FORTHE  PEOPLE 

TOK  EDVCATION 

YOK  SCIENCE 

LIBRARY 

OF 

THEAMERICAN  MUSEUM 

OF 

NATURAL  HISTORY 

r  Boi 

A.M 


COMMENTARn 

ACADEMIAE 

SCIENTIARVM 

IMPERIALIS 

PETROPOLITANAE. 
Tomus  XII. 

AD  ANNVM  MDCCXL. 


PETROPOLL 
TYPIS    ACADEMIAE 
dsbcc  L, 


:^ 


rjh.^.Qj,^M.2jfU^lZ. 


■^^ct  cb 


INDEX 

COMMENTARIOIIVM. 

In  Clafe  Matbematica 

L.Eukriy  Innefligatlo  ciiruarum,  quae  euolutae  fui  fimiles 

producunt.  p.   3« 
Eiusd,         Dc  feriebus  quibusdam  confiderationes.  p.   53. 
JOan.Bernoulliy  Commentationes  de  ofcilktionibus  compo- 

fitis ,  praelertim  iis  ,  quae   fiunt    in   corporibu» 

ex  filo  flexili   fu(penfis.   p.  97. 
L.  Eukri  ,  Emendatio  tabularum  Aftronomicarum  per  loca 

planetarum  Geocentrica.  p.    icp. 
C.  iV.  de  ^insheim  Determinatio  exadior  graduum   paral- 
^  lelonim  aequatoris  et  meridiani ,  in  .■  figura   tel- 

luris  hypothetice  Jphaerica  ,  aut  (  prouti  per  re- 

centiflimam  dimenfionem  ftabilitur  )  Jphaeroidc>^ 

p.   222. 

In  Claje  Vhyftca 

G*  W,  Krafftiij  Dc  loco  imaginis  pundli  radiantis  in  fpe* 

culum  curuilineum  diflertatio  catoptrica  p.  243 . 
Eiusd.        De  corporum  plano  inclinato  impofltorum  de- 

(cenfu.   p.   2.61. 
Eiusd.        De  viribus  attradionis  magncticae  experimenta.. 

p.   2^6, 
L  Ammaniy  Defcriptio  Caflke  Amcricanae   procumbentis , 

herbaceae,  mimofae  foliis ,  floribus  paruis  ,  flU- 

quis  anguftiSj  planis.  p.  2S8. 

C.  K 


C.  E.  Gellertii  De   phaenomenis   plumbi    fufi  in  tubis  ca- 

pilhribus.  p.   293. 
Eitisd.         De  tubis  capilbribus  prifmaticis.  p.   302. 
I.  C. /^iMi  Ob(eruationes    Anatomicae   rariores  p.   312. 

1.  De  vena  caua  dupiici  afcendente.  ibid. 

2.  De  vena  iugulari  externa  ,  quoad  progrefliim  , 
triplici ,  quoad  inlertionem  aiitem  ,  quaoruplici. 
p.   3i<^. 

5.  De  venae  Azigos  trunco   duplici  p.  318. 

4.  De  mufculo  fingulari  gemino  fternum  fupierii- 
cente.  p.  320. 

5.  De    tendinum  ,   digitos   manus  finiftrae  exten- 
dentium  ,  extraordinario  numero.  p.  321. 

6.  De    inteftino    coeco    ct  proceflii    vermiculari. 

i>'  324- 
^Eiiisii  de  renibus    fuccenturiatis    in    puero    di^uifieis 

notata.  p.  327. 


Ohferu.  AJlromm. 


G,  Heinfii,  Obferuatio  Fclipfis   folaris  d.  ^-^"  1739.  in 

Obferuatorio  Imp.  Petropolitano  habita.  p.  333- 
Eiusd.        Obferuatio  tranfitus  lunae  ad  Saturnum  d.  i?-4r''- 

X.  Mait 

1740.  Petropoli  habita.  p.   349. 
lEiusd,        De  declinationum  fyderum  determinatione  abs* 
que    exafta    eleuationis    aequatoris  cognitione. 
p.  352. 


CLASSIS  PRIMA 

CONTINENS 

MATHEMATICA 


Tm.XIL  A  INVE. 


INVESTIGATIO  CVRVARVM 

QVAE  EVOLVTAE  SVI  SIMILES  PRODVCVNT 
A.  L.  Eulero, 

§.  I. 

In  hac  diflertatione  nomini  euolutarum  aliquanto  latio- i^^j,  ,^ 
rem  fignificationem  tribuo  ,  quam  vulgo  fieri  folet , 
ac  non  folum  eam  curuam ,  ex  cuius  euolutione  data  curua 
n.ifcitur  ,  huius  euolutam  appello  ,  fed  infuper  euolutam  hu- 
ius  euolutae ,  fimiliterque  ^niuerfam  curuarum  feriem , 
quarum  quaelibet  praecedentis  eft  euoluta  ;  interim  tamen 
hoc  difcrimen  in  denominatione  obleruabo  ,  \'t  ipfam  datae 
curuae  euolutam  ,  quae  hoc  nomine  infigniri  confueuit , 
eius  euolutam  primam  appellem  ,  huius  \ero  euolutam  fe- 
cundam  ,  eamque  ex  cuius  euolutione  ifta  nafcitur ,  ter- 
tiam  atque  ita  porro.  Sic  fi  datae  curuae  A  euoluta  fic 
curua  B  ,  curuae  autem  B  euoluta  C  ,  atque  huius  curuae 
C  euoluta  D ,  huiusque  E  et  ita  deinceps ,  erit  milii  re- 
(pedu  curuae  A  curua  B  euoluta  prima  ,  curua  C  euolu- 
ta  fecunda  ,  curua  D  euoluta  tertia ,  E  quarta  atque  ita  porro. 
§.  2.  Hac  vocis  euolutae  fignificatione  praemiflTa  in 
hac  diflertatione  in  eas  curuas  inquirere  confiitui  ,  quarum 
euolutae  vel  primae  vel  (ecundae  \el  tertiae  etc.  ipfis  fint 
fimiles.  Qiiod  quidem  ad  euolutas  primas  attinet  a  Viro 
Clariflimo  Prof.  Krafft  iam  eft  oftenfum  ,  praeter  fpira- 
lem  logarithmicam  ct  cycloidem  alias  non  dari  curuas , 
quae  cum  fiiis  euolutis  primis  conueniant ;  atque  idem  alia 
methodo  hic  fum  demonftraturus ,  quae  fimul  viam  prae- 
paret  ad  €as  curuas  inueftigandas ,  quae  fimiles  fint  fuis  euo- 

A  2  lutis 


4  INVESTICATIO  CVWAR.  QVAE  EVOLVTAE 

lutis  vel  fecundis  \el  tertiis ,  etc.  Neque  vero  in  hoc  ne- 
gotio  viam  fimpliciflimam  fum  fecuturus ,  quae  facillime 
ad  cognitionem  curuarum  quaefitarum  manuducat ;  fed 
praecipue  mihi  propofitum  eft  relationem  inter  arcum  cur- 
vae  et  refpondentem  radium  curuedinis  inueftigare  ,  quae 
etfi  differentialibus  altiorum  graduum  eft  inuoluta ,  quae 
alia  methodo  plenimque  euitari  poflTunt ,  tamen  magis  vi- 
detur  genuina  atque  ad  inftitutum  accommodata.  Praeterea 
vcro  non  tam  follicitus  ero  de  ipfis  his  curuis  definiendis 
quam  de  ratione  aequationes  difFerentiales  altionim  graduum 
debito  modo  tradandi ,  ex  iisque  curuas ,  ad  quas  pertineant 
aflTignandi.  Eum  fcilicet  in  finem  hoc  negotium  potifiTimum 
fulcepi ,  vt  varias  vias  aequationum  differentialium  altio- 
rum  graduum  refoluendarum  patefacerem  ,  quae  in  pluri- 
inis  aliis  cafibus  vtilitatem  non  contemnendam  afFerre  queant, 
§.  3.  Initium  igitur  facio  ab  iis  curuis  inueftigandis 
^«  «•  quae  fimiles  fint  fuis  euolutis  primis ,  quae  quaeftio  dupli- 
cem  requirit  foiutionem.  Primo  enim,  fi  cunia  quaefita  po^ 
natur  AMB  ,  cuius  euoluta  fit  amby  quaeftioni  fatisfiet ,  fi 
curua  amb  ita  fuerit  fimilis  curuae  AMB,  vt  pundum  ^ 
homologum  fit  pundo  A  ,  b  homologum  pundo  B  ,  at- 
quae  quoduis  pundlum  m  homologum  illi  pundo  M  ,  ex 
cuius  euolutione  nafcitur.  Hoc  enim  ipfa  natura  euolutio- 
nis  et  fjmilitudinis  poftulat ,  fi  enim  pundum  a  homolo- 
gum  fuerit  pundo  A ,  atque  curua  aifib  fimilis  curuue  AMB : 
arcui  cuiuis  AM  fimilis  erit  arcus  am  ^qui  eft  aeque  am- 
plus  y  hoc  eft  qui  dudlis  normalibus  ad  curuas  A  N ,  M  N  ,. 
anymn^  angulum  compleditur  ^w/;;  aequalem  angulo 
A  N  M  :  haec  vero  aequalitas  locum  habet ,  fi  normalis 
MN    produda    tangat  curuam   am  in  w ,.  feu  m  fuerit 

ceur 


SVI  SIMILES  PRODVCVNT.  5 

centriim  circuli  ofculantis  curuani  AMB  in  M.  Cum  igi- 

tur  quaedioiiiem  hoc  modo  confiderando  quaelibet  curuae 
A  M  B  portio  fimilis-  fit  fui  euolutae  ,  hanc  quaeflionis  par- 
tem  ita  reltringi  conueniet  ,  vt  in  ea  quaerantur  curuae. , 
quae  fuis  eaolutis  fint  dire&e  fimiles ,  hocque  modo  iftam 
partem  quaeiiionis  ab  altera  parte  diftinguo ,  qua  curuae 
quaeruntur ,  quae  fuis  euolutis  imierfe  fint  fimiles, 

§.  4.  Inuerfam  autem  fimilitudinem  ,  qua  alter  quae-  wi^  2* 
llionis  cafus  continetur ,  ita  animo  repraefentari  oportet. 
Curua  fcilicet  AMB  ita  fimiiis  efle  poteft  fiiae  euolutae 
bma^st  modov  inucrfo  pundlnm  b  ,  quod  ratione  euolutio- 
nis  pundo  A  refpondet  homologum  fit  alteri  extremitati 
B,  pundum  a  ratione  euolutionis  pundo  B  refpondens 
homologum.  pundo  A  ;  ideoque  curuii  tota  ameh  fimi- 
lis  curuae  AEMB.  Qiiare  {i  ducantur^  nortnales  AC  ,  BC  , 
ac  et  bc  ^  eiit  primo  ex  euolutionis  quidem  natura  an- 
gulus  bcazzi  ang.  AGB,  deinde  AC:BC=z:^i: :  bc-  Duca- 
tur  nunc  in  pundo  quocunque  M  radius  oiculi  yim  euo- 
lutam  in  m  tangens ,  erit  pundum  m  ita  comparatum 
vt  normalis  m^n  cum  bc  produda  angulum  conftituat  ae- 
qualem  angulo  ANM,  ex  quo  inter  punda  M  et ;;/  ifta 
relatio  intercedet ,  ^i  fdmma  angulorum  ANM-f-^w;» 
quos  normales  in  M  et  fn  cum  axibus  AC  et  ac  con- 
ftituunt  perpetuo  aequalis  fit  angulo  ACB.  Qiiodfi  ergo 
in  eunia  ab  capiatur  pundlum  fA.  homologum  ipfi  M  ,  et 
ad  fJL.  normalis  ducatur  jjl^:  erit  fiimma  angulorum  av\K 
'+-anmz=:acb.  Dabitur  igitur  cafus ,,  quo  duo  puncfla 
mtt  \k  conueniunt  puta  in  ^,  id  quod  aecidit,  ybi  an- 
guliis  afe  eft  femiflis  angull  ACB  ,    hocque    pundlum  e 

A  3  erit 


€  mVESmATlO  CVRFJR,  QTAE  EVOLVTAE 

crit  homologum  ipfi  pun(Slo  E  cui  ratioue  euolutionis  rc* 
(pondet. 

§.  5.  Notatis  itaque  in  vtraque  curua  pundlis  E  et 
f ,  quae  flmul  ratione  fimilitudinis  funt  homologi ,  atque 
ratione  euolutionis  fibi  mutuo  refpondent ,  reliqua  punda 
homologa  omnia  ratione  euolutionis  a  le  inuicem  discrepa- 
bunt ;  ita  pundum  m  ratione  euolutionis  refpondet  in  curua 
A  M  B  illi  pundo  M  quod  homologum  e(l  pundo  |x , 
amboque  punAa  m  et  [x  vtrinque  circa  pundum  fixum  c 
ita  erunt  dilpofita ,  Yt  dudis  normalibus  p.i'  et  mn  fum- 
ma  angulorum  anm-\-ayik  aequalisfit  angulo  achy  vel 
duploangulo  afe.  Qiiare  fi  normales  [jlk  et  /«»  produ- 
cantur ,  donec  concurrant  cum  normali  fixa  ef  produ<5ta 
in  p  et  r ,  erunt  anguli  mre  et  [xp^  aequalcs ,  arcusque 
em  et  ^[jl  aeque  ampli,  eam  huic  vocabulo  fignificatio- 
nem  tribuendo ,  qua  vfus  eft  Celeb.  BernouUius  in  difler- 
tatione  de  motu  reptorio :  atque  haec  ert  proprietas  bino- 
tum  quorumque  pimdorum  7«  et  jji.  in  euoluta,  quorum 
alterum  ex  alterius  punAo  homologo  per  euolutionem  nas- 
citur  ,  haecque  proprietas  non  Iblum  communis  eft  euolu- 
tis  primis  fed  etiam  fecundis ,  tertiis  et  omnibus  fequen- 
tibus. 

§.  6.  Si  ergo  quaeftio  de  curua  inuenienda  propona- 
tur  ,  quae  fimilis  fit  cuicunque  euolutae ,  ea  quaeftio  bi- 
partito  eft  tradinda  ,  primo  enim  ea  curua  debet  defini- 
ri ,  quae  fiiae  euoiutae  defignatae  direfte  fit  fimilis ,  fioc  efl: 
cuius  fingula  punda  ratione  euolutionis  in  euoluta  gencrent 
punda  homologa.  In  altera  vero  folutionis  parte  in  eas 
curuas  erit  inquirendum  ,  quae  fimiles  fint  fuis  euolutis  or- 
^e  inuerfo ,  hoc  eft ,  quarum  fingula  pun(5h  non  generent 

iibi 


sn  smiLES  mOhvcvNT.  7 

fibi  homologci  per  enolutionem.  Notandum  a^item  eft 
binorum  horum  cafuum  pofteriorem  ad  priorem  reduci , 
nam  fi  curua  AMB  euolutam  habeat  bma  fibi  inverfe  Fig.  a» 
fimilem  ,  eius  euoluta  fecunda  eidem  erit  diredle  fimilis ; 
fi  enim  pundum  M  generet  in  euoluta  prlma  pundum 
m  fibi  non  homologum ,  idem  in  euoluta  fecunda  gene- 
rabit  pundum  fibi  homologum.  Simiii  modo ,  quae  curua 
habet  euolutam  fecundam  fibi  fimilem  inuerfe  ,  eadem  ha- 
bebit  euolutam  quartam  fibi  direde  fimilem  \  fimiiiterque 
erit  comparata  ratio  euolutarum  reliquorum  graduum. 

§.  7.  Antequam  autem  (blutionem  horum  problema- 
tum  aggrediar ,  generalem  nexum  ,  quem  quaeuis  curua 
cum  fuis  euolutis  cuiusque  ordinis  tenet ,  confiderafle  iuua- 
bit.  Sit  igitur  propofita  curua  quaecunque  A  M  cuius  ^'S-  >' 
euoluta  prima  fit  B  N,  fecunda  euoluta  C  P,  tertia  D(^, 
quarta  ER  et  ita  porro  *,  erunt  ex  natura  euolutionis  om- 
nes  arcus  AM  ,  BN  ,  CP ,  DQ^,  ect.  aeqiie  ampli.  Qiia- 
re  fi  in  ipfa  curua  propofita  AM  ponatur  arcus  AMzzj  ; 
ct  radius  ofculi  MNnir  ^  erit  pro  euoluta  prima  BN 
arcus  BNin^^t^  prout  radius  ofculi  MN  recedendo  a 
puncfto  A  vqX  cre(cit  vel  decrefcit :  lecundum  autem  fi- 
guram  eft  curua  BN~tf-f-r.  Ob  aequalem  autem  am- 
plitudinem  eft  euolutae  primae  radius  ofculi  NPnz'^  hinc 
porro  euolutae  iecundae  CP  eft  arcus  QVzzb—^-^^  fiqui- 
dcm  figuram  (equamur  :  eiusdemque  radius  ofculi  PQ^m 
""B^-^-  Euolutae  itaque  tertiae  arcus  DQ  eft  =rr--H 
£'d^ )  eiusque  radius  ofculi  Q_R  =  i^^.^^-7F-  Simili 
modo  euolutae  quartae  ER  eftarcus  ER^i^-f-ii^^^s^- iT" 
ttcjjXQ  eiusdem  radius  ofculi  ^id.^d.-^d/-^^  liocque  pa- 


t  INFESTICATIO  CFRVAR.    Ql'AE  EFOLVTAE 

^o  pro  qimlibet  datae  cuniae  euoluta  facile  erit  tum  arcum 
riitione  euolutionis  dato  arcui  s  in  data  curua  refponden- 
teni  aflj^nare ,  tum  etiam  radium  ofculi  \  hae  vero  fingu- 
Jae  exprenTiones  tam  affirmutrue  funt  accipiendae  quam  , 
negatiue ,  fiquidem  folutiones  problematum  proponendorum 
ladffime  patentes  defideramus. 

§.8.  Proponatur  igitur  ex  ifto  quacftionum  genere 
problema  primum  ,  quod  ita  fe  habet 
ffig.  X.  Inuenire  curuam  AMB  quae  Juae  euolutae  primae  abm 
dire^e  fit  fimiUs, 
Ponatur  pro  curua  quaefita  AMB  arcus  ad  lubitum  aC 
fomtus  AMnrj,  et  radius  ofculi  in  pundo  Mzz:r,cres- 
cantque  radii  osculi  ab  A  verfus  B  recedendo ,  qua  qui- 
dem  conditione  amplitudo  problematis  non  reftringitur, 
cum  initium  A ,  a  quo  arcus  A  M  computantur  "vbi  li- 
buerit ,  accipi  queat.  Sit  radius  ofculi  in  A  feu  ka^a^ 
et  quia  curua  amb  direde  fimiiis  efle  debet  curuaeAMB, 
erit  arcus  am-zzns  et  radius  osculi  euolutae  in  mzzns* 
Hanc  ob  rem  ex  natura  euolutionis  erit  ve!  a^  ns  zzr 
Tel  nrzz^^  quae  ambae  aequationes  congruunt.  Erit 
crgo  pro  curua  quaefita  A  M  haec  aequatio  iZ3^* ;  et 
quia  arcus  data  quantitate  nugeri  diminuine  poteft  ob  ini- 
tium  A  arbitrarium  ,  erit  J  — ^  leu  rznns  \  quae  aeqna- 
tio  exprimit  naturam  curuae,  quaeeuolutam  habet  fui  fi- 
milem ,  exirtente  fimilitudinis  ratione  vt  i  : «  ,  haec  ku 
licet  ratio  exprimit  rationem  hnearum  ad  curuam  quaefi- 
tam  pertinentium  ad  hneas  homologas  in  euoluta. 

§.9.  Qiioniam  autem  ex  aequatione,  quae  datur  in- 
ter  arcrm  et  ladium  ofculi,  natura  curuae  non  diftin<fle 
perlpicitur ,  etiamfi  ex  tali  aequatione  immediate  curuae 

con- 


SFI  SIMILES  FRODFCVNT  9 

conftriiAio  dednci  queat ,  eliciamus  ex  aequatione  inuenta 
rzzins  aequationem  inter  coordinatas  orthogonaks  AP 
nzx  et  P  M  zzj  pro  eadem  curua  quacfita  AMB.  Quum 
vero  pofitus  (it  arcus  AMmj,  erit  dx  -^dy^  —  ds  \ 
atque  fi  fiat  dxzz.pds  et  djz=:ds  V (i—pp)  cnt  curuae 
radius  osculi  rzz^^-f^.  Hac  itaque  fubftitutione  fadla 
ifta  emergit  aequatio  — ^~^::=zns  feu  y^^^p^,)  =:  t 
cuius  integrale  eft  wA  fin.  p  — /^,  feu  />3=fin.  A^/a  , 
vnde  fit  y  ( I  ~/jp)  =1  cof  A  ^  /^  .  Quapropter  nan- 
cifcimur  dxnzds  fin.  A^  /f  Gt  djzz.ds  cof.  A  J-  /|-. 

§.  10.  Ad  has  aequationes  denuo  integrandas  fequens, 

notandum    eft   lemma ,    quod    in   folutionibus    fequentium 

problematum  maximum  afferet  fubfidium.     Eft  fcilicet: 

rjr  r^     A      r ^i P^      r»    a      r ii V(«-4-P^*) 

jaS    lin.  A  .7v(a-t-i3s^)  —  7:^     ""•  -^  •7v(a-h(3«; x-H-^ 

COf.  A  •Jy(a^(3«> 

atque 
/^.  cof.  A  ./^V^  =  .-^  cof.  A  ./^$p^  4-  '-^fi 

fin.  A  ./v(^q:p7;) 
quae  formulae  vfiim  habent  folo  excepto  cafu ,  quo  eft 
P  =:  —  I .  Hoc  autem  cafu ,  quia  eft  J^j^zrn)  —  ^  fin.  y^, 
erit  fin.  A  ./7^^^=:  y^;  liincque  Jds  fin.  A  .J-^^iz:rsf= 

ss  ^     c  j  r    K        r    ds  rds    _/  /  \  sV(a-sr) 

,y^,  et  fds  cof  A  .yv(«z:n)=Jy^  y(a-ii)  zn  -^y^ 
-f-^  A  cof.y^- 

§.  II.  Qiiia  nunc  in  noftro  cafii  eft  ^ /^  =/^  erit 
lemmate  ad  hunc  cafum  accommodando  ,  a  iz:  o  ,  (3  =: 
«w,  quibus  valoribus  fubftitutis  fit  x:zzjds  iin.  A./^= 


Fig.  4h 


Tom,  XIL  B 


fo    INFESTIGJTIO  CFRf^AR.  Qjm  ETOLVTAE 

,^fin.  A.^/l-;:^,  cof.  A.^/^  atque  j.  =  /^/ 
cof.  A  .  ,7  /^  —  T^  cof.  A  .  Jr  /|  -i-  7~;7,  fin.  A  .  ^  .  j: 
vbi  in  integratiunibus  nouis  conftantibus  addendis  non  cft 
opiis ,  quia  natura  curuae  non  mutatur  ,  quacunque  quan- 
titate  coordinatae  fiue  augeantur  fiue  diminuantur.  Ex  his 
autem  binis  expreflfionibus,  quibus  coordinatae  per  eandem 
quantitatcm  s  definiuntur  ,  curua  defiderata  ope  logarith- 
morum  et  circuli  poterit  conlbrui ;  interim  taroen  ifta  con- 
ftrudio  faiis  elt  operoft ,  aliaeque  complures  faciiiores 
hinc  deduci  pofllint. 

§.  12.  Vt  autem  ipfam  curuam  propius  cognofca- 
mus ,  fumamus  aequationes  inuentas  pro  coordinatis  ortho- 
gonalibus ; 

Ar-T^,fin.A.^/i-::^,corA.i/^ 

J^ Tii^cof  A.i  /^-hrzgr»  fin-  ^'-J'a 
CX  quibus  fi  finus  et  cofinus  arcus  ^/^  eliminentur,  prodit 

ifti  aequatio  xx^yjzi^—^^^r.J^  T^^iKky  m  qua  a^A:4-xK 
exhibet  quadratum  chordae  arcum  s  fubtendentis ;  \nde 
curua  quaefita  hanc  habet  proprietatem  ,  vt  omnes  arcus 
ab  initio  A  (iimti  ad  fiias  chordas  datam  teneant  rationem  , 
ex  qua  iam  fponte  fequitur  curuam  efle  fpiralem  logarith* 
micam. 

§.  13.  Qiioniam  vero  iam  fiipm  erat  ^A;=:^i  fin.  A. 
y^-  et  ^jzn^icof  A.^/j,  erit  fin.  A.  ^ /^=dset    cof. 

A.'icl\zz%  ,  ex  quibus  vaioribus  in  aequationibus  integra- 
tis   fubf\itutis  emergent  (equentes  aequationes : 

diiufa  pratbet  ilbm  j~i^^ii  k\\nxdj-\-xdx:z:.njdx-ydy 


SFI  SIMILES  PRODVCTNT.  ti 

quae  adeo  inter  folas  coordinatas,  x  et  y  continetur.  Cum 
igitur  fit  n{j(ix-x^j)=^xdx-i-jdj>^  diuidatur  per  xx 
H-J^/  ,  quo  fado  integrale  aequationis  erit  nA  tang. 
|._./vc^'-4->l).  gx  qua  admodum  breuis  et  facilis  conftru^ 
dio  curuae  quaefitae  confequitur  ope  logarithmicae  et  cir- 
culi  j  quae  eadem  autem  mox  alia  \ia  eruetur.  Interim 
ex  hac  conftrudione  natura  curuae  quaefitae  ,  qua  ea  eft 
Ipiralis  logarithmica  ,  non  difficulter  coiligitur. 

§.  14.  Qiiodfi  autem  aequationens  xx-i-jyiz:—^  ^S»  S* 
euoluere  velimus ,  facile  intelligitur  id  commodiflime  fieri 
per  relationem  diftantiae  cuiusque  pundi  M  a  pundo  fixo 
A  ad  perpendiculum  quod  ex-  A  in  tangentem  in  M  de-- 
mittitur.  Sit  igitur  A  M  curua  quaefita  ,  et  dudla  A  M 
z:iiV [xx-^yy^-zz y  demittatur  ex  A  in  tangentem  MT 
perpendiculum  AT,  fitque  ATzzrp  et  MTz=^=iV(5;5;-/)/>) 
erit  ob  triangula  M;;/w,  MAT  fimilia,et  mnzz:dz^  eie- 
mentum  arcus  Mmzzdsziz^.  At  aequatio  inuenta  prae- 
bet  sszn^^^^-  et  j=z|V(i+««)  hincque  ^j-f  ^(i+wi) 
m^YbijCum  commode  accidat  vt  per  dz  diuidi  queat 
aequatio,  habetur  ilatim  aequatio  in  terminis  finitis  tV 
{i-^nn)zznz  feu  {—^;:;::^^  et  |=:y[::;:^.  Cognofcitur 
igitur  angulum  TMA  ,  quem  curuae  tangens  cum  reda 
AM  conftituit  vbique  efle  eundem  ideoquae  conftantem, 
quo  ipfo  logirithmica  fpiralis  folet  definiri :  anguli  vero 
huius  conftantis  AMT  tangens  eft  zz-j-^k' 

§.  15.  Qiiodfi  ad  curuam  conftruendam  centro  A 
defcribamus  circulum  arbitrarii  radii  AFri:i  arcumque  a  pun- 
<Slo  fixo  F  fumtum  ,  FS  ponamus  —^;  erit  oh  Srsizdq^ 
Mnzzzdqy   Qt  dz:zdqzi:t:pzzn:i:    vnde  obtinetur  ^5{ 

Ba  zz  n 


12    INVESTICJTIO  CFRVAH.QyAE  EVOLVTAE 

zzznzdq  et  ndq±:^ ,  quae  integrata  datw^izr/j  ex  qna 
ac\]iuaione  inteliigitiir ,  quanta  fit  recfla  AM ,  quae  per 
quodque  punduni  S  traducitur ,  haecque  fimul  eit  conftru- 
«Ttio ,  quae  ex  aequatione  integrali  §.  13.  data  conlequi- 
tur  :  arcus  fcilicet  circuli  FS  exprimunt  logarithmos  radio- 
rum  AM,  hancque  ob  caufam  ifta  curua  \ocata  eft  loga- 
rithmica  fpiralis. 
Kg»  *.  §.  16.  Progrediamur  ad  problema    (ecundum  ,    quod 

ita  fe  habet : 

Inuenire  cuructm  AMB  qmejuae  euolutae  bma  inuerje  ftt 

Jtmilis. 

Ad  curuam  AB  ducatur  primum  is  radius  ofculi  E^,  qui 

euolut">m  in  pundlo  e  homologo  ipfi  E  tangat ,  fitque  hic 

radius  oiculi  E^zr^j  a  pund:o  nunc    hoc  E  computetur 

arcus  EMizri,  et  ponatur  radius  ofculi  M»z=:r,  qui  euo- 

lutam  tanget  in  m  ,   eritque    arcus    emznr—a.     lam  in 

euoluta  (umatur  pundum  \k  homologum  pundlo  M  ,  pofi- 

taque  ratinne  fimilitudinis  curuae  quaefitae  ad  fuam  euolu- 

tam  m:;2,  erit  arcus  e\kzz:ns  et  radius  ofculi  in  [x  zz: 

nr,  Nunc  ex  \k  ducatur  tangens  [jl  R  quae  (imul  erit  ra- 

dius  ofculi  curuae  AMB  in  R ,   pundo  ipfi  m   homolo- 

go.'     Ponatur  arcus  ERzzS  et  radius  oiculi  R  jx  rz  R ,  erit 

e\kziia  —  K\  atque  ^ w^ z=  k S  et  radius  olculi  in  mznnK* 

§.17.  Hinc  itaque  obtinentur  fequentes  aequationes ; 

prima  fcilicet  emzz.r-azznS^  fecunda  e\x.z=:a  —  Kzz:nSy 

ex  quibus  elicitur  Szz  ^"^ ,  et  Kz=za-nS.  At  quia  arcus 

EM  et  ER  funt  aeque  amp.li ,  erit  ^  =  ^^^,  zz  -^  ,  hinc- 

que    rdszzinads  —  nnsds  et  integrando  rrzzzznas-nn 

ss-i-aa  eiusmodi    addita   conftante  vt  pofito  jzzo  fiat 

rz:za^ 


SVI  SIMILES  PRODVCVNT.  13 

N 

rzza^  vti  affumrimus.  Ponamus  autem  ns  loco  ns-a^ 
feu  initium,  a  quo  arcus  menfuramus,  mutemus  in  alium 
locum  B  exiftente  BE  =::  ^  ,  quo  pado  uatura  curuae  nil 
mutatur,  habebimus  rrzzizaa—nnss  ,  et  rzzV {^aa^ 
nnss).  Ex  qua  aequatione  fi  curua  fucrit  determinata , 
pundum  E  circa  quod  arcus  aeque  ampli  funt  ablcinden- 
di  ,  vt  prodeat  curua  fuae  euolutae-  inuerfe  fimilis ,  ibi  ell 
(iimendum  vbi  fit  radius  ofculi  rziza  :  id  quod  eueniet  fi 
ab  initio  nunc  capto  ablcindamus  arcum  szn^. 

f.  18.  Q_uaeramus  aequationem  inter  coordinatas  ortho-  Fig.  4, 
gonales  AP:=za;,  PMn:/,  fitque  dxzizpds  ttdyzzds 
y  ( I  -pp)  erit  radius  ofculi  in  M  ,  fcilicet  rziz  ^^^-^  ,  vn- 
de  obtinetur  ifta  aequatio  vc^)  ~  ^{tL-nnss)  qi^e  integra- 
ta  dat  A  fin.  pzzf:j^z^^  =  ^  A  fin.  —,  fi  qwdem  axem 
APin  A  ad  curuam  normalem  ponimus.  Nifi  autem  fit 
»z=i,  quo  cafii  euoluta  curuae  quaefitae  non  folum  fit 
fimilis  led  etiam  aequalis ,  praeftabit  fbrmnm  f^(J,^nnss) 
retinere ,  ne  calculus  multiplicatione  arcuum  implicetiir. 
Si  enim  expreffionem  ~  A.  fin.  ^^  fiimeremus ,  fompzz 
lin.  A.  ^  A  fin.  ^  quae  expreffio  ,  nifi  ~  fit  numerus  inte- 
ger  ad  computum  accommodate  exhiberi  non  poteft. 

§.19.  Euoluamus  igitur  primum  cafum  quo;2:z=i  feu 
curuam  quaeramus,  quae  fuae  euolutae  primae  inuerfe  fimilis 
fit  et  aequalis :  erit  igitur  pro  hac  curua  A  fin.pzz:  A  fin.  jy;  feu 
pz=z  ^^  etV(i  ''pp)z=:'^~^.  Hinc  itaque  obtinetur 
dxzizpds-zz  —f^  atque  integrando  CLaxV  %z=iss .,  quae 
aequatio  indicat  curuam  quaefitam  effe  cycioidem  vulgarcm  , 
jninimam  curuedinem  in  pundo  AetreiH^am  APprodia^ 

B  3  metro 


t^    mrESTIOATlO  CVRFAR.  QVAE  EVOLFTAE 

metro  habentem.  Pundum  vero  E  in  curiia  hac ,  vbi 
radius  ofculi  :=za  refpondet  abfciflae  x—  ^^  ,  quod  pundum 
in  centnim  circuli  generatoris  incidit ;  eft  enim  diameter 
circuli  generatoris  :=^-  Satisfacit  igitur  cyclois  ordina- 
ria  huic  quaeftioni  eo  quidem  modo ,  qui  iam  pridem 
conftat ,  atque  inter  praecipuas  cycloidis  proprietates  referri 
fokt. 

§.  20.  Ad  curuas  iam  definiendas  quae  fuis  euolutis 
primis  inuerlb  modo  fint  (iiltem  fimiles ,  vtamur  hac  ae- 
quatione  p  z=:  fin.  A./v[~^*h)j  ex  qua  fluit  ifta  V 
(i  ^pp)  —  cof  A  J^^Jlnnssy      Efit    itaquc    dx  =  ds 

fin.  A  .  f^i,aa-nnss)    ^t    dj  Z=Z  ds    COf  A  •f^^.aaLnnss)  qwarum 

aequationum  integralia  per  lemma  §.  lo.  datum  reperiua- 
tur  X  =  ^;^  fin.  A  . jy^i^j^  +      nn-.    ^  cof.  A  . 

r ds nns  r     .        ._ds yfUaa-n^ss) 

J -^izaa-nnss)     ^^    J  Tin— j      *-'-'*•  -^  •JV(2aa—nnss)  nn-i 

fin.  A  J;j(~^y  Cum  igitur  flt  /y(~^;  =  ^  A.  fin. 
•^  ,  intelligitur  quoties  fuerit  n  numerus  rationalis ,  Iblo 
excepto  cafu  nziz  i  ^  valores  coordinatarum  x  tt  y  al- 
gcbraice  per  s  pofle  exhiberi ,  indeque  curuam  quaefitam 
efle  algebraicam. 

§.  21.  Si  Ytriusque  expreflionis  quadrata  inuicem  ad- 

dantur  ,  prodibit  haec  aequatio  xx  -^-jiy  zz. (r„i:7)i * 

ex  qua  commode  elicitur  aequatio  inter  diftantias  cuiusuis 
Fig.  C,  pundi  M  a  centro  fixo  C  et  perpendiculum  CT ,  quod 
ex  C  in  tangentem  in  M  demittitur.  Pofito  enim  CM 
•zzV{xx-\~yy)-:i=iz  ,  CT—p  et  MT  z^ztznV^zz-pp) 
erit  dszzi'^.  Natura  autem  curuae  exprimitur  hac  ae- 
quatione  zzzz.^—^^-^ —;-,    quae  praebet  s-=z'^V 

{{nn 


SFI  SIMILES  PRODvcrm:  f  r 

((nn-i)zz — ^)  et  dszz — ^""-'>'^^«   ~?^  _ 

nn—  \J 

i{zz^i>P)    ^^e  diuiia    per  zdz  et  quadrata,   fuppeditat 
hanc  {nn  —  ifzz—inn  -  i)'  ppnznn^nn—i)  zz-'^^^j 

Dudo  autem  ad  M  radio  osculi  MRizir,  ob  ns  —  V 
(««-1)^5;--^),  erit  r^{nn^i)p,  et  j=z^^^ 

§.2  2.  Initlum  ergo  cumae ,  a  quo  arcus  aeftiman- 
tur  incidit  in  pundtum  B,  \bi  recfla  CB  ad  curuam  eft 
normalis  feu  tzzo^  eritque  reda  BCz=^^.  Hoc  igi- 
tur  pundlo  B  notato  erit  quiuis  arcus  B  M  zz  J  zz;  -"^^- 
(eu  erit  B  M  :  M  T  —  « «  —  i :  ?/;7  j  et  cum  fit  radius  os- 
culi  MRzzr^:  {nn-i)p  ,  erit  MR  :  CT  zz:nn—i:i» 
Radius  osculi  itaque  euanefcet  in  pundlo  A ,  cuius  tangens 
per  C  tranfit ,  eritque  A  C  zz  —^7.  Defcribatur  centro 
C  radio  AC  zz  ^zz:  circulus ,  et  ponatur  breuitatis  grati* 
—  —  ^,  feu  tf=i-7^,  erit  ^T>  =  c  -  - —  '-^ 
ergo  CD  :  BD  —  «  :  w—  i.  Porro  in  radium  osculi  pro- 
dudlum  demittatur  perpendiculum  CQ^zz  ^iz:  «  y(^3;- — 
j£^)  eritdudlo  radio  CN  fpatium  NQ,— «  ^((^;^ 
•^^)  ^np  zzn  .  MQ^  hincque  MN  =1:  {n—i)p. 
Qiiare  cum  fit  MR  ~  r  zi:  (w«- i  )/),  erit  MR  :  MM 
^n^  1:1:  quia  porro  eft  NQ^:  MN  =1  «  :  «  —  i  =r 
CN  :  VN  fiet  VN  =: ^-^'  ==  BD  :  ex  quo  pundum  M 
eft  in  peripheria  circuli  tangentis  circulum  A  D  in  N  ^ 
cuius  diameter  eft  NV  iz  BD. 


t6    INFESTIGATlOCrRVAR.QFAEEFOlFTAE 

§.23.  Ex  his  ergo  proprietatibus  manifefto  confe- 
quitur  curuam  inuentam  efle  hypocycloidem  AB^,  geni- 
tam  reuolutione  circuli  diametrum  habentis  BD  zr  ^^^=^ 
—  ^£7 ,  Tuper  concauitate  circuli  maioris  AD  femidiame- 
trum  habentis  CD  =  ^  =:  [-^z^^  ;  fi  quidem  fuerit  nurae- 
rus  n  -vnitate  maior.  At  fi  n  fuerit  \nitate  minor  ,  curua 
fatis^iciens  erit  Epicyclois  ob  valorem  ipfius  BD  =z  ^-^ 
negatiuum ,  quae  generetur  reuolutione  circuli  fuper  parte 
conuexa  circuli  ADC,  exiftente  ratione  diametri  circuli 
reuoluentis  ad  (emidiametrum  circuli  quiefcentis  vt  i  —  « 
ad  «  :  ex  quo  fimul  intelligitur  ;  quoties  fuerit  n  numerus 
rationahs  vnitate  excepta,  curuam  latisfecientem  efle  alge* 
braicam. 

§.  24.  Tro  hypocycloide  igitur  feu  cafu  ,  quo  «>t, 
pofitis  abfciffa  CPzzx,  applicata  PMrrj,  et  arcu  BM 
:=zs  habetur  ifta  aequatio  x  x  -i-jyzi^j^^^-^^ll.  At 
fi  ponatur  abfcifla  BVzzu  ^  erit  x~u-\—^,  atque  in- 
ter  u^j  et  s  haec  habebitur  aequatio  j/ +««-[- ^^'~ 
^  feu  nnss—CLauV t2.-\-{nn-i)[uu-^yy)  ,  ex  qua 
fponte  patet,  cafu  «m  prodire  cycloidem  ordinariam  ,  fit 
enim  ssz::z^auV  2..  Qiiodfi  autem  femidiameter  circuli 
quiescentis  CD  ponatur  zz:r ,  et  diameter  circuli  voluti 
BD-Z^,  erit  ^rz^^vi^'  et  bzz:^^  erit  nzz.^^  et^=: 
(^^~  ;  vnde  pro  hypocycloide   AB^  haec  oritur  aequatio 

sszz-'^^—— — --] "c^ — •^—.     Pro  epycycloidc  vero  ex 

iisdem  circulis  nata  fit  u  negatiunm  ,  atque  ifta   liabebitur 
aequatio  j,-^2^-li_«i£±fi:«>'. 


SFI  SIMILES  FRODVCFNT.  17 

§.  25.  Vt  aiitem  aequationem  inter  coordinatas  CP 
n.v  et  PMni/  obtineamiis  differentialem  ,  faltem  in  qua 
non  infit  arcus  j,  ea  ex  aequationibus  §.  20.  datis  erne' 
tur  :  cum  enim  fit  fin.  A  J^i^^.-^^—p,  et  cof  A  ./vfe.mr.7) 

—  dj  )  ciiLAttj — .  jj^_^  ecj^fli —      ~"^^i — 

ex  quibus  eliminato  arcu  s  ,  refultat  fequens  aequnio  dif- 
ferentialis  ^" J^i  —ccdi^  —  nn{xdy—y dxf  -i- {xdx-\-jdy')* 
:zzccdx^-^-ccdy*  iiiter  ;f  et  ^  tantum .  Ad  quam  aequa- 
tionem  tradandam  ponamus  ^—vtt  V^xx^yy^  —  z^ 
feu  a—vfe^)  et  J=:^^^^  erit  ^i^zn^^^-f-^^;^.  ; 
hisque  fubllitutionibus  ftdis  peruenitLir  ad  hanc  aequationem 
^  </2;  -t-(7:pi;^=:(T:p^-i-s^^^*  ,  quae  porro  reducitur 
au  iiauc  .    ,_^^^ — 2V(7inzz-cc)-      ronacur  porro  ^^^^(^-^-sy-^i/, 

P  cV(,-+-tt)    n   ^       dv  dt  di  ^  . 

leu  5;=Zy(^„^rt5  net  ;:^=7:M?-n";i::Rt :  atque  integrando 
Atangi?3:  A  tang.  ^-^  Atang  |feuw Atang.— ^zzAtang.* 
^  ;  quae  reftitutis  prioribus  valoribus  transmutatur  in  hanc 

.   ^  x^/innzz—cc^-y^Ccc-zz) .   .  ,         -iJiTinzz-cc) 

«  A  tang.  ;,v(cc-2z)-f.jv(nn^z-cc)— A  tang.  n^^cc-ccT  9"'^^  quoties 
n  eft  numerus  rationalis ,  fit  algebraica.  Cum  autem  his 
exprelTionibus  ad  figuram  relatis  fit  p—^^^^^—^  et  COzz: 

Mrr^         ,        ^J(nnzz-cc)       •  x-r  /-^       nV'ce-2;^i) 

^i"^"^^  '  itemque  N<i=:^-^^y-\  erit  n  A 
tang.^§=:Atang.^  indeque  n  ang.  BCTzr  ang. 
TC  V  ;  ex  quo  erit  ang.  T  C  V  :  ang.  T  C  B=«  ;  i  feu 
ang.  T  C  V  :  ang.  BCV=:w  :  «-i  =:  C  D  :  B  D  .  atque 
hinc  quoque  oritur  B  C  :  B  D  =  ang.  B  CT  :  ang  BC  V 
=:  arc.  D  X  :  D  N  .  quae  omnia  cum  receptis  epicycloi* 
dum  et  hypocycloidum  proprietatibus  apprinie  conue* 
niunt. 

Tom.  XIL  C  §.  26. 


f''S'  r 


t%    INFESTIGATIO  CVRFAR^  QP'AE  EVOLVTAE 

V  §.  26.  Sic  itaqne  definitac  fiint  omnes  cnruaCy  quae 

(iiis  euolutis  priinis  tam  direde  quam  inuerfe  fint  fimiles, 
priori  fcilicct  cafu  fuisficiunt  omnes  fpirales  logarithmicne, 
polteriori  vero  omnis  generis  cycloides ,  quae  communiter 
tam  epicycloidum  quam  hypocycloidum  nominc  compre- 
hendi  fok^nt.  Mauifeftum  autem  eH:  has  easdem  curuas 
omnibus  quaeftionibus  fequentibus  fati»facere  debere  ,  quibus 
quicruntur  curuae  ,  quae  fint  fimiles  fuis  euolutis  altioris 
cuiusdam  gradus ,  fiue  diredl:e  fiue  inuerle.  Logarithmicae 
enim  fpirales  (iiis  euolutis  cuiuscunque  ordinis  directe  func 
fimiles ,  quia  omnes  euolutae  manent  logarithmicae  fpira- 
les.  Deinde  omnes  cycloides ,  quae  fuis  evolutis  primis 
inuerfe  fimiles  efle  repertae  funt ,  fuis  euolutis  fecundis  , 
quartis,  fextis  omnibusque  ordine  paribus  direcle  erunt  fi- 
niiles :  euoiutis  vero  tertiis ,  quintis ,  feptimis  omnibusque 
ordine  imparibus  fimiies  erunt  inuerfe.  His  vero  iisdem 
quaeftionibus  innumerabiles  aliae  fitisfacient  curuae  ,  eoque 
plurcs  ,  quo  ad  vlteriorcs  ordires  procedatur  :  quarum  cur- 
varum  fatisficientium  vt  plurcs  fpecies  dctegamus ,  quae- 
flionem  noftram  ad  euoluiu>.  fecundas  accommodatam  per- 
tradlabimus. 

§.27.  Ad  Guiuas  igltur  imieftignndas ,  quae  fimiles 
fint  fuis  euolutis  fecundis ,  quaeftio  pro  Smiiitudine  direcla 
et  inuei'fii  bipartienda  eft  :  vnde  primum  hoc  nobis  pro« 
blema  erit  refokiendum. 

Imienire  ciiruas    quae  fuis    eualufls  jecw-dis    dlrecfe  fint 
fimiles. 

Sit  AM  eiusmod  cum.i ,  quae  probiemati  fatisfaciat ,  cii-' 
ius  initium  fumatui:  iii  piindo  A  ,  a  quo  verfos  M  receden^ 
do  radii  ofculi  crefcant^     Sit  igitur  BN  huius  curuae  euo- 

J.Utii  * 


SFI  SIMILES  PRODVCFNT.  f| 

luta ,  qiiae  vel  ita  erit  comparata ,  vt  ab  B  ad  N  radii 
ofculi  crelcant ,  f.ciiti  figiira  repraefentat ,  vel  decrefcant , 
ex  qiio  hiiius  problematis  duplex  nafcitiir  foliitio.  Ad  prio- 
rem  igitur  ,  cui  figura  eft  accommodata ,  abfolucndam  po- 
natur  curuae  quaefitae  AM  arcus  AMmi,  radius  ofculi 
MN~r;  erit  eius  euolutae  BN  arcus  BN~r— ^;  radius  ofuiU 
Nz/7-:=:.^^  ;  atque  euolutae  fecundae  arcus  ^?;/— ^  -^  ; 
eiusque  in  m  radius  ofculi  zzzjsd.  ^j{. 

§-2  8.  Cum  igitur  curua  ajn  fimilis  efle  debeat  di- 
rede  curuae  AM,  erit  eius  arcus  amzzzns  ^  et  radius 
ofculi  ziznr  ^  vnde  duplex  nafcitur  aequatio  "-^  -bznns 
ttnrzz^^d.  ^,  quarum  vtraque  eodem  redit.  Suma- 
mus  itaque  aequationem  ^  zzins-\-b  y  quae  ob  initium 
A  arbitrarium  tranfit  in  hanc  ^finns^  quae  integrata 
d^trrziznss-i-aa^  ita  vt  curuae  quaefitae  AM  radius 
ofculi  in  initio  A  {ifzza :  circa  hocque  pun^flum  A  cur^ 
va  vtrinque  habebit  arcus  fimiles  et  aequales.  Ccterum 
npparet ,  fi  fiat  ^rzo  ,  tum  prodire  aequationem  pro  (pi- 
rali  logarithmica  ,  quam  huic  cafui  fatis  ficere  pcrfpicuum 
eft.  Praeterea  etiam  hoc  notari  oportet  in  acquatione 
rrz:znss-\-aa  conftantem  a a  ,  quae  per  integrationem 
c?i  indudla  negatioe  nuilo  padp  accipi  pofle  ,  ne  radiiis 
ofculi  r  vsquam  fiat  imaginarius :  omnis  enim  aequatio  , 
quae  inter  arcum  et  radium  olculi  exhibetur ,  ita  debct 
efle  comparata  ,  vt  cuique  arcui  radius  ofculi  realis  relpon- 
deat ,  nifi  forte  curua  alicubi  in  pundo  quodam  terminc- 
tur  feu  retrogrediiitur ,  tum  enim  fi  cuniae  vltra  id  pundum 
conftans  longitudo  addita  concipiatur ,  per  id  inteniallum 
radius  olculi  debet  efle  imaginariuSo 


$0  INVESTICATIO  CVRVAR.  QIAE  EVOLVTAE 

§.29.  Qiionmm  itaque  habemus  hanc  aequationem 
^^' ^  rrz^nss-^-aa  ,  ^nt  r-^^\aa-\-nss).  Confidercmus 
nunc  curnam  quaefitam  ad  axem  A  P  relatam  ,  fitque  ab- 
fciflli  kV^Xy  applicata  PM=rj/,  et  ponatur  dxzizpds 
et  dr-^dsVii-pp)  erit  radius  ^ofculi  r-'-^^-V 
[aa-^nss)\  hincque  -^^  1=  i^ic-^raay  Q."odri  autem  hu- 
ius  curuae  euolutae  primae  arcus  ponatur  m  S  et  radius 
ofculi  =:R,  erit  Sinr  ,  et  R  iz: ''^y^  = « x  ex  quo  pro 
euoluta  prima  ifta  emergit  aequatio  RRnzwSS-w^^,  quac 
ergo  curua  in  pundo  quopiam  terminabitur  ,  \ltra  quod 
curuae  adieda  eft  longitudo  zna.  Quare  fi  in  aequatione 
pro  curua  quaefita  ponamus  -naa  loco  aa  fimul  prodibit  ae- 
quatio  pro  euoluta  prima,  quae  adeo  pariter  problemati  fatisfa- 
ciet,  fuamque  euoiutam  fecundam  fibi  dired:e  habebit  fimilem. 

§.  30,  Cum    itaque    problemati     fatisfaciat    aequatio 

v(:^  =  v(§qi^>  in  e^q^^^  ioco  aaj  quantitatem  tam 
affirmatiuam  quam  negatiuam  accipere  liceat ,  ponamus  ab 
loco  aa  y  ne  fbrma  quadrati  folum  fignum  afSrmatiuum  in- 
voluere  videatur  :   hincque   erit  A  fin.  ^zr/y(J,_^.a-)  et  p 

m  fin.  A/v(^.IO-  atquey(i-pp)=:coCA./(v§?:^- 
Qiiae    aequationes  fi  multiplicentur   per  ds.,  obtinebitur  dx 

—  ds  fin.  A./y(^^.Fr  e^  dy:=ids  cof  A./;^§^6y  ,  quae 


Yt  flt    XZZ. 


per  lemma  §.  10.  datumita  integrabuntur, 

— ^  cof  A.J^,7^^:^'^-7:^       ""•  ^J  v(n.s-+-.fe)  • 

§.31.  Quoniam  autem  ex  aequationibus    differentia- 

libus.  eft  fin.  k-f^k^:^)^  %  ^tque  cof  A  J:^,^^ 
—  f~ ,   prodibit   his   valoribus  ia  aequationibus    integratis 


SFl  SIMILES  TRODVCFNT.  ai 

ftibftituendis  xds-!:^i^'^'-±^  etjds^-""'-^^'^'^: 
ex  quibus  fi  arcus  s  eliminetur  ,  fequens  inter  Iblns  coor- 
dinatas  x  ct  j  nalcitur  aequatio  l^::^zZ=.7t[ydx—xdy)*— 
[xdx  ^jdyf  ^  quae  quomodo  ad  feparationem  atque 
conflnKflionem  fit  perducenda  ex  §.  25.  intelligi  poteft. 
Conftrudlio  (cilicet  commodius  deducetur  ex  aequatione 
inter  diftantias  fingulorum  curuae  pun^5lorum  a  dato  punc- 
to  fixo  ceu  centjro  et  perpendicula  in  tangentes  :  eiusmodi 
autem  aequatio  deriuabitur  facillime  fiimendis  quadratis  co- 
ordinatiirum  x  et  j ,  tum  enim  prodibit  iila  aequatio 
xx^-^yy  =  (^,  +  ^  .  fcu  s  =  V  (i-^±22l  _ 
nl^n)  )•  Prc)  huius  vero  curuae  euoluta  prima  aequatio 
fimili  modo  accepta  erit  s  z=z  V  ( ^-i±2X|--±.>^)  ^  _^  j 
pro  euoluta  fecunda  haec  s  =  V  ((i±!L(ff^^  _  ^  ^ 
proeuoluta  tertia  ,-y(^-^)^_^)  etc.  ex 
quo  fi  habeatur  pro  prima  curua  aeqnatio  yel  conftrudio, 
eadem  totius  feriei  euolutarum  naturam  in  fe  complede- 
tur  :  quarum  fingulae  problemati  aeque  ac  ipfa  prima  fa- 
tisfaciet. 

§.32.  Referatur  itaqiie  curua  ad  centrum  fixum  A  , 
in  quo  ante  axis  AP  terminabatur ,  ponaturque  recta  AM 
zzzV  {xx-\-jj)  —  z,  perpendiculum  intangentem,  AT 
mp  ipfaque  tangens  MT  ."zz  V  (zz—pp)  in  ^,  erit  ele. 
inenturo  curuae  ds  —  ^.     At  ex  praecedente  aequatione 


pro  curua  noflra  inuenta  emergit  haec  sznV  {      ^      _ 
^tn)),  -de  fit  ds^-^f^-^,  ^  f--quae 


cum  per  zdz  diuidi  queat ,  erit  /  zn  V  (^^  -  ^n)^)  = 


Fig.  S* 


C^ 


fig.  8. 


12  mVESriCATlO  (TRVJR,  qvae  evolvtae 

^,-  ctp  =  V{^^  +  (^).  Radius  osculi  Tero 
r,quieftii=y  {nss-]-ab)  ,  erit  n;  ^((i-f-w)^;^;-^;^) 
ex  quo  erit  r:=z{i^n)p  et  szz{i-^n)t,  quae  liint 
proprietiues  notsitu  dignae  pro  curua  quaefita. 

§.33.  Ad  figuram  cuniae  inueftigandam  habeat  pri- 
mum  conftans  ab  valorem  affirmatiuum  fitque  (T:^^^  :i^ 
cc,  erit  t  zz  V  ;:—;;{ zz - cc)  et  pzizy-^^zz-i-ncc): 
vnde  perfpicitur  z  neceflario  maiorem  efle  dcbere  quam  c. 
Cafu  autem  quo  zzzc  fit  ^ino  ,  ct  pzr.c  \  qiiare  hoc 
Tab.  1,  loco  ipfii  reda  AM  in  curuam  erit  normalis.  Defcriba- 
tur  igitur  centro  C  radio  C  A  zi:  ^  circulus  A  S  ,  fitque 
curuae  quaefitae  initium  in  A,  vbi  curua  ad  radium  CA 
erit  normalis ,  ibique  radium  osculi  habebit  —  ( i -1- « ) 
CA.  lam  lumatur  curuae  pundum  quodcunque  M,  po- 
fitaque  vt  ante  C  M  in  5;  ,  CTzzp  et  MT  — ?,  erit 
p=:y  7::pr(^--Hw^^)  et  t  zziV  —{zz-cc),  et  an- 
guli  CMT  tangens  =  f- —  y  ^^r^  ;  quare  crefcente  di- 
ftantia  z  ,  hic  angulus  continuo  decrefcet ,  donec  tandem, 
quando  fit  ;s  nz  co  ,  huius  anguli  tangens  fiat  rr  V  J  ,  "vbi 
curua  cum  logarithmica  fpirali  confundetur. 

§.  34.  Vt  vero  curuae  huius  commodam  conftru- 
dionem  tradamus  ,  ponatur  arcus  circularis  A  S  =  ^  , 
cuius  elementum  S  s  erit  zz:  d  q  ^  vnde  fiet  lA  n  zzi 
^^  atque/:p=z^^:"-^^  ex  quo  oritur  d  q  ■=: '-^ -'-^  V 
^^^±^  Ponitnr  V-^^^^  —  u  erit  z !lIlSSii±.^_^  et  -  — 

nzz-ncc  ronaiur   V  ^^^ncc    "  ^^^^  -^ n—itu        ^^    z   

udu        ,       udu  1  •  dq du  du  .  •    ^^^ 

r^iH^  -H  rr=n  >  liincque  -i^r:^-^;^^,  cuius  inte* 
grale  eft  f-  =  A  tang.  ti  -\- -^  l  -^    z=z     A      tang. 

^,nzz~ncc     ,        j     j  s/izz-i-ncc^-^^/izz-cc)    ^^  .    .  i   «  -^ 

V^^^  4-  ,-v7,  /  v(S^«^^^^3^  Sumta    igitur    prolubitu 

diftantia 


V 


Sn  SIMILES  PRODVCVNT,  23 

diftantia  z  eius  pofitio  refpedu  C  A  ita  definietur.  Dabi- 
tur  primo  triangulum  M  C  T ,  cuius  anguli  M  C  T  tan- 
gens  erit  =  V  ^— ^-  Deinde  hoc  triangulum  circa  C 
ita    erit    difponendum  ,  vt  angulus    A  C  T   fiat  m  ^„  / 

00  ,  arcus  A  S  infinite  magnus  euadet ,  ac  propterea  cur- 
va  A  M  O  infinitis  fpiris  circa  C  peragendis  in  infinitum 
cxcurrec ;  hu  rcv£la  A  C  ciit  huius  curuae  diameter. 

§.  35,  Sit  nunc  a  If  quantitas  negatiua  ,  et  ponatur 
=—,  zncc  ,  cntp—-V^^  [zz-cc)  et  t  —  V ;tU^zz-^cc) 
vnde  perfpicuum  efl:  z  non  pofie  eflfe  <^  c  :  cafu  autem 
quo  zzn  c  y  fit  p  —  o  et  t~c  \  ex  quo  tangens  curuae 
hoc  loco  per  ipfum  centrum  tranlibit.  Defcribatur  igitur 
centro  C  radio  C  A  iz:  ^  circulus ,  fitque  A  M  O  curua  '^^^  "; 
quaefita ,  quae  in  A  circulo  normaliter  infiftat ,  ita  vt 
reda  A  C  fit  tangens  huius  curuae  in  A.  Sumto  ergo 
pun6lo  quocunque  M  ,  et  ex  C  in  taugentem  M  T  de- 
miflb  -perpendiculo  C  T  ,  erit  CMzz^.CTzzp  et 
M  T  zr  ^  ,  atque  anguli  C  M  T  tangens  erit  =  t^^V^^- 
Qiiare  didantia  5;  in  infinitiim  crefcente  fiet  anguli  CMT 
tangens  zzzV  i ,  ibique  curua  cum  logarithmica  fpirali  con- 
fiindetur. 

§.  3<J.  Confirudlio  huius  curuae  fimili  modo  perfi- 
cietur ,  quo  cafu  praecedente  ;  pofito  enim  arcu  circulari 
A  S  —  ^  ,  erit  t :  p  ziz  d  z  :'—  ,  vnde  fit  dqzzi  —^  == 
^s^  ^  ^iE^-  Fada  nunc  fimili  (iibfiitutione  prodibit  fe^ 
quens    aequatio    integralis     -  ~  A  tang.     V  ~^  -h  ,-:J^ 

7   V?tOr-?— cc)H-V(r7^g-4-cc)  .    ^  1       ."  ,    1     * 

*  V(nz2H-cc)-V;n(:5^z:Fo  ^  ^  ^^"S*  ^  j  9"»^^  reducitur  ad  hanc 


a4  INVESTIGATIO  CVKVAR.  QJ^AE  EVOLVTAE 

^  -r'  ^  tang.  y  ;ia2_^cc  —  zvn  ^  '^/{nzz^cc) -^/(rizz—nccy  VHoa 
fi  ergo  longitudo  M  C  pro  lubitu  accipiatur ,  iuper  ca  for- 
metur  triangulum  redangulum  C  P  M  ,  ita  vt  fit  C  P  :z: 
tz=:V  T^nirizz^cc)  et  P  M  =/>  =:  V  ,^  (^  5;  -  ^  r) 
quo  fado  hoc  tiiangulum  in  talem  lltum  collocetur  \t  an- 

gUiUS    A  ^  r    nat ^y^  l  y^a^^^-ccJ-V.ns^^-ncc)- 

Tab.  11.  §-37.  Cum  igitur  his  duobus  cafibus  folutionis  pro- 

^s-  a-  blematis  pars  prior  abfoluatur ,  accedamus  ad  alteram  par- 
tem  ,  in  qua  euolutae  primae  B  N  radii  olculi  a  B  ad  N 
pergendo  decrescunt.  Qiiare  fi  in  curua  quaefita  ponatur 
arcus  A  M  =1:  ^  ,  radius  osciili  M  N  ==1  r  ,  ,erit  euolutae 
primae  BN  arcus  BNzrr-^,  radius  ofculi  ^mzz!'j~ 
hincque  pro  euoluta  fecunda  arcus  amzzzb^  ^-^  zzin  s  \ 
et  radius  osculi  7n  n  zz  —  ^^d  .\i  zizn s.  Ex  vtraque 
aequatione  mutato  initio  A  refuitat  i^^  n  s  d  s  -^  r  d  r 
nz  o  ,  quae  iutegiata  ^'M  n  s  s  -\-  r  r  —  a  a  feu  r 
zn  y  (a  a  —  n  s) .,  quae  cum  omnino  fimilis  iit  illi  quac 
fupra  §.  17.  eft  inuenta  ,  huic  cafui  fatisftcient  epicycloi- 
des  et  hypocycloides  omnes.  Curuarum  itaque,  quae  fuis 
euolutis  fecundis  direde  funt  fimiles  quinque  nadi  fumus 
genera  ;  quorum  primum  omnes  fpirales  logarithmicas 
compled^tur ,  tum  (equentur  bina  fpiralium  genera  noua 
§•  §.  33  5  35-  expofita  ;  reliqua  bina  genera  conftituunt 
epicycloides  et  hypocycloides. 

§.38.  Circa  fimilitudinem  euolutarum  lecundarum  re- 
ftat  hoc  problema. 
''""^  "•         Inuenire  curuas ,    quae  Juis  euoJutis  Jecundis   inuerje  ftnt 
(imiles> 

Huius 


SVI  SIMILES  PRODFCFNT.  as 

Huins  problematis  pnriter  ac  praecedentis  duplex  requiri- 
tur  folutio  ,  prout  eiiolutae  primae  radii  ofculi  ab  H  per- 
gendo  vel  crcfcunt  Yel  decrefcunt ,  fi  quidem  in  curua 
quaefita  AEB  curuedo  ab  A  ad  B  decrefcat.  Ponamus 
igitur  euolutae  primae  radios  osculi  ab  H  ad  N  crefcere, 
fitque  E  id  pundiim  in  curua  quaefita  ita  comparatum 
vt  portionls  E  B  euoluta  iecunda  ac  fimilis  fit  portioni 
AE,  huiusque  euoluta  fecunda  ^  ^  fimilis  illi  portioni 
B  E  ,  prouti  fimilitudo  inueda  poftulat.  Circa  E  fuman- 
tur  vtrinque  arcus  EMetEQ_  aeque  ampli ,  atque  euolu- 
tis  prima  HN  et  lecunda  ba  defcriptis ,  debebit  arcus  ^ /;i 
fimilis  €i&  arcui  E  M  ,  et  arcus  e  q  ipfi  E  Q^. 

§.39.  Vocetur    radius    osculi   EF  — ^,  et  Yezzb^ 
atque  ponantur    arcus    EM=:ri;  EQ^~S;    itemque  radii 
osculi    M  N  =:  r  et  Q_R  iz:  R  ,    habebitur   ob  arcus  aeque 
amplos  ~  iz:  ^-.  lam  itaque  in  euoluta  fecunda  erit  propter 
fimilitudiiiem  em^ns  ^  eqzznS^  radius  osculi  in  m~n 
r  ,  et  radius  osculi  in  ^zr/zR.   At  ex  natura    euolutionis 
habebitur    FNmr-^;  FR=i:^-R:  N^~  ^  •   et  R;« 
•zr  ^=^^— _^=Jf^  Denique  in  euoluta  fecunda  erit  eqzn^-^ 
-Z»  •  et  em  —  b-\-'^:  atque  radius  ofculi    in  q— '^^   d, 
^,  ac  radius  osculi  in  mzz:.^;  <^-^4r-  His  cum  expreffio- 
nibus  ex  fimilitudine  natis  coniungendis    orientur    hae  ae« 
qmtiones  nsz^b-^"^  ■  nS-"^  -i^nr^^d.  ^,^  ; 
« R  =1  ^  ^.  ^  quae  binae    pofteriores  aequationes  in  prio- 
ribus  continentur  ob  aequationem  fundamentalem  -|  zz:  p. 
§.  40.   Habemus  itaque  tres  iftas  aequationes 
I.  rdS  —  Kds 
n.  nsdsz=irdR-\-bds 
ni.  nSdszi:rdr  —  bds 
Tom.  XIL  D  ex 


16  INFESTIGATIO   CVRVAR.  QVAE  EVOLVTAE 

ex  quibus  curuae  conftrudlio  debet  formari :  quae  ita  ab- 
foliietur,  vt  binae  variabiles  S  et  R  eliminentur,  atque  ae- 
quatio  eruatur  inter  i  et  r  ;  iiaec  enim  fi  ita  fuerit  com- 
parata ,  vt  ad  datnm  arcum  s  quantitas  radii  osculi  r  poflit 
aflignari ,  fimul  ip(a  curua  poterit  confl:rui ,  quemadmodum 
alibi  oflendi.  Eft  vero  ex  tertia  aequatione  S=r^— |, 
atque  ex  prima  R  =  ^  iz:  ^y  d.  ^}  ,  qui  in  fecunda  fub- 

ftitutus  dat  hanc  ■"'7^^'^^  ~  k  ^-  £  ^-  ^  -  l^^ec  vero  ae- 
quatio  euoluta  ad  diflerentialia  tertii  gradus  exfurgit ,  quae 
vix  vllo  modo  deprimi  atque  ad  conflrudionem  accora- 
modari  queat.  Ip(a  quidem  aequatio  haec  mutato  initio 
E  feu  lcripto  ns  loco  ns  —  b  ita  le  habebit ;  n^sds^ziz 
r* d^ r "^- ^r^drddr^rdr^  \  pofito  ds  conflante,  haec 
vero  commode  integrabilis  exiflit ,  eft  nartique  integraHs 
n^  s''  ds^  '^Qds^^zz.ir^  ddr-^-r^  dr*, 

§.  41.  Quantumuis  autem  diflicilis  huius    aequationis 
diflerentio-diflerentialis  conflrudio  videatur ,   tamen   ca  ex 
aequationibus    primitiuis    deduci    poteft.      Secunda    fcilicet 
aequatio     per  primam  abit  in  hanc 
ns  dSzizKdK-^-bdS» 
ad  quam  fl  tertia  a<jdatur,  obtinebitur  ifla  : 
nsdS-hnSdszizKdK-^-rdr-^-bdS  -  b  d s^ 
cuius  integralis  eft  2«Sii=:R*'4-r^-4- 2^S- a^j-s^^ 
eiusmodi  adhibita  conflante  ,  vt  euanelcentibus    arcubus    s 
et  S  radii  ofculi  R  et  r  fiant  nr  a.     Simiii  modo  fi  ad 
tertiam  aequationem  per  primam  in  hanc  transformatam  : 

nS  d^Szz-Kdr  —  b  d  S    addatur    fecunda  ,    prodit 
n  s  d  s  ^  nS  d  S  zzrdK-^-Kdr-^-bds-bdS  ,  cuius 
integralis  efl  ^''-{-nS^^ziziKr-^-  ^bs  —  1  bS  —  2.  a  a. 
Hinc  itaque  emcrguat  binae  lequentes  aequationes : 

K*-\r 


SFl  SIMILES  PRODFCVNT.  &J 

2,  K  r  zziaa  —  nbs-^-^bS-^-nS^-i-ns* 
cx  quibus  additis  et  fubtradis  obtinetur 

(r+R)'=::4^^4-?2(i  +  S)*  atque 

{r-Ky-^Hs-S)-n{s-Sy 

§  42 .  Ex  his  duabus  aequationibus  fi  eliminetur  R  , 
obtinebitur  aequatio  aigebraica  intcr  S  ,  s  et  r  in  qua  fi 
porro  loco  S  fubfUruatur  eius  Yalor  ^  —  ^^  habebitur 
aequatio  diflferentialis  primi  gradus  inter  r  et  s  quae  pro- 
pcerea  erit  integralis  illius  aequationis  differentialis  fecundi 
gradus  fupra  inuentae 

n''s^ds''-\-Cds^-zir'ddr'\-r''dr'' 
Haec  eadem  "vero  aequatio  differentialis  fecundi  gradus  re- 
fultat  fi  in  aequatione   ^Rr— s^^-s^j-H  a^S-h  «  S' 
H-«j'  loco  R  et  S  fubrtituantur   valores  per  r  et  j    fci' 
licet  R  __ -dr  ^  .  -^  __ — ;^ et  S  =:  ^,  -  „-  fiet  enim 

^r^ddr-^-trrdr^  ^^       «  Z.  r     i     -^rdr         26&     ,     r^ir*        ^brdr  , 

^* •—  2^^~2^i-f--^;^-  -^_}--^-^__^^ 

*„^  H- «^i  feu  2r^ddr-{-r^dr^z:z{7i^s^  -2nlfs-bl?  -i^ 
znaa)ds',  Qimo  fi  vt  fupra  fecimus  loco  n  s  -  If  fcri- 
bamus  fimpliciter  ns^  prodibit  aequatio  n* s^ds*  ^  ^ 
{naa-bb^ds^zzzr^ddr-i-r^dr*. 

§.  43.  Vt  ntinc  huius  aequationis  difierentialis  fecun- 
di  gradiis  veram  afTignemus  aequationem  integralem  ,  quae 
erit  differentialis  primi  gradtis ,  ponamus  etiam  jzzS -t- - 
ct  S  =  S  -I  ,  erit  ( r  ^-  R  )' zr  4^7  ^  4-  w  (S  -|-  s)* 
atque  (r~Kyzz^^-n{s-S;  exiilente  S=i^-^^feu  R* 
-i-r''zz2.aa-^-'-~-i-^nSs  atque  2Kr:zz  2aa-~  -h 
nS"-jrns"  ex  qua  erit  4R'r  ri:«*  (S' -f- i' )' 4- 4  « 


28  mVESTIGATlO  a^RVAR.  QJ^JE  EVOLVTAE 

(^  •  _  L ' )  (S  *  ^-  / )  -1-  4  («'  -  ^' ) '  •  ^^  ex  priore  aeqiiatione 
eft  4K'r' zi:  8  (^^-i-^^)  rr-l- 8Sir'-4->'*,  fcribatur/ 
loco  aa—^--  et  ^  loco  ^^-h  ir  >  ^c  proueniet  fequens 
ae  juatio  : 

r Vr  -1-2W  s  r  ds  dr  -\-n  s  ds  -\-^njr  ds  dr 
^^n'fs'ds* -{-^n^j  ^ ds*—Hn^gr^ ds*  —  ^n^  r*  d s* 
^%n^ sr^ ds^ dr  ,  quae  adeo  eft  integralis  huius  n^  s* d 
j*  -4-  2nfds*ziz2r' ddr  -f- r* dr^ ,  id  quod  eo  magis  eft 
notandum  ,  quod  nulla  pateat  via  alteram  ex  aitera  de- 
ducendi ,  immediate  fcilicet-  Nnm  fi  difFerentiaiis  aeqimtio 
fecundi  gradus  reloluatur  in  pliues  aequationes  per  \alores 
aifumtitios  S  =:  JJj^  et  R  rn  '^'^^^J—  ,  tum  congruentia 
0tis  peripicitur  eo  modo  quo  fumus  yfi.  Atque  iiinc  for- 
tafle  aliquando  nouam  mettiodum  detegere  licebit  ,  ad 
aequationes  differentiales  altiorum  graduum  integrandas. 
Hic  quidem  fufficiat  fpeciem  quandam  huius  methodi  in- 
dicafle  ,  ex  qua  ipfius  yfus  ingens ,  fi  quando  excoletiir  , 
perlpiciatur. 

§.  44.  Interim  tamen  ifl:ae  aequationes  ad  curuam 
qiiaefitam  conftrueodam  non  multum  muant ,  quam  ob 
caufam  aliam  viam  ad  conftrudionem  peruenieudi  aperie- 
mus.  Ponamus  s  -\-  S :zz p  -^  s —Szz. q  -^  r  -V-  K  —  u  \  et 
r^RzT':^:  erit  jzi:  ^'  ;  S —:  V  ^  r^^QtKn:-^; 
qui  valores  in  aequatione  r^S~R^j  fubflituti  dabunt 
tt^^zno^^p;  aequationes  vero  §.  41.  inuentae  abibunt  in 
fequentes  «'zz^^^-j-wp' et  ^""ziz ^bq-nq^  ^  ex  qnibus 
obtinebitur  ^%^^^^^)  —  ^kj-^]  >  in  qua  cum  variabiles  p 
et  q  fint  a  fe  inuicem  feparatie ,  dabitur  q  per  p  et  proinde 
S  per  s  j  hincque  porro  1;  et  ^^  atque  adeo  r  et  R  per  s, 

Qiiare 


SVI  SIMILES  PRODFCFNT  29 

Quflre  cum  ad  datnm  ipfius  s  valorem  quemuis  afTignari 
queat  valor  ipfius  r  ,  ipla  curua  ,  in  qua  s  arcum  et  r 
radium  osculi  denotat ,  conftrui  poterit ,  ex  quo  problema 
propofitum  ,  quiintum  quidem  defiderari  poteft  ,  efl:  relb- 
lutum  ,  cum  id  fit  perduclum  ad  aequationem  difFerentia- 
lem  primi  gradus ,  in  qua  variabiles  p  tt  q  funt  a  fe  in- 
vicem  feparatae. 

§.  45.  Quodfi  autem  detur  relatio  inter  arcum  curuae 
cuiuspiam  s  ac  radium  ofculi  r,  ipla  curua  fequenti  modo 
conllruetur.  Ponatur  ablcifla  ~  Ji%  applicata  nz  >' ,  fitque 
dx—pds,  erit  dy  z=z  dsV  {i-pp)  atque  r  =  '^^J^\ 
vnde  fiet  vu^j  1=  -7  et  A  .  fin.  pzzij-  quod  intcgrale 
dabitur  ob  datam  relationem  inter  s  et  r.  Hanc  ob  rem 
habebitur  p  —  fin.  A  .jf  atque  y{i-pp)  —  cof.  A  .J^^- 
hincque  dx  —  ds  fin.  A  ./^  et  dj~ds  cof  A  .J~,  Ex 
quibus  tandem  per  integrationem  prodit  xznjds  fin.  A  . 
/7  atque  y—Jds  cof  A  ./7  ;  ita  vt  per  quadraturas  ad 
datum  cuiusque  arcus  valorem  aflignari  queant  tam  ablcifl[a 
quam  applicata. 

§  4^6.  Accedamus  iam  ad  cafum  alterum  problema-  ^«b.  ir, 
tis  §.38.  propofiti  ,  ac  de.relcant  radii  osculi  euolutae  ^' "^ 
primae  HN  ab  H  ad  N  pergendo.  Maneant  vti  in  prae- 
cedente  cafu  radii  osculi  fixi  R^—a^  F^  — ^,  vocentur- 
que  arcus  EMzni,  EQ_=i:S  et  radii  osculi  MNzzr, 
et  QR  zz  R  ;  vnde  ob  fimilitudinem  in  euoluta  fecunda 
erit  em~ns  et  eqz^nS.  Per  naturam  vero  euolutio- 
nis  erit  in  euoluta  prima  FN~r  —  ^;  FRzz^  —  R 
N^~^  et  Kmziz'^^  :  ex  quibus  pro  euoluta  fecun- 
da  onTur  em  —  nsziz  ^=^7^  —  b ,    atque  eqznnS  ::^  b-^ 

3     .  4*- 


So  INVESTIGATIO  CrRVAR.  QJ^AE  EFOLVTAE 

^.  Ob  arciis  denique  EM  et  EQ_  aeque  amplos  crit 
V  ~  Bf.  Qiiamobrem  habebnnair  tres  fequeiKes  ^equa- 
tiones  : 

I.  rdS  —  Kds    . 

III.  nSds^~rdr  -\-  bds  . 
quarum  ,binae  pofteriores  ope  primae  transmutantur  in  has; 

II.  nsds  —  —  rdK—bds 
III.  nSdSzn^-Kdr^bdS. 

§.  47.  Addamiii^  primum  binas  aequationes  pofteriores 
in  forma  priore  ,  eritqiie  fumma  : 

.      nscfS-h-nSdsiiz-KdK-rdr^Ifds-bdS 
qnae   integrata  dat  hanc  aeqnationem 

znSsz:::  ^aa  —  K^^  —  r' -{-  2hs—2bS 
feu  K''-i-r''z=::2.a^ -{-  2b  {s  —  S)  —^nSs 
Deinde  addamus  easdem  aequationes  in  fbrma  pofleriori, 
erit  nsds-^-nSdSzzi  —  rdK-Kdr-bds-^bdS  cuius 
integrale  efl:  ns^^nS''z:z.2a —2.Kr—2b  {s-S)  feu^Rr 
zzz2a'  ~2b[s-S)  —  n (/-f-S*J  ,  quae  cum  illa  coniunda 
tum  addendo  tum  fubtrahcndo  praebet 

(r-|-R)':::=4^*-7?  (/-fS)*  atque 

{r-K)'  =  ^[s-S)-\-n[s-S)\ 
quae   aequationes   ab    il]i> ,    quas   cafu    praecedente   inueni- 
mus   non   differunt ,    nifi   quod    n   habeat   valorem    nega-' 
tioum. 

§.  48.  Quodfi  ergo  ad  curuam  conftruendam  faciamus 
vt  ante  j  +  Szrp  ,  j-S"^  ;  r-{-R=:w,  et  r-Rz^i; 
erit  uzzzy{^aa-npp)  et  vzzzV^^bq+n^q)  hincque  per 
aequationem    primam  rdSzzzz^Kds  obtinebitur 

dp dq 

pcr 


SVI  SIMILES  FRODFCFNT,  31 

per  qiiam  dabitiir  relatio  fnter  p  tt  q  ^  vnde  s  et  r  per 
eanaein  variabilcm  vel  p  yel  q  determinabitur  j  id  qaod 
ad  cuiuuni  conlkueiuiam  iiiificit. 

§.  4.9.  Vt  juitem  luturam  hiiiiis  curiiae  propius  in- 
§?icere  liceat ,  tentnbimus  ipf-mi  conflrucftionem  perficerej. 
atque  uequationem  inter  coordinatas  ortiiogonales  x  ec  j 
elicere.  Qiiod  quo  commodius  fieri  queat ,  intiK)ducamiis 
nouam  variabilem  z  fitque 

1     dpy/n  d  i^/ti 

«^ —  vu;^r^  —  vi+^^y-P^i^  >  ^^9"e  tiim  p  quam-  q  per 
eandem  variabilem  ;::  deliniatur,  primo  autem  prodibit  A  . 
fm.  —■nzs^  hincque  p  zz:  ^  fm.  A  .z\  tum   vero  habe- 

bitur  z  ^  f-^^^i^tt^mi  hincque,  q  =.  (^"-^* 

Per  5;  igitur  delinitis  p  et  ^,  porro  reperientui;  u  et  'j^  jp 
€X  quibus   tandem  confequitur. 

r=r  ^  coi:  A  .2  +  ^ — — ^^- 

§.50.  Hinc  difierentiando  emer^i't<^>™ — ^ — 1— IT' 

ponatur  abfcifHi  rr.r  et  appiicata  zztjk  erit    per  §. '45.. 
x-^Jdzco^,A,z.  rm.A^4-^/,-^.  fin.  A  -^  -  ^/rV^ 

^       fm.  A.  :^ 
^-  ^Jdz  cof.  A^.cof.  A  ,^4-^/.Vc^cof.  A  ^  -  "ijc-^dz 

V  cof.  A  - 
quae 


32  INFESTIGATIO  CFRFAR,  QJ^AE  EFOLFTAE 

qune  quidem  formulae  iam  fufficere  poflent  ad  curuam  pcr 
quadraturas  conftruendam  ;  at  conftrudtio  facilior  inde  eua- 
det  ,  quod  fingulae  hae  formulae  difFerentiales  adtu  inte- 
grationem  admittant. 

§.51.  Singulas  autem  has  fbrmulas  diffcrentiales  fe- 
quenti  modo  integramus  :  Jdz  cof  A  z.  fin.  A  ^  —  fin.  A  ^ 
fin.A  Ir  -  Vnf^^  ^ia-  A^  cof  A  y^  =:fm.  Az  fin.  A  y^  -H 
^  cof  A  5;  cof  A  ;^  -f-  jiJdz  cof  A  zCm,  A~',  Ynde  oritur 

.j       rK    r     A   X       nfm.Az.rm.A^^Vn.coi^.Az.coCA'^ 

fdz  cof  A^jfin.  A  ^  =; ^— ^ 

'        .  "  n—i 

at  cafu  quo  w=  i  ,  quia  eft  cof  A  2;.  fin.  A  z  1=1 1  fin.  A 
2.  z  erit  Jdz  cof  A  2;.  fin.  A  ^  —  -  ^  cof  A  2  z.  Deinde 
pari  modo  eft  Jdz  cof  A  z.  cof  A  ^  =  fin.  A  js  cof  A  ^ 
-+-  ^dz.  fm.A5;,fm.  A^fm.A5;cof  A^  -  j-  cof  A  fm.  A 
•^  H-  ^/^2  cof  A^;  cof  A  ^.  ergo  /^5;  cof  A^;  cof  A  ^ 
_  n  fm.  A^  cof  A  ^  -V^.  cof  A^.  fm.  A.  ~  ^^^^^  ^^^ 
~"  «—I 

tem  quo  «m  ob  cof  A^  cof  Az-zz:  i±S°J-±^  ent 
Jdz  cof  A  5;  cof-  A^  =3  ?  4-  i  fm.  A  2  ^. 

§.52.  Reliquas  formulas  fimili  modo  integramus  ;  eft 
fcilicet  fs^^dz  fm.  A  ^  =^^  fm.  A  ^  -  ^Je^^dz  cof  A 

^  =:.-  fm.  A  Ir  -  £  ^^^-   A  ^  -  „^/^  V^  fm.  A  ^  , 

r,-  rz^  r     A    2:        wf''  fm.  A  ~  -e^^Vn.  cof  A  -^ 

hmcqueJ^V^fm.A  -r^  zz: — ^. 

w-f  I 

At  Je^dzcoCAi  —e^  cof  A^^  -^infi^^dz  fm.A  ^  rr 
2£lco£A^^^V^^^^      Deinde    fimili    modo 


sn  simLEs  prodfcfnt.  33 

fe-^dz  fin.  A  v,  ^iz.-^e"'  fm.  A  :^  +  irje^^^dz  cof.  A  :f, 

—  -  r»  fin.  A  ^;-  ^^  cof.  A.  ^  -  ^,  fe-^dz  fm.  A  ;|- 

hincque/^~V5;  fin.  A  ^  =: ii -V? 

«-f  I 

Deniquc  /rV^  cof  A  -:^  1=-^-^  cof.  A  -^  -  -^Je^^^dz 

^        -«^-*cof.A-f,-f^^*Vw.  fin.  A-* 


JB 

Vn 


His     igitur       integralibus       inuentis      habebimus    x   -rz 
^__aVn(m.XzAm.  A  7, -f- ^?  cof  A  s  .  cof  A.  ^ 

*  —  — ~ . -■ ■         ~  -4—' 

n  —  1  ^^ 

gV^/g^^fin.A^^-^rg^cof  A  |,  +  /^^V;?r»nn.  A^  -f^^r»cof  A;| 

^y«fin.  A5;cof  A^-<7cof  A  .2  fin.  A -? 

n—  I  ^^ 

cVn . f^cof  A ^,+<^g^fin.A^^-|'^^V;? .  r^cof  A;|  -^^r^fin.A  % 

4-(«-i-i)V«  ^-(«-1-1)  V« 

fomendis  quadratis  obtinebitur  x  x  -{-  j  y  zn 
a^nCm.AzSm.Az^-i-coi^.AzxofAz^-^act^n  fin.A^r-cof  A^) 
(n-i)^  2  (/2*- 1)7« 

tiabbe'%n  fin.  A5;-l-cof  As)        cc  e^*         ^^(«_ij 

"^     Cynn-i}Vn  i6//(«-t-i)     2;7(«^^/'^ 

ir'w(«-|-i)' 

Simili  autem  modo  curuae  cafui  praecedenti  huius  proble- 
matis  fatisfacientis  conftrudio  poteft  adornari,  Ceterum 
curuae  iftae  ,  quae  fuis  euoJutis  fecundis  inuerfe  funt  fimi- 
les ,.  fimul  ita  funt  comparatae  vt  direde  fint  fimiJes  fuis 
cuolutis  quartis. 

Tom.  XIL  E  §  54, 


34    INFESTICATIO  CVWAR,  QVAE  EVOLVTAE 

§.  52.  Qiiod  aiitem  ad  cimias  attinet,  quae  cuicim- 
que  euolutae  dircd:e  fint  fimiles  ,  lex  aeqiiationum  inter 
arcum  s  ct  radium  olculi  r  coiitentariim  fiicile  patet. 
Pro  cuniis  enim  quae  fws  euolutis  primis  direde  funt  fi- 
miles  haec  habetur  aequatio  ^f-  «  i  1=  r.  Pro  curuis 
quae  fuis  euolutis  fccundis  (int  fimiles  haec  +  ^  i  ^  ^' 
Pro  curuis  quae  (iiis  euolntis  tertiis  fmt  fimiles  haec  ^  n 

quartis  fuit  fimiles  haec  ^  n  s  zz  ^  d  .  ■£  ^.^=: 
rfdv±.r^'4!jMr±£±l,  Pro  cuniis  vero  ,  quae  fuis  euolutis 
quintis  fint  fimiles,  habebitur  haec  aequatio  ±^  ^^'^^^' 
£^-£^*'?»  ^*-^^  aequationes  quousqiie  lubuerit  continu- 
are  licet. 

§.  53.  Confideremus  igitur  curuas ,  quae  fuis  enolutls' 
tertiis  fint  f  miles ,  quae  hac  aequatione  continentur  ■±^  n 
j/// —  rV^r-f-r^/  pofito  ^j  conftante.  Ad  banc 
aequationem  in  difFerentialem  primi  gmdus  transmutandan:^ 

judu  Jttdit 

ponamus  szme^       tt  r  ziz  e^  u   erit  ob    d s   conftans 

judu 

dduzn— ir-"T   atque^jir^^     —  ;    ^r  — 

ju&u  Sndu 

bus  vaioribus  fubrtitutis  aequatio  noftra  diflferentialis  fecun- 
di  gradus  abit  in  hanc  ^  n  d u:zzy  dy  -\~  3  uy  d n  -H 
u  d  u  y  cuius  aequationis  integrale  particulare  reperitur  eflc 

jziz  —  u  —uv  ^f-  ;?  — 1^  «*  Ad  integrale  igitur   genera- 

lc  inLiemendum  ponamus  jzr^j-w  —uv  -h  n  --  ¥  n 

erit 


SVI  SmiLES  FROLVCFNT,  55 

crit  dy:=zdz'-'!iudu  —  duY-A^  n  atque  0  riz  z  d  z 

^zudu  —  zduV^^  n  —  uudz  —  udzy  W-  n —•  d 

zv  n  Ponamiis  :+:  «  —  ^n  quia  m  perinde  afilgnaii  po- 
teft  fiiie  fit  n  numenis  affirmatiuus  fiue  negatiuus ;  erit- 
que  ozzzzdz^zudu  —  mzdu  —  uudz  —  m  u  d  z 
— ;;/'  d  z.. 

§.  54.  Haec  Tero  aequatio  ex  earum  eft  numero  , 
quae  feparabiles  rcdduntur  ,  fi  ponatur  d  z  z^  p  d  u  ^  hoc 
enim  f^Oio  «erit  jozz-p  z  -^-  zu  —  m  z  ~- p  u  —mp  u  — 
fn  p  vnde  ^t  z  zz,  ^^"^j^—^  ,  quae  fubftitutio  adhibca- 
tur.      DifFerentietur    fciiicet  ,    eritque    d  z  zz  p  d  u  zz 

ii'ci6-4-Pu'iu — im'^  pdu-^ivi^pdu — 2mp.udu-+.2Up'^d2i~i-mp^du — m^dp 

— ^uzz^^ '   quae  re- 

duaaabitinhanc:  ^,  ==^-^^-^,- feu 

^-^^^Kf^l  m^  integrata.dat  ^.  l-^~n^m^)  - 
m^vj  -^  tang.  ,^_j_,r„  —  3m»  ^  •-^{pp—zmp-i-sri^)  "4-  ^^j^  A  tang. 


:jV^ 


H-Atang.  ;|^^,^-Conft.'^A  tang.S^ 

.^  Conrt.   QLiia  rvero  .efl:  .p  :±-iilt=±lyr^^^'^^^-+-rnm)    ^^-^^ 

Vj  jy-f-iiu-^-mi^-f-mrTi  "  A      taug. 

(y(uu-+-mu— mmjH-(u2^77i2Xttw-+-OTiiH-rtim)}Vj  -]-  V.0nU.    TDl    elt    U  ZZZ 
r  ydr         rr 

§.  5  5.  Quoniam  inuenimns  quaeflloni  particulariter 
fatisfieri  aequatione  y-^-uu^muA-mmzz o  prodibit  haec 
aequatio  inter  r  et  ^  partem  quaeftionis  refolucns  rdr-^ 
mrds-i-fn^sdszzo  ^  quae  igitur    aequatio  crit  intcgraHs 

E  z  ^  huius 


^6   INVESTIGATIO  CVWAK,  Ql^AE  EVOLVTAR 

huius  m'sds^z=ir* ddr-^rdr*  id  quod  illius  differentia- 
tio  indicat ,  etiamfi  \ice  verfq  per  integrationem  illa  ex 
hac  erui  vix  queat :  Ponamus  igitur  ad  integrale  latiflimo 
fenfu  acceptum  inueniendum  id  effe  rdr-\-mrds-\-m*sds 
znVds  erit  differentiando  rddr-^-dr'^ -\-mdrds-\-m* 
ds^ziidV ds,  ergo  r'ddr-\-rdr*z:zrdVds—mrdrds-- 
m*rds*z^m'sds*.  Hinc  erit  porror</V^izi:w'j//^*--H 
m*rds"-hmrdrds—myds*  ex  qua  fit  ~  =  '^  et  V 

Cinds 

zzce^  ^  ybi/p^per  coordinatas  exprimi  poteft  vt  con- 
(lat,    ita    vt    fit    integrale    r  dr -^- mr  d s-^-m* sds-=z 

rmds 

ce^  ^  ds* 

§.  5  6,  Succindiores  autem  prodeunt  aequationes  pro 
omnibus  huiusmodi  curuis ,  quae  cuipiam  euolutae  debent 
efle  fimiles ,  fi  non  inter  r  et  j  led  inter  j  et  —  quae-^ 
rantur  aequationes.  Hunc  in  finem  ponatur  jrzizdv  erit  r 
—  li  pofitoque  elemento  dv  conftante  habebitur  pro  cur- 
ifis 


qiiae  fimiles  funt 
euolutis  primis 
euolutis  fecundis 
euolutis  tertiis 
cuohitis  quartis 
cuolutis  quintis 
euolutis  fextis 

etc. 

quac  aequationes  etfi  funt  vno  gradu  diflferentialium  altiores 
quam  praecedentes^  tamen  tra^^atu  funt  feciliores.     Dein- 

de 


ifla  aequatio 

-jnnsdvznds 

-j-nsdv*=dds 

-hnsdv^znd^s 

-±^nsdv^^d*s 

-\-nsdv*z=.d*s 

-hnsdv*zz^d*s 


SFI  SIMILES  TRODVCVNT.  37 

de  fi  J  determinetur  per  Vy  mox  habebitur  aequatio  inter 
coordinatas  orthogonales ,  ^  et  j/ ,  ope  aequationum  x  zz 
Jds  fin.  A  V  ttyzizjds  cof.  A  v. 

§.57.  Qianquam  hae  aequationes  pluribus  modis 
tradari  poflimt ,  tamen  hic  reliquis  praeferendus  elfe  vide- 
tur ,  quo  primo  eiusmodi  valores  ipfius  s  perpenduntur  > 
quae   fuis  differentialibus  cuiusuis  ordinis  fint  fimiles.  Cum 

cnim  generaliter  fit  "7-7  =:  Jh  «  J ,  valorem  ipfius  s  ita 

comparatum  efle  oportet ,  vt  ipfius  diflerentiale  cuiusuis  gra- 
dus  ipfi  fit  fimile  ,  feu  per  id  diuifum  conftantem  quan  - 
titatem  producat^  Huiusmodi  autem  quantitatum  tria  dantur 
genera  ,  quorum  primum  quantitates  exponentialei»  compledi- 
tur,  fecundum  finus  et  cofmus  arcuum  circularium  ,  tertium 
vero  vtriusque  fpeciei  quantitatibus  exponentialibus ,  (cilicet 
et  fmibus  cofmibusque  arcuum  circularium  coniundim  con- 
tinetur. 

§.  58.  Primum  igitur  genus  ita  eft  comparatum  vt  fit  / 
rr^^^^jhuiusque  formulae  difierentialia  cuiusque  gradus  fequenti 
modo  pro- 

grediuntur 

II.  j$  =  .«V 
IV.  f*  =  ^«V 

etc. 

Apparet   igitur    aequationem  s:=ie^'^  fatisfacere    plerisquc 
quaeftionum  cafibus,  quibus  curuae  euolutis  fuis  dati  ordi- 

£  3  m 


eritque 

-^  ^K  rr  -4-  » 

dds  a  ,  „ 

»  =^     —  ±1  « 

d^s   i  ,  ^ 

d*s ,♦  ,  ^ 

etc. 


$S     mVESTIGATlO  CVRFAR,  QFJE  EFOLVTAE 

cis  fiiniles  requiruntnr.  Qiiodfi  enim  quacratur  curua , 
quae  iiiae  euolutae  ordinis  y  fit  fimilis ,  duplex  pro  ea  ha- 
betur  aequatio  fcilicet  ye\  d^szznssiv''^  Yc\4''szi:-ns<iv''*^ 
quarum  acquationum  priori  lemper  fuibfacit  valor  jzz^sv^ 

V 

tiimto  ^  zn  Vn.     Alteri  yero  cafui  iiaec  aequatio  tantui» 

fatisfacit,  fi  v  fucrit  numerus  impar ,  fitque^zzV^ — n^ 

— V«;  fin  autem  fuerit  y  numerus  par ,  aequationi  d^siiz 
—  nsdv"  ift^  valor  j— ^^"^  ob  ^  imaginarium  iatibfacere 
nequit. 

^'  S9'  Perlpicuum  porro  eft  quibus  cafibus  aequatiom 

d^s  ziz  ^  nsdv"  fitisfaciat  yalor  sz:ze^\   id  quod  euenit 

fi  fiat  ^'  —  ^3  « ,  iisdem  cafibus  fatisfacere  valorem  szz: 

r^^"",  quia  conftans  c  -vtramque  aequationis   partem  afHciU 

Quando  autem  ad  hanc  peruentum  fuerit  aequationem  sz^: 

ce^^^y  pro  curua  quaefita  ,  aequationes  x  zz-jds   fin.  A  .  V 

ct  y  znjds  cof.  A  .  o;  fiippeditabunt  aequationcm  inter  co*- 

ordinatas  orthogonales  curuae  quaefitae.      Erit  autcm  x  — 

cgfe^^^^d^v  fin.  Plv  zn  ce-''  fin.  A^y  -  cje^^^dv  cof  A  .v-i 

cs^''  fin.  kv  -  j^s-y  cof  Av  C^fe^^^dv  fin.  A .  v)-^; 

,     ^                     fgfin.  AoJ— cof  Ai;)     .„ 
vnde  fit  x:=:c^e^'^'^ -— Cum  vero  fit 

j  zz:  cgfe^^^dv  cof  Av  erit  j  —  cge^"^  fm.  Av  —^gx  (eu 
cge^'^  ( fm.  Av^  gcof  Av) 

y  zz T-T^ •   ^^^  aequatio  femper 

eft  ad  logarithmicam  fpiralem. 

§^6o.  Secundum  genus  valorum  ipfius  /  qui  fuis  dif^ 
ferentialibus  cuiusquc  ordiais  funt  fimiks  eft  irzia  fin.  A. 


m  SIMILES  PRODVCFNT.  39 

^v-h^coC.A.bv  :  cuius  difFerentialia  lequenti  modo  pro* 
§redientiir. 

-^  =  —  ^b  fin.  A  ,bv^ab  cof!  A  .  bv 

d^  =  —  ab^fm.  A  .bv  --  ^b^of.  A  .  bi) 

[   ^  =-4-  ^b^dn.  A  rbv  —  ab\oC.  A  .  bv 

^  rr-H  ctb*Cm.  A  .  bv-\-  ^b*coC.  A  .  bv     etc. 
Differentialia  igitur  tantum  ordinum  parium  ita  funt  com- 
parata  ,  vt  per  s  diuifa  quantitatem  conftantem  producant. 
Aequationi  (cilicet  d'''s=.-±^nsdv^'*'  fatisfaciet  aequatio  jzn 
«cfin.A./^^-i-Scof.A^-z;  fumenda  {—byziz^n. 

§.  61.  Tertium  genus  valorum  ipfius  /  amba  priora 
in  fc  compleditur,  atque  ideo  (blum  confiderari  meretur,> 
cum  per  id  omnibus  omnino  cafibus  fatisfieri  queat.  Foi*- 
mula  autem  genemlis  ita  fe  habet  s  zz:  e^^ictCm.Abv  -f- 
l^cofA.Z?'^)  differentialia  \ero  fequenti  modo  progre- 
diuntur 


ds 

dv 


=  ^s^  5-;^^   fln.  A .  bv     zJH^  cof  A .  b^\ 

dv  —  ^     p:^f^  Cm.A.bv     ■+:ilP'  coC.A .  bv> 
—  zize^A^lliK^^^^^-^-h^     :p^coC.A.h4 

d*S  C-hcib*  _+-§/;♦  'v 

dv"  - '    )-:ill';  fm. A.bv    -1%Z  coHA j4 

etc. 

Ex 


40    INFESTIGATIO  CVRVAR.  QJ^AE  EFOLVTAB 
Ex  quibus  formulis  colligitur  fore  gcneraliter  j-^    z=:  e^ 


( 


{^hv-rr^i,-tv-^r  ^,^_^_,^ 


§.  62.  Ponamus  cfle  debere  -r-^^ms  exiftente  m 

^  zh  '^  >  ita  Yt  m  qiiantitatem  quamcimque  fiue    affirma 

tiuam  fuie  negatiuam  fignificet :  eritque  comparatione  inftituta 

r^H-  hV -1  )v^a-f-gy-  I )       {g-bV-\  ^  a-Sv'-!) 

m  a  rz-^ —  -\ ^ 

2  2 

^     (^-f.^T/-i)^(g-ay-i)       (^-Z,V-.i)^g-fay,i); 

Ct/KbZi: — — ■-} • 

2  2 

cx  quibus  aequationibus  eliminata  m  conficitur  haec  aequatio 

(^^^y-i)'(a*+r)y-i:=:(^-^^y-i)V  +  S')>'-i 
cui  quidem  fitisfacit  expreflio  a*^-S'~o,  at  quia  hinc 
ad  imaginaria  pemenitur ,  hic  valor  tanquam  inutilis  eft 
iciiciendus.  Qimmobrem  habebitur  (^-f-  hV- 1  y  zz.{g-hV  i  /, 
quae  euoluta  abit  in  hanc   vg''-'  h- ^r'.!^!'—^'^' h ' -+- 

f/T^r"'^^"'^'^"^'"'''  ^'-^  etc.  zzzo  cx  qua  aequationc 
g  per  h  definiri  oportet. 

§.  53.  Ex  inlpedione  harum  fbrmularum  mox  in- 
tclligitur  eas  diuifionem  arcuum  circularium  inuoluere. 
Quodfi  fcilicet  fiimatur  arcus  quispiam  w  in  circulo,  cuius 
ladius  zz:  i  y  pouaturque  ^  rr/cof  A.  w  et  b  zzzfCm.  A. 


SFI  SIMILES  PRODFCFNT  41 

w ,  debebit  ^i;  eiusmodi  efle  arciis ,  vt  fit  fin  A.  v  ^  =r  0. 
Sumtis  autem  huius  modi  arcubus  pro  ^ ,  reperietur  va- 
lor  litterac  m  ^zzf  coC  A.  y  lu.  Hanc  ob  rcm  pio  vw 
fuccefliue  fubftitui  debebunt  arcus  0°,  180*,  3<5o'',  S^o'*^ 
etc.  pro  fingulisque  valores  cum  arcuum  ■tv  tum  litterarum 
£  et  b  definiri  ;  quo  fa<fto  obtinebitur  valor  ipfius  ;;/ ,  qui 
femper  erit  vel  -4-/^  vel  — /  *.  Littcrae  autem  a  et  g 
omnino  manent  indeterminatae  ,  indeque  folutiones  latius 
patentes  colligentur : 

§.  64.  Qiioniam  pro  a  ct  ^  quantitates  quaccunque 
accipi  poffunt ,  fumatur  a  —  c  cof  A.  ^  •  et  6  —  ^  fin, 
A.  2;  erit  j  zz  c  e^''  fm,  A  {  Z>  -z;  --h  ^  )  :  in  qua  aequa- 
tione  litterae  g  et  h  ex  valoribus  «  et  v  determinantur. 
Cum  autem  haec  determinatio  pendeat  ab  refolutione  ae- 
quationis  y  dimenfionum  ,  in  qua  omnes  radices  fint  rea- 
ks ,  manifeftum  eft  totidem  valores  pro  s  inventum  iri : . 
At  fi  aequationem  d''  s  z=z  A^  n  s  d  v''  in(piciamus ,  facile 
intelligimus ,  fi  fatisfaciant  valores  jiz:P,izz:  Q^,  jzrR; 
€tc.  -^iingulatim  exiftentibus  P ,  Q_  et  R  fundionibus  ipfius 
V  ,  tum  etiam  fatisfacere  aequationem  ex  his  coniundam 
5=i:c«P-+-  SQ^-f-yR  ^  haecque  aequatio  integralis 
aeque  late  patebit  ac  difierentialis  propofita  >  fi  pro  P,  O , 
R.  omnes  particularcs  ipfius  s  valores  accipiantur. 

§.  6$.  Percurramus  igitur  ordine  fingulos  ipfius  v 
vdores ,  et  pro  angulo  180  graduum  ponamus  tt  ,  ita 
vt  fit  3^0*  —  27::  540*  rz  3  TT  etc.  Primum  eigo  fit 
y  =3  I  ,  feu  fitisfiat  aequationi  d  s  zzim  s  d  v  eritque  v  w 
zn^d^zizo  \  atque  hinc  g  =fy  et  hz^^o  et  ?«  ^j'',  ^x 
quo  aequationis  huius 

Tom.  XII  '  F  dsT^ 


41    INVESTICATIO  CrRVAR,  QVAE  EVOLVTAE 

d  5  =  f  s  d  V       * 
erit  aequatio  integralis  haec  : 

s  zzzC  e^^ 
Qiiodfi  autem  ponatur  v  w  zzi  wrz  i:  ^  fiet^=  — /  ;  b 
zi^o  \  et  mziz  -fy  vnde  prodit  huius  aequationis  d  s  ^ 
^  f  s  d  V  intcgraXis  haec  s  ~  C  e'"^^  quae  quidem  in 
praecedcnte  iam  continetur  fado  /  negatiuo.  Quare  ae- 
quatio  s  z=z  C  e—^'"  omnes  praebet  curuas  ,  quae  fimiles 
funt  fuis  euolutis  primis ,  quas  iam  oftendimus  efle  loga- 
rithmicas  fpirales. 

§66.  Sit  porro  vr=2,  {eu  integretur  aequatio  dds 
':zimsdv*i  atque  primo  ponatur  viv—iivzzlo, erit  «zf  m o , 
et  gzizf  ^  ac  y!?z=o  ,  atque  mzzff^  vnde  huius  aequa- 
tionis  ddsz^ffsdv*  integralis  erit  szizCe^'^.  Secundo  fit 
yit^rrs^zzTT,  erit  nvzz^^^^nzz^o'' -^  atque^^ro  •  ^n:/; 
et  m^zz—ffi  vnde  aequationis  ddsziz-ffsdv*  integralis 
erit  szziC  fin.  A  {fv -f- <? ).  Tertio  fit  vwzz^  wzr. 2  Trfeu  «; 
:zziTZZiSo°  ;  erit^iz:— f  *,  bzz:o  ;  et  mzzff\  vnde  ae- 
quatiortis  ddszzffsdv*  integralis  eft  szzCe-"^'".  Quarto 
fit  ywzzi.wzz^i:  feu  ^a^^ilTr  ;  erit  ^=1:0;  bzz^-f^ 
et  mzz-^ffy  ex  quo  aequationis  ddszz-ffsdv*  integra- 
lis  erit  szzC  fin.  A(^— /'y)  =  C  fin.  A  {fv—^)  quae 
quidem  aequatio  cum  fuperiori  cafu  fecundo  inuenta  con- 
gruit ,  vtraque  enim  continetur  in  forma  a  fin.  A./a;  -H 
gcof  A.fv. 

§.67.  Hinc  itaque  vtriusque  aequationis  differentialis 
fecundi  gmhs  ddszzzffsdv*  et  ddszz—ffsdv*  comple- 
ta  nancifcimur  integralia ,  atque  adeo  curuas  obtinemus 
omnes ,  quae  fint  fuis  euolutis  fecundis  fimiles.  Scilicet 
€um  pro  cafu  priore  duplcx  inuenta  fit  aequatio  integralis , 

ambo 


SFI  SIMILES  TRODVCVNT.  45 

ambo  ipfius  s  valores  per  conftantes  quantitates  multlplicati 
et  inuicem  coniun(^i  dabunt  conapktun)  integrale*  Sic  ae* 
gaationis  huius : 

dds^-^-ffsdi)* 
integrale  erit  completum : 

At  alterius  aequationis 

dds^-ffsdv* 
integrale  completum  erit  hoc  i 

jinC  fin.  k,fv  -f-  D  cof.  A./v 
in  vtroque  enim  integrali  infunt  duae  nouae  conftantes  C 
et  D,  quae  ex  duabus  integrationibus  funt  natae. 

§.  <J8.  Ponamus  vzzs  ,  ita  vt  integranda  fit  aequa- 
tio  haec  d^szzzmsdv'^;  ac  primo  ponatur  s^zzo  fea 
w=:o  erit  ^rz/,  bzizo  ^  et  mz^J*  vnde  aequaiionis 
d^siizhs^dv'  integralis  erit  szziQe^'^,  Deinde  fit  ^w 
rzTT  feu  w;z::|7r:z:6o%  erit^inf  cof  A.^Tt  et  ^in/ 
fin.  A.  j 7t  atque  m zz.  —j  * ,  vnde  aequationis  d' szn—j* s 

dv '  integralis  erit  j— ^^«>M^^  (afin.  A,fv  fm.  A.  |7r-4- 
§cof  A./i;  fin.  A.|7r).  Tertio  fit  ^iiJiziiTr  {euu;z:r|7riz: 
120%  erit  ^zz/cof  A.§7r,  Z>zr/fin.A.  |7r,  et  mzzzj  *  ^ 

vnde  aequationis  d^sznf^sdv*  integrale  erit /ir /"^''•^•^''* 
a  fin.  A  fv  fin.  A  |  7r  -j- 1§  cof  A./o?  fin.  A.  |  tt  ).  EZ 
quibus  huius  aequationis 

d^s^-^fsdv' 
prodit  integrale  completum. 

j=zC^^^-f-^^^f  ^^^'^(D  fin.  A.fv  fin. AfTr-f-Ecof  A./^'fin.A|7r) 
Alterius  vero  aequationis  difFerentialis 

F  2  d'i 


I 

44.  mVESTlGJTlO  CVBJ^AR,  QVAE  EVOLVTAE 

integrale  completum  erit  hoc 

\bi  notnndnm  cfl  efle  fin.  A  Ittiz:-  j  fm.  A  |  tt  ih  7  i  cof. 
AiTTzzl  etcof  A.  |7ri=:-^ 

§,  59.  Ponnmus  nunc  vrz^  fen  hanc  contemplemur 
aequationem  d*sz:imsdv*  ^  ac  primo  fit  4i^'zi:o,  erit 
g:=f^  hzzo^  et  »2=:/4  /vnde /fit  izzC^-^'".  Deinde 
fit  4 z:;  =:  TT  feu  w—\i:  erit ^  =:/ cof.  A .  i  tt  et  ^  — / fin . 
A.iTT,  atque  mz='-j*  vnde  fit  izzC^^'^'^^-^- ^  ^^10.  A 
(y  17  fin.  A.  5  TT  -f-  ^  )  hanc  enim  formam  priefiat  ad- 
h;bere  quam  alteram  ,  in  qua  infuper  cofinus  arcus  b  1; 
occurit.  Tertio  fi  ponatur  ^ivzz  2.1:  Cq[i  wzzlIiz  erit^zr/ 
cof  A?7r:=zo;  h  zzfCm.  A-ii:z=fct  m—J  *  ,  vnde  fit 

^--^Cef^  cqj-.A^Tr ^jj,  A  (fv  fin.  A  I  TT  -1-  (?  ).  Qiiarto  fi 
ponatiir    4  <::?  ~  3  tt    feu    w  3=  |  tt  ,  fit    iterum 

mz=.-J*  et  ^^^^^^^''"^''-^-'^^'^fin.Af/^fm.A  .|7r -!-(?). 
Ex  hisjgitur  colligitur  huius  aequationib  ^^j-zz — J*  j  ^«y* 
integrale  completum  hoc  : 

s  =:C^^^  -I-  D./^cq/-.A-7r  fin^  A(/^fin.  A.|7rH-(^  )-f-E^--^^ 
Alterius  \ero  aequationis  huius  d^^s  ~  —  J*  j  ^i;* 
integrale  completum  erit  hoc  : 

s  zz  Qef"'''S.^^^^  fin.  A(/^fin.  AittH-v)  -I- 

D e^''  ''S-  ^'^^  fin.  A  (/c  fin.  A 1 7r  -{-  ^ ). 

§.  70.  Non  opus  efi:,  vt  iiaec  vlterius  profequ&miir^ 
ciTm  tam  ex  his  f()rmis  quam  methodo  ipfa  iam  pateat 
lex  progreflionis,     Habebimus  igitur  generalitcr   huius    ae- 

quatio- 


SFI  SIMILES  PRODFCFNT.  45 

qnationis  differemmlis  ^^j-rr: -4-/^^1;*  iftam  aequatio 
nem  integrakm  completam 

_♦ 

fin.A(/'i;rin.Af7rH-(^)-4-G^-^^^''-^-^'^r]n.Ar/'rfin.A^,7r4-'^) 
etc.  qiios  terminos  quidem  in  infinitum  continuare  licet, 
at  fufficit  eousque  continuafle  ,  quoad  terminus  occurrat 
primo  fimilis  ,  id  quod  accidit  fumendis  terminis  vel  ^* 
vel  ^'   prout  V  fuerit  numerus  vel  par  \el  impar. 

§.   71.  Simili  modo  integrale  alterius  aequationis  dif^ 
ferentialis  indefiniti  gradus  erit   comparatum 

huius  (cilicet  aequationis  integrale  completum    erit 

^^^^■^'^"''■^•^'^Trrin  A(/^rin.A;7r-4-y)H-D^^^'^'-^-^~'^ 

fin.A(/^rin.A^  i:-\-$)-hEe^''''-^'^^''  fm  A(f^rin.A-J  Tr+s) 
•4-  etc.  quam  itidem  non  o^m  eft  in  infinitum  producc- 
re  ,  cum  (umtis  \el  l  vel  "-p  terminis  iidem  termini  re- 
currant ,  fequentesque  inm  in  pnecedencibus  contineantur. 
Completum  autem  integrale  vtriusque  aequationis  d'fFerenti- 
alis  propofitae  cognofcetur,  C\  tot  quantitates  conflantes  C, 
D  ,  E  etc.  y  ,  (5^  ,  e  etc.  iam  fuerint  ingreflae  ,  quod  v 
continet  \nitatcs.  Deinde  etinm  irfto  plures  termini  non 
accipientur ,  fi  tt  nusquam  per  fradionem  vnitate  raaio- 
rem  multiplicetur. 

§.  72.  In  vtraque  igitur  expreffione  integrali  alii  ter* 
mini  non  continentur  nifi  liuius  formae 

F  3  Nequc 


4<J  mVESTIGATlO  CVRVAR,  QVAE  EVOLVTAE 

Neque  vero  tantum  arcus  curuarum  quaefitarum  s  per  huius- 
modi  formulas  ipfius  v  exprimuntur ,  fed  eciiim  abfciflae 
et  applicatae  x  ct  j.  Cum  enim  fit  xzzzfdsCm.  A  .  v 
ct  yznfdscof.A.v  '^  fi  pro  s  expreffiones  inuentae  fubfti- 
tuantur,  hae   fbrmulae   adu  integrari  poterunt,     Namque 

formula  generali  aflfumta  erit  dszmBe^^^^^^^^^^dv^fcoC 
A  ^  TT.fin.  A(/^fin.  A  ^7r-H§)-f/rin.  A  ^  TT.cof.  A  (/i; 
fin.  A  7  7r-f-S) ),  quae  expreflio,  fi  pro  B  et  I?  fnbfti- 
tuantur  fucceftiue  litterae  C  ,  D ,  E  etc.  et  y  ,  ^  ,  e , 
ctc.  itemque  pro  [jl  numeri  vel  o,  2,  4,  6,  etc.  vel  i  , 
3  ,  5 ,  7 ,  etc.  prout  vel  prioris  vel  pofterioris  aequationis 
difierentialis  integrale  defideratur ,  verum  elementi  ds  va- 
lorem  cxhibet. 

§.73.   Multiplicetur  igitur  iftud  diflferentiale  ds  pri- 
mum  per  fin.  Av,  vt  prodeat  elemcntum  dx  ^  reperic- 

turque  integrando  xrzBe^'"'^^-^^ '^ 

U^JinX  (fvfin.  A  7  Tr-f-g)  fin-  A.v  -f^fin-  A  (fvjin  A  7  7r-f.g—  7  tt  )  eof-  At> 

^fftn.A(fv  fin  A  7  Tr-4-g-f- ^tt)  cof.  A.v^fjin.\  (fvjin  A  y  Tr-f-g-H  y  "n^Jin-  Av) 
_____  — 

V   '7r«+»i 

Simili  modo  cum  per  quantitates  exponentiales ,  tum  per 
finus  cofinusque  arcuum  circularium  applicata  y  determina- 
bitur  idque  per  eandem  variabilem  v  quae  curuae  ampli- 
tudinem  defignat,  eft  enim  v—f%.  Ex  quo  intelligitur  om- 
nes  omnino  curuas ,  quae  quampiam  evolutam  fui  habeant 
fimiiem  conceffis  circuli  et  hyperboiae  quadratuiis  conftrui 
pofle. 

§.  74" 


Sn  SIMILES  PRODVCFNT.  47 

§.  74.  His  ergo  expofitis  problema  initio  propofitum 
ienfii  latiirinno  acceptum  poterimus  refoluere  ,  et  omnes  cur- 
vas  aflTignare  quae  fimiles  fint  fuis  euolutis  cuiuscunque 
gradus.  Hocque  ipfo  limites  analyfeos  non  parum  ampli- 
ficafle  iure  milii  videor ,  cum  aequationes  differentiales  al- 
tiorum  graduum  ,  ad  quas  peruenitur ,  non  folum  com- 
mode  tradare  ied  etiam  integrare  docuerim.  Hac  fcilicet 
rnethodo  non  folum  aequationum  d*s~  -\-psdv*  inte- 
gratio  eft  in  poteftate ,  verum  etiam  earum  aequationum, 
ex  quibus  hae  funt  ortae  ,  quae  funt  ^-  ns^r\  -^n.s:=z 
^-^',±ns^-idr-^',  ±ns-ld.^d/-^^±mj— 
^d.jfd.jfd^-^  etc.  in  infinitum .  Qiiin  «tlam conHrucftio 
omnium  earum  aequationum,  quae  ex  his  oriuntur  quibuscunque 
adhibicis  fubftitutionibus  confequitur,  quaealiis  vlis  omnino  fru- 
ftra  tentantur,  cuiusmodi  aequationes  i^  nonBulIas  elicuimus. 

§.75.  Qiiodfi  ^ergo  quaeratnr  airua„  tjuae  fuae  euo- 
lutae  ordinis  cuiuscunque  v  fit  fimilis,  eiusque  curuae  arcus 
ponatur  —  s  ,  radius  osculi  r  ,  atque  elementum  amplitu- 
dinis  -^  —  dv  y  obtinebitur  pofito  d^v  conftante  pro  curua 
quaefita  vel  haec  aequatio  d^^S— -^-fsdv''  vel  haec  d*s 
z^—fsdv"  quarum  vtraque  ita  integrari  poteft  ,  vt  valor 
ipfnis  s  per  v  definiatur  ,  vti  ex  praecedentibus  apparet. 
Inuenta  autem  hac  aequatione  integrali,  innotefcit  moxra- 
dius  osculi  r ,  qui  eft  =  a^  ;  ac  praeterea  relatio  inter 
coordinatas  orthogonales  poterit  definiri  ;  pofitis  enim  ab- 
lcifla  —  X  et  applicaia  ~jv  erit  x—Jdsiin.v,  ct  j  zz: 
Jds  cof  V  quae  ambae  integrationes  adeo  adu  per£ci  pof^ 
funt. 


4S  INVESTIGATIO  CFRVAR.  OVAE  EVOLVTAE 

§.  7<5".  Vt  igitur  natura  hamm  curuarum  f^icile  in 
confpechim  cadat ,  fingula  problemata  breuiter  repetere  at- 
que  aequationes  integrales  inter  s  ct  v  exhibere  eft  vifum. 
Hic  autem  tantum  fimilitudinem  dircdam  confideramus, 
quoniam  fimilitudo  inuerfi  ad  diredam  reducitiir  ,  vt  iam 
fupra  notauimus.  Singula  vero  haec  problemata ,  quibus 
curuae  defiderantur  ,  quae  fuis  euolutis  dati  ardinis  fint  fi- 
miles ,  duplicem  admittunt  (olutionem  ob  aequationem  am- 
biguam  d^^szz:  -\^f'^sdv'^.  Qiianquam  enim  haec  am- 
biguitas ,  fi  v  cft  numerus  impar,  nullum  discrimen  infert, 
tamen  fi  v  eft  par ,  ambo  caflis  a  (e  inuicem  maxime 
funt  diuerfi,  quocirca  pro  fingulis  problem^tis  vtrumque  ca- 
fum  (eorfim  euoluemus. 

Problema    I. 

Inuenire  curuas ,  quae  fimiles  fint  fuis  euolutis  primis» 
Solutio  I.  d s  —  ^J sd V 
et  integrando 
s  —  Q  ef' 
Solutio  2.  ds~—fsdi0 
et  integrando 
s  =  C  e-^'' 

Problema    II. 

Inuenirc  curuas ,  quae  fimiles  fmt  fuis  euolutis  fecundis. 
Solutio  I.  d*s—-^f^sdv* 
et  integrando 
j  =3  C  ^^^  -h  D  ^-^^ 

Solutio 


SVI  SIMILES  PRODVCVNT.  4^ 

Solutio  2.  d's=-f*sav* 
et  integrando 
s^Cfin,  A  (/v-f^  y) 

Problema  IIL 

liiucaire  ciiruas,  quae  fimiles  fint  fuis  euolutis  tertiis» 
Solutio  I.  d^  szzL-^f  s  d^o^ 
et  integrando 

Solutio  2.  d^  sz=i  — / '  sdv^ 
et  integrando 

Problema  IV. 

Inuenire  curuas ,  quae  fimiles  fint  (uis  euolutis  quartis. 
Solutio  I.  d*  szn-^f* s  di;^ 
et  integrando 
j=:Cf-^'^-|.DfinA  (/^-+- J)4-E^-/« 
Solutio  2.  d*sz=:—f*sdv* 
et  integrando 

i=:C^v.  fin  A  (^  +  y  )4-D^^  fin.  A  (^-f- J  ) 

Problema  V. 

Inuenire  curuas ,  quae  fimiles  fint  fiiis  euolutis  quintis, 
Tom,  XIL  G  Solutio 


ioINVt^lTlGATlO  CVRVAR.  QJAE   EVCITTAE 

Solutio  I.  d's—-{-)'sdv\ 
et  integr  nao' 

Ee     *       fm.  A  ^I^lip^^ -i- g ) 

Solutio  2.  d's^-j'sdv'  . 
et  integrando 

fin.  Af^^— -^-^^-fE^-^^ 
Problema  VI 

Inuenire  curuas ,  quae  finr.iles  fint  fuis  euolutis  fextiSe 
Solutio   I.  d's:=Z"^fsdv^ 
*  et  integvando 

S—Ce^''-+-De'^{m.Ai^-\-^)'^Ee~ 
fin  A(-^-^-f-£)4-F^~^^ 
Solutio  2.   d's^-fsdv^ 
et  integrando 

i— C^  ^    fin.  A(^-f  -+-V)  +  Dfm.A(/'y  +  ^)-f- 


'^i;  V  T 

fv 


Ee    ^      fm.A(^^-4-6) 

5.  *^7.  CotiCella  igitur  peripheriae  circuli  fedione  in 
pflrtes  aequa.es,  problemata  liuius  generis,  quousque  lubue- 
m  conunuari  ,  atque  facili  negotio  relolui  polTunt.     Ita  ad 

curuas 


SFI  SIMILES  TRODFCrnT.  $t 

curims  definiendas ,  quae  fuis  eiiolutis  feptimis  (iut  fimiles, 
nofle  oportet  fmus  et  cofinus  paitium  feptimarum  periphe- 
riae  circuli  fcu  partium  i  tt  ,  |  tt  ,  |  tt  ,  quorum  determinatio 
a  refolutione  aequationis  cubicae  pendet.  Cum  autem  in 
hoc  negotio  aeqiwtionum  algebraicarum  cuiusuis  gradus 
•refolutio  merito  poftuletur ,  tota  methodus ,  quam  ad 
huiusmodi  problemata  refoluenda  exhibuimus ,  nulla  am 
plius  laborat  difficultate  ^  neque  aequationes  difFerentiales 
cuiuscunque  gradus  moleliiam  afferent ,  fed  omnes  acquali 
fere  opera  tradabuntur  et  conftruentur. 

§.  78.  Qiianquam  autcm  per  hanc  methodum  eae 
tantum  curuae  determinantur ,  quae  cuipiam  ex  fiiis  euolu- 
tis  direde  fint  fimiles ,  tamen  per  eandcm  viam  eas  cur- 
vas  quoque  affignare  licet,  quae  fuis  euoiutis  dati  orcin;'s  in^ 
verfe  fint  fimijes.  Qiiodfi  enim  curua  requiratur  ,  quae  fuae 
euolutae  ordinis  y  inuerie  fit  flmilis ,  atqiie  aequatio  inier 
s  ct  V  eo  ,  quo  fupra  vfi  fumus  modo  eruatur  ,  reperie- 
tur  ea  efle  d^^s^  —  J^^^sdv^^  Ita  curuae  ,  quae  (iiis 
cuolutis  primis  inuerfe  funt  fimiles.  continentur  in  aeqiiatione 
dds  ziz-f^sdv^^-tt  curuas ,  quac  (iiis  euoliitis  (ecundis  in- 
ver(e  fimiles  funt,  compleditur , aequatio  d* sziz—j* sdv^ 
ct  ita  porro  :  quae  ae:]uationes  omnes  methouo  tradita 
tradari  et  integrari  poffunt. 

f  79.  Denique  praeterire  non  pofdim  ,  quin  mone- 
nm  methodum  haric  multo  latiiis  patere ,  qurm  aci  eas 
tantum  aequationes  dii?erentiales  altiorum  graduum  ,  quae 
fe  in  hoc  negotio  obtulerunt  integrandas.  Maxjmum  enim 
eadem  methodus  pracftat  vfum  in  integratione  infinirarum  aiia- 
rum  aequationum  differeniialium  altiorum   graduum  j  quae 

G   2  aliis 


Si.  INFESnGATIO  CFBIAR.  ^FAE  EFOirTAE. 

aliis  viis  fruftra  traftantiir :  cuiusmodi  eft  aequatio  liaec  a 
i=^^'-f-l#'+'£^  +  '^'-|-etc.  pofito  dv  conftante. 
Qiiousque  enim  etiam  haec  aequatio  fuerit  continuata  ,  eius 
integrale  (eu  valor  finitus  ipfius  j"  per  v  feniper  poteft  ex- 
hiberi.  Sed  quoniam  in  hac  diflertatione  tantum  proble- 
ma  propofitum  de  euolutarum  fimilitudine  euoluere  con* 
Ititui,  pleniorem  huius  methodi  vfum  alia  occafione  de* 
ckrabo. 


DISSER. 


DE  SERIEBVS  aVIBVSDAM 

CONSIDERATIONES. 

AVCTORE 

Leonb.   EuJero. 

Podquam  iniieniflem   ferierum  reciprocarum  hac  fbrma 
contentarum 

i-l-'  -!---[--  -4-'  -\-  '  -1-etc 
vbi  ambiguoriim  fignorum  fuperiora  valent^  fi  n  eft  nu- 
merus  par ,  inferiora  vero  fi  n  eft  numerus  impar ,  fum- 
mas  a  quadratura  circuli  pendere  ,  ac  per  tantam  periphe- 
riae  circuli  tt  poteftatem  determinari ,  cuius  €xponens  fit 
—  n  \  nonnullae  fe  mihi  obtulerunt  obferuationes,  cum  ad 
has  ipfis  feries ,  tum  ad  €arum  vfum  in  fummandis  aliis 
feriebus  (pedlantes.  Qiiae  cum  non  admodum  fint  obuiae, 
ac  fortafle  ad  alia  negotia  vtilitatem  non  ^ipernendam  af- 
ferre  queant ,  eas  hic  exponere  non  abs  re  fore  fum  arbi- 
tratus. 

§.  2.  Pofita  conftanter  ratione  diametri  ad  circuli 
peripheriam  vt  i  ad  tt  ,  confidero  circuium  ,  cuius  radius 
feu  femidiameter  fit  =i  i  ,  et  denotabit  tt  eius  (emicircum- 
ferentiam  feu  arcum  i8o  graduum.  Qiiod  fi  nunc  acci- 
piatur  in  hoc  circulo  arcus  =  s  ,  cuius  fmus  fit  zzj  • 
V  ^finus 


X 

) 

et 

tangens  

t ;  erit 

s 


$5 

-f- 

Si   . 

$7 

1.2.3 

a'.2.3*.s 

».2,. ..7 

l 


£L 

•  -\- 

s* 

S6 

iti 

1.2-3.* 

1.2....«    "■ 

y  —  ^      y:^  -^"  j'.2.3  4.1       T^  ~T-  etc. 
A-'  =:i  -  ~  -I-  -^  -  -^^-  -4-  etc. 

G   3  ^tque 


54  T)E  SERIEBFS  QJ^mVSDAHA    CONSIDERAT. 

fltqiie  hinc 

leii 

—  5     1    ^*     I     _^    t      ^*  s'  i''      ,    ^*^ 

o  z=  I  -  T  + :::  -H  ,x7i  ^-  ^xt:.  -  ,T.:jr  -  t..-^  H-  ^^^. 

§.  3.  Confidercmus  primo  aequationcm ,  qua  rela- 
tio  inter  finum  y  et  arcum  s  continctur  ,  ac  manifelhim 
eft  ,  valorem  J  pro  dato  j^  non  efle  conrtantem  ,  ied  om- 
nes  eos  arcus  denotare  ,  quoriim  idcm  eft  communis  finus 
j.  Sit  arcuum  horum  minimus  z=  ^  tt  ,  habebunt  om. 
nes  fequentes  arcus 

m  n— ^  a?i-f-n  3" — -m.  ^n-^m 

-  TT,       -T   TT,        — r-  7T,        -IT-  '^y        "ir-  "^y    CtC. 

^  "T^;-  -Tr-Tr-,-—:-   TT,  --„       TT,  -— ^TT     etC. 

cundem  communem  finum  j,     Quocifca  huius  aequationis: 

habebuntur  fequentes  innumerabiies  fadores : 

§.  4.   Kinc    itaque    valores   ipfius  y  conftituent  fe- 
quentem  feriem  : 

JL  -4-      ^      —       ^      —      ^       -4-        ^         {       ^       _   pj.^ 

T/.TT     '     (n— m)Tr        (7i^_.7i;*7r        {2-1— ?;t)7r  {;;.»+-■„  jtt         (in-myrr        ^''-^' 

Horum  itaqne  fumma  aequalis  erit  coefiicienti  ipfius  —  s 
in  aequatione  ,  qui  eft  3z  ,3,  :  Summa  fadorum  ex  binis 
erit  =z  o  ,  fumma  ex  ternis  zz  ~  ^7^  ,  etc.  vti  fcquitur : 
fumma  terminorum  =1:     ,3, 

fumm.  fid.   ex   binis  :=     o 

fumm.  hd:.  ex  ternis  :=     7^^ 

fumm.  fad,  ex  quaternis     zz:     o 


DE  SERIEBVS  QFIBVSDJM    COKSIDERJT.  $$ 

fumm.  fiidl.  ex  qiiinis  —     ,,,, '  ,^y 

fuiiim.  fi(fl.  ex  fenis  =:::     o 

(iinnm.  fid.  ex  feptenis       —     \\  .~[~y 
ftmm.  fidl.   ex  oclonis       rz     o 
etc. 
§    5.   Qiiod  fi   autcm    gencratim   feriei   cuiiiscunqiie 
C-^-b-^-c^d-^e-^-  etc.  fiierit 
fumma  ipft^rrm  terminoriim         =1     a. 
fumma  fidloriim  ex  binis  zz:     t 

fumma  fadorum  ex  ternis  iz:     y 

fumma  fidlomm  ex  quaternis      ~     ^ 
fumma  tadc^rum  ex  qumis  ~     t 

fumma  fidorum  ex  fenis  =:     ^ 

etc. 
potenint  ex  his  fummae  quadratorrm  ,  cuborcm  ,  biqiiadra- 
torum  ,  et  poteflati  m   quarumuis   teiminorum   hums  ieriei 
aflignari.     Qiiodfi  enim  fit 


a  -\-  b  -{- 

c  -\-  d        etc- 

_— 

A 

a  -\-  b^  -\- 

i* -f-  ^*  -h  etc- 

— 

B 

G  -\-  b'  -\- 

c  -\-  d  -\-  etc. 

— 

G 

«*  4-  ^*  4- 

/+  ^*H-etc. 

— 

D 

a'  -\-  t)'  -\- 

c^-\-  a^  -\-  etc. 

— 

E 

a'  -\-  0'  -\- 

6* -i-  a^  -\-  etc. 

— 

F 

etc. 
fequenti  modo  iftarum  fjmmarum  valores  determinabuntur. 
A     —     a 
B     =     aA-2  g 
C     =1:     aB-  g  A  4-  3  y 
D    ~     aC~eBH-YA~4* 

E  = 


$6  DE  SERlEBrS  QVIBVSDAM   CONSIDERAT. 

F    =:     c«E-eD-4- yC-^B-HcA-^^ 

etc. 
Quae  progrefTio  cnm  facilem  legem  teneat ,  et  ex  terminis 
praecedentibiis  quiuis  terminus  expedite  definiri  poflit ,  po- 
terimus  feriei  fuperioris  valores  ipfius  J  exhibentis  fummam 
poteftatum  quarumcunque  terminorum  definire. 

§.6.  Antequam  autem  hanc  generalem  progreflio- 
nem  reliquamus ,  notari  conueniet  fingularem  proprieta- 
tem  ,  quam  valores  litterarum  A  ,  B  ,  C  ,  D  etc.  inter- 
fe  tenent.  Oriuntur  ii  fciiicet  ex  evolutione  huiusexprel^ 
fionis 
«—2  §5r-|-3  V^*— ^^^s^-HSe-s*— (^(^s^H-^-v^s*— etc. 

I  —  a  xs  -H  ^  z"  —  Y  z^  '-\-  6  z*  —  s  z^  -i-  ^  z*  —  etc. 
fi  quidem  per  diuifionem  a(ftualem  quotus  fecundum  po- 
teftates  ipfius  z  eruatur.  Prodibit  namque  diuifione  con- 
fueto  more  inftituta  fequens  quotus  A  H-  B  5;  H-  C  «* 
-4-  D  s*  -i-  E  s*  -{-  F  s;^  H-  etc.  ita  vt  ifta  feries  aequa- 
lis  fit  illi  fradioni.  Praeterea  notandum  eft,  fi  feriei 
j  —  az-i-  ^  z^  -  y  z*  -i-  ^  z*  —  etc.  fumma  ponatur 
ni:  2  ,  ita  vt  fit  Z  denominator  illius  fi'adionis ,  fore  nu- 
meratorem  zz  "^.  Ex  quo  feriei  A  -f-  B  s  -f-  C  js* 
-I-  D  2*  -i-  E  s*  -h  etc.  fumma  erit  n:  i^.  Non  fo- 
ium  itaque  ex  datis  fadis  binorum  ,  ternorum ,  quaterno- 
rum  etc.  fummae  poteftatum  feriei  propofitae  a^if-^c 
=4-//-l-€tc.  fcilicet  valores  litterarum  A,  B,  C,  D,  etc. 
poterunt  inueniri ,  fed  etiam  fumma  feriei ,  quam  hae 
ipiae  poteftates  in  nouam  progreiTioncm  geometricam    re- 

fpecfli. 


m  SERIEBFS  QVIBFSDJM  CONSfDERAT.     57 

ipecfliiie  dudi ,  nimirum  hiiius  feriei 

A-hBz  -i-Cz*  -^Dz'  -+-Ez*-\^  etc.    famma   pote- 

rit  aflignari.     Hancque  proprietatem  probe  notafle  in    fe^ 

quentibus  plurimum  iuuabit ,  vbi  in  nouas  feries  fumiis  in* 

quifituri. 

§.  7.  Cum  igitur  huius  (eriei  : 

—(  1         1.    _i .   1 — I _J_-    — I _l        _J «_    ^of/.   \ 

W  V  771  "    I         n-TO  7I-+-rft  271-771       '        27I-f.771  "   •        3  7i— 771  37l-+-m  t<-^'^ 

dentur  primo  ipforum  terminorum  fumma  ,  tum  etiam  fum- 
mae  fidorum   ex   binis ,   tcrnis ,  quaterais  et  ita  porro  ^ 

B  =;  ^ 

C    —    ^--x. 

D  _  £__A_ 
■^  —  i.y      ^'"ty 

pv     E_  __       C  '  A 

r     jjy         1.2. 3jy     '      i.^-.z^^.sy 


r  —  ^  - 


crit  vt  fequitur 

TO  "^  ^--mi  71-+- m 


.JH.5J 


»+.S»6y 


etc. 


I 

2  Tl  — 771 


»  -f-  (71-770*  H~(n-t-'0^"^  (27l_mO*  +(271-4^771) 


5n5-4-(-;ir:ip 


iza-in)^ 


n*~^{n-m)*-^[n.^n)*' 


Un-m)'* 


\n—m)^ 


(ii-^'"J' 


(a. 


J^«+  (n_r.i}«~i-(„^mj«  1    (an-m]6 ~i    (,n-t-7r^] 

etc, 

Tm^  XII  U 


2TJ-+-77»      "~H    etC.    .      „ 

etc,  —  ^z 

(2n-+.mj2~»      etC.  ,—     fi« 
r>7r« 

i  H-  ete.  zn  v*" 

.  Ett» 

(,n-f-m}5  -+-  etC.  _-    „s 
F7r« 


(2nH-:7i)'< 


«  -4-  etc. 


Ybi 


58  DE  SElUEBrS  QVIBVSDAM   CONSIDERAT. 

"vbi  pro  poteftatibns  paribiis  omnes  termini  habent  fignum 
H-  ,  pro  imparibib  vero  ligna  conueniunt  cum  fignis  ip- 
fius  feriei  primae. 

§.  8.  Retineant  litterae  A  ,  B  ,  C  ,  D  ,  E ,  etc, 
valores,quos  ipfis  modo  tribuimus ,  fitque  nobis  haec  feri- 
es  propofita 

A  H-  B  5r  -f-  C  s*  -4-  D  s*  4-  E  5J*  etc. 
cuius  fummam  ex  regula  f   6  data  inueftigemus.      Huius 
autem  feriei  fumma  inde   eft  n  ij^  exiftente  Z  zi:  i  -  ^ 
-Hn^,-Ti^,-1-.:^-ctc.=:i-Jfin.A..~.      Ex 

quo  ob  j^  hoc  loco  conftans  ponendum  tntdZzz-—^ 
ac  propterea  fumma  feriei  propoiitae 

A  =+.  B  2  =4-  C  s*  -h  D  s'  +  E  5;*  4-  etc 

«rit  rr^T^.     Hinc  erit  iftius  feriei  fumma  A  ;5  +  B  ^* 

H-C^*  +  D^*  +  E^*^-etc-  =1^, 

§.  9.  Sit  2;  =  ^ ,  exprimct  haec  feries  lummam 
omnium  harum  fenerum  t 
»    ^_  ^  ^^  _  _^  =_      ^    .  ^  _JL_  _.    etc 

=T^  m     '°^    71-71  n=f=ra  stj-ttx       «        2^-^,771      t      *-•■*•• 

etc. 
Hae  antem    fcries  verticaliter  additae  dant 
_±.  _i    ^  P ^      _       ^        t  _      ^^     i^  etc 

cuius  feriei  igitur  fumma  eft  zz  ,     '-- ^    ^cu    cum 

/fit 


.m  SERIEBVS  QVtBP^SDAM  CONSIDERAT.     iP 

y    fit    finus    arcus    —*,  habebitur    iftius    feriei    furnma 

r::      ;    ,^.  "T-F^f-     Qpod  fi  ponatur/«-p— 4 

nfm.A—  -nfm.A.-- 

ctm-hpziz^k^  vtfit  mzn'^''^   ct  p  n: -7-    prodibic 

huius  fenei 

fiue  huius 


0    *^  n 


;///«.  A  .  ^^^±^  -  nfm.  A  1^^=^ 

§.  lo.  Verum  haec  nimis  funt  generalia  ,  vt  difficultet 
omnia,  quae  in  iis  comprehenduntur,  perfpici  queant.  Quam- 
obrem  ad  fpecialiora  defcendamus ,  ac  ponamus  finum 
f  zzz  finui  toti  zn  i  :  erit  mzz:i  et  nziz  2.  Hinc  igi- 
tur  fequentes  nanciscimur  leries 

l-l-r-l-l-l-l-l-l-l-  etc.  =  ^? 
h  -h  U-^b-^b  -1-  |t  +  |t+|.-4-etc.  z=:  ^z 
h  -h  13  -1»  -b  -4-  U  -+-  U  -|j  -  etc.  =r  ^?/ 
!♦  -4-  l4-i-|*-M*  +  |4  4-  l*-4-|*-4-  etc.  ::=:  ^^* 


etc. 

feu  hae 

1  -  1  +  1    -  1  -f- 1    -  etc. 

Ait 

. a* 

I  -1-  l^  -M«  -4-  ^«  +  I.  -H  etc. 

__     BTT» 

■    a5 

I  —  |i  -H  |.  -  7J  -H  is  -  etc. 

=  %' 

I  -i-  14  -M*  4-  |4  ■+- 14  -f-  etc. 

Drr* 

■ — •       »h 

H  a 

t  -» 


6o    DE  SERIEBFS  QFIBFSDAM.  CONSIDERJT- 


I    -    |s  -+-  Is           h-hl 

5 

etc.  z 

_    EttS 

I  -i-^  +  l<»-^l«-+-l 

.  -4-  etc.  =  "5.* 

I    —   1?  -h  ^7   —   l?  -f- 

i,  -  etc.  =  ^' 

I  -f-  1«  -f-  -]•  -H  y«  -H 

,.  -+-  etc.  =  «sr 

etc. 

Valorcs  antem  litterarum  A  .  B 

,  C  ,  D  etc.  ex  fequend 

lege  inuenientur. 

A=  I 

B-^ 

c^^-^ 

D^?-,^:, 

■*-'     ■      I                 X.2.3            '            1.2.3.* 

.  '•^    T           1.2.3       '       r. 2.3.4-5 

^ I              ..>3    ^^    I.2.3.+.5             «. 

t 

2..  .s 

H —  ^  —   ^    _i_      c     — 

A 

**■          ■     »             1.2,3         '         r.2.5.4.5             »• 

i....7  • 

etc. 

Tnde  reperiuntur  fequentes  valores  littenirum 

A—     1      .  ?,   =ri  -  1 

+  i    -  f    -H  ctc. 

B  =:      \      .  ?;  =r  H-  1. 

-+-^ 

.  -f- 

jx  -H  etc. 

C=:  ^-    .T:  zri   ~i. 

H-- 

\s'+'  etc. 

Dzn    ^    .?;  =1+1* 

-H3 

-♦-f-^ 

-♦■4-  etc. 

rr  —       5         tts    —       , 

A^    —        I.2,3.*       •     vtf        —     I       —       3« 

-H- 

s-i-  etc. 

T?  16                mS     ^        ,        r 

-H 

^«  -1- 

6  4-  etc. 

G—    "'        '^.'  —  I  -  h 

+ 

I    

^^-f-  etc. 

^ — .1.2.3.4.3.«  •  »•   —  •*•        3' 

"  —  «...,....7  •  »»   —^  I  -i-  3» 

-4-- 

h-H^ 

.•  -f-  etc. 

1= 


JDE  SERIEBFS  QFIBVSDAM  CONSIDERAT.   6i 

^  — 1.2.3 8  •  ^'°  —  ^  —  ^9    -^r-  U  ~  j9  -^-  etc. 


1.2.3  ....9     •    ^"    ^   .^    5'0  -+-    I 

T       , 1       50-C5t              TT"    T                     »  II 

Tvr —  ^i^jTp-    "^'^  —  T    1    I  I    I 

^^^ I.2>3.-.I      •    -'^    — .     I     ^    3^2  -I-    j 

N=:  ^^2iz^  .fd  =  I 

i.2.3....ia       -   ^ 


lo  -i-  yio-t-  etc. 
'»  -i-  ^i-H  etc. 
'2  -f-  jiz-\-  ctc. 


oi4  —  A        3IJ  -t-  jij  -t-  /ij-i-  etc. 

0=:SSf-^=^-^-^-  +^*  +  ^*    etc. 

§.  II.  Denotant  hic  litterae  A,  B,  C,  etc.  nu- 
merales  tantiim  coefficientes  potellatum  t:  per  poteftates 
binarii  diuiiarum  :  quarum  valores  etii  (iitis  commode  ex 
iege  data  definiri  poflunt ,  tamen  alia  lex  poteft  exhiberi, 
quae  magis  ad  calculum  videtur  expedita.  Confidero  lci- 
licet  feriem  A  +  B  ;s  -4-  C  ;q;*  -f-  D  s'  +' E  ^*  -|-  etc. 
cuius  fumma  ,  quae  tantisper  defignetur  littera  s ,  eft  per 
§•  S.  ==  i5it:if ,  ob  j/  =  I.  Qiiod  fi  igitur  ex  hac  ae- 
quatione  s  zn.  '!!^4a^  ^^^^^  ipfi"s  s  in  ferie  exprimatur  ^ 
quae  iecundum  potelbtes  ipfius  z  progrediatur ,  prodire  de- 
bebit  ipfa  feries  A-f-B5;-+-C;s*-4-D.cj'-4-  etc.  NuUa . 
enim  alia  feries  fimilis  formae  puta  P  -h  Q_^  -h  R  s*  -|-  S  .s* 
H- etc.  aiTignari  poteft  aequalis  illi  A  -f-  B5; -f- Cs* 
-H  D5;3  -f-  etc  quin  fimul  coefficientes  poteftatum  z  con» 
gruant ,  fitque  P  =z  A  ;  Q.=:  B  ;  R  zz:  C  ;  S  =  D,  etc. 
At  vero  exprimit  \Ljuil^  tangentem  arcus  J  -}-  S  feu  erit 
s  —  tang'  A  { J  -h  f )  et  hancobrem  conuertendo  J  -h  5 
=  A  tang.  i  =  /  rzjin  fumtisque  diiferentialibus  ob  J  con- 
.ftans  feu  arcum  45  graduum,  habebitur  "^^==7::^  iiue 
dz-^  ssdzzzz  ^ds.  Nunc  ponatur  szzA-\-Bz-\-Cz 
^-D;:'-4-Es*-i-etc.  erit 

H  3  ^ds 


6±  DE  SERIEBVS  QVlBFSnJM  CONSIDERAT. 

~  =  2B-H4C  z-h^Dz*-^  8  Ez'  4-  loYz"  -+-  etc. 
j  j=z  A*-\-2ABz-^2ACz"-{-2ADz'-i-  2AE2*  -j-  etc. 
1=^1  ^  B*  5*  4- sBC^'  4-  2BD5:*  -4-  etc. 

4-  C   xs    -f.  etc. 

Comparatis  nunc  terminis  homogeneis  inter  fe  Yalores 
litterariim  ita  definiantur  ,  \t  coefficientes  fingularum  po- 
teftatum  ipfius  z  euaneicant  ^  atque  (equentes  litterarum 
A  ,  B  ,  C  ,  D  ,  E  ,  etc.  obtinebuntur  determinationes , 
exiftente  yt  iam  inuenimus  A  =::  i , 

A  =  I 


Q      gAB 

T)     gAC-h.B« 

T7    8AD-+-2BC 

XL«    g 

•p    . aAE-HiBD-f-C* 

I  ■*■      ■  10 

Q    gAF-+-2BE>+-^CD 

etc. 
•Atque  hinc  eaedem  prorfus  determinationes  litterarum  A, 
B ,  C  ,  D  etc.  prodibunt ,  quas  altera  lex  fupra  data  $. 
.10  fuppeditat. 

§.  12.  Cum  denominatores  fradlionum  ,  quibus  lit- 
terae  A,  B,  C,  D,  etc.  aequales  funt  inuentae  ,  fatis  re- 
gulariter  progrediantur  ,  poteft  hinc  peculiaris  regula  ad  in- 
veniendos  numeratores  reperiri ;  Ponamus  enim 

A=: 


DE  SERIEBrS  QVIBVSBAM  COnSIDERAT.   H.. 


A  =  « 

F 

B  =! 

G 

c  =^, 

H 

Ti  =  &. 

I 

E   —   r^. 

K 

I.2.3.4.S 


I.2.3...»9 


etc. 


eritque  fac^is  (libflitutionibus  haec  lex 


«  zz  I 

5  zz:  ay-l-S* 


1.3.  S    '  • 


)c  zii  a  2  H- 8  g  ^ -^- i:i  Y  >1  + 'iS  ^  < -H  Vir/ •  ^*- 
Lex  haec   perfpicua   eft ,  fi  hoc   modo  notetur ,  quoties 
poftremus  terminus  fit  quadratum ,  eum  infuper  per  bina^ 
rium  diuidi  debere. 

§.  13.  Confideremus   nunc  hanc  (eriem  : 
Az-i-Bz*  -^Gz^-^Dz^-^-Ez'  -{-  etc. 

cuius  fummam  conftat  efie  :=z  fS^  >    ac    ponatur 

z  iz:^,  erit^^ — r^T^-k  = 

^i.a/,-4-^r/.2/+?.^2p"4-^*.a/-H  etc. 

TT  cnf  A  ^ 
^'"  4-4>.A.^   -  1^-^— '^\*-+^s--^etc. 

Quodfi  ergo  loco  Cngulorum  terminorum  fubftituantur  fe- 

ries 


€^  DE    SIRIEBFS  QFIBVSDAM    CONSIDERAT, 

nes  ex  §.    lo   prodibit  —jj^^^  = 

-\-  p'  -  f,-f-f:+f,  +  f  -etc. 

-^  P*4-i:-f-f:+?:^-i:~i-etc. 

etc. 
Omnes  autem  hae  feries  deorfum  additae  abeiint  in  hanc; 

TT  6-9/".  A'  .  ^ 

cuius  adeo  furnma  efl:  ni — ;— ^- 

4.-4//;/.  A.^ 

§.  1^4-.  Plures  huius  generis  feries  fummabiles  deri- 
vare  licebit  ex  §.  9.  ferie  fub  finem  expofita.  Ponamus 
a^  b  zz.  m  :  et  habebimus  hanc 

cuius  fumma  erit  zn  ^r/^'X~'^~^  ob  cof.  A.oix-zzi 

tt  fm.  A.OTizz  I.     Quamobrem  habebitur  ,  fi  per   2  m 
dinidatur 

I  T  y  « »    ^j    ^  ^    - .^        pf-/» 

na-.;7l«  47l2  — 'U«    ""»    "    p?l*— m*  I67i*— 771*    "T^    25'**--'^* 

-^.     Ponamus  porro  azzi  —  m  et 


2  7nnjin,  A  .  ''.jp 

/•      »  T^TT 


^  iz:  -i-  ;;;  ,  ac  proueniet 

njin.  Pi.  .  ~ 

ieu 


«y/;^  A  .  ~ 

«  ^"        1        *^  t        ^^         i_ =^!? -    I        -"" L.    ^cr 


DE  SERIEB.  QnWSD.  CONSWERAT.   «j 

fcu  fe(fla  diuifione  per  2  w,  erit  ^ !^^^_-:_^-- 

'^  2mnjjn.A  .  2^ 

Quoties  itaque  euenit  \t  cqf.  Pl  ,^  euanefcat ,  toties  fe- 
riei  fumma  algebraice  erit  aflTignabiiis- quippe  zz  ~i. 
Fit  autem  hoc  ,  fifuerit^^i^  feu  m:=z.2i  -i--  i  ,et 
»  =  2  vnde  erit : 

1  1  X  t I  ^ t  *  gf/» 

•(2/-+-i)»  4-(2?H-0'  "T~  l6-(  2  ZH-i)*  ~T~  36-(2Z-+.l)*  ~T'  64-(iZ-+-.)*     '^"'^' 

Ex    quo    fequens  oritur   propofitio  paradoxa  :  efle  lcilicet 

quoties  fiierit  p  numerus  quadratus  integer  et   impar. 

§.     1 5 .    Ponamus    «  iz:  i  ,    atque  m  ^  p  ^    erit 

-JL.      .     _£_      .      .i ,         I  ,         «  ,     p^^    —  1  ^-^-^JI^ 

quae  feries  fj  addantur  iequitur  fbre  : 

-JL_     .      -1_  _4 «_      ,       ^^^     —   7rVp/m.'uA.'ffVj> 

,— p  ^^  s — P     "^  as — P     ^"  ^f/mA-TrVi^ 

at  ^\   eaedem    a    fe    inuicem    fubtraliantiir  ;    erit 

JL.  .1«  -I_      ,      _L_      .       ^fr     —   I  _  'ffVP(--4-gqf.A.^V/>L 

4 p       '       16 f       '       36— p       »"     '''•^*      2p  4P/W-  A-TTVP 

^'-     ^^^  /m.ATTVp    Cang.  A.     ,       et      jmkn^  COl.A.    ^ 

ex  quo  fummae  pofteriores  fimpliciores  reddentur. 

§.  i6,  Poflumus  itaque  hinc  fiimmare  fequentes  (eries 
t:^P  ±  ^ip  +  ;:i^  ±  ^Tip  -4-  etc.  fi  quidem  />  fignifi- 
cet  numerum  affirmatiuum  quemcunque.  At  fi  loco  p 
fubftituatur  numerus  negatiuus  puta  —  q  ,  tum  fiunt  tam 
finus  et  cofinus,  quam  ipfi  arcus  nW p  feu  TrV  — ^  quan- 
titates  imaginariae.  Cum  autem  fummae  ferierum  nihilo 
lom.  Xll.  \  minus 


66    DE  SERIEB.  OFIBFSD.  CONSIDERAT. 

ininus  maiieant  reales  et  finitae  ,    imaginaria   fefe    deftru- 
ent.     Qiiamobrem  iniieftigari  conueniet ,  cuiusmodi    quan- 

titates  reales  in  his  formis  j^7l:^  et  ^j^"^,^  contine- 
antur.  Ad  hoc  ponamus  uzzzjj^^^^—^  cntquQ  Jin.  A.ttV 
—  qzn  ^-^—  et  TT  V — ^ = AJin .  -  jp'^  j  fumantur  differentia- 
lia  pofitis  7r  et  ^^  variabilibus ,  habebitur  diz  zz  i^^^.  Po- 
natur  f^zziTr^' ,  prodibit  ^7:==:  ^y~^^)  et  tt  =  ^^ 
l^^t±^,     Hincerit  e^^^^c^  n;^—V  q-hVi^^^vv)  et 

V  zz:  -;^j— —  atque«  — -7:^-7,— — .  Conftans  autem  <^-  ita 

debet  eife  comparata  \t  fa^flo  7rz=  o  fiat  icizi  ex  quo  fit  czzi 
^                               irV-q               ^^'"'^'^izVq 
Quamobrem  erit  7 — r — -} —  =    — -=77 .Similimodo 

ponatur  ^—^=73^  =  ?  erit  vV-q—tang.k.V-qti  mV 
— -^—  A tang.  vV  —  q^c  difFerentiando  ^tt  —  -::lj^,^.  Inte. 
greturdenuo,  erit  7r~ -^y^  / 1~^  et  ^''^v^i  — ^^^v^^yV^— 

i-h^i^y^,  vnde  fit  '^^^p^Trj^TTjy-  ^^"^"^ 
7rV~^  (^^^^^-^-f-ijTrV^ 


§.  17.  Nadi  igitur  fumus  odo  fequentes  feries ,  qua- 
rum  iiimmae  affignari'  pofiunt ,  quas  cum  fummis  confpe- 
£lui  exponemus 

a— i>    _  +— ^--T-^— ;^  "T  ,6~p-r    J5_p        ^'-'- ipjjn.  AttVP     jp 


ctc. 


3 — ?    •"  4 — />  "•    i — 1^    *"  i^ — p    '"  2  5 — p    ^    "*''"  —  ip        ^ptang-A-TX-^p 

H 


DE  SERIEB.  QFIBVSD.  CONSIDERAT.      6-j 


4--P  "T~"  1 6—'-p     i^  3  6— -p     *" 


etc. 


TtVP 


f+'q 


«-M 


iH-2 


44-2  "4^  5-+-a         1  <5-f-3  ~i-"  CtC .  «__  ^^ 


(^*^^'^-i)^ 


4-+^ 


<?-+-9 


i6-+-g 


etc.iz: 


__  (^^^^^^H-i^ttV^ 


I 


'.{e^^^-i-i)q       ,»« 


j;-+-?^^2S-H[ 


+ 


s-K 


+  etc. 


_(g'^^'^-i)7ry^ 


-1— _i ^»— 


f;if^-l-etc.=: 


S 


§.    i8.   Cum  fupra   legem  exhibuerim  ,  qua  fummae 
poteflatum  omnium  terminorum  huius  feriei 


I   — 


—  etc. 


progrediuntur  ,  iuueftigabo  nunc  legem  ,  quam  poteftates 
impares  tantum  inter  fe  tenent  ,  quo  hae  (ummae  finc 
cognitione  parium ,  quousque  libuerit ,  continuari  poflint  ^  iit 
itaque 


3"» 

h 


f  -1-  -4-1  -etc. 
|5  —  |j  -4-  is  —  etc. 

15  —  {s  -{—  Is  —  etc. 
h  —  j7  -i-  i?  -  etc. 


S9 


-h|p~etc.  zr 
etc. 


=:  A  TT 
=:B  TT^ 
=:C7r* 
zzDtt' 

E  tt' 


atque  inueftiganda  erit  lex  ,  qua  coefficientes  A,  B,  C,  D 
etc.  progrediuntur.  Huoc  in  finem  confidero  hanc  feriem 
ATTS-l-BTrV-i-CTrV -f-DTrV -1- etc.  cuius  fum- 
ma  fit  z^  s  \  erit  ergo  his  leriebus  per  relpondentes  po- 
teftates  ipfius  z  multipUcatis  refpediue ; 


v 


*8     DE  SERIEB.  ^IEVSD.  CONSIDERAT. 

^»    —    i-z»  s— a«    ""•"     «j-»«    ~"    4p_aa       -|-       CtC.        Ct 

»  —  I-»  "^  !-♦-»        3-»        3_f-2   -t-'  s^a  -H  j^»  etc. 
Cum  autem  ex  §.  p.  fit  —7 — ~~,ii 


n  lin.  A .  ^P-^^)^  _  ;| lin. A/-^^ — 

4j  "T~  1 — b  ""  n-f-S   "~  271 — a    "  1      2n-^a  ■«      sn — b  "~  TnH-6  ^'^* 

fiat  <?—  I— ^;  «z=2;  et  ^zzi  — ^  j  atque  haec  feries 
tranfibit  in  illam  ;  ex  quo  prodibit 


r  —  2  fm.  A  .i:^:^  et  j  =:  4  fjn.  a  .^1=^    fiue    j  r= 


4 


4  cof  A  .-^        -^r^  -f-  — —  -     ,.,3.,.,.,...  +etc. 
quae  fradio  cum  ,  fi  adu  diuidatur ,   ipfam  aflumtam  (e- 
riem   Atzz  h-  Btt'^'  4-  C7i*.s'  «4-  etc.  reproducere 
debeat  >  erit : 
A  =  | 

C  —  ~  —  -^- 

a.  4  3.4.«.» 

^    D  =:  ^  -    ^ l-  _* — 

a.4  2-4.*.  8.         •        3.4.*8.IO.I» 

"C  JD^   C ^i B ^  A 

*^  ""^  3.4  3.4.0.8.         I       3.4.6.8. 10.12  3.4.S<.<.  8S 

etc. 
§  19.    Vel  fi  ponatur : 
3t  ~  I  +  I  -  f  +  etc    zz:  ^? 
i-^  +  ^~^-l-etc.-^' 
i~f.  +  ^-^4-etc.-^^ 
»-i'-l-^-;'-^etc.=::^J- 
etc. 

coefB- 


DE  SESIEB.  QVmVSD.  CDNSIDERyfT.    69 

coefGcientes  A,B,  C,  etc.    haac   tenebutx   legem  : 
A=i 
B—  * 


"^ 

_— 

t.T 

c 


- 

A 

D 


I.  2 

— 

B__ 

-Hr 

A 

2... 

T«r 

E 

— 

D 

C 

.  +  , 

B 

.2,... 

"6 

A 

I  2.. 

I  .3 

1.2.3.4 

7f 

Qiiodfi  auteiTi  illae  feries  retro  continuentur ,  vt  ad  pote- 
ftates  affirmatiuas  deueniatur ,  erunt  omnium  illarum  ierie- 
rum  fummae  zz:  o  ;  ita  vt  etiamfi  in  his  formis  vlterius 
progrederemur ,  tamen  alii  valores  non  prodituri  eflent. 
Eft  fcilicet 

I-3W-5    -7  -^-p-etc.  =  0 

i-3'-4-5'-7'-l-9'-etc.  — o 

i-3*-H5'-7'H-9'-etc.i=:o 

I -3^-1- 5^-7^-^-9^- etc.  —  o 

§,  20.  Quemadmodum  autem  fummae  poteftatum  im- 
parium  peculiarem  inter  fe  tenent  progreirionis  legem  ,  ita 
etiam  poteftates  pares  fimili  proprietate  gaudent,  vt  omnes 
ex  le  ipfis  fine  (ubfidio  poteftatum  imparium  definiri  queant. 
Quam  legem  vt  eruamus,  fimUi  vtamur  operatione.  Sit  igitur 

.-f-i*4-^-f-  etc.  —  Att' 

♦  -I-i*-|-|*^-  etc.  ^zBtt* 

«-i-7«-H|6-H  etc.  zirCTr' 

.-Hy.-M.-l-etc.  —Dtt' 
ac  inueftigetur    fiimma  huius  (eriei : 
A  -K  z  -}- B  TT*  5;*  +  C  tt'  2*^  -i-  D  tt'  z'  H-  etc  —  /^ 
erit  i  —  ,-1:^  -H  p^  +  ^-^  -4-  ^^  ^  €tc,  vnde  ex 
I  3  t  17- 


1-4-^«-+- 


7Q     DE  SERIEB.  QVIBFSD.  CONSIDERJT. 

§.    17.   fiet    j  1=  ■  .'^'^  — ;     fiue    per    feriem 


I  -— 7:1:1^ "^" 7:^77:^  ~  i-zz..-s-6z<i  -t-  etc. 

ex  qiia  diuifione    cum  ipfa    leries    afllimta  oriri  debeat\ 
erit 

"  2.4.  2.4ff.4- 

r; . —  B^  _  _A 1    _, 

■          2.+             2.+.(5.8         '  2.4.(5.8. 10.4. 

C  B  1  A  T 


D=:£:- 


2.4  2.4.(5.8        •        2.4.  6...  12  2. 4.  ...X4'* 

etc. 
§.   21.  Lex  haec  facilius  inlpicietiir  ,  (i  ponatiir 

H-  ^z  +  |2  -4-  f*  -I-  etc.  z=:  A  ?.' 
I  -f-l*  +  14  -f-l*  +  etc.  =  B  ^: 
I  4-1«  -4-  ^<s  H-  1«  +  etc.  rn  C  ^, 
I  -4-  |.  -i-  1«  +  78  +  etc.  D  S 

ctc. 
Hic  enim  coefficientes  A  ,  B ,  C  etc.  fequentem  tenebunt 
progreflionem  : 
A=i:  I 

C  —  ^ ^ !-  -'  "... 

^  —  12     1.2.3.4    '    1.2,3.45 

Diz:-^-  ^-{--^ 1 

*^  " —   I.a  1.2.3.+    .    •        I.2.3.1.3'6  1.2...,  7 

etc. 
Qiiodfi  ergo  fingatur  (eries  haec  :  j  =r 
Az-}-Bz'  -i-Cz'  -^B  z'  ^  Ez'  ^h-    etc.  erit 


o;  _    ~-_   -4-  -^i ^ L^  etc 

'^  1.2-5  '  1.2.3.4.5  1.2... .7  I  VLV-. 


atque 


m  SERIEB.  QVIBVSD.  CONSIDERJT.     71 

atque  hinc  s  zr  tang  A.  z ,  feu  z  :iz  tang.  s.  Habebi- 
mus  ergo  d  z  zz  ;— ^  et  dz~\~ssclzz=:ds 
cui      aequationi      cum      fiitisfacere      debeat      valor      hic 

szziAz-^-Bz"  -{-Cz'  -h  Dz'  -\-Ez'  -i-  etc. 
fubftituantur  valores  loco  d  s  et  s  s  ,  eritque 

^,  _  A  +  3B  g'  -4-  5  C  g'  -h  7  D  ^'  -+-  9  E_g^-f  ctc. 
^^'  ZI  -+-  A^-s'  H-  -  Abz^-h  2  AC^'h-  2  AUs  4-  etc. 
{'Z  I  -+-    B^^^+^BC^^+etc. 

Hinc  itaque  formatis  aequationibus  aliae  fequentes  prodi- 
bunt  determinationes  litteraAim  A  ,  E  ,  C ,  D  ,  etc, 

A=i:i 

B  —  f 

Q  2_AB 

7  . 

E  —  2AD-4-BC 

p  2AE-4-  bd-hc* 

li 

etc. 

f   22.  Ab  his  feri-ebus   potestatum   parkim   pendent 
fiimmae  ferierum  fub  hac  forraa    generaii    contentarum 
I        I  I  I 

i+-n4-^  +  -,  +  ^+  etc. 

denotante  n  numerum  parem.      Quodfi  enim  fuerit 

.       ^  ■+-  7^  -+-^  +  7  -+-  ^  +  etc.  n:  N  7r« 
I  I  I  I  2^  N  tt" 

vnde  omnium  harum  ferierum   dummodo    fit  «  numerus 

par, 


72     DE  SERIEB.  QVIBFSD,  CONSIDERJT, 

par,  fummae  per  quadratiiram  circiili  poterunt  inueniri  p 
atque  ex  iam  inuentis  fummis  fimiiium  poteftatum  pari- 
um  pro  numeris  imparibus  (olis.  Veriim  \t  hae  fummae 
direde  inueniri  queant ,  in  legem  peculiarem  qua  iftae 
iiimmae  progrediuntur ,  inquiramus.     Sit  itaque 


etc.  zz  A  TT* 

♦  -f-  etc.  iz:  B  TT* 

«  -f-  etc  =:  C  TT* 

,  -H  etc.  =:  D  71* 


etc- 
«c  contemplabor  hanc  feriem  :  j  ^    * 

quae  fubftitutis    loco    A  tt*  ,  B  7r*  ,    C  ti*  ,    etc.    leriebus 
quas  denotant ,   additisque   terminis   homologis  ,    prodibit 

.   ZX  ZZ_  ZZ  ZZ Z7i  . 

«»  —  j-az  "*      4-»«  *«     9-»a  "T^  16-2»     •"  ii-zz     t"  ^^^* 

quae  feries   per  §.    17.    fummata    dat    j  —  |  ~  1^^^:^ 
vel  fi  tangens  arcus  7r  5;   per  feriem  exprimatur : 

I  ^  ?li^  _+_  '"*^L.  —  "^*^! L.  etc 

1»— ~     t     _„     I        Ij.    2  '  1.2.  3.4  1.23.  4- -.ff  "^     '-*-^* 


■^       rT:^      •    I.2.3.*.-.      1.2..., 7  ^  "^* 

m^z*  27r*    ♦        I       j-rr*  x«    _   +11»  z»         i_    g^^ 


1.2^3 1.2.3.+.5      '       1.  •.■•7 I.  2. .  ■  9 


1.2.3. 4.S  1.2.  ..7      '       i.a...9  tiH,. 


qua  exprelfione  euoluta  ,  cum  ipfam  (eriem  afliimtam 
A  TT*  js*  -i-  B  TT*  5;*  -H  C  TT*  2*  -h  D  7r"  5;'  -{-  etc.  prae- 
bere  debeat ,  fequentur  hae  coefficientium  determinationes 


A  2 


I.2.S  I.  2  3.  4.  5 

C  B.    —  J^ L.    ll. 

1.2.3         1.2.3.4.5      '      I.  *. 
T^  -—  JC B  L_     A 


I.  ft3>4.S       '       i.a....7  i.a.  .^» 

etc.  f  1%' 


VE  SERIEB.  QJIBFSD.  CONSimRAT     73 

§.  23.  At  pro  iisdem  his  coefficientibr.s  alia  lex  pro- 
greifionis  poteft  exhiberi  ,  cuiiis  ope  eos  inulto  expedi- 
tius  reperire  licebit.  Cum  enim  fit  j  rz  i  -  ~|— x^ 
erit  tang.  A.  tt  .c;  — -—^  et  tt  .c;  zz  A  tang.  ^  ;  pona- 
tur  7r  .2  z=:  M  ,  erit  u  zzz  A  tang.   ~      et      difTerentiando 

d  u  zzz -~-s.-;:fB^u  ^el  uudu-^  ^s  s  dw^z  s  t^u-\-> 
^  u  d  s  \  cui  acquationi  (atisfacit  valor  hic  sznku*^ 
B  f^*  -i-  C  &*  -i-  D  i<*  -h  E  ^'°  H-  etc.  quo  lubllituto 
fiet 

U  U  —  UU 

/^ss:^:.      ^A*«*-f-'8ABz<*H-.8AC7/-i-8AD«'°-f8AFw" 

^^B'  tt  ^-4-8  BC«''-f  miu* 

-\-4r^-     U 

a  j:=:2Az^*-i-2Btt*-i-2  C»'-K   D/^-f-z  £/^'^^2  ?«'• 

^^'zn  4A2/*-f-  8Bz^*+i2G.M-i<5Dz.^H-2oE«'°4-24F«'' 

"vnde  fequentes  coniequuntnr  determinationes : 

Azzij 

B  zz:^* 

p  —  4AB 

D  zn  i^X-hill 


( I 

F  Zi:  4AF-4-'BD-4-2C*- 

*"  13 

G   4A^-t-   BE-4-4CD 

jj  __  4 AG-t-  .B  -f-XE-t-2D* 

etc. 


§.  24.  Ipfie  autem  huius^iodi  ferierum  fiimroae,  quo- 
vsque-  quidem  eas  fupputaui  ,  fequentes  funt  : 

i^-U-l-|.4--;*-4-^-|-etc.  =  777-  .  5  TT* 
1 -4- U-i- 14-1-^4-1. 4- etc.zz—f^r:—  .  'tt* 
I -^  U -f- ^5 -h^6  4- .'.  +  etc.  =:  pT^^TT-r  .  i  TT^ 
I  4-^4-1* -l-i.-M.-i-etc. —  77;^  .  J,7r' 

T^w.  XII.  K  1-4- 


7+    DE  SERIEB.  QVIBfSD.  C0NSIDER.4T. 


,9 


-4-5'o4-?to-H-lioH-^o-^etc.z=7:7-— .ITT^' 


,>  +  etc.— ,.,.....,,  JgiTT'* 


-M-H-l«*-^*'*4-i'*+etc.— rr—  •  r  t: 


,»5 


3617  _'• 


-4-|.6  +  |u-f-^'»4-s'i«+etc.iz:r:i7r—  •-ir-'?^ 


17 


4Zil67  _«• 


-MM--i-^.4-i'.+|..+etc.i=r7-T:T7  •-rr-^ 


ip 


«22277  _*• 


+  I.o4-|*o  +  ^o4-|»o+etc.  — ,— -77  .  Tff^TT 
4-|«-+-l"-i-J"4-|"+etc.z3:  ,-7:^'—  •  "-^tt" 
+  Ia*  +  l»*  +  -;»*  +  ^«*  +  etc.==:;-77.^  .  'iiiifiiiTt** 
In  his  exprefllonibus  fradlionum  mediarum  tantum  lex 
non  eft  manifefta  ,  reliquac  partes  vero  perfpicue  progre- 
diuntur.  Cum  autem  iftas  fradiones  medias  §  ,  ^  ,  ^ ,  t'i , 
$  etc.  attentius  eflem  contemplatus ,  easdem  deprehendi 
occurrere  in  expreflione  generali  ,  quam  olim  tradidi  pro 
fiimma  cuiuscunque  leriei  ex  dato  termino  generali  inue- 
nienda  ,  ita  vt  alterius  expreffionis  ope  altera  poflat  coniici. 

f.  25.  Operac  pretium  igitur  erit  in  confendim  ha- 
fum  duarum  expreffionum  inter  (e  tantopere  diuerlarum 
diligentius  inquirere.  Altera  quidem  expreffio  quam  pro 
fummatione  ferierum  dedi ,  ita  fe  habet :  fi  feriei  cuius- 
cunque  termimis  generalis ,  (eu  is  qui  refpondet  exponenti 
indefinito  numerico  x  fuerit  m  X  ;  et  fiimma  feriei  a  ter- 
inino  primo  vsque  ad  hunc  X  inclufuie  ponatur  :^  S, 
erit  S  =z 

df^c -g^^x  sd9x  

"    •    ^     I.2.;.4.5.6    7.6dX^  1-2.3'  .   •  9'  « "^  dx'         •        IZ-    .  •  •  1i.   6  dx* 

^  <?P'd"X idll^ __  z6l7d*^X 


DE  SERIEB.  QJ^FSD.  CONSIDERAT.    71 

in  qua  exprellione  apparet  easdem  oinnlno  fnKfllones  irre- 
gulares  | ,  r  ,  5,  /5  ,  I ,  etc.  ineffe  ,  quae  ante  in  expreHio- 
nibus  furnmarum  occurrerunt ,  hoc  tantum  difcrimine , 
quod  hic  figna  habeant  alternantia  ,  cum  ibi  omnia  figno 
-I-  elTent  afre;5?:ae.  Atque  hic  ipfe  confenlus  mihi  hanc 
praeftitit  vtilitatem  ,  \t  iftam  generalem  fummae  S  ex* 
pieftionem  eousque  continuare  potuerim  ,  cum  hoc  per 
eam  legem  ,  quae  tum  temporis  mihi  pro  iftonim  ter- 
niinorum  progrelTione  inuenta  erat,  fme  multo  maiore 
laborc  praeftare  non  potuiftem. 

i,  z6.  Tametfi  autem  haec  tanti  confenfiis  mera  ob* 
(eruatio  fufficere  poftet ,  ad  confenfum  in  (equentibus  ter^ 
minis ,  qui  nondum  conftant ,  euincendum  ,  tamen  praefta- 
bit  ex  ip{a  rei  natura  eandem  conuenientiam  eruere ,  vt 
ea  non  cafu ,  fed  neceifirio  accidifle  intelligatur.  Hanc 
vero  pofteriorem  expreftionem  fequenti  modo  fum  aflecu- 
tus.  Cum  S  denotet  fummam  tot  terminonim  in  ferie  qua* 
cunqiie  ,  qupt  vnitates  continentur  in  exponente  x ,  vlti- 
miisque  horum  terminorum  fit  —  X:  manifeftum  eft,  fi  in 
S  ponatur  x  —  1  loco  x  ,  tum  prodire  debere  fummam 
ean.iem  S  vltimo  termino  minutam  ,  feu  S-X.  At  poii- 
to  x  —  i   loco  X  quantitas  S  abibit  in  hanc  :   - 

quae  propterea  aequalis  eft  ipfi  S  —  X  ;  vnde  habetur  haec 
aeqaatio : 

K  2  Vl 


^6     DE  SERIEB.  QVIBFSD.  CONSIDERJT. 

Vt  nunc  ex    hac    aequatione  S  in  X  exprimatur ,  acciplo 
lianc  aequiitioiiem  : 

SzizfXdx-hctX-h  1^'+'  dx^  -^  dx^-  -+-  etc. 
xuius  in  illa  ^i^a  fubftitutione  habebitur 

-^ ^    ,       aix:    ,    tddX         yd^         Sd^X      ' 

^  A-t-  d^-t-      d^»       "T-       ti^5      -+-     d;^  + 

dX     ___     gidX   __     gJ^X  7d^:g 

*~     i-siw  i-d**  i.aia'  iiox* 

«.        d^X  .   otd-»X  _ 

,      dsx 

-T-     ,.,.3.4.idxf 

f  27.  Ex  hac  aequalitate  nafcuntur  fequentes  CoefS* 
cientium  a  ^  S ,  y  ,  ^ ,  etc.  determinationes. 


1.2  l.;.5 

je_ «_   . 

jr     le  2  1.2.J  *» 


^'  1.2  H2»Z        •       1.2.3«^  1.:..  ..5 

3"  y      ,       e  g 


etc. 
atque  ex  formulis  tum  temporis  valores  hamm  litterarum 
definiui ,   idque  multo  labore.     Neque ,  quod  hic  euenit , 
aliter  nifi  fola  obferuatione  cognoui  valores  alternos  y ,  e ,  >!  , 
etc.  euanelcere.     At  ex  principiis  nunc  ftabilitis  idem   lu- 
culenter  oftendi  poterit ,  fi  aha  huius  progreffionis  lex  in- 
Yeftigetur.     Confidero  ad  hoc  iftam  feriem  : 
S-iTzi-^-ciz-^^z^^yZ^-^-^z^-i-  $  z^-^  etc. 
chtque  ex  praecedente  coefficientium  lege  ; 


T)E  SERIEB.  QFIBFSD.  CONSIDERJT,   77 

s^ ^        _. 

I  -  -^-i-  -"^  -  —-hr^ etc. 

*  l^Z       *       I.2.J!  1.2.3. ♦       '        l.^.3.4.i 

qnae  aequatio  abit  inhancjin  •  __  _^reuir=-^.  Hinc 

Critur    e^s  —  szize^z  et  e^=^  atque  zz^ls~l[S'-z)» 
DifFerentiando  autem  habebitur  dzzz.-g   —  /^^  fiue 

cui  aequationi  fatisfacere  debet  valor  aflumtus 
Sz:zi-\-(XZ-\-^z^'^yz^'^^z*+tz''  -^-  etC* 
fubftituatur  itaque  hic  valor  in  hac  aequationa 

|~  — j- J5J-4- j  jzzo 
atque  obtinebitur  i 

— j5;3=:  —     z  —    OLZ    ■-'     JS<3*   —    Y^*  —  ^2* 

4-/—     I   +2c<2-H2g^*-H2ys*H^2^x;*H~2£;s* 

•4-    a*   -j- 2  a  5  H-2ay -f- ^«(J' 

-h    r   -^2gy 
Hinc  igitur  colligltur  fore  i 


a  — 

i 

e  = 

a— a* 

v  = 

♦ 

^  zz: 

7— 2a7— €€ 

K  = 

y— 2a5-— 4€7 

6 

£_4ae— 265-— <VV 

7 

•Jl  zz 

^— la^— »66— ,7^ 

K  3 

§.  ^s. 


•75     DEJSERIEB,  QVIBVSD.  COmDERJT 

§.   28.  Cum  igitiir  fit  a~i  erit  i  — sairo,   qui 
valor  cum  in  omaibus  terminis  fcqucntibus  occurrit,ciit : 


b  —  f« 

y  ziz  o 

s 

£   zi:  - 

2?y— •yy 

7 
lg£-~47y 

8 
2g^~27S- 

-y» 


9 

etc. 
cum  nunc  fit  ymo,  peripicuum  e{l^f(>re  ctiam  ezro , 
hincque  porro  -v^  — o,  izzo  ,  crc.  itn  vt  omnes  termini 
aiterni  incipiendo  ab  y  fint  zr  o  ,id  quod  ex  praecedente  Icge 
tantum  per  obferuationes  patebat,  nunc  vcro  id  neceffirio 
euenire  debere  inteliigitur.  Hinc  ergo  manente  azzi  erit 
vt  fequitur 

e  =  A 

^  =  -1* 
<  =  -^* 

6    —  — ^e^:-^? 


K  ZZ 

II 

>d    fl 

ergo  ponatur  S  r 

.,  Kz: 

-  S» ,  etc. 

ita  vt  fit 

Cd«X 

P^?X 

p.PX 

»5U-tS 

.'^:c7   • 

r  »s,^y 

Trr^  -4-  etc.  tenebiint  coeffi* 

gentes  A,  B,  C,  D,  etc;  hanc  legem 

Azr 


JDE  SERIEB.  QVIBVSD.  COKSiqERAT.     -79 


A  =:  J 
B   in  2^ 

17     4.AP-f-  +  EC 

13 

n    4A^-f-  +  BE-4-*CD 

ctc. 

Obtinent  ergo  litterae  A,  B,  C,  D,  etc.  eos  ipfos  va- 
lores ,  qiios  ipfis  fupra  in  §.  §..  22  et  23  tribmmus. 
Atque  hinc  de  conlenfu  coefficientium  in  his  expreffioni- 
bus  maxime  diuerfis  plene  flimmus  ccrti ,  neque  eum  cafui 
amplius  ad(cribere  conueniet. 

§.  2p.  Quanquam  aut^m    hoc   modo    fatis    expedite 

fummam  huius  feriei  i  H-   ~-|-~-f-— -f^  —4-  etc. 

-  3  4  5 

adignare  vnlemus,  fi  n  efi:  numerus  par   ,   'tamen  cx    his 
iisdem    principiis  niliil    omnino    concludere    poffumus    ad 
fummas  Tnueniendas,  fi  n  fit  numerus  impar.      Videii  qui- 
dem  pofiet ,  etiam  has  feries  a  quadratura  circuli   ita  pea- 
dere  ,  vt  fumma  earum  fit  =:  N  tt  "  cafibus  fcilicet    quo- 
que,  quibus  eft  n  "numerus  impar  :  verum  fi  has   iiimmas 
adtu  per  approximationcs  fumamus ,  videbimus   coefficien- 
tem  N  non  fieri  numerum  rationalem,  nifi  fit  n  nunaerus 
par,  id  quod  ex  hac  tabella  clarius  eluccbit : 
^-hh  -{-b  +  etc.  1=  1,5449  3  40(^(5  zz  "5* 
J  +  ^»  "4-  ^  -H  etc.  -■  i,2Qiio  5  690  3  zr  ^^^^ 
^  -^U  -\-\*  +  etc.  1=1, 082323233  —  ^; 

H-^5  -+-i5  -+-etc.=:i,036927755=,7i^ 

i-i-|«  -h-U  -4-etc.=  1,0173430621=  JL*l 

i-hlr  -4-1.  -f-etc.  zz:  1,00  8  3  493^9  =  »pS'iw 

i  +  at  -hln  Hhetc.^z  1,004077  3 5<Jzr5?'5 


80     DE  SERIEB.  QinBrSD.  CONSIDERAT. 

i-t-U-l-l»  -+-etc.—- 1,002008392=  ■-■",*.,- 


.10 


I  -H  l«o-4-  |.oH-etc.  ==  I5O00994.575  zz: 

I  -4--Jm  +5«.  •+-etc.  =:::  1,000494.188=:,,:;%,, 

X  -\-U2-hh*  H-  etc.  r=  1,00024.60  86—    "^'^ 


Keque  vero  \lla  relatio  inter  fummas.  poteftati^m  inipa- 
rium  cernitur  fimiiis  ei ,  quam  liimmac  poteftatum  pa- 
rium  inter  fe  tencnt,    . 

§.  30.  Videtur  autem  aliquid  circa  fummas  potefta- 
tum  imparium  concludi  pofle,  fi  figna  ponautur  altcfnan- 
tia.  Cum  enim  imparium  poteftatum  prima  i  —  i  H-  | 
—  i  -4-  I  —  etc,  cognitam  habeat  fummam  (cilicet  /  2  v 
valde  Yerifimile  -videtur  ,  etiam  fequentium  poteftatum 
imparium  fummas  a  logarithmo  binarii  pendere,  ac  fortuf- 
fe  infuper  a  quadratura  circuli.  Sed  antequam  hic  aliquid 
concludere  queamus,  inueftigcinu&'  fuirimas  jpoiteftatLim  pari- 
um  :  fttque  ^,   .•:^ 

i-h  +  ^-^H-etc.  =:A7r* 

I— 5*'f-5*-44-HetG.  =:B7i:* 

l-a^-f-5«-^<j-|-  etc.  =:C7r'' 

I  —  |,-i- 5.-^8 -f-etc.zzDTr' 

I— 510-i-f'o-iio-f-etc.  i=:E7r"' 
etc. 
\bi  yalores  litterarum  A,  B,  C,  D  etc.  facile  ex  cogni- 
tis  \aloribus  pro  (eriebus  iisdem  ,  dum  omnes  termini  ac- 
cipiuntur  aftirmatiui ,  concludi  poftiint,  ikd  praeftabit  pecu- 
liarem  legem  pro  his  elicere.  Confidero  itaque  lcquentem 
feriem : 


DE  SERIEB-  QyiBVSH.  CONSIDERAT.      u 

quae  fubftitiitis  ipfis  feriebus  abibit  in  hanc  i 
quae  feries  per  §.  17.  funamata  dabit 


szz 


ajfa.A.TT: 


—  ifiue  finu   expreflb 


j— -1+1-^4— :?^^-  _Z!l^-etc. 

Qiiodfi  nunc  ponatur  terminus  precedens  in  ferie  litterarum  A, 
B ,  C ,  D ,  E ,  etc.  feu  ante  primum  A  exiftens  zz:,  a 
erit 


A  — 1 

^  1.2.7  —  »5 

]3— -A     _      A 

•^              I   ?.S               r.2.3.4.S 

r B      _      A          _l^     A 

^               I.2.S              I,3-3.+-5         *         1.2 f 

r)—    c     _      B            ,.      A 

-.A 

1.2,3              1.2.3.4.5        '        »2 7 

1.2. 

At  valor  ipfius  A  non  eft   mere  alTum^^ius,    fed    reipfa 
lummam  (eriei  praecedentis  exprimit ,  quae  eft 

X  —  i-f-i-.i-4-i  —  i-i-  etc.  =  A  TT®  zz:  I 
ferierum  vero  reliquarum ,  quae  hanc   praccedunt ,   omni- 
um  fummae  funt  =z  o  :  fcilicet 

I  —  2  *  _^_  3*  _  ^*  ^  etc.  m  o. 

I  -  2  *  +  3*  -  4*  -H  etc.  3:  o 

I  ~  2*  H-  3*^  —  4*  4-  etc.  :=:  o 
etc. 

f.  31.  Ex  his  igitur  fequitur  flimmam  cuiusuis  Cc* 
riei  ex  praecedentibus  omnibus  red:e  concludi  pofie  hoc 
modo,  (1  fuerit 


«j       m  SERTES.  QriBVSb.  CONSimRAT. 
I  _  'aj^~i-  3"-*^'—  4"-'  ■+•  etc.  =  e  it"-' 


t  -  a"-*  4-  3""*  ~  4""*  -1-  etc.  =  y  it"-» 

r  I  I 

I  ^  2«-<s  ^-  3"-«^  —  4"-'^  «-f-  etc    =:=  ^  7r  '*°*^ 

©rit  a=z:,^--,l-^5  +  ix7r7'"i^9'^?:i:n^ 
Vt  igitur  funimam  huius  feriei  inueniamus 

I  —  1«  «4- 1^  - 1?  |s  -  rs  -h  etc. 
omnes ,  quae  fecundum  hanc  legem  ipfim  aitatecedunt  con- 
fiderari  oportebit ,  quae    funt  i 

•2  -  h  -f*-  3t  -  b  -+•  etc.  =:  A  TT^ 

i-=>2^-3-4H-"  etc.  =r  I 

s-'2*4-3'~'4'+etc.  r=^. 
eritque  B  rz  A_  ^  ^^  ^  .A—  »=  rl— •+-  etc» 
At  harum  ferierum  omnium    fummae    exhiberi   poffiint  ^ 

€il  enim 

2-1    +  i    -  i    +-  etc,  r=  /  s 
s_^  ^-.3   ^4   =4^  etc.rzir:::^  (i^i«-4-|s+etc.) 
1-2^-4-3'-  4'..-+=  etc.  —  ~z=.-'-^ii+U'^h'hctc.) 
^^^'^^.f^  4^^  etc,=3:iiiz^-^(i+|i+|f  +  €tc.) 
K--s'^3'-'  4  -h  etc.rz°-^r=--^^"^^(i4-J,+^+etc.) 

i 

Atqu» 


m  SERIE3.  QmVSDJM  CONSWEUt  Bg 

Atque  hinc  mt 
A  — ^ 

a  r::  V-  (x  -4-  {»  H-  |.  -4-  1«  ^-  tic. ) 
e  =  ^'^^'(i^U  Hh  |4  -4-  |4  -+-  etc  ) 
V  —  ^'-(i+l.-f-  U-^h-i-  ctc.  ) 
^  ~--|^^(x-^|,4-.|,  4- 1.  ^-  ctc.  ) 

ctc. 

§.  32.  Siimmas  ''antcm  potcnatiim  parrjm  frafli^ 
Bnm ,  quanmi  denominatores  funt  numeri  ioipafes  fu^a 
cxhibuimus.  Sit 

X  -4- 1»  -h  5»  -f- 1«  ^  etc.  =r  P  7t* 

X  H-  |4  -4-  !♦  -f-l*  Hh  ctc.  =r  q?!* 

X  H-  1«  +  1«  -h-  7«  4-  etc.  =:r  R  Tt' 

X  -H  1«  -h  |a  -i-  |.  -4-  ctc,  =S  'n 
Erit  per  §.  21 :  P7t*4-Q.7r*4"R7r*4-S7r*-4-etc.  rr?mngA.| 
At  litterae  ct ,  ^ ,  7  ,  S' ,  etc.  fequentes  obtinebunt    va^ 
lores. 

g=:-^Q.7r* 


^•^-'^Rti* 


etc. 


g_,..x,......s....g^. 


Ex  lege  ergo  progreffionis ,  fi  ponatur 

I  -  i  -f-||  ~  ^  .4-  I  ~  j  -H  etc.  =  A>  r:  /a 
a  -  i*  4- 1»  -  -U  4-  l^-  i,  4-  etc.  ^  B  71" 


H  DE  SERXEBVS  QVIBVSDAM   COKSIDERAT. 

I  --  |5  -f-  i«  -  is  H-  |«-  Is  +  etc.  =r  C  t:' 
I  -  ^7  +  i^  -  i^  +  V-  h  +  etc.  —  D  tt' 
ete. 

Poterimus  hos  coefficientcs  A ,  B  ,  C  ,  D ,   etc.   ita  de- 
terininare  ,  \t  fit : 

A=:^(r::  h-k  -i-i^:  -t-f^:  +"*^-) 

B  =  .4-3  - 1(  ^s -t- ^,  +  ,'5^,  +  etc.  ) 

^    TXi       1.2.3.775     ^   TT    V    2.3. ..7    ^^^    4.5.. .9      ^^    «-7...  II     ^^    '^^^' 

D  —  -^    -^     -4-  ^ — -  r  '"^'    -4-  -2^^^^ h-  etc. 

*^  i.a.5    1.2.3. +.5        '       1.2... .7  TT   \   2.J....9       •       4-5...II        *  *" 

§.  33.  Anteqnam  autem  quicquam  hinc  concludere 
fufcipiamus ,  exemplo  vno  doceamus  regukm  hanc  inuen- 
tam  redte  fe  habere  \  ac  valores  Yeros  litteraram  indc 
prodire.  Sumamus  igitur  primam  formulam,  et  cum  (it 
A  =1  ^  habebitur  ifta  aequatio 

Eft  vero  ad  veros  valores  appropinquando 
/2  11:0,693  I  471  80 

Ptt*  =1,233700550 
Q7r*=z  1,01  4.<^7  803  I 
Rtt^  rr:  i,  001447077 
Stt'  ^=1,000155179 
TTr'"  zr  1 ,0  o o  o  I  7  o  4  I 
Vtt"  =:  I ,  o  o  o  o  o  I  8  8  5 
WTT^^rr:  1,000000209 
Xtt'*  =:  I ,  o  o  o  o  0  o  o  2  3 
Ytt"  zz:  1,000000002 

Sumamus  primum  vnitates  integras ,  pro  Ptt*  ,  Qtt*  etc. 

habe« 


DE  SEBIEBVS  QVIBFSDAM  CONSIDERAT.     8$ 

habebimus  sIt  +  ^r  +  ~  -f-  ~  -H  etc.  cuius  feriei  ium- 
ma   conftcit,  quippe  quae  eft  :iz  i   —  /  2  ieu 

0,306852810 
nuiic  fumamus  eorundem  terminorum   fradiones  annexaS| 
quae  per  refpedliuos  denominatorea  diuifae  dabunt ; 

0,038950091 
0,000733901 

34454 
2155 

155 
12 


0,039720771     addatur  i— /2. 
o,3o<58528i9 

o,  34<^57359o     At  vero  eft  ^i  ^ 

0,34^573590 
Tnde  aequalitas  luculenter  perlpicitur. 

§.  34.  Cum  igitur  certo  nunc  conftet  de  veritate  pro> 
pofitionis  §.32.  aflertae  ,  legem  habemus ,  iecundum  quam 
fummae  (erierunaT^;;^^-^  —  ~  -4-  etc.  denotante  n 
numerum  imparem  quemcunque  progrediuntur.  Veruoi 
quia  ex  obferuatione  tantum  nobis  conftat  efle 

■h-{-h-\-  etc.) 
-h-^-U-^  ^tc.) 
-f.-f-|«-4-  etc.) 
4- ^.+1.-4-'  etc.) 


^^  _!_.  2::^ -U  ?^  _i_  5^ 
«•  5   ~  »  '  4'  5        •"  6-    7     *~8-  o 


/2  = 


4(1 


35  (  I  Hr-?»  -i~i» 


.v( 


510 


etc. 


etc. 


L  3 


operae 


iS  m  SERIEBFS  QTIBVSDAHl  CONSIDr^AT. 

operae  pretintn  erit  in  demonftratiouem  huius  veiiUU  ioy 
quirere.  Ponamus  igitur 

atque  inlUtuantur  fequentes  trartbformationcsJ 

firrz:P7rH-(i7r'H-R7r*^etC, 

Qiiia  haec  vltima  feries  fi  per  tt  mi^tlplicctur ,  ftfnmam 
habet  1  tang.  A.  'J  ,  quae  eifprcffio  locum  habet ,  ctiamfi 
^  quantitas  fit  vaiiabilis,  quemadmodum  hi<;  fofuimus. 
Erit  itaquc 

dd.ms=~-  tang.  A.  1  et  hinc 

4.7cs:::z~^  fdtz  tang.  A.  1  ac  dcmquo 

j=  ^Jdi:Jdi:  tang.  A.  1 

Cuius  aequationis  radix  iam  patet,  qulppc  eft  i  :r-  —-." 

^•35-  Confideremus  primum   formulam    hanc/^-ff 

- J  TT  fin  A.  ?  ,    ^ 

tang.  A.y  quae   abit  in/|,^^  ^-^ — rr-a/cof.A  ?hoc 

vero  integrali  fubftituto  habebimus  jrr:  "^  J~  /cof.  A.  ?. 
Ad  hanc  formulam  integrandam  ponotang.A.^— ^,erit  cofA^ 

=::  vT^hT  et-./cof.A.f  i=:/y( H-f 0=1^1-^-^0 
et  '-^^  =3  ;^  ;  ex  quo  erit  s  ^  ;^  /j^-n  /(i  -l-^O  at^ 
que  ideo  quaeftio  huc  efl:  reduda,  vt  definiatur  integralQ 
jdt^_^_p  tali  adhibita  confiante  vt  integrale  euanefcat  pofi- 
to,  ^=0  ;  quo  fado  reftitui  oportet  ^  r=  tang.  A.  Jfeu 
ob  f  zz  arcui  90**,  erit  /rzzoo.     Formula  autem    haec , 

quia  ett  /^i-i-^^;—  n^t ^ IcTTjo* "^ Jo"-i-m* "t" ♦a-f-^)* 

-+-  etCo 


DE  SERIEBFS  ^VimDAM.  CONSILERAT.    si 
^  etc,  tranfit  in  fequentem  Ita  vt  fit  /7~ff  /( i  =-H/i^)  ^ 

Per  reduiflionem  autem  formularum  integraiium   eft  gene» 

raliter, 

f  ^—i-» —  ^  »!»h>  r~ - — 

Quare  cum  fit  /7^  n:  f  erit 

J  (i^tt)^     ' 5  •   5  5»    1-4-tt 

d-}-")*  — 2-4.6'*       2. +.  «•  «H-tt  "~  4- 6  '  (,^t(}*  ""HirH-ftj^ 

/1!:^L__— -  '°^'S°-"    TT      »'^-5'T  _J ^   f.;-y  t^  ^  J_^— — 

(i-f-tt)*   a.4.5.8*a~3,!o(S-»    •     i-*=tr        4»5.s    '     (i-i-tt)*       '   &.,    »     <j-*-tt)^ 

--  »  •  (i>^tt)^ 

(,^tt)6     —  a.4-6.3-io  «      a  2.4-6.5.10    '     i-f-tt     "*     4^,6.i-i9     *     (iH-tt(* 

_  1:1^     _1! ii£_     _i! .  _  t^ 

6.3.10   "^    (i-4-tt)^  ,..0  •    (iH-tt)*    -  s5- (, Hhit)«  ^*"^' 

Ex  his  fubflitutis  orietur  f-^^  i{i-\-tt)-zz 

^  ^  /    J t       ijil_  _l       '»^'?  .       I-?-5  7  ,  ^ 

-  ;n^  {i-\-  t.-^  fifr  +  S^.  -^  «=•) 

t^  /   I        1          ^       >«       7  9 ,       7«p^ll  „.  .        K 

—  «(.-f^rtjM^  ^"  s.4-t-7:;;7--4-i:7;7^  -t- etc.) 

-=  n;;^  il'^  tl'^^^^'^'::^^^—  ^^  etc.) 

etc« 

§.  Z6.  Q^uaeramus  primum  fummam  feriei  huius  ^^ 

ponamusque  ^ 


S8  DE  SERIEBrS  QriBVSDAM  CONSIDERAT, 

erit  s  -zz  f^^^^j^   ^x  ,  vt  eiioluenti  flicile  patebit.     At  eft 

quej=:^-/(i+V(i-:i'))  +  /(i-V(i-.v))-/A^    vbi 

conftans^  ita  debet  effe  comparata ,  vt  pofito  x—o  fiat 

jzzo.     Fiat   igitur  x  infinite  paruum  ,   erit   "V  [i—x)zz. 

i-f  et/(i-V(i..r))=:/f=z/.r~/2et  l[i^i/{i^x)) 

zzzli-j  "vnde  czizzlz.  Ponatur  nunc  xzniy  eritiz::  2/a 

atque 

i--4-^-^^-^>f.^~^-4-etc.  =12/2 

Ex  hac  autem  ferie  reliquarum  ferierum  (umraae  ita  deter- 

minabuntur  \t  fit : 

'-4- -^^-'^-f-^^^^4-etc.=:'^2/2-^^-  -^ 

»^      «.<■      '     6.10.5     *     8.1C.12.5        '  1.3.S  j.:»s.2         $v* 

»    «.  -£-^211! L_  etr  —  ^^^    2  /  2  —  "'•^^-  _  ^  -  ^ 

?^^   lO.S^^IO.iX.S   ""  »       ^'■^*  ■    1.3 .5-7    •        *  1-3.5.7.»         5.7.«         7.5 

etc. 
Qiiibus  iiimmis  fubftitutis  proueniet  /^f^  /  (  i  -h  «) 
— ^- J. 2/2 

^  (T^iiftF  ( r;  a  /  2  -  ^  -  ;f^ ) 

(.-+.fO*  V  3.5.7  z  *  2  —  3,^  7 ,  -  5.7.J  "  7.3 ; 

{l-+-tt)*     \   3'5-7'J    *   '    ^  3'5'7',i)*I    ~  5'ry2   ""  f  ,g.J    "*  S*  ♦   / 

€tC. 

f  3r 


DE    SERIEBFS  QVIBVSDAM  CONSIDERAT    89 

§.  S7  Qiioniam  vcio  ad  inditutum  noftrum  poft  in- 
tcgmtioncm  nbfolutam  poni  debet  tznoo^  ^^^J-~^f  /(1+/^) 
:=:  7r/2  atque  s:=z\^J-~-^  I{i-i-tt)  :=z\~  ^  qui  efl 
ille  ipfe  valor  quem  pmeuidimus  prodire  debere  (§.34  ). 
Reliqui  enim  termini  in  exprelTione,  quam  pro  J  f.^ 
/( I  H-//)  inuenimus ,  (i  ponatur  tzz  00  omnes  euanefcunt, 
quia  in  denominatoribus  fingulorum  tcrminorum  t  plures 
habet  dimenfioncs  quam  in  numeratoribus ,  atque  inlupcr 
coefficientes  numerici  decrefcunt.  Nifi  enim  hoc  eueniret, 
tuto  concludere  non  poflemus  fummam  omnium  termino- 
nim,  quorum  quisque  euanefcit  effe  =  o.  Nam  fi  verbi 
gratia  priores  tantum  coefficientium  numericorum  partes 
accipiantur ,  vt  prodiret  haec  ieries : 

fumma  ipfius  cafu  quo  t  zz.  00  ^  fit  finitii  et  ==  ?  etiamH 
fmguU  termini  euanefcant ,  quodfi  autem  integri  coefficien- 
tes  capiantur  ob  feriem  eorum  vialde  conuergentium ,  tota 
quoque  feries  euadit  zz  o. 

§.38.  Inquiramus  nunc  in  fum>rnam  huius  feiiei 
1  —  b  -{-  ^s  —  U  -\-  ctc.  =  B  TT^  quae  fumma  per  §.32. 
erit  Btt  =  y—  -  2  7:  (^-ttt:^  +  ^-7^,  -{-  TTTr,  +  etc.) 
Ad    valorem    huius    quantitatis     inueniendum     fit    s  zzz 

7TTT  +  rr^  +  iTTTTT^  ^-^  ^t^- 

^ri^  dTT        2.3-+    ^     4.5.6    -T^    6.7.*    ^     ^"-^' 

dd  Tx^s Ptt'  a^r*       ,      R  tt^ 

dTT^     — TT7  -H  --.V  "+"  6.7  -n-  etc. 

^^•TT^y Pti^      ,      a-Tt*      ,      RTr«      ,  .^ 

^d^  —  —  -H  -T"  -i^  -7"  +   Ct^- 
'-^  ==  P  TT  4-.  Q^tt'  +  R  TT^  -4-  etc.  rr  i  tang.  A  ?. 
Tw;/.  A^J/.  M  Re- 


po    DE  SERIEBFS  QJ^IBVSDAM  CONSIDERAT. 

Regrediendo   erit  ergo. 


—  \  /d-nfd  njdi:  tiing.  A 


d.  m^ s 

dix 

^^  s  ziz  ^jdnjdnjdiijdir  tmg.  A  f. 

Atque    hinc    haoebitiir    riimnia  feriei  propofitae  B  tt*  zr: 

^4 iT^Jdn  fdix  Jdiijdix  tang.  A  J  ,  quae  omiiia  inte- 

gralia  ita  debcnt  accipi ,  \t  euanefcant  polito  tt  z=  o. 

§.39.  Ponatur  J  zz:  ^  ,  ita  vt  integntionibus  ab(o- 
lutis  q  denotet  quartam  peripheriae  partem  circuli,  cuius 
radius  ~  i  feu  arcum  90.  graduum.  Sitqiie  porro  lin.  A 
q  —  y  et  cof.  A  q  —  xzz.V{i  —yy  )  ,  erit  tang.  A. 
5  =: f.  Quare  ob  m  —  iq  ^  erit  fumma  noftrae  (eriei 
Btt'  :=:  ^f-^  —  ^JdqfdqJdq  /^.  Ponamus  tantisper 
JdqJdqJdqJ'^-u  erit  B  tt^  =  ^  -  f  ,  vbi  iti 
quantitate  u  iniienienda  omnes  integrationes  ita  debent  ac- 
cipi ,  vt  integralia  fingula  euanefcant  pofito  q  —  o  tt  y 
zz:  o  ,  integralibus  vero  abiblutis  erit  y  ~  1  et  ;t:  zz  o. 
Eft  vero  j^-^  ^p^  ^ -IV  [^-yy)  =r  / » . 

et  /x=-f+^^H-^-f +  ^1  _+->-!!  _t_etc. 

Cum  nunc  fit  uznjdq  fdq  Jdq  /J  ,    erit  per  redudio- 

nem  integralium 

u  —  qjdqjdq  1%  -Jqdqjdq  1% 

atque  porro 
Jdqjdq  /J  =:  qjdq  1%-Jqdq  J% 
Jqdqjdq  l^zzi^^dq  I^-lJqqdq  1% 

ergo 
uz^iqqjdq  1%-qJqdq  1% -^-l  Jqqdq  1% 

it2 


r>E  SERIEBFS  QVIBVSDJM  CONSIDERJT.   pi 

ita  Yt  niinc   tres  fbrmulas  habeamus  fimplkiter    diflferen- 
tiales ,  quns  integrare  debemus. 

§.40.  Confideremus  fingulas  has  tres  fbrmuks  feor- 
fim  ,  ac  primo  quidem  hanc  Jdq  1%  ,  quam  etfi  iam  fu- 
pra  integrauimus,  tamen  eandem  ex  confideratione  finuum 
et  cofinuum  denuo  integremus ,  vt  \ia  ^cilior  paretur  ad 
reliquas  integrandas.     Efl:  igitur  : 

Jdql^^^Jdq  [yy,  -Hr-l-r-f-r-l-?r4-  etc.) 
Ad  hoc  integrale  inueniendum  confideretur  membrum  eius 
quodcunque  Jj^^-^^dq  ,  et  cum  fit  dqzz:^=:z^  Qt  xx 
'^yyzni  ,    erit 

Jy^^-^^dq  zr  -Jj^-^^d X  ^-j^^-^^x  -^-  (n^i)  Jj^^xdjf 
at  eft  Jj^^xdj  —Jj^^x^dq  —Jy^dq  -Jf^^dq 
ob  X  X  ^  1  —  yy  :  ex  quo  erit : 

jy^^^dq  =:-y^-«  x-^-  {n-{-i)  Jy^dq  -  («+1)^0«-^-*^^ 

atque 

Hinc  itaque  integrale  cuiusque  membri  reducltur  ad  inte- 
grale  praecedentis ,  et  quoniam  integratione  abfoluta  fie 
a:  m  o  ;  erit  pro  hoc  cafii 

fyn^^dq-^  fyUq. 
Ex  hac  ergo  formula  repetientur  fingulae  integralis  partes 
Vt  fequitur. 

S/dq  —  \q 

S/dq='^,q 

f/dq  =  t7rlq 
Sydq  =  v^.q 

M  a  Hanc- 


92   DE   SIRIEBFS  QVIBVSDAM    CONSIDERAT. 

Hancobrem    hnbcbitur :  Jdq  l  %  zzl  \q  (  ^ 


1   .    ^  .  T   .   7 


etc  )     cuius    feriei    cum   iam    (upra 
inuema  fit  fimima  (§.  3<^-}  —2/2  erit  Jdq  ll,-=zqlz. 

§.41.  Progrediamur  inm  ad  fecundam  formulam  in- 
ttgmkiw  Jqdq  /^,  quae  abit  in 

Jqdq  1  %  —Jqdq  (^f  +  ^  +  ?'  -1-  ?'  +  etc.  ) 
cuius  partem  confideremus  quamcunque  Jy^^^^^qdq  =  — 
Jy^^-^^qdx  zz:  -y^^-^^qx  ^Jy^^-^Wdq-^in+i^Jy^^qxdy 

Pofito  itaque  y  ^  '^   et  .r  =:  o  ,  erit 

Jy^-^^qdq  -  (^^  +  S //'^^^ 
Integralia  igitur  fmgulorum  membrorum    ita   fe  habebimt: 

Jy'qdq  zz  iz  -^  l.f 

J/qdq  -  ^l-H-T^  -^ ^  ^' 

J/qdq  =  TT 

Jy  qdq  ^  --  -i-  7-7*  -f-  7:7.";*  -V-  :^T^Ti:ir-H  rrrTTi-l 

etc. 
Ex  quo  obtinebitur  intcgrale /</^^ /J     zz: 

-t-  r^'  ( r  -H- ,—  +  .-7^77  +  rfrfr;  +  etc. ) 
-t-  -^»  f  i  -i-  —  -4-  -^^  -1-  -—^.  H-  etc. ) 

•-H-iT^»  ( ^  -^  ;t;  +  ^777:7  +  J 10'.  .2.6  -i-  ^tc. ) 

etc. 
Vei  etiam  hac  fbrma  Jqdq  1%     zz: 
^  /  ^     .    _Lj_i_     1     -I -^.  _A^  ^'— '-  ^  etc. 

4- 


6-4"      "   *  4-6.22      ~  »  2  -4  -6        *      » 

3-5-7  ,  1-7.  J.  7   ^4 


DE  SERIEB.  QVIBFSD,  CONSIDERAT.      n 


PTI  -H  Jt:  -+-  6"^  -+-  r^s  +  etc. 
2^  +  i^  -4-  g^TT^  4-  ,2^—2  -h  etc. 


2'-4-6. 


r'-6. 


etc. 


6*8  .lO»  II'' 


etc. 


hae  aiitem  feries  id  ipflim,  quod  eft  in  quaeftione  inuol- 
vunt  ,  nempe  fummationem  cuborum  terminorum  feriei 
harmonicae. 

§.42.  Quod  fi  fequamur  priorem  formam,  omnes 
(eries  fummabiles  §.  3<J ,  habebiturque 


3.   2 


3  .5 

4  '_^'    8 
3  •   5 


3-5.2  5.4.  / 

•  7  3.5-7.2         3. 7.+        tTS/  ^'•*" 

quae  fi  denuo  feries  deorfum  capiantur,  dant. 

-^-^^C^  +  r^  +  ffT^.    +f^    -hetc. 

6    V     4         •       5.6       '       5.7.8  '       5.7-9.10  i^    VIV,. 

—  -  f  ^  -4-  —  -4-  .'^•''        -4-  ^-^^  '°_    -U  f^fr 
4.5  V   5  ~     7.8     '^  7 .9.10        1     7.  9. II .  12     ^^  *'*-^* 

L_  f    I     _I_  _! L-  ijLj2 L-    »  ♦  'o-  12 ^_    p*-f< 

0.7    \     »         '      p.io^^   9  .   11.12^^     9      11,13.1+^         ^^^* 

etc. 

H-^:^.4-etc.=:12 


At    eft    1  4-  -1.  -i-  luL- 

=»        »         3.4       «        3.5.  6 


3.5.7    8 

Ynde  erit 


♦         '        5.«  '        5,7.8    ^^   ^^^'    •         2         •    ^  5    '5 


5.7.8 

6.8 

7 

S.lO 


•'  -  -{-  etc  —   ^    £3  —  £_ii   i_£   » 
9-10     r^  ^•■^*  —    2.4*    2         3, +  '2     4*? 


9  10 


etc  ' —   i^    ^ ^'''^  ^  -^iL  1-7  » 


etc. 
M  3 


Quam- 


5>4     r>E  SERIEB,  OVIBVSD,  CONSIDERAT, 

Qiumobrem  habebitur  [qdql%z=i  qqlz 
_  25f ',  -L-  -^,  ^  '--^  ^i^T^^^  etc. 


-+-  .t.:t*  •  1  +  4T7*  •  ♦  H-  6*  •  ^ 

etc. 
f.  43.  At  fortalTe  difficultas  commodam  expreiTionem 
inueniendi  diminuetur ,  fi  tres  illas  formulas  integralcs  col- 
ligamus.     Hancobrem  fumamus  tertiam  fotmulam  Jqqdql^ 
quae  abit  in  Jqqdy  (  n  4-  ^*  +  >/  -+-•>'  +  etc.  ) 
Confideretur  fbtmuh  Jj^^^qqdq  quae   abit 
in  -fy^^-^^qqdxziz-y^^-^-^qqx-^-zJj^^-^^qxdq-h 
(n^^)Jfqqxdy  zz.  -j"-+-.^^.v^  2/r""^'  ^  ^J'  -4- 
{n-^-i^Jy^^qqdq-in-^-iJy^^^qqdq  :  iiinc  ergo   erit 

Jj^-^-qqdq^  zl-^^^^-Jy-^^ qdy-\-  5^;//  ^  5<f^ 

At  cA/y^^^qdy^y—^-^Jy^-^-dq^^-A^  - 

ir^  '  r.Tiirl..'  .'.'.'.^'^Ih^!^ pofitoj~i  (§.  o).  Confequenter  erit 

^^^.  ac  integralis  qiuieliti  fingiila  tnembra  erunt : 

Jy  q  q  d  q—U  .  1  q  ~  -ir,  ■^  q  -^'^  •f 

f/  q'dq  -  1,  ^q-i,  Tl-^qi-[,.  l  .  ^q-h  ■  r^  ^1+'i^,-  ?' 

S/qdq  =  n{^-[::::)  +  i.tH^-\:i)  ^- 
^ .  m  1  -  0  -+-  tifi-M' 

His  valoribus  fubftitiitis  et  terminis  in  ordinem  redadisre- 
dadtis  reperietur  tandem 


DE  SERIEB.  QVIBFSD.  CONSIDERJT.    9$ 

-i-  -.  ^(  I  -  I  )    ( X  -h;!:  -H  ^  -h  :::.:.   ^-  etc. ) 
-H  -;.  ^(  »  -  i5)   (§  -t-,:7  -)-  ftfi  H~  'r.-.^  H-  etc. ) 

H-  i-  ^(  ^  -m)  (i -t--.:;  -^  '^  +  ^i^,  -i-  etc. ) 

etc. 

Cum    autem    fit   uz=i\qqjdql%-qjqdql%-^\fqqdqlli 
erit  his  integralibus,  Yt  lunt    i.  uenta  additis 
«z=?.^(^,-t-i^-f-Lf^+  etc.  ) 

- A  •  Ut-+  ;:!  -+- ::,^i  -^irih-^  etc.  ) 

^    —  f  -  -+~  ^  -+-    5-^  -4-  3'  7»  9         I.    p«.-      % 

2«+^       2.  +Va^^<J.$   ^    <J-3.  4~  0.  8.  I0.4    ^^      '-'■*'•       / 


■A-^(fH-i^H-|f;^-+-  etc.  ) 
etc. 


His  autem  feriebus  integratis  vt  fiipra ,  erit 


«=  f  /  a 


2.6*   ^  -^  ^  -i     ^n^      24.2  / 


5 

.    l  1I1  —  ±  —  '•  '     -  '•  ^*  ^    1 

—  -  ^      (  2 / 2 - ~  -  "  ^-  —  "  •'  —  '•  •^'  ^°^- \ 

2  •  10*    \  2.1        X4«a        3.4.6.3        2.4.68.4/ 

Eft  vcro  i»-i-|*-i-i.-i-  ctc.  :=:  ^?^  \nde 
tt  =  ^(-h-;.-^i.  +  ^4-  etc.  ) 

-^  rTfTM(B.4-il5.-l"i^.-i-  etc.  ) 
H-  ihHifHr^^^  +  ii^  +  Ti.-h  etc, 
etc. 


Hine 


95       HE  SERIEB.  QTIBFSD.  CONSIDERAT. 

Hinc  igitiir  crit : 

■+-  ■::vnf-^'-^'-:'-50 

■vel  ferie  prima  verticali  adlii  furamatj 

u  —  r  /a 

-A('0 

etc. 
§.  44  Ciim  nimc  feriei  notoe  propofitaei  —  ^j4-|, 
^i,^.r^_  etc.   fumma   fit  :z::B 'n'zz:mh- 12  fiet  ea^ 
dem  fumma  z::: 

-i-ero(^+-^*^-**^-^0 

etc. 

Vel  cum  fit  h-^-U-,^'^  ^^^-  =^^  erit  feriei  pro- 
pofitaefummaB7r^=z/2-4-ia  (/2-^3)  +  1»  (r^-^-L^J 
+  ^'(^2-T^-H-*-l-^)-t-  etc.  fuie  hacc  eadem  fum- 
ma  ita  poterit  exprimi  Yt  fit 

— -  i    f    ■'        1-  J •  J_  _  I      T«  -«;    \ 
4*  V  2.^      '"  2. 4  +  -  '     2  4.  (5.  <s  / 

— i,f -L_-l-!^-l-^-^-''  -f-iL!ii:z_)etc. 

S*\2,2      '2.4.4       '       2.4.<S.(J      '       2.4^6.8.8/ 

Qiioniam  autem  Ytcunque  lias  feries  tranbmutemus ,  eas  ad  ie- 
riem  fimplicem,  cuius  fumma  conftet,  reducere  non  poflTumus, 
negotium  hoc  abrumpamus,  pluribus  hisexpreffionibusconten- 
ti,  quas  feriei  propofitae  i -^s+^j-^s+js-etc.  aequales  efle 
inuenimus.  COM- 


COMMENTATIONES 

DE  OSCILLATIONIB  VS  COMPOSITIS 

PRAESERTIM  IIS  QVAE  FIVNT  IN  CORPORIBVS 
EX  FILO   FLEXILI  i^VSPENSIS, 

AVCTORE 

Dank/e  Bernoulli. 


§.  I. 

D^.  ofcilktionibus  fermonem  faduro  ante  omnia  mihi  Tab.  ii. 
monendum  erit ,  folas  eas  confiderari  hic  pro  more 
(blito  ,  quae  ita  paruae  fiint ,  vc  in  calculo  pro  infinite 
paruis  haberi  poflint.  Poffunt  autem  in  fyftemate  ,  cuius 
(ingulae  partes  motibus  reciprocis  agitantur ,  duo  potifli- 
mum  ofcillationum  genera  confiderari  :  primum  efl  cum 
fingulae  fyflematis  partes  necefTario  itus  reditusque  fiios  fi- 
niul  incipiunt ,  fimulque  finiunt :  tales  ofcillationes  ^ciunt 
corpora  ex  fiio  rigido  firmata  et  fufpenfa  iam  pridem  a 
Geometris  exploratas :  alterum  genus  efl ,  cum  diuer&e 
fyftematis  partes  diuerfis  temporibus  ofcillationes  fiias  perfi- 
cere  polTunt ,  qiiamuis  nexus  partium  tah^s  fit ,  vt  fingu- 
larum  ofcillationum  indoles  a  mutatione  vniuscuiusuis  mu- 
tentur.  Has  poflremas  ofciilationes  voco  compofitas.  Huius- 
cemodi  ofcillationum  exemplum  haud  inelegans  dedi  de- 
fumtum  a  corporibus  filo  fiexili  connexis  et  fufpenfis  vid. 
Comm.  tom  VI.  pag.  io8.  et  nuperrime  expofui  aliud  , 
quo  duplices  in  corporibus  humido  infidentibus  olcillationum 
fpecies  fimul  exiflentes ,  quaeque  non  pofTint  alitcr,quam  fimul 
determinari ,  examinaui  et  definiui. 

iQm.  XIL  N  §.  2. 


^S  COMM.  DE  OSClLL.  COMP.  PRAES.  US.^VAE 

§.  2.  Ofall:\tiones  noftrae  compofime  qnam  maxime 
diftenuK  a  {^mpiicibiis ,  praefertim  autem ,  eo  quod  fint  vaJ- 
de  inaequales  ,  dam  quaeuis  iyllematis  particula  modo  mi- 
norem  modo  maiorem  excurfionem  Eicit,  easque  modo  ci- 
tius  mcdo  tardius  percurrit.    At  Yero  poteft ,  quod  impri- 
mis  hic  notandum  ,  excurfionum  magnitudinibus  talis   aflTi- 
gnari  proportio  conftans ,  vt  ea  icmel  pofita  perpetuo  con- 
liruetur  ,  fiantque  olcillationes  non  folum  vniformes ,  fed  et 
fingulae  tam  maiores  quam  minores  inter  fe  ifochronae  at- 
que  toutochronae  :  ftatuo  autem  ,  tam  ratione  quam   plu- 
ribus  experimentis  indudus ,  ofcillationes  compofitas  ad  hunc 
vniformitatis  (latum  femper  magis  magisque  tendere  leque 
tandem  fua  fponte  componere  ,  aliae    citius   quidem  aliae 
lentius ,  quaedam  autem  citiffime  :  ita  v.  gr.  chorda  mn- 
fica  non  poteft  non  ab  initio  vibrationes    facere    inaequa- 
te ,  quae  tamen  dido   citius  fiunt  tantum  non  regulares , 
"dum  chorda  vibrata  mox  (e  componit  ad  curuaturam  taii- 
tochronismo  eflentialem. 

§.  3.  Nec  vno  tantum  modo  olcillationes  fiunt  vni- 
formes,  fed  aliquando  pro  re  nata  duobus  modis ,  aliquan- 
do  plurJbus ,  aliquando  etiam  infinitis^  quod  egregie  illu- 
ftratur  eodem,  quod  fupra  citaui  exemplo  corporum  filo 
fiexili  connexorum  et  fufpenforum.  Si  enim  duo  funt  cor- 
pora  ,  duobus  diuerfis  modis  fiunt  ofcillationes  vniformes , 
idemque  tiribus  obtinetur  modis ,  cum  corpora  funt  tria ,  et 
fic  porro ;  atque  fi  tandem  corpora  (umas  numero  infinita 
catenam  quafi  perfede  flexilem  efFormantia ,  infinitis  fimul 
modis  obtinetur  in  catena  ofciilante  ifbchronismus :  pro 
quouis  autem  modo  durationes  oicillationum  aliae  funt : 
ilatos  interim  vniforriiitatis ,  quem  partes  lyflematis   ofcil- 

laates 


Fn^NTlN  CORP.EX  FILOFLEXIU  SFSTENS.  99 

lantes  maxime  afFedlant ,  ille  eft ,  qno    oicillationes  inter 
omnes  poiTibite  fiunt  lentifljmae. 

§.  4.  Similiter  miiltis  imo  et  infinitis  modis  chorda. 
mufica  tenla  motus  fuos  tremulos  efFormat  ifochronos  in 
theoria,  quamuis  illi  difliculter  obtineautur,  fingulis  autem 
modis  alius  editur  fonus  magis  minusue  acutus.  Modus 
primus  et  maxime  naturalis  eft  ,  quum  chorda  inter  ofcil- 
landum  efibrmat  arcum  vnicum ,  tuncque  facit  ofcillationes 
lentiffimas,  fonumque  edit  inter  omnes  pollibiles  maxime 
grauem  reliquis  omnibus  fundamentalem.  Modus  alter  poflu- 
lat  vt  chorda  inter  ofcillandnm  duos  arcus  ad  partes  di- 
verfas  pofitos  eflformet,  tuncque  fiunt  ofcillationes  duplo 
frequentiores ,  iamque  editur  foni  fundamentalis  o^aua : 
,  tum  fi  chorda  inter  ofcillandam  incuruatur  in  tres ,  qua- 
tuor  ,  quinque  etc.  arcus  alterna  ferie  pofitos ,  fiunt  ofcil- 
lationes  vniuscuiusuis  arcus  triplo ,  quadruplo  ,  quintuplo 
etc.  frequentiores ,  fonique  eduntur  ratione  foni  fundamen- 
talis  ociauae  quinta  ,  odaua  duplex ,  odtauae  dupUcis  tertia 
maior  proxime  et  fic  porro.  Inferuiunt  hae  obferuationes 
ad  multa  phaenomena  acuflica  circa  chordas  muficas  ex- 
plicanda  ;  cur  v.  gr.  foni  tam  fonori  finr  in  tuba  ma- 
rina  ?  cur  in  hoc  inflrumento  vnichordo  ii  tantum  modo 
foni  grati ,  pleni  et  perfedi  fint ,  cum  pars  chordae , 
quae  arcu  pulfatur  ,  praecife  fuhmultipla  eft  chordae  to* 
tius  ?  et  quae  funt  tam  in  hoc  inflrumento  mufico,  quam 
in  aliis  phaenomena  reliqua  ,  quae  fingula  a  Merienno  in 
libris  Harmonicorum  recenfentur  quidem ,  at  minime  rede 
explicantur.  Haec  autem  obiter  monuiffe  lufFiciat :  pergo 
minc  ad  problema  mechanicum  ,  quo  argumentum  de  ofcil- 
lationibus  compofitis   vlterius    explicabitur. 

N  2  «.5. 


lab. 


100  COMM.  DE  OSCILl.  COMP.  PRAES.  US.OVAE 

§-  5 .  Conriderabimiis  itaqiie  corpora  finitae  cxtenfio- 
nis  ex  pan«flo  fixo  mediante  filo  ficxili  datue  lon^itjdinis 
(iispenfa.  Hiec  corpoia  cum  hinc  indc  agitantur  ,  motum 
dUrjlicem  angiilarem  obtinere  confiderari  poffunt  \  akerum 
quo  angiiins  fi'um  inter  et  lineam  verticaiem  per  pundum 
fixum  tranfeuntem  continue  mutatur ,  altcrum  quo  angu- 
lu^  inter  idem  filum  et  lineam  ,  quae  per  pund  m,  vbi 
filum  corpori  alligatur  et  per  centrum  grauitatis  corporis 
traniit ,  pcrpetuo  variat.  Hi  motus  angulares  irregnlares , 
inaequales  ,  perturbati ,  tam  ratione  durationis  quam  ma- 
gnitudinis  ftatim  funt  :  at  ficri  poteft  vt  fimul  incipiant 
fimulque  finiantur,  tuncque  ofcillationes  ad  ftatum  vnifor- 
mitatis  redudae  funt ,  ad  quem  fua  fponte  magis  magisque 
accedunt.  Atqiie  ifte  eft  f1:atus ,  quem  fblum  confiderabi- 
mus ,  et  cuius  indolem  explorare  conftituimus. 

§.  6.  Sit  igitiir  primo  (nec  enim  argumentum  fta- 
II. tim  generalifTime  inquirere  iuuat )  linea  reda  C  H  (fig- 5-) 
cralTitiei  et  grauitatis  vtcunque  inaequalis ,  fufpenia  ex  filo 
A  C  perfede  flexili  omnique  deftituto  grauitate,  Patet  au- 
tem  requirere  legem  vnifbrmitatis  ofcillationum  ,  vt  fmgu- 
la  punda  lineae  grauis  ofciilantis  fimul  perueniant  in  fi- 
tiim  vert4calem  C  H  fimulque  in  fitum  extremum  D  G  , 
in  qiio  tota  linea  ad  temporis  pundum  veluti  quieicit. 
Si  vero  putemus  lineam  D  G  a  ftatu  quietis  verfus  lineam 
•verticalem  motu  accelerato  progredi ,  tune  facile  intelligi- 
mus ,  ft  ftng'ila  virgae  punda  vim  acceleratricem  patiantur 
diftantiis  eorundem  a  linea  verticali  conftanter  proportio- 
nalem ,  fbre  tunc  vt  fingula  etiam  pun(fla  fimul  in  fitum 
lineae  verticalis  perueniant.  Igitur  fitus  virgae  vbique  ta- 
lis  e0e  debet ,  vt  vis  acceteratrix  pto  quouis  virgae  pun- 


FlVmm  CORP.EXFILO  FLEXlLlSFSPENS.iot 

do  hanc  praeflitam  habeat  legem.  Ceternm  habetur, 
vt  notiim  ert  ,  vis  acceleratrix  ,  fi  vis  pnncftLm  horizontali- 
ter  verfus  lineam  verticalem  vrgens  diuidatur  per  maflam 
pun(n:i,  His  praemonitis  iam  inquirenda  nobis  venit  vis 
acceleratrix  pro  finguUs  virgae  pund:is. 

§.  7.  Sit  igitur  virga  in  fitu  extremo  D  G  pofita  , 
haecque  dein  producatur  vsque  in  B  ,  vbi  iineam  vertica- 
lem  fecat ;  tum  centro  B  ducantur  arculi  D  C  ,  E  F , 
O  Q^  et  G  H  ,  qui  pro  lineolis  infinite  paruis  horizontaii- 
bus  iiaberi  poffunt ,  quia  hic  tantum  de  ofciilationibus  mi- 
nimis  fermo  eft.  Denotat  autem  pundum  D  locum,  ex 
quo  filum  virgae  alligatum  eft  ,  fiue  is  fit  in  extremitate 
virgae,  fiue  alicubi  in  medio.  In  pundo  E  ponimus  cen- 
trum  grauitatis  virgae  ;  per  O  intelligimus  pundum  quod- 
cumque  in  virga  liimtum,  et  per  G  pundlum  virgae  in- 
fimum. 

Producatur  nunc  A  D  vsqne  in  M  ,  ponaturque  A  C 
r=:«;CHz=:w;CF  zzg  ;  incognita  B  C  cz:  a  ;  E  F  rs 
^;  erit  D  C  —  J~  ;  vis  grauitatis  defignetur  per  vnita- 
tem  ,  fitque  variabiiis  B  Q  \el  B  O  zn  a^  *,  maffa  D  O 
zn  5  data  per  x  et  conftantes  ;  maflli  totius  virgae  zr 
M  :  Diicatur  minima  0  q  alteri  O  Q_  parallela  et  infinite 
propinqua  :  fic  erit  maffa  elementi  O  0  znd^.  Qiioniam 
autem  vis  acceleratrix  elementi  Oo  feu  potentia  elemen- 
tum  Oo  horizontaliter  verfus  lineam  verticalem  vrgens  di- 
vifa  pcr  maffulam  ^  ^  efl  proportionalis  (  per  §.  6.)  11- 
neae  O  Q^  (eu  etiam  lineae  B  Q^,  faciemus  vim  iflam  ac- 
celeratricem  —  J  intelligendo  per  a  aliquam  confbntem : 
fic  igitur  quoduis  pundnm  O  vim  acceleratricem  patitur 
Ifldicatam  per  ^  et  maffula  elementi  Oo  Tim  horizonta- 

N  3  lem 


ioiCOMM-  DEOSCILLCOMP.  PRAES.  IIS.QFAE 

lem  exercet  indicandam  pcr  ~~  :  vnde  fi  cniiiis  elemento 
O  0  potcntia  contraria  intelligatur  applicata  ,  quae  fit  ziz 
^  totum  fyrtema  in  aequilibrio ,  ad  quod  in  fitu  ex- 
tremo  ad  momentum  temporis  redudum  fuifle  cenferi  po- 
teft  (  §.  <^.  )  perpetuo  feruabitur. 

§.  8.  Si  iam  ducatur  horizontalis  O  R  ,  quae  ex- 
primat  praefatam  potentiam  horizontalem  \-  elementum 
O  0  ab  O  verfus  R  trahentem  ,  oportet  \t  omnes  iftae 
potentiae  fyftema  in  aequilibrio  fenient :  exinde  per  re- 
gulas  (taticae  concludere  licet  ,  primo  fummam  omnium 
potentiarum  virgam  in  fitu  D  G  detinentium  eamque  ,  ne 
ad  verticalum  accedat  impedientium  effe  aequalem  fummae 
omnium  potentiarum  horizontalium  contrariarum  ,  quae 
nempe  a  grauitate  virgae  oriuntur.  Secundo  fi  confidere- 
tur  virga  D  G  tanquam  vedis  mobilis  circa  pundum  D , 
vedem  hunc  etiamnum  in  ftatu  quietis  et  aequilibrii  per- 
manliirum.  Hifce  igitur  duobus  requifitis  erit  fatisfaciea- 
dum. 

§.  9.  Conditioni  primae  ita  fatisfaciemus.  Summa 
omnium  potentiarum  O  R  elementis  O  0  applicatarum 
eft  zzij'^—  ;  fed  praeter  hanc  potentiarum  claflem  alia  ad- 
huc  potentia  eft  confideranda  ab  obliqua  fili  adione  ori- 
unda  ,  tenditur  enim  filum  A  D  a  toto  virgae  pondere 
M  (quia  excurfiones  virgae  cenfentur  infinite  paruae  )  et 
propter  fili  readionem  pundum  D  trahitur  fimul  in  di- 
redione  D  A  pari  potentia  M  ,  vnde  fequitur  ex  refolu- 
tione  potentiarum  virgam  in  pundo    D    extrorfum    trahi 


ita- 


potentia  quae  eft  zz  f^  x  M  zz:  -^(^y  x  M.    Eft 
que  fumma  omaiuia  et  fingularum   potentiarum  horizon- 

taliurh 


FIFNTIN  COKP.EX  FILOFLEXILl  SFSTENS  103 

talium  virgam  extrorfum  trahentium  ■=::/—  H-  ~r^|)-  . 
M.  lam  vero  inquiramus  in  fummam  potentiarum  con- 
trariarum  ,  quae  virgam  horizontaliter  introrfum  ad  fitum 
verticalem  trahunt :  hae  omnes  oriuntur  a  grauitate  \ir- 
gae,  ettquefummaearum  =  55  •  M  =:  ^  .  M.  Ha- 
bemus  itaque  vi  primae  conditionis  hanc  aequationem. 

Eft  autem  fxd^  —  B¥  .  M  =  {a  +^)  .  M.  Hoc 
igitur  valore  fubftituto  redudaque  aequatione  prodit 

l.  n{a  -h-g)*  =  a  aq. 
Conditionem    problematis  fecmdam    in    praecedente    para- 
grapho  expofitam  fic  implebimus ;  Eft  momejitum  poten- 
,dae  O  R  ad  vedem  G  D    circa    pundum   D  extrorfum 
rotandum  :z:~  .OT>  ^zz"—  ,  [x  —  a.)  et  fumma  om- 

a        ;  tenfio  fili  hic  nequic- 

q\iam  facit  :  momentum  autem  omnium  potentiarum , 
contrariarum  ,  quae  a  pondere  virgae  oriuntur  ,  habetur 
fi  pondus  totius  virgae  M  applicatum  putetur  in  centro 
grauitatis  E ,  iftudque  pondus>  muitiplicetur  per  rationem 
II  atque  per  longicudinem  vedis  ED,  id  eft ,  per^^ 
et|^;^:eftitaque  momentum  omnium  potentiarum  contraria- 
rum  :^ai^  ^  M  :  Vnde  habemus  nunc  hanc  aequationem 

J  a  a-Hg  ^  ^^*-' 

Poterimus  autem  quantitati    irti    fummatoriae   J  ^^— ^^.fJL 
aliam  fubftituere  intelligibiliorem  ;  ponatur  nempe  C  Q_  feu 
x-a-y  eiit  /i--±^^  ^j'^  -\-f-^=  f^  -f/^^ 
Vt  vero  intelligatur  etiam  terminus  f^ ,  notandum   eft 
longitudinem  penduli  fimplicis  ( quam  vocabimus   L  )  ifo- 

chroni 


IC4  COMM.  DE  OSCILL.  COMP.  PRJES.  IIS,  ^JE 

chroni  cum  ofcillationibus  minimis  virgae  C  H  ex  pundlo 
fixo  C  fuspenCie  eflTe  z:z\^-  adeo  vt  fit -^  =zi  L  atque 
adeo  p^-f'  -  ^.  Eft  igitur  jS^L  m  f^  +  ?f?  , 
Hoc  igitur  valore  fubftituto  in  praemifla  aequatione  oritur 
haec  aHa  ^  +^=:  ^. .  M  ,  quae  reduda  dat 

n.  (a-}-L)  .{ci^-\-g)zzaq 
Ope  duanim  ,  quas  inuenimus ,   aequationum  ,    eliminanda 
prius  eft  arbitraria  afliimta  a  deindeque  determinandus  va- 
lor  incognitae  a  per  quantitates  pure  cognitas.    Hoc   mo- 
do  inuenitur 


2 

^  W~t±V(r:— L-t-4ng) 


Et  haec  aequatio  determinat  fitum  virgae  extrcmum 
D  G  ,  quod  negotium  ,  in  quo  omne  problematis  mo- 
meutum  pofitum  eft  ,  in  hoc  parngrapho  expedire  con- 
ftitueram.  Situm  autem  fimilem  virga  ,  dum  ofcillatio- 
iies  vniformes  perficit .  perpetuo  feruabit ,  ita  vt  virga  in 
omni  fitu  continuata  tranfeat  per  idem  pundlum  B.  Nec 
tamen  inde  concludendum  eft  virgam  eadem  lege  ofcillatio- 
nes  fuas  perficere  atque  fi  ex  virga  rigida  D  B  omni  gra- 
vitate  deftituta  eflet  fufpenfa ,  quia  linea  D  B  non  exadte 
eandem  longitudinem  feruat. 

§.  lo.  Determinato  vaiore  ipfius  a  facile  eft  longi- 
mdinem  quaefitam  penduli  fimplicis  ifochroni  definire : 
QLiia  enim  cuiusuis  elemcnti  O  o  vis  acceleratrix  eft  rz  f  , 
via  autem  ab  eodem  pundo  deicribenda  feu  O  Q^zz  ^^ 
et  quia  longitudo  penduli  ifochroni  habetur  diuidendo  vi- 
am  defcribendam  per  vim  acceleratricem  ,  erit  longitudo 
ifta  n:  ^—^  :  Eft  autem  per  aequationem  fecundam  prae- 

cedeu^' 


nVNTINCORF,EXFlL0FlEXILl  SFSPENS.  105 

cedentis  paragraphi  aqn:  (a  +  L).  («4-^;  erit 
itaqiie  longitudo  quaefita  penduli  fimplicis  ilocLroni  /  Hm'* 
pliciter  zn  a  -}-  L  ,  fuie  (  per  §.  9.  ) 

. n-t-L±V(n — L  -H+^g)_ 

§.  II.  Aequatlones  quas  in  duobus  (iipcriorlbus  para* 
graphis  erufmus ,  fingulares  nos  doccnt  pnvprietates ,  qui- 
bus  hae  ofciliationes  gaudent.  MemorabirTiUS  fequcntes 
(a)  Praecipue  notandum  ert ,  duobus  mocis  cfciliationes 
fieri  poffe  vniformes ,  prouti  in  expreflione  quantitatis  ce 
ex  fignis ,  quae  quantitati  radicali  praefiguntur ,  feligatur 
vel  fuperius  vel  inferius  :  fi  autem  fiiperius  accipitur  ,  fi- 
mul  etiam  ruj.erlus  eft  feligendum  in  exprefTioue  quanti- 
tatis  /  idemque  de  figno  inferiori  dicendum.  Pro  figno 
itaque  fuperiori  ofcillationes  fiunt  muko  tardiores  quam 
pro  inferiori :  tardiores  autem  plerumque  "parum  admodum 
differunt  ab  ofciilationibus  Hugenianis  pro  fyileraate  ri- 
gido. 

( ^ )  Si  longitudo  virgae  minima  fit  respe^fln  habito  ad 
longitudinem  fili  ex  quo  virga  fuspenditur  ,  erunt  etiam 
quantitates  L  et  g.  minimse  ,  fietque  proxime  l—  n  -\-g  y 
fi  fignum  ex  amfeiguis  affirmatiuum  ponatur  aut  /zzl^  —g 
fi  fignum  negatiuum  accipiatur  :  in  cafii  priori  tit  a  zz  n 
—  L— ^,  in  pofteriori  azz-g:  in  hoc  igitur  cafii  vir- 
ga  circa  centrum  fium  grauitatis  veluti  rotatur  inter  ofcil- 
landun?  habetque  longitudinem  penduli  fimplicis  ifoclironi 
aequalem  diflatitiae  centri  grauitatis  a  centro  ofcillationis 
quod  virgae  competeret ,  fi  ex  pundto  fixo  C  fuspenJe- 
retur. 

Tom.  Xll  O         \  (f) 


t06  COMM. DEOSaiL.  COMP.  PRAESJIS.QVAE 

({;)  Si  e  contrario  Yirga  longiflima  ex  filo  breuiffimo  fus- 
penfa  fit,  erit  in  cafu  priori  a.—f  et  /  — L-H?,  at 
vero  in  cafu  porteriori ,  qui  hic  notari  praecipue  meretur , 
habebimus  proxime  azn  —  L  ct  /=z«  —  ^,  quod  indi- 
cat ,  fieri  nunc  inter  ofcillandum  rotationem  circa  centrum 
ofcillationis  quod  virgae  ex  pundo  fixo  /  fuspendie  com- 
petit  et  elfe  tunc  longitudinem  penduli  ifochroni  l^^^ 
X  n  . 

(d)  S\  virga  ex  centro  grauitatis  fuspenfa  fit  ,  euanefcit 
pofterior  ofcillationum  claflis  fitque  pro  claflTe  priori  a  zzi 
co  et  l  zzz  longitudini  fili. 

Ceterum  obferuandum  efl  folutionem  noftram  minime  re- 
quirere  ,  Tt  filum  \irgae  ex  eiusdem  fummitate  alligatum 
putetur :  poteft  enim  ex  quocunque  pundo  efle  alligatum. 
Igitur  per  pundlum  D  aut  C  non  intelligitur  virgae  fum- 
Tflb.n,  ^^^^^  ^^^  pundum  ex  quo  virga  fiio  eft  annexa.  Figu- 
*  ra  fexta  litteris  fiiis  analogis  oftendit  exemplum  fecun- 
dae  ofcillationum  claffis :  tum  ctiam  figura  feptima  et  odla- 
\aambas  oicillationum  clafles  illuftrant ,  quiun  virgae  non 
funt  ex  fiimmitate  fufpenlae. 

§.  12.  Ifta  quae  diximus  nunc  porro  illuftrabimus 
exemplis  particularibus ,  fupponendo  fcilicet  virgas  bo- 
mogeneas  et  vniformiter  craflas ,  quarum  longitudines  defig- 
nabimus  per  m  :  fic  erit  ^  m  |  w  et  L  =:  |  ?«  ,  fi  virgae 
funt  ex  fummitate  fua  fuspenfae  :  his  autem  valoribus  fub- 

ftimtiS        fit        a     =     .n-~.m±V^n.^.n.n^.mm)       ^^^^^^       ^    _ 

longa  fimulque  ad  modum  figurae    fextae    ofciiletur ,    fiet 
CB  dupla  ipftus  BH  et  longitudo  penduli  fimplicis    ifo- 

chroni 


firNTINCORF.  EX  FILO  FLEnU  SrSPEKS.  107 

chroni  eft  aequalis  qiwrtae  parti  longitudinis  fili  virgam 
fuspendentis.  Igitur  fic  virgae  longiores  breuioresque , 
modo  ex  eodem  filo  breuiflimo  fuspeiidantur ,  in  hoc  ofcil- 
lationum  genere  iibchronae  funt. 

§.13.  Denique  etiam  exemplum  dabo  virgae  vni- 
fbrmis  ex  pundo  aliquo  intermedio  fufpenfac.  Ponamus 
itaque  longitudinem  virgae  7;/  =:  3  ,  putemusque  diftaa- 
tiam  pundi  fufpenfionis  D  vel  C.  (fig.  7.  et  8.)  a  fum  Tab.a 
mitate  virgae  zz  i  ,  longitudinem  autem  fili  DA  velCA 
expreflam  per  «  iz:  2  ;  hae  pofitiones  faciunt  ^  zi:  ^  et 
Lrz2  hincque  fit  pro  ofcillationibus  tardioribus ,  quae  ad 
norman  figurae  (eptimae  perficiuntur ,  a  =:  i  ,  fic  vt  in 
hoc  exemplo  (iimmitas  virgae  veluti  immobilis  maneat  nec 
a  fttu  lineae  verticalis  recedat,  ftatim  atque  ofcillationes  &- 
dae  funt  vnifbrmes :  erit  autem  longitudo  penduli  fimpli- 
cis  ifochroni  aequalis  ipfi  longitudini  virgae ,  id  eft,/zr3. 
At  vero  pro  altera  olcillationum  clafle ,  quae  figurae  oda- 
vae  refpondent ,  fit  ct  z=:  —  i  et  longitudo  penduli  ifochro- 
ni  aequalis  tertiae  parti  longitudinis  virgae  ,  fiue  /n:  i. 

§.  14.  Poftquam  fic  generaliflime  hoc  argumcntum 
expediuimus,  pro  linea  reda  vtcunque  inaequaliter  graui , 
^cillimum  eft  Iblutionem  extendere  ad  plana  et  ad  corpo- 
ra  qualiacunque ,  imo  non  difHcile  eft  videre ,  folutio- 
nem  cum  ea  quam  dedimus ,  prordis  eandem  effe  :  cum 
enim  ,  vt  hoc  folum  moneam ,  ofcillationes  noftrae  com- 
pofitae  flnt  ex  duabus  ofcillationum  fimplicium  clafllbus , 
nimirum  fili  circa  pundum  A  et  virgae  circa  pundum 
D  ,  perfpicuum  eft  ,  neutram  mutari ,  fi  loco  virgae  filo 
in  D  appendatur  planum  vel  corpus  quodcunque  ,  cuius 
tam  centrum  grauitatis,  quam  centrum  ofciUatioois ,  quum 

O  2  pun* 


-«08  COMM,DEOSCILL,COMF.PRAES.  IIS.QFAE 

pundliim  rufpenrionis  D  vt  fixum  confideratur  ,  eadcm  ma- 
nent.  Erunt  ir.ique  aequiitiones  noftnie  pro  act  /  (emper 
"venie  fi  pcr  n  intclligatur  difiantia  iv.icr  dnos  axcs  hori- 
zontiiles  nc  parallelos  per  pundl  i  A  et  D  tranfeuntes  ,  fi- 
que  lim  il  pet  L  inteliigatur  diibntia  centri  orcillationi.T  ab 
axe  per  punvflum  C  aut  D  tranfeunte  ,  cum  axis  if.e  im  ■ 
mobilis  efl ,  et  fi  denique  pro  g  lubftituatur  diftantia  cen- 
tri  grauitatis  a  praef[ito  axe  per  pundum  C  aut  D  tran- 
feunte. 

§.15  Sic  igitur  problemati  noftro  (ecundiim  totam 
eius  extenrionem  (atis^K^  im  eft ,  indeque  fimul  illuftratam 
atque  confirinatam  puto  (ententiam  noftram  ,  in  omni  fyfte- 
inate  ofcillationes  compofitas ,  quarum  fingularum  duratio 
et  excurfionis  magnitudo  a  (e  inuicem  pendent ,  Ytcunque 
ilatini  fint  inaequales  et  perturbatae  ,  tandcm  fieri  Tnifor- 
Hies  et  inter  (e  tautochronas :  faltem  hoc  certum  eft , 
pofle  fingularum  ofcillationum  excurfionibus  talem  affigna- 
si  proporfionem  ,  fiue  exciirOones  iftae  maiores  fiue  mino- 
res  fint  per  fe ,  vt  cum  fingulae  fimul  incipiunt ,  fimui 
etiam  finiantur,  atque  fic  conftanter  \ixiformes  tt  inter  le 
tautochronae  permaneant. 


EMEN- 


EMENDATIO 

TABVL  ARVM  ASTRONOMIC  ARVM 

PER   LOCA    PLANETARVM 

GEOCENTRICA. 

AVCIORE 

Leonh.  Eulero, 


5.  I. 

Q'^emadm(xinm  ex  tribus  planetae  ciiiLisqiie  primarii  m  n. 
iocis  heliocentricis  cum  integro  tempore  periodico 
/CompLiratis  orbita  planetae»  iniieftigari  atque  tabulae  afiro- 
ji:)micae  contici  queant ,  in  Comment.  Tomo  VIL  fufius 
expoliii.  Cum  autem  non  folum  difficile  fummopere  fit 
loca  heliocentrica  ex  obferuationibus  eruere ,  led  etiam  ad 
prDitirum  determinationem  loca  tam  exquifita  nulii.]ue 
vel  minimo  errori  obnoxia  requirantur ,  methodus  ibi  tra- 
dita  neque  (emper  neque  fatis  tuto  ad  hoc  inliitutum  ad- 
hiberi  potell.  Atque  hanc  ob  caufam  iam  illo  tempore 
ad  orbitam  folis  vel  potius  terrae  definiendam  potiiTimum 
^dftruxi ,  eo  quod  fingula  folis  loca  geocentrica  obferuata 
tocidena  praebeant  terrae  loca  heliocentrica ,  quae  adeo  fa 
tis  copiofe  exhiberi  poffunt. 

§  2.  Ad  loca  autem  heliocentrica  planetaaim  pri- 
inariorum  accurate  obferuanda  tot  diligentidime  inffcitiitis 
©bfcruationibus  tiiataque    circumlpedione    opus  eftj  Yt  non 

O  3  £icilc 


iio  EMENDATIO  TABl^ARVM  ASTRONOMlC. 

iacile  pro  quoiiis  planeta  terna  tantiim  ciiismodi  loca  ex 
tanta  obferuationum  multitudine  deriuari  queant.  Neque 
vero  ad  iftud  inftitutum  ternae  obferuationes  quaecunque 
heliocentricac  funt  accommodatae  ,  fed  eiusmodi  tria  loca 
requiruntur ,  quae  in  orbita  planetae  latis  a  fe  inuicem 
fint  remota  ,  ex  quo  intelligitur  maiorem  locorum  helio- 
centricorum  ijumerum  pro  fingulis  planetis  requiri ,  quo 
deledus  ternarum  obferuationum  maxime  idonearum  in- 
ftitui  queat. 

§.3.  Tres  autem  omnino  habentur  modi   ex  obfer- 
vationibus  planetarum   loca   heliocentrica   concludendi ,  qui 
omnes   ablolutam   ac   perfedlam   folis   theoriam  poftulant : 
quiim  quidem  tanquam  latis  cognitam  affumere  licet ,  cum 
ea  per  methodum   ante   expofitam   ex  obleruationibus  ex- 
adiffime  colligi  queat.     Primus  modus  confiftit   in  obfer- 
vatione  oppofitionis  cuiusque  planetae  cum  Ible  ,  qui  vero 
tantum   ad    planetas   fuperiores  patet ,   cum  in  inferioribus 
oppofitio  folis  nunquam  contingat.     Neque  vero  oppofitio 
planetamm   refpedu   folis   immediate  obferuari  poteft,  led 
ea  demum    ex  pluribus  obieruationibus    circa   oppofitionis 
tempus  inftitutis  deriuari  debet.     Ex  huiusmodi  fcilicet  ob- 
feruationibus  per  computationcm  verum   momentum  tem- 
poris ,  quo  plancta  foli  e  diametro    opponitur ,   definitur , 
quo  ipfo  momento  locus  terrae  heliocentricus  cum  planetae 
loco    heliocentrico    congruet ;    fiquidem     planeta   in    ipfa 
ecliptica  moueri   ponatur.  Quodfi  autem  planeta  cum  lati- 
tudine  obleruetur ,   tum   iftud  momentum   oppofitionis  ex 
obleruationibus  coUcdlum  vlteriore  corredione   indiget ,  vt 
vera  oppofitio  fecundum  longitudinem  inueniatur,  in  quo  ne- 
gotio  ipfa  iam  planetae  theoria  quafi  cognita  aflumi  debet. 

§.4.. 


FER  tOCJ  PLANETJRVM  GEOCENTRICA,  iix 

§.4.  In  planetis  inferioribus  Venere  et  Mercurio  qui^ 
oppofitiones  cum  fole  non  contingunt ,  eorum  coniundlio- 
nes  cum  fole  diligcnter  folent  obfcruari :  ex  his  enim  pari 
modo  loca  heliocentrica  deriuari  poffunt.  Interim  tamen 
iftiusmodi  obferuationes  ob  fummam  horum  planetanim 
et  folis  propinquitatem  hoc  tempore  perraro  et  non  fuis 
accurate  inftitui  pofliint.  Qiiare  cx  hoc  obferuationum 
genere  in  iis  tantum  maxima  fiducia  poni  poteft  ,  in  qui- 
bus  ifti  planetae  in  ipfo  folis  difco  con(piciuntur.  Hoc 
autem  non  folum  rariilime  euenit ,  fed  etiam  iis  tantum 
temporibus ,  quibus  hi  planetae  nodis  fuis  funt  proximi  ; 
ex  quo  per  hanc  viam  duo  tantum  loca  heliocentrica  in 
orbita  planetae  diuerfa  elicere  licet ,  quae  ad  theoriiim  Aabi- 
liendam  non  fufficiunt.  Neque  vero  ex  planetarum  inferiorum 
elongationibus  maximis  a  fole  obferuatis  loca  heliocentrica 
deduci  pofliint ,  nifi  orbitae  planetarum  circulares  affuman- 
tur  ,  quae  pofitio  pro  Mercurio  a  \eritate  nimium  abhor- 
ret.  Ex  quibus  clariflime  perfpicitur ,  quam  parum  \ti- 
litatis  loca  planetarum  heliocentrica  ex  oppofitionibus  et 
coniundionibus  cum  fole  coUeda  ad  noftrum  inftitutum 
afFerre  queant 

§.5-  Alter  raodus  loca  heliocentrica  planetaram  ex 
obleruationibus  aftronomicis  concludendi ,  in  obferuatione 
latitudinis  cuiusque  planetae  confiftit  ;  ex  qua  fi  tam  loci 
nodorum  quam  inclinatio  orbitae  planetae  ad  planum 
eclipticae  iam  ante  fuerit  cognita,  locus  planetae  heliocen- 
tricus  Ytique  colligi  poteft ,  quemadmodum  oftenditur  in 
Aftronomica  Gregorii.  Sed  quamuis  haec  requifita  exac- 
tiftime  eflent  cognita  ,  tamen  vel  minimus  error  in  ob- 
fcruatione  commiifus ,  qui  euitari  nuUo  modo  poteft ,  con- 

clufionem 


iri  E3IENDATI0  TABVLARVM  ASTRONOmC. 

clufionem  maxime  incertam  reddet.  Primum  enim  ma- 
nifellum  cft ,  fi  pliinetae  orbita  ab  ccliptica  pror(iis  nori 
dKcreparet ,  pcr  hanc  mothodum  nihil  omnino  ad  locum 
heliocentricum  determinandum  ,  inferri  pofTe  ;  ex  hoc  vera 
fponte  fequitur ,  fi  inclinationes  orbitaium  admodum  fint 
exiguae  vti  reuera  iunt ,  tum  iftam  methodum  ingentibus 
erroribus  obnoxiam  efle  oportere  •,  ita  \t  ea  iu  noftro  in- 
ftituto ,  in  quo  exactifiima  loca  heiioccntrica  defidemmus , 
nullius  plane  vfus  ede  pofiir. 

§.  6.  His  autem  duobus  modis  expofitis  loca  belio- 
centrica  planetarum  inuedigandi,  tertius  moJus  longe  ante- 
ferendus  efle  videtur  ,  qui  neque  latitudinem  planetae  fpc* 
dat ,  neque  determinatum  fitum  refpedu  (blis  requirit. 
Tempus  aucem  periodicum  planetae  ,  cui  ifte  modus  ac- 
commodatur ,  accuratiflTune  cognitum  ac  dcterminatum  efle 
oportet ,  id  quod  ex  tot  ob(eruationibus  tam  longo  tem- 
poris  interuallo  fiidis  ,  fatis  exade  coll  gi  potefl.  Qiiodfi 
enim  binae  eiusmodi  plinetae  obferuationes  eligantur,  quac 
integro  tempore  periodico  a  fe  inuitem  diftant ,  certum 
erit  planetam  vtraque  obferuatione  in  eodcm  orbitae 
fuae  loco  ver(atum  efle  ,  etiamfi  tx  terra  in  diuerfis  coeli 
locis  confpiciatur.  Ex  hac  ipfa  autem  dilferentia  locorum 
geocentricorum  verus  locus  heliocentricus  facile  concluditur. 
Interim  tamen  haec  methodus  aliatr  tutiflima  hoc  habet 
incommodi ,  quod  difficulter  et  raro  ad  datum  quoduis 
temporis  momentum  fitus  cuiusque  planetae  in  coelo  ol>- 
feruari  pofTit. 

§.7  Cum  igitur  loca  heliocentrica  plnnetnrum  vel 
non  fiitis  exadta  ,  qualia  requirimus ,  exhiberi  qiieant ,  vel 
tanta  temporum  opportunitas  ad  ea  definienda  poftuletur, 

quali» 


?ER  LOCA  PLANETARVM  GEOCENTRICA,  ns 

qualis  raro  contingere  folet ,  in  eam  incidi  cogitationem , 
quemadmodum  per  loca  quaecunque  geocentrica  orbitae 
pLinetarum  determinari ,  ac  tabulae  aftronomicae  confict 
queant.  Qiianquam  autem  mox  intellexeram  ,  problema 
1k)c  efle  determinatum  ;  atque  cx  aliquot  locis  geocentri- 
cis  orbitas  plunetarum  determinari ,  tamen  ipGi  folutio  tan- 
topere  fit  difficilis  et  moMilTimis  calculis  implicata  , 
Tt  ea  nullo  modo  ad  finem  perduci ,  multo  minus  ad 
■vfum  accommodari  queat.  Perfpicuum  quidem  eft  praeter 
tempus  periodicum  planetae  cognitum  tria  loca  geocentrica 
ad  problema  determinnndum  (iifficere  ,  Terum  ,  qui-a  qni- 
"vis  locus  geocentricus  primum  loco  folis,  et  deiadc  tam 
longitudinc  quam  latitudine  planetae  definiri  debent ,  toC 
quantitates  diuerfae  in  calculum  introduci  debent,  vtisnoa 
maxime  intricatus  fieri  omnino  nequeat, 

§.8.  Poftquam  autem  cogitafiem  orbitas  planetarum 
minc  quidem  non  adeo  efle  incognitas ,  Tt  earum  inuerti- 
gatio  a  primis  principiis  repeti  debeat ,  motusque  ipfomm 
planetarum  omnino  ignoretur  ;  fed  non  fokim  teinpora 
periodica  pe.'  plurimas  obleruationes  accuratilTime  iam  efle 
definita ,  vemm  etiam  ipfas  orbitas  fatis  prope  cognitas 
haberi  :  ex  his  fi  debito  modo  in  caiculum  inferant«r  , 
iacile  profpexi ,  kborem  vehementer  fiibleuari  poffe.  Qiian- 
do  enim  non  tam  Yerus  planetarum  motus  ex  iblis  ob- 
iernationibus ,  quam  eius  tantum  aberratio  a  theori-a  iain 
ifebilita  ,  quae  minima  efl: ,  indagatur  ,  calculus  ex  eo  prin- 
cipio  fiicilior  reddetur  ,  quod  errores  thcoriae  ih\  tabnlarum 
aftronomicansm  tanquam  quantitates  infinite  paruac  tracSlari 
queant ,  quo  ipfo  formulae  et  aeqi>ationes  alias  intdcatiffN 
mae  fatis  pJanae  €t  fimplices  fieri  foleat. 

Tm.  XIL  P  f  p. 


XI4  EMENDATIO  TABVLARFM  ASTRONOMIC, 

§,9.  Negotinm  igltnr ,  qnod  in  hac  difTcrtatione  mi  • 
hi  expediendum  fumfi ,  in  hoc  conftat ,  vt  tabulas  aftro- 
nomicas  vfu  receptas ,  quae  quidem  ad  veram  theoriam 
motus  planetarum  fint  conftrudlae ,  per  aliquot  obferua- 
tiones  (eu  loca  geocentrica  corrigam  ,  atque  detiniam  ,  quan« 
tum  iliae  a  veritate  diffentiant  ;  errore  enim  cognito  ta- 
bnlae  etiam  maxime  vitioiiie  fiicili  negotio  emendabuntur. 
In  -hoc  autem  inftituto  ipfas  aberrationes  tabularum  a 
Ycritate  ,  in  quas  inquiro  ,  tanquam  quantitates  infinite  par- 
vas  feu  difFerentiaies  fum  contcmplaturus ,  ita  vt  termini , 
in  quibus  earum  plures  dimenfiones  occurrunt ,  tuto  negli- 
gi  queant.  Videndum  igitur  erit ,  quantum  loca  planetae 
obferuata  a  locis ,  quae  tabulae  pro  iisdem  temporibus  fup- 
peditant ,  cum  Ibcundum  longitudinem  tum  latitudinem 
difFerant ,  quae  ipfa  difcrimina  tam  erunt  exigua ,  vt  in- 
ftar  quantitatum  differentialium  tradari  queant;  deinde  ex  his 
ipfis  difFerentiis  definiri  debebit ,  quantum  et  quibus  in  lo- 
cis  tabulae  immutandae  fmt ,  vt  cum  obferuationibus  per- 
iediffime  confentiant. 

§.  10-  Quoniam  autem  orbitae  planetarum  determi- 
nari  ex  obferuationibus  terreftribus  non  poffunt ,  nifi  orbi- 
ta  terrae  perfede  fit  cognita  ,  eam  hic  tanquam  perfedle 
cognitam  affumo  ,  ita  vt  eius  ope  locus  foJis  ad  quod- 
\is  tempus  fine  vllo  errore  aflignari  queat.  Ad  motum 
quidcm  fohs  definiendum  maxime  accommodata  cft  me- 
thodus  fupra  memorata  determinandi  orbitas  planetanim 
ex  tribus  locis  heliocentricis  ;  verum  tamen  hic  quoque 
modum  trademus  theoriam  fblis  quamcunque ,  fi  corrediO' 
ne  egeatj   per    obferuationes    corrigendi>     Hocque  modo 

etiam 


TERtOCA  riANETJRVM  OEOCENTRICA  ii$ 

etiam  fTicilius  vera  folis  theoria  obtinebitur ,  quam  fi  ca 
omnino  a  priori  indagari  deberet. 

§,  II.  Deinde  etiam  data  pono  (ingulonim  planeta- 
rum  tempora  periodica  ,  quippe  quae  ex  tot  feculorunx 
interuailo  inflitutis  obferuationbus  multo  accuratius  funt  defi- 
nita  ,  quam  per  obferuationes  nunc  inftituendas  yd  exqui- 
fitiflunas  expedari  poflct.  Ex  datis  autem  temporibus  pc- 
riodicis  planetarum  fimul  ratio ,  quam  inter  ie  tenent  or« 
bitarum  axes  trasuerfi  ,  (eu  diftantiae  a  fole  medwp  ,  in- 
notelcit ;  omnino  enim  fequi  conueniet  theoriam  motus 
planetarum  a  Newtona  (labilitam.  Hanc  autem  theoriam 
fecuturus  fingulorum  planetarum  tam  aphelia  quam  nodos 
refpedu  ftellarum  fixarum  quiefcere  affumo  ;  f^u  ipfis  re- 
Ipedu  aequino(fliorum  motum  ipfi  praecelTjoni  aequinodio- 
rum  aequalem  tribuo,  Quae  affumtio  -yti  rationi  maxime 
eil:  confentanea ,  ita  etiam  cum  obferuationibus  apprime 
confentit .  neque  ,  vti  quibusdam  aftronomis  \idetur  ,  per 
obferuationes  refellitur, 

§.  j2,  Quodfi  mmc  tabulas  aflronomicas  contemple- 
mur ,  ex  quibus  loca  planetarum  fupputari  folent ,  depre- 
hendemus  eas  quinque  rebus  ex  obferuationibus  defumtis 
niti ,  totidemque  propterea  nominibus  erroneas  efle  pofle. 
Primum  enim  error  in  loco  aphelii  afliimto  ineffe  potefl , 
ita  vt  eius  vera  longitudo  vel  maior  fit  vel  minor ,  quam 
in  tabulis  ponitur.  Secundo  excentricitas  orbitae  feu  folisdiflan- 
tia  a  centro  orbitae  vel  nimis  magna  vel  nimis  parua  affumta 
effe  poteft.  Tertio  vero  error  inefle  poteft  in  anomalia  media, 
quae  ad  datam  aeram  conftituitur  :  ita  vt  ea  vel  maior  ftatui 
debeat  vel  minor ,  qui  error  fi  quis  fuerit  deprehenfus  pro 
quouis  tempore  idem  manebit ,  fi  quidem  tempus  perio- 

P  2  (U 


ti6  EMEKDATIO  TABVLARVM  ASTRONOMIC. 

diciim  recte  eft  afllmitum.  Quarto  loca  nodorum  in  ta- 
bulis  aHignatci  poflunt  cfle  vitiolii ,  etfl  his  maxime  fidere 
pofle  videiiiur.  Qiiinto  denique  euenire  poteft  ,  vt  incli- 
natio  orbitae  ad  eclipticam  ,  quae  in  tabulis  ponitur  ,  a 
veritate  recedat.  Fieri  igitur  poteft ,  vt  tabulae  aftromi- 
cae  quintuplici  corredione  opus  habeant. 

§.13.  Vnub  autem  planetae  locus  ex  obferuationibus 
dedudtus  duplici  modo  a  tabulis  diflentire  poteft  ratione 
fcilicet  vel  Jongitudinis  vel  latitudinis.  Quare  fi  flnguli 
diflenfus  obferuationum  a  tabulis  ad  totidem  tabularum 
errores  detegendos  fafliciant ,  bina  alicuius  planetae  loca 
geocentrica  obfeniata  non  erunt  fufficientia  ad  qumque  er- 
rores  corrigendos ,  terna  autem  non  folum  omnes  errores, 
qui  in  tabulis  inefle  poflTmt ,  patefacient  et  corrigent ,  fed 
vna  etiam  conditio  redundabit ,  quae  ad  confirmationem 
emendationis  inftituendae  adhiberi  poteft.  Ita  fe  res  habet 
fi  quinque  erroribus  tabulae  fint  obnoxiae ,  ex  quo  videri 
poflet ,  paucioribus  obleruationibus  negotium  expediri  pofle, 
fi  inclinatio  et  nodi  rede  conftituti  fint  in  tabulis ;  nihilo 
tamen  minus  etiam  ttim  tribus  opus  erit  obferuationibus , 
cum  ipfae  obfaruationes  veritatem  nodorum  et  inclinationis 
orbitae  in  tabulis  afliimtae  declarare  debeant. 

§.14.  Ponamus  iam  pro  quocunque  planeta  cuius 
corredio  fuscipitur  ,  eius  diftantiam  n  (ole  mediam  feu 
orbitae  ipfius  lemiaxem  transuerfum  efle  zz  a  cuius  quan- 
titas ,  quia  a  folo  tempore  periodico  pendet  in  tabulis 
redle  aTignata  ponitur ,  ita  vt  corredione  non  egeat.  De- 
inde  fit  excentricitas  leu  diftantia  (blis  a  centro  orbitae  ad 
diftat  t'.\m  mediam  applicata  ,  qualis  in  tabulis  habetur  =: 
k  >  vera  autem  excentricitas  fit  —  /^  -4-  dk,     Tertia  ano- 

inalia 


PER  lOCA  TLANETJRFM  CEOCENTRICA,  117 

malia  media  in  tabulis  nd  quoduis  tempus  exhibita  ita  a 
veritate  diicrepet ,  \t  ea  perpetuo  augeri  debeat  angulo 
</;//.  Quarto  fit  longitudo  aphclii  in  tabulis  exhibita  ,  at- 
que  a  prima  ftelia  arietis  computata  zz:  p  ,  vera  autem 
eiusdem  aphelii  longitudo  fit  :zz  p  -\-  dp.  Qiiinto  fit 
longitudo  nodi  afcendentis  in  tabulis  pofita  a  prima  pari- 
ter  Iklla  arietis  computata  =1  ^  ;  at  \era  eiusdem  nodi 
longitudo  fit  ^  -h  dq.  Sexto  denique  fit  inclinatio  orbi- 
tae  planetae  ad  planum  edipticae  ,  quae  in  tabulis  indica- 
tur  zz  «  ;  vera  autem  inclinatio  fit  zzzn  -\-  d n. 

§.15.  Ex  tabulis  ergo  aftronomicis  quibusque  haben- 
tur  valores  literarum  a  ^  k  ^  n  ^  p  Gt  q  ^  cx  quibus  di- 
ftantiam  njcdiam  a  ex  tempore  periodico  dedudam  reli 
quas  litteras  vero  \ndecunque  ex  obferuationibus  conclu- 
las  efle  pono.  Praeter  hos  vcro  valorcs  nihil  quicquam 
ex  tabulis  delumam  ;  aequationem  cnim  anomaiiitc  nicuiae 
vel  addendam  vel  fubtrahendam  non  ex  tabulis  defumam, 
led  ipfe  quouis  cafu  calculo  definiam  ,  non  tam  quafi  ta- 
bulis  aequationum  parum  confidcrem,  quam  quia  ifte  ipfe 
calculus  quo  aequatio  anomaliae  definitur ,  ad  corrediones 
inftituendas  requiritur.  Corredtio  autem.  in  hoc  confiftet, 
vt  errores  tabularum  a  veritate  ,  quos  his  exprefllonibus 
difFerentialibus  dk  ^  dm  .,  dp  ^  dq  et  dn  denotaui ,  deter- 
minem  ;  hoc  enim  fado ,  dubium  erit  nullum  ,  quin  ta- 
bulae  perfedlifiTime  fint  emendatae  ,  fi  quidem  obferuatio- 
nibus  certjflimis  ad  has  corrediones  vtamur^ 

§.  i5.  Eiusmodi  autem  obferuationes  adhiberi  con- 
venit ,  quibus  planetae  ad  datum  tempus  tam  longitudo 
quam  latitudo  contineatur  ;  fit  igitur  pro  definito  quodam 
tempore  longitudo  planetae  ex  obferuationibus  deduc1:a  — 

P  3  F, 


II S  EMEKDATIO  TABVLAWM  ASTKOKOMIC, 

F ,  quae  pariter  a  prima  ftelhi  arietis  fit  computata  ,  lati- 
tudo  vero  fit  =  G.  Ad  idem  Yero  tempus  locus  pla- 
netae  ex  tabulis  fuppntetur ,  fitque  longitudo  ex  tabulis 
inuenta  "::=::/,  latitudo  autem  zn  g.  Qiiodfi  vero  tabulis 
corredis  vti  liceret,  foret  longitudo  ziz  f-\-  df^  et  lati- 
tudo  -zzg-^  dg  ^  quae  perfede  cum  obleruationibus  con- 
fentire  deberent;  erit  itaque  Fi:r:/-i-  df  atque  G  —  ^  -+- 
dg  ,  hincque  dfzz:  F— /  et  dgz^Q  —g.  Cognolcentui: 
igitur  itti  valores  df  et  dq  ,  quos  tanquam  difFerentialia 
ipedto ,  ex  comparatione  tabularum  aftronomicarum  cum 
obferuationibus  j  iidem  vero  ex  afllimtis  tabularum  errori' 
bus  dk ,  dm  ,  dp  ^  dq  y  et  dn  definiri  poterunt  ;  vnde 
viciftim  errores  tabularuip  per  obfcruationes  dignofci ,  ip- 
faeque  tabulae  corrigi  poterunt. 

^.  J7.  Cum  Jgitur  liabetqr  obferuatio  planetae   om- 

nibus  nunieris  abfoluta  ,  ^d  jd  tepnpus ,  quo  obferuatio  eftj 

lada,  locus  planetae  hoc  eft  eius  longitudo  ac  latitudo  ex 

tabulis  ftpputetur  ;  quas  litteris  f  ct  g  defignaui.     Quod  fi 

autem  valores  /  et  ^  ex  tabulis  eruantur  ,  compofiti  erunt 

ex    litteris    cognitis ,    quibus    tabulae     funt  fuperftrudae  , 

fcilicet  a^k^p^qQtn  ^  eruntque  harum  litterarum  quafi  fun- 

^iones,     Ex  his  yero  ipfis  yaloribus  per  calculum   difFe- 

rentialem  definiri  poterunt  Jongitudo /4-^/etlatitudo^-|- 

dg  y  poriendo  k-^dk'^  p-\-dp\  q-^dq\  n-\-dn  loco 

jk,  p,  ^  et  ;2,  atque  anomaliam  mediam  tabularem  augen- 

do  angulo  dm ,     etiamfi  ipfae  qnantitates  hae  differentia- 

les  dki  dpj  dq^  dn  et  d?n  fint  per  fe  incognitae.    Q_uo- 

niam  auten  longitudo  f-hdf  et  latitudo  g  -\-dg  ex  ta- 

bulis  corredlis  nata  cum  longitudine  et  latitudine  obferuata 

f  ongruere  debet ,  hae  difFerentiae  df  et  dq  ex  difcrimine 

tabula^ 


TER  LOCJ  TLANETAWM  GEOCENTRICJ.  ii(> 

tabuliirum  et  obferuationis  primum  cognofcentur ,  eaedem 
Yero  etiam  per  corrediones  adhibencias  determinabuntur,^ 
Tnde  huius  modi  binae  aequationes  ex  qualibct  obieruatioae 
conficientur 

dgzn  a  dm  +  ^  dk-\-y  dp-{-  B  d  q^  e  dn 
atque  cum  ex  tribus  obferuationibus  (ex  huiusmodi  aequa- 
tiones  oriantnr,  eae  abunde  fufficient  ad  valores  differentiales 
dm,  dk,  dp^  dq  et  dn  determinandos,  quibus  determina- 
tis  tota  tabularum  aftronomicarum  corredio  erit  abfoluta. 

§.  1 8.  Videamus  igitur  quemadmodum  ex  iis  rebus  da- 
tls,  quibus  tabulae  inniti  folent ,  et  quas  litteris  ^,  jb,  p^ 
q  tt  n  indicauimus ,  ad  datum  tempus  planetae  tam  lon- 
gitudo  quam  latitudo  computari  debeat.  Ad  datum  igi- 
tur  tempus  ante  omnia  tabulae  praebent  planetae  ano- 
nomaliam  mediam  ,  quae  fit  zizx  ,  qua  cognita  inueftiga- 
ri  debet  anomalia  excentri ,  quam  tautisper  littera  v  indi- 
cemus.  Ita  autem  haec  anomalia  excentri  cum  anomalia 
media  eft  connexa  Yt  iit  .rzz:'z;-+-^fin.  i;  ex  qua  aequa- 
tione  quidem  data  anomalia  excentri ,  anomalia  media  per 
transmutationem  finuum  in  arcus  facile  definitur.  At  vi- 
ciflTim  ex  anomaha  media  ,  excentri  anomalia  per  hanc  ae- 
quationem  determinabitur  vzz:x—k^\vi.{x—k  fin.  (jv— ^fin, 
(.r— etc.  quae  etfi  eft  infinita ,  tamen  facili  negotio  va- 
lorem  ipfius  v  tam  prope  fuggerit ,  quam  quidem  ad  in- 
ftiturum  requiri  poteft.  In  circulo  fcilicet,  cuius  radius  eft 
I.  quaeritur  arcus  aequalis  ipfi  k  fin.  x.  isque  ab  anoma- 
malia  media  x  fubtrahatur  \  refidui  arcus  denuo  fumatur 
finus  ,   eique  per  k    multiplicato  arcus  capiatur  aequalis , 

qui 


120  EMENDJTIOTABFLAWM  ASTRONOMIC- 

qui  denuo  ab  anomalia  media  x  auferatur  :  arcus  refidui 
iterum  finus  fumatur ,  eique  per  k  multiplicato  arcus  ae- 
qualis  fumatur  ,  ab  anomalia  media  x  fubtrahendus  ^  haec- 
que  operatio  tam  diu  repetatur ,  quoad  refidui  arcus  am- 
plius  neque  crefcant  neque  decrelcant ,  quod  fi  euenerit,  id 
quod  femper  ante  quartam  operationem  continget ,  "vlti- 
mum  refiduum  dabit  valorem  anomaliae  excentri  i;.  In- 
terim  in  hoc  negotio  annotari  oportet  ,  quod  fi  anomaliae 
mediae  finus  fuerit  negatiuus ,  arcus  inde  natos  quoque  fu- 
turos  effe  negatiuos ,  ac  propterea  ab  z  non  fubtrahi,  led 
ad  id  addi  debere  ;  quod  ei,  qui  in  calculo  eft  exercita- 
tus  nullam  pariet  difficukatem,  Ex  tabulis  itaque  ad  da- 
titm  tempus  planetae  cognofcitur  anomalia  media  ,  atque 
ex  hac  coniundim  cum  excentricitate  k  reperietur  anomalia 
excentri   v. 

§.19.  Cogriita  anomalia  excentri  1? ,  ex  ea  primum 
iacillime  colligitur  vera  pkinetae  diftantia  a  fole  ,  yel  eiut 
ratio  ad  diftantiam  mediam  a ;  pofita  enim  planetae  diftantia 
a  fole  ~  J  ,  erit  y  z::  a  {  1  -\-  k  cof  v  )  Deinde  etiam  ex 
anomalia  excentri  1;  inueniri  poteft  yera  anomalia  plane- 
tae  ,  feu  eius  al)  aphelio  diftantia  ex  fole  yiCi  ;  quodfi 
enim  planetae  anomalia  vera  ponatur  =:  z  ,  poterit  fatis 
commode  valor  ipfius  z  ex  hac  aequatione  etfi  infinita  ex- 
pedite  determinari ,  qua  eft  zzizv—kCm.^^-hlk^Cm.^v 

—  A-  ^ *  ( fin.  3 1;  +  3  fin.  1; ) -^  etc.  aptior  autem  ad  praefens 
inftitulum  ei^  haec  acquatio  ,  qua  yalor  ipfius  z  abfokite  re- 
peritiir;    qiia  eft  coC  z  :zz  ^^^ —^(^-i- cof 'u)  ob 

j  zizaii^k  cof  V ) :  vel  per  finus  verfos  hoc  modo  :  CmiK 

z  zz  \:j^~  1  vel  etiam  per  finus  ita:  m.  zzz  —^c-^j— 

—  !-  fin.  V.  y[i-k'}.  §.  20. 


PER  lOCA  PLANETARFM  GEOCENTRICA.  i.2x 

§.20.  Ex  anomalia  vera  hoc  modo  inuenta  ,  atque 
ex  datis  orbitae  phinetae  aphelio  ,  nodo  afcendente  ,  et  in- 
cluiatione  ad  eclipticam  porro  planetae  longitudo  ac  lati- 
tudo  heh'ocentrica  fequenti  modo  definientur  :  Repraefentet  Tab.  ii, 
circulus  y^ap  t^  in  cuius  centro  S  fol  verfatur  eclipticam  ^^'  5» 
et  NAP;^  orbitam  planetae  in  coelo  proiedam  ;  fitque 
y  prima  ftella  arietis  leu  potius  eius  locus  ad  eclipticam 
relatus  ,  N  orbitae  planetae  nodus  afcendens ,  A  aphelium 
orbitae  planetae  ,  et  P  eius  locus ,  quem  pro  dato  tempo- 
re  tabulae  monftrant.  Centro  porro  S  per  A  et  P  arcus 
circuhres  Aa  et  ?p  normales  ad  eclipticam  ducantur , 
quorum  ille  Aa  feu  potius  angulus  AS<?  latitudinem  aphe- 
lii  heliocentricam  ,  hic  vero  ?p  feu  angulus  PSp  ipfius 
planetae  in  P  verfantis  latitudinem  heliocentricam  praebet. 
Longitudo  autem  heliocentrica  a  prima  ftella  arietis  T 
computata  primum  nodi  afcendentis  N  erit  arcus  'V'N— ^; 
deinde  aphelii  A  arcus  yanzp  ipfius  autem  planetae  in 
P  exiftentis  longitudo  heliocentrica  erit  arcus  "^Nap^ot-^ 
bitae  vero  ad  eclipticam  mclinatio  quam  pofuimus  zzn  y 
repraefentatur  angulo  AN^feu  VNp. 

§.  21.  Anomalia  autem  vera  planetae  zcR  arcus  AP 
feu  angulus  ASP.  Qiiare  cum  fit  Nazizp—p  ex  trian- 
gulo  fphaerico  AN^  elicitur  arcus  N  A  tangens  —  ^^^^X'^ 
hincque  erit  NAzr  arcui,  cuiustangens  erit  n:  ^"Joj^l'~\  quem 
arcum  ,  quia  tam  facile  reperitur  ponamus  zz:  e  ita  vt  fit 
NA=z:^,.et  tang.  ^=:  '-^j^\  Cum  nunc  fit  arcus  A 
Przis  erit  arcus  NAP^z^H-s,  vnde  reperinir  tang.  ar- 
cus  Nap—  cof  «.  tang.  {e-\~z)  '^  ponatur  ifle  arcus  N 
^pznr .  ita  vt  fit  tang.  r—coCn.  tang.  {e-^z)y  erit 
Tom.  XIL  Q,  5-^f 


ift£  EMENDATIOTABVLARVM  ASTRONOMIC. 


q-\-r  longitiido  planetae  heliocentrica  a  prinna  ftella  aric- 
tis  *V  computata.  Praeterea  \ero  erit  arcus  Pp  feu  an- 
guli  PSp  finus  znfin.  w.  fin.  (^+5;),  qui  eft  finus  la- 
titudinis  heliocentricae  planetae  ad  boream  declinantis  ;  fi 
quidem  ea  eft  affirmatiua.  Ponamus  autem  hanc  plane- 
tae  latitudinem  helioceiitricam  effe  zi:  J ,  erit  fm.  j  rz  fin.  «. 

§.22.  Vt  haec  ^Kilius  (Iib  confpedlum  cadant ,  omma 
in  fequenti  tabella  compledi  Yifum  eit.  Erit  igitur 
Diftantia  planetae  media  a  fole  zzi  a 
Excentricitas  =  k 

Aphelii  longitudo  helioc.        mp 
IsJodi   afcendentis  longit.  n^ 

Inclinatio  orbitae  =  n 

Porro  ad  datum  tempus  ponatur. 


xzz:v-\-k  fin.  v  ^el 

•r=r:x-fefm.  {x—M\\\.  {x—h^\n,{x-  etc.) 

vzrfi-^iH-^cof  1?) 

cof.  zz^  j  {k.-^-  cof.  v) 

tane  ^^-^ifcs.) 

tang.  r.:i:  cof  n  tang.  (^-i-^) 


Plan.  anom.  med.  zr:  a' 
Anomal  excent.  zr  ^' 
Diftantia  a  fole  zizy 
Anomalia  vera  ==:  z 
Dift.  aph.  a  Nodo  —  e 

Long.PIan.  a  nodo  rz  r 

Long.  plan .  heliocentr. 

apr.^Vrz^-fr 

Lat.  plan.  helio- 

centrica  boreal.  =:  s  \  (in^  szz  fin.  n,  (In  (e-^-z) 

§.  23.  Inuentis  autem  cum  longitudine  planetae ,  tum 
ctiam  latitudine  heliocentrica  ,  ex  iis  fequenti  modo  lon- 
gitudo  et  ktitudo  geocentrica  determinabitur.    Sit  T  ter- 

xae 


FER  LOCA  PLANETJRVM  GEOCENTRICA    i£5 

rae  locus  eo  momento  ,  quo  obferuatio  ed:  fada  ,  eius  di- 
ftantia  a  (ble  =i  c  ;  longitudo  terrae  a  prima  fteila  arietis  '^*  '^ 
computata  feu  angulus  VST  — «,  fit  porro  vt  ante  re- 
6ta  SN  linea  nodorum  orbitae  planetae  ,  atque  N  eius 
nodus  afcendens  ,  A  apiielium  ,  et  P  locus  planetae  ex 
tabulis  in  orbita  iuucntus.  Ex  P  demittatur  in  planum 
eclipticae  perpendiculum  ?p  ,  erit  per  praecedentia  angu- 
lus  y*  Sp  longitudo  plsnetae  heliocentrica  zz^^r:  et 
angulus  ?Sp  leu  latitudo  heliocentrica  n.f.  Quare  cum 
fit  P  S  diftantia  planetae  a  foie  —j  ,  erit  ?p  zzj  fm.  s , 
et  diftanta  a  fole  curtata  SpzizycoCs.  lam  in  triangu- 
lo  pST  dantur ,  anguius  pSTzizu-q-r  ^  latus  pSnzj 
cof  j  ,  et  latus  STzi:^.  Dudo  ergo  ex  p  in  ST  per- 
pendiculo  pV  ^  erit  pV zzjycoi' s.  fin.  («  — ^  — r)  ,  ct  S 
V zny coC s. coC  {u—q—r)  vnde  T  V zzyco(.  s.  coi'.  {u-q 
~r )  -..  Ex  his  fit  anguli  pTV  tangens  =z  f^^i:^ 
Vocetur  hic  angulus  pT  V  zzt ^  ita  vt  fit  tang  t  zzi 
5^^j-u"r^Z7p7-  Q."o  nuiento  erit  u—t  longitudo  pla- 
netae  geocentrica  a  prima  ftella  arietis  fumta.     Deinde  eft 

jhl^iiii"flr) ,    quae    expreflio   praebet  tangentcm  latitudinis 
planetae  geocentricae  feu  anguli   PT^.      Haec   autcm   fic 
coniunc^im  (e  habebunt. 
Diftantia  terrae  a  fble   =:  r  | 
longitudo  terrae  :zz  u 

angulus  quidam  pTV  -^t 
longitudo  geocentrica  zz  j 
latitudo  geocentrica        zr^ 


|j.^„p,   f —  ycoJ.s.fm.[u-q-.r) 

f—  u  —  i 

tang.  ^  -  j,;^^3^ 


Q  2  §.    24.. 


124  EMEmATIO.TABVLAEPM  ASTRONOMIC. 

§.  24.  Hoc  igitur  modo  ex  pofitionibus ,  quae  ia 
tabulis  afllimuiitur ,  ad  datum  tempus  planccae  determinan- 
tur  longitudo  et  latitudo,  primo  quidem  heliocentricae ,  tum 
"vero  etiam  geocentricae  :  quae  itaque  rede  fe  haberc , 
et  cum  obferuationibus  confpirare  deberent ,  fi  quidem  ta- 
bulae  omni  vitio  carerent.  Qiiodfi  autem  ponamus  erro- 
res  quam  minimos  tabulis  inelTe  ,  ex  iis ,  etfi  nobis  adhuc 
incognitis ,  loca  planetae  tamen  corrigi  poterunt.  Cum 
igitur  corrediones  adhibendas  inftar  differentiahum  earum 
quantitatum  ,  quibus  refpondent ,  confideremus  et  defigne- 
mus  ,  errores  longitudinis  et  latitudinis  planetae  ex  ta- 
bulis  inuentae  inueniemus  ,  fi  iplas  expreffiones  pro  iis 
erutas  more  folito  diflerentiemus ,  ponendis  iis  quantitatibus 
variabilibus ,  in  quibus^  errores  inefle  poffunt.  DifFerentia* 
lia  autem  quae  in  hoc  calculo  occurrent  erunt  haec  cim ; 
dk ;  dp  \  dq  et  dn ,  ex  quibus  difFerentialia  reliquarum 
litterarum  afTumtitiarum  determinari  poterunt.  Qtioniam 
autem  dm  fignificat  errorem  anomaliae  mediae  tabularis 
addendum  ,  anomalia  media  ex  tabulis  inuenta  x  augeri 
debebit  illa  particula  dm^  cx  quo  erit  dx—dm. 

§.  £5.  Quia  deinde  efl  xziiv-\-k^m.v  ^  erit  difle. 
rentiando  dx  zz  dm  zizdv^-  dk  fin.  1; + ^  dv  cof  v  liincque 
dv ir  —q^j^^  =:  jT  ( dm  - dk  fin.  v ).  Porro  efl  jk  =  ^ 
( I  -H ^ cof  1; )  ,  hincque  dy—adkco^.v—akd v fin.  v.  ia 
qua  (i  loco  dv  valor  fuperior  fubflituatur ,    prodibit 

T    etdk  coj^v-i-ahdk — akdmfin.v  ,7       r  akdvifi^v       t- 

^J— -T^TTojT^ — — ^^tofg-  ^^kU-o'   Ex 

aequatione  autem   cof  z  =  ^^l^ktj.v  fequitur  —dz^m.zz=: 

dkjm,i'.'jin.-v — {-k^^^dvjin.v  ^  r^       ,         .7        /»       n, 

' h-^kooj.iJY^ — ■ quae   pofito  (  i  H- ^  cof 'y  ).'  =: 

f,--fe^)g;r^    nmehet    hinr     d'-—  ^^'-^^"-'^.  _  dk.jin.z__ajmjin^ 

odkjin.z        dkjin.z  ^  ^ 


PER  LOCA  FLANETJRVM  GEOCENTRICA  113 

§.  2,6.     Dehinc  ad  difFcrentialia    reliquarum    littera- 
rum  peruenimus ,  ac    primo   quidem   aequatio   tang.   e  zz: 

tang  (p-q)       ^„^„u^^     j  - (dp—dq)coS e)^  dnJinn.iang.(p.q){coJ.e)* 

cof.a'^'      Piaeoet    a  e  coj.nicojip-q))*  -\ i^.n)^  • 

Sequens  vero  aequatio  tang.  r  zz:  cof.  «.tang.  {e-\-z) 
diflferentiata  dat  i^^  zz:  —  dnCin.  n  ,   tang.    {  e  -\-  z  ) 
-f-  ij^]^r  >  in  qua  aequatione  non  expedit  valores  fu- 
periores  loco  de  et  dz   fubftituere  ,    ne    formulae    nimis 
fiant  itttricatae.     Interim   tamen    quouis    exemplo    oblato 
minori  opera  Yalor   ipfius   dr  per  differentialia    primitiua 
dniy  dkj  dp^  dq^  et  dn  poterit  definiri.     Hoc  autem 
inuento  erit  longitudinis  helioccntricae  q  -{-  r  differentiale 
zn:  d  q  -^  d  r.     Latitudinis  autem   heliocentricae    s    diflfe- 
rentiale  determinabitur  per  hanc  aequationem  d  s  cof  s  zn 
dn  cof.  n  fin.  {e  -^-  z) -^-  [d e  -^-  d  z\  fin.  n.  cof  (^-f-^) 
Ex  his  itaque   mutationes  in  longitudine  et  latitudine-  he- 
liocentrica  ,  quas  quinque  tabularum  errores  alfumti    atque 
per  obferuationes  determinandi  producunt ,  cognoscuntur. 

§.  27.  Progrediamur  igitur  ad  mutationes  in  longi- 
tudine  ac  Lititudine  geocentrica  ortas  defiiiiendas ,  quo  \w 
negotio  ,  qiiia  folis  theoriam  perfedam  ponimus,  quantita- 
tes  locum  terrae  determinantes ,  quae  iimt  c  tt  u  ^  mu 
quam  conflantes  tradlari  oportet.  Primum  autem  ad  difl 
ferentiale  anguli  t  alfignandum  vtamur  aequatione  hac  cot. 
t  ~  cot.  {u~q-r)-  -z^^^u^f^  cuius  differentiale  eft 

■ — dt      dq-Jr-dv ^^      cdy ___     cdstang^s 

(/in.f)*  (Jin.{u-q-r))'^   "i     yycoJ.sJinj;,u-q-r)  ycoj.sjvuin-q—.r) 

-  '^^^^rT^'     Inuento  autem  diiferentiali  dt ,  erit 
longitudinis  geocentricae  /  incrementum   df  zz  —  d  t  zni 

(dq^drXJin.t)^       .       cdy(Jm.t)* cdstang^s  ( Jin.  t  )*  _^ 

Jin-iu — 3--*'))*        "^  X^(:oJ'Sjvi^u~q-r)  y  coJ^iJiJi.  i^u — £ — r} 

Q..3  fi 


125  EMENDJTIO  TABVLAKVM  ASTRONOMIC. 

P^,^:-?r^^— •     Latitudinis  aiuem  geocentricac  g 
increineatiim  cognofcetur   ex    hac    aequatione    differentiali 

dg         dsfin-t  __  dfcof.i.tang.5  (d  -j-dr)  i.ff. fang.  t|_ 

(cqf.s)^  {coJ.i)^Jin.{u-q-r)         fia.{u-q-~r)  ~*     Jli'[u-q-r)t..nt'{u.-q-r) 

§.  2  8.  Qiiod  fi  autem  eo  tempore  ,  pro  quo  iitc 
calculus  eft  fiidus,  per  obleruationes  habeatur  locus  plaiie- 
tae ,  eiusque  iongitudo  geocentrica  a  prima  ftella  arietis 
computata  fit  ^F  ^  latitudo  autera  geocentrica  :=:  G ; 
corrediones  tabulae  ,  quae  confiftunt  in  valoribus  </ «/ , 
dkf  dpy  dq^  et  ^w,  ita  debebunt  effe  comparatae  , 
vt  fiat ,  df:iz  F  — /  et  dgzizG  —g.  Quare  ciim  df 
et  dg  ex  aberratione  tabularum  ab  obferuationibus  cognos- 
cantur  ,  ex  tribus  obferuationibus  determinari  poterunt  ip& 
iila  difFerentialia  dtn^  dk^  dp^  dq  et  </«,  quibus  co- 
gnitis  tabulae  etiam  corredlae  habebuntur.  Erit  fciiicet 
pro  tabula  vera 

Planetae  diftantia  a  fole  media       n:  a  . 
Excentricitas  orbitae  z=:k-\-  dk 

Longitudo  Aphelii  heliocentrica        "zz  p  -^  dp 
Longitudo  nodi  afc.  Iieliocentrica     zn  q  -\-  d  q 
Inclinatio  orbitae  planetae  ad  Eclipt.  ziz  n  -{-  dn 
Tabula  autem  mediorum  motuum  planetae  ita  corrigi  de- 
bebit ,  vt  anomalia  media  ,  quam  tabulae  ad  quodvis  tem- 
pus  monftrant ,  augeatur  angulo  d  m.      Atque   hoc    pa<flo 
tabulae ,  nifi  enormiter  a  ^eritate  aberrauerint ,  ita  emen- 
dabuntur ,  vt  tum  perpetuo  cum  obferuationibus  quam  ex- 
a<fi:iftime  confentire  debeant. 

§.  29.  Obleruationes  autem  ,  quibus  ad   hoc   propo- 
fitum  vti    expedit ,    fumma   diligentia    adhibita  exquifitiifi 
inis  inftrj^entis  fadas  efle  oportet ,  vt  de  vero  pknetae 

loco 


PER  LOCA  PLANETJRFM  GEOCEUTRICA     127 

loco  obferuato   omnino    cerd   efle   queamus ,    quamobreni 
hae  obferuationes  a  refradionibus  ante  penitus  purgari  de- 
bent ,  quam  ex  iis  longitudo   ac  Jatitudo  geocentrica  pla- 
netae  concludatur.      Praeter  has  autem    vfitatas  cautiones 
niaxiroe  ratio  propagationis  lucis  haberi  debet ,  qua  lon- 
gitudo  planetae  obferuata  modo  augetur  modo  diminuitur, 
Nifi  enim  haec  corredio  habeatur ,  motus  planetae  nequi- 
dem  talis  fpedabitur ,  qualis  cum  theoria  planetarum  Ke- 
pleriana  congruit :  hancque  praecipuam  efle  caufam  exifl:i- 
mo ,  quod  etiamnunc  per  exadiflimas  obferuationes  tabulae 
aftronomicae   cum   obferuationibus    penitus    conciJiari    nori 
potuerint.      Viciflim   autem  fi  tabulae  prorfiis  fint  correc- 
tae ,  loca  planetarum  ex  iis  per  calculum  dedudla  non  im- 
mediate  cum   obferuationibus  comparari  conuenit ,  verum 
ea  quoque  in  loca  apparentia  antea   conuerti   debent ,  ad- 
hibita  ea  corredlione ,    quam   propngatio   lucis  fuppeditat : 
qua  de  re  in  ea  diflertatione\  qua  piiaenomena  a  propa- 
gatione  lucis  fuccefliua  oriunda   expoiiii ,   fufius  egi. 

§.30.  Aequatio  autem  ex  propagatione  lucis  orta 
pro  terra  ita  fe  habet,  vt  longitudo  terrae  obferuata  per- 
petuo  augeri  debeat  20''''  quo  fado  is  prodit  terrae  vel 
(blis  Jocus ,  in  quo  appareret ,  fi  Inmen  in  inftanti  pro- 
pagaretur.  Ex  cuiusuis  autem  planetae  loco  obferuato 
locus  verus ,  in  quo  confpiceretur ,  fi  lumen  in  inflanti 
ad  nos  perueniret ,  per  fequentem  regulam  eruetur.  A  lo- 
co  planetae  in  ecliptica  obferuato ,  feu  eius  longitudine 
geocentrica  obferuata  fubtrahatur  longitudo  terrae  ,  quam 
eo  tempore  obtinet ,  refiduique  arcus  fmus  fit  rr  jji.  ,  co- 
finus  zz.  jn  :  tum  quaeratur  angnlus  cuius  finus  efl  zz  ^ 
eiusdemque   anguli    capiatur  cofinus ,   qui  flt  zz  j  ;  feu  a 


laS  EMENDATIO  TABFLARFM  ASTRONOMIC. 

longitiidine  phnetae  geocentrica  fubtraliatur  longitiido  pk- 
netae  heliocentrica  et  reiidui  arcus  capiatur  cofinus ,  qui  e- 
rit  ^ ,  quo  fiido  ad  longitudinenn  planetae  obferuatam 
addi  oportebit  angulum  ,  cuius  finus  cfk-q  —  ^^ffi.  la 
his  expreflionibus  denotat  a  diftantiam  terrae  mediam  a 
fole ,  l  diftantiam  planetae  mediam  a  fole  ;  edque  po- 
fito  /^=:^5,ooooooo,  pro  fmgulis  pknetis  vt  fequitur. 

pro  Saturno  l  b  zn  6 ^  9^c)^6oo 

pro   loue       ll?zz6^^i6oc>6s 

pro  Marte     /Z»  zz:  <^,  1829850 

pro  Venerc   /^~5,S5  933<^5 

pro  Mercurio  l bz=  5,  587S232 
Praeterea   habet   fradio  ~   Yalorem   conftantem  ,   qno   efl: 
/p  =  4, 0201540 

altera  autem  fradio  f  pro  fingulis  planetis  peculiares  in* 
duic  valores ,  erit  enim 

pro  Saturno  /f  — ^^^opSs^o 

pro  loue       /  V  =■  4-,  3782022 

pro  Marte     /7  .-rr  4,  11164(55 

pro  Venere   Ifzz  3,  9498222 

proMercurio  /  j-  m  3  ,  S  1^06 $6 
Calculus  autem  pro  angulo  illo  addendo  fiet  facilior ,  fi 
a  logarithmis  finuum  l  (j  et  }m  fubtrahatur  hic  logarith- 
mus  conftans  4,6855749,  refiduorumque  logarithmorum 
quaerantur  numeri  ,4'efpondentes ,  qui  praebebunt  partes 
aequationis  j-^  et  ^m  in  minutis  iecundis. 

§.31.  Accommodemus   nunc  methodum  hanc   tabu- 
las  aftionomicas    corrigendi   ad  theoriam   motus  lolis  feu 

terrae 


TER  LOCA  TtAmTARVM  GEOCENTRICA     xs^ 

terrae  emendandnm  ;    fitquc   pro  dato    tempore  longitndo 

ternie  obfcruata  zz  F  ,  latitiido   vero  erit  nuUa.      Si  nunc 

ponatur  in  tabulis 

Terrae  diftantia  media  a  fole  zr:  a 

Excentricitas  orbitae  terrae  m:  k 

Longitudo  aphelii  zz  p. 

Qiiae  eft  iongitudo  perigaei  folis. 

Ad  tempus  obferuationis  fit  porro 

Anomalia  media  folis     zz:.  x 

Anomalia  excentri  zn  v 

Anomalia  vera  folis       nz:  z 

Ex  his  ergo  erit  iongitudo  temie  zzz p^z  ^  quae  pofita  efl 

zz:f.  E(l  autem  \t  vidimus xzz:v-\-k fin.  v  vel  v zizx -  k  fin. 

{x-kf\n.){x-k  Cm.[x-k  fin.f.v— ctc.  )et  coC.c;—  ^  {k-hcoCi') 

exiftente  j  terrae  a  (oie  diftantia   hoc  tempore  ,    quae  ert 

yziz.a  {i-\-k  cof  v). 

§.32.   Ponamus  autem  tabulas  hns  eile  vitiofas,  atque 

ad  confeiifum    cum    veritate    impetrandum   anomalias  me 

dias    augeri     debere     anguio   d  m  ;    excentricitatem  k  ele- 

mento  dk  y  tt  longitudinem    aplieiii    p    areulo    dp.    His 

autem  corredionibus  in  tabidas  introdudis  prodibic  ad  tem« 

pus  obreruationis 

anomalia  media  folis  -rz  x-^-dxnzx^  dm 
anomaiia  excentri        =  r^..-{-dv  —  v-^~^l:^. 
diftantia  a  terra    —  j-^-djzizy-^edkcoCz.''-^:^^,) 
•  ^iomaiia  vera       ~   z  +  dz-z-{-  yji^  -  "^^ 

dk  fin.'  a 

longitudo    ]gitur    terrae    ex  his  tabulis    corredis    prodibit 

z^p -^r  z-^dp-^dz z^J -+- df ,    quae    cum    iongitudiue 

7bm.  XIL  R  obfer- 


130  EMENDATIO  TABVLARVM  ASTRONOMIC. 

obferuata  F  congriiere  debet.  Ex  obferaatione  ergo  habe- 
bitur  df=¥-f=dp  +  dz=dp-h  'fji^  -  °-^^  - 
~j^.  Obferuatio  igitur  cum  calculo  recundum  tabulas 
inftituto  comparata  dat  dfznY^-fy  vnde  ad  tabulas  cor- 
rigendas  obtinetur  fequens  aequatio 

jr j^     ,      admjtn-  %  adkjin.  z  dk  Sin*ji 

CtJ «p-r-  -y^in.v" y  r==^~* 

Tres  igitur  huiusmodi  aequationes  ex  tribus  obferuationibus 
folis  formatae  fufficient  ad  aberrationes  tabularum  ternas 
dm^  dk  et  dp  indicandas ,  atque  adeo  ad  tabulas  cor- 
rigendas. 

§.33.  Similis  fere  corredio  adhiberi  potefl:  pro  ta- 
bulis  cuiuscunque  planetae  primarii ,  fi  eius  loca  helio- 
centrica  obferuare  liceat.  Si  enim  ad  datum  tempus  ob- 
feruata  fit  longitudo  planetae  heliocentrica  F  vna  cum  la- 
titudine  heliocentrica  G  ;  ad  idem  tempus  ex  tabulis  cor- 
rigendis  fupputetur  longitudo  heliocentrica  /  et  latitudo  pa- 
riter  heliocentrica  g^  ponaturque  F— /=i^/ et  G—gziz 
dg. 


Exhibeant  autem  tabulae  : 

Diftantiam  planetae  mediam  a  Ible  :rza 

Excentricitatem  zz:  k 

Aphelii  longitud.  heliocentricam    zizp 

Nodi  afcendentis  long,  heliocentr.  :=i  ^  i 

orbitae  inclinationem  =:« 

anomaliam  mediam   vero    tabularem    ad  quoduis   tempus 

augeri  debere  angulo  indm. 

Ad  tempus  autem  obleruationis  fit 


reuera  autem  ellc 

—  a 

zzk-\-dk 
^p-hdp 

—  n-^-dn 


TER  lOCA  TLANETARVM 
Ex    tabiilis  non  corredis 


GEOCENTRICA  m 

ex  tabulis  corredlis 
:zzx  -i-  d  X 
—  v-^dv 

zizz  4-  d z 
zzz  e  -{-  de 
z=zr  -^-dr 


=f^df 


Anomalia  media  :=:  x 

Anomalia  excentri  zzz  v 

Diftaiitia  a  fole  :zr  j 

Anomalia  vera  m  z 

Diftantia  aphelii  a  nodo    =  e 
LongitLido  planetae  a  nodo  mz  r 
Longitudo  heliocentrica 
planetae  a  prima  =^  V     "zz:  j 
Latitudo  heliocentrica         m  g 
Erit  autem  "vt  fupra  vidimus : 
fozzix  —  k  fin.  [x—k  fin.  [x—k  fin.  (x—  etc.) 
y:zza{  i-4-^  cof.  'y  ) 

cof  ^j  {k-{-  cof  v)  vel  (aepe  commodius 

zzzLV-ki^n.  -y+U^nn.  a^y-/^^' (fm.  a^y-f^fin.'!;)-}- etc. 

mg.  e  ^-cof.n — 

tang.  r  rr  cof  n  tang.  (^-1-5;) 

f=q  +  r 

fin.^  ^  fin.  n.  (in,  (e-\-z) 

Valores  autem  difFerentiales,  qui  ex  corredionibus  oriunti» 

ita  fe  habebunt 

dxzizdm 


7  adm 


adk  Jin- 1} 

adkcoCz-^^ 


dyzzz 

J  ^  admfinj_z 

**  -^  yjia.v 

J      Up~dq){cof.  g)» 

**  ^  coJ,n{co[.{p~q))^ 


y 

adkjin.  z 


dk  fin.  g 

i—kk-  ' 


dn  fang.  n  tang.  (p — <?)(go/.  e)* 


coj.  n 


*  ^  —  — ^tco/.(e-H£)F — '  -dn  fin.  n  tang.  (^Hh;5;)(cof  r) 
df-zzdq-^-  dr 

i  g-  cira  co/.  n/tn.  (f-^g)  (dgH-dz)/in.  n  co/.  (^>4>g) 

"^  —        cc/.g       .  ^  co/r^  • 

R  a  quac 


132   EMEnDATIO  TABFLARFM  ASTSONOM. 


quiie  diiae  vltimae  neqiiationes  inlernient  ad  tabulas  corri- 
gcndas  ^  fi  ties  accipiantur  obleruationes ;  \t  iam  often- 
dimus. 

§.34.  Qiiodfi  nunc  haec  praecepta  ad  vfum  accom- 
modare  velimus,  necefle  efl  vt  ante  omnia  primam  illam 
llellam  arietis  determinemus ,  quoniam  ab  ea  non  folum 
planetarum  longltudines  computamus ,  fed  etiam  aphelia 
eorum  et  nodos  conftantem  diftantiam  (erua.j  ponimus. 
Afliimimus  igitur  initio  anni  1701  longitudinem  huius 
ftelke  nb  aequinodio  fuiffe  29°,  o^,  30^^,  quae  fiue 
■vera  fit  eiiis  longitudo  fme  lecus ,  non  multum  curamus ; 
ab  hoc  enim  eclipticae  pundo ,  fiue  ftella  quaedam  eo 
referatur  fiue  lecus ,  cum  longitudines  planetarum ,  tum 
apheliorum  et  nodorum  fitus  defcribemus.  Praeterea  ae- 
quinodia  quotannis  50''^  regredi  ponimus ,  ex  quo  ad 
praecipuas  epochas  fequens  tabella  longitudinem  iftius  nos- 
trae  primae  ftellae  arietis  ab  aequinodio  \erno  fumtam 
indicabit. 


Anno  Chrifti 

Longi 
ab 

I 

oS, 

1601 

0     , 

162.1 

0     , 

1641 

0     , 

1661 

0     , 

16S1 

0     , 

1701 

0     5 

1721 

0     ^ 

1741 

\i : 

1761 

tudo  primae  ftellae  arietis 

aequinoAio  yerno 

5\ 

^3^ 

50"'^      • 

^7, 

37, 

IC 

^7, 

53  , 

50 

28, 

10, 

30 

28, 

^7> 

10 

28, 

43  , 

50 

29, 

0, 

30 

^9, 

n  , 

IC 

^9y 

33, 

50 

^9, 

50, 

30 

:t7S* 


VER  WCA  TLANETARVM  GEOCENmCA    133 


I78I 

|i      , 

I80I 

I82I 

I84I 

iS6i 

1881 

ipoi 

- 

ip2I 

I94I 

I95T 

ipSi 

7, 

10 

^3  , 

50 

40, 

30 

57, 

10 

13, 

50 

30, 

30 

47, 

10 

3, 

50 

20, 

30 

37, 

10 

53  , 

50 

Qiiantum  autem    aequinodia  dato  tempore  recedant,  co* 
gnofcetiir  ex  hac  tabula 


^nni 

Praecei 

[Tio  aequin. 

1  Anni 

Praec 

eflio  aequin. 

I 

o^. 

50'' 

1       20 

oS, 

o\   i6\ 

40^'' 

2. 

i> 

40 

40 

^     y 

0,  33, 

20 

3 

^> 

30 

60 

^     , 

0,  50, 

0 

4 

3, 

zo 

80 

^     , 

i>     <^, 

40 

5 

4, 

10 

100 

0     , 

I  >   23, 

20 

6 

5, 

0 

1     200 

^     > 

2>  4<^, 

40 

7 

5, 

50 

300 

^      , 

4,   10, 

0 

8 

<^, 

40 

i   400 

C>     > 

5,  33, 

20 

P 

7, 

30 

1   500 

0     , 

^,   5^, 

40 

10 

8, 

2.0 

1   600 
1 

0     , 

8,   20, 

0 

11 

9, 

10 

700 

^     > 

9,  43  , 

20 

12 

10, 

0 

800 

0     , 

II,      ^, 

40 

13 

10, 

50 

900 

^     > 

12,  30, 

0 

14 

Ji  > 

40 

1000  0  , 
2000  0  , 

13  ,   53  , 

20 

15 

12, 

30 

^7  ,  4<^  > 

40 

R3 

Am 

134  EMENDATIO  TABVLAWM  ASTROmMlC 


Anni 

PnieceiTio  aequin. 

1  Anni 

PraeceflTioaequin. 

16 

13^ 

20// 

1  3000 

iS,   ii^  ^o'   0^^ 

17 

^4, 

10 

I  4000 

I     ,  as  ,   33,  20 

18 

15, 

0 

5000 

2    ,     p  ,  2^ ,  40 

19 

15, 

50 

20 

i5, 

40 

Ex  hac  igitur  tabula  ad  quoduis  tempus  diftantia  aequi- 
nodtii  Yerni  ab  hac  prima  ftella  arietis  poterit  affignari  \ 
id  quod  omnino  neceflfe  eft  ,  cum  in  obferuitionibus  lon- 
gitudines  planetarum  ab  aequinodlio  verno  foleant  exhiberi. 
§.35.  His  praemiffis ,  quia  ad  theoriam  motus  pla- 
netarum  fingulorum  emendandam  ante  omnia  accurata  ta- 
bula  pro  motu  (blis  requiritur  ;  methodum  noftram  pri- 
mum  ad  tabulas  folares  corrigendas  accommodarc  iuuabit. 
Tabulae  autem  ,  quarum  corrcdionem  fufcipimus  ad  ob- 
leruatorium  Greenwicenfe  et  ftilum  Yeterem  funt  accom- 
modatae ,  eaeque  ponunt  longitudinem  aphelii  orbitae  ter- 
rae  heliocentricam  ab  afTumta  prima  ftella  arietis  n:  8  S , 
8** ,  39'',  40''^,  atque   excentricitatem    orbitae  terrae  zr 


ToooSo  5 


diftantiam    terrae 


a  fble  mediam  rz  1 00000  : 
Tode  erit  ex  his  tabulis  a  zz:  1 00000  ^  k  zz.  yi^g  et  p  =r 
H'^  ,  39' ,  40''. 

Anomaliam  autem  mediam  eaedem  tabulae    oftendunt   pro 
praecipuis  epochis  ,  Yt  fequitur. 


Initio  anni 

A.nomalia  media  terrae 

i5oi 

6S,  13°,  41%  40^^ 

Hae  anomaliae 

1621 

<^  ,  13  ,  34,     4 

referendae  funt  ad 

1641 

6  ,   13  ,   25,   28 

meridiem  diei  poftremi 

\^6\ 

^.?  13,  is ,  sa 

anni  cuiusque  praeteriti, 
Initio 

PER  LOCA  TLANETARVM  GEOCENTSJCA    135 


Initio  anni 

Anomalia  media  terrae 

j6Si 

6 

,       13     ,       11     ,        I<^ 

1701 

6 

,13,      3,  40 

1721 

6 

»   i^,   5<^,     4 

1741 

6 

,   12  ,  48 ,   28 

jy6i 

6 

,   12,  40,   52 

1781. 

^   : 

12',   33  ,   i<^ 

1801I 

^    : 

12 ,  25  ,  4X 

Pro  annis  vero 

fingiilis  Iiilianis  anomalia  media  augetur  vt 

iequens  tabella 

indicat. 

Anni  Iiiliani 

Anomalia  media 

expanfi 

Terrae 

I 

tS,  29%  44',  50^^ 

2 

t   ,  29 ,  29  ,  40 

3 

f   ,   ^9,   14,  30 

4 

c    ,   29,  58,   28 

5 

t   ,   29  ,  43  ,   1 8 

6 

c    ,   29,  28,      8 

7 

c   ,  29,   12  ,    58 

8 

■    ,  29,   5<^,   5(J 

9 

[   ,  29  ,  41  ,   4(7 

10 

,   29,   25^  37 

II 

,  29,   II  ,    27 

12 

,   29,  55,  2<J 

13 

,  29,  40,    i(J 

14 

,^9,25,     6 

15 

,29,     9,   5<^ 

16 

,   29,   53,   54 

17 

,   ^9,   38  ,   44 

IS 

,  29,   23  ,  34 

IP 

,  29,      8  ,   24 

ao 

A  1 

,   29,  52  ,   24                               Mult;l- 

^6  EMENDATIO  TAhVtARm  ASTRONOMIC. 


Minationcs  autem  anoroaliae  mediae  ,  qmie    fingulis    anni 
paitibns  refpondent  ex  tabulis  defumeie  iicet. 

§.  3<5.  Propofita  nobis  primum  fit  ifta  obleruntio 
Grcenouici  inftituta ,  qua  A.  1690  Martii  die  7,  12^, 
S^,  24^^,  tempore  medio  longitudo  folis  ab  aequinodio 
obieruata  fuit. 

II S,  27°,  ^i'',  n^-j^^  Ob  propagiUionem  lucis  aii-' 
tem  haec  longitudo  obferuata  augeri  debeat  20^'',  ita  vt 
Ibl ,  fi  lux   in    inflanti    propagaretur ,  eo   tempore    Tifiis 


fuiffet  in  longtudine   1 1  S 


27', 


2 1  ''j  47'^''.  Pro  hoc  nunc 


tempore  quaeratur  longitudo  primae  llellae  arietis ,  ita 


16S1 
9 


28%  43^   50 


7^ 


30 


16^0 
Mart.  7 

0  ,  28°  ,  51^ ,  20'''' 
9 

Subtraiicitur 
ab 

0    ,    26    ,    5-     ,    29 

II     ,    2-7     ,     21     ,    47 

10  ,  28  ,  30  ,  18 
quae  efl:  longitudo  folis  a  prima  ftella  arietis  fumta  vnde 
longitudo  terrae  ex  fole  vifa  lioc  tempore  fuit  F  zz  4  S, 
28°,  30^,  18^^.  Qiiaeratur  nunc  pio  hoc  tempore 
anomalia  terrae  vel  folis  media ,  quod  tempus  aihono- 
mice    exprelTum     eft    1690    Mart.  7  d.  oh,  ^\  24' 


// 


Anni 
i58i 

9 

Mart.  d.  7 

8' 
24-' 


// 


Anomalia  mcdia  terrae 
6S,  13%  ii^  16^^ 
f  I  >  ^9  ,  41  ,  4<^ 
2,     5,      3  ,      I 

20 

I 


8S,    17,   56,   24 


§.    37. 


TER  LOCA  TLJNETJRFM  GEOCENTRICA     137 

§.  37.  Ad  computiim  ergo  inftituendum  erit  x^  =r 
^57%  S^\  24//;  et  fin.  xzzz-fm.  77%  56^,  24//. 
Sinus  autem  in  arcum  commutatur ,  fi  a  logarithmo  finus 
fubtraliatur  4,  «^855749  ,  numerus  enim  refiduo  logarith- 
mo  refpondens  dabit  arcum  in  minutis  lecundis  expreffum : 
at  quia  finus  infuper  per  k  =  ,^^g  debent  multiplicari  infa- 
per  fubtralii  debet  /^ff  =  i  ,  7<^95  5io  ;  a  logarithmo 
finus  ad  anomaliam  excentri  v  inueniendam ,  omnino  (iib- 
trahi  debet  ille  logarithmus  (5,4551259.  Cum  igitur 
{itv^zzx-k  fin.  {x-k  fm.  {x-k  fin.  (..v-  etc.  calciilus 
ita  inftitui  debet. 

Ifm.  x  =:  9,99029(57 

fubtrahatur  (^,4551259 


numerus 

3,5351708 
3429//  feu  57^  9''  =-k  fin.  x 
257°   ,5<^  ,24  =  A^  addatur 

^5  8°  ,55%33^'~x-/^fin.  A 
180 

/fin. 
fubtr 

78%53^33^' 

9,9917737 
.       6,4551259 

numerus 

3,  53^^6478 

S^^i^^^Teu  57^21'''' 
257"*,    5<^^24    addatur:^ 

^58°,    53^45'^ 
180'' 

78%    53^.45^' 

Tom. 

XIL                     S 

;&. 


138  EMENDATIO  TABVLAWM  ASTRONOMIC. 


/fin.      9,99^7737 
fubtr.  6,  4551259 


3,5360478 
numerus  3  44 1  ''^  leu  5  7  ^" ,  21  ^^ 
^^57**      5^\  24 


V  =  258  ,    53S45'' 

§  38.  Hinc  quaeratur  diftantia  terrae  a  fole  ^' =  4f 
H-  fe  ^  cof.  'y.  Eft  vero  cof.  ^y  =:  —  cof.  78° ,  53^ ,  45^^ 
vnde 

/cof  78%  53%  ^S^^  ^9,  284^41 1 
lak  :z=  3 ,2304489 

2, 5150POQ 
ergo  iJ:^:  cof  ^  =r  —  327 
addatur  a    zn  looooo 


J  n=  99(572  et/j/— 4,998573* 

QiToniam  vero    pofita    anomalia    vera  zi:  3  e(\  cof.  Z  = 

• — 3; ^■"y     >  calculus  ita  fe  habebit ; 

la  k  fin.  tot.  =:  13,  2304489 

Ij        zz    4,9985732 

8,2318757 
numerus  ex  tabula  finuum  1705 5p 
/cof  1;    —    9,284(5411 

la      zz:    5  ,  0000000 

14,  2846411 
fubtr./^z=  4,  9985732 

oumenB 


FER  LOCA  FLANETJRVM  GEOCEKnCA  i3<> 

numerus  ex  tabulis  finuum  1932270  zz  —  — ^— 
fubtr.  ^1^559 

—  I7(5i7ii 

At  numems  i^^'!^!!  eft  finus  anguli  huiuy' 

10°,  $'',48^''  qui  fubtradus  a  tribus  redis 

270* 


dat  259° ,  5 1^ ,  1 2  '^  pro  anomalia  vera  z  .  ergQ 
z    1=  8  S  ,  19° ,  51^ ,  12^/  addatur 
p    —  8     ,    8  ,39  ,40^' 

/     =Z  43   .   26°  ,  30'  ,   52^^ 

haecqne    eft    longitudo  terrae  ex  tabulis  inuenta  a  prima 

ilella  arietis  computata.     Qiiare  cum  fit 
F  ==:4S,28°,3o^  18''^  ct 
/  z=:  4  S  ,  28%  30^  52'^  erit  F  -/zr: 
<;:==-  34^'. 

J.  39.  Q.noniam  Yero  efl  df- dp  +  ^'  -  ^^ 
—  (T=i^   h-^ec    aequatio    ad    noftram    obieruationem  fe. 
quenti  modo  accommodabitur.     Eft  fin.  z  zz: 
►- fin.  79°,  51%  i2^%fin.a;=:—  fin.  78** ,  53^45'^''  ^^ 
/,-:^  =  ^^7?7^==  0,0001254.     Hincfiat 
/fin.  5;=:  9,  9931539  negatio  vero  poftea  m 
/fin.  17=:  9 ,  9917924  computum  duci  debet. 
/|-     ~  o,  0014257 
vnde  valor  ipfms  dj  fequenti  modo  definietuf 

l  fin.  z  :iz  9,  9931539 

/  ~  =:  o  ,  0014267 


140  EmNDJTlO  TABVLARVM  ASTRONOMIC. 
p,   9945805  rzz/^fe 

o  ,  oo27b82 
numerus  refpondens  :=:  i ,  ood^m^j^ 

/y/«.  /(??.  :r:  TO ,  ooooooo 

(-i), 994580^ 
iiumerus  refpondens  zz  o ,  9  8  7<^  — 


yJin.,\ott 


l  fin.  z  z=i  9  ,  9931539 

9  5  9932793 

Ifn.tot.zr:  10,0000000 
(-i),9932793" 
numerus  refpondens  zn  o ,  9  8  4<^  =   "(cifr 
Ex  his  erit  ^/=1  -  34''^  =1:  ^/>  4-  i ,  00(^4  ^ ;;/  4-  1 , 
P722  ^ife.  (  40^795^^.  ^^) 

§.  40.  Sumamus  aliam  obferuationem  folis  etiam 
Grenouici  fadam  Anno  1690  ,  M.  Sept.  d.  15  ,  11  ^, 
51^,  2'j^''  tempore  medio ,  feu  aftrononiico  more  Anno 
1(^90,  d.  14.  Sept.  2^  b  .,  51^,  27''^,  quo  tempore  fo- 
lis  longitudo  ab  aequino6tio  Terno  obferuata  fuit  6  S  .,  2°  ^ 
^$\  37''''  5  quae  ob  lucis  propagationem  20''''  auda  fit 
6S,  2°*,  45',  57^-^.  Ad  hoc  tempus  longitudo  primae 
flellae  arietis  quaeratur 

ILongitudo  primae  ftellae  Arietis 
OS    ,       28",       51^    y      20^^ 

(iibtnu 


TER  LOCJ  VLAKETAWM  CEOCEKTRICA,  141 


/ubtrahatur 
ab 


oS,   2S\  Si\   SS 


6S 


45    ,    57 


5  S,      3' 


54' 


.// 


quae  eft  longitudo  folis  a  prima  ftella  arietis  fuinta   vndc 

longitudo  terrae  ex   fole   vifa   erat  FzniiS,    3°  ,  54.^, 

2^''.     Qiiaeratur  nunc  pro    hoc  tempore  anomalia  media. 

(bJis  Yel  terrae  : 

Anomalia  Terrae  media 
/       .// 


A.  i^^po 
d.   14.  Sept. 
23  h. 


51' 

27 


// 


<JS,   12   ,   53'  ,     2' 

8  S,   13   ,   18   ,     6 

55  ,  40 

a,     6 

I 


2  ,:) 


9^    5  5^^ 
vnde  erit  anomalia  media  jf  m  87° ,  ^^ 


>// 


%  9',  55 

§.  41.  Ad  anomaliam  excentri  inueniendam  itenim 
a  logarithmis  finuum  fubtrahi  debet  ifte  iogarithmus  6  , 
4551^59)  eritque  calculus  yt  fequitur. 

l  ftn.  xn^  9  ^  9994^^83 
fubtr,         6  ,  4551259 


3  ,   5443424 
numerus  350  2.^^  zn  58^  22''^ 


87%     9%  55^^ 


kftn.  X  fubtrahatur 
ab  X 


Ifm, 


86  ,  II'',  3:>^^^  zzx  —  hfm,  x 
9  ,  9990402 
6  ,  4551259 


3  ,  5439^43 
S  3 


nume- 


142  EMENDATIOTABFLARFM  ASTRONOMia 

numenis  zi:  34.95/^:=:  5  S'',  19^^     fubtraliatujt 

80°,  ii^,   36^^ 

Iftn.  z=^  9  y  9990405 
^,  4551259 

3  ,   5439i4<^ 
mimerus  =  3499^''  ==  5  s^  19'^ 
^h  x=  87%      9',  55'^ 


Cum  nunc  fit  dilkntia  Tcrme  a  fole  j  :rz  a  -\-  k  a  cof, 
vfi'JLt  Uof    86°,   n%   s^-^^zr  8,  822IOI5 

lakz^  3,  23044-89 

'■ I  ■  I  «I 

12,0525505 
trgo  ka  cof  v:=z  ii^ 
addatur  a  zz:   1 00000 


j/  rz  100113  et  /j  n:  5  ,  0004905 
Quonlam    porro  ad  anomaliam  veram  z  inueniendam  eft 

r  akjin.tob      ,     acos.v    r  ^ 

£of  z  =:  -^ 1 y~  mt 

l  akjin.tot.  zz  i^,  2304489 
h=    5,  0004905 

8,  2299584 
nnmerus  ex  tabula  finuum  1^980$ 
]  cof  vzz  Sy  S221016 
laz^  S .,  0000000 

13  ,  822IOI(5 

Ij^  5,  0004905 


PER  LOCA  TLANETJRVM  GEOCENTRICA   145 

numerus  ex  tabula  Cnuum  -zi:  (^(5314.9 

1(59808 

cof  z  zr  83^957 
crgo  5?  =:  85*  ,   13^,  20''' 
feu  anomalia  vera  zzzi^Sy  25**,  13'',  ^o^^ 
addatur      pr=  8  ,        8  ,    39  ,  40 

long.  terrae  /  =:  11  S  ,     3°?    53%     o^^ 
at  eft     F  =  1 1  S  ,     3  ,    54   ,     a 

crgo  F  -fzz:  df  ziz  62F, 


admfin.  z 


§.42.  Qironiam  vero  eft  dfrzdp-h"-^^    -^ 

tldk  Jinz,  dk  Jin.z  .  jr        j^  i  i 

— j — ■^z^rkJT  y  ^tq"^  «/ >  «P  ^t  dm  arcus  denotant 

in  fecundis  exprimendos,  dk  Yero  fit  mimerus  abfolutus , 
eius  coefficientes  in  arcus  transformari  atque  in  minutis 
fecundis  exprimi  debent,  quod  fit  fi  a  logarithmis  finuum 
fubtrahatur  4,^855749  ;  refduorum  enim  logarithmorum 
numeri  refpondentes  dabunt  arcus  in  minutis  fecundis  ex- 
prefibs  ;  quam  redudionem  etiam  in  prima  obferuatione 
adhibuimus. 

/  fin.  js  =:  9,  9984883 

/       a      n::   5 ,  0000000 


/^  fin.  ^  :=:  14,  9984883 


/  fin.  V zn   9,9990408 
Ij         zz  5,0004905 

14,99953^3 

/j^jT^  — (--1)9989570 
a  (in*z  ^     ^^^dT 


144  EMENDATIO  TABFLARPM  ASTRONOMIC. 

laCm.zzr:  14,9984883 

h      =     5,0004905 

9,9979978 

4,<^855749 


5,  3124,229 


crgo^l^ir    205316^'' 
Porro/fin.s=:9,  9984883 

/;:f^  =1:0,  0001254. 

9,9986137 

4,(5855749 


5, 3130388 

crgo  Sr  ==  205607' 
205315 


fin.  g      —    «^^/c^^// 


Ergo  dfz^iCz-^zizdp-^-o^  991^-  ^z;/  — 410923 ^^  </jfe 

§.43.  Pro  tertia  obferuatione  aflfumamus  talem  ,  quac 
cum  alio  loco  ,  tum  tempore  aliquantum  remoto  fit  flida. 
Parifiis  nimirum  A.  i7i(5  Maii  d.  12  ,  ii^  ss\  53'''', 
tempore  roedio  ftili  noui  locus  folis  ab  aequinod:io  diftare 
deprehenfus  eft  i  S,  21**,  44^,  35/^,  quae  longitudo  ob 
lucis  propagationem  20''^  aucfla  fit  i  S  21'',  44^,  SS^^* 
Tempus  autem  obleruationis  ad  ftilum  veterem  redu(flum 
efl:  A.  171(5  Maii  d.  i ,  ii^,  55^,  53^^  Deinde  quia 
Lutetia  Parifiorum  9^  temp.  orientalior  eft  quam  Londi- 
mim ,  hoc  tempus Londini  erat  A.  171 5  Maii  d.  i  ,  ii^, 
4<^^>  5^^^    tempore  ciuili,  quod  fecundum  lempus  Aftro^ 

nomi- 


PEr  tOCA.  FLJN:ETARFM  GEOCENTRICA.  X4S 


nQmicumd^.A.-  1715  Apr..  3.0  d.  23^,  ^^ ^  S^^^i  it" 
quia  hic  annus  eft  biflfcxtilis,  dies:adnGi.liebet  ka  vt  habeafiJ-^ 
tur  A.  1715  Miiii  i  d.    23*,  4<^^   53^-      Ad  hoc  igi^A 
tur  tennpus  primum  longitudo  primae  ^ell^  arietis  fiippu* 
tetur  , 

Longitudo  primae  (lelJac  arietis  .^r 

A.   1701        oS,'^9  y^(y^^'^^ 


-     15 
Mai.  I  d. 


12' 


50' 
17 


rubtrahatur  ab  o  S ,  29°,  13'',  i7^'^ 
iS,  21%  44^^55'^ 


// 


oS,  22  ,  31^,  38^ 
quae    eft  longitudo    (blis    a  prima    ftella  arietis  ;     Tnde 
longitudo  terrae  ex  fble  vila  ab  eadem  prima   (tella  arie- 


tis  erit  ¥zz 

:dS,22%3i',  3S'^. 

§•  44- 

Qiiaeratur  nunc  ad  hoc  tempus  Iblis  V^I  tQt* 

cae  anomalii 

\  media  ex  tabulis  aflumtis. 

Anomalia  media  terrac 

A.  1701 

5S,   13%      3%  40^^ 

Anni.    15 

II  ,   29  ,      9,5^ 

Miii.  I  d. 

3,  29  ,    X5   ,  3X 

23  h. 

S6  ,  40 

46^ 

I  ,  ,53 

13^^ 

...        2 

loS,   12%   27/,  42^/ 

Erit  ergo  a;  r=  3 1 2°,  27/,  4.2'''  et  fin.  ;^=:  -  Cu.  47',  3  2'',  1 8" 
Tom.  XU.  T  ^a: 


J4(J  EMENDATIO  TAWtARVM  ASTRONOMIC. 

qmrc  alciilus  ad  anomallani  exceatri  v  iaueniendam  ia- 
IbtietLir   vt  fupra  §.  37  i 
/-fm.  ^  =  9  ,  3578950 
fubtr.      6,  4551259 

r  \ 

3  ,  ^12.-7691 
numerus  2587'^  =  43%     7^^^  =  - 16  fin.  Jif 
;t  =        312«,  27 %  42''        addatur 


313°,    10   ,  49^^ 
3^0* 

fubti. 

4<J%  49' ,   II''' 

/fin.    =    9 ,  8(^28490 
^,  4551259 

3,  4077231 
numerus  2,$$!^^,  42^',  S^''' 
x:=^       312%  27^  ^^''^ 

313%  lo^  19^' 
3<^o 

4<J%  49',  41''' 
/  fin.  n   p ,  S62906S 
^,  4551259 

3  ,  4077806 

,  37 
xzz:       312''  ,27'' ,  42^-^ 


aumems ;  ^ssY^^zzij^^^  ^"j^^ 


vz=.        313%  lo'',  19-"^ 
§.  45.  Diftantia  Solis  a  terra  yria-^kacof.io  ita 
reperietur  cof.  v=cof.  ^6\  49',  4i^^=::fia.  43%  lo^  19^' 

/co£ 


m  LOCA  PLAt^ETJKm  GEOCEHTRICA  Mi 

l  a  k  =:  3  ,  2304489 

ikacoC.vzzi^y  065^280 
ergo  kacoCvzzii^^, 

a  :z:       looooo 


vz::z       101163  et  fyzr  5?,  0050^1^ 
Porro  eft  corinus  anomaliae  verae  zzz^^^^^-^J^ 
lak  fm.toL  z=i  13,  2304489 
ly        ziz     s  y  oo502t(S 

8,   2254273 
humerus  ex  tabulis  fmuum  ~   1^804^ 
lacoC.v  -zz  14,  8351791 
Ij^       zi:     5  ,  005021^ 

9,  8301575 
numcrus  ex  tabulis  fmuum  =  (^76*3284 

16^8045 

cof.  z  rz  (J931330 
qui  eft  fui.  43%  5^%  43^^  addantur  tres  rcfti 

270° 


s  ==        313  ,  52^  43-^/  ...feu 

2;  =::  loS,   13%  5^\  ^^'^ 

p  :=  8    ,      8  ,  39'  ,  40 

/==  6S,  22°,  32%"!^^^ 

F=  ^,  ^2^  31^,   38^^ 


i45  EMEKDJTIOTjBrLJRFM  ASTRONOMlC. 

§.    4^.   Cum   nuiic    fit   dfztdp^f^'"^  --  dk. 

(*j^-f-flVl  i»i^ituatur  fequens  calculus ;   exiflente 
fm  z  zr-*iii.  4.6",  7^  i^^^  et  fia.  -yii^^-rm  4.6°,  4.^^,41 '''• 
/--rm.^=  9,   8578207  .o->vwo^./ 

/^     =   o  ,  005021^ 

9,   8527991 
f-fin.^yrr  9,  8<^290(55 

(-1),  98989^^^ 

iT^in.-^    =    O  >    97700 

/  —  rm.  5;  zr  9,   8578ao*7 

/   5-    ZZ    O  ,    00502I(J 


9,  8527991 

4,  <^855749 


5  ,   1672242 
-f^  =z   14(^9^9^^ 
/-fin.  2f  =  9,  S578207 
/  ~j-^  zz  o  ,  C001254 


9,   85794<^i 
4,  <^855749 


5  ,  17237^^ 
146959 

Qiwrc  crit  dfzz  -  45''''  zi^dp  ^  o  ^  97700  rf  «r  rf* 
^     V  $.47. 


fm  LOCJ  FLAmZWM 'aEOCENTRlCA     u^ 

»'  ':  §.  47.  Ex  his  tribns  aeqnationibus  ftadl^  fjmus  ad 
tabnlas  folares  adumtas  cdrrigeodas  tres  lequentes  aequa- 
tiones» 

I.  —  s^-^^zr^/j-f-  1 .  00^4 ^Av-+- 405795''''.//^ 
'     II.      6^'^zz.dp-^o ,  gp^^Cdm  '^%^6s^2^^^.dk 
■    III.  —^.S^^zzdp-^o'^  97-7od?n-^29S^9^^^'^k 
quae  praebent  eliminato  dp  has  duas 
—  9<J''^r-:o,oo88^w-4-'^Si77iS^^'^.^/^]  per.   id 
^  ii^^^zno ^02g4.d?n^-i  1110$^^. dk\  per.     3. 
hincque  —  993^'' =  7 S4S  8(^5''''.'''/^  ex  quo  reperititr  ^ S 
—  j^^^lll  —  T^ggls-     Cum  igitur  excentricitas  k  pofita  eflet 
r:^  xolis  =  10^55^  erit  excentricitas  Yera  k-{-  dk-zi:  xsiim. 
Porro  qnia  eft  r/^  rr  To^^ia  ^nt  li'^  =1:  o  ,  oig^dm  ^ 
i^^\  feu  ^j^zz^i^p// —  14^,   io^^  zi:  850^^  ,  Ex  quo 
anomaliae  mediae  tabulanim  ad'  quoduis  tempus  augeri  de- 
bent  angulo  14^,  lO'^''.      His    autem    valoribus   loco   dk 
et  dm  fubftitutis  inuenitur  dpzz.^  %^%^^  —  —  13'',  s^^\ 
Qiiare  cum  aphelii  orbitae  terrae  longitudo  a  prima  ftelh 
arietis  in  tabulis  fit  pofita  p  zzzhS  »   8° ,  39'' ,  40^^  erit 
\era  aphelii  longitudo  p +^'p  rz  8  S  ,    S"" ,  25^,  42''''. 
Cum  ergo  longitudo  primae  {tellae  arietis  ab    aequinodlio 
Terno  Anni  1701  initio  eflet  oS,   29^,0^,  30'''' ,  foit 
hoc  tempore  aphelii  terrae  ab  aequinodlio  venio   longitit- 
doin^S,  7*,  i6\   12''^,  hinc  apogaei  folis   eo   tem" 
pore  longitudo  ab  aequinodio  =:  3S  ,  7°,   26^,  12''''.  Hae- 
que  corrediones  iluis  propre  conueniiint  cum  iis ,  quas  m 
.  Tomo  VII.  Comment.  altera  methodo'  vlus  exhibui.  Ta- 
bulae  autem  folares  hoc  modo  corredae   non   ad  quoduis 
tempus  folis  locum  oflendunt ,  in  quo  .reuera  con(picietur, 

T3        "  ftd, 


150  EMEND.mO  TABVLAWM  ASTKONOMIC. 

fed  in  qiio  confpicuus  fbret ,  fi  lumen  in  inftanti  ad  noi 
pertingeret :  quamobrem  a  loco  folis  cx  his  tabulis  cor- 
redis  eruto  perpetuo  fubtrahi  oportet  ^q^\  vt  locus  ap- 
parens   obtineatur. 

f.  48.  En  igitur  tabulas  folares,  quibus  terra  in 
orbita  fua  circa  folem  mouetur ,  maxime  exadas ,  fi 
quidem  obferuationes ,  quibus  fum  vftis ,  fint  fumma  cura 
inftitutae.  Eft  igitur ,  a  prima  noftra  ftella  arietis  longitudines 
compiitando,  aphelii  terrae  longitudo  conftans  iz:  8S,8°,25'', 
42^^.  Deinde  orbitae  terrae  excentricitas  feu  diftantia  folis  a 
centro  ellipfis  terrenae  ^5^553 ,  ita  vt  fit  diftantia  terrae  a  fole 
media  ad  folis  a  centro  orbitac  diftantiam  vt  1 000000 
aJ  16873.  Hinc  inuenitur  per  regulam  Tomo  VII.  Com« 
ment.  p.  p8  datam  maxima  aequatio  hoc  modo 
5  ,  <^i5459<J 
/  15873  —4,  2271923 

3  ,  842(5519  demto  /  loooooo 
Ergo  aequatio  maxima    eft  6^61^^  =  1° ,  5^\  '^^' 

Tabulae  autem  anomaliarum  mediarum  ad  praecipuas  epo- 
chas  lequentes ,   vbi   femper  eae  refpondent  meridiei  pos 
tremi   diei   anni  eum  ,    quem    tabulae   monftrant ,  praece- 
dentis ,  pro  obieruatorio  Londinenfi  (eu  potius  Grenouicenfi 
ita  le  habebunt 


A.  C. 

Anomalia  terrae  media 

160 1 

^S,     13°,     55^     50'' 

1621 

«5  .     13  ,     48,     1+ 

1641 

«  ,     13,     40,     38 

X6dl 

<^  ,    »3,    33,       a 

PER  LOCA  FLJNETARVM  GEOCEUTRICA  x$s 


A.  C 

Anomalia  terrae  media 

l6%i 

6S, 

0 

^3, 

25^,      2(5^^ 

J701 

6  , 

13  , 

17,    50 

1721 

<f  , 

13, 

10,    14. 

1741 

«  , 

13, 

a,   35 

iy6i 

«, 

12  , 

55,       a 

1781 

•s. 

12  , 

47,      2<J 

1801 

<y  , 

12  , 

39,      51 

TabuJa  vero  pro  mutatione  anomaliae  pro  dato  annonim 
numero,  ec  pro  datis  anni  partibus  manet  vt  ante,  cum 
ea ,  quia  tempore  periodico  terrae  in  orbita  fua  nititur , 
corredione  non  egeat.  Ex  his  igitur  tabulis  corredis  ad 
qtjoduis  tempus  locum  (blis  in  ecliptica  exadliffime  alli- 
gnare  licebit,  qui  tutiffime  in  inueftigandis  reliquorum  pla- 
netarum  locis  adhiberi  poterit. 

§.  49.  Orbita  terrae  nunc  (labilita    pergo  ad  vfum 
huius  methodi  monftrandum   in  orbita  cuiuscunque  plune- 
tae  per  loca  Geocentrica  determinanda.      Eligo  autem  ad 
hoc  ex  planetis   Mcrcurium   potiflimum  ,   cum  quod   eius 
loca  heliocentrica  rariflime  obferuare  licet,   tum   quod   ta- 
bulae  aftronomicae  pro  hoc  planeta  maxime  differunt,  ideo- 
que  corredione  prae  ceteris  indigent.     Tabulas  autem  hic 
eas  corrigendas  fufcipio ,  quae   lexico  Technico  Harrifii  (iint 
infertae  ^  atque    ad    obferuatouium   Londinenfe   accommcK 
datae.     Statuitur  autem  in  his  tabulis 
Diftantia  mercurii  media  a  fble  <2 1=138710 
exiftente    terrae    diftantia    media  nz  1 00000 
Diilantia  folis  a  centro  orbitae  Mercuriin:  7970 

Vnde  excentricitas  k=ift  =  i.7.:L 

atque- 


t$t  mmDJTio  TAB11.AWM  ASTmmMie.\ 


atquc  a  prifnj  ftelh  arietis  ftatiiitiir 
Longitudo   aphelii  /)  :=  7  S  ,   13°  ,  4^^ 
Longitiido  nodi  a(c.  q  —  oS  ,   15^^  ,  42^^ 
IncliiTatio  orbitae  ad  ecliptican)  «  -  (5° ,  5  4.'' 

Anonnaliae  nnediae  autem  aid  qiiodiiis  tempus  in  iis  tabu* 
lis  exhibentur ,  quas  huc  traasfcribere  noii  eft  "opus ,  cum 
vero  fuerint  corredae  ,  ea^  hic  indicabc),  Pono  aujtem 
a4  quoduis  tei-npu?  anomaliam  mediam  y  quam  hae  tabu- 
^e  monftrant ,  augeri  debere  angulo  dm  \  excentricitatem' 
k  vero  fradione  4k  y  lon§iti]dinem  aphclii  p  arciilo  dp  ^ 
Iqngitudineni  nodi  q  arcuio  d^q  atque  iqclinationem  orbi-^ 
tae  n  angulo  dn  augendam  efle  ;  quas  corret^iones  .qum- 
qup  e:ji  tribus  iequentibus  obleruationibus  deducam, 

§.50.  Tres  iftae  obferuationes ,    quibus 'in   hoc''*fje^'^ 
gptio  vti    viiiim    eft ,    inftitutae    funt  .Parifiis ,   atque.  tam 
longitu,do  quam  latitudo    mercurii   geocentrica  ad  tempora., 
t^rna.  ^  iiotata ,  obferuata  eft  vt  fequitur/  ;  ,     .  ' 


Tempore  apparente  ftili  noui 
A.i7i5Mai.  20  d.  ^i^ ^9' 
A.  i7i<^Aug.  1 8  d.  22^  51'' 
A.  i7i7Mai.    dd.^3^48^ 


Longitudo  ^ 
48,8:56;  30';^^ 


// 


Latitudo    . 

<^3;55;-'Au^r, 

o^ig^^o^^/Bor, 

o^iS^So^^^Auar. 

Tem.pora  autem  haec  triplici  corre<flione  opus  habent , 
primum  fcilicet  a  ftilo  ncuo  ad  \cterem  debent  reduci, 
deinde  ad  meiidianum  Londinenfeiti  transferri  •  actertio,- 
quia  fuqt  temporji  apparentia  ,  in  media  transformari  de- 
bent.  Hoc  fado  tempore  medio  Londinenfi  obferuiUiones 
iu  le  Iiabebpat 


PER  LOCA  TLJNETARFM  GFOCENTRICA  15^ 


j  Longitudo  y.  \     Latitudo 

A.1715  Mai.  9^.22^25;' 5  ^''''.iS^S^^S^J;    o^''|2^23^5  5"Auflr.- 
A.i7i<JAug.7d.  22^45'   ^^''''^s/sts*^-;  30^^^-0*1 3- 30  Bor. 
A.i7i7Apr.  25d.  ^^^^^^'^^^xSjis^^^^^o^'''^*!^,'^^  Auftr. 

Longitudines  mercurii  autem  hae  ab  aequinodio  verno  funt 
computatae ,  quae  ideo  ad  primam  rtellam  arietis  Iiint  re- 
ducendae  :  ^da  autem  hac  redudione  obferuationes  ita  fe 
habebunt. 


Tempus  mcdium 


[Long.^ai^T 

oS,9V3^32 
3S,9%43^    o 

oS,i4',2  8V4 


// 


Latltudo 
-^^^^^''Auftf. 
^^  13^30'^  Bor. 


A.  1715  Mai.  9d.  22h.  25^,  ^^^^/ 

A.i7i(5Aug.7d.22h.45^,    6^^ 

A.i7i7.Apr.25d.23h.35',7^'  0:^,14  ,2 8',i 4'^  o",  i8',3o''/ Auar. 

Hae  longitudines  obferuatae  porro  corre<flione  opus  habent 

ex  lucis  propagatione  orta  ,     ad  quam  inueniendam  opor- 

tct ,   vt  ad  fmgula   obferuationum  tempora  loca  terrae  in 

orbita  fua  fupputemus ;  quae  loca  vna  cum  diftantiis  terrae 

a  fole  his  temporibus  neceflaria  funt ,  ad  loca  mercurii  geo- 

centrica  ex  tabulis  computanda. 

§.51-  Ad  tempus  igitur  primae  obferuationis  loci^ 
terrae  in  fua  orbita ,  feu  eius  longitudo  heliocentrica  a  pri- 
iTia  flella  arietis  (equenti  calculo  ex  tabulis  noftris  corredis 
cruetur. 

Anomalia  media  terrae 
5S,  13%  17^50^^ 


Anno 
1701 
14  A. 

Mai.  9  d. 
22  h. 
^5^55'^ 

Tom.  XU. 


11,29  ,^5 


7,     8   ,3<J 
54,13 


ioS,2o  ,4^^,59^'' 


Calculu$ 


XJ4  EMENDATIO  TAm^LAWM  ASTROnome. 

Calculns  ergo  inflituatiir  vt  fupra  :  eritqiie  •anomalia  mcdia? 
ternie  x  rr  szo'',^^^,  59^^  ex  qua  anomalia  excentrl 
inuenietjr  <v  zz  x  -  k  fui.  (  x  —k  fin.  (  x—  k  fin.  (  v  etc. 
at  eft  //:—  (—2),  2271^23  et  /Jzr  1,77,2807^. 
ex  q-io  a  lo^inthmi^  finuum  ,  vt  ii  ia  arcua  coauertamur 
fubtralii  debet        1,7728075- 

feic  logirithmus.   <^,4.583825 
Atqui  eii  fin.  x  zz  —  fin   39"*,  13'',  e^^ 
/—  fin.  X     ziz  ^^  8008947 
fubtr.  6,  4583825 

3,34.25122 
aHmerus,  2201^^  =:  3^^  41^^  z^  —  ^  fm.  j^f 
rr=  320'',  ^'^^  59^''  addatur 

321%  23',  40''-'  fubtr. 

ab      ^60 


36^36^,20^^ 


^,  4583825 

3,33^7711 
mimerus  ^.i"-]!^^  z^:^6\  11^^  addatur  ad 
a:  —       320**,    46^,  59^^ 

^  zn      321°,    23^,  10^^  anomalia  excentri. 
HiKC  reperitur  diftantia  terrae  a  fole  j  zn  ^ -i- J:^  cof.  ^ 
exiileate  a^  looooo  et  cof.  ^y  — fin.  51**  23^,  to''^. 


/ib4 


I 


TER  lOCJ  TLANETjnyM  OEOCENTRICA   xsj 

Jka      rr  3,iiii7ip23 
/cof.  fl?  z=i  9,  89285(^3 

3,  i20O48(F 
r«um€rus     zr  1318 
Ergo  diftantia  terrae  a  fole  j' rr  101318 

et  lj:=z  5,005^8(^7. 
Anomalia  vera  z  coinniodiffime    reperietiir  ex  hac  aequa* 
tione  z  zz  <v  —  k  Cm.  V  -{-  {  k'^  fm.  2  v.  vbi  efi; 
fin  1?    rr  —  fin.  38°,  35^,  50'''^ 
fin.  a^z;  =r  —  fin.  57**,  13^,  40^*' 
llk^—  2,  3748(^7^. 
Calculus  ergo  ita  inftituetur  i 
/— fin.  vzz  9,79<;232t 
<5, 4583825 

3,33^8502 

i— fin.  s  <yi=9>  924*^535 

^,4583825 

3,4662713 

l\k^-  2,  374-857<^ 

1,0914034 
~  Jib*fin.  2«yzr:  12''^. 

Erg0  5;zi:'y-4-3^^:=32i'',  59^  ^o^^ 

feu     s  rz:     108,21**,  59^,  10^^ 

addaturp       ::z;       sS,   8*525^,42''' 

longit.  terrae  zn      7  S ,   o"* ,  2 4^ ,  5  2  ^^ 
%  prima  iiella  arietis  computata, 

V  2  f.  5«» 


\^  EMEnDATlO  TABVLARFM    ASTROMIC, 


§.52.  laftituatur  rimili  modo  inueftigatio  longitudi- 
nis  terrae  tcmporc  (ccundac  obieruationis  ,  qui  annus  cum 
fjt  biirextilis  pro  Aug.  d.  7  (iimi  debct  d.  8 
Anno 

1701 

•Allg.  8  d. 
22    h 

45^  6^' 


Anomalia  media 
6S,,^i3%   17^  50'^ 

7    ,       6    ,     50    ,        2 

54  ,   13 

I  ,51 


I  S,  20°,   13',  52^^ 
Ergo  anomalia  media  terrae  :i;=i:5o*,  13'',  54'^ 
/fin.  .v=r  9  ,   8857300 
(J,  4583825 

3  ,  42734-75 
k  fin.  .r  rr     2675^''  :==-W  ,  35^'  fubtrahatur 
ab  ^     i^  So\  13',  5^^^ 


49    ,    ^9r 
/fin.  r:^  9  ,  880937<J 
<J,  458382.5 


17 


// 


3,  4225551 
mimerus  =  2(546^^  zzz  44^ ,  ^^^^'  fubtmhatiip 
zh  X  =         So" ,  13^,  52^-^ 

5;z=        49%   29',  4<5'''' 
/cof.  i;:r:  p,   8125789 
Ika      ==:  3  ,  2:271923 

3  >  0397715 


Ergo 


PER  LOCA  TLANETJRFM  GEOCENTRICA     157 


Ergo  dilhntia  terrae  a  fole  j' rr  101095 

atqiie  ly  z=:  $  ,    00473^0 
Nunc  /^1111;=  9,   88io20<J 
6  ,  4583825 

3  ,   42263{>i 
kCm.  V  -zz  2646^^—44/,  6^^ 
nvzz  98%  59^ ,  3^^^ 
fm.  21;^  cof.  8** ,  59^  ,  ^^''^ 
/  fin.  2  ^  n:  p  ,  9946400 
<J,  4-583825 

3  ,  53^2575 
/4*:=:-  2  ,   3748^^7^ 


// 


I  ,   1613899 

Ergo  5i=zi;-43^,  ^^^''^^S^  45^^,    54' 
Ergo  anomalia    terrae  vera  n:  iS,  18**,  ^s\  SV^ 
longitudo  aphelii  p  zz  S     ,      8,25,  42 

longitudo  terrae  a  i*  V:::^  pS,  27°,  ii^,  ^^6^^ 

§.   53.  Peruenimus  tandem  ad  tertiam  obferuationem, 
ad  quam  locus  terrae  icquenti  raodo  reperietiir. 


Anno 

Anomalia  media  terrae 

1701 

6S, 

13%  17%  50^' 

16  A. 

", 

ap,  53  ,  54- 

Apr,  25. d. 

3, 

23  ,  20  ,  42 

23  h. 

5(J  ,  40 

35  )  7 

I   ,  27 

10  S.,     7 


>  30' >  33''' 
V  3 


Ergo 


S5S  EMENBATIO  rABVLAWM  ASTRONOMIC 

Ergo  anomalia  media  a:  1=307',  30^,  33'''' 
«t  fui.  xziz--  fm.  $2" ,  29^ ,  27'''' 
/— fin.  jr  =:  p,  8993^97 
^,  4583825 

3  ,  4409872 

xzz     307%      30/,  s^''^ 

308' ,      i6\  33^''    ^b 
3<^o 


51°,       43^   27^^ 
/fm^  ^  9  ,  8948900 
<J,  4583825 

3  ,  43<^5075 
Qtjmerus  zn  2732^^  rr  45}'',  32''' 

30^  ,  2.%^^ 


1)  -zz      308° ,   16^,  s''^ 
cof.  1;  =:  fin.  38%  16^,  s^'' 
/cof  1;  =1  9  ,  7919200 

/^  ^j  n:  3  ,  2271923 

3 ,  0191123 
fc^cof.  V  r=  1045 
Ergo  diftantia  tcrrae  a  fole  y  ir  101045 

et  /jvri  5  ,  0045148 
Porro  eft  —  jbfin.  «y  =:  45^ ,  ^^^^ 
atqne  fin.  2  «y  zT  — •  fin.  76*  ,  ^^^' ,  lo^' 
ErgO  l  —  ftn,   2  'y-r^j,  9878921 
6  ,  4583825 


FER  lOCJ  PLAmTARm  GEOCENTRICAnp 

3,   5^29 509<^ 
likziz-Sr,   5-7  4-857(5 

I  ,    154.64.20 
-\Vfin.  nvzn  14/^ 
hincque  z  —  v  -\-  ^S^  -i-  18^'^  =  309*,   i^  ,  23'^ 
feu  anomalia    veni    ^s    n:  10  S  ,      9°  ,.  i^  ,  23-^^ 
addatiir  longitudo  apfe.  p  rr     8  S  ,       s" ,  25^  42^^ 

Longitiida  terrae  zz:    6  6,     17'',  27^ ,    5 


// 


§  S4.  Imientis  terrae  locis  lieliocentricis  ad  finguk- 
a?nnr»  obferuationum  momeata  ,  poterimus  loca  mercurii  ob 
leruata  per  lumims  propagationem  corrigere  (ecundum 
regulam  §.  ^o.  datam.  Era&  antem  pro  obfsruation© 
prima 

longitudo  ^  Gbferuata  oS,  9*,  23^,  32^'' 
Iong;itudo  terrae  7S,  o"* ,  24^,   $2'"'^  fubtr, 

7S",    8\    58/""^ 
quf  arcus  efl  158*,  58'',  40 '^^  vnde  erit 
^L     zz:     (in;     21**,   i^ ,  2:0^^ 
«2  zz  ~  fim    68°  r  SS'' ,  40'''' 
^M-  =  P,  554-^581 
l  a  :=::,  6  ^  ooogooo 


15  ,  5-54^5 &i 
/  ^  rz   5  ,  5878232 

/  ^  =:  9,  9668349 

angulus  cuius  Cuus  eft  ^  eft  67*,  ^4.^ 


f=5 


t6o  EMEmJTIO  TABVLAWM  ASTRONOMIC 

q  zzcof.  6f.  $V  Qt  Iq  =9y  57544^^8 
/i   :zi3  ,   814-0655 

/'1=15,7613812 

fubtr.      4,  6855749 

I  ,  0758063 

Porro  eft  l—mzn^,  9700900 

/^  :zz  4,  020154.0 

5  ,  94993^0 
4,   6855749 


I  ,   264.3611 
Ergo-^mS^' 
Ad  longitudinem  mercurii  obleruatam   ob    propagationem 
lucis  addi  debent  12''  ^  1 8'^  (eu  30",  ita  Yt  vera  mer- 
curii  longitudo  in  prima  oblernatione  fit 
oS,  9%  24',  2''. 
§.   55.  Simiii  modo  pro  obferuatione    lecunda    cor- 
redio  ex  propagatione  lucis  orta  inueftigetur. 


Longitudo  mercurii  obferuata  3  S  ,     9*  ^ 

43^     0" 

Longitudo  terrae  helioc.          9  S  ,  27"* , 

11',   36'' 

.         ;        5S,X2\ 

31',   ^4" 

qui  arcus  eft  162  ,  31',  24'' 

\nde  erit  [x  :=z  fin,  17"*,  28',  3<^'' 

;«  :=:  —fin.  72°  ,  31' ,  24." 

la\Kz=:i$  ,  4775000 

l b  =    S  ,  5878232 

9  ,  8896768 

angulus 


TER  LOCA  PLAmTARVM  GEOCENTtlCA    ftfs 

angulus  cuius  fmus  eft  f  efl  50"»  S^[ 

qz=:coj,$o\  52',  z=:fin,  ;j/,  8? 
Iqziz^  ^  80011(^9 
/£-  —  3,  8140555 

5  ,  9860513 
4>  6855749 

I  ,  3004764 
Ergo  '^q  —  20" 
Porro  l-mczi^y  p7P45f P5 

/|-     =4,  0201540     , 

5  ,  9593053 
4,  6855749 


ErgO  —  JLt»—  i8"i 
Ad  longitudinem  mercurii  obfenmtam    addi    debent   sS'^ 
ita  vt  vera  longitudo  mercurii  tempore  (ecundae  obferua- 
tionis  a  prima  fiella  arietis  fit 
3  S,  9',  43^  38^'. 

§.  56,  Pro  tertia  denique  obferuatione  corredio  ad 
longitudinem  mercurii  obferuatam  addenda  lequenti  modo 
inuenietur. 

Longitudo  mercurii  obferuata.     oS,  14*,  28^,  14^^ 
Longitudo  terrae  a  i  ^  Trz:    (J5  ,  17° ,  27'',     s^^ 

Qui  arcus  efl:  177° ,  i'' ,  ^^^ 
•vnde  |x  zir  fin.  2°,  58^  51^^ 

et  m  =:-fin.  87'',    i\    9^^ 

Tom,  XU.  X  lauk 


16^  EMENDJTIO  TJBVLARFM  ASTRONOMlC. 

/tfjjLiz:  14,  71^382^ 

Ib    zz    5,5878232 

9,1285597 
angulus  cuius  finus  f  eft  ,  7* ,  44.^ 

^  =  cof.  7° ,  44^,  =:  fin.  82',  i^^  I 

/^  =  9,  9960321 

/^  —  3,  8i40<^5<J 
<?,  i8i9<5(55 
4,<^85574P 

i,49<^39i<^ 
Ergo  *-f  =13:11:^^ 
Porro  eft  /-»/=:  9 ,  99941 10 
/p      :zi:  4,0201540. 

5,9792570 

4,<^855749 

n., 2936821 
Ergo  — ^7«r=  19^^- 
Ad  longitudinem  mercurii'  obferuatam'  addidebent  51^:^  itJi 
■vt  tertia  obleruatione  longitudo  mercurii  fuerit 

oS,  14°,  ^9^  5'^ 
Haec  ita  fe  habent  ,  quando  mercurius  a  terra  longius  di- 
ftat  quam  fol :  quodft  autem  mercurius  terrae  propior  effet 
quam  fol ,  tum  aequatio  non  erit,  vt  hic  pofuimus  —f  ;«4- 
f  q  fed  erit  ^-  m  —  ~q.  Hoc  autem  apparebit ,  fi  cum 
mercurii  locus  heliocentricus  fuerit  inuentus ,  diftantia  mer- 
curii  et  terrae  heliocentrica  minor  fuerit    quam    90    gra- 

duum. 


PER  LOCA  FLANETJRFM  GEOCENTRICA    i<?3 

duum.  Cum  igitur  partes  aequationis  inuenerimus ,  poft 
modum  apparebit ,  \trum  eae  pnrtes  addi ,  an  a  (e  inuicem 
fubtrahi  debeant ;  quare  plenam  corredionem  ex  propaga- 
tione  luminis  ortam  eo  vsque  difFeremus ,  quoad  longitu- 
do  mercurii  heliocentrica  fiierit  determinata. 

§.57.  His  praepatatis  primam    mercurii    obferuatio- 
nem  confideremus ,    atque'iid  hoc    tempus  €X  tabulis  lo- 
cum  mercurii  fupputemus.     Erat  igitur 
Tempore  medio  A.  1715  Mai.  9  d.  122  h  ,  25'' ,  ^^-^'^ 
Longitudo  5^  obleruata  ai^ViizioSjX)^,^^,^^/' 
quae  longitudo,  fi  diftantia  mercurii  et  terrae  heliocentrica 
maior  fit  90°  ,  augeri  debet  18^^  -i-  12'^.  E  contrario  au- 
tem,  fi  haec  diftantia  heliocentrica  minor  fuerit^o",  auge- 
ri  debet  18^^—12^^ 
tatitudo  5  obferuata  e(l  2%  23^  55''^  Auftralis, 

Hoc  porro  tempore  inuenta  efl 
Longitudo  terrae  a  i  ^  V  z=:  7S,  0°,  ^^^^,  52''''. 
Diftantia  terrae  a  fole  zrz  101318 

Log.  diftantiae  terrae  a  Ible  —  $  ^oos^S^^j. 

Deinde  ex  tabulis  mercurii  eft: 
Diftantia  mercurii  a  fole  media  «am:  3  S7 1 o 
Log.  huius  diftantiae  leu  la      =4,5878232 
Excentricitas  orbitae  mercurii  i(:  =  205889 

lOOOOOO 

hincque  Ik  r=  ( —  i  ),  313(^332 

Longitudo  Aphelii  'g  a  i  *  T  p  zn  7  S,  13°,  48^ 
Longitudo  Nodi  afc.  ^  =:  o  S ,  1 5%  j^z^ 

Inclinatio  orbitae  ad  Eclipt.    w  =:  6° ,  54^. 
lam  ex  tabulis  ad  tempus  obferuationis  fupputetur  anoma- 
lia  media. 

X  2  A.  170Z 


1(^4  EMENDATIO  TABVIARFM  ASTKONOMIC 


A.  1701 

Anni    14- 

Miii. 

22  h. 


8S,4  ,^^  o^^ 
I  ,  14  ,  <5^  14 
4,  II  ,4  >  45 
I  ,  ^  ,49,  5^ 
3  ,45,  5 
4,   25 


§.  58.  Cum  igitiir  §.  22.  anomalk  media  pofita 
fit  Xy  erit  pro  hoc  tempore  xzz^^"^  52'',^  24.''^,  ex  qua 
anomalia  excentri  v  reperietur  per  hanc  aequationem  i) 
zz^x  —  k  fin,  ( .V  —  ^  fin.  [x  —  k  fin.  (  ^  —  etc.  ).  Cum 
autem  fit/^zi:(— i).  3i3<5332,  atque  a  logarithmis 
finuum  fubtrahi  debeat ,  4. ,  ^855749  ,  coniundim  fubtra- 
hi  debcbit  5  ,  3719417,  vt  finus  per  k  multiplicati  in 
arcus  conuertantur.     Calculus  ergo  ita  fe  habebit 

l  fia.  x  =  9j  9935285 
5  ,  .^719417 


k  fm.  X- 
fubtr. 

4 
=  41839 
ab  X 

,  621586S 
^'  zz  69i  : 

19^^ 

=  11*, 

0 
99-, 

37% 
5^% 

X9" 

X  - 

-  k  fm.  .V 

— 

88°, 

15% 

5^' 

/fin. 

~ 

5, 

9997974 
3719417 

iniimcrus : 

42S 

4,  ^^l^SSl 

^48^^=707', 
fubtrahatur    ab 

2  8^'' 

rrii* 

0 

—  99 

,    48" 

88° 

,     4-' 

/fm. 

m  tOCA  TLJNETARrM  GEOCENTmCA  i6^ 


/  fui.  =  9  ,  999^756^ 
5  ,  3719417 

4,  0278149 


// 


nnmerus:  42444' -^  — 707' ,  a^^^rrii*,  47^^  ^4- 
fubtr.    ab    ;i;      rr  99**  ,  52-^ ,  24'' 
Anomalia  excentri  ^      zr  8  8°        s^       o' 
Hinc  eft  diftantia  mercurii  a  fok  jzza  ^ak  cof.  « 
i  a  =  ^,  5878232 

lakzn  3  ,  9oi45<^4 
/cor.^=::8,  5243430 

2  ,  4-257994- 
«fecof.  i;rr  265 
^  i=L-  38710 


y  •=!  3S976  Diflfintia  mercutii  a  fble 
/j^=:   4,   5907973. 
Ex  his  inuenitur  anomalia   vera   z  ope   huius  aequatlonis 

cof.  z  =  —j — +   ^  -,  quae  praebet  hunc calculuia 
l  a  k  fin.  tot.  n:  13  ,  9014554 

ly  ==4,  5907973 

9>  3106591 

■M«il£!-   n:  2044839 

/  cof  i;r-:   8  ,   5^43430 
l  a       =  4  1  5878232 


13  ,    II2l6<52 

i y  -=-   4>  5907973 

S  ,   52i3<^89 
X  3 


t6S  EMENDATIO  TABrLJRVM  ASTRONOMC, 

°S2LlL  zzz     332175 
2044839 

cof.  z  =   21377015  ==  fin.   13*,  W  >  3^' 
Ergo  anomalia  Yera  z  =:  7<^%  14-'')  57^''- 

§.  59.  Nanc  ordo  poftulat   vt  in  diftantiam  aphelii 
a  nodo  inquiramus ,  .quae   pofita   eft    ^ ,    ex   aequatione 

p=z7S,  13%  40^ 
^znoS,   15%  4^^ 

p-^=:6S,   28",     6/ =  208**  ,  (S^ 
tang.  (/)_^)=:itang.   28°,  6^ 
lm\'^  [p-q)-=z9  ,  7275008 
/cor.  n        ^9  •>  99<^843i 

/tang.  ^      =9?  7305577  =  /tang  28^15^^24.^^ 
Ergo  ^  :=::  5  S  ,  28%  i5^,  24^^  z=  208°,   i^'',  24^^ 
qui  valor  pro  omiiibus  .ojbferuationibiis  idem  man^t*  Sequi* 
tur  .longitudo  .  planetae  a  nodo  r  ,  eftque 

tang. >.—  cof.  .?itang.  {e-^-z) 
^-     -^r=5S,  28%  15^  54''' 

5-2  S,   16°,  14^  57^^ 

^  +  2=1:95,    14°,    31%    21''^ 
tang.  (^  +  ;2;)=:-rang.75%  28%  39^^ 
/-tang.(^-f-5;)=:io,   58^5389 
/cof.   «  iz;    9,  9958431 

/  — tang.  r  :=:  10,  5834820 
Ergo      r     =i9S,  14%  37%  25^'' 
Ad  longitudinem    planetae   a  nodo  r  addatur  longitudo 

nodi 


PER  LOCA  FLANETARFM  GEOCENTRICA  16 j 

nodi  a  prima  (lella  arietis  ^,  et  fumma  erit  longitudo 
mercuiii  hcliocentrica  a  prima  (lella  arietis 

rrrpS,  14%  37^  Z^^^ 

^  =  oS,  15°,  ^^\ 

Cum  igitiir  longitudo  terrae  fit  7S,  o*,  z^\  $1^^  lon- 
gitudo  heliocentrica  mercurii  a  longitudine  geocentrica  fub- 
trada  relinquitur 

oS,  9°,  23-",  32'''' 
10  S,  0°,  19^  3^'^  :^ 

^S,  9°,    3S  56'' 
ergo  ^=  ^<?/.  59°,  ^^'  et  f  ^=:  ii''^,  aim  nunc  fit  — 7 
7«  31:  1 8''^    erit    f  ^  —  ^  w  —  29^^  ;     hincque    longitudo 
mercurii    obferuata    ob   lucis   propagationem   augeri  debec 
29^^'  etc  vt  ea  (It  oSy  9^  24.'',  i^'' 
Latitudo  autem  helioceiJtdcj^  i^  ad   boream   refpiciens  ex 
hac  aequatione  ftn.  s  z=:fin.  n  .  Jhi.  {e-\-z)  definietur,  eft-^ 
^Q  fm.{e-\-z)-:=.—fn.^s''\  2^8^,  39''''   vnde 
l-fn.  {e-^-z)  —  9^,  98^58974 
-^c^^^  l  fin.  n:  9,079(576^2 

/— /«.  J— '  9,  065573^ 

crgo  jm—  6**,  40^,  42 ''•^,  ex  quo  latitudo  heliocentrica. 
mercurii  erit  aultralis  atque  zn  6**,  40'',  42''^.     \ 

§.  5o.  Definito  loco  heliocentrico  pergo  ad  locum 
mercurli  geocentricum  iiipputandum  ,  ad  quod  erit  diftantia 
terrae    a  fole    r  zn  101^18 

Ic  r:z  5,0056867 
longitudo  terrae  «m  7S,  0"*,  24^,  52''' 

Nunc 


i5S  EMENDATIO  TABFLARm   ASTROMIC 

Nutic  quaeratiir  angulus  pTViz:/,  ex  aequatione 

Eft  vero  «r=7S,  o\  24^,  52 
qJrrz=:ioS,  o\  19^,  36^ 

crgo  cot.  {ti-q-r^zn—im^.  0°,  ^^^,  i^''^^—  15319 

Porro  ly  =  4,  $9^191% 

l  coC.  s  =  p,  9974701 

/-fin.  (w-^-r)  —  9 ,  9999PP4 

/-j/cof.j.fin.(//-^-r)r::  24,5882555 
/^'(fin.tot.)' ~  35,005^357 

/-j/cof.jfm.(«-^-r)ir:  24,  5882555 

10,4174199 

CrgO  ;'c's,sf;k.iu.,.r)  —         25l4<^880 

-4- cot.  («-^-r)  =1—        15319 


cot.  t  zzz  2513 1 551 
Ergo  ^  efl:  20*,  55^,  27^^  vna  cum  fex  fignis ,  vtl  con- 
ditio  problematis  requirit ,  quod  figurae  repraefentio  facile 
commonftrat.  Qiiare  cum  fit  ^  —  55,  20',  55^,27% 
hinc  longitudo  mercurii  geocentrica  /  innotefcic  ex  hac 
aequatione  fzzzu  —  t 
Eft  vero  «z=:7S,o°,  24^,  52^^ 

^rz5S,2o°,  55^  27^^ 

/-oS,  9%28^  25^^^ 
hOiW  autem  longitudo  mercurii  ad  hoc  tempus  obferimta 
eft  F=:oS,  9%  ^V,  ^^' 
Ex  quo  eft  F-/=:^/zr- 4^  14'''' r=- 254^'' 
Qui  eft  error  tabularum  in  longitudine  commifrus. 


FER  LOCA  TLMETARFM  GEOCENTRICA.    i6p 

§.  di .  Latitudo  denique  Geocentrica  g  reperietur  ex 

hac  aequatione  tang.^  =:;,,..  (u-.,-r) 
/-fin.  tzz:  p,  5531590 

/— tang.jzr  9,0585182 


18,  tud^j^j^ 
/~fin.(«-^-r)—    9y  999999^ 
/-tang.^.r=         8,(^21(5778 
Ergo  ^  n  —  2**,  23'',  45^^      Latitudo  ergo  Gcocentrica 
erit  aurtralis    atque    aequalis     2",  23^,  46''^ 
Latitudo  autem  obferuata  eft  zr  2*,  23'',  55^' 
Erit  ergo  G  ^  -  2**,  23^,  s$^^ 
g^-^\  23 ^  45// 

Atque  G  -^  zz:.  d^  —  —  p^^ 

Qui  eft  error  tabularum  in  latitudine  commifTus. 

§.52.  Qiiod  fi  nunc,  vt  (upra  fecimus,  tabulas  ponamus 
corredas ,  valores  inuenti  df  et  dq  per  aberrationes  tabu- 
larum  inueniendas  dm  ^  dp  y  dq  ^  dn  et  dk  fequena  mo- 
do  determinabuntur. 

■I  r  ( dq-^~dr)Sih.*)\     .  ^    acdkeof.z(Jin.t)*       e*chdmjin.v(jin. f  )• 

^J    —  (J7n.{u-~(i—r))^    "  I '  yy cuj.'-s.jin.[u~ii-.r)         y^coj.s.jin.{u—,.i1-r^ 

qdsjani.jjjjv^ c(dq-i.  dr)cot.t{u—q~r){Jm.t)* 

ycoJ.sJin{u~   ~r)  ycoj.sfm.^n—q—r) 

t i'<!f7Ti.t{cif.  ,)*     djcoj.^.^ang.-iccof.^)^  (A7-f-dr)/'?>i.f  •  fgnf.?fco/.g> 

*0  (c>.y,S;2iz?i.  u-',-y)  Jm.{u~cj-r)        "^  Jih.{u-q-r)tau^.{^u-.i-ry 

Aequationes  autcm  fubfidiariae  funt  hae  : 

,      dncof.n.fin.(fi-^z) ^^  (de-^dz)fin.ncof.  (p-^z) 

^  S  coj  s  "T"  ccj.  s 

dr=  -'^'Tc^,7^-  Mn.  n  t3ng.f.-|-^(cof.  rf 

.      fe^b—d^ijjxof^e)^     ,     dnfiv.n  fon^.(p--q)(cof.e]* 

«^  cu/.fi(oo,.rp— 5))»H-  (coj.n)* 

,      ad^Jn.z         adkfih,  z         d  kfin  g 

Ic^w.  XIL  Y  Qinn- 


170  EMENDATIO  TABVLJRVM  ASTROKOmC. 

Qi.iiintitatiim  aiitem  finitanm  valores ,  quae  in  his  formu- 

lis  infunt  ,  ita  fe    habcnt 

^zz:     38710    .  /^:=4,   58782,32 

c  =1101318   .   lczizs  )   0056867 

n  ^    6\  sV 

V  =:-88%      5' 

j'  ==     3897<^-      /r=:  4,   5907973 

z  =:    76°,   1+^.57^^ 
p-qzz:    6S,   2S°  ,     6^ 

€  zzi    6S,   28%   i6%   24^/ 
^4-::;=:    pS  ,    14°,   31^,   26^' 

r=:     9S  ,   14",   37%   26/-' 

J  =1    -  6^^  ,  40^  ,   4,2.^^ 

u-q-rz=z9S,  o\      5^,  16^ 

^  =:6S,   20%    56%  ,27// 

^=:-2%  23%  4<^'' 

§.  63 .  Qiiaeramus  primnm  dz  ex  aeqvmtione  : 

i^  admfin.^  adkfin.z  dk  fin.  z, 

a^  — ■       yfin.v  y         —        j_/j/, 

\bi  notandum  elt  coefficientes.  ipfius  dk  in  minutis  (ecun-i 
dis  exprimi  oportere  ,  quia  reliqua  differentialia  omnia  dmy 
dp .,  dq .,  et  dn  in  minutis  fecundis  definiri  debent, 
Erit  ergo 

/^   =:  4,  587S232 

Km.z—    9,  9S73707 

14,  5751939 

/j   —  4 ,  5907973 

9  ,  984396^ 

/rm.f; 


FER  LOCA  VLANETAWM  GEOCENTRlCA.    i^t 
Km.vziz    9  ,  9997570 


(—1),  984.639<5   I  coc^.  dm 
niimerus  ~o,  9652  zz:  coeff.  d m 

4,  6S55749 


fl  r/n.  a 


5  ,  2988217  -  /  '-^  m  fec. 


^=198985^^ 
/fin.^zr:     9,  98737^7 
l-hk  =    o  ,  0188112 


10  ,   oo5i8i9 

4,  ^855749 


5  ,   320(^070    =^I-^^i,  in  fec. 


^1^1,^209222/^ 


408207'^  =  coeff.  d  k 
Ergo  dzziz  o  ^  9652.  ^;;/  —  40  8207''''.  ^^ 
/o  ,   9<^52  rr  (— i) ,  984^39^^ 
7408207  '"==:     5,      6108805. 
§,    (54.  Deinde  quiienitur  expreifiO  ,  cui  r/ ^  crt  aeqna* 
lis  ex  hac  acquari.  ne 


de 


[J p _ d.;  )(coj'.  e^''     .     dnSin.nfan^-.f  p-q ){ cof.  < )~ 
coj. n  [coj.  (p  — 1^ ))'     '  "  C  coj-  n.j'^ 


/— cof^zz:  9,  9448270 
/(cof  ^)'z=:  19  ,  8896540 
/cof  /2  =  9,  9968431 
/cof  nf  ziz  19  ,  9936S62 


/fiu.  «  =  9  ,  0796762 
/ung  (p-^)  3=:  9  ,727500$ 
l-QO^.  p-C})-  9, '9455310 
/^cof(_/)-^))'rzi9  ,  8910620 

:  /(cof 


172  EMEKDJTIO  TABVLARPM  ASTRONOMIC. 

/  (cof.  e)  =:  19,   889<^54P 
cof.  »  ^    9  5  99^84-31 

19  ,   8928109 
/cor.(p-^))'r::i9,  8910^20 

o  ,  00174.89 
coeffic.  {dp-dq)z=:i,  0040 
Porro  /  lin.  n       1=  9,  07967(^2 

/tang.(^-^)=r  9,  7275008 

/coC^/         =i9,889<^540 

38,6958310 
/(cof.  «)*     =  I9,993<^8d2 

(-2),  703144-8 

coefF.  dnzz:  o  ^  0505 

Ergo^^n:  i  ,0040  ,  ^/>  ~i ,  0040^^-4-0,  0505  .  </»i. 
/i,  0040  zzo,  001 7489  j  /o,  0505  =(-2),  7031448 

§.  65.  Sequitur  difFerentiale  ipfius  dr  cx  hac  aeqiia- 
tione  definienoum  : 

/-tang.u-4-;2;)i=:io,  58(56389 
/cof.  r  =9,  402214.5 

/(cof.  r/  =1:18,  8044290 

/cor.(^-4-5;)     =:   9,3992584 
Ergo  Icof.n  z=z  9,9968431 

/(  cof.  r)*  z=:i8,  8044290 

28,  8012721 
/(cor.(^-H2)':=:  18,  7985168 

0,0027553  coeflf. 


FER  LOCJ  TLANFTJRVM  GEOCENTRICA.    X73 

coefT.  (de-\-dz)      m  ,  0054. 
Porro  /fin  «  —  P,  079(57^2 

/Ccor./-)*  11118,  8044290 

(-2;,  4707441 

coefF.  —  ^  «  rr  o  ,  01295. 

Ergo  ^r  =  I,  ood^.^s^-i  ,oo6"4.</^-f- 0,0295  .</» 
/i,oo54=zo,oo27553- /0,0^95  — (-2),  4707441 
Valoribus  autem  ipforum  dz  et  de  fubftitutis  prodit  dr 
zzzo  ,  9714  .dm  —  410805^^.  dk-^-  \  ^  0104.  ^p  — 
I  ,  0104.  </^  4-  o  ,  0804  .  dn 

Iq  ,  971411=^-0,  9873949 
/410805^''—  5  ,  5135358 
/i  ,  0104  iz:  ©  ,  0045042 
/o  .  0804:1=  (-2),  90^2560 
§.  65.  Habetur  pr:ieterea  liJiec  nequatio  : 

//  f  .ciacq/"n.Jm.(p-4-z)     ^      (dp^cfz)  /m  n.  co/".  (c-t-g) 

coj.  s  "  I  ■"  cy/.y 

/-fitt.  (^-4-^2)=     9,     9858973 
/cof.  «  —     9  ,     9958431 

19,  9827404 
/cof.  j  :r:     9  ,  9974701 


(-1), 9852703 
coefF.  —  dn  =r  o  ,  9  557 
Porro  /fin.  n  =r  9,  0795752 
/cor(^4-x;—  9,   3992584 

18,478934^ 
kof.  j"  zz:     9,9974-01 


(-2),  4814545  coeff. 


174  EMENDATIO  TABVLAWM  ASTRONOMIC. 

coeff.  (d  e  -^  d  z^zizo  ,  0303 
Ergo  ^i-  —  —  o  ,  9667  .  dn  -i-  o  ^    0303  .  ^^-+-  o  , 
0303  .  d  e.     SiulHtLitis  autem  loco  flf  ;2;   et    de   Yalorilxis 
erit :  d s  -zz  o  ,  0292  .  dm—  12369^^  .  ^Z:  -h  o,  0304. 
dp  —  o  ^  0304  .  d  q  —  o  ^  965  2  .  ^  ;j 

/o,  0304=:(-2),   4832134 

/o,  0292  ::=:  (  — 2)  ,  46(5104.1 

/  12359^'' zz:  4,   0923450 

/o,  9652=:(-i),  984^173 

§.   57.    His    praeparatis    potcrimus    tandem    dcfinirc 
df  ex  hac  aequatione. 

,r {dq-\-  lr)(Jir.  f )^  ^          acdh  cof  g  (fin.t)^            a'chdmfm.  i>  (  fm.f  ) 

^/  (Jm.^iu^j-r)^  ^i"      j)/j'ct.j-v./zri.,(u_,j-?-)           3-5  coj.s./jn.(u-.2-r) 

— cds  tang.  s  [Jin.  t  )'  c(d^-\^dr)  coU  {u — q — r)  (  /m.  t  )' 

^  cc/.  5./,-r..  (u_:^-r)  jco/.s./n.(u— .j— r( 

Eitque  /—  fm.  {u—q  —  r)  n:  9,  9999994 

/  — cot.(w  — ^-r)  m    21852304 

/-fm.  ^  =1:9,  553159^ 

/cof.  5;  i==  9,  37^^0292 

/fm.  1;  —9,9997570 

/  —/cof  j .  fm. (?/-^-r)  =  24, 5  8 8 2668 

Ik  =(-i),3i3<5332 

Hinc  habetur  :  /(  fm.  ^)'  =  19,  1063 180 

l{J{u-q-r)Y       =  ^5>,  9999988 

Jcot^.  {dq-{-dr)  =z  (-i),  1063  192  :  w.tiio, 1277 

Porro:/<a'^  zr         9,  5935099 

l coL  z  ziz         9,3760292 

/(fin.  ^)^  zz:       19,  1063 180 

38,0758571 


PER  LOCJ  FLAmTARVM  GEOCERTRICA  i75 

ly     ■=.        4,  5907973 

33,4-^50598 
/-jcor.jfin.^w-^-rjiz:  24.,  5882668 

8,  8967930 

4,^85*^749 

lcoc^.^dh        =  4,  2112181  /2  ::z:  16264''' 

Porro/^7^(rin.?)^=:         28,<^998279 

la  =  4,5878232 

/^  =(— i)       3i3<^332 

/iin.  1;         =:       9,     9997570 

42,    6010413 
//  ir:         9,     181 5946 

33,    4i944<^7 
/-^cof.jfiu.(z^-^'r)~24,    5882668  -f-  10 

/ coefF. -i- ^ ?;/  =(-2),  8311799  «*•  ::^o,  0678 

Porro     lc  zz    5  ,  0056867 

/— tang.^  -zz    9,'  0685182 

/(fin.  ^/  :=:  19  ,  1063 180 

33 ,     1805229 
/'j'Conjfin.(«-^-r)z=:24,     5882668-^  10 

/coeff.  —  ^j-  —(^2),    5922561  w  :=:  o  ,  0391 

Denique  lc  (fin.^)^—  24  ,    11 20047 
l-  coi.[u-q-r)-=.    7,    1852304 

/^cof  jfin.(z/-^-r)— 31  ,    2972351 
24,    5882668 


/coefF.  —  ^^--ir=:(-4),    7089683  «:  =0,  0005.  Erlt 


I7<J  EMENDATIO  TABVLAKm  ASTRONOMlC. 

Erit  crgo  df  :=:  o^ii'] 2  dq-^-OyXi^i.dr-xGiC^^^dk 

^  o,  0678.  dm  —  o^  0391.  d s 
Atqiie  (Iibflituti,  loco  dr  et  ds  valoribus   inuentis ;    erit 
4/:=:-  o,  ipoa.  dm  —  ^So^s^^.  dk-ho^  m-j^.dp 
—  o,  0001.  dq  -h  o^  c)479.  </« 
§.58.  Reftat  denique  vt  pari  modo  alteram    aequa- 
tionent)  ad  hanc  obferuationein   acconamodemus ,  quae  eft 
haec. 

J  „,  ^ dsfin,  t  (co/.f)* dfeof.  t  tanfr.  •^{cof^p)*  ,    {dq-^dr)fvunm^  s{cofg)* 

o^         (cjf-5)^jia{,u-ii-r)  i<a.  (v— ^ — ri         *  Jin,  .{u-i-rj ,^n^/{u-^~r) 

IcoC.g    —    9,9995201 

/-fin.  ^rr    9,  553*59(5 

^9,552399* 
/cofi)*~  19,  Q9f94-;a 

II   iii'i  ■        iiu  m 

9,557^59« 
/-rin.(«  f  y)=:9,  9999994 

/coeff.4-(/i—(- 1)^5574595  niim  :  zr  o,  3509^ 
Porro  /  —  cof.  ?  —    9 ,  970 3  235 
/-taag.  j     zz    9,0585182 
/cof.^/     r=i9>  9992402 

39,0380820 
/-  fin.  («-(^-i)=r    9 ,  ^g9^9s>^  H-  30 
/coefF.-f-^/      :=(  i),  0380825  num  :  =:  o  ,  xopxd 
Deinde  /  -  fin.  /  zi:    9,5531590 

/— tang.  j      —    9,0585182 

/(cof.^)*         =  19,  9992402 

38,0209174 

/-fin. 


?ER  lOCJiTLAKETJRFM  GEOCENTRICA.  i77 

/  -  fin.  {u-q-r)  =r    9 ,  999999^ 

28,6209180 
/— cot.(«— ^— r)i=:    7,1852304  —40 

/coefF.-H^^+^/rizz^-^jjSo^i^S^num  :  o,  oooo5 
Qiwmobrem  erit. 

dg^o^  36096.^^+0, 1 091 6.^^0,^00006.^^-1-0 ,oooo6.</ir. 
fiibltitutis  autem  loco  dr  et  ^j-  valoribus  inuentis  erit 
dg^o^  10916.  df-\-  o,  01062. ^/;^  — 4491^'.  (/^ 

+  o,  0H04.  d p  —  o^  oio^H.dq  —0,^480.^« 
Cum  igitur  fit  df——  264^^,    et  dgziz— ^^\   vt  (upra 
iiiuei!i;irnus  §.  §.  60  et  61  ,  erit  o,   10916  .  dfzz^-i^^^ 
atque   ex   hac   prima   obferuatione    habebuntur   iftae   duae 
aequationes  pro  corredlione  tabularum  : 

^2.6^^^zz.o^  1902.  dm  —  6%o^s^^dk-{-o ^  1273.  dp 
—  o,  0001  .  ^^4-0,  0479  .  </« 
et 

ao^^=:  0,01062  .  ^7«— 4491^^.  ^^  +  0,01104  .  dp 
—  o,  01098  .  dq—o^  3480  .  ^« 
§.69.  Progrediamur  iam   ad  (ecundam  mercurii  ob- 
feruationem  ,  quae  ita  (e  habet : 
Tempore  medio  A.  17 16.  Aug.  vd.  22  h.  45^,  6^^ 
Longitudo  ^  a   i^^v  obferuata  eft  3S,  9°?  43^  o^^ 

quam  ob  lucis  propagationem    poftmodum    corrigemus. 
Latitudo  ^  obferuata  fuit :  0°,  13^,30'''',  Borealis 

Pro  hoc  autem  tempore  inuenta  efl: 
Longitudo  terrae  a  i>j>y  =  9S,  27°,  11'',  36^^11:« 
Diibitia  terrae  a  Sole  Z3  101096:=:^ 

vnde  I  c  ziz  $  j  0047340 
Data  autem  ,  quibus  tabulae  corrigendae  lunt  fuperflrudtae 

Tom.  XIL  Z  fupra 


17S  tMENBATLO  TABVLAWM  ASTRONOMIC: 

fiipra  §57.  exhibuimiis.     lam  ad  hoc  tempus  ex  tabuli? 
fupputemiis  an  >maliam'  mcdiam. 


A.  1701 

8S, 

4,  ^^     oj^ 

Anni  15 

^> 

7..4i;,^aj:.. 

Aug.  Menfis 

4v 

^7,  34,   29 

ob  biflext;  8.d. 

I  , 

2,  44,   19 

22  h 

3  ,  45  ,     5 

45/5/" 

7,    41 

Erit  igitur  anomalia  media  xzizi66°^   ^\  $$^^ 
et  fm.  ^=:fin.  13^   5  8^   s/^.     Hinc  reperietur  .an<?mali^ 
media  v  z:z  162**,  28^  S^^'  \   et   ex  hac  porro  diUaritia 
mercurii  a  foie  :  7^^=::  3,  9014564. 
/—cof.  1;.=  9.  9793743 

3,  8808307 
4ffe  cof.  vm—  7600 


Ergo  didantia  ^  a  Sole j  —31110,  ct  lyz=:  4 ,4929000 
Deinde  hiuc  colligitur  anomalia  vera  mercurii ,  s 
/tf/(:fin.  tot. -:  13,9014564 

Ij—    4,4929000 

9,4085^64 
«M"jI2L.    ;:::::  2561867 
Porr  /  —  coC  'uc--:  9 ,  9793 743 
]  a     '-^^^,  5878232 


14,5671975 
]  y     ZZ.4.,  4929000 


10,0742975 


—  « 


FER  LOCA  PLANErjRVM  GEOCENTRICA.  ly^ 

a  cof.  V  ^  ^    « 


Ergo  ^zr  158°,  29/,  49^^ 

§.  70.  Diflfinth  aphelii  a  nodo  ^  manct  perpctuo 
eadem  ,  eftquc  r  —  6S,  28°,  i<^^  24^/.  Ex  hac  vero 
reperietur  ibngitudo  mercurii  a  nodo  tang.  r  zz  cof.  ?r 
tang.  (^-4-.cj) 

^  -  5  S  ,      8^   ^9^  49^^ 
f4-^=:oS,     6°,   46^,   13/^ 
/tang.(f+s)=  9,  0745^15 
/  cof.    »       =::  9,  9968431 

/  tang,  r       zz:  9,  0713546 
Ergo     r    =  oS,     6^*,  43/,  18^^ 
at         ^     zz  oS,   15°,  4^^    o^^ 

>  +  ^     ==  oS,  22°,  25/,  18''' 
quae  elt  longitudo  planetae  heliocentrica  :    Latitudo  autem 
heliocentrica  ita  inuenietur. 

/rin.(^H-s)zr  9,0714725 

/fin.  n  :i=  9,  0796762 

/fin.  X  nz  8,  151 1487 

Ergo  s  z=z  -o*,  48^  41 //  Latitudo  ergo  heliocentrica 
efl:  borealis,  atque  ziz  o*,  48^,  41''/.  Sic  itnque  in-.en- 
tus  eft  locus  mercurii  heliocentricus  ad  '  tempus ;  fecuudae 
obferuationis.  ' 

2  *  5.7X. 


i8o  EMENDATIOTJBVLARVM  ASTRONOMIC. 

§.  71.  Anteqnam  hinc  ad  locum  mercurii  geocen- 
tricum  inueftigandum  procedam ,  corredionem  ex  pro- 
pagatione  lucis  ortam  definire  conueniet,  quae  cum  fit 
—  f^"^  atque  iam  fupra  inuentum  fit  ^w— -i8"'|: 
quaeratur  ^ 

long.  V  geocentrica    :=:     3  S  ,     9° ,  43'' ,     o^^ 
long.  ^  heliocentrica iz:     oS,  22°,  2s\  18''^ 

diff.  2S  ,   17°,   17^  4^'''' 

Ergo  q  =:  cof  77° ,  17'' ,  4^^^ 
Iq  zzz  9  y  3421190 
fubtr.      8,  4995405 

o>    8424785 
Ergo    ~  q=  r' 
Quamobrem  longitudo  mercurii  obferuata  augeri  debet  26^^ 
ita  Yt  fit   vera   longitudo    mercurii  F  iz:  3  S  ,  9° ,  43  ^' , 
26^^  atque  latitudo  G  izi  0%  13^,  30''/. 

§.72.     Vt  nunc  locnm  mercurii  geocentricum   de- 
finiamus ,  quaerendus   primum  eft  angulus  />  T  V   ex  hac 
aequatione  cot.  ^  z=  cot.  {u-q-r)-^^,^:^^^ 
at  eft        «  :=:  9S,  27°,  11^,  35// 

^-H^  =  oS,  22°,  25^,   18'''' 

u-q-r  =  9S,     4°,  46/,  18^-^ 
C0t.(«-^-r)=-tang.  4°,  45/,  iS^/ n:- 834743 
/jK        zii     4,  4929000 


IcoC.s      =      9,  99995<^4 
I-[m.(u-q-r)zz      9,  9984921 


/-^ 


FER  LOCA  PLANETARFM  GEOCENTmCA.  x8i 

/-^cor.irin.(«-^-r)=    24,4913485 
ai(Cin.tot,Y    z:i    35:»  0047340 

10,  5133855 

-hcot.(«-^-r)=:  -  834743 

cot.  ^  ==:  31777867  zntang.    72%    31^,  55^/ 

Ergo  t  ==  17%  ^8^,  5^"^  vna  cum  6  fignis. 

Cum  igitur  inuentus  fit  valor  .anguU„pTV— /  ;   ita  loa- 
gitudo  geocentrica  reperierur 

t  ==  <JS,   17%  28^     5^' 
tt  =:  pS,   27°,   11/,  3(5-^/ 

«-/=  3S,     9°,  43%   31'''' 
Erit  igitur  oh  f^zzu-t  longitudo   geocentrica   ex  tabulis 
inuenta    /=  3S,  9%  43^,  ^i^^ 
Quare  cum  vera  longitudo  hoc  tempore   ex   obieruationi- 
bus  deduda  (it : 

F  =  3S,  9\  43,  2<^'' 
Erit  F  -  /=:  df=  -  5//. 

§.73.  Latitudo^'  denique   gedcentrica  ^  ©btinebitur 
€X  hac  aequatione     tang.  ^  =:  jj^"^ 
vnde     l-Cm.t  =      9,4773730 
Itm^.szz      8  ,  151 1923 

17,  (^285^53 
/-fin.  («-^-r)  ==      9,  9984921 

/tang.^  =      7  ,  9300732 

Z  3  Ergo 


IS»  EMENDATIO  TABJ^LAWM  ASTRONOMIC, 

Ergo  ^  —  o*"  ,   14-^,  40^^     At  eft  latitudo 
vera  G  =:  o  ,  13',  30'^     Qliare  erit 

§.  74.  Definiamus  nunc  ordine  valores  differentiali- 
um  dz,  de ,  dr ,  ds  ^  df  et  d^.  ac  prirao  quidem  dif 
ferentiale  ^5;  ad  modum  ^.63. 

la     =1    4,  5878232 
.      /fm.s^    9,  5^41341 

14,   15^9573 
/^     rr  4,  4929000 

9  »  <^590573 
/rm.i^i^:  9,  478595<^ 

koc^dmzz     o,  i804<^i7 
coefr.+-<3'??2=    I,  51 51 
Forro  eft  /"-f^=:  9,  ^59^573 
4,   <^855749 


4,  9734824 
Num.  in  fecundis  zn  94^77 

/  fin.  s  :i:=     9  >  5<^4i34^ 
/  idjTfe       —     o,  0188112 

9,  5829453 
4>  <^855749 

4>  8973704 
Numerus  in  lecundis  =1:  7 8954^ ^' 

94077 


Coeff.  dk  z=.    17303*^^-  Ergo 


FER  LOCA  ?LAmTAWM  GEOCEmiaCA.  183 

Ergo  ^js=ii,5i5i.^w—  17303 1^^  dk 

/i,  5151  —  0,1804.617 

/  173031    =:-5  ,  2381230 
Deinde  d  e  retinet  valorem  fuum  vt  ante  §.   6j^.  d e  z^ 

I  ,  0040.  dp—-  1  ,0040  .  ^^  +  0,0505  .dn 

/1,00401=0,0017489 

/o,C505:z^(-2),703i44S 

§.  75-  Hunc  ad  modum  §.  6$    qpacramus  d  f. 
/  cof.  r     —  9  ,  9970045 
koC(e-\-z}zz^  ^  9959510 

Ergo  /  cof.    «    ^  9  ,  99<^S43 1 
/(cof.r)*~  19,  9940090 

29  ,  9908521 
/cof.(^4-2}*=^  19,  9939220 

(-1),  9969301  m/  co^ff.  (ii<?-4r<^^) 
/    fin.    n    zz  9,0795752  '*^'^" 

/tang.(.^4-2)  =  9  ,   0745115 
/(cof.  r  )*~  19  ,  9940090 

(-2),  148 1957 
coefT.  —  ^wzr.  o,  01405  '   < 

Ergo  drzz:  1 ,  5045  .^;;^  —  171 812''/.  d k -\'  0,9959^, 
</p  —  o,  996^6  .  d q  —  Oy  03505  .  ^« 

/1,5045  =  0,177391 8  Uo,  995951=  (-1),  9985790 
/171812^^— 5, 235053 i|/o,o35o5::z(^ 2),  5570257 

Ad  modum  §.  55    quaeratur  valor  ipfius  </i   vt  fequitur 

/an. 


184  fi^END^nO  TABVLARVM  ASTRONOMIC. 

1  fin.  (^»^<s)=:   9,  0714725 
/  cof.  n  zz:   9  ,  9958431 

19,  0683155 
7    cof.  J  ==   9  ,  99995<^4 

Jcotff.dn  3=(-i),  0683592 

coefF.  </«=:  o  ,  11704 

/  fin.   «  =   9  ,  0796762 
/  coH  (^4-2)  zz:   9,  9969610 

19  ,  0766372 
/  cof.    J  =:    9  ,   99995^^4 

/  coeff.  (^^+^2)  z=:  (- 1 ) ,  o  766 8  o  8 

Ergo  ^ j 31  o ,  1 807S  .  dm  —  20644''^.  ^ J^  ^-  o ,  1 198. 
</p  —  o,  1198  .  ^^4- o,  12306  .  </« 

/o,  18078  =  (-i),  2571425 
/20644^^  n:  4,  3148038 
/o,  1198  =(-1)  ,  0784297 
/o,   12306  zz:  (-1)  ,  0901170 

§.  76.  His  pmemiffis  determinetur   ralor  ipfius  d  f 
ftcundum  §.  67  : 

/( (in.^)*z=:  18  ,  9547460 
/(fm,C«-^'Or==  ^9,  99^^9842 
(-2),  9577^18 
eoefF. -}-<5^^-4-^^z=:o  ,  09073 
7  ac  zz:    9,  59^551^ 


TER  LOCJ  TLANETABVM  GEOCENTBICA   tZ$ 

I—coC.z  rz    9,  9(J85dSS 

l{i\n.  t)*  zz  iS  y  95^7460 

38  ,   5159720 
h  ^    ^-y  4929^^00 

34  ,  0230720 
/-j/cor.jfm.C^-^-r^zi: 24,  4913485 

9  ,   5317235 
4,  ^855749 


/coefF. -^-^^=1:  4,  84(5i48(J 
coefF  -H  <5?  i^  =  70169''^ 
Uc(Cm.tfz=z  28,  547303^ 

/  ^  =4,  5878232 

Ik  :=:(-i),  313^332 

/fm.  1;    3Z     9  ,  478595<^ 

^  41  ,  9273552 

/-j/  cor.j(in.(«-^-r)=33  ,  4771485 

/coefF.  -\-dm  zz(-2),  4502067 
coefF.    4-  </  ;;i  zz:  o  ,  02819 
l  c  =51  0047340 

/tang.  .f  ^     —    8,   1511923 

/(fm.  ^)*  3=  18  ,  9547460 

. — —   ■-       v~^ 

32  ,  1106723 
T-j/cor.i.rm.(?^-^-r)=24,  4913485 

/ coeff*. -V- ^  .f  ='-3),<^i93238 
/  c  (  fm.  t  f   zz  23  ,  9594800 
Tom.  XIL  A  a  /-. 


n<S  EMENDATIO  TABVLARVM  ASTRONOMIC. 

/-  cot.  {u-q-r)  =:    8  ,  9-  M  5  ^5 

32  ,   87io32<J 
/  —j  cof.  s  fin.  (u-q-r)  1=24,  49^34-85 

(-2),  379^841 

cocff.  -  dq—dr~   o  ,  02397 
coeflf. +  ^^+^?'=    o,  09073 

coe ff.  +  d  q-]-drzz:    o,  06675 log.=i:(- 2),  82451^3 
Ergo  ^/=:  o  ,  1294  .  dm  -i-  58612''^.  d k-h  o^  0670. 
</p  —  o  ,  00028  ,  d  q  —  o  ,  0019  .  d  n 
§.  77.  Reftat  denique  valor  </^ ,    ex  §.   68.  inue* 
niendus 

/(cof.  ^f  1=  19,  9P9P922 
/-  fm.  ?~     9,  ^^TS?^'^ 

^9  ,  4773^52 
/(cof!j)*=:   19,  9999128 

9,  4774524 
l  — {m.  {u-q-r)zizg  ,  99S3921   ~  10 

/coeff.  -i-  ^i  ^(-i), 4789603 


/-cof  ^—  9  ,  9794958 
/  tang.  s  z=:  8  ,  151 1923 
/(cof.^y^r  19  ,  9999922 

38  ,  1306803 
/— fin.  (i^-^-r)=z:    9,  9984921   -f- 30 

(-2),  1321882 
coeff.  —  df  zz:     0,01356 


/- 


fER  LOCA  TLARETAWM  GEOCENTRICA    iS'? 

/-fin./Ccof.^)*!;:  29,  4773^52 

/tang.   s     z=:      8  ,   151 1923 

/— cot.  (w-^-r)      —     8,  92i5  52<J 

4<J  ,   5501  loi 
/—  fin.  [u-q-r)     zz:     9  ,  9984921  4--  40 

/coefF. -^^-^r  =:  (-4),  5  5^<^^^Q 
coefF.  --  dq  —  drzzL    o  ,  0003^. 

Hinc  itaqiie  prodit 

dg:=z  —  o,  oi35<J  .  ^/+  o  ,  0539  .  dm—6i$%^^.dh 
-f-  o  ,03574  '  dp  —  o  j  0351  .  d q  4-0,3708  .dn. 
Cnm   nunc  fit  df-zz—  5^^  et  ^^  zz  —  70'''' 
habebuntur   ex  obferuatione  fecunda  hae  duae  aequationes: 

—  5/^  1=:  o  ,  1294  .  dm-^  58(^12^^.  ^/^-4-  o  ,  0^70  . 

dp  — o  ^oooz^.  d  q— 'O  .,001^  .dn 
et 

—  ^o^-^nro  ,  0539    <//«  -  (5158''''.  ^^-f-0  ,   0357. </p 

v..>      -^  o  .  03(5j  .  ^^-4-  o  ,  03708  .  ^«. 

§.  78.  Refidua   eft  vltiina   obferuatio ,   quae  ita    fe 
habet  : 

Tempore  medio  A.   1717-   Apri!.   25   d.  h.   33^,  l^' 
Longitudo  ^   ^  I  5^  V  obferuata  eft  o  5  ,   14",  28^*4^' 
Latitudo  V  obfcrnata  eft  0°,  18'',  30'' .  Auftralis. 

Pro  hoc  au^m  tempore  inuenta  eft 
Longitudo  terrae  a   1  >fcY:   «— dS,   17',  27^^  5^''- 
Diftantia  terrae  a  Ible  c  zz.   101045 
et  /^  rr  5  ,  0045148. 

A  a  st  Ex 


x$8  EMENDATIO  TABVtAWM  ASTRONOMIC. 


Ex  tabulis  igtur  aflignemus  ad  hoc  tempus  anomaliam 
niercurii  mediam  : 


A.  1701 

S  S,  4^     ^^  o^/. 

Anni  :    ic 

5   ,    5,  3<^,  0 

April. 

>,     8,   18,  3<J 

a5   d 

3   ,12,  18,  30 

23  b 

3,  55,  19 

35^7^' 

5  ,   59 

5S,  4%    10',   25" 
Eft  ergo  a:~  154°,  16' ,  25".  et  fm.  Af  =:  fin.  15*^ 
-i-a',  35",  vnde  inuenitur  anomalia  exccntri  v. 
/fin.  a:  zz:  9  ,  6375000 
5  ,  3719417 

4,  2655583 

num:  =  /8431"  ==5*",  7',  "" 

149°,     9'~"l30*,  50',  4<J" 
7  fin.  zr  9  ,  7099000 

5  ,  3719417 

4,  3379583 

;v  -  154°,  i<^',  25'' 


148°,  13',  30'1    3i%4<^',30'' 
Jfm.  =  9 ,  7^14684 
5  ,  3719417 


5,  3495^^7 


num. 


FER  LOCA  PLANETARVM  GEOCENTRICA  x8p 

num.  zz  22353''^  zn     6°,  12^,  43^^ 
X     =       154°,  16'' ,  25// 

/fin.  :=:  p,  7234^07 
5  ,  3719417 

4,   351519^ 
num.  rz  ^2475^'''  =  5°^  14'',  35^«^ 

a:   =      154°,  i^^,  ^5^'' 

i48°7~^"5o^1    3i%5S^,iy^ 
/fin.  =  p,  7238388 

5  ,  37194-17 

4,   35i8p7i 
MUm»  =  22485''^  m  6^",   14^,  45'''' 
X  =     154°,  i^^  25// 

148°,     iS"40^|.  3i%58;ao''' 
/fin.  rr  p  ,  723  872<J 
5  ,  3719417 

4i  3519309 
«um.  m  ^2487^^  =  <^%  14^,  ^^^^' 
X  =  154°,  i<^^  25 

1;  =:   148°,      i'  ,   38''^ 
Ergo  anomalia  cxcentri  c;  =:  4S  ,  28",  i^,  38'''' 
et  /fin.  1;=:    9,  7238793     et 
l'CoCv  z=.    p  ,  9285494 
lak    =    3  ,  9014554 

3  )   8300056 

A  a  a  *l- 


190  EMENDATIO  TJWLARVM  JSTROKOM. 

•^  a k  coC  v  zz:  —  C^i^i 

a  ziz  38710 

y  ~  3194-9   et  /j  =  4,   5044575 


/^fcfm.  tot.  zz:   13,  9014564 

^/   =      4,    5044573 

9,   39^99yi 

akjin.tot.  ^- 

—  >-    =      24      94589 

Porro  I—co(.^'zz:      9,  9285494 

la     'zn      4 ,   5878232 


14  7   5i^372<^ 

/j     =      4,   5044573 

jo  ,  0119153 

''"^''"       zz:      102781^0 


^f^      =^        2494589 
cof.  z     z=L-  77^3571  =:-  fin.  51%  6^,  38^' 
vnde  /— cof.  ;si=i  9  ?   891 1799 
Ergo  2;=Z4S,  21°,  6\  ^s''^ 
et  /fin.2=:9.  7978349 

f.  79  Pergamus  ad   longitudi»em   mercurii   a  nodOj 
r  definiendam  : 

e—      6S,  2^\  i<5',  24" 

z:=z      4S,   21%     6',   38^' 

e-+-zz=z     II S,   19°,  23',     2^' 
/— tang.  (d'-f-:s)—    9)  2728529 
/cof  w  zr:    9  ,  9968431 

/tan^.— r:i=    9,  209(5909  Ergo 


TER  LOCA  PLANETARJ^^M  GEOCENTRICA  ■■  191 

Ergo     rz=:  iiS,  19°,  27',  32'' 
qziz    oS,  15°,  42',     o^'' 


1      O-" 


quae  eft  longirudo  mercurii  heliocentrica. 
Longitudo    ^   geocentrica    o  S  ,   14° ,   28' ,   14^' 
-  heliocentrica  oS,     5",     9',  3  2^' 

Ergo  ad  corredlionem  a  lucis  propagatione  oriundam   eft 
^-cof  9%   18',  42" 
tt  Iqzz:  9  ,9942537 
/f  =  3  ,   8i40<^5<J 

6,   1801881 
4,  6855749 

I,  494<^i3a 
Ergo   7   =31''  et   —  T-f/zzz:  19^^     Ergo  longitudo  ob- 
feruata  augeri  debet  $6^\  ita  \t  ea  futura  lit 
,      FzroS,   14%   29%  4'' 

§.80.  Latitudo  heliocentrica  j  obtincbitur  ad  modum 
$.   59.  €X  aequatione  fm.  i   =z  fin.  «.   fin  [e-\-z) 
At  eft  /  — fin.  (^-4-;s)  —  9,  2653550' 
/  fin.  «  —  9  5  07957(^2 

/-fin.  i  =18,  3450312 

Ergo  j  =z—  1°,   i6\  5/^ 
Quase  latitudo  heliocentrica  eft  auftralis ,  atquc 
-   1%  i6\  5^'. 

5.  81 


ipa  EMEmATIO  TABVtARVM  ASTRONOMIC. 

§.  8i.  Ad  lociim  geocentricutn  mercurii  definieuduin 
(equamur  operationes  §.  60.  inftitutas. 

^^^  — oS,     5%     9^2^^^ 

u-q-rz:^  oS,  12%  17/,  33^'' 
cot  [u-q-r)  z=:tang.  77%  4^%  27^'' :=  458P302J 
Forro  ly  rr  4,  5044573 

/cofi  =1:9,9998937 

/— fin.  {u-q-r)  =  9 ,  3  ^  8  ^  8  07 

^3?  8325317  zr  /— j^cof  j-fm.^w-j-r) 
/1;  (fin.  tot. )  'n:  3  5 ,  0045 1 48 

II,  1719831 

^cown.  (u-,-7r- 148587800 

cot.  («— ^-r)^::    45893023 


cot.  /  n:  194480823 

/cot.  t     =r  II  ,  2  8887<J7  =/tang.  87*,  3%  ^^^ 
ct  ^  rz:  a°,  56^,  5  8''''  Yna   cum   6  fignis :  ex  quo  ita  lon- 
gitudo  geocentrica  prodibit 
«^  ^S,  17°,  27^  ^^^/ 
t  i=6S,    2%  5<^%5  8^^ 

u-t—06,  14°,  30^7''=/. 
Haecque  efl:  longitudo  geocentrica ,  quam  tabulae  praebcnt , 
quae  cum  obferuata  comparata  dabit  valorem  ipfius  df, 
F=oS,  I4.°,a9',4'^ 

F-/  -  =  -i%3'^  =  -63''='// 
qui  eft  crror  tabiilarum  in  longituuine  corrsmiflTus.  §. 


TmmCA^PLANETJRVN  CEOCENTRTCA.  19%' 

§.82.  Latitudo    gcocentrica  g   ita    inueiiietuE  fecUa» 
dum  §.  61. 

/-rm.  ?       =    8,7114.24^ 
l—mr^.s    zn    8,3451375 

17,0505021 
/-fm  {u-q-r)z=:   9,3281807 

;-  tang.^    =    7,7283.^x4 
Ergo  ^  zi: -T  0°,  18'',  24  "^  latitudo  geocentrica 
At  eft  G   rn-o",  18^  30^^  vnde     ' 

G  —gziz^g  zz.  —  6'^.  eiruf  latitudinis. 

§.   83.  Dcfiniamus  nunc  ordine   valores  difFerentiales 
dz  ^dr  ,  d  s  ,  d  f  et  dg  ,  ac  primum  ^  <3  ad  modum  §.<53 
/^     zz    4.5878232 
ifin.  z  .7IZ    9,  7978349 

-^4-,  3^50581 
ly       ziz    4,  5044573 

9,   5i>512008 

/fin. 'yn:  9,  7238793 


coefT,  d?72    =r  1 ,  4366^ 

/"-if-^    zi:9,88i200S 
4,6855749 

5  1  i95<^259 
num  :  =  156901''' 
lCm.z  =9,7978349 
Tom,  XIL  B  b 


tp4  EMENBATIO  TABVLARVJIl  ASTRONOMtC. 

It^     — o,oi88iia 
9, ^100461 

4,^S55749 


Dum:  =  135229'''' 


5 , i3io7ia 

5229^ 
156901 


292130^''  zr  coeff!  —  ^fc 
Ergo^^m  ,  43<^<^.  <??/«- 292130^''.  t/fc 

/i,43<J5    iizo,  1573215 

/292130^''  =5,4<^557<^a 
Atque  vt  hadenus  manet ; 

dezni^  0040.  dp  —  i^  0040,  <f  ^  -+-  0 ,  0505.  rf « 

/ 1 , 0040  n:  o,  0017489 

/0,0505  =:(-2), 7031448 

§.  84.  Definiatur  nnnc  difTerentlaKs  dr  valor 
/-tang  (^  +  5;)=::     9,27285^9 
/fin.  ;?         nr     9,  07967(52 
/(cof.  r)*     :=:   i9,9852i<^4 

38,3377455    -   4^ 
/coeff.  dn  z=z  (-2),  3377455 
coeff.  ^f?  zr  o,  02176 

/cof.  «       =^9?  99^8431 
/(cof.  r)*3z  19,  9852164 

29,  9820595 
/(cor(^4-«))*=  19,  9850042 
/coefT.  de-^dzz:z{'i)  ,  991^$$^  hincque 


PER  LOCA  FLANETAWM  GEOCENTRICA.   195 

dr=:  1,4258  .  dm  —  i^oisS  ,  dk-ho,  9974  .  dp 

—  o,  9974-  <^J+o,07X9  .  dn 
/i,  42(^8  rro,  15437^8 
/290155=1:  5,  4<5253 15 

/o,9974=(-i),998So42 
/0,0719— (-2),  8557^89 
Porro  /-fin.(^4-5;)zi: 9,2553550 
/eof.  »    :=i9j  99^^8431 

19,2521981 
/cof  J    =:9,9998937 

/coefF.  —  f/«=:(-i),  252  304.4 
coefF.  — ^«  =:  o,  1829 

'  "  m 

/cof  (^4-^)  =  9,  9925021 
/fin.  ;2i=:  9,  0795752 

19,0721783 
/cof  j     ==:  9,  9998937 


/coeff  de+dz—{-i ),  07  22  8^5  hlncque 
dszizoy  15957  .  ^/7/  —  34.503  .  ^/fe+o,  1^85  .  dp 
—  o,  II85  .  dq—o^  1770  .  <//j 
/o,  15957  zr  (-i),2  295o5i 
/34503        =  4,  53785o8 
/o,  II  85    r=(-i),074o335 
/0,1770    iz:(-i),  2479733. 
§.85.   His   praepamtis  quaeramus  Yalorem  iplius  df 
l{{\x\.bf  zz:  17,4228492 
/(fui  (?^^-r))*    =  18,5563614 

ho^^.dq-^-dr  :zz  (-2),  7564678 

B  b  2  coeflC 


19^  EMENDATIO  TJBVtARFM    JSTROKOMIC. 

cot^  d^-Vdr  z=.     6,05  8.fi 
la         '  ZL,     4.',  5  57^^32. 

iG  Z=.        5,004,514.$ 

/-  cof  z-z:^     9,  8911799 
/(rin./f     zz:   17,  42284-';2 

.36,  9uu 3671 

/j/    '=:     4,  5.044-'^ 7 3; 

3,2,4--t909S 
/-j'Cor.j"riii.(?/-^-r)z:i2  3',  8325317 

8  ,5093781- 

4^.685574-9^ 


/coeff  +  fl^^'=:  3>  8838032., 
coefF.+ ^^:=^  ^^^^^S  ■ 

lac[(m.tf  zz.  27,  0151672. 
/^^  nz  3,90145(^4 
/fiii,  1;    zi-    977238705 

40,6405229 
■  Ijt-  .'  =r     9,0089146 


31,0310083 
J-^ cof  j- fin. (z/-^-r)  =r  23,  8325317  -1-  i<^ 

/ coefT.  ^- ^  ;/2     r-  (-3),79907<^<^ 
■       coeff. -^  d' ;//     m    0,0063 


/^'  —     5)  0045148 

/-tang.  X        =85  34-5^375 


%  ^^ 


■mrtOCA  TLmETAWM  OEOCENTmm  "irn 

/(flU.      ;/  =17,4228492  : 

.,      n :•        •  — ■•        .      .  -•- ■         ■" 

;..3.,P^T7^5>:'>5 
/-j/cor.irm.(//-^-r)  =23,  8325317  4-  10 

/coeif.  —  ds     —  (-4)v9399.^9S 

lc  ( fm  ^)^  zz'  2 2 ,  427364.0 

Icot.  {u-q-r)      z:i  10,  66174.6^5 

33,0891105 

/-j/cor.jfm.(M-r)=r- 23,  8325317  +  lo 

/coe|r."-f  ^r/4-^r  =:(-i);  2^6^788  . 
coeflT -\-dq-\'  dr  ±: '  o ^. 1 465.5: 
V.     o,  05841; 


coeff  +dq-\-dr  —    o,,.23.89$  :  iog.  nr^-i^jSTSSi^: 

Ex-his  inuenitur  ;    ^    i:..;3-,(--    ;    ■      •      '  '  —     ,' 
</=i:~<^3''^.— o;,-347^.^'^^-^oo74^^^^-f,.o,  2382.7/^ 
-4-o,ooos5.V'^^o,  01733. rif;? 

§.  S^".  RefEit  vt  /^  defTniainus.  fecundum  §.   ^8. 
/(cof.i^)"  =1:19,  999987(5 
i~^  imu^  '  ■:=:    -8  ,  7;i:.t-4.2'45 

2  8, .7^141 2.2. 
/(cofl  j)*  =:  I  9,  9997874. 

8,  711024.8 

•.■  /^-fe^ac— ^-rjrz' 9:„.r32  8i.S.o7 


jcoeaF:H-^>;;^.^^;ii;|5,H;3:44:4i:;;:;,;  ,.. . .  v^^   - 

^L^^eT  ^  ^9  j  9999>7<i 


ipS  EMEnDJTIO  TABVLARVM  ASTRONOMIC 

/^tang.jzr    8,34-51375 
l  —  coi.t  —    9,999424-4- 

38,34-454-95 
l-{:\<\.{u-q-r)z:z    9,3281807  -1-30 

/coefF.  -|-^/=(-i),  0103658 
coefF.  -+-  fl^/cr  o ,  10384 

/(cof.^).'-  tang.  j-zi:  28,  3451251 
/  — fin.  ^     zz;    8,7114245 

'  I  \m 

37,0565+97 

/— fin.  («— ^— r)z=:    9,32818  7 

27,  7283^^90 
/cot.  (tt— ^--r)rr  10,  6617455 

■ 
/coefF:  —  dq  —  drzzz  (- 2^)^3901155 

coefF:  —  dq—drzzio^o^^ss  hincque 
dgzzi—^^^o.,  10384.^/ ~f-o,  oo^.dm—i^i^^^.  dk 

•^o.oo^z.dp  —  o^ozsy.dq-o.o^^S.dn 
atque  loco  ^/  reftituto  valore  53^'  prodibit 

o:z::o,  006.  dm— 121^^ \dk  4-0,  0042.  dp 
—  o,  0287.  </^-o,  0445.  ^« 

§.87.  Ex  hls  igitur  tribus  obferuationibus ,  carumque 
CMm    tabulis    comparatione    affccuti    lijmus    (equentes    fex 
aequationes : 
I.  —264^^11=0, 1902. //^//--^Sos^^^^.^^^-Ojia^s.^/^ 

—  o,  0001.  dq-\-o.,  0479.  dn 
U.  ao^^^zrOjOio^^.  ^//2  — ^^^i''^^/^ -1-0,01104.  dp 
—  o,  01098. ^^-o,348o.<if« 


PER  LOCA  PLANETJRm  GEOCEnmCJ.  19^ 

III.  -S^^zzio,  i294.^/«H-  sS^iz^^.ifk-^ 0^06^0. dp 

—  o^Q002.s.dq—o  ^Qoi^. dn 

IV.  ^'lo^^:=:o,os^9.dm-6is%^\dk-\-o.^oz$l'dp' 

—  0,0351.^^4-0,03708.^» 
V.  —Cz^^^o,  :i^'7i.dm  —  6oo^^^^.dk-^o.,2.^S2.dp^' 

-H  0,00055.^^  +  0,01733. <;?« 
VI.  ozno  ^006.  dm— 1219^^, dk-\- o .,00^2.  dp 

—  0,0287.^^— 0,0445. ^w. 
inter  qnas  aequationes  qiiarta  nobis  aliquantum  fufpeda  eflc 
debet ,  eo  quod  orta  eft  ex  diicrimine  latitudinis  obleruatae  , 
et  per  tabiilas  inuentae  ,  fatis  enormi  fcilicet  70^^:  quam- 
obrcm  reliquis  quinque  aequationibus  vti  conueniet.  Vki- 
ina  autem  aequatio  praebet : 

//?//:=  203 1 55/^  ^y^— 0,7. ^p-f-4, 783.  ^^  +  7, 415.^» 
quae  in  prima  fiibilitura  dat  hanc: 

'^<S^^^—'2929:^^^.dk'O,oos^dp^o.^9096.dq'\-i,^S^S'(^t*' 
ex  qua  deducitur 

dnzzL-i^i^^-V^oisz^^ .dk-\-o,  00:^9^  dp-o^  62^6%d(l 

et 
^wzzr-iS^^''^^-  35^522''^.  dk-o,6^dp-\-o.^  158  dq 
Hi  valores  in  aequatione  fecunda  fubflituti  dabunt 
^^=:-i48^^  +  39547^^.  dk-o,  01277  .  dp 
dnz=z—S9^^  —  4572^^ .  dk-\-  o.,  01194  ,  dp 
dmzn-^i^^s^^-h  358885  .  dk—o,  57202.^/; 
In  fubfidium  vocentur  aequationes  tertia  et  quinta ,  atqucti 
habebitur 

o  — -177^^-h  105050^^  dk-\-o,  01958  .  dp 

et 
o=:-4io'''-|- 54439^/.  ^^-^0,00518  .  dp 
cx  quibus  fi  eliminetur  dp^  deducetui: 

dh 


i66  FJfMAflO  7JBFhARVM  ASTRONOMIC. 

hincque  retrogredieudo  obtinebitur 

^jf)r=f.i04r7'>r:=-2°,  53',   37^'' 
^///zii-Voc^i''^:-:-'!^  57',  40^'' 
■.  r/^--~-i37'^=  — '        ^^    17^'' 

f.  '88/  -His  Igirur  correci:ionibus  inuentis  Tabulae  mer- 

curii  lequenti    modo    le  habebunt.      Prinfo   fcilicet    tabula 

«lotus  medii  mercurii ,  quam  .afllimfimus,    vfiirpari    pote- 

rit ,  Yerum  ab  anomalia    media  ;ad  quoduis  tempus  ex  his 

tabulis    inuenta  conlbnter   fubtrahi    debet    1°^    57'',  .40'''', 

ita  \t   ad  initium    huius  feculi   A..  1701     pro  -jneridiano 

'Londinenfi  'fuerit  Canomaiia    rnedia  .inercurii  's  S ,  '."f  ,-4^- >• 

2.Q^^  .  Secundo  ex  centricitas  oibitae  mercimi  yem  excedit 

eam,  qnae   in  tabulis  eft   afliimta  ,    .eritque   ea  -=:  ,o?ooot'' 

atque  huius  excentricitatis  logarithmus  eft  rr  (- 1 ),  3  2 1 2  3  3  S . 

^Tertio '  longitudo    aphelii    a  prima  '  ftella  =  arictis   erit  z± 

7S,    16°,  41',  37^'.      Qiiarto    longitudo   nodi  afcenden- 

tis    ab   eodem    termino   eftzf  oS,    15°,    :^9'-  43^^  i  et 

quinto  inclinatio  orbitae  zn  6**,   54',    19''. 

§.  89.  Cum  nunc  hae  tabulae  correclae  cum  veri- 
tate  .^exagiftime  confentire  debeant ,  fi  quidem  obferuatio- 
nes,  quibus  fum  vfus ,  fumma  cura  fint  iadlie  ;  ean-m 
ope  ad  quod  vis  tempus  locus  mercurir  verus  porerit  affi- 
gnari  ,  isque  adeo  geocentricus ,  fi  tabulae  folares  fupi*a 
correclae  fimul  adhibeantur.  Quo  igtur  certitudo  harum 
tabularum  tam  mercurii ,  quam  folis  ad  obferuationes  exa- 
minari  queat,  inueftignbo  per  illas  tranfitum  mercurii  per 
folem  ,  qui  huius  anni  menfe  Aprili  intra  dics  21  et  iz 

COIl' 


PER  LOCA  PLANETARFM  GEOCENTRICA.  aoi 

contingere  debet :  quem  in  finem  ante  omnia  tam  loca  (b- 
lis  qiiam  merciirii  ad  meridiem  Ytriusque  diei  determin;Ari 
oportet ,  vt  quo  inter  illos  meridies  momento  tranfitus 
mercurii  per  folem  celebretur ,  colligi  queat  :  computabo 
autem  haec  loca  ad  tempus  medium  pro  meridiano  Lon- 
dinenfi ,  quia  inde  conclufio  ad  quascunque  regiones  trans- 
ferri  poteft. 

§.90.  Incipiamus  a  loco  folis ,  quem  ad  meridiem 
cum  diei  21  tum  22  Aprilis  huius  anni  1740  quaera- 
mus ,  qui  annus  cum  fit  bifextiiis ,  dies  computari  debent 
22  et  23.     Erit  igitur 

Anomalia  media  folis 
A.   1721 
Anni    19 
April.  d.  22 


6S, 

3, 

13% 

20  , 

10', 
8, 

23, 

24. 
IS 

10, 

0° 

41', 
^9^ 

5(5'' 
8'' 

April.  d.  23.   10  ,  3°,     41^,       4" 

Erit  ergo  pro  meridiano  Londinenfi  et  ftilo  Yeteri 


A.  1740 
meridie  Aprilis  2 1 
meridie  Aprilis  22 


Anomalia  media  terrae 
10  S,     2°,     41^     5^'' 
10  S,      3,     41,        4 
Ad   has  anomalias  medias  quaerantur  iam  nnomaliae  cx« 
centri  per  excentricitatem  orbitae  terrae  corredam  metho- 
do  fupra  tradita.      Priore   nempe   die  erit  xzzioS,  2', 
41',  56'^    atque    {in.  x  z=:--  fin.  57",  iS',  4^'>  ^nde 
fequens  orier»u:  calculus  : 

Tom,  XIL  C  c  I-x 


it02  EMENDJTIO  TABVLARVM  ASTKONOMIC 

fobtr.         6,  4583825 

3,  4.000  825 
niim.  2929"  zz    48',  49'' 

10:),  3°,  30^45"      . 

J-Cm.  =r  9,  921043S 
&btr.        6,  4583825 

3,  46^10613 
num.  2902"  n  48',  22" 
:*:  =110  5,2^41^56" 

17  ri:  10  S,  ^°  30',  19"  anomaira  exccr^ri. 
PjfO^qiietJte  meridie  eft^rzioS,   3"*,   41',   4",   et 
iis.  x=r-{in..   5<5",  18',  56^' 
/  —  fui.  a'  zz  9 ,  920 1 8  35 
^,  4583825 

3,  461 80 II 
mm,  .slS9^^^  =r  48^  16^^ 

ATZZ  10 S,  3*^,41^7      4^^ 

loS,  4°,  29',  20'^^ 
sb        12S 

55%  30',  40'^ 


TER  LOCJ  FLANEIARVM  GEOCENTRICA.  los 

6,  4583825 

3  .  4576691 
num.  218(58"  zr     47',  48'' 
;i~ioS,3^4i'>     4'' 

7^77,28',  5^'^ 

X2S 


55%  31',       &" 
/  —  fin.  ::z  9  >  91^0900 

<5,  4583825 

3  ,  4577075 

num.  ft8<59"  =    47',  49^' 
;»:zz:ioS,3^4ij4^' 

tv=zioS»^\  28',  53'^  Anomalia  cxccatri* 

f.  9X.  Hinc  ad  haec  tempora  reperknr  diftantk 
tcrrae  ^  ibkj  zz:  a  -i-  k  a  cof.  v.  At  eft  pro  prio- 
re  meridie  cof.  v  :z:  cof  56'  ,  29',  41"  z::  fm.  33*, 
30',  19"; 

pro  pofteriore  meridic  vero  cof.  ^  zz  cof,    55*,   $1'  » 
7"  =^  fin.   34%  28',  53'^ 
Pro  priore  mcridie 

i  cof  V  zz:  9  ,  7419500 

Ikaziz^  ,  227102^ 

—  — ^i 

^  2  ,  9(591423 

niim.  m  931. 
Ergo  diftantia  terrae  a  fole  j'  zr  xoopsff 
ct  /  j  :::^  5  ,  0040203 

C  c  s  Pr<» 


204  EMENDATIO  TABVLAWM  ASTROUOMlC. 

Pro  altero  meridie 
/  cof.  i;  =  9  ,  7529228 

l  k  a     in  3  5  2271913 


2  ,  980115  I 
numerus  n:  955. 
Ergo  diftiuitia  terrae  a  fole  y  rr  10095^5 
Qt  l  j  ^   5  ,  004.1278 

§.92.  Anomalia  vera  z  reperietur  ex  hac  aequatio- 

ne  cof.  z  -^^ 


coj.  V 


y         '       y 
Ergo  pro  priore  meridie 

I  k  a  fin.  tot.  z=.  13  ,  2271923 

l  j  :=    5  ,  0040203 

8  ,   2231720 
tium.     rr  i<^7i75 
/  cof.  v  zn     9,  7419500 
l  a    zz     5  ,  0000000 

14,  7419500 
/j'  zr    5  ,  0040203 

9,  7379297 
num.  zi:    54^9274 
167175 


cof.  5;  3=  563(5449  nr  fin-  34*,   I8',  29^' 
Ergo  s  zz  10  S,  4°,   18',   ^^^^' 
addaturp  1=1   8  S  ,      8   ,  25  ,  42 

longitudo  terrae  n  6  S  ,  1 2°,  44' ,  11''  a  prima  ftellaarigti% 
hiac  longitudo  folis  zi:  o  S,   ii°,  44^  11"  Tera 

ob 


VER  LOCA  PLANETARPM  CEOCENTRICJ.  ^o$ 

ob  lucis  propogationem  fubtr.  20"      hinc 

longitudo  folis  apparenszi:oS,i2**,4.3',5i'^ 

Pro  meridie  lequente. 
/fc^fin.  tot.  :=z    13,  2271923 
/j/    =      5  ,0041278 

8  ,2230(^4.5 
mimerus  ziz       i<^7i34" 
/cof.  vrr  9,  7529228  ^ 

l^  zz:  0,0041278 

9,7487950 
niim;    11=5507833 
1(^71 34- 


cof.  ;$;  z=:  5774967  rr  fin.   35*,  i5',  29'' 

Ergo     z  znJoSy     5^  i^',  29^' 

addaturp  rr:    S  ,       8  ,  25  ,  42 

longitudo  terrae  in    63^  13°,  42^  11" 

hinc  longitudo   folis  =:  oS,   13°,  42',  ii^'     vei*a 

ob  lucis  propagationem  (iibtr.  20'' 

I        r     •         ;       •  I         •  III    1  I    ii    I        II. 

bngitudo  folis     =:         oS,  13°,  41/,  51"     appatens 

§.93.  Definitis  locis  folis  progrediamur  ad  mer- 
curii  loca  inueftiganda  ,  ac  primo  quidem  anomaliae  me- 
diae  ita  prodibunt  ex  tabulis  corredis.  _ _,_ 

Cc  3  A.1721 


lo^  EMENDJTIO  TMVLAWM  ASlKOmMlC. 


A.  1721 
ApriL 

d.  t3 


8  Sj   16**   34.%  20^' 
o,        8,18  ,  3<J 


7S,   11°,  35',   17'^ 
3  ,       o,  14  ,   53 


10  S,  II  ,50^  10^''  Anom.  medisi 

3  ,        4 ,    7^  25 


10  S,  15  ,  4:^  >  42    Anom.  medk 

Pro  priore  meridie  erit   ergo  x  nr  10  S ,  11*,  50^,  ro''' 

ct  fin.  X  -zz  "  fm.  48** ,  p'',  50^^ 

pro  fequente  vero    meridie  x  z=.  10  S ,  15*,  42^,  44^^ 

et  fin.  .r  -jz:  -  Cn.  44* ,  17^  ,18^'' 

Hinc  reperietut  anomalia  excentri  lequenti  modo  pro  pacj- 

re  meridie. 
2^CiXi,xzz  p,, 872188$ 
fubtr.         5  ,  354341 1 

4>5o7S477 
flum  :  n:  32199^''  :=  8*",  S6\  39^^ 
X  =         10  S  ,    11** ,  50^ ,  10'''' 


ab 


xa^-,  .^0° ,  ^' ,  49^' 
12  S 


39%   13'' >  ix^^ 
—  Cfl.  zi  9  ,  8009204 

s  > 3^43411 

4 j 43^57^3 


fium: 


PER  lOCA  TLANETARFM  GEOCEKTRICA  soj 
num.  =  ft732<^^'  =    7*,  35 '^  ,26'''' 

X   ZZL  10  S  ,  II  ,  50  ,      10 

ioo  ,       i/,  25/,    36^' 
2b  12  S 


40'  >  34'  >  ^4-  "^ 
I  ^  Cm,  z=:  9y  8131944 
5,3643411 


X    zi: 

4 
2S11 

=  9 

5 

,  44iiii533    . 

0^^  -  7%  48^50^ 

10  S,  II  ,  50  ,   10 

ab* 

10  5  ,  19%  3»^  W^ 
12S. 

1  ~  fm. 

40°  ,21^  ,20''^ 
,  81 12592 
,3643411 

4  ,  440,9 181 

lUim.  n:  27^84  '  =:  7* ,  4^^" ,  24^^ 

;r  :zz  10  S    11  ,  50  ,  lo 

icS,  i9",36'  ^34''^ 


46'^, 23^,  26^ 

5  ,  3<^434ii 

4^447^:^21 '' 


^TJSr 


•ii;:/:iiiL*.j: 


20$  EMENBATIO  TABVLAWM  ASTRONOMIC. 

10  S,   19°,  36^55^ 
ab    12  5 


40%  23',    S'' 
/  -  fm.  ni  P  ,  Si  15193 
5,3643411 

4,4471782 
isum:  =  28001^^  1=  7^46^,  41^^ 
X  zz   10  S , II  ,   50  ,  10 

10  ^  ,.  19  ,   3<^  ,   51'''' 
ab  12  S 


I— fm.  n:  9,  8115288 
5,3<^434ii 

4,447iS77 
mim:  ==  2  800  2  ^'c:::  7**,  46^,  42^^ 
xzz:  loS,  II,  50  5   10 

vzr  loS,  19°,  3<5^,  52^^  anomalia  cxcentri 

Pro  (eqiiente  meridie 
affiimiatur  prior  difi^rcntia  7**,  46^,  42^' 
ATzi:  loS,  15,  42  ,42 

loS,  23°,  29^,  24'' 
ab  12S 


36^  30^  3<^'' 


/-  fin. 


?Ek  LOCA  PLANETARFM  GEOCENTiaCJ  ao$ 

l --{11:1.1=:  9,  774485x9 
5 /S 643411 

4,  41 01485 
«um.  2571^1 ''^—  7%  S^,  sa"^'' 
A"  loS,  15,4-^,  4^ 

loS,  22°,  51^,  14''^ 

ab  12  S 

S7%   8^  4<^^^ 
4?—  fm.  r=  9,  7805750 

5,3<^434ii 

4,4i<^3349 
mra.  rr  Ji^osi^'' =1:  7* ,  14'',  44^^ 

or—  10  S  ,  15  ,  42  ,  4a 

10  S  ,  22  ,  57  ,  23^' 
ab  12  S 

—  fin.  =r:9,  7799oi3 
5  >  354341 1 

4,  4155602 
niim.  zn  £6035^^1=  7*,  13',  55^ 
A'  =  loS,  15  ,  42,  42 

10 S,  22^  5^\31^' 
ab  12  S 


37^  r,  ^3"^ 
i^im.  m  9,  7800295 

5,  3<^434ii 

4,4155885 
Tom.  XU.  D  d  tsm 


sio  EMEnBATlO   TABVLARVML    ASTROMIC 

xz=:  loS,  15  ,  42  ,  42 

io:>,   22^,   5(5^,  45^^ 
ab  12  S 


37\  3^   15^^ 
/—fin.n  9,  7800073 

5,  3^4-3411 


4,  4156662 
num.  zz:  26042^^  =:  7°,  14^,  2'^ 
A:r=  loS,  15  ,  42,  42 

v=izioS,2  2°,  56^,44^^   anomaliii     excentti 
§.  94.    Ex  anomalia    excentri   reperietur  primo  di* 
ftantia  mercurii  a  fole  j-.a-^-ka  cod  1; 
Pro  priore  meridie 
con  V  ~  fm.  49°,  s6^,  52^^ 
7^:3:4,5878232 
/)fc3i:(-i),  3212338 

Jkazz.  3,  9090570 
/cor,i;n:  9,  8817849 

3,79084*9 
kaco^.vzz  6178 
//=  38710 


jr:=:  44888  diftiintia  Merciirii  a  fok 
Ij—  4,  6521303 

Pro  fequente  meridie 
coT  17  =r  fin.  52°,   56^,  44^^ 
IkaziL  3^9090570 


/cof. 


TER  LOCA  PLANETJlim  GEOCEmRlCA    asr 
/cor.T=:  p,  9020390 

~li        ■         .        -    ...  l^ 

3, 8110960 
ka  coCv  ~  6^1^ 
a  =  387IO 


yzz:^$iS2  diftantia  Merciirii  a  folc 
/j=:  4.,  654.9554 
§.  9$.  Nunc  reperictur  anomalia  vera  z  ex  liac  ae* 

quatione  col.  z  zzz  —'- j ^  ^ 

Pro  priore  meridic 
Ika  fin.  tot.  =  13  ,  9090570 
/j/  =  4,  6521303 


9,  2569267 


^'^-:=:i806869 

/^3=  4,  5878232 

/cof  V=i:  9,  8817849 


14,  4696081 
//=:  4,^^521303 


9,  8174-778 

5568676 

1806869 


•-f^=<^568676 


cof.  5;=  8375  5+5=  rm.   $6%  52^   57^' 
Ergo  z  zn  loS,   26°,  52'',  57^^    anonialia    yera 
Pro  fequente  meridie 
Ika  fin.  tot.  :=:  13  ,  9090570 
]j  ziz,  4,6549654 

9,2540916 

ii^:i^-i795ii3 

Dd  2  /i7  = 


sti^  EMENDATIO  TABVLAKVM  ASTRONOMKS 

iaziz         4,587823^ 
JcoC.v.  zzi  9,  9020390 

14.,  j^^^sCz-z 


ucojv       . 


9, S34S9^^ 
6S37492 

1795  Tf  13 


cof.  5;  =-:      8032505  zn  fm.  59%  4i^   5'" 
Ergo  sfz:;:  ipS,  29^,  41'',  5'^  Anomalia  Yem. 

§^:  96".  Anteqnam  Yjterius  progrediamur ,  ncceffc  efi: 
Tt  in/diftantiiim  aplielii  a  nodo  afcendente  inquiramus , 
quae    pofita  eft  =r  ^ ,    et   sx  iiac    aequatioiie    inuenitur* 

tang.  ^  —     cq/.  /i 

M  Yero;>=:  7S,  ^6\  41^,  37''^ 
^:^  oS,   15^  39^   43'''' 

^— ^'=r  7S,     i^      i^  54''^ 
«  z::  6\  54',   19"' 
»g.  rp-^)  ==:  tang.  31^   i'',  54'''' 
J  tang.  (p-q)  —•  9»  7793  »73 
-     l  cofo  «  :=         9,  99<^S382 

/tang.  ^  =  9,  7824791  :=^taBg.  3i',  12^  ^Sf" 

Ergo  e  —  ^S\  i^,  12^   58^^ 

Micque  Yalor  eil  conftans ,  €t  pro  omni  tempore  idem  ? 
«panet..  ■  r-ti  - 

§97.  Sequitur  iam  determiiiitnda  longitudo  mercurii'. 
^  nodo  afcendente  r  per^  hanc  aequatioaem : 
cang,  rzzQoCn  tang.  (^+^s) 

Pra. 


lER  LOCA  PLjmTJRrM  GEOCENTKICJ^  a^s 
Fro  priore  meridie 

2zr  loS,  26%  5J^j57'^ 

#4-^5=:  5  S,  2^^     5',  55^'' 
tang.  (^'-H^)  :=::  -  tang.  I*,   54V5''^ 
/- tang.  (^-f-j2)—  8,52110^8 
lcoLnzp         p,99<^  83  82 

/-  tang.  r  =:         8  ,  5 179450=:/  tang,  i*,  53^,  1^^ 
Irgo  rz:i5S,  28*,  6^,  4.5'''' 

Fro  fequente  meridic 
ez±  7S,     r°,  12^,  58^^ 
5?=zroS,   29°,  41^,     5^-^ 

c^z-6S,     0°,  sV,     3"' 
itang.  (^4-2)zr  8,i.9<^555^ 
/  cof.  «     iz:  9,  99^83 8a 

/  tang,r  =1:  8,  1933938:=:  /tang.  o*,  53^  ^^^ 
Ergo  r  =1  d'S,  0*^,  5.3^,  3.9^'' 

§^.  98.  Qiiod  fi  ad  longitudinem  mercurii  a  nodo  r 
addatur  longitudo  nodi  a  prima  llcila  arietis^,  obtinebi"» 
tur  mercurii  longitudo  helfocentrica  a-  prima  ftella  atietis*. 
Pro  primo  meridie 

^izroS,  15*,  39-,  43*''^ 

^-5S.28^      6^45^^ 

lC>0gitudo=i::6-S,  13°,  46.,  28''^  mcrcurii  IieSocetttrica, 
Pro' altero  meridie 
q-oS,  I5\  39^  43''^ 
r.-6S\     o\  53^  39^^ 

iOngiuidQ^<5S,i6",  33^  22^^  mcrcurii  helioccntrica 

Dd  3  Lati* 


C  fti4  EMENDATIO  TABVLAWM  ASTRONOMW. 

Latitiido  aiitem  heliocentrici  ad  borenm  refpiciens  s  inuc- 
nietur  ex  hac  aequatione  fin  s  n:  fin.  n  fin  (e^z) 
Qiiaie  erit 

Pro  meridie  priore. 

fin    {e-i-z)  =:  fin.    i\  54-",  5^^ 
/fin.  {e'-\'Z)z:z  8,  5^08680 
/fin.  «  =1  9,0800068 

/  fin.  s  =1:7,6008748  =/nn.  o%  13^43^' 

Ergo  s  1=:  0°,  13^,  43^^  latitudo  heliocentrica. 

Pro  meridie  fequeiite. 
fin.  {e-+-z)  zn  -  fin.o%54^3^^ 
l-fin.  {e-\-z)  z=z  8,19^5020 
/fin.   «         '=:  9^  0800068 

/— fin.  /         :=  7,2765088  r=:/fin.  o*,6^,  30^^ 
Ergo  s  ==:  —  o'*,^^,^©^^,  latitudo  heliocentrica  auftralis. 

§.  99.  Inuentis  mercurii  locis  heliocentricis ,  pergo  ad 
eius  loca  geocentrica  definienda.    Ac  primo  quidem  pro  mc« 
ridic  priore  erit 
Diflantia  terrae  a  fole  c  ziz  10093 1 

et       i  c  :zz  s,  0040203 
longitudo  terrac    u        =:  6  S ,  1 2"* ,  44^,  1 1  ^^" . 
Nunc  angulus  quaeratur  p  T  V  zr  / ,  ex  aequationc 

C0t./~:C0t.  («-^-r)-  y  coj.  sjm- CuZ^rl 

cum  autem  fit  u  zn  6S,  12%  ^^^^,  ii''' 
fubtrahatur  ^-f-  rzn  6S,  13°,  ^^-^ ,  2%^^ 

erit  u-q  —  r      zz  118,28^57^,43^^ 
tang.  («~^— r)  nz  — tang.  i*,  2^,  i^''^ 

fm. 


PER  LOCA  PLARErARVM  GEOCEKTRICA.  2x5 

fln.  («-f-r)      — -fin.    i%  2^,  17/' 
cot.  («— ^— r)     z:z  -  s$x^i^66q 

lcziz  5,004.0203 

Ij  zn  4,  6521303 

30,  35i85?oo 
/cof.  jn:  9,  99999^5 

20, 3518935 
/-rin.(«-^-r,— 8,2  5  80  776 

12,0938159 

—      5519196(50 

cot.  /  —      6S9206340  rz:  tang,  89*,io'',  7'''' 

Ergo  /  —  6  S,  0^49/,  53^/  ^ 

Pro  (equente  meridie 
Diftantia  terrae  a  fole  c  =•   100955 

et  I  c  zn  5,  0041278 
Longitndo  terrae  «  —  6  S,  13°,  42^,  11^^ 
fubtr.     ^  -+-  r   ir  6  S,  16°,  33/,  ^^^^' 

u-q-r   —  iiS,  27%  8^,49^'' 
cot.  {u-q-r}  =  -  tang.  87%  8%  49'^ 
fm.  («  — ^— r)  iz:  —  fin.  2**,  51^11^'^ 

cot.(«— ^— r)  =1:—    200657567 

lc—  $,  0041278 

/j' ~4,<^549<^54 

30, 3491624 

co(. 


:ax5  EMENDATIO  TAWLARFM  ASTRONOmC, 
icof.  i=r  9,  9999992 


20,  34.916^32 
II,  (55215(^3 

—   ycoJ.,fin.{u-q.r)    =  —  44^^907000 
—  200^57557 

GOt.  t  =     2482494-33  =  tang.  87',  4^^  3$^ 
Ergo  /=z5S,  2^*,  iS^zs'-" 

§.  ?oo.  Ex  bis  ropemCiir  longitiido  mercurii   geocea 
^rica  znu  -i.     Qvmt  erit 

Pro  priori  ineridic 
wzr  <JS,  12°,  44',  11'^'' 
t  =6S,     0^49^53^^ 

tt-fi=:oS,  11°,  54^,  18''^  quae  eft  longltudcj 
fiaercurii  geocentrica  a  prima  ftetla  arietis. 
Pro  (cquenti  meridie 
u  —6S,   13%  42^   II'''' 
t   z=z6S,     2",   18^   25^/ 

»-/n:oS,   11°,  23  ,  46^^    quae    eft    longitudo 
fnercurii  gcocentrica. 
tatitudo  autem  geocentrica  g  ,  orictur  cx  hac  aequatione 

^  Jin,t.fan^.s 

^ng.  g  z=.  f;rru-q.T) 

Ergo  pro  priori  meridic 
/  — fin.  f  rz    8,  161(5558 
/tang.   ^ir:    7,  <5oo8779 

«5,7<J25437  i^ 


TER  lOCA  TIANETJRVM  GEOCENTRICA.  217 

/-rm.(?/-^-r)i=:   8,  25  8o77<^ 

_  /tang.^  zn  7,  4.044061   —  /tang.  o%  8^  44.^'- 
Ergo  latitudo  ^geocentrica  —  0"*    8'^,  44.^^  Borealis 
pro  altero  meridie 
/-  fin.  ^  iz:    8,  6047970 
/-tang.jr=:    7,  2  7<^5095 

15, 8813065 

/-fin.^f/-^^  r)—   8,6970069 


/-  tang.^  =z    7,  1842996  rr  /1- tang,  o*,  5',  1^^^ 
Ergo  latitudo  geocentrica  —  0%  5^,  15^''  Auftralis. 

§.  10 1.  Longitudines  iftae  inuentae  geocentricae  funt 
verae  ,  in  quibus  mercurius  confpiceretur ,  fi  lumen  in  ii*- 
llanti  propagaretur  :  quamoi^rem  eae  ad  longitudines  ap* 
parentes  per  fequentem  aequationem  reducentur. 

'  Pro  primo  meridie 

longitudo  ^  geocentrica  rr  oS,  ii**,  54^,  18^'' 
longitudo  ^  heliocentricarz:  6 S,  13°,  46^,  2 8^^^ 

6S,     i%52/,io^'' 
/-cor.  i%52^=:/-^=z:  9,  9997720 
/7  z=  3    8140656 

6, 1857064 
4,<^855749 


I, 5001315 
Ergo  f  ^zr~32^^ 

Tom.XlL  Ee  .       longu- 


fti8    EMEm ATIO  TABVLARVM  ASTRONOMJC. 

Jongitndo  ^    gcocentrica  =r  o S,  1 1' ,  5  V\  i  ^'^ 

longitudo        tei-rae  <^S,  12%  44.^  n^^ 

'         '        II  > 

<^^,    0°,  4-9^5  J 
^.  cof.  o*,  50^  rr  r  mn:  p,  999954-^ 

/^     z::4, 0201540 

5,  9798001 
4><^85  5749 

X  ,  294225 2;^ 

Aeqnatioiz:—  1:1'' 

quae  12.^''  a  longitudine  obleruata  fubtrahi  deberent;  et  hatic 
obrenn  ad  longitudinem  veram  mercurii  addi  debebunt.  Qlio- 
circa  priori  meridie  fuit  apparens  mercurii  longitudo  :^ 
oS,ii%  54^30^ 

Pso  fequente  meridie 
longitudo.  y.   geocentrica    :z=  oS,  n'*,  23^,  45'^ 
longitiKlo  ^   heliocentrica  —  5S,  16',  33'',  22^' 

Differentia  =r  6S,     5°»     9',  36^^^ 
I  cof.  diff.  zr  /-  ^  zz;  9,  9982433 
/7:=:  a,  Si^o6s6 

4,(585  5749 


rf=^-ai",s 


I,  498(50  2  8 

•fcagi- 


TER  LOCA  FLJNETJWM  GEOCEKTRICA.  ntip 

longitudo  V   gcoccntrica  ::r.  o  S ,  1 1* ,  2 s',  4^'^ 
/  longitudo     tcmic        iz:;  <^S,  13*,  42',  ii^' 

HoL  diff  zz:  I-  nizz:  9^  9996500 

If    zi:  4,  0201540 

5  >  97949^^ 
4,^855749 


Ergo  -  ^  //;  n:  +  19'''  ^ 
+  r  ^  ==  -  31'',  5 

A^qmtio   cr:  -    12'^ 
Longitiido  ergo  gcocentrlca  iniienta   angeri    dcbebit    ts.^\ 
Tnde  longitudo  mercurii  apparens  pro  (equente  meridie  pro- 
^iibit  =1  oS,  11%  23^,  58'^ 

§.  1.02.  His  inuentis  erit  ad  meridiem  diei  2t  Apri- 
lis  A.  1740  tempore  medio  fub  meridiano  Londinenfi , 
•vt  (equitur. 

Longitudo  (blis  apparens  oS,  12',  43',  51" 
Longitudo  S   geocentrica  oS,  11°,  54',  30''' 
Latitudo    mercurii   geocentrica  0°,     s',  44^'  Borealis. 
At  ad  meridiem  diei  fequentis ,  qui  eft   22   Aprilis    teni- 
pore  medio  fub  meridiano  Londinenfi  parrter  erit 
Longitudo  folis  apparens  oS,  13^*,  41^,  51'' 
Longitudo  '^   geocentrica  o  S ,  1 1'',  23^,  5  8^' 
Latitudo      ^  ^eocentrica  0°,    5^,  15'^  auflralis. 

Yt  inueniatur  tempus  coniundionis  G  -et  ^  ,  quo  longitndi- 
nes  vtriusque  fient  acquales ,  apparef  primum  coniundio- 
.nQm  ante  .m.eridicjn    diei  21   Aprilis   -contingere    dcbere. 

E  e  2  Nam- 


120   EMEmATIO  TABVLARVM  ASTRONOM. 

Nam.pe  cxcefliis  longitiKiinis  (blis  fiiper  longitndincm  mer- 
ciirii  i:lo  mtriJie  eft^-p',  21",  fe:}uenti  vcro  meridie 
e:t  cxcenT-ia  2°,  17',  83^'.  Tempore  ergo  24.  hora- 
riim  mcrcuriiis  a  foie  (ecundum  longitudinem  recedit  per 
1*  ,  28'  ,  32.  Hinc  inueniri  poterit  tempus  iintc  meri- 
diem  diei  21  Aprilis ,  quo  S  a  fole  per  Ipatium  49', 
ai^'  iam  reccdit  per  regulimi   auream 

i\  28',  32'':  24^  =  49',  21'':  13^,  22' 
fub  mcridiano  Londinenfi  ergo  coniunclio  ^  cum,  fole  con- 
tinget  Aprilis  die  20  :  lo^  ,  38'  ideoque  node  cum  lol 
iam  occidit ,  ex  quo  haec  coninnflio  Londini  non  erit  con- 
IpicuA.  Hic  autem  Petropoli  haec  coniundio  incidet  in 
dicm  21  Aprilis  mane  o^.  58',  hoc  eft  mox  polt  me- 
diam  nodem  ,  tempore  ciuili.  Verum  Obdorae ,  quo  Cel. 
De  i'  Isle  Nolter  huius  coniundionis  caufa  eft  profedlus , 
haec  coniundio  incidet  in  eundem  dicm  2 1  Aprilis  fecunr 
dum  tempus  ciuile  mane  3^,  iS'  quo  tempore  ifto  lo- 
co  fol  iam  fupra  horizontem  verfatur ;  ita  Yt  i(ta  con* 
iunctio  Obdorae  confpicua  e^Te  debeat. 

§.  103.  Videamus  iam,  an  in  hac  coniundlione  ^  ve-? 
re  in  di(cum  folis  intret ,  et  quousque  (e  in  folem  immer- 
gere  debeat.  Ex  locis  computatis  autem  patet ,  latitudi- 
aiis  mutationem  tempore  24  horarum  e^Te  13^,  59^' ^ 
irnde  tempore  13^  22'  mutatio  latitudinis  erit  7' ,  47". 
Tempore  igitur  coniundionis  mercuriiet  folis,  latitudo  mer- 
curii  crit  16',  31"^  yix  igitur  ac  ne  vix  quidem  mer- 
curius  folis  di(cum  attinget ,  quia  latitudo  mercurii  minor 
non  eft ,  quam  femidiamcter  folis  apparens.  Hoc  autem 
intclligendum  ,  quando  fpedator  in  centro  terrae  verfaretur : 
quod  li  is  autem  in  loco    boreali    conftituatur^    vbi  hoc 

tem- 


PER  LOCJ  FLAKETARVM  GEOCENTRICJ.  iit 

tempore  folem  prope  horizontem  cernit ,  propter  paral- 
Inxin  latitiido  mercurii  aliquantuium  minor  ipfi  ripparebit, 
atque  difFerentia  exfurget  prope  ad  8^'.  Qiiamobrem  Ob- 
dorae  ,  \bi  haec  coniundio  ,  Ible  horizontem  tencnte  ,  coii- 
tingit ,  latitudo  mercurii  apparebit  i6^  ,  23''''.  vnde  fi  dia- 
meter  folis  apparens  maior  fuerit  32^,  46''',  mercurius 
per  iolis  difcum  tranfire  confpicietur.  Tabuiae  autem  Aftro- 
nomicae  apparentem  diametrum  folis  hoc  tempore  maio- 
rem  non  oilendunt  quam  32',  ex  quo  concludendum  efl: 
mercurium  in  hac  coniundione  extra  limbum  folis  verfari 
debere.  I^cilicet  momento  coniundionis ,  quo  mercurius 
et  centrum  folis  eandem  tenent  longitudinem  ;  poft  con- 
iundiniem  autem  ,  quia  latitudo  m.ercurii  decrefcit  (ingu* 
lis  horis  3  5^',-  vna  hora  poft  coniundionem  ktitudo  mer- 
curii  erit  15',  ^S''' ^  atque  1  tum  mercurius  fecundum 
longitudinem  a  centro  folis  diftabit  3^,  41"',  in  qua  di- 
ftantia  folis\titudo  adhuc  maior  quam  15^,  34''.  Qiiod 
fi  autcm  inuelligemus  ,  quam  prope  pofl:  coniundionera 
mercurius  ad  centrum  folis  accedat ,  inueniemus  minimara 
diftantiam  clTe  16',  ii^^,  idque  Obdone  ,  Ybi  fol  pro- 
pe  horizontem  hoc  tempore  fpedlatur,  atque  per  parallaxiu 
latitudo  mercurii  apparens  diminuitur,  quae  diftantia  cum 
adhuc  maior  fit ,  quam  femidiametcr  folis  apparens ,  fequi- 
tur  omnmo  fecundum  iftas  tabulas  correcflas ,  quibus  fiun 
"vfus ,  mercurium  per  difcum  folis  non  efle  tranfiturum. 


E  c  3  DETER* 


DETFRMINATIO  EXACTIOR 

GRADVVM  PARALLELORVM 

AEQ.VATORIS   et    MERIDIANI 

^n  M^^^'^   TeJhim   hypothetice   fphaerica,   aut   [prouti  pef 

regentijjimain  dimenfimein  Jlabilitur)   fphaeroide. 

AVCTORE 
r.  iV.  de  PFlNSREm. 

Geographorum  mdrimina  ,  circa  figurnm  Telluris 
detcrminandam  ,  Ysque  ad  Riaioli  tempora  ,  qui 
ipie  huic  operi  inuigilauit ,  ex  ipfius  Geographia  Re- 
formata  abunde  confknt  ;  Recentiorum  vero  conatus ,  e 
praeclaris  eorum  de  demenfioue  telluris  opcribus  editis , 
tberius   perfpiciuntur. 

Plerique  eorum  ,  dum  dimenfionem  terrae  aggrefli 
font .,  eam  -figuram  habere  Jphaericam  ,  tacite  ruppofue- 
runt  \  hinc  quoque  ex  arcu  quodam  meridiani  cuiusdam  ^ 
aut  circuli  maximi  metifurato ,  magnitudinem  totius  globi 
terraquei ,  eiusque  proin  diametrum  ,  peripheriam ,  fuper- 
ficiem  et  foliditatcm ,   determinare   allaborarunt. 

Et  quamuis  in  diuerfas  abierint  fententias  Eruditorura 
nonnulli ,  Eugemo  et  Newtono  terram  Jphaeroldem  efle  , 
cuiu£  diameter,  axem  data  ratione  fuperet.  CaJJinis  ye- 
ro  patre  et  filio  diametrum  ab  axe  fuperari  afiirmantibus; 
non  defuere  tamen  magni  nominis  Viri  qui  llluflriirimo- 
jTum  Academiae  noflrae  Membrorum  ,  Marchionis  Fokni 
et  /^o^i  fententiam  ample^entes,  tem-m  nihilomimis  pro 
Jphaerica  reputari ,  feque  in  dimenfione  a  Ficcardo  inGal- 
iia^  Cecuio  p^'oxime  elapfo  infiituto,  acquiefcere  poffe  au- 


DETERM.  GRJL,  TJRALL.  JEQT.  ET  MER  ii^gr 

tnmarunt.     His  perpenfis ,  me  rem  haud  inutilem  ac   in- 
gratam  fadurum  ratus ,  tabulam  fingulorum    parallelomiri', 
per  partes  aequatoris  expreflbrum  ,  denuo  ad  calculum  re- 
Tocaui ,  et   a   Yariis ,  ■  quibus   diuerfi   Geographoaim    libri 
fcatent  ,   mendis   purgaui.      Adieci   e   regione  quantitatem 
gradus  paralleH  ,  per  hexapedas  Gallicas ,  de  nouo  ad  du- 
dlum  praecedentis  tabulae  fupputatas ,  vt  et  per  pedes  ex-  " 
preffiim  Londinenfes  ;  quoniam  ratio  harum  menfurarum , 
ceteris  notior  erat ,  et  maiori  eum  cura  haud  ita  pridem 
in  Academia  nofira  determinata ,  vt   frcile   cum  Menfura. 
hoc  iii  Imperio  vfitata  comparari   poflic 
md.  Tab.  A. 

EunJem  porro  quem  in  priori  columna  Tabulae; 
A.  dedi ,  hic  denuo  fi=fto  latcrculum  ,  cui ,  prouti  titulus 
frontis  innuit  ,  non  folum  partes  temporis  partibus 
aequatoris  relpondentes  iunxi ,  (ed  etiam  Ylterius ,  gra- 
dum  aequatori?'  cum  gradibus  parallelorum  comparaa- 
do  ,  quis  ille  in  horum  vnoquoqiie  valeat ,  per  partes  cir- 
culi  aeque  ac  temporis ,  exprimere  volui  ;  hos  fiquidem 
Laterciilos  ,  calculi  Afironomici  et  Geographici  molcftiam' 
certis  in  analogiis  inltituendis ,  quodammodo  roinuere  pof- 
fe  confido. 

17^.  Tab.  B. 

Anno  tandem  proxime  elapib  ,  ad  manus  noftras  per- 
Tenit ,.  liber  Celeberrimi  Academiae  noftrae  5odalis  de 
Maupsrtuis  ,  qui  Figuram  Teiluris,  vna  cum  laborum  Soci- 
is  eruditis ,  in  Lappofija  aeque  ac  Gallia  ,  maioribus  ad 
id  vfus  ,  magisque  exade  elaboratis  inflrnmentis  Aftrono- 
micis ,  quam  praecedentia  quidem  Tiderant  fcaila  ,  derer- 
minare  aggreflus  erat,  Hdc" 


iia^  DETERAL  GRAD,  PARALL.  AEQJ^.  ET  MFR, 

Hoc  libro  ledo  ,  cupido  animum  incefllt  y  parallelo- 
rum  gradus  in  Figiira  Teldiris  Sphaeroide ,  inibi  ftabilita 
fupputandi ,  illisquc  gradus  meridiani  lungendi,  qui  quidem 
ex  comparatione  gradus  fub  circulo  pokri  menfurati,^  cum 
,gradu  lub  Paralielo  49°  a  Viccardo  iam  ante  menfurato  , 
nunc  autem  curatius  determinato  ,  deducendi  erant. 

Communicauit  mecum  ,  hunc  in  finem  benigniffime 
methodum  fuam,  Celeberrimus  Euleriis  ^  mire  facilem  et 
compendiofam  ,  quam  ipfiirimis  Viri  Celeberrimi  Verbis  , 
bona  cum  eius  \'enia  ,  praemitto  ;  quoniam  ea  mediante, 
quae  mox  exhibebuntur  ,  confe(5lae  funt  T-^bulas  C  et  D. 


METHODVS 

VIRI  CELEBERRIMI   LEONH.  EVLERI 

Determinandi   gradus  Meridiani  pariter  ac  ParalleU  Telluris 

fecundum  Menfuram  a  CELEB.  de  Maupertuis  cum  fo- 

ciis  inftitutam. 


rjy  duobus  gradibus  Meridiani  exacfle  menfuratis ,  quorum 
alter  fub  ipfo  circulo  polari  compertus  eft   5743  8  hexap. 
Paris.   alter  fub  eleuatione  Poli  49°  57183  hexap.  Figura 
ct  magnitudo  terrae  ita  determinatur  ^  Yt  fit : 
Semiaxis  terrae  zn  3253525  hexap. 
Semid.  aequatorisiz:  328  i  570  hexap. 
Hincque  axis  terrae  ad  diametrum  aequatoris  rationem  tc- 
neat  proxime  vti 

182  ad  183. 


METHOD.  VlRl  CELEBER.  LEONH.  EULERI    21$ 

Ex  his  datis  reguLie  poterunt  tradi ,  tam  ad  fingulos  Me- 
ridianorum  gradus ,  quam  ad  gradus  Paralklorum  defi- 
niendos. 

Problema.  I. 

Sub  data  Ekuatione  FoH  definire  quantitatem  vnius  gradus 
in  Meridiano, 

Solutio, 

Bini  cafus  funt  refpiciendi,  prior ,  fi  Eleuatio  Poli  maiof 
fit ,  quam  45°,  pofterior ,  fi  ;/?i;/or  fit  quam  45"*.  Vtroque 
cafu  Eleuatio  Poli  bis  fumatur ,  ac  priori  cafu  exceflus  fu- 
pra  90%  pofteriori  defedlus  infra  90°.  notetur  ;  atquc 
fine  exceflus  fiue  defedus  capiatur  Logarithmus  finus ,  ad 
eumque  perpetuo  addatur  ifte  Logarithmus 

2,  (5718815 
atqiie  a  fumma  fubtrahatur  Logarithmus  fmus  totius 

10  0000000 

Logarithmi  refidui  quaeratur  numems  refpondens. 
Ifle  numerus  hoc  modo  inuentus ,  priori  cafu  ,  quo  Ele* 
vatio  Poli  maior  eft,  quam  45°,  addatur  ad  571 17  ,  6  hexap. 
pofleriori  cafu  autem  ,  quo  Eleuatio  Poli  minor  erat, 
quam  45°  fubtrahatur  a  57117,  6  et  numerus  refultans 
dabit  magnitudinem  gradus  Meridiani  in  hexapedis  Pari- 
finis.    Q.  E.  L 


Exemplum. 


Qiiaeratur  gradus  Meridiani  fub  ipfb  Aequatore 

Tom.  XH.  F  f  Ele. 


22(5  METHOD.  FIRICELEBER.  LEOm.  ELILERL 


Eleuatio  Poli  ergo 
duplum  eius     - 
auferatur  a 

eft         o* 

-  -     o* 

-  .  90' 

remanet     - 
;.  fin.   90*        =: 
addatur 

-  90* 

10, 0000000 
2,6718815 

Subtrahatur  Log.  fin.  tot. /2,  6718815 
Numerus  relpondens  469 ,  7 
fubtrahatur  ab        57117,6 

GradusMeridianii:::56648  hexap.  Parif.  circa  Aequatorcm. 

Exempl.  2. 

Qiiaeratur  Meridiani  gradus  fub  ipfo  Polo 
Eleuatio  Poii  eft     90° 
cius  duplum  180* 

ab  eo  fubtrahatur    90' 

remanet       —     90° 
Log.  fm.  90°  zn    10,0000000 
addatur  2,6718815 


fubtrah.  Log.  fin.  tot.  /2,6718815 

Num.  refpond.  4<^9,  7 

addatur  ad  57ii7,  <^ 

Gradus  Meridiani  =:  575^7  hexap.  Parif    fub  ipfo  Polo. 

Exempl.  3. 

Oaieratur  Meridiani  Gradus  fub  Eleuatione  Poli  49* 

^  Ele- 


METH0D,F1RICELEBER.  LEONH.  EVLLRl.  217 

Eleuatio  Poli  eft  49* 

eius    duplum  9  &* 

ab  eo  fubtrahantur        90* 

remanent  8o* 

Logar.  fin.  8"     =     9,i435553 
addatur     -     -     -      2,6718815 


fubtrah.Log.  fin,  tot./i,  8154368 

Numer.  refpond. 

^5,3^ 

addatur    ad 

57117,^ 

Gradus  Merid.  :=: 

57183   hexap. 

Exempl.  4. 

Parif. 

ia 

Quaeratur    Gradus 

Meridiani  fub  circulo  Polari 

Eleuatio   Poli  eft     66*  30' 

eius  dupium 

133* 

auferantur 

90» 

remanet 

71- 

Logar.  fin.  43"* 

—     9,8337833 

addatur 

2,5718815 
/2, 5056648 

Num.  refpond. 

320,  4 

addatur 

57117,  ^ 

Gradus  Merid.       rz         57438,   hexap.   PariC  fub  cir- 
culo  Polari, 

F  f  2  ExempL 


ft2S   METHOD.  VIRICELEBER.  LEOKH.  HJLEM. 
Exemplum  5. 

Qiieratiir  gradns  Meridiani  ad  Latitudinem  ^o' 
Eleuatio  Poli  eft     60** 
eiiis  diiplum  120*^ 

aUiCrantur  90" 


remanet  r^o" 

Lo^.  fm.   30°     =:     9,6989700 
addatur  2,6718815 


/2, 3708515 


Numerus  refpond .        234,8 
addatur  ad  571^7 1  <^ 

Gradus  Merid.    =-   57352,     Hexap,     Parif.     fub 
Eleuatione  Poli  60° 

Problema  II. 

Ad  datam   Eleuationem   Poli   inuenire   Gradum   vnum  in 
Paralklo. 

Solutio. 

Primo  (iimatur  Logirithmus  Cofmus  Eleuationis  Poli , 
ad  eumque  conftanter  addatur  hic  Logarithmus 

4,759H47 
a  fumma   auferatur  Logarithmus    fmus   totius ,    et  Loga- 
rithmi  refidui  quaeratur  numerus  refpondens. 

Sccundo  duplicetur  Eleuatio  Poli  atque  \el  aduplo  fub- 
trahantur  90*"  vel  ipfum  duplum  a  90°  gradibus  auferatur , 
prout  Eleuatio  Poli   fuerit  vel  maior  quam  45°  vel  mi- 

nor. 


METHOD  riRI  CELEBER.  lEONH.  LVLERL    229 

nor.  Vtroqne  dein  cafu  capiatur  Logaritl  mus  (inus  refl- 
dui ,  ad  eumque  addatur  Logarithmus  Cofinus  Eleuationis 
Poli ,  indiperque  perpetuo  addatur  2,  1947602  et  a  fum- 
ma  fubtrahatur  Logarithmus  finus  totius  bis  fumtus  nempe 

2, 0000000 
Logarithmi  refidui  quacratur  numerus  refpondens ,  hicquc 
priori  cafu  ,  quo  Eleuatio  Poli  maior  efl  45"*  addatur  ad 
numerum  fupra  iniientum  ,  altero  cafu  quo  Eleuatio  Poli 
minor  eft  quam  45°  fubtrahatur  a  numero  fupra  inuento, 
ficque  prodibit  ma^nitudo  Gradus  in  Parallelo  propofito» 
Q,  E.  L 

Exempl 


•         X  • 


Quaeratur  magnitudo  ynius  Gradus  in  ipfo  Aequatorc 

Eleuatio  Poli  ergo  cft  0° 
Logar.  col^  0°     zn     10,0000000 

addatur  4,  7591447 

^A->  75914-4-7 
Num.  refpond.  =r       57430,  8 
duplum  Eleuationis  Poli         o" 
fubtr.  a  po'' 


remanet  90 

Log.  fin.  po^     :zz     10,0000000 

Log.  cof     0°     zz     10,0000000 

addatur  2,  1947602 


fubtrah.  2  log.fin.tot.  ^^2, 1^47602 

F  f  3  Num. 


ft30  METHOD.  VlRl  CELEBER.  LEONH.  EVLERI. 

Num.  refp.  i5<^»  ^ 

fubtrahatur  ab  574-SO>  8 

Gradus  Aequat.  =:    57274-  Hex.  Parif. 

Exempl.  2* 

Qiiaeritur  magnitudo  \nius  gradus  in  parallelo  latitudinis  <So* 

Eleuatio  poli  eft     60° 
Log.  cof.  60°     z=:  9,^989700 

addatur  4>  759^447 


X4,  4581147 


Num.  relpond.  28715,  4 

Duplum  Eleu.  Poli  efl:     120* 
auferantur  90 

remanet  30* 

Log.  fm.  30''  =     9,^^989700 
Log    cof  60"*  rz:     9,6989700 
addatur  2,  1947602 


fubtr.  a.Log.fin.tot.?;!,  5927002 


Num.  refpondens  39  >i 

addatur  ad  28715  ,  4 


Gradus  Parall.  zz:         2  87 54 s        Hex.  Parif.  fub 
Eleuatione  Poli  60* 

Exempl.  5. 

Qiiacratur  fub  Eleuatione  Poli   40°  magnitudo  vnius  gra- 
dus  in  paiallelo 

Eleuatlo 


METHOanRICELEBER.LEONH.EULERL    1131 

Eleuatio  Poli  eft     40° 
Log.  cof.  40°  m     p,  8842540 
addatur  4,  7591447 


/4,<^433987 

Niimer.  refpond.           43994,  ^ 

deuatio  Poli  bis  fumta 

8o* 

auferatur  ab 

90° 

remanet 

lO* 

Log.    fin.   10,  ==:     9,  2395702 

Log.  cof.  40*   iz:     9,  8842540 

addatur               2,  1947502 

^i, 3185844 

Numer.  refpond.              20,8 

fubtrahatur  ab    43994, 6 

Gradas  Paralleli  n:    43974    Hex.  Parif.  fub  Eleuationc 
Poli  40* 


Tai,. 


Tab.    A. 

Singuli  gradus  Parallelorum  Aequatoris  ,  per  mlnutias    Aequatoris   «- 

prein  ,  quarum   valores  quoqae  per  Hcxapedas  Galiicas  et   Pedes    An- 

glicanos ,  liipporita  figura  Telluris  Sphaerica  ,    per  menfuram  Piccardia- 

nam  determinati  exhibentur. 


Gradus 

Minutiac  Ac^uat.       | 

Hcxa^Kd.ie 

i'cdes 

latitudinis 

1 

Gallicac 

Anglicani 

O 

60' 

0*'       Q'" 

5706O 

3<54734 

I 

'59 

59     27 

57051 

3<^4678 

2 

5P 

57      48     .^ 

57025 

3645 ii 

3 

5P 

55       4 

;     5^982 

364234 

4 

■5P 

51      14 

S<592l 

363846 

5 

5P 

4<5      18 

5<?843 

363346 

6 

55 

40      17 

>^747 

362737 

7 

59 

33      10 

56(535 

362015 

8 

59 

24     58 

55505 

361185 

9 

59 

15     41 

5<J357 

360244, 

lo   1 

59 

5      18 

56193 

35P192 

II 

58 

53      51 

S.6011 

358032 

12 

58 

41       20 

55813 

356764 

13 

S8 

27     44 

555^5- 

355386 

14 

58 

U        4 

55365 

353900 

^5_ 

57 

57     20 

55I16 

352305 

1(5 

57 

40      33 

54850 

350505 

17 

57 

22      42 

54567 

348757 

i8 

57 

3     48 

54267 

346882 

ip 

55 

43     52 

53951 

344863 

20 

5^ 

22     54 

53<5i9 

342739 

21 

5^ 

0     53 

53270 

340508. 

22 

55 

37      52 

52905 

338176 

23 

55 

13      4P 

52524 

33573P 

24 

54 

48      46 

52127 

333201 

25 

54 

22      42 

51714 

3 50 960 

26 

53 

55      3P 

51285 

327820 

27 

53 

27      37 

50841 

324980 

28 

52 

58      37 

50381 

322042 

29 

52 

28      38 

49905 

319004 

50 

51 

57      41 

49415 

315868 

Singu- 


^'Smguli  gradus  Paralleloiiam  Aequatoris  pcr    .minutias    Acquatorls     ci- 

^prefii ,  quaruin  valores  cjuoque  per  He^apedas  Gallicas.  et   Pedes     An- 

^licanos ,  fuppofita  Figura  TeJluris  Sphaerjca  ,   per  Menfuram    Piccardia- 

iiam  .determinati  .exJiibentur. 


t  Gradiis      |  |    Minutiae  A 

equat. 

1    Hexapedae 

Pedes 

Laumdinis-^   ) 

\        Gallicae 

1  Anglicani 

31 

51' 

25"  4B'" 

.    48910 

312638 

32 

50. 

52 

58 

48389 

3 c 93  11 

35 

,     50 

19 

13 

47854 

305892 

3.4 

4P 

44 

32 

47305 

3C2378 

-35 

49 

8 

58 

4^741 

298774 

.36 

48 

32 

28 

4C163 

295077 

.37 

47 

55 

5 

45571 

29JL289 

.-28 

47 

16 

50 

44954 

287414 

39. 

4<5 

37 

44 

44344 

283452 

40 

45 

fT 

AlG 

43711 

2  7.94^  3 

T9             ^    /             -T- 

41 

45 

i5 

57 

■4-3064 

2752(5- 

.42 

44 

35 

19 

4-2404 

271 050 

-4-3 

43 

52 

52 

-41731 

2  65749 

i    44 

43 

9 

37 

.4.1045 

2  5r3C)7 

i    ^'  . 

42 

25 

35 

40347 

2C79C5 

i     A6 

41 

40 

46 

3.9^37 

25336^ 

'^7 

40. 

55 

12 

38915 

248 74V 

48 

40 

8 

52 

3?i8o 

244054 

49 

39 

21 

49 

3743  5 

239287 

§0 

38 

34 

2 

35<577 

23444^ 

51 

37 

45 

33 

35909 

2  2.9S34 

52   . 

35 

5<S 

23 

35  »30 

2  2  45  ^  -^^ 

53 

35 

6 

32 

3434O 

2.9502 

54 

35 

IC 

a 

33539 

214386 

55 

34 

24 

53 

S^-sS 

7Cg2c  A 

5<? 

S.3 

33 

^ 

31908 

2019-  ■* 

57 

32 

40 

42 

31077 

19864' 

58 

31 

47 

43 

30237 

I9328C 

59 

30 

54 

8 

293^8 

18-852 

tfo 

30 

0 

0  __ 

28530 

18-367 

Tom.  XII 


Gg 


Singib 


SinguU   Gradus  Parallelorum  Aequatoris   per    Minutias   Aequatoris    ex- 
prefli  ,   quarum  valores  quoquc  per  Hcxapedas    Gallicas   et   Pedes  An- 
glicanos ,  fuppofita  Figura  Telluris  Sphaerica  ,  per  Menruram  Piccardia- 
nam  determinati   exhibentur.     ■ 


1  -Gradus     |.  \  Minutiae  Aequat.      j 

HexHpedae  j 

-    Pedes- 

Latitudinis  |    f 

1 

Gallicac      | 

Anglicani 

61' 

29' 

5''  19''' 

-  27663- 

176827 

6i 

28 

10        <5 

•    2d788 

171232 

63 

27 

14      22 

25905 

165586 

6^ 

26 

18        8' 

•250I3 

159889 

/      6s 

25 

21       16 

£4115 

I 54144 

66 

24. 

24       15 

23208 

1 48  3  5^ 

61 

23 

26      38 

22295: 

14^513 

(38 

22 

28      35 

21375 

I3<563  2 

^9 

21 

30        7 

20448 

130708 

70 

20 

31      i^ 

19  516 

124746 

71 

19^ 

32      -  3- 

18577 

118746^ 

72 

18 

32      28    ' 

17633 

I127IO 

73 

17 

32    32 

16683 

106637 

74 

l^ 

32      18 

15728 

100535 

75 

15 

31      45*. 

14768 

94400 

16 

-14' 

-  30     55 

'■  1-3804-- 

88237 

77 

13 

29  !  49  - 

12836 

82047 

78 

■  i2.' 

28'   29- 

11863 

75833 

79 

1 1 

^6     55r 

10888' 

695i>5 

80 

10 

25        8 

9908 

63335 

81 

9 

-23      10 

8926 

57057 

82 

8 

'2 1          I 

794^^ 

507<5o 

83 

7 

'18     44 

6P54 

:  444^50 

84 

(5 

^1(5  1   I^ 

:'•  5954 

38125 

85 : 

5 

13      4<^  . 

! :  ^^"73 

3178P 

S5 

4 

'%^    "2T' 

-   3980 

25442 

- 

87 

,,j: 

^'     2p86 

19089 

88 

2 

5      38' 

-     1991 

12729 

89 

I 

2        50 

'•       99^ 

6366 

90 

0 

0          0 

'000 

0600 

. 

Tab- 


Tab.  B. 
Tabuk  Qiiadripartlta 

fingulds  jGraclus  Pgrallelorum    per  Mimitias  Aequatofis   parlter  ac  Temporlsi  exliibens, 
Gradiim!  Aequatoris  per^Gjradus  Parallelorum  et  "Minutips  Tctnporis  refpondentes  ex- 
!       .      '  i  primens.  '  .    _    \ 


DecJ.    r. 

Latitudo 
Parall. 


MiDUtineAequatoVis 
aequinalentes  vni 
Giadui  Parallcli 


Minutiae   Temporis 

Minutiis  Acquatoiis 

rcfpondentes. 


Dccl.  i\ 
Latitudo 
Parall. 


Grad.  Aequatorisper 
Gr.  Min.etc.fingulo- 
runi  Parall.  exprtfTus 


Minutiae    lempori 
PartibusCirculi 
lelpondentes, 


59 
59 
59 


59 
57 
55 


S9     51 
59      4^ 


27 
.48 

4 
14 
i8 


M.  S.  T.  CL 

3    S9  57  48 

3    59  51  12 

3    5-9  40  1(3 

3    59  24.  56 

3    59  5  12 


0 

1 

II 

III 

M.  S. 

I 

,  0 

0 

33 

4     < 

I 

0 

2 

12. 

4      ( 

I 

0 

4 

56 

4 

I 

0 

8 

47 

4 

1.      QJ 

0212 

o  8  48 
o  19  44 
o     3^ 


I      O    13     45     1  4 


55 


.  9 
10 


59     40 
59      33 


59 
59 
5P 


24 

15 

5 


17, 

10 

58 

41 

18 


3  58  41  8 

3  58'  12  40 

3  57  3i)  52 

3  57  2  44 

3  5<5  21  12 


,  6 

-  7 

,8 

9 

10 


,1  .  o  ip  50 
!i  .027  2 
1635  23 
1  O  44  52 
I      o   55  •   33 


4      I  ip      20 

41  48        8 

4     2  21      32 

4     2  s9.    28 

4     3  42      12 


1 1 

.12 
13 
.14 
15 


I<5 

17 

20 


5» 
58 
58 

58 
57 


53 
41 
27 
13 

57 


51 

20 

44 
4 

20 


3^55  35  2411 

3    54  45  i^O 

3    53  50  55 

3    52  52  16 

351  49  20  I  I 


II 
12 
13 
14 

15 


I      7 
I    20 

I    34 

1  50 

2  7 


23 
25 
42 
12 

O 


4  4  2P  32 

4  5  21  40 

4  5  18  48 

4  7  20  48 

4  8  28  o 


57  40     3  3 

57  22      42 

-57  3 

-V<5  43     . 

«^^-  2  2 


48 

52. 
54 


3    50  42      12 

3    49  30     48 

3  48  15      12 

3  \6  55-28 

3  .45  31      3<5 


i5 

17 
18 

20 


2    25; 

2  44 

3  5 
3  27 
3    51 


4 

2P 

i5 

25 
2 


4  9  40  l<5 

4  10  57  5<5 

4  12  21  4 

4  13  49  44 

4  15  24.  8 


21 

22 
23 
24 
25 


I 
25 

2"7 

28 

2<> 

30 


5<J- 
55 
55 
54 
54 


o 
37 


53 

52 


13     49 
48      45. 

22  '    42 


21 

22 


3    44  3  32  11 

3   42  31  28  11 

3   40  55  l^           23 

3    39  15  4           24 

3    37  30  48"li       25 


4  15 

4  4^ 

5  10 

5  4^ 

5  12 


43 

54 
41 

10 


4  17  4  32 

4  18  50  52 

4  20  43  3<5 

4  22  42  44 

4  24  48  40 


53  .55 
5  3  ,27 
52  '58 
.52  ..28 
51   57 


39 
37 
37 
38 
41 


3  35  42  35  11  .25 
3  33  50  28-.  ,27 
3  31  54  28  28 
-3  29  .54^  32  -'29 
3  27  50  44  I  I  3Q 
G  g  2 


6  45 

7  20 

7  57 

8  3^ 

9  \6 


23 
-  o 

15 

4 

56 


4  27  I  32 
4  2p  21  32 
4  31  49  o 
4  34  24-  16 
4  37  7  44 
DecJ. 


< 

Decl.  f. 

Minutiac|AcquatO!is  | 

Minutiae 

rcmporis 

Dccl.   f.    GradusAcquatorispcr    Miuutiac 

femporis 

Latitudo 

acquiu 

ilcntcs 

viii 

MinutiisAcquatoris 

Latitudo    Gv.  Miri.  ctc.  fingulo- 

'artibus   C.rculi  re-| 

Parair. 

Gradiu 

Parallcli         | 

rcfpond 

entes. 

Parall.       rum  Parall.  cxiireffus. 

fponc 

enfC'-. 

,    , 

/ 

it 

,v/         1 

M.  S. 

T. 

Q. 

II 

""      >       n 

7/.     1  M.   s. 

T.          Q: 

31 

51 

25 

48 

3    25 

43 

12 

^' 

I      9    59 

53" 

4    39 

59      32 

32 

50 

52 

58 

3   23 

31 

52 

3^ 

'\    10  4? 

3 

4  43 

0      12 

33 

50 

IP 

U 

3   21 

16 

52 

1       33 

I    II    32 

30 

.4  4^5 

10        0 

34 

49 

44 

32 

3    18 

58 

8 

1       ^^ 

I    12    22 

23 

4  49 

2P       32 

3- 

49 

8 

^8 

3    16 

35 

'^i 

II       35 

I    13    14 

45 

4   52 

59        4 

3<5 

"" 

32 

28 

3    14 

9 

52 

II        ^^ 

1    14     9 

50 

4      S6 

39      fO 

37 

47 

SS 

5 

3    II 

40 

20 

3a 

1    15      7 

42 

5        O 

30      48 

38 

47 

\6 

50 

3      9 

7 

20 

r    \6     8 

^8 

5        4. 

33      52 

39 

4*5 

37 

44 

3      ^ 

30 

S6 

11    40 

I    17    12 

19 

5        8 

49     l^ 

AO 

45 

57 

4<5 

3      3 

51 

4 

I    18   19 

27     f  5       13 

17      48 

41 

45 

16 

57 

31 

7 

48  M       41 

1    19   30 

3 

5    18 

0       12 

42 

44 

35 

19 

2    58 

2l 

,6  11        42 

I   20  44 

■17 

5    22 

57       8 

43 

43 

52 

52 

2   55 

•  2  '^z 

31 

2' 

?            43 

I   22     2. 

23 

5-  28 

9      32 

44 

,  43 

9 

37 

38 

28  j  1       44 

1   23   24 

3<7 

5    33 

38      24 

45 

42 

2S 

3  5 

'  2  49 

42 

2D  rl     45 

I    24  51 

10 

5    39 

24     40 

46 

41 

40 

46 

2    4.CJ 

43 

4  M        4«> 

I     25    22 

25 

5   45 

29     40 

■     47 

40 

55 

12 

2    43 

40 

48  M       47 
28           48 
16  W       49 

1     27     58 

3<5 

5    51 

54     24 

48 

40 

8 

52 

2    40 

35 

I     2i?    40 

7 

5   58 

40     28 

49 

39 

21 

49 

2    37 

27 

I     31    27 

18 

<J      5 

49     '12 

50 

3^ 

34 

n 

2    34 

16 

B  i  1       50 

I    3  3  20 

37 

^    13 

22      ,28 

51 

37 

45^ 

33 

2    31 

2 

12  M       5-* 

1    35    20 

28 

6    21 

21        52 

5^ 

3(5 

55 

23 

2    27 

45 

32   li         52 

I    37  27 

22 

<5    29 

41?      28 

53 

3<5 

d- 

32 

2     24 

2(5 

3            53 

I    39  4r 

54 

<3    38 

47      3<5 

»1 

54 

35 

i<5 

2 

2    21 

4 

8  ri       54 

I    42     4 

40 

(S  48 

18      20 

f 

SS 

34 

24 

5  3 

2     17 

39 

32   1  1        5-5 

I    44    3(5 

23 

6    58 

25       32 

S6 

33 

33 

6 

2     14 

12 

24||        56 

I    47  17 

50 

7      9 

1  I       20 

". 

Sl 

jr 

40 

42 

2     10 

42 

48  1  1        57 

T     50       p 

5^3 

7  20 

39      32 

S8 

31 

47 

43 

2       7 

10 

^5 

2               «58 

I    5  3    13 

28- 

7    32 

53     52 

59 

30 

54 

8 

2      3 

3<5 

'^^ 

2            5-9 

1    5<5   2p 

47 

7   45 

5i^       8 

Co 

30 

0 

0 

2       0 

0 

0  II      60 

200 

0 

8      0 

0       c 

" 

61 

29 

5 

19 

I    56 

21 

16  11      61 

2      3    45 

35 

8    15 

2      20 

62 

28 

10 

6 

I  52 

40 

24-    ,         (J2 

2      7  48 

11 

8    31 

12     44 

<53 

27 

14 

22 

I  48 

57 

:r8           ^3 

2     12       p 

40 

8  48 

38     40 

tf4 

26 

18 

21 

2(5 

I    45 
I    41 

12 
25 

32          54 
44  i^       <55 

2    i5  52 

■2    21     58 

14 

17 

.  9      7 

9   27 

28     5(5)' 
53        8 

!Dtci.  i; 

MiuuL  aeA<quatoiis 

MiiiufJae  'rempoiis  1  ,  Dt^d,  f. 
Miiiutiis  Aequatoris  ;  ,  Latitudo 

Gi.ddusAe4uatOi  is  per 

MiniiCiae      1  ctnporis  ' 

Latiriuio 

{tequiuarentcs     vni 

Gi".  Min.etc.  fingu  lo- 

Partibus  Circuli   te- 

|Pa:.i!'. 

Giadui    P  lalldi 

refpondentes 

1  1  Parall.      | 

rum  Parall.  exprefTus 

fpondentes 

/ 

//          r/A 

M.  S.       T. 

Q.  11 

°      r       n 

III 

H  ;         II      III    .  ilii 

66 

24. 

-24    i5r 

1-37      ;       37, 

I 

66 

Z2y    jo- 

51 

■      P   50      3   48 

67' 

13 

26.'  38- 

-l    3  3-.-"4<?.' 

..       ^7 

2  3-3    33 

25   . 

10    14  13    56 

6S 

22' 

28     35: 

I   29       54 

20 

68 

2  40  .10.. 

5 

.   ro  40  40  20 

69 

21 

30.     7 

l    26          0 

2  3' 

6s> 

2  47    25- 

36 

■    ii     p  42  24 

70 

20. 

3.1     i<^ 

12:!          5 

4 

70 

2   5  5    25 

45 

11  41   43     0 

71 

19 

32        8  •. 
32     sfe 

•  I    iS         S 

12 

71 

3      4     i? 

33 

12     17    10    12 

72 

18 

I    14         -^ 

52 

72 

3  14    P 

47 

12    ^6  3X>     8 

73 

17 

32      32 

1    10      10 

8 

73 

3  25    13 

9 

13   40  52    36 

74 

15 

32      1 8 

■   I      (J        j5 

12 

74 

3  37    40 

34 

14   30  42    16 

75 

15 

3r     45 

12        7 

0 

75 

3  51    4X) 

l^ 

15   27    17    16 

7<5 

14 

30     55 

0   58        3' 

40 

76 

4     8^ 

52 

.      16    32      3    28 

77 

13 

29     49 

0   53      59 

16 

77 

4  26  43 

37 

17   45  54  28 

78 

12 

28    .  2p 

0  4P      55 

56 

78 

448    35 

I 

19   14  20     4 

7P 

n 

s^y    ^5 

0  45      47 

40 

7P 

5  14  -^7' 

21 

20   57  4i>  24 

80 

10 

25        8 

0   41      40 

32 

80 

5  45    31 

35 

23     2      6     8 

81 

p 

23    10 

0    37        32 

40 

81 

623   3  s 

44 

25   34  i0^5<5' 

82 

8 

21      I 

0   33      24 

4 

82 

7  Ti      7 

H 

■     28   44S>'35' 

83 

T 

18     44 

0    2p         14 

SO 

83- 

8  i^    ip- 

35 

32  49  18  20^ 

84. 

(J^ 

15      18 

0    25         5 

12 

.     84 

P  34      0 

3C5 

38   i<?     2-24 

85 

S 

13      46 

0  20      55 

4 

85 

II   28   24 

ZS 

4?   53  38  20 

86 

4 

11        7 

0  16     44 

28  • 

'     86 

14  20     p 

29 

•    57   20   37   5(S 

87 

3 

8     2jr 

0   i2      33 

40 

87 

J9     6123^ 

43 

M  16  25    34  52 

8  8 

2 

5     38 

0     8      22 

32 

8? 

28  3P-  17 

2 

1  r  <4  37     8     8 

8p 

I 

Z     50 

0      4j      11 

20 

8p 

57  17   19 

$7 

•  3  49    10  3p  48^ 

90 

0 

0       0 

000 

0 

90 

000 

0 

1  0     0      0      0      O" 

Gradus  finguli  Parallelorira  Acquat6ris'pei*  incnruram  Tellurls 
h  polari  et  49°Iatitudinis  Celtber.  deMaupertuis  dcterminati  , 
a   Ccleber.  Eulero  tradita  fupputatv  ^^    J"  Hexapedis  GalHcis 


fub  circu- 

methodo 
exhibiti. 


GJat.  I  I  Hexa.D:c.  |  Diff.   i.  ]  Dift.   2.  \  \  G,hu  |   )  Hexa.  Dcc   j  biff. 


29 


57274. 
57266. 

57239. 

3   I  i  5719^. 

4  I  I  57136. 


57058. 
55963. 
5685.2. 
56722. 
56576. 

56413. 

5^^233. 
56036. 
55821. 
555.90. 


^9  I 


55-341. 

55077. 

54798. 

54499. 

54^85. 


53-855. 
535^7. 
53144. 
52765. 

I  523^9- 


51958. 
51531. 
5x090:- 
50631. 
50157. 


3^9.^ 
348.  o 
363.1 
379.  3 
395-  3 


49668. 
49164. 
48646. 
481 12. 
47563. 


4-7000. 
46423. 

45831. 

45226. 

I  44606. 


4+ 


43973. 
41327- 
+2667. 
4:994. 
41308. 


16. 

17.5 
16.  8 


M 


n.  3 
16.6 

18.  8    I 

16.  o 

17.  I-  1 


17-  I 

16.7  II 

n  4  II 
16.  7 

17.6 

15., 8- 

14.7    11 
19.  6 

15.4 

iJ-4 

18.4- 

15.  I 

16.  2' II 

16.  0    1 

15.8    II 

15-9   1  1 
14..  6 

^5-  r 

14.  4 

15.  3      1 

15-  3      1 

14.  5      1 

15.4 

14.4     1 

15.6     1 

H-3     [ 

14.2 

14.  I 

13-9     1 

13.6 

13.5 

13-2    1 

13.2 

13.  0   1 
i«.6   1 

45 
46 

47 
48 

49 


50 
51 
52 
53 

54 


55 
56 

57 
58 
59 


32971.  7 

32147.  7 

31313«  6 

30470.  o 

29616.  8 


60 

28754. 

5 

61 

27883. 

2 

62 

27003. 

2 

63 

26II4. 

7 

64 

.^5218. 

2 

65 

-66 
67 
68 

-69 


24313.  8 

23401.  8 

22482.  ^ 

.  21556  I 

j  20623.  o 


70  r 

1  19^^83. 

5 

7' 

18737. 

8 

•72 

17786. 

2 

73 

i682g. 

0 

74 

15866. 

7 

75 
76 
77 
78 
79 


14899.  3 

13927.  2 

12950.  7 

11970.  2 

10986.  o 


80 
81 
82 
83 
84  I 


9998. 
9007. 
8013. 
7017. 
6019. 


85 

5018. 

8 

86 

4017. 

0 

87 

3013. 

8 

88 

2009. 

7 

89 

1005, 

0 

90 

0 

40C09. 
39898. 
39175. 
38439. 
37692. 

7 
5 
1 
6 
3 

36933.' 
36162. 

2 
8 

35381. 

34588. 
33785. 

2 " 
6 
4 

711. 

723. 

735- 
747 

.759« 
770. 
781. 
792. 
803 

813. 

824. 
834. 
843. 
853. 
862. 
871. 
880. 
888. 
896. 
90^; 

91.2^ 

919. 
926. 

933. 
939- 
945. 
951. 

957. 
962. 

967. 

972. 
976. 
980. 
984. 
987. 

990. 
993- 
996. 
998. 

1000. 

lOOI. 

1C03. 
1004. 
1004. 
1005. 


I.  |D.ff.:.| 

.  2 

12.  2 

•4 

•5 
•3 

!  2.    I 

ly-t 

I 

11-  8 

4 

U-  3 

6 

II.  i. 

6 

II.  9 

2 

ro.  6 

•7 

10.  5 

0 

10.  3 

I 

10.  1 

6 

:p-5 

2 

5>.  6 

3 

9.  .1 

3 

9.0 

.c 

8-7 

5 

8    5 

5 

'      8.;C 

4 

-  7.  :9 

-P.. 

^7.6 

3 

7-i3 

4 

7-1 1 

1 

6.!7 

5 

6.4 

7, 

6.  2 

6 

5-  9 

2 

5.6 

3 

5-  I 

4 

5.1 

I 

4-7 

5 

4-  4 

5 

4.  0 

2 

3-7 

8 

3.6 

8 

3-  0 

7 

2.9 

2 

2.5 

4 

2.2 

3 

I.  9 

8 

I-  5 

I. 

4 

0. 

9 

0. 

6 

0. 

3 

Tab.  D. 

Singu'i   Gradus  Meridiani    Telluris   e  determinatione  Ccleb.  de  Mau- 
pertuis  etc.  Methodo  a    Celeb.  Eulero  iuppeditata  ,      calculati   et    per 
Pcrticas  Gallicas  expreffi. 


G.Iac.   ;  Hexap.Dcc.  I     Diff.i      (  D,ff. 


31 
32 
33 
34 
35 


36 

37 
38 

39 

40 


41 
4-2 
+3 

45 


9 
I 

2 

3 

4 

5 

56647.  9 

56648.  2 

56649.  0 

56650.  5 
56652.  5 
56655.  0 

6 

7 
8 

56658.  1 
56661.  8 
S6666,   X 

9 

10 

56670.  9 
56676.  2 

II 

56682. 

I 

12 

56688. 

5 

13 

56695. 

4 

14 

56702. 

9 

15 

1  56710. 

8 

16 

56719. 

3 

17 

56728. 

2 

18 

56737. 

6 

19 

56747. 

5 

20 

56757- 

8 

21 

56768. 

5 

22 

56779- 

7 

23 

56791. 

3 

24 

56803. 

3 

25   1 

56815. 

7 

56828.  4 
5684T.  5 
56855.  o 
56868.  7 
568S2.  8 


56897.  I 

56991.  7 

56926.  6 

S^^P^i.  7 

56957.  o 


56972.  5 
56988.  2 

57C04.  o 

57019-  9 
57036.  o 


57052.  2 
57068.  5 
57084.  9 
57^01.  2 
57117-  6 


o.  3 

0.  8 

1.  5 

2.  c 

2.  5 

3.  » 

3.  1 

4.  3 
4  8 
5-  3 
^  9 
6.  4 

6.  9 

7.  5 
7-  P 

8.  5 

8.  9 

9.  4 

9.  9 
10.  3 

10.  7 

11.  z 

11.  5 

12.  o 

12.  4 

12.  7 

13.  I 

13.  5 

13.  7 

14.  I 

14.  3 

14.  6 
14  9 

15.  I 
15.  3 
15-  5 

15.  7 
15.  8 

15.  9 

16.  I 

16.  2 
16.  3 
16.  4 
16.  3- 
16.  4 
16.  4 


G.lat.  I  Hcx.p.D'.c  I  Ditfci-. 


I  I 


40 

47 
48 

49 
50 


51 

52 
53 

54 
55 


56 

57 
58 

59 
60 


61 
62 

63 
64 

65 


66 
67 

68 

69 

70 


81 
82 

83 
84 


86 

87 
8S 
89 

90 


I  57134.  o 
57150.  3 
57166.  7 
57183.  o 
I  57199.  2 


57215.  3 
57231.  2 
57247.  o 
57262.  7 
I  57278.  2 


57293.  5 
57308.  6 

57323.  5 
57338.  I 
57352.  4 


57366.  5 

57380.  2 

57393.  7 
57  +  06.  8 

57419-  5 


57431.  9 
57443-  9 
57455-  5 
57466.  7 

57477-  4 


71 

57487. 

7 

72 

57497. 

6 

73 

57507. 

0 

74 

57515. 

9 

75 

57524. 

4 

76 

57532. 

3 

77 

57539. 

8 

78 

57546. 

7 

79 

57553. 

I 

So 

57559. 

0 

57564.  3 
57569.  1 
57573.  4 
57577.  I 


85   I 57580.  2 


57582.  7 
57584.  7 

57586.  2 

57587.  o 
57587-  3 


16 

15 
15, 

I  5 
15 
15 

15 
14 

14 
14 


CLASSISSECVND/L 

CONTINENS 

PHYSICA. 


Tom-  yil.  H  h  DE 


^i' mxoco-iM-jicmjSFFNcn  KAmAims 

§.  £.  Anteqnam  aiitem  rem  aggrediar,  necefle  erit  prae^ 
mittere  aliquas  dcfinitiones ,  qu^s  optici ,  et  veteres  et  re- 
^entiore^  ^  ad  de(|ribendunit^  ^guid^  fit  ipi^gp  in^Cpeoulo-  alit 
quo  apparens  /  cofcciiifannmtl  AWazen  igitut  opticae^  libr.  ^. 
6^p\/i'^dicit/i^\/7^M]gY?'  'efi  fortj^a  '|»p'i//^'j^  IpQJita.^^ipeXjitji^ 
rsjlexa  *,  vel  /<7m^  c^i^ppjpk^^Jk}  iv  (xrpmr  polito  nomi- 
natur  imago.  Barrbiifuf  m  lect."  'bpticis  pag.  4.  magls 
adaequate  lo^wdir-,^  'eM'  ^liit  V  *?iyfef(S^.f  ^-iii^i  nil  plane 
Jiint  aliud  ^  quam  lux  akfdbW&Ulita  rejlexa  \:el  refra&a^ 
fvt  rurfus  in  vfnmLJmim  talefncius^ifecQjjj^^iti^^f^  ,  qua- 
Jem  tunc  obtinutt\''qiium  'di^  origmaIi<^^profIueret  obietto  ^ 
direEIoque  verfus  oculum  itinere  procederet  ,  quo  Jit ,  ^t  Ji- 
7niUter  obiecia  ,  fed  tanquam  atbi  collocata  ,  repraefentent. 
Benc  haec  cerce  fe  habent  ,  fi  fola  tox:  ftmiliter^  omirratmv 
n^fi' Wifitf ^  gen^itairffini^  int^e)a:aM'-=':in|1is.r-  rft^iifi?J31d^^^-e^^ 
:^culofuni  -  cuiUilineonim  geWere^ '-  Jimagd  •  foni&  |ilane  di^i 
}5(!)teft  ^^fiio'  obie<^0.  'Plura^/i  quam -^qul^'- hiiic  defiditioni 
nec^flSiria  funi  ,  'mifcet'-'jR^^^?^j^',?'dum  p^k-fipom.-  in  Vi- 
tellionem  pag.' '  '60  -  inquic  :'  * '  iinago  ^  ^fi  ■>  'vifto  •  rei  ■  '■  ''alimus'  ^^' 
cum  -errdre  facultatwn-^'ad'^if^n"  1'onciUrmiftUmy,  QomtmUti? 
Sapit'  enim'  magis  metaphyfic^tti  ,  quam  phyficam  f^ai* 
geometriam ,  haec   explicatio.;  ,  -  1'-'-  -    ^ 

'  §.  3.  'Praemiffis^liisdefinitAonibiis  imaginiS' if«''fp€tuIo;^ 
quocunque  ,  ad  .inftitutum '  iam  pr()pilis  - itdi:'edatn  '\  '^  ad  ■  'M- 
aim  nempe  eum  i  defignatidum ',  -  quein  ^'  obie^^um  qnodtu»-; 
que  ,  fpeculo '  ciiiuscunqtle  generis  oppofitum  ,'  irt  Ipecula 
Occupare  -videtfe'  A  bfoluit :  enim  tctius  catoptricae  tra6ta-" 
tionem  praecipi^iam  haec  quaeftio  ;  fcd  i^git  tantum  de  lo-' 
co  puodi  >^^ius  in  i-pecplTFm  r;i,diantis  ^j.quoniamy  fi  fit^giV-'; 

lorum 


^-  IN^SPECVLFM  crmUNErM  ^4^ 

lorutn  talium  punflorum  iimglnes  et  loca  determina- 
ta  fuerint ,  totius  deinde  etiam  obiedi  extenfi  locus  iuftus 
hvabetui-.  Ab  antiquiirimis  igitur  catoptricae  fcriptoribus 
haec  lex  (labilitii  •  fuit :  pun&i  in  Jpeculum  quodamque  rd" 
diantis  imi^^m^ri  ibi  apparere  ,  n^bi  cathetus  incidentiae^ ... 
mn  radio  reflexo  concurrit  \  vt,  fi  ex.  gr.  pundlum  ra-Fig,  i* 
dians  fit  in  R,  a  quo  in  fpeculum  Iphaericum  conuexum 
cadat  radius  R  1  ,  cuius  refiexus  intret  oculum  intuentem 
in  O^;  duxerunt  ex  R  cathetum  incidentiae  RD,  ver- 
^entem  ad  C  ,  (i  C  fuerit  centrum  arcus  ipecularis  AB^ 
deinde  reflexum  O  I  continuarunt  in  diredum  ,  donec  con- 
curreret  cum  catheto  incidentiae  in  r  ,  atque  tum  in  loco 
r  im;iginem  pundi '  R  haefuram  efle  afleruerunt.  Eucli' 
.^fi..^quidem  in  catoptricis  nou  iisdepi;  hifce  verbis  ^Qn- 
tentiarh  hanc,  lam  eo  tempore  receptam  ,  plene  eflert , 
£ed  id  folum  demonllrat :  in  planis ,  conuexis  et  cauis 
Ipeculis  afpedabile  quodlibet  cerni  in  linea  reda  ,  dud:a 
ab  afpedabili  perpendiculariter  ad  planitiem  ,  aut  ad  cen- 
trum  fphaerae  ^  cuius^portio  eft  fpecuium.  C"«m  vero 
hoc  per  fe'  intelJigatur  ,  pun(flum  quodcun  lue  apparere 
debere  in  radio  reflexo  ,  qui  imaginem  puncli  fui  oculo 
quafi  afferc  ;  manifeiliffimum  eft  ,  ipfum  quoque  hanc  fen- 
tentiam  exprimeie  voiuifle  ;  quamuis  nusquam  diierte  af- 
ierat ,  pundum  'radians  apparere  in  radio  reflexo  ;  ex 
clns  Prop.  VII.  et  aliis  tamen-hoc  non  obfcure  intelli- 
gi:  poteft-  Ftolemasus  deinde  et  AJhazen  opt!cae  lib.  V. 
cap.  2  Nr.  8.  diferte  ponunt  :  imago  in  amcumque  fpe- 
culo  videtur  in  concurfu  perpendicularis  incidsntiae  et  li^ 
mae  reflexionis.  Hos  fec  uti  funt  ViieUo  ,  Fabry. ,  Taque- 
tus  ,xi  plures   recentiorum  alii  ,  vt  micum    fit ,    errorem 

H  h  3  .  hunc 


i^6  m  LOCO  IMAGimS  PrNCTI  RADIAKTIS 

hiinc  ad  noflram  aetatem  vfque  per  dodiffimos  virospo- 
tuifle  propagari. 

§.  4.  At  videamus  iam  probationes ,  quibus  hoc  af» 
fertum  ftabilire  conati  funt  viri  modo  aliegati  ;  nam  iii 
hac  re  fibi  non  defuerunt  argumentis  vtcunque  ipeciofis. 
Primus  itaque  EucUdes  expcrimenti  feu  phaenomeni  loco 
praemittit  liiae  demonftrationi  :  in  fpeadis  quibuscunque , 
occupato  ,  hoc  eft  ,  obtedo  ,  eo  JpecuJi  loco  ,  in  quem  ca- 
dit  perpendicularis  ,  du6ia  a  re  ajpe5tabili  ad  Jpeculum  , 
rem  afpe&abilem  non  cerni,  Hinc  Propp.  XVI.  XVII. 
XVIII.  argtimentatus  eft  :  quoniam  occupato  loco  D  pun- 
dum  R  cerni  non  poteft  ,  videbitur  pundum  R  in  ali- 
quo  pundo  lineae  redae  R  d ,  produdae  in  direcftum  ;  vi- 
detur  autem  fimul  in  radio  O  I ,  produdo  in  diredum  ;  ergo 
videbitur  in  pundo  aliquo,quod  vtrique  redae  RC  et  01 
commune  eft ,  hoc  eft ,  in  r.  Qiiae  vero  in  hac  demonftrationc 
reiicienda  fint ,  dicam  poftea. 

§.  5.  Secundus  Albazen  duplex  argnmentum  affert 
ad  (ententiam  eandem  probandam.  Prius  nititur  iterum 
yi.T.  2.  experimento  ,  nempe  (equenti.  In  fpeculo  ex.  gr.  fphae- 
rico  conuexo  E  F  ,  cuius  centrum  C  ,  erigatur  perpcndi- 
culariter  bacillus  B  D  ,  cuius  tota  imago  intra  fpeculum 
apparet.  Ponatur  in  hoc  bacillo  alicubi  fignum  A  ,  di- 
cit  iliud  apparitiirum  in  a  fic  ,  vt  diftantiae  B  A  et  B 
a  futurae  fint  aequales  ,  oculorum  nempe  iudicio ,  lib. 
V.  cap.  2.  Nr.  3.  quod  quidem  experimentum  ,  etiam- 
fi  verum  eftet ,  fententiam  tamcn  hanc  potius  euerterct, 
quam  adftrueret :  ita  legitimi  nexus  exper  mentorum  cum 
conclufionibus  illa  aetas  tliit  inicia  ;  et  in  lioc  ibio  fa^^ere 

vide- 


IN  S2ECFLVM  CVRVmmVM         247 

videtur  Arabs ,  quod  argumentiim  EucUdis  ,  modo  alk- 
tum  ,  cum  ceteris  ex  eo  decerptis ,  non  afferat.  Alte- 
nim  eius  argumentum  metaphyficum  efle  videri  poteft  , 
dum  cenfet ,  nullum  digniorem  imagini  locum  tribui  pof- 
fe ,  quam  ab  ipfo  afllgnatum  ;  atque  fic  dignitatem  fitus 
perpendiculo  metitur.  Alhazenum  preflb  pede  fequitur 
Vitelh ,  ita ,  vt  alter  priori  etiam  hic  ,  vti  in  ceteris 
quoque,  fit  fimillimus. 

§.  6,  AflTerti  falfl  adhuc  emendatiorem  dedit  probationem 
Tacquetus  ^  catoptricae  lib.  i.  prop.  22.  male  tamen  id- 
circo  laudatus  a  Clarldo  in  notis  ad  Kohalti  phyficam 
parte  i.  cap.  34.  §.  18.  quafi  rede  propofitum  demon- 
ftraflfet  (iium.  Is  adhibito  eodem  bacillo  perpendiculari 
ad  Ipeculum  B  D ,  fed  omiflTo  figno  A  ,  experientia  nos 
edoceri  ponit ,  imaginem  huius  bacilli  B^  efle  in  direc- 
tum  cum  bacillo  ipfo.  Hoc  experimentum ,  adiungit  porro , 
vel  centies  ab  ipfo  fuifle  exploratum ,  atque  eos ,  qui  ne- 
gant  hoc  phaenomencn ,  experimentum  feciflfe  aut  ofci- 
tanter,  aut  imperite ,  dum  nempe  flylum  fpeculo  non 
exade  ad  angulos  redos  impofuerint ;  caufam  quoque 
phaenomeni  in  eo  fitam  eflTe  ait ,  quod  ,  cum  perpendi- 
cularis  flylus  nufpiam  inclinetur ,  nulla  etiam  ratio  adfit , 
cur  imago  in  vUam  partem  magis ,  qu:im  in  aliam  incli- 
net ;  ac  proinde  necefle  eflTe  ,  vt  ea  vnam  cum  fiio  pro- 
totypo  lineam  redam  cfficiat.  Hoc  eodem  vtroque  ar- 
gumento  nituntur  quoque  adhuc  omnes  illi  recentiorum , 
qui  eandem  fententiam  hucufque  propagarunt  ;  (ed  et  ob 
ipfum  hunc  errorem  admiflfum  coguntur  cum  Tacqiieto  fa- 
teri ,  locum  hanc  fententiam  non  habere  in  fpeculis  cauis, 
fed  veritatem   aflerti  veterum    deficere  a  phaenomcnis  in 

cafu 


248  D£  LOCO  IMAGmiS  PrNCTI  ,RADlAnTIS 

cafu  noa  Yno.     Qiio4  quidem  ,  \t  Kepkrus  loquitur ,  nf^ 

cula  foeda '  eji  m  pafSemma  Jcientla. '     .        '  ^ ' 

§.  7:' Priinus   autem  ,   quantum   inuenife   f)Otui ,  Hre- 
terum  huicTententiae  obfHcit  Keplerus  in  Paralipom. "  ad  Vi^ 
telllonem  pag.    56  feqq.  eandemque  emendaturus  pag.  75. 
pro  loco  imaginis   alTignando  in   fpeculo   parabolico    con- 
Fig.  3.  vexo  (equcntia  profert :  fit   fpeculum    parabolicum  «^  y  , 
^  bculus  iii  '^  ^'  obredum  in  %  ,  fic,Yt  incidens.  y\  P','etfe- 
flexusj  (3  <^  ficiant  angulos  aequales  vtrinque  cum    tan^entc 
e  [3  <$^.     lam    vctereb   optici ,   pro  loco   imaginis  determ^- 
nando ,    iubent    ex    'w\    in    fpeculum  ducere   perpendicula- 
rem  7)  0  ,  atque  refiexum  ^  (3  tanQdiu   continiiare ,  doliec 
priorem  perpendicuiarenn  fecet  in  w,  ftatuuntque  pundunl  hpc 
fedionis  locum*  elTe  imnginis.     ^^,  pergit  ille  ,  (verior  ra- 
tio  iubet  inuenire  circulum ,  qui   contineat   rationera    curui- 
tatis  ,  quam  habet  Jeciio  in  |3  ,  puncio   repercujjus  :   ( ba- 
bent  autem  aliam  atque  aUam  huiusmodi  mixtae   lineae    ) 
Sit  quantitas  k  p  ,  et  duUa  ex    ^  ipfi  e  ^  perpendivulari' , 
quae  Jit  ^  k  ^  centrum  circuli  ponetur   in '  lined   (3  k  ,  con- 
iwigeturque   (3  k  ,   eritque   locus    imaginis  ,   ibi  ^  p   conti- 
nuata  fecat  y\K  ,  fcilicet  in  \k.     Vocat  deinde  difertis  ver- 
bis  redam  k  (3  rationem  curuitatis. 

§.  8.  Qiiamuis  itaque  haud  diffiteri  pofTim  ,  ne(cire 
me,  qua  ex  caufa  veterum  regulae  hanc  nouam  fubflitu- 
erit  Keplerus ,  cum  nuilam  ipfe  conftrudionis  fiiae  afferat 
rationem :  videtur  tamen  id  folum  efficere  voluiffe ,  vt 
hoc  modo  fpeculum  parabolicum  pro  fitu  puncti  reper- 
cuffus  p  reducatur  quamproxime  ad  fpeculum  circulare , 
vt  deinde  fimili  modo  ilhid  tradari  pofTit ,  quo  haec 
tradata   vfque  ad   iilam.  aetatcm  fuerunt.     Adeoque  iaga- 

ciffimus 


IN  SPECFIVM  CVRVILINEVM  tj^§ 

ciiritniis  aiictor  methodiim  veterum  ad  alia  fpecula ,  quam 
circularia ,  extendi  non  pofle  ,  potius  docet ,  quam  ipfam 
methodum  antiquam  euertit.  Nam  facile  patet ,  eandem 
hanc  methodum  keplerianam  coincidere  plane  cum  antiquay 
fi  transieratur  ad  fpecula  circulaiia.  Sed  hoc  praeterire 
non  pofliim  ,  primam  in  allegato  loco  omnium ,  quantum 
quidem  fcio,  circuli  ofculantis  no.tionem  occurrere/  Quam- 
"vls  enim  quantitatem  ipfius  (3  k  determinare  non  potuerit 
Keplerus  ,  ideam  tamen  circuli  ofculantis  et  radii  ofculi 
animo  ipfius  infedifle  euincuiit  omnia  ipfi  adhibita  verba, 
qualia  funt :  inuenire  drculmn ,  qui  contineat  rationem  cur^ 
mtatis ,  quam  hahet  fe&io  in  (3  ;  habent  aliam  atqut 
aliam  rdtieiiem  curuitatis  huiusmodi  Uneae  mixtae  \  fit  vi^ 
petpendicularis  ad  tangentem  e  S^  ;  recia  ^  k  ejl  ratio  cur- 
tuUatis.  Vt  plane  iucundum  fit  intelligere  ,  quae  negotii 
lniius ,  a  recentioribus  iam  diligentilTime  pertradati ,  vmbra 
perfpicacifllmo  huic  viro  iam  tum   obueriata  fuerit. 

§.  9-  Meliorl  autem  longe  (ucceflli  veterum  hanc 
'opinionem ,  quam  errorem  in  optica  capitalem  vocat , 
plane  euertit  Barrouius ,  fubftituitque  illi  primus  aliam  , 
fuam  ,  et  quae  veritati  conformis  eft.  Si  enim ,  arguit  ille 
in  ledionibus  opticis ,  lect.  VI.  §.  ip.  imago  a  pun&o 
reflexionis  B  tanto  diftat  interuallo  ,  quanto  pun^ium  radians 
ab  eodem  femouetur  :  fol^  ex  huiusmodi  reflexione  confpicuus^ 
ad  tantam  ,  quantam  diredte  fpectatus  ,  diflantiam  deberet 
tipparere  ;  quod  immane  ,  quantum  experientiae  refragatur, 
Aliud  deinde  fubiungit  experimentum  ,  cum  fpeculo  cnuo 
inftituendum ,  I.  c.  led.  X.  §.  27.  Si  tanquam  circa 
puncium  a  accenfa  candela  fpecub  cauo  EBF  exponatur , 
Tom.  XiL  li  ocub 


dsp.  DE  LOCO  IMAGINIS  PFNCTI  RADIANTIS 

oculo  ^'velut  ad  dfito,  hnge  maiori  dijlans  interuaJlo  con- 
Jpkietur  ,  quam  ipjo  a  B  ;  quinimo  ,  tantillo  verfus  centrum 
illam  addiicendo  ^  non  aequali  dijlantia  ^  Jed  admodum  ma- 
ipri  vidMtuK  dongari.y  tanta  circiter  ad  Jenjum  probabi- 
iemque  coniecturajn^  quantam  proportio  requjrit  a  nobis 
praeftita.  Ita  vero  d^inde  vir  egregius  erroneae  Icgiti- 
mam  fubftituit  opiniouenr  ,  vt  minim  fit  ^  hanc  ne^edtam 
hucufque   ia  lcriptis  opticorum,  iacere. 

§.  xo.  Accedam  nunc  a^i  id  ,  vt  oftendam ,  vbi  hae* 
feant  vitid  in  probationibus  veterum  occurrentia-  Igitur 
Euc/idis  demonftratio  nititur  experimento  plane  falfiffimo  , 
cuius  :&l{itas  manibus  fere  palpari  poteft  ^  ita,  vt  vix  fpe- 
culum  ,  vel  planum  ,  vel  aliud  „  vnquam  ad  manus  huic 
fuiffe  credi  poflit.  Tegatur  enim  ex  eius  (ententia  pun-> 
dum  D  in  quocunque  fpeculo  :  obiedi  imago  nihilomi- 
niis  in  oculos ,  plane  vt  ante ,  incurret.  ABazeni  et  Fi^ 
tellonis  experimenta  ,  ad  probationem  fiiani  addudla,  vim 
quoque  naturae  inferre  ,  abunde  iam  probaui  ex  Barrouio^ 
§.  9 ;  et  quae  de  dignitate  loci  ab  ipfis  aflignati  in  medi- 
um  proferunt ,  prudenti  harum  rerum  aeflimatori  quam 
ininime  perfiiadebunt. 

§.  1 1 .  Pauilo  autem  difKcilius  efl  rnuenire  ea  ,  quae 
in  Tacqueti  demonflratione  monenda  occurrunt.  Vera 
dixiffet  celebris  hic  auctor  ^  fr  dixiffet:  imago  bacilli  ^a 
fig.  3.  apparet  iti  diredum  iacens  cum  bacillo  ipfb :  cum  vero  dixit : 
ejl  in  diredum  iacens,  veritatem  rei  praeteruedus  eft. 
Nego  itaque  plane  ,  in  tali  experimento  imaginem  reuera 
iacere  in  diredum  cum  bacillo  ,,  quamuiS'  oculo  phaeno- 
menoii  hoc    ita  appareat    eiquc   iUudat,    Qiiodfi  enim  ae- 

qua: 


m  SPECrLFM  CVRVTLINEVM  a^r 

qna  lance  trutinemus  demonftrationem  tacqiietianam  ,  eius 
ratiociniura  huc  redit ,  \t  (equens  exinde  formetur  fyilo- 
gilmus ,  qub  probat  pund:um  a  efle  in  perpendiculari  pi*Or 
diicfraI)AC  :  quicquid  apparet  in  perpendiculari  ]^ad^ 
illud  ell  in  perpendiculari  ;  ergo  pundam  a  eft  in  per- 
pendiculari.  Qiiod  iam  attinet  ad  minorem  propofitionem 
huius  fyllogifmi ,  ea  negari  non  poteft  ,  fed  omnino  recfte 
le  habet  et  experimento  comprobatur  :  (ed  maior  pro- 
pofitio  vera  non  eft ,  quod  fequenti  nouo  expcrimento  te- 
Itatum  facio.  Imponatur  fpeculo  conuexo  GAH  gno- 
mon  chartaceus  ABD,  ita,  vt  crus  AB  perpendiculariter 
inliftat  polo  fpeculi  A  ,  et  crus  B  D  antrorfum  verfus  o-  -. 
culum  O  fpedet.  Tum  infpiciatur  imago  huius  gnomonis 
vno  oculo  ,  eoque  fic  pofito ,  vt  exiftat  in  plano  triangn^ 
li  BAD:  apparebit  totius  gnomonis  ABD  imago  in  fpe. 
culo  Abd  in  lineam  ,red:iffimam  extenfa  ,  et  iacens  ia 
perpendiculari  BA  protfada  ,  vbicunque  oculus  in  plano 
memorato  verfetur.  Idem  experimentura  fimili  fucceftii 
inftitui  pofteft ,  fi  polo  fpeculi  A  infiftat  redlus  tantura 
bacillus ,  fed  verfus  oculum  O  inciinatus  „  cuius  imago 
pariter  in  perpendiculari  apparet.  lam  fi  quis  argnmen- 
tari  velkt :  punclum  d  apparet  in  perpendiculari  AB^, 
ei*go  exiftit  reuera  in  eadem  :  nonne  Tacquetus  ipfe  huic 
aduerfiretur ,  dicendo  :  fit  DE  radius  incidens ,  et  refle- 
xus  EO ,  ducatur  cathetus  incidentiae  DC,  fecans  refle- 
xum  retro  produdum  in  ^,  erit  locus  imaginis  punfti  D 
in  d^  extra  perpendicularem  BA^-  Ex  his  igitur  mani- 
feftitfimum  eft  plane  conciudi  non  poffe  : .  imago  redae 
perpendiculariter  infiftentis  apparet  in  perperdiculari  hac 
produ(5tii ,  ergo  reuera  ibi  exiftit»     Accidit  enim  profcdo 

li  2.  hiC 


fi^i  m  LOCO  IMJCINIS  PFNCTI  RADIANTIS 

liic  fillacia  optica  ,  qnae  oculo  illiidit  eodem  modo ,  qno 
bacilliim  \el  giiomonem  in  quouis  plano  horizontali  Ter- 
fus  oculum  inciinate  credlum  horizonti  perpendicularem  ef- 
ie  putamus ,  quod  reip(a  tamen  longe  aliter  fe  habet. 
Apparebit  enim  ex  vera  determinatione  imaginis  in  tali 
Ipeculo ,  §.  12.  adducenda ,  fi  conflrudione  geometrica 
mox  indicanda  res  perficiatur  ,  imaginem  .  bacilli  A  bd  rc- 
vera  verfus  oculum  nipicientcm  inclinntam  efle  ,  fed  decli- 
natione  ab  ipfa  perpendiculari  BC  tam  parua  ,  fi  oculus 
propius  pofitus  fit ,  vt  impoflTibile  fit  ean  i  ab  oculo  diftigui. 
Valeat  ergo  Tacquetus  ,  et  cum  eo  recentiores  ii  omnes , 
qui  putant  (e  quam  rigidiflime  demonftrafle  ,  pundum  in 
fpeculum  Iphaericum  radians  imagmem  fuam  nancifci  ibi , 
ubi  cathetus  incidentiae  radium  reflexum  iecat. 

§.  12.  Reieda  igitur  hac  falfa  opinione ,  accedam 
ad  eam, .  quae  vera ,  noua  tamen  non  efl: ,  fed  inde  iam 
a  Barrouii  temporibus ,  et  ab  ipfb  ,  et  ab  aliis  quibusdam, 
exculta  fuit.  Dico  itaque  ,  imaginis  locum  in  (peculo  quo- 
cunque  ibi  efle ,  vbi  duo  radii  incidentes  infinite  vkini 
Fig.j.BM,  B»/,  poft  reflexionem,  in  M  et  7n  fadam  ,  con- 
currunt ,  vel  fe  inuicem  (ecant ,  (cilicet  in  F.  Vt  itaque 
etiam  quantitas  huius  redae  MF  ,  in  radio  reflexo  pofi- 
tione  dato  ,  ad  vfus  fequentes  in  promtu  flt :  notum  eft  ex 
analyfi  infinite  paruorum  Hwp/V^.^'i  §.  119.  vocatis  radio  ia« 
cidente  BMzrj^,  et  demi^Ta  in  hunc  ex  centro  C  perpendicu- 
lari  CE,  appellataque  E M  =  <? ,  futuram  e^fe  MFzz:  ^^; 
quae  eadem  formula  deducitur  etiam  ex  conftrudione  geo* 
metrica  ea ,  quam  Barrouius  tradit  ledl.  opt.  led.  IX- 
§.  II.  vbi  fubiungit,  pundum  F,  efle  locum  ipfiflimum, 

circa 


m  SPECVWM  CVRVlimEVM.        253 

»circa  qnem  pundi  B  imago  confiftit.  Vnde  feqnens  ori- 
tlir  conftrndio  geometrica  pro  inueniendo  pundo  F , 
quae  in  HoJpitaUi  analyfi  infinite  paruorum  omifla  eft , 
in  (peculo  (j)haerico  concauo  :  demittatur  in  incidentem 
perpendicularis  ex  centro  C  ,  quae  fit  C  E ,  et  ducatur  in 
punclum  reflexionis  M  radius  CM  *  tum  bifeda  EM  in 
G  ,  ducatur  G  H  paralleia  radio  reflexo  M  F ,  fecabit  haec 
GH  alicubi  radium  ,  fcilicet  in  H;  fi  itaque  ex  pundo  _ 
radiante  B  per  pundum  H  ducatur  re(5la  BHF  ,  fignabit 
ea  in  radio  reflexo  locum  imaginis  F  quaefitum.  Nam 
erit  fic  ob  triangulum  MGH  aequicrurum  ,  BG(j^ -*<?): 
GH(i^):=:BM(/)  :  MF  (  ^  ).  Qiiodfi  autem  radius 
incidensBM  minor  fuerit,  quam  la  Yel  MG  ,  fiet  M 
F  negatiua  ,  atque  tum  fequens  confirudio  locum  habebit: 
demittatur  iw  produdam  MB  perpendicnlaris  CEexcen-  Fig,  5, 
tro  C,  et  ducatur  in  pundlum  reflexionis  M  radius  CM, 
«..:m,  bifeda  EM  in  G,  ducatur  GH  parallela  radiore- 
flexo  retro  produdo  MF  ,  fccabit  haec  GH  alicubi  radium, 
fcil.  in  H  ;  fi  itaque  ex  pundo  radiante  B ,  et  pundoH, 
ducatur  reda  H  B  ,  fecabit  ea  radium  reflexum  in  loco 
quaefito  imaginis  F.  Erit  enim  fic  BG  [la—y)'.  GH 
K4g^^)i=:BM(j)  :  MF  (,1^^-).  Similis  conflrudio  locum 
quoque  habet  in  fpeculo  Iphaerico  conuexo.  Nam  cum 
ibi  y  fiat  negatiua  ,  erit  MF  =:  Ef^  ==  I^-  Produ-  F%«  7- 
cantur  itaque  et  radius  incidens  et  reflexus  retro  ;  tum  de- 
mifla  in  iilum  perpendiculari  C  E  bi(ecetur  M  E  in  G  , 
et  per  G  ducatur  parallela  reflexo  M  F  ,  fecans  radium  in 
H  ,  et  dudla  BH  fecabitur  radius  reflexus  in  F  ,  loco  ima- 
ginis  quaefito.  Eft  enim  fic  BG^j^-h^^?) :  GH  (^^) 
iizBMa):  MF(,-3^). 

li  3  §.  13« 


A.S4.  DE  LOCO  IMAGINIS  TVNCTI  RADUNTIS 

§.  13.  Cnm  itaque  diiorum  radiorum  incidentium  fibi 
proxime  vicinorum  focus  quoque  fit  in  reflexorum  mutuo 
concurfu  :  patet  generaliter  "verum  eflfe  ,  quod  locus  ima- 
ginis  ibi  fit ,  vbi  radiorum  datur  fbcus ;  adeoque  focum., 
a  pundo  radiante  produdum  ,  et  eiusdem  imaginem  ,  efle 
vnum  idemque.  lam  vero  videamus  quoque ,  an  cafus 
.aliqui  dentur ,  in  quibus  veterum  hypothefis  in  afllgnando 
loco  imaginis  coincidat  cum  hac  vera.  Igitur  in  fententia 
veteium  ,  pofito  Ipeculi  centro  in  C ,  et  duda  catheto 
Fig.  5.  incidentiae  ECL  ,  erit  pundli  radiantis  B  imago  in  L, 
in  quo  nempe  pundo  reflexus  ML  fecatur.  Pro  deter- 
minanda  autem  ML  ,  pofitis  vt  ante  BMzz/,  EM  zr 
/7,  CMznr,  et  finu  toto  =1:  i  ,  erit  CME  finus  ~: 
vrr=:£«  cofinus  =:  - ,  adeoque  dupli  huius ,  nempe  BML; 
finus  =z  ^"pT,  cofinus  =  V[!±:ii\c!±:ifl)  _-  ^'^;  erit 
porro  B  C  L  y  ( B  E'-f-  E  C*)  =:  V  {/^  ^ay^  a-^-r- 
d)  ziz  y  {y—2aj'i-r'')  ^  adeoque  LBM  finusnff  ^ 
—  ^"^-''"  cofinus  1:=  H  =  y^^ ,^ .     Hinc  com- 


ponetur_finus^LM=  fin.  BLN  =  fin.  (BML-4-LBM) 
^,_^-^r_^_^^o^^  vnde  inftituta  analogia: 

fin.  BLM  :  fin.  LBM  ~.  BM  :  ML  ,  inuenitur  ML  zz^ 
^^2l^±[r^-zc:--)  ]  qui  valor  ipfius  ML,  fi  .ponatur  ae- 
jqualis  valori  ipfius  M  F  n:  ~~  ,  inuenitur  j  r=  •-VCaa"',- 
vcl  j  rr  o.  Si  itaque  radii  incidentis  BM  longitudo  ha- 
buerit  alterutrum  horum  vaiorum  aflTignatorum  ,  locus  ima- 
ginis  ex  veterum  hypothefi  coincidet  cum  loco  innaginis 
vero  ;  in  omnibus  vero  icliquis  cafibus  haec  duo  loca  di- 
lcrepabunt  inter  fc.  ^>, 

§.  14. 


IN  SPECrim  CFRFIUNEFM        nss 

§,  14.  At  vero  memomtu  digniim  eft ,  in  (blis  fpe- 
ailis  pknis  hypothefin  veterum  et  hypothefin  veram  , 
qimm  l?arrouianam.  appdhre  licebit,  coincidere ,  et  vnuni 
ctindemqiie  locum  imaginis  producere  ,  quod  certe  in  fal- 
iam  opinioriem  veteres  deducere  potuit ,  quod  credebant 
vniuerfaliter  verum  efle ,  quod  in  (blis  fpeculis  planis  lo- 
CHm  habet.  Stt- enim  tale  fpeculum  planum  AC,  punc- 
tufn  radians  B ,  et  radii  incidentes  infinite  vicini  B  M ,-. 
Bm ^  cum  refliexis  M N  ,  mn -^  et  quia  reda  AC,  tan- 
quara  arcus  circuli  Ipecflata  ,  icentrum  habet  infinite  diftans, 
crit  in  fbrmula  ^  ponenda  ^  =:  00  ,  hinc  erit  MFiz: 
z^zn—j^  hoc  eil,  in  retro  produdla  NM  erit  capienda 
M  F  zizj  rz:  M  B.  Coniungantur  ergo  punda  B  et  F 
reda  linea  ,  fecatura  fpeculum  in  A;  atque  erit  in  duobus 
triangulis  FAM,  BAM,  angulus  p  —  n  =  m\  MB=MF, 
et  MA  communis  vtrique  triangulo  *,  quar&  triangula  haec 
erunt  aequalia  et  fimilia  ;  hoc  efl ,  apud  A  erunt  anguli 
redi ;  eritque  fic  pundium  F  in  concurfu  radii  reflexi  M. 
N  et  catheti  incidentiae  BA. 

§.15.  Ingerit  denique  fe  hic  dubium  qnoddam  ,  quoc! 
effecit ,  vt  Tacquetus  fiiam  imaginis  definiendae  hypothe- 
fin  fpeculis  concauis  non  nifi  in  quibusdam  cafibus  conue- 
nire  aflferuerit ,  quam  in  planis  et  conuexis  vniuerfaliter 
veram  efle  contendit ,  prout  videre  licet  in  eius  catoptri- 
cae  libro  III.  prop.  29.  et  30  ;  et  ad  quod  ne  Barro^ 
uius  quidem  in  redla  fententia  refponflonem  inuenire 
potuit ,  fed  illud  ,  improbam  difpcultatem  vocatum ,  Jedl. 
opt.  XVII.  §.  la.  tanquam,  fcopulum  praeteriit  potius, 
quam  fuftulit.     Verfatur  dubium  hoc  in  eo ,  vt  quaeftio 


ai(S,DE  LOCO  IMAGlNlS  TmCTI  RABIANTIS 

moucatur,  in  quonam  loco  apparitiirum  fit  obiedum  AB 
longius  a  fpeculo  remotum  ,   oculo  O  proxime  apud  (pe- 
culum  pofito.     Si   veteres  audiamus,  iuxta  eorum  fenteii- 
^'  ^'tiam  dudis  cathetis  incidentiae  Aa  et  Bb  imago  erit  in 
ha  -^   fcd   intra  hanc   et  (peculum   ipfum  ED  oculus  fitus 
efle  fupponitur ,  et  confequenter  incapax  videnJae    iinagi-. 
nis  ba,     Idem   vero  accidit  quoque ,  fi   pun£la  imagim» 
b  et  a  legitima  metiiodo,  barroui,ana  uempe,  quaerantur, 
Su(pen(a    igitur    hic  et    ambigua    iiaeret  theoria ,    docens 
obiedum  videa  per  radios  DO,  EO,  tanquam  ex  hifi- 
mto  interuaUo  fluentes  ^  et  nihil  hlc  reliquum  ejfe^  praetef 
7nerum  praeiudicium  ^  quo  diflantia  imaginis  aejlimctur.  Vidc 
annotationes  ^d  Rohalti  phyficam  ,  parte  I.  cap.  34.  §.i8,; 
Decidit    vero    atque   ad  oculnm    demonflirat    experientia*, 
obiedla  in  his  circumftantiis  apparere  oculo  erecfla ,   natu- . 
rali  fua  magnitudine   praedita  ,   (ed   aliquantum   minus  di- 
flinda.      Q.na  ergd   via   huic   veritati  ratio  fua  a^fignanda 
erit  ?    Dico  itaque  :   fi  obiedum   fuerit    remdtius ,   et  o- / 
culus  valde   propinquus  (peculo ,    (patium   refle(ftens  %iy 
efle ,  ne  dicam  infinite  ,   fed   ita   tamen   paruumV  vt  F^' 
ipeculo  plano  haberi  pofllt ;   quod   (equenti    ratiocinia  de- 
monftro.     Duesintur  radii  EC  ,  DC  ,   nec  non  diameter 
GOCH,  ponanturque  radii  GC,  EC,  DC,  =:r,CO 
—  ^,  ODzzq^  OEznp]  atque  demiffis  in  diametrum 
perpendiculis  DK  ,  EI ,  leui  calculo  inuenitur,  efle  OKzr 
^~~-  zn  m  ;    et  01  :=:  "-—^  —  n  ,   quare  habebitur  E 
OC  finuszzl^,  cofinus  =;-J;  nec  non  DOC  finus 
__  J^k  ^    cofinns  =z  :^  ;    vnde    erit    finus    diflfcrentiae 
E0d':z:^-S55^.     lam  vero  flt  oculus  O  fpe- 

culo 


IN  SPECFim  CVWlLINEm  a5t 

tulo  ED  valde  vicinus ,  aut  vero  fint  q  et  p  quantitatcs 
valde  paruae  ,  erit  OC,  fiue  a^  fere  aequalis  nidio  r  ; 
.ponamus  itaque  a^zz-r^  fiet  hinc  z«=:^,  «Z3^;vnde 
fmus  EOD  euadetnz^^^^^r-^^^^  quoniam  vero 
vlterius  refpedu  ipfius  a  euaneicunt  p  et  ^  ,  erit  finus  E 
OD  — ^-J^,  hoc  eft  ,  quia  ^  et  p  ferc  funt  aequales, 
erit  fuius  EOD  fere  aequalis  nihilo ,  adeoque  multo  ma- 
gis  arcus  ED  pro  portione  (peculi  valde  parua  ,  vel  pro 
paruo  fpeculo  plano  habendus ;  vnde  non  mirum  efl: , 
indicata  phaenomena  in  eo  ita  occurrere ,  prout  mvtura 
^eculi*  plaiii  ea  re'quirit  ;  repraefentatio  tamert'  obied^orura 
debebit  eile  aliquantum  obfcurior  et  confufior ,  quam  in 
Ipeculo  per  totiim  plano  ,  quia  hic  fe  ex  fpeculis  paruuiis 
plams  limilibus  adiacentibus  immilcent  nouae  imagines ,  ad 
rhuTtipIicandam  imagrnem  ,  fed  non  cum  integro  effe(fbn, 
tendentes;.  Neque  praetereundifm  lioc  teo  e(i,  allega- 
tum  phaenomenon  ,  vt  nempe  imagines  obiedorum  femo- 
torum  eredae  appareant  in  fpeculo  cauo  ,  non  cerni  ia 
tali  fpeculo  ,  quod  paruum  fit ,  et  conuexitatem  habeat 
magnam  ;  oculus  enim  tam  prope  huic  fpeculo  .applicari 
non  poteft  ,  vt  fpatium  reflexionis  efficiat  valde  paruum  , 
feu  vt  efhciat  fpeculum  paruum  planum. 

§.  i<5.  Vt  occafione  horum  ex  dioptricis  quoque 
saliquid  tangam  ,  nfferam  coronidis  loco  methodum  deter- 
-minandi  concurliim  duorum  radiorum  infinite  ,  viciiK)rum  , 
in  lentem  quamcunque  incidentiurri  ,  quorum  radiorum 
fons  ,  vel  pundum  radians ,  ab  axe  lentis  vtcunque  diftet, 
et  in  vtraque  fuperficie  lentis ,  in  ingreffu  et  egreffn  ,  hoc 

Tom.  Kll  K  k  eft. 


55S  DE  LOCO  IMAGINIS  TFNCTI  RALIJNTIS 

eft  ,   duplicem   refmaionem    patiantnr.     Sit  igitnr  diapha- 
nuiTi  ab    aere  diuerfunn  ,  ternninatum    duabus    fuperficiebus 
fphaericis  M  ;;/ ,  cuius  radius  M  C  ,  et  N  «,    cuius  radius 
N/fe-   in  hoc  ex  punclo  radiante  B    quomodocunque  fito 
incidant  radii  infinite  vicini  B  M  et  B  «2 ,  qui   poll   pri- 
niam  hanc  refradlionem  vniantur  in  punAo   F,   fed   poft 
alter-Am    refradionem    in  fuperficie  Nn  concurrant  in  pun- 
do  /  i  quaeritur  determinatio  pundi  / ,  feu   quantitas    li- 
nae  N/.    iSit  igitur  radii  incidentis  BM  longitudo  — j^, 
et  demiffis  ex  centro  C  perpendicularibus  in  radium  inci- 
dentem    continuatum    et   refradum  ,  quae  fintCEetCG, 
fint  M E zn ^  ,  MGznb  ^  fitque  tandem  ex  aere   in   dia- 
phanum  ratio  finus  inclinationis  ad    finum    anguli   refradi 
z^m'  n  ^  atque  erit    ex  HofpitaUi  analyfi  infinite   paruo- 
rum    §.   133.  MF:=^^^^„  ;  qui  Yalor  ipfius  MF, 
cum  vniuerfaliter   verus   fit ,    locum    quoque    habebit    in 
puncfto  /,  fi  hoc  tanquam   radians    concipiatur.      Ponatur 
itaque  radius  incidens  /N  =:  a:  ,  fintque  duo  tales  inciden- 
tes  radii  fibi  infinite  proximi  /N  ,  /«  ,  qui  poft  primara 
hanc  refradionem  pundum  concurfus  verfus  B  nullum  lia- 
bebunt ,  fed  in  diaphano    infinito   C  K    diuergentes    verfa- 
bnntur ,  aut  vero  habebunt  focum  virtualem  in  F  ;  quod- 
fi  itaque  ad  analogiam  radii    prioris   incidentis   BM    pro 
hoc  incidente  /N    iam    ponatur    N  H  =  A  N  L  =;  B  , 
erit  nunc  eodem  ,  quo  priiis ,  lure  N  r  — ^mx-xnx-s.-^n  vw 
fcil.   m:n  eil  ratio  refradionis ,  vti  ante  ,  ex  aere  in  diji- 
phanum.     Ex  modo  inuenta  hac  aequatione   eruatur    iam 
•valor  ipfius  x,  qui   ergo  uiucnitur  hic  :   ^f-s-^-^^-^- 

Igitur,  dato  diaphano  quocunque ,  terminatO;  vtrinque.  fu- 

per- 


m  SPECFLVM  CVKVILINEVM  159 

perficie  circukri ,  ex  gr.  cuius  centra  fint  C  et  K ,  de- 
terminatur  focus  duorum  radioruni  viciniirimorum  ,  ex 
pundo  radiante  quomodocunque  fito  egreflbrum  ,  fequenti 
modo  :  ducatur  radius  incidens  producflus  B  M  E  ,  atque 
huic  conueniens  aflignetur  irefradus  ,  huic  refradioni  pri- 
mae  debitus ,  qui  fit  M  F  ;  ex  centro  C  demiflis  per- 
pendicularibus  C  E  ,  C  G  ,  capiantur  menfurae  in  ^ala 
geometrica  iplarum  MEzz ^,  et  MGzz^,   quo  facflo 

calculus  arithmeticus  haud  difHculter  dabit    numerum    ip- 

7«  * 

b  m 

fius   M  F  ==  ; iz^ ;  cum  itaque  vitrum  vel  diapha- 

num  datum  in  charta  delineatum  elle  fupponatur :  da- 
bitur  ex  hac  menfura  quoque  longitudo  N  F.  Tum  ita- 
que  ex  affumto  radio  incidente  M  N  ,  ducatur  conveniens 
ipfi  refra^flus  N/,  atque  in  hoc  fumta  longitudine  N/zz 

jg-^^^       g^  ,  determinatum  erit  /,  pundum  concurfus 

poft  duplicem  refradionem  ,  idque  geometrice  et  accura- 
tilTime  ,  non  vero  quam  proxime  tantum  ,  \ti  commu-  xab.  iv. 
niter  fieri  folet.  Vel  fi  defideretur  condrudio  geometri- 
ca  ,  illa  pro  determmando  primum  piindo  F  ex  Hojpi  H*  «• 
talio  1.  c.  erit  haec  :  fiat  angulus  E  C  Z?  —  G  C  M  ,  ca- 
piatur  M  it  =  j  ,  fiatque  hk\  Z?  E  1=  M  G  :  M  F  ;  pro 
inueniendo  etiam  porro  pundo  /  fiat  angulus  L  K  2  — 
H  K  N  ,  addatur  ad  2  N  reda  N  X  =:  fp  ,  et  fiat  Z  X 
2  L  3:  H  N  :  N/ 

Vt  vero  pundum  radians   reduci    quoque    poiHt    ad 
axem  talis  diaphani ,  coniungantur  centra  C  et  K  inter  le  pig.  i, 
linea  re<fla  produda  vtrinque  C  K  ,  atque  ad  hunc  axcm 

K  k  2  ex 


^60  DE  LOCO  IMAGINIS  TVNCTI  RADUmiS 

cx  B  demittatur  perpendicularis  B  a  ,  ruitque  a  (3  :=  /^; 
^  C  —  r  K  N  zz  R  ,  nempe  pro  diaphano  ,  fuperficiebus 
circularibus  praedito  ,  a  B  m  ^  ,  ctailities  diaphani  fiuc 
lentis  z=:  d ,  eritque  B  C  =  V  (a  B*  H-  a  C  )  zz  V 
(  B  E'  H-  E  C)  ;  rctentis  igitur  antecedentibus  adhuc  de- 
noniinationibus  habebitur  aequatio  V  (  p^H- aj)  r-i-r.r' 
:H-  q  JzizV  {j  *H-  2  a  y  -{-./  )  ^  \nde;  deducitur  >?:= 
zb  "^  ( ^^  +  2  /)  r  -f-  ^  *  H-  -^  ^  j^  ^ ;  valerc'  autem  po- 
tcil  folura  fignum;  -f-  y  vt  ne  radius  incidens  C  M.  £at. 
negatiuus..  Vt  iam  prmdum:  radians  fit  in:  ipfo.  axe  lentis 
alicuius  dioptricae  ,  ponatur  ^  =:'o  ,-  eritque  C\c  iam  jrzi 
V  ( p^-^-  2  p  r  -\-a^ )  —  a  y,  et  M  F  —  lim:..\^bm—a  n 
— ^pp^^p^:Sjzir]-  Sint  praeterea.  radii  incidentes  axl 
:¥iciniliimi ,  \t  obtineatur  focus-  principalis ,.  poni  debet  4K 

r^fn 
—  r ,  bznr  .  et  huic  M  F  r=:  — • t:^  i,  erit   quo» 

que  A  =  R  ,  et  B  =:  K  ,  hinc_generaliter  pro  omni  k- 
ge  refradionis  oritur  ^  f--^-p^^J-'^r^-f  .. 
quae  formula  ,.  ex.  genuina;  metliodO'  deduda ,  coincidit 
cum  illis ,  quae  approximatione  tantum  deriuatae  funt  ab 
aucfloribus ,  fi  pro  refiadione  ex  aere  in  vitrum  ponatur 
»/  =  3  .  w  =  2.     Si  denique  crafllties   lentis    negligatur  y 

p  r 
plerisque  lentibus  obtinet  y  orietur  N/~  m— n    jsJ7' 

71  •* 


DE 


DE  GORPORVM  PLANO  INCLI^ 

NATO  IMPOSITDRVM  DESCENSV. 

AVCTORE 

.Georg.  Wolffg.  Krafft,  ,  ' 

§.  I.  : 

Cbrpus  firmnm  ,  plano  inclinato  impofitum  ,  duplici  mo- 
do  defcendere  per  plani  longitudinem  poteft.     Primo 
enim  defGenfum  fuum  abfoluit   :vel   fic  ,  Tt   centrum   eius 
grauiratis-  C  delcribar  lineam  redam  C^ ,  plano   inclinato 
E^  parallelam  ,  atque  Yt  latus   corporis   vnum    idemque  ,r  Fig.  3/ 
■veluti  A  B  ;  femper  plano   inclinato    maneat   contiguum  \ 
ih  hoc  cafu  corpus  dicitur  :  defcendere  fimpMter ,   defven-^ 
dere   radendo^   vel  labi  aut  repere.     Deinde   etiam   qui- 
busdam  in;  cafibus  corpus  folidum  obferuari  poteft   defcen- 
lum;  fiium  in.  plano  inclinato   perficere  fic  ,   vt  centrum' 
graiiitatis  ih   eo  C  ,   aut   delcribat   durante   defcenfu   arcus 
circulares  CD  ,  DE  ,  Ec  ^  circa  angulos  fuos   fibi  fucce-  ^^^- ,^* 
d^dnteis  "^B,  Fy  €r;  *H  i,    tanquam    circa    totidem   centra  ; 
aut  vt  ipfurti  circa  fe    gyretur ,  quod  id  globo  et   cylin- 
dro   transuerfim    plano  tali  impofitis  accidit  ^  neque  adeo 
Vnum:  idemque  latus  AB  ,  fed  fingula  corporis  latera  (uc- 
cefliue  plano  inclinato  fiant  contigua  ;  in  hoc  cafu  corpus 
dicitur :  deuohd  vel  rotari ,  vel  defcendere  voluendo. 

5.  2.  In  horum.  cafuum  altero,  quo  nempe  corpus  ro- 

tando  defcendit   per   planum    inclinatum  ,  initium    motus 

femper  ita  fit ,  vt  corpus  prono  capite  prolabatur  ,    atque 

deinde  denuo  eredum    fimili  rurfus   modo  procidaL  Ana- 

-      '    K  k  3  l^gt^' 


2^2     DE  CORPORVM  TLANO  INCUNJTO 

loga^itaque.hufc  kpfui  cafus  efle  \idetur  is,  irf  quo  cpr- 
pub,  plan.o  horizontali  infiftens,  pronum  prolabitur  ,  quoties- 
cunque  linea  dire£iionis  in  eo  cadit  extra  bafin  ,  qua  in- 
liftit  plano  horizontali.  Voco  autem  lineam  dire&ionis 
'jg»  3«  lineam  redam  CF,;quae  ex  corporis  centro  grauitatis  C 
perpendicularis  ducitur  ad  horizontem  Db.  Quae  proci- 
dentia ,  in  plano  horizontali  fada  ,  cum  a  figura  corporis 
et  fitu  lineae  diredionis  dependeat ;  fimiiiter  in  planq 
inclinato  locum  habere  vifa  fuit.  Atque  hinc  fa^H^um  efle 
puto ,  vt  celeberrimi  audores  phyfici  hucusque  omnes 
in  ea  opinione  fiierint.:.  corpus  plano  indinato  impofitum 
rependo  dejcendere  ,  fi  linea  dire^iionis  eius  intra  bafin  ca* 
dat  j  qua  plano  inclinato  infiftit ;  aliud  vero  corpus  rotan- 
do  defcendere  ,  ft  eadem  linea   cadat   extra  hafin  eius. 

§.  3.  In  hac  regula  falfumefl:  corpus  femper  rptan- 
do  delcendere ,  quotiescunque  linea  diredionis  cadit  extra 
bafm.  In  multis  enim  cafibus  contrariatur  experientiae 
E  crim  1.^'^^^  aflertum  ;  vt ,  y/  capiatur  ex.  gr.  paratlelepipedum  li- 
gneum  ,  altum  3  polL  latum  2  ,  crajfum  ^  \ ,  atque  illud 
imponatur  plano  incUnato  eousque  eleuatd ,  vt  linea  dire£ii' 
onis  C  F  manifeflo  cadat  extra  bafin  j  obferuabitur  ,  illud 
non  rotando  ,  fed  rependo  dejcendere ,  quod  tamen  acci- 
dere  non  dcberet.  Vt  igitur  in  hacre  non  tam  ficili , 
ac  prima  quidem  fronte  videri  poflet ,  ingenium  naturae 
addifcerem  ,  fequenti  primum  modo  ratiocinatus  (um. 

§.  4.  Qiioniam  in  omni  motu  a  grauitate  oriundo 
centnim  grauitatis  delcendit ,  qiiantum  potefl:  et  vbicun- 
que  potelt  :  putaui  exinde  fecuturum  t^t ,  vt ,  fi  rotatio- 
ne  corporis  ingruente  centrum  hc)c  defcendere  poflit ,  cor- 

pus 


IMPOmQRVM  DESCMSy:  .       M^ 

pus  rptaretur  ;  firi  autem^,  rotatione_  corporis  iuppofita,, 
centrum  grauitatis  alcendere  in  altum  deberet ,  in  eius  lo- 
cum  reptionem  ruccelTuram  efle.  Veluti ,  quia  centrum  Fig,  5. 
grauitatis  C  ,  fupporita  rotatione  circa  G,  tanquam  fulci- 
mentunri  ,  defcendit  per  arcum  circularem  CH,"neque  in 
Jioc  cafii  fuppofita  rotatio  corporis  afcenfum  aliquem  cen- 
tri  grauitatis  requirit :  putaui  futurum  efle ,  yt  corpus  fic 
locatum  rotando  defcenderet.  Verum  enim  vero  et  huic 
explicationi  plane  repugnat  experientia  ,  atque  etiam  expe- 
rimentum  I.  modo  allegatum.  Deinde  congaiit  penitus 
eadem  haec  regqla  cum  vulgari  hucusque  vfitata  ,  quod 
paulo  pofl  deprehendi ,  et  fequentem  in  modum  demonflro. 

§.  5.  Qiiotiescunque  centrum  grauitatis  defcenfurum 
efl*et ,  fuppofita  rotatione  ,  toties  linea  diredionis  cadit  extra 
bafin  corporis.  Nam  flt  corpus  ECl  plano  inclinato  AD  Fig.  5. 
ita  impofitum  ,  vt  fuppoflta  rotatione  circa  E  centrum  gra- 
vitatis  C  defcendat  per  arcum  CG,  ducatur  per  E  reda 
horizontalis  FEG,  cum  verticali  EHex  E  eduda.  Ne- 
ceffe  igitur  eft ,  vt  centrum  grauitatis  corporis  C  fit  alir 
cubi  in  quadrante  circuli  defcendente  HCG,  non  autem 
in  quadrantecirculi  afcendente  FH.  Si  igitur  centrum  gra- 
uitatis  fuerit  in  C  ,  ex  eo  demifla  hnea  diredionis  C  B 
paraliela  erit  cum  reda  EH,  et  verfus  partes  G  iacebit; 
cadet  ^rgo  extra  pun^flum  E ,  hoc  eft ,  extra  bafin  cor- 
poris  K  E  \  confequentur  ,  fl  quis  dixerit ,  fubfequente  ro- 
tatione  centrum  grauitatis  defcendere ,  idem  dicit ,  ac  cor- 
poris  lineam  diredionis  cadere  extra  bafin. 

§.  6.  Voti  igitur  mei  liac  opera  compos  non  fadus, 
deprehendi  ex  variis  ab  initio  inftitutis  tentaminibus  potius 

quaiU 


Ji^  DE  CORTOByM,  tLANOtnClINATO 

quam  experimentis :  corpus ,  quotf  m  phm  indinafo  i&^ 
fcenderet  rependo  ^  fi  Jibere  fibi  permittatw  ^  ex  quiete  ipfi 
conciliata  concitari  in  inoUim  rotatorium  \  et  prono  capite 
prokbi  y  fi  fiium  j  etiam  tenue  ^  aut  fafcia  chartacea  ^  ipfi 
transuerfim  oppoiiatur  primum  ^  atque  fum  demum  illud  fibi 
relinquatiir'^'  ef  finiul  linm' .dire&ionis  extra  bafin  cadat. 
Deiiide  porro  aliquoties  Tidi ,  corpus  quod  in  planq^  iiuli^ 
nato  defcendit  rependo ,  defcendere  rotando  in  eodem ,  fi 
planimi  obducatur  panno  aliquo  rudiori  et  afpero  ,  etiajnfi 
lifiea  dire&ionis  cadat  vtrobique  extra  bafin.  Vnde  ma- 
nifeftum  fit ,  deberi  llaec  phaenomena  tnice  arperitatibiis 
plani  inclinati  ,  modo  maioribus  modo  minoribus ,.  atque 
in  his  cau^im  eorum  effe  quaerendam.  In  qua  fententia 
eo  magis  confirmatus  fui ,  cum  viderem  ,  corpus  in  n:na 
plani  indinatiofie  rcpendd  bel  rotando  defcendcns  ,  in  omm- 
''  ''    kus  atiis  plani  incIinafioMus  ftmili  modo  defcendere. 

^.  7.  Ex  his  millti  enata  fuit  fequens  theoria,  qnam 
explicatam  prius  dabo ,  vt  deinde  eo  applicatius  Tariji 
experimenta  adducere  poffim  ,  quae  eam  optime  confir- 
F'g-  7»mant.  *Sit  plano  indinato*  BD  impofitum  corpus  quod- 
cunque'  FGI,  ''cuius  centrtin!  grauitatis  G  ,  bafis  FI  ; 
fintque  praeterea  A  B  linea  horizontaiis ,  huic  perpendicu- 
laris  AD,  et  corporis  linea  diredionis  CG.  Manifeftiim 
iiunc  eft,  corpus  hoe  deorfitm  foilicitari  a  pondere  fiia 
refpediuo  ,  hoc  eft' ,  a  potenria  ,  quae  ,  pofito  corporisi 
pbndcre  aWbiuto  =r  P  ,  '  iriuetilimr  efie  rr:  ^  x  P.  Hac  po- 
tentia  follicitatur  quidem  corporis  centrum  grauiratis ,  ei- 
demque'  perfeifle  obediret  quoque  corporis  bafis  '  1 F  ,  ni(i 
obeflTet  ipfi  fcabfities  plani ,  aut  firidio  eius  ili  hac  incli- 
"  natione 


fiatlone  fnb  angiilo  ABD  reperiunda ,  qnam  fridionem 
vocabo  /.  Cum  autem  motui  bafeos  fridio  obftat ,  ef- 
iicit  ea  ,  Yt  in  pundum  ouoduis  bafeos ,  plano  inclinato 
contiguae  ,  agere  cenferi  tantiim  polfit  potentia  ^xV-^f. 
Qiiantum  autem  praeualet  potentia  agens  in  centrum  gra- 
uitatis  liipra  potentiam  agentem  in  pundum  bafeos  quod- 
cunque  F  :  tantum  increfcit  potentia  corpus  ad  rotationem 
Ibllicitans ,  Tt  hinc  differentia  harum  potentiarum  ,  quae  eft 
/',  pro  potentia  corpus  ad  rotationem  injpellente  nffumi 
poflit  ^  quoniam  per  potentiam  ,  quae  protrahit  bafin  cor- 
poris ,  hoc  le  motui  rotatorio  quafi  fubducit  in  fmgulis 
momentis.  Agit  autem  haec  potentia  rotatoria  in  C,  at- 
que  fic  in  brachium  -vedlis  homodromi  C  F  ,  quia  rotatio 
circa  pundlum  F ,  tanquam  circa  hypomochiium  peragi 
debet.  Momentum  itaque  huius  potentiae  rotatoriae , 
vedli  CF  applicatae  ,  demifla  ex  C  perpendiculari  CE 
nd  DB  ,  erit  m/x  CE.  Haec  potentia  rotatoria  integ- 
rum  cfFedum  fuum  ederet ,  fi  planum  B  D  eflet  vertica- 
le ,  et  pundo  F  aliquid  refifteret ;  neque  adeo  pars  pon- 
deris  P  corpus  ad  planum  inclinatum  adhuc  apprimeret. 
Ergo  (equitur  hinc ,  inter  duas  has  potentias ,  priorem 
rotatoriam  atque  hanc  alteram  ,  quam  apprefforiam  voco, 
dari  conflidum  efleque  hanc  illi  contrariam  ,  vt  fi  illa 
vincat ,  corpu>  rotando  ,  fi  vero  haec  praeualeat  ^,"  corpus 
rependo  defcendat.  Vt  igitur  definiatur  potentia  apprel^ 
fbria  ,  exponatur  corporis  pondus  abfblutum  P  per  C  G 
verticalem  ,  atque  refolvatur  ea  in  C  E  perpendicukrem 
ad  planum  ,  quam  voco  Imeam  apprejfwnis ,  et  C  K,  pla- 
no  B  D  parallelam  ;  critque  magnitudo  potentiae  appref- 
foriae  zi:  C  E  ;  quoniam  vero  etiam  haec  agit  in  vedlcm 
Tom,  XIL  L  1  C 


t66    DE  CORPORVM  PLANO  INCLlNATO 

C  E  :  erit  eins  rnomentum  =z  C  E  x  BF.  Orietur  itaquc 
haec  regiita  ;  corpus  plano  mlinato  ifnpofittm  dcjcendere 
rotandj  ,  fl  jtierit  f^CE^CExEF^  aut  vero  j  J> 
£  F  ;  ide??2  autem  corpus  drjcendere  rependo ,  fi  juerit 
f<EF. 

§.  8.  Hinc  ,  vt  cafus  pro  rotatione  vel  pro  reptio- 
ne  determinentur ,  determinari  antea  oportet  fridionem, 
quam  plannm  fub  data  inclinatione  in  bafin  corporis  exer- 
cet.  Cum  autem  difficilius  fridio  haec  explorari  poffit 
in  plano  inclinato  ,  quam  in  horizontali  :  vocabo  hic  in 
fubfidium  theorema  ab  excellentiflT.  BuJffingero  in  Com 
mentmorum  Tomo  IL  pag.  405.  tradimm  ;  quo  ad 
fchematifmum  meum  reuocato ,  et  vocata  fridione  hori- 
zontali  F,  habetur /=:  ^  x  F.  Efl:  autem  ob  fimilia 
triangula  DAB  et  GEC,  cs  =  S>  ^^1>  ^b  Q  Q  zzz 
P  ,  erit  M  —  ?  ?  ^^  h^"^  /—  ^  ^  F-  ^^  quibus  re- 
gula  fluit  haec  ,  iam  magis  concinna  :  corpus  plano  incli' 
nato  impofitum  dfcendere  rotando  ,  fi  fuerit  F  ^  ^  x  P  ^ 
Mem  autem  corpus  defcendere  rependo  ,  fi  fuerit    F  ^ 

§.  p.  Eruta  nunc  regula  pro  definiendo  quolibet  mo- 
lu  corporis  plano  inclinato  impofiti  ,  fupereft  ,  vt  ea  ad 
experimenta ,  tanquam  ad  lapidem  lydium  ,  exploretur  vi- 
deatiirque,  an  experientiam  fibi  habeat  amicam  ,  nec  ne. 
Cum  autem  pro  inftituendis  iam  experimentis  requirantur 
tnenfurae  exadae  fridionis  horizontalis  redlarum  E  F , 
C  E  ,  et  ponderis  ablbluti ;  exponam  antea  breuiter ,  qua 
ratione  corporis  cuiuscunque  fiib  examen  vocati  centnim 
grauitatis  et  iridionem  horizontalem    explorauerim ;  quc- 

niam 


tMPOSITORFM  DESCENSF.  a^j 

Aiam  cx  illo  iniiento  dimenfiones  redarum  E  F ,  C  E , 
per  fe  iiuunt ,  et  pondus  abfolutum  bilance  accurata  quam 
faciJlimum  ell  inuentu. 

§.  10.  Pro  cognofcendo  centro  grauitatis  in  corpori- 
bus ,  quae  disquifitioni  meae  fubieci ,  fu(pendi  ea  ex  filo 
ferico  tenuifiimo  ,  ope  cerae  agglutinato  ,  in  variis  fuper- 
ficiei  pundis  eousque  ,  donec  aliquod  reperirem  ,  ex  quo 
fiiipenfum  corpus  fuperiorem  fuperficiem  haberet  perfedle 
jhorizontalem  ;  atque  tum  in  diredtione  fili  fuipendentis 
-perfofla  cera  mediante  acu  fubtiii ,  centrum  quaefitum  an- 
gufto  pundo  notaui  et  exprefli.  Sed  fic  quidem  obtinui 
folum  centrum  grauitatis  liiperficiei  fuperioris.  QLioniam  ve- 
ro  in  experientiam  non  vocaui,  nifi  corpora  ,  qiiae  con- 
^ant  ex  materia  homogenea  et  funt  figurae  prifmaticae; 
centrum  ipfum  grauitatis  in  medio  huius  inuenti  axis ,  ad 
fuperficiem  fiiperiorem  perpendicularis^  tuto  afliimere  licet, 

§.  II.  Ad  determinandam  fridionem  horizontalem 
horum  corporum  adhibui  planum  ,  in  fitum  horizontalem 
prius  exadifilme  redadum.  Huic  impofui  corpus ,  illique 
ope  cerae  agglutinaui  ex  parte  propiori  bafi  filum  fe- 
ricum  tenue  ,  reda  protenfum  ,  et  horizontaliter  exiens, 
trochleamque  mobiliifimam  ,  in  extremo  plani  firmatam  , 
ambiens  et  lancem  afiixam  fibi  ^erens  ;  huic  deinde  lanci 
tot  fuccefliue  ponduicula  impofui ,  donec  ea  iamiam  inci- 
perent  quietem  corporis  plano  impofiti  ibllicitare  ;  quae 
ponduicula  vna  cum  pondere  lancis  pro  menfura  fric- 
tioiiis  horizontalis  lenui. 

L  1  S  §12 


a58     DE  CORPORVM  PLANO  INCLlNJTO 

§   12.  Vt  ig'tur  ratio  reddatur   eyperimenti   r.  f-pni 
alle^Ati  ,  in  quo  curpus  ,    cuius    linea  ctiredionis  inanifelto 
ciidlt  extra  barm  ,  rependo  tamen  defcendit :  afliimo  regu* 
lam  iniientam  ,    in    q'H    pro   reptione    corporis   requirituc 
tantum  ,  Yt  fit  F  <  §1  P.     Sunt  autem  pro  quolibet  cor- 
pore  et  redae  EF,  CE,   et  faaio   horizontalis    F    eae- 
dem  ,  peiiJentes    nempe    illae    a  fitu  ccntri  grauitatis  ver- 
fub  bafin  ,  neque  hic  in  computum  cadit  reda  FG,  quae 
lineam  diredionis  defiait.     Poterit  igitur  planum  BD  eo- 
•vsqne    pro   lubitu   eleuari ,   impofito   corpore    quocunque  ^ 
donec   tandem    huius   linea  diredionis   extra   bafin  cadat , 
neque  idcirco  \alor  ipfius  ^  x  P  mutabitur.      Si   enim  in 
niinima  pUni  eleuatione  eft  F  <  §|  x  P  ,  aut  F  >  §^xP, 
in    maxima    eleuatione     et    in    omnibus    intermediis    re$ 
eodem  modo  fe  habebit  ;   vnde    fimul   etiam  caufa  patet 
experimenti   IV  ,   fuperius  addudi  ;  quod  ,  etfi  mirum  ab 
initio    videatur  ,  ex  hac  tamen  theoria  prono   alueo    fluit 
et  deriuatur.     Ex  eadem  liac  regula  ,  quae  cafum  reptio- 
nis  defi.it ,    deducitur    quoque    flicile   experimentum   III  ^ 
antea   allatum.      Cum   enim   pro  reptione  requiratur  F  < 
II  X  P ,  et  haec  poflerior  quantitas  pro  dato  corpore  ma- 
neat  conftins :    poterit ,  audla   afperitate   plani ,  quod  per 
•varios  pannos  diuerfae    texturae    fucceifiue    ipfi    impofitos 
f/L,,  fiidio  horizontalis  ita  tandem  augeri ,  vt  definat  eGh 
F  <  ctI  X  P  ,  fed  contrarium  accidat ,  quo  obtento  rotato- 
rius  motus  conlequitur.      Neque  difiicilius  explicatu  eft  ex- 
perimentum  II.     Cum  enim  ,  vti  (iipra  iam  dixi ,    §.  7. 
per  potentiam  ,    quac   protrahit   bafin  ,    corpus   le   motui 
rotatorio  fin^ulis  monientis  (^uali  fubducat;  euidenseft,  fieri 

debere. 


IMVOSITORFM  DESCENSE  ^C^ 

debere ,  Tt,  potenria  piotiahen^e  bafin  per  obftaculum 
transuerium  fixum  penitus  exhauili  ,  motus  rotatorius  vim 
f:iam  exerreat  eo  lioeri-is  ,  atque  proinde  corpus  proniim 
in  caput  prolabatiir ,  eo  mod  ) ,  t]ui  in  nmihbus  corpori"» 
bns  plano  hcrizontali  infilkntibus  contingere  folet. 

.  §.13.  Pracminfis  hifce  generalioribus  dclcendam  nunc 
ad  magis  particularia ,  in  fecjuentibus  exponenda  et  ope 
eiusdem  huius  rcgiilae  explicanda.  Igitur  corpus  hgneum^  y 
C ,  qiiod  hrrizontali  pJano  impofitum  ead^m  ba\e  ,  qua  hic 
pkno  inclmato  incum/it ,  tutum  erat  a  lapfu  ,  rependo  de-  Tab.  V. 
Jcendit  in  omnibus  inclinationibus  ,  quantumiiis  linea  dire&io-  ''^*  '• 
nis  extra  bafin  cadat  ,  per  plana  laeuigata  ,  buxinum  , 
chartaceum  et  quernum  ;  Jed  per  planum  ajperwn  panni 
mlgaris  rotando  curfum  abjoluit  Juum.  Inilituta  dimenfione 
detcrminationum  neceflliriarum  deprehendi  eius  pondus  ab- 
f)lutum  ,  feu  P,  =3  1277  Granorum  ,  quorum  7680  fa- 
ciunt  libram  amftelodamenlem  ;  CE  rz  51  partium  , 
quarum  382  faciunt  pedem  londinenfem  ,  EFzn  18  part. 
Porro  inueni  fri<flionem  horizontalem  in  plano  buxino  3  4.6 
Gran.  in  chartaceo  3i(S  Gr.  in  querno  350  Gr.  in  pan- 
no  afpero  autem  ^16  Gr.  Igitur  in  hoc  corpore  erat 
^xPi=:45o.  Eft  hinc  in  primis  tribus  planis  F,  hoc 
eft  ,  34.(5  aut  315  vel  35o<<45o;  quare  in  his  pla- 
nis  obtinuit  raotus  reptorius.  In  panno  afpero  autem  fuit 
F~  716"  J>  450,  quare  in  hoc  corpus  defcendit  ro- 
tando. 

§.  14.  Sed  multo  adhnc  meliiis  theoriam  hanc  com- 
probat  expcrimentum  fequens ,  quod  in  hunc  finem  ita 
ferfeci.     Corpus  U^neum  C,  quod  horimti  infjlens  I^pjui  Expcf.  vi 

L  i  3  re/i'  p%'  ^' 


±70    BE  CORFORFM  FLANO  INCUNATO 

re/ifiere  non  poterat ,  rotand)  dejcendit  in  omnibus  incUna^ 
tionibus  planorwn  modo  memoratorum  ,  buxini ,  chartacei , 
et  querni.  Giptis  menfiiris  iniieni  in  eo  P  ~  1 207  Gr. 
C  E  :z:  5  3  part.  E  F  :=i  o  4  fridionem  horizontalem  ve- 
ro  inueni  huius  bafeos  in  plano  buxino  245  Gr.  in  char- 
taceo  13(5  Gr.  in  querno  296  Gr.  Igitiir  in  hoc  cor- 
pore  erat  §|  x  P  zii  o  ,  et  confequenter  in  enumeratis  pla- 
nis  omriibus  erat  F  >>  c£  x  P  i  ^uare  rotando  defcendit 
corpus. 
E^per.vii.  ^  j^^  y^jj^  autem  corpus  modo  memoratum  ^  plan§ 
mclinato  fitu  tantum  in^erjo  impofttum ,  rependo  dejcende- 
hat  per  huxum ,  chartam  et  quercum,  In  hoc  calu 
eft  vti  antea  CE=i53,  EF=:3-j  reliqua  autem  ma- 
nent  vti  in  experimento  praecedente.  Qiiare  nunc  ha- 
bebitur  §x  P  —  728  gr.  Ell  itaque  F  c-=:  245  vel 
136  aut  295  <^  728  ,  veluti  hoc  fada  reptio  poftula- 
vit.  Patet  igitur  ex  hoc  et  praecendente  experimento , 
pofle  eandem  bafin  modo  rependo  ,  modo  rotando  de- 
vehere  corpus  fibi  impofitum  ,  prouti  fitum  ea  acquirit , 
qui  huic  aut  alteri  motui  fuerit  conueniens. 

§.  16,  Examinaui  deincje  corpus  prismaticum  odo- 
gonum  ligneum  ,  transuerfim  plano  incHnato  impofituni  , 
fU\,  '  ^iiod  ohjeruaui  repere  in  quercu  .,  et  rotari  in  panno  ajpe- 
ro.  In  illa  fridio  horizontalis  lateris  repentis  erat  295 
gr,  in  hoc  autem  lateris  rotati  700  gr.  et  porro  erat 
CE=3i  ,  EF=i:i3  ,  P=:  i55i  ,  hinc  gxPzz^p^^ 
gr.  At  vero  in  cafu  experimenti  primo  ert  F  ::=  ^96 
<^  d^pd" ,  hinc  corpus  motum  reptorium  fequebatur  ,  in 
altero  vero  cafu  efl:  F  m  700  J>  6<96  ^  hiilc  corpus  ma- 
tui  rotatorio  obediuit,  §•  i7. 


IMTOSrrORVM  DESCENSr.  tnt 

1 

$.   17.  Ciibum  tiliaceum  objeruaui  repere  in  quercu  jExper.  ix. 
Jed  rotari  in  panno  ajpero.     In  ilhi   emt   fndtio   horizoii-  ^^^-  5« 
talis  6 $6  ,  iii  hoc  2035.  C  E  izi  E  F  zn  42  ,  Pnz  194.0 
^  d:  ^  ^*      ^um   itaque  in  qiiercu  (it  F  zr  (55(5<^  1940, 
haec  reptionem  effecit.     In  hoc  autem  eft  Fiii2035^ 
1940  ,  igitur  motus  rotatoriiis  conlequebatur. 

§.    18.  Adhibui  ciilnm   vitreum   politijfimum  y  qui  i^Exper.  x» 
plano  qiierno  rependo  dejcendit.     Erat  in  hoc  P  —  93^9  Fig.  s» 
gr.   C  E  —  E  F  :ii:  37    part.     et    fridio    horizontalis  — 
15  5(5  gr.     Cum  itaque  hic  fit  Fzz:  155(5  <^  P3<59  ,  ne- 
cefle  eft,  vt  motus  reptorius  obtineat. 

§.  19.  Farallekpipedum  vitreum  ,  ^^^r^  /«^  wf/ior/ 
quadrata  planis  impofitum  ,  //2  ^z/^ r^w  repebat ,  f/2  p^w;/<?  pfg]^'  ^. ' 
rotabatur.  Erat  in  hoc  P=;348^gr.  CEzr  47,  E 
F  rz  20  ,  hinc  ^xPn:  1483  Fri(flionem  horizontalem 
obferuaui  in  quercu  ii3(5,  in  qua  repebat ,  quia  113 (5 
<^  1483.  Sed  in  panno  inuenta  fuit  fridio  hori/ontalis 
155(5  ^  1483  ,  hinc  in  panno  rotabatur. 

§.   20.  Idem   paralldepipedum    mtreum  ^    bedra  Jua^^^v^^-^^ 
maiori ,  reciangula  ,  planis  impofitum  ,   in   quercu  repfit  ,  ^'^'  ^' 
^/  /;2  panno.     Erat  enim  ,  vti  ante  ,  P  zz:  348^  ,  CEzz:  ^ 
E  F  zz  20  ,  hinc  ^  xPzz  3^8(5,  et  confequenter  in  quercu         ..  • 
F  zz  iic(5  <^  348<5  •  nec  non  in  panno  F  zz:  149(5  <^ 
348^ 

§.  21.  /4///^^  parallelepipedum  vitreum  ,  w/««j  ^«^yw/  Espei-.xiu. 
praecedens  ,  /fm/?/2  /?f^/^  Jua   minori ,    quadrata  ,    pZj?«/i   ^'S-  <5. 
impofitum ,  /«  ^'f/f rt-z/  rependo  ,  /w  p^ww^  rotando ,  dejcendit. 
Menfuras  ineundo  deprehendi  P  zz  1774,   C  E:zz42 ,  E  F 
:;;z:  15  ,  hinc  Ig  x  P  zz  (533  ,   et  fricflio  horizontalis  erat 


't-jft    DE  CORTORFM  FIANO  INCLINJTO 

in  plano  qnerno  rr  5o5  ,   fupra    pannum    autem    6^6, 
Igitur  ,  quin  in  qucrcu  F  :=  50(S  <^  633  ,  hic  rependo  de- 
fcendit.     Sed  quia  in  plano  panneo  fiiit  F  zn  <58<J>>  633, 
in  hoc  rotabatur. 
Expcr.xiv.         §.   22.  Idem  paralklepipedwn  vifreum  minus  impojui 
^^°'  ^*    nunc  hedra  fua  maiori   reBangula   plano  querno  et  pan- 
neo ,  €t  mdi  ,  in  vtroque  illud  rependo  dejcendere.      Erat 
enim  ,  Yt  ante  ,  P  z:z  1774  ->  C  E  =  E  F  =  15  ,    hinc 
§  X  p  —  1774. ;  et  deprehenfa    fuit    frit^io    horizontalis 
in  illo  :=  535  ,  in  hoc  autem  —  745  ,  quare  in    Ytro- 
que  F  =  53<^  vel  74<^  <C  ^774  ,   "vnde  motus  reptorius  in 
jx.o-  HVtroque  plano  corpori  huic  vitreo  placuit. 
•^  '"^  §-  23.  QLioniam  autem  adhibui   pannum   rudiorem  , 

laneum  ,  ex  filis  cralDoribus  xontextum  et  hirtum  ,  ali- 
quoties  obferuaui  ,  dari  in  eo  circa  corpora  leuiora  excep- 
tiones  quasdam  ,  nifi  fumma  cautio  adhibeatur ,  pilis  pro- 
minentibus  elafticis  fine  dubio  adfcribendas ,  quia  hi  pili 
extantes ,  elaftici ,  in  corpus  non  fitis  ponderofum  latis 
*  /  efficaciter  ,  illud  eleuando  ,  agcre  pofliint.     Ita  ex.  gr.  vi- 

di ,  corpus  ligneuni ,  quod  fuperiori  experimento  V.  in  §.. 
Exper.  XV.  1 3  •  allegato  inferuierat ,  plano  horizontali  ligneo  aut  al-' 
Fjg,  7.  teri  glabro  ^  AB,  impofitum  in  Jitu  DCE  inel  dce  fu" 
pra  bafm  CD  quiejcere  \  fimiUbus  ^vero  modis  panno  aU 
legato  impofitum  ^  in  vtroque  caju  in  Jaciem  CE  ,  aut  cCy 
procumbere,  Qiiod  certe  phaenomenum  ,  fatis  paradoxum  > 
nulli  alteri  caulae ,  quam  modo  memoratis  fibris  extanti- 
bus  elafticis  panni  rudioris  adfcribere  poffum. 

§.   24.  Patet  itaque  ex  omnibus  his  experimentis,  ea 
theoriam  et  menfuram  iiiperius  expofitam  confirmare  quam 

pulcher- 


IMTOSITOWM  DESCENSV.  273 

pulcherrlme ,  ita,^Yt  nullus  dubitem  ,  eam  naturae  atque 
eius  operationibus  in  hoc  negotio  efle  conformem.  Pa- 
tet  etiam  exinde  per  fe  ,  corpora  omniajphaerica  et  (7-Experxvi. 
lindrica ,  transuerfim  plano  cnicunque ,  etiam  minimas  ajpe-  ^^^'  * 
ritatis  ^  impofita  ^  rotando  dej.enaere.  Fit  enim  in  his  om- 
nibus  EFzro  ;  quare  fi  \el  minimam  fridionem  hori- 
zontalem  habeat  tale  corpus ,  erit  femper  F  ^  f|  x  P  — o, 
prouti  hoc  motus  rotatorius  requirit. 

§.  25.  Si  vero   quaeftio   fit   de    plano    et    corpore 
impofito ,  perfede  politis    et  omnis   fridionis   expertibus, 
ne    tum  quidem    theoria  hucusque  vfitata  phaenomenis  (a- 
tisficere  poteft.     Requiritur  enim  pro  motu  rotatorio,  \t 
fit  F  >>  fl  X  P  ;  ergo  fi  F  — o  ,  requiritur  Yt  fit  o  >c£x  P 
quod  aliter  fieri  nequit ,  nifi,  fi  EF  fiat  negatiua  ,  hoc  efi,Tab.  iv. 
nifi  cadat  in  alteram  oppofitam  partem  refpedu  pundli  E  xab^* y'. 
At  vero  tum  redla    CE    vel  Hnea  apprejjionis    cadit  ex    p^s-  9« 
tra  bafin  corporis  FI.    .  Sin  itaque  pro  plano  perfede  po- 
lito  regula  fit  accommodanda  ,  refpici  debet  ad  lineam  ap- 
prefilonis ,  non  vero  ad  lineam  diredionis  ;  in  pkno   au- 
tem  folo  horizontali  coincidunt  h'neae  diredtionis    et    ap- 
prefiTionis.      Confequenter    in  plano  incUnato  perfe&e  poli- 
to  corpus  dejcendit  rotando ,  fi  linea  apprejfionis  cadit  ex  - 
tra  bafin  ;  dejcendit  vero  rependo ,  fi  linea  apprejfwnis  ca- 
dat  intra  bajln  corporis.     Neque  adeo  ,  fi  et  planum  in-' 
clinatum    et  bafis    corporis    impofiti    perfede  polita  fo« 
rent ,  corpus  femper  rependo  defcenfurum  eflet. 

§.  n5.  Poflquam  communicaflem    hoc    problema  cum 

Cel.  Tian.  BernouUi^  Academiae  nofl:rae  Membro  meritiflim(\ 

Tom.  Xll.  M  m  per 


^74:  DE  CORPORVM  FLANO  INCLINATO 

perfcripfit  is  beneuole  ad  me  ibliitionem  fuam  ,  quae  prin- 
cipiis  quidem  paulo  diuerfis  a  meis  vtitur  ,  fed  cum  con^ 
clufione  mea  plane  coincidit ,  quam  proinde  honoris  cau- 
fa.  hic  recenfebo  ,  ied  redadlam  in  compendium.     Solutio 
Fig.io.Celeb.  viri  ex  epijlola  d.  d.  Bafikae  6.  Aug.   1740  huc 
redit.     Sit  AB   horizontalis, ,  AC   \erticaiis ,   CB   (edio 
plani  inclinati,  DF  fedio  bafis  corporis  in  plano  inclina- 
to,  centrum    grauitatis    corporis  in  plano  inclinato,   cen- 
trum  grauitatis  corporis  in  H,  verticalis  ,  fiue  linea   dire- 
«f^ionis  5  H  G ,  quae  fimul  cxprimat  pondus   corporrs    abfolu- 
tum.  Relbluatur  HG  in  HL  et  HE ,  potentias  laterales,  illam' 
parallelam ,   hanc   perpendicularem     plano   inclinato.     His 
pofitis  erit  in  F  ,  vbi  bafis  corporis  impofiti   definit ,   ^el 
obdaculum  aliquod  inuincilibe  ,  quod  corpus  fillat  quidem, 
fed  non  impediat  quin  prolabatur ,  Yel  non  aderit  tale  re^ 
tinaculum,     Sin  adfuerit  tale  obftaculum  ,  tunc  palam   eft 
fiitururn  efle^  Tt  potentia  HL  multiplicata  per  fuum   mq- 
dcm     HE    conetur  corpus   Yoiuere  ;   et  potentia  HE,. 
mukiplicata  per  fuum  Ycdem  EF,  conetur  corpus  in  (i- 
tu  fuo  feruare  :  fequitur  hinc ,  corpus  prolapfurum  effe  ,  fi 
tlierit  HLxHH>EFxHE,  aut  EG>EF,  hoc  eft, 
fi  jinea  diredlionis  ceciderit  extra  bafin  D  F.     Sed  e  con- 
trario  corpus  in  fitu  fuo   manebit ,   fi   fuerit   EFxHEJ> 
HLxHE,  aut  EF*>EG,  hoc  eft ,   fi    linea    diredionis 
ceciderit  intra    bafin   corporis   D  F.      Vnde   concludit   Vir 
celeberr.  fadum  fiiifle  ,  vt   hac   proprietate    audores   qui- 
dam  abufi  ftatuerint ,  eandem   quoque  obtinere  ,  fi.  corpus 
ab  obftaculo  inuincibili  non  retineatur ,  led  adu  deicendat> 
" " '  §.   27.  In  altero  autem  caiii ,  fi  obftaculum   nullum 
adfit ,    quod    defcenfum    impediat ,  rem   aliter  fe  haberc 

coo^ 


IMFOSITORFM  DESCENSF.  275 

concludit.     Namqiic  tum  jjotfentiam  HL  duplicem  habe- 
re  effed^im  5  quorum  vmis  conatui: ,  vt  antea  ,  fubuertere 
corpus ,  alter  vcro  accelerare  corpus.     Si   igitur   iam    fri- 
^io  jomnis  abfit  v-fore  vt  vis  acicelerans  fola  praepoUeat  , 
neque  vnquam  corpus  rotari  pofit.     Si  vero  fri^flio  detur 
in  plano  ,  fubire  illam  vicem  alicuius  retinaculi  firmi ,  at- 
que  fic  potentiam  HL  acffcu  dibldi  in  iiccelerautem  et  fub 
vertentem  ^  et  pofita  fricftione  liorizontali  :r:R  ,  clle  vim 
acceleratricem  zzHL—  ^  x  R  ,  et  vim   fiibuertentem  rr: 
HL  minutae  vi  acceleratrice  ,  vel  =:HL— ^HLH- ^>^  R 
n:  e^  X  R.     Itaque  porro  momentum  potentiae  rotatoriae 
vel   fubuertentis    efte  r:  ^^fP  ^  ^  =  H'  x  R  ;  fed  ndo 
mentum  potentiae  contrariae  irHExEF.     Vnde  dedtfci- 
tur,  corpus  repere  ,  fi  fiierit  HExEF>  |f*xR,  aut  H^^ 
P  J>R  ;  rotari  vero  et  repere  fimul ,   fi   contrarium  acci- 
dat  ,  quo  in  cafu  oriatur  motus  mixtus  ex  reptorio  et  ro- 
tatorio ,  etiam  in  ipfis  (phaeris  deicendentibus.  Monet  tan- 
dem  Vir  acutiffimus ,  haec  omnia  ita  fe   habere ,    fi   fri- 
dlio  ponatur  conftanter  e^dem    et  vnifbrmis ,   neque  de- 
pendens  a  velocitate  corporis ;  fi  vero  haec  ita  fe  non  ha- 
beat ,  intelligi  debere  per  R  fridionem   horizontalem   cor- 
poris ,  ea  velocitate  moti ,  quam  fiiper  plano  incUnato  de- 
fcendens  habet  in  dato  loco. 


M  m  s  DE 


«7«  ">I4€ )( o  )( Jf2« 

DE 

VIRIBVS   ATTRACTIONIS 
MAGNETICAE  EXPERIMENTA, 

AVCTORE 

Ceor^.  PFoIJg,  Krafft. 

§1 

Qiod  ferrum  trahat  magnes ,  occulta  ac  ne  hodie 
qiiidem  deteda  ratione ,  Thaleti  Milefio  iam  co- 
gnitum  fuifle  perhibet  Ariftoteles  de  anima  lib.  I.  cap.  2. 
adeoque  mirandi  huius  effedus  cognitio  aetatem  fuam  de- 
ducit  ab  ipfis  philofophiae  naturalis  initiis.  Deriuata  ad 
nos  eft  per  longinquam  aetatum  feriem  huius  phaenomeni 
notiiia  magis ,  quam  fcientia ,  cum  nemo  repertus  fuerit  ^ 
qui  regaias  et  leges ,  quas  tenet ,  induftria  perueftigatione 
eruere  conaretiir  ,  Ysque  ad  haec  noftra  tempora  ,  in  qui- 
bus  demum  ea  cura  animos  inceftit ,  vt  in  menfuram  at- 
tra^ionis  magncticae  inquirerent.  Cum  itaque  leui  expe- 
rimento  conftare  poflit  ,  ferrum  validiflime  attrahi  a  ma- 
gnete  in  immediato  vtriusque  contadu  ,  debilius  in  aliquo 
inius  ab  altero  interuallo ,  et  tandem  pLine  non  ,  in  di- 
llantia  nimis  remota :  videtur  exinde  certe  hoc  patere , 
attradionis  huius  \im  habere  legem  in  mutua  horum  cor- 
porum  a  fe  inuicem  diftantia  fuudatam  ;  quaenam  vero  fit 
illa  lex  ,  aut  quaenam  comparatio  diftantiarum  ,  attradio- 
ilis  m  ignitudinem  indicans ,  id  cxperimentis  fblertiflTime  iri- 
ftitutis  denniendum  quidem  eflet ,  fed  nondum  definitum 
eft. 

§.2. 


JDE  VIRIBFS  ATTRACT.  MJGNET  EYPER.    277 

§,  2.  Imperfedioni  ccrte  huius  disqiiifitionis  adfcribi 
debet ,  qiiod  fiicile  fit  cataloginn  texere  illonim  ,  qui  ex- 
perimenta  huic  vCui  inleruientia  inftituerunt  atque  iis  attra- 
(fliones  migneticas  ad  meniiiras  fuas  reuocare  ftuduerunt. 
Oflendunt  monumenta  Societatis  Regiae  Anglicae  ,  primos 
ibi  labores-  huic  rei  infumtos  fuifle  ,  atque  Hauhbemn  ^ 
optime  gnarum  ,  quantum  ad  proprietates  mngnetis  refe- 
rat ,  (cire  proportionem  virium  attraclricium  ad  diueria  in- 
terualla  ,  diligentiffime  captis  experimentis  huic  (ludio  in- 
Cubuifle.  Methodus  ab  ipfo  adhibita  his  obferuationibus 
iuffu  Societatis  Regiae  emendata  fuit  a  Tayhro  ,  et  denuo 
magis  perfeda  a  Whiftono ,  qui  reperiife  fibi  vifis  efl , 
(equi  has  attradiones  quam  proxime  rationcm  diftantiarum 
iesquidupiicatam  ,  vel  ,  pofita  diftantia  magnetis  et  ferri 
zz^  d ,  quantitate  conftante  zz:.  a  ,   eife  attradiones  magne- 

ticas  inter  ie  vti  ^/-i.  Tajlorus  vero  ,  fuis  innixus  tenta- 
rninibus,  deprehendit ,  easdem  attradiones  non  efle  vti 
^  ,  neque  vti  fz ,  quae  omnia  leguntur  in  TranfaA.  an- 
glicanis  Nr.  368.  Ne-ivtonus  ex  captis  quibusdam  a  le 
experimentis  ftatuit ,  decrefcere  attraAionem  hanc  in  ra- 
tione  fere  tripiicata  diflantiae  in  recefli]  a  magnete  ,  vel 
efle  eam  vti  ^?-,  in  princip.  p.  368. 

§.3.  Omnibus  autcm  in  fedula  huiu.^  rei  indagatione 
palmam  praeripuit  hodie  Celeberr.  Petms  ym  Mufcbenhvek^ 
qui  in  eximia  diflertatione  phyfica  experimentali  de  ma- 
gnete  nulli  operae  neque  labori  pepercit  ^  vt  experimen- 
tis  prudentiflTime  inftitutis  veram  huius  negotii  legem  et 
proportionem  ,  naturae  operat;onibus  conformem  ,  deprehen- 
deret.      Poflquam   vero   omnem   lapidem    mouiflet ,  fiteri 

M  m  3  tandem 


a7S         DE  riRIBFS   ATTRACTIONIS 

tandem  coadus  efl: ,  nullam  fe  inuenifle  diftantiarum  fun^U 
onem  ,  quae    proportionem    attuadionis   exhiberet ;   neque 
etiam  fieri  attradionem  ferri  ad    magnetem  in   proporti- 
one   aliqua  magnitudinis   fuperficiei  ,    quae   magneti   oppo- 
nitur.   Tandem  autem   in  edito   hoc  anno  opere   praecla- 
riffimo  ,  Effai  de  Fhyfique   pag.    280.   detexit ,  dari  ali- 
quam   inter   attradiones   duarum   fphaerarum  ,   magneticac 
et  ferreae  ,  aequalium   proportionem  ,    easque   efle   in  ra- 
tione  inuerfa  quadruplicata   fpatiorum  cauorum ,  quae  inter- 
Tab.  VI.  pofita   fint  fuccefliue  inter  vtramque  fphaeram.     Vt   fi  fmt 
^e»  ^'    duae   fphaerac  aequales ,  magnetica   A  B    et  ferrea  C  D  , 
efle  attradionem  magneticam    pro   diuerfis    diftantiis   E  F 
in  ratione  inuerfa   quadruplicata   fpatii  interpofiti   cylindra- 
cei  A  C  F  D  B  E.     Quam  regulam   haud   fane  inconcin- 
nam ,  experimento  ,  quod   ibidem   affert ,   optime   probat 
in   duabus     fphaerulis    aequalibus ,  quarum    diameter   erat 
0,95  poUicis  londinenfis  duodecimalis. 

§.  4.  Quam  primum  itaque  mihi  nobile  hoc  inuen- 
tum  innotuit ,  ftatim  ingens  cupido  animum  meum  inceflit, 
id '  variis  nouis  experimentis  examinanjii  atque  inqiiiren- 
di,  an  veritas  vbique  hic  fibi  conftet  \  an  haec  proprietas 
ad  fphaeras  inaequales  fe  extendat  ;  an  in  duabus  fphaeris 
magneticis  quoque  obtineat ,  nec  ne.  Adhibui  itaque  fe- 
quentem  methodum  ,  \t  in  tabula  ,  ex  qua  omne  ferra- 
mentum  remoui ,  fufpenderem  bilancem  exadiflimam  ,  eo 
plane  modo  ,  qui  in  celeb.  Grauefandii  phyfices  elemen^- 
tis  mathematicis  ad  vfus  liydroftaticos  Tab.  XXVII. 
figura  /  depingitur  et  deicribitur.  Cepi  deinde  tres  gto- 
bos ,  magneticos  duos ,  ferreum  vnum ,  de  quibus  in  fe- 

quett- 


MJGNFriCAE  EXPERIMEKTJ        ajp 

qfociuibus  (ermo  occurret,  quorum  dimenfiones  funt  fe- 
quentes  in  partibus,  quanim  120  efiiciunt  pedem  lon- 
dinenfem.  Erat  nimiiiim  globi  magnetici  maioris  pondus 
i7-<5|  granorum  talium  ,  quoiiim  7680  efRciunt  libram 
hoilandicam  ,  diameter  autem  14  part.  ante  memorata- 
nim.  Globi  denique  ferrei  ,  qui  magnetico  maiori  aequa- 
lis  eft ,  pondus  deprehendi  2798^  Gran.  et  diametrum 
eandem  cum  priori  ,  nempe  14  part.  Vbi  obiter  tan- 
tum  hoc  adiicio  ,  me  occafione  horum  globorum  indagaf- 
fe  quoqae  methodo  confueta  hydroftat-ica  magnetum  a 
me  adhibirorum  ,  qui  ,ex  metallifodrnis  fibiricis  allati  ad 
nos  fimt ,  denfitatem ,  quam  fruftra  in  tabulis  huic  fcopo 
conditis  quaefiui  ,  eamque  inuenifie  in  vno  eorum  4 , 
8o(5  ,  in  altero  4 ,  778  pofita  aquae  purae  denfitate  i  , 
000.  Fuerunt  hi  globi  omnes  extus  exadle  laeuigati , 
et  materiae  ad  fenfom  bene  homogeneae  ;  quod  idcirco 
adnoto  ,  quia  primo  fiAo  tentamine ,  in  qno  globus  fer- 
reus  fiiperficiem  nondum  fatis  politam  tenebat ,  alrae  pro- 
diemnt  attradiones ,  regulae  allegatae  non  conuenientes. 

§.  5.  Poflm.odum  igitur,  fiifpenfb  ex  vna  lance  ma- 
gnetico  globo ,  ifa  tt  axis  eius  verticalis  effet ,  impofui 
alteri  lanci  tot  pondufcula ,  quot  requirebantur  ad  exadis- 
i5mum  aequilibrium  refiituendum  in  bilance.  Qiio  obten- 
to  auxi  haec  pondafcula  dimidio  grano ,  vno ,  et  fiic- 
eeffiue  pluribus  granis  ,  ex  quo  noua  praeponderatio  lan- 
cis  ponderibus  oniiftae  fequebatur.  Tum  vero  leniter  de- 
mifi  integram  bikincem  ope  funiculorum  ,  quibus  fufpenla 
eft ,  eamque  tamdiu  magis  ma^isque  fuppoiito  verticaliter 
globo  ferreo  admoui ,  donec  vltima  haec  fada  praeponde- 

ratio 


!iS6        DE  VIRIBFS  ATTRACT10NI& 

ratio  attradionis  \i  rediret  ad  priftinum  aequilibriiim 
Deinde  diftantiam  inter  runimitates  Ytriusque  globi  dimen- 
(us  fum  circino  ,  qui  totus  ex  orichalco  confcdus  eft  ; 
atque  fimul  lemper  caui ,  vt  ne  contingerent  le  hi  duo 
globi  ,  durante  primo  experimento  ,  vtque  fic  ferrum  il- 
libatum  et  magnetica  Yi  nulla  imbutum  tenerem.  Di- 
fcrepat  itaque  in  aliquibus  circumftantiis  haec  mea  opera- 
tio  a  musfchenbroekiana  ,  fed  hac  ratione  mihi  \ifus  lum 
optimc  inftitutum  meum  poffe  peragere. 

§.  6.  Affidua  igitur  patientia  et  multo  labore  ob- 
tinui  fequentes  obfcruationes ,  quas  nunc  fuo  quamque  or- 
dine  recenfebo  ;  poftquam  hoc  Ynicum  adhuc  adnotauero, 
globum  ferreum  poft  peradum  primum  experimentum 
adhaefifle  quidem  magneti  :  fed  tam  parum  exinde  rece- 
pit  virium  ,  \t  in  lcobe  ferrea  Yolutus  fere  nihii  huius  at- 
traxerit.  l^itm  primo  1740  Febr.  24,  fl.  v.  poft  me- 
ridiem  {ufpendi  globum  m.agneticum  maiorem  ex  bilan- 
ce  ,  fic ,  vt  polus  eius  boreus  ferrum  refpiceret ,  illique  fup- 
pofui  ferreum  aequalem  in  linea  verticali ,  atque  fic  le- 
quentes  obtinui  numeros : 

Obferuatio  Diftantiae     Attradiones 
Giobor. 

I 8f  part. 1  Granum 

II    ...  5 -  -  I 

III.  .  .  ^. ...  2 

IV.  -  .  31 3 

V   ...  3     4 

VI-  ^  .  M 5 

VII    -  -  o »  .  -  1977 

Secundo 


MJGNETICJE  EXPERIMENTA       aSt 

Seaindo  deinde  fiinile  experimeiitum  feci  ciim  fphaera 
magnetica  minore  ,  ciiius  polus  boreus  deorfum  fpedabat, 
et  cum  eodem ,  quo  prius ,  globo  ferreo  ^  vt  deinde  eru* 
ere  polTim  ,  an  eadem  memorata  proportio  locum  quoque 
obtineat  inter  duas  fphaeras  inaequales.  Hic  inueni  lulii 
10  ,  ante  merid.  fequentia  : 

Obferuatio   Diftantiae   Attradiones 
Globor. 

I  -  -  -  i^ipart I  Gran. 

II  -  .  -  9        .     .  .  .   I  .  . 

III  -  -  -   4 2   -  - 

IV  .  .  -  ii        -     .  -  .  3  .  . 

V  -  -  -  o       -  -  -  .  (^7  -  - 

Tertio  iterum  adhibui  Augufti  30.  ante  merid.  fphae- 
ram  magneticam  minorcm ,  in  qua  nunc  polus  boreus 
furfum  fpedabat ,  et  ferream  eandem  ,  atque  depreheudi 
hacc  ; 

Gbferuatio  Diftantiae  Attradiones 

Globor. 
I 4  part.  -  -  .-  I  Gran 

II  - .  -  3 -  il 

III  -  -  2 -  2 

IV  -  -  i| -  -  3 

V  -  -  o -  -  -  50 

Quarto  denique,  Augufti  30.  poft  merid.  examinaui 
vtramque  iphaeram  magneticam  ,  minorem  fic  ex  b.ilance 
fufpenfim  ,  vt  polus  boreus  furfum  (pedaret  ,  et  maiorem 
ita  locatam  ,  vt  polus  huius  boreus  etiam  furfum  (pec- 
taret ,  atque  fic  poli  amici  fe  refpicerent  •  quo  fodlo  fe- 
quentcm  tabulam  erui : 

Tom.  XIL  N  n  Ob(er- 


aSa  UE  nRlBFS  ATTRACTIONIS 


Obferuatio  Diftantiae 

Attra(fliones 

Globor. 

I  -      - 

S7I 

part.  - 

-  -  »  Gian. 

11-  -  - 

14- 

• 

-  -  I 

III  -  - 

III 

.  - 

.  .  ji 

IV  -  . 

91 

^  - 

-  -  a 

V  .  - 

8 

'  .  ^i 

VI-  . 

71 

— -  . 

-  -  3 

VII  . 

^; 

. 

-  -  4 

VIII  - 

5 


-  -  5 

IX    . 

4 

.  -  -  <s 

X     . 

0 

. 

-  -  134 

\ 


§.  7.  Vt  nunc  ex  his  captis  experimentis  vcritatem 
rcgulae  muflchenbroeckianae  eruamus ,  via  nobis  antea  prae- 
fternenda  eft  fequentibus  duobus  problematibus  geome- 
tricis ;  quorum  primum  ,  etiamfi  ab  Arehimede  iam  folutum 
reperiatur,  fcquenti  modo  explicatum  dabo.  Quaeritur 
foliditas  iegmcnti  fphaerici  FEGD.  Sit  hunc  ia  finem 
ratio  radii  ad  peripheriam  n:  i  :p  ,  E  P  ~  ^t* ,  PM  zz:/, 
C^.  —  q,  CBn:^,  ED=:/;  erit  CVzziq-^-x,  et 
pfTipheria  radio  PM  defcripta  iz:  p j' ,  area  huius  circuli 
r_z^f-* ,  et  ekmentum  legmenti  fphaedci  ziz  ^-^—2.  Cura 
rutem  fit  CP*  -^  PM^zz  CM' ,  habebitur  q""  ■+-  ^qx 
..i^x-^-y^e^^  aut  v^=/-^*-2^.v— x^atqueadeo  ^-^^ 
_,_^^^_^i._^^  et  confequenter  inte- 
g".ndo  habebitur/^^-^-^-^-^-^'.  abeat  nunc 
X  in  FD  :rr  /,  orietur  (bliditas  iegmenti  fphaerici  FEGD  zr— 
{■^  ~q)-^~^~T  \  vel ,  quia  q ^e-U habebitur eadem 
i,-Kutas  ^^-"T — ♦ 

$.  8. 


3IAGNETICAE  EXFERTMENTA        aSj 

§.  8.  Sint  nunc  porro  duae  fpliaerae  ,  maior  FKEI 
ct  minor  DHBO  ,  ditbntia  HI  inter  fe  rcmotae  ,  quae- 
ritur  Ipatium  cauum  interceptum ,  quod  formant  hae  duac 
fphaerae ,  FIEBHD.  Ponantur  iterum  ratio  radii  ad 
pcriphcriam  zi:  I :  p  ,  KEnrR,  CBrzrr,  Hlzza^ 
finus  totus  m  I  ,  anguli  LEA  finus  ir:  s  cof.  rz  c  ;  eritque 
dillantia  ccntrorum  C  K  3=:  R  -4-  ^  -+-  ^.  Ex  figura  (iitis 
patet ,  fimilia  efle  triangula  LKE ,  LEA  ,  GCB  et  GBA; 
quare  locum  inuenient  lequentes  analogiae  ;  nempe :  i :  R 
zz  j  :  LE  zn  jR  ;  c  :  sK:izs  :  LA  ~  ^  ;  nec  non  ; 
1  :r-=:,s  :  GBz=z  sr  y  et  c  :  srz:^  s  :  GA  =z-f  \  cum 
praeterca  fit  radii  LE  peripheria  n:  p  j  R  ,  arca  huius 
circulizz^— ,  orietur  coni  FEA  foliditas  zr^—- ,  et 
fimili  ratione  coni  DBA  foliditas  z=  ^7~;  vnde  habebi- 
tur  conus  truncatus  FEBD  =  ^^  (R'— r').  Redant  iam 
indaganda  adhuc  duo  fegmenta  (phaerica  FEI  et  DHB, 
quae  auferenda  adhuc  erant  ab  inuento  cono  trnncato ,  \'t 
obtineatur  tandem  quaelitum  (patium  caunm  FIEBHD. 
Inuenietur     itaque     ex    praemiffo     lemmate    geometrico 

foliditas  ¥El-p.  ^S^^  -  ^^cll^t^.  _-iLM3zi£±^ 
et^  foUditas  DHB  -  ^-T^  --iLi±f:i£lIiiS)  ^^ 
pr  h^,c-c')  ^     gryetm;  ^inc  fpatium  cauum  quaefitum  z-i 

=-^-^+^  pR-^^pr'z=^^^(R'-OV-^^ 
(R^-r^)  -  f  (R'-^0  -  ^Jf^^izil.)  (R'_,^)  _  f  (R  V^) 
zi:^^^^^(R'-0-f  (R'+0,  fubftituto  valore  ipfius 
s*—  1—  2c^^  c\     Ducatur  ex  C  reda  CN,  quae  fit 

N  n  2  paral* 


ft84.  -DE  VmBVS  ATTRACTIONIS 

parallela  ipfi  A  E ,  crit  apnd  N  angulus  reaus ,  et  in  tri- 
angulo  KNC  erit  KC  (R-l-r+^)  :  fin.  tot.  (i)  z^  KN 
(R-r)  :  Cn.  KCN  (r),    \t    adeo    \alor  ipfius   c   fit  =r. 

R^r 

R- 1  J*  1  ^* 

§.  9.  Eft  itaque  foliditas  fpatii  caui  inter  duos  glo- 
bos  inaequales  =r  t^^"^')  _  ^±ll\  ex  qua  for- 
mula  difficilis  eft  applicatio  ad  eum  cafum  ,  quo  globi  po- 
nuntur  aequales ,  quia  poni  debet  in  hoc  cafu  ^*  —  o  et 
Rznr.  Subftituatur  ergo  in  inuenta  exprcffione  valor  ip- 
fius  c  modo  inuentus ,   obtinebitur   (bliditas   caui 

-      ■     6(K-t-'rH-a)CR  — r)  ^.^X       A    ;  ^  , 

fada  nunc  diuifione  adluali  per  R  —  r  ,  oritur  i^em  cauum 

^(aR2-t-2r*-4-2qRM-^«^-HO(R'-4-R^-»-7')   _  j>(R^H-r^J 

6(R-^-r-Hff  3 

ct  multiplicatione  adu  inftituta ,  fada  redudione  ad  ean- 
dem  denominationem  ,  et  abiediis  quantitatibus ,  qaae  fe  de- 
llruunt ,  fit  tandem  ,  ^fltima  aequatione  prodeunte  in  fa- 
etores  rurfus    foluta  ,    ^  ^  fi^^^^^-     ^'^^^'  = 

^^^^^^Tqri^'-^^-  ,  quam  expreffionem  indigitabo 
\nica  litera ,  et  ponam  :=  M. 

§.  10.  Si  deinde  accidat,  \t  fit  R  =r  r ,  in  cafii 
fphaerarum  aequalium  ,  obtinebitnr  facile  ^  ^JoUd.jaui  — 

UT^^.nr-^^a^)r^     gj.  diuifione  iidu  inffituta    ^  ""M^-  ^^^^ 

^(2r-4-3<5()r^.  Efl:  vero  hic  pro  omnibus  diftantiis 
foliditas  caui  vti  2  r  +  3  ^  ,  ob  r^  vbique  idem  ,  qua- 
re  in  hoc  cafu  erit  2r-4-3^  =  M,et  aflumta  conftante  a, 
«xperimento    \nico  definienda ,  erit    attradio   magnetica 


MAGNETICJE  EXPERIMENTA         a  8  5 

rz^,  Ybi  loco  ipfius  M  numeri  cafuum  alterutri  re(pon' 
dentes  debebunt  adhiberi. 

§.  II.  Subducfto  nunc  calculo  numerico ,  fatis  mo- 
lefto  quidem  ,  inueni  fequentia  ,  quae  hac  tabula  continen- 
tur  : 

Experim.     dift.  M.  attr.  obferv.  attr.  theoriae 

I  cafus  I    ^-  8f    -      39f  i 1 

3  -  41    -  2  8| --..   2 if^g 

4  -  31   -  ^51 3 3ib    . 

5  -  3{-    -  23 1 4 4^*^ 

d  -  2|    -  22| 5 41«^ 

7  -  o     ~  14    — -ip77 32fi3 

II  cafus  I    —  14I  —2:594  —      I    I 

2—9-1843 I  —     2,94 

3—4    —  1159 2. 18,82 

4  -   ^     —     88^  —  3 55,^0 

5  _   O     —    ^13 (J7 240,40 

III.  cafus  I  —  4    —  1159 I   —  I 

2  —  3    —  1023 li 1,(^5 

3  —  2    —     88<J— -     2 2,93 

4  -  i|  -     832 3 3,7(J 

5  —  o    —     <5i4  —  50 12,(^9 

IV.  cafus  I    -27^  ~  4372 1    1 

2  ~i4    -  2525 I 4,49 

3  -ii^  -   2184 li 8,03 

4  —    93  —   191 1 2. I3,<^9 

5  -    8     —  i7o<J 2i  — -  21,56 

Nn  3  <?- 


iiS  m  t^lRlBFS  ATtRACTIONlS 

6  -^   n\  -  i<^5i 3     —  ^4-,  S9 

7  -   <Ji  -  1501 4-    — ■  35,9^ 

8-^5-   i=^9<5  " S     <54,75 

9     —     4      —    II59    " 6      l0I,2O 

10-  o  —  ^13  — 134  — 1293,00 
Nempe  pro  experimento  quocnnquc  expofitorum  ,  cx  da- 
tis  nidiis  Iphaenirum  et  earum  qualibct  dillantia  liib'» 
duxi  ex  paragrapho  9  et  i  o  valorcm  ipfuis  M  ,  ct  cum 
nttradio  dcbeat  efle  =:  -^  ,  erit  logarithmus  attradionis 
iz:  /  a  -  4  /  M  ,  \bi  1  a  in  quolibet  cxperimento  ex  pri- 
mo  eius  cafu  determinatur. 

§.  13.  Apparet  nunc  flicile  cx  comparatibne  tabuke 
huius  vrtimae  ,  experimentuni '  primum  4ta'  coiilpirare  eum 
theoria  muflchenbroekiana ,  vt  melius  non  poflTit  \  de  quo 
etiam  cafu  fphaerarum  nempe  aequalium  Iblo  theore- 
ma  hoc  pronunciauit  Vir  ragaciilimus.  Dubitari  itaque 
non  potcft  ,  obtinere  allegatam  muflTchenbroekianam  pro- 
portionem  attrac^ioiium  magneticarum  in  cafii  fphaerarum 
aequalium  ,  quamuis ,  vt  \erum  fucar  ,  a  priori  eam  deri- 
vare  ex  vlla  attradionum  hypothefi  gencrali  nequeam. 
Deinde  id  etiam  incommodi  lecum  fert  haec  theoria , 
quod  attra<fliones  mutui  contadus  iphaeramm  exhibeat 
nimis  paruas.  Nam  faepius  laudata  haec  theoria  in  ex- 
perimento  primo  iubet  attradionem  eflfe  in  immcdiato, 
vtriusque  Iphaerae  contadu  fere  33  gianorum  ,  cunft 
tamen  1977  Gran.  obieruata  fuerit.  Apparet  vero  por- 
ro  etiam  in  cafu  fpliaerarum  inaequalium  ,  fiue  vtraquc 
Iphaera  magnetica  fir ,  fiue  non ,  praefitam  theoriam 
planc  non  ita  comparatam  eflfc  ,  \t  pro  \crofimili  tan- 
tum  haberi  poflTit  >  vbi  dolendum   certe   eft ,   peruicaciam 

quafi 


MJGNETICJE  EXFERIMEKTA        4S7 

qmCi  hiilus  Inpidis  tantam  efle ,  qnae  nulHs  legibus  gene- 
ralibus  fe  adllringi  hiicusque  patiatur.  Id  tamen  merito 
honoris  cel.  Mujjlhenbmho  exinde  accrefcit ,  quod  in  rc 
tiim  difficili ,  atque  in  obfcuritate  hac  naturae  hucusquc 
indomita  futuris  (eculis  flicem  ,  quam  fequi  tuto  licet  , 
ingenii  fui  acrimonia    et  laborum  conftantia    accenderit. 

§.  13.  Reuocabo  nunc  ad  examen  aliud  experi- 
mentum ,  quod  iple  cel.  Mujj^chenbroeklus  inftituit  cum  duo- 
bus  globis  mngncticis  inaequalibus ,  quorum  \nius  diiunei 
ter  erat  6^  poll.  londinenf  fiue  78  lin.  alterius  iSlin. 
ct  quod  legltur  in  diflertatione  de  magnete  cap.  i.  p. 
x6.  Abfoluto  caruiim  quoiuudam  huius  experimcnti  cnl- 
culo ,  fequens  mihi  enata  eft  tabella. 

dilbntia         M       attracfl.  obferv.  attr.  theoriae 
•7011^.-125253  -  -  ijGran.  -  -  .  ij 
45    -  -     80433  -  .  3    ->-...  *^ 

28    -  -     5H59  '  -  9 -    44- 

12    -  -     26379  -     23 .  -634. 

Vnde  turfus  patet ,  laudatifTimam    theoriam  ad  cafum  glo« 

borum  inaequalium  non  extcndi. 


rESCRip, 


?85  -^S^.l   (o)   S-c?-- 

DESCRIPTIO 

CASSIAE  AMERICANAE  PROCVM- 

BENITIS    ,     HERBACEAE  ,      MIIViOS\E    FOLliS , 
FLORIBVS  PARVIS ,  SILIQVIS  ANGVSTIS,  PLANIS. 

A.  L  A 


Caffias    cnm     clariir.  Toiirnefortio  voco  omnes  pkntas, 
quae  flonbus  praeditae  funt    pentapetalis  ,    quorum 
piftillum  abit  in  filiquam  nunc    teretem    et  cylindraceam , 
nunc  compreflam  ,  in  \aria  loculamenta   diuifiim    a   difle- 
pimentis  transuerfa  pofitis ,  medulla    quadam   fubinde    ob- 
dudtis,  foetam  feminibus  duris.     His   notis    addi    poteft% 
qnod  petala  florum  fere  femper  diuerfae  fint  magnitudinis 
et  formae  ,  quod  llamina  habeant  Ytplurimum  decem  va- 
riae  longitudinis  et  formae  ,  yariis  etiam  apicibus    onufta. 
Vix  datur  aliud  plantamm  genus ,   cuius    fpecies    fta- 
tura ,  proccritate  ,  crefcendi    modo    et   frudu   adeo    inter 
fe  diuerfae  funt ;  dantur  enim   arborefcentes ,    dantur  fru- 
tefcentes  vel  eredae  Yel    procumbentes   perennes ;    dantur 
herbaceae  annuaeque  fpecies ;  dantur    Caffiae   firudu   tereti 
cylindraceo  pulpa  quadam  nigricante  repletae  ;    dantur-^fru- 
c-tu  tereti  et  angulato  duplici  leminum  ordine  fbeto  *,  dan- 
tur  etiam  filiquis  planis  compreffis  ]  dantur    denique    fili- 
quis  articulofis ,  qualem  ante  aliquot  annos  circa   Campe- 
chy  nouae    Hifpaniae  yrbcm  detexit  G.  Houftonus.  Taceo 
folia ,  in  quibus  non  minor  diflferentia  deprehenditur. 

Ne  vnica  quidem  pulchritudine  et  vfu    medico    in- 
fignis  huius  generis  Ipecies  in    Europa    fponte    prouenit , 

fed 


DESCRIPTIO    CJSSIAE  AMERICANAE  rel    23.^ 

fed  omnes  fere  americanae  et  afiaticac  funt  originis ,  ex- 
ceptis  paucis  Africae  indigenis.  Harum  plurimae  mihi 
funt  aut  penitus  ha(flenus  incognitac ,  aut  non  bene  ab 
audoribus  defcriptae.  Hoc  aut^m  loco  animus  tantum 
eft  exhibere  delcriptionem  ynicae  fed  rarae  admodum 
fpeciei ,  quae  maioris  ct  clarioris  dillinclionis  cauflii  ab  aliis 
huius  generis  (pecicbus  a  mc  lic  appellatur  : 

CASSIA  mericana  prociimbens  ,  herhacea  ,  Mimojae  fo^ 
Uis  ,  floribus  paruis  ,  fiHquis  angujlis  ,  planis. 

E  radice  albenti  ,  valde  fibrofa ,  cauiiculus  furgit  ad- 
modum  gracilis ,  teres ,  pedalis  aut  fequipedalis  ,  inferne 
purpuralcens  et  parum  hiriutus ,  fuperne  Ycrfus  extremita- 
tem  pallide  viridis  et  glaber  ,  mox  fupra  radicem  duos 
emittens  ramos  coniugatos ,  in  terram  reclinatos.  Breui 
port  holce  ramos  interuallo  caulis  in  tres  quatuor  plu- 
refue  alios ,  aequalis  fere  longitudinis  prioribusque  per 
omnia  fimihs  alterno  femper  ordine  diuaricatur  ,  ita  ,  vt 
vix  dignofci  poflit ,  quinam  proprie  horum  ramorum  cau- 
lis  fit  continuatio.  Rami  omnes  teretes  funt ,  hinc  inde 
parum  intorti ,  terram  verlus  inflexi  vel  humi  plane 
procumbentes. 

His  ad  vncialia  praeter  propter  internalla  alterno  or- 
dine  fblia  adnaicuntur  fescunciam  ,  vncias  duas  aut  tres 
liibinde  longa  ,  pollicem  fiue  fesquipollicem  in  medio  lata, 
vtrinque  angufta  et  obtuili ,  ex  odo  ,  nouem  ,  decem  , 
vndecim ,  duodecim  aut  tredecim  ,  raro  pluribus  pinnarum 
coniugationibus  compofita  ,  nulla  cum  impari  collara 
claudente.  Cofbe  ,  quibus  pinnae  hae  adhaerent .  ,*rope 
Tom.  XIL  O  0  i^afia 


24.0     Di:?CllPTn   CiS^tAE  AMmCANAE 

brn  gMicahtie  nnt  ,  te-riifri  nie  ,  hTfris  ,  ab  altem 
piiT3  ^ihne  ,  ab  •ikeri  cuiiliciil.uie  (ea  CLiriaitie  ,  aiex- 
ortm  daib;H  a  inciilis  pmiis ,  aijiltii  et  v.iKle  aciKis  , 
rAiTii3]i3  appr^lfii  praeiitae.  PiaMe  v^ra  brevruri  p.i>  et 
Tix  coiirpicais  peliii:ulis  geiiiculitis  ihlienr,  luiu  jas  poU 
licis  trientem  aat  dimidiim  circiter  vaciam  latae ,  gla- 
brae,  fi  ocalis  nadis  fpeflantar ,  parum  ad  oras  priecipuc 
hirfatie  ,  fi  microfcopio  armatis  cemutitar  ,  in  tenu'(fi!riini 
fpiaulam  inermsm  et  mollem  terminitae  ,  fu perae  lietc 
virides ,  inferna  dilatiori  colore  ad  glaucum  vergenre  tinc- 
tie.  Hiram  neruus  nin  medium  teine  percurnt ,  (ed  ad 
oras  pr^pias  adm  :)aetar.  Nofla  folia  clauui  fuat ,  inter- 
dia  vero  expantii  Mimjfiirum  aiiarumque  plantaram  ad 
indar. 

Flores  non  ex  alis  foliorum  Ccd  ex  kteribns  ramo* 
rum  ad  duarum  aut  trium  linearum  ab  illis  diftantiam  , 
niox  (Iipra  memoratarum  auricularum  niucrones ,  per  to« 
tam  fere  ramorum  lon^itudinem ,  in  pediculis  Dreuibus , 
linenm  vnam  aut  alteram  longis  oriuntur ,  modo  fingula- 
res ,  mo  jo  bini  aut  terni ,  exiles  valde  ,  vix  duas  aut  tres 
lineas  lati ,  pentapetali ,  rofacei ,  flaai ,  caiyculis  contenti 
e  viridi  flauefcentibus ,  in  quinque  vt  plurimam  fegmenta 
acuti  fima  et  inaequalia  fiffis.  Petala  diaer^ie  quoque  (iint 
inagnitudinis ,  quorum  quatuor  fere  aequalia ,  oblonga  et 
obtafa  ,  interdui  etiam  vt  plarimum  claafa .  quintum  et 
infimum  ,  contra  ac  in  plerisque  Cafiiae  fpeciebus  fieri 
folet  ^  quatuor  fuperioribus  triplo  maius  efl: ,  fubrotundum, 
concauum. 

E  fundo  calyculi  piflillum  (iirgit  ob^ongum  ,  planum, 
dorlo  et  ventre  viride  et  glabrum ,  ad  latera  piloliim  et 

inca-* 


TWCVMBmJlS,  HERBACrreV         ^i 

Jncanum  ,  decem  flnminihus  paiuis ,  rrngnitudini?  et  fnrrno 
diuerfae  ,  Tt  in  congeneribus  ,  circtR.catim  ,  qi.rd  p Kgicf  u 
temporis  in  filiquam  excrefcit  plamm  ,  ccnrpicO^j.m ,  Anci- 
am  plus  minus  longam  ,  duas  circiter  lineas  latrm  ,  initio 
viridem  ,  per  maturitatem  fufcim  ,  glabrr.m  \ei  paiim 
aGmodura  hirfutam  ,  ex  duabus  men.branis  ccn.fufitim 
feminibusque  fcetr.m  quinque  aut  (ex  ,  c(  mpicflis ,  lacui- 
bus,  nigricantibus  et  rpkndentibus ,  argnlatis ,  tenuibrs  ciS" 
fepimentis  inter  ie  diftindis ,  nulla  cmnino  pulpa  cbci  dis. 

Elegans   haec    planta   in    horto   Academico"    ficerer.it 
cx  (emmibus  cum  integris  filiquis   circa  I  hiladelphi:  rn  ir- 
bcm  in  Penfyluania,  Americae  feptentricnalis  prcuircia,  fi- 
tam  colledis ,  floruitque  lulio,  Augudo  et  Septembri  men- 
fibus.     Qiiamuis   primo   femper  a  fitu  anuo  fores  rragna 
copia  prcducat ,    frudus   tamen  raro  miaturat  ;   cim  fc  ri- 
bus  enim    marcentibus   £ori:m   rud.menta  \t  plurmim  fi* 
mul  delabuntur.      Et  fi  illorum  aliquot   augncntim  capi- 
•vnt ,  ob  nimis  breuem   huius  regionis  aeftatcm  ad  plenrm 
maturitatem    non   perueniunt.      Ceteium   notandrm   aehuc 
eft  ,  plantam  ,  quam  delciipfi  ,   in  fdili    enutritam  fuife. 
Illae  quidem  ,    quas   folo  f  mi  equini  calorc  tepente  plan- 
taui ,  laetius  creuerunt ,  folia  et  n^mos  plures  atque  rr.aio- 
res  humi.procumfbentes  obtinuerunt ,  flores  autcm  nunquam 
multo  m.inus  frudlus  protulerunt.     HycmiC  vero  cmnes  la- 
dicitus  perierunt. 

Hfl  porio  fme  dubio  eadem  planta,  qiine  Chrmnccrifla 

Wariana  ,  flore  niincre  Fetiv.  hort.  flcc.    apud  Rai.  Hifl. 

phnt.    T(TO.   111.  Afp.   cuius   fpecmcn    ipfim  ,    ex    quo 

denominatio  haec    origincm    traxit ,    in   mufaco    floaniano 

■$idi.     Icon  fennae  Ipuriae  Tirginianae  ,  Mimofae  foJiis ,  flo- 

Oos  litus 


4a  DESCRIPTIO  CASSIAE  AMERICANJE   rel 

ribus  pamis  ,  niditaiitibiis ,  Pluk.  Alm.  Bot.  Tab.  314. 
fig.  5.  Si  florum  paruitatem  et  filiquarum  formam 
Ipedes ,  flitis  ad  plantam  noftram  accedere  ^idetur.  Flore^ 
autem  et  filiquae  in  planta  Plukenetiana  ex  alis  foliorum 
egrediuntur ,  fecus  ac  in  noftra  ;  flores  quoque  omnes  (in- 
gulares  pinguntur ,  cum  in  noftra  duo  aut  tres  vt  pluri- 
mum  ab  vno  exortu  enafcantur  ^  auriculae  etiam  bafin  co- 
ftarum  ambientes  fimplices  repraelentantur ,  in  noftra  vero 
duplices  fiint  ]  foliorum  pinnae  longiores  et  latiores  quo- 
que  funt ,  vtrinque  obtufie  et  aequalis  fere  "vbique  latitu- 
dinis.  DifFert  praeterea  noftra  haec  planta  a  Chamaecrifta 
Fauonia  americana  ,  filiqua  multiplici  Breyn.  Cent.  I.  p. 
66.  Cap.  XXIV  ,  potiffimum  crefcendi  et  ramos  emit- 
tendi  modo  ;  ftatura  maiori  et  ereda  ;  pinnis  foliorum 
paucioribus ,  iisque  praecipue ,  quae  m  medio  eorundem 
pofitae  funt ,  longioribns  et  latioribus ,  in  fpinulam  abeini- 
tibus  j  fiorum  denique  ftaminibus  breuioribus. 


VJ^ 


DE 

PHAENOMENIS   PLVMBI 

FVSI  IN  TVBI5  CAPILLARIBVS, 

C.  £.  CfZ/^/t. 

1n  docflrina  de  tubis  capillaribus  experimenta  hndcnus  funt 
inflituta  circa  corpora  ,  quae  perpetuam  fiuidatcm  prae 
fe  ferunt  :  quibus  debito  modo  inftitutis  pro  comperto  af- 
firmari  poteft  ,  altitudines  mercurii,  infra  libellam  deprefli, 
et  omnium  liquorum,,  fupra  eandem  afcendentium  ,  efle  in 
ratione  reciproca  diametrorum.     Perpendens  itaque  metalla 
in  vafis  puris  fufi  ad  modum  referre  argentum  Yiuum  et 
iftud  ideo  a  Chemiftis  dici  metallum  igne  minimo  fufiim, 
fulpicabar  phaenomena  metalli  fufi  in  tubis  capillaribus   fi- 
milia  eis ,  quae   in  argento  viuo  reperiuntur  ,   efle  futura. 
Apud  animum  igitur'  ftatuebam  periculum  ficere ,-  quo  in- 
telligerem  ,  an  experientia  coniedluris  meis  fit  refponfura. 
Nec  fpes  me  fefellit.     Nam  experimentis  in   plumbo  ca> 
ptis  obferuaui  haec  quatuor  phaenomena  generaliora  : 
i)  plumbum  fiifum'  in  tubo  capillari  femper  fubfiftere  ad 
altitudinem   aliquam;  infira  libellam    metalli   in    vafe 
contenti. 
s)  altitudinem  iftam^  efle  propemodum  in^  ratione  reci- 
proca  diametrorum  ,.  propemodum  dico ,  nam  neque 
inaequalitatibus  ,   licet   fint   perexiguae ,    vllus    tubus 
carere  ,  neque  eam  ob  caufam  diametrorum  menfura, 
prout  decet ,  inftitui  poteft : 
3)  in  tubis ,  qui  non  ^biuis  aeque  fiint   lati ,   pro  dia- 
metro  eius  fuperficiei ,  ad  quam  fummitas  piumbi  in 
tubo  pertingit ,  iftud  fubfiftere  ; 

Oo  3  -l^) 


244  BE  FHAENOMENIS  TU^MBI 

4)  idem  eiienire  in   tubis   figulinis. 
Praecipua  autem  experimenta  fimt  illa. 
rrab.  m.  Exp.  L  Jig.  4. 

Immerfi  tubum  cnpillarem  Yitreum  AB  m  pkimbum 
fufum  et  cbulliens  Ysque  ad  D ,  intrauit  quidem  plumbum, 
led  fubfiftebat  ad  altitudinem  aliquam  infra  libellam ,  neitv 
pe  in  C;  quo  gracilioribus  ^fus  fum  tubulis,  eo  maior  erat 
ifta  altitudo  DC 

Exp.  JLJig.  5. 

A  B  et  a  b  fignificflnt  tubos  vitreos  aequalium  dia^ 
tnetrorum  ,  quibus  plumbo  liquefiido  imme^fis  altitudines 
DC  tt  dc  fibimet  inuicem  fiint  acquales.  Idem  quo- 
que  euenit ,  fi  alterutri  tubus  figulinus ,  dummodo  fit  eius- 
dem  diametri ,  fubflituatur  ;  quod  commode  fifUilis ,  \fiii 
herbae  nicotianae  inferuientibus  peragi  potefl ,  vtpote  quae 
iatis  ^accurata  in  hunc  :vfiim  gaudent  4iametro. 
Exp.  m.Jjg.  6. 

Diameter  tubi  AB  Mt  habebat  ;ad  diametrum  tuli 
£th  Yti  3  :  I  if^a  enim  erat  %  lin.  haec  autem  ^3  lin. 
His  immerfis  in  plumbum  fuliim  altitudo  d  c  fs  lin.  ad 
quam  iflud  infra  libeilam  fubfiftebat ,  erat  propemodum 
ad  altitudinem  alteriiis  tubi  DC  |g  lin.  \ti  3:1,  feu  altitu- 
dines  erant  in  ratione  reciproca  diametrorum  In  tubis, 
quorum  diametri  erant  in  ratione  quacunque ,  eundemfem- 
-per  oriri  euentum  faepius  iterato  experimento    didici. 

In  dimetiendis  iflis  akitudinibus  et  diametris   menfiira 
•vlus  fum  angUcana  ,  in  qua  pes  in  duodecim  pollices ,  et 
j)6llex  in  decem  lineas  diuiditur. 
Exper.  IV. 

Sumatur  itubus  inflexus,  quem    repraefentat  fig.  7. 

hunc 


FFSI  IN  TFBIS  CAPILLARIBVS.'       245? 

Iiunc  immergas  in  pliimbum  fufum  ,  lioc  fubfiftet  in  C  in- 
fra  libellam  ,  et  erit  altitudo  perpendicularis  DC  aequalis 
altitudini  ,  quae  obferuatur  ia  tubo  redo  eiusdem  dia- 
metri, 

Exp.  ^.fig'  S. 
Teftam  fieri  curaui  figulinam  ABCD  ,  cauitas  ahc 
prifma  repraefentat ,  latitudo  huius  cauitatis  in  a  c  t^  yni- 
us  pollicis  et  femper  decrefcens  yerfus  b ,  ibi  denique 
fit  /5  lin.  Pofita  tefta  in  fitu  horizontali  et  infiifo  plum- 
bo  altitudo  hnius  verfus  h  femper  decrefcebat.  Fateor  hoc 
experimentum  bis  non  ex  voto  fucceflifle.  Nam  diftinde 
quidem  videre  erat ,  metallum  fiiftim  Mt  attollere  ad  ma- 
iorem  minoremue  altitudinem  ,  pro  maiore  aut  minore  in- 
tercapedine  ;  ^q^  cum  tefta  ob  intenfum  huius  hiemis  fri- 
gus  non  bene  eftet  exficcata  ,  infundendo  plumbum  inae- 
quales  huius  oriebantur  motus ,  vt  nulla  decrementi  lex  ob- 
feruari  poflet.  Interim  hoc  experimentum,  \tut  mancum, 
reticere  nolui  ,  quia  in  metallis ,  ad  quae  fundenda  maior^ 
quam  ferre  vitrum  poflit ,  requiritur  gradus  caioris ,  egre-* 
gie  cautelis  neceflariis  adhiberi  poteft. 

Exp.   VI  fig.  p . 
Sit  tubus  AB  ,  altitudo    plumbi    infra  libellam    fiibfi- 
flentis  diametro  tubi  refpondens-  GH.      Inimergas  illum  ia 
plumbum  fudim  et  altitudo  immerftonis  fit  aequalis   GH, 
aut  iila  minor  ,  nihil  metalli  in  tubum  intrabit. 

Y.xper.  VII.  fig.   10. 
Si  tubum  ABC  ,  conftantem  duibus  partibus,  nmpH- 
ore  et  tinguftiore,  immittas  in  plumbum  fufi^m ,  et  aJtitudo  im- 
Hierfionii»  fupeiet  altitudinem ,  quae  debetur  diametro  trbi 


sV         J^E  THAENOMENIS  PLVMBI 

gmcilioris,  hoc  pro  ratione  diametri  amplioris  fiibriftet  in' 
tubo ,  etfi  diameter  nimis  fit  mngna  ,  ad  libellum  pcr- 
veniet,  ' 

Exp.  VIII.  fig.  11. 
Sit  ABC  tubus ,  parte  ampliore  et  ftridiore  inftru- 
dus ;  EF  denotet  altitudinem  plumbi  depreH]  ,  quae  ref- 
pondet  tubo  graciliori ,  et  GH  ,  altitudinem  tubi  amplio- 
ris.  Mergatur  vt  in  experimento  antecedenti ,  (ed  ita,  Yt 
pars  tubi  amplioris  fubmerfi  aut  altitudini  EF  aequalis , 
aut  illa  minor  fit ,  niiiil  metalli  in  tubo  ampliore  reperies 
Inuertatur  deinceps  tubus  et  denuo  mergatur,  led  ita,  Tt 
pars  fubmerfa  tubi  gracilioris  non  fuperet  GK  ,  deprehen- 
des ,  plumbum  nec  in  graciliorem  intrafle. 

Exp.  IX.fig.    1. 

T^^b  VII  '" 

Sit  tubus  conicus  ABC  ,  immittas  illum    plumbo   li- 

quefido  eo  fitu  ,  quem  figura  exhibet ,  iltud    infra   libel- 

lam  fubfilkt  ad  altitudinem  DC  ;  quo  profundius  deinceps 

detruditur  ,  eo  maior  ,fit  altitudo  DC. 

Exp.  X  fig.  2. 
Inuertatur   eiusmodi    tubus   et   immergatur   eius   pars 
exilior  ,  habebis  DC    pro  altitudine  plumbi  infra  libellara 
fubfiflentis ;  quo  profundius  iilum  immergis ,  eo  magis  de- 
crefcit  altitudo  DC. 

Exp.  XI.  fig.  3. 
Infledatur  tubus  diametri  inaequalis  in  formnm  ABC  , 
immittatur  plumbo  fiifo ,  iftud  fubfiftet  in  C.  Sit  C  di- 
am.  fuperficiei  fupremae  plumbi  intubo,  erit  altitudo  per- 
pendicularis  DC  ea ,  quae  debetur  tubo  redo  dia- 
inetri  C. 

Ex- 


FFSt  m  WBIS  CAPILlARtBrS.       U^ 

Exponendum  hoc  in  loco  ccnfeo ,  quomodo  haec 
cxperimenta  in  tubis  capillaribus  inftituerim ,  quo  meliu» 
diiudicari  poflit ,  \trum  momentum  aliquod  habeant  ncc 
nel  et  quo  facilior  aliis,  quibus  volupe  foerit,  eareiterare 
leu  alia  tentare  pateat  via. 

Mihi  manus  operi  admouenti  duae  potiffimum  fob- 
Oriebantur  difHcultates  remouendae.  Nam  i)  tubi  quidam 
vitrei  vim  caloris  plumbi  fufi  ferre  non  poterant ,  et  2) 
akitudo  ad  quam  plumbum  infra  libellam  fubfiftebat ,  non 
confpici  ct  eam  ob  cauflhm  menfiiratione  definiri  nc« 
quibat.  Quod  ad  priorem  attinet ,  faepius  iterato  experi^ 
mento  animaduerd  ,  rumpi  tantum  crafliores,  tenuiores  au« 
tem  nihil  detrimenri  pad.  Calefeci  itaque  craflfiores  paullarim^ 
antequam  in  plumbum  fufiim  immergebam  ,  quo  6do  non 
conatus  meos  infringebant.  Ad  alteram  tollendam  prima 
vice  hac  vfus  fum  methodo.  Filo  aeneo  circumuoluto 
annotaui  in  tubo  altitudinem  ,  ad  quam  iJlum  in  plumbum 
immerfurus  eram  ,  licet  et  iftud  in  parietibus  tubi  exter- 
nis  adhaerens  altitudinem  immerfionis  oftenderet.  Immerfb 
tubo  orificium  eius  digito  aut  cera  obturaui ,  aut  hermc- 
tice  claufi  ;  tum  vero  admodum  leniter  extraxi ,  ne  rno- 
tus  in  caufa  effet ,  quo  excideret  plumbum  ,  et ,  cum 
metallum  ad  altitudinem  aliquam  fufpenfum  haereret,  mcn- 
iuraui  differenriam  inter  hanc  et  altitudinem  immerfionis 
nempe  CD.  His  peradtis  in  plurimis  experimentis  reperi 
phaenomena  paullo  ante  memorata.  NuUus  itaque  de  ip- 
forum  veritatc  dubitabam ,  praeferrim  cum  et  diametros 
tubulorum  fumma ,  qua  potui,  induflria  dimenfiis  eflem. 
Verum  enim  vero  bis  obferuans ,  plumbum  in  tubo  leni- 
ter  et  verticaliter  exta^o  duobus  ^ltibus  poUicis  longi- 
Tm.  XII.  Pp  iudi- 


mox  iiidicabo, 


tildinem  (iiperdDtibiis  (lipenora  petere,  minuti  lecundi  tem- 
poris '  (patiu  ptopemodum  ibi  morari  ^  et  deinceps  riirdls 
adimum  defidere  *,  noi>  potui  a  me  impetrare.,  vt  mihi 
perftiaderem ,  hanc  methodum  omnibus  numeris  ablblutarfi 
e(!e.  Ideo  hoc  fingiilare  phaenomenon  ad  -  aliam  '  et  ^\xh 
dem    tutuorem  viam  quaerendam  me  impellebat;^  quam 

Exp,  xit.M%       '     ■  ■  '■' 

Immerla  'tlibo  ampliori ,  (^d  tamen  refpedu  metaUi 
capillari,  e.  g.  diam.  a.  lin.  in  pWmbiim  fufum  ,  anim^d'- 
\ertebam  metallum  iftud  infra.  iibelldm  in  tubo  fubfifllerid, 
conlpici  poflTe  in  fbrma  fphaerica  ;  fuperficiem  iftius  fu- 
premamintubo  prius  ligi ,  quam.  in  Ya(e ;  et,  cum  tunc 
tubo  firmiter  adhaereat  ^  locum  fuum  ,  illo  extrado.  tioti 
mutare..  '     ,     ;  '  '.  ' 

His  ftetub  facile  *  et '  exaifte  altitudinem  iftam  DG  ih 
tali  tubo  et  huius  ope  in  gracilioribus  determinare  potui 
hunc  in  modum.  Vna  cum  tubo  ampliore  immerfi  dubs 
trefue  graciiiores  \trinque  apertos ,  fimulac  in^  amplioife 
"tiibo'  plumbum  confift^bat ,  omnes  leniter  extraxi ,  quo 
'fe<So  plimlburH  irt  omnibus  (ii(pen(um  haerebat ;  men(S- 
'taui  deiiiceps  dififc.rentiam  inter  altitudinem  plumbi  in  tubb 
■fe^pfenfi  et  altitudinem  immerfionis ,  et  deprehendl  caderh 
'prorifus  piiaenbmena ,  quae  cpgnoueram  methodo  priore. 
Veritatem  itaque-  didorum  phaenomenorum  nOn  amplius 
^m  diibium  reiiocdui ,  fed'  cum  niiiil  egifle  viderer ,;  nlTi 
"et  caufTam  illorum  qualemcunque  allegaifem  ,  quae  de  ea 
*pro  virjibus  meditatus.  fum  in  medium  proferre  et  aliorum 
'matuficin  ittdicio  relinquere  volui.  Prius  aiitem  quam  me 
jfid,  iftahl  exponendam   accingam  ,   propbfitiones  quaedam, 

•  '  '  qui; 


WSI IN  TFBIS  CAVILLAKIBVS^         t^i 

quto.  inoititur  y.^rimt.fpouendae  et  ^verit^s  .fingulornm  ex-^. 
p^rkatia  comprobanda.  m  ,i,.j,, 

*~      '    ;     .-  PrOpofltio   L    '^  ri'  A 

''  fartieuhe  plmnbi  Uquefa6ii  feje  mutuo  attrahunt.  '^ 
\'  'Simulac  plunibum  funditur,  in  globum  fe  coUigit ,  et' 
immerro  in  ifiud  tubulp^  capillari  ampliori ,  st  intra  illum 
etiam  .confpici  poflit ,  forma  fphaerica  apparet ,  quae  et 
eo  concreto  remanet  Cum  autem  experimenta  in  vacuo 
iiijlituta  oflendant ,  figuram  fphaericam  aquae  et  mercurii, 
attradionl  -  particdarum  ,  non  preffioni  aeris  efle  tribuen- 
dam.'(aT^^  inSe^  cplligere  licet,,  formam  Iphaericam  plumbi 
fuji  pulla  alia  ex ,  .caiila  nifi  attradione  particulamm  pro- 
ficilci/.  Weni.piobant  duae  guttae  piumbi  ad  contac^um 
mutuum  iii  vnum  coeuntes. 

.iDSJ!-?<ffcn!i£Doi:>ibf>Fropo{ltio  II. 

fdrticuhe   pkmbi  fujl  et  ehullienlis    cohaerent   vitro  aut 
argiila, 

Si   detrudas  vitrum    candefadum    feu    inftrumentum 
quoddam .  figulinum  in  plumbuin  fiilum  ,  et  id  poflea  ex- 
•trahas  •    a|:pArebit    particulas    metalU  perexiguas    ipfi  ad-.. 
haerere, 

^i:^A±.  Propofitio  IIL 

Parttculae  pJumbi  liquejaBi  fefe  inuicem  forttus  attrahunty 
qi^am  cum  vitro  aut  argilla  cohaereht. 

Propofitiones  duae  priores  oilendunt ,  particulas  plumbi 
fiifi  fefe  mutuo  attrah^re.  et/cuin  'yitfo  aut  argflla  cohae- 

'  'P  p  a       '     '-     ■        ■         rerc 

(a;   Tent.  Exper.  Acadcm.  del.  Cimento  Exp.  a.in  vac»  iiVilit.  et'Ics  ^^cmoiref 
dfc  1'Audemic  Royal.  de  Sciences  3.1724-.  p.  1 4p, 


\%  DE  PHAEmMENlS  PLVMBl 

rere.  Immerlb  tubo  capillari  in  plumbiim  fufum  ,  cylin-' 
drus  plumbi  iftius  in  vafe  aequaiis  DC  innltitur  impeU 
lere  plumbum  intra  tubum  ad  libellam  vsque  ,  quem  e- 
tiam  adiuuat  cohaefio  cum  vitro  ;  hoc  fi  fieret ,  particu- 
ias  intra  tubum  afcenfuras  a  metallo  in  vafe  contento , 
quod  a  lateribus  contingunt ,  recedere  oporteret ,  quod  au« 
tem  ,  quo  minus  fiat ,  impedire  conatur  attradlio  mutua 
particularum  pkimbi.  Cum  itaque  plumbum  in  tubo  ca- 
piliari  ad  altitudinem  aliquam  DC  infra  libellam  fubfiftatj 
attradio  mutua  particularum  plumbi  aequalis  cft  ponderi 
metaiii  DC  et  cohaefioni  cum  vitro,  ergo  ifta  mukd 
maior.  Addi  infuper  poteft  (uperficies  fupremas  omnium 
liquorum  in  tubis  capiliaribns  fupra  libellam  alcendentium 
clfe  concauas ,  plumbi  autem  et  argenti  viui ,  vtpote  quao 
infra  libellam  fubfiftunt,  conuexas. 

Haec  cum  ita  fint,  meo  quidem  iudicio  caufla  praeci- 
pua  plumbi  in  tubo  capillari  infra  libellam  fubfiftentis  fita 
cft  in  attradione  mutua  particularum  plumbi. 

Experimentis  certiore»  fadli  fumus ,  altitudines  plum- 
bi  efle  in  ratione  reciproca  diametrorum.  Nunc  autem  often- 
dere  conabor ,  quamobrem  hoc  ita  fieri  debeat. 

Attradio  mutua  particularum  plumbi  et  cohaefio  ip- 
fius  cum  vitro  pro  vnoquoque  tubo  capillari  eft  deter- 
minanda  ex  tubi  peripheria ,  feu  ,  quod  idem  eft ,  ex  ip- 
fius  diametro.  Quo  maior  enim  eft  peripheria  ,  eo  plu- 
res  particulae  a  reliqua  plumbi  mafla  recedere  necefle  ha- 
bent ,  ct  eo  maior  fit  cohaefio  plumbi  cum  vitro. 

Sit  itaque  fig.  3-  tubus  ADCB  eius  diameter  rr  B , 
altitudo  capillaris  =:  C  ,  attradio  mutua  plumbi  pro  hoc 
tabo  ^VzzB,  et  cohaefio  cum  vitro  =:  E  :=  B  ;  at- 


fVSl  IN  TVBIS  CAFILLARIBVS.         ^i 

tradlio  mutua  plumbi  pro  tubo  adcb  ^  cuius  diametem  ^, 
et  akitudo  capiilaris  znf,  Cit  zizpzzib  et  cohaerio  cum 
vitro  zzezzilf.  lam  vero  fcimus  ex  modo  didis  eflc  P 
=3  B*C-f-E  ,  et  p  =:  b^-^^-e ,  erit  igitur  P  :  B*  C-l-E  z= 
p-.b^c+e^  multiplicando  extrema  et  media  P^*^4-P^— 
pB*C4-pE  et  cum  fit  P^zirpE,  diuidendo  et  multipli* 
cando  per  P^  et  pE  erit  ?b*c'=pB*C  ,  diuidendo  por- 
ro  per  P  =:  B  et  p=:^,  reftat  ^^  :iz  BC.  Quod  fi 
denique  diuidas  per  ^  ,  et  B  ,  eft  ^  :  B  zz  C  :  ^. 

Experimenta  7.  8.  9.  10.  11.  oftenderunt  intubis, 
qui  non  vbiuis  aeque  funt  lati ,  altitudinem!  D  C  deberi 
aeftimari  pro  diametro  iftius  fuperficiei ,  ad  quam  plum- 
bum  in  tubo  pertingit ,  quod  phaenomenon  (equentem  in 
modum  explico.  Eft  lex  hydroftatica,  fluida  quaecunque 
premere  pro  altitudinc  et  bafi.  Sit  itaque  ABCDEG, 
tubus  non  capillaris  communicans ,  quem  fig.  16.  exhi- 
bet ,  et  in  E  fundus  mobilis  F ,  ita  adaptatus ,  \t  flui- 
do  circa  latera  eiusdem  nulla  pateat  via ,  huius  bafls  (it 
zz  ^*  ,  denfitas  fluidi  autem  =:  d  ;  repleatur  tubu>  fluido 
vsqUe  ad  A  erit  preflio  in  fiindum  F~ABZ>V.  In  ap- 
plicatione  ad  noftrum  cafum  nobis  tantum  iconcipiamus , 
furidum  'mobilem  efle  fiimmam  fuperficiem  plumbi  intra 
tiibum ,  reliqua  fua  fponte  fluent. 


Ppd  DE 


TVBIS    CAPILLARIBVS  PRISMATk! 

cis. 

C.  E.  Gellert.  ■     .  .^ 

Philofophi  ideo  potiiTimum  dodlrinam  de  tubis  capillari-' 
bus  excoluerunt , .  quo  operationes  naturae  a    capillari- 
tate  pendeates  eo     melius  perfpicerent ,  Yfi  hucusque    taa4 
tum  tubis  cylindricis    iqi    experimentis    ab    ipfis    inflitutis. 
Gum  vero  a  fertili  natura   non   folum   formentur  cauitates 
capillarea  cylindricae  ^  fed   pbtius    multiformes   a   diligenti-^ 
bus  naturae  fcrutatoribus   in  animalil)us ,    yegetabiiibus  et; 
mineralibus   reperiantur ;   operae   pretium   iudicaui   experi-^^ 
menta  in  tubis  capillaribus  prifmaticis  capere ,    phaenome^,^ 
xia  ibi  obuenientia     follicite  annotare  ,    cum    iis ,  quae  in; 
tpbis  cylindricis  iam    obferuata    funt  ,   comparare    et    co\ 
animum    appellere  ^  yt  generalior   dodrioa  detubis  capil-' 
Jaribus  euadat. 

Tubi  capillares  prifmatici  artificiales ,  quantum  me- 
mini ,  ad  haec  vsque  tempora  fuere  inGOgriiti.,  Arduuni^ 
infuper  prima  fronte  videtur  ,  illos  conftruere ,  cum  tameii; 
reuera  focili  negotio  parantur.  Praeponam  itaque  experi-. 
jnentis  methodum  illos  conficiendi ,  quae  haec  eft. 

Paretur  prifma  ferreum  trianguiare  feu  quadrangulare, 
longitudinis  6  feu  8.  dig.  et  craflitiei  circiter  5  dig.  hoc 
Qbducatur  in  officina  vitraria  vitro  candente  duiSlili ,  per- 
petuo  circumuertendo ,  vitrum  forcipe  prifmati  bene  ap- 
primatur ,  ita,  vt  perfede  eius  formam  acquirat ;  prifma- 
le  ixtrado ,  vitrum  rurfus  bene  candefacias ,  et  exinde  re- 


<mTVBm  CJPIMARIBVS  PRISMATICIS     i^i 

da  (empei:  circumrotando  extrfthas,  habebii  tnbos  capillares 
extrinfecus  quidem  cylindricos  intus  autem  prismaticos,  gra- 
ciliores  fi  celeriter  tubum  extraxeris ,' 'latiores  fi  tardius. 

Tubis  Koc  modo  paratis'  non  dubita&am  ,  quin  aqua 
in  iisdem  fit  afcenTura  ^  qua  antem  r^tion^  id  fieret ,  ad- 
huc  fub  iudice^  ex^erientia  nempe",*  jis'  erat.  Ad  iftam  igi- 
tur  obtiiiendam  ,  fumfi  hos  tubos  prifmaticos  recenter  con- 
flatos  ,  diiierlae  fcd  adhuc  incognitae  capacitatis ,  longitu- 
dine  rantum  diftindos^  et  foUicite  obferuaui  ad  quam  al- 
titudinem  in  vnoquoque  aqua  pura  a(cendebaty  vfus  men- 
fura  anghcaira  y7cnii]s:-|res  in  driodecim'"digitos ,  digitus  iii 
decem  litteaSy  .e_t  .linea  in  decenT^^artesVminutas,  integer 
itaque  p^s  in^mille  et  ducentas  partes  diuiditur.  Breui- 
tatis  erga  experimqflni  hac  mbiila-exWJDep  in  qua 

altitudines  aquae  fu^ra".  fiDellam.  efejjatae  vtraque  tubi 

parte  annotaui ,  cum  oranes '  tubi  prismiitici !  funt  pyrami* 
^Q&y  eaex  caula^quae  omnes  cylinrdricos  reddit  conicofe 


oj\  ,,61/. 


iOl 


.11 


ri  j  -iii 


■iM  :/i  P 


iUO 


Tubi 


(,t 


»^4    DE  rrBIS  CAPlLLmBVS  PmMATICIS 


lubi 

capUlares  prismatici  quadrangulares.       1 

No. 

Longitudo 

Adlccurus 

tquae.        1 

inpatte    ang.  |  in 

parte  lat. 

1     Partes  pedis  in  laoo    | 

diuifi. 

I. 

1 ^^^O    { 

154     1 

133 

11. 

1 1500    ^ 

80     1 

75 

III. 

1   ^550 

1         179     1 

166 

IV. 

1  ^S9^ 

1         So    1 

16 

V. 

1  1597 

1       ^<^7    1 

14.2 

VI. 

1  1535 

1       ^^0    ( 

150 

VII. 

(  1690  j      192    j 

185 

VIII.  I  1620  \      190  I     186 


Tubi  capillares  prismatici  triangulares. 


No. 


lx>ngttudo 


Adfcenfus  aquae. 


in  parte  ang.  \  in  parte  lat. 


I  Partes  pedis  in    1200.   [      diuifi 


I.   j  1320  I   IIO  I 


95 


II.  I  1610   I   180  I   168 


III.  I  1745  I   207  (   200 


IV.  I  1790  I     177  I     171 


V.  (  181Q  (   190  (   19Q 


Hos 


Has  altiw4i{i^$  feepiiis  jrejtemii  experimcntis  reperi  coti- 
ilant^s ,  pfAeteriquod  in  tubis  amplioribus.aqua  in  angu- 
lis  altius  et  pyramidis  inftar  affcendebatj  cuius  menrura  ve- 
r^  aequaquam.  tapi  pdtuit ,  apice  iita  ex^enuato',  \t  tan- 
ddii;;omnem  'aciem  oculonimi  efFugeret. 

Nadu§  altitiidines ,  ad  quas  aqua  eleiiabatur ,  follici- 
tns  fhi  de  menfara  bafium  inft.ituenda;  quam  aim  minus  acciu 
rate  abfolute  determinare  poflemj^  fequens  mentendi  genug 
r^i^iuum  adhibuL. 

'7—  Ttibtim  A  B ,    fig«    <?,  arnplioreEn  prirmaticum    alfi.  Tab.  vii. 
gaui  perpendicularitqr  nnachinae  ligneae  F  G  H  I  ,    it^    \t   ^^*  ^* 
firmus  ac  immobjli$  (taret ,   eius   orificium   inferius    ckufi 
cera ,  in  {nperins  inferui  infuodjbulum   vitreum   in    tubunt^ 
valde  gracilem .  definens ;  deindq  impleui  alium  graciliorem 
^b  ^  fig.  7-  fugeodo  mercurio,  jib  omnibus  fordibus  appri- 
flne  purgato,  ad  cert;am  altitudinem  ^  c  ,  fiio  aeneo  anno- 
tatam  ;  eandem  mercurii  malfam  ex  hoc  tubo   immifi  ia 
tubum  maiorem   A  B    per  infundibiilum  K ,   et  menfura- 
ui    altttndinem    A  C.     lam    vero     haec    prifmata    ac^ 
jEt  ACj    funt   aeqnjajlia ,  et   aequalia    prifinata    reciprocant 
i)ales  et;  altitudines ,  legitim.e  itaque  inferebam  :  vti  altitu* 
40  ac^^  altitudinem  AC,  Ita  bafij  A*    nd    bafin   a', 
Ij^otandbm  e{l  mercilirium   lente  in  infundibulum   efle    in^ 
fiindendiim  ,   irnpetu    enim  fi  irruit ,  globuli  quidam   refi- 
liunt.     Contingit  quoque ,  vt    jnterdum   mercurius   tubum 
ingcedi  ab  aere  in  tubo  contento  prohibeatur ,  et   in    in- 
fundibuto  retineatur  ;  tunc  caute  cera   ab   orificio  inferiori 
efi  pauhilum  remouenda ,  vt  liber  aeri  pateat  exitus ,  fimulac 
vero  om.ni8  mercuriijs  in  tubum  delcendit ,  hic  dextre  et  ce- 
lerlter  cerae  eft:  apprimendus ,  ne  qua  pars  mercurii  euadat. 
Jod  XII  Q.  q  1» 


30 


a^5  TfETVBIS  CJ?i^lLARIBFS  PRISMA7ICIS 

In  iisdem  tiibis ,  quornm  altitiTdmes  capillares  panllo 
ante  amK)tam  ,  altitiidines  a  equaliiim  maffarum  mercurii  iir 
binis  tubis  erant  (eqiiientes. 


No. 


\  akitudo 


Mercurius  ,  qui 
eratintubo  pris- 
roatko  vjuadiiiii- 

gulari. 


I. 

1050 

III. 

1050 

IV. 

165 

V. 

^1050 

VI. 

t050 

VII. 

fio5o 

VII. 

VII 

1^50 

vni 

1050 

erRt  In  tubcr  prii 
matico  quacVan 
gulari» 


IMO, 


.akitudo   laltir.  ex 
',  part.ajt. 


II. 


II. 


II. 


II. 


II. 


319 


14.2 


16^ 


21 


220 


II 


No. 


I. 


II. 


Mercurias  qur 
erat  in  tubopris 
roatico  triangu- 
lari. 


II. 


iir. 


III. 


IV. 


altitudo 


216 


1300 


1090 


090 


1300 
1-300 
1090 
1050 


ciat  1n  tubo  prif- 
matico  quadran- 
gulari- 


11. 


II. 


II. 


130 


160 


332 


150 


173 


227 


230 


138 


170 


193 


16S 


205 


174 


iMo. 


II. 


II. 


II. 


II. 


II 


11. 

1l 
1l 


iltitudo 


160 


akit,  ex 
ak.  part. 


170 


267 


202 


176 


205 


270 
229 

i8i 


215 

186 

215 

280 

239 

192 

Bafe&^ 


D£  TVBIS  CATILIARIEFS  PRISM:AnCIS  1^ 

BAfes  igitur  horum  tuborum  erant  inuerTe  vti  akitridiiies  iii 
ifta  tabula  defignatae,  c.  g.  Bafis  tubi  quadiang.  pAifm. 
No.  11.  €x  parte  arx^iore  Mq  habet  ad  bafin  itubi  pnfm» 
quadr.  No.  I.  vti  1050  ad  33^,  ex  parte  amphore  riU- 
tem  vti    1050  ad   319.  ■ 

Ex  tabula  prima  et  fecunda   videre  eft ,   aquam    m 
tvtis  prifmaticis  gracilioribus  a^eque  ac  in   cylindricis   altiuS 
afcendere  quam  in  amplioribus ,  et  capacitatem  exinde  iEl 
urbis  vbiuis  aeque  latis  efle   cauflam   diuerfarum   altitudinum 
aquae    iiipra   libellam   eleuatae.      Hanc  ob  rem  in  rationem 
quandam  inter  bafes   tuborum    meorum   prifroaticomm   et 
akitudines  aquae  elcuatae  inquifiui^  aggrefljsque  quibusdam 
viis ,  in  redam  redtidus  certior  fxdius  fum  ,/  i(bs  ^iltitudi'» 
nes  capillares  efle  propemodum  interle  inuerfe  vti   radices 
bafium  :  quod ,  vt  eo  melius  patefiat ,   quosdam   tubos   ad 
calculum  reuocabo,     Radix  bafeos  tubi  prifmatici  quadran- 
gularis  No.  I.  fefe  habet  ad  radicem  bafeos  tubi  i^prifma-^ 
lici  quadrangularis  No.  II.  quam   proxime  vti   3<J  :  6^, 
Adfcenfus  aquae  in  tiibo  No.  II.  ex  parfe  ardiore  fuit  \% 
lin.  quaefito  quarto  proportionali  ad  hos  tres  numeros  pro- 
dit  altitudo  capillaris  pro  No.  I.   '^  lin.    aequidiiferens   a 
'ig  et  '\i  lid.   altitudinibus   experimento   in    tabula    prima 
obferuatis ,  quod  mirum  non  efl: ,  cum   hic   tubus   admo- 
dum  conicus  altus  '^'^"^  lin.  mercurio   repletus  fuit   ad  '^s» 
lin.     Radixbaleos  tubi  prismatici  quadr.   No.  III.  fefe  ha- 
bet  ad  radicem  bafeos  tubi  No.  11.  ex  parte  ampliore  fer- 
me  vti  28:  6$,     Aqua  in  tubo  No.  II.  ex  ^rte  am- 
piiore  eft  eleuata  ad  ^  lin.  finita  operatione   quartus  pro-. 
portionalis  eft  '^^  lin.  pro  altitudine  adfcenfus  aquae  in  No. 
III.   quam   experimentum    mihi   exhibuit  '^  et   '%  lin. 

0.9  2  Rndix 


^45  -S      X>JE .  TKBIS  C4PILLARIBVS  fRISMATmS 

Radi^x  baiep?^  .tiibi  prifmatiiGi  qundf,  No,  Vlll.eft  ad  ni* 
diceM[i  bAfeo?/  tiibi  ptitm*  qmdr.  No  II.  ex  parte  ampjio* 
ri  vti  2.6  :  <55.  Altittido  aquae  fupra  libeUam  eleuiuae  in 
t;u!oO'No«.  |I.  ex  parte  amplipre  ||  lin.  Qgartu&.propor' 
tionalis  187^  lin.  dat  altitudinem  capillarem  pro  No.  VUI, 
'Ah  ifta  ia  tabula  'I5  ©t  ^U  liu.  iK)a  admodum  difieren- 
tem.  Radix  bafcQs  tubi  prifm^tici  txiangukris.  N-  V-I5ft 
nd  radicem  bafeos  tubi  ^priiiii.  qMadrangularis  No.  II.  quara 
proxime  :yti,i3,:  33»  Aqua  in  tubo  No.  II.  ekuataad 
II  lin.  Yna  cum  iftis  nadicibus  dat  J^si- Hn.  pro  altitudiae 
eapijlari  in  tvho  tri:in§ul.aEi  NPv  V.  quae  experimento  o^ 
fcruata:  fuit  *§i  et  ."g.fliti.i  Radix:bafeos  tubi  pxifin.  triaGir 
gularis  Nq.  ^  VL-fefeitebet:  ad-  radicem  bafeos  tubi  prifni^ 
quadrangularis  No:  II.  vti  17  :  3<5.  .  Altitudo  capillaris. 
ih  No.  II.  quadr.  efl:  |^  lin;  et  quartus  propoaionalis  M 
hos  tres  numeros  %:  Hn^:  ^^flgnat.  ^titudineni  capilkrem 
tiibi  prifmatici .  triai1gulari$f  ,iNo^„  VI>  quae  m  tabula  inue-r 
nitur  .^fi  et  ^i  lii?.  Infici^Si  quidto  ij"e  mt^  fo&im^  in 
his  tubis  et  in  reliquis ,  fi- 1  calciilus  inipiciatur ,  hunc  ftoa 
:\d  amuiCm  congrqere  cum  gxperientia  j  fed  ipero  fore^  .vt 
liaec  differentia  ,  cum  fit  exigua  ,  non  euertat  legem  ai)- 
tea  traditam  :  altitudines  capillares  tuborum  capillaritHTi  pri- 
fmaticorum  effe  in  ratione  inuerfa  fubduplicata  bafiuiD.:  -  , 
Porro,  quia  circuli'  funt  intcr.  fe  vt  quadrata  diametro?' . 
rum  ,  erunt  quoque  altitudines  capiilares  in  tubuJiis  pri$r!' 
maticis  inter  (e  inuerfe  vt  diametri  circulorum  bafibus,ii>ferip- 
torum.  Itidem  ,  cura  figurae  regula/res  fimiles  circtiiis  ijBt- 
fcriptae  funt  inter  fe  vt  quadrata  diametrorum  ci^uloruiti , 
circumfcriptorum  ;  altitudines  capiilares' etiam  funt  ittterfe; 
inuerfe  vt  diametri  circulorum  bafibus  circiimfcriptorum. 

Peri- 


m  TFBIS  CJPILLJRIBFS  TRISM^KHS,     259 

•:  .Jeripherine  ciicubrum  funt  inter  fe  ^t  dLimetri ,  e- 
runt  itiique  adfcenfus  aquae  in  hos  tubos  fea  akitudines 
capillares  in  ratione  inuenii  peripheriarum  circulDrum  ba- 
fihasitam  inlcriptorum  quam  circumfcriptorum..  Altitu 
dines  capillares  funt  quoque  in  ratioiie  inuerfa  quantitatum, 
aquae  eleuatae.  Islam  fit  altitudo  aquae  eleuatae  lupra  li^ 
beliam  in  tubo  prirmatico  ampliori  —  A,  eius  bafiszzQ^y 
denotet  in  ardiori  adfcenfum  aquae  a ,  et  baiin  q.  Erit 
A  :  ^  zr  ^  :  Q ,  vti  iam  oilendi :  mukiplicaEdo  extrenTa 
et  mcdia  inter  fe  erit  A(^zz.aq  et  cum  AQ^^  ^tx,  aq^j 
dant  quantitates  aquae  ^  diuidenda  per  aequalia  AQ_et^^, 
leftant  Q_et  ^ ,  radices  nempe  baiium.  Sunt  itaqiK  quan- 
titates  aquae  eleuatae  vt  radices  bafium.  Sed  radices  ba- 
fium  funt  inter  fe  inuerfe  vti  akkudioes  capillares ,  ideo 
quantitates  aquae  erunt  etiam  inuerfe  vti  altitudines  capil- 
kres  ,  nempe  erit  AQ^  ;  Qm  ^^' :  ^  et  cum  fit  Q:  ^ 
m:  a  "•  A  ^  erk  AQ^ :  4—zaq  :  A. 

Quantum~  Jtaque  akitudine  aqua  ,  quae  in  tubis  gra- 
cilioribus  adfcendit,  fuperat  iilam ,  in  tubis  amplioribus  ele-. 
Yatam  ,  tantum  haec  illam  quantitate.  ;   , 

Nunc  difpiciendum  eft ,  quomodo  adicenfus  dquae  i^ 
mbis  capilkiribus "  prismaticis  fe  habeant  ad  illos ,  qui  ob- 
veniunt  in  tubis  capillaribus  cylindricis ;  et  an  non:  genera^ 
lis  regula  pro  omtiibus  tubis  capiilaribus  cuiuscunque'  figu- 
rae  condi  poilit  ? 

Regula  pro  tubus  cylindrici&  ftabilita  ita  (bnat :  altii-: 
tudiaes-y;:ad.  quaa  aqua  in  tubos»  capillares  fupra  libelliinv 
ppitur. ,  font  ia  .ratione  inuerfa  diametrorum, 

Sit  ACQ  fig.  8.  tubus  capillaris  prismaticus  amplior 

triangiiiaris  aut  quadrangularis  ;  acq  fig.  9.  eiusmodi  tubus 

>  -  Q.q  3  ardior- 


ft^a    DE  TrBIS  CAPILLARIBFS  PRISMATICIS 

^rdior.  Defignet  C  ,  altitudinem  adfcenrus  aquae  ,  Q  ra- 
dieem  bafeos  in  ampiiori ,  et  ^  ,  altitudinem  aquae  eleua- 
tae^  j,  vero  radicem  bafeos  in  aidiori ,  erit  C  :c:=z  q  :  Q. 

TBDE  fig.  I  o  ,  denotet  tubum  capiilarem  cylindricum 
jsimpliorem  ^  fbde  ^  fig-  ^^  >  ardiorem.  E  et  f  fint  alti- 
tudines ,  ad  quas  aqua  afcendit ,  D  et  r/  diametri  B  et  by 
bafes  circulorum  ,  erit  E  :  ^  zi:  ^ :  D  fed  bafes  circulorum 
fimt  inter  fe  vt  quadrata  diametrorum,  ideo  B  :  ^  =:  D'  : 
/;  extrahendo  radices  eft  V  B  :  V  ^  zi:  D  :  ^ ,  poflum  ita- 
que  pro  diametris  radices  fubftituere  et  dicere  vti  Vb :  VB 
E  :  e.  Igitur  omnes  altitudines  tam  in  tubis  capillaribus 
prismaticis  quam  cylindricis  funt  in  rationc  inuerfa  fub- 
duplicata  bafium. 

Inftitui  infuper  et  alia  experimenta  cum  his  tubis 
prismaticis ,  fed  cum  phaenomena  prorfus  conueniebant , 
cum  iis ,  quae  in  tubis  cylindricis  fgere  obferuata  ;  lliper- 
vacuum  habeo  ifta  experimenta  figillatim  enumerare ,  fuf^ 
ficiat  potius  praeeipuas  propofitiones  ex  iis  erutas  hic  ap- 
ponere. 

In  tubis  prismaticis  ex  aqua  fublatis  et  in  aere  per* 
pendiculariter  pofitis  aqua  fulpenla  haeret. 

In  tubis  prismaticis  ad  horizontem  inclinatis  aqua  a- 
fcendit  pro  altitudine  perpendiculari. 

In  vacuo  aqua  afcendit  in  tubos  hos  prismaticos  ae- 
que  ac  in  libero  acre.  In  tubis ,  diueriam  amplitudinem 
in  fua  longitudine  continentibus ,  baleos  tubi  fupremae , 
ad  quam  aqua  pertingit ,  ratio  efl:  habenda.  In  tubis  varia 
modo  inflexis  aqua  eleuatur  pro  altitudine  perpendiculari. 
Mercurius  in  tubis  prismaticis  infra  libellam  confiftit  et  qui- 
dem  quam  proxime  in  ratione  inuerfa  fubduplicata  ba- 
fium.  ,  Perti- 


m  TVBIS  CAPILLJRIBFS   PRISMATlCIS    t6t  ^ 

Pertinent  qiioque  ad  dodnnam  capillarem  phaena- 
mena  fpeculis  viti-eis  parallelis  obferuata.  Videndum  igi- 
tur  e(! ,  an  (labilita  iioflra  regula  geileralis  et  apud  ift^ 
k)cum  obtineat.  .v,-^.,* 

Viri  clarifTimi  Haukstiei^us^ef  Mufchenbroekius  dcpre- 
lienderunt ,  altitudinem  aquae  afcendentis  intra  fpecula  efle 
in-  ratione  inuerfa  diftantiarum  a  fe  inuicem.  Sk  diftaa- 
lia  maior  duorum  fpeculorum  inter  fe  — :  ^ ,  altitudo  aquae 
cleuatae  n:  a  ,  diftanria  roinor  rr,  D  y  altitudo  aquae  eleua- 
tae  rz:  A  y  erit  a  :  KznT)  -^d ^  et  aqua  eleuata  reprae- 
lentabit  duo  parallelepipeda.  Sed  fi  haec  parallelepipedji 
lefoluantur  in  prifmata  d*  a  et  D*  A  ,  quorum  bafes  funt 
quadrata  diftantiarum  ,  conftituunt  </ ,  D ,  latera  (eH  radi- 
ces,  et  erunt  itaque  altitudines  aquae  eleuatac  ia  rationet 
innerfa  fubduplicata  bafium. 


< 


OBSERr- 


OBSERVATIOxMES  ANATOMICAE 
RARIORES. 

AVCTOIVE 


Obferuatio  I, 

De 

Vena  caua  duplici  afcendente. 

Annq  i';^^'  jextjraoriinariu5  ^  plme  infolitus  in  cor- 
pore  cuiiisdam  cadaueris  msiknM  yenae  carjae .  Ilatijs 
aperto  abdomine  oculis  fe  obtulit.  Iniedione  in  Yaiia 
cruraiia  tam  arteriofa  quam  yenofa  fada  ,  et  remotis 
•vilceribus  tres  fub  peritonaeo ,  iuxta  et  fiiper  fpina  lum- 
borum  fitae  \ifae  fuer«nt  eleuationes ,  quae  clarius  detedlae 
palam  fecerunt ,  ^nam  et  mediam  aortam  magnam  ,  binas 
laterales  yero  duos  Yenae  cauae  afcendentis  truncos  con- 
ftituere  fequentem  in  modum  :  aorta  defcendens ,  proces- 
fibus  diaphnigmatis  egreflTura ,  ramos  fuos  infignes,  coelia- 
cum  videlicet  et  mefiraicum  fuperiorem ,  qui  pofterior 
duplo  fere  maior  coeJiaco  erat ,  dabat.  Hic  mefaraicus 
fuperior  etiam  de  fe  fpargebat  cyf^icam  gemcllam  arte- 
riam  ,  quae  confueto  prouentus  modo  alias  ortum  fuum 
coeliaco  debet.  Aortae  truncus  defcendens  viam  pauUo 
plus  dexterius  ac  folet ,  et  fuper  fpina  lumborum  ipfi  fu- 
raebat ,  in  itinere  fuo  emulgentes ,  fpermaticas,  mefaraicam 

inferio- 


OBSERrATIONES  JNATOMICAE.         313 

inferiorem  ,  et  lumbares ,  qnasque  confueto  fuo  loco  pro- 
ducens  arterias :  inferius  diuaricabatur  et  va(a  iliaca  di- 
mittebat.  Vena  vero  caua  afcendens  non  longe  ab  in- 
troitu  in  hepar,  vbi  vncialis  craflltudinisexiftebat,  ex  duo' 
bus  diftindlis  et  aequalibus  conflari  truncis  videbatur.  Ita 
autem  trunci  ipfi  erant  locati ,  vt  vnus  dexter  latus  fpinae 
dextrum  ,  alter  finifter  eiusdem  fpinae  latus  occuparet  fi- 
niftrum  ,  et  aortam  vterque  contineret  mediam.  Quo  ab 
ortu  iftorum  truncorum  ipfb ,  re(pedu  itineris  progrefliui , 
quo  (anguinem  verfus  cor  vehunt,  et  vbi  vena  caua  ipla 
implantatur  ,  exordiamur ,  necefle  erit  ibi  delcriptionem 
inchoare ,  vbi  diuifiones  in  vnum  coguntur  truncum  ;  et- 
enim  iliacis  tam  internis  quam  externis  poft  arterias  ilia- 
cas  congredientibus  ,  truncus  ille  venae  cauae  afcendens 
Iblitarius  conficitur ,  qui  dextrum  ipinae  latus  pofl3dens, 
penes  renem  fuccenturiatum  dextrum  in  hepatis  fubftan- 
tiam  immergitur.  In  noftro  fubiedo  ,  vti  duo  trunci 
venae  cauae ,  fic  etiam  iliacorum  immerfio  in  fui  lateris 
quemque  truncum  erat  leparatim  confpicua  ,  eo  tantum 
difcrimine  ,  vt  truncus  incipiens  finiftri  lateris  paullo  inferior 
ac  iile  dextri  lateris  apparuerit  ;  (iquidcm  canalis  quidam 
oblique  transuerfalis  duas  vncias  longus  et  dimidiam  vn- 
ciae  craffus ,  (iiper  vertebra  lumborum  quinta  et  pone 
ramos  iliacos  arteriae  magnae  traiiciens,  binos  truncos  co- 
pulabat ,  ita  quidem  ,  vt  in  dextri  trunci  latere  prope  di- 
ftantiam  vnius  vnciae  ab  iliacis  emergeret ,  inque  finiftri 
lateris  trunco ,  vbi  iliaca  vafa ,  vt  externum  atque  inter- 
num  ,  concurrunt ,  iigeretur ,  in  via  vero  et  paullo  fini- 
fterius  venam  cmitteret  facram.  Trunci  in  itinere  fibi 
pares  poft  hunc  transuerfe  obliquum  et  communicatiuum 
Tom,  XIL  R  r  canaiem 


51+        OBSERjrmOXES  ANATOMICAE. 

catiitlem  dinmeti^nm  dimidin  vncia  maiorem  tcnebant  ;  la- 
tiores  et  ad  trcs  qiiartas  partes  liiperius ,  vbi  coniiin(5lio* 
nem  rubeunt  ,  euadentes.  Dexter  truncus  afcendens  noii 
procul  ab  emulgente  vena  vas  (permaticum  dextrum  fu- 
fcipiebat  ,  pauUo  (iiperius  vero  venam  emulgentem  ,  quo 
iterum  aliud  vas  fpermaticum  abfcedebat  :  finifter  vero 
truncus  itidem  fub  valis  renalibus  alTumebat  vas  fpermati- 
cum  finirtrnm  ,  poftliac  binas  venas  renales ,  fuper  renalU 
bus  denique  in  arcum  dextrorfum  vergentem  et  arte- 
riam  magnam  transfcendentem  excurrebat ,  in  arcum  vena 
atrabiiaria  fmillra  infigebatur.  Lumbares  venas  quisque 
truncus  fui  lateris  fouebat ,  in  vnum  tandem  ,  (uppeditata 
infula ,  combinati  trunci  ftipitem  (esquiunciam  longum  prin- 
cipalem  porrigebant ,  quem  hepati  committebant  et  qui 
hepar  antequam  ingrediebatur ,  venam  atrabilariam  dex- 
tram  ,  vel  potius  breuem  canalem  ,  ( quia  ren  fuccenturia- 
tib  proxime  ftipitem  adiacebat)  admittebat. 

Hic  adiici  meretur  :  finiftrum  hepatis  lobum  in  hoc 
fubiedo  folito  multo  maiorem  ,/  lienem  ad  vsque  protrac- 
tum  ,  ac  cum  illo  ad  quatuor  vncias ,  quoad  tunicas  vtri- 
vsque  propri ar. ,  concretum  exftitifle.  Item  dudum  pan- 
creaticum  duplici  trunco  et  in(ertione  gauifum  fuifle ,  in 
talem  quippe  modum  efformatum  :  apud  lienem ,  vbi  pan- 
creas  incipit ,  ex  ramulis  conflabatur  dudlus ;  hic  duas ,  et 
quod  excedit,  vncias  progreflfus  in  binos  alios  dirimebatuc 
dudus ,  quorum  vnus  et  fuperior  in  diftantia  duorum  fer- 
me  digitorum  transuerforum  ab  altero  verfus  pylorum , 
alter  et  inferior  vero  cum  cholidocho  dudu  ,  vti  in  lio- 
minefolet,  comm<^im  duodenum  inteftinum  pertunde- 
bat. 

Tab. 


OBSERFJTIONES  ANATOMICAE.        315 


Tab.  VIII. 

Fig.  I. 

A 

Arteria   magna. 

a 

.     .      .  coeliaca. 

b 

.     .     .  melaraica  (uperior, 
mergit. 

ex  quo  cyftica  gemella  c^ 

G 

c     Arteriae   rcuales. 

d 

d     .    .    .  fpermaticae. 

e 

Arteria    melaraica  inferior. 

f 

Arteriae  magnae  diuifio   in 

iliacos. 

ggg^     Jiimbares    arteriae. 

B 

Stipes    venae   canae   princi 

palis  hepar  ingrcdiens. 

C 

Truncus  v.  cauae  dexter. 

D 

.      .      ....      .  finifter 

arcum    fuper  aorta  faciens. 

E 

Communicationis  canalis  v. 

cauas  interfitus 

e 

Vena    facra. 

FB 

'     Va&  iliaca  intcrna.  - 

G  G   .     .     .    .  externa.  , 

hh     Venae  fpcrmaticae  dextrae. 

i     Vena  fpermatica  finiftra. 

K  K  K     Venae  renales. 

1     Vena  atrabilaria  fmiftra. 

L  L     Renes. 

M  M    .  .  .   fuccenturiati. 

N     Crepido ,  vbi  flipes  hepar  intrat. 

O     Diaphragma    reflexum. 

P  P     Procefllis  mufculi  diaphragmatis. 

0.0^  Vreteres. 

R  r  2  Tab. 


'3i<f        OBSERVATIONES  ANATOMICAE. 

Tiib.  VIII.  Fig.  2. 
Mon!^rat    commimicationis    canalem ,    duabus  venis  cauU 
infertum. 

Obferuatio  IL 

D« 

Vena  iugukri  externa  ,  quoad  progrejjum  ,  iriplici ,  quoad 

injeitionem  autem  quadruplici. 
"^Sw  confideratuque    elegans  venarum   iugularium   cxter- 
naram   in  cadauere  quodam  ,    173S.  diffedo  ,    trigeminis 
truncis  obuiarum  conftitutio  (equens   nobis  occurrit. 

Cute  colli  myodeque  expanfione    demta  ,    extraordi- 
narius  tracheam  fupercurrens   confpeAus    fuit    atque    fatis 
largus  ramus ,  qui  capiti   propior    fa^Hius    fe    finiftrorfum 
poft  giandulam  tliyroideam   abfcondebat.      Hic   ramus   a 
fubclauia  vtrinque  inter  venas  iugulares  externam  et  inter- 
nam  medius ,  duabus  quafi  radicibus  propullulabat  ,    quae 
radices  craflitie  quidem  impares ,  fed  conuergentes ,  in  me- 
dia  tracheae  parte  coibant  et  ramum  ,   niagnitudine  iugu» 
laribus  nil  cedentem  ,  praebebant.      Hic    ramus    infignis, 
dum  mufculos  fterno-hyoideum  et    thyroideum   fmifterius 
incedens  transcenderet  luper  glandula  thyroidea   finiftri  la- 
teris    quafi     immergebatur  ,    et    per    canalem    breuem  , 
quatuor  lineas  longum  ,  cum  vena  ingulari  interna  finiftra 
copulabatur.     Haec  lugularis   intema   principali  fuo   rama 
e  fmu  laterali  durae  meningis ,  reliquis  vero  huc  apprope* 
rantibus    et    minoribus     ex     mufculis     capitis    et     capite 
ipfo   (anguinem   vehebat.     Truncus     vero    extraordinarius 
<e£  accefibrius  magis  ab  anteriori  coUi  et  interiori    Jinguae 

parm 


OBSERrJTlONES  AKATOMICAE       317 

parte  ,  nec  non  a  glandula  thyroidea  ramulos  fiios  atquc- 
furculos  accipiebat.  Radix  huius  dextra  ramo  a  gkndula 
thyroidea  delcendente  inftrucla  erat ;  finiftra  vero  ,  vt  an- 
guftior,  fic  nuliis  omniho  ramulis  gaudebut.  lugulares 
externae  ,  in  diametro  multo  minores  internis,  aduentabant 
ab  exterioribus  et  mufculofis  tam  colli  quam  f-iciei  par- 
tibus ;  et  radices  iuxta  praedidas  exterius  in  fubclauiis  im- 
plantabantur.  Hinc  inde  prodeuntes  furculos  cum  ramulis 
trunci  extraordinarii  in  anaftomofeos  vinculum  congredi 
irel  ex  eo  patefcebat ,  quia  inflato  vno  trunco ,  alter  fta« 
tim  flatum  admittebat.  Propter  hanc  ramulorum  com- 
municationem  ,  et  propter  huius  venae  accefforiae  infertio- 
nem  quoad  venas  iugulares  externas ,  immo  propter  fitum 
exteriora  magis  refpicientem ,  hanc  Tenam  inferius  bifiir- 
catam  potius  iugularibus  adnumeramus  externis ,  quam  in- 
ternis ,  quamquam  propter  congreffum  cum  iugulari  fini- 
ftra  interaa  et  propter  priuatum  cum  extemis  confbrtiuin 
et  diftindtam  infertionem  aliis  ad  intcrnas  magis  referen- 
dam  illam  effe  aptius  "videri  poffit.  Communitas  interim 
venurum  iugularium  internamm  ,  externarum ,  et  fiib- 
clauiarum  ,  intermedio  defcripto  ramo  ,  caput  huius 
fubiecfli  omnino  commodius  atque  ficilius  ab  onere 
fanguinis  fubleuare  potuit  ac  debuit ,  ac  nec  in  alio  Ipe- 
xare  licebit, 

Tab,  VIII.  fig.  3. 

A,  Truncus  iugularis   externus  extraordinarius. 

B,  Eius  communicatio  cum  iugulari  interna. 

C  C  ,  Eiusdem  radices ,  qiiarum  dextra  ramum  £,  a  glan- 
4ulis  thyroideis  fufcipit ,  finiftra  "vero  multa  erediac 
exiftit, 

Kr  3  DB. 


H 


3 1  g         OB^ERVATIONES  ANATOMlQAE 

D  D  ,    Infeitiones    apud  venas  iugulares  externas. 

E  E  ,   V.  iugiilares  externae. 

FF,     V.  fubclame. 

G  G  ,    V.  iugulares    internae. 

H  ,     dudus  thoracici  infertio. 

I ,   V.  caua   delcendens. 

Obferuatio  111. 

De  Venae   azygos  trimco  diiplid. 

)ininis  \enae  rnie  pari  varia  et  fingularia  incefliis  at- 
que  diftributionis  apud  audores  confignata  exempla 
prortant.  Noftra  quam  exhibemus  venam  azygon  dupli- 
cem  ,  hunc  in  modum  conftituta  fuit.  Truncus  ad  latus 
fpinae  dorfi  vtrumque  fingularis ,  magnitudine  minimo  di- 
gito  aequahs ,  notatus  fuit  ;  dexter  ceu  principalis  truncus 
Cuam  ac  alterius  trunci  fircinam  in  venam  cauam  defcen- 
dentem  transuehens ,  ex  interftitio  intercoftali ,  vt  videba- 
tur ,  vltimo  et  regione  lumbari  apud  vertebram  lumbo- 
rum  prim:un  ortum  capeflebat ;  quatuor  inter  afcenden- 
dum  intercolhlibus  ramis  affiimtis  communicationis  cana- 
lem  fuper  corpore  vertebrae  dorfi  nono  oblique  apprope- 
rantem  recipiebat ,  et  iterum  duobus  aliis  ramis  fibi  vin- 
dicatis ,  alium  communicationis  canalem  feptimae  verte- 
brae  corpus  obhque  transcendentem  fouebat-  Vlterius  pro 
grediendo  ,  quatuor  intercoftales  ramos  (iifcipiebat ,  quorum 
primus  tribus  aliis ,  ex  interftitiis  intercoftalibus  Hipremis 
accurrentibus  ramis ,  conftatus  erat  ;  truncus  tandem,  fuper 
bronchia  dextra  reclinatus ,  in  venam  defcendentem  ipi^m 
coafueto  loco  immergebatur. 

Alter 


OBSERFJTIONES  ANATOMICJE.         319 

Alter  et  finiftcr  truncns  tribiis  apud  primam  -ver- 
tebram  lumbarcm  ramis  incipiebat  ,  quos  intdr-  \'nus 
diaphragmaticum  inferiorem  ,  alter  iuxta  proceffum'  diu- 
phragraatis  a  tunica  peritonaei  adipola  accedens  adiporum, 
tertius  vero  a  mufculo  quadrato  et  interftitio  ,  quod  intCr 
\ltimas  coftas  eft ,  aducniens ,  lumbarem  et  intercofta- 
lem  vltimum  conftituebant  :  afllirgentem  duo  rami  inter- 
coftaJes  intrabant ,  poft  canalis  vetebram  nonam  fuper- 
fcandens  fequebatur :  tribus  deinde  intercoftahbus  ramis  in 
truncum  hunc  finiftrum  infertis  ,  canalis  communicationis 
alter  feptimam  dorfi  yertebram  fuperans  afibciabatur  :  po- 
flremo  adhuc  tribus  intercoftalibus  in  tnincum  immiftis 
fuperius  ramus  accedebat  in  arteria  afpera  et  oefopliago 
ortum  ducens  •  tandem  ramus  liipremus  infignis ,  duobu« 
ramulis  ab  interftitiis  intercoftalibug  fuperioribus  aduentanti- 
bus  compofitus  intercoftalem  fiiperiorem  finiftri  lateris  da- 
bat. 

Qtioad  fitum  horum  truncorum  notandum  yenit , 
finiftrum  huius  azygae  truncum  profundiorem  aliquatenus 
pofitum  "vifum  fuifle  prae  illo  dextri  lateris.  Vena  prae- 
terea  caua  tam  delcendens  quam  afcendens  amplitudine 
quaeque  confueta  et  haud  diminuta  deprehenfa  fuit. 

Tab.  VIII.  fig.  4. 
A  A  ,  Vertebrae  fpinae  dorfi. 
BBB,  -  -  -  -    tres  lumbor. 
C ,   Truncus  V.  azygos  dextrae. 
c  c  c  c  etc.  Venae  intercoftales. 
d  ,    princip.  huius  trunci. 
c ,    ramus  intercoftalis  fuper. 

F. 


340        OBSERrjTIONES  ANATOMICAE. 

F,  truncus  V.  azygos  finifter. 

c  c  c  c  etc.  Venae   intercoftales. 

g ,  ramiiiiis  diaphragmaticus  inferior. 

h ,  -  -  -  -  adipofus. 

i ,    -  -  -  -  lumbaris. 

k,  -  -  -  -  arteriae  afperae  et  oefoph. 

Obferuatio  IV. 

De 

Mujculo  fingulari  gemino  Jlernum  fuperiacente. 

xVnno  1739.  in  cadauere  yirili  mulculorum  par  fm- 
gulare  ,  fuper  fterno  fitum  ,  contemplati  fumus.  Illud  , 
Yti  confpedum  fuit ,  litteris  atque  icone  fiftimus.  Ad  la- 
tcra  oiTis  fterni  tradus  fibrarum  carnofirum  longitudina- 
lium  obueniebat ,  quae  an  ad  platysmamyoides  referendae 
fint ,  vel  alium  repraefentent  mufculum  ex  examine  inda- 
gatiori  inclaruit :  nempe  remotis  remouendis  patuit  iuxta 
cartilaginem  xiphoidem  vtrinque  mufculum  locari  fesqui 
digitum  latum  :  porro  innotuit  ,  hunc  ipfum  mufculum  ge- 
minum  ,  fuperato  dimidio  fterno  ,  in  tendinofam  fiue 
aponeuroticam  abire  conftitutionem  ad  vsque  clauiculas 
I  continuantem  ;  deiade  aperte  dignolci  potuit ,  hanc  apo- 
neurofin  fiue  tendinem  clauiculas  transgredientem  cum 
fterno-maftoideo  muiculo  anterius  intime  connedi :  lepara- 
-tim  hic  mufculus  geminus ,  quousque  camofus  erat ,  ince- 
debat ;  in  tendinem  vero  ftrudura  tribus  oblique  trans- 
verfis  produdionibus  tendinofis  atque  anfulis  mutuo  con- 
iungebatur  \  congreflum  cum  maftoideo  per  lineam  con- 
fpicuum  antopfia  ipfi  probabat.  Mulculus  hic  quafi  bi- 
corporeus  et  capiti  et  pedori  inferuiifle  videtur. 

Tab.VIII. 


0BSERE4TI0NES  ANJTOMICAE,       3^1 

Tab.  VIII.  %.  5. 

A  A  Mufculi  gemini  ,    carnofo  principio, 
B  B     -     -     -     -     -    tendinofus  progrefTus. 
C  C  C     -     .     -     -    anfiilne  tendineae. 
D  D    -     -     -     -     -    carnofi   fines  cum 
d  d   Maftoideis   mufculis  iundi. 
E  E  Clauiculae    transparentes. 
F  F  Mufculi    pedorales  magni. 
G  Mufculus  deltoides. 

Obferuatio  F. 

De 

Tendinum  ,  digitos  manus  finiftrae  extendentium  ,   extraor- 
dinario  numero. 

Liemadmodum  naturam  aliquando  in  mufculorum  ftb- 
rica  variare  animaduertere  licet ;  fic  haud  miniis  tendi- 
nes  quorundam  muiculorum  craflitudine  yel  numero  ad- 
augeri  confpicuum  obuenit.  A  tali  augmentatione  vel 
pluralitate  roboris  maioris  yim  et  diuerlimodam  partis 
inftitutionis  atque  quandoque  adionem  fingularem  in  ho- 
mine  yuo  atque  altero  dependere  ,  nemo  facile,  qui  mu- 
fculos  cum  tendinibus  tanquam  motuum  infirumenta  prin- 
cipalia  efle  cognolcit ,  ibit  inficias. 

In  fiibieclo  quodam  ,  qucxi  nobis  1740.  ad  difTe- 
candum  oblatum  fuit ,  'vidimus  manum  finiftram  ,  quoad 
tendines  digitos  extendentes ,  muko  a  dextra  ,  quae  ,  \t 
folet ,  conflituta  erat ,  differentem  ,  quippe  dorfum  eius 
tendinibus  quafi  obrutum  erat.  Quo  tales  tendines ,  nu- 
mero  duplicatas  (pcciaiius  indicemus ,  mufculos  plulangamm 

Tom.  XIL  S  s  exten- 


l^ft 


OBSERyjTlONES  ANATOMICAlS. 


extenlbres  ,  tam    communem    quam    proprios    confidera- 
bimus. 

Mufculus  huius  manus ,  vel  potius  digitorum  extenfor 

conununis,  quoad  oriundi  principia  in  conJylo  humcri  externo 

ac  pLirte  pofteriori  vlnae  atque  radii ,    vt  folet ,  nafcebatar , 

carnnfus  vltra    dimidiam    fui    partem    procedebat ,    in  4.. 

poflhac    produdiones    tendinoitis ,    ligamentum     anniilare 

traiicientes ,  excurrebat ,  quarum  prima  (iiper   indicis ,  (e- 

cunda  f.ipermedii  digiti  phalangis  in   latere   interiori    pro- 

tendebatur ,   tertia   in   duos   abfcedebat   tendines ,    qui ,  li- 

gamento    tranfuerfo    fuperato ,    iterum    dirimebantur ,    bi- 

nisqae  fingalis  tendinibus    digit"s    annulari   atque  auriculari 

donatis    finiebant ,    iilo    excurfus     diicrimine ,    vt    tendo 

duplicatus  vnus  feparatim  annuiaris  digiti   phalangas  trans- 

cenderet ,  alter  digiti  minimi  vero   poft    ligamentum   an 

nulare  quidem  geminatus ,  apud   extremitatem    oftis   me- 

tatarfi ,    quod  digitum  iftum    (iiftinet ,  iterum    coiret ,  et 

fic  adunatus  phalangas  praedicfli    digiti ,  ad    latus    interius 

tranfcurreret  ;    quarta    denique    duos    ablegabat    tendines , 

quorom  vnus  et  interior  poft  ligamentum  tranfuerGile   di- 

uaricatus  os  metatarfi  et  digitum  minimum  tranfcendebat; 

alter  exterius  latus  tam  metacarpi,  quam  digiti  occupans, 

iuxta  phalangas  ipfas  definebat ,  et  fic  didum  auricularem 

proprium  praebebat.     Nouem  itaque  tendines  iiic  mufcu- 

lus ,   qui   alias   tantum    4   aut  5  (quia  auricularis  proprius 

cum  eo  cohaeret)  dimittit ,  emittebat.     Reliqui  qui  adia- 

Cebant  mulculi  extenfores  proprii ,  vt  indicator  et  biconiis 

in  media  vlnae  ac  radii  parte  nati  carnoili  prodibant  con- 

iundione  ,  ita  vero ,  vt  indicator  mox  feparatus  ante  liga- 

mcQtum  binos  produceret  tendines ,  vnum  fuper  inaict  m, 

alterum 


OBSrR7:ATlONES  JNJTOMICJE,       213 

alterum  (iiper  digitiim  medium  ,  extcrius  latus  refpicfcntes, 
exporre^ftos  j  extenfor  autcm  pollicis  non  longe  a  liga- 
mento  in  quinque  diuideretur  tenoines  ex  quibns  A^nus  in 
phalange  poilicis  vltima  et  laterc  exteriori ,  alter  elusdem 
in  /ecunda  ,  tres  caeteri  Tero  io  c)fle  rrietatarfi  ,  quod  pol- 
]ici  fudentaculo  eft ,  terminabantur.  Loco  tium  ^el  4- 
(fi  extenibr  pollicis  tricornis  efl)  tendiniim  igi!ur  ,  7  hic 
notabantur  tendines ,  et  fic  in  his  propriis  aeque  ac  C(W- 
munibus  mufculis ,  numero  quam  quem  natura  alias  largirj 
folet  5  alterum  tantum   plures. 

Tab.  IX.   Fig.   i. 

A  Mufculus  extenfor  digitorum   manus  communis ,  in  4. 
produdiones  tendinoGis  excurrens ,  quorum 
I.  dat  tendinem  indici. 
a.  porrigit  medio. 

3.  ante  ligamentum  transuerfale  duplicatur ,  et  po(!  li- 
gamentum  iterum  fingulus  tendo  geminatur ,  et  ad  an- 
nularem  diios ,  totidemque  tendines  ad  auricularem  ab- 
legat. 

4.  duos  tendines  ad  minimum  digitum  dimittit ,  inte- 
rior  poft  ligamentum  deniio  partitur ,  exterior  auricu- 
larem  proprium  repraefentat. 

B  mufculus  indicator  proprius  2.  tendinibus  confpic  us , 
quorum    vnus    indici ,    alter   medio   digito   imptrtitur. 

C  mufculus  pollicis  proprius ,  bicornis  \el  triccrnis  c-dus 
tcndinibus  5  phalangibus  et  olTi  metatarfi  pollicis  in- 
fcrtis ,  obuius. 

S  s  2  ObM 


324        OBSERVATIONES   ANATOMICAE. 
Obfcruatio  VL 

Delntejflino  aeco  ct  procfjju  'venmculan. 

Nonnunquam  obtigit ,  praeter  glandulas  mefenterio  huma- 
no  folitas ,  prope  angulum  ,  quem  ileum  et  colon 
coniunda  fliciunt ,  \nam  glandulam  nucem  mofchatam- ae- 
quantem  ,  vel  duas  ac  phires  fimul  congregatas ,  fed  mi- 
noris   differentisque   magnitudinis    Yidifle. 

^  In  quodam  eiusmodi  fubiedo  ,  cuius  coecum  intefti- 
num  eiusdem  cum  colo  amphtudinis  et  digitum  transuer- 
fum  tantum  longum  erat ,  ac  cuius  fundus  in  proceflum 
\ermicularem  finiebat ,  inter  ileum  et  colon  ,  glomum  , 
plus  quam  triginta  glandularum  ,  auellanas ,  pinearum  nn^ 
ces  et  piforum  mngnitudinem  aeqiTantium  confpexi  :  Va- 
Hi  itidem  a  colo  ,  coeco  ,  et  appetidicula  \ermiculari  ac- 
currentia  lymphatica  ,  non  folum  quia  tumebant  lympha, 
oculis  luflrare  ,  fed  etiam  quaedam  flngularis  amplitudinis  cer- 
nere  dabatur.  Haec  -vala  tam  fuperficiem  coli ,  coeci , 
et  appendiculae  perreptabant ,  quam  glandularum  cohorti 
ex  parte  appropinquabant ,  ex  parte  vero  per  melbcolon, 
mefuaeum  ipfum  intrabant.  Hoc  interim  hic  adferre 
praeterire  non  pofliimus ,  flatum  ramis  venofis ,  colo 
coecoque  Yicinis ,  immifliim  Ytrumque  pcnetrafle  intefti* 
num  vtrumque  eleuafle.  Qiiod  phaenomenon  et  alio  tem- 
pore  et  in  aliis  inteftinorum  tam  tenuium  quam  craH 
(iorum    portionibiis   expertus   fum, 

Aliud  ,  quod  hac  occaflone  haud  intacfbum  relinquere 
Tolumus  ,  nobis  alio  tempore  obuenit  inteftinum  coecum, 
eiusdem  tantum  cum  colo  diametri ,  procefliimquc  Termi- 
cularem  bis    circumtortum  habens.     Hoc  coecum ,   tan-^ 

quam 


OBSERVATIONES  JNATOMlCAE,       3^5 

qiiam  nppendix  coli  ,  quia  vix  lauim  digitiim  ab  infertio- 
ne  ilei  protendebatur  ,  proceffiim  vermiciilarem  fpirnliLer 
tortum  atque  retortum  et  $—6  vncias  longim  in  fiue 
fuo  gerebat  aflTidentem  ,  qui  proceffus  in  principio  ceu  in- 
fundibulum  excauatum  dilatabatur  ,  et  digiti  pollicis  capax 
erat ,  pod  vero  in  vermicularem  formam  anguflabatur  ; 
vbi  coecum  intrabat ,  valuula  fpirali  inftrudus  erat  ,  quae 
ovale  digiti  apiccm  comprehendens  foramen  fuppeditabat, 
apud  foramen  inteftinum  coecum  ,  vt  diclum  ,  breue  in- 
cipiebat ,  et  receflli  quodam  fiue  fmu  et  valuula  conni- 
uente  ab  ileo ,  quod  iuxta  patebat ,  et  a  colo ,  quod  ante 
valuulam  Bauhini  afcendebat ,  difcriminabatur.  Hic  pro- 
cefllis,  quemadmodum  fiii.^ulariter  conftrudlus  et  locatus  imo 
magno  orificio  patulus  erat ,  fic  ficile  illum  recrementa 
ingrcdi  immo  ibi  (labulari  poterant  ^  hinc  non  multum  mi- 
rati  fumus ,  quod  illum  proceffiim  icybalis  induratis  tumi- 
dum  et  conftipatum  reperiremus.  Praeterea  inter  ileum 
et  colon  tres  adhuc  glandulas ,  nucem  auellanam  ma- 
gnas ,  fimul  ofFendimus. 

Tab.   IX.  Fig.   2. 
Monflrat  portionem  coli  atque  ilei  cum  coeco ,  admodum 
breui ,  atque  appendicula  vermiformi ,  in  fine   coeci  pen- 
dente. 
A  A  A  Va(a  fanguifera ,  atque  iuxta  decurrentia  vafa  lym- 

phatica. 
B  B   Gkndularum   in   angulo  ilei   atque    coli    refidentium 

cohors. 
C  C  V:\Cx  lymphatica  ,  mefaraeum   verfus  tendentia, 
D  Ligamentum  coli. 

S  s  3  Tab. 


32(J        OBSERFJTIONES  ANATOMlCAE. 

Tab.  IX.  Fig.  3- 

Ofteniit  aliud  coeciim  admodum  breue  cum  fua  appendicu- 

la  fpirali. 

A  Pordo  inteftini  coli. 

B  Intellinum  coecum. 

C  Initium  appendiculae  magnopere  dilatatum. 

1>  Reliqua  eius  portio  anguftata  atque  Ipiralis. 

E  P(  rtio  inteftini  iki. 

1  Va&  fanguifera. 

G  Tres  glandulae  colo  et  ileo  adfitac- 

Tab.  IX.  Fig.  4. 

Exhibet  ciusdem  interiorem   faciem  ,   in  qiia  praeter  Ta!- 

■vuias  conniuentes  obuiam   cunt 

A  Orificii  m  ilei  f   dida    \aluula    Bauhini  ,  hic    admo- 

dum  hians. 
B  Orificium  appendiculae ,  cum  valuula  fpirali. 


DE 


DE 

RENIBVS  SVCCENTVRIATIS  IN 
PVERO  DISaVISITIS  NOTATA. 

AVCTORE 

L  C.  mide. 

Pnernm  3  -4  annos  natiim   173  9-  menfe  martio  qiioad 
renes     fuccenturiatos    perfcrutatus    lum ,    fequentiaque 
animaduerti. 

Tunica  adipofa  renes    circumueftiens  ex   parte   etiam 

renes    ruccenturintos   cingebat ,   iti,  Yt  praeilla   glandulae 

iftae    renales    vix    internofci    vel    diftingui    pofifent.     Sed 

tunica  ipf-i  paullulum    ablata  ,   vafa   fuccenturiatorum   fiida 

funt   perfpicua  ^   quae     infequendo     corpora    manifeftarunt 

ipfa.     Erant  aiitem    illa   vafa    partim  arteriofa  partim  \e- 

nola.     Arteriarum ,  quas  notabimus  quaternas ,  binae  prop- 

riae  ,  alterae  binae  communes  non  oppofite  aequalem  fii- 

mebant  originem  ;  propriarum    fcilicet    dextra    ab   emul- 

gente  dextra  ip(a  ,  quae  alias  etiam  a  trunco    aortae  poft 

mefiraicam  fuperiorem  propullulit.     Siniftra  vero,  qiiae  ali- 

quando  quoque  ex  coeliaca  prouenit,  penes  radicem  mefiraici 

rami  fuperioris  ex  trunco   ipfo  aortae  nafcebatur  ,  vtroque 

vero  ,  {  quam  quoque  in  adultis    fubieiftis    vel    vnius  vel 

vtriusqae  lateris  gemino  principio    atque    trunco  ,  anterius 

vni),  aitero  poflerius  caplulae  latus  fuis  ramis  percurrente 

vidimus )  in  corporibus  fdccerituri  it<irum  ipns   diflribueba- 

tur.     Communium  vero   vel   poiius  arceriarum  phrenica- 

rum 


328     DE  RENIBVS  SVCCENTVR.  IR  PVERO  &c. 

nim  poflerioruin,  qnae  confueto  modo  ex  coeliaca  inci- 
piente  ip(a  prodeunt ,  altera  lummitatem  dextri  renis  fuc- 
centuriati  praetergrediens ,  ex  angulo  ,  quem  truncus  ar- 
teriae  et  ramus  coeliacae  efiiciunt  *,  altera  yero  fiiper  fi- 
nillro  progrediens  paullo  inferius  ct  infra  coeliacum  ,  me- 
faraicum  ramum  fuperiorem  verfus ,  proueniebat,  vtraque 
diaphragma  \erlus  affurgens  arcum  dabat ,  qui  dum  cap- 
fuhm  rcnaicm  praeteriret ,  "varios  ramulos  ceu  radios  in 
liipcrficic  capfalae  in  furculos  fe(e  difpergentes  dimittebat , 
fuperius  vero  ramis  inlignibus  diaphragma  petebat.  Flatu  ar- 
teiiis  propriis  commiffo  et  capfulae  adipofa  tunica  fingulatim 
cleuabantur,  quod  aeque  quidem,  fi  artcriae  phrenicae  fiue 
communes  infufHarentur ,  fed  non  tam  eminenter  fiebat^ 
incila  porro  tunica  -adipofi ,  aer  contentus  cuanuit  rerr/a- 
nentibus  capfulis  ipfis  tumidis.  Noflrum  ,  quod  circa 
hacc  phaenomena  efl:  iudicium ,  putamus ,  quia  ramuli 
tam  ab  atrabilariis  quam  phrenicis  tunicam  adipofam  per- 
rcptant ,  apprehenfu  flicile  effe  ,  ctiam  praefatam  adipo- 
fun  fiatu  dirtcndi ,  dum  autem  ramuli  admodum  exigui 
ct  pauci  a  phrenicis  illam  tunicam  adrepunt ,  capfulaeque 
atrabilariae  etiam  fuperficic  tenus  quafi  tantum  illis  per- 
curruntur ,  nec  tunicam  pinguedinofim  ,  nec  capfulas  a  fla- 
tu  phrenicis  immifTo  eodem  modo  attoUi  ,  tunicam  adipo- 
£\m  inflatam  vero  ,  vulnufculo  fido  ,  fubfidere  rclidlis  ca- 
pfulis  elatis  poffe ,  quia  rami  phrenici  et  his  et  illi  ra- 
mulos  largiuntur  fingulos  diuerlbs.  Vafi  caeteroquin  ve- 
no(a  a  confietis  locis,  vt  dextri  lateris  vena  atrabilaria  a 
V.  caua  ipfa ,  finiflri  lateris  ab  emulgente  procedebant , 
vtraque  vena  infiifflita  capfulae  nimium  eleuabantur.  Ca; 
pfulae  ipfae  in  noflro  fubiedo  ccu  mafia  veficulofi  adipe 

obfcure 


DE  RENIBFS  SFCCENTVR.  IN  TVERO  ^^.  5  a^ 

obfcure  albido  conftans  et  pinguedine  circumuoluta  confi- 
ftentia  admodum  fimiles  comparebant ,  ynde  primo  intu- 
itu  adipem  mentiebantur  et  nobis  ipfis  imponebant:  infuffla- 
tae  maiorem  iuglandem  aequabant  et  aliquo  modo  pelluci- 
dae  confpiciebantur ;  (ed  vtraque  cauitate  intus  aequali 
erat  praedita  et  gelatinofo  pallide  rubro  tin(3:a  et  obdu- 
da  humore. 

Tab.  IX.  Fig.    $. 

Oftendit  partes  quasdam  hypochondrii  a  pofteriori  ^cie 
con(picuas  ex  adulto  homine. 
A  A  Renes. 
BB  -  -  -  fuccenturiati. 
c  Arteria  aorta. 
D  Vena  caua. 
EE  Arteriae   atrabilariac, 
ee  Venae  atrabilariae. 
F  F  Arteriae    phrenicae    cum   radiatis  ramis  in  capfilaff 

demerfis. 
G  Hepar. 
H  Lien. 
1 1  Diaphragma  reflexum  ciusque  i  i.  proceflus. 


Tm.  XU.  Tt  OBSER- 


.U7 


OBSERVATIONES 

ASTRONOMICAE. 


i 

T  t  ft  OBSER^ 


OBSERVATIO 

ECLIPSIS  SOLARIS 

In  Qbjermtorio  Imperiali  Petropolitano,  habita 

■'-'■  :  y»  G^  H  cdmfim^  uivii 
Ordo  Temptts  "^.  '■■  -  -  -^^^q  ^r  ^;' 
Obfer.   verum  .  '  ^r..  1  r 

I.  -      5^i  10^.49^''.  Initiumiclipfeospel^  tiibnra 
15.  ped.  exjide  obferuatum. 
'ji  y        .  In.partibus  fcdlae  ,   qualiiim 
femidiameter  Soiis  coatinet 
26  j  ;  - 

DifFerentia  Differentia  Quaritita^  ^Qiiantitds 

afcenf.redar.  declination.  phafium      phafium 

centr.Qet^.  centr.^etoi  ^^ 

digitis.  minut. 


d. 

-  17.  ^7. 

4395-      '"«^4iv         49-         I- 

6 

3- 

-   22-    "24. 

4001.         154.      '       S9.         2- 

0 

4. 

-    30.    45. 

340.          138.    -    1475.         3. 

19 

5. 

-  37'     3- 

12951.    r    123I."        197^       4. 

26 

6. 

-  41-  59. 

25<J.          114.          237.         5. 

.20 

7. 

-  47.  II. 

Macula  erat  io  difcoSolis  magni-; 

tudine  reliquas  ibi  exiftentes  >ante- 

oellensj  quam  littera  M   defignaui  -  .  Tfib.x 

in  fig.  I.     Appulfum  limbi  Liina- 

ris  ad  eam    obferuaui ,  et  cx)nta- 

T  1 3  <^um 


534      OBSEni^ATIO  ECLIPSIS  SOLAIIS 

«flum  miituum   ^d   tempus  iam  no- 
tatum  ammadueffi.  '  'Declin;uiit  au- 
^^1  Cftfm   ^ius|  Jhaciflje^  C0m|u|i  |ifc^    | 
'  ■  '  '    tfenipus  odi^te^^/cetTfrdSDlis^ef^  -^ 
fus  aii^ifiilfpl  9.2.  part  foabe  feu  5^. 
..    ,   29^ {.  circulL  maximi :  quoad  afcea-   _ 
fionem^vero  redtam    macuMe   cen. 
trum  oocii^etia^bu^^    Mt  vcentro   So-. 
lis  53.  part.  Xcalae  feu  i3ifet>fd>/r    obO 
in  tempore  niinor   .'i6\dO 

$,  -  47,]i5tii  Periph0l*^'>Lmae^=iifer- (5^^  \i 

. .  I M  'dddtae!  ^  nucciiie .  topfrid.     Praecedens 
;     5itiiJiaqcjxJbiiraatibi:f^(9ii  eft  pertu- 

9.  -  $8.     I.         13^.         8rr|r        359         8.        4 

n {;. ; :,. fcf      rr iiA^^^obferuatiqne j P.fJPA , ^J .hanc  vs- 

,jj  que    ceiitrun)  ^Lpnaej^,pccideptalius 

r ;  f , .  j ,  ^  ^  ^  .  fuit  centro  Solis  qudad  afcenfionem 

X   "     i§<p^am.      foo  ifequentabus    centrum  ~i  .  2 

.::         JtiHaae  orienj:i^^s  intelligl  debet  ci^-  ,  ^^  ..  ^ 

r         .trojolis.  .^^-E          ^^.^.^       .^.^   .c.  .  .^ 

X^,  -  |8.    IQ^c^j        Sf^::i    421 -,.,.458.,^      M^  „  3^; 

CX2.  -.^8.   507-.-    I09l4.!:i    ip- .c^c -405^0  c   .J^  -  •"'^ 

13'  -  3^/'ii5.  'Mediumbfupra^/^meidouat^e  flm'-^x  '  ^ 

''  14.  -  3i>i^'''^^^k^^"^^^f^^ 

^■-'''4)btef6'fdai%t  pfer-mutti  15. 

Ab 


OBSEWATIOvEm^mWSQlJmS      S3S 

Ab  bbfcnmi  :i.  vsque  ad  i4u  cen- 

^   tmm  Lunae.  a  centroSolis  declina- 

vit  reptentrionem  Yerfus,  Iii  fequen- 

tibus  declirtatia  centriLutiae.  gfcen- 

tra  Soli^  mCis  auftmiji  acGipi:  deb^ty .   , 

17     -  7,      21.;  4151,  58,  98^..  2.  13 

irS' '  -  1 8 .  53  Finis .  eclipleos  exadle  :  obleruatus 
i/jf  .  ;  .  peir  tubum  15.:  ped. 

•  -  Figara  prima  Phafes .  enumerata^  decliarat  et  niimeri  in 
fcmita  centri  Lnnac  adicripti  notant  loca  ^  in  quibus  centri;m 
Lunae  fuit  iis  temporis  momentis ,  quae  iisdem  numeris 
in  praecedentirecenfioneSrifi^iuntur«.  Goelum  toto  eclipfos 
tempore  ferenum  obleruationi  optime  favit.  Cum  autem 
Soldeficiens  ad  horizontem  'occiduurii  vergeret  ^  ne  refra-f 
^lionis  diuerfifas  ad  horizontem  obferuationibus  vim  infer' 
ret ,  pro  obleruandis  eclipfeos  phafibus  methodum  lequen- 
tan  extra  periculumj  refradionis  pofitam  adhibui-  Vfljs 
nempe  fum  quadrante-  portatili  tubo;  inftriKSo,  in  cuius  ^aj^  ^ 
foco  duo  fila  V  T  ,  H  R  >  ad  angulos  red:os  fibi  infifleri-Ffg^aw 
tia  extabant-  Tubum  in  Solem  direxi  fic  ,  \t  pofito  qua- 
drantis  plano  in  fitu  proxime  Yerticali  y  filum  H  R  fitum 
prope  .horizontalem^ ,  filum  V  T  verticalem ,  nancifcerentur. 
Wii  ftdis  notaui  moram  tratifitus  dilci  fblaris  vel  per  fi- 
lum  horizontale  H  R  vel  per  vertrcale  V  T  ^  prout  fci^ 
licet  totius  difci  tranfltuSy  habito  partis  Solisdeficientis  re- 
fpedu  ,  obferuari  potuit.  Praeterea  animaduerti  momen- 
ta  appulfus  cornuum  .  phafeos ,  limbi  Lunaris  et  limbi  Solis 
ab  eclipfi  immunis  ad  adem  filum  fiue  horizontale  fiue 
";  verti- 


^:^6       OBSEkFATlO  ECtlTSIS  SOLARIS 

verticale.  Qiiibus  datis  conftrudio  phafeos  abfolui  et  po- 
fitio  centri  Lunae  refpedu  centri  Solis  et  circulorum  coele- 
ftium  ,  nec  non  quantitas  diametri  Lunae  definiri  poflunt. 
Repraefentent  H  R  ,  V  T  fila  ad  angulos  redos  fi- 
bi  infiftentia.  ,  A  D  B  exhibeat  difcum  Solis  vtrumque  fi- 
lum  tangentem  in  A  et  B.  Referat  R  C  I  pofitionem 
diorni  centri  Solis  refpedu  filorum  V T ,  HR;  radius  vero 
CD  (CB  vel  A  C)  expreflfus  intelligatur  per  partes  temporis , 
quo  dimidium  difci  Solis  per  meridianum  vel  horarium 
quemuis  tranfit.  Et  exponet  C  R  femimoram  tranfitus 
difciSokris  per  filum  HR.  EC  vero  femimoram  tranfitus  So- 
lis  per  filum  VT.  ConceiTis  igitur  mora  tranfitus  Soiis  per  ho- 
rarium  et  mora  tranfitus  eius  per  alterutrum  filum  H  R  yel 
V  T,  dabitur  pofitio  diurni  RCI  refpedu  filorum. 
f"?- a.  Notati  iam  fint  appuliiis  cornuum  B,A,  peripliae- 
riae  Lunae  M  et  limbi  Solis  (equentis  F ,  ad  filum  V  T. 
Defcriptus  fit  difcus  Solis  A  B  F  vtrumque  filum  tangens 
ct  quidem  limbo  fequenti  F  filum  V  T  ;  exprefia  autem 
fit  diameter  difci  per  moram  tranfitus  eius  per  horarium. 
Sit  R  C  pofitio  diurni  centri  Solis  refpedu  filorum  fecantis 
fikim  V  T  in  E.  Capta  fit  E  b  aequalis  interuallo  tem* 
poris  inter  appulfus  cornu  B  et  limbi  Solis  F  ad  V  T. 
Eodem  modo  fit  E^  aequalis  interuallo  tcmporis  inter  ap- 
pulfus  cornu  A  et  limbi  folis  F  ad  V  T  ;  nec  non  E  m 
aequalis  interuallo  temporis  inter  appulfus  peripheriae  Lu- 
nae  M  ct  hmbi  Solis  F  ad  V  T.  Per  punda  b^  a^  m 
fic  definira  adae  intelligantur  ad  VT  parallelae  ^B,  ^zA, 
m  ^  ;  quarum  b  B  fecet  peripheriam  Solis  in  B  ,  ^  A  in 
A  ;  et  dabuntur  loca  cornuum  B,  A  in  peripheria  difci 
SoHs ,  red:am  vero  m  ^  tanget  limbus  Lun;i6,     Datis  iam 

pUEh 


OBSERFATIO  ECLIFSIS  SOLARIS        ^s^ 

pundis  A  ,  B  ,  et  reda  jn  fji  pofitione  ,  dantur  centrum 
'G  ct  nidius  circuii  per  punda  A  ,  B  tranleuntis  et  re-^ 
dlam  jn  |x  tangentis ,  hoc  eft  ,  dantur  centrum  Lunae  po- 
fitione  et  (emidiameter  eius  magnitudine.  Huius  rei  vlte- 
riorem  et  analyticam  expofitionem  dcdi  in  recenfione  ob- 
feruationis  eclipfis  Lunaris  d.  8.  Septembr.  1737.  ftc  n, 
Simili  modo  proceditur ,  fi  aliae  dentur  obferuationum 
conditiones. 

Haec  phafeos  conftrudlio  ,  quae  fatis  expedita  videtur, 
fupponit  difcum  Lunae  intra  difcum  Solis  immotum  interea, 
dum  appulliis  cornuum  et  limbi  Lunae  ad  fila  tubi  obfer- 
uati  funt.  Hoc  autem  fupponere  non  Hcet ,  nifi  eximiis 
(iibinde  erroribus  locum  concedere  \elimus.  Difcus  Lunae 
intra  difcum  Solis  fitum  continuo  mutat ,  adeoque  mo  • 
menta  appulfus  cornuum  obferuata  multum  fiepifiime  dif- 
crepare  debent  a  momentis ,  quibus  appulftis  ifti  obferua- 
ti  fuiflent ,  fi  diftus  Lunae  intra  dilcum  Solis  durante  ob- 
feruatione  immotus  perftitiflet.  Si  igitur  iuxta  metho- 
dum  fipra  expofitam  conftrudio  phaieos  fufcipi  debeat  , 
necefle  eft  ,  yt  appulfus  cornuum  et  limbiLunae  ex  ob- 
feruatione  acquifiti  corredione  aliqua  tales  efficiantur  ,  qua- 
les  obferuati  fuiflent ,  fi  Luna  fitum  in  difco  Solis  intcrca 
non  miitaffet. 

Pio  definiendis  eiusmodi  corredionibus  requiritur  ,  vt 
fci.itnr ,  qua  ratione  progrcffus  Lunae  per  difcum  Solis  fa- 
dus  fit.  Ad  hunc  ergo  cognofcendum  proiedionem  edip- 
feos  orthographicam  effeci  ope  elementorum ,  quae  calcu- 
lus  ex  Tabulis  Ludovicianis  inftitutus  fubminidrauit ,  exin- 
de  vero  pofitionem  femitae  vifae  centri  Lunae  per  difcum 
Soiis  deteiminaui.  Exponat  figura  3 .  proiedionem ,  qua- 
Tom.  XIL  Vv  lis 


^3^        OBSERT^ATIO  ECLIPSIS  SOIARIS 

lis  pro  eclipfi  Solari  fieri  folct.  Sint  ADB  femidifcus 
Terrae,AB  Ecliptica  ,  DC  circulus  latitudinis ,  PC  me- 
ridianus  vniuerililis ,  FI  orbitaLunne,  o.  i.  2.  3.  4..  etc. 
parallelus  Petropolitanus  in  fuas  horas  iuxta  numeros  i  , 
2,3,4  ^fc*  diuifus.  Cum  momenta  initii  et  finis 
eclipfeos  obferuata  aliquot  minutis  defcreparent  ab  iis  , 
quae  calculus  praedixerat ,  confultum  duxi ,  Yt  momenta 
ifta  ex  obferuatione  acqnifita  fchemati  inlererentur.  Hunc 
in  finem  in  paralielo  Petropolitano  determinaui  pundla  i 
et  /  relpondentia  refpediue  momentis  initii  5^,  lo^ , 
49^/,  et  finis  7^^,  18^,  53^^  Ex  pundis  irtis  i  et  / 
interuallo  femidiametri  penumbrae  interfecui  orbitam  Lu- 
nae  in  I  et  F  ;  quibus  fardis  obtinui  loca  centri  Lunae  in 
initio  et  fine  cclipfeos ,  puta  in  I  et  F  ;  nec  non  in- 
teruallum  I  F  in  orbita  Lunae  ,  quod  tempori  durationis 
Edipfeos  refpondet.  Inde  f\cillime  pundla  V.  VI.  VII. 
etc.  in  orbita  Lunae  definire  potui  ,  in  quibus  centrum  Lu- 
nae  refpediue  fuit  horis  V.  VI.  VII.  etc.  lam  ex  di- 
iiifione  paralleli  Petropolitani  innotuerunt  punda  5.  6.  7. 
etc.  in  quibus  centrum  Solis  fuit  horis  5.  6.  7.  Igitur 
ad  datam  quamuis  horam  pofitio  centri  Lunae  refpedu 
centri  Solis  et  circuli  alicuius  coeleftis  incognita  elfe  non 
potuit.  Verbi  caufi  ad  horam  5'^™  quaeri  debeat  pofi- 
tio  centri  Lunae  rell-^edl;!  centri  Solis  et  circuli  declinationis 
eius.  Qiioniam  hora  5^*  centrum  Solis  e(l  in  pundo  5. 
panlleli  Petropolitani  ,  per  hoc  puuLlum  5.  duco  redam 
G  H  par.illelam  ad  P  C  meridianum  vniuerfilem  ;  et  G 
H  repraeientat  pofitionem  circuli  declinationis  Solis.  Sed 
eadem  h  )ra  5.  centnm  Lunae  q([  in  puncfto  V.  fuae  or- 
bitae  ,  quamobrem  duco  V  G  ad   G  H  perpendicularem  , 

Tt 


OBSERVAm  ECLIFSIS  SOUKIS       339 

Tt  per  redns  V  G ,  G  5.  acquiram  poritioncm  centri  Lu- 
me  refpedii  centri  Solis  et  circuli  diclinationis  G  H.  Sci- 
licet  hora  5.  recfla  VG  exhibet  differentiom  inter  afccn- 
fiones  redas  centromm  Solis  et  Lunae  in  diurno  ;  GV  5. 
vero  exponit  difTerentiam  declinationum  centrorum  SoJig 
ct  Lunae. 

Hac  methodo  ad  fingulos  horae  quadrantes  detcrmi- 
naui  diflferentias  afcenfionum  redlarum  et  declinationum 
centronim  Solis  et  Lunae.  Delcripfi  deinceps  circuJum  P 
^  Q.  (  %•  4-  )  3  ^"^"^  radius  C  P  eft  ad  radium  difci 
Terrae  D  C  (  fig.  3  ) ,  vt  femidiameter  Solis  nd  parallaxin 
Lunae  horizontalem.  (In  adieda  fig.  4.  circulus  P  D.Q_ 
iuffo  maior  euidentiae  caufa  fadus  d\  ).  AfTi.mta  porro 
dinmetro  P  Q_  pro  circulo  declinationis  ,  ex  cognitib  per 
contbudionem  praecedentem  afcenfionum  redarum  et  de- 
clinationum  difierentiis  ad  fingulos  horae  quadrantes  defi- 
niui  punda  5^  ,  5^ ,  5j  ,  (5.  etc.  in  quibus  centrum  Lunae 
refpediue  fuit  horis  5^  ,  5^,  5| ,  6.  etc.  Denique  pun* 
dis  iftis  ope  redarum  inter  fe  connexis  acquifiui  fcmi- 
tam  centriLunae  Yifiim  in  difco  Solis  pro  immoto  habito. 
Neceffe  autem  fuit ,  vt  ad  fingulos  horae  quadrantes  loca 
centri  Lunae  determinarentur  , ,  paitim  quia  portiones  fe^ 
mitae  vifiie  a  centro  Lunae  fingulis  horae  quadrantibus  per- 
curiae  ex  continua  parallaxeos  Lunae  mutatione  fiint  inae- 
quaies  ,  partim  quoniam  ipfa  femita  curuam  nancifcitur 
figuram  ,  dum  declinatio  Lunae  non  folum  ex  motu  eius 
proprio  ,  fed  ex  variata  quoque  Lunae  parallaxi  continuo 
mutatur. 

Vv  a  .    His 


5p        OBSE^irATtO  ECLIPSIS  SOLARtS 

His  praeparatis  corrediones  obferuationum  fupra  dl* 
dtas  fequcntem  in  modum  inuedigaui.  Exempli  lo.  o  lu- 
bitae  fint   obferuationcs.  appuHiium  ad  filiim  V  T  (fig.  2.) 

Cornu  B  5^  30'.  45^''. 

curnu    A.  —  3^^  *     15« 

peripher.  3  in  M.  -  31-   171' 

limbi  O  (equentis  F  —  3  3  .      61. 

Cum  in  femita  centri  Lunae  Yifi  ( fig.  4 )  dentur 
pun6la  5^,  51,  in  quibus  centrumLunae  extitit  horis  5|, 
51  ;  ex  interuallo  horum  pundorum  15.  minutis  tempo- 
ris.  refpondente  ,  fi  motusLunae  in  orbita  vifi  per  qua- 
drantem  liorae  vnifbrmis  fupponatur ,  ficile  determinari 
poffunt  punaa/,^,  k,  in  quibus  centrum  Lunae  refpe- 
diue  fuit  5'.  30'^  W;  5'.  ^^'  n''->  5'^  31''^  i7r. 
Semidiametro  Lunae  ,  cuius  ratio  ad  femidiametrum  Solis 
ex  calculo  eclipfeos  datur ,  centris  f.g^k  defcripti  fint 
arcus  BMA,  Z^^,p[xcc,  intra  difcum  Solis ,  qui  expo- 
tient  fitum  peripheriae  Lunaris  in  Sole  ad  dida  refpediue 
momenta.  Igitur  momento  5^.  30^-  45''''-  appulit  ad 
filum  yerticale  quadrantis  cornu  feu  pundum  B  periphe- 
riae  Solaris  ,  cornu  autem  A  tunc  temporis  extitit  in  A. 
Momento  5^  31^.  v^^  cornu  A  iam  proceflit  in.  a^ 
adeoque  hoc  momento  pundlum  peripheriae  Solaris  a  ap- 
pullit  ad  iilum  verticale.  Denique  momento  5^.  31'.  17^" 
peripheria  Lunae  in  ^mcL  pofita  filum  quadrantis  verticale 
tetigit.  Hi  ergo  appulfus  in  diuerfisLunae  intra  difcum  So- 
lis  pofitionibus  obferuati  fic  corrigi  debent ,  yt  tales  pro- 
deant ,  quales  obferuati  fuiffent ,  fi  durante  appulfuum  ob» 
fcruationeLuna  fuum  in  difco  3oUs  nou  mutaflet» 

Ad 


OBSERVATIO  ECUFSIS  SOIARIS 


34-X 


Ad  circuliim  declinationis  P  Q.  per  centriim  Solis  C 
dudla  fit  normalis  D  E  ,  quae  diurnum  Solis  repraefenta- 
bit.  Igitur  cum  per  fupra  difla  in  quauis  obferuatione 
detut  pofitio  aiurni  refpedu  filorum  ,  ad  quae  appulilis 
obferuati  funt;  \.ici(fnn  m  fig.  4.  dabitur  pofitio  filorum 
refpedu  diurni  D  E.  Exponat  ergo  VT  filum  verticale 
ad  quod  appulfus  notati  funt.  Per  A,^,  dudae  intel- 
ligantur  Ab  ,  ai,  parallelae  ad  VT  et  fecantes  diurnum 
D  E  in  ^  et  i  j  et  manifeftum  cft ,  pundlum  b  fimul 
cum  cornu  in  A  ,  pundlum  i  fimul  cum  cornu  in  a  ad 
filum  verticale  V  T  appellere.  Si  igitur  detur  tempus 
quo  (patiolum  bi  filum  VT  traiicit ,  dabitur  interual- 
lum  temporis  inter  appuldis  cornu  in  a  et  cornu  in  A. 
Expreffi  autem  diametro  Solis  DE  per  partes  temporis 
quo  dildis  Solis  meridianum  tranfiit  ;  exponet  Ipatiolum 
ib  tempus,  quo  ib  filum  VT  traiecit ,  vnde  propter  ib 
ex  conftrudione  datam  ,  dabitur  interuallum  tempotis  in- 
ter  appuKus  cornu  in  ^ ,  et  cornu  in  A  ,  veluti  in 
noftro  cafii  m  l^^  lam  momentum  nppulfus  cornii  a 
ad  VT  ex  obferuatione  datur ,  fcilicet  5^.  31^.  i^//. 
Subtrahendo  igitur  ab  hoc  momento  inteniallum  inuentum 
rzl^/,  (quoniam  A  citius  per  VT  quam  a  tranfiit ,  ) 
habebitur  niomentum  appulfus  ipfius  A  ad  VT,  veluti 
5^  31^.  i^^^,  quod  ell  momentum  ,  quo  cornu  in  A 
appulilTet  ad  V  T  ,  fi  centrumLunae  in  /  immotum  perr 
ilitiflet.  |,,^:^i[, 

Eodem  modo  fi  ad  V  T  ducantiir  parallelae  ^w-^pff^ 
tangentes  refpediue  limbumLunae  BM  A  ,  (3  ;«  a  in  M 
tt  /72,  et  fecantes  diurnum  D  E  in  ;«  et  <? ;  fpnciolLnti 
no  exponet    interuallum    temporis    inter   ^ppiulfc.  Jimbi 

V  V  3  Lunae 


S4.a         OBSERFATIO  ECLIPSIS  SOLARIS 

Lnnae  (3  wa  ,  et  B  M  A  ad  V  T  ,  qnod  excmpli  loca 
in  hoc  caiU  erit  =::  v/\  Cum  ergo  ex  obferuatione  de- 
tiir  momentnm  appnlfus  limbi  Lunae  pma,  nimirum 
5^  31^.  171^^,  fubducendo  intcruallum  fnnentum  ab  lioc 
inomento  (  quia  B  M  A  citius  traiecit  VT  ,  quam  (3mot) 
habetur  5^.  31^.  16'/^  pro  momento  appulfus  periphe- 
riae  Lunae  in  B  M  A  ,  quo  cafu  centmm  Lunae  adhuc  in 
f  extat. 

Ex  obfernatione  datur  momentum  appulfus  cornu  B, 
5^.  30'.  4-5",  centroLunae  in  /  exiftente.  Vi  prae- 
cedentis  corredionis  dantur  momenta  appulfum  cornu  A, 
5^  31'.  i^'',  et  limbi  Lunae  BMA  5?  31'-  i<5i , 
Lunae  centro  etiam  in  /  haerente  ;  ^nde  haec  momenta 
innenta  talia  funt ,  qualia  oblcruata  fiiiflent ,  fi  dnrante  ap- 
pulfnum  obfcruatione  limbus  Lunae  intra  difcum  Sohs  im- 
motus  perftitiflet ,  pnta  in  BMA. 

Haec  ergo  momenta  fic  correda  in  conftrudione 
.phafeos  fupra  expofita  adhiberi  debent.  Phafis  exinde 
conftrndla  relpondet  momento  temporis ,  quo  motusLunae 
qiafi  cohibetnr  (eu  quo  Hmbns  Lunae  in  noftro  cafu  fuit 
in  B  M  A  ,  fcilicct  5^.  30'.  45''.  Hoc  momentum  , 
ad  quod  phafis  propofita  conftrnitur ,  yoco  momentum 
■objematmis. 

Qiioniam  determinatio  memoratarum  corredlionnm 
^  calculo  et  proiedione  eclipleos  pendet ,  adeoque  ex 
diflenfn  calculi  cnm  coelo  in  conftrudla  pro  eruendis  cor- 
jedtionibus  figura  pofitioLunae  intra  difcum  Solis  nonnun- 
quam  diuerfa  prodire  folet  ab  ea  qnam  Luna  ad  datum 
tempus  reuera  refpe^flu  Solis  habnit  \  methodo  qnidem 
.  praecedenti  corre<^iones  definiui ,  et  phafm  ex  obferuatio- 

nibus 


OBSERFATIO  ECLIPSIS  SOLARIS        34S 

nibiis  corredis  conftruxi ,  aft  ybi  hanc  ab  ea ,  quam 
proiedllo  eclipfeos  ir^licabat ,  nimis  difcrepantem  ani- 
maduerti ,  in  conftrudn  ex  obleruatiouibus  phafi  corredi- 
ones  denuo  definiui ,-  et  exinde  nouam  phafeos  conftru(fli- 
onem  ad  veram  magis  appropinquautem  fufcepi. 

Vt  de  phafibtts  ptfaecipuis  hutus  EcHpfeos  rationem 
reddam  ,  obieruationes  ,  ex  quibus  iftae  conftrudae  funt  , 
hic  tranfcribam ,  additis  corre<flionibus  methodo  praece- 
denti  erutis.  Eligam  autem  prae  ceteris  obferuationes 
numeris ,  4,  9,  10,  ii^  15,  in  recenfione  fuperiori 
notatas ,  quibus  praefertim  diametrum  Lun^e  deteiminau  i. 


Tempore  horoJogu, 


Obleruat.  4. 


Obferuat.    4.  corredla 


S  ad  -  5?  28r     6'/ 

5? 

28.^ 

6{' 

B  ad    1          30.  211 

30. 

^n 

A  ad    1          30.   38 

30. 

371 

periph.3adl3o.   54? 

30. 

53 

I    ad  —         32.   283 

32. 

281 

C  ad    1         32.  43      ( 

32. 

43 

Momentum  obleruationis  B 

ad 

1 

5?  30/  2ii  horologii  vel 

5.  30.   45.   temporis  v 

eri 

Obfer- 


344-       OBSERFATIO  ECLIPSIS  SOLJRIS 


Obfcruat.  9. 
S  ad     -       5?  s^^  43'' 
AetBad  1  57.  40^ 

pcriph.3ad|       58.  40^ 
C  ad    I  59.   29^ 

I    ad  —         6.      I.      61 


Obferuat.   9.  coredl: 
5?  56/43'' 

57-  405 

58.    3Si- 

59-   291 
(^.      I.      6« 


Momentuni  obicruationib  ii  ad    ^ 
5^   Slf  40i"  horologii  ¥el 
5.    58.      I.     temporiii  -veri 


Obieruat.    10. 

Ob 

ern;ir 

1 0 .   corrtdt. 

S  ad     - 

^?  ^r  35'' 

6 

^    2.^ 

35'^ 

Aad       1 

4.      8 

4- 

8 

B  ad       1 

4.   30 

4- 

29I 

periph.^ad  1       '5-  28 

5 

25 

C  ad     1 

6,        2\ 

6. 

2^ 

I    ad  - 

7.     7 

7. 

7 

Momcntum 

obieiuationis  / 

V  aa 

1 

6^  V.    ■  8" 

horologii  vei 

6.    4.    26 

temporis  veri 

Ubkruat.    II. 

Oioieru.   li. 

corredl. 

S  ad  - 

6'   14'.    35^ 

/ 

6? 

14. 

35^" 

periph.^ad- 

-       15.     5^ 

15. 

8,^ 

P  ad     1 

15.  53 

15. 

53 

A  ad  - 

17.  41 

17. 

441 

B  ad  - 

17-    54 

17. 

54    . 

C  -id     1 

18.    27^ 

18. 

27^ 

Momcnti.m 

obieniai.onib  j 

b  aa 

— 

6^   li.   54 

'  horologii  ve 

1 

6.    iS.    10 

tempori*^  veri 

Obfer^ 


OBSERFATIO  ECLIPSIS  SOLJRIS.       34J 


Obferuat.    1 5 . 

Obferu.   15.  corredl 

S  nd  -          6?  50/ 

29f 

6? 

50'.     29L" 

P  ad     1                52.- 

^4^ 

52.      241 

periph.Sad   \-     53"". 

-50 

53.      521 

A  ad     1               54- 

2^ 

54.        31 

B   nd     1               54- 

47 

54.      47 

I  nd  -                55- 

12 

55  •      12 

MomeQtum  oblcrifationis  B  ad     | 
6?  54'.  47"     horologii  Yel 
6.    54.    57       temporis  veri 


Defignant  hic  S  limbum  Solis  pro  npparentia  tubi 
aftronomici  fuperiorem  ,  I  inferiorem  ,  P  praecedentem  , 
C,  confequentem.  In  obleru.  4,  9,  10,  11,  A  eft  cornii 
phafeos  quoad  npparentiam  fuperius  B  inferius ;  in  obferu. 
15..  vero  A  cornu  fecundum  apparentiam  inferius ,  B  (ii- 
perius  (  — )  denotat  filum  in  reticulo  tubi  qundrantis  ho* 
fizontale  ,  (  I  )   verticale. 

Ex  obleruationibus  iam  expofitis  femidiameter  Lunae 
deprehenfa  eft  ~ 

cx  obferuat.  4—249 

9  —  2491     partium   fcalae ,    qualium    fcmi* 

10  —  2491     diameter  Solis  contmet  257, 

11  —  249^- 
15  -  251 

.^.  .  Confentiunt  et  aliae  obferuationes ,  quas  hic  breuita- 
tis  caufii  omili.  Affumfi  ergo  pro. .  media  Luuae  femidia^ 
':.Tom.  XIL  X  X  ^  meu-o 


U^         OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLJRIS. 

metro  250  ,  eamque  ad  tempus  obfcurationis  maximac 
retuli  ,  quo  altitudo  Lunac  vila  fupra  horizontem  circiter 
erat '  1 3°.  Inde  in  hac  altitudine  prodit  ratio  diametri 
Solis  ad  diametmm  Lunae  \t  267  :  250.  Ex  tranfitu  So- 
lis  pcr  meridianum  d.  4.  Augufti  W.  n.  innotuit  mora 
tranfitus  dilci  Solaris  per  horarium  ~  2'.  13^''  temporis 
i""'  mobilis.  Inde  habetur  diamcter  Solis  31'.  51"  ia 
paitibus  circuli  maximi  \  adeoque  diameter  Lunae  in  iis- 
dem  partibus  1:1  29'.  49",  et  diameter  Lunae  horizontalis 
29.  42",  quae  ab  ea  29  .  40",  quam  ciilculus  ex  ta- 
bulis  Ludouicianis  praedixerat ,  non  nifi  2."  differt.  Si 
pLiceat  lecundum  tabulas  aftronomicas  affumere  diametrum 
Solissi'.  46"*,  prodibit  diameterLunae  29'.  44"  in  al- 
titudine  13'' ;  et  diameter  Lunae  horizomaiis  29'.  37", 

Vt  ex  obferuationibus ,  quas  ab  initio  recendii ,  de- 
riuari  poffint  tempora  obfcurationum  fingulorum  digitorum, 
in  quos  diuifum  concipiunt  Aftronomi  difcum  Solis ,  necefle 
fiiit ,  \t  in  lemita  centri  Lunae  vi(a  ex  obferuationibus  ab 
initio  pofitis  refpedu  dilci  Solaris  definita  (iig.  i.)  cogno- 
icatur  progreifus  Lunae  ad  fingulos  horae  quadrantes.  Per 
tantum  enim  temporis  interuallum  motusLunae  viftis  abs- 
que  errore  renfibili  vniformis  haberi  poteft  ,  cum  caetero* 
quin  motus  Lunae  in  femita  vi(a  ex  variatione  parallaxeos 
continuo  mutetur ,  et  in  praefenti  cafu ,  Luna  ad  horizon- 
tem  occiduum  vergente ,  femper  crefcat.  Comparanda 
crgo  interualla  locorum  centri  Lunae  in  fingulis  obferuatio^ 
nibus  ab  initio  pofitis  cum  interuallis  temporis  refponden* 
tibus ,  inueni,  Lunam  in  15.  minutis  primis  temporis  veri, 
dum  Lirna  progrella  eft 


OBSERrjTIO  ECLIPSIS  SOLJRIS.         347 

ab  initioEclipfisvsqueadobreru.  4     -     -     114  partiumfca- 
ab  obferu.  4  vsque  ad  9     -     -     11 71  lae,qualiuni 

^"  ■  "  -^^      fpaiium    i-i|  femidiame- 

II 15     _     .     123   terSoliscon- 

15  -  -  -  finem   -     -     127  tinet  2(^7. 

His  cognltis  et  diuifo  Solis  difco  in  fuos  digitos,  ope 
lemidiametri  Lunae  in  orbita  eius  vi(a  definiui  loca  centri 
Lunae  ,  in  quibus  iftud  extitit ,  dum  i  ,  2  ,  3  ,  4  ^  etc. 
digiti  di(ci  Solaris  oblcurati  fuerunt.  Innotuerunt  ergo  di- 
ftantiae  horum  locorum  in  femita  vifa  a  locis  centri  Lunae, 
quae  ex  oblemationibus  ab  initio  expofitis  iam  cognita 
erant ;  vnde  etiam  ope  motus  horarii  Lunae  in  femita 
vifi  cognofcebantur  interualla  temporum  refpondentia  ,  a- 
deoque  ipfa  temporis  momenta  ,  quibus  finguli  digiti  ob* 
fcurati  funt. 

En  deduf^iones  hac  methodo  enitas , 
Tempus  verum 

5?     10'.     49"     —     —     —     Initium  Eclipfis 

16.      37       —     —     —     digitus  I 

22.      24       -.     —     —     —     —  i^ 

28.      19       —     ^     >.  _     -  3 

34.      14       ~""-     -  -     —  4 

40.       9       __     ~     _-  _     _  ^ 

4(5.        o       ~     —     —  —     -,  (j 

51.     50       -     ^     -  -     -  7 

57.     3P      ^     -     -  ^     -^  5 

Xx  2  C» 


348  OBSERVATIO  ECLIPSIS  SOLJRIS, 

6.        3.     3<^      —     —     —     —     —     9 

10.        5      —     —     —     —     —  10 
ic^.     54.      —-.---—   10.  34.1'    ob- 

fernatio  niaxima, 
Diftantia  centro 
1'ucn  O  ct  3  mu 
nima,  2'  4(5''par- 
tium  circuli  ma?. 
S3.  42  —  —  —  —  —  10 
30.        5      ------     p 

35.  49  -----  8 

41^  25  -----  7 

45.  52  —     —     —     —     —  ^ 

52.  19  -    -  ^    -     -  5 

57.  45  _-_--.  4 

7.       3.        7      -----     3 
8.     ,25      ------     2 

13.     41      -     -----     I 

18.     53      —     —     -.-,  Finis  Eclipfif . 


OB- 


OBSEVATIO 

TRANSITVS     LVNAE 

AD  -^ 

SATVRNVM 

die  -^^  an.  1740.  Petropoii  habita^4 

G.  Heirifio. 

EiaA'A  motus  Liinaris  cognitio  obfernatornni  operam 
continiio  requirit.  Theoriaquideni  Lunae  receritioruni 
ftudio  certiS  fuperftruda  eft  fundamentis , ,  ex  quibus  varia- 
bilis  Lunae  motus  diiudicari  debet  j  fed  data  adhuc  pluti- 
ma  ,  non  nifi  ex  pbferuationibus  aftronomicis  petenda , 
defiderantur  ,  M  illorum  ope  inaequalitates  motus  Xunaris 
a  fe  inuicem  probe  difcerni ,  earuinque  effediis  fiiB  jcertis 
Lunae  circumftantiis  cognoici  pojGTint.  Hanc  bb.  Ciu3(aih  in 
obferuatorio  Imperiali  obferuationes  Lunae  tum  in.',me- 
ridiano  tum  extra  iftum  ,  quando  Luna  fixas  :vel  pK- 
nctas  prope  tranfit , .  affiduo  inftituuntur ,  \t  fufficlens  16- 
corum  Lunae  numerus  ex  obferuationibus  acquiratur ,  quae 
<3einceps  cum  theoria  conferri  poffint.  Sed  CGit^odiflii 
lioc ,  quod  obferuationes  eiusmodi  praebent ,  Ynicum-  non 
eft.  Nexus ,  qui  inter  labores  in  obferuatorio  Imperiali 
peragendos  et  molimina  obleruatorum  in  Siberia  et  Cam- 
tfchatka  dcgentium  intercedit,  i(his,  neCfea-Trio'.  rcqthrit ,  .Tt 
ex  compbratione  locornm  Lnnae  hic  et  in  aliis  locis  ok^ 
reruatofum  ,  difierentiae  meridianorum  determinari  poiTujt. 

X  X  3  Vtilibus 


S^d    TRANSITFS  LVNAE  AD  ZATVRNVM. 

Vtilibus  his  obfernationlbas  merito  adnumero  tran- 
fitum  Luhae  ad  Saturnum  die  j°j^^j-  i^n.  1740.  hic  ob- 
(eruatum  ,  quem  impracrentiarum  expofiturus  fum. 

In  eius  obreruatione  ^riis  fum  tubo  8.  ped.  in  cuius 
fbco  extenla  erant  quatuor  fila  ad  angulos  (emiredos  \er- 
fus  fe  inuicem  inclinata.  Machina  paralladica  in  fituni 
debitum  redada  fiiftinebat  tubum  ,  qui  in  Lunam  ita  di* 
redlus  fuit ,  vt  limbus  Lunae  pro  apparentia  tubi  aftrono- 
inici  inferior  ( reuera  fuperior  )  ,  dum  tubum  traiiciebat , 
exade  vnum  ex  filis  iltis  in  foco  extenfis  raderet ,  quod 
proinde  diurnum  Lunae  apparentem  referebat.  Hoc  appa- 
ratu  obferuaui  appulfus  limbi  Lunae  praecedentis  et  centri 
iSaturni  ad  filum ,  quod  diurno  normaliter  infittebat  et 
circulum  horarium  repraefcritabat ,  \t  inde  differentiae  af. 
tenfionum  redarum  limbi  Lunae  praecedentis  et  Saturni 
innotelcerent,  Praeterea  vero  annotaui  quoque  appulfus  ceii- 
tri  Saturni  ad  fila  obliqua  cum  filis  diurno  et  horario  nn- 
gnlos  femiredos  fbrm^ntia  ,  \t  exinde  differentias  declina- 
tionum  limbi  Lunae  borealis  et  centri  Saturni  colligere  pot- 
fem.     En  dedudiones  ex  obferuationibus  habitis. 

Differentiae  Differentiae 

Ordo     Temp.verum.  Afcens.  reftarum  limbl  declinationum    limbi    "^n^t 
;€bfer,  2)  n^c  praeced.  et  cen-  borealis  etcentri  Saturniexi- 

tri  |)ni  in  temporepri-  ftente  "^no  boream  verfusab 


mi 

mobilis 

hoc  ]imbo,in  partibus  circu* 
li  raaximi. 

1. 

8^  14.^  S4-'' 

3'.  13J 

15'.   3<^"^ 

2. 

.-  H6.   44. 

2.     sol 

15      54 

5. 

-  34-  42 

2.     36I 

4- 

TRANSITFS  IVNAE  JD  SATFRNFM    3ST 


4.  8^  41^ 

16^/ 

2^ 

24I 

i5^ 

49^ 

5.  -4d 

41 

2. 

15^ 

■  17. 

20 

6.    -53 

49 

591 

17. 

27 

7.  -58. 

3^ 

5ii 

18. 

I 

8.  9-  4- 

0 

401 

18. 

16 

9-  -  8. 

9 

32^, 

18. 

37 

10.  —  12. 

13 

24 

18. 

37 

II.  —  i5. 

13 

i^§ 

18: 

51 

12.  —  19. 

53 

9| 

19. 

19 

13.-35. 

14 

0. 

39 

20. 

29 

14. -38. 

52 

0. 

32^ 

20. 

3<^ 

•15.  —  42. 

2 

0, 

261 

20. 

53 

i<J.  -  44. 

59 

0. 

20 

21. 

4 

17.9  48. 

10 

0. 

14 

21. 

II 

Sntiirnus  nunc  ad  tantam  d   limbo  Lunae  boreali    fepten- 
trionem  verfus  diftantiam  peruenerat ,  vt  fila  obliqua  reti-  ( 
culi  non  nifi  prope  marginem  tubi  traiiceret ,  quamobrem 
ab  his  obferuationibus  abftinere  debui. 

Obferuationes  5-  et  7.    quoad   difFcrentiam    afcenfio-  ' 
num  redarum  limbiLunae  praecedentis  et  Saturni  ;  obfer- 
uationes  vero  2,  <5  ,  10,  quoad  difFerentias  declinationum 
limbi  borealisLunae  ^t  3atiirai ,  paulisper  dul^iae  cenTenda^ 


DK 


35*  "•^^•^  ("^  )  S'??^*" 

DE 

DECLINATIONVM  SYDERVM 

DETHRMINATIONE  ABSQVE   EXACTA   ELEVA- 
tlONlS  AEQVA TORIS  COGNITIONE. 

G.   UvwfiuSi 

Qiiiintimi  interfit ,  vt  fyd^rum  decliniUiones  gt^  a!ceq{|- 
ones  retftae  ex  obreruiltiQnibus  adronpiTiicis  exadiijc 
determinentur  ,  ^  abunde  conltat^^  Altitudines,  fyderqm.  m^- 
ridianae  ,  habita  eleuationiV  "Aequatoris ,  .  refradionura  , 
parallaxinm  ratione  ,  declimttiones ;  momenta  cnlminatio- 
num  iyd^erum  ,relata  ad  momentiim  trai^fitus  Soi;s  per 
meridianiim  ,  "arcenfiones  re(f^as  fuppeditant.  Cum  igitur 
.praecipuum  negotium  .refpiciat  .obieruationes.  -  fyderum  iri 
.Meridiano  ,  Attr^nomi  inihumentum  altimetricum  muro 
jfirmiter  ita  infig<^re  folent ,  vt  planum  'eiiis  conueniat 
cum  plano  Meridianir^  :dluirione$  aiitem .  in  limbo  infiru^ 
m'entr  j  exi)(5le  r^pond^iin t  grad ibiis . .  eleuationis  .  ob iedi 
iliper ,  liorii^oii^.  fcloc  '  pAo r  fiicili. '  hegotio  f  altitudo  fyde- 
jsis  rUieKidi^na  ;.pbftruari  e^  ^ope  liorolngii  maomentum  tran- 
iittis  eius  per  Meridianum^  :antTLO.tari  poflimt.  ProJ^ofitum 
meum  non  eft ,  prolixam  eiusmodi  iuRrumenti  deicriptl- 
onem  hic  exhibendi  ;  cogitata  tantummiodo  quaedam  pro- 
feran^  ,  qu-ie  dechnationem  lyderis  ope  huiusmodi  inftru- 
menti  inueihgandam  concernunt ,  fic  \t  pofitio  inftru- 
menti  refpedu  horizontis  et  eleuatio  aequatoris  exadiffimc 
cognitae  non  praefupponantur. 

aa 


DE  DECUNAT,  SIDER,  DETERMlNAT,  ^^.353 

Ex  obremationibus  Solis  meridianis  prope  folftitia  hoc 
inftriimento  peragendis ,  iniieftigentur  pnnda  diuifionis  in 
limbo  inftrumenti ,  quibus  altitudines  centri  Solis  folftitia- 
les ,  maxima  aeftate  et  minima  hyeme  rcipondent.  Iti- 
teruallum  inter  haec  punda  in  limbo  inftrumenti  definitu- 
rum  eflet  diftantiam  tropicorum  ;  pundum  \'ero  mcdium 
huius  interualli  locum  aequatoris  in  inftrumento  ,  fi  rcfra- 
d:io  altitudinibus  fyderum  nullam  mutationem  induceret. 
Accedente  refradione  ,  differentia  inter  refradiones ,  quae 
altitudinibus  Solis  folftitialibus ,  aeftiuae  et  brumali ,  com- 
petunt ,  dido  interuallo  addi  debet ,  Yt  diftantia  tropico- 
rum  vera  prodeat.  Huius  dimidium  obliquitatem  eclipti- 
cae  exhibet ,  quae  ,  fi  ab  altitudine  Solis  folftitiali  aeftiua 
per  refracHiionem  conuenientem  correda  aufertur  ,  in  lim- 
bo  inftrumenti  pundum  manifeftat ,  quod  aequatori  coe- 
lerti  refpondet.  lam  fi  in  tranfitu  alicuius  fyderis  per 
meridianum  ,  diftnntia  eius  ab  hoc  pundo  obieruetur  ,  ei- 
que  refradio ,  quae  altitudini  fyderis  obleruati  conuenit , 
applicetur  ,  addendo  ,  fi  declinatio  fyderis  fit  auftralis ,  fub- 
trahendo ,  fi  borealis  ;   habebitur   vera   fyderis   declinatio. 

Videtur  quidem  haec  methodus  requirere  altitudines 
(yderum  cognitas ,  adeoque  pofitionem  inftrumenti  refpe- 
<n:u  horizontis  cognitam  ,  vt  ex  altitudinihus  refradio  con- 
neniens  inueniri  poifit  ;  quod  etiam  verum  eft  de  fyderi- 
bus  prope  horizontem  meridianum  traiicientibus ,  vbi  re- 
frailio  ad  exiguam  altitudinis  mutationem  fenfibiliter  vari- 
atur.  Aft  vbi  fydera  vltra  10.  vel  12.  gradus  eleuata 
meridianum  tranfeunt ,  in  quantitate  refradionis  parum  pec- 
cabitur  etiamfi  altitudo  fyderis  ad  aliquot  minuta  incerta 
Tom.  XIL  y  y  fit, 


354  I^E  BECLINJT.  SIDER.  DETERMINAT.  &c. 

fit ,  ita  ,  vt  hoc  modo  altitudines  fyderum  practer  pro- 
pter  fcire  fufHciat.  Hunc  cafum  praecipue  refpicio  ,  cum 
prior  cafus  obleruationis  fyderis  nd  horizontem  tantis  erro- 
ribus  obnoxius  fit ,  Yt  iftum  Aftronomi  ,  quantum  fieri 
poteft  ,  iemper  euicare  ftudeant. 

Perfuafum  igitur  habeo ,  in  iis  Terrae  regionibuS , 
in  qiiibus  altitudo  foKlkialis  brumalis  25  gradus  fuperat , 
hanc  methodum  probe  fuccelfuram  efle  ;  cum  difFerentia 
refradionum  ,  quae  in  hoc  cafu  altitudinibus  folftitialibus 
competunt ,  fitis  exada  habeatur ,  \t  inde  nullus  error 
fenfibilis  in  detcrminatione  diftantiae  tropicorum  verae  ex- 
liirgat.  Inueftigatio  autem  declinationis  f}^deris  ex  hac 
methodo  refultans  ei  praeftare  videtur ,  in  qua  eleuatio 
aequatoris  et  fyderum  altitudines  meridianae  exadae  prae- 
fupponuntur  ;  faltem  in  ifla  euitantur  examina  inflrumento- 
rum  y  quibus  cognoicere  debemus  an  diuifiones  in  limbo 
inflnimenti  gradibus  altitudinis  fyderis  fuper  horizonte  re- 
d:e  refpondeant  ;  quae  vero  multis  faepe  difficultalibus  prae- 
iertim  fi  inftrumentum  fit  praegrande  vel  muro  iam  in- 
fixum  ,  premuntur ,  et  fubinde  errores  haud  exiguos  in  de- 
finiendis  altitudinibus  producunt, 

In  iis  regionibus ,  in  quibus  Sol  tempore  fblrtitii  bril- 
malis  parum  fuper  horizonte  in  meridiano  eleuatus  con- 
Ipicitur ,  veluti  in  his  terris ;  methodus  hadenns  expofita 
non  aeque  fiiccedet,  cum  maiores  et  variabiles  in  vicinia 
horizontis  refradiones  determinationi  diflantiae  tropicorum 
Terae  errores  nimios  inducere  valeant.  Econtrario  fi  ki 
feiS'  locis  intrumentum  murale  in  feptentrionali  plaga  extet 
•¥t  ope  ifUus  flellae   circumpolares  i»  meiidiano  fupra  et 


JDE  DECLinAT.  SIDER,  DETERMmAT.d^c  355 

infra  polum  obferuari  pofTint ;  methodo  ,  praecedenti  (i- 
mili ,  locum  in  inftnimento  definire  licebit ,  qui  vero  lo- 
co  poli  coeleflis  refpondet  ;  a  quo  deinceps  diflantiae  fy- 
derum  a  polo ,  habita  refradionum  ratione ,  computari 
pofHint ;  Yt  adeo ,  absque  exadla  eleuationis  Poli  vei  Ae- 
quatoris  cognitione  ,  f^^derum  declinationes  innotefcant. 

Cum  in  pofleriori  hoc  cafu  inflrumentum  murale  au- 
ftralem  coeli  regionem  refpiciens  non  admittat  exadam 
per  altitudines  Solis  folflitiales  determinationem  loci  in  in- 
ftrumento ,  qui  Aequatori  coelefli  relpondeat ;  cogitatio- 
nes  fubortae  funt ,  an  non  alia  quaeuis  Solis  loca  in  in* 
firumento  obferuata  ad  exadam  iftiusmodi  ioci  Aequatori  » 
refpondentis  definitionem  conducere  pofTint.  Differentiae 
Afcenfionum  redlarum  et  Declinationum  Solis  in  tnbus 
diuerfis  Eclipticae  locis  exiflentis  huc  facere  \idebantur. 

Sint  E  C  Ecliptica  ,  E  G  aequator  ,  in  E  pundlum  TaK.  xr. 
aequinocfliale ,  Sol  autem  primo  in  A  deinceps  in  B  et  fis«  s. 
denique  in  C.  Per  A  ,  B  ,  C  ,  intelligantur  circuli  de- 
clinationum  A  D  ,  B  F  ,  C  G  ;  A  ^:  fit  circulus  Aequato- 
ri  parallelus :  et  erunt  D  F  ,  D  G  difierentiae  Alcenfio- 
num  redarum  ;  B  ^  ,  C  c  different^ae  Declinationum  locis 
Solis  B  et  A  ,  C  et  A  refpondentium.  Dcntur  iam  di- 
dae  differentiae  DF,  DG,  Bd  ^  C  c  '^  piitebit  \ia  per- 
veniendi  ad  determinationem  Declinationis  AD  ,  Afcenfi- 
onis  redae  E  D  ,  et  obliquitatis  Eclipticae  A  E  D.  Affu- 
mendo  enim  exprefllones  incognitnnim  A  D  ,  E  D  et  A 
E  D  ,  dabuntur  expreffiones  arcuum  E  F  ,  E  G  ,  B  F , 
C  G  j  et  ex  analyfi  triangulorum  fphaericorum  redangu- 

Y  y  2  io- 


55^  M  BECVKAT.  SIDER.  DET ERMINAT.d^c. 

lcrum  AED,  BEF,  CEG  qnaeftio  ad  aequationem 
redigi  poteft.  Calculum  tentaui  ,  qui  \ero  tam  prolixus 
et- intricatus  euafit ,  vt  nulla  fpes  fuperfuerit ,  eum  conci- 
fiorem  reddendi  et  in  \fum  transferendi.  Nec  medela  al- 
lata  eft ,  etiamfi  obliquitatem  Eclipticae  A  E  D  cognitam 
fl.mieiem  ,  et  ex  differentia  Afcenfionum  reclarum  D  F  et 
differentia  Declinationum  B  b  ,  Declinationem  A  B  et 
Afceofionem  reclam  E  D  quaererem. 

Data  ,  quae  ad  folutionem  huius  problematis  rcqui* 
mntur  ,  per  obferuationes  al\ronomicas  admodum  exacla 
haberi  pofle  \identur.  Obiemando  Solem  per  iuftrumen- 
tum  murale  in  diuerfis  limbi  eius  locis ,  ex  horum  inter- 
Tallo  difFerentiae  declinationum  immediate  innotefcunt,  abs- 
que  praeuia  fitus  inftrumenti  refpedu  ^el  Horizontis  \el 
Aequatoris  cognitione.  Cum  autem  necelTe  fit ,  vt  diuer- 
fitatis  refraclionis ,  quae  differentiae  declinationum  obfer- 
uatae  applicari  debet ,  ratio  habeatur :  fufficit  altitudines 
meridianas  Solis  temrore  obferuationum  praeterpropter  ici- 
re  ,  \t  ope  ifianim  differentiae  refi-aclionum  conuenientes 
ex  tabulis  inueniri  poffint.  Hae  refraclionum  diflferentiae 
eo  certiores  funt ,  quo  maiores  funt  altirudines  Solis  me- 
tidianae  tempore  obferuationum  ,  quas  hic  rcquiro  ;  \t  a- 
deo  certitudo  diflferentiae  declinatovjm  quaefitae  folummo- 
do  pendeat  ab  exaclitudine  obferuationis  et  bona  inllru- 
menti  Gonfhuitione  ;  quae  requifita  in  omnibus  aliis  obfer- 
Vation:bus  fupponuntur.  Differentiae  Afcenfionum  reda- 
nim  Solis  aeque  exa^ftae  per  obfeaiationes  acquiri  pofle 
videntur.  Ex  altitudinibus  Solis  refpondentibus  meridies 
verus  certo  inueitigatur.     Si  tubus  reticulo  irifb-uc^tus  in  fi- 


DE  DECLINAT.  SIDER,  DETERMlNAT.  &c-  357 

xam  claritate  confpicnam  in  quacunque  coeli  plaga  (prae- 
(lat  prope  iAleridianum )  extantem  dirigatur ,  et  in  lioc 
fitu  ita  firmetur ,  Tt  nullam  pofitionis  fuae  mutationem 
fubire  polTit  ;  fingulis  tunc  fixae  reuolutionibus  etiam  in- 
terdiu  iib  per  tubum  memoratum  obieruari  peterit.  Da- 
bitur  ergo  per  obleruationes  interuallum  temporis  inter 
tranfitum  Solis  per  Meridianum  et  tranfitum  fixae  per  re- 
ticuium  fui  tubi.  Si  iam  eiusmodi  interualla  diuerfis  die- 
bus  notata  inter  fe  comparentur ,  innoteicet ,  quantum  Sol 
interea  A  fixam  acceiTerit  vel  ab  ea  recefferit  in  Aequa- 
tore ,  hoc  eft ,  dabuntur  Diffcrentiae  Afcenfionum  reda- 
rum  Soli  temporibus  obferuationum  ,    competentirm. 

Cum  tantam  in  acquifitione  datorum  ,  quae  praece- 
dens  problen)a  requirit ,  fKilicatem  ec  certitudinem  ani^ 
maduerterem  ;  rpfim  vero  problema  calculum  aptum  noa 
admitteret ;  iftud  paululum  mutaui  ,  vt  traclabilius  euade- 
ret.  Introduxi  lcilicet  iter  a  Sole  in  Ecliptica  confedum 
ab  vna  obferuatione  vsque  ad  akeram.  Sint ,  vt  ante  , 
E  C  Ecliptica  E  G  aequator  ,  E  pundum  aequinodiale  ,  pig. 
Sol  primo  in  A  ,  deinde  in  C  obferuatus ;  A  D  ,  C  G 
circuli  declinationum  in  polo  aequatoris  P  concurrentes  ; 
C  c  differentia  declinationum  ,  D  G  differencia  alcenfio- 
num  reclarum  ,  vtraque  per  obferuationes  data.  Suppo- 
fui  ergo  ,  dari  quoque  arcum  Eclipticae  A  C  ,  quem  Sol 
ab  vna  obferuatione  vsque  ad  akeram  emenfus  ert  Hoc 
fuppofitum  quidem  non  admittendum  effe  prima  fronte 
videtur ,  cum  theoriam  5olis  requirat  adeoque  hvpotefm 
obieruationibus  immifceat,  Attamen  re  perpenfi  crtdidi , 
parura  pecciui  pofie  iu  determinatione  quantitatis  arcus  A 

Yya  c, 


358  DE  DECLINAT.  SIDER,  DETERMmAT  d^c. 

C ,  vt  iftnm  absque  periculo  erroris  nimii  fupponere  li- 
ceret.  Ponamus  enim  Solem  aequabili  motu.  per  Eclipti- 
cam  ferri  ;  et  manifeihim  eft  ,  ex  intcruallo  temporis  in. 
ter  obferuationes  Soiis  in  A  et  C  exade  haberi  pofle  ar- 
cum  A  C  ,  ob  tempus  periodicum  Solis  datum.  Cum  Sol 
in  Ecliptica  vniformiter  non  moueatur ,  motus  eius  aequa- 
bilis  feu  medius ,  cuius  quantitas  cx  dato  tempore  cogno- 
lcitur  ,  corrigi  lolct  per  aequationes  centri  Solis ,  ita'  vt 
motus  Solis  vems  per  A  C  innotefcat  ex  motu  eius  rae- 
dio  ( tempori ,  quo  Sol  ex  A  in  C  peruenit ,  refponden- 
te)  comparato  cum  difFerentia  aequationum  centri  Solis 
locis  eius  in  A  et  C  competentium.  In  determinatione 
motus  medii  ex  dato  tempore  parum  vel  nihil  peccari 
poteft.  Qiiod  ad  dilFerentiam  aequationum  centri  locis 
Solis  in  A  et  C  coniienientium  ,  in  ilb  parum  quoque 
errari  pofle  credo.  Aberrent  enim  loca  Solis  per  tabulas 
aftronomicas  computata  aliquot  minutis  a  locis ,  in  quibus 
Sol  tempore  obferuationum  reuera  verfatus  eft  ^  haec  ta- 
men  aberratio  cxiguum  errorem  producet ,  cum  variatio 
aequationis  variationi  vnius  Gradus  in  anomalia  media  re- 
fpondens  nondum  ad  2.  minuta  afcendat ,  fi  maxima  fit; 
vt  adeo  aequatio  loco  Solis  ex  calculo  cempetens  parum 
differc  poffit  ab  aequatione  quae  loco  Solis  in  celo  refpon- 
det ,  praefertim  in  illis  cafibus ,  in  quibus  aequatio  per 
vnum  anomaliae  mediae  gradum  lente  variatur.  Differen- 
tia  ergo  aequationum  ex  tabulis  parum  difcrepare  debet  a 
difFerentia  aequationum  ,  quae  locis  Solis  in  A  et  C  re* 
iiera  refpondent.  Imo  cum  quaeflio  ad  differerrtias  redii- 
dta  fit ,  error  exiguus  ad  modum  erit  etiamli  in  fitu  Apo- 
£aei  et  magnitudine  excentricitatis  orbitae  Solaris  tabulae 

allro- 


DE  DECUNAT  SIDER.  DETERMINAT,  &c.  3^^ 

aftronomicae  a  fe  difFerant  ;  qno  cafu  quidem  ipfae  cen- 
tri  Soiis  aequationes  in  vna  tabula  diueriiie  erunt  ab  ho- 
mologis  aequationibus  in  altera  tubula  ;  diffeientia  tamen 
duarum  aequationum  in  Yna  tabula  non  muitum  abludet  a 
differentia  aequationum  homologanim  in  altera  ,  cum  ho- 
mologae  aequationes  fimiliter  fere  varientur  in  orbitis  eclip- 
ticis ,  quarum  Excentricitates  non  multum  a  fe  inuicem 
difcrepant  prouti  fit  in  fpecie  orbitae  Soiaris  iuxta  diuer- 
las  tubulas  confiderata.     Rem  excmplum   infra  declarabit. 

Detur  ergo  per  tabulas  aflronomicas  arcus  eclipticae 
A  C  ,  quem  Sol  ab  vna  obferuatione  vsque  ad  alteram 
peragrauit.  Dentur  praeterea  ex  obieraiatione  difFerentivi 
Declinationum  C^  et  differentia  afcenfionum  redarum  D 
G  feu  angulus  D  P  G  vel  A  P  C  ;  et  quaeftio  huc  redu- 
<S:a  erit ,  vt  in  trangulo  Sphaerico  A  P  C ,  ex  datis  arcu 
A  C  ,  angulo  A  P  C  ,  et  differentia  laterum  A  P  ,  P  C  , 
quae  efl:  C  ^  ,  inueniatur  latus  P  C  complementum  decli- 
nationis  C  G  quaefitae  :  quo  P  C  dato  inueniri  quoque 
potefl  angulus  P  C  A  ,  eiusque  complementum  ad  duos 
redos  E  C  G  ,  ex  quo  et  dechnatione  inuenta  C  G  in 
triangulo  E  C  G  ad  G  redangulo  innotefcent  ,  obliqtlitas 
Eclipticae  C  E  G  ,  afcenfio  redta  E  G  ,  longitudo  Solis 
EC: 

Pro  fblutione  problematis  praecedentis  fint 
AC=i:^  PC  =  jf 

Cczzb  VAzzix^lf 

APCfeuP-/>       PA  +  PC=i2.v+^ 
Ar<.leuF_/>       PA~PC:iiC(?:ii^ 

lam 


3(^0  DE  DECUNAT.  SIDER.  mTERMlNAT.  iyc. 

lain  per  theorema  Cl.  Euleri   in   Tom,    IV.   Comment. 
p.   98.  pofito  fimi  toto  —  I  ,  ed: 

r   A^ Co/.( PA-h?C)-H.  cor. (PA— PQ-H.  coJ.T.  of.  ilX—TC)- cof,V.corj2\~^M 

leu  introdiidis  fymboiis 

COf    a    rz:    ^^X  (^x-h^  ■+;  """f-  ^-t-  cof.  ■p.cof.  b  ~  cof^  p  .  cof.  (zx^h) 

-2 

tada  ergo  teraiinorum  transpofitionc  iniienitur 
eof.  (  3  X  +  ^  )  =  '■'°'''Z7il-"^- ^^- 

g  t  go/>  a  —  coj.  h  — -  coj.  p  .  coj.  b 

jm-  verj.  p  . 

Tt  lioc  problema  exemplo  iliullrarem  ,  elegi  obferuationes 
Solis  et  Sirii  diebus  2.6.  Apriiis  et  24.  Maii  flylo  nouo 
anno  1740.  inftitutas.  Tranfitum  Solis  per  meridianuin 
ex  altitudinibus  cius  refpondentibus  determinaui  ;  Sirium 
vero  obferuaui  in  fextante  murali ,  nulla  liabita  ratione, 
an  tempus  tranfitus  Sirii  per  reticuium  Iiuius  infirumenti 
conueniat  cum  tempore  culminationis  eius  verae  ,  nec  ne 
d.  26,  Aprilis  depreliendi  interuallum  inter  meridicm  ve- 
rum  et  tranfitum  Sirii  per  lextantem  muralem  4^  17'  32" 
temporis  primi  mobilis  d.  24.  Maii  ifiud  interuallum  in- 
veniebatur  2^  28'  i6|"  temporis  primi  mobilis.  Diflfe- 
rentia  igitur  horum  imeruallorum  ell:  i^  49  155",  cui 
refpondet  arcus  Aequatoris  27*  18.  52"  — DG  leu  ang. 
APC  ,  fi  Sol  d.  2<S.  Aprilis  in  A  ,  d.  24.  Maii  in  C 
txtitifle  'ponatur  ,  d.  26".  Aprilis  altitudinem  limbi  fiipe- 
rioris  Solis  in  Sextante  murali  notaui  43*  59' 45'';  d.  24. 
Maii ,  51*  10'  52",  non  attendendo ,  an  hae  altitudines 
fint  iuftae ,  an  vero  propter  aberrationem  inftrumenti  a 
fitu  horizontali  corredlione  aliqua  indigeant.  Prodit  inde 
difFerentia  declinationum  7'  n'  1"  cui  propter  difFeren- 
tiam  refradionum  et  mutatam  Solis  femidiametrum  addi 

ueoent 


m  DECLINAT.  SIDER.  DETEMimAT.  d^c  s^x 

debent  17"  ,  vt  yera  declinationum  differentia  prodeat 
7°  1 1'  24"  zziCc.  DifFerentiam  parallaxium  Solis  quip- 
pe  infenfibilem  hic  neglexi. 

Pro  arcu  AC  obtinendo  ,  qucm  Sol  a  meridie  vero 
d.  26.  Aprilis  vsque   ad   meridiem  verum  d.  24.  Maii  in 
Ecliptica  emenfiis  efl:,  computum  ex  tabulis  tum  de  la  Eire^ 
tum  Caffini  inftitui.      Ex  prioribus    inueni    locum   Solis 
medium  d.  2<J.  April :  meridie  vero  Petropoli  i^  4°  41' 
11"  ct  d.  24.  Maii  2^  2*^  17'  2"  ;  vnde  motus  Solis  me- 
dius  interea  fadus  cft  27^  35'  51''.     Aequatio  centri  5o- 
lis  d.  26.  April.   erat  i''^^'^^"  addit.    et   d.  24.  Maii 
1°  7' 21"  addit.  ;  hinc  diflferentia  aequationum  prodit  rz: 
35' 32",   quae   ex   motu   mcdio  27*  35'  51"  fubdudla 
relinquit   motum   Solis   verum   feu   arcum    AC  — 27^0' 
ip".     Ex  tabulis  CaJJini  ad  meridiem   verum   Petropoli 
d.  2(J.  April.  deprehendi   locum  Solis  medium   1^4°  41* 
12"  \  d.  24.  Maij  2'  2**  17'  10"  quapropter  motus  Solis 
medius  interea  fadus  eft  27*  35'  58".     Aequatio  centri  So- 
lis  loco  priori  refpondebat    1°  43'  44"  ,   loco  pofteriori 
1**  7'  30"  vtraque  additiua.      Si   difFerentia   aequationum 
35'  14^'  auferatur  ex  motu  medio  27*"  35'  58''',  reflat 
motus  Solis  verus  feu  arcus  ACzn  26°  $9^   44'^    Oc- 
currit  ergo  in  determinatione  arcus   AC   ex  tabulis  de  la 
Hire  et  Caffini  difFerentia  S5^^  ,    quae  tolerari   poffe  vi- 
detur ,   \t  autem    eo   minus   a  vero  aberrem  ,   inter   vt- 
rumque  arcus  AC  valorem  accepi  medium  27°  o'  2^'. 
Ex  hoc  ergo  computu  dantur 
Cc  feu  ^  =  7°   11'  24^'.     Cofin.  bzz:  9921:^65 
ang.  P  feu  p  —  27°  18'  52'^  Cof  p  zn  8885015 
Sinus.  verfus  pz^  1114984 
AC  feu  a  =  27**  o'  2''.       Cof.  a—  8910021 
Tom.  XIL  2z  Hinc 


3(52  DE  DECimAT  SIDER  DETERMINAT.   &c. 

Hinc   2.  cof.  ^—17820042 
2.  cof.  ^  — cof.  ^—    789S<577 

cof.  Z'  .  cof.p  =    8815148,^1  rmiis  totns  =:  i. 
Ojapropter   ,    li    hi    Taloi-es    rubflitiiantur    in    formula 

,-      ,  ,         ;  2.C0J'.    7  — «r/l-^cf.  p.  CO/.  6 

COl.  (  2  .r  -H^    =  sin.v„j.~ 

prodibit  cof. (  2x-{-/?)z=zl^^xSm.  tot.  (feii  looooooo) 

-cor.(2ju -4-^)^8219589 

=irm  55°-i6^53"velcof34r'-43'y' 
Igitur  ob  cof   (2a'-f-^)  negitiunm  ,  erit 

2X-\-if:^  Complemento  34.°.  4-3^  7^' ad  duos  redlos 
=   14.5°-   16'.    53''- 
et  X        =rz     69°.      2'.  ^^'/^  —?C  feu  diaantiae  So- 
lis  a  polo  d.   24..  Maii  y  vnde  hoc  die  declinatio    centri 
Solis  inuenitar  20°.   57^.   15^". 

Vt  innoLefcat  ,  quantiim  declinatio  fic  inuenta  conne- 
niat  cum  declinatione  methodo  ordinaria  dcfinita  ,  ex 
fuppofita  Aequatoris  eleuatione  et  altitudine  Solis  meridi- 
ana  d.  24.  Maii  per  idem  inrtrumentum  murale  obfer- 
vata  adhibltis  debitis  corredionibus ,  dcclinationem  Solis 
inueftigaui  quam  20°.  53'.  12".  inueiri  ,  quae  a  priori 
4'.  3^".  diilert.  Vnde  tanta  difcrepantia  ?  De  pofteriori 
declimitionc  certus  Him  ,  in  illa  errorem  locum  habere 
non  pOife  ,  qui  ad  dimidiam  minuti  partem  afcendat. 
E  contrario  de  certitudine  Datorum  et  calculi ,  ex  qui- 
bus  declinatio  prior  innotmt  ,  nullus  quoque  fcrupulus  fu- 
pered:.  Cogitationes  igitur  fubortae  funt ,  an  non  ex  erroribus 
illis  exigu  s,  a  quibus  obferuationes ,  etiamii  omnis  cura  adhi- 
beatiir,  liberari  nequeunt,  tantus  denique  error  conflatus  fit. 

Vr  hac  de  re    certus    fierem  ,  exemplum   elegi  ,  iii 
qno  qiiaeritum  iam  conit.ibat.     Data  huius  exempli  dein 
ceps  panliilum  mutaiii  >  caque  uilia  efFeci ,  qualia   prodire 

pof~ 


DE  mCLINJT  SIDER.DETFRMlNAT.&c.  3<?3 

poflent ,  fi  ipfis  errores ,  qiii    in    obfernationibns   corr.mitti 
queunt  ,   adhaererent.     Ea  ,  qune    exinde    relultabant ,  de- 
nique  comparaui  cum    quaefito  iam  cognito  ,    ^t   innotef- 
ceret ,  quantus  etror  in  quaefito  per  errores  obferuationnm 
produci    poffet.     Sint   in  A    20''  T  ,  in  C   24°  \j.     Ex 
tabulis  igitur  aflronomicis    erunt    ED=:i8°.    27'.  37'\ 
EG-.5i°.    36'.    SS\    AD— 7°.    50'.    o",CGzr 
18°.   48'.   25",   vnde    AC  feu  a  n  34°,  DG  feu  p  z=z 
33°.   9'.    18",    Cc    (eu^— 10°.   58'.   25'';    quaefitum 
autem  PCfcu  ^^—71°.    n'.   35"-      Tantus  praecife  ar- 
cus  PC  quoque  prodit  ,  fi  ex  datis  a  ^  b  ^  /) ,  iuxta  pro- 
blema   fuperius  quaeritur.     Cogitemus  iam  b  et  p  tx  ob- 
feruationibus  ^  a    vero   ex    tabulis   Solaribus   defumta    elfe. 
Ponamus  in  p  feu  ang.  A  P  C  per  obferuationes  errorem 
"vnius  minuti    commiffum  effe  ,  quod    ficile    f.eri   poteft. 
Si  enim  in    obferuatione    meridiei    peccetur   Yno   fecundo 
temporis  et    in    obleniatione    fixae    itidem    "vno   fecundo 
error  in  interuallo  harum   obferuationum  ad  2",  affurgere 
poteft.     Duo  iam  eiusmodi  interutilla    inter   meridiem  et 
obferuationem   fixae  requiiu:itur-pro    deternunando    angulo 
A  P  C  ;  quapropter  fi  ahen  interuallo  etiam    enorem   2" 
adfcribamus  ,  in  determinationem  anguli  A  P  C    error   4 
irrepere  valet ,  qui    in    quantitate    anguli  A  P  C  errorem 
Ynius  minuti    producit.     Fonamus    porro    in  b  fen  in  dif- 
ftrentiam  declinationum   Cc  per  obferuationes  introdudum 
effe  errorem   20"  ,   quod   fi?ri  pofle  patet ,  cum    ad   de- 
terminationcm    ipfius  C^    requirantur    duae    obferuationes 
quarum    quaelibet    errori     10"  fubiedla    cft.     Denique   in 
quantitate    ipfius  a  ex   tabnlis    Solaribus   defumta    ficillime 
error  30''  locum  habere   pote(L 

Introducantur  iam  hi   errores  fuppofiti  iu  data  fupe- 
riora  et  fiant.  .  az:z 


3tf4  DE  DECUNJT.  SIDER.  tiETERMINATd-c. 

/7  rr  34. .  o  .  30  . 

If  zz  10.     58.    5. 

p  =z  33.     10.  18. 
quibus  fadis  inuenictur  PC  (euxzr:  71*.  9'.    a5|"  ,  qui 
a  vero  arcus  P  C  valore  diflert  2',   Ss". 
Ponantur        a  —  33°.  59'.  30". 

b  :r:   10.      58.      5- 

p  zz;  33.     10.   18. 
et  deprehendetur  PCzz:  71**.  i',  5o|",  qui  a  vcro  eius 
valore  difcrepat  9'.  44I". 

Et  hac  ratione  combinando  errores  cum  Datis  fupc' 
rioribus  hoc  vel  illo  modo  plures  fuppofitiones  fieri  pot 
liint ,  quas  vero  vlteriori  calculo  profequi  non  opus  eflc 
iudico.  fufficit  hoc  exemplo  indicafle ,  problema  noftrum 
ita  comparatum  eflc ,  vt  committendo  exiguos  etrores 
in  Datis  ingens  error  in  Qiiaefito  exftirgat.  Plura  eius 
modi  problemata  in  aflronomicis  occurrere  folent ,  quae 
iuxta  theoriam  quidem  vfum  eximium  fpondent ,  in  ap- 
plicatione  vero  ad  exempla  omni  vfu  deftituuntur ,  dum 
errores  exiguos  exaggerant.  Aftronomia  per  eiusmodi 
theorias  parum  prouehitur ,  ct  omiiino  intereft  ,  vt  pro- 
pofitiones  iftius  conditionis  innotelcant.  Examinanda  funt 
problemata  et  ifta  feligenda  ,  quae  errores  ab  ob(eruiitio- 
nibus  inleparabiles  magis  magilque  imminuunt.  Ratio 
huius  fcripti  inde  patet ;  et  fiicile  nunc  perfuafum  habeo , 
problema  iiiperius ,  quo  ex  datis  differentiis  Alcenfionum 
redarum  et  Declinationum  Solis  Afcenfiones  redac  et 
Declinationcs  ipfae  inueniri  debent ,  quoque  calculum  rc- 
(picit ,  vfum  denegaturum  efle  ,  etiamfi  ,  quocunque  ar- 
tificio ,  elegans  et  concifa  fbrmula  algebraica  pro  folutione 
iftius  exliiberi  poflfet. 


Com.  .4c.  Imp.Jc.  T/-/?:.  Tom.:Sit  %i.  l. 


Com.  ^^c.Imjy.Jc.Ttb/IomJJITcLb.lL. 


Com   .  4c  Imj^  Jc  Teb  To  inSSIITah.  H. 


lihy^?,^^  M  SL\p^^:ro/^;j2rTaSjii: 


CoiJijn  Ac.Ii/tp.  Sc.TetropTom^nr.TahJV. 


i  \miTti  M  .Litp.  Sc.Tehvp  Tom  JR.Iah  2\ " 


i  oj?ir?j  ^ir.3ft^y.J'r,J^efyYTjmJar.'liihy: 


7 


l  \un,„  ^lr  .l„,f,.  J[-.J'f/,v^.Tj,>,  Jjr.T.ii. 


Ci?7y7772^r.  ^c  Jiiip  J^eb^^I^jinJQLH^atyr, 


D 


\/ 

~~~^ 

\'' 

r'y     7T 

^  / 

'■■■:•/ 

/^- 

'                       7^"^ 

(3-^ 

^ 

Ll'7/17//  Ai\  Jr  Jnip  J^eh-.TcrmJUL.TaS yT. 

(2^ 


rA 


foinni.  ArJutp.  j'r  .T/trjp.TjmJKTahJE. 

6^- 


6^-FP- 


^W^lv^^lfT  'lllii'lf'i  Nff 


(3-' 


6^- 


A- 


6^-^ 


^.^ 


^ 


c^- 


C^-7 


aV 


<>a 


./U/' 


^'^^^^^^■^c  .Ii/rp^S^-t7'ajj^om  .HL .  Ta6 .  MUL 


TomJlL  Tab.^aiL. 


"j|  llO'  *■  c-«— «v^^^^^. ^ 


f  ^m^ 


i\^m/n.  ^^c.Jnip.  Jr.  TrrTop.Toni ^XK.Tah.JSL, 


i.Im/,.  Jr.  T.-rr,.^.ro,„  :XK.Tah.., 


rL^/nni.,  Ii\I//fjj.  Sr.TphLw7oittXlL.TahX . 


^-V^ViWi 


..v^^- 


.•?- -yii'^'' 


CcCCWruJ 


-'^w^xT 


/>//////..  L-.Jni^,.  S,-.Tph;rpTo,nXa.T.,hX 


■piii'^ 


G77z?n  ,  J.C .Irnff  .  .J^c  ^Tetrop.Tom^KK .Tab  .^XI. 


Occrd. . 


G»i,fi  .  Ar  .Jn.p  .  ./r.JP^hoy.XunJU  .Tah  .JF.