78

+ »,40

+ 1,71

+ 8,56

+ 1,71

+ 4.33

+ 10 48MS!'34 Ifi, »3 IS, 30 17,« 30,38 19,7«

Mittel aus 6 Beobachtungen +1 43 is, 61

Jun.

7

10

11 13

15 27

Altona. Limbus Ost.

•0*^17' 37/46 37, 26

35, 98 3«, 3!»

36, 13

— 0/30 — 0, 30

— 0, 29 — 0, 29 — 0, 29

— 3/35 —4, 29 —4, 60 —5, 22 — 5, 83

0» 17' 41/11 41, 85

40, 87

41, 90

42, 25 41, 29

31,67 —0,29 — 9,33

Mittel aus 6 Beobachtungen — o 17 41, 55

Jun. 6

Altona. Limbus West.

— 0*17'39;'l« 38, «1 39,03

39,11 40,13

39,19

Mittel aus 6 Beobachtungen — o 17 39,19

6

— O^n' 35/86

-0/29

—3/04

9

34, 64

— 0, 30

—3, 98

12

33, 83

—0, 29

—4,91

14

33, 45

—0, 29

—5, 52

16

33, 70

—0,29

—6, 14

22

30, 98

—0, 30

— 7, 91

Apr.

5

7

9

20

29

Göttingen. Limbus Ost.

33.

1*15' 51/49 50, 29 50, 36 4S, 65 43, 97

1/29 1, 29 ■1, 28 1, 27 1, 27

+ 14/39 + 14,02 + 13, 63 + 11,18 + 8, 83

1*15' 38/39

37, 56

38, Ol 38, 74

36, 41

Mittel aus 5 Beobachtungen — 1 16 37, 82

Apr.

Mai

6 8 11 27 30 14

Göttingen. Limbus West.

1*

15' 43/77

— 1/30

+ 14/20

43, 57

-1,24

+ 13, 83

42, 77

— 1, 26

+ 13,23

40, 97

— 1,31

+ «,38

37, Ol

—1, 20

+ «, 56

32, 93

— 1,26

+ 4,43

iHb*

30/» 7 30, 9S 30,^0 31,90 19,71 19,7«

Mittel aus 6 Beobachtungen — i 15 30,64

II. DIE BEOBACHTUNGEN.

25

Altona. Limbus Ost.

Jon.

7

to

11

13 17

•3® 16' 8 177 7 31,69 32, 09 32,41 30, 74

Mittel aus 5 Beobachtungen — 3 16 31, 74

S« 16' 25^27

—3784

— 3716

24,28

— 8, 32

—4, 09

24, 41

—3, 28

—4, 40

24, 14

—3,26

— 6, Ol

lÄ, 33

— 3, 29

-9,12

Jun.

6

9

12

14

16

22

Altona. Limbus West.

•3<> 16' 22767 22, 74

22, 08 20, 42 20, 28 19, 03

—3728

—2784

—8, 33

—3, 78

— 3, 26

-4,71

— 3,23

— 5, 32

—3, 24

— 6,93

—3, 32

— 7, 70

■3<^ 16' 28779

29, 85

30, 05

28, »7

29, 45

30, 05

Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 16 29, 53

Apr.

Mai

Jun.

5

7

9

20

29

4

Göttingen. Limbus Ost.

34

+50

33' 25704

+ 5769

+ 1476 5

+ 5*33'

'45738

25, 54

+ 5,68

+ 14,27

45,49

26, 74

+ 5,65

+ 13,87

46, 26

29, 95

+ 5,61

+ 11,34

46, 90

30, 50

+ 5,60

+ B, 90

45,00

31, 90

+ 5, 41

+ 7,45

44, 76

Mittel aus 6 Beobachtungen +5 33 45, 63

Altona. Limbus Ost.

7

+ 3«32' 52752

+ 3763

—3750

+ 3<> 32' 62765

10

51, 13

+ 3,61

—4, 46

50, 28

11

50, 91

+ 3,66

—4, 78

49, 69

IS

52, 29

+ 3,54

—6,41

50,42

u

54, 46

+ 3, 53

— 6, 06

51, 94

27

59, 20

+ 3,67

— 9, 67

^68, 10

Apr.

Mai

Mittel aus 6 Beobachtungen +8 82 61,85

Jun.

6

8 11 27 30 14

6 9 12 14 16 22

Göttingen. Limbus West.

+5*33' 35776

32, 10 35, 26

40, 67

41, 41 45, 57

+ 5773 + 5,46 + 5,58 + 5,78 + 5,54 + 5, 55

+ 14746 + 14,07 + 13, 45 + 9.47

+ 8,61 + 4,34

+ 5^33' 55795 51, 63

54, 29

55, 92 55, 56 55, 46

Mittel aus 6 Beobachtungen +5 33 54, 80

Altona. Limbus West.

+ 30 32' 54732

+ 3766

3717

+8®82' 64771

54, 09

+ 3,61

-4,14

53, 56

66, 79

+ 8,63

— 6, 10

55,22

67, 31

+ 3,50

—6, 73

66, 08

67, 96

+ 8,51

—6, 87

56, 10

69, 00

+ 3, 60

—8, 20

54, 40

Mittel aus 6 Beobachtungen +8 32 54, 68

Göttingen. Limbus Ost

35.

Apr. 6

—4® 8 6' 10762

—4769

+ I47O6

— 4«35'l7l6

Apr. 6

7

14, 22

—4, 68

+ 18,71

5, 19

8

9

11, 97

— 4,66

+ 18, 86

8, 28

11

20

8, 76

— 4, 68

+ 11,08

2, 86

80

29

8,81

— 4, 62

+ 8,76

4,17

Mai 14

Mittel aus 6 Beobachtungen —4 86 8, 23

Göttingen. Limbus West.

4°34' 64761 66, 21

64, 91 59, 27

65, 39

—4772 —4, 60 —4, 60 —4, 68 —4, 68

+ 13789 + 13, 58 + 12, 97 + 8,49 + 4,48

•4® 84' 66744 67, 18 66, 64 66, 86 65,49

Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 34 66, 00

Jun.

7

10 11

18 27

Altona. Limbus Ost.

-6« 8 6' 66771 68,27 66, 47 66, 88

66, 98

Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 85 57, 04

6<> 85' 47701

—677 8

—2797

47,68

—6, 70

—3,89

46,66

— 6,62

-4,20

46,45

—6,68

—4, 80

41, 40

—6,68

—8, 90

Jun.

6 12

14 16 22

Altona. Limbus West.

•6® 85' 44765 43, 07 46, 32 41, 50 88, 67

Mittel aus

— -6761

— 6, 57 —6, 62

— 6,62 —6, 69

— 2766 —4, 60 —6,11 —5, 72

—7, 48

•60 86' 53792 64, 14 66, 95 58, 74 62, 74

DL

5 Beobachtungen — 6 86 64, 30 4

li, DbN IIHEITENUNTEBKHIEDEB ZWISCHEN gCTT1>'0EN UND ALTOMA.

36. (Fiazzi 16.253) (ÜiltiiiKfii. Limbus Ost. Gottingen. Limbos West.

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Altena.

Limbus Oal

Mittel aus t Beobachtungen -

1.1«

Idittel vu « BeobwbtuiigCD -

Altona. Limbus West.

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Göttingen. Limbus Ost.

37. (Piazzi 16.291)

Göttingen. Limbus West.

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Altona. Limbus Ost.

Altona.

Limbus West.

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38. (Piazzi 16.310)

Göttingen. Limbus Ost.

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Göttingen. Limbua West.

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« Beoba

Achtungen

n. DIE BEOBACHTUNGEN.

27

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7 10

11 IS 17

Altona. Limbus Ost.

■4<>J9'6i;'79 49, 86

49, 55

50, 55 44,94

Mittel aus 5 Beobachtungen

Altona. Limbus West.

— 4;'69

— 3;'04

—4,67

— 3,99

-4,52

-4,81

— 4,61

—4,93

—4,52

— 9, 18

— 4®29'69;'42

Jun. 9

-.4«29'

' 47;'48

68, 42

12

47, 11

58, 38

14

46,23

69,99

16

44, 60

58, 64

22

Miti

44, 20

—4 29 58, 97

^el aus

— 4;'68

— 3;'67

— 4«

29'

66;'73

—4,49

— 4, 62

56, 22

—4,45

—6, 25

66, 93

-4,46

—6, S8

54,83

—4,67

—7,71

66, 48

6 Beobachtungen — 4 29 66, 84

Apr. 29

Jun.

10

11

13 27

39. (Piazzi 17.20) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+ 6'67'42;'47

+ 7;'02

-|-9;'06

+ 6®67'58;'66

Eine Beobachtung +6 67 68, 66

Altona. Limbus Ost.

+4^br 1720 3, 61

2, 60 7,44

+ 6;'04 + 4,98 + 4,96 + 4,98

— 4732 —4, 65

— 5, 31 — 9, 76

+ 4*^57' 1/92 3, 94 2, 25 2, 66

Mittel aus 4 Beobachtungen +4 67 2, 69

Apr. Mai

Jun.

27 30 14

9 12 14 22

+ 6«57' 49793 50, 63 66, 94

+ 7726 + 6, 96 + 6, 96

+ «780 + 8,78 +4,69

+ 6«68'6779

6, 37

7, 49

Mittel aus 3 Beobachtungen +6 58 6,88

Altona. Limbus West.

+4057' 5717

6, 49 6, 58

8, 07

+ 6704 + 4, 95 + 4,89 + 5, 03

—3799 — 4, 98 —5, 63 — 8, 21

+ 4<»67'6722 6, 46 4, 84 4, 89

Mittel aus 4 Beobachtungen +4 67 5, 60

Apr. 29

4

Apr.

Jun.

10 11

13

40. (Piazzi 17.38) Gtittingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+6*20' 16713 14, 05

+ 6738 + 6,23

+97O6 + 7,66

+50 20' 29767 26, 93

Mittel aus 2 Beobachtungen +5 20 28, 26

Apr.

27

30

Mai

14

Altona. Limbus Ost.

+3*19' 38736 38, 63 36, 66

+ 3;'39 + 3,36

+3,34

— 4;'22 —4, 56 —6, 21

+ 3*>19'37;'53 37, 33 34, 69

Mittel aus 3 Beobachtungen +3 19 36,52

Jun.

9 12

22

+ 5<^20' 22739 24, 94 28, 40

+ 6766 +5, 33 + 5,34

+ 9759 + 8,79 + 4,64

+ 6®20' 37754 39, 06 38, 36

Mittel aus 3 Beobachtungen +6 20 88,33

Altona. Limbus West.

+ 3<* 19' 39777 40, 67 42, 14

+ 3;'39 + 3,38 + 3,38

—3789 — 4, 88 —8, 12

+ 3*19' 39727 39, 12 37, 30

Mittel aus 3 Beobachtungen +3 19 88,66

Apr. 29 Mai 4

41. (74 Herculis)

Göttingen. Limbus Ost.

— 6^7' 2725 0, 37

—6;' 16

— 6,01

+ 8;'66 + 7,36

— 6<>6'58','76 68, 02

Mittel aus 2 Beobachtungen — 6 6 58, 39

Göttingen. Limbus West.

Apr. 27

30

Mai 14

—6°6' 57712 53, 92

49, 88

—5734

— 6,11

— 6. 12

+971 6

+ 8,41 + 4,62

— 5«6' 53731 60, 62

50, 48

Mittel aus 3 Beobachtungen —6 6 61,47

4*

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Mittel aus 1 Beobachtungen +^ ^^ ^^•

61

Altona. Limbus West

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5. 33

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4R, 06

47,71 44,46 44,(9

Mittel aus » Beobachtungen ->i 6 4», 60

m.

RESULTATE,

Die kunstloseste Combination der Beobachtungen zu einem Resultate fiir den Breitenunterschied der Beobachtungsplätze besteht darin, jeden Stern für sich zu betrachten. Ist, bei resp. östlicher und westlicher Lage des Limbus, die beobachtete Zenithdistanz in Göttingen a und a\ in Altona h und h\ so wird der Breitenunterschied = i(« + ^')^i(^ + ^')- ^^^ bekommt daher so viele Resultate, als Sterne vollständig beobachtet sind; fiir unsere Beobach- tungen 42, da nur Nro. 5, als in Altona einseitig beobachtet, ausfallt.

Wären die Beobachtungen, auf welchen die Bestimmungen a, a\ 6, V be- ruhen, für alle Sterne gleich zahlreich, so würden alle einzelnen Resultate für den Breitenunterschied fiir gleich zuverlässig zu halten, und daher das einfache arithmetische Mittel das wahrscheinlichste Endresultat sein. Bei unsem Beobachtungen findet jene Voraussetzung nicht Statt, und es muss daher den Resultaten nach Maassgabe der Anzahl der Beobachtungen ein un- gleiches Gewicht beigelegt werden.

Wenn man sich erlaubt, die Fehler aller einzelnen Beobachtungen als unabhängig von einander zu betrachten, das Gewicht einer einzelnen Beob- achtung als Einheit annimmt, und die Anzahl der Beobachtimgen, welche zu den Bestimmungen a, a\ 6, V concurrirt haben, durch a, a', ß, ß' bezeichnet, so wird, nach bekannten Gründen, das Gewicht des Resultats ^a-^-^a' — j^h — ^h'

30 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

durch

1+1+1+1

ausgedruckt werden, folgende :

Unsere 42 Resultate mit ihren Gewichten sind hienach

Stern

Breitenuntenchied

Gewicht

1

2*0' 66;'65

Mi

2

57, 07

5,51

3

57,36

6,22

4

55, 85

4,80

6

67, 81

3,69

7

66, 11

5,71

8

66,03

6,46

9

56, 07

3,78

10

65, 46

0,46

11

66, 35

5,27

12

66, 05

6,27

13

57, 78

5,46

14

67, 10

6,02

16

56, 66

5,71

16

56, 86

6,00

17

66, 92

6,13

18

65, 78

6,92

19

66,40

6,64

20

56,24

6,45

21

55, 48

6,83

22

66, 69

6,33

Stern

Breitenunterschied

Gewicht

23

2«0'56;'45

5,71

24

66,53

5,71

25

66, 71

6,00

26

57, 88

6,00

27

57, 17

2,61

28

56, 39

5,71

29

56,51

4,00

30

66, 37

5,71

31

57, 11

5,71

32

56, 78

6,00

33

56, 31

5,45

34

57, 19

6,00

36

66, 06

6,00

36

57,48

6,45

37

67,24

5,n

38

66, 62

5,46

39

58, 57

2,18

40

55, 75

2,67

41

56,61

8,24

42

56, 64

2,76

43

66, 82

2,86

Das Mittel aus diesen 4 2 Bestimmungen, mit Rücksicht auf die Ungleich- heit der Gewichte, findet sich

2® 0' 56^52 und das Gewicht dieses Resultats = 213,42.

2.

Wenn n verschiedene Bestimmungen einer Grösse die Werthe Aj Ä\ Ä" u. s. w. mit den Gewichten p, p\ p" u. s. w. gegeben haben, Ä* den mit Rück- sicht auf die Gewichte genommenen Mittelwerth und M die Summe

p (A - A^^f ^p' {Ä - A*f -^p" {A" - 4*)* + u. s. w.

bedeuten, so wird in Folge des allgemeinem Lehrsatzes in der Theoria Com- binationis Observationum, Art. 38,

in. RESULTATE.

31

V n-1

einen genäherten Werth des mittlem Fehlers einer Beobachtung derselben Art, deren Gewicht =1 ist, geben. Die Anwendung dieser Vorschrift auf unsem Fall gibt M= 103,4126, und damit den mittlem Fehler einer Beob- achtung

103,41

v/

41

= 1,5882.

Den mittlem in unserm Resultat für den Breitenunterschied zu beforch- tenden Fehler erhält man, wenn man den mittlem Fehler einer Beobachtung mit der Quadratwurzel aus dem Gewicht jenes Resultats dividirt; aus obigem Werthe folgt er demnach = 0^1087.

3.

Der Collimationsfehler des Instruments ergibt sich aus den Beobachtungen eines jeden Sterns in Göttingen = \[a' — a) mit dem Gewicht , ,? und in Altona = -J- (6' — 6) mit dem Gewicht o\Ja, • Folgende Tafel enthält diese Werthe.

Stern

Göttingen.

Altena.

Coli. F.

Gewicht

Coli. F. 1 Gewicht

1

3777

8,89

1:

;'68

8,89

2

3,44

12,92

1.

, 19

9,60

3

3, 69

12,92

1.

66

12,00

4

8, 76

12,00

0;

. 91

8,00

6

3, 73

12,00

—

—

6

3, 46

12,00

2>

,36

6,33

7

4, 10

12,00

1.

, 69

10,91

8

4,10

14,00

0,

90

12,00

9

3, 76

12,92

i.

,99

4,00

10

3, 99

14,00

V

,26

12,00

11

3, 19

12,92

1,

39

8,89

13

3, 06

12,92

0:

,87

8,89

13

3,48

12,00

2.

, 04

10,00

14

3, 67

12,92

1.

, 30

10,91

16

3, 87

12,00

1,

36

10,91

16

3,60

10,00

1:

, 77

10,00

17

3, 63

14,00

0,

. 74

10,91

18

3,63

12,92

0

, 68

10,91

19

3,42

11,67

li

, 38

10,91

20

3,66

10,91

0=

, 84

10,91

21

3,46

9,60

1

, 26

12,00

22

3, 10

9,60

2

, 96

12,00

23

4,49

10,91

1

r42

12,00

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Die Mittelwert he *ind fol:£*/ii'le :

Co:limat:oii«^fehler in Gottintr*-n 3175 mit dem Gewicht 455«! 7 CoIlimationÄfehier in Altona K4o mit dem Gewicht 4 32« IS.

Die Realität der Veränderung des Collimationsfehlers ist offenbar, und ^m leidet keinen Zweifel, dass dieselbe auf dem obwohl mit aller möglichen Vorsicht geleiteten Tran5i>ort eingetreten ist.

Obgleich man sich bei dem für den Breitenunterschied gefundenen Re- i^uitate vollkommen beruhigen kann, so ist es doch wenigstens in theoretischer Kdcksicht nicht überflussig zu bemerken^ dass die im I . Art angewandte Com- bi nation der Beobachtungen noch nicht die möglich Tortheilhafteste ist, in- sofern nicht an jedem Ort jeder Stern in der einen Lage des Sectors eben so oft beobachtet ist, wie in der andern. In der That hat die Bestimmung der wahren Zenithdistanz in Göttingen durch die Formel i a + fl*] das Gewicht wäre nun der Collimationsfehler in Göttingen genau bekannt und = /*,

499

«-*-«'

so würde die Bestimmung der wahren Zenithdistanz daselbst durch die Formel

m. RESULTATE. 33

das Gewicht a + ot' = V^ , + VxV' ^^^^^i d.i. ein grösseres als nach der andern Methode, so oft a und a ungleich sind. Eben so verhält es sich mit der wahren Zenithdistanz in Altona, und auf diese Art würden selbst ein- seitige Beobachtungen (wie die von Nro. 5) einen, wenn auch nur geringen, Beitrag zur Vergrösserung der Genauigkeit geben. Nun sind zwar die Colli- mationsfehler an beiden Plätzen nicht mit absoluter Schärfe bekannt: allein man überzeugt sich leicht, dass die Anwendung der für dieselben gefundenen Mittelwerthe das Gewicht nur ganz unbedeutend vermindert.

5.

Will man jedoch ein reines, den Forderungen der strengen Theorie ganz Genüge leistendes Resultat erhalten, so muss man die Bestimmung des Breiten- unterschiedes, der CoUimationsfehler und der wahren Zenithdistanzen der ein- zelnen Sterne an dem einen Ort als Ein Problem behandeln, wo diese un- bekannten Grössen (in unserm Fall 46 an der Zahl) aus den sämmtlichen durch sie bestimmten beobachteten Grössen (171) durch eben so viele Glei- chungen abgeleitet werden müssen, indem diese nach den Vorschriften der Wahrscheinlichkeitsrechnung combinirt werden. Setzt man die CoUimations- fehler in Göttingen und Altona = f und ^, den Breitenunterschied = A, die wahre Zenithdistanz eines Sterns in Göttingen = ä*, so hat man aus den Be- obachtungen dieses Sterns die vier Gleichungen mit den Gewichten a, a', ß, ß':

a' = k + f b = k—g — h V = k-\'g'-h.

Es ist kaum nöthig zu erinnern, dass es zur Erleichterung der Rechnung vortheilhafter ist, anstatt jener unbekannten Grössen, die noch erforderlichen Correctionen einzufuhren, welche an die schon sehr nahe bestimmten Werthe anzubringen sind ; lassen wir die Zeichen /^, ^®, Ä^, k^ diese genäherten Werthe bedeuten, so mag man annehmen

'^ ~ a + a' + ß + ß'

Bei Befolgung jener Vorschrift (welche man bei Anwendung der Methode IX. 5

34 BESTIMMUNG DES BEEITENUXTER8CHIEDE8 ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

der kleinsten Quadrate auf nur etwas zusammengesetzte Fälle niemals aus den Augen setzen sollte) und dem Gebrauch einer schicklichen indirecten Auflösungsmethode verwandelt sich eine Arbeit, die ohne jene und bei di- recter Elimination unerträglich weitläuftig ausfallt, in ein leichtes Spiel.

6.

Der Erfolg dieser Rechnung , welche ausfuhrlich herzusetzen unnöthig wäre, ist, dass die frühem Bestimmungen gar keine merkliche Correction er- halten. Es findet sich die Verbesserung des Breitenunterschiedes = — 0','0 1 4, die Verbesserung des Collimationsfehlers in Göttingen = 4* 0','0 12, die Ver- besserung des Collimationsfehlers in Altona = — 0^0 1 4 ; folglich die neuen Bestimmungen

Breitenunterschied 2® O' 56','5 1 , Ge^\Ticht = 217,67

Collimationsfehler in Göttingen 3,76 » 457,03

CoUimationsfehler in Altona 1,39 » 437,64.

Die Veränderungen der nach der Vorschrift des vorhergehenden Artikels zum Grunde gelegten wahren Zenithdistanzen der einzelnen Sterne in Göttingen sind gleichfalls fast alle unter 0^01. Die sich ergebenden Werthe hier auf- zuführen, wäre überflüssig, da es dieselben sind, aus welchen die oben mit- getheilten Declinationen der Sterne unter Voraussetzung der Polhöhe des Be- obachtungsplatzes 51®3r47'^92 abgeleitet sind. Dagegen setzen wir die Unter- schiede hier her, welche nach Substitution der gefundenen Werthe in den 171 Gleichungen übrig bleiben.

Stern

Unterschied

Stern

Unterschied

Stern

Unterschied

Stern

Unterschied

+o:'o7

5

+o;'o3

9

— o;'o6

13

+o;'87

+ 0, 09

— 0, 03

— 0, 09

+ 0, 30

— 0, 2«

—

—0, 23

— 1, 35

+ 0,13

— 0, 03

+ 0, 97

— 0, 04

-fO. 66

6

+ 0,62

10

— 0,71

14

+ 0, 40

— 0, OS

+ 0, 03

— 0, 26

+ 0,21

—0, 12

— 1, 95

+ 0, 70

— 0, 29

— 0, 63

— 0, 02

+ 0, 44

— 0, 48

+ 0,48

7

— 0, 52

11

+ 0,12

15

—0, 04

+ 0,34

+ 0,16

— 1, 03

+ 0, 19

— 0, 70

—0, 08

+ 0,72

—0, 04

— 0, 18

+ 0,52

+ 0,71

— 0, 11

— 0, 36

8

— 0, 56

12

+ 0,62

16

— 0. 07

-0, 35

+ 0,12

— 0, 87

— 0, 60

+ 0,79

+ 0,76

+ 0, SO

— 0, 05

—0, 17

— 0, 23

— 0,24

+0,72

Stern

17

IB

19

30

21

22

23

ni

. RESULTATE.

Unterschied

Stern

Unterschied

Stern

Unterschied

Stern

Unterschied

— 0'

;'o6

24

—0

;'i7

31

— o;'4i

38

4-0

;'3o

—0

,52

4-0

, 18

4-1,11

—0

, 10

+ 0

» 06

4-0

f 16

—0, 59

—0

, 24

— 0

, 36

— 0

,20

4-0.09

4-0

, 11

—0,

,23

25

— 0

, 03

32

4-0,14

39

4-0

, 90

— 0

, 40

4-0

>32

—0, 87

4-1

, 71

+1

r 00

4-0

, 46

4-0,63

—0

, 82

—0

>34

— 0

, 07

4-0,11

—0

, 69

+0

,32

26

4-0

,90

33

4-0,19

40

—1

, 81

—0

, 36

4-0

, 46

— 0, 36

4-0

, 75

+0

, 10

— 0

, 06

4-0,41

4-0

, 60

+ 0,

08

— 1

, 32

— 0, 16

— 0

, 14

—0

, 06

27

— 0

, 14

34

—0,48

41

4-0;

, 39

—0

,26

4-1

> 32

4-1,17

—0,

r 21

-1-0

, 66

— u

. 71

—0, 62

—0

38

—0.

44

4-0

, 46

—0, 07

4-",

36

— 0)

, 22

28

4-0

, 46

35

~0, 08

42

4-0,

09

—0,

, 85

— 0

,53

—0,37

4-0,

25

+ 0

,63

4-0

, 62

4-0.25

—1,

02

+ 0

, 37

— «

, 36

4-0,21

4-1,

11

4-0

, 77

2»

—0

, 80

86

— 0, 14

43

—0,

42

—0,

,55

—0

,63

4-1,02

4-0.

86

— 1

,56

4-0

, 68

—0,4 7

4-0,

29

-hl

, 60

4-0

, 10

—0, 58

—0,

47

—0,

, SO

30

—0,

83

37

4-0,11

4-0

,67

4-0,

74

4-0,54

— 0

,03

—0,

21

—0, 93

4-0

03

4-0,

42

4-0,11

35

7.

Die Summe der Producte aus den Quadraten dieser 171 Unterschiede in die entsprechende Anzahl der Beobachtungen findet sich = 292,8249. Nach dem bereits angeführten Lehrsatz (Theoria Comb. Observ. Art. 38) hat man als genäherten Werth des mittlem Fehlers einer einfachen Beobachtung die Quadratwurzel aus dem Bruch zu betrachten, dessen Zähler jene Summe, und dessen Nenner der Überschuss der Anzahl der verglichenen Beobachtungsdata über die Anzahl der nach der Methode der kleinsten Quadrate daraus abge- leiteten unbekannten Grössen ist, in unserm Falle 171— 46 =125. Es findet sich hieraus jener mittlere Fehler = 1^'5308, wenig von dem im 2. Art. ge- fundenen verschieden. Der mittlere in dem Endresultate fiir den Breiten- imterschied zu befürchtende Fehler würde demnach sein

'•^'^ =0;'1038.

^ 217,67

5*

26 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

Apr.

6

7

9

20

39

Mai 4

Jun.

36. (Fiazzi 16.253) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

■404J'38;'27 36, 36 39, 14 36, 36 34, S8 33, 43

— 4;'82 —4, 81

— 4, 79 —4,76 —4, 76 —4, 60

+ t3;'97 + 13,64 + 18,28 + 10,98 + 8,74 + 7,39

^'^ 42' 29712 27, 43 SO, 66 30, 13 30, 89 30, 64

Apr.

6

8

11

27

.

30

Mai

14

.4«42'29;'S6 29, 96 28, 67 26, 36 24, 96 22,44

— 4;'83 — 4, 80 —4,72 —4, 90 — 4, 70 —4, 70

+ 13;'81 + 13,46 + 12,91 + », J« + ^,4« + 4,48

— 4»42'20;'S7 21, 29 20,38

20, 99

21, 17 22,66

Mittel aus

6 Beobachtungen

— 4 42 29, 81

1

Mittel am

6 Beobachtungen

-4 42 21, IS

Altena. Limbus Ost

•

Altona. Limbus West.

7

— 6»43' 13;'16

— 6;'86

— 2;'96

— 6®43'22;'97

Jun. 6

—6« 43' 13^22

— 6;'74

-2;'66

-6«43'22;'61

10

12, 02

—6, 83

—3, 80

22,74

9

12, 12

—6, 84

—3, 68

22,64

11

16, 96

— 6, 76

—4, 20

26,91

12

10, 21

—6, 70

—4, 60

21,41

13

11, 48

— 6, 70

—4.81

22,99

16

8, 99

—6, 64

—6,74

21, 37

27

9, H9

—6, 76

-9,14

26, 7 8

22

6, 81

—6, 82

—7,61

20, 14

Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 43 24, 28

Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 43 21, 61

Jun.

37. (Piazzi 16.291) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

Apr. 6

+ 6024'

3 2/3 6

+ 5/64

+ 14/37

+ 6024'

' 62/26

7

30, 40

+ 6,63

+ 14,02

49, 96

9

31, 60

+ 6,61

+ 13,64

60, 76

20

36, 46

+ 5,46

+ 11,20

62, 12

29

36, 43

+ 6,46

+ 8,84

60, 72

Mai 4

36, 16

+ 6,29

+ 7,42

48, 87

7 10 11 13 27

Mittel aus 6 Beobachtungen +6 24 60,78

Apr.

6

8

11

27

30

Mai

14

Altena. Limbus Ost.

+ 3O23' 65/07 57, 04

66, 13

67, 72 63, 13

+ 8/47

—3/63

+ 8,46

—4, 51

+ 3,42

— 4, 84

+ 3,40

— 6, 49

+ 3,42

—9, 88

+3023' 66/01

55, 99 54, 71

65, 63

66, 67

+ 5O24' 38/36 39, 19 37, 81 44, 10 46, 33 60, 33

+ 5/53 + 6,31 + 5,43 + 6, 63

+ 5,40 + 6,40

+ 14/20 + 13, 83 + 13, 26 + 9, 39 + 8, 56 + 4,36

+ 6024' 68/08 68,33 66,49 69, 12 60,29 60, 08

Mittel aus 6 Beobachtungen +6 24 58, 7S

Altona. Limbus West.

Mittel auB 5 Beobachtungen +3 23 66, 60

Jun.

6

9

12

14

16

22

+3O23' 68/76

60, 9S

61, 15

61, 35

62, 70 64, 31

+ 3/41 + 3,46 + 3, 39 + 3, 36 + 3, 36 + 3,45

—3/20 — 4, 18 —6, 16 — 5, 81 — 6, 47 — 8, 36

+3023*68/96 60, 26 59. 38

58, 90 69, 59

59, 41

Mittel aus 6 Beobachtungen +3 23 69, 42

Apr.

Mai

6

7

9

20

29 4

38. (Piazzi 16.310) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

■2029' 15/02 16, 48

12, 92

13, 75 10, 87

9, 92

-2/65 — 2, 54 —2, 53 — 2, 51 — 2, 51 —2, 43

+ 13/95 + 13, 66 + 13, 82

+ 11, 05 + 8,82 + 7,47

•20 2 9' 3/62 5, 36 2, 13 5, 21

4, 56 4, 88

Mittel aus 6 Beobachtungen —2 29 4, 29

Apr.

6

8

11

27

80

Mai

14

— 2029'

8/56

9, 31 9, 41 4, 81 1, 60 2 28 67, 54

—2/54 —2,44 —2, 50 —2, 59

—2, 48 —2,49

+ 13/83 + 13,49 + 12, 96 + Ö, 34 + 8, 56 + 4,54

—2028' 57/27 68, 26 68, 96 5«, 06 55, 52 66, 49

Mittel aus 6 Beobachtungen — 2 28 67, 26

n. DIE BEOBACHTUNGEN.

27

Jim.

7 10 11 13 J7

Altona. Limbus Ost.

.4'>J9'6i;'79 49, 86 49, &6 60, 56 44, 94

— 4','69

— 3;'04

—4,67

— 3,99

-4,62

—4,81

-4,61

—4,93

—4, 62

—9, 18

4«29'69;'42

68,42 68, 38 69,99 68, 04

Mittel auB 6 Beobachtungen — 4 29 68, 97

Jun.

9 12 14 16 22

Altona. Limbus West.

— 4®29'66;'73 66, 22

66, 93 64,83

66, 48

Mittel aus 6 Beobachtungen — 4 29 66, 84

4®29'47;'48

-4;'68

— 8;'67

47, 11

—4,49

— 4,62

46,23

—4,45

— 6, 25

44, 60

-4,46

—6, 88

44, 20

—4,67

—7, 71

Apr. 29

39. (Piazzi 17.20) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

+6«67'42;'47

+ 7;'02

-f-9;'06

+ 6*67'58;'66

Eine Beobachtung +6 67 68, 66

Altona. Limbus Ost.

Jun.

10

11

13 27

+4

i«67'i;'

20

3,

61

2,

60

7,

44

MiUel

auB

-f6;'04

-f4,9S +4,96 + 4,98

-4;'82 —4, 66 — 6, 31 —9, 76

+ 4*67' i;'92 3, 94 2, 26 2, 66

4 Beobachtungen +4 67 2, 69

Apr. Mai

Jun.

27

30 14

9 12 14 22

+6'67'49;'93 60, 63 56, 94

+ 7;'26 + 6, 96 + 6, 96

+ 9;'60 + 8,78 + 4,69

+ 6*68'6;'79 6,37 7, 49

Mittel auB 3 Beobachtungen +6 68 6, 88

Altona. Limbus West.

+ 40 67'5;'17 6, 49 6, 68

8, 07

Mittel auB

+ 6;'04 +4, «6 + 4,89 +6, 03

— 3;'99 — 4, 98 —6, 63 —8, 21

+ 4067'6;'22 6,46 4, 84 4, 89

4 Beobachtimgen +4 67 6, 60

40. (Piazzi 17.38) Gtittingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

Apr. Uta

29

4

+ 6®20' 16;'l3 14, 06

+ 6;'38 + 6,23

+ 9;'06 + 7,66

+ 6® 20' 29/67 26, 93

Mittel auB 2 Beobachtungen +6 20 28, 26

Apr.

27

30

Mai

14

Altona. Limbus Ost.

Jun.

10

11

13

+ 3® 19' 88!'30 38, 63 86, 56

+ 3;'39 + 3,36 + 3,34

— 4/22 —4, 66 -6,21

+ 3<^19'87j'63 37, 33 34, 69

Mittel auB 8 Beobachtungen +3 19 36, 52

Jun.

9 12 22

+ 6<>20'22;'39 24, 94

28,40

+ 06 + 6, 33 + 6,34

+ 9;'59 + 8,79 + 4,64

+ 6»20' 37/64 39, 06 38,38

Mittel auB 3 Beobachtungen +6 20 38, 33

Altona. Limbus West.

+ 3^19' 39/77 40, 67 42, 14

+ 3/39 + 3,33 + 8,38

— 8/89 — 4, 88 —8, 12

+ 3*19' 39/27 39, 12 37,30

Mittel auB 3 Beobachtungen +3 19 38,66

41. (74 Herculis) Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.

Apr. 2» Mai 4

.60 7'2','26 0, 37

—6/ 16 — 6, Ol

+ 8/66 +7,36

•6^6' 68/76 68, 02

Mittel auB 2 Beobachtungen — & 6 68, 39

Apr. 27

30

Mai 14

■6<>6'57/l2 63, 92

49, 88

Mittel aus

—6/34

— 6, 11

— 6. 12

+9/16

+ 8,41 + 4,52

6® 6' 63/31 60, 62 60, 48

3 Beobachtungen —6 6 6 1,47

4#

38 BEBTIMlIUNr, DES BREITES INT ERSCHIEDE» ZWISCHEN GÖTTISGEN USD ALTOSA.

näh«!rt(> BcstimmuTif; von 'a— l)m»i anzusehen sein. Eine solche einzelne Be- stininiung kann nun zwar in unsi-rm Fall, wo a nie grösser als 7 ist, von dem riclitiucn Werthe sehr abweichen; allein die Siunme aller 171 partiellen Summen 'für alle a, a, b, b' und für alle Sterne muss nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung von

in unserm Fall von 728m»i, wenig verschieden sein. Wir haben jene Summe der 1 7 1 partiellen Summen

= 844,50 gefunden, woraus sich für m der sehr zuverlässige Werth

= i;077U ergibt, bedeutend kleiner als der im 2. und 7, Artikel gefiindene. Es be- stätigt sich also die Einwirkung der Theilungsfehler vollkommen, um deren- willen die firuher herausgebrachten Zahlen kein reines Resultat geben konnten.

10.

In Ermangelung einer directen Kenntniss des mittlem Theilungsfehleis kann man nun ö auf eine indirecte Art so bestimmen, daaa beim Gebrauch der ersten Methode, nach dem Verfahren des Art. 2, oder beim Gebrauch der zweiten Methode nach dem Verfahren des Art. 7 , der mittlere Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht als Einheit angenommen war, wiederum dem gefundenen Werthe von wi gleich wird.

Es hat indessen nicht belohnend genug geschienen, solche Versuche so lange zu wiederholen, bis eine vollkommene Übereinstimmiing erreicht wäre. Vielmehr schien es hinreichend, nachdem durch anderweitige Betrachtungen erkannt war, dass der letzte Werth von Ö nur wenig von 0,2 verschieden aus- fallen könnte, diesen Werth bloss der ersten Combinationsmethode unterzu- legen, woraus sich dann ergeben hat

Breitenunterschied = 2*'0'56"50

Gewicht dieser Bestimmung = 104,29

Mittlerer Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht die Einheit, = i;t31

/ ^

nU RESULTATE. 39

und daher der mittlere in obigem Endresultate zu befürchtende Fehler

= 0^1108.

Die Anwendung der zweiten Combinationsmethode, mit demselben Werthe von 8, würde vermuthlich eine noch nähere Übereinstimmung mit obigem Werthe von m hervorgebracht, das Endresultat fiir den Breitenunterschied vielleicht um O'JOl vermindert, das Gewicht dieser Bestimmung gewiss etwas weniges vergrössert haben; es wurde aber der Mühe nicht werth gehalten, deshalb diese Rechnung von neuem durchzuführen. Man kann sich also an den gefundenen Breitenunterschied 2*'5'56"50 halten, und dessen Fehler als wahrscheinlich zwischen den Grenzen ± 0'^07 enthalten ansehen.

11.

Wenn wir den obigen Werth von 6 beibehalten, so ergibt sich der mitt- lere Theilungsfehler = my^ö = 0','48, daher der sogenannte wahrscheinliche Theilungsfehler der einzelnen Punkte =.o"32 gesetzt werden mag. Offenbar bezieht sich dies aber nur auf die unregelmässigen Theilungsfehler, oder auf die Abweichungen der einzelnen Punkte von einer fingirten, sich diesen so genau wie möglich anschliessenden gleichförmigen Theilung, deren absolute Richtigkeit hiebei eigentlich gar nicht in Frage kommen konnte. Oder mit andern Worten, das gefundene Resultat für den Breitenunterschied mit der ihm beigelegten Genauigkeit bezieht sich, streng genommen, nur auf mittlere Sectorgrade, und bleibt von der absoluten Richtigkeit derselben abhängig. Dem Astronomen bietet das Instrument gar kein selbstständiges Mittel dar, diese zu prüfen. Wenn man indessen erwägt, dass die Endpunkte desBogens von dem Künstler mit äusserster Sorgfalt niedergelegt sind, und dass hier nur von einem kleinen Theile des ganzen Bogens die Rede ist, so wird man zu- geben müssen, dass die Unsicherheit des gefundenen Breitenunterschiedes aus dieser Quelle nur um ein sehr Geringes vergrössert werden kann. Einige Controlle für die absolute Richtigkeit der Theilung geben übrigens auch die von mir am REicHENBACHschen Meridiankreise beobachteten Zenithdistanzen derselben 43 Sterne, deren Unterschiede von den am Sector beobachteten, bei einer Anordnimg nach den Declinationen , keine Spur von Regelmässigkeit zeigen.

40 BEHTIMMlNü DES BKElTESUNTERStlUEDES ZWISCHEN GÖTTINGES rxD ALTOKA.

12.

Der Platz des Mittelpunkts des Si'ctors in Göttingen war 1,060 Toisen iiJlnilioh und 7, 5!i5 Toisen östlith vom Centrum der Axe des REicHENBACHscheu Meridiankreises: in Altona hingefien war der Mittelpunkt des Sectors 13,511 'l'oisen südlich und 2,57S westlich vom Mittelpunkt des dortigen Meridian- kreises. Die Reduction des Breiteuunteraehiedes der Sectorplätze auf den der Meridiankreise ist daher für (jöttingen (»"07 und für Altona o"S5, und folg- lieh der Breitenunterschied der Sternwarten von Göttingen und Altona in Be- ziehung auf die Plätze der Reichen BAtiisehen Meridiankreise = 2"0'57"42.

13.

Die absolute Polhöhe, welche den oben gegebenen aus den Zenithdistanzen abgeleiteten Declinationen der Sterne zum Grunde gelegt ist, beruht auf S9 Beobachtungen des Nord.<items, am REirHESB.\(Hschen Meridiankreise, in beiden C'ubninationen, dirert und von einer '\^'as8erfläche reflectirt. Da die Beobach- tungen von 1824, welche den grössten Theil ausmachen, bisher noch nicht bekannt gemacht sind, so stelle ich hier sämmtliche Beobachtungen zusaipmen, \md bemerke nur, dass meistens die directe Einstellung beim Antritt an den zweiten, vierten mittelsten und sechsten Faden, die Einstellung des reflec- tirten Bildes hingegen beim Antritt an den ersten, dritten, fünften und sie- benten Faden gemacht ist. Von diesen auf die Cubninationszeit reducirten Zenithdistanzen ist hier das Mittel angegeben, welches bloss von der Refrac- tion nach Bessels Tafeln befreit ist, also CoUimationsfehler und Wirkung der Biegung des Femrohrs noch einschliesst.

Zenithdistanzen des Nordsterns. 1820. Kreis in Osten.

l Direct 319° 50' 20;73 Mai 13. Untere Culm.

I Reflectirt 220 5 3,94

1 Direct 323 8 41,51 13. Obere Culm. ! „ „ .

I Reflectirt 216 46 44,31

ni. RESULTATE.

41

1824. Kreis in Osten.

Apr. 20. Obere Culm.

21. Untere Culm,

21. Obere Culm.

25. Untere Culm.

27. Obere Culm.

28. Obere Culm.

29. Untere Culm.

Mai 1. Untere Culm.

1. Obere Culm.

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct

Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

Direct Reflectirt

323® 7' 52';62

216 48 54,93

319 52 30,27

220 4 19,32

323 7 54,16

216 48 54,21

319 52 30,03

220 4 21,10

323 7 55,70

216 48 52,93

323 7 55,40

216 48 52,22

319 52 29,17

220 4 21,34

319 52 28,59

220 '4 22,62

323 7 57,22

216 48 51,66

Mai 2. Untere Culm.

8. Obere Culm.

9. Untere Culm-

Kreis in Westen.

Direct 40® 4' 20;'00

Reflectirt 139 52 27,15

Direct 36 48 49,32

Reflectirt 143 7 57,63

Direct 40 4 22,93

Reflectirt 139 52 25,68

1 Beob. 2

3

4

3

4

3

4

3 4

3

4

3 4

3 4

3

4

»

» »

» »

» »

)> ))

» »

» »

» »

»

3 Beob.

4

3 4

3

4

»

» »

» »

Die Änderungen der Declination des Nordsterns ergeben sich aus Sessels Tafeln wie folgt:

6

42 ftfMmutvsa der beetten Unterschiedes zwischen gÖtttnoen und altona.

IS2() von der untern Culmination des 13. Mai an gerechnet:

Mai 13. Obere Culm. — f»"lft; 1*121 von der obem Culmination des 20. April an gerechnet:

Apr.

21.

U. C.

-o;i3

21.

O.e.

-0,26

25.

u. c.

-1,29

27.

o. c.

-2,04

28.

o. c.

-2,32

29.

u. c.

-2,45

1.

D. C.

-2,93

1.

O.e.

— 3,03

2.

u. c.

-3,14

8.

o.e.

— 4,64

9

u. e.

— 4,77

14.

Bezeichnet man die Biegung des Femrohrs, oder die Veränderung der Lage der auf die Ebene des getheilten KreiBes projicirten optischen Axe gegen die Eintheilung, vermöge der Einwirkung der Schwere auf sämmtliche ver- bundene Bestandtheile des Instruments, bei horizontaler Lage der optischen Axe durch /", bei verticaler durch p, und setzt voraus, dass diese Biegung der Schwerkraft proportional ist {was bei der äusserst geringen Grösse der ganzen Wirkung unbedenklicli scheint), so wird bei der Neigung der optischen Axe i die Biegung durch /"sinz+^^cos« ausgedrückt werden, so verstanden, dass wenn der Collimationsfehler = e und die abgelesene Zenithdistanz = z ist, die wahre Zenithdistanz

= z — e-\- /"sin [z — e) +^ cos -^z — e)

sein wird. Wäre das Femrohr Tollkommen symmetrisch, so wurde ff ganz w^allen; allein da keine menschliche materielle Arbeit absolut vollkommen ist, und überdies die vollkommene Symmetrie schon durch die Balancii^e- wichte gewissermaassen gestört wird, so scheint es durchaus nicht ungereimt, die Möglichkeit eines ein oder ein Paar Zefantheile einer Secunde betragenden

III. RESULTATE. 43

Werthes von g zuzugeben, und wenn einmal die Rechnung auf einzelne Zehn- theile oder gar Hunderttheile der Secunde genau gefuhrt wird, so würde es inconsequent sein, die Berücksichtigung des zweiten Theils der Biegung, in- sofern sie möglich ist, zu unterlassen.

15.

Das Complement des halben Unterschiedes der direct und durch Reflexion gemessenen Zenithdistanz zu 90** gibt die Zenithdistanz vom Collimationsfehler und von dem ersten Theile der Biegung befreit, also bloss noch den zweiten Theil der Biegung enthaltend, und zwar mit entgegengesetztem Zeichen, [je] nachdem der Kreis in Osten oder Westen ist. Offenbar bezieht sich diese Zenithdistanz auf die Verticale an der Stelle, wo die optische Axe das Wassergefäss trifft, welche, fiir beide Culminationen des Nordsterns unmerk- lich verschieden, um 0'^05 nördlicher ist als die Axe des Kreises. Diese Com- bination ist unserm Zweck auch insofern angemessener, als man der Voraus- setzung der UnVeränderlichkeit des CoUimationsfehlers während der ganzen Dauer der Beobachtungen von 1824 ausweicht. Das Gewicht jener Bestimmung wird, wenn man die Anzahl der directen Beobachtungen = a, die der Re-

4-aS

flexionsbeobachtungen = ^ setzt, = ^^rrä' insofern man die Beobachtungs- fehler als rein zufällig und von einander unabhängig betrachtet.

16.

Bezeichnen wir nun mit

cp die Polhöhe an dem Platz des Wassergefassee

6 die Declination des Nordsterns in der untern Culmination des

13. Mai 1820 8' die Declination in der obem Culmination des 20. April 1824,

so geben uns die Beobachtungen folgende Bestimmungen:

fax 8-^cp — 0,765^

1820 Mai 13 139® 52' 38^40 Gewicht 6,86

für 8 — cp-f.0,800^

1820 Mai 13 36® 49' I^ÖO Gewicht 2,00

6*

44 BESTIMMtrNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN 6ÖTTINGEN UND ALTONA.

für 8'-t-<p — 0,765^

- T - ^rf~r m0 ww A^^^^*A^M*^ -^^ -^

1824 Apr. 21

139" 54' 5^61

Gewicht 6,86

25

139 54 5,76

» 6,86

29

139 54 6,36

» 6,86

Mai 1 . . . .

139 54 5,91

» 6,86

für 8' — 9 + 0,800y

1824 Apr. 20

36" 50' 3i;i5

Gewicht 2,67

21

36 50 30,29

» 6,86

27

36 50 30,65

» 6,86

28

36 50 30,73

» 6,86

Mai 1 . . . .

36 50 30,25

» 6,86

für 8' + 9+ 0,765^

1824 Mai 2

139" 54' 6^7 1

Gewicht 6,86

9

139 54 6,15

» 6,86

für 5' — 9—0,800^

1824 Mai 8

36" 50' 30^48

Gewicht 6,86

Wir erhalten demnach zur Bestimmung der yier unbekannten Grössen 8, 8\ 9, y die sechs Gleichungen

8-1-9 — 0,765^ = 139^52' 38^40 Gewicht 6,86 8—9 + 0,800^= 36 49 1,50 » 2,00

8'+9--0,765^ = 139 54 5,91 » 27,43

8'— 9 + 0,800^ = 36 50 30,54 8'+? + 0,765^ = 139 54 6,43 8'— 9 — 0,800^= 36 50 30,48

30,10 13,71

6,86.

woraus sich durch die Methode der kleinsten Quadrate '^) folgende Werihe ergeben :

8 = 88® 20' 50;33 6'= 88 22 18,28

9 = 51 31 47,90 ff = + 0,17.

Das Gewicht der Bestimmung von 9 wird hiebei = 60,8.

*) Hier etwas bequemer nach dem Verfahren im Supplem. Theor. Comb. Observ.

ra, RESULTATE.

45

Um für die Genauigkeit der Beobachtungen einigermaassen einen Maass- stab zu haben, substituiren wir diese Werthe in den vierzehn Gleichungen, aus welchen die vorigen sechs zusammengezogen waren; es bleiben dann fol- gende Fehler übrig:

Fehler

Gewicht der Gleichung

— 0';30

6,86

+ 1,07

2,00

+ 0,44

6,86

+ 0,29

6,86

— 0,31

6,86

+ 0,14

6,86

— 0,63

2,67

+ 0,23

6,86

— 0,13

6,86

— 0,21

6,86

+ 0,27

6,86

— 0,40

6,86

+ 0,16

6,86

— 0,24

6,86

Die Summe der Producte der Quadrate dieser Fehler in die Gewichte wird = 9,6154; also ein genäherter Werth für den mittlem Fehler einer Be- obachtung

= v/^ = o:98i.

Der mittlere in dem Endresultat für die Polhöhe zu befürchtende Fehler, so weit er von unregelmässig wirkenden Ursachen herrührt, ist demnach

o;^98i

V60,8

= 0;'126.

Etwas muss aber die Unsicherheit des Resultats allerdings grösser sein, da die Voraussetzung, dass sämmtliche Beobachtungsfehler ohne Ordnung von einander unabhängig sind, nicht ganz richtig ist. Bei gleichnamigen Beobach-

46 BESTIMMUNG DES BREITEN UNTEK8CHIEDE8 ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

tungen zu einer Culmination , und bei den gleichnamigen Culminationen an mehrem Tagen liegt nemlich nahe dasselbe Ablesungsresultat zum Grunde, und obgleich, bei der Ablesung durch Vemiers, fast immer andere Theil- striche sprechend werden, deren unregelmässige Theilungsfehler also bei unserm Verfahren in den mittlem Fehler einer Beobachtung 0^981 mit ein- geschlossen sind, so ist doch natürlich, dass in den verschiedenen Gegenden des Limbus gewisse ungleiche Durchschnittsfehler vorherrschen müssen. Jeden- falls sind aber dieselben sehr klein. Im Jahre 1826 habe ich mit vier vor- trefflichen Mikroskopen von Repsold 30 Theilstriche von 12 zu 12 Grad mit äusserster Sorgfalt geprüft, wobei jeder Theilstrich fast 200 mal, in abge- änderten Combinationen, eingestellt wurde. Das Resultat ist, dass das Mittel der Fehler von zwei diametral entgegengesetzten Theilstrichen, A und J. + 1 8 0®, so weit noch einige Regelmässigkeit zu erkennen ist, durch die Formel

— r;23 cos \2A — 28" 28' — 0^22 cos (4^ — 47® 56')

möglichst nahe dargestellt wird, dass die dann übrig bleibenden Fehler als regellos erscheinen, und die Quadratwurzel aus dem Mittel ihrer Quadrate = 0','32 wird. Ich hatte mir vorgesetzt, diese Prüfung auf die doppelte An- zahl der Theilstriche auszudehnen; allein bei der Geringfügigkeit der sich er- gebenden Resultate scheint diese Untersuchung den grossen dazu erforder- lichen Zeitaufwand nicht zu verdienen. Es bedarf keiner Erinnerung, dass der erste Theil des regelmässigen Fehlers — 1^23 cos (2.A— 28^28') von selbst wegfallt, wenn, wie bei obigen Beobachtungen immer geschehen ist, alle vier Verniers abgelesen werden. Er enthält hingegen eine reelle Verbesserung, falls man die Theilung nur an zwei gegenüberliegenden Stellen abliest, wie ich gegenwärtig immer thue, seitdem ich mich mit bedeutendem Gewinn für die Feinheit der Ablesung statt der Vemiers zweier REPsotnscher Mikroskope bediene.

17.

Zieht man vor, ^ = 0 vorauszusetzen, so fällt die Polhöhe um 0^07 kleiner aus, und das Gewicht dieser Bestimmung wird = 84,1. Anderweitige, an einem andern Orte anzuführende Beobachtungen scheinen übrigens den obigen

III. RESULTATE. 47

Werth von g^ dem Zeichen und auch sehr nahe der Grösse nach, zu bestätigen, reichen aber noch nicht hin, über einen so delicaten Gegenstand zu entscheiden. Den Coefficienten f kann man aus vorliegenden Beobachtungen nicht be- stimmen, ohne die Unveränderlichkeit des Collimationsfehlers während der Beobachtungen von 1824 vorauszusetzen. Erlaubt man sich diese Voraus- setzung, so hat man 28 Gleichungen, deren gehörige Behandlung

cp = 51®3r47';89 mit dem Gewicht 60,9 f = + 0,76

9= + 0,23

gibt. Da man gegenwärtig, durch Einstellen des Femrohrs auf den Nadir- punkt, den Collimationsfehler jede Stunde mit bewundernswürdiger Genauig- keit ohne Umlegen bestimmen kann*"), so behalte ich mir weitere Prüfung dieses Gegenstandes vor.

18.

Mit Vorbehalt der durch künftige weitere Untersuchungen noch auszu- mittelnden Correction, die wohl schwerlich eine halbe Secunde erreichen kann, setze ich daher die Polhöhe

in Göttingen

für den Platz des Wassergefasses bei den Nord-

stembeobachtimgen 5 1 ® 3 1 ' 4 7'^9 0

für den Platz des REicHENBACHschen Meridiankreises 47,85

für den Platz des Zenithsectors 47,92

(welche letztere zur Reduction der Declinationen der Zenithalsteme

zum Grunde gelegt ist)

in Altona

für den Platz des Zenithsectors 53®32'44;'42

für den Platz des Meridiankreises 45,27.

*) Ich bediene mich dieses unschätzbaren Mittels, dessen Ausfrlhrbarkeit Bohnenbeboeb zuerst ge- zeigt hat, seit zwei Jahren best&ndig.

48 H^ATlHUiSi, VZ% BAhnEyf.SThBMHlEDa ZWISCHEN GOTTIXGEX rXD ALTOXA.

19.

Sfu:h Act trigonometrischen Verbindung der Sternwarten von Göttingen und Altona liegt letztere

115163,725 Toisen nördlich 7,211 Toisen westlich

von yixutx. DieHe Zahlen beziehen sich auf die Platze der Meridiankreise; nie gründen Hich auf den Werth der Dreiecksseite ELamburg - Hohenhom 13841,S15 Toisen, und diese auf die von Hm. Prof. ScTiUMACHEa in Holstein im Jahr IS 20 gemessene Basis. Da jedoch die Vergleichung der dabei ge- brauchtem McHSHtangen mit der Normaltoise noch nicht definitiv vollendet int, so wird obige Entfernung in Zukunft noch in demselben Verhältniss ab- '/uändc»m sein, wie die Basis selbst, welche Veränderung aber jedenfalls nur sehr gering s(?in kann. Der mittlere Breitengrad zwischen beiden Sternwarten ergibt sich danach

= 57127,2 Toisen,

m^jrklich grösser, als man nach den mittlem Werthen der in Frankreich und England gemessenen Grade hätte erwarten sollen.

20.

Di(; hannoversche Gradmessung liefert also einen neuen Beitrag zur Be- Htiitigting der nicht mehr zu bezweifelnden Wahrheit, dass die Oberfläche der Erde keine ganz regelmässige Gestalt hat. Von dieser Unregelmässigkeit haben bcnt'itH die Anomalien bei den Theilen der französischen und der englischen (iradmoRSung Beweise gegeben, noch stärkere die Anomalien bei den Polhöhen nu»hr(a(U* örter in Italien. Bei der hannoverschen Gradmessung findet sich atis8(?r der Anomalie zwischen Göttingen und Altona eine noch beträchtlich stärkere hv\ einem zwischenliegenden Dreieckspunkte, dem Brocken. Wenn man meine Dreiecke als auf der Oberfläche eines elliptischen Sphäroids lie- gend, dessen Dimensionen die von Walbeck aus der Gesammtheit der bis- h(^rig(»n Gradmessungen abgeleiteten sind, und welches nach unserer besten gegenwärtigen Kenntniss sich am vollkommensten an die wirkliche Gestalt

III. RESULTATE. 49

im Ganzen anschliesst (Abplattung 3Ö278 ' ^^^ dreihundertsechzigste Theil des Erdmeridians = 57009,758 Toisen), berechnet, und dabei von der Polhöhe von Göttingen = 51®3r47','85 ausgeht, so findet sich die Breite

des Brockens =51^48' l';85 von Altona = 53 32 50,79.

Während nun die astronomischen Beobachtungen die Polhöhe von Altona 5^52 kleiner gegeben haben, geben die von Hm. von Zach auf dem Brocken angestellten Beobachtungen die Polhöhe dieses Punktes 10 — 11" grösser*), ein unterschied, von dem doch jedenfalls nur ein kleiner Theil dem Instru- mente und den in der Rechnung gebrauchten Declinationen zur Last fallen kann. Die Vergleichung des Breitenunterschiedes zwischen Altona und dem Brocken mit der Krümmung, welche dem sich der Erde im Ganzen am besten anschliessenden Sphäroid entspricht, würde daher eine Abweichung von 16" geben.

Nach unserm Dafürhalten betrachtet man diesen Gegenstand aus einem falschen Gesichtspunkte, wenn man bei solchen Erscheinungen immer nur von Localablenkungen der Lothlinie spricht, und sie also gleichsam nur als ein- zelne Ausnahmen ansieht. Was wir im geometrischen Sinn Oberfläche der Erde nennen, ist nichts anderes als diejenige Fläche, welche überall die Rich- tung der Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Welt- meers einen Theil ausmacht. Die Richtung der Schwere an jedem Punkte wird aber durch die Gestalt des festen Theils der Erde und seine ungleiche Dichtigkeit bestimmt, und an der äussern Rinde der Erde, von der allein wir etwas wissen, zeigt sich diese Gestalt und Dichtigkeit als höchst unregel- mässig; die Unregelmässigkeit der Dichtigkeit mag sich leicht noch ziemlich tief unter die äussere Rinde erstrecken, imd entzieht sich ganz unsem Be- rechnungen, zu welchen fast alle Data fehlen. Die geometrische Oberfläche ist das Product der Gesammtwirkung dieser ungleich vertheilten Elemente, und anstatt vorkommende unzweideutige Beweise der Unregelmässigkeit befremdend zu finden, scheint es eher zu bewundem, dass sie nicht noch grösser ist.

*) Monatl. Corresp. B. X. S. 203. An einem Platze, der etwa o'/b südlicher liegt, als der Dreiecks* punkt, fand dieser geschickte Beobachter aus 188 Beobachtungen von a Aquilae 51^48' 12 ''12. Aus Sonnen- beobaehtungen fand er 6 1 * 4 8' 1 1'/ 1 7 .

IX.

50 BESTIMMUNG DES BREITEN L M'EBSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA-

Wären die astronomischen Beobachtungen einer zehn- oder hundertmal gros- sem Genauigkeit fähig, als sie gegenwärtig haben, so würden sie diese Un- regelmässigkeit ohne Zweifel überall nachweisen.

Bei dieser Lage der Sache hindert aber noch nichts, die Erde im Granzen als ein elliptisches Revolutionssphäroid zu betrachten, von dem die wirkliche (geometrische] Oberfläche überall bald in starkem, bald in schwachem, bald in kurzem, bald in langem Undulationen abweicht. Wäre es möglich, die ganze Erde mit Einem trigonometrischen Netze gleichsam zu umspinnen, und die gegenseitige Lage aller Punkte dadurch zu berechnen, so würde das idealische Revolutionssphäroid dasjenige sein, auf welchem berechnet die Richtungen der Verticalen die mögUch beste Übereinstimmung mit den astronomischen Be- obachtungen gäben. Wenn man gleich von diesem unerreichbaren Ideale immer weit entfernt bleiben wird, so leidet es doch keinen Zweifel, dass die künftigen Jahrhunderte die mathematische Kenntniss der Erdfigur sehr viel werden weiter bringen können. Die Vervielfältigung der Gradmessungen ist aber eigentlich nur der Anfang dazu, woraus nur einzelne Resultate für eine kleine Anzahl in isolirten Linien liegender Punkte hervoi^ehen: wie viel er- giebiger wird aber die Ausbeute sein, wenn diejenigen trigonometrischen Ope- rationen, welche mit ausgesuchten Hül&mitteln in verschiedenen Ländern aus- geführt sind, in Verknüpfung kommen und sich zu Einem grossen System ab- runden. Vielleicht ist die Aussicht nicht chimärisch, dass einst alle Stern- warten von Europa trigonometrisch unter einander verbunden sein werden, da schon jetzt solche Verbindimgen von Schottland bis zum adriatischen Meere und von Formentera bis Fünen vorhanden, wenn gleich bisher nur theü- weise öffentlich bekannt gemacht sind. Möchte nur dieser letzte Umstand, mehr als bisher geschehen, beachtet, und kostbare Materialien, die der wissen- schaftlichen Welt angehören sollten, dieser nicht entzogen, oder gar der Ge- fahr des Unterganges preisgegeben werden!

21.

Ein nicht uninteressantes Resultat gibt noch die Veigleichung der aus den Sectorbeobachtungen hervorgegangenen Stemdeclinationen mit altem Be- stimmungen, wo solche vorhanden sind. Von unsem 43 Sternen finden sich

III. RESULTATE.

51

27 in PiAZZis und 13 in Bessels BRADLEYSchem Catalog. Hier folgt die Ver- gleichung unserer Bestimmungen (1827) mit den BRADLEYSchen (1755) \md PiAZzischen (1800), nach Bessels neuer Bestimmung der Präcession reducirt; positive Zeichen bedeuten eine nördlichere Stellung aus unserer Bestimmung.

Bezeichnung

Bradlbt

1

2 3 4

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Ift

24 Canum 83 Ursae 7} Ursae 86 Ursae

P. 13.289

13 Bootis X Bootis sq.

P. 14.56

6 Bootis

P. 14.131 P. 14.164

39 Bootii med.

P. 14.235

44 Bootis med.

+ o;'2 - 1,5

— »,4

+ 1,4

— J,9

— 30, 6

1+ 1,»

PlAZZI

+ 1

— 2

— 2

— 0

— 1

-h 2

— 2

— 0 — 10

+ 7

+ 2

— 6

+ 1

'1 0 3 8 3 4 2 4 S 4 1 7 0 1

Bezeichnung

Bradley

PlAZZI

17

P. 15.39

o;'7

25

6 Draconis

-h23;'5

+ 8,6

27

P. 16.33

—

- 2,«

28

P. 16.56

—

— 2,6

32

16 Draconis

+ t.j

— 3,7

36

P. 16.253

—

- 2,1

37

P. 16.291

—

+ 10,3

38

P. 16.310

—

— 4,9

39

P. 17.20

—

— 3,0

40

P. 17.38

—

— 2,9

41

7 4 Herculis

+ 1,7

+ «,7

42

P. 17.120

— 2,1

43

ß Draconis

— 0,5

- 1,6

7*

IV.

BREITENBESTIMMÜNG DER STERNWARTE SEEBER%

Glc»ichzc*itig mit meinen Beobachtungen in Göttingen und Altona wurden diemdben Sterne auf meine Aufforderung auch von Hm. Hansen, Director der Sternwarte Seeberg bei Gotha, an dem dortigen ERXELSchen zweifussigen Meri- diankreiHe beobachtet. Der sich daraus ergebende Breitenunterschied zwischen di(?8er und der Göttinger Sternwarte erhält ein noch erhöhtes Interesse durch den Umstand, dass erstere vermittelst einiger unter Leitung des Herrn General- lieutenants VON MOfflino gemessener Dreiecke mit dem hannoverschen Drei- eckssystem verbunden ist.

D(*r Kreis wurde während der Beobachtungen einigemale umgelegt, allein di(; Bestimmung des Collimationsfehlers wurde unabhängig davon jeden Tag, und m(»iHtens jeden Tag zweimal, durch Einstellung auf den Nadirpunkt ge- macht, welches schon oben erwähnte Verfahren Hr. Hansen im Herbst 1826 auf hi(!sig(»r Sternwarte praktisch kennen gelernt hatte. Die Ablesung geschah nicht mit Vemiers, sondern mit Mikroskopen. Folgende Übersicht enthält die TIauptresultate dieser Beobachtungen, indem die erste Columne die Be- zeichnung des Sterns, die zweite die Lage des Kreises, die dritte die Anzahl der B(»obachtungen , die vierte die von mir auf den Anfang des Jahrs 1827 rciducirtc» Zenithdistanz (nördliche mit positivem Zeichen), die fiinfte die Breite, welche aus den oben S. 9 mitgetheilten Declinationen sich ergibt, darstellt.

BESTDOfUNG DES BBEITENUNTERSCHIEDES ETC. IV. BREITENBE8TIMMÜNG YON SEEBERG. 53

1

Ost

5

— 1'

> 1'68;'14

60*66' 4/76

Wert

52, 80

4,42

2

Ort

+ 4

87 29, 41

5, 57

Wert

30, 86

*, IJ

S

Ost

— 0

45 19, 00

5, 20

West

17,70

3, 90

4

Ort

+ »

38 50, 88

6,17

Wert

51, 05

4,50

6

Ort

+ *

29 54, 35

4, 87

Wert

54, 80

4, 92

6

Ost

— 4

20 26, 87

6, Ol

Wert

25, 92

5, 06

7

Ort

— 0

39 22,12

5, 56

Wert

20, 70

4,14

8

Ort

+ 1

40 1, 41

6, 06

Wert

3, 24

4, 23

»

Ort

+»

17 29, 69

6, 82

Wert

33, 72

2, 79

10

Ort

• _

+ 1

43 6,51

5, 54

Wert

8, 63

3, 42

11

Ost

+ »

43 27, 76

5,26

West

28, 89

4, 13

12

Ost

+»

2 48, 89

6, 77

Wert

50, 29

5,37

18

Ort

1

29 56,73

6, 19

Wert

56, 64

6, 10

14

Ost

— 0

35 42, 51

6, 00

Wert

42, 84

5, 33

15

Ort

—2

36 14,46

6, 93

Wert

12, 88

5, 35

16 17

18

19 20

21

22

23

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Ost

6

— 1

0 42'

' 19;'87

Wert

5

17, 06

Ort

+»

38

48, 22

Wert

48, 7«

Ort

+1

38

59, 63

Wert

61, 61

Wert

+»

41

30, 88

Ost

+s

33

60, 19

West

47, 87

Ort

+1

58

31, 74

West

32, 90

Ost

— 4

39

61, 87

Wert

58, 90

Ost

+»

24

21, 09

Wert

■■•

22, 88

Wert

— 0

33

26, 54

West

+ 8

5

40,64

Wert

—0

17

51, 91

West

— 4

35

46, 63

West

+ »

44

9, 48

West

+ 1

31

6, 78

Wert

+*

40

0, 22

Wert

—4

67

58, 2S

West

+»

18

69, 76

Wert

— 0

39

61, fll

West

+ «

11

34, 86

Wert

— 8

59

16, 66

Wert

— 4

6

42, 83

West

+ «

0

36, 97

West

— 1

53

16, 75

60<^56'6 3

4

6 4 4 4

6 5 4 6 3 6 4 6 6 5 3 3 6 4 4 3 5 2 4 4 6 3

'66 73

50

93

24

36

49

11

43

36

19

07

60

91

12

96

60

03

67

93

28

61

13

88

28

94

09

84

38

84

Diese sechzig Resultate für die Breite haben nun freilich ungleiche Zu- verlässigkeit; allein um die ihnen beizulegenden Gewichte ohne Willkür an- geben zu können, müsste das Verhältniss des mittlem eigentlichen Beobach- tungsfehlers zum mittlem Theilungsfehler bekannt sein; ist dies Verhältniss wie 1 zu ^ö, so wird, wenn man die geringe den Declinationen noch anhän- gende Unsicherheit nicht beachtet.

n

l+n8

das Gewicht einer auf n Beobachtungen, die sich auf einerlei Theilstrich be- ziehen, beruhenden Bestimmung sein.

Nimmt man statt dieses Gewichts schlechthin n an, so wird das Mittel aus den 206 Beobachtungen

= 50®56'5';i6.

54 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.

Inzwischen lassen die Beobachtungen erkennen, dass die Theilungsfehler Vergleichungsweise betrachtlich grösser sein müssen, als an dem RAMSDENschen Zenithsector , während die eigentlichen Beobachtungsfehler eher noch etwas kleiner sein mögen. Bei jenem Verfahren werden also die auf einer grossem Anzahl von Beobachtungen beruhenden Bestimmungen vor denen, welchen nur eine oder zwei zum Gnmde liegen, viel zu sehr bevorzugt.

Sobald man aber den Einfluss der Theilungsfehler berücksichtigen wül, darf auch nicht unbeachtet bleiben, dass die jedesmalige Bestimmung des Collimationsfehlers einen constanten, von den Fehlem der dabei sprechenden Theilstriche abhängenden Fehler involvirt. Es ist aber klar, dass derselbe auf die Polhöhe in entgegengesetztem Sinn wirkt, je nachdem der Kreis östlich oder westlich sich befindet. Man wird daher die auf die verschiedenen Lagen des Kreises sich beziehenden Beobachtungen von einander trennen, aus jeder Reihe, mit Anwendung des Gewichts ^_^ ^ für jede Bestimmung, das Mittel berechnen, und zuletzt aus diesen beiden Mitteln das einfache arithmetische Mittel nehmen müssen.

In Ermangelung einer bestimmten Kenntniss von 6, ist diese Rechnung in den drei Hypothesen 6 = 0, 6= 1, 6 = oo gefuhrt, woraus sich für die Polhöhe ergeben hat:

8 = 0

e = 1

6 = oo

Kreis Ost

Kieis West

50*56'5;75 4,62

50" 56' 5^69 4,65

50"56'5;71 4,65

Polhöhe

50 56 5,18

50 56 5,17

50 56 5,18

Man sieht also, dass die Berücksichtigung der strengem Grundsätze das erste Resultat gar nicht merklich ändert, und dass man sich an die Zahl 50® 56' 5;' 17 halten kann.

Bei diesen Rechnungen ist auf die Biegung des Femrohrs noch keine Rücksicht genommen* Nach Hm. Hansens Angabe ist dieselbe im Horizont = r,'00, und zwar von der beobachteten Zenithdistanz abzuziehen, oder nach unserer Bezeichnung /*= —1^00. Man sieht, dass bei Berücksichtigung dieser Biegung die Folhöhe aus den nördlich vom Zenith culminirenden Sternen etwas grösser, aus den südlichen kleiner ausfallen, und, weil jene etwas über-

IV. BREITENBESTIMMUNG DER STERNWARTE SEEBERG. 55

wiegen, das Mittelresultat um 0^'02 vergrössert werden wird. Der zweite Theil der Biegung, oder die Biegung bei verticaler Stellung, kann, da alle hier vor- kommenden Zenithdistanzen nur klein sind, als eine constante Veränderung des Collimationsfehlers betrachtet werden, und wird also bei imserm Verfahren gerade eben so, wie die Theilungsfehler der bei der Bestimmung von jenem sprechenden Theilstriche, von selbst eliminirt.

Wir haben demnach als Definitivwerth für die Polhöhe aus diesen Be- obachtungen

50® 56' 5','! 9.

Die erwähnte trigonometrische Verbindung der beiden Sternwarten, nach den oben angeführten Dimensionen des Erdsphäroids berechnet, gibt den Breitenunterschied

35'4r;86,

also mit der oben bestimmten Polhöhe von Göttingen die der Seeberger Sternwarte

= 50®56'5';99.

Diese bezieht sich auf den Dreieckspunkt, nemlich das Centrum der Axe des Mittagsfemrohrs; das Centrum der Axe des Meridiankreises liegt 1,168 Toisen, oder im Bogen 0![07 südlicher; die Polhöhe des letztem Punktes ist also, aus Göttingen durch die trigonometrische Verbindimg abgeleitet,

= 50®56'5;'92

oder 0'^73 grösser, als aus den astronomischen Beobachtungen.

Für den Längenunterschied folgt übrigens aus der trigonometrischen Ver- bindung 47'9^'20 im Bogen, oder 3"8;61 in Zeit, sehr gut mit imserer Kennt- niss aus astronomischen Beobachtungen übereinstimmend. Endlich folgt aus jenen Messungen das Azimuth der Dreiecksseite Seeberg — südliches Meri- dianzeichen bei Schwabhausen 4','6 westlich, welches gleichfalls bei der nicht unbeträchtlichen Anzahl der Zwischenpunkte, den Verschiedenheiten, die in den Angaben einiger Winkel der preussischen Messung vorkommen, und der Ungewissheit, ob der Dreieckspunkt sich genau im Meridian befand, wie eine gute Übereinstimmung betrachtet werden kann.

ZUSATZ ZU [ART. 20] S. 48.

Walbecks Bestimmung der Dimensionen des Erdsphäroids befindet sich in einer kleinen Abhandlung: De forma et ma^nitudine teüuris^ ex dimensis ar- cubus meridianit definiendis^ wovon aber nur die zwei ersten Bogen im Druck erschienen sind (Abo, 1819). Walbeck hat die peruanische, die beiden ost- indischen, die französische, englische und die neuere lappländische Gradmes- sung dem Calcül unterworfen und ist meines Wissens bisher der einzige, der dieses Geschäft nach richtigen willkürfreien Grundsätzen ausgeführt hat. In- zwischen hat er bei jeder einzelnen Gradmessung nur den ganzen Bogen, oder die an den Endpimkten beobachteten Polhöhen, in Betracht gezogen, ohne die bei mehrem vorhandenen Zwischenpunkte zu berücksichtigen, und in der Rechnung ist er bei der ersten Potenz der Abplattung stehen geblieben.

Ich habe deshalb den durch mehrere Arbeiten bereits vortheilhaft be- kannten Hm. Dr. Schmidt unlängst zu einer neuen Berechnung dieser sämmt- lichen Gradmessungen veranlasst, welche er während des Abdrucks der letzten Bogen gegenwärtiger Schrift vollendet hat. Er hat dabei sowohl die hohem Potenzen der Abplattung, als die an allen Zwischenpunkten beobachteten Pol- höhen mit berücksichtigt, auch die hannoversche Gradmessung hinzugezogen, und, nach dem oben S. 50 angedeuteten Princip, dasjenige Ellipsoid bestimmt, auf welchem die astronomisch beobachteten Polhöhen, um mit den geodä- tischen Messungen in vollkommene Übereinstimmung zu kommen, der mög- lich geringsten Abänderung bedürfen, d. i. wo die Summe der Quadrate der hiezu erforderlichen Abänderungen ein Minimum wird. Das Resultat dieser Rechnung ist:

BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ETC. ZUSATZ.

67

Abplattung

Dreihundertsechzigster Theil des Erdmeridians

298,39

57010,35 Toisen.

Die beobachteten Polhöhen an den 2 5 Punkten der sieben Gradmessungen und ihre kleinsten zur vollkonunenen Übereinstimmung mit den. gefundenen Erddimensionen erforderlichen Abänderungen stellt folgende Übersicht dar:

Peruanische Messung.

Tarqui

— 3® 4' 30;'83

+ 2;05

Cotchesqui

+ 02 37,83

— 2,05

Erste ostindische Messung.

Trivandeporum

4-11 44 52,59

— 0,48

Paudree

13 19 49,02

+ 0,47

Zweite ost

indische Messung

•

Punnae

8 9 38,39

— 1,43

Putchapolliam

10 59 48,93

— 1,18

Dodagoontah

12 59 59,91

+ 3,37

Namthabad

Framös

15 6 0,64 ische Messung.

— 0,77

Formentera

38 39 56,11

+ 3,95

Montjouy

41 21 45,45

+ 2,81

Barcelona

41 22 47,16

+ 1,07

Perpignan

42 41 58,01

— 3,67

Carcassonne

43 12 54,31

— 0,96

Evaux

46 10 42,19

— 6,14

Pantheon

48 50 48,94

— 0,17

Dünkirchen

51 2 8,74

+ 3,12

EngUs

che Messung.

Dunnose

50 37 7,81

— 1,73

Greenwich

51 28 39,60

+ 1,00

Blenheim

51 50 27,50

+ 3,02

Arburyhill

52 13 27,79

+ 1,80

Clifton

53 27 31,59

— 4,07

8

58 BE8TIMHUNQ DBS BB£ITENVia'ER8CHIXDB8 BTYX ZUSATZ.

Hannoversche Messung.

Göttingen Altona

5r3l'47;85 53 32 45,27

~2;65

Schwedische Messung.

MallOxn Fahtavara

+ 1,40 — 1,40

65 31 31,06 67 8 51,41

Die Zahlen der letzten Colomne sind nun keinesweges wie Fehler der astronomischen Beobachtungen zu betrachten, sondern sie sind die algebraische Summe dieser Fehler und der Unregelnmssigkeiten der Richtung der Verticale. Wenn man diese Oesammtabweichungen nach denselben Regeln, wie die zu- fälligen Fehler, behandelt, so findet sich die mittlere Abweichung 3^18, und damit der mittlere zu befürchtende Fehler

in dem Nenner der Abplattung 12,5 Einheiten

in dem Werthe des dreihundertsechzigsten Theils

des Erdmeridians 5,0 Toisen.

Den sogenannten wahrscheinlichen Fehler mag man also auf 8 Einheiten bei dem Nenner der Abplattung, und auf 3 Toisen bei dem mittlem Breiten- grade schätzen, und diese Fixirung unserer Begriffe über den Orad der Ge- nauigkeit, welchen man der Bestimmung der Dimensionen des Erdspharoids durch alle bisherigen Breitengradmessungen zuzuschreiben berechtigt ist, hat man als ein wichtiges Resultat dieser verdienstlichen, an einem andern Orte ausfuhrlich bekannt zu machenden Arbeit des Hm. Dr. Schmidt anzusehen.

ANZEIGE.

Göttingische gelehrte Anzeigen. 1838 Juni 16.

Bei Yandenhoeck und Ruprecht: Bestimmung des Breitenunterschiedes zwi- schen den Sternwarten von Göttingen und Altana durch Beobachtungen am Rahs- jfESSchen Zenithsector, von Carl Fkiedrich Gauss. 1828. 84 Seiten in 4.

Die von dem Verf. dieser Schrift während der verflossenen Jahre im Königreich Hannover ausgeführten Messungen hatten zunächst den Zweck, die von dem Hm. Prof. Schumacher in den dänischen Staaten imtemommene Gradmessung um zwei Grad weiter nach Süden auszudehnen. Eine Dreiecks - kette von der südlichen Grenze des Königreichs Hannover bis Hamburg wurde in den Jahren 1821 — 1823 vollendet und mit dem dänischen Dreieckssystem verbunden. Um daraus ein selbstständiges Resultat als Gradmessung ziehen zu können, war noch die astronomische Bestimmung der Krümmung des ganzen Meridianbogens erforderlich, welche jedoch, wegen der in den folgenden Jahren auf hohem Befehl unternommenen Erweiterung des Dreieckssystems zum Anschluss an die KRAYENHOFFschen Dreiecke, bis zum Jahr 1827 ausge- setzt bleiben musste. Da die Bekanntmachung der trigonometrischen Arbeiten aus mehrem hier nicht anzuführenden Gründen einem grossem Werke vor- behalten bleibt, so hat der Hofr. Gauss Anlass genommen, jenen astrono- mischen Theil der Gradmessimg jetzt sogleich als ein für sich bestehendes Werk herauszugeben, damit das Endresultat sofort den übrigen Gradmessungen beigefügt imd benutzt werden könne.

Vortheilhafter liegende Endpunkte, als diejenigen, welche sich hier von selbst darboten, hätte man sich gar nicht wünschen können. Es sind die

60 ANZEIGE.

Sternwarten von Göttingen und Altona, beide mit trefilichen Instrumenten ausgerüstet, und beide, durch ein in seiner Art einziges Spiel des Zufalls, so genau in einem und demselben Meridian liegend, dass man, um einen Unter- schied aufrastellen, bestimmte Plätze in den Sternwarten angeben muss: auf die Mittelpunkte der Axen der REiCHENBACHschen Meridiankreise bezogen liegt nemlich die Altonaer Sternwarte nur 7|> Toisen westlicher.

Wenn gleich die Ausdehnung des Bogens, welcher dem Stück des Erd- meridians zwischen diesen beiden Sternwarten am Himmel entspricht, schon aus den absoluten Folhohen derselben, zu deren Bestimmung die fortgesetzten Beobachtungen fortwährend neue Beiträge liefern, sich ergibt, so war es doch von grosser Wichtigkeit, die Bestimmung des Breitenunterschiedes noch auf eine andere Art, mit einem und demselben Instrument vom ersten Range, zu erhalten, und der Hofir. Gauss konnte dazu den trefflichen EAMSDENschen Zenith- sector benutzen, welcher zu ähnlichen Operationen bei der englischen Ghrad- messung angewandt und bekanntlich von Mudge ausfuhrlich beschrieben ist.

Das Werk zerfallt in vier Abschnitte. Im ersten werden die beobach- teten Sterne nachgewiesen. Es ist der eigenthümliche Character der neuem Beobachtungskunst, dass bei wichtigen Anlässen die Anzahl der Beobachtungen sehr vervielfältigt wird, um den Einfluss der UnvoUkommenheit der Sinne und der Instrumente (denn absolut vollkommen kann keines sein), so wie der un- vermeidlichen von aussen störenden Ursachen, wenn auch nicht wegzuschaffen (denn das ist unmöglich), aber doch auf einen sehr kleinen Theil seiner son- stigen Grösse herabzubringen. Dieser Zweck kann aber nur dadurch erreicht werden, dass man die einzelnen Fehlerquellen bei einer grossen Menge von Beobachtungen auf vielfach verschiedene Art ins Spiel treten lässt. Daher können namentlich die unregelmässigen Theilimgsfehler eines nicht wieder- holenden Instruments nur durch Beobachtung einer bedeutenden Anzahl von Sternen mit ungleichen Declinationen zur bestmöglichen Ausgleichung gebracht werden, und der Vf. wählte deshalb 43 Sterne in schicklichen Lagen zur Be- obachtung aus, von denen manche noch in keinem Stemverzeichnisse vor- kommen.

Der zweite Abschnitt hat die Beobachtungen selbst zum Gegenstande, die in Göttingen vom Anfang Aprils bis zur Mitte des Mai, und nachher in Al- tona während des Junius angestellt wurden, und deren Anzahl sich auf 900

BESTIMMUKG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA. 61

beläuft; sie sind alle einzeln au%eführt, aber nicht in der ursprünglichen Gestalt des Tagebuchs, was dem Vf. unnöthig schien und den Umfang des Werks auf das Doppelte vergrössert haben würde, sondern sogleich nach den Sternen geordnet, nebst ihren Reductionen auf die mittlere Stellung, für den Anfang des Jahrs 1827.

Der dritte Abschnitt entwickelt die aus den Beobachtungen sich ergeben- den Resultate. Das Hauptresultat ist der Breitenunterschied zwischen den beiden Sternwarten, welcher, in Beziehung auf die Plätze der Meridian- kreise, nach mehrfachen von verschiedenen Gesichtspunkten ausgehenden Com- binationen auf 2®0'57i'42 festgesetzt wird, wobei nur eine wahrscheinliche Un- sicherheit von 0'^07 zurückbleibt. Merkwürdig ist die aus den Beobachtungen auf das Evidenteste hervorgehende Veränderung des Collimationsfehlers, welcher bei den Beobachtungen in Göttingen 3^76, bei den Beobachtungen in Altena 1^39 betrug, und diese Veränderung auf dem obwohl auf das Vorsichtigste ge- leiteten Transport erlitten haben muss. Diese Thatsache ist besonders wich- tig, um das der altem lappländischen Gradmessimg gebührende Zutrauen zu würdigen, der man mit Recht die Unterlassung des Umwendens des Zenith- sectors an jedem Beobachtungsplatze zum Vorwurfe gemacht hat, imd bei der die Gleichheit des Collimationsfehlers durch das, was darüber neuerlich in einer sonst sehr schätzbaren Abhandlung vorgebracht ist, keinesweges befiriedi- gend gerechtfertigt wird. Man findet hier femer die Beobachtungen des Vfs. aus den Jahren 1820 und 1824, welche zur Festsetzung der absoluten Pol- hohe der Göttinger Sternwarte dienen ; die Vergleichung des aus der hannover- schen Gradmessimg folgenden Resultats für den Breitengrad mit den Dimen- sionen des Erdsphäroids, welche Walbeck 1819 aus sämmtlichen zuverlässigen frühem Gradmessungen abgeleitet hat; die Ansichten des Vfs. von den Un- regelmässigkeiten der Erdfigur überhaupt; endlich die Vergleichung der aus gegenwärtigen Beobachtungen folgenden Declinationen der Zenithalsteme mit den BRADLETschen und PiAZzischen Bestimmungen. Merkwürdig ist bei einem der kleinem Sterne (Piazzi 16. 291) eine Differenz von 10'^3 mit Piazzis Catalog, in welcher man nach den vom Vf. beigebrachten Gründen eine eigene Bewegung nicht verkeimen kann.

Der vierte Abschnitt enthält die Bestimmung der Breite der Sternwarte Seeberg, aus den Beobachtungen, welche der Vorsteher dieser Sternwarte,

Iljl ANZSIOE. BESTIMMUNO DES BBEITEN UNTERSCHIEDES ETC.

Hr. Hansen, nach der mit dem Vf. genommenen Abrede gleichzeitig mit diesem Uli denselben Zenithalstemen mit dem ERTELSchen Meridiankreise gemacht hat. Das auf 206 Beobachtungen gegründete Resultat erhält ein noch erhöhtes In- teresse durch den Umstand, dass die Seeberger Sternwarte mit dem hannover- schen Dreieckssysteme durch die unter Leitung des Hm. Generallieutenants VON MCffling gemessenen Dreiecke in Verbindung ist.

Endlich wird am Schluss noch das Resultat einer auf Veranlassung des V£s. von Hm. Dr. Schmidt ausgeführten neuen Berechnung sämmtlicher bis- herigen zuverlässigen Gradmessungen mitgetheilt, nach ähnlichen Frincipien zwcur, wie der vorhin erwähnten Arbeit von Walbeck zum Grunde liegen, aber mit schärferer Rechnung, mit Berücksichtigung sämmtlicher in den einzelnen Gradmessungen vorkommenden astronomischen Funkte (nicht bloss der End- punkte), und mit Zuziehung der in gegenwärtigem Werke enthaltenen Re- sultate der hannoverschen Gradmessimg. Man kann diese Bestimmung der Dimensionen des Erdellipsoids als das Zuverlässigste ansehen, was wir bis jetzt aus sämmtlichen Breitengrad-Messimgen schliessen können, und es ist inter- essant, dabei zugleich nach bestimmten Principien unsere Begriflfe von dem Grade der Genauigkeit fixirt zu sehen, welcher dadurch bis jetzt erreicht werden kann.

BEMERKUNGEN.

In dem Oiiginaldrueke deg BreitenunterschiedeB , der auch durch dai noch erhaltene GAUSSiche Manuieript eontroUirt werden konnte, fanden gich in den Zahlenangaben eniige kleine Ungenauigkeiten, die nur zum Theil berichtigt wurden.

Geändert wurde in dem yontehenden Abdrucke auf S. 9 die Angabe dea Originals fOr

die Deolination des Sternes 36: 60^38' is/i 3 in 60<*S8' 13712

» 9 9 » 40: 66 42 21,84 » 66 62 21,74,

da sonst die auf S. 22 und 27 mitgetheilten Beobachtungswerthe ftbr diese Sterne mit den nach der Aus- gleichung übrig bleibenden Fehlem auf 6. S6 nicht in Übereinstimmung sind.

In dem n. Capitel, den Beobachtungen, sind einigemale kleine Änderungen von i bis 2 Hundertstel Secunden in den Endwerthen vorgenommen, um diese mit den Beobachtungswerthen und den Keductionen in Übereinstimmung su bringen; Yoraussetsung war dabei, dass die in die spätere Rechnung eingehenden mittlem Endwerthe hierdurch nicht geändert wurden. Unverbessert mussten die folgenden Stellen bleiben: 8. 21 Bei Stem 26 (0 Draconis], Altona. Limbus West. Juni 16, folgt aus dem Beobachtungswerthe und

den beiden Reductionen der Endwerth um l" grösser, als angegeben ist. S. 22 Bei Stern 26, Altona. Limbus Ost. Juni 2 7,^. ergibt sich, aus dem Beobachtungswerthe und den Reductionen für den Endwerth . . . 34^98 anstatt . . . S4!'89. Der letztere Werth ist jedoch bei der Mittelbildung benutst worden. 8. 26 Bei Stem 36, GOttingen. Limbus West, ist das Mittel der Endwerthe . . . 2i;'i4, tOi die Rechnung

ist der angegebene Werth . . . 21^13 verwendet worden. S. 27 Bei Stem 40, Altona. Limbus West. Juni 22, ist der Endwerth, aus dem Beobachtungswerthe und den Reductionen abgeleitet, um o^'io grösser, als dort angegeben ist. Bdm IIL Capitel, Resultate, ist geändert worden: 8. 30 der Breitenunterschied aus den Beobachtungen des Stemes 39, für den im Original 2<>o' 68/61 steht, in . . . 68^67, wie sich aus den Werthen ron 8. 27 ergibt. Der angegebene Werth des Mittels filr den Breitenunterschied, 8. 30, wird dadurch nicht beeinflusst. Das Gewicht des Resultats ist, wie angegeben, 2 1 3,42, wofür sich im Original 213,41 findet. 8. 34 im Art. 6, Z. 8 r. o., die Angabe des Originals für die Verbesserung des Collimationsfehlers in Göt- tingen: — 0^012 in +o;'oi2, entsprechend den Werthen 3;'76 auf 8. 32, Z. 2 r. o., und s;'76 auf S. 34, Z. 12 y. o. Die Nachrechnung hat die Richtigkeit des + Zeichens bestätigt.

64 BEMERKUNGEN. BESTIMMUNG DES BRETTENUNTERSCHIEDES ETC.

S. 46 in der Tabelle in der Columne für die Fehler

der erste Werth — o^'ai dei OriginalB in — o^'ao, der letzte » — 0,23» » » — 0, 34 ;

femer die Summe der Producte der Quadrate der Fehler in die Gewichte, für die im Original twei- mal 9,6184 angegeben iit, in 0,6164. Nicht ge&ndert ist: S. si bei Stern 9, Altena, da« Gewicht des CoUimationifehlen : 4,0 o, daa nach der Anzahl der Beobach- tungen auf S. 15 gleich 6,3S sein muiB, weil mit dem Werthe 4,oo daa Endreaultat auf S. 32 ab- geleitet worden ist. Femer ist zu Art. 7, S. 36, folgendes zu bemerken. Da sich mit der hier angegebenen Summe der Producte aus den Quadraten der im Art. 6 aufgeführten Unterschiede in die entsprechende Anzahl der Be- obachtungen: 292,8349 nicht genau der daraus abgeleitete mittlere Fehler einer Beobachtung : i,"6308 ergab, so wurde eine Nachrechnung dieser Werthe vorgenommen. Diese lieferte an Stelle des ersten Werthei 291,8422 und damit als mittlem Fehler einer Beobachtung + l!'6280 und als mittlem Fehler des Breiten- unterschiedes + 0/103« an Stelle von Hh o''i038 des Originals.

Endlich ist im IV. Capitel in der Tabelle auf S. 63 bei Stem 31 der im Original angegebene Werth der Zenithdistanz : +4® 48' 68/28 in + 4^ 67' 58/28 umgeftndert worden; der letzte Werth ergibt sich rück- wftrts aus der nebenstehenden Breite und aus der auf S. 9 aufführten Declination für den Stem.

Die von Gauss in der Anzeige der Bestimmung des Breitenunterschiedes etc., S. 6i, erwähnte Ab- handlung zur lapplftndisohen Gradmessung ist wahrscheinlich die Ton O. A. Rosenbeeoee : Über die, auf Veranstaltung der französischen Academie, während der Jahre 1736 und 1737 in Schweden rorgenommene Gradmessung. (Astr. Nachr. Sechster Band, 1828. S. 1—32,.

Keüoee, Böesch.

ERDELLIPSOID

UND

GEODÄTISCHE LTME.

IX.

NACHLASS.

Das [Erdjellipsoid.

Es sei a die halbe grosse, b die halbe kleine Axe; eines Orts astrono- mische Polhöhe cp, die sogenannte verbesserte Polhöhe 9' [und die reducirte Polhöhe (p]; Abstand vom Mittelpunkt r, von der Erdaxe o?, vom Äquator y^

Da sodann vermöge der Gleichung der Ellipse ^ -f- 1| = l ist , so kann man

jß = rcoscp' = acos^, ^ = rsincp' = ftsincp

setzen. Nennt man femer s den elliptischen Bogen zwischen dem Orte und Äquator, so hat man

— sin (f.ds = d.r, cos cp . d5 = dy.

also

Hieraus folgt

Femer

sin cp . d* = fl sin ']/ . d(|;, cos cp . d^ = 6 cos ^ . dcj;.

tang ^ = - tang 9, tang cp' = — tang cp.

I a cos CD / cos 9 cos » ' / aa cos 9

COS 6 = -j-, , ,\, . — i7 = i/ — - — ^5 coscp : ^

* y (aa cos «p* + 00 smcp*) y cos.cp — «p') ^

I bBinw / sin 9 sin 9' > t

^ ^ {aaeosff* + hbBm^*) y cos 19 — 9'; ^

|. = / a*cosy» + &*8in9' __ ^ / cosy ___ ^ / siny

y aa cos 9* + 66 sin <p* y cos 9 'cos (9 — 9') y sin^'coi» (9 — 9')

V^(a-

' cos 9'

&6I

sin 9

sin

«p*.

■ v/(a^

^ cos 9" sin 9

+ 6»

sin

?•)

9

*

68 NACHLASS.

ee = 1 •

aa

w m

Ist ein Quadrant des Erdmeridians = Q, so ist ein Quadrant des Äqua- tors [vergl. Band IV, S, 330]

Für die Abplattung ,4^ ist e = ^, löge = 8,9044836

ee. . . 7,808 9672 e* 5,617 9344 e* 3,426 9016

^ 9,3979400 Vr • • • 9,0389180 V<V • • • 8,7678513

Quadr. des Äqu. [wenn Q= 10000000 Meter gesetzt wird:]

100 16 103^015

45,379

0,157

100 16 148?551 7,000 7008

2

. . . 0,196 1199

loga = 6,804 5809.

Abplattung = co, 6 = a (1 — co), ee = (2 — a>)a>.

£= 4'39'3i;355, tang^JE. .. 8,609 3534

««...7,819 3287 e* 5,638 6574 e' 3,457 9861

i ... 9,397 9400 VV • • • 9>038 9180 ,VW •• 8.76' 8513

[Für Qss 10000000 Meter ist mithin der Quadrant des Äquators:]

DAS ERDELL1P801D. 69

10016491^8250

47,5954

0,1682

10 016 539»5886 7,000 7177 118

2

. . . 0,196 1198 770

loga (in Metern) = 6,804 5978 348 [Da der] Meridianquadrant = 5130878,3 Toisen [ist, so ist]

loga (in Toisen) = 6,514 7893 106.

Zahlen, das Erdsphäroid betreffend.

Abplattung = g^^» ee = -^^n^ log^<? = 7,81918 5039945. [Der Umfang des Meridians ist =] Peripherie des Äquators mal

1.^ 4 1.8.15 g 1.8.15.35 8 1.8.15.85.68 to 16^ 4.16.86^ 4.16.36.64^ 4.16.36.64.100^

f 1.8.16.36.68.99 » 1.8.16.86.68.99.148 u] \

[ 4.16.36.64.100.144 4.16.86.64.100.144.196 J "'/

iee = 0,00164 86370 23537 4099

Vir«* = 20385 03026 5312

Tir«' = 56 01252 6094

ttiitg* = 20200 3209

THir«" = 83 9236

tAWtt«" = 3805

[t*VAVA « g'*3 = 18

0,001650681148101 1773 Summe der Reihe = 0,99834 93188 51898 8227

Logarithm. . . . 9,99928 252599a ''*'"^"" 6,80388 0122970

loga = 6,80459 7596978.

70 NACHLASS.

2.;

Gleichung der Verticalebene des Rotationsellipsoids.

Für die Örter im Schnitt der ( )berfläche des Ellipsoids mit einer Ebene, die bei der Länge 0 , Polhöhe 9* auf jener senkrecht ist und den nordlichen Theil des dortigen Meridians unter dem Winkel ^ schneidet, ist die Bedin- gungsgleichung diese:

cos "5 cos / «in 9* . cos 9 sin X cotanj? C* 1 — ff sin ^ cos 9* efcos^'fino*

V' 1-ffsin^* \ 1 -fesin 5* \' 1- fesin 9« ^/ i-^esin©»*

oder einfacher

1 — ffgmp*

cos^cosXsin^^-fcos^sinXcotangC^— \ — ee sin9cos9®=^ecos^®sin^®4/ — ^^5^.

Gleichung des rRotations>llipsoids in Beziehung auf eine berührende Ebene :

afx'\ —eesinZß^ 4-y^(l —ee^-^-xzee^m'lrL-^-zz'X — ^ecos'x* ri —, — r = '^.

[Die a?-Axe ist Tangente der Meridianellipse, positiv nach Süden; die sr-Axe fällt mit der Richtung der Normalen zusammen und ist positiv nach dem In- nern des Ellipsoids.]

i^Man hat auch:^

(g; sin y — £f cos yy , (xco^^-^- ZBmr^y , yy 2z

a I \ ^ I ^ aa ay^ 1 — ffsiuy*

[Setzt man]

X = 6" cos 0 cos 0 y = s cos ö sin 6

z = s sin 8,

[wo 8 der Depressionswinkel und 6 das Azimuth ist, so wirdj

«fl +73^ (cos 9 cos 6 cos 8 + sin cp sin 8) )J {\ — ^^sincp*) = 2asin6. [Angenähert ist]

. -i 8 cofl ^ sin 6 v^ 1 — c e sin 9*

Sin A = ^ .

acoBcp

DAS ERDELLIPSOID. 71

BEMERKUNGEN.

Die Notiz [i] ist einem Handbuche entnommen; die dazu gehörigen Zahlenwerthe fanden sich in zwei andern Handbüchern; die Zahlen, das EUipsoid betre£Pend, sind auf die letzte Seite des OAUSSSchen Exemplars der »Mathematischen Abhandlungen von Dr. H. F. Schebk. Berlin, 1825« eingetragen. Der Abplattungsverth ^1^ war der vom General ton Müfflinq bei den preussischen Vermessungen zu Grunde gelegte. Wie aus dem Briefe an Olbers vom 18. April 1822 hervorgeht, hat Gauss im Anfange seiner

Gradmessungsarbeiten aus Versehen an Stelle des WALBECKschen Werthes die Abplattung — benutzt.

802,08

In der That finden sich verschiedene Tabellen und Rechnungen, die hierauf beruhen. Gauss, der anfangs diesen Werth beibehalten wollte, entschloss sich jedoch später (vergleiche den Brief von Gauss an Olbers

vom 1. Mbrz 1827] zu Walbecks Werth — - überzugehen. Dieser liegt also der Berechnung der Gauss-

3 0 2,78

sehen Messungen zu Grunde. Die L&nge des Meridianquadranten ist nach Walbeck 6130878,22 Toisen Dissertatio de forma et magnitudine telluris ex dimensis arcubus meridiani definiendis. Aboae, 1819).

[2] und der erste Theil von [8] gehören demselben Handbuche wie [i] an ; der zweite Theil von [8] fand sich auf einem einzelnen Blatte.

Krüqer, Börsch.

NACHLASS.

[»0

Begründung meiner Theorie der geodätischen Linie.

[£s bezeichne]

9 Folhöhe, X Länge, C [nordöstliches] Azimuth, s Orösse [einer geo- dätischen Linie; femer sei a die halbe grosse Axe und e die Excen- tricität der Meridianellipse].

Aus bekannten Gründen hat man [wenn r der Radius des Parallel- kreises ist]

r sin C — const.9 also

— ^ ^ » J. = const.

Man setze

cotangC = t, so ist

(l-.ee + eecofl<p*)(l + «) _ of — (1 - eg + eecos y'*) (1 + i't^) co«9* "" ' — cos 9'*

oder wenn man ee subtrahirt:

1 — e g + (1 — e g Bin 9*) « 1 — ee+{l — eeBinff'*)t't'

co8<p« cos «p'"

Macht man also

so wird

cos 9 sin 12 = cos 9' sin 12' = const.

GEODÄTISCHE LINIE.

78

Man schreibe

so ist

i)

2)

3) 3*)

4)

6) [Nun ist

/l-eeain<p* _ ^ V 1-ee --^'

tangC = iltanglS

sinfi

=

cos

9 sin.

K

cos 12

^

cos

^v/-

— «eco»Ä* l — ee

sin 12

— .

sin

Ci/4

— eeeo»H*

tangP = sin^tanglS tangQ = tangH =

tangy oosJR

iinP

tang9

d^.cosC = d^.coslil/j-3^

— ee

d^ . sin C = d^ . sin E l/ ^

cobH* l — ee sin 9*

eecosH'

(1 — ecBin^p')" (1 — eesin^*}»

Da aber

ist, so wird]

coslS.dQ = dcp

sin E . d Q = cos cp . dP

da v^(l-ee)v^(l-eeco8lP)

dg v^(l~eecogg*)dX

adQ "" l~«sin«p* dP'

[also]

10

74 NACHLASS.

oder wegen sin 9 = cos Hsia Q]

r'^ "■ ll-co«Ä»iing-)v/(l-eeooiÄ»img»)^^J

[2.]

Kürzeste Linie auf dem Sphäroid.

C Azimuth, nordöstlich gezählt. Es sei

-;"'^"!^^, = cos J,

welches constant ist,

v/;l— ee) ^^

[t hat hier dieselbe Bedeutung wie vorher 90®— fl]

^=sinP, fe=sinQl,

SO ist:

cosP8in/= cosC

cosPsini = cosiZ

-n coeCv^d — ceBmf*) cos/v = ,-, --:

«;« 1? BinCv^{l-eeBinf»)

Sm Ä = — , . — i: —

fern«» P — tangCy/q-ge)

tangÄ= ^^i^,,.i^^»

dX = dPi/, ^"'"-i d^ = adQ

9' 1 — ee

(1 — ee cos I*)^ il — eeBin «p*)»

j /^\/(l — eejv'll — eeBint") (1 — eesin^*)*

GEODÄTISCHE LINIE.

75

[Da]

[ist, Bo wird auch]

dC = dP . sin 9 1/ ^-^^^A?-.

^ V 1 — ««Bin?

[oder wegen dP.sin^ = dR]

^ V 1 — ecsincp"

Man setze

v/^^^-=^

acoBR

a

[so ist:]

co8C^(l-e«) \/ (1— ee)v/(l — c«cos/'j

ji- = const. = B,

dQ = ^d^

dX =

dC =

dP

dB

Zur indirecten Bestimmung von 9' — 9, 1?' — JR, AP sind folgende For- meln sehr bequem, wo Kürze halber

9* = i(? + 9'). R* = i{R + R') geschrieben ist.

(xr-ff*

go*"

9-9 R'--R

AP

= a . A Q cos R*

= ß . A Q sin Jß^ tang cp^

_ ^QBJnB*

I ' cos 9*

10*

76

NACHLASS.

loga logß

_ m+aiv

~ 8

m+ai

8 »IV-I

8

m-n

8

I = logsec^^AQ II = log sec ^ (9' — 9) ni = logseci(Ä' — Ä) IV = logseciÄP und zur Controlle: I + in = II+IV.

Beispiel.

[Gegeben sind 7, A« und C; die Azimuthe sind in diesem Beispiel süd- östlich gezählt. Die Rechnung bezieht sich auf ein Ellipsoid, dessen Ab- plattung 3^ ist.]

Kirchhesepe <p = 52* 37' 32;228 C = 284» 54' 46;i85 R = 284* 55' 48^901 Queckenberg <p' = 52 32 23,593 C' = 285 19 35,649 Ji'=285 20 40,189

<p*= 52 34 57,910 J. ... 0,0005306.81 [loga = 6,8045978

A'... 0,000 5327.56

tangC .. 0,574 5975, l:A ... —5307

logp = 4,685 5749]

COsC . • • 9,410 5228 cos£. . . 9,411 0183

tangJB.. 0,574 0668, l ^ 0,000 0018

n = 1

lll = 29

IV = 45

—4955

8.508 3901

8,507 8946 -1-15952

8.509 4898 äs 4,563 0874

v^(>-g«)

«P l:B..

A** ..

JB*= 285 8 14,545

AQ 3,072 5772

cos Tg*.. 9,416 8638

2,489 4410 a -1-40

— (y' — <p) == 308^635

AQ 3,072 5772

sinJB* ..9,984 6634. 3,057 2406. tang(p*. .0,116 3188 COS<p* . . 9,783 6284

AQ 3,072 5772

ß

3,173 5594.

-1-22

R'—R. . 3,173 5616

AP 3,2736131

l.A*... —5317

C— C= 1489^464

X= 1875^346 = 31'15;346

Jg — JR= 1491^288 3,273 6122

T +9

AP= 1877^643

GEODÄTISCHE LINIE.

77

Alle diese Vorschriften lassen sich mit viel einfachem vertauschen, wenn man die wahren Azimuthe beibehält und veränderte FolhOhen ^ einfuhrt, so dass tangcj; = ^{l—ee).tajig(f wird.

Hülfstafel für C.logv^(l — ^^fsintp*); C.logv^(l — «e) = 14372.073

[in Einheiten der 7. Decimalstelle] .

48" 0'

7925,420

50" 0'

8422.342

52" 0'

8913.294

54" 0'

9395.884

4

42.053

4

4

29.528

4

8

58.683

8

55.284

8

45.753

8

9427.701

12

75,309

12

71.745

12

61.969

12

16

7991.932

16

8488.200

16

78.175

16

59.469

20

8008.550

20

8504.648

20

8994,371

20

24

25.163

24

21.088

24

9010.558

24

9491.188

28

41.772

28

37.521

28

26.735

28

32

58.376

32

53.947

32

42.902

32

9522.856

36

74.976

36

70.366

36

59.059

36

40

8091.571

40

8586.777

40

75.205

40

54.474

44

8108.162

44

8603.180

44

9091.341

44

48

24.748

48

19.576

48

9107.467

48

9586.042

52

41.329

52

35,964

52

23.583

52

9601.806

56

57.904

56

52.344

56

39.688

56

17.557

49 0

74.475

51 0

68.716

53 0

55.783

55 0

33.296

4

8191.040

4

8685.080

4

71.868

4

49.022

8

8207.599

8

8701.436

8

9187.941

8

64.734

12

24.154

12

17.784

12

9204.004

12

80,433

16

40.703

16

34.124

16

20.056

16

9696,119

20

57.246

20

50.455

20

36.097

20

9711.791

24

73.783

24

66.778

24

52.127

24

27.450

28

8290.315

28

83.092

28

68.146

28

9743,095

32

8306.840

32

8799.398

32

9284.154

36

23.360

36

8815.695

36

9300.150

40

39.876

40

31.984

40

16.135

44

56.385

44

48.264

44

32.108

48

48

64.535

48

52

8389.374

52

80.797

52

64.019

56

56

8897.050

56

50 0

8422.342

52 0

8913.294

54 0

9395.884

[Dieser Tafel liegt die Abplattung g^^ zum Grunde.]

78

MACHLA8S.

9 X

c

8

[«

e

[Es ist]

[3.] Geodätische Linie.

. Breite

. reducirte Breite]

. Länge

. rsüdöstlichesl Azimuth )^_ -..^. , t«-i

"■ ■■ } [der geodätischen Linie]

• Grrösse )

. halbe grosse Axe . Excentricität].

^(1 — «e).tang9 = tang(p

£s sei

so wird

[Da]

1) [so ist]

CO89

(1-

V^(l — cewn^") 4 / 1 — ee

ee sin 9*) (1 — ee cos (p*)

sin (p cos 9 1 — eesin^* »

COS(p

sincp 1 — e^

dj^

sin ^ cos «l'

= df

«?•?«««= cos/ =C0I18t. V(l — eesmy')

dX[= d^.sinC^'^-T°^''] - ^'""^

[ acosf

-dy = dg.cosC ^,_J

acos^/

-d«|* =

df.cosC

av'il— e«co8<j;*)

d«

dX

^^ ~ av^d-eecos^;«)' ^' "" ^(l-eecos^*») '

do.sinC

il^^tli!^, _ d(L = do . cos C.

cos 4* ^

cos (p sin C = COS /,

GEODÄTISCHE LINIE. 79

1 d<|i . C08 ^ diinU'

0 = arc cos -r-4 + const.

Setzt man die Constante = 0, so wird

2) sin cp = cos o sin / [und daher]

3) cotang / = tang C sin o. [Weiter ist]

d^ = -ÄtangC = -

d^ ,cobI

cos ^ ^ COB ^ ^ (008 ^* — C08 I*)

cotanf^ J.dtang^

V^(l — cotang J* tang «l^")

/ = arc cos (cotang /tang(p) + const. Also wenn man die Constante = 0 setzt:

4) tangcp = tang /cos/, [folgUch]

5) sino = sin /cos ^

[Mithin wird]

m\ J » COB I j COB J* j

7) dl = — iido = — -i — =-do.

/ COB^' COB 9* COB J

Das Integral fds wird leicht durch 2 und das Integral fd\ durch 2 und 7 gefunden, nemlich

[dX = {l—eecos^*fdl= (1 — i<?«coscp* — i^^coscp* — ...)dq dX = d2 — l^ecos J. dojl ■■\--^ee{l — cos o* sin /*) -f- ^tc. } |~ = do — |ee(l — coso'sin/*)do|l +|-^e(1 — cos o* sin /*) + etc. } ] .

80 NACHLA88.

[Geodätische Übertragung von Breite, Länge und Azimuth.]

[Es bezeichne p die Grösse des Bogens von einer Secunde in Theilen des Halbmessers, M den Modul des gewählten Logarithmensystems, femer a die halbe grosse Axe der Meridianellipse des Rotationsellipsoids und e deren Excentricität. Weiter sei

' ^Ä ,,._y =F

af[l — ee) I2aa{l — ee]

1 __ n Met __ ft

af ~ 12aa(l-ee; ~

= C ^ee^ — H

1 = ^'

C(l — 3*e-f-2e«8m9*) = C . i)Q*(l-8«e8m9*) = D'

F

6^ Bin 9* ^r

fl'Q*(l— (2 — 4ee)8in<p*— 3<!<?8in<p*) = IT

[Sind A9, AC, AX die Breiten-, Azimuth- und Längendifferenz de8 Anfangs- und £ndpunkte8 der geodätischen Linie s, femer 9 und C die arithmetischen Mittel der Breiten und Azimuthe in beiden Funkten, so ist:]

GEODÄTISCHE LINIE.

81

A9 = Ä'.scoaC .Zahllog(i;'AX» + C'AC*-irA<p*)

AC =£'.« sin Ctang(p. Zahl log (F'w +C'AC*+ l'Aip»)

.Zahllog(G'«* +C'AC*-J5'A(p»).

AX =£'.*

BinC COB9

[Die Coefficienten -4', B\ C, D' u. s. w. haben als Argument 9.]

[Beispiel.]

[Übertragung der geographischen Coordinaten von Göttingen, Sternwarte, 1, nach dem Hauptdreieckspunkte Hohehagen, 3. Die Azimuthe sind hier süd- westlich gezählt; die Länge ist positiv nach Westen.]

51^ 31' 48;'1782 = 91 64^ T 17^:5880 = Ci

51 28 31,3844 = 98 243 52 52,6744 = Ca

51 30 9,7813 = <p 63 57 5,1312 = C

— 3 16,7938 = A<p —8 24,9136 = AC

s 4,141 3507

Ä' 8,510 0643

B' 8,508 9486

Ä's 2,651 41 50 B's 2,650 2993

cosC • • ■ 9,642 5960 sinC 9,953 4804

2,294 0110 2,603 7797

+ 5 tang(p. .. 0,099 4371

— A(p = 196"7938 C08<p 9,794 1237

2,703 2168 2,809 6560

+ 3 +1

— AC= 504^9136 AX = 645^1431

SS 8,28270 A<p* ... 4,58802 AC* ... 5,40643 AX* ... 5,61931

F 1,95052 —D'.. . 4,61510« C 4,62648 E' 4,93087

G' 9,55683 T . .. 3,24304

— H'. . . 2,26361

— ff A<p' = 0.000 F' 55 = 1.711 G'ss = 0.007

C'AC* =1.079 rA<p*= 0.007 — D'A<p* = —0.160

E'AX* =3.550 C'AC*= 1.079 C'AC* = 1.079

n. 11

82

NACHLAS«.

51"

logA' 1 logB'

logio'.J"

log 1 (^^ G' ».».... -1«

loglo'.D'

logl0^r

S,J4...-10

iog{- io\ir,

loglo'.Cloglo'.F

<,8JB..-lft <,,10l.-lt|

s;::::

93

l!iiSnS4

"'":;!

14

IS

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lil41»1

n, 14111

1.1177.

1,11»«1 t.lSlllt

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77 73

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GEODÄTISCHE LINIE. 83

[5.]

Das Resultat der neuen Methode für die kürzeste Linie auf dem Sphäroid ist [wenn das Azimuth südwestlich und die Länge nach Osten positiv ge- nommen wird]:

^^^2e6^^^ee^n^*) [Logarithmus:^ 8,512 701 7. 130 -1 0 - j C. log(l-e^sincp*)

^ ^ 206265,l--ee>ipy«j ^^ 8,509 8272.984-1 0 - -J-C. log(l-^esincp*)

^ = 2räw '' 4,6287228.053-10

^^^ J_-e^^ „ 4,6315972.199-10- C.log(l-^^8incp*)

7 = ^-206 265* » 1,6512518.167 — 10— C. log(l — eesincp*)

^ = 1-^"»^',' " 4,6258483.907 — 10 + 2C.log(l — e^sincp*).

a, ß, f, ^ werden in Einheiten der 7. Decimalstelle erhalten, il und B sind im vorigen Art. mit A' und -B' bezeichnet worden. Bei den Zahlenwerthen ist die Abplattimg 35268 ^^^ ^^^ entsprechend

log(l — ^^) = 9,997 1255.854

benutzt worden.]

loga = 6,804 5978.348

log206 264,806 . . = 5,314 4251 . 332.

I = a.8C* log(l) = I + 2II

II = ß.8X* log(2) = I + 2III

III = 7. SS log(3; = II-III = I-IV

IV = a . 8cp* Proxime I + IH = II + IV.

Acp = — (Ij^.^cosC

A^ = —(2)B.s sin C tang cp

CO! 9

Bei diesen Rechnungen sind für C ^md cp die Mittel der Werthe, die an den beiden Punkten Statt linden, zum Grunde zu legen. [Die Coefficienten il, B, a, ß, Y, d gehören zu diesem mittlem 9. Die Grösse c = p • -^ = — - — z^J—-l-i der Tabelle auf S. 84 dient zur Berechnung des Excesses.]

11*

84

NACHLASS.

50"

[log^

logB

logß

logT

log*

logt

8,5101...— 10

8,5089...— 10

4,639..— 10

1,6495.-10

4,839..— 10

1,403.. -lOj

o'

8,510 1751 89

37

14

8,510 1703

8,510 1690

8,508 9858 53 48 48 89

8,508 9835

4,63991

1,64957

1,64957 1,64956

4,83933

4,63933

4,63933

1,40371 1,40370

77

8,608 9881

1,40370

65

37

1,40869

53

38

4,63991

40

19

4,63990

10

38

8,508 9815

4,63933

11

15

8,508 9811

4,63934

13

8,510 1608

06

1,40369

13

8,610 1691

8,508 9803

1,40388

14

78

8,508 9798

15

66

8,608 9794

1,64956

16

64

8,608 9700

1,64965

4,63934

17

41

86

4,63936

18

39

83

1,40368

19

17

78

1,40367

30

8,610 1604

8,608 9774

31

8,510 1493

8,608 9769

4,63990

33

80

65

4,63989

4,63935

38

67

61

4,63936

34

55

67

1,40367

35

43

8,608 9763

1,40366

36

31

8,608 9749

37

18

45

1,64965

38

8,510 1406

41

1,64954

39

8,510 1894

37

4,63936

80

81

8,608 9783

4,63937

1,40866

31

69

8,608 0738

1,40365

33

57

34

38

44

30

4,63989

84

83

16

4,63988

36

30

8,608 9713

4,63937

36

8,610 1307

8,608 9708

4,63938

1,40365

87

8,510 1306

04

1,40364

88

88

8,608 9700

SO

70

8,608 0696

1,64964

40

68

8,608 9691

1,64963

41

46

8,608 9687

4,63938

43

84

' 83

4,63939

1,40364

43

31

79

1,40363

44

8,510 1309

76

46

8,610 1197

8,608 9671

4,63988

46

84

8,608 9667

4,63087

47

73

63

4,63939

48

60

69

4,63930

49

48

66

1,40363

50

36

8,608 9660

1,40362

61

38

8,50S 9646

1,64963

63

8,610 IUI

43

1,64963

63

8,610 1098

38

4,63930

54

86

34

4,62931

66

74

8,608 9630

1,40363

56

63

8,608 9636

1,40361

57

49

33

4,63987

58

37

18

4,63986

4,63931

59

36

14

4,63933

60

8,610 1013

8,608 9610

4,63986

1,64953

4,63933

1,40361

(Bei der Berechnung dieser Tabelle ist der Abplattungswerth ^^^^ benutzt worden.]

GEODÄTISCHE UNIE.

85

[6.]

Vorstehendes [Art. 4 und 5] ist die indirecte Auflösung. Direct ist es so

zu machen:

^(1 — ^^).tang9 = tang^

V(l-^^sin9*) = '-^ = J-lz

o 8 .1 \ — eeiinf*

a V 1 — ee

— te

[wo 8 die lineare Lange der kürzesten Linie auf dem EUipsoid ist]. (Eigent- lich soll hier statt 9 genommen weiden 4- (cp -j- 7'))* ^^^ ^^^^ ^^ sphärische Dreieck auf, dessen

Seiten I Winkel

90»- «|;

90"- f

8

180»-C

[Vei^L Band IV, S. 286 u. f.] Meine Fonneln geben hier

8iniC8in(45"-i<I>-i-8)= sm i (C- i) sin (4 5»- i «p") C08iCsin(45«— i<I; + 4--S) = cosi(C'— i)sin(45«— •l-tj»') 8iniCcos(45"— 4-^ — 1 Ä) = sini(C'-j-i)cos(45"— i^')

C0S4-CC08(45<'— i<I>+4-S) = C08i(C'+2y)C08(45'— ■J-^'),

und es ist dann

tai»g ?' = -^r^^ i^^ angenähert] 9 - <p' = (<}, - (}<') ^ ^ '/-"«f

V'd-««)

X = i\/(l-«eco8(L**) = il/ - -^-"

C ist südwestlich und C' nordöstlich gezählt; X und L sind nach Westen positiv]. Vortheilhafter sind jedoch hier folgende Formeln:

sin(j;'= sinc{;cos/S — cos cp sin Ä cos C cos^'cosC'= sin (j; sin Ä 4- cos ^ cos Ä cos C cos if' sin C = cos if sin 4-

^g NACHLASS.

Also

cotang C = cos ö cotang L, + ,.^^ ^

oder näherungsweise:

cotangC = ooUngC(l - ä^l^=^')(l+ ^- JVC -«=in<P*,)

Femer

cos cp'cos L = cos ^ cos S + sin cp sin S cos C

cos (j;' sin i = sin S sin C- Näherungsweise bis zur 2^**^ Ordnung

i_^««^._M^cosCsinC.

Obiges Problem kann auch so aufgelöst werden: 1; tangcp = v^(l — ^«;.tang9

2, tang u = tang S cos C

•^ ' ^"o ^ "~ coB (^; - u) cos ^; - u

tang cj>' = tang (^ — w) cos L

. f tai

tangcp = ^

tang/) = tang C cos iS

tang q = tang 'ij^ — w; sin C sin S = tang L sin (j^'

V 1 — ccsm^'

4}

5

tt

7

8,

9'

Setzt man

tangy' ee

tang ^I^ — u = y/(i — ee) . tang (cp — w) , so ist hinlänglich genau

W = (4;-4. A'COSC,

_ l-eesin?pV« J j .^ _ , ^ l-eesmy»_

a,l — ee

1- ee WW

(1 — eeaiuf*)*

GEODÄTISCHE LINIE.

87

[Ferner ist angenähert]

P =

et

aa

log (5) = i[i-fv.

7.

Musterrechnung. [Übertragung der geographischen Coordinaten von Mannheim nach Seeberg.]

[Hiebei ist der Abplattungswerth 3Ö268 ^^^^*'^t worden. 1. Anwendung der Formebi des Art. 5.]

Mannheim 9 = 49®29'12;'930 Seeberg 9' = 50 56 5,514

C = 224^18' 2;'100 logÄ C = 226 2 41,480 AX

9* = 50 12 39,222 C^ = 225 10 21,790

s 5,358 6482 s 5,358 6482 a 4,62872

B 8,508 9799

sinC" 9,850 7902«

A 8,510 1594

cosC*^. . . 9,848 1718«

(1)

3,716 9794n 737

tang cp'

Acp = 5212;'584 AC = 6279,380 AX = 8170,868

coscp

^2)

M:

;3)

3,7184183« 0,079 4351 9,806 1553

3,797 8534„ 633

3,912 2630n 52

oC*. . . 7,59571 I = 167.66

211 = 569.46 2III = 465.46 7 1,64955

SS ... 0,71730 III = 232 73

= 5,358 6482 = 2^16'10;'868

ß 4,62990

8X^ . . 7,82453 II = 284.73

d 4,629?4

öcp* . . 7,43396 IV = 115.66

[2. Anwendung der Formeln des Art. 6. 1 Directe Methode.

tangcp 0,068 3004 oder genauer: ~|(:^~^^|sin(y-l-^) = sin (9

\j:\ — €e) — 1 4372

1 l — ^,l — ee,

-^)

tang^ 0,066 8632

, . /, _ 2,533 1319

sin((p + (J>) 9,994 7628

+ 2

cp — <]; = 5'37;'206

cp — ^ 2,527 8949

88

NACHIASS.

4» = 49''23'35;724 90"—^ = 40 36 24,276

45" — i«|; = 20 18 12,138 4^5= 1 1 38,582 45" — t}^^ — |S= I = 19"16'33;;556 450_j.<P-|_|fif = II = 2119 50,720

iC = 112 9 1,050

1:^(1 — ««) 0,001 4372.07

1 : ^(1 — ««8in<p**) 8474.43

s

8

0,000 5897.64 1,490 1727.02 1,489 5829 5,358 6482

sini . . 9,518 6703

sin^^C • • 9,966 7039

COSi . . 9,974 9441

sin II cos II

9,5608046 9,5763844,

9,9691810

sinf Csinl .. 9,485 3742 siniCcosI .. 9,9416480 cosKsinll . . 9,137 1890, cosiCcosII . . 9,545 5654, 8in|(C'— i) . . 9,960 1922 8iiii(C'+I') • . 9,9675138

\/

. . . 3,869 0653 <S= 7397"164

4 (C— i) = 1 1 4" 9'3i;723 i Ü'+L) = 111 53 9,737

C'=226 2 41,460

— L= 2 16 21,986 = 818i;986

L 3,912 8588.

1 — ee

1 — «««ny»

8in(45'—|4*').. 9,525 1820 co8(45"—i(p').. 9,9741342 X 3,9122690,

<P'= 50''50'31"424

— X = 8170"883

tangf ...0,0891844 fjf^^ V(l -ee).. ... + 14372 gi^ (^'4. ^') .

0,0906216

2,5331319

9,9907603

+ 2

(y'= 50"56' 5^536

2,523 8924 (p'_<P'= 334"112

Also Differenzen von den Resultaten der vorigen Methode

beim Azimuth —0^020 bei der Länge -|- 0,015 bei der Polhöhe +0,022.

[8.] [Geodätische Übertragung auf der Kugel.]

[Für die Kugel ist angenähert, wenn R den Bogen des grössten Kreises, dividirt durch den Radius, bezeichnet]

GEODÄTISCHE LINIE. 89

A9 = Bco8C^.5i^^8eciAX AC=i28inCtang9ifi-,-^

[wobei wieder C und (p die Mittel der Azimuthe^\iiid Breiten des grOsst^i Kreises in den Endpunkten bedeuten].

[9.]

[Berechnung der linearen Länge der geodätischen Linie und ihrer Azimuthe

aus den geographischen Coordinaten.]

[Es sei

r die lineare Länge der geodätischen Linie einer Rotationsfläche

f 1 die geographische Breite des Anfangspunktes

^-|-^ die geographische Breite des Endpunktes

N das südwestliche Azimuth des Endpunktes im Anfangspunkt

M das nordöstliche Azimuth des Anfangspunktes im Endpunkt

X der Längenunterschied.

X wird als positiv angesehen, wenn der Endpunkt westlich vom Anfangs« pnnkt liegt.]

dr = ^(;?|>d*'-f"icicdX*) p = a4-6*+ic«+idf*H

[Nach den Disqu. gen. c. superf. curv., art. 22, Band IV, S. 249, ist:]

-g^ =1 —pcosM m^y- := TzcosM

^ = TzsiaM = osiniV^ m-gj =pBixiM. [Aus der Gleichung

folgt:]

O. 12

90 NACHLASS.

rr = aa«-f aoXX-f a6**+aß*XX

+ (iac+i66)**+(i5|£_|-^aT)«XX-^^X«... [und hiemit, da

ist:] ^

-rcos3f=a*+tft"+i^XX4-ic*'+(i^-+^)*XX...

rsmlf=aX * +(^^_^^)«X-i«^X«. . . .

[Aus den Gleichungen

r cos iyr = -■ i r cos M ?iJ:^ + i r sin M ^^^^

rsiniV = — -rco8M-i-57 — ^H — rsinJi-^-sT — -

p at * n CA

= — sinAi

a

ergibt sich weiter:]

-rcosi^r = a*+i6«-f ^XX+ic<«+(i^P-iy-i^)*XX. . .

rsmN^aX +ß*X +(^^+|T)«X-i^X». . . . [Femer ist:]

— cosJtfgl+J'siiilf-gj^ = Bin M ^ -{- % cos M -gr^

/^smlf-^ = iccosM-^)

[folglich, da hier gf = 0 ist, und wenn

JV-lf = A gesetzt wird:]

[oder]

(a + ß*+*T«.--)(«'+ift«+f^^X+ic<«+(i^-i^)«XX...)

+ (a4-6*+ic«. . .)(aX * 4-(^M_^^)«X-i^Px» . . .)

v^dA "MjT^^ «iT^^

Tcrcosill-g^— l^rsin-fll^ = rsrnJIf-

ÖA

ÖA

dk

GEODÄTISCHE LINIE. 91

[oder] [woraus folgt:]

a ' 2aa ' \' a ♦ aa • aa • aa ' * a* ' • aaa/

gP(aT-6P)%i

12a* '^ • • • •

[Setzt man

M±N_ . 2 ~" ^»

also -M = J. — + A und iV^= il + ^A, so wird zunächst:] r cos iisin 4^ A = ^-ßA + l-^WX . . .

-rsin48miA = i^XX + (i^ + i^-i^)<XX..c

-rco84co8iA = a*+i6«+ic<»+(^^-i^-,V^)'XX...

rsin ^cosiA = aX + iß«X + (i^+,VT)«^-i^^'- • •, [mithin]

-rcos^ = «,4-^6«+^cf«+(Vr?-i^-TV^)<XX . . .

r8in4 = aX + ißfX + (i^+-,VT)«^— rtr^X».... .

[Reducirt man die Coefficienten a, 6, c . . . , a, ß, y - * • 9 ^^^ ^^^^^ Argument ^, gehören, auf diejenigen Werthe a\ 6', c'. . ., a', ß', y'« • •» die sich auf das Argument ^i + i' ^^ziehen, setzt man also a = a'— 4-6V+ic'« — xV^'** • • • u. 8. w., so ergibt sich :]

-A=-g;x+uj;-^4Jg;-ig;^4-i^:)»x-''p'y-^^''x«... .

a' ' \* * a' * * a'a' • a'a' ' ' a'a'a'/ 12a'*

[Für das abgeplattete Rotationsellipsoid ist, wenn zur Abkürzung

12*

92 NACHLASS.

gesetzt wird, und Oq die halbe grosse Axe besseichnet :

f ae(l - ee)

a -— jr-

1» t Seeiinvooso

* = « — f^k-

I 8«

c'»=a'~(l — (2 — 4ee)gmy»— 3««8m^*)

und

a' = Ä^ ]

— ß' SB a' sin f

— •(' a=s a' cos 9 + 6' sin y

— 8'= — a'8m7-|-2^'co>?-|~<^'sü^7- [Damit eigibt sich:

-rcosil = a* J1+A-7«-(tV Jco8y+i8iny»)XX|

rsinil a= a'X|l+(i*r7C08y — i^sin^j«— ,«r*™T*-^^{

A = XsiiKp jl-f(-.^+iJco8^ + ,V^cotangf)«+Vr7Cosy.XXJ od«

-rcosil = 2£^i^*jl + |p(l-(2-4e«)sin^»-3««8inf*)«

- 24(1^ (2 + (* - ^ ««) «^ ?* + 2 «« sin ^♦) XX|

r sin 4 = 22^ X ( 1 + gip (1 - ««) (1 - 1 0«« sin ^*) « - iV sin ^». XXJ A = Xsin(ptl4-änr(3 + 2««-5««flin?»)«+i2(r^co8«P'-^-]

[10.] Vollkommen genaue Formeln för ein Dreieck auf dem elliptischen Sphäroid.

(p, 9' Polhöhen; L^ L + X Langen zweier örter P, P' a Radius des Erdaquators; e Excentricität

i

GEODÄTISCHE LINIE. 9S

Aj Ä [nordöstliche] Azimuthe [der Verticalschnitte] der örter P' bezw.

P in P bezw. P' Ä, Ä' Höhen derselben örter über dem Niveau JT Chorde zwischen den beiden auf das Niveau projicirten örtem

p = (1 — ^e sin 9*)" , p' = (l — ^^ sin 9'*)" . [Man bilde ein] sphärisches Dreieck [dessen]

Seiten Winkel

90^—9 360^— B'

90«- (p' B

A X

PDann ist]

COtangS' = COtaiig^'+^^gg?^. e«(p'riny'-priny) ,

[Ferner ist]

K— a\^{2— 2pp'(c<»^co8^'co8X4-(l— ««)sin^8in^')— ee(l— «e)(p'Bin9'— psLay)*!-

[11.]

[Übertragung der geographischen Lage vermittelst der Sehne und des Azimuths

des Verticalschnittes.]

9 Polhöhe eines Orts jf, x = cos 9, y = sintp, p = ^(i,/^^^.)

Dasselbe für den Beobachtungsort P: 0, X, F, P

X I^ngenunterschied der örter;? und P, positiv, wenn P westlich [von;? liegt]

K Chorde

8 Depression von P in p

A [südwestliches] Azimuth [der Verticalebene in p nach P].

"K. JET

PXcosX — pj? = — ycosScosil a?sin8

PXsinX = — cosSsinJ.

a

(1 — ^e)(PF— py) = a?cos8cosil ysin8.

94 MACHULSS.

[12.] [Der Unterschied zwischen dem geodätischen und dem beobachteten Azimuth.]

Ist V = 0 die Gleichung einer Fläche, deren Punkte die Coordinaten w^y^z haben, wo V eine gegebene Funktion von o?, y, « ist, femer d* =

^(dj?'4-dy*+^^')9 so ^8^9 d^ ^ constant betrachtet, für die kürzeste Linie auf dieser Fläche

dda;

ddy dds

dF ~ ~W ~ TF ' da; dy d«

Ich nehme an, dass im Anfangspunkt der Coordinaten die Ebene der x^y zugleich berührende Ebene der Fläche sei, und dass die kürzeste Linie von diesem Funkt ausgehe.

Man hat dann, den Halbmesser der Krümmung in der Ebene der o?, z gleich J2, den • Halbmesser der Krümmung in der Ebene der y, z gleich JB' gesetzt und angenommen, dass dies resp. die äussersten Krümmungshalb- messer sind,

[und wenn] femer das Azimuth der kürzesten Linie im Anfangspunkt der Coordinaten gleich C gesetzt wird:

* * ^^\2B ^TW) •

Beim Ellipsoid setzen wir

^ = v/(aaco89 +668U19 ).(-^ + -^) = ,(^_,;^

1 ,1/ t I IL • «\ /cos»* , Bincp*\ (1 — eegmo'r

^ = y/(ao cos <p*+ 66 8m 9») ..(-^-f-^) = '- ^^

7 = ^(l + yr^cosy'cosC'jVU-«««™?*)- [Auf dem Botationsellipsoid ist, weim das] beobachtete Azimuth. := 3»

GEODÄTISCHE LINIE. 95

Allgemein [wird], wenn

z = aj?j? + 26a?y-f cyy + ^a?*+3/'.r.ry^-35^«^yy + Äy*+..• [llnd 6 der Winkel ist, den die geodätische Linie mit der ohAxe bildet,]

X = scosb # — |^(acosÖ-f 6sin6)(acos6*4-26co868in6 + csin6')...

y =^8in6 * — |-Ä*(6cos64-csin6)(acose*4-26cos68ine + c8in6*)...

z = # ÄÄ(aco8Ö*+26co8Ösin6-f csinö')

+ 5*(eco8 6*+3/*cose*sine+3^cosÖsine*+Afline*)... .

[Hieraus folgt für das Bogenelement do einer beliebigen Curve auf der Fläche

do* = dÄ*4-wwde*] wi = 5 -f"-| 5* (66 — ac) ... .

[13.] [Reduction des astronomischen Asimuthes auf das geodätische.]

Die Correction des beobachteten Azimuthes 0 wegen der Höhe h des Objects wird [angenähert]

h et

P = -^--5^sin2ecos9*\/(l — ÄÄsincp*)

2ap 1 — «e T V \ T /

= 4^£T^^Aco89*sin2e

[log£ ist aus der^ Tabelle auf S. 84 zu entnehmen].

Correction [des beobachteten Azimuthes auf das Azimuth] der kürzesten Linie:

-^■ig-sin2e^^"^'^V'~^^'^^'' = -Q

* * aap 1 — ««

[Also ist angenähert]

88

Q^VikP-

ha

96 BEMERKUNGEN.

BEMERKUNGEN.

Die Notiien [i] und [s] fimden neh auf einielneii Blittem; ne nnd wfthnoheixilieh, ebenio wie anelL [3], am Ende def xweiten Jahnehnti im vergangenen Jahrhundert entstanden. [2] ift einem Handbuchs entnommen; die in dem Beiapiele erwihnten Punkte Kirchheeepe und Queokenberg gehören der hannorer- schen Landefvenneafung an. Im Beiipiele eelbst and einige Rechnungtungenauigkeiten richtig geateUt worden, wodurch die Poiition ron Qneckenberg ron dem durch Gauss erhaltenen Werthe etwas abweicht

Die Formehl lur indireoten Bestimmung ron f'— ff, B^—E und AP unter [3] erhlH man leieht am den OAüSSschen Gleichungen:

coi£*iiniAQ =^ sinil^'-flooif AP coi^(£'-£)coiiAQ = coiit7'-7)coiiAP

iinJS^sin^AQ =: coi^^iin^AP ■ini(£'~22)ooiiAO rs dn^p^sin^AP,

wenn man berücksichtigt, dass für kleine Winkel angenähert

■injB := «cosas*, tanga; = assecx*

ist. Aus der ersten Gleichung folgt

^^-« = cosy / cosjAg \* ^ ^ oosiAPVoosi(<p'-<pV ^'

und daher mit Hülfe der sweiten Gleichung:

^'-^ = cos£*.A0(seci[J2'-£)seciAP*)^.

B^—B ergibt sich aus der 4. und s. Gleichung:

sini(£'-^ = tang<f*BinJ3«tangiA0

B'-E = Uitig^*MinB*.^Q(neo\{B^'-B)neei^Q*)*.

Die angegebenen Werihe für AP findet man aus der 3. Gleichung und aus der s. und 3. Gleichung. Die Schlussfoimel für dX in der Notis [8] lautet im Original

ee

dX

= dZ-i irdö|i-i«c(i-coso«sin2«) + etc.}

■ cosi « • ' »

Die Foimeki unter [4] waren von Gauss auf die letste Seite seines Exemplars der »Mathematischen Abhandlungen von Dr. H. F. Scheek, Berlin, 1825«, eingetragen; die daau gehörige Tabelle, die sich Ton 47*— 55* erstreckt, und von der 8. 83 eine Probe gibt, befand sich auf losen Blittem. Für log(— f) ist noch eine auf 7 Stellen berechnete Tabelle für dasselbe Intervall Torhanden. Wahrscheinlich sind diese Formeln zur geod&tischen Übertragung, die yielleicht durch ein besonderes Verfahren erhalten wurden, Tor den etwas einfiMhem der »Untersuchungen über Gegenstände der hohem Geodäsie«, Art. 33— 25 oder Art. 80— SS,

GEODÄTISCHE LINIE. 97

entstanden. Man erh&It aus ihnen die letEtem, wenn man berückaichtigt, dasi für die Glieder in den Klammem

(i-ee«in*») — + AC* = ( ^""^ Ta^'+AX«

AC» = AX'nn^p»,

34(i-ee) v" — A C" 12(1 — «e) aa"*" 12 (i-cc sin©»)» '

alio

und

1- eggin y»>, ^ aAC I ^-<^^»°y* ** ^"^^^ a^«

I2(i-e«) T¥ '. -r i2(i_gg) aa i2{i-eeiin<pV ^

ist. Hierbei ist «u A^, AX, AC der Factor p = zuzufügen.

206 266

Die Formeln [4] sind von Gauss zuc Berechnung der geodätischen Positionen seiner Hauptdreiecks- punkte benutzt worden; Breite, Länge und Azimuth wurden Ton Göttingen, Sternwarte, aus von Punkt zu Funkt übertragen. Das den Formeln beigefügte Beispiel ist diesen Rechnungen entnommen, die sich auf den letzten Seiten eines Beobachtungs- imd Rechnungsheftes für die Gradmessung aus dem Jahre 1825 befinden. Die Bezeichnungen sind in dem Beispiel zugesetzt worden«

Die imter [5] mitgetheilten Formeln, die einem Handbuche entstammen, sind Annäherungen an die

Formeln [4]. Zu ihnen gehört eine Ton 50* bis 54* sich erstreckende, auf dem Abplattungswerthe

903,78

beruhende Tabelle, die in einem besondem Heftchen enthalten ist. Die Tabelle auf S. 84 gibt eine

Probe daron.

Bei der Notiz [6] hat Gauss in der Formel für loghyp (4) als zweites Glied ^u)\d- ^-^ , während

1 — e« . . \ — tt

es heissen muss, wie angegeben ist: \viV)j-^ : — äTi* f<Bmer heisst die Formel] für loghyp (5) bei ihm:

logW = il*-*v.

Li den Beispielen [7], die sich in demselben Handbuche wie [5] imd [6] befinden, sind die Be- zdehnungen für die Zahlenwerthe zugefOgt und ausserdem einige kleine Rechenfehler berichtigt worden«

[8] ist einem einzelnen Blatte entnonmien.

Die Notiz [9] fand sich auf einem abgerissenen Zettel; theilweue waren die Formeln durcheinander geschrieben. In den Schlussformeln mit mittlem Argumenten sind den Constanten die Accente zugefügt worden« Der Schrift nach zu urtheilen, gehört diese Entwickelung einer spätem Zeit an, als die Torherigen J^otizen«

Bei den Formeln unter [10], zur Berechnung der Sehne und der Azimuthe der beiden Verticalschnitte aus den geographischen Positionen zweier Pimkte, hat Gauss in der Formel für K das Glied

— ce (1 — c«) (p'sin y'— p sm f )*

nicht. In den Formeln unter [11] steht im Original, einem Handbuche, das auch die Torhergehende Notiz

enthält, immer K an Stelle Ton — , imd in der letzten Formel — ITa^cosS an Stelle Ton a;cos8cosii.

a a

Die Entwickelung Ton x, y, z nach Potenzen Ton 8 in dem allgemeinem Falle bei der einem andern Handbuehe entlehnten Notiz [12] geschieht mit Hülfe der Differentialgleichungen der kürzesten Linie. Wegen

z = axx+7hxy-\-cyy + '"

lauten dieselben

ddrc ,^ I «.v I .• I X dd« "T^ = (26aj + 2cy + 3raja: + ...)4^

13

98 BEHERKUNGEN. GEODÄTISCHE LINIE.

Alio iflt für den Anfangspunkt

m)r'' im-'

da auMerdem für diesen

ist, so wird mithin zun&chst

X = «cosO + ^«'(. ..), y == «sinO+^«*(...), und daher

£ = ««(acos6' + 3&cos6Bin6 + CBin0'] + «'(«eose' + 3/'cos0*sine + spoosesin0* + Asin6') +

Aus den Differentialgleichungen folgt jetst weiter für den Anfitngspunkt

)

f^j = -4;acose + 6sinö){acose* + 25coBesine + csine*

(^\ = -4(6cose + C8ine)(acose* + 26cosesine + csine*),

womit die angegebenen Reihen für sb und y erhalten werden. Die Differenz des geod&tischen und dei beobachteten Azimuthes ergibt sich aus der Gleichung:

/o rr, a: sin Ö — y cos 6

tang 6— Z = ^ , . ^

x cos 6 + y Bin 0

oder

e — Z = f««(i(c-a) sin2e + &cosae)(acose* + i6cosesine + csine») + »*(...),

aus der für

A1./7AJ *!.* icoBp.sinpl

2B' ' 2B" B ^ B^ p

und mit den Werthen von B, J^, ^ für das Rotationsellipsoid, S. 04, die auf S. 95 gegebene Fonnel herrorgeht. Auoh die Notiz [12] dürfte aus der Zeit um 1820 stammen.

Über die Notiz [13], die sich auf einem einzelnen Blatte befindet, ist der Brief an Olbebs yom

88

14. Mai 1826 zu yergleiohen. Die Schlussformel heisst bei Gauss Qr=^.-.p, weil Gauss in der Formel

SS SS P 1

für — Q, aus Versehen, — an Stelle von geschrieben und in der Formel für P den Factor — weg-

^ ap aap "* P

gelassen hatte. Kbüoee, Böbsch.

BRIEFWECHSEL.

[Änderung der Polhöhe mit der Höhe.]

Gauss an J. J. Baeyer. Göttingen, 22. Junius 1853.

Ich habe Ihnen noch meinen verbindlichsten Dank abzustatten für Ihr gutiges Schreiben vom 19. Mai und für die interessanten Mittheilungen, die Verbindung der verschiedenen Dreieckssysteme betreffend. Dass dieser Dank etwas verspätet ist, muss ich damit entschuldigen, dass ich auf die in Ihrem Briefe angestellte Frage nicht gleich eine angemessene Antwort geben konnte. Erinnerlich war mir nicht, sie irgend wo berührt gefunden zu haben, und an einigen Plätzen, wo man ein Eingehen darauf wohl hätte erwarten mögen, fand sich nichts. Es blieb mir also nichts übrig, als erst selbst eine Unter- suchung darüber anzustellen, wobei ich bald zu der Überzeugung kam, dass hier mit blossen Apercus nichts auszurichten ist, sondern eine tiefer ein- dringende Untersuchung unerlässlich ist.

Was ich in dieser Hinsicht zunächst zu bemerken habe, erläutere ich durch beistehende Figur, die in der Meridianebene des Punktes A gedacht werden muss. Es ist dabei DAE ein Theil der Erdoberfläche (d. i. ihres Schnittes mit der Meridianebene), AB stellt (nach beliebigem Maassstabe) die Gravitation in A vor (d. i. die Anziehung gegen den Erdkörper), BC parallel mit dem Erdäquator nach demselben Maassstabe die Centrifugalkraft, also ^C die Schwere.

In der Fortsetzung der Geraden CA nach oben sei ein zweiter Punkt a, daselbst (immer in dem vorigen Maassstabe) ab die Richtung und Grösse der

13*

L

100 BRIEFWECHSEL.

Gravitation, bc parallel mit BC die Centrifugalkraft, also ac die Schwere in a. Sie bemerken sehr richtig, dass ab <^ ABy hingegen bc '^ BC.

Allein dies ist nicht ausreichend, um über die Verschiedenheit der in A und a beobachteten Richtung der Schwere (Lothlinie) gegen den Äquator zu urtheilen, da man nicht berechtigt ist anzunehmen, dass ab mit AB parallel sei; in der That ist die Ungleichheit der Richtungen von ab und AB von derselben Ordnung, wie die aus den zwei von Ihnen angeführten Ursachen entspringende Ungleichheit der Winkel BAC und bac. Nach einem blossen Apercu würde man geneigt sein, zu vermuthen, dass die beiden Ge- raden AB und ab, auf beiden Seiten indefinite fortgesetzt, sich nicht oben, sondern unten schneiden müssten, in welchem Falle dann diese dritte Ursache in demselben Sinne wirken würde, nemlich die Polhöhe in a grösser zu machen als in A. Allein eine tiefer eindringende Untersuchung zeigt, dass diese Fräsumption falsch ist, und dass ab mit aAC einen grossem und nicht einen kleinem Winkel macht als ^^ mit AC, daher also diese dritte Ur- sache den beiden ersten entgegen wirkt und es auf das Quantitative an- kommt, um sicher zu werden, ob nicht gar die Folhöhe in a kleiner wird als in ^.

Zu einer solchen Untersuchung fehlte mir nun damals die Zeit, auch abgesehen von einem nicht günstigen Gesimdheitszustande. Jedoch habe ich, sobald ich es möglich machen konnte, die Untersuchung für den Fall, wo die Erde wie homogen betrachtet wird, durchgeführt. Das Resultat war, dass die Polhöhe in a um

206 265". — sin 2 (p.JT

«•

grösser ist als in ^, wo a^ den Halbmesser des Äquators, s die Höhe Aa

ÄNDERUNG DER POLHÖHE MIT DER HÖHE. 101

in obiger Figur, cp die Polhöhe in -4, und K einen Coefficienten bedeutet, der aber in der Voraussetzung der Homogeneität schlechthin der Abplattung gleich wird = 0, übrigens aber eben nm' auf die erste Ordnung der Abplattung genau ist, was jedenfalls hier vollkommen zureicht. Ich bemerke noch, dass dies K wie aus drei Theilen zusammengesetzt betrachtet werden kann: +-J-6 in Folge des Umstandes, dass hc^ BC\ +^6 in Folge des Umstandes, dass ah<C^AB und — -J-O in Folge des Nichtparallelismus von ah und AB. Ich wollte Ihnen jedoch dies Resultat nicht gleich mittheilen, weil ich wünschte, die Untersuchung von der Voraussetzung der Homogeneität der Erde unab- hängig zu machen. Ganz unabhängig von aller Voraussetzung ist es natürlich nicht möglich, ein Resultat zu erhalten. Meiner weitem Untersuchung sollte aber weiter keine Voraussetzung zum Grunde liegen, als diejenige, der (in einer oder andern Form) der berühmte CLAiRAuxsche Lehrsatz

zum Grunde Hegt, wo ff und ff' die Schwere am Äquator und Pol und h die Centrifugalkraft am Äquator bedeuten. Die Gültigkeit dieses Lehrsatzes ist nemlich abhängig davon, dass man entweder den Erdkörper aus ähnlichen Schichten zusammengesetzt sich vorstellt (Dichtigkeit in allen Punkten Einer Schicht dieselbe, aber in verschiedenen Schichten beliebig ungleich) oder auch bloss annimmt, die Erde sei ein elliptisches Sphäroid, oder drittens auch nur, dass der Zuwachs der Pendellänge vom Äquator zum Pol dem Quadrate des Sinus der Polhöhe proportional sei. Alles übrigens, indem man Grössen der zweiten Ordnung der Abplattung ignorirt.

Diese weitere Untersuchung habe ich jetzt auch ausgeführt, freilich nicht gerade in der Form einer Zusammensetzung des Resultats aus den gedachten drei Theilen, die sich aber doch darin wiederfinden lassen. Diese drei Theile verhalten sich hier aber nicht mehr wie die Zahlen +2, -[-4, —1, sondern die dritte wird einem complicirtem Ausdruck entsprechen. Das Endresultat wird aber merkwürdigerweise sehr einfach, nemlich

9

welches also das vorhergehende specielle unter sich begreift, da bekanntlich bei homogener Zusammensetzung des Erdkörpers

102 BRIEFWECHSEL. ÄNDERUNG DER POLHÖHE MIT DER HÖHE.

9 ^9

wird (die NEwroNsche Abplattung).

Bei dieser neuen umfassenden Form wird, wenn ich mit Sabine

9'-9 _ 1

g — 192,7

setze, die Folhöhe in a

= ^ + 1070".^8in2(p.

Also für die höchsten Berge in Schlesien nur etwa ^ Secunde. Ich muss Ihnen indessen offenherzig gestehen, dass ich die ganze Untersuchung nur wie eine theoretische Curiosität betrachten kann, der durchaus alle praktische Be- deutung abgeht. Sie hätte eine solche nur dann, wenn auf der glatten Erd- oberfläche DAE eine dünne hohe Säule Aa errichtet wäre, auf deren Gipfel wie am Fuss man die Polhöhe beobachten könnte. In der Wirklichkeit, wo a etwa auf einem hohen Berge liegt, kann man erstlich dem Funkt A gar nicht beikommen, und wenn man es auch könnte, und die Ungleichheit der Richtung der Lothlinie in A und a durch Messungen scharf bestimmen könnte, so hätte man doch gar kein Recht, obige Formel wie diesen Unter- schied darstellend zu betrachten, da die Anziehungen der oberhalb des Niveaus von A liegenden Bestandtheile des Erdkörpers viel grössere und einem CalciÜ gar nicht zu unterwerfende Ungleichheiten in den Endresultaten für die Schwere in A und a hervorbringen werden.

Ich habe mich über diesen Gegenstand im Allgemeinen in meiner Schrift von 1828 über den Breitenunterschied von Göttingen und Altona, p. 73 [vergL diesen Band, S. 49], bereits so ausgesprochen, dass ich jetzt nichts Besseres darüber zu sagen weiss.

BEMERKUNGEN.

Der Torstehende Brief, Ton dem eine Abschrift im GausB-Archiv yorhanden ist, ist abgedruckt in den »Protocollen der Verhandlungen der permanenten Commission der europäischen GradmeiBung Tom 2S« bis 20. September 1869 in Florenz«. [Als Manuscript gedruckt.} S. <o — S3.

Kbüoeb, Böbsch.

NACHLASS.

Reduction der sphärischen Dreieckswinkel A, B^ C auf die Chordenwinkel

21, 39, e.

Man beschreibe um das Dreieck einen Kreis. Also die 3 Vierecke das Maass [der Correctionen]. Man mache

ahn

= V

Bin A Bin B sin C

vacos-4 = a, v6cos^=ß, vcco8C = y. Dann sind die Reductionen

P + T. « + 7. «+P.

8

8

8

[2.] [Bedingung dafiir, dass 3 Funkte auf der Oberfläche einer Kugel

auf einem grössten Kreise liegen.]

Dass drei Funkte auf der Oberfläche einer Kugel, deren Längen und

Breiten resp.

L, B

L\ B'

L\ B"

sind, in einem grössten Kreise liegen, davon ist die Bedingungsgleichung :

tang-Bsin(i-Ir") + tang^'sin (i"-i) + tang£''sin(Ir-i') = 0.

104 BEMERKUNGEN. REDCCTION DER SPHÄRISCHEN DREIECKSWINKEL ETC.

BEMERKUNGEN.

Die Notiz [i] ist in ein Rechnnngsheft für die hannovenehe Gradmefsung eingetragen. Gauss hat hier als Werthe der Correctionen fi-i-? , ° "^ ^ , ?-J-£ angegeben. Die Reduction von A auf f[ kann man au« der Gleichung

cos Ä = «in — sin — -f cos — cos — cos A, (r = Radius der Kugel) 2r Jr 2r 2r

erhalten, die entwickelt zun&chst

^ — 9t = ; — : [hb-\- cc, cotang^ . , .

4rr %mA 8rr

liefert. Beschränkt man sich auf die Glieder zweiter Ordnung, so kann man

56 + cc = aa + ihcco^A setzen. Damit ergibt sich

.4. — Ä = (abcsin^ — aacotanir J., = f&&cotangJB4' <^<^cotangC7).

8rr 8rr

Zu demselben Ergebniss gelangt man, wenn man bedenkt, dass A^S/i gleich dem Excesse des sphärischen Vierecks ist, dessen Eckpunkte der Pol des Dreiecks, die Fusspunkte der Lothe von diesem auf die Seiten h und c und der Punkt A sind.

Die Notiz [3] befindet sich auf dem letzten Blatte des GAUSSsohen Exemplars der »Analytiiehen Tzigonometrie von G. 8. Klüoel. Braunsohweig 17 70«. Nach einer von Gauss gehaltenen Vorlesung: »Anleitung zur hohem Geodäsie«, von der eine Nachschrift Torliegt, grOndet sich die Ableitung der in [1] gegebenen^Bedingungsgleichung darauf, dass, wenn

m =s nsin((p — <P)

m' = nsintf'— <P)

i»"= nsin(<p"-<P) ist, alsdann

m«in(y'— «p") + *»'ttö(^"— ^) + m"sin(Y — yO = o

wird. Bedeutet nun • den Neigungswinkel der Ebene des grOssten Kreises gegen die Aquatoiebene, und werden die Längen L — L^, L'—L^, L'^-^L^ Ton dem durch den Durchschnitt bdder gehenden Meridian an gezählt, so ist aber

tang£ = tangisin(£ —L^)

tang B' = tang i sin [L' — Xr^)

tangB"= tangtBin(i"-io).

Kbügbb, Böbsch.

CONFOBME DOPPELPROJECTION DES SPHÄROIDS AUF DIE KUGEL

UND DIE EBENE.

14

NACHLASS.

PO

DAS ELLIPTISCHE SPHAROID [AUF DIE KUGEL ÜBERTRAGEN].

[1.]

Die erste Angabe ist die Übertragung der Oberfläche des Ellipsoids auf die Kugelflache. [Es sei]

9 . • . . FolhOhe auf dem Sphäroid

(|» . . . . correspondirende Folhöhe auf der Kugel

e • . . . Excentricitat

a • . . . Halbmesser des Äquators.

pDami ist, vergl. Band IV, Art. 13, S. 207 u. f.]

d<p [1 -- ee) dy

00*4^ oosy (l — eenny*)

oder

Jede unendlich kleine Figur auf der Kugel wird so der correspondirenden auf dem Sphäroid ähnlich, und gleich, wenn man den Halbmesser der Kugel r = ^^, ...^ J^ . — = setzt. Soll r für » = P ein Maximum werden, so setzt

man den constanten Multiplicator = L_^^!^pj , wodurch auf jenem FaraUel auch (|i = P wird. Man hat dann eben daselbst die vollkommenste Gleich-

14#

108 NACHLASS.

heit der Figuren, wenn man den Halbmesser der Kugel = ^_^^^p, setzt Für andere Parallele sind dann die Lineargrössen auf dem Sphäroid zu denen auf der Kugel wie

[Hieraus folgt

dlogn 1 dn gjn y — im <|»

00s ^

Die Darstellung eines Stückes der geodätischen Linie auf der Kugel wird hier ein kleiner Kreis; setzt man dessen Radius = 12, so ist

. T> sin 9 — «in 4^ • ^ f dloen • »1

cotangB = — ?-^8mC [= -äf-sinC],

[wo] C [das] Azimuth [der geodätischen Linie bedeutet].

[Die Darstellung ist] concav nach Süden, wenn sin 9 ^ sin «[^ ist.

Es sei

[also]

[2.]

sinf = j sin^ ^ a,

dö (l-ce)(l-ao) (l-«e){l-oa)

'dl' = t^:Z^ |(2-2..)a-(2 + 2.e). + 4..^{

dd« (l — «e ««)(!—««)

u. s. w. Für [<p =] ^ = P werden diese Werthe :

d« l-eeuiaP*

da 1 — ee

dd« 4ee /. • i-*tN • -r*

do« [l-ee)

da

^ = -2eg^/j;^,^;fp,{3-ge^

Folglich

8in9 = sinP+ ^^/l';^^' (sincj^-sinP) - ^j^^ (^ -^e8inP*)8inP(sin([*-8inP)*

i

CONFORME PROJECTION DES 8PHAROID8 AUF DIE KUOEL. 109

[oder]

Femer ist

co8(p* = C08 P* — 2 sin P (sin c|^ — sin P) — [(sin ^ — 8in P)*]. Also

= iZ;;i(8in4>-smP)-^^3^(8m4.-8mP)» s^^iZ^e,). ^(8m(|»-8mP)»...

und

= a (sin <|> — sin P)*— ß (sin 4» — sin P)' . . . . [Für den Abplattungswerth g^^ und P = 5l"3l'48;70 ist]

1^ 7,8210885

^' 9,336 7543

logo = 7,157 8428

T-?i- 7,821 0885

l — ee '

f 0,124 9387

sinP 9,893 7263

logß = 4,997 5963

[also für bri^iische Logarithmen]

logn = 0,0014382.78(sin«j* — sinP)*— 0,000 0099.45 (sin <|> — 8iaP)'... .

[3.] Femer ist

d» 1 — (1 -{•ee)88-{-ee8^

dijJ' ~ {l-«c)v^(l-ao)

d4>' (1 — ce)'(l — 00) t^ ^ V I / I j

u. s. w.

110 NACHLASS.

Also für [9 =] 4> = P: |

d« (1 — egimP*)cogP

folglich]

_ [iL:::^^^^^ { 1 + 4 «e - e* - (1 8 c«+ 1 4 **) sm P«+ 2 8 «* ainP* } (<|. - P)«] . . . .

[Da]

8iin|» = sin P+ CO8 P. (4» - P) - i sin P. (<|; — P)*- [i cos P. (((» - P)*] . . .

[ist, 80 wild]

81119 — Bin 4» = i_ee (l'-'P)

- jji^ sin P{ 6 - «« - (6 + 3 e«) sin P» + 4 «e sin P* j («I» - P)«

— [gjj^^co8P{7— 4«« + «*— (19+18«e — e*)8inP»

+ (46««+14«*)smP*-28«*8inP*}(«[»-P)«]

[Mit]

cos (|» = cos P — sin P. (<j> — P) — [i cos P. (<J> — P)*] . . .

[folgt daher]

dlogn r dn<p — wn^il

d<|» [ co«<|» J

= ^co8P».(4,-P)-i^8inPco8P(3 + 4^co8P»)(4.-P)« _ j_il_ (I cos P*- i sin P») - (i^)'(4 sin P*- i cos P*) cos P»

- (3^)' (4 sin P« - i cos P*) cos P* j (<p - P)» . . . .

CONFOBHE FROJECnON DES SPHAROIDS AUF DIB KUGEL. 111

[4.] [Man setze

• a

und]

ee ,

1:1^ = *;

* [sei] nach Süden positiv. [Dann wird]

logit^iAcosP»"'^^-;;'^^

+ iAsinPcosP(l + »AcosP«)''<^-y^'*

— { A (i cos P* — i sin P*) — AÄ (sin P* — tV cos P*) cos P*

- Ä» (sin P» - i cos P«) cos P* } 5!ü::i^J^i^ etc.

[5.]

[Ist S der dem « entsprechende Werth auf dem Spharoid, so ist

^ = i = l-logn+iaogw)»..., also, wenn noch]

r =

[gesetzt wird:]

AeosP*

a =

6rr

P=:*'^fr^^(l + fAcOSP')

T = ^{Ä(VrCosP*— ^sinP*)-AA(isinP»— ■,VVcosP»)cosP»

— A*(isinP*— WcosP^cosP*)-

112 NACHLASS.

[6.] Zur Berechnung [von ^ oder 7] kann auch dienen, wenn

9 = P + 8 gesetzt wird:

* = -P+"; ^—uT^-T-i-r^ ' Dtt 00+ etc.

T ' l — eeiinP* ' ♦ (1 — eeiinP^* '

eecoiP* a , . ee(l — fe)iin2P^> , . = y-l~ee.inP'^ + *(l-ee.mPV-^^+ ^te.;

[wenn] gesetzt wird:

I , eecoiP* - fefl — ef sinP*jMn2P ,

y°=<l'+i_,,rinj"'-<^ 0377'* ••- «*<'•

[7.]

[Setzt man]

ßsin^ = sinii

^ sin P = sin CT", [so ist auch]

WO

. _ 206 265 -^ ~ Mod.

[Für den Abplattungswerth -^^^-^ ist] log j4c = 4,586 3052. Sehr nahe [ist]

9 = 4» + T^ (<!'- -P) cos (iP+ *<!.)«. genauer

noch genauer

_ . . eg((p>-P)^(cogi(y-P)).coii[y + P)coii((p + <|;) T — r-T l-eeginiiP+<p;» '

oder noch genauer, wenn der Nenner = 1 — eesinPsin^ [gesetzt wird].

cosraaxE projection des bphIroids auf die kugel.

113

[8.]

Wenn

teBg(45«+i« = «-«(«"+ iT)(i^)*'(S^"

+ esm

tang(45®+i(p).e*'

gesetzt wird, so ist

*♦ - JroacL - 2 ^ang (45* + j 4.) _ d^ — |C08y — i + tÄng(45* + i4^;«

C019

l + ßm^.u + |tiu + -^sm9.ti" + Au* + yl^f sin ^ . u* +

und hienach

^ = cp + cos^.t* — ^^cos^sincp.t^M — ^cos<pcos2(p.t** ....

[Femer folgt aus

^^= —i^7e!ilf^^^ = — e^(l + eesincp* + ^*8in<p*H )dsin<p:]

— tt = ee(sincp — 8inP) + -l-e*(8in<p*— sinP^ + ie^sincp*— 8inP*)H

oder, sin 9 = 8inP4-'^ = 0 gesetzt.

u =

— €€X—^e^{iwoQ—iaa:0'{-x^)—-^e^{baQ*—lOxa!Q^'{-iOa^^oO'-ba!*0'\'a/^)..

eez

1 — ««öö

• • •

[Es ist]

COS^

h

1 COIO

l + tang(46* + *(l)* . , - wniu]

sin 9 . tt + i cos 9* . «w — ^ cos 9' sin 9 . w* — . . .

•>

[und]

sin(p = [

, irnttt

tang(45* + i<|^) —^ » 1 smy + tt + ^flmy.ttti + -^ti' + ««.

tang(45* + f i)' + l , sintii l + «nflp.ti + 4utt + 4imflp.u"H '

** ^ COB tu + Bin ^ — : — "■ ' T I ■ I ^ T n

gSinttt

sm© — 8m6 = ^— :- = — cos cp * , , ■ — . « rr-^ — i-; — >

cosfti + ain^ — r

nn<p — Bin<|f eoB<|»

IX.

= [— cos(p^ =] —cos9.(tt + it**+TiTr «*+•••) [= ^^]

15

114

NACHLAM.

[9.]

[Für P Göttingen) = 5l"3r4S;70 und mit dem Abplattongswerth 3^^ wird:!

?

^-9

48" 0'

+ 36;365

1,888

10

34,477

1,870

20

32,607

1,854

30

30,753

1,837

40

28,916

1,820

50

27,096

1,803

49 0

25,293

1,786

10

23,507

1,770

20

21,737

1,762

30

19,985

1,786

40

18,249

1,718

50

16,531

i,7oa

50 0

14,829

1,684

10

13,145

1,668

20

11,477

1,660

30

9,827

1,684

40

8,193

1,616

50

6,577

1,600

51 0

4,977

1,688

10

3,394

1,666

20

1,828

1,649

30

+ 0,279

1,682

40

— 1,253

1,516

50

2,769

1,499

52 '0

4,268

9

^-?

52« 0' 10 20 30 40 50

53 0 10 20 30 40 50

54 0 10 20 30 40 50

55 0

-4^268

5,750

7,215

8,664

10,096

11,511

12,910

14,292

15,656

17,004

18,335

19,650

20,948

22,230

23,495

24,743

25,975

27,190

— 28,388

1,482

1,465

1,449 1,432

1,415

1,399

1,382 1,364

1,348 1,331 1,315 1,298

1,282 1,265 1,248

1,282 1,215 1,198

CONFORME FROJECnON DES SPHABOIDS AUF DIE KUGEL. 115

» = C

[10.]

Die Correctionen der berechneten Azimuthe [auf der Kugel] wegen Ellipticität sind, [wenn]

beim ersten Punkt : (9 — (|^) sin C = «

in der Mitte: » = b

beim zweiten Punkt:

[und]

s = ganzer Bogen [sowie C dessen südwestliches Azimuth ist],

am ersten Punkt: (-i-6 + i«)* » zweiten » : —{•^b-\'-^c)s.

Zum observirten [Azimuth] kommt [also] hinzu

[am ersten Punkt:] — (i-6 + ia)* [ » zweiten » :] +(-J-6 + -J-c)ä.

BEMERKUNGEN. Die vontehenden Foimeln für die confoime Übertragung dei Erdellipioids auf die Kugel und auch

_____ _^_^^^ ••

im Wesentliehen die unter [11] und [HI] folgenden Ubertragungsformeln von der Kugel auf die Ebene iind in derselben Zeit entstanden wie die Formeln zur conformen Darstellung des Ellipsoids in der Ebene, die dann bei der hannoverschen Gradmessung und Landesvermessung Verwendung fanden. Uire Entstehungszeit dürfte demnach in das Ende des Eweiten Jahrzehnts des vorigen Jahrhunderts zu setzen sein. Die Über- tragung des Umdrehungsellipsoids auf die Kugel, wie sie hier gegeben ist, und die sich auf Art. 13 der »Allgemeinen Auflösung der Aufgabe, die Theile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Flfiche so abzubilden etc.« grQndet, ist später durch die in den »Untersuchungen über Gegenstände der hohem Geodäsie, 1844« mitgetheüte zweite Darstellung, die — wie Gauss selbst sagt (Band lY, S. 262) — ftür geodätische Anwendungen noch viel mehr geeignet ist, überholt worden.

Die Au£Eeichnimgen []], [6], [lo], sowie [i], S.117, bei der stereographischen Projection und [i], S. 128, bei der Mercatorprojection folgen in demselben Handbuche unmittelbar auf einander.

Die Notizen [2], [3], [7], [8] und [9] finden sich zerstreut zwischen Formeln zur conformen Dar- stellung des Erdellipsoids in der Ebene in einem andern Handbuche; [4] und [6] stehen auf einzelnen Blättern zwischen Zahlenrechnungen.

15*

116 BEMERKUNGEN. CONFORME FBOJECTION DES SPHAROIDS AUF DIE KUGEL.

Bei [3] ist im Origiiud in derFonnel filr —3^ iQ dem mit ^^P* multiplicirten Gliede: fooiP'

+ ^Bin P* an Stelle von: } coi P' — ^sin P' angegeben; dem entsprechend steht auch in der Formel f&r log» unter [4] im letzten Gliede: -^eosP' + ^sinP' an SteUe Ton: ^cosP* — l^tinP' und in dem Auadrack fdr 7 unter [b]: ^ cot P* + -^ Bin P* an Stelle Ton: ^cos P* — ^linP*.

In den Formeln für ^ und ^ unter [6] hat Gauss in den letzten Gliedern an Stelle des Fakten ( den Faktor \\ bei der Formel (p ^ 7 — .'i 8 + ,3, S$ des Beispiels auf S. 119 ist daher (und auch weg^ einsi kleinen Rechenfehlers; : log ,3) = 1,89733 — 10, wie das Original angibt, durch: log (2) = S,3»88»— 10 ersetit worden.

Die Unterschiede ^| und ^^ zwischen den Azimuthen des Bildes der geodfttisohen Linie des Sphiroids und den Azimuthen des grössten Elreises auf der Kugel, Art. [10], ergeben sich nach BandlV, S. S78 u.f., aus den Gleichungen:

+1 = i/,s + iXss.. ♦1 = -i/iS-iXss..

= —^1^9 + ^X9»..

lg und Z| sind die Werthe von ) as ^ sin C im Anfangs- und Endpunkt der geod&tisohen Linie. Ist Im der Werth von ) in der Mitte, so ist

Im ^ ^i + X — *•• = I| — X — •••• Also wird

Nach [1], S. 108, ist / = flm<p-8in4>^^ ^ («-d^lsinC

cos^

K&ÜOEB, BÖB80H.

[n.]

[STEREOGRAPHISCHE PROJECTION DER KUGEL

AUF DIE EBENE.]

Wird nun femer die Kugel durch die stereographische Projection auf die Ebene gebracht, so ist die Lage des Orts, dessen Abscisse und Ordi- nate j?, y [sind], folgende. Man mache

2rtang(45®— 4^P)-f-««^ = -4cosa y = ilsina 2rtang(45^+f P) — 0? = Äcosß y = Äginß.

[x ist nach Süden positiv. P ist die geographische Breite des Centralpunktes. Sind n und ^ die Frojectionen der beiden Pole und ist q die Projection eines beliebigen Punktes, dessen Breite ^ und dessen Länge X ist, so wird also nq^ A und sq =^ B; a und ß sind die Winkel, die A und B mit der iT-Axe bilden.] Sodann ist die Länge des Orts = a + ß [und zwar wächst die Länge mit y] ; und die Breite findet sich aus

tang(45«+i*) = |tang(45«-iP).

[Feiner ist]

j?+ytangi(a-ß) = 2rtang^(P-.<p).

[Die] Neigung des Meridians des Orts gegen die Abscissenaxe [ist] a — ß.

Beispiel. Es sei P[Mar8eille] = 43®ir50?l; [die Coordinaten der] Insel Planier [sind]:

ir = + 5628,66 Tois. y = + 5679,67 Tois.

118

KACHLASS.

'Für die Berechnang von r ist der Abplattungswerth x^f ▼cigL S. 68, be- nutzt wordeiL

a 1n ToiÄcn, 6,51 4 7609

\j [X -^eevmT^^ 9,999 3412

r 6,5154197

2r 6,8164497

tang'45*+f Pj 0,364 7S63

2rtang^45*— 4P;= 2 829 199 2rtaiig'45*+iF; = 15 17S 749

jr= 5 628,56

g 3,754 3231

Acma 6,452 5266

£cos^ 7,181 0749

B

A

a = 6' 5 37258

ß= i 17,210

0,728 5474 X = 8'lO;468

taiig;45*+|F .. .0,364 7863

tang 45*+^^;; ...0,363 7611 45®+i(;; = 66**35'57;71 if = AZ 11 55,42.

Für die umgekehrte Au%abe dient die Formel

) . ^ coB I X lin I P — ^ —inn\}. cof \ P-^-^

^y^lf — ^^ coBlXco»^ P-^ H-tiinlXiin^.P-l-i. *

[Hiebei ist X positiv nach Osten, und wie vorher x nach Süden, y dag^en nach Westen positiv. Ist das nordöstliche Azimuth des durch den Anfangs- punkt und den Ort (^, Xj gehenden grössten Kreises im Anfangspunkt = T, imd im Ort = 7", so ist

co8i(r+r;8iniA = 8ini((};-P)cosiX

sini(r+r)sinf A = cosf((|; + P)8infX cosf (r-r)cosf A = cosf ((|;-Fjcosf X sini(r-r)cosf A= 8ini((|; + P)8iniX.

Damit wird

•T.

a?-fty = — 2re*^tangi^A,

also

Of = — 2rtangYC0sr y = — 2rtang-s-sinr.]

[Beispiel.]

Göttingen: P= 51*3r55'' Länge = 27«35'45' Brocken: (p = 51 48 12 28 17 1

X = +41'16" [Zunächst hat man nach [7], S. 112, und für den Abplattungswerth ^Ir]

8TEBE0GRAPHISCHE FROJECTION DEB KUGEL AUF DIE EBENE.

119

sinP. .

U =

tang(45"+^l7)... taiig(45"+T^tt)

9,893 7368 8,9044836 3''36'9;755 0,0273261 0,027 4289

siiKp . . . 9,895 3633

e 8,9044836

u= 3"36'58T484

Bini((J.-P)... cos ^"k

C08-J-(4> — P) ..

0,0001028 1028 3,01199

e 8,90448

206266 _ ./.-oo

MSärW COS 9 . . . M6788

<p — <{; 0,38435

<p — 1}* = 2"42 if

cos^((|; + P) 9,79255

sinlX 7,77829

8in4-(^ + P) 9,89455

[Man hat auch:] <p = P+8 (j, = ^ — (1)8+ (2)88 (1)... 7,39837—10 (2)... 2,35885—10

[8 = 977"

<!* = 9-2^42]

J f\ni

. 7,37336 . 9,99999 . 0,00000

= 5l''48'9;58

j-(r'+r) = 57«36' 0"

i{T'—T}= 0 1611

r=57 1949

8miXcosi((j;+P). cos 4- X sin ^ (^~-P) •

[tang^r+r) . . . sini(T'+r)

sinl-A

.7,57084 sm4-Xsini((I; + P).. 7,67284 . 7,37335 cos/f Xcosi ((p— P) . . 9,99999

.0,19749 tang-J-(r'— T) 7,67285]

.9,92651 coai{T'—T) 0,00000

. 7,64433 cos^A 9,99999

2a 7,105 6109

cos 17 9,999 1408

2r 7,1064701

tangf A 7,64434

2rtangf A . . . 4,75081

cosT 9,73223

sinT 9,92521

56339 m = \J{xx-\'yy) — 30411 » =0?

— 47427 » =jf.

Der Hülfswinkel des Nenners [nemlich ^(T'- T)], doppelt genommen, gibt die Convergenz der Meridiane oder den obigen Winkel a — ß, hier 32' 22".

Endlich findet sich die Correction des Azimuths des Orts x\ y vom Orte x^y aus gesehen und geradlinigt berechnet durch die Formel:

sin Corr.

^^^^on. = 4,,+%^j:y-jp genau = -^

tangfÄ

cos Corr.

120 NACHLASS.

wenn

d die Distanz in piano

8 » » auf der Kugel [ist].

[2.]

Die stereographische Projection auf den Horizont eines Ortes,

dessen Polhöhe B [und dessen] Länge 0 [ist].

Des zu entwerfenden Ortes Polhöhe [sei] ß, [seine] Lange X. [Dann ißt]

seine Proiection nördlirh- «p?coi J - co»ß»inJ?coiX _

seine rrojecnon, nörancn. i + gin2^gi„ß + coiBcoß:ß"^5ix — ^

M ^ • V C08 8 sin X

östlich: , . . x> . Q ; ^ — z — 7 = *

1 + biuBbiu ß + cob Bcob ß coi X

[wenn der Durchmesser der Kugel = 1 angenommen wird]. Oder

cos 3 sin X 1 + cofl ^>v* COS ß — 2^ — sin ^X* cos ß + -B

_ CO« i^* B'P ^ß - B 4- sin | X* lin ß + B

y ~ 1 -h C50ß iX* CGI (ß - B] - ßin f X* cos ^ß~+ B)

^-^(BinB + ßinß)

cos

.pi ; tang^.

Denomin. ^

Der gemeinschaftliche Nenner [wird auch]

= 2co8iX*cosi(ß — £)* + 2sin^X'sinf(ß + £)*.

1) Die Meridiane werden Kreise mit dem Radius -t-t = aus demMittel-

' sin A cos Ji

punkt:

y = — tang£

1

jp = •

cosBtangX

2) Die Farallelkreise werden Kreise mit dem Radius

icotangi(ß + B)-itangi(ß-£)

aus dem Mittelpunkt:

y = icotangi(ß + £)4-itangi(ß-£) a = 0.

STEREOGBAPHISCHE FROJECTION DER KUGEL AUF DIE EBENE. 121

[3.] [Es sei]

2p Polardistanz ) . . , ,. , . ^ ,

^ j.. I [eines Deuebigen Punktes auf der Kugel]

2 9 ... . Polardistanz des Centralpunkts ;

[femer sei in der Ebene die ^-Axe das Bild des Anfangsmeridians, ihre po- sitive Kichtung gehe nach Süden. Die Ordinate y hat dasselbe Vorzeichen wie X.

Wenn der Durchmesser der Kugel = 1 ist, so wird]

tangp (coi X + 1 sin X) — tang q

^+*y = T

[Man setze]

-)- tang 3 tang J9 (cos X + i sin X)

[Dann wird]

cos X tang j) — tang q = a cos A

sin X tangp = a sin il

1 -f- tang j' tang j) cos X = bcosB

tang j' tang j^ sin X = bBÜiB.

x+iy = J {cos(il-£)+tsin(il-£)}.

Noch einfacher

x+iy =

sin ip — q) cos f X + »»in (p + g) sinf X

cos(jp — <2)oo8^X — tcos(jp + 2)<^i^

BEMEBKUKOEN.

Wie schon auf 8. 115 erw&hnt, ist die Notiz [l] in einem Handbuche enthalten; in den Zahlenbei- spielen sind die Bezeichnungen zugefügt und einige kleine Rechnungsimgenauigkeiten beseitigt worden. Die Aziznuthreduction am Schlüsse dieser Notiz kann man wie folgt erhalten. Es sei x nach Süden positiv und y habe dasselbe Vorzeichen wie X. Alsdann ist

05 = — artang — cos T = — p cos T, y = 2rtang — sin T = p sin 7,

wo also A der grösste Kreisbogen ist, der den abzubildenden Punkt mit dem Centralpunkt yerbindet, und

IX. 16

122 BEMEBXUNOEN. 8TEBEOORAPHISCHB PROJECTION DER KUGEL AUF DIE EBENE.

T das Azimuth von A bedeutet. I«t nun ^ der Winkel iwifchen A| und dem grOtsten KxeiBbogen h, der (A|, T|) und (A,, T^ yerbindet, femer ^ der Winkel iwifchen ^ und d, wo iit ~ (C| -- S|) die Reduetion dei gphftrifchen auf das ebene Azimuth. Dem Übergänge von der poattiTen x-Aze rar pootiTen y-Axe ent- fprechen hiebei wachiende Azimuthe. Setzt man nun z. B. in die Gleichung

gintCt—^) a Bin^!iinC|Cotang^ — eoaCi):

^»i = T (^y%-»%yi\ cotang«! = "^!? T T\

Jftang^.ef p,tm,2;-r,)

_ rin(7;^2;)BinA,^ _ ^ V cosflecA, ^

^ Bmd ^ imdim7|

to erhtit man, indem man noch BinA|finA|eofl(7',— T|) = cot ) — co« A| co« A, aetit:

1 l

-•in(C-«i) = Y^tang-(«,yt-«iyi).

Die Notiz [2] ist von Gauss auf das letzte Blatt seines Exemplars des »Lehrbegiißs der g^esammten Mathematik. Aufgesetzt von Wencssl. Joh. Gust. Kabsten etc. Der siebente Theil: Die Optik und Fer- speetiy. Greifswald, 177S« eingetragen; sie ist von Gauss mit der Überschrift »adpag. 718« yersehenwordeiL [8] findet sich auf dem letzten Blatte des GAUSSschen Exemplars der »Beytrftge zum Gebrauehe der Math»- matik etc. von J. H. Lambert. Dritter Theil. Berlin, 177S.«

KEÜOBB, BÖB8CH.

[HI.]

[ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS PROJECTION.]

[1.]

Erstreckt sich die Messung hauptsächlich längs des Meridians bei geringer Ausdehnung gegen Ost und West, so ist Mebcatoes Projection, den Meridian als Hauptkreis betrachtet, zweckmässiger.

Die Hauptau%aben sind hier folgende.

[Es sei

r Radius der Kugel

P geographische Breite des Anfangspunktes auf dem Haupt- meridian

<I>, X . . . . geographische Breite und Länge eines beliebigen Punktes der Kugeloberfläche, dessen rechtwinklige sphärische Coordinaten 2, F sind

x^y ... rechtwinklige Coordinaten des entsprechenden Punktes in der Ebene, x ist positiv nach Süden, y wächst mit dem Längen-

unterschied X. X = y, tang(45® + iF) = c^] I. Verbesserung der Richtungslinie, wie sie berechnet ist:

6rr

16*

124 NACHLASS.

n. Wahre Distanz:

V/|((^'-^)'+(/-y)«)(i-i'^y+»-;;+y'»-')j.

in. Geographische Lage:

reo.(p-£)

tang Converg. Merid. = « (i _ J^^) taug (P - f )

sin Converg. Merid. = sin X sin [P — -]

tangi(P-f-4*) = if(l- jlfj tang i Converg. Merid.

rv. Die umgekehrte Au%abe:

y = r8inXcos<J*.(l + J^)

sin Convei^. Merid. = -^ ( i -f- J^ J tang ^

= sinX8in<[..(l4-|j) tang Converg. Merid. as tang X sin <}*.

[20 Gonvergenz der Meridiane = c.

.inF-J-t(£)-+[A (?)■]... , ?++ft)'+T+T(f)"--

t«>gc.l.ng(P-e).(£-t(i)+A(?)'-)

sine = sinXsin(P— -]• [Setzt man]

• • •

• • •

OBEKTRAGUNG der KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS PROJECTION. 125

[ßo wird]

«»*B = ^('-*'^+AV(f)"-) = langt r'tang(P-f-iK)

= tang 4^X tang c COS ( P — -j

■iniX«8in2[p— -)

00« 0

= f(a...)teog(P-J) JB = tJitaDg(P-i)-(j)'(itong(P-|)*+A)-i

[für r as 1 ist]

es _ Mn(P-a!).(y-iy*+-Ay'---)

[3.]

Hülfstafel für log sec Y. Für r = 1 wird [der Logarithmus des Yergrösserungsverhältnisses]

log sec F = lyy - tV/+ xV/- Tifr/

• • •

Bei dem Werthe von r für Göttingen [mit P= 51®3l'48;70 und der Abplattung ^gg^ ei^bt sich aus ^ = ^^jizr^^S^ • ^^S^ = 6,805 4777] und für 7 Decimalen sind die [britischen] Log. der Coeff. :

2,725 7989 — 10 8,336 6923 — 30 4,1 51 7056 — 40 0,023 Ol 1 1 — 50.

[Damit ist die umstehende Tabelle berechnet worden.]

126

NACHLASS.

logsec Y

1

logsec T

log MC 7

[ y

in Einh.

difir.

y

in Einh.

diff.

y

in Einh.

diff.

d. 7. Dee.

d. 7. Uec.

d. 7. Dec.

0

0

6.82

250 000

3323.29

271.10

500 000

13283.00

6S6.06

10000

5.32

15.95

260 000

3594.39

281.73

510000

13819.06

646.64

20 000

21.27

26.60

270 000

3876.12

292.84

520 000

14365.70

667.20

30 000

47.87

87.28

280 000

4168.46

• 302.96

530 000

14922.90

667.77

40 000

85.10

47.86

290 000

4471.42

318.58

540 000

15490.67

678.38

50 000

132.96

58 51

300 000

4785.00

R'il IQ

550 000

16069.00

liSflfifl

60 000

191.47

69.14

310000

5109.19

0^%.A «/

334.80

560 000

16657.88

WOQ.OO

599.44

70 000

260.61

79.77

320 000

5443.99

345.41

570 000

17257.32

610.00

80 000

340.38

90.41

330 000

5789.40

356.02

580 000

17867.32

620.55

90 000

430.79

101.05

340 000

6145.42

866.63

590 000

18487.87

631.09

100 000

531.84

111 6Q

350 000

6512.05

377.24

600 000

19118.96

fUl ßS

110 000

643.53

AX X ,\JU

360 000

6889.29

610000

19760.59

v^A.Uw

122.81

387.88

652.18

120 000

765.84

182.95

370 000

7277.12

398.45

620 000

20412.77

662.71

130 000

898.79

148.58

380 000

7675.57

409.04

630 000

21075.48

673.25

140 000

1042.37

154.21

390000

8084.61

419.63

640 000

21748.73

683.78

150 000

1196.58

164.84

400 000

8504.24

430.28

650000

22432.51

AQiM

160 000

1361.42

410000

8934.47

660 000

23126.82

v9%.U A

175.48

440.83

704.83

170000

1536.90

186.10

420 000

9375.30

451.42

670 000

23831.65

715.36

180 000

1723.00

1%.74

430 000

9826.72

462.00

680 000

24547.01

726.88

190 000

1919.74

207.36

440000

10288.72

472.59

690 000

25272.89

736.38

200 000

2127.10

217.99

450 000

10761.31

483.18

700 000

26009.27

746.90

210000

2345.09

460 000

11244.49

710000

26756.17

•

228.61

493.76

767.40

220 000

2573.70

289.24

470 000

11738.25

604.34

720 000

27513.57

767.91

230 000

2812.94

249.86

480 000

12242.59

614.92

730 000

28281.48

778.41

240 000

3062.80

260.49

490 000

12757.51

525.49

740 000

29059.89

788.90

250 000

3323.29

500 000

13283.00

750 000

29848.79

ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS PROJECTION, 127

[4.] [Ist der] Halbmesser [der Kugel] = 1, [so ist]

5( = logtang(45^ + iI') tang^iy = «tang^ Y

cosiiy = ^^= co8iFv^cost5(

siniy = ttang Y tangty = tsin Y

cos iy = ^^-y = y ergrösserungsverhältiLiss.

[5.]

[Es sei Q die Polhöhe eines beliebigen Punktes auf der Kugeloberfläche, dessen Ordinate Y ist, und Q* die" Polhöhe des Fusspunktes von F; femer sei c die Meridianconvergenz. Dann ist:]

tangX = -^^ = ^

^ teonQ* mnQ

^•^ \ taug»« Brno

sm A = T^ X = -'-TÄ

tangc = ^5?ptangQ* sine s sinXsinQ* cosc s= cosXcosty tangi(Q*- Q) = taiigic^52ail? .

[6.] Um aus

tangiy [= tsinF]

jf ro finden, setsEe man

sinr=tang(F-8);

dann ist [angenähert]

■mr

y ^ •

128 NACHLASS.

[Denn setzt man sin K = «, so ist :]

also

F--rtr8=* + TV«'+ -iV«'+ i*T«'--- cos(r-TV8)= 1- f««-TVV«* — l*AV«•••• [mithin

"°^ . = sin F+isinF»4-isinF»+iVW8inF'....

cot (r— ,«,»)*

Genau ist

jf = sinF+isinF* + i8inF»+ -». sinF'...].

Um log^ aus log sin F abzuleiten [hat man aus der letzten Gleichmig] logj^ = logsin F+isin F' + Hsin F^ + ^Wrsin F*....

[7.] Mercators Ftojection.

x.x' Abscissen ) . n i i. • i i

' [ [zweier Funkte m piano]

y^y Ordinaten J

F, F' . . . . den Ordinaten entsprechende Bögen [auf der Kugel]

D Entfernung der beiden Punkte [auf der Kugel]

\d Entfernung der beiden Punkte in der Ebene]

Ay A! . . . . Neigungswinkel von D oder von den Tangenten an den beiden

Endpunkten gegen die Abscissenlinie Halbmesser [der Kugel] = 1.

Bei der Darstellung der Kugeloberfläche in der Ebene nach Mercatobs Projection finden folgende Verhältnisse statt:

sin i(^+^>in iJD = cosi(y- j?)sin i(r— F) cosi(-4+^>in i2> = sin i(j?'— a?)cosi(F+ F) sin i-(^ — ^>os J-JD = sin i-(ji?'— j?) sin i(F'+ F) cosi(^ — -4')cosi-D = cosi(a?'— a?)co8i(F'— F)

ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH BIERCATORS PROJECTION. 129

[oder, da

sin -& coB -^

8iii+ F = - -. — —9 C0S4- F = -. — r- ist,]

cos^(-4-[--4')siii42). \/(cosi^'cosiy) = sin 4 («r'—a?) cos 4^i(y'—y) f sin 4^ (-4 — -4') cos 4^2). ^ (cos f^' cos iy) = sin ^(a?'— a7)sin ^t(y'-f-y) co8^(^ — -4')cos^D.\/(cosiy'cosiy) = cos4-(a?'— ,r)cos4^i(y'+y);

[und hieraus]

[Da]

logtangtt = log» + ^M« 4-^,^5^ u*4-tHtu'

.6

■ •

[ist, so wird zunächst

logtangi(^ +-4') = logtang a — -^dd—Tj^d^ cos 2 a— ^yffTnr(5 + 3 cos 4a)...,

wo]

x'—x = dcosa y —y = rfsin a

[gesetzt ist]. Wenn nun

[ist], so wird

log tang (^ + G) = log tang t + g

dG

^9

ddG

= 4-sin2(f+G0

-^ = ism6(^+G)-isin2(f+G)

etc..

:folgUch]

G = ^g sin 2 f + ^^^ sin 4 f + ^Vi^ (sin 6 f — sin 2 f; = f^sin ^t[\-\-ig cos 2 f + i^^cos 4 ^ . .).

Et.

17

130 NACHLASS.

Hienach wird [wenn

G = 4^ (-4 -f -4') — a, * = a, ff = —-^dd — iA6<^cos2a — . .. gesetzt wird:]

= a-i^(«'-^)(y'-y)-TfT(^'-*)(y'-y)((«'-*)*-(y'-jf)*)

• • ••

Aus

tangti = tangv -5|^

folgt

u = vw\\ '\-\[vv — ww)-\--^['ivv — ww)[vv—'iww)^**\^

[mithin wird für u = ■i:{A — Ä'), v = ^^{jp'—x)^ w = 4^(y'+y)0

[Wird]

0?'— a? = a

y+y = c

[gesetzt, so ist auch]

^(-4 — 4') = ^ ac— iV ac(cc — aa)...

[^' = a-y±Ma + .^a{ibc'+b^-.rhfAl&c+b)...].

[8.] Reduction der künstlichen Kugel auf die Ebene.

[Setzt man

e =i,

so folgt aus den zuerst au%efuhrten Gleichungen des Art. 7, S. 128 unten:]

sinil)..**'^+^'' = «^cosi(r+10 + »^

ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS FROJECTION. 131

[oder, wenn

F = 90^-/, F= 90®-;?

gesetzt wird,]

= — i^ cos -^p sin 4-/>'4" »S""* sin ^p cos j^p' [oder, wegen]

6^ = cotang i^p,

8in4-X>.« = 77T7 517^7 _%,A) +

ir'

[Ebenso ist]

cos

-.•6.e*'y-y''+«r'.e*'y'-y)

S/\{ey + e-y){e9'+e-y')\

= V !(*''+«-«')(«'''+ «-"Öl'

= iHJ. COS i (;, -pO + ^ COS i (p +!>') s= 5 cos ip cos ^p' + 5~' sin ip sin 4^ p'

[Man setze einmal]

Vi(i+e-»s')(i+e-»y')r Vl(i+e''')(i+«'''')l

_ jefiy+y'i+j-ie-ify+y')

^ Vl(e«'+e-«')(e»'+e-y')}

^ \/\{ey+e-y){ey'+e-y')\

_ 2 eo«»{i(y + y') + i« («•-«))

- Sl{{ey+e-y){ey'+e-y')\ '

x' —X = Scosa y' — y = Ssina,

17*

132 NACHLASS. ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE ETC.

[das andere Mal]

x—x = esinß

y+y = ecos^,

[dann wird, da {(e^-^e"^; = cosiy = secK ist:]

• - T^ küÄ-^-Ä') Binll« coso + isinal} sin + JD.^ =- 7 v—vT — -

. r. \i Ä - Ä') cos j i»t cos ß + »sin ß

cos 4^2?.^' = — ^- , -^ — ^, —

[Nun ist]

logsinu = logM— j^MM — tI^m* — T^rrW^-'- [mithin wird für u= jSe** beziehungsweise Jis^*^:]

i{A^A) = i eesin2^- ^i,- e^sin4ß4- „Snr e«sin6ß...,

log sin 4^2) = log ^ 8 — ^V^^ cos 2a — y^Vv^^ cos 4a — [tttVtv^* cos 6a]...

— ^ log (sec Fsec F)

log cos 4^ D = 4^ eecos2ß— -p^y e^cos4ß4- [iktW e*cos6ß]...

— ilog(secFsecF).

BEMERKUNGEN.

[l] ist, wie bereits auf S. 116 erwähnt, einem Handbuche entnommen. Die Notiz [2] gehört einem

'S Jf

andern Handbuche an; bei ihr sind die Formeln für II und -^— berichtigt worden-, die bei Gauss lauten:

12 = i y y tang (p - 1) - |i tang (p - -^J+ a) V^- etc.

dR ^ sin(P-a; . y + jy' + TJiryV--)

dy V^(co8 ;P - a;;«+ 2 yy + |y* + ^vy*-..)' Die Tafel [3] und die Notizen [4^, [5], [fi] und [s] sind verschiedenen einzelnen Blättern entnommen, auf denen sie zwischen Zahlenrechnungen aus dem Anfang der zwanziger Jahre des letzten Jahrhunderts stehen. Die Notiz [7] ist nach Aufzeichnungen zweier Handbücher und eines einzelnen Zettels zusammengestellt worden; die beiden Formeln fttr ^[Ä + A'], S. 130 oben, sind bei ihr geändert worden, im Original heissen sie:

i{A + Ä'j = a — ^«rddsinia — ,VrT^*8in4a — xTlTnr*Vr^!2387Bin2a+ l039Bin6a)

KbÜQEB, BÖB8CH.

STEBEOGRAPHTSCHE DAESTELLUNG DES SPHÄROIDS

[IN DER EBENE].

a Grosse Halbaxe

e Excentricität

90® — PF Polhöhe des ersten Centralorts

90® — w Polhöhe eines unbestimmten Orts

X dessen westliche Länge

x-{-if/ = t. . . [ebene] Coordinaten jenes Orts

4^e

(14-ecost/7\* rf \ 2a tu/ \

1 — ecost(?/ ^ ^' >/ J —tzcosur] ^ ^

tang^K? = b

i{W) ~~ ^

a?'-f-iy' = f' Coordinaten desselben Orts in Beziehung auf den zweiten Centralort ;

6*5 Ä* Bedeutung wie vorher, aber jetzt in Beziehung auf den zweiten

Centralort [(90»- < X*); also 6'= tangiw', h' = * ^"^'

f(TD

^ 1 1 I 1.0 -Dl.« t 1 I 1.0 D1.0 ""^ ^ '^ ^

2) t = p(ig)— ^^ =jF(M>) ^,_^^. • ..^yj

+-Ä^ ' '+¥±m^^'^^

Vergrösserungsverhältniss :

XX 4- yy

.1 l-~eeco8tg' ^"^(F(^))'

Vl-eecosfF«' , , Y[W) , . , . Ffw)

134 NACHLASS. 8TEREOORAFHI8CHE DARSTELLUNG DES SFHAROIDS IN DER EBENE.

NB. Es ist nicht nöthig hiebei, d. i. wenn man doch endlich stereogra- phisch in piano darstellen will, die Übertragung des Sphäroids auf die Kugel nach p. 22 zu machen, wo man

of = Ata.ngi{W—U)

hat; man hat dann nemlich die Unbequemlichkeit, keine allgemeine Tafel für U anwenden zu können, sondern es reicht zu, sie nach pag. 21 zu machen, wo dann x die Form erhält

^ = ^' + £'tangi(Fr*-C7). Hier kann dann die allgemeine Tafel für U gebraucht werden.

BEMERKUNGEN.

Die oben angeführten Seitenzahlen ^[2i und 32) besehen sich auf die, 1825 im Heft 3 der von H. G. SCHUMACHXB herausgegebenen »Astronomischen Abhandlungen« erschienene »Allgemeine Auflösnng der Au^be: Die Theile einer gegebenen FlAche etc.« Gemeint ist der Art. is derselben, Bd. IV, 8. 207 u. f. Die obige Notii selbst, die einem einzelnen Blatte entnommen ist, sohliesst sieh an den Art 12, Bd. IV, 8. 206, an. Nach dieser wird die conforme Darstellung der Oberflftohe des Sphiroids in der Ebene durch die Gleichung

x + iy = f(x + <logjoot«gt«(i^i^)**j) = m yermittelt. Für die stereographische Projection ist aber

{{V) = *tang(arctange**-iTr) = Jb-£Ü=^?5tL^

i + c**tangiTr

zu setzen, wo 90*— TT die Breite des dem Augenpunkte diametral gegenüber liegenden Punktes, also des Anfangspunktes der Goordinaten, bedeutet. Für die Kugel ist, vergl. Notiz [3] auf S. 121, wenn Sg und 2jp die Gomplemente der Breiten des Gentralorts und eines beliebigen Punktes sind,

a, + ty = k ^'-^g , e»' = e«^tangp.

1 + e**tangg

Kbüoeb, Böbbch.

CONFORME ÜBERTRAGUNG

DES SPHÄROIDS AUF DEN KEGELMANTEL.

NACHLASS.

[CONFORME ÜBERTRAGUNG DES SPHÄROIDS

AUF DEN KEGELMANTEL.]

Zur zweiten Darstellungsart des Sphäroids, auf einen Parallelkreis bezogen.

P . . . . Breite des Hauptparallelkreises f» . • . . Vergrösserungsverhältniss

X Länge irgend eines Punktes

9 . . . . dessen Breite

x^y . . Coordinaten seiner Darstellung in piano [nach der Abwicke- lung des Kegelmantels auf die Ebene]

j? = r cos 6, y = r sin 6 JS . . . . Werth von r für cp = P

(1 = sinP

^sin'f = sinw

^sinP= sinfJ»

0 = |iX

a coB P a eo8 P a

R

fiiv'll — eesini^) [lcobü cosUtKogP

r acoBcp aco8 9

m fx^(l — cesin^') fxcosu

dr fjL(l — ee)dy

r (1 — cc sin <p*) cos (p

dm sincp —

m COB y

atang:46* + iPf'

1 — cesmcp" ^ r \ |x /

^ =

CO» n tang ;46» + i D^)"^ * tang P

K.

18

138 NACHLASS.

r = *tang,45<'-i9:^(;^;i;-Jf' = *tangM5"-^^;'*.tallg•45'' + ^-o;^". Ist C das Azimuth eines Elements einer geodätischen Linie gegen den ersten Meridian, so wird

d: = (i-!!L?)de = 6?de.

Sind q', q' die Werthe von q an den Endpunkten einer geraden Linie in piano, deren Azimuth = Z ist, und C' und C' die Azimuthe der geodätischen Linie an denselben Endpunkten, [ferner] 9°, 9' die [zu diesen gehSrigen] Werthe von B, so wird

z = ;'+[2/+j'),ö'-9*;= 180"+ :'-!-(?•+ 2 j')(ö'-e').

Für 6(/ hat man die Keihen,

loghyp^ = p und r = R(l +3) gesetzt :

L

11— «ffi|i '^ 21 — ee'ni»

3,l-«e,V* Am hequemsten setzt man q=^a'r—R)\Jr wohl eben ao bequem q = a'rlog^i und logwi = ^-^ — und gibt die Logarithmen von o [und ß] in einer Tafel.

Für die Abplattung = g— g , d. i. das Verhältniss der Axen = ' ^ > wird [vergl. S. 69]

logi?e= 7,8191850399 logv'(l —ee) = 9,998 5632 696 loga = 6,804 5975970. [Mit diesen Werthen und für P (Göttingen) = 5l°3r48"7 sind die beiden folgenden Tabellen berechnet worden.]

COI^ORUE ÜBERTRAGUNG D£S SPHAROIDS AUF DEN KEGELMANTEL.

139

logm

^^^V'li-ccsincp«) (Einheiten d.

9

(Ein- heiten d.

logr

r

sin» sinP

loga

logß

T.Decim.}

7. Decimale)

(Meter)

— 20

— 20

47^68'

20"

8149.862

6,738 2224.191

7915.864

547 2961,838

0,061 2376.087

8,964 7419

7,962 0287

48 25

0

6258.626

6,734 2772.859

8026.658

542 3470,546

0,044 6331.717

8,964 7802

7,962 0627

4b 51

40

4612.904

6,730 2973.085

8137.252

537 3995,625

0,038 0862.194

8,964 8096

7,962 0902

49 18

20

3214.161

6,726 2816.265

8247.620

532 4534,268

0,031 5971.467

8,964 8304

7,962 1111

49 45

0

2064.452

6,722 2293.517

8357.734

527 5083,660

0,025 1663.435

8,964 8430

7,962 1257

50 11

40

1165.907

6,718 1395.670

8467.569

522 5640,957

0,018 7941.974

8,964 8476

7,962 1336

50 38

20

520.757

6,714 0113.250

8577.096

517 6203,297

0,012 4810.908

8,9f)4 8441

7,962 1351

51 5

0

131.317

6,709 8436.473

8686.291

612 6767,793

0,006 2274.051

8,964 8333

7,962 1302

51 31

40

0.004

6,705 6355.223

8795.127

507 7331,533

0,000 0335.151

8,964 8152

7,962 1188

51 56

20

129.337

6,701 3859.037

8903.578

502 7891,575

0,006 1002.053

8,964 7900

7,962 1007

52 25

0

521.942

6,697 0937.094

9011.617

497 8444,952

0,012 1733.878

8,964 7581

7,962 0761

52 51

40

1180.553

6,692 7578.194

9119.218

492 8988,664

0,018 1856.670

8,964 7202

7,962 0460

53 18

20

2108.021

6,688 3770.740

9226.356

487 9519,681

0,024 1366.806

8,964 6761

7,9620107

53 45

0

3307.317

6,683 9502.712

9333.004

483 0034,926

0,030 0260.713

8,964 6263

7,961 9676

54 11

40

4781.541

6,679 4761.666

9439.136

478 0531,307

0,035 8534.839

8,964 5713

7,961 9180

54 38

20

6533.927

6,674 9534.689

9544.727

473 1005,674

0,041 6185.684

8,964 5115

7,961 8686

55 5

0

8567.844

6,670 3808.390

9649.754

468 1454,848

0,047 3209.773

8,964 4470

7,961 8019

51 31

48,7

0

6,705 6126.281

8795.718

507 7062,716

0

8,964 8150

7,962 1184

[In der Columne für 6q sind von dem Striche ab die Werthe negativ.]

logr

logo

logß

logr

loga

logß

logr

1

loga

logß

logr

loga

logß

-20

-20

— 20

— 20

— 20

-20

— 20

— 20

«,«70

8,964 4414

7,961 7966

6,687

8,964 6612

7,961 9980

6,704

8,964 8063

7,962 1126

6,721

8,964 8449

7,962 1288

6,671

559

7,961 8106

6,688

721

7,962 0073

6,705

119

165

6,722

434

263

6,672

702

244

6,689

827

161

6,706

170

200

6,723

418

235

«,«73

844

381

6,690

8,964 6930

245

6,707

219

232

6,724

386

201

6,674

8,964 4984

514

6,691

8,964 7031

326

6,708

263

260

6,726

354

164

6,875

8,964 5121

642

6,692

130

404

6,709

303

284

6,726

316

123

6,678

267

769

6,693

225

478

6,710

338

305

6,727

273

079

6,677

391

7,961 8892

6,694

316

552

6,711

370

321

6,728

226

7,962 1080

6,678

522

7,961 9012

6,695

405

622

6,712

399

336

6,729

173

7,962 0977

6,679

652

131

6,696

491

690

6,713

423

345

6,730

114

920

6,6S0

780

246

6,697

573

755

6,714

441

351

6,731

8,964 8051

860

6,«S1

$,964 5905

359

6,698

653

818

6,715

454

353

6,732

8,964 7981

795

6,682

8,964 6028

469

6,699

729

877

6,716

463

351

6,733

906

725

6,«S3

150

676

6,700

803

934

6,717

465

346

6,734

825

649

6,«S4

269

681

6,701

874

7,962 0987

6,718

466

337

6,735

739

567

6,«S5

386

784

6,702

8,964 7941

7,962 1037

6,719

464

325

6,736

647

478

«,es6

500

884

6,703

8,964 8004

083

6,720

458

309

6,737

547

382

«,«87

8,964 6612

7,9619980

6,704

8,964 8063

7,962 1126

6,721

8,964 8449

7,962 1288

6,738

8,964 7442

7,962 0280

18^

140 BEMERKUNGEN. CONFORKE ÜBERTBAOUNG DES SPHAROIDS AUF DEN KJSGELKANTEL.

BEMERKUNGEN.

Die Tontehende ATi&eiohnung , die nebst den beiden Tabellen einem Handbuche entnommen iit| dürfte aus den Jahren 1829 oder 1834 stammen.

In den beiden Formeln für eg sind die Ausdrücke für die Glieder 9. Ordnung geändsrt worden; bei Gauss lauten sie

(i + cc— 8(1 4-4ce + c*)fxp^+i6(i 4- ee :i +cg)p^*— i4g*p^*)(i -eep^yL)(i — fifi) , und

3 j — ec/fjL*

(i + ee~-(i+8cc+7g*)p^p^+(9ge+>ie* fx*— i4c*p.*)(i — ee|ipL}(i — lipi)

3(1 — eC;*|X*

In der ersten Tabelle wurden die Bezeichnungen der einzelnen Golumnen sugefügt. Für die geodätische Linie ist

cos«sin.<l . , . A • xi_.

— 1 — : — - SB const: {A «= Azimuth)

also ist auch, wegen

r a cos (p

— Bin.i. ^ const.

ffi

Differentürt man diese Gleichung, so ergibt sich:

. , . dl» dr smo dr

eoXMisA.aA = = ^ —

m r f* ♦•

oder, da cotang.1 = --=-^ und .A = C — B ist :

f dH

dc = (i-^)de.

Die Azimuthreduction ^ — Z erhftlt man nach BandlY, S. 378, aus der Gleichung

wobei hier T und V die Werthe von l = ^-sinC = — ^sinC för die Endpunkte sind. Nimmt

sinC . 8'~-8* ^°^^ ^

man für einen mittlem Werth = . so wird :

r 8

c*-^= -(5 9*+2')(e'-e»).

KHÜOSB, BÖBSCH.

CONFORME ABBILDUNG DES SPHÄEOIDS IN DER EBENE.

(PROJECTIONSMETHODE DER HAlöTOVEßSCHEN LANDESVERMESSTTNÖ.)

NACHLASS.

[COKFOßME ABBILDUNG DES SPHlROIDS

m DER EBENE.]

[Berechnung der geographischen Breite und Länge aus den ebenen

rechtwinkligen Coordinaten.]

[Bei der conformen Übertragung der Sphäroidfläche auf die Ebene wird ein Meridian, der Hauptmeridian, durch eine Gerade, die a?-Axe, dargestellt. Jeder Abschnitt auf der Abscissenaxe ist dem Theile des Hauptmeridians gleich, dessen Bild er ist.

Es sei a die halbe grosse Axe und e die Excentricität der Meridian- ellipse. Einem Punkte auf der EUipsoidfläche, dessen Breite 0 und dessen Länge X ist, sollen in der Ebene die rechtwinkligen Coordinaten o?, y ent- sprechen. Zu dem Durchschnitt des Parallelkreises von der Breite 0 mit dem Hauptmeridian gehöre die Abscisse S, und zu dem Endpunkt der Abscisse cc

die Breite cp. 5 und a? sind also gleichzeitig auch die entsprechenden Meridian-

.«

bSgen vom Äquator an.]

Es sei ein Linearelement

= ^jd<D* + (e(<D))MX*}; man mache

fm = f®.

144

NACHLASS

flo wird

t{x+iy)

= £{9+a

= F(*)+.X

[Für

das

Sphäroid

ist

d,-=5j-

all -et)'

<J«'+r?^,7

"rS"^'

Entwickelt man f{j-}-»^) nach Potenzen von ly, so ergibt sich:

£(E) - FW ~ fw-ij^rw+rt/fw-...

Für ^ = 0 ist * = 9, also]

F(T) - fW- [Da ,'- = F'(<p), so ist]

[j; wächst mit cp, also]

(1 — eetin^*;'

mithin wird]

* ' a eoi <p

und weiter]

f-> ^ -l-«tiit.9'!«iDy

fx = ,'**'"'''-: j jl 4-(l — ^««jsiny'-i-eesinY*!

1= -"«""f. ji'j — eeli'2 — co8'i'') + «Äco8 9*!l l a' l — et cu«!p' ' ■ ' ~ T / I T tj

f^'x, = '^"j'"|,"f_.*|^|5— 9ce + (l— 4ec+15e*}8inip*+(««— 13e*}8in<p*+4«*8in(p*}

u. s. w. l)HH (ii:nt:tz der Differentiation ist das folgende.]

k

CONFORME ABBILDUNG DES 8FHAROIDS TS DER EBENE.

145

Man setze

und

80 ist

^ ^^ = L Isin cp = *1

oder, wenn man die Potenzen von ee vernachlässigt,

f+'(af) = f«+'jn«* + |^(l-w)(l+ce(l-**))j. So findet man für

n

tt

1

1

2

s

3

1 -{-ss-\-ee{\ —ssf

4

5s-)-«*4-««(l —ssfs

[Die Substitution der Werthe von f (a?) und f"'{x) in der Gleichung für l gibt:]

[Setzt man]

[wo also ist, so wird]

[wobei]

F(<D) = F(cp) + a),. 0 = G{F((p) + cü}

^ = [dF =J r::^;^

[Wenn

gesetzt wird, so ist aber]

-F'(7) = |-

?

= 4F'+25F'.ö) + [3CF'.a»a) + 4DF'.«)*4-]

f • 0

tz.

19

146 NACHLASS.

[daraus folgt:]

^F' =1 25 = aa:

2BF' = 4' ZC^AB'

ZCF' = B' iD=AC'

etc. etc.

B = — ^7i Ty sin y cos y ( 1 4- 2 g g — 3 gg sin <p»).

[Wird in der Gleichung 0 = <f -{-Am -\-B mm -{-••' für «o der Werth ein- gesetzt, so ist zunächst

* = ^-iAr{x).yjf-h(^A{"{ä^)-\-iB{r{x)yy...;

mit den obigen Werthen für A und B und den Werthen von f " (j?) und f ^ (a?), S. 144, erhält man daher:]

4-(10^e— 22^*)8incp* + 4«*8m^*}y...

[oder]

0(1 — cciincp*) tangep , (1 — ««•in®') sino («./. \i i /« ^^ \ /a \ t

+ 1 0 ^^(1 — ee) cos cp* — 4 ^*co8 9*}y*« • •. [Wenn 0 = 9 — « gesetzt wird, so ist

loghypsinO = loghyp8in^-j;^«-i^z2r...; mithin :1

log hyp sin <r) = log hyp sin <p - '2~„7i - jj) ^^

+ i2aM-«V {l-7gg+5ggcosy*-3;3^co8y*{y....

[20 [Berechnung der Meridianconvergenz aus den ebenen rechtwinkligen

Coordinaten.]

[Die Meridianconvergenz c ist der Winkel, den das Bild des Meridians mit der Parallelen zur «r-Axe bildet, x sei nach Norden positiv, dann ist:

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 147

Aus der Gleichung, die in der Ebene den Meridian von der Länge X

darstellt :

X = const. = yi'[x) — \y^i"' [x) . . .,

folgt aber

also ist:]

dx f'(«)-^yyf"'{aj)...

i. _ yf"{x)-^y*(^{x)...

tangc- f.(^)_^yj^f777(^7-

Daher wird nach S. 144]

tangc = D'^-^ — 5Lij^tang(p,

wo

[oder genähert]

[Femer hat man:]

[oder, wenn

f'[x)

gesetzt wird,

c=yh(j?)-i/h"(^)...].

S = M-)

19*

2(1 — ce •in©*)* sin 9 c/. x2 /. \ 4a4 ail

= aM-«;'coBy' {(1 -ee)'-gg(l -gg)co8<p«-2g«cos<p«}j.

148 « MACHLA8B.

Also ist: [oder]

[Man hat auch, wenn man X einführt:] c = X8in^-^i::^|^?|^^

Dann ist

[3.]

Zur numerischen Berechnung sind folgende Formeln am bequemsten. Es sei

apcos^

3f = (l-eeriny«)*tang<p.yy 2aa^l — ee)p

N = - ^^^tang(p.y.

logX = logi — A.ü

log (cp — <D) = logM — JB. ü

logc = log iV—CÜ,

wo die Logarithmen von -4, JB, C am bequemsten aus einer besondem Tafel mit dem Argument 9 genommen werden.

Zur Berechnung dieser Tafel dienen die Formeln:

A = irjO,75-icos2(p + 2(T^^^»1^1

CONFORHE ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE.

149

WO

H = iArpp. 10^ log JET = 5,531 8128 — 10

1

[Ar = Modul der briggischen Logarithmen ; p = 2Ö6264 8 Die Correctionen A.LL^ B.LL^ CLL werden in Einheiten der 7. Deci- malstelle erhalten. X, ^ — 0 und c erhält man in Secunden.

Der nachfolgenden Tabelle für die Logarithmen von -4, -B, C liegt der

Abplattungswerth

302,68

zum Grunde].

9

logA

logJ5

logC

1 —10

— 10

— 10

SO» 0' 5,431 6218

5,510 4149

5,631 3175

3 8666

2206

96

6 '5,432 0880

0263

6,631 3216

»

3222

5,609 8319

36

12

6662

6376

67

15

7881

4432

77

1§

5,433 0208

2488

97

21

2632

0544

5,631 3318

24

4864

5,508 8600

38

27

7174

6656

69

SO

9494

4712

79

33 5,494 1810

2768

99

3«

4124

0823

5,531 3419

39

6438'5,607 8878

39

42 8748

6934

69

45 ;5,435 1057

4989

79

48

3364

3044

99

51

5668' 1100

6,531 3619

54 7»21

5,606 9156

38

»7 5,436 0271

7210

68

51 0 2570

5266

78

3

4867

3320

98

e

7161

1375

5,631 3617

»

9454

6,606 9430

37

12

5,437 1745

7485

66

15

4033

5540

76

18

6319

3595

96

21

8604

1650

5,631 3714

24

5,438 0886

5,604 9704

34

27

3166

7759

63

30

5444

6814

72

33

7720

3869

91

36

9994

1924

6,631 8810

39

6,439 2266

6,603 9979

30

42

4536

8034

49

45

6803

6089

68

?

log^

logB

logC

61»46'

— 10 5,439 6803

— 10 5,503 6080

— 10 5,631 3868

48 61 64 67 52 0

9068 5,440 1332 3693 5852 8109

4144

2199

0254

5,6028310

6365

87 6,631 3906 24 43 62

3

6

9

12

16

5,441 0364 2616 4867 7115 9361

4420 2476 0531 5,601 8587 6643

81 99 6,631 4018 36 65

18 21 24 27

30

5.442 1605 3847 6087 8325

6.443 0660

4609 2755 0812 5,500 8868 6926

73 91 5,531 4110 28 46

33 36 39 42 46

2793 6024 7254 9480 5,444 1706

4982 3039 1096 5,499 9163 7211

64 82 5,631 4200 18 36

48 61 64 57 63 0

3927 6148 8366 5,446 0581 2795

6269 3327 1384 5,498 9443 7601

64 72 80 5,631 4307 25

3

6

9

12

16

6006 7215 9422 6,446 1627 3829

5560 3618 1677 5,497 9737 7796

43 60 78 96 6,631 4413

18 21 24 27 30

6029

8227

6,447 0423

2617

4808

6856 3916 1976 0036 6,496 8097

30 48 66 83 5,631 4600

?

log^

logB

logC

53»30'

— 10 6,447 4808

— 10 5,496 8097

— 10 5,631 4600

33 36 39 42 45

6997 9184 5,448 1369 3651 6731

6158 4219 2281 0343 5,496 8405

17 84

61 68 86

48 61 54 67 54 0

7909 5,449 0084 2268 4428 6597

6468 4530 2594 0667 5,494 8721

6,631 4602 19 36 52

5,531 4669

3

6

9

12

15

8763 6,450 0927 3089 6248 7405

6785 4860 2916 0980 6,493 9046

86 5,631 4702 19 35 62

18 21 24 27 30

9560 5,451 1712 3863 6010 8156

7112 6179 3246 1313 5,492 9380

68 84 6,631 4801 17 33

33 36 39 42 46

5,462 0299 2440 4679 6715

8849

7448

6616

3586

1654

5,491 9724

49 66 81 97 6,6314913

48 61 64 67 65 0

6,463 0981 8110 6237 7362 9484

7794 6866 3936 2007 0079

29 46 60 76 92

[Es ist auch]

oder

[und angenähert]

[Femer ist]

wo [angenähert]

loghyp5' = - iU-i^

= - icc-A^- Auch kann man setzen

'5^-!^ — - — J-^tang-p.y, wo

loghypC =-icc-ij ^^ aaii -»)■ ^(yj'-

[oder angenähert

\

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 151

[5.]

Wenn die Lage der Punkte durch Coordinaten a?, y, erstere im Meridian gleichförmig wachsend, dargestellt wird, findet man des Orts Folhohe 0, Conyergenz seines Meridians c und Länge X auf folgende Art.

Es sei 9 die zur Abscisse x im Meridian gehörige Folhöhe,

q = Compl. log \J[\—ee sin cp*)

6aa g._ Jfc.lO'

S. 206265*

\k Modul der briggischen Logarithmen

206264,8 . . ^ 1 ^ _ 1 206264,8..

a

206264,8..

1 x> 1 206264,8.. 1 A 1 206264,8.. ^

logB = log -^ q, log^ = \o^-^^^^^ 3?

logC = logr""r"\-4g.

o "200(1—««) ••

Für den Abplattungswerth s^^ ist:]

\ogE= 2,24756 29768 — 10, logH= 5,5318127903 — 10

logB= 8,50982 72984 — 10 — g logC- = log2Ä8:: = 1'*<>'07 38825- 10-4g.

[Zur Berechnung von A und -B lässt sich direct die Tabelle von S. 84 benutzen, oder man kann q aus der Tabelle von S. 77 entnehmen.]

c = (l)B^tang9 log(l) = — 2-Eyy — jffcc

^ = (2)^^ log(2) = + Eyy-m-k

= -\Hcc — ^Eyy.

[log(l), log (2), log (3) werden in Einheiten der 7. Decimalstelle erhalten; c, X, ^ — (p ergeben sich in Secunden.]

152

[Berechnung des Veinrösaerungsverhaltnisses ».]

[«•]

[n ist das Verhältniss eines Linearelemente in der Ebene zu dem eot- sprechenden Element auf dem Ellipsoid.] £b sei

fW=a

r(») = 6

r(x) - c

f'W = d

etc.

[Man setze

E = »-«.,

dann folgt aus

% + <j,) = f(iC-»)+a;]

f(*)-i»y* + Vr"'y-TtT/>'---=fW-««' + i»>»«'-ic«*....

[Setzt man]

,,(« Oj'y-.vrfy'+Tiy/'/--,

[« i.t]

( = «!-A„„ + ^,^...

[oder umgekehrt]

"-'+^«+G".-^)''-;

[mithin wird]

^nnd]

S aaä-Sl'.,, aY-16««S6J-16«6'e + «»V.,

2»**+ 24.' * Jaoo- * •••■

[Da

= a-~bw-\-icwiB — •^dw' -{-...

\

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.

153

ist, so wird]

[Nach S. 144 ist

setzt man

m)

[so ist]

l=H'-+l»j'+Ai»*...) =»

n

6 /, d , 6*\ 8

[wo wieder c die Meridianconvergeiiz bedeutet; folglich eigibt sich:]

[und]

Ai /c ft 66\^ , / 4 c I - 6(1 ,, cc • 66e\ 4

pOer Logarithmus ist hier, wie in den nächsten Axtikehi, der hyperbolische.]

[Es ist auch]

[7.]

[mithin]

logn — tc = logf (6) — logf (^ + tj^),

log n = log f ' (5) — Pars Real, log f ' (iT + iy).

[Nun ist]

1 66 , aabd + Sabhc-^b*^ a

logf (S) =

IX.

20

• • • •

154 NACHLASS.

iogf(«+.»-iog»+i(||->+C"-'^';r"'-^^)y...

+<(|y-(i^t^:+*&y...)]

Pars Real, log f (a? + tj^) = log a + -^^^yy H 24;;r=^^ V

Also:

^o&" = —ii^yjl 24^* — y • ' ' [^eigL S. 1 53 ;

c = -y g^r-^^- — y^..., vergl. S. 147.

Werden in der ersten Gleichung für a = f (1?) , 6 == T (a?) , u. s. w. die Werthe Yon S. 144 eingesetzt, so erhalt man:]

[worin nun wieder a die halbe grosse Aze und e die Ezcentzicitat bedeutet].

[8.] Oder setzt man:

e w = s = ji

ATv/ \ 246* — 86a66c + 6aacc + 8aa6cl — a*« „ « « ü (iJ?j = € = -i u. 8. w.,

logn = —^jfy-A öT-i y -..,

[so wird]

2xL^^ ' 24a>

7 , ggt — Saß?

2S^«y "1 24i^

. Y , oat-SoßJ + SßßY 4

[9.] Man hat auch [wenn man p-^r = Ö(S) setzt]

öölogn , ööjogn e^^(6)

Ist nun

CONFOBME A3BILDim6 DES SPHIrOIDS IN DER EBENE. 155

80 ist f-g^ = A\ -s — = A'j u. s. w. gesetzt]

+ TiT^'^'+ TiT^^"4- Tfr^")/ . . . .

[Es ist]

[10.] logn = N

ddN ■ ddN _ (l-ecBinW

oder

ö«* ' dy* aannil — ee)

nddn , nddn (önV fdny (l-eewn^P*)'

dx* ' öy* \ö«/ \öy/ aa{l — ee]

[Beziehungen zwischen .r, y und £, X.]

[11.]

[Die ümkehrung der Reihen für £ und X in Art. 6 ergibt, da nach Art. 8

1 . ß 7 I 2ßp T 8 , 6ßY 6ß« . ..

a = -> 6 = — -t^, c = — ^ + -T^» a = h • t> u. s. w. ist,]

« = 5 — iaßXX+,v(a'8— 2aaßY— 5aß»)X*... y = aX— i(aaY — 2aßß)X*....

[12.] Setzt man

/e'^'^d« = f(*), [also nach Art. 8 : e(/) = e*'"] und

y (a?) = Ol [so wird] : f " (a?) = (- a,)f'(:F)

r(j?) = ß, f"'(^) = (a,a,-ß,)f»

^"C*) =Ti f"(*) = (-«?+3a,ßi-T.)f'(a?)

^(*) = 81 f' W = (at-6a,a,ß, + 4a,T, + 3ß,ß,-8,)f'(*)

[^▼(a?) =ti f"(a?) = (— a5+ 10a?ß, — 10a,a,Yi — 15a,ß,ßi + 5a,8,

+ 10ß.Ti-t,)f(«r)] etc. etc.,

20*

156 KACHLAS8.

[und die Beihen für ^ und X. des Axt. 6 gehen über in:] 5 = « + ia,yj^ + (TVa;+iaißi-iVT«)y

X = yf'(^) { 1 -i(o,a, - ß,)yy + -r*T(aJ- 6a,a,ßj4- 4a,7i -1- 3ß,ß, -8,)jf*. . .}

[13.]

[Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus der geographischen

Breite und Länge.]

Bei der umgekehrten Aufgabe [die Coordinaten Xj y aus der Breite 0 und der Länge X zu berechnen] bezeichnen wir durch g die inverse Function von f, so dass g(f(.r)) = x ist, und setzen F(^) = F.

Man hat dann

[jy + iy = g(F + lX)

^ = g(F)-Tg"(F) + gg^(F)...

g(F) = X,

[wenn jetzt X die Abscisse bezeichnet, die zum Durchschnitt des Parallel- kreises <I> mit dem Hauptmeridian gehört; nach Art. 1 ist daher f(X) = F(0), also jp = jTTx)* Daniit wird:]

g'(F) = 7lX) = 7 = *'

c = cos<I>, Ä = sin^, p = ^{l—eeBin^*)

[a halbe grosse Axe und e Excentricität]. Zur weitem Differentiation [ist nach S. 144]

d<D ppe

dF ~ l-«e

oder wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt: -^ = c-j-^^c'; mithin

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 157

d¥ — ~^:Tr[—^^ + ^^' dF — T=Ji — -"^v^ + öcjj,

dF = -**•

Ist also ein g"(F) = Au, wo u rationale Function von c ist, so wird

xmid, wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt,]

^+'{F) = -sh\u + ^{c^eec%

ist aber

g"F = ^Au,

wo u rationale Function von c ist, so wird

g»+«(Fj = -Ä|«(l-2cc-8c*)4-J^(l-cc)(c + 8c»)| und, wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt,]

g~+»(F) = -A]ti(l-2cc-«c*) + J-^(l-cc)(cH-^ec')|.

Bezeichnet man [also] der Kürze halber j^^ = ^,'^ " |., mit 8, [wo u) die Abplattung ist,] so werden die successiven DifFerentialquotienten :

[g'(F)= A

g''(F) = -Äs

g"'(F) = +Ä(1 — 2cc — 8c*)

g>^(F) = — A« (1 — 6 cc— 98c*— 488c')

gT(F)=]+Ä(l-20cc4-(24 — 588)c*4-(728—6488)c'-f (7788- 248») c'+288V")

etc.

Folglich [wenn jetzt x wie auch X, von einem bestimmten Anfangs- punkt an, nach Süden positiv genommen werden und y dasselbe Yoizeichen wie X hat]

ae

+ -i5ö77nrni7,0 - 20cc + (24 - 588)c*. . .)X»

120V(l-ee#«)

158 NACHLASS.

[oder auch]

[oder]

wofür auch gesetzt werden kann [wenn die hohem Potenzen von ee vemach- lassigt werden]

[Mit derselben Vemachlassigang ist:]

j. = X _ 1^ sin I X* (1 + cc (2 + 3 <r<rcc) sin fX«) = X_a^8iniX»(l +2cc-^sinU«).

[14.]

Berechnung der Meridianconvergenz aus den geographischen Coordinaten.

[Die Meridianconvergenz c ist auch gleich dem Winkel, den im Punkte 0, X der Meridian mit der Curve bildet, deren Darstellung in der Ebene eine Parallele zur x-Axe ist. Alsdann ist

^s^- g'(F)-uxg'";F)... "^^^Fj■^"*^ li\Fr~^ (g'{F))- ;•••]

tangc = XsinO + iX*sin^(l +38cos^*+288cos *•)...

[oder]

tangc = tangXsin(t |l + itangX* cos (t^^^^^:^^^^

= tangXsinOjl+itangX«cos0^eg'^^"yy^^^ [oder auch]

c = XsinO + 4^X'sinOcosO*(l + 38cosO'+288cosO*)....

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROID8 IN DER EBENE. 159

[15.] [Die Keduction des Azimuths auf dem Sphäroid auf das Azimuth in piano.]

Die Correction der beobachteten Azimuthe ist

— a(a:'— a?)7] + ß(a:'— J?)7]*+Tf(y'— y)7]>j,

wo >] = iCy'+2y).

[j?, y sind die ebenen Coordinaten des Beobachtungspunktes, x y die Coordinaten des Punktes, nach dem hin das Azimuth bestimmt ist. Die dr-Axe ist hiebei nach Süden, die y-Axe nach Westen positiv.]

a =

2aa[\ — te)qq

O _ 1 - 3gg+ (gg+ I6e*)Bmy» - Ue'gjny^ P~ 6a*(l-ce)«2«

eegm20

2a«(l--ec)»2*

oder in Secunden und £ur briggische Logarithmen:]

fl'

b ^ — ^ ^ loga = 1,407 0739 — 10

l** 2aa(l — ee)p ^ '

53= ifl^l?— log© = 7,3178248 — 30

(5 = ^Y^^ ^^S<S = 7,868 9880 — 10

5J)=-11|L log5D= 6,793 4664 — 10

g = ^ „/^ , log® = 2,424 6792 — 20

2a*{l — «c)p ^ '

P ~ 206264,8..]'

[wobei der Abplattungswerth ^^ benutzt worden ist. a, ß, 7 gehören zum Argmnent -J-(d?'+2d?) = x-\-i\x'—x)\

160

Tabelle für log-r—

V = ^°8«-

X

lOgT-- . i

dia

X

•og, ""'■ .

diff.

(Meter)

»l-M.mtp'

Meier;

"»l-«.m=p'

-j- 800 000

14014,096

90,2B9

0

17597,264

87,869

129

78

104,385

90,296

9

— 2

685,133

87,737

132

76

194,683

90,303

5

4

772,870

87.601

136

74

284,086

90,304

1

6

860,471

87,461

140

72

375,290

00,302

a

8

17947,932

87,319 87,173 87,028

142

+ 700 000

465,592

90,296

e

— 100000

18035,251

146

68

555,888

90,287

9

12

122,424

150

66

646,175

90,273 90,257

14

14

209,447

86.870 86,713

66,534 86,391 86,224 86,054 85,881

153

64

736,448

16

IR

296,317

167

62

+ 600000

826,705 14916,942

00,237

90,2 H 90,187 90,160 90,122

20 28

18 — 200 000

383,U30 469,584

159 163

5S

15007,156

27

22

555.975

167

56

097,343

187,499

31 34

2 4 26

642,199 728,253

170 173

52

+ 500 000

277,621

367,706

90,tis5 90,043 H9,999 39,950 äe,89ä

37 42

28 — 300 000

814,134

899,838

85,704 65,525 85.341 85,156 84,964 84,771 84,574

177 179

48

457,749

44

32

18985,363

164

46 44

54 7,748 637,698

49 52

34 36

19070,704 I55,S59

136 191

42 + 400 000

727,596

817,4 39

89,843 89,7Ö4

55

3 8 -400 000

240,823 325,594

193 197

3S

907,223

89,723 89,65G 89,587 89,514 89,437

62

42

410,168

84.374

84.171 83,964 83,754 83,540

200

36 34

15990,945 16086,601

66 69

44 46

494,542

5 78,713

203 207

32

176,188

73

48

662,677

210

+ 300 000

265,702

77

— 500 000

746,431

214

28

355,139

89,357

80

52

829,971

83,324

216

26

444,496

89,274

83

54

913,295

83,104 82.981 82,655 82,425

220

24

533,770

89,187

37

56

19996,399

223

22

622,957

89,096

91

58

20079,280

226

+ 200 000

712,053

89,002

94

— 600 000

161,935

230

18

801,055

86,905

97

62

244,360

82,193

232

16 14

889,960 16978,763

88,603 88,699

102 104

64 66

326,553

408,510

81,957 81.717 81.474 81,230

236 240

12

17067,462

88.591

108

68

490,227

243

+ 100 000

156,053

88,479

112

"700 000

571,701

244

8

244,532

88,364

115

72

652,931

80.980

2rjO

6

332,896

88,246

118

74

733,911

252

4

421,142

88,124

122

76

814,639

80,473

255

2 0

509,266 17597,264

87,998

126 129

78 — 800 000

895,112 20975,326

80,214

259

[Die Tabelle ist mit dem Abplattungswerth

punkt für die x hat die Bieite 9 = 5l''3r48"70.]

I berechnet; der Ausgangs-

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE.

161

[Tabelle zur Berechnung der Azimuthcorrection.]

X

?

loga

logp

logr

X

?

log«

logß

logT

(Meter)

1 — 10

7, — SO

2, — 20

(Meter)

1,. . . . — 10

7,.... — 30

2,.... — 20

4-800 000

44*20' i;'646

1,404 2711

7,31611

2,42106

+ 300 000

48*49'67j'275

1,403 8208

7,31467

2,41671

790 000

26 26, 686

621

10

108

290 000

48 55 21, 061

118

66

652

780 000

30 40,618

630

09

|109

280 000

49 0 44, 843

1,403 8029

66

633

770 000

36 13, 646

440

09

110

270 000

6 8,619

1,403 7939

64

611

760 000

41 37, 669

350

08

111

260 000

11 32, 390

850

63

590

-|- 760 000

47 1,687

269

07

111

+ 250 000

16 56, 157

761

62

569

740 000 730 000 730 000

62 25,700

169

06

110

240 000

22 19, 918

671

61

647

44 67 49,708

1,404 2079

06

HO

230 000

27 43, 674

682

60

626

46 3 13,710

1,404 1988

04

108

220 000

33 7, 426

493

69

502

710 000

8 37, 708

898

03

107

210 000

38 31, 172

404

58

479

+ 700 000

14 1,701

808

02

105

+ 200 000

43 54,914

316

58

456

690 000

19 26,689

718

Ol

102

190 000

49 18, 660

226

57

431

680 000

24 49, 671

627

00

099

180 000

49 54 42, 381

137

66

406

670 000

30 13,649

637

7,31600

096

170 000

50 0 6, 108

1,403 7048

55

381

660 000

36 37, 621

447

7,31499

092

160 000 + 150 000

5 29, 829

1,403 6950

54

356

4-650 000

41 1,689

356

98

088

10 63, 646

870

53

330

640 000

46 26,661

266

97

084

140 000

16 17, 258

781

52

304

630 000

61 49, 609

176

96

079

130 000

21 40, 964

693

51

277

620 000

46 67 13,461

1,404 1086

96

073

120 000

27 4, 666

604

51

250

610 000

46 2 37,408

1,404 0995

94

067

HO 000

32 28, 362

515

50

223

+ 600 000

8 1,360

906

93

061

+ 100 000

37 52, 064

427

49

195

690 OÜO

13 25,288

816

92

064

90 000

43 15, 741

838

48

166

680 000

18 49, 220

725

92

047

80 000

48 39,423

250

47

137

670 000

24 13, 147

634

91

039

70 000

64 3,100

162

46

108

660 000

29 37, 069

544

90

031

60 000

50 69 26, 772

1,403 6073

45

078

+ 660 000

36 0,986

464

89

023

+ 60 000

61 4 50, 439

1,403 6985

44

048

640 000

40 24, 898

364

88

014

40 000

10 14, 101

897

43

2,41017

630 000

46 48,805

274

87

2,42006

30 000

16 37, 758

809

43

2,40986

620 000

51 12, 707

184

86

2,41996

20 000

21 1,410

720

42

954

610 000

46 66 36, 603

094

86

985

+ 10 000

26 25,058

632

41

922

+ 600 000

47 2 0,496

1,404 0004

84

974

0

31 48, 700

644

40

890

490 000

7 24, 382

1,403 9014

83

963

— 10 000

37 12,337

457

39

867

480 000

12 48,264

824

83

962

20 000

42 36, 970

369

38

823

470 000

18 12, 140

733

82

940

30 000

47 69, 598

281

37

790

460 000

23 36, 013

644

81

927

40 000

63 23, 221

193

36

755

+ 460 000

28 69, 879

564

80

915

— 50 000

61 68 46,838

106

36

721

440 000

34 23, 740

464

79

902

60 000

52 4 10,461

1,403 6018

35

686

430 000

39 47, 597

374

78

888

70 000

9 34, 069

1,403 4031

34

650

420 000

45 11,448

284

77

874

80 000

14 57, 663

843

33

614

410000

60 35, 296

194

76

850

90 000

20 21,261

756

32

677

+ 400 000

47 65 69, 136

104

75

844

— 100 000

26 44,856

668

31

640

390 000

48 1 22,973

1,403 9014

75

829

110000

31 8,443

681

30

603

380 000

6 46,804

1,403 8925

74

813

120 000

36 32, 027

494

29

465

370 000

12 10,631

836

73

797

130 000

41 66, 606

407

29

426

360 000

17 34, 452

746

72

780

140 000

47 19, 180

320

28

387

+ 350 000

32 58,268

656

71

763

— 150 000

62 42, 749

233

27

348

340 000

28 22,080

666

70

746

160 000

52 68 6, 313

146

26

308

330 000

33 46, 886

476

69

728

170 000

63 3 29, 872

1,403 4060

25

268

320 000

39 9,687

387

68

710

180 000

8 53,427

1,403 3973

24

227

310 000

44 33,484

297

67

693

190 000

14 16,977

886

23

186

+ 300 000

48 49 67,276

1,403 8208

7,31467

2,41671

— 200 000

53 19 40, 521

1,403 3800

7,31422

2,40146

21

162

NACHLA.8S.

X

?

loga

logß

logT

X

?

loga

logß

logT

(Meter;

j

1, —10.

7,.... — 30

2 -20

^Meter^

1, —10

7,.... — 30

2,. ...-20

— 200 000

53^19'40!

'521

1,403 3800

7,31422

2,40145

— 500 000 56* 1'24'

;'643

1,403 1246

7,31397

2,38676

210 000

25 4,

,061

713

22

103

510 000

6 48

,041

163

96

620

220 000

30 27,

,697

627

21

060

620 000

12 11,

, 434

1,403 1079

96

663

230 000

35 51,

127

541

20

2,40017

630 000

17 34

, 822

1,403 0996

94

606

240 000

41 14,

653

455

19

2,39974

640 000 — 550 000

22 58,

205

912

93

448

— 250 000

46 38,

» 173

369

18

930

28 21,

,584

829

92

389

260 000

62 1,

689

282

17

885

560 000

33 44,

, 958

746

92

330

270 000

53 67 25,

, 200

197

16

840

670 000

39 8,

, 329

663

91

271

280 000

54 2 48,

, 707

111

16

705

580 000

44 31,

, 693

580

90

211

290 000

8 12

, 208

1,403 3025

15

749

590 000

49 55

,053

498

-89

150

— 300 000

13 35,

, 705,1,403 2939

14

703

— 600 000

56 55 18,

, 409

415

88

089

310 000

18 50

,197

854

13

656

610 000

57 0 41

, 760

SS3

87

2,38028

320 000

24 22

,684

768

12

609

620 000

6 5,

106

250

87

2,37966

SSO 000

29 46

, 167

683

11

561

630 000

11 28,

,448

168

86

904

340 000 — 350 000

35 9

, 644

598

10

513

640 000 — 650 000

16 51

785

086

85

841

40 33,

,117 512

09

464

22 15

, 118 1,403 0004

84

777

360 000

45 56

, 585| 427

09

415

660 000

27 38,

446

1,402 9922

83

7t3

370 000

51 20,

, 049. 342

08

366

670 000

33 1,

770

840

83

648

380 000

54 56 43,

508

257

07

316

680 000

38 25,

089

759

82

583

390 000 — 400 000

55 2 6

961

173

06

265

690 000

43 48,

40 :t

677 596

81

518

7 30

,41l! 088

05

214

— 700 000

49 n,

713

80

452

410000

12 53,

, 855 1,403 2003

04

162

710000

54 35,

018 514

1

79

385

420 000

18 17,

29 5 1,403 1919

03

110

720 000

57 59 58,

319 433

78

318

430 000

23 40,

, 730

834

03

058

730 000

58 5 21,

615

352

78

250

440 000

29 4

, 160

750

02

2,39005 2,38951

740 000

10 44,

907 194

271

77

182

— 450 000

34 27,

, 586

666

Ol

— 750 000

16 8,

190

76

113

460 000

39 51

, 007

582

7,31400

897

760 000

21 31,

476

110

75

2,37044

470 000

45 14

,423

498

7,31399

843

770 000

26 54,

755

1,402 9029

74

2,36974

480 000

50 37

, 834

414

98

788

780 000

32 18,

028

1,402 8949

73

904

490 000

55 56 1

,241

330

98

732

790 000

37 41,

297 ,562

869

73

833

— 500 000

.56 1 24

, 643

1,403 1246

7,31397

2,38676

— 800 000

58 43 4

1,402 8788

7,31372

2,36762

[Dieser Tabelle liegt der Abplattungswerth 3Ö268 ^^°^ Grunde. Die ce sind um — 26,264m zu corrigiren, wenn für Göttingen 9 = 51®31'47^85 anstatt 51^3r48'i70 angenommen wird.]

[Der Unterschied zwischen der Projection der geodätischen Linie und der ihre Endpunkte verbindenden Geraden bei der conformen Darstellung

einer krummen Fläche in der Ebene.]

[16.]

Ein sehr fruchtbares Princip für die allgemeine Theorie der krummen Flächen ist folgendes.

Es werden die einzelnen Punkte der krummen Fläche durch zwei ver- änderliche Grössen p, q auf welche Art man wolle [dargestellt]. Alle Punkte,

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 163

für welche q constant ist, bilden also auf der Fläche eine Linie, deren Ele- ment dtt = fd/> sei, wo t Function von p und q sein wird.

Es werde nun indefinite nach dem Funkte der krummen Fläche, der durch ji, q bestimmt wird, eine kürzeste Linie, entweder von einem bestimmten Punkte aus oder senkrecht auf eine gegebene Linie gezogen, deren Länge r also selbst Function von p und q sein wird. Ist nun 9 der Winkel, welchen das Element von r mit dem Element di« macht, so wird

g^ = fcos9.

Es werde nun eine kürzeste Linie in der krummen Fläche, bei der ele- mentähnlichen Darstellung in der Ebene, durch die krumme Linie vorgestellt, deren Punkte durch i2, Distanz vom Anfangspunkte, [und] 6, Richtung, be- stimmt werden. Das [reciproke] Vergrösserungsverhältniss sei n*, d. i. corre- spondirende Elemente in der Ebene und Fläche verhalten sich iwie 1 zu n*.

Es sei femer

logn* = logiV^+ajR + ßi2-K + Tß'+---»

wo a, 6, c, . . . ; a, ß, 7, . . . Functionen von 6 bedeuten. Man hat dann [dn* = n'^'^dlogn* oder]

(a+2612-|-3cl2J2...) = (iV+al2 + 6-KJ2...)(a+2ßJ2+ SyäU ...)

[und hieraus]

a = Na 26 =i 2iVß + aa

3c= 3iV^Y + 2öß + &a etc.

[oder]

a = Na

b =N^-\-iNaa c = N^+Na^+iNa^ etc.

21

164 NACHLASS.

Man hat nun nach obigem

^ = n*co8(p

er 4t •

[femer ist

^016 + 4^^ a.*«;«^ ^öie-H^) «*^^o^

^-Jm = «sin 9, «-^ö(r = « co8(p,

wo md(6-{-^) das Element der Curve constanter r bedeutet; hieraus folgt

-aPcoscp ^-^-^* sm^p = 0

oder]

[^ und 9 bezeichnen die Winkel, die die Darstellung der geodätischen Linie in der Ebene mit R im Anfangs- und im Endpunkte bildet.] Man findet hieraus, wenn man

da # Ö6 w _, da' „ db' ,#r

Ö6=^' 5q=6,u. s. w.; 00- = «» ^ = 6,u.8.w. setzt und bemerkt, dass a" ^= —a [ist, weil a die Form C, cos 6 + Cg sin 6 hat] :

Also

-sin? = Wn^ + (wn- Wn)^^-"

Es findet sich femer aus obiger partieller Differentialgleichung

= ia'i2 + (iß'+-iVoa')iJ-R. . . .

Es sei, wenn die Lage der Funkte in der Ebene durch x, y ausgedrückt wird, wo d? = J{cos6, y = i2sui6:

CONFORME ABBILDUNO DES SPHÄROms IN DER EBENE. 165

logn* ^ \o%N—Äx—By — \Cxx — Dxy — \Eyy..., 80 wird hienach:

oiJ = — Ax—By a'R = Ay — Bx

ßJSJS = — i Cxx — Dxy — iEyy ß'22 J2 = (C— E)xy — D{xx —yy)

etc. etc.

9 = + \Bx + (iD + tV^-B) (^a? -yy)

-^Ay + {-iC+iE-^AA+^BB)xy...

if = +4-£a?+(iD--^^5)(d?j?-y^)

-^Ay + {-\C^\E-^^AA-^BB)xy...;

r = 2yr(i2 + 4-oBJ24-(iß + ioa--jVo'o')i2». ..)

logr = logiVi^ + 4-oi^ + (iß^-^JV(«a-a'a'))■R■R••• = logiVE+(TVß+Vr(aa-a'a'))-Ki2... = logN*R — T^{C-i-BB-AA)xx

—^iD-2AB)xy -ME + AA-BB)yy etc.,

wenn N* der Werth von n* für den Punkt in der Mitte der geraden Linie [also log2V* = logiV4-foJ2+ißi2i2 + ... ist]. Es sei nun

[logn =] log^ = [e ■^e'x+e"xx + ...){Y+y)*

+ (f-^rx-\-rxx-^...){Y+yY

etc., indem die zweite Coordinate [im Anfangspunkt] = Y [ist], so ist

-lo^N = eYY + fY* -\- yT' .

A= e'YY-\- f'¥*-\- y'Y' .

B= 2«F+4/'F»+ 6^F* .

i^C = e"YY-\- fY* + yT« .

D = 2e'F +4rF»+ 6y'F» .

4-£= « 4-6/FF+i5yF*.

etc.

Also [ist]

[und]

166 NACHLASS.

Bei der Darstellung der Kugelfläche vom Halbmesser h ist n^ von x un- abhängig und

A= C=D=0

■D — ülfc — t-JiT ••.

Das Glied -^BBxy [in (p und (j^] kann also nicht grösser als ^j^-^r-RÄ werden, also £ur JR = X. 100 000 m, F = |x. 400 000 m [nicht grösser als] XX.|X|i.o;'008.

Die Glieder von 9 und if werden [auch beim Sphäroid im Wesent- lichen] durch die Formel \Bx — \Ay erledigt, wenn man die Werthe von B und A resp. fiir die Funkte der geraden Linie nimmt, die um |- und }- ihrer Länge vom Anfangspunkt abstehen. Diese sind oben [Axt. 15] mit hinläng- licher Genauigkeit angegeben.

[Sind -4.,, -B. imd -4., B^ die eben bezeichneten Werthe von A und J5, so wird

^ = ^B^.x-^A^.jf-\-i[Dx-Cy)x + ^[Ax'\-By)[Bx-Ay)...

if = \B^.x-^A^.y + \[Dx-Cif)x + M^^ + B!f)[-B^ + ^!f)'^'^]

[17.]

Die Generalisirung obiger Grundsätze fuhrt auf folgende Behandlung.

Es seien p^ q zwei veränderliche Grössen, die die verschiedenen Funkte der krummen Fläche bestimmen. Die Länge der kürzesten Linie heisse r, die Richtung im Anfange werde durch if bezeichnet; endlich sei J^pd^ die Länge der Linie constanter r tmd d^ [das] Element einer Luiie auf der krummen Fläche, welches allgemein durch \/(-4djp*-f-2£dj?d5-f-Cdj') ange- drückt werde.

Man setze

dr = ^d/>+ hdiq

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 167

Hieraus [folgt]:

gg^GG=A gh-\-GH=B hh + HH= C,

also [wird]

{A-gff){C-hh) = {B-ffk)*

[oder]

I. AC-BB = Ahh-lBgh-^-Cgg

Feiner ist]

also

d. i.

Ak-Bg= G{Gh-Hg) Bh-Cg = H{Gh-Hg),

^{Cg-Bh)+f{Ah-Bg) = 0,

n. |i(Cy-5Ä) + |4(4Ä-B^) = 0.

Sind die Winkel, welche die Linien constanter p oder q mit den Linien constanter ^ machen, respective M, N, so ist

^ = cos N ^A [G = sin N ^ A h = cosMv/C H=BmU\JC;

mithin]

Wenn z. B.

£ = cos(M-N)VAC7.

p = R X = R cos 0 ^ = 6 y = 12 sin 0

ist, wo t, u Functionen von 6 sind, [so wird]

d* = v^{dJR'+BBde*+d;5»}, und

[Nach Gleichung I wird alsdann , wenn t\ ii', . . . die Ableitungen von f , w, ... nach ö sind:

168 NACHLASS.

(1 + ff RR + 2 f'u'Ä» . . .) (1^) + (1 4- 4 ttRR + 1 2 tuie . . .) {^J

-2(2tfRR+{2tu'-\.Zut')^...)§^-^,

= i-\-{Att+ft')RR-^{l2tu-\-2t'u):^...,

woraus sich ei^bt:]

r = R * 4-f«B»+|/aJ2*....

[Die Gleichung IE gibt hiemit:

(l-{-{2tt+t't')RR + {6tu+2t'u')I^...)^

folglich wird:

Zur Transformation der Coordinaten.

[18.] Die Ghrundgleichung ist

f(a, + iy + a>)-4-f(^ + ty) + 4-f(a?-iy) = f(a?H-Q).

Wir schreiben

f (o?) = a r (o?) = 6

r (o?) = c

etc. [Dann wird]

[und hieraus]

C0N70RME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 169

etc.

[19.]

Die Entwickelung beruht auf folgender Au%abe. Wenn

« — ^Mw — -Bm»— C«*— D«* =p-\-Aq + Br + Cs-\-Dt-\ ,

[wo p von derselben Ordnung wie u, q von der Ordnung uu, u. s. w. ist,] so wird:

u=p-[-A{pp + q)^AA[2p*-^ 2pg)+ ^'(5/+6p;)g + 5rj)

+ C( p'+s)

+ ^il5(21j9'+ 20^^ + 6;?j9r+ 3;>jj'+ 2 jr) + AC{ 6/+ 4/)'g+2/>«) + 5.B( Zp^-{-Zppr)

+ i>( /+*)

etc. Allgemein

« = 2j^.ö o ...;> 9 r * .... n(a-x).ii(ß-p).n(T-a)...ni:.nx.flp.n«...' wo

o, ß, Tf, ..., IC, X, p, 0,..., a — X> ß — P» T — «»•••

ganze nicht negative Zahlen sein müssen und

l+a + 2ß4-3-r + ... = ic+2x+3p+4o + ...

[ist].

IX. 22

170

NACHLASa.

Man hat nun

ii = Q

[und]

f =

-i+'io+j; = «

1 =

— («)+»;'

r =

»»-:»+»)■

1 =

-'«>+')'

t =

j»_,„4-i)'

etc.

[zu setzen]. Also

i

Q = w — A{2tot -{-zz, — AA'Aünaz -\- 2mzz)

— s;3«>«)z-f 30)«;

— A' ( Sw'z - -4ü>i'~«'}

— ^B;i2«)'z*f Ötowiz # * )

— C ( 4u>*z+6u>»i>zz-h4(ui'+iE*)

— J,* (16«>*Ä— 16a»'zz— 24u)a»2r*— 6«»«*}

— J,^B;36u)*« # — 30«»»«*— 9to«*)

— ^C (I6«>*z-l-16u)*«+ 8«HD»*4-2u>z*)

— BB ( 9(i>*z+ 9(1)'«« * » )

— 1> ( 5ü)*«+10u)*«24-10iu«a:*+5ü)**)

etc.

Zur Übertragung in die vorigen Zeichen [Art. 18] braucht nun nur noch gesetzt zu werden:

C li

ft

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAK0ID8 IN DBB EBENE.

171

[20.]

Auf der Kugel [vom Radius 1 ist nach S. 144, wenn x von einem be- liebigen Anfangspimkte an nach Süden positiv gezählt wird,

1? — _ 1

-^5

d^

setzt man

[so wird mithin

r(j.) = -l±iL

\ I COS 7 '

sin ^ = Ä, cos cp = c,] tang ^ = ^

und daher

c

c rm/ X 61+479««+179»* + «*

B = -i(l+2«)

C = +^(5^+60

D = --n!T(5 + 28«+24f«)

£ = +T4-T(61f+180<'+120<*)

F = —TTjVir(61 + 662«+ 1320/*+ 720<')

etc.; [folglich nach Art. 19 oder 20:]

«+Ö = a! + i?j^j^-(A-'+iO/---

+ a)}l-i(l + «)j^j^ + (Vt+-A«+*0/-.--*('j'-(*'+iO/---)l

+ «>a> il fyy . . . +i(f j^ - (tV + 1«)/. . Ol

+ «''i-(i-i*to-..+»(i*y.--)j

+ a)*{... — i(T8Vj^...)j

etc.

[Reihen zwischen 9, <p und toj

[21.] [Zur numerischen Berechnung von cp aus a?, Art. 1, oder X aus 0, Axt. 13, dienen die nachfolgenden Gleichungen zwischen y und if.

Die Länge des elliptischen Meridianbogens , dessen halbe grosse Axe a und dessen Excentricität e ist, vom Äquator bis zur Breite cp sei a?, dann ist :]

22*

1 72 NACHLÄ88,

1.8 ■ « l. 1 1-8 1 1-3. 3. 6 4 . 1.3.6.3.6.7 4 .

, 1,8.35 , » • ^ (, 1 9S . 3.5.5.7 ^^ I 3.6.7.5.7.9

1^2.4.6.0

2.4.6-B.10.12

[oder]

.... 1. , 3,5 . 3.5.5.7 1 . 3.6.7,0.7.9 ■ ,

1.3,3,5.6.7 . « • c 1, I 5 7 , 6.7.7.9 t , 5.7.9.7.9.11 - ,

J" «»6?J'+2.Ü«^ + 2.4:ü:T6^ +2.4.6.U.16.18^ +••

etc.

= <p-eesm2(p{J + A^c + TVTVe* + [TSfVB«* +]■■■!

+ e* sin 4 -f j ,V« + iVr«'^+ UWf c* +j ■ ■ ■ t

ctc.j [Es sei nun ^ die Breite auf einer Kugel, deren Meridianquadrant die- Belbe Länge wie der Meridianquadrant des Sphäroids hat, nemlich 10 000 000 Meter. Die Meridianbögen zwischen dem Äquator und den Breiten cp und <|* auf dem Sphäroid tmd auf der Kugel sollen ferner Ton gleicher Länge sein. Alsdann ist

'l' = IoWÖÖ = sC +*" + A''' + 'V, «• + ■•■)• Mit dem Abplattungswerth g^-gj , logee= 7,8193287, eigibt sich daher:] ^ = cp— 5lC94l91sin2y log 2,709 2207

k

+ 0,52942 Bin 4^

9,723 80

— 0,00068 sin 6(p

6,833 33

etc.

Fül <f [GOttingen] = 6l''3l'48;7 wird [Menach] ip = 5l"23'29;768 246

utzt man den Abplattungswerth gö^>

logee= 7,819 1850, BO erhält man:

^ = 9 — 51i;772 0192sin2tp

log 2,70907 65375

+ 0,529 0745 sin 4y

9,72351 68

— 0,000 6807 Bin 6y

6,83295

4- 0,000 0009 sin 3 <p

3,97197

etc.

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 173

[22.] Wenn

a = ß — 48in2ß — B8in4ß— Csineß — DsinSß...

iflt [worin Ä von der Ordnung ee, B von der Ordnung e\ C von der Ord- nung e", X) von der Ordnung e', so ist bis einschliesslich der achten Ord- nung:]

ß = a-\-8isx2a{A — AB — iA^)

+ 8m4a{B -\- AA- 2 AC — AAAB — iA*)

-\- sin 6a{C-\-d AB -\- f A»)

+ Bxa8a{D-\-2BB-\-4AC+SAAB-\-^A*).

[Die Umkehrung der Reihe]

«I> = <p - sin 2 <p'(f ee + We* + Vü'jVe* + ^ViV c' • • •) + sin 4 9 (yVe- e* + tVt«" + AVr «•-••) - sin 6 cp (tI I T e" + T 2 H" e" • • •) + sin 8 (p (t AVt t «'•••) — etc. [ist hienach]

9 = (I; + 8in2(l^(iee + Ae' + VWfff' + TWr«*.-.) + sin 4 (|;(,«jV«* + tVt«' + WW «" • • •) -I- sin m^^^e" + :iW)rc' • • •) + sin 8 tj^ (riHfr«* . . .) + etc.

[Da der Meridianquadrant = 10000000 Meter sein soll, so ist 1 Meter des Kugelmeridians = loöooöoo Secunden = 0"0324. Entspricht 4*0 dem An- &ngspunkt der Coordinaten, so entspricht mithia der Abscisse x, wenn x nach Süden positiv ist, die geographische Breite

4» = ({*^, — 0"0324ar.

Für die Abplattung JÖ2M ^^**-l

<p = 4»4-51i;94157 8in2(p log 2,709 2204

-f 0,74092 sin44» 9,869 77

+ 0,00147sin64» 7,167 21

etc.

1 74 NACHLASS.

[23.]

Es finde zwischen der wahren Folhöhe cp und der fingirten o> folgende Relation statt

woraus,

gesetzt, folgt:

da> dcp 1 — ee

= - 1- . : -i

co8tt> COS 7 1 — eesin^'

Sin ^ = a?, Sin o) =

dy dx

(1 — ee, . 1 — yy] (1 — eexx .1 — xx]

also, wenn «r und y zugleich verschwinden sollen,

= z. Hieraus [ergibt sich] durch Umkehrung

s l + ee

l-ee " 3" ^i-«cj ' 15 \l-ee)

17+129eg + 129g* + 17g*/ b V

\l-eej

Ü15

, 62 + 824gc+ 1776e^ + 824g*+ 62g* / Jg N* » 2835 \ 1 - ««/

etc. Durch Substitution des Werthes von z folgt hieraus

y (3-gg)ge

^ ~ l-ee 3

/ y \' , (25-17ee-f8g^c^ / y \' (1008-1039«« 4- 368e*-. 45 c« c*

315

\l-ee)

, (18621 -25758ee+ 13708e^~3338e' -h 315e^g' / y y "f" 2835 ll-ee/

etc. Setzt man

= 8,

1 — ce

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 175

80 verwandelt sich dieser Ausdruck in folgenden:

10088'+ 19858^ + 13148' + 2928* 7

315 y

, 18621 8* + 487268» + 481608« + 212888» + 86488« o . . + 2835-^^= ^ y etc.}.

Eüleraus folgt femer

M_L;i\«i.... 68 + 488^.4 , 19588 + 2588» + 868\,g

j?a? = (l+8) \yy 3 — y H ^ y

3066 8« + 6056 8* + 4014 8» + 892 8« s

315

, 3163058^ + 8303408' + 8222178* + 3637388» + 606238* |o . > 14175 y ^^')

[und, indem man den daraus sich ergebenden Ausdruck fiir 1 — xx noch mit (1 -yy) (1 +yy +y* +/ + • • •) multipUcirt,]

/4 \{4 .«> I S5N I 1388+148« + 48* 4

438 c' + 737 0* + 430 8» + 86 8' e "~ 45 ^y

, 70298^ + 161828» + 143748* + 57988» + 8928* « . j

Hieraus femer

./l-xx _ coay _ . 28 + 88 . 4088 + 448' + 138^ 4

y l_yy cOSU) 2 ^ ^ ~^ 24 "^

23048' + 39768^ + 23908» + 4938* e

720 ^

etc. Da nun

195 8* + 453 8* + 344 8» + 86 8' « ^ ,

^ — - — r etc.},

80 wird

d« /. , >N(. 48 + 388 , 11288 + 1608* + 578* 4

8064 8« + 16864 8* +117648» + 2739 8* e i. )

^ Tis — y ^*^-l-

Hienach gibt die Integration

[(p = o) 4" Ci sin ü) cos «) -j- C2 sin co^ cos «) + Cg sin co* cos o) . . .,

176 NACHLASS.

also wird,] da

d (sin o) cos co) = (l — 2yy] dco, d [sin co'cos co; = (3^^ — 4y*) do>,

d (sin CO* cos to) = (5y* — 6y*) dco, etc. ist,

Die Vergleichung mit dem vorigen Ausdruck für ^ liefert die Werthe der Coefficienten Cj, Cg, C3, ... und damit]

(p = CO -f- 6 sin CO cos CO a sm co cos co

, 224«« + 2178* + 678» . 5 -| ^120 — ®^^ ^^^ ^

171168* + 26570«» +145038« + 2789«^ . 7

-^ T/rS; -^ Sin co' cos co

ÖÜ4Ü

etc.

[24.] Leichter ist die umgekehrte Aufgabe, [co aus der Gleichung

d^ V i~a?a? \—ttxx

abzuleiten,] wo das Resultat folgendes ist: CO = 7 — ee sin ^ cos ^ ^— sin 9* cos ^

104e»-46«*+6e*» . ^ 4948e"[— 3360«'» + 777e'"-61e"] - 7

f20-^ smcp^coscp '- ^^ ^sm^p^coß?

etc. Femer wird, wenn ^ dem Bogen proportional ist, dieser = Kif^ [wo]

-BT =a(l-i^<?-A^*-YiT^*-TH*T «'...)» [und nach Art. 22]

if = y — sin(p cos^{lee + ^\€^-]-^^e^ + T\^i-t^e^...)

— sin ^* cos cp(^^* + A^* + AW^' • • •)

— sin (p* cos cp (H^* -f ,Wir^* • • •)

— sin cp^ cos ^(iVsV^* • • •)

etc.; [folglich hat man zunächst:]

CONFORME ABBILDUNG DES SFHABOIDS IN DER EBENE. 177

^ = co + sincp co8^{iee — -^e^ — 'i^\e^—^l^l^e^...)

+ sin cp* cos cp (f -H e* - ,ViV^^ . •)

+ smcp^ cos (p(li-fH* «'...)

etc.

Hier ist zureichend, [nach S. 174 und 175] zu setzen:

r T • «• {/4 \ I 4 I 6\ 86e4-8c*+15«» , 25e* + 108«» 4 16e* «)

[x =] suKj) = smü)|(l+^^ + <?* + c*) =^-3^^^ j^yH ^ / g-/|

coscp = coscüjl ^^-^ — yy-\ ^ / ^/|,

[ako]

U I I 4 I 6 12cc + 31c* + 57«»

Sin <p cos <p = sin o) cos toll-f-ee-^e -{-e ^ yy

, 65e^ + 273e« 4 146 « «)

"^ — 16 — y ~ib^y 1

3 . s U I o 1 £5 4 r8«« + 37e* I 38 4 4)

sin 9 cos <p = sin o)' cos o) 1 + Zee + ße -^ ^.y + ■3"^ y (

sin^'coscp = sin ü)* cos o) { 1 + bee — ßeeyy\ sincp^coscp = sin o)^ cos ü). Damit wird:

f^ = (ü + sino) cosa)(|-^^ + -/YÖ^ + iVr«' + T*JiT^*---)

— sin o)* cos CO (fl^* + iV^* + -H4I- <?* • • •) + sina>'*cosü)(VW^* + +*iH^'...)

— sin ü)^ cos CO (yV^Wir«* • • •)

etc. oder]

4/ = 0) + sin2ü)(i^« + :iV^' + TTfrT«*-WVW «••-.)

+ 8in4ü)(y^^* + THir^' + WWW«^..)

+ sin6co(TVWir^*+THJir^'..-)

+ sin8<o(:p,W7Vo-^*- • •)

etc.

[Aus der Schlussformel des Art. 23 erhält man] IX. 23

178 NACHLASS.

+ sin 4 «) (^68 - -jVfS' + ^Wr8* . . .) + sin 6 (o(t Jt8' - iVr«* . • •)

+ sin8o)(TfHfTfi*.--)

etc.

0 ^

1 — ee

[und aus der eisten Formel dieses Art. :]

o) = (p-sin2<p(+ee + W«* + A«*+-«WT «'•••) + sin 4 <p 'A«* + T.V«* + tHH- e' • . •) - sin 6 «p(^«f e« + TiHT«' • . .)

+ sin89(TfHiT«'..-)

etc.

[Setzt man

also

[25.]

ie = f.

V(2w-1)

f V \^-n-

wobei - die Abplattung bedeutet, so wird [nach den Art. 22 und 24]:]

(|» = <p — (6/y+48/** + 444/*«+4512/*»...)8in2(p

+ (1 5/"* + 240/"«+ 3240/"». . .)sin4<p -(^/••+1120r...)8in6?

etc. [Nach S. 172 oder 176 ist a(l '-\ee — -^e^...)diif = da?, daher wird]

54:(l_4/y-12/^*-80/-«-700/^\..) = ^"^^^^ ^-

^▼^ ^ (1 - 16/*/^iin(p«)*

[Weiter ist]

CONFORME ABBILDUNO DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.

179

,p = ,l,4-(6/y+48/"* + 426/«+4080/"*...)8in2<I<

+ (2l/'* + 336/'« + 4264/'*...)sin4«I*

+ (?r+24t6r...)8m6<I»

etc.

^=«> + (8/-/-+ifr + lf-V +

106496 /»s

45

, /112 -4 , 7424 ^6 , 207616 ^g

+ [Tf +-15-/ +

+

/3584 /»e ,

\ lö

45

165888^8 35

r

etc.

, /547712^8

315

143872 ^8

«>=?-(8/-/'+^r + 384/- + ^:^Y^

, /8O/.4 1 1792^0 1 178432 /.8 + iy' +~ö~/ +~45~/ '

/1664/>6 . 236032 />8 \ 16 ' ' 105 '

, /158336/.8

etc.

I I /«^^ I 16-r4 1 28 /.e 2666 /»8 \ • c.

(j, = a)+^2/y+-3-r+ y r- -45- r . . .Jsin 2a>

1 /13 /»4 , 464 /.6 I 6664 ^8 \ • 4

sin 2(0 sin 4(0 sin 6(0 sin 8(0

8in2(p sin4f sin 67 sin 89

46 7072

, /244 ^e I 7072 ^8 \ • c

35 /49561 /.g

etc.

+ iw/^*"-)«^8(o

[und hieraus, indem man die Formel von S. 173, oben, benutzt:]

»=t-(2/if+T/"'+"/"-^/"---)»mSt

/4397 -8 \ • o I

etc.

23*

lao

NACHLASa.

[26.]

Zur Beiechntmg von log cos <p.

bt

;.= q-^hBing,

ao wird

1,,^

■ijnp = logsinj + Acosj — -i-AÄ + i-A'cosj — iVA*(l -}-2coBy*)

!'■

Logarithmen sind hier wie auch im Art. 27 die hyperbolischen.]

AU.

h = aco8^ + 6co8 3j + ccos55'4-rfco8 7j...

grarUt.

logsinp = log sin f

+ Ha-i<ia + ia'-T'ri>' + iaab-ibb...)

+ cosigHa — iaa + it — iab + ia'—-ff,a' + taab...)

+ coiHq{ib- iab + ic + fya' — -^a' + iaab — iac. . .]

+ cmeqHe--riia' + iaab-iac-ibb + id...)

+ cot»q{iä...)

etc.

In iinsemi Fall ist [p = 90''— 9 und q= 90"— (|t zu setzen. Aladann wini wt'iui man Ton der zweiten Reihe zwischen 9 und t[» im Art. 25 ausgeht:]

a = -liff-iif'-'-^^f'-3UTf'...

b= +42/" + i^/-«+4793/-'...

d= +1097/''...

1 I ^j-j- ..A.<.4 2193 j.« 18069 ^8

logcosip = logcosip— 6//— 63^ ^r 2~' ■■•

+ (6ft+42/"+?|5f+2450/"...)co82<,

+ {iif'+?fr+3711f'...)co,ii

+ (^r+2320/-'...)co864.

+ (i?I r...)cos8t

CONFORME ABBILDUNG DES 8PHAB0IDS IN DER EBENE.

181

[27.] [Berechnung von log(l -..snKp«), log^^^^l^^ und ^..^TeL,',']

Man hat femer [wenn man berücksichtigt, dass

8in9 = (l + 3/y+15/**+ 87 /••+ 528 /**...) sin cp + {3ff-\- 30/"*+ 264/*"+ 2235/"* . . .) sin 3(J>

3

+(?/'' + 2184/*»...)sin7<p + (531/**...)sin9<p

+ (15/-*+ ^/•«+3360/'»...)sin5«l>

etc.

wird:]

8684

log(l-eesin<p') = - 8/y- 96/"*-^ /*«- 15424/-»

+ (8/y+64/** + 520/'«+ 4288/"" + (32/'* + 512/'«+ i^ /•«

+ (^/'"+ 3904 f

etc. und für den Logarithmen des Krümmungsmaasses :

— 2loga * — 64 /'*—1024/''— 14464/"»

+ (16/*/*+ 128/**+ 1040/"«+ 8576/**

+ (64/**+ 1024/*«+ ?Z|??/-8

+ (?/■•+ 7808 /•• etc.

. .) cos 2 ^ . .]cos4^

..]cos6^

..jcosSip

. .) cos 2 ^ . .jcos4c{;

..]co8 6cp ..jcosScp

[Für das Kriimmungsmaass selbst ergibt sich:]

fa""i'!.y' = ^{l + (l6/'/'+128/**+i040/-+ 8576 /•»...) cos 2 «J,

+ (l28/"* + 2048/*«+ ^ /*»...) cos 4 «p

+ (l008/*«+ 24192/*»... )cos6<p

'23662 /.g \ oll.)

— f . ..IcosSy etc.}

+f

1 82 NACHLASS.

Es bleibt noch zu entwickeln , , ^^^9 — welches durch die Foimel

V 1 — eesm^'

—fd'^.sm^ [multiplicirt mit demFactor Ä'=a(l — 4^/'— 12/'^— 80/^— 700/^...)] erhalten wird.

Wir haben daraus folgenden Werth gefunden:

Wr^-k^, =] l + 3/r+15r + 87/- + 528r..vC08^

4- //'+10/** + 89/**+745/*»...)co8 3<{»

+ (^/-«+312/-»...)co87^,

+ (59/**...)co8 9(l» etc.

[28.] [Für n = 302,78 ist]

log//= 6,615 0650.573

[oderlog/'/'^= 3,418 9451.803; [^ //= 2623,887 3172

logf* » = 0,034 0102.376; » /"* = 1,0814594

logf* » = 6,649 0752.949—10; » /** = 0,000 4457

log/"» » =] 3,264 1403.522— 10; » /"* =] 0,000 0002.

[Bei der nachfolgenden Tabelle ist jedoch angenommen worden] \og-^^ff= 3,418 9411.803; ±^ff= 2623,863 1498,

[dem n = 302,7827 ... entsprechen würde. Auf Grund dieses Werthes von

ff ergeben sich zwischen ^, <p und u> die folgenden Beziehungen, wenn diese

Grössen in Metern, also in 10000000. Theilen des Quadranten gemessen

werden :]

(p — ^P = 15795^278 6227 sin 2(p

+ 22,860 7756sin4^p

+ 0,045 3131 sin6(|;

+ 0,000 1008 sin 8 (ji

etc.

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE. 183

cü — (p = —5253?500 2000 sin 2<j;

— 0,364 7702 siii4(p

— 0,001 0182sin6(p

— 0,0000013sin8(p etc.

[Mittelst dieser beiden Gleichungen ist die Tabelle auf S. 184 berechnet worden. Die andern Beziehungen zwischen ip, <p und co sind :]

(p — CO = +5253^498 1263sin2ü)

+ 4,700 0528 sin 4a)

4- 0,007 2875sia6ü>

+ 0,000 0145sin8(o

etc.

CO — (j) = —21048^753 71 73 sin 2(p

+ 28,998 8622Mn4cp

— 0,049 9078 sin 6cp + 0,000 0923 sin 8<p

etc.

cp — CO = +21048?734 5472 sin 2co

+ 40,595 1921 sin 4co

+ 0,1073684sin6co

+ 0,000 3194sin8co

etc.

(p — cp = — 15795™286 7250sin2cp

+ 16,329 1611sin4cp

— 0,021 0061 sin 6<p

+ 0,000 0289 sin8cp

etc.

Der Radius des Äquators [ist hiebei, wenn //,/**, ... bereits in Metern ausgedruckt sind,]

?5^^+4/]f+28/'*+240/'® + 2316/**+24240/'*^ + ... = 637 6723,563 9821m.

\

MeUr

Meter

diff.

Meter'

diff.

578 000o| 579 5312,62571

579 0000; 5%0 5300,3Sj54

!l9«7,75'Jr<3 G0915 45839 30017 157Ö6

9987,00769

isoes

6G

31

17

15004

14990

78

63

50

35

22

14908

14893

78

64

60

33

20

14804

14788

5774903,61218 578 4907,64328

10004,03110 08136 1SI57 13174 23187 28197 S3201 S8202 43198 48189 63177 66160 63138 68112 73081 78046 83005 87960 92910 10004,97856 10006,02796

5026 21 17 13 10 04

5001

4996 91 38 63 78 74 69 64 60 65 50 46 40

4935

5800000 5810000 582 0000 5830000 584 0000

5SI 52^7,99469 582 5275,45328 5835262,76145 5S4 5249,91931 585 5236,92700

5794911,72464 5804915,85621

581 4920,03795

582 4924,26982 5834928,55179

585 0000

586 0000

587 0000

588 0000

589 0000

586 5223,78465

587 5210,49240

588 5197,05037 5895183,45871 5905169,71755

70775 5Ö797

40834 25SS4

584 4932,88380

585 4937,26582 5864941,69780

587 4946,17969

588 4950,71146

590 0000

591 0000

592 0000

593 0000

594 0000

591 5155,82704

592 5141,78731

593 5127,59850 5945113,26076 595 5098,77424

9985,90027 81U9 6G226 Cil348 36484 21634

9985,06001

9984,91981 77177

9984,62389

5894955,29306

590 4959,92444

591 4964,60556

592 4969,33637 5934974,11682

5950000 596 0000 5970000

598 0000

599 0000

596 5084,13908

597 5069,35542

598 5054,42343

599 5039,34324

600 5024,11501

594 4978,94687 5954983,82647 5964988,75557 597 4993,73413 5984998,76209

600 0000

601 5008,73890

599 5003,83940

[Der Tabelle liegt der Abplattungswerth ;

zum Grunde.]

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 185

[29.]

Berechnung der [ebenen rechtwinkligen] Coordinaten [aus den geographischen

Coordinaten mit Hülfe der Reihen zwischen 7, ^ und u)].

Proberechnung fiir Varel.

X = 1® 48' 24';? 109 j [Coordmaten von Vaiel; für Göttingen ist 0 = 53®23'57;'0322 1 X = 0 angenommen.]

[= ^^^^^^^^^^ . 10^] = 5933241,735m.

Daraus [indem man mit dem Werthe von 0 in die Columne für (p der Yoxhei^ehenden Tabelle eingeht und das zugehörige o> entnimmt:]

Q = 5913075,164m = 53® 13' 3^:6353.

[Man kann Q auch aus der Reihe für co — <p, S. 183, berechnen.

Es seien nun x\y' die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes in der Ebene, der dem Punkte Q,X auf der Kugel, die den gleichen Meridianumfang wie das Sphäroid hat, entspricht, wenn die Kugel conform auf die Ebene über- tragen wird, derart jedoch, das« der Meridian X = 0 Hauptmeridian wird. Hiebei ist also f(j?'+».y') =/^+»^ = loghyptang(45» + fQ) + »X. Zur Be- rechnung von x', y kann man sich der Formeln für Mercatobs Projection

bedienen :

tangc = tangXsinQ

sin Q := sinXcosQ

tang 4- (d?' — Q) = tang f c tang 4- Q [a?'-Q = i(Q+jr')tangi-c...

wor = ?^^i8t].

sinQ 9,903 5870 cosQ 9,777 2648 sine 8,402 3953

tangX 8,498 9469 sinX 8,498 7309 tangQ . . . 0,126 3223

tangc 8,402 5339 sin Q 8,275 9957 tang Q ... 8,276 0730

c = 1" 26' 50^3465 Q [= l" 4' 54;4540]

= 120199,197m.

IX. 24

186 NACHLASS.

(Q' 15,239 705 Q' 25,3995

6rr _M,385_91J 24r* ■ . 2S,5957

(»,853 793 6,SÜ38

7,1416 0,0006

Jf'—Q = 7,142m.

Um y' aus Q zu erhalten, kann man auch die folgende Tabelle, Art. 30, benutzen. Man geht bei derselben mit dem Werthe für Q in die Columne für X ein und entnimmt das zugehörige y.]

y' = 120206,339m.

(Weiter Uf

tanglc ..

. 8,101 4346

ÜQ+f']-

. 5,0799145

3,181 3491 . .

1518,270

Q

= 5913075,164

x'= 5914593,434m [= 53" 13'52;8273]. [Wenn nun x, y die ebenen Coordinaten sind, die dem Sphäroidpunkte 0, X entsprechen, so ist

f(:r + .>)=/ij^'-^.;*^|jj + a = f;:« + a, oder x+ij, = g(f (« + ().),

WO 4" die Länge des Meridianbogens vom Äquator bis zur Breite 0 bedeutet; für >. = 0 ist y = 0 und ü = 4"- Es bezeichne femer tu die Länge des Meri- dianbogens vom Äquator bis zur Breite Q auf der Kugel ; für X = 0 ist y' = 0 und x' = u>. Da nun aber

g(f (([.)) = ^ = ü) + .48in2iB + S8in4»i>+Csin6iD-f-... ist, worin nach S. 179

4 = 2ff+^/" + f /■•-..., S = ¥/-' + ^V+-, C = ^/-'+...,u.s.w., SO wird mithin allgemein :

g(f(4()+iX)==«4-i> = «'+iy'+.48in2(x'+v') + -ß8™'*(j?'+»j'')+f^8in6(j!'+i>').... Setzt man

y = j;'4--4sin2ip'-l- B8in4j:'+C8in6j?'H ,

CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE. 187

WO 5 sich aus der vorhergehenden Tabelle, S. 184, ergibt (zu demWerthe von x^ in der Columne für co sucht man das dazu gehörige jp in der Columne für ^), so wird

iT — y4-*(^— yO = — 2 -4 sin 2a?' sin iy'* -\-%Aqo%2x^^^ .*^

— 2-Bsin4a? sm2t^ +t-DC0s4ir — r-^ -2Csin6a?'sin3iy'* + iC cos 6^52^

etc. Man kann jf' auch durch Q ersetzen; es ist

tang Q = — v^ . Setzt man tang Q = f , so wird

j: = y +24sin2a?'.«

+ 8JBsin4a?'.(^^+f*) etc.

y =3f''\-2Acos2a:'.t\/{l-\-tt)

+ 4JBco8 4^'. (f 4-2^^(1+«) etc.

[Nach S. 183 ist für den Abplattungswerth 3027827 '^= 5253,498 1263m, 5 = 4,700 0528m, C= 0,007 2875m.

Die Berechnung von .r, y soll nun vermittelst der zuerst gegebenen For- mel erfolgen. Dabei ist

log '^\!'^' = log ny ^ + 1 {nyT - Ysö ^^V^ ' " > n= 1, 2, 3, ..., wo y' bereits durch den Kugelradius r dividirt ist; k bezeichnet den Modul der triggischen Logarithmen. Die Berechnung von log**"^*.^^ kann auch nach der Vorschrift des Art. 30 erfolgen.]

A 3,720 4486

sin 2a?' 9,981 8206

co8 2y 9,452 3858n

^sin2y. . . 3,702 2692 ^cos2a^'. . . 3,172 8344„

siniy'* 6,552 1460« ^^^|^ 8,577 1804

2 0,301 0300 1,750 0148n

0,555 4452,

24

188

NACHLASS.

B 0,672 1028

sin 4a?' 9,735 2364,

cos 4«' 9,923 9583,

Bsin 4«'... 0,407 3392, sin2»y'* 7,154 3608,

2 0,301 0300

7,862 7300

Bcosix. . . 0,596 0611,

!^4i2^ 8,878 5200

9,474 5811,

C 7,86258

sin 6«' 9,81354,

cos6d;' 9,88032

[Das zu]

Csmex' ... 7,67612,

smZijf'* 7,50680,

2 0,30103

5,48395

CcosO«'. . . 7,74290 ■inSiy'

# 9 # C

f

9,05513

6,79803

^ = 5914593,434m

[gehörige j ergibt sich, wie bereits erwähnt ist, aus der Tabelle auf S. 184 oder indem man die Reihe für (J' — <«> des Art. 28 benutzt]

y = 5919629,003m / = 120206,339m

+ 3,593

— 0,007

— 0,000

.r = 5919632,589m Göttingen [51^3l'48;00] = 5710161,658

Varel = 209470,931m.

— 56,236

— 0,298 + 0,001

y = 120149,806m

[30.]

Die [folgende] Tafel dient zur Berechnung der hyperbolischen Functionen ; bezeichnet man die Glieder der beiden Columnen mit d?, y, so ist

itango? = siniy logtang4(90®4-ir) = ikizy: 10^ [k = Modul der briggischen Logarithmen]

logiÄir: 10^ = 2,8339042—10.

CONFORME ABBILDUNG DES 8FHABOIDS IN DER EBENE.

189

Für grössere y, ausserhalb der Tafel, kann man setzen:

log sec ^ = ikizy : 1 0^

oder man sucht in meiner Logarithmentafel

kicy : 10^ = C [kizy : 10^ =] B

log^= 4-C-B -log2 [log'-^= - A-iB ~log2

= A — + C — log2 = iB — C -^log2

= i(A-B)-log2 =]_^(A + C)-log2 Man hat

[Für die Berechnung der nachstehenden Tabelle sind in diesen beiden

Seihen x und y durch - und - mit r =

20000000

zu ersetzen.]

X

(Meter)

y

(Meter)

diff.

0 10000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000

0 10000,00411 20000,03290 30000,11103 40000,26319 50000,51405 60000,88828 70001,41057 80002,10560 90002,99804 100004,11259

10000,00411

02879

07813

15216

25086

37423

52229

69603

10000,89244

10001,11455

1,36133

1,63282

1,92900

2,24987

2,59544

2,96573

3,36072

3,78043

4,22486

10004,69401

0

2468

4934

7403

9870

12337

14806

17274

19741

22211 24678

27149 29618 32087 34557 37029

39499 41971

44443 46915 49389

2468 2466 2469 2467 2467 2469 2468 2467 2470 2467 2471 2469 2469 2470 2472 2470 2472 2472 2472 2474

110000 120 000 130 000 140000 150 000 160 000 170000 180 000 190 000 200 000

110005,47392 120007,10674 130009,03574 140011,28561 150013,88105 160016,84678 170020,20750 180023,98793 190028,21279 200032,90680

L_

190

NACHLASS.

X

y

diff.

Meter^

Meter'

1

200 000

200032,90680

10004,69401

49389

2474

—

7

5,18790

2473

210 000

~210Ö38,09470

6,70652

51862

2475

220 000

220043,80122

6,24989

54337

2476

230 000

230050,05111

9

6,81802 7,41089

56813

mm ^ V x#

2474

e\ t «VA

24U000

240056,86913

59287

250 000

250064,28002

61765

2478

260 000

260072,30856

8,02854 8,67096

64242

2477

270 000

270080,97952

66719

2477

280 000

280090,31767

10009,33815

69199

2480

290 000

290100,34781

10010,03014

71679

2480

300 000

300111,09474

10,74693 11,48852

74159

2480

310000

310122,58326

76640

2481

320 000

320134,83818

12,25492

79124

2484

330 000

330147,88434

13,04616

13,86224

81608

2484

340 000

340161,74658

84091

2483

350 000

350176,44973

14,70315

86576

2485

360 000

360192,01864

15,56891

89064

2488

370 000

370208,47819

16,45955

91552

2488

380 000

380225,85326

17,37507

94040

2488

390 000

390244J6873

18,31547

96531

2491

400 000

400263,44051

19,28078 20,27099

99021

2490

410 000

410283,72050

101514

2493

420 000

420305,00663

21,28613

104008

2494

430 000

430327,33284

22,32621

106503

2495

440 000

440350,72408

23,39124

106999 2496 |

450 000

450375,20531

24,48123

111497

2498

460 000

460400.80151

25,59620

113996

2499

470 000

470427,53767

26,73616

116497

2501

480 000

480455,43880

27,90113

118998

2501

490 000

490484,52991

29,09111

121502

2504

500 000

500514.83604

30,30613 31,54619

124006 126514

2504 2508

510 000

510546,38223

520 000

520579,19356

32,81133

129021

2507

530 000

530613,29510

34,10154

131531

2510

540 000

540648,71195

35,41685

134042

2511

550 000

550685,46922

36,75727

136555

2513

560 000

560723,59204

38,12282

139070

2515

570 000

570763,10556

39,51352

141586

2516

580 000

580804,03494

40,92938

144104

2518

590 000

590846,40536

42,37042

146625

2521

600 000

600890,24203

10043,83667

149146

2521

COMFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.

191

X

(Meter)

y

(Meter)

diff.

600 000

600890,24203

10043,83667 45,32818 46,84483 48,88678

10049,95401

149146 151670 154195 156723

2521 2524 2525 2528

610000 620 000 630 000 640 000

610935,57016 620982,41499 631030,80177 641080,75578

[31.] [Berechnung der Länge und Breite aus den ebenen Coordinaten.]

Ist

p = q — Asin^,

BD wird [für hyperbolische Logarithmen]

logtang^j? = logtangly — A-— ^^ÄAcosy

— i Ä' (2 — sin ^*) — yV A^ cos y (6 — sin j*) . . . .

Ist

80 wird

h = acos j' + ^cosSy + ccos 5y + dcos7 5^ + ...,

logtangi;? = logtangiy

-co^q (a + ifla + iafc + ifcfc + Hö' + iVööfc + TVA«^-.)

— cos3y(fe4-+aa-f iafe + iac+A«' + -iVö«* + TWr«*--.)

— cos5^(c + iafc+ife6+^ac+Vir«'+ i aah-\- ^^ a*...)

— co%lq[d-\-\hh +iac4-TV«öfr + T3VF«*.- )

etc.

[Man setze p — 90® + (o und y = 90® + (p. Zunächst erhält man, wenn man von der letzten Reihe zwischen (o und if im Art. 25 ausgeht:]

a = -4/-/--io/-*-fr+T"

6 =

C =■

d =

_ 68 /.« _ 8253 /.8

15/ Af. f '"

68 /.« 8253

45 4397 ^8

etc.

192 NACHLASS.

Daraus wird zuletzt abgeleitet (in unsem Zeichen) logtang(45» + ^a>) = log tang (4 5* -f i «[;)

-(^/^•...)sin7f [Nun ist für den Abplattungswerth ^^ ^^^^ nach S. 183:]

iff=^ 10496,4526992 m

4 f • = 4, 826 7681 -|-^* = 2, 883 8387 m

8

- 4-/^ = -0, 000 6948 —/•• =s 0, 007 7268 ^/^ == 0, 002 6149m

-182/*= -0,0000242 104/* =: 0,0000191 ?|?/* = 0,0000142 i^/* = 0,000 0036 m

3 21

10499,7777388 m 2,8915836m 0,0026291m 0,0000086m

[oder] in Secunden [(im == o;;0324)]

340;'1927987 o;'0936878 0;'0000862 0;'0000001.

[Da] man hat

[tang(45« + i(^ + f/;) = ??!^±^!^ = couiy^mnx

80 wird]

logtang(45''+K^ + »y)) = log\/^|^+«arctang^.

Entspricht Q also der Polhöhe des Orts , dessen Coordinaten «, y sind, und ist X dessen Länge, so hat man

[logtang(45^ + iÖ) + a = log tang (4 5^ + |(x + ty))

— X) sin (o? + *y ) — ^ 8™ 3 (.r + ty ) — J" sin 5 ( j? -|- V) • • • f

wo X), £, F, ... die Coefficienten der Reihe für logtang(45"4-+«>) 8™d. Sind D, £, -F, . . . in Secunden gegeben, so ist mithin, p = t^ttt gesetzt, und für briggische Logarithmen, deren Modul k sei:

A = — arctanff-: — - — XI cos j? — r-^ — jcrcoso^ — ^-^ — •••

p ^ t CO! X t %

logtang(45"'+iQ) = log^ ^^^-kp{DHmxcoBiy + EsmZxcoBZiy + ...).

CONFORME ABBILDUNO DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 193

Mit den angegebenen Werthen für X), iS, JF, • . . erhält man daher :]

X = iarctang-?^^~340;i92 7987co8« ^Ä

— 0^093 6873 cos 3«5E|!y

— 0^000 0852 cos 5 J? 5^

— 0^000 0001 cos 7a?5^J^ etc.

— 0,000 716 2824 sin a? COS iy

— 0,000 000 1973 sin SiTcosSiy

— 0,000 000 0002 sin 5a? cos 5ty

etc.

[Vermittelst der Tabelle auf S. 184 ergibt sich dann zu Q das zuge- hörige 0.]

[32.]

[Die Darstellung der Oberfläche des Sphäroids in der Ebene wird] durch folgende zwei Formeln ausgedruckt:

1) cotangi;,(l^^f .(cosX + isinX) = cotang4-P(i^£^*'

2) ^+iy== f -'^-"%,

J (l-eecoBP*)^

WO a und a^{l—ee) die beiden Halbaxen des Ellipsoids sind [und p = 90^—^ gesetzt ist. Setzt man

cotangi|?([-^^) =cotangij

und]

cotang 4" y (cos X 4" * sin X) = cotangn|^Q, [sowie]

IX. 25

194 NACHLASS. CONFORME ABBILDUNO DES 8PHAROID6 IN DEB EBENE.

[so wird]

taiig4-jr(co8X — tsinX) = tang 4- (iJ-f »'8^) taiigiy(co8X4-»8inX) = taxig^{R — i8).

[Hieraus folgt:

* T% • • rm

2 tanfi: 4- 6f COS X = -7 — „-i =^t» — 2ttang4-flfsinX = --, — ^-^ rö-i

1 -tangig =t(eo.ü + co.<g)' l+tangig == ^^—^-p—^;

mithin]

tangtS = - i + tong^y = -»Mi^^su^? [oder]

8 = 4^ log, . . , . •

BEMERKUNGEN.

Eine zusammenh&ngende Darstellung der conformen Abbildung dei SphftroidB in der Ebene, die ali FrojeetionBmethode der hannoverschen Oradmessung und Landesvermessung diente, hat sich im Nachlass sieht gefunden. Die vorstehenden Entwiokelungen sind mit Hülfe der Aufzeichnungen in zwei Handbüchern und einer Reihe einzelner Blätter, die vielleicht von Gauss als Rechenpapiere bei der Ableitung seiner Fonneln benutzt wurden, zusammengestellt worden.

Das Handbuch: »Den astronomischen Wissenschaften gewidmet« enthält die Formeln zur Berech- nung der geographischen Coordinaten, der Meridianconvergenz und des Vergrösserungsverhältnisses aus den ebenen rechtwinkligen Coordinaten. Direct entnommen sind ihm die Artikel [4], [9], [lo], [ii], femer die Artikel über die Azimuthreduction [is] mit der Tabelle für log 9, [16], [17] und die über die Transformation der Coordinaten [I8], [19], [20]. Aus verschiedenen Stellen dieses Handbuches sind die Artikel [7], [13] und [14] zusammengesetzt.

Ein zweites Handbuch mit dem Titel: »Kleine Aufsätze aus verschiedenen Theilen der Mathematik« lieferte die Artikel [5], [26], [27] imd [31]; für [27] wurde ausserdem noch ein einzelnes Blatt benutzt.

Die Artikel [ij, [2], [6], [8j, [2lj und [22] sind nach Au&eichnungen des ersten Handbuches und denen einzelner Blätter zusammengestellt worden.

Einzelnen Blättern entnommen sind [3] mit der dazu gehörigen Tabelle, [12], [23], [29] und [32], so- wie die zweite Tabelle zu [16], die hier vollständig mitgetheilt ist, weil keine andere, auf einem anSem Ab- plattungswerth als 1:302,68 beruhende, dafür vorhanden ist. Diese Tabelle befindet sich in einem be- sondern Heftchen. Die Bezeichnungen der einzelnen Columnen sind hier, wie auch bei der ersten Tabelle zu [15], zugefügt worden; Gauss hatte über die erste Columne geschrieben: Corrige —26,264, was, wie be- reits erwähnt ist, einer Verkleinerung der Ausgangsbreite um o;'85 entspricht. Die Tabelle zu [2s], von der vorstehend nur ein Auszug gegeben ist — sie erstreckt sich im Original von <|;=5000000mbis<|/^6500000m — und die Tabelle unter [30] befinden sich auf demselben Blatte.

Die Artikel [24], [25] und [28] endlich sind nach Aufzeichnungen auf verschiedenen Blättern zu- sammengesetzt.

In den einzelnen Artikeln ist eine Anzahl von Änderungen vorgenommen worden. Bei [2] : An Stelle der letzten Formel für c hat Gauss auf einem einzelnen Blatte

•V • (1 — «csin9*)»tane» i , • . * ») .

c = Xsin<p-^ /^ ' ^^ i-ee + ce;3 + «e}cos©« + 4«*coS9* y*.

^ 6a*(i — ee)* * i v 1 ; t 1 t j y

» [4]: Bei der Formel ftir c fehlt bei ihm im Ausdruck für loghyp C das Glied

. 1 — cesincp*

aa ^^

■ [7] : An Stelle der ersten Formel steht im Original

iV+flogConv. = logf'{£)-logf'(a: + fy), N = logn,

was aber wohl nur ein Schreibfehler ist.

25*

196

BEMERKUNGEN.

i [8] : Die letite Formel, die sich auf einem einxelnen Blatte befindet, heiMt dort

wm ■ - ■ 1 ^^ "^^^

yy+

y"-

ta'^'^ ' 14a*

• [9]: In der Formel fOr logn fehlt bei Gauss im Coeffieienten von y* daa Glied y^jF^.

• [11]: Im Original steht an Stelle der angegebenen Formeln ftlr x und y:

y = aX-i(a«r + «ßp)X«.

» [12]: Der Factor von y* in der Formel fOr ( lautet auf einem Zettel, der mit andern bei Gauss Tode auf seinem Schreibtische lag,

A«l + T*T«JPi -TiT«i«iTi + A«! Pi Pi + VrPiTi -tKOi^ +TH«r m [1 3] : In dem Ausdrucke für gT (F) und entsprechend in der ersten Formel für y bei dem Factor von X', S. 157, lautet der Werth in der Klammer im Original:

(1 — 10 cc + (14 — 67 8) c* H ) ,

während es heissen muss, wie vom angegeben ist:

(l — 10CC+(14 — 68 8)c*H ).

m [16]: An Stelle von logS = 7,317 8fl48 — 30 hat Gauss: logS *= 7,317 8148 — so; infolge dessen sind in der zweiten Tabelle des Art. [16], S. isi und lei, die Werthe für logß um eine Einheit der letsten Stelle su erhöhen.

» [16]: Der Coefficient von JR' in der Formel für — n^sin^, S. 164, lautet im Original

tktr

a'b

a'* aaa'

14-^ 24iV • 4SNN "^ 2ANN

Gauss schreibt in der Formel für logn*, S. 166 oben, die Glieder zweiter Dimension

— Cxx — lDxy — Eyy\ dazu passt aber die folgende Entwickelung nicht. » [17]: Für r, S. 168, ist im Original angegeben

dem zufolge lautet weiter die Differentialgleichung für <p

(l + (l« + «'«')ÄÄ + (6«u-l«* + lt'u')Ä»...)

dB

e^

+ (-|««'Ä-(l«u' + Ku + i«'«*)ÄÄ...)^ = 0, woraus sich dann ergibt:

• [10] : Gauss hat in der Formel fOr x + ^ un Factor von oi

1-4(1 +«)yy+(A-««-vny*....

» [23]: Im Original heisst der Coefficient von y* in der Formel für a;, S. 176,

1862lS*-j- 48826^*+ 481608*-f 212885^ + 36488*

2836 '

und dem entsprechend der Coefficient von y** in der Formel für aso?:

8163068*+ 831840S»4- 8222178*-f 863788^ + 606288*

14176 *'

J

CONFOBME ABBILDUNG DES 8PHÄR0IDS IN DEE EBENE. 197

In der darauf folgenden Formel für l — a;« hat daa Original als Coefficienten von y^ :

70298^+ lgl828*+21674R*-f 5798^+8925*

315

Bei [14]: Der Factor von sin 9* cos 9 in der zweiten Formel fOr «j;, S. 177 oben, heisst im Original: Als Ausdruck ftir sin 9 cos 9, S. 177, gibt Gauss an:

/ . . A. . 12««+25C*+89C* , 65e*+258e* ^ ^46 . .\

sin u> COS <ttfi +«« + «•+«• ^ — yy + — -j^ ^ TT^J*

Die Formel für 4», durch co ausgedrQckt, S. 177 unten, lautet im Original:

/l 13 . , 178 , , 29029 . \ ^ ^ \8 192 1024 368640 /

/47 . 293 , , 1220619 . \ \768 3840 884736 /

/ 970 . 4124089 . \

4- sm 6 tt) c' er ...]

' \15360 10321920 / / 12895751 . \

— Sin 8 tt) er...].

\123863040 /

Bei Gauss heisst der Factor von ~ sin 2 9 in der letzten Formel, die u) als Function von 9 liefert,

S. 178,

> [26]: Im Original steht an Stelle der ersten beiden Zeilen im Ausdruck fOr log cos 9: *

1 11-^^ .«r* *10>r. 17559^,

log cos <P = log cos ^ — 6// — 63/^* f* / • . .

8 2

+ (6/'/'+42/'*+^/'« + "00r-...)coS2f

* [28]: Gauss hat in der Formel, die <|/ als Function von oi darstellt, S. 183,

4,800 0528Bin4a>

an Stelle von 4, 700 0528 sin 4«),

und dem entsprechend in der Rechnung bei [29], S. 188, log£ = 0,6812460 an Stelle von log£ = 0,672 1028. Dadurch wird bei ihm der Werth von y, S. 188, um 0,007m kleiner als vom angegeben ist. Der bei den Entwickelungen unter [28] benutzte Werth

, 2.10*--

log ff= 3,4189411.808,

IC

der auch der Tabelle, S. 184, die deif Übergang von <|; zu 9 und cd vermittelt, zu Grunde liegt, ist

wahrscheinlich durch einen Schreibfehler bei Gauss entstanden. Auf einem einzelnen Blatte ist nem-

2 1 o'^ lieh dem eben angegebenen Werthe von log— ^ ff beigefilgt: n = 302,78. Das trifft aber nicht

7C

KU, sondern zu diesem Werthe der Abplattung gehört

2 10' log-^ ff= 3,41894*1. 808.

198 BEMERKUNGEN.

Bei [31;-. In der zweiten Formel fOr logUngfp. S. l»i, iteht im Original:

im Coeffietenten von — cotg an Stelle Ton H^ • H^ » » » — coasg » • » ^o» : j^a*

» ■ » — coiftj • » » ^o* : ^a*.

Infolge denen heiiat et bei Gauss: logtang45»+l«: = logtang45»+14» -Lff^Ar + ^r-2tr^^^m^

Als muneriiche Werthe der Coeffieienten dieser Reihe gibt Gauss an:

10494,764 2962m; 2.H<t(i %91 319Sm ; 0,002 927 170 3<>0m; 0,000 003 499 1 70 OSm;

340^0310112; or»^3 600 07S 75; o/uOO 094 840 32 ; o;'000 000 HS 373 11 ;

und all Schluaiformeln : ■iniy

X = arctang

fCOfX

— J40;'031 0112COfX r-=^— 0;'093«001CO8 3« ^— OJ'oOO 0949 CO« 5« r-^ — O/ooO 0001 CO« 7« r-^ ,

« • f t

logtang 45»+iQ; = logv^ . . —

e D "'cofiy — «in«

— 0,000 715 9403 nnxcofty— 0,000 000 i97i iin3xcoa3ty~ 0,000 000 0002 sin 5xeo8 5ty. Bei [32]: Im Auadruek filr S, S. 194, fehlt im Original der Factor ^.

Zu den Formeln selbst möge noch folgendes bemerkt werden.

Die Orundformeki der QAUSsschen Entwickelung, Art. [1], erhält man, indem man die Ebene con- form auf das Sphfiroid überträgt. Die Aufgabe ist also die Umkehrung der im Art. 12 der »Allgemeinen Auflösung der Aufgabe: Die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzu-- büden, das« die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird«, Bd. IV, S. 205 u. f., behandelten Übertragung. Es tritt aber hier die Bedingung hinzu, dass die Strecken auf der Abscissenaxe in der Ebene den entsprechenden Bögen eines bestimmten Meridians, des Hauptmeridians, gleich sein sollen. Sind Xf y die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes in der Ebene, <I>, X die geographischen Coordinaten de« entsprechenden Punktes auf dem Sphäroid, so ist im Anschluss an Art. 12:

CD = dx^ + dy",

und die Differentialgleichung tu = 0 gibt JC + ty = const. Femer ist

,1— eesmV*/ 1— eesm<I>'

1 — 6esin<I>' (\ 1 — eesin<I>* cos<I>/ {'

die Differentialgleichung fi = 0 ergabt mithin

^"■** dO±tdX = o,

(1 — eesiniP*, cosO

r

CONFORME ABBILDUNG DES 8FHAR0IDS IN DER EBENE. 199

oder wenn

1) (i-e<im»»)co«4> _ q,^^

1 ~~ vC

gesetzt wird,

deren Integral

±tdX = 0,

ei<D)

dO

g^ ± A = eonit.,

oder

'^ ^^^' =/l|] = i<>g^yp^(**^+i^)+i«ioghypi-p||^

F {0) ± f X = coMt.

getetzt:

ift.

Zu der Breite ^ loU der Meiidianbogen 6 gehören, vom Äquator ab gerechnet, lo daai also auch

dO

3) F{a>) = f(?) = J.

iit.

Bedeutet gf eine wiUkürliehe Function, so wird mithin die Ebene conform auf das Ellipsoid aber- tragen durch die Gleichung

f(6)+fX = 8f{aj + fy).

Nun soU aber jede Strecke auf der Abscissenaxe gleich dem entsprechenden Meridianbogen sein. Für X = 0 muss also i = x und y = O sein ; folglich wird

m = 5(aj). Mithin lautet die Übertragungsgleichung:

4) m + f X = F (0) -h f X = f (Ä + f y).

Die Ableitung der Formeln für das Vergrösserungsverhaltniss, Art. [6] bis [lo], kann wie folgt ge- schehen.

Da

d^ (1— e«)dO

df(6) =

f (B =

e;<I>) cos<D[i-cesin<D«)

1 — ee (1 — ««sin4>*}* v^(i — «esinO')

cosOli — eesin«!)») o(i — ec) acos<I> '

wobei i mit 0 wächst, also nach Norden positiv angenommen ist, so wird

i- = ^ = / i Y(df(£))« + dX' ^ / 1 yd(f:e + *X) d(f6)-tX) nn u) if'(?]j da;* + dy' \f'{?)/ d(a: + fy) ' d(a:-fy)

Führt man die Meridianconvergenz c ein, so ist zunächst tang c = — j^ > ^^ a^ "^^^ ^^' Gleichung X = eonst. erhalten wird; mithin ist

K

BEMERKUNGEN.

m^iM.

l

. m-Q'

m

•'"••" m '

1 8X

ST

= lf';e^««c = K

=. ~f'{Slime = 0.

Einfacher ergeben lieh dieie Foimeln, wenn nuui bedenkt, dmH in der Ebene (voniugeaettt dm x nuh Norden poaitiT iit und y mit X wtcbit] füi dal Bild eine* ElemenM dei FaraUelkroH« :

j-dX = fTF^X = dxÜDe + djroM«

iat

Ai» 1] «hiH man:

■' »^ = (f^)"+(Ä)'-

Vermittelit dieier Foimel hat Oaübb in [e] du Vergröueningfrerhlltniii berechnet. Man hüte dawelbe noch etwas leichter durah die aue s) eich ergebende Formel

erhalten. Direct findet mui dieee Formel, mdem man (Di da« Bild einei Element« des Meridian« anieM: H.o(i -<el_ j^, ^ ^^g ^ da!co«c-dy»inc.

v';i

-..«.«■l

worau* folgt

«! - leo.c

Nach 1

) iit ferner

1 c9f(E)j_,8X]

od«

f ;. + <»!

oder wenn

logn =- N geietit wird,

6) N-io = log!':i]-\0g{'[x + iy].

Den hieraui folgenden Werth

ff = log f (6) - Pari Real, log f ' [x + iy)

erhält mui auch lofoit am der luent angegebenen Formel auf der vorigen Srite. Nach dieiar wird

^^ r^e

)j\i'{x + iv)V{x-iy)\' Wird die Gleichung &) tweimal nach x und y dlfFerentUit, «o findet man w^en «), wenn i

CONFORME ABBILDUNG DES SFHAB0ID8 IN DER EBENE. 201

aoBserdem berücksichtigt, dasg

ddm , dem) ^ .

ist:

und

wo

ift.

'^ da^ "^ öy« nn (f (6)« nn 6(5) '

n/t. _ J «C08<'^

Da hienach ö';£) = -sinO und ö"© = -cosO»^ gesm^ j j^ ^ ^^^^^

a(i — ee)

^ a(i-ee) ^, ^ a

v/(i -ce sin <!)•)•' v^(i — eesinO")'

80 wird

döN , ddN

ÖÄ* öy* rr'nn

Vcrgl. Band Vm, S. 385.

Zu der in den Art. [15] und [16] gegebenen Azimuthreduction ist noch folgendes zu bemerken (vergl. den Brief an Schumacher yom 2&. Junius I83i). Gauss versteht unter dem Azimuth in piano des Punktes o^ , y, im Pimkte x^ , y^ den Winkel, welchen die beide Funkte yerbindende gerade Linie mit der durch rC|, y, gezogenen Parallelen zur a;-Axe bildet. Das Azimuth auf dem Sphäroid ist dagegen der Winkel, den die geodätische Linie in dem Punkte, der x^ , y^ entspricht, mit derjenigen Curve bildet, deren Darstellung in der Ebene eine Parallele zur Abscissenaze ist. Ist x nach Süden positiv, und bezeichnet im Punkte {Xiffi): T das astronomische Azimuth, t das Azimuth auf dem Sphäroid, 0 das Azimuth in piano, e die Meridianconvergenz, und ^ den Winkel, den das Bild der geodätischen Linie mit der Geraden durch (£iyi) und (o^y,) bildet, so ist

T= t-c, ö = e-<|;.

Die unter [15] aufgeführten Formeln zur Reduction des Azimuthes auf dem Sphäroid auf das Azi- muth in piano ergeben sich aus der im Art. [16], S. 166, abgeleiteten Gleichung ftlr <{;, wenn darin die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt werden. Alsdann ist

+ = T^i(a^-aj,)-lJ^.(y,-yi).

Die Coordinaten x^, y^ entsprechen dem Anfangspunkte und die Coordinaten x^, y, dem Endpunkte der geodätischen Linie. Um die Coefficienten A^ und B^ zu erhalten, ist logn als Function der Coordi- naten daizusteHen. Es sei x^ y ein beliebiger Punkt, dem auf dem EUipsoid ein Punkt mit der Breite ^ entspreche. Setzt man dann

, 1 — cesm«')

' aal— ec

26

BEMBBKUNaEN.

•^■tt, i'-a -«11«» funkt Je + x', ff + y' irt mithtn;

lo|r» = i« + r»'+-)[»Sf + iy)»'+y'sf')-lß + ---l(sf*+4y»j(' + . ..) + ■■

= "yy-Py* + "- + (Tys' )«' + |l«y-4py» + ...)y'....

AW Wt Muh [■«], 8. IflS, mit der ang^ebraeii VemMhliMigiiiig :

■* = ry». B = l«y-*py».

Kiiliilich vird für den Punkt, dMMn Coordinaten

C. +tlyi-yil = >i

■^4 = T11. Bj = Ia7|-«p7)»,

will)«! Jctit a, p, } mr Abwiiae £ i^hOren, DkiDlt «gibt dch aber fllr 4>:

-}. = [«i)-ipi)')(a^-a^)-lTii(y,-y,} odK

*) -4- = -"llat-flil + ipVla^-ail + tTlllyi-ftl.

a, iß, ij lind dlNelben Ortaaen irie a, p, 7 auf S. iss.

An 8uUe der Foimehi für die MEKCATOE«ihe Projection b« der Übartraping äst KogeUiriie in dw Kl<*r>*, Art. :iii!, 8. 18», kann man «ich auch der Formeln de»Ait.[is] bedienen, wenn man in ihnen Bas ■«tat, OfthAit lu dem Punkte «'. y' in der Ebene der Punkt 0, X auf der Kugel, lo i<t der Oleiehnng

x' + iy' = e(F[Ü]+iX), F(O)«./^ = loghypt«ig(*«* + iO),

•nUpncliMid. wenn jetrt x' nach Noiden podtiT genommen wird, und wenn unter u der Heridianbogen ttim Äi|iutftr bi« cur Breite 0 verstanden wird In s 1 0 ooo 000 •—] :

x' = »+ jrinlQ.)iX + — iinlO(«ooiO'-i)X*...

y' = rcMO.X+yOoaUooasa.X« + ^oMÖ(i-jooofO* + l*ooiQ*)X'...;

\

CONFOBlfS ABBILDUNG DES 8PHABOID8 IN DEB EBENE. 203

Für

Q = 53*13' Sj'OSftS X = 1*48'24;'7109 s» 0504;'7109

20 a« lOe 26 7,2706 ift

X 3,813 2279 992 f 6,803 8801 r 6,80388 6 0,77816

1 : 206264,8 . . . 4,685 5748 668 XX 6,907 6057 X* 3,99521 CQgQ* ... 9,55453

8,498 8028 660 ^ 9,397 9400 ^ 8,31876 0,33268

Bin2Q ... 9,981 8818 sin 2Q ... 9,98188 2,1512

3,181 3076 0,06115 1,1512

9,16088 + 1518,1250 + 0,1448

Ol = 5913075,164in x' — (ü = +1518,270 m 0?' = 5914593,434m.

r 6,803 8801 230 \ 9,22185 20 1,30103 24 1,38021

X 8,498 8028 660 f 6,80388 COiQ* 9,55453 OOS Q* 9,10906

CObQ. ..9,777 2647 719 X* 5,49641 0,85556 0,48927

5,0799477 609 C08 Q 9,77726 +1 1:120 7,02082

120211,982 COS 20... 9,45168^ — 7,1707 .f 6,80388

— 5,637 0,75108« + 3,0851 X" 2,49401

— 0,005 — 3,0856 0,48934«

y' =s + 120206,340m. 7,70805«

Zu Alt. [30] 8ei bemerkt: Die QAUSSBche Logarithmentafel (V. Zachb Monatliche Correspondenx. XXVL Band. Gotha 1812, S. 498—528) gibt

A = logn, B = log(i + i), C = log(i +n),

wo n eine potitiye Zahl bedeutet. A + B = C.

Setzt man C = 2 log lec <p = — f- » 80 wird A = 2 log tang <p , B = — 2 log lin <p ; und letzt man

B SS 2log8ec<p SS — j-f 80 wird A s — 2logtang<p, C = — 2 log sin <p. Damit findet man die angege-

^® ginty , sind'* benen Werthe ftr log — r-^ = log - — ^ •

® f ® 2coß4'

Die bdden Formehi unter [32] erhftlt man wie folgt.

Betst man 0 s 90*— |i, 8o iit nach 2) und 3), S. 199, wenn der Anfangspunkt der Coordinaten einem bestimmten Punkte des Hauptmeridians entspricht:

0 f(e = logh^(cotangf(i^l^)*)-ir.

26*

204 BEMEKKUNOEN. CONFORKE ABBILDUNO DES BFHÄBOID8 IN DBB EBENE.

wo K der 'Weith dei Logarithnraa fOr den Auftngapnnkt iit ; tlio wird

m + i^ - loghypjwwngf (i^J^) .(«).X + iimM| -ä;

Dab« in E auch die Ltnge de* Meridianbogeu vom Anfangipunkte bU mr Brnte ta*~p, der ebenio wie die Abariiaen, naeb Baden poiitiv geiihlt werden aoU; mithin

edp_

Setit man nun

s) eotang —

nP) 2 \l+ecoipf

wobei filr X = B; P = p, sowie y » o und x — E i«, lo wird wegen f;E;+*'^ = f(« + »'y):

folglioh muM der Gleichung 1} entsprechend :

Die Entwickeluogen lu den Artikeln [l] — [ii»], [lij und [11] und wabr«oheinlioh in der Zöt twiwhen ISIS und IBIO entstanden, wKhrend die Qbiigen Artikel aus den Jaltien igis — ISIT lu stAmnien scheinen.

BRIEFWECHSEL.

[Über die Formeln für die hannoversche Landesvermessung.]

Gauss an Schumacher. Göttingen, 18. April 1830.

Es scheint mir bei Ihren Messungen, insofern Sie sich auf Eine

der beiden in meinem frühem Briefe erörterten Methoden beschränken wollen, am angemessensten, wenn Sie Ihre Resultate für die Lage der einzelnen Punkte in der Coordinaten-Form berechnen, aus welchen Sie nachher far alle Punkte, für welche Sie es nöthig finden, die Längen und Breiten berechnen können. Bei diesem Gange bedarf es nur weniger und compendieuser Hülfs- tafeln: in der That können alle dann nöthigen Hülfstafeln auf Einer Octav- Seite Platz finden. Auch ist das Characteristische dann sehr leicht zu lernen. Es wird unter zwei Capitel kommen.

I. Modificationen, welche die Berechnimg der Coordinaten deshalb er- halten muss , weil die Oberfläche der Erde kein Planum ist. Dies erfordert eine kleine Abhandlung, und die Ausführung eine kleine Hülfstafel.

II. Methode, um aus den gegebenen Coordinaten eines Punkts zu be- rechnen: 1) dessen Länge, 2) dessen Breite, 3) die Richtung seines Meridians im Coordinatensystem.

Dies wird eine zweite Abhandlung und mehrere kleine Hülfstafeln erfordern. Heute will ich mit diesem Capitel den Anfang machen.

Abstand eines Punktes vom Äquator, nicht in Toisen oder anderm ähn- lichen Maass, sondern durch ^5 ööTeö' 90 eo 60 ^^® ganzen Erdquadranten ge- messen, bezeichne ich durch ^\ desselben Punkts Breite durch 9. Eine Auf- gabe ist nun, <p aus ^ zu finden.

206

BRIEFWECHSEL.

Ich Yemchte dies durch eine Tafel, die mit dem Argument ^ soglei ^ — ^ gibt. Ich habe diese Tafel mit Schmidts neuester Abplattung von 51^ bis 56^ berechnet und theile Ihnen solche hier mit.

297,782

^

9-4»

51" 0'

8' 28"78

10

28,14

20

27,47

30

26,79

40

26,10

50

25,38

52 0

8 24,65

10

23,90

20

23,13

30

22,35

40

21,55

50

20,73

53 0

8 19,90

10

19,05

20

18,t8

30

17,30

40

16,40

50

15,48

54 0

8 14,54

'l'

9 ^

54« 0'

8' 14^54

10

13,59

20

12,63

30

11,64

40

10,64

50

9,62

55 0

8 8,59

10

7,54

20

6,47

30

5,39

40

4,29

50

3,17

56 0

8 2,04

Wollen Sie diese Tafel weiter ausdehnen, oder auf mehr Decimalstellen berechnen, so dient dazu folgende Formel:

(p = (|;+ 520^463 33648in2(j^ + 0,766 0757 sin 4 ^p + 0,001 5444sin6^ + 0,000 0035 sin 8 (p.

Wie man das ^ für irgend einen Pimkt im Hauptmeridian aus dessen s und dem Werthe von ^p, welcher dem Anfangspunkte entspricht, 4'*» findet, bedarf keiner Anleitung, da dies auf einer einfachen Eegel de tri beruht.

ÜBEB DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESTERMESSUNG. 207

Natürlich ist diese Torgängige Rechnung nach der Wahl der Lineareinheit mehr oder weniger expeditiv. Ich hahe daher (und aus andern Gründen) zu meiner Lineareinheit den 10000000. Theil des Erdquadranten gewählt, den ich Kürze halber Meter nenne, der aber von dem Metre l^gal verschieden ist. Mein Meter betragt nach Schmidts Dimensionen 443^^^29849. Ich brauche daher nur

^ = Y—010Z2A.X [= <p*— 0;00054.a?] zu setzen. Wenn Sie Toisen wählen, so müssen Sie

67008,551

schreiben.

Das 4'* können Sie, wenn 9* gegeben ist, auch vermittelst obiger Hülfc- tafel leicht indirect finden. Für Göttingen setze ich

(j^*= 51^23'20;6082,

welchem <p' = 5 1 ® 3 1 ' 4 7;'8 5 entspricht.

Ist also z. B. x = —115163,725 Toisen, so wird

(p= 51^23' 20';6082 + 2 1 12,4074 = 53 24 33,02

Aus der Tafel findet man hiemit:

<p = 53® 32' 50^80.

Dies ist die Breite Ihres Meridiankreises, wenn sie aus der Breite des meinigen mit ScHMmxs Erddimensionen abgeleitet wird.

Dies weicht von meiner astronomischen Bestimmung um 5^53 ab, welche 5^53 die Summe der Unregelmässigkeiten der Erdfigur in Göttingen und Altena (eigentlich richtiger die algebraische Differenz) sind. Der Breite 53® 32' 455^27 würde entsprechen ^ = 53®24'27'^48, und wenn man daher jenen Unterschied gleich vertheilen wollte, so könnte man auch setzen:

für Göttingen: ^ = 51^23' 17;:84 für Altena: ^ = 53 24 30,25.

208 BRIEFWECHSEL.

Was nun die Hauptaufgabe betrifft, so bezeichne ich die gegebenen Co- ordinaten [mit] x^ y\ die (nach obiger Vorschrift berechnete) Breite desjenigen Punkts, dessen Coordinaten x und 0 sind, mit f ; die gesuchte Länge mit \ (vom Hauptmeridian gerechnet}; die gesuchte Breite mit 0; den Winkel, welchen der Meridian des Orts mit der Linie gleicher y macht idie Conver- genz der Meridiane , mit c.

Es lassen sich dann diese drei Grössen durch Reihen von folgender Form ausdrücken :

X = ay — ß/ + T[j^ — etc.

0= (p-a>y + ßy-7y + etc.

c=a>-ßy + -rV-etc.,

wo die Coefficienten a, a', a", ß, etc. von 9 abhängig sind. Man hat jedoch nie nöthig über y^ hinauszugehen in den Fallen, auf welche ich den Ge- brauch der Coordinatenmethode beschränke, imd in dieser Voraussetzung finde ich es vortheilhafter, die Form der Reihen etwas abzuändern. Ich setze nem- lich ay = /, und mache dann :

X

=

A

<t>

—

9

B

c

C

5

wo Af B, C nur sehr wenig grösser sein werden als l. Die briggischen Lo- garithmen werden nun schlechthin zu setzen sein:

log^ = i>/; logB = Ell log C = Ell,

WO D, JE, F Functionen von cp sind, z. B. D = ^^ wenn k der Modulus der briggischen Logarithmen ist, oder wenn man logA gleich in Einheiten der

10' Hk

siebenten Decimale ausgedrückt verlangt, D = -'/- (so ist's in meiner unten copirten Tafel zu verstehen).

Man bedarf also nur noch einer zweiten Hülfstafel, die man so ein- richten könnte, dass sie mit dem Argument <p angäbe die Logarithmen von a, a', a", D, E imd -F. Es ist aber vortheilhafter, auch hier eine kleine Ab-

Ober die Formeln fCr die hannoyersche Landesvermessung. 209

anderuBg zu treffen. £s ist nemlich, die Excentricität = e, den Halbmesser des Erdäquators = a gesetzt,

a =v^(Ll^li5^. 206265

acoif

a' = i^-"^f)*-^^fSf. 206265 2aa(l — ee)

n v^{l — eegin®*)

a

tang9. 206265.

Ich schreibe daher:

206266 V (1 — e e sin y*) p

a

206265.(1 -ee sin y«)* _ „

2aa(I-ee) ~ '

und nehme in meine Tafel statt der Logarithmen von a, a', a" diejenigen von G und H auf; auf diese Weise erspare ich theils Eine Columne, theils er- halte ich den Vortheil, dass die Werthe dieser Logarithmen sich sehr lang- sam ändern, und ich daher in der Tafel das Argument f nur von 10 zu 10 Minuten wachsen zu lassen brauche, während eine Tafel fiir loga, etc. selbst einen imerträglich grossen Umfang haben miisste, wenn sie bequem sein sollte. Die ganze Rechnung beruht daher auf den Formeln [^^j]

1) i=-^,

/ cos y

2) log^ = DU

3) log£ = Ell

4) logC = FW;

5) X=l

6) <b = <f-?yy^

7) c = ^^^-

Diese Tafel habe ich von 9 = 51" bis ^ = 55° berechnet und theile Ihnen solche mit, wobei jedoch zu bemerken ist, dass, wenn Sie eine andere Lineareinheit wählen, z. B. Toisen, Ihr log Cr um den Logarithmen des Yer- hältnisses (um log 443 29349) grösser sein muss als der meinige, und Ihr logjBT um das doppelte grösser. Wollen Sie etwa kiinftig die Tafel auch weiter

[*) VergL Art. 3, S. 148j

27

210

BRIEFWECHSEL.

ausdehnen, so werde ich Ihnen gern die Formeln für D, E und F mittheilen (für G und H sind sie schon oben angegeben).

Zur Erläuterung setze ich die Berechnung eines Beispiels her, und zwar doppelt, einmal in DELAMBREscher Breite, das andere Mal in der Gestalt, wie ich selbst die Rechnung zu schreiben pflege, wobei alles überflüssige wegge- lassen wird

Zweite Hülfstafel.

9

logG

logH

logD

logE

logF

— 10

10

— 10

— 10

— 10

51» 0'

8,508 9341

1,403 5727

5,43626

5,50708

5,53135

10

299

561

703

643

36

20

258

395

779

578

36

30

216

229

855

513

37

40

175

1,403 5063

5,43931

448

38

50

133

1,403 4898

5,44006

383

38

52 0

8,508 9092

1,403 4733

5,44082

5,50317

5,53139

10

051

568

157

252

40

20

8,508 9010

403

231

187

40

30

8,508 8969

239

306

122

41

40

928

1,403 4074

380

5,50057

4t

50

887

1,403 3910

454

5,49992

42

53 0

8,508 8846

1,403 3747

5,44528

5,49927

5,53143

10

805

583

602

862

43

20

764

420

675

797

44

30

723

257

748

732

44

40

683

1,403 3095

821

667

45

50

642

1,403 2932

894

602

46

54 0

8,508 8602

1,403 2770

5,44966

5,49537

5,53146

10

561

609

5,45038

472

47

20

521

447

110

407

47

30

481

286

182

342

48

40

440

1,4032125

253

278

48

50

400

1,403 1965

324

213

49

55 0

8,508 8360

1,403 1805

5,45395

5,49148

5,53149

Anmerkung. Bei früher von mir mitgetheilten Coordinaten ist die Ein- heit i ooo'oinnr des Erdquadranten nach Walbecks Dimensionen ; um jene also in solche zu verwandeln, bei denen die Einheit t o ft o^o o o o ^^s Erdquadranten nach Schmidts neuesten zum Grunde liegt, müssen jene erst mit nHiHt oder mit 1 -|- tt4-tt multiplicirt werden.

Ober die FORMELN für die hannoversche LANDESVERMESSimo.

211

Breite Musterrechnung für Neuwerk.

a? = —266575,038 y = -{-95076,254

i«lt»«<^ —

133,287519 10,663 002

— ' •

— 143,950 521

0,00054<r =

2» 23' 57^03

4,.-

51 23 20,61

^ -

53 47 17,64

9-^-

8 15,73

<p =

53 55 33,37

J5rySftaiig<p

— 31,40

4>= 53" 55' 1"97

I

y 4,978 0721

G 8,508 8620—10

Gy 3,486 9341

COS9 9,769 9904—10

3,716 9437 A 0,000 0764

X 3,716 8673

\ = 5210';355 = 1°26'50;'355 .

yy 9,956 1442 '

tang9 . . . 0,137 5588

H 1,403 2842—10

1,496 9872 B 0,000 0850

1,496 9022 -Zahl = 31,398

Gjf 3,486 9341

tangcp . . . 0,137 5588

3,624 4929 C '. .. 0,000 0923

c 3,624 4006

c == 4211^149 = l"l0'll';i5

II 7,43389

D 5,44934—10

2,88323

—DU = 764

I

I

U 7,43389

E 5,49566

2,92955 ■E//= 850

II 7,43389

F 5,53146

2,96535 Fll = 923

—10

—10

27*

BRIEFWECHSEL.

Concise Masterrechnang. Neuwerk.

-266575,038 +95076,254

133,287 519 4,978 0721 7,43

10,663 002 8,508 8620 5,44934

143,950 52! 3,486 9341 5,49566

2"23'57;03 9,769 9904 5,53146

51 23 20,61 0,137 5588

9,956 1442 5210^355

1,403 2842 1*26'50;35B

3,7169437 421i;i49

— 764 l'l0'li;i5

53*55' i;97 1,496 9872

— 850

3,624 4929 — 923

Gauss an Schuhachee. Göttingen, 30. April 1830.

■ Ich fahre jetzt fort mit dem, was die Hülfetafeln betrifft; heute

nur die Formeln für die übrigen drei Columnen, die bei Berechnung derjLänge, Breite und Convergenz gebraucht werden, ich weiss aber nicht,"ob ich^siejn meinem vorigen Briefe mit D, E und JF* bezeichnet habe.

Zahlen, deren Logarithmen angesetzt werden:

Lange [D =] ä(4 — ico8 2(p + ^rj^coß9*)

Breite ....[£ H M* + liSj^°«<P'+2(r^<=°«?*-(i^<^°«9') Convergenz [F =] A(i — y^T^cosip*- ^j^^coa^').

k = Modulus = 0,434 2945

Hier ist A = t

logA= 5,5318128- 10.

V

ÜBER DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 213

Es ist ZU bemerken, dass diese Formeln vollständig sind, d. i. es sind keine unendliche Reihen, sondern nur diese Glieder

Um Ihr Vertrauen zu Schmidts Rechnung zu vergrössem, bemerke ich, dass er die zwei Hauptelemente der Erddimensionen viermal berechnet hat, aber nur Einmal hat er wegen Rechnungsfehlers von neuem gerechnet. Nemlich

1) Zahlen in meiner Breitenbestimmung etc.

Diese hatten einen Rechnungsfehler enthalten, den er später ver- besserte ; daher

2) die Zahlen in seiner Geographie und in Ihren A. N.

Erst später machte ich ihn aufmerksam auf die Correction der in Ost- indien gebrauchten Maassstäbe; daher die

3) Rechnung, deren Resultat in der Vorrede des Buchs.

Endlich hat er seitdem eine vierte Rechnung gemacht, nicht wegen eines Rechnungsfehlers, sondern um die ihm erst nachher bekannt ge- wordenen Resultate von Struves Grradmessung mit unter die Data au&unehmen. Das Resultat

4) ist mir von ihm handschriftlich mitgetheilt und dasselbe, was meinen neuen Hülfstafeln zum Grunde liegt, nemlich

Abplattung = ^; ^rdg^ _ 57008J551.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 17. Mai 1831.

Es gibt mehrere Wege, um aus den Breiten xmd Längen die

Coordinaten zu berechnen, die, jeder an seiner Stelle, ihre eigenthümlichen Vorzüge haben; für den Fall, wozu Sie solcher Rechnungen bedürfen, ist es am bequemsten, sich der Reihen zu bedienen, die dann so schnell convergiren, dass sehr wenige Glieder hinreichen.

Entsprechen die Coordinaten x^y der Breite 9 xmd Länge X, so ist die

Form diese [*)]:

x = A — A'W - A^V^ - etc.

y = £X-h5'X* + etc.,

[♦) Vergl. Art. 18, S. 168.]

214 BRIEFWECHSEL.

WO Ä^ A\ A!\ etc.; 5, B\ etc. Functionen von 9 sind, deren numerische Werthe man für diejenigen runden Grade (oder halben Grade etc.) zu be- rechnen hat, welche innerhalb der Karte vorkommen.

Zur Berechnung von A bedürfen Sie meiner Anleitung nicht, da sie lediglich von der Rectification eines elliptischen Bogens abhängt. Ist nem- lieh 9* die Polhöhe desjenigen Orts, von wo an man die Coordinaten x süd- lieh zählt; v^ dessen wirkliche Distanz vom Äquator und u indefinite die Äquatordistanz des FaraUelkreises f (beide, ti, ti*, in derjenigen Einheit ausge- druckt, die man für die Coordinaten gewählt hat), so ist -4 = ti* — «. Sie können dazu auch eine Ihnen schon firüher mitgetheilte Hülfstafel benutzen [*)]. Die Werthe der andern Coef&cienten können Sie nach folgenden Formeln berechnen, die absolut genau sind.

A! =

aBC

2p

6(1 — ee)p^ • '

Wobei folgendes zu bemerken ist.

Es bedeuten:

..

a den Halbmesser des Äquators, e die Excentricität ;

c = cos 9

^ = sin 9 \ Kürze halber ;

jp= Y^(l —eess)

femer ist für X der Bogen 57® 17' 4 5" als Einheit angenommen: will man also etwa zuletzt die Coordinaten von Grad zu Grad for X berechnen, so wird

/• . 1 3600

man wohl thun, gleich anfangs dem Coefncienten B den Factor gygöe ^^ 206265 = -^ beizufügen und ebenso die Coefficienten A\ B\ A" sogleich mit der

180

zweiten, dritten, vierten Potenz von r^ zu multipliciren.

Die Formeln fallen etwas einfacher aus, wenn man ^j = m setzt und

jene danach umschmelzt. In dieser Form habe ich sie selbst zu meinen

[♦) Seite JO«.]

ijBER DIE FORMELN FÖR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 215

Rechnungen angewandt, allein nicht aufgehoben [*)] ; ich überlasse also die sehr kleine Arbeit jener Umformung Ihnen selbst. Indem ich 9'= 5l"3l'47^'85 annehme, fiir die Abplattung Herrn Schmidts letzte Bestimmung zum Grunde lege und zur Lineareinheit den 10000000. Theil des Erdquadranten in dieser Gestalt wähle, finde ich, X = n Grad gesetzt :

a?= y =

+ 58947,1— 475,95w» — 0,0167n* 701 80,0n— 0,737n*

— 52287,0 — 472,16nn—0,0154n^ 68660,7n— 0,840n'

— 163539,8 — 467,79nn— 0,0 140 n^ 67120,2n— 0,936n*

— 274811,2 — 462,85 wn — 0,01 27n^ 65559,1 n— 1,026»*

— 386100,9 — 457,34nn— 0,011 4n* 63977,8n— 1,109»*.

<p

51»

52»

53»

54»

55»

Gauss an Schumacher. Göttingen, 25. Junius 1831.

Was die Berechnung der Coordinaten betrifft, so kommt es auf

zwei Aufgaben an, nemlich:

1) Aus der wirklichen Länge JK einer kürzesten Linie auf dem Sphäroid, deren Endpunkte in der Darstellung resp. die Coordinaten .r, y; x\y' haben, die Entfernung [in] der Darstellung, d. i. die Grösse r = V((*^'""'^)* + (y'~y)*) zu finden. Hier ist die Auflösung der umgekehrten Aufgabe. Es ist fiir alle Ihre Fälle mit hinreichender Genauigkeit

ö ö 2aa{l-ec) 3

Da man dabei y und y nicht sehr genau zu kennen braucht, so ist dazu die vorläufige Berechnung der Coordinaten, die man so macht, als ob alles in piano wäre, zureichend, und so dient die Formel auch fiir die Aufgabe, r 12 aus zu finden, k ist der Modulus der briggischen Logarithmen.

Zur wirklichen Berechnung setzte ich die Formel in folgende Gestalt:

logr = logU+}a(y+y')' + ß(y-y?U. wo

a =

4.206265

= 127206266' g= 206265. 2^^ti_J,) ;

[*) Diege Formeln findet man im Art. 13, S. 157 unten.]

216 BRIEFWECHSEL.

hier ist

loga = 3,72130—10

logß = 3,24418—10.

Für q habe ich eine Hülfstafel, die bloss von x abzuhängen braucht, und die, wie ich glaube,, ich Ihnen schon einmal mitgetheilt habe[*)]. Offen- bar sind a, ß von der Maasseinheit unabhängig, aber nicht 9, wofür eine Hülfstafel nicht bloss von der Maasseinheit, sondern auch von dem Anfang der X abhängig ist. Die meinige müssten Sie also, wenn Sie eine andere Einheit und einen andern Anfangspunkt brauchen, erst transformiren.

Übrigens erhalten Sie so log r — log B als Decimalbruch ; wollen Sie den Werth gleich in Einheiten der 7. Decimale haben, so brauchen Sie nur loga = 0,72130, logß = 0,24418 anzuwenden.

2) Aus einem im Punkte P gemessenen Winkel zwischen PP' und PP' den Winkel zu finden, welcher ihm in der Darstellung correspondirt. Auch hier tritt wieder die umgekehrte Aufgabe an die Stelle.

Sphäroid Zeichnung in piano

•P .p

P\ p\

•P' of'

Es seien die Coordinaten von p^ p\ p" respective

dann ist:

P'PP' ^p'pp^-q* («' - ^) (^^)

/2i/-4-v"\ ^^^^ ^^ Gesuchte in Secunden)

Sie können für q^^ q** den Werth von q anwenden, welcher dem Argu- ment X correspondirt; wollen Sie genauer gehen, so ist für q^ das Argument ^fLtfL = x-^i{x'^x) und für q^ das Argument ?^-±^ = a + Üx^^x). Ich selbst setze immer ^^^ in die Form y + -i-(y'— y)j etc. Sie sehen, dass daim das ganze Verfahren darauf hinausläuft, erst jedem gemessenen Azimuth (von

[*) Seite 210, wo J7= 9 ist.]

ÜBER DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 217

P nach P') die Correction —q{<ß' — ^)(y + -l-(y'-~y)) beizufügen, woraus das ent- steht, was ich Azimuth in piano nenne. Unter Azimuth auf dem Sphäroid verstehe ich hier aber nicht das astronomische Azimuth, d. i. nicht den Winkel mit dem wirklichen Meridian, sondern mit einer Linie, die dem Fundamentahneridian parallel ist, oder strenger, mit einer Linie auf dem Sphä- roid, die in der Darstellung in piano eine Parallele mit der Abscissenlinie gibt.

Azimuth in piano ist also immer arctang^,"^ -

Nachdem jene Correctionen angewandt sind, so hat man mit allen Win- keln so zu rechnen, als ob alles in piano wäre, und wie dann die Coordinaten zu berechnen sind, darüber bedürfen Sie keiner Vorschriften. Offenbar ist auch für diese Rechnung eine genäherte Kenntniss von ^, y, x\ etc. hinreichend, wie man sie erhält, wenn man anfangs ohne Correction rechnet; will man alles in den O9OOI harmonisch haben, so kann man allenfalls die Rechnung, nachdem .r, y, etc. schärfer bekannt sind, retouchiren.

Übrigens sehen Sie leicht, dass die obige Rechnimg 1), d. i. Übergang von J8 auf r, nur bei Einer Linie zu machen ist (der Basis), nachher hat die Kenntniss der einzelnen Linien auf dem Sphäroid, allgemein zu reden, kein Interesse, es sei denn, dass man wieder zu einer neuen Basis gelangt, wo da der verkehrte Weg (von r nach JK) anzuwenden ist. Ohnehin ist in allen Ihren Fällen R und r immer sehr nahe gleich, jedenfalls hat der Unterschied auf das Centriren der Winkel keinen merklichen Einfluss ; in dem westlichsten Theile von Westphalen habe ich zwar Rücksicht darauf genommen, aber bloss zur Ehre der Rechnung, denn wirklich bringt es auch da nichts.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 9. December 1838.

Die verlangte Formel ist folgende [*)] :

<p = (P4-(6//+48/'* + 426/**^ + 4080/**...)sin2(p

+ (21/** + 336/'* + 4264/**...)sin4(j;

+ (^r+2416r...)8in6^ etc.

[♦) Vergl. Art. J6, 8. 17».] IX.

28

218 BRIEFWECHSEL. ÜBEB DIE FORMELN fOR DIE HANNOVERSCHE LANDESYERlfESSUNG.

Es hat mich, da ich mich seit ziemlich vielen Jahren mit diesen Dingen nicht beschäftigt habe, erst viel Suchens gekostet, bis ich die Formel wieder aufgefunden habe, und nachher neuen Suchens oder vielmehr Rechnens, um die Bedeutung des f zu ermitteln, die dem Blatt nicht beigeschrieben war. Es ist aber f =: ^e^ wo e die Excentricitat der erzeugenden Ellipse bedeutet; oder, wenn die Abplattung - ist, d. i. -: ^ = ^^^^^ so ist f = ^ **~ ■

» r & n » Durchm. d. AquatoM »• ' 4«

Ich habe dieses f deswegen gebraucht, weil, wenn ich e gebraucht hätte, sämmtliche Coef&cienten Bruche geworden wären, da sie hier grOsstentheils ganze Zahlen sind. Die numerische Rechnimg hatte ich durchgehends mit Logarithmen auf 10 Decimalen gefuhrt.

BEMERKUNGEN.

Die enten beiden und der letzte der Torttehenden Briefe und nach den im Gauü-ArehiT befindlichen Originalen abgedruckt, während für die Briefe Tom 17. Mai und SS. Juni 18S1 nach den Originalen ange- fertigt Copien benutst wurden« Im Abdruck find einige Schreib- und kleinere Rechenfehler berichtigt worden. Der Brief vom 9. December 1898 ift die Antwort auf eine Bitte Schumachers, ihm die Ab- leitung der im Briefe vom 18. April 1830 gegebenen numeriiohen Formel für f — 1|^ mitsutheilen. Die GAU880che Angabe«

f = f|i+5So;'469SS64ainSf|i etc.

enthält jedoch einen Rechenfshler, wie auch dai noch Torhandene Blatt seigt, das Gauss ^inr Rechnung benutEt hatte; et muaa heiaaen, wie S. S06 angegeben lat:

^ = t|^-f 5So;'469 9364iin2<|; etc.

Dadurch wird auch die letcte Stelle in der dort gegebenen Tabelle für ^ ~f|i unaieher; femer erhält man für Göttingen <|;* = 5l*S9'2o;'6062, S. S07, an Stelle von ...So;'60S4, wie ea im Original heiait.

Kbüoer, BöBacH.

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNa

28*

L

J

NACHLASS.

[1.]

Endresultat fiir den Ort eines Punktes in einer Ebene, der von drei bekannten

aus angeschnitten ist.

Es bedeuten 10, 20, 30 die drei beobachteten Richtungen [nach P] und a, ß, Y die entsprechenden Entfernungen.

Die drei einzehien Resultate aus den Combinationen 2 — 3, 1 — 3, 1 — 2 seien -4, jB, C, zugleich die Winkel des durch jene gebildeten Dreiecks ; die ihnen gegenüber stehenden Seiten a, b, c.

222 NACHLASS.

Perpendikel von dem gesuchten Orte auf a, 6, c seien jf, y, z. 8 doppelter Flächeninhalt des Dreiecks. Es sind dann

die übrig bleibenden Fehler, also

— h fl 5 H — Minimum und

Also werden ^, y, x proportional den Grössen aaa, ßß6, yt^>

aaa5 •T =

aaaa + ^^bb + yyee

i

etc.

[Bezeichnet {ABC) die Flache des Dreiecks ABC, u. s. f., so ist

8 = 2(il5C) = (aaaa + ßß66 + YT^c)* 2(BPC) = aaaa* 2(^PC) = ßß66Ä 2{APB) = TTCck,

wo Ar die Correlate der Bedingungsgleichung ist. P ist der durch die Perpen- dikel Xj y, z bestimmte Punkt.

Folglich wird, wenn -4, 5, C, P die complexen Grössen bedeuten, denen die Eckpunkte des Dreiecks ABC und der Punkt P entsprechen:

(aaaa+ßß66 + TTCc)P = aaaaA + ^^bbB + T^ccC]

TRIGONOMETRISCHE PüNKTBESTIMMUNG. 223

Es folgt hieraus, dass das Endresultat"^)

aaaaÄ + p^hhB + yyeeC aa aa+ fi^bb + yifec

also ein Mittel aus den drei partiellen Resultaten Aj B, C ist, indem man diesen die Gewichte

beilegt, oder

aa sin -4.*, ß ß sin B\ fT ^^ ^*-

Offenbar ist hier A zugleich der Winkel zwischen 20 und 30, u, s. f.

[2.] Bestimmung der Lage eines Punktes P* aus der Lage dreier anderer

P, P\ P", wo jener beobachtet.

-4, A\ A" beobachtete Azimuthe

[8^, 8-4', 8^'' ihre Verbesserungen]

*) £• ift nemlicli leicht nachzuweisen, dass allgemein

P{ÄBC) = Ä{BPC)+B(ÄPC) + C{ÄPB)

ist.

Weü

Q{ÄB) = A{BQ) + B(ÄQ)

ßit, wo (AB) die Strecke AB, u, b. w. bedeutet, 00 wird]

Q{ABC) = A{BQC) + B{AQC)

[und

mithin

Ba femer] ßft, 10 hat man auch

Q(ABP) = A{BQP) + B{AQP);

QiAPBC) = A(BPÖ) + B{APC), PiCQ) = Q{PC)+C{PQ)

P{ABC) = Q{APBO)+C(APB), woraui üch die suent angegebene Beziehung ergibt].

224 NACHLASS.

g^ g\ g" Gewichte [der Verbesserungen]

il + o, A'+a', il''-|-o". . . berechnete Azimuthe aus einer genäherten Lage

r, r', r" Entfernungen [nach der genäherten Lage für den

Punkt P*J.

Man setze

rsin(il'^-A') = /, /8in(^-il'0 = /', r^sint^l'-il) = T;

9 9' 9"

Dann sind die verbesserten Azimuthe:

[A'^hA' =]A'i-^

[3.]

Ausgleichung dreier Schnitte.

a-^-ibj a'-j-i6', a^^+^^'^ie Beobachtungsplätze

t^ t\ f die drei gemessenen Azimuthe

d*, d*', d*^ ihre Correctionen

8, e; 8" ihre Tangenten

X'\-iff der zu bestimmende Ort

X genäherter Werth von x

x = X+l.

Formeln.

/ F =6 +e (X-a)

1) j F' = 6' + e'(X-a')

( l^=6"+8"(X-a'^

2) r = T-» r = jr^ r = TFT

t co8t eo%V cosr'

3) / = r8m(r-0, r = r'8iii(*-0, T = r" sin (*' - /)

TRIGONOBCETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 225

^N «i mir -V f mVr' %// mV'r"

^ coBt cosr cost"

171 ist eine nach Belieben angenommene Grösse, die man am schick- lichsten so wählt, dass die kleinste der drei Zahlen X, X', X" gleich 1 wird.

( y= F+ee + Xcp

5) y=F' + e'5+^>

( y= F'+e"5 + X''<p

[sind] die Gleichungen, aus deren Combination y, 5, <p bestimmt werden.

6) |JL = 206265m<p

7) d^ = jji/, d^' = |iZ', dr = jjir.

[Die Gewichte der Beobachtungen sind hiebei einander gleich angenommen.] Man kann dieselben Formeln gebrauchen, wenn man von einem ge- näherten Werthe von y ausgeht. Es treten dann nur (ausser den sich von selbst verstehenden Vertauschungen von a mit h und von X mit F, [5 mit tq,] X mit y) an die Stelle der Tangenten und Cosinus von f, t\ f ihre Cotan- genten und Sinus, und |jl muss = — 206265m<p gesetzt werden.

Beispiel zu Fall 2. (Red. aufs Planum schon angebracht)

[ a h t ^

Hamburg —224765,616m — 2368,668m 84® 44' 59;'228

Homeburg —220411,663 +23705,056 248 7 57,643

Stade —230811,734 +30884,678 300 11 46,416

York Y = + 17377,200

e[=cotang<]. 8,963 2724 9,603 5071 9,764 8676

Y—h 4,2954762 3,8012566« 4,1305743

sin^ 9,998 1741 9,967 5708» 9,936 6685

r 4,297 3021 3,833 6858 4,193 9058

sin(f^— 0- •• 9,896 91 sin(f— f"). .. 9,763 38 sm(f' — ^).. . 9,456 33

r:sin< 4,299 1280 3,866 1150» 4,2572373

/ 4,194 21 3,597 07 3,650 24

/risin^ 8,493 34 7,463 18» 7,907 48»

2,536 82» 2,536 82» 2,536 82»

IX. 29

n »

226 NACHLAflg.

a = —224765,616 —220411,663 —230811,734

^OF— 6] = + 1814,465 — 2539,591 -f 7860,351

X = —222951,151 —222951,254 —222951,383

Otj = + 0,09189Tj -r0,40134T] — 0,58193tj

X<p = —10,7192^ +1,000009 +2,7816(p.

[Die Auflösung der Gleichungen

j? = X +6tq +X9

gibt:]

Tf] = —0,110, cp = +0,01169, a? = —222951,286m,

^... 8,06795 jf=F+7] = + 17377,090 .

— 206265m. . . 7,85125

d« = +1^298, dr' = +o;:328, d^ = +0;'371.

Man kann die obige Methode auch dahin abändern, dass man

/ = -!:- (0"- 0'), r = -^ (0 - 0'^, r = -^ (0'- 0)

setzt, wodurch noch wenigstens ein Logarithm erspart wird.

[4.] [Zur Ausgleichung dreier Schnitte.] Allgemein [seien die Fehlergleichungen]

a^ + 6^ + m = « ax -{-Vy +m' = ^' a"a? + 6> + m" = «".

a, 6, m, a\ u. s. w. gegeben ; ^, y gesucht, so dass

^g + ^V+öV = 2 ein Minimum werde. Man setze

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 227

a = 66 fn = bn

a' = 6'e' m' = Vn' «"^fe-e" m"=6"n";

(fi-iv)(e"-e')+(n'-iv)(e-e")+(n"-iv)(e'-e) = Ä,

N eine willkürliche Grösse;

ö — H ___ /» H — H ^^ /»/ H — ö _^ /»ff

[so folgt aus den Fehlergleichungen die Bedingungsgleichung :

Dann ist [wenn mit Rücksicht hierauf 2 zum Minimum gemacht wird:]

e = f9. e' = f9, e" ^fg

I) Ä

^ ~ ff+f'f'+f"f"

und

[femer erhält man aus den Fehlergleichungen:]

(e''_e')^+(n''-»') = (^-|;)^

2) (e-e>+(»-»") = (-f-P)^

Aus einer dieser Gleichungen wird x hestimmt. Endlich y aus einer der folgenden:

^ x+y + n =-J- = -f^

3) e'^+y+n =|; = tL,g

^''x-^-y + n = ^ = t^,g.

Die Vorschriften für die Ausgleichung [dreier Schnitte] können [daher] auch so dargestellt werden, [da hiebei, wie aus y — 6 = (a? — a)tang(^ + d<) folgt, die Fehlergleichungen die Form haben

F+1,-6 = (X+5-a)(tang*+,-5g^^),

29*

228 1IACHLA88.

oder tang ^ = 6 gesetzt,

1) Y=b + Q{X-a)

X-a

# #

2/ ?=«««•

3; /■=p(e'-e')

4} V = p/"

5) _Ä = '9''-e')(F-iV)+(e-e')(F-iV)+(e'-e)(F'-i^

6) y= *

^/■+ /"/■'+/■"/■"

* 7) 2)=F+v^

* 9) d*=206265/y

10) d«» + dr'* + dr*= 206265VÄ.

Die mit * bezeichneten Formeln 1), 2), 3), 4), 7), 9) gelten jede für drei. In Formel 5) ist N willkürlich; man nimmt dafür eine der Grrössen r, r, Y" an.

Aus zweien der Formeln 8) werden 6 und y bestimmt.

[5.]

[Bestimmung eines Nebenpunktes (Schessel) aus den Beobachtungen auf Haupt- dreieckspunkten (Litberg, Wilsede, Bottel, Bullerberg und Brüttendorf).]

[Es seien x^y genäherte Werthe der Coordinaten des zu bestimmenden Punktes, femer a^, b^ die Coordinaten der festen Punkte und T. die auf die Ebene reducirten Azimuthe in diesen Funkten. Setzt man

cc — a^ = r^coBt^y jf — b^=z r^sinl^ — 206265-?^^^ = a„ 206265 •^^• = 8.

r-r. • »

t^— T^ = n^.

TRIGONOMETRISCHE PÜNKTBESTIMMUNG. 229

SO haben die Fehlergleichiingen , wenn da:, dy die Verbesserungen der Nähe- mngswerthe x^y sind, die Form:

v^ == n, + Gt,- da? + ßt- dy .

Ist Pi das dazu gehörige Gewicht, so lauten mithin die Normalgleichungen :

[paa]da?-f-[paß]dy+[/)an] = 0 [pa^]dx + [p^^]dy + [p^n] = 0.]

P . Beobachtete Beductioii

L * "f ^i Azimuthe auf d. Ebene ^ J

1 Litbeig -206866,630 m + 21895,748 m 20n4'6;'ö96 — 1/622 [4/074

2 Wügede -182381,889 + 210,307 90 34 62,1 +0,008 52,108

3 Bottel -168168,341 +44014,670 222 15 49,801 +1,467 51,258

4 BuUerberg -181819,664 +35400,829 259 15 12,587 +0,075 12,662

6 Brflttendorf -193340,040 + 45266,609 306 22 9, 726 — 1, 090 8, 636]

Schessel : x = -182691,501 y = + 30807,073

Litberg Wilsede Bottel Bullerberg Brüttendorf

|> — 6.. 3,949 9425 4,485 6742 4,120 8238« 3,662 1679« 4,160 1544»

X — Oi 4,383 3688 2,490 8178« 4,162 3601« 2,940 4353« 4,027 2900

cos^. 9,972 3342 9,869 2616«

sin/.. 9,999 9778 9,992 3161« 9,905 9100«

r, 4,41 1 0346 4,485 6964 4,293 0985 3,669 8518 4,254 2444

r^r^ 8,822 0692 8,971 3928 8,586 1970 7,339 7036 8,508 4888

1 : 206265 . . 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749

r^r^: 206265. 3,507 6441 3,6569677 3,271 7719 2,0252785 3,1940637

a.. 0,442 30« 0,828 71« 0,849 05 1,636 89 0,966 09

ß, ] 0,875 72 8,833 85« 0,890 59« 0,915 16« 0,833 23

^. = 20^14^^823, 90"34'47;^151, 222M5'5i;324, 259^ 15' 13^643, 306^22' 9;'500

[ n,. = +0,749 —4,957 +0,066 + 0,981 +0,864

a^da?= — 2,769da? — 6,741d.2? +7,064dj? +43,340da? +9,249da?

ß^d^ =] + 7,511 dj^ — 0,068dy — 7,773dy — 8,225dy +6,811dy.

[Die Fehlergleichung für Wilsede hat das Gewicht p2 = -^ erhalten, den übrigen Fehlergleichimgen ist gleiches Gewicht, Pi= ^9 gegeben worden.]

230

NACHLASS.

paa, pa^ pan

7,666 — 20,798 — 2,074

1,818 + 0,018 + 1,337

P?? i»ß» P^n 56,421 +5,626 0,5610 rpaa] 3,30606

0,000 +0,014 0,9829 [pa^]

49,900 — 54,909 + 0,466 60,420 ~ 0,518 0,0044 [pan]

1878,360 —856,492 +42,617 67,658 —8,069 0,9624 ^[paa]

85,542 + 62,997 + 7,991 46,894 +5,884 0,7465

2023,286 —369,184 +50,237 230,893 +2,942 3,2572

67,363 —9,166 1,2473

[Pßß.l] [pßn.l]

2,56724« 1,70102

i

[p^n] ^[p^d]

. 0,91421« .1 0,04799

. . . 1,65308

. . . 2,21360

■■■'■"^ [^Mi-]'-

97627

163,530 + 12,108 2,0099 [pvv] J 1,1134

v/rj)ß?.l]... 1,10680

dy 8,86947,

\^ 19.26118.

h.

l

[paa] [pan] [pää]

[Die Coordinaten von Schessel sind mithin:

af= — 182691,539m y = + 30806,999 .]

[Die nach der Ausgleichung übrig bleibenden Fehler sind:]

dy-

+ 0,01351 + 0,02483

dx =

— 0,038

— 0,074.

[t,-T,= +0,749

— 4,957

+ 0,066

+ 0,981

+ 0,864

a<d«= -f- 0,1052

+ 0,2562

— 0,2684

— 1,6469

— 0,3515

ß^dy 0,5558

+ 0,0050

+ 0,5752

+ 0,6087

— 0,5040

V,

=] +0,298 I —4,696 1 +0,373 1 —0,057 | +0,009.

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 231

[6.]

Astronomische Nachrichten. Band I. Nr. 6, S. 81 — 86. 1823.

Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe

der praktischen Geometrie.

Ihrem Wunsche zufolge schicke ich Ihnen die Vorschriften zur Anwen- dung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Au%abe der praktischen Geometrie: Die Lage eines Punktes aus den an demselben gemessenen hori- zontalen Winkeln zwischen andern Punkten von genau bekannter Lage zu finden. Der Gegenstand ist zwar ganz elementarisch, und jeder, der den Geist der Methode der kleinsten Quadrate kennt, kann sich die Vorschriften leicht selbst entwickeln: inzwischen wird jene Aufgabe, als eine der nützlich- sten in der praktischen Geometrie, auch wohl oft von solchen Personen be- nutzt werden können, die nicht ganz in jenem Falle sind, und denen daher die Mittheüung der Formeln nicht unlieb ist.

Die Coordinaten eines der bekannten Punkte seien a, 6, jene von Norden nach Süden, diese von Osten nach Westen positiv gezählt — ob die Ab- scissenlinie wahrer Meridian ist oder nicht, ist hier gleichgültig; ebenso x^y genäherte Coordinaten des zu bestimmenden Punkts, und da?, dy deren noch unbekannte Verbesserungen. Man bestimme cp und r nach den Formeln

tangcp = — ^5 r = = -r— ^,

o ^ a — x coB cp Bin «p

indem man cp in demjenigen Quadranten wählt, der r positiv macht, und setze noch

— 206265 . (6 - y) S — — 206265 .ja-x)

rr ^ P rr

Dann ist das Azimuth des ersten Punkts, vom zweiten aus gesehen (die Sichtung der Abscissenlinie als 0 betrachtet),

= 9 + ad^-hßdy,

wo die beiden letzten Theile in Secunden ausgedrückt sind.

232 TRIGONOMETRISCHE PL'

In Beziehung auf einen zweiten Punkt von bekannter Lage sollen ^^ a', p', in Beziehung auf einen dritten 9", a"^ ß", u. s. w. dasselbe bedeuten, was 7, o? ß in Beziehung auf den ersten sind.

Sind die Winkelmessungen an dem zu bestimmenden Orte auf Einmal mit einem Tlieodolithen ohne Repetition gemacht, indem bei unyerrücktem Instrument das Femrohr nach der Reihe auf die verschiedenen bekannten Punkte gefuhrt ist, so sollten, wenn A, A', A", u. s. w. die dabei abgelesenen Winkel bedeuten, die Ausdrücke

9— A+odir + ßd^

9' — A' + Ol' da? -1- ß' d^ 9''-A"+o''dx + ß''djf

U. 8. W.

durch die Substitution der wahren Werthc von da? und d^ alle einerlei Werth bekommen, wenn die Beobachtungen absolut genau wären; und wenn man also drei derselben unter sich gleich setzte, würde man durch Elimination die Werthe von da? und dy erhalten. Sind überhaupt nur drei bekannte Punkte beobachtet, so lasst sich auch nichts weiter thun ; ist aber ihre Anzahl grosser, so werden die Fehler der Winkelmessungen am vollkommensten ausgeliehen, indem man alle obigen Ausdrücke addirt, die Summe mit der Anzahl dividirt, die DifTerenz zwischen diesem Quotienten und jedem einzelnen Ausdruck = 0 setzt, und diese Gleichungen nach der bekannten Vorschrift der Methode der kleinsten Quadrate behandelt.

Sind hingegen die Winkelmessungen unabhängig von einander gemacht, so gibt jede derselben sofort eine Gleichung zwischen den imbekannten Grössen da? und dy, und alle diese Gleichungen sind dann nach der Methode der kleinsten Quadrate zu combiniren, wobei man, wenn man will, auch noch auf die etwa ungleiche Zuverlässigkeit der Winkel Rücksicht nehmen kann. Wäre also z. B. der Winkel zwischen dem ersten und zweiten Punkte = i, zwischen dem zweiten und dritten = i\ u. s. w. gefunden, immer von der Linken zur Rechten gerechnet, so hätte man die Gleichimgen

,p'_,p_,-_|_(a'-a)d^+(ß'-ß)dy = 0

cp''_^'_i'-^(a"_a')daf+(ß''-ß')dy = 0

u. s. w.

TRIGONOMETRISCHE PUNKTßESTIMMUNG. 233

Haben diese Winkelmessungen gleiche Zuverlässigkeit, so bildet man aus diesen Gleichungen zwei Normalgleichungen , die erste, indem man jene der Ordnung nach mit den respectiven Coefficienten von da?, d. i. die erste mit a' — a, die zweite mit a"— a', u. s. w., multiplicirt und alles addirt; die andere, indem man dasselbe durch Multiplication mit den Coefficienten von dy ausfuhrt und gleichfalls addirt. Ist hingegen die Winkelmessung von un- gleicher Genauigkeit, und z. B. die erste auf |x, die andere auf |jl', u. s. w. Repetitionen gegründet, so müssen die Gleichungen beide Male vor der Addi- tion auch erst noch mit diesen Zahlen |jl, |x', u. s. w. respective multiplicirt werden. Aus den so gefundenen beiden Normalgleichungen werden dann da? und dy durch Elimination gefunden. (Diese Vorschriften sind nur um derer willen beigefügt, denen die Methode der kleinsten Quadrate noch unbekannt ist, und für die vielleicht auch die Erinnerung noch nöthig sein könnte, dass bei jenen Multiplicationen die algebraischen Zeichen von a' — a, u. s. w. sorg- faltig beachtet werden müssen.) Endlich bemerke ich noch, dass hiebei nur die Fehler der Winkelmessungen ausgeglichen werden sollen, indem die Co- ordinaten der bekannten Punkte als genau angesehen werden.

Ich erläutere diese Vorschriften für den zweiten Fall noch an den mir von Ihnen mitgetheüten Winkelmessungen auf der Holkensbastion bei Copen- hagen, obwohl, wie es scheint, die zuletzt angezeigte Voraussetzung dabei nicht genau genug stattfindet; bei so kleinen Entfernungen haben kleine Unrichtigkeiten von einigen Zehntheilen eines Fusses in den gegebenen Co- ordinaten einen sehr viel grossem Einfluss, als die Fehler in den Winkel- messungen, und man darf sich daher nicht wundem, dass nach möglichster Ausgleichung der Winkel Difl'erenzen zurückbleiben, die viel grösser sind, als bei den Beobachtungen der Winkel als möglich angenommen werden kann. Für den gegenwärtigen Zweck, wo nur ein Rechnungsbeispiel gegeben werden soll, kann dies jedoch gleichgültig sein.

Winkel auf Holkensbastion"^).

Friedrichsberg— Petri 73® 35' 22" 8

Petri— Erlösersthurm 104 57 33,0

*) Die Coordinaten der Punkte und die Winkel auf Holkensbastion beruhen beide auf Herrn Capit. T. Cabocs Messungen. 8[dMm(icher].

DL. 30

Petri

+ 487,7

Frauenthurm

+ 710,0

Friedrichsberg

+ 2430,6

ErlöBerßthurm

+ 2940,0

Friedricbsthurm

+ 3059,3

234 TRIOOXOMETBISCHE PUNKTBE8TTHHUNG.

Erlösersthurm — Friedrichsberg 181° 27' 5^0

Friedrichsberg — Ftaucnthurm 80 37 10,8

Frauenthunn— Friedrichsthurm 101 11 50,8

Friedrichathurm — Friedrichsbelg 178 11 1,5.

Cooidinaten, von der Copenbagener Sternwarte gerechnet, in Pariser Fuss.

+ 1007,7 + 684,2 + 8335,0

— 3536,0

— 2231,2.

Als genäherte Coordinatcn des Beobacbtungsplatzcs wtirden angenommen:

1= +2836,44, y = +444,33.

Und damit fanden sich die Azirauthe:

Petri 166"30' 42;56+19,92dl+83,04d^

Frauenthurm 173 33 50,64 + 10, 80dx+95,78d^

Friedrichsberg 92 56 39,46 + 26,07dj!+ l,34dy

ErlSserstburm 271 29 25,38 — 51, 79dx— l,35d^

Friedrichsthurm 274 45 41,39— 76,56da;— 6,38dy

Der berechnete Winkel Friedrichsberg — Petri ist daher

73°34'3;i0 — 6,15dai+81,70dy,

welches, mit dem beobachteten verglichen, die Gleichung

— 79,70— 6,15dir+ 81,70dj( — 0

gibt. Ebenso erhält man die fünf andern Gleichungen

+ 69,82— 71,71dl— 84,39djf = 0 + 9,08+ 77,86da:+ 2,69 dy = 0 + 0,28— 15,27d;r+ 94,44dj/ = 0 + 0,05— 87,36da!— 102,16dy = 0

— 3,43 + 102,63dx+ 7,72dj(=0.

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBE8TIMMÜNG. 235

Aus der Verbindung dieser sechs Gleichungen erhält man, indem man den Beobachtungen gleiche Zuverlässigkeit beilegt, die beiden Normalglei- chungen

+ 29640d^+14033dy = + 4170

+ 14033da?+33219dj^ = +12384,

und hieraus die Werthe

dx = — 0,04, dy = + 0,39, oder die verbesserten Coordinaten der Holkensbastion

+ 2836,40 und +444,72.

Die nach Substitution dieser Werthe von da? und d^ zwischen den be- rechneten und beobachteten Winkeln zurückbleibenden Unterschiede sind noch viel zu gross, um den Messungen zugeschrieben werden zu können, imd be- weisen, was oben bemerkt ist, dass die Coordinaten der bekannten Punkte nicht auf Zehntheüe des Fusses zuverlässig waren, weshalb denn freilich auch die gefundene Verbesserung selbst diesmal etwas zweifelhaft bleibt.

Die bei dieser Kechnung zum Grunde gelegten genäherten Coordinaten der Holkensbastion waren durch die directe Methode aus dem vierten und fünften der obigen Winkel berechnet. Obgleich diese directe Methode als ein ziemlich erschöpfter Gegenstand zu betrachten ist, so setze ich sie doch der Vollständigkeit wegen hier auch noch her, in derjenigen Gestalt, in welcher ich sie anzuwenden pflege.

Es seien a, b die Coordinaten des ersten bekannten Punkts (man wählt denselben aus den drei bekannten nach Gefallen); die des zweiten seien in die Form

a + jRcosjB, fe + jRsinJB

gebracht, und die des dritten in dieselbe:

a + 12'cos-E', 6 + U' sin JE'.

Die gesuchten Coordinaten des Beobachtungspunkts bezeichne man durch

a + p cos e, & + p sin e.

Femer sei der hier beobachtete Winkel zwischen dem ersten und zweiten

30*

236 TRIGONOMETKIBCHE PUNKTBESTIMMUNG.

Punkte = Af, der zwischen dem ersten und dritten = M' ; ich setze voraus, dass diese Winkel von der Linken zur Rechten genommen, und dass sie, faUg sie so über I8li" betragen haben, erst um 180° vermindert sind, oder was dasselbe ist, dass, wenn ein Winkel in der verkehrten Ordnung unter 180° be- trug, statt seiner das Complement zu 180° genommen ist*). Ich mache femer

•h. J/ — "' ^W — ** E-M=N, E'-3r=N' (wo nöthigenfalls vorher 3G0° addirt wird).

Dies vorausgesetzt, hat man die beiden Gleichungen

p = « sin (e — JV), p = n' sin (« — N^, welche, wenn 8ie so geschrieben werden :

- = sin (e — 1\ j, -, = - sin [« — iV j,

unter die Aufgabe Theor. Mot. C. C. p. 82[**)1 gehören. Die eine der dort gegebenen Auflösungen fuhrt zu folgender Regel:

Ich nehme an, dass n' grösser, wenigstens nicht kleiner, als n ist, welches erlaubt ist, da es willkürlich ist, welchen Funkt man als den zweiten oder dritten betrachten will. £s sei

^ = tangC

t«ng[46'-C) w*"»y-

Sodann wird

und nachdem i gefunden ist, wird p durch eine der obigen Formeln, oder besser durch beide, berechnet.

In unserm Beispiele haben wir, den Frauenthurm als den ersten, Fried- richsbej^ vorläufig als den zweiten und den Friedrichstburm als den dritten Pimkt betrachtet;

■) Die Ablieht davon ist, die folgenden OrCueo n, n' immer pocitiv tu muhen, umd dadurch i niger Aufrneikiamkeit auf die algebraiachen Zeichen nöthig lu haben. [••) Band Vn, Seit« loo.]

\

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 237

a = +7t0,0 6 = +684,2

JE?= 77"l9'3l';91 £' = 308"51'45;78

logfi = 3,894 4206 logR' = 3,573 3549

M= 99"22'49;'20 3f = lOl" ir50;'80 (zufolge obiger Anm.)

JV= 337"56'42;71 iV" = 207"39'54;'98

logn = 3,900 2671 logn' = 3,581 7019.

Da hier n ^ n', so vertauschen wir die Ordnung und setzen

N= 207°39'54;'98 iV = 337"'56'42;'71

logn = 3,581 7019 logn' = 3,900 2671.

Hienächst findet sich femer

C = 25"39'3;49, tp = 80"'45'3i;50, e = 353"33'50';34

und logp = 3,3303996, und die Coordinaten der Holkensbastion : -f-2836,444 und +444,327.

238

NACHLASS.

NACHLASS.

(

[7-] [Bestimmung der Lage des Punktes X durch Beobachtung der Winkel a"^ und p

zwischen 3 gegebenen Punkten A^ Bj C]

[Aus

folgt

BA

BX

BC

BX

BC'

BA

sin

XCB

sinC

= 1

uinBAX

sin C esinß 1

sin^ "" asina J

[Setzt man

180*^-4=] a + a) = X, [C= 360^- (-4 + e),]

a+ß + jB = e

dann ist

^^ V asinocoae'

tang X = tang e cos cp* ,

esinX

srna

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG.

239

[8.] : Orientirung des Messtisches.

Drei örter A, -B, C sind auf dem M[ess]t[isch] durch a, 6, c vorgestellt ; die geraden Linien Aa^ Bbj Cc schneiden einander in den Punkten a, ß, f-

In b auf ab und in y ^^ «T errichtete Senkrechte schneiden einander in ^; in c auf ac und in ß auf aß Senkrechte schneiden einander in f; man ver- binde e und f und falle darauf aus a das Perpendikel aM. So ist M auf dem Messtisch der Standpunkt.

[9.] Aufgabe der praktischen Geometrie.

Af JB, C, D sind vier Punkte in einer horizontalen Ebene ; B, C^ D liegen

in gerader Linie und

BC=CD.

Es seien die Azimuthe der Linien

DB f

AB /'+^ — 8

AC . . . .f-{-g — x AD f+g + ^.

B

f.g-0

BEMERKUNGEN.

\AC _ AC [BC ~ CB

oder proxime

tangj ^

tnng?" ^

X = 206265"sm5'cotangjf.

BEMERKUNGEN.

Die Notiiea [T und [8|, [^ und '^-i], lowie 's] iriirdcn i TertchiedeneD HandbQohern eDtDommen ; [i und [7] und kuf die letzten Seiteu von Logarithmenbireln eingetragen; [s] entstammt rinem Rechnung!' blatte tnr hannoTenchen Oradmeaiung.

Die Fonneln dei Art. [1], die auch bei Art. \3] benutst sind, lauen (ich wie folgt ableiten. Et (eien X, y die Coordinaten dei tv beatimmenden Punktei ; ^* > y* die Coordinaten ftli eine genftberte Lage dea- ■elben; «, 6, a', b', a", h" die Coordinaten der Beobachtungsplätie ; r, r', r" die Entfernungen dieter PlitH vom Punkte [x,y,). Dann erhilt man durch Differentiation der Oleiehung

t*ng(.i + ii) = |t^,

indem Duui dx, = x — x^, dy, = y — y,, jl-t-a + d[^+a) >» A-^-lA aelzt, die Fehlerglriehung:

Ebenio erpht lieb

n.A' .

-•-+0"

y-y»

EUminiit man X-X„ y — y,, lo enUteht die Bedinfpngsgleichung :

TÜa.{A'-A").[lA-n)-{-T'äa\A"-A].'fiA'-a']+T"vm(,A-A').(%A"-

l.lA-\-l'.lA' + l".lA" = Ja + i'n' + I"«". Macht man nun mit Rflokiicbt hierauf

g.%A -^g'.iA' -\-g".lA" lum Minimum,

TRIGONOMETRISCHE FUNKTBESTIMMIXNG. 241

9 g' 9"

Ic =

II VV VI" 9'^ 9' ^ 9"

Hienach ist

y-6 = (x^a)XAng[A + lA) = (aj-a)tang-4 + ?^i^ = (a;-o)tang-4+ ''^*

COfJ. ^* ^cobJ.

In dem Zahlenbeiapiel unter [s] sind einige kleine Fehler berichtigt worden, wodurch hier die Werthe der Coordinaten für York etwas abweichend von den im Coordinatenverzeiehnisse, Band IV, S. 430, angege- benen Werthen erhalten wurden.

Ebenso ist in dem unter [5] aufgeführten Beispiele für Vorw&rtseinschneiden ein kleines Versehen richtig gectellt worden. Die beobachteten Azimuthe auf den festen Punkten und die Coordinaten sind auch in den »Abrissen u. s. w.«. Band IV, S. 454, 466 und 457, angegeben.

Zur Bestimmung von Nebenpunkten wurde von Gauss sowie von den ihm beigegebenen Ofßcieren gewöhnlich das Verfahren des Art. [6] angewandt. Die Rechnungen dafOr sind aber fast ganz allein von Gauss, und swar in der ang^ebenen Weise, ausgeführt worden. In dem Arbeitsbericht fOr 18S0 an das hannoversche Ministerium heisst es : »Bei der hiesigen trigonometrischen Vennessung habe ich bisher diesen Theil des Geschftfts [Verarbeitung der Messungen zu Resultaten] ganz allein auf mich genommen. Meine Berichte über die Arbeiten von 1828 und 1829 geben eine Übersicht über den Umfang des in diesen Jahren geleisteten. Ohne hier in lunstftndliche Details einzugehen, darf ich doch nicht imbemerkt lassen, dass mir die Verarbeitung nur dadurch möglich geworden ist, dass ich ihr meine ganze mir von meinen xmmittel- baren Dienstgeschäften gebliebene Zeit gewidmet habe.« Und in dem am 8. Februar 1838 erstatteten Be- richt an das Ministerium sagt Gauss : »Zu einer trigonometrischen Messung sind zweierlei ganz verschieden- artige Arbeiten erforderlich, die Ausftihrung der Messungen an den betreffenden Pl&tzen im Felde, und ihre Verarbeitung zu Resultaten durch Combination und Calcül im Zimmer. Den zweiten Theil des Gesch&fts habe ich bisher ganz auf mich selbst genommen.« Nur zwei Monate des Winters isso/si hat ihn sein Sohn, der Lieutenant J. Gauss, dabei unterstützt; in den letzten Jahren der hannoverschen Landes- vermessung scheint auch Professor Goldschmidt geholfen zu haben. Einem von diesem ausgearbeiteten »geodätischen Calcül nach Gauss« aus dem Jahre 1836, der eine »kurze Darstellung nach von Gauss ge- gebenen Privatmittheilungen« bieten will, sind die nachstehenden Ausftlhrungen entnommen:

»Bei der Festsetzung der Nebenpunkte fangen wir damit an, diejenigen zu bestimmen, welche sich aus den Hauptdreieckspunkten allein scharf bestimmen lassen, so dass l) die Richtungen sich nicht unter zu spitzen Winkeln .schneiden und 3) man gewiss ist, dass die angeführten Azimuthe sich wirklich auf den Punkt quaestionis beziehen, indem es bei ausgedehnten Operationen leider nur zu hAufig vorkommt, dass eine Namensverwechselung stattfindet. Hat man indessen den Punkt aus mehr als 2 Haupt- punkten bestimmt, oder auf dem Punkte selbst gemessen, so kann eine solche Verwechselung nicht wohl stattfinden. 8o setzt man nun diese Nebenpunkte fest, indem man, wenn man scharfe Resultate haben will, nicht nur alle Hauptdreieckspunkte, sondern auch die nach und von andern schon bestimmten Neben- punkten gemachten Schnitte mit hinzuzieht. Es entriren dabei 3 unbekannte Grössen, die Coordinaten des Punktes und die daselbst stattfindende Orientirung. Man berechnet nun auch diese Elemente für die übrigen Nebenpimkte. Sollte vielleicht es nachher noch für gut gefunden werden, neue Nebenpunkte ein- sufQhren, indem es vielleicht bei der anfUnglichen Disposition übersehen wurde, dass dieses Einf&hren rath- sam wire, so hat man doch nicht nöthig, sich auf diejenigen Stationen zu begeben, von denen ab die neuen

31

242 BEMERKUNGEN. TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIipnJNG.

Punkte geschnitten werden könnten; es genügt, von diesen Punkten andere, die schon festgesetzt sind, ein- zuschneiden, doch muss die Anzahl derselben wenigstens 9 sein; Hat man 4 geschnitten, so ist eine Con- trolle da; harmoniren indessen diese 4 nicht, was ebenfalls nicht selten ist, indem eine Verwechselung gar leicht vorfallen kann, so weiss man nicht, wo der Fehler liegt; und deshalb ist es besser, ( oder noch mehr

einzuschneiden Überhaupt ist es nicht genug zu empfehlen, jeden Punkt, so oft es nur irgend

angeht, einzuschneiden, selbst wenn man nicht Willens ist, die Schnitte nach der Methode der kleinsten Quadrate zu Tereinigen, indem man auf diese Art sicher vor Fehlem ist, und ein Punkt, auch wenn er weder Haupt- noch Nebenpunkt ist, sobald er scharf bestimmt ist, häufig dazu dienen kann, die Identit&t eines andern Punktes zu bestimmen. Hat man nun auch fOr die Nebenpunkte die Coordinaten berechnet, so geht es an die Bestimmung der übrigen eingeschnittenen Punkte. Gauss fahrt darüber, nachdem alle Rechnungen abgemacht sind, folgendes Protocoll.

4 B

Krückeberg —71304,939 +45842,388

a

h

e

d

e

Süntel

— 706S7,J58

+ 3748t,447

04*58' 27;'964

— 0,886

Klütberg

— 63179,059

+ 41387,860

161 26 44,-009

— 1,553

Wittekindstein

-80356,285

+ 71875,835

289 3 13, 703

— 0,329

Pagenburg

— 75427,470

+ 50454,707

311 22 31, 882

+0.448

Sachsenhagen, Schloss —96486,713 +46075,741

Wittekindstein —80356,285 +71875,835 237 59 11,516 Bergkirchen —99061,252 +47440,144 332 4 3,954.

A ist der Ort, dessen Coordinaten bestimmt werden; diese Coordinaten sind sub£ angegeben, a gibt die Namen der Örter, aus welchen A bestimmt ist; d, c ihre Coordinaten; d das beobachtete Azimuth; e die Differenz des aus den Coordinaten berechneten und des beobachteten Azimuths, eine Columne, die also wegftllt, sobald wir nicht mehr Data haben, als zur Bestimmung des Punkts quaestionis nöthig sind. Geordnet werden die einzelnen in diesem Protocoll aufgenommenen Punkte nicht, doch thut man wohl, etwas Raum überzulassen, um Bemerkungen, die sich sp&ter ergeben, und Schnitte, die erst nach dem Be- rechnen und Eintragen aufgefunden wurden, nachzutragen. Übrigens trägt man die Punkte in dieses Pro- tocoll in der Reihenfolge ein, in welcher sie berechnet sind. In den Tableaux streicht man die Schnitte, die schon zur Berechnung gedient haben, an, tun besser übersehen zu können, welche Schnitte noch uner- ledigt sind.«

Im Nachlass ist noch eine grosse Anzahl solcher ProtocoUe vorhanden. In dem Arbeitsberichte für 1844 sagt Gauss: »Die Resultate [Coordinaten] sind jedes Jahr nach Verarbeitung der Messungen in Ver- zeichnisse gebracht, und solcher partiellen Verzeichnisse sind sechzehn vorhanden, welche zusammen etwas über 3000 Bestimmungen enthalten, so jedoch, dass die Anzahl der Punkte selbst etwa tun den 7. Theü kleiner sein mag, indem viele Punkte, die in einem sp&tem Jahre nach dem Hinzukommen neuer Data

schfirfer oder zuverlässiger bestimmt werden konnten , in mehr als einem Verzeichnisse auftreten Zu

grösserer Sicherheit und bequemem Gebrauch habe ich jetzt angefangen, die partiellen Verzeichnisse in Eines zu verschmelzen, welches demnach etwa 2600 Punkte enthalten wird.« (Band IV, 8. 413).

In dem Abdruck der aus den Astr. Nachr. entnommenen Abhandlung, Art. 6, sind mehrere Druck- und Rechenfehler berichtigt worden. Kbüoeb.

AUSGLEICHUNG EDJFACHER FIGUREN.

31

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

WO

[1.]

Ausgleichung eines Vierecks.

0, 1, 2, 3 ... die vier Punkte

Ol sowohl Länge als Richtung der Linie 0 1

C^*, u. 8. w. Ausgleichungen, wodurch alles verträglich wird,

u. s. w. [Man setze]

, , sin (30 - 31) gin (10 - 12) sin (20 - 28) _ ^ o AOg nyp ^^ ^22 _- 30) sin (13 - 10) sin (21 - 20) ~

12.13.sin(12 — 13) = T* 02. 03. sin (03 — 02) = T 03.13.sin(30 — 31) = T" 02.12.sin(21— 20) = T\

Es bedeuten hier T\ T\ T\ T" die vier doppelten Dreiecke ; man be- merke, dass allemal zwei Permutationen zugleich gemacht werden müssen: so entsteht T aus T*, wenn 0 mit 1 und 2 mit 3 vertauscht wird. Es ist [da r* und T" das entgegengesetzte Vorzeichen von T imd T" haben]

0 = T''\'T+T'\'T'^.

Ebenso entstehen X', X", X'" aus X'.

246 NACHLASS.

Man hat dann

oder

+ S^^^^ls^abäöT ^'"- ''«t^^ (2 1 - 20) . C" - cotaBg (20 - 23) . C« + Slsö^nS-rsö) ^'"- «ot^ (30 - 3 1 ) . C« - cotang (32 - 30) . C"

A _i« , 01*r*plO .01* + 12« -02*^» . Ol» + 18« - 03« ^» U -^ A "^ j,// 77// ^ I 7>^/^ ^ "^ T j>tf ^

Qg'-y^» , 02« + 12' - Ol» ^M , 02» + 28'- 03* ^M

7»! 7»'/! '^ I 7»/w ^^ j fPif

fpf nrit ^ T fpit

OSVr* ^10 . 03' + 18«-01' p3t t 03« + 23'~02»ps» /r» T« ^ T T« ^ T 7» ^

oder]

- r* r" . 02*. «"»+ r* r" . 02*. d»»

- r* ar . 03*. «»»4- r* r". 03*. i>~ -r r^-isv^^+r r'.(o3»-oi*)D'»

- r r . 12*. -8"+ r T" . (Ol»- 02*)D"

- 2^ r- . 23». S*» + T" T" . (02» - 03*)D«« = 2« + A*.

2', 2", 2"* werden identisch gleich 2». X', X', X", X" sind den T, T, T, T proportional, wenn die Winkelsummen schon ausgeglichen sind. Hing^en werden A', A", A"" numerisch dem A* gleich werden müssen, wenn die letztere Ausgleichung conservirt wird. Symmetrisch hat man diesen Werth

^(A'-f A' + A''+A"') = ij TT D»'(i2»+l3»-02»-03»)

+ r* T" I>^(12*+ 23» — Ol» — 03») + r'r*D'"(13»+23» — Ol» — 02») 4- 2" 2^D"(03» + 23» — Ol»— 12») + r' r"D"(01»+13» — 02» — 23») + r"r"'D»»(02»4- 12» — 03»— 13»)j.

Jedes A = H"D"* + JEr»D*» + ... gesetzt, wird in die Form gebracht, wo die Summe der Quadrate der Coef&cienten ein Minimum wird, indem man

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN.

247

schreibt

anstatt E^ i(2H^-fr*«-H«'4-Ä"+H«)

» ff^ i(2fl^»-H*^— J^ + H**+ H^^

u. s. w., wo H''^ = -H^\

[Addirt man nemlich zu dem Ausdrucke für A* die 3 Winkelgleichungen, welche T, T^ T'" entsprechen und die bereits ausgeglichen sein sollen, nach- dem man sie mit den Factor en f |Xi, n|-[A2, ifis multiplicirt hat, so wird A^ nicht geändert. (Die Constante X^ muss natürlich jetzt auch mit den Werthen berechnet sein, die die Ausgleichung der Winkelgleichungen ergeben hat). Es ist also auch, da hienach die Winkelgleichungen lauten

0 = -C^+a'^-C^^+C'^-C'^+C^^ = 2(-D^ + D^+D»*), u. 8. w.:

Bestimmt man nun (i|, 1x9, i^is in der Weise, dass die Summe der Qua- drate der Coef&cienten von D"", D°*, u. s. w. ein Mroimum wird, so wird

-1*,+ m+3ft, = fl«-fi*»-H*', also

damit ergibt sich:

4A' =

+

+

+ + +

2fl*'+ ir"*+ H"»- H"+ H*» * )Jf^ fl»»+ H«*4-2fl«»+ JET» # - H*^iy^

# + fl<»_ H*»- H"- H" + 2^'*)I>**.

Dieser Ausdruck Vkast sich in den folgenden umwandeln:

24S lUCHLASS iniD BHIEFWECHBBU

j-I+oi'.rT' tt +03M*r"'-t2*.r'r' » — as'-rr-ji)" -j-t+oi'.r'r+oa'.r*!" « • ~i3'.rr"-23«.z*r"|D"

-!-l-oiM*r+o2'.r*r' « • -i3».rr"+23*.r"r"iJE)"

_j_ [+oi».T*r * -Oi'.T'T"+l2'.TT' . -2Z\TT'\iy

+ j * — 02*.rT'+03'.2*jr'"-i2».rT'+i3*.r'2" * }d".

Zu dem gleichen Werthe gelangt man, wenn man die entaprechenden £nt- wickeloDgen für A', A", A"* macht; man erkennt dies auch daraus, dass for die Vertauschungen, die A' in A', A', A" überfuhren, die rechten Seiten der obi^vQ und der vorhergehenden Gleichung ungeändert bleiben, wenn man berücksichtigt, dass D'* = — D** ist A' geht z. B. in A' übet, wenn man 0 uiit 1, 2 mit 3 und ebenso ' mit ' und " mit " vertauscht Es ist mithin, Yornusgesetzt, dass die Winkelgleichungen des Dreiecks tot Aufstellung der Sc-ilongleichungen bereits ausgeglichen waren:

YX'T'").* = T*T''T"\' = TT'T'X" = TTT''V oder

Gleichung zwischen den Seiten und Diagonalen eines Vierecks. Zwischen den Seiten \ind Tj 7", T" gibt es die Gleichungen

0 = 2.0l'.r + (0l' + 02'— l2')r' + (0l"+03'— U")!" 0 — (0l'+02'— 12')r+2.02'.T"+(02'+03*— ja*)!"' 0 = (0l' + 03'— 13')J' + (02' + 03' — SS'jr' + J.OS'.T". Schieibt man dafür

0 = AT+ cT+ bT'~

0 = cT' + B'r+ aT"

0 = bT'+ ar+cr,

so wild

ABC+labc =. aaÄ + bbB+ccC,

welches die zwischen den sechs Seiten stattfindende Bedingungsgleichnng ist.

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 249

Entwickelt gibt dies:

01*.23*{02* + 03*+12*+13*| — Ol*. 23* — Ol*. 23* + 02*.13*{0t* + 03*+12*+23*j — 02* . 13* — 02*. 13* + 03*. 12*{01* + 02*+13* + 23*| — 03*. 12* — 03*. 12* = Ol*. 02*. 12*+ Ol*. 03*. 13*+ 02*. 03*. 23*+ 12*. 13*. 23*.

[3.] [Über die Wahl der Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen.]

Gauss an Gerling. Göttingen, 1 1 . Februar 1824.

Zur Prüfiing des Vierecks haben Sie eine Bedingungsgleichung

mit acht Factoren; es ist aber nur eine mit sechsen nöthig, die auf 4 ver- schiedene Arten eingekleidet werden kann:

B

sin 1 . sin 3 . sin (6 + 7) = sin (2 + 3) . sin 6 . sin 8 sin 3 . sin 5 . sin (8 + 1) = sin (4 -|- 5) . sin 8 . sin 2 sin 5 . sin 7 . sin (2 -|- 3) = sin (6 + 7) . sin 2 . sin 4 sin 7 . sin 1 . sin (4 + 5) = sin (8 + 1) . sin 4 . sin 6.

Am vortheilhaftesten ist es, die 1^, 2^, 3^ oder 4^ Form anzuwenden, je nachdem das Dreieck ÄBD, ABC^ BCD, ACD am grössten ist.

Es ist mir nicht recht deutlich, wie Sie sich die Art, eine gemessene Diagonalrichtung zu benutzen, gedacht haben [*)]. Es folgt ja daraus, dass, wenn sechs Grössen -4, 5, C, D, JS, jP gemessen wären, zwischen deren Correc- tionen eine Bedingungsgleichung

öil — ö5 + öC—öD + öjB — öF= Quant, data

[*J Oeslimq glaubte, noch zwei Winkelgleichungen , je mit dem Absolutgliede Null, ansetzen zu mÜMen, wenn in einem Viereck die eine Diagonale nur einseitig beobachtet ist.]

IX. 32

BRIEFWECHSEL.

...t

- .--. hro, weil die sechste, F^ nicht gemessen ist, die

Vielmehr ist eine solche Bedingungsgleichung durchaus

beiden, die Sie anfuhren, addirt, würden sogar etwas in

* • --v* riioh mit dem Übrigen stehendes geben.

V* ^' :uil - Einschnitte können lediglich durch diejenigen Bedin-

^ , / ^vu mit benutzt werden, die solche Gleichungen, wie die oben

.';»>» V Valuten, an die Hand geben. Es macht dabei gar keinen Unter-

^ X,. c* vKr Einschnitt auch reciprok stattgefunden hat oder nicht; es

V ... « \ l. <^ im ersten Fall noch diejenige Bedingungsgleichung hinzu, die

\\ iukolsumme des Einen Dreiecks entsteht (die aus dem andern

>. ,\ vx* ii<t dann implicite schon in den übrigen enthalten), welche im an-

, M l ;\iU ' wegfällt.

ri^uir^'U« wiederhole ich, dass alles viel einfacher in derjenigen Behand- * »»<v«iotho(lo ausfallt, die ich vorzugsweise für meine Messungen gewählt ^' 5i'^\ Cbrigens kommt in meinem eigenen Hauptdreieckssystem gar keine XN^uho Diagonale vor, die nicht auch reciprok gemessen wäre; die wenigen vU V Art, die an den Grenzen vorkommen, als Hohehagen — Meisner, etc., ver- XX hiinlrm» neue Dreieckspunkte, Syk und Hohenhom, habe ich gar nicht ins S> stein aufgenommen, sondern bisher alle Ausgleichung nur auf die voU- •ilcnidiK^* Mc^ssung gegründet, die andern Punkte aber gleichsam als Neben- iHUikte b(;trachtet, in Beziehung auf welche die Lage meiner Hauptpunkte als nliHohit gcmau betrachtet ist

k . X

« \

Gauss an Gerling. Göttingen, 19. Januar 1840.

Das Durchlesen Ihrer schönen Schrift über Ihre AA hat mich vrriuilHHst, mich etwas wieder in die Sache hineinzudenken, und einige Be- nicrkungen werden vermuthlich für Sie nicht ohne Interesse sein. Obgleich ich Ihnen vorausgesagt hatte, dass, bei der Zickzack-Behandlung der Bedingungs- i/lrir^ljungen nach zwei Gruppen, Sie nur eine langsame Convergenz haben würden, so war ich doch etwas verwundert, dass Sie nach einem Ihrer Briefe

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 251

15-mal alles durchgemacht haben (nach dem Buche 13 -mal; ich weiss nicht, wie diese Discordanz zu erklären ist). Bei meinem eigenen Gradmessungssystem hatte ich gegen 50 Bedingungsgleichungen der zweiten und 12 von der dritten Art ; aber hier war die Convergenz sehr schnell, so dass schon die dritte [Rech- nung] in der tttW" stehende Resultate gab. Aber freilich wäre dies nicht mög- lich gewesen ohne einen besondem Kunstgriff, den Sie, wie mir scheint, nicht benutzt haben. Ob ich ihn Ihnen vor 15 Jahren angezeigt habe (in einem Ihrer Briefe beziehen Sie sich auf damals gemachte Mittheilungen), weiss ich nicht, ich bin aber auch ungewiss, ob ich damals ihn schon selbst ausgeübt hatte; meine grossen Ausgleichungsrechnungen sind, glaube ich, Anfang 1826 gemacht, ich habe aber nirgends eine Zeit notirt. Ich will versuchen, Ihnen eine Idee davon zu geben, obwohl eine ausführliche Entwickelung eine ziem- lich starke Abhandlung geben könnte.

Ich nehme also an, die Ausgleichung auf die von den Winkelsummen abhängigen Bedingungsgleichungen sei schon einmal gemacht, und man wolle nun auf die Bedingungsgleichungen durch Seitenverhältnisse übergehen. Ich betrachte Kürze halber bloss ein Vierpunktsystem 0.1.2.3. Ist von den vier AA 123 das grösste, so benutzen Sie die Formel H-M-^f = 1 (^^^^ sind Ol, U.S.W. Seiten: von jetzt an bezeichne ich aber mit Ol den Winkel, welchen diese Seite mit der Zerolinie in 0 macht). Jene Gleichung gibt Ihnen unmittelbar eine Bedingungsgleichung zwischen 9 Correctionen ; es erscheinen nemlich nicht mit: dOl, d02, d03. Hätten Sie die Formel +f.H.H= 1 gebraucht, so hätten Sie eine Bedingungsgleichung zwischen 9 andern Cor- rectionen erhalten; es würden nemlich dlO, dl2, dl 3 gefehlt haben. Diese beiden Bedingungsgleichungen sind also nicht identisch, aber man kann die eine aus der andern ableiten, wenn man diejenigen Bedingungsgleichungen der zweiten Art, welche dem Viereck angehören, mit zuzieht. Hier tritt nun ein Fall ein, der oft vorkommt, und wo ein nicht genug zu preisender Rath seine Anwendung findet. Nemlich wenn bei einer Untersuchung die Bestandtheile symmetrisch vorliegen, und man kann auf mehr als Eine Weise zum Ziel kommen, wovon die eine so gut scheint wie die andere, und wo man also sich im Fall von Buridans Esel befindet, so soll man keinen dieser Wege wählen, sondern einen andern suchen, wo allen Bestandtheilen gleiches Recht wiederfahrt. Darüber lassen sich freilich keine allgemeinen Regeln geben,

32^

\

252 BRIEFWECHSEL.

wie das zu machen ist. Im gegenwärtigen Fall muss man darauf ausgehen, die Bedingungsgleichung

adlO + pdl2+7di3-i-Sd2fl-i-ed2i-LCd23 4-T)d30 + 9d31+xd32 =X

so abzuändern, dasH alle Correctionen darin sind; das ist nun sehr leicht

gethan, man braucht nur

X d«! ~dlü-l-dl2 — d21 4-d2ü— d02) = « _ydOJ— dl0 + dl3 — d31+d3ü— d03; = 0 zd12— d21+d23 — d32 4-d31— dI3; = «

hinzu zu addireu, indem man j, y, z nach Gefallen wählt. Aber so sind wir noch um nichts gebessert, wenn wir nicht wissen, wie wir wählen sollen. Ich sage : wälilt x, y, z so, dass die Summe der 1 2 Quadrate von den Coefficienten in der entstehenden Gleichung ein Minimum bildet, also

'x-^y^ ^x^ -\-y^ -\-''a. — x—y"^ -\-'^-\-x-\-zf -\-fitt.. = Minimum,

woraus Sic x, y, z mit leichter Mühe bestimmen.

Es lässt sich beweisen (freilich wird etwas künstliche Rechnung für diesen Beweis erfordert) :

I. Dass man , wenn man dieses Geschäft viermal ausführte , nemlich zweitens ausgehend von -J-J.+f. + J = l, dann von if-H-H = • und viertens von If .|-J-.|i = I, man 4 Endgleichungen erhält, die, genau besehen, identisch unter einander sind, d. i. die sämmtlichen 1 3 Theile (den absoluten mit gezählt) sind in allen proportional. Der Rath, die erste Entwickelung, auf das grösste Dreieck gegründet [zu nehmen], hat bloss zum Zweck, alles in den grössten Zahlen zu erhalten, die wirklich resp. den Flächen der AA 123, 023, 013, 012 proportional sind. Ich pflege übrigens der Sicherheit wegen alle 4 zu entwickeln.

Bei der Form ^^ geben zwei zu einander addirt dieselbe Summe wie die beiden andern; hei der Form ^^ ist Eine die Summe der drei andern. Ich addire alle 4, natürlich so gefasst, dass absolute Addition stattfindet.

So erhellt, dass der Symmetrie ihr volles Recht wiederfahren ist. Übri- gens gibt es hiebei noch Abkürzung der Arbeit, die ich übei^ehe, da die Arbeit, gegen das ganze Geschäft gehalten, jedenfalls ganz unbedeutend ist

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 253

n. Aber es ist nicht bloss wegen der Symmetrie. Existirte bloss Ein solches Viereck, so würde hier der grosse Vortheil gewonnen, dass die Aus- gleichung in dieser Form die Ausgleichung der 4 (unabhängig von einander bloss 3) Bedingungsgleichungen [der 2. Art], welche dies Viereck darbietet, gar nicht stört. Gibt es mehrere solche Vierecke, die von einander getrennt sind (keine Seite gemein haben), wie in meinem System mehrfach der FaU war, so bleibt derselbe Vortheil für alle diese ; es werden dann immer nur die Winkel- summen in den angrenzenden AA gestört. Aber ich bin überzeugt, dass, selbst bei einem so verschränkten System wie das Ihrige, auf diesem Wege eine sehr bedeutend schnellere Ausgleichung gewonnen sein würde.

Ich glaube, es wird Ihnen Vergnügen machen, dieses Verfahren einmal auch nur auf Eines Ihrer Vierecke anzuwenden. Bei 5-Ecken, 6-Ecken, etc. ist es übrigens ganz analog.

Mir war wirklich dies Verfahren beinahe aus dem Gedächtniss gekommen, so dass ich es erst bei der Inspection alter Rechnungen von 1826 wiederfand. Denn bei den spätem AA, wie auch dieses Jahr bei den Messungen im Bremischen, gehe ich etwas anders zu Werke, da sie den grossen Zeitaufwand nicht verdienen. Ich gleiche erst bloss die Winkelsummen scharf aus, worin ich eine solche Fertigkeit habe, dass ich z. B. fär die sehr verschränkte Bremer Messung nur Eine Stunde dazu brauche. Dann gehe ich zu den Bedingungsgleichungen der 3. Art (Seitenverhältnisse), die ich so behandle, dass, während ihnen genau Genüge geleistet wird, jene Winkelsummen durchaus gar nicht wieder gestört werden. Dies gibt zwar nicht das absolute Minimum der Quadratsumme, bleibt aber jedenfalls nicht viel davon zurück und bringt alles in vollkommene Übereinstimmung. Bei den westphälischen Messungen habe ich das Verfahren wohl so modificirt, dass ich das Geschäft mehrere Male durchmachte, was sich so einrichten lässt, dass man der absoluten klein- sten Quadratsumme immer näher kommt, je öfter man wiederholt. Indessen ist es ganz unmöglich, dies Verfahren in der Kürze zu beschreiben.

NACHLASS.

• >».

[4.] .: Ausgleichung der Winkel im Viereck.

« Tunkte a, 6, c, rf;

• '^l'.or Inhalt des Dreiecks bcd

cda dah abc\.

i vol bcd werde mit Ac bezeichnet, und so die übrigen.

»

»

»

»

»

»

»

»

»

iO

log-

B

logj

n Bc . sin Cd . sin I)b nBd. 8inC6 . lin 2>c

n C(2. sin Da. sin ^c

= a

ß

in Ca .ün De. üin Ad

1 sin Da. sin ^&. sin JB(i

" «iuD^.sinuld.öin^a •

in^&.sinBc.sin Ca

nAc . sin Ba . sin Cb

= 8.

$

Muu hat dann [wenn die Winkelsummen in den Dreiecken bereits aus- ^vxUohou sind:]

A '^ B C '" D ~' ^'

\\\\{\ angenähert nach Art. 1, indem man die Richtungsverbesserungen C®* und (*^*\ u. »• w., die jetzt mit dab und dba, u. s. w. bezeichnet werden, einander ^\v\vh setzt und gleichzeitig A für — T% B für T\ C für — T^ und D für T Nchreibt,]

^l* = S-^^^""i-ii-^^^ + ^-^^^ + ii-^*^~^-^*^+2^'^^^'

M =

206265

k = Modulus der briggischen Logarithmen

log 31= 5,676 6408.

Beispiel.

Viereck: Deister, Lichtenberg, Garssen, Falkenberg.

de b a

[Die Ausgleichung der Winkelsummen der 4 Dreiecke des Vierecks in der Kbene hatte die nachstehenden Werthe ergeben.]

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN.

255

[Ab 47" 18' 46"567 Ac 66 1 16,315 Ad] 66 39 57,118

[Ba Bc Bd\

34" 33' 59;066 55 34 13,347 89 51 47,587

[Ca Cb Cd]

57" 33' 17^328 99 14 52,202 23 11 50,470

[Da Db De]

22" 59' 18^262

146 33 38,770

10 27 2,968

180 0 0,000| {180 0 0,000| |180 0 0,000| |180 0 0,000

[Die angenäherten Werthe der Logarithmen der Seiten sind:

ab .

..4,44961 6c...

4,78266

ac .

..4,93218 bd...

4,78052

ad.

..4,84854 cd...

4,68605.

)ainit

ergibt sich

• m

log^

— 9,42951

aiaCd.. .9,595 3854

sin Ca . .

. 9,926 2936

log 5

— 9,53459

sinDa. .. 9,5916709

sin De . .

. 9,258 6170

logC

— 9,22445

8in.4c. . . 9,960 8017

ainAd. .

.9,962 9423

logD

— 8,97346

9,1478580

9,147 8529

B.

V- • M.

. . 4,70757 . . 9,53459 . . 5,17298 .. 5,67664 .] 0,84962

[ab' . . . 8,89922 CD... 8,19791

[ß = 0,000 0051]

[ac* 9,86436

BD . . . 8,50805

[ad* 9,69708

BC 8,75904

0,70131

1,35631

0,93804

bc\.

. . 9,56532

bd*..

...9,56104

crf* . .

..9,37210

AD.

.] 8,40297

AC .

.; 8,65396

AB..

.; 8,96410

1,16235

0,90708

0,40800

WO

also

ist.]

7;'073 = 5,027öa6— 22,715öac + 8,670öarf+14,533öfec

— 8,074ö6rf + 2,559dcrf.

[Hieraus erhält man für die Verbesserungen

öaft = 5,027x, öac = — 22,715x, u. s. w.,

899,35x = 7,073,

logx = 7,89567 — 10

256

NACHLASS.

dab = +o;'0395 dac = —0,1786 dad= 4-0,0682 dbc = +0,1143 dbd = —0,0635 dcd = +0,0201.

[Die Winkelverbesserungen sind daher

dAb = dÄc = dAd =

dbc-\-dbd dcd-\-dbc dbd^dcd

U. 8. W.

— 0^178 + 0,094

+ 0,084

Mit dem gegebenen Werthe der Seite cd (Lichtenberg — Deister) als Aus- gangswerth für die Seitenberechnung ergibt sich mithin die folgende Zu- sammenstellung :]

[ Station

Winkel

log sin

Log. 1 der Seiten J

Garssen

Lichtenberg

Deister

Falkenberg

Lichtenberg

Deister

Falkenberg

Garssen

Deister

Falkenberg

Garssen

Tiichtenberg

47" 18' 46';389 66 1 16,409 66 39 57,202

34 33 59,313 55 34 13,148 89 51 47,539

57 33 17,357 99 14 52,305 23 11 50,338

22 59 18,044

146 33 38,695

10 27 3,261

9,866 3270 9,960 8018 9,962 9424

9,753 8603 9,916 3595 9,999 9988

9,926 2937 9,994 3182 9,595 3848

9,591 6698 9,741 1930 9,258 6204

4,686 0451 4,780 5199 4,782 6605

4,686 0451 4,848 5443 4,932 1836

4,780 5199 4,848 5444 4,4496110

4,782 6605 4,932 1837 4,4496111

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 257

[5.] - Viereck zwischen 4 Punkten 1. 2. 3. 4.

Bedingungsgleichimg wird so formirt: Product der Perpendikel auf die Seite 12 aus den Punkten 3 und 4 sei /?'/>', etc.; dann ist, Richtung der Seite 12 mit a [ihre Verbesserung mit da = dl2] bezeichnet imd p'p' = A gesetzt, und so mit den übrigen:

o = ^+'4+

• • •

[oder]

j-ft flinl42Bm321 , -^ , sin 213 ein 421 ,. .

0 = dl2 ^-qT7-=— r^dl3 + -.-Q-,>r. -r^dl4

Bin 314 am 182 ' Bin 314 sin 142

, Bin213Bin421 ,^^ Bin 214 Bin 321 , ^ . , / Bin 214 Bin 321 , ^.

' flin3248inl32^^^ sin 324 Bin 142 ^ '^ ^ "• I Bin 143 Bin 432 **^^

Oder "^l^rfUiA,

Bin 431 Bin 243

[6-] [Ausgleichung eines Polygons.]

Schliesst eine Anzahl von n Dreiecken um Einen Punkt zusammen und ist

A Correction der Summe der Winkel a, a\ a" im ersten Dreieck JB » » yi bj b\ b" » zweiten »

C » » » Cj c\ c" » dritten »

u. s. w.,

und 8 die Correction der Summe der Winkel a-\'b-\-c-\- etc. [die um den Punkt herum liegen], so corrigirt man

^; j jeden um ^^ + ^5 + ^C+..._^S

u. s. w. [Vorausgesetzt ist hiebei, dass man nur die Winkelgleichimgen, nicht

IX.

33

258 NÄCHLA8B.

aber die Seitengleichung, in RückBicht zieht, und dass alle Winkelbeobacli- tungcn gleiches Gewicht, 1, haben.]

Diese Vorschrift kann auch auf folgende Art eingekleidet werden.

1) Man verbessere zuerst jeden "Winkel im ersten Dreieck \mi ^A, im zweiten um ^B, u. s. w.

2) Sodann nochmals die um den Einen Punkt herum liegenden, so dass sie Bchliessen.

3) Dann bringe man noch die Hälfte dieser andern Correction mit ent- gegengesetztem Zeichen auf jeden der übrigen Winkel.

Der mittlere noch zu befürchtende Fehler [eines jeden a, b, c, . . . ist gleich]

[und eines jeden a', b', a", i*, ... gleich]

[m ist der mittlere Fehler der Gewichtseinheit.]

['■]

Gewicht von Höhenbestimmungen. Mit einem Anfangspunkt P ist eine Reihe anderer [Funkte] p, p\ p', p"\ . . . p'"*, u. 8. f. SO verbunden, dass die Höhenunterschiede Pp, Pp', pp\ pp"i V'p'y pp"* p"?"' p''p'^f "■ ^' ^'» *1^ die Unterschiede jeder Höhe von den Höhen der beiden vorhergehenden und der beiden folgenden, mit gleicher Zuverlässigkeit beobachtet sind. Dann ist das Gewicht der Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen P und p^"^ nach der Methode der kleinsten Qua- drate

«=01234 5 6 7 8 9

Gewicht: f i 1 H H iH Hi iVÄ HH tWA-

Die Zähler sind die Coefficienten der Reihe ans der Entwickelung dra ßruchs

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUKEN. 259

und folglich in der Formel

begriffen, wo

2r=3 + \/5 oder r= 2,618 0340 logr = 0,417 9752

ist; ebenso entstehen die Nenner aus der Entwickelung des Bruchs

{l + x){l-dx + xx)^

und werden also dargestellt durch die Formel

-jV{(3w + 7)r"+* — (2w + 2)r" — (2w+2)r-'* + (3n+7)r-'*-* + (— 1^8}. Der Grenzausdruck für das Gewicht wird

26 6n + 6 + 4V6'

BEMERKUNGEN.

Die Notiz [l] und der grösste Theil von [2], sowie die Notiz [7] befinden sich in demBelben Hand- buche. [6] gehört einem andern Handbuche an. Das SchlussergebniBB von [2] steht auf der letzten Seite des QAüBSschen Exemplars von Cabnotb Geometrie der Stellung, übersetzt yon Schumacheb. Erster Theil, 1810.

Wenn in einem Viereck mit Hülfe yon 3 Winkelgleichungen, in der Weise wie unter [s] im Briefe an Gbblino vom 19. Januar 1840 angegeben ist, die Seitengleichung umgeformt wird, so lässt sich leicht zeigen (yergl. IE, S. 268), dass die durch die Ausgleichung des Vierecks sich ergebenden Verbesserungen sich zusammensetzen aus den Verbesserungen, welche die Ausgleichung mit Bücksicht auf 3 Winkeiglei- chungen allein, und den Verbesserungen, welche die Ausgleichung der umgeformten Seitengleichung allein erfordert. Denn bildet man aus den Winkelgleichungen und der umgeformten Seitengleichung die Aus- drücke für die Correlaten und mit diesen die Normalgleichungen, so h&ngen die den Winkelgleichungen ent- sprechenden Normalgleichungen mit der Normalgleichung , die aus der umgeformten Seitengleichung ent- steht, nicht zusammen. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Factoren, mit denen die Winkelgleichungen multiplicirt sind, bevor sie zur ursprünglichen Seitengleichung addirt wurden, so bestimmt werden, dass die Summe der Quadrate der Coefficienten in der neu entstandenen Seitengleichung ein Minimum wird. Es ist hiebei nicht nöthig, dass die constanten Glieder der Winkelgleichungen, die zur Umformung der Seiten- gleichung benutzt werden , vorher durch Ausgleichung auf Null gebracht sind. Ist aber das letztere der

33*

260 BEMERKUNGEN. AUSGLEICHUNO EINFACHER FIOUREM.

FkU, ao muH die Conltanta der Seitengleiohung natürlich mit den Werthen beTeehnet werden, die die Aui- gleichnog der Winkelgleiohungeu geliefert hat.

Die Ao&eichnung unter [<] itt einem tur huknorenchen OradmeMung gehörigen Bechnungihefte entnommen. Die Seitengleichungen in der angegebenen Form sind dort bei einer Au^leiohung der auf den Jahren IBII bii 1B31 itanunenden Dreiecke bis lur Seite Hambrni;- Timpenberg angeaetzt worden. Nachdem tuerat die Winkeliummen der Dreiecke su^egUchen «ind,, erfolgt die Anigleichung der von den Beitenverhiltniuen berrflhrenden abgekünten BedingungigleJchungen. Die 'Winkeliuimnen der Drriecke werden durch dieae Auagleiehung nicht geAndert. Auf dieae« Verfahren beneht lich wohl der Sehluaa dea unter [i] mitgetheilten Briefea an ObbliHO vom ii. Januar i84a. Für numeriaahe Bechnungen erhih man dieae Beitengleichung ebenao bequem, wenn man die Coetficienten ihrer Verbeicerungen in gewöhnlicher Weile entweder mittelat logarithmilcher Differenien oder mittelat der Cotangenten der tugehörigen Winkd bildet, nnd aladann die Verbeiaerung der Richtung ht gleich der Verbetierung der Richtung ih ietzL

Die ente Formel dei Art. 1(] befindet lich in demselben Rechnungthefte wie [4], wihrend die twdte Formel auf da« Vonatibktt einer Logarithmentafel eingetragen iat. Wenn dai Froduot der Perpendikel von den Funkten t und t auf die Seite ii durch P„, da« Frodnct der Ferpendikel aua i und * auf u dureb P,,, u. a. w. beieichnet wird, femer dii, di3, u. a. w. die Richtungalnderungen von ti, is, n. ■. w. bedeuten, ao lautet, wenn daa Viereck ausgeglichen ist, nach Art. [(] die Beitengleichung in der angeni- herten Form :

du du du du ■ di4 ^,7 ~ >,7 ~^ J\^'^

- + -.

Hierana ergibt ateh aofort die iweite Formel dei Art. \i]. Im Original hat daa Glied mit di4 der letct«n da« Uinuironeiohen, wfihrend die flbrigen Glieder iimmtliah poiitiT aind; ea iat jedoch di«Mr Formel von OaDbb tngefligt: ■ Vorbehaltlich der Voneichen.'

Zu der Notii [T] itä noch folgendee bemerkt. Iit

wobei Nf^o und .ST] ^ i iat , io wird daa reeiproke Gewicht de« Höhenuntenohiedea durch die Foimel

(>n+ n}jy^, - »iy, + !- i:"g

erhalten, aua der, wegen lim, .. " = — - — < »!■ Greniauadruok

l^tgt, KxCqek,

STATIONSATTSGLEICHÜNGEN.

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

[10

[Stationsausgleichung fiir] Zeven aus sämmtlichen Messungen von 1824 und 1825 (ohne die vom 4. und 5. August).

[Annahme für die Azimuthe.]

1

Steinberg

1«

17' 45^262 + a

Brüttendorf, Centr.

17

21 48,275

2

— Strich

17

21 58,264+/"

Bremen, Centr

•

53

26 10,871

3

— Heliotrop

53

26 13,375 + 6

4

Brillit

124

13 47,128 + c

5

Seisingen

152

47 56,646 + rf

6

Litberg

246

0 49,110 + «

7

Wilsede

288

22 42,653+/"

Beobachtete . . , , ..,. , , Anzahl der Winkel

Bepet

ätionen

Beobachtungiwerthe

iia r.

1.3 57—

35^

-22

52" 8' 27"798

1.4 68

40

28

122 56 1,603

1.5 9

2

7

151 30 11,417

3.4 132

70

62

70 47 33,506

3.5 16

2

14

99 21 44,047

4.5 12

*

12

28 34 8,541

4.7 48

30

18

164 8 54,719

6.7 45

15

30

42 21 53,578

6

. 1 53

29

24

115 16 56,075

264 NACHLASS.

[Boobftchtoto 1

■^f. . I Anzahl der Bepetitionen Beobachtungiwerthe I

KreU

l. r.

6.3 2 = 2-1- * 167*25' 25*500

7.1 27 5 22 72 55 1,408

7.2 20 10 10 88 59 15,611

7.3 3 3 # 125 3 29,167 3.4 + 3.1 i # i 18 39 5,500.

[Die Ausdrucke für die Fehler der Beobachtungswerthe sind alsdann:]

-|-o;315 — a + 6 -1-0,263 — o + c

— 0,033 — a + i -1-0,247 — 6 -f-C

— 0,776 — 6-t-rf -i- 0,977 — c-frf

-1-0,806 — c-H^

— 0,035 — «+/" + 0,077 + a — «

— 1,235 + 6— e

+ 1,201+0-/"

* #

+ 1,555 + 6—/"

+ 0,140 + a— 26 + c.

[Wenn diesen Ausdrucken die Repetitionszahlen iur die zugehörigen Winkel als Gewichte beigelegt werden, so ei^eben sich die nachstehenden Normalgleichungen :]

[0= +l,036 + 214,5a— 586— 67,5c— Qd— 53«— 27/" 0= —0,178— 58 a+2126 — 133 c— 16d — 0= +0,146— 67,5a— 1336 + 260,5c—12rf 0= —0,989— 9 a— 166— 12 c+37<f 0= —0,036— 53 a— 26 # * +I00e— 45/

0=] +0,021— 27 a— 36— 48 c # — 45«+ 123/".

2e —

3/-

# —

48/"

#

#

STATIONSAUSGLEICHUNGEN.

266

[Zu ihrer Auflösung hat man das folgende Tableau, bei dem die Werthe der Constanten und der Unbekannten in Einheiten der 3. Decimalstelle der Secunde zu verstehen sind.]

rf— +27

a 4

6 — +2

e 2

f--t

« — — 1

+ 793

— 65

— 181

— 75

— 21

+ 32

— 610

— 378

+ 46

+ 50

+ 56

+ 58

— 178

+ 92

— 174

— 174

— 78

— 78

+ 10

+ 46

+ 14

+ 14

+ 14

+ 14

— 36

+ 176

+ 172

— 28

+ 62

— 38

+ 21

+ 129

+ 123

+ 213

— 33

+ 12.

a

— 4

b

+ 2

c

0

d

+ 27

e

— 3

f

— 2

1

2 3 4

[2.]

[Stationsausgleichung für] Brillit.

[Annahme für die Azimuthe.]

1 9® 4 r 5 7;'9 8 2 + a Bremen, Heliotrop

49 19 52,539 + 6 Garlste

124 0 37,9674-c Bremerlehe, Heliotrop

304 13 51,679 + rf Zeven, Heliotrop.

[Beobachtungstableau.]

Oemeisene Winkel

Anzahl der 1 Repetitionen

[Kreis] l. r.

dir. luppl.

1.2

42

22

20

21 21

2.3

48

24

24

24 24

4.1

44

23

21

23 21

4.2

40

20

20

20 20

4.3

24

7

17

13 11,

34

266

Mit Rückricht auf die

constante Verbesserung der Winkel >= x\ steht

daa Tableau bo:

[ Wink«!

l.J

21 29°3r63;381+ x'

21 55,846- x'

2.3

24 74 40 44,844+ x'

24 46,021 - *'

4.1

21 75 28 6,631+ x'

20 7,060- *'

3 6,333 +il'[*)]

4.S

16 106 6 0,317+ »'

15 1,533— x'

10 0,460 . [•*)]

4.3

13 179 46 45,962+ x'

11 46,522- x'.

[Wild] x = +0^723 +

X [gesetzt, so lauten die Ausdrücke für die Be-

obacfatungsfeblei der Winkel;]

+ 0"453 — a + 6— X

-0,565-a + 4+ X

— 0,139 — i + c— X

+ 0,130 — 6+1:+ X

— 0,051+« — d— X

— 0,024 + 0 — d+ X

— 0,271 +a—d—ix

-0,180+J— iJ— X

+ 0,050 + 6— lj+ X

+ 0,410+6-1« .

— 0,397+c — d— X

+ 0,489+1;— iJ+ X,

[auB denen, wenn die zugehörigen Repetitionszahlen als Gewichte angenommen

['] Im Beobachtitagibuche ist dieser Meisung lugefQgt:) >1. und 3. |Repetition] düeet, i. Supplement« [**) Zu dieier MeHung iit im Beobttehtungtbuche bemerkt:] nabwecbielnd dii. und Buppl.; t. S. t. T. B. direct, 1. t. S. ». lo. Supplement.'

STATIONSAUSGLEICHUNGEN.

267

werden, sich die nachstehenden Normalgleichungen ergeben:]

[0= —0,070-1-185^0?— 2a # — 2c+ Ad

0= —0,012— 2 x+S6a— 426 # — 44rf 0= +0,014 # — 42a4-1306 — 48c— 40rf

0= +0,002— 2 J? # — 486 + 72C— 24d 0=]— 0,004+ 4 0?— 44a— 406— 24c+ 108rf.

[Ihre Auflösung beeinflusst die dritte Decimalstelle der Secunde in den angenommenen Werthen nicht mehr; mithin sind diese auch zugleich die Ausgleichungswerthe.]

Summe der [mit den zugehörigen Repetitionszahlen multiplicirten] Qua- drate [der Fehler]: 19,052630.

[Mittleres Fehlerquadrat:] i. 19,052630 = 2,381579. [Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit:] ^2^381579 = ± i;543236.

[Nach der Ausgleichung ist das] Gewicht von a?' = +0^^723 +ir gleich 185,1624; [daher]

E. pr. [= ± 0,1 1 3 . 0,674 . . .] = ± 0,076.

Bei den neuen Messungen in Zeven ist

Bremen— Brillit 25 [Rep.] direct 70"47'32;'810

25 » Supplement 34,510

X = 0^850.

50 [Rep.].. 70" 47' 33^660

[3.]

Wilsede aus sämmtlichen Messungen von 1822 und 1824.

[Annahme.]

1

Falkenbei^

7« 51'

9';430 + a

2

ElmhoTSt

46 31

36,382 + 6

3

Steinberg

67 11

27,430 + c

4

Bottel

72 0

39,776 4-rf

5

BuUerbexg

89 5

3,816+«

34

268

NACHT. ARS.

6

Brüttendorf

103"

40'

9^1 94+/"

7

Zeven

108

22

39,286+^

8

Litberg

138

28

9,283 + Ä

9

Hamburg

183

29

1,167 + t

10

Syk

204

28

34,438 +*

11

Hohenhom

219

29

33,893 + /

12

Lüneburg

253

20

5,387-f-m

13

Nindorf

275

29

13,209+n

14

Timpenberg

283

5

9,299 + 0

15

Wulfsode

298

29

57,926+;)

16

Breithom

330

3

15,798+^

17

Hauselberg

334

25

35,1 52 +r.

f Beobachtete Winkel

Gewichte

Beobachtungawerthe

Fehlerauidrflcke

1.5

7

81"

13'

53^429

+ 0;957— a + «

1.6

20

95

49

0,287

— 0,523 — 0 + /"

2.3

40

20

39

50,369

+ 0,679— 6 +c

2.6

8

57

8

33,469

— 0,657 — 6+/"

2.7

29

61

51

3,103

— 0,199 — 6+y

2.8

68

91

56

33,140

— 0,239— 6 +A

2.9

3

136

57

24,167

+ 0,618 — 6+1*

3.6

10

36

28

41,225

+ 0,539 — C+/"

3.7

11

41

11

10,773

+ l,083-c+y

3.8

11

71

16

42,455

— 0,602 — C+Ä

3.9

12

116

17

32,417

+ 1,320 — c+»

4.5

15

17

4

23,800

+ 0,240 — <£ + e

4.6

20

31

39

29,687

— 0,269 — d+/"

4.7

5

36

21

59,300

+ 0,210 — d+y

5.6

20

14

35

4,863

+ 0,515 — «+/"

6.7

18

4

42

30,458

- 0,366 -/"+y

6.8

50

34

48

0,125

— 0,036— /" + A

7.8

41

30

5

30,067

— 0,070— y + A

8.9

30

45

0

52,592

— 0,708 — A +

•

1

STATIONSAVSGLEICHUNGEN.

269

f Beobachtete Winkel

Oeiriehte

Beobaehtungfwerthe

4

Fehlerauidrüoke

8.12

10

114«

'51'

56?275

— 0^171— A + m

9.10

30

20

59

33,575

0,304 i -\-k

9.11

50

36

0

32,745

— 0,019—» +/

9.12

58

69

51

3,840

+ 0,380— t +m

9.17

20

150

56

34,762

— 0,777 — » +r

10.11

20

15

0

59,912

— 0,457— *+/

11.17

21

114

56

1,738

— 0,479 — / +r

12.13

30

22

9

7,983

— 0,161 —m-^n

12.14

15

29

45

3,917

— 0,005 — m+o

12.15

2

45

9

52,875

— 0,336—»»+;)

12.17

27

81

5

29,213

+ 0,552— »n+r

12.1

20

114

31

3,413

+ 0,630 — m + a

12.4

12

178

40

34,521

— 0,132 — m+d

13.14

4

7

35

56,812

— 0,722 — n +0

13.16

20

54

34

2,687

— 0,098— n -\-q

14.15

72

15

24

48,837

— 0,210 — 0 +JB

14.16

52

46

58

6,423

+ 0,076 — 0 +g

14.17

21

51

20

25,464

+ 0,389 — 0 +r

15.16

54

31

33

17,733

+ 0,139— ;> +g

15.17

52

35

55

37,356

— 0,130— ;>+r

15.1

38

69

21

11,941

— 0,437— jo +a

16.17

10

4

22

18,400

+ 0,954 — g+r

17.1

55

33

25

34,273

+ 0,005 — r +a

(2. 3) + (2. 7)

i

82

30

55,250

— 1,298 — 26 + c+^

(2.7) + (6.7)

i

66

33

34,000

— 1,004— b — f-]-2ff

(6. 8) + 9 (7. 8)

iV

305

37

28,000

+ 2,062— /"- 9^+lOA

(6. 4) + 3 (6. 8)

i

72

44

27,500

+ 3,349 + d— 4/' + 3A.

270

NACHLAB8.

o o o o

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2 §

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(D

P

8TATION8AU8GLEICHtJNOEN. 27 1

[4.]

(Ausgleichung der auf dem Wiudberge gemessenen Winkel

[vom Art.-Lieut. F. Habtmaiin].

Zielpunkte [Annahme]

1 Kiichhesepe 37" l' 38"0

2 Kloster ter Apel 91 23 46,2 + a

3 Onstwedde 119 22 52,6+6

4 Leer 174 5 30,3-j-c

5 Bassel 205 42 28,0 + d

6 Molbergen 276 35 42,5 + «

7 Queckenberg, Signal. ... 339 44 55,9-)-/'.

[Winkel Annahme Beobachtung]

1.2 54" 22' 8^2 + « = 54" 22' 7;575

1.3 82 21 14,6 #+6 =82 21 13,925

1.4 137 3 52,3 * « + C =137 3 52,650

1.5 168 40 50,0 # * *-{-d =168 40 49,575 6.1 120 25 55,5 * # # # — e =120 25 55,400

7.1 57 16 42,1 * # # # *— /■= 57 16 41,900

2.3 27 59 6,4 — a + 6 = 27 59 6,237

2.4 82 41 44,1— a # + c = 82 41 45,100

2.5 114 18 41,8 — a # * + d = 114 18 41,465

2.6 185 11 56,3— a * * # + 6 =185 11 55,500

7.2 111 38 50,34-a * # * *— /"= 111 38 51,240

3.4 54 42 37,7 *— 6 + c = 54 42 37,625

3.5 86 19 35,4 *— 6 * + rf = 86 19 36,900

3.6 157 12 49,9 *—b * *-{-e =157 12 50,350

7.3 139 37 56,7 *-\-b * * *— /"= 139 37 58,450

272 MACHLASS.

4.5 3l"36'57"7 * # — c + i = 31* 36' 567275

4.6 102 30 12,2 * # — c * + « =102 30 13,050

4.7 165 39 25,6 # # — c # #-{-/•= 165 39 26,450

5.6 70 53 14,5 * * * — d-{-e = 70 53 14,900

5.7 134 2 27,9 # # * — d #4-/"= 134 2 29,475

6.7 63 9 13,4 * # * m—e-\-f= 63 9 13,255.

[Fehlerausdrücke für die beobachteten Winkel:]

+ 0;625 + a + 0,675 *4-6

— 0,350 » #-|-c

+ 0,425 # # * + d + 0,100 # # # # — e + 0,200 #•*##—/•

+ 0,163— a + 6 -1,000-0 # + c + 0,335 — 0 # # + rf + 0,800—0 # * # + «»

— 0,940 + a # # * *— /•

+ 0,075 # — 6 + c

— 1,500 » — 6 * + rf

— 0,450 # — 6 * # + g

— 1,750 # + 6 # * #—f

+ 1,425 # # — c + i

— 0,850 * # — c # + e

— 0,850 * « — c » *+/•

— 0,400 * * ^t: — d-\-e

— 1,575 * * * — d «+/"

+ 0,145 # * # <^_g+^.

STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 273

Normalgleichungen.

0 = — 0,61H + 6a— 6— c— d-- e— f 0 = +0,963— a+66— c— d— e— f 0 = — 1,000— a— 6+6c— rf— e— f 0 = +2,660— a— h— c+6rf— e— f 0 = — 1,145- a— 6— c— d-\-%e— f 0 = +0,210— o— h— c— rf— Ö+6/"

[woraus folgt, da 0 = + l,075 + a + 6 + c + {i + e + /* wird:

fl = — o;'o66 c = — o';oii <? = +o';oio

6 = —0,291 rf=— 0,534 /*=— 0,183,

und hiemit als mittlerer Winkelfehler: ± 0'J96].

Bemerkung. Die Winkel sind mit dem 8 -zölligen alten Reichenbach - sehen Theodolithen gemessen worden, ich pointirte indessen mit meinem eigenen Femrohr von 40 -maliger Vergrösserung ; jeder einzelne Winkel wurde 20 -mal repetirt, Ablesungen von 5 zu 5, und zwar wurden erst 5 vorwärts, dann 5 rückwärts gemessen. Die Hemmung des Nonienkreises und das Einstellen des Femrohrs geschah mit der rechten Hand (Klemme des Nonienkreises rechts). Die Beweglichkeit des Armes mit dem Versiche- rungsfemrohr wurde durch das Anziehen der Schrauben, welche durch das Band gehen, ganz aufgehoben; die Kugel und Mutter von der Micrometer- schraube an der IQemme des eingetheilten Kreises wurden so fest gepresst, dass wenigstens kein Spielraum übrig blieb; die Kugel und Mutter von der Micrometerschraube des Nonienkreises wurden nicht ganz so stark, aber hin- länglich fest geklemmt. Die Hemmung des Nonienkreises geschah mit vieler Vorsicht, und es wurde nur so fest geklemmt, dass sich durch den Schwung bei dem Herumfahren des ganzen Instruments der Nonienkreis nicht ver- stellen konnte. Der verticale Faden und die optische Axe wurden fast jeden Tag berichtigt ; das Nivellement erhielt sich fast durchaus unveränderlich, die Aufstellung war sehr fest.}

35

274 NACHLAB8.

[5.]

[Beobachtungen auf] Breithom [1822].

Sept. 13. Nachmittags.

Z[^enith-]D[i8tanz] der Oberfläche des Hauselbetg-Steines. [Bep. Ables. an 4 Nonien] 0

20

0 20

0 10

101' 41' 22T22"22T24'' = 101* 41' 22!50 )

90* r 47:9625. 102 17 22.23.20.22 = 102 17 21,75 I

Z.-D. der Oberfläche des Escheder Steines [*)].

102 17 22. etc. = 102 17 21,75 |

90 10 36,375. 105 49 28.30.30.29 = 105 49 29,25 I

Theodolith. Kreis links.

Eschede, Stein — Hauselbeig, Stein.

283 13 63.59.70.65 = 283 14 4,25 |

121 56 7,900. 62 35 21.24.29.19 = 62 35 23,25 1

Eschede, Stein — Falkenberg, Stein (schwer von naher Baumspitze zu unter- scheiden).

0 62 35 21. etc. = 62 35 23,25 )

93 38 25,850. 10 .278 59 39.38.47.43 =278 59 41,75 )

Eschede, Stein — Hauselbeig, Stein.

0 278 59 39. etc. = 278 59 41,75 \

121 56 9 525 f 10 58 21 15.19.20.14 = 58 21 17,00 ' | 121* 56' 8:925.

20 197 42 39.37.39.46 = 197 42 40,25 ' l

Wilseder Signalbaum — Hauselberg, Stein.

0 197 42 39. etc. = 197 42 40,25 |

27 28 1,000. 2 142 46 40.38.37.38 = 142 46 38,25 i

[*) Der Funkt Eiehede ist ip&ter Sehanihont genannt.]

8TATI0N8AU8OLEICHUNOEN.

275

0 2 4 6

0

4

8

12

0

8

20

0 5

0 4

0 5

Sept. 14. Yoimittags li''. Sehr stark undulirende Ltift.

Z.-D. des Wilseder Heliotrops. 108*47' 14:11:17:17" = 108" 47' 14';75 289 2 45.50.49.47 = 289 2 47,75 109 17 29.35.33.31 = 109 17 32,00 289 33 29.38.35.31 = 289 33 33,25

90* 7' 46^500

7 22,125

8 0,625

90" T 43^083

Z.-D.

289 33 29. etc.

290 18 29.38.33.30

291 4 5. 9. 6. 6 291 48 23.30.24.24

des Escheder Heliotrops.

289 33 33,25

290 18 32,50

291 4 6,50 291 48 25,25

90 11 14,812 11 23,500 11 4,687

90 11 14,333.

Z.-D. des Wilseder Heliotrops (von 2" an).

291 48 23. etc. = 291 48 25,25

292 42" 19.23.18.17 = 292 42 19,25

293 58 30.33.34.31 = 293 58 32,00

Luft etwas besser.

90 6 44,250 6 21,062

90 6 30,337,

Theodolith. Kreis rechts. Wilsede [Heliotrop] — Hauselbei^, Stein. 322 46 31.32.34.35 = 322 46 33,00 185 30 26.22.17.23 = 185 30 22,00

27 27 14,200.

Wilsede, Heliotrop — Eschede, Stein. 185 30 26. etc. = 185 30 22,00

307 57 4. 6.10. 9 =307 57 7,25

149 23 18,6875.

Wilsede, Heliotrop — Hauselbei^, Stein. 307 57 4. etc. = 307 57 7,25

170 41 6. 9. 1. 7 = 170 41 5,75

27 27 12,300.

35'

276

NACHLABB.

0 2

12 19 26 33 35 38 39

Wilsede [Heliotrop] — Eschede, Heliotrop.

170*^41' 67 etc. = 170^41' 5';75

231 54 30.24.26.30 = 231 54 27,50

178 0 68.63.59.67 = 178 1 4,25

212 17 58.53.54.59 =212 17 56,00

246 34 37.30.35.33 = 246 34 33,75

280 50 59.57.59.58 = 280 50 58,25

342 4 14.20.17.18 =342 4 17,25

253 54 20.14.19.14 =253 54 16,75

104 30 60.56.51.49 = 104 30 54,00

149^23' 19';i25 20,325 18,321 20,321 22,214 20,500 20,167 22,750

149® 23' 2O';300.

149 23 17,650.

Sept. 15. Theodolith. Kreis links.

Wilsede [Heliotrop] — Eschede, Stein. Papier - Streifen 0,0475 m westl. vom

Centr., beträgt 0^8 7 3.

0 284 30 48.51.61.54 = 284 30 53,50

10 230 37 58.52.59.59 = 230 37 57,00

Eschede (wie oben) — Falkenberg, Stein.

0 230 37 58. etc. = 230 37 57,00 )

93 38 24,906. 8 259 45 13.13.22.17 =259 45 16,25 )

Eschede (wie oben) — Hauselberg, Stein.

0 259 45 13. etc. = 259 45 16,25

5 149 25 49.51.47.50 = 149 25 49,25

121 56 6,600.

Sept. 16.

Z.-D. des Falkenberg- Heliotrops. Die ersten 20 [ßep.] Vorm. von 9|~10^^,

an den übrigen Nachm. 2^40" fortgefahren.

0 293 58 29.36.34.29 = 293 58 32,00

2 114 3 49.54.50.51 = 114 3 51,00

4 294 9 19.23.19.18 = 294 9 19,75

6 114 14 50.50.48.48 = 114 14 49,00

8 294 20 26.33.27.25 = 294 20 27,75

10 114 25 54.58.58.57 =114 25 56,75

12 294 31 35.35.35.36 = 294 31 35,25

20 294 53 50.58.55.51 = 294 53 53,50

22 114 59 14.18.14.14 = 114 59 15,00

30 115 20 41.50.42.43 = 115 20 44,00

90 2 39,500 44,375 44,625 49,375 44,500 49,250 47,281 40,750 41,125

90 2 44,400.

STATIONSAUSGLEICHUNGEN.

277

0

1

2 5 9 19 27 35 49 52

0 11

0

6

Theodolith. Kreis rechts. Falkenberg, Heliotrop — Wilsede, Heliotrop.

329® 25' 48749':5(/:49'' = 329® 25' 49;'00

25 10 39.46.38.40 = 25 10 40,75

80 55 40.35.33.29 = 80 55 34,25

248 10 21.10.16.16 =248 10 15,75

111 9 58.53.47.46 = 111 9 51,00

308 38 48.47.52.52 = 308 38 49,75

34 38 7. 7. 4. 1 = 34 38 4,75

120 37 33.25.22.23 = 120 37 25,75

181 6 19.15.10.19 = 181 6 15,75

348 20 57.59.53.59 = 348 20 57,00

55® 44' 5l';750 53,500 53,833 53,812 53,875 54,375 55,125 55,000 53,750

Falkenberg, Heliotrop — Hauselberg, Stein.

348 20 57. etc. = 348 20 57,00

299 35 41.41.41.45 = 299 35 42,00

28 17 42,275.

Wilsede [Heliotrop] — Hauselberg, Stein.

299 35 41. etc. = 299 35 42,00 134 52 30.29.21.25 = 134 52 26,25

27 27 12,625.

Einfache Winkel.

122® 36' 6" Hauselberg, Stein

Tempelbäume 1 — 2

55® 44' 54;'385.

121 26 22

121 25 47

121 25 26

121 23 37

121 22 49

121 22 17

121 20 54

3 4 5 6 7

Mehrere wurden nicht geschnitten; theils weil es schon zu spät geworden war (die Sonne längst unter dem Horizont), theils weil die Tempelbäume nicht genug von den Wichelbäumen zu unterscheiden waren, zu welchen letztem vielleicht schon einer oder der andere der geschnittenen gehören mag.

278

BRIEFWECHSEL.

[6.] [Über Stationsausgleichungen.]

Gauss an Gerling. Göttingen, 26. December 1823.

Mein Brief ist zu spät zur Post gekommen und mir zurückgebracht. Ich erbreche ihn daher wieder, um noch die praktische Anweisung zur Elimination beizufügen. Freilich gibt es dabei vielfache kleine Localvortheile , die sich nur ex usu lernen lassen.

Ich nehme Ihre Messungen auf Orber-Reisig zum Beispiel [*)].

Ich mache zuerst

[Richtung nach] 1=0, nachher aus 1 • 3

3 = 77®5r53;'l07

(ich ziehe dies vor, weil 1 . 3 mehr Gewicht hat als 1.2);

dann aus

13 50

1.2 2.3

2 2

26^44' 7';423 6,507

2 = 26^44' 6;'696;

endlich aus

26

1.4

4

6

2.4

4

78

3.4

4

136^21' 13;;481

8,529

11,268

4 = 136®2l'li;'641.

Ich suche, um die Aimäherung erst noch zu vergrössem, aus

[*) Die von Oerldto mitgetheilten WinkelmeBSungen waren (nach einem in Gauss' Naohlass befind- lichen Blatte], wenn i Berger Warte, 2 Johannisberg, 3 Taufstein und 4 Milseburg beseichnet:

Bep. Winkel

IS l.i = i6*44' 7;'4i8

38 1 .3 = 77 67 63, 107

36 1 .4 = 136 31 13, 481

60 3.3 = 61 13 46, 600

6 3.4 == 100 37 1,833

78 3.4 = 68 33 18, 161.]

8TATI0N8AU8OLE1CHUNGEN. 279

13

1.2

1 = — 0^727

28

1.3

1 = 0

26

1.4

1 1,840

1 = —0^855,

Da jede gemeinschaftliche Änderung aller Richtungen erlaubt ist, so lange es nur die relative Lage gilt, so ändere ich alle vier um 4*0^855 und setze

1 = 0® 0' 0^000 + a

2 = 26 44 7,551+6

3 = 77 57 53,962 + c

4 = 136 21 12,496 + d.

Es ist beim indirecten Verfahren sehr vortheilhaft, jeder Richtung eine Veränderung beizulegen. Sie können sich davon leicht überzeugen, wenn Sie dasselbe Beispiel ohne diesen Kunstgriff durchrechnen, wo Sie überdies die grosse Bequemlichkeit, an der Summe der absoluten Glieder = 0 immer eine ControUe zu haben, verlieren. Jetzt formire ich die vier Bedingungsgleichungen und zwar nach diesem Schema (bei eigener Anwendung und wenn die Glieder zahlreicher sind, trenne ich wohl die positiven und negativen Glieder), [wobei die Constanten in Einheiten der dritten Decimalstelle angesetzt sind:]

ab — 1664 ba + 1664 ca +23940 da —25610

ac —23940 bc + 9450 cb — 9450 db +18672

ad +25610 bd —18672 cd —29094 de +29094.

Die Bedingungsgleichungen sind also:

0 = + 6 + 67a— 136— 28c— 26d

0 = — 7558 — 13a+696— 50c— 6d 0 = —14604 — 28a— 50ft+156c— 7Sd 0 = +22156 — 26a— 66— 78c+110rf;

Summe = 0.

Um nun indirect zu eliminiren, bemerke ich, dass, wenn 3 der GxOssen a, 6, c, d gleich 0 gesetzt werden, die vierte den grössten Werth bekommt, wenn d dafür gewählt wird. Natürlich muss jede Grosse aus ihrer eigenen Gleichung, also d aus der vierten, bestimmt werden. Ich setze also d = — 201

280

BRIEFWECHSEL.

und substituire diesen Werth. Die absoluten Theile werden dann: +5232, — 6352, +1074, +46; das Übrige bleibt dasselbe.

Jetzt lasse ich b an die Reihe kommen, finde 6 = +92, substituire und finde die absoluten Theile: +4036, —4, —3526, —506. So fahre ich fort, bis nichts mehr zu corrigiren ist. Von dieser ganzen Rechnimg schreibe ich aber in der Wirklichkeit bloss folgendes Schema:

d 201

b — +92

a — — 60

c — + 12

a — + 5

i = -2

a=— 1

+ 6

-1-5232

+ 4036

+ 16

— 320

+ 15

+ 41

— 26

— 7558

— 6352

— 4

+ 776

+ 176

+ 111

— 27

— 14

14604

+ 1074

— 3526

— 1846

+ 26

— 114

— 14

+ 14

+ 22156

+ 46

— 506

+ 1054

+ 118

— 12

0

+ 26.

Insofern ich die Rechnung nur auf das nächste 2000*®^ [der] Secunde fahre, sehe ich, dass jetzt nichts mehr zu corrigiren ist. Ich sammle daher

a =

— 60

6 = + 92

c = +12

d= —201

+ 5

— 2

— 1

— 56

+ 90

+ 12

— 201

imd fuge die Correctio communis +56 bei, wodurch wird:

a= 0 6 = + 146 c = +68 rf = — 145,

also die Werthe [der Richtungen]

1

0" 0'

0^000

2

26 44

7,697

3

77 57

54,030

4

136 21

12,351,

Fast jeden Abend mache ich eine neue Auflage des Tableaus, wo immer leicht nachzuhelfen ist. Bei der Einförmigkeit des Messungsgeschäfts gibt dies immer eine angenehme Unterhaltung ; man sieht dann auch immer gleich, ob etwas zweifelhaftes eingeschlichen ist, was noch wünschenswerth bleibt, etc. Ich empfehle Ihnen diesen Modus zur Nachahmung. Schwerlich werden Sie je wieder direct eliminiren, wenigstens nicht, wenn Sie mehr als 2 Unbekannte

STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 28 1

haben. Das indirecte Yerfahren lässt sich halb im Schlafe ausfuhren, oder man kann während desselben an andere Dinge denken.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 22. December 1827.

Die Einheit in meinem Coordinatenverzeichnisse ist 443,307885 [Pariser] Linien; der Logarithm zur Reduction auf Toisen

= 9,710 1917.

Inzwischen gründet sich das absolute nur auf Ihre Basis, oder vielmehr auf die von Caroc mir angegebene Entfernung zwischen Hamburg und Hohen- hom, log = 4,141 1930, wofür ich also genommen habe: 4,431 0013. Sollte nach der Definitivbestimmung Ihrer Stangen Ihre Basis, und damit die obige Angabe der Entfernung Hamburg -Hohenhom, eine Veränderung erleiden, so werden in demselben Verhältnisse auch alle meine Coordinaten zu verän- dern sein.

In der Form der Behandlung ist ein wichtiges Moment, dass von jedem Beobachtungsplatz ein Tableau aufgestellt wird, worin alle Azimuthe (in meinem Sinn) geordnet enthalten sind. Man hat so zum bequemsten Ge- brauch fertig alles, was man von den Beobachtimgen nöthig hat, so dass man nur ausnahmsweise, um diesen oder jenen Zweifel zu lösen, zu den Original-

protocoUen recurrirt Ist der Standpunkt von dem Zielpunkt verschieden,

so reducire ich keinesweges die Beobachtungen auf letztem (Centrirung) , da sie ohne diese Reduction ebenso bequem gebraucht werden können (insofern nemlich von vielen Schnitten untergeordneter Punkte die Rede ist, die nicht wieder Standpunkte sind).

Die Bildung eines solchen Tableaus beruht nun wieder auf mehrem Momenten, wozu eine Anweisung nur auf mehrere Briefe vertheilt werden kann, daher Sie vielleicht wohl thun, dieses Tableau erst selbst gleichsam zu stu- diren und mit den Beobachtungen zusammenzuhalten, damit Sie mir beson-

iz. 36

282

BRIEFWECHSEL.

ders angeben können, worüber Sie Erläuterung wünschen. Diesmal bemerke ich nur, dass zu jener Bildung zwei Hauptstücke vorkommen, nemlich :

I. Bildung eines Tableaus, welches sich bloss aus den Messungen andern Platze ergibt, und welches also noch nicht orientirt ist.

n. Orientirung des Tableaus durch Hinzufugung einer Constanten. Dabei bemerke ich, dass ich das erste Tableau der Bequemlichkeit wegen gern so einrichte, dass es wenigstens sehr nahe orientirt ist.

In das erste Tableau braucht man nicht alle Richtungen einzutragen, sondern kann sich begnügen, nur diejenigen aufzunehmen, die auf solchen Winkelmessungen beruhen, die einander auf irgend eine Art controUiren, und von den übrigen eben nur solche, die nöthig sein können, um die absolute Orientirung zu erhalten. Im gegenwärtigen Fall bestehen erstere aus [den

Richtungen]

1 Neuenfelde

2 Altenwerder

3 Altona, Heliotrop ) O

4 Hamburg

5 Wilhelmsburg

letztere aus [den Richtungen nach] dem Pfahl, dem Meridianpfahl und etwa nach Rönneberg. Ich würde unter letztere auch Harburg angenommen haben, wenn es mit Repetition geschnitten wäre.

Die sämmtlichen auf die Punkte 0 sich beziehenden Messungen sind*)

1.

2

5

41» 4'

39^700

1.

.3

4

45 11

31,400

1 .

,4

4

54 45

31,562

1.

,5

5

85 36

40,200

2.

.3

1

4 6

50,750

2,

,5

10

44 32

2,275

3.

.4

28

9 34

1,973

3.

.5

2

40 25

10,000

4

.5

20

30 51

9,255

> A

*) Ich habe die Mittel zum Theil etwas anders genommen als Herr Petebs.

8TATION8AU8GLEICHUNGEN.

283

Um das Tableau I fiir die Punkte O zu erhalten, muss erst noch ein anderes genähertes vorausgehen, wo die Messungen A noch nicht ausge- glichen sind. Damit es wenigstens ungefähr orientirt werde, bemerke ich, dass mein früheres Tableau für Altena folgendes enthält:

Harburg 344® 52' 54';294

Meridianpfahl 359 59 56,741.

Es ist also Vahrendorf

aus Harburg

aus Meridianpfahl

344® 52' 54;'294 28 41 26,413 13 34 20,707

359 59 56,741 13 34 23,400 13 34 20,141 13® 34' 20';225

15 Beob., denen ich nur halben Werth beilege.

43 Beob. Mittel.

Es würde also vom Vahrendorf er Pfahl aus das Azimuth von Altena 193® 34' 20^225 sein, wenn die Erde ein Plan wäre; wegen der Krümmung ist aber eine kleine Reduction nöthig, die aber erst berechnet werden kann, wenn die Lage von Vahrendorf bekannt ist; dazu noch die Centrirung auf den Beobachtungsplatz, die gleichfalls noch nicht berechnet werden kann, aber negativ ist,

(Durch Versehen hatte ich hier imrecht [positiv] geschrieben und danach die Wahl der ersten Zahl gesetzt. Dies ist aber im Tableau I ganz gleich- gültig, da dies bloss die .relative Lage enthielt. Man fängt gern gleich nahe an, um mit kleinen Zahlen nachher zu thun zu haben.)

Man mag also damit anfangen, Altona = 193®34'30'j[000 zu setzen. Um nun erst genäherte Werthe für die übrigen Richtungen zu erhalten, verhalte ich mich so:

3 = 193*^34' 30';000 1.3 = 45 11 31,400 1 = 148^22' 58';600.

36*

284

BBOBFWECHSBL.

Dann femei

4 aus 3 -{-3. 4 1 + 1.4

»

203* 8' 31^973 28 Mess. 30,162 4

Mittel: 4 = 203" 8' 3i;747.

Dann

5 aus 3 + 3.5» 233* 59' 40"000 2 1 + 1.5 =

4 + 4.5 =

»

38,800 5 41,002 20

Endlich

Mittel: 5 = 233*59' 40"520.

2 aus 1 + 1 . 2 = 189* 27' 38^300 5 » 3 — 2.3= 39,250 1

38,245 10

»

5 — 2 . 5^

[Mittel: 2] = 189*27' 38*325.

Diese Bestimmungen müssen nun aber zu sämmtlichen A nach der Methode der kleinsten Quadrate erst strenge ausgeglichen werden, wobei Eine der fünf Grössen als unveränderlich betrachtet werden kann. Es ist am vor- theilhaftesten, den Ort dazu zu wählen, der am Oftesten geschnitten ist, also diesmal 4. Die vier übrigen bedürfen noch Correctionen, die ich mit a, 6, c, i bezeichne, also schreibe

1 = 148*22

' 58^600+0

2 = 189 27 38,325 + 6

3 = 193 34 30,000+c

4 = 203 8 31,747 *

5 = 233 59 40,520 + <f.

Die 9 Messungen A geben nun folgende Bedingungsgleichungen:

Gewicht 5

0 = +0^025 — a + 6

Gewicht 10

0 = _o;080— 6 + rf

4

0 = 0 —a-\-c

28

0 = —0,226 — c

4

0 = +1,585 — a

2

0 = +0,520 — c+i

5

0 = +1,720 — a + rf

20

0 =— 0,482 + rf,

1

0 = +0,925 — 6 + c

STATION8AU8GLEICHXJNGEN.

285

die nach der Methode der kleinsten Quadrate au%elöst werden müssen. Es gibt aber dabei mancherlei Kunstgriffe, die sich nicht ohne yiele Weit- lauftigkeit schriftlich werden mittheilen lassen, die aber von sehr grosser Wich- tigkeit sind. Das Weitere muss ich mir auf einen andern Brief versparen. Auch ist heute die Zeit zu kurz, das definitive Tableau noch abzuschreiben.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 7. Januar 1828.

Ich fahre heute fort, Ihnen die weitere Behandlung der Vahrendorfer Messungen mitzutheilen.

Die Elimination aus den 4 Normalgleichungen gibt folgende Resultate:

a = -f i;061 b = +0,520 c = —0,024 d= +0,304

und damit ein neues Tableau der Azimuthe, in welches ich auch noch den Pfahl, den Meridianpfahl und Rönneberg, Signal, mit aufiiehme, da die beiden letztem Richtungen auch mit Repetition gemessen sind.

Pfahl

Neuenfelde

Altenwerder

Altena, Heliotrop . .

Hamburg

Wilhelmsburg

Meridianpfahl

Rönneberg

63^57' 32"

148 22 59,661

189 27 38,845

193 34 29,976

203 8 31,747

233 59 40,824

261 12 32,414

278 15 23,322.

Dieses Tableau ist nun aber noch nicht orientirt, obwohl schon nahe. Die genaue Orientirung wird in gegenwärtigem Fall am besten durch Altena erhalten. Allein es ist dazu nöthig:

286 BRIEFWECHSEL.

Altena I. Dex Winkel in Altena zwischen den Richtungen

nach dem Pfahl und Standpunkt;

II. eine kleine Correction wegen der Krümmung

der Erde, welche bewirkt, dass der Unterschied der

6—-— Standpunkt Richtung Altena - Standpunkt und Standpunkt - Altena

nicht genau 180® ist. Beide Berichtigungen können aber erst berechnet werden, wenn die Lage des Standpunkts schon nähe- rungsweise wenigstens bekannt ist. Man mag diese also erst suchen, indem man jene beiden einstweilig ignorirt. Dazu bedarf es nun keiner Anleitung; Sie mögen nach Gefallen das A Altona, Standpunkt, Hamburg oder Altena, Standpunkt, ßönneberg, etc. dazu anwenden. Ich bemerke nur, dass um I. zu berechnen, bloss die Entfernung Altona-Standpunkt nöthig ist; in obigem Dreieck sind dann 2 Seiten und ein Winkel bekannt. Ich finde nun

log (Altona-Standpunkt) =4,09915 j Der Winkel in Altona = 1 8;5 5 1

log Standpunkt-Pfahl) =0,16643 > und also, da in Altona

Winkel [im] Standpimkt = 1 2 9® 3 6' 5 8") Azimuth des Pfahls = 13^34^ 20^225,

ebendaselbst

Azimuth des Standpunkts = 1 3® 3 4' 1 "6 74.

Ad n. bemerke ich, dass zu dieser Correction die genäherten Coordinaten vom Standpunkt erforderlich sind.

Sind die von Altona a, ft,

vom Standpunkt o?, y,

so ist die Correction = — A[x — a)[j/-\-b]^ wo A eine Grösse ist, die eigentlich Function von x ist, genauer von ^(j?-(-fl), aber sich sehr langsam ändert |^*].

Für Altona ist log -4 = 1,40336— 10 » Lysabbel » » =1,40323 — 10.

Die Rechnung steht also so:

a = — 224495,3 6 = + 16,4

0?=— 212281,4 ^ = +2963, 7 (sind übrigens schon gute Coordinaten)

[*) Vergl. 8. 2i6/il7, wo q für -4 geschrieben iat. Die Correction igt, wenn Ä filr beide Punkte gleich angenommen wird : —A{x — a) — ^^^ + -4 (a — a:) • ]

STATION8AÜ8GLEICHUNGEN. 28 7

x — a = +12213,9 log 4,08686

y-L-6=+ 2980,1 log 3,47423

log(— ^). . 1,40336«— 10

8,96445«— 10.

Zahl = — 0;'092.

Azimuth in Altona = 13^34' i;'674

180 Azimuth von Altona = 193^34' i;'582.

Obiges Tableau bedarf also, um orientirt zu sein, einer Correction von 28^394 und steht also so:

Pfahl 63^57' 4"

Neuenfelde 148 22 31,267

Altenwerder... 189 27 10,451

etc.

BEMERKUNGEN.

Eine ZuBammenstellung der endgültigen AuBgleichungen von Stationsbeobachtungen, deren Ergeb- nisse in die Netzausgleichung eingeführt sind, ist nicht vorhanden. Die Resultate der Stationsausgleichungen selbst sind mitgetheilt , Band IV, S. 449 u. f. , in den »Abrissen der auf den verschiedenen Stationen der GradmesBung, 1821, 1822, 1823, und deren Fortsetzung bis Jever, 1824, 1826, festgelegten Richtungen.« Doch zeigen die Richtungswerthe, welche Gauss fOr die Netzausgleichung benutzt hat (wie aus der Dreiecks- Zusammenstellung der beobachteten Winkel im folgenden Abschnitt hervorgeht) noch kleine Abweichungen von jenen, die von den Reductionen wegen der Höhe des anvisirten Objects und wegen der Abweichung der geodätischen Linie vom Verticalschnitt herrühren (vergl. dazu den später folgenden Brief an Olbebs vom 14. Mai 1826), bei manchen Richtungen aber auch noch in Gentrirungsbeträgen ihren Grund haben müssen.

Die mitgetheilten Stationsausgleichungen für Zeven und Brillit, [i] und [2], die nicht die endgültigen sind, wurden einem Handbuche entnommen, in welches Gauss im Ganzen 8 Ausgleichungen von Stations- beobachtungen eingetragen hatte. An Stelle der angegebenen Gonstanten in der dritten und vierten Nor- malgleichung fOr Zeven hatte Gauss irrthümlich +0,346 und — 1,189; infolge dessen weicht sein Auf- löBungstableau von dem vorstehend gegebenen ab. Je nach dem Stande der Beobachtungen sind die Aus- gleichungen von Gauss mehrmals wiederholt (vergl. S. 280, unten); so ist die hier mitgetheüte Ausglei- chung für die Station Wilsede, Notiz [3], die vierte, die sich in einem Beobachtungs- und Rechnungshefte für die hannoversche Gradmessung befand. Ihr Ergebniss stimmt mit der Angabe unter den »Abrissen

288 BEMERKUNGEN.

ete.«, Band IV, S. 464, überein, wenn man hier die Orientirung um — o''666 rerändert. Berechnet man nach Art. 13, S. 95, für Wilsede die Correctionen der beobachteten Bichtungen wegen der Meereahöhe dei eingestellten Objeota und wegen der Abweichung der geod&tiachen Linie vom Verdcalachnitt, bo erhält man itbr die Richtung nach Falkenberg (I60,8m]: -{-o'/ooi, nach Elmhorst (oo,om): -{-o^'oos, ftkr die Richtungen nach Steinberg (73,8 m), Bottel (52,4 m;, BuUerberg (53,3 m', Brüttendorf (49,6 m) und Zeven (44,8 m) je o^'ooo, itbr die Richtung nach Litberg (65,5 m): — O^'OOI, nach Hamburg (144,9 m): O^'ooo, nach LOneburg (99,1 m): + 0''003, nach Nindorf (116, 7m]: —O^'ooi, nach Timpenberg (117,1 m): — o;'oo2, nach Wulfiiode (104,5m): — 0','003, nach Breithom (120,5 m) : — 0/002 imd nach Hauaelberg (120,4 m) : — o/oo3. Die eingeklammerten Werthe der Meereshöhen sind einem GAUSsschen Handbuche entnommen. Werden diese Correctionen an die Ausgleichungsergebnisse angebracht, so folgen die für Wilsede in die Netzausgleichung eingeführten Werthe.

S&mmtliche noch vorhandenen Stationsausgleichungen finden sich theils in kleinen Beobaehtungs- und Rechnungsheften zur Gradmessung, theils auf losen Bl&ttem zerstreut. Die Form der Ausgleichung ist bei allen Hauptdreieckspunkten so, wie bei Zeven oder Wilsede, in wenigen Fällen wie bei Brillit (vergL die Briefe an Olbebs vom Juli 1825, an Scb:umachek vom 14. August 1825 und an Bessbl vom 39. October 1843).

Eine symmetrische Anordnung der Messungen hat auf keinem Hauptdreieekspunkte stattgefunden. Nur auf einigen Nebenpuiikten scheinen alle Winkel-Combinationen beobachtet zu sein. Die Beobachtungen auf dem Windberge, Notiz [4], von dem ArtiUerie-Lieutenant F. Habtmann, einem der Oehülfen Gauss* bei der Triangulation, geben ein Beispiel dafür. (Auf dem Original, einem einzelnen Blatte, ist von Habtmann noch hinzugefügt : » Wegen Abgang der Post nicht vollständig. Den Winkel 7 . 3 will ich noch einmal messen, vielleicht hat diese Wiederholung auch auf den Winkel 8.5 einen günstigen Einfluss«. Sie ist aber nach dem Beobachtungsbuche nicht erfolgt.) Die Messungen auf dem Windberge haben im Juni 1830 stattgefunden.

In welcher Weise Gauss beobachtet hat, zeigt der Auszug aus einem Beobachtungshefte für den Gradmessungspunkt Breithom, Notiz [5j.

Über das bei der hannoverschen Triangulation angewandte Verfahren gibt auch der nachfolgende Auszug aus dem bereits erwähnten Heftchen mit dem Titel: »Geodätischer Calcül nach Gauss« von Prof. Goldschmidt Auskunft. Goldschmidt hat Gauss wahrscheinlich, wie schon früher mitgetheilt ist, in den letzten Jahren der Landesvermessung bei den Rechnungen unterstützt; 1834 hat er bei dem Lieutenant Gauss an den Messungen für die Detailaufhahme Theil genommen.

»Bei der Triangulirung selbst wird zuerst eine massige Anzahl von Punkten, die den aufzunehmenden Raimi so bedecken, dass sie eine weite Aussicht haben, ausgewählt. Von diesen Hauptpunkten nimmt man nur so viele, als gerade nöthig sind, um die sogenannten Punkte zweiter Ordnung, von denen wir so- gleich reden werden, zu bestimmen ; ihre Entfernung wird übrigens so gross genommen, als das Terrain und die Stärke der anzuwendenden Femrohre es nur irgend gestatten. Auf jedem der ausgewählten Haupt- dreieckspunkte schneidet man nun alle überhaupt sichtbaren Objecte, deren Bestimmung mit im Plane liegt, ein, misst aber hauptsächlich die Winkel unter den übrigen hier sichtbaren Hauptpunkten mit viel- facher Repetition, ebenso misst man die Winkel zwischen den ausgewählten Nebenpunkten und den Haupt- punkten.

Die Hauptdreieckspunkte dienen dazu, dem ganzen Systeme eine feste Haltung zu geben, und des- halb wählt man nur wenige derselben, und nimmt lieber ihre Entfernung so gross als möglich, um weniger Zwischenstationen zu haben, bei denen sich die begangenen Fehler immer mehr und mehr anhäufen könnten.

Die geringe Menge der ausgewählten Hauptdreieckspunkte würde es uns aber immöglich machen, alle von ihnen umschlossenen Punkte mit Genauigkeit zu bestimmen, selbst wenn das Terrain es verstattete,

STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 28 9

nach allen feitsEusetzenden Punkten zu visiren, denn es würde hiebei nicht zu Tenneiden sein, dass viele Punkte durch sehr spitze Dreiecke bestimmt werden müssten, in denen bekanntlich ein sehr kleiner beim Messen der Winkel begangener Fehler die Lage des Punktes ungemein abändern würde. Dies ist der Grund, warum man noch eine grössere Anzahl Ton Nebenpunkten auswählt.

Diese wählt man so, dass sie i) zur Bestimmung aller überhaupt festzusetzenden Punkte genügen, 1] daas sie wo möglich aus den Hauptdreieckspunkten sich mit Schärfe bestimmen lassen, wobei man indessen nicht zu ängstlich zu sein braucht, denn wenn ein solcher Punkt sich nicht aus Hauptdreieckspunkten bestimmen lässt, so kann man ihn durch Nebenpunkte bestimmen; doch ist es, der Orientirung halber, immer gut, wenigstens einen Hauptdreieckspunkt einzuschneiden. Übrigens schneidet man auch von den Nebenpunkten alle überhaupt sichtbaren Objecte, die mit bestimmt werden sollen, ein, die Haupt- luid Nebenpunkte mit mehrfacher Repetition und Ablesung, die übrigen Punkte, welche keine Standpunkte sind, allenfalls nur einmal.

Dies ist die allgemeine Übersicht der Triangulation; jetzt einige ins Einzelne gehende Bemerkimgen. Durch Drehung des Alhidadenkreises wird immer eine, wenn auch geringe Drehung des eingetheilten Kreises herbeigeführt, und hiedurch können coüstante Fehler entstehen, dergestalt, dass man, beim Messen von der Linken zur Rechten, den Alhidadenkreis immer auf dem kürzesten Wege nach dem Ob- ject hin bewegend, die Winkel immer zu klein finden würde. (Bei der Disoutirung der Messungen, die Lieutenant Gauss 1833 in Westphalen vorgenommen, habe ich den mittlem hieraus sich ergebenden Fehler etwa i^'5, bei den Messungen vom Hauptmann Müller 3" gefunden.) Um dies zu compensiren, führt Gauss den Alhidadenkreis ebenso oft auf dem kürzesten als auf dem längsten Wege in die Richtung des zweiten Objects.

Messungen der Winkel von einem Standpunkte aus.

Wir wählen zuerst einige Punkte aus, die eine für ein scharfes Pointiren geeignete Gestalt haben. Die Anzahl derselben darf, wenn man scharfe Resultate haben will, wohl nicht unter 4 und, wenn unnöthige Weitläuftigkeit vermieden werden soll, nicht über 6 sein. Am gerathensten ist es, wenn dieselben Haupt- punkte des Systems sind und zu gleicher Zeit den Horizont in gleiche Theüe theilen. Doch braucht man nicht zu ängstlich rücksichtlich dieser Bedingungen zu sein. Man misst nun die Winkel zwischen je zweien dieser Objecte, indem man alle möglichen Combinationen macht. Nachher gleicht man die gefundenen Werthe nach der Methode der kleinsten Quadrate aus. Jeden andern festzusetzenden Punkt vergleichen wir nun mit einer der so bestimmten Richtungen ; wenn er schärfer bestimmt werden soll, durch mehrmalige Repetition, vielleicht auch vergleichen wir ihn mit zweien; geben diese nicht dasselbe Resultat, so wendet man auch hier die Methode der kleinsten Quadrate an. Wie dies geschieht, wollen wir sogleich angeben.

Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate wollen wir an einem Beispiele zeigen. Vom Standpunkt Hoheegge wurden Enegerloh (l), Dörenberg (3), Nonnenstein (3), Hünenburg (4) als Vergleichungspunkte ausgewählt und folgende Winkel, jeder mit 20-maliger Repetition, gemessen :

1. J = 77*42'88;'813 1 .3 = 163 40 3, 500

3.3 = 84 67 24, 760

8.4 = 107 69 41, 876 4.1= 89 30 16, 438 4.3 = 167 2 63, 035.

Man nehme jetzt dieAzimuthe der 4 Punkte i, 3, 8, 4, d. h. man beziehe alle auf eine und dieselbe Fundamentalrichtung; ob diese wirklich der Meridian ist, ist hiebei ganz gleichgültig, doch thut man wohl,

37

290

BEMERKUNGEN.

diese Richtung nicht allzuweit vom Meridian su entfernen, um nachher keine zu groMe Correction wegen der Orientirung anbringen zu müssen. Näherungsweise kann man sich ja immer die Richtung des Meri- dians allenfalls mit der Boussole yerschaffen (wie Habtmann dieses auf dem Harze da that, wo er kein Asimuth kannte). Ein genäherter Werth des Azimuths Ton l ist 4i*36'o/0; wären alle Winkel, von denen 1 ein Schenkel ist, richtig gemessen, so wären die Azimuthe von

3 = 119*7'88j'S18

3 = 304 6 3, 600

4 = 313 4 43,663.

Berechnet man z. B. 3 nicht aus l und 1.3, sondern aus 3 und 3.3, so findet man • = 3 + 3.3 = 304* 6' 3^063, also Ton dem oben angegebenen Werthe verschieden ; wir müssen also bei 3, 3, 4 nochCor- rectionen anbringen. 3, 3, 4 sind nur genähert, und wir lassen der leichtem Rechnung halber die Decimal- theile der Secunde weg, indem wir diese mit in der Correction enthalten sein lassen; d^nn ist

1 = 41* 35' oj'o

3 = H» 7 38, 0+X

3 = 304 6 3, 0+y

4 = 313 4 4t, 0+*.

Berechnet man hieraus die Winkel, so ist:

Calc.

1.3 = 7 7*43'38;'0+a;

1.3 = 162 40 3, 0+y

3.3 = 84 57 34, 0—X + y

3.4 = 107 50 41,0 — y-f-xr 4.1 s=s 89 30 17, 0 — « 4.3 = 167 3 55, 0 + $ß — M

Obs.

Obs.-Calc.

38/313

— o;'813+« =

t'

3,500

~o,500 + y =

t''

34,750

-0, 750-aj+y Ä

t'"

41, 376

-0,376 —y + M =

«^

16,438

+ 0,563—* =

.^

53,035

+ 1,975+« — « =a

.^

E l

0

Bildet man hieraus nach der Methode der kleinsten Quadrate die Fundamentalgleichungen, so ist

+ 3,413 + 3«— y— «=o

— 0,875— «+3y— M =: 0

— 3,913— «— y+ig sa 0.

Gleichungen dieser Form lassen sich am besten auf folgende Art lösen ; addirt man sie, so ist

-l,375+« + y + « = 0, und addirt man diese zu jeder einzelnen Fundamentalgleichung, so kommt:

+ 1,037 + 4« «0 « s=s —0,359

— 8,350 + 4y = 0 y = +0,663

— 4,387 + 4« = 0 « = +1,073.

Diese leichte Eliminationsmethode lässt sich bei den symmetrischen Fundamentalgleichungen, auf welche diese Aufgabe jedesmal f(\hrt, wenn alle Combinationen unter den Richtungen und zwar alle mit gleicher Repetition gemessen sind, jedesmal anwenden. Wir finden also die verbesserten Azimuthe :

STATI0N8AUSOLEICHUNOEN.

291

Calc.

Calc-Obs

1.

41*J5^ Oj'OOO

1 .2

77*42' 37;'741

— 0/672

2.

119 7 37,741

1.3

162 40 2,663

+ 0,063

3.

204 6 3,663

2.3

84 67 24,822

+ 0,072

4.

312 4 44,072

und hieraus

3.4

107 60 41, 600

+ 0,184

4.1

89 20 16,928

— 0,610

4.2

167 2 63, 669

+ 0,644

^ii

ikel nicht alle mi

t einer irleioh

len Anzahl Renetitionen ire

messen, sc

schiedene Gewichte haben, so muss man jeden Beitrag der Fehlergleichungen für c', t", %"\ ... zu den Fundamentalgleichungen mit dem Gewicht, d. h. mit der Zahl, welche der Anzahl der Repetitionen propor- tional ist, multiplidren. Um auch hierClber ein Beispiel anzuführen, nehmen wir die von [Lieutenant] Gauss in Neuenkirohen gemessenen Winkel.

1. Dörenberg 2. Quekenberg 3. Quackenbrück 4. Mordkuhlenberg.

Er fand

Pond.

Azhnuthe

1.2 93* 9' 2;'876

6

1.

6*26'68;'000 [♦)]

1.3 147 10 10,938

1

2.

99 36 0, 876 + 5

2.3 64 1 4,126

6

3.

163 36 6, 666 +C

3.4 86 21 14,876

6

4.

239 67 22, 463+d

4.1 126 28 33,626

6

Calo.-Obs.

Pond.

1.2 07000 +&

6

1.3 -3, 282 + C

1

2.3 +0,666—6 +

e 6

3.4 +1,922— C + d 6

4.1 +1,922— (J

6.

Bildet man die Fundamentalgleichungen, indem man die Beiträge der obigen Fehlergleichungen mit ihren resp. Gewichten multiplicirt, so findet man

— 3,280 + 105— 60 « as 0

— 9,612— 65+llC— 6(1 = 0

0 « — 6e+10(l SS 0,

und jetzt werden nach bekannten R^eln 5, e, d gefunden, und damit die obigen Werthe der Azimuthe ver- bessert.

Hat man auf diese Art die zwischen den Hauptrichtungen gemessenen Winkel ausgeglichen, so bestimmt man mit ihnen die übrigen, die, wie schon gesagt, beim Einschneiden mit einer der angenommenen Haupt- richtungen verbunden werden. Ist z. B. ein Punkt A mit der Hauptrichtung 1 , deren Azimuth wir 1 nennen, verbunden, indem der Winkel i.ii gemessen ist, so haben wir das Azimuth von A s= 1 + l..i.;

[*) In einem Vorlesungsheft Aber höhere GeodAsie, das dieses Beispiel auch enthält, ist der Bichtung nach 1 gleiohfklls eine Verbesserung gegeben, so dass die Summe der Normalgleichungen gleich Null wird.]

37*

BEMERKUNGEN.

wbe dagegen ÄA gemeHen, lo würde dai Aiimuth 1~A.: andern Hsuptrichtung verbunden, i. B. mit 3, V) haben wir

■ein. bt der Punkt A auch noch mit e

A" — t + t.A. Geben beide Beatimmungen denielben Wcrth fOr ^. lo iit natflilich weiter knne Rechnung nCthig. ist dies nicht der Fall, so nimmt man aiia beiden mit Berflokaichtigung dei venchiedenen Oewiehts dai Mittel, WSre nemlich l.A p'-mal, i.A dagegen fi "-mal repeüit, ao ift der wahncheinücbcte Werth von ^ _ A'p' + A"p" P' + P" Die Mesiungen eines jeden Tages mdssen ohne Ausnahme noch denselben Tag mit Tinte einge- tragen werden, wobei indessen Gauxs nicht die eintehien Nonien, sondern sogleich da* Mittel aus allen an- gibt. Das ProtocoU hat nach ihm folgende Gestalt:

(LS33) den Si.Sept. Wtttekindstein.

Die l.uft heiter und rein.

Hflnenburg — Nonnenstein

iHep.) 'abgcleaen' (j-fncher Winkul} aus allen sich ergebender einfacher Wmkel,*

Gauss hat auf den Stationen auch gleich die Ausgleichung der Winkel und die Aufirtellung dea ersten Tablenus voi^enommen. Diese Aufstellung geschieht folgendermaossen. Nachdem äae vorliufige Orienb'rung festgesetit und die Ausgleichung der Hauptrichtungen vorgenommen, werden nach der oben angegebenen Methode die Aumuthe s&mmtlicher eingeschnittener Objecte berechnet und nach ihrer Grösse geordnet ; dieses Tableau hat also folgende Geltalt :

Wittekinditein

Hattendorf

Pageaburg

Schaumbui^ kleine rothe Spitze)

Sehaumbuii; (höhere SpiUej

BtO.

^

Die cursiv geschriebenen Punkte geben die Hauptrichtungen an.

Bei Hauptdreieckapunkten wie bei Nebenpunkten wird hftufig der Fall vorkommen, dass der Punkt, auf welchen man von andern Stationen ab pointirt hat. nicht lum Standpunkt genommen werden kann, weil die Loealit&t die Aufstellung des Instruments auf diesem Platze nicht gestattet. In einem solchen Falle muss ein in der Nähe liegender schicklicher Punkt fOr <Ue Aufstellung des Instruments gsw&hlt und dann eine Centrirung vorgenommen werden, um die von den übrigen Standpunkten nach dem Funkt qnaeationis genommenen Bichtungen mit den hier gemessenen Winkeln vei^leichen lu können. Diese Centrirung kann auf doppelte Art angebracht werden, entweder indem man die Anmuthe nach dem Orte hin so oorri-

STATIONSAUSGLEICHUNGEN . 293

girt, dau sie fieli auf den Standpunkt bedehen, oder dass man die vom Standpunkte ab gemessenen Winkel auf den Zielpunkt reducirt. Übrigens ist es am einfachsten, nicht die gemessenen Winkel, sondern die aus ihnen sich ergebenden Azimuthe zu eentriren. Um die Centrirung wirklich vornehmen zu können, wird die Xenntnias der sogenannten Centrirungselemente erfordert, d. h. die Entfernung des Zielpunkts vom Stand- punkt und das Azimuth dieser Richtung. Ist l der Zielpunkt, 2 der Standpunkt und P der entferntere Punkt, auf den man pointirt hat, so ist, wenn wir die Azimuthe durch ein darüber gesetztes — , die Ent- fernungen durch — bezeichnen :

-rj. .-^ , 206266". il . ,-^ ^ ^-- 206266". 21 ^ .-.

i^= 1-P+ == 8m(iP-i2) = iP+ _ sin (21 - iP)

2P 2P '

^^ , 206266". 21 . ,--5. ^ -^ 206266". 2? . -— -^

= 1-PH ==: sm(2P~ 12)= iP+ _ sin(2i~2P),

IP IP

wobei es sich von selbst versteht, dass die Lftngen 21, iP oder 21, 2P mit demselben Maasse gemessen sein müssen. Bei dieser lU^uction ist also die Kenntniss der Länge TP oder 2P erforderlich, und da diese erst durch Messungen an beiden Stationen definitiv ausgemittelt wird, so scheint es, dass man sich hier in

einem Cirkel bewegte; da indessen die Correction — 8in(iP— 12) immer nur sehr gering sein

^ 2P

wird, indem das Verhältniss ^:z »ehr klein ist, so reicht eine oberflächliche Kenntniss von iP, die man

2P

sich jedesmal auch ohne Kenntniss der Messungen in 2 verschaffen kann, zur Bestimmung der Correc- tion hin. —

Die Berechnung der Correction der Centrirung macht also durchaus keine Schwierigkeit, sobald man die Centrirungselemente kennt; die Bestinmiung von diesen kann in manchen Fällen mit Schwierigkeiten verknüpft sein, und es lässt sich im Allgemeinen nichts darüber sagen. Der Beobachter wird in jedem vor- kommenden Falle die zweckmässigste Methode selbst auffinden müssen. Wir wollen hier nur den Fall vor- nehmen, wo man von 1 nach 2 wirklich messen kann; dann bestimmt Gauss das Azimuth, indem er über die Mitte des Theodolithen einen feinen Gegenstand, etwa eine Stecknadel, bringt, dann das Auge in das Alignement dieser Stecknadel und des Punktes 2 bringt, und nun sich den Punkt des Horizonts merkt, welcher dieser Bichtung entspricht, und wenn hier kein passendes Object sein sollte, durch den Qehülfen eine Stange hinsetzen lässt; dann misst er den Winkel zwischen irgend einem von 1 sichtbaren Haupt- punkte und dieser Stange und erhält hierdurch das Azimuth von 2 ; übrigens ist eine Kenntniss desselben bis auf 2 — 4 Minuten fast in allen Fällen hinreichend. Lässt sich dies Verfahren nicht anwenden, vielleicht weil 2 in 1 nicht sichtbar ist, so wählt man zwei Punkte «, s', von denen i und 2 gesehen werden können, und pointirt aus diesen Punkten l und 2; man kann die Orientirung für die beiden gewählten Punkte durch Einschneiden derselben aus l finden, und indem man nun die Entfernung 88' misst, erhält man durch eine leichte Rechnung die Lage von 1 und 2 in Bezug auf s, s', und hieraus sowohl 12 als 12.«

In den Briefen an Schumacher unter [6] sind einige Schreibfehler verbessert worden.

KbüG£&.

\

ZUE NETZAUSGLEICHÜNG.

i

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

[10

[Anzahl der Bedingungsgleichungen in einem Dreieckssystem.]

Ein System von p Punkten durch / Linien verbunden, gibt

/- ^+1 Bedingungsgleichungen aus Winkelverhältnissen, l—2p'\-Z aus Seitenverhältnissen; zusammen also 2/— 3/1 + 4.

Bei den Messungen von 1824 ist p = 13, /= 29, also respective 17 und 6 Bedingungsgleichungen.

Für das ganze System ist jp = 33, / = 75; wir haben also

43 Bedingungsgleichungen der ersten,

12 Bedingungsgleichungen der zweiten Art.

[2-] Die 33 Hauptdreieckspunkte und ihre Verbindungen.

1

2

Göttingen Merid. -Zeichen

1 ... 2. 3

2 ... 1. 3. 4

3 4

Hohehagen Hils

3 ... 1. 2. 4. 5. 6

4 ... 2. 3. 5. 7. 8

5

Brocken

5 ... 3. 4. 6. 7

6 7

8

Inselsberg

Lichtenberg

Deister

6 ... 3. 5

7 ... 4. 5. 8. 9. 10

8 ... 4. 7. 9. 10

9

Garssen

9 ... 7. 8. 10. 11

10

Falkenberg

10... 7. 8. 9. 11. 12. 13. 14. 15. 19

38

800

NACHLA88.

[3.] [Zusammenstellung der beobachteten Dreiecke und ihrer Widerspruche.]

mj, Eck-

"'• pnnkt

Winkel

EzceM

Nr.

Eck- punkt

Winkel

EzceM

Nr.

Eck- punkt

Winkel

Szoeu

1

115*68' 47;'496

8

39* 11' 53/306

13

37* 27' 13;'046

1

1

48 19 96,048

10

9

99 14 53,453

19

13

148 10 28, 108

S

16 41 95, 239

0;'l58

10

57 99 19, 358

4;'346

15

4 32 19,954

o;'921

179 59 58, 733

180 0 9,916

179 59 59, 508

— 1,436

— 0,939

— 0,819

3

119 37 39, 368*

9

87 32 16, 986

13

34 26 46, 752

3

3

43 31 35, 667

11

10

31 0 11,004

30

14

109 98 96, 566

4

17 51 7, 707

1, 348

11

71 37 33,968

0, 758

15

95 55 97,337

1,395

180 0 3,643

180 0 1, 958

180 0 0,545

+ 1,294

+ 1,300

— 0, 750

9

53 39 10, 876

10

22 10 9, 986

14

80 10 54, 559

9

4

84 40 36, 895

13

11

64 11 34,606

21

15

15 34 48, 636

5

43 50 30, 659

6,568

13

03 38 25, 839

0, 759

16

84 34 15,830

0,949

180 0 8,430

180 0 0, 431

179 59 59,005

+ 1,863

— 0, 338

— 1,944

3

86 13 58, 366

10

8 0 47, 395

15

7 96 56,089

4

6

53 6 45,643

13

13

38 17 43, 399

32

16

96 87 6, 464

6

40 39 30, 165

14, 853

13

143 41 29, 140

0, 303

17

75 46 59, 128

0,176

180 0 14, 173

179 59 58, 834

180 0 1,681

— 0, 680

— 1,368

+ 1,505

4

49 57 33, 858

10

86 37 13,333

15

99 96 8, 190

5

5

46 6 58, 013

14

13

65 44 54, 345

23

16

54 97 5, 482

7

83 55 43, 742

4, 270

15

37 47 53, 635

3, 442

31

25 46 48, 333

3,401

180 0 3,608

180 0 1, 303

180 0 1,945

— 0, 663

— 1, 199

— 0,456

4

73 58 37,221

10

41 4 16, 563

15

32 9 7,819

6

7

53 48 20, 111

15

13

103 33 49,504

24

17

118 34 3,410

6

53 18 6, 563

3, 958

14

86 21 56,963

1, 357

18

39 36 51, 803

0,712

180 0 3,804

180 0 3,030

180 0 3,032

— 0, 064

+ 1,773

+ 1,320

7

66 1 19,295

10

78 26 25,928

15

93 0 13, 041

7

8

66 89 58, 909

16

13

68 8 2,752

35

17

59 48 13, 693

0

47 18 49, 070

6, 807

15

38 25 84, 281

1,919

31

38 11 96, 976

2,493

180 0 7,274

180 0 2,961

180 0 2,709

+ 0,467

+ 1,042

+ 0,316

7

55 34 16, 315

10

37 22 9, 365

15

69 51 4, 223

8

•8

89 51 51, 115

17

14

73 16 39, 603

36

18

66 17 19,916

10

34 34 2,262

8,671

15

69 21 11, 508

1, 957

31

49 51 97, 728

3,243

180 0 9,692

180 0 0,476

ISO 0 1,866

+ 1,021

— 1,481

— 1, 377

7

10 27 2, 980

10

51 5 27, 894

15

91 56 92, 897

9

9

146 33 41, 522

18

15

38 40 36, 954

27

19

48 13 34, 654

10

33 59 16, 996

2,383

19

90 14 4, 919

1,604

30

39 49 51, 619

2,925

1

180 0 1,498

179 59 59, 767

179 59 59, 170

1

— 0, 884

— 1,837

— 3, 155

ZUR NETZAUSOLEICHUN6.

301

Nr.

Eck- punkt

Winkel

Excess

Nr.

Eck- punkt

Winkel

ExceiB

Nr.

Eck- punkt

Winkel

EZCCBB

28

15 19 22

15 20 21

15 20 23

15 20 25

15 22 23

15 22 24

15 23 24

15 28 25

42» 33' 27/431 84 47 57,993 52 38 34, 441

i;'698 2,487 2, 191

1, 921 1,040 1,205

2, 837

0, 446

36 37 38 39 40 41 42 43

15 24 26

15 25 26

16 17 21

17 18 21

20 23 25

22 23 24

23 24

27

23 25 27

4»49'12','346

118 47 2,512

56 23 44, 550

0;'476 3, 739

0, 269

1, 461

• 0, 176

0, 592

2,046

0, 228

44

45

46 47 48 49 50 51

24 26 27

25 26 27

*

25 27

28

27 28 29

28 29 30

29 30 31

30 31 32

31 32 33

87*50' 59;'267

84 1 37,540

8 7 19,939

0;'384 2, 677 2,207 1, 207 1,908 2,076 1,214 1,461

29 30 31 32 33 34 36

179 59 59, 865 — 1, 828

45 0 51, 885 84 52 57, 886 50 6 11, 565

179 59 59,408 — 1,067

41 11 11, 856 72 55 2, 636 65 53 47, 465

179 59 56, 746 — 3, 638

52 8 25, 642 74 31 34, 625

53 20 2, 799

180 0 1,286 — 1,201

34 48 0,088

101 28 7, 642

43 43 53, 705

180 0 1,957 — 1, 782

42 0 0,982

135 35 12, 820

2 24 48, 643

180 0 3, 066 +0, 389

70 47 36, 223 33 44 16, 825 75 28 6, 218

180 0 1,435 — 0, 756

SO 5 29, 996

107 82 36,600

42 21 53, 525

180 0 2,445 +2,176

58 35 48, 718

105 44 11, 719

15 40 0, 752

179 59 59,266 — 2, 941

34 29 55, 787

29 37 54, 644

115 52 10, 501

180 0 0,121 — 1, 800

14 35 5,^378

129 39 39,937

35 45 16, 305

180 0 1,189 — 0,272

6 4 28,958

42 34 30,482

131 20 59, 151

180 0 0,932 -0,275

74 40 45,427 62 1 7,722 43 18 7, 460

180 0 1,620 +0, 580

17 4 24, 040

123 8 53, 705

39 46 43, 583

179 50 58, 591 — 1, 585

107 11 26, 358 37 43 48, 676 35 4 44, 497

180 0 0, 609 — 1,299

55 8 33, 295 72 2 17, 413 52 49 7,348

180 0 1, 328 + 0,123

81 39 29, 418

73 29 4,981

74 51 28, 080

179 59 59, 531 — 1, 061

59 44 38, 189

78 30 30, 141 41 44 55, 085

179 59 58, 056 — 4, 920

44 10 12,284

31 37 2,215

104 12 45, 166

180 0 2,479 — 0, 358

4 42 30, 092 86 18 24, 187 88 59 5, 626

180 0 3, 415 + 1, 369

140 27 52, 643

36 4 22, 652

3 27 47, 775

179 59 59, 665 — 1, 549

64 45 53, 786 56 15 43, 900 58 58 23, 815

179 59 59,905 — 0,541

180 0 3,070 + 2,842

180 0 1,501 +0, 040

[Zwischen den Widersprüchen in den folgenden Dreiecken (ebenso zwi- schen den dazu gehörigen Normalgleichungen des Art. 4) bestehen die Be- ziehungen :

7 + 10 = 8 + 9

14 = 13+16 + 19

15 + 17 = 16 + 20

22 + 25 = 23 + 38 24 + 26 = 25 + 39 30 + 40 = 31 + 35

34 = 32 + 33 + 41

37 + 45 = 34 + 35 + 36

+ 42 + 43 + 44.]

v

802 NACHU8S.

[Nonnalgleichungen, die den Winkelgleichungen entsprechen.] [Bezeichnen {1-2), (i-3), (2.3), u. b. w. die Verbesserungen der Rich- tungsbeobachtungen 1.2, 1.3, 2.3, u. B. w., Bo ergeben sich für die 51 Drei- ecke die folgenden Bedingungsgleichungen :

-j-(l.2) — (2. l) + (2.3) — (3.2) + (3.l) — (1 .3) — 1,436 = 0

+ (2 . 4) - (4 . 2) + (4 . 3) - (3 . 4) + (3 . 2) — (2 . 3) + 1,294 = 0

U. 8. W.

Unter diesen sind aber nur 43 von einander unabhängig. Die Correlaten der Bedingungsgleichungen seien, den Dreiecksnummem entsprechend: (1), (2), (3), u. 8. w. Dann ist, gleiche Gewichte für die Richtungen vorausgesetzt, und wenn die Bedingungsgleichungen, die aus den Seitenverhältnissen entstehen, unberücksichtigt bleiben:

(1.2) = -(2.1) = +(1) {J.3) = -{3.1) = -(1)

(2.3) = -(3.2) = +(l)-(2)

(2.4) = -(4.2) = +(2) (3.4) = -(4.3) = -(2)-(3)

u. s. w.

Nur die Richtung 24.26 (Büttel — Steinberg) hat das Gewicht i er- halten; ihre Verbesserung ist demnach

(24.26) = 4(36) — 4(44). Substituirt man diese Werthe in den Bedingungsgleichungen, so erhält man die Normalgleichungen;

6(1) — 2(2) —1,436 = 0

— 2(l) + 6(2) + 2(3)-|-l,294 = 0 U. 8. W.

Da eB sich hier nur um die Berechnung der Correlaten handelt, so können diese Gleichungen sammtlich durch 2 dividirt werden. Es ergeben sich somit die nachstehenden Gleichungen zur Bestimmung der Correlaten.]

ZUR NETZAUSOLEICHUNO.

303

1. 0 =

2. 0 = 3. 4. 5.

6. 0 = (7. 0 =

8. 9.

10.

11.

12. (13.

14. (15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. (34.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

— 0,718 + 0,647 + 0,931

— 0,340

— 0,331

— 0,032

+ 3(1) -(2)

-(l) + 3(2) + (3)

+ (2) + 3 (3) -(4) -(5)

- (3) + 3 (4)

- (3) + 3 (5) - (6) _(5) + 3(6)-(7)-(8)

+ 0,233.5 - (6) + 3 (7) + (8) + (9) - (1 0)) : +0,510.5-(6) + (7) + 3(8)-(9) + (l0) : -0,442 +(7)-(8) + 3(9) + (l0)-(ll) : -0,164.5- (7) + (8) + (9) + 3(l0)-(ll)

+ 0,600 — (9) — (10)+3(11) — (12)

— 0,164 — (11) + 3(12) — (13) — (14)

— 0,684 — (12) + 3(13) + (14) — (15) — (16

— 0,569.5 — (12) + (13) + 3 (14) + (16) + (17 + 0,886.5 — (1 3) + 3 (1 5) + (1 6) — (1 7) + (20 + 0,521 —(13) + (14) + (15) + 3(1 6) + (17

— 0,740.5 + (1 4) — (1 5) + (1 6) + 3 (1 7) — (1 8

— 0,918.5 — (14) — (16) — (17) + 3(18) — (27

— 0,406.5 — (13) + (1 4) — (1 6) + 3 (19) + (20

— 0,375 +(15) — (l6) + (l7) + (19) + 3(20

— 0,672 —(17) — (20) + 3 (21) — (22) — (23 + 0,752.5 — (21) + 3 (22) + (23) — (24) — (25

— 0,228 —(21) + (22) +3 (23) + (25) + (26 + 0,660 —(22)+ 3 (24) + (25) — (26) + (39 + 0,108 —(22) + (23) + (24) + 3 (25) + (26

— 0,688.5 + (23) — (24) + (25) + 3 (26) — (29

— 1,577.5 — (1 8) + 3 (27) + (28) — (29) + (30

— 0,914 —(18) + (27) + 3 (28) — (32) + (33

— 0,600.5 — (23) — (25) — (26) — (27) + 3 (29

— 0,378 + (27) — (29) + 3 (30) + (31) — (32

— 0,900 +(27) — (29) + (30) + 3 (31) — (35 + 0,290 —(28) — (30) + 3 (32) — (33) + (34 + 0,06 1.5 + (28) — (32) + 3 (33) + (34) — (36

— 0,179 —(30) + (32) + (33) + 3 (34) — (35

-(19)) -(18) + (19)

)

-(18) -(19) -(20)

+ (20)-(2l) -(28)

-(21)

+ (38) -(29) -(38)

_ (29) + (38) -(39) + (39)

+ (31)

-(30) -(31)

-(34) + (35) -(40)

-(37) + (40)

-(35) -(41)

-(41)

-(36) + (4l)-(42))

•4

(35. 0 = -0,270.6 + (30) — (31)-(32)-(34)+3(36) + (37) + (40) — (43))

36. 0 = —0,533.8— (33) — (34) + f(36) + (37) — K44)

37. 0 = — 0,891 — (31) + (35) + (36) + 3(37) — (45) (38. 0 = + 1,088 +(22) — (23) + (25) + 3 (38) — (39)) (39. 0^-0,136 +(24) — (25) + (26)-(38) + 3(39))

40. 0 = —0,792.5 — (30) + (3l) + (35) + 3(40) — (43)

41. 0 = —0,530.5 — (32) — (33) + (34) + 3(41) — (42)

42. 0 = +0,684.5 — (34) — (41) + 3(42) — (43) — (44)

43. 0 = +1,421 — (35) — (40) — (42) + 3(43) + (45) — (46) (44. 0= — 1,819 — i(36) — (42)+|(44) + (45))

46. 0 =+0,194.5 — (37) + (43) + (44) + 3(45) — (46)

46. 0 = — 1,470.5- (43) — (45) + 3(46)-(47)

47. 0 = — 0,1 37.5 — (46) + 3 (47) — (48)

48. 0 = — 0,649.5 — ^4 7) + 3 (48) — (49)

49. 0 = — 2,460 — (48) + 3(49) — (50)

50. 0 = —0,774.5 — (49) + 3{50) — ;51)

51. 0 = +0,020 — (60) + 3(61).

[Die eingeklammerten Normalgleichungen entsprechen den 8 abhangigen Bedingungsgleichungen ; bei der Auflösung sind die Correlaten (7), (13), (15), (34), (35), (38), (39), (44) gleich Null zu setzen.]

[6.] Bedingungsgleichuugen der zweiten Att.

[Nachdem die Dreieckswidersprüche ausgeglichen sind, werden die Be- dingungsgleichungen angestellt, die von den Seitenverhältnissen heciühren. Tür das Viereck 7. 8. 1 0 9 ist, wenn 9 als Centralpuiikt gewählt wird;

eieck

w«gegl.

Winkel

tEic...

log .In

7 auf 7

8

66° 1 66 39

19^151 58,666

— 2','269

— 2,269

9,960 8021.983+ 9 9,9629416.342+ 9

36| (7.9)- 08 1 (8.7) —

(7.8)1 (8.9)1

9 10 7

22 59 10 27

17,428 3,217

— 0,794

— 0,794

9,591 6628.409+ 49 9,2586108.427 + 114

63|(10.7) — 15| (7.9)-

(10.9)1 (7.10)1

ZUR NETZAUSOLEICHUNG. 306

||. , V Busgegl. Winkel |Exeeu log «in Verbesserung ]

10 auf 8:23"'ll' 52';i67 — i;;4i5 9,595 3867.516+ 49.13|( 8.9) — ( 8.10)} 10:57 33 19,333 —1,415 9,926 2943.910+ 13.39}(10.8) — (10. 9)|

9,997 8605.641

0,333 0519.982

9,669 0923.606

+ 49.229

(vorher + 57) [*)]

[mithin lautet die Seitengleichung für 7. 8. 10 9:]

0 = +49,229— 9,36( 7.8) — 104,79( 7.9)+114,15( 7.10)

— 9,08 ( 8.7)+ 58,21 ( 8.9)— 49,13 ( 8.10) + 49,63(10.7)— 13,39(10.8)— 36,24(10. 9).

[Diese Gleichung wird umgeformt: Wenn nemlich bei der Ausgleichung einer Figur ausser einer Anzahl von Winkelgleichungen, deren absolute Glieder Null sind, nur eine Seitengleichung zu erfüllen ist, so kann man dies durch Ausgleichung einer einzigen Gleichung erreichen. Und zwar wird diese Gleichung dadurch erhalten, dass man die Winkelgleichungen, nachdem man sie mit gewissen Factoren multiplicirt hat, zur Seitengleichung addirt. Diese Factoren sind so zu bestimmen, dass die Summe der Quadrate der Coeffi- cienten in der umgeformten Seitengleichxmg ein Minimum wird. Addirt man also die bereits ausgeglichenen Winkelgleichungen der Dreiecke 7, 9, 10:

+ (7.9) — (9.7) + (9. 8) — ( 8.9) + ( 8.7) — (7. 8) = 0 + (7.9) — (9.7) + (9.10) — (10.9) + (10.7) — (7. 10) = 0 + (8.9) — (9.8) + (9.10) — (10.9) + (10.8) — (8.10) = 0,

nachdem man sie mit x, y, z multiplicirt hat, zur obigen Seitengleichung, so ergibt sich zunächst:

0 = + 49,229 — (9,36 +a?) (7.8) — (1 04,79 —ar—y) (7 . 9) + (1 1 4, 1 5 —y) (7.10)

— (9,08 — ir)(8.7)+ (58,21— a?+«) (8. 9)— (49,13 + ^) (8. 10)

- (^+y) (9.7) + (x-z) (9 . 8) + (y + «) (9 . 1 0)

+ (49,63+y)(10.7) — (13,39 — «)(10.8) — (36,24+y + 2)(10.9),

[*) Der eingeklammerte Werth, + ^ ^i '^ürd erhalten, venn die Seitengleichung mit den beobaohteten Winkelirerthen des Art. s berechnet wird.]

IX. 39

806 NACH1A88.

und macht man jetzt die Summe der Quadrate dex Coefiicienten dex Ver- beaserungeD zum Minimum, so musB

6i+2y— Ji = + 162,7 2l+6y+2s = +133,1 — 2»+2^ + 6s== — 130,2 Bein.] Es findet sich

z=, + 7,76 y = +29,21 z = —28,85, und die hienach verbesserte Bedingungsgleichung;

I, 0 = +49,229 — 17,12( 7.8) — 67,82( 7.9) + 84,94( 7.10)

— 1,32( 8.7) + 21,60( 8.9) — 20,28( 8.10)

— 36,97 ( 9. 7)+ 36,61 ( 9.8)+ 0,36 ( 9.10) + 78,84 (10.7) — 42,24 (10.8) — 36,60 (10 . 9).

rim Folgenden werden nur die ursprünglichen und die umgeformteD Seitengleichungen mitgetheilt. Die Überschrift gibt immer die Figur an, zu welcher die betreffende Seitengleichung gehört, und die Dreiecke, deren Winkel- gleichungen zu ihrer Umformung herangezogen werden. Für die Factoren dp, y, z werden die Dreiecksnummem geschrieben.]

10. 12. 15 13; Dreiecke 13, 16, 19.

II = -62,512 + 149,57(10. 12)— 153,88 (10 . 1 3)+ 4,31(10.15) loihir+n) _|_ 39^11 (12. ]oj_ 79,64(12.13)+ 40,53(12.15) + 31,90 (I 5 . 10) + 276,39 (16.12) — 307,29 (15.1 3). Es findet sich

13 = — 10,99, 16 = — 10,52, 19 = +69,91,

und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

n. 0 = -52,512+138,58(10. 12)— 153,41(10.13)+ 14,83(10.15) + 60,10(12.10)— 160,54 (12. 13) +110,44 (12. 15) — 0,47(13.10)+ 80,90(13.12)— 80,43(13.15) + 21,38 (1 5 . 10) + 205,48 (1 5 . 12) — 226,86 (15.13).

i

ZUR NETZAVSGLEICHUNG. 307

10. 14. 15 13; Dreiecke 15, 16, 20.

0 = —24,795 4-19,85(10.13)^24,16(10.14)4- 4,31(10.15) (vorher-») _ 28,59 (14 . 10) 4- 36,1 1 (14 . 13) — 7,52(14.15)

4- 31,90 (1 5 . 10) — 60,96 (1 5 . 1 3) 4- 29,06 (1 5.14).

Es findet sich

15 = 4-2,02, 16 = — 12,98, 20 = 4-17,28,

tmd die hienach ergänzte Bedingongsgleichung :

m. 0 = — 24,7954- 8,89(10.13) — 26,18(10.14)4-17,29(10.15)

-f- 10,96 (13 . 10)4-19,30 (13 . 14) — 30,26 (13 . 15) — 26,57(14.10)4-16,81(14.13)+ 9,76(14.15) + 18,92(15. 10) — 30,70(15. 13)4-11,78(15. 14).

15. 17. 21 16; Dreiecke 22, 23, 38.

0 =+244,621 + 161,39(15.16) — 157,83(15.17)— 3,56(15.21) (vorher -18«) _ 5,33(17.15)+ 26,82(17.16)— 21,49(17.21)

+ 43,59 (21.15) — 543,19 (21 . 16) + 499,60 (21 . 17). Es findet sich

22 = — 114,19, 23 = — 15,66, 38 = +214,69,

und die hienach ergänzte Bedingongsgleichung:

rV. 0 = +244,621+ 31,54(15.16)— 43,64(15.17)+ 12,10(15.21)

+ 129,85 (16 . 15) + 100,50 (16 . 17) — 230,35 (16 . 21) — 119,52(17.15)— 73,68 (17. 16) + 193,20 (17. 21) + 27,93(21.15) — 312,84 (21. 16) + 284,91 (21. 17).

15. 18. 21 17; Dreiecke 24, 25, 39.

0 = — 153,010 + 52,46(15.17)— 51,72(15.18)— 0,74(15.21) (vorher -lU) _ 25,59 (18 . 15)+ 31,52(18.17)— 5,93(18.21)

+ 39,28 (21 . 15)— 114,35 (21 . 17) + 75,07(21 . 18). Es findet sich

24 = — 14,27, 25 = — 17,47, 39 = +36,75,

39*

808 NACHLASB.

und die hienach ergänzte Bedingimgsgleichung :

V. 0 = —153,01 0+20,72 {16. I 7) — 37,45 {15 . 18) + 16,73(15.21) + 31, 74 {17. 15) + 22,48 (17. 18) — 54,22 {17. 21) — 39,86(18. 15;+ 9,04 (18 . 17) + 30,82 {18 . 2!) + 21,81 (21 .15) — 60,13(21 . 1 7) + 38,32 (21 .18).

10. 14. 16. 21. 20. 19 15; Dreiecke 17, 21, 23, 29, 27, 18.

0 = +51,578 + 27,57(10. 14) — 44,56 (10 . 15)+ 16,99 (10 . 19)

(.orhet+i!) _|. 6,33(14.10)- 9,97(14.15)+ 3,64(14.16)

+ 2,06(16. 14)— 17,01 (16. 15)+ 14,95(16.21)

— 0,09(19. 10) — 18,72(19. 15) +18,81 (19.20)

— 27,1 3 (20 . 1 5) + 25,24 (20 . 1 9) + 1,89 (20 . 21)

— 61,19(21 .15) + 43,59 (21. 16) +17,60 (21. 20). Es findet sich

17 = — 7,40, 21 =+2,09, 23 = +10,93, 29 = — 5,71, 27 = — 3,16, 18 = +3,63,

und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

VI. 0 =+51,578 + 20,1 7 (10. 14) -33,53 (10. 15)+ 13,36 (10. 19) + 13,73(14.10)- 19,46(14.15)+ 5,73(14.16)

— 11,03(15.10)+ 9,49(15.14)+ 8,84(15.16)

+ 6,79 (I 5 . 19) + 2,55 (15 . 20) — 16,64 (15 . 21)

— 0,03(16. 14) — 25,85(16. 15) + 25,88 (16 . 21) + 3,54(19.10) — 25,51 (19. 15) + 21, 97 (19. 20)

— 29,68 (20 . 1 5) + 22,08 (20 . 19) + 7,60 (20 . 21)

— 44, 55 (21. 15) + 32,66 (21. 16) +11,89 (21 .20).

15. 20. 23 25; Dreiecke 31, 35, 40.

0 = — 76, 113 + 36, 33(15. 20) + 255, 65(15. 23) — 291,98(15.25) (rahBT - 18S! _ 6,66(20. 15) — 197,84(20. 23) + 204, 50(20. 25) + 1,36(23.15)— 22,92(23.20)+ 21,56(23.25). ä findet sich

31 = — 19,16,

. +119,26,

40 = -

3,01,

ZUR NETZAÜSOLEICHUNG. 309

und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

Vn. 0 = — 76,113+ 17,17(15.20)4-136,39(15.23)— 153,56(15.25)

4- 12,50(20.15) — 104,83(20.23)+ 92,33(20.25) + 120,62 (23 . 1 5) — 1 1 5,93 (23 . 20)— 4,69 (23 . 25) — 1 38,42 (25 . 1 5) + 1 1 2,1 7 (25 . 20) + 26,25 (25 . 23).

15. 23. 24 22; Dreiecke 32, 33, 41.

0 = + 63,032 — 1 49,58 (1 5.22) + 80,92 (1 5.23) + 68,66 (1 5 . 24) (vorher +08) ^ 29,24 (23 . 15) — 56,45 (23 . 22)+ 27,21 (23 . 24)

+ 25,29 (24 .15)— 55,27 (24 . 22) + 29,98 (24 . 23). Es findet sich

32 = — 18,79, 33 = +16,52, 41=— 0,49,

und die hienach er^nzte Bedingungsgleichung:

Vm. 0 = +63,032 — 114,27(15. 22) + 62,13(l5.23) + 52,14(15. 24)

— 35,31(22. 15) + 18,30(22.23) + 17,01 (22.24) + 48,03 (23 .15) — 74,75 (23 . 22) + 26,72 (23 . 24) + 41,81 (24 . 15) — 72,28 (24 . 22) + 30,47 (24 . 23).

19. 20. 23. 22 15; Dreiecke 27, 30, 32, 28.

0 = —25,870 + 16,89(19.15) — 18,81(19.20)+ 1,92(19.22) (Torher-17) ^ 29,51 (20 . 15) — 25,24 (20 . 19) — 4,27(20.23)

+ 1,39 (22 . 15)+ 16,07 (22 . 1 9) — 17,46 (22 . 23) — 51,25(23. 15) + 22,01 (23 . 20) + 29,24 (23 . 22).

Es findet sich

27 = +3,33, 30 = +11,16, 32 = — 16,71, 28 = — 11,62,

und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

IX. 0 = — 25,870+ 8,29(15. 19) + 14, 49(15. 20)+ 5,09(15.22)— 27,87(15.23)

+ 8,60(19.15)— 22,1 4 (19. 20) +13,54 (19. 22) +15,02(20. 15)— 21,91(20.19)+ 6,89(20.23) — 3,70(22.15)+ 4,45(22.19)— 0,75(22.23) — 23,38(23.15)+10,85(23.20) + 12,53(23.22).

I 6. 25. 27. 24 23 ; Dreiecke 35, 43, 42, 34.

0 = + 332,394 — 289,80 115.23; + 255,65 (I 5 . 25; + 34,1 5 (1 5 . 24) (voihet+i.i _|_ 5,70(24.15)— 9,98(24.23;+ 4,28(24.27) + 0,37(25.16)- 29,27 (25. 23) + 28,90 25.27) — 371 ,54 (27 . 23) + 347,95 (27.25) + 23,59 (27 . 24). Es findet sich 35 = — 48,79, 43 =+85,19, 42=— 26,30, 34 = +26,35,

und die hienach ergänzte BedingimgBgleichung :

X. 0 =+332,394 — 214,66(15.23)+ 7,80 (15 . 24) + 206,86 (15. 25)

— 75,14(23.15)+ 52,65 (23. 24) +133,98 (23. 25)

— 111,49(23.27) + 32,05(24.15)— 62,63(24.23)+ 30,58(24.27) + 49,1 6 (25. 15) -163,25 (25. 23)+ 114,09:25. 27)

— 260,06(27.23)- 2,71 (27. 24) + 262,76 (27 . 26).

15. 23. 27. 26 24; Dreiecke 34, 42, 44, 36.

0 = —305,978 + 34,15(15.23) — 283, 83(15. 24j + 249,68(16. 26)

(Torber -m) _|. 6,24(23.15)— 18,52(23.24)+ 12,28(23.27)

+ 13,99(26.15)- 16,19(26.24)+ 2,20(26.27)

+ 23,69 (27 . 23) — 171,12 (27 . 24)+ 147,53 (27 . 26).

Es findet sich, [wenn man beachtet, dass die in XI wie auch in der folgenden Bedingungsgleichung XII Torkommende Verbesserung (24 . 26) das Gewicht ^ hat]

34 = — 26,82, 42 =+17,56, 44=— 2,46, 36 = + 48,60,

und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

XI. 0 = -306,978+ 7,33(16.23) — 208,41 (15. 24) + 20I,08(15. 26)

+ 33,06(23.15)— 62,90(23.24)+ 29,84(23.27) -76,42(24.15)+ 44,38 (24 . 23) + 102,12 JM^

— 20,02(24.27) + 62,59(26.16)— 67,25(26.24)+ 4,66(26.27) + 6,03 (27 . 23) — 1 51,10 (27 . 24) + 1 46,07 (27 . 26).

\

ZUR NETZAUSGLEICHUNO. 311

23. 24. 26. 25 27; Dreiecke 42, 44, 45, 43.

0 = + 10,719 — 12,28 (23 . 24) + 25,51 (23 . 25) — 13,23 (23 . 27) (vorher +89) _ 4,28(24.23)— 0,79(24.26)+ 5,07(24.27)

— 28,90 (25 . 23) + 16,37 (25 . 26) + 12,53 (25 . 27)

— 2,20(26.24)+ 5,83(26.25)— 3,63(26.27).

Es findet sich

42 = — 5,14, 44=— 3,53, 45 =+5,92, 43 = — 17,05,

xmä die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:

Xn. 0 = +10,719— 7,14(23.24)+ 8,46(23.25)— 1,32(23.27)

— 9,42(24.23)+ 5,48-^^^+ 6,68(24.27)

— 1 1,85 (25 . 23) + 10,45 (25 . 26)+ 1,40 (25 . 27)

— 5,73 (26. 24) + 11,75 (26. 25)— 6,02(26.27)

— 1 1,91 (27 . 23) — 1,61 (27 . 24) + 1 1,13 (27 . 25)

+ 2,39(27.26).

[6.]

[Noimalgleichungen, die den Seitengleichungen entsprechen.]

\jyie Bedingungsgleichungen des vorhergehenden Artikels hängen durch gemeinschaftliche Verbesserungen wie folgt zusammen:

I mit keiner

n » in, VI

m .. n, VI

IV » V, VI

V » IV, VI

VI » n, m, IV, V, vn, ix

vn .. VI, VIII, IX, X, XI, XII

vm ). vn, IX, X, xi, xn

rx » VI, vn, VIII, x, xi

X » VII, vm, IX, XI, xn

XI » VII, vin, IX, X, XII

XII » vn, vm, X, xi.

^

312 NACBLASB.

Aas den 12 Bedingungsgleichungen aua den Seitenverhältnissen etgeben sich für die Verbesserungen die folgenden Ausdrücke, wenn A, B, . . ., M die Correlaten der Gleichungen I, II, . . ., XII bedeuten :

'J .H, = —n,\2A jO.12) = + 138,58 5

(7.9; = —67,82^ (10.13) = — 153,4lB+ 8,89 C

(7.10} = +84,94^ (10.14)= « —26,180+20,17^

{8.7J = — 1,324 (10.15) = + 14,835+17,290— 33,53f

u. 8. w. (1 0 . 1 9) = # * +1 3,36 F

XL 8. W.

Werden diese Werthe der Verbesserungen in die Bedingungsgleichungen eingesetzt, so erhält man die Nonnalgleichungen :]

0 = + 49,229 + 25034.2 A

0 = — r>2fili + 190699 B + 8690,6 C • . — 7SS,0 F

0 = — 24,796 + 8690,6 B + 4994,7 C . . — 1759,42F

0 = +244,621 . . +819988 D — 31493 E— 20702,3 F

0= —163,010 . , _ 31493 D + 14744,6 E— 1260.04^

0= + 61,678— 733,0 B~ 17B9,42C— 20702,3 D— 1260,04E+ 10026,61J"— 327,22 0—1542,181

0 = — 76,113— 827,22*'+ 122689 ff+ 14267,2 H— 8163,9 /— 81824 Z+ 4987,3 L— 3B0|,74Jf

0 = + 68,032 . + 14267,2 ff+ 38017 H— 4266,8 I — 15700 K— 12306,1 L~ 477,81Ä

0 = — 26,870— I542,13f— 8163,9 ff— 4255,8 fl+ 3438,667+ 7739,4 S— 977,22X •

0= +882,394 • — 61824 O— 15700 n+ 7739,4 7+312374 K— 19289,1 X+9819,36Jr

0 = — 805,978 . + 4987,3 G— 12305,1 fl^— 977,227- 19289,1 Ä+ 160725 i + 1292,98*

0« + 10,719 • — 360,740— 477,81H • + 9B19,2ejr+ I292,98X + 1030,37 JC

[Die Verbesserungen.] [Die 4 -malige altemirende Ausgleichung in 2 Gruppen, indem zuerst die Winkelgleichungen allein, dann die hiedurch geänderten Seitengleichungen allein, darauf von neuem die verbesserten Winkelgleicbuogen u. s. f. in Be- tracht gezogen wurden, hat die folgenden Verbesserungen geliefert:]

ZUB NETZAUSGLEICHUNG.

313

(1.3) (1.2)

(2.1) (2.3) (2.4)

(3.4) (3.2) (3.5) (3.1) (3.6)

(4.3) (4.8) (4.7) (4.5) (4.2)

(5.6) (5.3) (5.4) (5.7)

(6.3) (6.5)

(7.4)

(7.8)

(7.10)

(7.9)

(7.5)

(8.10) (8.9) (8.7) (8.4)

(9.8) (9.10)

(9.11) (9.7)

— 0

+ 0

— 0

+ 0

— 0

+ 0

— 0

— 0 + 0 + 0

— 0

+ 0

— 0

+ 0 + 0

— 0

+ 0

— 0

— 0

— 0

+ 0

+ 0 + 0

— 0

+ 0 + 0

+ 0

+ 0

— 0

— 0

— 0

+ 0

— 0

+ 0

225 225

225 267 042

337 267 310 225 015

337 073 061 283 042

015 310 283 012

015 015

061 183 395 139 012

176 044 146 073

160 212 122 070

10.8)

10.19)

10.15)

10.14)

10.13)

10.12)

10. It)

10.9)

10.7)

11.9) 11. 10 11. 12

12 12 12 12

13 13 13 13

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

11 10 13 15

10 15 14 12

14.13 14.10 14.15 14.16

10 19 26 24 22 23 25 20 21 18 17 16 14

— 0,051

— 1,046 + 0,214 -j- 0,542

— 0,210 + 0,321 + 0,301 -0,140 + 0,069

+ 0,122

— 0,301 + 0,179

— 0,179

— 0,312 + 0,113

+ 0,378

+ 0,295

— 0,304 + 0,125

— 0,117

+ 0,046

— 0,806 + 0,237 + 0,525

— 0,020

— 0,136

— 0,401

— 0,180 + 0,399 + 0,093

— 0,320 + 0,625 + 0,318 + 0,108 + 0,304

— 0,301

— 0,131

15 15

16 16 16 16

12) =

13) =

20 20 20 20 20

21 21 21 21 21

14 15 21 17

17.16 17.15

17.21 17.18

18.17 18. 15 18.21

19.22 19.20 19.15 19.10

23 25 21 15 19

15 20 18 17 16

22.24 22.23 22.15 22. 19

23.27 23.25 23.20

— 0"361 + 0,001

— 0,528 + 0,359 + 0,548

— 0,379

+ 0,386 + 0,225

— 0,620 + 0,008

+ 0,338

— 0,958 + 0,620

— 0,207

— 1,176 + 0,346 + 1,037

+ 0,118 + 0,448

— 0,954

— 0,242 + 0,630

+ 0,148 + 0,946 + 0,140

— 0,496

— 0,738

— 0,256 + 0,152

— 0,317 + 0,421

+ 0,479

— 0,462

— 0,048

(23

.15)

= -o;

(23,

.22]

= +0,

(23

.24]

= +0,

(24.

,26)

--0,

(24.

,27)

= +0,

(24.

,23

/

= -0,

(24.

,22)

= +0,

(24.

,15)

= -0,

(25.

,26)

-+0,

(25.

23)

= +0,

(25,

27)

0,

(25.

,28)

-+0,

(25.

20)

0,

(25.

,15)

0,

(26.

,27)

= -0,

(26.

,25)

--0,

(26.

,24)

-+0,

(26.

.15)

*

_+0,

(27

.29)

= -0,

(27

.28)

= -0,

(27.

.25)

= +0,

(27.

,23)

= +0,

(27.

,24)

0,

(27.

,26)

= +0,

(28.

,27)

-+0,

(28.

,29)

= -0,

(28.

30)

= +0,

(28.

25)

0,

(29.

31)

— 1,

(29.

30)

-+0,

(29.

28)

+ 0,

(29.

,27)

-+0,

(30.

,31)

-+0,

(30.

,32)

= +0,

(30.

,28)

0,

013 201

472 500 183 282

482

260 523 960 648 318 153

676 353 097 934

547 100 484 068 898 993

101 310 857 648

373 516 310 547

570 803 857

IX.

40

S14

NACHLASa.

(30.29) = — o;516 (31 .33) = —0^261 (32.31) = +0^542 (33.32) = — 06t

(31 .32) = —0,542 (32.33) = +0,261 (33.31) = +0,261.

(31.30) = - 0,570 (32 . 30) = — 0,803 (31.29) = + 1,373

[Für jede Station ist die Summe der Verbesserungen Null ; bei der Station 24 ist jedoch zu beachten, dass die Richtungsverbesserung (24.26) das Ge- wicht i hat.

Der mittlere Fehler einer Richtung wird hienach]

v^^

! + 0;7548.

[Bildet man aus den Richtungsverbesserungen die WinkelTerbesserungen, und corrigirt mit diesen die beobachteten Winkelwerthe des Axt. 3, so erhält man die in der folgenden Tabelle zusammengestelltea ausgeglichenen Oreiecks- winkeL]

[8.] Ausgleichungswerthe.

St.

Eok- punkt

""T^r-

Log.

der Seiten

Nr.

Eck- punkt

*"vjir'

Log. der S(»ten

1

1 2 3

116*58' 47;'885 48 19 36, 540 16 41 36, 731

4,221 7939

4,141 3507 3,700 2059

7

7

8 9

66* l'19;'26l 66 39 68, 719 47 18 48, 840

4.7806184 4,7826678 4.6860435

2

2 8 4

119 37 28,959 42 31 25,063 17 61 7, 328

4,6744426 4,565 1592 4,2217939

8

7 8 10

66 34 16, 737 89 61 60, 793 34 34 2, 142

4,3486426 4,932 1622 4,6860436

8

8

4 6

62 29 10, 229 84 40 26, 275

42 60 30, 066

4,741 3374

4,8400752 4,6744426

9

7 9 10

10 27 8. 514 146 33 41, 664 22 59 17, 206

4.449 610S 4,932 1823 4,7826679

4

3 5 6

86 13 68, 691 63 6 45, 967 40 39 30, 195

5,026 2012 4,929 1248 4,8100752

10

8 9 10

28 11 53.074 99 14 62, 834 67 33 19, 347

4.4496103 4.8486426 4,7806184

5

4

6 7

49 57 23, 197

46 6 68, 284 83 66 42, 791

4,6277548 4,601 5606 4,741 3374

11

9 10 11

87 32 16, 662 21 0 10, 563 71 27 33, 646

4,4723562 4.027 1430 4,4496103

6

4

7 8

73 68 37, 087 58 48 20, 233 52 18 6, 635

4,6860436 4.6096711 4,601 6606

12

10 11 12

22 10 9, 966 64 11 26.086 93 38 36,706

4.049 9723 4.427 5939 4,4723562

ZUR NETZAUSOLEICHITNO.

315

Nr.

Eck- punkt

Ausgeglichene Winkel

Log. der Seiten

Nr.

Eck- punkt

Ausgeglichene Winkel

Log. der Seiten

13

10 12 13

8» 0'47;'926

28 17 42, 724

143 41 29, 552

3,799 4467 4,330 9664 4,427 5939

27

15 19 20

91»56'33;'658 48 13 36, 176 39 49 52, 491

4,641 7790 4,5146418 4,448 5652

14

10 12 16

86 27 13, 430 55 44 55, 035 37 47 53, 976

4,639 3854 4,557 4996 4,427 5939

28

15 19 22

42 33 27, 966 84 47 58, 546 52 38 35, 179

4,3784286 4,546 4777 4,4485651

16

10 13 14

41 4 15,811

102 33 49, 334

36 21 56, 111

4,375 5210 4,547 4347 4,330 9665

29

15 20 21

45 0 51, 578 84 52 58, 548 50 6 12,363

4,479 3245 4,6279981 4,5146418

16

10 13 15

78 26 25, 504 68 8 2,153 33 25 34, 260

4,581 0258 4,557 4996 4,330 9664

30

15 20 23

34 48 0, 620

101 28 8,002

43 43 53, 571

4,431 4071 4,666 2301 4,5146418

17

10 14 15

37 22 9, 693 73 16 40, 646 69 21 11, 619

4,359 4169 4,557 4996 4,547 4347

31

15 20 25

30 5 30, 941

107 32 37, 290

42 21 53, 690

4,386 2524 4,665 3954 4,5146418

18

10 15 19

51 5 29, 154 38 40 26, 838 90 14 5, 610

4,448 5652 4,353 3054 4,557 4996

32

15 22 23

14 35 5, 072

129 39 39, 468

35 45 16, 500

4,1809050 4.666 2300 4,646 4777

19

12 13 15

27 27 12, 311

148 10 28, 296

4 22 19, 716

4,581 0257 4,639 3853 3,799 4468

33

15 22 24

17 4 24, 619

123 8 53, 766

39 46 42, 819

4,208 1702 4,663 2796 4,6464777

20

18 14 15

34 25 47, 181 109 38 36, 757

35 55 37, 359

4,359 4169 4,581 0257 4,3756210

34

15 23 24

31 39 29,691

73 29 5, 364

74 51 27, 781

4,401 6104 4,663 2796 4,666 2300

21

14 15 16

80 10 54, 847 15 24 48, 796 84 24 16, 707

4,355 0834 3,7860195 4,359 4169

35

15 23 25

4 42 29, 679 86 18 24, 467 88 59 6, 302

3,580 6419 4,666 3953 4,6662301

22

15 16 17

7 35 55, 484 96 37 5, 726 75 46 58, 967

3,4899371 4,365 6888 4,355 0834

36

15 24 26

4 49 12, 567

118 47 2,522

56 23 45, 387

3,6671184 4,686 4190 4,663 2795

23

15 16 21

99 36 7,511 54 37 5, 671 25 46 49, 219

4,7105482 4,6279981 4,355 0834

37

15 25 26

41 11 11,937 72 55 3, 049 65 53 48, 752

4,523 6773 4,686 4191 4,666 3953

24

15 17 18

22 9 8,015

118 24 2, 193

39 26 50, 507

4,139 0825 4,506 9703 4,365 6888

38

16 17 21

42 0 0,055

135 36 11,814

2 24 48, 401

4,691 0661 4,7106482 3,489 9371

25

15 17 21

92 0 12, 027 59 48 12, 847 28 11 37, 620

4,691 0660 4,627 9981 4,365 6888

39

17 18 21

58 35 49, 346

105 44 12, 001

15 40 0, 116

4,6388717 4,691 0660 4,1390825

26

15 18 21

69 51 4, 012 66 17 21,494 43 51 37, 736

4,6388717 4,627 9981 4,506 9703

40

20 23 25

6 4 29, 288

42 34 30, 896

131 20 59, 992

3,6806420 4,386 2624 4,4314071

40'

316

MACHLA88.

Nr.

Eck- punkt

Ausgeglichene Winkel

Log. der Seiten

Nr.

Eck- punkt

Ausgeglichene Winkel

Log. der Seiten

41

22 23 24

107*11' 26;'766 37 43 48,864 85 4 44, 962

4,401 6104 4,208 1702 4,1809050

47

27

28 29

34»2y 56;'234

29 87 54, 233

115 52 10,738

4,891 5208 4,382 5030 4,5925466

42

23 24 27

59 44 38, 467 78 30 29, 458 41 44 54, 119

4,5146826 4,569 4338 4,401 6104

48

28 29 30

74 40 46, 594 62 1 7,516 48 18 7,801

4,589 5811 4,501 8055 4,391 5206

43

23 25 27

140 27 51, 702

36 4 21, 169

3 27 47, 359

4,603 2978 4,569 4339 3,5805418

49

29 80 81

55 8 85, 184 72 2 18,499 52 49 9, 291

4,552 3905 4,616 5702 4,5395811

44

24 26 27

87 51 0, 239

84 1 38,313

8 7 21,830

4,516 6908 4,5146326 3,6671184

50

80 81 32

44 10 12,517

81 87 2, 187

104 12 46,511

4,4089936 4,2854226 4,552 3905

45

25 26 27

52 8 24, 422 74 31 34, 948

53 20 3, 308

4,516 6908 4,608 2978 4,523 5778

51

31 82 83

64 45 58, 505 56 15 43, 619 58 58 24, 837

4,432 4893 4,395 9568 4,4089986

46

25 27

28

70 47 37, 831 33 44 17, 409 75 28 6, 967

4,592 5466 4,362 0207 4,603 2978

[Der Anschluss an die Seite 21 (Hamburg) — Hohenhom, deren Logarith- mus 4,4310013 ist, wird durch die folgenden Dreiecke hergestellt.]

Station

Beobachtet

Verb.

Ausgegl.

Log. der Seiten

Wilsede Nindorf Hohenhom

55*59' 89;'815 92 39 53, 189 81 20

-ho;'52i

-0, 694

89^836 52, 495 29,841

4,5681158 4,649 1015 4,3656888

Wilsede

Lüneburg

Hohenhom

88 50 31, 496 101 8 31,098 45 0

-hO, 825 +1, 748

*

31, 821 32,841 67, 857

4,408 1466 4,649 1015 4,506 9703

Wilsede

Hamburg

Hohenhom

36 0 32,726 76 16 12, 988 67 43 18,070

-0, 585 -1-0,808 -0,740

82, 191 18,296 17,330

4,481 0012 4,649 1015 4,627 9981

Nindorf

Lüneburg

Hohenhom

25 44 9, 221 140 35 22, 896 13 40

+0, 477 -1-0, 452

*

9,698 28,348 27, 516

4,403 1465 4,5681157 4,1390824

Nindorf

Hamburg

Hohenhom

32 51 89, 497 48 4 36, 012 99 8

+0, 151 -0, 886

♦

89,648 35, 676 47, 171

4,481 0018 4,5681156 4,691 0660

Lüneburg Hamburg Hohenhom

84 51 11, 177

32 24 35, 260

112 44 18, 940

+0, 170 4-0,800 -hO, 747

11, 847 85,560 14,687

4,4810013 4,408 1468 4,6388717

ZUR NETZAUSGLEICHUNG.

317

[9.] [Die Azimuthe der Seiten des sphäroidischen und des ebenen Dreieckssystems.]

Dreiecka-

Azimuth

Beduction

auf die Ebene

Azimuth

Dreiecks-

Azimuth

Beduction

auf die Ebene

Azimuth

•eite

auf dem

Sphäroid

in piano

seite

auf dem

Sph&roid

in piano

1 . 3

64» 1'

17','588

0;'064

17;'524

11.9

45» 0'

59;'990

+ oj'seo

60;'85O

1 . 2

180 0

5,473

"^^

0,000

5, 473

11.10 11.12

116 180

28 39

33, 535

58, 621

— 0,421

— 0, 610

33,114 58,011

2.1

0 0

5,473

+

0, 000

5,473

2 .3

48 19

42, 013

0, 116

41, 897

12.11

0

39

57, 400

+ 0,611

58, 011

2.4

167 57

10, 072

+

0,233

11,205

12 10 12.13

94 122

18 36

23, 106 5, 830

— 0, 064

— 0, 170

23, 042 5, 660

S.4

185 48

16, 602

+

1,292

17, 894

12.15

150

3

18, 141

— 1, 367

16, 774

S.2

228 19

41, 665

+

0, 233

41, 898

3.6

238 17

26, 831

—

0,661

26, 170

13.10

86

17

35,057

+ 0,032

35,089

3.1

244 1

17,396

+

0, 127

17, 523

13.15

154

25

37, 210

— 0,936

36, 274

3.6

324 81

25, 522

+

0,698

26,220

13.14 13.12

188 302

51 36

24, 391 5, 505

— 1,037 + 0,155

23, 354 5, 660

4.8

5 48

18,997

—

1, 103

17, 894

4.8

157 11

52,438

+

1,228

53, 666

14.13

8

61

22, 245

+ 1,109

23, 354

4.7

231 10

29, 525

—

0, 172

29, 353

14.10

45

13

18, 356

+ 0, 726

19,082

4.6

281 7

52,722

+

0,279

53, 001

14.16

118

29

59, 002

— 0, 366

58, 637

4.2

847 57

11, 669

— —

0,465

11, 204

14.16

198

40

53,849

— 0, 301

53, 548

5.6

5 10

37, 734

+

11,565

49,289

15.10

7

51

10,076

— 0, 168

9,908

5.3

58 17

28,701

+

2,468

26,169

15.19

46

31

36,914

— 0, 343

86, 571

6.4

101 7

53,767

—

0, 766

53,002

15.26

67

11

27,694

— 0,718

26,976

5.7

147 14

52,051

""~

3, 504

48, 547

15.24 15.22

72 89

0 6

40,261

4, 880

— 0,538

— 0,017

89,728 4,863

6.3

144 31

29, 797

—

3, 577

26, 220

15.28

103

40

9,952

+ 0, 422

10,374

6.5

185 10

59,992

10,703

49,289

15.25 15.20

108 188

22 28

39,631 10,572

+ 0, 649 + 0, 461

40, 180 11,088

7.4

51 10

28, 524

+

0,880

29, 354

15.21

183

■29

2, 150

— 0, 070

2,080

7.8

104 53

48, 757

—

0, 247

48,510

15.18

253

20

6,162

— 0,234

6,928

7.10

160 28

4,494

—

2, 843

1,651

15.17

275

29

14, 177

+ 0, 042

14,219

7.9

170 55

8, 008

—

3, 072

4,936

15.16

283

5

9,661

+ 0,093

9, 764

7.5

827 14

45, 733

+

2,812

48, 545

15.14 15.12

298 330

29 3

58, 457 16, 100

+ 0,179 + 0,673

68, 636 16,773

8.10

195 1

57, 965

+

2,992

60,957

15.13

334

26

35,816

+ 0,459

36,275

8.9

218 13

50,039

+

1,320

51, 359

8.7

284 53

48, 758

—

0, 247

48,511

16.14

18

40

58, 236

+ 0, 311

58, 547

8.4

837 11

55, 393

•~"~

1, 728

53,665

16.15 16.21

103 157

5 42

9, 943 16, 614

— 0,188

— 1,847

9,755 13, 767

9.8

88 13

51, 187

+

0,178

51, 360

16.17

199

42

15, 669

— 0, 163

15, 506

9.10

137 28

44, 011

—

0, 396

43, 616

9.11

225 1

0,663

—

0, 312

0,351

17.16

19

42

15, 338

+ 0,166

15, 504

9.7

350 65

2, 347

+

2, 589

4,936

17.16 17.21

95 155

29 17

14,806 27, 152

— 0,086

— 1,813

14,220 25,339

10.8

15 2

2,898

—

1, 940

0,958

17.18

213

53

16,498

— 0, 737

15,761

10.19

136 46

40, 438

+

0,428

40, 866

10.16

187 51

9, 592

+

0,817

9,909

18.17

33

53

14, 948

+ 0,811

15,759

10.14

225 13

19,285

—

0,201

19,084

18.15

73

20

5,456

+ 0, 474

6,929

10.18

266 17

35,096

—

0,007

35,089

18.21

139

87

26,949

— 1,778

25,171

10.12

274 19

23, 022

+

0,019

23,041

10.11

296 28

32,988

+

0, 124

33, 112

19.22

141

48

37, 852

+ 1,218

38,565

10.9

817 28

48,551

+

0,068

43,614

19.20

178

17

59, 722

+ 2,332

62, 054

10.7

340 28

0,756

+

0,896

1,652

19.15

226

91

85, 898

+ 0, 675

86, 578

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

Drüeoka- ■«te

Aümuth auf dem Sphiroid

«uf die Ebene

Aamiilh inpUno

leite

Aünuth mf dem SpUroid

Reduction

kOf

die Ebene

Aiimuth bpkno

10. IS 10. IS 10.11 10. IS 10.19

ll!lO 11.18 11.17 11.1«

11.14

11.11

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19 41 BT, 0S4

114 0 IT, 881

111 10 1,894 187 18 37,878 119 19 48,384 348 11 88, 111

BO 11 11,014

347 IB $1^838

141 88 8,891 IDT 4t 00,10«

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80,783 48,487 41,111 48, Ms

4S, 0(8

siiuii

48.09»

8,871 8t, 09^ 14, 049

[Zur Orientirung des Dreiecfcsnetzes diente das Azimuth der Seite Göttingen, Sternwarte (Theodolithplatz von 1823) — Nördliches Meridianzeichen.]

^

\

ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 319

[10.] [Briefwechsel zur Netzausgleichung.]

Gauss an Olbers. Göttingen, 2. November 1823.

Ich habe nunmehro die mühsame Ausgleichung meiner sämmt-

lichen Messungen von 1821 — 1823, so weit sie die Hauptdreiecke betrifft, vollendet, so dass mm nicht nur die Summen der Winkel der einzelnen Drei- ecke, sondern auch die Verhältnisse der Seiten in den gekreuzten Vierecken und Fünfecken genau zu einander passen, imd zwar nach den strengen Prin- cipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung sine ira et studio, und ohne alle Willkürlichkeit. Es scheint nicht, dass man das letztere von den Messungen anderer Geodäten sagen könne. Im ganzen Systeme sind 76 Richtxmgen, d. i. 38 jede hinwärts und herwärts. Bei keiner von ihnen hat die Ausgleichung 1" betragen; die grösste ist o![813 bei der Richtung von Nindorf nach Ham- burg, wo das Pointiren auf den Michaelisthurm bei der heerrauchartigen At- mosphäre und der Phasenstörung immer sehr schwierig war ; die nächst grösste ist 0^788 bei der Richtung von Lüneburg nach Wilsede, wo zwar der Ziel- punkt Heliotroplicht, aber die Aufstellung auf einem hölzernen Stativ in der Laterne des Thurmes gewiss nicht von der Solidität war, wie auf Stein- postamenten, und das Gewicht des Beobachters nach seiner verschiedenen Stellung Einfluss auf das Instrument gehabt haben mag. Der mittlere Fehler aller Richtungen, so verstanden wie in meiner Theoria Combinationis, ist 0^486.

Es bilden sich in dem ganzen System 26 Dreiecke, in denen ich alle Winkel gemessen habe. Der grösste Fehler der Summe der Winkel ist jetzt 2^175 bei dem Dreieck Nindorf- Hamburg -Timpenberg, wo die Richtung von Nindorf nach Hamburg vorzüglich Schuld haben mag. Der nächst grösste Fehler ist, wie schon oben erwähnt, bei dem Dreiecke Brocken-Hohehagen-Hils ; er beträgt 1^^806, und die Richtung vom Hils zum Brocken wird nun noch vor- züglich Schuld sein.

BRTEFWECHBEL.

Gauss an Olberb. Zeveo, 6. Julius 1824.

Die neuen Messungen vom Jahr 1823 [haben] einige obwohl

sehr kleine Modificationen in dem ganzen System hervoigebracht *}.

Gauss an Olbers. Göttingen, M. Mai 1826.

Ich bin eine beträchtliche Zeit mit der Ausgleichung meines

Winkelsystems beschäftigt gew^en, eine, weil ich alle Willkür aufischliessen wollte, sehr beschwerliche Arbeit, da dabei alles unter einander zusammen- hängt, und gewissermaiisBen die Messungen in Jever auf die in Göttingen reagiren. Es hat vielleicht noch niemals jemand eine so complicirte Elimi- nation ausgeführt, wo 55 Gleichungen ebenso viele unbekannte Grrössen in- Tolvirten. Heute bin ich damit fertig geworden, so dass nun alle 150 Hich- tungen, die das System enthält, so ausgeglichen sind, mit den möglich kleinsten Änderungen, dass sie genau mit einander harmoniren. £b sind unter den 150 fünf, die über l" haben geändert werden müssen (die grössten 1"373, nemlich Garlste- Varel und Varel-Garlste), und der sogenannte mittlere Rich- tun^fehler wird 0"755, viel grösser, als nach der schönen Übereinstimmung der Messungen auf jeder Station unter sich, zulässig ist, so dass ich das Dasein der Lateral -Re&action in den flachen Gegenden gar nicht bezweifeln kann; in den hohem Gegenden sind die Ausgleichungen immer viel kleiner. —

Es war eine langweilige Arbeit, alle Messungen erst genau vorzubereiten, da ich nichts vernachlässigen wollte, und die kleinen Reductionen der Conse- quenz wegen doch überall zugezogen werden sollten. Bessel hat, so viel ich weiss, zuerst öffentlich von derjenigen gesprochen, die daher rührt, dass der Winkel der kürzesten Linie von dem Winkel der Verticalebene differirt; allein er hat dabei bloss die Punkte als auf der Oberfläche des Sphäroids betrachtet :

*) Auch üt in meiner jetzigen Kechnung Walbbckb Abplattung genau nun Qrunde gelegt, w&h- r>/nd bei der vorigen, wie Sie wissen, durch Versehen eine obwohl äusserst kleine DiSereni statthatte.

ZUR NETZAUSGLEICHÜNG. 321

meistens beträgt diese Reduction nur ein Paar Tausendtheile einer Secunde; wollte ich sie aber einmal zuziehen, so durfte ich eine andere nicht über- gehen, die gewöhnlich viel grösser (obgleich auch noch unbedeutend) ist, und daher rührt, dass die Punkte, die in Einer Verticallinie liegen, nicht in Einer Verticalebene erscheinen, so dass eine von der Höhe abhängige Reduction hervorgeht. Diese hat immer das entgegengesetzte Zeichen von Bessels Cor- rection und ist schon bei massigen Höhen immer grösser, oft 4 -mal, 8 -mal so gross, so dass jene immer destruirt und weit überflügelt wird. Der grösste Betrag in meinem System ist von Lichtenberg zum Brocken, wo er — 0'^041 ausmacht. — Die genaue Berechnung der 51 Dreiecke selbst wird jetzt ein leichtes Spiel sein.

Ich habe mich heute noch etwas in dem System der KRATENHOFFschen Dreiecke im Innern von Holland umgesehen. Ich sehe immer mehr, wie wenig ich Ursache habe, mich über meinen grössten Richtungsfehler von 1^4 zu beunruhigen. Wenn man Käayenhoffs Messungen oberflächlich prüft, d. i. die Summen der 3 Dreieckswinkel und den Gyrus horizontis, so findet man überall so schöne Übereinstimmung, dass man verleitet wird, diesen Messxmgen eine Genauigkeit beizulegen, von der sie doch sehr weit entfernt sind. Nichts ist dazu zweckmässiger als die Verbindungen von mehr als 3 Punkten, die verknüpfte Dreiecke geben. Hier findet man häufig viel grössere Differenzen.

BaUUtm,

lockunh

ffarGn^en

Wrachteii'

Z. B. das System von 6 Punkten [*)] gibt den Gyrus horizontis von Leeuwarden

vortrefflich, auf 2j[l97 genau; die Summen der Winkel in den 5 Dreiecken

fehlen resp.

i;'432 0,714 0,759 2,842 2,590,

[*) Vergl. Band IV, ß. 82/87.] IX. 41

322 BRIEFWECHSEL.

also auch erträglich. Aber wenn man die Seitenverhältnisse prüft, so findet man, dass die Messungen sich nicht vereinigen lassen, ohne an den 1 0 Winkehi in der Peripherie viel grössere Änderungen zu machen; nach der Methode der kleinsten Quadrate müsste man sie um 3^-8, 3^6, 3'^6, 3^3, 3^0, 2^7, 2^7, l'JO, l^'l, O'^S ändern; wollte man die Änderungen so klein wie möglich haben, so müsste man sie alle 10 gleich und jede = 3^^ setzen"^. Man sieht also, dass bei solchen Messungen die Summe der 3 Dreieckswinkel oft über 10'' fehlen müsste. Davon sind die angestellten Zahlen aber weit entfernt, und also [ist] gewiss, dass wenigstens immer nur so ausgesucht ist, dass diese Prüftmg harmonirt, wodurch aber offenbar oft geschehen muss, dass die Winkel eher verdorben als verbessert werden, und ein ganz falscher Maass- Stab für ihre Genauigkeit hervorgeht. Um die Genauigkeit von Messungen gehörig würdigen zu können, darf nichts willkürlich ausgeschlossen werden. Die leichten Prüfungen durch die Summen der 3 Dreieckswinkel und den Gyrus horizontis sind wohl gar zu verführerisch, wenn auch nicht gerade zu verfalschen, doch zum Wählen und Ausschliessen , was nicht viel besser ist Leider bieten andere Messungen, wie die von Delambre, sonst fast gar keine Prüfungen dar, als die erwähnten, sonst möchte man wohl oft ähnliche Discordanzen finden.

Bei meinem System habe ich die Satisfaction gehabt, dass die Prüfungen der einen und der andern Art Differenzen geben, die ganz von einerlei Ord- nung sind. Dass' die Seitenrefiractionen so grosse Wirkungen geben, wie die Disharmonien, die sich bei Kbayenhoffs Dreiecken zeigen, ist mir doch be- denklich, da seine Seiten immer so klein sind, seine Stationen hoch in der Luft, und Holland auch wohl viel weniger von Holz coupirt, wie mein nörd- liches Terrain, so dass bei ihm das Licht wohl selten oder nie so knapp an Hindernissen wegstrich, wie so sehr oft in dem letztem. Ich möchte also die Anomalien eher den Messungen selbst zuschreiben.

*) Kbayenhoffs eigene Ausgleichung, die aber nicht klar aufgestellt ist, sondern erst heraxiBgesucht werden muss, enth&lt hier cum Theil noch viel grössere Änderungen z. B. von 6''25S an dem einen Winkel in Brachten, 5/530 an einem Winkel in Doekum, etc.

ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 323

Gauss an Gerling. Göttingen, 2. Mai 1837.

Was die Berechnung der geodätischen Messungen betrifft, so

liabe ich zwar die Elimination bei meinen eigenen Hauptdreiecken von Göt- tingen bis Jever, gegen 4 0 Dreiecke zwischen 3 3 Punkten, ganz vollständig und nach aller Strenge ausgeführt. Es blieb dies aber damals eine sehr beschwer- liche langwierige Arbeit trotz der Kunstgriffe, die ich dabei fireüich angewandt habe. Allein diese Ihnen genügend zu erklären, würde ein kleines Buch, und um dieses auszuarbeiten, erst ein Wiederhineinstudiren von meiner Seite nöthig sein, woran ich jetzt gar nicht denken kann.

Bei den später von meinem Sohn, Hartmann und Müller ausgeführten Dreiecken, in Westphalen, Lüneburgschen , Harz und Wesergegend, sowie den vorjährigen, habe ich von der äussersten Strenge etwas nachgelassen, und es so gemacht, dass ich

1) die Winkelbedingungen allein in Betracht zog und danach scharf aus- glich. Dann

2) zu diesen ausgeglichenen Zahlen die neue Ausgleichung suchte, welche die Seitenverhältnisse erfordern [*)].

Will man sich die Mühe geben, dies Verfahren altemirend wiederholt anzuwenden, bis man zu stehenden Resultaten kommt, was ich bereits im Supplementum etc. p. 28[**)] anempfohlen habe, so gelangt man, wie dort bewiesen ist, genau zu denselben Resultaten, als wenn man alle Bedingungen auf Einmal berücksichtigte.

Gauss an Gerling. Göttingen, 5. Junius 1838.

Nach einem Theorem, wovon ich nicht bestimmt weiss, ob ich es Dinen früher schon mitgetheilt habe, muss man, wenn in einem Dreieckssystem p Punkte durch l Linien verbunden sind, gleichviel ob die Richtungen der letz- tem bloss einseitig oder hin und zurück festgelegt sind, ausser den Bedin-

[*) VergL ß. 263.]

[**) Band IV, 8. 77/79.]

41

824 BRIEFWECHSEL. .

gungsgleichimgen der (ersten und) zweiten Klasse [den Horizontabschlüssen und den Winkelgleichungen] noch /—2p + 3 von einander unabhängige Be- dingungsgleichungen erhalten. Weder mehr noch weniger. Es kann sich zwar fügen, dass diese nicht alle in die Form der dritten Klasse [der Seiten- gleichungen] gebracht werden können, z. B. bei einem Dreieckskranze.

Allein ich nehme auf diese Ausnahme keine Rücksicht, da sie bei Ihrem System unnöthig ist.

Ich zähle nun

p = 2A Punkte

/ = 66, nemUch 22 einseitige Richtungen,

44 conjugirte Richtungen, so dass 21 Bedingungsgleichimgen quaestionis da sein müssen, und so viele haben Sie wirklich. Die Unabhängigkeit kann man prüfen, wenn man die p schicklich ordnet, wobei ich von der Ordnung Ihrer Zahlen 1 .... 112 zum Theil habe abgehen müssen, und das nemliche Theorem wiederholt anwendet, indeih man p successive vollständig werden lässt. Auch diese Prüfung haben Ihre 21 Gleichungen bestanden. In Ihren Zahlen ist einige Confusion; 24 und 6 1 fehlen, so dass zusammen (wie oben 22 + 2.44)= 110 Richtungen her- auskommen, und 112 steht am unrechten Platze.

Nach dieser Prüfung zweifle ich nicht, dass Sie Ihre 21 Gleichungen dreist serviren können.

Habe ich übrigens recht gezählt, so müssen Sie 2 4 Bedingungsgleichungen der 2^^ Klasse haben.

Nur auf einen Umstand bei der Ausfuhrung muss ich Sie noch aufinerk- sam machen. Habe ich es vielleicht schon früher gethan, so entschuldigen Sie meine Vergessenheit mit der guten Absicht.

Sie weichen in der Aufstellung Ihrer Tableaus darin von meiner Form ab, dass Sie alle Richtungen von einer derselben an zählen, während ich von einer gewissermaassen willkürlichen, richtiger von einer dem System

ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 325

fremden, an zähle. Sie dürfen daher bei der Ausführung nicht vergessen, dass sammtliche Richtungen gleich zuverlässig, oder richtiger, gleich unzuver- lässig sind, und dass Sie also Ihr jedesmaliges 0 mit unter die Corrections- bedürftigen setzen müssen. Der Erfolg wird übrigens immer der sein, dass die Summe aller Correctionen an Einem Standpunkt = 0 wird.

Ich bewundere aber Ihre Intrepidität, eine so grosse Eliminationsarbeit zu übernehmen. Ich würde einen gleichen Muth nicht gehabt haben. Bei meinen 33 Punkten war die Anzahl der Bedingungsgleichungen 3^' Klasse [der Seitengleichungen] viel kleiner (ich glaube 7)[*)]; das Eliminiren, indem man zuerst nur die der 2^° Klasse [der Winkelgleichungen] berücksichtigt, war trotz der grossen Zahl auf indirectem Wege leicht und Fehler der Rechnung unmöglich, und der Umstand, dass sammtliche Richtungen hin und zurück gemessen waren, verstattete sehr erleichternde Modificationen und ein schnelles Hingelangen zu stehenden Resultaten. Ich furchte, dass letzteres bei Ihnen in viel geringerm Grade stattfinden wird [**)]. Wollen Sie aber einmal den Zweck, so gibt es kein Mittel als Aufmerksamkeit und Geduld.

Hätte ich selbst diese Rechnungen zu führen gehabt, so würde ich die drei Plätze, wo nicht gemessen ist, gar nicht in das System aufgenommen haben, nicht weil ich es missbillige, sondern weil ich die grosse Arbeit ge- scheut haben würde. Würden alle nur einseitig beobachteten Richtungen aus- geschlossen, so würde die Compensation des Systems sehr leicht sein, aber freilich gewinnt bei Ihrer Unternehmung die Sicherheit durch vollständige

Berücksichtigung sehr bedeutend

Das Arrangement bei den Vierecken ist übrigens an sich willkürlich, und nur um die Willkür abzuschneiden, befolge ich die von Ihnen citirte Regel [***)], die weiter keinen Vorzug hat, als den von Ihnen richtig errathenen.

[*) Es sind deren 12.]

[*») Vergl. ß. 250/261.]

[***) Vergl. den Brief an Geeling vom lt. Februar 1824, S. 249. Gerlino hatte in Bezug darauf [am 2. Juni 1888) geBchrieben: »Ich habe mir von dem Grunde der Kegel bis jetzt keine andere Rechen- lehaft geben können, als dass auf diese Weise verh&ltnissmässig die grössten Coefficienten zum Vorschein kommen.«]

k

BRIEFWECHSEL. ZUR NETZAUSOLEICH UNO.

Gauss an Gerling. Göttingen, 14. November 1838.

Rücksichtlich der Formeln für die Anzahl der Bedingungsglei- chungen habe ich gar nichts gegen die Bekanntmachung. Allein es ist mix jetzt unmöglich, die Aiunahmsialle auf eine präcise und erschöpfende Art zu bezeichnen, und ich weiss auch nicht, ob dies überhaupt möglich sein wird, ohne tiefer eingreifende Entwickelungen damit zu verbinden. S[ine] m[e- ditatione] dürfte es zureichen zu sagen, dass wenn in einem System von p Punkten, zwischen denen es l Verbindungslinien gibt, die Richtung jeder Ver- bindungslinie an beiden Endpunkten gemessen, d. i. an eine andere Richtungs- linie des Systems geknüpft ist, es

l—p-\-i von einander unabhängige Bedingungsgleichungen aus blossen Winkelsummen und ausserdem noch

/— 2^ + 3 andere Bedingungsgleichungen geben muss, die in den ge- wöhnlichsten Fällen sämmtlich unter die Kategorie der in dem Supplem. Theor. p. 31 unter in[*)] angeführten fallen.

i

BEMERKUNGEN. ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 327

BEMERKUNGEN.

Von der Netzaufgleichung iBt nur eine Anzahl loser, nicht numerirter Bl&tter vorhanden. Eine voll- Btfodige in alle Einzelheiten gehende Wiederherstellung an der Hand derselben — wenn sie Überhaupt möglieh ist — würde mit umstfindlichen Rechnungen verknüpft sein.

Direct entnommen sind diesen Blättern Art. [2] , die Nonnalgleichungen des Art. [4] , die Seitenglei- ehungen im Art. [6] und die Tabelle unter [9] , der nur die Bezeichnungen der Columnen zugefügt sind ; nach ihnen zusammengestellt sind Art. [3], die Tabellen der Art. [7] und [8], sowie die Normalgleichungen des Art. [6]. Die Notiz [i] ist einem Beobachtungs- und Rechnungsheft zur hannoverschen Gradmessung aus dem Jahre 1825 entnommen.

Der Gang des OAUSSschen Ausgleichungsverfahrens ist folgender. Nachdem aus den Winkelgleichungen, der Methode der kleinsten Quadrate entsprechend, die Normalgleichungen, S. 303 und 304, hergestellt waren, hat Gauss diese (auf indirectem Wege, vergl. S. 3J5) aufgelöst und daraus die Verbesserungen berechnet, die die Dreieckswinkelgleichungen allein erftdlen. Mit den erstmalig verbesserten Winkelwerthen wurden die 12 Seitengleichungen in der Gauss eigenthümlichen Weise aufgestellt, S. 304 — 311. Durch die modi- ficirte Seitengleichung erreicht Gauss, dass, wenn sie nicht mit einer andern zusammen hängt, immer nur die Winkelsumnien der angrenzenden, nicht aber die der innem Dreiecke der Figur, auf die sich die Seitengleichung bezieht, durch die Ausgleichung beeinflusst werden; vergl. den Brief an Gebling vom 19. Januar 1840, S. 253. Aus den umgeformten Seitengleichungen wurden die 12 Normalgleichungen, 8.312, hergeleitet, durch deren Auflösung neue Werthe der Verbesserungen der Richtungen erhalten werden, welche die Seitengleichungen allein erfdUen. Nach dieser ersten Ausgleichung werden wieder die neu entstandenen Widersprüche der Dreiecke ausgeglichen, mit den gefimdenen Verbesserungen von neuem die Seitengleichungen und die zugehörigen Normalgleichungen aufgestellt, die sich jetzt von den vorigen nur in den constanten Gliedern unterscheiden. Durch ihre Auflösung ergeben sich wieder neue Werthe der Itichtungsverbesserungen. In dieser Weise hat Gauss die Ausgleichung noch zweimal wiederholt. Dies Verfahren führt, wie im Supplementum theor. comb, observ. Art. 19 gezeigt ist, zu denselben Werthen, wie die Ausgleichung sämmtlicher Winkel- und Seitengleichungen in einem Gusse. Dass die Rechnung so bald stehende Resultate ergeben hat, liegt nach Gauss an der von ihm gewählten Form der Seitengleichungen, vergl. S. 251.

Substituirte man die Verbesserungen des Art. [7] in allen 61 Winkelgleichungen, so würde, wie man aus der Zusammenstellung des Art. [s] ersieht, bei ii Gleichungen der Fehler o, bei 18 Gleichungen der Fehler o^'ooi, bei 18 Gleichungen der Fehler 0^002 und bei 4 Gleichungen der Fehler o('oo3 sein.

Die von den Punkten 28 bis 33 ausgehenden Richtungen haben von Gauss nochmals Correctionen erhalten, deren Herkunft nicht ersichtlich ist. Wahrscheinlich rühren 8ie4Von einer nachträglichen Ände- rung der beiden beobachteten Winkel inLangwarden um o''l28 und o;'oi5 her. Jedenfalls sind die unter [7] mitgetheilten Verbesserungen, die zur Ableitung der folgenden Tabellen benutzt wurden, diejenigen, welche lieh aus seiner Ausgleichung ergeben haben.

Aus den 51 Dreieckswidersprüchen «7^ erhält man für den mittlem Richtungsfehler m nach derNähe-

1 M

nmgsfoimel mr = - — - y wf :

6.51 1

m = ± o;'643.

328 BEMERKUNGEN. ZUR NETZAUSGLEICHUNG.

Bei dem Anschhisfl des Punktes Hohenhom an das Dreiecksnetz, S. 316, Termittelst der Figur Hohen- hom. 21. 15. 17. 18 sind die Seitenverh&ltnisse und die Winkel der Gradmessung festgehalten worden. Die Dreiecksseite Hamburg-Hohenhom diente der hannoverschen Grad- und Landesvermessung als Basis; reigl. Bestimmung des Breitenunterschiedes etc., S. 48, sowie den Brief an Schumacher vom 22. December 1827, S. 281.

Zu der Tabelle, Art. 'o], ist folgendes zu bemerken. Die Darstellung einer Dreiecksseite iJc in der Ebene bilde mit der Geraden diu>ch ihren Anfangs- und Endpunkt die Winkel ^^^.^ und «p».«- Bezeichnet dann T das astronomische Azimuth, t das Azimuth auf dem SphAroid, 8 das Azimuth in piano und e die Meridianconvergenz, so ist T^rgl. S. 20 1):

Die Berechnung von 6 erfolgt nach der Formel des Art. t5, S. 159; vergl. auch S. 2iß/2i7. Diese Formel, wie die zur Rediiction der sph&roidischen Dreiecksseite auf die ebene, verlangt die Kenntniss ange- n&herter Coordinaten der Dreieckspunkte , die man sich durch eine vorläufige Berechnung von geringer Sch&rfe verschaffen muss.

Ist also in dem sph&roidischen Dreiecksnetz das astronomische Azimuth einer Dreiecksseite bekannt, so kann man durch successive Anwendung der Gleichungen ,2} und mit Hülfe der Winkel des Netzes t und 8 für alle Seiten berechnen. Nun ist aber fQr alle Punkte des Hauptmeridians c = 0. Geht daher die Dreiecksseite 1.2, deren Azimuth beobachtet ist, von einem Punkte desselben aus, so ist

3) ti.t = 2i.|.

Zur Orientirung des hannoverschen Dreieckssystems dient die Seite Göttingen, Theodolithplatz 1823~- Nördliches Meridianzeichen; ihr Azimuth ist nach Art. [9]: Ti.i = t|., = 5/473. In einem Briefe an Ger- LING vom 26. December 1823 (vergl. auch Geblino, Beiträge zur Geographie Kurhessens etc., S. «9j gibt Gauss dafür 5''47i an. Aus den Coordinaten des Theodolithplatzes von 1823 auf der Göttinger Sternwarte: x=i — 5,507m, y = 0, und des nördlichen Meridianzeichens: x = — 5019,756m, y = — 0,183m, Band IV, S. 416/417, folgt ebenfalls das Azimuth = 5;'47i.

Sind nun die ebenen Azimuthe berechnet, wie es in der Tabelle unter [9] geschehen ist, so kann man aus ihnen die Winkel der ebenen Dreiecke zusammenstellen und alsdann, wenn die lineare Langa einer Dreiecksseite bekannt ist, die Längen aller übrigen Dreiecksseiten berechnen. Man hat demnach nur einmal nöthig, von einer sphäroidischen Dreiecksseite auf eine ebene zu reduciren. Diese Übertragung geschieht nach der auf S. 215 gegebenen Formel; wendet man sie auf alle sphäroidischen Dreiecksseiten an, so gelangt man gleichfalls zu den ebenen Dreiecksseiten.

Wenn aber die Seiten der ebenen Dreiecke und ihre Azimuthe bekannt sind, so lassen sich aus ihnen leicht successive die ebenen rechtwinkligen Coordinaten der Dreieckspunkte berechnen.

Die auf S. 209 gegebene Karte des der Ausgleichung imterworfenen Dreiecksnetzes ist die Copie einer von Gauss dem hannoverschen Cabinetsministerium eingereichten Zeichnung. Aus Versehen sind im Original die Richtungen Wilsede-Brüttendorf und Timpenberg-Hamburg fortgelassen; dagegen enthält dasselbe noch den Anschluss der Punkte Hohenhom und Lauenburg, sowie den der Punkte Wangeroog und Neuwerk.

Über die Ausgleichung der in den ersten Jahren der Gradmessung beobachteten Dreiecke sind die später folgenden Briefe an Bessel vom 5. November 1823 und an Bohnenberoer vom 16. November 1823 zu vergleichen. Kbüoee.

DEEIECKSKRAJSrZ UM OLDENBUEG.

42

1

\

NACHLASS.

Zur Ausgleichung des Dreieckskranzes, der das Oldenburgsche umgibt.

Das ursprüngliche Tableau, angeschlossen an die Seite Zeven- Steinberg, [deren] vorausgesetztes Azimuth in piano: 1®17'405[568, logDist: 4,5235878, steht so, alle Azimuthe aufs Planum reducirt :

2

21 20

s

21

1

5

4

21

2

6

21

3

6

7 6 4 8

[Ebener BeobachtungBw.]

1. Zeven

1»17'39;'871

63 26 5, 943

124 13 47, 140

2. Steinberg

36 16 66, 169 106 46 4, 198 181 17 41, 266

3. Asendorf

26 49 22, 246

98 13 64, 829

169 2 46, 796

216 16 68, 976

4. TwiBtringen

47 24 66, 642 200 32 28, 288 278 13 66, 217 330 2 34, 130

6. Knickberg

37 16 32, 647 87 27 23, 007

160 2 33, 742 206 49 26, 941

[1. AuBgl.]

40;'668 6, 236.6 47, 160.6

67,067

2,987

40,669

24, 092 66, 023 46,682 67,068

66, 367.6 27, 961 66,023 33, 986.6

33, 219.6 23, 987 33, 936.6 24,094

8 9 10 4 6 7

8 6 6

9 6 7

11

10

6

8

[Ebener Beobachtungsw.]

6. Mordkuhlen- berg

16*10' 32;'l 13 88 47 69,913 160 48 68, 348 227 24 67, 094 267 27 24, 968 332 14 86, 728

7. Nonnenstein

73 3 40, 746 162 14 33, 970 217 16 33, 892

8. Dörenberg

166 6 19,362 196 10 38, 466 263 3 40, 334

9. Quekenberg

169 44 64, 268 210 48 6, 066 268 48 2, 206 886 6 20, 293

[1. AuBgl.]

32/784 61, 069.6 69, 114.6 66, 868.6 23,988 34, 849.6

40,640 84, 848.6 88, 219.6

19, 827 82,784 40,640

66, 012.6 6,922 1, 069.6

19,828

9 11 12

6

13

12

10

9

11 18 14 16 16 10

14 12 11

[Ebener BeobachtungBw.]

10. Krapendorf

30» 48' 7;'788

98 88 4, 402

172 89 16, 470

340 48 69, 881

11. Windberg

174 6 1,682 214 9 23, 908 278 83 4, 966 839 44 66, 767

12. WeBterstede

• 34 9 26, 276 86 4 31, 600 130 8 66, 476 178 63 40, 498 228 18 2,676 862 39 19, 183

13. Leer

186 16 22, 080 266 4 80, 726 364 6 2,364

[1. Auflgl.]

6;'921

4,679

17, 826.6

69, 114.6

2, 017.6 24,689

4,679 66, 012.6

24,690 81,118 66, 697.6 41, 124 4,866 17, 826.6

21, 978.6 81, 118 2, 018.6

42=

[Ebener

[i.Au.gI,]

(Ebmer

[i.AuigL]

[Ebener

14. Anrieh

17. Luigwudeii

20. BriUit

6'16'2i:'927

2i;'978J>

16

27*44' o;'860

i;'340

21

19*41' 48;'938

249 89 8, 646

8,716

16

83 69 60, 352

60, 187.6

19

49 19 47, 06S

SlO e 55, 720

66, 697.6

18

283 31 20, 848

20, 682.6

18 1

124 0 88, 641 304 13 47, 169

16. Jerer

18. Bremerlehe

69 89 e, 787

8.716

16

59 21 2, 451

2,885.5

21. Bremen

268 59 60. 022

60. 186.5

17

103 81 20, 418

20, 638.6

4

20 82 27, 614

322 58 6, 388

6,920.6

20

304 0 38, 544

38, B41.B

19

166 11 62,061

3&e 63 41, 761

41, 12B

19

347 18 42, 192

42,094.6

20

1

199 41 60, 446 238 26 4, 528

16. Vwel

19. GMlft«

2

286 46 1, 776

43 18 6,038

4,857

16

112 10 6,220

3,742

8

889 2 46, 629

142 68 7,468

6,920.6

16

167 18 41,997

43, 094.6

207 44 1,630

1,240

20

229 19 45, 572

46,817

289 21 2, 220

2, 836JS

21

346 11 48,789

60,424.6

292 10 0, 264

2,742

4^'691 46,318 38,643.6 47,l*8i

27,961 60, 426 J 49,693 6,336.6 3,987 46,683

\

DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG.

33»

Die 21 Dreiecke und das Siebeneck haben folgende Fehler der Winkel- sumnien.

Dreieck

21.

1.

2,

4

1 <t •

+ 0^388

Dreieck

12. 13. 14,

n: — i;i22

»

21.

2.

3.

, b

; +5,973

»

12. 14. 15,

0 :— 0,866

»

21.

3.

4,

c

;— 0,020

»

12. 15. 16,

p : — 1,045

»

3.

5.

4.

, d

: +3,696

»

15. 17. 16,

q :+ 0,025

»

4.

5.

6,

1 e :

: + 0,121

»

16. 17. 18,

r :— 1,421

»

5.

7.

6,

> f

: + l,142

»

16. 18. 19,

s :— 4,920

»

6.

7.

8,

9

:— 3,512

»

18.20. 19,

t : — 1,299

»

6.

8.

9,

h

:— 0,020

»

19.20. 21,

u :— 0,274

9

6.

9.

10,

■

t :

; +2,493

»

20. 1.21,

V :— 2,941

»

9.

11.

10,

k .

— 0,798

Siebeneck

»

10.

11.

12,

l :

; — 0,786

4.6.10.

12.16.19.21,

w: + 17^963.

»

11.

13.

12,

m:

+ 0,073

Die Bedingungsgleichungen sind hienach folgende:

21.1 + 1.2 + 2.21 = +0,388

u. s. w. 4.6 + 6.10 + 10.12 + 12.16 + 16.19 + 19.21+21.4 = +17,963.

Hier bedeutet 21.1 die an [die Richtungsbeobachtung] 21.1 anzubrin- gende Correction minus die an 1.21 anzubringende, u. s. w.

Indem die Correlaten der Bedingungsgleichungen mit den correspondirenden grossen Buchstaben A^ B^ C, u. s. w. bezeichnet werden, hat man für jene die 22 Gleichungen:

V-\-ZA-B

= +0,388

— Ö + 3H-

-/

= —0,020

-4 + 35-C

= +5,973

-H+3I-

-K-

-^^' = +2,493

5 + 3C-D-

-PF = —0,020

I -j-ZK

-L

= —0,798

C + 3D— JB

— +3,696

K+ZL

-M-

-W = —0,786

D+ZE—F-

-PF = +0,121

i+3M

-N

= + 0,073

E-\-3F—G

= +1,142

M+3iV

-0

= —1,122

F+ZG-H

= —3,512

-iV+30-

-P

= — 0,866

334

NACHLASS.

0 + 3P

P + 3Q Q + 322 J2-f3S

s +3r

Q-W R

8

T-W

U

— 1,045 + 0,025

— 1,421

— 4,920

— 1,299

— T-^iü—V—W= —0,274

— Ü+ZV—A =—2,941

—C—E—I—L—P—8—ü-\-7 W= +17,963,

woraus sich folgende Werthe ergeben:

W= +4,756

A = + 1,394 B = +3,816 C = +4,082 D = +3,694

£ = +3,305 F= + 1,345 G= —0,412 H= +0,930

/ = +3,223 K= +1,489 L = +2,043 M= +0,671

JV= —0,103 O = +0,142 P = +1,394 Q == +0,329

R = —0,431 8 = —0,200 r= —0,005 U= +1,485 V = —0,021.

Die Correctionsdifferenzen hängen damit folgendermaassen zusammen:

Für eine Aussenseite i .2 = A; für eine Innenseite 21.4= W— C ; für eine Zwischenseite 21.1 =A — V. [Bezeichnet (1.2) die Verbesserung der Richtung von 1 nach 2 u. s. w., so ist +(1 . 2) = — (2 . l) = 4- x 1 . 2 = -^A, (21.4) = — (4.21) = J-TF- iC, u. 8. w.]

Übrigens sind diese Werthe bereits zum Grunde gelegt, xim das vor- stehende Tableau [S. 331/332, 1. Columne], so gut mit 3 Decimalen angeht, auf absolute Orientirung zu bringen.

Rein angewandt, geben jene Correlaten ein einmal compensirtes neues Ta- bleau, [das in der ersten Zusammenstellung in der Spalte : » 1 . Ausgleichimg« enthalten ist. Vermittelst desselben ergibt sich folgende Dreiecksübersicht:]

[ Dreieck

Eck- punkt

Winkel

logg ]

a h e

♦21

1 2

*21 2 3

21

*3

4

58»19'57;'751.5 52 8 24,667.5 74 31 87, 582

52 16 48, 695 70 29 5, 920 67 14 10, 386

41 29 41, 269 60 48 61, 659 77 41 27, 072

4,523 5878 4,5167105 4,603 3177

4,490 1366 4,566 2678 4,5167105

4,397 5879 4,5174043 4,666 2678

[ Dreieck

Eck- punkt

Winkel

logß ]

d e f

3 5

♦4

4

*5

6

6

7

*6

72*24' 30','931 55 46 50, 157.5 51 48 38, 912.6

77 22 22, 432 62 35 9, 949.5 40 2 27, 619.5

50 10 60, 767.6 66 1 58,371 64 47 10, 861.6

4,459 3405 4,397 6879 4,375 5480

4,640 2697 4,599 1709 4,459 3405

4,5682778 4,640 2697 4,639 3947

DREIECKSKRANZ UH OLDENBURG.

335

[ Dreieck

Eck- punkt

Winkel

logB ]

l

ffi

♦6 7 8

♦6 8 9

6 ♦9 10

9

11

*10

10

♦11

12

11

18

*12

♦12 13 14

♦12 14 15

43» 55' 67;'934.5 79 10 54, 308.5

56 53 7, 756

72 37 28, 275.5 41 5 12,957

66 17 18,768.5

72 0 58, 055

57 59 54, 137.5 49 59 7, 806.5

51 3 11,909.5 61 11 50,333.5

67 44 57, 758

74 6 13, 147.5 64 23 40, 090 41 30 6,763.5

40 3 22,571.5 88 1 30,905.5 51 55 6,523

44 4 24,484.5 79 48 9, 134.5 56 7 26,381

48 44 45, 527.5 60 29 46, 881.5 70 45 27, 591

4,486 4942 4,6374634

4,568 2778

4,655 4820 4,493 4658 4,637 4634

4,587 5500 4,537 7168 4,493 4658

4,535 7345 4,587 5500 4,6112986

4,697 5200 4,669 5596 4,585 7345

4,506 3533 4,697 5200 4,593 8266

4,429 4936 4,580 2315 4,506 3533

4,481 2969 4,544 8795 4,580 2315

[ Dreieck

Eck- punkt

Winkel

logß ]

8

12

♦15

16

15

17

♦16

♦16 17 18

16

♦18

19

18

20

♦19

19

♦20

21

20

1

♦21

44*24' 23;'232 35 55 34, 204.5 99 40 2, 563.5

58 58 16, 734 56 15 48, 947.5 64 45 54, 319.5

31 37 1,095.5 104 12 40, 607.5 44 10 18,298

52 49 0, 406.5 72 2 20,241 55 8 39, 352.5

43 18 3,553

74 40 52, 225.5 62 1 4, 222.5

115 52 4, 107.5 29 37 56, 627 34 29 59, 266.5

75 28 2, 542.5 70 47 41, 915 33 44 15, 543.5

4,3960301 4,8195384 4,544 8795

4,4090498 4,396 0301 4,432 5558

4,285 4630 4,552 4361 4,4090498

4,5396066 4,616 6102 4,552 4361

4,391 5346 4,539 6066 4,501 3244

4,592 5563 4,332 5166 4,391 5346

4,603 3021 4,592 5563 4,362 0234

[Indem man von den Funkten 1 oder 2 ausgeht (Band IV, S. 458), kann man jetzt mit Hülfe der Formeln

^. — ^^ = 8^., COS T^.^ y^ —y^ = s^.^ sin t^,, ,

in denen t^.^ das Azimuth der Seite s^.^ bezeichnet, die ebenen Coordinaten der Funkte des Blranzsystems berechnen. Man erhält:]

rDreieoks- [ punkt

X

(Meter)

y ]

(Meter)

21 1 2 3

— 173074,708

— 196973,309

— 163594,034

— 138675,054

+ 76350,926 4- 44130,578 -f 44884,912 -i- 63178,019

Dn-iecks-

« 1

punkt

X

(Meter;

4

— 142251,677

+ 87900,386

5

- 117302,389

+ 73520,724

6

— 115364,146

+ 117156,400

7

— 82615,970

+ 99921,647

8

— 73684,811

+ 129246,257

9

— 114711,937

+ 148300,127

10

— 147940,705

+ 128490,294

11

— 153046,113

+ 162443,404

12

— 194283,391

+ 134463,972

13

— 192087,067

+ 166477,506

14

-218810,103

+ 163540,108

15

-229342,324

+ 135140,342

16

-209472,265

+ 120150,094

17

-232173,634

+ 108214,679

18

— 227661,782

+ 89453,677

19

— 193865,475

+ 81844,596

20

— 209919,630

+ 63160,451

21

— 173075,289

+ 76350,558

1

— 196973,026

+ 44131,372

Unterschiede |

21

— 0,581

— 0,368

1

+ 0,283

+ 0,794

H«Iiuf der zweiten AuBgleichung werden folgende Bezeichnungen ge- Itrttuiilit.

m', flt", m* die drei Winkel des Dreiecks m\ nemlich m", m' resp. den (llmrgftngsseiten gegenüberstehend, m* zwischenliegend, in obigem Tableau mit HltTii bezeichnet.

Durch die Zahlen sind Kürze halber die complexen Plätze bezeichnet [ftUo int z.B. 21 = ir„ + ij/„, wo i = \/— l].

Man hat

|\ _12-Z_-I = cotanga'.Sa' — cotanga".8a"-(-cotangA'.86' — cotangf.W 4- cotang c' . 8c' — cotang c" . Bc" + . ■ • -f- cotang v' . 8p'— cotang v" . 60"

DREIECKSKBANZ UM OLDENBURG. 337

2) — 8 1 = (I — 2 1 ) { cotang v\ W— cotang v". 81;"+ cotang a'. 8a'— cotang a". 8a''

+ cotaiig6'.86'— cotang6''.86''-|-i(8»'+8a'+86'){ + (1 — 3) { cotang c'. 8c' — cotang c". 8c" — i . 8c' |

+ (1—4) {cotang<i'.8(i'— cotangrf''.8rf''+i.8<f}

+ (1 — 5) {cotange'.8«' — cotang «".8 «"—1.86' I

+ (1 — 6) {cotang/".8/" — cotangr.8r+cotangy'.8^'— cotangy".8^''

+ cotang h'M — cotang h\ U" + i [hf* + 8/ + 84») (

+ (1 — 9) j cotang %'. W — cotang t ". 8 1" — i . 8t' } + (1 — 10){cotangÄ:'.8Ä'-cotangÄ''.8*"+i.8r{

+

+ (1 — 20) { cotang«'. 8m'— cotangu". 8tt''— i . 8i*'} .

Hier ist

8»' = (20.21)— (20.1) 81;"= (1.20)— (1.21) 8»' = (21.1) —(21.20) 8a' = (1.21)— (1.2) 80"= (2.1) - (2.21) 8a' = (21.2) —(21.1)

U. 8. W.

[wo wie vorher (1.2), (1.21), u. s. w. die Richtungsverbesserungen bedeuten]. Es wird hienach die Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen fol- gende [da 821 = —0,581— i. 0,368, 8I =+0,283 + 1.0,794 und Slogs,.,, = — 0,000 0156, also]

+0,0000156 «„„«fi- , _ ,„„-

0,43429... -206265 = +7,4091 = |*

— 206265.821 = + 119839 + 1.75905 = v'

— 206265.8 t=— 58373— i. 163774 =v''.

[ist:]

43

338

NACHLASS.

[ Corr.

Co«ffieient 1

[ Corr.

Coefficient ]

(1.2)

-(l-21)a'

(12.10)

+ (1

1-11)1"

(1.21)

+ (l-2l;(e"+o')

(12.11)

-d

1-11)1"- (1-12)1

(1.20)

-(1-21)«"

(12.15)

-d

i-15)l)'+(l-12)i

(2.3)

-(1-21)6'

(12.16)

+;i

1-16)11'

(2.21)

+ (l-21)(a"+6')

(18 . 14)

-d

l-12)n'

(2.1)

-(l-21)a"

(18 . 12)

+(:

l-12):ifi"+n')

(8.6)

-(l-4)d'

(18.11)

-(]

l - 12)111"

(8.4)

+ (l-4)d'+(l-8)i

(14.15)

\

1-12)0'

(8 . 21)

+ (l-21)6"-(l-8)i

(14 . 12)

+ (1

l - 12: (n" + o')

(8.2)

-(1 — 216"

(14.13)

-(]

l-12)n"

(4". 21)

+ (l-8)c"

(16.17)

-d

L-16)2'

(4.3)

_(l_8)c"-(l-4)i

(16 . 16]

+d

L-16)«'+(l-16)i

(4.6)

-(l-6)«'+(l-4)i

(16 . 12)

+ d

1-12,0"- (1-15)1

(4.6)

+ (l-6)e'

(16.14)

L-12;o"

(5.7)

-(1-6)/-'

(16 . 12)

+d

l - 15)p"

(6.6)

+ (l-6;/'+(l-6)i

(16.15)

-d

l-15:p"-(l-16)i

(6.4)

+ (l-4)(l"-(l-5)i

(16.18!

-d

l-18)«'+(l-16)i

(6.8)

-(i-4;d"

(16 . 19)

+d

L-18)«'

(6.4)

+ (l-5)e"

(17 . 18)

-d

[-16)r'

(6.5)

-(l-5)e"- (1-6)1

(17 . 16)

+d

L-16:V'+r')

(6.9)

-(l-9)»'+(l-6)i

(17.15)

-d

l - 16; q"

(6 . 10)

+ (1-9)»'

(18 . 20;

-d

L-19)t'

(7.8)

- (1 - 6)^'

(18 . 19)

+d

L-19:«'+(l-18)i

(7.6)

+ (1-6) (/•"+,•)

(18.16)

+d

L-16;r"-(l-18)i

(7.6)

-(i-6;r

(18.17)

-d

L - 16: r"

(8.9)

-(1-6)Ä'

(19 . 16)

+d

L-18)«"

(8.6)

+ (l-6)(fli"+»')

(19 . 18)

-d

l-18)«"-(l-19)i

(8.7)

- (1 - 6)^"

(19.20)

-d

[-20)tt'-f(l-19)i

(9.11)

-(l-lO)t'

(19.21)

+d

l-20)tt'

(9.10)

+ (l-10!il!'+(l-9)i

(20.1)

1-21)«'

(9.6)

+ (l-6)Ä"-(l-9)i

(20.21)

+ {1

[-21)»'+(l-20)i

(9.8)

-(1-6)V'

i20 . 19)

+ J

l-19)t"-(l-20)i

(10 . 6)

+ (l-9)i"

(20 . 18)

-d

-19;t"

(10 . 9)

-(l-9)»"-(l-10)i

(21 . 19)

+ (3

.-20)tt"

(10.11)

-(l-ll)J'+(l-10)i

(21 . 20)

-(1

[-20)tt"-(l-21)i

(10.12)

+ (1-11)J'

(21 . 3)

-(1

L-3)c'+ (1-21)1

(11.13)

- (1 - 12)»'

(21 . 4)

+ (1

[-8)c'

(11 . 12)

+ (l-12)w'+(l-ll)i

(11 . 10)

+ (l-10)*"-(l-ll)i

(11.9)

-(1-10)*"

DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG. 339

Dieses abgekürzte Tableau bezieht sich zunächst auf die Bedingungsglei- chung für v". Es ist nemlich v" äqual dem A^regat von 77 Theilen, wovon der erste

= — (1 — 21)cotanga'.(1.2), der zweite

= +(1 — 2l)(cotangi;"+cotanga')(l .21)

u. s. w.

Die Bedingungsgleichung für v' findet sich, wenn man überall anstatt 1 21 schreibt, wodurch also die Glieder 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 und 70 wegfallen.

Endlich findet sich die Bedingungsgleichimg für (i, wenn man überall den ersten Factor (resp. 1 — 21, 1 — 3, 1 — 4, u. s. w.), imgleichen die ima- ginären Theile herauswirft.

Auf der folgenden Seite folgen nun die 3 Bedingungsgleichungen (für |a und die beiden Theile von v') in Zahlen nebst den Logarithmen der Coeffi- cienten.

43*

340 BEMERKUNGEN.

L

BEMERKUNGEN.

Die Tontehende unvolleDdete Ausgleichung ist die einzige Eintragung in ein Handbuch, du den TüUl fftbrt: iBechnungen in Bedehung auf die trigonometriicben MeMungen*. Sie iit dwluich bemerkeniwerth, dwa hier lum enten Male die Polygongleichungen füi ein Knniajritem au^eitellt werden. Die t PolygQD- gleicbungen beitebeii aui der Winketgleichung für dai innere Polygon dee Kraniu und aui den beiden BediDgungiglracliungen daitlr, daaa die Coordinaten einet Punkte! wieder diMelben Weithe erhalten, «ean nutn Ungs «nel von Seiten del Kranuyitema gebildeten Linieniuge« lu ihm curflckkehit. Dieie büden Bedingungen weiden dureh die Oleicbung l), 8. 33T, dargeitellt, die man wie folgt ablriten kum.

Beehuet man Tom Punkte i aus die rechtwinkligen Coordinaten ISng« de« Liniensugea i. lt. s. 4. h. t. t. le. tl. 11- IS' le. IS- IV' 10 f^ die Punkt« 11 und 1, lo erhSlt man (toi der Auigldehung' im ■llgem«inen nicht wieder die Aulgangiwerthe fllr 11 und I, londem man gelangt tu Werthen, die d«n Punkten II* und l* entapiechen mOgen. Wird die Lage de« Punkte« k durch (> ^ x^ + ij/theuätshaet, lo iit

^.-^ =(*,,-»,) + (»,-«,,) + l«*-«.) + -'- + («i.-«..! + (^i*-«») + ('i—^i')- ITm <V|* b i^ fibenufOhien, wird der Lininuug einer differentiellen Änderung idner Briten und Winkel unterworfen, wobei der Punkt i ata feit angenommen wird :

8/,. = 8:^-«,) + 8f«.-«„) + -- + 81v-^i»). I«t ii^ die Lftnge und ti.^ daa Aumuth der Seite X.f., ao in aber

!!j^-*j) = (i^-ei.H«l<^Bi.p+i-8Ti^, ■Im wird

1) *«,• = 2(:^-ei)«l<^ai.p + i2(^-fi)*t2^,

wo die Summen sich auf die Punkte dei Linienzugea beliehen. Der LogarithmuB iit hier, wie auch w«te> hin, der hyperbolische.

Beirichnet man fttr den Augenblick den Winket, den die &uf dnander folgenden Seiten \. |i und fi.v bilden, durch to^, so iit aber

V'i- = ■^i^ + K^iiBO" und daher

«v. = «n^ + '«'^;

mithin wird (Qr den Linieniug, indem man Termittelit dieier Gleichung lueceiiive alle it durch Sfi.n au^ driickt;

li* — ti kann gegen die andern DifTerenien f|* — ii all eine kleine Grßiae enter Ordnung angeieheo

DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG. 341

werden, also darf man daa ante Glied gegen die übrigen Temachlfiasigen , und statt g^* und g^» darf man in den Coeffieienten g^ und jb^i schreiben. Da femer nach der Figur auf S. 332

Wn = a*+b*, IT, = 360*>-c», ir^ = d», ^ w^ = 360»-e», fr. = P + S^ + h*, u. s.w.,

ip^ = 860" — tt*, W^i = V*

ist, so ergibt sich:

») 2U^-iri)8Ta.^ = (Si-Si,)(8a» + 86» + 8»»)-(iri-;p,)8c« + (^i-«4l8^-(«i-«5)^^

Auch die erste Summe in der Gleichung (i) l&sst sich umformen. Aus

s,|.g sind' sina'

Sj.,! sind" sina''

s,.4 sine'

s,j., sine"

u. s. w. folgt:

'logSji.g = ^loR^i.« +cotanga'.8a'— cotanga".8a" + cotang6'.86' — cotang6".86" 8 log Sg.4 = Ä log Sjj.g + cotang c' . 8e' — cotang e" . Äc"

)logs,o.,i* = 81ogBi9.,o + cotang tt'.Stt'— cotang u".5tt" l log s,i».i» = 8 log B^o.,^* + cotang t) ' . 8 1? ' — cotang » " . 8 1> ".

Daher wird:

2 (ji^—«i) 81og S2^=== (iTi*—*,) 81ogBi.,i+ (£:i»—if,i) (cotanga^ 8a'— cotanga'^ 8a''+ cotang 6^ 86'~ cotang 6'^ ?6'0

+ {gi*—gg) (cotang c'. 8e'— cotange". 8e") H h (i^i»— *io) (cotang a'. 8 u'— cotang w". 8tt")

+ («,♦— K^, •) (cotang «'. 8 f? '— cotang f> ". 8 «") ,

oder, wenn man wie vorher ftlr g^* und n^^* wieder jPi und g^i schreibt,

8) 2(jff^— if2)81ogSji.^ = (xrj—5,j)(cotanga'.8a'—cotanga".8a"+cotang6'.86'— cotang 6".86"

+ cotang f? '. 8 f> '— cotang r ". 8 f> ") + (£^1 — £f,) (cotang e '. 8 e '— cotang e ". 8 e ") + («i —^4) (cotang d'.8d'— cotangd".8d") + • • • + (x^ — jp,o) (cotongti'.8fi'— cotang u". 8 li").

Büthin folgt aus der Gleichung (1), wenn die Winkelverbesserungen in Secunden gegeben sind:

106265. 8si* = {gi—gfi) |cotangf>'.8»'— cotang v". 8 !?"+ cotang a'. 8a'— cotang a". 8a"

+ cotang6'.86'-cotang6".86" + i(8f?»+8a»+86»)} . ) +(^i— «f) {cotange'.8e' — cotange".8e" — i.8ö*|

+ («1-^4) {cotangd'.8d'-cotangd".8d"+i.8<r}

+ («, — £^J |cotangfi'.8fi'— cotangtt".8fi"— i.8tt*j.

Sollen nun die Punkte 1 und 1* zusammen fallen, so muss

j8i» + 8<8f|* — jPj == 0, 8xri» = jB^ — üj» = — 8«! gesetzt werden, wenn das vorgesetzte 8 eine positiv anzubringende Verbesserung bedeutet.

342 BEMEBKl'NGEK. DREIECK8KKAHZ L'H OLDE!rBl.~RG.

Di« 6«hcTifl«chuiig r auf S. 13« itt die Bedingung dafür, daM der Weitli der Sehe *,,^ i habcD wird, wenn durch da* Kraniarctem hindurch gerechnrt wird. Ea ift

iiof*i*.n* ^ —^'"K'i-M = —^ =^ cotanga'.to' — c«Ullga".ta"-f "■

+ Mitaiig

'. 8«", werden lolleii, ift die Unie Seite dieter Gleichung mit ^w"^— *>■ multipticiren.

FOr den bri^iachen Lugarithinua und wnui die Verbeaaemngm Sa', 8a", «te. in Seennden e

Slod. In den Farmehi i, und I , S. Jl« und IlT, nebt im Original

und 8i an Stelle Ton und — Bl.

1 — 11 I — II

Im Jahre l^iil hat Gauhs nach dem • Generalbericht Ober die mitteleuiopiiache OradmeMong ftlr dat ]afari^«t>. S, 11/11. dem oldenburgtcbeo Venneiiungsdirector T. SCHBENCK die II ■phiroidiachoi, auf lfto*-|-ExceM abgeatimmten Dreiecke de« Knuuea um Oldenburg mitgetheilt In <ni«m Sehreäbat tob 1. AuguA Uli tagt Gacsh dazu nach dem angegebenen Generalbericht, S. ll/li; :

>Waa DUD aber die relatiie Genauiglielt der Dreiecke betrifft, m nnd Ew. Hoehw. im IrTthun, wenn Sie die Dreiecke 1 — » ;in der Figur auf S. ilt lind diel die Dreiecke q, p, 0, m, m, l, i] den Obigen •— Ii und 1 [in der Figur t bii a, c bit r] entgegenstellen. Der Gegeniata toU Tielmehr ao «ein: i— i« [m der Figurp bii b] riet ungenauer, &b IT — 11 [a, v, %, t, »] und i [r] und i ;(]- Di« lelxtem i Dreiecke habe ich Klbat gemewen mit il'iAllif;en Theodolithen, grÖHter Sorgfalt, Heliotroplicht ohne Ausnahme ^e Ziel- punkte bildend, und unter möf;lichiter Sorge für Fettigkeit der Standpunkte, wovon I lu ebener Erde. Da- gegen find die ll andern Dreiecke m andenn Zwecke, mit ichwicherm Instrument ;8-tölligem Theodolith\ viel getingerm Zeitaufwand, ohne Anwendung von Ueliotroplieht und mitunter auf sehr ungflnstigen Stand- punkten gemessen , wie i. B. die ThQnne von Twistringen und Aiendorf und vielldcht auch dnige der andern ThOrme. Indem ich daher die t enten Dreiecke für so scharf gemecsen halte, wie das der Znstand der Kunst nur verstattet, würde ich die Genauigkeit der 14 flbrigen nur i so groat, oder ihr Gewicht nur i so gross ansetzen.'

Wenn man die WinkeUumme des Siebenecks t. fl. 10. 11. lt. IS. li aus den von Oauu an ■ü, SOHBENCK mitgetheQten Winkeln bildet, to betrigt (Generalberiebt, B. t<] der Sehlusaf<»hler I4;'«ai.

KiteoKx.

ZUR HANNOVEKSCHEN TRIAJSTGÜLATION.

1

%

■i

-4

BRIEFWECHSEL

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 5. Julius 1816.

Vor allen Dingen meinen herzlichen Glückwunsch zu der herrlichen grossen Unternehmung, welche Sie mir in Ihrem letzten Briefe ankündigen. Diese Gradmessung in den k. dänischen Staaten wird uns, an sich schon, über die Gestalt der Erde schöne Aufschlüsse geben. Ich zweifle indessen gar nicht, dass es in Zukunft möglich zu machen sein wird, Ihre Messungen durch das Königreich Hannover südlich fortzusetzen. In diesem Augenblicke kann ich zwar einen solchen Wunsch in Hannover noch nicht in Anregung bringen, da erst die Astronomie selbst noch so grosser Unterstützung bedarf: allein^ich bin überzeugt, dass demnächst unsere Regierung, die auch die Wissenschaften gern unterstützt, dem glorreichen Beispiele Ihres trefdichen Königs folgen werde. Wir würden dann schon einen respectabeln Meridianbogen von 6|- Grad haben, und leicht würden sich dann auch noch diese Operationen mit den bayerischen Dreiecken in Verbindung setzen lassen. Letztere sind gewiss mit grösster Sorgfalt gemessen, und es ist zu beklagen, dass sie der PubUcität entzogen werden.

Über die Art, die gemessenen Dreiecke im Calcül zu behandeln, habe ich mir eine eigene Methode entworfen, die aber für einen Brief viel zu weit- läuftig sein würde. In Zukunft, falls ich bis dahin, wo Sie Ihre Dreiecke gemessen haben, sie nicht schon öflFentUch bekannt gemacht haben soUte, werde ich mit Ihnen darüber umständlich conferiren : ja ich erbiete mich, die Berechnung der Hauptdreiecke selbst auf mich zu nehmen.

IX. 44

846 BBIEFWSCBSEL WT SCHUMACHER.

Bei dem zweiten Theile Ihrer Unteinehmung, der Messung des Längen- grades, habe ich nur einen kleinen Zweifel. Ich meinte nemlich, dass die lÄndei der t^Lnischen Monarchie eher flach zu nennen sind, wenigstens keine hohe Berge haben. Ist diese Voraussetzung gegründet, und sind Sie dann dadurch genOthigt, zur Bestimmung des astronomischen Längenunterschiedes einen Zwischenpunkt oder gar mehrere zunehmen, so wird jener Bestimmung, auch wenn sie noch bo geschickte Gehülfen und Hül&mittel haben, doch immer eine kleine IJngewissheit ankleben.

Einen grossen Vortheil haben Sie in dem Umstände, dass Dänemark schon einmal trigonometrisch vermessen ist; ich meine natürlich nicht in den gemessenen Winkeln selbst, die weit dftvon entfernt sind, sich zu einer Grad- messung zu qualificiren, sondern weil jene Operationen Ihnen das Auswählen der Stationspunkte ungemein erleichtem werden. Dies Au&uchen würde mir hei einer ähnlichen Arbeit gerade das Unangenehmste sein, weil dabei so viele Zeit umsonst verloren wird. Ich habe mir viele Mühe gegeben (in ähnlichen Rücksichten auf künftige Operationen), die von Epailly im Hannoverschen ge- messenen Winkel zu erbalten, aber ohne Erfolg.

Mir war eine interessante Au^ahe einge&Uen, nemlich:

»allgemeill eine gegebene Fläche so auf einer andern (gegebenen) zu projiciren (abzubilden), dass das Bild dem Original in den kleinsten Theilen ähnlich werde.«

Ein specieller Fall ist, wenn die erste Fläche eine Kugel, die zweite eine Ebene ist. Hier sind die stereograpbiscbe und die merkatorsche Fro- jection particoläre Auflösungen. Man will aber die allgemeine Auflösung, worunter alle particulären begrifi'en sind, für jede Art von Flächen.

Es soll hierüber in dem Journal philomathique bereits von Monge und FoiNSüT gearbeitet sein (wie Burckhardt an Linoenau geschrieben hat), allein da ich nicht genau weiss, wo, so habe ich noch nicht nachsuchen können, und weiss daher nicht, ob jener Herren Auflösungen ganz meiner Idee ent- sprechen und die Sache erschöpfen. Im entgegengesetzten Fall schiene mir dies einmal eine schickliche Preisfrage für eine Societät zu sein

ZUB HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 347

Gauss an Schumacher. Göttingen, 10. September 1818.

Ich eile Ihnen anzuzeigen, dass ich von unserm Minister Arnswaldt den Auftrag erhalten, die zur Verbindung einer hannoverschen Triangulirung mit der Ihrigen nöthigen Messungen in Lüneburg vorzunehmen und dazu das Nöthige mit Ihnen zu verabreden. Er macht zugleich mir Hofihung, dass demnächst auch die Fortsetzung selbst wohl zu Stande kommen werde, und es freut mich, dass diese nun durch die in Lüneburg vorzunehmenden Ope- rationen gesichert werden kann

Gauss an Schumacher. Göttingen, 20. Mai 1820.

In dieser üngewissheit [*)] adressire ich diesen Brief nach Copen-

hagen und wünsche sehnlich, dass er Sie treffen und bald treffen möge: er soll Ihnen nemlich die Nachricht anzeigen, dass in Folge eines Schreibens vom Grrafen von Münster aus London, als Antwort meines vor einem Jahre von Ihnen gefalligst besorgten Briefes [**)],

»der König die Fortsetzung der Gradmessung durch das Königreich

Hannover genehmigt hat«.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 4. März 1821.

Es war früher meine Absicht, von Hamburg anzufangen und so

von Norden nach Süden zu messen, allein da ich leider so sehr durch die Schreibfaulheit und Unzuverlässigkeit aller Künstler, mit denen ich zu thun habe, hingehalten werde, und bis jetzt noch gar nichts von den nöthigen Hülfsmitteln in Händen habe, so würden die daraus erwachsenden Verlegen- heiten noch viel grösser sein, wenn ich jenen Plan befolgte. Dieser und noch verschiedene andere wichtige Gründe nöthigen und bewegen mich zu dem umgekehrten Plan^ von Süden nach Norden zu messen

[*) über ScHUMACHEiM Aufenthalt.] [**) Abgedruckt in Band IV, S. 483/483.]

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348 BRIEFWECHSEL MIT 8CHUMACHEB.

Gauss an Schumacheb. Wulfsode, 18. September 1822.

So viel eine vorläufige Inspection des Terrains urtheilen lasst,

würde es nicht unmöglich sein, die ganze Linie von Breithom bis Eschede [Schamhorst] (11220 Meter lang) unmittelbar zu messen. Welch eine heir- liehe Basis wäre dies!

Gauss an Schumacher. [Göttingen, Januar 1825.]

Wenn ich alle grossem und kleinem Durchhaue aus den Jahren

1821 — 1824 zusammen zähle, von solchen, wo vielleicht ein Dutzend Bäume gefallt sind, bis zu den grössten, so mögen etwa 16 oder 17 Durchhaue vor- gekommen sein. Der Allergrösste, nach der Ausdehnimg, war im Becklinger Holz unweit der Strasse von Bergen nach Soltau

Gauss an Schumacher. Dangast, 1 Stunde von Varel, 20. Jimius 1825.

Ich selbst pflege [beim Heliotrop] durch die drei Fussspitzen

einen Kreis zu beschreiben, dessen Centrum als Zielpunkt betrachtet wird. Bei meinen beiden neuesten Heliotropen ist noch das Centrum selbst durch eine Spitze bezeichnet, welches viel Bequemlichkeit verschafit

Gauss an Schumacher. Göttingen, 14. Januar 1829.

Da wir noch wenig darüber wissen, ob die Figur der Erde von der Figur des mittlem EUipsoids in langem oder in kurzem Undulationen abweicht, so bin ich jedenfalls der Meinung, dass man am besten thut, immer das mittlere Ellipsoid zum Grunde zu legen.

Wenn ich jedoch es nicht gerade unbedingt verwerfen will, einmal ein osculirendes Ellipsoid zum Grunde zu legen, so kann ich dies doch nur da für zulässig halten, wo man Mittel hat, ein osculirendes Ellipsoid zu be- stimmen, d. i. ein solches, in dem die Krümmung sowohl im Sinne des Meri- dians, als in dem darauf senkrechten Sinn der wirklichen Gestalt so nahe wie möglich kommt. Dies ist aber bloss aus der Verbindung von Messungen in beiderlei Sinn zu erhalten (Breiten- imd Längen -Gradmessung)

ZUB HAI^NOYERSCHEN TRIAI7GULATI0N. 349

Wenn ein Meridian nicht wirklich elliptisch ist, so kann man allerdings eine Ellipse berechnen, die sich an zwei Stücke eines Bogens anschliesst, und man mag dies meinethalben eine osculirende Ellipse nennen; allein durch Umdrehung dieser Ellipse um ihre kleine Axe''*') entsteht keine Fläche, die man osculirendes Ellipsoid nennen darf, oder mit andern Worten, zwischen dem wirklichen Werth des Längengrads und demjenigen Längengrad, den man auf dem durch Umdrehung jener osculirenden Ellipse [entstandenen Ellipsoid] berechnet, ist gar kein Zusammenhang. Durch Verwechselung beider setzt man sich den grössten Fehlem aus

[2.] Gauss an Bessel. Göttingen, 26. December 1821.

Der vorige Sommer ist grösstentheils mit Vorbereitungen zum

Trianguliren imd dem Trianguliren selbst zugebracht Die Winkel in

Sternwarte, Meridianzeichen, Hohehagen, Hils, Brocken sind gemessen; nur am letzten Punkte ist der Winkel zwischen Inselsberg und andern Punkten missglückt, weil das unerhört schlechte Wetter während der Zeit, wo dort der Heliotrop war, fast alles Beobachten untersagte. Nur einmal auf eine halbe Stunde konnte die Richtung kümmerlich gemessen werden, was aber mit an- dern frühem ebenso kümmerlichen Messungen, wo einmal auf das Haus, das andere Mal auf Enckes Sextanten- Viceheliotrop 3 Minuten vor Sonnenunter- gang pointirt wurde, nicht gut harmonirt.

Der Umstand, dass ich nur Einen Heliotrop zu meiner Disposition hatte, hielt ungemein auf. Bei meinem Aufenthalt auf dem Hils musste der Helio- trop successive von Lichtenberg zum Meridianzeichen, dem Brelingerberg und Deister übergehen; ebenso wie ich auf dem Brocken war, reiste jener von Lichtenberg zum Hils, Hohehagen, Liselsberg. Die wenigsten der Winkel haben also unmittelbar gemessen werden können ; ich hatte auf diesen beiden

*) Von der man nur sagen kann, dasB sie der Erdaxe parallel ist, ohne mit ihr zusammen zu fallen, ja von der sie in der Regel weit abstehen wird.

350 BRIEFWECHSEL MIT BESSEL.

Stationen mehrere andere an sich sichtbare Punkte ausgewählt und maass allezeit, was sich eben messen liess. Ich sehe aus dem 4. Bande der Base du Systeme m^trique, dass die Franzosen in Spanien es ebenso gemacht haben; sie haben aber die Messungen nicht richtig combinirt. Wenn ich im näch- sten Jahre meine Triangulirung fortsetze, wird es besser gehen, indem ich zwei Heliotrope mehr haben werde. Meinen zum Viceheliotrop eingerichteten Sextanten habe ich immer bei mir gefuhrt und zu telegraphischen Zeichen gebraucht. Es geht damit ganz vortrefflich, nur dass, weil jener Viceheliotrop auf Winkelabstände unter etwa 138® begrenzt ist, ich nicht immer zu jeder Tageszeit ihn brauchen konnte; künftiges Jahr wurde ich zu diesem Zweck in der Regel einen der Heliotrope bei mir behalten.

Die grösste Entfernung, wo das Heliotroplicht mit blossen Augen ge- sehen, ist die vom Brocken zum Hohehagen, indem am letztem Orte meine auf dem Brocken gegebenen telegraphischen Zeichen so gesehen wurden; die Entfernung ist 9f geographische Meilen ; es gehören dazu aber wohl günstige Umstände. Bei Entfernungen bis 6 Meilen habe ich (trotz des Verlustes an Licht beim Gebrauch der Loi^ette), wenn die Umstände nur leidlich günstig waren, das Heliotroplicht mit blossem Auge bequem gesehen, ebenso in den Vormittagsstunden das Heliotroplicht vom Hils zum Brocken {7^- Meilen). Die Spiegelfläche ist 24- Quadratzoll, bei den beiden neuen Heliotropen habe ich 6-i- Quadratzoll genommen; massigen kann man das Licht leicht, bei grossen Entfernungen kann es aber doch Fälle geben, wo das stärkere Licht ange- nehm ist; so drang einen Tag das Licht vom Brelingerbei^ zum Hils nur kur^e Zeit durch, obgleich (oder vielmehr richtiger weil) ein völlig wolken- loser Himmel war. An solchen Tagen ist in der Regel die Durchsichtigkeit der Atmosphäre am geringsten; ich erinnere mich eines solchen Tages, wo das Heliotroplicht vom Deister zwar recht gut zu sehen war, aber nicht be- nutzt werden konnte, weil keiner der übrigen Gegenstände, selbst nicht ein- mal das nur wenig über eine Meile entfernte Einbeck gesehen werden konnte.

Einen sehr wesentlichen Vorzug hat das Heliotroplicht vor jedem andern Signale, worüber ich oft artige Erfahrungen gemacht habe; nemlich das He- liotroplicht sieht man desto besser, je stärker man vergrössert, irdische Signale hingegen (bei grossen Entfernungen) desto schlechter, denn bei letztem ist es vorzüglich die Blässe, die das Sehen hindert; von Hannover habe ich

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 351

z. B. auf dem Brocken, obgleich ich den Platz nach Höhe und Azimuth ge- nau wusste, niemals eine Spur sehen können. An dem Tage, wo ich das kümmerliche Heliotroplicht vom Inselsberg erhielt (bloss Schuld des Wetters, denn bei einigermaassen günstiger Luft musste das Heliotroplicht von 2^ Quadratzoll Fläche noch überreichlich hell sein), sah ich dies zwar im Fem- rohr des Theodolithen noch ziemlich gut, konnte damit aber keine Spur vom Umriss des Berges erkennen; dagegen sah mein Gehülfe diesen Umriss ganz leidlich in einem an sich sehr elenden Femrohr von schwacher Vergrösserung, konnte damit aber das Heliotroplicht nur selten sehen. Die Sache erklärt sich leicht; auch bei der stärksten Ver^össerung bleibt das Heliotroplicht ein Punkt und dessen Licht ist immer dasselbe, aber der Grund ist desto düsterer, je stärker man vergrössert etc.

Grosse Signale habe ich nur zwei gebaut, auf dem Hohehagen und Hils, und vermuthlich wäre auch dies unterblieben, wenn mein Heliotrop sechs Wochen früher vollendet gewesen wäre. Das Hils -Signal projicirt sich vom Brocken aus gegen nahen dunkeln Hintergrund; während des ganzen Monats, den ich auf dem Brocken zubrachte, habe ich jenes nur zweimal überhaupt sehen und nur auf etwa zwei Minuten so sehen können, dass ein Winkel sich hätte messen lassen; das Hohehagen -Signal projicirt sich gegen die entferntem Casselschen Berge, war öfters zu sehen und auch ein paar Mal zu beobachten, obwohl ich, hätte ich nicht den Heliotrop dahin geschickt, auch meine Winkelmessung nicht voll bekommen hätte. Ausser der schweren Sichtbarkeit, Kosten und Zeitaufwand haben die Signalthürme noch eine sehr unglückliche Seite, den Reiz, welchen sie dem rohen Muthwillen zur Zerstörung darbieten. Leider ist mein Hohehagen-Signal seit kurzem fast ganz verwüstet, und ich werde glücklich sein, wenn ich nur den Punkt mit hinreichender Schärfe wiederfinden kann.

Gauss an Bessel. Göttingen, 15. November 1822.

Die ausserordentlichen Schwierigkeiten, ein Dreiecksnetz in der

Lüneburger Heide zu fuhren, kannte ich schon aus Epaillts Bericht, der es ge- radezu für unmöglich Erklärt und seine Dreiecke, um den südlichen Theil von

352 BRIEFWECHSEL MIT BE88EL.

Hannover mit Hamburg zu verbinden^ über Bremen, die Weser herunter und 80 die Elbe wieder herauf gefuhrt hat. Und doch hatte er grosse Vortheile vor mir voraus; er beobachtete durchaiis oben in seinen Signalthürmen, wo er sich viel leichter weitere Aussicht verschaffen konnte als ich, der überall zu ebener Erde gemessen hat; er brauchte beim Aushauen der Waldungen viel weniger auf Schonung Rücksicht zu nehmen; überall freier Transport, freie Arbeiter, etc., während ich alles ohne Ausnahme mit baarem Gelde be- zahlen muss und oft die Kosten so sehr sehr weit über meine Vermuthung hinausgehen sehe; er hatte eine ganze Brigade von Ingenieurs zu Gehülfen, etc. Diese Erwägungen liessen mich meine erste Recognoscirungsreise nicht ohne Ängstlichkeit vornehmen (gegen Ende Aprils). Anfangs ging es selbst besser als ich erwartet hatte; ich fand, dass Garssen und Falkenbei^ sich unmittelbar mit Deister und Lichtenberg verbinden liessen; aber bei den Untersuchungen, wie von jenen beiden Punkten die Dreiecke weiter nördlich bis Lüneburg geführt werden könnten, fand ich das Terrain so widerspenstig, dass ich mehrere Male die Möglichkeit eines glücklichen Erfolgs bezweifelte imd befürchtete, das ganze Unternehmen aufgeben zu müssen. Das Land überall flach, keine dominirende Punkte, überall Holz, theils in grossen Waldungen, wie der Hassel, der Lüsing, das Becklinger Holz, etc., theils in unzählbaren kleinem Kämpen, die sich schachbrettartig vor einander schieben. Die Versuche meines Gehülfen, auf der Westseite etwas brauchbares aufzu- finden, waren ganz ohne Erfolg; mir selbst gelang es endlich nach den be- schwerlichsten Versuchen, gleichsam im Herzen der Heide zwei Dreiecke 9. 10. 12 [Falkenberg -Hauselberg -Wulfsode] und 10. 12. 13 J[Hauselberg- Wulfsode-Wilsede] zu etabliren; allein ich überzeugte mich zugleich, dass ich bei dieser Gattung von Arbeiten bald unterliegen würde, und setzte daher die weitere Aufsuchung einer Möglichkeit, diese Dreiecke mit den südlichem zu verknüpfen und weiter nördlich fortzufuhren, auf die spätere Zeit hinaus, wo ich stärkeres Gehülfenpersonal (ich hatte nur einen Officier zur ersten Reise mitgenommen) und alle meine Instrumente bei mir haben würde. Ich fing daher Mitte Junius die wirklichen Messungen in Lichtenberg an, und meine Hofihung ist später auch so ziemlich erfüllt. Da es ganz unmöglich befunden wurde, Garssen vermittelst Durchhaus mit Hauselberg zu verknüpfen, so wurde nach langem Suchen noch ein nördlicherer Punkt 14 [Schamhorst]

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 353

gefunden, der mehr Hofinung darbot. Allein später zeigte sich dies absolut unmöglich, da der Wald zwischen 10 [Hauselberg] und 14 [Scharnhorst] auf zu hohem oder vielmehr nicht genug niedrigem Terrain lag, und ich musste mich glücklich schätzen, noch einen andern Punkt, Breithom, zu finden, wo- mit es endlich gelang. Inzwischen war auch die Linie 9.13 [Falkenberg- Wilsede] vermittelst eines sehr bedeutenden Durchhaus geöffiiet und so hätte nun 1 0 [Hauselberg], wenn man 1 1 [Breithom] finiher gekannt hätte, ganz wegbleiben können. Allein ich behielt jenen Pimkt mit bei, und halte es für einen über- aus schätzbaren Vortheil, dass in meinem Systeme drei Vierecke vorkommen, in denen alle sechs Richtungen wirklich hin und zurück gemessen sind. Nachdem alle Winkel vorher in jedem Dreieck zur gehörigen Summe gehörig ausgeglichen waren, bedurfte es nur noch sehr kleiner Modificationen, meistens unter 0'j[l, um diese drei Vierecke in volle Harmonie zu bringen. Es wäre zu wünschen, dass man bei jeder Messung solche Prüfungen hätte. Es gibt Messungen, wobei die Summen der drei Winkel überall zum Bewundem stimmen, und wo eine solche Prüfung zeigt, dass manche Winkel um 2" bis 3" gewiss unrichtig sind. In der That ist die Prüfung vermittelst der Summe der Winkel ä la port6e von jedermann ; die durch Diagonalen ist es weniger, so leicht sie auch für einen Mathematiker ist, und man kann sich der Ver- muthung nicht erwehren, dass die erstere Prüfung zuweilen dazu gedient haben mag, wenn auch nicht die Beobachtungen zu verfalschen, doch etwas zu wählen (man bemerkt eine Tendenz dazu selbst bei Delambre). Nördlich von Wulfeode ist zum Glück noch der Timpenberg gefunden, der unmittelbar mit Hamburg verbunden werden kann; der versuchte Durchhau von Timpen- berg nach Lüneburg ist missglückt, weil das Land dazwischen zu wenig depri- mirt war. Die Richtungen von 10 nach 11 und von 11 nach 14 haben grosse Durchhaue erfordert. Immer machte ich es mir zum Gesetz, mit der Rechnung allen Messungen, wie ich sie erhalten hatte, gleichen Schritt zu halten (bis auf die allerletzte Zeile), und nur dadurch ist es möglich ge- worden, alle Durchhaue mit der äussersten Präcision so durchzufuhren, dass auch nicht Ein Stamm ohne Noth gefillt ist, oder die Unmöglichkeit der Durchhaue so früh wie möglich bestimmt zu erkennen. So wusste ich z. B. die Depression, unter der 14 [Schamhorst] in 10 [Hauselberg] oder 20 [Lüne- burg in 19 [Timpenberg] erscheinen musste, genau voraus; für den ersten

IX. 45

354 BRIEFWECHSEL MIT BESSEL.

Fall war schon das Terrain vor dem Holz zu hoch, im zweiten, nachdem ein schmaler Spalt 2000 Schritt weit fortgeführt war. Ich habe von Wilsede aus noch einen Punkt [Nindorf] 3000 Meter nördlich von Timpenberg festgelegt, der unmittelbar mit 20 [Lüneburg], 21 [Lauenburg], 23 [Hamburg] communi- cirt und wahrscheinlich mit 1 9 [Timpenberg] verknüpft werden kann, aber die ganze Strecke dahin muss durchgehauen werden. Auf Timpenberg habe ich die Winkel zwischen 12 [Wulfsode], 13 [Wilsede], 23 [Hamburg] erst vorläu% gemessen, alle südlichem Punkte sind absolvirt sowie Wilsede. Bei Scham- horst bin ich zuletzt gewesen; dieser Punkt liesse sich vermittelst leichter Durchhaue mit Lichtenberg und Deister unmittelbar verbinden, wodurch Garssen entbehrlich würde; allein es wäre unmöglich gewesen, die Brauch- barkeit jenes Punkts zu Anfang auszumitteln. Dieser Punkt wie mehrere andere sind ganz unscheinbare Plätze, von denen man gar nicht vermuthen sollte, dass sie so vielen Werth haben. Bei vielen Richtungen, z. B. von Lichtenberg nach Garssen und von Lichtenberg nach Falkenberg, geht die Linie so knapp über die Zwischenhindemisse, dass [der Zielpunkt] bei gewöhn- licher Refraction nur wenige Secunden sich darüber erhebt und nur zu- weilen 30" bis 40" erreichte; von Falkenberg nach Wulfsode und vice versa kam das Licht bei schwächerer Refraction gar nicht herüber und hob sich immer erst in den spätem Nachmittagsstunden herauf. Vom Lichtenberg selbst sah ich auf dem Falkenberg selten etwas und vice versa, das Heliotrop- licht schwebte fast immer im freien Himmel (Distanz 85542 Meter:; der grossen Distanz ungeachtet stimmen die Messimgen ebenso gut oder vielmehr fast besser als auf ganz kleinen Distanzen von 10000 Meter Entfernung, wo das Heliotroplicht noch immer fast zu stark ist, wenngleich der Spiegel bis auf eine Öffnung von wenigen Quadratmillimetem bedeckt war. Um an Zeit zu gewinnen, habe ich öfters auch selbst in Distanzen von 3 bis 4 bis 5 Meilen auf meine steinernen Postamente, 34- Fuss hoch, selbst pointirt. Dadurch sind die Messungen hin und wieder etwas weniger genau geworden, als wenn ich bloss Heliotroplicht gebraucht hätte, allein dann wäre ich in diesem Jahre lange nicht so weit gekommen. Der grösste Fehler der Summe der drei Winkel war in diesem Jahre l"76, auch überhaupt*) der grösste nächst dem

*) In 19 Dreiecken.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 355

im Dreieck 4. 5. 6 [Hohehagen-Hils-Brocken], wo er 3'^7 beträgt und haupt- sächlich dem schwierigen Pointiren auf den Brockenhaus-Thurm zuzuschreiben ist, welcher bei Sonnenschein nie gut geschnitten werden kann wegen der Phase. Gern mässe ich die Winkel dieses Dreiecks, wenn es die Zeit er- laubte, noch einmal nach. In diesem Jahre hatte ich oft drei Heliotrope zugleich in Activität, deren einen mein Sohn besorgte ; es ist in der That ein prachtvoller Anblick. Die Nachricht, welche ein gewisser Schubach über die Heliotrope im [Astronomischen] Jahrbuch 1825 gegeben hat, beruht auf einem Irrthum und hat gar nichts mit meinen Heliotropen gemein ; diese sind künst- liche Instrumente, deren Einrichtung mir erst sehr viele Mühe gekostet hat, die nun aber auch, wie ich glaube, nichts zu wünschen übrig lassen. Ich habe von beiden Einrichtungen, die unter sich ganz verschieden sind, Exemplare für den General Müffling hier anfertigen lassen, auch Gerling hat zwei erhalten ; vielleicht kann ich bald in Schumachers Astronomischen Nachrichten Abbil- dungen davon geben. Zum Telegraphiren und um bei grossen Entfernungen den gegenüberstehenden Heliotropen erst die Richtung zu zeigen, brauchte ich oft einen grossen Spiegel von einem Fuss Quadrat, welcher wieder auf andere Art gelenkt wurde. Der Anblick davon ist nach der Beschreibung meiner Gehülfen höchst prachtvoll gewesen; auf vier Meilen weit hat es dem blossen Auge zuweilen wehe gethan, lange hinzusehen. — Doch jetzt genug hievon.

Ihre Art, geodätische Beobachtungen zu behandeln, habe ich mit Ver- gnügen in Schumachers Astronomischen Nachrichten gesehen. Sie wissen, dass dieser Gegenstand mich schon vor vielen Jahren beschäftigt hat. Da Ihren Arbeiten nicht leicht etwas beigefugt werden kann, so würde, hätten unsere Wege sich begegnet, jene Bekanntmachung meine eigene Arbeit über- flüssig gemacht haben. Allein die Art, wie ich diesen Gegenstand behandelt habe, ist von der Ihrigen durch und durch verschieden, und so werde ich also in Zukunft bei Bekanntmachung meiner Messungen auch meine theoretischen Arbeiten ausführlich entwickeln. Ich hoffe darin manches unerwartete geben zu können. Aber diese Untersuchungen hängen mit einem reichen, fast un- erschöpflich reichen Felde zusammen, und ich fühle oft mit inniger Wehmuth, bei dieser wie bei so vielen andern Gelegenheiten, wie meine äussern Verhält- nisse mich an weitaussehenden theoretischen Arbeiten hindern. Wenn solche ganz gedeihen sollen, muss man sich ihnen ganz hingeben können und nicht

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356 BRIEFWECHSEL MIT SESSEL.

durch so heterogene Arbeiten wie CoUegia lesen, alles kleinliche Detail beim Observiren und Rechnen der Beobachtungen, etc. etc. stündlich gehindert werden

Die Fatigen im heissen Sommer sind oft äusserst angreifend für mich gewesen, zuweilen so, dass ich glaubte, ich würde ihnen erli^en. Auch das ist eine grosse Beschwerde bei den Arbeiten in der öden Lünebui^er Heide, dass man öfters nur ein schlechtes Unterkommen und doch selbst ein solches nur meilenweit vom Arbeitspunkte haben kann. Bei kühlem Wetter, welches meiner Constitution besser zusagt, befand ich mich im allgemeinen immer leidlich wohl, und jetzt kann ich über mein Befinden nicht klagen

Sie können aus obigem Bericht selbst sehen, was zur Vollendung meiner Triangulirung noch fehlt, aber einen eigentlichen Plan für nächsten Sommer kann ich jetzt noch nicht machen, es wird dabei auch vieles auf Schumachebs Cooperation ankommen. Es wäre möglich, dass ich, wenn ich mich bloss auf das Indispensable beschränke, schon im April und Mai die Dreiecke be- endige und dann hieher zurückkomme; vielleicht im Julius hier und im August an einem nördlichem Punkte (Celle, Harburg, Hamburg?) mit dem Zenithsector messe. Es könnte aber auch sein, wenn ich die Kosten nicht zu scheuen brauche, dass ich noch den ganzen Sommer auf die Triangulirung wende, um alles zur möglich grössten Vollkommenheit zu bringen.

Vor einigen Tagen habe ich aus München ein Universalinstrument er- halten, das ich vor zwei Jahren vorzüglich behuf der Azimuthe bestellt hatte. Inzwischen scheint nach meiner vorläufigen Reduction das von meinem Pas- sageninstrument entlehnte und bis Hamburg übertragene Azimuth von dem, was mir Schumacher mitgetheilt hat (er hat auch vorläufig den Winkel zwischen Lüneburg und Wilsede, von wo ich ihm Heliotroplicht zusenden liess, ge- messen), noch nicht l"b zu differiren und also eine Azimuthmessung von meiner Seite an andern Punkten wohl ziemlich überflüssig zu sein. Ob ich mich veranlasst sehen werde, mit dem Universalinstrument auch Polhöhen an mehrem Punkten zu messen, wird sich zeigen, wenn ich das Instrument erst eine Zeit lang gebraucht habe. Es ist gut gearbeitet, scheint mir aber für den Gebrauch nicht recht bequem zu sein, besonders für ein kurzsichtiges Auge, welches zum Ablesen bei den Stellkreisen nicht gut zu kann. Auf alle Fälle muss es sehr ermüdend sein, viel damit zu beobachten. Meine Hori-

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 357

zontalwinkel habe ich alle mit einem 12-zölligeii Theodolithen gemessen, der ein sehr vortreffliches Instrument ist. Mit dem Zenithsector habe ich im vorigen Winter nur wenige Messungen gleichsam zur Probe gemacht; optische Kraft und Bequemlichkeit des Gebrauchs stehen dem REiCHENSACHschen Meri- diankreis sehr nach.

Meine Gradmessung als solche kann eigentlich für sich allein kein sehr wichtiges Resultat liefern; ich weiss aber nicht, wann die Vollendung der ScHUMACHERschen zu hoffen ist. So viel ich weiss, hat er seine Dreiecke erst etwa ein Drittel der ganzen Länge geführt, auch die Zenithsector-Messungen in Skagen sind bloss von seinem Gehülfen Caroc gemacht. Die genaue Lange seiner Basis (circa 6000 Meter) kenne ich noch nicht; erst in diesem Herbst wollte er sie mit Hamburg verbinden, in seinem letzten Briefe er- wähnt er aber gar nichts davon. Ich könnte nun zwar selbst eine Basis messen und die Linie von Breithom bis Schamhorst scheint in ihrer ganzen Länge (11220 Meter) keine unübersteigliche Hindemisse darzubieten. Allein auch abgesehen von den grossen Kosten gestehe ich, mich vor einer so höchst langweiligen Arbeit zu scheuen. Meinen trigonometrischen Messungen habe ich immer eine interessante Seite abgewinnen können, da ihre tägliche Re- duction immer einige Unterhaltung gab^). Ich schnitt überdies auch alle sicht- baren Objecte bei Gelegenheit, um mich für die Landesgeographie nützlich zu beweisen, und ich muss sagen, dass ich dieses Geschäft mit seinen täglichen Ausgleichungen so lieb gewann, dass das Bemerken, Ausmitteln und Berechnen eines neuen Kirchthurms wohl ebenso viel Vergnügen machte, wie das Beob- achten eines neuen Gestirns. (Vor Gott ist's am Ende auch wohl einerlei, ob wir die Lage eines Kirchthurms auf einen Fuss oder die eines Sterns auf eine Secunde bestimmt haben.) Allein bei einer Basismessung, sobald sie ein- mal im Gange ist, sehe ich fiir den Verstand auch gar nichts, was ihn reizen oder unterhalten könnte, und man muss sich bei einer vielleicht zwei Monate dauernden angestrengten täglichen Arbeit lediglich mit dem Gedanken auf-

*) Meine Beobachtungsmanier war, immer zu medsen, was sich eben gut messen Hess, ohne Rücksicht^ ob es ein unmittelbarer Dreieckswinkel war. An manchen Stationen nahm ich einige HOlfspunkte, um auch dann nicht müssig zu sein, wenn nur Ein HeUotrop leuchtete. Die Franzosen haben, wie ich sehe, etwai Ähnliches in Spanien gethan, aber die Messungen ganz unrichtig ausgeglichen.

358 BRIEFWECHSEL MIT BE8SEL.

recht halten, dass es eben doch einmal geschehen m u s s , um zuletzt eine Zahl zu haben.

Die grosse Genauigkeit im Messen horizontaler Winkel durch Heliotrop- licht auf die ungeheuersten Distanzen, und die Genauigkeit, womit man durch Universalinstrumente absolute Azimuthe messen kann, lassen mich glauben, dass man gegenwärtig eine Längengradmessung in schicklichem Terrain mit viel Vortheil ausfuhren könnte, indem man den Längenunterschied nicht auf Zeitbestimmung, sondern auf die Convergenz der Meridiane gründete. Von den Pyrenäen sieht man den Mont Ventoux, von diesem die Alpen, von diesen bis Steiermark, von da bis Ungarn, etc. Freilich wächst hiebei die Genauigkeit nicht wie beim Meridianbogen, wie die ganze Länge des Bogens (den eigentlich geodätischen Theil kann man dabei als fehlerfrei betrachten); also wenn man sich Stücke von ungefähr gleicher Grösse denkt, wächst beim Breitengrade die Genauigkeit wie die Anzahl der Stücke, beim Längengrade ebenfalls, wenn der Längenunterschied der Endpunkte astronomisch, z. B. durch Stembe- deckungen, beobachtet wird; hingegen bei der Convergenz der Meridiane nur wie die Quadratwurzel der Zahl der Stücke (ungefähr) ; allein ich glaube doch, dass bei sehr grossen Stücken dies Verfahren mehr Genauigkeit gibt, als man z. B. erhalten kann, wenn man den Längenunterschied durch Pulver- signale vermittelst Zeitbestimmung sucht. Am vortheilhaftesten wäre dies Verfahren in nördUchen Gegenden, wenn es dort sehr grosse Femsichten gibt. Sollten diese nicht in Norwegen und Schweden oder in einigen Gegenden von Kussland zu finden sein?

Ich bin jetzt noch beim Ausgleichen, was ich leider einmal ganz

umsonst gemacht habe, da durch ein Versehen von einer Station ein fehlerhaftes Tableau aufgenommen war. Bei meiner Behandlung reagirt gewissermaassen jeder z. B. in Wilsede gemessene Winkel auf alle übrigen bis Göttingen hin. Ich werde Ihnen künftig einige Hesultate anzeigen. Nach vorläufiger Rechnung, Göttingen zu 51®3l'48','7 angenommen, fallt Hamburg in 53*^33' 1^76, und 0^2' 2^9 7 östlich von Göttingen, das Absolute vorläufig auf Zachs Basis gestützt.

ZUR HANNOVERSCHEN TRUNGULATION. 359

Gauss an Bessel. Göttingen, 5. November 1823.

Ich habe einen Theil des Jahrs damit zugebracht, den noch übrigen

Theil meiner trigonometrischen Messungen im Norden: von Timpenberg, Nin- dorf, Lüneburg bis Hamburg zu absolviren ; dann auch vorläufig die weiter west- lich liegende Gegend, nach Bremen zu, zu recognosciren, da unser Gouverne- ment eine weitere Fortsetzung der Messungen nach Westen zu, bis zur hollän- dischen Grenze und zum Anschluss an die KRAYENHOFTSchen Dreiecke, wünscht ; endlich zuletzt habe ich noch einmal den Brocken und Hohehagen besucht, da theils die Winkel des Dreiecks Hohehagen-Hils-Brocken im Jahr 1821 unter sehr ungünstigen Umständen gemessen, theils jetzt noch die damals miss- glückte Verbindung des Brockens mit dem Inselsberg zu effectuiren war, so- wie auch jetzt noch der hessische Dreieckspunkt Meisner angeknüpft werden sollte. Ich habe diese Zwecke meistens zu meiner Zufriedenheit erreicht; nur den Hils hätte ich gern auch noch einmal besucht, um den Winkel dort genauer zu messen; die vorgerückte Jahreszeit hat mich aber daran gehindert. Diesen Umstand abgerechnet, kann ich jetzt die TrianguHrung zur Gxadmessung, so weit sie zu meinem Ressort gehört, als geendigt ansehen. Astronomische Beobachtungen sind noch keine weiter gemacht, als die zur Orientirung meiner ersten Dreiecksseite gehören. Ob ich den oben erwähnten Plan der Fort- setzung der Messungen nach Westen noch ausführe, ist übrigens noch sehr ungewiss. Es ist manches dafür, manches, fast noch mehr, dagegen, auch abgesehen davon, dass vielleicht noch die Möglichkeit einer Änderung meiner äussern Lage eintreten könnte [*)].

Ich habe das System meiner Hauptdreiecke in diesen Tagen

sorgfältig ausgeglichen, so dass nicht nur die Summe der Winkel jedes einzelnen Dreiecks, sondern auch die Verhältnisse der Seiten in den gekreuzten Vierecken und Fünfecken genau harmoniren, und zwar ohne alle Willkür, ohne Auswählen, ohne Ausschliessen, alles nach der Strenge der Probabüitätsrechnung. Es sind zusammen 26 Dreiecke, worin alle Winkel von mir selbst beobachtet sind.

[*) Es handelte sich um die Berufung nach Berlin.]

BBIEFWECHBEL HIT BE88BL.

l

Die grösate Summe der Fehler ist 2*2 in einem Dreiecke, wo bei einer Seite das Fointiren sehr schwierig war; die nächst grösste ist l"8. Keine der 76 vor- kommenden Richtungen ist bei der Ausgleichung um eine ganze Secnnde ge- ändert; die grösste Änderung beträgt 0^813 bei der oben erwähnten Seite von Nindorf nach Hamburg. Was ich nach meiner neuen FrobabilitStstheorie den mittlem Fehler nenne, bei den Richtungen, ist 0?48.

Gauss an Bebsel. Göttingen, 20. November 1824.

Ich habe in diesem Jahre 12 Stationen besucht und bin mit

den Dreiecken bis an die Weser (der entfernteste Punkt auf der Garlster Heide zwischen Osterholz und Vegesack) gekommen. Die dritten Winkel- punkte liess ich anfangs immer zurück, und als ich nach der Mitte Augusts Bremen verliess, hatte ich noch 6 Plätze zu besuchen. Mit allen ging es noch erträglich, aber bei dem letzten, dem Wilseder Bei^e, quälte mich das schlechte Wetter so, dass ich trotz einem dreiwöchentlichen Aufenthalt nicht ganz zu meiner Zufriedenheit fertig wurde ; ich musste zuletzt einen Schluss- termin setzen und kam Ende Octobers nach Göttingen zurück.

Ich behalte mir vor, Ihnen künftig ausführlicher über den Erfolg der Messungen, die grossen Schwierigkeiten, mit denen ich zu kämpfen gehabt (eine davon, das ewige Moorbrennen, wird Ihnen selbst noch im Gedachtniss sein), und manche interessante Phänomene, die sich dabei ergehen haben, zu schreiben

Gauss an Bessel. Göttingen, 12. März 1S26.

Den grössten Theil des vorigen Sommers habe ich im Bremischen

lind Oldenbuigschen mit meinen Messungen zugebracht

Was meine Messungen betrifft, so habe ich deren trigonometrischen Theil, wenigstens dem Buchstaben nach, vollendet; meine Seite Varel-Jever schliesst sich an die KiiATENHOFFschen Dreiecke. Ob sie aber wirklich geendigt sind, weiss ich selbst noch nicht. Meine Winkelmessungen in Jever geben ganz enorme [Joterschiede von den KRAVENHOFFschen, die bis auf 1 5" gehen. Ihre Quelle

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 361

kann ich nicht mit Gewissheit angeben. Meine eigenen Winkel verbürge ich bis auf eine Secunde. Die Differenzen würden sich erklären lassen, wenn ich annehmen dürfte, dass Krayenhoffs Centrum der Station von dem meinigen (ich habe eine Etage tiefer beobachtet) ein Meter entfernt liegt. Die Auf- schlüsse, die ich von Kra yenhoff erhalten habe, sind unbefriedigend in Rück- sicht auf das Centriren; im allgemeinen aber geht daraus hervor, dass seine Winkelmessungen in dortiger Gegend lange nicht die* Schärfe haben wie die meinigen. Er hat in Ostfriesland ein schlechteres Instrument gebraucht; aus vielen Winkebeihen hat er immer nur diejenigen beibehalten, die am besten zu passen schienen (ohne anzugeben, wie viel die andern abwichen) und selbst unter den beibehaltenen in Jever finden sich Differenzen von 4? Unter diesen Umständen scheint es mir nicht rathsam, meine Messungen in Ostfriesland weiter auszudehnen. Seine südlichem Messungen sind besser, und eine Ver- bindung meiner Dreiecke über das Osnabrücksche nach Bentheim würde ohne Zweifel zuverlässigere Resultate geben können. Allein der wankende Zustand mei- ner Gesundheit hat mich bisher muthlos gemacht, auf solche Operationen, die noch eine ein- oder anderthalbjährige Campagne erfordern würden, anzutragen, und in diesem Sommer wird schwerlich etwas erhebliches darin geschehen können

Gauss an Bessel. Göttingen, 20. November 1826.

Die Verarbeitung der Materialien zu dem beabsichtigten Werke über

meine Messungen kostet mich viele Zeit. Meine Hauptdreiecke, 33 Punkte be- fassend, sind zwar längst fertig berechnet, aber die Berechnung der vielen ge- schnittenen Nebenpunkte, die für die Geographie eines bedeutenden Theils von Norddeutschland wichtig sind, macht viel Arbeit, da jene bisher entweder noch gar nicht oder nur provisorisch berechnet waren. Mein Verzeichniss ent- hält jetzt etwa 250 Punkte, alle aus dem nördlichem Theil meiner Messungen. Da meine Dreiecke durch die kurhessischen mit den bayerischen und württem- bergschen zusammenhängen, und letztere mir auch von Bohnenberger gefällig mitgetheilt sind (ebenso wie die darmstädtschen von Eckhardt), so ist es mir sehr unangenehm, dass alle meine Bemühungen, die bayerischen zu erhalten,

IX. 46

362 BKIEFWECH8EL MIT BE8SEL.

bisher vergeblich gewesen sind. Schumacher erzählte mir, dass Soldner ihm gesagt hätte, der Grund, warum die Commission in München meine Bitte um die Mittheilung nicht erfüllt habe, sei, weil man annehme, dass ich über diese Dreiecke Rechnungen anstellen wolle! Ebenso ist mir's mit den ostreichschen gegangen. Auch General von Muffling sollte doch seine Dreiecke östlich von Seeberg, die Berlin anschUessen und sich bis über Schlesien erstrecken, be- kannt machen.

Noch viel mehr Verlegenheit macht mir der weit ausgedehntere theoretische Theil, der so vielfach in andere Theile der Mathematik eingreift. Ich sehe hier kein anderes Mittel, als mehrere grosse Hauptparthien von dem Werke abzutrennen, damit sie selbstständig und in gehöriger Ausführlichkeit entwickelt werden können. Gewissermaassen habe ich damit schon in meiner Schrift über die Abbildung der Flächen unter Erhaltung der Ähnlichkeit der kleinsten Theile den Anfang gemacht; eine zweite Abhandlung, die ich vor ein paar Monaten der königlichen Societät übergeben habe, und die hoffentlich bald gedruckt werden wird, enthält die Grundsätze und Methoden zur Ausgleichung der Messungen (beiläufig ist daraus indirect auch ersichtlich, wie weit die KRATENHOFFSchen Messungen von derjenigen Genauigkeit entfernt sind, die man ihnen mit Unrecht beigelegt hat). Vielleicht werde ich zunächst erst noch eine dritte Abhandlung ausarbeiten, die mancherlei neue Lehrsätze über krumme Flächen, kürzeste Linien, Darstellung krummer Flächen in der Ebene, u. s. w. entwickeln wird. Hätten alle diese Gegenstände in mein projectirtes Werk aufgenommen werden sollen, so hätte ich entweder manches ungründlich ab- fertigen oder dem Werk ein sehr buntscheckiges Ansehen geben müssen

Gauss an Bessel. Göttingen, 1. April 1827.

Ich denke in diesem Frühjahr die Amplitudo des Bogens zwischen

Göttingen und Altena mit dem Zenithsector zu messen und bin selbst begierig auf das Resultat. Eine Reihe Beobachtungen, die an den Meridiankreisen Anfangs 1824 gemacht war, gab 2^1' 5 8"; die Polhöhen, wie ich die meinige nach den besten Beobachtungen annehme und wie Schumacher die seinige angibt, geben eher 1 oder H Secunden weniger; die geodätischen Messungen hingegen unter Voraussetzung der gleichförmigen Gestalt der Erde und Walbecks Dimen-

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 363

sionen geben 4 oder 5 Secunden mehr, und fast genau ebenso viel, wie dies letztere Resultat, geben ganz gleichzeitige Zenithdistanzen von Zenithalstemen, die ich hier und Nehus in Altena am Meridiankreise beobachtet haben, indem der Nullpunkt mit Collimatoren bestimmt war. Nehus ist jetzt hier, mir bei den Sectorbeobachtungen zu helfen ; er hat einen KEPsoLDschen pensilen Colli- mator mitgebracht, bis jetzt aber halte ich die Methode des Nadirpunkts durch Quecksilberreflexion far bedeutend genauer; doch, denke ich, wird jene Methode sich noch verbessern lassen

Gauss an Bessel. Göttingen, 9. April 1830.

Noch viel mehr Zeit haben mir seit Mai 1829 die trigonome- trischen Messungen geraubt, wenn ich gleich keinen unmittelbaren Antheil an den Geschäften im Felde diesmal genommen habe. Noch diese Stunde bin ich nicht ganz (obwohl Gott Lob beinahe) mit Verarbeitung der vorigjährigen Messungen fertig, wobei ich jeder Hülfe entbehre. Doch habe ich dabei viel Freude über die zu meiner grössten Zufriedenheit ausgefallene Art gehabt, wie mein Sohn seinen Antheil an diesen Geschäften ausgeführt hat. Er hat ganz allein ein grosses Dreiecksnetz von der Weser bis zur holländischen Grenze (über das Osna- brücksche, auch mit mehrmaliger Berührung preussischen Gebiets, wobei ihm von Seiten der dortigen Behörden sehr liberal Vorschub geleistet ist) geführt, wodurch ausser den Hauptpunkten noch gegen 250 andere festgelegt sind. Die — von einem andern Officier — im Fürstenthum Hildesheim gemachten trigono- metrischen Messungen sind gleichfalls so gut wie vollendet, so dass alle Mess- tischblätter (53, wovon etwa ein Viertel bereits aufgenommen ist) mit festen Punkten versehen werden können

46

364 BRIEFWECHSEL MIT BOHNENBERGER.

[3]. Gauss an Bohnenberoer. Göttingen, 16. November 1823.

Mit Vergnügen habe ich aus Ihrem Briefe einiges von Ihren Messungen erfahren, und mochte nichts lieber, als dass diese Antwort Veranlassung geben mochte, etwas ausführlicheres darüber mitgetheilt zu erhalten.

Was zuerst die Heliotrope betrifft, so habe ich zwei ganz verschiedene Arten anfertigen lassen, die auf ganz verschiedenen Principien beruhen; die

zweite Einrichtung finde ich aber am vortheilhaftesten Durch die

Möglichkeit, wo es sonst das Terrain erlaubt, die grössten Dreiecke anzuwenden, überall gleich anfangen zu können, ohne erst die so viel Zeit und Geld kostenden Signale errichten zu müssen, wird die kleine Ausgabe [far die Heliotrope] vielfach erspart, obwohl dies der geringste Vortheil ist ; die Messungen werden dadurch einer Schärfe ßlhig, auf die man bei Signalen und Kirchthürmen selten rechnen darf. Meine schlechtesten Dreiecke (relativ gesprochen) sind die, worin Thürme die Zielpunkte waren. So viel von den Heliotropen.

Was die Messungen selbst betrifft, so wünsche ich nichts sehnlicher, als bald die Verbindung mit Ihnen zu haben. Ich habe jetzt meine Dreiecke mit den kurhessischen zusammengehängt, wovon beiliegende Zeichnung Ihnen einen Begriff gibt [*)]. Zwar ist von den hessischen Dreiecken nur erst ein Theil wirklich gemessen, aber schon genug, um alle Punkte bis zum Feldberg mit den meinigen wenigstens vorläufig zu verknüpfen. Meine nördlicher liegenden Dreiecke keimen Sie aus Schumachers Astronomischen Nachrichten, I. Nr. 24, die in diesem Jahr noch dazu gekommenen nördlichen Punkte werden Sie wenigstens fiir den Augenblick nicht interessiren.

Ich vermuthe nun, dass hiedurch und die darmstädtschen und die bay- erischen Dreiecke meine Messungen mit den Ihrigen verbunden sind, besitze aber von den letztem noch gar keine, von den erstem nur einige fragmenta- rische Angaben. Sollten Sie in voUständigerm Besitze sein, so verpflichten Sie mich ausserordentlich durch Mittheilung, ebenso wie von Ihren eigenen Dreiecken. Nur wünschte ich die Winkel zwar auf die Centra reducirt, aber ohne Fehlerausgleichung zu erhalten **). Ich möchte gern alles nach gleichf5r-

[*) Eine Zeichnung liegt der im Gauss-Archiv befindlichen Copie des Originals nicht bei.] **) Übrigens allenfalls ohne alle weitern Rechnungsresultate.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 365

miger Methode berechnen. Die Verknüpfung mit Tübingen, Mannheim und Mün- chen interessirt mich um so dringender, da, im Vertrauen gesagt, die ersten Messungen Schumachers in Altena, wo er eine schone kleine Sternwarte mit einem dem meinigen, SoLDNERschen und BESSELSchen ganz gleichen REiCHENBACHschen Meridiankreise errichtet hat, eine Polhöhe gegeben haben, die 5" von der von Gottingen durch die Dreiecke übertragenen differirt. Bei der Rechnung habe ich die Dimensionen der Erde, die Walbeck aus dem Ensemble aller guten Gradmessungen abgeleitet hat, gebraucht: Abpl. gögTs* Übrigens aber sind meine Rechnungsmethoden so gänzlich von den sonst angewandten ver- schieden, dass ich in einem Briefe Ihnen keinen Begriff davon geben kann. Ich habe die Absicht, wenn meine Messungen erst vollendet sind, diese Me- thoden zu einem grossem Werke zu verarbeiten und durch Anwendung auf die hannoverschen und die damit zusammenhäBgenden Messungen zu erklären. Unser Gouvernement ist geneigt, die hannoverschen Messungen weiter westlich auszu- dehnen, wodurch sie mit den KRAYENHOFFSchen und dadurch mit den französischen und englischen in Zusammenhang kommen. Krayenhoffs Messungen sind be- kanntlich gedruckt ; dies sollte mit allen guten Triangulirungen geschehen ; die grossen Dreiecke gehören gewissermaassen der ganzen cultivirten Mit- und Nach- welt an, um so mehr, je mehr sie nach und nach unter sich in Zusammen- hang kommen. Die MuFFLiNGschen Dreiecke hängen zwar mit der französischen Gradmessung auch schon durch Tranchots Dreiecke zusammen ; allein diese sind nicht gedruckt, also für das Publicum so gut wie gar nicht vorhanden, und Ge- neral VON MuFFLiNG sclbst bcsitzt sie nur in ungenügender Form (vermuthlich die fatalen Chorden winkel zu 180® schon abgeglichen). Leider finde ich, dass die Menschen so wenig zur Communication geneigt sind; ich habe mir auf offi- ciellem diplomatischen und auf nicht officiellem Privatwege viele Mühe gegeben, aus Paris die von Epailly 1804 und 1 805 im Hannoverschen gemachten Messungen zu erhalten, aber nichts als Ausflüchte, eine blosse Namenangabe der Stationen und eine Zeichnung der Dreiecke erhalten, 2 oder 3 Zahlangaben nicht gerech- net, die, wie aus meinen Messungen folgt, entschieden grob unrichtig sind. Lassen Sie uns eine Ausnahme davon machen. Ich wiederhole nochmals meine Bitte um eine Mittheilung Ihrer Messungen, und um freundschaftliche Mittheilung dessen, was Sie von fremden mit den unsrigen zusammenhängenden haben, insofern ich es direct nicht erhalten kann, und erbiete mich gern ad reciproca.

366 BRIEFWECHSEL MIT BOHNENBERGER.

Wie schön wäre es, wenn einmal alle über Europa, von Schottland bis zum Banat und von Copenhagen bis Genua und Formentera, sich erstreckenden Messungen in Ein zusammenhängendes System gebracht werden konnten. Ich möchte gern nach Kräften dazu vorbereiten, allein wenn man über die Mitte seines Lebens hinaus ist, muss man bei einem so ausgedehnten Gegenstand je eher je lieber anfangen.

Gerlings Messungen sind mit einem 12-zölligen ERTELschen Theodolithen gemacht, ganz dem meinigen und ScHUMACHERschen gleich"^). Bei meinen Mes- sungen habe ich gefunden, dass das, was ich in meiner Abhandlung in den neuesten Göttinger Commentationes »Theoria combinationis observationum etc.« den mittlem Fehler nenne, aus mehrem Stationen, gute und weniger gute Messungen durch einander gerechnet, etwa = -^ ist, n = Anzahl der Repetitionen. Bei sehr fester Aufstellung, sehr gunstiger (d. i. nicht zitternder) Luft und ausschliesslich heliotropischen Zielpunkten ist er aber beträchtlich kleiner. Meine sämmtlichen Messungen geben bisher 76 Hauptrichtungen (38 hin und 38 zurück) und aus der Ausgleichung der Fehler fand sich, dass der mittlere Fehler einer Hauptrichtung = 0','47 war. Es bilden sich daraus zusammen 26 Dreiecke, worin alle Winkel von mir gemessen sind; darunter mehrere, die gekreuzte Vierecke und Fünfecke geben, und die Ausgleichung ist ohne Willkür, ohne Auswählen und ohne Ausschliessen gemacht, nach strengen Gründen der Wahrscheinlichkeits-Rechnung, so dass zuletzt alles genau zu einander passt. Solche gekreuzte Vierecke würden bei manchen Messungen ein trefflicher Probirstein sein, wo man findet, dass die Summen der Winkel zwar überall vortrefflich passen, so dass selten ein Dreieck viel über l" fehlt, wo aber jene Prüfung (die nicht in dem Grade ä la port^e von jedermann ist, wie das Berechnen eines sphärischen Excesses), wenn sie angewandt werden kann, zuweilen ganz entschieden zeigt, dass Fehler von 2", 3" oder darüber in einzelnen Winkeln vorhanden sind. Der grösste Fehler in der Summe der noch nicht ausgeglichenen Winkel bei meinen 26 Dreiecken war 2^2, wo eine Richtung auf den sehr schwer zu schneidenden und bei Sonnenschein nicht ganz phasenfreien Michaelisthurm in Hamburg ging; der nächst grösste 1^8 in einem Dreiecke, wo auch eine Richtung auf einen äusserst schwer zu sehen-

*) Derselbe hat auch 3 Heliotrope, von Herrn Rümpf, nach der zweiten Einrichtung.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 367

den nicht heliotropischen Zielpunkt ging. Ich hatte gewünscht, die letztere betreffende Station noch einmal zu besuchen und die Richtung durch HeUo- troplicht zu nehmen, konnte aber in diesem Jahre nicht mehr dazu kommen. Das grosse Dreieck Hohehagen- Brocken -Inselsberg ist unter den 26 nicht begriffen, der Winkel auf dem Inselsberg ist von Gerling gemessen, und meinen Messungen auf dem Brocken war das Wetter sehr ungünstig, so dass ich den Inselsberg nur 15-mal habe schneiden können (1823); verbunden mit den 15 Schnitten von 1821, die weniger als l" von jenen differiren, geben sie aber doch einen vortrefflichen Schluss dieses grossen Dreiecks. — In einem Lande wie Württemberg und Kurhessen, wo es so viele hohe Punkte gibt, ist das Messen ein Vergnügen, imd die grossten Dreiecke leicht aufzufinden. Ebenso im südlichen Theile des Hannoverschen. Aber im nördlichen, der Lüneburger Heide, habe ich unsägliche Schwierigkeiten gehabt, und eine im vorigen Sommer nach Westen, gegen Bremen zu, unternommene Recognoscirung hat noch keine Resultate für die Möglichkeit nur leidlich guter Dreiecke gegeben. Durch hohe Gerüste liessen sich die Schwierigkeiten zwar wohl überwinden, aber ich fürchte mich vor den grossen Kosten an Geld und Zeit und noch mehr vor der Einbusse solider Aufstellung. Weiter südlich durch das Osnabrücksche nach Bentheim liesse sich vermuthUch leichter durchkommen, die Messungen würden dann aber dem grossten Theile nach über fremdes Gebiet gehen müssen.

[4]. Gauss an Olbers. Göttingen, 13. Januar 1821.

Sollte es in Zukunft bei der wirklichen Messung mit allen äussern

Umständen besser gehen, als es bisher den Anschein hat, so glaube ich, dass ich wohl Freude an der Arbeit haben könnte, und dann würde ich mich auch recht gern einer Erweiterung der Triangulation nach Westen, falls sie mir aufgetragen würde, unterziehen. Die AnschUessung an die KRAYENHOFFSchen Dreiecke ist allerdings wünschenswerth, allein wo sind denn diese zu finden? Ich weiss nicht, ob sie irgendwo gedruckt sind, und der schlechte Erfolg mit den EPAiLLYschen Dreiecken macht mich ganz muthlos. Auch Laplace, an den ich

ö6o BRIEFWECHSEL HIT OLBERS.

vor etwa 9 Wochen geschrieben habe, hat mir gar nicht geantwortet. Meiner Meinung nach sollten alle gut gemessenen Dreiecke 1. Ordnung als etwas be- trachtet werden, worauf das ganze Publicum Anspruch hat, und nach und nach sollte ganz Europa mit solchen Dreiecken überzogen werden. Ich habe mir schon seit Jahren eine eigene Methode entworfen, wie solche Messungen am zweckmässigsten behandelt werden können ; denn alles, was ich darüber gelesen habe, finde ich herzlich werthlos. So haben sich z. B. viele Mathematiker grosse Mühe mit der Aufgabe gegeben, aus Abständen vom Meridian und Perpendikel die Länge und Breite zu berechnen, mit Rücksicht auf die elliptische Gestalt der Erde, während, so viel ich weiss, niemand vorher gefragt hat:

1. wie denn jene Abstände, so verstanden, wie man sie gewöhnlich ver- steht, aus der Messung mit ebenso grosser Schärfe gefunden werden können; denn es scheint, dass die meisten diese Rechnung wie in der Ebene führen, oder doch ganz unrichtige oder unbrauchbare Vorschriften dafür geben ;

2. ob es denn überhaupt nur zweckmässig sei, die so verstandenen Abstände zu gebrauchen, da es entschieden ist, dass, wenn man sie hin- länglich scharf aus den Dreiecken ableiten will, dies nur durch höchst beschwer- liche Rechnungen geschehen kann, so wie man aus ihnen nur mit vieler Mühe wieder zu den Längen und Breiten herabsteigt. Das Ganze würde nur ein "die Pferde hinter den "Wagen spannen" sein. »Soll etwas brauchbares zwischen die Dreiecke und die Längen und Breiten gesetzt werden, so muss es etwas ganz anderes wie jene, so wie gewöhnlich verstanden, Coordinaten sein." Wie dies bei meiner Theorie geschieht, kann ich hier freilich nicht umständhch aus- führen ; nur so viel bemerke ich, daas das, was ich zwischen die Dreiecke und die Längen und Breiten setze, diejenigen Coordinaten sind, 1) mit denen am zweckmässigsten jeder Punkt in einer Ebene dargestellt werden kann. Diese Coordinaten folgen höchst bequem und leicht aus den ge- messenen Dreiecken, und ohne eine sehr genaue Kenntniss der Abplattung der Erde vorauszusetzen, und 2) aus ihnen folgt wieder ebenso leicht die Länge und Breite, natürlich indem man die Abplattung kennen muss. Icli habe die Absicht, diese Theorie, wo nicht früher, doch mit meinen künftigen Messungen bekannt zu machen und bitte vorerst, diese angedeuteten Ideen noch für sich zu behalten. Sehr gern würde ich sie nicht bloss auf die hannoverschen Drei- ecke, sondern auf alle andern damit in Verbindung kommenden anwenden

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 369

imd so eine Description g^om^trique eines grossen Theils von Europa geben, wenn ich durch Mittheilung gehörig unterstützt würde. Aber!!

Herr v. MOffling hat mir doch seine 1 5 Dreiecke vom Rhein bis Seeberg mitgetheilt. Vorläufig, aber freilich nur sehr roh, habe ich bereits Göttingen angeschlossen. Nemlich 1812 habe ich auf dem Hanstein, dessen Lage gegen Göttingen näherungsweise aus meinen Winkelmessungen in hiesiger Gegend folgt, die Winkel zwischen Göttingen, Brocken und derBoineburg (2. Muffling- scher Punkt) gemessen, freilich auf mehrere Minuten ungewiss; doch glaube ich, dass die Eintragung Göttingens, die hieraus folgt, wohl auf 100 Meter beinahe zuverlässig ist. Es folgt daraus: Längenunterschied zwischen der Göt- tinger und Seeberger Sternwarte in Zeit 3°8;7, was sehr nahe mit den astro- nomischen Bestimmungen zutrifft. Paris wäre hienach, wenn es 33° 3 5' west- lich von Seeberg liegt, 30° 2653 westlich von Göttingen. Die neue Sternwarte liegt 1J9 östlich von der alten, die ich früher immer 30° 2 3^-' von Paris setzte.

Gauss an Olbers. Göttingen, 18. April 1822.

Bei allen meinen Rechnungen liegen folgende Dimensionen der

Erde zum Grunde

a = 3271821 [Toisen]

6 = 3261011 »

Eigentlich hatte ich ganz Walbecks Resultat annehmen wollen: ^^ . Durch einen Schreibfehler hatte ich aber jene schon vor längerer Zeit der Berechnung von mancherlei Hülfstafeln untergelegt, und hielt es um so weniger der Mühe werth, diese deshalb umzuarbeiten, da der unterschied weit unter der durch alle Gradmessungen zu erreichenden Genauigkeit liegt.

Gauss an Olbers. Zeven, 4. Julius 1824.

Für weiteres Fortschreiten sind die Aussichten äusserst schlecht.

Nach meiner frühem Hoffaung Bremen zu umgehen, wird nicht thunlich sein, da

[*) Siehe die Briefe an Olbers yom 6. Julius 1824, S. 320 Anmerkung, und vom i. M&n 1827, S. 378.] IX. 47

870 BRIEFWECHSEL MIT OLBERS.

der Weierberg mit Brüttendorf nicht zu yerbinden ist. Aber auch gar nichts anderes rechtliches lässt sich mit Brüttendorf im Nordwesten oder Norden verbinden. Müllers Recognoscirang von Bremervörde bis Osterholz hat durch- aus gar kein Resultat gegeben. Der einzige Punkt wäre beiWentel, der aber an Bremen wohl nur einen Winkel von etwa 1 2®, an Brüttendorf einen von 46*, an Wentel von 122® p[raeterpro1pter geben würde, und wo ich auch noch gar nicht weiss, ob das Opfer, was ich durch ein so schlechtes Dreieck brächte

KT

BrüJbbtndßrf

(und welches etwas gebessert würde, wenn sich Wentel zugleich mit Bottel verbinden Hesse), durch eine einigermaassen rechtliche Aussicht nach Nord- westen von Wentel aus compensirt würde. Am Ende werde ich also doch viel- leicht den Steinberg noch mit zuziehen müssen, um mich südostlich um Bremen herum zu drehen, oder Bremen nur wie eine vorgeschobene Zunge betrachten und die Verbindung mit Kjrayenhoff nördlich über Stade, oder südlich über Osnabrück suchen müssen. Das erstere allein zu thun, ist wegen der unerhört schlechten Beschaffenheit der nordöstlichen KRAYENHOFFSchen Dreiecke (worüber ich Ihnen früher einmal geschrieben) auch wohl bedenklich. Sehr wünschte ich Ihre Ansicht darüber zu haben

Gauss an Olbers. Zeven, 8. Julius 1824.

Ihre beiden letzten gütigen Briefe habe ich richtig erhalten

Der erstere hat mich rücksichtlich aller meiner Messungen sehr nieder- geschlagen. Da Sie das Dreieck Bremen -Brüttendorf- Wentel wegen des zu spitzen Winkels an Bremen, verwerfen, so brechen Sie dadurch zugleich den Stab über die, wie es scheint, einzig mögliche Art, auf der andern Seite um Bremen herum zu kommen; denn in dem Dreieck Bremen-Bottel-Stein- berg wird der Winkel in Bremen noch viel spitzer sein. Sie setzen zwar mit Ihrer gewohnten Güte hinzu, dass doch bei jenem Dreieck die Genauigkeit des-

ZUR HANNOVEESCHEN TRIANGULATION. 371

wegen nicht bedeutend leiden würde, weil ich in meine Messungen eine so grosse Schärfe lege. Allein dieser Grund, dessen Wahrheit ich jetzt auf sich beruhen lassen will, kann mich durchaus im geringsten nicht beruhigen. Nach meinem Grundsatze soll man immer, so genau man nur kann, beobachten ; der Grad der Genauigkeit in den Beobachtungen, gleichviel wie gross oder wie klein er sein mag, bedingt immer wieder den Grad der Genauigkeit, die man von den Resultaten fordern darf, und die Genauigkeit der Beobachtungen kann nach meiner Meinung ein an sich schlechtes Dreieck durchaus nicht gut machen; wenigstens wäre sonst überflüssig gewesen, die übrigen guten Dreiecke mit derselben Schärfe zu messen. Höchstens kann dadurch dann das ganze System wieder in Parallele mit andern an sich viel schlechtem Mes- sungen zurückkommen.

Ich habe es bisher für ein blosses Vorurtheil gehalten, wenn man Dreiecke mit sehr kleinen Winkeln der Genauigkeit für nachtheilig hielt, insofern die den spitzen Winkeln gegenüberliegenden Seiten keine Übergangsseiten abgeben ; ich habe solche klein winkelige Dreiecke bloss desswegen für minder gut gehalten, weil man damit auf einmal nicht viel weiter kommt, also mehr Zeit und Kosten gebraucht, als wenn man auf einmal viel fortschreiten kann ; und auch dieser Grund fallt ganz weg, wenn die Aufsuchung und Instand- setzung eines grossen Dreiecks vielleicht doppelt so viel Zeit kostet, als die Messung zweier Dreiecke zusammen, die eben dahin fahren, und wovon das eine einen sehr spitzen Winkel hat. Demungeachtet habe ich nicht ganz nach diesem Princip gehandelt, sondern ein Dreieck mit einem kleinen Winkel nie eher adoptirt, als bis ich fast alle Möglichkeiten erschöpft hatte, es zu vermeiden (nur diejenige Möglichkeit nicht, die zu schlechten Messungen selbst geführt hätte, d. i. Zachs hohe Thürme); nicht weil ich geglaubt hätte, dadurch an Genauigkeit etwas zu gewinnen, sondern aus dem wohl verzeih- lichen Wunsche, dem System so viel möglich, ausser dem innem Gehalt, auch Schönheit und Rundung zu geben.

Da ich nun aber Sie durch das, was ich in einem frühem Briefe darüber schrieb, nicht überzeugt habe, sondern da Sie den Nachtheil, der für die Genauigkeit aus dem spitzen Winkel sonst entstehen würde, durch die Schärfe der Messungen gut gemacht verlangen, was nach meiner Ansicht unmöglich ist, so werde ich selbst in meiner bisherigen Ansicht ganz irre

47#

372 BRIEFWECH8EL HIT OLBEB8.

und zweifelhaft, ob sie nicht ganz unrichtig gewesen, und darf wenigstens auf keinen Fall hoffen, andere von der Richtigkeit derselben zu überzeugen. Was namentlich das Dreieck Bremen-Bruttendorf-Wentel betrifft, so hätte ich mich selbst sehr ungern dazu entschlossen, weil es nicht schon ist, und auf ein- mal nicht viel weiter bringt; rucksichtlich der Genauigkeit aber (ganz abgesehen davon, wie genau die Winkelmessun^en an sich sind), würde ich dasselbe, seine Winkel zu 12^,46^,122^ angenommen, vollkommen einem andern gleichgestellt haben, dessen Winkel 76^46^,58® gewesen wären.

Gauss an Olbers. Gottingen, 19. Februar 1825.

Ich schicke Ihnen mein vollständiges Höhenverzeichniss [^)]. Bei Hamburg ist eine kleine Veränderung von ±2,7 Fuss vorgenommen, da Schumacher mir den Höhenunterschied zwischen dem Knopf und den Fenstern des Cabinets, den ich früher zu 47,9 Fuss nach Benzenbergs Kupfer[stich] angenommen hatte, nach Sonnins Kupfer[stich] zu 53,3 angibt; ich habe also einstweilen den Knopf (meinen Zielpunkt) um 2,7 hoher, die Fenster 2,7 [Fuss] tiefer gesetzt als vorher. Dadurch wird dann auch Schumachers Barometer 2,7 [Fuss] tiefer als vorher, also gegen Gottingen — 357,8 [Fuss] und gegen Ihr Barometer +70,4 [Fuss] = 11,73 Toisen. Der Unterschied mit Ihrer Barometerbestimmung ist also jetzt ganz unbedeutend. Doch wird dies noch etwas modificirt werden, da ich auch auf einigen Stationen den Fussboden der Laterne zum Zielpimkt gebraucht habe, dessen Tiefe unter dem Knopfe mir Schumacher nicht mitge- theilt hat, und überhaupt sollte wohl die relative Höhe der drei Punkte ordentlich trigonometrisch gemessen werden (aus einem nahen Standpunkte).

[*) In Gauii' Naohlau iit das Original dieieg VeneiohnuBei vorhanden; demielben ist daf folgende Kugefdgt:]

«Die Höhen bei den Hauptpunkten beziehen Bioh» mit AuBnahme von Göttingen, Lüneburg und Ham- burg, wo daa Nähere besonders bemerkt ist, allemal auf diejenige FlSche, auf welcher der Repetitionskreis gestanden hat. Bei den meisten Plätzen ist dies ein aufgemauertes steinernes Postament von 3^ Fuss Höhe über der Erde, zuweilen ein paar Zoll mehr, zuweilen weniger. Nur beim Meridianzeichen beträgt diese Höhe etwas mehr, nemlich 6 Fuss«.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

373

Relative Höhen.

Pariser Fuss

1

Göttingen, Steinwarte, Fussboden

0

2

Nördl. Meridianzeichen (Oberfl. des Postaments)

+ 201,0

3

Uohehagen (Postamentsoberfläche)

+ 1072,6

4

Hils (P.)

+ 841,2

5

Brockenhaus (Marmortisch auf dem Thurm)

+ 3061,7

6

Lichtenberg (P.)

+ 274,1

7

Deister, Calenberg (P.)

+ 468,2

8

Garssen (P.)

— 242,5

9

Falkenberg (P.)

— 15,5

10

Scharnhorst (P.)

— 190,6

11

Breithom (P.)

— 109,0

12

Hauselbei^ (P.)

— 109,2

13

Wnlfsode (P.)

— 158,5

14

Timpenberg (P.)

— 120,1

15

Nindorf (P.)

— 120,0

16

Lüneburg, Michaelis, Fussboden der Laterne

— "243,2

17

— — Knopf

— 178,6

18

— — Spitze

— 168,3

19

— Johannis, Knopf

— 109,5

20

— — Spitze

— 101,4

21

— Nicolai, Knopf

— 199,3

22

— — Spitze

— 188,4

23

— Lamberti, Knopf

— 215,7

24

— — Spitze

— 207,7

25

— Höchste Stelle des Kalkbei^es

— 291,6

26

— Platz nahe vor dem N.W. Thor

— 393,1

27

Lüne, Klosterthurm, ELnopf

— 331,2

28

— — Spitze

— 325,0

29

Hamburg, Michaelisthurm, Knopf

— 31,2

374

BRIEFWECHSEL MIT OLBEB8.

30

Hamburg, Michaelisthurm, Fenster des ob. Gab.

Pariser Foss — 84,5

31

Wilsede (P.)

+ 45,8

32 33 34 35

Elmhorst (P.) Litberg (P.) Bullerberg (P.) Bottel (P.)

— 202,9

— 278,1

— 315,7

— 318,5

36 37

Steinberg (P.) Bruttendorf (P.)

— 257,9

— 326,3

38

Zeven, Kirchthurm, Fussboden der Laterne

— 347,0

39

— — Knopf

— 323,8

40 41

— — Spitze

— Garten beim Posthause, nahe der Aue

— 316,8

— 430,5

42

— Platz auf dem Felde beim südlichen Eingang des Dorfs

— 419,4

43

Bremen, Ansgarius, Fussboden der Laterne

— 227,7

44

— — Knopf

— 172,1

45 46

— — Spitze

— Liebenfirauen, Knopf

— 156,6

— 215,4

47

— Dom, Knopf

— 244,2

48 49

— — Spitze

— Martini, Knopf

— 232,4

— 281,7

50 51

— Gymnasium, Knopf

— Strassenpiiaster am Domhof unweit des alten Mu-

seums

— 315,9

— 453,8

52 53

— Windmühlenberg am Herdner Thor

— Garten beim Hause des Hm. Dr. Olbers

— 443,3

— 452,7

54

— Fussboden in Hm. Dr. Olbebs Observ.

— 430,7

55

— Barometer-Gefass, daselbst

— 428,2

56

Brillit (P.)

— 342,2

57

Garlster Haide (P.)

— 328,7

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 375

Gauss an Olbers. Göttingen, 25. Februar 1825.

Jetzt noch ein paar Worte über das geodätische Nivellement.

Ich bin zwar selbst mit mir über diesen Gegenstand ganz auf demReinen, allein ich weiss nicht, ob ich mich in der Kürze so darüber werde erklären können, dass ich Sie sofort zur Übereinstimmung bringen werde.

Ich habe immer geglaubt, dass der Ausdruck »Localattraction« sehr übel gewählt ist und leicht verkehrte Ansichten veranlassen kann. Man sollte sagen, dass die Richtungen der Schwere nicht mit dem Gange, der bei einem gleichförmigen Sphäroid stattfinden würde. Schritt halten. Die Rich- tung der Schwere ist das Totalproduct der Anziehung aller Bestandtheile des Erdkörpers (und der Centrifugalkraft) , und bei dessen unregelmässiger Zu- sammensetzung in Rücksicht der Dichtigkeit, sowie bei den Unebenheiten auf der Oberfläche wird jene nicht dieselbe sein können, wie bei einem regel- mässigen Sphäroid. Allein wie auch die Zusammensetzung sei, immer wird durch jeden Punkt eine Fläche, die ganz um die Erde herum geht, ge- legt werden können, auf welcher die Richtung der Schwere genau senkrecht ist, und die Oberfläche einer zusammenhängenden ruhigen Flüssigkeit würde dieselbe vorstellen. Diese Fläche ist es, die eine Horizontalfläche heisst (couche de niveau); den Punkten dieser Fläche legt man gleiche Höhe bei, ohne sich im mindesten darum zu bekümmern, ob oder wie viel sie von einem elliptischen Sphäroid abweichen, und die Höhen über dieser Fläche gibt sowohl das Barometer als die trigonometrische Messung an, so dass beide immer mit einander übereinstimmen müssen. Dabei wird bloss vorausgesetzt*), dass auf jeder Dreieckslinie die Richtung der Schwere sich nach dem Gesetz der Stetig- keit ändert (obgleich vielleicht schneller oder langsamer als bei dem ellip- tischen Sphäroid), imd diese Voraussetzung kann nur dann eine kleine Unrich- tigkeit hervorbringen, wenn an der einen Dreiecksstation eine wahre Local- attraction stattfindet, die bloss örtlich imd auf einen kleinen Raum beschränkt

*) und natürlich auch, dass alle Zenithdistanzen reciprok gemessen werden, was bei meiner Messung ohne Ausnahme gilt. Bei einseitigen Messungen ist Ihre Bemerkung vollkommen gegründet, da man dabei die Amplitude sph&roidisch berechnen muss.

376 BRIEFWECHSEL MIT 0LBEB8.

(ausserhalb desselben unmerklich) ist. Allein ich halte mich überzeugt, dass, den Brocken höchstens ausgenommen, eine solche Localattraction im ganzen Umfange meiner und der ScHUMACHEBschen Dreiecke nicht statthat

Gauss an Olbebs. Göttingen, 9. October 1825.

Ich habe dieser Tage angefangen, in Beziehung auf mein künf- tiges Werk über Höhere Geodäsie, einen (sehr) kleinen Theil dessen, was die krummen Flachen betrifft, in Gedanken etwas zu ordnen. Allein ich über- zeuge mich, dass ich bei der Eigenthümlichkeit meiner ganzen Behandlung des Zusammenhanges wegen gezwungen bin, sehr weit auszuholen, so dass ich sogar meine Ansicht über die Krümmungshalbmesser bei planen Curven vorausschicken muss. Ich bin darüber fast zweifelhaft geworden, ob es nicht gerathener sein wird, einen Theil dieser Lehren, der ganz rein geometrisch in analytischer Form) ist und Neues mit Bekanntem gemischt in neuer Form ent- hält, erst besonders auszuarbeiten, ihn vielleicht von dem Werke abzutrennen und als eine oder zwei Abhandlungen in unsere Commentationen einzurücken. Indessen kann ich noch vorerst die Form der Bekanntmachung auf sich be- ruhen lassen, imd werde einstweilen in dem zu Papier bringen fortfahren.

Gauss an Olbers. Göttingen, 2. April 1826.

Rücksichtlich meiner Messungen kann ich für mich allein

wenig beschliessen. Mein Auftrag ist im Grunde rücksichtlich des trigono- metrischen Theils vollendet, und ich dachte, insofern Schumacher mich ge- hörig unterstützen will, im Spätsommer die Zenithsector-Beobachtungen vor- zunehmen. Der wankende Zustand meiner Gesundheit schreckt mich ab, auf erweiterte trigonometrische Messungen anzutragen; inzwischen habe ich vor kurzem, unter uns gesagt, in einem Schreiben an Münster erklärt, dass ich bereit bin, meine Kräfte auch noch künftig darauf zu wenden, falls solche ge- fordert werden sollten.

Meine theoretischen Arbeiten lassen bei ihrem so sehr grossen Umfange leider noch viele Lücken; am leichtesten wäre mir geholfen, wenn ich mir

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 377

erlaubte, mit der Bekanntmachung meiner Messungen zwar alle meine Rech- nungseinrichtungen zu verbinden, aber deren Ableitung aus ihren hohem Gründen für ein ganz getrenntes Werk für glücklichere zukünftige Zeiten auf- sparte. Dann wäre nirgends ein Anstoss. Vors erste werde ich die scharfe Ausgleichung meiner 32 Punkte, die 51 Dreiecke und 146 Richtungen liefern, vornehmen. Die Höhenausgleichung (ein sehr viel leichteres Geschäft) habe ich in diesen Tagen vollendet

Gauss an Olbers. Göttingen, 14. Januar 1827.

Ich glaube Ihnen schon früher gemeldet zu haben, dass ich es

ganz unthunlich gefimden habe, dasjenige Werk, welches ich über meine Messungen in Zukimft zu geben denke, auch in theoretischer Rücksicht ganz selbstständig zu machen, wenn ich nicht wenigstens einen grossen Theil des Theoretischen vorher anderswo besonders behandle. Es wird schon voluminös, die Gründe meiner Operationen zu entwickeln, aber, wenn ich mich so aus- drücken darf, die Gründe der Gründe können nicht in das Werk selbst kommen, ohne es ganz buntscheckig und doch unbefriedigend zu machen. Ich habe mich daher entschlossen, verschiedene theoretische Materien erst ab- gesondert in einzelnen Abhandlungen zu entwickeln, wodurch es auch allein möglich wird, diese bedeutenden neuen Capitel der Mathematik mit einem gewissen Grade von Vollständigkeit auszufuhren. Gewissermaassen ist meine Preisschrift über die Transformation der Flächen die erste dieser Abhandlungen ; die zweite habe ich vor einigen Monaten der k. Societät übergeben als Supple- mentum theoriae combinationis observationum etc. Sie enthält die Principien, die als Grundlage der Ausgleichung der Beobachtungen angewandt werden müssen, und selbst einige Beispiele von KIrayenhopts und meinen Messungen.

Gauss an Olbers. Göttingen, 1. März 1827.

Meine Abhandlung, oder vielleicht richtiger, meine erste Ab- handlung über die krummen Flächen habe ich vollendet; ich werde sie aber der Societät noch nicht übergeben, da doch auf die Ostermesse kein Band

IX. 48

378 BRIEFWECHSEL MIT 0LBER8.

herauskommt. Die beiden von mir 1825 und 1826 übergebenen Abhand- lungen über die biquadratischen Reste und Suppl. theor. combin. observ. sind noch nicht zu drucken angefangen. Jene Abhandlung enthält zur unmittel- baren Benutzung in meinem künftigen Werk über die Messung eigentlich nur ein paar Sätze, nemlich 1) was zur Berechnung des Excesses der Summe der 3 Winkel über 180® in einem Dreiecke auf einer nicht sphärischen Fläche, wo die Seiten kürzeste Linien sind, erforderlich ist, 2) wie in diesem Fall der Excess auf die drei Winkel ungleich vertheilt werden muss, damit die Sinus den Seiten gegenüber proportional werden. In praktischer Rück- sicht ist dies zwar ganz unwichtig, weil in der That bei den grossten Drei- ecken, die sich auf der Erde messen lassen, diese Ungleichheit in der Ver- theilung unmerklich wird; aber die Würde der Wissenschaft erfordert doch, dass man die Natur dieser Ungleichheit klar begreife. Und so kann man allerdings hier, wie öfters, ausrufen : Tantae molis erat ! um dahin zu gelangen. — Wichtiger aber als die Auflosung dieser 2 Aufgaben ist es, dass die Abhand- lung mehrere allgemeine Principien begründet, aus denen künftig, in einer speciellem Untersuchung, die Auflösung von einer Menge wichtiger Au%aben abgeleitet werden kann.

Ich komme noch einmal auf den im Anfange dieses Briefes erwähnten Gegenstand zurück. Ich habe bei allen meinen Hülfstafeln und Rechnungen Walbecks Abplattung gQgTS ^^^"^ Grrunde gelegt; aber ich glaube, dass die sämmtlichen bisherigen Gradmessungen, wenn man ihre Data vollständig aufaähme, zeigen würden, dass die SABiNESche Abplattung ^ir ^^^^ beinahe ebenso gut damit würde vereinigen lassen, und es scheint mir, dass alle bis- her vorhandenen Gxadmessungen noch viel zu kleine Ausdehnung haben, um die Abplattung in engere Grenzen einzuschliessen. Was gewiss ist, ist, dass die Erde ein unregelmässiger Körper ist; die Polhöhen der Örter (ganz ab- strahirt von Beobachtungsfehlem) schwanken immer mehrere Secunden (viel- leicht hie und da ziemlich viele Secunden) um die Werthe, die man unter Voraussetzung irgend eines regelmässigen Ellipsoids berechnet, und ebenso schwanken die wirklichen Fendellängen um die berechneten (das mittlere Schwanken der Pendellängen vielleicht -fy englische Linie). Aber eben des- halb können Gradmessungen von kleiner Ausdehnung wenig zur Kenntniss der mittlem Gestalt der Erde beitragen, namentlich halte ich den lappländischen

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 379

Bogen fax viel zu klein. Um so wichtiger, däucht mir, ist es, dass nach und nach alle scharfen Triangulinmgen in Europa in Einen Zusammenhang gebracht werden. Ich habe jetzt Hoffnung, die bayerischen Dreiecke mitge- theilt zu erhalten. Wenn erst alle europäischen Sternwarten von Abo bis Palermo und von Nicolajef bia Dublin durch Dreiecke zusammenhängen, so dass ihre relativen Lagen gegen einander mit aller Genauigkeit, die die fein- sten geodätischen Messungen verschaffen können, bestimmt sind, so wird man, d. i. so werden unsere Nachkommen, alles mit viel mehr Sicherheit beur- theilen können

Gauss an Olbers. Göttingen, 14. Junius 1830.

Die Zeit, die mir in diesem Sommer zu eigener Arbeit übrig bleibt,

denke ich der Fortsetzimg meiner Abhandlung über die biquadratischen Reste zu widmen, damit diese Arbeit, deren erste Anfange sich schon von 1805 her datiren, ihrer Vollendung näher komme. Sie wird wenigstens noch zwei aus- gedehnte Abhandlungen erfordern; vorerst werde ich es aber bei einer be- wenden lassen, imd die erste mir dann wieder zu.Theil werdende Müsse erst wieder einem andern Gegenstande widmen, wahrscheinlich den theoretischen Methoden der hohem Geodäsie. Es ist seit geraumer Zeit mein Schicksal gewesen, immer solche Arbeiten aufzunehmen, bei denen sich in der Dar- stellung nicht schnell fortschreiten lässt

Gauss an Olbers. Göttingen, 2. September 1837.

Gerling, der seine trigonometrischen Messungen in Hessen jetzt be- endigt hat, hat jetzt noch eine Operation veranstaltet, die zur Bestimmimg des Längenunterschiedes zwischen Göttingen und Mannheim dienen soll. Es werden Signale auf zwei Bergen, Meisner und Feldberg, gegeben; erstere sind in meiner, letztere in der Mannheimer Sternwarte sichtbar; beide aber zugleich auf einem Zwischenberge bei Marburg, wo Gerling mit einem Ejbssel- schen Chronometer beobachtet. Die Signale sind Pulverzeichen bei Nacht und

48*

380 BRIEFWECHSEL MIT OERUNG.

helioVropische bei Tage. Das Wetter ist nicht günstig ; hier sind zwar bisher schon ziemlich viele Zeichen von beiderlei Art beobachtet, aber Gerling hatte nach seinem letzten Briefe noch fast nichts vom Feldberge her gesehen

[5.] Gauss an Gerling. Göttingen, 5. October 1821.

Meinen herzlichen Glückwunsch zu dem von Ihnen übernommenen Ge- schäft. Es freut mich, dass es in Ihre Hände kommt, da Sie es sich zur Pflicht machen werden, das ganze Triangelnetz mit aller möglichen Sorgfalt auszuführen. Ich halte dies für etwas überaus wünschenswerthes , und be- klage es immer, wenn man schon bei den Triangeln der ersten Ordnung geizig überlegt, durchaus nichts mehr an Genauigkeit anwenden zu wollen, als für den allerletzten Zweck unumgänglich nöthig ist. Die genaueste Kenntniss der relativen Lagen der interessantesten Punkte eines Landes kann in vielfacher Beziehung nützlich sein, auch ganz abgesehen davon, dass eine Detailvermessung darauf am besten zu stützen ist. Es wäre gewiss äusserst wichtig, wenn der grösste Theil von Europa vollständig mit Einem Netz überzogen wäre, und nach und nach werden wir dahin kommen; jeder Staat sollte es sich zur Ehre rechnen, seinen Antheil daran so gut zu liefern, dass er würdig sei, neben den besten zu stehen.

Ich sollte glauben, dass Sie gut thun würden, den Meisner auch mit zu einem Dreieckspunkt zu wählen; Sie werden denselben unmittelbar mit wenigstens 5 meiner Dreieckspunkte in Verbindung setzen können, und wahr- scheinlich mit ebenso viel MüFFLiNGSchen dazu. Ich werde gern dabei hülf- reiche Hand bieten, und insofern es sich nur irgend einrichten lässt, die dies- seitigen Beobachtungen dahin machen. Die Heliotrope erleichtem solche Ar- beiten ausserordentlich, und es bedarf auf dem Meisner weiter keiner Anlage, als dass ein steinernes Postament von circa 1|- Fuss Quadrat und 3 Fuss Höhe über der Erde gesetzt werde, um Heliotrop und Theodolithen darauf zu stellen, und dass vielleicht einige Bäume gefällt werden, falls ohne das die

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 381

freie Aussicht nicht vollständig erreicht werden kann Von Hannover

aus ist mir gar keine Communication Ihre Triangulirung betreffend zugegangen ; ich habe daher den Köterberg, der sonst vortrefiäich zum genauen Anschluss des Hercules gedient hätte, ausgeschlossen. Inzwischen habe ich die Richtung der Linie Hohehagen- Hercules zu den andern dortigen sorgfaltig gemessen.

Gauss an Gerling. Göttingen, 21. Februar 1822.

Wenn der Anschluss an die Göttinger Sternwarte und der an

den Inselsberg nicht auf Einem Platze auf dem Meisner geschehen kann, so dürfen Sie nun beide Plätze anwenden. Es ist dabei gar nicht viel Ver- mehrung der Arbeit; denn nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrech- nung brauchen Sie die Winkel zwischen den Objecten, die an beiden Punkten sichtbar sind, insofern Sie sie an beiden messen, an jedem nur halb so oft zu repetiren, als Sie gethan haben würden, wenn Sie nur Einen Standpunkt gebraucht hätten. Die gegenseitige Lage beider Punkte gegen einander mit der grössten Schärfe und doch ohne überflüssige Mühe zu erhalten, wird Ihnen nicht schwer fallen

Gauss an Gerling. Göttingen, 7. November 1822.

Bei sehr flacher Incidenz, wo auch zuletzt die Möglichkeit der

Lenkung aufhört, habe ich immer mit dem herrlichsten Erfolg doppelte Reflexion anwenden lassen, indem nicht die Sonne selbst, sondern ein auf der Erde an schicklicher Stelle angestellter Handspiegel den Heliotrop speiste. Ich empfehle Ihnen diesen Kunstgriff zur Nachahmung

In einem bergigen Lande ist es eine Lust zu messen, desto grösser, je grösser die Entfernungen sind, die beim Gebrauch der Heliotropen gar keine Grenzen haben. Mein grosser Spiegel, 1 Quadratfuss, war sogar durch den dichten Moorbrandsqualm, der mehrere Quadratmeilen bedeckte, von Lichten- berg nach Falkenberg, fast 1 2 Meilen, durchgedrungen, welcher Qualm freilich für die winzigen Heliotropspiegel zu dicht gewesen war

382 BRIEFWECHSEL MIT GERL^G.

Gauss an Gerleng. Göttingen, 27. Julias 1823.

Ich habe mir Ton Repsold noch ein neues Ocular fiir meinen

Theodolithen verfertigen lassen, mit Spinnenfaden von fast unglaublicher Fein- heit, 29" TOn einander abstehend. (Die in dem ERTELschen Ocular, auch schon recht fein, aber viel dicker als jene, sind 36" von einander.) Bei Beobach- tung entfernter blasser irdischer Gegenstände ist jene Einrichtung äusserst vortheilhaft; leider bekam ich sie nur erst post festum. Der in Nindori^ Timpenberg und Lüneburg fast immer bei dem heerrauchigen Zustand der Luft sehr blass aussehende Hamburger Thurm hat mich sehr geplagt, ebenso wie der Lüneburger in Hamburg, und im allgemeinen sind die Messungen in jenen Gegenden nicht ganz so scharf wie die frühem, wozu übrigens auch das ewige Schwanken der Thürme mit beigetragen hat. Der Michaelis-Thurm in Hamburg ist, so lange ich dagewesen bin, nie ruhig gewesen ; die horizon- talen pendelartigen Schwankungen gehen oft über ^ Minute. Dieser Thurm ist von allen meinen Dreieckspunkten als Standpunkt und (den Brocken ab- gerechnet) auch als Zielpunkt der allerschlechteste gewesen. Repsold verfer- tigt auch neue Libellen von ausserordentlicher Vollkommenheit, die er anstatt mit Weingeist mit Naphtha füllt. Sie kommen sehr viel schneller als die andern zur Ruhe.

Gauss an Gerling. Göttingen, 11. August 1823.

Ihr Ausdruck, wenn ich vom Brocken aus auf Heliotroplicht

pointiren wolle und nicht das Häuschen vorzöge etc., scheint auf einiges Miss- verständniss der Motive, um derenwillen ich zum zweiten Male auf den Brocken gehen könnte, hinzudeuten. Die scharfe Bestimmung der Richtung zum L[isels- berg ist in der That ein Hauptzweck, und von Pointiren auf das Haus kann bei dieser Entfernung und der geringen Höhe und Lrregularität desselben gar keine Rede sein. Heliotroplicht vom Liselsberg zum Brocken ist also

natürlich die Conditio sine qua non meines Hingehens.

t

Dieser Eine Grund allein würde mich jedoch noch nicht wegen des aber- maligen Besuchs rechtfertigen. Meine Winkelmessungen 1821 nach meinen

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 383

eigenen Hauptpunkten waren bei dem ambulirenden Heliotrop und ungünstigen Wetter zu dürftig und des Ganzen nicht völlig würdig ausgefallen; daher ich diese durch gleichzeitige Besetzung mit Heliotropen wiederholen, wie nachher auch noch einmal zum Hohehagen und Hils zurückzukehren wünschte.

So wie ich nun mit grösstem Vergnügen vom Brocken und Hohehagen zum Inselsberg Licht für Licht zu schicken erbötig bin, so bin ich doch nicht im Stande, Ihnen einen meiner Heliotropen hiebei abzulassen ; denn wenn ich Hohehagen, Hils und vielleicht Lichtenberg durch einen ambulirenden besetzen müsste, so käme ich nicht weiter als 1821.

Es scheinen mir nun mehrere Wege, wie hier durchzukommen ist, denkbar :

1) Kommen wir gleichzeitig resp. zum Inselsberg und Brocken und schicken uns gegenseitig Licht, so wie mein Gehülfe Ordre haben soll, Ihnen von Zeit zu Zeit Licht vom Hohehagen, und der Ihrige mir vom Meisner zu schicken, so kann ich unter Begünstigung des Wetters, wie es Anfang Sep- tember häufig ist, in wenigen Tagen, vielleicht in dreien, auf dem Brocken fertig werden, den Gehülfen mit dem Heliotrop dort lassen (der fortwährend Ihnen zum Inselsberg Licht schickt, so wie der auf dem Hohehagen), zum Hohehagen eilen, Ihnen Zeichen meiner Ankimft geben und wieder in ein paar Tagen (unter Gunst des Wetters) dort das zum Inselsberg gehörige ab- solviren, worauf Sie dann über Ihren Inselsberg-Heliotrop nach Gefallen dis- poniren können. Vom Hohehagen erhalten Sie dann beständig Licht, so lange ich da bin, und wenn Sie es noch bedürfen, ab und an, so bald ich auf dem Hils bin.

In Beziehung auf diesen Plan wird also alles darauf ankommen, ob Sie die Verbindung mit dem Brocken und den hannoverschen Dreiecken für wichtig genug halten, die Besetzung des Knills und der Milseburg mit Heliotropen so lange aufzuschieben, bis jener effectuirt ist.

2) Obgleich der oben angezeigte Weg mir der liebste wäre, insofern da- durch die Verbindung der Messungen am vollkommensten effectuirt wird, so könnten Sie doch den Inselsberg -Heliotrop allenfalls schon früher ab- geben, nemlich so bald ich den Brocken verlasse, was durch Signale kund- gemacht werden kann. In Beziehung auf die Richtung Hohehagen-Inselsberg müsste ich mich dann mit dem begnügen, was ich 1821 durch Enckes Hello-

384 BRIEFWECHSEL MIT GERLING.

trop erhalten habe. Es versteht sich, dass Sie die Lage des neuen Steins und Heliotropplatzes gegen das Haus auf das schärfste bestimmen müssten. Ich wiederhole jedoch, dass es besser sein würde, wenn ich den Winkel vom Inselsberg zum Brocken auf dem Hohehagen unmittelbar erhalten könnte.

3) Am allerbesten wäre es wohl, wenn Sie sogleich sich noch einen dritten Heliotrop anschafften. Der kleine Aufwand wurde gewiss reichlich durch den Genauigkeits- und Zeitgewinn überwogen, den Sie künftig davon haben würden. Dies ginge jetzt um so leichter an, da Rumpf eben einen neuen Heliotrop fertig stehen hat. Er hat nemlich einen für Schumacher ver- fertigt (und bereits abgesandt) und bei der Gelegenheit, weil, wie er sagt, es sich leichter arbeiten lässt, sogleich zwei auf einmal gearbeitet. Der zweite ist also in diesem Augenblick noch disponibel, obwohl nicht zu zweifeln ist, dass er auch sonst leicht Gelegenheit finden wird, ihn abzusetzen. (Bei mir sind bereits mehrere Anfragen aus dem Auslande eingegangen.) Ich habe Hm. Rumpf ersucht, diesen Heliotrop theils ganz versendungsfertig zu machen, theils ihn nicht eher an sonst jemand wegzugeben, bis Ihre Erklärung darauf erfolgt sein würde. Wenn Sie darauf reflectiren, so ist vielleicht das sicherste und kürzeste, ihn nach dem Meisner schicken oder abholen zu lassen.

4) Ich könnte auch etwas früher nach dem Brocken, als Sie nach dem Inselsberge, abgehen; Sie müssten auf der Milseburg also suchen, die Rich- tung zum Inselsberg vor allen andern zu erhalten, damit von dem zu verab- redenden Tage an, wo ich auf dem Brocken eintreffe, Ihr Gehülfe vom Insels- berg mir fortwährend Licht zum Brocken schickt. So würden Sie Ihren Helio- trop auf dem Inselsberg eine kürzere Zeit nach Ihrer eigenen Ankunft zu behalten nöthig haben.

Sollte aber alles dieses mit Ihren Plänen nicht vereinbar sein, so würde ich von der ganzen Expedition, für dies Jahr wenigstens, abstrahiren müssen (in welchem Fall ich aber um möglichst baldige Benachrichtigung bitte, damit ich und meine Gehülfen ims danach einrichten können); auch weiss ich nicht, ob ich im künftigen Jahre im Stande sein würde, mich in demselben Maasse einrichten zu können wie diesmal. Diesmal nemlich erbiete ich mich, die Zeit des Anfangs ganz Ihnen zu überlassen. Zeigen Sie mir nur den Tag genau an, von welchem an Sie mir zuverlässig Licht vom Inselsberg zum Brocken geben werden. An dem Tage bin ich bestimmt da, und im Fall 1,

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 385

2^ 3 schicke ich Ihnen auch sogleich Heliotroplicht; im Fall 4, sobald Ihr Licht das einfache Attentionszeichen gibt, nach gewöhnlichen Uhrschlägen von o;4, nemlich

0 .o;4 o;8 i;2 ije 250

I 1 I 1 I 1 etc.

Doch bemerke ich dabei, dass die Bedeckungen immer recht vollständig sein und eher etwas länger dauern müssen als die Öfihungen ; ich meine so :

0 o;4 0J8 i;2 1J6 250

L, I U I !h etc.

Andere Zeichen gebe ich mit Zahlen, also zum Beispiel die Zahl 3, nach folgendem Schema:

Ich Attentionszeichen von unbestimmter Anzahl, bis

Sie dieselben erwiedem und zwar so lange, bis

Ich aufhöre, worauf Sie auch aufhören und Acht geben. Inzwischen mag etwa |- Minute gewartet werden. Dann gebe ich das Zeichen selbst und zwar so :

0 i;6 2J0 3;6 4;0 5J6 6J0 7;6

I 1 I 1 I 1 I 1

.... offen bedeckt offen offen offen offen ....

Nr. 1 Nr. 2 Nr. 3

Die Zahl also = n gesetzt, wechseln

n -|- 1 mal bedeckt, 4 Schläge lang, mit n mal offen, 1 Schlag lang (quasi n Blitze);

vorher und nachher, wie bestimmt, infinite quasi offen.

Nachher wiederholen Sie dasselbe Manöver umgekehrt; nur, insofern nicht lange Unterbrechung stattgefunden hat, ohne meine Erwiederung Ihres Attentionszeichens abzuwarten, sondern nachdem Sie dasselbe etwa 10 bis 20 -mal gemacht haben, pausiren Sie (offen) |- Minute lang imd geben das Zeichen.

Doppelte Zeichen, z. B. 3.3, werden durch doppeltes Attentionszeichen an- gekündigt (0'8 offen und 0^8 zu), und nachdem die erste Zahl gegeben ist, etwa 5 bis 10' lang offen gelassen und dann die zweite Zahl gegeben, also

IX. 49

386 BRIEFWECHSEL MIT GERLING.

6;o 7;6 i2;o isje ujo i5,'6 lejo nje i8?o i9;6 . ... ... . I 1 I 1 I 1 I r I 1

wie vorher Nr. 3 1" 2* 3* offen

Den Tag des Anfangs überlasse ich, wie schon gesagt, Ihnen. Nur muss ich so früh davon benachrichtigt werden, dass ich nach Empfang Ihres Briefes noch wenigstens 4 bis 5 Ti^e habe, um meine Gehülfen in Hannover zu be- ordern (denn jetzt ruhen die Geschäfte ganz), damit diese auch zur rechten Zeit am Platze sind.

Noch Einen Umstand muss ich erwähnen. Die Gehülfen auf dem Hohe- hagen und Meisner und eventualiter, sobald ich auf dem Hohehagen bin, der auf dem Brocken, haben nach 2 Richtungen Licht zu schicken, also alter- native.

Sie werden das nun pro aequo vertheilen, einmal einem 1 Stunde oder 2, dann dem andern. Allein es wird gut sein, dass solche jedesmal, wo sie die Absicht haben zu wechseln, dies etwa 5 Minuten vorher durch ein > Mi- nute dauerndes Attentionszeichen ankündigen, damit [d]er [Beobachter] durch das plötzliche Abbrechen nicht in einer Beobachtungsreihe im Stiche gelassen zu werden risquire, sondern sie erst gehörig schliessen könne. Während ich auf dem Hohehagen bin, könnte Ihr Gehülfe mir auch wohl vom Meisner aus zuweilen Licht geben. Inzwischen werde ich vennuthlich auch den Stein selbst poin- tiren können, sobald ich einmal weiss, wo er steht, wenn er, warum ich bitte, schwarz gefärbt ist (mit Theer). Doch muss dann der Gehülfe nicht un- mittelbar am Stein stehen. Geben Sie ihm also auf, dann, besonders immer wenn die Sonne nicht scheint, und, wenn sie scheint, jedesmal, nachdem der Heliotrop eben eingestellt ist, sich auf ein Dutzend Schritte von der Richtung zum Hohehagen seitwärts zu halten. Vielleicht geben Sie ihm auch aaf, schon früher einmal Licht nach Göttingen zu schicken. Es soll vom 18. d. M. an täglich zwischen 2 und 2^ Uhr aufgepasst und Empfang von Licht durch Erwiederung angezeigt werden. Ich fürchte aber, dass Ihr Gehülfe Mühe haben wird, die Richtung heraus zu finden. Wüsste ich die Stelle, so wurde ich das Licht durch eigenes herlocken. Bis jetzt kann ich aber auf dem Gipfel mit dem Teleskop nichts Steinähnliches sehen. Die höchste Stelle des Meisner ist hier als ein (im verticalen Sinn) schmaler Saum, und als kahle Blosse über Holz her sichtbar.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 387

In dem Fall Nr. 4 würden Sie Ihre Ankunft auf dem Inselsberg dem Gehülfen auf dem Hohehagen durch einmalige Lichtsendung kund thun. Er liegt 98^28' links von der Seeberger Sternwarte.

Ich gebe Ihnen anheim, ob Sie auch, wenn ich auf dem Hils bin, mir noch einmal Licht vom Meisner dahin schicken lassen wollen. Es würde immer zur vollständigen Verbindung beitragen. Herausfordern wollte ich das selber schon, da ich bis dahin den Platz scharf genug kennen werde.

Wenn es möglich ist, soll das Heliotroplicht, von dem Platz, wo ich eben selbst messe, im genauen Alignement mit dem Dreieckspunkt sein; geht dies z. B. auf dem Brocken nicht an, so wird natürlich die Abweichung genau gemessen.

Am Hercules habe ich vom Hohehagen aus den Kopf pointirt; vom Brocken aus ist der Hercules nur 4-mal geschnitten und auf die ganze Station oder richtiger auf die ganze pyramidalische Spitze des Oktogons pointirt. — Vom Hohehagen aus ist zwar der Knill unsichtbar; ich vermuthe aber, dass Amöneburg sichtbar ist, vielleicht auch Hohelohr

Gauss an Gerling. Göttingen, 1. September 1823.

Ich habe Ihnen nur den Modus meines Telegraphirens angezeigt ;

bestimmte bleibende Werthe haben die Zahlzeichen nicht, ebenso wenig wie a und j?, y, z in der Algebra ; die Bedeutungen werden immer für solche Um- stände, als sich eben im voraus erwarten lassen, vorher verabredet. Ich be- sorge indess, dass das Telegraphiren wenigstens mit dem Meisner -Heliotrop sehr bedenklich sein würde, denn es scheint mir, dass er sehr unvollkommen berichtigt sein muss. Besonders in der Stunde von 2 — 3^ (wo doch die übrigen Gegenstände gewöhnlich zu stark wallen, um etwas brauchbares messen zu können)*), habe ich allezeit die Erfahrung gemacht, dass das Licht, wenn es im besten Leuchten ist, plötzlich abgebrochen wird, dann eine Zeit lang ganz unsichtbar bleibt, und dann allmählig äusserst klein anfangt und zuletzt erst den vollen Glanz erhält, aber leider nur kurze Zeit behält (manchmal nur \ Minute); unter solchen Umständen ist aber an zuverlässiges Telegraphiren nicht zu denken.

*) NemUch zwiBchen 6 und 7^ habe ich es seltener beachtet, weil ich keine Zeit für Messung ver- lieren wollte.

49*

388 BRIEFWECHSEL MIT OERLING.

Ich habe 1822 einen ähnlichen Fall mit dem damals auf dem Deister be- findlichen ältesten Heliotrop gehabt, dessen Rectification vermuthlich durch unsanften Transport gelitten hatte. Ich half damals durch ein Palliativmittel. Es wurden nemlich öfters Versuche gemacht, indem ich zuerst dem Lieute- nant Hartmann durch ein bestimmtes Zeichen andeutete, dass die Versuche gemacht werden sollten. Dann liess er das Sonnenbild zu oft wiederholten Malen in verschiedenen Höhen durch das Fadenkreuz gehen,

& xy ^5

und ich zeigte ihm den Augenblick, wo ich sein volles Licht zuerst sah, durch Eröffnung meines Heliotrops, und den Schluss des vollen Lichts durch Be- deckung an. Es versteht sich, dass dabei mein Heliotrop immer beinahe cen- tral die Sonne auf dem Fadenkreuz hatte, um ganz gewiss zu sein^ dass mein Licht völlig hinkomme. Meinerseits waren also 3 Personen nöthig : Einer, der immer den Heliotrop fast central unterhielt, ein Zweiter, der mit dem Fem- rohr (die Distanz war 8f Meilen) den jenseitigen Heliotrop beobachtete und ein Dritter, der auf des Zweiten Zurufen den Spiegel des Heliotrops öffiiete oder bedeckte (bloss durch Vortreten mit seinem Körper). Ich wollte dies recht gern auch mit Ihnen thun. Das 3 -fache Attentionszeichen (1*2 zu, i;2 offen, 1J2 zu, etc. etc.) könnte die Intention des Versuchs andeuten (den man immer nur macht, wenn wenig Gefahr von Wolkenbedeckung stattfindet), und zwar gibt der das Zeichen zuerst, der den HeUotrop des andern prüfen will. Da Gelehrten gut predigen ist, so brauche ich wohl nichts über die Benutzung der Versuche beizufügen. Bei ähnlicher Winkelstellung ist dies Mittel fast so gut wie wirkliche Berichtigung, da derjenige, der den geprüften Heliotrop hat, weiss, wie er das Sonnenbild durchgehen lassen muss, und ob er umstellen muss, ehe die Sonne ausgetreten ist, oder nachdem sie schon ein Stück ausgetreten, etc. Bei dem neuen Heliotrop wird hoffientlich die Berichtigung gut sein.

Was Sie mir von dem Unterschiede Ihres Zeichengebens mit dem meinigen schreiben, ist mir nicht ganz deutlich. Etwas durchaus wesentliches

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 389

scheint mir zu sein, dass das Attentionszeichen nothwendig erst erwiedert sein muss, ehe das wirkliche Zeichen gegeben wird, ob aber jenes und dieses Zeichen mit einem besondem Femrohr oder in Ermangelung eines solchen mit dem Heliotropfemrohr beobachtet wird, ist wohl eines und dasselbe.

Der Modus meiner Zeichen ist von mir öfters verändert, derjenige, den ich Ihnen geschrieben, scheint mir der zweckmässigste. Allein ich habe leider versäumt, mir selbst eine Abschrift zu machen, und erinnere schon jetzt bloss aus dem Gedächtniss mich nicht mehr ganz genau. Lassen Sie mir also doch gütigst diese Stelle meines Briefes copiren

Gauss an Gerling. Göttingen, 5. September 1823.

Unbedingt wünsche ich, dass Sie den Heliotrop [auf dem Insels- berg] genau in das Alignement mit dem Theodolithenplatz stellen und das Zelt so viel wie möglich symmetrisch aufschlagen. Könnten Sie der dem Brocken zugekehrten Seite eine dunkle Farbe geben, so wäre es so viel besser. Ich hoffe, dass der dortige Heliotrop das Zelt weit überschreien soll; allein ich habe 1822 doch den Fall gehabt, dass das weisse Zelt in Schamhorst meine Beobachtungen in Garssen einen ganzen Tag unbrauchbar machte, obwohl dabei zu bemerken, dass erstens das Zelt mir seine Südseite, von der Sonne beleuchtet, zukehrte, zweitens das Heliotroplicht sehr geschwächt war, welches beides hier wegfallt. Inzwischen möchte ich doch aus Vorsicht den Heliotrop nicht excentrisch aufgestellt wissen, da sonst das Zelt wohl ein wenig bei- tragen könnte, den Winkel zu verfölschen. Ich vermuthe, wenn z. B. das Zelt ^ so viel Glanz hat wie der Heliotrop, imd dieser so weit absteht, dass die Distanz 4" gross sein solle, der Winkel um O'^l verfälscht werden wird.

Gauss an Gerling. Göttingen, 3. October 1823.

Erlauben Sie mir noch einige Bemerkungen

1) Beim Vergleichen zweier Punkte fange ich jedesmal von demjenigen an, von dem ich am meisten befurchte, dass er versagen könnte.

390 BRIEFWECHSEL MIT OERLING.

2) Ist der zweite Punkt Heliotroplicht und nicht die allergrösste Hoffiiung, dass er nicht versagen wird, so lese ich öfters ab als gewöhnlich. Wo diese Furcht nur äusserst gering war, habe ich wohl zuweilen mehr als 1 0, d. i. 15, ja wohl 20 Messungen gemacht, ehe ich wieder ablas. Inzwischen setzt man dabei immer viel aufs Spiel. Ist viel Besorgniss des Versagens des zweiten Punktes, so lese ich wohl nach der dritten, ja nach der zweiten oder gar bei jeder Beobachtung ab. Dasselbe auch, wenn der erste Punkt etwas lange ausbleibt.

3) Bin ich in einer Beobachtungsreihe begriffen, wo der erste Punkt geschnitten ist, so lasse ich gern, ehe ich die Alhidade löse, durch ein Hand- femrohr nachsehen, ob der zweite Punkt sichtbar ist; versagt er aber, nach- dem schon gelöst ist und kommt nicht wieder, so ist deswegen doch die Mes- sung nicht verloren; ich schneide dann im Nothfall einen dritten Punkt ein tmd bekomme so gemischte* Winkel. Bei meinem diesmaligen Brockenbesuch ist indessen dieser Fall nur Einmal eingetreten, indem ich 2 -mal (Ilefeld-Hohe- hagen) -f 2-mal i^Ilefeld-Hils) nahm. Solche gemischte Winkel werden im Sy- stem ebenso gut imd ganz pro rata benutzt wie reine. Im Jahr 1821 habe ich viele gemischte Winkel, später seltener. Ich habe daher auch an den meisten Stationen, ausser den Hauptrichtungen, Hülfsrichtungen ; besonders im Jahre 1821, wo ich nur Einen Heliotrop hatte. Ich wähle zu Hülfsrichtungen gern spitze Thürme, nicht gar zu entfernt und wo möglich nicht gar zu arg ausser der Horizontalebene. Letztere Bedingung war freilich auf dem Brocken nicht zu erreichen. Huyseburg liegt 1^37', Hüttenrode 1^54' und eine Stange auf dem Wurmberg, die ich 1821 aufpflanzen und 1823 erneuern liess (ob- wohl an einem etwas andern Platz), 2® 1 3' tmter dem Horizont.

Gauss an Gerling. Göttingen, 19. Julius 1827.

Obgleich ich bei meinen astronomischen Operationen nicht in

dem Maasse, wie ich gewünscht hatte, vom Wetter begünstigt bin, so glaube ich doch die Amplitudo des Bogens zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona bis auf einen sehr kleinen Bruch einer Secunde festgestellt zu haben; ich habe eine sehr grosse Menge von Sternen genommen und zu- sammen gegen 900 Beobachtimgen gemacht. Es bleibt der Unterschied von

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 391

5" gegen die Rechnung aus den Dreiecken nach Walbecks Erddimensionen, und es wäre daher sehr interessant gewesen, noch einen Zwischenpunkt zu haben. Mit dem Sector war es unter den obwaltenden Umständen unmöglich ; vielleicht aber beobachten wir künftig noch mit einem im ersten Vertical auf- zustellenden Passageninstrument gemeinschaftlich in Celle, sowie Schumacher

vorher in Altena und ich nachher in Göttingen Noch vor meiner

Reise habe ich auch die sämmtlichen bayerischen Dreiecke mitgetheilt er- halten, welche durch die Ihrigen mit den meinigen verknüpft sind

Gauss an Gerling. Göttingen, 12. September 1838.

Was den Längenunterschied mit Paris betrifft, so habe ich selbst

die Resultate aui^. Stembedeckungen etc., die Triesnecker, Wurm u. a. ge- zogen haben, niemals zusammengestellt: Sie selbst sind also. ebenso gut wie ich selbst im Stande, dieses Resultat zu ermitteln. Dagegen habe ich aus den Längenunterschieden zwischen Jever und Göttingen, imgleichen Bentheim und Göttingen, wie Sie aus meinen, resp. meines Sohnes, trigonometrischen Messungen folgten, einerseits, und Jever und Bentheim mit Paris andererseits wie sie Krayenhoff ansetzt, denjenigen Längenunterschied zwischen Göttingen und Paris abgeleitet, welchen Sie in Hardings Ephemeriden angesetzt finden. Eine neue Rechnung habe ich deshalb nicht gemacht; bei einer completen Ausgleichung aller Dreiecke, die als Ejranz das Oldenburgsche umgeben, leidet Jever eine, doch nur sehr geringe Abänderung ; auch könnte Jever ganz weg- gelassen und dagegen Emden und Onstwedde gebraucht werden, bis wohin Hartmanns Messungen sich erstreckt haben. Indessen würde jedenfalls die Abänderung des Endresultats nur ganz unbedeutend sein, und ich habe es bisher um so weniger der Mühe werth gehalten, deshalb eine neue Rechnung zu machen, weil Krayenhoffs Messungen doch, wie Sie aus meinem Supplem. theor. comb, abnehmen können, weit schlechter sind als ihr Ruf.

Eine dritte Bestimmung könnten Sie aus Altona entnehmen, dessen Diffe- renz gegen Göttingen trigonometrisch bestimmt ist (siehe Breitenunterschied [Art. 19]), sowie die Differenz von Greenwich chronometrisch. Aber von mir selbst ist das Betreffende nicht zusammengestellt, was ich daher Ihnen über- lassen muss

392 BRIEFWECHSEL MIT OERLINO.

Gauss an Gerling. Göttingen, 14. November 1838.

Dass ich auf Ihren vorletzten Brief noch nicht weiter geantwortet

habe, müssen Sie damit gütigst entschuldigen, dass ich eigentlich zu dem in meinem letzten Briefe [vom 12. September] mitgetheilten kaum noch etwas hinzu zu setzen wusste.

Thatsächliches kann ich wirklich nichts beifügen, als die Hinweisung auf Lindenau-Bohnenbergers Zeitschrift, Band IV, S. 119, wo Sie die relative Lage der alten und neuen hiesigen Sternwarte bereits angesetzt finden. Allen- falls mit folgenden beiden Anmerkungen.

1) Der Längenunterschied ist in Zeit angesetzt.

2) Die Position der neuen Sternwarte a. a. O. bezieht sich auf das Cen- trum der Rotunde, dessen Lage gegen die Mitte der Axe des Reichenbach- schen Meridiankreises ich Ihnen, wenn ich nicht irre, bereits früher mitge- theilt habe. Wollen Sie aber die relative Lage des letztem Punktes gegen das Centrum der alten Sternwarte selbst scharf berechnen, so schreibe ich dazu aus meinem Verzeichnisse der Coordinaten folgendes ab:

Centrum der Kuppel —3,104 —7,324

Mitte der Axe des REiCHENSACHschen Meridiankreises 0 0

Mitte der alten Sternwarte —193,54 -{-bAl^Q.

Die Einheit ist das Meter; bei der ersten Zahl bedeutet + südlich, bei der zweiten + westlich.

Verlangen Sie nun meine Meinung über die Reductionszahl, die Sie bei dem Ansetzen Ihrer Längen gegen Paris anzuwenden haben, so kann ich nur sagen, dass ich dies für etwas sehr gleichgültiges ansehe, wenn Sie mir zugleich mittheilen, welche Zahl Sie zum Grunde gelegt haben. In der That, Sie mögen wählen was Sie wollen, so bleibt die Latitüde in dieser Beziehung oder die Grösse des Spielraums

A. höchst unbedeutend für jeden praktischen Zweck, z. B. Karten- zeichnungen.

B. zwanzig- oder funfzigmal grösser als alle relativen Differenzen zwischen allen Ihren Ansätzen.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 393

Indem nun die letztem eigentlich das Wesen Ihrer Arbeit ausmachen, so scheint mir dadurch mein oben ausgesprochenes Urtheil hinlänglich gerecht- fertigt.

In Ihrem vorletzten Briefe sprechen Sie von den Differenzen des Längen- unterschiedes zwischen Paris und Göttingen auf verschiedenen Wegen, die bis auf I- Secunden in Zeit gehen, als sehr beträchtlichen. Ich würde sie nicht so nennen.

In der That scheinen Sie mir dabei ganz ausser Acht gelassen zu haben, was ich in meiner Schrift über den Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altena S. 7 3 [*)] entwickelt habe. Wenn man zwischen zwei Punkten, die nicht gar zu weit aus einander liegen, auf geodätischem Wege vermittelst zweier verschiedener Touren Längenunterschiede fände, die um 11 Bogen- secunden verschieden wären, so wäre dies ein ganz ungeheurer Fehler, der bewiese, dass ganz enorm schlechte Beobachtungen untergelaufen wären, oder schlecht gerechnet.

Aber Paris und Göttingen liegen doch sehr weit aus einander. Delambres und Kratenhoffs Messungen sind, glaube ich, an Genauigkeit mit den uns- rigen gar nicht zu vergleichen, auch nach ganz verschiedenen Methoden und Elementen berechnet. Ich würde mich daher nicht wundern, wenn der so gefundene Längenunterschied um eine Anzahl Bogensecunden von einem an- dern auch geodätisch gefundenen, aber z. B. über Strassburg, Mannheim, etc. geleiteten, abwiche.

Allein davon ist ja hier gar nicht die Rede, sondern von dem Unter- schiede der astronomisch bestimmten Längen, die ja, genau besehen, etwas ganz anderes bedeuten, als die geodätischen. Jene beziehen sich auf das Fortschreiten der Lage der Verticallinien und der durch sie und parallel mit der Erdaxe gelegten Plana, die andern auf die Distanzen auf der Oberfläche der Erde, die gar kein EUipsoid ist, sondern wozu ein Ellipsoid nur wie eine Art Annäherung betrachtet werden kann.

Nach so imzähUgen vorliegenden Ungleichmässigkeiten des Geodätischen und Astronomischen in Beziehung auf die Breite muss man auf Differenzen bei der Länge von derselben Ordnung überall gefasst sein. Eine Differenz

[*) S. 49/60 dieses Bandes.] IX. 50

394 BRIEFWECHSEL HIT QESUNQ. ZUR HANNOTERSCHEN TRUNGDLATION.

Ton 11" selbst zwischen zwei örtem, die einander viel näher lägen als Göt- tingen und Paris', ist im Grunde gar nichts. Es hätte schlechterdings nichts besonderes, wenn selbst eine doppelt so grosse sich zwischen GÖttingen and Marburg fände.

Übersehen Sie also nicht, dass die von Ihnen gefundenen Unterschiede sogar sehr gut selbst dann Tollkommen genau richtig sein konnten, wenn alle Beobachtungen vollkommen und absolut fehlerfrei wären (was sie nicht sind). Es ist gar kein Grund zu erwarten, dass

I) der durch geodätische Messungen, unter Voraussetzung bestimmter Ellipsoidsdimenaionen, berechnete Unterschied zwischen Göttingen und Fans,

2] der durch astronomische Beobachtungen gefundene,

3) der gemischt gefundene, nemlich geodätisch zwischen Göttingen und Altona und astronomisch zwischen Altona-Greenwich-Paris, unter sich übereinstimmen sollten, da wirklich diese drei Zahlen ganz ver- schiedene Dinge bedeuten.

Wenn ich bei einer künftigen Bekanntmachung der Resultate meiner Messungen einen Theil davon in der Form von Breiten- und von Längendiffe- renzen geben sollte, so werde ich letztere ganz gewiss nicht in Beziehung auf Paris ansetzen, welches mich gar nichts angeht. Finden Sie aber aus was immer für Gründen es für gerathen, die Ihrigen in einer solchen Form mit- zutheilen, so wiederhole ich, dass ich ea für ganz gleichgültig halte, jvelche Reductionszahl Sie brauchen, wenn nur der Leser nicht in Ungewissheit bleibt, dass die dabei befindlichen BnichtheUe der Secunden an sich gar keinen An- spruch auf eine scharfe Bedeutung machen können, sondern nur als Mittel dienen, jede beliebige Difierenz zwischen je zweien Ihrer Zahlen mit deijenigen Schärfe wieder zu erhalten, dass nichts von der Schärfe Ihrer Messungen an sich verloren geht. Ohne Ihnen vorzugreifen, würde ich unter der eben aus- gesprochenen Voraussetzung diejenige Zahl zum Grunde legen, die taliter qualiter aus der vorhandenen geodätischen Verbindung zwischen Göttingen und Paris hervorgegangen ist, da eigentlich die etwas ganz anderes bedea- tendc^n astronomischen Längen hier ganz ausser Frage sind

BEMERKUNGEN. BRIEFWECHSEL ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 395

BEMERKUNGEN.

Der Abdruck der yorstehenden Briefe ist nach den Originalen erfolgt.

Dem Brief an Bbssel vom 36.Deoember 1831, S. 349/351, war eine Dreieoksskine zugefügt, welche die 5 Dreiecke von der Seite Hohehagen-Inselsberg bis zur Seite EKls-Lichtenberg (vergl. die Figur auf S. 399) enthält, und femer die Schnitte vom Hils aus nach dem Deister und dem Brelingerberge angibt. Der Bre- lingerberg, nördlich von Hannover, und der Wohlenberg, nordwestlich von Braunschweig, waren 1831 bei der Recognoscirung als Dreieckspunkte in Aussicht genommen. Der erstere wurde jedoch beim Beginn der Arbeiten im folgenden Jahre^ als untauglich erkannt, der zweite als Überflüssig fortgelassen. Wahr- scheinlich hat auch zu dem Brief an Bessel vom 16. November 1833, S. 361/368, eine Karte gehört.

Zu den Briefen an Olbebs vom 4. und 8. Juli 1834, S. 369/373, ist noch zu bemerken, dass der in ihnen erwähnte Punkt Wentel nicht in das System aufgenommen ist.

Es war, wie es in dem GAUSSschen Arbeitsbericht für 1834 an das hannoversche Ministerium heisst, »schneller als man bei den grossen Schwierigkeiten hatte hoffen können, ein sehr gutes Dreieckssystem bis Bremen gebildet.« »Allein desto trüber wurden nun die Aussichten für die weitere Fortsetzung der Drei- ecke. Nach dem Fehlschlagen aller Versuche, einen neuen Dreieckspunkt an Brüttendorf zu knüpfen, blieb

noch ein Behelf übrig, nemlich den Steinberg mit in das Dreieckssystem aufzunehmen.« Aber auch an die Seite Bremen-Steinberg liess sich kein neues Dreieck schliessen. »Ohne einen eben jetzt eingetretenen glück- lichen Umstand würde es um die Fortsetzung der Messungen sehr misslich gestanden haben, da alle Mög- lichkeiten jetzt erschöpft schienen.« Der erwähnte glückliche Umstand war die von Gauss auf dem Ans- gariusthurm in Bremen gemachte Entdeckung, dass die Spitze des Thurmes von Zeven dort noch eben zu sehen war. Die Sichtbarkeit Bremens in Zeven war früher wegen Moorrauch nicht bemerkt worden; Zeven liess sich auch ausser mit Bremen mit den vorhergehenden Punkten Steinberg, Wilsede und Litberg ver- binden. Von Bremen -Zeven konnte dann die Dreieckskette fortgesetzt werden. (Vergl. dazu den später folgenden Auszug aus dem GAUSSschen Arbeitsbericht filr 1836, sowie den gleichfalls noch folgenden Brief an Olbebs aus dem Juli 1836.)

Die im Briefe an Gerlino vom li. August 1833, S. 386/386, erwähnten durch den Heliotrop über- mittelten Zahlenzeichen haben (nach einigen kunen Notizen in Beobachtungs- und Rechnungsheften zur Qradmessung) vorher verabredete, zum Theil von Station zu Station wechselnde Bedeutung gehabt (vergl. auch den Anfang des Briefes an Geblino vom I.September 1833, S. 387); z. B. bedeutete nach einer Auf- zeichnung 1 : es geht so gut, 3 : Licht soll geschwächt werden , 3 : für heute Soll aufgehört werden, i . l : Abgang zum nächsten Punkt.

Auf die Gradmessungsarbeiten in den Jahren 1831/1836 beziehen sich auch die Briefe an Schu- macher vom 6. und 30. Mai, li. Juli, 39. September und 34. October 1831; vom lo. Mai, lO. Juni, 6. und 30. August, 6., 18., 34. nnd 39. September, 8. October und lo. November 1833 ; vom 8. und 18. Juni, 33. Juli, Anfang August, 31. August, 18. September und 33. October 1833; vom 34. Juni, i.Juli, 27. September, 17. October, 38. November 1834 und vom Januar 1836 ; vom 39. April, 14., 30. und 36. Juni, ll. und 16. Juli und 14. August 1836. (Vergl. den Briefwechsel Gauss-Schumacheb, Erster Band, S. 339/346, S. 366/39J, S. 311/336, S. 334/336, S. 307/413, S. 436/430. Zweiter Band, S. 1/3, S. 14/31.)

Die mehrfach erwähnte Triangulation des Kurfdrstenthums Hannover durch französische Ingenieur- geographen unter Leitung des Oberstlieutenants Epailly hat 1804 und 1806 während der französischen Occupation stattgefunden; sie sollte die Unterlagen für die kartographische Aufnahme geben. Das Tableau der EPAiLLTschen Dreiecke, nebst einem Berichte Efaillts über seine Arbeiten, erhielt Gauss im Anfang des Jahres 1831 durch Laflacbs Vermittelung vom französischen Kriegsministerium.

Krüobr.

50*

896 ZUK HANlfOTEUCHEN TElAKGULATIOlf.

VERÖFFENTLICHUNGEN ZUB HANNOVERSCHEN TRUNGDI,ATION.

[H.]

ActronomMehe N>ehrichteD, Band I, Nr. 1, Febmar isii, 8. lOS — la*.

|Ei ist bekannt, dass die hannoversche Regierung die von Sr. Majestät dem Könige von Dänemark, diesem erhabenen Beförderer der "Wissenschaften, begonnene Gradmessung, die sich in der Breite Tom nördlichsten Punkte Jüt- lands bis zur südlichsten Grenze von Lauenburg erstreckt, fortsetzt, und die Auaführung dieser Arbeit dem Herrn Hofrath Gauss in Göttingen übertragen hat. Unsere gemeinschaftlichen Dreiecke sind Hambu^-Hohenhom-Lime- buTg und Hohenhom-Lauenburg-Lüneburg. In diesen Dreiecken ist der Winkel in Hamburg von mir allein, die Winkel in Lüneburg von Herrn Hof- rath Gauss und mir gemeinschaftlich beobachtet (der Unterschied unserer Messungen war unter 0"3) ; die Winkel in Hobenbom und Lauenburg sind zu derselben Zeit (1818) von Herrn Capitain v, Caeoc gemessen. Im vorigen Jahre hat der Herr HoJrath seine Dreiecke an der südlichen Grenze be- gonnen, und der Auszug seines Briefes, den ich hier mittheile, enthält eine kurze Nachricht darüber.

S[chumach£r]. }

Auszug aus einem Briefe des Herrn Hofrath und Ritter Gauss.

Den Zustand meiner Triangulation habe ich das Vei^ügen auf bei- liegenden Kärtchen Ihnen mitzutheilen. Die starken Linien sind die, wo die Richtungen auf schon gemachten Messungen gegründet sind, die punktirten projectirte. Ich habe leider Grund zu furchten, dass der Brelingerbei^ weder vom Wohlenberg noch vom Lichtenberg sichtbar ist (an allen 3 Orten hin ich selbst nicht gewesen). Überhaupt wird die Gewinnung grosser Dreiecke in der Lüneburger Heide grosse Schwierigkeiten haben.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 397

Brelingerberg, Deister, Lichtenberg und Inselsbei^ sind durch Heliotrop- licht sichtbar gemacht, auf der Brockenstation auch Hohehagen und Hils, da die dort gebauten Signale nur selten (letzteres nur wenige Minuten), ich will nicht sagen zu beobachten, sondern nur zu sehen gewesen sind. Mit dem Heliotrop fallt alle Schwierigkeit weg.

Ich lasse jetzt noch zwei andere machen (nach der neuen Einrichtung), woTon der eine bald vollendet sein wird. Dass man meine telegraphischen mit dem Sextanten -Heliotrop auf dem Brocken gegebenen Zeichen auf dem Hohehagen (Distanz 70000 Meter = 9^ geogr. Meilen) mit blossen Augen gesehen, habe ich, wie ich glaube, Ihnen bereits in meinem letzten Briefe gemeldet. Den bisherigen Heliotrop kann mein ältester Sohn Joseph schon recht gut einrichten und lenken; mit dem neuen wird es eher noch etwas leichter gehen.

Die Sichtung vom Hils auf Hannover ist zwar auch aufs schärfste ge- messen; jedoch wird Hannover vermuthlich kein Hauptdreieckspunkt werden, da man von da nach N.O. nur eine sehr begrenzte Aussicht hat, und nament- lich den Wohlenberg dort nicht sehen kann. Auch müssten auf dem dortigen Thurme erst grosse Abänderungen gemacht werden, wenn ein Theodolith dort aufgestellt werden soUte. Der Deister wird nach allen Richtungen noch eine ausgedehnte Aussicht beherrschen, und vielleicht wird selbst der Falkenberg da noch gesehen werden können.

AfltronomiBche Nachrichten, Bandl, Nr. 24, December 1822, S. 441 — 444.

Auszug aus einem Schreiben des Herrn Hofrath Gauss an den Herausgeber.

Göttingen 1822, Nov. 10.

Da Sie im 7**° Stück der Astronomischen Nachrichten eine Anzeige über den Stand meiner Triangulirung am Schluss des Jahrs 1821 gegeben haben, so verfehle ich nicht, Ihnen einen kurzen Bericht über den gegenwärtigen Stand der Operationen zu schicken.

Im vorigen Jahre waren die fünf Stationen: Göttingen, Meridianzeichen, Hohehagen, Hils, Brocken absolvirt, imd vier Punkte für die weitere Fort-

398 ZUR HANNOYEBSCHEN TRIANGULATION.

Setzung der Operationen ausgezeichnet, nemlich Lichtenberg, Deister, Wohlen- berg und Brelingerberg. Ich fing die Arbeiten des laufenden Jahrs mit einer Recognoscirungsreise in der Lüneburger Heide an, welche ich um so mehr für nothwendig hielt, da ich die grossen Schwierigkeiten, in diesem flachen Lande, welches ohne alle erhebliche Anhöhen und überall schachbrettartig mit Waldung bedeckt ist, ein Dreiecksnetz zu bilden, bereits aus den Berichten des Obersten Efailly kannte, welcher in den Jahren 1804 und 1805 diese Schwierigkeiten unübersteiglich gefunden, und daher die Verbindung zwischen Hamburg und dem südlichen Theile von Hannover vermittelst einer Reihe von Dreiecken längs der Weser bis zu ihrer Mündimg und hernach wieder die Elbe herauf eflfectuirt hatte.

Ich fand den Brelingerberg, welcher 1821 vom Hils aus geschnitten war, unbrauchbar, da er sich mit Lichtenberg und dem Wohlenberg nicht ver- binden liess, aber auch ebenso wie den Wohlenberg überflüssig, da sowohl der Platz bei Garssen, als der Falkenberg sich unmittelbar mit dem Lichten- berg verbinden Hessen. Ich schweige von den grossen Schwierigkeiten, mit welchen ich zu kämpfen gehabt habe, um die Dreiecke von Garssen und Falkenberg weiter fortzuführen. Diese Schwierigkeiten sind jetzt überwunden, und das Netz bietet durch seinen Gliederbau vielfache zu meiner grossten Zufriedenheit ausgefallene Contr ollen dar. Ich bemerke nur, dass alle meine Dreieckspunkte zu ebener Erde liegen; ein etwa Sf — 4 Fuss hoch au%e- mauertes steinernes Postament dient zur Aufstellung des Heliotrops und des Theodolithen. Mehrere Linien, namentlich die von Falkenberg nach Wilsede, von Hauselberg nach Breithom, von Breithom nach Schamhorst, und von Schamhorst [nach Garssen] erforderten beträchtliche Durchhaue durch Wal- dungen, imd die genaue Yorausbestimmung der Richtung dieser Durchhaue künstliche Vorbereitungen.

Ich habe im Laufe des Sommers die Stationen Lichtenberg, Deister, Garssen, Falkenberg, Hauselberg, Breithom, Wulfsode, Wilsede und Scham- horst vollständig abgemacht, auch auf Timpenberg die betreffenden Winkel vorläufig gemessen. Dadurch ist also Hamburg schon vorläufig angeschlossen, auch Lüneburg, da Sie den Winkel zwischen Wilsede und Lüneburg auf dem Michaelisthurm in Hamburg vorläufig gemessen haben. Hier einige vorläufige Resultate, wobei sich das Absolute vorläufig auf die vom ZACHSche Basis bei

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 399

Gotha gründet, an die ich mich vermittelst der Seite vom Inselsberg zum Brocken angeschlossen habe.

Länge von Breite Göttingen

Hamburg, Michaelisthurm 53® 33' 1^8 ^® 2' 3';o östl.

Lüneburg, Michaelisthurm 5315 5,5 02729, 5 »

Celle, südl. Schlossthurm 52 37 31,4 0 8 4,9 » Gottinger Sternwarte, Platz

des REiCHENBACHschen

Meridiankreises 513148, 7 0

Die Orientirung meines Dreieckssystems ist von meinem Meridianzeichen entlehnt ; auf Hamburg übertragen weicht sie von den Azimuthen, welche Sie mir mitgetheilt haben, nur 1^4 ab. Um das Absolute der Linien schärfer zu bestimmen, erwarte ich nur die Mittheilung der Länge Ihrer Basis und die Dreiecke, welche sie mit Diren Hauptpunkten verbindet. Meine eine Drei- ecksseite, Breithom- Schamhorst, würde sich, wie es scheint, ohne unüber- steigliche Schwierigkeiten unmittelbar messen lassen.

Um eine recht zweckmässige Verbindung meiner Dreiecke mit den Ihrigen zu erhalten, hatte ich gewünscht und gehofft, Timpenberg mit Lüneburg un- mittelbar verbinden zu können. Ein Durchhau wurde versucht, allein, nach- dem er eine bedeutende Strecke hindurch fortgeführt war, fand sich schon das zwischenliegende Terrain nicht deprimirt genug, und musste daher diese unmittelbare Verbindung aufgegeben werden. Es ist jedoch von Wilsede aus noch ein Punkt niedergelegt, der sich unmittelbar mit Hamburg, Lüneburg und Lauenburg und höchst wahrscheinlich vermittelst eines Durchhaues mit Timpenberg verbinden lassen wird. Das Weitere muss den Arbeiten des künf- tigen Jahrs vorbehalten bleiben. Von den grossen Schwierigkeiten, in einem solchen waldigen, flachen Terrain zu operiren, hat Niemand einen Begriff, der nicht unter ähnlichen Umständen gearbeitet hat.

Die beifolgende Karte, welche in dem Maassstabe von TinrhrTrT gezeichnet ist, wird Ihnen von dem Geschafften eine anschaulichere Vorstellung geben. Erst nachdem die übrigen Arbeiten vollendet waren, fand sich, dass der Punkt Schamhorst, vermittelst zweier nicht sehr schwieriger Durchhaue, unmittelbar

400

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

mit Lichtenberg und Deister sich verbinden lassen würde. Wäre es möglich gewesen, diesen Platz früher auszumitteln, und seine Brauchbarkeit und Lage festzusetzen, so hätte Garssen ganz wegfallen können. Vielleicht werde ich im künftigen Jahre die Messung der Winkel des Dreiecks Scharnhorst-Deister- Lichtenberg noch nachholen.

Ich habe in diesem Jahre ausser dem im Jahre 1821 gebrauchten Helio- trop noch zwei andere von der neuen Einrichtung in Thätigkeit gehabt, und daneben noch einen andern Heliotrop -Apparat, welchen ich immer bei mir führte, um meinen Gehülfen telegraphische Ordres zu geben. Für Sie ist die Bemerkung überflüssig, dass die von Hm. Schubach im Astron. Jahrbuch für 1825 gegebene Nachricht über die Einrichtung der Heliotrope ganz auf einem Lrthum beruht und mit meinen Heliotropen gar nichts gemein hat. Herr Rumpf hat bereits sieben Heliotrope verfertigt, wovon zwei für die preussische und zwei für die hessische Triangulirung bestimmt sind. Von beiden Ein- richtungen stehen Ihnen auf Verlangen Zeichnungen zu Dienste.

BEMERKUNGEN.

Die dem ersten Artikel in Band I, Nr. 7, der Astronomischen Nachrichten, beigegebene Dreieckskarte enthält in starken Linien im SQden die Dreiecke von der Seite Hohehagen- Inselsberg bis zur Seite Hut- Lichtenberg (vergl. die Figur auf S. 299), die Schnitte vom Hüs zum Deister und Brelingerberg und im Norden die beiden Dreiecke Lüneburg-Hamburg-Hohenhom und Lüneburg-Hohenhom-Lauenburg. Durch punktirte Linien sind gebildet das Dreieck Lichtenberg-D eister-Wohlenberg, sowie die Richtungen zwischen den Funkten Deister, Brelingerberg, Falkenberg und Wilsede und die Richtungen Wüsede - Lüneburg und Wilsede-Hamburg. Wohl aus Versehen fehlt auf dieser Karte die Linie Hils-NdrdL Meridianzeichen.

Die dem zweiten Artikel zugefügte Dreieckskarte gibt die Dreiecke der eigentlichen hannoversehen Gradmessung, also die in der Fig\ir auf S. 299 dargestellten Dreiecke vom Inselsberg bis Hamburg bis sa den Seiten Falkenberg-Wilsede und Wilsede-Hamburg. Es fehlt aber auf ihr noch der Punkt Nindorf und seine Verbindungen; dagegen sind auf ihr die Anschlussdreiecke zwischen den Punkten Lüneburg, Wilsede. Hamburg und Hohenhom und die beiden dänischen Punkte Syk und Lauenburg enthalten.

Ausser diesen beiden Mittheilungen über die hannoversche Triangulirung sind von Gauss in Bezie- hung auf dieselbe noch 2 (sp&ter folgende) Aufs&tze aus dem Jahre 1821 über den »Heliotrop« und ein (gleich- falls noch folgender) Artikel aus dem Jahre 1823: »Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannover- schen, Braunschweigschen und Lüneburgsohen« veröffentlicht worden.

KRÜOE&.

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 401

m.

INACHLASS

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

[1.]

[Plan und Anfang zum Werke über die trigonometrischen Messungen

in Hannover.]!

Plan des Werkes. Acht Abschnitte.

1) Über die bei den Messungen angewandten Einrichtungen

lind Methoden im allgemeinen ungefähr 40 Seiten

2) Messung der Hauptdreieckswinkel 60

3) IQeine Reductionen der Winkelmessungen 12

4) Ausgleichung der Messungen 24

5) Erste Berechnungsart der Dreiecke, in der Darstellung

auf dem Sphäroid 36

6) Zweite Berechnungsart, in der Darstellung in der^Ebene 60

7) Nebenpunkte 24

8) Hohenmessungen 20

Zusammen etwa 276 Seiten

oder 34f Bogen.

Im ersten Abschnitt ist zu handeln von folgenden Gegenständen : Nächster Zweck der Messungen; Eigenthümlichkeit des Terrains; Zielpunkte; Stand- punkte; Instrumente; Beobachtungsmanier; Basis; provisorische Berechnung der Punkte.

51

Die trigonometrischen Messungen im KönigTeich Hannover.

h.

Einleitung.

Die erste Veranlassung zu den von mir ia dem Königreiclie Hannorer in den Jahren 1821 — 1825 ausgeführten trigonometrischen Messungen war durch die von dem Herrn Etatsrath Schumacheb in den dänischen Staaten unternommene Gradmessung g^eben. "Wenn diese in der Nordspitze von Jütland ihren natürlichen Endpunkt finden musste, so war sie im Süden einer Erweiterung iahig, die nur erst am mittelländischen Meere ihre Begrenzung findet. Zunächst musste eine solche Erweiterung in einer Strecke von mehr als zwei Breitengraden durch das Königreich Hannover gehen, an dessen süd- licher Grenze die Göttingische Sternwarte die Gelegenheit zu den feinsten und bequemsten astronomischen Bestimmungen darbot. Die wissenschaftliche Wichtigkeit einer solchen Unternehmung und die feste Grrundlage, welche dadurch die Geographie des Königreichs und künftige umfassendere trigono- metrische Messungen erhalten mussten, konnten unserm erleuchteten Gouver- nement nicht entgehen, und ich erhielt daher im Jahre 1820 den Auftrag, diese Fortsetzung der dänischen Gradmessung durch das Königreich Hannover auszuführen.

Der trigonometrische Theil dieser Arbeit wurde im Sommer 1821 am südlichen Ende angefangen und im Sommer 1823 mit den Messungen auf dem Michaelisthurm in Hamburg beendig^.

Inzwischen war in dem benachbarten Kurfürstenthum Hessen eine trigono- metrische Landesvermessung unter der Leitung des Herrn Professor Ggrung angefangen, bei welcher die Hauptdreiecke mit ausgezeichnet guten Hülfsmitteln und mit aller erreichbaren Genauigkeit gemessen werden sollten. Eine Ver- bindung derselben mit den hannoverschen Dreiecken war daher um so wich- tiger, weil dadurch diese mit den bayerischen Dreiecken in Zusammenhang kommen mussten, und die in verschiedenen Theilen von Europa ausgeführten DreiecksmesBungen durch ihre Verknüpfung zu Einem Ganzen in höherer

\

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 403

wissenscliaftKcher Beziehung einen vielfach erhöhten Werth erhalten. Jene Verbindung der hannoverschen und kurhessischen Messungen wurde noch im Spätjahr 1823 ausgeführt; letztere sind aber seitdem unvollendet geblieben, obv^ohl so viel als zu einer nothdürftigen Verbindung der hannoverschen mit den bayerischen Dreiecken erforderlich war, nemlich die Messung von wenigstens zwei "Winkeln in allen zu der Verbindung nöthigen Dreiecken, im Jahre 1823 vollendet ist.

So wie nun hiedurch eine wenigstens vorläufige Verknüpfung der nord- deutschen und süddeutschen Messungen erreicht war, musste es doppelt wichtig erscheinen, auch eine Verknüpfung mit den grossen imter sich zusammenhän- genden Messimgssystemen im Westen zu bewirken, und mein ursprünglicher Auftrag erhielt deshalb eine Erweiterung, dass ich auch noch einen Übergang von meinen Gradmessungsdreiecken zu den KRAYENHOFFSchen Messungen aus- führen sollte. Ich führte deshalb in den Jahren 1824 und 1825 zu diesem Zwecke ein neues Dreieckssystem von Hamburg bis Jever, wodurch also der Zusammenhang mit den niederländischen, französischen und englischen Drei- ecken bewirkt ist, so dass also schon jetzt alle grossen durch den cultivirtesten Theil von ganz Europa sich erstreckenden Messungen in der That vor- handen sind.

Da inzwischen die dänische Gradmessung noch unvollendet geblieben war, so hielt ich für nothwendig, den astronomischen Theil meines Geschäfts so einzurichten, dass die hannoversche Gradmessung auch als ein abgeschlos- senes Ganzes für sich bestehen konnte.

Die Göttingische Sternwarte, welche selbst ein Hauptdreieckspunkt im System ist, und von der aus alle Dreiecksseiten ihre Orientirung erhielten, bildete von selbst den südlichen Endpunkt; allein ein in seiner Art einziger Umstand kam hinzu, der auch die Wahl des nordlichen Endpunkts nicht zweifelhaft lassen konnte: die inzwischen in Altena errichtete Sternwarte des Herrn Professor Schumacher liegt nemlich fast genau im Meridian der Göttin- gischen. Die von mir im Jahr 1827 an beiden Plätzen mit dem Ramsden- schen Zenithsector gemachten Beobachtungen an 43 Sternen und die daraus für den Breitenunterschied erhaltenen und sonstigen Resultate habe ich bereits in einem 1828 erschienenen Werke bekannt gemacht.

Dem trigonometrischen Theil meiner Arbeit ist gegenwärtiges Werk ge-

51*

404 17ACHLASS.

widmet. Ich habe dabei aus einem doppelten Grunde für nothig gehalten, der Darstellung alle erforderliche Ausführlichkeit zu geben.

Bei einer isolirten Breitengradmessung von massiger Ausdehnimg, die nichts weiter als solche ist und sein soll, kann man den trigonome- trischen Theil gewissermaassen als untergeordnet betrachten, insofern die Ge- nauigkeit, deren die astronomischen Beobachtungen fähig sind, doch lange nicht der bei dem trigonometrischen Theil erreichbaren Genauigkeit entspricht, und es also nicht so unerlässlich nothwendig ist, in Beziehung auf letztere das Höchste zu erreichen.

Bei der trigonometrischen Vermessung eines Landes ist es dagegen in mehrem Rücksichten allerdings rathsam, die Genauigkeit in der Bestimmung der gegenseitigen Lage der Hauptpunkte so weit zu treiben, wie es der Zu- stand der Kunst und die Umstände nur zulassen, zumal da es dann in un- zähligen FäUen möglich wird, hinreichend genau abgeleitete Bestimmungen secundärer Punkte mit äusserst geringer Arbeit tmd durch Methoden zu gewinnen, die ohne jene Voraussetzung ins Wilde fuhren würden. Wenn eine solche trigonometrische Vermessung isolirt steht, hat fireiUch ausfuhrlichere Bekannt- machung ihrer Bestandtheile wenigstens kein allgemeines Interesse. Allein je mehr die in verschiedenen Theilen von Europa ausgeführten faigonome- trischen Messungen mit einander in Verbindung kommen und nach und nach sich einem grossen Ganzen nähern werden, desto mehr erhalten die einzelnen Bestandtheile den Charakter eines kostbaren Gemeinguts von einem für alle Zeiten bleibenden Werthe, und desto wichtiger wird es, alle wesentlichen Mo- mente derselben in solcher Vollständigkeit aufzubewahren, dass ihre Zuver- lässigkeit im Ganzen wie im Einzelnen stets geprüft werden könne.

Ein zweiter Beweggrund zur Ausführlichkeit lag in der Eigenthüm- lichkeit der, sowohl bei den Messungen selbst, als bei ihrer Verarbeitung zu Resultaten, von mir angewandten Methoden, welche von den sonst üblichen zum Theil gänzlich verschieden sind, imd deren Darstellung ein Hauptzweck dieses Werks sein soUte. Ohne Zweifel ist die Verbindung einer Darstellung dieser Methode im allgemeinen, mit einer fortlaufenden Anwendung auf ein ausgedehntes Messungssystem, das geeignetste Mittel, die Natur derselben in ihr wahres Licht zu setzen, und denjenigen, welche sich derselben in Zukunft zu ähnlichen Messungen bedienen wollen, diese Anwendung zu erleichtem.

ZUR HANNOTERSCHEN TRIANGULATION. 405

Erster Abschnitt. Anordnung der Messungen im allgemeinen.

1. Der Landstrich von Göttingen bis Hamburg ist in seinem südlichen und nordlichen Theile von sehr ungleicher BeschaflPenheit. Jener ist gebirgig, und die Berge sind auf ihren Gipfeln meistens mehr oder weniger bewaldet, und die meisten Ortschaften liegen so, dass ihre Thürme eine weite Aussicht ent- weder gar nicht oder höchstens nach Einer Seite darbieten. Der nördliche Theil hingegen ist flach, vielfach mit Waldung durchschnitten, welche die Benutzung einzelner Anhöhen von geringer Höhe sehr erschwert, und oft ganz unthunlich macht ; und an Ortschaften mit Thürmen, die sich zu Dreiecks- punkten eigneten, fehlt es auf dem grössten Theile dieser Strecke gänzlich.

2.

Unter diesen Umständen liess sich voraussehen, dass auf natürliche Drei- eckspunkte fast gar nicht zu rechnen, sondern an den meisten Dreieckspunkten entweder eigene Signalthürme zu erbauen, oder auf andere künstliche Mittel zu ihrer Sichtbarmachung Bedacht zu nehmen sein würde.

Ein Hauptumstand in dieser Beziehung ist die Grösse, welche man den einzelnen Dreiecken zu geben beabsichtigt. Es ist klar, dass bei einer sehr ins Grosse gehenden, z. B. einen ganzen Welttheil umfassenden Messung, es, allgemein zu reden, für die Genauigkeit des Ganzen am vortheilhaftesten sein würde, die Dreiecke so gross wie nur möglich zu machen, und dasselbe gilt dann auch für eine Messung von kleinerm Umfang, insofern man sie als einen Bestandtheil eines solchen grossem Systems betrachtet. Allein diese Be- hauptung bleibt nur insofern wahr, als man voraussetzt, die Winkel in den grössten Dreiecken seien mit derselben, wenigstens mit einer nicht erheblich geringem Schärfe zu messen, wie die in kleinen Dreiecken, und diese Be- dingung findet freilich bei der Anwendung von Kirchthürmen oder künstlichen Signalthürmen keinesweges statt, und die Augenblicke, wo dergleichen Gegen- stände in sehr grossen Entfernungen die grösste Schärfe und Sicherheit in den Messungen verstatten, sind äusserst selten.

[Auszüge ans Berichten über die Triangalirang an das hannorersche Cabinet« - Ministerium.]

[Aas einem Bericht vom 7. Januar 1S22 ȟber die Arbeiten im Jahre l$2lf.]

Von den Tielfacbea Operationen, welche za einer Gradmessimg gehören, ist die Bildung des Dreiecksnetzes und die Messung der Winkel diejenige, welche bei weitem die mekte Zeit und Arbeit erfordert. Bei der hannover- schen Gradmessung muss dies Dreiecksnetz im Norden bei Hamburg sich an die dänischen Messungen anschUessen: im Süden ist zwar die GSttinger Stern- warte der eigentliche natürliche Endpunkt der Gradmessung an sich ; allein damit diese auch der weitem Ausdehnung nach Süden fähig werde, ist es zu- gleich sehr wesentlich, sie an diejenigen fremden Messungen anzuschliessen, welche das Königreich Hannover auf der Südseite berühren. In diesem Falle befinden sich die von der königL preusaischen Regierung veranstalteten und mit grosser Sorgfalt angeführten Messungen, so wie gegenwärtig auch in Kur- hessen eine grosse mit aller erreichbaren Genauigkeit auszuführende Triangu- lirung beabsichtigt wird.

Die erwähnten preussiscben Messungen, so weit sie bisher gediehen waren, wurden mir im vorigen Winter mitgetheilt; ausserdem hatte ich Gelegenheit, einen Theil der von dem französischen Obersten Epaillt im Jahr 1804 u. f. im Hannoverschen, und namentlich im südlichen Theil, gemachten Messungen zu erhalten. Der Besitz dieser tmd einiger anderer Hül&mittel, welche bei der ersten Auswahl der Dieieckspunkte einige Erleichterungen geben konnten, sowie die Erwägung, das» manchen kleinen von dem Anfang solcher Opera^ tionen unzertrennlichen Schwierigkeiten und Verlegenheiten immer schneller und leichter in der Nähe von Göttingen würde abgeholfen werden können, bestimmten mich, die Triangulirung auf der Südseite anzufangen.

Schon im Jahre 1820 hatte ich angemessene Einleitungen getroffen, um mir die erforderlichen Instrumente zu verschaffen- hier erwähne ich nur der-

I

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 407

jenigen, welche sich unmittelbar auf den geodätischen Theil der Gradmessung beziehen. Zu den eigentlichen Winkelmessungen hatte ich bei Eeichenbach (dessen Werkstatt sein ehemaliger Werkmeister Ertel gegenwärtig ganz über- nommen hat) einen zwölfzölligen Theodolithen bestellt, dessen Vollendung und Ablieferung auf das Frühjahr 1821 zugesagt war. Einen kleinem Theodolithen von dem englischen Künstler Troughton hatte ich durch die gefallige Be- sorgung des Professors Schumacher bereits in Händen.

Eine besondere Vorsorge erforderten die Hülfsmittel, die Dreieckspunkte in sehr grossen Entfernungen sichtbar zu machen. Da es meine Absicht und von grosster Wichtigkeit war, die Dreiecke so gross wie möglich zu wählen, so blieb bei der Beschaffenheit des Landstriches, durch welches sie zu fuhren sind, keine Hoffnung, dass viele Kirchthürme als Dreieckspunkte würden be- nutzt werden können. Besonders gebaute Signalthürme sind bisher das in solchen Fällen am meisten angewandte Mittel gewesen: indessen kommen in der Ausübung nicht selten Fälle vor, wo auch dieses Mittel unzureichend wird, indem solche Signalthürme (ebenso wie die Kirchthürme) in grossen Entfernungen, da, wo sie nicht gegen den Himmel, und besonders da, wo sie sich gegen nahen dunkelfarbigen Hintergrund projiciren, immer sehr schwer zu sehen, und noch viel schwerer zu beobachten sind*). Andere Beobachter haben aus diesen und andern Gründen häufig (einige ausschliesslich) die Winkelbeobachtungen bei Nacht angestellt, indem sie die entfernten Dreiecks- punkte durch grosse AROANDSche Lampen mit sehr genau parabolischen Rever- beres sichtbar machen Hessen. Freilich haben diese nächtlichen Beobachtungen wieder andere grosse Schwierigkeiten und Inconvenienzen , und besonders bei sehr grossen Dreiecken muss gewöhnlich eine gelungene Beobachtung erst mit

vielen vergeblichen Versuchen gleichsam erkauft werden Wenn ich

daher gleich nicht geneigt war, mich dieser Beobachtungsart ausschliesslich zu bedienen, zumal da meine physischen Kräffce den Beschwerden eines be- ständigen nächtlichen Aufenthalts auf meistens hohen und schwer zugänglichen Bergen schwerlich gewachsen gewesen sein würden, so musste ich mich doch.

*) Meine eigene Erfahrung im yoiigen Sommer hat dies vielfach beitätigt. So habe ich z. B. während meinet ganzen mehr als yierwöchentlichen Aufenthalts auf dem Brocken den auf dem Hils erbauten 7^ Meilen entfernten Signalthurm nur ein- oder zweimal auf wenige Minuten, die Kirchthürme des 13 Meilen entfernten Hannover |iuch nicht ein einziges Mal sehen können, ungeachtet die Richtung genau bekannt war.

408 NACHLASS.

da kein anderes Mittel bisher bekannt war, im voraus gefasst halten, das- selbe wenigstens in manchen einzelnen Fällen zu gebrauchen, und ich hatte daher vorläufig drei solcher Lampen bei Repsold in Hambui^ und bei Körner in Jena bestellt. Diese Lampen erhielt ich im Mai 1821, und ihre Wirkung bei den in schicklichen Entfernungen damit verschiedentlich angestellten Ver- suchen hat auch meiner Erwartung entsprochen.

Indem mir alle die erwähnten grossen Schwierigkeiten bei Bildung grosser Dreiecke nach fremden Erfahrungen, noch ehe ich eigene gemacht hatte, vor- schwebten, war ich auf ein ganz neues Mittel bedacht, ihnen abzuhelfen. Theoretische Untersuchungen hatten mich überzeugt, dass reflectirtes Sonnen- licht von nur ganz kleinen Planspiegeln hinreichende Kraft habe, um in den grossten Entfernungen sichtbar zu sein, und sich viel leichter und besser be- obachten zu lassen, als alle Thürme und Signale, ja selbst besser, als mehrere zusammengestellte AROANDSche Lampen bei Nacht. Um diese Idee brauchbar zu machen, bedurfte es eines besondem Apparats oder Instruments, wodurdi man das reflectirte Sonnenlicht mit grosster Genauigkeit und Sicherheit un- unterbrochen nach jedem beliebigen noch so weit entfernten Funkte lenken kann. Obgleich ich die Einrichtung zu diesem Zweck im wesentlichen schon vollständig entworfen hatte, war es doch nicht leicht, dasselbe ausgeführt zu erhalten, zumal wenn dies durch einen auswärtigen Künstler hätte geschehen sollen, wo der Vortheil fortwährender mündlicher Berathung bei einzelnen technischen Schwierigkeiten weggefallen wäre, und die Vollendung daher zum wenigsten sehr in die Länge gezogen sein würde. Diese Verlegenheit näherte sich jedoch ihrer Erledigung, als unser geschickter Inspector Rumpf, welcher während eines grossen Theils des Winters von hier abwesend gewesen war, gegen Ostern nach Göttingen zurückkehrte, und bald nachher die Arbeit eines solchen Instruments übernahm

Bei der hannoverschen Grradmessung ist es ein besonders wesentlicher und wichtiger Umstand, dass die ersten von der hiesigen Sternwarte auslaufenden Dreiecksseiten durch die festen Meridianinstrumente der Sternwarte selbst auf das genaueste orientirt werden können. Die Aussicht der Sternwarte in der Richtung des Meridians war zwar ursprünglich weder auf der Nordseite noch auf der Südseite offen, imd wenn diesem Mangel nicht abzuhelfen ge- wesen wäre, so wäre nicht allein jener höchst wichtige Vortheil gar nicht

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 409

vorhanden gewesen, sondern es wäre dies auch auf immer ein wesentlicher Hadicalfehler hei der Wahl des Platzes der Sternwarte gehliehen. Glück- licherweise war aber die eine Hälfte dieser Schwierigkeit bereits überwunden; die vorher durch die Gärten vor Göttingen versperrt gewesene Aussicht nach Norden hatte ich schon im Herbst 1820 geöffnet, und auf einem Berge un- weit Weende ein provisorisches Meridianzeichen errichten lassen. Viel grösser waren hingegen die Schwierigkeiten auf der Südseite des Meridians, wo eine dichte hohe drei Stunden entfernte Waldung die Aussicht begrenzte. Dies

Hindemiss musste wo möglich überwunden werden

Während dieser Zeit hatte der Inspector Rumpf schon fleissig an dem oben erwähnten Instrument gearbeitet, welches ich fortan mit dem ihm bei- gellten Namen Heliotrop bezeichnen werde. Allein noch vor dessen Voll- endung war ich auf die Idee gekommen, einen blossen Spiegelsextanten zu einer Art Viceheliotrop einzurichten, freilich viel unvollkommener, als jenes Instrument selbst, aber doch bei geschickter Behandlung gleichfalls brauchbar. Die damit schon auf Entfernungen von beinahe 2 Meilen angestellten Ver- suche bestätigten die enorme Kraft des reflectirten Sonnenlichts fast über meine Erwartung

[Aus einem Bericht vom 31. Januar 1823 ȟber die Arbeiten der Grad-

messung im Jahre 1822«.]

Im Jahre 1821 war die Triangulirung , als der ausgedehnteste Theü des ganzen Geschäfts, eingeleitet, und die Messungen an fünf Dreieckspunkten vollfuhrt, nemlich in der Göttinger Sternwarte, beim Meridianzeichen, auf dem Hohehagen, Hil« und Brocken. Behuf der weitem Fortsetzung waren femer vier weiter nördlich liegende Punkte ausersehen, nemlich Lichtenberg, der Deister, der Wohlenberg im Amte Gifhom, und ein Berg bei BreUngen in der Amtsvoigtei Bissendorf. Ich selbst hatte jedoch diese Funkte noch nicht besucht, und es blieb bei einigen derselben noch problematisch, ob sie sich zu Dreieckspunkten qualificiren würden: dies musste erst entschieden werden, ehe der Plan zu den ersten Arbeiten des Jahrs 1822 gemacht werden konnte.

nr. 52

410 NACHLASS.

Allein dies war nur der kleinste Theil der nothwendigen Präliminar- Untersuchungen. Die Operationen näherten sich nun der Lüneburger Heide, einem ganz flachen Lande, wo der Mangel dominirender Funkte und die fast unzählbaren grossem und kleinem Holzungen, welche es schachbrettartig be- decken, die Bildung von einigermaassen beträchtlichen Dreiecken ausserordent- lich erschweren. Ich kannte diese Schwierigkeiten bereits aus den Berichten des französischen Obersten Efaillt, der im Jahr 1804 und 1805 die franzö- sischen Messungen im Kurfiirstenthum Hannover geleitet hatte: dieser Inge- nieur hatte die Schwierigkeiten des Terrains fiir so gross angesehen, dass er die Bildung eines Dreieckssystems von der Aller bis zur Elbe für unmöglich erklärt, und daher die Verbindung auf einem ungeheuer grossen Umwege, nemUch durch Dreiecke längs der Weser bis zu ihrer Mündung und dann wieder die Elbe herauf bis Hamburg, efifectuirt hatte, ein Verfahren, das höchstens als Nothbehelf bei einer Landesvermessung, aber durchaus nicht bei einer Gradmessung zulässig sein könnte.

Diese Umstände machten vor dem Anfange der eigentlichen Messungs- operationen eine Recognoscirungsreise nothwendig. Diese Reise, bei welcher ich von meinen drei Gehülfen nur den Hauptmann Muller mit zuzog, be- schäftigte mich vom 28. April bis 1. Junius, und ich führe, das Detail der mühsamen Untersuchungen hier übergehend, nur die Hauptresultate der- selben an.

Der Brelingerberg wurde zur Verbindung unbrauchbar befrinden; dies wurde aber mehr als ersetzt durch die glückliche Entdeckung, dass zwei neue noch nördlicher liegende Punkte, ein hoher Acker bei Garssen und der Falken- berg, jener fast eine Meile nordöstlich von Celle, dieser eine Meile nordwest- lich von Bergen entfernt, sich beide unmittelbar mit Lichtenberg und mit dem Deister verbinden liessen : dadurch wurde der Wohlenberg überflüssig, und die ersten Messungsarbeiten waren nun bestimmt und sicher festgesetzt. In Rück- sicht auf das weitere Fortschreiten nach Norden fand ich allerdings die Schwierigkeiten so gross, wie ich erwartet hatte ; jedoch war es mir auch ge- lungen, gleichsam im Herzen der Heide die Ausführbarkeit zweier guter Drei- ecke zwischen den vier Funkten Falkenberg, Hauselberg (in der Amtsvoigtei Hermannsburg), Wulfsode (im Amt Ebstorf) und Wilsede (an der äussersten südwestlichen Grenze des Amts Winsen an der Luhe) festzustellen. Es zeigte

ZUR HANNO YERSCHSN TRIANGULATION. 41 1

sich femer die Möglichkeit, den Falkenberg mit Wilsede vermittelst eines Dnrchhaus dnrch das Becklinger Holz zu verbinden, und die Hoffnung, dass die beiden Funkte Hauselberg und Garssen vermittelst eines oder einiger Zwischenpunkte und einiger Durchhaue durch die Waldungen, welche sie scheiden, würden verknüpft werden können. Allein rücksichtlich solcher Durchhaue, ohne welche in diesen Gegenden schlechterdings nicht durchzu- kommen ist, glaubte ich mir zwei Gesetze auflegen zu müssen; erstlich, so viel ii^end möglich, allen edlem Holzarten (als Eichenwäldern) auszuweichen, und zweitens die Richtung der Durchhaue vorher mit ausser ster Fräci- sion zu bestimmen, so dass sie so schmal wie möglich ausfallen sollten, und auch nicht Ein Stamm ohne Noth gefallt zu werden brauchte. Um aber dies zu erreichen, mussten schon sehr scharfe Messungen, die zum Theil künstlich arrangirt und combinirt werden mussten, vorangehen, und diese Hessen sich mit Genauigkeit und mit dem möglich geringsten Zeitaufwand erst dann ausfuhren, wenn die Hauptmessungen erst selbst bis in diese Gegend vorgerückt waren, und ich darf hier im voraus bemerken, dass ich diese Zwecke späterhin auch zu meiner vollkommensten Zufriedenheit erreicht habe.

Die Zwischenzeit von der Rückkehr von der Recognoscirungsreise bis zum eigentlichen Anfang der Messungsoperationen verwandte ich dazu, die Instmmente ganz in gebrauchfertigen Stand zu setzen, alles nöthige vorzu- bereiten, und dem Hauptmann Müller und dem Lieutenant Hartmann die- jenigen Instructionen zu geben, die zu einem vollkommenen Ineinandergreifen der Operationen erforderlich waren. Am 1 6. Junius trat ich die Reise nach Lichtenberg, dem ersten in diesem Jahre vorzunehmenden Dreieckspunkte an, wohin mein Sohn mit einem Theile der Instrumente schon vorausgereist war.

Die wirklichen Messungsarbeiten haben in diesem Jahre vier Monate ge- dauert, nemlich bis Mitte Octobers, und während dieser Zeit sind neun Hauptdreieckspunkte absolvirt: im Jahr 1821 konnten in einer nicht viel kurzem Zeit nur fünf vorgenommen werden; dies so viel raschere Fort- schreiten ist hauptsächlich der Vermehrung der Zahl der Gehülfen und der Heliotrope zuzuschreiben; allein noch wichtiger ist der daraus erhaltene Ge- winn in der Vergrösserung der Genauigkeit der Messungen selbst

Der Zweck der Triangulirung, als Theil der Gradmessung, ist, die Göttinger Sternwarte durch ein zusammenhängendes System von Dreiecken mit den däni-

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412 NACHLAB8.

sehen Dreiecken zu veibinden, und dazu war es am Tortheilhaftesten, die Drei- ecke 80 gro88 wie möglich einzurichten, und die Dreieckspunkte im allgemeinen auf den höchsten Stellen, die die weiteste Aussicht gewähren, zu wählen. Diese Funkte haben an und fiir sich grösstentheils kein unmittelbares Interesse iur die Geographie des Königreiches. Ich habe aber überall, neben dem Hauptzwecke, meine Operationen für diese nach Möglichkeit nützlich zu machen gesucht. Die Lage aller örter, die von mehr als einem Hauptdrei- eckspunkte sichtbar waren, habe ich sorgfaltig bestimmt, manche mit einer Genauigkeit, die der in der Lage der Hauptdreieckspunkte gleich kommt. Ich nenne davon die Städte Hannover, Braunschweig, Celle, Lüneburg, Neustadt am Rübenbei^e, Burgdorf. Die Anzahl der Dörfer, deren Lage ich bestimmt habe, ist sehr gross. Die Bahn ist gebrochen, diese Emdte über einen grossem Theil des Königreichs, oder über das ganze, auszudehnen

[Aus dem Bericht vom 16. Februar 1825 ȟber die im Jahre 1824

ausgeführten trigonometrischen Arbeiten.«]

Resultate: Der Bericht und die beigefugte Karte zeigen, dass

die Arbeiten des Jahres 1824 mehrfache Übei^nge von den Dreiecken der frühem Jahre bis Bremen darbieten; der einfachste [die Dreiecke Wilsede- Falkenberg-Elmhorst, Wilsede-Elmhorst-Litbei^, Wilsede-Litbei^ -Hamburg, Wilsede-Litberg-Zeven, Wilsede-Zeven-Steinberg und Zeven-Steinberg-Bremen umfassend '^)] ist mit starken vollen Linien gezeichnet, und zwei neue Drei- ecke [Zeven-Bremen-Brillit und Brillit-Bremen-Garlste] sind noch an die Seite Bremen-Zeven angeknüpft. Wäre es möglich gewesen, jenes einfachste System gleich anfangs ausfindig zu machen, so hätten allerdings die andern mit schwachen vollen Linien gezeichneten Dreiecke [bei denen die Funkte Buller- berg, Bottel und Brüttendorf Eckpunkte sind] ganz wegfallen können. Allein die Berichterstattung zeigt, nach wie vielen Schwierigkeiten der Plan zu jenem erst ausgemittelt werden konnte, und die präcise schnelle Ausfuhrung der verschiedenen dazu erforderlichen Durchhaue wäre gleichfalls ohne vorgangige

[*) Sieh« die Dreieokitkuie auf 8. 109].

ZUR HANNOTERSCHEN TRIANGULATION. 413

schon sehr genaue Kenntniss der Lage der Plätze ganz unthunlich gewesen. Bei dem heutigen mathematischen Zustande der hohem Geodäsie dürfen übri- gens auch die letztem Dreiecke, die schwach gezeichneten, keinesweges als überflüssig betrachtet werden : vielmehr muss ihre nach ganz bestimmten Prin- cipien anzustellende Berücksichtigung mit dazu beitragen, die Schärfe der End- resultate zu vergrössem

Endlich ist es auch noch von grosser Wichtigkeit, dass durch die drei Dreiecke zwischen den fünf Punkten Falkenberg, Elmhorst, Wilsede, Litberg, Hamburg ein neuer Übergang von den südlichen Dreiecken im Königreich Hannover bis Hamburg erreicht worden ist, welcher vor den frühem um vieles complicirtem [über Hauselberg, Wulfsode, Timpenberg, Nindorf und Lüneburg] vorzuziehen ist, und daher nach den vorhin angedeuteten Grund- sätzen die Genauigkeit der Resultate verdoppeln wird

[Aus dem Bericht vom 21. November 1827, »betreffend die weitere Ausdehnung

der Gradmessungsarbeiten.«]

Es wurden 1821 — 1823 bei Messung der Dreieckskette bis Hamburg

verausgabt 11 000 Thaler, und 1824, 1825 für die von da westlich bis Ostfries- land geführte Dreieckskette etwa 7000 Thaler. Von diesen Kosten ist aber abzurechnen, was wegen Anschaffung von Instrumenten und wegen Abholens des englischen Zenithsectors von Altona nach Göttingen verausgabt ist, und zwischen 2500 und 3000 Thalem betragen haben mag, so dass die eigentlichen Triangulirungskosten etwa 15000 Thaler betragen haben mögen. Nun scheint nach der Übersichtskarte der Inbegriff der noch nicht berührten Landestheile wohl nicht viel grösser zu sein, als die mit Dreiecken bereits überzogene Fläche, imd bei «dler üngewissheit, in der ich wegen der Schwierigkeiten des Terrains bin, ist es doch kaum wahrscheinlich, dass sie grösser sein können, als diejenigen, womit ich besonders 1822 und 1824 zu kämpfen gehabt habe. Wenn ich nun ausserdem bemerke, dass die Operationen, deren Hauptzweck die Vervollkommnung der Landes - Geographie ist, auch bei einer würdigen Ausfohrung doch nicht den Grad von äusserster Schärfe der Messungen er- fordern, welcher bei einer eigentlichen Gradmessung verlangt wird, so scheint

414 NACHLASS.

die HoflTnung nicht ungegründet, dass die Erweiterung der Triangulirung über die noch nicht berührten Theile des Königreichs sich mit einer geringem Summe und vielleicht mit 12000 Thalem bestreiten lassen werde*).

Um nun aber eine solche Triangulirung fiir die Vervollkommnung der Geographie möglichst nützlich zu machen, wird man sich nicht darauf ein- schränken müssen, bloss Netze von Hauptdreiecken der ersten Ordnung über die betreffenden Landestheile auszuführen, sondern damit die Bestimmung der Lage einer möglichst grossen Anzahl secundärer Funkte verbinden, nament- lich solcher, die scharfe Bestimmungen zulassen, und in der Kegel Jahrhun- derte dauern, also besonders der Eirchthürme. Ich habe mir diese Rücksicht schon bei den frühern Messimgen zur Pflicht gemacht, obwohl sie dem Haupt- zweck untergeordnet bleiben musste, und die Anzahl der bei jenen Messungen bestimmten Punkte beträgt schon über 500

Diese Angabe der Lage einer grossen Anzahl fester Punkte in Zahlen (wie viel nemlich nördlich oder südlich, westlich oder östlich, von einem be- liebigen Anfangspunkte, z. B. der Göttinger Sternwarte), bis auf wenige Fuss genau, muss als die Hauptausbeute der Operationen in topographischer Rücksicht betrachtet werden. Sie behält auf Jahrhunderte einen bleibenden Werth, insofern die Mehrzahl der Punkte bleibt, wenn auch im Laufe der Zeit einige untergehen, und die dadurch etwa entstehenden Veränderungen sind leicht zu ergänzen. Sie bildet eine sichere Grundlage für alle Detail- aufnahmen : alle die Unsicherheiten, welche Aufnahmen ohne solche feste An- haltspunkte erschweren, entsteUen und ihre Vereinigung zu einem fehlerfreien Ganzen unmöglich machen, fallen dabei ganz weg; nachlässige Arbeiter er- halten dadurch eine strenge unausweichliche Controlle; jede Messtischplatte wird unabhängig von der andern bearbeitet, kein Fehler pflanzt sich also auf andere Blätter fort; endlich vereinigen sich alle einzelnen Blätter von selbst zu einem genau orientirten und überall zusammenpassenden Ganzen. Es ist einleuchtend, dass die grossen Kosten, welche Detailaufhahmen von bedeutendem Umfange allezeit machen, durch einen solchen sichern Gang in einem hohen Grrade vermindert werden müssen ; aber dieser sichere Gang ist es nicht allein,

*) Die im laufenden Jahr 1837 erforderlichen Kosten kommen hiebei nicht in Betracht, da ihr Gegen- stand zu dem rein astronomischen Theile der Gradmessung gehört.

ZUB HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 415

was die Arbeit beschleunigt; sehr wichtig ist in dieser Beziehung auch der Umstand, dass der Gebrauch der Messkette dadurch fast ganz überflüssig und nur ausnahmsweise nöthig wird, da die Triangulirung die Gnmdlinien schon von selbst gibt, und mit einer Schärfe, welche die gewöhnliche Kette gar nicht einmal geben könnte.

Allein auch, wo schon Detailaufiniahmen vorhanden sind, wie bei den meisten Ämtern des frühem Bestandes des Königreiches, bieten die festen Funkte das Mittel dar, die aus der Zusammensetzung entstandenen Fehler zu berichtigen, und dadurch selbst Karten, die sich auf unvollkommene Auf- nahme-Methoden gründen, wenn sie sonst im kleinen Detail gut sind, zu Dar- stellungen umzuarbeiten, die auch hohem Anforderungen Genüge leisten können.

Was demnach die Maassregeln betrifft, um die Triangulirungen zur Ver- vollkommnung der Geographie möglichst nützlich zu machen, so sind dabei die bereits ausgeführten Messungen von den eventuell über andere Landes- theile künftig zu erstreckenden zu unterscheiden.

Bei letztem wird die Gewinnung genauer Bestimmung einer möglichst grossen Anzahl fester Punkte gleich als Hauptzweck berücksichtigt werden müssen.

Bei den bereits ausgeführten Messungen hingegen ist allerdings diese Rücksicht nur als untergeordnet betrachtet gewesen ; allein da ich, wie schon erwähnt, dieselbe doch stets im Auge gehabt habe, so viel, ohne das Haupt- geschäft zu hemmen, geschehen konnte, so müssen hinsichtlich des Erfolges hier abermals die nördlichen Gegenden von den südlichen unterschieden werden.

In der nördlichen (grossem) Hälfte, d. i. etwa von der Stadt Hildesheim an bis zum Meere, also in dem flachen Theile des Landes, ist die Ausbeute in der erwähnten Beziehung so ergiebig gewesen, dass wenig oder nichts zu wünschen übrig bleibt

In dem südlichsten Theil des Königreichs hingegen ist die Anzahl der scharf bestimmten Kirchthürme viel kleiner, da theils wegen der Grösse der Dreiecke, theils wegen der gebirgigen Beschaffenheit des Landes nur wenige Thürme von mehr als Einem Hauptdreieckspunkte aus zugleich sichtbar waren. Für die Vervollkommnung der Geographie des Königreichs, und namentlich um einer Detailaufhahme der südlichen Theile des Hildesheimschen und des Eichsfeldes ähnliche sichere Ghrundlagen zu verschaffien, würde es daher aller-

416 NACHLASS.

dings wichtig sein, die südlichen grossen Dreiecke noch in mehrere kleinere zu zerlegen, und durch Messungen an neuen eingeschalteten Standpunkten sichere und zureichende Grundlagen für jene Aufnahmen zu gewinnen. Auf die Kosten dieser Operationen habe ich bei der obigen Schätzung keine Rücksicht nehmen können: ihre Veranschlagung würde fast noch misslicher, aber auf jeden Fall köimen sie doch, vei^leichungsweise gegen die Kosten neuer grosser Triangulirungen in den noch nicht berührten Landestheilen, nur klein sein.

Dass es übrigens in Zukunft wünschenswerth sein wird, die Resultate der Lage aller scharf bestimmten Funkte, wenn sie erst ein geschlossenes Ganzes bilden, öffentlich bekannt zu machen, brauche ich nicht zu bemerken. Von dem eigentlich rein wissenschaftlichen Theile der bisherigen Messungen ver- steht sich dies ohnehin von selbst

[Aus dem Bericht vom 26. Junius 1828, »die Fortsetzung der Gradmessungs- arbeiten betreflPend.«]

Da die Detaüaufhahme der noch nicht vermessenen Landestheile

auf die trigonometrischen Operationen gegründet werden soll, imd beide Ge- schäfte rücksichtlich der zu verwendenden Geldmittel von einander abhängig sein werden, so war zuvörderst eine ungefähre Überschlagung der Gesammt- kosten erforderlich. Nach einer mir vom Herrn Geh. Cabinetsrath Hoppen- STEDT mitgetheilten Notiz würde der Flächeninhalt der im Detail au&u- nehmenden Landestheile etwa 144 Quadratmeilen betragen; die Kosten der Detailaufnahme durch Generalstabsof&ciere werden auf 200 — 250 Thaler fur jede Quadratmeile geschätzt, wozu noch etwa 21 Thaler wegen der Copirungs- kosten der Karte in 4 Exemplaren hinzu zu rechnen sein würden. Würden also zusammen 250 Thaler auf die Quadratmeile gerechnet, so würden diese Kosten etwa 36000 Thaler, folglich mit Inbegriff der Triangulirungskosten in den von der Gradmessung noch nicht berührten Landestheilen gegen 50000 Thaler betragen. Es möchten dazu noch ein oder ein paar tausend Thaler zu rechnen sein wegen der Operationen, die erforderlich sein werden, um innerhalb der grossen südlichen Dreiecke der Gradmessung eine hinlänglich grosse Anzahl

ZUB HANNOVEESCHEN TRIANGULATION. 41 7

fester Punkte für die Detailaufnahme festzulegen, worüber ich mich bereits früher in der im November vorigen Jahres eingereichten Eingabe ausführlicher erklärt habe. Es würde daher, wenn zu diesen Geschäften jährlich wirklich 5000 Thaler verwendet werden können (was ausser den Geldmitteln auch von der steten Disponibilität des Personals abhängen wird), zur völligen Vol- lendung ungefähr ein Zeitraum von 10 Jahren erforderlich sein.

Nach einem von mir selbst früher gemachten, obwohl vielleicht minder zuverlässigen Überschlage wäre der Flächeninhalt der im Detail aufzunehmen- den Landestheile 173 Quadratmeilen; danach würde der Überschlag für den Kostenaufwand etwa 7000 Thaler grösser und die Zeitdauer 1 bis 2 Jahr länger ausfallen, und so würde auch, wenn die bestimmten 5000 Thaler nicht als alljährlich wirklich oder im Durchschnitt zu verwenden, sondern nur als jedesmaliges Maximum zu betrachten sind, eine verhältnissmässige Ver- längerung der Dauer des ganzen Geschäfts die Folge sein.

Was die Eintheilung der trigonometrischen Arbeiten auf die einzelnen Jahre betriflPt, so möchte es, um diese als Grundlage der Detailaufnahme schneller vollenden zu können, rathsam sein, anfangs den grossem Theil der Geldmittel auf dieselbe und den kleinem auf die Detailaufnahme, vielleicht in dem Verhältniss von |- zu ^, zu verwenden: letztere würde dann in den spätem Jahren, wo überall eine sichere Grundlage vorhanden ist, wo die Ar- beiter nach und nach immer mehr eingeübt sind, imd wo die Geldmittel allein darauf verwendet werden können, eines um so raschem Fortschreitens gewiss sein. In Beziehung auf die Anordnung der Reihenfolge der trigono- metrischen Arbeiten ist, wie die Sachen gegenwärtig stehen, weiter kein Grund vorhanden, eine der andern vorzuziehen, als dass nur darauf gesehen werden muss, dass die gleichzeitige Detailaufiiahme stets mit hinreichendem Stoff an zuverlässig bestimmten Funkten versehen sei, damit dieselbe niemals in Gefahr komme, aus Mangel an solchem in Stocken zu gerathen. Eine speciellere Bestimmung möchte wohl für denAugenblick, theils unthun- lich, theils unnöthig, theils nicht einmal rathsam sein, weil ein gewisser Grad von Freiheit, das den jedesmaligen Umständen nach zweckmässigste zu bear- beiten, dem schnellem imd bessern Fortschreiten nur förderlich sein kann.

IX. 53

418 NACHLASS.

Historischer Bericht über die von dem Hofrath Gauss theils ausgeführten, theils geleiteten

Messungen im Königreich Hannover.

Die verschiedenen Messungsarbeiten, von welchen ich hier einen kurzen historischen Bericht abzustatten habe, sind zwar unter einander enge verknüpft, haben aber ungleiche Zwecke und ungleichen Charakter. Es wird am über- sichtlichsten sein, sie nach der Zeitfolge der Aufträge zu ordnen, denen ge- mäss ich sie auf mich genommen habe.

I. Die hannoversche Gradmessung.

Durch Rescript vom 30. Junius 1820 wurde ich beauftragt, eine Grad- messung durch das Königreich Hannover auszuführen, als eine Erweiterung oder Fortsetzung einer nicht lange vorher angefangenen ähnlichen Arbeit in den dänischen Staaten. Man versteht unter jener Benennung diejenigen, theils astronomischen, theils trigonometrischen Operationen, wodurch die Grösse eines Meridiangrades in einem bekannten Längenmaasse (Fuss, Toise, etc.) be- stimmt wird. Man wählt zu dem Ende zwei hinlänglich von einander ent- fernte Punkte in einerlei Meridian, bestimmt die Länge des zwischen ihnen ent- haltenen Bogens in Füssen, etc. durch ein zwischen ihnen geführtes Dreiecks- netz, imd die Anzahl von Graden, Minuten und Secunden, welche demselben Bogen entsprechen, durch astronomische an den Endpunkten angestellte Be- obachtungen, woraus man dann auf die Länge Eines Grades zurückschliesst.

Es erhellt hieraus, dass eine Gradmessung, als solche, nur die rein wissenschaftliche Tendenz hat, einen Beitrag zur mathematischen Kenntniss der Verhältnisse des Erdsphäroids zu geben, die nach den Anforderungen des Jahrhunderts eine viel grössere Schärfe und eine viel grössere Zahl von Grad- messungen nothwendig macht, als womit man früher sich begnügen musste. Es erhellt femer hieraus, dass eine Grradmessung aus zweien sehr heterogenen Theüen besteht, einem trigonometrischen und einem astronomischen. Ohne hier in ein weiteres Detail einzugehen, will ich nur bemerken, dass ich den (2 5 Hauptdreiecke von Göttingen bis Hamburg umfassenden) trigonometrischen Theil in den Jahren 1821, 1822, 1823, und den astronomischen im Jahr 1827

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 419

ganz yoUendet habe, und dass der letztere sowie die Endresultate in einem 1828 von mir herausgegebenen Werke »Bestimmung des Breitenimterschiedes zwischen den Sternwarten von GOttingen und Altena durch Beobachtungen am B<AMSDENschen Zenithsector« bekannt gemacht sind. Die Sternwarten von Göttingen imd Altona, die durch ein einziges Spiel des Zufalls genau in einerlei Meridian liegen, sind nemlich die Endpunkte des gemessenen Meri- dianbogens, dessen ganze Krümmung etwas über zwei Grad beträgt.

n. Trigonometrische Verbindung der Gradmessungsdreiecke mit den Drei- ecken der königlich niederländischen Vermessungen.

Der nächste wissenschaftliche Zweck dieser mir durch Rescript vom 8. März 1824 aufgetragenen Erweitenmg der trigonometrischen Arbeiten war, die hannoversche Gradmessung mit der französischen und englischen in Ver- bindung zu bringen. Diese letztem sind bekanntlich unter sich verbunden, und an die französischen Dreiecke schliessen sich die mit vieler Sorgfalt ge- messenen Dreiecke in den Niederlanden an, welche in der Zeit, wo Ostfries- land mit Holland vereinigt war, bis an die östliche Grenze dieses Fürsten- thums, weiter südlich hingegen bis nach Bentheim fortgeführt waren. Ich hatte also die Wahl unter zwei Wegen, auf denen sich der vorgesetzte Zweck erreichen Hess, entweder nemlich von den nördlichsten Dreiecken der Grad- messung über Bremen nach Jever, oder von den mittlem durch Westphalen nach Bentheim. Der erstere Weg wurde ausser andern Gründen auch des- wegen vorgezogen, weil dadurch zugleich eine Verbindung mit der Nordsee, und damit die Bestimmung der absoluten Höhen sämmtlicher Dreieckspunkte über dem Meeresspiegel, erreicht werden konnte. Diese Dreiecksmessung wurde in den Jahren 1824 und 1825 von mir ausgeführt, und damit die Zahl sämmt- licher Hauptdreiecke auf 38[*)] gebracht.

Über diese trigonometrischen Messungen von 1821 — 1825 habe ich noch einige Bemerkungen beizufügen, da sie sich von ähnlichen Arbeiten, wie fiiiher in andern Ländern ausgeführt sind, in mehrem Beziehungen unterscheiden.

[*) Die Anzahl der unabhängigen Dreiecke der Oradmeasung zwischen Oöttingen und Hamburg be- trägt 21, die Anzahl sämmtlicher unabhängigen Dreiecke der Oradmessung und ihrer Fortsetzung nach Jever (ohne das Dreieck Hohehagen-Brooken-Inselsberg) 42; vergl. S. 297.]

53*

420 NACHLASS.

1) Durch die Anwendung der von mir zuerst eingeführten Heliotrope wurden besondere Signalthürme entbehrlich, Dreiecke von einer früher im- praktikabeln Grösse möglich, und eine ohne jenes Hülfsmittel nicht zu er- langende Schärfe der Messungen erreichbar.

2) Bei der Ausfuhrung der Messungen habe ich mich nicht auf das zu dem unmittelbaren Zwecke erforderliche 'was, wie schon bemerkt ist, zunächst nur wissenschaftliche Tendenz hatte) eingeschränkt, sondern jene zugleich für die Landesgeographie so fruchtbar zu machen gesucht, wie nur, ohne dem nächsten Zwecke Abbruch zu thun, geschehen konnte. Es sind daher auch die meisten im Bereich der Dreieckspunkte liegenden Thiirme sehr scharf festgelegt, nicht bloss von den in den Dreieckszug fallenden Städten, wie Göttingen, Hildesheim, Wolfenbüttel, Braunschweig, Hannover, Celle, Lüne- burg, Harburg, Hamburg, Buxtehude, Stade, Verden, Bremen, Oldenburg, Varel, Jever, sondern auch von vielen hundert kleinem Ortschaften, wie die meinen Berichten über die Arbeiten von jedem Jahre beigefugten Übersichts- karten zeigen. Dadurch sind also feste Anhaltspunkte und Grundlagen für aUe später in den betreffenden Landstrichen vorzunehmenden Detaüaufiiahmen gewonnen, und diese Bestimmungen erhalten dadurch einen bleibenden Werth.

3) Endlich sind diese Resultate durch eine mir eigenthümliche Behand- lungsweise in eine solche Form gebracht, die für die eben ausgesprochene weitere Benutzung wesentliche Vortheile darbietet.

in. Trigonometrische Vermessung der Landestheile, welche von den Messungen 1821^1825 nicht berührt waren.

Die in den Jahren 1821 — 1825 ausgeführten Arbeiten enthielten (wenn gleich nicht zunächst für diesen Zweck bestimmt) eine wirkliche trigono- metrische Vermessung eines sehr beträchtlichen Theils des Königreichs Han- nover: die allgemein anerkannten Vortheile, welche eine genaue trigono- metrische Landesvermessung gewährt, Hessen es als wünschenswerth erscheinen, dass hiebei nicht stehen geblieben würde. Durch Rescript vom 28. April 1828[*)] wurde mir der Auftrag ertheilt, die weitere Erstreckung der trigonometrischen Vermessung über alle durch die frühem Arbeiten noch nicht berührten Landes- theile zu leiten.

[*) Das im GauBB-Archiv befindliche Rescript ist rom 14. April datiit.]

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 421

Zu gleicher Zeit wurde eine Detaüaufeiahme angeordnet, die alle Landes- theile umfassen sollte, welche in der in den achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts ausgeführten Messtischaufiiahme des vormaligen Kurfiirsten- thums Hannover noch nicht begriffen gewesen waren. Mit der speciellen Lei- tung dieser Detailaufiiahme wurde der Oberst Prott beauftragt; diese Arbeit steht aber mit der trigonometrischen Vermessung insofern in unmittelbarer Verbindung, als die Resultate der letztem zur Grundlage und zu festen An- haltspunkten für die Messtischarbeiten dienen. Welche Leichtigkeit und Sicherheit die Messtischarbeiten auf diese Weise gewinnen, hatte sich schon ein Jahr zuvor bei einigen vorläufigen Detailaufiiahmen im Hildesheimschen bewährt, obgleich damals die Ausfiihrimg durch Officiere geschah, denen früher diese Methode fremd gewesen war. *

Was ich nun hier über die unter meine Leitung gestellte trigonometrische Messung zu sagen habe, betrifft theils das dabei thätig gewesene Personal, theils den Umfang der bisher vollendeten, theils endlich die nun noch rück- ständigen Messungen.

A. Das Personal.

Zu einer trigonometrischen Messung sind zweierlei ganz verschiedenartige Arbeiten erforderlich, die Ausfährung der Messungen an den betreffenden Plätzen im Felde, und ihre Verarbeitung zu Resultaten durch Combination und Calcül im Zimmer. Den zweiten Theil des Geschäfts habe ich bisher ganz auf mich selbst genommen, den erstem hingegen denjenigen Artillerie- Officieren übertragen, die in den Jahren 1821 — 1825 als Gehülfen mir zur Seite gestanden und dabei Gelegenheit gehabt hatten, nicht allein mit der Behandlung der Instrumente, sondern auch mit dem Geist und den Eigen- thümlichkeiten der von mir angewandten Verfahrungsart vertraut zu werden. Diese Officiere waren : der Hauptmann Muller, der damalige Premier-Lieute- nant Habtmann, und mein ältester Sohn, gegenwärtig Premier -Lieutenant im Artillerie -Regiment. Der Lieutenant Hartmann, welcher 1831 den Militär- dienst gegen eine Anstellung bei der hohem Gewerbe-Schule in Hannover mit Hauptmanns-Charakter verliess, ist im Jahre 1834 mit Tode abgegangen.

422 NACHLASS.

B. Bisher abgemachte Hauptdreiecksmessungen.

Hätten die genannten drei Officiere ununterbrochen jedes Jahr während der ganzen tauglichen Jahreszeit sich diesem Geschäfte ausschliesslich widmen können, so würde es längst vollendet sein. Allein mancherlei Hindemisse, die theils durch die Dienstverhältnisse der Officiere, theils durch andere äussere Umstände herbeigeführt wurden, sind die Ursache gewesen, dass dieselben in einigen Jahren nur während kürzerer Zeit, in andern gar nicht daran arbeiten konnten; es kam noch dazu, ausser dem schon erwähnten Tode des Haupt- manns Hartmann, dass auch die fortschreitende Detailaufnahme, besonders in solchen Gegenden, wo die Kirchthiirme mehr zerstreut liegen, immer noch besondere Vorbereitungsmessungen erfordert, wozu auch nur einer oder der andere jener Officiere verwendet werden konnte, dessen Zeit dann also dem Hauptgeschäfte entzogen wurde. Folgendes ist eine summarische Übersicht des in den einzelnen Jahren bisher geleisteten.

1828 wurde die Arbeit im Spätsommer angefangen, wo Hauptmann Muller und Lieutenant Gauss die trigonometrische Messung des Eichsfeldes grösstentheils absolvirten, während der Lieutenant Hartmann im Amt Hunnesrück und einem Theil des Hildesheimschen Vorbereitungsmes- sungen für die Detailaufhahme machte.

1829. Lieutenant Gauss machte zuerst einige Ergänzungsmessungen im Eichs- felde. Den grössten Theil des Jahres widmete er aber der Triangulirung in Westphalen, wo er von der Weser bis Bentheim ein Dreieckssystem ausführte. Der Hauptmann Möller hatte an derselben Arbeit nur eine kurze Zeit Theil nehmen können, da er bald nach dem Anfange in Folge anderer Aufträge von dem Messungsgeschäfte abberufen wurde. Die Arbeiten des Lieutenants Hartmann in diesem Jahre bestanden in Vorbereitungsmessungen fiir die Detailaufiiahrae , zuerst im Hildesheim- sehen, hernach in den Ämtern Uchte, Freudenberg und Auburg.

1830. Trigonometrische Vermessung des östlichen Theils des Lünebui^schen durch Hauptmann Muller und Lieutenant Gauss; weitere Fortfuhrung der im vorigen Jahre durch Westphalen gemessenen Dreieckskette bis Ostfriesland durch Lieutenant Hartmann.

1831 konnte nur kurze Zeit den Arbeiten gewidmet werden ; Lieutenant Gauss

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 423

vollendete die Messungen im Limeburgschen, Lieutenant Hartmann die in Ostfriesland. Hauptmann Müller nahm gar nicht Theil.

1832 fielen die Messungen ganz aus.

1833. Triangulirung des Landstrichs längs der Weser von der Gegend von Nienburg bis Holzminden durch Hauptmann Müller und Lieutenant Gauss; Triangulirung des Harzes durch Hauptmann Hartmann.

1834 konnte allein der Lieutenant Gauss eine auch nur sehr kurze Zeit den Geschäften widmen, theils für Vorbereitungsmessungen fiir die Detail- aufiiahme im Osnabrückschen , theils zur Ergänzung der vorigjährigen Messungen an der Weser.

1835. Auch in diesem Jahre konnte nur Lieutenant Gauss auf kurze Zeit zu weitem Vorbereitungsmessungen im Osnabriickschen abkommen, dies- mal unter Beihülfe des Dr. Goldschmidt, Observators an der Göttinger Sternwarte.

In den beiden folgenden Jahren konnte allein der Hauptmann Müller sich den Messungen widmen, und zwar

1836 zur Triangulirung des Landstrichs an der Oberweser zwischen Uslar, Göttingen und Münden;

1837 zu weitem Vorbereitungen der Detailaufiiahme im Osnabrückschen. Ausserdem machte der Hauptmann Muller in diesem Jahr eine vor- läufige Recognoscirung der Aller - Gegend , behuf künftiger trigono- metrischer Vermessung derselben.

C. Noch fehlende Hauptdreiecksmessungen.

Die bisher aufgezählten trigonometrischen Messungen hängen alle unter sich zusammen : um das ganze Königreich zu umfassen, und ein in der Haupt- sache vollständiges Ganzes zu bilden, fehlt nur noch die trigonometrische Ver- messung von zwei grossem Landestheilen, nemlich erstlich der Gegend rechts und links der Aller, und zweitens dem nördlichen Theile des Bremischen; in dem erstem Landestheile ist, wie schon erwähnt, eine vorläufige Recognoscirung bereits ausgeführt.

Obgleich bei Arbeiten dieser Art unmöglich ist, den erforderlichen Zeit- und Kostenaufwand mit einiger Genauigkeit vorher zu bestimmen, da das schnellere oder langsamere Fortschreiten von so mancherlei, theils vorher nicht

424 NACHLASS.

genau bekannten, theils zufalligen Umständen abhängt (z. B. besondere Terrain- Schwierigkeiten, oder Witterungszustand) , so ist doch mit einiger Wahrschein- lichkeit anzunehmen, dass, wenn der Hauptmann MCller sich diesen Mes- sungen allein zu widmen hat, er sie in zwei Sommern ganz oder doch grössten- theils würde vollenden können.

Die eigentlichen letzten Resultate der trigonometrischen Messungen selbst sind die Zahlen, welche die Lage der bestimmten Objecte (grSsstentheils Kirchthürme) auf das schärfste festlegen, und daher einen bleibenden Werth behalten. Nach ganz vollendeter Arbeit werden dieselben geordnet, und grösserer Sicherheit wegen in mehrem Abschriften deponirt werden können, etwa eine davon in der Sternwarte. Ob solche auch durch den Druck zu publiciren sein werden, wird dann demnächst von höherer Entscheidung ab- hängen. Ich kann aber nicht unbemerkt lassen, dass die PAPENSche Karte des Königreichs, welche den vollkommensten Arbeiten dieser Art in jeder Be- ziehung gleich kommt, und wovon 22 Blätter (also der dritte Theil des Ganzen bereits erschienen sind, die Grundlage ihrer Genauigkeit in jenen Resultaten hat, indem dem Lieutenant Gauss, welcher die Graduirung und die scharfe Eintragung aller Fimdamentalpositionen bei jener Karte übernommen hat, alle bisherigen Resultate zu diesem Zweck zu Gebote stehen.

Schliesslich will ich noch etwas über die Vorbereitungsmessungen zu der Detailaufnahme beifugen. Die Vollendung dieser Vorbereitungsmessungen lässt sich deswegen gar nicht im voraus bestimmen, weil sie der Natur der Sache nach nothwendig beinahe ebenso lange noch dauern müssen, wie die Detailaufhahme selbst. Denn jene bestehen eben darin, dass in Gegenden, wo die durch die Hauptdreiecksmessungen bestimmten Kirchthürme zu weit aus einander liegen und nicht zahlreich genug sind, um für jedes Messtisch- blatt eine hinlängliche Anzahl fester Anhaltspunkte zu liefern, besondere Signalpföhle gesetzt, und ihre Plätze noch durch kleinere Dreiecke bestimmt werden müssen. Solchen Signalpfählen kann aber kein so sicherer Schutz gegeben werden, dass auf ihr Bestehen für viele Jahre mit Gewissheit ge- rechnet werden könnte. Da nun aber, wenn auch nicht gerade durch das Abhandenkommen eines oder des andern einzelnen Signalpfahls, aber doch

ZUR HANNOYERSCHEN TRIANGULATION. 425

durch (Jas Verschwinden mehrerer, vor ihrer Benutzung zu der Messtischauf- nahme, die ganze auf ihre Bestimmung verwandte Arbeit eine verlorne sein würde, so dürfen dergleichen Vorbereitungsoperationen immer nur höchstens ein oder ein paar Jahre früher unternommen werden, ehe die betreffende Ge- gend bei der Detailaufhahme an die Reihe kommt.

Übrigens ist die Detailaufnahme selbst im Hildesheimschen , dem Eichs- felde, dem Amt Hunnesruck, den Ämtern Freudenberg, Uchte und Auburg vollendet, und im Fürstenthum Osnabrück bereits ziemlich weit vorgeschritten : allein einen genauem und vollständigen Bericht darüber wird nur der Oberst Prott geben können, zu dessen Ressort diese Arbeit gehört.

Göttingen, 8. Februar 1838.

[Aus dem Bericht vom 5. Julius 1840 ȟber die trigonometrischen Ver-

messxmgen« im Jahre 1839.]

Bei Beurtheilung der Dreieckssysteme darf nicht übersehen

werden, dass ursprünglich nicht eine allgemeine Landesvermessung beab- sichtigt war, sondern zuerst nur eine Gradmessimg von Göttingen bis Hol- stein, und sodann zunächst eine Erweiterung des Dreieckssystems zu einem Anschlüsse an die KRAYENHOFFschen Dreiecke bis Ostfriesland. Diesen Zwecken gemäss waren die von mir selbst 1821 — 1825 gemessenen Dreiecke vom Insels- berg bis Jever ausgewählt Die übrigen, welche später hinzu gekommen

sind, erscheinen als Abzweigungen jener Hauptdreiecke. Eine Folge dieser Entstehungsart ist, dass die Gesammtheit nicht überall in dem Maasse wie ein abgerundetes Ganzes aus Einem Guss in die Augen fällt, als der Fall gewesen sein würde, wenn eine solche Rücksicht schon von Anfang an hätte genommen werden müssen ; allein der eigentliche Zweck, nemlich die scharfe Festlegung der vornehmsten sich dazu qualificirenden Punkte im ganzen Lande, ist darum nicht weniger gut erreicht

[Aus einem Bericht, December 1844, »über die im Jahre 1844 ausgeführten

trigonometrischen Messungen.«]

Ich erlaube mir, noch einige Worte in Beziehung auf die sämmt-

lichen Messimgen aus den vergangenen Jahren beizufügen.

IX. 54

426 NACHLASS.

Die Resultate [d. i. die Coordinaten] sind jedes Jahr nach Ver- arbeitung der Messungen in Verzeichnisse gebracht, und solcher partiellen Verzeichnisse sind sechzehn vorhanden, welche zusammen etwas über 3000 Bestimmungen enthalten, so jedoch, dass die Anzahl der Punkte selbst etwa um den siebenten Theil kleiner sein mag, indem viele Punkte, die in einem spätem Jahr nach dem Hinzukommen neuer Data schärfer oder zuverlässiger bestimmt werden konnten, in mehr als einem Verzeichnisse auftreten. Kirch- thürme werden im ganzen Königreiche nicht viele ohne Bestimmung ge- blieben sein.

Dass diese Verzeichnisse von allen seit 16 oder 17 Jahren vorgenom- menen Detailaufhahmen sowie von den PAPENschen Karten die Grundlage ge- wesen sind, braucht hier nicht weiter ausgeführt zu werden : von grosser Wich- tigkeit ist aber, dass diese Zahlen, die ihren Werth behalten, so lange die Gegen- stände existiren, nicht verloren gehen können. Die erwähnten Verzeichnisse werden in der Sternwarte aufbewahrt ; Abschriften davon hat auch der Lieute- nant Gauss, der alle Stammpunkte in die PAPENSchen Karten eingetragen hat, in Händen. Zu grösserer Sicherheit imd bequemerm Gebrauch habe ich jetzt angefangen, die partiellen Verzeichnisse in Eins zu verschmelzen, welches demnach etwa 2600 Punkte enthalten wird.

Späterhin könnte es vielleicht für gerathen erachtet werden, dieses Ver- zeichniss oder einen Auszug daraus durch den Druck zu veröffentlichen : für den Augenblick würde ich dies aber aus mehrem Gründen noch fiir vorzeitig halten.

Erstlich, weil eine wissenschaftlich genügende Entwickelung von Be- deutung und allseitiger Benutzung dieser Zahlen nur nach und nach in Ver- bindung mit der Entwickelung der mir eigenthümlichen mathematischen Theo- rien gegeben werden kann, welche ich in einer Reihe einzelner Abhandlungen (etwa drei oder vier) zu liefern beabsichtige. Die erste davon ist bereits als Theil des demnächst erscheinenden Bandes der Denkschriften hiesiger Societat der Wissenschaften abgedruckt [*)J und auch einzeln in den Buchhandel ge- bracht ; die andern werde ich nach und nach baldthunlichst nachfolgen lassen.

Zweitens, weil die Zahlen des Verzeichnisses, obwohl hinreichend, ja überflüssig genau für jede praktische Benutzung, doch behuf der den strengsten

[*) Untersuchungen Über Gegenstände der h&hem OeodAsie. Ente Abhandlung. Der ILönigL Societit überreicht am 28. October 1843. Band IV, 8. 259/800.]

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

427

theoretischen Forderungen entsprechenden Verschmelzung der verschiedenen Messungen in Ein System noch einige (wenn auch an sich sehr geringe) Aus- feilung und Nachhülfe zulassen.

Drittens, weil ich die Lage der vorzüglichsten Punkte, namentlich der Kirchthürme in Städten, gern neben der Coordinatenform noch zugleich in einer andern Form, nemHch nach der geographischen Breite und Länge, bei- fugen möchte, welche immer einen beträchtlichen Zeitaufwand erfordernde Umformung erst nach und nach wird ausgeführt werden können

[3.]

Hanptdreieckspunkte der hannoverschen Messungen.

Dreieckspunkt

Länge y. Gott. Merid.

Inselsberg, hess. Dr.-P.

Hohehagen

Sternwarte in Göttingen

Meridianzeichen

Brocken

Hils

Lichtenberg

Deister

Garssen

Schamhorst

Breithom

Falkenberg

Hauselberg

Elmhorst

Steinberg

Bottel

"Wulfsode

Bremen, An^ar.-Thurm

50" 51' 51 28 51 31 51 34 51 48

51 53

52 7 52 14 52 39 52 43 52 49 52 50 52 51 52 59

52 59

53 2 53 4 53 4

8;;6i9

31,234 48,028 30,309

1,849 53,000 22,020

5,778 40,397 43,000 45,985 52,481 36,513 42,886 54,987 22,919 15,113 48,867

— 0"*3l' 24';311 -1-0 10 45,143

0

— 0 0 0,007

— 0 40 23,071 + 0 6 41,152

— 0 20 33,348 -1-0 20 35,702

— 0 12 19,154

— 0 19 1,620

— 0 19 11,230 -1-0 4 34,858

— 0 14 28,226 -1-0 18 24,543 -1-0 40 7,347 -1-0 39 22,916

— 0 17 48,837

— 1 8 22,781

54

#

428

NACHLASS. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

Dreieckspunkt

Breite

Länge v. Gott. Merid.

Timpenberg

53«

' 7'

22^103

-0«

19'

35';387

Nindorf

53

8

56,063

— 0

20

32,170

Bullerberg

53

9

47,220

+ 0

31

45,928

Wilsede

53

10

9,647

+ 0

0

11,329

Lüneburg, Mich.-Thurm

53

15

4,641

— 0

27

29,462

Brüttendorf

53

15

57,245

+ 0

40

42,934

Garlste

53

15

58,486

+ 1

13

37,091

Zeven

53

17

55,135

+ 0

39

43,446

Litberg

53

23

20,206

+ 0

19

45,061

Varel

53

23

56,979

+ 1

48

24,812

BriUit

53

24

47,035

+ 0

57

0,384

Hamburg;, Mich.-Thujrm

53

33

0,900

— 0

2

8,755

Bremerlehe

53

34

7,239

+ 1

21

2,134

Jever

53

34

26,427

+ 2

2

26,615

Langwarden

53

36

20,450

+ 1

38

7,093

Die Angabe für die Göttinger Sternwarte bezieht sich auf den Theodo- lithenplatz, der im Meridian des Centrums der Axe des REiCHENBACHschen Meridiankreises, aber 5,507 m nördlicher liegt.

Die Breite der Axe des Meridiankreises ist in Folge der in meiner »Bestimmung des Breitenunterschiedes u. s. w.« angeführten Beobachtungen = 51®3l'47^85 angenommen. Im Frühjahr 1828 habe ich neue noch zahl- reichere Beobachtungen angestellt, deren Definitivberechnung erst nach ge- nauester Bestimmung der Theilungsfehler deqenigen bestimmten Theilstriche, auf welche die Beobachtungen sich bezogen haben, geschehen kann, obwohl sich schon voraussehen lässt, dass dieselbe höchstens ein paar Zehntheile einer Secimde von obigem Resultat abweichen wird.

Bei Berechnung obiger Breiten und Längen sind noch Walbecks Dimen- sionen der Erde zum Grunde gelegt.

BEMERKUNGEN. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 429

BEMERKUNGEN.

Der Plan zu dem von Gauss beabsichtigten Werk über die trigonometriBchen Messungen in Han- nover befindet sich auf einem kleinen Bl&ttchen ; die Einleitung und der unyoUendete erste Abschnitt dieses Werkes ist 2 Blättern entnommen, die in Buchform zusammen gelegt waren. Es ist nicht ersichtlich, wann Gauss mit ihrer Ausarbeitung begonnen hat; nach der Bemerkimg über die kurhessischen Messungen, S. 403 oben, mufls sie jedoch vor 183 5 erfolgt sein (da in diesem Jahre die Arbeiten ftlr die kurhessische Trian- gulation, die seit dem Frühjahr 1824 eingestellt waren, wieder aufgenommen wurden. Gerlino, Beiträge zur Geographie Kurhessens etc. S. V und VIII]. Von den Berichten an das hannoversche Cabinetsmini- sterium sind die beiden ersten aus den Jahren 1820 und 1821 über die nothwendigen Instrumente und über Vorarbeiten für die Gradmessung bereits (im Auszuge) in Band IV, S. 486/486 und S. 487/489 abgedruckt. Im Ganzen sind im Gauss -Archiv gegen 40 meistens sehr umfangreiche und ausführliche Berichte über den Fortgang der Triangulirungsarbeiten , zum Theil mit Übersichtskarten, vorhanden. Aus einigen von ihnen sind unter [2] Auszüge mitgetheilt, die sich auf den allgemeinen Theil der Triangulation beziehen. Auch die Originalacten des amtlichen Schriftwechsels zur Gradmessung und zur Landesvermessung befinden sieh im Gauss- Archiv ; mit Einschluss der Arbeitsberichte rühren etwa 90 Schriftstücke von Gauss' Hand her.

Im Jahre 1816 hatte Schumacher vom König Friedrich VI. von Dänemark den Auftrag erhalten, eine Ghradmessung, im Meridian von Skagen bis Lauenburg und im Parallel von Copenhagen bis zur West- küste Jütlands, auszuführen. Der zu messende Meridianbogen erstreckte sich über 4|^. Diesen Bogen durch Hannover fortzusetzen, wodurch seine Länge 6|* umfassen würde, brachte Schumacher sofort bei Gauss in Anregung. Gauss, der sich zwar in hohem Maasse für die »herrliche grosse Untemehmungn interessirte, glaubte aber bei der hannoverschen Regierung noch keine entsprechenden Wünsche äussern zu dürfen (vergl. S. 345) , wohl weil der Bau seiner Sternwarte erst kurz vorher vollendet war und ihre Ausstattung noch Ausgaben erforderlich machte. Da war es Schumacher, der sich im Juli 1817 persönlich an den Minister VON Arnswaldt in Hannover wandte und den Erfolg hatte, dass Gauss zunächst zu einem »Memoire« über die Fortsetzung der dänischen Breitengradmessung durch Hannover aufgefordert wurde. Als Schu- macher 1818 seine südlichsten Dreiecke maass, ersuchte er Gauss, in Lüneburg, dessen Michaelisthium von den dänischen Dreieckspunkten Hamburg (Michaelisthurm) , Hohenhom und Lauenburg aus sichtbar war, Anschlussmessungen vorzunehmen. Gauss trug jedoch Bedenken, die Erlaubniss dazu von seiner Begierung einzuholen, weil über die Gradmessung in Hannover noch nichts beschlossen war. In einem Briefe an Schumacher vom 1 2. August 18 1 8 sagt er:

»Schon im vorigen Herbst, gleich nachdem ich Ihre Notizen erhalten, habe ich ein Memoire über Ihre Gradmessung abgefasst und die mannigfaltigen Vortheile, die eine künftige Fortsetzung derselben durch das Hannoversche haben würde, nach Möglichkeit ins Licht gestellt, so dass ich nun gar nichts weiter hinzu zu setEen wüsste. Ich habe dieses Memoire eingesandt, aber bis dato ist darauf noch nichts weiter erfolgt. Unter allen schweren Künsten ist die Kunst des SoUicitirens diejenige, wozu ich — freilich zu meinem grossen Nachtheil — am wenigsten Talent habe, noch passe. Und daher kann ich unter den ob- waltenden Umständen nicht wohl schriftlich auf den Gegenstand quaestionis zurückkommen.«

Wiederum wandte sich Schumacher an den Minister ton Arnswaldt, und Gauss bekam den Auf- trag, die zur Verbindung der hannoverschen und dänischen Triangulation nöthigen Messungen in Lüneburg vorzunehmen (vergl. S. 347 oben). Diese sind von Gauss, gemeinsam mit Schumacher, in der ersten Hälfte des Octobers 1818 ausgeführt worden. Hiebei erhielt er auch durch ein von der , Sonne beleuch- tetes Fenster des MichaeHsthuims in Hamburg, das ihm beim Beobachten lästig fiel, die erste Anregung zu der im Herbst 1830 gemachten Erfindung des Heliotrops.

480 BEMERKUNGEN.

Noch immer aber erfolgte keine £nticheidung über die Ausfühnmg einer hannovenchen Triangulation. In einem Briefe an Schumacheb vom 25. November 1818 aagt Gauss:

»Den Bericht über meine Reife [nach Lüneburg] habe ich bereiti Tor Ungerer Zeit nach Hannover abgeschickt, darin auch die Nothwendigkeit einer zeitigen Bestellung eines grossem Theodolithen vorge- stellt, bisher aber noch keine Antwort erhalten. Mehr urgiren kann ich und mag ich nicht, denn über- haupt kann ich nur dann ein Geschäft, was mir Freude macht, erwarten, wenn man gern darauf entrirt Im entgegengesetxten Falle, und wenn allerlei beengende Rücksichten stattfinden müssten, würde ich keine Freude daran haben. Ich werde also den Erfolg ruhig abwarten.«

Schumacher benutzte nun den Aufenthalt in England im April 1819, von wo er den bei der engli- schen Triangulation benutzten RAMSDENschen Zenithsector, der ihm zu seinen astronomischen Messungen ge- liehen war, abholen wollte, um in London maassgebende Persönlichkeiten, wie Sir Joseph Banks , fti die hannoversche Gradmessung zu gewinnen. Er veranlasste weiter den d&nischen Gesandten, bei dem Grafen MÜNSTER, dem Minister für die hannoverschen Angelegenheiten in London, in dieser Sache Schritte zu thun. Auf Schumachers Anregung richtete darauf Gauss zwei Berichte an den Grafen Münster und an v. Arns- WALDT. Beide sind abgedruckt in Band IV, der erstere S. 482/483, der letztere S. 484/485. Der Vemiittelung Schumachers, der von neuem im Juni 1 8 1 9 bei v. Arnswaldt in Hannover vorstellig wurde, war es femer zu danken, dass Gaurs Ende Juni und Anfangs Juli 16 19 an den Beobachtungen mit dem Zenithsector in Lauenburg theünehmen konnte. Im folgenden Jahr wünschte Gauss der Grundlinienmessung in Holstein bei- zuwohnen; am 18. Januar 1830 schrieb er an Schumacher: »Grosse Freude würde es mir machen, wenn es möglich zu machen w&re, dass ich in diesem Jahre nochmals einige Wochen in Ihrer Gesellsehalt und bei Ihren Arbeiten zubringen könnte. Allein theils würde es dabei auf die Zeit ankommen, wann Sie sich wieder in jenen Gegenden befinden werden, theils gestehe ich , dass ich das Gefilhl einer Besorgniss habe, mich Iftstig zu machen, wenn ich zum dritten Male in Hannover auf eine Reise antrage, die nur in einiger Verbindung mit einer möglichen, aber vielleicht noch weit entfernten Operation in unserm Königreiche zu stehen scheinen muss.« .... In demselben Briefe heisst es weiter in Bezug darauf, dass Gauss von Schumacher um eine Besprechung der d&nischen Gradmessung gebeten war:

»Theilen Sie mir gef&lligst die (wenn auch nur erst provisorischen) Resultate der Sector-Beobaeh- tungen mit, die Sie im Januar und Februar dieses Jahres in Copenhagen machen, und zwar hauptsfichlieh von solchen, zu denen ich hier noch correspondirende machen kann, entweder mit dem RElCHENBAGHschen Kreise, oder wenn sich die Ankunft der neuen Hemmungsarme noch bis' in den Februar hinein , wider Er- warten, verzögern sollte, vorerst mit dem REFSOLDschen. Ich werde dann diese Resultate in unsem Ge- lehrten Anzeigen bekannt machen und dabei Gelegenheit nehmen, eine Nachricht von Ihrer Gradmessung überhaupt, in dem Sinn wie es sich gebührt, zu geben, wozu ich aber aus dem obigen Grunde Sie ersuchen muss, mir eine concentrirte Andeutung der Hauptmomente zu schicken, um so mehr, da es auch sein könnte, dass Sie dieses oder jenes Umstandes fdr jetzt noch nicht erw&hnt wünschten. Auf ein paar Wochen früher oder später wird es ja wohl nicht dabei ankommen. Bass das ganze auf eine möglichst ungesuchte Art hervortrete, ist auch m i r deshalb wichtig, weil ich um alles nicht den Schein haben möchte, als woÜte ich dadurch verblümter Weise unserm Gouvernement die Sache wieder in Erinnerung bringen. Denn so sehr ich bereitwillig bin, die Fortsetzung der Dreiecke bis Göttingen etc. auszuftihren , wenn dazu die nöthigen Mittel auf eine angemessene Art gegeben werden, so ist dies doch durchaus nicht mein eigenes, sondern nur das wissenschaftliche Interesse. Persönlich sehe ich es vielmehr als ein Opfer an, was ich jedoch unter obiger Voraussetzung recht gern bringe.«

Auf Schumachers Betreiben erhielt das dänische Ministerium der auswärtigen Angelegenheiten von seinem Könige den Auftrag, von der hannoverschen Regierung Gauss' Gegenwart bei der Braaker Basis-

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 431

messung zu erbitten. Über die Theilnahme an derselben (siehe auch Band IV, S. 480/487), die einschliesslich der Heise vom ] 2. September bis 25. October 1820 w&hrte, ist ein Bericht vom i. Norember 1820 an das Gabinetiministeriuin yorhanden, in dem es heisst:

»Während meines Aufenthalts in Holstein habe ich gemeinschaftlich mit dem Professor Schümacheb die verabredeten Beobachtungen, Messungen und Versuche angestellt, dann femer einem Theile der Basis- messung beigewohnt, endlich auch alle auf die diesseitige Fortsetzung der Oradmessung Bezug habenden

Verabredungen und Vorkehrungen getroffen Der von Refsold in Hamburg angefertigte Apparat zu

dieser Basismessung übertrifft an Genauigkeit, Solidit&t und Zweckmässigkeit alle andern bei ähnlichen Gelegenheiten gebrauchten.«

Am 9. Mai 1820 erging endlich die Cabinetsordre GeobosIV., Königs von Grossbritannien etc. und Hannorer an das Ministerium, die Gauss mit »der Fortsetzung der dänischen (oradmessung« durch Han- nover betraute [vergl. S. 347); die Mittheilung des Ministeriums darüber an Gauss erfolgte unterm 30. Juni 1820 (vergl. S. 418). Die Messungen fOr die Gradmessung wurden von Gauss während der Jahre 1821, 1822 und 1823 ausgeftlhrt.

Der dänisch - hannoversche Meridianbogen war nach Süden zu einer grossen Ausdehnung fähig; er konnte bis sur Insel Elba fortgeftlhrt werden und sich über etwa 16* erstrecken (vergl. S. 402). Durch die Punkte Brocken und Inselsberg hing die hannoversche Ghradmessung mit den Dreiecken des preussischen Generalstabes zusammen, an die Seite Hohehagen - Inselsberg grenzten die kurhessischen Dreiecke, deren Messung 1822 Geblino übertragen worden war. Südlich davon in Hessen-Darmstadt, Württemberg, Bayern und Österreich waren die geodätischen Operationen theils im Gange, theils in Aussicht genommen. Ge- trennt von diesem Dreieckssystem war der grosse englisch -französische Bogen im Meridian von Paris vor- handen, der weiter an der Ostküste Spaniens bis zur Insel Foimentera ging (vergl. S. 419). Im Norden schlössen sich an den französischen Bogen die 1801 — I8ii vom Generallieutenant von Kbatenhoff in Belgien, den Niederlanden, Ostfriesland und Oldenburg gemessenen Dreiecke (Pr6cis historique des Opera- tions g6od6siques et astronomiques , faites en Hollande etc. La Haye 1815). Das KBAYENHOFFsche Drei- ecksnetz hing nun zwar in seinem südöstlichen Theile zwischen Nederweert und Nimwegen mit dem Tban- CHOTschen und dieses in der Seite Nürburg -Fleckert mit der MÜFFLiNGSchen Dreieckskette »von Berlin nach dem Rhein« zusammen, doch war Über die letztem beiden nichts veröffentlicht (vergl. S. 366) und ist auch später nichts veröffentlicht worden ; zudem sollten die TBANCHOTschen Dreiecke nur als Unterlage für eine Karte dienen. Die so hergestellte Querverbindung der beiden grossen Dreieckssysteme konnte daher nicht als genügend angesehen werden. In einem Promemoria an den Bremer Senat, das von diesem an die hannoversche Regierung weiter gegeben wiu'de, schlug nun Olbebs gegen Ende des Jahrs 1823, wohl im Einverständniss mit Gauss, vor, den dänisch-hannoverschen Bogen, von den Seiten Hamburg-Wilsede und Wilsede-Falkenberg aus über Bremen und Oldenburg mit der KBAYENHOFFSchen Seite Varel-Jever und da- durch mit der englisch-französischen Gradmessung zu verbinden. In längerer Ausführung vom 7. Januar 1824, die ebenso wie das Promemoria von Olbebs im Gauss-Archiv vorhanden ist, erklärte Gauss seine Zustimmung m der Fortsetzung der Gradmessung nach Jever, deren Ausführung dann durch ein Rescript des Grafen MüNSTEB vom 15. Februar 1824 angeordnet und am S.März desselben Jahres durch das Cabinetsmini- iterium ihm übertragen wurde (vergl. S. 419). Man hätte den Anschluss auch südlicher an die KBAYENHOFF- sche Seite Bentheim-Kirchhesepe ausfahren können ; aber obgleich der nördlichere Weg, zwar kürzer als der südlichere, grössere Terrainschwierigkeiten als dieser bot, zog Gauss dennoch den nördlichem vor, weil sich auf demselben die Dreiecke mit der Nordsee in Verbindung bringen Hessen , und dadurch die relativen Höhen seiner Dreieckspunkte in absolute über der Meeresfläche verwandelt werden konnten (vergl. B. 419). Als weitere Begründung einer Fortsetzung der Gradmessung nach Varel-Jever gibt Gauss in dem

432 BEMERKUNGEN.

erw&hnten Bericht vom 7. Januar 1824 noch folgendes an: »Iniofern eine solche Verbindung, querüber von Ost nach West geführt, grösstentheils über hannoversches Gebiet geht, ist der Vortheil, welchen die Geo- graphie des Königpreichs dadimsh erhalten würde, ebenso klar. Es ist jetzt allgemein anerkannt, dass eine genaue Landesvermessung ohne eine gehörige Triangulirung unmöglich ist. Blosse Detailmessungen lassen sich niemals mit Sicherheit zu einem unverzerrten Ganzen verbinden« Allein auch abgesehen von der ohne Vergleich grossem Genauigkeit, gewinnt eine Detailaufhahme, wenn sie auf eine vorgftngige gute Triangu- lirung gestützt wird, in ihrem ganzen Plan und Gang eine solche Leichtigkeit, EinÜEtchheit, Sicherheit und Controllirbarkeit in jedem einzelnen Theile, dass die Hftlfbe der Zeit und Kosten erspart wird. Die Grad- messungsdreiecke umspannen bereits einen sehr bedeutenden Theil des Königreichs, querüber geführte Ver- bindungs-Dreiecke würden den umspannten Raum beinahe verdoppeln.«

Die Beobachtungen fOr die Fortsetzung der Gradmessung nach Jever fanden 1824 und 182S statt.

Durch die Seite Varel-Jever war der Anschluss an die KnATENHOFFschen Dreiecke hergestellt Der nördliche Theil derselben erwies sich jedoch, wie eine directe Prüfung durch Nachmessung von Winkeh in Jever zeigte und wie auch eine von Gauss vorgenommene Ausgleichung, Suppl. theor. comb. Art. 2S, be- stätigte (vergl. die Briefe an Bessel vom 12. M&rz und 20. November 1826, S. S60/S62, an Olbebs vom 4. Juli 1824, S. 370, und vom 14. Mai 1826, 8. 821/S22, und an Gebling vom 12. September und 14. No- vember 1838, S. 391 imd S. 393), als sehr ungenau. Damit war aber auch dieser Verbindung der beiden grossen Meridianbogen nur ein geringer Werth beizumessen. Auf der Rückreise von den Messungen, Ende Juli )h2k, berieth sich deshalb Gauss (nach seinem Berichte vom u.Mftiz 1827 über die trigonometrischen Arbeiten im Jahre iti25) in Bremen mit Olbers, wie dem abzuhelfen sei. Olbebs schlug vor, da die südlichen KRAYENHOFFSchen Dreiecke eine grössere Genauigkeit als die nördlichem besassen (vergl. S. 36 1), »eine neue Reihe von Dreiecken anzufangen, die von Bremen aus südwestlich laufend durch das Osna- brücksche sich zögen und bei Bentheim eine neue Verbindung mit den KBATENHOFFsohen Dreiecken be- wirken würden ; er fügte die Versicherung hinzu, dass der bremische Senat aus Interesse ftlr wissenschaft- liche Unternehmungen , die Beihülfe des Gehülfen Klüver [der bereits im vorhergehenden Jahre Gauss zur Unterstützung bei den Messungen von der Stadt Bremen beigegeben war] w&hrend der noch übrigen Zeit des Jahres dazu gern bewilligen würde«. Gauss trug jedoch Bedenken auf diesen Vorschlag einzugehen, der »eine Überschreitung seines Auftrages gewesen wäre«, und da ausserdem »das Terrün von Bremen bif Bentheim ihm ganz unbekannt war«. Diese Verbindung von der Seite Bremen - Steinberg bis zur Seite Kirchhesepe-Bentheim ist dann sp&ter, im Jahre 1829, von seinem Sohne, dem Lieutenant Joseph G.4U8S ausgeftLhrt worden ; vergl. den Brief an Bessel vom 9. April 1830, S. 303, sowie auch S. 422), allerdingi mit geringerer Genauigkeit (vergl. S. 342. Das noch bestehende Project (nach dem Arbeitsbericht filr 1834', in Gemeinschaft mit Schumacher über Wangeroog, Ne\iwerk und einen dänischen Dreieckspunkt an der Schleswig - holsteinsohen Küste die Insel Helgoland, deren Lfingenunterschied mit Greenwich, Altona und Bremen 1824 chronometrisch bestimmt worden war (vergl. Band VI, S. 455/459), an die Triangulation an- zuBchliessen , ist nicht mehr zur Ausführung gekommen, ebenso wenig wie eine geplante neue Verbindung der dänischen und hannoverschen Gradmessung über die Seite Litberg-Hamburg.

Im Frühjahr 1827 wurde von Gauss der Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona mit dem auch ihm von der englischen Regierung geliehenen RAMSDENschen Zenithsector beobachtet, wobei ihn der dänische Ingenieur - Lieutenant Y. Nehus unterstützte. Gelegentlich der Zurückbringung des Zemthsectors nach England durch den Hauptmann MÜLLER, richtete dieser am 3. October 1827 ein Promemoria an den Grafen Münster, in dem er die Erweiterung der Triangulation über das ganze Königreich Hannover vor- schlug und zugleich mittheilte, dass Gauss bereit sei, falls es sein Gesundheitszustand gestattete, die Leitung der Arbeiten zu übernehmen; hierzu hatte Gauss sich auch schon früher in einem Schreiben an Münster (nach dem Briefe an Olbers vom 2. April 1826, S. 376} erboten. Am S.November wurde Gauss darauf vom

ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 433

Ministerium aufgefordert, dahin gehende Vorschläge zu machen. Auf Grund seines S. 418/416 im Auszuge gegebenen Berichts wurde durch Cabinetsordre des Königs Geobo IV. vom 25, März 1828 an das Mini- sterium befohlen, »die Triangulirung fortzusetzen und zu vervollständigen, um solche zu Vervollkommnung der Landesgeographie und zu Verfertigung genauer Karten zu benutzen«; der Auftrag, die Landesvermes- sung zu leiten, wurde Gauss vom Ministerium durch Rescript vom 14. April 1828 übermittelt.

Die Entstehung des S. 418/425 mitgetheilten historischen Berichts ist wohl auf die Trennung Eng- lands und Hannovers im Jahre 1887 zurück zu führen.

Nach den Beobachtungsbüchem vertheilen sich die von Gauss selbst ausgeführten Messungen auf die einzelnen Stationen der Zeit nach wie folgt.

1821 ist beobachtet worden: auf der Göttinger Sternwarte vom 24. Juni bis 13. Juli, auf dem nörd- lichen Meridianzeichen vom 13. bis 17. Juli, auf Hohehagen vom 19. bis 29. Juli, auf dem Hils vom 7. bis 27. August und auf dem Brocken vom 2. bis 23. September.

1822 wurde gemessen: in Lichtenberg vom 18. Juni bis 4. Juli, auf dem Deister vom 6. bis 16. Juli, in Oarssen vom 18. Juli bis 3. August, in Falkenberg vom 6. August bis 6. September, in Hauselberg vom 7. bis 12. September, in Breithom vom is. bis 16. September, in ViTulfsode vom 18. bis 21. und am 23. und 24. September, in Timpenberg am 22. September, in ViTilsede vom 26. September bis 7. October und in Schamhorst (Eschede) vom lO. bis 13. October.

1823 fanden die Beobachtungen statt: in Timpenberg vom 30. Mai bis 2. Juni, in Nindorf vom 3. bis 10. Juni, in Lüneburg vom ii. bis 24. Juni und in Hamburg vom 27. Juni bis 11. Juli. Einige Messungen wurden am 13. Juli in Blankenese (wohl weil Gauss nach einem Brief an Schumachbb vom 20. Juli 182S daran dachte, sein »Triangelsystem ganz von der unbequemen und unsichem Station Michaelis in Hamburg zu isoliren«), am 14. Juli in Altona und am 19. Juli auf dem Agydiusthurm in Hannover angestellt. Femer wurde noch vom 22. August bis 3. September auf der Göttinger Sternwarte, vom 13. bis 27. September auf dem Brocken und vom 6. bis 16. October auf dem Hohehagen beobachtet.

Die Messungen des Jahres 1824 fanden statt: in Falkenberg vom 21. bis 23. Mai, in Elmhorst vom 24. Mai bis 5. Juni, in Bullerberg vom 7. bis 18. Juni, in Bottel [E verser Feld) vom 19. bis 24. Juni, in Brüttendorf vom 28. Juni bis 10. Juli, in Bremen vom 13. Juli bis 20. August, in Garlste (Langeberg) vom 23. bis 2 5. August, in Brillit vom 27. bis 29. August, in Zeven vom 30. August bis 15. September, in Stein- berg vom 17. bis 24. September, in Bottel am 25. September, in Litberg vom 26. September bis 3. October und in Wilsede vom 5. bis 24. October.

1825 hat Gauss beobachtet: in Brüttendorf am 26. April, in Zeven vom 28. April bis lo. Mu, in Bremen vom 12. bis 22. Mai, in Garlste vom 28. Mai bis 5. Juni, in Bremerlehe vom 7. bis 13. Juni, in Varel vom 15. bis 26. Juni, in Langwarden vom 27. Juni bis 12. Juli, in Jever vom 14. bis 19. Juli, in Brillit vom 25. Juli bis 2. August und in ^even am 4. und 5. August.

Die vorstehende Übersicht gibt nicht die Dauer des Aufenthalts auf den Stationen, sondern nur die der Beobachtungen an.

Auf dem Inselsberge erfolgten die Messungen 1821 durch Encke, 1823 durch Geblino,

An den Feldarbeiten filr die hannoversche Landesvermessung, die von 1828 bis 1844 währten, hat Gauss persönlich nicht theilgenommen ; nur einmal, am 7 • September 1828, ist von ihm auf der Station Hohehagen beobachtet worden. Die Messungen sind von den Gehülfen bei der Gradmessung : dem Haupt- mann (sp&term Major) Müller, dem Lieutenant (späterm Hauptmann) Habtbcann und dem Lieutenant (späterm Baurath) Joseph Gauss ausgeführt worden; doch waren diese nicht dauernd zu diesem Geschfift, sondern nur während einiger Sommermonate, so weit sie in ihrer militärischen Thätigkeit entbehrlich waren, abcommandirt. Hartmann starb bereits 1884, Müller 1843. Die Bearbeitung der Beobachtungen

55

434 BEMERKUNGEN. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.

iraif wie auch bereits auf S. 241 mitgetheilt ist, von Gauss allein übernommen worden, nur 3 Monate des Winters 18S0/1831 unterstützte ihn dabei sein Sohn Joseph. Die rechneriBohe Bearbeitung ist erst im Jahre 1848 abgeschlossen worden. Am 15. M&rz 1848 sandte Gauss an das Ministerium des Innern 95 Hefte, die Stationsbeobachtungen, zum Theil in Abschrift, enthaltend, 6 Hefte mit StationsabriMen und 1 Heft, welches das allgemeine Coordinatenverzeichniss enthielt. Biese Hefte befinden sich jetzt im Gauss- Archiv. Das Begleitschreiben dazii ist im Auszuge in Band IV, 8. 481 abgedruckt.

Dieser Sendung war auf einem einzelnen Blatte das unter [3] mitgetheilte Veneichniss der geogn- phischen Positionen der Hauptdreieckspunkte beigegeben. Wie aus einem Beobaohtungs- und Rechnungi- hefte zur Gradmessung ersichtlich ist, hat die Übertragung der Breite und L&nge von Punkt zu Punkt nach den Formeln auf S. 80/6I stattgefunden.

Die Zahl der durch die Gradmessung und die Landesvermessung und zum Theil durch Zuziehung Ton Messungen in den Nachbarstaaten festgelegten Punkte beträgt 2578, deren ebene rechtwinklige Coor- dinaten im allgemeinen Coordinatenverzeichniss mitgetheilt sind. Dazu kommen aus den partiellen Coordi- natenverzeichnissen noch die Doppelbestimmungen von 41 1 dieser Punkte. Siehe Band IV, S. 415/449. Von Gauss selbst sind über 600 Punkte bestimmt worden (vergl. 8. 414).

Es sei auch noch erwähnt, dass I8O8 Gauss aus eigenem Antrieb an eine Aufnahme des Herzog- thums Braunschweig gedacht und zu diesem Zwecke Winkelmessungen ausgeftlhrt hatte. An Olbebs schrieb er am 8. April 1803:

.... »Ich habe den Plan , einst das ganze Land mit einem Dreiecksnetz zu beziehen , wozu meme jetzigen Messungen nur eine Vorübung sind.« ....

In demselben Jahre betheiligte er sich auch an Beobachtungen von Pulversignalen zu Längenbe- stimmungen und an Breitenbestimmungen ftlr die von v. Zach geleitete trigonometrische und astronomische Auftiahme von Thüringen (Monatliche Correspondenz , X. Band, S. 3 02). Für die Vermessung von West- phalen , die kurz vorher unter dem preussischen Generalmajor von Lecoq stattgefunden hatte , hat er Be- rechnungen astronomischer Bestimmungen geliefert. In dem Aufsatze Lecoqs: Über die trigonometrische Aufnahme in Westphalen (Monatliche Correspondenz, Vm. Band, S. 130) heisst es: »Im astronomiichen Theile ist mir der Dr. Gauss von grossem Nutzen gewesen , seine Ausrechnungen und Briefe haben zu meinem Unterricht viel beigetragen.«

Für die nebenstehende Übersichtskarte der hannoverschen Hauptdreiecke diente eine Karte des PAFENschen topographischen Atlasses des Königreichs Hannover und Herzogthums Braunsohweig als Vor- lage. Auf der Rückseite dieser Karte, die von Gauss der letzten Sendung vom 15. März 1848 zugefügt war, ist von ihm bemerkt worden: »Bei der Illumination ist durch ein Versehen die Dreieoksseite vom Hohehagen zum Köterberg als dem Hauptsystem VI angehörig bezeichnet, welche Verbindung aber nur in der preussischen Catastervermessung effectuirt ist. Es hätte anstatt dessen die Seite Köterberg ~^s alf südliche Begrenzung des Systems VI illuminirt sein sollen. Mit Ausnahme dieses geringfügigen Umstandei finde ich in dieser zweckmässig angeordneten Übersichtskarte eine treue Darstellung der Hauptdreiecke und ihrer Verbindungen mit den Messungen in den Nachbarstaaten.« Das Original der Dreieckskarte ist vom Lieutenant J. Gauss entworfen. Der angegebene Fehler ist in der nebenstehenden Übersichtskarte berich- tigt worden. Es wurde femer die fehlende Seite Brüttendorf-Litberg in dieselbe eingetragen und die Seite Steinberg-Bottel, die in der Vorlage als einseitig beobachtet gezeichnet war, ganz ausgezogen. Im Origuul war ausserdem irrthümlich, wie aus einem GAUSSschen Bericht nebst Karte von 1843 ersichtlich ist, dtf KuATENHOFFsche Viereck Emden - Pilsum - Hage - Aurich als zum ostfiriesischen Netze gehörig gezdehnet worden; auch fehlten in letzterm die Seiten Hage-Baltrum und Langeoog-Esens. Kbüoeb.

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HÖHENMESSUNGEN.

55*

[Der Brefractionscoefßcient aus den Höhenmessimgen bei der hannoverschen

Gradmessung.]

ABtronomisohes Jahrbuch für das Jahr 1820. Berlin 1823. S. 89 — 92.

Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannoverschen, Braunschweig- schen und Lüneburgschen, vom Hm. Hofrath Ritter Gauss in Göttingen

unterm 22. Januar 1823 eingesandt.

Obgleich meine Triangulirung noch nicht vollendet ist, so kann ich doch dieselbe vermittelst des Anschlusses an die von ZACHSche Basis schon vorläufig berechnen, und folgende geographische Bestimmungen werden schon alle Ge- nauigkeit haben, die gewünscht werden kann.

Sternwarte Seeberg Göttingen, Neue Sternwarte

— Platz der alten Sternwarte Brockenhausthurm

Hildesheim, Thurm 1

— — 2

— — 3 Braunschweig, Martinsthurm

— Petrusthurm

— Catharinenthurm

— Andreasthurm

Breite 50^56' 6;'7

51 31 48,7

51 31 55,0

51 48 2,7

52 9 11,9 52 9 16,7 52 9 19,4 52 15 51,5 52 16 4,4 52 16 9,3 52 16 10,8

[Östl.] Länge von Göttingen + 0^47' 19';2 •

0

— 0 0 28,1

+ 0 40 22,9

+ 0 0 27,1

+ 0 0 3,5

+ 0 0 29,4

+ 0 34 24,6

+ 0 34 22,6

+ 0 34 57,9

-f 0 34 37,8

438

HOHENME88UNOEN.

Hannover, Agydiusthuxm

— Neustädterthurm

— Marktthurm

— Kreuzthurm NeustÄdt am Rübenberge Celle, südlicher Schlossthurm

— nördlicher Schlossthurm

— Thurm der Stadtkirche Lüneburg, Johannisthurm

— Michaelisthurm Hamburg, Michaelisthurm

Breite 52^22' 16;'4

52 22 22,6

52 22 24,8

52 22 30,7

52 30 21,8

52 37 31,4

52 37 32,9

52 37 34,2

53 14 59,2 53 15 5,5 53 33 1,8

[östl.] Länge von Göttingen

— 0^12' 13^8

— 0 12 52,8

— 0 12 28,4

— 0 12 37,8

— 0 28 53,7 + 0 8 4,9 + 0 8 4,0 + 0 8 16,6 + 0 28 11,7 + 0 27 29,5 + 0 2 3,0

Die Namen der drei Hildesheimschen Thürme kann ich in diesem Augen- blick noch nicht angeben ; der erste ist ein sogenannter Dachreiter, der zweite eine Laterne, der dritte nadelformig. Alle diese Bestimmungen gehen von dem Platze des REiCHENBACHSchen Meridiankreises in der Göttinger Sternwarte aus, und zur Rechnung sind die von Walbeck gefundenen Dimensionen de« Erdsphäroids zum Grunde gelegt. Bei der Breite des Brockenhauses weicht VON Zachs astronomische Bestimmung um lO'' ab (sein Beobachtungsplatz war noch etwas südlich vom Thurme) ; ob dies bloss in der Unvollkommenheit des von ihm gebrauchten LENomschen Kreises seinen Grund habe, wie dieser ge- schickte Beobachter glaubt, lasse ich dahin gestellt sein; ich möchte aber doch fast glauben, dass die grosse Menge von Harzgebii^en , welche noch südlich vom Brocken liegt, während im Norden sogleich das flache Land an- fängt, einigen Antheil daran hat, imd es wäre gewiss interessant, wenn in Zu- kimft neue astronomische Beobachtungen mit einem vollkommnem Instrument auf dem Brocken oder nördlich am Fuss desselben angestellt würden.

Da ich an jedem meiner Dreieckspunkte die Zenithdistanzen aller andern damit verbundenen mit einem 1 2 -zölligen Multiplicationskreise gemessen habe, so ergeben sich daraus ihre relativen Höhen mit grosser Genauigkeit; ich wünsche jedoch, ehe ich diese bekannt mache, erst durch eine zuverlässigere

HÖHENMESSUNGEN.

439

Verbindung mit der Meeresfläche als bisher stattgefunden hat, die absoluten Hohen über dieser zu erhalten. Dagegen theile ich Urnen hier alle meine bisher erhaltenen Resultate über die terrestrische Re&action mit in folgendem Tableau, wobei ich nur bemerke, dass ich unter ddl Refraction die Ver- schiedenheit der Richtungen des Lichtstrahls an seinen beiden Endpunkten verstehe. Was einige Astronomen Refraction nennen, ist eigentlich nur die halbe Re&action.

Endpunkte

Krümmung des terrestri- schen Bogens

Beobachtete Refraction

Verhältniss

Lichtenberg-Falkenberg

2767;2

-|-345"3

+ 0,1248

Deister-Falkenberg

2282,7

330,5

0,

1448

Hobehagen-Brocken

2235,3

325,6

0,

,1457

Lichtenberg-Garssen

1961,7

252,0

0,

,1285

Deister-Garssen

1950,4

240,5

0,

,1233

TTils-Brocken

1779,1

292,6

0.

4

,1645

Lichtenberg-Deister

1597,2

252,6

0,

,1581

Hohehagen-Hils

1529,3

243,5

0,

,1592

Breithom-Wilsede

1409,5

153,6

0,

,1090

•

Brocken-Lichtenberg

1372,5

185,2

0,

,1350

Hils-Deister

1316,8

175,3

0.

,1331

Hils-Lichtenberg

1291,1

187,1

0.

,1450

Hauselberg- Wilsede

1232,5

137,2

0,

,1113

Meridianzeichen-Hils

1188,9

187,0

0

,1573

Falkenberg- Wilsede

1168,0

150,7

0

,1290

Falkenberg- Wulfsode

1139,9

132,1

0

,1159

Falkenberg-Schamhorst

958,3

122,4

0

,1277

Garssen-Falkenberg

910,0

78,3

0

,0861

FaUcenberg-Breithom

884,0

109,2

0

,1235

Hauselberg-Wulfsode

770,1

56,1

0

,0728

Wulfsode-Wilsede

738,9

+ 84,6

+ 0

,1146

440

BRIEFWECHSEL.

Endpunkte

Krümmung des terrestri- schen Bogens

Beobachtete B.e£raction

Verhältniss

Falkenberg-IIauselborg

691^7

+ 87^4

-1-0,1264

Meridianzeichen-Hoh ehagcn

538,6

111,9

0,2078

Stemwarte-Hohehagen

447,0

54,3

0,1215

Schamhorst-Breithom

363,0

11,2

0,0309

Garssen-Schamhorst

343,9

+ 20,6

-1-0,0599

Breithom-Hauselberg

203,6

— 23,2

— 0,1141

Sternwarte-Meridianzeichen

162,3

+ 36,8

-1-0,2265

Das Mittel aus allen Bestimmungen, mit Rücksicht auf die Länge der Linien, wäre 0,1306. Man sieht, dass die Anomalien bei kleinen Entfernungen viel grösser sind, als bei grossen.

An sonnigen Sommertagen ist nach meinen Erfahrungen in den Vor- mittags- und frühem Nachmittagsstunden in flachen Gegenden die Re&action des Lichts, so lange es nahe über der Erdfläche wegstreicht, ge wohnlich negativ, und die Luft ist dann immer so stark undulirend, dass sich keine sehr scharfe Messungen machen lassen. Das Heliotroplicht ist dann öfters eine cometenartige Scheibe, zuweilen wohl von einer Minute im Durchmesser, die sich in den Nachmittagsstunden, so wie die Luft nach und nach günstiger wird, immer mehr concentrirt und zuletzt in ein feines Fixstemlicht von grosser Intensität übergeht.

[2.] [Der Refractionscoefflcient aus den Höhenmessungen von 1824 abgeleitet]

Gauss an Schumacher. Göttingen, 28. November 1824.

Erst heute bin ich im Stande, Ihnen das Resultat, welches meine dies- jährigen Messungen für die terrestrische Refraction geben, mitzutheilen. Um die Amplituden genau zu haben, musste ich erst die Längen und Breiten meiner Dreieckspunkte bestimmen, und dazu mussten erst sämmtliche Drei- ecke nach vorgängiger Ausgleichung der Winkel berechnet werden.

HÖHENMESSUNGEN. 441

Das ganze System meiner diesjährigen Messungen umfasst 29 Linien; zwei davon gehören aber, was die Messung der gegenseitigen Zenithdistanzen betrifft, schon zu den Arbeiten von 1822 und 1823 (nemlich Falkenberg- Wilsede und Wilsede-Hamburg). Bei zwei Linien ist die Zenithdistanz bloss einseitig gemessen (nemlich gar nicht von Bremen nach Bottel und von Brüttendorf nach Zeven); bei zwei andern ist sie auch insofern nur einseitig gemessen, als bei der Messung von der andern Seite, aus Mangel an Zeit, bloss der Theodolith angewandt ist (nemlich von Bottel nach Steinberg und von Wilsede nachJBullerberg* ). Endlich bei der Linie Litberg-Hamburg** ist in Hamburg der Knopf der Zielpunkt gewesen, dessen Höhe über den Fenstern des Cabi- nets ich noch nicht genau kenne. Es bleiben also noch 22 Linien übrig, wo die reciproken Zenithdistanzen vollständig gemessen sind, d. i. mit dem 1 2-zöl- ligen Kreise und unter wenigstens 20-iiialiger Repetition, und wo ohne Aus- nahme Heliotroplicht der Zielpunkt gewesen ist. Die Summe der 22 Krüm- mungen (Amplituden) ist 6®15'49"844 (die grösste darunter von Wilsede nach Steinberg 26'4^'883); die Summe der 22 Refractionen hingegen 55'32"329. Also das Mittelverhältniss wie 1 zu

0,14778.

Das Mittel aus den einzelnen 22 Quotienten ist 0,14499; ich ziehe aber jenes Resultat vor, weil bei kleinen Bogen der Quotient viel mehr schwankt als bei grossem. Ich habe schon anderswo bemerkt, dass ich unter Re&action die Verschiedenheit der Richtungen an den beiden Endpimkten verstehe; die meisten Schriftsteller nennen sonst Refraction die Hälfte jener Verschiedenheit, nemlich die Winkel der Tangenten am Wege des Lichtstrahls an den beiden Endpunkten mit der Chorde. So verstanden geben also meine diesjährigen Messungen 0,07389. Meine sämmtlichen zu diesem Zweck brauchbaren Mes- sungen von 1821 — 1823 hatten für 34 Linien die Summe der Krümmungen 10''8'14;249, die Summe der Refractionen = 1®17'43;'670, also das Verhält- niss wie 1 zu 0,12779 gegeben. Die grosste Linie darunter ist Lichtenberg- Falkenberg, deren Krümmung 46'7'j[250 beträgt. Man würde sich sehr irren, wenn man glaubte, dass der grossere Quotient von 1824 den flächern Ge- genden eigen wäre. Li der That geben die Messungen von 1823, die ebenso flachen Gegenden angehören, sogar noch ein kleineres Resultat, als alle von

ix. 56

442 BRIEFWECHSEL.

1821 — 1823. Ich bin vielmehr über die Quelle des Unterschiedes gar nicht zweifelhaft. In den Jahren von 1821 — 1823 habe ich die Zenithdistanzen fast alle Vormittags oder Mittags oder bald nach Mittag gemessen, da ich diese Mes- sungen als etwas untergeordnetes betrachtete und in der Regel nur die Stunden dazu verwandte, wo das Sehen für die Theodolithen - Messungen nicht gut genug war. Das sind aber an sonnigen Tagen ohne Ausnahme die ge- nannten Stunden in flachen Gegenden, und dann ist ebenso beständig an sonnigen Tagen die Refraction allemal kleiner, als in den etwas spätem Nach- mittagsstunden, wo die Bilder ruhiger und schärfer werden. Im Jahr 1824 gingen aber fast die meisten meiner lÄnien so knapp über zwischenliegende Hindemisse weg, dass Vormittags bei sehr vielen gar kein Licht herüber konnte, und ich daher mit wenigen Ausnahmen die Vormittags-Messungen bei Hauptrichtungen ganz aufgab. Die Zenithdistanzen sind daher 1824 sämmt- lich Nachmittags bei schon besserer Luft gemessen, doch nie kurz vor Sonnen- untergang, wo nach allen meinen Erfahrungen die Refraction noch bedeutend grosser wird. Meistens sind sie Nachmittags von 3 — 4 Uhr gemessen"^;, und ich habe so viel als thunlich bei jeder Linie die Messung der gegenseitigen Zenithdistanzen ungefähr unter gleicher Luftbeschafltenheit zu machen gesucht. Wenn Sie alle meine 22-f-34 = 56 Resultate einzeln zu haben wünschen, so stehen sie Ihnen gern zu Dienste. Bei den ausgeschlossenen oben mit * ** bezeichneten Linien sind übrigens

die Krümmungen die Refractionen Quotient [Wilsede-BuUerberg] * 18' 56';002 2' 42;'975 0,14346

[Litberg-Hamburg] ** 16 14,047 2 49,295 0,17380

Summa 35' 10;'049 5' 32;'270 0,15747,

indem ich für ** die Höhe des Knopfs in Hamburg über den Fenstern = 15,558 m annehme; durch eine genauere Bestimmung dieser relativen Höhen und der Ihres Barometers in Altona gegen obige beiden Punkte werden Sie mich verbinden

*) So laDge die Tage noch länger waren; späterhin BuccesBive etwas früher, im October wallte m der Kegel die Luft schon um l^^ oder 2 Uhr nicht viel mehr.

HÖHENMESSUNGEN. 443

[3].

[Der Refractionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der Gradmessung

und ihrer Fortsetzung bis Jever.]

Gauss an Schumacher. Göttingen, 27. December 1846.

Bessel erwähnt [in einem unterlassenen Aufsatze] meines Resultats für die irdische Strahlenbrechung und meint, die Ursache, warum ich den Coefii- cienten kleiner finde, als andere Astronomen, sei, weil ich nur an sonnigen Tagen beobachtet habe, die andern aber ohne Unterschied an sonnigen^ und bedeckten. Diese Äusserung ist in vielfacher Beziehung nicht richtig. Erst- lich ist das Factische nicht unbedingt gültig. Vermuthlich ist jener Aufsatz früher geschrieben, als das Buch über die preussische Gradmessung; in letz- terer, S. 197, hat Bessel auch andere Resultate angeführt, zwischen denen meines, wie er es angibt, liegt. Dann hat Bessel bloss das Resultat aus meinen Messungen von 1821 und 1822 gekannt, wie es im Jahrbuch für 1826 gedruckt ist. Die spätem Jahre geben fortschreitend grössere Coefficienten, nemlich

1823 . . . 0,14125

1824. . . 0,14778

1825 . . . 0,15826.

Das Mittelresultat aus allen 5 Jahren und zwar aus einer Anzahl von Dreiecksseiten, deren Summe 290 geogr. Meilen beträgt, ist 0,13974, also grösser, als das Resultat aus Bessels eigenen Beobachtungen. Jenes Fort- schreiten kann ich aber recht gut erklären. Es ist ungenau, zu sagen, dass an sonnigen Tagen die Refraction kleiner sei als an bedeckten. Die [Ursache] ist vielmehr die : an sonnigen Tagen hängt die Refraction in hohem Grade von der Tageszeit ab, ohne allen Vergleich mehr, als an bedeckten. Mittags und in den dem Mittage nächstgelegenen Vormittags- und Nachmittagsstunden ist die Refraction am kleinsten, in den spätem Nachmittagsstunden nimmt sie fort- während mit einer ausserordentlichen Regelmässigkeit zu und gegen Sonnen- ' Untergang ist sie gewiss nicht kleiner, sondern eher grösser, als an bedeckten Tagen. Die Zeit der kleinsten Refraction ist zugleich die, wo die Luft feinen

56*

444

BRIEFW'ECHSEL. HÖHENMESSUNGEN.

Beobachtungen am ungunstigsten ist. Da ich die Hohenmessungen nur wie ein secundäres Geschäft betrachtete, so verwandte ich darauf in den ersten Jahren vorzugsweise die den feinern Horizontalwinkelmessungen ungünstigsten Stunden, namentlich auch Vormittags und Mittags. In den folgenden Jahren wurde die Zuziehung der Vormittagsstunden immer mehr beschränkt und horte zuletzt fast ganz auf, so dass häuüg die Zenithdistanzen auch in ziemhch späten Nachmittagsstunden gemessen wurden. Den von Bessel angeführten Grund, woraus er die grössern von den französischen Astronomen gefundenen Resultate erklären will, nemlich weil die BoRDAschen Kreise die Zenithdi- stanzen zu klein gäben, halte ich fiir sehr unerheblich. Es könnte daraus nur eine sehr geringe Wirkung erfolgen; auch sind meine eigenen Messungen ebenfalls mit einem BoRDAschen Kreise gemacht.

• BEMERKUNGEN.

Zu dem ersten Theil des Aufsatzes aus Bodes astronoznischem Jahrbuch sei bemerkt, dass die end- gültigen Werthe der geographischen Positionen bereits auf S. 427/428 gegeben sind. Der Abdruck des letzten der beiden vorstehenden Briefe an Schumacher ist nach dem Original erfolgt, frübr den ersten iit eine nach dem Original angefertigte Copie benutzt worden. Die in ihm enthaltenen Zahlenwerthe konnteii durch die Angaben eines ÜAUSSschen Handbuches controllirt werden. Nach diesem sind die in der Tabelle, S. 439, angegebenen Werthe bei der Linie Lichtenberg -Deister der Reihe nach durch die folgenden zu er- setzen: 1596,0, 222,3, 0,1419. Die Höhenbeobachtungen während der 6 Jahre der Gradmessung haben (nach verschiedenen Stellen des GAUSsschen Handbuches) zur Ableitung des Kefractionscoefßcienten folgende Be- Bultate ergeben:

Jahr der Beobachtungen

Anzahl der Linien

Summe der Krümmungen

Summe der Refractionen

Refractions- coefficient

1821 u. 1822 (bis Wulfsode- Wilsede)

1823 (bis Wilsede-Nindorfj (bis Hamburg]

1824 (bis Brillit-Garlste)

1825 (bis Varel- Jever)

28 4 6

22

8

S3203;'272 1778, 089 6106, 219

22540, 844 7763, 012

4309;'986

178, 672

862, 415

3332, 329

1228, 541

0,12981 0,12643 0,14126 0,1477S 0,15826

Summe

67

71390, 486

9911, 843

0,13882

Gauss scheint die Ergebnisse der ersten 4 Linien von 1823 bei der Bildung des Mittelresultsti, S. 443, ausgeschlossen zu haben; in diesem Falle wird der Refractionscoefißoient : 0,139S0.

Krüger.

NACHLASS. HÖHENMESSUNGEN. 445

NACHLASS.

Terrestrische Refraction.

[1.]

Es wird angenommen, dass der Weg des Lichtstrahls in Einer Ebene bleibt, und dass die Richtungen der Schwere an den verschiedenen Punkten jenes Weges in Einem Punkte C zusammentreffen; imgleichen, dass die Ver- änderungen der Richtung des Weges den Veränderungen des Winkels an C proportional sind.

Es seien P und P' zwei [auf einander folgende] Punkte der Lichtcurve; 90^+ ti der Winkel zwischen PP' und PC\ PC = r\ A der Anfangspunkt jener Linie, B der Endpunkt; 6 der Winkel zwischen CP imd CA\ nd9 die Richtungsveränderung ; endlich seien a und 6 die Werthe von r in -4 und JB, und a und ß die Werthe von u in diesen Punkten, d. i. a die Höhe, in welcher B Wi A erscheint, ß die Vertiefung, in welcher ^ in JB erscheint.

Man hat

w = a-f-(l — ^)9

dr = rdö.tangM = rdö. tang(a+(l — w)9) [oder]

logr = — Yzra ^^S ^^^ (^ + (^ "~ ^) ®) + const. ^^^«^- =cos(a + (l-n)e).

j.l-n

FolgUch [da für r = «, 0 = 0 ist]

1!:;^ = cos (« + (!-«) 6).

446 NACHLASS.

Ist also in B

80 ist

[und]

8 = t [und r = h],

a*^* COS OL

3i=5— = cos ß,

[also wird]

^;j^;| = tang4-(ß-a)tang,.fß + a) = ^JS^.

Man setze

b — a = A,

also

b = E + Ar + iA

a = i2 + A; — iA;

[dann ist:]

oder hinlänglich genau

,1 — n

tangi(ß-a)tangi(ß + a) =

(l-n)Ä

2;^ + «:;

Die Länge des auf die Meeresfläche projicirten Bogens AB = A ge- setzt, wird

Femer ist

I. ß-a = (l-w)f;

folglich

(1 -n)h = 2(J2 + Ä)tangi(ß-o)tangi(ß-|-o)

wofür man auch

n. A = ^.A.tangi(ß + a)

schreiben kann.

Aus I findet man, wenn a und ß beide bekannt sind, n; aus 11 k

HÖHENMESStTNGEN. 447

[2.]

Depression des Horizonts 8

Halbmesser der Erde 12

Höhe des Auges h

Amplitude des Erdbogens v

Ganze Refraction ev.

[Setzt man]

R-\-h = T

[so ist:]

Also [wird, da 8 = (1 — e)v ist:]

[oder]

2sini8'=1-(^y

R \l-e

h f. X hh (l~e)(2-e) = By'-^)-BB 2

Nimmt man die Bahn des Lichts wie einen Kreisbogen an, so ist

B + h \ sin [V - 8) _ cos \{v- 5)1 flint? — ßinS co8|^(t? + 8)J

B

2-e . ^^^2327'^

[3.]

-4, B .... Höhen zweier Punkte , wo die gegenseitigen Depressionen «3 l beobachtet werden.

J2 . . . . BLTÖimmungshalbmesser [der Erdkugel] ; r . . . . Entfernung ;

ji . . . . RefractionscoeflScient.

[Es sei V der zu der Entfernung r und 7 der zum Lichtstrahl gehörige Centriwinkel : dann ist

448 NACHLASS.

V — f = a + ft? oder, -^ = \Lv gesetzt,

t;(l — |Jt) = a-\-b. Da

Rv = r ist, so hat man mithin:]

(l_|jt)r = 12(a + 6;.

[Femer ist angenähert

A'-B = (2jR + ^ + -B)tang^(a — 6).tangi^i;,

oder]

[a — b]r = 2{A — B).

Ist also 6 = 0 und S = 0, [so wird]

(1 — {i)r = Ra ar = 2A\

A aaB

-^ — 2{1-H.)'

(l— {jL)rr = 2 AR.

[Für |i =] 0,12 [ist] r = 3804 s^ A [Meter]

0,13 3826^-4

0,14 3848v^^

0,15 3870 V'^

0,16 3893 \/A

[4.]

[Formel zur Höhenberechnung.] Zur schärfsten Berechnung der Höhen muss die Formel angewandt werden:

h* — h = i{a — a) y^ (sec a sec a') . jr-|-4-(Ä + Ä')c}.

Hier bedeuten a und a' die Höhenwinkel; h und h' die Höhen über der Meeresfläche; r die Entfernung, auf die Meeresfläche reducirt; c die Krümmung.

HOHENHESSimOEK.

449

[5-] [Ausgleichung der Höhen der Hauptdreieckspunkte.]

[Die Höhenmessungen sind in den Jahren 1821 bis 1825 gelegentlich der Winkelmessungen fiir die Gradmessung mit einem BoRDAschen Kreise ausge- führt worden. Aus ihnen ergeben sich die Höhenunterschiede der Endpunkte von 71 Dreiecksseiten (auf den Seiten Bremen-Bottel und Hamburg-Lüneburg sowie auf und nach dem Dreieckspunkt Inselsberg haben keine Höhenmes- sungen statt gefunden), aus denen durch Ausgleichung die Höhenunterschiede von 32 Dreieckspunkten abzuleiten sind.

Zu diesem Zweck werden für die Höhen der Dreieckspunkte zunächst die folgenden Näherungswerthe angenommen.]

Nr.

Station

Annahme fOi die Höhe

Nr.

Station

Annahme für die Höhe

(Meter)

(Meter)

1 2

Langwarden Jever

24,726 33,419

17 18

Lüneburg Nindorf

76,832 116,707

3 4

Varel Brernerlehe

38,776 25,756

19 20

Timpenberg Wulfsode

117,140 104,510

5

6

Garlste Brillit

50,590 44,584

21 22

Hauselberg Breithom

120,443 120,499

7 8

Bremen Zeven

82,882 44,820

23 24

Falkenberg Scharuhorst

150,805 93,957

9 10

Steinberg Brüttendorf

72,336 49,631

25

26

Garssen Deister

77,079 307,912

11 12

Litberg Wilsede

65,536 170,876

27

28

Lichtenberg Brocken

244,879 1150,368

13

Bottel

52,441

29

Hils

429,082

14 15

Bnllerberg Hamburg

53,310 129,370

30 31

Hobehagen Meridianzeichen

504,260 221,112

16

Elmborst

89,990

32

Göttingen

155,836

IX.

57

450

NACHLASS.

[Den angenommenen Werthen für die Höhen sind nun Verbesserungen zu- zufügen, die durch (i) bezeichnet werden, wo t die Nummer des Dreieckspunktes ist. Diese Verbesserungen lassen sich mit Hülfe der Verbesserungen der Höhen längs eines von Langwarden nach Göttingen gehenden Linienzuges durch neue Verbesserungen a, 6, c . . . darstellen , z. B. ist die Verbesserung des Dreieckspunktes 20 = (20) = (1^2) -ff= (8) + ?+r= (6)-f^ + /-f f

Dreiecks- punkt

Verb. d.

Annahme

f. d. Höhe

Dreieck8- punkt

Verb. d.

Annahme

f. d. Uöhe

Dreiecka- punkt

Verb. d.

Annahme

f. d. Höhe

Dreiecka- punkt

Verb. d. Annahme f. d. Höhe

1 2 3 4 5 6 7 8

(1) (1)+«

(1) + C

(4) + rf

(6)+/"

9 10 11 12 13 14 15 16

l8)+Ä (8) + »-

(8) + / (l2) + m (12) + n (l2) + o (12)+/»

17 18 19 20 21 22 23 24

(12) + «? (l2)4-r

(12) + *

(12) + * (12) + «

(12) + »

(l2) + ir (23) + a?

25 26 27 28 29 30 31 32

(23) +y (23)+* (23) + a

(27) + ß (27) +7 (29) + 8 (29) + e

(31) + C

[Aus den Höhenmessungen selbst sind die nachstehenden Werthe für die Unterschiede der Höhen der Endpunkte deiJDreiecksseiten hergeleitet worden.]

Dreiecka-

Beobacht.

Dreiecka-

Beobacht.

Oreiecka-

Beobacht.

Dreiecka-

Beobacht

aeite

Höhen-Unterach .

aeite

Höhen-Unterach.

. aeite

Höhen-Unterach.

aeite

Höhen-Unteiaeh.

(Meter)

(Meter)

(Meter)

(Meter)

1.2

+ 7,165

7.8

— 40,175

10.14

+ 2,764

12.21

— 49,371

1 .3

+ 15,460

7.9

— 9,680

11.12

+ 105,997

12.22

— 50,216

1 .4

+ .1,147

7.10

— 32,720

11.15

+ 64,170

12.23

— 20,216

2.3

+ 3,829

8.9

+ 28,309

11.16

+ 23,830

13.14

+ 0,767

3.4

13,764

8. 10

+ 3,012

12.13

— 117,063

14.16

+ 35,994

3.5

+ 12,441

8.11

+ 19,950

12. 14

— 117,233

15.18

— 13,614

4.5

+ 26,921

8.12

+ 126,432

12.15

— 41,959

15.19

— 11,395

4.6

+ 16,112

9.12

+ 102,028

12.16

— 80,116

16.23

+ 60,280

5.6

— 4,760

9.13

— 21,725

12.17

— 93,862

17.18

+ 40,056

5.7

+ 33,760

10.11

+ 17,039

12.18

— 54,149

18.19

— 0,320

6.7

+ 36,112

10.12

+ 119,407

12.19

— 54,110

19.20

— 12,925

6.8

+ 0,953

10.13

+ 3,163

12.20

— 66,611

20.21

+ 16,157

HÖHENME88UNOEN.

451

Dreiecks-

Beobacht.

Dreiecks-

Beobacht.

Dreieck 8-

Beobacht.

Dreiecks-

Beobacht.

Beite

Hfiben-Unteneh.

«eite

Höhen-Untencb.

seite

H6hen-Unter*ch.

seite

H&hen-Untersch.

(Meter)

(Meter)

(Meter)

(Meter)

20.23

+ 45,529

23.25

— 73,042

26.27

— 64,712

29.30

+ 76,108

21.22

— 0,489

23.26

+ 156,588

26.29

+ 120,811

29.31

— 206,580

21.23

+ 32,189

23.27

+ 94,387

27.28

+ 904,843

30.31

— 283,596

22.23

+28,984

24.25

— 17,355

27.29

+ 185,210

30.32

— 349,366

22.24

25,602

25.26

+ 229,312

28.. 29

719,612

31 .32

— 64,334

23.24

— 58,265

25.27

+ 169,527

28*. 30

— 648,427

[Mit Hülfe dieser 3 Tabellen ergeben sich jetzt die Fehlergleichungen. Man erhält z. B. aus der Höhenbeobachtung über der Seite 1.2, wenn i?j.a den Beobachtungsfehler bedeutet,

+ 7,1654-v,.2 = 4-33,4194-(2) — 24,726 — (1)

«^1.9 = + 1.528 4- a,

und über der Seite 11.15:

+ 64,170+Vh.i6 = +63,834 + (12) + o-(8)-*

Vijjg = —0,336 — * + /-}-(>.

Die Fehlergleichungen lauten:]

»1.« =

+ l,528 + a

»7.8

—

+ 2,113-/-+^

»1.» =

— 1,410 + 6

»7.»

;

- 0,866 -/•+^ + Ä

»M =

— 0,117 + c

»7.10

-0,531 -Z'+^ + i

Vas =

+ 1,528 — a + 6

»8.9

=

— 0,793 + Ä

»8.4 =

+ 0,744 — 6+c

»8.10

+ 1,799 + 1

»M —

— 0,627 — 6 + c + rf

»au

—^

+ 0,766+*

»4.6 —

— 2,087 + d

»au

— 0,376 + /

»4.6 =

+ 2,716 + e

»9.«

—

— 3,488 — Ä + /

»6.6 —

— 1,246 — rf + «

»9.18

:

+ 1,830 — A + ?+m

»6.7 =

— 1,468 — rf+g+Z"

»10.11

— 1,134 — i +Ar

»6.7 —

+ 2,186+/-

»io.ia

—

+ 1,838 — 1 +/

»6.8—]

-0,717+^

»10.18

^

— 0,353 — » +/+m

57*

452

KACHLA.S8.

[«io.u= +0,915-i +/+n

r„,j= _o,657— A; + /

»11.16= —0,336— Ar +/-I-0

«iu.= +0,624- Ar +/+j>

»12.18= — t,372 + m

v^m = — 0,333 +n

«'i«..6= +0,453+0

»1...«= - 0,770 +p

»12.17= -0,182 + ^

»12.18= - 0,020 +r

»i«.i»= +0,374+«

»12.20= +0,245 + *

»uji = —1,062 + «

%.2j = — 0,161 +v

»12.2»= +0,1 45 + IT

»i».u= + 0,102 -m + n

»M.i«= +0,686-« +j>

»15.18= +0,951-0 +r

»16.19= —0,835 — 0 +«

»16.28= +0,535—/) +w

»17.18= —0,181-^ +r

»18.1»= +0,753 — r +«

»12.20 = +0,295-* +f »20.21 =]- 0,224 - r +«

[»20.28= +0,766-* + ir

»21.22= +0,545 — M+t»

»21.28= —1,827— M + IO

»22.28= +1,322 — tJ+W

»2».24 = —0,940 — « + » + «

»28.24 = + 1,417 +J?

»28.26= -0,684+5^

»28.28= +0,519+«

»28.27= —0,31 3 +a

»24.26= +0,477— af+j^

»26.26= +1,521— _y+»

»26.27= —1,727—^ + 0

»26.27= +1,679 — «+a

»26.22= +0,359— « + 0 + Y

»27.28= + 0,646 + ß

»87.2»= - 1,007 +T

«^„= _l,674-ß + Y

t;^„= +2,319-ß + Y + 8

»22.80= -0,930 + 8

»22.81= - 1,390 + e

»80.81= +0,448-8 + «

»80.82= +Ö,942-8 + e + C »81.8»=]- 0,942 + C.

[Damit findet man, wenn die Gewichte der Fehlelgleichungen sämmtlich gleich 1 angenommen weiden, die nachfolgenden Noimalgleichungen, wobei die Constanten in Einheiten der dritten Decimalstelle zu verstehen sind.]

HÖHENMESSUNGEN. 45 3

[0 —

* •

-f 2a

- 6

^

*

# # # # #

* #

#

#

0 —

+ 1-

— a

+ 4J-

-2<

:- d

# # # # #

# #

#

*

0 =

*

*

— 26+3(

:+ rf

# # # # #

# #

#

#

0 =

*

* ■

- 6+ £

r + 4rf-

-2e— /* # # #

# *

#

#

0 =

+ 2

#

#

*

— 2rf+3g4- /• # # #

# #

#

#

0 =

+ 2

#

#

#

— rf+ e-^bf—3ff— h— i

# *

#

«

0 =

— 1

#

#

#

#

* 3/*+ 4^+ A+ «

# #

#

#

0 —

1

#

#

#

#

# /*+ ^ + 4A #

# — 2/

— m

#

0 =

+ 2

#

#

#

#

* /*+ 5^ # +6t

^ 3/

-— m

— «

0 =

+ 1

# -

- i+5Ar

-3/

# # — 0 — /) #

# #

*

#

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4v — a? —

a

0= +2—^ + 45? — 2a # — Tf # # # 0= —2—y—2z-\-Aa * + T * * * 0= +1 # # # +3ß — 2i— 8 # #

0= — 3 #— 5?+ a— 2ß + 4Y+ 8 # * 0= -1 # * # - ß+ T + 48-2e- C

0= # # # # # #— 28 + 3e+ C 0=] #### # #—8+ e + 2C.

454

NACHLASS. HÖHENHESSUNGEN.

Es können noch die Correctionen angebracht werden:

f = —0,001 i = —0,001 k = —0,001

/ = —0,001 m = —0,001 p = —0,001

q = +0,001 r = +0,001 s = +0,001

t = +0,001

u = +0,001

[Y = +0,001].

[Demnach hat man den angenommenen Werthen für die Höhen der Drei- eckspunkte (Tabelle 1} noch als Verbesserungen zuzufügen, wenn zugleich (1) = 0 gesetzt wird:

(1) =

(2) =

(3) =

(4) =

(5) =

(6) =

(7) = (8)-=

0

0

0

0

0

0

0,001

0

(9) = 10) =

11) =

12) =

13) =

14) =

15) =

16) =

0

0,001

0,001

0,001

0,002

0,001

0,001

0,002

(17) (18) (19)

(20) (21) (22) (23) (24)

0

0

0

0

0

0,001

0,001

0,001

(25) = —0,001

(26) = —0,001

(27) = —0,001

(28) = —0,001

(29) = 0

(30) = 0

(31) = 0

(32) = 0 .]

BEMERKUNGEN.

Die Notiz [i] befindet lieh auf einem einzelnen Blatte. In der Fonnel 11} denelben lowie in der un- mittelbar vorhergehenden Formel fOr h müde ein Schrerbfehler verbeiaert, an Stelle ron A fteht im Origi- nal beidemal t.

Die Notizen [>] und [4] sind S Handbüchern, die Notiz [i] einem Bechnungaheft cur hannoTenehen Gradmesfung entnommen.

Die Formeln des Art. [I] ergeben eich unmittelbar aui den Entwiekelungen im Art. [1]. Aui der Fonnel, S. ««< oben,

■^j .C08« = I— 7-rJ .00»« = coi(a+(i— »)t) folgt filr a = 0 :

Schreibt man nun B für a, v tOx t und e ftbr den RefractionBcoeffioienten n, §o folgt hienuii ^ V — tV = 8 ist:

i^r - -^

BEMERKUNGEN. HÖHENMESSUNGEN. 455

Statt der im Art. [3] angegebenen Formel ftlr — ^— hatte daa Original :

JR

T> I 1. COB — - • 0

B + h __ 2 — ac

ü "" e *

cos 0

2 — 2e

Die Formel {fSa h'—h des Art. [4], die Gauss bei der Berechnung der Höhenuntemchiede seiner süd- lichen ELauptdreieckspunkte benutzt hat, setzt die Erde innerhalb der in Betracht kommenden Länge des Lichtstrahls ebenfalls als Kugel Toraus. Es sei M der Mittelpunkt und B der Radius derselben, femer PM= B + h und P'M= B + h'; e sei die Zenithdistanz des Lichtstrahls von P' in P und z' die Zenithdistanz von P in P'; die zugehörigen Refractionswinkel seien hß und he'.

Setzt man

e + hz = 90*+a und e' + hz' = 90*+a',

so ist im Dreieck PMP' :

V-Ä = (2B + Ä + Ä')tangi(a'~a)tang^(a'+a),

oder, da for kleine Winkel angen&hert tang x = x^ sec sc^ ist,

Ä'-fc = (Ä + t(Ä + V))c.i(a'-a)(sec4(a'-a)8eoi(o'+a))*,

wobei der Winkel PMP' = c = a'+ a ist.

Wegen Bc = r, und weil ausserdem flr kleine Winkel

(8ec|;a'— a)8ec|^(a'+a))' = i + \[a'a'+aa) = sec a sec a' ist, folgt hieraus :

h'-h = l(a'-a)(8ecaseca')^(f + i(Ä + Ä')c).

Gauss hat bei den Berechnungen der Höhenunterschiede die Refractionswinkel hz und Iz' einander gleich gesetzt. In den meisten FäUen ist zu dieser Berechnung die Formel

Ä' — Ä = 8teLng\{z'—z)

benutzt worden, in der 8 die Dreiecksseite bezeichnet.

Die Tabellen in der Notiz [6] über die Höhenausgleichimg der Dreieckspunkte sind nach Aufteioh- nungen auf einer Seite des Handbuchs mit dem Titel: »Aufsätze, Notizen und Rechnungen, zur Mathe- matik gehörig« zusammengestellt; die Bezeichnungen der Columnen wurden ihnen zugefügt. Die Vollen- dung dieser Ausgleichung ist von Gauss angezeigt in dem Briefe an Olbers vom 3. April 1826 (S. 377). Dass die benutzten Näherungswerthe (in der ersten Tabelle} nahezu mit den Ausgleichungswerthen überein- stimmen, rührt daher, dass wahrscheinlich schon eine Ausgleichung vorher gegangen ist. Auch bei den Aus- gleichungen der Stationsbeobachtungen findet man häufig, dass Gauss nach vollendeter Ausgleichung noch- mals die Fehler- und Normalgleichungen aufgestellt hat (rergl. die Stationsausgleichungen für Brillit und Wilsede, S. 265/270). Li den Fehlergleichungen, S. 461/462, sind mehrere Schreibfehler berichtigt worden«

Bringt man in diesen Fehlergleichungen die Werthe der Correclionen an, so ergibt sich der mittlere Fehler eines ausgeglichenen Höhenunterschiedes

100,3710

-V

= ± 1,684 m.

71 — 31

Es sei noch erwähnt, dass die Höhen winkel in der Regel aus 20 Repetitionen erhalten sind. Die im Briefe an Glbess vom lo. Februar 1825, S. 373/974, mifgetheilten Höhenangaben sind vor- läufige Werthe. Kbügbb.

'

456

HÖHENMESSUNGEN.

[Tafeln für barometrisches Höhenmessen.]

AfltronomiicheB Jahrbuch für das Jahr 1818. Berlin 1816. S. 169 — 173.

Das Höhenmessen mit dem Barometer ist zwar kein astronomischer* Gegen- stand, indessen wird unter den Lesern des Jahrbuchs keiner sein, für den nicht auch jenes Interesse hätte, und so glaube ich wird diesen die Mit- theilung einer kleinen Tafel dafiir nicht unlieb sein, die ich vor einiger Zeit zu meinem eigenen Gebrauch berechnet habe. Mir ist dieselbe bequemer als alle weitläuftigen Hiilfstafeln ; sie gibt in völliger Strenge den LAPLACESchen Ausdruck wieder. Man hat auch bei andern Gelegenheiten, z. B. der Ab- erration, Nutation, correspondirenden Sonnenhöhen, die neu eingerichteten Tafeln, die in Verbindung mit Logarithmentafeln das gesuchte möglichst be- quem geben, mit Beifall aufgenommen; ich hoffe, dass dies auch bei den gegenwärtigen der FaU sein wird, wovon man sich leicht eine Abschrift auf das weisse Blatt derjenigen Logarithmentafel setzen kann, an die man ge- wöhnt ist.

Tafel L

t^f

A

*+*'

A

* + *'

A

t + t'

A

-10"

4,25337

5"

4,25892

0»

4,26439

+ 5"

4,26980

— 9

4,25448

— 4

4,26002

+ 1

4,26548

+ 6

4,27087

— 8

4,25560

— 3

4,26111

+ 2

4,26658

+ 7

4,27195

— 7

4,25671

— 2

4,26220

+ 3

4,26765

+ 8

4,27301

— 6

4,25781

— 1

4,26330

+ 4

4,26872

+ 9

4,27408

- 5

4,25892

0

4,26439

4-5

4,26980

+ 10

4,27514

HÖHENMESSUKGEN.

457

t+r

A

t-^H

A

t + t'

A

*+t'

A

+ 10»

4,27514

+ 20"

4,28564

+ 30"

4,29588

+ 40"

4,30589

11

4,27620

21

4,28667

31

4,29689

41

4,30688

12

4,27726

22

4,28770

32

4,29790

42

4,30787

13

4,27832

23

4,28874

33

4,29891

43

4,30885

14

4,27937

24

4,28976

34

4,29991

44

4,30984

15

4,28042

25

4,29079

35

4,30092

45

4,31082

16

4,28147

26

4,29181

36

4,30192

46

4,31179

17

4,28251

27

4,29283

37

4,30291

47

4,31277

18

4,28356

28

4,29385

38

4,30391

48

4,31374

19

4,28460

29

4,29487

39

4,30490

49

4,31471

20

4,28564

30

4,29588

40

4,30589

50

4,31568

Tafel n. Cozrectioii von A. Axgament: die Polhöhe.

Polh.

0" 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

+

124 123 123 123 122 122 121 120 119 118 116 115 113 111 109 107

Polh.

90"

15

89

16

88

17

87

18

86

19

85

20

84

21

83

22

82

23

81

24

80

25

79

26

78

27

77

28

76

29

75

30

0

- I Polh

+

Polh.

+

107

75"

30"

62

105

74

31

58

102

73

32

54

100

72

33

50

97

71

34

46

95

70

35

42

92

69

36

38

89

68

37

34

86

67

38

30

83

66

39

26

79

65

40

21

76

64

41

17

73

63

42

13

69

62

43

9

65

61

44

4

62

60

45

0

—

Polh.

—

60"

59

58

57

56

55

54

53

52

51

50

49

48

47

46

45

— Polh.

IX.

58

458

HÖHENICESSUNGEN.

Tafel m.

1,9 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

+

+

1

2,8

4

3,4

1

2,9

5

3,5

2

3,0

7

3,6

2

3,1

9

3,7

3

3,2

11

3,8

3

3,3

14

3,9

4

3,4

17

+

17 22 27 34 43 54

Gebrauch der Tafeln.

t, t' Temperatur der Luft; T, T' Temperatur des Quecksilbers (nach Röaumur); 6, b' Barometerstand (in beliebigem Maass).

Man vermindere log 6 und log 6' resp. um lOT, iOT' (als Einheiten der 5**** Decimale betrachtet), und ziehe die so corrigirten Logarithmen von ein- ander ab ; der Unterschied sei = u. Man addire log u und A, nachdem man, wenn man es for nothig hält, letzteres nach der zweiten Tafel (die, ebenso wie die dritte, Einheiten in der 6^^ Decimale gibt) corrigirt hat ; die Summe sei = v\ diese Grösse erhält noch eine kleine Correction aus Tafel DI, von der V selbst das Argument ist. Das so corrigirte v ist der Logarithm des Hohenimterschiedes in Metern. Verlangt man denselben in Toisen, so wird zum Logarithmen noch 9,71018 addirt.

Beispiel, t = 15?3,

T = 14,9,

t'= 3,2,

r= 7,8,

logb = 2,86663

Corr. —149

log 6'= 2,73014

» — 78

0,13649

» — 71

u — 0,13578

logt( = 9,13284

A = 4,28408

Corr. = 0

V— 3,41692

Corr. + 18

b = 735,581mm, Folhöhe b'— 537,203

= 45".

HELIOTROP.

58'

Göttingiache gelehrte Anzeigen. 126. Stück, o. August 1831. S. 1240 — 1254.

[Über den Heliotrop.]

Den Kennern der hohem Geodäsie sind die Schwierigkeiten bekannt, sich zur Bildung grosser Dreiecke recht zweckmässige Zielpunkte zu verschaffen. Hohe Kirchthürme finden sich in manchen Gegenden nicht in dazu schick- Uchen Lagen, und auch die vorhandenen bieten oft nicht die gewünschte Ge- legenheit zur Aufstellung der Instrumente und zum Centriren der gemessenen Winkel dar; auch ist ihr Bau öfters nicht in dem Maasse regelmässig, wie es zur Erreichung der äussersten Schärfe wünschenswerth ist. Besonders ge- baute Signalthürme haben, auch abgesehen von dem Aufwand an Geld und Zeit, welchen ihre Erbauung kostet, mit den Kirchthürmen das gemein, dass sie in solchen Fällen, wo sie sich auf nahen dunkeln Hintergrund projiciren, in beträchtlichen Entfernungen schwer zu sehen und zu pointiren sind, und wenn man ihnen eine helle Farbe gibt, nach der verschiedenen Beleuchtung von der Sonne eine veränderliche höchst nachtheilige Phase zeigen. Ja selbst die vollkommensten Signalthürme, geschwärzte, die sich gegen den Himmel projiciren, sind in sehr grossen Entfernungen, wenn man zugleich eine von der Sonne beleuchtete und eine im Schatten befindliche Seitenfläche sieht, nicht gänzlich von einer beschwerlichen Phase frei. Die Messungen bei Nacht mit Hülfe AROANOscher Lampen sind zwar diesen Fehlem nicht unterworfen, haben aber dagegen, besonders auf schwer zugänglichen Bergen, andere Li- convenienzen, die zu sehr von selbst einleuchten, als dass es nöthig wäre, sie hier zu berühren.

Diese Betrachtungen haben den Hrn. Hofrath Gauss veranlasst, für die

462 HELIOTROP.

auf allerhöchsten Befehl im Königreich Hannover auszuführende Gradmessung, auf ein neues Hülfsmittel zu denken, welches, wenn auch nur neben den ge- nannten, mit Vortheil fär die Triangulirung im Grossen anzuwenden wäre. Der Erfolg davon hat seine Erwartungen noch weit übertroffen.

Eine auf photometrische Gründe gestützte Untersuchung hatte ihm schon früher die Überzeugung gegeben, dass das von einem nur sehr kleinen Plan- spiegel reflectirte Sonnenlicht auch in den aUergrössten Entfernungen, welche nur bei Triangulirungen vorkommen können, noch hinlängliche Kraft haben müsse, um den schönsten Zielpunkt abzugeben. Um diese Idee zu benutzen, kam es darauf an, ein Instrument anzugeben, mit dessen Hülfe das Sonnen- licht überall genau in jede nöthige Richtung gelenkt werden kann. Es war zugleich die Bedingung zu erfüllen, dass ein solches Instrument überall leicht aufgestellt und gehandhabt werden kann, und dass der Mittelpunkt des reflec- tirenden Spiegels während der Bewegungen, die gemacht werden müssen, um der fortrückenden Sonne gleichsam zu folgen, stets in absoluter Ruhe bleibt. Ein solches Instrument, welches diese Lenkung des Sonnenlichts in jede beliebige Richtung aufs vollkommenste und auf die angezeigte Art auszu- fahren dient, scheint am schicklichsten den Namen eines Heliotrops zu fähren, zum wenigsten ebenso schicklich wie zwei bekannte Froducte des Pflanzen- und Minerab*eichs.

Das weitere Nachdenken über diesen Gegenstand hat den Hm. Ho&ath Gauss auf zwei ganz verschiedene Einrichtungen eines Heliotrops gefuhrt ; nach der einen ist ein solches Instrument von unserm geschickten Hm. Inspector Rümpf bereits vortrefflich ausgeführt, und an einem zweiten nach der andern Einrichtung wird von demselben Künstler jetzt gearbeitet. Eine vollständige Beschreibung, die für unsere Blätter sich nicht eignen würde, wird an einem andern Ort gegeben werden. — Um, noch ehe der erwähnte Heliotrop voll- endet war, wirkliche Versuche über die Kraft des reflectirten Sonnenlichts anstellen zu können, kam Hr. Hofrath Gauss noch auf eine dritte Idee, ver- mittelst welcher jeder Spiegelsextant zu einem ziemlich vollkommenen Helio- trop eingerichtet werden kann, ja allenfalls ohne allen Zusatz, wenn er nur auf ein gutes Stativ gesetzt werden kann, als Heliotrop zu gebrauchen ist. Hr. Hofrath Gauss liess nemlich durch Hm. Inspector Rumpf an dem grossen Spiegel eines Sextanten einen dritten Planspiegel so befestigen, dass dessen

HELIOTROP. 463

Ebene auf der Ebene des Sextanten senkrecht ist, und mit der Ebene des grossen Spiegels einen Winkel macht, der dem Complement des Winkels der Gesichtslinie (die nöthigenfalls erst durch eingezogene feine Kreuzfaden zu bilden ist) gegen die Ebene des kleinen Spiegels zum rechten Winkel gleich ist- Sobald ein solcher Sextant in eine solche Lage gebracht ist, als wollte man die Distanz eines Objects vom Mittelpunkt (ja, insofern alles gut gear- beitet und berichtigt ist, nur von irgend einem Punkt) der Sonnenscheibe messen, gleichviel, welches von beiden direct gesehen wird, reflectirt jener dritte Spiegel das Sonnenlicht nach dem Objecte zu. Steht ein solcher Sex- tant auf einem guten Stativ, so ist es einer etwas geübten Hand nicht schwer, das reflectirte Sonnenlicht ununterbrochen nach dem gewünschten Punkte hin zu senden. Ist der dritte Spiegel nicht vorhanden, so kann der grosse Spiegel selbst seine Stelle vertreten, wenn man bei völlig unverrückter Ebene die Alhidade um den vorhin erwähnten Winkel schnell vorwärts schiebt (oder nominell auf dem Gradbogen um den doppelten Winkel). Bei dieser letzten Art ist offenbar nur eine unterbrochene Reflexion zu bewirken; doch kann eine geübte Hand, bei Anwendung der nöthigen Sorgfalt und einiger kleiner Kunstgriffe, die hier anzuführen zu weitläuftig sein würde, die Reflexion des Sonnenlichtes nach dem vorgeschriebenen Punkte wohl jedesmal zwei Minuten und darüber anhaltend machen. Beide letztere Arten haben übrigens offenbar die kleine ünvoUkommenheit, dass, insofern das Stativ fest steht, der Mittel- punkt des reflectirenden Spiegels nicht in absoluter Ruhe bleibt. In den meisten Fällen wird jedoch dies fast von gar keiner Erheblichkeit sein, so wie man, wenn man es far nöthig hält, auch leicht fortwährend etwas nachhelfen oder davon Rechnung tragen könnte. Auch ist die Anwendbarkeit davon natürlich auf die Winkelentfemung der Sonne vom Object beschränkt, welche die Grösse des Gradbogens des Sextanten vorschreibt.

Ehe wir den Erfolg der Versuche, die mit dem Heliotrop angestellt sind, hier anführen, bemerken wir, dass aUe zur Reflexion angewandten Spiegel eine Breite von 2 Zoll und eine Höhe von H Zoll haben. Die Erfahrung hat bestätigt, was Hr. Hofirath Gauss schon aus photometrischen Gründen voraus- berechnet hatte, dass bei nur einigermaassen günstigen Umständen grössere Dimensionen ganz unnöthig sein würden, wenigstens für den geodätischen Ge- brauch. Bei der zweiten oben erwähnten Einrichtung kann man, übrigens

464 HELIOTROP.

auch nach Gefallen und ohne die Dimensionen des Instruments sonst zu ver- grössem, einen grossem Spiegel anbringen lassen.

In der Distanz von der hiesigen Sternwarte zum Hohehagen, einem Haupt- dreieckspunkte der Grradmessung, (beinahe 2 geographische Meilen) war das Licht vom Heliotrop selbst sowohl, als das von dem zum Heliotrop einge- richteten Sextanten mit blossen Augen, wenn die Sonne hell schien, überaus schön zu sehen; im Femrohr des Theodolithen war es im Grunde zu stark, und dagegen gab bloss das reflectirte Licht von einer hellen Wolke den schönsten Zielpunkt, der sich denken lässt. Offenbar kann übrigens das reflec- tirte Sonnenlicht selbst, wo man es wünscht, leicht durch Bedeckung eines Theils des Spiegels nach Gefallen gemässigt werden.

In der Entfernung des Hils (eines andern Hauptdreieckspunktes) zum Meridianzeichen der Sternwarte, sehr nahe 5 geographische Meilen, war das Licht beider Instrumente gleichfalls noch mit blossen Augen wie ein schönes Sternchen vortreffliich zu sehen, und bot im Femrohr des Theodolithen den herrlichsten Zielpunkt dar. Zuweilen bei nebliger Luft, wo von dem Bergrücken des Hils im Femrohr des Theodolithen ebenso wenig, wie von dem dort er- bauten Signalthurm nur eine Spur zu erkennen war, schien das Licht des Heliotrops wie ein prachtvoller Stern im blauen Himmel zu schweben.

Die wichtigsten Versuche sind nur erst in den letzten Tagen angestellt. Hr. Professor Encke, Vorsteher der Seeberger Sternwarte, war auf die Einladung des Hm. Hofrath Gauss hieher gekommen, um den Gebrauch des Spiegel- sextanten, ohne dritten Spiegel, als Heliotrop, und die dabei anzuwendenden

HELIOTROP. 465

kleinen Kunstgriffe kennen zu lernen, und begab sich sodann auf den Insels- berg, während Hr. Hofrath Gauss die Messungen auf dem Hohehagen anfing. Jener sandte das Sonnenlicht mit dem als Heliotrop gebrauchten Sextanten absatzweise nach dem Hohehagen (Entfernung 85000 Meter oder llf geogr. Meilen), von wo das Sonnenlicht mit dem eigentlichen Heliotrop nach dem Inselsberge gelenkt wurde. Die Versuche und Beobachtungen sind vom 19. bis 29. Julius unter abwechselnd ungunstigen und günstigen Umständen fort- gesetzt und haben den allererwünschtesten Erfolg gehabt. Beide Beobachter haben durch das heliotropische Licht die allerschönsten Zielpunkte erhalten, die sich nur irgend denken lassen; häufig erschien es wie ein schönes Stern- chen, während man in demselben Femrohr den Umriss des Berges kaum oder gar nicht wahrnehmen konnte; der eine Beobachter befand sich zuweilen in Nebel und Regen, während das Heliotroplicht von drüben kräftig durchdrang. Ja einige Male glaubten mehrere Anwesende auf dem Hohehagen von vorzüg- lich scharfer Gesichtskraft das Lichtpünktchen auf dem Inselsberge mit blossen Augen zu erkennen. Wir können noch hinzusetzen, dass die Winkelmessungen selbst, die sich auf das Heliotroplicht bezogen, beiderseitig eine Übereinstim- mung gewährt haben, wie sie in einer so grossen Entfernung von keinem andern Signal, es sei deim bei ganz besonders günstigen Umständen, hätte er- wartet werden dürfen.

Diese Erfahrungen setzen bereits ausser Zweifel, dass bei Anwendung des Heliotroplichts es £ur die Grösse zu bildender Dreiecke keine Ghrenzen weiter geben wird, als die die Krümmung der Erde setzt.

So wie das Bedürfiiiss der hohem Geodäsie dieses Instrument veranlasst hat, so beschränken wir uns hier auf Erzählung obiger Erfahrungen, ohne die sich von selbst darbietende Aussicht zu dem künftigen vielleicht noch wich- tigem Gebrauch eines den Kaum so kräftig durchdringenden Mittels zu tele- graphischen Signalisirungen in Krieg und Frieden jetzt weiter zu verfolgen.

IX.

59

- .^ Jahr iBl». Berlin iBll. 8. los und i«i.

- -ciing eines Heliotrops,

. Jauss in Göttingen unterm 26. December 1821 eingesandt.

«tiren meines so langen Stillschweigens entschuldigt

' '1 ^a^, dasB ich den grössten Theil des Jahres von hier

^ - .1. und selbst noch im Spätherbst eine Reise nach Altena

. ics RAMSDENBchen Zenithsectors gemacht habe, von wo ich

;.v'.tor mirückgekommen bin.

■ V L'ridngulation, wo ich bisher an fünf Dreieckspunkten die

v^?»'i habe, habe ich die Dreiecke so gross wie möglich zu machen

,'vc Jas neue von mir zu diesem Behuf angewandte Hülfsmittel,

■ ■.■,v>i>^ und die ersten damit gemachten ins Grosse gehenden Ver-

., ^-.-Ic« Sit' die Nachricht in Nr. 126 der hiesigen gelehrten Anzeigen

^,1 'i.t'vu. Seit der Zeit habe ich davon beständig Gebrauch gemacht,

- i,!\u> «J» Zielpunkt beim Winkelmessen, sondern auch mit nicht we-

,t ^^^.ukUohom Erfolg zu telegraphischen Signalisirungen. Die gewaltige

^^ ,v .^ do8 reflectirten Sonnenlichts von einem Spiegel von 2 Zoll Breite

»i ;.; i i Z^'l* Höhe, welches in Entfernungen von 5, 6, 71^, ja einmal von 91

•vx-Miirti'KiscIit'n Meilen mit blossen Augen gesehen wurde, pflegt diejenigen,

'< • 4t«~ vuni ersten Male erfahren, und nicht durch theoretische Berechniing

ti\«uf vorbereitet sind, gewöhnlich in Erstaunen zu setzen. Bei einem noi

'iMtuvvuiitnsflcn günstigen Zustande der Lufl gibt es jetzt für die Grösse dei

nt\-i«'rkiiii<<itcn keine Grenzen mehr, als die die Krümmung der Erde setzt,

4«»»ftl wt'nn man, wie ich es bei zwei neu angefertigten Heliotropen von gani

v^'i'^ohtt'doncr Construction gethan habe, den Spiegeln noch etwas grössere

\limrititloncn gibt.

BRIEFWECHSEL- HELIOTROP. 467

BRIEFWECHSEL.

Gauss an Olbers. Göttingen, 1. Julius 1821.

Es lag mir inzwischen daran, vorerst nur über die Strahlkraft

der Spiegel selbst einige Erfahrungen zu erhalten. Ich habe erst mancherlei versucht. Ich befestigte einen Spiegel am Deckel des Femrohrs eines Theo- dolithen und suchte durch im voraus mühsam berechnete Azimuthe und Höhen dem Spiegel die richtige Lage zu geben, um das Licht nach einer bestimmten Richtung zu werfen. Dies misslang aber gänzlich. Der Deckel, etwas hart gehend, konnte nicht mit Sicherheit immer wieder in dieselbe Lage gebracht werden, sondern es blieben darin Differenzen von 20', die dies Verfahren ganz unbrauchbar machten, wenn nicht der Spiegel auf eine solidere Art am Fem- rohr befestigt wurde, so dass dieses offen blieb. Inzwischen brachte mich der Verdruss über die verlorne Mühe auf eine andere Idee, die vollkommen ge- lungen ist. Der blosse Spiegelsextant auf einem guten Stativ leistet schon das Verlangte, obwohl nicht so vollkommen wie ein eigentlicher Sonnen- Spiegel. Ist der Winkel, den die Gesichtslinie (die, wenn sie nicht schon vorhanden, erst durch einen Faden oder ein Fadenkreuz dargestellt werden muss) mit dem kleinen Spiegel macht, = 90^— a, und ist Sonnenbild und Ob- ject, wohin das Licht zu werfen, auf gewöhnliche Art zur Berührung gebracht, als wollte man den Winkel messen — gleichviel ob ersteres oder letzteres direct gesehen — , so braucht man nur bei unverrückter Ebene die Alhidade um a (oder nominell 2 a) vorzurücken und hat seinen Zweck erreicht. Man kann bei einiger Übung die Stellung leicht so machen, dass jene Coincidenz

59*

468 BRIEFWECHSEL.

erst nach ein paar Minuten eintreffen würde, und wenn man sich dann beeüt, abzulesen und die Alhidade vorzurücken, so gelingt es wohl, dass der Beob- achter an dem Ort, wohin das Licht geworfen wird, über 2 Minuten den vollen Glanz geniesst. Offenbar ist die Mühe ohne Vergleich geringer, wenn sogleich am grossen Spiegel, senkrecht auf der Ebene des Sextanten, unter der Neigung a ein dritter Spiegel befestigt ist. Der Sextant wird dadurch ein vollkommener Sonnenspiegel, und steht nur deswegen sehr nach, weil theils das kleine Femrohr mit seinem halben Licht nicht auf sehr grosse Di- stanzen trägt, und theils, weil dieser dritte Spiegel bei den Bewegungen des Sextanten auf seinem Stativ nicht in Ruhe bleibt. Ich denke jedoch behuf der Contresignale an meinem Sextanten einen solchen dritten Spiegel an- bringen zu lassen.

Bei den kleinen bisher angestellten Versuchen ist es nun so gegangen: Zuerst, bloss auf der Terrasse der Sternwarte, Distanz 60 Meter, war das Licht so, dass man auch nicht einen Augenblick ohne Schmerz hinsehen durfte. Zweitens etwas abwärts, Distanz 1 50 Meter, war das nur ein paar Secunden fort- gesetzte Hinsehen dem Auge peinlich. Nur diese beiden Versuche habe ich selbst gemacht, da ich bisher niemand habe, der die Stellung machen könnte, und also dies selbst thun musste. (Es würde besser sein, einen andern dazu abzurichten, wenn nicht das Stativ sehr unvollkommen balancirt wäre, so dass es, wenn die Versuche nicht völlig misslingen sollen, mit äusserst leichter Hand behandelt werden muss ; wenn ein dritter Spiegel erst da ist, fallt offen- bar diese Schwierigkeit weg.) Bei den folgenden Versuchen haben theils der jetzt hier angesetzte Professor Ulrich, theils Hr. Lieutenant Hartmann beob- achtet.

Beim dritten Versuch war die Distanz 300 Meter. Hr. Professor Ulrich beschrieb das Licht als herrlich und beim anhaltenden Hinsehen dem Auge beschwerlich.

Vorgestern ein vierter Versuch, auf die Distanz 2000 Meter. Hr. Pro- fessor Ulrich qualüicirte das Licht wieder als herrlich und verglich es mit einem 3-fachen Glänze der Venus, wie sie, wenn sie am schönsten ist, bei Nacht erscheint. Sein Begleiter habe nicht genug sein Erstaunen zu erkennen geben können, wie ein solcher Glanz hervorgebracht sei.

Gestern fünfter Versuch, am Platz des künftig zu errichtenden süd-

HELIOTROP. 469

liehen Meridianzeichens, wo ich eine beträchtliche Waldung habe durchhauen lassen müssen, Distanz 11890 Meter. Hr. Lieutenant Hartmann betitelt das Licht wieder als herrlich und meint, dass es an Intensität wohl noch der Venus in der Abenddämmerung gleich gekommen, aber für das Auge, wie er sich ausdrückte, beleidigender gewesen sei. Es versteht sich, dass alle diese Beoachtungen mit blossen Augen gemacht sind. Ein Arbeiter, den er bei sich hatte, habe beim ersten Aufblitzen erschrocken Feuer geschrien. Ln Theodolithenfemrohr schien der Faden an der Stelle dieses scharfen Licht- punkts völlig zerschnitten.

Der Spiegel an meinem Sextanten hat genau 2 Pariser Zoll Breite und 1^ Zoll Höhe; der Spiegel des von Rumpf verfertigten Heliotrops hat nahe dieselben Dimensionen.

Ich habe geglaubt, dass es Ihnen nicht unangenehm sein würde, diese Re- sultate zu erfahren. So lange, bis ich mit dem wirklichen Sonnenspiegel erst noch etwas mehr ins Grosse gehende Versuche angestellt habe, möchte ich nicht gern, dass auswärts etwas davon transpirirte.

Ich habe nun die beste Hoffnung, dass diese Vorrichtung auch in den grössten Distanzen meines Dreieckssystems aushelfen soll. Ich glaube, wenn man die Sonnenspiegel nach der zweiten in meinem letzten Briefe ange- deuteten Einrichtung ausfahrt, und den Spiegel hinlänglich gross macht, so gibt es in Zukunft für die Grösse der Triangelseiten keine Grrenzen mehr, als die die Kugelgestalt der Erde setzt.

Vielleicht können diese Ideen auch in andern Beziehungen noch wichtige Anwendungen finden, z. B. als Signale fär astronomische Längenbestimmimgen, da man dies Licht immer ganz augenblicklich bedecken und wieder erscheinen lassen kann. Vielleicht selbst zu andern telegraphischen Signalisirungen, wenigstens zu Zeiten, wo die Sonne etwas anhaltend scheint, wenn den sehr genau zu messenden Intervallen des Erscheinens und Verschwindens verab- redete Bedeutungen beigelegt werden.

Mein Hohehagen- Signal ist gestern fertig geworden. Ich denke diese Woche noch (wenn Rumpf Wort hält) theils die schwierige Berichtigung des Sonnenspiegels, theils die Messung des Winkels Hohehagen-Meridianzeichen hier zu absolviren und dann nach dem Hohehagen abzugehen

470 BRIEFWECHSEL.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 11. Julius 1821.

Vielleicht könnte eine Nachricht über mein neues Instrument,

dem ich den Namen Heliotrop beilegen möchte, die EröflBaung [*)] machen: ich hoffe, dass diese Manier zu beobachten für die höhere Geodäsie von der grössten Wichtigkeit werden kann. Auf kurze Distanzen (bis 2 Meilen) können Sie sich keinen schönem Zielpunkt denken, als reflectirtes Licht von einer hellen Wolke; reflectirtes Sonnenlicht, hoffe ich, soll in den allergrössten Entfernungen das schönste Ziel darbieten

Gauss an Schumacher. Göttingen, 8. November 1821.

Den Artikel über den Heliotrop in den Göttingischen gelehrten

Anzeigen hat Zach in seinem Journal [**)] übersetzt ; es sind aber in der Über- setzung mehrere Unrichtigkeiten. Von den beiden neuen Heliotropen ist der eine jetzt fertig; er thut eine prachtvolle Wirkung, nur macht es uns grosse Schwierigkeit, gute Spiegel zu bekommen ; die bisherigen sind äusserst schlecht, was zwar der Wirkung an sich wenig oder gar keinen Eintrag thut, aber die Berichtigung sehr erschwert. Gestern machte ich einen Versuch mit Mond- licht; in einer freilich nur kleinen Entfernung von etwa 250 Meter machte es einen überaus schönen Effect, das Licht dem der Venus (bei Nacht, wenn sie hoch steht) zwar ähnlich, aber vielfach brillanter. Das Telegraphiren habe ich ziemlich ausgebildet, ich kann allenfalls einige Tausend verschiedene Zeichen geben

Gauss an Schumacher. Steinkrug am Deister, 10. Julius 1822.

Ich habe dieses Jahr 3 wirkliche Heliotrope und noch einen

andern Heliotropapparat in Thätigkeit; zwei von jenen spielen immer in der Feme. Es ist eine Pracht (a luxury), in schönen Abendstunden Winkel zwischen zwei Heliotroplichtem zu messen, und die Harmonie der Kesultate ist dann oft ganz zum Bewundem

[*) Schirm ACH£B hatte um einen Beitrag für die AstronomiBchen Nachrichten gebeten.]

[**) Correspondance afltronomique, g^ographique, etc. du Baron DB Zach. V.Band. 1821, S. 374/S8S.J

HELIOTROP. 471

Gauss an Schumacher. Göttingen, 15. Januar 1S27.

Hieneben erhalten Sie den Aufsatz über die Berichtigung der Heliotrope zurück [*)]. Nur bei dem 3^° Mittel zur 7*®^ Berichtigung ist, falls ich mich recht erinnere, meine Meinung eigentlich anders gewesen, als hier gesagt wird; ich meinte nemlich einen Sextanten so zu stellen, dass die Spiegel genau parallel sind, nemlich Index auf dem wahren Nullpunkt, und worauf es hier eigentlich ankommt, die Spiegel in Rücksicht auf ihre Verticalität zur Ebene des Sextanten gehörig berichtigt. Wenn man dann den Sextanten so hält, dass man das aus dem I. Spiegelbestandtheile reflectirte Bild eines hellen gut begrenzten Gegenstandes (besser als die Sonne würden die Fixsterne erster Grrösse oder hinlänglich entferntes Heliotroplicht sein) direct, das aus dem n. Spiegelbestandtheile aber durch die Reflexion von den beiden Spiegeln des Sextanten, also im Grunde durch dreimalige Reflexion, sieht, so soll nur Ein Bild gesehen werden. Indessen gestehe ich, dass ich dies Mittel selbst nicht angewandt habe ; auch ist die Brauchbarkeit von den Dimensionen des Helio- trops und Sextanten abhängig, nemlich die Entfernung der Mitten von I imd n soll etwas kleiner sein, als die Entfemui^ der Mitte des grossen Sextanten- spiegels von der Axe des Femrohrs. Sie mögen also immerhin es so, wie es

j[\L ^i \^GrSe3UrSpi

geschrieben ist, stehen lassen, zumal da jeder Leser sich die nöth^en Cautelen leicht hinzu denken kann, z. B. dass man am besten thut, das Spiegelsystem so zu stellen, dass die Sonne ungefähr in derjenigen Ebene ist, auf welcher die Spiegelaxe senkrecht ist; dass man, wenn zwischen den Messungen auf beiden Spiegelbestandtheilen einige Zeit verfliesst (mehr als einige Secunden, was jedoch von einem geschickten Beobachter wohl vermieden werden kann), darauf Rücksicht nehmen müsse

[*) Siehe die folgende Abhandlung.]

472 HELIOTROP.

Astronomische Nachrichten, Bd. V, Nr. 116, Februar 1837, S. 329 — 934.

Die Berichtigung des Heliotrops.

Zur völligen Berichtigung des Heliotrops sind in allem acht Operationen erforderlich :

1 . 2 . Die optische Axe des Femrohrs wird durch die Correctionsschrauben E und F (Fig. 1) mit der Drehungsaxe desselben paraUel gemacht.

3. Die Spiegelaxe AB stellt man durch die Schrauben CC (Fig. 1) an dem einen Arme der Gabel, welche jene Axe trägt, auf die Drehungs- axe des Femrohrs senkrecht.

4. 5. 6. Die Ebenen der drei Spiegel (des kleinem und der beiden Be- standtheile des grossem) werden durch die Schrauben G, H^ I (Fig. 2) der Spiegelaxe parallel gestellt.

7. Durch die Schraube K (Fig. 2) wird der Bestandtheil H des grossem Spiegels in eine mit dem Bestandtheil I parallele Ebene gebracht.

8. Der kleine Spiegel muss durch die Schraube am Schwänze desselben so gestellt werden, dass die Ebene des Spiegels auf den Ebenen der beiden Bestandtheile des grossen senkrecht steht.

Die Berichtigungen 1 und 2 übergehe ich als allgemein bekannt.

Um die Berichtigung 3 auf eine ganz selbstständige Art auszufuhren, stelle ich den Heliotrop auf ein festes Postament, richte die Spiegelaxe AB (Fig. 3) vertical mit dem Stiele AD nach unten, und drehe diesen Stiel, bis er nach der Ocularseite *) hin mit der Femrohraxe parallel ist. Alles bloss nach dem Augenmaass. An dem Stiel AD hänge ich eine nicht zu empfind-

*) Dies kann auch, mutatis mutandis, umgekehrt gehalten werden.

HELIOTROP. 473

liehe Libelle, und bringe durch Änderung der Länge der Drähte, woran sie angehangen ist, die Blase nahe und nachher durch die Fussschrauben genau zum Einstehen. Hierauf drehe ich den Stiel um 180® um die Spiegelaxe, liebe das Fernrohr vorsichtig aus, und lege es in der entgegengesetzten Lage wieder ein (Fig. 4). Die Berichtigung ist unnöthig, wenn die Blase dann wieder einsteht; sonst wird die eine Hälfte des Ausschlags an den Fuss- schrauben, und die andere an den Schrauben CC (Fig. 1) corrigirt. Eine ^Restitution in die vorige Lage zeigt, ob die Vertheilung richtig gemacht ist. Die bei diesem Verfahren nöthigen Cautelen übergehe ich, da jeder sie auch ohne Anleitung finden wird, und ich das Verfahren späterhin entweder gar nicht oder nur zur ersten groben Berichtigung angewandt habe''^).

Ein Verfahren, welches ich für die Berichtigungen 4, 5 und 6 angewandt habe, beruht auf dem Princip, dass eine Ebene ab (Fig. 5) durch eine halbe Umdrehung um eine ihr parallele Axe -4-B in eine mit ihrer ersten Lage ah parallele, aber entgegengesetzte Lage cd gebracht wird. Sind die Axe und die Ebene aber nicht parallel, wie in Fig. 6, so werden die beiden Lagen ah und cd auch nicht parallel sein. Um dies an einem Spiegel zu prüfen, stelle ich zwei mit Kreuzfäden versehene Fernrohre M^ N (Fig. 7) so auf, dass deutliche Objecte O, P auf ihren optischen Axen erscheinen, und dass letztere sich nahe schneiden, oder nahe in einer Ebene liegen. Den zu prüfenden Spiegel stelle ich, nachdem ich die Gabel vom Femrohre abgenommen und auf einem Kästchen oder Brett befestigt habe, auf einen Tisch nahe in den Schnitt der optischen Axen, so dass die Drehungsaxe AB ungefähr in ihrer Ebene liegt und den Winkel derselben bisecirt. Ich stelle dann den Spiegel L perpendiculär auf jene Ebene und bewirke durch kleine Drehungen und sanfte Anschläge sowohl an den Spiegel selbst als an das Kästchen, dass das Bild von O, aus dem Spiegel reflectirt, auf der optischen Axe von M er- scheine. Darauf drehe ich den Spiegel um 180^ um seine Axe und sehe nach, ob in dieser Lage (Fig. 8) das Bild von P auf der optischen Axe von N erscheint. Kann dies nicht durch blosse Drehung des Spiegels um die Axe AB erreicht werden, so muss die Hälfte an dem Kästchen und die

*) Übrigens beruht die Brauchbarkeit dieser Methode darauf, dass die cylindrischen Ansätze, mit welchen das Femrohr in den Lagern ruht, genau gleiche Dicke haben, auf welchen Umstand bei den yon Hm. Rümpf yerfertigten Instmmenten sorgfältig Rücksicht genommen ist.

IX. 60

474 HELIOTROP.

andere Hälfte an der Lage des Spiegels gegen seine Axe corrigirt werden. Die Objecte O, P brauchen, insofern der Spiegel hart an seiner Axe sitzt, nicht weit entfernt zu sein; ich habe sie in eine Entfernung von etwa 70 — 80 Fuss gestellt.

Zur Erreichung der Berichtigung 7 lassen sich mancherlei Mittel an- wenden. Das einfachste, und welches auch hinreichende Genauigkeit gewährt, ist, eine gerade Linie, mit der die Spiegelaxe ungefähr parallel ist, in den beiden Hälften des grossen Spiegels zu betrachten, worin sie als eine gerade Linie erscheinen muss, was das blosse Auge schon mit grosser Genauigkeit beurtheilt. Ich habe dazu die Fa9ade der Sternwarte gebraucht. — Ein zweites Mittel ist: ein feines Object (Heliotroplicht) mit einem Femrohr von grossem Objectiv (Cometensucher) in beiden Spiegeln zugleich zu sehen, und an dem Bestandtheile U zu corrigiren, bis man nur ein Bild hat. Offen- bar wird hiedurch auch die Correction 6 erhalten, wenn 5 schon gemacht ist. — Ein drittes Mittel ist: von den beiden Bestandtheilen des grossen Spiegels als künstliche Horizonte die Sonnenhöhen mit einem Sextanten zu nehmen, die, wenn die Berichtigung gemacht ist, sich gleich sein müssen. — Ein viertes Mittel wird sich sogleich darbieten.

Um die 8** Berichtigung zu machen, habe ich folgendes Verfahren am besten gefunden. Ich stelle den Heliotrop und ein Hülfsfemrohr mit Kreuz- faden so auf, dass die optische Axe des letztem mit der des Heliotropfem- rohrs parallel ist, und etwa um die Hälfte der Entfernung der Mitten der beiden Bestandtheile des grossen Spiegels in derselben Verticalebene höher liegt (Fig. 9). Dies bewirke ich dadurch, dass ich den Heliotrop auf ein gut zu sehendes entferntes Object richte, das Femrohr herausnehme, und nachdem das Hülfsfemrohr in der angegebenen Höhe auf dasselbe Object ge- richtet ist, in umgekehrter Lage wieder einlege. Die Spiegelaxe wird darauf senkrecht gestellt, mit dem Bestandtheile I nach oben, und durch Drehung des Spiegelsystems und nöthigenfalls auch des Fernrohrs bewirkt, dass ein Object durch Reflexion aus dem kleinen Spiegel auf der optischen Axe des Heliotropfemrohrs erscheine. Erscheint dasselbe Object durch Reflexion aus dem Bestandtheile I des grossen Spiegels auf der optischen Axe des Hülfs- femrohrs, so macht die Ebene des kleinen Spiegels mit dem des Bestandtheils I einen rechten Winkel ; sonst wird das Fehlende an der Schwanzschraube corri-

HELIOTROP. 475

girt. Die Berichtigung 7 kann hierauf auch auf dieselbe Weise geprüft werden, indem man das Heliotropfernrohr 180® um seine Axe dreht, dass der Bestandtheil 11 oben kommt, wobei aber offenbar Objecte auf der andern Seite genommen werden müssen.

Die bisher angeführten Methoden sind alle von einander unabhängige bloss mit der Einschränkung, dass 7 nach 6 gemacht werden muss, weil eine Berührung der Schraube I die Berichtigung 7 afficiren würde. Zur Berich- tigung 3 aber, insofern 4 schon gemacht ist, oder zu beiden zugleich, habe ich ein Verfahren angewandt, was auf dem Princip beruht, dass eine Fläche, die um eine auf ihr senkrechte Axe gedreht wird, immer in derselben Ebene bleibt. Wird daher der kleine Spiegel senkrecht auf die Axe des Heliotrop- femrohrs gestellt (welches auf doppelte Weise geschehen kann, indem nem- lich die reflectirende Fläche dem Fernrohr zu- oder davon abgewandt wird), so muss das Bild eines jeden Objects in diesem Spiegel ruhen, während das Femrohr um seine Axe gedreht wird. Ich stelle demnach den kleinen Spiegel, zuerst nach dem Augenmaasse, senkrecht auf die Fernrohraxe, die reflectirende Fläche abwärts vom Objective (Fig. 10), und bewirke dies genauer, indem ich zuerst mit blossen Augen beurtheile, ob das Bild eines seitwärts liegenden Gegenstandes durch Drehung des Femrohrs um seine Axe unbeweglich bleibt. Hierauf stelle ich, indem die Spiegelaxe vertical steht, ein Hülfsfemrohx mit Kreuzfaden so auf, dass das aus dem kleinen Spiegel reflectirte Bild irgend eines seitwärts liegenden Gegenstandes auf der optischen Axe desselben er- scheint, und zwar so, dass diese Axe nahe auf die Mitte des kleinen Spiegels gerichtet ist. Ich drehe jetzt das Heliotropfemrohr halb um seine Axe herum und sehe zu, ob das reflectirte Bild auf der optischen Axe des Hülfsfemrohrs geblieben ist. Die Hälfte der Abweichung links oder rechts wird sonst durch Drehung des Spiegelsystems, die Hälfte der Abweichung nach oben oder unten aber an den Schrauben CC (Fig. 1) corrigirt, und das Hülfsfemrohr *) wieder so gerichtet, dass das reflectirte Bild genau auf der optischen Axe erscheint. Eine abermalige halbe Umdrehung des Heliotropfemrohrs um seine Axe wird dann zeigen, ob die Vertheilung richtig gemacht ist. Die Ebene des kleinen Spiegels ah (Fig. 11) steht also jetzt genau senkrecht auf der Fernrohraxe;

*) Oder der Heliotrop, welches aber ohne Gehülfen nicht bequem geschehen kann.

60*

476

HELIOTROP.

mithin ist, wenn die Berichtigung 4 schon gemacht ist, auch 3 Tollkommen. Iit aber die Ebene des kleinen Spiegels nicht mit der Axe AB (Fig. 11) parallel, so wird er durch Drehung des Spiegelsystems nicht in eine auf der Femrohraxe senkrechte aber entgegengesetzte Lage gebracht werden können, sondern bei der grössten Abweichung um die doppelte Neigung gegen die Spiegelaxe davon abstehen (Fig. 12). Man wiederhole also in dieser Lage das vorige Experiment, wobei aber das Object in einer Richtung liegen muss, die mit der Femrohraxe einen stumpfen Winkel bildet (Fig. 13). Ist der Spiegel nun so gestellt, dass das reÜectirte Bild, welches zuerst bei der senkrechten liOge der Spiegelaxe auf der optischen Axe erschien, nach einer halben Um- drehung um die Femrohraxe weder rechts noch links erscheint, so sind in dem Falle, dass es auch weder höher noch tiefet liegt, die Berichrigungen 3 und 4 beide vollkommen ; sonst wird von dem Unterschiede ^ an der Schraube CC (Fig. 1) und ^ an der Schraube G corrigirt. Das Hülfsfemrohr wird dann wieder auf das reflectirte Bild gestellt, und nach einer halben Um- drehung des Heliotropfemrohrs um seine Axe zur Prüfung nachgesehen, ob das Bild auf der optischen Axe gebUeben ist. Wenn noch etwas nachzu- helfen ist, so ist es gut, die Prüfung in der ersten Lage des Spiegels za wiederholen. Die Objecte brauchen hiezu nicht entfernt zu sein, wenn nur das Fadensystem des Hülfsfemrobrs dieser Entfernung gemäss gestellt ist

HELIOTROP.

477

Fig. 3,

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Fig. 5.

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478 NACHLASS.

NACHLASS.

[1.]

Einfluss unvoUkommner Berichtigung am ersten Heliotrop.

Grösserer Einfachheit wegen nehmen wir an, dass die Richtung der Axe horizontal und zum Azimuth 0 gerichtet ist, der leuchtende Punkt aber gleich- falls im Horizont im Azimuth A liegt. Die Fehler sind nun doppelter Art:

I. Rücksichtlich des Azimuths.

1. Wenn das Fadennetz um a zu weit rechts steht, wird das liicht nicht in das Azimuth 0, sondern

in das Azimuth -a reflectirt. Also die Wirkung = -a

2. Ist der Spiegel von der senkrechten Lage gegen die Führungsstange um ß vorwärts gedreht, so entsteht daraus die Wirkung = -f- 2 ß

3. Ist die Axe der Hülse zu weit von der Femrohr- axe entfernt, im Verhältniss (1 -f-T)- ^» ^^ ist die

Wirkung = +206265. -y-tgiil

n. Rücksichtlich der Höhe.

4. Ist der Spiegel nach oben zu gerichtet um 8

(die Schraube zu stark angezogen) : 4~ 2 S cos ^ Ä

5. Die Spiegelaxe unten zu weit vorwärts gelehnt

um e: +2ecosfil*

6. Die Spiegelaxe unten zu weit rechts um C: +Csinil

HELIOTROP. 479

>»

7. Die Femrohraxe unten zu weit vorwärts um ij, so dass doch die optische Axe der Hauptaxe

parallel werden kann: +2ir]8in-J-il*

8. Das Fadennetz zu hoch um 0: •4~0 Noch ist für das Azimuth nachzuholen

Wirkung der Parallaxe ic: — icsinil.

Für den zweiten Heliotrop.

Für das Azimuth kommt bloss die Neigung der beiden Spiegel gegen einander in Frage. Ist der kleine Spiegel zu weit vorwärts gedreht um a, so wird das Bild nach —2a hin reflectirt.

[20 Zur Berichtigung des Heliotrops.

1. Ein wesentliches Bedürfniss für die Berichtigung des Heliotrops sind ein paar Stative, wovon wenigstens das eine in der Hohe stellbar ist, und denen man mit Leichtigkeit und Genauigkeit jede erforderliche Höhenungleich- heit verschaffen kann

2. Die einfachste Bestimmung des geometrischen Orts des Spiegelbildes eines ruhenden Gegenstandes, während der an einer Axe festsitzende Spiegel sich um diese dreht, ist folgende:

Es sei A der Schnitt der Spiegelfläche mit der Drehungsaxe, B ein Punkt in der Normalen gegen die Spiegelfläche, und zwar auf der Rückseite des Spiegels, AB willkürlich. Es ist also B fest gegen den Spiegel, be- schreibt aber bei dessen Drehung im Baume einen Kreis, und zwar in dem- selben Sinn wie irgend ein anderer zum Spiegel fester Punkt, z. B. die Mitte einer der vier Seiten seiner rectangulären Begrenzung. Zugleich ist der Mittel- punkt jenes Kreises C in der Drehungsaxe, und AC = AB cos% wenn 90^—6 die Neigung des Spiegels gegen die Drehungsaxe bedeutet. Nun wird das Spiegelbild P von einem im Baume festen Punkt D gefunden, wenn man durch D eine Parallele mit AB zieht, und nöthigenfalls sie so weit verlängert, bis AP ^= AD. Das bisher willkürliche AB kann man so gross annehmen, dass AC = AE wird, wenn DE auf die Drehimgsaxe AE normal gezogen ist.

480

NACHLASS.

Zieht man dann De mit^C und Cc mit ED parallel, so ist De = 2^1 C, Ac = AD, also c auf der Oberfläche einer mit Radius AD um A beschrie- benen Kugel. Legt man durch c eine gegen De normale Ebene, und be- schreibt darin mit Halbmesser cb^=2CB um c einen Kreis hh\ so liegt PP' in der Oberfläche des geraden Kegels, dessen Spitze D, Axe De, Seiten Dh, Db\ Öfihungswinkel bDb' = BAB' = 20. Auf der Kugelfläche selbst ist der Weg von P zwar keine sphärische Ellipse *), aber doch sehr wenig davon verschieden. Der Durchmesser, in dessen Fortsetzung D liegt, ist genau =40; der dagegen senkrechte sehr nahe 2 6 • j- = 4 6 • -^ • Dieses Bild dreht sich um seinen Mittelpunkt in demselben Sinn, wie b um den seinigen c für einen Betrachter innerhalb des Raumes DcC, oder wie ein Funkt m oder n far einen Betrachter vor dem Spiegel, und diese Gleichheit des Sinnes der Drehung gilt, man mag das Bild mit blossem Auge oder durch ein umkeh- rendes Femrohr sehen.

3. Es ist nun leicht, diese Sätze zu benutzen, um den kleinen Spiegel gegen die Drehungsaxe normal zu bringen, möge dies nun für die vom Fem- rohr abgekehrte oder für die ihm zugekehrte Lage verlangt werden.

Eine ganz rohe Annäherung, z. B. auf 5 — 10 Grad, bewirkt man ohne weiteres nach dem Augenmaass. Man stelle dann das Femrohr so, dass die

*) Unter Bph&riBcher Ellipse verfltehe ich diejenige Curve auf der Kugelfläche, von welcher jede cen- trale Projection eine Ellipse ist; die hier in Rede stehende hingegen ist eine solche, von welcher eine stereographische Projection eine Ellipse ist.

HELIOTROP. 481

Spiegelaxe nach dem Augenmaass vertical steht und betrachte mit blossem Auge das Bild eines schicklichen Gegenstandes. Wenn nun bei einer Dre- hung des Femrohrs das Bild nicht ruhig bleibt, so muss man diejenige verti- cale Seitenwand des Spiegels von sich a b drehen, welche mit dem Bilde gleich- namige Bewegung zeigt, d. i. die steigende Seite, wenn das Bild steigt, die sinkende, wenn es sinkt. Dies wiederholt man jedesmal, von der nahe verti- calen Lage der Spiegelwand anfangend, bis das blosse Auge keine Bewegung des Bildes mehr erkennt.

Man wiederholt nun dieses Geschäft, indem man dem Spiegel gegenüber ein Femrohr aufstellt. Ist der Fehler noch so gross, dass das Bild bei der Drehxmg das Gesichtsfeld verlassen würde, so muss zugleich das Fernrohr ge- dreht und nöthigenfalls mit seinem Stativ verschoben werden. Um im voraus zu beurtheilen, wie viel etwa und in welchem Sinn das Hülfsfemrohr gedreht und verschoben werden muss, ist vor allem nöthig, den Sinn der beiden mög- lichen Drehungen ein für allemal zweckmässig zu unterscheiden.

Ich nenne eine positive Drehung die, in der die Gewinde einer auf ge- wöhnliche Art geschnittenen Schraube sich von dem in der Axe der Schraube gedachten Betrachter entfernen. Durch eine solche Drehung schraubt man also eine Schraube in die Mutter, oder zieht die Mutter an. Bei einer Dre- hung um eine verticale Axe, den Betrachter oberhalb des gedrehten ange- nommen, geht also die positive Bewegung in dem Sinne der täglichen Sonnen- bewegung für die nördliche Hemisphäre ; bei Drehung um eine horizontale Axe geht die Bewegung in der Ordnung Links, Oben, Rechts, Unten: L.O.R.U, O.R.Ü.L, R.U.L.O, Ü.L.O.R; negative wäre L.Ü.R.O, U.R.O.L, R.O.L.Ü, O.L.U.R.

Die allgemeine Regel ist nun folgende.

Es sei e die Neigung der nach dem Gegenstande gehenden Geraden gegen die Spiegelebene, p eine kleine Drehung des Femrohrs um seine Axe (wobei der positive Sinn nach der Stellung des Betrachters vor dem Spiegel, also an der Ocularseite des Heliotropfemrohrs, dann wenn der Spiegel dem Femrohr zugekehrt bleiben soll, und vice versa im umgekehrten Fall, zu beurtheilen ist), und steigt das Bild bei dieser Drehung um h für das blosse Auge, oder sinkt so viel beim Sehen durch das Hülfsfemrohr, so muss behuf der Berichti- gung gedreht werden um die Grösse

IX. 61

482 NACHLASS. HELIOTROP.

gineginp

1) der Spiegel um die Spiegelaxe , , , , . ,

^ * o i oben her betrachtet.

2) das Hmfefemrohr ebenso viel um diese

Die letztere Bewegung geschieht durch Drehung der Alhidade des Fem- rohrs um die Verticalaxe des TheodoUthen (wenn das Hülfsfemrohr an einem solchen sitzt) und ausserdem durch Verschiebung um

X8,

4 sin e Bin p

wenn 8 die Entfernung der Spiegelaxe von der Theodolithenaxe bedeutet.

h ist übrigens leicht zu schätzen, wenn der Halbmesser des Gesichtsfeldes bekannt ist; bei dem kleinen Theodolithen ist der Durchmesser =58'. In der Ausübung wird aber eine Rechnung nie nöthig, sondern zureichend sein, nur den Sinn der erforderlichen Drehungen voraus zu bestimmen.

4. Von den übrigen bei Berichtigung des Heliotrops vorkommenden Operationen braucht hier nur noch eine erwähnt zu werden, nemlich die, wo- durch HeUotropfemrohr und Hülfsfemrohr in entgegengesetzt parallele Lage gebracht werden, mit einem Abstände der Parallelen, welcher der halben Di- stanz der Mittelpunkte der grossen Spiegel gleich sein soll. Früher geschah dies so, dass man zuerst das Heliotropfemrohr auf einen Gegenstand richtete und verkehrt wieder in die Pfannen legte, vor der Wiedereinlegung aber das Hülfsfemrohr in angemessener Höhe auf dasselbe Object richtete.

Jetzt ändere ich das Verfahren dahin ab, dass ich zuerst das Hülfsfem- rohr auf einen Gegenstand richte, dann das Heliotropfemrohr genau gegen- über, was durch die Coincidenz der Fadenkreuze mit den gegenseitigen Bil- dern erkannt wird, endlich das Hülfsfemrohr, welches auf einem beweglichen Stative stehen muss, um die aufgegebene Distanz der Parallelen erhöhe und nöthigenfalls , durch Visiren über dem Heliotropfemrohr weg, von neuem scharf auf denselben Gegenstand richte. Ist der Gegenstand nahe, so muss er zwei Zielpunkte darbieten, deren Höhe über einander der angegebenen Distanz gleich ist; mit dem Hülfsfemrohr zielt man nach dem untern oder nach dem obem Punkte, je nachdem jenes in seiner tiefem oder in seiner hohem Stellung ist.

BEMERKUNGEN. HELIOTROP. 483

BEMERKUNGEN.

Die Notiz [i], S. 47 8, zur Berichlaguiig des Heliotrops ist einem Handbuche, die Notiz [2], S. 479, die vom 2. Mai 1843 datirt ist, mehrem losen Blättern entnommen« Über den Heliotrop sind ausser den vorstehenden Abdrücken aus den Göttinger gelehrten Anzeigen, dem Astronomischen Jahrbuch, den Astronomischen Nachrichten und den mitgetheilten Briefen an Olbers und Schumacheb auch die bereits froher abgedruckten Briefe an Bessel vom 26. Becember 1821 und vom 16. November 1822, an Gerlino vom 7. November 1822, vom 11. August, i. und 5. September 1823, sowie die beiden Veröffentlichungen zur hannoverschen Triangulation in den Astronomischen Nachrichten und der Bericht an das hannoversche Cabinetsministerium für 1821 (8. 349/351, .366, 381, 382/389, 397, 400 und 407/409) nachzusehen.

Anfangs October 1818 hatte Gauss in Lüneburg gemeinschaftlich mit Schumacher Anschlussbeob- achtungen an dessen südliche Breieckspunkte ausgeführt (vergl. S. 396j. Bie von ihm gemachten Beobach- tungen sind in ein Tagebuch der Sternwarte eingetragen. Bei den Messungsergebnissen für den Winkel Hamburg-Hohenhom hat er bemerkt:

»Hamburg schlecht zu sehen ; das westliche von der Sonne beleuchtete Fenster genirte das Pointiren.«

Später hat Gauss hinzugesetzt:

»N.B. Biese Erfahrung ist die erste Veranlassung zu der im Herbst 1820 gemachten Erfindung des Heliotrops gewesen, o

Von den beiden Constructionen des Heliotrops gab Gauss nach einem Briefe an Schumacher vom 30. März 1823 (vergl. auch den Anfang des Briefes an Bohnenbbrger, S. 364) der zweiten den Vorzug, »da ihr Gebrauch bequemer, die Berichtigung etwas einfacher und die grössere Spiegelfläche (die leicht nöthigen- falls durch Bedeckung gemässigt wird) in manchen Fällen angenehm ist; auch ist der zweite Heliotrop etwas wohlfeiler«. (Ber letztere kostete 126, der Heliotrop nach der ersten Einrichtung 146 Thaler Conv. Münze.) Ber Heliotrop der zweiten Construction ist auf der Tafel S. 477 abgebildet. Eine Beschreibung des Heliotrops der ersten und altem Construction wurde von Poggendorff in seinen Annalen der Physik und Chemie, Band XVII 1829, S. 83, und von Helmert in dem Bericht über die wissenschaftlichen Appa- rate auf der Londoner internationalen Ausstellung 1876, S. 169/170, gegeben. Eine um ihren horizontalen Burchmesser AB drehbare Kreisscheibe trägt in ihrem Mittelpunkte C eine

verticale Axe, um die das Femrohr HD drehbar ist. Bies Femrohr nimmt ^ y^ V^^^

in einer Hülse E zwischen C und dem Ocularende H, in der Entfernung '*.^ /^s. \

*• wA. ^^1«.^ I

CE= CA, den Stiel AG eines Spiegels F auf, der gegen den Stiel senkrecht ^ Jv^^^^nT — j*

ist und sich um eine in A zur Scheibe normale Axe dreht, wenn sich das \ ^^^^*^

Fernrohr um die Axe in C dreht. Ba der Winkel GAE =^ \DCA ist, so

61*

484 BEMERKUNGEN. HELIOTBOP.

wird mithin, wenn da« Penirohr HD auf die Sonne gerichtet iat, der Spiegel JP dag Licht in der Richtung CA refleotiren. Um den Gegenitand, dem Licht mgeaandt werden toll, in diese Richtung zu bringen, wird dag Liatrument, desaen HorizontaUxe AB von einer sich auf einem Dreifufs erhebenden S&ule getragen wird, go aufgeatellt, dagg dag Objeot im Pemrohr HD ergeheint, wenn dieges der Axe BA parallel ist. Damit der Spiegel dieae Beobachtung nicht hinderte, war er an einem Ringe befegtigt.

Im Jahre 1821 hatte Gauss nur einen Heliotrop (vergl. S. S49 und S9o}, 18S2 und 1823 je s (TeigL S. S55 und 470), 1824 und 1826 (nach den Arbeitaberichten) je 4 Heliotrope im Gebrauch. Zu ihrer Bedie- nung gtanden ihm neben den drei gtftndigen Gehülfen bei der Gradmeggung (Müller, Habtmank und J. Gauss) 1824 noch zwei andere (Studioaug Klütsr, der yon der Stadt Bremen geatellt war, und Studionu Bauhann), 1826 nur ein GehOlfe (Klüyeb) cur Verfügung.

K&ÜOEB.

MESSUNGSFEHLER.

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

[Über die bei der Landestriangulirung erforderlichen Instrumente.]

Bei einer ausgedehnten trigonometrischen Vermessung sind aller- dings Winkelmessungswerkzeuge von verschiedenem Kange zu den einzelnen Arbeiten anzuwenden. Der Bang bestimmt sich nach der grossem oder ge- ringem Schärfe, die mit jedem Instrumente zu erreichen ist, und wird nicht sowohl durch eine grössere oder geringere Vollkommenheit in der Ausarbei- tung, als durch die Dimensionen des Werkzeuges bestimmt. Es liessen sich darin viele Abstufungen machen; ich beschranke mich aber auf eine Bangi- rung in 3 Klassen.

Die in München verfertigten Theodolithen von 1 2 Zoll Durchmesser können zu den feinsten Winkelmessungen auf der Erde gebraucht werden. Zum zweiten Rang zähle ich die Bepetitionstheodolithen von 8 Zoll Durchmesser aus der Reichenbach -ERTELschen Werkstatt; diese dienen für secundäre Messungen. Zu noch mehr untergeordneten Messungen sowie für die Becognoscirungs- arbeiten sind noch kleinere Theodolithen dritten Banges zureichend, wobei allenfalls das Bepetiren wegfallen kann.

Ein Theodolith vom ersten Bange könnte allerdings für alle, auch untergeordnete Arbeiten gebraucht werden. Der Grund, warum man das im allgemeinen nicht thut, ist, theils die grossem Instrumente zu schonen, theils weil jene ihrer Natur nach schwerer transportabel sind, imd bei ihrer Auf- stellung viel mehr Zurüstungen erfordern.

Bei den eigentlichen Ghradmessungsarbeiten, die zunächst nur einen wissen- schaftlichen Zweck hatten, habe ich nur einen Theodolithen ersten und ein

488 NACHLASS.

paar dritten Banges für die Recognoscirungen gebraucht. Die Messungen mit jenem habe ich alle auf mich allein genommen.

Bei dem neuen unmittelbarer die Landesgeographie angehenden Geschafit, wobei eine Menge secundärer und tertiärer Messungen gemacht werden müssen, werden daher auch mehrere TheodoUthen vom zweiten und dritten Bange be- ständig zu gebrauchen sein. Einen TheodoUthen vom zweiten Bange (welchen die Sternwarte seit 1813 besitzt) hat der Hr. Hauptmann Muller im vorigen Sommer benutzt, eigentlich damit seine ersten Übungen gemacht. Einen andern (aber nicht ganz befriedigenden) besitzt Hr. Lieutenant Habtmann selbst, der damit im vorigen Jahre seine Messungen gemacht hat. Einen englischen TheodoUthen dritten Banges, auch nicht besonders gut und öftem Derangements unterworfen, benutzte mein Sohn, der sonst, wenn noch einer zweiten Banges vorhanden gewesen wäre, solchen auch mit Yortheil hätte be- nutzen können.

Ein zweckmässigerer TheodoUth dritten Banges war von mir schon im Frühjahr 1828 in München bestellt; er ist im Herbst angelangt, kostet nur eine sehr geringfügige Summe, und wird doch bei untergeordneten Arbeiten und zum Becognosciren viel brauchbarer sein, als der vorhin erwähnte englische. Einen ähnlichen hat zu gleicher Zeit der Hr. Hauptmann Müller durch meine Vermittelung acquirirt. Für die Becognoscirungsarbeiten ist daher, insofern das Personal nicht vergrössert wird, hinlänglich gesorgt.

Für die Messungen des zweiten Banges sind aber bisher viel zu wenig Hülfsmittel vorhanden. Ich habe daher schon im Herbst noch einen 8 -zol- ligen TheodoUthen besteUt, dessen AbUeferung für den April d. J. wenigstens versprochen ist.

Was nun aber die Messungen ersten Banges betrifft, die ich bisher allein auf mich genommen habe, so hoffe ich, dass es späterhin mögUch sein wird, auch die andern Officiere nach und nach zu solchen feinem Arbeiten einzu- üben, wo dann höchst wünschenswerth und für die Arbeiten fÖrderUch sein wird, wenn wenigstens zwei taugliche Instrumente dazu verwandt werden können. Ich würde daher schon im vorigen Herbst ausser der BesteUung des 8-zölligen TheodoUthen zugleich noch auf einen 12-zölUgen BesteUung ge- geben haben, wenn ich nicht schon damals die Aussicht gehabt hätte, einen solchen 12 -zölligen TheodoUthen auf andere Weise herbeiziehen zu können,

MESSUNGSFEHLER. 489

ohne den Fonds für das Vermessungsgeschäft in Anspruch zu nehmen. Ich wusste nemlich, dass gewünscht werde, für die Generalstabs -Akademie ein solches Instrument anzuschaffen. Nach verschiedenen deshalb mit Hm. Ertel in München gepflogenen Anfragen habe ich dann auch in der That auf Ersuchen des Hm. Oberstlieutenant Prott einen solchen 12 -zölligen Theodolithen in München bestellt, der hoffentlich im Laufe des Sommers fertig werden wird, und demnächst in den Händen des Hm. Hauptmann Müller, wenn derselbe die erforderliche Einübimg erhalten haben wird, nütz- liche Dienste leisten wird.

Die Münchener Preise für Instrumente dieser Art sind übrigens äusserst massig. Der 12-zöllige Theodolith, welchen ich seit 1822 zu allen Winkel- messungen bei der Gradmessung gebraucht habe, kostete nur 800 Gulden (leicht Gold); der 8 -zöllige oben erwähnte (freilich in den 16 Jahren etwas abgenutzte, aber noch immer sehr brauchbare) damals 400 Gulden. Die beiden von ähnlichen Dimensionen, gegenwärtig für die Generalstabs -Akademie und die trigonometrische Vermessung respective bestellten, werden, da ich dabei in mehrem Beziehimgen eine einfachere Einrichtimg (\mbeschadet der Haupt- sache) angeordnet habe, respective noch bedeutend geringere Preise haben.

Bei einer sehr ins Grosse gehenden Unternehmung ist es allerdings zum raschem Fortschreiten, zum angemessenen Ineinandergreifen, und daher selbst in Rücksicht der Gesammtkosten , sehr zweckmässig, eine sehr ansehnliche Zahl von Theodolithen verwenden zu können. Nach einer Privatnachricht werden im nächsten Sommer in Frankreich 160 Theodolithen in Thätigkeit sein. Allein bei unserm kleinen Lande und bei dem beschränkten Personal, welches zu den trigonometrischen Messungen verwandt werden kann und schon einen gewissen Grad von Einübung hat, glaube ich, dass wir wenigstens vorerst mit den vorhandenen und respective in Arbeit befindlichen Instrumenten uns begnügen können. Es kommt dazu, dass man, wie ich die Ehre gehabt habe, Ihnen mündlich zu sagen, auch im Herzogthum Braunschweig eine trigono- metrische Messung beabsichtigt, für welche ich auch bereits einen 1 2-zölligen Theodolithen bestellt habe, und dass es sich wahrscheinlich so wird einrichten lassen, dass diese Messungen zum gegenseitigen Vortheil in einander ein- greifend und sich wechselsweise die Hand bietend arrangirt werden können.

62

490 BRIEFWECHSEL.

[Über Messungsfehler.]

Gauss an Olbers. Gnarrenburg, Julius 1825.

Ich sehe nicht ohne Missmuth auf meine 5-jährigen Messungen

zurück; ich sehe mich, gegen das Ende derselben, ungefähr in einer solchen Lage und in solchen Gefahlen, wie sie wohl viele, vielleicht die meisten Menschen in Beziehung auf das Erdenleben, wenn sie sich dessen Schluss nähern, haben mögen, mit dem Gefühl, dass, wenn mit den eingesammelten und erst spät zur Reife und Klarheit gekommenen Erfahrungen, mit frischer Kraft und mit der erlernten Würdigung so mancher Dinge von vom her hätte angefangen werden können, viel mehr Zufriedenheit stattgefunden haben könnte. Was die Messungen betrifft, so halte ich mich jetzt überzeugt:

1) dass der so wie der meinige gebaute TheodoUth alle Winkel zu klein gibt und zwar im Durchschnitt um eine freilich nur sehr kleine, aber bei der sonstigen Trefflichkeit des Instruments, wenn man nur unter günstigen Umständen beobachtet, doch sehr scharf anzugebende Grösse — von der Grösse der Winkel fast unabhängig; es scheint fast, dass das erste Drehen sie hauptsächlich hervorbringt, wo der Zapfen doch immer in gewissem Grade gleichsam festgesogen war — , die freilich mit dem Abnutzen des Instruments grösser werden mag. Meine Jeverschen Messungen, die recht ex professo an- gelegt waren, diese Grösse mit zu bestimmen, geben sie 0^4, imd ich glaube nicht, dass sie um O^'l unrichtig ist. Leider bieten meine frühem Messungen keine so nachdrückliche Bestimmungsmittel dar, da ich, obgleich von Anfang an schon das Dasein dieser Fehlerquelle vermuthend, doch glaubte, sie sei zu klein, um nicht als = 0 betrachtet werden zu müssen. Hätte ich anstatt einer Gradmessung eine Landesvermessimg imd damit häufiger Gelegenheit zu einem Gyrus horizontis gehabt, so wäre ich ohne Zweifel früher von dieser Ansicht zurück gekommen. Ich werde künftigen Winter die Grösse für jedes Jahr, so gut es angeht, zu bestimmen suchen. Ich halte mich jetzt überzeugt, dass erstens bei steter Berücksichtigung dieser Grösse, zweitens beim Enthalten von allen Messen, wenn die Umstände nicht günstig sind, und drittens bei Beachtung der beiden andern noch zu erwähnenden Umstände, die Messungen auf Heliotroplicht eine fast unglaubliche Feinheit erhalten können, von der ich

MESSUNGSFEHLER. 491

nun leider viel mehr entfernt bleibe. Eine Discussion der in Gottingen 1823 gemachten Messungen gibt mir die obige Grösse = 0^140, aber nur mit einem Gewicht von 47 Repetitionen, wobei aber doch der wahrscheinliche Fehler nur fast genau ±0^140 wird, so dass 1 gegen 1 gewettet werden kann, jene Grösse liege nicht ausserhalb der Grrenzen 0 und +0»28. Die Messungen auf dem Timpenberg 1823 gaben die Grösse -f 0^070 mit dem Gewicht 28. Darf man sie vereinigen, so wäre der Werth für 1823

-j-0^'ll4 mit dem Gewicht 75.

Ich werde nach und nach sämmtliche Stationen berechnen, und dann den EinfliDss mit in Bechnung bringen.

2) Man sollte nie anders als unter günstigen Umständen beobachten, wo die Luft nicht wallt, kein Wind das Instrument erschüttert, die Aufstellung ganz solide ist. Freilich wird man dann oft in mancher Woche gar nicht beobachten und selten an einem Tage mehr als 1 — 2 Stunden, hohe Berg- stationen vielleicht ausgenommen; dafür aber sind 50 solche Messungen mehr werth, als 500 unter ungünstigen Umständen. Unsere Instrumente sind eigent- lich, falls ihre Trefflichkeit ganz benutzt wird, zu gut für den habituellen Zustand der Atmosphäre; die Fehler durch die Wallungen in letzterer sind zehnfach grösser, als die unvermeidlichen vom Instrument herrührenden. Das- selbe gilt wohl auch von den astronomischen Beobachtungen.

3) Wenn es irgend möglich ist, sollen die Heliotroplichter ganz frei er- scheinen, wo das aber nicht sein kann, soll niezwischen denFäden, son- dern immer auf einem pointirt werden; durch die Befangenheit der Bisection kann sonst ein in constantem Sinne wirkender und vielleicht auf If bis 2"* steigender Fehler entstehen. Dass ein solcher Fehler entstehen kann, habe ich zwar immer vermuthet, aber ohne die Erfahrungen in Langwarden hätte ich nie geglaubt, dass er so gross sei. Ich habe früher öfters auf dem Faden pointirt, aber freilich fast nur, wo das Licht frei erschien, und dann nie einen entschiedenen Unterschied gefunden; ich habe diese Beobachtungsart — wie ich jetzt bedaure — daher fahren lassen, weil sie mir viel beschwerlicher ist, und ich, im allgemeinen auch gewiss mit Recht, glaubte, ich könne auf den Fäden nicht so genau pointiren als dazwischen.

4) Bei allem dem aber halte ich mich überzeugt, dass Lateralrefractionen

62*

492 BRIEFWECHSEL.

existiren, in constantem Sinn bei der zum Beobachten tauglichen Tageszeit, wenn das Licht nahe bei Bäumen etc. vorbei streicht. Die oben bei 1 ) bis 3) angegebenen Umstände wirken doch in mehrem Dreiecken nicht so stark, um die grossen Anomalien der Winkelsumme zu erklären, und sie würden von der Fehlersumme in dem Dreieck, z. B. Garlste-Lehe- Varel, wo sie 45^9 beträgt, schwerlich mehr als H bis 2" abdingen können, und das übrige ist dann noch viel zu gross, um auf die unregelmässigen Messungsfehler geschoben werden zu können. Zu meinem grossen Missvergnügen hat auch gewiss auf der Seite Brillit-Lehe eine solche Seitenrefraction statt und zwar in dem Sinn, dass auch hier die Winkel zu klein werden; der sehr kostspielige Durchhau ging anfangs zu weit links, er wurde noch etwas erweitert, dass Lehe hier sichtbar wurde, aber so hart an der rechten Wand, dass gewiss eine Lateralrefraction stattfindet; ich werde versuchen, einige vortretende dicklaubige Zweige auffinden und wegnehmen zu lassen; es ist aber unge- wiss, ob sie aufgefunden werden, und selbst dann bleibt es noch sehr knapp an der rechten Wand. Leider ist auf alle Fälle höchst wahrscheinlich der Winkel in Lehe davon schon stark afficirt, und ungern möchte ich noch ein- mal dahin zurück; es sei dann, dass es möglich wäre, Bremervörde, welches in Lehe sichtbar sein soll, in Brillit und in Zeven sichtbar zu machen ; leider scheint aber ausser Obstbäumen auch ein Bauernhaus in der Richtung Brillit- Bremervörde zu stehen, obwohl ich dies noch nicht gewiss weiss, da ich noch keine Mittel habe, das Azimuth mit einiger Sicherheit anzugeben. Sonst bin ich gewiss, dass diese neue Verbindung sehr viel neues Licht verbreiten würde. Der Winkel in BriUit zwischen Zeven und Bremen scheint sich um 2" bessern, d. i. vergrössem, zu wollen, wodurch die Fehlersumme von 4-J^^ auf

^ßremerle/ie

Bremervörde*

iZeverv GarLstß'

24-" kommt; aber ganz kann dieser Überrest gewiss auch nicht auf die Mes-

MESSUNGSFEHLER. 493

snngsfehler kommen, namentlich ist in Bremen der obige Fehler 1) durch das Vor- und Hückwärtsmessen fast ganz eliminirt, und die Pointirungsart kann auch wenig Einfluss haben, da bei der bedeutenden Entfernung und der ge- wöhnlichen ünsichtbarkeit der Thürme die Lichter so gut wie frei erschienen.

Gauss an Schumacher. Göttingen, 14. August 1825.

Bedeutende Anomalien in meinen Messungen haben mich diesen

Sommer sehr gequält: ich bin zwar jetzt überzeugt, dass in den flachen Ge- genden beim harten Wegstreichen über oder neben Holz starke Lateralrefrac- tionen stattfinden können, die in den zum Messen tauglichen Stunden immer in Einem Sinn wirken; allein eben so gewiss ist's, dass sie sich mit andern Fehlerquellen gemischt haben, denen ich jetzt ziemlich auf die Spur ge- kommen bin. Besonders folgenden beiden. 1) Das Pointiren bei Heliotrop- licht zwischen den Fäden, zumal auf schwaches, taugt nicht, wenn es nicht frei ist, sondern z. B. in der Laterne eines Thurms, die selbst ziemlich gut sichtbar ist, excentrisch sich befindet: es können daher constante Fehler von mehr als 2" entstehen; ich habe, seitdem ich mich davon überzeugt habe, in solchen Fällen immer auf einem Faden pointirt, und dadurch zum Theil be- deutende Verminderung der Anomalien erhalten. 2) Der Theodolith, so ge- baut wie die unsrigen, gibt entschieden alle Winkel zu klein, und der Durchschnittswerth des Fehlers (der von der Grösse des Winkels wenig ab- hängig zu sein scheint) lässt sich mit vieler Schärfe bestimmen, mag aber, wie das Instrument sich immer mehr abnutzt, immer zunehmen. In Brillit fand ich Oi'723, wobei der wahrscheinliche Fehler unter O^^l sein wird. In Jever hatte ich nur etwa 0^'5. Ich bin noch nicht gewiss, ob die Haupt- quelle des Fehlers in der Hemmung des Limbuskreises (besonders der Kugel) oder in der Hülse, die das untere Femrohr trägt, oder der Schraube, die sie gegen den Fuss des Instruments hält, liegt; letztere ist an meinem Instru- ment ziemlich ausgenutzt, und ich lasse jetzt, um Versuche zu machen, die Hemmung des Limbuskreises unmittelbar an den Fuss des Instruments an- bringen, wobei ich das untere Femrohr ganz wegnehmen werde; ich halte solches nicht blos für unnütz, wo man eine solide Aufstellung hat, sondern für nachtheilig, insofern seine Hülse, als Zwischeninstanz zur Befestigung des

494 BRIEFWECHSEL.

Limbuskreises an den Fuss, die Gefahr von Beweglichkeit des Limbuskreises, während er fest vorausgesetzt wird, vervielfältigt. Ich hätte sehr gewünscht, über diese Gegenstände einmal recht ausfuhrlich mit Ihnen zu sprechen und meine Erfahrungen und Ansichten gegen die Ihrigen auszutauschen.

Gauss an Bessel. Göttingen, 29. October 1843.

Es handelt sich um eine Erfahrung, die mich oft gequält hat,

nemlich die, dass die Theodolithen nach Reichenbachs Construction die Ten- denz haben, alle Winkel zu klein zu geben. Vielleicht haben Sie ähnliche Erfahrungen gemacht, die ich gern gegen die meinigen austauschen möchte.

Bei meinen Winkelmessungen zur Gradmessung 1821 bis 1823 und bei der nachherigen Erweiterung meiner Dreiecke 1824 und 1825 habe ich zwei verschiedene 12 -zöllige Theodolithen gebraucht (Vemiers 4" gebend, Ver- grösserung etwa 35 -ma^, den einen, welchen Schumacher mir borgte, von Reichenbach selbst, bloss im Jahre 1821, den andern von Ertel , welcher jenem ganz gleich und derEigenthum der Sternwarte ist, 1822 bis 1825. An dem ersten habe ich die Erscheinung gar nicht bemerkt, an dem andern in den ersten drei Jahren und Anfangs 1825 auch nicht; erst in der letzten Hälfte der Messungen bemerkte ich sie, zwar nur in geringer Grösse, aber doch so entschieden, dass nicht daran gezweifelt war. Eine Erklärung, wenig- stens der Hauptquelle, liegt nun allerdings nahe genug. Zur Abkürzung nenne ich -4, B die beiden Objecte und setze voraus, dass B rechts von A liegt, imd dass immer die erste Pointirung -4, die zweite B gilt. Nachdem man abge- lesen und auf A eingestellt hat, löst und bewegt man die Alhidade, um B zu erreichen. Allein die Voraussetzung, dass während dieser Bewegung der Kreis selbst absolut fest steht, ist allerdings precär; existirt die geringste für sich nicht erkennbare ünfestigkeit, so wird die Drehung der Alhidade den Kreis ein klein wenig in demselben Sinn (von links nach rechts) mitdrehen: der Ablesungsunterschied wird also den Winkel zu klein geben. Bei einer auch noch so grossen Anzahl von Repetitionen wird das Endresultat immer zu klein bleiben.

Ich habe, als ich dies erkannt hatte, (in Jever) das Auskunftsmittel er- griffen, zu einer Anzahl von auf gewöhnliche Art gemachten Repetitionen

MESStJI^GSFEHLER. 495

immer ebenso viele hinzu zu setzen, wo ich die Alhidade von rechts nach

links durch das Supplement zu 360® bewegte. Hier wurden nun immer alle

Winkel grösser als vorher, imd der Unterschied, durchschnittlich gegen 2 Se-

cunden betragend, schien gar nicht oder wenigstens nicht merklich von der

Grösse der Winkel abzuhängen. Das Mittel beider Resultate konnte also für

den wahren Werth des Winkels gelten, und in der That waren alle auf diese

Art, sowohl auf dieser Station wie auf den übrigen, gewonnenen Resultate

vollkommen befriedigend. Es schien also, dass dieser Theodolith in seinem

damaligen Zustande alle auf gewöhnliche Art gemessenen Winkel gegen eine

Secunde zu klein gab.

Die Bewegung des ganzen Kreises vom ersten Ablesen bis zum ersten

2. 3.

Pointiren, nachher vom 4. etc. zum 5. etc. Pointiren, wurde immer von der

6. 7.

rechten nach der linken gemacht (durch den Winkel < 180^); allerdings ist es wenigstens denkbar, dass auch hier ein Einfluss in constantem Sinn statt- finden kann. Liegt nemlich die Unfestigkeit zum Theil in den Stellschrauben, Muttern, Kugeln, so kann auch, während der ganze Kreis sich dreht, in Folge der Reibung des Alhidadenzapfens auf den ihn unten unterstützenden Federn eine kleine Verstellimg der Ablesung stattfinden, welche dann ge- rade die umgekehrte Wirkung hat, also zur Vergrösserung der Winkel beitragen würde. Ich habe aber vorausgesetzt, dass dieser Einfluss immerk- lich sei. Es würde einen sehr grossen Zeitaufwand kosten, a posteriori dar- über Aufschluss zu erhalten. Ich brauche nicht zu erinnern, dass ich stets dafür gesorgt habe, dass die Stellschrauben nicht zu leicht gingen.

An irgend einer Unfestigkeit muss es ohne Zweifel liegen, aber es ist schwer auszumitteln, wo hauptsächlich. Ich habe nachher an diesem Theodo- lithen eine Abänderung machen lassen, um diejenige Unfestigkeit, die denk- barer Weise bei derjenigen Drehungsbewegung stattfinden könnte, vermittelst welcher man das Versicherungsfemrohr bewegt, weg zu schaffen. Ich habe nem- ' lieh das bei fester Aufstellung ganz unnütze Versicherungsfemrohr ganz weg- geworfen und den Arm, an welchem die Kreishemmung ist, durch starke Knie- stücke unmittelbar mit dem Fuss verbinden lassen. Allein nach dieser Ver- änderung sind zu wenige Messungen mit diesem Instrument gemacht, um über den Effect sicher urtheilen zu können.

496 BRIEFWECHSEL.

Bei den spätem Messungen von 1828 bis 1843 sind von meinen Offi- eieren drei andere Theodolithen gebraucht.

1) von Hartmann ein 8-zölliger REicHENBACHscher Theodolith, schon seit 1813 im Besitz der Sternwarte;

2) von Möller ein 1 2 -zölliger ERXELscher Theodolith, dem hannoverschen Generalstab gehörend (von mir besorgt), dem obigen ganz ähnlich, aber ohne Höhenkreis und Versicherungsfemrohr;

3) von meinem Sohn ein 8-zölliger ERXELscher Theodolith, auch ohne Höhenkreis und Versichenmgsfemrobr, aber das Femrohr ganz von derselben Stärke wie bei Nr. 2. Der Vemier gibt hier 10".

An Nr. 1 hat sich das Phänomen nicht bemerklich gemacht; das Instra- ment ist übrigens nur ein paar Jahre gebraucht; die Winkelresultate fielen immer recht sehr gut aus. Das Femrohr ist von schwächerer optischer E^raft, aber Hartmann hatte immer ein anderes stärkeres Femrohr eingelegt, welches ihm selbst gehörte. Ich erwähne diesen Umstand bloss, um zu erklären, warum dieser Theodolith nachher nicht mehr gebraucht ist.

Über Nr. 2 schreibe ich jetzt bloss aus dem Gedächtniss und kann in diesem Augenblick nicht genau sagen, wann das Phänomen angefangen hat, sich zu zeigen. Irre ich nicht, so ist in den ersten Jahren keine besondere Spur davon erschienen, aber in den spätem war es unverkennbar und wenig- stens doppelt so gross, wie an dem von mir gebrauchten Instrument. Jenes ist oft zerlegt, gereinigt, auch, wenn ich mich recht erinnere, mit neuen Stell- schrauben von Hohnbaum in Hannover versehen, ohne den Fehler zu heben. Ich habe dem seligen Müller immer das oben erwähnte Mittel dringend empfohlen ; ich glaube aber nicht, dass er es immer consequent angewandt hat

Mit Nr. 3 hat mein Sohn in den Jahren 1829, 1830, 1831, 1833 sehr ausgedehnte Messungen ausgeführt; die Winkel (beiläufig gesagt, an jeder Station werden in der Regel alle Combinationen zwischen allen Hauptrich- tungen gemessen, wie Sie auch aus Gerlings Arbeiten sehen können) stimmten immer zu meiner vollen Zufriedenheit, wenigstens ebenso gut oder fast noch besser, als die MuLLERschen mit Nr. 2, imd der Fehler zeigte sich wenigstens nicht in erheblichem Grade.

Von 1834 an ist dieser Theodolith etwa 5 oder 6 Jahr im magnetischen Observatorium, nachher zu Zeiten von Goldschmidt bei Winkelmessungen ge-

M£SSUNGSF£HLER. 49 7

braucht, die aber von zu untergeordneter Natur waren, als dass dabei obiger Fehler hätte in Frage kommen können.

Diesen selben Theodoüthen Nr. 3 hat nun aber mein Sohn im vorigen Sommer wieder bei Hauptwinkeln gebraucht: allerdings waren an den Stand- punkten, wo die meisten Winkel gemessen wurden (Thürmen in Hamburg und Stade), die Umstände in vielfacher Beziehung äusserst ungünstig, aber dennoch ging das jetzige Vorhandensein jenes Minusfehlers, und zwar wohl 3 bis 4" betragend, auf das entschiedenste hervor. Der Theodolith war vor der Ab- sendung hier gereinigt und nachgesehen, und durchaus keine ünfestigkeit be- merkt. Doch fand mein Sohn das Ende der Stellschraube des Kjreises ziemlich ausgeschliflfen, und die Beobachtungen der ersten Tage, wo dieser Umstand nicht beachtet war, wurden deshalb verworfen; später wurde der Gebrauch dieses Schraubenstücks sorgfaltig vermieden, und es liess sich keine Ünfestigkeit daran erkennen. Ich werde den Theodoüthen mm wieder hieher kommen lassen und versuchen, ob ich durch Abänderungen dem' Fehler oder wenig- stens seiner Wirksamkeit nicht abhelfen kann. Ich werde neue Klemmbacken machen lassen; unschlüssig bin ich noch, ob ich ganz neue Schrauben mit Zubehör machen lasse, aus Besorgniss, vom Regen in die Traufe zu kommen. Da Sie selbst einen kleinen Theodolithen von Meyerstein erhalten haben, so bitte ich Sie, gerade diesen Theil der Arbeit einer recht sorgfaltigen Prü- fung zu imterwerfen und mir den Befund vertraulich mitzutheilen. Dann habe ich noch eine Idee zu einem Mittel, welches zwar den Fehler (eine ver- steckte Ünfestigkeit) nicht wegschaffen, aber doch, wie ich hoffe, ihn unschäd- lich machen kann.

Bekanntlich sind Alhidadenzapfen und die Büchse dieses Zapfens, die selbst wieder Limbuskreiszapfen ist, von imten, jedes für sich, axif Federn ge- stützt. Diese Federn will ich so abändern lassen, dass man mit Leichtigkeit und augenblicklich ihre Spannung nach Gefallen verstärken oder schwächen kann. Mit diesen Spannungsändenmgen soll dann während der Messimgen immer planmässig abgewechselt werden, so dass, wenn die Alhidade gedreht wird, die Federn, worauf ihr Zapfen sich stützt, stark, die Federn, die die Büchse stützen, fast gar nicht gespannt sind, und umgekehrt, wenn der ganze Kjreis gedreht wird. Meyerstein glaubt eine solche Änderung recht zweckmässig einrichten zu können, und ich verspreche mir davon viel Erfolg. Nur schade, IX. 63

498 BRIEFWECHSEL.

dass in meiner Stemwaxte keine recht schickliche Aufstellung zu erhalten ist zu dergleichen Probemessungen, auch wenig geeignete Objecte sichtbar sind, endlich die Winterjahreszeit für meinen sehr empfindlichen Körper ungünstig ißt. Ich will aber wenigstens versuchen, was in meinen Kräften steht.

Sollten Sie nun vielleicht selbst ähnliche Erfahrungen, und in deren Ver- anlassung allerlei daraiif bezügliche Versuche gemacht haben, so werden Sie mich durch Mittheilung sehr verpflichten. Es ist in der That eine Lebens- frage bei Theodolithen von dieser Construction. Bei BoRDASchen Kreisen kann der Fehler vermöge des Constructionsprincips gar nicht eintreten; es ist gar kein Grrund da, dass Bewegung der Alhidade die Lage des untern Femrohrs gegen den Limb us kreis verrücke, und ebenso wenig verrückt die Bewegung des ganzen Kreises die Lage der Alhidade gegen den Limbus- kreis. Man kann Theodolithen nach demselben Princip bauen, aber dann sind es ganz andere Instrumente wie die REiCHENBACHschen ; wenn ich nicht irre, hat Schumacher einen solchen von Gambey (wo dann das imtere F€m- rohr eine ganz andere Rolle spielt); ich kenne aber das Detail der Einrich- tung nicht

Es ist auffallend, wie Sachen zu Papiere gebracht einen andern Eindruck machen, als wenn man sie nur im Kopfe überdenkt. Indem ich obige Zeilen noch einmal flüchtig übersehe, kommt es mir vor, dass einem bloss imbe- fangenen Leser, der selbst gar keine eigene Erfahrungen gemacht hatte, ein Umstand importanter erscheinen muss, als ich ihn selbst bisher gehalten habe, der Umstand, dass alle Theodolithen zu Anfang diese Erscheinung gar nicht oder nicht merklich gezeigt haben. Irgend eine Ausnutzung muss also nothwendig im Spiel sein, imd ich werde also doch wohl jedenfalls neue Schrauben, Muttern und Kugeln machen lassen, obgleich, wie gesagt, irgend eine Vacillation an diesen Theilen im Einzelnen nicht erkannt werden kann. Ich werde aber versuchen, ob vielleicht ein viel stärkeres Femrohr doch im Einzelnen schon etwas von einer solchen Vacillation erkennen lassen wird.

Gauss an Bessel. Göttingen, 15. August 1844.

Der Gegenstand, worüber ich mit Ihnen zuletzt correspondirte,

nemlich die Tendenz der Repetitions-Theodolithen, die Winkel zu klein zu

MESSÜNGSFEHLER. 499

geben, hat mich in vorigem Winter noch sehr geplagt. Die Ursache kann keine andere sein, als dass der Kreis nicht absolut fest bleibt während der- jenigen Manipulationen der Alhidade, bei welchen vorausgesetzt wird, dass jener fest bleibe. Die Abänderungen aber, die ich habe anbringen lassen, haben sich sehr wirksam bewiesen, nicht nur während der äusserst zahlreichen Probemessungen, die ich selbst im Januar bis März machte, sondern auch bei dem wirklichen Gebrauch, den mein Sohn noch fortwährend von diesem In- strument macht. Die Resultate des vorigen Jahres waren zum Theil so schlecht, dass sie ganz verworfen werden mussten, während sie dies Jahr sämmtlich so gut sind, wie man von einem Instrument von dieser Dimension nur erwarten kann. Die Hauptveränderung besteht übrigens darin, dass Alhidadenzapfen und dessen Büchse (die ihrerseits den Limbuskreiszapfen bildet jedes für sich durch eine Tragfeder dergestalt unterstützt wird, dass man jede dieser Tragfedem imabhängig von der andern nach Gefallen und augenblicklich anspannen oder abspannen (ganz oder theilweise) kann. Bei dem Gebrauch findet dann ein planmässiger beständiger Wechsel zwischen den Zuständen dieser Federn statt, so dass, alles gezählt, für jede Repetition 19 Operationen erfordert werden (das Ablesen mitgezählt); indessen macht man sich die Reihefolge dieser Operationen so mechanisch, dass man fast ebenso schnell operiren kann, wie bei der gewöhnlichen Einrichtung.

BEMERKUNGEN.

Die Notiz über die bei der hannoTerschen Oradmeffung und Landeiyermeffung benutsten sowie für die letztere noch erforderlichen Instrumente ist einem im Oauss-Archiv befindlichen Bericht von Oausb Tom 21. M&n 1829 an den Geheimen Cabinetsrath Hoppenstedt entnoiunen.

Zu den vorstehenden Briefen an Olbers, Schumacheb und Besbel, die nach den Originalen abge- druckt sind, ist die Stationsausgleichung fdr BriUit, 8. 265/267, sowie auch eine Bemerkung von Professor GoLDscHMmT, S. 289, ZU vergleichen«

KbCoeb.

63

500 BRIEFWECHSEL.

BRIEFWECHSEL UND NACHLASS.

[Berechnimg des mittlem Ablestmgsfehlers einschliesslich des Theilungsfehlers

am Theodolithen.]

[10

Gauss an Gerling. Göttingen, 17. April 1844.

Über eine andere Prüfimgsrechnung an Theodolithenbeobach-

tongen (welche zum Zweck hat, den mittlem Fehler der Ablesungen incL der Theilungsfehler zu bestimmen) muss ich mir vorbehalten, Ihnen ein ander- mal zu schreiben. Ich habe diese Rechnungen schon vor 19 Jahren ausge- führt, und sie haben mir viel Vergnügen gemacht. Ich habe nemlich £ur jede vorgekommene vollständige Ablesung a — 6-}-c — rf = Z berechnet , wo (mit Weglassung der Grade) a, 6, c, d die 4 Ablesungen bedeuten. Dies l sollte (trotz der Excentricität, ja trotz einer etwa veränderlichen Excentricitat) constant sein; es ist nur variabel in Folge der Ablesungs- und der Theilungs- fehler. Setzt man den mittlem Werth aus sehr vielen, ti, Ablesungen = X (der bei einem gegebenen Theodolithen aus vielen Beobachtungen sich sehr scharf finden lässt und imveränderlich sein sollte) und ^i = ^^j so ist -^k der mittlere Fehler, den man bei der Ablesung Eines Index, und -^k der mittlere Fehler, den man bei dem Mittel aus allen 4 Indicibus riskirt. Ich finde nun den letztem oder -^k aus vollständigen Ablesungen:

MESSUNGSFEHLER.

501

["im Jahre

Anzahl der Ables.

mitÜ. Fehler]

1821

410

1^25

1822

717

1,57

1823

449

1,61

1824

843

1,60

1825

609

1,55

1822—1825

2618

1,58

Aus der so sehr nahen Übereinstimmung der Jahre 1822 — 1825 lässt sich schon schliessen, dass der abweichende Werth von 1821 nicht zufällig ist; in der That waren die Striche an Schumachers Theodolithen noch etwas schöner, als an meinem eigenen. Jener rührte noch aus der Zeit her, wo Reichenbach selbst die Werkstatt hatte; der meinige war bei Reichenbach bestellt, aber doch unter seiner Aufsicht von Ertel gearbeitet. Auch an meinem 8-zölligen (von 1829) ist die Theilung merklich weniger schön, als an dem 8 -zölligen von Reichbnbach, den ich 1813 acquirirte; jener hat aber ein viel besseres Femrohr.

Ich sehe, dass ich Ihnen mm doch das Wesentlichste über diesen Gegen- stand geschrieben habe, und bemerke also nur noch der Vollständigkeit wegen eine wesentliche Abkürzung jener Rechnung. Es ist nemlich 22 = »X, also

also

l{l^\f = S//-2nXX+nXX = 2//-nXX [= 2//-^

n— 1 n— 1 [ n— 1 n(n — 1)J

% [2.]

Zur Ausmittelung der Fehler, die aus der Theilung und dem Ablesen entspringen, wurden alle vollständigen Ablesimgen am Theodolithen, 449 an der Zahl [aus dem Jahre 1823], auf folgende Art discutirt.

502 NACHLASS.

Summe der Ablesungen am ersten und dritten Index weniger Summe der Ablesungen am zweiten und vierten = L

2Z = + 133 111= 18521,

also der mittlere Werth von / = [1?? =] -f 0^30 = X;

mittlerer Werth von (/ — X)* = [^(l8521 — ^) =1 41,254.

Also der mittlere Fehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungs- fehlers :

^*=]±3;'2ii.

An ScHUMACHEBS TheodoUthen gaben 410 Ablesungen vom Jahre 1821

2/ = — 1896 2//= 18982.

Mittlerer Werth von / = — 4^62 = X. Mittlerer Werth von (/—X)* = 24,97.

Mittlerer Ablesungsfehler Eines Yemiers inclusive des Theilungsfehlers = ± 2^499.

Der Theodolitii gab 1822 aus 717 Ablesungen

2/ = -1-212 lU = 28433.

Mittlerer Werth von / = + o;;30 = X. Mittlerer Werth von (/— X)* = 39,623.

Mittlerer Ablesungsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungs- fehlers = ±3^147.

Dies Resultat harmonirt so nahe mit dem von 1823, dass wir beide zu- sammenfassen können. Wir haben also aus 1166 Ablesungen:

MESSITNGSFEHLKR. 503

2/ = -1-345 211= 46954 X =+ 0^296.

Mittlerer Werth von (/—X)* = 40,216. Mittlerer Fehler bei Einem Vemier = ± 3^1 708.

Das Vorkommen der einzelnen Werthe von /, ohne Rücksicht 'auf "das Zeichen, war:

[ ^

Anzahl

l

Anzahl

/

Anzahl]

0"

45

6"

133

11'

38

1

106

7

104

12

24

2

108

8

82

13

15

3

123

9

84

14

9

4

113

10

52

15

4

5

126

Im Jahr 1824 gab der Theodolith aus 843 Ablesungen

2/ = -1-104 111= 34506

X =-i-o';i2.

Mittlerer Werth von (/—X)* = 40,966.

Mittlerer Fehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungsfehlers = ± 3"200.

Also aus allen 3 Jahren [1822 — 1824] 2009 Ablesungen

2/ = +449 111= 81460 X =+0"2235.

Mittlerer Werth von (i— X)' = 40,518.

Mittlerer Fehler Eines Vemiers = ±3*1827. Das Vorkommen der^ein- zelnen Werthe von l, ohne Rücksicht auf das Zeichen, war:

S04

KACHLASS.

[ l

Anzahl

l

Anzahl

l

Anzahl]

0"

80

7"

191

14"

13

1

182

8

155

15

6

2

185

9

138

16

1

3

195

10

101

17

1

4

205

11

63

18

—

5

217

12

38

19

1

6

214

13

23

Am [BoRDASchen] Kreise sind [1823] 46 vollständige Ablesungen gemacht.

Es fand sich

2/ = — 174

2W= 1534

X =— 3;78.

Mittlerer Werth von (/—X)* = 19,46.

Mittlerer Ablesungsfehler Eines Vemiers inclusive des Theüungsfehlera = ± 2?206.

Der Kreis gab 1821 mit 92 Ablesungen

2/

=

— 650

2;/

=

11578

X

^^

- 7;'07.

Mittlerer Werth von (/ — X)' == 7 6 , 7 6 7 .

Mittlerer Ablesungsfehler Eines Vemiers inclusive des Theilungsfehlers ±4;381. Am Kreise sind 1822 gemacht 137 Ablesungen; diese gaben

2/

=

— 543

22/

6155

X

— 3?96.

Mittlerer Werth von (/—X)' = 29,432.

MESSUNGSFEHLER. 505

Mittlerer Ablesimgsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilnngsfehlers = ±2'713.

Erlaubt man sich^ die Messungen von 1822 und 1823 zu verbinden, so wird [bei 183 Ablesungen]

2/ =—717 111= 7689 X = — 3;92.

Mittlerer Werth von {l—'kf = [26,812.

Mittlerer Ablesungsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilnngsfehlers = ± 2;'589.]

BEMERKUNGEN.

Der Yorstehende Brief an Geblino, Art. [i], ist naeh dem Original abgedruckt worden; Art. [2] wurde einem Beobachtungsheft ftkr die hannovenohe Gradmessung entnommen.

Kbüoer.

IX. 64

REDTJCnON SCHJEFER WINKEL

AUF DEN HORIZONT. REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.

64*

NACHLASS.

[Bednction schiefer Winkel anf den Horizont]

Reduction auf den Horizont.

[A schiefer Winkel

J. + 0? . . . . horizontaler Winkel Ä, Ä' Höhen.

Man setze]

^(Ä + Ä') = a, i(Ä-Ä') = 8;

[dann ist]

tang 4^(^ + 0?) = y

Bin (1^ + 8) sin (f^- 8)

COB (I- J. + 0) COB (^ J. — 0)

Bin [8 — fc) Bin {8 — h')

008 « COB [A — 8)

[2.] Reduction schiefer Winkel auf den Horizont.

A schiefer Winkel

cc Correction

h^ h\ . . . Höhen

Genäherter Werth von x = M—N.

510

NACHLASS.

sec^^o?

t»ng\{A + x]

= a

-p

V.

Berichtigter Werth: * = ^— !^.

Beispiel. Zwischen Clausbetg und Geismar gemessener schiefer Winkel

A = 105*27' o;78, ^A = 52'43'30;39;

Ä = 2' 19' 39;75 = 8379;75 '= 1 4 3,17 == 3843,17.

Ä + Ä' 4,087175 h — h' 3,656728

[(Ä + Ä")* ...8,174350

**°8*-^l 4 202072 4. 206266] •• • *i^»^»'^

M. 2,376422

a . .

+ 477

— 127

— 64

[[h — hf 7,313456

iTlöea«] • • • 3,964958 N 1,278414

l:ß —477

l:v — 17

a — 64

2,376708 238^07

ar = +219Tll.

1,277856 18^96

[1:4.206265]... 4,083515 tangi^il 0,118557

tang4^(-44-4f). . . 0,119034 [V^sec^^x 0,000000

8in(^+af) 9,983887

8in(il + ^-*) 9,983951]

M= 237^91

jy — 18,99 M—N = 218,92

Horizontaler Winkel = 105»30'39';89.

KEDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. 511

[3]. Reduction eines schiefen Winkels auf den Horizont.

[Es seien]

a und ß Höhen, in Secunden ausgedrückt

A [gemessene] Distanz

A' = A-\-r .... Horizontaldistanz.

[Dann ist]

o „:« i ^ «Pi(tt + P)'tangf^-amt(a~P)*cotangi^ fdnA

z Bin T T ^= - — a * "5 — n — ; — : — r •

' cos a coB p sin (J. -|- ^r)

[Da angenähert

ist, so hat man zur Berechnung von r das folgende Schema:]

C log cos a = C log cos ß = logconst = [log^j-2^ = 4,083 5149-10]

[logc =]

logtang^^^ = logcotang^^^ =

2log(a + ß)= 2log(a-ß) =

f logcos4^(a+ß) = flogcosf(a — ß) =

loga = logft =

a= 6 =

a — 6 = log (a — ft) =

[logc =]

Corr. = [logjsecir*.^S^!^

logr =

r :=

512 BEMERKUNGEN.

BEMERKUNGEN.

Die Notis [l] findet sich in einem Tagebuch der Stemwaite, 11 181B — 1817, die Notiz [2] auf der letEten Seite einer Logarithmentafel und die Notiz [3] auf der letzten Seite dea OAUSSSchen Exemplan von »O. F. RösLERi Handbuch der praktischen Aftronomie für Anfllnger tmd Liebhaber , Erater Thefl. Tabingen 1788.«

Bei [2] lautet im Original der Ausdruck für a:

A- Bin {Ä + 05)

sin [A + ^x) *

während ea heisaen muaa, wie vom angegeben ist. In dem Zahlenbeispiel sind einige kleine Rechenfehler verbessert worden.

Die der Notiz [2] zu Grunde liegende Formel lässt sieh wie folgt ableiten. Ist A der schiefe Winkel, A-i-x der dazu gehörige Horizontalwinkel, und sind femer h und A' die Höhenwinkel, also oo*— % und 90* ^h' die Zenithdistanzen, so hat man:

1) oobA = nnhnnh''^'COBheonh'coB{A'^'X)

= umhBinh'\cou^{A + x)* + nn^{A + x)*\+eoBheouh*\to»i{A + x)*''mi{A + x)*\ = isoB\{A + x)*coB{h-h')-m^[A + x)*eoB{h + h^;

subtrahirt man davon

cos(^ + a;) =3 ooB^{A + x]* — nxi^{A + x)*,

so erhält man die Gleichung

sin i« sin (-4 + 1«) = -cosi(^ + a:)«sini(Ä-Ä')« + sini(-ä + a;)«sini(Ä + Ä')«

oder

'' "^^^'^rin^V^^ ^ ;tangi(il + a;)Bini{Ä+Ä')*-*cotangiU + a:)sini(Ä-Ä')».

In erster Näherung ist also, wenn x, h und H' in Secunden ausgedrückt werden und p = vrriTT gesetzt wird:

x = ip{Ä4.Ä')»tang|-A-ip(Ä-Ä')*cotangiil 3) = M-N,

Da für kleine Winkel angenähert

sinu = p.tt''costi*

REDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. 613

iat, Bo folgt auB der Gleichung (J) der genauere N&heningswerth

oder mit den Bezeichnungen von S. 5io oben:

Die Fonnel der Notiz [8] ist fOr die Anwendung noch etwa« bequemer, da sie weniger indirectes Rechnen erfordert. Man kann sie in folgender Weise ableiten. Nach der Gleichung (l) ist

co8(J. + rc) =

cos J. — sin /i sin ^

/

cos ^ cos A' * mithin wird

coßU4.aj)-coSil = r^ — -_- j(cosi-ä*- sinM«)(i -coBÄoosÄ')-(coBl-ä« + siniil*)BinÄBin*'|

oder

-Bin(^ + i«)siniiB = -1__ jcoBVA»8ini(Ä-Är-smi^*sini(Ä + Är{

^ ' ■ cos /i cos A ( »

oder

sm^ 2 cos A cos /l ( '

Setzt man wieder Binii= p.ii"cosii*, so erhält man hieraus:

oder, wenn man noch

/ x\^ nnÄ

und wie vorher

•etat:

8)

cos % cos ^' ( fl VI

K&ÜOBB.

IX.

65

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.

[RepetitionsbeobachtuDgen.]

[1.]

Wahrscheinlicher Fehler des Ablesens 1

Wahrscheinlicher Fehler des Pointirens k

[A^ B^ C^ . . . seien die gleichmässig vertheilten Ablesungen.]

Wahrscheinlichstes Resultat

aus Beobachtungen

3

4 5 6

{kk+$](D-'Ä) + {C-'B) Skk+ 10

{kk + 2)[E-A) + iD-B) 4X;A:+10

{k^ + 6kk + b F''A)+ kk + S] E-R+ D-C]

6ifc*4-28ifcfc + 35

{k^ + 4kk+S)[G-Ä] + [kk + 2)[F-B) + 'E'- C)

(}k^ + 2Skk + 2S

Die Coefficienten bilden eine wiederkehrende Reihe, Scale kk-\-2j — 1.

Ist bloss zu Anfang, nach der ersten, (n — 1 )^®° und n^®° Beobachtung ab- gelesen [und sind diese Ablesungen A^ B^ K, Z], so ist das wahrscheinlichste Resultat

_ (;n~2)Ä;Jfc + n) Z- A) + [n^ 2) (F- B\

n (n — 2, ^•Ä; + nn + ^n — 2y

2

Wahrscheinlicher Fehler

_ . / n-2:Ä;*4-(2n-2Ä;fc + 2 V ;nn-2n;Ä;*+(2nn -4n + 4:;kÄ;

NACHLASS UND BRIEFWECHSEL. REPETITIONSBEOB ACHTUNGEN. 515

Der wahrscheinliche Fehler, wenn bloss zu Anfang und zu Ende ab- gelesen ist:

nkk + 2 ^

^

nnkk

nach Syanbergs Methode

60-f6(n:n + 2) + 2)Ä;fc 6n[n+l]{n + 2;kk

[2-]

Gauss an Bessel. Göttingen, 27. Januar 1819.

Ich gehe jetzt damit um, noch einige Zusätze zu meiner Theorie

der kleinsten Quadrate zu machen. Ein Funkt ist die Behandlung der Be- obachtungen mit Kepetitionswerkzeugen. Laplace hat darüber kürzlich eine Abhandlung gegeben und unter andern Syanbergs Verfahren getadelt. Man könnte aber was Laplace von Svanberg sagt »c'est un nouvel exemple des illu- sions auxquelles on est expos^ dans ces recherches dölicates« gewissermaassen auf jenen grossen Geometer selbst anwenden. Das Verfahren, den ganzen durch- laufenen Bogen bloss mit n zu dividiren (welches Laplace in Schutz nimmt) ist nur dann der Wahrscheinlichkeits- Theorie gemäss, wenn die Ablesungs- (und Theilungs)fehler gegen die Fointirungsfehler verschwinden, besonders wenn die Anzahl der Beobachtungen nicht sehr gross ist. Jene Fehler hat Laplace ganz ignorirt. Es ist sehr merkwürdig, dass wenn umgekehrt die Foin- tirungsfehler gegen die Ablesungs- und Theilungsfehler verschwinden, das der Wahrscheinlichkeits-Theorie gemässe Verfahren ganz mit dem SvANBERGschen identisch ist, und letztere Fehler (die bei französischen Instrumenten auch wohl bedeutend die Fointirungsfehler überwiegen) scheint Svanberg auch nur im Sinn gehabt zu haben. Betrachtet man beide Fehler als coexistirend, so scheint das Froblem sehr schwierig, allein wenn man es auf die rechte Art angreift, so ist es äusserst einfach und elementarisch, wie Sie ohne Zweifel auch gleich finden werden. Indessen möchte doch diese Art wie Columbus' Ei sich wohl nicht gerade jedem gleich darbieten, wie ich überhaupt bemerke, dass manche Astronomen, z. B. Lindenau imd Ltttrow, die Anwendung der Methode

65*

516 BRIEFWECHSEL. REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.

der kleinsten Quadrate nicht immer im wahren Geiste derselben machen. Aus dieser Ursache scheint es mir nicht ganz unverdienstlich , mehrere Momente dieser Theorie noch besonders zu entwickeln. Bei 1 2 Beobachtungen ist, wenn die Theilungsfehler 3-mal so gross sind als die Fointirun^ehler, das Gewicht des Resultats

nach Laplaces Methode = 4,80 nach Sv ANBERGS Methode =7,00 nach der strengen Methode = 7,08,

das Gewicht aus Einer Beobachtung, ohne Ablesungsfehler, = 1 gesetzt.

Schon durch Zuziehung der ersten und elften Ablesung würde das Ge- wicht nach der richtigen Methode auf 6,26 erhöht

BEMERKUNGEN.

Die Notiz über Repetitionfbeobaohtungeii ist auf das letzte Blatt des OAüSSBchen Exemplars tod Laplace: »Deuxiime suppUment & la thterie analytique des probabüit^, Fßyrier 1818« eingetragen. Auf diese Abhandlung bezieht sich auch der unter [2] im Auszug mitgetheilte Brief an Bessel, dessen Abdruck nach dem Original erfolgt ist. Eine Theorie der Repetitionsbeobachtungen, sowohl fOr gleichmfissig als auch für ungleichm&ssig vertheilte Ablesungen ist 1884 von Bessel yerOffentlicht worden (Astronomische Nach- richten, XI. Band, Nr. 256, S. 269 u. f.).

Das Gewicht eines Ablesefehlers sei i und das Gewicht eines einzelnen Visurfehlers sei p. Wenn die Ablesungen gleichmässig nach je r Repetitionen stattfinden, so ist mithin das Gewicht des Fehlers, der gleich der Summe der Fehler der Visuren zwischen 2 auf einander folgenden Ablesungen ist , gleich -— • Gauss setzt f- = in:*

2f KK

Es bezeichne x den gesuchten TVinkelwerth , so dass also rx aus je 2 auf einander folgenden Ab- lesimgen erhalten wird. Die Ablesungen selbst seien {^, /,, ..., J^. Femer sollen ^, |i,, (a,, ... eine Reihe von Zahlengrössen sein, die aus der Recursionsformel

unter der Bedingung (a« = o und fi| = i hergeleitet werden. Es ist also

1*1 = 1

\H=9 =kk+l

jAi=^^-i = k* + Akk + z fi4 = g*—tg = Jfc*+6Jfc* + ioJfcJfc+ 4

u. s. w.

Zur directen Berechnung der fi dient die Formel :

k\/Jck+A).iif = tt'-u-'; tt = Hkk'i'2 + k^ ,kk+i)).

BEM£RKCNG£N. REPETITIONSBKOBACHTUNGKX* 517

Igt nim die Awtil der Ablcmingen » = im, «o iriid ,nftch A>'DIUE und ZacIIAIUAC» Dt'n diauX«» Ondmufing IL Band, 1872, S. 196 u.f.^ allgemein

oder auch

rx =

Das reeiproke Qewielit von x ist:

t t ~*

Setzt man also

(nJbib + n— i)fji. — Wfx^i = hkM, •o wird

Und ist die Anzahl der Ablesungen n = 2m+ ii so i<^t

* il=0

oder

rx = ^=^

j^|(nÄiÄ; + ln-2)Hi^i-i:n + i)|x^j

Hierbei ist das reeiproke Gewicht von x

1 _ JL f*.»+a - t^m

i' pr »jx^t - 5 l*«+i - (n + 2) |A^

rrU n (nÄ;ÄJ + 2n- 2)|x^ - 2(n+ l)|x^i/

Wird mithin

(ntifc + 2»— 2)1*^1 — 2 (n+ i)fji. = kkN

gesetzt, so ist

Schreibt man A, B, C, ,,. anstatt 2«, 2t, ^> ...| so ergeben sich damit für n w 4 bezw. « und für fi= S bezw. 5 die auf S. 614 aufgeführten Resultate, die also für den r-fachen Winkel gelten* Die (i und also auch die Coefficienten im Zähler des Ausdrucks für den r-fachen Winkel bei geradem n sind die

Coeffidenten der Entwickelung des Bruchs Tim — : — i '^ ^^^^ ^^^ V fortschreitende Ileihc. Ist

1 — (ÄÄ-f- ^,y -T yy

dagegen n ungerade, so sind die Coefficienten im Zfthler des Bruchs, der den r-fachen Winkel gibt, gleich den Coefficienten der Reihe aus der Entwickelung des Bruchs ^

^- kk+2y + yy

518 BEMERKUNGEN.

Für die reciproken Gewichte erhftlt man aus den obigen Fonneln

11/, ^9+A **/i , , fcifc + 2 \

""' p-7?y^ *igg-{-»g-t) - rry^*kk{ik^+i»kk+»i,}'

Gauss gibt dagegen in der vontehenden Notiz an: »WahneheinUoher Fehler des Resultats, den des Ablesens ^ i gesetit:

^((tÄ+i)<^->-c<-") = ty/^i+l^).

Auch ist, wenn die Coeffioienten mit d*^, c'"'", etc. bezeichnet werden,

Für den Fall, dass am Anfang, nach der i^**^, (n— i)*^*^ und n^° Beobachtung abgelesen ist, möge eine Ableitung des Winkelwerthes und seines reciproken Gewichts hier folgen. Es seien

t?o» *^i» ^ii-i» *n die Fehler der Ablesungen A, B, Y, Z\ \ y ^m-t* ^n d^® Sunmie der Fehler der Visuren zwischen den Ablesungen A und B, B und Y, Y und Z\ X der gesuchte Winkelwerth.

Das Gewicht eines Fehlers der Ablesung sei wie vorher i, das Gewicht eines einzelnen Visurfehlers seip. Die Gewichte von fi|, S,^i, 8„ sind demnach ^, — — — i ^, da sieh S| und h^ je aus 2 Einstellungen,

2 2 ^n — 1; 2 ^ « 1

9„.i aber aus n — 2 Einstellungen zusammensetzen. Man setze jetzt T = ri.* Zwischen den Fehlem bestehen die Gleichungen

\ = — J. + jB — « — r^ + r, 1) In^x = -Ä+ r-(n-2)aj-©i+©,^i

Es muss

werden.

Setzt man fdr den Augenblick

so lauten die Normalgleichungen, wenn man gleichzeitig mit lik multiplicirt :

Xj+ X, + Xf, = nx +!?, * ♦ — ««

L^ =z ^ X '\- [hlc + \)f>^— Vi ♦ ♦

1^X, + X, = . ♦ - ^f?, +^ÄÄ+i+^^)

'»-1 — *>«

-i, = -a; ♦ ♦ - ««-1 +(tt+i)«„.

REPETITIONSBEOB ACHTUNGEN. 519

Addirt man die letzten 4 Gleichungen, so folgt

nach der zweiten und fünften Gleichung ist mithin:

Die erste Normalgleichung gibt

^i + ^»-i + ^n = 0- Subtrahirt man die fdnfte Gleichung von der zweiten und die vierte von der dritten, bo hat man

L^ +X, = tx + {i + Jch){v.-v^- (»i-t?«-,)

woraus sich ergibt:

(»;*(n-2) + 2)(X,+JD,)+ Jl^ = 2(tÄ(n-J) + n)a? + (Ä*(n-2) + 2ifcÄJ{n-i) + 2):t?.-t7„).

Eliminirt man nun vermittelst dieser Gleichung t7« — 17„ aus der ersten der Gleichungen 3), so folgt, wenn man zugleich für die L ihre Werthe einsetzt:

^ ^ ((n~2)Ä;A; + n)(Z-ii) + (n-2)(Y-^) n(n — 2)fcÄ;+ 2nn— 4n4-4

Um das reciproke Gewicht von x zu erhalten, hat man an Stelle der Constanten der Gleichungen 3) (weil die urspranglichen Normalgleichungen mit kh multiplicirt sind) der Reihe nach kk, o, o, o, o zu setzen. Der damit erhaltene Werth von x gibt das reciproke Gewicht an. Man erhält

\ (n- 2)fc* + 2(n— i)Ä;fe+2

P ~" n(n — 2)Ä;Ä; + 2nn— 4n + 4'

Setzt man dagegen, wie es Gauss in der letzten Formel auf S. 614 und in den beiden folgenden Formeln auf S. 516 gethan hat, das Gewicht der zu einer Beobachtung gehörigen Visurfehler = i, das Ge- wicht eines Ablesefehlers sahk, so ist im Nenner des vorstehenden Ausdrucks noch kk als Factor hinzu SU fügen.

Für n ^ 12 und kk^ss ^ wird alsdann z. B. das Gewicht des Winkelwerths :

i 1 12.10.^+2.144 — 4.12 + 4 j "^ 10.^+2. 11. i + 2 = *'^*-

Wäre aber nach jeder Beobachtung abgelesen, so hätte man nach S. 616/617 für kk = \ zunächst

r*i = 1| hl = 2,111, Vt = 3,457, |X^ = 5,187, ^ = 7,493, pe = 10,631;

und weiter mit n =s 1 2 :

(nfcÄ + n— 2;fji^ — nfi,^i = 30,574 = kkM,

Damit ergibt sich, da in diesem Falle der Ausdruck fOr das reciproke Gewicht noch durch kk im dividiren, und da ausserdem r = 1 ist :

* =1+ ^^-

P n ' nkkM oder

520 BEMERKUNGEN. REPETITIONSBEO BACHTUNGEN.

„ i^kkM 12.30,674

klcM-^-lil^ 61,836

Vergl. dazu den Schlusi des Briefes an Bessel, S. 516.

Ist nur im Anfang und nach der n^®° Beobachtung abgelesen, so findet man, entweder direct wie Torher oder indem man in der allgemeinen Formel auf S. 517 n^i im+i =s i setzt , ftlr das reciproke

Gewicht von x = :

n

P "" nn

Dabei ist das Gewicht eines Ablesungsfehlers = 1 und das Gewicht des Qesammtfehlers des Pointirens = —jTi: gesetzt.

Das SvAKBEBOsche Verfahren (Exposition des Operations faites en Lapponie, pour la d^termination d'un arc du m6ridien, en I80l, 1802 et 1803, Stockholm 1805, p. 29/38] besteht darin, dass zur Ableitung des Winkelwerths x aus (n+ i) Ablesungen {g, l^, . . ., l^ alle möglichen Differenzen || — 1,| ss (t — h]x, i>h* gebildet werden, aus deren Summe man erh&lt

n(n+i)(n + 2) Ä ,« . ,,

1.2.8 ,• s 0

Wie Gauss in dem vorstehenden Briefe an Bessel bemerkt, findet man dasselbe Resultat, wenn man die Pointirungsfehler, h, gleich Null setzt. In der That ergibt sich dieser Werth von x auch mit Hülfe der Fehlergleichungen:

'• + «'• = «*. ^+Vi =«• + «» h + v% ^ u + tx, ..., Z^ + v^ = « + n«,

worin u die Entfernung des Anfangspunktes der Theilung von der ersten Ablesestelle bedeutet.

K&Ooer.

BEMERKUNGEN ZUM NEUNTEN BANDE.

Der vorliegende neunte Band von Gauss' Werken ist von Herrn L. Krüger in Potsdam bearbeitet worden, welcher von Herrn A. Börsch bei der Sichtung des Materials unterstützt wurde ; er enthält eines- theils den Abdruck derjenigen von Gauss publicirten geodätischen Schriften , welche in Band IV nicht Fiats gefunden haben, andemtheils eine Bearbeitung des geodätischen Nachlasses.

Die von Gauss Unterlassenen geodätischen Notizen beziehen sich fast ausschliesslich auf die han- noversche OradmesBwng und auf Fragen , die durch sie und auch durch ihre Vorgängerin , die dänische Gradmessung, veranlasst sind. Herr L. Krüoer hat sich der mühsamen Arbeit unterzogen , den Inhalt der im Nachlass vorhandenen zusammenhangslosen Blätter, auf denen Gauss die PrqjecUonsmethode der han- noverschen Chrcuhnessung entwickelt hat, ebenso wie die auf die IHanguUrung selbst bezüglichen Au&eich- nungen zu einem geordneten Ganzen zusammen zu setzen. Der Fortgang der Arbeiten zur Chradtnessung und eu der sich anschliessenden Landesvermessung ist durch eine Zusammenstellung aller wichtigen sie betreffenden Veröffentlichungen, ofQciellen Berichte und Briefstellen ausführlich dargestellt. Im Einzelnen sind die den verschiedenen Notizen zugefügten Bemerkungen des Bearbeiters nachzusehen; eine Übersicht der wesentlichsten Theile dieses Bandes enthält auch der vom Unterzeichneten im April 1902 erstattete »Bericht über den Stand der Herauegabe von Gauss' Werken« (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissen- schaften zu Göttingen. Geschäftliche Mittheilungen 1902, Heft l).

Die allgemeine Redaction lag, wie bei Band VUI, in den Händen von Herrn M. Brendel. Der Ab- druck der Nachlassstellen schliesst sich so eng wie möglich an die Originale an ; bezüglich der Orthographie wurde, wie in den frühem Bänden, diejenige Schreibweise gewählt, die Gauss am häufigsten gebraucht zu haben schien, und diese durch den ganzen Band beibehalten. Ebenso wie früher sind Einschaltimgen des Bearbeiters in den Text der Originale durch eckige Elammem [] kenntlich gemacht oder in den Bemer- kungen besonders erwähnt, sowie Abdrücke von Notizen und Briefstellen, die nicht von Gauss herrühren, in geschweifte Klammem () gesetzt.

Die Briefstellen wurden nach den Ori^alen abgedruckt, soweit diese vorhanden sind. Der Nach- weis der aus dem Nachlass zum Abdruck gelangten Notizen findet sich, wie andere redactionelle Mit- theilungen, in den Bemerkungen zu den einzelnen Abtheilungen.

F. Klein.

IX.

66

INHALT.

GAUSS WERKE BAND IX. GEODÄSIE. FORTSETZUNG VON BAND IV.

BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN DEN STERNWARTEN

VON GÖTTINGEN UND ALTONA DURCH BEOBACHTUNGEN

AM RAMSDENSCHEN ZENTTHSECTOR.

Einleitung Seite b

Die beobachteten Sterne — 8

Die Beobachtungen — lo

Refultate

Einfachste Combination der Beobachtungen sur Bestimmung des Breitenunterschiedes,

Art. 1 — 2»

Genauigkeit der Beobachtungen, Art. S — 30

Collimationsfehler, Art. 3 — 31

Absolut Yortheilhafteste Combination der Beobachtungen, Art. 4 — 7 — 3S

Berücksichtigung der unregeknftssigen Theilungsfehler, Art. 8 — 11 — 86

Lage der Beobachtungsplfttze, Art. 12 — 40

Bestimmung der absoluten Folhöhe der Göttinger Sternwarte aus Beobachtungen des

Nordsterns am REiCHENBACHschen Meridiankreise, Art. 13 — 17 — 40

Endresultat der hannoverschen Gradmessung, Art. 18 — 20 — 47

Vergleichung der Declinationen der beobachteten Zenithalsteme mit Bradleys und

PlAZZis Bestimmungen, Art. 21 — so

Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg — 62

Zusatz zu Art. 20, S. 48 — so

Angeige.

Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona

durch Beobachtungen am RAMSDENschen Zenithsector — so

Bemerkungen — 63

INHALT. 523

ERDELLIPSOID UND GEODÄTISCHE LINIE.

NoMms.

Das ErdellipBoid Seite 67

Gleichung der Verticalebene des Rotationsellipsoids .* — 70

Gleichung des Rotationsellipsoids in Beziehung auf eine berührende Ebene — 70

Bemerkungen — 71

Begründung meiner Theorie der geod&tischen Linie — 72

Kürzeste Linie auf dem SphSroid , — 74

Geodätische Linie — 78

Geodätische Übertragung von Breite, Länge und Azimuth — 80

Geodätische Übertragung auf der Kugel — 88

Berechnung der linearen Länge der geodätischen Linie und ihrer Azimuthe aus den geo- graphischen Coordinaten — 89

Vollkommen genaue Formeln für ein Dreieck auf dem elliptischen Sphäroid — 92

Übertragung der geographischen Lage vermittelst der Sehne und des Azimuths des Vertical-

Schnittes — 93

Der Unterschied zwischen dem geodätischen und dem beobachteten Azimuth — 94

Reduction des astronomischen Azimuthes auf das geodätische — 95

Bemerkungen — 96

Briefwechsel,

Änderung der PolhOhe mit der Höhe: Gauss an J. J. Baeter 1853 Juni 22 — 99

Bemerkungen — 102

NoMcLSS.

Reduction der sphärischen Dreieckswinkel A, B, C auf die Chorden winkel 9[, S3, (£ ... — lOS Bedingung dafür, dass 3 Punkte auf der Oberfläche einer Kugel auf einem grössten Kreise

liegen — lOS

Bemerkungen — 104

CONFORME DOPPELPROJECTION DES SPHÄROIDS AUF DIE KUGEL UND DIE EBENE.

NcuiMcuts.

Das elliptische Sphäroid auf die Kugel übertragen — 107

Bemerkungen — 115

Stereographische Projection der Kugel auf die Ebene — 117

Bemerkungen — I2l

Übertragung der Kugel auf die Ebene durch Mercators Projection ........ — 123

Bemerkungen — 132

Stereographische Darstellung des Sphäroids in der Ebene — 183

Bemerkungen — 134

66'

624

INHALT.

CONFOBME ÜBERTRAGUNG DES SPHÄROmS AUF DEN KEGELMANTEL.

NcuiMcuts.

Zur zw'eiten Darstellungsart des SphAroids, auf einen ParaUelkreis bezogen Seite ist

Bemerkungen — 140

CONFORME ABBILDUNG DES SPHÄROIDS TS DER EBENE (PROJECTIONSMETHODE DER HANNOVERSCHEN LANDESVERMESSUNG).

NoMasa.

Berechnung der geographischen Breite und L&nge aus den ebenen rechtwinkligen Coordinaten

Berechnung der Meridianconvergenz aus den ebenen rechtwinkligen Coordinaten ....

Formeln zur numerischen Berechnung der L&nge, Breite und Meridianconvergenz ....

Berechnung des VergrOsserungsverhältnisses n

Beziehungen zwischen x, y und (, X

Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus der geographischen Breite und Länge

Berechnung der Meridianconvergenz aus den geographischen Coordinaten

Die Reduction des Azimuths auf dem Sphäroid auf das Azimuth in piano

Der Unterschied zwischen der Projection der geodätischen Linie und der ihre Endpunkte verbindenden Geraden bei der oonformen Darstellung einer krummen Fläche in der Ebene

Zur Transformation der Coordinaten

Reihen zwischen 7, ^ und o»

Zur Berechnung von log cos 7 ^

_, . 1 , . •. 1 (i — ÄÄsin®') , acoso

Berechnung von log(i — eesmo'), log ; ^-— und -7- -. — =r

Numerische Werthe der Coeffidenten in den Reihen zwischen 7, <|; und a>

Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus den geographischen Coordinaten mit

Hülfe der Reihen zwischen 7, <|; und a>

Berechnung der Länge und Breite aus den ebenen Coordinaten

Die Darstellung der Oberfläche des Sphäroids in der Ebene

Bemerkungen

Bnefujtchad.

Über die Formeln fOr die hannoversche Landesvermessung:

Gauss an Schumacheb i830 April 18

Gauss an Schumacheb 1830 April 30

Gauss an Schumacheb issi Mai i?

Gauss an Schumacheb i831 Juni 26

Gauss an Schumacheb 1838 Dec. 9

Bemerkungen

143 146 148 152 155 156 158 15»

162 168 171 180

181 182

185 191 193 195

205 212 213 215 217 218

TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. NacMass.

Endresultat fOr den Ort eines Punktes in einer Ebene, der von drei bekannten aus ange- schnitten ist — 221

I

INHALT.

525

BeBtammung der Lage eines Punktes P^ aus der Lage dreier anderer: P, P', P", wo jener

beobachtet Seite 22S

Ausgleichung dreier Schnitte — 324

Zur Ausgleichung dreier Schnitte — 226

Bestimmung eines Nebenpunktes (Schessel) aus den Beobachtungen auf Hauptdreieckspunkten

(Litberg, Wilsede, Bottel, BuUerberg und Brüttendorf) — 228

Abliandlung,

Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe der praktischen Geometrie . — 231 Nachlass,

Bestimmung der Lage des Punktes X durch Beobachtung der Winkel a und ß zwischen

3 gegebenen Punkten A, B, C — 238

Orientirung des Messtisches — 239

Aufgabe der praktischen Geometrie — 239

Bemerkungen — 240

AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. Nachkus.

Ausgleichung eines Vierecks — 245

Gleichung zwischen den Seiten und Diagonalen eines Vierecks — 248

Brirfwechsel,

Über die Wahl der Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen:

Gauss an Gerlino 1824 Febr. ii — 24»

Gauss an Gerling 1840 Jan. 19 — 250

NacMass,

Zur Ausgleichung der Winkel im Viereck — 254

Viereck zwischen 4 Punkten l. 2. 3. 4 — 267

Ausgleichung eines Polygons — 257

Gewicht von HOhenbestimmungen — 258

Bemerkungen — 269

STATIONSAUSGLEICHUNGEN. Naehkus,

Stationsausgleichung fOr Zeven aus sfimmtlichen Messimgen von 1824 und 1825 (ohne die

vom 4. und 5. August) , — 263

Stationsausgleichung für Brillit — 265

Wilsede aus sämmtlichen Messungen von 1822 und 1824 — 267

Ausgleichung der auf dem Windberge gemessenen Winkel — 271

Beobachtungen auf Breithom 1822 — 274

Brieftoechsel.

Über Stationsausgleichungen: Gauss an Gerling 1823 Deo. 26 — 278

Gauss an Schumacher i827 Dec. 22 — 28i

Gauss an Schumacher 1828 Jan. 7 .— 285

Bemerkungen — 287

526 INHALT.

ZUR NETZAUSGLEICHUNG.

NoMass.

Anzahl der Bedingungsgleichungen in einem Dreieckssyttem Seite 297

Die 33 Hauptdreieckspunkte und ihre Verbindungen — 297

Zusammenstellung der beobachteten Dreiecke und ihrer Widersprüche — soo

Normalgleichungen, die den Winkelgleichungen entsprechen — S02

Bedingungsgleichungen der zweiten Art — 304

Normalgleichungen, die den Seitengleichungen entsprechen — 311

Die Verbesserungen — 312

AusgleichungBwerthe -. S14

Die Azimuthe der Seiten des sph&roidischen und des ebenen Dreieckssystems — 317

Brief tDechael.

Gauss an Olbebs 1823 Not. 2 — 319

Gauss an Olbers 1824 Juli « — S20

Gauss an Olbers 1826 Mai u — 320

Gauss an Gerlino 1837 Mai 2 — 323

Gauss an Gerlino 1838 Juni 6 — 323

Gauss an Gerlino i838 Nov. 14 — 326

Bemerkungen — 327

DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG. NaMasa.

Zur Ausgleichung des Dreieckskranzes, der das Oldenburgsche umgibt — 331

Bemerkungen — 340

ZUR HANNOVERSCHEN TRL\NGULATION. Brieftoeehsel,

Gauss an ScHUifACHBR : I8I6 Julis, isisSeptio, i82oMai2o, i82iMfirz4, i622 8ept.is,

1826 Januar, 1825 Juni 20, 1829 Jan. 14 — 345

Gauss an Bessel: 1821 Dec. 26, 1822 Nov. 15, 1823 Nov. 5, 1824 Nov. 20, 1826 Mftiz 12,

1826 Nov. 20, 1827 April 1, 1830 April 9 — 349

Gauss an Bobnenberoer : t823 Nov. 16 — 364

Gauss an Olbers-. 182i Jan. 13, 1822 April I8, 1824 Juli 4, 1824 Juli 8, 1825 Febr. 19, 1825 Febr. 25, 1825 Oct. 9, 1826 April 2, 1827 Jan. 14, 1827 Mäiz 1, 1830 Juni 14, 1837 Sept. 2 — 367

Gauss an Gerlino: 1821 Oct. 5, 1822 Febr. 21, 1822 Nov. 7, 1823 Juli 27, 1823 Aug. 11,

1823 Sept. 1, 1813 Sept. 5, 1823 Oct. 3, 1827 JuU 19, 1838 Sept. 12, 1838 Nov. 14 . . — 380

Bemerkungen — 395

Ver^entlichungen.

Auszug aus einem Briefe des Herrn Hofrath und Ritter Gauss — 396

Auszug .aiui einem Schreiben des Herrn Hofirath Gauss — 397

Bemerkungen — 400

NoMasa.

Plan und Anfang zum Werke über die trigonometrischen Messungen in Hannover.

Plan des -Werkes — 401

INHALT. 527

Einleitung Seite 402

Erster Abschnitt. Anordnung der Messungen im allgemeinen —.405

Auszüge aus Berichten über die Triangulirung an das hannoversche Cabinets-Ministerium.

Aus einem Bericht vom 7. Januar 1822 über die Arbeiten im Jahre 1821 — 406

Aus einem Bericht vom 31. Januar 1823 über die Arbeiten der Gradmessung im Jahre

1822 — 40»

Aus dem Bericht vom 16. Februar 1826 über die im Jahre 1824 ausgeftlhrten trigono- metrischen Arbeiten — 412

Aus dem Bericht vom 21. November 1827, betreffend die weitere Ausdehnung der Orad-

messungsarbeiten — 4i3

Aus dem Bericht vom 26. Juni 1826, die Fortsetzung der Gradmessungsarbeiten betreffend — 416 Historischer Bericht über die von dem Hofirath Gauss theils ausgeführten, theils ge- leiteten Messungen im Königreich Hannover — 418

Aus dem Bericht vom 5. Juli 1840 über die trigonometrischen Vermessungen im Jahre

1839 — 425

Aus einem Bericht, December 1844, über die im Jahre 1844 ausgeführten trigono- metrischen Messungen — 426

Geographische Coordinaten der Hauptdreieckspunkte der hannoverschen Messungen ... — 427

Bemerkungen — 429

HÖHENMESSUNGEN.

Veröffentlichung und Briefweched.

Der Kefiractionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der hannoverschen Gradmessung. Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannoverschen, Braunschweigschen und

Lüneburgschen — 487

Der Hefractionscoefficient aus den Höhenmessungen von 1824 abgeleitet: Gauss an

Schumacher i824 Nov. 28 — 440

Der Befiraotionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der Gradmessung und ihrer

Fortsetzung bis Jever: Gauss an Schumacher 1846 Dec. 27 — 443

Bemerkungen — 444

NoMase.

Terrestrische Refraction — 446

Formel zur Höhenberechnung • — 448

Ausgleichung der Höhen der Hauptdreieckspunkte — 449

Bemerkungen — *64

Veröffentlichung,

Tafel für barometrisches Höhenmessen — 466

HELIOTROP. Veröffentlichungen.

Über den Heliotrop — 461

Erfindung eines Heliotrops • • . . — 466

528 INHALT.

Über den Heliotrop: Gauss an Olbeks 1821 Juli i Seite 467

Gauss an Schümachek isii Juli ii — 470

Gauss an Schumacheb isii Nov. 8 — 470

Gauss an Schumacher 1822 Juli lo — *47o

Gauss an Schumacher isi? Jan. 15 — 47i

VeröffentHchung.

Die Berichtigung des Heliotrops — 473

Nachhus,

EinfluM unvollkommener Berichtigung am ersten Heliotrop — 478

für den «weiten Heliotrop — 479

Zur Berichtigung des Heliotrops — 479

Bemerkungen — 488

MESSUNGSFEHLER. Naehlws und Briefwechsd.

Über die bei der Landestriangulirung erforderlichen Liitrumente — 487

Über Messungsfehler: Gauss an Olbers 1826 JuL' . — 49 o

Gauss an Schumacher 1825 August 14 — 498

Gauss an Bessel 1843 Oct. 29 — 494

Gauss an Bessel 1844 August 1 5 — 498

Bemerkungen — 499

Bri€fwechsd.

Berechnung des mittlem Ablesungsfehlers einschliesslich des TheUungsfehlers am Theodo-

lithen: Gauss an Gerlino 1844 April 17 — 500

Nachkua.

Berechnung des mittlem Ablesungsfehlers am Theodolithen und Bord Aschen Kreise 1821 — 1824 — 601

Bemerkungen — ftOft

KEDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.

Naehkiss.

Reduction schiefer Winkel auf den Horizont — 609

Bemerkungen — 612

NaeMasa und Briefwechsel.

Repetitionsbeobachtungen — 614

Über die Fehler bei Repetitionsbeobachtungen: Gauss an Bessel 1819 Jan. 27 .... — 6I6

Bemerkungen — 6I6

Bemerkungen zum neunten Bande — 62i

OAtUagea, Drack d«r Dieteriehtchen UBiT.-Baehdnekeffi (W. fr. KMiteer).

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