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COURS

D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS

COURS

D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

Edouard COURSAT

Membre de l'Institut Professeur à la Faculté des Sciences de Paris

CINQUIÈME ÉDITION

TOME III

INTÉGR.4LES INFINIMENT VOISINES

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE

ÉQUATIONS INTÉGR.\LES. CALCUL DES VARIATIONS

PARIS GAUTHIER -VILLARS, ÉDITEUR-IMPRIMEUR-LIBRAIRE

55, Quai des Grands-Augustins

1956

Nouveau tirage

JUL2 91970

© 1956 by Gauthier-Villars.

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.

COURS

D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

CHAPITRE XXIII.

INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

L'élude dos fondions définies par une équation diffcrenlielle, dans tout leur domaine d'existence, est un problème dont la solu- tion complète, dans le cas général, dépasse actuellement la puis- sance de l'analyse. On a cependant obtenu des résultats du plus haut intérêt en se limitant à l'étude des intégrales infiniment voi- sines d'une intégrale connue. C'est ainsi que, dans ses mémorables travaux sur le Problème des trois corps ('), H. Poincaré a pu démontrer l'existence d'une infinité de solutions périodique^ et de solutions asjmplotiques à une solution périodique. La recherche des solutions infiniment voisines d'une solution connue 1 o conduit à un système d'équations différentielles linéaires qu'il appelle équations aux variations] le système analogue pour les équations aux dérivées partielles avait déjà été considéré par G. Darboux(-) sous le nom de système auxiliaire. Les résultats de H. Poincaré

(') Acta matliematica, t. XIII, 1890; Les mélhodes nouvelles de la Méca- nique céleste, t. I et III.

(-) Comptes rendus, t. XCVI, 19 mars i883, p. 766; Note XI du Tome IV des Leçons sur la théorie générale des surfaces, p. 5o5-5i6. Dans un Mémoire du Tome XXIII des Annales de l'École Normale (3' série, 190G); j'ai étendu le théorème fondamental de H. Poincaré à certains systèmes d'équations aux dérivées partielles.

COURSAT. — m. 1

2 CHAPITRE XXIII. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES.

ont été Utilisés depuis lors par M. Painlevé (') et quelques autres mathématiciens dans un problème d'analyse pure, la for- mation des équations dilTérenlielles à points critiques fixes.

Nous démontrons dans ce Chapitre le ^héoréme fondamental de il. Poincaré. après avoir étudié les intégrales d'un système d'équa- tions dilTérenlielles. considérées comme fonctions des valeurs ini- tiales. Cette étude a déjà été faite (II, n" 388). dans le cas où les seconds membres sont des fonctions analytiques. Nous la reprenons dans le cas général, au moyen de la méthode des approximations successives de M. Picard, qui conduit très simplement au but. en exigeant le maximum d'hypothèses.

I. — l'::OUATION> AUX VARIATIONS

437. Compléments sur les équations linéaires. — Nous allons d'abord présenter quelques remarques sur l'application de la méthode de M. Picard aux équations linéaires. Considérons, poui fixer les idées, un système de deux équations linéaires

(i) ~-=a}-i-bz-hc. ^-=«i>-f-6iz-t-ci,

^ ^ dx - flx

a^b^ c. a\.b\. C\ étant des fonctions continues de la variable réelle x dans l'intervalle de x^ à .r, > x„. Pour appliquer la méthode de M. Picard à la détermination des intégrales prenant les valeurs r„ et Zq pour X --=^-x„. on peut prendre, pour premières valeurs appro- chées de ces intégrales, au lieu des valeurs initiales elles-mêmes, deux fonctions quelconques ut x) et i'(x). continues dans Tinler- vallo (.zr„. Xi). Cela revient à po>er

_,-,(^) = )^,-+- 1 [an{f) ^hv{t) -f-c]<r//.

(■) Bulletin '.l>- la Société mdthéinatique. t. XXVIII, p. 201 ; Acta mathemn- 'ica. t. XXV. 190J. p. 1-85.

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 3

X étant remplacé par t dans a, h. c, a,, 6,, Cf et pour // > i.

j„(;r)=jKo+ f [«r„-,(0 -^bZn-riO -hc]dt.

z„{x)=2o-i- f [a,y„_,{t)-i-biZn-i{t)-hCi]c/t.

Toutes ces fonctions j^, 5„ sont évidemment continues dans l'intervalle (x,,, .x^). Cela posé, soit M une limite supérieure des valeurs absolues des coefficients a,b,a^,b^ dans l'intervalle (o-o, Xf), et H une limite supérieure des valeurs absolues de ri — u et de Zi — ( dans le même intervalle. On voit immédiatement qu'on a, en tout point de l'intervalle {x„. x^ ),

\r-2{.r)—yi{x)\ <2MH(^- xo), . ^.(t) — ^.(a-) <2MH{x — xo), et l'on vérifie ensuite de proche en proche qu'on a, quel que soit n,

\Znix)— Zr,-iix) < H.i („_i)^

Le raisonnement s'achève comme dans le cas général ( 11, n" 389); j'o et ^„ tendent uniformément vers des limites y{-r) et zix') qui sont les intégrales du système ( i ), prenant les valeurs r,, et z^ pour z = x„.

On dit, pour abréger, qu'une fonction F(j7) de la variable réelle x est dominante pour une autre fonction /(a?), dans un intervalle (a, ;3), lorsque F(j;) est positif et supérieur à la valeur absolue de f{x) pour toute valeur de x dans cet intervalle. Remplaçons, dans le système ( i ), les coefficients a, b, c, a^, bt^ c, par des fonc- tions continues A, B, C, Ai, B,,C<. qui soient respectivement domi- nantes pour les premières dans l'intervalle (x„, Xx », et proposons- nous d'obtenir les intégrales du nouveau système

(2) 4^ = aY-hBZ-^C, ^ = AiYh-BiZ-^Ci

dx dx

qui, pour x z=l x^ prennent des valeurs positives Y„ et Z„ respec- tivement supérieures à | Vo | et | *'" i- ^' ^Q^ prend pour premières valeurs approchées des fonctions U(j;) et V( j?), qui soient respec- tivement dominantes pour u{x') et v{^x')^ on voit aisément de

4 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

proche en proche, que toutes les valeurs approchées successives Y„(a;), 7jn(x) des intégrales du nouveau système sont positives dans l'intervalle (aJu, a:, ), et dominantes pour les valeurs approchées de même rang J'„(j;) et Zn{x) des intégrales du premier système. Les intégrales Yfx) et Z(a:) du système (2), qui prennent les valeurs Yn et Zf, pour j? = x^^ sont par suite dominantes dans tout l'intervalle (a^o, a;, ) pour les premières intégrales 1 ( ar) et ^ (37) du système (i). En prenant pour A, B, C, A,, B^, Ci des cons- tantes positives, on obtient un système auxiliaire à coefficients constants, et il serait facile d'en déduire des limites pour les va- leurs absoluesdes intégrales du systéme( i ) dans T intervalle!^ a;,,, x, ). Remarquons aussi que ces propriétés s'étendent sans difficulté à un domaine complexe, lorsque a, 6,c, a^,b^,c^, sont des fonctions holomorphes de x dans ce domaine.

Une dernière remarque, qui s'étend à un système d'un nombre quelconque d'équations linéaires, est la suivante. Soitj'' = a^ + 6 une équation linéaire où les coefficients a et fe sont des fonctions continues, la première /JO^iVûe, dans un intervalle (vC^, j?,), où x^^x„, et soit Y(x) l'intégrale de cette équation qui est égale à r„ pour X = Xy^. Si l'on prend pour première valeur approchée une fonction a( \r)^ Y(a?) en tout point de l'intervalle, toutes les autres valeurs avprochées Vn seront aussi inférieures ou au plus égales à ^ {x). Celte propriété résulte immédiatement de la relation de récurrence

\{x)-yn{j-)= f a(0; \{t)-y„-^{t)\dt,

et de l'hypothèse sur la première valeur approchée.

4o8. Application à vn système semi-linéaire. — Considérons un système particulier de la forme suivante :

où fi .V, y), '^(x, y), i\i(x, y) sont trois fonctions continues des variables x et x, lorsque x et r restent compris dans les inter- valles (x„. X,, -+- a) , ( r„ — h. r — 0), a e\. b étant deux nombres

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 5

positifs; on suppose de plus que la fonction f{x, y) satisfait à la condition de Lipschitz dans ce domaine, relativement à y. Pour obtenir les intégrales du système (3). qui prennent respectivement les valeurs j„ et s^ pour ^ = Xq, il est niaturel de procéder comme il suit. On cherchera d'abord l'intégrale de la première équation, qui est égale à r^ pour x =z Xq^ par la méthode de M. Picard par exemple. Soit Y(a:) cette intégrale qui est continue dans un inter- valle (\r„, a^o H- A), h étant un nombre positif < a. Remplaçant ensuite y par Y(j;) dans 9(37, y) e\,^{x,y), on obtiendra par deux quadratures l'intégrale Z,(a7) de la seconde équation qui prend la valeur z^ pour a; = x„.

Mais on pourrait aussi appliquer la méthode des approximations succesives au système (3) tout entier en prenant jo pour première valeur approchée de y, et une constante quelconque K pour pre- mière valeur approchée de z, ce qui conduit à poser

J'i=yo-^ I /it,yo)dt, js, = Zo-t-/' [?(^ro)K-(-^;.(^7«)]c?f

et, en général,

y„{x)=yo-^ f ,/[t,y„-,(t)]dt,

Lorsque n croît indéfiniment, yn tend uniformément vers Y(x) dans l'intervalle {Xq, Xf,-\- h); nous voulons montrer que Zn tend aussi uniformément vers Z(x). Il en est certainement ainsi, d'après le théorème général (n" 389), si p(x, y) et '\i{x, y) satisfont à une condition de Lipschitz relativement k y, mais cette dernière hypo- thèse est inutile, et il suffit de supposer les fonctions 9(^7, y) et d>{x, y) continues. Nous avons en effet

Z{x) = Zo^ r\[t,\{t)]Z{t)dt^ r<\,[t,Y{t)]dt; en comparant cette formule à celle qui donne Zn{x). il vient

Z{x) - Zn(x) = r { ^[t, Y(0]Z(0 - ?[^ yn-^{t)]zn-^{t) ] dt

^f I ^[^ Y(7)] - 4-[f, j-„_,.) (0] I dt,

6 CHAPITRE XXm. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

ce que nous pouvons encore écrire, en posant

Z(.r) — z„{j) — in{x),

8„(x)= f ç[t,yn-,{t)]K-,{t)dt-^ f {cp[/, Y (n] - = [/,, v„_,(n];Z (0^//

-4- J" j a;[^ Y(o] - <;'[^ v„_,(o] ! «'z.

Le coefficient de ô„ _ , {t) sous le signe / est plus petit en valeur absolue qu'un nombre positif M, car Yn-i{t) rosle compris entre >'„ — b et >'o 4- b\ d'autre part, la somme des autres termes sous le signe / tend uniformément vers zéro lorsque n augmente indé- finiment, puisque j'n tend uniformément vers \ . Cela étant, choi- sissons un nombre entier /> tel que la valeur absolue de

{ ^[t, \{t\] - ;p[^ yn-^{t)] j Z(o -H '\[t, Y(0] - Hf- yn-At)\

soit inférieure à un nombre positif À, quel que soiti, pourvu qu'on ait « > p. Le nombre p étant choisi de cette façon, considérons une suite de fonctions A^_< (j?), ^p{x) ..., A„(x). ... détermi- nées par la relation de récurrence

A«(.r)

: f [MA„_i(n-H X]f/^ («=/>,/> -H, ...I,

et supposons qu'on ait pris Ap_, (a:)> j ô^_t(j:) j. On voit de proche en proche que toutes les fonctions A,,(a:), A,,_,(x), ... sont respectivement dominantes pour d^ (a:), ô^.^, (j?), .... Or, lorsque n croît indéfiniment, A„(a:) tend uniformément vers l'inté- grale de l'équation linéaire j' = M j^ -f- À, qui est nulle pour a: = a:,,, c'est-à-dire vers ^ je^i^-'»' — i }.0n peut donc trouver un nombre entier m assez grand pour qu'on ait, pourvu que n soit> p + m,

z étant un nombre positif quelconque. Cette inégalité sera vérifiée a fortiori si l'on remplace An(ic) par ^{x). D'ailleurs, on peut supposer qu'on a choisi p de telle façon que j^ { e""^»-^»' — i | soit inférieur à e, puisque ). peut être rendu aussi petit qu'on le veut.

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 7

La valeur absolue de è„{T) = Z (x) — Zn (x) est donc inférieure à 2 £, pourvu qu'on ait n>p-i- m; z,i [x) tend donc uniformément vers Z {x) lorsque n augmente indéfiniment.

Au lieu d'un intervalle tel que (vC»,, j;„-h/t), il est clair qu'on pourrait aussi appliquer la méthode à un intervalle {x^ — /i, x„-l-/i): si les approximations sont uniformément convergentes pour les >„, il en sera de même pour les 5„. Le théorème s'étend évidemment à un système formé àe n -\- p équations de la forme

(4)

dvi

•^ =y<(-f-Ji. /.:••• -,7/2), (/ =1,2, ...,/0, (A = 1,2, ....pi,

dz,

—r- — -.k\{x,y\ .r„)2i-+-. ..

a.v

où les fonctions/, 'j, 'j» sont continues dans un certain domaine D, et où les fondions / satisfont dans ce domaine à la condition de Lipschitz, relativement aux j,. Si l'on applique à ce système la méthode des approximations successives, ces approximations sont convergentes dans le même intervalle que les approximations pour les ■>•, seulement, et la convergence est uniforme (').

4o9. Intégrales considérées comme fonctions des valeurs ini- tiales. — Reprenons pour fixer les idées une équation différentielle du premier ordre (5j g=/(a-.r^

où nous supposerons que / (r, y) satisfait aux conditions habi- tuelles dans un domaine D défini par les conditions

« l j: V a

[3-^^rs?

Prenons un système de valeurs initiales (j:,,, j'o) appartenant à ce domaine. Les valeurs approchées successives de l'intégrale y^^ y.». . . . , r,i. . . . restent comprises entre (3 — 6 et j3 -f- b pourvu

(') Les propriétés qui vont être établies dans les paragraphes suivants ont été l'objet d'un assez grand nombre de travaux, qu'on trouvera cités dans un Mémoire de M. E. Cotton sur le sujet {Bulletin de la Société mathématique, t. XXXVII, 1919, p. jO|, et t, XXXVIII, 1910. p. 4). La méthode que j'ai suivie ne diffère pas essentiellement de celle de M. Cott.m.

8 CHAPITRE XXIII. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES.

que Ton ;ùl

il suffit, pour s'en assurer, de reprendre le raisonnement du n" 389, et l'on voit de même que y„(x; Xo, )'„) tend uniformément vers une limite '-!>(x; :r„, r„) dans le D" défini par les conditions

3. — (i^ X ^ 01. -i- fi , -JL — u<. .r,,^ a -+- a. 'i — h £- î'tp£ .'j -t- /'.

i „— ,5 -4- M .r — ./■(, < b.

Ce domaine D' contient en particulier le domaine D" défini par les inégalités

, , / , r b

X — 7. <_ h, \ Xo — a S /<• J» Il — ,j < - î

// étant le plus petit des deux nombres a et y-r • Les valeurs appro- chées successives yn{x; x,,, r„ i sont évidemment des fonctions continues de j^q, y„ dans ce domaine, et par suite l intégrale v = '|(.a:; .f„' ..'o )? qui se réduit à y „ pour x =^x„, est une fonction continue de x,, et de y^^.

Pour démontrer que cette fonction admet des dérivées par rapport à .r„ et à i'„, nous supposerons que /( J7, )' ) admet une dérivée continue f\ ( x, y i. Soient

_ _ .hl _ .hl

~ 'h„ ' ~ '//■,! '

les dérivées dont nous voulons établir l'existence; si ces dérivées existent, elles vérifient les équations dillérentielles

'/Z „ , r/„

f/.r • f/x . . V V

qui se déduisent immédiatement de l'équation ( 5). Nous sommes donc conduits à étudier le système des trois équations difiéren- lielles yh) et ((>), et nous prendrons pour valeurs initiales

j)Our X .= u„. Ur, ce système est précisément de la forme ('tudiée j)lus haut. La fonction y, i ./•. )) étant continue, nous pouvons appliquer le théorème qui a été établi; la méthode de M. Picard, appliquée à ce système, conduit à des approximations uniformé- ment convergentes dans le même domaine D". Pour appliquer

\. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 9

cette méthode, nous prendrons pour premières valeurs approchées

) =r: )■„, c = I , u =: o, et nous poserons

iii = —/(-ro, Jo), puis, d'une façon générale,

Z.n{.T) = I -^J Zn-,{t)/\.[f, Vn-lit)] dt .

^; = '-^//y(^j-o)^//

Ou	a d'abord
	'<'■ ^^^0	= -	A.r..y„
et i	msuite
		à y, 07^	l ^~-''-

■/ ■'■•I '■■'"-' '"1^ '"■

on déduit de ces relations

et. par conséquent, on voit, de proche en proche, que l'on a, quel

ày n 'iy n

que soil n, -f — = Un-, ;— = ^n-

( )r la limite de )„ est l'intégrale r = '\) {x\ x^, Vd) j puisque z,, et u,t tendent uniformément vers leurs limites, ces limites ^ et a représentent des dérivées partielles de l'intégrale i\i (x; j:,,, ) |,)par rapport à ^r^ et )„, et ces dérivées sont continues dans le domaine qui a été défini plus haut.

lO CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

Il est facile d'avoir les expressions de ces dérivées. En eftét, si l'on remplace r par ■!f>{x: Xq, Vo) dans les équations (6), les inté- grales de ce système qui prennent les valeurs initiales i et— /( j?,,, r„) pour X = X,) s'obtiennent immédiatement et nous donnent

Ces formules prouvent que ^ {x\ x„, j'„) considérée comme fonc- tion des valeurs initiales ar,,, y,,-, satisfait à l'équation aux dérivées partielles ( ')

Le raisonnement peut sétendre à un système d un nombre

(') Soit <f(x, y) une fonction continue, admettant une dérivée continue i' la fonction

Z(J7,

■}\) = / =1 ■î^» -yf-r; -^0, ro)] d^:

où a est une constante, admet des dérivées partielles

et, par conséquent, la fonction lAx^^.y^) est une intégrale de l'équation aux dérivées partielles

La foni tion -y {x: j:„, y„) jouit des mêmes propriétés de réciprocité que dans le cas où la fonction / i.x, y) est holomorplie (II, n" 388;. De la relation

où )-, désigne la valeur de lintégrale pour x — .r,, on tire inversement

car il y a évidemment réciprocité entre les deux couples de variable» {x^,. >„), (x,, .Vi). En supprimant les seconds indices, on voit donc que l'intégrale de l'équation (5j, qui est égale à y^ pour x = x„ vérifie la relation »-„ = •^[x,, : x,y)\ Xj étant supposé constant, on peut dire que l'équation précédente représente l'intégrale générale de l'équation (5j dans le domaine qui a été défini plus haut, Va étant la constante arbitraire.

I. — EQUATIONS AUX VARIATIONS. I l

quelconque d'équations. Prenons, par exemple, un système de deux «équations du premier ordre

W ;^=/(x,v,^), ^=^(x,y.z^

dont les seconds membres sont continus et admettent des dérivées partielles contenues /, , /.. 9,., r^'^., dans un certain domaine D. La méthode de M. Picard prouve encore que les intégrales

y = <}f(x; xo. yo, Zo). ; = n(.r :./•„. j'o. z»).

qui prennent respectivement les valeurs )„ et z„ pour x = x„, sont des fonctions continues de jc; x„, v„, -0 dans un autre do- maine o, qu'on définirait comme plus haut. Pour démontrer que les fonctions 4" et tt admettent des dérivées partielles par rapport aux variables x„. j „, -o? nous adjoindrons aux équations (8) un système de six équations linéaires

(9)

avec les conditions initiales u = — /{x„, r„, z„'), c = i, kx>= o, t = -^ 9 (J^O)^)in -o), r} = O, ^ = I pour X = j;„.

D'après une remarque antérieure, la méthode de M. Picard, appliquée au système des huit équations (8 ) et (9), conduit à des approximations uniformément convergentes. Or, si nous prenons pour premières valeurs approchées de r, z, m, v, tr, ;, tt, t les valeurs

<lx	'If ^./" r ,)Y " ■" Jz '•	dv âf dx ~ àj'	-t-	diV d?	àf àf ^
		dt, dz dx ~ àj'^	-t^-	d^ dx	ôz ôx^ ^ ày àz ■

on vérifie immédiatement qu'on a

ày>	'h-,	^=(^-1	àz, ,	àz.	àz,
àx„ ~ '■	àyl " '■	àzv	àx, '"	àyo "■""•	àz,,

et l'on s'assure ensuite de proche en proche que ces formules sub- sistent quand on remplace l'indice t par un indice quelconque n. Par conséquent, les intégrales du système auxiliaire (9), qui prennent les valeurs initiales écrites plus haut, représentent respec- tivement les dérivées partielles des fonctions ^{s: x,,, ) „, ^0)1

,hl	.à'I	.w '^'^
- 'J^.'	' '>.ru'	" ^^-„
d-	<)-	r '^^
~ '^^0 '	■^'=^0'	^ -^77u

12 CHAPITRE XXm. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

Tt {x] j;,M ro. -0) par rapport aux variables x^, j'o, ^0 ^

(10) 5

ce qui démontre la proposition énoncée.

Piemarquons que {u, ^) (p, r,), (w, Ç) forment trois couples d'intégrales du système linéaire

correspondant respectivement aux valeurs initiales ( — /o, — <fç), ( 1,0), (0,1 ). On a donc

u = — /o (• — «po «V, ; = — /■« r, — I>o Ç

et, par suite, les fonctions '\>{x\ x„, >-„, -s,, ), r!(j: ; j;„ j» ^0 vérifient l'équation aux dérivées partielles ( ' )

<"> ^. ^•^^■""' '>'"' ^"^ JT; ^ ■ ^•^'" '^»' -'"^ ^ = "•

460. Extension aux équations qui dépendent de paramètres. — On peut encore étendre les propriétés qui précédent aux systèmes d'équations dont les seconds membres renferment des paramètres variables. Considérons, par exemple, une équation du premier

(*) On vérifiera comme plus haul (p. 10, note) que la fonction Z ( x ; Xo, ro, -0 ) = / 6 ( j:, ■;, - ) dx satisfait à l'équation aux dérivées partielles

^1^ ^/(-Tu, r», ■'») ^^ ^ ?(^»' •''<" -'») ^ ■^^^^'" ■'"' ^-''^ "•

(»D voit de même que les deux relations >■ — •y(x: x^, v„, z,), z = t,(j7; x,y,, -,) peuvent aussi écrire

r„= -^(Xe; X, >', z), Zo=^ -(X,; X, y, z). On a ainsi deux intégrales premières du système (8) (c/. II, n" 393).

1. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. l3

ordre dépendant d'un paramètre

le second membre étant une fonction continue de x^ j', À, et avant des dérivées partielles continues y!J. , et /> dans un certain do- maine D. L'intégrale qui prend la valeuryo poura: = a;,, estencore une fonction continue yz='\i[x; x„, ro, ^0 de a?„, J'u, ^ dans un certain domaine ô, car on peut la définir comme somme d'une série uniformément convergente dont tous les termes sont des fonctions continues de x; x„, Vo, ^' dans ce domaine. Pour démontrer que la fonction ^ peut être différentiée par rapport à >., il suffira d'adjoindre à l'équation ( 12) les équations linéaires

i dz du ., , _ ^

( ^ = •:/>(-> .-.^-^ -A.

avec les valeurs initiales z = i , m = — /{x^, )„ ), t^ =r o. En repre- nant les raisonnements du ii° 4o9, on verra que les intégrales de ce nouveau système sont respectivement

, , -, ')'l O'L .)-l

oy u oxq lit.

La méthode est évidemment générale, et Ton peut énoncer la pro- position générale suivante :

Etant donné un système de n équations dijférentielles du pre- mier ordre

i'i) ^=-/.(-.>-.,^=, ......„:>. ,>,,). .... ^•=/„.

dont les seconds membres sont des fonctions continues des variables x, ri, >.*, et admettent des, dérivées partielles conti- nues j^-, ^, dans un domaine D, les intégrales de ce système, qui prennent les valeurs initiales r", y'U . . . , j" pour x — .r„, sont elles-mêmes des fonctions continues et admettent des dérivées partielles par rapport aux variables x^,, (:>-•)» ^a- ^"^ sont aussi continues dans un domaine à suffisamment petit.

l4 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

Reniarqur. — La même môlliode permeltrait de démontrer l'existence des dérivées partielles des intégrales jusqu'à l'ordre N, relativement aux variables x. (^>'"), f-k-, pourvu que les fonctions f\,Ji . . . , fn admettent aussi des dérivées partielles continues relativement aux variables ),, À^t, jusqu'au même ordre N.

461. Intégrales inâniment voisines. — On arrive à des conclu- sio^is plus précises lorsque l'on connaît déjà un système particulier, d'intégrales des équations difterentielles considérées. Nous déve- lopperons encore le raisonnement, pour simplifier, sur une équa- tion unique (i5) y- =,/'(■ -r, y, À)

sur laquelle nous ferons les hypothèses suivantes : i" pour À = o, celte équation admet une intégrale particulière yi{x), continue dans rinlervalle ( x„, x,); 2" la fonction /(x, )-, X) est continue et admet des dérivées partielles continues f'y{x. >', À), /'i{x, r, À) dans le domaine D défini par les conditions

.'•(.£•'■ l''i. r\{.r \ — a^y^]i(.r) -h a, À ^ù,

a et 6 étant deux nombres positifs.

Soit R la bande du plan des xy limitée par les deux droites X = ,r„. j? r= X| , et les deux courbes

]■ =z yi{.r ) — a. y = yi{x ) -h a.

entre lesquelles est située la courbe intégrale connue y = V| (x); la fonciion fix, )', 1) est continue, ainsi que ses dérivées par- tielles, /[,, /> dans cette bande, pourvu que sa valeur absolue de À soit inférieure à b.

Gela posé, si la valeur absolue de X est assez petite, nous allons montrer que la méthode de M. Picard conduit à des approxima- tions successives convergentes dans tout l'intervalle (Xu, Xt), pour l'intégrale qui prend la même valeur initiale y» que ji ( x ) pour a;r=j7„- Soient H et K. les bornes supérieures de (/', ) et de {/{) dans le domaine D ; >' et^' étant compris entre Vi i x) — a et fi (x) H- a, et À, /.' entre — 6 et 4- ft, nous avons toujours l'iné- galité de Lipschilz

(16) A->-.y- \')-f{x,y. À) <H'j-7|-+-K!/.'-Xi.

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. l5

Prenons Y^ = Vf {x) pour première valeur approchée de l'inlégrale cherchée, puis posons

,{x)=yo-^f f[t, Y,(0, y^]dt

et, d'une façon générale,

\„{x)=yo^f f[t. y«-i(0, >^]^^-

Nous allons d'abord montrer que toutes ces valeurs approchées restent comprises entre >< (a:) — a elft [x] -t- a dans tout l'inter- valle {xo: -^i ), pourvu que la valeur absolue de À soit assez petite. Nous avons en effet

Y„ix)-y>{x)=J' \/lt, Y„_,(0; y-]-f[t,y,(t). o]

(lt\

si Y,i_i {^x) est compris entre ji (x) — a et ji (a;) -r «• nous avons encore, d'après la relation (i6),

^n{x-)-y,{x)\<Ç ;H Y„_,(0-ri(/)! + K Àiir/^

Considérons une suite de fonctions A„(^a^) définies par la relation de récurrence —

avec la condition ^i{x) =: o. Il est clair que toutes les fonctions Aola:), . . ., A(>r), . . . sont positives entre x„ et X\, et qu'on a I Yn{x) —fi {x) I <; Art(ar). Or les fondions A„(a;) sontles valeurs approchées successives de l'intégrale de l'équation linéaire

qui est nulle pour x = x^,, c'est-à-dire de la fonction

la première valeur approchée étant nulle, toutes les suivantes sont

Ib CHAPITRE XXIII. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES.

inférieures à l'inlégralo elle-même (n" Aol) et par suite on a. quel

que soit n,

Si I /. I est tel que le second membre de celte inégalité soit inférieur à a, on voit de proche en proche que toutes les valeurs approchées successivesY2(a7), . . .,Y„(x). . . . restent comprises entre i, (j?) — a et >|(\r) — a, dans tout l'inlervalle (x„, x^). Le raisonnement s'achève comme dans le cas général (n" 389); lorsque n croît indé- finiment, Y„(.r ) a pour limite une intégrale Y{x, '/.) qui prend la valeur )o pour x ^= J^o, qui est continue dans l'intervalle (^o, ^i ), et reste comprise en j-, — a et i , — « dans cet intervalle. La courbe intégrale reste donc comprise dans la bande R lorsque x varie de x-,, à x,. Les méthodes des n'" 409-460 prouvent de plus que Y(x, À), considérée comme fonction des deux variables x et/, est continue, ainsi que ses dérivées partielles Y^ et Y), lorsque x reste dans l'intervalle (x,, T| ), et que | ). | reste inférieur à un nombxx' r^ convenablement choisi.

Le raisonnement est évidemment général, et la proposition s'étend à un système formé d'un nombre quelconque d'équations dilTérentielles, dont les seconds membres dépendent d'un nombre quelconque de paramètres.

Lorsque les équations ( i4) admettent pour'/.t ^ o, . . . , >./,= o un sysLcnie particulier d" intégrales y i=^ y] {x)^ continues dans V intervalle (x-,,, j,), si les seconds membres fi,f,, •■■•,fn sont con- tinus et admettent des dérivéi^s partielles continues par rapport aux variables y i, '/./■, dans le domaine D défini par les conditions

■!\,^r^Xi, 7"('' 1 — "^.i;< .'J'i '■.' -+- "• ! >^/î.! < /■»,

a et b étant deux nombres positifs, les intégrales de ce système qui, pour x = a--,,, prennent les mêmes valeurs que

y1{.r\ yl]{-r),

sont des fonctions continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre par ranport à .v et aux paramètres /.^ dans un

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. I7

doinidne D' défini par los conditions

Jo^.r^Xi. À/. 'X. /. = i.o p,

•j. l'-tant un nombre positif convenablement déterminé.

I);ms le cas parliculior où les seconds membres y", soal des foac- lions analytiques des inconnues r, et des paramètres À^, les inté- iirales du système sont représentées, dans la méthode de M, Picard, par des sommes de séries uniformément convergentes dont tous les termes sont des fonctions analytiques (') des paramètres À^j. Ce^ intégrales sont donc aussi des fonctions analytiques de ces paramètres, et nous sommes ainsi conduits à un théorème de H. i'oincaré. qui sera démontré directement un peu plus loin.

On peut encore généraliser le théorème précédent en supposant que les \aleurs initiales de )i, )•.., . . . , r„ pour.r = j:,, sont autant de variables indépendantes. Si nous représentons la valeur ini- tiale de ) /( .' ) par )•" (:f„) = |i,, il suffira de poser ),(./■, = 'y,^ N,i.ri

jiour être ramené à un systèmi' de même forme que le système (i4)r mais renfermant n paramètres de plus 3,, ^So, . . ., ^3,,. Les inlé- i;rale> de ce nouveau système qui pour a: = jCo prennent les valeurs initiales rffJ",,) sont des fonctions continues et admettent des dérivées partielles continues par rapport aux nouveaux paramètres 5|. îj. . . ., 3„, pourvu <jue les valeurs absolues de ces paramètres restent suffisanimenl petites.

Enfin, on peut aussi supposer que la valeur initiale de x est elle- mèuie variable en admettant la continuité de /', . Par exemple, si, dans l'équation ( i5), nous posou^

./■ = \ -(- a. )■ = \ -(- ''j.

l'équation devient

et l'intégrale de celte équation qui pour X := .r„ prend la valeur r„ est une fonction continue de a, (3. ?. lorsque x varie de x^^ à .T). en

i') Il suffit en effet de quelques modilualions dans les raisonnements pour voir que les conclusions subsistent lorsque les paramètres ont des valeurs <oni- plexes, pourvu que les modules soient assez petits.

l8 CHAPITRE XXm. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

supposant toujours vérifiées les conditions énoncées plus haut, pourvu que |a|, |(3|, [Xj soient assez petits. On en conclut que, dans le même domaine, l'intégrale de l'équation (i5), qui prend la valeur y^ -+- (3 pour ju = jc^-\- a, est une fonction continue, admet- tant des dérivées partielles continues par rapport aux variables «, i^, À.

Exemples,— SoitjKi (^) une intégrale particulière d'une équation du pre- mier ordre /'= /(j:, >), continue de Xo à Xi, et prenant la valeur )o

X = Xq.

L'intégrale de la même équation, qui prend la valeur de Ko -t- /■ pour x = x^ est une fonction F (x-, À) des deux variables jfj À, continue et admettant des dérivées partielles continues lorsque x varie de x o h Xi el }• de — h i -¥■ h, le nombre positif h étant choisi assez petit. Soit AB le segment de la droite X = Xq, compris entre les deux points A et B d'ordonnées » o — h et >'(,■+■ h- De chaque point du segment AB part un segment de courbe intégrale allant de ce point d'abscisse Xf) à un point d'abscisse jti, et l'ensemble de ces seg- ments remplit la bande comprise entre les deux droites x = Xq, x = jti, et les deux segments issus des points A et B.

Soient, en eiïel, X', À" deux valeurs de X comprises entre — /» et -h h\ les deux courbes intégrales Gv, Gv-, qui correspondent à ces valeurs de À, ne peuvent avoir de point commun entre les deux droites x = j,,. x — xi, car il passerait par ce point commun deux courbes intégrales. Si l'on coupe ces courbes par la parallèle ar = a à O r (.rn< a < Xi), la fonction Fia, À), ne peut aller qu'en croissant avec À; si l'on avait à la fois

/.'>À", F(a, )/)<F(a, X").

il est clair que les deux courbes Gv, C>.r se couperaient entre les deux droites X = Jo» X = X. La fonction F (a, À) passe donc une fois et une seule fois pa^ toute valeur comprise entre F(a, — /<) et F(«, h\ lorsque X croît de — h à -h h.

Considérons encore un système de deux équations du premier ordre dont les seconds membres ne renferment pas de paramètre variable, et soient yi(x), Zi{x) un système particulier d'intégrales continues dans l'intervalle {xa, Xi) et prenant les valeurs ^o«?t ^o pour x = x„. Les intégrales qui, pour X = Xo, prennent les valeurs initiales )„-(- X, 2„-i- jj. sont des fonctions con- tinues, ainsi que leurs dérivées, dans tout l'intervalle {xn, Xi) pourvu que |X j et I [i. ( soient inférieurs à un nombre positif convenable. Dans le plan x = Xo, considérons une petite courbe fermée 7 entourant le point M„ de coordonnées (aJo, j^O) -2o)- De chaque point de la région a, limitée par y, par un segment de courbe intégrale aboutissant à un point du plan x = Xt. L'ensemble de ces segments remplit une région de l'espace, limitée par la surface formée par les segments issus des différents points de y.

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. I9

462. Équations aux variations. — Considérons, pour fixer les dées, un système de deux équations

. . dy .. . . dz .

et soient }. ^ ),(a:), 5 = ^,(ic) un système de solutions corres- pondant à la valeur /. = o du paramètre, solutions que nous sup- posons continues dans l'intervalle (x„, x^)^ les autres hypothèses sur les seconds membres /et cp étant conservées. D'après ce <(u'on vient de voir, les équations (17) admettent une infinité de systèmes de solutions, dépendant du paramètre À, continues dans le même intervalle, et se réduisant à yx{x) et ^{{x) respectivement pour }. := o. Il suffira de prendre pour valeurs initiales des fonctions ru(À), Su(^^? continues ainsi que leurs dérivées, et se réduisant pour >=r=o à y\{x») et z^(xQ) respectivement. Nous pouvons même supposer que le paramètre /. ne figure pas explicitement dans les fonctions /et cp, de telle sorte que ces intégrales ne dé- pendent de À que par l'intermédiaire des valeurs initiales. Soient

.)• = F(>, À), Z = *!>, >.)'

un de ces systèmes d'intégrales; pour }. = o, on a identiquement

(18) F('.r. o) = (',(.ri. ^{^j-. o) = :;i(.r), tandis que, pour x = x„. on a

(19) F(^o, À)=.>'o(X^. *ï»(j-o, À)= 3(.i.À)-

En différenliant les deux membres des équations ( 17 ) par rap- port au paramètre À, il vient

(20)

représentons par l(x) et r,{x) les dérivées F>(:r, >) et <!>•,( x, À), où l'on fait / ^ o, et donnons à X la valeur }. = o dans les relations précédentes. Nous voyons que ces fonctions l{x), Y)(ar) vérifient

dxâ\	~~ '{y f)\ ^ r)z ()'k
ôx >)',.	~ ôy- f)\ ^ >)z 1),

20 CHAPITRE XXUI. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

les équations linéaires

z= f\[a-, Vj, Zi : (>); -(-/lu-, >i, ^1 : <»)-f, -4-y\(j-, y

qui ont été appelées par M. Poincaré équations aux i- ai ia lions. Ces équations déterminent les fonctions; {x). yj {x) dans tout l'in- tervalle (j;,,, Xi)s si l'on connaît leurs valeurs pour x = Xo- Le nom d'équations aux variations s'explique par ce fait que si l'on considère la variation ôX du paramètre comme un infiniment petit, ces équations font connaître la partie principale de l'accroissement des intégrales y (x) el z- {x) lorsque x varie de a?,, à x, .

En général, l'intégration du système (21) présente les mêmes difficultés que l'intégration d'un système linéaire quelconque. Mais si l'on connaît l'intégrale générale du svstème (17), avec deux constantes arbitraires a et b.

(2>) .1= G(.r. À. a. />), :■ = Hi.r. À. a, b),

on peut en déduire immédiatement l'intégrale générale du sys- tème (21 V Supposons en effet, pour fixer les idées, que les inté- grales )•, ( jr ), 5, (x) correspondent aux valeurs a„, Z>„ des conslanle> d'intégration. En différenliant successivement les équations (17 ) par rapport aux paraiiièlres fl, h, f", et faisant ensuite / = o. </ = «„, b =-- b„ dans les relations obtenues, on voit immédiate- ment que les fonctions G';{x, o; «„, 6„) et H-, (t, o; a,. b„) forment un système particulier d'intégrales des équations (21 ), tandis que les fonctions (G'„, H^) et ('G'^,, H^) forment deux systèmes parti- culiers d'intégrales des mêmes équations où l'on aurait supprimé les termes indépendants de 1 et de r,.

Dans les applications, il arrive souvent que les fonctions / et ç ne dépendent pas de À, et les équations aux variations forment un système homogène. D'après ce qu'on vient de remarquer, on aura immédiatement l'intégrale générale de ce système linéaire, si l'on connaît l'intégrale générale du système ( «")•

463. Théorème de M. Poincaré. — Nous a%'ons déjà observé 4[ue, lorsque les seconds membres des équations différentielles

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 21

étaient des fonctions analytiques des inconnues j', et des para- mètres, les intégrales étaient aussi des fonctions analytiques des paramètres (n" 461). Ce théorème, dû à H. Poincaré, peut aussi se démontrer directement, par les méthodes habituelles du calcul des limites ( ' ).

Considérons, pour fixer les idées, un système de deux équations difTérentielles,

!^ = t\x, y. z. ■/.) = XrtaSvJ'-z^^J, ax • ' '

^ = ç(^. y, z. >.) = SèapvJ*z?XT,

(23)

où les seconds membres sont des séries entières en y, 2, À, dont les coefficients a^iy, 6a3v sonl des fonctions continues de la variable x dans un certain intervalle (a?o, ^/)- Ces séries sont sup- posées convergentes, quelle que soit la valeur de x dans cet inter- valle, pourvu que les modules de >', 2, \ ne dépassent pas un nombre positif p; de plus, ces séries ne renferment aucun terme indépen- dant de j', c. A, de telle sorte que, pour X=: o, les équations (aS) admettent le système d'intégrales particulières r = 2 = o.

Nous nous proposons tout d'abord de trouver deux séries entières en ).,

i y = À/tC--')-^ "A-V2(.'r)-t-...-H >."7„(j")-t-..., ^'^^^ ( Z='LZ,{.r^^W^Z^-{x^^...^K"ZnU)-^...,

sal'isfiiisanl formellement aux équations (aS), et dont tous les coefficients j'„(^), z„{x} s'annulent pour x ^=^ Xu- En remplaçant y et :; par ces dcveloppemenls dans les équations (28), et en identi- fiant, on a tout d'abord les relations

l dvi , .

\ -^j- — </loo>'|l ■/• ) -^ a^,u^^){■ï ) -^- «0(11,

<23) \ ^_

-tl — h^nn Vil ^-1 -*- 6„inZi I -/'^ -t- ^'nni. clx

qui, jointes aux conditions )-, {x„) = :;, (j;„) =^ o, déterminent les fonctions >', (:p) et z-^{x). Ces équations sont j)r(''cisément les équa-

(') M. Picard a donné une démonstration un peu différente (Co«''5 rfM/«r//> l. III, Chap. Mil).

, = (luioyni^') -+- aoiaZni-r) •+■ ii„-

22 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

lions aux variations qui correspondent au système particulier d'intégrales y := z =^ o. D'une façon générale, en égalant les coef- ficients de X„ dans les deux membres après la substitution, on obtient, pour déterminer les coefficients >'n(j7) et Zn(^), les deux équations linéaires

')"■■'

I -^ = ^iooJ/.(j")-^- boi»Zn{x)^ r„,

u„ et Vn étant doux polynômes entiers, à coefficients entiers et positifs, par rapport aux coefficients aaS--, 6*3^, et aux fonctions yiix) et Zi{x) pour lesquelles on aii<^n. On voit donc, en rai- sonnant de proche en proche, que toutes les fonctions ^'n et ^^ sont continues, ainsi que leurs dérivées j„ et s,^, dans l'intervalle (aro,^i). Nous pouvons remarquer que toutes ces fonctions se déterminent par des quadratures si l'on a intégré les équations (25).

Pour établir la convergence des développements 1^24) ainsi obtenus, imaginons un système auxiliaire

^ = V(x, Y, Z: À I = lAaSvVïZ.^À-.

a.r '^ '

^ ' d'L

IIJ =<ï)(.r. Y, Z: X) = 2 B^sy Y«Z3XT,

dans lequel les coefficients AaSy, BjtSy sont des fonctions domi- nantes pour a^iy et ft^sv respectivement, dans l'intervalle (oto, J|). On peut encore chercher des développements de la forme

( Y = Yi (a;) À -H . . . -(- Y„ ( j ) À" -(- . . . ,

I Z = Z,(j-)X-^...^ Z„(./-U"-^....

satisfaisant formellement au système auxiliaire (2-), et dans lesquels tous les coefficients Y„ {x) et Z^ (a?) s'annulent pour x=^Xm. Supposons x^ >a:o; ces coefficients Y„ et Z„ sont déterminés de proche en proche par des systèmes d'équations linéaires; Y, et Z, par exemple doivent satisfaire au svstème

(>i); — j— = A|„„ Y, -t- AoioZi -H Aooi. —7— = Bioo Yi -h BoioZi -t- Booi

il.r dx

et s'annuler pour x = x^. Si l'on compare ce système au système

I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS. 23

analogue (20) qui détermine Vi (j?) et -i(^), on voit aussitôt que Yi(x) et Z|(j?) sont des fonctions dominantes pour )| (x) et ^i{x) dans l'intervalle {xoi x^ ) (n° 457). Par suite, -^? et j- sont elles- mêmes dominantes pour -—■ et -—■ Le raisonnement peut se con- tinuer de proche en proche, et l'on voit que les fonctions Y,,, Z„, -y-^> -j^ sont respectivement dominantes pour les fonctions r„, ^„,

-y-^5 -^ dans l'intervalle (xo, xC)- H nous suffira donc de montrer qu'en choisissant convenablement les fonctions dominantes Aa':iy, Bapy, les séries (28) et celles qu'on en déduit en différentiant terme à terme sont uniformément convergentes lorsque la valeur absolue de X est assez petite.

Cela posé, soit M une limite supérieure du module des deux fonctions / et cp, lorsque x varie de a?o à X), et que les modules de r, z, \ ne dépassent pas le nombre positif p. Le coefficient du terme général en r*^^^' est inférieur ou au plus égal au coefficient

du même terme dans le développement de^ — ^— — "—^ — ^ suivant

les puissances de )', z, /.. Nous pouvons donc a fortiori prendre pour le système auxiliaire (28) le système

(3o)

/.r ilx \ -(- Z

et tout revient à démontrer que les intégrales de ce système, qui sont nulles pour x=^x^. peuvent être développées suivant les puis- sances croissantes de >. dans tout l'intervalle (a;,,, aji), pourvu que {X I soit suffisamment petit. En tenant compte des conditions initiales et posant Y-hZ+X — p?, le système (3o) se réduit à

l'équation unique

lit ^ }^\t{\^ t ) Z? - I — / '

avec la condition t ;= - pour x =. x^. Les variables se séparent, et

l'intégrale cherchée est la racine de l'équation ^ = «(^ + 1)-,

s X e- ^'^'— ■'"0' . . X

où « = '-- r— - qui se réduit à - pour x =^Xy,. Pour > = o, on a

2Î CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

aussi y. -= o, et la racine de l'équation en t (jui est nulle pour a = o est. comme on le voit aisément, une fonction holomorphe de a

tant qu'on aura \y. -< ;• Or, pour qu'il en soit ainsi, il suffit de

prendre jÀ | assez petil pour (jue -^^— r— ;— soit inférieur à -• Les

intégrales Y et Z pourront donc, si /. satisfait à celle condition. être développées en séries entières en >., convergentes dans tout l'intervalle ( x,,, x^ ). Les formules (3()) montrent de même que les

dérivées -j-t -y- seront développables en séries entières en X dans

le même intervalle.

La démonstration s'étend évidemment à un nombre quelconque d'équations, dépendant d'un nombre q iclconque de paramètres. On peut aussi l'étendre au cas où l'on donne à la variable x des valeurs complexes si les coefficients sont des fonctions analytiques de X. Supposons, par exemple, que les équations (28) ne ren- ferment aucun paramètre variable, et qu'on veuille développer les intégrales suivant les puissance> des valeurs initiales )o, z^, qui correspondent à x = j^q-

l^osons

les coefficients «„,„, '^nn seront déterminés de proche en proche par des systèmes d'équations linéaires, avec les conditions ini- tiales a,„„(j:o)= (3,„,i(Xo) = o, pour m -r /i > i . Quant aux coef- ficients (a,o, (3,„) et (a,M, p,,, >, ils forment deux systèmes de solu- tions des équations aux variati(»ns. déterminés respectivement par les conditions initiales a,,i(.ro). 3,o(^i?o) = <^^' et a„ , (j7o ) "-= o ^ ^3y,(\z-|,)^ 1. Les séries ainsi (tbtenues seront certainement con- vergentes dans tout l'intervalle ( a7„. ^i ), pourvu que les valeurs absolues àe y\ et de z^ soient inférieures à un nombre positif assez petit. Ce nouveau problème n'est en effet qu'un cas particulier du premier, car la méthode revient au fond à poser j == \ -!-](., ; = Z + 2„, et à développer suivant les puissances des para- mètres »'„, Cfl. les intégrales du nouveau système qui sont nulles pour X = .c„.

lieinarque. — Lorsque le système (ai) e?t un systcme linéaire eu )'. z, dont le> coefficients sont linéaires en X. ou peut prendre pour système auxiliaire

H. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 25

un système de la forme

A, B, C étant des constantes ]»ositives. Les intégrales de ce système auxi- liaire, qui sont nulles pour j- — ./•„, sont des /onctions entières du para- mètre À, et par suite il en est de même des intégrales du système linéaire jtroposé. Il en serait é\idemnient de même si les coefficients du système linéaire étaient des fonctions entières de X {cf. II, n" :i90).

II. — SOLUTIONS PÉRIODIOL KS ET ASYMPTOTIQUES. STABILITE.

464. Solutions périodiques. — ?Sous désignerons désormais par t la variable indépendante, qu'on peut regarder comme représentant le temps, pour (ixer les idées. Soient

(il ) '-^ = ( .r,. ./•■> /•„, /) a = 1. ■}., .... /*)

les équations définissant le mouvement d'un mobile dans l'espace à 11 dimensions; les X, sont supposées des fonctions périodiques de t de période o). Considérons un système de solutions correspon- dant aux valeurs initiales x\^ j:*!!, ...,x", pour t—t^^ ou, en employant le langage géométrique, la trajectoire issue du point de

coordonnées (a7°, x", r)'). Si, pour ; = /„+ oj, ces intégrales

reprennent respectivement les valeurs initiales a',', ...,x)[, le mobile se retrouve dans sa position initiale au teuips /„-(-&); comme d'autre part les équations (3i) ne changent pas quand ou change f en < -i- oj, il est évident que le .système de solutions consi- déré est périodique. Soit x/= o,(^^)(f = i , 2. . . ., 11) ce système de solutions, les fonctions o^ (/), . . . , 9«(<) étant des fonctions pério- diques de période w. Si les seconds membres des équations (3i) dépendent de certains paramètres variables, il peut se faire que pour des valeurs de ces paramètres voisines des valeurs qui coiTes- pondcal à la solution périodique connue, et pour des valeurs ini- tiales convenablement choisies, le système (^3i) admette de nou- velles Solutions périodiques voisines de la première. .Nous dévelop-

26 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

perons les raisonnements sur un syslèine do trois équations. Soient

(32) ',

( 1^=Z(.. ,-.=:,.,),

un système de trois équations différentielles dont les seconds membres sont des fonctions périodiques du temps t de période co. Supposons que, pour jn =: o, ces équations admettent un système de solutions

(33) .r = ?,(0, r^ç.jt), s = ?:,(/).

Q,, 92> 93 étant des fonctions périodiques de t de période w. Prenons pour ]ji une valeur voisine de zéro, et soient

(34) ./• = <&,(/, a,, «2,03, jji), j=<P^(t, ...), z = <I>:,(^ ...)

les intégrales des équations (Sa) qui pour < = o prennent les valeurs 9i(o) +«,, 92(0) H- «•>» 93(0) -t-a^ respectivement. Les valeurs de ces intégrales pour < = oj sont elles-mêmes des fonc- tions continues de a, , «o, «;,, ;jl, pourvu que les valeurs absolues de ces quantités soient suffisamment petites, et si l'on a

(35) •!/, = •î),(io, ai, ao, «n, jx) — f>/(o) — a, = o (f=i,2, 3)

le mobile occupera au temps ; =:l co la même position qu'au temps f = o. On se trouvera donc exactement dans les mêmes condi- tions qu'au début du mouvement, et, par suite, on aura une solu- tion périodique des équations (82) correspondant à ces valeurs de a,, «2, aj, ij..

Les équations (35) sont vérifiées pour fjL = o par des valeurs nulles de a,, oc-j, a^, ce qui donne la solution périodique supposée connue a priori. On pourra affirmer que ces équations (35) admettent encore des solutions en a,, oco, «3 pour des valeurs de p. voisines de zéro, si le jacobien des premiers membres par rapport à a, , a^, y.-^ n'est pas nul pour p =^ o, a; = o.

Posons

'^=[7;-)o' ^'^tejo' ^'^l^jo'

où l'indice zéro indique qu'on a remplacé «i, «o, «3 et p par zéro

lit	=	àx ^	-+-		-+-	âz '■
Tt	=-		-(-		-^-	dz'-
Jt	-	(YL , lu'-	+		-+-

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 2;

après la différentiation; nous savons que (^,, r/,. Ç, i sont trois sys- tèmes d'intégrales particulières des équations aux \ariations

(36)

où l'on a lemplacé dans les seconds membres x, y. z para, (<t, ?2(')j 9:i(') et p par zéro après la différentiation. Or on c<mnaît les valeurs initiales de ces trois systèmes de solutions

On aurait les valeurs de ces trois fonctions pour /=co, si Ton savait intégrer le système (36); il en est ainsi, eu particulier, toutes les fois que l'on connaît l'intégrale générale du système (Sa) pour ja = o. Mais, pour l'objet que nous avons en vue. cette intégra- tion n'est pas nécessaire. En effet, le jacobien qui intervient dans la question a pour expression

(37) ■ A =

en égalant ce déterminant à zéro, on a la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (36) admettent un système de solutions

1= A|,+ BÇ2-+-Gt3, Tj = A-r.,-+-Br,»^-Cr,:,. ^ = A! , - B:. -^ Cr:,,

reprenant les mêmes valeurs pour / = o et pour< = cij, c'est- à-dire un système de solutions périodiques.

Pour qu'il en fût ainsi, il faudrait que l'un des exposants carac- téristiques (II, n"423) des équations (36) fût nul. Convenons, pour abréger, de dire que ces exposants caractéristiques sont les expo- sants caractéristiques de la solution périodique connue x^^=^ 9H'^î Xo = (p.j(^), j;, =: (p;, (;) ; nous pourrons alors énoncer le théorème suivant :

?l((0) — 1	•m(w)	r 1 ( co ')
b(co)	T,,((0) — I	r.e-^)
t,((0)	•'i3(w)	rn(to)-

.>8 CHAPITRE XXIU. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES.

Si aucun des exposants caractéristiques de la solution pério- dique connue n'est égal à zéro, à toute valeur [l voisine de zéro correspond une solution périodique des équations (32) voisine de la première.

Lorsqu'un des exposants caractéri^tiijues de la solution périodique cnunuc est nul, le raisonnement précédent ne s'applique plus, mais on ne peut eu conclure qu'il n'existe pas, pour les petites \aleurs de a, des solutions pério- diques voisines de la première. Supposons, par exemple, que le jacobien des premiers membres des équations (ij) par rapport à ai, a-i, a ne soit pas nul pour a; = a-j = 23= u = o; alors, à des \aleurs de «3 voisines de zéro cor- ie<.pond un système de valeurs de ati, ao, [jl, \éririant les relations (35). On vctit donc qu'inversement à une valeur de ;j. voisine de zéro correspondent aussi des valeurs de ai, a», a3 tendant vers zéro avec a; mais il y a. en général, plusieurs systèmes de valeurs de ai, aj, a;; correspondant à une même \aleur de a. et par consé(iuent plusieurs familles de solutions périodiques voisines do la première. La conclusion ne serait en défaut- que si tous les jacobiens des premiers membres des équations (35) étaient nuls pour a, = 0, ;x = o. Même dan* ce cas, on ne peut affirmer, sans autre examen, qu'il n'existe pas de solu- ti(jns périodiques voisines de la première. Il pouirait arti\er. par exemple, que les trois équations (35) ne soient pas distinctes; il est clair que, lorsque cette cisconstance se présente, tous les jacobiens en question seront nuls,, et pourtant il y aura, en général, une double infinité ou une triple infinité de solutions périodiques, suivant que les trois équations se réduisent à deux équiitions distinctes ou à une seule. Pour la discussion détaillée, ainsi que j)our l'examen du cas où les équations (3i) ne renferment pas le temps explicitement, je renverrai le lecteur aux tra\aux de M. H. Poincaré, ou au Traité d'Analyse de M. E. Picard (t. III, Chap. VIII). Ce qui précède suffit pour montrer comment la recherche des solutions périodiques est ramenée à l'étude d'un système de trois équations à trois fonctions incon- nues d'un paramètre, dans le voisinage d'une solution connue a priori.

46o. Solutions stables et instables. — Soit

.r, = 9,(/) ii = \. ■> // 1

un système de solutions des équations difTôrentielles

^m '-^ = XKfi. ^f •■■■ •/•«: t):

les fonctions Oi{t) sont continues pour toutes les valeurs de f >» t,,^ et nous supposons de plus que ces solutions ne passent par aucun point singulier des équations différentielles (38). Considérons un

H. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 29

autre système d'intégrales prenant pour 1 = 1^ les valeurs initiales

Ijaprès ce que nous savons déjà, on peut choisir les valeurs abso- lues de «1, «21 • • • j «/i assez petites pour que la nouvelle solution diffère de la première d'aussi peu qu'on voudra, pendant un temps aussi long qu'on le voudra. Mais il peut se faire que, lorsque t grandit indéfiniment, la nouvelle solution finisse par s'écarter beaucoup de la première, aussi petites que soient les valeurs absolues des a,. Ceci nous conduit à une nouvelle notion impor- tante, celle de la stabilité des intégrales des équations différen- tielles.

Pour donner des définitions précises, nous supposerons que la solution connue se réduit à .r, = o, .... vCrt=o, ce qui évidem- ment ne restreint pas la généralité, car on peut toujours prendre pour nouvelles inconnues les variables jc\ = j:, — :9((0- Nous nous bornerons d'ailleurs au cas très général où les équations ont la forme

(3,, :^ = ïPs<;„„...,„..r.x5.....,c. ('"■i; V. -..'"."r)'

les seconds membres étant des séries entières (') en j:,, ..., Xn dont les coefficients sont des fonctions continues de t, qui restent bor- nées pour les valeurs réelles de i>f„. Enfin, nous supposerons que ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs réelles ou complexes des variables xi de modules inférieurs à un nombre positif H convenablement choisi, et pour toutes les valeurs de />/„. Si M est un nombre positif, supérieur à la valeur absolue de l'un quelconque des seconds membres dans le domaine ainsi défini, on a, pour toutes les valeurs de />/(, (n" 3«^2),

Lorsque les coefficients P sont indépendants de ^, on a les équa-

( ) La question a été traitée récemment, avec des hypothèses beaucoup plus giMiéiales, par M. E. Cottoo, qui remplace les équations différentielles ( 3<j ) par un système d'équations intégrales {Annales de VÉcole Normale supérieure, ■V si'ric. t. XXVIII, 191 1, p. 473). Je dois citer aussi un important Mémoire de M. P. Hohl {Bulletin de la Société mathématique, t. XXVIII, 1910).

3o CHAPITRE XXllI. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

lions d'un mouvement permanent, c'est-à-dire des équations défi- nissant le mouvement, dans l'espace à n dimensions, d'un point mobile dont la vitesse à chaque instant est indépendante du temps, et ne dépend que de la position du mobile à chaque instant. Ua autre cas très important à considérer est celui où les coefficients P sont des fonctions périodiques du temps; c'est à ce dernier cas qu'on est ramené quand on veut étudier la stabilité dune solution périodique connue Xi='ji(t') des équations (38), les seconds membres étant indépendants de ( ou des fonctions périodiques. La transformation Xi^= (fi{t) -i- x'^ conduira en effet à des équa- tions (89)011 les seconds membres seront des fonctions périodiques de /, alors même que les X, seraient indépendants de t.

Considérons les intégrales des équations (89) ^,('/ 1, . . ., x„{t) qui prennent pour t^^t^ des valeurs initiales ar',', .... xjj infé- rieures à H en valeur absolue. Etant donné un nombre positif quelconque £ < H, s'il est possible de lui associer un autre nombre positif, of^E tel que les conditions jar^|<;v} entraînent comme conséquences les inégalités

pour toutes les valeurs de t supérieures à /„, on dit que la solu- tion :rj= o est une solution stable. S'il existe un nombre positifs tel qu'il soit impossible de lui associer un autre nombre positif y^ de façon à satisfaire aux conditions précédentes, la solution est instable. Il est clair qu'on peut remplacer la définition de la stabi- lité par la suivante : à tout nombre positifs •< H, on peut associer un autre nombre positif r, tel que la condition

entraîne l'inégalité { œi{t) }"--h . . . -i- { Xn{t) \-<^. pour/ < t^. La définition de l'instabilité peiil se modifier de la même façon.

Les fiiuatinns linéaires i\ coefficients constants fournissent facilement des

exemples. Les so!uti»jns du système -j- =— y, -j- — x, prenant les valeurs

initiales .x-„, jo pour / = o, ont pour expressions

.r = Xo c.ost — Vo sin/. y = Xn cnsf.

et l'on a x'^-^y-= J"ii-+-^)'n. Il suffira qu'on ait -r5-i- )n< 3^ pour qu'on ait aussi, «piel (pie soit (, x-— y"--^, z-. La solution x = y = 0 est donc stable.

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 3l

Les intégrales du système

dx dv

qui prennent les valeurs xo, yo po"ur / = o, ont pour expressions ./• - 3 e -f- ^ e , j _ .^ e -^ ^ •

La solution x=j' = o est instable, car si l'on prend par exemple )« = 2aro, I JT I et I r I croissent indéfiniment avec t, aussi petit que soit x,,, pourvu qu'il ne soit pas nul. Cet exemple donne lieu à quelques remar((ues. Si les valeurs initiales Xq, /o satisfont à la condition x„-i-^o = o, \ x et |y I diminuent et tendent vers zéro lorsque t croît de o à -h »; il y a stabilité conditionnelle. De même, si l'on prend des valeurs initiales telles que la différence 2Xq — jKo soit nulle, x tx. y tendent \ ers zéro lorsque t décroît de o à — oc. Si xq. J'o ne vérifient aucune de ces conditions, \x\ et \y\ augmentent indéfiniment lorsque / croît indéfiniment, soit par valeurs positives, soit par \aleurs négatives.

Les intégrales du système -7- =y, -j- =— ly — 2x, qui prennent les valeurs Xp, y„ pour / = o, ont pour expressFons

X = e-'[xo cosr-t- (j:-n-+-^o) sin^], y = e~'[/o cos/ — {2Xo-i-yo) sin/J;

quels que soient j^o, yo' ces fonctions tendent vers zéro lorsque t croît indéfiniment. Non seulement la solution x = r = o est stable, mais toutes les intégrales se rapprochent indéfiniment de la première lorsque t tend vers -+- x: nous dirons pour abréger qu'elles sont asymptotes à la solution X =y = o.

466. Théorèmes généraux sur la stabilité ('). — Lorsque les coefficients des termes du premier degré en. Xt, . . . , Xn dans les seconds membres des équations (.39) sont indépendants de t. les équations aux variations qui correspondent à la solution connue Xi=o sont des équations linéaires à coefficients constants, et l'étude de ce système permet en général de reconnaître si celle solution est stable ou inslable.

Soit Y(xt,x-î. ...,x„) une forme quadratique à coefficients constants: si Ton y remplace X], jîo, . . . , Xn par un système de solutions des équations (Sg), le résultat de la substitution esl une

('} J'ai suivi, à part quelques modifications de détail, la méthode de démons- tration de M. Liapounoff, dans le Mémoire déjà cité (Annales de la Faculté de Toulouse. 2' série, t. IX, p. 403).

32 CHAPITRE XXIIl. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

fonction de ^, dont la dérivée \' a pour expression, en lenani compte des équations (3() ) elles-mêmes,

< 4i ) V' = V| ( Xt. x-2 '•„') -+- *(./■,. xo, .... x„; f^.

V, étant une nouvelle forme quadratique à coofticients constants.

et O une série entière en ûCf. x-, t„, comnu.'uçant par des

termes du troisième degré au moins. Si l'on peut choisir les coef- ficients de V(a7|. . . ., Tn) de façon que Y,( j;,, .ro, . . . . j", ) soii une foi me dé/lnie positiie^ on a les théorèmes sui\ants :

i" La solution J'/^ o est stable, si la forme cofresponclante \ {Xi, X.,. . . ., x,i) est une forme dcjiiiie négative:

2" La solution 5:,= o est instable, si la forme V est une forme définie positive, ou une forme indéfinie (').

Pour faciliter le raisonnement, nous emploierons le langage de la géométrie, et nous appellerons point tout système de valeurs pour les n variables (ar,, ar-j, .... j"„). L'ensemble des points dont les coordonnées vérifient la relation x, + . . . H- x'^, = p- sera appelé une hypersphère Sp de rayon p, et l'ensemble des points pour lesquels on a ctj'H- . . . + a^,-, < p- sera de même V intérieur «le l'hypersphère S,^.

Cela posé, si la forme \\ (jr,. X'2^ • • • , oTa) est une forme définie positive, il résulte des hypothèses qui ont été faites plus haut sur les coefficients des équations (Sq) qu'on peut trouver un nombre positif R tel qu'à l'intérieur de l'hypersphère de rayon II la dérivée V soit positive et ne s'annule qu'à l'origine. En lilet, nous pouvons représenter les coordonnées X\, . . . . x„ par pa,.

paa, . . ., pa,,, p étant un nombre positif, et a,, a^ Xn étant

des nombres qui vérifient la relation «y + . . . + a^-; = i . En faisant cette substitution dans V^', il \ ient

V'=--p2[V^«,, a, a,)-^pW].

(') I.orsque V,(Xi, x xj est une forme, définie, le liessien de la tunue

correspondante V ne peul èlre uui ; car si ce Iiessien était nul. on pourrait satisfaire aux n équations - — = o. et par suite à l'équation V, ~ ■>, par d. s valeurs non toutes nulles des inconnues x,. La forme V est donc la somme de n carrés de fonctions linéaires distinctes, multipliés par des facteurs cons- tants différents de zéro.

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 33

W étant une fonction de a,, a.>, . . ., a„, p, t^ qui est continue pourvu que p reste inférieur à une certaine limite H et que t soit >• fo- Lorsque le point (a,, «a, . . . . ctn) décrit Thypersphère de rayon un, la forme Vi (a,, cxo, . . . , a„) reste positive et supérieure à un certain minimum m. Soit d'autre part M le maximum de la valeur absolue de W. En prenant pour R un nombre positif infé- rieur- à -Tj il est clair qu'à Tintérieur de l'hypersphère de rayon l\

V sera positif, sauf pour l'origine où l'on a \''::rr o. Nous suppo- serons, dans la suite du raisonnement, que le nombre R ait été choisi de celle façon.

Cela étant, examinons d'abord le cas on \'( j",, aro, . . ., x,j) est une forme définie négativi;. Soit e un nombre positif quelconque inférieur à R; lorsque le point (j;,, 0:3, .... Xn) décrit l'hyper- sphère de rayon e, V{Xi, x^, . . . , Xn) reste négatif et par consé- quent est plus petit qu'une valeur maximum — Is.. D'ailleurs cette fonclion V s'annule pour a^i = . . . = ar,i= <>; on peut donc assi- gner un nombre ). > s tel qu'à l'intérieur de l'hypersphère S> de rayon X, on ait V >> — R . Le nombre X étant choisi de cette façon, si pour t := ^0, les valeurs initiales x°, x?,, . . ., ;r" sont les coor- données d'un point intérieur à l'hypersphère de rayon X, le point {Xi^x^i ..., Xn) restera toujours à ^intérieur de Vhypersphère de rayon e, lorsque t crotira detf^à-\- 00. En effet, le point (57, , . . . , x,^ commence par être à l'intérieur de cette hypersphère; s'il n'y reste pas indéfiniment, supposons qu'il atteigne pour la pre- mière fois l'hypersphère Se au temps T >> ^o- Soient Vo et Vx les valeurs de V(j:,, x^^ ..., Xn) aux époques f,, et T; on a V'o > — ^ 1 Vx^ — R (d'après la façon dont on a défini les nombres K et X) et par suite Vo>> Vj. Or une telle relation est impossible puisque, du temps t^ au temps T, la dérivée V est positive. Nous sommes donc conduits à une contradiction en admettant que le point (a?,, ..., Xn) atteint l'hypersphère S^; par suite, la solution J7/= o est stable.

Dans le cas considéré, non seulement la solution est stable, mais toutes les solutions suffisamment voisines sont asymptotes à la première. En effet, lorsque t croît de /« à -h 00, la fonction V, qui part d'une valeur négative, et qui va en croissant, tend vers zéro ou vers une valeur négative — l. Je dis que cette dernière

i4 CHAPITRE XXIII. — INTEGRALES INFINIMENT VOISINES.

hypothèse est à rejeter. En effet, la fonction V s'annulant à l'ori- gine, il existe un nombre V tel qu'à l'intérieur de l'hjpersphère de rayon V, on ait V >» — /. Le point (x,, jTo, • . • , ■r,t) resterait donc extérieur à cette hypersphèreSv Or lorsque le point (.2:1,570, ..,, Xn) reste compris entre S), et S^, V reste plus grand qu'un certain minimum p. >. o. On aurait donc, au temps T,

VT>Vo-+-a(T-/o);

une telle relation est impossible, car le second membre augmente indéfiniment avec T, tandis que Vj devrait rester inférieur à — /. 11 faut donc que \{xu^-2^ ■ ■ . ■, x„) tende vers zéro lorsque t augmente indéfiniment, et par suite que a;<, Xn, • . -, x„ tendent vers zéro.

Il est à remarquer que le raisonnement employé plus haut prouve quily a stabilité lorsque V est une forme définie négative^ pourvu que V ne puisse prendre que des valeurs positives ou nulles pour les valeurs des Xi voisines de zéro. Mais on ne peut plus affirmer dans ce cas que les solutions voisines de la première sont asymptotes à celle-là. Par exemple, dans le cas élémentaire

des deux équations

dx _ dy

~dt ~-^' ~di ^~^'

si l'on prend ^ 3= — (3:^-1- >-), on a V'= o; il y a stabilité, mais non asymptotisme.

Supposons en second lieu que, \ ^ étant une forme définie posi- tive, V soit une forme définie positive ou une forme indéterminée. Le nombre R ayant la même signification que plus haut, soit e un nombre positif inférieur à R, et X un autre nombre positif <e. Quelque petit que soit X, nous allons montrer qu'il est toujours possible de prendre à l'intérieur de l'hypersphère de rayon X un point {x\, . . ., .r") tel que, les valeurs initiales des variables Xi étant x], a:", . . ., :r" respectivement, le point (a?,, Xo, . . ., Xn) finisse par atteindre l'hypersphère de rayon e. Soient, en effet, [x\. . . ., a?") les coordonnées d'un point intérieur à cette hyper- sphère tel qu'où ait Vo= \ {x\^ . . . , x^^) >> o. La forme V s'annu- lant à l'origine, il existe un nombre X'<<X tel qu'à l'intérieur de l'hypersphère de rayon X' on ait V << Vq. Considérons le système

11. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 35

d'intégrales des équations (89) prenant pour t ^= Iq les vleurs x\, x\^ . . . , ^" ; nous voulons montrer que le point (a^, , .To, . . . , Xn) finira par sortir de l'hypersphére Se au bout d'un temps fini. L'hypothèse contraire conduit en effet à une conséquence absurde. Si le point (a?,, Xi, . . ., Xn) restait intérieur à cette hjpersphére, Vêtant toujours positif, V irait en croissante! ne pourrait prendre de valeur inférieure à Vo- Le point (.r,, x.,, ..., Xn) resterait donc compris entre les deux hjpersphéres Sg et S)-; mais, dans ce domaine, V a un minimum positif m. Pour toute valeur de T > «o, on aurait donc Vx>Vo+m(T — /o); or une telle inégalité est impossible, car le second membre augmente indéfiniment avec T, tandis que V reste inférieur à une certaine limite, lorsque le point {x^^ X2, . . ., Xn) est à l'intérieur de l'hypersphére Sg.

467. Application des théorèmes généraux. — Pour appliquer les théorèmes précédents, il est clair qu'on peut effectuer sur les variables xi une substitution linéaire à coefficients constants quelconques, dont le déterminant est différent de zéro. Nous choisirons les coefficients de cette substitution de façon à ramener les équations aux variations, correspondant à la solution Xi=z o, à une forme canonique simple. Soient

(42) -^ = aiiXi-h...-i- Uin^n {i = i, 2, .... n)

ces équations aux variations pour le système proposé (Sg); on les obtient en réduisant les seconds membres aux termes du premier degré. On a vu (II, n° 421) comment on pouvait ramener le sys- tème (42) à sa forme canonique; celte forme dépend avant tout de la nature des racines de l'équation caractéristique

(43) D(X)

«21 «2Î — X

Si celte équation a n racines réelles et distinctes, X,, . . ., X„, on peut ramener les équations (4^) à la forme

36 CHAPITRE XXllI, — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

par ime substitution linéaire à coefficients réels. La même substi- tution, appliquée aux équations (Sg), conduirait à un système que l'on obtiendrait en ajoutant aux seconds membres des équa- tions (44) des séries entières enj',, . . . , jKn, commençant par des termes du second degré au moins. Si aucun des coejîcients Xj n'est égal à zéro, on obtient immédiatement une forme quadra- tique V(^,) dont la forme associée V,(rj) est une forme définie positive. Il suffit de prendre

^ = -(>^iJi-^----^>^"7n),

ce qui donne

Vi = X? jî-^Àl7l-^-...-^X«72.

Si tous les coefficients X^ sont négatifs^ V est une forme définie négative, il y a stabilité. Si l'un au moins des coefficients )., est positifs la forme V est une forme définie positive ou une forme indéfinie pouvant prendre des valeurs positives: il v a instabilité. Lorsque l'un des coefficients Xj est nul, il est clair qu'on ne peut obtenir pourV, une forme définie positive, quelle que soit la forme quadratique V, car \^ s'annule pour des valeurs des r, non toutes nulles.

Supposons 011 second lieu que l'équation caractéristique ait des racines multiples, toutes ces racines étant réelles, et aucune d'elles n étant nulle. On peut alors (II, n"-42i) effectuer sur les variables x,- une substitution linéaire à coefficients réels telle que les nouvelles éq-jalions aux variations se partagent en un certain nombre de groupes ayant une forme simple (quelques groupes pouvant se composer d'une seule équation). Considérons, pour fixer les idées, un groupe de trois équations de la forme

(45) -^ = -17., ^=^-iV.^aj,, _=Mr3^v.j,-^v,j,;

X, n'étant pas nul, on peut, sans changer ce coefficient, rem- placer fjL, V,, Vo par des nombres dont la valeur absolue soit infé- rieure à tout nombre positif donné, car, si Ton change 1 ., en piryt ; Vo en (Tj-9, p et (7 étant deux facteurs constants dilîérents de zéro. le système (45) est remplacé por un système de même forme, où 1, n'a pas changé, et où ,u!., v,. v..> ont été remplacés par /j.p. 'Jt<7p, Voo- respectivement. Si À, n'est pas nul, nous pouvons donc toujours

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 87

supposer /jl, v,, vq assez petits pour que la forme quadratique

Ol = >^ 1 ( Jî ^ 7I -»- 73 ) -t- >^l I^JlJî -+- >'! ^171 J3 -H Xi V17273

soit une forme définie positive, car elle se réduit à la forme

pour ix = Vi = v2 = o, et cette forme quadratique V^(v^, y^^ y^) se déduit de la forme W = - ^t (j? + J2 + Js), en prenant la dérivée par rapporta ? et remplaçant -^S -^, -^ par leurs expres- sions (45). En opérant de la même façon avec tous les groupes analogues au groupe (45), on formera évidemmient une forme

qui sera définie et positive, pourvu qu'aucun des nombres X, ne soit nul. La forme correspondante V qui sera la somme des formes telles que -'^i{y'i + yl+yl)i étendues à tous les groupes d'équa- tions analogues au groupe (45), sera une forme définie négative lorsque tous les nombres Xj seront négatifs, et dans ce cas seule- ment. La conclusion est la même que tout à l'heure. La solution est stable si toutes les racines de V équation caractéristique sont négatives^ et instable si Vune d'elles est positive.

Enfin, supposons que quelques-unes des racines de l'équation caractéristique soient imaginaires. Ces racines sont alors conju- guées deux à deux, et à chaque groupe d'équations, tel que (45). correspond un groupe conjugué

^^^'^ ^ = ^'''-^'- ^=^--^^^.->'- ^=^i73-^v',y.-.v'3y„

les variables y^ et y\, y2 et y'.^, y-^ et y'.^ étant imaginaires conju- guées, ainsi que les coefficients X, et X',, fx et /jl', v et v'. Pour la même raison que tout à l'heure, les modules des coefficients jjl, v,, V., peuvent être supposés plus petits que tout nombre positif donné à l'avance. On pourrait remplacer le système des équations (45) et (45') par un système de six équations linéaires à coefficients réels, en posant yt = Ui-\- iv^ , y\ = a< — ivi, . . . , mais cette transformation est inutile pour notre objet. Posons en effet

38 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

en tenant compte des équations (45) et (45')» oii a

d'> /•< ^ ; \ / / / , N , > I

— =(Xi-|-Ài)(jiJi-(-j2j2-|-j3y.,)-^ [Ijlj2-t-|-irijï

la forme quadratique qui ost au second membre est une forme définie, lorsque les modules de p., v,, va sont assez petits, pourvu que X< H- X'^ ne soit pas nul, c'est-à-dire pourvu que la partie réelle de a.^ ne soit pas nulle. Soit X< = a 4- (3 \J — i , a n'étant pas nul; en posant

D = 2 a (jKi y\ ■+- y^y'-i -h JK:./:-, ) = 2 a ( m? -I- Pf -h tt; -*- p§ -f- «5 -I- t^5 ),

nous voyons que ~r sera une forme définie positive, si l'on a d'abord ramené les modules des coefficients /ji, v,, vj à être assez petits, et la forme U elle-même sera une forme définie, positive ou négative suivant le signe de a. En opérant de même avec tous les groupes d'équations provenant des racines réelles ou des couples de racines imaginaires conjuguées, on voit que l'on peut toujours former une forme quadratique \{x^^ x^^ ..., J7„) telle que la forme quadratique associée Vi(a;i, x^^ . . ., Xn) soit une forme définie positive /ïOMTPM qu'aucune des racines li de V équation caracté- ristique n'ait sa partie réelle nulle. Si toutes ces parties réelles sont négatives, la forme V est elle-même une forme définie néga- tive, et la solution Xi=^o est stable; si l'une au moins de ces parties réelles est positive, la forme V peut prendre des valeurs positives, et la solution Xi=i o est instable.

Examen du cas douteux. — Lorsque l'une des racines ^,- a sa partie réelle nulle, il y a doute; c'est le seul cas où la solution iCi=: o puisse être stable sans que toutes les solutions voisines lui soient asymptotiques. On peut lever le doute, sauf dans le cas où les parties réelles de toutes les autres racines sont nulles ou négatives. Supposons, en effet, que quelques-unes des racines de l'équation caractéristique aient leurs parties réelles nulles, tandis que d'autres ont leurs parties réelles positives. Les racines de l'équation carac- téristique D'(5) = o du système auxiliaire

dx'; [ u, \

(46) -^ = <7,, J-'i -H. . .H- / a,-,— - ) ar'j -H. . .-I- a<„:c'„ (/ = i, 2, ..., n),

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. Sg

que l'on déduit du système (42) en y remplaçant au par an — ^?

sont égales aux racines de l'équation (43) diminuées de -• Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, on peut donc choisir pour ft un nombre réel et positif tel qu'aucune des racines de l'équa- tion D'(5) = o n'ait sa partie réelle nulle, et que quelques-unes de ces racines aient leur partie réelle positive. D'après le cas que nous venons de traiter, il existe une forme quadratique \{Xi, a-o, . . ., x„),

qui peut prendre des valeurs positives, tandis que la forme

W(.ri, X2, . . ., Xn) = 2u\ «/l ^1 -•-•■• "*" \^u— —) JCi-^- ■ --^ Clin Xr, -j-

est elle-même une forme définie positive. Si dans \ {x^ , .^2, ..., Xn)^ on remplace x,, x-j, ..., Xn par des intégrales du système (Sg), le résultat de la substitution est une fonction de «, dont la dérivée a pour expression, en louant compte de la définition de W(.r,, ...,a:„),

V'= UV ^ W + ^l'CXi, .^-2, .... J-n: /),

O étant une série entière en j?,, a^a, •••) x,,^ qui ne renferme aucun terme de degré inférieur à deux. Puisque W est une forme définie positive, on peut déterminer, comme on l'a vu plus haut (n" 466), un nombre positif R tel qu'à l'inlérieur de l'hypersphère de rayon R on ait, pour ^>^o, W + <I>>o; et par suite V'>|ji.V. Soient e un nombre positif quelconque inférieure R, et rj un autre nombre positif <£. A l'intérieur de l'hypersphère de rayon yj, il existe des points pour lesquels la forme V a une valeur positive. Soient {x\^ a?^ , . . . , a^lJ) un de ces points et ¥„ la valeur corres- pondante de V; nous allons montrer que la trajectoire issue du point (x", . . . , a?") atteint l'hypersphère de rayon £ au bout d'un temps fini. En efi'et, supposons qu'il n'en soit pas ainsi; V est alors une fonction du temps satisfaisant à une équation de la forme ^'^ fi. V -)-©(<), (p(«) étant une fonction positive du temps. Cette fonction V est donc supérieure à l'intégrale de l'équa- tion V' = /jlV, prenant la même valeur Vo pour 1 = 1^, c'est- à-dire à Voei^''"'»'. Or, cette expression augmente indéfiniment avec t\ il est donc impossible que le point {x^ , X2, . . . , Xn) reste

4o CHAPITRE XXm. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

conslamment à rinlérionr de l'h^^persphére de rayon £. puisque V(j7,, x.j, . . ., x„) rcsle bornée dans ce domaine.

En définitive, il y a stabilité lorsque les parties réelles de TOUTES les racines /, de V équation caractéristique son' néga- tives ; il y a instabilité si la partie réelle de l'uae de ces racines est positive. Le seul cas douteux est celui où p de ces racines {p'>o) ont leurs parties réelles nulles, tous les autres ayant leurs parties réelles négatives.

Pour reconnaître s'il y a stabilité ou instabilité, il faut alors tenir compte des termes de degré supérieur au premier dans les seconds membres des équations (39). Nous avons déjà vu un exemple (n" 465) où il y a stabilité; il y a instabilité pour le système

dx _ dy _

It ~''' ~di ~ '^'

468. Stabilité de l'équilibre. — Soit U(j;i, X:-, ..., x„) une fonction analytique des variables Xx, x,, ..., x„, indépendante de t, s'iinnulant,- ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, pour Xi =...= .r„ = o, et lioloniorplie dans le voisinajie. Les équations

^'^^ dt ~ f)x,\ ■■■■ d( ~ âXn

admettent la solution xi— o. Cette solution est stable si la fonction U(.r|, X2 x,i)

est maximum pour Xi= o; en effet, quand on remplace, dans cette fonc tion, les variables Xj par des intégrales du système (47), le résultat est une fonction de t dont la dérivée a j)our expression 2, ( -7~ ) ' ^^ P'"" conséquent ne peut prendre de valeurs négatives. Les raisonnements du n" 466 -prouvent que la solution Xi= o est stable si U(Xi, x*, . . ., Xn) a un maximum propre à l'origine, puisque cette fonction ne peut prendre de valeurs positives dans le voisinage de Torigine.

Pour traiter la question inverse, désignons par \(xi, ..., Xn) la forme quadrati [ue formée par l'ensemble des termes du second degré dans le développement de U, et bornons-nous au cas où le hessien de cette forme n'est pas nul. Si l'on applique le théorème général du n» ^66 à cette forme

V(j:,. X-i, Xn),

d\\

la forme associée Vi est précisément / ,{ -j-^ )"> c'est-à-dire une forme définie positive. Pour qu'il y ait stabilité, il faut et il suffit que V(.ri, X,, ..., x„) soit une forme définie négative, ce qui est aussi la

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 4l

condition nécessaire et suffisante pour que \J{xi, x», ..,, x„) soit

maximum au point Xi= o. Ainsi, quand le hessien de la forme V n'est pas

nul, il ne peut y avoir stabilité que si U est maximum pour Vorigine.

Dans ce cas particulier, on doit poser, dans l'équation caractéristique,

et, d'après les propriétés bien connues des formes quadratiques, les racines de cette équation sont toujours réelles quelle que soit la forme V; il ne peut y avoir de racine nulle si le hessien est diflerent de zéro.

Dans un problème de Dynamijuc où il existe une fonction des forces indépendantes du temps, on sait, d'après un théorème de Lagrange, que si cette fonction des -forces est maximum pour certaines valeurs des para- mètres, la position correspondante du système est une position d'équilibre stable. Les raisonnements du n» 466 ne sont au fond que l'extension de la démonstration classique de Dirichlet. L'examen de la . proposition réci- pro jue présente de bien plus grandes difficultés. . Nous n'examinerons qu'un cas |)articulier. Supposons qu'on ait choisi les paramètres, dont dépend la position du système, de façon que les équations différentielles du mouvement soient de la forme-

{\^)

>)x,

dix..

âx..'

(PX,

dt^

àU

dXn

U(xj, ..., ./•„) étant une fonction de Xi, ..., Xn, régulière dans le voisi- nage de l'origine, et s'annulant, ainsi que ses dérivées premières, pour Xj = o. Pour reconnaître si la solution x, = o est stable, nous nous borne- rons encore au cas où le hessien de la forme \{Xi, ..., Xn), qui se com- pose de ronscniblc des termes du second degré de U, est différent de zéro.

système des in équations du prc-

Lc systènio (/jS) est équivalent micr ()rdr<'

(49) ^ =J

On peut obteni

âxi

{'■

...,n).

directement l'équation caractéristique du système linéaire obtenu en négligeant les termes d'ordre supérieur dans les seconds membres, il suffit de chercher des intégrales de ce système de la forme

Xi= a, eSJ-', ji= <^i eV-',

ce (jui conduit, pour déterminer [j., à l'équation

D(a) =

i^es racines de celte équation sont ± v/X,, les X, étant les racines de la

42 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

première équation caractéristique, relative aux équations (47). Tous ces nombres X/ sont réels, et par hypothèse aucun d'eux n'est nul; si l'un d'eux était positif, l'équation en [j. aurait une racine positive, et la solu- tion Xi = yi=. o des équations (49) ne pourrait être stable, d'après le théo- rème général. Le résultat de cette discussion peut donc s'énoncer comme il suit : Lorsque Vétude des termes du second degré de \5ixi, . . ., a?„) permet de reconnaître si cette fonction est maximum, ou non, pour les valeurs X(:= o, il est nécessaire que U soit maximum pour que Véqui- libre soit stable ( * ).

Remarque. — Lorsque tous les nombres X, sont négatifs, les parties réelles de toutes les racines de D((ji) = o sont nulles. On est donc dans un cas où l'on ne pourrait affirmer a priori la stabilité, si l'on n'avait pas égard à la forme spéciale des équations (49) (-).

469. Application à des systèmes plus généraux. — On peut étendre les résultats précédents aux systèmes (39), tels que les équations linéaires (42) forment un système réductible (II, n" 424). Nous rappellerons qu'on appelle ainsi les systèmes linéaires qu'on peut ramener à un système linéaire à coefficients constants par une substitution linéaire effectuée sur les inconnues :Cj, les coeffi- cients de cette substitution étant des fonctions continues et bor- nées de la variable t pour t > ^o, ainsi que leurs dérivées par rap- port à f, et l'inverse du déterminant de ces coefficients étant borné. Il est clair que, si le système (42) est réductible, en appliquant au système (39) tout entier la substitution linéaire qu'on vient de définir, on remplacera ce système par un système de même espèce dans lequel les coefficients des termes du premier degré dans le second membre seront indépendants de t.

En particulier, lorsque les coefficients du système (39) sont des fonctions périodiques de i, nous avons vu que le système (42) est

(') La réciproque du théorème de Lagrange a élé établie, dans des cas plus généraux par MM. LiapounofT {Journal de Liouville, 1896), Painlevé ( Comptes rendus, t. 125, p. 1021), Hadamard (Journal de LiouvUle, 1897), ^^ V^^^ récem- ment par M. E. Cotton (Comptes rendus, t. 153, p. lOig).

(-) La définition de la stabilité donnée plus haut (n" 465) ne concerne que lavenir, t variant de f^ à -h ». Mais on peut en concevoir une autre, concer- nant à la fois Vavenir et le passé, t variant alors de — » à -f- as. Quand on change t en — t, les racines de l'équation caractéristique sont multipliées par ( — i); il ne peut donc y avoir stabilité à la fois dans l'avenir et le passé que si les parties réelles de toutes ces racines sont nulles. On se trouve dans un cas où l'étude des équations aux variations ne suffit pas pour décider qu'il y a stabilité ou non.

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 43

réductible. Il résulte de la démonstration qui a été donnée de ce théorème que les racines de l'équation caractéristique du système transformé sont précisément les exposants caractéristiques du système (42) à coefficients périodiques (II, n° 423). Il y aura donc stabilité si tous les exposants caractéristiques ont leurs parties réelles négatives, instabilité si l'un de ces exposants a sa partie réelle positive.

470. Séries assrmptotiques. Stabilité conditioimelle. — On peut

confirmer les résultats obtenus dans les numéros précédents par l'étude directe des séries représentant les intégrales, ces séries étant ordonnées suivant les puissances des valeurs initiales, lorsque les parties réelles des nombres X, sont toutes négatives (voir Exercice 1, p. 46). MM. Poincaré et Liapounoff ont introduit des séries d'une autre espèce, qui mettent en évidence le caractère asymptotique des solutions. Nous n'étudierons que le cas le plus simple, celui d'un système que l'on peut ramener à la forme réduite

les termes non écrits formant des séries entières en Xt, . . ., x„, commen- çant par des termes du second degré, dont les coefficients sont indépen- dants de t. Posons

M, = Cl e>.S «2 = C, e"^>', . . . , if,, = Cp eV (pin),

G|, C», ..., Cp étant des constantes différentes de zéro, et proposons- nous de trouver des séries entières à coefficients constants, ordonnées sui- vant les puissances de ui, u^, ..., Up et satisfaisant formellement aux équations (5o),

(5i) ar,= SL;„^,.,„^u7'<'... u^p ii = i,2, ...,«).

les coefficients L^m^mt...mp sont des constantes qu'il s'agit de déterminer. Pour achever de préciser le problème, nous supposerons que les termes du premier degré dans Xi, Xi, ..., Xp sont respectivement «1, ..., Up, tandis que Xp+i, ..., x„ ne 'renferment aucun terme du premier degré en Ml, .. ., Up. On a, d'une façon générale,

^(«7«a7*... iÇp) = {mtli-h . . .-h mplp)u':^u'^ . . . u'^'p;

en substituant les développements (5i) dans les équations (5o), et en écri- vant qu'on obtient une identité, on obtient, pour déterminer le coeffi- cient LU^m,...mf, la relation

(52) ('«iX. + ...-Hm^X^-X,)L^....„,„=H' ..._

44 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

le second membre se déduisant par des additions et -des multiplications

des coeflicienls des séries (5o) et des coefficients déjà déterminés dos

séries (5i), provenant des termes de degré inférieur en m,, ..., i(,,. On

pourra donc déterminer de proche en proche tous les coefficients L' sans

être jamais arrêté pourvu qu'il n'existe entre les X aucune relation de la

forme

(53) /«iÀ| -(-. . .-)- tn,,\,,— X,= o,

/«i, ..., /«« étant des nombres entiers positifs dont la somme es» au moins égale à 2, et l'indice i pouvant prendre toutes les valeurs 1, •>., ..., n. Plaçons-nous dans cette hypothèse, et admettons en outre que le module de l'expression (53) a une borne inférieure / positive. Pour démontrer la convergence des séries (5i) ainsi obtenues, considérons le système d'équa- tions auxiliaires, où t, est compris entre o et 1, et inférieur à /,

r, >-,= {<,-!- SQî, 7',"' . . . }■";,".

-ij>=«/'^-^Q/',,....«<„j'

^^^^ 'ry ,-ïO^- y'

'I.' /'-t-i — -' Vin, ... III,, f 1

V"= ^Qm....»/„7i"'---r«".

es seconds membres étant des séries majorantes pour les séries qui figurent dans les équations (5o). On satisfait aux équations (54) par des séries entières cotivergent,es en «i, w», •••, Up, et l'on vérifie aisément, de proche en proche, d'après la façon dont le nombre r; a été défini, que ces nouvelles séries sont majorantes pour les séries (5i). Il en résulte que les séries (61) sont elles-mêmes convergentes pour les valeurs de t com- prises entre zéro et un nombre positif T, pourvu que les valeurs absolues des coefficients Ci, ..., Cp soient inférieures à une limite convenable.

Gela étant, supposons que les parties réelles des nombres Xi, X,, . . ., X^ soient négatives, et que l'égalité (53) n'ait jamais lieu pour des valeurs entières et positives des nombres mi, mj, . . ., nip dont la somme est supé- rieure à deux. Dans ce cas, comme la partie réelle de Xi/ni -t-. . .-t- X^/n^ diminue indéfiniment lorsque les nombres mi, mj, . . ., ntp croissent indé- finiment, il y a un minimum positif pour le module du premier membre de la relation (58), et nous pouvons appliquer le résultat qui précède. Il existe des séries (5i) satisfaisant formellement aux équations (5o), ordon- nées suivant les puissances de dei^i, ..., Cpe^pt; ces séries sont conver- gentes pour t ■= o, pourvu que les modules de Ct, Cj, . . ., C^ soient assez petits, et par suite elles sont convergentes pour toutes les valeurs posi- tives de t. Il est évident que les intégrales correspondantes sont asympto- tiques à la solution xi= o. Si /) = n, le résultat est bien d'accord avec le théorème général sur la stabilité, mais on obtient des résultats nouveaux en supposant que, parmi les nombres Xi, ..., X„, il y en a /) seulement

II. — SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET ASYMPTOTIQUES. STABILITÉ. 45

dont la partie réelle est négative. Si l'on a pris pour Xi, X2, ..., X^ ces p racines et si la relation (53) n'est jamais vérifiée pour des valeurs entières et positives des coefficients mi, ..., rrip, nous obtenons des intégrales asymptotiques à la solution ar,= o, dépendant de p constantes arbi- traires Cl, C2, ..., Cp. On dit qu'il y a stabilité conditionnelle. L'ensemble de ces trajectoires forme dans l'espace à n dimensions une multiplicité à p dimensions (E;,), qui est aussi un lieu de points tels que les trajectoires issues de l'un de ces points soient asymptotes à la solution x,= o.

Les mêmes séries permettent aussi de démontrer qu'il ne peut y avoir stabilité, au sens absolu du mot, si l'un des nombres X, a sa partie réelle positive. Soit en effet Xi une des racines de D(X) = o, dont la partie réelle est positive, et au moins égale à la partie réelle de l'une quelconque des autres racines. Aucun des nombres mj Xi — X, ne peut être nul, si l'on a /ni > I ; il existe donc des solutions du système (5o) où X\, Xi, . . ., x„ sont représentés par des séries entières ordonnées suivant les puissances de Ml = Cie'»' avec un rayon de convergence 0 différent de zéro. La série qui donne Xi commence par le terme «i, tandis que les autres séries com- mencent par des termes du second degré. La valeur initiale x^ de Xi pour t = o est égale à la somme d'une série entière en Ci, commençant par Ci et l'on en -tire inversement pour Ci une série entière en x^, commençant par x^, de sorte que {x^)--i-. . .-h (x^^f tend vers zéro en même temps que x^. Supposons, pour fixer les idées, que Xj soit réel, et soit h un nombre positif < p, tel que la valeur de Xi(Ui) pour Ui= h ne soit pas nulle. Soit, d'autre part, t) un nombre positif quelconque. Il est toujours possible de prendre pour x^ un nombre positif inférieur à tj tel que la valeur correspondante c de Ci soit positive et inférieure à h, puisque le

rapport — ^ tend vers l'unité lorsque x^ tend vers zéro. L'intégrale corres- pondante Xi{ce''i'), qui prend la valeur x^ pour l = o, atteindra la valeur Xi(h) au temps T donné par l'égalité h = ce'^''^, c'est-à-dire pour la valeur

positive T = — logl — I • La solution Xi= o est donc instable. On raison- nerait d'une façon analogue si Xi était un nombre complexe à partie réelle positive. Il y aurait alors une autre racine X* conjuguée de la première, et l'on considérerait les séries ordonnées suivant les puissances de Cie^»'et de C^e^i' en prenant pour Ci et C* des imagina(ires conjuguées.

Pour l'étude des séries asymptotiques dans des cas plus généraux, on consultera, outre le Mémoire de M. Liapounoff, le Chapitre VII du Tome I des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste de M. Poincaré, et le Chapitre \'III du Tome III du Traité d'' Analyse de M. Picard.

46 CHAPITRE XXIII. — INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

d. Démontrer, par l'élude directe des séries, ordonnées suivant les puissances des valeurs initiales, qui représentent les [intégrales, qu'il y a stabilité, lorsque les parties réelles de toutes les racines de l'équation caractéristique D(X) = o sont négatives.

B. Considérons un système de la forme

K^J ^ — -^-i^'^ -^m, ;n,...m„^l ^i • • • ^ n ^

les parties réelles des À, étant toutes positives. Soit a un nombre positif plus petit que les parties réelles de tous les X,. On considère le système auxiliaire

^^') ^t =-^^^ ^ ^Qk...^„x-.x;". . . . X-",

les Q( étant des fonctions dominantes pour les fonctions P, pour t2.t^. En posant Xi= e—'^'yi, Xi=e*'Yi, les deux systèmes (A) et (A') sont rem- placés par deux systèmes de même espèce où le coefficient de Yj sera supérieur au module du coefficient de yi pourvu que le nombre positif k soit pris convenablement. Il suffira donc de démontrer la propriété énoncée pour un système auxiliaire de la forme

d\i -. ., (X,-+-X,-^...+ X„)2

= — uX,-i- M

dt ' ' Xi-

M, X et p étant des nombres positifs; ce qui se fait facilement en déve- loppant les intégrales suivant les puissances des valeurs initiales.

2. Appliquer les théorèmes généraux sur la stabilité à l'étude des inté grales de l'équation X dy — ^ dz ■= o, dans le voisinage de l'origine ; X et Y sont des séries entières en x et y, sans terme constant.

On ramène à l'étude du système

dx ,. , , , dy -, ,

— = X = a a- H- 6 JK-1-. . ., -^=\=ax-^by-k-...

et l'on observe que la courbe intégrale issue du point {xq, yo) va passer par l'origine lorsque x el y tendent vers zéro quand la valeur absolue de t augmente indéfiniment, et dans ce cas seulement (cf. II, p. Sng).

CHAPITRE XXIV.

ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE (').

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES.

471. Problème de Cauchy pour une équation du second ordre. — Dans le cas d'une équation aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, le théorème général d'exis- tence de Cauchy (t. II, n" 436) s'énonce ainsi :

Etant donnée une équation

dont le second membre est une Jonction analytique holomorpke dans le voisinage des valeurs Xn, y^, -Sy, /?0) ^o, -^n? ^o, soient cpo(j^) et 9i [y) deux fonctions de y, holomorphes au voisinage de y = ro, et telles qu^on ait

?i(j'«)=/'o, ri(7o)=So;

Véquation {\) admet une intégrale z{x. y), holomorpke dans le domaine du point (xo, ^o), et telle que^ pour x = a:», on ait

// n^ existe qu une intégrale satisfaisant à ces conditions. Les conditions qui déterminent la surface intégrale ont une

(') Je me borne aux points essentiels de la théorie; pour plus de détails, on pourra consulter mes Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre f Hermann, 1896-1898).

48 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

signification géométrique évidente. Les deux équations x ^= Xq^ z :=cpo(j-) représentent une courbe plane C; et l'on voit que cette courbe C appartient à une infinité de surfaces intégrales dépendant d'une fonction arbitraire 91 (v). Si l'on se donne aussi cette fonc- tion cp, (y), le plan tangent à la surface intégrale est connu par là même tout le long de G. Plus généralement, considérons une courbe quelconque F, plane ou gauche, et une développable A passant par cette courbe, de façon qu'à chaque point M de F cor- responde un plan passant par la tangente en M à cette courbe; une intégrale d'une équation du second ordre

(2) F(j-, 7, z, p, q, r, s,t) = o

est en général complètement déterminée si on l'assujettit à passer par la courbe F et à être tangente à la développable A tout le long de cette courbe. Supposons en effet que, dans le voisinage d'un point (j;,,, j'05 *(i) de F, les équations de cette courbe soient mises sous la forme y=f(x), z^='^{x), les fonctions f{x) et v(^) étant holomorphes dans le domaine du point a:o- Prenons trois nouvelles variables u, i', <v, liées aux variables ar, y, z par les relations

.1- = u, J=f(u)-hl-, C'= =(«)-+■ M',

et considérons u el u comme les nouvelles variables indépen- dantes et w comme la nouvelle fonction inconnue. De la relation dz ^= p dx -{- q dy. on tire (I, n" 64)

il vient ensuite, en partant des identités dp =^ r dx-\-s dy^ dq -^ s dx ^ t dy^

'■ = ^ - '-^ ^"^ J^ ^ \f ^"^ ' ^ -/ ^") T. -^ -^ ^" ''

d- w ., â-w à- iv

L'équation (2) se change on une nouvi.-llo équation du second ordre

, „ , _ / âiv <)iv à- w à- H-' à- n' \

^ V 'i'i ài^ <>u* Ou ai' dV' J

I. — CARACTÉMISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 49

tandis que les conditions géométriques auxquelles doit satisfaire rinlégrale cherchée sont remplacées par les suivantes. Puisque z doit se réduire à ^{x) pour >- =y(.c), w doit être nul poyr t» = o, quel que soit u\ d'autre part, puisque le plan tangent à la surface est donné tout le long de F, q est une fonction connue de a?, et par

suite -T- est une fonction connue de u pour v = o. On est donc

ramené à un problème plus simple :

Déterminer une intégrale de V équation {Z) se réduisant à zéro,

àw

pour r = o, tandis que la dérivée -y- se réduit à une fonction

connue de u.

Ces conditions font connaître les valeurs de w, -r-» -j-j -j-:>

' au dv fJu-

- — —pour w=:a7o, (' = 0; pour qu'on ait le droit d'appliquer le

théorème général d'existence, il suffira qu'où puisse résoudre

l'équation (3) par rapport à — - de façon à mettre l'équation sous

la forme normale (i). Il suffit pour cela que celte équation (3)

admette en -T-7 une racine qui soit une fonction holomorphe des

autres variables dans le voiginage des valeurs initiales précédentes. Pour vérifier qu'il en est bien ainsi en général, si la courbe F et la développable A n'ont pas été choisies d'une façon particulière, observons que, le long de F, les coefficients angulaires p el q du plan tangent à la développable A sont des fonctions de ûc satisfai- sant à la condition ^'(^c) = p H- q/'(x), qui exprime que ce plan contient la tangente à F.

Les valeurs des dérivées secondes r, s, t de la fonction inconnue z(x, y) doivent satisfaire, en chaque point de F, à l'équation (2) cl aux deux relations

(4) p'{x) = r-i-s/'(x), q'{x) = s^f/'{x).

Soient r,), s», t^ un système de solutions des équations (2) et (4) où l'on a fait x = x», y =j>'o, - = ^0= <p(a:o)- A ce système de solutions de l'équation (2) correspond un système de solutions de l'équation (3), et l'on vérifie immédiatement, d'après les for-

OOURSAT. — 111. 4

5o CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

mules du changement de varinbles qui donnent r, s, t, qu'on a

( V «*'•- / )o

Si le second membre de celle relation n'est pas nul, l'équa-

tion (3) peut être résolue par rapport à-r-v) et le théorème général

d'existence est applicable.

En résumé, le problème proposé admet autant de solutions holo- morphes que les équations (2) et (4) admettent de systèmes de solutions en r, s. t pour lesquels l'expression

est différente de zéro.

L'étude des cas exceptionnels où cette expression est nulle va être poursuivie en détail pour une classe particulière d'équations.

Les explications qui précèdent justifient la définition de l'inté- grale générale proposée par M. Darboux et adoptée depuis : Une intégrale est générale si l'on peut disposer des arbitraires qui y figurent^ fonctions ou constantes en nombre illimité^ de manière à retrouver les solutions dont les théorèmes de Cauchy nous démontrent V existence, c'est-à-dire de manière à attribuer à la fonction inconnue et à Vune de ses dérivées premières des valeurs se succédant suivant une loi continue quelconque, donnée à l'avance, pour tous les points d'une courbe.

La détermination elFective de l'intégrale satisfaisant à ces con- ditions constitue le Problème de Cauchy pour une équation du second ordre. Les raisonnements qui précèdent supposent que l'équation elles données sont analytiques; par extension, on con- serve le nom de problème de Cauchy, alors même que les données ne sont pas analytiques, Nous verrons plus loin que, dans bien des cas, la condition d'nnalylicité n'intervient pas dans la solution (Chap. XXVI).

Remarque I. — Une fois qu'on a reconnu l'existence d'une intégrale satisfaisant aux conditions de Cauchy, on peut calculer de proche en proche les valeurs des dérivées successives de la fonction inconnue z[x, y) en un point quelconque de F. Les

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 5l

dérivées du troisième ordre, par exemple, s'obtiendront en résol- vant le système de cinq équations linéaires compatibles

	dF àF àF àF àF àF âF
	àF âF âF âF âF âF âF
	l âi+kz \ \P''= âx'ây^r
dr dx	= p30-^P2l/'{^), ^=Pzr-i-pi-2/'(^), ^^P^^.^P^^f'{x),

r. s, t ayant déjà été calculées, et ainsi de suite. On vérilie aisé- ment que les dérivées d'ordre n sont fournies par un système d'équations linéaires, dans lesquelles le déterminant des coeffi- cients des inconnues est une puissance de l'expression

qui, par hypothèse, est différente de zéro.

Remarque II. — Élani donnée une surface intégrale S de l'équa- tion (2), l'équation différentielle

(6) -^ dy^- _ __ rfa: rfj + -^ dx-^ = o,

où l'on suppose z, p, q, r, s, t exprimées au moyen des variables x et y, détermine sur cette surface deux familles de courbes, qu'on appelle courbes caractéristiques. Si l'on considère une de ces courbes T et la développable A circonscrite à S tout le long de F, on ne peut appliquer à cet assemblage le théorème général d'exis- tence, puisqu'on se trouve justement dans le cas exceptionnel qui a été exclu de nos raisonnements. On voit en particulier que s'il existe une infinité de surfaces intégrales, dépendant d'une ou plusieurs constantes arbitraires, tangentes tout le long d'une courbe, cette courbe est nécessairement une courbe caracté- ristique sur chacune de ces surfaces.

Remarque III. — On dit souvent que l'intégrale générale d'une équation auxdêrivées partiellesdu second ordre à deux variables indépendantesdépend de rfeMj; fonctions arbitraires d'une variable. Cette locution n'a de sens précis

Sa CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONCE-AMPÈRE.

que si l'on se reporte à Ténoncë même du théorème de Cauchy, et il faudrait

bien se garder de juger du degré de généralité d'une intégrale d'après le

nombre des fonctions arbitraires qui figureiit dans son expression. Consi-

, 1, , . d^z àz .,.,,, derons par exemple léquation -— = -r-j et lintégrale de cette équation

qui, pour j; = x^, est égale à une fonction donnée ç (7), tandis que T-se réduit à une autre fonction donnée f (^), ces deux fonctions étant holomorphes dans le domaine du point y^

T (r ) = «0 -^ «1 (r — Jo ) -H . . . -t- a„ (^ — 70 )" ^ . . . , 'l' (7) = *o — *i (7 — 70) -^- • • • -t- bniy — 70)" -t- . . . .

Cette intégrale s'obtient aisément et, si l'on ordonne le développement suivant les puissances àe x — Xo, on peut l'écrire sous la forme

z = y(r) -^{x- xo) ^(y) -H ^^ -^"^^ y'(j) ^ ^^ ~j;^' f (7) ^- • •

2n\ ^ ^'^' (2/1 + 1)! ^ ^7^••.

où lesdeux fonctions arbitraires ?(j) et^'C/) sont mises en évidence. Mais, si l'on ordonne le développement suivant les puissances àey—y^, on peut aussi l'écrire

z = ¥{x)^ (y-yo) F'(ar) h- ^•^~-^'°^' F(>')(^) -+■ . . .^_ LLZI^ F(2'» (a:)..., F (a:) désignant la fonction holomorphe

X?-^\ J- / N (x — xoy , {x — XoY F{x) = Oo-t- Oo(^ — ^0) -+- ai ^ (- Ol -^ t: H. . .

(ar — XnY" (x — Xn)'^"^^

" (/l -(- I). . .(2/1 — 1)2/1 " (/l -H 1). . .(9./Î -(- l)

et, dans cette nouvelle expression, ne figure plus qu'une fonction F{x). On s'explique aisément ce résultat en observant qu'au point de vue purement formel il est absolument équivalent de se donner les deux séries entières 9( > ) et '\'(y) ou de se donner la seule série F{x) {cf. I, 170).

Cette remarque conduit à -une propriété importante des intégrales de l'équation r = ^. La fonctionP (a:) est la fonction à laquelle se réduit l'inté- grale pour y = Yo ; nous voyons que cette intégrale est complètement déter- minée quand on connaît la seule fonction F(x), ce qui semble en contradic- tion avec le théorème de Cauchy. Mais cettecontradiclionapparente s'explique si l'on observe que les courbes^ = C d'une surface intégrale sont des courbes caractéristiques, pour lesquelles le théorème est en défaut. Observons aussi que cette fonction F(a:) ne peut pas être choisie arbitrairement, si Ton sup- pose l'intégrale holomorphe dans le domaine du point (a:o,>o)- En effet, les

I. — CARACTÉRISTIQUES, INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 53

séries o{y), 'ji(^) ont alors uù rayon de convergence fini, et il existe deux nombres positifs M et p tels que l'on ait, quel que soit n, (a„)<Mp-'», \bn\ < Mp-". En remplaçant a„ et b„ par M p-" dans F{x), on obtient une /onction entière, et par conséquent toute intégrale de l'équation r = q, qui est une fonction analytique des deux variables x, y, holomorphe dans le domaine d'un point (^0).,>'o)j ^st une fonction entière de la variable x, pour j = Ko. Il s'ensuit que l'on ne peut trouver d'intégrale analytique se réduisant pour ^ = Ko à une fonction holomorphe donnée de x, si cette fonction holomorphe est quelconque; il est nécessaire en particulier qu'elle soit une fonction entière de x. Cet exemple est souvent cité pour montrer que l'on ne peut appliquer le théorème d'existence de Cauchy à une équation qui n'est pas mise sous la forme normale exigée par la démonstration.

472. Éléments de contact. Les multiplicités M. — Pour abréger le langage, nous appellerons élément de contact^ ou plus simple- ment élément^ l'ensemble d'un point de coordonnées (^, y, z) et d'un plan de coefficients angulaires /), q. passant par ce point. Lorsque les cinq coordonnées a?, y, z. /?, q d'un élément sont fonc- tions d'une ou plusieurs variables indépendantes, on obtient des multiplicités d'éléments, mais nous n'avons à considérer ici que les multiplicités telles que les fonctions x^ j, z, p^ q et leurs diffé- rentielles vérifient identiquement la relation

( 7 ) dz = p dx -In q dy ;

on dit alors que deux éléments infiniment voisins d'une telle multiplicité sont unis. La relation (7) exprime que le point {x -\- dx, y H- dy, z -h dz) est situé dans le plan de coefficients angulaires/?, q, passant par le point (a:, j, ^). Les multiplicités de celte espèce sont représentées par la lettre M,, l'indice i indiquant le nombre des dimensions de la multiplicité, c'est-à-dire le nombre des variables indépendantes dont dépendent j?, y, z^ /?, q.

Considérons d'abord une multiplicité Mi ; ar, j, z,p, q sont alors des fonctions d'une variable indépendante a, vérifiant la rela- tion (7). Le point x, y, z décrit une courbe T, et la condition (7) exprime que le plan de coefficients angulaires p, q correspondant à chaque point de F passe par la tangente à F en ce point. La mul- tiplicité Mf est donc formée par l'assemblage d'une courbe F et d'une développable A passant par cette courbe, chaque point de F étant associé au plan tangent à A en ce point. Il peut arriver, comme cas particulier, que la courbe F se réduise à un point; la

54 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

multiplicité M< se compose alors de l'ensemble des éléments obtenus en associant un point fixe de l'espace aux plans tangents à un cône quelconque ayant son sommet en ce point.

Si à chaque point d'une surface S on associe le plan tangent en ce point, on obtient une multiplicité d'éléments dépendant de deux paramétres variables, vérifiant identiquement la relation (7), c'est-à-dire une multiplicité Ma- Inversement, étant données cinq fonctions de deux variables indépendantes, satisfaisant à la con- dition (7), trois cas peuvent se présenter : 1° en général, le point (a?, y, z) décrit une surface S ; le plan de coefficients angulaires/?, q est alors le plan tangent au point (x, y, z) à cette surface, et la multiplicité M2 s'obtient en associant chaque point d'une sur- face au plan tangent en ce point; 2° si un point x^ y, z décrit une courbe F, la multiplicité Ma se compose de tous les éléments que l'on obtient en associant chaque point de F à un plan quelconque passant parla tangente en ce point; cet assemblage dépend bien de deux paramètres; 3" il peut aussi arriver que le point {x, y, z) soit fixe, p et q étant les deux paramètres variables. La relation (7) est encore vérifiée, et la multiplicité M2 se compose de tous les éléments obtenus en associant un point fixe de l'espace à un plan quelconque passant par ce point. Il y a intérêt, pour la généralité de certains théorèmes, à considérer des multiplicités M2 des trois espèces. Mais, dans la suite, nous ne nous occuperons que des multiplicités M< formées d'une courbe et des plans tangents à une développable passant par cette courbe, et des multiplicités Mo dont chaque élément est formé par un point d'une surface S associé au plan tangent en ce point. Il est clair qu'une surface S ou, plus exactement, la multiplicité Mo correspondante peut être, d'une infinité de manières, engendrée par une famille de multiplicités M< dépendant d'une constante arbitraire. Il suffit en effet de prendre sur S une famille quelconque de courbes dépendant d'un para- métre, et d'associer à chacune de ces courbes la développable cir- conscrite de S le long de cette courbe.

Avec la terminologie qui vient d'être expliquée, le problème de Cauchy pour une équation du second ordre à deux variables indé- pendantes peut être posé ainsi : Etant donnée une multiplicité Mi , trouver une surface intégrale à laquelle appartiennent tous les éléments de cette multiplicité .

1. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 55

473. Équations de Monge- Ampère. Caractéristiques. — Nous allons discuter ce problème, lorsque l'équation du second ordre est linéaire en r, s, t, ou de la forme plus générale considérée par Ampère

(8) Hr-h2Ks-\-Lt-hM-hN{rt — s'-) = o,

H, K, L, M, N étant des fonctions de x, j, z, />, q. Soient x{l), j(X), z{l),p{'k), qCK) les coordonnées d'un élément d'une mul- tiplicité M,, composée d'une courbe F, dont chaque point est associé au plan tangent en ce point à une développable A passant par cette courbe. Les dérivées secondes /•, 5, t de la fonction inconnue z(x, y) en un point quelconque de F doiv(mt satisfaire à l'équation (8) et aux deux conditions

(9) dp = r dx -ir s dy, dq = s dx -^ t dy,

OÙ 37, y, 5, /), q sont des fonctions du paramétre X, et nous avons tout d'abord à résoudre ce système de trois équations en r, 5, t. Pour discuter plus facilement ce système, il est commode d'em- ployer la représentation géométrique suivante. Si l'on regarde a:, r, 5, p, q-, dx^ dy^ dp^ dq comme des constantes données, /•, 5, t comme les coordonnées rectangulaires d'un point, les équations (9) représentent une droite D, parallèle à l'une des génératrices du cône {T) qui a pour équation rt — s- = o, tandis que l'équation (8) représente une surface du second degré S, dont le cône (T) est le cône directeur, si N n'est pas nul, ou un plan P. si N = o. Cela posé, les seuls cas qui puissent se présenter sont les suivants :

1° En général, la droite D rencontre la surface S ou le plan P en un seul point à distance finie, et par suite les équations (8) et (9) admettent un seul système de solutions en r, s, t. Le pro- blème de Cauchy a une solution et une seule (M-

2° Il peut se faire que la droite D ne rencontre la surface S ou le plan P en aucun point à distance finie. Le problème de Cauchy ii'admet pas de solution holomorphe.

3" Enfin, il peut se faire que la droite D soit située tout entière

(') En effet l'expression (5) (n" 471) n'est pas nulle pour ce système de solu- d¥ dF d¥ tiens, car -r-» -r-' -rr sont les paramètres directeurs de la normale à S ou à P, dr as ât ^

et dy^,. — dx dy, dx- sont les paramètres directeurs de la droite D.

56 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

sur la surface S ou le plan P, de sorte que les équations (8) et (9) admettent une infinité de systèmes de solutions en r, s, t, pour chaque point de la courbe F. On dit alors que la multiplicité considérée M, est une multiplicité caractéristique, ou une carac- téristique.

Pour former les équations qui définissent ces multiplicités, il suffit d'exprimer que la droite D est située tout entière sur la sur- face représentée par l'équation (8). Supposons d'abord N =: o; nous pouvons écrire l'équation (8), en multipliant tous les termes

parN,

(Nr -t- L) (N? H- H) -^ N252+ 2 KN5 -+- MN — HL = o,

OU encore

(10) (N r -t- L) (N « + H) — (N5 -I- Ài) (N5 ^ X.) = o,

)., et }.2 étant les deux racines de l'équation du second degré

(11) X-^H-oKX -+- HL — MN = 0,

(12) X, = — K -1- v'K-— HL -H MiN, X2 = — K — V Kï— HL H- M.N.

L'équation (10) met en évidence les deux systèmes de généra- trices rectilignes de S; on obtient toutes ces génératrices en attri- buant au paramètre ix toutes les valeurs possibles dans l'un des systèmes d'équations

)' Nr-+-L =,u(N5 + X,), ( Nr-^L =,^(N.-f-X,),

^ ^ 1 rs's -+-X,= }x(\< + H), ^ ' I Ni -^X,= [x(N^ + H).

Pour que la droite D, représentée par les équations (9), fasse partie de l'un de ces systèmes de génératrices, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer fji. de façon qu'on ait

d.c dy dp dq

T ^ ^^^^ ^ |jlX,— L ^ jjiH — /.,'

OU les relations analogues, obtenues en permutant /.< et /s-

L'élimination de u entre les équations précédentes conduit à deux équations

N rfp -H L dx -t- Xi dy = o, \ dq ■+- Xn dx -v- H dy = o.

Eu définitive, toute caractéristique M, de l'équation (8) se com-

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 57

pose d'un syslème de cinq fonctions ar, y, ^,/>, q d'une variable ind(^pendante satisfaisant à l'un des deux systèmes suivants de trois équations

( N dp -¥• L dx -+■ \idy = o, N dq H- X-, dx -h W dy = o, ( dz — p dx — q dy =^ o.

l ^ dp ■+■ h dx -\- \n. dy = o, N rf^ -h Xi rfj: -+- H dy = o, I dz — p dx — q dy = o,

qui se déduisent l'un de l'autre en permutant \^ et Xj. On voit qu'il y a en général deux familles distinctes de caractéristiques, qui sont confondues si l'on a X, = ^2; c'est-à-dire si S se réduit à un cône, et dans ce cas seulement.

Supposons maintenant N = o; l'équation (8) est alors linéaire en r, s, t,

(8') Hr-h2Ks-hLt-hM=o.

La parallèle à la droite D menée par l'origine a pour équations

(dyy —dxdy {dx)"-'

cette parallèle doit être dans le plan Hr-h 2K5 + Lf nr: o, mené par l'origine parallèlement au plan P, ce qui exige qu'on ait

(i4) U dy"- — iK dx dy -i- h da^^ = o.

Nous distinguerons encore plusieurs cas :

Premier cas. — Soit H^o. On tire de l'équation (i4) deux

dx équations (9) donnent ensuite

valeurs finies ^, , "k^ pour -7^- Prenons par exemple dy =^'k\ dx', les

dx " ' dx " dx ' '

et, en portant ces valeurs de r et de s dans l'équation (8'), la con- dition obtenue s'écrit, en tenant compte des relations entre les coefficients et les racines de l'équation (î4))

H <f/> -H H X3 rf^ -(- M flte = o.

58 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

Les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques sont donc les suivantes :

(i5)î

^ dy = Xidx, U dp -i- H Xo dq -h M dx = o, I dz — p dx — g dy = o,

^ dy = Ào dx, H dp -i- HXi dq -i- M. dx = o, I dz — p dx — q dy = o,

^4 et ^2 étant les deux racines de l'équation (i6) HX2— 2KXh-L = o.

Deuxième cas. — Soient H = o, L ^ o. Un calcul tout à fait pareil donne les équations différentielles des deux systèmes de caractéristiques

(17)1 dz — p dx — q dy = o, dx = 0, M dy -+- 2K dp -h L dq = o, (17)2 dz — p dx — q dy — o, 2 K dy — L dx = o, M dy -+- L dq = o.

Troisième cas. — Soit H ^ L = o. On a deux systèmes de caractéristiques toujours distincts, dont les équations différen- tielles sont respectivement

(i8)t	dz —p dx — q dy = 0,	dx = 0,	2K dp -i- M dy = 0,
(18),	dz — p dx — q dy = 0,	dy — 0,	2K dq -i- M dx = 0.

On remarquera que la relation (19) K2— HL^MN = o

exprime dans tous les cas la condition nécessaire el suffisante pour que les deux systèmes de caractéristiques se réduisent à un seul. Les caractéristiques de chaque système dépendent d'une fonc- tion arbitraire, et non pas d'un nombre fini de constantes arbi- traires, comme pour une équation du premier ordre. En effet, on a trois relations seulement entre cinq fonctions d'une variable et leurs dérivées; on peut choisir pour l'une des variables j', z, p, q une fonction arbitraire de x, et il reste un système de trois équa- tions différentielles du premier ordre pour déterminer les trois autres fondions. Prenons par exemple une équation de la forme

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 69

les équations difTérentielies de l'un des systèmes sont

dx = o, clz = g dy, dp =fi^x, y, z, p, q) dy.

La première, dx = o, montre que x est constant tout le long de la caractéristique, c'est-à-dire que la courbe F est dans un plan parallèle au plan des yz. [nvcrsement, soit F une courbe plane quelconque représentée par les deux équations x = Xo, z = (f{y). On tire de la seconde des équations q = o'{y), tandis que p doit être une intégrale de l'équation différentielle

dp

dy

.f[^o,y, ^{y),p, r'Lv)]:

on peut encore choisir arbitrairement la valeur de p pour une valeur donnée y^ de j'. Toute courbe plane, dont le plan est paral- lèle au plan des yz^ appartient donc à une infinité de multiplicités caractéristiques dépendant d'une constante arbitraire (')• Il est clair, par raison de symétrie, qu'il en est de même de toute courbe plane dont le plan est parallèle au plan des xz.

474?. Propriétés des caractéristiques. — Le rôle capital des carac- téristiques dans la théorie de l'équation (8) est une conséquence du théorème suivant : Toute intégrale de cette équation peut être engendrée^ de deux façons différentes , par des caractéristiques .

On peut encore énoncer cette propriété d'une façon plus pré- cise : Tout élément d^une intégrale fait partie d^une caracté- ristique de chacun des systèmes^ dont tous les éléments appar- tiennent à cette intégrale.

Supposons, pour fixer les idées, N ^ o. Soit z=zf[x^ y) une intégrale de l'équation (8); si l'on remplace, dans les deux pre- mières équations (i3)<, z, p, q, r, s, t par /(a;, j). ^, . . . , f^^ respectivement, on obtient deux équations différentielles du pre-

(') Les équations générales des caractéristiques d'une équation s =f(x, y, z) peuvent être obtenues explicitement. Si l'on prend en effet x = x^, p = <f (y)^ la

dernière équation dq = / dy donnera z, et la seconde donne ensuite q= -r-'

fio c	HAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-i
mier ordre (20)	\ (fis -^-li)dx-i-{Nt-i-U)dy = o,

qui se réduisent à une seule, puisque rélimination de -^ conduit

précisément à l'équation (10). Il existe donc, sur la surface inté- grale considérée, une famille de courbes, dépendant d'une con- stante arbitraire, satisfaisant aux deux équations équivalentes (20). Soit C l'une de ces courbes; les éléments du premier ordre de l'intégrale le long de C forment une multiplicité M,, qui est une multiplicité caractéristique. En effet, en vertu des relations

dp = r dx -H s dy, dq = s dx -(- l dy,

on peut inversement remonter des équations (20) aux équations différentielles (i3), des caractéristiques. Par chaque point de la surface intégrale il passe donc une courbe C telle que les éléments de la surface le long de cette courbe forment une multiplicité caractéristique du premier système. On verrait de même que, par chaque point de la surface, il passe une courbe C telle que les éléments de l'intégrale le long de C forment une caractéristique du second système. Les courbes G et C constituent les deux familles de courbes caractéristiques sur la surface intégrale considérée. Ces deux familles de courbes sont données par une équation différentielle du premier ordre et du second degré. On tire en effet de la première des équations (20)

dx

À, = -(Nr-^L) ^ -1N5. dy

et, en remplaçant X, par cette expression dans l'équation ( 1 1 ), on aboutit à l'équation différentielle

(l^t-^W)dy'--^i{'Ss — K)dxdy^{lSr-^'L)dx''=o,

qu'on peut encore écrire {cf. n" 471 )

(21 ) R dy'^ —Sdx dy -+- T rfr- = o,

R, S, T désignant les dérivées partielles du premier membre de l'équation (8), par rapport à r, s, t respectivement.

Des calculs tout pareils s'appliquent au cas où N est nul. Sur

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 6l

toute surface intégrale, il existe deux familles de courbes caracté- ristiques, en général distinctes, qui sont définies par l'équation différentielle du premier ordre et du second degré

(22) H dy^- — 2K dx dy -^- L dx^- = o ;

les éléments de la surface intégrale le long de l'une de ces courbes forment une multiplicité caractéristique (' ).

Inversement, si une multiplicité Ma, dont chaque élément se compose d'un point d^une surface S et du plan tangent en ce point, est engendrée par une famille de multiplicités caracté- ristiques dépendant d'une constante arbitraire, la surface correspondante S est une surface intégrale.

Nous raisonnerons toujours en supposant que IS n'est pas nul. Par hypothèse, par chaque point de la surface S passe une courbe C telle que la multiplicité M, formée par les éléments de la surface S tout le long de C soit une multiplicité caractéristique. Supposons, par exemple, que les valeurs de a?, j', z, p, q le long de C vérifient le système (i3)<. Les deux premières équations (i3)i peuvent s'écrire sous la forme équivalente (20) et, pour que les valeurs

de ^ tirées de ces deux équations soient les mêmes, il est néces- saire que les valeurs r, s, t satisfassent à l'équation (10), c'est- à-dire que S soit une surface intégrale de l'équation proposée. La démonstration serait toute pareille si N était nul.

Il résulte de ces théorèmes que tout système de trois équations différentielles

\ dz = p dx -h g dy, A dp -^- B dq -i- F dx -^^^ G dy = o, I Al rf/> -+- Bidq -hFidx -h Gi dy = o,

A, B, ..., Gi étant des fonctions quelconques de x, y, z, p, q (l'un au moins des coefficients A. B, Ai, Bi n'étant pas nul), définit un des systèmes de caractéristiques d'une équation de Monge- Ampère ; on obtiendrait cette équation en remplaçant dp par rdx-{-sdy,

(1) Le raisonnement est en défaut pour les intégrales qni vérifient à la fois les trois équations R = S = T = 0. De telles intégrales, s'il en existe, sont des intégrale» singulières, auxquelles on ne peut appliquer le théorème de Cauchy, quelle que soit la multiplicité M, prise sur l'une d'elles.

62 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

dq par sdx-{-tdy^ et éliminant -^- L'équation contiendra un terme en rt — s- si ABi — BAi n'est pas nul, et sera linéaire en r, 5, t dans le cas contraire.

On a aussi étudié les caractéristiques au point de vue du pro- blème de Cauchj. Nous avons vu plus haut que, quand on se pro- pose de résoudre ce problème pour une multiplicité caractéris- tique M,, une des dérivées du second ordre peut être prise arbi- trairement. Si l'on passe au calcul des dérivées suivantes, on trouve de même que, dans chaque ordre, la valeur d'une dérivée peut être prise arbitrairement, du moins lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont distincts. V indétermination est réelle; cela résulte des propositions suivantes, dont nous donnerons seulement l'énoncé ( ' ), et qui se démontrent par les méthodes habituelles du calcul des limites.

Lorsque les deux familles de caractéristiques sont distinctes :

\. Toute caractéristique appartient à une infinité dUnté- grales. dépendant d^une infinité de constantes arbitraires.

IL Lorsque deux intégrales, admettant tous les éléments d^une caractéristique ^ ont un contact d'' ordre w, en un point de cette caractéristique ^ elles ont un contact d'ordre n en tous les points de la caractéristique .

IIL Une caractéristique et une courbe F rencontrant la courbe caractéristique en un point M déterminent une inté- grale et une seule^ pourvu que la tangente ew xM à F soit dans le plan de Vêlement correspondant.

IV. En particulier^ deux caractéristiques de systèmes diffé- rents, ayant un élément commun, déterminent une surface intégrale et une seule.

Les énoncés sont moins simples lorsque les deux familles de caractéristiques ne sont pas distinctes.

475. Intégrales intermédiaires. — Les trois équations diffé- rentielles qui définissent les caractéristiques, renfermant cinq variables jc^y, z, p, q,ne peuvent être intégrées, comme un système

(') E. GouRSAT, Leçons sur les équations aux dérivées partielles du second ordre (I. Chap. 4; II, Chap. 10).

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 63

d'équations différentielles ordinaires. On peut cependant chercher s'il existe des intégrales premières pour ces équations ; nous dirons que la relation V(d;, y^ ^, /), ^)=:const. est une intégrale pre- mière des équations (i3), par exemple, lorsque la relation dW = o est une conséquence dé ces trois équations. Lorsqu'il en est ainsi, il est clair que la fonction V(a7,y, z,p, q) conserve la même valeur tout le long d'une caractéristique quelconque de ce système, cette valeur étant variable d'une caractéristique à l'autre. Si dans dW on remplace dz^ dp^ dq par leurs expressions tirées des for- mules (iS),, on trouve

„. lâS ^V L .A' \.d\\ ,

(âS àW X, àV H àV\ ,

pour que les équations ( i3)) entraînent la relation d\ = o, il faut et il suffit que V vérifie les deux conditions

. ^, /à\ à\\ , à\ , àV

On raisonnerait de même dans tous les autres cas, et le résultat obtenu peut s'énoncer ainsi : Pour que V(a7, y, z, p, q) = C soit une intégrale première des équations différentielles d^un des systèmes de caractéristiques, il faut et il suffit que la fonc- tion V soit une intégrale du système de deux équations linéaires qu'on obtient, en remplaçant, dans les équations différentielles des caractéristiques de Vautre système, dx, dy, dp, dq, par

â\ â\ /â\ â\\ /,)\ <)\

dp dq

/f)\ â\\ (,)\ 0\

respectivement.

Si Y{x,y, z, p, q) est une intégrale des équations (24), on a identiquement, d'après la façon même dont on a obtenu ce sys- tème,

cl\='^^^{dz-pdj:-qdy)^^'^^{^dp-^L dx ^ X, dy\

"^ ^ ^ *^^ "^^ ^ '- ^-^ ^ " "^yy^

64 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

inversement, si l'on a obtenu, par un moyen quelconque, trois multiplicateurs jji<, /jlo, jul,, tels qu'on ait identiquement

dV = ^i{dz — p dx — q dy) ■+■ ii.2(N dp -^-V. dx -¥- hidy) -(- }i.3(N dq -+- Ào dx -+- H dy),

il est clair que U = C est une intégrale première pour ce système de caractéristiques. La recherche des intégrales premières revient donc aussi à la recherche des combinaisons intégrables des équa- tions différentielles des caractéristiques (c/. II, n" 393).

Lorsque les fonctions L, H, N, ^<, A2 sont quelconques, le sys- tème (24) n'admet pas d'autre solution que la solution banale V = C. On a déjà vu comment on peut reconnaître si ce système admet d'autres intégrales^ et obtenir ces intégrales en intégrant des équations différentielles ordinaires (II, n°* 4o0-4ol).

La connaissance d'une intégrale première permet de trouver dos intégrales de l'équation du second ordre (8). En effet, si V(a?, y, 2, p, q) = C est une intégrale première des équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques^ toutes les intégrales de V équation aux dérivées partielles du premier ordre V(a:, j', z, /?, ^) = C {sauf peut-être les intégrales singu- lières) sont aussi des intégrales de Inéquation du second ordre (8).

Supposons toujours N ^ o, et soit V une intégrale du sys- tème (24). Toute intégrale non singulière S de l'équation du pre- mier ordre V = G est un lieu de courbes caractéristiques, et la multiplicité M, , formée par les éléments de la surface le long d'une de ces courbes, satisfait aux équations différentielles (II, n°447)

(25)

dx	dy âV Tq	dz — dp	-dq
à\ Tp	PTp-^'lTq Tx-^PTz	Ty^^Tz

En rapprochant ces équations des relations (24), on voit que les éléments de la multiplicité M4 satisfont aux équations différen- tielles obtenues en remplaçant, dans les formules (24), -r- ■> j-t

^ +^^ ôy + ^^ P*"" ^^' ^^' ~'^P' ~'^^ respectivement, c'csi-à-dire aux équations (i3)o. Les multiplicités Mi sont donc aussi des multiplicités caractéristiques pour l'équation (8) et.

!. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 65

par conséquent (n" AlA), la surface S est une intégrale de cette équation.

Inversement, si (ouïes les intégrales non singulières de V équa- tion V(a;, j-, z, /?, ^) = C sont aussi des intégrales de V équa- tion (8), quelle que soit la valeur de la constante C, t/V = o est une combinaison intégrable des équations différentielles de Vun des systèmes de caractéristiques de V équation (8). En effet, soit Ml une multiplicité caractéristique de l 'équation V = C ; tous les éléments de M, appartiennent à une infinité d'intégrales non singulières de l'équation V = C et, par conséquent, à une infinité d'intégrales de l'équation (8). Toutes les muTtiplicilés M,, définies par les équations différentielles (aS), doivent donc faire partie de l'un des systèmes de caractéristiques, et, par suite, la fonction V doit satisfaire aux relations qu'on déduit des équations différen- tielles de l'un de ces systèmes en y remplaçant dx^ dy^ dp^ dq par les dénominateurs correspondants des formules (25)(').

(') On peut aussi établir cette propriété directement. De l'équation

\'(x,y, z, p, q) ^ C

on déduit, en différeiitiaiit par rapport à J7 et par rapport à j,

dx ()z ' dp dq dy dz ^ dp dq

Si, de ces relations, on tire deux des dérivées du second ordre, r et s par exemple, et qu'on les porte dans l'équation (8), le résultat de la substitution doit se réduire à une identité. En effet, si ce résultat n'était pas indépendant de t, ou en tirerait la valeur de t et, par suite, on aurait les trois dérivées du second ordre exprimées au moyen de a?, y^ z, p, g. Des différentialions succes- sives permettraient d'exprimer de proche en proche toutes les dérivées par- tielles de z au moyen de x^y, z, p, q, et les intégrales communes à l'équation (8) et à V = C ne pourraient dépendre que d'un nombre /Ini de constantes arbi- traires. Si le résultat de la substitution est indépendant de t, comme ce ré- sultat ne contient pas C, l'équation (8) ne peut admettre toutes les intégrales de V — C, à moins que ce résultat ne soit identiquement nul.

Si donc nous revenons à Tinterprctalion géométrique du texte, nous pou- vons dire que la droite D, représentée par les équations (e), où l'on regarde r, s, t comme des coordonnées courantes, doit être située sur la surface repré- sentée par l'équation (8). Il a'ensuit que V doit satisfaire J> l'un des systèmes qu'on obtient en remplaçant dx, dy, dp, dq par

d\

	d\ dp'	d\ àq'	d\ d\ dx-^PTz	d\ dy
aoURSAT.	— m.

66 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

Si le système (24), ou l'un des sjslèines formés de la même façon en parlant des équations difTérentielles de l'un des systèmes de caractéristiques, admet deux intégrales distinctes u et t^, (p(u, t) est aussi utie intégrale quelle que soit la fonction 9(11, n" 451) et toutes les intégrales non singulières de l'équation o{u, p) = o sont aussi des intégrales de l'équation du second ordre. Réciproque- ment, soit S une intégrale de l'équation (8); on peut choisir la fonction 9 de façon qu'elle soit aussi une intégrale de l'équation du premier ordre cp(M. ^') = o. Considérons, en effet, sur la sur- face S les caractéristiques du système pour lequel a = Cel(^ = C' sont deux intégrales premières, et soit F me autre courbe de cette surface, différente de ces caractéristiques. Le long de cette courbe F u et V sont fonctions d'un seul paramètre variable et sont liées, par conséquent, par une relation ^(w, t) = o; cette relation subsiste en tous les points de S. Soit M un point de S; la caractéristique du système considéré qui passe en M rencontre F en un point Mo, et, puisque u (t\. v conservent la même valeur quand on se déplace sur cette caractéristique, on a aussi 9 (m, <-') = 9(«(i, <o) = o. On voit donc que toute intégrale de V équation du second ordre (8) satisfait aussi à une équation du premier ordre de la forme 9 (m, p) = o, et réciproquement.

L'équation 9(a. c) = o, que l'on peul aussi écrire v = ''\i[u)el qui dépend d'une fonction arbitraire, s'appelle une intégrale intermédiaire (') de l'équation du second ordre.

On peut vérifier par un calcul direct (jue l'cqualion o{u, t^) = o est équi-

. . , . . ,^.^.- du clv du dv , j , . . j

\alente a Tequation (8). Désignons par -j--, -z-i -r-i -7- les dérivées de u

et de c, prises en regardant z comme une fonction des variables x tx. y.p et q comme ses dérivées partielles; de l'équation 9(?^ t- ) = o, on déduit une équation du second ordre, indépendante de la fonction 9.

du dv du dv _ di dy " ly- Tr ~ "'

respectivement dans les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques.

(') On appelle aussi quelquefois intégrales intermédiaires toute équation du premier ordre \ -- C, dont toutes les intégrales non singulières vérifienl l'équation (8).

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 67

OU, en développant,

du du du du \ / dv dv dv dv \

dx dz^ dp dq I \ dy dz ^ dp dq )

(dv dv dv dv \ (du du du du \

Tx^ dzP-^ Tp'-^ d-q') KTy^ dz^^ Tp'^ dq V ="

Supposons toujours que l'équation (8) ait un terme en rt — s- et que u et V soient deux intégrales du système (24). Multiplions tous les termes de l'équation précédente par N- et remplaçons

fdu du \ ^. f dv dv'

(du du\ ^. dv dv\

{dx^Pdz)' ^Vd-.^PdzP

par leurs expressions tirées des formules ( '.>.4); en tenant compte des valeurs de Xi-4-Xo et Xi Xo, on aboutit, après quelques réductions faciles, à l'équa- tion

N ^^"- ''^ [Wr^xKs^ L/-(-M-+-N(/-/ — 501 = o, D(/j, q) ' V /J -

qui ne diffère que par un facteur de l'équation (8).

En résumé, lorsque les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques admettent deux combinaisons intégrables distinctes, Vintégration de V équation de Monge- Ampère est ramenée à Vintégration d^ une équation du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire. On ne peut, en général, efifectuer l'intégration de cetle équation du premier ordre qu'après avoir pris pour la fonction arbitraire une forme déter- minée. Mais la solution du problème de Cauchj se ramène tou- jours, dans ce cas, à l'intégration d'un système d'équations diffé- rentielles ordinaires. En effet, si l'un se donne une multiplicité M,, les coordonnées d'un élément (a?, j', 5, p. q) sont des fonctions d'un paramètre variable a. En remplaçant a;, j, c, p, q par leurs expressions dans u et t-, les résultats obtenus sont des fonctions Ll(a) et V(a) de a. Pour que tous les éléments de Mi appartiennent à une intégrale de l'équation r = .L(m), la fonction 'l doit satisfaire à la relation V(a) ==-!;[ U(a)] qui détermine, en général, celte fonction. La fonction ■l> étant connue, on est ramené au problème de Cauchj pour une équation du premier ordre.

Les équations (24) admettent au plus irow intégrales distinctes; pour qu'il en soit ainsi, elles doivent former un système complet (II, n" 451). On vérifiera aisément, en effectuant les calculs, que

68 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

cela ne peut avoir lieu que si l'on a À, = À2, et cette condition n'est pas suffisante. Soient u, i-, w trois intégrales distinctes; Tc^quation (8) admet alors deux intégrales intermédiaires dis- tinctes V z=Ai{u), w = t:{u). L'équation (8) admet aussi deux inté- grales intermédiaires lorsque les deux systèmes de caractéristiques sont distincts, si les équations difTérenlielles de chacun des sys- tèmes admettent deux combinaisons intégrables. Supposons, pour fixer les idées, que les équations (24) admettent deux intégrales distinctes u et t^, et que les équations (24)', obtenues en permu- tant ), et >,o.

(24)'

admettent elles-n)èmes deux intégrales distinctes Ui et i\ ; l'équa- tion (8) admet alors les deux intégrales intermédiaires p = '|(u), (', = 7r(U|). Mais on déduit des équations (24) et (24)'

et par suite, \v — 'i^(u), p, — 7r(a,)]=:Q, quelles que soient les fonctions arbitraires J; et tt. Il s'ensuit (II. n° 443) que les deux équations simultanées du premier ordre

(■ = 4'('^^ '1 = ~("i)

forment un système complètement intégrable. Comme on ne peut en général résoudre ces deux équations par rapport aux dérivées/? et ç, tant que les fonctions ^ et tt n'ont pas une forme déterminée, on introduit deux nouvelles variables indépendantes a et (3, en posant a := a, u, = (3, ce qui donne v := '|(a), t'i = 7r((3). De ces quatre relations on peut maintenant tirer jc, y, p, q en fonction de 5, oc, p. •i'(-z), Tr(i5); en remplaçant/), q, dx^ c()- par leurs valeurs dans la relation dz =^ p dx -{- q dy, on aboutit à une équation aux difTérenlielles totales

où P et Q dépendent de z. a. (3, Il a), •!'(«), 7:((3), 7t'(^), qui est

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 69

complètement intégrable, quelles que soient les fonctions ^{ol) et 7r((3). Cette équation étant intégrée, on aura x, r, ^ exprimées au moyen de deux paramètres a et (3.

476. Applications diverses. Exemples. — i" Les deux systèmes de caractéristiques de l'équation rt — s^=o sont confondus, et les équations diirérenlielles

i/p = o, dq = o, dz — p dx — q dy = o

admettent trois combinaisons intégrables, car on peut écrire la dernière di^z — px — qy) = o. On a donc deux intégrales intermédiaires

q = <f(p), z—px — qy = ^(p);

pour en déduire l'intégrale générale, il suffit de reprendre des calculs déjà effectués (I, n« 214).

2° L'équation q'^r — 2pqs -^ p-t =■ o n'a également qu'un système de caractéristiques, car l'équation (i6) devient ici q^X- -h 2pqy^ -i- p^ = o et

admet la racine double — — • Les équations dififérentielles (i5) deviennent dans ce cas

dz — p dx — q dy ^ o, p dx -+- q dy = o, 9 dp — p dq — o; on aperçoit aisément trois combinaisons intégrales

dz = o, fl?|iJ=o, dix-in^y\ = o.

L'équation admet donc les deux intégrales intermédiaires y -t-/) 9(a) = o, q X -^ ■^ y -ir <\{z) = o qui s'intègrent sans difficulté. Mais on obtient immé- diatement l'intégrale générale de l'équation proposée en éliminant — entre

p les deux intégrales intermédiaires. On est ainsi conduit à Téquation

x—y^{z)-^-^{z) = o,

qui représente des surfaces réglées admettant le plan des xy pour plan direc- teur (II, n» 453).

30 L'équation {i-k-q^)s — pqt = o exprime que les sections de la sur- face z =/{x,y) par les plans parallèles au plan x = o sont des lignes de courbure. Les formules (17)1 et (17)1 nous donnent, pour les équations diffé- rentielles des deux systèmes de caractéristiques,

(17)'^ dz —p dx — q dy = 0, dx = o, (1 -h q^)dp — pq dq = o, (17)2 dz —p dx — q dy = o, {1 -h q^)dy -h pq dx = o, dq = o.

Chacun d'eux admet deux combinaisons intégrables; on déduit en effet,

des équations (17)1, dx = 0, d( ^ -\ = o, et des équations (17), dq =0, Vv^i-t-^V

70 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGI-AMPÈRE.

(i(y -H qz) = o. Par suite, réquation du second ordre admet deux inté- grales intermédiaires qu'on peut écrire

p = ^i—q^/'ix), f-+-qz = ^(q),

/et ? étant des fonctions arbitraires. On aurait pu obtenir immédiatement la première, en écrivant l'équation du second ordre sous la forme

* qt

P ~ i-^^' et en observant que les deux membres sont les dérivées, par rapport à y, de log/) et de - log(i -+- q^). Cette équation du premier ordre admet l'inté- grale complète

et l'intégrale générale est représentée par le système des deux équations

z = v/i-(-'a2/(a;)-f-a7-(-ç(a), j ^ ç'(a) -h -===/(a:) = o,

\/i -t- a*

qui permettent d'exprimer_/ et z au moyen de x et du paramètre auxiliaire a. Le lecteur vérifiera sans peine que celte solution ne diffère que par les nota- tions de celle qui a été donnée (I, n» 251).

4» L'équation rt — 5*-t-a-=o, qu'on rencontre dans la théorie méca- nique de la chaleur, admet deux systèmes de caractéristiques dont les équa- tions différentielles sont respectivement

Idz —p dx — q dy = o, dz — p dx — q dy = o,

dp -^ ady = o, ( II ) dp — ady = o,

dq — a dx = o; dq -^ adx =^ o.

On aperçoit immédiatement deux combinaisons intégrablespour chacun de ces systèmes, et par suite deux intégrales intermédiaires, que nous écrirons

q — ax = <^'{p -1^ ay), q -h ax = <\i'{p — ay),

ç et '\i étant des fonctions arbitraires. En appliquant la méthode exposée à la fin du paragraphe précédent, posons p -^ ay = z, p — ay = ^-j on tire alors des équations précédentes

2a ' "^ 2a ' ^ 2 ' ^ 2

et en portant ces valeurs de x, y, p, q dans dz = p dx ■+- q dy, il vient

dz-^ î^î^ (d<^'- ûT?') -+- i^^ (da — rf3) 4a ^a

4 a 4 a '^'

I. — CARACTÉRISTIQUES. INTÉGRALES INTERMÉDIAIRES. 7I

On déduit de là, au moyen d'intégrations par parties,

_^f9-(a)+f(P)](«-p)

4a 2

Lyaç'(a)./a+^yp^'(p)rfp,

4«

On a ainsi les expressions de x, y, z en fonction des deux paramètres variables a et p, et des fonctions arbitraires ?(a) et <]^(P). 5° Considérons encore l'équation 5 = kpz, qu'on peut écrire

àq I , dz^ àx 1 âx

et qui admet par conséquent l'intégrale intermédiaire

(26) Ty-~ = • ^•^^'

9 étant une fonction arbitraire. On peut mettre cette fonction ? sous une forme telle que l'intégrale générale de l'équation de Riccati (26) s'obtienne explicitement. Nous savons, en effet, que cette intégrale générale est une fonction rationnelle du premier degré de la constante d'intégration qui est ici une fonction arbitraire de x\ elle est doue de la forme

61, e,, 63 étant des fonctions déterminées de 7 et X une fonction arbitraire de X. Il suffira de choisir les fonctions ©i, ©j, 63 de façon que le premier membre de l'équation (26) ne renferme pas X pour que z soit l'intégrale générale d'une équation de cette forme (26). On trouve ainsi les conditions

e'2— Ae,eî=o, 2e2e'3-4- ^e.^ = o,

qui permettent d'exprimer 6» et 61 au moyen de 63, 0',, 6",. Posons Su = Y,

2 I Y"

il vient 64 = — ^ Y', puis 61= -j ^7» et l'intégrale générale de l'équation

s = kpz est par conséquent

I Y' 2Y'

X et Y étant deux fonctions arbitraires de x et de jv' respectivement.

e» L'équation de Liouville s = e^~ se ramène à la précédente. Considérons en effet le système de deux équations simultanées

au àz ,

— - =^ z - — ■=. e^"

ày âx

72 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

L'élimination de u conduit à l'équation s = kpz, tandis que l'élimination de z conduit à l'équation - — — = e^". On en conclut que l'intégrale géné- rale de cette dernière équation est donnée par la formule

2X'Y'

(28)

/c(Xh- Y)2

dont le second membre est la dérivée par rapport à x du second membre de la formule (27).

7" Lorsque l'équation du second ordre n'admet pas d'intégrale intermé- diaire dépendant d'une fonction arbitraire, on ne peut pas trouver l'inté- grale générale par cette méthode. Mais si les équations différentielles de l'un des systèmes de caractéristiques admettent une combinaison intégrable d\] =0, on obtient des intégrales dépendant d'une fonction arbitraire en intégrant l'équation du premier ordre U = C. Supposons, par exemple, que dans l'équation linéaire en /•, s. /,

(29) Hr + 2Kj H- L< = o,

H, K, L ne dépendent que des variables /), ^. Des équations (i4) et (i5) qui définissent les caractéristiques, on déduit que le long d'une caractéristique on a la relation

H dp"- -¥■ -i.V< dp dq -\- V, dq^ = o ;

pour chaque svstème de caractéristiques, on a une équation diJlerentielle de la forme

Xi dp -+- Lii dq = o. À2«'/> -+■ ix^dq — o,

Xi, [Jii, À*, (JL2 ne dépendant que dep et q. Chacun de ces systèmes admet donc une combinaison intégrable d[ui {p, q)] = o, d[ut{p, ?)]= o, et par suite l'é.quation (29) admet les intégrales des deux équations du premier ordre

«i(/>, çr) = C, Ui{p,q) = Ci;

ces surfaces intégrales sont développables (II, n» -444).

Dans ses travaux sur le mouvement rectiligne des gaz, Hugoniot (i)(votr plus loin, n° 492) a été conduit à chercher une intégrale d'une équation de la forme (29), tangente au plan 2 = 0 tout le long d'une courbe. La théorie des caractéristiques donne aisément la solution de ce problème.

La courbe de contact L est forcement une courbe caractéristique sur la solution s = o, et par suite cette courbe est une intégrale de l'éijuation diffé- rentielle

H(o, o) dy^— 2K. (o, o) dx dy -+- L(o, o) dx"- = o,

(') Journal de l'École Polytechnique, t. 33, Cahiers 57 et 58; 1887

II. — ■ MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 78

puisqu'on a aussi/» = q = o en tous les points de l'intégrale z = o. Cette courbe est donc une ligne droite D. Gela posé, soit S une surface intégrale tangente au plan des xy tout le long de D; cette surface est engendrée par des caractéristiques du système différent de celui auquel appartient D, issues des différents points de D. Si dui = o est une combinaison intégrable des équations différentielles de ce système, Wi(/>, q) est constant tout le long de chacune de ces caractéristiques, et par conséquent est égal à «1(0, o) en tous les points de S. Il s'ensuit que la surface S est une intégrale de l'équation du premier ordre «i (p, q) = «1 (o, o), et inversement toute surface intégrale de cette équation est une solution du problème, pourvu qu'elle soit tangente au plan des arj. Pour achever de déterminer la question, il faudra se donner une condition de plus, par exemple assujettir la surface cherchée à passer par une courbe qui, naturellement, doit être tangente au plan desxy. Le problème revient alors à déterminer une surface développable passant par une courbe donnée, et admettant pour cône directeur un cône donné. On obtiendra cette surface en menant par chaque tangente à la courbe un plan parallèle à un plan tangent au cône directeur (II, n" 444).

On obtiendrait une autre famille de solutions en partant de l'équation du premier ordre n^ip, q) = Ui(o, o).

II. — MÉTHODE DH LAPLACE. CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

477. Intégrales intermédiaires d'une équation linéaire. — Les deux systèmes de caractéristiques de réquation

(3o) s -h ap -^- bq -h cz -+- g = o,

OÙ rt, 6, c, g sont des fonctions de x, y, sont toujours distincts, et leurs équations difFérentielles sont respectivement

i clz — p dx — <7 rfy = o, dx = o, (^i)i f H J ^

\ dp -^ {ap -¥- bq -^ cz -\- g) dy = o,

1^ dz — p dx — q dy = o, dy = o, \ dq -^ {ap -h bq -i- cz -\- g) dx = o.

Chacun de ces systèmes admet une combinaison intégrable dx = o, ou dy' = o; pour qu'il y ait une intégrale intermédiaire, il faut et il suffit que l'un d'eux admette une seconde combi- naison intégrable. D'après une proposition générale énoncée plus

74 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

haut (n° 475) et facile à vérifier dans le cas actuel, pour que la relation «iV = o soit une conséquence des équations (3i), par exemple, la fonction V doit satisfaire aux deux conditions

La première montre que V doit être indépendant àep, et par suite il faudra que le coefficient àe p et le terme indépendant de p soient nuls séparément dans la seconde relation; ce qui permet de rem- placer le système précédent par le système

(3.) A (V) = ^' - (6, + c. ^ ^) '>\ = „, B(V, = ^' - „ -^ = „,

OÙ V est une fonction inconnue de a:, t, 5, q. Ce système admet déjà la solution \=y; pour qu'il admette une autre solution, ne se réduisant pas à une fonction de i', il faut et il suffit qu'il soit un système jacobien (II, n" 451), c'est-à-dire qu'on ait identique- ment A[B(V)] = B[A(V)], ou h.{a) = 'R{bq-^cz^g). Celte

condition se réduit à -— -r o.b — c i= o.

Sans qu'il soit nécessaire d'intégrer le système (Ba), on peut voir directement que cette condition est suffisante pour qu'il existe une intégrale intermédiaire, car l'équation proposée (3o) peul toujours s'écrire

ôa

Lorsque j-, + aè — c est nul, l'équation (33) se ramène à u

âx

ne

équation linéaire du premier ordre

(34) ^- ^bu ^g = o.

en prenant pour inconnue auxiuaire a=-.- +a:;. L intégrait générale de l'équation (34)

,. = e-f'"'{^-f,ef'''d.)

II. — MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. jS

nous conduit donc à une Intégrale intermédiaire de l'équation (3o)

(35) ~ -+- a^ = e J '"^'^ f Y - J g eJ '"^'^ dx\ ,

il ày

OÙ Y est une fonction arbitraire de y. Cette équation du premier ordre peut à son tour être intégrée comme une équation différen- tielle ordinaire où la variable indépendante est j, et l'intégrale générale de l'équation (3o) est représentée par la formule

/-

X^JeI-"~f'"{Y-fgeI''"d.)dy,

X étant une fonction arbitraire de x. On voit que cette intégrale est de la forme

(36) 3 = aX-i-p-i- TvYoy,

a, î3, Y étant des fonctions déterminées de x et de^ ; l'une des fonc- tions arbitraires X j figure explicitement, tandis que la seconde fonction arbitraire Y est engagée sous le signe intégral.

En intervertissant le rôle des variables x et 1', on verra de même

qu'il y a une intégrale intermédiaire lorsque y- -\- ab — c est nul.

L'intégrale générale est représentée par une formule analogue à la formule (36), qui s'en déduirait en permutant x et y. X et Y.

Les deux expressions A=j — \- ab — c, ^=3 — \- ab — c

s'appellent les invariants de l'équation (3o) ; on vérifie facilement que ces invariants ne changent pas quand on fait un changement d'inconnue tel que c = l{x^y)z'^ quelle quesoitla fonction X (a?, _}). Le résultat qui vient d'être établi peut s'énoncer ainsi : Pour que l'équation (3o) admette une intégrale intermédiaire, il faut et il suffit que Vun des invariants h ou k soit nul.

Exemple. — Prenons Téquation {x — y) s — y = o, pour laquelle l'inva- riant h est nul ; elle admet l'intégrale intermédiaire q = Y(ar —y), et par conséquent Tintégrale générale a pour expression

X^J\{a:-y)c/y.

7t) CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

Pour faire disparaître tout signe de quadrature, il suffit de remplacer la fonction arbitraire Y par la dérivée seconde Y' d'une fonction arbitraire, ce qui donne, pour l'intégrale générale, une forme entièrement explicite

z = X-t- Y-K(^— 7)Y'.

Remarque. — Il peut se faire que les deux invariants h et k soient nuls

simultanément. S'il en est ainsi, on a ^— = -p- et « et è sont les dérivées

ox dy

partielles d'une fonction \{x,y), a = -t- è = --^ , et en outre on a

^ ^ ' dy âx

dx ây dx dy

En posant z — e— -^ u, on ramène l'équation (3o) à une équation dont l'inté-

,,. d'^u , . -

gration est immédiate -j — -r ^ S\^^ Y) ^^ = o.

478. Transformations de Laplace. — Si aucun des invariants h et k n'est nul, l'équation (3o) n'admet pas d'intégrale intermé- diaire. Laplace (') a fait connaître une méthode de transformation qui permet d'intégrer l'équation dans un nombre illimité de cas nouveaux. Supposons, pour fixer les idées, h ^ o. En posant

ôz

(37) ^^- = --

nous avons déjà observé que l'équation (3o) peut s'écrire

(38) ^-^^-^hz.^g^hz.

Considérons les équations (37) et (38) comme un système de deux équations simultanées à deux inconnues zetz^. L'élimination de 5, conduit évidemment à l'équation (3o), que nous appellerons désormais Véquation (E). Au contraire, en éliminant 5, on est

( ' ) Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles (Mémoires de l'Académie, 1773 ). Nous n'indiquons que le principe de la méthode, et nous renverrons le lecteur désireux d'approfondir ce sujet aux beaux Chapitres que M. Darboux lui a consacrés {Leçons sur la Théorie générale des sur/aces, t. II).

II. — MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 77

conduit à une équation de même forme (E<), où l'inconnue est Zt

^ rJ.r f)y àx ây

les coefficients a,, 6,, Ci et ^i ajant les valeurs ci-dessous :

( àXoeh , , ôa àb .(Jioeh

\ Oy dx (h dy

ûMogAX ^

'>r / 'h'

^1 = ^ («

Il est clair que l'intégration de l'équation (E<) et celle de l'équa- tion (E) constituent deux problèmes équivalents, car les for- mules (3^) et (38) font correspondre une à une les intégrales des deux équations. Or les invariants A, et A-, de (E,) ont pour valeurs, comme le prouve un calcul facile,

/ , dui , , , t)"^ losrA

l «I = -r- H- «1 '>1 — Cl = 2/1 — A- : — — ,

\ dx dx dr

^ / ^*'i / /

t «1 = -;— -f- «I />i — Cl = // ; [ dy

Ai ne peut être nul puisqu'on a supposée ^ o, mais il peut arriver que h, soit nul, sans qu'aucun des invariants h et A soit nul. S'il en est ainsi, l'équation (E,) admet une intégrale intermédiaire et l'intégrale générale est représentée par une formule telle que (36), avec deux fonctions arbitraires X et Y. D'après la formule (38), on en déduit pour l'intégrale générale de (E) une expression de la forme

.- = A„\ ^ A,X'-(- B -+- TCY dy,

A„, A|, B, C étant des fonctions déterminées de x et de )', et X' la dérivée de X.

Tout pareillement, si l'invariant k n'est pas nul, les deux équa- tions simultanées

(40 ~ -^hz = z-i, -jj- -\-ftz^,-i- ^ = kz

conduiront, par l'éliniination de ;_,, à l'équation (E) elle-même,

^8 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

el, pai' l'élimina lion de z, à une nouvelle équation (£_,) (E_, ) --^ -+- «_, '-^ -h b^, '-^ -+■ c_, z-x ■+■ i'_i = o,

avec les expressions suivantes de a_,, 6_,, c_,, g_y :

if)logk db àa à\n«k a_, = a, b-i = b -^ , t_, = c r "^ l " — TJ ' ' ' r^j: <Jf <)x àx

\ dx j i)x

Les invariants de (E_,) sont respectivement

(43) A-,= A, A_, = .A--A-'-^.

Si l'invariant A--1, estnul,*on pourra intégrer l'équation (E_,) et par suite l'équation (E).

Lorsque aucun des invariants /i_<, Â"_, n'est égal à zéro, on no peut intégrer de cette façon l'équation (E); on peut alors appli- quer les mêmes transformations aux deux équations (E|), (E-(), mais il est à remarquer que chacune d'elles ne donnera pas nais- sance à deux équations nouvelles. Prenons par exemple l'équa- tion (E,), et appliquons-lui la seconde transformation de Laplace en posant

-'= '^^^ +h z = '^-^^ ^bz

" ))X ^ "' ()X

de sorte que l'équation en z' obtenue se ramène, par une transfor- mation simple, à l'équation (E) elle-même. La première transfor- mation appliquée à (E_,) conduirait de même à une équation qui ne diffère de (E) que par un changement d'inconnue très simple. Au point de vue de l'intégration, il est clair que ces équations peuvent être considérées comme identiques. Par suite, l'application répétée de la méthode de Laplace conduira seulement à une suite linéaire d'équations

... (E_,), (E_0, (E), (E,), (E,), ... à indices positifs et négatifs, dans laquelle chaque équation (E,)

II. — MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 79

OÙ f >> o se déduit de (E,-i) par la première transformation et où chaque équation (E_y) oùy>o se déduit de (£,_;) parla deuxième. La suite des équations à indice positif peut être prolongée tant qu'on n'arrive pas à une équation (Ej) pour laquelle A, soit nul. Si l'on arrive, au bout de i transformations, à une équation (E,) pour laquelle A,= o, cette équation est intégrable, et, en remon- tant de proche en proche, on en déduira l'intégrale générale des équations (E,_,), (E,_.,), . . ., jusqu'à l'équation (E). Il en sera de même si l'on arrive à une équation (E_;) pour laquelle l'inva- riant/r_y soit nul, en appliquant y fois la seconde transformation de Laplace.

Exemple. —Appliquons la méthode à réqiiation

{œ —y)s^ p — q = u,

qui n'admet pas d'intégrale intermédiair»'. Posons pour cela

àz z

à y -f — j '

l'équation s't-cril

Oz\ Z^ 1Z

à.r x—y i-'-— ,r)- ol l'élimination de :; conduit à l'équation en Z\

ôz, àz^ à'-z, "J.r ^ Or vs,

i)x ôy j — ) {X — yy-

Cette nouvelle équation est inlé^rable, car on peut l'écrire

<) /âz, z, \ i /(Jz, z, \ _

àx \ r)y X — y / ./• — 1 \ ()y x — )' / '

et l'on en déduit (ju'elle admet l'intégrale intermédiaire

Y étant une fonction arbitraire de jk- L'intégrale générale est donc

■.\ + j" \ i^j: - yy ,ly |)Our faire dispaïaîtrc tout signe de quiidrature, il suffit de remplacer Y

8o CHAPITRE XXIV. — EQUATIONS DE MONGE-AMPERE.

par \", ce qui donne

X-i-Y ,

;;i = ?, H-21 -h (x — y )\ .

X — y

On trouve finalement, pour l'intégrale générale de l'équation en z,

- = (^-7)(Y'-\') + 2X^->Y.

La méthode de Laplacc n'est qu'une application particulière d'une méthode, plus générale, due à G. Darboux, qui s'étend à toutes les équations du second ordre à deux variables indépen- dantes. Malgré tout l'intérêt de cette méthode, les équations qu'elle permet d'intégrer forment une classe très particulière, et les équa- tions du second ordre susceptibles d'une intégration formelle sont exceptionnelles. Aussi, au lieu de chercher l'inlégrale générale, on cherche surtout à déterminer les intégrales particulières satis- faisant à des conditions données, suffisantes pour les déterminer. Ces conditions, empruntées le plus souvent à des problèmes de i^hysique mathématique, sont très différentes, suivant que les caractéristiques sont réelles ou imaginaires. Ceci nous amène à indiquer une classification des équations du second ordre basée sur ce caractère.

47ÎK Les trois types d'équations linéaires. — Considérons en particulier une équation de la forme

(4 i) Ar H- 2pî5 -+- Ct -+- ¥ {x, y, z, p, q) = o,

les coefficients A, B, C ne dépendant que des variables indépen- dantes X et y. Sur toute surface intégrale, les deux familles de courbes caractéristiques s'obtiennent par l'intégration de l'équa- tion différentielle

( 45 ) A dy- — îY^ dx dy -\- (^ dx- = o,

qui est indépendante de l'intégrale considérée. Ces courbes se projettent donc sur le plan des xy suivant les deux familles de courbes qui satisfont à l'équation (45) du premier ordre et du second degré. Inversement, toute courbe de cette espèce est la projection sur le plan des xy d'une infinité de caractéristiques de l'équation (3o).

En effet, l'équation (45) se décompose en deux équations du

n. — MÉTHODE DE LAPLACÉ. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 8l

premier ordre et du premier degré

(4^)i- a^ Hy -¥■ by dx =.0, {\'^)i a-i t/y -^ b% (f.r = o,

rt,, 6i, «2, 62 étant des fonctions de x et de y, dont chacune convient à l'un des systèmes de caractéristiques. Considérons en particulier l'un de ces systèmes défini par les trois équations

(/z = p flx -¥- q dy , ai d] -h bt dx = <> , E rf/^ -4- G rf^ -t- H dx = o ,

E, G, H étant des fonctions de 37, ), z, p, ^ dontil est inutile d'écrire l'expression. Soit T une courbe de l'espace se projetant sur le plan des xy suivant une courbe C, le long de laquelle on a

«1 dy -h bi dx = 0 :

a?, y, :; étant des fonctions connues d'un paramètre a, la relation dz=pdx-\-qdy permet d'exprimer l'une des deux inconnues, p par exemple, en fonction de q et de a. En portant ces valeurs de X, >', s, p dans la dernière équation

E «?/>-+- G rf^ -4- H dj = (>,

on arrive à une équation différentielle du premier ordre pour déter- miner q. On voit donc que la courbe F appartient on général à une infinité de multiplicités caractéristiques de l'équation (44)» dépendant d'une constante arbitraire. Nous appellerons souvent, pour abréger, courbes caractéristiques de V équation (44) les deux familles de courbes planes du plan des xy^ définies par l'équation différentielle (45); c'est là une locution abrégée dont le sens ne peut présenter aucune ambiguïté.

Lorsque les coefficients A, B, C sonl des fonctions réelles des' variables réelles x et y^ nous sommes conduits à introduire la distinction suivante. Si B^ — AC est positifs les deux familles de caractéristiques sont réelles et distinctes; l'équation (44) est du type hyperbolique. Si B^ — AC est négatifs les deux familles de carac- téristiques sont imaginaires ; l'équation (44) est du type elliptique. Enfin, si B^ — AC est nul, il n'y a qu'une famille de caractéris- tiques qui est réelle; l'équation appartient au type parabolique . Il est évident qu'une même équation peut appartenir à des types différents suivant la région du plan consitiérée.

Les deux familles de caractéristiques étant supposées distinctes^

(iOURSAT. — III.

82 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

soient l\x, y) := const., r,{x, y) = const., les formules qui '-epré- senlent l'intégrale générale des équations (45)i et (45^2 respecti- vement; c(a:. y) et r/(j;, y) vérifient respectivement les deux

équations

à"c ^ d'- àr, ^ àr,

Ui 61 -3- = o. a. 65 -— = o,

ax or ox dv

et par conséquent sont des intégrales de l'équation du premier ordre

Cela posé, imaginons qu'on prenne ^{x. y) et ri{x, y) pour nou- velles variables indépendantes; l'équation (44) se change en une nouvelle équation de même forme

(47) -'V

'■z ^ ô'-z „ d-^z „ / dz dz\

77 ^2B, -— — ^ Cl -— ^ F, Ç. T.. Z,-^, -r- )=0.

dont les caractéristiques sont les courbes intégrales de l'équation difTérentielle

A, rfr,2 _ 9 B, ^ dr, ^ Cl ^2 = o.

Or, d'après la définition même des multiplicités caractéris- tiques (n° 473), il est clair que les caractéristiques de la nouvelle équation (47) correspondent aux caractéristiques de la première. Ce sont donc les deux familles de droites \ = const., r, = const., et Ton a Ai =: Ci ^ o, de sorte que l'équation (47) ne renferme

que la dérivée du second ordre y^' On dit alors que Véquation

est rapportée à ces caractéristiques.

Lorsque l'équation (44) est du tvpe parabolique, on prendra pour \{x, y) une intégrale de l'équation (46), la seconde va- riable r,[x^ y) étant une fonction quelconque distincte de ^. La nouvelle équation ne doit admettre qu'un système de caractéris- tiques, composé des droites ; = const. Les deux coefficients A< et Bi doivent donc être nuls, et l'équation (47) ne renferme qu'une

dérivée du second ordre -7-^- Ces résultats, que la théorie générale

des caractéristiques rend intuitifs, sont faciles à vérifier par le calcul. On trouve en effet, d'après les formules générales du chan- gement de variables, que les coefficients A<, B,, C< ont les valeurs

II. — MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 83

suivantes, quelles que soient les fonctions ^{x, y), ■n{x, y) :

-m

dx ày \ày I

àyày^

les coefficients A, et Ci sont bien nuls quand on prend pour c,, ri deux intégrales distinctes de l'équation (46). Si B- — AC := o, l'équation (46) peut s'écrire sous les deux formes équivalentes

ax ây dx ay

et A| et B4 seront nuls, pourvu que ^ soit une intégrale de celte équation.

Lorsque l'équation (44) appartient au type elliptique, la trans- formation précédente introduit deux variables imaginaires conju- guées i{x^ j), ri{x^ y). Si Tonne veut employer que des transfor- mations et des variables réelles, il suffit de prendre, au lieu de E, rj,

les deux variables réelles X = ^-hy5, Y= /' ^ ce qui ,rem- place -TT-r- par 3x5 + jvï' délmitive, toute équation de la

forme (44), dont les coefficients A, B, C sont réels, peut être ramenée, par un choix convenable de variables réelles, à l'une des trois formes canoniques suivantes, dont chacune convient à un type particulier ( ' ) :

^"^ ^fii; "^-^V' '" "' 5f' 4) """^ (type hyperbolique);

„, d^z d'-z , I dz dz\ , ,,. . ^

^ -* d^ ^ ^ ■^•'^V' """ "' JE' ,/rJ =^ (^yP^ elliptique);

(P) ^^•^(^''^"^'5?'^)^° (type parabolique).

(') On peut arriver directement à la forme canonique qui convient au type elliptique sans employer aucun symbole imaginaire. Si l'on prend en effet pour nouvelles variables deux fonctions l\x, y) x{x, y) satisfaisant aux deux

«4 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONCE-AMPÈRE.

Lorsque l'équation (44) est complètement linéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à 3 et à toutes ses dérivées, il en est de même de l'équation transformée (47)> quelles que soient les nouvelles variables^, n. Les trois formes canoniques sont donc les suivantes :

à^z àz , dz

à-z à^z àz . àz

à^z àz , àz

a, 6, c. g étant fonctions des variables ^, tj seulement. La seconde forme se ramène à la première, si l'on introduit des variables complexes.

Exemples : i" L'équation rx''-—ty^=o est du type hyperbolique; les caractéristiques <e projettent sur le plan des xy suivant les deux familles

de courbes xy = C, - = G'. Prenons pour nouvelles variables Ç = -r ) , = ^ ;

as	y àz àz I àz
=^- Ir-	r^ à^z V* (^z fy àz X- à\ ài\ 27* àr(- X-' àr^
ai z	à^z à*-z 1 "*" " à^ àr, "*" ^Ti* x^-

L'équation proposée se change eu une équation où les deux invariants h et A- sont nuls (n» 477), et dont l'intégration est facile,

, à^z _ àz ^ àl àr, àr

équations

^ _ B dÇ _ y AU — B' ^ £r, ^ y/AC— B- ^ _ B t^r, ^

^ '' âx ~ A ày A ày' Ox ~ A ôy k dy'

on trouve une équation transformée dans laquelle, il est facile de le vérifier, ou a A,= C,, B, = 0. Hais l'intégration de ce système revieot au fond à celle de l'équation

d{\^i\) _ /— B-t-ty AC — BA d(\-^ir,\ dx ~ \ A / i)y '

qui est équi\alente k l'équalion (^6).

II. — MÉTHODB DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 85

2° L'équation r^* -t- ^jt* = o appartient au type ciliplique; les courbes intégrales de l'équation y^dy--h x*dx^= o sont imaginaires. En posant .r- = Ç, y^ = tj, l'équation devient

^z â^z \ (\ dz \ dz

â^z iPz^ ^ (l^^ 1 ^\ —

480. Étude du problème de Cauchy dans un cas particulier. — La

distinction entre les équations hyperboliques et elliptiques peut s'étendre évidemment aux équations du second ordre de forme, quelconque, suivant la nature des caractéristiques. Cette distinction n'intervient pas dans la recherche des intégrales intermédiaires ; mais, dans le cas elliptique, tous les raisonnements basés sur la théorie des caractéristiques supposent implici- tement qu'il s'agit d'intégrales analytiques. Il est à remarquer d'ailleurs que des formules, presque identiques en apparence, peuvent avoir des inter- prétations tout à fait différentes, suivant le type de l'équation à laquelle elles se rapportent. Pour bien mettre en évidence ce point essentiel, nous allons étudier le problème de Cauchy pour les deux équations s = o, r -h / = o. Prenons d'abord l'équation 5 = 0. Soit Mi une multiplicité définie par cinq fonctions réelles x = fi{a.), y =/,(a), z = f3((x), p = ^i{a), g = 9i(a) de la variable a, satisfaisant à la relation /^(a) = ?i(a)/!| (a) ^- 9î(a)/!j(a).- L'équation s = o admet deux intégrales intermédiaires/) = '^{x), q =r.{y) et, pour avoir l'intégrale qui renferme tous les éléments de Mi, nous devons d'abord déterminer les fonctions arbitraires <^ el 1: par les deux conditions

r.(«) = 1'[/i(«)l- ?.(«) = 7^[/.(a)];

ces fonctions étant déterminées, l'intégrale cherchée a pour expression

z = zo-^ I '\'i^) dx — I T^(_y) fly,

^0, y^, Zn étant les coordonnées d'un point de la courbe donnée, corres- pondant à une valeur a„ du paramètre. Faisons le changement de variables

(49) ^ =/.("), y=M^')\

l'expression de z devient, en tenant compte des relations qui déterminent les fonctions tj^ et ;:,

(50) z = Zo-^ f '^,{u)f\{u)du+ f <^.{^)f:,{v)ch.

Les coordonnées r, y, z d'un point de la surface cherchée sont ainsi exprimées au moyen de deux paramètres 11 et v par les formules dg) ei (5<>). Kn supposant t^ =1 u, on retrouve bien la courbe donnée.

86 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

Proposons-nous le même problème pour l'équation de Laplace r -i- t = o,

les données restant les mêmes. En prenant pour nouvelles variables

âz p — iq dz P -H iq

^ = x^iy, T^ = x-iy, on a ^ =/,i=C-_2, _ = 5,, = >C^__ , et

l'équation devient -r-— = o. Quand à la multiplicité M',, elle est rem- placée par une nouvelle multiplicité M.\ définie par les relations

des formules obtenues tout à l'heure on conclut que l'intégrale de l'équation d^z _ â^âr^ - °' équations

— — = o, admettant tous les éléments de M', , est représentée par les

( Z=Zo-f- ^ f [?l(") — t>-2(")][/U«)^'/ï(")]^«

En revenant aux variables x, y, nous obtenons les formules suivantes pour représenter l'intégrale de l'équation r -t- ^ = o, qui admet tous les éléments de la multiplicité donnée Mi :

^^^■^ ) A{u)--Mv)-^i[Mu)+Mv)\^

la formule qui donne z n'étant pas changée. Pour des valeurs réelles des paramètres u et y, x, y cl z ont en général des valeurs imaginaires; si l'on attribue à ces paramètres des valeurs imaginaires, les formules (5i) et (52) n'ont un sens que si les fonctions données/i, /s, 91,92 sont des fonctions ana- lytiques. Supposons ces fonctions holomorphes dans un certain domaine D du plan de la variable complexe a, contenant un segment ab de l'axe réel, qui correspond à la courbe donnée. Ces fonctions sont représentées, dans le voisinage de a = œq, par des séries entières en (a — ao) à coefficients réels, et par suite prennent des valeurs imaginaires conjuguées pour des valeurs imaginaires conjuguées de la variable dans le domaine D. Pour que j:,y, z soient réels, il suffira d'attribuer aux paramètres u et v des valeurs imaginaires conjuguées, et les formules qui représentent l'intégrale peuvent

MÉTHODE DE LAPLACE. ÉQUATIONS LINÉAIRES. 87

(53) ! r- „ -,

1 z = Zo-(-dl / j<pi(a) — icp2(M)} [f\{u)^if:^{u)\du ,

dl(A) désignant la partie réelle de A, et la variable complexe u décrivant le domaine D. On voit parla combien les solutions du problème de Cauchy pour les deux équations, qui paraissent identiques au point de vue purement formel, sont en réalité différentes. Tandis que les formules (49) et (5o) supposent simplement que les fonctions qui y figurent sont continues et ont des dérivées continues, les formules (5i) et (62) n'ont de sens précis que si les fonctions données /,, tp/ sont des fonctions analytiques, et dans les formules définitives (53), qui représentent la solution, le ])âramètre variable « doit prendre des valeurs complexes.

11 est aisé de s'assurer que ces conditions ne sont pas introduites par le mode de solution adopté, mais qu'elles tiennent à la nature niinie du problème. Soient G une courbe plane du plan des xy, et D un domaine renfermant cette courbe. Si l'on se donne les valeurs d'une fonction u et de ses dérivées

partielles -— j -r- le long de G, ces valeurs étant seulement continues et ' dx ày

vérifiant la relation

, au , du ,

du = -— dx -¥- -r- dy

ax ay '

le long de cette courbe, il n'existe pas en général de solution de l'équation,

de Laplace A2M = o, continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres

^ • . • 1 . ,,■,.., du Ou

dans D, aussi petit que soit ce domaine, et dont les dérivées -r- j j- prennent

les valeurs données sur la courbe G. En effet, si une telle solution existait,

on en déduirait une autre fonction v{x, y), satisfaisant aux mêmes coiidi-

X j rv 11 ) • <^^' du Ov du ... ^ _„.,

tions que uix, y) dans 1), et telle qu on ait -r— = ^ ? ,- = -t- ('»! " -"' '•

^ V ' ./ / 1 f)j. dy dy dx ^

^ dv dv . . ■ 1 ^ c ■ , s

Les valeurs de -7- 1 -— étant connues le long de G, cette fonction v(x,y) dx dy D ! .

serait elle-même déterminée le long de G, à une constante additive près; Il ■+■ iv serait donc une fonction analytique holomorphe dans D de x -+- iy, dont on connaîtrait la valeur tout le long de G. 'Or, on sait que cette fonc- tion est complètement déterminée si l'on connaît sa valeur le long d'un

1 /-i ,-. • 11 , • 1 , ^ du .du

arc de G, aussi petit qu 11 soit. 11 s ensuit que les valeurs de ,- et de -

' ' ^ dx dy

doivent être complètement déterminées en un point quelconque de G, si

l'on connaît les valeurs de ces dérivées sur une portion, aussi petite qu'elle

soit, de ce contour. Il est clair que cette condition ne sera pas satisfaite si

, r . , . du du , ,..,•-

les (onctions données pour , » -.- ^f>>it seulement continues, hn réalité, ce dx dy

88 CHAPITRE XXIV. — ÉQUATIONS DE MONGE-AMPÈRE.

n'est pas le problème de Cauchy qui se pose pour l'équation Ajm = o, mais un problème tout différent, qui sera étudié plus loin (Chap. XXVII).

EXERCICES.

1. Intégrer les équations

x-r -h 2xys -h y-t = 0, !s-h- -) = rt,

rt — s^-i-/'(x)pt = o, rt — s- = pqs, gr -h {zg — p)s — zpt = o,

s ^ pg -+- e'/{x, y), rxy -^- s{x^-k- y-) -^ txy — py — gx = o.

2. Trouver les surfaces dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des courbes planes dont les plans passent par une droite fixe (««r/aces de Joachimsthal), et les surfaces dont lej lignes de courbure de l'un des systèmes sont situées sur des sphères concentriques {surfaces de Monge).

3. Déterminer les fonctions À(a:, y) telles que l'équation r =.\^t soit intégrable par la méthode de Monge.

4. Déterminer les équations de Monge-Ampère pour lesquelles les carac- téristiques de l'un des systèmes sont des lignes asymptoliques ou des lignes de courbure des surfaces intégrales (Lie).

Déterminer de même les équations pour lesquelles les deux familles de caractéristiques forment un réseau conjugué sur les surfaces intégrales. •

5. Surfaces minima. — Si l'on écrit l'équation du plan tangent à une surface S sous la forme

(i — ap)X -+- i(i -H afl) Y -H (a -H i3)Z -H ^(a, p) = o,

a et 3 étant deux paramètres variables, pour que cette surface soit à courbure moyenne nulle, il faut et il suffit qu'on ait (p. 79)

En déduire les équations générales des surfaces à courbure moyenne nulle.

CHAPITRE XXV.

ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

I. — CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS A n VARIABLES.

481. Caractéristiques des équations à n variables. — La notion de caractéristique s'étend aux équations aux dérivées partielles du second ordre à un nombre quelconque de variables, et aux équa- tions d'ordre supérieur au second. Nous ne traiterons que le cas d'une équation du second ordre à n variables, linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

(i) 2a/A-/>//t-t- F(ir,, .... a:„, a, /),,...,/)„) = o, pa

àxi dxk

les coefficients a,> ne dépendant que des variables x^^ ...,a7„. Le problème de Cauchy pour cette équation peut être posé de la façon suivante : Etant donnée dans l'espace à n dimensions (xi, a?..., . . . . Xn) une hyper surface S représentée par V équation

(2) *(^l, OCi, . . ., Xn) — O,

trouver une intégrale de V équation (i), connaissant les valeurs que prennent cette intégrale et Vune de ses dérivées partielles du premier ordre le long de S.

Ce problème est en général déterminé. Remarquons d'abord que les valeurs des n dérivées partielles pi le long de S ne sont pas indépendantes; si l'on connaît z et l'une de ces dérivées en chaque point de S, on peut en déduire les autres dérivées du premier ordre au moyen de l'identité dz = Ipi dxi. En effet, sur l'hypersurface S, Xi, 572, ••■i-^n et z peuvent être exprimées par des fonctions connues de /i — i paramétres U\, u^, .... Un-\, et la relation précédente est équivalente an — i relations distinctes, qui per-

go CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES,

mettent de calculer les valeurs des n dérivées pi, si l'on connaît l'une d'elles. Supposons par exemple l'équation (2) de S résolue par rapport ô. Xn] on peut prendre pour paramétres

Ui — Xi, . . ., Un-\ — Xn—\.

Soit 7r(:c,, X-,, . . ., Xn-K) la fonction à laquelle doit se réduire z sur cette multiplicité. Les n — 1 relations

<)- ÔXn

OXi '■ ^ àXi '

permettent d'exprimer les n — i dérivées /?,. p^^ ...,/>,(_< au moyen de là dérivée />«, q»i peut être choisie arbitrairement le long de S.

Lorsque les fonctions a,A, F, ^ sont des fonctions analytiques de leurs arguments, on peut prendre un nouveau système de variables indépendantes (ar', , . . . , :r),), de telle façon que l'équation de l'hypersurface S devienne x'„=^o avec ce nouveau système de variables. L'équation ( i ) est remplacée par une équation de mOme forme à coefficients analytiques, elle problème proposé est ramené à la recherche dune intégrale de la nouvelle équation, se réduisant pour x\^^=o à une fonction donnée /(a?',. . . ., J7),_, ), tandis que

;t-^ se réduit à une autre fonction donnée 9(^',, ..., J7^,_,) des

mêmes variables. Ces fonctions/ et (p seront aussi analytiques, si les données du problème primitif s'exprimaient par des conditions

analytiques. Si le coefficient de y-;^ n'est pas nul dans l'équation

transformée, on peut appliquer à cette équation le théorème général (II, n" i56), et l'on en conclut, en revenant à la première équation, que le problème de Cauchy admet une solution ana- lytique holomorphe dans le voisinage de l'hypersurface qui porte

les données. Si, au contraire, le coefficient a'„„ de , "! ., est nul dans

' "" dxn-

l'équation transformée, on ne peut plus appliquer le théorème général d'existence. Remarquons, sans qu'il soit nécessaire de faire le calcul, que ce coefficient a',,,^ ne dépend que des coefficients «,* et de la fonction ^ elle-même, mais ne dépend nullement des don- nées sur .S. Les hypersurfaces S, pour lesquelles «'„„ est nul, sont les caractéristiques de l'équation (1). Ces hypersurfaces carac-

I. — CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS A n VARIABLES. 9I

téristiques sont définies par une équation aux dérivées partielles du premier ordre que l'on peut former sans effectuer aucun change- ment de variables. Supposons, en eff'et, <\\\e Ton connaisse les valeurs de z et de ses dérivées partielles jy, en tout point de l'hjper- surface (2), ou, ce qui revient au même, que l'on connaisse un sys- tème de 2/1 -h I fonctions j?,, pk-, ^ àe n — i paramétres, vérifiant l'équation (2) et la relation dz = Ipi dxi- Pour en déduire les valeurs des dérivées du second ordre />,a, en un point quelconque de cette multiplicité, nous avons les relations

( 3 ) c/pi = Pu dx\ -t- . . . -I- Pin dx„ ( j = 1 , 5, . . . , « )

et l'équation ( i ) elle-même. Supposons, pour simplifier, qu'on ail pris pour paramètres les (/i — i) variables Xi, . . ., Xn-\- Les relations (3) nous donnent

Opi dXn àpn àx„

-3 = Pil<-^ Pin -{ 1 -, — — Pni-^ Pnn -\ 1

àxk ^ àxk àxi ^ ^ âxi

et par suite,

dxn àx„ àpi àp„ âx„ , . ,

Pik = Pnn -T— -À ^ ^ -J— — (?, A=I, 2, .... /< — l).

àXi axk àxk àXi dxi,

En portant les valeurs des dérivées/?,*,/),,,-, tirées de ces formules, dans l'équation (i), on obtient une équation du premier degré pour déterminer /?„„ (4) A/)„„-t-B=o.

où le coefficient A a pour expression

ôx à condition de remplacer -r-^ par ( — i).

Si A. n'est pas nul pour l'hjpersurface considérée, on obtient les valeurs des dérivées />,> en chaque point de S, et, en passant aux dérivées d'ordre plus élevé, on vérifie, de proche en proche, que toutes ces dérivées peuvent être calculées sans ambiguïté. Nous sommes dans le cas général où le problème de Cauchy admet une solution et une seule.

Il n'en est plus de même si l'hypersurface S satisfait à la rela-

92 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

lion A = o, qu'on peut écrire, sous forme plus symétrique,

^*> 2-"'^^^=° ^/, A =,,2, ...,«),

en supposant celle multiplicité définie par l'équation (2). L'hjper- siirface S est alors une caractéristique de l'équation (i), et l'on ne peut plus appliquer les raisonnements du cas général. Lorsqu'on a à la fois A = o, B = o, la valeur de la dérivée pnn est indéter- minée, et le problème de Gauch^y présente une indétermination. On a démontré que celte indétermination était variable, lorsque les fonctions a,*, F, $, et les données sont analytiques ( ' ).

Supposons les variables réelles, ainsi que les fonctions a,^, F; pour qu'il existe des caractéristiques réelles, il est nécessaire que l'équation du premier ordre (6) admette des intégrales réelles. Or le premier membre est une forme quadrique par rapport aux dérivées de A, et par suite peut s'écrire sous forme d'une somme de n carrés de fonctions linéaires de ces dérivées multipliés par des facteurs constants, lorsque le discriminant A de la forme I>aikUiUk n'est pas nul. Ceci conduit à une classification des équations (1) basée sur la nature des caractéristiques.

Si le discriminant A de la forme quadratique n'est pas nul, et si tous les coefficients des carrés sont du même signe, l'équation (6) n'admet pas d'intégrale réelle, sftuf/=C, et par conséquent il n'y a pas de caractéristiques réelles pour l'équation (i). On dit qu'elle appartient au type elliptique.

Si le discriminant A n'est pas nul, sans que tous les coefficients des carrés aient le même signe, l'équation (6) a des intégrales réelles, et il existe des caractéristiques réelles pour l'équation (i), qui es4^ dite du type hyperbolique.

Si le discriminant A est nul, l'équation (6) est décomposable en une somme de n — p carrés (/> > o), et l'équation (i) appartient au lype parabolique. Une équation de cette espèce peut avoir des caractéristiques réelles, ou ne pas en avoir, suivant les cas. Si par

exemple n=z3, l'équation (-7^) = (,7*^) admet des intégrales

(') La proposition n'a pas encore été démontrée d'une façon absolument générale pour une équation non analytique, mais elle se vérifie dans tous les cas qui ont été traités.

	I. — CLASSIFICATION DES	ÉQUATIONS A n	VARIABLES,
réelles,	taudis que l'équaLion
	(^:-"â)'-	(i-'^r	= o
n'admol	L d'intégrales réelles que	si les	deux éqi	uations
	^ ^ a '^ = o, dx àz	ày	+ *?■ dz	= o

y3

forment un système jacobien. Toute équation qui admet des carac- téristiques réelles est donc du type hyperbolique ou du type parabolique.

482. Propagation par ondes. — Les équations à caractéristiques réelles interviennent, à l'exclusion des équations du type elliptique, dans tous les phénomènes où il y a propagation par ondes. Il est aisé de s'en rendre compte a priori. Considérons d'abord un ébranlement se propageant le long d'une ligne droite indéfinie prise pour axe des x. Supposons, par exemple, qu'on ail un cylindre indéfini, de section très petite, rempli d'un gaz dont l'état à chaque instant est le même en tous les points de chaque tranche perpendiculaire aux génératrices. Cet état est caractérisé par un nombre variable -3, qui dépend de l'abscisse x de la tranche considérée et de l'époque t. Dans les problèmes les plus usuels, z est une intégrale d'une équation du second ordre linéaire par rapport aux dérivées du second ordre

&i z &^z (fiz

qui admet la solution ;: = o, correspondant à l'état de repos.

Nous supposons que, si l'on vient à produire un ébranlement en une portion du cylindre, cet ébranlement se propage par ondes, c'est-à-dire qu'une tranche d'abscisse x, située en dehors de la portion ébranlée au début reste en repos jusqu'à un certain moment t = (f[x) à partir duquel elle entre en vibration. Consi- dérons X et l comme les coordonnées rectangulaires d'un point; soient C la courbe qui a pour équation l = <p(x), et z =/(a:, t) l'intégrale de l'équation (7) qui convient au phénomène étudié. La courbe C décompose le plan des xt en deux régions ; dans la région située au-dessous de C, on a t^o[x) et z=^o\ au contraire,

94 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

dans la région située au-dessus de C, z est différent de zéro. Le long de la courbe C, nous admettrons que •; el ses dérivées par- tielles -pj -r- sont nulles, ce qui revient à supposer que z et ses

dérivées partielles varient d'une manière continue quand on passe de la partie non encore ébranlée à la partie ébranlée. La surface intégrale z =y(x, t) est donc tangente au plan ^ = o tout le long de la courbe C, qui est par conséquent une caractéristique sur celte intégrale particulière (n" 473); en d'autres termes, V équa- tion t = 9(^), qui correspond au front de l'onde, est celle d'une courbe caractéristique sur le plan z = o.

Ces courbes caractéristiques sont les courbes intégrales de l'équation diflérentielle U^dt- — 2Kodtda: -\-Li,dx'^ = o, Hq, Ko, Lo désignant ce que deviennent les coefficients H, K, L quand on

y a remplacé z, -^i £ par zéro. En particulier, lorsque H, K, L

ne renferment pas x et t, Hq, K„, L„ sont des constantes, et les deux systèmes de caractéristiques se composent de droites paral- lèles. L'équation du front de l'onde <=:9(ar) est de la forme < = a:r -h 6, et l'on en conclut que l'ébranlement se propage avec

une vitesse constante -• a

Considérons encore l'équation de la propagation du son dans

l'espace. Les composantes de la vitesse d'une molécule gazeuse

placée, à l'instant i, au point de coordonnées (a?, y^ z) sont les

dérivées partielles d'une fonction a(j;, v', z^ t), qui satisfait à

l'équation aux dérivées partielles

„ O'-u à^ H ()• Il I à- it

a étant un coefficient constant.

Si, pour t--=o, on produit un ébranlement limité à une région de l'espace, la molécule placée en un point [x, y, z) en dehors de cette région reste en repos jusqu'à l'instant t = <p(a;, y, z) à partir duquel u cesse d'être nul. L'équation ^(x, r, z) ^= t., où. ta. une valeur déterminée, représente la surface de l'espace (a?, y, z) qui, à l'instant t, sépare la région non encore ébranlée de la région déjà ébranlée. Si nous admettons que u et ses dérivées partielles varient d'une manière continue quand on passe d'une région à

I. — CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS A n VARIABLES. 9^

l'autre, réquation o{x^ v, z) — / = o représente, dans l'espace à quatre dimensions {x, >', :;, ^), une hjpersurface caractéristique de l'équation (8), puisqu'il doit exister une intégrale de celte équation qui est tangente à l'intégrale particulière u =^ o tout le long de cette hjpersurface. La relation (6) qui définit les hyper- surfaces caractéristiques de l'équation (8) devient dans le cas actuel, en supposant l'équation de cette hjpersurface résolue par* rapport à t,

d'après un résultat connu (') (voii^ t. Il, p. ô/jo), l'équation ç{.v,y, z) = C

représente alors une famille de surfaces parallèles, et par suite les positions successives du front de fonde forment une famille de surfaces parallèles.

On peut énoncer un résultat plus précis. Pour f = o, l'équation cp(x, jKî -s) = o doit représenter la surface 2o qui sépare la région de l'espace déjà en vibration de la région au repos à l'instant f = o. On obtient l'intégrale de l'équation (9) satisfaisant à celte condi- tion en prenant l'enveloppe de l'intégrale complète

at = ^'(^ - »)-+ '7 - 'iiT^i-- - 7)-,

lorsque le point (a, [3, y) décrit la surface 2o. Soit t = F{x, y, z) l'équation de cette enveloppe; d'après la théorie de la variation des constantes (II, n" 452), F(.r, y, z) est une intégrale del'équa- tion (9), et il est clair que, pour ^ = o, l'enveloppe se réduit à la surface 2o elle-même. On obtient donc la position du front de

(') On peut aussi vérifier ce résultai en montrant que les trajectoires ortlio-

gonales de la famille de surfaces f(x, y, z) = C sont des droites. Si u, i>, w sont

les cosinus directeurs de la normale à la surface de cette famille qui passe en

/ , n . ... ■ àa Oa (Jo

un point ( JT, y, z), on a, d après lequation (9), u = a -^ > v = a - » «v = a — >

ax (jy ôz

et il suffit de montrer que w, v, w ne changent pas quand on passe d'un point m

de l'espace au point infiniment voisin m' sur la direction (n^ v, w) issue de ce

point. Or on a, à un facteur près,

du - -lî '^^ -H -f^ ±9 , £9_ <)9 ^ ^ o_ r/<;? y /V>9y , (o^v-i _

Ox^ ,)x àxdy ôy Ox dz Oz 2 ôx Wôx) \i)y ) \()z ) J

gO CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A H VARIABLES.

l'onde au temps t en prenant l'enveloppe des sphères de rayon aC dont le centre décrit la surface lo ', il est évident que la portion de cette enveloppe, qui est extérieure à 1q, convient seule à la question. Tous ces résultats, qui ont été déduits uniquement de la théorie des caractéristiques, seront vérifiés plus loin (n° 484).

483. Généralités sur les équations complètement linéaires. —

Un grand nombre de problèmes de Physique mathématique con- duisent à des équations aux dérivées partielles, qui sont linéaires et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées; l'intégrale cherchée doit en outre satisfaire à des conditions qui peuvent être de nature très diverse. De la forme linéaire de ces équations il résulte que, si l'on connaît p intégrales particulières, toute combinaison linéaire à coefficients constants de ces p inté- grales est aussi une intégrale. Si Ton connaît une intégrale dépen- dant d'un ou plusieurs paramètres arbitraires, on peut en déduire de nouvelles intégrales par des dilFérentiationsou des quadratures. Soit par exemple <p(^, JKi ^5 ... : a) une intégrale dépendant d'un paramètre a, ne figurant pas dans les coefficients de l'équation

proposée. On vérifie immédiatement par différenliation que ^

est aussi une intégrale, ce qui s'explique puisque cette dérivée peut être considérée comme la limite d'une combinaison linéaire des deux intégrales

9(0-, y, z, . . .: a-h //), ^{x, 1% z, . . .: a).

Le raisonnement est général; si une intégrale dépend d'un cer- tain nombre de paramètres a, b, c, . . . . l, ne figurant pas dans les coefficients de l'équation, toutes les dérivées partielles d'ordre quelconque de l'intégrale par rapport à ces paramètres sont de nouvelles intégrales, si toutefois ces dérivées existent. ïl peut arriver aussi que les dérivées de l'intégrale par rapport à l'une des variables indépendantes soient encore des intégrales ; c'est ce qui aura lieu par exemple si l'une des variables ne figure pas dans les coefficients de l'équation et si l'on prend les dérivées par rapport à cette variable. En particulier, dans le cas d'une équation linéaire à coefficients constants, toutes les dérivées partielles d'une inté- grale sont aussi. des intégrales en admettant, bien entendu, que ces

!. — CLASSIFICATION DES ÉQUATIONS A II VARIABLES. 97

dérivées exislent el ont elles-mêmes des dérivées d'un ordre égal à l'ordre de l'équation proposée.

D'une intégrale dépendant de paranii'ires arbitraires on peut aussi déduire, par des quadratures, des intégrales dépendant de fondions arbitraires. Supposons, par exemple, que d'une équa- tion linéaire donnée à quat<;e variables indépendantes a;, 1', z, t^ on connaisse une intégrale «11=9(57, j', z, t; «, b. c) dépendant de trois paramétres arbitraires a. 6, c Si l'on multiplie cette solution particulière par une fonction arbitraire fia. b, c) de ces para- métres, l'intégrale du produit /(a, b, c), 9(^7, y, z, t; a, 6, c), étendue à un domaine Jixe à une, deux ou trois dimensions de ["espace (a, 6, c), sera aussi une solution de l'équation aux déri- vées partielles proposée, quelle que soit la fonction /{a, 6, c). Cela résulte immédiatement des formules habituelles de difiéren- liation sous le signe intégral, mais on peut simplement observer avec Fourier qu'une intégrale de cette espèce n'est au fond que la somme d'une infinité de solutions particulières. Quand on connaît plusieurs intégrales particulières distinctes dépendant de para- métres arbitraires, on peut former d(; cette façon d'autres inté- i^iales dépendant de fonctions arbitraires. En exprimant que les intégrales ainsi obtenues satisfont à des conditions voulues, on est conduit en général à des équations m^e^ra/e,y pour déterminer les fonctions arbitraires.

11 arrive aussi, pour certaines intégrales particulières dépendant de paramètres arbitraires, qu'on puisse en déduire de nouvelles intégrales par des quadratures étendues à des domaines qui sont eux-mêmes variables avec x, y, 2, t. Ce sont précisément ces inté- grales qui jouent en général le rôle le plus important ( ' ).

Si l'on connaît une infinité d'intégrales, linéairement dis-

linctes 9,, 9^, .... 9,,, . . . , il est évident que la série \jC,9;, où

les coefficients C, sont constants, est aussi une intégrale, pourvu que cette série, et celles qu'on en déduit par dérivation jusqu'à

C) M. J. Le Roux a étudié ces intégrales, qu'il appelle principales, dans plu- sieurs Mémoires (Annales de l'École Normale, 3* série, t. XII, iSgS; Journal de Mathématiques, 5' série, t. IV, 1898; t. VI, 1900; t. IX. 1908). On verra un peu plus loin un exemple intéressant (n° 'i84).

98 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A ti VARIABLES.

l'ordre de l'équation, soient uniformément convergentes. 11 peut même se faire que toutes ces conditions ne soient pas nécessaires. De toute intégrale dépendant d'un ou plusieurs paramétres arbi- traires on peut évidemment déduire, et d'une infinité de manières, une infinité d'intégrales particulières linéairement distinctes en attribuant à ces paramètres une suite de valeurs particulières et, par conséquent, former une infinité d'intégrales représentées par des séries. On choisit en général les valeurs particulières des para- mètres de façon à satisfaire à certaines conditions aux limites. Supposons par exemple qu'une intégrale 9(^, y-, z\ et), dépendant d'un paramètre et. soit nulle le long de certaines multiplicités pour

une suite infinie de valeurs de ce paramètre, a,, .... ct„

Toute série — G,i9(a7, j', z\ oc,,) satisfait .ormellemenl à l'équation proposée et s'annule le long des mêmes multiplicités. Si l'on peut disposer des coefficients C« de façon que celte intégrale vérifie les autres conditions imposées à la solution cherchée, le problème sera résolu. Il est clair que, dans chaque cas particulier, les ques- tions de con\ergence seront à exanuner.

Le plus souvent, des intégrales poriiculières renfermant des paramètres arbitraires sont suggérées par la nature même du pro- blème, ou par la forme analytique des coefficients. Par exemple, étant donnée une équation àcoejjicwnts constants, l'analogie avec les équations difiérentiellos linéaires de même espèce conduit à chercher des intégrales particulières s exprimant au moyen de l'exponentielle. En écrivant que e^^'^'t>y est une intégrale d'une équation de celte espèce à deux variables, on obtient f//<e équation de condition entre les constantes a et jS. d'où l'on déduit une ou plusieurs intégrales dépendant d'un paramètre arbitraire.

Tout ce qui précède s'applique aux trois types d'équations li- néaires, elliptique, hyperbolique ou parabolique. Ces trois types se présentent en Physique mathématique; la propagation du son. par exemple, est régie par une équation du type hyperbolique; el la propagation de la chaleur par une équation du type parabo- lique. La distribution de l'élect^-icité sur un ou plusieurs conduc- teurs, ou la distribution des températures à l'intérieur d'un corps en équilibre de température, conduisent à des équations du type elliptique. Il est à remarquer que les problèmes auxquels on est conduit sont différents suivant le type de l'équation qui régit le

II, — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. 99

phénomène; mais, dans chaque cas, le problème est b'en posé, c'est-à-dire que les données sont précisément celles qui déter- minent complètement la solution pour le type correspondant d'équation.

Pour les équations du type hyperbolique ou du type parabo- lique, le problème à résoudre est le Problème de Cauchy ('), ou un Problème m,ixte, qu'on obtient en combinant le problème de Cauchy avec certaines conditions aux limites, dont la signification sera précisée dans chaque cas particulier. Pour une équation du type elliptique, le problème est tout différent; il s'agit de trouver une intégrale régulière à l'intérieur d'une variété fermée S„_, à (n — i) dimensions, connaissant la valeur de cette intégrale en tout point de S„_,, ou une relation entre l'intégrale et quelques- unes de ses dérivées premières le long de cette variété. Le type le plus célèbre de ce genre de questions est le Problème de Dirichlet^ que nous étudierons en détail. Remarquons une fois pour toutes que, dans ces différents problèmes, les données ne sont pas forcé- ment analvtiques, de sorte que, même pour le problème de Cauchy, le théorème général d'existence (II, n" 456) est bien loin de donner la solution de toutes les questions qu'on peut se proposer. Dans les cas où il s'applique, il ne fait connaître la solution que dans le voisinage de la multiplicité qui porte les données ; ce qui est insuffi- sant pour l'objet (ju'on se propose.

II. — .\PPLICATIONS k QUELOUKS EXEMPLES.

Avant d'étudier d'une façon systématique les équations des dif- férents types, nous donnerons quelques exemples de solutions synthétiques, qui offrent une application des généralités précé- dentes.

484. Équation du son. — Le problème dé Cauchy pour l'équa-

( ' ) La donnée de l'intégrale seule, le long d'une caractéristique, doit être considérée comme équivalente aux données de Caucliy. Le problème de Cauchy et le problème mixte se présentent en général de cette façon pour une équation du type paraboliqun. Pour toutes ces généralités, on lira avec intérêt un article de M. Hadamard dans le Bulletin de la Société de Physique ( 1906).

lOO CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

tion de la propagation du son (n" 482)

d-u (Pu à'-u _ \ â^u

consiste à trouver une intégrale u{x,y, z, t) se réduisant pour l = o à une fonction donnée /(a.-, y, z), tandis que -r- se réduit à une

autre fonction donnée <p(^, y, z). Ces deux fonctions/ et 9 sont supposées continues, ainsi que leurs dérivées partielles, dans tout l'espace, et nulles en dehors d'une certaine région R, qui est le siège de l'ébranlement initial. Le problème a d'abord été résolu par Poisson et Cauchy; la méthode suivante, due à M. Boussinesq, permet une discussion facile de toutes les circonstances du phéno- mène.

La fonction a= » où r est la distance d'un point variable (^, y, z)

à un point fixe (a, (3, )'), est une intégrale de l'équation (10) dépen- dant de trois paramètres a, (3, v. L'intégrale double

(II) u(x,y,z,t^=ll- ' '^. • ^ ,

où ;jL(a, 3, v) est une fonction arbitraire de x, |5, -■', étendue à la surface de la sphère 2 de rayon af, décrite du point {^û.y, z) comme centre, est aussi une intégrale comme nous allons le vérifier; ^'eslà cette intégrale que M. Boussinesq a donné le nom de poten- tiel sphérique (voir Chap. XXVITI ). Remarquons que l'intégrale particulière - ne dépend pas de t;\e champ d'intégration dépend

seul de t dans la formule (11), de sorte que - peut être considérée comme une intégrale principale, au sens de M. Le Roux (p. 97)(')'

(M La méthode de .M. Boussinesq peut être rattachée à un tliéorèrue général de Weierstrass sur les équations linéaires à coefficients constants (voi/- Vol- TERRA, Leçons professées à Stockholm, 1906, p. 58). Soit 9(j;,_r, 2) u»e fonction honoogène et du premier degré de x, y, z, telle que l'équation 6(j-, y, z) = t représente une surface fermée 2,, renfermant l'origine, qui n'est rencontrée qu'en un point par une demi-droite issue de l'origine. Considérons une inté- grale

I = / / I ç(u. V, n) f{x -h u, y -h V, z -^- w) du dv div

étendue au domaine compris entre les deux surfaces S/^, 1,, /„ étant une con-

II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. lOI

Pour calculer les dérivées secondes -r-r» -r-r» tv il est com-

ox- ay- dz-

mode de faire le changement de variables

a = .r-(-«/Ç, [3=j-t-a<r,, ^ = z -\- atX,\

lorsque le point a, ^, y décrit la sphère 2, le point ;, y). Ç décrit la sphère S de rayon an, ayant pour centre l'origine, et l'on a, entre les éléments d'aires correspondants ds ^X da des deux sphères, la relation du = a- 1- ds = r- ds. La formule ( 1 1 ) devient

(12) n{x, y, z, t)

= / / \l(x -h at'-. y -\- atf\, z -^ at'^)at ds.

la nouvelle intégrale étant étendue à la surface de la sphère S. Le champ d'intégration étant indépendant de x^ y, z, on a immédia- tement

()'-lt r)-U <nil l' r K , .r . .vx , ,

AoM = -T 1 r— H — 7— = / / ^iu.(x -<r- alq, y ->r atr^, Z -\- at.,)at as,

àx-'- ày'- fJz-^ 7 J,s)

ou, en revenant au champ d'intégration primitif, l'intégrale double étant étendue à la surface de la sphère i.

stanle quelconque. La dérivée — = F{x, y, s, t) est une fonction des quatre variables x, y, z, t, qui est une intégrale de l'équation linéaire à coefficients con- stants

(E) lA/,,/,,/,,/,,

dx''^ dylh âzhz dt'h

quelle que soit la fonction arbitraire /, pourvu que l'équation

(E') i:( — !)"-/'> A/,, V3/',

âx'h Oy'-i àz'h dtl''.

admette l'intégrale ç(j:, y, z) * [t — 8(j7, y, z)], * étant une fonction arbi- traire. Dans le cas de l'équation (10), les deux équations (E), (E') sont iden- tiques et admettent l'intégrale - ^{nt — /•) où /• =^ y .r--+- j^'-f- c-. On peut

donc prendre dans ce cas 9= -, b = \i x- -k- y- -\- z- ; les surfaces H, sont des

ôt

sphères, et l'on voit facilement que — est identique à l'intégrale de surface

de M. Boussinesq. La méthode de KirchhofT repose aussi sur l'emploi des intégrales - *(«/ — /).

I02 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

L'expression de -t-j déduite de la formule (12), se compose de deux termes et peut s'écrire

ou, en revenant à la sphère 2,

«># / t J Jy^l at da. at à^ at t^i" J

Mais

X jJ-J

at at at

maie extérieure à i, et l'intégrale double du second membre est identique à l'intégrale de surface

=j ri'-^'-^ -%"■'■ '-t"^"-^'

prise suivant le côté extérieur de 2, ou encore, d'après la for- mule de Green, à l'intégrale triple (I, n" 144).

étendue à lintérieur de i. De la formule qui donne -j 5

i)u II I ,

— = — I- - J, ()t t / '

on tire, en différentiant de nouveau par rapport à t,

, , , &-U II \ I u I , \ 1 , \ dl \ di

^'^^ 7F =- T^^ l[l ^ -t^ ) - P^ -^ -t ài = 1 -ôt'

ce qu'on peut écrire — j-' ^ étant le rayon de 2. Il serait facile de calculer -j- en remplaçant les coordonnées rectangulaires a, (3, y

par des coordonnées polaires (p, 6, ip) dans l'intégrale triple (14)5 mais on peut aussi observer que, quand r augmente de rfr, l'accrois- sement AJ est représenté par une intégrale triple étendue à la portion de l'espace comprise entre les deux sphères concentriques de rayon r et r + dr. La partie principale de cet accroissement est évidemment égale au produit de dr par l'intégrale double

II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. Io3

de 1 -r4 -h tJ: -h -r^ ) étendue à la surface de la sphère de rayon /'. On a donc

(i6)

en comparant avec la formule (i3), on voit que u {x, y^ 5, t) est bien une intégrale de l'équation (lo), quelle que soit la fonc- tion /J.(a, j3, y) pourvu que les dérivées qui figurent dans le calcul soient continues. La formule (12) montre immédiatement que

uix, y, z, o) = o, tandis que la limite de -j lorsque t tend vers

zéro, est égale à iTcaiJ.{x, >-, z). L'intégrale (11) satisfait donc aux conditions initiales

u(x, y, z, o) = o, — = 4:ta(a(ar, 7, 2) (pour/ = o).

D'autre part, u, (.r, y, z, t)= -r- est aussi une intégrale de l'équa- tion (10) ( n" 483) et la formule (16) met en évidence que —^ est

nul pour t = o. Cette nouvelle intégrale satisfait donc aux condi- tions initiales

( pour t = o). Gela étant, posons

\ ^ ' -^ ' ' • ira J J(y;) r

il est clair que la fonction

(18) u(x,y, z, t)= — ^^(x,y, z, f)

donne la solution du problème de Gauchy pour l'équation (10), car il résulte des formules précédentes qu'elle se réduit à/(a:, y, z)

pour ^ = o, tandis que -r- est égal à o{x, y, z). D'après la formule qui donne -3-» on voit que cette fonction u s'exprime par uneinté-

Io4 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

grale double étendue à la surface de la sphère de rayon at et de centre (a?, r, z), et par conséquent la valeur de u au temps t en un point (x, y, z) ne dépend que des valeurs de /et de 9 sur la portion de sphère de rayon at située dans la région R où s'est pro- duit l'ébranlement initial.

Il est facile, d'après cela, de se rendre compte des différentes circonstances du phénomène. Supposons que la région R soit limitée par une surface fermée S; soient M un point de l'espace extérieur à R, <i et D la plus courte et la plus grande distance de ce point à un point de $.

Tant que t est inférieur à -? la sphère de rayon at et de centre M n'atteint pas la région R, u{x, y. z, t) est nul, et la molécule placée en M reste au repos jusqu'à l'instant ^, = - où elle enlre en vibra- lion. Mais, à partir du moment où t dépasse la valeur — , la surface de la sphère de rayon at et de centre M n'a plus aucun point com- mun avec la région R, et la molécule placée en M retombe au repos.

Le lieu des points qui sont atteints par la vibration au temps t est la surface parallèle à S obtenue en portant sur la direction de la normale extérieure une longueur at; les différentes positions du front de Tonde sont donc des surfaces parallèles à S (n"482j, et a représente la vitesse de propagation. Par le point M passent deux fronts d'onde, le front d'onde avant qu'on vient de délînir, et un front donde arriére, lieu des points obtenus en portant sur la nor- male à S une longueur égaie à D.

Lorsque la région R est illimitée, il y a bien toujours un front d'onde avant pour un point M situé à l'extérieur de R, mais il n'y a pas, en général, de front d'onde arriére, car u(x, y, z, t) reste différent de zéro (ou d'une constante) dés que t a dépassé la va-

leur - a

485. Ondes cylindriques. — Si les fonctions données /(j;,'j', z) et cp(a7, y, z) ne dépendent pas de z, c'est-à-dire si l'état initial est le même tout le long d'une parallèle à Taxe Oz. il est clair que l'intégrale (18) est elle-même indépendante de z. En effet, lorsque z varie, x, y, t restant constants, la sphère 1 ne fait que se déplacer parallèlement à Oz. mais les intégrales doubles étendues à la

II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. Io5

surface de celte sphère ne changent pas de valeur. L'état est donc le même à chaque instant le long d'une parallèle à O^, et nous pouvons nous borner à étudier ce qui se passe dans le plan des a;^. La formule (18) représente alors l'intégrale de l'équation

d-u 0-u I &-U

qui se réduit ^/[x, r), tandis que '-j- = (f{x, j), pour t = 0. Les

intégrales doubles (17) sont étendues à la surface de la sphère 1 de rayon r = at, ayant pour centre le point de coordonnées {x,y, 6). On peut remplacer ces intégrales par des intégrales doubles étendues au grand cercle de cette sphère situé dans le plan des a;j>^, en observant que l'élémenl d'aire da a pour expression

et que chaque élément du grand cercle est la projection de deux éléments symétriques de la sphère. La formule (18) devient alors

(20)

_ I r r ç(«, ii)dad[i

2-aJ Jp V a^r^— i^a: — <xy—( y

^±\ r f /(^

■>-a <Hyj Jy ^ „-(:■_ (^j

) d<x d^

a)2— (7— (3)2

les deux inlégrales doubles étant étendues au cercle F de rayon al décrit du point (a^, y) pour centre.

Supposons que les fonctions /(jr, y) et 9(^, y) soient nulles en dehors de la région R' limitée par une courbe fermée C, ce qui correspond au cas où la région R, siège de l'ébranlement initial, est l'intérieur d'un cylindre de génératrices parallèles à O*, cet ébranlement étant le même en tous les points d'une parallèle aux génératrices. Si le point ( .f, >) est en dehors de la région R', u\x, y. t) sera nul tant que at sera inférieur à la plus courte dis- tance d de ce point à C, mais dès que t dépasse -» le cercle F con- tient toujours une portion an moins dcH' et u{x, y, ^) ne redevient pas nul (OU constant) en général. Il y a donc toujours un front d'onde avanl, dont les positions successives sont des surfaces cyliu-

Io6 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A /l VARIABLES.

driques parallèles, mais il ny a pas de front d'onde à V arrière. En d'aulres termes, il y a diffusion infinie du son, en arriére du front de l'onde. Une oreille, placée en un point de l'espace, recevra indéfiniment une impression à partir du moment où le front l'aura atteinte, mais celle impression ira en s'atténuanl avec le temps. En effet, lorsque t augmente indéfiniment, on voil aisément que les deux intégrales doubles qui figurent dans la formule (^20) tendent vers zéro, cl l'on peut démontrer en toute rigueur qu'il

au Ou r)u

Ondes planes. — Prenons encore le cas plus particulier où les deux fonc- tions/(j:.r, z). w{x.y, z) ne dépendent que de j:. Physiquement, celte h\ po- thèse correspond au cas où R est la réjîion comprise entre ileu\ plans Pi et Pi normaux à Or, l'ébranlement initial étant le même en lo\is les points d'un plan parallèle à ceux-là. On reconnaît, comme plus haut, que la fonc- tion u{x, y, z, t) est elle-même indépendante de v et de z, et la formule ( iX) représente Tintc^Male de rcqualion

à^u 1 'Pu

telle que, pour / = o, u et — se réduisent à /(x) et à o(x). Les deux inté- grales doubles qui fij^'urent dans cette formule sont étendues à la ^urface de la sphère de rayon /• = af, ayant pour centre le point( j:, o, o). En remarquant que l'aire de la zone comprise entre deux plans normaux à O j", d'abscisses 2 et a -t- rfa, a pour expression i-at ch.. on voil immédiatement que ces inté- grales doubles se ramènent à des intégrales simples, et la formule (18) devient

I f ^^^^ ^^_^f(x^at)^f(x-at)^

Dans le cas que nous éludions, les deux fonctions/! j-j et s fx) sont nulles en dehors d'un intervalle (xo, X\). Supposons Xo<. X\^^ x. Tant que t est

inférieur à 1 les deux fonctions /"(a) et zia) sont nulles dans l'inter-

a . .

valle d'intégration et l'on a u = o. Lorsque t es» supérieur à ) on peut

r em place r les limi tes d'i n tégra t ion parjroetJ"i,e^«(^,0^^^^*<^o"*'""'-*''^ '"'"''

H. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. 107

l'impression perçue par l'oreille ne dépend que des dérivées de u, on voit qu'i y a un iront d'onde à Pavant et un front d'onde à l'arrière. Ces résultats seront vérifiés plus loin (n" i9:2) par une étude directe de l'équation (21).

486. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini. — Ana- Ijtiquemenl, le problème se pose ainsi (') : Trouver une intégrale de l'équation

fPu d^u â-u _ i au

^"^^^ àx^ ~^ âp '^ 'Jz^ ^ a^ 'ik '

régulière pour tout système de valeurs de jc, y, *, et pour / >» o, se réduisant à une fonction donnée /(ar, y, z) pour / = o. Pour qu'un produit de la forme X YZT. où X, Y, Z, T ne dépendent res- pectivement que de x, y, z, /, soit une intégrale de l'équation (aS), il faut et il suffit qu'on ait

X" r '^ _ ± ^'

X ^ Y "^ Z ~ a'- T '

et par suite chacun des rapports qui figurent dans cette relation

doit se réduire à une constante. Si l'on veut que les variables :r, y, z

figurent sous des signes trigonomélriques, on doit prendre pour

X' les rapports tels que -^ des valeurs négatives et l'on obllent ainsi

une intégrale particulière

(24) V = e-*'+?'+T'"''cosjt(j: — X)cosp(7 — |jl)cosy(z — v),

dépon<lanl de six constantes arbitraires a, (3, v, A, jjl, v, L'expres- sion

(■rj) w= f I f vdrd^d'-

«'o '^O ^0

(') C'est en réalité un cas particulier du problème de Caunliy (note de la page 99), puisque l'hypersurface / =-- o de l'espace (x, y\ -, t) est une multipli- cité caractéristique. Au point de vue physique, ce problème correspond au pro- blème suivant. L'espace étant supposé rempli d'un fluide homogène dont on connaît la température en chaque point au temps f = o, trouver la tempéra- ture à un instant quelconque. On peut encore supposer qu'on a introduit, dans l'espace à o", un corps chaud jouissant des mêmes propriétés que le fluide extérieur, au point de vue calorifique. Le problème serait tout autre si l'on plongeait dans une enceinte à o° un corps chaufl^é de nature difl^érente qu'on laisse ensuite se refroidir librement, en maintenant la température de l'enceinte à o". Nous traitons deux cas particuliers aux n"' 487 et 'j88.

108 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

sera aussi une intégrale particulière de (23); or, w est le produit de trois intégrales simples telles que

(26) f e-"'*''coscL{x — l)dx.

La valeur de cette intégrale se déduit aisément d'une formule antérieure (t. I, p. 286) qu'on peut écrire

/ g-'' cos -iby dy = - \/ti e-'>\

en y changeant y en ctayt (a étant la nouvelle variable d'intégra-

lion), b en ^- On obtient ainsi

ia \Jt

Je e-"'*''cosa(j: — X) f^=t = — ^^-— '^ '"'' n

2a \/t

et deux formules toutes pareilles donnant les valeurs des intégrales analogues à (26), ce qui donne, en définitive,

(.T-X)»-l-(V-(X)'-t-l^-V)' 2 g 4«'/

(27)

(2./ vo

La nouvelle intégrale w ne dépend plus que de trois constantes arbitraires X, /jl, v. L'expression

(28) u=^ir Ç Ç wf(l, it.^/)rr/.dy.dv

esl encore une intégrale. Pour prouver que c'est l'intégrale de- mandée, faisons le changement de variables

À = a; -(- 2 a y 7 Ç, jjl = y -h \in ^'tr,, ■> = 5 -1- ■< « y / ^ ;

la formule (28) devient, en remplaçant iv par sa valeur,

i'M)) ] J-^ J^^ J-„

( xf{x -+- la \lt\, y -^ 'la v^t,. z -f- la \~t'Ç) d\ dr\ dC,.

Pour ; = G, celte intégrale se réduit à

II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. IO(»

c'est-à-dire k J\x, y. ^ ), puisque chacune des intégrales simples est égale à y/xr (I, p. 34o).

Supposons que la fonction /(j;, r, z) soit nulle, sauf dans une région bornée R de l'espace on elle esl positive . Cette hypothèse correspond au cas où l'on aurait introduit, dans l'espace à o". un corps, occupant la région R, à une température supérieure à o". On peut alors, dans la formule (28), prendre pour champ d'inté- gration la région R elle-même puisque /(À, ,a, v) est nul en <lehors de celte région. Cette formule nous montre que, aussi petit que soit /, M a une valeur positive en chaque point de l'espace. Il en résulte que la propagation de la chaleur, à partir du corps chaud, dans l'espace à o", se fait d'une manière instantané^, c'est-à-dire qu'à l'instant même qui suit l'introduction du corps chaud, la température d'un point quelconque de l'espace commence à monter. Il n'y a donc pas d'onde calorifique, ce qu'on pouvait prévoir a priori, puisque l'équation (28 ) est du type parabolique et n'admet pas d'autres caractéristiques réelles que les hypersur- faces ^ ^ C.

La.lorimile (28) montre également que tout le corps chaud inter\ient dans le calcul de la température au point (.r.r, ^)i> un instant quelconque, puisque le second membre est une intégrale triple étendue à la position de Tespaci- occupée par ce corps. Dès lors, un observateur, placé en ce point, éprouve à l'instant / une sensation calorifique qui dépend de l'état initial de tout le corps chaud: nous avons vu, au contraire, dans l'étude de la propagation du son, que la sensation auditive au teiup? t ne dé-pend que de l'état initial des points situés sur une sphère de rayon «/ a\ ant pour centre le point (.r, ) . :). D'après M. Boussinesq. ce fait analytique explique pourquoi la vue et l'ouïe nous procurent sur le monde extérieur des connaissances assez nettes, tandis que les phénomènes calorifiques n'apportent que des impressions confuses et indistinctes. Gela tient à ce que les phénomènes optiques ou acoustiques sont régis par des équations dont la solution comporte des intégrales doubles, tandis que les phénomènes caloriliques sont régis par des équations dont la solution comporte des intégrales triples.

i87. Problème de rarmille. — On appelle annille un lil de très faible section, formant un circuit fermé. On se donne la distribution initiale de la température dans l'armille, et l'on demande quelle sera cette distribution quand on aura laissé l'armille se refroidir librement pendant un temps quel- loiique. L'équation du problème est la suivante :

(3o) -+.«« = A--—;

ot (ix- '

no CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

a et k sont des constantes positives, t désigne le temps, x la longueur du fil comptée suivant «ou axe à partir d'une certaine origine et {/ la tempéra- ture au temps / de la tranche d'abscisse x. Nous supposerons qu'on a choisi Tunité de longueur de façon que la longueur totale du fil soit égale à 2r. En posant u = l'e— "', Téquation (3o) se réduit à

Il s'agit de trouver une intégrale de cette équation, définie pour toute* les valeurs positives de t, et se réduisant pour t =■ o a une fonction donnée f{x), qui admet nécessairement la période 2;:. Il est clair que la fonction t> doit admettre la même période.

Pour résoudre ce problème, Fourier remarque d'abord que Téquation (3i) admet une infinité de solutions simples, qu'on obtient en faisant le produit d'une fonction de t par une fonction périodiqu©.4i^.J" de période 2;v. Toutes ces solutions sont de la forme e-*"'' (A cos nx-k-B sin nlr), n étant un nombre entier quelconque, A et B des constantes arbitraires. Au moyen de ces solu- tions simples, on peut former l'intégrale demandée, dans le cas très général où la fonction f{x) est développable en série de Fourier

(32) f{x} = — -H-^(a„ cos/jj: -h bn sinnx);

n=: 1

il est clair, en effet,, que la fonction représentée par la série

(33) f = — -(-^«-"'^'(a,, cosnx -t- bn sinx)

satisfait formellement à l'équation (3i), et, pour / = o, cette série se réduit au développement de f{x^.

Le raisonnement manque évidemment de rigueur, mais il est facile d'y suppléer. Observons d'abord que a„| et | An] ont une borne supérieure M;

àv &- V la série (33) et les séries obtenues pour -r- et ^-7; sont uniformément con- vergentes pour toute valeur de t supérieure à un nombre positif":; il suffit, pour le voir, de comparer le terme général au terme de même rang de la série •onvergente aM X «"-e-"'*'^. La relation (3i) est donc vérifiée pour toute valeur de ^ > t. et par suite pour toute valeur positive de ^ puisque x est vm nombre positif arbitraire. Il reste à prouver que, lorsque t tend vers zérci. X restant constant, la somme de la série (33) a pour limite la somme de la série (3?), qui est supposée convergente. Or, si l'on pose q = e-*'. la série (33) est une série entière en g

(33)' y — — -H /^y"'(a„cosna: -t- 6^ sinnx),

II. — APPLICATIONS A QUELQUES EXEMPLES. 1 1 I

dont tous les exposants sont des carrés parfaits. Lorsque t tend vers zéro par valeurs positives, q tend vers l'unité et, d'après le théorème d'Abel, la somme de la série (33)' a pour limite la somme de celle série où l'on a fait ^ = I, c'est-à-dire la série (32).

Il est à remarquer que la relation (3i) n'est pas nécessairement vt'-rifiée pour < = o; c'est ce qui a lieu, par exemple, si la fonction donnée/(ir) n'a pas de dérivée seconde (i).

Remarque. — Chaque terme de la série (33)' peut être développé en série entière ordonnée suivant les puissances de x. En remplaçant chaque terme par son développement, c est représentée par la somme d'une série double dont chaque terme est une puissance de x. Cette série double est absolument convergente pour toute valeur positive de t. En efFet. soit M une limite supé- rieure des valeurs absolues : a,, et ' 6„ |. La somme des modules des termes renfermés dans la //'«'«^ ligne du Tableau est évidemment inférieure à M ^""e"?, p étant égal à j:|. Or la série dont le terme général est ^"'e"P est convergente, (juel que soil o, lorsqu'on a g'< i. Il suit de là que, pour toute valeur positive (le t, la fonction v = F(:r, /), qui représente l'état calorifique de rarnjille à l'instant /, est une fonction entière de x. Une fonction continue arbitraire- ment choisie de x ne peut donc pas représenter Tt-tat calorifKpie de l'armille à une époque consécutive à celle où on la laisse se refroidir librenjenl.

488. Refroidissement de la sphère. — Supposons ([u'une splu re de rayon R soit plongée dans une enceinte à o", et <jue la température initiale d'un point ({uelconque de cette sphère soit fonction seuleni*nt de la dis- tance r au centre; par raison de symétrie, il en sera de même à un instant <[uelconque. La température u d'un point de la sphère au temps / est nue fonction des \ariables /• et t. (jui satisfait à l'équation

.„,. i Ou t)'^u -i. Ou

^^^^ -kôt=l)?^^-rTr-

Cette fonction est définie pour toute valeur positive de t, et pour toute Naleur de /• comprise entre o et R, et doit se réduire à une fonction ctmnue /■(/•), définie de o à R, lorsque / devient nul. En outre, si l'on admet la loi de déperdition de Newton, cette fonction u doit satisfaire à une condition à la

surface, qui est la suivante : pour /= H, on doit avoir _ -+- liu =o, // ('lanl

une con

slante positive, et cela quel (jue soit t.

(') Quelle que soit la fonction continue f{x), il résulte d'un tliéorème de Weierstrass que la somme de la série (33), où a„ et 6„ sont les coefficients de la série de Fourier provenant de /{x), a pour limite /(or) lorsque t tend vers zéro par valeurs positives (voir È. Picard, Traité d'Analyse, a» édition, t. I, p. 283).,

112 CHAPITRE XXV. — ÉQUATIONS LINÉAIRES A n VARIABLES.

L'<''<[uation (34 ) t-e simplilic <i l'on pose ii — et de\ienl

OU- I <h-

(35) 0^ = 10,^

tandis (|iie la condition relati\e à la surface de\ient

(36) ^>-^^- (P— -^R)

et la nouvelle condition initiale est v = //(/) pour / = o.

L'équation (35) est identique à l'équation (3i )' du problème de rarniille, mais l'intégrale cherchée doit satisfaire à une condition aux limites tojii à fait dilTcrente. Four qu'une solution de la forme

r = c-H-'^'( A cos;ji/- -4- B sinu/-)

con>ienne au nouveau problème, il faut d'abord que - = // conser\e une

valeur finie pour /=o, et par suite que A soit nul. Pour que cette intégrale vérifie la condition (36), il faut en outre que |jl soit racine de l'équation trans- cendante

(37) tang([zR) = — ^

AR

On démontre aisément que cette équation admet une infinité de lacines

positives [Xi, [jl.,, . . ., [Xn, • • •• Si l'on pose en effet ;j.R = a:, on est ramené

à rechercher les points d'intersection de la courbe r' = tangj: avec la droite

(^, _ AR)j = X. Si, par exemple, i — h\\ est positif, l'équation (37) a une

(in — i)- (in -(- i)-

racine et une seule entre 5— et ; cette racine est supe-

2R 2R '

rieure a-^i et la différence de deux racines consécuti\es est supérieure R

à — • Cela»étant, supposons que la fonction //(/■) soit développable, dans

2 R l'intervalle (o, R), en une série de la forme

(38) r/(r) = A sin(|jLi/-) -H Ao sin(fJL2r) -h. . .H- A„sin(|jt„r) -(-...,

les coefficients A„ étant constants. La série

(89) V = Aie-H*'sin(!Jiir)H- AoC-l*?*' sin(îJL»r) -h. . .

donne la solution du problème. En effet, cette série est uniformément con- vergente pour f^o, et si l'on pose e— *' = q, on peut répéter pour la série SA„5'H-2sin((jL„r) les raisonnements par lesquels on établit le théorème d'Abel (I, n° 182), et l'on en conclut que f a pour limite rf{r) lorsque t tend

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. Il3

vers zéro. Pour démontrer que les séries déduites de v en différentiant terme à terme sont uniformément convergentes, on n'a qu'à reprendre les calculs du problème de l'armille. La seule différence consiste en ce que la suite des nombres entiers est remplacée par la suite des nombres croissants jjii, [J-i. . . •

dans laquelle ,u„— [i.„_i est comprise entre — ^ et —5- La possibilité du

développement de r/{r) en une série de la forme (38), lorsque cette fonction satisfait aux conditions de Dirichlet, a été établie rigoureusement parCau- chy (') (voir Exercices, 2).

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

I . Problème traité par Fourier. — On considère le solide indéfini compris entre deux plans parallèles B et C, et un plan A (jui leur est normal. On sup- pose chaque point M du plan A maintenu à une température constante (]iii est une fonction donnée o (x) de la seule distance x de ce point au plan B, et tous les points des faces B et C maintenus à o". Il s'établit à la fin un équi- libre de température. Trouver la température finale if (x,}-) en un point P dont les distances aux plans Fi et A sont x et r.

La fonction u(x, y) doit satisfaire à l'équation de Laplace A^/ = 0, se réduire à ^{x) pour k = o; être nulle, quel que soit r, poiirar = o. et pour X = l, et être très petite pour k très grand. On part de la solution simple

' sin qui satisfait aux dernières conditions, et l'on développe ~{X)

série de sinus des multiples de -^•

-2. Soient [Ji,tx'deux racines distinctes del'équation (87). Démontrer qu'ona / sin([i.r)Mn(u'/)^//' = ().

Il en résulte qu'on peut déterminer les coefficients de la série (38) de la mémo façon que les coefficients d'une série de Fourier, en supposant cette s<'rie uni- formément convergente.

f) Œuvres complètes, i" série, t. VIL Voir aussi : K. Picard, Traité d' Ana- lyse, t. n, p. 179-195. — H. PoiNCARK, Théorie analytique de la propagation de la chaleur [Leçons rédigées par Rouyer et Baire, CKap. XI et suivants.]

CHAPITRE XXVI.

ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

I. — KTUDE DE QUELQUES PROBLÈMES RELATIFS A L ÉQUATION.

s = /■( .r, >-).

489. Détermination d'une inégrale par les données de Cauchy. — Nous commencerons par étudier en détail un certain nombre do problèmes relatifs à l'équation élémentaire

<•> ^=-^^"-''> =

une intégrale est dite régulière dans un domaine, si elle est con- tinue et admet des dérivées partielles du premier ordre continues dans ce domaine. La fonction f{x, y) est elle-même supposée continue ('). Proposons-nous d'abord de déterminer une intégrale, connaissant les valeurs qu'elle prend sur deux caractéristiques de systèmes difFérenls ou, d'une façon plus précise, cherchons une intégrale se réduisant, pour jk = 1'o> ^ une fonction donnée (f{x) et, pour X = x„, à une autre fonction connue ^'(j)» ces deux fonctions satisfaisant à la condition cp(jr„) = 4'(jo)- Si les deux fonctions <^{x) e\.^{y) sont déterminées respectivement dans les intervalles (x^, x„4-a) et ( )o, ^Vo-|-(3), l'intégrale cherchée est elle-même déterminée à l'intérieur du rectangle limité par les droites x = ,^„,:r = ar„ -+- a,^v = >'o»^'=.>'o -\- [i et nous pourrions écrire immédiatement son expression, en observant que l'intégrale

(') On suppose, pour simpliiier, les axes Ox et Oj- rectangulaires, mais il est ( lair que les résultats sont indépendants de cette iiypothèse, si l'on écrit les intégrales doubles, qui figurent dans les formules, en mettant en évidence les limites des intégrations successives à effectuer.

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION s = f{x, y). 1 15

double I dt, f /';, rj) <ir) est uae intégrale de l'équalion (i) qui

est nulle pour ) = ju, quel que soit x, et pour j; = x„, quel que soit >-. Mais nous traiterons le problème par un procédé uniforme, s'appliquant à tous les problèmes qui vont suivre.

Supposons, pour fixer les idées, a >. o, (3 > o, et sojt ABGD le rectangle dont les sommets ont pour coordonnées (x^^ ji'o), ^a;o+«,ro), (j?o-t-a, J'o-h(3), (ic„, J'o-t- (3). D'un point M pris à l'intérieur ou sur le contour de ce rectangle abaissons les per- pendiculaires MP et MQ sur les côtés AB et AD. Toute intégrale z{j;, y) de l'équation [ i ) satisfait aussi à la relation

les deux intégrales doubles étant étendues à l'aire du rec- tangle APMQ. Or, le premier membre a pour valeur (1, n" 122 )

z-{x,j-)-{- ^■{Xo.yo) — -(^o,r) — ^(j?,J'o); pourl'intégrale cher- chée, ;;(;r, r,») '-[V, ^ii) sont précisément les fonctions données (p( X ) et 'j'(j'\ et cette intégrale a pour expression

(3) ziJ-. y) = ^ix) -^ •l{y} — :^{x\,) -h / r/- l /{':,. r^ufr,.

J?"^X'

Il est évident que la fonction ainsi obtenue satisfait aux condi- tions imposées ; pour qu'elle soit régulière dans le rectangle ABGD, il faut, en outre, que les fonctions 9 [x) et ^ (y) aient des dérivées continues.

Si les fonctions 9 (J7) et •!/( v) sont continues, ainsi que y'(^) ot 'V' (.)')■ sauf pour un nombre /ini de valeurs de ./■ comprises entre Xq et x^, ■+- a, et pour un nombre fini de valeurs de )- entre >„ et ro -h [5, ^ ( -r, v) est régulière dans le rectangle \BCI-). sauf le long d'un nombre lini de segments de caractéris- tiques. On voit, par là, que toute discontinuité de l'intégrale ou de ses dérivées en un point de frontière du domaine se manifeste dans tout le domaine. Si les fonctions z, ( x) et 'I** » ) n'ont pas de d('rivéc. z{x, y) n'est pas à propre- ment parler une intégrale «le léqualion (i). à moins d'adopter pour la dé-

rivée -; — r- la définition eénéralisée (I. n° ^'2^i^. dxày

Considérons maintenant un arc de courbe AB {Jig- 84" i qui n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à chacun des

Il6 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

axes. Le problème de Cauchy peut être posé ainsi : Déterminer une intégrale de l'équation ( i ), connaissant les valeurs des déri-

Fig. 84".

	Fig. 8	k'-
2/
	c			B
			i
		N	«/i
			/P M-
		/	P
	A			0
o				X

vées partielles -r—)-^en un point quelconque de l'arc AB, et la

valeur de l'intégrale elle-même en un point de cet arc.

D'après les hypothèses faites sur l'arc AB, on peut supposer

que les deux dérivées partielles -r^? -j- sont des fonctions données

de ^ et j- respectivement le long de AB, — =7r(a7), ^ = ;^()-).

Supposons de plus, pour fixer les idées, que l'on connaisse la valeur ^„ de l'intégrale au point A de coordonnées (t„, )„); la valeur de cette intégrale en un point quelconque de l'arc AB de coordonnées (a:, y) est donnée par la formule

(-0

;(./■, V)

Zo+ r -(Hr/?^ f ■/{

^^ff-r\-

On peut donc dire qu'on suppose connues les valeurs de l'inté- grale et de ses deux dérivées partielles — > — en un point quel- conque de l'arc AB, ces trois fonctions étant liées par la rela- tion (4). L'intégrale satisfaisant à ces conditions est déterminée dans tout le rectangle ABCD, y compris les côtés. Soit, en effet, M un point quelconque de ce rectangle {Jig. 84")- Les parallèles aux axes menées par M rencontrent l'arc AB aux points Q etP respec-

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION s — f{.r, y), 117

liveincnl et toule intégrale de (i ) satisfait à la relation

les deux intégrales doubles étant étendues à l'aire du triangle mixliligne PMQ. En appliquant la formule de Green à l'intégrale double du premier membre, on peut la remplacer par l'intégrale

/f) z -^ dt), prise le long du contour dans le sens direct,

intégrale qui se réduit évidemment à z'yi — z^^ f -^ dn : nous désignons pour abréger par ^>, la valeur z(x;y) au point M de coordonnées {J2,y). Pour l'intégrale cherchée, '-^ =y(n) le long de AB. Cette intégrale a donc pour expression

:.H =zv- f /S -n ) dr, ^ f f A h r. ) ,rç dr,, ce (jn'on peut encore écrire, en tenant compte de la relation (4),

(6) z{x, y) =Zo-^ f n(Ç) rn ^ f yjr.) dr, ^ f f /(?, r.) ./,= dr,.

On vérifie que cette fonction c(.r, y) est une intégrale de l'équa- tion ( I ) satisfaisant aux condilions de Cauchj, eu observant que l'intégrale double du second membre est une intégrale particulière de ( j) qui est nulle, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre pour tout point de l'arc AB (l, n" 122, p. 3m ). On peut encore écrire la formule ( i ) sous les formes cquivaicnles

(fi)' C,i=C,. -^r y(T,u/r, + f j /ic. ■r,),r;dr^.

(6)" CM=;y^ r nu^)^/Ç+ f f .

OÙ n'interviennent que les valeurs de l'intégrale et de lune de ses dérivées le long de l'arc AB. On vérifiera sans peine que ces for- mules s'appliquent aussi dans le cas où l'arc AB a la disposition de la figure 84'', à condition de changer le signe de l'intégrale double.

L'intégrale (6) sera r<'guliére dans tout le rectangle, pourvu (|ue les fonc-

Il8 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

lions - {x) et -^ (y) soient coatinues dans ce domaine. Si ces fonctions 0"t un

^ . , . , ,. .... ^ , . , Oz i)z ..

nombre fini de points de discontinuité, les dérivées t— 5 -r- seront discon-

'^ r)x dy

tinues le long de cerlains segments de caractéristiques. De même, si l'on se donne la valeur de l'intégrale :: = <I) en un point quelconque de AB, et la

dérivée partielle -r- = ;: (a:), pour que la fonction -(j:,k) représentée par (6)"

soit régulière, il faut que la différence •!» — / -(?)a^ soit une fonction de k admettant une dérivée continue le long de l'arc AB.

Les formules qui résolveni le problème donnent lieu à quelques remarques importantes :

i^ll est évident sur ces formules que la valeur de l'intégrale au point M ne dépend que des valeurs que prennent la fonction et ses dérivées du premier ordre le long de l'arc PQ, et par suite la valeur de z (x, y) en un point infiniment voisin de l'arc AB ne dépend que des valeurs de z et de ses dérivées sur la portion de l'arc AB infiniment \)oisine du point M. Ces formules (6), (6'), (6)" ne font connaître z qu'à l'intérieur du rectangle ABCD, mais les données de Cauchy le long de AB ne déterminent une intégrale que dans ce domaine. Il existe en effet une infinité d'intégrales de ( I ) régulières dans un domaine tO contenant le rectangle ABCD et qui coïncident avec l'intégrale précédente dans ce rectangle. Pour bien saisir ce point essentiel, prolongeons l'arc AB dans les deux sens, de façon à obtenir un arc A' B' satisfaisant aux mômes conditions que xVB, et donnons-nous le long de A' B' deux fonc- tions continues de x et de y respectivement qui coïncident avec ■K[x) et x( > ) dans la portion AB, L'inlégrale de ( i ), qui prend la

valeur z„ au point A, et dont les dérivées partielles -^- -j- sont

égales à ces fonctions le long de A' B', est régulière dans le nouveau rectangle A'B'C'D', et elle coïncide avec l'intégrale (6) à l'inté- rieur et sur les côtés du rectangle ABCD. Si la première intégrale admet des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre n, on peut toujours choisir les nouvelles données de façon à conserver la continuité de ces dérivées quand on sort du rectangle ABCD. 2° Considérons en particulier l'équation j = o et l'intégrale Z(ar, r) de cette équation qui, le long de l'arc AB, se réduit à une fonction continue <I> du paramétre qui fixe la position d'un point

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S =f(x, y). 119

sur cet arc, tandis que y- est égale le long de AB à une fonction

continue H(x). Celle intégrale est représentée parla formule (6)", où l'on suppose / = o, et 7r(^) remplacée par !!(£). Supposons que, le long de AB, les deux fonctions O et Tl{x) puissent être développées en séries

<ï> = 9 t -4- y •> -H . . . H- 5; -*- . . . ,

n(j-) = r.i(j-) -t- 7:..(j-) -t-. . .-I- r.i{x) -(-...,

la seconde étant uniformément convergente. La formule qui donne Z(a7, r) peut alors s'écrire

(7) Z(^,j)=> (?,)y^ / T.,{^)dt\ = 2,M^,y),

Z(^,j)=2^[(?,)y^y*^ ::,(Ç)c/=j=2-

'(Qi'

OÙ z-i(x,y) est l'intégrale qui se réduit à 9j, tandis que -j^' est

égale à mix), le long de AB. Cette remarque s'étend aussi aux problèmes que nous allons traiter dans les paragraphes suivants. 3" Le premier problème traité peul être considéré comme un cas limite du problème de Cauchy. En effet, quand on se donne la fonction <f{x) à laquelle se réduit une intégrale 3{x,r) pour

)' = )'„, on connaît par là même la dérivées — = <f'{x) le long de cette caractéristique. La dérivée y- dépend encore d'une cons- tante arbitraire, mais si l'on connaît en outre la fonction 'l(y) à laquelle se réduit z{x^ y) pour jc = x„, -^ est connu poui ;r ;= Tq,

j)'=:j>-„, et par conséquent sa valeur est déterminée en lous les points de la caractéristique )- = j'o (n" 4-74). Nous allons traiter d'autres problèmies où l'on se donne la valeur de l'intégrale sur certains arcs de courbe, qui ne sont pas des caractéristiques, avec les données de Cauchy sur d'autres portions de courbes.

i90. Problèmes mixtes. — Soient OABC le rectangle limité par les droites :r = o, a: = a > o, >- = o, j = 6 > o, et OD un arc de courbe issu de l'origine et situé dans ce rectangle, tel que la paral- lèle à Ox menée par un point quelconque M de ce rectangle, ren- contre OD en un point N et en un seul. Cet arc OD est représenté

I2() CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

par une équation a: = 7r( r)- la fonction n (y) étant continue dans l'intervalle (o, b). Proposons-nous de trouver une intégrale 2( x,)i de ( I ) se réduisant à une fonction ç{x) pour r = o, et à une autre fonction ^ {y) lorsque le point M vient sur l'arc OD, les deux fonc- tions cp et ^|; vérifiant la condition çp( o) = '\>(o). Si les deux fonc- tions 'j{x) et J>(_)'^ sont déterminées dans les intervalles ( o, a)

Fig. 85.

et {o, 0 ) respectivement, l'inté'jrale cherchée est déterminée dans le rectangle OACB. Nous avons en effet, pour une intégrale quel- conque de l'équation ( i ),

(S)

//,

r/z r/r.

les deux intégrales doubles élani étend iics à l'aii-e du leciangle MNQP. Mais l'intégrale double du premier membre est égale à -^M-f-^Q — ^x — ^pî t-'L :q, 5>, ^p sont connus d'après le> con- ditions auxquelles satisfait linlégrale considérée z{x,y); nous avons donc, pour la valeur do cette intégrale au point M de coor- données ( X, )' ). l'expression >uivanle :

z{.r

'IL

in ,lr

et l'on voit aisément que le signe de l'intégrale double doit être changé lorsque le point M est situé entre l'arc OD et Taxe O >■. Inversement la fonction z{x, y') représentée par cette formule satisfait à toutes les conditions voulues. D'une part, il est évident

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION s=/(.r,y). 121

qu'elle se réduit à cp (a:) lorsque le point M vient sur OA et à '\) (y) lorsque M vient sur l'arc OD. D'autre pari, c'est une intégrale de ( I ), car l'intégrale double qui est au second membre est la diffé- rence de deux intégrales doubles dont l'une est étendue au rec- tangle OPMS et l'autre au rectangle OQNS, et cette dernière inté- grale ne dépend que de^. Cette intégrale ^(a:,r) est régulière dans le rectangle OACB pourvu que les fonctions <p, (|>„ -n aient des déri- vées continues dans les intervalles correspondants. Nous remar- querons qu'à l'origine les dérivées partielles p„ et </„ vérifient la relation

(lo)

qo-hpo'^\o) = 'y{o),

quelle que soit la fonction cp (x).

Supposons en second lieu que l'on connaisse la valeur de l'inté- grale et de ses dérivées le long d'un arc OA situé au-dessous de O^

ei la valeur de l'intégrale seulement le long d'un arc OE situé au- df'ssus de Ox ijlg. 86).

L'arc OA n'est rencontré qu'eu un point par une parallèle à chacun des axes dans le rectangle ODAH, tandis que l'arc OE est

122 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINEAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

rencontré en un point et en un seul par toute parallèle à Ojc dans le rectangle OHBC. Sur l'arc OA. on a les données de Cauchj, et par suite l'intégrale est déterminée dans tout le rectangle ODAH et en particulier sur OH. Connaissant les valeurs de l'intégrale sur OH et sur OE, nous sommes ramenés au problème précédent, en supposant, bien entendu, que les valeurs données pour l'inté- grale tendent vers la même limite au point O, sur les deux, arcs OA et OE. Mais il y a lieu de présenter une remarque essentielle. Appelons Zi(x, y) l'intégrale qui est déterminée dans le rec- tangle ODx\H parles données deCauchy, le longdeOA, et Zn (^,J') l'intégrale déterminée dans le rectangle OHBC, qui coïncide avec Si(.r, j) le long de OH, et qui se réduit à une fonction connue z=z^(y) le long de l'arc OE, qui a pour équation x = T:{y). Ces deux intégrales sont égales en tous les points de OH, et par

suite il en est de même de leurs dérivées -r-i -r^ j mais rien ne prouve

qu'il en sera de même des dérivées '-^, '-^ et cela n'aura pas lien

si les données sont quelconques. Pour qu'il en soit ainsi, il suffit que ces dérivées soient égales à l'origine (n" 473, p. Sg). Appelons

{p\h- iqih, (pi)^\ i^i'"

les valeurs des dérivées de 2, et de -2 à l'origine ; ( ^, )„ et 1 ^, i„ sonl connues d'après les conditions de Cauchy relatives à l'arc OA. On a de plus (/?2)ii = {pi )o ; pour qu'on ait aussi [q^)» = (^t ^n-i il faut et il suffit, d'après la remarque faite tout à l'heure, qu'on ait

{qi)o-h(pi)oK'{o) = '/(o).

Lorsque celle condition est satisfaite, l'intégrale qui coïncide avec Zi (x, y) dans le rectangle ODAH et avec ^o ' ^^ J ' dans le rectangle OHBC est régulière dans tout le rectangle ABCD. Sa valeur en un point du rectangle ODAH est fournie par la for- mule (6). On peut obtenir direclement sa valeur en un point du rectangle OHBC en partant de la relation

les deux intégrales doubles étant étendues au quadrilatère mixti-

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S = f{x, y). 123

ligne MNQP, et en appliquant la formule de Green au premier membre. On trouve ainsi

(II) zyi= zv-h :y^ z.Q-^ I X(r.)r/r, + r /^

(PQ) ^ '^.MXQP)

en supposant que, le long de OA, la dérivée ^ se réduit à xir)-

L'intégrale double qui est au second membre doit être changée de signe lorsque le point M est entre l'arc OE et OC.

On pourrait imaginer bien d'autres combinaisons pour déter- miner une intégrale, par exemple supposer connues les données de Cauchy le long d'un arc AB, et les valeurs de l'intégrale le long de deux arcs de courbe AC, BD issus des points A et B. Le pro- blème des cordes vibrantes (n° 493) nous offrira un exemple de ce genre.

491. Détermination d'une intégrale par ses valexirs le long de deux courbes. — Le dernier problème traité ne serait pas déterminé si l'on se donnait seulement les valeurs de l'intégrale le long de deux arcs OA et OE, puisqu'on peut encore clioisir arbitrairement la fonction à laquelle se réduit Tune des dérivées partielles de z le long de OA. Mais il n'en est plus de même quand les deux arcs sont situés dans le même angle des caractéristiques. Con- sidérons, dans le rectangle OABC, deux arcs de courbe issus de l'origine OD, OE, dont l'arc inférieur OD n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à Oy, tandis que l'arc OE n'est rencontré qu'en un point par une parallèle À Ox. Soient y = ~{x), x = x(jk) les équations de ces deux arcs de courbe, qu'on a représentés par des portions de droite, pour la commodité du dessin lyîg. 87). 11 existe une intégrale de réqualion(i)et une seule se réduisant à une fonction donnée 9 (x) le long de OD, et à une autre fonction donnée •![> (j-) le long de OE ; nous pou\ ons évidemment supposer que ces deux fonctions sont nulles à l'origine.

Nous traiterons d'abord le cas où ?(ar) et 0> ( ) ) sont nulles identiquement.

A partir d'un point quelconque M du rectangle OABC, on trace deux lignes brisées. L'une L, figurée en traits pleins, s'obtient en menant par M la parallèle M/ni à Oy jusqu'à sa rencontre en /«i avec OD, puis la paral- lèle /«i/?i à Ox, la parallèle />i nii à O v, et ainsi de suite alternativement. La seconde ligne brisée L', marquée en pointillé, s'obtient par une construc- tion analogue, en commençant par la parallèle M «1 à O or. Il est clair que ces deux lignes brisées ont un nombre infini de côtés et se rapprochent déplus en plus de l'origine.

Cela posé, soient I et I' les intégrales doubles / / f(^, t, w/H</ti étendues

l:>.:\ CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

respocliveracnl aux portions du plan comprises, d'une part, entre O./ , 1;» ligne L et l'ordonnée MP, d'autre part, entre Oj, la ligne 1/ et la droite Ml> Il est clair que ces intéiirales ne dépendent respectivement que île ./• et de k

Fig. 87.

"							E-
Q					/	^•
			p,	/	■M,		<^	-'
	/
		/		M.	\^
	A			J^^^^v
	P	/	;M,		^^
	K/			^	m.
	/	S	j \^^
	^^	^	K"'
"^							P A -•

et ([lie les deux lignes L et L' sont confondues lors(|ue le point M vi<nl sur I une des lignes 01», OE. La fonction

o:

j\\. ■r,),ii,if^- I - r

est (loncuneintégraledelcquation - — ^ = /"(j;,j). qui devient nulle lorsqui

le point M vient sur ÔlJ ou sur OE.

Pour traiter le cas où les fonctions o{j-) et •I/(k) sont quelcon(|ues, dt->i

gnons par F(./-, 11 l'intégrale double / / /(;, ■r^)(/^dr^, qui est une fonc

tionréguliéredans le reclangleOABC. Si Z (^.2-, j^) est une autre intc'grale régii

lière de réquiUion ( T). on a — ^ — ; = o, et par conséquent , en considé

rantsuccessivement tousles rectangles M /?i, M ,/// 1 , M 1 /Ji M; <7i, M j/<î M:; ni......

on peut t'crire la série d'éijalilés ( I, n" ["l'I) :

U'^

Z,, + Zm, - Z„„ - Z„, = Fm -^ F„, - F„, - F,,,, Zm,-i- '^\\,— ^//, — ^'/, = Fm,-»- F>i — F/,, — F,/,. Zm.-^ Z„ - Z,„.,- Z„.= F,,..^ Fm- F,,,..- F,,.,.

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S =/{x, y). 125

Dans celte suite d'égalités tout est connu, sauf Zm,, Zm, Pour éliminer

ces inconnues, il suffit d'ajouter les égalités précédentes après les avoir mul- tipliées par -(- I et — i alternativement. On obtient ainsi Zm exprimé par une série, et l'on démontre qu'inversement cette série est convergente et représente une fonction régulière dans le rectangle OABC, satisfaisant aux conditions du problême (*).

lie marque. — Coupons les deux arcs OD, OE parun arc tel queHK^y?^. 87). Une intégrale serait déterminée dans un domaine facile à délinir si l'on con- naissait les données de Cauchy le longde KH et les valeurs de l'intégrale le long de HD et de KE. Dans le cas de la figure, la valeur de rinlcgrale en M s'obtiendrait en ajoutant aux trois égalités (12) la formule obtenue par l'appli- cation du théorème de Green à l'intéarale double

//

étendue à l'aire du pentagone mixtiligne M^-^p^rsq^, et en éliminant les in- cpnnues Zm,, Z.m,, Zm,.

49:2. Mouvement rectiligne d'tingaz. — Considérons un tuyau cylin- drique rempli de gaz, fermé à une extrémité 0, et indéfini dans l'autre sens ; si l'on imprime à la tranche qui est en O un certain mouvement au moyen de la paroi, ou d'un piston mobile, il en résulte pour la colonne d'air contenue danslecylindre certaines modifications qu'on étudieen Acoustique. Soient MN une tranche de gaz située à la distance j" de O, s son déplacement à l'instant ( : z est une fonction de x et de t, et des considérations physiques prouvent que z satisfait à l'équation aux dérivées partielles

a étant une constante. Cette équation se ramène à la forme ... . = o, en

prenant pour nouvelles variables ç = x -t- a<, t\ = x — at, pourvu qu'on suppose continues les dérivées partielles du second ordre de s (I, n"63). et par suite les caractéristiques sont représentées, dans le plan des j-/, par les deux familles de droites x ± at = C

L'intégrale cherchée doit satisfaire aux conditions suivantes : à l'instant origine f = o, la paroi et la colonne d'air sont au repos, c'est-à-dire qu'on

(') E. GoLRS.\T, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VI, 1904, p. 117.

126 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

3 3 = 0,— = <) pour / = o, j7 ^ o ; ce sont les données de Gauchy le long de

la partie positive de l'axe O j: ; 2" on imprime à la tranche initiale un mouve- ment dont la loi est connue, c'est-à-dire que pour x = o, t>o, z doit se réduire ù une fonction /"(T) qui est nulle ainsi que sa dérivée pour t = o. Le problème à résoudre est donc un problème mixte el la solution résulte aisi'-ment de la théorie générale du n"490. Menons par l'origine les deux carac-

f)z téristiques x =:±at (fig. 88). Puisque z et — sont nuls le long de Oj?, z est

nul aussi dans tout l'angle des caractéristiques L(JL' et en particulier le

long de OL. four avoir la valeur de z en un jioini M ( x. t 1 situé au-dessus de OL, menons la parallèle AI/« à OL, et les parallèles MN. mn à la seconde caractéiistii(ue. D'après ce qu'on a vu plus haut, on doit avoir

Zm+Z„=Z>^Z„,:

et par suite Zm = Z,,,. Or, rordoiinée du point m est / 1 et par suite

En résumé, l'intégrale cherchée a pour expression

.=.. (pour/^^), ^=,/(^-:^) (P-"^'^^)-

On voit que ia tranche, à une distance x de la tranche initiale, reste en repos

tant qu'on a /^- ; la constante «représente donc la vitesse de propagation de

l'onde. Si Ton cesse d'agir sur la tranche initiale au bout d'un temps T, la

fonction /■( ri reste constante pour ^^T; la tranche d'ab«cisse x qui entre

en moiiN entent à l'instant — revient au repos à partir de l'instant h T.

a r r ^

1/iirtégrale ne dépendant que de / > on voit que l'onde se propage tout

I. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S=f{x,x). 127

entière sans changement intérieur; on dit qu'une pareille onde est rés:u- lière (*).

Considérons en second lieu un cylindre indéfini dans les deux sens. Nous supposerons que Fébraniement initial a été produit en une portion rimitée

du tuyau ; analytiquement, cela revient à dire que pour / = o, z et - doivejit

se réduire à des fonctions données /(x) et 9 (x) qui sont nulles en dehors d'un intervalle (o, /). C'est le problème de Cauchy lui-même, les données étant portées par l'axe des x tout entier, et nous pouvons prévoir sans aucun calcul la nature de la solution. Par l'origine et par le point A d'abscisse / sur Oj:, menons les caracttristiques; ces droites divisent le plan en un certain nombre de régions ifig. 891. Soient MP, MQ les deux caractéristiques qui passent en un point M; nous avons vu que la valeur de l'inlcfîrale en M s'exprime par une intégrale prise le long de PQ, qui ne dépend que des don- nées/( J-) et = ( .r). Ces fonctions étant nulles à droite de A et à gauche de < ),

(') En réalité, l'équation (l'S) ne convient qu'aux petits mouvements des gaz. L'équation exacte est

k et m étant deux constantes dont la seconde /// est supérieure à l'nnilé. On

passe de (i3)' à l'équation simplifiée du texte en supposant que les variations

de «V (p) pendant le mouvemenf sont infiniment petites, et en remplaçant •'/{p)

par une constante a. Mais on peut aussi résoudre le problème proposé pour

l'équation (i3)', c'est-à-dire trouver une intégrale zix, t) de cette équation.

. . , i)X f)z ^

continue, amsi que ses dérivées du premier ordre />-=—, 7 =_ —, pour x^o,

1^0, s'annulant pour t — o, quel que soit x, et se réduisant, pour x =: o, à une fonction f (t), qui est nulle, ainsi que /'(t) pour f = o. D'après la signification physique de ce problème, un point de la partie positive de Oj; reste en repos jusqu'à un certain moment t ^ '^i x), o{x) étant une fonction positive et crois- sante, c'est-à-dire qu'il y a une propagation par ondes. La surface qui repré- sente l'intégrale cherchée se confond donc avec le plan ;; = o dans la région comprise entre l'axe Ox et la courbe t = :f{x). Au-dessus de cette courbe C, la solution cherchée est représentée par une surface tangente au plan des X) le long de C, et nous sommes ramenés au problème d'Hugoniot (p. 72).

On a vu plus haut que cette surface intégrale S est une développable tan- gente au plan des xy suivant la courbe C, qui est une caractéristique pour la solution z = o. Dans le cas actuel, les caractéristiques situées sur le plan desxy

sont les deux systèmes de droites t — tg^- ,, , • Comme la courbe C doit

4* (o)

passer par l'origine et être située dans l'angle x O l, si la tranche initiale entre en vibration à l'instant « = 0, cette courbe C se confond forcément avec la droite D, x - t'y(o), et nous voyons déjà que l'onde se propage avei une vitesse constante 'Y(o).

128 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

l'intcgrale cherchée est nulle dans les régions (I) et (I)', elle est égale à une constante K dans la région (II), et à la même constante changée de signe — K dans la région (II)'. Dans une des régions marquées par des hachures horizon- tales seulement, elle conserve une valeur constante ijuand M se déplace paral- lèlement à la caractéristique OB; c'est donc une fonction de x — at;de même, dans une des r(''gions marquées par des hachures verticales seulement, c'est une fonction de x -h at. Enfin, dans le parallélogramme OCAB, elle dépend à la fois de X -h at, et de j; — at.

Il est facile de vérifier ces conclusions par le calcul. L'intégrale générale de l'équation (i3) est z — F{x -h at) -h ^{x — at), les fonctions F et «l> ii'('tiuu déterminées qu'à une constante près. Ces fonctions doivent satisfaire

Pour achever de déterminer la surface S, nous remarquons qu'elle doit vérifier une des deux équations <\i(p) zt g = '^{o), car les équations différen- tielles des deux systèmes de caractéristiques de l'équation (i3)' admettent les dcuY combinaisons intégrales

r/[ Y + '^(p) ] = o, ^l\ 7 - 'Up) ] ^- n.

La première convient aux caractéristiques du système auquel n'appartient pas la droite D, et par suite, nous devons prendre le signe -+- devant 7. Cette équation du premier ordre s'écrit encore

^(-r;y

<)x

et l'on est ramené à chercher une intégrale de cette équation du premier ordre passant par la courbe plane r du plan des s^, représentée par l'équation z — f (t). Or, l'équation (e) admet l'intégrale complète formée de plans (II, n^ 444),

:; = \(i-4-Âa)i-'" — I jo^-H

ct l'intégrale clierchée est l'enveloppe de ce plan quand on établit entre a et h une relation telle qu'il renferme une tangente à r (II, n» 446). L'équation du plan P passant par la tangente à L au point de coordonnées [o, À, / (\)\ est. comme on le voit aisément,

Kntre la droite D et l'axe Ç)t, la fonction clier( liée z{x, l) est donc repré- sentée sur la surface développable, enveloppe du plan P, dépendant du para- mètre variable À.

Si une portion de l'arête de rebroussement de celte surface projette dans l'angle xOt, les dérivées secondes ;■, 5, t deviennent infinies en ces points. Cette discontinuité correspond au phénomène de Riemann-Hugoniot. (Pour l'étude complète du mouvement rectiligne d'un gaz, voir Hahamard. Leçons sur la propagation des ondes, Chap. IV.)

1. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S=f{x,y). 129

aax conditions initiales

¥{x) -^ *(jc) =fix), F'{x) — ^'{x) = -f(x);

on peut supposer F(o) = *(o) et par suite poser

F{x)-^ia:)='- r ^{x)dx = ^{x);

l'intégrale cherchée a donc pour expression [cf. n^iSS, formule (22)] (i4) z = i [f{x -H at) + ^{x + «0] + ^ [/(^ - at) - H^ - at)].

Rappelons que/(a:) est nul en dehors de l'intervalle (o, /), que 4'(^) est nul pour x^o, et conserve une valeur constante H pour x'^l. En appliquant

Fig. 89.

la formule ( i4) à chacune des régions du plan successivement, il est aisé de

retrouver les conclusions précédentes. Donnons, par exemple, à x une valeur

x^ l

constante x^ > /. Lorsque t varie de o à -, /(^i-H at) et f{x.i — at)

sont nuls, '\i{Xi-i- at) et '\i{xi— at) ont la même valeur constante H; on a

donc z = o. Quand t varie de ~ à — if^xi-h at) = o, ^'(^i-t- at) = H,

H I -r

et z a pour expression - — 1 — [/(^i— at) — 4'(^i— at)]. Enfin pour ^^—5

/{Xi-h at)f/{Xi — at) et '\){xi — at) sont nuls, el z = — • L'onde atteint la /

tranche d'abscisse -- à l'instant — j et cette tranche revient au repos, avec

a '

OOURSAT. — m. 9

l3o CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE. H

un déplacement

l'instant

On verrait de même qu'il existe

une onde régulière qui se propage vers la gauche. Tout se passe, en définitive, comme si l'ébranlement initial provenait de la superposition de deux ondes régulières qui se séparent pour se propager l'une vers la droite, l'autre vers la gauche, avec la vitesse a.

On peut aussi retrouver la formule (22) (Chap. XXV) en faisant le chan- gement de variables oc-^at = \,x — at=^r\, et appliquant la formule générale (6) à l'équation transformée (voir Exercices 2).

493. Cordes vibrantes. — Une corde élastique OA de longueur /étant

fixée à ses deux extrémités, si on l'écarté de sa position d'équilibre, le dépla- cement z normal à la corde d'un point d'abscisse x, à l'instant t, est une fonc- tion des variables a: et ? qui vérifie aussi l'équation (i3). Cette fonction in- connue z doit satisfaire à d'autres conditions . t" les conditions initiales, (|ui expriment que, à l'instant initial / = o, on cCiinait, pour chaque valeur de x,

cet "5 soit c =f(x), — = 9(.p), ces fonctions étant nulles pour ./ = o et

pour X — l; 2" les conditions aux limites qui expriment que les extrémités de

t		<	t
03	<		^3
"2		^ ^	"z
0,			A.
~Ô			A	X

la corde sont fixes, c'est-à-dire que z est nul, quel que soit t, pour x = o et pour X = l\ nous rencontrons de nouveau un problème mixte. Par le point A d'abscisse /sur O.r menons la caractéristique a* -1- af = /, et la parallèle A^' à 0 1, et par l'origine la caractéristique x — at = o {fig. 90). Les données sont celles de Cauchy sur OA, et l'on doit avoirs = o sur les droites 0/ et A t' .

Les données de Cauchy déterminent l'intégrale dans le triangle OAB. Connaissant les valeurs de l'intégrale suivant O Oi et OB, elle est déterminée dans le triangle OBC)i: de même, l'intégrale est déterminée dans le triangle

1. — PROBLÈMES RELATIFS A L'ÉQUATION S =/( x, Y). l3l

ABAi par ses valeurs le long de AB et de A Ai (i). Connaissant les valeurs de l'intégrale le long de BOi et de BAi, elle est déterminée dans !:■ parallélo- gramme Oi B Al Bi ; en continuant ainsi, on voit de proche en proche qu'elle est déterminée dans toute la région comprise entre les parallèles Ot, Xt' au-dessus de O^.

Soit s = F{x -+- cU)-+- 4>(a- — at) l'intégrale cherchée; d'après les condi- tions initiales, on doit avoir

F{x) -+- <l>(^') =/{x), V'{x) - 4»'(^) = '^ . On en déduit, comme tout à l'heure,

2 2

en posant 4'(-c) = — / ©(^r) cfx. Ces formules ne définissent les deux fonc- tions F (u), ^{u) que pour les valeurs de u comprises entre o et /. Pour que la solution ait un sens, il faut que F (m) soit définie pour toutes les valeurs positives de l'argument, et *(«) pour toutes les valeurs négatives. Les con- ditions aux limites donnent les relations

F{at) ■+- $(— af) = o, F(/-f- at) -h *(/— at) = <>.

quel que soit t, ce qu'on peut écrire, en remplaçant at ])ar u.

F(î<)-H<I»(— M) = o, F{1 ^ i>)^(p(l— u) = o. Il o.

De la première on tire 4>(— ?/) = — F(m), ce qui montre que la fonc- tion 4» sera déterminée pour toutes les valeurs négatives de M,*si F('«)esl connu pour les valeurs positives de ii. Lorsque n varie de o à /, / — u diminue de / à o, 4>( / — u) est connue; il en est donc de mémede F(/-k u), et par suite F {u) est déterminée de o à 2 /. D'autre part, en remplaçant u par u -In l dans la seconde des relations précédentes, il vient

F ( 7 / -H J^l -(- <1> ( — u) — o, et par suite

F(2/+ fO = !•'(")•

La fonction F{u) admettant la période il est donc déterminée pour toute valeur positive de u, et par conséquent il en est de même de <ï>(t/)pour?/ <o.

Méthode de BernouUi. — Cherchons d'abord des intégrales particulières

; Ces intégrales se raccordeut le long de AB et de OLî, car il résulte des dz_ dz dx ^ ôt

'lonnées que j- et — sont nuls aux points O et A {voir n" 490'.

l32 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPÇ HYPERBOLIQUE.

de l'équation (i 3) de la forme U(ar)V(<), la fonction U (a:) étant nulle pour x = o et pour x = f. On doit avoir

U(^) a'- V(0'

et par suite la valeur commune de ces rapports doit se réduire à une cons- tante K. Pour que l'équation li"{x) = KU(:r) admette une intégrale parti-

culière s'annulant pour a; = o et pour x = l, K doit être de la forme j-—i

n étant un nombre entier, et l'on obtient ainsi une infinité d'intégrales de (i3)

de la forme voulue

. nr.x/^ anrU _, . an~t\ z = sin — j— ( G cos — h C sin — j — 1 ,

■2.1

dont chacune définit un mouvement vibratoire de période Pour t = o,

na

• . , ,:,■. r^ ■ Tl'^'^X j. àz , i .

cette intégrale se réduit a C sin — - — •> tandis que -^ est égale a

ariT. ^, . nnx -pCsm-^.

Cela étant, supposons que les deux fonctions /(x) et <f{x) soient déve- loppables en séries de sinus dans l'intervalle (o, /) (I, n" 204),

(15) /•(^) = 2A.sin'-^, ^{x) = ^Bnsin'l

Il est clair que la série

nzx atiT.t ■^71 ^ /" TfKX . an-t

sin — j— sin — - —

an iz l l

. -. -^ . . mzx aiiT.t "V D

(i6) ^ — Z-i " ^'" — 7~ ^*^^ — 7 ^ 2-1 " *'" — ^~ *'"

satisfait formellement à l'équation (i3), et qu'elle se réduit k/{x), tandis que la série obtenue en dérivant terme à terme par rapport à < se réduit à 'f(x), pour /■ = o. C'est la solution de Bernoulli. Elle manque évidemment de rigueur, mais il est possible de la justifier, moyennant quelques hypothèses d'un caractère très général. Nous pouvons en effet représenter la solution cherchée, à l'intérieur du triangle OAB, par la formule (22) (Chap. XXV, p. 106); il en résulte que si la série <f{x) est uniformément convergente, l'intégrale cherchée est représentée dans ce triangle par la somme de la série I.z„ obtenue eu preuiint pour termes les intégrales qui correspondent aux conditions initiales

. . n-r i)zn ^ . /i-x

z,i—\,inn—r~, — =: B„ sin ~-j- (pour/ = 01:

elle est donc représentée par la série (i6j de Bernoulli. D'après la façon

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l33

dont l'on déduit les valeurs de l'intégrale en un point quelconque des valeurs qu'elle prend dans le triangle OAB, il est évident que la formule est valable dans tout le domaine. Or, d'après une proposition générale sur les séries de Fourier, les séries (i5) sont uniformément convergentes, si les fonctions /(a:) et <f{x), satisfaisant aux conditions de Dirichlet, sont continues (•). (Cf. n° 489. Remarque I.)

II. - APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE ...CMANN.

494. Détermination d'une intégrale par ses valeurs le long de deux caractéristiques. — Nous allons reprendre, pour une équa- tion linéaire de forme générale du type hyperbolique

les problèmes déjà résolus pour l'équation élémentaires =:/{x,y); les fonctions a(a7,jK), 6(a;,j), o(a;,y), /(a;, j)sontsupposées con- tinues. Proposons-nous d'abord de trouver une intégrale se rédui- sant pour y=zy^ à une fonction donnée tp(^) et, pour x ^ x^, à une autre fonction vp (a;), satisfaisant à la condition 4'(j'o) = ?(^o)- On peut évidemment supposer Xo = yo=^ o; nous admettrons de plus, pour préciser, que <p(ar) est déterminée dans un intervalle (o, a) et ^{y) dans un intervalle (o, (3), a et {3 étant deui nombres positifs, et nous chercherons à déterminer l'intégrale dans le rec- tangle R limité par les droites x =z o, x = a, j = o,j = [3. La méthode que nous allons suivre est due à M. Picard {^). Écrivons l'équation (17) sous la forme un peu plus générale

(^^) ^^^h^'-^^ê^^^^'-^^l^^^^'-^H"^-^^"^'-^^'

X étant un paramètre que l'on fera ensuite égal à l'unité dans le résultat, et cherchons d'abord une série entière en 1, (19) z = Zo{x, y)-h'kzi{x, y)-h...-h \"Zn{x, 7) -+-• • •

satisfaisant formellement à l'équation (18) et aux conditions ini-

(') Voir, par exemple, le Traité d'Analyse de M. Picard (t. I, 2' édition, p. 206).

(') Journal de Mathématiques (1890). Note I du Tome IV des Leçons sur la Théorie des surfaces de M. Darboux.

l34 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

tiales. Pour ). = o, l'équation (i8) se réduit à l'équation déjà étu- diée s=f{x, y), et par suite nous prendrons pour premier terme de la série (19) la fonction

qui se réduit à ^{x) pour j :== o et à ^{y) pour x =t o; les autres coefficients .s^ , ^,5 • • ■ doivent tous être nuls pour a; = o, quel que soit^', et pour j>-=: o, quel que soit x. En égalant les deux coeffi- cients de X dans les deux membres de l'équation (18), après la substitution, il vient

i(^,r)

f,,f[aa,r,^^H^,.>^^ca,-..}

et d'une façon générale ^«(a:, j) se déduit de c„_, ( x. y) parla for- mule de récurrence

(20) Zni-r

'^^=P^X'[ ^^^^-)^

bi^,r,)^^^c{^,r,)z.^,'jdr,.

dr,

Le résultat obtenu de celte façon ne diffère pas de celui qu'on obtiendrait par l'application de la méthode des approximations successives, la première valeur approchée étant Zo[x^ v). La seconde valeur approchée serait évidemment z^-^- 'kz^^ la troi- sième z^-|^'kz^-\-l'^z2^ et, d'une façon générale, la n"'^ valeur approchée serait précisément la somme des n premiers termes de la série (19). Si les fonctions cp(-c) et '\i{y) sont continues et ont une dérivée continue dans les intervalles (o, a) el(o, ^), toutes les fonctions Zn{x, y) seront régulières dans le rectangle R.

Pour démontrer la convergence de la série (19), nous nous appuierons sur la remarque suivante : soient z[x. y) une fonction régulière dans R, et Z{x, y) l'intégrale double

Z(:r, v) = ^/"'^ y^'[a(Ç, r,)^ + 6(£, r,.^^c(f, r.)^j

dr,-

si l'on remplace les coefficients a, b, c par d'autres coefficients positifs A, B, C, constants ou variables, mais supérieurs aux va-

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l35

leurs absolues des coefficients a, b^ c\ si l'on remplace de même z(a?, r) par une autre fonction u{x^ j), telle que m, y- j -t- soient

des fonctions dominantes dans R pour c. - " , -" , il est clair

^ <)jc à y

que Z(x, y) sera remplacée par une autre fonctioa U(j;, y)^ qui

sera positive ainsi que ses df^rivées dans R, et qu'on aura, en tout

point de ce domaine,

'—\ -'IL 1^1/^

Z ' -^ l

Cela étant, supposons qu'on ait, en tout point de R,

z„_,(./-. j')i --H — —. — , — n— H

(21)

àz,r-\ j , f^ «"-^ -^ y)""

ôj- I {Il — I ) !

■y)'"

H étant un nombre positif. Soit M une limite supérieure des va- leurs absolues des coefficients a, 6, c dansR; d'après la remarque précédente, nous aurons

et a fortiori

( // -t- I ) ! L /' -H 2 J

et l'on voit de même que -^ et -f-^ sont inférieurs à

^ \ dx \ \ ày \

,,[^j^zi)iU^,^^^^--y)\

iL\ L n -\- \ \

Par suite les inégalités (21) entraînent les suivantes

l I j„(j-, jK)l< HK— — ^^-^vT-j -3— "'^ r^'

/ '''-" L' Hk ^:!j±Z1!

K étant un nombre positif qui ne dépend que de M et des dimen-

l36 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

siens du rectangle R. Si L est une limite supérieure de

1-201, on a d'abord	àzo dx
' Zi{^,y.)' <3MLj->-,	àz, dx
et a fortiori

àZo

ày

3MLjK, j^|<3MLx,

On en conclut, en raisonnant de proche en proche, les inégalités

( /? -H I ) ! \ àx \ n\

qui prouvent que la série (19) et les deux séries obtenues par déri- vation sont uniformément convergentes dans le domaine R. Soit z{x, r) la somme de la série (19), qui est une fonction régu- lière dans R. Pour prouver que c'est bien une intégrale de l'équa- tion (18), il suffit d'observer que, d'après la façon dont on a déter- miné les coefficients successifs z,i{x. j'), on a

Snix, y) =^{x) + .^O-) - ?(o) -4- J f' f{i, r,) a'Ç dr,

S„(a;,/j) étant la somme des n premiers termes de la série (19).

dx dy

Lorsque /i augmente indéfiniment., S„_^, " ' , " /* tendent uni

fermement vers z(x. >'). -r- > -,- » et il vient à la limite

^ ^ •■ ^ ■ dx dy

(22) .H^, j) = 9(x) + 6(r)-?(o)+ r f/Cç,r^)d^dT,

La fonction z{x, y) est donc bien une intégrale de (18) et il est clair qu'elle satisfait aussi aux conditions initiales.

C'esf la seule intégrale régulière dans R satisfaisant à ces

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES, MÉTHODE DE RIEMANN, 187

conditions. Soit en effet Z(a7, y) une intégrale satisfaisant à ces conditions; posons

Z-S„=U„(x, j),

S„ ayant toujours la même signification. En comparant l'expres- sion de Sn écrite plus haut avec la formule

''0 ^0 J^ f^ [a(Ç, rO^ -h 6(Ç, -n)^ -H C(Ç, 7i)z]rfÇ ^rj.

-i-X il vient

'^0 -'û L

'^Ç

*(^'^)^-^(

:i, rJU„_,(H, 7i)jrf7i.

Il résulte du calcul que nous venons de faire que U„ (a?, y) tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, quelle que soit la fonc- tion Uo(a:, y) dont on part pour définir la suite de fonctions Uj, U2, . . . , U«, .... L'intégrale Tj{x,y) est donc la limite de Sn(ar, y), c'est-à-dire est identique à z[x^ y).

Si les fonctions ^{x), '^{y) ou leurs dérivées o'(ar), 'Y{y) présentent un nombre fini de discontinuités dans les intervalles (o, a) et (o, P), tout en restant bornées, les fonctions Z\, z^, ... sont encore régulières dans le do- maine R, et l'intégrale z{x, y) représentée par la série (19) est elle-même régulière clans R, sauf le long d'un nombre fini de segments de caractéris- tiques (C/. n« 489).

49o. La fonction de Riemann. — Le problème qui vient d'être traité peut toujours se ramener au cas particulier où les deux fonctions cp(^) et '^{y) sont nulles identiquement^ en "prenant pour inconnue z — 9(^7) — T'(y)+?(o)à la place de z. Cette transfor- mation modifie seulement l'expression de/(a;, y) sans changer les coefficients a, b, c. Le premier terme ^o(-^j y) de la série (19) est alors égal à l'intégrale double

2o{x,y)

= f d^ f' M,r,)dr^. ^0 «^0

l38 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

D'une façon générale, supposons que .s„-, soil de la forme

(23) ZnM^,y)= f\ rM,r^)gn-^{x,y;'(^,r,)dy,,

zn-,(x,y)= f d^ f f{1.,-r\

g„-, (x, r ; i, f)) étant une fonction continue des deux couples de variables (a?, y), (^, yj) qui admet des dérivées partielles continues par rapport à a: et à y. Nous allons montrer que z^ix. i ) peut être mis sous une forme analogue. Pour appliquer la formule de

récurrence (20), calculons d'abord z„-,{l, yj), ""^^ ; """' • Par

hypothèse, nous avons, en remplaçant dans (28), x, y, ^, rj par ^, ■n, u, p,

3„-i(Ç, ■»))= fdu f /(". ^)gn-x(,l, r,; u, v) dv

et, par suite,

L'expression de Zn{x, y) se composera de trois termes

^ f d% f d-n f 'a{l, T,)/(^, .•)^.-,(Ç, Tj; f, r)'A'

«/fl «^0 "^0

^ f ^f^ f dr^ f h(t, T,)/{u, ■q)gn-i{^, T, ; ». f,)du.

i/o l/Q "^0

Intervertissons l'ordre des deux premières intégrations dans la première intégrale triple du second membre, en appliquant la for- mule de Dirichlet (I, n° 121); elle peut encore s'écrire

f d^;J' dv f a{l ■rj)/(Ç, «O^^-il?. •^: l v)d-r„

H. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. iSg

OU, en permutant les lettres n et p,

(2

J^ Jq ./«

La seconde intégrale triple de la formule (24) peut de même s'écrire

f ^ [m- '^^Af *(«' r^)gn-^^{u,,r,- l, r^)dn l

Quant à l'intégrale quadruple qui forme le premier terme de z,t (x, r), elle est étendue à un domaine de l'espace à quatre dimen- sions qui est défini par les inégalités

Si l'on intégre d'abord par rapport aux variables ^, yj, les limites seront u eV x pour ^, p et y pour yj, et les limites seront ensuite o et a; pour u, o et y pour p. Cette intégrale quadruple peut donc s'écrire sous la forme équivalente

ou encore en permutant les deux couples de variables (a, v)

et (E. Tt),

On voit donc qu'après toutes ces transformations l'expression de s,i(^. y) prend la forme

ly^y^'

(261 Zn{x,y)^ / dl / /(E, T,),^„(./-,_r: ^, T,)rfTri

en posant

l4o CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

En parlant de ^o= i, on calculera de proche en proche par cette- formule gi{^,y, i,-n),g2{x,y;i,n), Le résultat obtenu peut

s'énoncer ainsi : JL,' intégrale de Véquation (18), qui est nulle pour x=^ G, quel que soit y, et pour y = o, quel que soit x, est représentée, dans le rectangle R, par Vintègrale double

(28) z{x,y)

0{x, y; ^, tq; X) désignant la somme de la série

(29) 0{x,y; \, -n; X) = i ^ X^i(a;, j; Ç, t^)-!-. . .-hX^^^C^, 7; Ç, ïj)-!-....

Celle fonction G a été introduite par Riemann d'une façon toute différente qui sera exposée plus loin.

On pourrait étudier directement cette série (29) compie la série (19). uiais il est facile de déduire ses propriétés de ce qui pré- cède. Observons d'abord qu'elle satisfait formellement à l'équa- tion homogène

&^G , / àO ^ àG

<3o)

dx ây

( àG ,àG p\

on peut écrire en eff'et, d'après la formule de récurrence (27), en admettant que la série (29) est uniformément convergente, ainsi que celles qu'on en déduit en diff"érentiant par rapport à a; et par rapport à y,

H-X(x;?, -n, X) + Y(j;Ç, -ri, X). On a donc aussi

D'aulre part, pour J? — ^, elle se réduit à la série

(3i) i-H^i(E, 7; i, r,)X-^...-^^„(i, jk; Ç, ■ri)X'' + ...

et la relation de récurrence (27) devient ici

gniX,y;\,r,) = J' a{l, v)g.

i(Ç, t-; f, fùdv.

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l4l

La série (3i)est précisément la série qu'on obtiendrait en déve- loppant, suivant les puissances de )i, l'intégrale de l'équation linéaire

|^ = '.a(Ç,,)-, qui se réduit à un pour r=Y), intégrale qui a pour expression 6'^^ . On verrait de même que, pour j' = yî, G se réduit

). 1 Uu,r^)du

à e ''' . Nous avons démontré, au paragraphe précédent, qu'il

existe une intégrale de l'équaùon (3o) qui se réduit à e •^'^

pour X ^= î^ el à. 6"^^ pour y = n. Cette intégrale est repré-

sentée par une série uniformément convergente dont tous les termes, d'après la faÇon même dont on les obtient, sont des fonc- tions holomorphes de X. Elle est donc elle-même une fonction entière du paramètre X, et son développement suivant les puis- sances de X coïncide forcément avec la série (29). En résumé. la fonction G{x, y; H, to, à) est une intégrale de Véquation (3o) qui satisfait aux conditions aux limites ci-dessous :

t. f\ b(u,r\)du K j a{l,v)df

(32) G = e''> (pour y = r^), G = e '^ ^ (pour a- = ç).

496. Première solution du problème de Cauchy. — Reprenons de même le problème de Cauchy pour l'équation générale (18), et proposons-nous de développer, suivant les puissances du para- mètre 1, l'intégrale satisfaisant aux mêmes conditions qu'au n" 484. Nous prendrons pour premier terme de la série l'inté- grale -■^(x^y) de l'équation .V =zf(^x, y) satisfaisant aux conditions données, et nous déterminerons les coefficients successifs ^4 (a;,>'), z.,{x, y), .... au moyen de la loi de récurrence

(33) =.„i.r,y)== f f L(';, -,) ^ ^ i(., -^ ^

où l'on prend le signe -|- ou le signe — devant l'intégrale, suivant que l'arc AB qui porte les données a la disposition (84'') ou (84'')-

l42 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

Le domaine d'intégralion, qui est le triangle mixliligne PMQ, est choisi de telle façon que z„[jc, i) soit nul, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, le long de l'arc AB. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le cas de la figure 84^*, et supposons le point M au-dessus de l'arc AB. Il suffit d'un artifice très simple pour ramener la formule (33) à une formule de- récurrence de la forme (20). Imaginons, en effet, trois fonctions <x(x, y), p(x. )), y(.r, y), nulles dans le triangle mixtiligne ABD, au-dessous de AB, et égales respectivement aux coefficients a{x, r), b{x, y), c(x, y), au-dessus de AB. Il est clair que si l'on a Un-i (x, y) = z„-i (x.y), l'intégrale double

•>' '^(P'MQ'O) L '^^ ^'^

t(?, ■t\^un-^{^. -fi)

] ^ dr,,

étendue à l'aire du rectangle P'MQ'D, sera nulle si le point M est au-dessous de l'arc AB et égale à z,t{x, j) si le point M est au- dessus de AB. Malgré la discontinuité des fonctions a(j7, r), (3(j7, )•). Y(.r, r) le long de AB, cetJe fonction est continue, ainsi

que ses dérivées partielles — - -, — - dans le rectangle R. Cela

étant, imaginons qu'on veuille développer, suivant les puissances de ^, l'intégrale de l'équation auxiliaire

tix ây

qui prend les mêmes valeurs que :;„(.r, r) le long des côtés AD etBD deR

('i5 ) «(of. y ) = M(i(;r, y) -+- \u\ (.r. r) -t- . . .-1- À" »„(./•. )) -h . . . .

On a évidemment «,,(.27. y)~~ -3„(a7, r), et les coefficients w,, a.j, . . . s'obtiennent de proche en proche au moyen de In for- mule (33)'. Malgré la discontinuité des coefficients a, |3, y le long de l'arc AB, les raisonnements du n° iOi s'appliquent sans modi- fication, et cette série est uniformément convergente, ainsi que celles qu'on en déduit en dérivant terme à terme par rapport à x ou à )•. Si le point W{x. y ) est au-dessous de l'arc AB, on a évi- deiiiment w„(.r. j ) = o, /i>i, et la série (3j) se réduit à son pro-

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l43

mier terme tto(^, i ). Mais si le point M est au-dessus de AB, on voit de proche en proche, en vertu de la remarque précédente, qu'onaU|(x, r)— :;,(j?, r), ..., Un{^,r) = ^n{o!^-r), et la série (35) représente précisément, dans le triangle mixtiligne ACB, une inté- grale z(x^ y) de l'équation (i8) telle que

S = 3(jr, j) = Zo(x,r),

soit nulle, ainsi que 37' j-. le long de AB. La série obtenue par la méthode des approximations successives représente donc une intégrale satisfaisant aux conditions de Cauchj au-dessus de AB, et l'on verrait de la même façon que cette série est aussi unifor- mément convergente au-dessous de AB. Le raisonnement s'achève comme plus haut.

Dans le cas particulier où l'intégrale cherchée doit être nulle, ainsi que ses deux dérivées partielles, le long de AB, le premier terme de la série a pour expression

et, par une suite de transformations d'intégrales multiples, tout à fait analogues à celles qui ont été effectuées au n" 495, on dé- montre de proche en proche que z„(x, r) peut se mettre sous la forme

les fonctions ^,(j;, )■; ç, yj), ^..(a:, )'; ;. yj), .... se déduisant de

go(-r, y; S, Tf)^ = I,

au moyen de la formule de récurrence (2-). La valeur de l'inté- grale satisfaisant à ces conditions est donc représentée, en un point M (r, y) du rectangle R, par l'intégrale double

(30) z{x,j)=ff /(?, r.)G(j:, v; C. r.; X)^</t,.

G étant la fonction de Riemann définie plus haut; dans le cas de

la figure 84*. l'intégrale double doit être précédée du signe — .

Supposons, en second lieu, que les données de Cauchj le long

de AB soient arbitraires. Soil Z{x, y) une fonction quelconque

l44 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

salisfaisant à ces coaditioiis, par exemple l'intégrale de l'équa- tion 5 = 0. En posant :; = Ç H- m, on est conduit à l'équation

, ■ . d-u (du du \

dx ày ^ / àx ày

et la fonction u{x, y) doit être nulle, ainsi que y-? -3-? le long

de AB. Les coefficients a, 6, c n'a^'anl pas changé, la fonction de Riemann G est la même pour les deux équations (18) et (37). L'intégrale cherchée a donc pour expression

(38) z{x,y) = i:(x,y)-^ f f /($, r^)Gix, y; Ç, ri; X)<srfr,

On aurait de même l'intégrale prenant les mêmes valeurs qu'une fonction donnée ^(x,y) le long de AD et deBD en prenant comme champ d'intégration de l'intégrale double le rectangle MQ'DP'.

On peut arriver très aisément à la formule (36) par une méthode synthé- tique. On a vu (II, no 401) que l'intégrale d'une équation difTérentielle linéaire avec second membre F (y) =/(x), qui est nulle ainsi que ses n — i pre- mières dérivées pour x = xq, est représentée par une intégrale définie

/

^{x, x)f{cc)dcx,

xi{x, a) étant une fonction déterminée de x et de a. Par analogie, cherchons à déterminer a priori une fonction (f{x, y; Ç, r\) telle que l'intégrale double

(39) zix, y)= f f fil r,)'^{x, y; l r.) ./= dr,

^ «^(PMQ)

étendue à l'aire du triangle PMQ, soit une intégrale de l'équation (18); nous

supposerons pour le calcul que la fonction ç est continue et admet des dé-

ào ds à-ç ^ ,, . , àz , ,

rivées continues -,'-» t-^» -; — -, — La dérivée -r- se composera de deux termes, ox fJy ox ôy ax

dont l'un s'obtient parla formule habituelle de différentiation sous le signe

intégral, et dont l'autre provient de la variation du champ d'intégration.

Pour calculer ce dernier terme, observons que, lorsqu'on donne à a; un accrois-

II. — A^PPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l45

sèment \x > o, le champ d'intégration est augmenté d'une bande- de lar- geur Ax, ayant pour hauteur MP (^^. 84) et la partie principale de la valeur de l'intégrale double étendue à celte bande est évidemment

•'(PM)

On a donc

formule que l'on pourrait aussi établir par un calcul élémentaire, en mettant en'évidence les limites variables dans l'intégrale double (Bg). On trouve de même

%-Ç f /(^•n)^^^-n-^ r /(?,7)?(.^,7;?>7)«^.

Pour que la fonction z{x,y), représentée par la formule (39) soit une inté- grale de l'équation (18), quelle que soit la fonction /( a:, j^), il faut et il suffit que, après la substitution, les termes sous les différents signes d'intégration

soient identiques, ainsi que les termes en dehors de tout signe / , c'est-à-dire qu'on ait

^['^{■r,y\^,-r^)] = '''a{x,y)^{x,y;x, -r^), j;^[?(^,r; hy)] = '^b{x,y)o{x,y, ^, y),

.Ces conditions sont identiques à celles qui déterminent la fonction

G{x,y;^,r^; À).

En effet, la première exprime que ^{x, y: ;, Ti)est une intégrale de l'équa- tion homogène (3o). Quant aux trois dernières, on en déduit qu'on a

Il suffit de'remplacer x par Ç dans la première de ces relations et j par i] dans la seconde pour retrouver les conditions (Sa).

oouRSAT. — III. 10

I4G CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

497.' Équation adjointe. — Riemann a résolu le même problème par une méthode touLe différente, qui repose sur la théorie de l'équatiou adjointe ('). Etant donnée une équation linéaire et homogène du second ordre,

(4o) :J(,)^x!!l4^y,Jl^^ct^^l^^JL^E'^^F., ôx^- àx ày ày^ â.r ày '

si l'on multiplie chaque. terme par une même fonction u{x, y) et qu'on intégre par parties autant de fois que possible, on obtient une suite d'identités

'"'■ôiôj - Ty V''ô~x)~ .Vx V'~^\ ^ "dr;fr'

>)y- t)y L >h t)y J /jlr-

Ox ,)x^ âx

à y >)y ây

Vuz = z{Y{h).

et l'on en déduit la relation suivante, qui a lieu pour toutes les formes possibles des fonctions u et 5,

ôx ày On a pose'"

>P{^u^ fP(Hu\ <P{Cii) à(Du) â(Eu) ^

^ ' àx- àxày ày- àx ày

(i<)

„ , àz à{.Ku) ^>(Hm)

H = A II , r -— - — - — z ; <r- E» // ;.

àx i)x ny

\ \\ — V,u ~ 1- Q.u V- — :; -^^ -t- K" :^-

l r/y à y à y

L'équulion i^{u^ z= o est léqua lion rtr(/'omf<^ de l'équation ( 'jo

l'j G<)ttiiigi;n Abhandlungen, l, VllI, i86o; Œuvres, p. i45. Kotr aussi le Chapitre IV du Tome II de la Théorie des surfaces de G. Darboux (voir £'jre/- cice 5). La méthode que Riemann n'avait appliquée qu'à une équation parti- culière a été étendue par G. Darboux à l'équation générale de la forme (i^ii.

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l47

On pourrait vérifier par un calcul direct qu'il y a réciprocité entre ces deux équations, ce qui est aussi une conséquence de l'iden- tité (40 {cf. II, n" 404). Remarquons que, dans cette identité, on peut remplacer H par H +- . j et K par K. — — , ô(x, y) étant une fonction arbitraire ( ').

L'intégrale double / r[u&'{z) — z(^{u)]dx dy,é\cndue à un domaine où les fonctions z et a sont continues, ainsi que leurs dérivées jusqu'au second ordre, peut, d'après l'identité (4i ), être remplacée par l'intégrale curviligne

(44) f Udv-Krfr,

prise dans le sens direct le long du contour F qui limite ce domaine. En particulier, si ^ et a sont respectivement des intégrales de l'équation (4o) et de son adjointe, régulières dans un domaine quelconque, l'intégrale curviligne ( H), prise le long du contour de ce domaine, est toujours nulle.

498. Méthode de Riemann. — Appliquons ce résultat à une équation linéaire du type hyperbolique, que nous écrirons main-

(') On peut étendre la définition de l'équation adjointe à une équation linéaire à un nombre de variables. Pour l'équation à n variables,

:' (Z) - 7 «a T - V -H V 6, 4— -I- '■ S - O,

l'équation adjointe est

i^(ii) ---- > — • — > -h eu -- o

et l'on a l'identité

u^(z>—zi^(u) , _— 1 ^ _ ..._ ^,

âx^ i)x.. i)x^^

M|, M,, .... M^ étant des fonctions biiinéaires par rapport à z, m et à leurs déri- vées du premier ordre, dont on aurait l'expression au moyen des identités

i)x/)Xi ôx^Ox,. dXjX àx^J <>-t» \ <iJ-

L- .^ + V '.^ -. '--^ . dx^ âx. ôx^

On verra des e.xemples dans la suite (n°' 501, 528, 534).

l48 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

tenant

on a, dans ce cas particulier,

!^ , . â^u da ,du ( àa âb \

0.r. y dj? ày \ àx dy J

'" ' i du d

f H =: aUZ Z-rr-1 K = ÔM Z -(- M -r— •

( ây àx

Soient z{x^ y) l'intégrale de l'équation (45) (') satisfaisant aux conditions de Gauchy le long d'un arc AB {Ji§^- 84") et u{x^ y) une intégrale quelconque de l'équation adjointe régulière dans le

rectangle ACBD. En remplaçant sous le signe / les lettres x ely

par les lettres ^, yj, nous avons, d'après la proposition générale,

(47) f Hdri-Kd^-^ f Hd-n- f Kd^ = o,

*^(QP) -^(PM) «^{MQI

la même substitution ajant été faite dans H et K; le point M est un point du rectangle ACBD, de coordonnées a?, y. Par hypothèse, on connaît la valeur de l'intégrale cherchée z(^, rj) et de ses déri- vées partielles le long de l'àrc AB, m(^, yj) est une solution déter- minée de l'équation adjointe. Par conséquent, la première inté- grale curviligne, prise le long de l'arc QP, est une fonction connue des coordonées x et j^ du point M. Il semble au contraire que les intégrales curvilignes le long de PM et le long de MQ ne peuvent être calculées sans connaître les valeurs de z le long de ces droites. L'artifice de Riemann consiste précisément à choisir la fonction u de façon à éliminer ces intégrales. Nous avons

ce qu'une intégration par parties immédiate permet d'écrire

f Cd^^{uz)l^ f z(bu-^)a;,

(') On suppose, pour simplifier, f{x, y) = o. Si / n'était pas nul, ii y aurait un terme de plus, facile à rétablir dans l'expression de l'intégrale.

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. 149

el la formule générale (47) nous donne (48) iuz),i=iuz)Q-hJ' z(^bu-^^d^,

— f z(au—~-)dr^-^-f Hdri-Kd^.

Pour faire disparaître les intégrales où figurent les valeurs incon- nues de z le long de PM et de MQ, il suffira de prendre pour m(^, n) une intégrale de l'équation adjointe (où x el^ ont été remplacées par ^, tq), satisfaisant aux conditions suivantes

^ "(?» j) = *(?->•) "(?. r), -jz u{x, T,) = a{x, Yi) u{x, ■t\).

Or a(^, 1) et u{x^ ri) représentent respectivement les fonctions de ^ et de yj auxquelles se réduit cette intégrale le long de MQ et de MP. En désignant par m„ la valeur de cette intégrale lorsque le point (^, Yj) est venu en M, il faut et il suffît qu'on ait

r b[l,Y)dl 1 ' n(.r;, i») rfy

"(?! j) = "M^ * > tf{x, r^) ~ Uyie r ,

pour que les intégrales le long de MP et de MQ dfeparaissent dans la formule (48). En supposant w« = 1 , " nous désignerons par u (^, y; ^, rj) la fonction des deux couples de variables (a;, ^7), (^, n) ainsi déterminée. Considérée comme fonction des variables (£, rj), c'est une solution de l'équation adjointe

à-u au au r _ àa db 1 , .

pour 'iz=x^ elle se réduit à e^y ' et, pour r/=:j-, elle se

I b[l,y]al

réduit à e''x ; elle est donc égale à un, pour H, =^ .r, r; =y.

Si nous supposons qu'on ait déterminé cette intégrale de l'équa- tion adjointe, la formule (48) nous donne la valeur au point (2?, j>') fie l'intégrale qui satisfait aux conditions de Cauchy le long de l'arc AB^

>)z ,„ Ou

(4'.)) ^M= (/'5)q-4- / U z{h r/? — a dr^) -h f u'.-rp d^ -h z'^ dr,

13ans cette formule ne figurent que les valeurs de 5 et de -rr le

l5o CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

long de AB. En tenant compte de l'identité

on peut remplacer la formule (49) par l'une ou l'autre des for- mules

(49) ^M=(«z)p-^y uz{ad-ri — bd^)-i-j u^dr^-h z^d^, 1 r /f>2 , Oz\ ^ r (au j^ au , \

dont la dernière est la plus symétrique, mais dépend des valeurs de z et de ses deux dérivées le long de AB.

Dans toutes ces formules, le point {x, y) est considéré comme fixe, et les variables d'intégration sont ^, yj, de sorte que les

variables a; et j^ ne figurent sous le signe / que dans u et ses déri- vées. On peut répéter sur ces formules toutes les remarques qui ont été faites à propos de l'équation 5 = 0 (n" AS9); la fonction de Piiemann u{x^ y, ^, rj) se réduit à l'unité dans ce cas particulier. (les formules s'appliquent encore lorsque l'arc AB vient coïn- cider avec la ligne brisée ADB; les points P et Q viennent alors en P' et Q' et la formule (49')' par exemple, donne

zm = (uz)\--~I ( z ^~ — buz]d^ -h I u { -f -\- a z) dr\,

, .... .Ou

ce qu on peut encore écrire, en intégrant par partie ^ j--

,50) ..= ,.z).,-/^^«(|^6.)./?^^^«(|^a.)^,.

Pour calculer c„, il suffit, conformément à la théorie générale, de connaître les valeurs de z le long de la ligne brisée ADB. En

effet, z{x, y) étant une fonction connue de x le long de AD, ~ est

connue le long de AD, et, pour la même raison, ^- est une fonc- tion connue de y le long de DB.

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l5l

Soient a;,, )',, les coordonnées du point D; désignons par

z(x,y: Xi, ri)

l'intégrale de l'équation ^(^) == o qui satisfait aux conditions sur- vantes

z(^x,yi;xi,yi)^e ^' , z{Xi,y\Xi.yi) = r ■'«

Celte intégrale est égale à un au point D et, quand on remplace j", y par ^, yj, elle satisfait aux deux relations

âz àz

b Z -\ ;;r = o, az H — == O

àz ày\

le long de AD et de BD respectivement. Si l'on a pris pour z celte intégrale, la formule (5o) se réduit à Zyi ;= /«„. c'est-à-dire qu'on a

(5i) z{x,y\ Xi,yx) — ii{x,y\ d?i, Vi).

Remplaçons x^^y^^ par q, yj respectivement, nous voyons que la fonction u[x, y, c,i t))-, considérée comme fonctiondear, v, est une intégrale de l'équation proposée qui satisfait à des conditions tout à fait pareilles à celles qui la déterminent quand on la considère comme fonction de (^, rj), puisque a cl 6 doivent être remplacés par — a et — b quand on passe d'une équation à son adjointe. La connaissance de cette fonction u(x, y; ^, y)) permettra donc aussi de résoudre le problèuie de Gauchj pourl'équation adjointe, et l'on peut dire que V intégration d^une équation linéaire et ^intégration de Véqualion adjointe sont deux problèmes équi- valents.

Les dernières conditions qui déterminent u{x, y\\,r^) sont identiques n celles qui déterminent la fonction G{x, y; $, t)) quand on suppose X = — i. Il est facile, d'après cela, de vérifier l'identité des deux solutions. La for- mule (38) s'écrit en effet, en supposant/(ic, >) nul, et remplaçante par — n,

(38)' zi^x,y) = li.i:y)-^ f f 5[;(^, -ri)] u( .r, v : ?, rj) r/,= rfr). •^ *^\PMQ1

Cela étant, il suffit d'appliquer à celte intégrale double la formule géné- rale (44) qui la ramène à une intégrale curviligne, et les transformations qui viennent d'être effectuées conduisent précisément à la solution de Rieiuann.

Les valeurs de ^, ~ > -r^ j le long de l'arc A B, sont en effet égales par hypo- thèse aux valeurs de l'intégrale cherchée et de ses dérivées - - ? ^:- le ionir " àx ày

l52 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

du mênjc arc. On peut remarquer seulement que la solution du problème de (lauchy donnée par la formule (38) sous forme d'intégrale double ne suppose pas l'existence de l'équation adjointe, c'est-à-dire Texistence des dérivées àa r)b r)x ' <)y '

499 Équations à coefâcients constants. — Toute équation linéaire du t\ ne iiyperbolique à coefficients constants admet pour caractéristiques deux familles de droites (n"482); si on la rapporte à ses caractéristiques, les coeffi- cients a, 6, c qui figurent dans la forme réduire (45) peuvent aussi être sup- posés constants (I, no63). Si l'on pose ensuite z = ue—^'^—'^x, on la ramène à une équation ne renfermant p^s de dérivées du premier ordre, et où le coeffi- cient de u est encore constant. Toute équation de l'espèce considérée peut donc être ramenée à la forme simple

c étant un coefficient constant. Si c n'est pas nul, le changement de x en kx permet encore de donner à ce coefficient une valeur arbitraire, ± i par exemple. L'équation (r32) est, après l'équation élémentaires = o, un des types les plus simples auxquels s'applique la métliode de Riemann. On sait en effet trouver la fonction u{x, y, ç, r^) pour cette équation, car il suffit de trouver une intégrale se réduisant à l'unité pour a: = $, quel que soit/, et pour y = 71, quel que soit x. Posons p =(.r — ^ j ( >- — r,) et cherchons une inté- grale particulière de (52) ne dépendant que de i^, z = o{v); nous sommes conduits à l'équation du second ordre

^y"(^-;^ r'(^-)^cî(t^) = o,

qui est une des formes de l'équation de Bessel (II, n"414).

On a vu que cette équation admet pour intégrale une fonction entière de r se réduisant à un pour t- = o, et cette intégrale a pour expression J( — ci>) où J(^) est la série entière

t t^ <«

^ 1 (.1.2)- ( n. I-

On peut donc toujours résoudre le problème de Cauchy pour une équation du type hyperbolique à coefficients constants.

Considérons'par exemple l'équation des télégraphistes (i) qui s'écrit, avec un choix convenable d'unités,

.... d'\ ')^\ dW (5^j T— r r^ 2-r-=o;

(') La méthode exposée ici est due à M. E. Picard (Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 22, 1894. p. 2-8).

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN.

l53

V désigne le potentiel au temps t eu un point d'abscisse x sur un fil recti- ligne indéfini, dirigé suivant Ox, qui transmet une perturbation électrique. Les caractéristiques sont ici les deux familles de droites x ± t — C\ tn. pre-

nant les deux nouvelles variables x' = r-

temps V = ze—i, l'équation (53) devient

'7

V2

■et posant en même

(54)

dx' oy

On suppose qu'une perturbation électrique initiale a été produite sur le fil entre les deux points x = oel ^- = a(a > o), et l'on demande la valeur de V au temps t au point d'abscisse x. Analyliquemeni, le problème à résoudre

est le suivant : On connaît les valeurs au temps ^ = o de ^ et de

dt

^=/(^)>

= ^(^).

ces fonctions étant nulles en dehors de l'intervalle (o, a) ; en déduire z{x,t) quels que soient x tl t{ty> o).

C'est précisément le problème de Cauchy, et la courbe qui porte les données

	Fig. 9'.
3''	M	/x.
		/	"/^
\		/
\^	/P
/'	\		JZ'

est la droite / = o dans le système d'axes (Oa:, 00) et la droite^' = :;:' dans

ôz le système d'axes ( Ox\ Oy'). Les valeurs de z et de ses dérivées partielles -—, i

ôz — le long de cette droite résultent des données.

Soit M un point de coordonnées (.r, t'), t étant positif, dans le système

l54 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINéAIRES DU TYPE HYPERBOUQUE.

(Ox, Ot). La valeur de l'intégrale cherchée au point M est donnée par la for- mule générale (49)' qui devient ici

(az)p-(- (uz)q

(55)

U/'(l^-l^)-K^''-t4

la fonction u de Riemann étant égale à J ( — ) » où c ={x' — Ç) {y' — tj);

nous la désignerons par ^(v). Soit N un point du segment PQ de coordon- nées (X, o) dans le système (^Ox, Ot) ; ses coordonées dans le système (Ox', Oy')

sont Ç = ri = — , et À varie de x — t à x -h tle long du segment PQ. Pour

y/a

, , . / , - N ■ 1 . ■ J . àu àu âz âz

appliquer la formule (5o), u est nécessaire de connaître ") 2, -r- ? ^ ? -r;; ? -r-

en tout point N de PO. On a d'abord

X \ / . X \ / X -^ t — \ \ / X — f — \\ _ {x — xy

7' '

_4) = (£il=i)(i^i-i)

v2/ V v2 y \ V2 y

" = 4 — ^ — J'

àu .. ^^^ ,. r(x — xy~tn /x — x-ht

On voit de même, en tenant compte des conditions initiales, qu'en tout point N de PQ, on a

Aux points P, Q, on a M = I, z se réduit respectivement à f{x — <) et à f{x -+- 1), et la formule (55) devient

(56) ,^ J\x-t)+f(x^t)

Les variables x' et y' ne figurent pas dans la formule définitive (56), qui exprime directement la solution au mo\ en des données. Pour discuter cette solution, rappelons que les fonctions /(j:) et g{x) sont nulles en dehors de riniervallel'o, a). Supposons ic'> a; tant qu'on aura ^<.r — a,x — ttlx ->i- t

H. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l55

seront supérieurs à a, elle second membre delà formule (56) sera nul. La per- turbation électrique n'atteint donc le point d'abscisse x qu'au bout du temps X — a. Si t est supérieur à .r — a et inférieur à x-,x — t est inférieur à a et positif, X -h t est toujours supérieur à a, f{x ■+■ t) est nul et l'on peut rem- placer la limite supérieure x -^- t At l'intégrale par a. La formule Ciô) peut s'écrire

(56)' ; = Ji-^-O ^l r p(^^ ^^ X) rf). (.r - a < t < X),

en désignant pour abréger par F(.r, /, X) la fonction sous le signe / • Enfin,

si t est >> j\,x — t est négatif, x -^ t supérieur à a, f{x ■+- t) et /(a; — /) sont nuls; on peut prendre o et a pour limites de l'intégrale, et la formule qui donne z devient

(56)' z='^j"¥{x,t.\)crK

(f - ^)-

On voit donc que la valeur de z, pour une valeur donnée de x > a, ne cesse d'être nulle que lorsque < atteint la valeur a: — a, mais à partir de cette valeur de t, elle ne redevient pas nulle. Il y a bien pour la perturbation un front d'onde à l'avant qui s'avance avec une vitesse égale à un, mais il n'y a pas de front arrière. On peut dire encore qu'entre les temps f = x — ael t = x,i\ passe au point x une onde représentée par la formule (56)' ; mais cette onde laisse derrière elle une sorte de résidu, représenté par (56)'. Lorsque t croît indéfiniment, ce résidu tend vers une limite indépendante de x. La discussion serait analogue pour x négatif. Observons que le potentiel V est égal à ze—t, et la présence du facteur exponentiel produit un amortissement très rapide.

dOO. Autres problèmes . — Le problème de Cauchy n'est pas le seul qu'on puisse avoir à résoudre pour les équations linéaires du type hyperbolique. On peut aussi avoir à résoudre des problèmes mixtes, comme dans le cas de l'équation 5 = 0. La méthode des approximations successives s'applique encore à ces problèmes. Supposons, par exemple, qu'on veuille obtenir une intégrale de l'équation

s = À (a/) -^ bq -h cz) -t-/(.^, J> )

prenant des valeurs données le long de la caractéristique ^ = o et le long de l'arc de courbe OND {Jig. 85) qui n'est rencontré qu'en un point par une parallèle à O x. En désignant par z„ (a;, _/) l'intégrale de l'équation s —f(x,r) qui satisfait à ces conditions (n" 490), on définira de proche en proche les fonc- tions Zn par la relation

Zn{a:,y)= f ( [«(ç, T,)^^^ft(?,7i)^f£pi-f-c(Ç. ■n)z,,^Ad^d-r^,

-J «'(MNQP) V 'h <^ J

l56 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

l'intégrale étant étendue au rectangle MNQP; par des articles analogues à ceux du n» 494, on démontre que la série

est uniformément convergente, ainsi que les deux séries formées par les dérivées partielles du premierordre. On peut également employer la méthode des approximations successives pour déterminer une intégrale prenant des valeurs données le long de deux arcs de courbe situés dans le même angle des caractéristiques. M. Hadamard a montré aussi qu'on pouvait étendre à ces problèmes la méthode de Riemann; la fonction m (a:, jj'; ^, tj) doit être rem- placée par une solution de l'équation adjointe, qui présente des lignes de discontinuité (i).

La méthode des approximations successives permet aussi de traiter le» mêmes problèmes pour une équation de la forme plus générale

(57) s = Y{x,y,z,p,q).

Nous nous bornerons au plus simple de ces problèmes, celui qui consiste à déterminer une intégrale, connaissant les valeurs qu'elle prend le long de deux caractéristiques de systèmes différents. Pour simplifier un peu l'expo- sition, nous supposerons qu'on cherche une intégrale de (57) s'annulant pour X = o, quel que soit y, et pour ^ = o, quel que soit a: ; il est clair que des transformations simples permettent de ramener le cas général à ce ca& particulier. Sur la fonction ¥{x, y, z,p, ^) nous ferons les hypothèses sui- vantes ; cette fonction est continue dans le domaine D défini par les inégalités

o^x^oL, o^y^^, z\^Y{, IpI^P, kl^Q.

a, p, H, P, Q étant des nombres positifs. De plus, dans ce domaine, elle satisfait à la condition de Lipschitz relativement à z^p, q, c'est-à-dire qu'étant données des valeurs de x,y, z, p,p', q, q' , comprises dans les intervalles précédents, on a

(58) I ¥{x,y, z',p\ q) — ¥i^x,y, z,p, q) \

<Ki \z'—z\-^Ki\p'-p\^Ki\q'-q\,

Kl, K2, K3 étant des nombres positifs. Soient M une limite supérieure de | F ! dans ce domaine D, et R le rectangle limité par les droites x = 0, x = cl, y =. o, y =^ '^. Nous prendrons pour première valeur approchée de l'inté-

(>) E. Picard, Note I du Tome IV des Leçons sur la théorie des sur/aces de M. Darboux, p. 353 et suiv. — E. Golrsat, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ 2' série, t. VI, 1904, p. 117. — Bulletin de la Société mathéma- tique (Séance du 24 mai 191 1). — J. Hadamard, Bulletin de la Société mathé- matique, t. XXXI, p. 208 et t. XXXII, p. 242.

II. — APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE RIEMANN. l57

grale cherchée Zoi^} 7) = o, puis nous poserons d'une façon générale

znix, y) =fjd^^f' ^ [?.'^. ^-iC?' ^)' ^' ^] '^■^-

Soient o el o' deux, nombres positifs au plus égaux, à a et à [3 respective- ment et satisfaisant, en outre, aux conditions M p'< H, M p'< P, Mp < Q. On voit aisément, de proche en proche, que toutes les fonctions Zn(^x, y) sont régulières dans le rectangle R' de dimensions p et p' analogue à R, et qu'on a dans ce rectangle | 2„ | < H, | />„ | < P, | gf» | < Q. Pour prouver <\\iez{x,y) tend vers une limite lorsque n croît indéfinimerit, remarquons qu'on a, d'après la condition (58),

Zn{x,y)-Zn-,{x,y)<J cP^J <K,|z„_i(Ç,7i)-z„_2(Ç,ri)j

-t- Kî !/?„_,— />„_2|^-kn I qn-\ — qn.-ïW dr\ , Pn{x,y)—pn-i{x,y)\<J |Ki!z„_i(Ç,7i) — z„_2(Ç,7i)i-^...jrf-ii,

Posons, d'une manière générale,

un{x, y) =f\f' [Ki «.-i(Ç, ^) ^ K,^ ^ f^^'^] «^•^'

et supposons qu'on ait pris pour Mi(a;, /) une fonction régulière dans R' et

telle qu'on ait, en un point quelconque de ce domaine ui{x, y)>\z\\,

du\ I dzi I du\ I dz\ 1 . , , . ,

-j— > -r— ) -r— > -T— ; on voit, de proche en proche, qu on aura, pour

àx \ dx \ dy \ dy y "^ ^

toute valeur de n,

\zn{x,y) — Zn-x{x,y) I < Un{x,y), \Pn{x,y) -pn-,{x,y) I < -^, 1 qn- qn-i ! < -^•

Or, on a démontré plus haut (n» 494) que les séries / ,'>^ n/ ,-j^ t ^,-jt sont uniformément convergentes; il en est donc de même de la série

Zi{x, y) -^ [Zi{x, y) — Zi(ar, j)] -(-... + [zn{x, y) — Zn-x{x, y)]^ ..■

el de celles qu'on en déduit en difl'érentiant terme à terme par rapport à x ou à y. Le raisonnement s'achève comme au n» 494; lorsque n croît indéfini- ment, Zn tend vers une fonction Z (r, jk) qui satisfait à toutes les conditions du problème. De plus, c'est la seule intégrale de l'équation (57) satisfaisant à ces conditions.

Le domaine dans lequel l'existence de l'intégrale est assurée est, en générai,

l58 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

moins étendu que pour une équation linéaire. li est un cas intéressant où ce

domaine est le même ; c'est celui où la fonction F(.r, •» . 3,/), q) restecontinue

pour tout système de valeurs réelles di',3,/>, y, lorsque le point (.r,jK) reste

A 1 j • D A ^ A- • ■ f^^ àF d¥

dans le domaine n, et admet des dérivées -r- 1 -r- •> -7-5 restant moindres en

az dp âq

valeur absolue qu'un nombre fixe, dans les mêmes conditions. Nousn'a\nns

pas alors à tenir compte des conditions qui expriment que z„, p,,, qn restent

dans le domaine D et nous pouvons prendre p = a, 0 = fJ. La série fournie

par les approximations successives converge dans le rectan{;le R. Te^serait

le cas de l'équation

.V = a/> -h bq -h c sinz,

où a, b, c sont des fonctions continues de j-, y dans K : Téquation obtenue en posant

satisfait évidemment aux conditions voulues, pourvu que if {x) et 'Y (r) soient continues dans les intervalles (o, a) et(o, S) respectivement.

III. — EQUATIONS A PLUS DE DEUX VARIAHLES.

11 était naturel de chercher à étendre la méthode si simple de Riemann aux équations du type hyperbolique à plus de deux variables. KirchholT, Volterra, Tedone, Coulon, d'Adhéniar avaient traité un certain nombre d'exemples particuliers. M. Hada- mard a obtenu le premier une solution générale, en montrant qu'il suffisait de connaître une intégrale de l'équation adjointe, pré- sentant en un point arbitraire une singularité d'une nature déter- minée, pour pouvoir en déduire par des quadratures la solution du problème de Gauchy; comme dans la méthode de Riemann, cette intégrale particulière est indépendante de la surface qui porte les données. Nous renverrons aux travaux ( ' ) du savant géomèlre pour l'étude de cette difficile question, et nous nous bornerons à indiquer la méthode élégante de M. Volterra i'^) pour l'équaliou des ondes cylindriques.

('; Annales de V Ecole Normale supérieure^ iyo4 et igoS: Actu mathematictt, t. XXXI, 1908.

(') Acta Mathematico. t. XMH, 1894- Voir aussi le Mémoire de Kikchuoff, Sitzungsberichte der Berlîner Akademie. 1^82.

III. — ÉQUATIONS A PLUS DE DEUX VARIABLES. 139

501. Formule fondamentale. — Soit U(a7. > , z) une fonction continue admettant des dérivées partielles continues. Il est souvent commode d'introduire la dérivée de U prise suivant une direction déterminée. Considérons x, j', z comme les coordonnées rectan- gulaires d'un point de l'espace, et soit L une direction issue d'un point M. Sur cette direction prenons uu point M' à une distance A de M; on appelle dérivée de U(jr, »', z) suivant la direction L la

1- • . ii(M') — l'On, , • ,,, .

limite du rapport — ^^ — i-r-rp -lorsque le point M se rapproche

indéfiniment du point M en restant sur la demi-droilc considérée. On écrit, pour abréger, U(M) au lieu de V(x, y, s), M étant le point de coordonnées (a?, y, z). Si a. ,3, y sont les angles de la direc- tion I. avec les directions positives des axes, on a

l ( M ■ ) — U ( M I _ l ( ,i- -I- A cos a, y -+- h cos [i, z -^ h cos y ) — U ( r, y , z ) _

a limite de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée cherchée -rp? a donc

pour expression, d'après la formule qui donne la dérivée d'une fonction composée.

</U ')U àV , r){j

(5<.»i ^

Soit MV le vecteur ayant son origine en M, et dont les compo-

santés sont —, -, — ; la relation (og) exprime que -jr- esl

égale à la valeur algébrique de la projection du vecteur MV sur la direction L. Il en résulte aussitôt que les dérivées suivant deux directions opposées ne difïérentque par le signe. Rappelons encore que le vecteur MV est dirigé suivaul la normale à la surface de niveau U{x, y, ;;) = G qui passe au point M et du côté où la fonc- tion U est croissante, et que la longueur de ce vecteur est en raison inverse de la portion de normale comprise entre deux surfaces de niveau infiniment voisines. Toutes ces définitions s'appliquent évidemment à une fonction de deux variables, en remplaçant l'espace parle plan. Cola posé, soit

_ fP II 0- Il ()- u ^"'~âûc^'^âY^ ~7z^'

l6o CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

On a l'identité {cf. n° 497, note).

d l du dv\ ô I du ô\- \

quelles que soient les fonctions u et v. Si ces fonctions sont con- tinues, ainsi que leurs dérivées partielles jusqu'au second ordre dans un domaine borné D, limité par une surface 2, on déduit de l'identité précédente la relation

(60) / f f [vF{u) — uF{i>)]dxdydz

r r [ Ou àv\,, (du ài'\ , ,

= / / 1^3 " 3- ) «V «^ -i- t" 3 u ^r- ) dz du- — . . . .

J J(S)V àx àx) -^ \ ây àyj

l'intégrale de surface étant étendue au côté extérieur de 1. Soient a, (3, Y les angles que fait avec les axes la direction extérieure de la normale à 2; l'intégrale de surface est identique à

fi

n

au du r, au \ ,

, ,3- cos a -4- 3- cos B — -3- cos Y ) rf<7,

'(V) \dx dy '^ dz '/

(dv dv o àv \ ,

u I -^ cos an — t- cos p r- ces y di.

(S) \dx dy ^ dz 7

Or cos a, cosl3, — cosy sont les cosinus directeurs de la direction symétrique de la normale extérieure par rapport au plan parallèle au plan i? = o mené par le pied de la normale; suivant une expres- sion due à M. d'Adhémar, nous appellerons cette droite la conor- male à la surface 1 au. point considéré. La direction positive sur la conormale correspond à la direction extérieure sur la normale. Les coefiicienls de v et de m, dans les intégrales de surfaces précé- dentes, représentent respectivement les dérivées des fonctions u et c. prises suivant la direction positive de la conormale. Nous

I , • . du dv . . \> . ^^

représenterons ces dérivées par -j^, -p^i ce qui permet d écrire la

formule (60) sous la forme abrégée

(61) fff[.Y{u)-u¥{.)]dxdydz=Jf^^ (^,^-u^y..

ni. — ÉQUATIONS A PLUS DE DEUX VARIABLES. l6l

502. Méthode de Volterra. — Considérons l'équalion

. „ . r^ ^ à-u ()- u à- Il

^ ' àx^- f)Y- àz^

le second membre étant une fonction connue de {x^y^z)\ il suffi- rait de supposer Z = o et de remplacer z par at pour retrouver l'équation des ondes cylindriques (n° 485). Celte équation appar- tient au type hyperbolique, et les surfaces caractéristiques sont les surfaces intégrales de l'équation aux dérivées partielles

âxV (àzy-

1—1 = 0

qui exprime que le plan tangent fait un angle de 45" avec le plan ^ = 0. L3 conormale en chaque point est donc située dans le plan tangent, et cette propriété, il est aisé de le voir, n'appartient qu'aux surfaces caractéristiques. Le lieu des courbes caractéris- ques-de l'équation (63), issues d'un point quelconque P de l'espace, est un cône de révolution de sommet P, dont l'axe est parallèle à Oz^ et dont l'angle au sommet est droit; c'est \e cône caractéris- tique.

Dans la méthode de M. Volterra, la fonction de Ritmann est remplacée par une intégrale de l'équation F(m) == o, qui est nulle tout le long du cône caractéristique du sommet {x^^r^., c,). Pour obtenir une telle intégrale, cherchons d'abord une intégrale ne dépendant que de -» où r == \/x'^ -\- y-. Si l'on fait le changement de variables a? = rcoscp, jk = 'sino), l'équation F(w) = o devient (I, p. i48)

&■ u I &- K I du d- u _ dr- r- d9^ r dr dz- '

en cherchant une intégrale ne dépendant que de tr = -» on est

conduit à l'équation dififérentielle

, , ^d^u du

dw- dw

dont l'intégration est facile. On obtient ainsi l'intégrale particu- lière log( ^^ j, qui est nulle en tout point du cône carac- téristique ayant l'origine pour sommet, pourvu qu'on prenne un

COURSAT. — III. U

l62 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

signe convenable devante. Comme l'équation F( a) = o ne change pas par un déplacement d'origine arbitraire, on voit que la fonction

(M)

V = loc

— ^ -+- \ (^1

{x^ — xy-—( 7i — r )-

V {j:i—xy--h{r

y)' '

est une intégrale particulière de l'équation F{u) = o, qui est nulle en tous les points de la nappe inférieure du cône caractéristique ayant pour sommet le point P, de coordonnées (Xi, y^, z,). Cette fonction (^ présente une discontinuité tout le long de l'axe de ce cône caractéristique.

Supposons que l'on connaisse les valeurs d'une intégrale u de l'équation (62) et de ses dérivées partielles du premier ordre le long d'une surface 2, et qu'on veuille calculer la valeur de cette int(''grale en un point P( ^ti. r,, 5,) extérieur à 2. Ce point P étant supposé au-dessus de 2, comme l'indique la figure 92, consi-

dcrons le domaine D limité par la nappe inférieure du cône carac- téristique A de sommet P, et par la portion 2,' de 2 inférieure à ce cône; en admettant qu'il existe une intégrale de l'équa- tion (62 ) satisfaisant aux conditions de Cauchy et régulière dans D, nous allons montrer comment on peut calculer la valeur de cette intégrale au point P. On ne peut appliquer immédiatement la for- mule générale (61) aux deux fonctions u el i^ dans le domaine D,

III. — ÉQUATIONS A PLUS DE DEUX VARIABLES. l63

parce que la fonction p est discontinue le long de l'axe du cône, €t aussi parce que les dérivées de p sont discontinues sur le cône A. Pour éviter ces difficultés, on isole d'abord la ligne singulière au moyen d'un cylindre de révolution C de rayon très petit yj ayant même axe que le cône, et l'on remplace le cône A par un cône de révolution A' de même sommet et de même axe dont le demi-angle

au sommet o est un peu inférieur à ^» © = -^ — e, et l'on considère

* 4 ' 4

le domaine D', formé par la portion du domaine D qui est exté- rieure au cylindre C et intérieure à la nappe inférieure du cône A'. Les deux fonctions u et t- étant régulières dans ce domaine D', la formule (6i) est applicable. La surface qui limite D' se compose de trois portions distinctes, une portion 2" de 2', une surface cylindrique 2, et une portion de surface conique provenant du cône A'. La formule (6i) devient, en remplaçant F (m) par Z et F(p) par zéro,

//X;'^"^-"^'^ /X:,(^'^-"^)^'

"/X:,(^^-"^)^'-"//v)^^""^)^'

En un point de la surface du cône A', à urte distance l du sommet, on a, comme le montre un calcul facile,

i^ = log(coto + s/cot'=-0. ^=_ • ££0529.

lorsque l'angle o tend vers^, r, -jr^ et par suite l'intégrale double

le long de A', tendent vers zéro (' ). L'intégrale double étendue à la surface 1^ du cylindre ne peut être calculée, puisqu'on ne

connaît pas les valeurs de u et de -^, sur cette surface. Mais on

peut trouver la limite de cette intégrale lorsque le rayon n 4^ cylindre tend vers zéro. En effet, nous pouvons prendre pour élé- ment d'aire sur ce cylindre da ^ -n dw dz , l'angle oj varinnt de o

(') La fonction f étant nulle le long de A, la dérivée dé v sui\ant une direc- tion quelconque du plan tangent doit être nulle aussi. Or, la conormale est pré- cisément dans le plan tangent.

lÇ4 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE.

à 27r. En un point de la surface, p a pour expression

V = log(zi — s-(- v/(^i — -s)^— -^"O — 'ogfi;

la direction de la conormale se confond avec la direction de la nor- male intérieure au cylindre, et l'on a

di> dv I 7)

rfN dr

\/(z — ^1 )' — V [ ^1 — -Z -t- \/(-Sl — -3 )' — V

Le produit yjc a pour limite zéro, tandis que fi-rr^ a pour limite H- I. On en déduit aisément que la limite de l'intégrale double étendue à la surface du cylindre est égale à

(- / u{x\, y^i, z) dz,

So étant la coordonnée du point où l'axe du cône rencontre la surface 1. D'ailleurs, lorsque £ et tj tendent vers zéro, les inté- grales étendues à D' et à i" respectivement ont pour limites les intégrales étendues à D' et à 2". On a donc à la limite

('=> ffi:'-"^'^''^-fU

du dv \ ,

-rr, U -rrr I d<7

rfN d^ /

/""'

3-1, j-, z)dz.

En prenant les dérivées des deux membres de l'égalité précé- dente par rapport à z^ nous trouvons enfin

(66) ?/(j-,, )-,. s,)= ^\ f f f v'Ldxdvdz

■IIZ ÔZx yj J JiD)

La fonction auxilliaire v est connue; u ei -7^ sont supposé(3s connues sur 2 et par conséquent le second membre de celte for- mule est une fonction déterminée des coordonnées {.x,, ^■^, ^,) du sommet P du cône A. La formule (66) fournit donc la solution du problème de Cauchy, en admettant que cette solution existe, ce qui n'est nullement évident a priori. Il est donc nécessaire de démontrer inversement que la fonction u(Xi, y^, z,) représentée

III. — ÉQUATIONS A PLUS DE DEUX VARIABLES. l65

par cette formule est une intégrale de l'équation (62), dont la valeur, ainsi que celles de ses dérivées premières, tendent vers les valeurs données lorsque le point P tend vers un point de 2. Cette question, que M. Volterra avait laissée de côté, a été étudiée par M. d'Adhémar, qui a établi la réciproque (').

Lorsque la surface 2 qui porte les données est une surface carac- téristique, la direction de la conormale en chaque poi*^' est située dans le plan tangent à la surface. Si l'on se donne la valeur de u en chaque point de 2, la valeur de -yj^ est connue par là même. Une intégrale est donc déterminée si l'on connaît sa valeur tout le long d'une surface caractéristique {cf. n° 494).

Exemple. — Supposons que la surface S soit le plan z = o, et en outre qu'on ait Z = o. Nous avons à trouver une intégrale de l'équation F (u) = o,

sachant quelle se réduit pour z = ok u»«.fonction/(a;,^), tandis que ^ se

réduit ào{x,y). Nous nous bornerons encore à calculer la valeur de cette inté- grale en un point P(ari, ji, zi ) dont la coordonnée Zi est positive. En chaque point du plan z = o, la direction de la conormale est parallèle à Oz, et l'on doit prendre par conséquent

sur la portion du plan des xy qui intervient dans le calcul de l'intégrale. D'autre part, on a, sur le plan des xy,

, I -1 ->- V -1 — '1 dv dv

= lo{

rfN dz ^z\ — r2

Le champ d'intégration S'est ici le cercle de rayon Zi ayant pour centre le point de coordonnées (ar, ,^,), dans le plan .3 = o. En supprimant les indices, on peut donc écrire la formule (66) :

67) u{x,y, z)= — ~ in àz

i//he^^^^)...p)^«]-^

où r2= (a— a:)2-f- (JB — ^)î, l'intégrale double étant étendue au cercle r de rayon 2 ayant le point (a?, y) pour centre dans le plan àtsxy. La pre-

(') Journal de Liouvillé, 5' série, t. X, p. i3i-io7; Bendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. XX, 1906. — Pour tout ce qui concerne les équations du type hyperbolique, voir l'Ouvrage de M. Hadamard, Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential équations ( Vale University Press, 1928).

l66 CHAPITRE XXVI. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE, njiére intégrale double devienl, en passant aux coordonnées polaires,

= I d^ I log I î )ç(x -(- r cosO, j- -)- rsin 6) rrfr.

L'intégrale du second membre est uniformément convergente (I, n" 100) si la fonction o est bornée, et l'on peut appliquer la formule de différentiation

habituelle, ce qui donne pour expression de — ^

(JU _ f'"",. r ' ç ( :c -H r cos e, j- -t- r sin 6 ) . _ f f ?(«, ^) (1% d^p

Il suffit de remplacer z par t pour retrouver la formule (20) du n" 48o, où l'on aurait a = i.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

1. Étudier le mouvement d'une corde vibrante, sachant que, pour t = o, elle a la forme d'un arc de parabole, symétrique par rapport à la perpendi- culaire au milieu du segment qui joint les extrémités, et que la vitesse initiale est nulle en chaque point.

2. ^Résoudre le problème de Cauchy pour l'équation -- — - = — ^ ~7~:r' ^^ appliquant la méthode générale du n" 489.

Si les conditions initiales sont z =f(x), — = 9 (:r), pour ^ = o, en posant

a; -4- af = ?, X — at = Ti, l'équation devient -— -:— = o, et les conditions ini- tiales deviennent les suivantes : le long de la droite ç = tj, on doit avoir

- /«), | = i/(»-i^T(0. 'I = !/■(»= ^ = (ï).

3. Résoudre le problème d'Hugoniot (note de la page 127) en supposant

Quelle devrait être la fonction f{t) pour que la surface S soit un cône?

Établir par la méthode des approximations successives, la formule de

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 167

Cauchy (II, n»401),

pour l'intégrale de l'équation linéaire F (y) =/{x), qui est nulle, ainsi que ses (n — 1) premières dérivées pour x = Xo (cf., n* 495).

B. On écrit l'équation sous la forme

et l'on remarque que l'intégrale cherchée satisfait à l'équation intégro-diffé- rentieile

ce qui permet de la développer suivant les puissances de X. On trouve ainsi pour expression de cette intégrale

y{^)= f f{t)dt[g^{x,t)^Xg,{x, t)-h...-i-A'"gm{a:, t)-h...],

f Qp f\ n — 1

oii go{x, t) = — — 1-5 et où les coefficients suivants s'obtiennent par la

formule de récurrence

g,n{x,t) =J' ^^7_']"r ^s[gm-.{s, t)]ds.

5. Équation de Riemann. — La fonction u{x,y, Ç, ■f\)de Riemann pour l'équation

d^z p^_ Oz g;î âz^ _

àx ày X — y dx x — y ày

a pour expression

"(^,r;;Ç.^)=(^-^)-P'(r:-0-PF[ii, p', I, ||^iEr^Jj(ç_^)P^r,

F défeignant la série hypergéométrique (II, n^ilS) (voir Darboux, Théorie des surfaces, t. II, p. 81 et suivantes). On pourra consulter aussi un Article de M. Jamet {Bulletindes Sciences mathématiques, 2'' série, t. XIX, 1895, p. 208)

CHAPITRE XXVII.

ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

I. — FûiXCTIONS HARMOMQURS. LNTÉGUALE DK POISSON.

o03. Propriétés générales (' ). — L'équation de Laplace joue le même rôle dans l'élude des équations linéaires du type elliptique que l'équation - — — = o dans la théorie des équations du type hyperbolique. Mais les problèmes qui se posent pour la nouvelle équation sont tout différents de ceux que nous avons étudiés jusqu'ici.

On dit qu'une fonction u{jc^y) des deux variables réelles x, )■ est harmonique dans un domaine D, lorsqu'elle est régulière dans ce domaine, c'est-à-dire continue ainsi que ses dérivées par- tielles jusqu'au second ordre, et lorsqu'elle satisfait en tout point de ce domaine à l'équation de Laplace. que nous écrirons, en sup- primant l'indice,

rPu &-U

La partie réelle d'une fonction /(^) de la variable z =z x -^- iy, holomorphe dans un domaine D, est harmonique dans ce domaine (II, n" 261). Inversement, à toute fonction harmonique xr(x, ^>-). on peut associer une autre fonction t'(a;, y,), définie à une cons- tante additive prés, satisfaisant aux deux relations {'^)

f)v _ ()u i)v _ <hi

^'^' i)x^~~ ify'' ôy ~ '//■'

de telle sorte que z -r iv est une fonclion analytique de zz=LX-\-iy.

(') Je me suis beaucoup servi, pour la rcdaulion de ce Chapitre, du Traité d'Analyse de M. Picard, en particulier des Chapitres I, III, X du Tome II.

(') Soient /n<, /»<' deux directions rectangulaires telles que l'angle tml' ait la même disposition que l'angle xOy; -j-i -j -, désignant les dérivées prises au point m suivant ces directions, on peut remplacer les relations (2) par les rela- tions équivalentes

du _ dv du — dv

^^^ di ~~dt' dt- ~ dt '

La démonstration directe est facile, mais il suffit d'observer que, d'après leur signification dans la théorie des fonctions, les relations (2) ne changent pas

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 169

Celle fonction i'{x, y) esl aussi une intégrale de l'équation (i); elle est encore uniforme et régulière dans le domaine D, et par suite harmonique dans D, si ce domaine est à contour simple ( ' ), et M + w est holomorphe dans ce domaine. De cette liaison avec la théorie des fonctions d'une variable complexe, on déduit aisé- ment quelques propriétés importantes des fonctions harmoniques. Ainsi nous allons montrer que toute fonction harmonique est une fonction analytique des variables x et y, au sens que nous avons attaché à ce mot (I, n* 197). Supposons u{x, y) régulière à l'intérieur d'un cercle C de rayon R décrit du point (a^o^.ro) pour centre; il en est de même de i'{x, y) et par suite/(2)= u -f- iv est une fonction holomorphe de z dans C(! cercle. On a donc, à l'inté- rieur de C.

(3) /{z) — <i„-haiiz — Zo)-i-...-haniz~Zo)"-^..., Zo= JCo-h iyo es coefficients a„ étant en général des nombres complexes. Rem- plaçons ^^ — ^0 par -^ — Xn-+-i{y — j',,) et séparons les parties réelles et les coefficients de i dans la série (3); u{x,y)se présente sous forme d'une série entière à double entrée :

(4) u{x, y) =2 ^/'•'/(•^ — ^o)Piy—yo)''.

L'égalité (3) prouve que u{x, y) est égale à la somme de cette série double, quand on groupe ensemble tous les termes du même degré en x — Xo, y — y», mais cela ne suffit pas pour prouver la convergence absolue de la série. Pour établir ce point essentiel, il faut montrer qu'elle reste convergente quand on remplace chaque terme par sa valeur absolue, pourvu que \x — Xq\ et\x — y^ | soient assez petits. Or. l'ensemble des termes de degré n dans la

quand on fait tourner les axes d'un angle quelconque; il suffit donc de les faire tourner de façon, à les rendre parallèles aux directions mt, mt'.

Supposons que le point m décrive une courbe fermée C dans le sens direct; si l'on prend pour mt la direction de la tangente dans le sens du parcours, mt' sera la direction mn de la normale intérieure et les relations (2)" deviennent

,, du _ dv du _ dv

ds ~ dn' dn ~ ds ' -T- et — désignant les dérivées suivant ces deux directions.

C) Si le domaine D est limité par plusieurs courbes distinctes, la fonc- tion v(x, y) peut avoir des déterminations multiples. Prenons par exemple la fonction Logz; la partie réelle est harmonique à l'extérieur d'un cercle décrit de l'origine pour centre, tandis que \c coefficient de i admet la période ai:.

170 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE

série (4) est égal, en posant an=^ ^«-h i'^n-, à

a„ (JT — ^o)"— " ^ ^ ' C-^^ — •go)"-"-(7—7o )--<-■ ..1 n(n — i)(n

^n[-ni

■(x — xo)"-'^(y—yoY

]■

1.2.3

Il est clair que si l'on remplace chaque terme par sa valeur absolue, la somme obtenue est inférieure à

I a„ ; } i jc — a;o I -(- ! JK — jKo ! J " : R étant le rayon de convergence de la série entière (3), la série

est convergente pourvu qu'on ait r<:;R et, par conséquent, la

série (4) est absolument convergente pourvu qu'on ait

(5) x — xo:-hj-—yi> < R,

c'est-à-dire lorsque le point (x, ->') est à l'intérieur d'un carré

facile à définir.

De cette importante proposition résulte toute une série de con- séquences tout à fait pareilles à celles qui ont été développées pour les fonctions analytiques d'une variable complexe. Ainsi, toutes les dérivées d'une fonction harmonique dans un domaine D sont elles-mêmes des fonctions analytiques régulières dans ce domaine; ce sont aussi des fonctions harmoniques, comme on le voit aussitôt en différentiant l'équation (i). Si deux fonctions har- moniques coïncident dans une aire, quelque petites qu'en soient les dimensions, elles sont identiques, car toutes leurs dérivées par- tielles sont égales en un point de cette aire, et Ton pourrait répéter, pour le prolongement analytique d'une fonction harnionique, tout ce qui a été dit à propos des fonctions d'une variable com- plexe (II, Ghap. XVI). Nous n'y reviendrons pas (').

L'ensemble des termes de degré n dans la série (4) est de la

forme

Cl i" cos«3 -+- C«p" sin/î ç,

(') Toute fonction harmonique, étant une fonction analytique de x, y, est définie virtuellement pour les valeurs complexes aussi bien que pour les valeurs réelles de ces variables dès que l'on connaît un élément de la fonction (II, n''355). Voici une conséquence intéressante. Soit /(-) une fonction liolomorplie de la variable complexe z = x -^ iy dans le domaine de z^— x^-i-iy„ f{z)= a„-+-t ?, + ... + {a„^e,3j(^-2j"^....

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 171

en posant

X — Xo = p cos ç , y — Vo = p sid 9.

On voit donc que le polynôme harmonique et homogène le plus général de degré n en jc — x», y — y» ne dépend que de deux constantes arbitraires C| et Co- De la forme générale des termes de la série (4), on déduit aussi qu'une fonction harmonique ne peut présenter ni maximum ni minimum au point (^„, j'o). En effet, si le développement de u{x, y) — «(-Cq, y^) commence par des termes de degré n. l'ensemble de ces termes étant de la forme

p"(Ci cos no -+- C2 sinn ç), change de signe pour ?i valeurs distinctes de 9(').

De l'étude qui a été faite (II, n° 300) des points singuliers isolés d'une fonction analytique uniforme, on peut déduire l'expres- sion générale d'une fonction harmonique dans le domaine d'un point singulier isolé. Soit u{a:, y) une fonction harmonique régu- lière en tout point intérieur à un cercle C de centre A(a, 6), sauf peut-être au point A lui-mènie. En lui adjoignant la fonction harmonique

. . r""'- du , au ,

v(x, y) = I — ■-- dx -+- -— dr,

prise depuis un point (Xi,. ro) du cercle C différent du centre, on obtient une fonction analytique u + iv de la variable com- plexe s = X -{- iy qui n'admet pas d'autre point singulier, à l'inté- rieur du cercle C, que le point A, mais elle n'est pas nécessaire- ment uniforme, car la fonction v{x, y) peut admettre une période

La partie réelle u{x^ y) de/(z) est représentée dans le même domaine par la série

V^ ( a -t- i 3

'(r-ro)r

Remplaçons, dans cette formule, x — x^ par -, y — y^^ par r^> elle

devient

--^' ro -^ —7- = «0 + ; /(^) - ./'' ;

"(^

cette relation, établie lorsqu'on a |z — z,' <R, subsiste évidemment dans tout le domaine d'existence de /(■:), puisque les deux membres sont des fonctions analytiques de z. En particulier, si u{x^ y) est une fonction rationnelle ou une fonction algébrique de x, y^ f{z) est une fonction de z de même nature.

(') Le point {x„, y^) ne peut être qu'un point ordinaire ou un point multiple

à tangentes distinctes sur la courbe u{x, y) — u{x^, y^), mais jamais un point isolé ni un point de rebroussement.

172 CHAPITRE XXVII. — E<ÎUATIONS LINEAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

provenant d'une circulation dans le sens direct autour du centre. Soit 2 7ra cette période qui est forcément réelle; la différence

u -h iv — a Log(s — Zo), où Zo=i a -h ib, est une fonction uniforme ctf[z\ dans le domaine du point ;:o, qui ne peut admettre d'autre point singulier dans ce domaine que le point ^0 lui-même. On a donc

e * =(z-Zo)e^-'=F(s), F(x;) étant aussi une fonction uniforme dans le domaine de point -o, ne pouvant avoir d'autre point singulier que ^o dans ce domaine et différentede zéro en tout autre point du domaine. On a donc

(I) «(:r,j) = alogiP(z);,

et inversement de toute fonction uniforme ¥(^z)^ jouissant des propriétés énoncées, on déduira, par la formule précédente, une fonction harmonique dans tout le domaine du point A, sauf peut- être au point A lui-même. La formule (I) s'étend immédiatement au cas où la fonction v(^x, y) serait elle-même uniforme.

On déduit aisément de ce qui précède quelques théorèmes élé- mentaires de M. Picard ('). Soit u[x^ y) une fonction harpionique régulière dans un domaine D, sauf peut-être en un point A de ce domaine, dans le voisinage duquel on sait seulement que sa valeur absolue est inférieure à un nombre fixe. La fonction F(x;) qui figure dans la formule (I) ne peut admettre le point A comme point singulier essentiel, ni comme pôle, ni comme zéro, car, dans chacune de ces hypothèses, la valeur absolue delog| F(ij)| pourrait dépasser tout nombre donné dans le voisinage du poinl A. 11 s'en- suit que, dans le domaine du point A, la fonction ¥{z) est repré- sentée par un développement de Taylor, commençant par un terme constant différent de zéro; la fonction Log | F(^) } est aussi holo- morphe dans le domaine de ce point, et la partie réelle u{x^ y) de aLog i F(5) } est régulière dans le domaine du point A, et, par suite, dans tout le domaine D. C'est la première proposition de M. Picard.

Supposons en second lieu que la valeur absolue de u{Xy y) augmente indéfiniment lorsque la distance r du point (a:, y) au point A tend vers zéro. Cela ne peut arriver si le point A est un point singulier essentiel de F(^) (II, n" 300) ni lorsque ce point est un point ordinaire de F(^), sans être un zéro. Tl faut donc

(') E. Picard, Quelques théorèmes élémentaires sur les fonctions harmo- niques {Bulletin de la Société mathématique de France, t. LU, 1924» P- '62). Voir aussi dans le tome 176 des Comptes rendus (io23) diverses Notes sur ce sujet de MM. Picard, Lebesgue, Bouligand.

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 178

que Zo soit un pôle ou un zéro de F(2), qui est de la forme (z — Zo)"^(f{z), m étant un entier positif ou négatif, et<p(^) une fonction holomorphe qui n'est pas nulle pour z = Zg. On a alors u{x, y) = x[m logr -h log| cp(-3)| ], c'est-à-dire

u{x, y) = K logr -+- U, U étant une fonction harmonique régulière en A, ce qui constitue le second théorème de M. Picard.

Dans le premier cas, la fonction F{z) est régulière au point A, sons être nulle en ce point. Dans le second cas, le point A est un pôle c^u un zéro de P{z). Lorsque le point A est un point singulier essentiel de F(z). la fonction u{x,y) est indéterminée en ce point.

Par exemple, si l'on prend F{z) = e", l'origine esl un point d'indé- termination pour u{a;, j) = —:, ;•

La plupart des autres propriétés des fonctions harmoniques qui vont être démontrées pourraient de même se déduire de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Cependant elles seront établies directement, de façon à pouvoir étendre la démonstration au cas de trois variables. Observons d'abord qu'on peut appliquer aux fonctions harmoniques les remarques faites plus haul à propos des équations linéaires (n" -483). Ainsi, de toute solution de l'équa- tion ( I ) dépendant d'un ou plusieurs paramètres, on peut déduire par des différenliations ou des quadratures, une infinité d'autres solutions. Parmi les solutions connues, la fonction u =; log/-, où /• est la distance des deux points (x, y), (a, 6), qui dépend des deux paramétres «, 6, va jouer un rôle important. Les dérivées partielles de u par rapport à l'une quelconque des variables a, 6, œ, Y sont aussi des fonctions harmoniques et il en est de même de toute combinaison linéaire de ces dérivées dont les coefficienls sont indépendants de x et de y. Par exemple, soif L une direction quelconque, issue du point (a, 6), faisant avec la direction allant du point (a, b) au point (j7,j) un angle o. La dérivée, prise suivant cette direction, de log/-. considéré comme fonction des para- métres a, b, est une nouvelle fonction harmonique des variables x et y, car c'est une combinaison linéaire à coefficienls constants des

,, . , (J\oer à]oa;r ^ j. • . • i «''■ j .

dérivées — r^ , — rf— • Cette dérivée a pour expression — tt- < c est-

a-dire (1, n' 84 i; on verihe directement que — — est une

fonction harmonique en observant que c'est la partie réelle de la

fonction e^' r-.» 9 étant l'aro-umenl qui convient à la direc-

z — a — bi ^ ^

174 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

lion L. On voit de même que -i où ^ est l'angle que fait la direc- tion allant de (^,Jk) en (a, 6) avec une direction /ixe A indépen- dante du point (a?, j), est une fonction harmonique, car cette expression est égale, au signe près, à la dérivée delogr, consi- dérée comme fonction de (x, y), prise suivant la direction A.

Observons encore que toute transformation ponctuelle qui conserve les angles change une fonction harmonique en une nouvelle fonction harmonique. Cette propriété a déjà été établie implicitement (II, p. 60; I, p. 160, ex. S).

o04. Intégrales uniformément convergentes. — Pour éviter des répétitions inutiles, nous allons d'abord démontrer une propriété de certaines intégrales, sur laquelle on s'appuiera souvent. Soit, d'une façon générale, a (M, P) une fonction des coordonnées de deux points M et P, donc chacun peut décrire un certain domaine, et qui est continue pour tous les systèmes de positions de ces deux points, sauf lorsque les deux points sont confondus; telle est,

par exemple, une expression de la forme — ^ > i'(M, P) étant

Ml* continue, et a étant positif. Supposons d'abord que le point M décrive une courbe plane déterminée C, tandis que P peut occuper une position quelconque dans le plan. L'intégrale

U(P)= f u{M, P)ds,

prise en supposant le point P fixe et faisant décrire à M l'arc C, est une fonction continue des coordonnées du point P, tant que ce point ne vient pas sur C (I, n° 98). Lorsque le point P coïncide avec un point M„ de C, l'intégrale U(M„) peut avoir un sens quoiqu'elle ail un élément infini, mais la présence de cet élément infini ne permet plus d'affirmer sans autre examen que l'intégrale est continue en ce point, c'est-à-dire que U(P) — (UM,,) tend vers zéro avec la distance Mo P.

Nous dirons que l'intégrale 'J(P) est uniformément conver- gente dans le domaine d'un point Mo de C si la condition suivante est remplie : étant donné un nombre positif arbitraire £, ou peut trouver sur l'arc C un arc C sur lequel est situé M„, et un nombre positif p, tels que pour tout point P pris à l'intérieur du cercle c^ de rayon p, décrit de Mo pour centre, la valeur absolue de l'inté- grale / M (M, P) ds soit inférieure à z. Lorsque celte condition est remplie, il suffit de reprendre le raisonnement classique employé

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 175

si souvent pour démoutrer que U(P) — U(1VI,)) tend vers zéro avec Mo P. On peut écrire en effet

U(P)-U(Mo) U'(P)-U'(Mo)^-jU"(P)-U"(M„)j,

en désignant par U' et U" les intégrales étendues à l'arc C et à l'arc C"= G — C. L'arc C et le nombre p ayant été choisis comme on vient de le dire, les valeurs absolues de U'(P) et de tl'(Mo) sont inférieures à e, lorsque P est à l'intérieur de Cp. Mais, le nombre p pouvant être remplacé par tout nombre positif plus, petit, on peut supposer l'arc C" tout entier à l'extérieur de Cp. L'intégrale U"(P) est alors une fonction continue dans ce cercle Cp. Choisissons un nombre positif p'^p tel qu'on ail

lU"(P)-U"(Mo)l<s,

lorsqu'on a M,, P ■< p'. Il est clair qu'on aura aussi

lJ(P)-U(Mo)l<3s,

lorsque M,, P sera inférieur à p'.

La définition des intégrales uniformément convergentes dans le domaine d'un point s'étend aux intégrales doubles et aux inté- grales triples. Supposons que le point P puisse occuper toutes les positions dans l'espace, tandis que le point M est assujetti à rester sur une surface 2. Nous dirons encore que l'intégrale de surface

U(P)= f f u{M, P)(h

est uniformément convergente dans le domaine d'un point M„ de 2 si, étant donné un nombre e positif, on peut trouver une por- tion 2' de i entourant le point Mo et un nombre positif p, tels que pour tout point P pris à l'intérieur de la sphère de rayon p ayant pour centre M„, la valeur absolue de l'intégrale

fi

soit inférieure à e. Enfin, si le point M décrit lui-même un domaine à trois dimensions D, on dira que l'intégrale triple

U(P)=. f f f «(^I. P)^^'^

est uniformément convergente dans le domaine d'un point Mo de D si, étant donné un nombre positif e, on peut trouver un domaine D' renfermant Mo à l'intérieur et un nombre positif p tels que, pour tout point P pris dans la sphère de rayon p ayant Mo

176 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

pour centre, la valeur absolue de l'intégrale Lriplc

ffj

I u{M,'P)di>

soit inférieure à e. Il n'y a rien à changer à la démonstration pour prouver dans les deux cas que U(P) est continue au point Mo-

505. Potentiel logarithmique. — Des intégrales particulières de l'équation (i) citées à la fin du n" 503, on peut déduire une •infinité d'autres fonctions harmoniques par des quadratures. Nous n'étudierons d'abord que les fonctions représentées par des inté- grales définies, prises le long d'une courbe C. Sur les courbes C dont il sera question dans la suite, nous forons les hypothèses sui- vantes : nous admettrons qu'elles se composent d'un nombre yt/it d'arcs de courbe tels que les coordonnées d'un point qui décrit l'un d'eux sont des fonctions continues d'un paramètre admettant des dérivées continues. Ces conditions sont évidemment remplies pour une courbe qui se compose d'un nombre fini d'arcs ana- lytiques (I, n" 198), mais il y a intérêt pour la théorie à ne pas se limiter à ce cas.

Soit IX une fonction qui prend une valeur déterminée on chaque point M de C, et qui varie d'une manière continue avec la posi- tion de ce point, par exemple, une fonction continue de l'arc s compté à partir d'une origine fixe arbitraire. L'intégrale définie

(6) ^' ^ / k'oR''«'*'.

où /• est la distance d'un point variable M de C à un point fixe P du plan, et où ds est essentiellement positif, représente une fonc- tion harmonique des coordonnées («, b) du point P, dans tout domaine ne renfermant aucun point de C. Cela résulte des pro- priétés de logr, et de la formule habituelle de différent iation sons le signe intégral, qui est ici applicable, puisque l'intégrale (6) et celles qu'on en déduit par dillV-renliation n'ont aucun élément infini. (3n aj)pelle celle fonction \ un potentiel de logarithme de simple couche (cf. Chap. XX\ III).

La fonction V(«, b) est continue sur la courbe C elle-même. 11

suffit de prouver que l'intégrale / /j.log(r)o?5 est uniformément

convergente dans le domaine d'un point Mo de C Prenons pour origine le point IM,,, pour axes des x et des y la tangente et la nor- male en ce point, et soit C un petit arc de C, représenté par l'équation ]' =zf(.T). où œ varie de — A à -h h, h étant un nombre

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 177

positif assez petit pour que cet arc C' soit à l'intérieur du cercle de rayon - décrit de l'origine pour centre. Soient c.^ un cercle concentrique de rayon p'^h. et P(a, b) un point int(''ripur à Cp. La distance r du point P à un point M de C est inférieure à l'unité ; en désignant par H une limite supérieure 'de | /^ |v ' H~/"(^) sur une portion de C re/ifermant l'arc G', la valeur absolue de

/ ;x I og r ds est inférieure à

-H/ \og[^{x-ay^-i-{y-by]dx<-H \oë{\x - a) dx,

-J-h ^-h

a étant compris entre —h et +/i. cette dernière intégrale est

elle-même inférieure à — 2II / log(f)c/f et tend vers zéro avec A.

On étendrait aisément la démonstration au cas où Mo est un point anguleux de C. Â.u contraire, les dérivées partielles de V éprouvent, quand le point P traverse la courbe G, des discontinuités qui seront étudiées plus loin (Ghap. XXVIIl).

On obtient encore des fonctions harmoniques en remplaçant,

dans la formule (6), logr par- cos(r, X) où cos(r, V) désigne le cosinus de l'angle que fait la direction MP avec une direction arbi- traire issue du point M, indépendante de la position du point (a, 6), car nous avons remarqué que cette expression est une fonction harmonique de (a, 6), quelle que soit la position du point M. Si l'on prend en particulier une direction sur la normale en M au contour G, on obtient \q potentiel logarithmique de double couche

(7) w=r,2^A,

Jr cosç

9 étant l'angle de la direction MP avec une direction choisie sur la normale en M; W est encore une fonction harmonique des coordonnées de P, dans tout domaine ne renfermant aucun point de G, mais elle est discontinue, quand P traverse le contour d'inté- gration. Pour étudier cette discontinuité, nous supposerons que G est une courbe fermée sans point double, et qu'on a pris la direc- tion intérieure sur la normale.

Si [j. se réduit à une constante, l'intégrale / — — ds, à laquelle

/(C) '

on est conduit, a une signification géométrique, qui met en évi-

OOURSAT. — m. 12

178 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

dence la discontinuité. Elle est égale, en effet, à l'intégrale

r, v—b r{x — a)dv — {Y — b)dx

Je ^ x — a Jç^ {x — aY^{y — by-

prise le long de C dans le sens direct. On le vérifie au moyen des formules dx ^ ds cos^', dy = — dscosa', où a' et (3' sont les angles (comptés de o à tt) que fait la direction de la normale inté- rieure avec Oj7et Oy{voir p. 179). H suffit encore de considérer le triangle infinitésimal PMM', où M et M' sont deux points infi- niment voisins de C, pour reconnaître que — -^ ds est égal à l'angle d(ù, affecté d'un signe, sous lequel on voit du point P l'élément d'arc MM'. L'intégrale rS2il ds est donc égale à 27:, si

le point P est intérieur au contour C, et à zéro si le point P est extérieur à ce contour. Si le point P est un point ordinaire du con- tour, l'intégrale est égale à tt; en un point anguleux du contour, elle est égale à l'angle a, sous lequel se coupent les deux tangentes compté de o à 27: dans le sens convenable.

L'étude de ce cas particulier suffit pour montrer que l'inté- grale (7) n'est pas uniformément convergente dans le voisinage d'un point Mo de C Supposons par exemple que Mo est un point ordinaire de C, et soit C un arc très petit, sur lequel est Mo) si l'on néglige la variation de /jl le long de C, on voit que l'mté- grale / ,u ^^^ ds. pour un point P intérieur à C très voisin de M,,,

est à peu près égale à 7:/Jto= 7:/jt.(Mo), tandis qu'elle est très voisine de zéro pour le point Mn lui-même. Mais l'intégrale

rco« s (a-an)-j-^r/5

est uniformément com^ergente dans le domaine du point Mq. Supposons, en effet, l'arc C assez petit pour qu'on ait

'u(M)-a(Mo): <t,

en tout point M de C Pour un point quelconque P voisin de M„, la valeur absolue de l'intégrale f (jx — ,u„) ^^^ û?.s est inférieure

à 2 7:c, et par conséquent peut être rendue moindre que tout nombre donné, en prenant l'arc C assez petit. L'intégrale I(P) est donc continue au point M,,.

Cela étant, désignons par Wo la valeur de l'intégrale (7) lorsque le point P est en M», par W,o et W^o les valeurs limites de W(P) lorsque le point P tend vers le point M» en restant à l'intérieur ou à l'extérieur de C. Si le point M,, est un point ordinaire du con-

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. I1||TÉGRALE DE POISSON. 179

tour, on a l(Mo) = Wo — tt/xq, et d'autre part la limite de 1(P) est W,o — 27rjXo ou W^o» suivant que le point P tend vers Mo en restant à l'inlérieut ou à l'extérieur du contour. En écrivant que I(P) est continue au point Mo, on a les deux égalités

Wo — ::fio=' W/o — 2 7rfXo= Weo, ,

d'où l'on déduit les relations fondamentales

(9) W,o = Wo + JTfXo, Weo = Wo - r.iio.

En un point anguleux où les tangentes font un angle a, ces relations doivent être remplacées par les suivantes :

(9) W«=Wo-+-(2:r-a)HLo, Weo=Wo-afXo.

506. Seconde formule de Green. — Dans le cas particulier de l'équation de Laplace, la formule générale (40 du n" 497 prend la forme simple

■^' '"^^ àxVàx ' dxj dyy dy -ây)

Si les fonctions 9 et 4^ sont régulières dans un domaines D limité par un contour ferme C, on a donc, d'après la première formule de Green (I, n° 123),

l'intégrale curviligne étant prise dans le sens direct le long du contour C. Soient a et (3 les angles (comptés de o à tt) que fait la direction MT de la tangente à C dans le sens direct avec les axes, a' et [3' les angles de la direction intérieure MN de la normale avec les mêmes axes. Il est clair qu'on a cosacosa'4- cosj3 cos|3'= o. D'autre part, supposons que par un point M de G on mène deux demi-droites M.x\ M^'' respectivement parallèles à O^ et à Oy; une rotation qui amène Mo:' sur MT amènera aussi My' sur MN, et par suite on a cos(3'=cosa, co qui entraîne cosa'= — cos(3. On peut donc remplacer dx par cos> ^' ds et dy par — cosa'd^ dans l'intégrale curviligne, et la formule précédente devient

ffiol,-l-^l^,)dxdy= ^'->(^cosa'+|cos[i;')rf.

■X

o — ^ cos a -+- — i- cos 6 )ds. ^ • \dx dy ^ )

Odo , do ni d<\) I d<l ^,

V j- cosa -f- j- cosp , -—- cos a H- — ^ cosp représentent préci- sément (n° oOl) les dérivées -1-^ ) -^ j prises suivant la normale

I«0 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

intérieure, et nous obtenons ainsi la nouvelle formule de Green

Nous ferons remarquer une fois pour toutes que, dans cette intégrale et dans toutes les intégrales analogues, ds est essentiel- lement positif, et par suite il n'y a pas lieu de spécifier dans quel sens le contour est décrit. Ce contour peut se composer de plu- sieurs courbes fermées distinctes, mais la direction de la normale intérieure au contour est toujours celle qui pénétre dans le do- maine D; elle coïncide donc avec la direction extérieure de la nor- male à la courbe géométrique lorsque celle-ci limite intérieurement le domaine. 11 est essentiel aussi d'observer que celte formule (lo), où figurent -7^) -p? suppose que les dérivées partielles -j--, -y- y- ont des valeurs finies sur le contour. Quand on dit, par exemple, que -T^ a une valeur finie en un point M de C, cela signifie que la

valeur de -r- en un point m deD, situé sur la parallèle à Ox menée par M, tend vers une limite lorsque m tend vers M, et de même pour les autres. Ces conditions sont certainement vérifiées si cp ei^ sont régulières dans un domaine à l'intérieur duquel est situé le con- tour G, mais cette condition n'est pas nécessaire ; nous n'avons besoin d'aucune hypothèse sur les fonctions 9 et 4> en dehors du contour. De la formule générale (10), on déduit plusieurs formules par- ticulières importantes. Si 9 et (]; sont deux fonctions harmoniques dans D, elle devient, en remplaçant 9 et ^l' par U et V,

Prenons encore 'j' = 1 , et remplaçons 9 par une fonction harmo- nique U ou le carré U^ d'une fonction harmonique; nous obtenons les deux nouvelles formules

La première de ces relations caractérise les fonctions harmo- niques, car le premier membre est égal, d'après la formule géné- rale (10), à — f f MJdxdy et, par suite, l'intégrale (12) ne

peut être nulle, quel que soit le contour C, que si l'on a identi- quement AU = o.

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. l8l

507, Applications aux fonctions harmoniques. — Soient P un point du domaine D de coordonnées {a. b) et Vi{x^ y) une fonc- tion harmonique dans ce domaine. Posons V = logr, r étant la distance du point P à un point variable {x. y), et appliquons la formule générale (i i) au domaine D' limité par le contour C et un cercle y décrit de P pour centre avec un rayon p assez petit pour qu'il soit tout entier à l'intérieur de D. Les fonctions U et V étant régulières dans D', nous avons la relation

les dérivées -i- le long de y étant prises suivant la direction inté- rieure à y. L'intégrale curviligne suivant y est, par suite, indépen- dante du rayon p. II suffit donc, pour avoir sa valeur, de chercher sa limite pour p = o. La seconde partie de cette intégrale peut

s'écrire / -7— plogpâ?cp et tend évidemment vers zéro avec p.

Quant à la première partie, remarquons que le long de y, on a

f/logr I , ,

— 7- — = » c/s = p az> ,

(la p r . '

et celte intégrale peut s'écrire

— Ç fU(a, /y)^£]r/9, •- 0

£ étant infiniment petit avec p. La limite est donc égale à

— 2-U(«>)

et nous obtenons la formule fondamentale

les dérivées -j- étant toujours prise» suivant la normale intérieure. Il est à peine besoin de faire remarquer l'analogie de ce résultat avec la formule foudamentale de l'intégrale de Cauchy (II, n" 291) dont on pourrait, du reste, le déduire {Exercice 1).

Si le contour C est une circonférence d(; rayon R et de centre P, on a, tout le long de C, logr = logR '—^^ = — rr et, en tenant compte de la relation (12), on obtient la formule de la moyenne de Gauss

U (j/) étant la valeur de tJ à l'extrémité du rayon qui fait un angle i

l82 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

avec une direction fixe arbitraire. Tl est aisé d'en déduire qu'une fonction harmonique ne peut avoir ni maximum, ni minimum {cf. n" 503). Supposons, par exemple, que \}{x, y) soit maximum au point P. Décrivons de ce point pour centre un cercle C de rayon assez petit pour qu'on ait, en tout point de C, U(t|;)< U(a, b). Il est clair que l'égalité (i4) serait impossible. La démonstration s'applique aussi au cas où U(a:, y) aurait en P un maximum im- propre. L'hypothèse où 0(4^) serait constamment égal à la valeur deU au point P, aussi petit que soit le rayon de C, est évidemment à rejeter, car la fonction se réduirait à une constante (n" 503).

Soient A. et B les valeurs maximum et minimum d'une fonction harmonique le long d'un contour C. Cette fonctionne peut prendre aucune valeur supérieure à A, ni inférieure à B, à l'intérieur deC, ni ces valeurs A e^ B elles-mêmes., car elle aurait forcément un maximum propre ou impropre en un point intérieur au contour.

Une autre conséquence importante est celle-ci : on dit qu'une fonction a(x, y), définie à l'intérieur de C, prend la valeur «« en un point iM de C lorsque la différence Up — Ujj tend vers zéro en même temps que la distance MP, P étant un point quelconque intérieur à C 11 ne peut exister plus d'une fonction harmonique à l'intérieur d'un contour ferme C, et prenant une valeur donnée en chaque point M de C, celte valeur variant d'une manière continue avec la position du point M. En effet, s'il en existait deux, leur différence serait une fonction harmonique à l'intérieur de C, s'annu- lant tout le long de C; si cette différence n'était pas identiquement nulle, elle aurait forcément un maximum ou un minimum à l'inté- rieur de C, ce qui est impossible. La formule (i3) ne donne pas la solution du problème, appelé problème de Dirichlet^ qui consiste à déterminer U, connaissant ses valeurs sur C, car le second membre

renferme U et— ^- II résulte, au contraire, de ce qu'on vient de an 'A

dire qu'on ne peut choisir arbitrairement les valeurs de U et de -j- le long de C; la formule (i3) renferme donc des données surabon- dantes. Ceci n'est point en contradiction avec les théorèmes d'exis- tence de Cauchy, car le problème à résoudre est tout différent du problème de Cauchy. D'une part, le contour C qui porte les don- nées et les données elles-mêmes ne sont pas forcément analytiques. D'autre part, il s'agit de déterminer une fonction dans tout Vinté- rieur d'un contour fermé, et non point seulement dans le voisi- nage d'un arc de courbe, de part et d'autre de cet arc.

508. Intégrale de Poisson. — Les propriétés du potentiel de

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. i83

double couche conduisent facilement à la solution du problème de Dirichlet lorsque le contour C est une circonférence. Soient U(IVl) une fonction qui varie d'une manière continue avec la position du point M sur C, P un point intérieur. Le potentiel de double couche

<i5) Y{a,b)= I U(M)^2iIrfs,

=Ju(m;

où r et cp ont le sens habituel, est une fonction harmonique des coordonnées (a, b) du point P, à l'intérieur du cercle. Lorsque le point P coïncide avec un point quelconque de C, on a, pour toute position du point M sur ce contour, r = 2R cos(|), R étant le rayon du cercle, et, par suite, l'intégrale (i5) a une valeur constante

.[

u(M)^:-,

c 2R

en un point quelconque de C. D'après le théorème général du n" 505, lorsque le point P intérieur au cercle tend vers un point Mo de la circonférence, la fonction V(a, 6) tend vers

La fonction représentée par l'intégrale définie (■6) U(»,6)=^U(M)(S^-.^)rf,

fournit donc la solution du problème de Dirichlet pour le cercle. On écrit habituellement cette intégrale sous la forme suivante, considérée par Poisson. Le centre du cercle étant pris pour ori- gine, soient (p, 9) les coordonnées polaires du point P, (R, ^) celles d'un point M de C. En tenant compte des relations

p2 = R2 -+- /-î 2 R r cos 9, /•- = R2 -(- p2 2 R p COS{'ll 6 ),

la formule (16) s'écrit sous les formes équivalentes (17) l]{a,h)= ^^'''/(■l)^^c/'}^

~{"'jV^)nn^

(R2_p2)^^l,

2Rpcos('^ — 0) où l'on mer/(^|;) au lieu de U(M).

l84 CHAPITHE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

La formule (17) peut aussi se déduire de la formule générale (i 3) au moyen d'un artifice, fondé sur une propriété géométrique de la

circonféreoce, qui permet d'éliminer -r-- Soient P< le conjugué

harmonique le P par rapport aUx extrémités du diamètre passant par P, et r, la dislance de P, à un point {x. y). La fonction logr, étant harmonique à l'intérieur du cercle C. nous avons la relation

U étant la fonction harmonique cherchée, dont on se donne les valeurs sur C. En ajoutant les relations (i^) et (i3)'. il vient

car le coefficient de -r- sous le signe intégral est log — qui reste

constant sur C, et, par suite, l'intégrale correspondante est nulle, d'après la relation (12). Soient p, p,, les distances OP et OPi, 9, l'angle de la normale intérieure en un point M de C avec MP,. On a les relations

fllo^r _ _ COS9 dïogri _ _ cos 9 1 , , _ n, '"' _ ^*

f//i r dn r, ,","i— > r ~ ^^

p-i = R2 -I- r2 — ■} \\ r cos 9 , p ï = IV- -1- /f — 2 H r^ cos ?i ,

d'où l'on déduit, en éliminant 9, 9», /'i, &i, cos s cos «I K'-— p-

ce qui prouve bien l'identité des formules (17) el (18). Celte seconde démonstration est moins complète que la première, car

elle suppose que -j- a une valeur finie le long de C, et, d'autre

part, elle no prouve pas que la valeur de l'intégrale (18) tend bien vers la valeur donnée de U en un point M de C lorsque le point P tend vers le point M.

Application. — Supposons /( /^ ) > o le long do C; U(«. b) est alors positif pour tout point intérieur. Comme /• varie du min*-

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. l85

mum R — p au maximum R + p, oii a évidemment, en remplaçant successivement /• par R — p et par R -h p dans la formule (17), et

observant que / f{<\))d'^=^2nU„'.

K — Px, ,., .H

(,9) _xi,.<u,.<,,_^.,„

Uo et U,. étant les valeurs de U(a, b) au centre du cercle et au point P. On en déduit que la valeur absolue de Up — U,, est infé- rieure à la différence des deux termes extrêmes de celte double

inégalité 7-^ — ^ U„. Si une fonction harmonique U est régulière et

positive dans tout le plan, on peut supposer le nombre R aussi

grand qu'on le veut, et, par suite, ^_ ^ Uo plus petit que tout

nombre donné. On a donc Up = Uo, ce qui prouve que toute fonc- tion harmonique positive dans tout le plan se réduit à une constante.

Plus généralement, toute fonction harmonique dans tout le plan, qui est bornée dans un sens, est une constante. En effet, si l'on a par exemple U(j7, y) < C, là fonction C — U(57, y) est une fonction harmonique positive dans tout le plan. Cette propo- sition correspond au théorème de Liouville (II, n" 294).

Considérons encore le cas où la fonction f{'^) présente sur le cercle un nombre fini de discontinuités de première espèce. L'intégrale de Poisson représente encore une fonction harmonique à l'intérieur du cercle. Lorsque le point F intérieur au cercle tend vers un point M du cercle où f{^) est continue, la limite de l'intégrale est encore /(<];); il n'y a rien à changer au raisonnement. Il nous reste à étudier comment se comporte la fonc- tion U(a, b) dans le voisinage d'un point de discontinuité de /(4')- Prenons d'abord le cas particulier où /(<];) = 4;, <{; étant l'angle au centre compté dans le sens direct de — r à h- - à partir du rayon OA' opposé au rayon OA qui aboutit à un point de discontinuité A. L'intégrale (iG) peut s'écrire

(.0, „<..6, = ijr,(=-:^-^)* = i (,..,.

to étant l'angle, compté de o à 2 n dans le sens direct, que fait la direction PM

Xds ']> -^ est

l86 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

nulle, tandis que ds est égal à dia (n°S05). Il est clair que, si le point P

est sur le diamètre qui passe au point A, on a

u{a, b) = o,

car les éléments symétriques par rapport au diamètre se détruisent deux à deux. Si P n'est pas sur ce diamètre, soit Ai une des extrémités du

diamètre passant par P, et m, (a, b) l'intégrale - / ^idoi, <li étant l'angle

au centre compté de — ;i à H- :: dans le sens direct à partir du rayon OA, opposé à OAi. D'après ce qu'on vient de remarquer, Ux(a, b) = o. On peut donc écrire

u(a, b) = u{a, b) — Ui{a, b)

= ^f (■!; — -J^O^w-H i r {•h — -l,)doi;

le long de Ai MA, on a J/ — «Li = a {Jiff, 98), tandis que le long de AM'Aj, Fig.

<\i — <ln= (X — 2::. Par suite,

«(a, è) = ia(2- — p)-(- 3(a — 2;:)P = 2(a — [j) = oy.

Par conséquent, dans le cas de la figure, l'intégrale u{a, b) est égale

au double de Vangle y, compté de — - à -i- - dans le sens direct, que fait

la direction AP avec la direction AO. Il serait facile de vérifier que cette relation a lieu dans tous les cas de figure, mais il suffit d'observer que, si elle a été établie dans une partie du cercle, elle subsiste dans tout le cercle, car les deux membres sont des fonctions harmoniques dans ce cercle. Prenons maintenant le cas général, où /(<{^) a une discontinuité de première espèce en A. L'angle i étant compté, comme on vient de le dire.

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 187

de — - à -I- Tt, à partir du rayon OA', supposons qu'on ait /{T: — o) = f, /{—--ho) = m{l^m).

La différence /{•V) — ^^— •]/ est une fonction continue /i{'\>) dans le

voisinage du point A, qui prend la valeur en ce point, et l'intégrale

de Poisson (17) est la somme des deux intégrales

qui représentent l'une et l'autre des fonctions harmoniques dans C, Lorsque le point P tend vers le point A, la limite de Ui(a, b) est égale à j

tandis que la limite de u{a, b) dépend de la façon dont le point P

1 1 • > •■ ^ — m ^ l — m — ...

lend vers le point A, et varie de a • En particulier, si le

2 ■?. ^

point P décrit le rayon OA, la limite de U(a, b) est Lorsque le

point P se rapproche de A sans que la direction AP ait une limite, il n'y a pas non plus de limite pour U(a, b) (1).

509. Relations avec la série de Fourier. — L'intégrale de Poisson est étroitement liée à la théorie des séries trigonométriques. Nous poserons,

pour simplifier, R = i, ce qui revient à écrire p à la place de -g^ • Une décomposition en fractions simples nous donne

I — p2 1 I

I — 2pcosa)-i-p2 I — pgw I — pe— <^'

d'autre part, on a, p étant inférieur à i,

: = I -+- pew-i- p2e-«^'-(-. . .-(vp"e"w'-(-. . .,

I — p e'^' r r r >

et une identité analogue obtenue en changeant i en — i. On aura donc aussi en les ajoutant

2p COSO) ■+- p-

p" cos/ico,

C) M. Fatou a étudié l'intégrale de Poisson en faisant sur /(({/) des hypothèses beaucoup plus générales {Acta mathematica, t. XXX, 1907). Voir aussi un Mémoire de M. Lichtenstein daas le Tome 141 du Journal du Crelle, p. 12.

l88 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

la série du second membre étant uniformément convergente puisqu'on suppose p <i. Remplaçons w par 4^ — 0, multiplions par/(4') et intégrons entre o et 2r; la formule (,17) devient

U(«. b) = -L^*''/(,s) di>^'-^ P"/' V('

') cos/t(i{/ — 8) él

ou encore

(21) U(a, b) = -" -i-\^ p"(a/i cos/j6 -h p„ sin«H),

n = 1

a„ et 3„ étant précisément les coefficients de la série de Fourier relative à la fonction continue /(<];) (I, p. 5o2). Remarquons que ce développement de U (a, b) est identique à la partie réelle de la série entière en z = a -i- ib

F{z) = ^ ^^{ar,- i[in)(a + ib)",

n=.l

qui est certainement convergente dans le cercle de rayon un, car les valeurs absolues des coefficients a„ et j3„ sont fnférieures à la borne supérieure de|/(<j^)|(c/. n"o03).

La formule (21) est établie en tous les points intérieurs au cercle de rayon un; si la série de Fourier déduite de /(<{/) est convergente pour une valeur de <\i, l'égalité subsiste pour p = i, 6=1];. En effet, lorsque le point (a, b) se rapproche du point (cos^*, sini}^) du cercle suivant le rayon, la limite de U(a, b) est /(^i), tandis que, d'après le théorème d'Abel, la limite, du second membre est égale à la somme de la série obtenue en posant p = I, 9 = <{/.

Mais, sans faire aucune hypothèse sur la convergence de la série de Fourier, la théorie de l'intégrale de Poisson montre qu'on a toujours, pour une /onction continue quelconque, l'égalité

= lim I (-^ ?"{^n cosnb -+- {in sinnà) i.

(22) /(J.) =

«oi "t'ii ,^n étant les coefficients de la série de Fourier déduite de/('ji). M. Picard en a déduit une élégante démonstration d'un théorème de Weierstrass {voir plus loin, n" 531).

Inversement, on pourrait se proposer de déduire l'intégrale de Poisson de la série de Fourier. Soit /{<h) une fonction continue de période 2r. déve- loppable en série de Fourier :

(23) /(•^)= ^ -^^{a.cosn'l^'^n^mn'b).

La série (21) obtenue en prenant pour a„, a„, ^„ les mêmes valeurs que

I. _ FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 189

dans la série (23), est uniformément convergente dans tout cercle de rayon p<i, décrit de l'origine. On peut donc appliquer à cette série les trans- formations inverses de celles qui ont été effectuées, et remonter de cette série à rintégrale- de Poisson. La fonction ainsi obtenue

représente bien une fonxîtion harmonique à l'intérieilr de C. Mais, si celle intégrale n'avait pas déjà été étudiée directement, nous ne pourrions affirmer qu'une chose : c'est que la valeur de U(a, b) tend vers /(<]>), lors (ue le point (a, b) tend vers le point (cos^/, i\n<i^) suivant le rayon qui aboutit à ce point. La première démonstration est donc plus complète et, en outre, elle ne suppose pas que/(i|i) est développable en série de Fourier.

510. Théorème de Haxoack. — Le ihéorème de Harnack est l'analogue du théorème de Weierstrass sur les séries de fonctions holomorphes (II, n°297). Soient Mq (a:, j), Mi(a7,j), ..., M„(a7, j),... une suite de fonctions harmoniques dans un domaine finiD, limité par un contour F, pouvant se composer d'une ou plusieurs cour'bes fermées. Si la série lui{x\ y) est uniformément convergente le long de T, elle est uniformément convergente dans le domaine D.

Soit Uj la valeur de M((a:, y) en un point de F. D'après la défi- nition de la convergence uniforme, £ étant un nombre positif arbi- traire, nous pouvons choisir un nombre entier n tel qu'on ait, en un point quelconque de F, quel que soit/),

i U„+, -(- U„+î -+-... -(- \}n+p I < £ ;

cette inégalité sera vérifiée aussi pour la valeur maximum du premier membre lorsqu'on décrit F. Par conséquent, (a?, y) étant les coordonnées d'un point quelconque intérieur à D, on a donc

aussi

\un+\{x, y) -^ . . .-^ u„+p{x, y) \ < e,

ce qui prouve bien la convergence uniforme.

-♦- «

La somme de la série F (a?, j) =i ^ Ui{x., y) est une fonction

0 continue dans D, et sur le contour lui-même; lorsqu'un point P de D tend vers un point M de F, la somme de la série en P tend

igo CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

vers la somme de la série en M, quelle que soit la façon dont P se rapproche de M. Cette Jonction F(x, y) est une fonction harmonique dans D.

11 suffît évidemment de prouver qu'il en est ainsi à l'intérieur d'un cercle quelconque C contenu dans D. Soient {x, y) les coor- données d'un point P intérieur à C; nous avons, d'après la formule de Poisson.

Ui{x,y)

rjy^--

R, p, r ayant le même sens que pins haut (n° 508), et U; étant la valeur de Ui en un point de C. On en déduit

F{x,y)

^sX"'^*=^i(2^.)^*

car la série iU,- étant uniformément convergente sur C, il en est de même de la série — 2U,, et Ton peut intervertir les signes

/ et 1. La dernière expression de F(:c, y) montre bien que c'est une fonction harmonique dans C. On démontrerait de la même façon que les dérivées partielles de F(a;, y) sont les sommes des séries obtenues en diiïérentiant terme à terme la première {cf. II, P- 99)-

Application. — Soient C, Ci deux cercles ayant pour centre l'origine, de rayon R et Ri (R>Ri), et Ll(ç), ^'(?) deux fonctions continues pério- diques de période 2-, satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Ces fonctions sont développables en séries de Fourier uniformément convergentes (n"493, p, i33) :

U(çi) = — -+- ^ (an cosno -i- bn sin/io), V(?) = — -+-^ ( 3£„ cosno -i- (3„ sin«?).

Le théorème de Harnack permet de former aisément une fonction har- monique dans la couronne comprise entre les deux cercles C et Ci. et se réduisant à U(ç) ou à V(9) respectivement sur ces deux cercles, o étant l'argument qui correspond à un point sur C ou Ci.

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. 191

Posons en effet

F(r, ?) = Ao-t- Bologr-+-2[(A,„r,„-(- B'«/— '«) cosm?

in — l

■+■ ( C„i^'"-i- C,„r-'«) sin/n?],

A„i, B,„, C,n, D^ étant des coefficients constants. Tous les lermes de cette série sont des fonctions harmoniques dans la couronne considérée, comme il résulte de l'égalité s-'" = r-'"cos(mo— zsinmo). Il suffira donc, d'après le théorème de Harnack, de choisir les coefficients de façon que la série (/•, o) se réduise à U(o) pour r = R, et à V(i)) pour r=Ri. On obtient ainsi les relations

Ao^BoLogR =— , A„,R"'+B,„R-'"= a„,, C,„ R'«-+- D,„R-"' = i,„, 2

AoH-BoLogR,= -, A,„Rr+B,„RT'"= s^m, C,„R',"+ D„,R7"' = p,„,

qui déterminent ces coefficients.

Lorsque toutes les fonctions harmoniques d'une suite sont posi- tives dans un domaine connexe D, on a le théorème suivant :

Si la série^^Ui{x,y), dont tous les termes sont des Jonctions harmoniques positives dans le domaine D, converge en un point O à l'intérieur de D, elle converge en tous les points de D, et sa somme est une fonction harmonique.

Du point O comme centre, décrivons un cerc'e C de rayon R assez petit pour qu'il soit tout entier à l'intérieur de D, et soit P un point quelconque intérieur à C, à une distance p <C R du point O. D'après l'inégalité (19) établie plus haut, on a pour toutes les valeurs de l'indice i,

ce qui prouve que la série lui{a:, y) est convergente au point P. La même inégalité prouve qu'elle est uniformément convergente dans tout cercle C de centre O, et de rayon R'<cR; elle repré- sente donc une fonction harmonique dans ce cercle C. Parlons maintenant d'un autre point Oi intérieur à C et décrivons un nou- veau cercle C, de centre 0< intérieur à D; en raisonnant de proche en proche, comme pour le prolongement analytique, au moyen d'une chaîne de cercles (II, Chap. XVI), on voit que la série est convergente en tout point de D et représente une fonction harmo-

iga CHAPITRE XXVII. — EQUATIONS LINEAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

nique. Il serait facile d'établir, de cette façon, que la série converge uniformément dans tout domaine intérieur à D. et n'ayant aucun point commun avec la frontière.

514. Prolongement analytique d'une fonction harmonique. — Rappelons d'abord la définition d'un arc analytique (I, n" 198). Un arc de courbe AB représenté par les équations x=/{t), y = (^(^t), où le paramétre t varie de a k b, est analytique si les deux fonctions f{t), (Jj>{t) sont développables en séries enlières ordonnées suivant les puissances de t — to dans le voisinage de toute valeur to comprise entre a et 6 ; il va de soi que les coefficients de ces séries doivent être des nombres réels. Si les deux dérivées f'{to), (o'(to) ne sont pas nulles à la fois, le point Mo correspondant est un point ordinaire ou régulier. Si ces deux dérivées sont nulles pour t = tQ, Mq est un point singulier, à moins qu'à un point M de l'arc voisin de Mo ne correspondent plusieurs valeurs de t voisines de to, d'après le choix du paramètre t. Un arc analytique sans point singulier est dit un arc régulier.

Soit u{x, y) une fonction des deux variables x, y définie dans un domaine D à l'intérieur duquel est l'arc analytique AB. La valeur de celte fonction en un point de l'arc est une fonction F (i) du paramètre ^, qui sera évidemment analytique si la fonction m(j;, y) est elle-même analytique dans D, et en particulier si u{x., y) est harmonique. Cela étant, soit u{x, y) une fonction harmonique dans un domaine D, liuiité par un contour F dont une portion est formée par un arc analytique AB. Nous dirons que cette fonction harmonique u{x, y) peut être prolongée au delà de l'arc AB, si l'on peut trouver une fonction U(a;, y), harmonique dans un domaine {^, renfermant D et l'arc AB, qui soit égale à u{x, y) dans D {cf. II, n° 342). Pour que le prolongement soit possible à travers AB, il est nécessaire., on vient de le remarquer, que la suite des valeurs prise par u{x, y) le long de AB forme une fonction analytique de t. M. Schwarz a démontré que la condition est suffisante si l'arc AB est régulier : Toute fonction harmonique dans un domaine dont la frontière contient un arc analytique régulier KQ peut être prolongée au delà de cet arc, si la suite des valeurs qu^elle prend sur cet arc Jorme elle-même une fonctio:. analytique.

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. igS

Supposons d'abord que l'arc AB soit un segment de l'axe des x et qu'une fonction u\x^ y), harmonique dans un domaine D situé au-dessus de Ox et limité en partie par iVB, soit nulle tout le long de ce segment. Soient D' le domaine symétrique de D par rapport à Ox et v{^x.,y) la fonction qui en tout point P'(a7, — y) de D' prend la valeur — u(a7, j'), symétrique de la valeur que prend u\x^ y) au point P symétrique de P'. 11 est clair que v(^x^ y) est harmonique dans D'; la fonction F(^. y), qui est égale à u{x, y) dans D, et à «^(j?, y) dans D', est continue dans tout le domaine D + D'. Il n'en résulte pas qu'elle soit harmonique dans tout ce domaine, car rien ne permet encore d'affirmer qu'elle admet des dérivées continues en tout point de AB. Pour démontrer ce point essentiel, prenons autour d'un point quelconque de AB un seg- ment aj3 de Oa; assez petit pour que le cercle C décrit sur cx[3 comme diamètre soit tout entier dans le domaine D + D'; la proposition sera établie, si l'on prouve que F{x,j-) est harmonique dans ce cercle. Soient y, v' les demi-circonférences situées respectivement au-dessus et au-dessous de a3.

Considérons la fonction représentée par l'intégrale de Poisson, où R, p. /' ont le sens habituel (n^ôOS),

, /> R2_p2

dans laquelle on prend /jl = u[x, y) le long de y et jul = (^'(x^'y) le long de y'. Celte fonction U(x-, y) est harmonique dans C ; elle est nulle le long de a(3, car les éléments symétriques de l'intégrale se détruisent.

Cette fonction \J{x,y) coïncide avec u{x,y) dans le demi- cercle supérieur, et avec i-'{x, y) dans le demi-cercle inférieur, car elle prend les mêmes valeurs que u(x, y) le long de a(3 et de y, et les mêmes valeurs que i'{x, y) le long de afS et de y'. On a donc Vix, y) = F{x, )•) dans tout le cercle C.

Supposons en second lieu que, le long du segment AB de Ox, une fonction uix, y), harmonique dans le domaine D situé au- dessus de OXj prenne une suite de valeurs formant une fonction analytique /(a;). Colle fonction /(a;), étant développable en série entière dans le voisinage de tout point Xn de AB, est définie par là même dans un domaine R du plan de la variable complexe

OOURSAT — m. 1.3

194 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

z z=zx -\- iy, renfermant le segment AB (II, p. 241, note). La partie réelle w, (.c, r) de cette fonction/(^) est harmonique dans R et se réduit à f{x) le long de AB. vSupposons le domaine D situé dans R; la différence u{x, y) — m, (jc, r) est harmonique dans D et nulle le long de AB: on vient de démontrer qu'elle peut êlre prolongée au-dessous de AB. Comme la fonction Uf(x,y) peut être prolongée au-dessous de x\B, il en est de même de u{x, rV

Prenons enfin le cas où AB est un arc analytique régulier quel- conque, et soit a (a;, y) une fonction harmonique définie d'un côté de cet arc, et telle que la suite des valeurs qu'elle prend sur Xh forme une fonction analytique du paramèlre t. Nous allons montrer qu'étant donné un point quelconque M„ sur AB, on peut prendre autour de M^ un arc cz(3 assez petit pour que la fonction u.{x, y) puisse être prolongée à travers a[3. Soient

X = «0 -t- ai ( / — /„ 1 — . . . -t- (T,! ( / — /o )" H- . . . .

y = 6„ -t- 6i(/ — /„■> — . . .-f- é„(/ — ^V'-i-. . .

les développements de .r, y dans le voisinage de la vale^ir ^0 ^l^i correspond au point Mn. Posons

(24) z = JL- ^- iy — a(,-¥- ib(,->- {ai ^ ib\){'L — /„ ) -+-...

~^an^ ibn)i'A — fu)"^...

et soit /• un nombre positif assez petit pour que la série ( 24 ) ï<oit convergente lorsqu'on a Z — <„ <r. La relation précédente fait correspondre à tout point du cercle y de rayon /' décrit du point (X = t„, Y = o ) comme centre, dans le plan de la variable com- plexe Z = X -h f'Y. un point i x. \' ) d un domaine d autour du point M,, du plan des xy. Les deux coefficients a, et 6, n'étant pas nuls à la fois. ~ n'est pas nul pour Z = /„. L'équation i ^4 ) admet donc inversement une racine et une seule Z = ^(^) qui tend vers t„ lorsque z tend vers ^„=a„H-i6o. et cette racine ^(z) est holo- morphe dans le domaine du point z^,. Nous supposerons qu'on a pris le rayon r de y assez petit pour que (î){z) soitholomorphe dans tout le domaine d correspondant. La relation (24 ) établit alors une correspondance univoque entre les points du cercle 7 du plan des XY et le domaine d du plan des xy, avec conservation de> angles; à l'arc a(3 de AB situé dans d correspond un segment y.'^' de l'axe réel dans le plan des XY. La fonction harmonique u(x,y)

I. — FONCTIONS HARMONIQUES. INTÉGRALE DE POISSON. igS

définie d'un côté de l'arc «(3 se change en une fonction harmo- nique L1(X, Y) des variables X, Y, définie d'un côté du seg- ment y!V de l'axe réel, et il résulte des hypothèses que la suite des valeurs qu'elle prend le long de a'^' est une fonction ana- lytique. Celle fonction U(X, Y) peut donc être prolongée de l'autre côte du segment a'f3', et par suite a(.r, j') peut être pro- longée à travers l'arc a|5.

Lorsque l'arc AB présente des points singuliers, il peut arriver que le prolongement analytique ne soit pas possible à travers l'arc tout entier. Par exemple, la partie réelle do \J x -h iy, qui est posi- tive à droite de l'origine sur l'axe des x^ est harmonique à droite de la parabole semi-cubique y'-=:.x''. La suite des valeurs qu'elle prend sur cette courbe est analytique, car si l'on pose jc = r-, y z= t\ on a ^ X 4- iy := ^ y/i -h it^ et cependant l'origine est un. point singulier pour celle fonction. Ce point divise la courbe en deux arcs réguliers, la fonction harmonique peut être prolongée à travers chacun d'eux, mais les deux prolongements ne se rac- cordent pas à gauche de la parabole.

Si une fonction m (a:, y) est harmonique à l'intérieur d'un con- tour C formé d'un certain nombre d'arcs analytiques réguliers, et prend des valeurs analytiques sur le contour, elle peut être pro- longée au delà de chacun de ces arcs, et les seuls points singuliers possibles sont les points du contour ou se rejoignent deux arcs analvliques réguliers. En particulier, si le contour est formé d'un seul arc analytique régulier, coinme un cercle où une ellipse, toute fonction harmonique à l'intérieur, qui prend des valeurs ana- lvliques sur C. peut être prolongée dans un domaine renfermant ce contour ( ' ).

(') Le théorème de Schwarz prouve que le problème de Caucliy se présente tout autrement pour l'équation de Laplace ([ue pour une équation hyperbo- lique. Soient u{x, y), v{x. y) deux fonctions harmoniques dans un domaine D, à droite de O^, limité en partie par un segment AB de Oy. Si, le long de AB, ces deux fonctions u et v se réduisent à une même fonction dey. f{y), la diffé- rence H — i' est une fonction liarmoni(|ue qui peut être prolontrée à gauche

de 0>-, et par conséquent ■ est une fonction analytique de y le lont; du

segment AB. U s'ensuit qu'on ue peut se proposer de trouver une fonction har- luonique u(x. y) dans le domaine D. se réduisant pour x = o à une fonction

igô CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

II. — PROBLEME DE DIRICHLET. FONCTIOX DE GREE^.

512. Démonstration de Riemann. — On a démontré plus haut que le problème de Dirichlet ne pouvait admettre plus d'une solu- tion (') et trouvé etlectivement cette solution dans le cas où le contour est une circonférence. Nous allons maintenant nous occuper du même problème dans le cas général, et nous repro- duirons d'abord la démonstration par laquelle Riemann établit que ce problème, qn^'dappeWele principe de Dirichlef, admet toujours une solution. Soit D un domaine borné, limité par un contour F composé d'une ou plusieurs courbes fermées distinctes. Nous dirons pour abréger qu'une fonction ^•(j;, >), définie dans D et sur le con- tour r, appartient à la classe (A) lorsqu'elle satisfait aux conditions suivantes : i" elle est continue dans le domaine D, y compris le contour F; 2" elle prend sur ce contour des valeurs données, la valeur en chaque point de F variant d'une manière continue avec la position de ce point; 3" elle admet des dérivées partielles con- tinues des deux premiers ordres en tout point intérieur à D. Nous ne faisons aucune hypothèse sur ces dérivées en un point du contour.

Pour toutes les fonctions de la classe (A), l'intégrale double

donnée /(y) le long de AB, tandis que — est égale à une autre fonction donnée

de^, g{y), ces deux fonctions /(^) et g{y) étant arbitraires.

Soit en effet v{x, y) une fonction harmonique satisfaisant à la première con- dition; la différence — est une fonction anah tique de v le long de AB,

âx ax

et par suite la fonction g{y) est définie, à une fonction analytique près, quand on se donne f(y)-

(>) L'impossibilité de deux solutions pour le problème de Dirichlet peut aussi se déduire de la formule (12 bis) ( n" .ô06). Cette formule prouve, en effet, que si une fonction U est nulle en tout point d'un contour C et harmonique dans le domaine intérieur à ce contour, on a. en tout point de ce domaine

_ = — =0. La fonction est donc constante et par suite nulle, puisqu'elle dy dx

est nulle sur C. Mais cette démonstration suppose que U admet des dérivées continues sur C, ce que n'exige pas la première démonstration.

H. — PROBLEME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 197

est évidemment positive, à moins que u ne soit constant dans D et par suite sur F. Écartons ce cas où la s.olution est évidente, et soit v{x,y) une fonction de la classe (A) pour laquelle l'inté- grale I est minimum. U est facile de démontrer avec Riemann que v{x.,y) est une fonction harmonique. Soient, en effet, r2(a:,>-) une fonction s'annulanl sur F et continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres à l'intérieur de D et sur le contour F lui-même, et a un paramétre arbitraire. La xonction

u = v{x, y)-^<xr^{x, y) est de la classe (A), quel que soit a, et la différence

doit être positive. Or celte différence est égale à

dx dy.

Pour qu'elle soit positive quel que soit a, il faut évidemment que le coefficient de i<x soit nul. En tenant compte de l'idenlilé

<h- fhr <)v f)r , 0 / ài-\ ,) I <h' \

IhcTx-^lh-ô^-^ ^'^'' = irxVTx) ^Ty-y^-y)

et de la première formule de Green (I, n" 123), ce coefficient s'écrit

/ ■''i ( -r- dy r-dx\ — \ / r, Ap dx dy ;

Y) étant nul tout le long de F, on voit que l'intégrale double

r, At' dx dy

Jb

doit être nulle pour toutes les formes possibles de la fonction yj (a:, j^) satisfaisant aux conditions énoncées. Or cela ne peut avoir lieu que si l'on a Ap ^ o en tous les points de D. Supposons en effet qu'on ait At» > o par exemple en un point x^ii y» intérieur à D. De ce point comme centre décrivons un cercle G de rayon p assez petit pour qu'il soit tout entier à l'intérieur de D, et qu'on ait At' >» o en tout point de G. Si l'on prend f]{^x.,y) = o à l'extérieur

198 CHAPITRE XXVH. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

de ce cercle, et

r,(x, y) = [ç'-—{x — x„y-— 0' — >'o )-J"S

à l'intérieur de C, celte fonction est continue, ainsi que ses déri- vées partielles du premier et du second ordre si m>-2, et elle s'annule sur T. Il est clair que l'intégrale double corresj)on-

dante / j i)lvdxdy^ étendue à D, aurait une valeur positive.

La fonction ((x, y) est donc harmonique dans le domaine D.

f^a fin du raisonnement est inattaquable, mais il rej)Ose sur deux postulats, qui paraissaient évidents à Riemann, et dont une cri- tique plus rigoureuse a démontré la fausseté. D'une part, on admet qu'il existe des fonctions de la classe (A) pour lesquelles l'intégrale double T a une valeur finie; d'autre part, on admet aussi qu'il existe au moins une de ces fonctions pour laquelle Tiulégrale T atteint eirectivemenl sa borne inférieure. M. Weierstrass (') a montré d'abord que ce dernier point ne pouvait être admis sans démonstration. Plus récemment, M. Hadamard a fait connaître un exemple simple dans lequel il n'existe aucune fonction de la classe (A) pour laquelle l'intégrale double 1 ait une valeur finie (2).

La méthode de Riemann ne fournit donc pas de démonstration rigoureuse du principe de Dirichlet, mais elle nous offre un exemple d'un mode de démonstration souvent employé en Physique mathé- matique, et qui rend tout au moins vraisemblable le résultat qu'on veut établir.

Remarque. — On a déjà expliqué ce qu'il fallait entendre quand on dit qu'une fonction harmonique dans un domaine D prend une valeur donnée en un point du contour. Si l'on n'a pas égard à la signification précise de l'énoncé, il peut sembler que le problème de Dirichlet admet dans certains

cas plusieurs solutions. Par exemple, la fonction u = f — s'iin-

nule en tout point du cercle C qui a pour équation x^-\- y- — 2 j: = o, et i;lle

est harmonique dans ce cercle, car c'est la partie réelle de i — -; en :"jon-

tant Kii à une autre fonction harmonique dans C, il semble qu"f)n aiirii une

(') Weierstrass, Mathematische Werke, t. II, p. 49-

(-) Bulletin de la Société mathématique, t. XXXIV, p. i35. Dans cet exemple, le contour T est un cercle, et par conséquent le problème de Dirichlet admet bien une solution (voir Exercice h).

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 199

infinilt- de fondions harmoniques dans C, prenant les mêmes \aleurs sur le contour. l'our expliquer ce paradoxe, il suffit d'observer que la valeur de u{x, y) en un point P intérieur au cercle C et voisin de l'origine ne tend vers aucune limite lorsque ce point P tend vers l'origine. Il est donc inexact de dire que la fonction u{x, y) est nulle à l'origine.

513. Méthode de C. Neumann. — On doit à M. G. Neumann ( ' ) une méthode célèbre pour résoudre le problème de DiricHlel dans le cas d'un contour convexe^ ne présentant qu'un nombre fini de points anguleux. Nous allons exposer, avec quelques modifications de détail, celte mélhode qui est fondée sur les propriétés du poten- tiel de double couche. Pour fixer la position d'un point M sur le contour fermé C, nous prendrons pour paramétre variable la lon- gueur s de l'arc' AM compté à'parlir d'une origine arbitraire A. Toute fonction qui a une valeur déterminée en chaque point du contour est alors une fonction /(a) de période /, si /est la longueur du contour ferme. C'csl uniquement afin de préciser les notations que nous adoptons celte convention; les résultais eux-mêmes sont absolument indépendants du choix du paramètre. Soit i^-is) une fonction continue sur C; nous avons démontré (n" ^iOo) que le potentiel de double couche

-., C C0S9 ,

J[i:) ''

est une fonction harmonique dans C, qui en un point de ce con- tour, d'abscisse curviligne x^ prend la valeur

(.,; , »•, V . = -.T.^x^x) -^ y [,a( .• > - a(^)] (^^^)^ ds.

OÙ ( — ^ ) est mis pour 2l!l2f , y ^. éiant la distance du point x au poinl variable s, et cp, l'angle de la direction sx avec la normale intérieure au contour en s. Celle formule (27) est générale et s'applique aussi aux points anguleux du contour.

Cela étant, soit/(6-) une fonction continue donnée de période /. [^our résoudre le problème de Dirichlel, nous chercherons avec

(') Untersurhungen iiber das logarithmische und Newtonische Polential (Leipzig, 1877).

200 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

Neumann une foncllon auxiliaire iJ-{s), conlinne et de période l, telle que le potentiel de double couche W, représenté par la for- mule (26) à l'intérieur de C, prenne précisément la valeur /(a?) en chaque point de C II faut et il suffit pour cela que cette fonc- tion iJ-{s) vérifie la relation fonctionnelle

(28)

T.^(x) + filais) - a(.r)] (^)/* =/('^):

nous allons résoudre celte équation intégrale par une méthode d'approximations successives qui sera rattachée plus tard à une théorie générale. Pour cela, écrivons cette équation en introdui- sant un paramètre X, qu'on fera ensuite égal à l'unité {cf. n^'AdA),

(29) ^{x) = -^/{j-)-^ -^J^[^{x)-ix{s)](^\ ds,

et cherchons un développement de la forme

Cio) {^(■^)=-^[.'^o(J-) + Xa,(x) -+-... -^X>„(.r) -h... ]

satisfaisant /orme//eme/i/ à l'équation (29). On trouve ainsi suc- cessivement

iia(x)—/{x), iXi(x)=-^ I [ij.o{x) — ixo{s)]('-^^\ ds,

et, d'une façon 2;cnérale.

(•il) ^a„(.r) = ^y[,.„_,(^)-a„_,r.Ol(^)

ds.

Il est clair que toutes ces fonctions [J-i{ic) admettentla période /; si elles sont continues, et si la série (3o), où l'on fait > = i, est uniformément convergente, la somme \i-{x) est une fonction con- tinue qui satisfait bien à la relation (28). On le vérifie immédia- tement en intégrant terme à terme la série qui donne le déve- loppement de \i-{s) — \^{^) 6t en tenant compte des relations (3i). Il suffira de remplacer \i-{s') par la fonction ainsi déterminée dans la formule (26) pour avoir la solution du problème de Dirichlet.

Nous allons maintenant examiner les points qu'il reste à établir pour que cette solution ne soit pas purement formelle. En premier lieu, les fonctions ^i{x) sont coAî/mue^. D'une façon générale, si/(a7)

n. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 201

est continue, il eu est de même de la fonction

/i(.-)=^j^[AO-/(-)](^)/^: eu effet, x^ étant une valeur quelconque de ar, nous pouvons écrire

Le raisonnement de la page 178 s'applique ici sans modification et prouve que la première intégrale est une fonction continue de x pour a; = j7o, et il en est évidemment de même de la seconde partie. On voit ainsi, de proche en proche, que toutes les fonctions /jl,^ jULa, . . . sont continues.

Pour prouver la convergence uniforme, nous allons d'abord établir deux lemmes relatifs aux contours fermés convexes.

Lemme I. — Soient P,, P2 deux points quelconques de C, elC une portion quelconque de C, pouvant se composer de plusieurs arcs distincts, il est à peu près évident, d'après sa signification géométrique, que l'intégrale définie

est moindre que tt en valeur absolue. Pour qu'elle fût égale à tt, par exemple, il faudrait que la première intégrale fût égale à tt, et la seconde nulle. Or la première intégrale ne peut être égale à r. que si C se confond î\vec le contour C, ou si C se compose d'un arc AB joignant deux points A et B, le point \\ étant sur le seg- ment de droite AB; dans les deux cas, la seconde intégrale ne peut être nulle, à moins que C ne soit le contour d'un triangle. La valeur absolue de I reste donc inférieure à un maximum hiz-, h étant un nombre positif inférieur à Vunilé^ qui ne dépend que du contour C( ' ), et nullement de C.

Lemme II. — Soit/(5) une fonction positive ou nulle en chaque

(') Cette conclusion ne peut passer pour absolument rigoureuse; mais il est clair qu'elle est exacte pour les contours convexes tels que ceux que l'on con- sidère habituellement.

202 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

point de C et J l'intégrale

Partageons C en deux parties d et C2, telles qu'on ail sur G| et

(^),„<(^)„,

sur C2, et soient J, et J;, les intégrales étendues à C, et C2 respec- tivement. On a J = J, + Jo, et, par suite. | J | est inférieur au plus grand des deux nombres J, et | Jo j. Soit L une limite supérieure def{s); d'après le lemme prccédjent. chacun de ces deux nombres est inférieur à Lx hii. On a donc aussi lJ!<7rAL, quels que soient les points P, et Po.

Cela posé, soient M et m le maximum et le minimum de f{s) sur C; P, et Pj étant deux points du contour, nous pouvons écrire

IM(scO - :x,(:r2) = -^ ïu.o{Xi)J^ \^ ) ^ ^^' ~ M-^î) f (^ ) /'«

-f:X[('^)..,-(^^)J--

Si les points P< et Po ne sont pas des points anguleux, la dernière intégrale est nulle, et la valeur absolue du premier terme

■ r. ■ , M ^ — m r\, ,

est intérieure a -• U autre part, \i.,\s] — m, reste compris

entre o et M — m, et par suite, d après le lemme II. la vahnir

absolue du premier terme de la seconde ligne est inférieure à '■ A.

Par conséquent, la valeur absolue de rjL,(^j?,j — fji, (x._,) est infé- rieure à (M — m) ( — — ) = (M — m)o.o étant un nombre positif inférieur à un. La fonction 'j.y(x) étant continue, cette inégalili"

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE CREEN. 2o3

a lieu quels que soient les points P, et Pj. Par conséquent, en appelant M, et m, le maximum et le minimum de p,(oc), on a l'inégalité fondamentale

(32; M,— »*,<(M — m)p.

Ou en déduit, de proche en proche, qu'on a, en général,

M<— /w,< (M — /n)p',

Mi cl m, élant le maximum et le minimum de la fonction /jl,. La valeur absolue de iii_i {jo) — p,_, (s) restant inférieure ou au plus égalé à M, — m,, on a donc a fortiori, d'après la formule (3i ),

;ji„(x)j < i(M — m)p''-S

et, par conséquent, la série (3o) est uniformément convergente pour 'k=zi. La somme p-(-t) de cette série est une fonction con- tinue qui satisfait à l'équation fonctionnelle (28), et en rempla- çant fjL par cette fonction dans la formule (26) on a la solution du problème de Dirichlet pour le contour convexe C

Exemple. — Supposons que G soit une circonférence de rayon R : on

il dans ce cas ( j = -^ , quel que soit le point x du contour. On a

donc inimédialenient, en prenant ixo=/{x),

M^) = l_[/U) - k], où K = -L^J/(s) ds, et la relation de récurrence (3i) donne ensuite, quel que soit n,

On a donc ai jr 1 = ^/{x) — j—rn f /(*) ^*' ^^ «" remplaçant fz par celte

expression dans la formule (26), on retrouve Tmlégrale de t'oisson (16). où l'on aurait écrit Um à la place de/( *). D'ailleurs, dans ce cas particulier, l'équation ( 2S) est facile à résoudre directement. On voit, en effet,

f(x) -h H que [x{x) est de la forme • , H élant une constante qu'on déter- mine en remplaçant fJt(x) par cette expression dans l'équation (28 ),

La méthode de Neumann et la méthode analogue dans l'espace pour les surfaces convexes ont été étendues à des cas plus gêné-

2o4 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

raiix par différeats géomètres ('). L'extension la plus importante résulte des travaux de Fredholm et sera exposée plus tard.

On doit à M. Poincaré une méthode absolument générale, dite méthode du balayage (-), pour résoudre le problème de Dirichlet dans l'espace. M. Paraf (■') a montré que cette méthode s'applique aussi, moyennant quelques modifications, au problème de Dirichlet dans le plan. Le principe de la méthode de M. Schwarz sera indiqué [)lus loin.

S14, Généralisation du problème. — Il y a intérêt, pour certaines recherches, à étudier un problème un peu plus général que celui de Dirichlet. Soit D un domaine limité par un contour fermé C que nous supposerons forme d'une seule courbe. A cliaque point M de C faisons cor- respondre un no»bre Um variant en général d'une manière continue avec la position du point M, sauf en un nombre fini de points de discontinuité de première espèce (I, n" 0), et proposens-nous de trouver une fonc- tion u{x, j) harmonique dans D, et pr£nant la valeur Um en tout point du contour C où U est continue.

On ne fait a priori aucune hypothèse sur la nature de la fonction cher- chée u{x^ >•) dans le voisinage d'un point de discontinuité de IJ sur le contour; il n'y a donc pas lieu de parler de la valeur de u{x, y) en un de ces points. Si Von sait résoudre le problème de Dirichlet pour le con- tour C, on peut toujours trouver une solution du problème généralisé.

Soit A, (a,, p,) un point de discontinuité de U sur G; lorsque M tend vers ce point A,, Um tend vers deux limites différentes a,, é»,, suivant que le point M décrit C dans le sens direct ou dans le sens inverse. Cela posé, la fonction suivante, où l'on a choisi pour arc tang une détermination par- ticulière quelconque,

W,(.r,j)=^i^arclangZ^;,

est une fonction harmonique dans D, et la valeur (W,).h qu'elle prend en un point M du contour varie d'une manière continue avec la position du

(') Poi.NCARiî, La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet (Acta niathematica, t. XX). Ce Mémoire est fondamental dans celte théorie. On trouvera dans un article récent de M. Bouligand sur les Fonctions harmoniques (Mémorial des Sciences mathématiques, fascicule XI, 1926) une bibliograpliie complète des derniers travaux sur ce problème; le théorème de la moyenne joue un rôle essentiel dans quelques-uns de ces Mémoires. ,(') American Journal 0/ Mathematics, t. XII.

(^) Armales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VI, iSp.

II, — PROBLEME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 205

point M, sauf au point A, où elle présente la même discontinuité que la fonction donnée U. Ceci suppose toutefois que ce point A, n'est pas un point anguleux du contour; si ce point était le point de rencontre de deux arcs se coupant sous un angle w, on devrait remplacer ;: par w dans le dénominateur de la formule précédente. Opérons de même avec tous les points de discontinuité A], Aj, .. ., A„ de U. La différence

Wm=Um-2(W0>

varie d'une manière continue avec la position du point M sur C, même aux points où U est discontinue. Soit i'{x,y) la fonction harmonique dans D qui prend la valeur Wm en chaque point M de C; la fonction

n

(33) u{x,y) = ^ix,y)^^\yiix,y)

est utfe fonction harmonique dans D, et, d'après la façon dont elle a été obtenue, elle prend bien la valeur Um en tout point du contour G qui n'est pas un point de discontinuité pour U. C'est donc une solution du problème généralisé, et la recherche de cette solution est ramenée à la reclierche de p(x, j), c'est-à-dire au problème de Dirichlet.

La formule (33) met en évidence l'allure de u{x,y) dans le voisinage d'un des points de discontinuité de U sur le contour; elle est la somme d'une fonction qui tend vers une limite déterminée, et d'une expression de

y — 3

la forme K arc tang , qui n'a pas de valeur déterminée au point (a, \i).

Remarquons seulement que cette fonction est bornée dans D. Nous ne pouvons pas affirmer que u{x, y) est la seule solution du problème géné- ralisé, mais elle est la seule qui reste bornée dans tout le domaine D. Nous le déduirons d'une élégante proposition llue à M. Zaremba (Bulletin de r Académie des Sciences de Cracovie, 1909).

Soit u{x, y) une fonction harmonique à Vintérieur d'un domaine D limité par une courbe C, et prenant la valeur zéro en chaque point de C, sauf en un nombre limité de points Ai, A2, . . ., An, pour lesquels

I , u(x, y) on sait seulement que le rapport — ^^-^ tend vers zéro en même temps

que la distance ;•,• du point A, à un point quelconque (x, y) de D. Cette fonction u(x, y) est nulle dans tout le domaine D.

l£n effet, soient t un nombre positif arbitraire et H un nombre supérieur à la distance de deux points quelconques du domaine D. Il est clair que la fonction auxiliaire

n

H\.

v{x,y) = ^2*^^ (7* y/

2o6 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

est une fonction harmonique dans 1», qui est posili>e dans ce domaine et sur le contour C, où elle est continue sauf aux points A,. De chacun de? points Xi comme centre décrivons un cercle de rayon très petit p, et soit 7, l'arc de cercle intérieur à D. Si du domaine D on retranclie les portions comprises dans ces petits cercles, on obtient un domaine Dp limité par des portions du contour primitif et les arcs i,. D'après l'hypothèse sur u(iC,j), on peut choisir le nombre p assez petit pour que les deux expressions

i'{x, y) -+- u{x. y), i-(x, y) — u{x, y),

soient positives sur les arcs a,. En effet, chacune de ces expressions est la somme d'une partie régulière dans le domaine du point A, et d'un terme de la forme (t,, — e) logr,-, rj, étant infiniment petit avec p. Le nombre p ayant été choisi de celle façon, les deux fonctions i--{x, y) -^ u{j-. y), v{x,y) — ii{x, y) sont harmoniques dans Dj. et positives sui- le contour de ce domaine. On a donc, en tout point de ce domaine, \ u{x. y) < v{x, y). Étant donné un point quelconque M dans D, on peut toujours choisir le rayon p assez petit pour que ce point M soit aussi dans Dp, et par suite l'inégalité précédente est établie |)our tout point de D. On peut évidem- ment choisir le nombre positif arbitraire z de façon qu'en un point déter- miné v(Xjy) soit inférieur à un nombre donné à l'avance. L'inégalité ne peut donc subsister quel que soit e que si l'on a u{x, y) = o.

Il est clair que la conclusion s'applique en particulier si la fonction har- monique u{x,y), satisfaisant aux autres conditions de l'énoncé, reste bornée dans D. Cela étant, si le problème de Dirichlet généralisé admettait deux solutions bornées dans D, leur différence serait une fonction harmo- nique bornée dans D, et prenant la valeur zéro sur le contour, sauf en un nombre limité de points; cette différence, nous venons de le \oir, doit être identi(]ueinent nulle.

He marque I. — Si l'on n'impose pas à la fonction harmonique la con- dition do rester bornée à l'intérieur de D, le problème généralisé peut admettre une infinité de solutions. Supposons par exemple que G soit le cercle x- -h y- — -xx = o, et que l'origine soit le seul point de discontinuité pour U sur ce contour. En ajoutant à la solution «(.r, » ) du problème

. . .• . • . ..,,-• j r- n ■ I ^'-^ )2— 2./-

généralise, qui reste bornée a rintcrieur de L, I expression K ^^ — i

où K désigne une constante arbitraire, on obtient une infinité de solutions du même problème, mais ces solutions ne sont pas bornées dans le domaine {cf. n" 312, Remarque).

Remarque II. — Soient L et / le maximum et le minimum de la fonc- tion discontinue L sur C: la fonction iiarmonique u{x, y) représentée par la formule (33) reste comprise entre L et / dans le domaine D. Pour

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 207

démontrer, par exemple, que u{x, y) ne prend aucune valeur supérieure

n

à L, il suffit de remplacer p(a:, y) par L -+- c 7,'og( — ) dans le raison-

nement de M. Zaremba. La fonction harmonique v{x, y) — ii{x, y) étant positive sur le contour du domaine Dp, pourvu que p soit assez petit, est positive en tout point du domaine D, et, comme i est un nombre positif arbitraire, ceci ne pourrait avoir lieu si u{x, y) était supérieur à L. On voit de même que ii.{x, y) ne peut prendre de valeur inférieure à / en un ])oint de D ; u{x, y) ne peut prendre les valeurs L et /, car cette fonction aurait alors un maximum ou un minimum dans D {cf. n" 503).

Dans le voisinage d'un point de discontinuité A de la fonction U sur le contour C, nous avons déjà observé que u{x, y) est de la forme

u{x, y) = V{.r, y) -+- K arc tang -■>

V(ar, y) tendant vers une limite déterminée lorsque le point {x, y) tend vers A. Si le point (.r, y) tend vers le point A suivant une courbe, dont la tangente en A n'est pas tangente au contour C, la valeur limite de arctan^ est comprise entre les valeurs du même arc pour les deux direc- tions des tangentes au contour G issues de A, et par suite la valeur limite de u{x, y) est comprise entre les deux valeurs limites a et 6 de la fonc- tion Uji lorsque le point M tend vers A sur le contour C.

oln. Méthode alternée de Schwarz. — On doit à M. Schwarz un pro- cédé alterné, applicable à beaucoup d'autres problèmes, permettant de ])asser d'un contour convexe à d'autres contours beaucoup moins particu- liers. Ce procédé repose sur un lemme que nous allons d'abord établir.

Soit C un contour convexe ou, |)lus généralement, un contour fermé pour lequel on sait résoudre le problème de Dirichlet, et soit inn un arc situi' dans le domaine D limité par C, et joignant deux points m et n de ce contour sans être tangent au contour en aucun de ces points. Les points m et u divisent C en deux parties Go et Ci; a]>pclons u{x^ y) la fonction liarmoni(iue et bornée dans D, considérée au numéro précédent, qui prend la valeur zéro sur Gq et la valeur un sur Ci. Cette fonction est positive et infi'rieure à l'unité en tout point P de l'arc jnn, et si le point P tend vers l'un des points m ou /?, on a fait observer que u\> tend vers une limite comprise entre zi-ro et un. La fonction afd7,v) reste donc inférieure, tout le long de nin. à un nombre positif q inférieur à l'unité. Soit, d'autre part, r(.r, y^ une fonction harmonique dans D, prenant la valeur zéro sur Gq, et dont la valeur absolue reste plus petite qu'un nombre positif ,;' le lonf; de d; nous Supposerons, pour fixer les idées, (|ue v{.r,y) prend une \aleur dé'terminée en chaque point du cont(jur, et que cette valeur \arie d'une manière continue. Les deux fonctions git -\- r, ,a'/' — »" sont harmoniques et bornées dans le domaine D, nulles sur Co et posilixes

2o8 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

sur Cl ; elles sont donc positives en tout point de D, et la valeur absolue de i>{x, y) est inférieure à gu. En particulier, le long de l'arc mn, la valeur absolue de i>{x, y) est inférieure À gq\ il est à peine besoin d'ob- server que le nombre q, qui a été défini tout à l'heure, ne dépend que du contour G et de l'arc mn, et nullement de la fonction v{x, y): Il est clair que la propriété subsiste si Cq et Ci se composent de plusieurs arcs distincts: on peut aussi remplacer l'arc mn par un système de plusieurs arcs intérieurs à D et joignant des points de Co ou des points de séparation de C» et C|. Le raisonnement qui précède s'applique sans modification.

Pour exposer la méthode de Schwarz, plaçons-nous maintenant dans le cas le plus simple, celui d'un domaine tP résultant de la superposition de deux domaines 6, D', limités par deux contours fermés C, C, qui se coupent en deux points seulement m et n (Jig. 94) sans être tangents. On

Fig. 94.

suppose que C et C sont des contours convexes ou, plus généralement, qu'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour chacun des domaines D et D'. Les deux points m et n divisent C et C en deux arcs distincts (a, a) et (6, P). A l'arc a correspond un nombre positif inférieur à l'unité relativement au contour C. et de même à l'arc ^ correspond un nombre positif inférieur à un relativement au contour C, nous désignerons par q le plus grand de ces deux nombres.

On suppose donnée une succession continue dé valeurs sur (a, b^, c'est- à-dire sur l'ensemble des deux arcs a et b. Formons une fonction j/i, har- monique dans D, prenant sur a les valeurs données et sur a une succession

II. — PROBLEME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN.

209

coBtinue de valeurs unii|ueinenl assujettie à la condition de prendre en m et n les mêmes valeurs que la première. Cette fonction mi, prend certaines valeurs sur l'arc p. Formons ensuite une fonction v^, harmonique dans D', prenant les mêmes valeurs que ui sur [3 et les valeurs données sur b ; puis une fonction m,? harmonique dans D, prenant les valeurs données sur a, et les mêmes valeurs que vi sur a, et ainsi de suite alternativement. Nous obtenons ainsi deux suites indéfinies de fonctions («1, m,, ..., Un, ...) et (fi, Vi, ..., Vn, ...), Les fonctions a, sont harmoniques dans D, et prennent les valeurs données sur a; les fonctions vi prennent les valeurs données sur b et sont harmoniques dans D'. De plus Un et Vn prennent les mêmes valeurs sur ,3, tandis que «„ et ('„_, prennent les mêmes valeurs sur a. Nous allons montrer que, dans les domaines D et D' respective- ment, les fonctions Un et Vn. tendent vers une limite lorsque n croit indéfiniment.

Soit g une limite supérieure de ] m.— «i i sur p; v^—Vi est nul sur b et égal à «2 — «1 sur 3; la valeur absolue de v> — v\ est donc inférieure à gq sur a. La fonction m- — Ui est nulle sur a et égale à v-i — Vy sur a; on a donc aussi ' «^ — "2 ' < q-i ^ sur |B. En continuant ainsi, on voit de procl^e en l)roche qu'on a Un-^\— Un , <7-"~' g sur .3, et | Vn+\ — Vn !<y^""~' ^sur a. La série

«l -t- («2— «1) -+-• • •-•- {Un— Un-i) -+-...

est donc uniformément convergente sur le contour (a a) et par suite unifor- mément convergente dans le domaine D, d'après le théorème de Harnack. La somme de cette série U {x, y) — lim Un {x, y) est une fonction harmo- nique dans D, qui prend les ^aleu^s données sur a. On voit de même que Vn a pour limite une fonction \{x,y) harmonique dans D', qui prend

Fig. 95-

les valeurs données sur b. Ces deux fonctions L et ^■ prennent les même- valeurs sur a et sur p, puisqu'on a a„ = v,i sur ,3, et «„ = f„_i sur a; elles coïncident donc dans le domaine limité par les arcs a et [3. Par suite, la

COURSAT. — III.

210 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TY^E ELLIPTIQUE.

fonction F{x, y), qui est égale à U dans D et à V dans D' est harmonique dans tout le domaine (X> et donne la solution du problème de Dirictilet pour ce domaine.

La méthode s'étend d'elle-même à des cas beaucoup moins simples, où les contours C, C se coupent en plus de deux points, ou même ont cer- taines parties communes. Dans le cas de la figure 95", les contours C, C ont quatre points communs m, n, p,q\ on a marqué sur la figure les arcs qui doivent remplacer les arcs a, b, x, [j dans le raisonnement. Dans le cas de la ligure gi*^, les contours C et C sont les contours nmpqrstzm et instqrnpzin qui ont certaines parties communes. En remplaçant dans le raisonnement a par arcs npqr et .mzts, a par nin et rs, b par qrnp et tsniz, (i par tq et zp, on voit que, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour les domaines limités par C et C, on pourra le résoudre pour le domaine limité par les deu\ contours niztsm et nipqrn.

Le dernier exemple montre comment on peut passer d'un domaine limité par un seul contour à un domaine limité par plusieurs contours.

Application. — I)e la solution du problème de Dirichlet, M. Lebesgue (') a déduit une démonstration très simple du premier théorème de M. Picard établi plus haut (^p. 172). Soit u{x. y) une fonction harmonique bornée et régulière en tout point d'un domaine D. sauf peut-être en un point A de ce domaine. Du point A comme centre, décrivons deux cercles G et c de rayons R et p respectivement (p<R), situés dans le domaine D. Soit v{x, y) la fonction harmonique régulière à l'intérieur de C qui est égale à u{x, i ) le long de C; la méthode de M. Lebesgue consiste à montrer iju'en tout point (.r, 1} intérieur à C, distinct du point A, on au = »•.

Si M est une limite supérieure de la valeur absolue de u [x, y) dans le domaine D, la valeur absolue de inx, y) le long de C. et par suite à l'in- térieur de C, est aussi inférieure à M. Soient ii^ix^y), u.(x.y) deux fonctions harmoniques régulières dans la couronne comprise entre C et c, égales à u{x, y ) le long de C. et égales à ■+- M et à — AI respectivement le long de c. La différence ui — u est positive sur c, nulle sur C, et, comme elle ne peut avoir de minimum entre C et c, on a dans ce domaine U], — u >o, On demanderait de même les inégalités.

u — «2 > O. U| — c > o, c — //2>o.

On a donc dans la couronne circulaire considérée u — r ' < //, — 11^.

La l'onction harmonique «1 — a,. <jui est égale a ;> M sur c et nulle sur C.

{'^ ) Comptes rendus, t. 176, 19^3. p. 1097.

II. — PROBLÈME DE DIRICHLBT. PONCTION DE GREEN. est doDC identique à

2 M

logR — log/- logK — logp'

/• étant la distance du point {x, ^■) au point A. Étant donné un point quelconque {x, y) intérieur à C, et différent du centre, on peut choisir le nombre p < r assez -petit pour que l'expression précédente soit infé- rieure à un nombre positif s. choisi arbitrairement. On a donc bien en tout point de ce domaine u(x, y) = v(x, y).

La démonstration s'étend aux fonctions harmoniques dan* l'espace en

remplaçant logr par —

516. Problème extérieur. — Nous n'avons étudié jusqu'ici les fonctions harmoniques que dans un domaine borné. Considérons maintenant un domaine (D formé de la portion du plan extérieure à un contour fermé F, et soit u{x. y) une intégrale de l'équa- tion Am ==: o, régulière en tout point (a, b) de CO. Pour étudier cette fonction lorsque x el y augmentent indéfiniment, il suffit de faire une transformation par rajons vecteurs réciproques, par

exemple de poser x = -7^^ —, y = -^ — j^- A la portion du

plan des xy, extérieure à un cercle G de rayon R, situé dans (D, ayant' pour centre l'origine, correspond sur le plan x'y'un cerclée

de rayon -p- La fonction u(x^ y) se change en une fonction

u'(x', y) = u ( -TT^^ ^75 -r^ -A

qui est aussi une intégrale de l'équation de Laplace (n^oOS), et qui est régulière en tout point de c, sauf peut-être à l'origine. Si cette fonction u'{x' y') est aussi régulière à l'origine, elle est harmo- nique dans c, et nous dirons que la fonction u{x, }■) est régu^èrc. à Vinfini. A l'intérieur de c la fonction u'{a:f , y') peut être déve- loppée en série de la forme

(34)

v,n {x\ y') étant un polynôme harmonique homogène de degré m (n" 503). E^n eftectuant la transformation inverse, on en déduit que,

212 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

à l'extérieur de C, la fonction u(a:, y) est développable en série de la forme

m = 0

inversement cette forme de développement caractérise une fonction harmonique régulière à l'infini, car on remonte immédiatement de la série (35) à la série (34).

On s'est proposé, pour le domaine (O formé de la portion du plan extérieure à un contour fermé F, un problème analogue à celui de Dirichlet :

Trouver une fonction harmonique dans le domaine tO exté- rieur au contour F. régulière à Vinjini^ prenant sur F une suite continue de valeurs données.

C'est ce qu'on appelle le problème extérieur relatif au con- tour F; par opposition, le problème dont nous nous sommes occupés jusqu'ici s'appelle \% problème intérieur. Le problème extérieur relatif à un contour fermé F se ramène au problème inté- rieur pour un autre contour F'. En effet, soit O un point intérieur au contour F; une transformation par rayons vecteurs réciproques avec le point O pour pôle remplace F par un contour F', et le domaine 6^ extérieur à F par un domaine (^ intérieur à F'. D'autre parb, toute fonction harmonique uix^^y) dans (^, régulière à l'infini, se change en une fonction u{x' y') harmonique dans Ô)'. La suite des valeurs de u(j;, y) le long de F étant donnée, on connaît par là même la suite des valeurs de u' le long de F'. Si l'on sait résoudre le problème intérieur pour le contour F', on en déduira donc la solution du problème extérieur pour le contour F.

Remarque. — Étant données deux fonctions U et \', harmoniques à l'extérieur d'un contour T, et régulières à l'infini, on peut leur étendre la formule générale (ii). En effet, considérons une circonférence auxiliaire C, ayant pour centre un point fixe O, et renfermant tout le contour T à Tinté- rieur. Les deux fonctions U et V étant liarmoniques dans le domaine limité par les courbes G et T, on peut^appliquer la formule (u) à l'ensemble de ces deux courbes. Lorsque le rayon R et C croît indéfiniment, l'inté-

1 j o j - ^ â\} d\]

grale provenant de L tend vers zéro; en effet, -;— j -r— ? ... et iiar suite

ox oy

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 21 3

dU dV j • /. . • . 1, 1 j ' 1,- . ■ . .

—ri -r- sont des infiniment petits de Tordre de -r— > et lintegiCile le lonir dn dn ^ I^a o e>

de C est de la forme - / ¥ do, la fonction F restant finie. Il reste donc la relation

les dérivées étant prises suivant la direction de la normale extérieure à T. Il est à remarquer que la formule (i3) ne s'étend pas de la même façon à une fonction harmonique à l'extérieur de F (cf. Exercice 6).

517. Représentation conforme. — Le problème de la repré- sentation conforme ofl're des liens étroits avec le problème de Dirichlet. Soient D, D' deux domaines bornés, limités par deux contours C, C, tels que l'on connaisse une transformation con- forme qui établit une correspondance uuivoque entre les points de D et de D' de C et de C. Toute fonction ii harmonique dans le domaine D se change, par celte transformation, en une fonc- tion u' harmonique dans I)', et il est clair que, si l'on qpnnaît les valeurs de u le long de C, on connaît aussi les valeurs de w' le long de C. On saura donc résoudre le problème de Dirichlet pour le domaine D' si l'on sait le résoudre pour le domaine 0. En parti- culier, étant donné un domaine D limité par une seule courbe fermée C, on saura résoudre le problème de Dirichlet pour ce domaine si l'on sait elfectuor la représentation conforme de D sur la surface d'un cercle. Inversement, Riemann a démontré la pos- sibilité de celte application conforme en se servant du principe de Dirichlet.

Soit L = /(^) la fonction analytique qui permcjt d'effectuer la représentation conforme dun domaine D sur un cercle de rayon un; la fonction /(;:) doit être holomorphe dans D, et pour tout point de ce domaine ou doit avoir |/(-) | < • • De plus, à une valeur de Z de module inférieur à un. doit correspondre un point ^ et un seul dans D. Soit So = « + 6i le point D qui correspond à Z = o ; réquation/(5) = o doit admellre la seule racine z^= z^ à l'intérieur de ce domaine, et par conséquent /(;) doit être de la forme (5 — 5o)e'^'^\ 7r(c) élanl une fonction holomorphe dans D,

2l4 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

ce qu'on peut encore écrire, en remplaçant r;(z)par P -h Q f,

Z = elogr+P-,-/,?-t-Q.^

r et 9 étant le module et l'argument de ;: — z^- Pour tout point du contour C on doit avoir | Z | = i , et par suite P 4- log r = o. La fonction P ( a;,y) doit donc être harmonique dans D et prendre les mêmes valeurs que — log /' sur le contour C. Nous sommes ramenés à un cas particulier du problème de Dirichlet. Supposons qu'on sache résoudre ce problème pour le domaine considéré; à la fonction P (x^r) harmonique dans D, on peut alors adjoindre une autre fonction harmonique dans D, et définie à une constante additive près, de façon que P 4- Q « soit une fonction holomorphe de z dans D. Il nous reste à examiner si la fonction ainsi déter- minée

Z = (2 — Zo)eP-+-'Q=e"^'''

satisfait bien à toutes les conditions requises. Nous pouvons remarquer tout de suite que la constante dont dépend Q n'a aucune importance dans la question, car un changement dans la valeur de cette constante revient à augmenter l'argument de Z d'un angle constant sans changer le module.

i" A tout point z intérieur au contour C correspond un point Z intérieur à la circonférence F de rayon i décrite de l'origine pour centre dans le plan de Z. En effet, la fonction m = P + logr tend A ers — 00 lorque z tend vers Zq', on peut donc, du point z„ comme centre, décrire un cercle c de rayon p assez petit pour que u soit négatif dans ce cercle. La fonction u étant harmonique dans le domaine compris entre C et c, et nulle sur C, est négative en tout point compris entre C el r. Le rayon p pouvant être pris aussi petit qu'on le veut, la fonction u est négative en tout point z inté- rieur au domaine D, et par suite on a bien | Z | <; i .

2" Inversement, soit Z un point quelconque intérieur àF; l'équa- tion/(s) = Z a une racine et une seule dans le domaine D. Cela est évident pour Z = o. Considérons maintenant un nombre négatif quelconque m. Sur tout arc de courbe joignant le point j,, à un point de C, il v a au moins un poinl pour lequel u(x.r) prend la valeur m puisque u varie sur cet arc de — x à zéro. Le lieu do

II. — PROBLEME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 210

ces points forme une ou plusieurs courbes fermées, car la courbe analytique u{x,}') = m ne renferme que des points ordinaires ou des points multiples à tangentes distinctes (n" o03); de plus, un arc analytique ne peut rencontrer cette courbe qu'en un nombre Jini de points, puisque le long d'un arc de cette espèce u{x,y) est une; fonction analytique d'un paramètre. Je dis que celle courbe se compose d'une seule courbe fermée C,,, entourant le point -So- En effet, dans tout autre cas. elle déterminerait un domaine S. à l'intérieur duquel u{x.y) serait harmonique, tandis qu'elle aurait une valeur constante sur le contour; elle se réduirait donc à une constante. La courbe C„, décompose ainsi le domaine D en deux régions, une région intérieure renfermant le point .s,, pour lequel on a u<,m, et une région annulaire comprise entre C,,; et C pour lequel on a ?< >> m. Lorsque tu varie de — oc à zéro, on a une fiimille de courbe C,„ s'enveloppant mutuellement, partant <j'une courbe fermée infiniment petite autour de z„. et se rappro- chant de plus en plus du contour C lorsque ni tend vers zéro. Imaginons que le point z décrive la courbe C,„ dans le sens direct; le point correspondant Z décrit un cercle de rayon f-;'"- en marchant toujours dans le même sens. Soit en effet s l'arc de C,„ compté positivement dans le sens direct; l'argument de Z est égal

/-w r 1 • f^^' du , „ v^.no\ . dv

a t' = 9 -t- (^. La relation -^ = — -7- (n ' oOo) montre que y- est

positif puisque la dérivée -^ prise suivant la normale intérieure

est évideuiment négative; l'argument v va donc constamment en croissant et, comme cet argument augmente de 27: lorsque z décrit la courbe C„i, il s'eusuit qu'à tout point de (\m correspond un point et un seul du cercle |Z| = ^"', et inversement Cela posé, étant donné un point quelconque Z = e"' ^"' intérieur r(m-<o), tout point racine de /(c) = e'""^'" doit être sur la courbe C„j, et il est évident qu'il y a un point el un seul de celle courbe pour lequel t^ ;= « -h 2 K tt.

3" Il reste à démontrer que les contours C et F se correspondent aussi point par point d'une façon univoque. Riemann ne semble pas s'être préoccupé de ce point qui n'est nullement évident. Lorsque le point z s'approche d'un point M de C, P H- logr tend bien vers zéro, et le module de Z tend vers l'unité, mais nous ne

2l6 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

pouvons rien affirmer jusqu'ici sur l'allure de la fonction Q{x,y) dans le voisinage du point M. En effet, cette fonction Q se déduit

par des quadratures des dérivées ^j -y-; il n'est nullement sûr

a priori que ces dérivées conservent des valeurs finies sur C, et il pourrait arriver que Q ne tend vers aucune limile, ou que son modul(î augmente indéfiniment; l'argument de Z ne tendrait lui-même vers aucune limite lorsque z tend vers le point M.

On lève tout de suite la difficulté lorsque le contour C est formé d'un seul arc analvlique régulier. La fonction P{x, y), qui prend des valeurs analytiques sur cet arc, est alors harmonique dans un domaine d^, renfermant à l'intérieur le domaine D (n"ol 1 J. Il en est de même de la fonction conjug ée Q(j:,r), et par suite à chaque point de C correspond un point déterminé de F. Le rai- sonnement fait tout à l'heure pour les courbes C,,; prouve qu'inver- sement à un point de Y ne correspond qu'un point de C. Prenons encore le cas plus général où le contour C se compose d'un nombre fini d'arcs analytiques réguliers se rejoignant aux sommets du con- tour, un point singulier sur un arc analytique étant considéré comme un sommet. Soit ab un de ces arcs; la fonction P(x,r) peut encore être prolongée au delà de l'arc ab. et le même raison- nement prouve qu'à un point m de ab correspond un point /j. de F, les deux points m ei fj. se déplaçant en même temps dans le sens direct. Lorsque m décrit l'arc ab, y. ne peut décrire qu'une partie de F; en effet, si à deux points m et m' de ab correspondait un même point jjl de F, à un point intérieur à F. infiniment voisin de iJ., devrait correspondre un point de D, infiniment voisin à la fois (le ni et de ni'. A l'arc ab de C correspond donc un arc déterminé a|3 de F, ces deux arcs étant décrits en même temps dans le sens direct. Toute la difficulté consiste à montrer que les arcs tels que aS recouvrent la. circonjérence F une fois et une seule fois (M.

Remarque. — Toutes les translornialions conformes, qui font corres- pondre à lui-même le cercle de rayon un ayant pour centre l'origine, s'ob-

(') La démonstration a été donnée par M. E. Picard {Traité d'Analyse, t. II. p. 3oi et sniv., 3« éditioni. On trouvera dans la note de M. Montel. à la fin du volume, une méthode qui s'applique à dc> cas lieaucnup plus généraux.

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 217

tiennent au moven de la transformation linéaire Z = «'^ -7- —■) Zo étant

d{z—Zo)

Taffixe d'un point intérieur à ce cercle, à une distance d du centre, s'o l'affixe du point conjugué, a une constante réelle. Ces transformations dépendent bien de trois constantes réelles. Si l'on connaît une représen- tation conforme d'un domaine à contour siniple D sur ce cercle, on aura toutes les autres en la combinant avec les transformations précédentes.

518. Fonction de Green. — Soil D un domaine à contour simple C, qui satisfait aux conditions du paragraphe précédent, et dont on peut fairel'applicalion conforme sur un cercle de rayon a/i. Si l'on sait efiectuer celle représentation, le problème de Dirichlet relatif au domaine D est ramené au problème de Dirichlet relatif au cercle, dont la solution est connue.

Soit U{s) une fonction continue donnée sur le contour C, que nous supposons exprimée au moyen de l'arc s, compté dans le sens direct à parlir d'une origine arbitraire. Pour trouver la valeur de la fonction harmonique dans D, égale à U{s) sur G, en un point, (a, b) du domaine D, reprenons la fonction

Z = (z — a — bi)e^+'Q,

qui fait correspondre point par point le domaine D et le cercle de rayon un, de telle façon que le centre du cercle corresponde au point (a. b). A un point 5 de C correspond tin point d'argu-

menl

6 = Q H- ç. où ; — a — bi =: /e'?,

sur la circonférence F. l.a fonction U(.v) se change on une fonction continue U, (&), de période 27:, et la fonction harmonique cherchée se change en une fonction harmonique dans le cercle, prenant la valeur U|(6) sur la circonférence. La valeur au centre du cercle, c'est-à-dire la valeur Ij(«, b) au point (a, 6), est donnée par la formule (171 (n" 508)

1 r-''

V{a, i)= -L / U,(Ô)f/e, qui devient, eu prenant l'arc s de G pour variable indépendante,

■2lS CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

-^j -~ désignant les dérivées prises suivant la tangente, à C, dans le sens direct. Mais ces dérivées sont égales respective- ment k — -1- 1 -T^— (n" 303), ces dérivées étant prises sui- vant la normale intérieure à C. La valeur de U(<2, b) peut donc s'écrire

I- / ï f , fdP f/lo-r\ ,

ou encore

"'',.

(^-) ^'("•*)=ji:./,,"^'S7

en désignant par G(x, y: a, b) la fonction P(x, y) — log/-. Cette fonction G(x, > ; a, b) est la fonction de Green, relative au contour C et au point intérieur {a, b). D'après la définition même de la fonction harmonique P(x,j'), la fonction de Green est définie par les propriétés suivantes : i" elle est nulle en tout point du Contour C; 2" à l'intérieur de C, elle est égale à la somme d'une fonction harmonique et de — logr. Il s'ensuit qu'elle est harmo- nique dans le domaine de tout point intérieur à C, sauf dans le voisinage du point (a, b) où elle est infinie comme

— ilog[U- — ay--h (y — by].

La connaissance de cette fonction de Green pour le contour C permet, on le voit, de résoudre le problème de Dirichlet intérieur pour ce contour, quelle que soit la fonction donnée ^(s) sur C A ce point de vue, la fonction de Green se rapproche de la fonction u{x, y; ^, ri) de Riemann ( n° 498). Mais, tandis que la fonction de Riemann est indépendante du contour pour lequel on veut résoudre le problème de Cauchj et ne dépend que des coef- ficients de l'équation, la fonction de Green dépend du contour C lui-même; de plus, elle admet un infini logarithmique, tandis que la fonction de Riemann est continue. A chaque contour fermé de l'espèce considérée correspond une fonction de Green; la recherche de cette fonction revient à trouver une représen- tation conforme du domaine intérieur D sur un cercle, c'est-

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GKEEN. 210

à-dire à résoudre un cas parliculier du problème même de Dirichlet.

Dans quelques cas simples, la fonction de Green est facile à obtenir. Prenons d'abord un cercle de rayon R; soient P un point intérieur à une distance p du centre, Pi le point conjugué harmonique de P par rapport aux extrémités du diamètre passant par P, /* et Ti les distances d'un point M aux points P et P<. Le

rapport -* est égal à — en tout point de la circonférence; la fonc- tion logf ~-^ I =log( ^ ] — logr est la fonction de Green rela- tive au cercle, car elle est nulle sur la circonférence, et log ( '-^ )

est harmonique à l'intérieur. En remplaçant G par cette expression dans la formule générale (87), on retrouve précisément la formule (16) (n" 508). Prenons encore le contour composé d'une demi-circonférence AMB et du diamètre AB. Soient P un point intérieur, P^ le conjugué harmonique de P par rapport aux extré- mités du diamètre passant par P, P' et P', les symétriques de P et de P<, relativement au diamètre AB; r, /%, r', r\ les distances d'un point M aux points P, P,, P', P, . On vérifie aisément que l'expres- sion log( -^ ) est la fonction de Green relative à ce contour.

L'artifice du n" 508, par lequel on fait disparaître le terme

on -j~ dans la formule générale (i3 ), lorsque le contour C est une

circonférence, réussit précisément parce que l'on connaît a priori la fonction de Green pour ce contour. Le même artifice réussit pour un contour quelconque, si l'on connaît la fonction de Green G(x, j'; a, b) correspondante. En eflet, la fonction

G{x, y; a, b) -(- logr étant harmonique à l'intérieur du contour C, on a la relation

En ajoutant membre à membre les formules (i3) et (38), et en observant que G est nul sur G, on retrouve la formule (3-).

220 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

Cette démonstration a l'avantage de s'appliquer à un domaine à connexion multiple, ou limite par plusieurs courbes fermées dis- tinctes. La fonction de Green. pour un pareil contour, est définie par les mêmes conditions que plus haut; elle doit s'annuler sur le contour, et être égale à l'intérieur à la somme d'une fonction har- monique et de — logr, r désignant toujours la distance du point (37, y) à un point intérieur (a, b). Mais la démonstration suppose

que -j- existe sur le contour pour la fonction harmonique cher- chée ('). Pour le cas d'une couronne ciicuiairo, on lron\eia le calcul plus loin {Exercice ii).

On peut aussi définir la fonction de Green pour le problème extérieur- relatif à un domaine O!) s'étendant à l'infini et limité par une ou plusieurs courbes fermées qui forment le contour G de ce domaine. Soit P un point quelconque Ô), de coordonnées (a, b).

La fonction de Green 0{x, y, a, b), relative au contour G pour le pro- blème extérieur, est définie par les propriétés suivantes : elle est nulle en tout point de G, régulière à l'infini et harmonique dans le voisinage de

(') Lorsque les diverses parties du contour C se composent d'un nombre fini d'arcs analytiques réguliers, on peut aisément compléter la démonstration. D'une part, les méthodes de Schwarz permettent de démontrer que le problème de Diriclilet a une solution pour ce domaine. La fonction de Green existe donc, puisqu'on l'obtient en ajoutant à — logT* une fonction harmonique P(x, y, a, b) qui prend les mêmes valeurs que logr sur le contour. Cette fonction P, prenant des valeurs analytiques le long des arts analytiques du contour, peut être pro- longée eu dehors du domaine, et par suite -j- existe sur le contour. Nous ne pouvons pas af6rmer que -z— existe aussi sur le contour pour la fonction har- monique U qui prend une suite de valeurs données l]{s) sur C. Pour tourner la difficulté, prenons sur chaque arc de C une fonction analytique V(s) telle que ; U(s) — Y{s) soit < s en chatiue point de C. La fonction harmonique V qui est égale à \{s) sur le contour peut (Hre prolongée en dehors, et par suite, rfV du

mule générale (37). D'autre part, la différence U — V est inférieure à s en touX point intérieur. Dans l'identité

•Jir J,(-, ^ ' dn -'<^J.c

V^fds, du

les deux parties du second membre sont moindres que s (voir n" Jl9j, et par suite la valeur absolue du premier membre est inférieure à as; s étant arbitraire. ce premier membre est donc nul.

II. — PROBLÈME DE DIRICHLET. FONCTION DE GREEN. 2il

tout point de (3D, sauf dans le voisinage du point (a, 6), où elle est infinie

comme ]og[{x — a)- -i- (y — by]. Pour trouver la valeur lJ(a, b) au

point P d'une fonction harmonique dans (S), régulière à l'infini, et prenant des valeurs données sur le contour C, il suffit d'appliquer la formule (ii') aux deux fonctions U et 0{x, y, a, b), qui sont harmoniques dans le domaine <X>' obtenu en supprimant de CO la portion intérieure à une cir- conférence Y de rayon très petit, ayant le point P pour centre. En faisant tendre vers zéro le rayon de y, et en reprenant le calcul du n" 507, on obtient facilement la formule

(39) U(a, 6)=-i: f U

dG ^

(C) '^^

la dérivée étant prise suivant la direction qui pénètre dans le domaine ^(i). Dans le cas d'un cercle, la fonction de Green pour le problème extérieur

, /MPi d\ ^ , ,. ... jr.

est log('-^rrp- tt)' "i étant le point conjugue harmonique de P par rap- port aux extrémités du diamètre passant par P, M un point quelconque, R le rayon, d la distance du point P au centre. On trouve, en faisant le calcul, une formule toute pareille à celle de Poisson,

U(a, b) = - f \}^-—^ ds,

(C)

qui se vérifie de la même façon en mettant en évidence un poteniiel de double couche

V(a,b)=l fv^-l TuHl!!!^^'

et en appliquant les propriétés connues de ce potentiel (n» 503).

519. Propriétés de la fonction de Green. — La fonclion de Green G(j7, y] ^, ri) dépend de deux couples de variables (j:, y), (^, yj). Elle n'a été définie jusqu'ici (en nous bornant au problème intérieur) que lorsque le point (^, yj) est intérieur au contour C, le point (j:, j') étant lui-même à l'intérieur ou sur le contour C.

(') Il est essentiel de remarquer que la fonclion G^-log^ n'est pas régulière à l'infîni, de sorte qu'on ne peut appliquer la formule (ii) aux deux fonctions U et G-f-logr le long de C. Au contraire, la méthode suivie pour établir la for- mule (89) dans le cas du problème extérieur s'applique sans modification au problème intérieur.

2-22 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

mais différent du point (^, ri). Soient (a, 6), (a', b') deux points quelconques intérieurs à G, y et y' deux cercles de rayons très, petits p, p', décrits de ces points pour centre et situés tout entiers dans le domaine D. Les deux fonctions

G{x,y, a, b) et O' = G{x, y; a' b'^

sont harmoniques dans le domaine D' limité par G et les deux cir- conférences y, y'. En observant que G = G'= o le long de G, la formule générale (i i) conduit à la relation

J,.^j \ dn dn j J^^,^ \ dn dn }

la dérivée étant prise suivant la direction de la normale extérieure au cercle. Dans le voisinage du point (a, 6), la fonction

G(x, j'; a, b)

est de la forme — logr4-^(x, k), ^(^, y) étant harmonique et r étantla distance du point {x^ y) au point (a, h). L'intégrale le lonj; de v se réduit donc à

X,(^^--È1*-X,('-^--

f/lo{rr\ , ds

dn

= 2-G'(a, b\ a , b').

L'intégrale le long de y' est de même égale à — ?.;tG(a', b' \ a, b).

En remplaçant (a, 6) par {x, y) et (a', b') par (^. rj), nous obtenons la relation fondamentale

(4o) G(j:, j; Ç, ri) = G(?, Ti; a:, 7).

La fonction G(ar, j; ^, rj) est donc symétrique par rapport aux lieux couples de variables (x, j^), (^, yj) et, par suite, c'est une fonction harmonique de (;, yî) en tout point du domaine D. sauf

n. — PROBLÈME DE DiRICHLET. FONCTION DE GREEN. 223

au poinl \ = x^ r)=f. En résumé, considérons dans l'espace à quatre dimensions (t, } -, ^, tq) le domaine R, défini en faisant décrire à chacun des points {x, y), {h,, rj) le domaine D et le con- tour C; la fonction G{x, y\ E, f]) a une valeur déterminée en chaque poinl de R., sauf sur la variété à deux dimensions E = -t-". n^y. Elle est nulle lorsque l'un des points [x, y), (H,, t)) vient sur le contour G. Elle est hamonique par rapport à chacun des deux couples de variables (a?, y), (^, t)) dans le voisinage de tout point intérieur au domaine R^, non situé sur la variété singulière; elle ne change pas quand on permute les deux couples de variables

Cette fonction est constamment positive, si les deux points (j7, /), (^, n) sont à l'intérieur de C. En effet, considérée comme fonction de {x,y)^ elle est nulle sur G et égale à -j-Qoau point (^,y)).

Il en résulte que la dérivée -^ est positive en tout poinl de G, puisque G ne peut aller qu'en croissant quand on se déplace vers l'intérieur. L'iulégrale / -v-ds, dont lous les éléments sont posi- tifs, est égale à 2 7r; car si la fonction LJ est égalé à un sur G, on a aussi, en tout point intérieur. l]{a, 6) ^ i .

Soient X = 9(j:', y'), y = '^-^i-f' , y') des formules délinissant une trans- formation conforme, permettant d'appliquer le domaine D, limité par le contour C, sur un autre domaine D', limité par un contour C, de façon qu'il Y ait correspondance univoque entre les points des deu\ domaines et des deux contours. La fonction de Green Çf{jc,y\ ^, r^), relative au contour C, se change en une fonction G(ç, 'j»; ^, ■ri)des variables x',y' qui est nulle sur G' et harmonique dans le domaine D'. sauf dans le voisinage du point (Ç', r/) qui correspond au point (^, r^). En effet. G(j", y; $.3» est la partie réelle d'une fonction analytique F(2) de la forme

g{:-) — log(; — t — r,/).

^(2) étant une fonction holomorphe dans le domaine D. Après la transfor- mation a: -4- ()' = 9 -+- i'h, F se change en une fonction analytique

qui est de la forme

¥,{z') = F,{x'-^iy'),

',(3')-iog(2'-r-vo-

224 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

gi(z') étant holomorphe dans D'. Il suit de là que, dans le domaine du point (Ç'j Ti'), la fonction G(9, 4', $, "n) est égale à

- i !og[(:c'- ^')2+ (j'_ t;)2J, augmenté d'une partie régulière. On a donc

G[r(j^'. y')> «VC^'. /); ?> -n] = G'(^'. / ; ?', 'i'),

G' étant la fonction de Green pour le contour C, où le point sin- gulier (Ç', 7i') correspond au point (^, tj) par la transformation consi- dérée.

En particulier, si le domaine D est limité par une seule courbe fermée C ou peut faire Tapplication de ce domaine sur un cercle; ce qui rend intuitives certaines propriétés de la fonction de Green ('). Si, par une inversion, on remplace le cercle par un demi-plan, par exemple par le demi-plan supérieur du plan des xy, la fonction de Green est remplacée par une fonction g-(x,y; ^, n ) qui doit être nulle le long de Taxe des x, harmonique en tout point de ce demi-plan, sauf en un point ($, t,) qu'elle admet comme infini logarithmique, et tende \ers zéro lorsque {x'--hy^) croît iridéliniment. Cette fonction est évidemment

2 ^L(^-0^-+-(r + -oO

III. — KQUATION GENERALE DL TYPE ELLIPTIQUE.

520. Extension du problème de Dirichlet. — Le raisonnement par lequel on a établi que le problème de Dirichlet, pour l'équation de Laplace, ne peut admellre plusieurs solutions, s'étend aisément, dans certains cas, à l'équation générale du type elliptique, ramenée à la forme canonique (n° 479 )

(Ji) F(m) = --— -h — — -4- a—- -i- b -— -^ eu = f{x, y),

àx^ ây- >)x ày . v > ./ /•

a. b, c. /'étant des fonctions continues des variables x, y dans les domaines dont il sera question. Lé problème de Dirichlet généra-

^ ' ) J. Hatamard, Bulletin de la Société mathématique i séance du 28 juin 191 1).

m. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLIPTIQUE. 225

lise coasisLe encore à déterminer une intégrale de Téqnatiou (4')' régulière dans un domaine borné D, limité par un contour C, et prenant sur ce contour une suite continue de valeurs données. Ce problème ne peut admettre plus d'une solution, si le voejji- cient c est négatif ou nul en tout point de D. La méihode ('-lé- nientaire suivante est due à M. Paraf.

Supposons d'abord que le coefficient c ait une valeur négative en tout point de D. Si le problème proposé admettait deux, solu- tions, leur différence v serait une intégrale de l'écpiation homo- gène F(e) = o, régulière dans le domaine I), et nulle sur le con- tour. Si cette différence n'est pas identiquement nulle, elle prend des valeurs positives ou des valeurs négatives à l'intérieur de D, et par conséquent passe par un maximum positif ou par un minimum négatif pour un point (jjq- J'o) de ce domaine. Le second cas se ramenant au premier par le changement de < en — t», nous pou- vons supposer qu'au point (a^n, l'o), la fonction v{ju, y) a un maximum positif Co. D'après la théorie générale (I, n" 47), on devrait avoir en ce point

(£)„=(ï)„=- m^- m^-

conditions qui sont incompatibles avec Ici équations F(i') = o, ^'(i>o, pour le point (a?„, in). H ne peut donc exister d'intégrale de F(p) =: o satisfaisant aux conditions voulues.

Le cas où le coefficient c n'est positif en aucun point du domaine D se ramène au cas précédent en posant v = zw^ z étant une fonction de x et de y, régulière dans L) et ne s'annulant en aucun point de ce domaine ni du contour. L'équation F(V) = o

est remplacée par une équation de même forme où le coefficient

V ( z ) de IV est • Pour que la conclusion précédente subsiste, il suffit

qu'on puisse choisir la fonction :; de telle façon qu'on ait, dans tout le domaine D, s > o, P{z) <; o, l'égalité étant excbie. Or, si l'on prend pour z une fonction de la foruie A — e*'", A et y. étant deux constantes positives, on a F(G) = f:A — (ac- + aj; 4- cje^'", et ce résultat est négatif, quel que soit A, dans le domaine considéré, pourvu que «-+ aa + c soit positif en tout point de D, condition à laquelle on peut toujours satisfaire eu prenant le nombre positif a assez grand. Ce nombre <x étant ainsi déterminé, il snftira de

226 CHAPITRE XXVIl. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

prendre pour A un nombre positif supérieur au maximum de e*-^ dans D. On voit en particulier que, lorsque c est nul, l'équation (4i) ne peut admettre plus d'une intégrale régulière dans le domaine D, et prenant des valeurs données sur le contour.

La conclusion ne peut être étendue au cas où le coefficient c prend des valeurs positives dans D. Par exemple l'équation Au-\-2u = o ndmet l'intégrale u = sina^sinj', qui est régulière à l'intérieur du carré limité par les droites x =.o, x = n, y= o, y = tt, et qui est nulle sur le contour.

On déduit aussi de ce qui précèdt^ la conclusion suivante : le problème proposé pour l'équation (4i) ne peut admettre plusieurs solutions, lorsque l'équation F(m) = o admet une intégrale parti- culière Ui , régulière dans ce domaine, t ne s'annulant pas dans D ni sur le contour. La transformation a =i u, p conduira, en effet, à une équation de même forme en fr», dont les coefficients seront des fonctions continues et où le coefficient de r sera nul. Nous venons de voir que la nouvelle équation ne peut admettre plusieurs inté- grales régulières prenant les mêmes valeurs sur C

Soit (xo, J'o) un point quelconque du plan; toute intégrale «, de l'équation F(w) = o, régulière dans le domaine de ce point et prenant une valeur positive pourx = aro, J' ^= J'o? est certainement positive dans le voisinage. Si l'on prend une courbe fermée y,^ entourant le point (xo, yo) el assez voisine de ce point pour que l'intégrale u, soit positive à l'intérieur, nous pouvons appliquer ce qui précède au domaine limité par la courbe y. Par conséquent, l'équation (4i) ne })èut admettre plus d'une intégrale prenant une suite de valeurs données sur une courbe fermée c entourant un point quelconque {Xq, j^'„), et régulière à l'intérieur de y, pourvu que celte courbe soit suj[fi s arriment petite. Ce qui précède explique le sens qu'on doit attacher à ces mots.

521. Étude de l'équation Am =/(^.l). — Suivant le même ordre que pour les équations du Ivpe hyperbolique (Chap. XXVI), nous commencerons par étudier l'équation simple

Nous nous proposons de trouver une intégrale de cette équation,

III. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLIPTIQUE. 227

régulière à l'intérieur d'un domaine D, limité par un contour G, et nulle sur ce contour; nous ferons de plus l'hypothèse que la fonction /(x, y) admet les dérivées partielles du premier ordre continues dans ce domaine et sur le contour G. D'après le numéro précédent, ce problème ne peut avoir plusieurs solutions; co qu'on voit directement aussi, en observant que, s'il en existait deux, leur différence sei'ail une fonction harmonique dans D, et nulle sur G. Si l'on connaît une intégrale régulière quelconque a, (j;, y) de l'équation (42), le problème se ramène immédiatement au pro- blème de Dirichlet; pour obtenir la fonction cherchée, il sufGt d'ajouter à u^{i;^ y) la fonction harmonique dans D qui prend la même valeur que — M) en chaque point du contour. Par exemple, lorsque /(ar, y) se réduit à l'unité, on obtient l'intégrale de l'équa- tion Am := I, qui est nulle sur G, en ajoutant à j^ la fonction

harmonique qui est égale à — j^^- en chaque point de G.

Admettons l'existence d'une intégrale \}{x.y) de l'équation (42) satisfaisant à la condition voulue, et appliquons la formule géné- rale de Green aux deux fonctions U(^, r)) et G{x^y; ;, ri) des variables ^,0, G étant la fonction de Green relative au contour G pour le problème intérieur. Ges deux fonctions sont régulières dans le domaine D' limité par G et par une circonférence y de rayon très petit e ayant pour centre le point (^, y) de D. En tenant compte de l'équation (42) elle-même et de ce fait que i^s deux fonctions U et G sont nulles sur G, on obtient la relation

JfjiX. .) G(x.^; I, ,) ./= d-, =1^^ [l (;, ,)^ - G^] *.

les dérivées étant prises suivant la direction de la normale exté- rieure au cercle y. Dans le domaine du point (.r, )), on peut rem- placer G par g{x^ y; ^, r\) — logr, g étant une fonction -harmo- nique, et r désignant la distance des deux points (ar, r), (^1 'n)- Lorsque le rayon £ tend vers zéro, le seul terme de 1 intégrale curviligne qui ne tende pas vers zéro est — / {] —j^^ ds qui a

pour limite — 2ii\]{x. y). La fonction cherchée, si elle existe, a donc pour expression

(43) V{x.y)=-~ Ç f f{'i.r,)0(a:yrt,<)(nch.

228 CHAPITRE XXVIl. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

Inversement. Ja fonction \J{x,y), représentée par cette formule satisfait à toutes les conditions voulues. Considérons d'abord un domaine A,, tout entier intérieur à D; lorsque le point {x,y) reste dans le domaine A, on peut écrire

lj{x,y)^ ^ f f fCz, Ti) lofî[v {X - ? r + ( r _ TiX-î J rfç C^Tl

g étant une fonction harmonique de (x, y). Par conséquent U (a?, j) est la somme d'une fonction harmonique et d'un potentiel loga- rithmique {voir plus loin n° 537). La fonction /(ar, y) avant des dérivées continues, on peut appliquer la formule de Poisson (n° 537), et la fonction U(j?, y) satisfait bien à la relation (42) en tout point intérieur au domaine D. Il reste à démontrer que cette fonction U(ar. >) tend vers zéro lorsque le point (a:, y) tend vers un point quelconque du contour G. Or il est clair que la valeur absolue de U est Inférieure à

M étant une limite supérieure de \f{x^y)\. D'ailleurs l'intégrale double

^ I f G(x.y;^:, r^) dl dt\

'(D)

représente précisément l'intégrale de l'équation Aa =; i qui est nulle sur le contour G, fonction dont l'existence a été établie tout à l'heure. Gette expression tend donc vers zéro lorsque le point ix^ r) tend vers un point du contour G, et par suite il en est de même de la fonction U(x, j), représentée par la formule (43).

Remarque. — Lorsque la fonction /(x, >) est analytique, toute intégrale de l'équation (42) est elle-même analytique. Soit on effet (x„, >■„) un point quelconque ; l'équation (42) admet évidemment une infinité d'intégrales analytiques régulières dans le domaine de ce point. Suit U\{x, y) une d'elles; toute autre intégrale régulière dans ce domaine est la somme de u^{x, y) et d'une fonction har- monique, c'esl-à-dire une fonction analytique.

III. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLlPTIQUt. 229

522. Méthode de M. Picard. — La première mtHhode employée par M. E. Picard pour résoudre le problème de Dirichlel relatif à l'équation (40 est encore une méthode d'approximations succes- sives, très analogue, au moins dans la marche générale des calculs à celle des n"* iOi, 403, 300. Ecrivons l'équation (i) sous la forme suivante :

(44) A» = À (rt -^ -h b 'J^_ H- cuj +/(./•,>-),

1 étant un parajiièlre auxiliaire qu'on remplacera ensuite par — i dans le résultat. On se propose de déterminer une intégrale dé cette équation, régulière à l'intérieur d'un contour fermé C, et prenant sur ce contour une suite continue de valeurs données. Pour cela, nous chercherons d'abord une solution formelle

(45) i({.r.y-) — ii„{.r.y) -+■ À n,(j-, y) -»-...-(- À" ii„i jr.y) -+-...,

toutes les fonctions n„, Ui, . . ., u„, . . . étant régulières à l'inté- rieur du contour C, a„(^, )') prenani les valeurs données sur C, et toutes les autres fonctions Uf, u^, • . . étant nulles sur ce con- tour. Ces fonctions sont déterminées par les équations

(4*i)

jointes aux conditions aux limites. La première fonction u,, (a?, j^) s'obtient en ajoutant à la fonction [J{x. y) donnée par la for- mule (43), la fonction harinonicjue qui prend les valeur.'» données sur C. Une fois la fonction a,) (a?, y) connue, les fonctions sui- vantes Ui{a:, y), u.,(Xy y), ... se calculant de proche en proche par l'application répétée de lu formule (43). Moyennant certaines hypothèses sur le contour C, les valeurs données de la fonction inconnue sur ce contour, et les coefficients a, b, c, f, M. Picard parvient à démontrer que la série (45) et celles qu'on en déduit en prenant les dérivées partielles jusqu'au second ordre sont uni- formément convergentes pour /. = — i, de sorte que la fonc- tion a(x, )') donne bien la solution du problème. Sa méthode

A«„ =	./■(•i-,	J)'
A//,=	'ht.	-+-	h	7)y	-t- Clin,
A^^, =	Ou,	■+■	b	<hi, ',)y	-+- CUu

?.3o CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

s'applique aussi, dans certains cas, aux équations

Am =/(x,y,

au au' dx'' ôy-

mais, d'une manière générale, les conclusions sont moins précises que pour les équations du type hyperbolique. Nous en verrons la raison plus loin. Nous renverrons, pour les démonstrations, aux travaux cités plus haut.

Ce procédé de calcul met sur la voie d'une proposition impor- tante. Lorsque les coefticients a, h, c, f sont des fonctions ana- lytiques, tous les termes de la série (45) sont eux-mêmes des fonctions analytiques (n" 521). Une étude plus approfondie de cette série montre qu'il en est de même de la somme de la série, ce qui a conduit M. Picard à un théorème important : Lorsque les coejjicients de V équation (4i) sont analytiques^ toutes les inté- grales sont elles-mêmes des fonctions analytiques. Cette propo- sition a été depuis généralisée par M. Serge Bernstein (').

523. Fonction de Green pour l'équation générale du type ellip- tique. — On a vu plus haut que la connaissance de la fonction de Green pour un contour C permet de résoudre le problème de Dirichlet pour ce contour, quelles que soient les données sur C. On saura de même résoudre le problème de Dirichlet relatif à un contour C, pour une équation quelconque du type elliptique, si l'on peut déterminer une fonction unique, satisfaisant à certaines conditions qui vont être expliquées.

Reprenons d'abord la formule générale (4i) du n° 497, qui joue un rôle fondamental dans la méthode de Riemann. Dans le cas de l'équation elliptique

(47) 5^(«) l'équation adjointe est

(48) ^(O

C) Thèse de Doctorat (i9o4). On peut aussi étendre le tliéorème de Harnack (n" 510) sur les séries à termes positifs et harmoniques aux séries à termes positifs, dont les termes sont des intégrales de l'équation ('ji), où l'on fait/ = o. (Lichten- STEiN, Bendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. XXXIII, 1912, p. 201.)

>r- u ôx^	fPu	au âx	. <)u fjy
est
Ux^-		r){av) âx

m. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLIPTIQUE. 23 1

et l'on a, quelles que soient les fonctions u et r, l'identité

(49) .^ia:)-u<^(.)= ,^[-^-«^-^«"-]

â r au àv ^ 1

ày l ày dy J

Supposons les fonctions a et p régulières dans un domaine D limité par un contour C, dans lequel les fonctions a, 6, c, -r-? j- sont continues. On a aussi, d'après l'identité précédente,

J J [v5{u)- u<^{v)] dx dy =J I ^ £ - « £ -^ «""J <X

— \ V -— — u h buv dx,

L 4> ^J J

l'intégrale curviligne étant prise dans le sens direct. En remplaçant dx et dy par cos Ç>' ds et cosa' ds, où a' et (3' sont les angles de la normale intérieure avec les axes (n" 506), la formule précédente devient

— / (a cosa'-f- 6 cosrj')j/(' d/i,

-T- ? -J- désignant les dérivées suivant la normale intérieure.

Celte formule suppose, bien entendu, que les dérivées -y> j-->

f)l( fJi- ^ ^ £• ■ I

-r~ 1 -T- restent limes sur le contour.

>)y Oy

Cela posé, soit u{x, y) une intégrale quelconque de l'équa- tion &* {u) =f{jc^ y), régulière dans le domaine D, et restant finie

sur le contour ainsi que ses dérivées partielles -r- ? -7-* Soit d'autre 1 ^ f)x ây

part ('(t, >■; \. r,) une inlé^vAe particulière de l'équation adjointe

Cj.(r) =^ o, satisfaisant à la condition suivante :

A. Dans le domaine D elle est de la forme UlogrH- V, U et V étant régulières dans ce domaine, et r étant égal à

232 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

le point (:, -n) est un point du domaint' I) et Von suppose de plus U(^, r,)=z— I.

Sur le contour C, nous supposons seulemeul que v reste finie,

ainsi que y-' "p.' Appliquons la formule générale (5o) au domaine

D' limite par C et par un cercle y de rajon très petit p ayant pour centre le point (H, r,). Puisipi'on a 5^ (u) =/(a?, )) et ^ (c) = o dans ce domaine, la formule dovionl

/ / V Ji.^^y)^-'^' *b — I ("7 ' 7~ ) "'* ~ / ' '^cosa'-H /j cos,'î')^/^ </.v

la normale intérieure en un point de y étant la normale extérieure à la courbe géométrique. Lorsque le rajon p tend vers zéro,

l'intégrale / (a cos ot.' -^ h cos'^') uv ds tend vers zéro, car un élé- ment de celte intégrale est de la forme pû?$(A + Blogp), AetB restant finis.

Pour la même raison, l'intégrale / v -,- ds tend aussi vers zéro.

Quant à l'intégrale / u ds. elle peut s'écrire

et sa limite est évidemmoni — >. -a( £, n). (Ju a donc, en passant à la limite,

/ (« Co-x'-f- /> Co^[j')»f c/.v — _ i l ^'j'Iiily-

-"•^lO ' ''• - •^' II)

.Si la Naleur dt' uyx^y^ est donnée en ions les points du con- tour, on pourra calculer tous les ternies qui figurent dans le second

membre, sauf l'intégrale / c^' ds, qui renferme -v^ • Pour que ce

terme disparaisse, il suffira de prendre pour v une intégrale de l'équation adjointe satisfaisant à la condition A et qui soit nulle en

m. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLIPTIQUE. 233

tous les point» de C. La connaissance d'une intégrale '(-«^•JK ; E» ^) do rc(|uaiion adjointe salisfaisant à ces diverses conditions per- mettra de résoudre le piobléme de Dirichlel pour le contour d quelles que soient les données sur le contour, car la formule (5i) devient alois

(5> I /M ;. T, ) -^ '_ f i(~ '/s ^ / / '"/(•<■' y) <'-^ flY

> .. J^. un .>. .. j ^^||,

et se réduit à la formule (37) elle-même lorsque /(x, y) = o.

La fonction v{x,r; ç, r,). si elle existe, joue donc exactement le même rôle que la fonction de Green pour l'équation de Laplace. La détermination de cette fonction se décompose en deux pro- blèmes distincts. On doit dabord chercher une solution /o/ïc?a- rnentale de l'équation adjointe cJ(r) = o, c'est-à-dire une inté- grale ayant en un point arbitraire (;, rj) une discontinuité loga- rithmique de la nature qui a été spécifiée plus haut ( ' ).

Ce premier problème est indépendant du contour C.

Dans le cas particulier de l'équation A« ^o. une solution fon- damentale est log( - ) • Dans le cas général, avant obtenu une solu- tion fondamentale \ (i .;>'; ^, 'n ), pour avoir la fonction v(a:,y, ^, ri) relative au contour C, il suffira d'ajouter à cette solution fonda- menlale une intégrale de l'équation adjointe régulière à l'intérieur du Contour et prenant la même valeur que — V en chaque point di- (C contour. On est donc ramené à un cas particulier du pro- blème même de Dirichlet. Xous reviendrons plus loin sur cette seconde partie du problème.

On pont aus>i étendre à la fonction t'(^-, j'; ;, r,) la propriété ('■tablie plus iiaui pour la fonction de Green relativement à l'échani^e des deux couples de variables (^1 .;)'), (E, ^n). Soit n{.v. }■[ i. -ft) une intt'-grale de l'équation 5''(u) = o, définie de la même faroncjue r. c'est-à-dire nulle en tous les points de C, et de la forme L.,logr+V,, U, et \^ étant des fonctions régulières dans le domaine D, et U,(c, ri) étant égal à — i. Prenons deux

C) L'existence de cette solution, lorsque les coefficients a, b, c sont analy- tiques, a il'ahord été établie dans un cas particulier par M. Picard, puis dans le < as général par MM. Hilbert, Hedrick et Hadamard (l'otr le Mémoire déjà cité de M. Iladamarii, Annales de l'École Normale, igoS, p. 53."j et suiv.).

234 CHAPITRE XXVn. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

points quelconques (a, 6), {a', b') du domaine D, el appliquons la formule générale (5o) aux deux fonctions u{x, y, a', b'). v(x,y; a, b) dans le domaine D' formé par la portion de D qui est extérieure à deux cercles y, y', de rayons très petits p, p' ayant respectivement pour centres les deux points (a, 6), (a', b'). L'in- tégrale curviligne le long de C est nulle, et l'on démontre comme tout à l'heure que les intégrales le long de y et de ^ ont respecti- vement pour limites — 2r:u{a, b; a', b' ) et 27:^'(a', 6'; a, b), lorsque p, p' tendent vers zéro. On a donc, en remplaçant (a, b) par {x, j), et (a', b') par (ï, yj), la relation d'échange

(53) u{x, y\ç^ ■n) = ^{'';„ fi'- X, y),

tout à fait semblable à celles qui ont été établies pour la fonclion de Riemann (n° 498) et pour la fonction de Green, et dont on peut tirer les mêmes conséquences. Mais il est essentiel de remarquer que la fonction (u, x^y; ;, yî) ne dépend pas seulement de l'équa- tion elle-même, comme la fonction de Riemann. mais aussi du contour C.

.")5i. Problèmes mixtes positifs. — La formule (5i} permet d'aborder des problèmes plus généraux que le problème de Dirichlel. Dans cette fur- mule on a, sous le signe intégral, une expression bilinéaire par rapport aux

deux couples de variables ( «/, -3- ) , ( ^' 77" ) " Supposons qu'au lieu de se

donner la valeur de u sur le contour C, on se donne une relation linéaire

entre u et -^—5 qui doit être vérifiée en tout point de C, dn ^ '

(54) Hif-^K'^=L,

dn

H, K étant des constantes, ou des fonctions connuv,s en chaque point du contour, qui peuvent d'ailleurs avoir un nombre (juelconque de points de discontinuités sur ce contour, et L une fonction donnée sur C. Par exemple.

on peut se donner la valeur de -7- en chaque point de C. ou la \aleur de u

sur certaines portions de C. et la valeur de -r- sur le reste du contour. La

an

fonction sous le signe intégral dans la formule (5i) sera elle-même connue

du dn ce qui exige que l'intégrale c de l'équation adjointe \érifie elle-uién»e le

si les coefficients de u et de -j- sont proportionnels aux coefficients H et K.

m. — ÉQUATION GÉNÉRALE DU TYPE ELLIPTIQUE. 235

long du contour C la relation

(55) K— hf(H — aK cosa'— èK cosjj') = o.

On obtiendra encore cette fonction v en ajoutant à une solution fonda- mentale \{x,y, Ç, T\) une intégrale Vi de l'équation adjointe, régulière à l'intérieur du contour C, et satisfaisant sur ce contour à la relation

( -j-î -+- -7- j -1- (t'i-H V) (/ — a ces a'— b cosp') = 0, l =

ce qui est un cas particulier du problème général qu'il s'agit de résoudre. La connaissance de cette fonction i'{x,y, Ç, tj) permettra encore de résoudre le problème mixte proposé, quelles que soient les valeurs de L dans la for- mule (54) qui exprime les conditions aux limites.

On conçoit ainsi l'existence d'une infinité de fonctions dépendant de deux couples de variables {x, y), (|, r\), dont chacune joue le rôle de la fonc- tion de Green pour un problème aux limites du type elliptique. Ces fonc- tions dépendent à la fois de l'équation, du contour C, et aussi de la nature même du problème, c'est-à-dire des coefficients H et K. Il est clair que ce sont là seulement des vues générales, qui ont besoin d'être précisées dans chaque cas particulier, et il peut arriver que les conditions auxquelles devrait satisfaire la fonction v soit incompatibles.

Un exemple simple de ce cas est fourni par le Problème de Neumann qui consiste à déterminer une fonction u{x, y), harmonique à Pinté-

rieur d'un contour, connaissant la valeur de -r- sur le contour.

dn

Soit U'(IM) la valeur donnée de — en chaque point M du contour C;

d'après la propriété générale exprimée par la relation (12) (n" 506), cette fonction u{x, y') ne peut exister que si la fonction donnée U'(M) satisfait à la condition

(56) fl]\M)ds = o.

Gela suffit pour prouver qu'il n'existe pas de solution de l'équation Ap= o,

dv dont la dérivée normale -j- soit nulle sur G, et qui soit régulière à l'inté- dn

rieur, sauf dans le domaine d'un point (Ç, -rj) qui est un infini logarithmique.

En effet, cette fonction v serait harmonique dans le domaine limité par C

et un cercle p de rayon très petit p décrit du point (Ç, i\), pour centre, et

Xdv dv

— ds = o, puisque -^ est nul sur G. Or le calcul fait

tout à l'heure prouve que cette intégrale tendrait vers 2% quand p tend vers zéro.

Lorsque la condition (56) est vérifiée, le problème de Neumann se ramène

236 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

au problème de Diriclilet ; noub nous bornerons au cas d'une aire tour simple. En effet, considérons sut le contour C la fonction

V (»,=/■

\j'(M)ds,

l'arc étant compté à partir d'une origine arbitraire; cette fonction ^'(*) est continue et admet une valeur unique en chaque point, d'après la rela- tion (56). Soit V(x, y) la fonction harmonique dans le domaine D qui prend la valeur V(s) sur C; à celte fonction V(.t. y) on peut associer une autre fonction harmonique L(j-, r) telle que V-t-tU soit une fonction holomorphe de ,r H- ij- î\ l'intérieur de C. En vertu des relations générales du n" 503, on a, sur ce contour, — - = — = L'(M) et par conséquent, la fonction U(j:, y) donne la solution du i)roblème de Neumann. Cette fonc- tion n'est déterminée qu'à une constante additi\e près, comme il était évident a priori {\o\r Exercice i'i).

COMPLÉMENTS ET EXERCICES

1. Déduire la toi mule ;^énérale (\'i') (n° 507) de l'intégrale de Gauchy <n, n°291).

/?. Soit U(x, y) -+- iVix, y) une fonction holomorphe à l'intérieur d'un contour G, En remplaçant dans la formule de Gauchv, x par a -h bi, où a el b sont les coordonnées d'un point intérieur P, et en égalant les parties réelles, on obtient la relation

.., ., 1 r /.. r/log/- -,^/iogr\ ,

2 ~ .7,^1 V ds c/n

dz /dlosr .^/log/\ , , , , ^

en observant que t-t = — f^ i — r^^—\ds, le long de C.

^ z — a— bi \ ds dn I "

Il suffit d'une intégration par parties appliquée à la première intégrale

.... , , .,, . , , rfV d{]

pour parvenir a la tormule (i.î), après avoir remplace -j- par — -^•

2. Démontrer que la fonction Li(a, b), représentée par la formule (i8), résout 1^ problème de Dirichlet pour le cercle, en s'appuyant sur ce que le second membre est la différence de deux potentiels de double couche.

3. Démontrer, au moyen des théorèmes de Gauchy, que l'intégrale

est égale à l'argument de (i h- a -h bi), compris entre — - et -h -' ; r est

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 237

In distance d'un point du cercle de lavon un ayant pour centre l'origine à un point (a, b) intérieur à ce cercle {cf. p. 185-187).

R. On commence par établir la relation

(fz

où a- = a H- bi, l'argument de z étant compté de — 7. ix -\- t., et l'argument

de i-Hxde à-)--- Pour cela, on applique le théorème des résidus

2 •?.

au contour formé de C et des deux bords de la coupure joignant l'origine au point ( — i).

4. Montrer, par yne inversion, que la formule de Poisson (17) peut s'écrire

Via,b)=^f' fi,^)d'Y,

41' étant l'angle polaire du second point de renconli e de la droite PM avec le cercle C. Soient P et Q deux points quelconques intérieurs au cercle, p et Q leurs distances au centre, d leur distance, D Toscillation de la fonc- tion donnée /('!/) sur le cercle; on a Pinégalitc

2D , Y\d

I Vq— \ p , < -^ Arc lan;

[Dariioux, Bull, des Se. malli., 2* série, t. XXXIV, 1910, p. 287. î). Exemple de M. Hadamard (note de la page 198). La fonction

L_COS(22"0)

est harmonique à l'intérieur du cercle C de rayon un et se réduit sur ce cercle à une fonction continue de 0. ^ -^^ cos(2-"6). L'intégrale double

étendue à Taire d'un cercle concentrique de rayon p < i, a pour valeur et augmente indéfiniment lorsque p tend vers l'unité.

238 CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

6. Soit l]{x, y) une fonction harmonique dans la partie du plan exté- rieure à un contour G et régulière à l'infini. Démontrer qu'on doit rem- placer, pour cette partie du plan, la formule générale (i3) par la suivante

U(a, 6) - U^ = ^ y (logr^ - U ^1?^ )^.,

dn dn

les dérivées étant prises suivant la direction extérieure de la normale.

On applique d'abord la formule (i3) au contour formé de G et d'un cercle r de centre (a, è), dont on fait ensuite croître le rayon indéfiniment.

7. Galculer les potentiels de simple couche

Il = / cos«'^ logrc/'}, ^î= / sin«'^ log^-f/'l^,

où r est la dislance des deux points de coordonnées polaires (p, w) et (i, •!/), n un nombre entier positif.

R. De la formule classique qui donne le développement de Log( i — s), on tire, en posant z = pe'^, où 6 = <]> — w, et supposant p < i,

log(l -H p2— 2p COSO)- = — p COSe — p* . . .— p« . . .,

logr étant remplacé par son développement, on obtient, en intégrant terme à terme, Ii = — - o" cosnto, 19 = — - p" sinnoj, si o < i. On aura

les valeurs de Ii et de 1» en remplaçant p par -? lorsque p est plus grand

P que I. Le potentiel étant continu, les formules subsistent pour p = i, ce qui donne les relations

s:

cos n <^ log ) 2 sin W'^ = ^ cos n \

sin n (L log < 2 sin — > d'^

8. Vérifier que les seules fonctions F (•}) vérifiant une relation de la forme f F(^)logJ2|sin^^^| jrf'>=-KF(a>), où K est constant, sont de la forme A cos/i'^ -t- B sin']>.

R. On considère le potentiel V(p, to) = / ¥ {'l) \og r d'i^ et, en cal-

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 289

à\

culant -T— } on démontre, après quelques transformations faciles, que ce

à\ T potentiel satisfait à une relation p-j- h-— V = C, C étant constant. Ce

<7p K

coefficient doit être nul puisque V est nul au centre du cercle, et par suite V est une fonction harmonique homogène.

9. Calculer les potentiels de double couche

r-^ , cosT ,, r"'^ • , costp ,,

r et 9 ayant la signification ordinaire.

10. Soit U une fonction continue le long d'un cercle C de rayon R; X étant l'affixe d'un point intérieur, l'intégrale

r.i Jç^ z — X 7t Jg 2R

représente une fonction holomorphe de j:- à l'intérieur du cercle C, dont la partie réelle tend vers U, lorsque le point x tend vers un point du cercle C.

R. On observe que cette partie réelle est un potentiel de double couche. On déduit de là la relation

~i Jç^ z{z — x) nRj^ -'-

dx

11. Soient u et v deux fonctions harmoniques conjuguées dans un

cercle C ayant pour centre Torigine, telles que u -t- iV = F(^). Démontrer

du dv . j f • ■ . ,

que p -T- et p -T- sont aussi des lonctions harmoniques, conjuguées, et que

l'on a

l!2. Problème de Neumann pour le cercle. — Soit u{a, b) îune fonc- tion harmonique dans le cercle C de rayon R, ayant pour centre l'origine, dont la dérivée — prend une valeur donnée en chaque point de C, telle

que / -j- ds = o; v{a, b) étant la fonction conjuguée, posons /{x) = u -^ iv, X = a -h ib.

On a, d'après l'Exercice 11,

du , âv r,, .

Vi4o CHAPITRE XXVII. — ÉQUATIONS LINÉAIRES DU TYPE ELLIPTIQUE.

La parlic réelle de la fonction holomorphe xf'{x) est égale à — R ^

sur G; on a donc {Ex. 10)

.,. . X r du dLo^(z — x) , .,, . \ r du c/Log(2 — x) . ^^^^^=^J^dir d-x ^^^' f^^^-r.id7^ ITx ^^^^

et, par suite,

du

f{x)=-^f'^^ho^(.z-x)ds.

En prenant la partie réelle, on obtient la formule de Dini qui représente dans le cercle la fonction harmonique cherchée

^ r du. u =■ — \ —r losr ds. t: J„ dn

On vérifie aisément ce résultat en s'appuyanl sur les propriétés des dérivées normales du potentiel de simple couche [n" 538, formules (54)], ou sur les formules de l'Exercice 7. {Voir un article de M. Tommaso Boggio, Reale Accademia délie Scienze di Torino, 1911-1912).

13. Généralisation. — Déterminer une fonction harmonique u dans un cercle G de rayon R, telle que l'on ail sur ce cercle

a , du ,. , . , , ^^

=rU j- = u (fonction donnée sur C).

R dn '

[Tommaso Boggio, Ibid.] fi. Soit U la fonction harmonique égale à U sur G; on doit avoir au -h p —— = n M ,

car les deux membres sont des fonctions harmonijues égales sur G. Soient V et v' les fonctions harmoniques conjuguées de u et u respecti*- vement; on peut supposer aussi que l'on a

ai--' „ a^ -I- s -— = H V. ' "?

Soient u -h iv' = f{'z), u -\- iv = F{z). On déduit de ces égalités que la fonction /(z) satisfait à l'équation différentielle

af{z)^z/'{z) = RF{z),

qui admet une solution holomorphe dans C, pourvu que a ne soit pas un nombre entier négatif.

14. Problème de Diricklet pour une aire annulaire. — Ce problème, dont on a déjà indiqué une solution (n" oiO), a fait l'objet d'un travail étendu de .M. V'illat (fiendiconli del Circolo matematico di Palermo,

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 24 1

t. XXXIII, 1912, p. i34). La fonction de Green correspondante peut s'exprimer assez simplement au moyen de transcendantes elliptiques.

Soit D le domaine compris entre les deux cercles C, G' de rayon i et R>i, ayant pour centre l'origine dans le plan de la variable z. En posant u = ihogz, on fait correspondre au cercle G l'axe réel dans le plan de la variable m, au cercle G' une parallèle à l'axe réel d'ordonnée logR, et à la couronne circulaire correspond la bande indéfinie D', de largeur logR, comprise entre ces deux droites. A un point de D correspondent une infinité de points de la bande D' qui ont même ordonnée et dont les abscisses forment une progression arithmétique de raison 2n. Considérons le système de périodes aw = 21:, ?.ci)'= 21 logR; «i, et, e^, gt, g^ sont réels, et les fonctions <i , <j'i, a'2, a'3, formées avec ces périodes, sont représentées par des développements en séries entières à coefficients réels; tj est réel, ainsi que — (voir, par exemple, Tannery et Molk, Fonctions elliptiques,

t. I, p. 188 et suivantes).

Soit a ■+■ ^i un point pris dans la bande D'. Le quotient

<ï{u — a — ^i) ■i{u — a -+- 'pi)

a un module égal à l'unité lorsque u décrit l'axe réel; il est holomorphe dans D' et n'y admet pas d'autres, zéros que les points a -i- ^i -4- aArit. Le produit

possède aussi ces propriétés, mais de plus on voit aisément que cette fonc- tion admet la période 201 = 25t en tenant compte de la relation entre s'a et (S{u ■+■ 2 0)). Le module de 9(a) reste constant lorsque u décrit le bord supérieur de la bande D'. D'après les relations générales

■j{u -+- a>') = e^i'"a'w'<3'3«, -rico' — Tj'aj = - i,

on a, en effet,

s.'ir.jH / ,. o -^-zr-:i:s(u — a — PO

?(a •+- o) ) = e-Pe " — %-vri

^^(tt — a -(- fJi)

et comme les coefficients de ^^ sont réels, le module de cp(a-+-(o') est égal à e— P lorsque « est réel. Gela étant, posons v = Log[ç(^^)]; lorsque z décrit un contour fermé dans la couronne D, u augmente de ik^, ?(«) reprend sa valeur initiale, et la partie réelle de v est une fonction uni- forme des variables x, y dans ce domaine, qui est nulle sur G et égale à — p sur G', D'ailleurs la fonction v n'admet qu'un seul point singulier logarithmique dans D, le point e-''i*-^?') = e?-*'. En ajoutant à la partie

réelle de v la partie réelle de - — i— — Logz, on a la fonction de Green

LogK demandée.

CHAPITRE XXVIII.

FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

I. — PROBLEME DE DIRICHLET DANS LESPACE.

525. Propriétés générales. — La définition des fonctions har- moniques s'étend immédiatement aux fonctions de trois variables. jNous dirons qu'une fonction u{x, y, z) de trois variables .r, j', ; est harmonique dans un domaine D de l'espace si elle est régu- lière, c'est-à-dire continue ainsi que ses dérivées partielles jusqu'au second ordre, et si les dérivées partielles du second ordre véri- fient l'équation de Laplace

()'■ u à- Il à- Il

en tout point de ce domaine. La fonction -i où r est la distance du point variable M(x, j-, :;) à un point fixe P((7, 6, c), est harmo- nique d^ins tout domaine ne renfermant pas le point P, et cetle fonction joue le même rôle que log- dans la théorie de l'équation à de^-i variables. Les dérivées partielles de cette fonction, soit par rapport aux variables x, }\, s, soit par rapport aux paramètres a, I}, c, sont harmoniques dans le iTiême domaine, et il en est de même de toute combinaison linéaire de ces dérivées, dont les coefficients S(»nt indépendants de J", J', z. Par exemple, l'expression — -^i où o désigne l'angle de la direction PM avec une direction quelconque i.s^ue de P, est une fonction harmonique, car elle est égale à la dérivée de - prise suivant la direction considérée quand on

regarde - comme fonction des coordonnées (a, 6, c) du point P.

De même ^^^' où ■\i est l'angle de la direction MP avec une

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 243

direction fixe^ indépendante de M, est encore harmonique, car

c'est la dérivée de -> considérée comme fonction de :r, j, ^, prise

suivant cette direction. Les propriétés des fonctions harmoniques, déduites de la théorie du potentiel ou de la formule de Green, s'étendent, avec quelques changements faciles à reconnaître, aux fonctions harmoniques de trois variables; on se bornera souvent à quelques indications, en laissant au lecteur le soin de développer les démonstrations, tout à fait pareilles à celles des n''* 505-507. Au contraire, la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe et la théorie des transformations conformes n'ont pas d'analogues quand on passe de deux à trois variables. Toute fonc- tion harmonique se change en une fonction harmonique quand on remplace a?, y, z par kx^ ky, kz. quand on effectue sur ces variables une substitution orthogonale quelconque, ou quand on change x, y, z en x -j- a, y -i- b, z -i- c respectivement; la vérifi- cation est immédiate. De même, si V{x, y^ z) est harmonique, la

fonction

X y z \

^j;i _H )-i -H ;32 \jC--^y-^ Z^ X'-'^y^^Z'' x"- ^ y"- -\- Z'- j

est aussi hamonique ('). En combinant les transformations pré- cédentes, on obtient toutes les transformations

Z=Mx,y,z\ Y=Mx,y,z), Z=Mx,y,z), U = ^{u, x,y, z)

par lesquelles l'équation iAU=o se change en une équation de même forme ( - ) Aa = o.

On a vu (n° 503) que le polynôme harmonique et homogène le plus général de degré n, à deux variables, dépend de deux con- stantes arbitraires. Un polynôme homogène de degré n à trois

variables renferme -^ — — '■ — - coefficients; en écrivant qu'il

satisfait à l'équation de Laplace, on établit —^^ relations entre

ces coethcients : il reste donc ^^ — ^^ = 2/14-1

(' ) Cette propriété est due à Lord Kelvin [Journal deLioùville^ t. X (i" série), 1845, p. 364). On la démontre aisément au moyen de l'équation de Laplace en coordonnées polaires (I, p. i5j).

( = ) Painlevé, Mémoires des Facultés de Lille, t. I, 1889.

244 CHAPITRE XXVni. — FONCTIONS HARMONIQUES OE TROIS VARIABLES,

coefficients arbitraires. On peut encore le voir en observant que l'équation de Laplace et celles qu'on en déduit par dérivations permettent d'exprimer toutes les dérivées d'ordre n au moyen des dérivées de cet ordre où x ne figure pas ou figure une seule fois. Dans un polynôme harmonique homogène d'ordre n, on ne peut donc choisir arbitrairement que les coefficients des termes ne ren- fermant pas a; ou renfermant x au premier degré; le nombre de ces termes est bien égal à 2n-i- i. Ces polynômes harmoniques V/i(j7, y, z) peuvent se déduire des dérivées partielles de la fonc- tion harmonique En eft'el, toutes ces dérivées satis-

\/a;*-i-/2_)_ z-

font aussi à l'équation de Laplace, et une dérivée d'ordre n est de

— n— -

la forme Yni-^, J, -s) (a;-+ya-f- -^') , V„(a7, y, z) étant un

polynôme homogène de degré n; la fonction harmonique qu'on en déduit par la transformation de Lord Kelvin est précisément le polynôme V„(a:, y. z). Tous ces polynômes se réduisent à 2/1 -f- i polynômes linéairement distincts, puisque le nombre des dérivées partielles d'ordre n linéairement distinctes d'une fonction harmo- nique est égal à 2tt -h I. Pour /i = i , ?., 3 on a respectivement

\\{x, y, z) = X, {x-^-z^ -+- X2O' - ^') + >^3^r ■+■ Xi^s -4- l^z, \::{x, y, z) = Xi(j:3 — 'ixy-) ■+- ^^{x'^ — 'ixz-) -t-. . .h- A:xyz,

les éoefficients X,- étant arbitraires, et les termes non écrits dans V3 se déduisant des deux premiers par permutation circulaire.

526. Potentiel newtonien de simple couche. — Rappelons d'abord quelques définitions relatives aux surfaces. On dit qu'un point Mû(^05 J'o, ^0) d'une surface S est un point ordinaire si les coordonnées {x, y, z) d'un point voisin M de S sont des fonc- tions x=/{u, p), y = (f{u, ^^), 5 = (j;(u, t-) de deux para- métres u, p, continues et admettant des dérivées partielles du premier ordre continues dans le voisinage du système de valeurs {uq, Pq) qui correspond au point Mq, et si de plus les trois jaco-

,. D(y.z) I)(z,x) D(x,y) . 1 • 1 r •

biens -TTT^ {i -TT--^ — ^' rrr-'^^^ sont pas nuls a la fois pour ce

D(m, f) D(m, v) D(m, v) ^ ^

système de valeurs. Une portion de surface est dite régulière si

elle ne renferme que des points ordinaires. Les surfaces dont il

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS LESPACE. 245

sera question dans la suite ne sont pas forcément anrîjliques, mais nous supposerons toujours qu'elles se composent d'un nombre fini de portions de surfaces régulières. Elles peuvent avoir un nombre fini d'arêtes, suivant lesquelles se rejoignent deux nappes de surfaces régulières avec deux points tangents distincts, et un nombre fini de points singuliers isolés, comme des points coniques, ou des sommets où aboutissent plusieurs arêtes. Il est clair qu'une intégrale de surface, étendue à une surface de cette nature, a toujours un sens si la fonction sous le signe d'intégration est con- tinue, ou si elle est discontinue, en restant bornée, en certains points ou le long de certaines lignes, en nombre fini. Par exemple, si la fonction sous le signe intégral dépend de la direction de la normale, elle est discontinue le long des arêles, mais si l'on a choisi une direction déterminée pour la normale sur chaque por- tion de surface, l'intégrale double a une valeur finie.

Soient I, une surface de l'espèce considérée, fermée ou non, mais située tout entière à distance finie, et jul une fonction continue sur 1. L'intégrale étendue à cette surface

(.) V(a,*,c.)=/r^

(h,

où r désigne la distance d'un point M de 2 à un point fixe P de coordonnées (a, 6, c), est un potentiel newtonien de simple couche. On démontre comme au n" 503 que V(a, 6, c) est une fonction harmonique des coordonnées (a, 6, c), dans tout do- maine D n'avant aucun point commun avec 2, et qu'elle est con- tinue dans tout Vespace. 11 suffit, pour établir ce dernier point, de prouver que l'intégrale (2) est uniformément convergente dans le domaine de tout point Mo de 1 (n" 504). Supposons que le point Mo est un point ordinaire de 2; prenons ce point pour ori- gine et la normale pour axe des z. Soit 2' une portion de i entou- rant Mo, qui n'est rencontrée qu'en un point par une parallèle à l'axe des ^, et se projette sur le plan des xy à l'intérieur d'une courbe fermée y entourant l'origine. L'intégrale

-<-'-•- /X,^=/J

fia f i' "j. V I H- />- -t- (/' <li' 'h

étendue à la portion du plan des xy intérieure à la courbe y, est

246 CHAPITRE XXVm. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

inférieure en valeur absolue à

dx cl Y

^■//;

(\r — aj-H- (j- — b)-

M désignant une limite supérieure de l/^y/i H-/?--i- 7- 1 sur une portion de 2 renfermant U . Si l'on passe aux coordonnées polaires en posant a? := a -f- p coscp, y = 6 -h p sin^, on voit que la valeur

absolue de V'(a, 6, c) est plus petite que l'intégrale M / / </p «^9,

et par conséquent plus petite que 2 7rM/, si la courbe y est située tout entière à l'intérieur d'un cercle de diamètre /. Ce nombre l pouvant être pris aussi petit qu'on le veut, il en est par suite de même de | V'|, La démonstration s'étend facilement au cas où le point Mo serait situé sur une courbe double de 2.

En dehors de 2, V(a, 6, c) est une fonction analytique de a, 6, c. Comme on peut prendre pour origine un point quelconque en dehors de 2, il nous suffira de démontrer que U peutètre déve- loppée en série entière suivant les puissances de a, 6, c, lorsque

l'origine est en dehors de i. La fonction-? où x,y, z sont les

coordonnées d'un point de 2, est une fonction holomorphe de a. 6, c, dans le voisinage des valeurs a = 6 = c = o. Considérons ces variables comme des variables complexes; si le module de chacune d'elles est inférieur à p, le module de r- est supérieur à

•^'-^J-'-^-s' — 2p[.^;-i- \y ^' z ] — 3p2.

Le nombre p avant été choisi assez petit pour que l'expression précédente ne s'annule pas lorsque le point (a:-, >', z) décrit 2,

la fonction des variables complexes a. b, c est holomorphe dans

le domaine précédent, et son module reste inférieur à un nombre positif M quelle que soit la position du point {x, y, z) sur 1. Par conséquent, si l'on développe cette fonction en série entière sui- vant les puissances de a, 6, c, les modules des coefficients seront inférieurs (II, n" 352) aux coefficients correspondants du dévelop- pement de

('-?)(-f)(-^)

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 247

Celte série est donc uniformément convergente lorsque le point ( x^ y, z) décrit i, ptiurvu que les valeurs absolues de a, b, c soient inférieures à p. En multipliant tous les termes par jul(j7, y, z) et intégrant terme à terme le long de 1, on obtient pour V(a, b, c) une série entière ordonnée suivant les puissances de a, b, c; ce qui démontre la proposition.

Il est essentiel de remarquer que cette propriété n'est plus vraie pour un point de 2; de part et d'autre d'une portion de celte sur- face, V(a, 6, c) représente deux fonctions analytiques distinctes, qui ne sont pas le prolongement analytique l'une de l'autre quand on traverse cette surface. Par exemple, dans le cas où 2 est une sphère de rayon R, si l'on a fjt. r= i , à l'intérieur de la sphère on

R- a V = 4TrR, et V = 47r-y à l'extérieur, d étant la distance du

point P au centre. La discontinuité des dérivées partielles 3-' •••

quand on traverse 2, explique bien ce résultat (voir n" 538).

Pour étudier le potentiel V(a, 6, c) lorsque le point P s'éloigne indéfiniment, il suffit d'intervertir le rôle des deux systèmes de variables, (.r, j, z) et (a, b, c) dans le raisonnement précédenL Soit S une sphère de rayon p ayant pour centre l'origine, ei con- tenant à l'intérieur la surface 2; le point P étant extérieur à S,

considérons - comme fonction des variables complexes x, j', -, les

modules de ces variables restant inférieurs à p. Dans ce domaine, le module de r- reste supérieur à

a- -t- fy- -h c- — •> ç, \ a \ -h \ b \ -h 'c \ [ — 'i p-

si l'on suppose le point P(a. 6, c) à l'extérieur d'une sphère 8', concentrique à S, et de rayon R = 5p, on voit aisément que ce

module est supérieur à 3p-. Par suite, la fonction des variables

complexes x, y, z est holomorphe, et son module reste plus petit qu'un nombre positif déterminé, quelle que soit la position du point P en dehors de S', lorsque les modules de a;, y, z sont infé- rieurs à p. On en conclut que peut être développée en une série entière ordonnée suivant les puissances de x, j-, c, et uniforme-

248 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

ment convergente^ lorsque le poinl (j;, r,\c) décrit la surface 2.

(3) " = ' ^ 2A,„„;,a;'"7''z/',

^ \J (t'- -In b- -^ C-

le coeftîcieal ^mnp ayant pour expression

^m^n^P ( X \ I A „ , — { I \m+n-^ii / 1 .

'""/' ^ ^ ôa'- f)t" àcf l ^ ai^b^-^c-'-j m\n\p\

En multipliant les deux membres de la formule (3) par [x{x, y, z), et intégrant terme à terme, on obtient un développe- ment de V(a, 6, c) qui est valable pour toute position du point P à l'extérieur de S'

(4) \{a,b,c)= , ^ ^^^",np /rZ,''A ni-= ' V

P et ^mnp étant des coefficients constants. On remarquera que tous les termes de ce développement sont des fonctions har- moniques de a, 6, c, et que le coefficient Q est égal à l'inté- grale / / /JLC?'3', étendue à 2.

Les mêmes calculs, appliqués au potentiel logarithmique de simple couche, prouvent que c'est une fonction analytique, mais le développement, pour des valeurs très grandes de a, b, commence par un terme en Q log(y/a- -\- b^).

327. Potentiel de double couche. — Soit MN une direction déterminée sur la normale en chaque point M d'une surface 2, variant d'une manière continue avec la position du point M sur la surface entière, ou sur chaque position de surface; appelons cp l'angle de la direction MN avec la direction MP joignant le point M au point P de coordonnées (a, 6, c). On démontre comme au n" oOo que l'intégrale double

(5) Wfa, b. c)

J .-Vv,'"^ '- ^ J J ^ dn

OÙ |jL est une fonction qui varie d'une manière continue avec la position du point M sur i. est une fonction harmonique des coor- données du point P. dans tout domaine n'ayant aucun point commun

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. V>49

avec 2,. On a donné à celte fonction le nom de potentiel de double couche, emprunté à la théorie du Magnétisme. C'est aussi une fonction analytique. Pour le démontrer, plaçons-nous dans les mêmes condilions qu'au numéro précédent; nous pouvons écrire

-^ = — 3 cosa H — cosp H ^— ^COSY,

/•2 àa àb ^ àc '

a, (3, Y étant les iingles de la direction MN avec les axes.

Lorsque les modules des variables complexes a, è, c sont plus petits qu'un nombre positif convenable p, on a vu que la fonc- tion - pouvait être développée en une série entière, qui reste uni- formément convergente lorsque le point (^, r, z) décrit 2. Il en est évidemment de même des dérivées partielles de - par rapport

aux variables a, 6, c, et par suite de — -r" Le raisonnement s'achève comme pour le potentiel de simple couche ( ' ). De la relation

'0)._ /(-:) .. "G.)

COS|i H -r^^COSY

on déduirait de même que la fonction VV(a, 6, c) est développable en une série de la forme (4), lorsque \ a- -\- b- -\- c- est supérieur à un nombre positif, convenablement choisi, mais il est à remar-

-1 qjjer qu'il n'y aura pas de terme en (a- -h b'-^-c"^) ■', de sorte qu'à

l'infini, W est de l'ordre de (a-'H- b- -\- c'^)-^ .

La fonction W(«, 6, c) est discontinue en un point de 2. Pre- nons d'abord le cas simple où l'on a /jl = i ; l'intégrale ainsi obtenue

(G)

ippelée intégrale de Gauss, a une signification géométrique qi

{') Lorsque la surface 1 est analytique, >i a est aussi une fonction analytique sur 2, les deux potentiels V(a, b, c), \V(a, b, r) peuvent être prolongés analy- tiquement à travers la surface 1 (BnuNs, Journal de Crefle, t. 81; Krhard ScHMiDT, Mateninliscke Annalen, t. LXVIII).

25o CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

met en évidence la discontinuité. Étant donnés un point G et une portion de surface c?, telle qu'une demi-droite issue de G ne puisse la rencontrer en plus d'un point, le lieu des demi-droites issues de G et passant par un point de <j est un cône solide ; l'aire découpée par ce cône sur la sphère de rayon un et de centre G est la mesure de l'angle solide sous lequel on voit du point G la surface d. Cela- posé, l'expression — ^ dd est égale à zh l'angle solide sous lequel on voit du point P l'élément de surface dd^ car cos 9 dd est, au signe prés, l'élément d'aire découpe sur la sphère de rayon r et de centre P par le cône élémentaire de sommet P, ayant pour base l'élément d'i. Quant au signe, il est fixé par la convention suivante : Appelons côté positif de 1 le côté qui correspond à la direction choisie sur la normale, et côté négatif le côté opposé ; il est évident que cos 9 -^ est positif si une demi-droite issue de P et traversant l'élément de surface passe du côté positif au côté négatif, et négatif dans le cas contraire. Gn voit immédiatement d'après cela quelle est la valeur de l'intégrale (6); c'est la somme des angles solides élémentaires, affectés d'un signe convenable, sous lesquels on voit du point P les divers éléments de i. Supposons en particulier que - soit une surface fermée et qu'on ait choisi pour direction de MN la normale intérieure; W, (a, 6, c) est égal à 4^1 si le point P est à l'intérieur du domaine D limité par i, et à zéro si le point P est à l'extérieur. En un point non singulier P pris sur i, l'intégrale est égale à 27-; en un point où la surface n'admet pas un plan tangent unique, l'in- tégrale est égale à la mesure de l'angle solide a formé par les tan- gentes à la surface issues de ce point ( ' ).

Revenons maintenant au cas général, en supposant toujours que la surface i est fermée, et qu'on a choisi la direction de la normale intérieure. Gn démontre comme plus haut (n" 505) que

(') Ces résultais se déduisent aussi très aisément des formules du n° 528. Si If point P est à l'extérieur du domaine D, U = - est harmonique dans ce domaine, et la formule (12) donne Wj = o. Si le point P est à l'intérieur de D, la for- mule (14) appliquée à la fonction harmonique L = i, donne \\, = i"- Si le point P est sur S, on appliquera la formule (12) à la fonction U = - qui est harmonique dans la portion du domaine D extérieur à une sphère de rayon p ayant pour centre le point P, et Ion fera décroître indéfiniment le rayon p de cette sphère.

I. _ PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 201

l'intégrale

OÙ /jLf, est la valeur de ,a en un point M^ de i, est une fonction con- tinue des coordonnées du point P en ce point M,,, de sorte que la diflerence I(P) — ^Mq) tend vers zéro en même temps que la distance Mo P. Gela étant, appelons Wq la valeur de l'intégrale (5) elle-même lorsque le point P coïncide avec le point M„, et Wo,. Woe les limites vers lesquelles tend W(a, 6, c) lorsque le point P tend vers le point Mo en restant à l'intérieur ou à l'extérieur de i. Lorsque P est en Mo, I est égal à Wo — 2 7rfXo; lorsque P tend vers My en restant à l'intérieur de 2, le premier terme de I a pour limite Wo,-, tandis que le coefficient de jjlo est constamment égal à — 4 -. Au contraire, lorsque P tend vers M» en étant à l'extérieur de i. le premier terme delà pour limite Woe, et le coefficient de ^o est nul. La fonction I étant continue au point Mo, on a donc Wo — 2 7r/JLo = Wo, — 47:fXo= Woe, d'où l'on déduit les deux rela- tions tout à fait pareilles à celles du n" 505 :

(7) Wo, = Wo -1- 2 -uo, VV.v = W„ — ?. -ao.

En un point singulier, ces relations doivent être remplacées par les suivantes

^ 8 I W,„- = Wo -t- ( 4 - — 3t ^ \U, Wo,. = Wo — auo,

a ayant la signification expliquée plus haut.

o!28. Seconde formule de Green. — Étant données deux fonc- tions quelconques o(x, v, -). 4^(x, j, -), on a identiquement

= \'l - ■:. A?

,) 57'	(^ê-
	(4-			• >)z

Si les fonctions 9 et ]> sont régulières dans un domaine borné D, limité par une ou plusieurs surfaces fermées, et continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre sur les surfaces qui limitent ce domaine, on a, d'après la première formule de

252 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

Green (J, n" 144),

f f I (? A!{/ — (^ Acp) dx dy dz

-/.4* (S "'' * * I * "" "" ■'^ "" * ) '

les intégrales doubles étant étendues au côté extérieur de la sur- face 2 qui limite D. Soient a, (3, y les angles que fait avec les axes la direction de la normale intérieure en un point de 2; la pre- mière intégrale double peut s'écrire

On peut transformer de même la seconde intégrale double, et la formule (g) devient

les dérivées -—■> ~- étant prises suivant la direction de la normale

dn dn '^

intérieure, c'est-à-dire qui pénétre dans le domaine D.

Lorsque les fonctions cp et ij/ sont deux fonctions harmoniques dans D, U et V, l'intégrale triple disparaît et il reste la relation

/X,(^'^-1^)-=-

On obtient encore deux formules importantes, en supposant '^ ■.= i. çp = U, ou (^ = U-, U étant une fonction harmonique,

■ ^ du

(12) j j^^

la première caractérise les fonctions harmoniques (n" 5(X)).

Soient P(rt, è, c) un point du domaine D et U(rr, j>-, -; ) une fonction harmonique dans ce domaine. Les deux fonctions L et

I. _ PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 253

V = ^5 OÙ rest la distance du pointPàun point variable (x,/, 5), sont harmoniques dans la portion du domaine D extérieure à une sphère S de centre P et de rayon p assez petit pour qu'elle soit tout entière à l'intérieur de D. Appliquons la formule (11) à ce domaine limité par 2 et S; en faisant tendre p vers zéro et en rai- sonnant comme au n° 507, on obtient la formule

4 Jî w/ J(Y.) L dn r (in J

(.4) ^«'.».»)=4;;J X)r"^^~'^^J*'

toute pareille à la formule (i3) du n" 507. Le facteur 271 a été remplacé par 4^:, qui mesure l'aire d'une sphère de rayon un, et log- pari- En particulier, si la surface 1 est la surface d'une sphère S de rayon R ayant le point P pour cenlre, on a tout le

long de cette sphère r = R, —^ = ^5 et l'on obtient la for- mule de la moyenne pour les fonctions harmoniques de trois variables

On en déduirait, comme plus haut (n" 507), qu'une fonction harmonique de trois variables ne peut avoir ni maximum, ni minimum.

Le second membre de la formule ( i4) est la somme d'un poten- tiel de simple couche et d'un potentiel de double couche, c'est- à-dire de deux fonctions analytiques (n"' 526-527). On en conclut que toute fonction harmonique est une fonction analytique. En effet, étant donné un point P, pris dans le domaine D où la fonction U est harmonique, on peut toujours appliquer la for- mule (i4) en prenant pour 1 une surface fermée entourant le point P et située tout entière dans ce domaine D. Soient xq, j"o, Za les coordonnées d'un point quelconque de D; dans le voisi- nage de ce point, la fonction harmonique U(a7, y, z) peut être développée en série entière ordonnée jsuivant les puissances de X — ^05 J — /o5 ^ — ^0- L'ensemble des termes de degré n est un polynôme

\n{x^ Xo, y—yn, z— Zn)

204 CHAPITRE XXVIIl. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

en désignant par V„(a7, j-, z) un polvnome harmonique homogène de degré «(') (n° 523).

La formule (i4) permet d'étendre aux fonctions harmoniques de l'espace le second théorème de M. Picard (p. 173). Soit \{x,y, z) une fonction harmonique dans un domaine D, à l'exception d'un point O de ce domaine, où elle devient égale à -4-00. La famille de surfaces \{x, y, z) = K est alors formée, pour des valeurs très grandes de K, de surfaces fermées entourant le point O et tendant vers ce point lorsque K augmente indéfi- niment. La dérivée —j- prise suivant le côté extérieur de l'une de ces

surfaces est négative et l'intégrale j j j- d-i , prise suivant le côté extérieur, a une valeur négative 4^ H, indépendante de K, puisque la fonction V est harmonique dans la région comprise entre deux quelconques de ces surfaces. Cela posé, soient S une sphère de centre O située dans le domaine D, M(«, b, c) un point quelconque intérieur à S autre que O, 2 une des surfaces V = K, intérieure à S, et laissant le point M à l'extérieur. La formule (i4) donne pouj V(a, b, c) la somme de deux intégrales, l'une prise Suivant le côté intérieur de S, l'autre suivant le côté extérieur de S. L'intégrale prise suivant le côté intérieur de S repré- sente une fonction U (a, b, c) harmonique dans S. L'intégrale prise suivant

le côté extérieur de 2 se réduit à / / — ^ rfs". La dérivée -t- avant

4^^ J .y,vj r an dn •

un signe constant sur 2, on peut appliquer à cette intégrale le théorème

de la moyenne, lorsque la surface S se réduit au point O, cette intégrale

se réduit à — , p désignant la distance OM. La fonction \ (a, b, c) est donc

de la forme h U(cr, b, c), où U(a, b, c) est harmonique dans le domaine D.

La formule (14) permet aussi de répondre affirmativement à la question suivante : Soit U une fonction continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans un domaine D ; on sait de plus que les dérivées partielles du second ordre sont continues et satisfont à Véquation de Laplace en tous les points du domaine D, sauf peut-être le long de certaines surfaces en nombre fini situées dans ce domaine. Peut-on en conclure que U est harmonique dans tout le domaine?

Soit S une des surfaces du domaine D, le long desquelles les dérivées secondes de U peuvent être supposées discontinues. D'un point A de cette surface pour centre décrivons une sphère 2 de rayon assez petit pour qu'elle soit située tout entière dans D, et ne renferme pas d'autre surface analogue à S. La portion S' de S intérieure à 2 décompose Tintérieur de la sphère en deux domaines D' et D", limités respectivemeet par S' et par deux por- tions S' et X" de 2. Dans chacun de ces deux domaines la fonction \j est

(') On a étendu aux séries de cette nalure les tliéorèmes coimus sur les séries entières d'une variable complexe {voir Appell, Acta mathematica, t. IV, 1884, p. 313-3-4).

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS LESPACE. 255

harmonique; désif;nons par Li' et U" les deux fonctions harmoniques avec lesquelles elle coïncide dans les deux domaines D' et D" respectivement. Nous voulons montrer que ces deux fonctions U' et U" sont le prolonge- ment analytique l'une de l'autre quand on traverse S' ou, ce qui revient au même, qu'il existe une fonction harmonique dans le domaine D'-i- D", qui coïncide avec U' dans D' et avec U" dans U".

Soit P un point quelconque du domaine D'; U' étant harmoniiiue dans D', on a, d'après la formule (i4),

4 " <y »/(v,) l_r dn

lH

d^.

dn'

-j- désignant la dérixie en un point de S' suivant la normale intérieure à D'.

Les deux fonctions L" et - étant harmoniciues dans le domaine D", le second membre de la formule précédente est nul quand on y remplace U'

par U", 2' par 2", et -r- par la dérivée —r-„ prise suivant la normale inté-

^ ^ dn ^ dn

rieure à D""en un point de S'. Or, la fonction donnée U étant continue,

ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre le long de S', on

d\]' dU" , j - . ,• . , . ,.

o ; en ajoutant les deux égalités supposées écrites, on a donc

dn' dn"

u;.

\-J JJ^,,^ L r dn dn J

^^J Ji^Xr dn dn J

'(V") I

Il est clair qu'on aurait la même expression pour Up, P étant un point intérieur à D". Or le second membre de cette formule, considéré comme fonction des coordonnées du point P, est harmonique à l'intérieur de S : ce qui démontre le résultat énoncé plus haut.

329. Problème intérieur et problème extérieur. — Le problème de Dirichlet intérieur' dans l'espace se pose comme le problème analogue dans le plan. Etant donne un domaine borné D, limité par une ou plusieurs surfaces fermées, il s'agit de trouver une fonction harmonique dans D, prenant des valeurs données sur les surfaces limites, ces valeurs formant une suite continue sur cha- cune de ces surfaces. L'absence de maximum et de minimum pour une fonction harmonique prouve encore que ce problème admet

256 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

au plus une solution, et la démonstration deRiemann pour prouver l'existence d'une solution est soumise aux mêmes objections que dans le cas du plan. Le lecteur rétablira facilement de lui même celte démonstration.

Avant de nous occuper du problème extérieur^ nous devons donner d'abord quelques définitions. Soit U(a:, j, z) une fonction harmonique dans le voisinage de tout point P situé en dehors d'une sphère de rayon R ayant pour centre l'origine. La fonction obtenue par la transformation de Lord Kelvin

y/j-2-+- y2-4_ ^2 \ X^ -+->'- -H S^ ^T' -+- JK^ -t" -3" X - -fn ^ ^ Z' J

est une solution de l'équation AV r- o, régulière en tout point intérieur à la sphère de rayon ^ , ayant pour centre l'origine, sauf peut-être pour l'origine.

Si cette fonction V(j7, j-, z) est régulière aussi à l'origine, elle est développable en série entière de la forme

Ao+ V A„V,(x,j, z),

et par conséquent, la fonction \]{x, j', z), qui se déduit de V(:r, r, z), de la même façon que V se déduit de U, est dévelop- pable en série de la foi me

' \}{x,y,'z) ^'

^ \J x"- -^ y'- ^ z^ " Xx'' -^ y- ^ z'' /'

pourvu que y/a:-H- j'^-f- x?"^ soil supérieur à un nombre positif convenable. On dit alors que la jonction harmonique Vi est régu- lière et nulle à Vinjini. Il en est ainsi, pour un potentiel de simple couche ou de double couche (n"* 526-527). Les formules (4) et (16) ne diffèrent en effet que par les notations, car on a remarqué (n°o25) que les dérivées /î'^^^^ de - sont de la forme

— n. —

\nKx, y, z^i^x'-^y''^ Z"-) -,

Vn{x,y, z) étant un polynôme harmonique et homogène de degré n. D'une façon générale, nous dirons qu'une fonction harmonique

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 267

U(a;, y, ^) est régulière à V infini^ s'il existe une constante C, telle que la différence U(x, y, 5) — C soit régulière et nulle à l'infini. Cette fonction tend vers la valeur C lorsque la distance du point (a?, y^z')^ l'origine croît indéfiniment.

Cela posé, considérons, pour fixer les idées, une seule surface fermée 2, et soit (P le domaine indéfini extérieur à 2. Le problème extérieur, relatif à la surface 2, s'énonce ainsi : Trouver une fonc^ tion harmonique dans (X>, régulière et jvulle à V infini prenant sur lé une suite continue de valeurs données.

Le problème ainsi posé se ramène immédiatement au problème intérieur. Supposons en effet que l'origine soit à l'intérieur de la surface 2, et effectuons une inversion avec le point O pour pôle et l'unité pour module. La surface 2 est remplacée par une surface fermée 2', et le domaine (J^ par le domaine 6^' intérieur à 2'. D'autre part, à la fonction harmonique cherchée U(iF, jKj ^)» l* transformation de Lord Kelvin fait correspondre une fonction V(a7, j, ^), harmonique dans (jy , et prenant sur 2' des valeurs connues qui se déduisent des valeurs données de U sur 2. On obtiendra donc cette fonction V(jr, j^, z), et par suite la fonc- tion I5{x, yi z) elle-même, par la résolution du problème iniéi ieur.

On voit par là qu'il y a une différence essentielle entre le problème exté- rieur dans le cas du plan et dans le cas de l'espace. Si, dans ce dernier cas, on n'imposait pas à la fonction harmonique \5{x,y, z) la condition d'être nulle à l'infini, le problême serait indéterminé.

Soit en effet \}{x,y, z) la fonction harmonique qui donne la solution du problème extérieur proprement dit pour la surface 2 ; soit, d'autre part, \ii{x,y, z) la fonction harmonique dans 05, régulière et nulle à l'infini; prenant la valeur un sur 2. La fonction U (^, JK, z) -+- G[i — \Jii{x,y, z)] est harmonique dans (X), régulière à l'infini, et prend les mêmes valeurs que \}{x,y, z) sur 2, quelle que soit la constante G; elle prend la valeur G à l'infini. Pour que le problème soit complètement terminé, il faut se donner la valeur de la fonction harmonique cherchée a l'infini; on obtient le problème extérieur ordinaire en choisissant zéro pour la valeur de L' à l'infini. Par exemple, lorsque 2 est une sphère de rayon R, touies les fonctions i-i-G( i),où r désigne la distance au centre, sont harmo- niques à l'extérieur, régulières à l'infini, et prennent la valeur un sur la sphère ; il faut prendre G = i pour avoir celle qui est nulle à l'infini.

Remarque. — Soient U et V deux fonctions harmoniques à l'extérieur de 2, régulières et nulles à l'infini. On peut encore appliquer à ces deux fonctions la formule (n), à condition de représenter par -j- la dérivée

258 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

prise suivant la normale extérieure à S. En effet, soit S une sphère ayant pour centre un point fixe O, et de rayon R assez grand pour que la sur- face 2 soit à l'intérieur de cette sphère. Les deux fonctions U et V étant harmoniques dans le domaine limité par S et 2, on peut appliquer la for- mule ( 1 1 ) à l'ensemble des deux surfaces S et S. Si maintenant on fait croître indéfiniment R, l'intégrale double étendue à S est infiniment petite, puisque

U et V sont nuls à l'infini,- et que -y- et -j- sont de l'ordre de =rT' ^ an dn R2

Considérons en particulier une fonction U(ar, j, ^), harmonique à l'exté- rieur de Z, nulle à l'infini, et la fonction -, r étant la distance du

r

point {^x^y, z) à un point fixe P(a, b, c) extérieur à 2. Ces deux fonctions sont régulières à l'extérieur de 2 et d'une sphère a de centre P et de rayon p. Appliquons la formule (n) à l'ensemble des deux surfaces 2 et d, puis fai- sons tendre vers zéro le rayon p de a; nous ^ rifions encore que U(a, b, c) est donnée par la formule (i4), les dérivées étant prises suivant la normale extérieure à 2 (cf. Exercice 6, p. 238).

530. Solution du problème pour la sphère. — La solution du problème intérieur pour la sphère est donnée par une formule analogue à l'intégrale de Poisson. Soit U(a?, y, z) une fonction harmonique à l'intérieur d'une sphère S de rayon R, prenant des valeurs données sur la surface. Si l'on connaissait aussi la valeur de ~r- en chaque point de la surface, la valeur de cette fonction en un point intérieur de coordonnées (a, 6,c) serait donnée par la formule (i4)- On élimine -j- au mojen d'un artifice tout pareil à celui du n° 508.

Soient P< le point conjugué harmonique de P par rapport aux extrémités du diamètre passant par P, fi la distance de Pi au point (j?, j', z). La fonction — étant harmonique à l'intérieur de S, on a la relation

^- J .J,s) L dn r, dn J

(17) TZ I ! \ ^-'l^--^ \d^

■- (S)

Mais on a, en tout point de la sphère S, — = — ? p étant la dis- tance du point P au centre de la sphère.

En ajoutant les formules (i4) et (17), après avoir multiplié la seconde par 5 on obtient la relation

(18) U(a, è, c)

J J ,s^ L dn p dn J

^,

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 269

OÙ l'intégrale ne dépend plus que de la valeur de U sur la surface de la sphère. Soient p< la distance de Pi au centre de S, cp et cp, les angles de la normale intérieure en un point M de la surface S avec MP et MP< . Nous avons les relations

\r/ coscp \n/

cosçi ^. r, R

p2=: R2h- r2— 2Rrcos<p, pî = R2H-rî — aRr, cosçi,

d'où l'on déduit encore, en éliminant cp, c^,^ r,, pt, coscp R cosçi _ R' — p2 ■72 7 "^ ~ Rr3 '

et la formule (i8) devient

(,9) ^J^,,t,c)^±^ffJ^^d..

La démonstration précédente suppose que le problème intérieur admet une solution, et de plus que ^ existe sur la surface, ce qui n'a pas toujours lieu. Nous allons vérifier directement que la fonction U(a, 6, c) représentée par la formule ( 19) fournit la solution du problème de Dirichlet pour la sphère^ quelle que soit la fonction continue donnée U sur la surface. Cette formule peut," en effet, s'écrire

d'après la relation R^ — p2=2R/- coscp — z^. Le second membre est la différence entre un potentiel de double couche et un poten- tiel de simple couche, par conséquent une fonction-harmonique. Soient K' la valeur du potentiel de simple couche - — ^ f f ~ ^'^ lorsque le point P coïncide avec un point M' de la surface de la sphère et U' la valeur donnée de U en ce point. Lorsque le point P intérieur à la sphère tend vers le point M', le potentiel de double couche tend vers la limite U'-H K' (n° 527), car on a 2R coscp = /• pour un point quelconque M de la sphère lorsque P coïncide avec le point M'. D'autre part, la limite de la seconde intégrale est — K', puisque le potentiel de simple couche est continu sur la surface (n° 526). La limite de U(a, 6, c) est donc égale à U' lorsque le point P tend vers le point M' et la formule (20) donne bien la solution du problème intérieur. On verrait de même que la

26o CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

formule

donne la solution du problème extérieur pour la sphère.

On déduit de la formule (19) les mêmes conséquences que de l'intégrale de Poisson (n* 508). Si la fonction donnée U est posi- tive en tout point de la surface de la sphère, U(a, 6, c) est aussi positif pour tout point intérieur, et comme r varie entre R — p et R-hp, on aura deux limites pour U(a, 6,c) en remplaçant /' par R — p, puis par R + p, dans la formule; d'ailleurs l'inté- grale / / V dtj est égale, d'après le théorème de la moyenne,

à 47rR^Uo, Uo étant la valeur de U au centre de la sphère. Nous avons donc les deux inégalités

et comme Uq est compris aussi entre les deux termes extrêmes, la valeur absolue de Up — Uo est inférieure à la différence de ces deux

termes, c est-a-dire a Uo — ,„, — rrr— • Les deux termes de celte

fraction sont respectivement du troisième et du quatrième degré en R; elle tend donc vers zéro si, p restant fixe, on fait croître R indéfiniment. On en conclut qu'une fonction harmonique dans tout V espace^ qui est toujours positive^ est une constante^ et, par suite, qu'une fonction harmonique dans tout l'espace, dont la valeur absolue est bornée, se réduit à une constante (n° 0O8). Cette extension du théorème de Liouville est due à M. Picard. Le théorème de Harnack. dont la démonstration repose sur l'intégrale de Poisson, s'étend d& même sans difficulté aux fonctions harmo- niques de trois variables.

531. Les fonctions de Laplace. — Supposons que la sphère S ait pour centre l'origine O, et l'unité pour rayon. Modifiant un peu les notations, désignons par a:, r, z les coordonnée- rectangulaires d'un point P intérieur à la sphère, et par p, Ô, '^ ses coordonnées polaires, lices aux premières par les relations

^ = p sin6 cos'!/, y = p sin6 sini, ^ = c cos8.

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 261

La formule (19) prend la forme équivalente

(22) Vix,y,z) = — dW 1 ^/(ô'.f) sine' 0^4-';

les coordonnées d'un point variable M de la sphère sont (i, 9', ^'), el/(d', '<\i') représente la fonction donnée U sur la surface de la sphère, exprimée au moyen des variables 9', ^^'i Y est l'angle du rajon OM avec la direction OP, et cosy a pour expres=" n, d'après la relation fondamentale de la Trigonométrie sphérique, (28) cos-jf = cos6 cos8'-f- sin6 sin6' cos(']'' — 4^).

D'après une formule déjà démontrée (I, p. 464)» on a (24) = PoH-Pi(cosy)p -I-...-4- P„(cosy)p«-i-...,

V'i — 2p COSY -+- p2

P„ étant le /i'*™* polynôme de Legendre. En ajoutant cette formule à celle qu'on obtient en différentrant par rapport à p, et multi- pliant les deux membres par ap, il vient

(•24)' î— ^^ ^ = Po-f-3Pi(cosY)p+...

(i — 2p cos-j- -+- p^y

-+- (2/1 H- 1) Pn(COSY)pi-|- ,

Cette série est uniformément convergente, lorsque le point M décrit la sphère S. En effet, d'après la formule rappelée tout à l'heure, P„(cosy) est égal au coefficient de p" dans le développe- ment du produit (i — p^^') ^(i — P^~^') ^- Si l'on développe chacun des facteurs [séparément, les coefficients de pfe^"^' et de pPe'P"^* sont des nombres positifs, et, par conséquent, on ne peut qu'augmenter le module du coefficient d'une puissance 'quel- conque de p en remplaçant e^' et e~"' par l'unité. La valeur absolue du coefficient de p" dans le produit est donc inférieure au coeffi- cient de p" dans le développement de (i — p)~% c'est-à-dire à l'unité. Il s'ensuit que les termes de la série (24)' sont inférieurs en valeur absolue aux termes de la série 2(2/1 -h ^p", qui est convergente, puisqu'on suppose p<Ci- En 'multiplant les deux membres de la formule (a4)' par/(e', di') sinQ', et intégrant terme à terme, il vient

(25) V{x,y,z)

= 2^1^ P"/"^^'/ P'.(cosT)/(9'.'y)sine'rff.

202 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

Le polynôme P„(cosy) ne contient que des termes en cosydont les exposants sont de même parité que n; on peut donc |le trans- former en un polynôme homogène en siny, cosy, ne contenant que des puissances paires de siny. En remplaçant sin-y par

sin2e(cos2(|i -+- sin-'i) -t- cos*0 — cos^y,

et cosy par son expression (aS), on voit en définitive que Pn(cosy) est une fonction entière et homogène de degré n en cosÔ, sinÔ cosv|>, sinôsin^l^, dont les coefficients sont fonctions de B' et de !}'. Le coefficient de p" dans la série (25) est une expression de même nature, et l'on obtient ainsi un développemenl de la fonction cherchée \}{x^y^ z) dont chaque terme et un polynôme homo- gène en -a?, y, z d'un degré marqué par son indice. La fonc- tion U(a;, y^ z) étant harmonique, il est clair que tous ces polynômes sont aussi harmoniques. Nous écrirons ce dévelop- pement

(26) U(^,7,z)=2(2« + i)YnP'S

Yn étant un polynôme homogène de degré n de cos9, sin6 cosi];, sinôsint];, qui se déduit d'un polynôme harmonique et homo- gène Vn de degré n en y remplaçante, j', z parsinô cos^p, sinôsinij', cos9 respectivement. Ces polynômes Y„ sont les fonctions de Laplace; d'après leur définition même, il y a 2/1 -h i fonctions Y„ linéairement distinctes d'ordre n.

La formule (26) n'est démontrée que pour les points intérieurs à la sphère. Si la série du second membre est convergente en un point M de la surface, de coordonnées ( 1 , ô, 4»), la fonction U (a:, 7-, z) a pour limite/(9, 4*) lorsque le point P tend vers le point M; en supposant que le point P reste sur le rayon OM, on a donc, d'après le théorème d'Abel (I, n° 182),

(27) /{^,'^):=^{2n^l}yn{^,H

n = 0

Y„(0, 4») étant égal à l'intégrale double

(28) Y„(e,'l-)= -^ / d%' P„(cosY)/(e', •y)sin6V0'.

4 îï Jo ^0

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 263

Celte formule nous donne un développement d'une fonction continue sur la surface d'une sphère, tout à fait analogue à la série de Fourier pour une fonction d'une variable. Laissant de côté pour le moment la question de convergence, nous remarquerons seule- ment qu'on a, d'après ce qui précède, quelle que soit la fonction continue donnée sur la surface de la sphère.

lim 2(2n + i)Y„(e,.^)p'^ ,

(29) Ae,'i.) = i

Application. — M. Picard a déduit de cette formule (29) une extension élégante du théorètne de Weierstrass (I, n» 206,). au't fonctions continues de deux variables. Soient U une fonction continue quelconque sur la surface de la sphère S, et/(6, 6) la fonction obtenue en l'exprimant au moyen des variables 6 et <|/. La fonction qui est représentée par la série (26) à l'inté- rieur de la sphère, et qui est égale à /(6, <];) sur la surface, est continue dans tout ce domaine fermé, et par -suite uniformément continue. Étant donné un nombre positif e, on peut trouver un nombre pi < i tel que la dif- férence

/(9,6)-2(2«-^i)Y„(e,.|)p?

soit moindre en valeur absolue que ^ pour tous les points de la sphère.

D'ailleurs, la série dont le terme général est (2/1 -f- i) Y„p^ est elle-même uniformément convergente, car, d'après l'expression (28) de Y„, on a

' V„ ! < H,

H étant le maximum de !/(9, 4').l- On peut donc prendre dans cette série la somme d'un nombre fini de termes

$ = Yo-(-3Y,-^...-)-(2n + i)Y^,

qui diffère de la somme de la série de moins de 55 quels que soient 6 et '^. Enfin, cette somme $ peut elle-même être développée en série entière en 6 et '^, et l'on peut prendre un nombre fini de termes dans cette série, c'est-à-dire un polynôme Q(6, t];) en 6 et 4* tel qu'on ait

l«ï»-Q(8,4')i<5'

pour tous les systèmes de valeurs de 8 et de '^ compris entre o et 2 3r. Il est clair que la différence /(9, '^) — Q(6, ^) sera inférieure en valeur absolue à £ pour tous ces systèmes de valeurs.

Si la fonction /(6, 4^), au lieu d'être déterminée sur toute la sphère, n'est déterminée que sur une partie, on peut toujours compléter cette détermi- nation sur le reste de la sphère en respectant la continuité, ;et cela d'une

264 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

infinité de manières. La conclusion précédente s'applique encore, et l'on en déduirait comme au n" 206 (t. I), que toute fonction de deux variables, continue dans un domaine A, peut être représentée dans ce domaine par une série uniformément convergente de polynômes.

532. Propriétés des fonctions Y„ . — Les polynômes V,„ (a?, y^ z)

sont les seules fonctions homogènes qui soient harmoniques à

l'intérieur d'une sphère ayant pour centre l'origine. En effet, toute

fonction harmonique dans cette sphère est développable en série

de polynômes V,„, et il est clair que la somme de cette série ne peut

être homogène que si elle se réduit à un seul terme. Le long d'une

. dS . . ^

sphère de centre O et de rayon R, la dérivée —t^ prise suivant la

normale intérieure est égale, d'après l'homogénéité, à — -^ V^- Si l'on applique la formule (ii) à deux polynômes Vp, V,(/?^çr), à l'intérieur d'une sphère de centre O, on voit que linlégrale double / / WpYqdfT, étendue à la surface de la sphère, est nulle : ce qu'on peut encore écrire

(3o)

f f \V(e, .i.)Y,(8,'V)sin0f/6./.L = ô {P9^q).

La fonction harmonique \ ,n{x,y^ z) = p'" Y„i(5, vp) se réduisant à Y^(9, ^) sur la sphère S de rayon un, on a, d'après la formule générale (aS), si p est inférieur à un,

P'nY,„(e,.^)=yi:L±i.p. f I' r„(cosr)Y,„(e',.y)sine'c?e'rfy,

ce qui entraîne les relations

f f P^ (cosY)Y,„(9',y) sin6'û?6' (/•!;'= o, si m ^ n,

/ P„,(cosY)Y,„(e', y) sine' rfO' (/•!.'= ^" Y„,(9,'^). „ "^0 2 m. -f- I

En rapprochant ces formules de la formule (24), qui donne le développement de -? on en conclut qu'on a, en supposant p <C i ,

I ■Î-Y,„(8', ■y)sin8V6'</v'= -lîlf— Y„,(0, ■•.); ^ J^, r ^ ' ' ' 2m -h i ^ •'

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 265

cette égalité subsiste pour p = i , car le premier membre, qui est un potentiel de simple couche, est une fonction continue sur la sphère elle-même. On a donc aussi

(32) r r%',(e',4.')-=£^^^^/o'rfy=-^v^(e,j.),

-'o ^0 V'2 — 2C0SY 2m-+-i

cosy étant donné par la formule (28). Le potentiel de simple couche dû à une couche de densité V^(ô', (]^'), étendue sur la sphère esl donc égal, à l'intérieur et sur la surface de la sphère, à -^^ — Yv„(ô, (J/) (voir Exercice 7, p. 238).

Réciproquement, toute fonction /(0, 4^) satisfaisant à une rela- tion de la forme

(33) f" rV(Q'. 'V)-=^ d^' dV= 4^K/ce, ■!.),

•^0 «^0 V 2 — 2 cosy

où K est un facteur constant, est une des fonctions Ym{d, i];). Con- sidérons, en effet, le potentiel de simple couche

•^0 "^0

OÙ 7' désigne la distance du point de coordonnées polaires (p, 9, 4*) au point (i, 9', ^') de la sphère. C'est une fonction harmonique à l'intérieur de la sphère, qui se réduit à /\iiK.f(^d, ^) pour p = i , d'après la relation (33). En calculant la dérivée -1- par la règle habituelle de différentiation, on trouve, après quelques transfor- mations foclles,

le second membre est une fonction harmonique, puisque c'est la différence de deux potentiels. Sur la sphère, cette fonction est égale, d'après les propriétés des potentiels et la relation (33),

à 27i:( I — K)/(6, ^). Il s'ensuit que la différence p ^ rr- V

est une fonction harmonique nulle sur la surface de la sphère. Elle est donc nulle en tout point inlcrieur, et la fonction V est une fonction homogène de degré ^ > ce qui exige que — j^ »oit

266 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

un nombre entier m, et !a fonction V est une fonction de la forme Cp'"Y^(9, ^). La fonctiony'(0, (];) est elle-même identique à Ym(9, 6), à un facteur constant prés.

Remarque I. — Lorsque p est supérieur à un, le second membre de la

formule (3i) doit être remplacé par ; —- Y;n(e, •!/), car c'est une

fonction harmonique à l'extérieur de la sphère, d'après le théorème de Lord Kelvin, nulle à l'infini, et prenant les mêmes valeurs que le premier membre pour p = i. Elle est donc identique au potentiel de simple couche représenté par le premier membre à l'extérieur de la sphère.

Remarque II. — On peut aussi déduire des formules précédentes la valeur du potentiel de double couche

w=r f ^\,„(r, <L')sine'^e'^-y •

i'ir'^

pour un point intérieur ou pour un point extérieur à la sphère. A l'inté- rieur, W est une fonction harmonique qui se réduit à

2- Y,„(e, •i) -4- ^" Y,„co, .y.,

2m -I- 1

d'après les relations (3i) et (7), sur la sphère elle-même; elle est donc égale à

2m -I- 2

2 m -(- I '

Y„,(e,6).

. j . . , ... 'i-m Y„,(6, ■!/)

On verrait de même que ce potentiel est égal a ^^ —

^ ^ ° 2m-i-i p'"^>

à l'extérieur de la sphère. En supposant /n = o, on retrouve les propriétés de l'intégrale de Gauss (n* 557).

533. Méthode de C. Neumann. — La méthode deNeumann, qui a été exposée en détail pour les contours convexes (n" 513), s'élend sans modification essentielle aux surfaces convexes.

Étant donnée une surface fermée S, le principe de la méthode de Neumann pour résoudre le problème intérieur consiste encore à représenter la fonction harmonique cherchée par un potentiel de double couche / / p — ^ dd. Les propriétés de ce potentiel

conduisent, pour déterminer la fonction inconnue ft, à l'équation fonctionnelle suivante (où l'on suppose ?. = i ),

(34

) H^(M) = f f [.u(M) - ;.(P)]2î^c^^ -+- 7^ U(M:

J .y, s, ^' ■4'-

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 267

F(M) désigne en général la valeur de la fonclion F en un point M de la surface, U est la fonction continue donnée sur S, r est la distance de deux points M et P de cette surface, cp l'angle de la normale intérieure en P avec PM, et l'intégrale double est prise en considérant îe point P comme variable, et le point M comme fixe.

On satisfait formellement à cette équation fonctionnelle en posant

(35) .a(M)= -^[Uo(M)-t-XU,(M)-H...-f-X«U„(M)-<-...],

Uo(M) étant égal à la fonction donnée U(]VI), et les termes sui- vants se déduisant du premier par voie de récurrence au moyen de la formule

(36) U^(M)=^ r r[U„_,(M)-U„_,(P)]^rf^,

l'intégrale double étant toujours prise en faisant décrire la sur- face S au point P. On démontrerait absolument comme au n^olS, que toutes ces fonctions Un sont continues sur S. Pour établir la convergence de la série (35) lorsque la surface est convexe^ on s'appuie sur deux lemmes analogues à ceux qui ont été établis pour un contour convexe.

Lem.me I. — Étant donnés sur la surface convexe S deux points quelconques M , et Ma et une portion S' de cette surface, pouvant se composer de plusieurs morceaux séparés, la différence entre les angles solides sous lesquels on voit des points Mi et Mo les diffé- rentes parties de S', est inférieure à 2 7r/i, h étant un nombre po- sitif inférieur à l'unité, qui ne dépend que de la surface con- vexe ('). En effet, pour que celte différence fût égale à 27r, il

(') La démonstratioD de Neumann repose sur un lemme un peu diCFérent. La surface S étant décomposée en deux portions S', S", a et p étant deux points quelconques de S, si l'on représente par I^ l'angle solide sous lequel on voit du point Y la surface i2, on a pour une surface convexe, non biétoilée, l'inégalité fondamentale

l|.+ l|->4Xit,

À étant un nombre positif inférieur à un qui ne dépend que de S. Il est facile

a68 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

faudrait que du point M, on vit S' sous un angle solide égal à 27r, c'est-à-dire que S' comprît la surface S tout entière, ou fût formée d'une surface limitée par une face plane, sur laquelle serait M,. Dans les deux cas, l'angle solide sous lequel on voit S' du point Ma ne pourrait être nul, à moins que S ne se réduise à une pyramide.

Lemme II. — Soient F (M) une fonction positive ou nulle sur S, et J l'intégrale double :

("~T^ ) désignant le cosinus de l'angle que fait la normale inté- rieure en P avee la direction PMi, divisé par le carré de PM^, et ( — ^ ] ayant iffte signification analogue.

Partageons S en deux parties S<, S2, telles qu'on ait

/CO«î>\ y /C0S(Ç\

sur Si, et ( — -\ <. i — Y') sur S2 et soient J< et Ja les intégrales

doubles étendues à S, et à Sa respectivement. On a J=:J, + J2, et par suite ] J| est inférieur au plus grand des deux nombres i^ et jJal- Soit L une limite supérieure deF(M); d'après le lemme précédent, chacun de ces nombres est inférieur à ih-nL. On a donc aussi I J j <; sAttL, quels que soient les points M, et Mj.

Gela étant, soient L et Me maximum et le minimum de U sur S; M, et Ma étant deux points quelconques de S, on peut

d'en déduire le lemme du texte. Supposons Ig- ^ I§-; la somme l|,-t-l|. étant au plus égale à 2ir, l'inégalité de Neumann donne a fortiori

2Tt — I^.-Hl|.>4Xx ou I| l|,<2T.(l— 2>>).

Le facteur i — 2 X est certainement inférieur à an, et l'on peut aussi en conclure que le facteur X de Neumann est inférieur à - Mais la seconde inégalité s'applique aussi aux surfaces convexes biétoilées.

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 269

écrire

U.(M.)-U.(M.)= ^[ l'(«.)/X,(^),'"

Si les points M, et M2 sont des points ordinaires de S, la dernière intégrale est nulle, et la valeur absolue du premier terme

i[U(M,)-U(Ms)]

est inférieure à ~ » D'autre part, U(P) — / reste compris entre o et L — /, et par suite, d'après le second lemme, la valeur absolue des termes de la troisième ligne est inférieure à

2T:h = — • n.

kr. 2

La valeur absolue de U< (M| ) — U< (Ma) est donc elle-même infé- rieure à (L — /) [ ) = (L — /) p, p étant un nombre positif

inférieur à un. La fonction U,(M) étant continue, cette iné- galité subsiste pour toutes les positions des points M< et M2; donc, en désignant par h^ et l^ le maximum et le minimum de U<, on a encore h^ — /< <(L — /)p, et Ton en déduit de proche en proche que l'on a L» — /,<;(L — OPm Lj et U étant le maximum et le minimum de U/. Le raisonnement s'achève comme au n° 513.

Remarque. — La méthode de C. Neumann, appliquée à la sphère, ne semble pas conduire immédiatement à la formule (19), comme dans le cas du cercle (n" 513). Cependant il est possible de rattacher à cette méthode la solution obtenue directement. L'équation intégrale qu'il s'agit de résoudre peut en effet s'écrire

<E) ,(n)^^fftm,,^mi,

en observant qu'on a 2Rcos3 =1 r, r étant la distance des deux points M et P de la surface. En posant [x(M)= V(M), cette équation

270 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES, devient

c'est une équation de même forme que la première, où la fonction inconnue est V(M). Or, pour avoir la solution du problème de Dirichlet, il n'est pas nécessaire de connaître V(M), mais seulement le potentiel de double couche

V(:P)^^^.

pour un point quelconque intérieur à la sphère. La relation (E)' exprime précisément que la valeur vers laquelle tend ce poteniiel lorsque ce point intérieur tend vers un point M de la sphère est égale à la valeur du poten- tiel de simple couche - — ^ / / U(P) — en ce même point. Ces deux

fonctions harmoniques, prenant les mêmes valeurs en tous les points de la sphère, sont identiques à l'intérieur, et la solution du problème de Dirichlet est représentée par la différence entre un potentiel de double couche et un potentiel de simple couche. On retrouve bien la formule (io).

534. Fonction de Green. — Étant donné un domaine borné D limité par une surface 2, formée d'une ou plusieurs surfaces fer- mées distinctes, la fonction de Green correspondante est une fonction G{x, y, z; a, 6, c), nulle sur 1, et harmonique dans le voisinage de tout point de D, sauf dans le domaine du point inté- rieur P(a, b, c), où elle est de la forme — ^ S'i^^ Yi ^i ^i ^' ^)» la fonction g étant harmonique. La connaissance de cette fonction de Green permet de résoudre le problème de Dirichlet intérieur; il suffit pour cela de rapprocher les deux formules

U(a, è, c)

4-*/ J{-Z) V ^« r dn \ "'

(£) '

d'où l'on déduit en les ajoutant, et observant que G est nul sur 2,

dÇ,

(37) Via,t,c)=±ff^^V

La démonstration suppose que la fonction harmonique cherchée

/(£) dn

I. — PROBLÈME DE DIRICHLET DANS L'ESPACE. 27I

U(a;, r» ^) a des dérivées partielles continues sur la surface 2. On appelle de même fonction de Green pour le problème exté- rieur une fonction harmonique dans le domaine de tout point exté- rieur à 2, sauf dans le domaine d'un point (a, b, c) où elle est

infinie comme -i régulière et nulle à l'infini, et nulle sur 1. Les

formules (' 1 1 ) et (i4) s'étendant aux fonctions harmoniques à l'extérieur de i, et nulles à l'infini, il n'y a rien à changer aux calculs qui précèdent, et la formule (37) donne encore la solution

du problème extérieur, la dérivée -j- étant prise suivant la nor- male extérieure.

Dans le cas d'une sphère de rayon R, soient P un point à une distance d du centre, V^ le point conjugué harmonique de P par rapport aux extrémités du diamètre passant par P, r et r^ les distances d'un point M aux points P et P< respectivement. Pour le problème intérieur, la fonction de Green est

I R I I R I

__, et 7 —

pour le problème extérieur. Dans le premier cas, on a c? <; R, et d^K dans le second cas.

En appliquant la formule générale (37) à ce cas particulier, on retrouve les résultats établis directement au n° 530.

On peut aussi étendre la définition de la fonction de Green à des équa- tions linéaires à trois variables, plus générales que l'équation de I.aplace, comme on l'a fait dans le. cas de deux variables (n' 5'23). Les deux équa- tions (1)

,„„ _ , , . r/u , Ou au

<38) ^J'{u) = ^u^ a— + b— -f- c^ -^gu = o,

,.. . ^, . . <^{nv) à{bv) (){cv)

(39) ^(.) = A.-^-^-A_V^. = o,

(') L'équation £F(m) = o ne représente pas la forme générale d'une équation linéaire du type elliptique à trois variables. Une équation de ce type étant donnée, il n'existe en général aucun choix de variables indépendantes permettant de ramener l'équation à la forme (38). La condition de possibilité de cette réduction résulte des recherches de M. Cotton (Thèse, n"" 15-17).

272 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES, sont adjointes l'une de l'autre et donnent lieu à l'identité

(4o) i>^{u)-uÇ{^)= ^

â

à

Supposons les deux fonctions m et f régulières dans un domaine borné D et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre sur la surface S qui limite ce domaine. On tire de l'identité (4o) la nouvelle relation

du	dv
'âx	""dx
du	dv
\dx	%y
du	dv
dz	dz

\V-, M ^ H- buv

J J J,\\

[v ^ (u) — u g,{v)] dx dy dz

(»)

■fi,

l'intégrale double étant prise suivant le côté intérieur de la surface Z. Soient a, p, y les angles' de la normale intérieure avec les axes; la formule précédente prend la forme plus simple

(40

f f f [v 3" (u) — u g,{v)] dx dy dz J JcE\\ dn dn)

■ff

(ï)

( a cos V. -\- h cos p H- c cos y ) mp ofo' = o.

Gela étant, soient «(a:, y) une intégrale de l'équation

régulière dans le domaine D et p une intégrale de l'équation adjointe ^(.) = o

régulière dans le domaine D, sauf dans le voisinage d'un point (a, 6, c)

de ce domaine où elle est de la forme - -f- V, U et V étant des fonction»

r

régulières et L'(a, 6, c) étant égal à un ('); r désigne toujours la distance d'un point (j;, y^ z) au point (a, è, c). Nous pouvons appliquer la for- mule générale (4i) au domaine D', limité par S et par une sphère S de centre (a, 6, c) et de rayon très petit p. En faisant tendre vers zéro le

(») Des solutions de cette forme ont été obtenues par M. Holmgren {Arkiv for Afatematik, t. I, igoS). Voir aussi le Mémoire cité plus haut de M. Hada- mard.

M. — POTENTIEL NEWTONIEN. 273

rayon p, Tintégrale de surface, étendue à S, a encore pour limite

43T«(a, b, c) (n" 028), et !a formule (4i) nous donne, en passant à la limite,

(uia.b.c) — — —— f I \v- u —, H (acosa -f- /^cos[i h-ccosy)wi" k/3 ^^J J(2)L dn dn r 1/ j

1 -rJ/L'-^^^-^-^^"^"^'"-

Cette formule permettra de résoudre le problème de Dirichlet, si Finté- grale <^{x, y, z; a, b, c) est nulle sur S. On pourra de même étendre aux problèmes mixtes relatifs à cette équation les considérations générales qui ont été exposées plus haut pour une équation à deux variables (n" o24).

II. — POTENTIEL NEWTONIEN.

On s'est déjà servi plusieurs fois des potentiels de simple couche ou de double couche. Nous allons résumer rapidement les princi- pales propriétés du potentiel newtonien, qui seront utilisées dans la suite; l'extension de ces propriétés au potentiel logarithmique ne présente pas de difficulté.

335. Potentiel de volume. — Soient D un domaine borné de l'espace à trois dimensions, limité par une ou plusieurs surfaces fermées S, iJ-{x, y, ^) une fonction continue dans ce domaine et r la distance d'un point variable M(x. y, z) à un point déter- miné P(a, ft, c). La fonction représentée par l'intégrale triple '

"') ^<"'*-)=//I"'^^''"-^-'".///J

est une fonction continue, ainsi que toutes ses dérivées partielles jusqu'à un ordre quelconque, des coordonnées (a, b, c) du point P. dans toute région de l'espace n'ayant aucun point commun avec I); de plus, c'est une fonction harmonique, comme la fonction - elle- même (n° 483). Les dérivées partielles de cette fonction

fiOLRSAT.— m. 18

274 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

sonl égales à un facteur constant prés, aux composantes de l'attraction qu'exercerait sur un point matériel de masse un placé en P une masse de densité variable iJ-{x, y, z) répandue dans le domaine D, en supposant que l'attraclion ait lieu suivant la loi de Newton; ce qui explique le nom de potentiel newtonien donné à la fonction V(a, 6, c) (').

Les intégrales (43) et (44) ont encore un sens lorsque le point P est dans le domaine D; il suffit de vérifier que ces intégrales, éten- dues à l'intérieur d'une sphère de centre P, ont une valeur finie.

En effet, si l'on remplace les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires r, 9, ^, l'origine étant au point P, l'inté- grale (43) étendue à la sphère devient

pP p^ ,-5- (43)' / dr I M j [jL(a-i- /-sinecost}/, . . .)rs'\nO d<\>,

Jq %Jq Jq

C) Pour une attraction proprement dite, |jl est essentiellement positif; s'il s'agit d'actions électriques, p. peut être positif ou négatif.

Considérons une droite indéfinie homogène, et soit ji la masse de l'unité de longueur. Une portion AB de cette droite exerce sur un point P, en dehors de la droite, une attraction qui est dans le plan PAB, et dont il est facile de calculer les composantes. Lorsque les deux points A et B s'éloignent indéfiniment dans deux sens différents, la composante parallèle à la barre devient nulle, tandis que la composante normale tend vers une limite, indépendante de la façon dont les points A et B s'éloignent indéfiniment, et cette limite est en raison inverse de 1j distance du point à la droite. D'une façon générale, on peut dire que les compo- santes de l'attraction exercée par une droite homogène indéfinie sur un point P, de coordonnées (a, 6, c), sont égales, à un facteur constant près, aux dérivées

partielles par rapport k a, b, c de la fonction (ilogl -pf" étant la distance du

point P à la droite. De même, l'attraction d'un cylindre plein indéfini sur un point a une valeur déterminée si l'on suppose la densité ji constante tout le long d'une parallèle aux génératrices. Supposons que l'on ait pris l'axe Oz parallèle aux génératrices, le plan des xy étant le plan perpendiculaire passant par le point attiré. La section du cylindre par le plan Ats xy est une courbe fermée C, limitant un domaine D. En décomposant ce domaine en éléments de surface, et le cylindre lui-même en cylindres infiniment petits ayant pour bases ces éléments de surface, on voit que les composantes de l'attraction exercée sur le point P de coordonnées (a, b) sont égales, à un facteur près, aux dérivées partielles par

rapport à a et ft de l'intégrale double / / ]i.\o^ - dx dy. C'est un potentiel

logarithmique de surface, qui se trouve ainsi rattaché au potentiel newtonien de volume. Les potentiels logarithmiques de simple couche onde double couche peuvent, d'une façon analogue, être rattachés aux potentiels newtoniens du même nom.

II. — POTENTIEL NEWTONIEN. 276

p étant le rayon de la sphère; la première des intégrales (44) s'écrit de même

(44)' I dr I d^ l iji(a -(- rsinO cos'!/, . . . ) cos-!/ sin^O f/i.

«/q «^0 *^o

On voit que ces intégrales ne présentent aucun élément infini. Si H est une limite supérieure de | fx | dans le domaine J, la valeur absolue de l'intégrale (4'^)' est évidemment inférieure à ir.lio-.

D'une façon générale, l'intégrale triple / / / ^ <ip, étendue à un

domaine D' renfermant le point P et dont la plus grande corde est inférieure à /, est elle-même inférieure en valeur absolue à 27rH/-, car ce domaine D' est intérieur à une sphère de rayon / ayant pour centre le point P. On en déduit que l'intégrale triple (43) est unifor- mément convergente dans le domaine de tout point Pq intérieur au domaine D, ou sur sa frontière. En effet, si du point Pq pour centre

on décrit une sphère 1 de rayon p, l'intégrale triple f f f -dv^

étendue au volume limité par cette sphère, est inférieure en valeur absolue à 87rHp-, pour un point quelconque P intérieur à 1. On en conclut que le potentiel V(a, b. c) est une fonction continue dans tout l'espace (n° 504). On voit de même que l'intégrale (44)' est en valeur absolue inférieure à 47rHp, et par suite que l'intégrale

/ / / jjL — ^ c?^', étendue à un domaine D'entourant le point P et

dont la plus grande corde est inférieure à /, est elle-même infé- rieure en valeur absolue à 4 t: H/. Il en résulte encore que les inté- grales (44) sont uniformément convergentes dans le domaine de tout point Po intérieur à D, ou sur la frontière de D, et par suite ces intégrales sont des fonctions continues des coordonnées (a, 6, c) dans tout l'espace.

Les formules (44) sont encore vraies dans le domaine D. Nous l'établirons pour la première, en reprenant une fois de plus le raisonnement classique. Etant donné un point P du domaine D, de coordonnées (a, 6, c), décrivons de ce point pour centre une sphère 2 de rayon p, qui décompose D en deux domaines D,, Do, l'un intérieur, l'autre extérieur à la sphère. Soit V^ un point de coordonnées (a-f-Aût, b, c) pris dans D, ; en appelant ^^ la distance de ce point V^ à un point variable M, nous pouvons

-l^C CHAPITRE XXVHI. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

écrire

\{a-+-la, b, c) — y{a, h, c)— f f f \^

(45) <

AV,

:: — dv

Aa

ffl/-^^-B-fSi/-^^'\

V, et Va désignant les potentiels relatifs aux domaines D, et Dj

AVi respectivement. Développons -j— :

AVi

Aa

dv

'(D.)

En observant qu'on a

l'-'-.lSlAai, J,<i(i^Jj),

on voit que la valeur absolue de -^ est inférieure à

or il est facile de vérifier, en employant des coordonnées polaires,

que l'intégrale / / / — » étendue à un domaine situé tout entier

à l'intérieur d'une sphère de rayon / ayant pour centre un point P, est inférieure en valeur absolue à 4 tt/. Le nombre ô est donc plus

petit que- (47rp + Bttp) := ÔTrHp. La somme des deux premiers

termes du second membre de la formule (45) est donc inférieure en valeur absolue à 47rHp -f- ÔTrHp = lo-rrHp. Cela posé, choisis- sons d'abord le nombre p de telle façon que lOTrHp soit plus petit que -t £ étant un nombre positif arbitraire. L'intégrale Va est alors une fonction continue des coordonnées du point P dans le do- maine D<, dont la dérivée est égale k j j j IJ-'^ ~^ dv. Le der- nier terme du second membre de la formule (45) tend donc vers zéro avec Aa, et, en achevant le raisonnement comme d'habitude, on en conclut que le premier membre a aussi zéro pour limite. Les

II. — POTENTIEL NEWTONIEN. 277

formules (44) qui donnent les dérivées premières du potentiel s'appliquent donc dans tout l'espace.

536. Formule de Poisson. — En différentiant de nouveau les formules (44)? on aboutit à des intégrales triples dépourvues de sens, lorsque le point P est dans le domaine D. Pour établir l'exis- tence des dérivées secondes, on transforme d'abord les intégrales qui représentent les dérivées premières au moyen de la formule de Green. Soient Po(ao> ^o? Co) un pointm^ertea/à D etD une sphère ayant pour centre le point Po et de rayon p assez petit pour être tout entière dans le domaine D; nous appellerons encore D< et Dj les deux portions de D séparées par 2, V, et Vo les potentiels cor- respondants. Le potentiel Vo (a, 6, c), est une fonction barmonique à l'intérieur de i. Quant au potentiel V, (a, 6, c), nous venons de voir qu'il admet dans ce domaine des dérivées du premier ordre

Ti 1 1 X — a à / u.\ au. 1

continues. rLn observant qu on a ju. — -, — =:: — f \ ) ~^ ^ — •'

nous pouvons écrire -r— j par exemple, en appliquant la première formule de Green pour les intégrales triples (I, n" 144)

^Vi r r r <¥ dv

da

ffi:^/i-ffj^^'-'

l'intégrale double étant étendue au côté extérieur de 2. L'intégrale triple du second membre représente un potentiel et, par suite, admet des dérivées continues du premier ordre dans tout l'espace. 11 en est de même de la fonction représentée par l'intégrale de surface lorsque le point (a, 6, c) est à l'intérieur de 1. Le poten- tiel V(a, 6, c) admet donc des dérivées continues du second ordre dans tout le domaine D, les frontières exclues, puisque Po est un point quelconque intérieur à D. Calculons AV pour le point P^; en ce point AV2= o et, par suite, AV = AVi. Les formules habi- tuelles de différenliation nous donnent

(AV,)„= r f f C^ ^-^1^ _^ çV r- 6o _^ ^ ._-^\ ^^^.

ce (^ — '^"11 '^' ~ ^» 1 J -^ ~ ^» J 7 \

— / / ui 1 — a Y az ■+- 7, — ciz dx -t- -. — d.r dv ) «

./ J(v) V '-u ■ '•;. 'o ' /

/'o étant la distance du point P„ à un point variable M. Le premier

278 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

membre est indépendant du rayon p; il suffit donc de chercher la limite du second membre lorsque p tend vers zéro. Or, si l'on désigne par K une limite supérieure de la valeur absolue des déri- vées partielles de p, la valeur absolue de l'intégrale triple est, d'après une remarque antérieure, inférieure à iaKTrp et, par suite, tend vers zéro avec p. Quant à l'intégrale de surface, on a i\=i p

suri, et -^ — -, représentent précisément les cosinus

directeurs de la normale exté^ieure. Cette intégrale se réduit à

1 I ii{x, Y, z)d-i =— I f îJL(ao -1- p sinO cos'I/, ...)sine c?6 rf^',

et il est clair qu'elle a pour limite

— fjL(ao, 60, Co) / / sinô rfe «a?i|;,

OU — 4Tr]JLn- Pour tout point (a, 6, c) intérieur au domaine D, on a donc, entre les dérivées du second ordre du potentiel, la relation

(^2V ^V d^Y

(46) ^^-^^^^^= - 4'^^(«' ^. -);

c'est \a formule de Poisson, qui comprend, si l'on veut, la for- mule de Laplace comme cas particulier. Il suffit en effet de prendre p-(«, 6, c) = o en un point extérieur pour retrouver la relation AV = o, qui s'applique [à tous les points extérieurs au domaine D. Il résulte de la comparaison de ces deux formules que les dérivées secondes, ou du moins quelques-unes, doivent éprouver des discontinuités quand on traverse la frontière S du domaine D. Il importe aussi d'observer que la démonstration précédente sup- pose que la densité [j.[x, y^ z) admet des dérivées continues, ou tout au moins bornées et intégrables ( ' ).

Toutes les propriétés précédentes s'étendent sans difficulté

au potentiel logarithmique que nous écrirons, en remplaçant -

(') La formule de Poissoa a été étendue par différents géomètres à des cas plus généraux. Voir, par exemple, deux Mémoires de M. Petrini [Acta mathe- matica, t. XXXI, 1908, p. 127; Journal de Liouville, 6« série, t. V, 1909, p. 117].

II. — POTENTIEL NEWTONIEN. 279

par log - ?

\{a,b)= I I ix{x, y)log-dx dy,

l'intégrale double étant étendue à un domaine D à deux dimensions du plan, dans lequel ix(x, y) est une fonction continue; V(a. b) est une fonction continue, ainsi que ses dérivées partielles du pre- mier ordre dans tout le plan, et ses dérivées s'obtiennent en appli- quant la formule habituelle de différentiation sous le signe inté- gral. A l'extérieur de D, V est harmonique; à l'intérieur de D, elle admet des dérivées continues du second ordre qui vérifient la relation (47) AV=^-^^=-2.f.(a,è).

En résumé, le potentiel V(a, 6, c) est une fonction des trois variables (a, 6, c) possédant les propriétés suivantes :

1° Elle est continue et admet des dérivées partielles du premier ordre continues, dans tout l'espace, et elle s'annule à l'infini (ce point s'établit comme au n" 526);

2° Elle est harmonique à l'extérieur d'un domaine borné D, limité par une ou plusieurs surfaces fermées;

3° A l'intérieur de D, elle admet des dérivées continues du second ordre qui satisfont à la relation de Poisson AV = — 47r]UL.

Ces propriétés caractérisent complètement la fonction V(a, b, c). Soit, en effet, Vi («, b, c) le potentiel dû à l'action de masses de densité ij.{x, x, z), répandues dans le domaine D. La différence V — Vi est continue dans tout l'espace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, et elle est harmonique en tout point de l'espace, sauf peut-être sur les surfaces S. Mais on a démontré plus haut (n" 328) que les dérivées secondes restent continues sur ces surfaces, de sorte que V — Vi est harmonique dans tout l'espace et, comme cette différence est nulle à l'infini, elle est identique- ment nnlle.

On peut, dans certains cas, se servir de ces propriétés pour faciliter le calcul du potentiel. Par exemple, supposons qu'on veuille calculer le poten- tiel d'une sphère homogène de densité [i, et de rayon R. La fonction V, définie par les égalités

à l'intérieur de la sphère,

A. 4 R-

28o CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

à rextcrieur, rf étant la distance du point P au centre, satisfait aux mêmes conditions que le potentiel cherché. Elle est continue, ainsi que ses dérivées du premier ordre, et nulle à l'infini; à Pextéiieur de la sphère, on a AV = o et AV = 47^^ ^ l'intérieur. Elle est donc identique à ce potentiel. Lejeune- Dirichlet a donné un exemple moins élémentaire en calculant d'une façon synthéliciue le potentiel dû à l'attraction d'un ellipsoïde homogène {Journal de C relie, t. 32).

337. Formule de Gauss. — Delà formule de Poisson, on déduit facilemenl la valeur de l'intégrale 1 I -j- d^i prise le long d'une

surface fermée quelconque 2, la dérivée -j- étant prise suivant la. normale extérieure. Supposons, pour lixer les idées, que le domaine intérieur à 2 se compose de d» nx parties seulement, un domaine D< qui fait partie de D et un domaine D2 extérieur à D. Le domaine Di est limité par une portion 1i de 1 et par une partie S' des surfaces S qui limitent D. Le domaine D2 est lui- même limité par S' et par une portion ia de 2. La formule de Green (10), appliquée au domaine D,, donne, en tenant compte de la formule de Poisson, et faisant 9 = 1, J/ r- V,

—. — désignant la dérivée suivant la direction extérieure de la nor- male; V étant harmonique dans Do, on a d'autre part

fiv , r r dw

J Jc^ ) d/ii J J dno

d\

-7— ayant une signification analogue. Mais, à cause de la continuité

des dérivées premières de V, on a, tout le long de S',

dS dS _ rf/ii dni~~ '

en ajoutant les formules précédentes, il vient

M étant égal à l'intégrale triple / / / /j. dç, c'est-à-dire à la somme des masses attirantes contenues à l'intérieur de 1.

lî. — POTENTIEL NEWTONIEN. 28 1

528. Dérivées normales d'un potentiel de simple couche. — Le potentiel de simple couche peut être regardé comme un cas limite d'un potentiel de volume. Considérons le volume compris entre une surface i et une surface parallèle infiniment voisine, à une distance e de la première, et supposons ce volume rempli d'une matière dont la densité p est la même tout le long d'une normale commune. Un élément de ce volume, formé par les portions de normale menées en tous les points d'un élément dd de 1 a pour expression e dd. Si l'on admet maintenant que e décroisse indéfi- niment, et en même temps que ô augmente de telle façon que le produit (5e tende en chaque point vers une limite pi, ICi potentiel dû à l'action du volume précédent devient à la limite une intégrale

de surface j f - dd : ce qui justifie le nom de potentiel de

simple couche donné à cette intégrale. Le nombre p. est la densité superficielle de celte couche. Les propriétés générales de ce poten- tiel ont été établies plus haut; il ne nous reste qu'à étudier la dis- continuité des dérivées quand on traverse 2.

Supposons que la surface 1 soit fermée, et soit M» un point ordinaire de cette surface. Sur la normale en Mo prenons deux points infiniment voisins P,-, Pe, de part et d'autre de Mo. Les dérivées du potentiel en ces deux points, prises suivant la direc- tion intérieure de la normale en Mo, tendent respectivement vers

des limites, que nous représenterons par ^— et -^ 5 lorsque les

points Pi et P^ se rapprochent indéfiniment de M^ ('). Prenons pour origine des coordonnées le point Mo, la direction de la nor- male intérieure pour la direction positive de l'axe des z, et deux

( ' ) D'après la formule de la moyenne, -j— i est la limite du rapport ' —

lorsque le point P, se rapproche du point M^ en restant sur la normale intérieure,

dV, , ,. . j V(M,)— V{P,) , „ ,

tandis que -T-^ est la limite du rapport ^7— -^ lorsque P^ se rapproche

de M, en restant sur la normale extérieure. D'une façon générale, lorsqu'un

point P de coordonnées a, fe, c se rapproche de Mj, les dérivées — - > -^ tendent

vers des limites qui sont les mêmes, que le point P soit intérieur ou extérieur

à £; seule la dérivée -- a deux limites différentes, si l'on a pris l'axe des z paraî- tre

lèle à la normale en M^ {voir Poincark, Le potentiel newtonien).

a82 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

droites orthogonales du plan tangent pour axes des x et des jk 5 nous admettrons que la portion de 2, voisine de M^, est repré- sentée, en coordonnées semi-polaires, par une équation de la forme 4j = p^^^f{p, co), a étant positif et la fonction / étant con- tinue, ainsi que ses dérivées partielles -^j -^ dans le voisinage de l'origine. Ces conditions sont certainement vérifiées, lorsque z admet des dérivées secondes continues dans le voisinages de l'ori- gine.Xes formules du changement de variables (I, p. 1 48) montrent immédiatement que les dérivées p ei q sont de la forme p"/i (p, w), fji étant continue pour p = o.

La dérivée -r- en un point quelconque P de l'axe des c, intérieur ou extérieur à 2, a pour expression

d\ f r cosJ>i ,

ï=/4^

4^1 étant l'angle de la direction Vz avec la direction PM, allant de P à un point quelconque M de 2. Si le point P coïncide avec le point Mo lui-même, cette intégrale devient

(5o) V'o= / / li—T^d^,

/'o étant la distance de Mo à un point quelconque M de 2, et 4» l'angle de la normale intérieure en Mq avec la direction Mo M. Pour s'assurer que cette intégrale a une valeur finie, il suffit de consi- dérer une petite portion S' de 2 entourant l'origine et se projetant sur le plan des xy à l'intérieur d'une courbe fermée y. Un élément de l'intégrale (5o) étendue à i' s'écrit, en prenant des coordonnées

polaires, ^ ^-1^ — ~' ^^ fonction 7c(p, w)< étant bornée dans le

domaine de l'origine. Il n'en résulte pas que -r- ait pour limite V'„

lorsque le point P tend vers le point Mj, car rien ne prouve la con- tinuité de cette intégrale dans le domaine du point M,,. Nous allons montrer, au contraire, qu'elle est discontinue en ce point comme un potentiel de double couche. Pour cela, considérons l'intégrale auxiliaire

H. — POTENTIEL NEWTONIEN. 283

<p étant l'angle de la direction intérieure de la normale en M avec MP; employant un raisonnement tout à fait analogue à celui des n°* 503, 327, nous allons prouver tout d'abord que celte inté- grale est continue pour le point Mq. Pour cela, considérons le trièdre ayant pour sommet un point quelconque M de 2 et pour arêtes la dii-ection MP, la direction intérieure MN de la normale en M et la parallèle M^' à l'axe des z. L'angle de MP avec M^' est 71 — t];< , l'angle de MP et de MN est 9 ; appelons 9 l'angle de MN et de M^', et ^ l'angle plan du dièdre qui a pour arête MN ; on a, d'après la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique,

cos(;: — (j^i) = cos 0 coso -+- sinG sinsp cosû,

et l'intégrale I peut s'écrire

/r N I r r . n .cos:: , r r ^sinOa's' (52) I=— 1 I ([xcosô — {JLo) — f- ch — I I jxsinœcosQ — •

La première intégrale double du second -membre est continue au point Mo; si l'on considère, en effet, le potentiel de double

couche / / ■ ^"^J ^ '' , où v = |jLcos9, celte .intégrale , double n'est autre que — / / (v — V(,)^-^dii, et l'on a démontré plus haut

que cette intégrale était continue au point M^ (n°''503, 327). Pour prouver qu'il en est de même de la seconde intégrale, il suffit de prouver que cette intégrale est uniformément convergente dans le domaine du point Mo (n" 304). ou que l'intégrale j 1 .^ > étendue à une portion infiniment petite 2' de 2, entourant l'ori- gine, est elle-même infiniment petite. Or, si l'on passe aux coor- données polaires, un élément de cette intégrale est de la forme p«-'7r(p, (ii)dpd(x), la fonction 7r(p, w) restant bornée. L'intégrale étendue à un domaine infiniment petit est donc elle-même infini- ment petite.

Ce point étant acquis, supposons d'abord que le point P de l'axe des z soit un point intérieur P;; la limite de l'intégrale I lorsque ce point Pj tend vers l'origine est évidemment ^ + i^ixo;

au contraire, si le point P était un point extérieur P^, la limite

dW serait ^-^- Enfin, si le point P est au point Mo lui-même, J est

a84 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

égal à V'„ H- 27rfjLo. En égalant ces trois nombres, on obtient les valeurs cherchées

i — =— 2- -+- r r ^^da

(53) (

' rfVe r r cos4/ ,

-;— = 2n[jLo-H / / (Ji — r-dc; dn-i ^ J J(v;) r^

ces relations (^) peuvent encore s'écrire, en supprimant l'indice

de ro,

( dV, dVt ^

\d^t~dJr,=^'''-^'' ^^^^ ) dVe dVt (• r COS4; ^

[ dni dru J J(v)^ r-^

On a, pour les dérivées normales d'un potentiel logarithmique de simple couche, V= / /jiiog-rf^, en un point Mo de la courbe C

(n° 50o), des formules toutes pareilles, qui s'établissent de la même façon,

dV

Je cosiL ja i f/s,

(55) { '

■ / \^ -ds.

dVe

r étant la distance de M,, à un point variable M de C, et ^ l'angle de Mo M avec la direction intérieure de la normale en Mq.

539. Potentiel newtonien de double couche. — Nous montrerons encore comment la théorie du magnétisme conduit aux intégrales de surface qu'on appelle potentiels de double couche (n^o^l). Ima- ginons une couche de densité positive jjl étalée sur une surface i et une couche de densité négative — fx' étalée sur une surface parallèle 2', à une dislance infiniment petite £ de la première. Les normales à 2 menées parle contour d'un élément d(jde i découpent sur la surface 2' un élément de surface d(7'; nous supposerons qu'on a choisi /jl' de telle façon qu'on ait constamment jj-dc =^ }!.' da'. La somme des potentiels de ces deux couches sur un point extérieur P

C) La seconde des relations (54) a été rétablie par M. Plemelj en 1904 {Monats- hefle fur mathematik und Physik).

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 285

est égale à l'intégrale de surface

r et /•' élant les distances du point P aux éléments da et de'. Si la distancée tend vers zéro, et si en même temps la densité /j. aug- mente de telle façon que le produit pe reste égal à fx,, cette inté- grale a pour limite l'intégrale double

J ./(S)

li)

da.

la dérivée -r- étant prise suivant la direction de la normale qui

dn

va

de 2 vers 2'. On retrouve l'expression que nous avions prise pour définition d'un potentiel de double couche.

La dérivée normale de ce potentiel se comporte tout autrement que celle d'un potenliel de simple couche, quand on traverse la surface S. Soient Mo un point de S ; P, P' deux points voisins sur la normale en Mo, de part 'et d'autre de ce point et à la même distance h de ce point. Les dérivées

/dW.\ /dW

\ dn J p \ dn

prises suivant une direction déterminée choisie sur la normale en Mo, ne tendent pas forcément vers une limite lorsque h tend vers zéro, mais on a démontré que leur différence tend vers zéro avec h.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

1. Déduire de la formule qui donne la solution du problème de Die ichlet pour la sphère, la valeur de l'intégrale de surface

/x

r désignant la distance d'un point fixe P, intérieur .ou extérieur à la sphère S, à un point variable M de la sphère.

2. Démontrer, par une inversion, que la formule (19) peut s'écrire U(a, è, c)= -^ Ç Ç ^'

286 CHAPITRE XXVIII. — FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

U' étant la valeur donnée de U au point M' de la sphère où la droite MP rencontre de nouveau la sphère (cf. Exercice A, p. 287).

3. Étant donné un cylindre Iiomogène de densité |ji, de rayon R et de hauteur h, calculer le potentiel de volume pour un point de l'axe et la dérivée de ce potentiel suivant la direction de l'axe. En déduire la discon- tinuitée de la dérivée d'un potentiel de simple couche dû à une couche cir- culaire homogène, en faisant tendre h vers zéro et croître ix de façon que jjl A ait une limite fi'.

A. Lemme de Poincaré. — Soient S une sphère de rayon R et de centre O, A un point extérieur et P un point intérieur. Le point A étant

supposé fixe, -T-p est une fonction harmonique des coordonnées du point P

à l'intérieur de S, et par suite on a, d'après la formule (19) (p. 259), j r rj_ R2 — op'

La même formule (10), où l'on suppose U —1, nous donne la relation

(2)

4;rR.PM

Enfin, considérons le point P comme fixe et le point A comme variable; la dilTérence A devient nulle en tout point de S, d'après la continuité du potentiel de simple couche. Cette différence A est harmonique à l'intérieur de S, sauf au point P où elle est égale à h- x. Étant nulle sur la sphère elle est donc positive en tout point intérieur. En réunissant tous ces résul- tats, on obtient la proposition suivante sur laquelle est fondée la méthode de balayage de Poincaré :

Etant donnée une masse égale à Vunité placée en un point P de Vintérieur d'une sphère, si Von répartit cette masse sur toute la surface de la sphère, de manière que la densité en un point quel- conque M de celle-ci soit inversement proportionnelle au cube de MP, la couche sphérique ainsi obtenue aura même potentiel que la masse primitive en tout point extérieur et un potentiel plus petit en tout point intérieur.

CHAPITRE XXIX.

ÉQUATION DE LA CHALEUR.

Los équations linéaires du type parabolique participent à la fois des propriétés des équations du type elliptique et de celles du type hyperbolique. Je me bornerai, dans ce Chapitre, à exposer les prin- cipales propriétés de l'équation de la propagation de la chaleur, dont il a déjà été question à plusieurs reprises (' ) (n"' 486, 487, 488).

540. Généralités. Intégrales particulières. — L'équation aux dérivées partielles

, K _,,'/- Il i)ii

est, parmi les équations à deux variables du type parabolique, l'analogue de l'équation de Laplace parmi les équations du type elliptique. Nous représentons, dans ce Chapitre, par m (a:, _;k) toute intégrale de celte équation; v{x^ y) représentera de même une intégrale de l'équation adjointe (n" 497) qui est ici ^ , >n «' <)v

(') Depuis Fourier, cette équation a fait l'objet d'un assez grand nombre de Mémoires :

Poisson, Théorie mathématique de la chaleur, Cliap. VI, Paris; i835.

ScHLAEFLi, Journal de Crelle, t. 72.

Betti, Memorie délie Soc. italiana délie Scienze, o' série, t. I.

Appell, Journal de Liouville, 4' série, t. VIII.

VoLTERRA, Leçons professées à Stockholm (Upsal; 1906).

Lesprincipaux problèmes aux limites ont été résolus dans divers travaux, dus principalement à MM. Holmgren et E.-E. Levi. Les derniers paragraphes de ce Chapitre ( n°' 544, 546, 547) sont extraits presque complètement pour le fond des travaux de M. Holmgren.

Les équations générales du t}pe parabolique ont été étudiées dans d'importants Mémoires par E. Levi {Anuali di Matematica, 1908), H. Block {Arkiv. de Stockholm, t. V), M. Gevrey (Journal de Mathématiques, 6' série, t. IX, ii|i3; t. X, 1914; Ann. de l'École Normale supérieure, 3= série, t. XXXV, 1918).

288 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

Ces deux équations admettent une seule famille de caractéris- tiques, qui se compose des parallèles à l'axe Ox. Nous dirons qu'une de ces fonctions u{x, y) ou p(x, y) est régulière dans un domaine D, si elle est continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, dans ce domaine. Il suffirait même de dire que la dérivée par rapport à y est continue ; car si -5^, par exemple, est

une fonction continue, l'équation (i) prouve qu'il en est de même j à^u ^ . j au

de -r— et, par suite, de ^- • âx^ ^ ^ ^ âx

L'équation ('), étant à coefficients constants, admet des inté- grales particulières de la forme e««+6r (n" 483); la relation entre a et h est, dans ce cas, 6 = a^ ('). De l'intégrale ainsi obtenue e«^+«V on peut en déduire une infinité d'autres en prenant ses dérivées successives par rapport au paramètre a, ou, ce qui revient au même, en prenant les coefficients successifs du développement de cette intégrale, suivant les puissances de a. Écrivons ce dévelop- pement sous la forme

(3) É?'"+''" = i+ y ^V„(x, y);

V„(j7, y) est un polynôme de degré n eu x^ ->', homogène en a:

l V„(x, y) — x"-^ n{n — i)x"-^y ■^. . :

(4) \ ri(n — i)...(n — 2/>-(-i)

qui se termine par un terme en y" si n est pair et par un terme

en xy * , si n est impair. Ces polynômes V„ sont des intégrales de l'équation (i), d'après leur définition même. On le vérifie aisément en remarquant que l'équation (3), différentiée par rapport à a? et ky^ donne les relations

« '^="V.-„ ^^ = „(„-.)V.-,.

d'où l'on déduit immédiatement que Vn satisfait à l'équation (i).

(') En r, nplaçant a par xi, on retrouve les intégrales e— *V" cosao;, e— *':>sinaj7 (n- 487).

CHAPITRE XXIX. — EQUATION DE LA CHALEUR. ««g

Tout polynôme U„ de degré n en a?, j, vérifiant cette équation (i), est une combinaison linéaire à coejficients constants des poly- nômes Vo= I, V,, . . ., V„. En effet, tout polynôme qui satisfaite l'équation (i) est complètement déterminé si l'on connaît les coef- ficients des termes indépendants de r, puisqu'au moyen de l'équa- tion (i) et de celles qu'on en déduit par des dérivations, on peut exprimer toutes les dérivées d'une intégrale au moyen des seules dérivées prises par rapport à x. Si donc on choisit les coefficients C„, C|, . . .,Cn, de façon que le polynôme

r,„v„^c,v,^-...-+-c„v„

ait les mêmes teruics indépendants de y que U„, ces polynômes sont forcément identiques.

Les polynômes V„(j:, y) s'expriment aisément au moyen des polynômes P„(z) de M. Ilermite, définis par l'égalité

Écrivons, en efl'et, la formule qui donne le développement de e-'^-^^^'i', en divisant les deux membres par e--'

'"='-1v^'-^^y'

pour idenlifier le premier membre avec le premier membre de la for- mule (3), il suffit de remplacer h par a\/ — y cl z par • En

2 V -~ y

écrivant que les seconds membres des deux formules sont identiques après cetîj transformation, on obtient l'expression suivante de V„ {x, y) :

\-->V-yJ

Le théorème de Rolle prouve facilement que l'équation H/ï(2) = o a ses n racines réelles et distinctes, deux à deux égales en valeur absolue. Il s'ensuit que l'équation V„(./', k) = o re|)résente - paraboles si n est pair,

n — I , , ,, ,

paraboles et 1 axe des ^' si n est impair.

Il est évident que l'équation (i) ne change pas de forme par le changement de variables x' = kx + x, y' = k'-y -\- (3, quelles que

290 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

soient les conslanles k. a, [3. Si u{x^ y) est une intégrale, 11 en est donc de n»ème de u{kx -\- ot.^ k-y-\-<^). Il existe aussi pour l'équa- tiou (i) une transformation analogue à l'inversion, qui est définie par les formules

.r ,_ ! _ " ~~.

-, y---, "-^^

en faisant le calcul, on trouve que l'équation ( i ) est remplacée par une é(juation de même forme ( ') y-77 =^ -j—,- Par suite, si u{x, y) est une intégrale de l'équation (i), il en est de même de la fonc- tion

V )■

o41. Intégrales analytiques. — Nous allons d'abord compléter ce qui a été dit déjà (n" 471 ) des intégrales analytiques de l'équa- tion ( i), en nous bornant d'ailleurs au domaine réel. Soit u{x,y) une intégrale analytique holomorphe dans le domaine d'un point (xo^Vo), se réduisant pour j7^:zro à une fonction holomorphe o{y), et dont la dérivée j- est égale à ^{v), pour la même valeur de x. Le développement de u{x, y) suivant les puissances de a? — x^^ est, comme on l'a déjà vu,

Pour transformer cette série (6) en une série entière à double entrée T, il suffira de remplacer <p(y) el^(y) et leurs dérivées par leurs développements suivant les puissances de j' — j'o- Soit R le

(') M. Appell a démontré que toutes les transformations de la forme

x'=<p(x, y),. y'='l(x,y), u^Hx, y)u',

par lesquelles l'équation (i) se change en elle-même, se ramène à des com- binaisons des transformations simples (Journal de Mathématiques, 4" série, t. VIII, 1892, p. 187).

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 291

rayon du cercle de convergence des deux séries entières en j — y^, qui est le plus petit; r étant un nombre positif quelconque inférieur à R, les séries (f{y) et ^(r) admettent pour fonction majorante

une^ expression ^— — • Si donc on remplace dans la série (6)

I — '- —

r

<p(j>') et 4'(j') P^r cette fonction, la série à double entrée T' ainsi obtenue sera certainement majorante pour la série à double entrée T déduite de (6) sans aucune modification.

Le Tableau auxiliaire T' est absolument convergent pourvu que la valeur absolue de y — Xn soit inférieure à r. En effet, rempla- çons X — Xq el y — jKo P''*'' leurs valeurs absolues, et groupons ensemble les termes de même degré enjj; — x^^\; il est clair que les coefficients âe\x — Xo\-" et de \x — x„\-"^' seront respecti- vement

M n ! M n !

(2

„)![",_ iZ^p^V. ,,n^.y.\.-^L^^Y\..

el par suite ce Tableau est absolument convergent quel que soit x si l'on a \y — y^\ < r. Le nombre r pouvant être pris aussi voisin de R qu'on le voudra, on en conclut que la série double

(7) «(-^,7) = ^ «m(^ - -ToY ^J - J■o)^

qui représente la fonction u{x,y) dans le domaine du point (.r„,io)> est absolument convergente dans la bande B du plan des jp) limitée par les deux caractéristiques j)^ = yo -+- R, j^ := jo — R- Elle ne peu l être convergente dans une bande plus étendue, puisque l'une au moins des séries entières qui représentent o{y) et ^{y) est diver- gente en dehors de l'intervalle {y„ — R. jo + R)- Soit a;,^une

valeur quelconque de x; les fonctions ?< (ti. j), — '' ' peuvent

être développées en séries entières en r — yo, qui sont certainement convergentes dans l'intervalle (to — Rr y^ + R); on les obtient en effet en remplaçant x par x, dans u{x^ y) el -r-- Elles ne peuvent

être convergentes toutes les deux dans un intervfllle plus grand, car, en raisonnant dans l'ordre inverse, on en déduirait que les séries <p(j') et ^{y) sont elles-mêmes convergentes dans un inter-

2^1 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR

valle plus élendu. Il résulte de cette remarque que, dans l'étude du prolongement analytique de la fonction u{x, y) définie par la série (7), on peut donner à la variable x jine valeur constante quelconque et considérer u comme fonction delà seule variable r- Supposons que les deux fonctions o{y) et ^(y) puissent être pro- longées anàlyliquement dans un intervalle (a, |3), comprenant le premier (j„ — R,ro4-R)5 en donnant à y des valeurs réelles : alors l'intégrale u{x, y) est analytique et régulière dans la bande limitée par les caractéristiques j'= a, y = (3, mais elle ne peut èlre prolongée analyliquemenl en dehors de celte bande, du moins si l'on exclut les valeurs complexes pour la variable -)'. Il peut d'ail- leurs arriver que l'un des nombres a, (3, ou les deux à la fois, soient infinis; dans ce dernier cas, l'intégrale est holomorphe dans tout le plan. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, en prenant

L'étude des intégrales analytiques soulève une autre question. Une intégrale de cette nature est déterminée si l'on se donne la fonction F (x) à laquelle elle se réduit pour une valeur donnée do ) , poury = o par exemple. Cette fonction F (jt) est nécessairemt-nt une fonction entière de x, mais ce n'est pas une fonction entière quelconque. Pour trouver une propriété caractéristique, écrivons son développement suivant les puissances de x :

(8) F(x) = çio)-(-.ri(n)+ -^?'(o)-^ -j^^t^'Co)-^...

{■2n)\ ' ^ ' ( 2 « -H 1 ) ! ' ^ ^

o{y) et ^{y) désignant toujours les fonctions auxquelles se réduisent m et -r- pour a: = o. Les lettres M et r ayant la même signification que tout à l'heurp, F(x) admet pour fonction majo- rante la série

l-.(^)

>'h

^.r

"^ (2/0- ""^ i2« +])! r" "^•••J- Cette nouvelle série a ses termes respectivement inférieurs à ceux

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. ig3

de la série L(i -+-x)e^^\ pourvu que les deux nombres L et K vérifienl les inégalités

(2/0!(K/-)«

dont le second membre est le terme général d'une série conver- gente si l'on a choisi K de façon que ^K.r soit supérieur à i. La fonction F>(.r) admet donc elle-même pour fonction majorante une expression de la forme L(i -\-x)e^^\ L et K étant deux nombres positifs.

Réciproquement, si une série entière F(x) satisfait à cette con- dition, l'équation (i) admet une intégrale holomorphe dans le domaine de l'origine se réduisant à F(x) poury = o. Si cette

solution existe, on a pour m(o, y), (;t- ) l^s développements sui- vant les puissances do y {n" Ali )

?(V) = F (o) + -^j -+-...+ ,,! J"->---->

'liy) = F'(o) -H F"'(o)j + . . .-^ Wl^'" "^•••'

et il suffit de monlrpr que ces deux séries entières ont un rajon de convergence différent de zéro. Or la première, par exemple, a pour fonction majorante la série

^It^TlF'^"-?"''

qui est convergente si l'on a | 4 Ky | < • ? et il en est de même de la seconde. En résumé, pour que l'équation (i) admette une inté- grale holomorphe dans le domaine de Vorigine^ se réduisant^ pour y = o, à une fonction entière F(x), il faut et il suffit que F(a;) admette une fonction majorante de la forme

h et¥k. étant deux nombres positifs.

Cette condition peut être remplacée par une autre où n'inter- vient que l'ordre de grandeur des coefficients de la série F(j7) (voir Exercice 1).

Remarquons aussi que, si les deux fonctions cp(j), 4'(j') s®^*-

294 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

holomorphes dans l'intervalle réel [a, {3), la série (6 ) représente l'intégrale dans toute la bande limitée par les droites y z= y., y = (3. Au contraire, la série (7) n'est en général convergente ([ue dans une bande plus étroite comprise dans la première.

542. Solution fondamentale. — Les transformations définies à la fin du n° 540 permettent de déduire de l'intégrale u{x, j-) = i une intégrale dépendant de deux paramètres arbitraires £, r,.

u(x, Y) ^ _ — c ' ^-^'

V.) — •''.

qui joue vis-à-vis de l'équation (1) un rôle analogue àcelui delog/- dans la théorie des fonctions harmoniques. On peut aussi la déduire de l'intégrale particulière e~'^''>-^'' cosa(x — ^), qui dépend de trois paramètres a, ;, yj, par une quadrature {cf. n" 486). Cette fonction n'a une valeur réelle que si l'on a y >»rî; mais il est com- mode pour la suite de faire la convention suivante. Nous désigne- rons par U(x, y: E, -n) la fonction définie par les égalités

) U(.r, r: i. -r,) =^ — ^ e " -'■ pour r > r„

(9) ^ \.)-T.

f \j{x,y: ;, T,) = n pour )' < t^.

La fonction ainsi définie est une intégrale de l'équation (i) qui est régulière pour tous les systèmes de valeurs réelles de a: et de j)', sauf au point (x=^, r = y)); en effet, toute dérivée partielle de la fonction u{x., y) est une somme de termes de la forme

V{x) -^;^

O'-r.)

P(t) étant un polynôme, et cette expression tend vers zéro en même temps que )■ — r, pourvu que x — t ne tende pas aussi vers zéro.

Considérée comme fonction de (;, r,), LI(ar, r; "c,i 'n) est de même une intégrale de Féquation adjointe, régulière dans tout le plan sauf au point ; = a:, yj = )', et identiquement nulle pour rj^-)-. En dift'érentiant un nombre quelconque de fois U par rapport à X, y, £, r,. on obtient de nouvelles fonctions U'"(x, t, ]'i, f)) qui

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 296

jouissent des mêmes propriétés que la fonction U. Chacune de ces fonctions, considérée comme fonction du couple de variables {x,y), est une solution de l'équation (i), régulière dans tout le plan sauf au point j? = |, y = rj ; considérée comme fonction de (^, rj), c'est une solution de l'équation adjointe

â- V dv

admettant dans tout le plan le seul point singulier t = -t", 'n=y- Toutes ces fonctions sont identiquement nulles si l'on a ri^y.

De la solution fondamentale U(x, y; l, rj) on peutaussi déduire par des quadratures de nouvelles intégrales analogues au potentiel logarithmique de simple couche. Soient P(^, tj), Q(^, rj) deux fonctions continues quelconques des coordonnées (t, ri) d'un point M le long d'un arc de courbe C situé à distance finie. L'inté- grale curviligne

(.0) u{.r,v) = f lJ{x,y; ^, r.) f P(^, r.) ./^ ^ Q(J, r,) f/r^]

représente une intégrale de l'équation (i) qui est régulière, ainsi que toutes ses dérivées partielles, dans tout domaine D n'ayant aucun point commun avec la courbe C; on peut, en effet, appliquer les formules habituelles de différentiation un nombre quelconque de fois si le point (j;, y) reste dans le domaine D. [Remarquons que, d'après la déiinition de V{x, y; ;, ri), on ne doit prendre pour le calcul de u{x. y) que la portion de l'arc C situé au-dessous de la caractéristique passant par le point (x, y). Il en résulte qu'au-dessous de la caractéristique passant par le point de G d'ordonnée minimum, u^.v, y) est nul; il en est de même en tous les points de cette caractéristique qui n'appartiennent pas à G. Au-dessus d'une caractcaistique j =^01 laissant l'arc G tout entier au-dessous, u{x, y) est une fonction analytique holomorphe des deux variables x, y. En effet, regardons pour un moment x et j' comu)e des variables complexes; E, ri désignant les coordonnées d'un point quelconque de l'arc C, U(a^, y; l, yj) est une fonction holomorphe des variables x et y cjuel que soit le domaine où se meut la variable complexe a;, pourvu que la partie réelle de y soit supérieure à /„ (on prend pour \/y — ri la détermination positive

^9^) CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

lorsque j' esl réel). Il s'ensuit que u(x, j) représenle une fonction holoinorphe des deux variables x^ y au-dessus de la caractéris- tique )'=ro (' )•

Pour étudier ce que devient u{x, y) lorsque le point (x, y) se rapproche d'un point M du contour C. il est nécessaire de faire des hypothèses sur la forme de ce contour.

o43. Formule de Poisson. — Nous étudierons d'abord le cas où la courbe C est un segment de caractéristique. L'intégrale définie

(il) u{.r,y)=/ ^' ^ ' e '''•' -'' V/^,

f -m=

où o(ç) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b), repré- sente, d'après les propriétés déjà établies, une intégrale de l'équa- tion (i), qui est régulière en tout point du plan non situé sur le segment AB de la caractéristique y = /i, limité par les deux points A et B, d'abscisses a et b. Nous supposons, pour fixer K-s idées, a<Zb. Cette fonction u(.r, y) est nulle en tout point au- dessous de la caractéristique y =z h, cl en tout point de cette carac- téristique en dehors du segment AB. Dans la portion du plan située au-dossus, elle est une fonction holomorphe des variables x, y. 11 nous reste à rechercher quelle est la limite de u[x, y) lorsque le point [X, y), supposé au-dessus de AB, tend vers uu point de ce segment. Nous nous appuierons pour cela sur quelques lemmes d'un usage fréquent dans celte théorie.

Soit F(a) une fonction continue, ou lout au moins bornée et intégràble, et n'ayant que des discontinuités de première espèce dans un intervalle {ti, b). Proposons-nous de trouver la limile de l'intégrale

(12) I = / _ ' e *■' du

lorsque le nomhva positif y tend vers zéro.

Cj II suffit de reprendre le raisuiinemenl du n° 353 ( II), en obseivanl que l'hy- pothèse que F est analytique par rapport à la \ ariable d'intégration ne joue aucun rôle dans la démonstration.

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 297

Premier cas. — Supposons d'abord que a el 6 soienl tous les deux positifs, ou tous les deux négatifs, par exemple o <; a <C 6. Si M est une limite supérieure de [ F(?/) |, dans l'intervalle (a, 6), on a évidemment

et cette expression tend vers zéro avec y. On a donc lim I = o.

Deuxième cas. — Supposons qu'une des limites soit nulle, par exemple a .-= o, è > o. Soit (3 un nombre positif inférieur à b tel que |F(a) — F(-l-o)| soit inférieur à un nombre donné r\ dans l'intervalle (o, (3); on peut choisir (3 assez petit pour que le nombre f] soit lui-même plus petit que tout le nombre donné à l'avance. Nous pouvons écrire

•^0

77. du

_H r fF(«)-F(+o)]e *.>î^+r ^-^e 'y du,

\/y ^p \/y

ou encore, en posant u-—2t\^/y dans les deux premières inté- grales.

(-1-0) / le-^' dt

'i

•"FCa)

^-2 T' [v{>s/'yt)-V{^o)\e-i'dt+ f ili^e 'y du.

D'après la façon dont on a choisi le nombre [3, la valeur absolue de la seconde intégrale est inférieure à

2TJ / e— '' dt = Ti^'r.

Supposons i3 pris de telle façon qu'on ait ry sjv. < e, e étant un nombre positif donné à l'avance; ce nombre j3 étant ainsi fixé, faisons diminuer y indéfiniment : la première intégrale a pour limite ^ttF^+o), et la dernière a zéro pour limite. Il est donc

298 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

possible de Irouver uu nombre positif A tel qu'où ait

il-S7;F( + o)|<3.

lorsqu'ou a y <i k et, par suite, I a pour limite y/TrF(+()). On verrait de même que, lorsque a est nul et 6 <; o, la limite de 1

est — sJ-nVi — o).

Troisième cas. — Supposons a et h de signes différents, par exemple, a << o, /> >> o. On a

, r''v{u) -% . r"V{u) ~'^. ,

I = / — r^ e " ilii — l _ (' " fh( :

.'„ v'j- ••» \'.>-

u second membre or limites y t:F(h- o), — \/rF(— o). La limite de I est donc

\i-[v ( -¥■ u) -+- r^— o )|.

En particulier, si la fonction F(a) est continue pour i^ = o, la limite de I est 2 v/7rF(o).

Cela posé, cherchons la limite de l'intégrale (11) lorsque le point {x, }'), au-dessus de AB, se rapproche d'un point de coor- données [Xtt, II) de ce segment (a-<^„ <,b). Nous supposerons d'abord que le point [x, y) se déplace sur la parallèle à O)-. Nous avons à chercher la limite de l'intégrale

•'« \.v- — /* " J .,-.,„ \Jr — li

lorsque y — h tend vers zéro. La limite a — x„ (;st négative, l'autre b — X(, est positive: si o(;) est continue au point a:», la limite est, nous venons de le voir, '>.\/t:o{xo). Aux extrémités A et B du segment, la limite serait \/v:o{a) ou \/r.o{b).

Supposons maintenant que le point [x, >) tende d'une façon quelconque, vers un point intérieur (a^„, h) du segment AB. L'in- tégrale dont on cherche la liniile peut s'écrire

s'y -h ?(.r») V .>' — ^'

= f~"4M^^^T:^,,,„^ ,■'-', j.^.^-.LrA^, .„_,„^,,^^

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 299

la première intégrale du second membre se met sous la forme

b—:

(iJ) if ^{xo)e-''dt

iVy

et a pour limite 2 ^7ro(a7o) lorsque x tend vers le nombre xv com- pris entre a et b el que r tend vers h.

Quant à la seconde intégrale, il est facile de prouver qu'elle tend vers zéro en la décomposant comme il suit :

Ê étant un nombre positif très petit. Soit yj une limite supérieure de \o{a:-\-u) — 9(a.„)|, lorsque jc varie do a^o — e à Xo + £ et u de — £ à + £ ; la valeur absolue de la seconde intégrale est infé- rieure à -iri^r. et, par suite, peut être rendue plus petite que tout nombre positif donné en prenant e assez petit. Ce nombre £ ayant été choisi de cette façon, on démontre, comme plus haut, que la première et la troisième intégrale tendent vers zéro, lorsque r — h tend vers zéro et x vers Xq.

Il est à remarquer que la démonstration ne s'applique plus lorsque le point (ar, y) tend vers l'une des extrémités du seg- ment AB. car l'intégrale (i3) est indéterminée lorsque x tend vers a et ^ vers h; la limite de cette intégrale dépend de la façon dont le point (x, j) se rapproche du point A (voir Exercice 2).

En résumé, la valeur de l'intégrale définie

(14) u{.r,y)=-L= f'^^M^e'^^^d^

tend vers 9(a7o) lorsque le point (a?, y) se rapproche d'une façon quelconque du point (a7o, h) intérieur au segment AB de caracté- ristique, en restant au-dessus de ce segment.

L'intégrale (i4) conserve un sens lorsque l'une des limites devient infinie pourvu que la fonction o(^) satisfasse à certaines conditions. S'il existe un nombre positif K tel que le produit

soit borné pour toutes les valeurs de S, de a à -+- 00, l'intégrale

3oo CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

définie

^''^ 7T-J

a un sens lorsque le point {x,y) reste dans un domaine borné D

Iv

situé entre les deux caractéristique )'=://+ e, )• = // +

H étant un nombre positif inférieur à un.

Un élément quelconque de l'intégrale est. en effet, plus petit en valeur absolue que l'élément correspondant de l'intégrale

(iG) ^1 -^JL=e ■'>-'■ ./;,

2 V ~ ^a ^'r — à

M étant une limite supérieure de | 9(^)6""^'' |. Or l'intégrale auxi- liaire (16) est uniformément convergente dans le domaine D; il en est donc de même de l'intégrale (i5), qui représente par suite une solution de l'équation ( i ) régulière au-dessous de la

droite r = h -\ Trr-^ sauf sur la portion de la droite j = h qui

s'étend du point (a, h) à l'infini dans le sens positif. Cette fonction est nulle au-dessous de celle caractéristique et sur la portion à gauche du point (a, h). Au-dessus de la caractéristique, elle est holomorphe en x et y (II, n" 333). Lorsque le point (x, r) tend vers un point de coordonnées {xu^ h), où a^u > a, la limite de l'intégrale ( i5) est égale à o{xu)i ^ar ou. peut partager l'intégrale en deux, l'une prise de a jusqu'à un nombre b <^Xi,, l'autre prise de b à -\- ce. La première, nous venons de le voir, a pourlimite 9(370)1 tandis ijue la seconde tend vers zéro. En conservant les mêmes hypothèses sur la fonction 9(;), les conclusions s'étendent évi-

demment à l'intégrale / 1 et par suite à l'intégrale ( ' )

(17) a{.r,y)=-^ f

1 y- J_

4=ILc ^'-''V/?:

VJ

9(^) étant une fonction continue telle que 9(1 )e '^'' reste borné; l'intégrale définie (17) représente une solution de l'équation (i)

(') On opcrerail de la même façon pour démontrer rigoureusement que la for- mule (28) du n" 48G (p. loS) représente l'intégrale chercliée lorsque la fonction f{x, y, z) reste bornée.

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3oi

qui est holoinorphe dans la bande limitée par les caracléristiques

y = h. Y = h -h --r-^

et qui tend vers 9 {x^) lorsque le point {x,y) de cette bande tend vers le point (xo, à) de la caractéristique; le nombre H peut, en effet, être supposé aussi petit qu'on le veut.

Si le produit <f{l)e~^^^ est borné quelle que soit la constante positive K, la fonction u{x,y) est holomorphe dans toute la région située au-dessus de la caractéristique j- = h. Il en est ainsi en particulier si la fonction cp(^) est elle-même bornée. On pourrait étendre ces propriétés au cas où 9(^) admet des discontinuités de première espèce, mais, en un point de discontinuité .r,, m (ar, j)') ne tend pas forcément vers 9(ar„) lorsque le point (x,j) tend vers le point (x», h); il tend toujours vers celte limite lorsque le point {x,y) tend vers le point de discontinuité en se déplaçant sur la parallèle à Oy.

La formule (17) donne la solution générale d'un problème de la théorie de la chaleur, dont nous avons déjà traité un cas parti- culier (n" 4^7). Étant donné un fil homogène indéfini dans les deux sens, de très faible section, supposons que l'on connaisse au temps h la température 9 (.27) de la tranche d'abscisse :r, et qu'on demande la température d'une tranche quelconque à une époque consécutive. La lettre y représentant le temps, la température demandée est une fonction u{x,y) des variables x elj qui, avec un choix conVenable d'unités, satisfait à l'équation ( i ) ; celle fonc- tion doit être régulière dans toute la portion du plan (x, j) située au-dessus de la droite >- = A, el se réduire à <^ {x) poury = /<. D'après sa signification physique, la fonction 9 (j?) est évidemment bornée, et par suite la fonction u{x,y) représentée par la for- mule (17) satisfait à toutes les conditions de l'énoncé. On verra plus loin (n° o^o) que c'est la seule. Ceci permet de généraliser la remarque faite plus haut (n° 487) dans le cas particulier où la fonction o est périodique; le fonction u{x^y) qui exprime la température de la tranche d'abscisse x à une époque j>., consécutive à l'époque h est une fonction entière de x qui ne peut être prise arbitrairement.

Remarque. — Nous avons établi [)lus haut (page 5_>.), moveiinaiit

'U>-2 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

certaines hypothèses sur la fonction F (x), une formule qui représente une intégrale de l'équation (i) se réduisant pour i — h, à la fonction Fi./). l'oisson a montré que cette formule et la formule ( 17"^ pouvaient se déduire l'une de l'autre. Supposons, pour simplifier, /i = o ; la formule ^17) devient, en posant ^ = ./■ -1- > ^ y t,

iii.r. 1 ) = _L / ;(./• -H 'v ^0^" '■"'/•

lU'iiiplaçons ç (x -1- 2 \ y t) par son développement suivant le? puissances «le •.'. \' _\ t ; le terme général de l'intégrale a pour expression

/

,lt.

Si // est impair, ce terme est nul; n (-tant supposé pair, remplaçons n par in. En tenant compte d'une formule antérieure (I, n" llo), ce terme

se réduit à : — ; -, et nous trouvons la formule de la pa£;e 32 où l'on

aurait lemplacé F par ç, et ) „ par zéro.

Malgré tout l'intérêt de cette transformation, le raisonnemeni est évi- demment dépourvu de rigueur. D'ailleurs, les deux formules sont bien loin d'être équivalentes. La première suppose que F {x ) est une fonction entière d'une certaine espèce et nous donne la valeur At u de part et d'autre delà caractéristique r =»o. Au contraire, la formule ( 17) ne suppose nullemen t la fonction 91. r) analytique, mais elle n'est applicable qu'au-dessus de la droite \ = h.

o^A. Intégrales analogues au potentiel. — Prenons niaintenanl pour chemin d'intégration un arc AB représenté par Téqualion

la fonction y^ [v) étant continue dans l'inlervalle [a.b), où a<ib. La fonction cp(j') étant continue dans le même intervalle, on a vu que l'intégrale définie

représente une solution de l'équation i i ) qui est régulière, ainsi que toutes ses dérivées partielles d'ordre quelconque dans loule région du plan n'ayant aucun point commun dans Tare AH. Cette fonction est encore continue lorsque le point (.r. r") vient sur 1 arc AB, car l'inlt-gralo ( 18") reste uniformément convergente dans le voisinage d'un point «piclconque de cet arc t n" oOi 1.

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3o3

En elVet, cette intégrale prise le long d'un arc CD infiniriienl petit est elle-même infiniment petite, quelle que soit la position du point voisin (j7,j'); en désignant par H une limite supérieure de |9(ri)|, on a évidemment pour limite supérieure de la valeur absolue de l'intégrale le long de cet arc une expression delà forme

ni ^

qui est infiniment petite avec la différence y — a. On verra un peu plus loin que — est discontinue lorsqtie le point(a7,j') traverse l'arc AB.

Les caractérisliquesy = a,y = 6. passant par le point le plus bas et le plus haut de l'arc AB, divisent le plan en plusieurs régions. Au-dessous de la droite A'A et sur cette droite elle-même {Jig- 97),

Fig- 97-

on a ^{x^y) = o\ au-dessus de B'B, <i>{x,r) est une fonction analytique holomorphe des deux variables x et j' (n" 5i2). Il nous reste à étudier la nature de cette fonction dans la bande comprise entre ces deux caractéristiques, à droite ou à gauche de l'arc AB. Supposons que le point ix^y) se déplace sur la parallèle A'B' à l'axe Oy, comprise entre les deux caractéristiques, et n'ayant aucun point conimun (') avec AB. Soit a;,, l'abscisse de A';

(') Cette liypotlièse ne dimiuue pas la généralité. Soit en elïet A, H, un segment de parallèle à Oy, compris entre les caractéristiques

.K = a, 7 = ? (M<a<?<^),

et n'ayant aucun point commun avec l'arc AB. L'inté'grale (18) le long de A 15 se décompose en trois parties : l'intégrale de « à 2, qui représente une fonction liolo- morplie de jv le long de A,B,, l'intégrale de p à fe qui est nulle pour lout point de ce segment, et enfin l'intégrale de a à p, étudiée dans le texte.

3o4 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

<I» [Xi,, y) est une fonction continue de y, ainsi que toutes ses déri- vées pariielles, dans l'intervalle (a,b), mais ce n'est pas en général une fonction analytique de y, si o(r]) est une fonction continue quelconque. En efi'et, la valeur de cette fonction en un point P de A'B' ne dépend que des valeurs de o{rï) le long de lare AM. Si donc on remplace o{ri) par une autre fonction con- tinue cpi (r/ ) qui coïncide avec ©(tj) le long de AM, mais qui en diffère le long de MB, la nouvelle intégrale ^(x^y) coïncidera avec ^(a?n, Y) le long de AT, mais sera différente de ^{x^.y) le long de PB'. Le point P étant un point quelconque de A'B', il s'ensuit que «I>(./o,jk) ne [)eut être une fonction holomorphe de y le long de A'B', ni même le long d'une portion quelconque de A'B'. si la fonction ^(r;) est une fonction continue quelconque. Cepen- dant, les dérivées de celte fonction <if{x„^y) vérifient certaines inégalités analogues à celles qui caractérisent les fonctions analv- tiques (')(!, n" 197; II, n" 343, notes),

Nous allons d'abord démontrer que, quand on donne à y une valeur fixe. comprii,e entre a et 6, 4>(x, r ) est ujie fonction holo- morphe de la variable complexe x =^ j' -\- ix" dans le domaine de la valeur x = .r„. Xous avons

[x' -^- ix" — /(tJJî^ \-^' — '/J'<'\)]-— x"--+- ■>.ix"[x' — /(T,)],

soit 2 pie minimun de |x(^) — -^^o | lorsque r^ varie de a à 6. Si l'on a I x' — iCo I < ?; I -2^ I < p, I« partie réelle de \x — -/^ ("r)) ]-' est positive et par suite le module du facteur exponentiel dans l'inté- grale (i8 ) est inférieur à l'unité. Le module d'un élément quel- conque de cette intégrale est donc inférieur à l'élément correspon- dant de l'intégrale

r- H

v.r

H étant une limite supérieure de j 9.(75) |. Il s'ensuit que si l'on donne à a" des valeurs complexes telles que \x — j"„ | ne dépasse pas le nombre p, l'intégrale ( 18 ) est uniformément convergente et représente p?»- conséquent une fonction holomorphe de x dans ce

(') E. HoLMGREX, Comptes rendus, 3o décembre 1907 et 9 janvier 1908 ; Arkiv. for Matematik, Band IV, n • 14 et 18.

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3o5

domaine. Le moduK; de ceUe fonction est inférieur à 2H^'y — a et par conséquent à 2 H \ 6 — a. Eu résumé, qunnd on altribue ày une valeur (juelconque entre a et b, ^(j7, y) est une fonction holomorphe de x dans un cercle de rayon p décrit du point a?,, pour centre, dont le module reste inférieur à un nombre positif M, lorsqu'on a \x — Xq\<p, les deux nombres M et p étant indé- pendants de la valeur attribuée à y.

En un point quelconque de A'B', de coordonnées (.r„, r), on a donc

(1 ) |:^|.-^;

mais, d'après l'équation (i) et celles qu'on en déduit par des déri- vations successives, une intégrale quelconque de cette équation ... ... , . à'>u à-nu rt

satisfait aussi a la relation-; — = -r—rz- t^ar suite, en posant pour a y" ax^'^ * '

abréger /(j) = <l>(x„, j), et r = p-, la fonction /(j) satisfait aux conditions suivantes :

i" Elle est continue, ainsi que toutes ses dérivées partielles, dans l'intervalle (a, 6);

2° En un point quelconque de cet intervalle, les dérivées suc- cessives satisfont aux conditions

(9') /'-0-X^^.

M et r étant deux nombres positifs indépendants de )'.

Nous dirons pour abréger qu'une fonction y(j)') satisfaisant à ces conditions est de la classe 2 dans l'intervalle (a, 6), la classe 1 étant formée par les fonctions holomorphes. Il est clair d'ailleurs que ces dernières sont comprises parmi les fonctions de la classe 2. On voit aisément que la somme d'un nombre quelconque de fonc- tions de la classe 2 est aussi une fonction de cette classe; en parti- culier, la somme d'une fonction de la classe 2 et d'une fonction holomorphe est une fonction de même espèce.

La dérivée par rapport à x de l'intégrale (18) a pour expres- sion ^ (^, y), en posant

(20) W{x,y)= 9(-ri) é^J\>e ^'y-Vdr^ = -2 ^^{r,) — dr,.

3o6 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

La fonction ^(a", y) est encore une intJ^grale de l'équalion ( i ), régulière dans loute la bande comprise entre les droites j)- = a, y = h, sauf sur l'arc d'intégration F. On peut étendre la définition à tout le plan en convenant de prendre cp( yj) := o pour yj > è. Celte fonction est aussi une fonction analytique de x, quand on donne À y une valeur constante; d'après la façon dont on la déduit de la fonction 0(a7, j), elle satisfait à des inégalités de même forme que les inégalités (19), en tout point d'un segment A'B' et, par suite, c'est une fonction de y de classe 2 le long de ce segment.

L'intégrale (-20) est l'analogue du potentiel de double couclie (>) et pré- sente le long de F une discontinuité dont l'étude a été faite par M. Holm- gren. Nous supposerons que la fonction x(.)') admet une dérivée continue y'iy) dans l'intervalle (a, b).

Suivant la même marche qu'au n» u05, nous étudierons d'abord le cas simple où 9(t,) = i. L'intégrale

(•il) F(.r,r)= / • '■' \ c '^<-V rlr,

n'a plus, comme diins le cas de l'intégrale de Gauss, une signification géo- métrique simple qui rende intuitive la discontinuité; une élude directe est donc nécessaire. L'intégrale (21) conserve un sens quand le point >I(./-, y) coïncide avec un point P de coordonnées (X, Y) de l'arc Y :

{T>) F (X, V) = f ^~^^"V e~ UY-r, ,/.,_ .

mais F(.r, y) tend vers des limites différentes lorsque le point (.r, y) tend vers le point (X, Y), suivant que le point (j:, y) est à droite ou à gauche de l'arc T. Pour le démontrer, considérons l'intégrale auxiliaire

■y.'

qui est continue sur l'arc T, car elle est de la forme de celles qui ont ('té étudiées au début de ce paragraphe. On a, comme le prouve un calcul élémentaire,

(24)

F(^-, r) + F,(.z-, j-) = 4 f t-"*

du,

{') Les directions caractéristiques étant confondues, la caractéristique issue d'un point quelconque de F peut être considérée comme conjuguée de la tangente par rapport à l'ensemble de ces deux directions.

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. Soy

A^ , les limites a et p étant déterminées d'après la position

1 \y — r, du point (a:, y). Supposons d'abord ce point à droite de T, ou x > '/_{y)\

lorsque t^ varie de a à y, u varie de — ^ à -(- x. Si le point (x, y)

2 y/j — a)

était à gauche de r, la limite P serait — w. On a donc, lors(|ue le point (x, y) n'est pas sur r,

F{x,y)-^Fi{x, y) = /i 1 e-"' du,

relation qui devient, en faisant tendre le point {x,y') vers le point (X, Y),

(25) limF(x, y) -4- iimFi(j:, j) = 4 / e-"' du,

le signe -i- correspondant au cas où le point {x, y) est à droite de F, et le signe — au cas contraire.

Si l'on a X = X, y = Y , les limites pour u sont ^ et zéro; la

2 y Y — a formule (24) donne

,0

(26) F(X, Y)-(-Fi(X, Y) = 4 / e-"'du.

En retranchant membre à membre les relations (25) et (26), et observant que Fi{x, y) est continue au point (X, Y), il vient

(27) limF(ar, 7) = F(X, Y)^4 r g-"' f/« = F(X, Y) ± 2 y'^.

On doit prendre dans cette formule le signe -f- ou le signe — , suivant que

le point {x, y) est à droite ou à gauche de T.

Considérons maintenant une intégrale quelconque de la forme (20), qu'on

peut écrire

/•■ x-y(r'\ -tlîlZ^ill!!!

(20') W{x,y) = J [?(r.)-9(j)]5- /^'^>^ ..v-r., ./.,

0--rJ^

-Xl^.'l'

Ja iy-r,y

Si la fonction ^(y) satisfait à la condition de Lipschitz dans l'inter- valle (a, b), la valeur absolue d'un élément quelconque de la première intégrale est inférieure à l'élément correspondant d'une intégrale

X

3o8 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

Par suite, cette intégrale est uniformément convergente dans le domaine d'un point quelconque (X, Y) de F et représente une fonction continue dans le voisinage de T. La discontinuité de W{x,y) lorsque le point (jr,_^) tend vers un point (X, Y) se déduit immédiatement de la discontinuité de la seconde intégrale qui vient d'être étudiée et l'on a, en définitive, la formule générale

(28) Iim1-X:r, j)=±2 v'ît?(Y)-i- / ç(7i) -^^e MV-o^^^

" (Y-fi)^

le signe devant être pris comme on l'a dit plus haut.

Dans le cas particulier où l'arc F est un segment de droite x = x^^, intégrale qui figure dans le second membre est identiquement nulle. On en conclut que la limite de Vintégrnle

/y _ (-r-.voi»

9(t,)^ ^e **»-'^'' rfr, -, " {y-r,Y

est égale à ± ç(Y) lorsque le point {x, y) tend vers un point (a;o, Y) de cette droite

ô^D. Extension de la formule de Green. Applications. — Consi- dérons deux fonctions quelconques cp(a7, j), (|>(a;, y) des varia- bles j;, y, admettant des dérivées jusqu'au second ordre; on a identiquement 5F( ) et ^( ) ayant la même signification que plus haut (n° 540),

(^9) •y^^'^)-^^^^)=i[^tx-'^%]-iM^)-

Si les fonctions cp et ^^ sont continues, ainsi que les dérivées par- tielles de ces fonctions qui figurent dans la formule précédente, à l'intérieur d'un domaine borné D limité par un contour C, on déduit de cotte formule (29) la relation suivante, qui est l'équiva- lente de la formule de Green (n" 506) :

(3o) f J [•l^^{^)-^<^{^)]dxdy = Jjhdx^l^l.'^^-^'^^dy,

l'intégrale curviligne étant prise dans le sens direct." On en tire facilement une série de conséquences toutes pareilles à celles qui ont été développées pour l'équation de Laplace. En remplaçant ^p par l'unité et 9 par une intégrale u de l'équation (i) régulière

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3o9

dans D, on obtient la nouvelle relation

du

(3i) juds^^^dy

qui est évidemment équivalente à l'équation (i) elle-même, d'après la première formule de Green. De même, en remplaçant i|^ par l'unité et <^ par le carré u- d'une intégrale régulière dans D, il vient

De cette formule, analogue à la formule (12^") du n"506, on déduit une conséquence importante. Soit u(j7, y) une intégrale régulière à l'intérieur d'un contour ABFE tel que celui de la figure 98, formé de deux segments AB, EF de caractéristiques, et

Fig. 98*

M'

m""'

de deux arcs AE, BF, dont chacun ne peut être rencontré qu'en un point par une caractéristique; le segment EF est au-dessus de AB, et l'un ou l'autre de ces segments, ou même les deux, peuvent se réduire à un point. Si cette intégrale est nulle le long des deux arcs AE, BF et du segment AB, elle est nulle dans tout ce domaine.

Soient en effet M un point quelconque de ce domaine, PQ le segment de caractéristique passant par M et compris entre les arcs AE et BF. La relation (Sa) appliquée au domaine D' limité par le contour ABQPA donne

puisque u est nul par hypothèse le long de PABQ. Tous les élé-

3lO CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

ments do ces deux intégrales étant positifs ou nuls, il faut donc qu'on ait ii = o tout lo long de PQ, el par suite u est nul dans tout le domaine D, puisque M est un point quelconque de ce domaine. On conclut de là qu'il ne peut exister deux intégrales régulières dans le domaine D et prenant des valeurs données le long de AB, de AE et de BE. Le problème qui consiste à déterminer cette intégrale est l'analogue du problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace. Le raisonnement qui précède prouve qu'il ne peut admettre plus d'une solution, mais ne démontre pas qu'il existe ufie solution.

Pour obtenir une relation analogue à la formule fondamen- tale (i3) du n" 507, il suffit d'appliquer la même méthode en rem- plaçant la fonction log r par la solution fondamentale U [x, y ; ^, rî) . Soient M un point de coordonnées (a^o, fo) dans le domaine pré- cédent, M' un point voisin du même domaine, de coordonnées x„, y„-\-hj h étant un nombre positif. Appliquons la formule géné- rale (3o), en remplaçant les lettres u.- el y par les lettres ^, yj res- pectivement, en prenant pour 9 une intégrale m(H, r,) de l'équa- tion ( i ) régulière dans D, et pour ^ la fonction

Uo= U(j:-n, yi>-+- h; ;, r,)

qui est une solution de l'équation adjointe régulière dans le même domaine. Celte formule nous donne la relation

/ U{.l, T,)U(.r„. .)M-t- // : ;> r, ) (T; -+- ( l „ -^ — " -^ ) "''■. = ",

en représentant par C le contour ABQPA, ce qu'on peut encore écrire

• l'AUQ. -• ' ~ '

On a vu plus haut (n" 0-43) que le premier membre de cette éga- lité a pour limite 2 \ t.u{xo, J',,) lorsque le nombre positif h tend vers zéro, puisque t„ est compris entre les abscisses des points P et Q. La limite du second membre s'obtient immédiatement, puisque LT(j;„, )'„-(-//; h r,) el —p^ sont des fonctions continues de h le long du contour PABQ. En supprimant les indices des

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3ll

letlres o^o, r», nous obteaons donc la relation

■>■ V - ^' VXhQ \ '^^ "'■ I

qui esl l'analogue de la relation (i3) du n"o07. Elle s'écrit encore, en remplaçant U par son expression,

(35) u{x,y) = -^ f "" ' I »(£, r.)r/g

La formule (35) ne donne pas la solution du problème aux limites dont il a été question tout à l'heure, car le second membre ne peut être calculé que si l'on connaît les valeurs de -y le long

des arcs AJE et BF. On peut cependant éliminer la valeur de -^^ sur

toute portion du contour composé d'un segment de droite (voir

Exercice 3).

La formule de Poisson du n" 543 se déduit comme cas limite de

la formule générale (35). Supposons que, dans la portion de la

bande limitée par les deux caractéristiques d'ordonnées h et /i -+- ô

passant par A et E, située à droite de l'arc AE, l'intégrale u{x^ y)

soit régulière et de plus qu'il existe un nombre positif K tel que

les produits

iiix, )')e— •''', — -e-*^' * Ox

soient bornés dans ce domaine. Nous allons chercher ce que donne la formule (35) quand on prend pour BF un segment de la droite a; := R, R étant un nombre positif qu'on fera croître indéfi- niment. La portion de l'intégrale curviligne provenant de BQ est égale à

(36) -L= f '^:=Z\(;"') -,.<n. v.-^^^^ l 'K.

■.i\J-Ji, \iY—r, lw?/k '-'^y — -hn

Cj Toute intégrale de l'équation rf{u)=f{x,y), régulière dans D, vérifie une relation qui ne diffère de la relation (35) que par l'addition au second membre du terme

2 \ r.J J^\vt

dldr

3l2 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

Nous allons démontrer que celte intégrale tend vers zéro lorsque R augmente indéfiniment, pourvu que les nombres K et ô vérifient une certaine condition. Prenons la première partie; par hypothèse

le produit ( ^ ) e~^^' est borné, et par suite la valeur absolue de

celte intégrale est inférieure à

2 V/' -^Z' \^>' — '^1

M étant un nombre fixe et s un nombre positif arbitraire. Le fac-* leur e~^^' tendant vers zéro lorsque R augmente indéfiniment, il suffira de montrer que la valeur absolue le l'intégrale

i(K-4-£M.v— r.lR' — <.r-Ri'

(3;) . r-- — ;=ï — r/,.

"'h \'y — T,

conserve une valeur finie. Or, le numérateur de l'exposant est plus polit que 4(K.H-c)ôR- — ix — R)-, et ce numérateur sera négatif pour des valeurs très grandes de R si le coefficient de R-, c'est- à-dire 4(K-i-e)ô — I, est négatif; la valeur absolue de l'inté-

' ' qui a une valeur finie.

/' \ y — '^ La première partie de l'intégrale (36) tend donc vers zéro lorsque

R croît indéfiniment, pourvu que o soit inférieur à -rr-r • et,

comme e est un nombre positif arbitraire, celle condition sera véri- fiée si les nombres K et ô vérifient la relation 4Kô «< i . On démon- trera de la même façon que la seconde partie de l'intégrale (36) tend aussi vers zéro lorsque R augmente indéfiniment et, dans la formule (35), le contour d'intégration PABQ doit être remplacé par le segment PA et le segment de caractéristique s'élendant du point A à l'infini vers la droile.

Si l'intcgrale u{x. y) est régulière dans toute la bande limitée par les deux caractéristiques y=ih, y := h -i- ô. et si dans celte

bande les produits ue~^^\ j- e"*"^' restent bornés, les deux nombres

positifs K et ô vérifiant la relation 4K.<3<i, on peut prendre de même pour la courbe AE un segment de la droite x = — R,

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3l3

R étant un nombre positif qu'on fera croître indéfiniment. On vérifie comme tout à l'heure que la portion de l'intégrale curvi- ligne (35) provenant de PA tend vers zéro, et la formule (35) devient à la limite

(38) u{^,y) = — =/ ■ - — ?(0^

cp(x) étant la valeur de l'intégrale u{x, h) le long delà caractéris- tique y = h\ nous retrouvons la formule (17) de Poisson (n" 543).

Si les produits u(x-, y) e""^^', -r- e~^'^* restent bornés dans la partie

du plan située au-dessus de la caractéristique y:=h, aussi petit que soit le nombre positif K, le nombre ô peut être pris aussi grand qu'on le veut, et par suite la formule (38) est applicable dans toute celte partie du plan.

546. Propriétés des intégrales. — La formule (.35) permet de démontrer quelques propriétés importantes des intégrales de l'équation (i). Soit u{x, y) une intégrale régulière dans un domaine D. Prêtions à l'intérieur de D un domaine partiel limité comme celui du numéro précédent, par exemple un rectangle R limité par deux segments de caractéristiques AB, EF, et deux parallèles AE, BF à l'axe Or- En appliquant la formule (35) à un point quelconque M de ce rectangle, de coordonnées jc, y, la fonc- tion u{x, y) est exprimée par une somme d'intégrales curvilignes prises le long de x\B, AP, BO respectivement. L'intégrale le long de AB est une fonction analytique des deux variables x, y dans le rectangle R(n" 343); chacune des intégrales, prises le long des segments AP, BQ, est la somme d'une fonction <^(x, y) et d'une fonction W(x, j)') (n" 544). L'intégrale u(x, 1) jouit donc dans le rectangle R des mêmes propriétés que ces fonctions elles-mêmes : toutes ses dévivées partielles sont régulières dans ce rectangle; si l'on donne une valeur constante j'„ à r, u{x, y^) est une fonction holomorphe de a?, tandis que, si l'on donne à x une valeur cons- tante Xo^ u{xn, y) est une fonction de y de classe 2.

Tout segment de droite parallèle à l'un des axes, et situé tout entier dans le domaine D, pouvant être renfermé à l'intérieur d'un rectangle tel que le précédent compris lui-même dans D, nous

3l4 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

pouvons donc (énoncer les propositions suivantes : Si une inté- grale u{x^y) est régulière dans un domaine D, i" toutes ses dérivées partielles sont régulières dans le même domaine; 2" le long d^un segment de caractéristique intérieur à D, u{x^ y) est une fonction holomorphe de x; 3" le long d'un segment de droite parallèle à Oy intérieur à D, u{x, y) est une fonction de y de classe 2.

Ces propriétés appartiennent aussi aux dérivées partielles de u{x^ y), puisqu'elles sont elles-mêmes des intégrales de l'équa- tion (i). En particulier, j- est une fonction de y de classe 2 le

long de tout segment parallèle à Oy situé dans l'intérieur d'un domaine où u{x, y) est régulière. Inversement, étant données deux fonctions de classe 2 dans un intervalle (a, 6), cp(j'), 'l(j'), il existe une intégrale satisfaisant aux conditions de Cauchy pour

et régulière dans le rectangle limité par les droites y = a, y ^= b, X = j;^^dz r, r étant un nombre positif convenable. En oflet, les dérivées partielles des fonctions '-p(r), '■]'(y) vérifient par hypo- thèse les inégalités

/ o , / V , M (:'-/* ) , , ,, . .M ( ?. n ) !

(^'.)) r""0-)i< \,, > '/"'(.y) < \„ T

pour toute valeur de y de l'inlcrvalle (a, b); M et p sont doux

nombres positifs qu'on peut évidemment prendre les mêmes pour

les deux fonctions. La série (6), considérée au n"o4'4, ainsi que

celles qu'on en déduit en dérivant deux fois par rapport à x ou

une fois par rapport à r, sont uniforméuient convergentes, d'après

les relations (39), quelle que soit la valeur de )' dans l'inter-

1 valle (a, b), pourvu qu'on ait [x — x„)<Cp''. La somme de cette

série représente donc une intégrale de l'équation (i) satisfaisant aux conditions de Cauchy. C'est d'ailleurs la seule intégrale véri- fiant ces conditions qui soit régulière dans un domaine D renfer- mant à l'intérieur le segment de droite considéré. En efl'et, s'il en existait doux, leur différence serait une intégrale régulière dans O, et nulle ainsi que sa dérivée par rapport à x tout le long de ce

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3l5

segment de droite. Toutes les dérivées partielles de cette intégrale seraient donc nulles le long du même segment et, comme celte intégrale est une fonction analytique de x^ il s'ensuit qu'elle est identiquement nulle ( ' ).

On a généralisé les propriétés précédentes en considérant, au lieu d'un segment de droite parallèle à 0>-, un arc de courbe AB, représenté par une équation x = xO')> XO') étant une fonction holoniorphe de y dans l'in- tervalle (a, 6). Si une intégrale «(-r, v) est régulière dans un domaine D renfermant l'arc AB à l'intérieur, la fonction «fy(.r), r], à laquelle elle est égale le long de cet arc est de classe i. Inversement, étant données deux fonctions 9(^7), '^{y). de classe t dans un intervalle (a, 6), il existe une intégrale et une seule de l'équation (i), régulière dans un domaine renfer- mant l'arc AB et limité par les droites y = a, y =■ b, et leè deux courbes X = -/Sx) — '' (où r est un nombre positif) satisfaisajtit aux conditions de Cauchy le long de l'arc AB

(40) u{x, y) = o{y), '~'-=']j{y), pour x = y{y).

Nous renverrons pour les démonstrations aux travaux de Al. Holmgren. Le théorème de Schv^arz sur le prolongement analytique d'une fonction harmonique a également été étendu par M. Holmgren aux intégrales de l'équation (1). Soit m (jc, j^) une intégrale régulière dans un domaine D; on dit qu'elle peut être prolongée dans un domaine D' contigu au premier s'il existe une intégrale U(x, y), régulière dans le domaine D -+- D', qui coïn- cide avec u{x, y) dans D. Si le domaine D est limité en partie par un arc AB, qui n'est rencontré qu'en un point par une caractéristique, le pro- longement de u{x, y) à travers cet arc AB ne peut être possible que d'une seule manière puisque, le long d'une caractéristique, u{x,y) est une fonc- tion holomorphe de x. On a observé plus haut qu'il n'en était plus de même à travers un segment de caractéristique (n° Si4). Gela posé, suppo- sons que l'arc AB soit représenté par l'équation x = '/(y), la fonction '/^{y) étant holomorphe pour toute valeur dey comprise entre a et b, et que u{x, y) soit une intégrale régulière d'un côté de cet arc, à droite par exemple, et prenant sur AB une suite de \aleurs donnée /(y). Pour que

(') Si les fonctions '-p(j') et '^(y) vérifient les inégalités (39') |?(-)(^)|<-''^^»;'-^''\ l^f'.)(r)i<

où 2 est un nombre positif inférieur à i, pour toute valeur de y dans l'inter- valle (a, b), la formule (6) représente une intégrale satisfaisant aux conditions de Caucliy, qui est régulière dans la bande comprise entre les caractéristiques y :^ a, y = b.

3l6 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

cette intégrale u{x, y) puisse être prolongée à gauche à travers l'arc AB, il faut et il suffit que dans un intervalle quelconque (a, P), compris dans Vintervallc (a, 6), la fonction f {y) soit de classe 2 (i).

547. Problèmes aux limites. — Suit D un domaine limité comme au n" 545 par deux segments AB, EF, de caractéristiques d'ordonnées A et / (/> A), et deux arcs de courbe AE, BF, com- pris entre ces caractéristiques, définis respectivement par les deux équations j:- = ;;^,(j). x=^yji{y)\ les fonctions •/,, /n^ ;^', , ^.^ sont supposées continues dans l'intervalle (A, /) et -/^^ >> -/j^. Nous nous proposons de démontrer qu'il existe une intégrale et une seule, régulière dans le domaine D, se réduisant sur chacun des arcs AE, BFà une fonction continue donnée/, (/) ou f>{y),ei surAB à une autre fonction continue g{x) qui concorde avec les pre- mières aux points A et B. On peut supposer, sans diminuer la généralité, g{x) = o; on a vu, en elTel (n" o4li), comment on peut former, d'une infinité de manières, une intégrale régulière au- dessus de l'arc AB et prenant les valeurs données sur AB. Soit M, (a?, y) une de ces intégrales : en posant u — m , = i, la nouvelle fonction inconnue z{x^ y) doit se réduire à zéro le long de l'arc AB et à des fonctions continues données de y le long des arcs AE, BF. Nous supposerons donc qu'on a fait tout d'abord celte transfor- mation et par suite qu'on a g{x) = o.

D'après ce qui a été dit au n"o4o, ce problème ne peut admettre plus d'une solution. Pour démontrer que cette solution existe, il suffit d'employer une méthode analogue à celle de Neumann (n° 513)

(') On déduit de cette proposition une conséquence analogue à celle qui a été indiquée (note de la page i(j5) relativement au problème de Caucliy généralisé. Soit à déterminer une intégrale u{x,y), satisfaisant aux conditions de Cauchy (4o) et définie d'un côté seulement de l'arc analytique AB qui porte les données. Ce problème est en général impossible si les fonctions <f{y) et '^{y)sovkt des fonc- tions continues quelconques. Soit en effet u^{x^ y) une intégrale régulière du même côté de l'arc AB et satisfaisant à la première condition de Cauchy {voir n» 547); la différence u(x, y) — u^(x, y) étant nulle le long de AB peut être prolongée de l'autre côté et par conséquent

i)u ()U, _ , , , au, 'âx~ m ~^ ^^^'' 'ôx

doit être une fonction de y de classe 2 le long de tout segment de l'arc AB ne renfermant pas les extrémités.

CHAPITRE XXIX. r— ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3l7

en essayant de représenter l'intégrale cherchée par une somme de fonctions ^{x, y) (n" 544). Posons pour cela

A iy-r^Y

jjL< et \X2 étant des fonctions continues à déterminer dans l'inter- valle (A, /). D'après ce qu'on a démontré plus haut, u{x, y) est une intégrale régulière dans D, nulle le long de AB. Lorsque le point (j7, y) se rapproche d'un point (X, Y) de l'arc AE, en restant à droite de cet arc. u{x^ y) doit tendre vers /< (Y), ce qui exige qu'on ait [formule (28)]

(42) 2S/-[^,(V)-+- / ^,{r,)âlLL2 ^Ll!e MV-r,) ,/.^

*^'' (Y-r.)^

^/' (Y-T,)?

De même, en écrivant que m(x, y) tend vers /g (Y), lorsque le point (x, y) tend vers un point d'ordonnée Y de l'arc BF, en res- tant à gauche de cet arc, on obtient une relation toute pareille :

(4'i) —2^'7ZiJio{\)-^ I [jL,(T,)^î^i-Lj! ^iilie MV-r,) ^/-r^

(Y-7,)-

Les deux relations (42) et (43) forment un système d'équations intégrales de la forme

f^i(Y)+ f h,(t.)Ki(Y, r.)^r,-f- /* ,jL,(r.) Ko( V. t^) ./-r; = F, ( Y),

(44)^ :.v

M\)-^ / u,(r,)H,(Y, T.)f/T.+ / ,jL,(r,)H,(V, ■r,)./r, = F,(Y),

K,, Ko, Hi; Ha, Fi, F2 étant des fonctions données, eljji,, .a^ les

3l8 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

fonctions inconnues. On démonlrera au Chapitre suivant que ce système admet une solution et une seule, sous certaines conditions qui sont vérifiées ici.

Au lieu de se donner la valeur de la fonction inconnue en

chaque point des arcs AE, BF. on peut se donner la valeur de -^'-

' (ix

OU, plus généralement, supposer que, sur chacun de ces arcs, on connaît la valeur de a{x, y), ou que cette fonction vérifie une relation de la forme

(45) ^-^>>0-)"=/(7),

^(j) ^'^ f{.y) étant des fonctions connues de y. On arrive encore à un système de deux équations intégrales de la forme (44) en cherchant à représenter la fonction inconnue par la somme d'une fonction ^(:r, y) et d'une fonction W(a", r), ou par la somme de deux fonctions ^{x^ y) (n" 544). Il suffit de remplacer dans la formule (4i) une fonction ^"(.r, r) par une fonction <I>(j:, j), définie par une intégrale prise le long de celui des arcs pour lequel la fonction inconnue vérifie une relation de la forme (4'^)» ei d'observer que -r- est une fonction ^'(.r, y). L'application de la relation (28) conduit encore à un système de deux équations inté- grales. Nous avons résolu directement un problème de ce genre au 11" 488, car l'équation (35) (p. 112) ne diffère que par les nota- tions de l'équation (1). La solution obtenue étant une fonction impaire de r, les données du problème font connaître la valeur de la fonction inconnue p dans l'intervalle ( — R, + R) pour «=0 et l'on a, déplus, une relation linéaire entre -^ et v pour /'--zbR.

Considérons le domaine tO formé par la portion de la bande comprise entre doux caractéristiques, située à droite ou à gauche d'un arc F, défini par une équation j7 = ;^(y). En supposant que l'un des arcs AE, BF de la figure 98 s'éloigne indéfiniment, on est conduit comme cas limite au problème suivant : Déterminer une intégrale régulière dans ^, nulle le long de la portion de caractéristique qui limite inférieiirement ce domaine^ connais- sant la valeur de cette intégrale en chaque point de V. ou sachant quc^ le long de T. u et -r- vérifient une relation de la forme (45 V

CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR. 3l9

On cherchera encore à représenter, suivant les cas, la fonction inconnue m(j", r) par une fonction ^{x. y) ou par une fonc- tion ^{x^ j), ce qui conduira à une équation intégrale pour

déterminer l'inconnue auxiliaire qui figure sous le signe / . Pre- nons, par exemple, le premier cas et posons

la fonction fJ^(r]) est déterminée par l'équation intégrale

(46)

^::^,(j-)^ l"\(-ry^-^ ^^^ ' ^--rj\/r,=/{y).

Cette équation se résout immédiatement si la courbe Y se réduit à un segment de la droite x = Xn^ car on a alors ;^( )) =i /(rj) et l'on en tire dz 2\/'ixix(y) T=J\y). Ce résultat a déjà été signalé à la fin du n" 54 i.

f^a résolution de ces diflerenls problèmes se ramène aussi à la détermination d'une intégrale de l'équation adjointe jouant le même rôle que la fonction de Green. Nous nous bornerons, pour fixer les idées, au premier de ces problèmes, celui où l'on se donne les valeurs de u le long du contour EABF {Jlg- 98), cette intégrale^étant nulle le long de AB. Si l'on connaissait aussi les

valeurs de -r- le long des arcs AE, BF, la valeur de u en un

point (a-, y) du domaine D serait donnée par la formule (35), qui devient ici

■>. \/-->A + llQ) V.'' — ■''1 ' ^

Soit^(j:, r; £, '(]) une intégrale de l'équation adjointe

udl

dépendant des deux paramètres (.r,j), régulière à l'intérieur du contour PABQ, prenant la valeur zéro en chaque point du seg-

320 CHAPITRE XXIX. — ÉQUATION DE LA CHALEUR.

ment PQ cl les mêmes valeurs que p. *'^~^'*1o long de PA

\iy — ^ et de BQ. Les deux fonctions m(^, yj), g{x^ y\\^ -n) étant régu- lières à l'intérieur du contour ABQPA, la formule générale (3o) donne, puisque a = o le long de AB et ^ = o le long de PQ,

(48) o = -L. /' L(:r, vU, T.)^-«(Ç, ■rl/^']rfr,-^,/.A'^^•

En retranchant membre à membre les deux égalités précédentes (47) et (48), -jf disparaît, d'après l'hypothèse relative aux valeurs de g le long des arcs AP, BQ, et il reste

= / «(^ ■^i)-7r

2 1/';: '''(PA-+-BOI "=

(49) u{x, 7) = 7^ / "(?' -n) I ^ - — ^— .^« *'•-''' I ^^.

en posant

(5o) G(.r, y\ l, -ri) = g{x, y: l, r,)

V//-'

On remarquera l'analogie de la formule (49) '^vec la formule {?>-)) (n° ol8)qui donne la solution du problème de Dirichlet.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

1. Les conditions oblenues au n" 541 pour les coefficients de F(.r) «2/2 1 < -r ;: r; » I «2/!-+-i <

r« (2/1)! ' '^ ' ^ r« (2/i-<- i)!

peuvent être transformées comme il suit. La première, par exemple, peut s'écrire _

^ «2,,' < -V-1/ 7 — rr'

V^r V (2/0!

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 321

et, en remplaçant n\ et (2/0- P^r leurs expressions asyniptotiques (t. I, p. 291), on arrive à une inégalité de la forme

L étant indépendante de //. On a une inégalité toute pareille pour le radical ' "^v'i "2«-t-i et, par suite, le produit v«V'i""i reste borné (Le Roux, Bulletin des Sciences mathématiques, t. XIX, 2^ série, i8y5, p. 127).

'i. Pour avoir la limite de Tintégrale (n" 543) lorsque x et j' tendent vers zéro, on l'écrit, en posant i_ — x -¥- ?. \l y^i

a — .•»• 'I — ■'•

e-'' dt = 2 e-'* dt ^2 e-'' dt.

2 V .> 2 v'r

Lorsque x et y tendent vers zéro, la seconde intégrale tend vers y/;:, mais

X

la première n'a de limite que si "7= tend vers une limite 2/., et cette limite est 2 / e-'2 dt. On passe aisément de ce cas particulier au cas général où Ton aurait sous le signe / une fonction ? (^) en facteur.

3. Lorsque, dans la figure 98, la courbe AE est une portion de droite, on peut faire disparaître la portion d'intégrale curviligne le long de AP, qui

dépend de -r^ j dans la formule (35).

Soient (j^i, j') les coordonnées d'un point Mi extérieur au domnine D, ayant même ordonnée que le point IVI(a:, y)\ la fonction U(ji, y; Ç. /,) étant régulière dans ce domaine, on a, d'après la formule générale (3o),

(.'■■- Si' Pour pouvoir combiner les deux relations (35) et (35'), de façon à

COURSAT. — m. 21

322 COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

éliminer les valeurs de -^ le long de AE, il suffit de pouvoir choisir les

deux nombres Xi et K de façon qu'on ait, tout le long de AE, la rela- tion

(x-$)^-(:rt-|P=4K(j--r,).

Or, si Ton considère (;, t,) comme des coordonnées courantes, celte équation représente une ligne droite. Pour que le segment AE appar- tienne à cette droite, il suffira de choisir sur le prolongement de PQ le point Ml (ri, y) symétrique de M par rapport au point P et de déterminer ensuite la lonstante K en égalant, par exemple, les coefficients angulaires.

4. Si u(x,y) est une intégrale de Téquation (i), il en est de même de la fonction

«i(x, jk)= / u(fx-h j^dy.

Les valeurs de -r-^ sur les arcs AE, BF (jig. 98) sont égales aux valeurs de u sur ces arcs.

o. Lorsque, dans la figure 98, l'arc AE est un segment de la droite x = j-,,, et que l'arc BF est rejeté à l'infini vers la droite, la fonction de Green ff{x.r: £, r,) pour un point {x, y) siJué à droite de AE, dans la bande comprise entre les deux caractéristiques passant par les points A et E, a pour expression

En déduire le résultat établi à la fin du n» o44.

CHAPITRE XXX.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES PAR APPROXIMATIONS SUCCESSIVES.

Il a 6lé déjà question, à plusieurs reprises, d'équalions intégrales dans le courant de cet Ouvrage (I, n** 137; II, n° 389; III, n" 513, 533, 547). Cette nouvelle branche de l'Analyse a pris très rapide- ment une importance considérable, depuis les travaux de Volterra et de Fredholm. M. Volterra s'est surtout attaché à l'étude des équations à limites variables, en considérant une équation de celte espèce comme un cas limite d'un système d'équations algébriques, où le nombre des inconnues augmente indéfinimenl. et cette idée a été reprise ensuite avec le plus grand succès par M. Fredholm pour les équations à limites fixes. Dans ce Chapitre, nous mon- trons jd'abord comment les résultats de M. Volterra s'obtiennent très facilement au moyen de la méthode des approximations suc- cessives. La même méthode, appliquée à une équation à limites fixes, ne donne pas en général la solution complète, mais elle con- duit à d'importantes propriétés de la résolvante. Les difficultés que semblait présenter la détermination de la nature analytique de cette résolvante permettront d'apprécier l'importance du progrés décisif dû à M. Fredholm ( ' ).

(') Pour riiistorique et la bibliographie, je renverrai le lecteur aux Ouvrages de M. LAt.ESCO (Introduction à la théorie des équations intégrales, Hermann, 191») et de MM. Hevwoi.ij et Frkchet (L'équation de Fredholm et ses applica- tions à la Physique mathématique,, Hermann, 1912). Les renvois à ces deux Ouvrages seront indiqués par les noms des auteurs.

On pourra consulter aussi un article de M. Hans Hahn, Bericht uber die Théorie <'er linearen fntegralgleichunge» (Band 20 des Jahresberichts der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 191 ii, et les expositions générales de M. Kxeskr Die Intégral gleichungen und ihre Anwendungen in der Math. Physik, 191 1, et de M. Bocher, Introduction to the study of intégral équations, 1909.

Je dois citer encore un excellent exposé de M. Vivanti, Elementi délia teoria délie equazion intcgrali lineare ( Manuali Holpli, 1916).

324 CHAPITRE XXX.

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES.

548. Équation de Volterra. — L'équation de Vollerra de seconde espèce s'écrit, en introduisant un paramétre X,

(1) ?(^) = X rK(x, s)^{s) ds -^/{x),

K et / étant des fonctions données et <^(^) la fonction inconnue. Nous supposerons d'abord que la fonction K(a7, j), appelée le noyau^ est continue à l'intérieur et sur les côtés du triangle limité par les droites j' = a, x^=^h^ y =^x (6 > a). On verra plus tard (n° 556 et suiv.) qu'on peut faire des hypothèses beaucoup plus générales. Quant à /(ic), nous supposerons qu'elle n'a qu'un nombre fini de discontinuités dans l'intervalle (a, 6), et, si cette

fonction n'est pas bornée, que / | /(*) | ds a une valeur finie. La

fonction inconnue 9(^) doit être déterminée pour toute valeur de X de l'intervalle (a, 6).

Suivant la méthode déjà employée plusieurs fois, cherchons à fiaùshire formellement à l'équation (i) en prenant pour cp(j7) une série entière en X :

(2) ç(j-) = ?,i(a:)-h Àçi (.i-) -+-... -I- À" ?„(ir) -+-...;•

ainsi qu'on l'a observé à propos des équations du type hyperbo- lique (n" 494-), cela revient à résoudre l'équation (i) par approxi- mations successives en prenant f{x) pour première valeur appro- chée de 9(^); la n'^"'^ valeur approchée est précisément la somme des n premiers termes de la série (2) obtenue par ce procédé.

En substituant cette série (2) dans les deux membres de l'équa- tion (1) et en égalant les coefficients des mêmes puissances de 1 on obtient les relations

(3) ço(.r)=/(.r), ?,(x) = K[9o(^)]. •.., =?.(x) = K[ç„_,(^)], ...,

en posant, d'une manière générale,

(4) Kl/ix)]= rK{x,s)f (s) ds,

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. S'iS

K[/(^)] indique une opération qui, appliquée à une fonction /(a^) satisfaisant aux conditions énoncées, conduit à une autre fonction continue dans l'intervalle (a, b) (voir n" 556). Les relations (3) déterminent do proche en proche les fonctions cpn(a:) qui sont toutes continues à partir de 9, (jc). La série (2) ainsi obtenue est uniformément convergente dans cet intervalle^ quel que soit >.. Supposons d'abord que/(a7) soitbornée. Si l'on remplace K(:r,j) eif(x) par deux fonctions K, (a?, j) et /i (x) qui sf' U respecti- vement dominantes pour ¥l{x, y) et /(a?), la même méthode de résolution appliquée à l'équation auxiliaire

(I)' 4>{x) = lj' K,{j;s)<i>(s)ds-^f,(x)

conduira à une série entière en 1 dont les coefficients seront évi- demment dominants pour les coefficients de même rang de la série (2). Soient M et N deux nombres positifs supérieurs respec- tivement à I K(j7, j) I et à |/(a^) I- On peut prendre pouréquation auxiliaire l'équation simple

(5) <i>{x) = \ JM^{s)(/s-}-N,

•^ a

dont la solution est l'intégrale de l'équation linéaire

*'(^) = ÀM*(t)

qui se réduit à N pour x = a, c'est-à-dire Ne'"'^""'. On eu déduit immédiatement que le coefficient cp„(x) de la série (2) satisfait à la condition

(^) !?'.(^)I<N j^ — ^,

ce qu'il serait facile d'établir directement (cf. II, n" 389).

La série (2) étant uniformément convergente, on peut intégrer terme à terme le produit K(a:, s)c^(s) et, d'après la façon même dont on a obtenu les coefficients, la somme de cette série (2) satis- fait bien à l'équation (i). C'est la seule solution. En eflTct, s'il en existait deux, leur différence ^(x) vérifierait l'équation inté- grale homogène

(7) ^{x) = \j' K{x, s)'i^{s)ds,

326 CHAPITRE XXX.

et celte équation ne peut admettre d'autre solution que 'j/(x) = o. Soit, en effet, N un nombre positif supérieur à |4'(^)|; d'après la relation (6), la fonction ^n{^) qu'on déduit de ^{x) au moyen de l'opération /K[ ] appliquée n fois de suite tond vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. Or, si 4'(^) vérifie l'équa- tion (7), toutes les fonctions (|/,, ^»^ . . ., ^n qu'on en déduit par l'opération XK[ ] sont identiques à ^(•jc)- On a donc 4'(-^) = *>• Si la fonction f{x) n'est pas bornée dans l'intervalle (a, 6), les coefficients de la série (2) sont continus à partir du second. Pour démontrer la convergence, il suffira de partir de l'équalion intégrale

^(x) = \f K{x, s)t>(s)f/s-^ f K{x, s)/{s)(/s

obtenue en remplaçant 9(j?) par /(xj -h X$(a7) dans l'équa- tion (i). D'une façon générale, la solution ^{x) présente les mêmes discontinuités que /(a:) dans l'intervalle (a, b).

Les généralisations s'offrent d'elles-mêmes. Par exemple, au lieu d'une seule équation à une fonction inconnue, on peut résoudre tout aussi faci- lement un système de n équations linéaires à n fonctions inconnues

n

o,(a;) = xV / ]\ii,{x, s):}p{s)ds -^fi{x) {i = 1, 2, . . . , n):

on prouve de la même façon que les séries obtenues par Tapplicalion de la méthode des approximations successives sont uniformément conver- gentes, si les noyaux Kip(x, y) sont continus, et si les fonctions //(.r) satisfont aux mêmes conditions que f(x). Laissant de côté ces générali- sations et d'autres encore sur lesquelles on reviendra, nous allons étudier de plus près la solution qu'on vient d'obtenir dans le cas simple de l'équa- tion (i).

549. Noyau résolvant. — Les premiers coefficients (if\(^x) et <P2(a?) de la série (2) ont pour expressions

o,ix)= f K{x,s)f{s)ds, Y/(jr)=/ K(x,s)z,{s)ds;

=j\{x,s)f{s)ds, 9i{x)=J

remplaçons dans la première formule x el s par les lettres s et t respectivement, et portons la valeur obtenue pour (?i{s) dans la

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 827

seconde formule; elle devient

?,(x) = f^s f\{x, s)K{s, t)f{t)di.

D'après une formule générale de Dirichlet (I, p. 309), qui va jouer un rôle important dans la suite, on a

(8) / r/s f F(jr, s, t)dt = f dt f F{x,s,t)ds; cette formule montre que l'expression de cp2(^) peut s'écrire

(9) 9A-^)=f K(2)(x, 0/(0«f/, en posant

(10) K'^-\x,y) = l' K{x,s)K{s,y)ds.

En transformant de même les expressions de ^.six). ^^(a?), . . ., on est amené à introduire une suite indéfinie de fonctions K'^i [x,y), K'='' (a?, y). . . . , R"" (x, r), . . . définies de proche en proche par la relation de récurrence

(II) Ki")(3r,y)=J K{x,s)Ki"-^){s,j)

ds\

ce sont les noyaux itérés successifs de K(a:, y) = K"' (ar, j); ils sont tous continus dans le même domaine que K(x, y).

L'expression générale de c^nix) au moyen du «'*"" noyau itéré est

(12) ç„(^)=y Ki"i(j-, 5)/(s)

ds:

on le vérifie immédiatement par voie de récurrence au moyen de la formule de Dirichlet. La formule (2), qui représente la solution de l'équation (i), peut donc s'écrire formellement

(i3) <f(x)=/(x)-hl f V(x, s;X)/{s)ds,

en posant

(i4) r(x, y; y.) = K{x, y) -^ XKW{x, y) -h . . .-h X'^-iKM{x, y) -h . . ..

âiS CHAPITRE XXX.

Pour justifier la formule (i3), il suffit de montrerque la série (i4) est uniformément convergente; or, si M est une limite supérieure de I K(a:, jk) |, on vérifie de proche en proche que la valeur absolue

de K"'*(a7, r) est inférieure à M—, — [, • On a donc le droit

^ ' -^ ^ (« — i)!

d'intégrer terme à terme la série {*) qui représente le pro- duit r{x, s; 1) f{s). La fonction T{x,y,}.) est une fonction entière du paramètre X, qui dépend uniquement du noyau K(:c,j'); on l'appelle le noyau résolvant^ ou la résolvante relative au noyau K(5;, y). La formule (i3) donne une véritable solution explicite de l'équation (i) pour toutes les formes possibles de /<i(a:), et la résolution de l'équalion de Voiterra est ramenée à la forma- lion de la résolvante. Remarquons que cette résolvante n'est définie, comme le noyau de K(a:, y) lui-même, qu'en supposant X compris entre a et 6, e\. y <C x. Pour la généralité des formules, on pose K(a7, y) = o, r(^, y\\)z=ç, pour X > a; {cf. n" oo7). D'après l'expression même du noyau résolvant T\x, y; À), ce noyau satisfait à l'équalion fonctionnelle

(i5) r(:r, j; )0 = K(j, v)-+-À r K(x,s)r(s,y-\)

c/s.

qui suffirait à le définir, car, si l'on suppose T{x, y; / ) ordonné suivant les puissances de À, celle relation permet de déterminer de proche en proche les coefficients des diverses puissances de X, et l'on retrouve les formules (ii). On démontrera un peu plus loin (n°o59) que ce noyau satisfait aussi à l'équation fonctionnelle

(i6) T{x, y;\)= )\{x, y)-i-X ( K{s, y)r{x, s; \) ds,

T{x,y; X) = K(x, y) -^ \J K{s, y)T

qui suffît également à le déterminer. Remarquons que les noyaux itérés, et par suite la résolvante, ne dépendent pas de la limite inférieure a.

(') Si f(x) est bornée, la propriété est évidente. Si f{x) n'est pas bornée, soit T| une limite supérieure de la valeur absolue du reste r„(x, y; À) de la série (i4)

compté à partir du terme en X". On a / ;„ {x, s;\) f {s) ds\ <ri 1 | / (*) | ds,

d'où l'on déduit qu'on a encore le droit d'intégrer ternie à terme, puisque t. tend

vers zéro lorsque n croit indéfiniment.

1. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 329

Remarque. — On peut regarder, dans l'équation (i3), 9 (a?) comme donnée ei f{x) comme l'inconnue; la solution de cette équation intégrale est alors donnée par l'équation ( 1 ) elle-même. Supposons, pour fixer les idées, X = i; le nojau de la nouvelle équation intégrale est alors — V{x^y', i), et l'équation (i) montre que la résolvante correspondante a pour expression — K(jr,j') pour la même valeur du paramètre {cf. n° 560).

o50. Détermination de quelques noyaux résolvants. — Supposons que K{x,y) soit un i)olynonie de degré n — i en j', qu'on peut toujours mettre sous la forme

(17) K{x, y) = ao{x) -^ ax{x) {x — y) •¥■ . . .-^ în~^)l (^~^^"~''

les coefficients ai{x) étant continus dans l'intervalle {a, b). Pour déter- miner la résolvante T {x, y; X), nous chercherons la fonction auxiliaire

qui est nulle ainsi que ses {n — i) premières dérivées par rapport à j:* pour x=y, tandis que la dérivée d'ordre n — i est égale à l'unité

d" u pour x=y. De plus, on a -7— jj- =Àr(x, j;)/). L'équation fonction- nelle (i5) devient donc

'»i.r, r; X) dx"

■,.K(a:,r,-.xJ\i..s)'"'"';;J-'''-\,.,

OU, en appliquant à l'intégrale du second membre la formule d'intégration par parties.

(/"u[.i\ v: À) , ,., , ^ r.- . s d"-^if

,/.r" lK{x,y)-hl\K(x,s) ^^^^^_,

f)h {x, s) d"-'- u ^ às"~^ K 1 -— '

— ■ — 1- . . . ± i/.

as ds"~'- âs"—^ J,— ;

Un tenant compte de l'expression de K(.r, y) et des conditions auxquelles satisfait la fonction auxiliaire u{x.y: À), cette relation se réduit à

(18) D(,//i = -j— — ,A ^,„(^.r; ____. -H <,|(.^-^____ -+.... ^an-x{x)u\ =0.

La fonction u {x, y; À) est donc l'intégrale de l'équation linéaire D(m) = o qui satisfait aux conditions de Cauchy (II, n" -iOl). En désignant

33o CHAPITRE XXX.

par^(x, ^;X) cette intégrale, on a pour expression du noyau résolvant cherché

Supposons en second lieu que K(a:, y) soit un polynôme en x :

les coefficients bi{y) étant continus dans l'intervalle (a, b). Ecrivons

I c/" u la résolvante sous la forme ; — > la fonction auxiliaire uix, v; X)

a ((yn v ' J" ' /

étant nulle ainsi que ses n — 2 premières dérivées par rapport à j' pour 7 = y,

, , . , d'^—^u ,,.,,., , , ,

tandis (jue la denvee —. — ^ est egolo a lunite pourj' = y. L équation

fonctionnelle (16) devient alors

d'Hi , C' ,. ^ d" u(x. s\'/.)

(21) d^ ^ '' ^^'-y)

dy" J . '■' ■ - ^ (/gn

ds — '/.K(x, y

appliquons encore la formule d'inti'^ration par parties, en tenant compte de la forme de K (.r. y) et des rondilions auxquelles satisfait u ( x, y; À), il reste

{■r2)

, , . d" u . r, <7"^i it , T

La fonction auxiliaire u{x, y; À) n'est donc autre chose que l'inté- grale ffi{x,y; À) de l'équation Di(m) = o, satisfaisant aux conditions de (lauchy, et le noyau ii'solvant cheroli<' a pour expression

(23) r(x,r;X)=-'^^:i^llfi^iil. \ ^ • ' ' A dy"

On voit par là comment l'intégration d'une équation différentielle linéaire d'ordre n, dépendant d'un paramétre À comme les équations (18) et (22), permettra de former le noyau résolvant par deux types d'équations de Volterra.

331. Application aux équations différentielles linéaires. — Inverse- ment, la solution du problème de Cauchy pour une équation différentielle linéaire se ramène à la résolution d'une équation de Volterra. Supposons, en effet, qu'on veuille déterminer l'intégrale de l'équation linéaire

(24) D(3) = ^ - [ao(^) g^ -^. . .+ «„_,fx)z] =/(r),

qui est nulle, ainsi que ses (n — i) jx-emières dérivées, pour x = x,^ U"**^"

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 33l

blême auquel on peut toujours ramener le problème général de Gauchy).

fin 2

Si l'on prend pour inconnue la dérivée -^ — = ? (-'*)! on a

j ^ = n7^X''' "'*"""

Ç(S)(/S, 1 ' " — ^ ) ■ J n

et la fonction 9(j:) est déterminée par une équation de Volterra, dont le noyau K(a-. y^ a précisément la forme (17), où X=i. Il est aisé d'en déduire le résultat du paragraphe précédent. En eiTet, on sait que la solu- tion du problème de Cauchy est donnée par la formule

z=i f{s)g{x, s)ds,

g{x, s) étant la foDCtion de Cauchy pour l'équation linéaire D(z) = o; par suite, on a, d'après les propriétés de cette fonction g{x, s),

-^")=£^<^^^^/(^)*-/(^)-

ce qui est bien d'accord avec le résultat obtenu directement. Lorsque l'équation D (z) = o admet une équation adjointe, on peut aussi trouver l'intégrale z{x) elle-même au moyen d'une équation de Volterra (voir Exercice \ ).

On -voit par là que la résolution de l'équation intégrale (i) se présente comme une généralisation étendue du problème de Cauchy pour une équa- tion différentielle linéaire. Supposons le noyau K{x, y) développabie sui- vant les puissances de x — y y les coefficients étant des fonctions de x :

\s.(x,y) = ao(-r) -+- «li-^) {x — y) -¥■ . . .H ^-y-i {x — j)"-+-. . .;

en limitant Ut série à ses n premiers termes, on peut faire correspondre à ce noyau paiticulier iiin" ('quation différentielle linéaire d'ordre/î, D„ {z) = o. et la résolution du pioblème de Cauchy pour cette équation différentielle linéaire conduit tout naturellement, lorsqu'on fait croître n indéfiniment, à l'équation intégrale de Volterra.

Remarque. — L'artifice par lequel on a ramené une équation diffé- rentielle (inéaire à une équation intégrale s'applique à l'équation plus générale

■+- I j ko(x, s)z{s) rfs -h. . .-^- kp{x, s) ~ — r/s -f-/(j")

332 CHAPITRE XXX,

en supposant/» <n. Pour déterminer l'intégraje de cette équation intégro- différentielle qui est nulle, ainsi que ses (n — i) premières dérivées pour X = ^0, prenons encore pour inconnue la dérivée -^ — = 9 (a:). L'emploi des formulés (25), combiné avec la relation de Dirichlet

Ç h{x,s)ds f {s — t)i'jf{t)dt= f ^{t)dt f h

(x,s){s — t)rds,

donne immédiatement une équation intégrale de Ja forme (1) pour déter- miner 9 (x). Si l'on avait /? > n, en prenant de même pour inconnue auxi- liaire la dérivée joii-me — — , on serait conduit à une équation intégrale de première espèce (voir n" S54).

552. Extension aux fonctions de plusieurs variables. — La

mélhode suivie pour résoudre l'équation ( i ) s'étend immédiatement à l'équation intégrale suivante, où la fonction inconnue <f{^,y) dépend de deux variables x, y,

(27) ,{x,y) = X f r'K(^,y;$,T.)?(Ç,-ri)rf$rfr,-f-/(^,j),

I/o «^0

et aussi à l'équation un peu plus générale

(28) fix,j)=x\ f f'K{x,y;lr,)^a,T,)d^dr,

■j:

■ f ^■2{-r,y;r,)o{x,ri)dr^

K, K,, K2, / sont des fonctions données, continues dans le domaine D défini par les inégalités

o^x ^a, ^'^.y'^.^j '^ S ^ ^ -^ > ^ ^ '1 ^ .)"'•

On peut toujours, comme dans le cas des équations ( i ), trouver une solution formelle do l'équation (28), représentée par une série entière en >. dont tous les coefficients sont des fonctions continues des variables (\>c.'>) se calculant par la voie de récurrence au moyen de cette équation elle-même. Pour démontrer que la série ainsi obtenue est uniformément convorgfuile, désignons par M une limite supérieure des valeurs absolues de K, K<, Ko dans le domaine D, par N une limile supérieure de \f{x,y)\. et

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 333

coasidôrons l'équation auxiliaire

(29) <K:r,7) = XM| / I \a,-ri)d^dr,

En formant de même la solution formelle de l'équation (29), représentée par une série entière en À, il est clair que le coeffi- cient d'une puissance quelconque de X, dans cette nouvelle série, sera une fonction dominante pour le coefficient correspondant de la première série. Il nous suffira donc de prouver que l'équation intégrale (29) admet une solution qui est représentée par une série entière en X, uniformément convergente lorsque le point (x, y) reste dans le domaine considéré. Or, si l'on pose

»^0 «^0

l'équation intégrale (29) est remplacée par l'équation aux dérivées partielles

on a démontré déjà (n" -494) que l'intégrale m (a?, y; 1) de l'équa- tion (3o), qui est nulle pour x^o, quelque soit r, et pourj^ = o, quel que soit jc, est représentée par une série entière en >. unifor- mément convergente, ainsi que ;3-» 7-» lorsque le point (x, y) reste dans le domaine D.

11 en est donc de même, d'après l'équation ( 3o), de -^ — —, c'est- à-dire de la fonction cherchée 4'(>^"i y)-

On peut aller plus loin et obtenir pour la solution, une formule explicite, analogue à la formule (i3). Il suffit, en effet, d'une application répétée de la formule de Dirichlet pour vérifier de proche en proche que le coefficient de 1" dans la série qui repré- sente la solution est de la forme (voir Exercice 2)

CI

^'•nOr,y;lr,)fa,T;)d^dr,

f ^ni.r,y- i)fily) 'l\ +j ^';(./-,j; •0/(.,', r,).//„

334 CHAPITRE XXX.

Gn, gn-, g'n ne dépendant que de K, K,, Ko. La fonction 9(x, y) a donc pour expression

(3i) ?(^,7)=/(-r,J)-+-À jT £ l\x,y; ^, t), X)/($, r,)d^dr^

-+- f' r,{x,r;r,. l)/{jr,T,)dri\:

les trois fonctions F, F,, F2, qui sont entières par rapport au para- mètre ?., jouent le même rôle que le noyau résolvant. Remarquons seulement que, si K, et Ko sont nuls, il en est de même de Tt et de F,.

On est conduit à une équation intégrale de la forme (28) en cherchant une intt'grale de l'équation aux dérivées partielles

s'annulant sur les deux caractéristiques a- = o, _^ = o. Si Ton prend en

à- z effet pour inconnue auxiliaire la dérivée seconde ^{x, y) = - — — de l'in- tégrale cherchée, cette fonction o{x, y) satisfait à l'équation intégrale

J f c(x,y)^{lT,)d^d-ri

-^ 1 b{x.y):f{ly)di-h j a(x,y)o(x, r,) drA-t- f{x.y), -'0 «- 0 J

qui est un cas particulier de l'équation (28).

Lorsque les coefficients a{x, y), b{x,y) admettent des dérivées par-

... . àa âb . , , . , i. , >

tielles continues -7-5-7-» on peut aussi déterminer la tonction z{x,y) par dx ày ^

une équation de la même forme. Il est clair, en effet, qu'on peut rem- placer l'équation (32) par l'équation intégro-différentielle (n» 494)

z(^a:,y) = \J J |^c($, iri)z(^ t^) + a(^ yj) ^ + 6(«, r.)^jrf$A

-+- r f' f{lr,)d\dr,,

^ix,y) = \

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 335

qu'on ramène à la forme (28) au moyen de deux intégrations par parties :

553. Inversion des intégrales définies. — On appelle équation de Vollerra de première espèce l'équation

(33) f K(x,s)z{s)</s=J\x),

K{jc^y) el f{x) étant des fonctions données eto(ar) la fonction inconnue; nous prenons zéro pour limite inférieure de l'intéj^rale, au lieu d'une constante quelconque, uniquement pour fixer les idées. Tandis que, pour résoudre une équation de seconde espèce, on a supposé seulement que l(!s fonctions K{x, y) elf{jc;) étaient continues dans un intervalle (a, b), nous aurons besoin de faire d'autres hypothèses dans l'étude de l'équation (33). Pour se rendre compte de leur nécessité, il suffit de considérer l'équation la plus simple de ce type, obtenue en faisant R {x. y) =^ 1 ,

(34) f =(.)./. -/(.r).

Si la fonction inconnue 9 (x) est supposée seulement bornée et intégrable, le problème n'est pas déterminé, car on peut chauger arbitrairement la valeur de (o{x) en un nombre fini quelconque de points dans l'intervalle d'intégration et même en une infinité de points, pourvu qu'on puisse les renfermer dans un nombre fini d'intervalles dont la somme soit plus petite que tout nombre donné e. sans changer la valeur de l'intégrale (I, n° 7i). D'autre part, f{x) ne peut pas être une fonction continue quelconque, mais elle doit satisfaire à certaines conditions où figurent les nombres dérivés. Pour préciser le problème, nous supposerons toujours dans ce qui va suivre, à moins de mention expresse, que la fonction cherchée 9 (x) doit être continue dans l'intervalle ou

336 CHAPITRE XXX.

l'on veut la déterminer. Pour que l'équation (34) admette une solution dans l'intervalle (o, a), il faut alors quef{x) soit nul pour a: = o et admette une dérivée continue dans le même inter- valle, et la solution cherchée est (sf{x)^=f'{x). Prenons encore l'équation plus générale

(35) jf''(£^=Lil!Zlç(s)rf.=/(:r);

pour que cette équation admette une solution continue ©(a;), il faut que /(a;) admette des dérivées continues /'{x), f"{x), . . ., /'">(jp) et que la fonction et ses {n — i) premières dérivées soient nulles pour x = o. Si ces conditions sont satisfaites, l'équa- tion (35) a une solution continue cp (x) =f'"-^(x).

554. Équation de première espèce. — Reprenons l'équation générale de première espèce (33); nous supposerons, dans ce para- graphe, que le noyau K{x, y) et toutes les dérivées partielles, qui figurent dans le calcul, sont continues, il est évident tout d'abord que la condition/(o) = o est nécessaire pour que l'équation (33) admette une solution continue cp (j?). Déplus, si le noyau K{x,y) admet une dérivée continue K'^(a7, >), le premier membre de cette équation (33) admet aussi une dérivée continue; il faut donc qu'il en soit de même de f{x). Si cette condition est satisfaite, en égalant les dérivées des deux membres, on obtient la nouvelle équation

(36) K{x, x):d{x)-^ f K[r{x, s):^{s)ds=f'ix);

inversement, toute solution de cette équation (36) vérifie aussi l'équation (33), puisque les deux membres sont nuls pour x = o, et que leurs dérivées sont identiques. L'équation (36) est une équation de Volterra de seconde espèce, à laquelle on peut appli- quer la niélhode générale du n" oi8 pourvu que R (o, o) ne soit pas nul. Si K(x, x) ne s'annule pas dans un intervalle (o, A), compris dans l'intervalle (o, a), on a vu que l'équation (36) admellail une solution continue et une seule dans cet inter- valle (o, A), ce qui conduit au théorème suivant :

Si Von a K(o. o)^o, /(o) = o, et si les fonctions /(x),

!, — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 337

K(j7, y) admettent des dérivées /'{x), K'^(x, r), continues dans un intervalle (o, h), compris dans Vintervalle (o, a), à Vintérieur duquel K(^, x) ne s^ annule pas., Véquation (33) admet une solution continue et une seule dans cet inter-

i>alle{oJi){').

Si K(o, o) = o, on ne peut plus appliquer à l'équalion (36) le résultat du n" 548. Mais, si K(a;, x) est nul identiquement, l'équa- tion (36) est encore une équation de preuiière espèce, qu'on peut traiter comme la première, pourvu que K(>r, i) admette une dérivée seconde continue K'^,(.c, y). Pour que cette équation (36) ait une solution continue, il faudra que/'(o) == o et, en outre, que f'{x) ait une dérivée continue /"(^). Si ces conditions sont satis- faites, on pourra aussi remplacer l'équation (36) par l'équation obtenue en dilTérentiant les deux membres

(37)

K'Jx, œ) ^{x) -^J K::.,(^, s)o{s) ds =r{x),

qui est une équation de seconde espèce pourvu que K|^(o, o) ne soit pas nul. Si K'^(a;, x) est identiquement nul, on recommencera la même opération, et ainsi de suite. On est donc conduit à former la suite des dérivées successives par rapport à x du noyau K{x,y) jusqu'à ce qu'on arrive à une dérivée R'/'^''(a?, >) qui ne soit pas identiquement nulle pour x:=y. Pour que l'équation (33) admette une solution continue, il faudra que f(x) admette des dérivées continues /'('.r\ f"{x), . . .,/'/'-" (j?) qui soient toutes nulles pour x = o. S'il en est ainsi, les (p — i) premières équa- tions obtenues en dérivant les deux membres de (33) sont vérifiées

pour x = o. Si la dérivée -, — est aussi continue, f'''Hx) doit aussi

être continue et, en différentiant une fois de plus, on est conduit à l'équation

(38) K(/-»'(^,x)?(^) + y''^^^Alflli=(5)r/5=/'/"(x),

qui est une équalion de seconde espèce, pourvu que K^/'~'' (o, o) ne

(' ) Ce théorème a été établi pour la première fois par Le Rotx, Thèse de doc- torat (Annales de l'École Normale, 1894, p. îu-22).

338 CHAPITRE XXX.

soit pas nul. Celte équation ( 38 ) admet une solution continue et une seule; en remontant de proche en proche, on établira qu'elle vérifie toutes les équations intermédiaires et l'équation (33) elle-même.

Exemple. — Supposons que le noyau K(jr, s) soit la fonction de Cauchy g{x, s) relative à une équation linéaire D(2) = o, c'est-à-dire l'intégrale de cette équation qui est nulle, ainsi que ses n — •/. premières dérivées par rapport à x pour jr = 5, et dont la dérivée d'ordre n — i est égale à lin pour x = 5.

Pour que l'équation

(39) / g{x,s)^{s)ds=f{x)

iidmelte une solution continue, il faudra, d'après ce qui précède, que la fonction f{x) et ses n — i premières dérivées soient nulles pour a; = o, et que /")(j") soit continue; la fonction inconnue o{x) est alors donnée par l'équation de seconde e?pèce obtenue en différentiant n fois

(4o) Soit

^^^^ ~ TÎJ7, ~ <^o(r) .v„,._, -^. • -H- an-iix):

dx"-

le premier membre de l'équation linéaire proposée; on a vu plus haut („o 350) que ^-l^j^ espèce où le noyau est

d^ £^( X s^ (n» 350) que — -r-^ — - était le noyau résolvant de l'équation de seconde

K{x, s) = ao{x) -h ai{x) h. . .-f- a„_i(ar) —

0!

pour la valeur X = i du paramètre. Inversement, d'après la remarque de la page 829, — K(ar, s) est le noyau résolvant pour l'équation de seconde

espèce de noyau — ~r—[^ en supposant toujours X=i. La solution de

l'équaition (4o) a donc pour expression

9(.r) =/""(^) -f ^ao{x) ^ a,{x) {x - s) -^. . .

-4- a.^Jx^i

(n

(^)^4z-^]/^"Ks)ds,

c'est-à-dire (f{x) = D[/{x)] {cf. II, n» 401 ).

Lorsque K(o, o) = o, sans que K{x, x) soit identiquement nul, la méthode précédente n'est plus applicable. Un cas assez étendu

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 33g

a été traité par MM. Vollerra et Holmgren, puis par M. Lalesco, au moyen d'un mécanisme d'approximations successives. Je ren- verrai le lecteur au Mémoire de M. Lalesco.

On peut encore ramener l'équation (33) à une équation de seconde espèce au moyen d'une intégration par parties. Représentons la fonction cherchée ©(x) par -j-^ et |)renons m(o) = o. De l'équation (33) on déduit,

en intégrant par parties,

fi' (4i) K(x,a:)uix)- j K',{jc, s) u(s) ds = /(x):

c'est encore une équation de seconde espèce pourvu que K(o, o) ne soit pas nul. Si le noyau K(dr, s) est identiquement nul ainsi que ses n — 9. pre- mières dérivées par rapport à s pour s = x, sans que Ja dérivée ^ ^ soit nulle pour x = s = o, on ramènera encore l'équation (33) à une équation de seconde espèce en représentant <f(x) par la dérivée «'«""• d'une fonc- tion auxiliaire u(x), s'annulant, ainsi que ses n — i premières dérivées, pour X = o. On peut aussi employer la méthode des approximations suc- cessives (É. Picard, Comptes rendus, t. 139, p. 245; 1904).

555. Équation d'Abel généralisée. — Dans le paragraphe précé- dent, on a employé une ou plusieurs différenliations pour passer de l'équation de première espèce (33) à l'équation (36) ou (38). Voyons quel serait l'effet de l'opération inverse appliquée à la même équation (33). D'une façon générale, pour intégrer n fois successivement entre les limites o et jc. il suffit de remplacer dans

les deux membres x par t. de multiplier par V?- et d'inté-

grer ensuite par rapport à t entre les limites o et x (II, n" 380); on obtient la nouvelle équation

1^ (^ _ /)„-i dtj K(/, s) o(s) ds ^J /{/) {X - 0"-' df.

qu'on peut écrire, en appliquant la formule de Dirichlet,

(24) f ç{s)ds\j' K(f.s){x-t)"-^di\=J/(t){x-r)"-^dt.

C'est encore une équation de première espèce dont le noyau est

Ki(.r, s)=/ (x — t)"-^ K{f,s)dt;

34o CHAPITRE XXX.

ce noyau est nul, ainsi que ses dérivées partielles, par rapport à a?, jusqu'à la {n — i /"""% pour s = a;. Pour résoudre cette équa- tion (42) par rapport à o{-^), il faudrait, conformément à la mé- thode générale, différentier les deux membres au moins n -+- 1 fois. L'artifice n'est donc d'aucune utilité lorsque le noyau K( x, y) est continu. C'est au contraire cet artifice, convenablement modifié, qui permet de résoudre l'équation d'Abel généralisée (I, n" 137)

(43) / \^J-''''}ç(.s)ds=fix)

G(x, s) étant une fonction continue qui n'est pas identiquement nulle pour 5 == ar, et a un nombre positif inférieur à l'unité. La transformation précédente n'exigeant pas que n soit un nombre entier positif, appliquons-la à l'équation (4^) en prenant /« = a ; autrement dit, remplaçons dans cette équation x par t, multi- plions les deux membres par {x — f)*-' et intégrons entre les limites o et x. Nous sommes conduits à la nouvelle équation

(44) - "'

rMr.^i^i^-n-A-p^'^^

0'-* c'est encore une équation de première espèce dont le noyau est

Ce noyau ne devient plus infini pour x = s, car si l'on pose

/ = « -f- (x — s)s,

on a aussi

tr , s C^ G\s ->r-{x — s')z,s\dz Ki(x,s)=j

il n'est pas nul non plus identiquement pour x =^ s. On peut donc lui appliquer la méthode générale pourvu que G(o, o) ne soit pas nul et que la fonction G soit dérivable par rapport à x. En diflPé- rentianl les deux membres de l'équation (44) par rapport à x, on obtient l'équation de première espèce

(45) rfa)r(l-a)G(a:,^)9(,r)

r'-'àKi{x,s) , ^^ à \ r''' ^, , dt ]

I. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES VARIABLES. 34l

Inversement, toule solution ^>{jc) de cette équation (45) satisfait aussi à l'équation (43), car la différence

satisfait à l'équation

(46

(c

h(t)dt

v-ty-

d'aprés la façon même dont on a déduit la relation (44) de la rela- tion (43). Appliquons à celte équation le même procédé, c'esl- à-dire multiplions par (^ — ^)"*î et intégrons de o à 5; un nouveau

changement dans l'ordre des intégrations donne / h{t)dt = o,

et par suite, h = o.

Dans le cas particulier de l'équation d'Abel, on a G ==1, et par suite, K, = r(a)r(i — a) = -r-^; l'équation (44) est donc

Z'^' , , sina- r'' .. , dt

(47) / ^{s)ds = -^r- A^'(.,._n.-«-

On en tire immédiatement

la dérivée se calcule facilement par une transformation dont on s'est déjà servi dans le cas particulier où a = - (I, n"" lOOet 137 ), et l'on trouve

Pf)ur une élude plus complète des équalions intégrales à une ou plusieurs limites variables, je renverrai le lecteur à l'Ouvrage de M. Vokerra, Leçons sur les équations intégrales et les équations intégra -dijjérentielles^ iy'3. On pourra consulter aussi le Livre de M. Lalesco et la Thèse de M. Browne ( ' ^. Nous n'étudierons dans la suite qu'une équation à limites fixes, particulièrement importante à cause de ses nombreuses applica- tions à l'Analyse et à la Physique mathématique.

(') Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, iji3.

(40)

342 CHAPITRE XXX.

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES.

556. Hypothèses sur le noyau. — Nous supposerons tout d'abord que le noyau K(j?, y) est borné dans le domaine D limité par les droites x=za, x=zb^ y =zz a. }-= b {a <, b), et que tous les points de discontinuité, s'il en existe, sont distribués sur un nombre fini de lignes, qui peuvent être de deux sortes. Les unes, dites lignes de discontinuité de la première sorte^ ne sont rencon- trées qu'en un nombre fini de points par une parallèle à l'un des axes. Les lignes de la deuxième sorte sont des segments de droites parallèles à l'un des axes. Un noyau est de la première sorte ou continu presque partout ('), s'il n'admet que des lignes de dis- continuité de la première sorte; il est de la deuxième sorte s'il admet des lignes de discontinuité de In deuxième sorte. Il est clair qu'un noyau qui n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité est de la première sorte.

Soit xzi^Xq une ligne de discontinuité de la deuxième sorte; nous supposerons que K(a7nH-£, y) a des limites K(\z„±:o, y^ lorsque |£| tond vers zéro; ces deux fonctions sont intégrables puisque K(j7o-I-£0') ^^^ bornée et intégrable. Nous suppose- rons de plus que K(a:o, j) est aussi intégrable, et nous ferons les mêmes hypothèses sur les lignes de discontinuité parallèles à Ox. 11 est clair qu'un noyau K(x, j') satisfaisant aux conditions précédentes est intégrable, soit par rapport à l'ensemble des dçux variables, soit par rapport à chacune d'elles prise séparément.

Considérons d'abord un noyau K|\2:, j') de la première sorte, et soit /(x) une fonction intégrable dans l'intervalle (a, è),

bornée ou non, mais telle que / |/u) | ds ait une valeur finie.

La fonction

.1'

est continue dans Vintenalle (a, b). Nous supposerons, pour simplifier, que le noyau K(a'.^r) a un seul point de discontinuité j),,

(') Heywood et Frkchet, p. 6.

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 343

sur la droite j? = .r,, ; nous pouvons écrire

F{j:) — F{xo)=f [K{x,s) — W{To,s)]/{s)f/s-hf -^ C

y, et j'a étant compris entre a et jKo, jKo et b respectivement. Soit M une limite supérieure de | K { ; on a d'abord

f'' [K{x, s) — K{xo, s)]/(s) f/s < 2M f^\f{s)\cls.

Choisissons y^ et y-i assez voisins de y^ pour que le second membre soit inférieur k -; y^ ei y^ étant choisis de cette façon, on

peut trouver un nombre rj tel que | K(^, )) — K(^o? j) | soit infé- rieur à un nombre positif arbitraire, pourvu que | ar — Xo | soit <; yj, quel que soit >- dans les intervalles (a, j,), (jo, b) ('), et l'on eh déduit facilement que la fonction F(x) est continue. Ou démon- trera tout pareillement que / K(a, y)fis)ds est une fonction

continue de j' dans l'intervalle (a, b).

Soient K(a?, y) et K,(a?, y) deux noyaux de la première sorte.

La fonction

J> (5o) F(jr,y)=l K ( ./■, .s- ) K, i .s-, r u/.v

est une fonction continue des variables x, y, dans le domaine D. Prenons, en effet, deux points voisins (./•„,)„), (j",, ),) dans ce domaine; on peut écrire

F(:ri, r,) — r(./-o..r„)= f K (./-,, .v i [ h, (.v. .)-,) — K, û., m)! '/.« ^J K , {s, y„) l K (,r, , .) - K (.r,„ s)] ris,

et l'on démontrera, comme tout à l'heure, que le second membre tend vers zéro lorsque .74 — r„ et Vi — .)'o tendent vers zéro.

Les résultats sont un peu diflerenls avec un noyau de la ilcnxiènie sorte.

(•) Pour la démonstration rigoureuse, voir exercice 3.

344 CHAPITRE XXX.

Si K(x, y) admet comme lignes de discontinuité certain? segments de parallèles à O y, la fonction

F(^)= f W{x,s)/is)ds

est encore continue pour x — Xo, si le noyau n'admet qu'un nombre fini de points de discontinuité sur ia droite x = Xq. Mais, si cette droite est une ligne de discontinuité, on a

F(^o-+- 0 - F(.r,.) =y [K(^o+ ^ s) - K{xo, s)]/{s) ds;

par suite, en faisant tendre e vers zéro, il vient

F(^o-f- 0) - F(.ro) = f [hixo-h o, s) - K(^o, s)]/{s) ds;

la fonction F(.r) admet donc, en général, le joint :ro pour point de discon- tinuité de première espèce.

Soient de même K(x, y), K|(.f, y) deux noyaux dont l'un au moins admet des lignes de discontinuité de la deuxième sorte. La fonction F{x,y) représentée par la formule (5o) est encore continue en tout point (,ar„,_Xo) qui nappartient à aucune des lignes de discontinuité de cette espèce des deux noyaux. Supposons ensuite que la ligne x = «r,, soit une ligne de dis- continuité jiour le noyau K(j", )) par exemple; nous avons

F(j-o-i- £, j) — ¥(xo,y) = / Ki(s,r) J k(j:o-+- t, s) — K(xo, s) J ds

et le second membre n pour limite

Ki(i, J-) I K(j;(,-i- o, s) — K(.ro, s) j ds,

c'est-à-dire une fonction de )• (jui n'a qu'un nombre fini de discontinuités dans l'intervalle («, h) d'après l'étude qui vient d'être faite. En résumé, la fonction F(.i-, ^) ne peut avoir comme lignes de discontinuité, dans le domaine D, que les lignes de discontinuité de la deuxième sorte de l'un des noyaux \\(x,y). Wi(x,y).

oo7. Résolution par approximations successives. — La méthode d'approximations successives employée pour résoudre l'équation de Volterra (i) s'étend immédiatement à l'équation de Fredholm

.à

(ôi) 9(.r) = /./ K(x,s):f{s)ds-^/(x),

où le noyau K{:r, y) et la fonction /(x) satisfont aux conditions

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 345

qui viennent d'être expliquées. Mais, au lieu d'une série toujours convergente, on est conduit en général à une série entière en À ayant un rayon de convergence fini. Nous étudierons en détail, dans le Chapitre suivant, les propriétés de la fonction analytique du paramètre \ qui s'introduit naturellement dans ce calcul. Pour le moment, nous supposerons que la valeur absolue de X est infé- rieure au rayon de convergence de la série.

Il y a un grand intérêt pour les applications à ne pas se limiter au cas où le noyau K(^, r) et la fonction /(.r) sont continus. C'est pour cela que nous avons pris tout de suite des hypothèses un peu plus générales, que nous serons encore obligés d'élargir par la suite. L'équation de Volterra (i) est un cas particulier de l'équa- tion (5i) qu'on obtient en supposant que le noyau K(./, j) est nul pour r>^- Tous les résultats qui ont été établis pour l'équa- tion (i) ne sont que des cas particuliers des résultats plus généraux qui vont suivre, et tous les théorèmes que l'on va démontrer s'ap- pliquent à l'équation de Volterra, en tenant compte, bien entendu, de la forme particulière du noyau.

On peut encore obtenir une solution formelle de l'équation (5 1) représentée par une série entière en X,

(52) o(ar) = 9o(.r)-h X ?i(j")-4-...-(-X'' 9„(ar)-+-...

dont les coefficients sont déterminés de proche en proche par la relation de récurrence

(53) ç)„(ar)=l K(x, 5) 9,i_i(5) û?5 (n^;>o)

avec cpo(^)=/(^)- Toutes ces fonctions '-^ni^oc) sont bornées et intégrables à partir de 9< (x), et même continues, si K(r, y) n'a que des lignes de discontinuité de la première sorte. Ces coeffi- cients 9n(j?) admettent respectivement pour fonctions dominantes les coefficients <bn{x) de la série

(52) <I>(x) = <[)o(.r) H- \<^i{x) -(-...-(- X" *„(a-) -h. . .

que l'on obtient en cherchant une solution formelle de l'équation auxiliaire

(5i)' <\>{x) = \\ M*(5)rf5H-F(2;)

<\>{x) = \ f M*(5)rfs-4-F(

346 CHAPITRE XXX.

OÙ M est une limite supérieure de | K(x, y) |, et F( r ) une fonc- tion intégrable et dominante pour /(j^), par exemple \/{x)\. Toute solution de cette équation auxiliaire est évidemment de la forme F(\r) -h G, et la constante C se détermine par substitution directe- On trouve ainsi que Téqualion (5i )' admet la solution

M r F (s)

qui est développable en série de la forme (02)', pourvu que la valeur de À vérifie la condition

(54)

M{b — a)

La série (52) sera donc elle-même uniformément convergente si le paramètre 1 satisfait à cette condition et, par suite, la somme '-^(jc) est bien une solution de l'équation proposée. On démontrera comme au n° 548 que c'est la seule solution, si ). satisfait à la con- dition (54). Si le noyau est continu presque partout, la fonc- tion 9( J") présente les mêmes discontinuités que f( x) dans l'inter- valle {a, b).

008. Noyaux itérés. — Des formules qui donnent 9, (x) et cp2(-2")

ri(^)=r V-{x,s)f{s)ds, z<,{x)= Ç K{x,t) z,it) dt,

'J a ^ a

on lire, en remplaçant x par t dans la première, portant la valeur obtenue pour ^\{t) dans la seconde, et intervertissant l'ordre des intégrations ( ' ), une nouvelle expression de 92 (-î^)'

en posant

(') Il est clair que celte opération est légitime avec les hypothèses qui ont été faites sur le noyau, mais elle peut l'être avec des hypothèses plus étendues, et toutes les conséquences qu'on en déduit s'appliquent encore.

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 347

On verra de même que cp,i(^^) a pour expression

en posant

KW{x, s)= j K(.r, f) K<2)(/, 5) ,/f.

Nous sommes ainsi conduits (voir n" 549) à introduire une suite indéfinie de noyaux

Klil(x,j) = K(ar,jK), K'-^^(x,y), ..., K(''i(.r,j),

qui se déduisent tous du premier au moyen de la formule de récur- rence

(55) Kt")(x,v)= r K(x,f)K"'-^\f.y)(/f;

ce sont les noyaux itérés successifs de K(j', >). Ils sont tous bornés dans le domaine D, et continus dans ce domaine si K(j", j') est presque partout continu. D'une façon générale, ils sont con- tinus en tout point non situé sur une ligne do discontinuité de la deuxième sorte de K(x,y). De la définition de ces noyaux on déduit aisément un certain nombre de propriétés qui seront utiles dans la suite. Ainsi, on voit de proche en proche que K'"'(j", r) peut s'écrire

.b ^b ^h

K">)(x,y)=l / ... / K(x,t,)K(ti,t,)...K(f„_„y)dt,df,...df,.^^,

et l'on en déduit, par un simple changement dans l'ordre des inté- grations, que l'on a, quels que soient les entiers positifs \t. et v,

(56) Ki[>-+''){x,j)= r Ki\>-){x,t)Kr'^(f,y)dt,

et il serait facile de généraliser encore cette dernière formule. Par exemple, K''-;^'(t, >-), K' 's^' (j?, j^), ... se déduisent par des itéra- tions successives de K'S^'(a", y) (^ ).

( ' ) Dans le cas particulier de l'équation de Voltcrra, où K{x,y) — o pour k>-2^, il est clair que tous les noyaux itérés successifs sont nuls aussi, pour v > x, et la relation de récurrence (55) se réduit à la relation iw). La résolvante V{x,y\ À) est nulle elle-même pour y > a;, et les équations fonctionnelles établies plus bas l6o) et (6i) se réduisent aux équations (i5) et (i6) du n° 049.

348 CHAPITRE XXX.

559. Noyau résolvant. — On vérifie aisément de proche en proche que le coefficient <p/i(^) de A" dans la série (02) a pour expression

(.57) ?„(.r)=y KW(x,s)/{s)cfs;

en effet, la formule étant supposée exacte pour cp,j(.r), on a, d'après la relation de récurrence (53),

ç„,.,{x)= f K{.r,t)z„{t)dt= r C K(x,t)Ki"'{f,s)/{s)f/sdt, c'est-à-dire

Cela étant, considérons la série

(58) ï{x,y; À) = K{x, y) -i- XKi'-^{x,y) -h. . .-hX"-^ KM(Xyy) -^. . ..

D'après la loi de formation des coefficients, si M. est une limite supérieure de |K(:r, j)|, |K*")(j7, j)| sera <M"(6 — x)«-' en tout point de D; la série (58) est donc uniformément conver- gente ( ' ) dans ce domaine, si le paramétre >. satisfaite la condi-

(-) M. E. Schmidt a fait connaître une limite inférieure du rayon de conver- gince de la série (58), qui est plus grande que la limite (54). La méthode de M. Si.limidt est fondée sur l'inégalité de Schwarz (I, p. 243), .

f{x)^{x)dx\< j p(x)dx>^J fHx)dx,

que l'on obtient en écrivant que la forme quadratique en a, p

.0

f \oif(x)^<^<f{x)]-dx

est une forme définie et qui s'étend évidemment aux intégrales multiples, pourvu que le eliamp d'in»égration soit le même dans les trois intégrales. Appliquons l'i-ncgalité de Schwarz à la formule qui donne le «'*"" noyau itéré K " {x,y); on en déduit

[K" (x,y)f< 1^ [K"'' {t,r)Ydtxf [K{x,t)]-dt te,

f f \K" {x,y)]^dxdy

$ f f [K'-'{t,r)r-drdtx f f [K(x,t)]'-dxdl;

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 349

lion (54)- Par suite, on peut intégrer terme à terme (n" 549) la s^rie qui donne le développement du produit T{x, s; A)/(a), et la formule (62) qui donne la solution de l'équation intégrale prend la forme

(59) ç(x)=/{x)-^X f r(x,s;\)/{s}ds.

La fonction T{x,y,l) s'appelle encore In résolvante ou le noyau résolvant pour l'équation (5i), et la formule (Sg) donne une véritable solution explicite de l'équation intégrale au mojen de la résolvante. Mais cette formule (^g) n'est établie que pour des valeurs du paramètre dont le modale est inférieur à une certaine limite, car la série (58) n'est plus en général une fonction entière

l'application répétée de cette dernière formule conduit à l'inégalité

(B) J J [K:^'''{x,y)Ydxdy<\j f [K{x,y)Y dx dy^ .

On a, d'autre part, d'après la formule (56) et les relations analogues, K''-(x,y)= f f K(x,s)K'^'--'{s,t)K(t,y)dsdt

et, par suite, en appliquant l'inégalité de Schwarz aux intégrales doubles

j^b ^b j-*b ^b

(C) [K"'(x,jK)?S / / \K"-' {s,t)r dsdtx I / [K{x, s) K{t, y)]- ds dt.

En rapprochant les inégalités (B) et (C), il vient enfin [K-'(a;,y)]'< Ç j [K(x,y)]-dxdy

:f [K{XyS)\'dsx r [K(t,y)]''dt,

ce que 1 on peut encore écrire

en posant

Xb pb ^ b pb

I [Kix,y)V-dxdy, N=/ [K{x,sr-dsx [K{t, y)]"- dt.

La série (58) est donc uniformément convergente dans tout le domaine D,

pourvu que la valeur absolue de X soit inférieure à -jn-

VL

35o CHAPITRE XXX.

de X, comme dans le cas de l'équation de Vollerra. Elle admet, au contraire, un rayon de convergence fini, si le novau Ki^j:*, y) est quelconque, de sorte que la formule ( jg) ne résout que partielle- ment le problème. La solution complète sera exposée dans le Cha- pitre suivant. Tl existe cependant des noyaux, autres que celui de Volterra, pour lesquels la formule (09 ) donne la solution de l'équa- tion intégrale quelle que soit la valeur de /. Tel est le cas d'un noyau orthogonal à lui-même, c'est-à-dire tel que le noyau K^-^{x,y) soit identiquement nul. Tous les autres noyaux itérés sont nuls aussi, et le noyau résolvant se réduit à K(t, y) (*).

Supposons ([uo X vérifie la relation (54), ou, plus généralement, que la série (58) soit uniformément convergente dans D pour la valeur attribuée à ce paramétre. La fonction T(x, y; 1) satisfait aux deux équations fonctionnelles

(60) r{x,y;X) = K{x,y)^X K{x, t)T{t,y,l) di,

(61) Y(,x,y-\) = ¥.{x,y) + \j Kit,y)rix, t;\) dt.

La première, par exemple, se démontre en remplaçant x par t dans la formule (58), puis en multipliant les deux membres par K(j^', t) et intégrant terme à terme entre les limites a ei b; la seconde s'établit de la même façon. Ces relations permettent aisé- ment de vérifier que la fonction z>{x), représentée par la for- mule (59), satisfait à l'équation intégrale (Si) et, de plus, que c'est la seule solution, en supposant toujours que la série (58) est con- vergente pour la valeur de X considérée. Le calcul se faisant de la même façon dans les deux cas, nous démontrerons seulement la seconde partie.

(') Si les limites a et b sont o et r, le noyau

K(x,y) =\^ a„ sin/ijc cosny, n = l

la série 2 | a„ | étant convergente, est orthogonal à lui-même. Pour le noyau K{x, y) — a, s\nxsin2y -h a^sin2X ain^y -h. . .-+■ a^ siapx sia(p -+-i)y,

la résolvante r(x,y; À) est un polynôme de degré/? — i en X.

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 35 1

Soit <p(-c) une solution de l'équation (5i). On déduit de celte équation

-h À r f K{s,t)r{x,s;l)o{t)dtr/s,

ou, en tenant compte de la formule (6i),

/ r{x,s;l)tf{s)ds= r(x,s;l)/(s)f/s

*J a *Ja

J\{x,s; \)f{s)ds=J K{x,t):fit)dt.

c'est-à-dire

.6

En combinant cette égalité avec l'équation (5i) elle-même, on retrouve bien la formule (Sc)) et nous vérifions ainsi ce résultat déjà obtenu d'une autre façon : pourvu que la valeur absolue de l soit assez petite, l'équation (5i) admet une solution et une seule, qui est donnée par la formule (og).

En permuUnt les variables x et y dans le noyau K(:r, y), on obtient un nouveau noyau K(j, x), en général distinct du premier. L'équation de Fredholm correspondante

{&2) •]^{x) = K I W(^s,x)'l{s)ds-^ gix)

est dite associée à l'équation (5i ). On voit aussitôt que les noyaux déduits de K(r, x) par itération se déduisent aussi des noyaux itérés de même rang K""(j", y) en permutant x et j, de sorte que la résolvante relative à l'équation (62) est précisément Fij-, ./ ; 1). La conclusion est la même que pour l'équation ( 5i ) ; si la valeur absolue de X est assez petite, l'équation (62) admet une solution et une seule qui est représentée par la formule

(63)

■l{x) = g{x)-hl)J r{s,x;'A)g{s}ds.

352 CHAPITRE XXX.

Dans le cas particulier d'une équation de Volterra, le noyau K(j', a:) est nul pour y <ix, et l'équation associée est une autre équation de Volterra

^{x) = g{x)-^r\ Ç K(s,x)-l(^s)ds.

560. Propriétés des noyaux résolvants. — Du développe- ment (58) du noyau résolvant on déduit encore d'autres propriétés importantes de celle fonction. La démonstration suppose que le module de ?, est inférieur au rayon de convergence, mais ces pro- priétés, d'après leur nature même, subsistent dans tout le domaine d'existence de la fonction analytique r(j^, j>'; À) du paramétre X. Soit Tn{or, J-; ?.) le noyau résolvant pour l'équation de Fredholm où l'on aurait pris K"''( x, )') comme noyau ; d'après une remarque antérieure, on a

r„(j:,jK; 1) = \\ "''{x,y) -+- À \\'-"^{x.y) -+- . . .-i- /.7'-iKi/"''(^, j-) -t-

Celte fonction r„(j", )•; À) s'exprime très simplement au moyen de r(ar, y'\ À ). Multiplions, en effet, les deux membres de la for- mule (58) parX, et remplaçons-y successivement À parcoX, w^)., . . . , ùj"~'X, co désignant une racine primitive de léquation ùj"=ii:i. En ajoutant membre à membre les relations ainsi obtenues, il reste, toutes réductions faites,

/rA"r„(a:,jK; À«)

= l[T{x,y\ X) -H 0) V{x,y; wX) -+-. . .-f- w"-i r{x,y; w«' iX)],

1 et, par suite, en remplaçant \ par X",

(64) r„(.-, y: X) = '^^"- ■'• '-^^ -" " ^'^"' y- "^-"^ ^ --^ --"-' i<-^. r; co-->>)

n X "

Inversement, on peut déduire T{x^ y\ /.) de r„(r, >•; À). Nous avons, en effet,

Jf K"'(.r, s) V n{s.y: \) ds a = K('^^i){x,y) -4- X K(-in-^i){x,y) H- X2 Kt3"-^'1(^, J-) -4-. _^

et, par conséquent, on peut encore écrire la formule (58), en

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 353

groupant les termes de n en n à partir du n'*""",

r{x,y;\) = K (x, 7) -t- X KW (a:, y) -\-. . .-h À"-" KC-» (ar, y)

-+- X"-ir„(a:, ^; X")-*- X" / K(j:, *) r„(*, jk; \>')ds-^... -f- Xî''-2 / Kl"- ')(^, s)r„(5, 7; X«)rfs,

«• <•!

ou encore

(65) r (jr, 7 ; X ) = H (jr, j ; X) -t- X«-i r„ (a-, j ; X")

-f-X^r H (a;, s; X)r„(5, j; X") rf*, en posant

(G6) H(.r, ^>-; X) = K(a-, 7) -f- X K'2)(j:, 7) -(-. . .-+■ X"-> K("-i)(ar, /).

Voici une autre propriété importante dont la démonstration est bien facile. Considérons la fonction r(j;, y\ X) comme un noyau, et appliquons-lui le même procédé d'itération; nous obtenons une suite de fonctions, dont la première Y'^^'i{x^y\ X) = r(a:-,j>^; X), et que nous désignerons par une notation analogue

riî)(a-, 7; X), ri3)(r, ,r; X), ..., r(")(^, j; X), ...;

ces fonctions se calculent de proche en proche par la relation de récurrence

r('')(a:, j; X)= / r(r, s; X) rt"-i)(s, ^r ; y)ds.

'-'a

On vérifie aisément de proche en proche, d'après cette loi de récurrence et les expressions des noyaux itérés successifs, que l'on a

r'^'(:r,7; X) = ^, r-n, (^, ,- . >.) = _I_ ^, ...

et, d'une façon générale,

ri")(^,7; À) =

(n — 1)! d\'

Le développement de la fonction r(ar, j>^; X h- p) suivant les puis- sances de X par la formule de Taylor a donc la forme suivante :

(67) r(:r, j; X -.- jx) = r(a:, J-; (x) H- X r(î)(a:, 7; a)^-...

-H X"-' r('')(a:, y\ [x). . .; oouRSAT. — m. 23

354 CHAPITRE XXX.

par conséquent, si l'on considère T{x^ y ; /jl) comme le noyau d'une équation de Fredhotm, /jl ayant une valeur déterminée, le noyau résolvant correspondant est précisément T{x, y\l-\- [x). Ceci permet de gcnéi-aliser les relations fonclionnelles (60) et (61) qui ne sont que des cas particuliers de la relation générale

(68) r(.r. I : X -1- •±) = T{x. y: ^)-^\ j T{x, t: ii)r(t.y; X -i-[x)cfe;

en supposant jjl =: o, on retrouve la formule (60). En remplaçant À par — X et , a par X, on obtient la fornmle (61). Celle formule (68) peut encore s'écrire, d'une façon plus symétrique, en remplaçant p par X et X par X' — X,

(69) V(a;r; r) — \\x,y; X) = (X'— X)/" riJ-,(:\)V{f,y:r)dt,

et il suffît de faire tendre X' vers X pour obtenir une relation inlégro-difiTércntielle

<"^) '^^^'''àx' " "/ '"'-^''- '^>^"^'''>'- ^^'^^

qui, jointe à la condition T{t, y; o ) ^K(x, y), caractérise le noyau résolvant, car, si l'un cherche à développer F suivant les puissances de X en tenant comple de ces deux relations, on retrouve précisément le développement (58).

Remarque I. — Les formules (5i) et (Sg) peuvent être consi- dérées comme inverses 1 une de l'autre. En effet, regardons dans la relation (Sg), <f{x) comme donnée el/{x) comme l'inconnue, et écrivons-la sous une forme un peu plus générale,

(71) /{x) = ;f{x)-hiJ. f r{x, s: \)f(s)ds.

C'est une équation de Fredholm dont le noyau est \{x,y\ X). La résolvanle est, comme on vient de le démontrer, r(x, j; X -{-[/) et pour la valeur fjL = — X du paramétre, celle résolvanle se réduit à r(.T?, j; o) = K(x, y). La foruiule qui donne la solution de l'équalion (Sg) est donc identique à l'équation (5j).

Remarque IL — Les formules (68) et (69) ne sont démontrées

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 355

par ce qui précède que si les modules de )., X', /a sonl assez petits. Mais les deux meuibres étant des fonctions analytiques de ces paramètres, il est clair que l'égalité subsiste dans tout le domaine d'existence de la résolvante. Observons encore que ces relations sont indépendantes du noyau primitif K{x, y). Toute fonc- tion r(a?, j;X) satisfaisant à ces relations permettra d'écrire explicitement la solution d'une infinité d'équations intégrales. Il suffira de donner au paramètre une valeur particulière "ko telle que T{x, y; X) soit holomorphe dans le voisinage, et de prendre pour noyau r(j",'>-; X„). La résolvante correspondante est r(d7,j;Xo -h X).

561. Noyaux non bornés. — Dans les applications les plus importantes, on est conduit à des équations intégrales où le noyau ne reste pas borné, tout en étant intégrable. Si le procédé d'approxi- mations successives employé plus haut (n" 557) conduite des fonc- tions 9„(5?) ayant une valeur finie, les formules (02) et (og) nous donnent encore une solution formelle de l'équation intégrale. Cette solution formelle est acceptable dans le cas très étendu où les noyaux déduits de K{3C^ y) par des itérations successives restent bornés à partir de l'un d'eux, K*'"(a;,y) par exemple. La série (58) présente alors au début un certain nombre de termes qui peuvent devenir infinis, mais à partir du terme en X"-' tous les coefficients restent bornés. La série formée par ces termes est encore unifor- mément convergente pourvu que | X | soit inférieur à une certaine liuute. Soit, en effet, M une limite supérieure de |K""(:z, y)\; on voit immédiatement que la série formée par les termes pris de n en n à partir de X"~' K'"'(x, j)^) est uniformément convergente pourvu que M(6 — a)|X"j soit inférieur à l'unité, et il en est de même des différentes séries obtenues en prenant les termes de n en /i à partir de X"K'""^"(ic, j-), . . . ^ X'^"— -*K'-"-' (x^ y). Les raison- nements des numéros précédents s'appliquent donc encore et la formule (Sg) donne la solution de l'équation intégrale pourvu que !X| soit assez petit. Toutes les propriétés du noyau résolvant qui découlent du développement en série (58) s'appliquent encore dans le cas plus étendu d'un noyau non borné, pourvu que cette série ait un rayon de convergence différent de zéro; c'est ce qui a lieu, nous venons de le voir, lorsque tous les noyaux itérés sonl bornés à partir d'un certain rang.

356 CHAPITRE XXX.

On peut prouver directemenl que la résolution de l'équation (5i ) se ramène à la résolution d'une équation de mémo espèce dont le nojau est K"''(;r, y). De la relation (5i ) on tire, en effet,

-hXP Ç KiP){j:,s)/{s)ds,

p étant un nombre entier positif. Ajoutons à l'équation (5i ) toutes les relations obtenues en faisant/? = i . 2, . . . , n — i ; il reste

l(5i)' <f{x) = A" I Ki''){x, s)!D{s)ds

-^ /(^) -^ >• Z' K(x, 5)/(s)rf5H-...-H X'—y K"'-U^x, s)/{s)ds\

de sorte que (^{x) est une solution de la nouvelle équation (5i )'. Inversement, soit cp(^) une solution de l'équalion (5i)'; celte fonction <p(ar) satisfait aussi à l'équation

?(a:)— A r K(a:,5)9(s)c/5— /(ar)

= inj K(")(a:, s)[^(s)-/{s)]ds - X"->J Ki"+^)ix, 5)9(0 ds, qui s'en déduit par une combinaison facile, et qu'on peut écrire

•l(x) = l'' f KW(x, s)'\>(s)ds,

en désignant par 4'(^) ^^ premier membre de la relation précé- dente. Or, cette dernière équation n'admet pas d'autre solution que4'(^) = o, pourvu que jX| soit assez petit; la fonction cp(4r), solution de l'équation (5i)', satisfait donc aussi à l'équation (5i). Le lecteur vérifiera aisément l'identité des solutions des deux équa- tions (5i) et (5i)' données par les formules générales, en tenant compte de la relation (65) entre les résolvantes r(x, j-; X) et r„(^,j;X").

Le ca:s le plus intéressant pour les applications est celui d'un

noyau , _ • [^1 dont le numérateur reste borné et où l'expos^inta

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 357

est posilif et inférieur à un, de façon que l'intégrale'

I

ait une valeur finie en général, le nombre a est dit V exposant de ce noyau. ÉUnt donnés deux noyaux de cette espèce, , _ .^^ et ,: —sy d'exposants a et (3 respecUvemenl, le noyra

T

(72) l<(x,j-)= j — —^ds

.ù

\x — s\^\s — y

est un noy An d'exposant a + (3 — i au plus. Supposons, pour fixer les idées, r < j, et soient M et M^ deux limites supérieures

de I G I et I G, I respectivement. En posant s =: x -\- t{y — ^)', il est clair qu'on a

,p, MM, f^' dt

et l'intégrale du second membre a une valeur finie, pourvu que a -h (3 — I soit positif. Si l'on avait a H- ^ < i , on voit aisément que F(a7, y) est borné, en partageant l'intégrale en troi^ autres ayant pour limites (a, y)^ (ar, y) et (j, h). Si a 4- (3 = i, F(ir, j) devient, en général, infinie poury ;=.r, comme log | x — y\.

Si les fonctions G(jc,^), Gi(^,^ ) sont continues en dehors de la bissec- trice ^ = j;, le noyau ^ {x\ y) est lui-même continu dans le voisinage de tout point (^Tq, y^), non situé sur la bissectrice. L'intégrale (72), considérée comme fonction des deux variables {x, y), est, en efTet, uniformément con- vergente dans le voisinage du système de valeurs x = X(,, y =^0 (n"504). Plus généralement, si G(ar, j), Gi(a:, ^)sont continus presque partout, les raisonnements du n° 536 montrent sans peine que F(ir, j) est continu en tout point non situé sur la bissectrice. Si l'une des ;fonctions G, Gi admet pour ligne de discontinuités un segment de droite parallèle à l'un des axes, F (a:, y) admettra aussi en général cette ligne de discontinuités.

Soit K(x, j) un noyau de la forme précédente et d'expo- sant a <; I ; les noyaux itérés successifs K'-'(a:, y), R*"(a7,y), ..., K"''(.z', p) sont, d'après cela, d'exposants au plus égaux à 2a — i, 3a — 2, . . . , poi — (/) — 1 ). Pour que R</'+''(x, y) soit un noyau

borné, il suffit qu'on ait (/> -h 1 ) a -</>, ou /> > — — — • Parmi les

358 CHAPITRE XXX.

noyaux déduits du noyau donné par des itérations, il n'y a donc qu'un nombre fini de noyaux non bornés. D'une façon plus

précise : si m est le premier nombre entier supérieur à — — — > le m"^'"* noyau itéré n est plus infini pour op =^y.

Remarques. — x' Si un noyau K{x, y) devient infini pour x =■ y comme log | x —y \, le produit i x — y j*K(x, y) est borné quel que soit le

nombre positif a. En prenant a. = -^ par exemple, on voit que le premier

noyau itéré reste fini pour y =■ x.

2"> On peut aussi avoir à étudier des équations de Volterra dont le noyau devient infini pour jk "= x, ce noyau est de la forme

■^(-.v) = â^.

pour^- < X, et nul pour _>- > x. Les résultats précédents sont applicables, mais les noyaux itérés successifs sont encore nuls pour ^ > x\ on arrivera donc au bout d'un nombre fini d'itérations à un noyau de Volterra borné. Supposons, par exemple, que le premier noyau itéré K'2)(j", v) soit borné. L'équation de Volterra

(73) ?(:r) = -^fj^^^ ç (5) ds ^/(x)

se ramène à une équation à noyau borné

<p(a:) = ).»r KW{x, s)<f(s)ds-h/(x)-^l f W{x, s)/{s) ds. dont la solution vérifie aussi l'équation (73), car l'équation

<!^(x) = \^r K^*^{X, .'!)'h{s)ffs

n'admet pas d'autre solution que «{^ = o (n° 6^18).

3° La solution de l'équation (5i), exposée dans les paragraphes précé- dents, s'applique aussi à des noyaux non bornés dont il est impossible de déduire un noyau borné par un nombre fini d'itérations. Prenons, par

H(x y) exemple, le noyau K(x, y) ■= '-^ — !-=-p-5 le numérateur R{x,y) étant

borné et a étant un exposant positif inférieur à Funité; c est compris dans l'intervalle (a, b). II est clair que tous les noyaux itérés successifs de K{x, y) sont infinis pour x = c. Cependant la solution formelle des n»* 557-538 conserve un sens et s'applique sans modifications. Considérons, en effet, la suite des fonctions V\.W(^x, y) déduites de }i{x, y) au moyen

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. SÔg

de la formule de récurrence

H<n)(x,y) = I' "^-^"" ,112^ df.

Toutes ces fonctions sont bornées et l'on vérifie de proche en proche que l'on a I Hcl ' < M" A"-', en désignant par h le nombre

(c — a)i-«-4-(6 — c)'-*

et par jM une limite supérieure de I H (a-, r) '. Posons

lii série qui forme le numéral car du second membre est uniformément

convergente pourvu que ; X I soit inférieur à rr-j i et l'on vérifie encore que

r(x,y, X) satisfait aux relations fonctionnelles ((îo) et (6i) du noyau résolvant. La fonction r{x, y, X) permettra donc de résoudre les deux équations associées

pourvu que | X i soit suffisamment petit. Par exemple, si l'on a

K(x, y) — i/^ (a = o, 6 = i),

tous les noyaux itérés successifs sont égaux au premier et la résolvante est égale à l/- r* Dans ce cas particulier, la formule (Sg) donne la

solution de l'équption intégrale correspondante pourvu que X soit différent de l'unité. Il est clair tjue le résultat serait le même pour un noyau

HU, .y)

lorsque tous les exposants a,, a., . . . , «^ sont inférieurs à l'unité, le numé- rateur H(a:, y) étant borné.

562. Systèmes d'équations intégrales. — On pourrait développer une méthode d'approximations tout à fait pareille pour un système d'équations

36o CHAPITRE XXX.

intégrales

(74) ^i{x) = X f ^Ki/tix, s) <fh{s)ds-+-fi(x) (i = i, 2, ..., /i),

où l'on suppose, pour fixer les idées, a = o, 6 = 1. Mais M. Fredholm a ramené, d'une façon très élégante, la résolution de ce système à la résolu- tion d'une équation unique, dont le noyau présente des lignes de disconti- nuité paraHèJes aux axes de coordonnées, ce qui justifie la considération de noyaux de cette espèce dans les numéros précédents. Il introduit à cet effet un noyau H(iF, y) défini pour les valeurs de x et y, comprises entre

0 et n, par les n- conditions

(75) n^x, y) ¥.i,,{x- i-+-\, y — h^\) pour ^^^ ~ | ^^ ^ ^ M,

1 et h étant des nombres entiers qui varient de i à n, et une autre fonc- tion F(a;) définie dans l'intervalle (o, n) par les n (Conditions

(76) ¥ {x) = fi{x — i -\- \) pour i — !< x<ii;

il est clair que les droites x =^1, 2, . . ., n — 1,^ = 1,2, . . ., n — i sont, en général, des lignes de discontinuité pour ll{x, y). Soient oi(ar), ..., ^p{x) un système de solutions des équations (74); à l'aide de ces n fonc- tions, on peut définir une fonction auxiliaire ^{x) dans l'intervalle (o, «) par les n conditions

(77) *^{x) = ^i{x — i-Hi) pour t — I < J7 < j.

Des équations (74) on tire, en supposant x compris entre i — i et i,

«ï»,(x — t -f- i)

ce qu'on peut encore écrire, d'après les formules (76) et (77),

(78) <^(x) = xf n{x, s)'P(s)ds-hF{x).

Inversement, connaissant une solution de l'équation (78), les rela- tions (76) et (77) permettent d'en déduire un système de solutions des équations (74)-

563. Extension aux fonctions de plusieurs Yariables. — L'exten- sion de la théorie précédente aux équations intégrales de la forme

(79) ?(^, r) = >. f f K{x,y; ^,-r^)o{^-.T,)d-d-fx-^f{x,y)

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 36l

est immédiate; le noyau K(:f, y, ^, ri) est une fonction donnée des deux couples de variables (x, y), (^, rj) lorsque chacun des points (x, y), (^, in) reste dans un domaine D du plan, /{x, y) est une fonction connue et 9(^7, y) la fonction à déterminer. Nous avons rencontré à propos de la méthode de Neumann (n" 533) une équation intégrale d'une forme un peu plus générale, où les inté- grations sont étendues aune surface fermée. Soit, en général, F(M) une fonction qui a une valeur déterminée pour toute position du point M sur une surface 1, fermée ou non; nous dirons que F (M) est une fonction du point M définie sur 1. On dira de même qu'une fonction F(M<, Mo, • . • , M^,), qui a une valeur déterminée pour toutes les positions des points M,, Mo, . . ., M^ sur 2, est une fonction de ces p points définie sur i. Toute intégrale mul- tiple ( ' )

F(M,, M., ..., M,,)cl7x th., ... rh,„

L

(S)

où d(j désigne l'élément de surface, cl où les points Mj décrivent-, a une valeur finie, si la fonction F est intégrable par rapport à chaque couple de variables.

Cela pose, soient K(M, M') une fonction donnée des points M ot M' sur 2,, /(M) une fonction connue de M, ofM) une fonction inconnue. On peut encore trouver une solution formelle de l'équa- tion intégrale (8..^ c(M) = /. f K(M, M')5(M')</j'-4-/-(M),

représentée par une série entière ordonnée suivant les puissances dcX

(8i-) c(M) = /(M) ^ ). f r(M, M'; \) f{W) th' ,

où l'on a posé

(82) l^(M, M': }.) = K(M, M') -t- À K->(M. M')+...+ X"-' K(")(M, M')^-..-

Les coefficients K") (M, M') se déduisent du premier K>'^ (M, M'), (ju'on prend égal à K(M, M'), au moyen de la formule de r^cur-

(') On écrit pour abréger un seul signe / , le nombre des intégrations à olFectuer étant indiqué par le nombre des facteurs «/c,.

362 CHAPITRE XXX.

rence

(83) K(")(M, M')= f K(M. M|)K"' ''(Mi, M'jt/n,:

on les appelle encore les noyaux itérés successifs du noyau K.(M, M'), et la finclion r(M, M'; À) s'appelle la résolvante. Si le noyau K(M, M') est borné, la série (82) est convergente pourvu que |X| soit assez petit et l'équation (80) admet une solution et une seule qui est représentée par la formule (81). Les autres pro- priétés de la résolvante s'étendent aussi à la fonction F. Il en est de même pour un nojau non borné pourvu que les nojaux qu'on en déduit par des itérations successives soient bornés à partir d'un certain rang.

Le cas le plus intéressant pour les applications est celui où le

uojau K(M, M') est de la forme ^" ' ^ 1 G(M, M') étant une

MM' fonction bornée sur i, et a un exposant positif inférieur à 2, de façon que les intégrales qui figurent dans la solution précédente aient des valeurs finies lorsque /(M) est bornée. D'une façon géné-

raie, soient — ^ et — ~ deux noyaux de cette espèce appartenant

MM' MM' aux exposants a et |3 respectivement. Nous allons montrer que le noyau

(84) P(M.>r,= /-M.M.M.)GUM M.)^^

MM, M, M''

est un noyau de même espèce appartenant à l'exposant a H- ^ — 2.

c'est-à-dire que le produit F(M. M) MM' reste borné, lorsque

la disliince MM' est infiniment petite ( ' ).

Supposons d'abord que la surface 1 soit plane; en désignant par p, p' les distances d'un point variable P aux deux points

fixes M, M', tout revient à démontrer que l'intégrale / ^ ■,û est

infinie comme ( ^j — • ] lorsque M' tend vers M. Soit G le cercle

de rayon 2 M VI' décrit du point M pour centre; il partage i en

(') Cette mélLode est due à M. Hadainard {voir Heywood et Fréchet, Note I).

II. — ÉQUATIONS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES. 363

deux portions, une partie iulérieurc 2' et une partie extérieure Z". L'intégrale étendue à 2" est comparable à / -iTïï' car le rap-

port - reste compris entre 7 et 7 lorsque P décrit 2", ou à l'inlé-

^ r^ da

grale simple / olJ^-x ^"^ désignant par R un nombre positif

assez grand pour que le cercle de rayon R et de centre M ren-

(j \ a-f-P— 2 if^A 1 lorsque

MM' tend vers zéro, si oc + (3 > 2, etcomme log(MM'), si a + (3 = 2. Quant à l'intégrale étendue à 2', une transformation homothétique, qui transforme le cercle G en un cercle G, de rayon un, ayant pour centre le point M, la ramène à une intégrale de même forme

■jçp^, \ , et la nouvelle

intégrale a une valeur finie indépendante de MM'.

La démonstration s'étend immédiatement à une surface quel- conque S, si l'on peut lui faire correspondre point par point une

surface plane 2, de telle façon que le rapport ^^j-rp des distances de

deux points correspondants de 2 et de S reste compris enlre deux \ïm\\.es positives, ainsi que le rapport des éléments correspondants des deux surfaces. G'est ce qui a lieu pour une portion de surface régulière si l'on peut la projeter sur le plan tangent en un de ses points, de façon qu'en prenant ce plan langent pour plan des xy^ elle soit représentée par une équation de la forme z =y*( j?, j-), la fonction /(x, y) étant continue et admettant des dérivées conti- nues du premier ordre.

Gonsidérons maintenant une surface quelconque S régulière et un point M de cette surface. Décomposons S en deux parties S', S", la portion S' entourant le point M et satisfaisant à la condition pré- cédente; M' étant un point infiniment voisin de M, nous pouvons le supposer à l'intérieur d'une courbe G entourant le point M. située dans la région S', et n'ayant aucun point commun avoc la frontière de S'. Il est clair que l'intégrale (84) étendue à S" a une valeur finie et nous venons de voir que l'intégrale étendue à S' est

infinie comme ( tttt-, l lorsque la distance MM' est infiniment

VMM / ^

petite.

36/, CHAPITRE XXX.

Cela posé, si le noyau K(M, M') est infini comme (Tr-r, )* lorsque M et M' sont confondus (a-<2), le premier noyau itéré K''^)(M, M') reste fini pour MM' := o, si a est inférieur à un et est d'ordre 2 a — 2, si a >- 1 . On voit comme plus haut (n" 561) qu'on arrivera à un noyau borné au bout d'un nombre fini d'itéra- tions. Si a = I , le premier noyau itéré est infini comme^og (MM')

et le second noyau itéré est borné, car le produit y MM' log(MM') est nul pour MM':= o.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

1. Équations linéaires {cf. n» 551). — Soit z{x) l'intégrale de l'équa- tion linéaire (24) qui est nulle ainsi que ses n — i premières dérivées pour X = Xo. Remplaçons x par s dans les d'eux membres de cette équa-

tion, multiplions par — r-f— et intégrons entre les limites Xq et x.

Il vient

z{x)

= (n-i)lj |«o(«)('^— «)""'^^^-^"-^«''-»(«)(^ — *)"~'2(*)|«^

Une suite d'intégrations par parties permet de la ramener, à une équa- tion de Volterra dont le noyau a pour expression

"(•^' ^'> = {n-i)\ ! ""-' ^'^ ^"^ ~ '^"~' ~ ds f ""-^(*^^ (''" ~ *)""' ] ^ • • •

Ce noyau est. un polynôme entier en s de degré n — i et, d'après le n" 550, la résolution de cette équation intégrale se ramène à l'intégration d'une équation linéaire qui est précisément l'équation adjointe de D(c) = o.

Comparer les deux solutions.

2. Vérifier que le coefficient de X" dans le développement de la solution de l'équation (28) (n" 552) est de la forme indiquée au bas de la page 333, les fonctions

Gn{x,r; ;, -i), gn(^,y; ?), g>,{^,y; 'i)

■/:'''''•

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 365

se calculant par voie de récurrence au moyen des formules

g'n{x,y, Ti)= / Ki{x,y; v)g'n-i(^, v; ■t\)dv, 0;5(JP,r; ?, '1)=/' r K(j:,jk; m, f)G„_,(M, t>; c, r{)dudv -^ I K(dr, j; «, Ti)^„_,(«, 7); Ç)rfM

-4- / Ki{x, y; u)Gin-\{u,y; ^,r^)du

H- Ki(j-,j; ^)g'n-d^,y; ^)-^-Kî(a:,j; ri) ^„ _ , (.r , j ; $).

3. Note de la page 343. — Soit/(j:, ^) une fonction des deux variables x, y, définie dans un domaine D, continue en tout point d'un segment de droite AB parallèle à Oy, situé à l'intérieur de D, y compris les extrémités {x^, j'q) ^^ (a?o, yi). A tout nombre positif t, on peut associer un autre nombre tj (ne dépendant que de e), et tel que l'iné- galité' \x — Xo\ <-r\ entraîne Vinégalité \/(x, y)^f{x^, 7) ! < £, y ayant une valeur quelconque dans l'intervalle (jKo, ^i)-

Si la fonction /{x, y) n'a pas de points de discontinuité infiniment voi- sins du segment AB, il suffit de prendre un domaine S, renfermant AB et ne contenant aucun point de discontinuité, et la propriété résulte immé- diatement de la continuité uniforme de /(x, y) dans 8. Mais il peut se faire que /(a:, y) ait des points de discontinuité infiniment voisins de AB. Prenons, par exemple, /(x, y) = xsin — pour ^ ^^ o et /{x, o) = o. La

fonction est continue en tout point de Ôy, et tous les points de Ox, sauf l'origine, sont des points de discontinuité.

Sans faire aucune hypothèse sur les points de discontinuité dt /{x, y), supposons que la proposition ne soit pas exacte. En procédant par subdi- visions successives de l'intervalle {yoy Ji) et en raisonnant comme on l'a déjà fait plusieurs fois (I, n° 8), on démontre qu'il existe un nombre c de cet intervalle tel que le théorème est inexact dans l'intervalle

{c — p, c -^ p), aussi petit que soit le nombre positif p. Or, cela est incompatible avec

366 CHAPITRE XXX.

l'hypothèse que la fonction est continue au point {Xq, c). En effet, on pourrait alors trouver deux nombres t)', r', moindres en valeur absolue qu'un nombre positif Tj, choisi arbitrairement, tels qu'on ait

\/{Xo-+- t", c ■+■ T,') —f(Xo, C -H T)') ! > £.

Or, cette différence peut s'écrire

/(jTo-f- r;', c -+- T,') —/{Xo, c) -+- [/{Xo, c) —/{Xo, C -+- T,')]

ileur absolue de chacune des diffé a Tî'*-+- V< ^*> ^ ne dépendant que de e.

i. Étudier l'équation de première espèce (33) en supposant

R(x, s) = a^x) -h ai{x) {x — s) -^- . . .-h an{x)^^—~

posant z(x) = — j^ / (x — s)"tf(s)ds, on est conduit à une équa-

En

tion différentielle linéaire

d'^z d"—^ z

^°^^^d^~^ ^'^^^'dbP^^ H-. . .+ a„(a;)z(ar) = f{x),

dont il faut trouver une intégrale qui soit nulle, ainsi que ses n premières dérivées, pour x = o. La dérivée (/i -m )'«">« donne la fonction cher- chée to{x). [On suppose /(o) = o, la fonction f{x) ayant une dérivée continue, ainsi que les coefficients a, (a:).]

5. Equation de deuxième espèce à deux limites variables. — L'équa- tion intégrale

<fix)=/{x)-^\ K{x, s)^{s)ds,

où <\ii et <\)i sont deux fonctions continues dans l'intervalle ( — b, b), et moindres que b en valeur absolue, peut être considérée comme un cas spécial de l'équation de Fredholm, où le noyau K{x, y) est nul, lorsque^' n'est pas compris dans l'intervalle (6i, J/j). Lorsque les valeurs absolues | <iii \ et 1 1^2 ! ne dépassent pas | jr |, la résolvante est une fonction entière de X comme dans le cas de l'équation de Volterra. Il suflit de comparer l'équa- tion à une équation auxiliaire de la forme

<!)(» = N -(-X / M*(5)rfs, qui admet la solution Ne^^l^L

6. Résolution de Véquation de première espèce par appro'xim.ations

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 867

successives. — On considère l'équation plus générale

f K(s, s)o{s)ds-^\ f [K{x, s) — K{s, s)]^(s)ds=/is), et l'on cherche une solution formelle

Ç(X) = 9o(^) ■+- '> ?l(^) -»-• ■ ■-+- '>" ?n(^) ■+■

En supposant K(p, o) ^ o, on trouve une série convergente qui, pour À = i , est identique à la solution de \ olterra.

On peut aussi appliquer la même méthode dans le cas de l'équation d'Abel généralisée (E. Picabd, Comptes rendus, t. 139, 25 juillet 1904).

7. Équation de Volterra à plusieurs variables. — La résolution de l'équation de seconde espèce (28) peut se ramener à la résolution succes- sive de deux équations de la (orme ( i ) et d'une équation de la forme (27). Ecrivons l'équation (28), en supposant X = i,

?(^, v) = / K,(.r,,)-: ?)?(?,r)r/CH-V(.r,j),

\{x, y) désignant l'ensemble des autres termes. Si l'on considère, dans cette équation, y comme un paramètre, on en tire

^{x,y) = \{.r

^ }')-+■ / S(j;, j)-; u)\{u,y)du,

?){x,y; u) étant une fonction connue. Cette nouvelle équation est de la forme

/i et H étant des fonctions connues. En désignant par W(.2r, y) le second membre, on tire encore de cette relation

z{x,y) = W{x,y)-h f T{x,y; v)W{x, i>) d^-,

T étant une fonction connue. Enfin, en remplaçant W par son expression, on aboutit à une équation de la forme (27) (Volterba. Leçons sur les équations intégrales, p. 76).

CHAPITRE XXXI.

L^ÉQUATION DE FREUHOLM,

I. — LES THKORKMES DE FREDHOLM.

564. Aperçu d'une méthode d'induction. — On a remarqué, dans l'étude des équations oifférentielles (II, n° 392), que la pre- mière méthode de Gauchy, celle qui consiste à regarder une équa- tion différentielle comme limite d'une équation aux différences, permettait en général de définir l'intégrale dans un champ plus étendu que les autres méthodes d'intégration. Elle se manifestait donc à cet égard comme la plus puissante. C'est en partant d'une idée analogue, déjà utilisée par M. VoUerra, que M. Fredholm a pu résoudre l'équation intégrale de seconde espèce pour des valeurs quelconques du paramètre >. Dans son Mémoire fonda- mental {Acta mathematica^ t. XX VII, ipoS, p. 365), il a expose d'une façon synthétique les résultats trouvés par induction, en vérifiant que les expressions obtenues donnaient bien la solution du problème. Nous suivrons une méthode mixte, en utilisant le développement déjà obtenu de la résolvante.

Pour résoudre l'équation de seconde espèce

(I) ?(

x) = X f K{x,s)^{s)ds^/ix),

où le noyau K{x, y) est supposé borné, remplaçons l'intégrale du second membre par la somme

h[K(x, s,)9i-(-K(x, Si)<fi-h. . .■+■ K{x, s„)<fn], où l'on a posé, pour abréger,

A = , Si=a-hih, Çi=o(Si) ( t = ï, 2, ... ., «).

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 369

L'équation ( i ) est ainsi .remplacée par l'équation fonctionnelle

(2) <D{x)=-/ix)-hl[K{j:, 5i)(p,-i-.. .-f-K(a;, Sn)o„]/t,

qui permet de déterminer 9,, 90, •• -, 9«. Si l'on fait, en ett'et, successivement x = St, x =^ s^^ . . . , x = Sn dans cello équation, on obtient n relations linéaires cp) , 92» •• • , 9«i

; <fi — XA[K(5,, s,)çi^- K(5,, 5.)9j-f-. . .-K K(5i, s„)?„| :=/,,

*' 1

\ <p„ — ÀA[K(5;,, 5i)?i-(- K(;.s„, «2)?o-h...-HK(i„. s„)o„] =/„.

Les expressions de (p<, 92» - • •■, <?« déduites de ces équations se présentent sous forme de fractions ayant pour dénominateur commun le déterminant

(4)- D„(X)^

— )s \<(Si, Si)k — }. K(Si, 52)/i ... — ÀK(Si, S„)/i

~\K(si,Si)h \ — XK(si, Si)h ... — X K(i-., 5„)/i

XK(s;,,5,)/t — Xh(s„,52)A ... i — \K(s„,Sn)h

le numérateur de cp^ est de même un déterminant d'ordre Ji, t)',(?i) qu'il est inutile d'écrire. Supposons maintenant que les deux nombres n et i augmentent indénnimeul de façon que si tende vers un nombre x compris entre a et b. Il est possible de démontrer en toute rigueur que D„(X) et D^X) ont pour limites deux fonctions entières de X ( ' ). Mais nous ne considérons ce pro- cédé que Comme un moyen d'induction, et nous allons chercher seulement ce que devient le déterminant D„().) lorsque n croît indéfiniment.

365. Les fonctions D (!) et D ( - À j. — 11 est commode, pour

simplifier l'écriture, domployer la notation abrégée suivante, due aussi à M. Fredholm; étant donnés deux systèmes de n variables

(xi, x.>, ..., x„) m (îi, y,, . . . , y„),

(') C'est ce qu'a fait M. Hilbert dans ses premiers Travaux sur ce sujet (Erste Mitteilung, Gôttingeii Nachrichten, 190^).

370 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

on pose

Vri.v, ....v,,/

K(j-,, rO K{x., y^) ... K(.r,. .)„) K(x„,yi) K.{x„,yi) ... K(j:„, y„)

la variable xi figure dans tous les éléments de la f'*'°* ligne et dans ceux-là seulement, et la variable yjt dans tous les éléments de la A"'^""* colonne et dans ceiix-là seulement. Il s'ensuit que si l'on permute les variables (xi^ Xk) ou les variables (y/, Jjt), le délcrmi- nanl change de signe; il ne change pas si l'on permute les deux couples de variables {xi., Vi) et (Xk^yk)- On peut donc écrire les /t couples de variables (j7,,yj) dans un ordre arbitraire sans changer

la valeur du déterminant. En particulier, la fonction K ( * '' " ' " )

\XiX.....X„/

est une fonction symétrique de Xf. x^., . . . , x„.

Cela posé, imaginons qu'on développe D„(À^ suivant les puis- sances de X; on obtient tous les termes de degré p en 1 en prenant tous les déterminants d'ordre p déduits de D„, en supprimant les lignes et les colonnes qui renferment n — p éléments pris arbi- trairement dnns la diagonale principale. Le coefficient de ( — }.)Ph'' est donc égal à une somme de déterminants d'ordre/) tels que

\ SiS-2 . . .Sp / ■

or, le produit de ce déterminant par hP est un des éléments d'une somme qui a pour limite l'intégrale multiple

et cet élément ligure pi fois dans cette somme, puisque

K

S1S5

SiS. . . . Sf,

est une fonction symétrique de .Ji, .îoi • • •> ^p- H en est évidem- ment de même de tous les déterminants analogues et, par suite, le

coefficient de ( — ^f dans le polynôme D„(X) a pour limite — j I^

lorsque n augmente indéfiniment. Nous sommes donc conduits à

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 871

considérer la série entière

(5) D(X) = 1 — X y K(s,, 5,)</s* ^....

P'- Ja Ja Ja V*.^î---*W

qui est convergente pour toute valeur de \. En effet, d'après un théorème de M. Hadamard (I, n° 54), le coefficient de /" est infé-

n

rieur en valeur absolue à M" (6 -- a)" —7» M étant une limile supé- rieure de I K (a-, j) i ; or, la série dont le terme général est égal au produit de X" par l'expression précédente est convergente, car le

rapport de deux termes consécutifs Àt/ ( 1 -+--) ^^"^

vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Nous allons maintenant vérifier que le produit de la fonction entière D(/,) par la sérié qui représente la résolvante (n" 559) est encore une fonction entière de X. Soit D ( P- ) la série entière

\y\. '

en X obtenue en faisant ce produit, que nous écrirons, par analogie avec le développement de D (X),

/' = !

Le coefficient Cp^x^y) s'exprime immédiatement au moyen des noyaux K (a:, j), K'-' (ar. y), ... et des coefficients de la série (5), mais on parvient plus facilement à l'expression définitive de ce coefficient en se servant de l'équation fonctionnelle (60) (n" 559) à laquelle satisfait la résolvante. En multipliant les deux membres par 0(X), cette équation devient en effet

(7) D(^|À) = K(x,7)D(À)-f-x/' K(^, Oîj('|>-)^/*,

et en égalant les coefficients de X^* dans les deux membres, on obtient une relation de récurrence entre deux coefficients consé- cutifs

(8) C,.(^,7) = K(^, j)c^~/>y K(x, 5)C,._i(*, j)c?5,

372 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

c^ éUal le coefficient correspondant de D(X). En faisant succes- sivement^ =z 1 , 2, . . . , on vérifie aisément que les premiers coef- ficients C, , Cj peuvent s'écrire

pour vérifier que la loi est générale, il suffit de montrer que les intégrales multiples

■U, 7)

■XT ■•/'"(;:;:::::)--•-'

vérifient la même relation de récurrence que les coefficients Cp puisque G< et I, sont identiques. Or, si l'on développe le déter- minant K ( *'• P\ pgp rapport aux éléments de la première ligne, ce développement peut s'écrire, en tenant compte des re- marques antérieures,

4;:;:::::)=''<-->''(::::::;)-'^<-">''C:::::::)

Multiplions les deux membres par dst ds^ . . . dsp et intégrons etntre les limites a et 6 ; en observant que la valeur de ces inté- grales multiples ne dépend pas de la notation adoptée pour les vaViables d'intégration, on parvient précisément à la relation

^p{x,y) = '^{x,y)cp — p / K(x, s)]f,-,{s,y)ds,

'■'a

toute pareille à la relation (8) qui lie C;,_< et G;,. La propriété énoncée est donc établie, et la série obtenue en faisant le produit de D(X) par la résolvante a pour expression

Le second membre est une série convergente quel que soit >., car la valeur absolue du terme général est inférieure, d'après le

théorème d'Hadamard, à — j- [b — a)P (/> + i ) ~2~ | >. I/». La résol-

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 878

vante est donc le quotient de deux fonctions entières en À

-m

(10) r{x,y; X) =

D(X)

c'est-à-dire une fonction méromorphe du paramétre A; résultat ca- pital, qu'il paraissait difficile de ^rèyolr a priori {y oit Exercice \). Il est maintenant bien facile d'étendre à toutes les valeurs de /. qui n'annulent pas la fonction D(X) la solution donnée dans le Chapitre précédent pour l'équation de seconde espèce. On peut, en effet, adjoindre à la relation (7) la relation de même forme

(7)' d(^| X) = K(.r. y) D(X) + à/" V(., 7) d(^| XJ

ds.

Cfui s'établit de la même façon. En divisant ces deux relations par D (X), on retrouve les équations fonctionnelles (60) et (61) du n° 359, qui caractérisent la résolvante, où l'on aurait rem- placé T{x.y; V) par son expression (10). Les raisonnements de ce paragraphe conduisent alors au premier théorème de Fredholm :

Si A n^est pas racine de Véquation D(X) = o, V équation de seconde espèce (i) admet une solution et une seule (^i est donnée par la formule

(11) ?(:r)=/(.r)-HX / _1-J_^ /(.) ^5.

On démontrerait tout pareillement que l'équation de seconde espèce associée à l'équation ( i),

(12) ^(.r) = X^ Y.{s,x)-\{s)ds + i,r{x), admet une solution et une seule représentée par la formule

(i^i) •M-^-)-^'(-^-) + >- / L)(X) ^^'^'^'-

Ces formules se déduisent des formules (09) et (63) du n" 359 en y remplaçant \(^x. y\ \) par ^ ^ ^ ( P)' c'est-à-dire par

374 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

l'expression analytique de la résolvante qui est valable dans tout le plan de la variable 1 (').

566. Dévoloppement de D'Çk) : D(X). — La dérivée logarith- mique de D (k) a un développement très simple dû aussi à M. Fredholm. Pour y parvenir, remplaçons x el y par ^ dans i'idenlité (6) et intégrons les deux membres entre les limites a et b. D'après la formule (9), l'intégrale du premier membre est précisément — D'(X); pour avoir l'intégrale du second membre, supposons r(a:, y; X) remplacée par son développement suivant les puissances de X et | X | inférieur au rayon de convergence de cette série. On peut alors intégrer terme à terme, ce qui donne

I V{s,s\ À) 6^5 = Ai-H A2X -H. . .-I- A„X"->-i-. . .,

en posant, d'une façon générale,

(i4) \„= f f ■■■ f ^(*'- ^s) *^(*2' •'<■■■■) ■ ■ ■ ^(*'" «1) '''*■' "'*■■■; • • • ^■'"

f

b

K<«)(s, s) ds

et nous obtenons la nouvelle relation

^'^^ ^^=._G(X)=-(A,+ A,X-^...+ A„X"-' +...).

On en tire, en intégrant et observant que D (o) = i ,

(16) D(X) = e V ï " \

Les nombres A,, Ao, . . . , A„, . . . qui figurent dans ces formules s'appellent les traces successives du noyau K (a?, _)^). Il est clair que les formules (i5) et (16) ne sont applicables que si | X | est inférieur au plus petit des modules des racines de l'équation D (X) = o. Mais si l'on développe lé second membre de la formule (16) suivant les puissances de X, on doit retrouver forcément la série (5), el par suite, le coefficient de X'' dans cette série est un polynôme entier

(') Dans toul ce qui va suivre, nous supposerons les variables réelles, mais le noyau peut prendre des valeurs complexes. Il n'y a rien à changer aux raisonne- ments, car le théorème d'fladaniard s'applique aussi aux déterminants à éléments imaginaires {voir, par exemple, Wihtinger, Bulletin des Sciences rnatli., 1907 p. .75).

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 876

par rapport aux traces x\, , Aa, . . , A», ce qu'on peut vérifier direc- tement {Exzrcice 2). Le coefficient de X" dans D (^ U) s'exprime donc lui-même au moyen de A, , Aa, . • . , A^ et des noyaux K {x. y),

Exemple. — On a cité plus haut (n*> 359) un cerfain nombre d'exemples où la résolvante est une fonction entière de À. Il est facile de vérifier que l'équation correspondante D(X) = o n'admet aucune racine. Ainsi, dans une é juation de Volterra, on doit supposer K(x, j) = o, poury >a:; il s'ensuit que toutes les traces du noyau sont nulles, sauf la première. En effet, Tun au moins des facteurs du produit K (5,, 5?) ... K (5,^,51) est nul, sauf si Ton a s, = 5^ =, , .= s„. La fonction de n \ariables soumise à l'in- tégration est donc nulle dans tout le champ, sauf sur une multiplicité à une dimension de ce champ, et l'intégrale est nulle. On a donc D(X) = e-*«^, et le résultat serait le même pour un noyau orthogonal à lui-même.

367. Les mineurs de D(X). — Toute racine 1 = 0 de l'équa- tion D(>-) = o est un pôle de résolvante. — En effet, si m est l'ordre de multiplicité de celte racine, le numérateur D ( U j ne peut être divisible par Çk — c)"', car il en serait de même de D'(>), d'après l'identité déjà signalée ,.7) ï)'Çk)^-f\l^l\\)rh.

La formule qui donne la solution de l'équation de seconde espèce n'a donc plus de sens lorsque X est racine de l'équation D(>,) = o. Pour traiter ce cas exceptionnel, Frcdholm le consi- dère encore comme un cas limite d'un système de n équations linéaires, où le déterminant des coefficients des inconnues est nul, lorsque le nombre n augmente indéfiniment. Il est ainsi conduit à introduire de nouvelles fonctions entières analogues à D/^Uj, cl qu'il appelle les mineurs de D(X). Le mineur d'ordre n est défini par la série convergente

(18)

IXxXi . , . Xn

\yxy^.--yn

376 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

le théorème d'Hadainard prouve encore que le second membre est une fonction entière de ?. lorsque le noyau est borné. Ces mineurs vérifient une équation fonctionnelle, dont la relation (7) n'est qu'un cas particulier, et qui s'établit directement. En déve-

' Xi . . . XnSi

de la première ligne, on trouve

\Ji • • -Jn—lSi . . . Sp /

loppant le déterminant k. / ^1 •• • ^"^i • • */M suivant les éléments

\Yi...ynSi ..

— K(j:i, Sp) K I

\JK1 ■■^....VnSi.. I 6 p Xi . . . Xn S]

pour avoir le coefficient de K(a;4, 5,), on commence par permuter la première et la (/i -h 0**""' colonne, ce qui change le signe du déterminant, puis on amène le couple {si, y^) à la première place dans le mineur qui correspond au premier élément K (xt, si). Multiplions les deux membres de l'égalité précédente par

j — asi ds> . . . asp,

et intégrons de a à 6 pour chacune des variables .Sj ; faisons ensuite la somme des égalités obtenues en faisant varier/) de i à -h 00, et de l'égalité précédente, où l'on fait p=zo. On parvient à la rela- tion demandée

<-' K;:;;:::;::h)= ■<(--)K;;::;;:h-)

. . Xn

-f-X / K(x^, 0 D( -■■■-^''\\)df.

En développant le déterminant K | ^ " ' "^^ • • • " ) par rapport IX éléments de la première colonne, on parvient de la même

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 877

façon à la relation

<-' K;:::;;:I'-)= -^-■M;:::.;:\')

-''<-^'>K;:;:::;;:h)--

.(-,)-k(.„,.,)d(;;;;;;-|x)

De la formule (i8) on tire aussi, en remplaçant j, par xi, mul- tipliant les deux membres par àxiàx^. . .dXn, et intégrant entre les limites a et 6, la relation

qui généralise la relation (17).

568. Équation homogène. Fonctions fondamentales. — Lorsque X n'est pas racine de l'équalion D(X) = 0, si l'on suppose /(x) nul dans l'équation (i), celte équation n'admet pas d'autre solution que 9(37) = o, d'après la formule qui donne la solution unique de l'équation de seconde espèce dans le cas général. Mais l'équation homogène

/•*

(22) o(jr) = c/ K(j:, s) ?(5)<is,

OÙ D(c) = 0. admet un certain nombre de solutions différentes de zéro, de même qu'un système de n équations linéaires et homogènes où le déterminant est nul admet des solutions non toutes nulles. Soit m l'ordre de multiplicité de la racine \=^c àe l'équation D(X)3=o; cette racine peut annuler quelques-uns des mineurs

identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs allri- buçes aux variables a?,, yk, mais elle ne peut annuler identique- ment tous les mineurs du premier ordre, du deuxième ordre, etc.,

378 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FKEDHOLM.

jusqu'à celui d'ordre m. En efl'el, les dérivées D'(X), D"(;\)..^ D""'(X) seraient nulles pour X =: c, d'après la relation (21), ce qui est impossible. Nous pouvons donc admettre que le mineur d'ordre n n'est pas identiquement nul pour X =; c. et que tous les mineurs d'ordre inférieur à n sont idenliquemenl nuls pour). =:c; le nombre n peut être égal à un. et il est au plus égal à m.

Ce nombre n avant été pris comme on vient de le dire, soit (^j, riii) un système de 2/i valeurs numériques telles que le mineur

ne soit pas nul. La relation (19) devient en remplaçant À par c,

Xi,X2, Xn para;, ^j, . . • ,E« et r^J^'a, • • -xY,, parTj,, n-^ . . . , yî„.

respectivement, et en observant que, par hypothèse, le mineur d'ordre n — 1 est identiquement nul pour X = c,

j3 / ^ ?2 . . . ?^ I \ _ ^ r j^^ ^^ <) D r ^ '■' • • • '" c\ dt.

\ '^1 T,2 . . .■t\n\ ! J„ V T,, -r,2 . . . T,„ 7

On obtient donc une solution de l'équation homogène (22) en remplaçant^, par j;, dans le mineur A, et il est clair qu'on obtiendra aussi une solution en remplaçant ^j par x, puisqu'on peut amener le couple (^i, rii) à la première place. Nous désignerons avec Fred- holm par *Pi(x) la solution obtenue en remplaçant Ij par x dans le mineur A, et divisant ensuite par ce mineur à.

Les n solutions ainsi obtenues (if^(x), . . ., <^n{x) sont linéai- rement distinctes. Nous avons, en effet, d'après la relation géné- rale (19),

D ( ^'" ^'■■■""\c)^cf °K (H,. .) D ( ' ^^ • • ■ '" I c) ds. et, par suite, l'intégrale

c f K(Ç,, s)^,{.s)ds

est égale à un pour 1=1, et à zéro pour i>> 1. D'une façon géné- rale, on établit de la même façon que l'intégrale

cj h(:,, s)^kis)ds

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 879

est égale à l'unité si « = Ar, et à zéro pour i^k. Cela étant, suppo- sons qu'on ait entre 0,(a:), . , . . ^n{x) une relation linéaire à coefficients constants

(2{ ' a, ^,{x) -+- a^ 4>2(j-) -+-... -H a„ *„(j-) = o;

en multipliant le premier membre par K(çj, x) et intégrant de a à 6, il vient, d'après les relations précédentes, a,=::o. La rela- tion (23 ) se réduit donc à une identité.

Toute solution de Inéquation homogène (22) est une combi- naison linéaire à coejjicients constants de <l>i , O..,, . . . , <&„.

La démonstration de Fredholm repose sur une remarque géné- rale, dont on se servira dans la suite. Toute fonction o{x), satis- faisant à une équation de seconde espèce (i), vérifie une infinité d'équations de même espèce dépendant d'un noyau arbitraire H(.r. s). De l'équation (i) on déduit, en effet,

I H{x.s)ç(s)ds = l / }i{j-,s)K(s,t):^{t)dsdf-i- H(x,s)f(s)ds;

si l'on ajoute cette relation à la première, après avoir multiplié les deux membres par>>, l'équation obtenue peut s'écrire

(24) ^{j-) = \f Fix. s):f(s)ds-h/{x)-^\ f H{x, s)/{s)ds,

le noyau F(x, s) de la nouvelle équation intégrale ayant pour expression

(■25) F(,jr, SI = k(.r, s) = H{x. s) ■+- X f H{x, t) K(/, s) dt.

Toute solution de l'équation (i) est aussi solution de l'équa- tion (î'.'i), quelle que soit la fonction intégrable H(j:, s).

Cela posé, soit 9(^) une solution de l'équation homogène (22). Prenons, dans la relation (24),

.'26) H(\r. 5)= ^-i-, dI''^''--- ^HcV

\tii...t,^| /

les constantes (ç,, rj,) étant prises de telle façon que le mineur d'ordre n ne soit pas nul.

38o CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Le noyau F{x,s) delà nouvelle équation intégrale (24) est égal, en ayant égard à l'équation fonctionnelle (20). où l'on aurait changé n en n + i , à

K(î„.)D("r----:HcU...-^K(c,„.)Df^---^''-^ IcV

et, par suite, toute solution de l'équation (24). où l'on suppose f{x) = o, est bien une combinaison linéaire à coefficients cons- tants de $,(x), . . ., <&,.(j7).

En résumé, si > == c est une racine d'ordre m de Véqua- tion D(X)=:o, Véquation homogène (22) admet n solutions linéairement distinctes (o < /i^ m); c'est le second théorème de Fredholm.

On démontre de la même façon que l'équation homogène associée

(27) 'h{x) = c K(s, x)'!^{s)ds

admet n solutions linéairement distinctes W^ (x). ^\{x)^ ..., ^',,(0;), la fonction ^\{x) se déduisant de D ( * '" '" c) en v

remplaçant ru par x.

Les nombres c, racines de l'équation déterminante D(À) = o, sont appelés valeurs caractéristiques, valeurs singulières, ou nombres fondamentaux ; les solutions de l'équation homogène correspondante sont les fonctions caractéristiques ^ fonctions singulières, ou fonctions fondamentales.

569. Étude du cas exceptionnel. — Prenons enfin l'équation non homogène de seconde espèce

(28) ^{x) = c C K{x,s)o{s)ds-+- f{x),

où C est une racine de D(X). La discussion de ce cas singulier conduit à des conclusions analogues à celles de la discussion d'un système de n équations linéaires non homogènes à n inconnues, lorsque le déterminant des coefficients des n inconnues est nul. D'abord, il est évident que, si l'équation (28) admet une solution, elle en admet une infinité d'autres, et on les obtient toutes en ajoutant à la première une solution de l'équation homogène obtenue en supprimant /(x) dans l'équation (28V Mais la fonc-

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 38 1

lioa f{x) doit satisfaire à certaines conditions pour qu'il existe une solution. Soit en effet ^i{x) une solution quelconque de l'équation homogène (27). Multiplions les deux membres de la formule (28) par ^i{x) et intégrons entre les limites a et 6; la formule obtenue peut s'écrire, en intervertissant les lettres s ei x dans l'intégrale double,

Le premier membre de cette relation étant nul, il doit en être de même du second, et par suite la fonction / (x) doit satisfaire aux n conditions

(Ao) / ^Vt{x)f{x) dx = 0 {i = ;, •>,.... /O

pour que l'équation (24) admette une solution.

Ces conditions sont suffisantes. En effet, toute solution de l'équation (28) satisfait à une infinité d'équations intégrales telles que (24), pourvu qu'on y remplace \ par c, quel que soit le noyau auxiliaire H (x, s). Or, si l'on prend pour H (a:, s) la même fonc- tion (26) qu'au numéro précédent, on voit que 9 {x) est égal à une combinaison linéaire à coefficients constants de <I>i {x), . . , , <I»,,(x), augmenté'e de la fonction

(3o) ^(^x)=f{x)-^ /g...%„| \i'-^^''^^(^-r!!.'.'."th)'^''

et il suffit de vérifier que cette dernière fonction (3o) satisfait à l'équBlion (28) si les conditions (29) sont satisfaites. Si l'on substitue cette expression de ^ {x) dans l'équation (28), en tenant compte de la relation fonctionnelle (19), on est conduit à une égalité de la forme

/ f{s)^\C,^%{s)\ds = o, ,=1

les coefficients Cj étant indépendants de s.

Par conséquent, pour que Véquation (28), où c est racine de D (X ) = o, admette des solutions^ il faut et il suffit que f{x)

382 CHAPITRE XXXI. ~ L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

vérifie les n conditions (29), et la solution dépend alors linéai- rement de n constantes arbitraires.

C'est le troisième théorème de Fredholm. Nous avons suivi pour l'exposition la méthode synthétique de l'inventeur. On retrou- vera plus loin ces résultats dans l'étude du noyau résolvant.

570. Extension à des noyaux non bornés. — Toute fonction méromorphe de X peut, comme on sait, se mettre d'une infinité de façons sous forme du quotient de deux fonctions entières en X. Le théorème de Fredholm fournit pour le numérateur et le dénomi- nateur de la résolvante des expressions particulièrement symé- triques, mais ce ne sont point les seules qu'on puisse prendre.

D'une part, les deux termes D (À) et D ( Àj peuvent être divi- sibles par des facteurs linéaires \ — X, qu'on peut supprimer; d'un autre côté, en multipliant ces deux fonctions par une même fonction entière de X, on obtient une nouvelle expression de la résolvante. Parmi les formes en nombre infini de T{Xy y; X), considérons en particulier celle qui est fournie par la théorie des noyaux itérés (n" 06OV Soit r„(x, r; X) la résolvante relative au ^lème noyau itéré

(3i) rn{x.y\ À) = K""(-r,j-)-i-XK(*-"')(^,jK)^...+ X/'->K(;'n)(x. j)-f-...

qui a aussi pour expression, d'après le premier théorème de Fredholm,

(32; Tn{x,y-\) =

D„()0

Dft(X) et Dn( X| étant les fonctions entières de Fredholm formées avec le noyau K'"' (a?, r), et la seconde expression de Tn{x^y; X) est valable pour toute valeur de X. Cela étant, remplaçons rn(.r, y\ !"■) par son expression tirée de la relation (Sa) dans la formule (65 ) du n° 560, il vient

(33) l\a;, ^; X) = H(.r. ,):?.)-+-; ■■ ' '

i

D„(À'')

,6 Dn('|x„)

D"{a")

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 383

en posant toujours

D„(;.|:

X" ) étant une fonction entière de À", il est clair que le

second membre de la formule (33) est une fonction mfîromorphe de X dont le dénominateur est D„(>.")

(34) r(..,r;>.) '^"<-' .''^ '■>

D«(XM

Lorsque le noyau K(:r, y) est borné, comme nous Tavons supposé jusqu'ici, on passe de la forme de Fredholm à la nouvelle oxpresî,ion de la résolvante en multipliant les deux termes par une fuQClion entière facil<î à trouver. Nous avons, en effet, d'après la formule ( 16), (35.1 \)„CK) = e V 2 n J,

et par suite, comme le prouve un calcul élémentaire facile,

(30) D„(XM = D(X)l->(o>Àj ... D(o)"--i>.),

'.) étant une racine primitive de l'équation co"= i. On passe donr de la forme de Fredholm ( 10) à la nouvelle foruie (34) en multi- pliant les deux termes par la fonction entière D (co/.V . . I) (w"-' X).

Pour parvenir à l'expression (33) de la résolvante V [.r^ y. >. 1, il nous a suffi de supposer que tous les noyaux itérés, à partir de K"'(^, j), étaient bornés, mais la démonstration n'exige pas que le novau K {x, y) lui-même soit borné. Le premier théorème de Fredholm s'étend donc aux noyaux de cette espèce, et la résol- \>ante est encore une fonction méromorphe du paramètre >.. Pour une valeur de X qui n'est pas un pôle de la résolvante, léqua- tion ( I ) admet une solution unique qui est représentée par la formule (11), à condition d'y remplacer T [x, y; 1) par l'expres- sion (34). Nous verrons plus loin que les autres théorèmes de Fredholm s'étendent aussi à ce cas.

I3ans la nouvelle expression de la résolvante, le numérateur et le dénominateur s'expriment au moyen des noyaux itérés successifs

384 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

de K ( J7. y )el au moyen des traces A„, Aan, • • -, mais les traces A,, Ao, ..., A.a-1 n'y JigurenL pas. Il est clair, en effet, qu'un

coefficient quelconque de Dn(^Uj s'exprime au moyen de A„,

Aa/,, A3,,, . . . , et des noyaux K<«) {x, y), K(*»' {x, 7), ... ; l'inKi-

grale / H {x, s ; 1) Dn ( {"k" j ds s'exprimera donc uniquement au

moyen de An, Aj^, . . . , A^,,, . . . , et des noyaux itérés à partir

•de K<"+')(a:, y).

M. Poincaré (Acta mathematica, t. 33, 1910) a indique une autre forme de la résolvante, qui s'applique à un noyau non borné pour\u que tous les noyaux itérés à partir d'un certain rang soient finis. Supposons d'abord que K(x, y) soit un noyau borné; la résolvante étant mise sous la forme habituelle (10), en multipliant les deux termes de la fraction par la fonc- tion entière

on obtient une nouvelle expression de la résolvante en posant

A«

A,X-

(j!>n ( X ) et (S>n ( \^\ sont deux nouN elles fonctions ent ières de À qui peu\ ent se déduire très simplement de D(X) et de^D f Xj. Il est clair, en effet,

que CO,j(X) s'exprime uniquement au mo5'en des traces An, A„^.i, ... ; on obtiendra donc (I>,i(X) en supprimant dans les coefficients de D(X) tous les termes qui dépendent de Ai, A», ..., A^— 1, ce qui revient à rem- placer Al, . . ., An— 1 par zéro dans la première des identités (38). D'autre part, l'identité

(38)' tD„(X) { K(ar, y) -f- X Ki=)(^, 7) -h. . . j = (Dn (^ | x)

prouve que les coefficients de (©n ( X j s'expriment uniquement au moyen

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 385

des traces A„, A„^.,, ... et des noyaux K{x, y), KWi^x. y), On

déduira donc aussi û!)n ( X ) du développement de D ( X j en suppri- mant dans les coefficients tous les termes qui dépendent de Ai, A^, \n— i.

L'' expression (87) de la résolvante est encore valable si le noyau \^{x, y) est infini pour >■ = ^, pourvu que tous les noyaux itérés restent bornés à partir de K*") (a:, y). Toutes les traces à partir de A, ont alors des valeurs finies, et l'identité (38)' est toujours exacte au point de vue formel puis ju'elle est susceptible d'une vérification directe. Il nous suffit donc de montrer que i0„(X) est une fonction entière de X admettant comme zéro tout pôle de la résolvante à un ordre de multiplicité au moins égal à l'ordre de ce pôle. S'il en est ainsi, le produit (î)„(X)r(j;, /; X),

c'est-à-dire (Ji„\ X), sera bien aussi une fonction entière de X. Or,

\y\ /

nous avons, pour les valeurs de X de module assez petit.

/

h \"{s, s; X)r/.v,

en posant

r'{x,y; X) = V(x,y; \) — hi{x, y) —. . .— X"-^K("-^)(x,y);

V{x,y; X) est une fonction méiomorphe de X, n'admettant comme pôles que ceux de la résolvante r{x, y; X) et dont la partie principale, pour chacun d'eux, est identique à la partie principale de la résolvante. On vérifiera plus loin (n" 379) que tout pôle X, de la résolvante est un pôle

simple de — / r'{s, s; X)ds, dont le résidu est un nombre entier égal

ou supérieur à l'ordre du pôle. La fonction iî>„(X) est donc bien une fonction entière de X, satisfaisant aux conditions énoncées, ce qui démontre la proposition de M. Poincaré.

Remarque. — '■ Dans le cas particulier où les noyaux itérés restent finis pour y = x à partir de K(2'(.r, y), ce qui arrivera si K(.r, r) est

d'ordre a < -j on peut prendre n = 2, c'est-à-dire supprimer \, dans les

développements de D(X) et D ( X). Or, tous les termes renfermant Ai

dans ces développements proviennent uniquement des éléments de la dia- gonale principale dans les déterminants de Fredholm. On peut donc con- server les expressions de Fredholm pour D(X) et D( X|, à condition <le remplacer par des zéros tous le* éléments de la diagonale principale r.ouRSAT. — m. 2")

386 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

dans les déterminants qui figui-ent dans ces expressions. Cette élégante lemaiciue est due h M. Hilbert (M.

Pour certains noyaux non bornés, la solution même de Fredholm

est applicable. Tel est, par exemple, le cas du noyau — -^ -,

lorsque W{jc, y) est borné, a étant un exposant positif inférieur à un (a'' oOl). On vérifie '- ncore que la série (5) est une fonction entière de X, au moyen de l'inégalité d'Hadamard. Quant au déve- loppement (9), il est de même égal au quotient d'une fonction

entière de X par rr^^^ l'égalitt'

I)(-^;|x^ = D(X)r(.r..K;X.),

où r(j7, y] "k) est le développement du u" 361, s'établit de la même façon que plus haut.

o7l. Étude des noyaux XX/Yj. — On est encore conduit à la solution de Fredholm par un autre procédé d'induction fondé sur l'étude d'un cas particulier où la résolution de l'équation intégrale de seconde espèce ne prc'scnie aucune difficulté; c'est le cas où le noyau K(.r, y) est de !a

forme ^X< Y/, les Xj et les Y/ ne dépendant respectivement que de la

1 = 1 variable x et de la variable y. On peut supposer que les n fonctions X; sont linéairement distinctes, ainsi que les fonctions Y/; s'il en était autre- ment, il est clair que le noyau pourrait se mettre sous une forme analogue, avec moins de n fonctions de x. L'é ]ualion intégrale prend la forme

(40) z{x)=J\x)^\ f [X,(x)\,{s)^...^Xn(x)Yn{s)]f{s)ds; il est évident que toute solution ?(-c) est de la forme

(40 ?(.r) =/{x) + n,Xi(.r) +. . .+ UnXnix),

IIi, Hi, ..., H,i ('tant dos coefficients constants. Pour calculer ces coeffi- cients, nous n'avons qu'à remplacer ~i{x) et ?(«) par leurs expressions correspondantes dans les deux membres de l'équation (4o), et à écrire que les coefficients de X;(^) sont K-s mêmes de part et d'autre. On obtient

(') Gôttingen IS'achrichlen, icjo'i, p. 81.

I, — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. insi les n équations linéaires,

387

(i-À«H)Hi-À«2,H.-...-Xa,nH„=/. f \,{s)f{s)ds,

^ a

-À«,„H,-Xa,„H,-...-K(i-Aa„„)H„=À f Y„(.v)/(5) c/i,

où l'on a posé a,^t= 1 \i{s)\ k{s) ds. En résolvant ces équations linéaires,

on obtient pour Hi, H^, ..., n„ et, par suite, pour ç(a:) une fonction rationnelle de X qu'on peut écrire, on le voit aisément.

(43) ,(,,=/(,)+_L_jrV,(^| ).)/(«)

D„(X) et r),i( \h\ étant les deux déterminants

ds.

(44)

D„(X)

I — A ai, — Aa^i — Xaij i — \a-ii

— la„.

(45) D„(;|x)

— Xaj,, — Xajn ... I — Xa,(„

o X,(jr) Xi(x) ... Xn{^)

Y, (5) 1 — Xa,! — Xaji ... — Xa„,

^.i(*) — Xa|.3 I — Xa-j-i ... — Xa„2

V„(5) — Xai„ — Xa2n

«n/i

Par quelques transformations assez simples de déterminants ('), on

démontre que les déterminants D„(À) et D„( ' Xj sont identiques aux

fonctions de Fredholm formées avec le noyau SX<Y;, ce qui conduit par induction à la solution générale de l'équation ii) pour un noyau de forme arbitraire. Nous vérifierons seulement l'identité du [déterminant 'D„(X) avec la fonction déterminante de Fredholm. Remarquons d'abord que le noyau K{x, y) peut se mettre sous la forme SX/ Y,- d'une infinité de façons, car on peut remplacer les fonctions X/ par n combinaisons linéaires dis- tinctes à coefficients constants de ces fonctions; les /* fonctions Y; doivent

(') GouRSAT, Bulletin de la Société mathématique, t. 3G, 1907, p. i63. LKnESOLE, Ibid., t. 36, njoS, p. 3.

388 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

en même temps être remplacées par n combinaisons linéaires de ces fonc- tions dont les coefficients dépendent des premiers. Il est clair que le déter- minait D„(X) est indépendant du choix particulier des fonctions X/ qu'on a fait pour mettre le noyau sous la forme SX^Yj, et que ce déterminant ne dépend (jue du noyau K{x, y) lui-même. Nous allons montrer comment on peut profiter de l'indétermination des fonctions X/ pour réduire D„(X) au produit des éléments de sa diagonale principale.

Le noyau K(jr. y) étant donné sous la forme 2 X/ Y/, d'une façon quel- conque, imaginons qu'on cherche une combinaison linéaire à coefficients constants X = Xa,\, telle qu'on ait

(46) f K(j-,s)X{s)ds^cX{x),

c étant un facteur constant. Les fonctions X,- étant linéairement distinctes par hypothèse, les n coefficients a,- doivent jvérifier n équations linéaires et homogènes dont le déterminant égalé à zéro fournit une équation en c de degré n, qui se déduirait précisément de l'équation _Dn(X) = o, en y remplaçant À par -• A chaque racine de cette équation correspond au

moins une fonction X(a:) satisfaisant à une relation de la forme (46), la constante c pouvant d'ailleurs être nulle. Si l'on a pris l'une de ces fonc- tions pour Xi, il est clair que -la relation (46) ne pourra être vérifiée que si l'on a a^ ^ . . .— am = o.

Ayant choisi Xi de cette façon, on peut ensuite recommencer les mêmes raisonnements et les mêmes opérations sur le noyau XjY.-i-. . .-h X„Y„, et ainsi de suite. On arrivera ainsi à mettre le noyau donné sous une forme telle qu'on ait aj*= o pour i < k; nous dirons pour abréger que le noyau est mis sous une /orme réduite. Le déterminant D„(X) se réduit alors au produit (i — oiiX). . . (i — Unn^-). Il reste à exprimer les sommes des puis- sances semblables S^= 2a^- au moyen du noyau K{x,y). Des relations

b h

/ XK5)Yf(5)./.v=^a», / \i{s)Yk{s)ds^o {i < k)

•a "-a

on rire immédiatement

Si = aii-4- a.2-4-. . .-t- a^y, = / K{xx,Xi)dX'^

et d'une façon générale

(47) S,,= 1 f ... I \i(xi,x<,)K{Xi,X:i)...K{xp,Xi)dxidx,...da:p.

En effet, un terme quelconque de l'intégrale multiple est un produit de p facteurs atk- Si tous les indices ne sont pas égaux, il y a au moins un de ces facteurs qui est nul, et par suite l'intégrale est égale à £a{-. On voit

I. — LES THÉORÈMES DE FREDHOLM. 389

que les sommes S^, sont précisément les traces successives du noyau K{x,y). Le développement de la dérivée logarithmique de D„(X) est donc iden- tique au développement de la dérivée logarithmique de la déterminante de Fredholm (n» 366), et, comme D„(o) = D(o) = i, les deux fonctions sont identiques.

Remarque. — Le noyau étant mis sous une forme réduite, D„(X) est un polynôme de degré n si aucun des nombres au, ass. ...,««« n'est

égal à zéro, tandis que D„(^|x 1 est au plus du degré n — i. Supposons au contraire que quelques-uns des nombres au soient nuls, par exemple rtii, «ïs, • -, a.pp, les autres étant différents de zéro, D„(X) est du degré n — p tandis que D„( ^ X j ne peut être de degré inférieur, car lé coef- ficient de \i{x)Yx{s) par exemple est bien du degré n—p. Il s'ensuit que la résolvante est une fonction rationnelle de X qui est nulle pour X infini si aucun des nombres au n'est égal à zéro, et dans ce cas seule- ment. Or le noyau X(ar, y) étant mis d'une façon quelconque sous la forme SX, Y/, les nombres au qui figurent dans la forme réduite sont

les racines de l'équation C D„ ( - j = o. Pour que la résolvante soit nulle

pour X infini, il faut donc et il suffit que le déterminant D„(X) soit de degré n.

o72. Autre méthode d'induction.— La solution de Fredholm étant supposée établie pour un noyau de la forme spéciale SX,- Y/, on peut passer directement de ce cas élémentaire au cas d'un noyau continu quel- conque par un passage à la limite (i). Soient, d'une façon générale,

K,(ar,7), Kî(a:,j), ..., K„(a;,7), ...,

une suite de noyaux bornés (auxquels s'applique la méthode de Fredholm;, qui convergent uniformément vers un autre noyau K(a:, y)] dési- gnons par Dn(X), D„(^ X), D(X), d( x\ les fonctions entières de Fredholm formées avec Kn{x,y) et K(a:, y) respectivement. Il est aisé'^dc voir que D„(X) a pour limite D(X), et que D„( IXj tend uniformément vers d( X) lorsjue n croît indéfiniment. Pour démontrer le premier

point, par exemple, on n'a qu'à observer que D„(X) et D(X) sont deux séries entières en X, toujours convergentes, dont les termes sont moindres en valeur absolue (n° 365) que les termes de même rang d'une série con- vergente à termes positifs indépendants de n, et que chaque terme de

(ME- GouRSAT, toc. cit., p. 172.

Sgo CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

D„(X) a pour limite le terme correspondant de r)(X). La seconde partie s'établit de la même façon. Il en résulte que si X n'est pas racine de l'équation D(X) = o, la fonction

tend uniformément vers la fonction *P{t) qui a pour expression

<I>(:r) =/(.:) + ^^ y 'd (^-^^ [X^/C.)^.. D'autre part, l'équation (4») ?„(ar) = Xr K„{x,s)on{s)(/s^f{x)

peut s'écrire (49) 9„(a-) = X r K(.r, s)<^{s)</s-h\ f [Kn{x, s)-K{x, s)];fnis)ds

+ >• f i^nii) - t>{s)]K{x, s) ds -^-fix);

si n croit indéfiniment, les deux dernières intégrales du second membre tendent vers zéro, et il reste à la limite

(5o)

«l>(.r) = X f K{x, s)<t>is)ds^/{x),

ce qui montre que la solution de Fredholm est applicable ;i l'équation intégrale de noyau K(j;, c). On en déduit que la solution de Fredholm s'applique à un noyau continu quelconque, puisqu'on peut trouver une suite de polynômes P;,(.r, y) convergeant uniformément vers ce noyau (n^'i^l i, et tout polynôme est bien de la forme SX/Yj.

M. Lebesgue i^loc. cit., p. ii et suiv.) a beaucoup généralisé celte méthode, et montré que la solution de Fredholm était applicable dans des cas étendus à des noyaux non bornés. On vérifie d'ailleurs ce résultat en observant que, dans le cas d'un noyau de la forme 2X/Y<, la méthode du n° 571 ne suppose pas que les fonctions X/ et Y, soient bornées, mais seulement que les produits X/(^)Y*(*), f{s)'\i{s) sont intégrables. Tel

est le cas du noyau l/"^ (n" 361), dont on ne peut déduire par des itéra- tions un noyau borné. La plupart des questions qu'on peut se proposer pour une équation intégrale de seconde espèce se résolvent de même aisé- ment pour un noyau de la forme 5iX, Y,, et la solution peut fournir d'utile* indications pour le cas général.

ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT, Sgi

II. — ETUDIi; DU NOYAU RKSOLVANT.

573. Systèmes orthogonaiix et biorthogonaux . — Dans ce para- graphe el les suivants, nous considérons des fonclious qui peuvent avoir des discontinuités en nombre quelconque dans l'inler- \alle (a, 6), mais qui sont intégrables ainsi que leurs carrés dans cet intervalle; on exclut seulement les fonctions discontinues f {x)

telles qu'on ail / p(x)dx=^o (voir le Chapitre suivant).

Soient u et v deux fonctions quelconques de cette espèce; nous poserons, pour abréger,

(in.-) = I u{x)v{x) «Ix;

d'après l'inégalité de Schwarz, cette intégrale a une valeur finie

puisque les intégrales / u- dx, f v- dx ont des valeurs finies.

Si l'on a {uv) = o, les deux fonctions a et p sont dites orthogo- nales. Une suite de fonctions, en nombre fini ou infini,

(5i) z,{x), o,(^), .... o„(,r), ...,

forme un système orthogonal si Ton a (9/9^) :=o, lorsque les indices i et /«• sont différents. Il est clair que tout groupe de fonc- tions, prises dans un système orthogonal, est aussi un système orthogonal. Si n fondions 9,, ..., 0,1 forment un système ortho- gonal, elles sont linéairement distinctes. En effet, s'il existait entre elles une relation linéaire et homogène à coefficients cons- tants, en multipliant le premier membre par o,(x) et intégrant entre les limites a et 6, on en déduirait que le coefficient de '^i{x) dans cette relation doit être nul.

Le système orthogonal (5i) est dit normal, si l'on a (9/ 'y/) = '; quel que soit l'indice i. Pour transformer un système orthogonal quelconque en un système normal, il suffit évidemment de diviser chaque fonction Oi{x) de ce système par \/{'Jio,).

Etant donné un système de n fonctions linéairement distinctes

on peut former n combinaisons linéaires à coefficients constants

392 CHAPITRE XXXI. — LÉQUATION DE FREDHOLM.

de ces fonctions, formant un système orthogonal. Prenons, par exemple, 4>, (j?) = (p< (a?), et déterminons la constante Ci(f>i) de façon que les deux fonctions ep-, [x) et T.i{x) = cpi(x) — co, {x) soient orthogonales; dans la nouvelle suite de fonctions ^i{x)^ ^^{x), . . ., t:„{x), la première fonction ^i{x) est orthogonale à toutes les suivantes, et par suite à toutes leurs combinaisons linéaires. D'ailleurs ces fi — i fonctions TZi{x) sont encore linéai- rement distinctes, et l'on peut opérer sur la nouvelle suite comme sur la première. Au bout de n transformations de ce genre, il est clair qu'on arrivera à un système orthogonal de n fonctions <^i, $a, ..., $„, qu'on pourra ramener à un système normal par le procédé indiqué tout à l'heure.

Le système orthogonal qu'on peut déduire des n fonctions 9<, cpo, ..., 9,1 n'est pas unique; il est clair, en effet, que tout système orthogonal de n fonctions donne naissance à un nouveau système orthogonal quand on effectue sur les fonctions de ce système, considérées comme des variables indépendantes, une substitution orthogonale quelconque.

De même, on dit que deux suites de fonctions, en nombre Hni ou infini, se correspondant une à une,

(52) î?^' ^'' •••' '"

1, 4^2, -•-, 4'". ••■•

forment un système biorthogonal, si l'on a {(fi^k) = o, pour i ^ k. Les fonctions 9; et (j'/ de même indice sont dites associées. Si l'on a (9j4',) ^ o, quel que soit i, on peut supposer (9/4'j=^ ', car il suffit de diviser 9,(3?) par (9/i|;,) pour que la condition soit vérifiée. Le système (32) est dit alors système normal. Un nombre quel- conque de fonctions appartenant à l'une des suites d'un système biorthogonal, pour lequel on a [a^i^i) r^o quel que soit i, sont linéairement distinctes. En effet, s'il existait une relation linéaire entre les n fonctions 9,, 93? • • •? ?n par exemple, en multipliant le premier membre de cette relation par ^k{^) {k'^n)^ et inté- grant de a à 6, on en déduirait que le coefficient de 9/1(^7) dans cette relation est nul.

Soient (94, 92, . . ., 9;,) et (4'<, (l^a» • ■ ••> 4'/') <^eux groupes de p fonctions tels qu'il n'existe aucune combinaison linéaire des 9/ à coefficients constants (l'un au moins n'étant pas nul) qui soit

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. Sgî

orthogonale à tous les 4»/, et inversement; on peut déduire de ces deux groupes de fonctions deux groupes formant un système biorthogonal. Remarquons d'abord qu'il résulte des hypothèses que les p fonctions 9/ sont linéairement indépendantes, ainsi que les p fonctions ^i; en efl'et, s'il existait une combinaison linéaire des cp, qui fût identiquement nulle, cette combinaison linéaire serait orthogonale à tous les ^j;,. Cela étant, prenons <I>, (a?) = 9, (jc), et soit Wt (x) une combinaison linéaire des ^ telle que (<I>i Wt ) ne soit pas nul. Choisissons ensuite les 2/? — 2 coefficients Co, C3, . . . , Cp, c'.,, . . . , c'/, de façon qu'on ail

(*,, •{/, — c;U*,^ = 0, (»F,^ ç,-c<4»i) = .. i/ = 2, ..../>),

ce qui est possible, puisque ($4^1) n'est pas nul. Les p — i fonc- tions (7:2, • . • , T^p), où ;:,:= cp^ — Ci<I>i, sont linéairement distinctes et orthogonales à W^ ; de même, les yo — i fonctions (x^, • • • > X/>)î où xi='h — Cj^i, sont linéairement distinctes et orthogonales à^f. 11 est clair d'ailleurs qu'aucune combinaison linéaire des tc,- ne sera orthogonale à toutes les fonctions xi et inversement. En recommençant la même opération sur les deux groupes de fonc- tions (tto, r.■^. .... -/,) et {yj2 ,. . ., -/j,), et ainsi de suite, ou arri- vera évidemment à deux groupes de^ fonctions (<!►,, <!>..,, . . . , O^) et (^'',,^''o, ....1'"/,) formant un système biorthogonal, qu'on pourra rendre normal par le procédé indiqué plus haut.

Beniarque. — Nous avons supposé implicitement que la variable et les fonctions étaient réelles. Il n'y a rien à changer aux raisonnements en ce qui concerne les systèmes biorlhogonaux lorsque, la variable x étant toujours réelle, les fonctions 9, et ^; prennent des valeurs complexes, car l'hypothèse de la réalité n'in- tervient pas dans les raisonnements. 11 n'en est pas de même pour un système orthogonal, et il y a lieu de généraliser la définition, lorsque les fonctions peuvent prendre des valeurs complexes. Nous dirons que le système des fonctions 9/ est un système orthogonal si, en faisant correspondre à chacune de ces fonctions la fonction conjuguée, on obtient un système biorthogonal. Il est alors aisé de démontrer que n fonctions formant un système orthogonal sont linéairement distinctes et que, inversement, étant données n fonc- tions linéairement distinctes, on peut en déduire n combinaisons linéaires à coefficients constants formant un système orthogonal.

394 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

o74. Noyaux orthogonaux et semi-orthogonaux. — Deux

novnux K,(a:, )') el K2{x, y), bornes ou non, sont dits ortho- gonaux s'ils vérifient les deux conditions

(53) f Ki(x, s)Kî{s,y)r/s = o. C Ko{d:, s)K,{s, y) ds ^ o.

quelles que soient les valeurs des variables x, r; ils sont semi- orthogonaux si une seule de ces conditions est vérifiée ( ' ).

Théorème A. — Etant donnés deux noyaux orthogonaux

K, (j7, j'), K2(x, r)? lo. résolvante r(a7, y\ À) relative au noyau S(a', y) = Ki (x, y) -f- KoCx, y) est égale à la somme des résol- vantes Tj^{x, y; X), T^ix, r; X), relatives à ces deux noyaux.

Il suffit d'observer que, si Kt et Ko sont orthogonaux, deux noyaux déduits de Ki et Kj par un nombre quelconque d'itéra- tions sont aussi orthogonaux. On a, par exemple,

K^f(x,y)= f Ky-^^x, t)hç,(t,y)dt, et l'on peut écrire

(54) / Y.\!\x,sW{'\s,y)ds

= r r Cwif-^Hx, u)K2{u, s)K^(s, v)K\''-*^{v,y)dsdudi' C f K!/-<>(x, ii)K^i'-^^{v,y)rludv Ç K.{u, s)K^{s, v)ds = o: on prouverait de même qu'on a

r K\"^{x, s)Kif{s.y)ds = o

en écrivant autrement les noyaux itérés. 11 résulte immédiatement

(') i;. GoLKSAï, Comptes rendus, t. liô, p. 667 et 702, 1907; Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1' série, t. X, 1908. — B. Heywood, Comptes rendus, t. l'ij, p. <)o8; Journal de Mathématiques, 1908. J'avais aussi démontré les théorèmes A et B, en mappuyant sur la structure des déterminants de Fredholm.

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. Sgô

des relations (54) que le noyau S -'(a^, y) déduit de K^ -\- Ko par une première itération est préciséinenl K',-'(a^, j) -f- K!,-'(3, y), et l'on vérifie ensuite de proche en proche que le n'"""' noyau itéré S"" (./•,.)') est égal à K.^"\x, y) -hK^^'\x, y). En ajoutant les deux développements des résolvantes F, (x, y; X), l\{x, y; >.) (n" oo9), on parvient à la formule qu'il s'agissait d'établir

(55) T{x,y; l) = Ti{x,y; X) -i- r.(x,y; X).

Il est évident qu'un noyau orthogonal à plusieurs autres est aussi orthogonal à leur somme, ce qui permet d'étendre le théorème à un nombre quelconque de noyaux : 6"/ n noyaux Kt, K,. .... K„ sont orthogonaux deux à deux, la résoUante rela- tive à leur somme S(./ , r) = K, + . . . + K^ est égale à la somme des résolvantes relatives à chacun des noyaux.

La démoustratiou prouve que, de tout couple de noyaux ortho- gonaux R,, K.,, on peut eu déduire une infinité d'autres. En ellel, la somme d'un nombre quelconque de noyaux déduits de K, {x.y) par itération est orthogonale à tout autre noyau déduit de K...(a:, y) de la même façon. Les novaux résolvants eux-mêmes Yx(j\ y. /.), r..,(./', y\ ;jl) sont aussi orthogonaux, quels que soient /. et /j..

Soient ç/| (./•) et o... (j: ) deux solutions des deux équations inté- grales

,/,

Ç.,{X) = ■/. / K.,{X, S)Z:..{S) C/S -hj\,x),

OÙ K, et Ko sont deux noyaux orthogonaux. Si A n'e^t pas une valeur singulière pour l'un des noyaux, q, (x) + cpo(:r) — /(^) sera solution de l'équation intégrale

.// '\>U) = À / } K,( ./•. s) -^ lv,(.r, s) } i>(s) ds -4-/(.r),

d'après le théorème général qui précède sur les résolvantes.

Il est facile de vérifier directement cette propriété, car la rela- tion à vérifier se réduit à

,. h , h

j k,(x,s)[z,(s)-J\s)]ds-^J W,{x,s)[z,{s)-/{s)lds = o,

396 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

et les deux inU''grales sont nulles, en vertu de l'orlhogoualilé des noyaux et des équations int(^grales elles-mêmes. Remarquons que celte démonstration s'applique aussi au cas où X serait une valeur singulière pour l'un des novaux, et que la propriété s'étend à un nomljre quelconque de noyaux orthogonaux deux à deux.

Considérons maintenant deux noyaux semi-orthogonaux et supposons, par exemple, que ces noyaux vérifient la seconde des relations (53). Nous dirons pour abréger que ^^{x. y) est orthogonal à droite à K, (x, y), tandis que K< (a:, y) est ortho- gonal à gauclie à K.j(jr, y). Les noyaux ¥J-j,\x^ y) et K','"(a7, y) déduits des premiers par un nombre quelconque d'itérations sont dans la même relation, c'est-à-dire que tout noyau déduit de ^^{x, y) par itération est orthogonal à droite à tous les noyaux itérés de K,(.27, y). La proposition est démontrée par la formule (54), dont le second membre s'annule en vertu de la seconde des relations (53). Cela étant, si les noyaux K, (ar, y) et K2(a:, y) sont bornés, ou, d'une façon plus générale, si la solution de Fredholm est applicable pour chacun d'eux, on a le théorème suivant :

Théorème B. — Soient K^{x^ y) et ¥i..2{x.y) deux noyaux orthogonaux ou semi-orthogonaux, D,(?.), D2(X) les fonctions déterminantes de Fredholm pour ces noyaux; la détermi- nante (D{}.) de Fredholm pour le noyau S(x, y) = Ki-\-K.j est égale au produit D, (X) D...(X),

On vérifie de proche en proche, en tenant compte des relations précédentes, que le noyau S'''^^^", y) est de la forme

^ n '^ a ^ a

r'' r'

-^ SC;,,^ j I KY'Kfy s)K<-^^{s, t)dsdt; le dernier terme est nul, comme on le voit en intégrant d'abord

II. -- ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT, 3»j7

par rapporta la variable /, et l'on en déduit que la «''"'"^ tnice du nojau S(j", » ) est égale à la somme des traces de mètuo rang de K, et de K^. On a donc (n° 566)

.... CO'(l) D\il) D'a(À)

et par suite COil) = D<(/")D2(X).

Remarque. — Si les deux noyaux sont orthogonaux, la rela- tion (56) se déduit tout de suite de la formule (55), combinée avec la relation (i5) qui donne la dérivée logarithmique de D(À). Dans ce cas, le théorème s'étend à la somme d'un nombre quel- conque ce noyaux, orthogonaux deux à deux, auxqu«ds s'applique la solution de Fredholm.

575. Application aux fonctions fondamentales. — Toute fonc- tion ©(■Z'^. non identiquement nulle, satisfaisant à une relation

(67) <s{x) = ci K(j:. ,s-)ï)(5)

ds,

est une fonction fondamentale du noyau ¥%.{x^y). D'après la for- mule générale qui donne la solution de l'équation de seconde espèce, le nombre c doit être un pôle de la résolvante pour que celte équation admette une solution nulle. Réciproquement, à tout pôle de la résolvante correspond au moins une fonction fondamentale.

La proposition a déjà été établie pour un noyau borné (n° 568). La démonstration suivante, qui repose sur l'équation fonctionnelle de la résolvante, est générale. Soit >. = c un pôle d'ordre n du noyau résolvant, et soit

^ '• ' • (a — cV> (l — c)"- '

H . _ ^ (- Aoix.y) -H A,(x,.r)i A — c) -h. . .

le développement de ce noyau dans le domaine du pôle. Po- sons 'Kz=c -h h. et remplaçons T{x, y; c + h) par son dévelop- pement dans les deux membres de l'équation fonctionnelle (60)

SgS CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

du a° 359; il vient

(58) îll^-^lli^^i^

= K(^, J) + (c + /O^ V(.r, 0 [^^^ + ■ • . J

cit.

Eu égalant les coefficieuts de II"" dans les deux meuibres, on obtielit la relation

(5y) ^n{x,y) = c j K(.r, t)n„(f, y) dt,

qui montre que B„(j:',yi) est une fonction fondamentale du noyau correspondant à la valeur singulière c, quelle que soit la valeur constante >'i attribuée à y. On verrait de même, en se servant de la seconde équation fonctionnelle ((3i) que B„(a',,jK) «-st une solution de l'équation homogène associée

'\>Ly) = ^f ïv(/, 7)^(0 ^/^

quand on attribue à jr, une valeur constante quelconque.

On a vu plus haut (n" o68) qu'à un pôle c de la résolvante ne correspondent qu'un nombre Jini de fonctions fondamentales linéairement distinctes, si le noyau est borné. Cette propriété se déduit aussi facilement du théorème B. Soit, en elFet, X = c une racine d'ordre m de multiplicité de D(X) = o, et soient ç-,, Oo, ..., cp/, des fonctions fondamentales linéairement distinctes correspondant à ce pôle; nous allons montrer qu'on ne peut avoir/? > m. Soit tti (x) une fonction telle qu'on ait c(9i t:i ) = i . Posons K{x, y) = o^{x)i:i{y) 4- K, ; les deux noyaux cp, (./•)t:i( r) et K| (vC, y) sont semi-orthogonaux, d'après la condition à laquelle satisfait la fonction tti. Or, la fonction déterminante relative au

noyau oi (.r) tti ( >) est i— - (n" o71); il s'ensuit que l'équation

déterminante D,(/.') = o relative au noyau Kif.r, )-") admet la racine X = c à l'ordre m — i de multiplicité. Or, il est facile de former/? — i fonctions fondamentales linéairement distinctes pour ce noyau Ki(x, y). En elTct, si l'on pose 'i;,.(j") = 9, (./)-!- c,Oi (.r), on a, en tenant compte de ce que <p, et 9, sont des fonctions fon-

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 399

damenlales pour K(.y, )'),

,b I •'' "I

cj ^r{s)K,{x, s)ds = '^,.{.r)-r,{u-)\cj ^,(5)?,.(5) ./^ + c,. ;

en choisissant c, do laron que le coeflicient de ^\{^') soil nul, et faisant successivement /• = 2, 3, . . . , />, on obtiendra bien p — i fonctions fondamentales distinctes pour le Jiojau Ki{x,)-). En continuant de la sorte, ou arriverait à un noyau pour lequel c ne serait pas une valei-r singulière, et qui admettrait cependant une fonction fondamentale correspondant à c, si l'on avait />> m.

Le théorème s'étend à tout noyau non borné pourvu qu'on puisse en déduire, par un nombre /îni d'itérations, un nojau auquel la solution de Fredholm est applicable. Soit c une valeur singulière pour le nojau K(a7, y) et 9(57) une fonction fondamen- tale correspondante. De la relation

Hs) = c f K{s,t)^(t)dt on tire, en multipliant les deux membres par cK(a:, s) et intégrant,

-.à

o{x) = C I K{.T, s)f{s) ds

= €'-( f K{x, s)K{s, f)o{t)dsdt = c'- I K(2)(.r, 0?(0^^ et l'on véri fie aiséujent par voie de récurrence qu'on a, quel que soi t/>,

^{x) = cP I K'/''(a-, s)<:f{s)ds.

Donc, toute fonction fondamentale pour un noyau K(a7, 7), correspondant à un pôle c de la résolvante, est aussi une fonc- tion fondamentale pour le noyau K'/''(j;, y) et le pôle corres- pondant de la nouvelle résolvante est c'' ( ').

(') La réciproque n'est pas toujours exacte. Soit 'l{x) une solution de l'équation

(!•) 'l(x)-cP r KO'>(x-, 5)v^(s)rfs:

posons

T..,{x) ----- i(x) -f-cw' I K{x, s) 'b{s) ds -+-... -h <!' • w't/-') 1 K(/'-0(.^, g) -1/(5) ds,

400 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Si la solulion de Fredholm est applicable au noyau itéré K.^P'>{x, y), il n'y a donc qu'un nombre fini de fonctions fonda- mentales correspondant à un pôle c du noyau résolvant.

Étant donnés plusieurs noyaux K, (x, r), .... K./(j7, y), orlho- gonaiix^ deux à deux, la somme

S(a:,_K) = K^{x,^)-\-...-+- Kp{x,^)

sera appelée le noyau résultant, et K,, Kj, . . . , R^ seront dits les noyaux composants. Tout pôle c de la résolvante du noyau résultant est un pôle pour l'une au moins des résolvantes des noyaux composants. Réciproquement, tout pôle de la résolvante d'un des noyaux composants est aussi un pôle pour la résolvante du noyau résultant. D'une façon générale, nous dirons qiVune fonction <f{x) est orthogonale à droite à un noyau K(x, y), si

l'on a, quel que soit x, 1 K{x, s)(f{s)ds=io. Si deux noyaux

K,(a;, y), K3(x, y) sont orthogonaux, toute fonction

est orthogonale à droite au noyau K.9(a7, y). Nous pouvons écrire, en effet,

/ Kî(:c, 5)Ki[<p(5)]./.v = / / K,(./-, s)K,{s, t)<f{t)dsdf, et le second membre est nul, d'après l'orthogonalité des noyaux.

V étant l'un des nombre o, i , . . ., p — i, et w étant une racine primitive de l'équa- tion coP= I. On vérifie aisément que t:.,{x) est une solution de l'éqi ''f^n

(e) Ti.,(x) = CIO' I K(x, s}r.^{s)ds.

D'ailleurs les fondions ic,, -,, ...., tt j ne peuvent être toutes nulles, car leur somme it, -j-Tj -)-... -hic , est égale k p<^(x). Toute solution de l'équation (E) fournit donc une solulion de l'une au moins des équations (ev), mais ne donne pas forcément une solution de l'équation (gj) {voir plus loin, n° 579).

Cependant, si l'on a choisi le nombre entier /> de façon qu'aucun des nombres cw, co)', ..., cwP-' ne soit un pôle de la résolvante relative au noyau K(x,y) (ce qui est toujours possible d'une infinité de manières), les équations {e„), où

V :=i, 2, .. , p — I, n'admettent pas d'autre solution que r..,— o; 'iz„{x) est donc identique à p\']i(x), et les équations (E) et (e^) admettent les mêmes solutions

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4oi

ïl en résulte en particulier que, si dpux noyaux ¥>.^ et Ka sont, orthogonaux^ toute fonction fondamentale pour l'un des noyaux est orthogonale à l'autre noyau. En effet, soit <p(ar) une fonction fondamentale du noyau K,(a?, j); cette fonction est de la forme cKi((p) et, par suite, elle est orthogonale à ^^{x, y), d'après la remarque précédente.

Gela étant, soient Ki, Ko, .... Kp des noyaux orthogonaux deux à deux, S{x, y) leur somme, c une valeur singulière pour le noyau K,(x, y) par exemple, ^>{x) une fonction fondamentale correspondante; o(x) est orthogonale aux autres noyaux Kq, K:,. . . . , Kp et, par suite, on a

d'où résulte la proposition suivante :

Tout pôle de la résolvante relative à un des noyaux compo- sants est aussi un pôle pour la résolvante du noyau résultant, et toute fonction fondamentale d'un des noyaux composants est une fonction fondamentale pour le noyau résultant.

Pour examiner si la réciproque est vraie, supposons p = A. Soit ^{x) une fonction fondamentale pour le noyau

.S(.r, ) ) = Ki(^. y ) H- K<t{x, y), correspondant à un pôle c. On a, par hypothèse,

?(^) = ?l(^)^?2(-^).

en désignant par '^\{x) et '^•i{x) les deux expressions cKi(9j, cK2(<p); mais les deux noyaux ¥^^ et Ko étant orthogonaux, cpi {x) est orthogonale au noyau Ko(ar, jk) et ^^{x) au noyau Ki (x, j^), ce qui permet d'écrire les relations précédentes, en remplaçant <p(j7)

parcpiH-9o,

;;,,(./■) = cKt(vpi), -^lix) = cK^lz-i).

L'une au moins des fonctions 9,, 90 n'étant pas nulle, il s'ensuit que c est un pôle pour l'une au uioins des résolvantes des noyaux K, et Ko. Si c n'est un pôle que pour l'une d'elles, pour la première par exemple, on a 90;== o, 9 = 91 et ©(x) est une fonction fonda-

4o2 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

menlnle pour Ki{x,y). Si c csl un pôle pour les résolvantes des deux noyaux, o{x) est la sotnine de deux fonctions fondamentales. Le raisonuemenl s'étend sans peine à un nombre quelconque de noyaux orthogonaux deux à deux, et en résume toute fonction fondamentale du noyau résultant est une fonction fondamen- tale pour ufi des noyaux composants ou s'obtient en ajoutant les fonctions fondamentales des noyaux composants qui cor- respondent à un pôle commun de leurs résolvantes.

En particulier, si les résolvantes des noyaux composants pris deux à deux n'ont pas de pôle commun, on obtient toutes les fonc- tions fondamentales du noyau résultant en prenant l'ensemble des fonctions fondamentales des noyaux composants.

o76. Noyaux principaux ('). — On a déjà remarqué l'impor- tance de l'équation fonctionnelle (n" 560)

.b (60) l\x,Y\\) — V{x,r;^) = {\ — \^) I i'i^r. t;l)V(f,y: iJ.) c/t

qui caractérise les noyaux résolvants. Nous allons l'appliquer à l'étude de la résolvante dans le domaine d'un pôle À = c. Le déve- loppement de la résolvante dans la domaine de ce pôle étant écrit comme plus haut (n" 575), l'équation (60) devient

<»■) i'«---K>:^)'-(:i^)'l

-h" + Va/,(^, r)î(>.-cV'-((x-c)/'

= (>— f^) / VB,(.r, 0(-^)'^2^''^*'"'^^^^~^^''

L' = i /'=u J

clt.

Cj Dans mon Mémoire des Annales de Toulouse, lyos, j'uvais luit l'élude des noyaux principaux en m'appujant presque uniquement sur les tliéorcmes A et B. On nl)rège beaucoup l'exposition, comme l'a déjà fait M. i.alesco, en se servant davantage de l'équation fonctionnelle du noyau rLSolvanl. La inétliude que je suis est un peu diiïcrente de celle de M. Lalesco, et ne suppose pas connue la théorie des diviseurs élémentaires.

/./'-'

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4o3

ce que l'on peut écrire en posant X — c = A. ^x — c ■=^ k et divi- sant par h — A ,

, . , . V^ C,(:r, y) ( I II

+ ^ \,,{x,y) I A/'"' + V-2 /. +

La relation précédente doit être \érifiée quels que soient h et k. Or, le premier membre ne renferme aucun terme en -^y ou -ry > p étant nul ou positif; il faut donc que tous ces termes aient des coefficients nuls dans le second membre, ce qui exige que l'on ait

/ B,{x, t)X,,{t,y)r/t = o, I Bi{t,j-)A.p{x,t)cÙ = o

/p = 0, 1, 2, ..., x\ \ t = I, 2, . . ., /i /

En désignant par y(^, y", X) la partie principale du noyau résolvant et par H(j?, )-; À) la partie régulière, les relations (62) prouvent qu'on a, quels que soient À et [i,

(63) j

,b .b

y(^, r:À)H(^, /; .a)r/^ = o, * / \\{.r,t;^)^{i,y;\)dt

pourvu toutefois que le développement de H(j", r; f^), suivant les puissances de /Jt — c, soit convergent. Mais la fonction

H(.r, v; u) =. Y{.r. y \ •!■) - '[{x, y; ;/)

est une fonction méromorphe de \i., et par suite, les relations (^<J3) subsistent pour toutes les valeurs de À et de /jl, et en particulier pour À = ;j. =^ o. Posons pour abréger /.(d^', y)-=^'{{^x^ y; o) et ll(.r, r ) = R(j", 1) — k( X, y)', le noyau K(\/', r) est ainsi décom- posé on deux noyaux orthogonaux k{x, j) et H{x, y) dont le premier k( .v, y) s'obtient en faisant >. = o dans la partie princi- pale de la résolvante relative au pôle /. = c.

4o4 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Pour achever l'identification des deux membres de la for- mule (6i bis), il faut égaler d'une part les coefficients des diverses puissances de v et de -r^ qui proviennent uniquement de la partie principale, d'autre part les coefficients des puissances positives de h et de A", qui proviennent uniquement de la partie régulière. On pourrait obtenir ces deux gi'oupes de formules indépendam- ment les unes des autres, en supposant que la partie régulière est nulle, ou au contraire, on ne tenant pas compte de la partie princi- pale. 11 est clair que ces deux groupes de formules peuvent être condensées en deux formules uniques

r''

(64) t(a:,j-;l)--;(x,y;iL) = {\ — ix) -^ {jr, t; l) y {t, y; ii) dl,

.0

(65) H(.r, .) ; A) — U{x,y; jx) = (X — ;jl) / H{x, t; \)H{t,y; 'i)dt,

dont la première exprime que la résolvante relative au noyau /((t, y) est précisément la partie principale y(a", r; ^) de la résol- vante r(.r, y; A) dans le domaine du pôle c. La seconde exprime, au contraire, (jue la résolvante du noyau H(j?, y) est identique à la partie régulière de la résolvante r(j7, j'; X) dans le domaine de ce pôle. Le noyau k(x,y) est appelé le noyau principal relatif au pôle c; il suffit du connaître ce noyau principal pour déter- miner les fonctions fondamentales correspondant à la valeur c, puisque c n'est pas une valeur singulière pour le noyau H.

A chaque pôle de la résolvante correspond ainsi un noyau prin- cipal. Deux noyaux principaux correspondant à deux pôles différents sont orthogonaux. Soient k,{x, y) et ko(x, y) les noyaux principaux pour les deux pôles c, et d; kt{x,,y) est orthogon»! au noyau H<(.z', y) = K{x, y) — kt{x,y). La résol- vante Y) {x, y; /) étant régulière dans le domaine du point X = Cj, il est clair que k^{x, y) est identique au noyau principal qu'on déduirait du noyau H,. Posons H< (t, y) = Ho-t- A--.», et soient

\\{x,y;\), Yî(ar, 7;X) les résolvantes pour ces deux noyaux; ki{x. y) est orthogonal à la résolvante T2{x, y; X)h-y2(^> y, X) du noyau H<(a;, y) et l'on a

/ k,{x,t)[l\{t,yrK)^-^,{t,y;X)]dt = o.

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4o5

Or, l'intégrale / kt{jc, t)-(.At, y; \) dt est une fonction

rationnelle de X admellant le seul pôle >. = Co et nulle à l'infini,

/* Ari(a:, t)T2(f,y; y^)dt est une fonction

holoraorphe de /. dans le domaine de \= Cn. Il faut donc que ces deux intc'^grales soient nulles l'une et l'autre, de sorte que ki{x,y) est orthogonal aux deux noyaux /to et Ho.

577. Structure d'un noyau principal. — Pour qu'une fonc- tion K(ar, jk) Soit un noyau principal, il faut que la résolvante relative à ce noA-au soit une fonction rationnelle de 1 ayant un seul pôle et nulle à Vinfini. Cherchons d'abord dans quel cas la résol- vante aura un seul pôle du premier ordre. Elle devra être de la forme

1

c

ce qui exige qu'on ait d'une façon générale (n" 559)

e/'-'K'/')(j:, 7) = K(a;, j) (jo = 2, i. ...1.

Ces conditions, on le voit aisément, se réduisent à la première

(66) K(a:, v) = c r K(x. .v)K(.s, v)^/s,

qui exprime que K(j:, jo) est une fonction fondamentale du noyau K(x, y), relative au pôle c, quelle que soit la valeur con- stante r„ attribuée à y. Puisqu'il n'existe qu'un nombre fini do fonctions fondamentales distinctes, il s'ensuit que K.(j7, jk) est une combinaison linéaire de p fonctions linéairement distincles/o,(a7), dont les coefficients dépendent Aq y

(67 ~i K(j-,.t) = o,(.x-)'^i(.r)^...^ v/,(j:)'J//,(.rt,

les fonctions tp, (yj, . . . , ^|'/>(jk) étant aussi linéairement distinctes. Si l'on remplace K.(x,j') par l'expression (67) dans la rela- tion (66), on voit que les fonctions 9,, ^k doivent vérifier les rela- tions

( (p,'I//,- = o pour i ^ k, c^zji^i) = 1 1 ' = 1 x. . . . . p j,

4(i<i CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

de sorie que les fonctions (cp,, cp.j, ...,9^), {^,, 62^ •»•> <]^/j) formenl un système biorlhogonal. Inversement, de lout système biortho- goual on peut déduire un noyau K(x-, y) répondant à la question. Remarquons que '-!/,, i/o, • • .. ^p sont les p solutions de l'équation homogène associée

et que la fonction déterminante D(Â ) = ( • -) (n" 571) •

Avant do traiter le cas général, nous démontrerons un lemme. Lkmme. — Toute solution de Véquation intégrale

(68j ç{j-, y)-c i K(.r, s) ^{x, y) ,h = V XK-^') V/0)

est de In même forme que le second membre.

En effet, soit o(j",j') une solution quelconque de celle équation. Les n fonctions Y/(j)') étant supposées linéairement distinctes, donnons d^ y n valeurs particulières ^'i, J'j. . • ., Vn telles que le déterminant formé avec les éléments Y,(y^) ne soit pas nul. Des n équations obtenues on peut tirer X,, . . . , X„ ; on en tire, par exemple,

. b

\^{.r)^f^,{x) — c j K(a7, 5)*,(4)r/5,

^i{x) étant de la forme \^ a,9(j?, y,), les occ étant des coefficients

constants. De la fonction o(x, y) on déduirait de même une solu- tion ^i{x) de l'équation

.b

<I>,- ( ./■ ) — ci K{.i\ S ) <!>, ( s ) tls = X ,■ ( .r ),

elpar suite une soluliou<t>(,r, y) = i4»((x) Y,(r) de l'équaliou (()8), qui est bien de la forme voulue. Toute autre solution est de la forme ^[^x, y ) ^ ■l{x, y), ■ii'a:, y) étant une solution de l'équa- tion homogène

■.b

■Kjc, r)^c I K{.r, s) lis. y)tls.

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 407

Mais loulos les solutions de celle équation, considérées comrue fonctions de ar, sout des combinaisons linéaires d'un nombre fini, (pouvant être nul) de fonctions de .r; toute solution de l'équa- tion (68) est donc bien de la forme annoncée.

Cela posé, reprenons le calcul d'identification du n" 575. Nous voyons d'abord que B„(j;, 1), qui est égal à une fonction fonda- mentale du noyau K(a;,^), quand on attribue à 1' une valeur con- stante quelconque, est de la forme (G9) H„(x, y) = ç,(.r) ■L.O') -+-...+ 9,.(:r)-i,.(7),

puisqu'il n'v a qu'un nombre fini de fonctions fondamentales cor- respondant au nombre c. En égalant les coefficients de /t'~" dans, les deux membres de l'identité (58). on trouve la relation

.b ^b

lî„_,(.r, ,r) = c j K(.f, t)\\„-x{t,r),lt -^ I K(x, f)]\„(f. y) (/t;

B„(x, y) étant de la forme (<>9), il résulte du lemme précédent que B«_, (^7, r) est de la même forme. D'une façon générale, on a la relation de récurrence

-.b .b

\in-i{.r, r)^c i K(.r, t)\\„^i{t, r)d(-h j W{x, f)\i„^i^^(t, y) fit ■

d'où l'on déduit de proche en proche que tous les coefficients de la partie principale sont de la même forme et par suite le noyau principal lui-même est de celte forme <^i'^\ -\- 92'|'2 + - • • + 9m4'"o les m fonctions 9<(a7), 9o(.r), ...,cp„i(j;) pouvant être sup- posées linéairement distinctes, ainsi que les m fonctions ^^{y), vl>...(y), ..., 'i^mir)- On a vu plus haut (n° 571) que le noyau résol- vant correspondant n'est nul pour }. infini que s'il n'existe aucune combinaison linéaire des 9, qui soit orthogonale à tous les i//.

La fonction déterminante D(?.), déduite de ce noyau, est alors un polynôme de degré m, dont toutes les racines sont des pôles de la résolvante (n" 505). Pour que celte résolvante n'admette que le pôle À = c. il faut donc qu'on ail !)(/.)= f i —' -1 . Celte con- dition est d'ailleurs suffisante, car la résolvante est alors le quotient d'un polynôme de degré m — i en >. par 1)( >.") fn" 571 ).

Toute combinaison linéaire à coefficients constants des tti fonc- tions 9i , 9^) • • • , 9m est wne Jonction principale du noyau l\.(':r, >•), relativement au pôle c de la résolvante.

4o8 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Tout groupe de m fonctions principales linéairement distinctes est un groupe principal. Les fonctions i|i,, tj^O) • • ? "^m, et celles qu'on oblienl par des combinaisons linéaires à coeflicients constants, sonl les /onctions principales associées. Le noyau principal étant missous\aiù)Tme(fi{x)^i(y)-\-<f2{jc)^o{y)-{-. . .'i-^m{-^)^m{y), on dira que les deux groupes de fonctions (9, — ?<?m) ^l('|'ii--i4'"') sont deux groupes principaux associés.

Il y a évidemment une inlinilé de systèmes de groupe*^ princi- paux associés, puisque le noyau principal peut être mis d'une infi- nité de façons sous la forme précédente. Tout système de m com- binaisons linéaires distinctes des m fonctions cpt(«c) peut être pris pour groupe principal, et le groupe principal associé est déter- miné par ce choix (n° 371). On va profiler de cette indétermina- tion pour mettre le noyau principal sou? une forme qui met en évidence les propriétés de ce noyau.

578. Réduction à une forme canonique. — En résumé, tout noyau principal k(x, y), relatif à un pôle de la résolvante, est de la forme

(70) A(.i-, ^r):-?,(^)4/,(r)H-?2(a7)'|20 )-^...-(-9,„(^)<î/,„(7:i,

9< (x). . . . , {(f„i{x) étant m fonctions de x linéairement distinctes, •|i,(j-), . . .,'])ni{^) étant m fonctions dey linéairement distinctes: de plus, ces fonctions doivent être telles que le déterminant

(71) D;„(X)-

a-n 1 — ccin X a-.| À I — a22 X

«ml>>

( «//, = / ?i (^O 4//» ( x) dr l

soit identique à ( 1 — -] - Or, un est conduit à une équation équivalente à l'équation D,„(>i) = o dans l'élude de la question suivante. D'après la signification des coefficients «,<-, on a

(72) A:[?f(.r)] = «nri(-'") -+-■••-<- «imr»,(-r) (,/ = i , j, . . . , /// 1 ;

si donc on se propose de déterminer une combinaison linéaire à cooflicieuts constants <i>( x) ^= y.^o^( t) '- . . .-^ am<fm( x). telle qu'un ait

(73) /.■[*<'./-^] = 5'I)(j!r.,

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 409

S étant une constante, l'équation à laquelle on est conduit pour déterminer le facteur s n'est autre, on le voit aisément, que

(74) F(.v) = I - .)'«.v'"D„, ( i) = (!• - •^•)"'= o-

Les équations (72) définissent donc une substitution linéaire dont

l'équation caractéristique est ( s) =0. et nous pouvons

appliquer à celte substitution les résultats connus sur la réduction d'une substitution linéaire à une forme canonique (II, n"* 409-410). On a vu qu'il existait m combinaisons linéaires distinctes des fonc- tions (p,- qui subissent une substitution linéaire de forme cano- nique quand on leur applique l'opération k { ). Pour ne pas multiplier les notations, nous supposerons qu'on a pris pour cp,, 92, ••, 9m ces fonctions principales elles-mêmes. Elles se par- tagent alors en un certain nombre de groupes; les fonctions 9,, 92, . . . , cpp formant un de ces groupes satisfont aux relations

(75) cA((pi) = ?i, 0^(92) = ri -t- 92, cA-(ç;,) = ?/'-1^- ?/M

et l'on a des formules analogues pour chacun des groupes. Nous dirons que les m fonctions 91, 90, . . . . ©^ forment un système canonique de fonctions principales, et que le nojau k{x, y)'e,sl mis sous forme canonique. Les fonctions 91, 92? •••> 9/? d'un même groupe forment un groupe canonique, et les fonction t|/,. 4^2, . . . , ^p un groupe canonique associé.

Supposons, par exemple, qu'il y ait deux groupes cano- niques, contenant respectivement/) et q fonctions [p -{- q =^ m); soient (9,, 90, . . ., 9,,) et (9',, 95, . . ., 9'.) ces deux groupes de fonctions. Le noyau étant mis sous la forme

les fonctions 9^- (a:), ^\ (y) vérifient des relations toutes pareilles aux précédentes

(:5i' cA-(9', , = 9',, <7.(9'0 = ç, ^ 9',. .... cA(9;)=. 9'/_,-+-9:,.

Les relations (75) et (75)' exigent que les fonctions 0/ soient orthogonales aux fonctions ^'j et que les fonctions i|/,- soient orlho-

4lO CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

gonales aux fonctions cp^, de sorte que les deux nojaux

kx{x, y)^ ?, (x) '^1(7) -H... -h z,,{x)-hpiy), k.(x, y) = =; (.r) -y, {y) -h . . . + -J^ht) -y,^ (y)

sont orthogonaux. Chacun de ces noyaux est dit un noyau cano- nique. La méthode est générale et, par suite, tout noyau prin- cipal est la somme d'un certain nombre de noyaux canoniques orthogonaux deux à deux. Chacun de ces noyaux canoniques est formé avec les fonctions principales d'un des groupes cano- niques.

Dans les relations (yS), on peut remplacer le noyau k{x, y) par le noyau ^,(37,^'), puisque 9,, cp2, •••, cp^ sont orthogonales à tous les autres noyaux canoniques dont se compose k{x, y). En remplaçant ki{x, y) par son expression, on voit que les rela- tions (75) ne peuvent être vérifiées que lorsque les conditions suivantes sont remplies : <^\{x) doit être orthogonal à toutes les fonctions c^i, sauf à ^\. <p2 est orthogonal à tous les d/,-, sauf à ^i et à d/o, . . ., enfin cp^ est orthogonal aux (j»/, sauf à ^|,-^ et ^p) de plus, on a les relations

La fonction dc'terminante diÇk) correspondant au noyau /ri(^-, ))

est, d'après la formule (71), I i — - ) j et ce noyau possède une

seule fonction fondamentale 9,(j7); ^/,(^) est en même temps une fonction fondamentale pour le noyau associé. Il y a donc autant de fonctions fondamentales distinctes que le noyau principal ren- ferme de noyaux canoniques. Lorsqu'un noyau canonique se réduit à un seul terme ^\{x)^\{y)i 0\ et '\l^ sont deux fonctions fondamendales associées. Dans le cas où >. = c est un pôle simple de la résolvante, le noyau principal se décompose en m noyaux canoniques de celle espèce (n" 577). Si >. = c est un pôle mul- tiple, il y a au moins un des noyaux canoniques qui renferme plusieurs fonctions principales. Dans ce cas, et dans ce cas seule- ment, la fonction fondamentale oixi provenant de ce noyau est orlhogonolo à toutes les fonctions fondamentales de l'équation

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4ll

associée correspondant à ce pôle. Donc, poui' <juUui pnle de la résolvante soit simple, il faut et il sujjit qxiUi toute fonction fondamentale <Ï>(t), correspondant à ce pâle, on puisse faire correspondre une solution fondamentale ^{■m) de rérjuation associée qui ne soit pas ortlioi'onale à <I>(:r).

579. Résolvante canonique. — Pour trouver la partie, princi- pale de la rcsolvanle dans le donnaine d'un pôle c, il suffit de faire la somme des résolvantes relatives aux dilféreuts nojaii.v cano- niques qui composent le novau principal. Pour former la résol- vante relative au novau canonique

/.(.r, y) = ç,(j-),^,(_,-) +. . .+ Ç/,(.rVI-/, (.)-),

nous devons former les noyaux itérés successifs. D'après les valeurs des intégrales (o/i//). on voit immédiatement t|u'on a

c/,'^\.r,r}=. 9,(.r)| ^, (.c) -^ ^. (.r ) } + ç, (,/•); 6,0-) + 'i^:: 0') 1 ^... -^ ç,,-,(x) I 'l,^-,{y) ■+ ■!>/,[ y) ! -r- o,,{.r)'l,(y)

et l'on établit ensuite par récurrence qu'on a

c"k"-^ {.r, r)= çi(.r) l'I,, (■_)•) -^C; •li(r) -^ Cj, •l,(r)^...[^...

+ ^, (.,■ ) ; 6,0) -^ c}. ài^^ (r) + Cl 6,^o0-) + • • . ; ^- . .

en posant C — ^^ — ; On s arrête dans le coefd-

•^ " 1 , 2 ... A

cient de 9,(^) lorsqu'on est conduit à écrire des fonctions 4';+aO') d'indice supérieur à p. En portant ces expressions des noyaux itérés dans le développement du noyau résolvant suivant les puis- sances de )., le coefficient de Oi{x)^Li^/,{_]-) {h >> o) sera donc

c'est-à-dire

La résolvante Y(:r, y, À) du noyau canonique k(.r, i) a donc pour

4 12 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

expression

c

(-^y

?!(}./,,, ^ . . . ^ î^_/, 4^/, ; -^...^ ^_j

^\''-\. ?^4'/.

cl c est un pôle d'ordre p pour cette résolvante. Si l'on écrit ce développemont sous la forme habituelle en posant /. = c + p. le coefficient de ( - | est, à un facteur constant prés, 9» (^)4'/'(j') (cf. n" o7o). On déduit de cette expression de la résolvante un certain nombre de conséquences.

Pour un pôle c de la résolvante d'un noyau quelconque K.{X,y), il y a lieu de distinguer le rang r^ c'est-à-dire le nombre des fonc- tions fondamentales distinctes correspondantes, V'ordre p de ce pôle et enfin le degré m de multiplicité de la racine X = c de l'équation D(?.) = o, lorsque la solution de PVedhoIm est appli- cable à ce noyau. Le rang r est égal au nombre des noyaux cano- niques qui composent le noyau principal correspondant à ce pôle: si ces noyaux canoniques comprennent respectivement /i,, /io. • •■ , n,- fonctions principales, l'ordre p du pôle est égal au plus grand de ces nombres, et le degré m est égal à la somme de ces nombres n< 4- «2 + • • • + ^r- Entre ces trois nombres /•, w, />, on a donc les inégalités suivantes, qui résultent de leurs relations

mutuelles :

/> -h I — I ^ m ^ rp.

Si yj ^ I , on a m ^= r: s'il y a un seul noyau canonique, /• = i , /> --= m. Dans tout autre cas, on ay? H- /■ — i < rp.

Remarques. — i" Le résidu delà résolvante canonique écrite plus haut est égal à

-^ ?2(-2^) 1 '^îO ' — 'J'aO' ' -^- • • ; -t-. ..-t- 9/' 4'/'; les deux groupes de fonctious principales qui y figurent forment

11. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4l3

un système biorlhogonal. Tout nojau principal étant une somme de noyaux canoniques, le résidu relatif à un pôle c d'ordre quel- conque de la résolvante est donc composé avec des fonctions prin- cipales formant un système biorthogonal. Si le pôle est simple, ces fonctions principales se confondent avec les fonctions fonda- mentales (n" 577).

2" L'expression obtenue plus haut pour la résolvante y(-i", .) ; À) d'un noyau canonique k{x^ y), jointe aux valeurs des inté- grales (o/ji/,), montre immédiatement qu'on a

,6

,/„

Y(*, s; \)ds^ — ^

ce qui complète la démonstration d'un théorème de M. Poincurô énoncé antérieurement (n" 570).

3° L'expression du /t'"""" noyau itéré A'"''(x, y) d'un noyau canonique k(x, y) montre que les fonctions principales de ce noyau itéré s'expriment au moyen des fonctions principales de k{x^ y) et inversemenl.

D'autre part, la déterminante D„(À) du noyau Ai")(j:, y) est égale

à I I -\ [n" 570, formule (36)], tandis que la résolvante admet c" pour

pôle d'ordre jD (n" 06O). On a donc dans le cas actuel ni =/> et, par suite, r = I . Le /l'ètne noyau itéré d'un noyau canonique ne contient donc lui-même qu'un noyau canonique, et la fonction fondamentale est la même pour les deux noyaux. Cela posé, soit c un pôle de la résolvante de K{x, y); s'il n'existe aucun autre pôle Ci tel que c'/ = c", le noyau principal de K(.r, j) relatif au pôle c« est identiijue au /ii'-"'^ noyau itéré du noyau principal de K(ar, y) relatif au pôle c, et les fonctions fondamentales sont les mêmes pour les deux noyaux. Au contraire, supposons que la résolvante de Kt"i(^,r) admette plusieurs pôles, deux par exemple, tels que c'i = c'^; le noyau principal relatif au pôle C de Ki"i(x, y) est alors égal à la somme des n'cmos noyaux itérés des noyaux principaux de K(.r, y) relatifs aux deux pôles c et Ci. Les fonctions fondamentales de Kl'')(j;, y) correspon- dant à c" sont des combinaisons linéaires des fonctions fondamentales de K(ar, i ) relatives aux deux pôles c et Ci {voir n° 575).

580. Fonctions principales. — Soient 9,, 92, .... Vm un groupe de m fonctions principales distinctes du noyau principal k{x. y) relatif à un pôle c. Si l'on pose H(x, y) = K(a?, y^ - /.(r, /), les deux noyaux k(x, y) et \\(x\ y) sont orlhogon.iux, ce qui

4li CHAPITRE XXXI. — L'EQUATION DE FREDHOLM.

exige qu'on ait / H(j7, s) '■Ji{s) ds = o, et, par suite, les m fonc-

*- a

lions cpi, 92, . . . , o„, salisfunl à m relations

(7<>) j K(./-, 5) 9,(^)^/5 = a,-, ri(''')-t----^«<'« r'«(-^);

le déterminant caraciôrislique de cette substitution linéaire étant égal à (i — es-)'". Inversement, sUl existe m fonctions linéaire- ment distinctes 91(3"). . . ., 9,„(t), vérifiant m relations de la forme (76) pour lesquelles le déterminant caractéristique de la substitution soit (i — cy)"', c est un pâle de la résolvante, et 9,, 925 • • • ■» '^m font partie des fonctions principales relatives à ce pôle.

En eflet, en réduisant la substitution linéaire définie par les formules (76) à une forme canonique, nous pouvons remplacer les m fonctions Oi{x) par m combinaisons linéaires distinctes, se partagcïant en un certain nombre de groupes, de telle façon que les /> fonctions d'un même groupe vérifient les relations

j' W(.r,,)^]>,{s)r/s = ^,{x),

(77) < r''

La première de ces rela lions prouve que c est un pôle de la résolvante et <I>i(r) une fonction fondamentale. Soit A"(^, r) le novau principal correspondant ot H(ar, v) = K.(a:, -)-) — k{x, )): les noyaux A (x, y) et H(x, y) étant orlhogonaux, <^,(x) qui est une fonction fondamentale pour k{u:, y) est orthogonale à n(x, y). Il en est de même de <I>..(x); en effet, la seconde des relalionc (77) peut s'écrire

cl),(,s-) + (i),(^^ = c / [U(s, f)-^A(s, /)]<I>,(/-),/^ et, en multipliant par H(x, .y) et intégrant, il vient

(-S) / Ui,r, s)^,{s)ds = c j j Il(.;-, S) H(5. /)<!>,(/). //./.S-.

Puisque c n'est pas une valeur singulière pour le novau H(j", )'),

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4l5

r''

l'étjiiiilion c I II(.r. s)'\){s) fl\ = <h{x) n'admcl pas d'autre solu- tion que '|(.i:) = o, ce (jui inoutre que le premier mcuibrc de la relation (78) est nul. On déuionlrera ensuite de proche en proche que *Di. . . ., <^/, sont orlhoL;onales à il{x, y) et, par suite, on peut remplacer Iv(j7, s) par k{x, s) dans les relations (77), ce qui montre que <^2, <t.., . . . s'expriment au moyen des fonctions principales du noyau k{x, y).

D'une façon plus générale, soient 9,. 9.,, . . ., o,„. rn fonctions satisfaisant aux relations (76), où les coefficients a,A sont des cons- tantes quelconques, dont le déterminant est différent de zéro. En réduisant encore à une forme canonicjue la substitution linéaire définie par ces formules, nous en déduirons ni combinaisons linéaires distinctes se partageant en un certain nombre de groupes tels que les fonctions d'un même groupe vérifient des relations (77), le nombre c n'étant [^as forcément le même pour tous ces groupes. Toutes les fonctions 9,(3?) sont donc des combinaisons linéaires des fonctions principales du noyau relatives à quelques-uns des pôles de la résolvante ; nous dirons, pour abréger, que ces fonctions sont des fonctions principales du noyau K{x, y). Le raisonnement (Mn[)lové plus haut ( n" a7o) pour les fonctions fondamentales s'étend aux fonctions principales, ce qui permet d'énoncer la proposition suivante : foutes les foncAions principales d^ un noyau K.(j", y) sont orthogonales il tout noyau orthogonal au premier .

Soient lc\{x^ y) et h-,{c. y) deux noyaux principaux correspon- dantaux deux pôles c, et c-, de la résolvante; soient(9,. 92, . . • , o,,) et (d/|, dij, ...,(ii„) deux groupes principaux associés pour le noyau /.-, et (o', .9'^, . . . , 9',,,), {^\ , • . • , ^'m) <Jeux groupes principaux associés de /.o. Les noyaux l<\{x. y) et ki{x, y) étant orthogo- naux (n" .')76), deux fonctions quelconques 9/ et ■l'j sont orthogo- nales, ainsi (jue deux fonctions 9'^- et 6,-. Çn particulier, toute fonction fondamentale oLr) correspondant à une valeur sin- gulière Cl est orthogonale à toute solution fondamentitle de Vé<iuation associée correspondant ii une autre valeur singu- lière c-, différente de la première. On le démontre directement au moyen des deux équations

ç(./) = c-, /" K< ./•, .s) ç(.v)^/,v. 'l^x) = c, I

)'l(s)>/s.

4l6 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

d'où l'on tire

^b b ,6

/ z{x)-b{x)dx = c, i j ii^ix, s)o(sy'h{x)dx(/s

^b ,6 = co / / K{s, x)o{:r)'b{s) ds dx.

Gomme on peul échanger les lettres a; et ^ dans la dernière inté- grale double, une telle égalité ne peut avoir lieu si c^ et Ca sont différents que si cette intégrale est nulle, ce qui entraîne l'orlho- gonalité.

Un noyau principal peut lui-même être décomposé en un cer- tain nombre de noyaux canoniques orthogonaux deux à deux. De tout noyau K(>r, y), on peut donc déduire une suite de noyaux canoniques orthogonaux deux à deux

(79) /'.(•^,.>-», k,{x,y), ..., k,{x,r), ...,

de telle façon que chaque fonction fondamentale de K(a^^, y) appartienne à un des noyaux canoniques et à un seul. Si la résolvante n'admet qu'un nombre fini de pôles, la suite (79) est elle- même limitée. S'il y a une infinité de pôles pour la résolvante, la suite (79) est illimitée. Nous avons vu plus haut (n" 579) comment des deux groupes de fonctions principales du noyau A',(x, y) on pouvait déduire un système biorlhogonal, en prenant le résidu relatif au pôle correspondant c,.

L'ensemble de ces systèmes biorthogonaux déduits de tous les noyaux canoniques forme un système biorthogonal

)'•■ f' •■■■ ^- ••■■

qui sera limité ou illimité suivant que la résolvante admet un nombre fini ou une infinité de pôles. Chacune des intégrales {<^i^i) est différente de zéro, de sorte que le système (80) peut être trans- formé en un système normal. Une même fonction cp peut figurer à la fois dans les deux suites, comme nous le verrons dans l'étude des noyaux symétriques.

En résumé, de tout noyau K(x. y) on peut déduire un système

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 417

biorlhogonal et normal, formé par l'ensemble des fonctions princi- pales du noyau et par ces fonctions seulement^

Lorsque le pôle c est imaginaire, les fonctions principales sont elles-mêmes imaginaires, et au pôle conjugué correspondent des fonctions principales conjuguées des premières, si le noyau K (^, y) est réel.

La détermina lion du nojau principal correspondant à un pôle connu de la résolvante n'exige que des développements en série. En effet, la résolvante étant le quotient de deux fonctions entières de 1, si l'on connaît une racine d'ordre m, 'k = c. du dénomina- teur, le produit de la résolvante par (À — c)"' n'admet plus le pôle 1 ^ c. En ordonnant le numérateur et le dénominateur sui- vant les puissances de 1 — c, une simple division algébrique donnera la partie principale dans le domaine du pôle X = c, et par suite, le noyau principal. Si ce pôle est du premier ordre, les fonctions principales se confondent avec les fonctions fondamen- tales, et il suffira de remplacer dans le résidu y ou x par une valeur constante quelconque, pour obtenir toutes les fonctions fondamentales des deux équations associées. Le cas d'un pôle d'Oi'dre quelconque exige quelques calculs de plus ( ' ).

I.orsoue le noyau K(x, y) est continu, il est clair, d'après la façon même dont on peut l'obtenir, que le noyau principal relatif à un pôle quelconque est aussi continu; les fonctions principales seront donc elles- mêmes des fonctions continues des variables ./• et v respectivement dans l'intervalle (a, b). Il en est de même pour un noyau discontinu si les noyaux qu'on en déduit par itération sont continus à partir d'un certain rang (-). Soit, en effet, c un pôle de la résolvante: choisissons un nombre

(') Voir par exemple, mon Mémoire des Annales de Toulouse, p. -/j et suiv. Dans le cas d'un noyau borné, on a vu plus liaul que les fonctions fondamen- tales s'exprimaient au moyen des mineurs de Frcdliolm. Dans un travail récent (Journal de Mathématiques, lyiS), M. Plâtrier a complété ce résultat.

C) La conclusion ne s'étend pas aux noyaux tels que l'on ne puisse en déduire un noyau continu au bout d'un nombre fini d'itérations. Reprenons, par exemple.

le noyau K(a7, y) = i/ — ' en supposant a = o, ^ = i ; la résolvante admet un seul pôle À = I, et il y a une seule fonction fondamentale -t= quj est discontinue pour X — o. Considérons encore le noyau \^(x, y) défini par les conditions K ( 07, y) r= o pour o < J7 < - , K [x, y) — \ pour - < a: < i , avec « = o, 6 = i . Le

,jièmt noyau itéré K""(o7, y) est nul pour jt < - et égal à —^^ pour j; > -• Le

4l8 CHAPITRE XXX!. — L'EQUATION DE FREDHOLM.

entier n tel que K""(^.z,-, y) soit continu et qu'il n'existe aucun autre pôle Cl vérifiant la relation c'[ — c". Nous avons vu que les fonctions principales de K{x, y) relatives au pôle c s'expriment au moyen des fonc- tions principales de K"'(x. î) relatives au pôle c" ; elles sont donc coiitimies.

On s'explique aisément ce résultat. Supposons que tous les noyaux itérés à partir de K'"' {a:, y) soient continus. Tous les coefficients des diverses puissances de À dans le développement de la résolvante sont con- tinus à partir du «'*"».•; ji est clair que si l'on supprime les n premiers termes de cette série, la fonction méromorphe obtenue aura les mêmes pôles avec les mêmes parties principales que la résolvante. Le produit de ce nouveau développement en série par une fonction entière de >. à coef- ficients constants est encore une fonction entière de X dont les coefficients sont des fonctions continues de .r. y, et l'on en conclut, comme tout à l'heure, que les coefficients de la partie principale dans le domaine d'un pôle sont continus. Le noyau résolvant présente bien des discontinuités, mais elles n'affectent que les premiers coefficients du développement de V{x,y; À) suivant les puissances de À.

581. Théorèmes de Fredholm. — Le théorème de Fredholm (n" 568) sur les fonctions fondamentales correspondant à un pôle de la résolvante résulte iminédiatement de l'étude qui vient d'être faite. On peut aussi retrouver aisément le théorème relatif à l'équation générale de seconde espèce lorsque la valeur du para- mètre est un pôle de la résolvante.

On a démontré (n" 569) que l'équation n'admet de solutions que si f{x) est orthogonale à toutes les fonctions fondamentales

noyau résolvant r(x, y, X) est nul pour j: < - et égal à ^ , pour x > -•

Léquation homogène

2 f K(x, s):ç,(s)ds= ^(x)

admet la solution discontinue -fix) — o Ix <: - )> :f{x)= i pour x "t - •

D'une façon générale, supposons que l'oa modifie la valeur d'un noyau K(x,}-) le long d'un nombre fini de lignes, ce qui revient à ajouter à K{x, y) un noyau K,(j:, y) qui est nul, sauf le long de certaines lignes en nombre fini. Si K^{x,y) n'a que des lignes de discontinuité de la première sorte, il n'y a rien de changé pour réquation intégrale, car les noyaux itérés de K -H K; sont identiques aux noyaux itérés de K(x, )). • »n peut remarquer encore que la valeur d'une inté-

grale / K(x, 5)f (s)<:/s ne change pas quand on change K en K-t-K,. Il en

est autrement, si l'on ajoute à K(.r, y) un noyau K,(,r. y) qui est nul, sauf le

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4l9

de l'équallon associée corx'espoadant au pôle c, et la démonstration s'étend à un noyau non borné. Ces conditions sont suffisanles. Soit, en effet, /r(x, y) le noyau principal relatif au pôle c: ce noyau principal est la somme d'un certain nombre de noyaux canoniques kf {x, r), .... Av(t, j), et les noyaux A, (j;, ->), . . . , kr{^, y), ^{^, y) — A-(a7, y) sont orthogonaux deux à deux. D'après une propriété générale (n° 574), on aura une solution de l'équation ( i ) où X = c, si l'on sait trouver une solution de cha- cune des équations

r''

■^{x) = c I [K{x, y) - k{.r, Y^]'As) ils ^ J\xh

^{x) = c ki{x,s)-{s)ds^/(x) (1=1,2, r).

La première admet une solution unique donnée par la formule générale de Fredholm. puisque c n'est plus une valeur singulière pour le noyau K(a7, y) — k{x, y). Dans la seconde, remplaçons le noyau canonique ki{x, s) par

9i (a:) (1^1 (s) -H . . . -f- ?/, (^) 4//, (s) ;

elle devient

r''

long d'an nombre fini de droites parallèles aux axes. Supposons, par exemple, Ki(.r, jK) = o pour x 7^ x^, K,{x^, y) = l{y). Soit <f{x) une solution de l'équation

■.{x) = \l K(x, s) ^{s) cls -hf(x);

on obtiendra une solution ^t>(x) de la nouvelle équation

<P(x)= A r [K(x, s)-hK,(^, s)]t>{s)ds-^f(x)

en posant ^{x) — ^{x) pour x ^ x^ et ^(x„) = :p{x,) -^- C, la constante C étant déterminée par l'équation

C = À y K,(j;„ s) 9 (5) ds.

Le calcul s'applique encore si f(x) est nul; les valeurs singulières sont donc les mêmes pour les deux noyaux, et les fonctions fondamentales ne diffèrent que pour X = x^.

420 CHAPITRE XXXI. — LÉQUATION DE FREDHOLM.

Il est clair que toute solution est de la forme

/(x)^-C,ç,(.r)-4-...+ C;,9/,(:r);

en remplaçant t:{x) par cette expression, et en tenant compte des valeurs des intégrales (9/4'*)^ on obtient la relation

Ciç;i-+-Ci92-t-...-(- Cp9;,= C,<Ei-i-Ci(o2-H 9i)-t-...-t- C;,(9;,-i- 9,,_,)

pour déterminer les coefficients C<, C2, . . . , Cp. Puisque par hypothèse {^/,f) = o, celte relation se réduit à

Gî 9 1 -4- G:! ço -H . . . -H Cp 9/,_i -f- c' 9, (j:) (<]/,/) -H ... -4- c 9/,_, (x) i-lp-if) = o ;

les coefficients Ca, C3, . . . , C,, sont déterminés, tandis que d est arbitraire. L'équation intégrale (i) admet donc dans ce cas une infinité de solutions, et il est clair qu'on les obtient toutes en ajoutant à l'une d'elles une fonction fondamentale quelconque relative à la valeur singulière c.

Remarque. — La solution de l'équation de Fredbolm dans le cas sin- gulier ne peut se déduire par un passage à la limite de la formule (11) qui convient au cas général. Soit c un pôle de la résolvante; supposons pour simplifier que le noyau principal correspondant est formé d'un seul noyau canonique oi{x)'!fii(y) -h Oî(x)'\>i(y). La fonction de X représentée par la formule (11) admet c comme pôle du second ordre et la partie princi- pale est

I r'' y J i^ii-^) '^-^iis) -h o.{x) 'l.is)] fis) ds

c

À I r''

Le point À — c est un i)ôle du second ordre, à moins que f{x) ne soit orthogonal à '^lix). Si cette condition est satisfaite, le point c sera un pôle du premier ordre, à moins que /{x) ne soit aussi orthogonal à 61, et cepen- dant l'équation de Fredbolm admet toujours dans ce cas une infinité de solu- tions.

582. Recherche des valeurs singulières. — La recherche des pôles de la résolvante est un cas particulier du problème général qui consiste à déterminer les pôles d'une fonction méromorphe,

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4^1

connaissant les coefficients de son développement tajlorien dans le domaine d'un point où elle est régulière. Ce problème est résolu, tout au moins d'une façon théorique, dans un Mémoire bien connu de M. Hadamard {Journal de Mathématiques, 1892). Nous nous bornerons à quelques remarques d'un caractère très élémentaire qui nous suffiront pour la suite.

1° Soit/(X) une fonction rationnelle de X, nulle pour > infini, admettant un seul pôle X, ^ o, d'ordre p de multiplicité. Si l'on développe cette fonction en série entière suivant les puissances de X, le coefficient de X" est de la forme X7"P(n), P(n) étant un polynôme entier de degré/? — i par rapport à n. Réciproquement, tout développement en série entière de cette espèce représente une fonction rationnelle de X ayant X, pour pôle de degré />, car tout polynôme P(/i) de degré/? — i est une combinaison linéaire des coefficients de la formule du binôme C^^.!, Q-^,, . . . , C^Z^_i.

2" Soient Xi, X3, . . . , Xr les pôles de module minimum d'une fonction méromorphe F(X), représentée, dans le domaine de l'origine, par le développement taylorien

F(À) = A„-(- A, X +...-+- A„X«-i-...; d'après la première remarque, le coefficient A„ est de la forme

A„ = Xr [P. («) + s„] + Xr' P,(/i) + . . .-H X7" Vr{n),

Ph, Po, . . . , Pr étant des polynômes en n dont le degré est égal à l'ordre du pôle correspondant, diminué de l'unité, et £„ tendant vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Cette expression du coef- ficient A„ met en évidence les propriétés suivantes qu'il suffit d'énoncer :

I. Pour que le produit c'^A^ ait une limite / difTérenteAle zéro lorsque n croît indéfiniment, il faut et il suffit que c soit un pôle simple do F(X) et qu'il n'existe aucun autre pôle dont le module soit ^ I c I ; la limite l est égale au quotient du résidu par — c.

II. Pour que le rapport ait une limite différente de zéro

lorsque 11 croît indéfiniment, il faut et il suffit que, parmi les pôles de module minimum, il y en ait un dont l'ordre soit supérieur à

422 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

l'ordre de tous les autres pôles de même module; la limite est égale à l'inverse de ce pôle.

Cela posé, soit K(a?, y) un noyau borné; on a [n" 566)

(^'^ _LiJ^ = A,^A,X-H...-+-A,X"-»^...,

A,, Aa, . . . , A/i, . . . étant les traces successives du noyau ( ' ). Si la série (8i ) est divergente pour 1 = Xo, on peut affirmer que la résolvante admet au moins un pôle de module inférieur ou au plus égal à |Ao|. Tous les pôles de la fonction méromorphe (8i) étant

des pôles simples, pour que le rapport " ait une limite, il faut

et il suffit qu'il y ait un seul pôle de module minimum, et ce pôle est égal à l'invçrse de la limite.

De là résulte un m'oyen, tout au moins théorique, de trouver les pôles lorsque ces pôles sont tous de modules diff'érents. Soient >,, Xa, ... ces pôles rangés par ordre de modules croissants. On a

A

d'abord X, en cherchant la limite de -r— ^ po"r '^ infini, et le résidu

A/i— 1

correspondant m< en cherchant la limite de ?mA„. Pour avoir l'affixe du second pôle, on opérera de la même façon sur la série entière obtenue en retranchant de la série (8i ) le développement

de r — V~' 6t ainsi de suite.

Si, en outre, tous les pôles de la résolvante sont du premier ordre, il suffira pour avoir les noyaux principaux correspondants, et, par suite, les fonctions fondamentales, de calculer les résidus de T{x, y, X). Pour avoir le résidu relatif au premier pôle X,, il suffira de trouver la limite de X;;*"* K"" {x, y), car K'"' (x, y) est le coefficient de X"-' dans le développement de T{x, y, X) suivant les puissances de X. Ayant obtenu le noyau principal /r, (x, j'), pour avoir le noyau principal k^^x, y) relatif au pôle Xj, on appliquera la même méthode au développement

et ainsi de suite.

(') Pour un noyau eTou borné, tel que tous les noyaux itérés soient bornés à partir de K"»'(j:, y), on peut conserver la série (Si), à condition de supprimer les (n — i) premiers termes {voir w 570).

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 423

On peut aussi trouver les fonctions fondamentales par une suite d'itérations. Soil

(82

«(./■; /. ■) = i(o(jr) -h X Ui{x) H-. . .-t- X" if;j(.r) -(-,

u„= I KW(x, s) Uo{s) f/s

^ a

le développement suivant les puissances de \ de la solution de l'équation ( i ) où l'on aurait remplacé y(ar) par Mn(x). Considérée comme fonction de X, u(^x^ X) est une fonction méromorphe qui ne peut avoir pour pôles que les pôles de la résolvante. La partie principale dans le domaine d'un pôle \i de la résolvante est égale à

/ Y,(j~, 5; À) «0(5) ^5,

yi(.2^, v; À) étant le novau résolvant pour le noyau principal A, (a. j) relatif au pôle /j. Cette partie principale disparaît si la fonc- tion U(s{^x) est orthogonale à droileau novau A-,(a;, >), de sorte que la fonction u{x: À) n^ admet pas forcément tous les pôles de la résolvante. Par exemple, si U(^{x') est une fonction fondamentale relative à la valeur singulière c, la fonction u(^x; X) se réduit à la

fonction rationnelle Uo(^x) ^ du paramètre X. Si u„{x) était

orthogonale à tous les nojaui principaux, u[x\ X) serait une fonction entière de X. Laissant de côté ce cas exceptionnel, soient X,, '/.-.. . . . , X^ les pôles de module minimum tels que m„(x) ne soit pas orthogonale aux noyaux principaux correspondants; u{x\ X) est une fonction méromorphe dont les pôles de module minimum sont X,, X^,, . . . , X,, et le coefficient Un{x) a pour expres- sion

in tendant vers zéro lorsque n croît indéfininiont. P/(/î, x) est un polvnonic en n défini par la relation

y/(vC, »■; X) étant défini comme tout à l'heure. Pour qu'il existe un nombre c tel que le produit c"Un{x) tende vers une limite U( a;),

4?./, CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

diflPérente de z<'ro lorsque ji croît indéfiniment, il faut, d'après la remarque du début, que c soit un pôle simple de u{x\ X) et qu'il n'y ait aucun pôle de module ^ | c |. Il faudra donc qu'on ait r = i , 'K^ ■= c, et de plus que P< {n, x) soit indépendant de n. Or, en se reportant à l'expression d'un noyau canonique (n°579), on voit aisé-

ment que si l'expression À" / k\"^(x, s) Uo{s) ds est indépendante

de n, elle est égale à une fonction fondamentale relative au pôle X,. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si le produit c"Un{x) tend vers une limite U(a^) différente de zéro lorsque n croit indéfiniment^ c'est un pôle de la résol- i-ante et i]{x) une fonction fondamentale correspondant à ce pôle.

En choisissant convenablement la fonction aQ{x)^ on peut obtenir ainsi toutes les fonctions fondamentales correspondant à ce pôle c, mais il résulte de la démonstration même que si le produite" w^, (a?) tend vers une limite différente de zéro U(j:) [sans que la fonction d'où l'on part U(t{x) ait été choisie d'une façon particulière], c est un pôle du premier ordre de la résolvante qui n'admet aucun autre pôle de module égal ou inférieur à | c j.

o83. Méthode de Schwarz. — On peut rattacher aisément à ce qui précède une élégante méthode employée par M. Schwarz pour certains cas particuliers importants dont il sera question plus loin, avant qu'on ne fût en possession d'une théorie générale. En mul- tipliant les deux membres de la formule (82) par une fonction bornée A(x) et intégrant terme à terme, il vient

(8i) C M(.T:).^\(./;ir/./= r{„+B,>. ^...+ r»;,/.''^...

en posant

=/

A ( .r) Un{-r) dx.

Le premier membre do cette relation est encore une fonction méromorphe du paramétre X, dont les pôles font partie des pôles de m(j7; à) et, par suite, des pôles de la résolvante. Si donc, en

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 4^5.

choisissant convenablement les fonctions Uo{x) et A(a7), le rap- port -^-^ tend vers une limite / différente de zéro, on peut affirmer

que l'inverse c = -^ est un pôle de la résolvante; de plus, si le pro- duit c'^Un{x) tend vers une limite V{x) différente de zéro, V{x) est une fonction fondamentale correspondant à ce pôle.

En particulier, si l'on peut choisir Uf,{x) et A{x) de façon que les constantes B,, soient positives, et vérifient la condition

B?,^B„_,B„^,,

le rapport g — va en croissant avec n; ce rapport ne peut croître

indéfiniment, puisque la série (83) serait divergente, sauf pour >. := o. Il tend donc vers une limite, dont l'inverse est un pôle de la résolvante.

584^. Genre de D(/.)- — Rappelons d'abord la définition du genre d'une fonction entière G(À); soient Xi, Xj, ..., Xf, ... les zéros de cette fonc- tion, rangés dans un ordre tel que le module n'aille jamais en décroissant, cnacun des zéros figurant dans la suite autant de fois que l'exige son degré de multiplicité. S'il existe des nombres [jl tels que la série

21^

soit convergente, désignons par k -^ i le plus petit nombre entier satis- faisant à cette condition. On a vu (II, n" 315) comment on peut former une fonction entière admettant les mêmes zéros que G(/.), au même degré de multiplicité, et la fonction G(X) est de la forme, en supposant G(o)^o,

.(80 G(X) = e^a)J|

^(X) étant une fonction entière de X. Lorsque cette fonction ^(X) est un polynôme de degré r, le plus grand des deux nombres k et /• s'appelle le genre de la fonction entière G(X); on le représente par la lettre p. Remar- quons qu'il ne suffit pas qu'une fonction entière soit mise sous la forme (84) pour en coulure le genre; si, par exemple, la série x, ~ ^-'^ conver- gente, on a identiquement

n

■^i

n(

426 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Il semblerait, d'après la forme du second membre, que la fonction est

de genre un, tandis qu'elle est de genre zéro. Pour mettre G(X) sous la

forme caractéristique (84), il est donc indispensable de choisir pour k-\- i

V^ I I 1*"^' le plus petit nombre entier tel que la série X ~ *^^* convergente.

^^ I I I H- S'il n'existe aucun nombre a tel que la série ^U- so>l convergente,

ou si gijk) n'est pas un polynôme, on dit que G(X) est de genre infini.

Le genre d'une fonction entière est lié à l'ordre de grandeur «du coeffi- cient an de \"- dans G(X) par des inégalités importantes dues à MM. Poin- caré et Hadamard. Citons seulement le résultat suivant de .M. Hadamard : si le produit n* v/| a„ | tend vers zéro pour n infini, G(À) est au plus du genre -• Nous avons vu (n° 565) que le module du coefficient a„

n

. ,, . M"n^(è — aY de D(X) relatif à un noyau borné est inférieur a ^— j —t en sup- posant j K •<M. On en conclut aisément, en remplaçant n ! par sa valeur approchée (I, n° 417), que le produit n*y^ | a„ i tend vers zéro si a est infé- rieur à -) et par suite le genre de D(X) est au plus égal à deux. En s'appuyant uniquement sur la théorie générale des noyaux résolvants,

M. Schur {Exercice 3 du Chapitre suivant) a prouvé que la série / | — |

^^ I ^' I est convergente pour un noyau borné. Il s'ensuit que la fonction D(X),

étant au plus du genre deux, est de la forme

( 85 ) D ( X ) = e<^>-''X. JJ ^ I _ ^ ^ e'^.

1=1

M. Carleman a démontré (') que, pour un noyau continu quelconque, le genre de D(X) est au plus égal à un; il existe des noyaux pour lesquels D(X) est effectivement du premier genre, par exemple le noyau de Volterra (*).

La fonction D(X) étant au plus du genre deux, on déduit immédiate- ment de la relation générale (36) du n» 570

(86) D;,(X) = D(x^)D(wX^)...D(ro/'-oi)

(') Sur le genre du dénominateur D(À) de Fredholm {Arkiv for tnate- matik, ustrononii och fysik, Bd 12, n» 15, 1917). (') Lorsque le noyau K(x, y) satisfait à une condition de la forme

K (x, y) — K(x, z) < \ y — z \?,

A et p étact deux nombres positifs déterminés, M. Lalesco, utilisant une remarque de Fredholm, a montré que D(X) était du genre zéro (Comptes rendus, t. 145. 1907» P- 'jo^)-

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 427

que Dï(X) est au plus du premier genre et que D3(À), D4(X), . . . sont du genre zéro. Si D(X) est du genre zéro ou un, Dî(X), D3(X), . . . seront du genre zéro.

Applications. — i" Soit K{x, y) un noyau symétrique, c'est-à-dire tel que K(y, x) = K{x, y). Il est clair, d'après les formules qui donnent les expressions des noyaux itérés successifs (n» 558), que tous ces noyaux, itérés sont eux-mêmes symétriques. La suite de ces noyaux est illimitée, puisqu'on a, en général, d'après la relation entre K'"'(ar, r) et K^^'^)(x,y),

K'-^")(x,x)= Ç [K(''){x,s)Yds.

'- a

Si, en prenant n assez grand, on arrivait à un noyau K'"{x,y) iden- tiquement nul, on en conclurait que K'-"~')(a:, y) est lui-même identique- ment nul et, en remontant de proche en proche, on voit que K{a, y) devrait lui-même être nul. Si, au bout d'un nombre fini d'itérations, on arrive à un noyau borné, au moyen de deux itérations de plus, on arrivera donc certainement à un noyau symétrique différent de zéro, pour lequel D(X) sera de genre zéro. Ceci permet de démontrer très simplement i|u'Mn noyau symétrique a au moins une valeur singulière. En effet, ïoit K(x, y) un noyau symétrique sans valeur singulière; au bout d'un nombre fini d'itérations, on en déduira un autre noyau symétrique borné sans valeurs singulières KSn){x, y) pour lequel Dç(X) sera du genre zéro. On aurait donc Dy(X)= i, ce qui est impossible puisqu'il faudrait qu'on eût

k.,= I K(^)(xi, x,)<'/?a7i = o,

Ja

Aî,= / / K{<l){Xi,x^_)K^'ï){x',,Xr)dxidx.= o OU, en tenant compte de la symétrie du noyau,

.b ^b

f I [Ki<7){Xi,Xi)Y-dxtclxt=o

et, par suite, V^1^ (x, y) = o {cf. n» 587).

2" Soit K{x, y) un noyau borné n'admettant qu'un nombre yî/ii de valeurs singulières; D(X), étant au plus du genre deux, est de la forme

(?«'•+*>■' P(X),

P(X) étant un polynôme. La dérivée logarithmique est donc une

U( X ) fonction rationnelle de X dont la partie entière est a-h2bX. Inversement,

si YTTTT ^^^ ^^^ fonction rationnelle, les pôles à distance finie doivent être D(À)

des pôles simples et les l'ésidus des nombres entiers positifs, sans quoi D(X) aurait des points singuliers à distance finie. Si toutes ces conditions

428 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

sont remplies, l'équation D(/.) =o n'aura qu'un nombre fini de racines. Pour exprimer que le noyau K{x, y) n'a qu'un nombre fini de valeurs

singulières, il suffit donc d'exprimer que ^ est une fonction ration-

nelle. Gomme la partie entière de cette fonction est du premier degré au plus en X, on est conduit à la condition suivante :

Pour que Véquation D(À) = o n'admette qu'un nombre fini de racines, il faut et il suffit qu'à partir de A3, /» traces consécutives quel- conques du noyau vérifient une relation de récurrence à coefficients constants {p étant un nombre entier indéterminé) {}).

En particulier, pour qu'il n'y ait aucune valeur singulière, il faut et il suffit que toutes les traces soient nulles à partir de A3.

o83. Développements du noyau résolvant. — Le premier théorème de Fredholm donne l'expression du noyau résolvant sous forme du quotient de deux fonctions entières. Or, toute fonction méromorphe peut aussi s'exprimer, d'une infinité de manières, par la somme d'une série dont chaque terme est une fonction rationnelle n'admettant qu'un pôle à dis- tance finie (II, n» 319). Les propriétés établies plus haut permettent dans certains cas d'obtenir pour la résolvante des développements de cette espèce.

Soit K(x, jk) un noyau borné ; supposons les pôles de la résolvante rangés par ordre de modules croissants {-), et soit ki{x, y) le noyau principal relatif au pôle À,.

Lorsque la série H(j:, y) =2, ^'(-^y jy) est uniformément convergente,

i = l

on peut écrire

-h»

(87) Kix, y) =y\ki(x,y) ^ H,{x,y),

les deux noyaux U(x.y) et Ui{x, y ) étant orthogonaux. En effet, le noyau ki(x, y) par exemple est orthogonal à i\.(x, y) — ki{x, y) et à chacun des noyaux ki(x, y) (i> i). Il est dono orthogonal à leur somme li(x, y) — Ai(j:, y) et par suite à la différence

k(./'. V)— IlCr.jO^ U,(x,y). Inversement, Hi{x, y) étant orthogonal à chacun des noyaux ki{x, y),

(') Cf. Lalesco, Comptes rendus, décembre 1907.

{-) On peut supposer que chaque pôle figure une seule fois dans la suite ou un nombre de fois égal au rang de ce pôle. Dans ce dernier cas, k^ix, y) est un noyau canonique.

n. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 429

ki{x, y), ... est orthogonal à H{x, y). Il s'ensuit qne le noyau H^ia:, y) ne possède aucune valeur singulière et par suite sa résolvante est un polynôme ou une fonction entière de X; nous la représenterons par E{x, y; X). La série qui représente le noyau H(j:, y) étant uniformément convergente, nous avons remarqué plus haut (n" oH) que la résolvante de ce noyau s'obtient en faisant la somme des résolvantes -(i{x, y; X) relatives aux noyaux ki(x, y). La résolvante r{x, y; À) du noyau donné K{x, y) est donc représentée par le développement

(88) V{x,y; X) ="^ y,(x,y; X) + E{x,y; X),

i = i

qu'on peut encore écrire

(89) r{x,y; X) =2 P<''[r(^,r; X)] + E(x,y; X),

PW[r{x, y] X)] représentant la partie principale de T dans le domaine du pôle X,-. En remplaçant E{x, y; X) par une somme de polynômes entiers en X, il est clair qu'on pourra transformer la série (8 () en une série à termes rationnels, dont chacun n'admet qu'un pôle à distance finie, et cela d'une infinité de façons (If, n» 319).

Pour un noyau borné quelconque K{x,y), on ne peut affirmer en général que la série des noyaux principaux est uniformément convergente, ni par suite que la résolvante peut être mise sous la forme (88). Mais il est facile de former autant d'exemples de ce genre qu'on le voudra. Considérons, par exemple, les deux noyaux orthogonaux

H {x, y) = 2^ai %in{ix ) %m{i'y),

Hi(x, j) =2] ^/ cos(yx) cos[(y ^ i)j], (=1

les deux séries 2 ' a» |, - ' 6/ j étant convergentes et les limites a et b étant o et -ir., et leur somme K = H -4- Hi. Le noyau résolvant rehitif à U{x,y) est égal à

aisin{ix) sin(/>')

■^ o,- sim

Quant au noyau Hi{x, y), il donne naissance à un noyau résolvant qui est une fonction entière de X. En effet, si l'on prend d'abord un nombre fini de termes dans la série }ii(x, y), on vérifie (n" .'i71) que la fonction correspondante D„(X) se réduit à l'unité, car tous les termes situés au-dessous de la diagonale principale dans le déterminant (4/,) sont nuls.

43o CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

et tous les termes de la diagonale principale sont égaux à un. On a donc aussi D(X) = I pour le noyau H,{x, y). On peut remarquer que la résol- vante E{x, y; X) du noyau ^\i{x, y) se réduit à un polynôme si Hi ne contient qu'un nombre fini de termes.

Prenons de même un système orthogonal quelconque formé de deux suites de fonctions çi et -i/, telles qu'on ait (o,'I^,) = o pour i^j. Au moyen de ces deux suites de fonctions, formons une série uniformément convergente

K(^, y) =2°'' f'^-^) '^iiy)'

les a, étant des constantes. Les termes de cette série peuvent se partager en deux catégories suivant que l'intégrale (çi'^'f,) <^st différente de zéro ou égale à zéro. En distinguant ces deux sortes de termes par une notation différente, nous écrirons le noyau précédent

avec les conditions (o,'J/y) = — , (çydi') = o. Le noyau résolvant a pour expression

et l;i partie entière du noyau se réduit à un terme indépendant de À.

Remarque. — Dans ce dernier exemple, les fonctions çy et •Vj vérifient les relations

f K{x,s)o',{s)rls = o. f K{s,y)'h'j{s)ds = o.

D'une façon générale, soit K(.r, ^) un noyau pouvant être mis sous la forme (87), tel que la résolvante relative au noyau Hi(j:, y^ soit un poly- nôme en X, pouvant se réduire à son premier terme. Si cette résolvante est un polynôme de degré n — i en X, on aura, d'apiès l'éipiation fonctionnelle des noyaux résolvants (n» .^.^0), l'identité

XHV-X^,.v~)+...^X"-i H, "•(. /•,_!■)

= X r II.Cx, 5)[X"-iH'/"(5,y) + ...+ Hi(s,j))]f/5

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 43 1

qui donne, en égalant à zéro le coefficient de X",

/

b

relation qu'on aurait pu écrire immédiatement en exprimant que H/'+" est nul. Il s'ensuit que toute fonction <f{x) de la forme H'/''(a;,^i) est une solu- tion de l'équation / Hi(ap, «)ç(*)û^i = o. Commelesdeux noyaux H(a;,^)

et H/''(a-,^) sont eux-mêmes orthogonaux, la fonction o(x) est aussi une solution de l'équation

(90) / K{x, s)o{s) f/s — o,

qui peut être considérée comme un cas limite de l'équation homogène

ç(a:) = c / K{x, s) ^{s) dx,

en supposant la valeur singulière c infinie. Si « > i, les fonctions

H("-''r.r, vi\ H',"-'-' (•'••. 1^1 S ■■■,

obtenues en donnant à y une valeur numérique quelconque jki, sont de même analogues aux fonctions principales. Mais, tandis qu'à un pôle à distance finie de la résolvante ne correspondent qu'un nombre fini de fonc- tions fondamentales, l'exemple précédent montre que l'équation (90) peut avoir une infinité de solutions distinctes.

L'hypothèse qui vient d'être examinée est la plus simple qu'on puisse faire sur le noyau. Supposons, plus généralement, que le noyau K^P'i(x,y),

d(;duit de K(x, 1 ) par /> — i itérations successives, vérifie la condition

■+■ »

\oulue, c'est-à-dire que la série ^ k\'' (.r, y) soit uniformément conver-

1=: I gente. D'après ce qu'on vient d'établir, la résolvante r^(a-, y; X)du noyau

}\'P){x, y) est représentée par le développement

(91) rp{:^:y; >0 =2 P"'[r/-(^,r ; X)] + E,,{x,y;l);

Ci étant un pôle de T{x,y; X), cf est un pôle de Vp{x,y; X), Pi')(rp)est la partie principale de Tp dans le domaine de ce pôlf. Quant à Ep{x,y; X), c'est une fonction entière de X, qui est la résolvante pour le noyau

Ki"'{.r,y)-^/,Y-

432 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Nous pouvons exprimer 1" au moyen de T^; on a, en effet, d'après la for- mule ^'énérale (65) du n" o60,

T{x,y; À) = n(jr,y; l) -h iP-^ i'pix,y, \p)

-(-/./' r H(x,s;l)rp{s,y;XP)ds, en posant

l{{x.y; X) = K(.r,r) -h lW-^(x,y) -h . . .-hlP-'^K(/-i\x,y).

En divisant les deux membres par Xp—^ et remplaçant rp{x, y; \p) par son expression tirée de la formule (91), il vient

r(x,y:l) _ H(x,y:\) X/'-i X/'-i

-^"2 P"'[r/,(^>7; ?>0] + Ep(a:, v; )./')

Supposons, pour fixer les idées, qu'à un pôle cÇ de Tp{x, y; X) corres-

r(x V X) ponde un seul pôle C/ de r(x, y; X). La partie infinie de J_| — dans

le domaine du point X = ct ne peut provenir que de

Vii)[T,,{x,y;XP)]^X f }\{x, s;X)VW[T ,,{s,y;X'')]fls,

et, par hypothèse, cette fonction de À ne devient infinie que pour X = Ci. D'autre part, P(''[r^(x, y; À/')] ^^t une fonction rationnelle de X dans laquelle le degré du dénominateur surpasse de p unités celui du numéra- teur. Gomme XH(^, s; X) est du degré p — i en X, on voit que l'expres- sion considérée est nulle pour X infini. Elle représente donc la partie

principale de , '•_' dans le domaine du pôle X = c,, et la formule

précédente ))eut s'écrire

A/'-i ^ |_ X/'-i J X/'-i /v ,y /

-4- X / H (.T, 5 ; X ) Ep {s, y ■,XP)ds; ou encore (9>) r{x,y; X) = Xp-^^ Pi' [^ îl^J^i^A] j ^ H(x, r; X)

XP

-1 E/, {x, y ; XP) + Xv / H (x, 5 : X) E^ {s, y ; Xp) cls.

II. — ÉTUDE DU NOYAU RÉSOLVANT. 433

La fraction rationnelle yP""^ P''' 1 '_' — - h correspondant au pôle c,,

ne dépend évidemment que du noyau principal de K.{x, y) relatif à ce pôle. Quant à la partie entière du second membre, elle dépend de K,

K(s), K'/»-!) et de Ep{x, y; X). Si la fonction E^ est nulle, cette

partie entière se réduit à un polynôme. C'est, en particulier, ce qui arrive pour un noyau symétrique {voir le Chapitre suivant).

Il est à remarquer que si le noyau résolvant r(a:, y; /.) peut se mettre sous la forme (92), pour une valeur de p, il peut se mettre sous la même forme d'une infinité de façons, car on peut y remplacer le nombre/? par tout nombre entier supérieur k p.

386. Noyaux singuliers. — 11 n'y a aucune difficulté spéciale, à part les complications d'écriture, à étendre les propriétés du noyau résolvant à l'équation

?(^i,.r2, . . .,Xn) = ^> / K(a,-i, . . ., Xn-, ;i, ..., ;«) 9(?i> •• •; ?n)û^i- ■ -^/j

-l-/(.ri, . . ., Xn),

le signe / indiquant une intégrale multiple étendue à un domaine déter- miné D à n dimensions, lorsque le noyau K est borné dans ce domaine et, d'une façon plus générale, lorsqu'on peut en déduire un noyau borné au bout d'un nombre fini d'itérations (n"* 563, 570).

Mais les propriétés si simples des solutions de l'équation de Fredholm sont profondément modifiées lorsque le noyau K{x, y) possède des singu- larités essentielles ou des points d'indétermination. Ce Chapitre de la théorie est encore en voie de formation, et nous indiquerons seulement quelques exemples simples. Dans le premier de ces exemples, une des limites est infinie, mais il est facile de ramener une équation intégrale où les limites sont o et -i- *, par exemple, à une autre équation intégrale où les limites sont o et i. Si, en effet, dans l'équation

o(.r) on ppse

= à/ K{x,s)o{s)ds-^f{x),

celte équation devient

*(i-') = >. f K(^— ^,— ^V , ' . «!»(/) r/g'+ F (j:'). ,/, \i — x i — s/{s'—i)' - '

De même, si les limites de l'intégrale sont — » et -+-<», en posant d'abord x = log.r, s = log«', on ramènera ce cas au précédent. Inverse-

couRSAT. — m. 28

434 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

ment, une équation intégrale où les limites de l'intégration sont deux nombres finis a et 6 peut se ramener à une équation intégrale avec une limite infinie pour l'intégrale. L'équation intégrale (')

(93) o{x) = \J !^-Z-pl^{s)ds^/{x)

peut être considérée comme une équation de seconde espèce où la limite supérieure b est infinie, tandis que la limite inférieure a est un nombre arbitraire inférieur à x, le noyau K(:r, s) étant nul pour s<Cx, et égal

à ^ j— ^ pour 5^.r. Soit a un nombre réel et positif ou un nombre com- plexe dont la partie réelle est positive; on vérifie aisément, au moyen d'une suite d'intégrations par parties, qu'on a

X"

^'-f''e-^sds =

et sorte que e-^-^ est une solution de l'équation homogène

(94) 'A^) = \f^"^^^^^,is)ds,

où À = a"-*-'. Si nous continuons à appeler valeur caractéristique pour l'équation (93) toute valeur de À telle que l'équation homogène (94) ait une solution différente de zéro, nous pouvons dire que toute valeur de X,

telle que l'une des déterminations de y/X ait sa partie réelle positive, est caractéristique pour l'équation (93). Si n>i, tout nombre réel ou com- plexe, sauf À = o, est donc une valeur caractéristique . Si /j = o, tout nombre dont la partie réelle est positive est une valeur caractéristique; si n = I, tout nombre, sauf zéro et les nombres réels et négatifs, est une valeur caractéristique.

On a de même, si la partie réelle de a est positive,

/■'(!_ 1),.<,, = _£1^,

J, \s x) a(a + i)

de sorte que tout nombre X, tel que l'équation a^-t-a = X ait une racine dont la partie réelle est positive, est une valeur caractéristique pour l'équation

(95) z{x)^lf Q-l-y{s)ds-^/ix).

(1; J'ai donné cet exemple dans une Note des Comptes rendus (t. 157, 10 no- vemiire igiS). Le premier exemple de ce genre {Exercice 5) est dû à M. Picard {Annales de l'École Normale, njii, p. 3i3).

COMPLÉMENTS CT EXERCICES. 4^5

Il faut et il suffit pour cela qu'en posant X = Ç -+- t^i, le point (Ç, t)) soit à l'extérieur de la parabole ^-h-r\^= o.

On voit qu'il y a une différence essentielle, au point de vue des valeurs caractéristiques, entre les exemples précédents et l'équation régulière de Fredholra. Cette différence n'est pas moins grande, si l'on étudie une solu- tion de l'équation (gS), considérée comme fonction de X, dans tout le plan de la variable X. Supposons que la fonction /(^r) de la variable réelle x vérifie la condition \/{x)\ < Le-'-', L el l étant deux nombres positifs. On voit aisément, en applicjuant la méthode habituelle des approximations successives, que cette équation (98) admet une solution cp(x, X) qui est représentée par une série entière en X convergente dans le cercle G de rayon /"^i. Mais le prolongement de cette fonction analytique en dehors du cercle G peut présenter des coupures naturelles choisies arbitrairement, si /i>i. Supposons, en effet, que/(x) soit de la forme /(:?) = SA,e— *i^, les parties réelles de tous les nombres a,- étant positives, et les deux séries S I Ai I, S|A/af"^'| étant convergentes. La solution correspondante de l'équation (98) est alors

.itad a" — A

considérée comme fonction de X, cette fonction est méromorphe dans toute région du plan ne renfermant qu'un nombre fini de points a'/"^*. Mais, si l'on a choisi les nombres ai de telle façon que sur toute portion, aussi petite qu'elle soit, d'un arc de courbe F, ne passant pas par l'origine, il y ait une infinité de points a""^' (ce qu'on peut toujours faire d'une infinité de manières, si /i > i), la courbe T est pour la fonction o{x, X) une cou- pure naturelle (II, n° 345). On remarquera que, dans cet exemple comme pour l'équation régulière de Fredholm, les points singuliers de '^{x, X) font partie des valeurs caractéristiques de \ pour V équation intégrale.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

1. Démonstration directe de la formule i\o) (n» 563). — Le dévelop- pement du déterminant K( 1 •• " \ renferme comme premier terme

\yy^ ■■■ yn]

le produit K(x, j)K/ * ••• " J , et le reste du développement peut

s'écrire

2:(-Hi)/'K(^,.r,)K(:r,..:r,-)...K(^X-,r)K(^;---^r^),

\ " 1 • • • -^11— 1> /

Xi, Xj, ..., Xk désignant p quelconques des variables a:i, . . ., x„ et a:'^,

436 .CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

ar'j, ..,, x'n_p les n — p variables restantes. L'intégrale multiple de ce produit est donc égale à

-,).K....,.,,)^'^'...^V(--;;;--)<^,..,^..„

et ce terme figure n{n — i) ... (n — i>-t-i) fois dans le coefficient de X" de D[ — X |« En faisant varier/? de i à n, on en déduit facilement la rela- tion (lo).

2. Développement de D'(X) : D(X) (n« 566). — Représentons par (— i)"— J le coefficient de 'X" dans D(X), ce qui revient à poser

u„= r r'.-. r K('^*^*---^"W,...f/x„, uo=i.

Ces nombres Un s'expriment au moyen des traces A„ du noyau K(j:, y). En effet, le développement du déterminant K( ' * " ' ' " ) peut s'écrire

\X\Xi ... Xn I \Xx,.. Xnl \X^Xi. . .Xn—f,/

Xi, Xj, . . ., xi désignant p des variables x^, X2, ..., Xn, et x\, x'o, ..., x'n_f, les n — p variables restantes. On en déduit en intégrant la relation de récurrence

U„ = A, U„_, - (« - 1) AsUn-î -h (n - 1) (« - 2) A3 U„_3 -h...

-+- (— l)/'^! (« — 1) (« — 2). . .(/i — /) -t l) A;, Un-;, -t- . . .

qui exprime l'identité D'(X) = — D(X) G(X), en posant G(X) = Al H- A, X + . . . -(- A„ X"-i -t- . . . .

3. Méthode de E. Schmidt pour un noyau quelconque {Math. Annalen, t. 64, p. 161). — Soit K(x, y) un noyau borné. Nous supposerons que le paramétre X a une valeur déterminée. La méthode de Schmidt pour résoudre l'équation de seconde espèce (i) consiste à décomposer le noyau K{x, y) en deux parties

K(x, V) = K,(x.y) -h^ «/^C-^) r>(r),

les 2n fonctions a.p{x), ^piy) étant choisies de telle façon que l'intégrale double / / [Ki{x,j)Y dx dy soit inférieure ù -rr — 5 ce qui est toujours possible, d'une infinité de manières {voir n" GOl). On écrit ensuite l'équa-

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. /(Sy

tion (i)

(,) ?(x)=/i(x) + X r K,(X,5)?(5)6^5,

en posant

b "

(2) Mx)=f{x)-^\J ^ap{x)^,{s)^{s)ds.

p=i

D'après la façon dont on a déterminé Ki(;r, y) la série entière qui repré- sente la résolvante Ti{x, y, X) du noyau Ki(x, y) est convergente pour la valeur de X considérée (note de la page 348). On tire donc de l'équa- tion ( I )

(3) ^{x)=Mx)-^l f Trix,t;\)f,{t)dt,

' a

et en remplaçant /i (a:) par son expression (2), il vient

.6

o{x)=fix)^\J ^ap{x)^p{s)^is)ds-HlJ T,{x,t;l)f{()dt -4-X2 r f rr{x,t,X)y\a,{t)^f,{s)-As)dsdt, ce qui est encore une équation de seconde espèce de la forme

b "

?(a^) = F(:r,X)-f.Xy ^f,{x,\)%{s)-.(s)ds,

dont le noyau a la forme spéciale du n" 571.

On déduit aisément de cette méthode le caractère analytique de la résol- vante, comme je l'ai montré dans un article du Bulletin de la Société mathématique, t. 37, p. 197 (1909).

i. Noyau singulier de Weyl {Math. Annalen, t. 66). — On a, d'après un calcul élémentaire, a étant positif,

X

(i) / e-"^ sin{x s) ds =

D'autre part, en prenant l'intégrale de la fonction — ^ -e'--^' de la

variable complexe z le long du contour de la page 112 (t. II), et en rai- sonnant comme dans cet exemple, on obtient aisément, si x est un nombre

438 CHAPITRE XXXI. — L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

réel et positif, la relation

^ ^ Jo '«--4-5- ^ •^ 2

Des formules (i) et (2), on tire

de sorte que 4 /- est une valeur singulière pour l'équation intégrale V ^

o{x) = l sin{.rs)<f{s)f/s-hf{x),

à laquelle correspondent une infinité de fonctions fondamentales dépen- pendant d'un paramètre a.

o. Équation singulière de M. Picard. — L'équation homogène ç(.r) = À / e-<^-< o{s)ds

admet les deux solutions e-*'*, a étant réel, pourvu que X soit de la

forme Toute valeur réelle de X, supérieure à - j est donc une valeur

■> 2

caractéristique. On obtient ces solutions en remarquant que l'équation

proposée, diflcrentiée deux fois, conduit à l'équation linéaire

?"-(-(2X-i-i)9 = 0.

Au moyen de ces fonctions simples, on pourra former, comme dans le texte, une solution de l'équation avec second membre /(x), admettant pour coupure naturelle un segment quelconque de l'axe réel, à droite du

point X = - •

L'équation de M. Lalesco s'obtient en remplaçant —30 par zéro dans l'équation de M. Picard. Les valeurs caractéristiques sont les valeurs de X pour lesquelles la partie réelle de v i — 'X est inférieure à l'unité en \aleur absolue. La fonction fondamentale correspondante est

(a -f- i)6>2'^H- ( OL — i)^-*-'-",

a ('tant égal à v^ i — ?X.

CHAPITRE XXXII.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES.

587. Noyaux symétriques. — Les propriétés des noyaux symé- triques ont été établies d'abord par M. Hilbert ( ' ), et déduites par un passage à l'infiai des propriétés des formes quadratiques symé- triques. Les résultats de M. Hilbert ont été peu après démontrés par M. Schmidl (-) au moyen d'une méthode directe fort élégante. Ces propriétés se déduisent aisément de la théorie générale du Chapitre précédent.

Soit K(a7, j')un noyau syuiétrique réel; ainsi qu'on l'a fait observer (n"584). tous les noyaux qu'on en déduit par des itéra- tions successives sont eux-mêmes symétriques. Nous allons mon- trer que la série

(i) u{x,\)^U{.i-}-h2,'''" I •'''"' (■■^) *'"(•'>■) "'^

qui représente le développement, suivant les puissances de /., de la solution de l'équation de Fredholm où la fonction connue f{x) = u{x), ne peut être une fonction entière de "/ à moins que u{x) ne soit orthogonale à droite au noyau K(.'r, y). Nous suppo- serons, pour fixer les idées, u{x) bornée et intégrable. iVdmeltons, en effet, que la série ( i) soit une fonction entière de À; multiplions tous les termes de celle série par u[x) et intégrons ensuite entre les limites a et 6; la série obtenue iCt,,/.", où (5l„ a pour expression

(Xn= 1 1 K*"'{jr, s) u(x) n{s) d.r dx.

(') Grundziige einer allgenieinen Théorie der Integralgleichungen i Got- tingen Nachrichten, 1904, 1905, 1906 et igio). (') Mathematische Annalen, Bd fi3, 1907, p. '|3o-476.

/lin

sera au*- lis propr

•j >. Or, on peul écrire, d'apré; n*558),

f ^ Ht Hi

•Ix ds dt rj'o" il «oit (pM €i- 6^0, comme on le suppose. On a

el, ptr >uiie, d'après i in«'g k- «le Schwan (n" 559),

. / II' r ,Lr

J J

■É

i[>arant a I:» • ^^^^ression de cl^»,

icX«>."nc' pt'iit 1 "Convergent 'on ail cl» -- - I iffel, sicX, .prés l'inégalili le cXt, cX,. .

>sanl avec /i. L.i sf^n obtenue en Jaus ici,,/ »•' f>'i donc être co /, si cl, n est pas mi Pour que cXi que Ui x) soit orlh<>t: . au noyau K , en tenant compte • •>rp'i<sion de K

i /

( ■"[.C

ce ()ui prouve que u^X' o>t iisi orlhogonnl au m

\

LES FONCTIONS FO^AMENTALES. 44l

s'il esl orthogonal au premier noyit itéré K''^^{x, y). En résumé, si l'on prend pour u{x) une fonctio non orthogonale à K{x, j), on ne peut avoir cX, = o, et la sén (i) ne peut être convergente pour toute valeur de X. Tout noyu symétrique possède donc au moins une valeur singulière (• [cj. n" 584).

Les théorèmes généraux sur les'onclions fondamentales per- mettent aisément de compléter ce riullat.

i" Toutes les valeurs singulièts dUin noyau symétrique réel sont réelles. Supposons, en ffet. qu'il y ait une valeur singulière ot-|-p/(j3 :^o); a — (3/ sera aussi une valeur singulière, et à ces deux valeurs singulières conspondraient aussi deux fonc- tions fondamentales imaginaires coniguces u + iv et m — iv. Le noyau étant symétrique, ce sont austdes fonctions fondamentales pour le noyau associé, et l'on devrii avoir, d'après la relation générait' d'orthogonalité (n" 580)

,6 h

f

{u •+- t\){u — iv) dx — j ( »- -f- i--) dx = o

ce qui exige que u et i- soient nuls.

2° Les valeurs singulières sont as pôles simples de la résol- vant*' '^"•' (Ti effelj»(r 1 ""'■ Tm tion fondamentale corres- pond : le c'^^K lion fondamentale pour l'équaii '^^^^^L. ^^oncons^^ÉB^ent être ortho- goo^ xufli^^^^^^^^^|||<' c^l^^^^^imple la

»oil nul Mof int< grable u{x) sduf >ur la diago tri«)uc5 dfox à jours lal!sc^ fie côté

V

Cr »P!TtE XXXII.

i-^ À. Or, on peut écrire, d'après

.^558),

tu j "^ Hx t/s

, Uyi , dx ds dt

■J. "i

att«ti

et,.-/ J /

Jm ^m ••

i> > a, comme on le suppose. On a

/ . i ) U ( X I M ( V I ils iL lit

ri par suile, d'après l'inégiiit- de Schwarz (n° 559),

X r dt\f K^—^'{x,t)u{x^dx\ , ou, en comparant à h y

rt' expression de cXj„,

La série icl„>." ne peut >:o convergente pourloule valeur de/, il moins qu'on ail cl» = <«. h effel, si Cl» est positif, il en sera de mt^mo, d'après l'inégalil. i ., de cXo, Cl», .... et le rapport -^-^^

en croissant avec n. La srie obtenue en prenaj^Jes termes de dcgrr pair dans icX„>" ne put donc être coa valeur de >, si (X, n'est pas ul. Pour que CXi ^uflîl (jiie uix) soit orlhogonl au noyau K - ;,„,^p Pn tnnant compte A< a^pression de K -

ouve que u{x) est ussi orthogonal au n

f

LES FONCTIONS FO>AMENTALES. 44l

s'il est orthogonal au premier noya itéré K''^^{x, y). En résumé, si l'on prend pour u[x) une fonctio non orthogonale à K(ar, y), on ne peut avoir CX, = o, et la séri (i) ne peut être convergente pour toute valeur de X. Tout noyu symétrique possède donc au moins une valeur singulière (' (c/. u° 384).

Les théorèmes généraux sur les onctions fondamentales per- mettent aisément de compléter ce réiltat.

i" Toutes les valeurs singuliers dUtn noyau symétrique réel sont réelles. Supposons, en (Fet, qu'il y ait une valeur singulière a^-(3^((3^o); a — j3f sera^aussi une valeur singulière, et à ces deux valeurs singulières corr>pondraient aussi deux fonc- tions fondamentales imaginaires coniguces u -\- iv ai u — iv. Le noyau étant symétrique, ce sont aussdcs fonctions fondamentales pour le noyau associé, et l'on devra avoir, d'après la relation générale d'orthogonalité (n° 580)

' . . I

(u -h n') (u — n>)dx = I {h"- -¥- V-) dx = o,

L

ce qui exige que u et v soient nuls.

2" Les valeurs singulières sont dt pôles simples de la résol- vante. Soit, en effet, <p(ic) une fomion fondamentale corres- pondant au pôle c; c'est aussi une faction fondamentale pour l'équation associée, et ces deux fonctins ne peuvent être ortho- gonales, ce qui suffit pour prouver qu c est un pôle simple de la résolvante (n° 378).

On peut encore raisonner comme ifeuit. Supposons, ce qu'on peut toujours faire, qu'on ait ^ ç^'^{xdx = i. Les doux noyaux

?(^)?(.>'^

K(^,r)

9(^)0)

K,(^. y)

ours laisse

44o

CHAPITRE XXXII.

sera aussi une fonction entière de X. Or, on peut écrire, d'après les propriétés des noyaux itérés (n" 558),

a.„= r Ç Ki-^"^(j-. s) u(x) u (s) dxds

.b b h = 11 Ki") {x,t)Ki"){t, s) u(x)u {s) dxdsdf

= Ç dt\ ç K('')(r, 0.«(^)^^ I ,

d'où il suit que (ftj,, est >o, si 6 > a, comme on le suppose. On a aussi

C\,,,= f f f Kc+Dij-. /)K("-»(<, a-)m.(x)m(,9)^/^<'/s^//

= f dtx\ f Kin+i(x,t)u{x)dx^x\- f K^"-i{x,t)u(x)dxl,

'Il ' 'Il 11 «^n I

et, par suite, d'après l'inégalité de Schwarz (n" 559), a.],,^ f dt\ f K^"^'^>{x,t)u{x)dx\ -x Ç dt\ Ç Ki''-^^{x,t)u{x)dx\ , ou, en comparant à la première expression de CX...a,

La série iCt„X" ne peut être convergente pour toute valeur de X, à moins qu'on ait Cl.i=: o. En effet, si 6i^ est positif, il en sera de mémo, d'après l'inégalité (2), de CXo, Cl», . . . , et le rapport '" ira en croissant avec n. La série obtenue en prenant les ternies de degré pair dans 2cX„>/' ne peut donc être convergente pour toute valeur de >., si Cl, n'est pas nul. Pour que (51-, soit nul, il faut et il suffit que u{x) soit orthogonal au noyau K<-'(j7, }). Or on peut écrire, en tenant compte de l'expression de K - (x, y),

jT J Ki^-^{x,y)u{x)u{y)dxdy=J dt\ f Kix, t) u{x) dx] , ce qui prouve que u{x) est aussi orthogonal au noyau K{x', y),

liot »:■

p./ .

ceijueiJi'

re.>.. .^

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 44l

s'il est orthogonaî au premier noyau itéré K''^^(x, y). En résumé, si l'on prend pour u{x) une fonction non orthogonale à K(jr, y), on ne peut avoir Cl, ^ o, et la série (i) ^^ peut être convergente pour toute valeur de X. Tout noyau symétrique possède donc au moins une valeur singulière ( ' ) {cj. u° 384).

Les théorèmes généraux sur les fonctions fondamentales per- mettent aisément de compléter ce résullat.

i" Toutes les valeurs singulières d'un noyau symétrique réel sont réelles. Supposons, en effet, qu'il y ait une valeur singulière a-H[3f((3^o); a — Ç>i serait aussi une valeur singulière, et à ces deux valeurs singulières correspondraient aussi deux fonc- tions fondamentales imaginaires conjuguées m + tV et m — iv. Le noyau étant symétrique, ce sont aussi des fonctions fondamentales pour le noyau associé, et l'on devrait avoir, d'après la relation générale d'orlhogonalité (n° 380)

/ (u -I- fV) (« — iv)dx = l (u--h ^'-) dx = o,

ce qui exige que u ^Iv soient nuls.

2" Les valeurs singulières sont des pôles simples de la résol- vante. Soit, en effet, <p(a7) une fonction fondamentale corres- pondant au pôle c; c'est aussi une fonction fondamentale pour l'équation associée, et ces deux fonctions ne peuvent être ortho- gonales, ce qui suffit pour prouver que c est un pôle simple de la résolvante (n°378).

On peut encore raisonner comme il suit. Supposons, ce qu'on peut toujours faire, qu'on ait^ o-^{x)dx = \. Les deux noyaux

K^)?(.r)

K{x,y)- ^

(^)rO')

Ki{x,y)

(') Le raisonnement ne s'applique pas aux noyaux discontinus tels que

/ K{x, t)u(t) dt

soit nul sauf pour un nombre fini de valeurs de a;, quelle que soit la fonction inttgrable u{x). Tels seraient les noyaux symétriques nuls dans tout le domaine sauf sur la diagonale y — x^ et sur un nombre fini de parallèles aux axes, symé- triques deux à deux par rapport à la diagonale. De pareils noyaux seront tou- jours laissés de côté dans la suite.

w

1

44o fAPITRE^

sera aussi une fonction eaé^ les propriétés des noyaux

rapport -^

int les termes de Lvergente pour toute "que (X), soit nul, il faut et il logaal au noyau K'-'(a:, }). Or on peut ipte dr'eipression de K - ( jc, y),

[F. y)u(x) u() )X tly

'{y = I c/t\ i K{x,t)u(x)f/x\ , ►rouve que u{x) esaussi orthogonal au noyau K{x; y),

1-Tl.n,

soji 1,1 té I

LES FONCTIONS FQOAMENTALES. 44l

il est orthogonaî au premier noy| itéré K''^^{x, y). En résumé, l'on prend pour u{x) une fonctjn non orthogonale à K{x, j), ic peut avoir CX, = o, et la séc (i) ne peut être convergente valeur de 1. Tout noku symétrique possède donc is une valeur singulière (f {cj. u° 384). jorèmes généraux sur leifonctions fondamentales pér- iment de compléter ce ^Buhai.

les valeurs singulikes d'un noyau symétrique

'elles. Supposons, enlefFet, qu'il y ait une valeur

if((3^o); a — (3/ sett aussi une valeur singulière,

îurs singulières cotespondraient aussi deux fonc-

lles imaginaires cojuguées u -\- iv ci u — iv. Le

[étriqué, ce sont auii des fonctions fondamentales

associé, et l'on deiait avoir, d'après la relation

)gonalité(n°580)

Ib ^ b

{u -h i(^) (u — îi>) dx =^ {iC- -H (^-) dx = o,

n

que u c\.v soient nuls.

leurs singulières son tles pôles simples de la résol- en effet, <p(a;) une Inction fondamentale corres- pôle c; c'est aussi uncfonclion fondamentale pour associée, et ces deux foctions ne peuvent

qui suffît pour prouveque c est un pôl (n°o78). ut encore raisonner comm il suit. Suppose jours faire, qu'on ait J^ --/x) dx = ï. Les d

Le raisonnement ne s'applique pas au

f K(^, t)

nul sauf pour un nombre fini de valeis d igrable u{x). Tels seraient les noyaux sjiétriq if sur la diagonale y = x, et sur un oomb: fini de îqucs deux à deux par rapport à la diagoale. De parei irs laissés de côté dans la suite.

44o CHAPITRE XXXII.

sera aussi une fonction entière de X. Or, on peut écrire, d'après les propriétés des noyaux itérés (n" 558),

Cli,«= r / Ki-i"^ i jr. s) u{x)u {s) dxds

^ a -J a

= i Ki"){x,t)Ki'^){t,s)u{x)u{s)dxcisdt

= f dt\ f KW{x,t)u(x)dx\ ,

d'où il suit que (fto,, est >o, si 6 > a, comme on le suppose. On a aussi

c\-.„= f f f ^'"^^^(■r- f)i^^"-^Ki, s) u{x) u(s) dx ds df

= f dix) f Ki^+i(x,t)u{x)dx\^x\- f Ki''-^{x,t)u(x)dxl, et, par suite, d'après l'inégalité de Schwarz (n" 559), Cl.]„ ^ f dt\ r K "+ii(x, t) u{x) dx

X f d/\ f Ki^-'i^x, t)u{x)dx\ , ou, en comparant à la première expression de Cljn,

La série -ClL„)/' ne peut être convergente pour toute valeur de).,

à moins qu'on ait cX.i = o. En effet, si CX* est positif, il en sera de

(PL» mémo, d'après l'inégalité (2), de CXc? CX», . . . , et le rapport '"

ira en croissant avec n. La série obtenue en prenant les termes de degré pair dans 2cX„)." ne peut donc être convergente pour toute valeur de X, si CX^ n'est pas nul. Pour que Cli soit nul, il faut et il suffit que u(x) soit orthogonal au nojau K- (x, r). Or on peut écrire, en tenant compte de l'expression de K - {x, y),

£ J K(^-){x,y)u{x)u{y)dxdy=J dt\ f \K{x,t)u{x)dx\, ce qui prouve que u{x) est aussi orthogonal au noyau K(a:; j').

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 44l

s'il est orthogonal au premier noyau itéré K''^^(x, y). En résumé, si l'on prend pour u{x) une fonction non orthogonale à K(j7, y), on ne peut avoir CX| = o, et la série (i) ""^^ peut être convergente pour toute valeur de X. Tout noyau symétrique possède donc au moins une valeur singulière (' ) {cj. u° 584).

Les théorèmes généraux sur les fonctions fondamentales per- mettent aisément de compléter ce résullal.

i" Toutes les valeurs singulières d'un Jioyau symétrique réel sont réelles. Supposons, en effet, qu'il y ait une valeur singulière a-|-Pî;'((3^o); a — (3^ serait aussi une valeur singulière, et à ces deux valeurs singulières correspondraient aussi deux fonc- tions fondamentales imaginaires conjuguées m + «V et m — iv. Le noyau étant symétrique, ce sont aussi des fonctions fondamentales pour le noyau associé, et l'on devrait avoir, d'après la relation générale d'orthogonalité (n° 580)

/ {u -i- ii>) (u — iv) dx = I {u- -h i>-) dx = o,

ce qui exige que u q,X.v soient nuls.

2° Les valeurs singulières sont des pôles simples de la résol- vante. Soit, en effet, <p(ic) une fonction fondamentale corres- pondant au pôle c; c'est aussi une fonction fondamentale pour l'équation associée, et ces deux fonctions ne peuvent être ortho- gonales, ce qui suffît pour prouver que c est un pôle simple de la résolvante (n° 578).

On peut encore raisonner comme il suit. Supposons, ce qu'on peut toujours faire, qu'on ait J ,^2(^) dx = i. Les deux noyaux

iifMZl, K(.,r)-ii^ML)=K,(.,r)

(') Le raisonnement ne s'applique pas aux noyaux discontinus tels que / K(j:, t)u(t) dt

soit nul sauf pour un nombre fini de valeurs de x, quelle que soit la fonction intégrable u{x). Tels seraient les noyaux symétriques nuls dans tout le domaine sauf sur la diagonale y = x, et sur un nombre fini de parallèles aux axes, symé- triques deux à deux par rapport à la diagonale. De pareils noyaux seront tou- jours laissés de côté dans la suite.

',42 CHAPITRE XXXII.

sont semi-orthogonaux (n" o75) et, comme ils sont symétriques, ils sont orthogonaux. Si c est encore une valeur singulière pour K, (ar, y), on pourra recommencer la même opération sur ce noyau et, au bout d'un nombre fini de transformations de ce genre, on peut mettre K(u7, y) sous la forme

le noyau symétrique H(x, y) n'admettant plus la valeur singu- lière c. La première partie du second membre est le noyau prin- cipal relatif au pôle c, et, d'après la façon même dont on a opéré, les m fonctions <^i{oc) forment un système orlhogonal et normal. Le même raisonnement prouve que tout noyau svmétrique ayant un nombre fini de valeurs singulières est de la forme

.(x,,.)=2^^^^

En effet, si l'on retranche de K(j;, y) la somme S(j7, y) des noyaux principaux relatifs aux valeurs singulières, la diffé- rence

K(:r. V-) — S(.r, r) = H(:r,jK)

est un noyau symétrique orlhogonal à S(;r, y). Ce noyau n'ad- mettant pas de valeur singulière est donc nul. Pour un noyau symétrique ayant une infinité de valeurs singulières, on aura

(4) K(,r.j)=2-

a-'-ir/t

pourvu que la série du second membre soit uniformément conver- gente. En résumé, les fonctions fondamentales d'un noyau symé- trique réel forment un système orthogonal et normal de fonc- tions o,, o^,, . . ., G/. . ., dont chacune correspond à un pôle du noyau résolvant. Supposons ces pôles rangés dans un ordre tel que le module n'aille jamais en décroissant, chacun d'eux figurant dans la suite autant de fois qu'il lui correspond de fonctions fon-

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 443

danientales

(5) >- M h, ...

A chaque terme X, correspoud une fonction déterminée cp,(j;) du système orthogonal. Inversement, tout système orthogonal peut être déduit d'un noyau symétrique d'une infinité de façons. Si l'on choisit, en effet, les constantes h de façon que la série (4) soit absolument et uniformément convergente, il est clair que les fonc- tions cp<(x) sont précisément les fonctions fondamentales de ce noyau (')•

Remarque I. — Si K(j7, y) est un noyau symétrique, toutes les valeurs singulières du noyau itéré K'-'(a7, y) sont réelles et positives. La fonction méroniorphe ^'..Q^) '■ DjOO n'a donc que des pôles simples positifs, et, par suite, le plus petit de ces pôles est

précisément la limite du rapport " ''/"'' lorsque n croît indéfini- ment (n" 582). La méthode de Kneser pour démontrer qu'un noyau symétrique a au moins une valeur singulière consiste précisément à prouver que ce rapport tend vers une limite (voir E.rei-rice 1).

Be marque II. — On a remarqué (n° 580) que, pour un noyau quelconque K.(a7, y), toute fonction u{x) satisfaisant à la rela- tion f ^{^i s)u{s) ds — o est orthogonale à toutes les fonctions

fondamentales 4^,(37) du noyau associé. La réciproque n'est pas vraie pour un noyau quelconque (^), mais elle l'est pour un noyau symétrique. En eft'et, si une fonction u{x) est orthogonale à toutes les fonctions fondamentales d'un noyau symétrique, la fonction

(') Tous ces théorèmes ne s'appliquent qu'à un noyau symétrique réel. Si Ion prend, par exemple, K{x, y) = x{j -hi y\/'l) -^ y{i-^i x\/'Z), «= — i, è = i, on vérifie facilement que i-hix\ 6 tl x forment un système de fonctions piin-

cipales correspondant à la valeur singulière — 7-

(') Soit K(j7, .y) = sin Jc siny -+- sin aa; cosjK(a = o, 6 = 27:). La fonction cosa; est orthogonale à la fonction fondamentale unique sina;, et cependant l'inté-

grale f K(x,

s) cos ds n'est pas nulle.

444 CHAPITRE XXXII.

M (a:, X) qui représente la solution de l'équation de Fredholm oùf{x) = u{x) est une fonction entière du paramètre X (n° 582), et nous venons de démontrer que ceci ne peut avoir lieu que si

l'on a / K{x^ s)u{s) ds =io', la série u{x, 1) se réduit alors à

son premier terme.

588. Inégalité de Bessel. — Soit S un système normal de fonctions orthogonales <?i{x) dans un intervalle (a, -b). Si une fonction f{x) est représentée dans cet intervalle par une série uniformément convergente de la forme

(<■') /(^) =/i ?i(^) -h/2 ?2(^) +. . . + /„ ç„(.r) -+-. . ..

les coefficients fi étant des constantes, ces coefficients peuvent être déterminés comme les coefficients d'une série de Fourier. Multiplions, en effet, les deux membres de la formule (6) par 9,(jr), et intégrons terme à terme le second membre; il reste, en tenant compte des relations d'orthogonalité,

(7) /,= f /{x)Oi{x)dx.

Quelle que soit la fonction intégrable /(^), on dit que la série Ifi^iix)^ où le coefficient /j a la valeur (7), est la série de Fourier de f{x) relativement au système orthogonal considéré S. Bien enlendu, ce calcul ne prouve nullement que cette série est convergente et qu'elle a pour somme /(x). Nous ne traiterons que quelques cas particuliers qui se rattachent à la théorie des équa- tions intégrales. Remarquons seulement que, si la série de Fourier de/(j7) est uniformément convergente et a pour somme S (a:), la différence Vk.{x) ^=^ f ( x) — S(a;) est orthogonale à chacune des fonctions Oi(jc) (d'après la façon même dont on a calculé fi), et par suite, à S(a7).

Lorsque le carré do/(j;) est intégrable dans l'intervalle (a, 6),

c'est-à-dire lorsque / f-{x)dx a une valeur finie, les coeffî-

cients/j vérifient une inégalité importante due à Bessel : quel que soit le nombre n^ on a

<;«) f\^fi^----^n^J if{x)]uix.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 44^

On l'obtienl immédialement en développant l'inégalité évidente

-'a

[f{x)-f,z,{x)-f,ç,{x)-...-f„rn{x^]Ulxlo

et en tenant compte des formules (7) qui donnent les coefficients/, et des relations qui expriment que S est un système orthogonal et normal. Si le système S se compose d'une infinité de fonctions, le nombre n peut ère supposé aussi grand qu'on le veut, et par suite la série Iff des carrés des coefficients de Fourier d'une fonc- tion f {pc) de carré intégrable est toujours convergente.

La somme de cette série est au plus égale à / /-(^) d^-, i^ais elle peut lui être inférieure, et la distinction des deux cas se rattache à une classification importante des systèmes orthogonaux. Un système orthogonal S est dit complet ou fermé s'il est impos- sible de trouver une autre fonction •i(x) telle qu'en l'ajoutant aux fonctions de S on ait un nouveau système orthogonal et normal (') S'. Dans le cas contraire, le système orthogonal est dit incomplet ou ouvert. Il est clair qu'un système orthogonal qui ne comprend qu'un nombre fini de fonctions ne peut être fermé. Soit S un système incomplet; il existe au moins une autre

fonction 'i^{x) orthogonale à toutes les fondions cp,(a;), pour

/h <\)-dx^= I. La série de Fourier correspondante, rela- .. tive à ce système, est identiquement nulle, et par suite la somme

de la série l^}- ^^^ inférieure à un. Par conséquent, pour qu'un système orthogonal soit fermé., il suffit que la somme de la

série If \ soit toujours égale à f p{x)dx, quelle que soit la

fonction f{x) de carré intégrable.

Inversement, si le système orthogonal S est fermé, on a, pour

(') En ne considérant que les fonctious <)^(x) telles qu'on ait / (x)dx =

^ a

on exclut les fonctions discontinues u{x) vérifiant la relation / u-{x)dx = '

on / u-

II est clair que, pour une fonction de cette espèce, on a toujours (9, u) — o, d'après l'inégalité de Schwarz. Ces fonctions m (a;) ne peuvent être différentes de zéro qu'en tous les poiAts d'un ensemble de mesure nulle (Lerescue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives).

446 CHAPITRE XXXII.

toute fonction f{x) de carré intégrable^ V égalité ( ')

,b '^"*

(9)

J [f{.r)fdœ=^ri

la relation (9) est appelée pour. cette raison condition de ferme- ture du système orthogonal.

Appliquons les définitions précédentes au système orthogonal S formé par les fonctions fondamentales <pi(a^) d'un noyau symé- trique K(a^, y). Ce noyau est à\i fermé, s'il n'existe aucune fonc-

\.\on^{x) telle qu'on ait J ¥^{x, s)'\){s)ds = o identiquement,

a

en exceptant toujours les fonctions discontinues qui sont nulles, sauf en tous les points d'un ensemble de mesure nulle. D'après une remarque antérieure, le noyau K(;r,j-) est fermé, si le sys- tème S est lui-même fermé et réciproquement.

Exemple. — Les fonctions i, . . ., cos«.r, siun.r, . . . forment un sys- tème orthogonal dans l'intervalle (0,2::). MM. Liapounoff et Hurwitz {Annales de VEcole Normale, 1902) ont démontré que ce système est fermé.

389. Théorème de Hilbert-Schmidt. — M. Hilbert et, après lui, M. E. Schmidt ont démontré un théorème important relatif au développement de certaines fonctions en séries de fonctions fonda- mentales. Nous supposerons dans ce paragraphe que K(5r.j>') est un noyau symétrique continu, ou du moins qu'il ne peut devenir discontinu que sur la droite y = x. de telle façon qne le pro- duit \x — j|*K(a:-, j) reste borné, l'exposant a étant inférieure -,

d'où il suit que l'intégrale f \JL{x,y)\- dy a une valeur finie.

Le premier noyau itéré K'^^ (^1 j) est alors continu, ainsi que les fonctions fondamentales ^i{x), et toute fonction de la forme

^ K(x,s)h(s)ds,

, (') Pour démonstration, voir Laubicella (Rendiconti di Palermo, l. ^U,

1910. — Stekloff, Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, vol. 30,

191 1. Voir aussi plus loin, n* 599.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 447

OÙ le carré de h {x) est intégrable, est aussi une fonction continue

àex (•)(n°5o6).

Toute fonction de la forme

(lo) /{■'■) = I K(x, .vU(s)./.9.

où li{x) est une fonction de carré intégrable^ est développable en une série absolument et uniforniénient convergente de fonc- tio ns fondamentales.

Supposons les valeurs singulières Xj du noyau rangées en série, comme on l'a expliqué au n° 587 et soit '^i{jc) la fonction fonda- mentale correspondant à Âf. Le coefficient de Fourier/i de la fonc- tion/(:r) relatif à cpi(:r) a pour expression

hi étant le coefficient correspondant pour h{x). La série ainsi obtenue

(M) S{x)= ^ç,(.r)+...+ ^(p„(:r)+...

Al A ri

est absolumentet uniformément convergente dans l'intervalle (a, ù). Nous avons en effet, d'après l'identité de Lagrange généralisée,

j I /i„ ?„(.r) I _^ I // ,„ z ,„ ( ■/• ) j / -

<|A,= ^...^«,;!|2^'f^...*|î4i>|'!.

La série Ih'j étant convergente, on peut choisir un nombre N assez grand pour qu'on ail A,^ H- ... -h h'^^<C £, quelque soit m>>/i, pourvu que n soit > N, en désignant par e un nombre positif arbi- traire. D'autre part, lasumme j ''" | -(-... 4-1 Iy!^| ' reste infé- rieure, quels que soient a, w et /i, à un nombre fini M, car la série dont le terme général est r" [ est convergente ; ^ — - est,

(') Il est iacile d'étendre les raisonnements à des hypothèses plus générales. On, pourrait, par exemple, supposer que K (x, r) a un nombre fini de lignes de discontinuité, parallèles aux axes, où il peut devenir infini de façon que son carré soit intégrable.

448 CHAPITRE XXXU.

en efVet, le coefficient de Fourier pour le noyau lui-même K(x,y) considéré comme fonction de y. On peut donc prendre N assez grand pour que la somme des valeurs absolues d'un nombre quel- conque de termes de la série ( 1 1 ), à partir du 7i'^'"% soit plus petite que tout nombre positif donné dés qu'on a w > N.

La somme S{x) de la série ( 1 1 ) est donc continue dans l'inter- valle (a, b). Pour prouver que cette somme est égale à f{oc),, considérons la différence R,(a^) -\-f{x) — S(j"'); d'après la façon même dont on a déterminé les coefficients/,, R(^^ est orthogonale à toutes les fonctions <ifi.{x) et, par suite, à 'ii{x). Étant ortho- gonale à toutes les fonctions fondamentales du noyau K(5",y), elle est orthogonale au noyau lui-même (n" 387) et, par suite, àif(x), puisqu'on peut écrire

f f{x)î{{x)dx= f f K{T,s)R{x)h{s)da:ds

= ^ h{s)ds f K{x,s)R{x)dx = o. On a donc aussi

f RHx)dx= f f(x)l{(x)dx— f S(x)\\(x)dx = o,

ce qui exige que R(.2?) soit nul et, par suite, S(\r) z= f [x).

De ce théorème, M. E. Schmidt a déduit une solution explicite de l'équation de seconde espèce, où figurent seulement les valeurs singulières et les fonctions fondamentales. Supposons que X ne soit pas une valeur singulière pour le noyau; l'équation

(12) o(x) = lf K(x,s)o{s)ds-+-f(x).

où le carré de/(a7) est intégrable, admet une solution unique telle que la différence ^(.r) — /(^) puisse être développée en une série uniformément convergente de la forme

En substituant dans les deux membres de l'équation (12), il vient 2] On rn{.r) = \j K(x, s)/(i) ds + a^ 5^' ^«(j;)

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 449

et, par suite, Cn= ' • La solution cf{^) est donc représentée

par la série

Jmmi A /, —

et l'on démontrerait aisément, en raisonnant comme avec la série (ii), que cette série est absolument et uniformément con- vergente pourvu que X ne soit pas une valeur singulière.

Remarque. — On peut encore appliquer ia formule (i3) au cas où X esl égal à une valeur singulière Xj du noyau. Si le nombre X,- ne figure qu'une fois dans la suite, on sait que l'éijuation (12) n'admet une solution que si l'on a /j= o, et il suffira alors de remplacer, dans la série (i3), le coeffi- cient de !pe(a:), qui se présente sous forme indéterminée, par une constante quelconque C,. On opérerait de même s'il y avait plusieurs fonctions fon- damentales distinctes correspondant à la valeur Xj- (c/". n"» 508, oTIj).

590. Classification des noyaux symétriques. — Soient hi^x) et g{x) deux fonctions de carrés inlégrables; le théorème de Hilbert permet aisément de calculer la valeur de l'intégrale

On peut écrire, en effet, successivement

I = / -( ) ) dr / K(^. y 1 h{x) dx

'■a '^ a

puisque la série ^^<?/i(^') est uniformément convergente; //« et gn sont les coefficients de Fourier pour les fonctions h et g. En particulier, si l'on fait g{x) = ^(a;), il vient

(i4)

-f f K(x.yU>{x)/>{r)dxdr='^^^^

relation tout à fait analogue à la formule qui exprime une forme quadratique par une somme de carrés, et qui permet de classer ces noyaux. Si toutes les valeurs singulières >i sont du même

4^0 CHAPITRE XXXII.

signe, posilives par exemple, on a toujours I>o, quelle que soit la fonction h{jc); le noyau est d'il positif . Au contraire, si toutes les valeurs sinpjulières sont négatives, on a toujours l^o, et le noyau est négatif. S'il y a des valeurs singulières de signes difTé- renls, le noyau est ambigu; l'intf^grale l peut être positive ou négative suivant la fonction h{x). Si l'on a, par exemple, >.| > o, Âa <C o, on aura une valeur positive pour I en prenant h {x) = o, (j;), et une valeur négative en prenant h{x) = (^^{x).

Pour un noyau ambigu, l'intégrale I peut être nulle sans que h{x) soit nulle. Supposons toujours >., > o, "/.2<C o; si l'on prend

A (.ri = a, Çi (;r") H- a.j o-^i .r).

l'intégrale I correspondante a pour valeur ^~^ + ^^' et sei'^ nulle

en choisissant convenablement le rapport — • Au contraire, lorsque

le noyau K{x,y) est positif, l'intégrale I ne peut être nulle que s'il existe une fonction h{x) orthogonale à toutes les fonctions fondamentales cpn(x) et, par suite, au noyau lui-même. Dans le cas d'un noyau fermé et positif., on a donc toujours I>»o; ce noyau est dit défini. Un novau fermé et négatif est aussi un noyau défini. Il résulte de cette définition qu'un noyau défini est néces- sairement fermé, mais la réciproque n'est pas vraie; un noyau ambigu peut être fermé.

Les fonctions fandamentales d'un noyau positif non défini forment un système incomplet S; s'il est possible de leur adjoindre un noxnhve. fini de fonctions ^^{x)., ^^{^x), .. ., ^p(x), de façon à obtenir un système orthogonal fermé S', le noyau K{x, y) est appelé quasi-défini; en ajoutant à ce noyau un noyau orthogonal dépendant de p constantes arbitraires, tel que

on le transforme en un noyau fermé.

Supposons que quelques-unes des valeurs singulières du nojau K(ar, j) soient positives, et soit ).i la plus petite. Parmi toutes les fQnctions h{a:)

satisfaisant à la condition / h-(x) dx = i, il y en a une qui donne à

l'intégrale (1,9 une valeur maximum. En effet, d'après l'inégalité de Bes?el, la série I.hj est convergente et a pour somme 1 — a, a étant ^o; l'inté-

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 45 1

grale I peut donc s'écrire

et sa valeur ne peut être supérieure à y- » valeur qu'elle atteint si l'on prend h(x) = ?i(a:). S'il y a des valeurs singulières négatives, on verrait de même que l'intégrale I prend une valeur minimum négative lorsque h(x) est égale à la fonction fondamentale correspondant à la valeur singulière négative dont la valeur absolue est la plus petite.

Inversement, M. Hilbert a montré comment l'existence d'un maximum ou d'un minimum pour I permet de démontrer l'existence de valeurs sin- gulières pour le noyau. La démonstration offre beaucoup d'analogie avec le raisonnement de Riemann pour établir le principe de Dirichlet (n-'Sli) et prête aux mêmes objections. Si l'on considère une fonction intégrable

h{x) satisfaisant à la condition / h-{x) dx=i,il est facile de démontrer

*- a

que la valeur absolue de I est bornée, car l'inégalité de Schwarz donne la relation

Admettons que parmi ces fonctions h{x) il y en ait une pour laquelle I atteint sa borne supérieure, et supposons par exemple que I soit maximum pour k{x) = <f{x). Soient u{x) et i>{x) deux fonction continues quel- conques, a et p deux paramètres variables liés par la relation

$(a, P) = / [<d{x) -i-au{x)-i-^v(x)]idx = 1.

'■'a

La fonction auxiliaire I (a, P)

[(«,P)

=J j^i^.y)\^^^)^^<^)^['>^{^)\['^{y)-^^ii{y)^^^{y)\dx dy

doit être maximum pour a = ^ = o, ce qui exige, d'après la théorie élé- mentaire (I, n" 52), qu'on ait

d\ d^ _d\ d^_

pour a = [j = o. Cette relation s'écrit

f f^i^, y) i ?(-^) «(r) ^ 9(r) "(^) \ dx dy

(15)

2/ <p(ar)t<(j:) dx ffK(x, y) I o{x) v{y) -h o(y) ^(x) [ dx dy (x) dx

4^i CHAPITRE XXXIl.

et, par suite, la valeur commune de ces rapports doit se réduire à une con- stante G indépendante de la forme des fonctions u{x) et v(.r). En tenant compte de la symétrie du noyau K(x, y), on voit que u(x ) doit satisfaire à la condition

X "^"^"^"IX

'w(.r,y)o(y)dy-Coix)

et celte relation ne peut évidemment être satisfaite, quelle que soit la fonction. continue n(x), que si l'on a .b

i

L'existence d'une première fonction fondamentale ^{x) étant établie, on verrait de même que, parmi les fonctions h{x) orthogonales à 9(0;),

et satisfaisant à la condition / h- dx = \, celle qui donne à I une valeur

maximum fournit une nouvelle fonction fondamentale, et ainsi de suite.

591. Développement des noyaux itérés. — Dans l'exprçs- sion (10), prenons pour/i(.z) le novau K(x, )) lui-même, v étant considéré comme un paramétre; on a alors /(x) = K*^'(j7, y)^ et le théorème de Hilbert fournit le développement du noyau itéré K'-'(j7, )-) suivant les fonctions fondamentales. Le coefficient hn

est dans ce cas égal à ^" "^ ? et la formule générale (6) devient

(16) K^^-(^-:.''-^^"^")r^-''^'

Le raisonnement du n" 589 prouve seulement que, quand on donne à y une valeur constante, la série (16) est uniformément convergente par rapport à x. Par raison de svmétrie, quand on donne à x une valeur constante, elle est uniformément conver- gente par rapport à y, mais on ne peut en conclure immédiate- ment qu'elle est uniformément convergente relative ment à V en- semble des deux variables. Pour établir ce point, considérons la série obtenue fn faisant r = x

Aï A.] a;,

c'est une série à termes continus, tous positifs^ dont la somme est

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 453

une fonction continue; elle est donc uniformément convergente ('). Gela étant, l'inégalité

I K 1-2 K

prouve que la série (ï6) est elle-même absolument et uniformé- ment convergente. De la formule (i6) on déduit de proche en proche les développements des noyaux itérés successifs K'"(a7, y), K''*'(j7, y), . . . , au moyen de la formule de récurrence qui lie deux noyaux consécutifs, et l'on a pour m^ :>.

Toutes ces séries sont elles-mêmes absolument et uniformément convergentes, comme on le voit aisément en les comparant à la série (i6) ('^). En remplaçant j par x dans la série (i8) et inté- grant, on obtient l'expression du coefficient A„, pour m ^2,

(•9) ^'"=2x^"

( ' ) La démonstration de ce théorème, dû à Dini, revient évidemment à la démonstration de la proposition suivante : Soit u„(a;) une fonction continue positive dans l'intervalle (a, b), qui tend vers zéro lorsque n croit indéfini- ment : si l'on a u^^,{x)<u„(x), elle tend uniformément vers zéro.

Soit M„(a, b) le maximum de u„{x) dans l'intervalle («, b); on a par hypo- thèse o<M„_j.i(a, 6) < M„(a, b), et par suite, M„(a, b) tend vers une limite L(a, 6)^0 lorsque n croît indéfiniment. Tout revient à démontrer que cette limite est nulle. Supposons, en effet, L(a, 6)>o; si l'on décompose (a, b) en deux intervalles partiels (a, c), (c, b), l'une au moins des limites L(a, c), L(c, 6)'serait égale à L(a, b). En procédant par subdivisions successives, comme on l'a fait plusieurs fois (I, n" 8), on prouverait qu'il existe un nombre x^ de l'intervalle (a, b) tel que la limite L(a:(, — h, x^-h h) soit toujours égale à un nombre positif L' indépendant de A, aussi petit que soit ce nombre h. Or, cette conclusion est incompatible avec les hypothèses. En effet, on peut d'abord trouver un nombre entier m tel que M„,(ar„) soit < — , puis un nombre A assez petit pour que dans l'intervalle (x^ — h, j;„-f- A), la valeur absolue | u^(x) — u^{x^) \ soit inférieure à — • On aura donc dans tout cet intervalle u„(x) < L' et, par suite, "ii(^) < L', pour n>m. La limite L(x^ — h, x^-h h) ne peut donc être égale à L'.

(') La formule (iS) a d'abord été établie par M. K. Schmidt pour m>i, puis par M. Kowalewski pour m = 2.

454 CHAPITRE XXXII.

La fonction entière

"(^■•"LK-è)-'

qu'on peut encore écrire sous la forme

F(À) = e ^'-'-4 ^ '«/;;•

ne diffère de D(X) que par le facteur exponentiel e~*''', et l'on a

(20) D()0 = e-^.^J l{'~t)^^"-

La fonction D(X) est donc au plus du premier orenre, mais elle peut être de genre zéro, comme nous le prouverons plus bas dans le cas particulier des noyaux positifs.

Des formules qui donnent les développements des noyaux itérés, on peut aussi déduire le développement du noyau résolvant

(21) r(x, 7; \) = K{x,y)-i-XKW(x, y)-h...-hl''-^Ki"){x,y)-h....

Si l'on remplace dans cette formule K'"'(a:, y) {n'^i) par le développement (18), on obtient un tableau à double entrée, et si l'on fait la somme de ce tableau en groupant ensemble les termes en 9/i(j?)9«(jk), on obtient la formule

on démontre aisément que la série ainsi obtenue est absolument et uniformément convergente pourvu que X ne soit pas une valeur singulière du novau en cnui parant ses termes à ceux de la série (16); ce qui suffit pour justifier le modo de sommation adoplé. Mais, tandis que la formule (2 1) ne s'applique qu'aux valeurs de X dont la valeur absolue est inférieure à |X, |, la formule (22) donne le développement de la fonction méiomorphe r(a:, y; X) dans tout le plan de la variable X {cf. n" 080).

592. Noyaux positifs. — Les noyaux symétriques positifs continus ont

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 455

été étudiés par M. Mercer dans un intéressant Mémoire (i), dont nous indiquerons les principaux résultats.

Pour qu'un noyau symétrique K(ar, /) soit positif , il faut et il suffit que tous les déterminants de Fredholm K( ''■'"' " ) soient lo pour tous les systèmes de valeurs de Xx, Xt, . . ., Xn dans l'intervalle (a, b).

Nous démontrerons seulement l'inégalité K(a:, ar)^o, qui sera utile un peu plus loin ; les autres inégalités se démontrent d'une façon analogue. Supposons qu'on ail K(a:o, a;o)<o pour une valeur iFo de l'intervalle (a, b)\ le noyau étant continu pour le système de valeurs x = xq, y — aro, soit / un nombre positif assez petit pour que K(ar, /) soit négatif lorsque x et y sont compris entre Xo — / et xo-^l. Si l'on prend pour A(ar) une fonc- tion continue nulle en dehors de l'intervalle {xo — l, Xo-h l) et positive dans cet intervalle, il est clair que tous les éléments de l'intégrale (i4) seront nuls ou négatifs, et l'intégrale elle-même aura une valeur négative., ce qui est impossible, puisque le noyau K{x, y) est supposé positif.

La réciproque est à peu près évidente. Si tous les déterminants de Fredholm sont positifs ou nuls, tous les coefficients des puissances paires de X dans D(X) seront positifs ou nuls, et les coefficients des puissances impaires de X seront négatifs ou nuls. L'équation E)( — X) = o ne peut donc avoir aucune racine positive, et par suite l'é juation D(X) = o ne peut avoir aucune racine négative.

Cela posé, nous pouvons écrire le développement du noyau rc^solvant d'après la formule (22) en y faisant y =^ x.

'{x,x; X)- ^

[?n(^)?

X„(X„-X)

(23) ;

^ ' ^ Jm^Kn—f- M^ X„

/« = ! n—\

m étant un nombre entier positif quelconque. Quand on donne à X une valeur négative arbitraire, le premier membre de celle égalité est positif. En effet, d'une pari, tous les termes de la série sont négatifs puis |u'oii a X„>o; d'autre part, le noyau Y{x,y\ X) est un noyau positif lorsque X a une valeur négative car les \aleurs singulières de ce noyau s'obtiennent en retranchant X des valeurs singulières du noyau K(j:, y) (n° 06O). On peut encore le reconnaître diieclemenl en observant que, d'après les formules (22)

et (i4), la valeur de l'intégrale double / / ï{x,y\ \)h{x)h{y) dx dy ne peut être négative, lorsque X est négatif. On a donc aussi T(x, x; X)^o, d'après le résultat établi tout à l'heure, et par suite le second membre de la formule (28) a aussi une valeur positive. Ceci ayant lieu pour toute

(') Philosophical Transactions, London, t. 209 A, 1909, p. 4i5.

456 CHAPITRE XXXII.

valeur de À < o, observons que le terme t|ui dépend de 1 tend vers zém. lorsque À tend vers — x. On a donc aussi

2, x„ S^(^^ .rj:

/« «'lant un nombre enlier (iuel('(»u(jue, ou en conclut ([ue la série ^^-J-^ — est convergente ei que sa somme est inférieure ou au plus égale à K(:c, x). Par un raisonnement anaiojjue à celui du n" 5S9, on prouve ensuite que la série

est absolument et uniformément converjjente dans Tintervalle (a. b) par rapport à cliacnne des variables prise séparément.

La somme svmclrique S(.r, y) est donc une fonction continue de cha- cune des variables x, y. prise séparémenl, et il en est de même de la différence R(.i7, ,)') = K(j:.-. y) — S(.r, y).

Pour prou\er que cette différence R(x. r) est identiquement nulle, partons de la relation

I K.^./-, .VI h(s) ds = I iî(x, s) h(s) ds -i- / K{t. s) li{s) ds,

OÙ h(x) est une fonction quelconque de carré inlé?rable. La série S^a-, ^} étant uniformément convergente en s, la première intégrale du second membre est égale à la somme de la série ^ >- ?/(-^)j c'^sl aussi la valeur du premier membre, d'après le théorème de Hilbert. On a donc

,6

R(x, s) h{s) ds = o,

l

quelle que soit la fonction h{x), ce qui exige évidemment que K{x, r>

soit nul identiquement.

Le noyau K(x, y) est donc égal à la somme de la série

■+■ ■*>

9„(x)9„(r).

>.4) K(„-.,>=22^

el il suflit de répéter le raisonnement qui a été fait sur la série (i6) pour montrer que la série (24) est absolument et uniformément convergente par rapport à l'ensemble des deux variables. De cette formule (74) on déduit, en faisant y = x, et intégrant terme à

terme.

/, -+- «

(25) Al ^ / 1\ Kx. ./•) (^^ —2-iY '"

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 457

]a foncMon D(À) est donc du genre zéro

(,6) t.(x)=n(,-,i).

Il esl clair que ces derniers résultats s'appliquent aussi aii\ noyaux négatifs, et plus généralement aux noyaux dont toutes les valeurs singu- lières ont le même signe, à l'exception d'un nombre fini d'entre elles. Tout noyau de cette espèce est, en «-ffet, la somme de deux noyaux symé- triques orthogonaux, dont l'un est positif ou négatif, et dont l'autre n'a qu'un nombre fini de valeurs singulières.

593. Noyaux de Schmidt. — M. E. Schmidt a remarqué que les propriétés du noyau symétrique s'étendent facilement aux noyaux de la forme ^{x) S(j7, >'), S élant symétrique et ^{x) gardant un sij^ne constant dans l'intervalle («, b). Plus généra- lement, soit K(j:r, y) nzi K[x) B(r) S(x, y), S(5?, y) étant symé- trique, et le produit A(j7) ^{x) étant toujours posilif dans l'in- tervalle (a, 6); nous supposerons de plus, potir préciser, que ces fonctions A(x), B(a;) sont bornées. On peut écrire

/A(r)H(j) V AO)ti(x)

(27) K{x,y)^i/ ———-^^ X S{x,y)^A(x)\{j)li{j:)\Uj)

-\/'

soit Ti{x, r; X) le noyau résolvant relatif au noyau symétrique auxiliaire S,(j7, y). Ce noyau résolvant satisfait à l'équation fonctionnelle

.b

(28) r,(.r, > ; À) = S,(./.-, 7)-i-X / Si(j-, 5) ri(5, y; X)^5.

On a donc aussi, en posant

(29) !'(»£•,)•: l) = K{x,y)^\ f K{x, s)Y {s, y; \) ds,

car on a évidemment

S.(.. .) r,(,, y: >.)y/|i||g = K(x, s) r(«, y; X).

458 CHAPITRE XXXII.

La dernière relation (29) est celle qui caractérise le noyau résolvant relatif au noyau K{x, y); et par suite le noyau résol- vant relatif à K(t, y) est égal au produit

v

r,(j;, y; À) étant le noyau résolvant relatif au noyau symé- trique S,(j7, jK) {Comptes rendus, t. 1-46, p. 327).

Il est essentiel de remarquer que tous les noyaux déduits de S,(t, y) par itérations successives coniiennent en facteur le radical \l\{x) B(x) A(j) B(j), de sorte que F, (^, y; 1) est lui- même divisible par ce radical. La fonction T{x^ y; À) contient donc en facteur A.(x) B(y), et l'intégrale qui figure dans la for- mule (29) a bien une valeur finie.

Les pôles de F, (a?, y; X) sont réels et simples; il en est donc de même des pôles de T{x, y;!). Si l'on a décomposé d'une façon quelconque S, en deux noyaux orthogonaux ht{x,y)^ li-î{x^ y), on vérifie immédiatement que les deux noyaux

, . ,^ /k{x)h(v) . , , /A(.r)B

(T)

(X)

sont eux-mêmes orthogonaux. Les parties principales se corres- pondent donc dans les deux noyaux résolvants h^{x^y]'k) et F(j?, y; X). Soit Qi{x) une fonction fondamentale de 'à^{x^y) correspondant à un pôle X,-; elle est évidemment de la forme ^' \{x) )i(x)ui{x). L'expression

s/ k{x) \^{x) \{y) V>{y) Ujjx) udy)

est un noyau canonique relatif à la valeur singulière À,- pourvu qu'on ait

/ A (x-) B {x) u'f {x) dx — I .

A ce noyau canonique correspond pour K(j7, y) le noyau cano- nique

K{x)'Q{y)udx)Ui{y)

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 459

de sorte que ©«(a?) = A(x) Ui{x) et "^iix) = B(x-) M((j;) sont deux fonctions fondamentales associées des deux noyaux K(ar, y) et K(j', x). Ces deux fonctions sont liées par la relation

ce qui permet d'énoncer la propriété suivante : Si cp(ar) est une Jonction fondamentale du noyau K(a:, j), ^{x) = . /^ 9(37) «5^ M/ie fonction fondamentale du noyau associé^ pour la même valeur singulière.

Cette propriété subsiste quel que soit le signe des fonctions A(x), B(a:), et s'établit directement sans peine. De la formule

3,(.r) = X /" Mx)M{s)^{x, s)<fis)ds

on tire, en effet, en posant cp(a?) = A(x) 7r(x),

-(.r) = X r H(a-> .\(s) S(x, s) -(.v) r/s:

or, on serait conduit à la même équation en remplaçant '^{x) par nfa:") 7r(j;') dans la formule

i>{x) = \ j A (.v) B (x) S (jr, s) <!^{s) ds.

Celte propriété permettrait aisément de démontrer que tous les pôles deT{x.,y; 1) sont réels et simples lorsque le produit A(^) B{x) est positif. Supposons, en effet, que a + ^t et a — (3< soient deux pôles imaginaires conjugués; m + tV étant une fonction fonda- mentale de K.(Xyy) correspondant ou premier pôle, -7-7 — ^{^ — i^) sera une fonction fondamentale de l'équation associée pour le second pôle, et la condition d'orlhogonalité ne peut être satisfaite lorsque A et B sont du même signe. Un pôle quelconque ne peut

être un pôle multiple, puisque les deux fonctions fondamentales

B(a-) o (x) associées o(^) el '\i = • ne peuvent être orthogonales pour

la même raison (n" 578). A chaque propriété des noyaux symé- triques correspond de la même façon une propriété des noyaux A(j;) B(r) S(j?, y), où A{x) B(ar)>o. Par exemple, on démon- trera, comme au n" o87, que si le noyau A.{x) B(j) S{x, y) n'admet qu'un nombre fini de valeurs singulières, ce noyau est le

46o CHAPITRE XXXII.

produit de A.(x) B(j-) par un noyau S{x, y) de laforme (3), qui n'admet lui-même qu'un nombre fini de valeurs singulières.

Considérons, en particulier, un noyau de la forme S(j?,j') B(y), B étant une fonction bornée positive. Les fonctions fondamentales de ce noyau, et du noyau associé, forment un système biortho- gonal de fonctions (9,, '^i), qu'on peul supposer ramené à la forme normale (n° 580). D'après ce que nous venons de démon- trer, les fonctions correspondantes Oi et 'j», sont liées par la rela- tion '\ii(x) = B(j;) <^i{x), et les conditions qui expriment l'ortho- gonalité prennent la forme

r B (x) ?,- (x)dx = 1. f

(3o) / Y\{x)^J{x)dx = \. I B{x):ii{x)^i(x)dx =^0 {i p^ k).

Etant donnée une suite de fonctions 0,, .... o^m ■ ■ ■ satisfai- sant à ces conditions, nous dirons, pour abréger, qu'elles forment un système orthogonal relativement à B{x). Si une fonction /(x) est développable en série uniformément convergente de fonc- tions (fi{3c) dans l'intervalle (a, b), le coefficient// de <fi{x) dans cette série s'obtient encore comme pour une sé'rie de Fourier et a pour expression, d'après les relations (3o),

yU) /,= j B{x)/(x)0i(x)dx:

*• a

quelle que soit la fonct!on/(a:), nous dirons que les coefficients/, donnés par cette formule sont les coefficients de Fourier de /(x) relativement au système de fonctions Oi(x). L'inégalité évidente

f B ,x) [/t .r ) -/, ?, u- ' ir • • .-/n 9«(a.)p dx^o permet d'étendre à ces coefficients l'inégalité de Bessel ( ' 1 V//-s/ B(x)/-ij) dx.

La série IfiOi(x). déduite d'une fonction arbitraire y\x), ne

(') On peut remarquer d'ailleurs que les fonctions <ï>.(x) = o_(a;) v'B(x} forment un système orthogonal lorsque les fonctions 9;(x) satisfont aux rela- tions (3o), et que les coefficients de Fourier de f{x) relatifs au système de fonctions Ç,(J?) sont identiques au\ coefficients de Fourier de f( x)\\^^ l ) relatifs au système orlliogona! des * f x\.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 4bl

représente pas nécessairement celte fonction, mais il en est ainsi des fonctions de la forme

=rs..

(32^ /(^) = / S(.r, s)B(.i)h{s) ds.

où h{s) est une fonction de carré inlégrable. Cette égalité peut s'écrire, en effet.

V/ÏÏûyyX.r) = f Si./-; s) V B(:r) H (s) ; yH{s}/i{s^ \ ils

et, par suite, J\x) \/B(a;) (n" 589) peut être développée eu série uniformément convergente ordonnée suivant les fonctions fonda- mentales du noyau S(a:, y) ^B( a?) B{ j-j. Ces fonctions fondamen- tales, on vient de le voir, s'obtiennent en multipliant par y/B(a;) les fonctions fondamentales du noyau S(a7, r)B(j'). La fonc- tion/(a:) peut donc être développée en série uniformément con- vergente ordonnée suivant les fonctions fondamentales 9/(xj du noyau S(x, >') B (-)').

Pour une fonction de la forme

(^3o) J\x) ^ i \\{x')^U\ S) g{s}ds,

on aura de même

/(^) r''

g{^)

KX. S) \l\\f^x) t^5) '_l_l_-t/.V

et, par suite, /(a?) sera développable en une série uniformément convergente de la forme

594-. Extension de l'inégalité de Bessel aux systèmes biortho- gonaux. - Soient o,, 9..,, . . . , o„, ... et <^^, -j^-j, . . ., i];,;, . . . deux suites de fonctions réelles formant un système biorthogonal et noruial (n° 573), c'est-à-dire vérifiant les relations

.* .h

l'i/ij \ ri^{x)'\l(.^^dx --^x. / Ci{x)')j^{x) dx ^ o yi ^ k).

Si une fonction f{x) est développable en une série uniformé- ment convergente de fonctions cp,(a7), on peul encore obtenir le

462 CHAPITRE XXXII.

coefficient /» de (fi{x) dans celte série en multipliant les deux membres de la relation

(35) Ax) =/i ?i(j:) H-. . .-H/i ot(x)-h.. .

par dii{x) et intégrant terme à terme entre les limites a et b. On trouve ainsi l'expression

(36) fi= Ç J\x)^i{x)dx:

quelle que soit la fonction /(a?), nous dirons quela série lfiOi{x), où les coefficients fi ont les valeurs (36), est la série de Fourier def{x) rclati\ement au système des fonctions cpj.

Remarquons que tout système biorthogonal peut être ramené à une forme normale d'une infinité de façons, car les relations (34) ne changent pas quand on remplace cpi(x) par Cicpj(j;), ei^i{j;)

par 7r^i{x), quelle que soit la constante C,. Supposons, par

exemple, qu'il existe un noyau symétrique positif S(a7, y) lel qu'on ait, quel que soit /,

/

ù Six, y)<fi(y)dj= Ci <!^tix),

Ci étant une constante non nulle. Les relations (34) deviennent / / S(x,j)?,(^) 9t{y)dxdy = Ci, / / S{jr,y)<fi{x)<fk(y)dxdy = o

^ n "J a

le noyau %{^x^ y) étant positif, les constantes C, sont nécessaire- ment positives et, en remplaçant <s^i{x) par cpi(j7)y/Ci, ces rela- tions (34) sont remplacées par les suivantes, où les fonctions tj/j ne figurent plus explicitement :

{ J" J S{x,y)^i{x) Oi(y)dxdy= i,

(34) \ ^b b

iJJ ^<^'^'-?')?'"('^)?*(-^)^'^^-^ = °

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 463

Les formules (36) deviennent de même

.b

y) dx dy

(36)' /•,= /' fix)^i{x)dx^ f f S(x.y)/(x)^i(

Nous dirons qu'un système de fonctions cp,(^) vérifiant les rela- tions (34)' est un système orthogonal et normal, relativement au noyau S(x, y). De tout système biorthogonal, vérifiant les rela- tions (34), on peut déduire d'une infinité de façons un système orthogonal relatif à un noyau symétrique positif. On peut, par exemple, procéder comme il suit : choisissons une suite de nombres positifs iJ.„ de telle façon que la série

soit absolument et uniformément convergente, ce qui peut se faire d'une infinité de façons. Il est clair que / S(ar, y) ^n{y)dy

''a

est égal à ^ > et par suite on peut ramener les relations d'ortho-

gonnlilé à la forme (34)' en remplaçant 9^(37) par ^/JL,9,(ar). Or le noyau S (a:, y) est positif, car on vérifie facilement que l'inté- grale (i4) du n" 590 est positive pour K(a?,r) = S(a;, j) quelle que soit h{x).

Soit /(a;) une fonction de carré intégrable, le noyau S (a?, r) étant positif, on a (n" 590)

X X*^^'"'-^^ /i'^)-2^'?'^-^) /(>)-2]/'?'0')

dxJy>

les coefficients /, étant donnés par la formule (36). En déve- loppant cette inégalité, el tenant compte des relations (34), elle prend la forme équivalente

(38) ^/'- if f S{x, y)/(x)/(y) dx dy,

tout à fait analogue à V inégalité de Bessel. Si la fonction /(ar) est de carré intégrable, le second membre a une valeur finie, et par suite la série des carrés des coefficients fi est convergente.

464 CHAPITRE XXXII.

5î)5. Noyaux de la forme A{x) S(x. y). — Les propriétés si simples des noyaiis A(ar) S(x, j), où A(x)est positif, ne s'éUindent pas aux noyaux de même forme, lorsque A(jc) change de signe dans l'inlervalle (a, b). Par exemple, le noyau cos.z^sinxsinj^, où a = o, è = TU, est orthogonal à lui-même. Cependant on peut étendre les propriétés les plus imporlanles des noyaux symétriques, sauf dans un cas singulier, aux noyaux de celle espèce où S{x, y) est un noyau positif ('), quel que soit le signe du coefficient A(x) dans l'intervalle (a. b).

D'après une remarque déjà faite (n" 393), si 9(0?) est une solu- tion de l'équation homogène

-i'

la fonction 'Ma:) = ■ ■ , '. est une solution de l'équation associée ^{x)=\f ?){x, s) \{s)'h{s)ds.

*- a

Cette fonction 'f(^) est encore égale à X / S(j;, 5)(p(5)«i5, et

en supprimant le fadeur constant X, on peut énoncer le résnllat comme il suit : Si <^{x) est une fonction fondamentale du noyau K(a:, v) = A(x) S{x,y) pour une valeur singulière!, la fonction

(39) ■H^) = l S(x,s)^(s)ds

~ a

est une fonction fondamentale du noyau associé pour la même valeur singulière.

On déduit aisément de ce résultat les propriélés suivantes :

i" Toutes les valeurs singulières sont réelles. En ellcl, s'il y avait deux valeurs singulières iuinginaires conjuguées, on aurait pour les deux noyaux ^{0;, y) et K.(^, x) deux fondions fond.i-

(') La fonction A.(x) est supposée l)ornée, mais peut avoir un nombre fini de discontinuités entre a et 6. Les équations intégrales de celte espèce ont d'ahord été étudiées par iNL Hilbert ( Gottingen Nac/irirhten, 1906^ p. 46j ) qui les nppelle équations polaires ou de troisième espèce. Les démonstrations du texte ont été indiquées par M.- Marty {Comptes rendus, 28 février et 25 avril 1910). Voir <jussi Flbim {Annali di Matematica, 3» série, t. 17).

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 465

mentales cp(a:) = u{x) + iv{x) et

•h{x) = J S>ix, y)[u{y) - n-{y)] >h

qui devraient être orlhogonales, ce qui exigerait qu'on eût

et par suite, en prenant la partie réelle,

\ I Six,y)\u{x)ui})-i-i'{x'li-{j)\(/xdy = o.

Le noyau S(j;, y) étant positif, le premier memjire est la somme de deux intégrales positives ou nulles. Pour que chacune d'elles soit nulle, il faut, d'après la formule (i4) du u" o90, que M(.r) et t'(-t) soient orthogonales à toutes les fonctions fondamentales du noyau et par suite au noyau S(j7, j') lui-même. On aurait donc

aussi / K(a'5 5) ?('S) ds^= o, ce qui est contraire à l'hypothèse.

2" Tous les pôles de la résolvante sont simples. — Si cp(j?) est une fonction fondamentale pour un pôle c. la fonction ^'(j^) donnée par la formule (Sq) est fonction fondamcnlalo pour le noyau associé, et nous venons de voir que 9 [x) et '^{x) ne peuvent êlre orlhogonales, ce qui suffit à prouver que le pôle c est un pôle simple (n" 578).

On peut encore raisonner comme pour les noyaux symé- triques (n" 587). Soit ^{x) une fonction fondamenlale correspon- dant à la valeur singulière c, telle qu'on ait

/ / ^ix,y)^{x)^{y)dxdy = ^.

^ a '■'a

On vérifie aiséuient, d'après les propriétés précédentes, que les deux noyaux

-^{x) \ S{y,s)^{s)ds, K, = K(.r.j)--9(j7) / S(y,s)^{s)ds

^ Ja ^ ^ a

sont orthogonaux. Ce nouveau noyau K|(a;, y) est encore de la forme A(x) S| (x-, y). S'il admet encore la valeur singulière c, on peut lui appliquer la mçuie décomposition, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un noyau n'admettant plus la valeur sin-

COURSAT. — III.

466 CHAPITRE XXXII.

gulièro c. Le même raisonnement prouve qu'on peut choisir, pour le noyau lv(x, y), un système de fonctions fondamentales vérifiant les relations (34)', c'est-à-dire formant un système orthogonal relativement à S(x, j). S'il n'y « qu'un nombre fini de valeurs singulières, le noyau est de la forme

! = 1

le novau lv,(^a?, y) sans valeurs singulières étant encore égal au produit de A(j:) par un noyau symétrique.

Ij'exemple du noyau cos j?(sin:r siny) montre qu'un noyau polaire n'a pas toujours de voleur singulière. L'énoncé du n" 387 doit être modifié comme il suit :

3" Si le premier noyau itéré R -^(ic, y) n'est pas identique- ment nul, le noyau polaire A{x)S{.x, y) admet au moins une râleur singulière.

La démonslralion est très analogue à celle qui a été donnée pour les noyaux symétriques (n" 387). Pour le développement de celle démonstration, ainsi que pour l'extension du théorème d'Hilbert, nous renverrons aux Notes de M. Marty. Dans le cas particulier où S(j", y) est non seulement positif, mais défini, et par suite fermé, le noyau K'-'(t. y') ne peut être identiquement nul.

396. Noyaux symétrisables. — Les noyaux de M. Hilbeil sont des cas particuliers des noyaux symétrisables de Marty {Comptes rendus, 6 juin 1910). Soient K(j", k), C,{x, y) deux noyaux quelconques; on dit que les deux noyaux

Hi(ar..v)= f (^{j\ s)K{s, y)ds, H.,(j-, _> ) = f Kix, s)iUs,y) ds,

en général distincts, s'obtiennent parja composition de K(j.',_^» )avec (jCj:, j), à gauche pour Ht, à droite pour Hj. Si l'on peut choisir pour G(a7, y) un noyau symétrique, de telle façon que Hi ou H.> soit lui-même symétrique, le noyau K(x, y) est dit symétrisable à droite ou à gauche. Il est clair que le noyau A(:c) S(a;, y) est symétrisable à gauche par composition avec le noyau S (a;, >').

Tout noyau K{x, y), dont la résolvante n^a que des pôles réels et simples, est symétrisable des deux côtés.

Nous avons vu, en effet, que les fonctions fondamentales associées (ç,, •]/<)

LES FONCTIONS FONDAMENTALES, /J67

forment un système biorlhogonal, qu'on peut supposer normal. Si l'on prend des constantes fin choisies de telle façon que la série

1=1

soit absolument et uniformément convergente, ce qu'on peut faire d'une infinité de manières, le noyau K{x, y) donnera par composition a gauche avec S(:r, y) un noyau symétrique. Nous avons en effet

À, étant la valeur singulière correspondant à ç,-. Il est évident qu'on pourrait former de même une infinité de noyaux symétriques dont la composition avec K(x, y) dans l'ordre inverse donnerait un nouveau no^au symétrique.

Si l'on prend les constantes |ji, positives, le noyau 'è>{x, y) sera positif, et, d'après la façon dont .on le forme, il n'est orthogonal à aucune des fonctions fondameirtales <p; de K(ar, y^.

La réciproque ne peut être énoncée d'une façon aussi absolue, même en supposant le noyau S(jr, y) positif. Par exemple, en composant le noyau symétrique ?(^)9(jk) avec le noyau K(x, J') -+- ?(^) ?(j), où le

noyau K(a:, j) satisfait à la condition / K(5, ^) (p(s) <r/5 = o, on obtient

un noyau symétrique Cip(a:) cp(jK), et cependant le noyau K(ar, y) peut avoir des valeurs singulières quelconques.

Supposons que K(x, y) donne par composition à gauche avec un noyau symétrique Sf a:, v) un nouveau no^au symétrique

Si(^, .?'')= / '^{^y s)}s(s, y)ds;

on pp-it étendre au noyau K(x, /) la propriété établie pour le noyau polaire : Si ?(a:) est une solution de VéquaXion homogène

(40) 9(x) = À / K(a-, 5) (p(*)(y*,

'l/(a:) = / S(j:, <) y(<) dt est solution de Véquation homogène associée. De la relation (4o) on tire en effet

'i(:r)= Ç S(^, t)^{t)dt

/. . .,1

I S{x, t)K(f, s)<f{s)dsdt = \ I Siix, s)^(s)ds,

168 CHAPITRE XXXIl.

ce qu'on peut encore écrire, en vertu de la symétrie de St

<]>(,-) = 1

r rS(5, t)K{t, x)^(s)clsdt:=X Ç K(t, x)<^it)dt,

d'où résulte la propriété énoncée.

Gela étant, supposons que a -i- ^i(^ ^ o) soit une valeur singulière, // -+- iV une fonction fondamentale correspondante ;

•K^:>= / S(jr, t)\u(t) — ii'(f)\d(

sera une fonction fondamentale pour l'équation associée, correspondant *» la valeur singulière a — 8i, et la condition d'orthogonalité donne

/ j f>ix,t)\u{x)-^iv{x)'^ \u(f) — w{t)\dxdf = o ou

/ I S{.r, t)u{x)u{t)dxdf -h j ( S(x, t) i>(x) i>{t) dx dt = o.

Pour qu'on puisse afJirmer qu'une telle relation est impossible, sans autre hypothèse sur K{x, y), on doit supposer que le noyau S{x, y) est défini; il ne'suftil plus que ce noyau soit positif (^omvat au n" 59o. Il pourrait se faire;" en effet, que les fonctions u et v, et par suite u -+■ tV, soient orthogonales au noyau S(j:, >), ce qui peut arriver pour une fonc- tion fondamentale du noyau K(x, y)- On a donc le résultat suivant :

Si un noyau K{x, y) est symétrisable par composition avec un noyau symétrique défini, tous les pôles de la résolvante sont réels et simples.

Ce dernier point résulte de ce que les deux fonctions fondamentales ^{x) et ^{^x)=. I S{x, s)(f{s)ds, correspondant à une même valeur singulière, ne peuvent être orthogonales.

Tout noyau K(x, y), symétrisable par composition avec un noyau symétrique défini^ a au moins une valeur singulière.

Nous renverrons à la Note de M. Marty pour la démonstration (Exer- cice 4).

597. Noyaux symétriques gauches. — Si le noyau Ki"M.r, ^) déduit de K{x, y) par itération est un noyau symétrique, on peut affirmer que K{x, y) a au moins une valeur singulière, et que les puissances n'*»»»» de toutes les valeurs singulières sont des nombres réels. Considérons, en par- ticulier, un noyau symétrique gauche (Lalesco), c'esl-à-dire tel que

K(jr,x)=-Kix,y).

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 469

Le premier noyau itéré est évidemment symétrique, et par suite tous les pôles du noyau résolvant de K(x, y) sont simples, réels ou de la forme fit, fi étant réel. // ne peut y avoir de pôle réel. Soit, en effet, if (or) une fonction fondamentale réelle pour un pôle réel c. Les relations

i(.r) = c Ç K{x, s)z{s)>ls=^ — c Ç k(s. :r):f{s)ds

prouvent que — c est aussi un pôle de la résolvante et <s*^a;) une fonction fondamentale pour l'équation associée correspondant à ce pôle. Ces deux fonctions devant être orthogonales, on aurait ip(x) = 0; il ne peut donc y avoir de pôle réel, et tous les pôles sont de la forme \xi.

Soient fxi un pôle, u{x) -\- iv{x) une fonction fondamentale correspon- dante; u{x) -+- iv{x) est aussi une fonction fondamentale du noyau associé correspondant au pôla — p./, et la condition d'orthogonalité donne

/ u^ dx = I r- dx, I uv dx = o.

La fonction u — iv est une fonction fondamentale de K{x,y) pour le pôle — iJLi et de K(^', x) pour le pôle \ii.

Si l'on a choisi « et p de façon qu'on ait f u^dx = 1, oa vérifie aisé- ment le noyau

î^

et le noyau lS.{x, y ) — k{x, y) = Ki(a:, y) sont orthogonaux. Or, k{x,y) est un noyau symétrique gauche qui admet les deux pôles simples [lï et — |jiï; Ki(x, y) est donc aussi un noyau symétrique gauche. Si p.» est encore une valeur singulière pour ce noyau, au bout d'un nombre fini de transformations de ce genre, on pourra écrire

Ki(j;, j) étant un nouveau noyau symétrique gauche qui n'admet plus les valeurs singulières \ii et — \Li. Si K(a:, y) n'admet qu'un nombre fini de valeurs singulières, il est donc de la forme

K(^,J) = 2

Vh{x)uh{y) — u/,(x) fh(y)

Dans le cas où il existe une infinité de valeurs singulières, si la série dont le terme général est formé par la somme de deux noyaux principaux conjugués est uniformément convergente, sa somme est encore égale au

470 CHAPITRE XXXII.

novau K{x, y). Le premier noyau itéré K^^^{x, y) étant négatif, on peut lui appliquer le résultat de M. Vleicer; s'il est continu, ce noyau est donc égal à la somme de la série uniformément convergente

K(2i(t ,.) ^ y Unix) Unir )-i- f,, ( JT ) t>„ ( >)

Pour l'extension du théorème de Hilbert aux noyaux symétriques gauches, nous renverrons à l'Ouvrage de M. Lalesco.

398. Fonctions fondamentales de Schmidt. — M. Schmidt a rallaché à tout noyau non sjniéirique K(j7, y) deux systèmes orthogonaux de fondions qui n'ont, en général, aucune relation simple avec les fonctions fondamentales de ce même noyau con- sidérées jusqu'à présent. Pour M. Schmidt, deux fonctions <ï>(t), ^(x) forment un couple de fonctions fondamentales associées, si elles satisfont aux deux relations

(4i

) o{x) = X f K{x, s)'b{s)ds, •}^(x) = X C K{s, x):f{s)ds;

la valeur de la constante X, différente de zéro, est une valeur singulière du noynu K(t, y').

Il existe toujours des couples de fonctions fondamentales; en eflet, l'élimination de '^^{x) entre les deux équations (4i) conduit à l'équation intégrale homgène à noyau symétrique

(42) o{x) = '/.-l W{x. 5) z{s)ds,

''a

OÙ l'on a posé

K(x, s}= Ç K{x, t)K{s, t)dt.

L'élimination de o[x) conduit de même à une autre équation de même forme à noyau symétrique

(43) ■\>(x) = X'^ f K{x, s)^{s)ds.

où l'on a posé

K(a:, s)= f K{C, x)K{t, s)dt.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. J^jl

Les deux noyaux K(:r, j'), K(j?, y) sont positifs en supposant toujours b '>■ a; on a, par exemple,

f f K{x,y)hix}h(y)dxdr

''a '^n

■ 'a ^ a ^a

= Ç dt\ f h{x. t)h{x)dx ^o.

D'après la façon dont on déduit les équations (4^) et (43) du système (40' ^^ ^^ système admet les solutions cpi(^), ^i(^) pour une valeur X, du paramétre, X- est une valeur singulière pour chacun des noyaux K.(x, y), K(a?, r), et cp», ^i sont des fonctions fondamentales pour ces deux noyaux respectivement. Inverse- ment, soit c une valeur singulière pour l'un de ces noyaux, K(j7, y) par exemple; ce nombre c est toujours positif. Soit <o{x) une fonction fondamentale correspondante. Si l'on pose

■l,(x)=\'c j K{s, x):^{s)ds, on remonte aisément des deux équations

<f{x) = cl K{x, 0?(0 dt, '\)(x) = \cl K{t, x)<f{t)df

aux équations (4')? ^'^^^ ^'^^ aurait X = y/c. 11 revient donc au même de chercher tous les systèmes de solutions des équa- tions (4i) ou de chercher toutes les valeurs singulières et les fonctions fondamentales de l'un des noyaux symétriques K(j7, y), K(x. y). Toutes ces valeurs singulières, les mêmes pour les deux noyaux, étant positives, nous les représenterons par X^, Xg, .... en convenant de prendre Xj> o. Cela est permis, puisque le sys- tème (40 ne change pas quand on change X en — X à condition de remplacer 9 par — cp. Cela étant, soit cp,, cp2, . • • , cpi, ••• le système orthogonal et normal formé par les fonctions fondamen- tales du noyau K.(^, y). A la fonction Oi(x), la seconde for- mule (40» ®" ^'0^ prend X = X/, fait correspondre une fonction

472 CHAPITRE XXXIl.

fondamentale 'i'i(x) du noyau K(j?, r) relative à la même valeur singulière Xj. Ces fonctions '^i(.r) forment aussi un système ortho- gonal et normal. Des relations

■!fi{j-) = Xi f K{t, x) Zi{t) dt, ^k{ar) = \k f Kf.v. x) :fk{s)ds

on lire, en elFet,

/ '\i{x)')jk{x^dx — \i\k { I I K{t, x)K(s, x)^ii^t):fi.(s)/fx dsdt = lilkj I KUTT) ri{t) 9k{>!)dt ds

Tinlôgrale a donc pour valeur zéro ou un, suivant qu'on a iy£ k, ou t = A. Nous représenterons par /} et/* les coefficients des deux séries de Fourier déduites d'une fonction /(j^), relatives à ces deux systèmes orthogonaux

fi= / f{jc)^i{x)dx, /;- / f{x)'i^i{x)dx.

Le théorème de Hilbert a été étendu aussi par M. Schmidt aux fonctions de la forme

(44) /(^)= f K(x, s)h{s)ds,

où h{x) estune fonction de carré inlégrable, Y%.{x,y) un noyau non symétrique continu, ou ne présentant pas d'autres discontinuités que ciîllcs qui ont été spé.;ifiées plus haut; la fonction f{x) est alors continue. Toute fonction de cette espèce est dévelop- pable en une série uniformément convergente de fonc- tion Cfi{x).

La démonstration comprend encore deux parties. Le coeffi- cient/, a pour expression

r^ r^ I /-* h*

fi= / K{x,s)tfi{x)h{s)dsdx= ^ ^i(s)h{s)ds=-^;

d'autre part, '^ .^ est le coefficient de ^i{y) dans la série de Fourier déduite de K(x. y), où x est regardée comme une cens-

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 473

tanle, car

/ h(.r, y^^iir^dy = j^-?K^^-

Les deux séries ^(/i*)*, '^ \ ^', "^ [ étant convergentes, on en conclut ( Doir n" o89) que la série

(45) S(a:)=>]^-o,(^)

est absolument et uniformément convergente. La différence

est orthogonale à toutes les fonctions cp,(^^) et par suite à S(r). Pour démontrer que 11(^7) est orthogonal à/{x), parlons de la relation

r K{x. ()/i.T)dx ^ I K{x, t)S(.i:)f/x-h j K(x. f )n{x) f/x,

qu'on peut écrire, en remplaçant /(.r) par l'eipression (44)' /•* r'' r''

I K(f. .■i\h(s)ds= f K{x, t)S{x)dx-i- I K{x, f ) ï\(x) dx.

^,1 -Ja ^u

La fonction / Ys.{t , s) h{^s) ds peut être représentée par une

série uniformément convergente de fonctions 4't(i), le coefficient

h* de '^i{t) étant y|- D'autre part, on peut intégrer terme à terme le

produit Y%.{x. t) S>(x). ce qui donne

f K{x.t)Six)dx=="^^^'\>df)-

r'' On a donc / K(j7, 0 R("P) dx -- o, et par suite

f /ix)i{(x)dx = f f i^{x, s)R(x)h{s)f.'xds = o;

•Ja ' ^ n ^a

on en déduit, comme au n° 589, que ^{x) est nul, et la fonction f{x) est égale à la somme S (a:) de la série (4f> V De cette formule

474 CHAPITRE XXXII.

on déduit aussi, en supposant que A(.r) oi g(x) sont deux fonc- trons de carrés intégra bles

On verrait de même que toute fonction de la forme fix) = y K(5, x)g{s)ds

est développable en série uniformément convergente de fonc- tions '^i(r'>

(47) /(a:)=Vg.j,.(^).

i ^l

Appliquons en particulier la formule (45) au noyau symétrique

K{x, y} = Ç K{x, s)K{y, s)ds;

il suffit de prendre A(5) = K(y, 5), / étant regardé comme un paramètre; on trouve ainsi le développement

(48) y:û^,SjiM^,

qui est uniformément convergent par rapport à chacune des deux variables. Le raisonnement du n° o91 s'applique encore et prouve que la série est uniformément convergente par rapport à l'ensemble des deux variables, car le noyau K(j7, y) est continu. On trouve de même fè développement de K(jr, r),

(49) Ko^^=^Mf)M>2.

Remarques. — Un noyau non symétrique K(3r, y) est com- plètement déterminé par la connaissance des nombres X,-, et des deux séries de fonctions prlhogonales ^i{x) et ^j{x). S'il y avait, en effet, deux noyaux de celte espèce, K et H, on aurait, pour

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 473

toute fonclion h{x) de carré intégrable,

f K{a-. .<;)h{s)ds= f \\{x. s) h (s) ds =y\^' \'^^\

et par suite

/ [Ki^x, s\ — Wix, sy\h{s) cls = o,

^ a

quelle que soit h{x)^ fe qui exige qu'on ait K = H. Le noyau K(a7, y) est donc représenté par la série

(5o)

^^.,.y^,=X^Aî£lMl},

si cette série est uniforméuient convergente.

On voit que les deux systèmes de fonctions orthogonales tp,- et ^i sont absolument indépendants l'un de l'autre ; l'un d'eux peut être complet sans que l'autre le soit. Ils peuvent avoir des fonctions communes en nombre quelconque, se correspondant

ou non. Si le noyau ¥^{x, y) est de la forme ^Xj-Y,-, les deux

noyaux K(x, y) et K(j7, y) sont de la même forme. Il y a un nombre fini de valeurs singulières, et les trois séries (48), (49) et (5o) se réduisent à des sommes d'un nombre limité de termes.

599. Théorôme de Pischer-Riesz. — Étant donné un système orthogonal et normal S composé d'une infinité de fonctions ?,(:r), à chacune desquelles on fait correspondre un nombre /(, pour que ces nombres ft soient les coefficients de Fourier d'une fonclion f{x) de carré intégrable, il est néces- saire, d'après l'inégalité de Bessel, que la série /fi soit convergente.

Inversement, si une série / f'; ^st convergente, il existe une fonc-

1=1 tion f{x) de carré intégrable pour laquelle les coefficients de Fourier

relatifs au système S sont les nombres fi.

Nous indiquerons seulement la marche générale suivie pour établir cet

important théorème, démontré à la fois par .M. E. Fischer et F. Riesz (•).

(') E. FiSt^HER, Comptes rendus, t. 144, 1J07, p. loaa. — F. Riesz, Gottinger Nachrichten, 1^07; Comptes rendus, t. 144, it>i)7, p. 6i5.

476 CHAPITRE XXXII.

Il repose sur une proposition préliminaire, importante par elle-même, et relative à la convergence en moyenne. On dit qu'une suite de fonctions

(^i) /.^^V /,ix), ..., Mx\ ...

converge en moyenne vers une fonction limite f{-r) dans un inter- valle (a, 6), si l'on a

(ô-i) lim f [fUs~f„{x)fdj- ^o.

" — "•-'a

II est clair que la condition (32) est remplie, si Jn{x) tend uniform»;- riient vers f{x), mais elle peut l'être alors même que fn{^) n'a pas de limite au sens habituel du mot. II existe, pour la convergence en moyenne d'une suite, un critérium analogue au critérium de Cauchy (I, n" 5) pour la convergence ordinaire. Pour que la suite (5i) soit convergente en moyenne, il faut et il suffit qu'on ait

(53) limj [/„-/, -/.P

flx

lorsque les deux nombres n et n-\- p augmentent indéfiniment.

I® La condition est nécessaire. On le déduit immédiatement de l'iné- galité f [A— B]î</a:^2 f \-^,lx-^->. Ç \\^dx.

2° La condition est suffisante. C'est là le point essentiel que nous admettrons (»). Remarquons seulement que la fonction limite /(a;) n'est pas entièrement définie par la condition (52). Si une fonction f{x) satis- fait à cette condition, il en sera évidemment de même de toute fonction

obtenue en lui ajoutant une fonction u{x) telle que / u''-{x)dx = o.

Inversement, si deux fonctions /(.r) et oix) satisfont à la condition (52),

il est clair que l'intégrale / \f{x) — ^{x)Ydx est nulle, car elle est

moindre que tout nombre positif donné. On obtiendra donc toutes les fonctions vérifiant la condition (52) en ajoutant à l'une d'elles une fonc- tion égale à zéro dans l'intervalle (a, 6), sauf en tous les points d'un ensemble de mesure nulle.

Ce point étant admis, considérons un système orthogonal et normal S

(') Voir à ce sujet : H. Weyl, Matheuiatische Annalen, Bd. (il, lyoj, p. 225. — M. Plancherel, Rendiconti di Palermo, 1910, p. 282. — F. Riesz, Comptes rendus, t. 150, lyio, p. il\o\. — Lalesco, p. 9i-94' La ilémonsiration exige, sur ia mesure des ensembles et l'intégrale définie au sens de Lebesgue, des notions dont nous n avons pas eu besoin jusqu'ici dans cet Ouvrage.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 4/7

(le fonctions 9,(^j et faisons correspondre à chacune de ces fonctions un

nombre hi tel que la série 2^^^i ^^^^ convergente. Posons

*n= Ai?,(j-)-h...-H A„9„(a:);

la suite des fonctions *n(^) est convergente en moyenne. On a, en effet, d'après les relations d'orthogonalité,

/

b

[ <t>„ ^^, = <j>„]-^ dx = h'fi^ , -4- hr,^ .j -f- . . . -(- hn-,,,

expression qui tend vers zéro lorsque les deux nombres n el n -^ p croissent indéfiniment. Soient /{x) une fonction limite de cette suite de fonc- tions fPni^), fi le coefficient / /{t^ ?<i r) dx; nous avons

(54) f [/(.X-) - •!>„ (.r)j2./.i- = J /••-.,>) ./^. _.>2/,,/, -^^hj

\j^''r-(.r)dx- 2/ï k^

^[hi-M.

Le second membre est une somme de quantités positives; le premier membre tendant vers zéro lorsque n croît indéfiniment, il faut qu'on ait, quels que soient l'indice i et le nombre positif e, (A,- — fi)-<.^ et, par suite, hi = fi. Les coefficienis de la série de Fourier déduite de /{x) sont donc les nombres donné? A/. Toute autre fonction ayant les mêmes coeffi- cients de Fourier s'obtiendra en ajoutant à celle-là une fonction quelconque orthogonale à toutes les fonctions du système S. En particulier, si ce sys- tème est complet, une fonction ayant les mêmes coefficients de Fourier que f{x) ne peut différer de /(j) qu'en tous les points d'un ensemble de mesure nulle.

La condition de fermeture d'un système orthogonal ( n" 1>8S) se déduit aisément du théorème sur la convergence en moyenne. Le système S étant supposé complet, soient/(a7) une fonction quelconque de carré intégrable, fi les coefficients de Fourier correspondants. La suite des fonctions

^n=j\9i(x)-h...-hfn^n{x)

con\erge en moyenne \ers une fonction limite 'i>{x) qui ne peut différer de/(.r) qu'en tous les points d'un ensemble de mesure nulle, puisque les deux fonctions /et * ont les mêmes coefficients de Fourier, et que le

r''

système S est complet. L'intégrale / [/(.r) — <ï>„]- (/a,- tend donc vers

47^* CHAPITRE XXXII.

b "

zéro lorsque a croît indéfiniment; or elle est égale à / f^ dx — / J'-;^

'^•' 1

et, en faisant croître n indéfiniment, on trouve bien l'équation de ferme- ture (i)). Du même raisonnement on déduit encore la conclusion suivante : étant donné un système orthogonal com|)let, une fonction /(cc) n'est pas forcément représentée par la séné de Fourier correspondante, mais la somme S„ des n premiers termes de cette série converge en moyenne vers /{a:), lorsque n croît indéfiniment.

600. Équation intégrale de première espèce. — Les fonctions fonda- mentales de M. E. Schmidt interviennent dans la résolution de l'équation de première espèce

{Jù)

f K(.r, s)h(s)ds=f(:r).

où/(.r) est une fonction donnée, h{x) la fonction inconnue. Soient (ç,, <\ii) deux couples quelconques de fonctions fondamentales de M. Schmidt, correspondant à la voleur singulière >.,•. Les coefficients /,-, h*- ayant la même signification qu'au n" 508, on a /jt = /,Xj. Pour que l'é [uation (55) admette une solution h(x) de carré intégrable, i7 est donc nécessaire que la série ^f^'f/f soit convergente.

M. Picard (') a démontré que cette condition est suj/isante, lorsque les /onctions ^i{x) forment un système complet. En effet, d'après le théorème de Fischer-Riesz, il existe alors une fonction h{x) dont les coefficients de Fourier relatifs au système des fonctions '^,(^) sont préci- sément les nombres X//,-. Les deux fonctions /{x) et / K(x, s) h{s) ds

ont alors mêmes coefficients de Fourier relativement au système ortho- gonal des fonctions ?,(a:). Ce système étant fermé, elles sont donc iden- tiques, ou du moins ne peuvent différer qu'en tous les points d'un ensemble de mesure nulle. Si la fonction /{x) est continue, ainsi que les fonc- tions <?i(x), la différence e»t nulle en tous les points de l'intervalle (a, b). Si le système des fonctions 'li(x) n'e>t pas conijilet, on peut ajouter à la lonciion h{x) une fonction quelconque orthogonale à tous les -^i; mais, d'après la formule (45), cela ne change pas la valeur de l'intégrale

,0

K{x, s)/i(s)ds.

f

Lorsque la suite des fonctions ?/(a:) n'est pas fermée, on peut encore

(') K Picard, Comptes rendus, i4 et 28 juin lyoj; Hendiconti di Palermo. t. 29, ijio.

Voir aussi différents a'ticles de M. Lauriceila dans les Atti délia r. Accad. dei Lincei, ijo3, i^o^, iju.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES. 479

déterminer une fonction h{x) dont les coefficients de Fourier Af ont les valeurs /,X,-, mai? le raisonnement prouve seulement qu'on a

(56) f K{x,s)h{s)ds=/ix)-hRia:),

R(ar) étant une fonction orthogonale à toutes les fonctions ç-^x). Il est à remarquer que quand on ajoute à /(x) une fonction quelconque orthogo- gonale à tous les <fi{x), les coefficients /< et par suite les coefficients h^ ne sont pas changés; on trouve donc toujours la même valeur pour l'intégrale

/

b

K(.r, .'i)h{s)dx.

On en conclut que, parmi toutes les équations de la forme (56), où R(a;) est une fonction quelconque orthogonale aux fi^x), il y en a une, et une seule, qui admet une solution en h{x).

Remarques. — i» Les conclusions s'appliquent aussi à un noyau symé- trique; les deux systèmes orthogonaux (?;, '^n) sont alors identiques, et sont complets si le noyau est fermé.

2° Supposons le système des fonctions <pj complet. Si la série SX?/? est divergente, l'équation (55) n'est pas résoluble, mais il est possible de

r''

trouver une fonction h{x) telle que / K(a:, s) h{s) </i diffère en moyenne de /{x) d'aussi peu qu'on le veut. Posons, en efTet, hn{x) = y \i/i>^i{œ)',

la fonction /„( a;) = / K(x, s) hn{s) ds est identique à la somme des

n premiers termes de la série de Fourier de /{x) relative au système des <fi{x). On peut donc choisir n assez grand pour que l'intégrale

/

[Ax)-Mx)r-dx

soit moindre qu'un nombre positif e.

3" En résumé, une équation intégrale de première espèce à limites fixes n'admr-t pas toujours de solution, si le second membre/(a:) est quelconque. Ce fait explique pourquoi l'on ne peut résoudre le problème de Dirichlet au moyen d'un potentiel de simple couche, car la densilé serait déter- minée par une équation de première espèce. D'ailleurs, les propriétés du potentiel de simple couche expli pient aussi ce résultat. On sait, en effet,

dV (n» y:i8) que la dérivée normale -j- d'un potentiel de simple couche a une

valeur finie sur le contour, tandis que les dérivées partielles de la fonction

48o CHAPITRE XXXn. — LES FONCTIONS FONDAMENTALES.

harmonique qui donne la solution du problème de Dirichlet i>euvent devenir infinies sur ce contour (note de la page 198).

601. Approximation en moyenne. — La définition de la cou vergence en moyenne dans un domaine s'étend à des suites de fonctions de plu- sieurs variables. Soit K{x, y) un noyau non symétrique; rangeons les valeurs singulières X,-, définies au n» 598, par ordre de grandeur croissante, et soit (9,, ^i) le couple de fonctions fondamentales de Schmidt corres- pondant à la valeur X,-. En tenant compte des relations d'orthogonaliié et des formules (40 qui définissent les fonctions <Si{x), «^//(.r). on vérifie facilement qu'on a

D'aulie part, en faisant r =^ x dans la relation (48) et intégrant terme à terme, on trouve

2^^'.. ^j K(.r, :r)rfx 1=1 ' ""

=. r r Kix. OKt;./. r)<lrdt= f f K'-dxdy;

l'intégrale I„ tend donc vers zéro lorsque /i croît indéfiniment.

Ce résultat donne un moyen d'approcher en moyenne de ii{x,y) d'aussi près qu'on le veut, avec la somme d'un nombre fini de termes dont chacun est le produit d'une fonction de x pai une fonction de j'. M. Schmidt a démontré que la solution précédente est celle qui donne la meilleure approximation pour une valeur donnée du nombre n. En termes plus précis, les lettres Xj et Y; désignant des fonctions de x et de 1' respecti- vement, on a toujours

f ^ \ K(.r,.. .-^X/Y, \dxdr

dx d\

quelles que soient les fonctions X, et ^,. si l'on a /// ^ // {Math. Annalen. m. G3).

COMPLEMENTS ET EXERCICES. 4SI

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

I. Méthode de Kneser pour les noyaux symétriques. — Soit K {x, y) un noyau syniétrique borné; la trace Ao^ de ce noyau peut se mettre sous l'une ou l'autre des deux formes

\in= f I \Ki"' (x. l)]"- dx df = f f K'n'i^{x,t)K'"-i)(x.f)dxd/,

et l'inégalité de Schwarz conduit à la nouvelle inégalité

Ai„^A,„^oAo„_„

d'où l'on déduit ijue la série SA,jÀ" ne peut être convergente pour toute valeur de X, à moins que A4 ne soit nul. Il faudrait pour cela qu'on eût

K(2)(a:, /) = o, et par suite K(.r, ^) = o Cn" 587).

3. Généralisation de Vinégalité de Bessel. — Une suite de n fonc- tions ^i{x) de la variable réelle a;, pouvant prendre des valeurs com- plexes, forme un système orthogonal et normal si l'intégrale

/-* ..._ "

est nulle pour i?^ k. et égale à un pour i— k\ a et 6 désignant d'une façon générale deux imaginaires conjuguées. On peut étendre à ces sys- tèmes l'inégalité de Bessel. Soit/(.r) une fonction quelcon]ue réelle ou complexe de la variable x, mais dont le carré du module est inté- grabie. Posons

fi= j f{x)çt{x)dx, J\= j J\x)^i{x)dx.

'a » Il

On a é\idemment

J [/(^)-./". ?.(.r)-...-A?„(^)][/(,r;-/. ^,(^)_..._y„ o„{x)\dxlo,

ce !]ui donne, en dtheloppant le prod\iit,

.i " ^b

J fi^)J\^)dx-^ftJ f{x)'^i{x)dx~^fij J\x)Oi{x)dx -^^^^fif'kf ?i{x)^{x)dxlo.

COURSAT. — III.

482 CHAPITRE XXXII. — LES FONCTIONS FONDAMENTALES.

En tenant compte des relations d'orthogonalité, il reste

,6

(•)

^IM'^f \A^)\'d^-

Application. — Supposons que les n fonctions çi, oo, ..., ©„ du Çys tème orthogonal vérifient n relations de la forme

(2)

..6 "

K(?a) = / K(^, s) ça(s) ds =^ ««p ?,3(a:),

K(:r, y) étant un noyau tel que | K{x, y) \- soit intégrable, et les coeflî- cientF «as étant constants. On aura aussi les relations

_ _ 6 "

(3) K(?a)=/ K(a-,5)9a(s)fi^s=V aa3 Y_3(-«t-

Appliquons l'inégalité (i) à la fonction K(.r, t), en y considérant j: comme un paramètre et t comme la variable indépendante, et rempla- çant o,{t) par ?j(<)". Nous poserons pour cela

" .3 = 1

/< "

L>'après l'inégalité de Bessel, on a

" 0

a = . -^^

et. par suite,

Or, si l'on remplace Ag et A« par leurs expressions, le premier membre (le cette inégalité se réduit, d'après les conditions d'orthogonalité, à

n n

2 2 ' ""«^ ''•

a=i 3 = 1 il reste donc

n n h b

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 48.^

;{. Théorème de Schur {Math. Annalen, Bd 66, p. ;Jo8). — Soil \<L{x,y) un noyau borné ou, plus gcnéralem.^nt, un noyau tel que \K{x, y)\^ soit intégrable. Considérons un système S de n fonctions principales apparte- nant à ce noyau (n" 380), c'est-à-dire un système de n fonctions linéaire- ment distinctes 91, Oj, ..., 3„ vérifiant des relations de la forme (2) de l'exercice précédent. Désignons par wi, lOo, . . ., w„ les n racines de l'équa- tion

11 — «0 «li ... f-hn

D(o))

INous pouvons toujours prendre une fonction <l>i(.r) du système S vt-ri- liant les relations

et supposer que les n fonctions <f>iÇ2, . • •, ?n sont linéairement distinctes. Choisissons ensuite les n — i coefficients c/(i>i) de telle façon qu'on ait (4>i, Çj— ^i^)!) = (>, et posons TZi{x) = oi— r^A^. Il est clair que les n— t fonctions zo, ..., -„ sont distinctes et orthogonales à <t>i(a:), et par suite ^\{x) est orthogonale à toute combinaison linéaire de ces n — 1 fonctions. Nous j)ouvons ensuite trouver une combinaison linéaire 4>- de ~î. -3, . . ., ;:„ vérifiant les deux relations

K($.2) = b.x^i-^ Oio*., (<I>2<Î^) = I,

et ainsi de suite. En continuant de la sorte, il est clair qu'on arri\cra à former un système orthogonal et normal de n fonctions principales <I»i. «Do, ..., $n, é.|ui valent au système donné S, et vérifiant n relations de la forme

K($,) = "^.«I»i-

K(*., ) = />2i*i-*- 0)2*-

K(«I»;, ) = 6;;l *l -(- 6:j2 <I>2 "H Wa*:,,

K($„) = ^„,(I)iH- è„2<ï>2-^. . .-t- W^*,,.

L'application de l'inégalité (4) de l'exercice précédent à ce s\ sterne orthogonal conduit à l'inégalité

ï:\LOi[^^ r f \K{x,t)'i^-dxdt,

d'où l'on déduit aisément le théorème de Schur (voir n" o84).

.4. Noyaux symétrisables (n" 590). — Soit K{x, y) un noyau symé- trisable. tel que le noyau G(a-, jk)= / S(j', t)K{t, y) dt «oit sym.--

484 CHAPITRE XXXII. — LES FONCTIONS yONDAMENTALES.

trique, S(x, y) étant lui-même symétrique et pos-tif. En désignant par K.W(^x, y) le «'*•"•' noyau itéré de K{x, y), nous poserons

Kn(x,y)= S{x,t)KM(t,y)dt, K^{x,y) = G{x,y).

Nous allons d'abord montrer que Kni^x, y) est lui-même un noyau symétrique. On peut écrire, en effet

K«(a:,7)= f j j ■ • .J'six, t,)K{ti, ti)K{ti,t,)...K{tn,y) dt, dti...dtn, les limites de toutes les intégrations étant a et b, ou encore Kn(oe,y) =JJ- • -jGi^, tt)K{t^, t,). . .K{tn,y)dt.dr,...dtn = / f" Coit^, x)K{t2, t;,). . .K{tn,y) dt. dt:i. . .df„ ==ff' • 'f^iii, «0 K(<i, X) K(^,, ^3). . .K(<„, y) dt, . ..dtr, =f / • • • fy^iti, ^) S(t„ t^) K(<2, ?3). . .K(f„, r) f/?i. . .dtn.

Eu recommençant la même suite de transformations sur le produit S(tt, t^)K{t2, ts), et ainsi de suite, on voit qu'on a, d'une manière géné- rale,

K„ix,y) =Jf- • -fi^ifi, x)W(i,,t,)...

X K(^^, t,,-i) S{tp, tp+i) K{tp+i, l,p+^). . .K(<„,7) dtx dt... .dtn,

ce qu'on peut encore écrire

K„(.r, v) = f f S{u, i') K(/')(m, x) K('/)(t;, jk) du dv {p -i^ q ^ a).

En échangeant/) et q, on voit immédiatement qu'on a Kn{x,y) — ^n{yi x). La suite des noyaux K„(j;, v) est illimitée, à moins que G{x, y) ne soit nul. ÎNous avons en particulier

Ky,{x,i)=l rS{u,i>)K(i') {u,x)Kip) (v,y)dudi'

= I fs(u,i>)KiP+i^{u,x)KiP-i)(i',y)dud^- cl, par suite,

K.p(x,x) = r Cs{u, i>)KiP){u, x)K(P){i', x) du di>.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 485

Si le iiojiiu K;/,{.r, jc) était nul identirjuenient, il en serait de même de l'intégrale

• • r'' r''

I I S(«, <•) Ivl/'.'O^ .r) 6(<0 (/u ch = / ^(i') ih' / S(//, v) Kii>){u, a;) du,

J J '-'il «-V(

.luelle que soit la fonclion ^/^j, d'ap^cl^ l'inégalité de Schwarz généra- lisée (')

X [ / / S(e/, r) 'b(n) ^U') du dv , et, i»ar suite, le noya»

\\f,l^r,.i;)= I S{u,v)Kip){ii,x)du

serait nul aussi identiquemeni . D'autre i.art, on a évidemmeui, d'après la définition mèuie de K„(.r, v),

(.f,r) = j K„(^-, n)K(ii,r)

du,

(le !-orte que si K„(x,7) est idcnii [uemcnt nul, il en est de même de K„-^i, K„+2, .... Par suite, si K.pix, r) ou lUp-i{.e, y) est identiquement nul, il en est de même de K^(x, y). S'il y avait un noyau identiquement nul dans la suite des noyaux Kr.{a-, y), ou en déduirait donc, en remontant de proche en proche, qu'où a Ki{x, y)==o. Le raisonnement prouve même que K;/,(j^, jc) ne peut être idcntiquoiucnl nul. La série

\\x,y\\) = K (.'•,.:>-) -t- >- W-^{x,y)-h...-^}^"'^ W'"!{x,y) -h . . .

ne peut être convergente, jiour toute râleur X. En effet, il en serait de même de la série

r'' j Six,f)r(t,y;\)d/ = \\.{,r,j)-h'y. K, (./•,, v) ^ . ..-^ "a"-! K„(./-, jr)-+- •••

et, par suite, de la série

Kj(./-. ./•) -h A \\.(-r, .r ) -h. . .-+- À"-' \\„{-r, .r) -+-....

I 'i (Ml l'obtient ou écrivant que l'intégrale double

I I Siii. f)[aa(</)-t- ;i■;(«)j[»r(^)-^- '^'^i^')] di-t d^' est une fniiction quadratique positive en a, ^.

486 CHAPITRE XXXII. — LES FONCTIONS FONDAMENTALES.

Or, d'après l'inégalité de Schwarz généralisée, on a

I r rS(«, i>) K'/'-»(«, x) K(/'-i)(p, x) du dvY

^ r r f s{u, v)K(p+'^){u, x)Ku>+i)(v„ x)^du

\ r rS{u, v)KiP-i){u, x)ii(/'-*>{i>, x) du dvi

dv

X

c'est-à-dire

[K«p{x, x)Y^ K^f,+.,{x, x) X K2/,_2(:p, x)

et le raisonnement s'achève comme pour un noyau symétrique (n" o87). Tout noyau symétrisable admet donc au moins une valeur singulière.

5. Minimum de Vintégrale j 1 [K(x, y) — f{x)<\i{y)]^ dx dy

(n" 601). — Supposons que cette intégrale soit minimum pour un système de fonctions ç(ar), ^{y^. En y remplaçant «(a:) par ?(a;) -t- acpi(a;), 'K.X) P^'' 4'(/)-+- P"l'i(.?^)> o" obtient une fonction I(a, ?i) des deux para- mètres a, p, qui doit être minimum pour a = [3 = o, quelles que soient les deux fonctions <pi(^), J'iCj)-

^. . à\ La condition -r- = o, pour a = j = o. donne Or ^ '

l' z,{x)dx C [K{x,y)'l(r) — z{x)'bHy)]dy = o, ce qui exige (|u'on ait. puisque ?i(ar) est arbitraire.

r K(x,y)<h(y)dy=z{x)f -l^y) dy = C zix):

la condition -^ = o donne une autre équation de même lormr

f K{x,y)z(.T)dx = C''b(y).,

G et C étant des constantes. Ces constantes G et G' étant nécessairement positives, on peut ramener le système obtenu à la forme (4i) du n" 598,

,1, en remplaçant les fonctions 9 et J< par hz et ^ respectivement, et choisis- sant convenablement la constante h.

CHAPITRE XXXIII.

APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INïftGHAI.KS.

Les appUcalions des équations inlégraies sont déjà nombreuses el importantes. Nous allons en indiquer quelques-unes, relatives au calcul intégral et à la physique mathématique.

I. — .Vl'PLlC.ATIONS AUX KQUATIO\S DIFrKHKNTIKLLES.

602. Sur quelques propriétés des équations linéaires. — Nous établirons d'abord quelques propriétés très simples des intégrales d'une équation linéaire, concernant les zéros de ces intégrales. Soit

(n .•' = />(,/•))• -H y(.r)

une équation linéaire, dont les coefficientb p el q sont continus dans un intervalle (a, 6), où «•< b. On sait que toutes les inté- grales sont continues dans le même intervalle, et l'intégrale pre- nant la valeur yo pour une valeur x„ de x, compris entre a et b, a pour expression (H, u" 366)

X'

il résulte de cette formule que si l'on a yo>v, 7^0, y sera positit pour x^-Xq. Par conséquent, si la fonction rj{x) n'est jamais négative dans V intervalle {a, 6), une intégrale ne peut passer d'une valeur positive à une valeur négative lorsque x croît (le a à 6. Les conclusions seraient renven

Considérons, on second lieu, une équation de Riccati

488 CHAPITRE XXXIH. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

dont les coefficients sont continus dans Tintervalle («, b). Toute intégrale u{x), continue dans cet intervalle, satisfait aussi à une équation linéaire de la forme (i) dont les coefficients auraient pour valeurs p = Pu-i~Q, q = R. Par suite, si R n'est jamais négatif dans l'intervalle (a, h), une intégrale continue dans cet intervalle ne peut passer d'une valeur positive; à une valeur néga- tive lorsque x croît de a à h.

Phis gciiéralement, soit > (^) une intéi^ialc, conlinue dans rinter\alle {o, h), d'une équation de la forme

''^T r. / 1./

les tunclioiis P(.//. > ) el K(./:) t-tanl continue?, ol ii{x) n'étant janiais négatif entre a et b. Celle intégrale ne peut paî^^er d'une \al<Hir positi\e à une valenr riégaii\e lorsque /■ croît de a à 0.

Prenons maintenant une équation linéaire du second ordre

(4) j"-4- P(:>-)j '-+- Q(x)y = o,

dont les coeftîcients sont continus entre a el b. Ou a déjà établi (II, note de la page 4'^5) que deux racines consécutives d'une inté- grale quelconque y, (j;) comprennent une racine et une seule de toute autre intégrale y-ii^)- L'ne intégrale ri (^) est complète- ment déterminée, à un facteur constant près, si l'on connaît une racine Xq de cette intégrale, car on peut disposer du facteur C de façon que la dérivée Cy\ (x) prenne une valeur donnée quelconque pour X :^- ar,,. Il s'ensuit que les racines d'une intégrale sont déter- minées si l'on connaît l'une d'elles, el il résulte du théorème de Sturm que nous venons de rappeler que toutes ces racines varient dans le même sens, si l'on fait varier l'une d'elles.

S/' l'on a 0(x)<o dans Vintervalle (a, b). une intégraie ne peut avoir plus d^une racine dans cet intervalle. Supposons, en efTel, que :r„ et Xi soient deux racines consécutives d'une intégrale y{x)^ comprises entre a et b. La dérivée logarith- mique u :=■ ■-- de cette intégrale serait continue de a „ -r î à .r, — i'.

et elle devrait passer de -h oo à — X) lorsque x croît de ^o-r>^ à a \, -f- s'. Or, ceci est impossible, puisque u satisfait à une équa- tion de Iliccati de la forme (3) dans laquelle le terme tout connu

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 489

esl précisément — Qi^) (n" 402). Si^ >o pour x = a, on voit de plus que l'intégrale ne peut avoix' de racine entre a et b.

Lorsque Q(^) a un signe quelconque, on peut avoir des ren- seignements sur le nombre des racines d'une intégrale, comprises entre a et 6, au moyen d'un autre théorème de comparaison, dû aussi à Sturm. Pour énoncer ce théorème, nous supposerons que l'équation linéaire a été mise sous la forme canonique suivante

k et ^ étant des fonctions continues, dont la première k peut être supposée positive. Pour ramener l'équation (4) à cette forme, il

suffit de multiplier tous les termes par le facteur positif e*^ Cela posé, considérons une seconde équation de même forme

de (5) entre « et b;si l'on a constamment k^<k, gi^g^ entre Xv, et x^, toute intégrale z{x) de V équation (6) a au moins une racine comprise entre a;,, et X\.

11 suffît évidemment de prouver qu'il ne peut y avoir d'inté- grale z{x) de l'équation (6) restant positive de Xq à ^i , y compris ces limites. Admettons pour un moment l'exisiance d'une telle intégrale, et posons

/. dv Al dz

10 =: — —- , i,iy = — — — , U = M — COi ;

y ax z dx

celle fonction u serait conlinue de a7o+£ à X\ — î', et passerait de H- 00 à — 00, car w< reste finie pour xz==.x^s (i\. x-=^Xx. Or on a

du dM d«U 1 , 1 ,

ce qu'on peut écrire encore

du I l 1 1 / , 1(1 I / / , o X

C'est une équation linéaire eu m, dont les coefficients sont con-

490 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

tinus dans l'intervalle {xo-+- s, X\ -- s') et où le terme ^îout connu est positif dans cet intervalle. Elle no peut donc, d'après la pro- priété établie au début de ce paragraphe, admettre d'intégrale passant de -{- oo à — oo lorsque x croît de Xo-h s À x^ — s'. Toute intégrale de l'équation (6) a donc au moins une racine entre x,,

Applications. — i" Considérons l'équation

qui ne diffère de l'équation de Bessel (II, n" 414) que par le chan- gement de a? en — x. Si l'on fait varier x d'une valeur positive l à une valeur quelconque supérieure à /, le coefficient x^~' est

(') On peut cteudre la proposition aux intégrales z{x) de l'équation (6) qui admettent la racine x^. Soit, en effet, z(x) une intégrale telle que z(ar|,) = o; nous allons montrer que cette intégrale admet au moins une autre racine entre x^ et a:,. Clioisissons, en effet, un nombre c, compris entre x^ et x^ et assez voisin de Xg pour que les deux rapports

/cy (x) (o ^\z'(x) to^

soient continus et positifs de a?, à c. En posant i> := X — Çp on trouve, d'après les équations (5) et (6) elles-mêmes,

dv _ d^ <iÇ, _ j I ^, y.

dx~dx~di"k~k, "^S'-— ^i-I ou

dv T I I I

le terme indépendant de v dans !e second membre est négatif ou nul entre x„ et c, et l'on a v{x^) — o. Il s'ensuit que v{c) est négatif et par suit-j

<o{c) — Wi(c) =: u(.c)

est positif. Cela étant, si l'intégrale z{x) ne s'annulait pas entre :r, et x^, ni pour la valeur 37,, la fonction u(,x) passerait d'une valeur positive à — «lorsque^ croît de ç à a:,, ce qu'on a démontré être impossible. Si l'on avait à la fois

on prouverait, de même, que «(c') — (o,(c') est négatif pour une valeur c com- prise entre x^ et a:, et très voisine de x^ et la différence w(a:) — (a^(x) passerait d'une valeur positive à unevaleur négative lorsque accroît de c à c' (voir M. Bôchkr, Transactions of the American Mathematical Society, 1902, p. 19^).

I. — APPLICATIONS AUX EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 491

supérieur à lx"~'- dans cet inlervalle. Par suite, deux racines quelconques supérieures à / d'une intégrale de l'équation auxi- liaire

^ Y = I) ou .r- \ "-H yu- Y'-4- /Y

comprennent au inoins une racine d'une intégrale de l'équation proposée. Or, si l'on prend 4^>(v — 0'' 1 «équation auxiliaire admet une intégrale de la forme x" sin | b logo; j qui admet pour

K-

zéros tous les nombres e '' , parmi lesquels il y en a une infinité de supérieurs à l. Toute intégrale de l'équation considérée admet donc une infinilé de racines pt>sitives.

■i" Supposons g' positif entre a et b, et soient ^ et L une liuiite inférieure et une limite supérieure de g-, l étant positif; soient de mémo m et M deux nombres positifs jouant le même rôle pour k. La comparaison de l'équation (5) avec les deux équa- tions auxiliaires

donne des renseignements sur le nombre et la disposition des racines d'une intégrale v(.c) comprises entre a et b.

D'une part, entre deux zéros consécutifs d'une intégrale Z(x), il \ a au moins une racine de y{jc)\ d'autre part, entre deux racines consécutives de ^1(07), il y a au moins une racine de Y{x). Or, les équations auxiliaires (7) et (8) sont des équations à coef- licients constants, et les zéros de Y (a?) et de T^{x) sont respecti- vement a -L- Krri .pi [5 -h K't:* /y > a et (3 étant des nombres quelconques. K et K' des entiers arbitraires. Il s'ensuit que la différence x, — x^ de deux racines consécutives de y{x) ne peut

être inférieure à ri/ y' ^^^ supérieure à -i/ y* En d'autres

termes, t.out intervalle de longueur ~a/-. > compris dans l'inter- valle ia, h), contient au moins une racine de j'{x), et un inter- valle de longueur 774/ — ne peut en contenir plus d'une. Si l'cqua-

492 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

tion f(j:) := o a n racines x», ^i. . . ., .Vn-i, comprises entre a et h, ces n racines déterminent, .ivec a cl b, n -\~ i intervalles

/M '— • On a donc

D'autre pari, les (n — i) intervalles compris entre deux racines consécutives sont supérieurs ù 7rl/y On a donc

///i , h — a /

I- 4/ ^ < /> - r/, ou // - I < — —- 4/

Si g est négatif entre a et 6, nous avons vu qu'une intégrale de l'équation (5) a au plus une racine dans cet intervalle. Si g change de signe entre a et 6, on a seulement une limite inférieure pour la diflérence de deux racines.

603. Nouveaux problèmes sur les équations linBaires. — On a vu plus haut (n" 531) comment la résolution du problème de Gauchj pour une équation difFérentielle linéaire conduisait à une équation intégrale de Vollerra. L'étude de certains problèmes aux limites, dans lesquels l'intégrale doit satisfaire à des conditions où figurent à la fois les deux limites d'un intervalle, conduit de même à des équations intégrales de Fredholm. Nous nous bornerons au cas d'une équation du second ordre. Les fonctions fondamentales pour ces équations de Fredholm comprennent, comme cas parti- culiers, un grand nombre de familles de fonctions orthogonales qui s'étaient déjà présentées dans diverses questions d'Analyse ou de Physique mathématique. La recherche de ces fonctions fonda- mentales se ramène en général, comme on Je verra un peu plus loin, au problème suivant. Étant donnée une équation linéaire du second ordre

où A est un paramétre, /. , /', g des fonctions de x dont la première est positive dans l'intervalle (a, 6), trouver les valeurs de X pour lesquelles il existe une intégrale rfr"), différente de zéro, continue

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 493

entre a et b, et satisfaisant à des conditions aux limites de la forme suivante

A, B, A|, Bi étant des constantes données. L'existence d'une infinité de valeurs de X, pour lesquelles il existe une intégrale satisfaisant à ces conditions, est une conséquence imiuédiate de la théorie des équations iulé^'-iales, dans les cas que nous traiterons. Les propriétés d'orlhoj(onalilé se démontrent très simplement en parlant de l'équation diderentielle elle-même. Soient, en efTet, Xi et Xo deux valeurs du paramétre X, à chacune desquelles corres- pond une intégrale de l'équation (9), satisfaisant aux conditions aux limites (10); ces deux intégrales y, (a?) et yj(^) vérifient aussi la relation suivante, qui se déduit des deux équations dilFéren-

■^- dx i '' dx ) ' '	'^•!'-^!-(^.-	U)ry,y,
-d^rV''^	-^m-^'-	->'2)^7i.r2
on tire

d'où 1'

Mais les conditions aux limites (10) que vérifient par hypothèse les deux fonctions j^i (a;) et yo (a:) prouvent que ra -7-^ — Y -j^ est nul pour ^ = a et pour x = b. On a donc, en supposant X, ^ Xo,

.6

[ ) f ^i-i') Ji ( •■^) JK2 (•«) ^^••^ = o.

On a aussi étudié des cas où la fonction k{x) est nulle pourjj;=z:« ou pour x=:b. Si Â'(a)==;o, la première condition aux limites doit être remplacée par la condition que l'intégrale reste finie pour x= a; il en est de même de la seconde condition aux limites si Ton a aussi k{b) = o.

604-. Déterminations d'une inté^ale par ses valeurs jk(«) «* J'(^)- — Nous allons étudier en détail le plus simple des problèmes dont

494 CHAPITRE XXXJII. — API lICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

il vient d'être question, la recherche d'une iniéfçrale prenant des valeurs données aux deux exlréniités d'un intervalle. On peut évi- demment supposer que ces valeurs sont nulles, car il suftit d'un changement bien facile d'inconnue pour être ramené à ce cas; c'est ce que nous ferons désormais. Considérons l'équalion

A(j;) et/(j;) étant continues dans l'ialervalle (a, b). Pour appli- quer la méthode des approximations successives à la résolution de ce nouveau problème, on est conduit, comme on l'a déjà observé à plusieurs reprises, à chercher un développement ordonné suivant les puissances entières de X, satisfaisant formellement à l'équa- tion (12), et dont chaque coeflicient est nul pour 2: = a el pour X = b,

(i3) y =ju(^)-f-Xj'i(a:) -h. . . -t- X" j„(;r) ^....

Le preniier terme j'o(-c) s'obtient en résolvant le problème pour l'équation simple obtenue en faisant X = o. Or, on sait que l'inté- grale générale de l'équation ^'^(x) =zf[x) est

y„{x) = i (x — s)/{s)ds-hCxX

C.>:

en déterminant d et Go de façon que y^t(a) = yo{b) = o, on trouve que l'intégrale cherchée a pour expression

yo{x)=J (x-s)f{,)ds--^^J iù-s)/is)ds, ce qu'on peut encore écrire

(i4) Y,{x)= j K{x,s)/{s)ds
en posant
,, , , (x — 6) (s — a) '"' |k(..») -'—/>(:-"> „„u,.	alx.

Cotte fonction K( ar, 5), qui va jouer un rôle essentiel dans la suite,

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 495

est évidemment continue et symétrique en x et s. Considérée

comme fonction de x^ c'est une intégrale de l'équation -j-r, = o,

dont la dérivée première est discontinue pour a; =i i; celte dérivée première augmente brtisquemenl de l'unité lorsque x pasSe de^ — £ à 5 + £, mais la dérivée seconde est continue. La courbe figurative se compose des deux côtés d'un triangle ayant pour sommets les trois points

^x =z a, y = o ). (.y == t;, » = o), \x — s, y = ' •

L " ù—a j

Tous les autres termes de la série (i3) se calculent aisément par voie de récurrence; d'une façon générale, y,i{x) est une inté- grale de l'équation

^=A(..b„..(..;

s'annulant pour :c = a, x —b. On a donc, d'après le calcul qui vient d'être fait.

./ku,.v).

ce sont précisément les calculs qu'il faudrait eliectuer pour résoudre par approximations successives l'équation de Fredholm

(i6^ r{j) = \j W(.r. s)\is)y(s)ds-i- \\(x. .t)/(s) ds:

ce qui s'explique aisément d'après la façon même dont on a intro- duit la fonction K(x, s). En effet, si l'intégrale y{x) de l'équa- tion (12) est nulle pour x := a et pour a? = 6, le calcul fait pour l'équation y" -=f{^x) prouve que y{x) doit satisfaire à l'équation intégrale (i6). La réciproque est d'ailleurs immédiate. En résumé, la recherche d^une intégrale de V équation (12) s^ annulant pour X -= a et pour x =. b revient à la résolution de V équation de Fredholm (16). On voit par là les différences essenlielles entre le problème de Gauchy et ce nouveau problème aux limites. Tandis que la méthode des approximations successives, appliquée au problème de Gauchy, conduit toujours à une série convergente, la série (i3) ne converge que si | "k | est assez petit. De plus, il existe, nous le verrons tout à l'heure, une infinité de valeurs de X pour

i<j() CHAPITRE XXXin. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

lesquelles le nouveau problonic n'est possible que si la fonc- tion y(.c) vérifie une condition subsidiaire.

Supposons d'abord que la valeur donnée du paramètre X ne soil pas une valeur singulière pour le noyau K(a7, .s) A(5); d'après la théorie gôuérale, l'équation (i6) admet une solution et une seule qu'on peut représenter par

(17) y{-'-) = / J\s)U(.i-, s; \)f/s.

H (a?, y; A) étant une fonction méroniorphe de X, qui n'est pas iden- tique à la résolvante, mais qui s'en déduirait aisément. D'ailleurs, en substituant l'expression (17) de y{x) dans la relation (16) cl en écrivant qu'on obtient une identité, on arrive à une équation fonctionnelle permettant de définir la fonction H(-r, s; 1)

(18) HU.s;l)=K(:i-,s)-^ll K{x, f) !^{t)l-i(f. s: l)r/f.

On voit que H(cc, s; 1) est la somme de deux termes dont le

711

second H, est continu, ainsi que sa dérivée -7-^5 dans l'inter- valle {a, b). D'après les propriétés de K(.r, .s), on a

la dérivée -.— présente donc la même discontinuité que la dérivée

de K(j;, .y) pour a^ = 5, et H est nul, quel que soit 5, pour x = a et pour x-~h. Ces propriétés suffisent à déterminer la fonc- tion H(a7, s\ X). Soient, en effet, r» (a^, X) et r2(x, X) deux inté- grales de l'équation

(.9) ;^=-;, A (.■)...

continues ainsi que y\K.x)^ j'-A^^) ^fms l'intervalle (a, b) et satis- faisant aux conditions de Gauchy, j-,(a)=o, y, (a)=i, j2(^) = o, Y^ih^-^^x. Toute intégrale de l'équation (19), qui est nulle pour 1 —a, et coulinue ainsi que sa dérivée dans l'intervalle (a, ^), est de la forme C,jK((a7, X) dans cet intervalle; de même, si elle est coalinue ainsi que sa dérivée dans l'intervalle (^, 6) et nulle pour X -h. elle est de la forme Cs^jf/', '^.^ dans cet intervalle.

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. (97

Pour que la fonction soit continue pour x = s^ el que sa dérivée présente la niêine discontinuité que la dérivée de K(x, s), il faut qu'on ail

( Cîjo {s, l) - Cl jKi {s, À) = o,

équations qui donnent, en général, des valeurs finies pour C\ etCo. Le cas où le déterminant y-iv\ — .Yty'-^ serait nul sera examiné tout à l'heure.

Si l'on sait intégrer l'éfiuation homogène (19), on peut donc former, sauf dans ce cas exceptionnel, la fonction ll{x, s;).) qui joue le même rôle dans ce problème <]ue la fonction <f{x, a) pour la résolution du problème de Cauchy (lî, no4:01). Il est facile de vérifier que la fonction y{x), repré- sentée par la formule (17), donne la solution du problème. En eiïet, cette formule peut s'écrire

r' r''

(17/ .v(,7;) =^j Wix, s) /(s) ds -^J H, (^, s ; X)f{s) ds,

la fonction Hi(a.-, s; À) étant continue ainsi que ses dérivées enlie a et b. On en déduit, en différentiant deux fois, et tenant compte de la pi-npriété caractéristique de K{x, s),

v"(^) =/(•/•) -^ / '-jf~f{s)ds=--J\x)-^\j X{x)\l{x,s-\)jls)ds

ou

.>-"(-^-) =./■(-'-■) + '-A (./■).)•.

605. Étude des valeurs singulières. — Si >. est une valeur sin- gulière pour le noyau K(j7, s)A.{s) l'équation intégrale homogène

'^{x)^\( K(.r, s)A(5)9(5)</.v

admet une solution différente de zéro, et par suite l'équation (19) a une intégrale ^{x) s'annulant aux deux limites a et />, ce (jui prouve qu'à une valeur singulière ne correspond qu'une fonction fondamentale distincte. Ces valeurs singulières sont en nombre infini. Nous prouverons d'abord que K(a:,.s) est un noyau défini. D'une part, ce noyau est fermé; si l'on a, en effet,

0(:r) — I K{x.s)o{s)ds — o,

• a

quel que soit x. on en déduit y{x) = v(^j = o- ^^ plus, toutes

/igS CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

les valeurs singulières de K(a7, s) sont négatives., car on oblienl ces valeurs singulières en cherchant les valeurs de X pour lesquellej' l'équation y = Xj^(a;) admet une intr^grale s'annulani en a et b.

Ces valeurs sont évidemment de la forme — \u_l ) ' ^ étant un

nombre entier, et les fonctions fondamentales sont

Il suit de là que le noyau K(a:, i") A(.y) appartient à la classe étudiée au n" 595; la résolvante admet donc une infinité de pôles, tous réels et simples, et à chacun d'eux correspond une seule fon Uion fondamenlale. Dans le cas particulier où la fonction k\x) a le même signe entre a et è, le noyau K(a7, s) k.{s') est un noyau de Schmidt, et les propriétés précédentes se démontrent encore plus simplement (n" 593). Si, par exemple, A(a;) est négatif, toutes les valeurs singulières sont positives. L'application de la méthode de Schwarz permet de déterminer de proche en proche les pôles de la résolvante et les fonctions fondamentales (^ ).

On peut former directement l'équation D(A) = o qui donne les valeurs singulières en partant de l'équation différentielle elle- même. Soit, en effet, y< (a?, X) l'intégrale de l'équation (19) qui satisfait aux conditions initiales j>^, (a, >.) = o, y\ (a, X) = i. Cette intégrale est une fonction entière du paramètre X, qu'on peut développer suivant les puissances du paramétre \ en calculant les coefficients par la méthode Ae?- approximations successives (II, n° 390). En écrivant que cette intégrale est nulle aussi poura;::= 6, on obtient une équation entière en >,, y< (6, X) = o, dont les racines sont précisément les valeurs singulières demandées. On peut remarquer que cette équation s'obtiendrait aussi en égalant à zéro

le déterminant j)^2('Si ^).y'i('*i ^) — Ti(^' ^).?'2('^' ^) ^^^ équa- tions (20); d'après la forme de l'équation (19) qui ne renferme pas de terme en y\ ce déterminant est indépendant de s (îï, n" 400) et identique à — y^ (6, V).

(') E. Picard, Traité d'Analyse^ t. III, Cliap. VI. Pour le cas où A(j?) a un signe quelconque, voir aussi la Thèse de M. Saniklevici (Annales de l'Érole Norma/e, 1909).

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 499

606. Refroidissement d^une barre hétérogène, — La mélhode que nous venons de suivre dans le cas siinpEe du numéro précé- dent s'élend sans difficulté à des équations du second ordre de l'orme plus générale avec des conditions aux limites un peu moins simples. Étant donnée une équation linéaire du second ordre

7' -H/? (a;) y -4- ! q{x) -^\ r{x)\y= f{x)

Où le coefficient de y est une fonction linéaire d'un paramétre X, supposons qu'on veuille développer suivant les puissances de X une intégrale satisfaisant à des conditions initiales de la forme (lo). Le premier terme du développement s'obtiendra en résolvant le problème pour l'équation

(•21) y"-^p{x)y-^q{x)y =f{x)\

l'application de la mélhode de la variation des constantes permet

de mettre cette intégrale sous la forme / K(.r, s) f{s)ds,

K(x^s) étant une fonction qui dépend à la fois des conditions aux limites imposées à l'intégrale et des coefficients p{x) et q{x). Cette fonction K(ar, s) étant déterminée, la résolution du problème proposé pour l'équation générale de la forme (21) est ramenée à la résolution de l'équation intégrale

(V.-2) r(^)-+-X f K(x,s)r{s)j{s)ds= f K{x, s)f(s) ds,

dont le noyau est — K(x, s) t'{s). Nous allons appliquer cette méthode au problème du refroidissement d'une barre hétérogène. Analjtiquement, le problème est le suivant : Trouver une inté- grale de V équation

<)x\

Ax I ^ ât

se réduisant pour /; = o à une fonction donnée Uo {x) {o<ix<i X), et satisfaisant, en outre ^ aux conditions aux limites

I \- hVj = n pour x = o,

-: h H u =0 i)Our r = \ ;

300 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

A et H sont des constantes positives, k{x)^ l{^)i Si^) ^^^ fonc- tions de X qui, d'après leur signification physique, sont essentiel- lement positives.

On commence par chercher des solutions simples de la forme

y. étant une constante et v une fonction de x satisfaisant aux con- ditions aux limites (aS). En remplaçant U par ve~'^'- dans l'équa- tion (22), on voit que v doit être une intégrale de l'équation linéaire

et l'on a tout d'abord à rechercher les valeurs de /. pour lesquelles l'équation (24) admet une intégrale non nulle satisfaisant aux con- ditions aux limites (28). Ces valeurs de X sont les racines d'une équation transcendante facile à former. Soit, en effet, \{x. X) l'intégrale de (24) satisfaisant aux conditions initiales

V(ar, À) = i, —-=. h pour :r = o ;

cette intégrale est une fonction entière du paramétre À et, en écri- vaut qu'on a aussi —. — \- HV = o pour a; = X, on a une équation entière en X, D(X)=:o, dont les racines sont précisément les valeurs du paramétre cherchées.

En s'appuyant sur les théorèmes d'oscillation de Sturm, on peut démontrer que celte équation a une infinité de racines réelles et distinctes (*). Nous allons montrer que ce» racines sont les valeurs singulières d'un noyau de Schmidt. Pour cela, nous allons tout d'abord résoudre le problème suivant : Trouver une intégrale de V équation linéaire

(=^> si *^ !-'-/(-)

satisfaisant aux conditions limites (23). Soient V\{x)^ ^-îi^) deux intégrales distinctes de l'équation sans second membre; la

(') Jordan, Cours d'Analyse, t. III. Les fonctions ainsi déterminées sont les fonctions de Sturm-Liouville {Journal de Liouville, t. I).

ds\

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 5oi

mélliode de Gaiichj (II, n** 401) donne aisément l'intégrale géné- rale de l'équation avec second membre

( 26:» c- {X) =-. C, r., (x) -t- Ci »•■., {x) + f j t-, {s) V.. {x) - V, (s) i>, (x) i /( O nous supposons, pour simplitler, qu'on a

A(o) = I. ri(o)=:I, (.-'j (o) = O, ^2(0) — O. tj'2(o) = l.

En écrivant que la fonction ^'(5?) satisfait aux deux conditions (28), on trouve pour valeurs des constantes Ci et C2

on posant

A = t-'i ( X ) + H (.'i ( X ); B = (''2 (X) + H f, (X).

L'intégrale cherchée a donc pour expression

en posant

K(j;, 5) = j-— [ A ^■5(5) — B t-, {s) \ pour x h^s.

I\(.7-, A-)= y-7-^ — [A ^..(a:) — B ri(:ï)l pour s^j;.

Le calcul suppose toutefois que A + AB n'est pas nul; s'il en l'îlail ainsi, l'intégrale p = Vf Çr) -+■ Iw^ix) de l'équation homogène satisferait aux conditions aux limites (23). Or, le rapport — est positif pour a; = o, et le coefficient — / de i^ est négatif par hypo- thèse; ce rapport ne peut donc passer d'une valeur positive h à une valeur négative — H lorsque x croît de o à X (n" 602).

Toute intégrale de l'équation (24), satisfaisant aux conditions aux limites (28), e^t donc solution de l'équation intégrale homo- gène

(28) y{x)-^A / i\ix. s) îf{s) y{s) cis = o,

•- 0

obtenue en remplaçant /(:c) par — 't.g{x)y{x) dans les équa-

r>02 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTÉGRALES.

lions (aS) et (27), et réciproquement. Le noyau K(a?, s) est encore fermé, car s'il existait une fonction continue 9(J7.) telle que

I

X

K(x, s)Q{s)ds

fût nul quelque soitvC, l'équation (26) où l'on aurait remplacé /(ar) par f{x) admettrait l'inlégrale particulière v := o. et, par suite, 9(3;) serait nul. Comme ^(a?) est. positif, le noyau K(:r, s) ^{s) est un noyau de Schmidl, et il existe une intinité de valeurs singulières, toutes réelles, qui sont des pôles simples de la résolvante. A chacune de ces valeurs singulières correspond une seule fonction fonda- mentale, car deux intégrales de l'équation (24)» satisfaisant à la première des conditions aux limites (aS), ne peuvent différer que par un facteur constant.

Pour la même raison que tout à l'heure, aucune de ces valeurs singulières ne peut être négative. Soient X,, Xg, . . ., X,-, . . . ces valeurs singulières, rangées par ordre ,de grandeur croissante, 9i(.2:), 92(37), ... les fonctions fondamentales cor-respondanles. Si la fonction Uo(a;) peut être représentée par une série unifor- mément convergente de la forme

(29) Uo(ar) = ai <Si{x) -+■ a, ^i(x) -h. . .-h a„ <Çn{x) -(-...,

les coefficients a< , «2» • • • étant constants, la fonction

(30) U(a:, t) = a, e~'i' z,i(x) ■+■ aj e-V<pj(a;) ■+■...

satisfait à toutes les conditions du problème. Nous laisserons de côté l'examen des conditions suffisantes pour qu'une fonction Uo(j?) soit développable en une série uniformément convergente de la forme (29).

607. Examen d'tm cas singulier. — Il peut se faire qu'en appli- quant la méthode des approximations successives, on soit arrêté dès le début par cette circonstance que la première équation à résoudre n'admet pas d'intégrale satisfaisant aux condilions aux limites données. Soit, par exemple, à trouver une intégrale de l'équation linéaire

(3i) y=\{x)r-^fix)

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 5o3

telle que y (a) = r'(^) = o. Pour appliquer la méthode habituelle, il faut d'abord chercher une inlégraîe de l'équation 7" = /(j7) satis- faisant à ces conditions; or, une telle intégrale n'existe que si la fonction /(j?) satisfait à la relation

(3?.) f f{x)dx = 0

et, dans ce cas, il existe une infinité d'intégrales répondant à la question, qui sont comprises dans la formule

(33) y{x) = f K{x, s)J\s)ds -+■ C.

G étant une constante arbitraire, et le noyau K(a7, s) étant égal ai X — s pour 5 < J7, et à zéro pour s^x.

Lorsque la fonction /(ar) ne vérifie pas la condition (oa), on ne peut donc appliquer la méthode habituelle d'approximations à l'équation (3i). Pour tourner îa difficulté, un nouvel artifice est nécessaire. Toute intégrale de l'équation (Si), telle que

y\n) = Y'{b) = o. satisfait aussi à la condition

r' r''

(34) àJ X{x)y{x)<l.v^J fi

x) dx

qui est l'analogue de îa condition (Sa). De plus, celte intégrale est aussi une solution de l'équation intégrale

(35) y{x)^\Ç K{x, s)\(s)y(s)d.i-^ j^ W{x, s)/{s) ds -h C,

qui se déduit de (33) en remplaçant /(a:) par/(a;) H- \k{x)y{pc). Nous avons donc un système de deux équations (34) et (35) pour déterminer la fonction inconnue j)^ (a;) et la constante C. îl est pos- sible d'éliminer la constante G, car si l'on remplace, dans la condi- tion (34),jr(^) par son expression tirée de la formule (35), on obtient une relation

'j:^ f f Kix, $)Xix) \{s)y(s)dxds

-{--/. K (x, s) A ix)f(s) dx ds-^\C j A (x) dx -+- / f(x) dx = n,

OO, CHAPITRE XXXill. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTEGRALES.

d'où l'on lire la valeur de C pourvu que / \.[x) dx ne soit pas

nul. Bornons-nons à ce cas; en remplaçant C par l'expression ainsi obtenue dans la relation (35). on obtient pour déterminer y ('^) une équation de Fredholm

r(a-) — A / Ki(.r, 5) k{s)y{s) ds

(36) I , • J^ J\x)cU

-+- I K,(a;, .v) /(s) ds

. /* \(.r)dx

où Ion a posé

/ K{x, s) kix)d.r

K,(.7-, .v) = K(a.-, .V)- -^ -^ = KU, .v)-.|>(.v,.

I \{x)dx

Le nouveau noyau K(x, s) se déduit de K(j;, s) en retranchant une fonction de .v choisie de façon qu'on ail

/'

Ki(.T, s)k{x)dx = o.

Toute solution de l'équation intégrale (36) satisfait aux con- ditions voulues; d'une part, c'est une inlégrale de l'équalion (3i), car elle satisfait aussi à l'cqualton inlégrale (35). D'autre part, il suffit de refaire le calcul inverse du précédent pour voir que cette fonction satisfait aussi à la condition (34)- C'est donc ici celle équation intégrale ( 36) qui donnera la solution du problème. On s'explique aisément, d'après ce résultat, pourquoi la méthode des approximations successives n'est plus applicable en général; en

eli'el, si / f{x)dx n'est pas nul, l'intégrale cherchée i'(j;, Ai,

considérée comme fonction du paramètre À, admet, outre les pôles de la résolvante, le pôle À = o, provenant du terme loui connu dans l'équation intégrale.

Remarque. — Si /. est une valeur singulière du noyau Ki(.a', s)k{s). l'cquntion homogène ) "= XA(j:)t admet une intégrale non identiquenneni

I. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 5o5

nulle, dont la dérivée est nulle aux deux limites a et b. Ces valeurs sin- gulières sont aussi les valeurs singulières d'une infinité d'autres noyaux de même espèce. D'une façon générale, considérons une équation intégrale homogène

O:) o{x) = '/. i Ki{x, s) \(s)o{s)ds,

pour laquelle on a / Ki(.r, s) A(.r) d.c = o. On en déduit immédiatement

qu'on a / A (ic)ç(a:) f/.r = o |>our toute fonction fondamentale o{x) de ce novau, et i)ar suite y(^) satisfait aussi à la nouvelle équation

(38) ç(u-) - X r f K.(r, s) + X I A(.v) 9(.s-)^/.v,

quelle que soit la fonction X de la variable x. Toute fonction fondamen- tale pour le noyau Ki{x, s) A(.î) est aussi une fonction fondamentale pour le noyau \ Ki(x, s) -^-X\ A {s), correspondant à la même valeur singulière. Inversement, soit o{x) une solution de l'équation (38); elle vérifie aussi la relation

b b ^b

f A{x)ç{x)>/x ^\ A{s)o{s)dsx I \A{.i)dx.

On a donc

JA(a;)ç^^^) dx — o, à moins que le produit À / XA (.r) dx a' -Jn

ne soit égal à l'unité. Dans le premier cas, 9(wr) est aussi une solution de l'équation (37); la seconde hypothèse donne pour À une valeur déter- minée, à laquelle ne peuvent correspondre qu'un nombre fini de solutions distinctes de l'équation (3«).

608. Solutions périodiques. — Uu arlificc du même genrn permet de ramener à la résolution d'une équation de Fredholm la recherche des solutions périodiques d'une équation linéaire

(39) .v"(^) = XA(.r)jH-/(:r),

OÙ K{x) et /(^•) sont des fonctions périodiques de période w. Une intégrale de cette équation sera périodique si l'on a

j(w)=j>(o), j'(w)=j'(o). Considérons d'abord l'équation obtenue en supposant >. =; o; pour

5o6 CHAPITRE XXXIH. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

que celte équation admette une solution périodique, il faut évi- demment qu'on ail / f{x) dx = o, condition qui exprime que

•- 0

y'(ci)) =;j''(o) et, si cette condition est satisfaite, il existe une infinilé d'intégrales répondant à la question

•^0 '" • 'n

w — s)/(s)ds -t- (i,

G étant une constante arbitraire. On peut encore écrire celle inté- grale

.)■= / W(x, s)/is)ds-hC, J„

K(t, s) étant égal à - (x — w) pour s<Cx, cl à - {s — w) pour jc <C s.

Supposons maintenant que l'équation (Sg) admette une inté- grale périodique; cette intégrale vérifie les deux relations

y(x)= j K(x, s)[lA{s)y{s)-h/{s)\ds-+-C,

et l'élimination de G conduit, comme au numéro précédent, en

supposant que / A (ar) fi?a: n'est pas nul, à une équation intégralo

dont le noyau est de la forme K,(a7, s)A{s), où K^(x, s) ne dif- fère de K(a7, s) que par une fonction ^{s) de s choisie de telle façon

que / Ki{x, s)A{x)dx soit nul. Les remarques qui ont été

faites à propos de l'équation (36) s'appliquent aussi à cette équa- tion. En supposant/(x) = o, on oblient une équaîion intégrale ho- mogène dont les solutions sont les intégrales périodiques de Fôqua- tion y'=lA(x)y, les valeurs correspondantes de X étant les valeurs singulières du noyau. Ces valeurs singulières sont aussi les valeurs singulières d'un noyau de la forme

[K{x, 4-> — *(a- ) — *(*)] A(5),

^{s) étant défini comme on vient de le dire (n° 607, Remarque).

APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ÔO"

ÎI, - APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.

609. Problèmes relatifs aux fonctions harmoniques. — Une des premières et des plus belles applicjilions de la lh(^or!e de Fredholm concerne le problème de Dirichlel. Nous développerons les rai- sonnements pour le problème dans l'espace, en consid<^rant une surface fermée régulière 1, admettant un plan langent unique en chaque point, dont la position varie d'une manière continue avec îe point de contact. Conformément à une notation déjà expliquée, les symboles /(M), cj^(iVI), /(M, P), ... représentent des fonc- tions des coordonnées du point M ou des coordonnées des deux points M et P, variables sur la surface 2, et nous mettrons un seul signe / pour représenter une intégrale multiple, comme il n'y a aucune ambiguïté à craindre. Pour trouver une fonction harmo- nique dans le domaine D intérieur à 2 et se rédtiisant sur celte surface à une fonction conlinue donnée g-(M), la mélhode de Neumann consiste (n" 533) à représenter celle fonction harmo- nique par un potentiel de double couche dû à l'action d'une double couche étalée sur la surface 1. Si l'on prend pour inconnue la densité p([Vl) do celle couche, cette densilé doit satisfaire à l'équation intégrale (4o) •>::?(M)-+- f p(P)22i?,/^p=^(M),

r étant la distance des deux points M et P, 9 l'angle de la normale intérieure en P avec la direction PM; M et P sont deux points de la surface .2, dont l'un M est supposé fixe dans l'intégrale, tandis que le point P décrit !a surface 2. La résolution du problème de Dirichlel extérieur par la méthode de Neumann conduirait à une équation de même forme qui se déduirait de la première en chan- geant p(lVI) en — p(M)- Ces deux équations intégrales sont deux cas particuliers de l'équation de Fredholm.

(4i) p(M) = X r K(M, P)p(P)rf^PH-/(M), /(M)=-i-^o.(M),

J(2) 2 71

dont le noyau K(M, P)--=— ^^; pour X = 1 , on a le problème de Dirichlel intérieur, pour X ^= — i le problème extérieur. Pour

5o8 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

une valeur quelconque de À, l'équalion (4i) donnerait la solution du problème suivant : Trouver la densité p d'une double couche étalée sur i telle que le potentiel de double couche correspon- dant W vérifie^ en chaque point M de 2, la relation

(42;^ W.(M) - W,(M) + X[W,-(M) -H We(M)] = 4-/(M):

Wi(M) et We(M) sont les limites vers lesquelles tend la valeur du potentiel W(M'), lorsque le point M' tend vers le point M on restante l'intérieur ou à l'extérieur de i(n" 527). Le noyau K(M, P)

devient infini comme -» lorsque les deux points Al et P coïncideuL

mais on a remarqué qu'il suffisait de deux itérations pour en déduire un noyau borné (n" 563). On peut donc appliquer ù l'équation (41 ) la théorie de Fredholm.

L'équation intégrale associée s'obtient en échangeant le rôle des deux points M et P dans le noyau: nous l'écrirons

(43)

p..M) = ). f Iv(P, M)p(P)r/crp + /(M;

K(P. M) étant égal à — *" _' ^ ? où 6 désigne l'angle de la normale

intérieure en M avec la direction MP. Cette seconde équation se présente dans un problème important relatif au potentiel de simple couche. Soit \ le potentiel dû à l'action d'une couche simple de densité p étalée sur 1\ en tout point de i, les dérivées normales (') de ce potentiel vérifient les relations (n" 538 ")

(44) ^-4^=4..^(M).

^ diXe dni

(45) '^^'Jl^,f'^,

dn,. dni .//v-, /-

(Fi'/ri

Si la densité p(-M) est une solution de l'équation (43), les déri- vées normales du potentiel correspondant V vérifient donc îa rela-

,. . . j. . d\ r/V ,. j d\ d\' j .

(') >ous écrirons désormais -7— et -7 — au heu de -7— ^ et —r-^y mais on doit se dn^ dii^ dn^ an.; •

rappeler que ces dérivées sont toujours prises suivant la direction de la normale

intérieure. Nous désignerons les densités par p, Oj, r,.,, ....

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^09

lion, analogue à l'équation (42),

(46) ^(,_hX,= ^(,-),)*4=/(M),

et réciproquement. La résolution de l'équation intégrale (4^) don- nerait donc la solution du problème suivant : Trouver la densité d'une simple couche étalée sur 2, telle que les dérivées nor- males du potentiel correspondant en chaque point de 1 véri- fient la relation (46). Les valeurs /. = i, >. == — i du paramétre

correspondent au cas ou 1 on se donne — — ou -t-j c est-a-dire au

problème de Neumann extérieur ou au problème de Neumann intérieur (n" 024). On voit par là que les deux problèmes de Dirichlet et de Neumann pour une même surface se ramènent à deux équations intégrales associées, le problème intérieur de Dirichlet correspondant au problème extérieur de Neumann, et réciproquement.

Rappelons d'abord quelques propriétés du potentiel de simple couche. Soient Y ^ et V2 deux potentiels dus à l'action de deux couches simples de densités p4 et pa étendues sur 2; \\ et Va sont deux fonctions harmoniques dans le domaine D intérieur à 2 dont les dérivées normales ont des valeurs finies sur 2; et, par suite, vérifient la relation générale (n" 528)

,4(v,--V-),. = o. chacun de ces potentiels vérifie aussi la relation

D'autre part, \\ et Vo sont nuls, a l'iniini comme -^j et leurs

dérivées partielles sont de l'ordre de ^^ (n° 326), R étant la dis-

V, -j— d<T,

étendues à la surface d'une sphère de centre O, dont le rajon aug- mente indéfiniment, tendent donc vers zéro. Si Ton applique les formules générales (11) et (i3) du n° 528 aux deux potentiels V..

5lO CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

et V2 dans le domaine liinité par 2 et la surface d'une sphère de centre O dont on fait croître le rayon indéfiniment, on voit que ces deux, potentiels vérifient aussi la relation

(47)' f (Vi^-Vs^)rf3' = o,

et, de plus, chacun de c^i potentiels satisfait à l'équation

D' étant la portion indéfinie de l'espace extérieur à 2.

Si -j— est nul en tout point de X, la formule (48)' prouve que V

dS fJS à\' est constant dans D', puisque -3-5 ^-j -,- doivent être nuls en ^ T àx dy àz

chaque point de D'. Comme V est nul à l'infini, il est nul dans tout ce domaine et par suite sur i. Etant nul sur i, il est nul aussi à l'intérieur, puisqu'il est harmonique dans D. La densité corres- pondante sera nulle aussi, d'après la relation {44)- Au contraire,

. d\ si -j- est nul en tout point de 1, la formule (48) montre bien que V

est constant dans D et par suite sur 2; mais il n'est pas constant dans D' à moins d'être identiquement nul. En dehors des deux

r dv

cas précédents, l'intégrale / Y-r-da est négative, et l'inté-

r dw . . "

grale / \ -r— dtj est positive. Celle dernière intégrale ne peut

être nulle que si V et, par suite, la densité p sont identiquement nuls. De ces propriétés du potentiel, on peut déduire aisément les propriétés de la résolvante (') des équations (4i) et (43).

i" Tous les pôles de la résolvante sont réels. Supposons, en effet, qu'il y ait un pôle complexe Xo = a -f- « |3 ; l'équation homo- gène, obtenue en remplaçant >. par 1^ et /(M) par zéro dans l'équation (4^), admettrait une solution p, (M) + «p2(M) et la fonction harmonique complexe Vi-f-tV.», où V, et Vo sont les potentiels dus à l'action des deux couches simples de densité p.

(') .!. l'i.EMEU, Monatshefte fiii Math, itnd Physik., t. XV et XVIII.

H. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 5ll

et p2, vérifierait la relation

■ i —

:)

dne drii i-¥~ko\d/ii dn

En multipliant les deux membres de cette égalit(^. par V^ — f Va et iat(^grant sur la surface X, il reste, en tenant compte des for- mules (47) et (47)',

La première intégrale double ne peut être nulle, on vient de le voir, que si V^, Vo, et par suite p^ et p^, sont identiquement nuls. Le rapport '~ '° doit donc être réel, ce qui exige qu'on ait j3 = o.

1-1- An

2° Tous ces pôles sont simples. Supposons, en elFet, que À soit un pc'e multiple. Il existerait alors (n"' 578-380) deux fonc- tions Pi (M) et p2(M), difTcrentes de zéro, et satisfaisant aux relations

ii(M) = À f KrP, M)pi(P)(/C,.,

?i(M)-i-p,(M) = X f K(P, M)p2(P)t^3r.:

les potentiels correspondants V, et V^ vérifieraient aussi les rela- tions

d\j^_dV^ . (dW^ </Vt\ ^ dfic drii " \dne dnij '

dne drii d'^c drii \dnc dnij

Multiplions la première de ces relations par Va, la seconde par — Vi, ajoutons et intégrons le long de 1; il reste, d'après les formules (47) et (4;)'»

Or, une telle relation exige que les deux intégrales soient nulles, puisqu'elles sont de signes contraires, et la première ne peut être nulle que si l'on a p, = o.

3" // n'y a aucun pôle compris entre - i et ■+■ i . Soit, en

5l2 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTEGRALES.

ofTet, p(M) une fonclion fondamentale correspondanl au pôle À, V le polenliel déduit de la couche de densité p. De la relation (46)» où l'on fait/(M) = o, on déduit en multipliaiit par V etintéîirant

'(V) «"y- 1 H- A J(v) drii

Une telle relation est impossible si 1 est compris entre — i et -+- i .

car le facteur - — r' est alors positif, et les deux intégrales sont de

signes contraires. Il faudrait donc que les deux intéofrales soient nulles, ce qui entraîne p(M) = o.

4" X = I n'&.st pas une valeur singulière. En elfet, si À = i était une valeur singulière, on aurait, d'après la formule précé-

r dv

dente, un potentiel de simple couche V pour lequel / \ -j— d(i serait nul et, par suite, p serait nul aussi.

5" 1 = — I est un pôle de la résolvante. En eifel, l'équation homogène obtenue en faisant A= — i,/(M) = o dans l'équa- tion (40' iidmet la solution p(M)=:i, d'après les propriétés de l'intégrale de Gauss (n" 527). L'équation homogène associée

(49) ^(M)= f Kl^)^"'-P

admct une solution non nulle p, pour laquelle le potentiel de simple

(IN couche correspondant V satisfait à la relation -7— — o, en tout ^ drii

point de 2. Ce potentiel est donc constant dans D, et la résolution

de l'équation (49) fait connaître la densité d'une couche électrique

étalée sur 2 et sans action sur un point intérieur. A ce pôle\-= — 1

ne correspond qu'une fonction fondamentale distincte pour

chacune des équations (4i) et (43), cor il est évident qu'une

masse donnée d'électricité placée sur un conducteur isolé ne peut

s'y distribuer que d'une seule façon. Il est d'ailleurs aisé de le

démontrer analjtiquement. Soient, en effet, pi, pa deux solutions

de l'équation (49) | il ^«^ur correspond deux potentiels V<, Va, dont

chacun est constant dans D. On peut donc trouver deux constantes

non nulles «j , oco , telles que a , V , + «3 Vo soit nul dans D ; , or, ce

potentiel est dû à l'action d'une couche de densité «ipi + y-jo-,. On

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATION? AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ") 1 li

a donc aussi a, p, -f- «op-j^ o, et deux solutions p, po ik- sont pas distinctes.

Aux valeurs singulières dont la valeur absolue dépasse l'unité, peuvent correspondre plusieurs fonctions fondamentales distinctes. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour une sphère. Le noyau K (M,P) est alors égal à — - — ■> en prenant pour unité le rayon de la sphère. Ce noyau est symétrique et nous avons déterminé les valeurs sin- gulières et les fonctions fondamentales au n" 332. Les valeurs singulières sont les nombres impairs négatifs — (amH- i ), et à la valeur — (am 4- i ) correspondent les am + i fonctions de Laplace distinctes Y„i(6, <]/)(').

Le problème de Dirichlet intérieur et le problème de Neumanu extérieur qui correspondent à la valeur non singulière ). =; i admettent toujours une solution unique qui est donnée par la mé- thode de Fredholm, Au contraire, les deux équations (4 i) et (43), où l'on fait A = — i, n'admettent de solutions que si /(M) satisfait à une condition subsidiaire qu'on obtient en écrivant que cette fonction est orthogonale à la fonction fondamentale de l'équation homogène associée correspondant à la valeur — i de X. Prenons, par exemple, le problème de Neumann intérieur; pour qu'il existe un potentiel de simple couche satisfaisant à la relation -7— =:/(M) en tous les points de 2, la fonction /(M) doit être orthogonale à la fonction fondamentale correspondante p = i de l'équation (4i ), c'est-à-dire vérifier la relation

(5o) f /(M )./-,,=

Cette condition s'explique aisément, car elle est une consé- quence de la relation générale (12) du n" 528 qui s'applique à toute fonction harmonique dans D, dont les dérivées restent finies sur 2. Si la condition (5o) est vérifiée, le problème de Neumann admet une infinité de solutions, qui ne difièrenl que par une con- stante arbitraire; on les obtient encore p..r la résolution d'une équation de Fredholm homogène.

(') Dans le cas général, les solutions des équations (^i) et (43) s'expriment en séries de fonctions fondamentales, pomme pour un noyau symétrique (Poincari', Arta inatheniatica, t. XX, 180-).

5l4 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTEGRALES.

De même, pour que l'équation (4i) où A= — i admette une solution, il faut que la fonction d()nm^e/(M) soit orthogonale à la fonction pi (M) qui représente la densité d'une simple couche étalée sur ^ et sans action sur un point intérieur. Cependant, nous savons a priori que le problème de Dirichlet extérieur admet une solution, puisqu'on peut le ramener au problème intérieur par la transformation de Lord Kelvin. On s'explique celte contradiction apparente, si l'on observe qu'une fonction harmonique nulle à l'infini ne peut pas toujours être représentée par un potentiel de double couche, puisque ce potentiel est nul à l'infini comme p^- Lorsque la condition de possibilité est réalisée, la densité p(M) n'est déterminée qu'à une constante prés; puisqu'on peut aug- menter p(M) d'une constante arbitraire sans changer la valeur du potentiel de double couche en un point extérieur.

610. Remarques diverses. — Méthode de Neumann. — M. Kello;ïg a fait observer que la inclhodc de Neumann pour résoudre le problème de Dirichlet dans le cas d'une surface convexe se rattachait aisément à la théorie générale de Fredholm. Dans celle mi-thode, on ('crit l'équation intégrale à résoudre (n" o33)

o^AI) = >.' Ç fp(.\r,_,(i')j^^,/-,.-4- -^L(.M)

7(v, - 1-/- .(-

et l'on développe p(.'VI) suivanl les puissances de À', puis l'on fait À = i dans la série oblenue. Pour justifier ce procédé, il suffit de montrer que la solution cherchée, considérée comme fonction de À', est holomorphe à l'intérieur d'un domaine renfeimanl le cercle À' | ^ i . Or, on peut écrire l'équation préci^dente

Loisque À' décril le cercle 1' de ia\oii i, de centre //=o, le para- mètre X= — ^7 d('crit un cercle T avani pour diamètre la portion de l'axe

nel limitée aux deux points d'abscisses À = i, ^ =— -• D'après les pro- priétés de la résolvante, la solution p(M), considérée comme fonction de X, est holomorphe dans un domaine renfermant ce cercle T. Considérée comme fonction de À', elle est donc aussi holomorphe dans un domaine renfermant je cercle Y et, par suite, son développement suivanl les puissances de À'

H. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 5l5

est convergent pour À'= i. La méthode de Neumann revient donc au fond à effectuer sur le paramètre, qui figure dans l'équation (40) ^^^ trans- formation homograpHique, et il est clair qu'on pourrait en imaginer une infinité d'autres remplissant le même but.

Mtthode de Robin. — Le pôle X =— i de la résolvante est le pôle de module minimum, et à ce pôle correspond une seule solution de l'équa- tion (49). Pour avoir cette solution, on peut donc employer la méthode générale d'itérations successives expliquée au n" 582. Soit Mo(M) une fonction continue quelconque sur 2 telle que / Mo(M)<^/ffM ne soit pas

nul, par exemple une fonction positive. Si l'on forme une suite indéfinie de fonctions tto(M), Mi(M), . . . définies par la loi de récurrence

on a vu que, lorstjuc n croît indéfiniment, a;j(M) a pour limite une solu- tion de l'équation (49)- C'est précisément la méthode employée par Robin pour résoudre le problème de la distribution de l'électricité sur un conduc- teur limité par une surface convexe.

Discussion du problème de Drichlet extérieur. — «Quelle que soit la fonction continue donnée /(M) sur 2, la fonction harmonique à l'exté- rieur de S, nulle à l'infini et prenant les valeurs données sur 2, peut s'exprimer par la somme d'un potentiel de simple couche et d'un potentiel de double couche. Supposons une masse d'électricité positive égale à un en (Mjuilibre sur la surface 2, et soit ai(M) la densité de la couche. On a

f pi(M)./3'M=I,

et le potentiel Vi, dû à l'action de cette couche, a une valeur constante différente de zéro Yi(M) en chaque point de 2 ; de plus, Vi est nul à l'infini et sa partie principale est — • Soit C ime constante telle qu'on ait

f p, ( M ) [/( M ) - CV, ( M ) ] d:in = o,

il existe alors un potentiel de double couche W tel (ju'en chaque point M de 2 on ait We(M) =/(M) — CVi (M), et la fonction harmonique

\N{x,r, z) + C\,{x,y, z) donne la solution du problème de Dirichlet extérieur. La partie principale à l'infini est -g : pour que cette fonction Se réduise à «n potentiel de double

couche, il suffit donc qu'on ait C = o, ou qu'elle soit nulle à l'infini

I comme -=d'

n-

5l6 CHAPITRE XXXIIl. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

611. Problème dans le plan. — La discussion que nous venons de faire des problèmes de Dirichlet et de Neumann dans l'espace peut être répétée sans modifications essentielles pour les problèmes du même nom dans le plan, la surface 2 étant rem])lacée par une courbe fermée C sans points

anguleux, le noyau K(M, P) = -i r étant la distance des deux

points M et P de G, 9 Tangle de PM avec la normale iatérieure en P; le

noyau de l'équation associée est de même ^j <\i étant Pangle de la

normale en M avec MP. Les démonstrations qui ont été développées au n" 609 reposent toutes en définitive sur les propriétés des potentiels de simple couche exprimées par les formules (47), (48), (47)' et (48)'. Les deux premières s'étendent immédiatement aux potentiels dans le plan, en remplaçant £ par C, et le domaine D de l'espace par le domaine plan intérieur à C. Mais il n'en est pas de "môme pour les formules (47)' et (48)'.

En effet, le potentiel de simple couche V= / p\og-ds est infini comme

Qlog p- en un point du cercle F de rayon très grand R ayant pour centre

un point fixe O du plan, où Q = / pds; la différence V — Qlog-j- est de

l'ordre de -ir- • La dérivée -j— prise suivant la normale intérieure au cercle F R an '^

est de la forme — — -h e, le terme £ étant de l'ordre de 77;» Soient Vj, V2

deux potentiels dus à l'action de deux couches simples de densité fi et p?

étalées sur G; on voit facilement que l'intégrale / (^i—y-^ — ^^ -7-^ ) «?*,

prise le long de F, tend vers zéro «lorsque R augmente indéfiniment, de sorte que la formule analogue à (47)' est encore applicable à deux poten-

XdV V -j- ds ne tend

vers zéro lorsque R augmente indéfiniment que lorsque Q = / p ds = o.

Dans ce cas seulement, on peut appliquer au potentiel logarithmique V la formule analogue à (48)', D' étant le domaine indéfini extérieur à C.

Cela posé, pour que les conclusions établies dans le cas de l'espace sub- sistent dans le cas du plan, il suffi i de prouver que la relation / ç, ds = o est vérifiée pour toute solution de l'équation homogène

(5i) p(M)^À f -£^p(P)^.,.

»^(C) ^^''

C'est certainement ce qui a lieu si la valeur singulière X est différente

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 5l7

de — i,car la fonction fondamentale p(M)doit être orthogonale à la solu- tion fondamentale p = i de l'équation homogène associée correspondant à la valeur X=— i. Toutes les conclusions qu'on a déduites des for- mules (47), (48), (47)', (48)' dans le cas de l'espace s'appliquent donc aux problèmes plans.

Toutefois, une étude spéciale est nécessaire pour la valeur singu- lière X= — I, à laquelle ne s'applique pas le raisonnement. Ce pôle ne peut être un pôle multiple: car on aurair alors deux potentiels Vi, V* vérifiant les relations

fine drii drii dn,i

dn,. drii ''"'■ '^If'i '^"•' ^"i

dV, , -r— ds = o, dni

On tire de la seconde / —j-^ds = o; comme on a aussi / J(C) ^'''' ^(C

on en déduirait encore / p o's = o, p étant la densité correspondante, et

le raisonnement s'achève comme plus haut.

A la valeur singulière — i ne correspond qu'une fonction fondamentale distincte. Soient, en effet, pi et ps deux solutions de l'équation (5i), Vi et Vo les potentiels correspondants qui sont constants dans D. Prenons deux

constantes non nulles «i, a; telles que / (aj, pi-(- a., pi) ds = o; le poten-

liel ctiVi-f-aîAî sera nul ii l'infini et constant dans D. Étant constant sur G et harmonique -dans le domaine extérieur D', il est aussi constant dans D'-et par suite nul dans tout le plan. On aura donc aussi «j pi-+-a2p2 = o. Les conclusions relatives aux équations intégrales sont donc les mêmes que dans le cas -de l'espace. Mais il y a lieu de faire quelques remarques sur l'interprétation. Le problème de Dirichlet intérieur admet encore une solution unique, qui peut être représentée par un potentiel de double couche. Au contraire, [la (solution du problème de [Dirichlet extérieur ne peut être fournie par un potentiel de double couche que si une condition subsidiaire est vérifiée, ce qui s'explique puisque ce potentiel est nul à l'infini ; mais on démontre aisément que toute fonction harmonique à l'extérieur de C est égale, à la somme d'une constante et d'un potentiel de double couche. Pour le -problème de Neumann intérieur, la méthode de Fredholm ne donne une solution que si la fonction /(M) donnée, qui est

égale à— — sur le contour, satisfait à la relation / f{M)ds=^o, condi- dfl i J ç^

tien qui est inhérente au problème lui-même (n" 506). Il semble, au con- iraire, que le problème de Neumann extérieur admet toujours une solution

rfV

dn^

5l8 CHAPITRE XXXm. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

cette solution, «Uant représentée par un potentiel de simple couche, n'est pas en général régulière à l'infini. Soit p(M) la solution de l'éffuation

P(M)-- rp(P)S^./„.+ /-(M):

en multipliant les deux membres par dsyi, et intégrant le long de C, il vient

r p ( M ) ./*M = - r /' p ( 1' ) ^^ ihv ./.VM + Ç J\ M ) rhsy ,

«^(C) •''((:)«',(:) '•' •Ac)

ce qu'on peut éciire, en faisant d'abord varier le point M dans l'intégrale double,

2 f p{M)ffsyi= f/(M)dssi.

Poui- qoe le potentiel V, dû à l'action de la couche de densité p(M), soit régulier à l'infini, il faut donc et il suffit (ju'on ail / /(M)f/7M= o. C'est

la condition nécessaire et suffisante pour ipie le ])roblème de Neumann extérieur ait une solution.

612. Problème de la chaleur. — x\ux problèmes de Dirichlel el de Neumann il convient d'ajouter un autre problème, dit Pro- blème de la chaleur, où l'on cherche la température d'un corps en équilibre de température avec rayonnement. La température U en chaque point du corps est une fonction harmonique des coor- données de ce point, qui vérifie, en outre, la condition suivante : En tout point M de la surface limite 2, on a la relation

(52) ^_/i(M)U=/(M)

h et/ étant des fonctions continues données sur 2. Si Ton cherche encore à représenter cette fonction harmonique par un potentiel dû à une simple couche étalée sur i, la densité p(M) de celle couche doit satisfaire à l'équation inlégrale

(53) P(M) = X Ç .(P) [2^ _ ^ ,/.._ /ffl

où l'on prend / = i. Laissant de côté l'étude générale de celte équation de Frcdholm, nous montrer(»ns seulement que ). = i

M. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 5l9

n'est pas une valeur singulière dans le cas où A (M) est positif, condition qui est remplie pour le problème du rayonnement, et que nous supposerons satisfaite dans la suite. Supposons, en etlet, que l'équation homogène obtenue en faisant À = i , /(M) ^=- u ait une solution p(M) difTérenlg de zéro. Le potentiel de simple couche correspondant V vérifierait la relation — =A(M)V on tout point de 2 et, par suite, on aurait

Or, la première intégrale ne peut être positive; l'égalité ne peut donc avoir lieu que si V est nul en tout point de i et, par suite, identiquement nul. On aurait donc p -= o.

613. Fonctions analogues à la fonction de Green. — Nous nous bornerons dans ce qui va suivre aux problèmes intérieurs (') et nous raisonnerons dans l'espace à trois dimensions avec une seule surface limite; l'extension aux problèmes plans n'offre dans ce cas aucune difficulté. Le problème de Dirichlet et le problème de la chaleur admettent une solution unique sans aucune condition, tandis que le problème de Neumann n'admet une solution que si la valeur donnée pour -7— sur la surface i satisfait à la condition

connue. On a déjà indiqué sommairement (n"^o24- et 53^) com- ment la résolution de ces difl'érents problèmes se ramenait à la détermination d'une fonction harmonique particulière, satisfaisant sur 1 à certaines conditions aux limites. Ces fonctions, qui jouent le même rôle que la fonction de Green pour le problème de Diri- chlet, s'obtiennent par la résolution d'équations intégrales par- ticulières. Soit d'une façon générale U(M) une fonction régulière dans le domaine D limité par une surface fermée 2, satisfaisant dans ce domaine à l'équation

(54) AU = F(./-, j-, r).

et avant une valeur finie ainsi que sa dérivée normale, le long de i. Soit, d'autre part, G (M; P) une fonction des coordonnées

(M Pour les problèmes extérieurs, voir Heyvood et Frkohet, Chap. III.

520 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

du point P, harmonique dans D, sauf au point M où elle devient infinie comme -• Nous supposons, en outre, que cette fonction et

sa dérivée normale -y— ont des valeurs finies sur 1. Ces conditions arii

étant supposées remplies, nous avons démontré (n° 334:) que la

valeur de L; iiu point M a pour expression

Nous supposerons tout d'abord ¥[x^y, z)^=o. On a la fonc- tion de Green proprement dite en choisissant G(M, P) de façon que G soit nulle en tout point P de i, et op l'obtient évidemment

en ajoutant à - = ^r^-g la fonction harmonique dans D qui prend les

mêmes valeurs que sur 1.

Pour le problème de la chaleur, on obtiendra la fonction G(M. P)

en ajoutant à - une fonction harmonique G, dans D satisfaisant en

tout point P de 2 à la condition

problème qui admet, on vient de le voir, une solution unique. Si la fonction harmonique cherchée U satisfait à la condition

^-A(P)U(P,=/(P)

eu tout point de i, on voit facilement que la relation (55) devient, en choisissant G (M, P) comme on vient de le dire,

(56, U(M)=-^ f G(M, P)/(P)rf-,-..

U(M)--^ f G(M, p;

Cet/e fonction G{M, P) esi'aussi une fonction symétrique des coordonnées des deux points M e^ P. Soit en effet D' le domaine limité par 1 et par deux sphères de rayons très petits, p, p' ayant pour centres deux points quelconques M, M' intérieurs à D. Les deux fonctions G(M, P), G(M', P) sont des fonctions harmo- niques des coordonnées du point P dans ce domaine. Ou peui

11. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 62 1

flonc leur appliquer la formule générale (i i) du n" 528. Or.

fin (In

est nul en tout point de i; lorsque les rayons p, p' tendent ver.s zéro, il vient donc à la limite G (M, M') = G(M', M) (n" 523).

Pour le problème intérieur de Neumann, on doit procéder un peu autrement. Soient AI un point quelconque intérieur à D. v la

distance MP ; on sait que / — - — c?(7 = 47r (n" 527). Soit, d'autre part, -p(P) une fonction continue quelconque sur i, telle que

Déterminons une fonction harmonique dans D et dont la dérivée

normale prend en chaque point de i la valeur ^'v^*) 1 — -' ce

qui est possible, puisque la condition (oo) est vérifiée. En ajou- tant - à cette fonction harmonique, ou obtient une fonction G (M, P) satisfaisant aux conditions suivantes : i" elle est harmonique dans D, sauf au point M où elle est infinie comme ; 2" en chaque

point de 1, on a -j- --•];(P). Cette fonction G(M, P) n'est pas complètement déterminée, puisqu'elle dépend d'une fonction con- tinue '-{>(P), uniquement assujettie à vérifier la relation

De plus, on peut lui ajouter une constante quelconque indépen- dante [de P, mais qui peut être une fonction arbitraire de M. Quand on change <!/(P), la fonction G (M, P) est augmentée d'une fonction harmonique des coordonnées du point P.

Chacune de ces fonctions peut jouer le rôle de la fonction de Green dans la résolution du problème de Neumann. Soit, en efiel,

IJ une fonction harmonique dans D dont la dérivée normale -1- est ï dn

égale à /VP) on tout point P de -; la fonction GfM, P) étant

522 CHAPITRE XXXni. — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTEGRALES.

délerminée comme il vient d'être dit, la formule générale (55) donne"

U(M)=--i- f G(M, P)/-(P)^/3',.-+-^ f •i(P)U(P),

11 y a dans le second membre un terme inconnu qui dépend de U sur la surface 2, mais ce terme est indépendant de M, et Ton sait que U(M) n'est déterminée qu'à une constante prés. La solution générale du problème de Neumann est donc

(57) U(M) = -7^ f G(M, P)/(P)rf3'p+G,

C étant une constante arbitraire ('). Remarquons que, quand on fait varier '4'(P)' U(M) est aussi augmentée d'une constante.

On obtient la fonction de Franz Neumann en prenant pour 4'(P) ^^ valeur constante -^ > S étant la surface de la fron- tière 2. Cette fonction G (M, P) n'étant déterminée qu'à une con- stante près, relativement au point P, on peut lui ajouter une constante C(M), ne dépendant que des coordonnées du point M, choisie de telle façon qu'on ait aussi

f G(M, P)</ô-|.= o.

La fonction ainsi obtenue est symétrique en M et P; il suffît, en effet, d'appliquer le raisonnement qui a été fait dans le cas du problème de la chaleur aux deux fonctions de F. Neumann, 0(^1, P), G(M', P), relatives à deux points quelconques de D, en observanl que, d'après la façon dont on les a déterminées, on a encore

domw) ,^ r ,,,,„ p,f/G(M, P) ,

r ) ; (Ij I

//^) tt/t .u^-\ an

7(s) dn J^^

et par suite, G(iM, M') = G(M', M). En ajoutant à la fonction G(M, 1')

C) Si, dans le problème de Diriclilet, on prenait de même pourG(M, P) une fonction liarmonique dans D, sauf au point M où elle est infinie comme -> et prenant sur 2 une suite continue de valeurs quelconque, indépendante de M, la formule (.37) du n° 534 donnerait pour U(M) une valeur qui ne différerait que par une constante de la fonction cliercliée.

11. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 523

une somme U(M) + U(P), U étant une fonction harmonique dans D,on obtient une infinité de fonctions symétriques en M et P. qui peuvent remplacer la fonction de Franz Neuinann. M. Klein s'est servi pour le même objet d'une fonction ayant deux infinis dansD (').

Remarque. — Pour le problème de Neumann et le problème de la cha- leur, la fonction harmonique cherchée U et la fonction auxiliaire G(M, 1') sont représentées par des potentiels de simple couche; les dérivées nor- males -r- 1 -T- ont donc des valeurs finies sur la frontière S, et la formule

an an générale de Green est applicable au domaine D, Mais il n'en est plus de même pour le problème de Dirichlet, où U et G sont des potentiels de double couche. Or, le raisonnement qui précède suppose essentiellement l'existence des dérivées normales sur S. O» arrive encore à la formule (87; du n" o34 par une méthode où cette hypothèse n'est pas nécessaire. Il résulte, en effet, de la méthode même de Fredholm, que la solution du pro- blème de Dirichlet est donnée par une expression de la forme

^58) U(M)=-!- f U(r')R(M, P)^/^r,

L(P) étant la \aleur donnée de la fonction harmonique cherchée en un point P de 2 et R(1V1, P) une fonction indépendante de li(P) et qui joue le rôle de résolvante. Si, en particulier, on suppose U(P) = i sur S, on a aussi U(M) = 1 et, par suite, la fonction R(M, P) satisfait à la condition

•Al.)

On peut donc former une fonction ^(M, P) harmonique dans D, et telle qu'on ait, en tout point de S,

''^(f ^=n(M,P)-^.

dn V ' / ^„

/■ étant la distance du point variable P au point M intérieur à D, et la for- mule (58) peut encore s'écrire

(') Ueber die partielle Differentialgleichungen Aw-hK^'m^o und deren

Auftreten in der matliematisckeii Physik, Leipzig, 1891. Pour l'étude du pro-

l)lème de Neumann dans le cas de la sphère, voir J. HAnAMAnn, Leçons sur la propagation des ondes, Chap. I.

524 CHAPITRE XXXin — APPLICATIONS DES EQUATIONS INTÉGRALES.

Celte formule s'applique, en particulier, à toute fonction harmonique U pour laquelle —j- a une valeur finie sur 2. En transformant la formule pré- cédente au moyen des relations erénérales (ii) et (i4) du n^ 328, on en déduit que la condition

X

,^i^.(M,P)|*.

doit être une cunsequence de la lelatiou / -=- d<jv = u, ce qui exi^e

que - -4- ^(M, P) se réduise sur X à une constante (i), qu'on peut supposer nulle puisque ,£'(M, P) n'est déterminée qu'à une constante près. La fonc- tion - -(- ^(M, P) satisfait donc aux conditions qui déterminent la fonc- tion de Green. On voit par là que celte fonction se rattache très naturel- lement à la méthode même de Fredholm.

614r. Problèmes relatifs à l'équation AU = F(2:, y, z). — Con- sidérons maintenant le cas où le second membre Yl^x^y, z) de Téquation (54) n'est pas nul. >fous supposerons que cette fonction est continue et admet des dérivées du premier ordre continues dans le domaine D : on a vu plus haut (n°* 535 et 536) comment la théorie du potentiel permet d'obtenir une intégrale {]i{x, y, z), qui esl continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans tout l'espace. En posant U = U, H- V, la nouvelle inconnue Y^x^y, z) esl une fonction harmonique dans D, qui satisfait le long de 2 à l'un des trois types de conditions que nous venons d'examiner.

Si l'on se donne, sur i, U(P) =/(P), ou ^ — /i(P)U (P) =/(P), il n'y a aucune condition de possibilité pour le problème. Il admet toujours une solution unique qu'on peut déduire de la formule

(') Dune façon générale, si la condition / \ f di = o est une conséquence

de / f di - o, il en sera de même de / (V — C) / dv = o, quelle que soit la

constante C. Si l'on a choisi G de façon que / ( V — G) ds ~o, on pourra prendre /= Y — G et, par suite, il faudra qu'on ait"

f{\—Cr-d- = a et V=:C.

II. — APPLICATlOiNS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 52f>

générale (55) en y remplaçant G(M, P) par la fonction de Green correspondanle.

Dans le premier cas, la fonction U(IVI) est donnée par la formule

<6o) U(M)=-^ f f{V)~d:lv-^ f G{M,P)FiP)di>p:

4~J(x;)' dn ^~ Jih.

pour le problème de la chaleur, on a

(6i) U(M)---i- f G(M, P)/(P)f/3'p--î- r G{M, P)F(P)^M..

Reste le problème de Neumann intérieur. Pour que l'équalion(54) admette une intégrale régulière dans le domaine D, satisfaisant à

la condition -j— =f(^P) sur 2, il faut, d'après la formule générale

de Green (n" 528) où l'on prend 9 = i, ij; =- U, qu'on ait

(62) f J\V)(hv^ f ¥{V)dvv=<>.

Cette condition est suffisante, car si Ton pose U = U)+ V, la nouvelle fonction inconnue V doit être harmonique dans D, et

satisfaire en chaque point de ^ à la relation -j- =y(P) — —y^; le

nouveau problème admet une infinité de solutions dépendant d'une constante arbitraire, puisqu'on a, d'après la relation précédente,

Toutes ces solutions peuvent encore se déduire directement de la relation générale (55), et sont comprises dans la formule

(63) U(M) = C--^ f G(M,P)/(P)f/^P- --- rG(M, P)F

(P) di>v

C étant une constante arbitraire, G (M, P) la fonction de Franz Neumann ou toute autre fonction pouvant jouer le même rôle.

Tous ces problèmes peuvent être traités de la même façon dans le plan, moyennant quelques changements bien faciles dans les formules.

6I0. Problèmes relatifs à l'équation AU = XRU-hK). — La

r'i26 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

résolulion des mêmes problèmes aux limites pour l'équation

(64) à.\J = lR{x,y, z)V -hK,{x,y, z)

conduit à de nouvelles équations intégrales, dont le noyau s'exprime au moyen de la fonction de Green et des fonctions qui jouent le même rôle. Nous nous bornerons encore aux problèmes inté- rieurs et nous raisonnerons en supposant qu'il s'agit de domaines à trois dimensions; il n'y a aucune difficulté à passer de l'espace au plan. Les domaines dont il s'agit sont supposés limités par des surfaces fermées 2 telles qu'il existe une fonction de Green, ou une fonction G(M, P) jouant le même rôle, pour le problème cor- respondant, mais il n'est pas indispensable de supposer que 2 admet un plan tangent unique en chaque point. Enfin, on sup- pose que les fonctions R et Ri sont continues et admettent des dérivées partielles continues du premier ordre dans les domaines en question.

i" Problème de Dirichlet. — Soit à trouver une intégrale dt^ l'équation (64), régulière dans un domaine D intérieur à une sur- face fermée 2, et prenant des valeurs données formant une suite continue /(M) sur la frontière 1. On ramène aisément le cas général au cas où /(M) = o; soit, en effet, U< (j;, y. z) une fonc- tion régulière dans (D) et prenant les valeurs données sur la fron- tière, par exemple la fonction harmonique.'En posant U = Ui -f- V, la nouvelle fonction inconnue V doit satisfaire à une équation de la même forme et s'annuler en tout point de la frontière 1>-.

Toute intégrale de l'équation (64), régulière dans le domaine D, et nulle sur la frontière, doit satisfaire (n° 534) à l'équation inlc- grale

(6:-.) U(M)=- ^ Ç C(M, P)R(P)U(P)r/p-,'

~-TZ f ^(-^"^I: P)K,(r)rfr,.,

dont le noyau est — 7^G(M, P)R(P), G (M) étant la fonction de Green relative au problème de Dirichlet intérieur. Ce noyau est infini comme - lorsque le point P vient coïncider avec le point M, mais on peut en déduire un noyau borné par un nombre

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 627

fini d'itérations (n" 563) et la théorie de Fredholm est applicable à cette équation.

Six n'est pas une valeur singulière du noyau, l'équation (65) admet bien une solution continue dans le domaine D, s'annulant sur 2. On ne peut pas en conclure immédiatement que cette fonc- tion U(M) est une intégrale de l'équation (94)- En effet, pour pouvoir remonter de l'équation (65) à l'équation (64), il faut être assuré que le second membre ?.RU-|-Ri est tel qu'on puisse appliquer la formule de Poisson (n"" 521 et 536). Il suffira donc de montrer que la solution U(M) de l'équation intégrale (65) admet des dérivées continues du premier ordre. Or, la fonc- tion U(P) étant continue, il résulte des propriétés de la fonction de Green que le second membre de la formule (65) est la somme d'un potentiel de volume et d'une intégrale de la forme

f G, (M, P)<A-,.,

la fonction Gi (M, P) ayant des dérivées continues par rapport aux coordonnées du point M. Ce second membre admet donc lui- même des dérivées continues du premier ordre et la solution U (M) de l'équation (65) est bien une intégrale de l'équation (64)-

Lorsque R est positif, le noyau — y— G(M, P)R(P) est un noyau

de Schmidt. Or, il est évident que le noyau symétrique G (M, P) a une infinité de valeurs caractéristiques, car, s'il n'en avait qu'un nombre fini, il serait de la forme Ii,(^i(M) cp,;(P), les fonctions c^i

étant continues (n" 587). Le noyau — — G(M, P)R(P) possède

donc lui-même une infinité de valeurs caractéristiques. Toutes ces valeurs caractéristiques sont négatives. En effet, à une valeur caractéristique Xi correspond une fonction fondamentale Ui(:r,j', z) qui est une intégrale de l'équation AU =^ X,R[J, régulière dans le domaine D et nulle sur 2. Or, il ne peut exister d'intégrale diffé- rente de zéro satisfaisant à ces deux conditions, lorque le pro- duit XjR est positif (t^OfV n" 520) (').

(') Lorsque R(jr, y, ^) n'a pas un signe constant dans D, le noyau G(M, P)R(P) est un noyau polaire, qui a aussi une infinité de valeurs caractéristiques (n* 595); voir la Thèse déjà citée de M. Sanielevici.

528 CHAPITRE XXXill. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

2" Problème de la chaleur. — Soit à trouver une intégrale de l'équation (64), régulière dans le domaine D, et telle qu'on ait

^-A(M)U=/(M\

en chaque point de i, h elf étant des fonctions données suri. On peut encore ramener le cas général au cas particulier où/( M) = 0, en posant U ^= Ui -h V, Ui étant une fonction quelconque régu- lière dans D et satisfaisant à cette condition aux limites. La déter- mination de la fonction U se ramène encore à la résolution de l'équation intégrale (65) où G(M, P) désigne maintenant la fonc- tion symétrique de M et de P qui joue le rôle de la fonction de Green pour ce nouveau problème. On démontre comme tout à l'heure que toute solution de l'équation (65) satisfait bien à l'équa- tion (64) et à la condition aux limites.

A toute valeur caractéristique A,- du noyau — — G (M, P) R(P> correspond une solution Uj de l'équation intégrale homogène

(6fil U(M)=--^ r G(M, F)R(P)UrP)f/t.,..

c'est-à-dire une intégrale, différente de zéro, de l'équation AU,= XiRUi,

régulière dans D, et satisfaisant à la condition

du

en tout point de i. Si K est positif, on a encore un noyau de Schmidt, et par suite une infinité de valeurs caractéristiques. Toutes les valeurs li sont négatives si h est positif. Si nous posons, en effet, i];=:Uf, 9 = 1 dans la formule générale de Green (10) (n° 328), elle devient, en tenant compte des condi- tions auxquelles satisfait la fonction U/,

Une telle identité est manifestement impossible, si Xj. R et A sont positifs, à moins que U, ne soit nul.

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS -AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 529

Problème de ISeumann. — Proposons-nous d'abord de trouver une intégrale de l'équation (64), régulière dans le domaine D, et dont la dérivée normale -j— soit nulle en tout point de la fron- tière 2. Cette intégrale doit, d'une part, satisfaire à la condition de possibilité (n" 614)

(67) r[XR(P)U(P)-+-R,(P)]</t^P=o;

d'autre part, elle satisfait aussi à l'équation intégrale

(68) U(M)=--^ r G(M, P)[XR(P)U(P) + R,(P)]rfpp+G,

C étant une constante et G (M, P) une fonction jouant le rôle de fonction de Green pour le problème intérieur de Neumann. Comme on peut lui ajouter une fonction arbitraire de P, nous supposerons qu'on a choisi cette fonction G (M, P) de façon qu'on ait

(69) f G(M, P) R;(M) rft'M ^ o: ''il»

on peut toujours faire cette hypothèse si l'intégrale / R(M)c?^m

n'est pas nulle, ce qui a lieu en particulier lorsque R est positif. La fonction G (M, P) étant ainsi choisie, le système formé par les équations (67) et (68) est analogue au système formé parles équations (34) et (35) du n" 607. En remplaçant U (M) par sa valeur tirée de l'équation (68) dans la condition (67), où l'on rem- place P par M, et tenant compte de la relation (69), on obtient la valeur de la constante C, et il reste pour déterminer U l'équation intégrale

(70) U(M)=--^ £g(M, P)[ÀR(P)U(P)-4- R,(P)]f/;^,.

X

Ri(P)^n

X f R(P)^(^,.

Pour avoir une intégrale de l'équation (64) satisfaisant à la con- dition -r- =/(M) sur la frontière, on commence par déterminer

53o CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

une fonction U, régulière dans D et satisfaisant à cette condition, puis on pose U = U< + V, ce qui ramène au problème précédent. Mais on ne peut pas prendre pour U^ une fonction harmonique dans D, si/ est quelconque. Pour obtenir une solution, on peut procéder comme il suit; considérons le potentiel de volume

r étant la distance des deux points M et P, 12 le volume de D, et H désignant l'intégrale / /(M)<i(7„. Cette fonction est régulière dans D et l'on a, d'après la formule de Gauss (n" 537),

X

(y.) dnt

Il s'ensuit qu'on peut trouver une autre fonction u^ harmonique dans D et satisfaisant, en chaque point de la frontière, à la con- dition

''^"2 ., ... di/^

—r- =/(M) -j—-

Il est clair que la somme U, = m< -f- «, est une fonction régulière dans D, qui satisfait à la condition voulue

61G. Vibration des membranes élastiques. — Les fonctions fondamen- tales des équations intégrales considérées au paragraphe précédent inter- viennent dans la solution d'un grand nombre de problèmes de Physique mathématique, qui conduisent à des équations du type hyperbolique ou du type parabolique. Nous n'en traiterons que deux, à titre d'exemples. L'étude des vibrations d'une membrane élastique plane conduit à déter- miner une solution de l'équation aux dérivées partielles

régulière, quel que soit t, à l'intérieur d'un domaine D limité par une courbe fermée C, s'annulant sur ce contour et se réduisant, pour / = o, à une fonction continue donnée a(.r, y) dans le domaine D, nulle elle-même

sur C, tandis que -r- se réduit à une autre fonction ^{x,y) nulle sur C.

En cherchant des solutions particulières périodiques de la forme

V(a:, >')cosX? ou V(a:j >') sinX^

11. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 53 1

on est conduit à chercher des solutions de l'équation

régulières dans le domaine D, et s'annulant sur le contour. Cette équation a été étudiée au numéro précédent dans le cas d'un domaine à trois dimen- sions, mais les raisonnements et les conclusions s'étendent sans difficulté au problème actuel. En remplaçant X^ par — [jl, on a vu que l'équation intégrale dont dépend le problème admet une infinité de valeurs caracté- ristiques négatives, lorsque le coefficient R est positif, ce qui est le cas ici, d'après la signification physique de ce coefficient. Il existe donc une infinité de nombres Xj (qu'on peut supposer positifs) à chacun desquels correspondent deux intégrales particulières de l'équation (71) de la forme

:fi{x, y) cos(XjO, ?/(^, /) sin(XjO,

les fonctions o,- s'annulant sur le contour C et étant régulières à l'intérieur. Si les deux fonctions a {x,y), [3 {x,y) sont développables en séries absolu- ment et uniformément convergentes de fonctions ?/(^, j)

(73) a(:r, v)=2«^?'(-^, j), H^.y)=^h^ii^.y),

la fonction U (ar, y, t) représentée par le développement

(74) \} =.^ai^i{x, y)coi{\it)-^^^Vi{x, y)^\n{\it)

donne la solution du problème proposé {^) {cf. n" -493).

017. Problème du refroidissement. — Le problème du refroidissement d'un corps solide avec rayonnement conduit au problème d'Analyse sui- vant : Déterminer une intégrale de l'équation aux dérivées partielles du type parabolique

(') L'existence de la première valeur singulière, qui correspond au son fonda- mental, avait été établie rigoureusement par Schwarz {Œuvres, t. I, p. 241). -M. Picard avait démontré ensuite l'existence de la seconde valeur singulière ^Comptes rendus, '898). Eafin, H. Poincaré a établi l'existence d'une inflnité de valeurs singulières {Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. Vm, 1894). Ces valeurs singulières correspondent aux différentes harmoniques en nombre' infini. On voit combien la démonstration devient simple, avec la iliéorie de Fredholm {voir aussi Picard, Rendiconti, t. XXII, 1906).

532 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

régulière pour toute valeur positive de f, dans un domaine D limité par une surface fermée S, se réduisant pour ^ = o à une fonction donnée a (:r,^', z) continue dans D, et satisfaisant, en outre, à la condition aux limites

— — = AL = o dn

en chaque point de S, R et A étant des fonctions essentiellement /)o*iViVe5 d'après leur signification physique. En cherchant des- solutions de la forme U = e— ^•'V(a7. y, z), on voit que V doit être une intégrale de l'équation

(76) ^\-^\Kix,J,z)\ = o,

régulière dans le domaine D, et satisfaisant à la condition aux limites

—, AV = o

dn

sur la frontière 2. On a vu plus hauL (n" 6I0) qu'il existe une infinité de valeurs de X, toutes positives, pour lesquelles ce problème admet une solution. On obtient ainsi une infinité de solutions simple de la forme

e-->:'Oi{x,y,z),

satisfaisant à la condition aux limites. Si la fonction a {x, y, z) peut être développée en série absolument et uniformément convergente de fonctions fondamentales Sa;3<(x, r, z), la série Zaj<2-X.'9,(a:, ^, z) donne la solu- tion du problème. Nous allons indiquer comment on peut déterminer ces fonctions fondamentales dans le cas de la sphère et du cylindre de révo- lution homogènes.

I" Sphères. — Dans le cas d'une sphère homogène dont nous prendrons le rayon pour unité, nous pouvons supposer R (a:, y, z) =^i dans les équa- tions (75) et (76), h étant une constante positive. Cherchons une intégrale de l'équation AV -1- XV = o qui soit de la forme V = Y„(6, o)/(p), Y„(8, ç) étant une fonction de Laplace (n° 531). En observant que p^^Y^ (0, o) est une fonction harmonique, et en tenant compte de l'expression de L\ en coordonnées polaires (I, p. lôg), on trouve que /(p) doit être une inté- grale de l'équation linéaire

(77^ PV(?) + 2p/'(F) = [n(« + i)-Xp2}/(p);

de plus, cette intégrale doit rester finie pour p = o, et satisfaire à la condi-

d\ tion aux limites /'(i) -+- hf{i) = o, car la dérivée -r- était prise suivant

la normale intérieure. Cette équation (77) se ramène à l'équation de Bessei

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 533

(II, noiU)

, „ ^ (fiz 2n -i- i (fz

en posant /(p) = p"z, t = , s-. L'intégrale de Téqualion (77) qui reste

finie pour û = o est donc égale, à un facteur constant près, à

,.,(îii^,3^;

Quant à la condition aux limites, elle prend la forme

€11 posant j: = — - , H étant un facteur constant facile à calculer. Or, nous avons vu plus haut (p. 490) que l'équation J | j a: | = o a une infi- nité de racines négatives; entre deux racines consécutives de cette équa- tion, il y a au moins une racine de l'équation

' 2 /i -(- 3

j:i

, /'n -h S \ „ , / 2 /i -(- 3 \

car le rapport -j— \ arie de — x à h-x dans cet intervalle. En définitive,

pour toute valeur du nombre entier n, il existe une infinité de valeurs positives de X. telles que l'équation AV -h XV = o admet une intégrale régulière de la forme V = Y„(6, 9)/(p) satisfaisant à la condition aux limites. En faisant varier n de o à -+- x, on obtient toutes les fonctions fondamentales (*).

En particulier, pour // =0, Tintégrale de l'équation (77) qui reste finie

sin(i,'/. s) ,, , , ,,.,

pour p = o a pour expressions — ^> et l'on retrouve un résultat déjà

obtenu (n" 488), en modifiant un peu les notations. Pour n égal à un nombre entier quelconque, on a vu (II, n"-414) que l'intégrale générale de l'équation de Bessel (78) s'exprimait au moyen de la seule transcendante e^.

■2" Cylindre de révolution. — Considérons encore un cylindre de révo- lution homogène dont nous supposerons, pour simplifier, le rayon égal à

(') Il suffit évidemment de démontrer que toute fonclion de p, 6, 9 peut être développée en série suivant ces fonctions fondamentales, sous des conditions très Jiénérales. {Voir, par exemple. Poincabé, Théorie analytique de la propagation de la chaleur, Chap. XVII.)

534 CHAPITRE XXXIII. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

l'unité la hauteur étant égale à 2 ^. Le centre étant pris pour origine, et l'axe du cylindre pour axe des z, nous emploierons le système de coor- données semi-polaires (r, w, z) et nous chercherons des intégrales de l'équation AV-+-XV = o, de la forme ZW, satisfaisant à la condition aux limites, Z ne dépendant que de ^ et W ne dépendant que de r et de w. L'équation AV -hXV = o devient alors WAZ -i- ZAW -(- XZW = o, ce qu'on peut écrire

AZ AW .

(79) T -^ ^ ^ ^^ = °-

Le rapport -=- ne dépendant que de z et le rapport — rr- ne dépendant que de r et w, il s'ensuit qu'on doit avoir

(80) AZ -I- A-Z = o, AW -hkiW = 0,

k et kl étant des constantes telles que k -^ ki=\. La condition aux limites, relative aux deux bases du cylindre, donne, pour la fonctionJ;Z,

(81) -j hAZ=o pour z = /, — AZ = o pour ^ = — /;

l'identité suivante, conséquence de la première équation (80),

dz

(^i)>,/:: [(^y--]

montre ensuite que k est nécessairement positif et la fonction Z est de la forme

'L = k cos( z v'A' j -+- B sin(^ \' k ).

En écrivant que cette fonction satisfait aux deux conditions (81 ), on voit que l'un des coefficcients A ou B doit être nul, ce qui fournit les deux types de solutions Z = sin|jLZ, Z = cos {is, ,a étant racine de l'équa- tion |JL -+- /i tang ^1 = 0 pour la première forme, et de l'équation \i. = h cot [jl l pour la seconde. Chacune de ces équations admet une infinité de racines (488) et à chacune d'elles correspond une valeur positive de k.

Il reste à trouver une solution W de la seconde des équations (80),

régulière à l'intérieur du cercle C de rayon un ayant pour centre l'origine

d\Ç et satisfaisant à la condition-- 1- /iW = o pour r = i. Cherchons des

dr '^

solutions de la forme W — /''"'cos n a)/(r) ou de la forme /"sin « a)/(/), Il étant un nombre entier positif. En observant que r^cos n w et r"sin n 10 sont des solutions de l'équation de Laplace, on trouve (I, n" 63) que/(/) doit satisfaire à l'équation

(82) rf'\j-) + (2// -4- i)/\r) -+- /.i /•/(/•) - o

II. — APPLICATIONS AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 535

qui devient, en posant t ~ — -,

(83) '^-<" -"s -■'•=»•

On retrouve encore une équation de Bessel, noais le paramètre y» au lieu d'être la moitié d'un nombre entier impair comme dans le cas de la sphère, est égal à un nombre entier. La fonction W devant rester finie pour r = o,

on doit prendre pour / la fonction J f /? -f- i , — ^^^-— \ et l'on démontre

comme dans le cas de la sphère que la condition aux limites est vérifiée pour une infinité de valeurs positives de Ai. En définitive, il existe une infinité de fonctions fondamentales de l'une des formes

cos(|jl'2)/-" sin« wJ f « -h i, T '"']

sin ( [JL 2 } r" co< // w J ( /i -+- i , r ^' )

a, a', Al étant racines d'équations transcendantes, indépendantes l'une de l'autre, qui admettent une infinité de solutions. On a démontré, comme pour la sphère, qu'on les obtient toutes de cette façon.

618. Équation générale du type elliptique. — Considérons une équation linéaire à deux variables indépendantes du type ellip- tique, ramenée à la forme canonique ( n° 479). Nous l'écrirons, en introduisant un paramètre X,

(84) A„=).(ag..:;^..o„)^/,

et nous supposerons que a, 6, c, / sont des fonctions continues de X, y, admettant des dérivées partielles continues, dans un domaine D, limité par un contour fermé C. Le problème généra- lisé de Dirichlet pour ce type d'équations se ramène à la recherche d'une intégrale d'une équation de cette forme, continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans le domaine D et s'annulant sur le contour G. M. Hilbert et M. E. Picard ont rattaché ce problème à l'équation fonctionnelle de Fredholm par deux méthodes différentes. Nous indiquerons succinctement le principe de la méthode de M. Picard. Si l'équation (84) admet une intégrale u{x, j), vérifiant les conditions énoncées, cette

53f> CHAPITRE XXXin. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

intégrale satisfait aussi à réquation intégro-différenlielle (n° 521)

(85) uix,y)=-~JJ |^a(?, r,)'^' ^ 6(Ç, r.) ^ -t- c(|, "n)»]

X G(^. j; ?, n) ^; <^^. + 'K-^- J)> où l'on a posé

G(:r, r; ;, tq) étant la fonction de Green proprement dite rela- tive au contour G. Inversement, toute solution u{x\ y) de l'pqua- tion (85) sera aussi une intégrale de l'équation (84) pourvu qu'on ait le droit d'appliquer au second membre de cette équation la formule de Poisson, ce qui aura lieu si la fonction u{x^ y') admet des dérivées continues du second ordre. L'équation (85) peut à son tour être remplacée par une équation de Fredholm

(86) »(-.; ) = «x..v) - '^jl^^ [c(Ç,.,)G- "-^ - Ë^]„(E.,)^*„

au moyen de deux intégrations par parties (I, n" 123), et en obser- vant que M (^, ■()) est nulle sur le contour G. Le noyau de cette

équation de Fredholm est infini comme - pour \^=. x^-q = r- On

peut donc en déduire un noyau borné par un nombre fini d'ité- rations (n" 563) et. par suite, les résultats généraux du Gha- pitre XXXI sont applicables à l'équation (86).

Pour qu'on puisse remonter de l'équation intégra'e (86) à l'équation aux dérivées partielles (84), il est nécessaire que la solution a (x, y^ soit telle qu'on ait le droit de lui appliquer les transformations par lesquelles on a passé de l'équation (84) aux équations (85) et (86). Il suffît pour cela de prouver que cette fonction u {x,y) a des dérivées continues du premier et du second ordre. Nous renverrons pour la démonstration au Mémoire de M. Picard {Rendiconti del Circolo niatematico di Palermo, t. 22, 1906).

On s'explique ainsi pourquoi, quand on développe la solution du problème de Dirichlet généralisé suivant les puissances de ). (n" 522), on n'obtient pas, en général, une série convergente.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 537

comme dans le cas du problème de Cauchy, pour une équation du lype hyperbolique. La série obtenue n'est convergente que si | >i | est inférieur au module de la valeur singulière du noyau dont le module est plus petit. Nous voyons de plus que le problème de Dirichlet généralisé admet, en général, une solution et une] seule; il ne peut y avoir exception que si X est une des valeurs singu- lières du noyau de V équation (86).

COMPLÉMENTS ET EXERCICES.

I. Développement d'un noyau particulier. — Soilj'(j:^^) une fonction admettant une dérivée seconde continuc/(ic) dans un intervalle (o, to > o)

et satisfaisant aux deux conditions / ydx = o, r((o) = j(o). En déter-

minant les deux constantes Ci et G., qui figurent dans l'expression de l'in- tégrale générale de l'équation y" — f{x) (p. 494) de façon à satisfaire à ces deux conditions, on trouve que >-(j:) a pour expression

y{x)=f K{x,t)fit)

dt.

t(x — i<)) t(io — /) le noyau K(x, t) étant égal a -: \ pour x > t, et

(xt — w") t(o) — t) , » . ,. , , j

a -^ 1 — ^^^ pour t > X. Les fonctions londamentales de ce

O) 2W

noyau, c'est-à-dire les solutions de l'équation intégrale

(E) ^{x) = l f K{x,t)o{t)dt

sont les intégrales de l'équation linéaire o"(x) = X9(j:') qui satisfont aux deux conditions 9(10) = 9(0), / <f{x)dx =q. Ces intégrales sont nécessai-

rement périodiques, car la dernière condition entraîne l'égalité 9'(w) = 9'(o).

11 1 i7z-n^ , .

Les valeurs singulières sont donc les nombres — ) n étant un nombre

entier positif et à chaque valeur singulière correspondent deux fonctions

538 CHAPITRE XXXllI. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES,

On peut remplacer l'équation (E) par une équation à noyau symétrique

En effet, le noyau K{x, t) vérifie la condition / K{x,t)dj: = o\

on a donc aussi / (f{x)dx = o, et par suite f{x) vérifie l'équation (E)'

Inversement, toute solution de l'équation intégrale (E)' satisfait à la con- dition

f ^{x)dx = X I j K{x,t)^{t)dx dt

^ r'^xix-i^) ^ r'^ , ^ , — a/ — dx X o<t)dt

ou

Ou aura donc aussi / ^(t)dt — o, et, par suite, ?(x) sera aussi une

solution de l'équation (E), à moins que X ne soit égal à — • Pour cette

valeur de X, une solution de l'équation (E)' doit satisfaire à l'équation dif- férentielle

et à la condition 9(0)) = !p(o). On voit aisément qu'il n'y a qu'une fonc- tion distincte ? = i, satisfaisant à ces conditions.

En résumé, le noyau Kj (x, y) = ii(x, y) — — admet les mêmes

valeurs singulières, avec les mêmes fonctions fondamentales, que le noyau

^^(•^1 y) et admet de plus la valeur singulière — - ? à laquelle correspond la

w- fonction fondamentale ? = 1. Or, ce noyau Ki{x, y) est symétrique, car on peut l'écrire

ir / {x — y) (m — .r -h y)

Ki{x,y)—- ^— -^ : — pour y<.x,

. , . ( V — x){io — > -+- x)

K^(x,^■)=- — ^ pour y > x.

Ce noyau Ki{x, y) étant symétrique et ayant toutes ses valeurs singulières

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. ÔSg

négatives à l'exception de la première peut être représenté par une série uniformément convergente formée par les noyaux principaux (592). On obtient ainsi le développement

1

. / 2rfzx\ . /2nny\ )

qui s'applique à toutes les valeurs de x et de / comprises entre o et lo et qu'il est facile de vérifier directement au moyen de la série de Fourier (I, n°* 201-204). En particulier, si l'on suppose y = o, on a pour x compris entre o et w le développement

x(m — x) _ oi- w V^ I I 2nnx\

20) ~ 12 27:2^/12 \ U) /

Application. — Soit F (a?) une fonction admettant une dérivée seconde continue dans l'intervalle (o, co) et satisfaisant à la condition F(a) ) = (o). En lui ajoutant une constante — C, on peut évidemment supposer qu'on a

/ Vix)dx = o,

et par suite, la fonction V {x) est de la forme

F{x) = G-^- K{x,t)F"{t)dt

D'après le théorème d'Hilbert-Schmidt, l'intégrale

» Ki{x,t)F"{t)dt

F"(0 (ft-

I

peut être développée en série de Fourier uniformément convergente et il en est de même, nous venons de le voir, de x{x — lo).

2. Polynômes de Legendre. — Considérons un noyau K (a;, s) défini de la manière suivante :

K(a7, s) = log(i — s) -k- log(i -H a:) -H I — 2 log2 pour i— i^ 5 ^a:^i, K(ar, 5) = log(i — a:) -t- log(i -f- 5) -(- i — 2 log2 pour — i^x^ s ^1;

54o CHAPITRE XXXIH. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES,

ce noyau est symétrique, et Ton vérifie facilement qu'on a

^ + 1 ,H-1

1 K{x,s)ds=l K(x,s)dx = o.

Par suite, toute fonction de la forme ç (a;) = / K(a;, *)/(s)fl's satisfait

à la relation / if(a;)dx = 1 f K (ce, 5)/(s)c3?a:c?« = o. Cela posé,

considérons l'équation intégrale homogène

ç(a:) = X/ K(x,s)<f{s)ds,

qu'on peut écrire, en remplaçant K{x, s) par son expression,

!s(x)= Xi log(i — s) f (s) ds -i-Xlog(i -h x) I ^(s)ds

^Xj log(i-+-5)<p(s)c^$-(-Xlog(i — .r)y ^(s)ds

-h(i — 2\og2) f ^{s)ds.

On en tire, en différentiant,

X Z""^'

?'(a-)= X<p(a:)log(i — a:)-»-- -/ ?(*) t/i -f- X ç(a;) log(n- a:)

' ■*• «^—1

— X <p(a:)log(i -t- ic)H ^ — / o{s)ds — Xo{x)log(i — x)

•-P -t- I J^

ou encore

{x^—i)'s'(x) = \{x — i) / f{s)ds-h\{x-^-])l !o{s)ds.

En tenant compte de la condition / 5(5)^5 = 0, le second membre devient — :t!X / ^{s)ds, et une nouvelle dilTérentiation nous donne

(E) {X- — l) ?"(^) -+■ 2X 9'(x) -h 2A o{x) = o.

L'équation (E) n'admet d'intégrale restant finie pour x =ziii, que si a X est de la forme — n(n-hi), n étant un nombre entier joo^V//", et l'inté- grale correspondante est le polynôme de I.egendre P„(a;).

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 54 1

Réciproquement, soil

le calcul qui vient d'être fait prouve que y{3:) est une intégrale de l'équa- tion différentielle linéaire

{x- — Oy'-H '2.xy' — n{n -+- 1) \\r{-^) = o.

Comme elle est finie pour x = ±i, elle ne diffère donc de P„{x} que par une constante C, et cette constante est nulle puisqu'on a

f^ y{x)dx= f^ P„{x)dx

En résumé, les valeurs singulières du noyau K{x, s) sont les nombres

n(n-+-i), . ..rii 1 1 ^ -^ ou n est un entier positif. A chacune de ces valeurs corres- pond une seule fonction fondamentale, P„(.z). Le noyau principal cor- respondant au ])ùle ^— ; est de la forme C,; P„ (a:) P« (5); pour

déterminer la constante C„, il suffit de partir de la condition

'lil^f^'c„VUs)ds,

qui donne (I, n" 203) C„ = - -, • Il est à remarquer que la série

n{/i -h i) ' '

des noyaux principaux n'est pas uniformément convergente, puisqu'on

a P„(i) = i.

Application. — Soit ¥ (x) une fonction continue, admettant des déri- vées continues F'(.r), F!.'{x) dans l'intervalle (—1, -t-i); €;t satisfaisant à

la condition / F (x) dx — o. Posons

/"(.r) = (x^—i) F"(r) -h '2.r F' {x) = -^ } {x^—})-F'{x) ; . ^(^x)^—-Ç K(x, s)f{s)ds[:

d'après le calcul précédent, on a encore, puisque / f{x)dx = o,

{x-^ — i)^"{x)-h2xfp'{x) =fix> = {x-^—\)F"{x)-h2xF'{x).

542 CHAPITRE XXXHl. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

La fonction <ï>(a-), étant finie pour a; =±ï, ne diffère de F(x) que par une constante, et, comme Ton a / $ (ar) dx = o, ce*tc constante est nulle.

On a donc

Fix)=—^^r \\{x, s)jXs)ds,

et par suite, la fonction F (x) est développable en une série uniformément convergente de polynômes de Legendre, dans l'intervalle (— i, -t-i). Le théorème s'étend à une fonction quelconque continue, ainsi que ses déri- vées des deux premiers ordres, en considérant la différence

FC-*^)-^ f"'F{x)dx.

;J. Refroidissement de la sphère. — Dans le cas où la température ne dépend que de la distance au centre, on a vu (n» 488) qu'on obtient des solutions simples en cherchant les intégrales de l'équation -7-^ = >.(.•(/•)

satisfaisant aux conditions aux limites v{o) = 0, -j — \- ln) = o pour /• = 11.

Or, on démontre aisément que l'intégrale de l'équation -^-^ =f(r) satis- faisant à ces conditions aux limites a pour expression

v{r,= l K{r,t)/{t)dt,

K(''. /) désignant le no\au symétrique défini par les égalités

^(r, t)= ^^^^^—t pour t<r, hrt

'^ ('■> 0 = Tz^T/^Tï — '■ PO"'' t > '•

Les fonctions t'(r) cherchées sont donc les fonctions fondamentales de ce noyau symétrique.

Toute fonction V(r) satisfaisant aux conditions aux limites et admettant des dérivées des deux premiers ordres continues dans l'intervalle (o, R)

est représentée par l'intégrale / K(r, i)\° {t) dt et, par suite, i)eut être

développée en série de Fourier uniformément convergente, ayant pour termes des fonctions fondamentales de ce noyau.

4. Equation de Bessel. — L'intégrale générale de l'équation

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 543

OÙ l'on suppose a > i, est

— ^y {x'-=^s^-s)f{s)ds

H- \x^-^-h B.

Pour que l'intégrale reste finie pour a: = o et vérifie, en outre, la condi- tion ^(1) -+- hy(i) = o{h ^ o), il faut qu'on ait

\ = -^ C s=>- f{s) ds (i — a)A-i-/i(A-+-B)= o.

On en déduit aisément que l'intégrale cherchée a pour expression

y = —Zr- f -l'Unix, s) /{s) ds, où l'on a posé

H(j:, 5) = .ri-='-f- ;jL (o<5<a:), H{x, s) = s^-^-h 'x {x^s<i)

et a = 7 Les intégrales de l'équation de Bessel

X )'"-(- cty'= Kxy

qui satisfont aux conditions précédentes sont donc les solutions de l'équa- tion intégrale

z{x)=—^ f s^ïi{x, s)<:^{s)ds,

dont le noyau est de la forme de Schmidt (n" 593).

Remarque. — Dans le cas particulier où a = i, on est conduit de même à l'équalion intégrale

z{j:) = 1 f sU{x,s)z{s)ds,

où l'on a H(ic, s) = logj: -+- [jl pour 5 < x et H(^, s) = \ogs -t- [j. pour s ^ x.

o. Problème de Dirichlet pour un contour à points anguleux. — Considérons, pour simplifier, un contour fermé C présentant un seul point anguleux Mo, d'abscisse curviligne Xo, où les tangentes font un angle a ^ r. L'équation intégrale à résoudre est

(E) ??(^)-+-À fS211,^s)ds=/ix),

•c

/• et ç ayant la signification habituelle, et ^ étant égal à t: pour x^Xo, et à 2- — a pour x = ^o(n" .jOo). Nous remplacerons cette équation (E) pnr l'équation

(E)' ^.^^a:)-^). f^p(s)ds=f{x),

544 CHAPITRE XXXUI. — APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

qui n'en didere que pour x = a:o. En appliquant à celte équation la mé- thode des approximations successives on obtient une solution formelle

p(:c, X) = po(^) -t- X <?\{x) -H. . .-I- À" P«(j:) -i- . . .

où les différents termes ^n{.x) sont discontinus pour ^ = a^o, et continus pour toute autre valeur de a:; on le démontre aisément au moyen des pro- priétés du potentiel de double couche

Supposons I X I assez petit pour que la série soit uniformément conver- gente; cette solution p(iF, X) de l'équation (E)' présente donc une discon- tinuité pour a: = ;ro, et Ton a p(aro, X) jzf p(aro-+- o, X) = p(aro — o, X). Nous allons calculer cette discontinuité. Pour cela, désignons par R(a;, X) une fonction continue égale à p(.r, X) pour a; j^ ^o, et à ^{x^i-àz o, X) pour .r = .ro. L'équation (E)' peut s'écrire

- 0 (^, X) = À Z' ^ [ R.(.i-, X) - R (s, X)] ds - X R {X; X) C ^ (Js ^ f{x),

et, la première intégrale étant continue (n" 513), ~oi^x, X) présente la même discontinuité que — XR(a;, X) / -ds. On a donc

- [ p(x-o ± o, X) — 0 (a-0, X)] = — X- R {x,„ X) -4- Xa R (a:o, X) = X )7. — t.)K (.r», X), ce qu'on peut écrire, d'après la définition de R(.t, X),

La fonction continue R(.i', X) satisfait donc à l'équation intégrale (E)" Y R(^-, X) -^ xy^^R(.v, X),/.s- =/(,r),.

où Y = - puur X ^ Xq, et y = ~ -i- X(- — a) pour x = Xfj.

Cela étant, si 1? fonction p(:r, X), qui est une fonction analytique de X, est holomorphe dans le domaine du point X = i, il en sera évidemment de même de R(.r, X), et la dernière équation (E)" prouve que R(^, i) est une solution continue de l'équation (E). La remarque s'étend sans peine à un contour ayant un nombre quelconque de points anguleux, et au problème de Dirichlet dans l'espace, pour une surface ayant un nombre quelconque d'arêtes.

Tout revient donc à démontrer que X ~ i n'est pas une valeur singu- lière pour l'équation (E)'. Cette question a fait l'objet des importantes recherches de M. T. Càrleman dans un beau Mémoire Ueber Neumann Poincaresche Problem fiir ein gebiet mit ecken {Upsala, 1916), où il étudie les singularités de la fonction R(a7, X) de la variable complexe X dans tout le pian.

CHAPITRE XXXIV.

CALCUL DES VARIATIONS.

Les problèmes qui font l'objet du Calcul des r^ariations sont des problèmes de maximum el de minimum de nature très variée, dans lesquels il s'agit de déterminer la forme d'une ou de plusieurs fonctions inconnues. Nous traiterons seulement les plus simples de ces problèmes pour bien mettre en évidence les difficultés spé- ciales à ce genre de questions, et pour tâcher en même temps de donner une idée de quelques progrés récents de la théorie. Tl est presque superflu d'ajouter qu'il ne sera question dans ce Cliapilre f[ue de variables réelles ( ' ).

I. — PREiMIKRE VARIATION. — KXTRliMALKS.

619. Lemmes préliminaires. — Nous établirons d'abord quelques lemmes très simples, dont on s'est déjà servi dans certains cas par- ticuliers, et sur lesquels repose tout le calcul des variations.

Lemme t. — Soit ^{x) une fonction continue déterminée

dans un intervalle (^o, os^)•, siVintégrale / ■fi(x)Y i^x) dx est

nulle pour toutes les formes possibles de la fonction 'nÇx),

(') Poui' une étude plus complète de la théorie générale et pour l'Iiisloriquc, voir l'article sur le Calcul des variations, dans l'édition française âel'Encyclo- pédie des Sciences mathématiques, de iMM. Kneser, Zermelo et Lecal, et les Ouvrages suivants :

Kneser, Lehrbuch der Varialionsrecknung ( Braunschweig, 1900). — O. Bolza, Lectures on the calculus èf variations (Cliicago, 190^). — J. Hadamard, Leçons sur le calcul des variations (Paris, njio).

Je me suis beaucoup servi de ces deux derniers Livres pour la rédaction de ce ("liapitre.

coi-RSAT. — in. 3ô

546 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

continue ainsi que sa dérivée 'n [x) dans V intervalle {x^^ Xi), et s^ annulant pour x =: x^. x = Xt, la fonction Y{x) est nulle dans tout cet intervalle (a?,,, x^).

En cfTcl, supposons, par exemple, que F(x)soil positif pour une valeur jjj comprise enlre Xq et Xi ; on peut alors trouver un inter- valle (^o,:j) renfermant ^2(-3"o <! ^d <C •2^j< çi < ^i) tel que F (:ï) soit positif dans tout l'inUirvalle (^„, ci)- Considérons alors la fonction ri{x) définie de la manière suivante :

1" , T,(j,) = o pour Xo^x'^^o\

2" ■'!(•■£') = (-^ — Ço)"'(?. — .'0"' pour Ço^x^ti,

m étant un nombre entier au moins égal à 2 ;

3" ■t\{x) = O X^OMV li<,X<X\.

Celte fonction est continue et admet une dérivée continue entre Xq et Xx. et il est clair que la valeur correspondante de l'intégrale considérée est positive.

Le raisonnement et la conclusion subsistent évidemment si l'on supprime quelques-unes des conditions imposées à la fonction r; (a:). Il en est encore de même, si l'on assujettit cette fonction ri{x) à de nouvelles conditions, comme d'avoir des dérivées continues jusqu'à un certain ordre, toutes ces dérivées étant nulles pour x^=^Xo et pour .r ^ j;,. Il suffira de prendre le nombre entier m assez grand pour que ces conditions soient vérifiées par la fonction ri^x) con- sidérée tout à l'heure.

Enfin, il est visible que la conclusion s'étend à des intégrales de la forme

[ r, I F , ( .r ■) -4- r,2 F. -H -f.^ V • ] cl.v ;

/

F|, Fj. F;, étant des fonctions continues dans l'intervalle (.r,,, ic,); T;,, y]2, ■/;;( des fonctions devant vérifier les mêmes conditions que Y3(^). Pour que cette intégrale soit nulle pour toutes les formes possibles des fonctions yji, r^o, 03, vérifiant ces conditions, il faut que les fonctions F,, F.,, F, soient identiquement nulles. On verra plus loin (n" 627, note) de nouvelles extensions.

Lemme 11. — Soient Y{x). yi{x) deux fonctions continues dans l'intervalle (x„. Xi)^ dont la première F(.r) est supposée

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 547

■n{x)F{x)dx est nulle pour toutes les formes possibles de la fonction y){^') telles que V intégrale f •n{jc) dx soit nulle^ la fonction F(j;) se réduit à une constante.

En effet, si cette condition est satisfaite, on aura aussi

£'\f{x)-C\M.t)

dx = o.

quelle que soit la constante C, si l'intégrale / r\{x)dx est nulle. Choisissons en particulier la constante C de façon qu'on ait

/"'

Y{x) — C\dx = o. On pourra prendre rî(jr) = F(x) — C et, par suite, on aura Ç \v {x) — Z\- dx = o, d'où l'on lire F(j^) = G {cf. p. 524, note).

620. Définitions. Objet du premier problème. — SoitF(a^, j, j') une fonction des trois variables x^ j', y\ qui est continue, ainsi que ses dérivées partielles jusqu'à celles du troisième ordre, tant que le point de coordonnées {x, t ) reste dans une région connexe du plan (.1, et peur toutes les valeurs finies de y' . Dans tous les exemples que nous traiterons, cette fonction F est analytique; la région tJv, qui est détorniinée dans chaque cas p«r les conditions du problème, peut embrasser tout le plan ou être limitée par une ou plusieurs courbes frontières.

Soiiy(^) une fonction continue et admettant une dérivée con- tinue dans un intervalle (a^o, ^0' nous dirons que celte fonction appartient à la classe (I) dans l'intervalle (iCo, x^). L'équation r =./(^), quand on fait varier a^ de Xo à a",, représente un arc de courbe F admettant en chaque point une tangente, dont le coeffi- cient angulaire varie d'une manière continue; nous dirons aussi que celle courbe F appartient à la classe (I). Si elle est située dans la région ilR, la fonction F'[.z', /(a?), /'(j^)] obtenue en remplaçant^'

548 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

par/(j7) el y par /'(x) dans F(x, y, y') est continue dans l'in- tervalle (Xo, Xi) et l'intégrale

a une valeur finie. Nous écrirons aussi celte intégrale

i=j¥{x,y,y')dx,

en indiquant la courbe F le long de laquelle elle est prise. Soient A et B deux points quelconques de la région dv, de coor- données [xo, yo) et (t4,j^<); nous supposerons toujours a7o<C a?,. On peut joindre ces deux points A et B par une infinité de courbes F de la classe (I), sitiiées tout entières dans la région (R. Une quelconque de ces courbes F est représentée par une équation de la forme yz=f(^x), la fonction /(57) étant une fonction de la classe (I), définie dans l'intervalle (j",,, x^)^ satisfaisant aux condi- tions

Jo = /{xo), V, =/(:ri),

et telle en outre que le point de coordonnées [t,/{x)] reste dans la région CR. lorsque x varie de Xq à Xf. A chaque fonction /(a;) satisfaisant à ces conditions correspond uae valeur déterminée de l'intégrale J. Le problème dont nous allons nous occuper peut être formulé ainsi : Parmi les courbes F de la classe (I), joignant les deux points A et B et situées ci l'intérieur de la région dl, en existe-t-il une, telle que l'intégrale J correspondante ait une valeur plus grande ou plus petite que pour toute autre courbe satisfaisant aux mêmes conditions ?

Il n'est nullement certain a priori qu'il existe une courbe F répondant à la question. Supposons par exemple, que la fonc- tion F(j7, y, y') soit toujours positive pour toutes les valeurs finies de j', lorsque le point (:r, y) reste dans la région cR. L'intégrale J a évidemment une valeur positive pour toute courbe F joignant les deux points A et B; la valeur de cette intégrale a donc une borne inférieure m>o, mais on ne peut pas en conclure qu'il existe une courbe F de l'espèce considérée pour laquelle J a celte valeur m : nous verrons des exemples où il n'en est pas ainsi. Il y a là une différence essentielle entre les problèmes du calcul des variations

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 549

et les problèmes de maximum et de minimum traités dans le calcul différentiel; nous savons en effet qu'une fonction d'une seule variable x^ par exemple, qui est continue dans un intervalle fermé {a, 6), prend une valeur maximum et une valeur minimum dans cet intervalle (I, n° 8).

Nous ne nous occuperons, tout d'abord, que de la recherche des maxima et des minima relatifs^ c'est-à-dire que nous ne compa- rerons la valeur do l'intégrale J le long d'une courbe F joignant les deux points A et B qu'aux valeurs de la même intégrale pour des courbes infiniment voisines satisfaisant aux mêmes conditions. Pour fixer les idées, nous ne rechercherons le plus souvent que les valeurs minima, le cas des maxima se ramenant au premier par le changement de F en — F.

Le problème que nous nous proposons peut être formulé analj- tiquemenl d'une façon précise. Soit r=/(a;) une fcmction de la classe (I) dans l'intervalle (^f,, a:/), prenant les valeurs r^ pour X =^ ^0 6t JK< pour a? = J?, , et telle que la courbe F représentée par Téquation y=f(^x) soit à Vintérieur de la région (R,. Soit e un nombre positif; nous appellerons dlg la région fermée du plan limitée par les deux parallèles x = x^, x =^ x^ à l'axe Oy. et par les deux courbes

Y,=:/(^)-+-e, Y, = /(:r)--s

et nous supposerons le nombre e assez petit pour que (K, soit tout entière à l'intérieur de (K. Toute courbe de la classe (I), joignant les deux points A et B, et située tout entière dans la région ûli, est représentée par une équation de la forme y z=f(x) -\- (i)(x), la fonction &>(x) étant conlinue et admettant une dérivée con- tinue dans l'intervalle (x^. ic<), et satisfaisant en outre aux condi- tions

(i) (i}{xo) =^ o, a>(xi):=:o, ]a)(a:r)|<î pour a:o < a? < j:^! .

Nous dirons que la fonction f{x) donne un extre?nuni de l'in- tégrale J, S'il est possible de trouver un nombre positif e tel que la valeur de l'intégrale

: r^Ffr, /(^),/'(.r)]

dx

55o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

soit plus petite ou plus grande que la valeur de V intégrale

y=j ¥[x, f{x) ^ i,i{x), f\x) -^ i^' {x)]dx,

(ù[x) étant une fonction quelconque de la classe (I) dans Vin- tervalle (j;^, j?,), satisfaisant aux conditions (i), et n^ étant pas nulle identiquement ( ' ).

Il est clair qu'on peut trouver d'une infinité de façons des fonc- tions (xi{x), satisfaisant à ces conditions, et dépendant d'autant de paramètres arbitraires qu'on le voudra. Nous prendrons d'abord des fonctions iù{x) ne dépendant que d'un seul paramètre variable, et d'une forme très simple. Nous désignerons d'une manière géné- rale par rt{x) une fonction continue, admettant une dérivée con- tinue dans l'intervalle (^q, ar,), et s'annulant pour les deux limites Xq et Xi. Tl est clair que la fonction ot.r\{x) sera en valeur absolue moindre que £ dans tout l'intervalle (x,,, a?,) pourvu que | a | soit assez petit. En remplaçant f{x) par f{x)-\-ar)(x) dans F[x,f{x),f{x)], l'intégrale J devient une fonction du para- mètre a

(2) i{^)= f '¥[x,f{x) + <xr^{x),f'{x)-^oir;{x)}dx,

et cette fonction J(a) doit être minimum pour la valeur a = o du paramètre, quelle que soit la fonction ri{x).

Si l'on développe cette fonction J(a) par la formule de Taylor suivant les puissances de a, on a

J(a) = J(o)+ ?Ji-(- -fLj,-H...H ^il_ J^-f-a" A(a),

I 1.2 I .2. . ./l ^ '

A (a) tendant vers zéro avec a. Les quantités aJi, a^J,, . . . sont appelées première, seconde^ ... variation de J; on les repré- sente, d'après une notation due à Lagrange, par ôJ, ô^J, . . ., ô"!. Remarquons que ô" J est égal au produit de a.'^ par la valeur de la dérivée /i'^""" -r-^ pour la valeur a = o. On voit donc, en employant la notation de Lagrange, qu'iV est nécessaire, pour que la fonc-

(') Il peut y avoir extremum au sens strict ou au sens large. W y a minimum au sens strict, par exemple, si l'on a J < J' pour toutes les formes possibles de w(a;); il y a minimum au sens large, si l'on a J = J' pour certaines formes de la fonction w(a?).

l. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 55l

tion f{x) rende U intégrale J minimum, qu'on ait 3J = o, 8-J ^o,

et ces conditions doivent être vérifiées, quelle que soit la fonc- tion r2(r), pourvu seulement que cette fonction soit continue ainsi que sa dt^rivce rîi^x) dans l'intervalle (o^o, a?)), et qu'elle soit nulle pour les deux limites a^o et x^. Le signe >» devra être remplacé par le signe < pour un maximum.

621. Première variation. Équation d'Euler. — De la formule (2) on déduit, on appliquant la formule habituelle de dillérenliation sous le signe intégral, l'expression de la première variation

(3) 5J:=a/'"[^r.(.r)-^^V(^)]^/.^,

y et y' devant être remplacés par /(r) et f'ix) dans y- t?t y-, • Si la fonction f{or) admet une dérivée seconde continue f"{x), on peut appliquer la formule d'intégration par parties à l'intégrale

£

ce qui donne

o)' _^;;^v(.)..= [.(.):^]:;-x;\(.);è,(l>)*.

Le premier terme du second membre est nul puisque la fonc- tion ■n(x) est nulle aux deux limites, et nous avons une nouvelle forme de ôJ

Pour qu'on ait <3J = o, pour toutes les formes possibles de la fonction r)(x), il est nécessaire, d'après le lemme ï du n" 619, que le coefficient de ri(x) sous le signe intégral soit nul dans tout l'intervalle (j?„, Xt). On en déduit la première condition à laquelle doit satisfaire la fonction /(jt).

Pour que la fonction f{x) donne un extremum relatif de l'intégrale définie J, il est nécessaire que cette fonction f{x) vérifie V équation différentielle .,, ÔV d lôY \

fPF		à- V	à¥
;r'-'	' .UOv-	à y

552 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Cette équation a été obtenue pour la première fois par Eulêr('); elle s'écril, en développant la dérivée y- ('"~7' )'

(6)

Lorsque l:i fonction ¥ conlionl »' (ce qui est le cas général), l'éqiiatiou f(3) est du second ordre, et l'intégrale générale /(a:, a, 6) dépend de deux constantes arbitraires a et b. Si l'on veut que la courbe intégrale passe par deux points donnés A et B de la région (K, on doit choisir ces deux constantes de façon à satisfaire aux deux conditions >-o=/(^oj «? ^)?y<=/(^ii ^' ^)- Le pro- blème est, en général, déterminé puisque le nombre des arbitraires dont on peut disposer est égal au nombre des équations. Toute fonction f{x) de classe (I) fournissant un extremum de l'inté- grale J est donc une courbe intégrale de l'équation (5) passant par les deux points A et B. On examinera plus loin si toute courbe intégrale satisfaisant à ces deux conditions donne un extremum. Nous dirons avec M. Kneser que toute fonction j-(^), satisfaisant à l'équation d'Euler, est une fonction extrémale, et aussi que la courbe correspondante F est une courbe extrémale. De tout point (j7„. r,i) de la région dl, il part une infinité de courbes extrémales, mais il en part une seule tangente à la droite de coefficient angu- laire j'o pourvu que ¥y.,{xo^ Jo; J'.) ne soit pas nul. Lorsque la dérivée seconde F^', est différente de zéro pour les coordonnées d'un point quelconque de (71, et pour toute valeur de r'> le pro- blème du calcul des variations est dit régulier.

Objection de Du Bois-Heyinond. — On a supposé, pour passer de Ja formule (3) à la formule (4), que la fonction f{x) admettait une dérivée seconde conlinue; il reste à prouver que les intégrales de l'équation d'Euler sont les seules fonctions /(a-) de classe (I) pour lesquelles la pre- mière vaiiatlon oJ est nulle, quelle que soit,T,(jc). M. Du Bois-Reymond l'a démontré le premier en utilisant le second lemme du n° 619 au lieu du ])remier, et en intégrant pur parties le premier terme de l'intégrale (3) au lieu du second terme.

Quand on lemplace y par une fonction f{jr) de ^^lasse CI) et j' par/(a;) ॠdans -r- j le résultat do cette substitution est une fonction continue de ./■

ày

(') Institutiones Calculi inlegralis, t. III. Lagrange a considère le premi des variations générales {Œuvres^ t, I).

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 553

qu'on peut représenter itar «I> (j*), <l>(a,) étant aussi une 'fonction continue dans l'intervalle (xq, Xi). Cela étant, si l'on applique la formule d'intégra- tion par parties à l'intégrale / "^iC^Ott' '" ^'ent

= [^{x) rXxyïrl -J ^ix) -fi'ix) c/x, et l'on a une nouvelle expression de oJ :

U = xJ''^-^'(x)^j^, -^h{x)^dx.

Cette intégrale doit être nulle toutes les fois "qu'on a

/' 'r^\x)dx=^o, ^■\\

car si l'on prend 'r,(j-„) = o, on aura aussi

ï](,/|) = 0.

Le coefficient de 'f\ (^x) sous le signe intégral est donc constant, et la fonc- tion/(:t) satisfait à une équation de la forme

V i [ X, /( .r ), /' ( X ) I = 'P ( X ) -t- C,

la fonction Fi{x, y, y') ayant des dérivées partielles du premier ordre continues. Cette équation, résolue par rapport à/'(^), donne une relation delà ioTTCiÇ^ J\x) = ■h[x , J\x)\, la fonclion (!/(;r, /) ayant elle-même des dérivées continues du premier ordre (I, n" 36). Par suite, f'{x) admet aussi une dérivée continue /"(>r) et, par conséquent, /(j:) est une intégrale de l'équation d'Euler.

liemarques diverses. — i" Liiilégrale générale de réquatiou d'Euler ne contenant que deux constantes arbitraires, une exlré- male est, en général, déterminée quand on se donne deux de ses poiutij. Mais on ne peut se donner arbitrairement deux points d'une exlrémale et la tangente en im de ses points, ce qui prouve que le problème correspondant du calcul des variations u'admet pas, en général, de solutions. Par exemple, on no peut se proposer de trouver, parmi toutes les courbes de classe (I) joignant deux points A et B, et ayant en A une tangente distincte de la droile AB, celle dont la longueur est minimum. Les exlrémales sont, en eflel, des lignes droites, et il n'en est aucune satisfaisant aux conditions voulues. Il est évident, dans ce cas, que le problème u'admet pas

554 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

de solution. D'une part, toutes les courbes satisfaisant à ces con- ditions ont une longueur supérieure à la distance AB et, d'autre part, on peut en trouver dont la longueur diffère de AB d'aussi peu qu'on le veut.

2° Lorsque la fonction F(x,y^ y') ne dépend que de j', l'équa- tion (6) se réduit à ^'=0, et toutes les courbes extrémales sont des lignes droites.

Lorsque la fonction F(j?, y, y') ne renferme pas y, on a immé- diatement une intégrale première de l'équation d'Euler. En effet, si l'on part de la première forme (5) sous laquelle on a obtenu cette équation, on voit qu'elle est équivalente à l'équation du pre- mier ordre ^, = G, d'où l'on tire encore y' = (^(x, G), et l'on achèvera l'intégration par une quadrature.

On a une simplification équivalente quand la fonction F ne ren- ferme pas X. Nous pouvons en effet écrire alors l'équation (6), en la considérant comme une équation différentielle du premier ordre entre y et y'=p (n" 381 ),

^F	- ôyôpP^ c)p^-PTv~ ôvVôp)-	f)F dp
ày	f)p ()y
	i^-4)-

on a donc une intégrale première, ne renfermant que j' et j',

(7) FO--.v')-J''^-. =-C.

et il suffira encore d'une quadrature pour achever l'intégration de l'équation d'Euler.

Lorsque la fonction F ne contient pas y' , l'équation (5) se réduit à -T-7 = o ; les seules fonctions f(x) pour lesquelles la première variation <5J soit nulle sont donc les racines de cette équation. Les extrémales ne dépendent d'aucune constante arbitraire.

3" Cherchons comment on doit prendre la fonction F(a:-, y, y') pour que l'inlégrale J ne dépende pas de la courbe Y. H faut pour cela que la première variation ôj soit uuUe, quelle que soit celte courbe, et par suite que l'équation d'Euler se réduise à une iden- tité. On doit donc avoir F".j=:o, et par suite F est une fonction

•linéaire de y'

F = P(.r,j)+/Q(.r,r).

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 555

Si la fonclion F est de celte forme, rinlégrale J est une intégrale curviligne

tandis que l'équation (6) se réduit |à j-= ^ = o. La condition ainsi trouvée est nécessaire et suffisante pour que l'intégrale cur- viligne soit indépendante du chemin d'intégration (1, n" 132), même pour des chemins de forme plus générale que ceux consi- dérés dans ce Chapitre, par exemple pour des chemins ayant un nombre fini de points anguleux.

4° Remarquons aussi que, quand on remplace F par

ôx ày'

l'équation (6) n'est pas changée et les deux intégrales sont évi- demment maxima ou minima en même temps, quelle que soit la fonction B{x^ r), car elles ne diffèrent que d'une constante

9(^1, Ji)-e(:co, 7o).

622. Exemples. — Soit F = j'*^^i -+- y?, où l'exposant a est quelconque, la région (K étant la portion du plan au-dessus de Taxe Ox. L'équation d'Euler est ici y y" — a(i -\- y"^) = o et l'intégrale première (7) peut s'écrire

Cette équation différentielle a déjà été étudiée (II, n" 382) et l'on a vu que les courbes intégrales se déduisaient toutes, par une translation parallèle à l'axe Ox combinée avec une transformation homothétique relativement à l'origine, de la courbe y représentée par les équations

(8) X =^ \L f co%V- 1 fit , y = co%V-t,

•^0

où u = La courbe y a deux formes très différentes suivant le signe

a

de a. Comme nous ne voulons que la portion de courbe située au-dessus

de Ox, il suffira, quel que soit \i, de faire varier ^ de à — • Si a est

positif, |x est négatif, et la courbe y est symétrique par rapport à l'axe Oy qui passe par le point le plus bas; elle présente deux branches infinies avec l'axe des r comme direction asymptotique, et la convexité est tournée vers les ^ négatifs. L'aspect général est celui d'une parabole si \i est supérieur ou égal à un en valeur absolue; il y a deux asymptotes parallèles à Oy, si

556 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

ijL est compris entre — i et o. Au contraire, si a est négatif, (x est positif, et la courbe y a une forme analogue à une branche de cycloïde ayant Oj' pour axe de symétrie et limitée à deux points de l'axe des x où la tangente est parallèle à Ov. La convexité est dirigée vers iesjK positifs.

Toutes les extrémales étant semblables à la courbe y, pour trouver une extrémale passant par deux points \ et B situés au-dessus de O r, il suffira de trouver sur y deux points a, 6, tels que la corde ab soit parallèle à la droite AB, et qu'on ait ^ = 7'' ' C et c étant les points de rencontre de Ox avec les droites AB et ab respectivement. Les points A et B étant donnés, on connaît donc la direction de la corde ab, et le rapport k des deux segments ac et bc. Ces points a et b étant déterminés, il suffira d'une transformation par similitude pour en déduire une extrémale passant par les points A et R. La discussion se fait aisément par des considérations géométriques.

Premier cas. — Soit a < o. La tourbe ^, analogue à une cycloïde, est divisée en deux arcs PR, QR par le point de contact de la tangente RS parallèle à AB (Jî,^. 990)- Toute parallèle à cette tangente passant par un Fig. 99 a.

point s compris entre S et 0 rencontre l'arc RQ en un point /n et Tare lîP en m'. Portons sur cette droite à partir de s une longueur sn — k.sm. Le lieu du point n est un arc de courbe v,, tournant sa convexité dans le même sens que l'arc QR, et allant du point Q à un point T sur le prolongement de SR, tel que ST = A.SR. L'intersection de cet arc 7, avec l'arc PR don- nera le point a demandé. Ces deux arcs ont toujours un point commun et un seul. Posons, en effet, ï*s = /, sm'=^ u, sn = t^, m et r sont des fonc- tions de t dont les dérivées secondes u" et p" ont des signes contraires lorsque t varie d'une valeur positive très petite à la voleur SQ. La diffé- rence II" — <'" ayant un signe constant, u ~ f ne peut changer de Signe que deux fois au plus, et comme celte diflerence a des valeurs de signes con- traires aux deux limites, elle passe donc une fois et une seule fois par la valeur zéro. Il y a donc toujours^une extrémale et une seule passant par deu.t points donnés A et Yi de la région (K.

Deuxième cas. — Soit a > o. Le point de contact R de la tangente RS parallèle à AB {^g. 99 b) divise encore la courbe y en deux branches infinies •;', -;". Toute parallèle à cette tangente située au-dessus rencontre

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 557

les arcs y', y" aux^ points m, m' respectivemeiu, et si nous portons sur sm une longueur sn proportionnelle à sm (le rapport étant inférieur à un), le

Fig. 09 b

lieu du point n est une branche infinie yi partant d'un point T sur RS, et ayant une branche infinie avec une direction asymptotique dont le coef- ficient angulaire a une valeur finie. Les deux arcs yi) '{" ■, tournant leur convexité en sens contraire, ne peuvent se rencontrer en plus de deux points. Dans le cas actuel, ils ont donc zéro ou deux points communs. Par deux points k et ï^ de la région (K, il passe donc deux courbes. extré- niales {pouvant comme cas particulier être confondues), ou il n'^en passe aucune.

Dans le cas particulier où la droite AB est parallèle à Ox, la construc- tion se simplifie. On peut évidemment supposer ces deux points symé- triques par rapport à l'axe Oy, et Textrémale cherchée doit être homo- thétique de y par rapport à l'origine. Pour avoir le rapport d'homothétie, il suffit de prendre l'intersection de la droite OA avec y- Si a < o, il y a un point d'intersection et un seul, et par suite une seule solution. Si a > o, la droite OA rencontre y en deux points lorsque les droites OA et OB sont dans l'angle des tangentes menées du point O à y, et ne rencontre pas y dans le cas contraire. Il y a donc encore deux solutions, ou aucune solution.

Donnons maintenant à a quelques valeurs particulières.

1° Soit a =■ — I . Les formules (8) représentent un cercle ayant pour centre l'origine. Les extrémales sont donc des demi-circonférences ayant leur centre sur Ox. Il est clair que, par deux points A et B au-dessous de Oy, il passe une extrémité et une seule.

■2° Soit a = On a alors p. = a, et les formules (8) représentent une

cycloïde ayant pour base O x. Les courbes extrémales sont donc des cycloïdes ayant leurs points de rebroussement sur Ox. Par deux points A

558 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

et B situés d'un même côté de O^, nous avons vu qu'il passait une de ces cycloïdes et une seule, n'ayant aucun point de rebroussement entre A et B. Ce cas particulier donne la solution du problème de la hrachistochrone, posé par Jean Bernoulii en 1696, un de ceux dont l'élude a conduit à la théorie générale du calcul des variations. L'énoncé est le suivant : Trouver la ligne joignant deux points A et B telle qu'un point matériel pesant assujetti à décHre cette ligne sans frottement, et partant du point A avec une vitesse initiale v^, arrive au point B dans le temps le plus court possible. Admettons, ce qui est à peu près évident, que la courbe cherchée doit être dans le plan vertical qui contient les deux points {cf. n" 6:23). Ce plan vertical étant pris pour plan des xy, choisissons pour axe des x l'horizontale située à une hauteur h au-dessus du point A, la vitesse initiale vq étant égale à '<J'}.gh, et supposons l'axe des / dirigé vers le bas. La vitesse du mobile partant du point A avec la vitesse initiale sj igh est égale à chaque instant à \J>-^y., et il est évident que ce mobile ne peut atteindre le point B que si ce point est lui-même au-dessous de Ç)x. Le temps mis par le mobile pour aller de A en B est représenté par l'intégrale

curviligne / — » On a donc ici, à un facteur constant prés, ^K^^\igy

v:>'

et par suite la courbe cherchée est l'arc de cycloïde ayant Ox pour base et passant par les points A et B, sans aucun point de rebroussement entre A et B.

3° Soit a = I, L'intégrale première est ici y = C^i -*- y'^, et l'intégrale générale est formée de chaînettes ayant Ox pour base. Par deux points A et B situés au-dessus de Ox, nous avons vu qu'il passait o ou 2 de ces couibes. En particulier, si la droite AB est parallèle à Oic, le problème revient à faire passer par ces deux points une chaînette homothélique à une chaînette '{, ayant Oy pour axe de symétrie, relativement à l'origine. Soient OT et OT' les tangentes menées de l'origine à y ; toutes les chaî- nettes homothétiques sont situées dans l'angle TOT' {/ig^ 100).

Si le coefficient angulaire de la droite OB est supérieur au coefficient angulaire de la tangente OT, qui est i,5o88, ..., la droite OB rencontre la chaînette en deux points M et M'. Nous avons deux extrémales passant par les deux points A et B; on les obtient en prenant pour rapport d'homo-

thétie p-rri ou -r-rr;' Lorsque le coefficient angulaire de OB est inférieur OM OM' ^ "

à i,5o88, ..., la droite OB ne rencontre pas y, et il n'existe pas d'extré- male passant par les poMits A et B,

Ce cas correspond au problème de géométrie suivant. Étant donnés deux points A et B dans le demi-plan au-dessus de Ox, soit à trouver la courbe joignant ces deux points (et située au-dessus de O x) qui, en tour- nant autour de Ox, engendre la surface d'aire minimum. Si l'on admet qu'il existe une courbe de classe (I) fournissant ce minimum, on doit

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES.

55.)

prendre F = j'y i -+- ) 2, la région (R. étant toujours le demi-plan au-dessus de Ox. Dans le cas où il n'y a pas d'extrémale passant par les deux points

Fie. 100.

A et B, nous verrons plus tard que le minimum n'est pas fourni par une courbe de classe (I).

4° Soit a = 7* L'équation d'Euler admet l'inléijrale première

j = c(.-4-y2),

et les courbes exlrémales sont des paraboles ayant l'axe des r pour direc- trice (a: — C)- -+-(>- — C')- = j2, Le foyer d'une exlrémale passant par deux points A et B est à l'intersection des deux cercles tangents à Ox, ayant pour centres les points A et B respectivement. Pour que ces cercles se coupent, il faut et il suffit que le point B soit à l'intérieur de la para- bole P de foyer A, dont l'axe des x est la tangente au sommet. Les diverses extrémales passant par un point A sont les trajectoires d'un point mobile pesant, lancé du point A dans les diverses directions issues de ce point avec la même vitesse initiale, et la parabole P n'est autre que la parabole de sûreté. Ce résultat s'explique aisément, comme application du principe de la moindre action (voir les Traités de Mécanique).

623. Cas de plusieurs fonctions inconnues. — La méthode du n" 621 s'étend sans difficulté au cas oii la fonction F dépend de plusieurs fonctions de la variable x et de leurs dérivées du premier ordre. Considérons, pour fixer les idées, une fonc- tion F(j7, jj', 2, y\ z')^ continue et admettant des dérivées par- tielles continues au moins jusqu'au troisième ordre, lorsque le point {x^y, z) reste dans une région 61 de l'espace, pour toutes les valeurs finies de/' et de ;:'. Soient A(a^„, y»; ^0) et B(a", y^ , z^) deux points quelconques de dl, et F une courbe joignant ces deux points, située à l'intérieur de CR, et représentée par les deux

56o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

équations y:=f{a;), z=fi{x)^ ou / et/, appartiennent à la classe (I) dans l'intervalle (Xoi a:^). A toute courbe T de celte espèce correspond une valeur finie de l'intégrale

et l'on peut encore se proposer de déterminer la courbe F de façon que la valeur de J soit plus grande ou plus petite pour cette courbe que pour toute autre courbe de même espèce infiniment voisine de la première, située dans Ôl, et joignant les deux points A et B. Pour poser analjtiquement le problème d'une façon précise, il suffit d'étendre à l'espace ce qui a été dit plus haut (n" 620) pour le problème dans le plan; nous n'y reviendrons pas. Soh y =f{.x), z=zf(^x) un système de fonctions de classe (I) fournissant un es-tremum de l'intégrale J; soient, d'autre part, r\{x)^ r]i{x) deux fonctions quelconques de classe (I) s'annulant pour x =^ x^ et pour T = Xi. Il est clair que l'intégrale obtenue en remplaçant y ps\rf{x)-^cxri(x), z pnr /^{x) + ix-n,(x), est une fonction de a

J(a)^ r 'F[.r,/(^) + a-,i(:r), . . ., f[{x) -^ x r^\ (x)] dx

qui doit être maximum ou minimum pour a = o, quelles que soient les fonctions y)(j7), r),(a;), pourvu qu'elles vérifient les conditions énoncées, La formule classique de différentiation donne

'"-'£'[

àF , , àF , , <^F w N ^F , , ,, ,

qui devient, en intégrant par parties les deux derniers termes, et tenant compte des conditions aux limites pour rj et Oi,

oJ

r''( , jàF d |'àF\^ , ^\àF d iàFW\ ,

D'après le lemme fondamental du n° 619, ôJ ne peut être nul pour toutes les formes possibles des fonctions rj, yî,, que si/et/i sont deux intégrales des deux équations simultanées, analogues à l'équation d'Euler,

, ^ .;f d /âF\ àF d /0F\

(9) dy-TL^W)^''' J7-^i.7?j^°-

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 5fil

!\ous dirons encore que lout sysléme de soiiilions de ces deux équations définit une courbe extrciTiale dans l'espace. En les déve- loppant, elles s'écrivent

Si le déterminant \=^'^-^ j-^ — ^ -r^-ry, ) n'est pas nul iden- tiquement, ces deux équations peuvent être résolues par rapport à y et à z\ ce qui conduit à un système d'équations du second ordre de forme normale

(12) y"=o{x, y, z, y', z), z" = Ox{x, y: z, y\ z').

Par tout point de dv, il passe donc une infinité do courbes extrémales, mais il n'en passe qu'une en général ayant en ce point une tangente déterminée, pourvu que la valeur correspondante de A ne soit pas nulle. Si A ne peut s'annuler dans la région cR, pour des valeurs finies dey' et de 5', le problème est dit régulier.

L'intégrale générale du sysléme (12) dépend de quatre con- stantes arbitraires dont on peut disposer, tout au moins si les poinls A eî B sont assez rapprochés, de façon que l'extrémalo passe par ces deux points, mais on ne pourrait se proposer de trouver une extrémale passant par ces deux poinls, et tangente en A à une direction déterminée.

On peut faire, sur le système (9), des remarques analogues à celles qui ont été faites à propos de l'équation d'Euler.

Si l'une des variables x, y, z ne figure pas dans F, le système admet, suivant les cas, Tune des intégrales premières

(.3) F_,.*_.^'i,=C, ^,=C, 'f,= C.

■^ f)y àz ày àz

Pour que les équations (10) et (ii) se réduisent à des identités, 1' doit être de la forme P -1- Q^'h- R 5', P, Q, R étant des fonctions de x, y, z qui vérifient les conditions d'iulégrabilité (I, n" l.^.o).

Exemple. — Soit F = '-^ ^; en sup|)Osant qu'on ait pris pour

V" ^ axe des z une verticale dirigée vers le bas, cette expression de y convient

au problème général de la brachistochrone; La fonction F ne renfermant

COURSAT. — m. 30

562 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS,

ni X, ni y, le système (9) admet deux intégrales premières

y= Cl ^f'z \/i-hy-^-hz'^, I = C2 ^G y-i-t-yî^-^'î,

d'où l'on tire

Les courbes extrémales sont donc situées dans des plans verticaux; on a vu plus haut que ces courbes étaient des cycloïdes.

^ous laisserons de côté le cas où à. est identiquement nul; on étudiera plus loin (n"' 6iS et suiv.) un cas important où les deux équations (10) et (11) ne sont pas distinctes.

6'24. Cas où F renferme des dérivées d'ordre supérieur. — On peut

calculer de la même façon la première variation des intégrales où la fonc- tion à intégrer renferme les dérivées des fonctions inconnues jusqu'à un ordre quelconque. Soit, pour préciser, F[^, y, y', ..., ^("'] une fonc- tion continue, et admettant des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre /i h- 2, pour toutes les valeurs finies de y', y'j ..., yi") et pour toutes les positions du point (x, y) dans une région (R. du plan. Nous dirons, pour abréger, qu'une fonction /{x), continue et admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre n dans l'interviUe {xq, Xi) est de classe (î)" dans cet intervalle. Si la courbe correspondante F est dans la région (R, l'intégrale définie

J=y 'F[x,/ix),f{x), . . ., /"'){x)]dx = J F[x, y, y, . . ., yW]dx

a une valeur finie, et l'on peut encore se proposer de trouver, parmi toutes les courbes de cette espèce situées à l'intérieur de (R. et joignant deux points A et B de cette région, celles pour lesquelles l'intégrale J est plus grande ou plus petite que la même intégrale, étendue à toutes les courbes infiniment voisines de la même classe. Soiiy=^f{x) une fonction de classe (I)" satisfaisant à cette condition; l'intégrale définie

J(a)= r F[x,f{x)-hai\{x), . . . , fM{x) -h !x-fiW{x)]dx

doit être maximum ou minimum pour a = o, quelle que soit la fonc- tion ■q{x) de classe (I)", pourvu qu'on ait T,(;ro) = T|(a:i) = o. Or, on a

y>yi •••>/'"' étant mis à la place àt f{x), f{x), . . ., /i")(a;). Admet- tons que la fonction cherchée f{x) ait des dérivées continues jusqu'à l'ordre in, on peut alors appliquer la formule d'intégration par partie

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 563

dF

généralisée (I, n» 87) à chaque terme tel que ■ ■ï\if){x), ce qui donne

/' dF

et l'on obtient finalement pour J'(o) une expression de la forme (,/j) J'(o) = [Fo(x)r.(ar)-^F,-ri'(^)+...-4-F„_i7i(«-i)(^)];y.. r-^' , AàF d iâF\ d^ /dF\

"^X, "'^'"^\àj^~di[^')^d^-[ày')-^---

, , d'^ \ dF \) ,

Fo, Fi, ..., F„_i renfermant x,]y', et les dérivées de j- jusqu'à l'ordre an — I au plus.

Si l'on prend pour T)(a;) une expression de la forme considérée au n" 619, nulle en dehors d'un intervalle (Ço, Çi), intérieur à rintervalle {xo, Xi), le terme tout intégré est nul aux deux limites, et l'on en conclut encore que la fonction cherchée /{x) doit être une intégrale de l'équation différen- tielle , ^, dF d [ dF\ ^ ^„ ûf« f dF \

Nous appellerons encore fonction extrémale toute intégrale de cette équation, et courbe extrémale la courbe correspondante. L'équation (i5) étant en général d'ordre 2/1, les extréraales dépendent de 2/1 constantes arbitraires. Une extrémale n'est donc pas déterminée par deux points A et B, mais les valeurs de /'{x), f"{x), . . . , /(«-i)(a:) n'étant assujetties à aucune condition pour a; = oto et a: = a:), les valeurs de ri'{x), r"(x), . . ., ■r^i"-i)(x) peuvent être choisies arbitrairement aux deux limites. Pour que J'(o) soit nul, quelles que soient ces valeurs, il faut, d'après l'expression générale de J'(o)) que les valeurs de f{x) et de ses 2/1 — 1 premières dérivées pour a: = a:o et pour x =: Xi vérifient les relations

F,i = o, F2 = o, .... F„_, = o.

En ajoutant ces 2/1—2 relations à celles qui expriment que l'extrémale passe par les points A et B, on a en tout 2/1 relations pour déterminer les 2n constantes dont dépend l'extrémale.

On pourrait aussi se poser un problème un. peu différent en cherchant les fonctions de classe (I)»» qui donnent un extremum de l'intégrale J,

564 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

parmi celles qui sont assujetties à prendre des valeurs données à Tayance, ainsi que leurs n — i premières dérivées, pour ^r = a^o et i: = Xi. La fonc- tion ■T\{x) doit alors être nulle, ainsi que ses n — i premières dérivées, aux deux limites, et il suffit que /(a:) soit une extrémale pour que J'(o) soit nul. Les in constantes dont dépend l'extrémale sont déterminées par les in conditions aux limites auxquelles doit satisfaire /(a:).

On pourrait se proposer plusieurs autres problèmes du même genre en se donnant, outre /(^o) tlf^x^), les valeurs de quelques-unes des dérivées d'ordre inférieur à n pour x = Xo ou pour x = x^. La fonction f{_S) doit encore être une extrémale pour que J'(o) soit nul, et le nombre des con- ditions auxquelles doit satisfaire celte extrémale est toujours égal à 2/1. En effet, si Ton se donne la valeur de /'^'(^o) par exemple, il en résulte une relation entre les in constantes dont dépend l'extrémale. Si la valeur de /'/''(a;,,) est indéterminée, T)(/')(aro) peut avoir une valeur quelconque et le coefficient F^ de •i\'p){x) dans J'(o) doit être nul pour la valeur Xo, ce qui donne bien une relation entre les in constantes.

Exemple. — Soit à trouver le minimum de l'intégrale J = / y'- dx, jK(ar) étant nul pour a: = o et pour x = i. On a ici

dx.

Les extrémales sont des cubiques y = PsC-^) = px^-i- qx--^- rx -+- s. Si y{x) n'est assujetti à aucune autre condition, on doit avoir y (o) = o, r''(i) = o. Les deux points (o, o) et (o, i) sont des points d'inflexion et l'extrémale est la ligne droite r = o. Si l'on se donne les valeurs de y'(o) et dey'{i), Pextrémale a pour équation

y= x(x — i)[{j\-^y\)x—y{o)].

Enfin, si l'on se donne seulement la valeur dey{i), l'origine doit être un point d'inflexion de Pextrémale qui a pour équation

2

Dans chacun de ces cas, la fonction Pzix) fournit bien un minimum absolu de l'intégrale, car si l'on remplace y par ^^(x) -h <xti(x), on a

l(a) — J(o)==a^ f ■r{'^{x)dx.

625. Expression générale de ia première variation. — Nous allons reprendre le calcul de la première variation d'une intégrale, avec des hypothèses plus générales. Supposons que, dans Tinté-

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉM^LES. 5G5

grale

J = / F{Jr, »-, r')d.r,

y soil remplacée par une fonclion de x el d'un nombre quel- conque dft paramétres a,, continue et admettant des dérivées continues par rapport à j? et à ces paramètres, les limites x^ et X\ étant elles-mêmes fonctions de ces paramètres. La valeur de l'in- tégrale J est aussi une fonction de a,, dont on se propose de calculer la différentielle totale du premier ordre; cette diff*ëren- tielle totale est appelée la première variation de Vintégrale J el on la représente encore par dJ. Le calcul de ôJ n'exige que l'applicali«jn des régies classiques de difl'érentialion sous le signe intégral; pour fixer les idées, nous supposerons tout d'abord qu'il y a un seul paramètre variable a. Soient a:o=cpo(«)} :r<:=<ï),(a) les expressions des limites x^y et x^ en fonclion de a; cp« et ç», sont des fonctions continues, ayant des dérivées continues dans un certain intervalle, (o, h) par exemple. L'une de ces fonctions ou les deux à la fois peuvent se réduire à des constantes ; c'est le cas auquel on s'est borné jusqu'ici. Soit, d'autre part, yr=ij{^x^ a) une fonction continue, ainsi que toutes ses dérivées partielles qui figurent dans le calcul suivant, dans le domaine défini par les inégalités o<a^/i, cpo(a) <ir^9< (a). Nous supposons, en particulier, qu'on a le droit d'intervertir l'ordre des diff'érentia- tions dans le calcul des dérivées secondes et, en outre, que le point de coordonnées [a?, /(a?, a)] reste dans la région dl. Enfin, nous poserons /(ar) =/( a;, o). Si l'on remplace r par/(^-, a), la valeur de J est une fonction J(a) du paramètre a dont la dérivée a pour expression

— ^-^ \ dx dy' dctàx

Si la fonction y'(^,^) a une dérivée seconde continue par rapport à x^ on peut encore appliquer au second terme de l'intégrale la formule d'intégration par parties, et il reste

/ rN Vf ^ (ir/ 'dx d¥ àfY^ /''"V/rc^F d(dy'\l,

(,b) u.^) = [Yix,y,y)-^^-^^,£l^-^J^^ £Y---(^^^j]^dx.

Le terme tout intégré dans le second membre peut se transformer

566 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

comme il suit. Soient (.To,yo) et (xt, j, ) les coordonnées des extrémités variables de la ligne d'intégration; ces coordonnées sont des fonctions du paramétre x qui ont pour expressions

a-o=(po(a), yo = fixo,cc), j?i=çi(a), Ji =/(x,, a).

On a, par conséquent,

dyo _ âf dxo âf{Xo, a) _ , dxu ()f{xQ. a)

y\ étant le coefficient angulaire de la tangente en A à la courbe

d'intégration. On a une formule toute pareille pour -^, et l'on

en déduit

()/{xo, a) _ dj'n , dxo àf{x\, a) dy^ , dx,

ÔOL ~ dot. -^ ''^ da. ' (Ja. ~ do. ^ ' da. "*

y\ étant le coefficient angulaire de la tangente en B à la courbe d'intégration. Le terme tout intégré dans J'(«) est donc égal à

c/ ,^dx^ (ॠ\ ( dvx , dxx\

,.dx^ (à¥\ Idy^ , dxo\

en multipliant les deux membres de la formule (i6) par ôa, on obtient l'expression générale de la première variation ôJ

(.7) SJ= ]^Y{x,,y„y\)-y\(^^^^hx,

— I F(^o, Jo, v'o)— j'o (^^ j JSxo

Dans celte formule ^y est la différentielle -^ àoc de la fonction /(x, a) elle-même, 0X0^ ôyo, ôxt, oy\ désignent les différentielles des coordonnées des extrémités A et B du chemin d'intégration; la signification de (-^-l etde(-p,j n'a pas besoin d'être expliquée. On peut aussi écrire la formule (18) sous forme abrégée

(18) 8J

=[(-/|')-.f.'.']>X"4?-#.(^)]''-

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 667

on a J'(o) en divisant lus deux membres par a, el faisant tendre a vers zéro; mais, si /{jc, a) n'est définie que pour ies valeurs posi- tives de a, J'(o) est la liiuile du quotient — ^^ lorsque a

tend vers zéro par valeurs positives seulement.

Le second membre de la formule (i8) étant linéaire par rapport à èy, dxuj ây„, oar, , ây,. il est clair qu'elle s'étend au cas où Xo, X\ et y sont des fonctions d'un nombre quelconque de paramètres. On remarquera que les termes en dehors du signe d'intégration ne dépendent que des déplacements infiniment petits des extré- mités de l'arc d'intégration et du coefficient angulaire de la tan- gente à la courbe d'intégration en ces deux points.

Par un calcul tout pareil au précédent, on obtient pour la pre- mière variation de l'intégrale i z= j F(ic, y, z, y', z') dx^ la formule (.9) oJ = l^(F- r _ _= _jo..^ _,, -^ ^^o.J^^

où (a^o, y«i -0) 6t (X) . )'i , z^ ) sont les coordonnées des extrémités de l'arc d'intégration. Si la fonction F renferme des dérivées d'ordre supérieur, une suite d'intégrations par parties permet encore de mettre oJ sous la forme d'une somme d'un terme tout intégré et d'une intégrale définie. Nous nous bornerons au cas particulier précédent.

En général, l'expression de ôJ renferme une intégrale définie. Pour que cette intégrale disparaisse, il faut et il suffit que la courbe obtenue en donnant aux paramètres, dont dépend la courbe d'intégration, les valeurs particulières considérées, soit une courbe extrémale. 11 en sera certainement ainsi si l'on étudie la variation de J le long d'un arc de courbe extrémale qu'on fait varier d'une manière continue cl, par suite, la premïpre varia- tion ôJ de r intégrale prise le long d'un arc d^ extrémale s'exprime uniquement au moyen des déplacements infiniment petite des extrémités de l'arc.

568 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VA«IATIONS.

Ce théorème, fondamental dans le calcul des variations, com- prend comme cas particuliers un grand nombre de résultats connus. Par exemple, si F = y i -r J' "4- ^'-', les extrémales sont des droites et la formule (19) est identique ù celle qui exprime la différentielle d'un segment de droite (I, n" 84).

Remarque. — Si F est de la forme ^ (x , y) -\- Çl{x , y) , la for- mule (18) se réduit à

(20) ûJ = (P û.r -^ Q oy)^i-i.J (iy{^— — —j dx,

et le terme tout intégré ne dépend pas de la direction de la tangente à l'arc d'intégration aux points A et B, Il s'ensuit que la formule (20) est applicable à un chemin d'intégration présentant un nombre quelconque de points anguleux ; il suffit de décomposer le chemin d'intégration en plusieurs arcs n'ayiini pas de points anguleux, d'appliquer la formule (20) à chacun d'eux et d'ajouter les résultats.

I.orsque la condition d'intégrabilité -r— = -—- est vérifiée, la formule se

simplifie encore et l'on a 8.1 =(P ôa; -f- Q 8y)J*, ce qui est bien d'accord avec les résultats connus (I, n» 152). Ces remarques s'étendent à la for- mule ( 19), si F est de la forme P(x,y, z) -+- Q(x,y, z)y' -i- R{x,y, z,)z'.

G2(). Application au cas des extrémités variables. Tranversales. — Reprenons le problème traité au n" 621. en supposant mainte- nant que l(;s extrémités de la courbe d'intégration sont variables. .Soient Co, C| deux courbes intérieures à la région (K elT une courbe de classe (I), située dans Ûl, joignant un point A de Co à un point B de Ct. Ou se propose de déterminer celte courbe F de

façon que la valeur de l'intégrale -î =^ / F< -^i JK- >') <^i^ soit plus

grande ou plus petite que pour toute autre courbe de même espèce iuiinimenl voisine joignant un point de Co à un point de C| . Il est (•vident, tout d'abord, que la courbe F doit être une extrémale, car lii variation ôj de l'intégrale doit être nulle quand on fait varier le chemin d'intégration sans changer les extrémités. Cette condition liant supposée remplie, imaginons qu'on déforme l'arc d'intégra- tion d'une façon continue à partir de la position initiale AB, l'ori- gine A restant fixe, de façon que B se déplace sur C|. On aura, pour ce déplacement infiniment petit, d'après la formule gêné-

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 669

raie (18) qui donne ôl,

SI = [V{xi,yi, r\)—y\ F'y(x,, _y,,y\)\oxi-h F;.(u-,, j-,, 7',) oj-,,

(xi, j',) élantles coordonnées du poinl B, }', le coefficient angu- laire de la tangente en B à l'extrémale; ô:r,, âj'< les différentielles relatives à un déplacement de B sur C|. Pour que l'arc AB four- nisse un extremum de l'intégrale, ôl doit être nul, et l'on a yne autre condition nécessaire pour l'extremum

(21) [F(:r,, Vi, y\)—y'i F;.'(;r,, j,, ,)',)] oj-, -+- F;.(:/-,, j,, y',) or, = o.

De même, on laissant fixe le point B, et en faisant décrire au point A la courbe Cq, on obtient une nouvelle condition nécessaire

(22) [F(j;o, vn, y'o)—y'o F[.{xo, r„. .r'»)] o./-„-h F'y(xo, yo, y'o) h'» = ">

(cTo, JKo) étant les coordonnées du point A, r'„ le coefficient angu- laire de la tangente en A à l'extrémale, dx^, oy„ les paramèlrcs directeurs de la tangente en A à la courbe C,,.

En résumé, pour que la courbe AB fournisse un extremum de V intégrale J, il faut : \" que cette courbe soit une extré- male; 2° qu^ aux points \ et V> les relations (21) et (22) soient vérifiées.

Le problème est déterminé, puisqu'on a deux relations pour trouver les valeurs des deux constantes arbitraires dont dépendent les extrémales.

Si l'un des points A ou B est lixe, la relation correspondanle (21) ou (22) doit être remplacée par celle qui exprime que l'extiémale passe pai- ce point. Si la courbe C,,, par exemple, se réduit à une parallèle à l'axe des jK, on a tx^,— o, et la condition (22) se réduit à F',.,(a;o,7o,.7'o) = o.- condition qu'on pourrait aussi déduire de la formule (3)' du n" Cil, en observant que, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, la valeur de 7 reste indéterminée pour x = x,,, et que, pnr suite, T,(a?„) est arbitraire.

Soient, d'une façon générale, {x^ y) les coordonnées d'un point M d'une extrémale F, y le coefficient angulaire de la tangente eu ce point; ox, èy les paramètres directeurs de la tangente à une autre courbe quelconque C passant par ce point. Nous dirons, avec M. Kneser, que l'extrémale coupe transversalement on M la courbe G, si x^ j^, y', nx. èy vérifient la relation

(23) [F(.i-, y, y')—y'Fy{x, y, y')] o.c -+- F\..{x, y, y') oy = o.

570 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Avec cette convention, on peut dire que les conditions (21) et (22) expriment que V extrémale AB, pour fournir un extremum^ doit couper transversalement les courbes Cn, C, aux points A e^ B respectivement.

Dans le cas particulier où F est de la forme g{x^ y) \/ \ -\- y''^, la condition (28) devient g{bx + y' hy) =^ o\ elle exprime que les tangentes aux courbes C et F sont orthogonales, en tout point où g{x. y) n'est pas nul, et c'est le seul cas où il en est ainsi. Si g[x, y) =^\^ les extrémaîes sont des lignes droites et nous retrouvons ce résultat bien connu que les lignes qui donnent un extremum pour la distance de deux points pris sur les courbes Go et Cj respectivement sont des normales communes aux deux courbes. On sait, d'ailleurs, que toutes ces normales ne donnent pas une solution du problème, et ceci nous montre que les condi- tions obtenues ne sont pas suffisantes, dans le cas général, pour que l'arc AB fournisse un extremum de l'intégrale J.

La relation (23) étant linéaire en âx, ôj-, toutes les courbes G qui sont coupées transversalement par une extrémale donnée en un point donné ont la même tangente en ce point. Étant donnée une famille d'extrémales F, dépendant d'un paramétre arbitraire rt, telle qu'il en passe une par tout point d'une région ïl du plan, il existe une famille de courbes C qui sont coupées transversalement en chacun de leurs points par l'extrémale de la famille considérée qui passe par ce point. En effet, le coefficient angulaire y' de la tangente à l'extrémale qui passe au point (x, y) est une fonc- tion de X, y, et la condition (28) nous fournit une équation diffé- rentielle du premier ordre ^ = 9(^7, ^) pour définir les courbes G.

Nous dirons que ces courbes C forment une famille de courbes transversales.

Inversement, toute courbe G, qui n'est pas une extrémale, appartient à une famille de transversales. En effet, de chaque point M de G, il part une extrémale F, qui coupe transversa- lement G en ce point. [Il peut même y en avoir plusieurs si l'équa- tion (23) a plusieurs racines en y\ mais on associera les racines qui varient d'une manière continue quand M se déplace sur G.] Les extrémaîes ainsi obtenues dépendent bien d'un paramètre, et elles sont transversales à la courbe G. Les autres transversales de

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 571

la même famille s'obtiennenl en parlant de C par la construction suivante. Sur l'exlrémale issue du point M et transversale à G, prenons un point M' tel que l'intégrale J = / F(a:, y, y') dx

ait une valeur donnée K. Lorsque M décrit une courbe C, M' décrit une courbe C, l'une ou l'aulre des deux courbes pouvant se réduire à un point; d'après la construction même, la première variation ôj de l'intégrale le long de MM' est nulle, et cet arc MM' est transversal à C en M. D'après la formule générale (i8) qui donne -5.1, il doit aussi être transversal à C. En faisant varier la constante K, on obtient la famille de transversales dont C fait partie. Nous signa- lerons seulement cette importante proposition, qui généralise les propriétés bien connues des courbes parallèles; on y reviendra plus loin.

Cherchons de même les courbes F de l'espace qui fournissent un extremum de l'intégrale J = / F(t, -)', :;, }', z')dx, les extré-

mités A et B de la courbe F étant assujetties à rester sur deux sur- faces données 2o> ^c H est évident tout d'abord que F doit être une extrémale. En laissant fixe une des extrémités A ou B, et faisant mouvoir l'autre sur la surface correspondante, les difFé- rentielles relatives à un déplacement infiniment petit sur cette surface doivent vérifier une relation qu'on obtient en égalant à zéro la première variation ôl donnée par la formule (19). Soient, d'une façon générale, {x, y, z) les coordonnées d'un point M d'une extrémale F, y' et z' les valeurs des dérivées en ce point, 2 une surface quelconque passant par le point M et

P(X — x)-hQ(;\ — j) + R(Z — z) = 0

l'équation du plan tangent à 2 en M. Nous dirons que Fextré- male F coupe transversalement la surface 2 en M, si l'on a les relations

, ,, ¥{x,v,z,Y\z') — y'V\ — z'Fl. F;., F'.. {M) p = — = — .

En écrivant qu'on a identiquement ôJ = o lorsque, le point A restant fixe, le point B se déplace sur 2, dans une direction arbi- traire, on obtient précisément les conditions qui expriment que l'extrémale AB est transversale en B à la surface 2,, et l'on aurait

072 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

une condition tonte pareille pour le point A. Donc, Vexlrémale AB doit couper transversalement les surfaces 2o <-'' ^t aux points h. et B respectivement.

On a encore quatre conditions pour déterminer les quatre con- stantes dont dépendent les extrémales. Si F est de la forme

.•?(•'",■ y-. -) v''^-y'-t--'^

les conditions (24) exprinientquelextrémale F est orthogonale à 2. Les conditions (24) étant linéaires en P, Q, R, la direction de la tangente à l'extrémale en un point M détermine la position du plan tangent à 2, de sorte que toutes les surfaces qui sont coupées transversalement par une extrémale déterminée en un même point ont même plan tangent en ce point. Il s'ensuit qu'étant donnée une congruence de courbes extrémales, telle qu'il en passe une par tout point d'une région R de l'espace, il n'existe pas toujours de famille de surfaces 2, qui soient coupées transversalement par ces extrémales ( II, n" 440), de même qu'une congruence de droites n'est pas toujours formée des normales à une surface. Mais une surface quelconque 2 fait toujours partie d'une famille de surfaces transversales, qui se déduisent de 2 par la même construction que dans le cas du plan. Par chaque point M de 2 passe une extré- male r qui est transversale à celte surface; prenons sur cette extré- male un point M' tel que l'intégrale / F(a", r, ^-^y'-, z')dx ait

une valeur constante K. Lorsque le point M décrit 2, les extré- males 2 engendrent une congruence. et le point M' décrit une sur- face i' qui est coupée transversalement par toutes ces extrémales.

Remarque. — Chacune des surfaces So, -1 peut se réduire à une courbe ou à un point. Si Sq, par exemple, se réduit à une courbe Co, les deux conditions de transversalitë doivent être remplacées par deux autres con- ditions, dont l'une exprime que rextrémaie cherchée rencontre Co, la seconde s'ex primant par la relation

[ F ( xo, jo, -20 ; y\ , -s'o ) — jKo F/ — -0 F^'] o-ro ^ F^ Sj'o ^ F^, ùZç> =^ o,

8x'o, 0^0, S^,, étant les paramètres directeurs de la tangente à Cq au point A. Lorsque So se réduit à un point, l'extrémale doit passer par ce point.

627. Problèmes d'extremum lié. — Dans tous les problèmes précédents, les fonctions inconnues doivent vérifier certaines conditions où figurent

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 573

seulement les valeurs aux limites. Dans d'autres problèmes, dits /?ro6/è/Me,s d'^extremum lié, les fonctions inconnues doivent, au contraire, vérifier des relations où figurent toutes les valeurs de ces fonctions dans l'inter- valle d'intégration. Quelques-uns de ces problèmes se ramènent aux pro- blèmes dont il a été question jusqu'ici ou problèmes d'extremutn libre. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver une courbe F donnant

un exlrenium de l'intégrnlc J= / ^ {x, y, z, y\ z')dx, parmi toutes

les courbes situées sur une surface S, qui joignent deux points donnés de cette surface. On peut imaginer qu'on ait tiré de l'équation de la surfaces en fonction de x /tl de y^ et l'on est ramené au premier problème examiné au n° 621. Les questions de ce genre ne diffèrent donc pas essentielle- ment des problèmes d'extremum libre, mais ii peut être commode de les traiter directement, par une méthode analogue à celle des multiplica- teurs de Lagrange, pour une question de maximum ou de minimum ordi- naire (I, n" 52). Nous prendrons pour exemple le problème de la ligne la plus courte entre deux points d'une surface. Soient A et B deux points donnés d'une surface S ; toute courbe F de S joignant ces deux points, et n'ayant pas de points anguleux, est représentée par un système de trois équations

■^•=/.Û), y^M.n, ^■=Mt),

f\i fil fz étant des fonctions de classe (I) qui vérifient l'équation de la surface G{x, y, z) ^= o, et l'on peut toujours choisir le paramètre t de façon que les extrémités A et B correspondent aux valeurs o et i du paramètre. De plus, ces fonctions doivent prendre des valeurs données pour f = o et ^ = 1. Parmi tous les systèmes de fonctions qui satisfont à ces conditions, il s'agit de trouver celui pour lequel l'intégrale

= / s^'x'-^-^-y'-'

2'2 dt

, , . 1 . - , , . • - dx dy dz „

est minimum, a- , y, 2 désignant les dérivées —ri -^i -.- • Kemniacons ./ . ' -^ ' " dt dt di IV.

y, z par des fonctions ?i(<, a), ^^{t, a), zj^t, a), satisfaisant aux même?

conditions que fi, /«, fz, quel que soit le paramètre a, et se réduisant,

pour a = o, aux fonctions /i, />, /s- L'intégrale J devient, après cette

substitution, une fonction J (a) du paramètre dont la dérivée J', pour a = o,

prend la forme, après les mêmes transformations qu'au n" 623,

*1,{ ' -VA"''

T,i, f,;, r,;; éliiiil (les fonctions de / tie classe (I), qui lepiéseiitent res|iecl!ve

574 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

ment les valeurs de -^5 -^, -^ pour a = o. Ces fonctions sont nulles

pour ^^=0, ' = 1, mais ne sont pas indépendantes dans rintervalle, car elles doivent vériCer la relation

... àO dQ àG

(25) _^,_H_^,H-_,l3=o,

dont la signification est évidente, en tout point de la courbe f. Pour que la relation J'(o) — o soit une conséquence de la condition (25), il faut et il suffit (1) qu'on ait

-(-.=£=) ^ ( y -\

dx dy

àz Ces conditions expriment que la normale à la surface S coïncide avec la normale principale à Y (I, n" 229), car les rapports ■

\i x'--^ y--\- z'-

r' 7.'

sont précisément les cosinus directeurs

(26)

V x'- -+- y"^ -+- z'- y x'^ -+- y''^ -

(») Soient, d'une façon générale, F„ F„ F3 des fonctions continues données de t dans l'intervalle (<„, t,), t,i, r,j, T13 des fonctions de classe (I) dans cet intervalle, nulles pour / = ^oi ' = ^u et vérifiant une relatioû linéaire

°ù /,, /i, /a sont des fonctions continues de t. Si, pour tous ces systèmes de fonctions t,;, on a aussi / (t„ F,4- r|,F,-4- r„F3)rf< = o, on en conclut qu'on a

F F F

(B) £1 _ fj — li

pour toute valeur de t dans l'intervalle (<o. ^J- O1 satisfait, en effet, à la condi- tion (A) en posant

X„ Àj, X, étant des fonctions quelconques de classe (I), nulles pour t = 0, t = 1. L'intégrale

/" [>^. ( F./a - /. F3 ) -+- >, ( F3/, - /3 F, ) -4- X3 ( F,/, - /, F, ) ] rff

devant être nulle pour toutes les formes possibles des fonctions X^, on en conclut les relations (B).

I. — PREMIÈRE VARIATION. — EXTRÉMALES. 575

de la tangente. La courbe cherchée est une ligne géodésique {voir plus loin, noeSl).

628. Problèmes isopérimétriques. — Les problèmes du type suivant, appelés problèmes isopérimétriques, ne peuvent être traités de la même façon. Soit à trouver, parmi les courbes V de classe (I), situées dans la région (K, et joignant deux points A(^,h y^) el B(a;i, /,) de cette région, pour lesquelles Tintégrale

-l

G{oc,y, Y')dx

a une valeur donnée G, celles qui fournissent un extremum relatif de l'intégrale

l

En raisonnant comme au n» 621, supposons que la fonction y =. f{x) réponde à toutes ces conditions; soient, d'autre part, t\\{x), ■t\^.{x) deux fonctions de classe (I) dans l'intervalle {xq, xi) nulles aux deux limites. Si l'on remplace, dans ¥{x, y, y'), y par f{x) -\- a.i-r\y{x) -\- aLz-r\'î{x), ai et «2 étant deux paramètres arbitraires, l'intégrale J devient une fonc- tion de ces paramètres

(27) J(a„a.)= r'"'F["'/(">-^"*'^\(">^"'-^f("M

dx.

En effectuant la même substitution dans G{x,y,y'), l'intégrale Ji devient une fonction de «i, a^; en écrivant que cette fonction est égale à la cons- tante G, on établit une relation entre les deux paramètres ai, a^,

(28) Ji(a,,a2)=/ G[x,/{x)-i-cciTii{x)-hcc.2-qi{x),/'(x)-h...]

dx

La fonction J(ai, aj) des deux paramètres aj, «2, liés par la relation (28), doit être maximum ou minimum pour les valeurs ai = a2 = o. Il faut pour cela qu'on ait (I, n" 52)

En transformant les expressions des dérivées (-;—)) .... comme au n" 621, cette relation peut encore s'écrire

576 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Les fonctions r,j, -rjj étant indépendantes l'une de l'autre, la valeur com- mune de ces rapports doit être une constante K indépendante de la forme de la fonction f\{x) et, par suite, on a, pour toutes les formes possibles de la fonction t\{x), nulle pour x = x^ et pour x = ^1, et de la classe (f ) dans l'intervalle (/r„, x,),

(29) f ^-nix)]

Jy ~ dx [ dy' J \

dx

La fonction cherclu'-e ./(^r) est donc uue intég^rale de l'équation diflc- reniielle

(30) .A-F-KG)_^r.V(F-'-^'Uo,

^ ^ Oy dx L ôy' J

où figure une constante inconnue K. Les iutéfrraies de cette équalionj c'est-à-dire les extrémales du problème, dépendent de trois constantes, K et les deux constantes introduites par l'intégralioR. G est le nombre nécessaire pour qu'on puisse se proposer de trouver une extrémale pas- sant par le» deux points A et B et pour laquelle l'intégrale Ji prend la valeur donnée G. Le problème est donc déterminé en général. On peut remarquer que, quand on échange les deux fonctions F et G, l'équation différentielle du problème ne change pas, car cela revient à remplacer la

constante K par -• G'est la généralisation d'un fait bien connu pour les

problèmes ordinaires de maximum ou de minimum.

Prenons, par exemple, le problème isopérimétrique proprement dit, qui a donné son nom à cette catégorie de problèmes. Soit à trouver un arc de courbe de longueur donnée S, joignant deux points A et B et limitant avec le segment AB une aire d'étendue maximum. Prenons pour axe des x la droite AB et admettons qu'il existe une courbe T répondant à la ques- tion et représentée par une équation de la forme y = f{x), où /{x) est de classe (I). On a, dans ce cas,

F = ) , G = \ 1 -+- r'2, 1'' — KG = .)• — K ^z 1 -+- i -. L'équation différentielle (3o) admet l'intégrale première (n» 621),

Kj'2 ^ r ^' i -(- y'i — K

r — K \ I -H I '^ H -^ = •— î — - • = G,

d'où l'on tire facilement l'intégrale générale

ix — C'y-^(y — Cyi=K'..

Les extrémales sont donc dos circonférences et l'on est ramené à cons- truire un arc de circonférence de longueur S passant par les deux points A et B. Ce problème admet une solution et une seule, pourvu que S soit

I. — PREMIÈRE VARIATION, — EXTRÉMALES. 677

.,^„. „ ^ „ „^„ j_ à Tzl, du

moii

supérieur à la distance l des deux points A et B et inférieur à moins si l'on se borne aux courbes de classe (I) {cf. n° 645, 651).

629. Première variation d'une intégrale double — Soit F (j:, 7, z,p, g) une fonction des cinq variables indépendantes x, y, z, p, ç, continue ainsi que ses dérivées partielles jusqu'à celles du troisième ordre, lorsque le point {x, y, z) reste dans une région dl de l'espace, et pour tout système de valeurs finies de p et de q. Considérons une courbe fermée Y, située dans di, dont la projection sur le plan des xy est une courbe fermée sans point double C. Soit z —f{x, y) l'équation d'une surface S située dans la région 6i\ pour que cette surface S passe par la courbe V, il faut et il suffit que la fonction f{x, y) soit assujettie à prendre une succession de valeurs données, lorsque le point {x, y) décrit la courbe C. Si en outre cette fonction est continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, lorsque le point (x, y) décrit la région A du plan des xy, limitée par la courbe C, et sur cette courbe elle-même, nous dirons que la fonc- tion J\x, y), et la surface S, sont de la classe (I) dans A. Remplaçons dans F les variables s, p, q. par /(a:, 7), fx ^^ fy respectivement; le résultat est une fonction continue dans A, et l'inté^^rale double

(3i) i = f f F{x,y, z,p, q)dxdy

a une valeur finie pour toute surface S de classe (I). On peut se proposer pour cette intégrale double un problème absolument analogue à celui que nous avons étudié pour les courbes, en cherchant si, parmi les surfaces S de classe (I), passant par la courbe T, et situées dans (K, il en existe une pour laquelle l'intégrale (3i) a une valeur plus petite que pour toute autre surface satisfaisant aux mêmes conditions.

Désignons d'une manière générale par ri{x, y) une fonction de classe (I) dans A, et s'annulant tout le long de la courbe C. Si z=/{x, y) est l'équation d'une surface de classe (1) passant par r, l'équation

est l'équation d'un faisceau de surfaces passant par F, et la fonction

J(a)= / f F[x,y, f(x, y) -^ OLri{x,y), f,!^-h oLri'^,f'y-h a-f\'y]dx dy

du paramètre a doit être minima pour a = o, quelle que soit la forme de la fonction r^{x, y). Il faut donc que la première variation SJ soit nulle. La formule habituelle de différentiation sous le signe intégral, qui s'étend sans difficulté aux intégrales doubles, donne

(32)

= "/X, [^ ■'^''' ^''^ ^ ? "^^"^ f '^''] ""^ ^""^

COURSAT.

578 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

:;, p, q devant êtrf remplacées par /(a:, y),/'x, J'y respect ivemenl ap^è^ la diirérentiation. Supposons que la fonction /"(a:, r) admette des dérivées l'artielles du «econd ordre, continue» à l'intérieur de C : la forrauio de Green nous donne alrir« il, n" ii6j

f^M-- r/| dy = j'£ [r,;^ ^ Vv-, -^'^.^ (i)] ^" ""■>■

et puisque la fonction t, 1 ;r. j :; est nulle tout le long de C, on peut rem- placer l'intégrale double de tjV -7- p^r l'intégrale double du produit

changée de signe. En opérant de même avec la dernière intégrale double de la formule (Sa), on voit qu'on a encore

Pour que SJ soit nul, pour toutes les formes possibles de la fonc- tion Ti(a;, y), il faut et il suffit que le coefficient de r\{x, y) sous le signe intégral soit nul. En effet, supposons par exemple -ce coefficient positif dans le voisinage d'un point (a. b) intérieur au contour ^C; soit p un nombre positif assez petit pour que le cercle C^ de rayon p, décrit du point (a, h) [comme centre, soit à ^l'intérieur de C, et [que le coefficient de T^{x, y) soit lui-même positif à l'intérieur de Cp. Si l'on prend pour y\(x, y'\ la fonction définie de la manière suivante : i" tj = o, à IVxtérieur de C,: >" à l'intérieur de Cp.

ni^: y) = ['> — «)- + (.V — by— p- rs

il est évident que 8J sera positif. Pour que la fonction /(.r, ^'j donne un minimum de l'intégrale J. il faut donc que cette fonction y"(ar, y) soit une intégrale de r.*qnation aux dérivées partielles du second ordre

rJF d /àF\ d /àF\

^^4) ,i-dj-[op)~dv{rJ = "-

analogue à l'équation d'Euler (5).

Nous sommes ainsi conduit à résoudre le problème de Dirichlet poui l'équation (34) et le contour C, c'est-à-dire à trouver une intégrale de cette équation, continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, prenant une suite de valeurs données sur ce contour. La méthode par laquelle on a obtenu l'équation (34) n'est du reste que l'extension de la méthode de Riemann pour établir le principe de Dirichlet 'n" .tIS >.

Exemple. — I.n recherche de la surface d'aire minimn. pai^ant par un

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. 679

contour donné, conduit à chercher le minimum de l'intégrale double

fj

dx dr.

LVi]uation auv ilérivce? partiellcï currespondaiile i«t

d i p \ i ^ / ^ \ = u

dx \ ^ i_^ pl^ gi) ^ dy \ ^l^^pl^ gl }

ou, en développant,

y'^'è) r{\ H- q-) -+- /(i -^ p^) — ipqs = u.

«Ictte équation exprime que la somme des rayons de courbure principaux i«t nulle. Le> surfaces intégrales sont les surfaces à courbure moyenne nulle, ou surfaces tninirna.

Hcmaïque. — On a supposa, pour passer de l'équation (3-2) à l'équa- tion (33), que la fonction inconnue /(a;, jk) avait des dérivées continues du second ordre. L'objection de Du Bois-Reymond ne peut être levée comme au n" 621 (voir Exercices, p. r»56).

II. — SECONDE VARIATION. COMUTIONS NÉCESSAIRES POUR L'EXTHEiMUM.

rouit; exlrcmalc ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum d'une intégrale J, comme on l'a déjà observé à plu- sieurs reprises. Celle exlrémale doit satisfaire à dautres condi- tions, dont les plus simples s'obtiennent en exprimant que la seconde variation a un signe constant. Nous établirons ces condi- tions pour le premier problème traite au n" 621, et, pour ne pas interrompre la suite des raisonnements, nous présenterons d'abord une remarque qui sera souvent utile.

()30. Remarque préliminaire. — Soit y-^-j^i^x) une fonction continue dans un intervalle i a"„. "£"<), dont la dérivée '^' [x] pré- ^enle dans cet intervalle un nombre fini de discontinuités de première espèce (f, n" 9). La courbe F' représentée par l'équa- tion r= 9(5:^^) présente un certain nombre de points anguleux, mais aucune des tangentes n'est parallèle à l'axe des y. Nous dirons pour abréger que la fonction 's>(x) et la courbe I" sont de classe ('II). Si la courbe V est située dans la région c'v qui a été

58o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

définie plus haut (n° 620), l'intégrale

J'= f ¥[x, ^{x\ ^\x)]dx= f ¥(x,y, y')dx, -^.To -'r

c'est-à-dire la somme des intégrales dans chaque intervalle partiel où (f'{x) est continue, a une valeur finie. Gela posé, nous allons montrer qu'fY est possible de trouver une fonction f{x) de classe (I), prenant les mêmes valeurs que ^{x) pour x = Xo et pour x = x,^ et telle que l'intégrale

i= r\[x,f{x\f'{x)]dx

diffère de J' d'aussi peu qu'on le voudra.

En d'autres ternies, on peut trouver une autre courbe F, sans points anguleux, ayant les mêmes extrémités que F, située dans le domaine dl, et telle que la différence des valeurs des intégrales le long des courbes F et F/ soit moindre en valeur absolue que tout nombre positif donné e.

Supposons, pour fixer les idées, que 9'(x) ait un seul point de

discontinuité c entre x^ et x^. La courbe qui représente la varia- tion de 1^' {x) se compose de deux arcs de courbe AE, DB, qui ne se rejoignent pas. Soient h un nombre positif tel que c — A et c H- A soient compris entre x^ et ^^, F et G les deux points de cette

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L'EXTREMUM. 58|

courbe d'abscisses c — h et c4-A; joignons-les par une ligne brisée FHG, ajanl un sommet H sur ED, le point H étant choisi de telle façon qu'en désignant par 'k{x) l'ordonnée de cette ligne brisée on ait

^c-^h ^c ^ c + h

I -{.r)da;=f ^'{x)dx-\-l 's'(x)c/x,

il suffit pour cela de prendre sur DE le point H d'ordonnée

(36^ g^-irjr'^3-(..wx^jr^'"'ç'(.).^.r1-^'^^-^->^^^(^-^^).

Le point H étant choisi de celte façon, soit "^i^x) une fonction auxiliaire qui coïncide avec ^'(a?) dans les intervalles (xo, c — A), (c H- A, x^ ) et avec t,{x) dans l'intervalle (c — A, c H- A). Cette fonction est continue, et la fonction

/(x) = z(xo) -h I <\>{x)dx

qui est continue et admet une dérivée continue, entre (x^ el Xi), coïncide avec 9( a?) dans les intervalles (xq, c — h), (c -\- h, Xy,). La courbe F, représentée par l'équation r;=/(^) se déduit de F' en remplaçant la portion comprise entre les deux points d'abs- cisses c — A et c + h, où se trouve le point anguleux, par deux arcs de parabole qui se raccordent en un point d'abscisse c, et dont chacun est tangent à F' à l'autre extrémité. Pourvu que le nombre h soit assez petit, les ordonnées des deux courbes F et Y' diffèrent d'aussi peu qu'on le veut dans l'intervalle (c — h, c-\-h). En effet, d'après la formule (36), £, tend vers '^ — "P v^"^ °/

lorsque h tend vers zéro. Si ^'{^) reste compris entre deux nombres P et Q lorsque x varie de a7o à j;,, ^ sera lui-même com- pris entre ces deux nombres si h est assez petit et il en sera de même de r,{x) dans l'intervalle (c — A, c + /î). Or, on a, dans cet intervalle.

/(^) — ?(^)=/ ^{x)dx — [^{x) — ^(c — h)] et chacun des deux termes de cotte différence peut être rendu

58-2 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

moindre que loul nombre donné. Il s'ensuit qu'on peut aussi supposer la courbe F dans le domaine Oi. Cela posé, soit M une limite supérieure de l^i^O'^X')] lorsque le point (a?, ^) reste dans le domaine 01, et que y' reste compris enlre I* et Q. Il est clair

que la différence enlre les valeurs de l'intégrale / Fi x. r, y' ) dx

le long des courbes F et F' est inférieure en valeur absolue à 4 MA. et il suflira de prendre h tel qu'on ait /\Mh <; £ pour que celte différence soit inférieure à e. Le raisonnement serait le même pour une courbe ayant p points anguleux. En particulier, si l'in- régrale J' n'est pas nulle pour une fonction '^'{x) de classe (II), on peut trouver une fonction f{x) de classe (I), prenant les mêmes valeurs que o{x) aux deux extrémités de l'intervalle, pour laquelle l'intégrale J aura le même signe que J'.

Une autre conséquence est la suivante. Soient F et F' deux courbes ayant les mêmes extrémités, situées dans tR, et de classe (I) et (II) respectivement. Si l'intégrale J' le long de F' est plus petite que l'intégrale J le long de F, la courbe F ne peut

fournir un mm^mam a65o^a pour l'intégrale / Y(x,y.y')dx.

même si l'on se borne aux courbes de classe (I). Si dans loul voisinage de F on peut trouver une courbe F' de classe HI^ telle que l'intégrale J' le long de F' soit inférieure à J. la courbe F ne peut pas non plus fournir un minimum relatif.

(531. Condition de Legendre. — Soity=/(^) une solution de l'équation d'Euler, appartenant à la classe (!) dans l'inter-

valle {xoy Xi). Si dans l'intégrale J=/ F(.'tf, y, y') dx ou

remplace J' par f(^x) -h ocn{x), on a vu que la première varia- tion ôJ était nulle pour loutes les formes possibles de la fonc- tion ■n(x) de classe (I), s'annulant pour les deux valeurs x» eXXi- Pour que celle exlrémale donne un extremum de l'inlégrale J. il faut, en outre, que la seconde variation ô-J ait le même signe pour toutes les formes possibles de la fonction -nix). Nous établirons des conditions nécessaires et suffisantes pour qucî-J soilposilive. ce qui correspond à un niiniinum.

En appliquant de nouveau la formule de difïérenliation sous

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. )83

le signe intégral à l'inlégraio (3). il vient

1 37 . o2 J = «2 ( 'f f VK-t^) -+- 2Q Ti(.r) r,\x) - H VH-'f)] ch.

P, C^, U désignant les fonctions de x qu'on obtient en rempla- çant j' par f{x) Pi y' par /\j:^ > dans les dérivées partielles F,',, Fyy, Fj.-,. D'après les hypothèses qui ont été faites, ces trois fonc- tions P, Q, R sont continues dans l'intervalle (x,,. a , ). Legendre transforme cette expression de o.^S comme il suil. Soit iv( j.) une fonction de la classe (Il dans l'intervalle (.r„. .r, ): on a, quelle que soit cette fonction.

/ (2 T,rj ' H- -+- r,2 tv' ) t/x =: [ T," ÇV | ' , = (I.

puisque r,[Xo) ^^rj'a^i ) = <), et l'on peut encore écrire l'expres- sion de i5-J

Choisissons maintenant la fonction vv de façon que le coeffi- cient de dj; soit un carré parfait, c'est-à-dire de façon qu'on ail

(39) (Q-H (r)2— Rrr ^ «/) = o,

il vient enfin

et l'on voit que le signe de R doit jouer un rôle important dans la discussion.

Nous déduirons d'abord de cette expression de o'-J une condi- tion nécessaire obtenue par Legendre : Pour que la seconde rariation ô-'J soit, positive ou nulle pour toutes les formes pos- sibles de la fonction ri{x)^ il est nécessaire que Vv{x)^ ne soit négatif pour aucune valeur de .v dans V intervalle (j:,,, x, i.

Supposons, en ellet, qu'on ait l\(c)<<o, c étant compris entre x^^ et X\ : on peut prendre un nombre positif h assez petit pour que \\.ix) soit négatif pour c — h'^iX^c -j- A. L'équation (0) montre que la dérivée seconde f" yx) est continue dans linler- valle {c — II. r-i-n). et. par xiiiile, les fonctions P, (.), R

584 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

admettent aussi des dérivées continues dans le même intervalle. On peut donc appliquer à l'équation différentielle (Sp) le théo- rème général de Cauchj(II, n"'388, 391), et l'on en conclut qu'elle admet une infinité d'intégrales continues dans le voisinage de la valeur x=c. Soit w{x) une de ces intégrales, et soit (^o? i\) un intervalle comprenant c et assez petit pour que R(x) soit négatif et w{x) continu dans tout cet intervalle (^o< ^o< c <^) < a7<). Considérons la fonction riix) définie de la manière suivante : i» r\{x) =■ o pour Xo'^x'^ \q\

20 r,{x) = {x--'^or-^x-%,Ye ''^ *" pour ^o^^^ Çr,

3» ïj(.r) = o pour 'i\'^x<Xi.

On voit facilement que la valeur correspondante de ô- J est du signe de R(:r^ dans l'inlervalle (^o;Ei)? c'est-à-dire négative. La condition de Legendre est donc nécessaire, et l'on doit avoir R(.27)>o dans tout l'intervalle {xq. a?,). Laissant de côté le cas où l'équation R(^) = o aurait des racines dans cet intervalle ( ' ), nous supposerons désormais qu'on a (40 R(a') > o pour Xq'^x'^Xi.

Il semble évident, d'après la formule (4o), que la seconde varia- tion ô-J est positive ou nulle pour toutes les formes possibles de la fonction ■n(x), lorsque la condition de Legendre est remplie. Mais il est à remarquer que la transformation clTectuée sur ô-J n'est applicable que si la fonction w{ x) est continue dans l'inter- valle (j"o, Xf). Il faut donc être assuré que l'écjuation différen- tielle (Sg) admet une intégrale continue dans tout cet intervalle pour que la conclusion soit légitime.

Remarquons que l'intégrale /{x) peut être prolongée dan^un intervalle (Xo, x^), X,, étant <iCoî puisque R(ofu) n'est pas nul. Cette intégrale peut de même être prolongée dans un intervalle

(') Si R{x) est nul dans tout l'intervalle {x^, a;,), on tire de l'équa- tion (Sg) w = — O, et la seconde variation a pour expression

a= f \v-q')r:-dx.

Pour que 5-J ait un signe constant, il faut et il suffit que P — Q' conserve le même signe dans tout l'intervalle. La remarque s'applique par exemple au cas où F est de la forme F = ay--i- 2byy' ; il y a une seule extrcmale y — o.

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. 585

(.r,, X,), X, étant >a74. Les fondions P, Q, R sont continues et admettent des dérivées continues dans l'intervalle (X.q, X,), et l'on peut supposer aussi R(a?) > o dans cet intervalle.

632. Condition de Jacobi. — L'équation (Sg) est une équation de Kiccali; on peut donc la ramener à une équation linéaire du second ordre (II,n°402). Posons d'abord Q + w= — R^; l'équa- tion (39) est remplacée par une équation de même forme

R' Q'-P

(42) ,^z-^^~^z^—^=o,

dont l'intégrale générale est comme on l'a vu (II, p, 4^6) z = — ? u étant l'intégrale générale de l'équation linéaire introduite par Jacobi, qui n'est autre que l'équation d'Euler correspondant à la fonction F=: Pa^ -^ 2Quu'-\- Ku'^.

K , O"— P

(43) »r(") = «"-+- ^«'+ ^^-^—" = o.

L'intégrale générale de l'équation {3g) est donc

(44) «,=_o_R^.

Toutes les intégrales de l'équation de Jacobi sont continues dans l'intervalle (x,,, Xi) et, pour que l'équation {^g) admette une intégrale w continue dans cet intervalle, il faut et il suffit que l'équation (43) admette une intégrale u{x) ne s'annulant pas dans ce même intervalle.

Cette condition est suffisante pour que la seconde variation ô^J soit positive pour toutes les formes possibles de la fonction ■n(x).

En effet, soit u{x) une intégrale particulière de l'équation de Jacobi ne s'annulant pas pour Xo<x'^Xt. Prenons pour w{x) la fonction^correspondante (44); l'expression (4o) de <5-J devient (')

(45) 0^-3 = a"- f

' ' H(t/?/ — "n"')'

dx.

(') Ce résultat s'explique aisément en observant que si w est une intégrale de l'équation (Sg), on a identiquement, 9 étant une fonction continue,

/ ( P r,= -)- 3 O r.r.'-i- U t,'-) dx = f R ( t,'— ? t, )= dx. Il s'ensuit que toute solution de l'équation linéaire t,' — ^r, doit annuler la pre-

586 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Il est clair que â- J ne peut être négatif; pour que à'-i fût nul, il faudrait qu'on ait r}'u — f/'yj = o en lous les points de l'inter- valle (a?o, Xt), ou yj=:C?/, ce qui est impossible puisque r3(a:) est nul aux deux limites de l'intervalle, tandis que u(.r) ne l'est pas. En définitive, la seconde variation <5-J est positive^ pour toutes les formes possibles de la fonction t,(x), si l'équation de Jacobi (43) a une intégrale qui ne s^ annule pas dans V in- tervalle (ro, x^ ), les limites comprises.

Cette condition peut se transformer en appliquant les théorèmes de Sturm sur les équations linéaires (H, p. \ib^ note). Soit?^,(.r) une intégrale de l'équation de Jacobi s'annulant pour a? = J7o- Cette intégrale peut avoir d'autres zéros dans l'intervalle (to, X,); soit x'^ la racine la plus rapprochée de a:,,, comprise entre /„ ctX,. \ous poserons x'(,== X,, si Ui{x) ne s'annule pas entre jj^ et X,. Cola posé, pour que Véquation de Jacobi admette une inté- grale particulière ne sUinnulant pas pour .r„<.r <iF,, il faut et il suffit qu'on ait >r, << x'^.

La condition est nécessaire. En ellet, si l'on a a^j^ <;./,, tout»' intégrale de l'équation (43) a uue racine comprise entre ./^ot .x',, , et celte racine est forcément comprise entre ./„ et .z,.

La condition est suffisante (' ». Supjjosons, en eflct. v, <;.7|, . et soit J-, un nombre compris entre /, et r^ ( ./ , < ./o •<./'„). L'intégrale u.,t.i ) qui est nulle pour ./= r.^ ne peut s'annuler entre r,, et /,, puisque, dans ce cas, //|( ./ ) devrait s'annuler aussi entre ./o et j"'y ; elle ne s'annule pas non plus pour ./=./•„, puisqu'elle est distincte do Ui(x). -Nous laissons de côté le cas où .r, = x'^ dont la discussion est un peu plus délicate.

En résumé, lorsque les deux conditions de Legendre et de .Jacobi sont vérifiées à la fois : i" Wi.r) ^k.) pour x^^^xS-Ik - :>" j^i <;./'„; la seconde l'ariation o-J est positive pour toutes les /'ormes possibles de la fonction -/;i ./ ).

inière variation de l'intéfirale du premier membre, c'est-à-dire èlre une solution de l'équation de Jacobi; 9 est donc la di-rivée lo^aritlimique d'une intégrale de « ette équation (cf. n" W'I).

(') On pourrait aussi raisonner par continuité sans supposer cunnu le tliéo rème de Sturm. Si la première racine de u^ix) supérieure à ./,, est au delii de x^, prenons une int'jjjrale s'annulant en un point voisin uT^ — /i 1 /i " o). Si // est assez petit, la première racine supérieure à j„ sera aussi «npi-ricurc à ./•,.

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. J87

On a démontré plus haut que la condilion de Legendie élaii une condition nécessaire pour que ô^J soit toujours positif. Il nous reste à prouver que la condition de Jacobi est aussi une condition nécessaire. Il suffit pour cela de montrer que si l'on a a7„-< j?4, on peut trouver une fonction r\{x) de classe (II) dans l'intervalle {x^, x,), s'annulaut pour x = x^^ et pour xr=.Xn., et telle que l'expression (^7) correspondante soit négative (n"630). iyix. obtient une telle fonction par la méthode de Darboux-Erd- man. Appelons toujours u^yx) une intégrale de l'équation (43 > admeltant les zéros .a„ et x'^ , et soit v{^x) une aulrointégrale s'an- nulant pour une valeur x-i comprise entre x\ el,z, , qui n'est pas un zéro de M| (<»/). La différence Ux — ^ a aussi un zéro c entre x„ et .'/•'„. Gela étant, soit -{]{x) une fonction continue définie de la ma- nière suivante : 1" Y) (./) = ?/,(./•') pour ./„^.z^c; 2" rj(j7) = «'(jr 1 pour c'i/X'^Xi; 3" ■r]ix)z=.o pour x^'^x'^x^. Cetlc fonction est de classe (II), car la dérivée r,'(x) est discontinue aux deux points .1 = c, ./ =^ x-x.

Dans tout intervalle (Ei, ;•_>) où yî(j^ ) est continue, ainsi que sa dérivée, on a. d'après une intégration par parties facile,

jf (Py,^-^ :>nYi7l'H- \Kc{ï)d:r = | ïi(Qti + V,-({)^— j R r, ll'i y,W/,/-.

et le second membre se réduit au terme tout intégré lorsque rn / > est une intégrale de l'équation de Jacobi. Appliquons la formule précédente à chacun des intervalles (.To, ci, ( r, x.,), (./_,, j^, i eu prenant pour ■n(x) la fonction qui a élé définie loul à l'heure. Il vient ainsi

(1^1 j {\' f,-' } -h -X i.\ ({fl -+- H r, '2 ) d.r

Mais on déduit de l'équalion (43) elle-même la relation

le, facteur K étant conslant el, par suite, l'intégrale définie (4^'

; ^

588 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

le signe de K. Or, ce fadeur R est égal à — Ut(^-i)^''{X2) R(a?2), et l'on peut choisir arbitrairement le signe de i^'(ci'2) puisque t^(a:) est l'une quelconque des intégrales qui admettent x., pour zéro. La variation seconde ô-J peut donc être rendue négative par un choix convenable de r]{x).

Ainsi, les conditions de Legendre et de Jacobi sont à la fois nécessaires et suffisantes pour assurer le signe de la x)ariation seconde dans l'intervalle [xq^ x-i).

Nous prendrons ces conditions au sens strict, et nous laisserons de côté l'étude du cas où R(a:) s'annulerait sans changer de signe entre x» et Xi. et du cas où l'on aurait ^o = Xi.

633. Interprétation géométrique. Foyers conjugués. — L'équa- tion linéaire ( |3) se présente aussi quand on cherche les solutions de l'équation d'Euler (6), infiniment voisiuos de l'extrémale con- sidérée )' =:f[x). Si la condition do Legendre est vérifiée, c'est- à-dire si F"y.^[x, f{x), /' (x)] reste positif, entre Xo et Xt, on peut diviser tous les termes par le coefficient de i" et l'équation d'Euler prend la forme

(47) .>"=*(-i-, .'■..»•'),

la fonction «I» étant continue cl admettant des dérivées partielles continues [d'après les hypothèses faites sur F{x, )', y' ) au n"620] lorsque x varie de Xo à Xf, et que les différences y — fi-^)i y —/'(■t) restent assez petites on valeur absolue. Nous avons vu (n" 461) que l'équation (47) admet alors une infinité de familles d'Intégrales dépendant d'un paramétre arbitraire 1. y= (jj)(x, X), la fonction cpf^z', À) se réduisant kf(x) pour lz=z o. De plus, cette fonction est continue et a des dérivées partielles continues 9'^. o>, 9> ,., cp'^:. lorsque x varie de x^ à ^, pourvu que | >. | soit inférieur à un nombre positif assez petit X„ ( ' ). La dérivée cp).( A", o) satisfait à une équation linéaire du second ordre, qu'on obtient en difi'c-

( ') Nous avons raisonne au CIjapitre XXIII (n" 462) sur un système de deux équations du premier ordre, mais il est cLiir que les conclusions s'étendent à l'équdtion ( '17) qu'on peut ramènera un système de celte espèce, en posant jk'=: z- Si la fonction F est analytique en y et y', comme c'est le cas dans la plupart des applications, on peut prendre aussi pour ;p(j7, X) une fonction analytique de 1.

II. — SECONDE VARIATION.- — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. 589

rentiant par rapport à ?. les deux membres de l'équation (47) où l'on a remplacé y par 9(2?, 1) en faisant ensuite X = o dans le résultat. Celle équation linéaire esl Inéquation aux variations relative à la solution particulière jK=/(a7). En appliquant ce calcul à l'équation d'Euler (6), en supposant jk remplacé par (jp(a7, 1), on obtient pour l'équation aux variations

~dy^ â\ dy dy' dx d\ ~ dx\dy dy' dX dy"^ dx d\ i

Faisons dans celte équation X=:o; elle devient, en posant

u — o\ix, o),

P {x) u{x) -+■ Q{x) u\x) = -j- \ O(^) u(^x') -H R(a-) u\x) \

et nous retrouvons l'équation (4^)- Cette relation entre les deuz: équations (6) et (43) nous donne une interprétation géométrique simple de la fonclion de Jacobi.

Considérons, en clTet, la famille d'extrémales issues du point A et voisines de la première. Elles sont représentées dans tout l'in- tervalle (a:o, •^\) par une équation y =9(0:, ).). où 9(;r, >.) satis- fait aux conditions que nous venons de rappeler, et où l'on a de plus 9(a7o, X)=/(-2^o)- 9.'r(^o» ^) = ^ H-/'(-2?o)- La première de ces relations montre que x=^ x^ est une racine de l'équation

(48) ?'j^(x, o) = o;

or, les racines de cette équatiitn sont les abscisses des points d'iii- lersection de l'extrémalc y =y(ar). qui correspond à la valeur X = o du paramétre avec l'extrémale infiniment voisine issue du point A, c'est-à-dire des points de contact de cette extrémale F avec la courbe enveloppe de celte famille d'extrémales. Une partie de celte enveloppe se réduit au point A lui-même. Les autres points de contact sont appelés foyers conjugués du point A. Comme cp^(a7, o) est précisément une intégrale u^{x) de l'équation de Jacobi qui s'annule pour x^^Xq, la racine immédiatement supé- rieure x'^ est l'abscisse du premier foyer conjugué A' de A à droite de ce point, et la condition de Jacobi exprime que l'extrémité B de Varc d'extrémale AB doit ê're située entre le point A et le premier foyer conjugué à droite.

590 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Il y a réciprocité entre les foyers conjugués, puisque le> abscisses de ces points sont les racines d'une même intégrale de l'équation aux variations.

{jM. Exemples. — Kcprenons les exemples du n" ti'2-2 uii F est de lu forme ^■* \/ \ -\- y'-. La condition de Legendre pour le minimum est toujours satisfaite. Si i =/(.r) est l'oquation d'un arc d'extrémale passant par les deux points A et B d'abscisses x», u'i, j =X/ | — j est aussi uni- fonction extrémale, quelle que soit la constante À. On aura donc une solu- tion de l'équation aux variations (n" 402 1 en prenant la dérivée par rapport à À de celte intégrale ('), et posant ensuili; "/. =1 dans cette dérivée, ce qui donne n = /{.r) — x/' (.r). Pour que cette intégrale ne s'annule pas entre les limites .r^,. .t,, il faut et il suffit qu'on ne puisse mener de l'origine aucune tangente à Tare d'extrémalo AB. Comme on peut prendre pour origine un point quelconque de 0./-. on en conclut que /a conditinn clr Jacohi est satisfaite, s'il y a sur Va.ie O x des jioints par lisijueh ne passe aucune tangente à l'arc d'e.rfré/nale \U. Il en est toujour> ainsi, d'après la forme de la courbe, si y. est négatif, comme dans le proldéme de la braehislochrone.

Si a > o, l'arc AB tourne sa convexité vers Ox, et l'on peut transformei la condition comme il suit. Soient A' et B' les points do rencontre de Ox avec les tangentes en A et B à l'extrémale, et T le point de concours de ces tangentes. Si ce point T est au-dessus de Ox, il est clair, d'après Ir sens de la convexité de AB. que par un point du segment A'B', on ne peut

('I D'une laion géiaralc. si lequalion «i'Euler admet une translormatioii inti nitc-iniale (II, n- 396-:i'JT), de toute inléj;raie f{x) on pourra déduire une intc- ;.'rale infiniment voisine, et par suite une solution de l'équation aux \arialion< correspondantes. Les exemples suivants se rattaclient aux cas classiques dabais- sernenl de Tordre d'une équation dill'érentielle.

1° F ne contient pas y : si /(a) est une extrémale, f(x)-r-y est aussi un< intégrale de l'équation d'Fuler, quel que soit À. cl par suite n — 1 <st une solu- tion de l'équation aux variations. La condition de Jacobl est toujours satisfaite.

2° F ne contient pas x. Si /(.ri est une extrémale, f(x-r-K) est aussi une extrémale, et par suite / (.r) est une solution de l'écinalion aux \ariations, La condition de Jacobi est vérifiée, si. en aucun point de l'arc AB. (11 tangente n'est parallèle à O.r.

3" Si F est iiomogènc en y et 1 '. le premier membre de l'équalion dKuler est homogène en _)\y'. y", et par suite toute intégrale f{x) est solution de l'équation .lux variations correspondantes. La condition de .lacobi est vérifiée. 5/ t'nr( d'e.rt rémale ne coupe pas O.ï.

'f Si F «;sl homogène en jr et j , le calcul du texte pruu\e que la condition d» .lacobi est vérifiée pour un arc d'extrémab AB, si la tangente en aucun point de cette extrémale ne passe par l'origine. Dans chacun di ces cas. la condition signalée est seul, ment suffisante, mais non néressoire.

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. 6yl

iiieiicr aucutu; tHii;;cnto à cet arc. Au contraire, si le point T est au-dessous •le Taxe des x. par tout point du segment A' H' passent deux tan)ientes à l'arc AI'». Vyanl pris pour orif^iiie un de t^es points, l'équation de .lacobi iidniel une intéj^rale particulière /(a;) — x;/"(. y) qui a deux itéros entre x„ et j\. Toute autre -olulion a donc au moins un zéro dans cet intervalle. l'Jn résumé. }><>ur que la condition de Jacohi soit satisfaite, il faut et il su (fit que les tangentes à Vnrc d'exlrémale aux points A et B se coupent au-dessus de Ox. T.'est la gt-néralisation d'une propriété bien connue de la chaînette n.iNOKi.oF-MoiGNO, Calcul des variations). Cette condition «•st toujours satisfaile si les deux points A et B sont situés du même côté par rapport au point le plus bas de l'extrémale.

f/inli iprétation j^éométriqne du numéro précédent permet aisément de ■ ronfirmer ce résultat. Dans le cas où F est de la forme j'* \ i-i-v'-, ou a vu (n° 622) que l'intégrale générale de l'équation d'Euler est de la forme

y. et ;i étant deux constantes arbitraires. On obtient une famille d'extré- males à un paramètre en établissant une relation entre a et [ii. Les coor- données d'un point commun à deux courbes inliniment voisines de la famille vérifient aussi l'équation

d'^

r^-yi^-'^-yi-t)

d'où l'on tire ' ,—./■= -^ j ce iiui prouve tiue le» lan^enles à une extré- ) da ^ '

nulle aux point» de lencontre avec une extrémale inliniment voisine de la

même famille rencontrent l'axe O^- en un même point d'abscisse — -— •

Kn particulier, si la famille d'extréuiales est formée pai' les extrémales issues d'un point A, on en conclut que les tangentes à une extrémale en deux foyers conjugués concourent en un point de Ox (Bolza).

Si y. < o, par un point T de Oj:' on ne peut mener plus d'une tangente à un arc d'extrémale situé tout entier au-dessus de O x : W n'y a donc jamais sur cet arc deux foyers conjugués, et la condition de Jacobi est toujours satisfaite.

Si a > o, les extrémale» tournent leur convexité vers Ox et d'un point de cet axe, on peut mener deux tangentes et deux seulement à une extré- male quelcoucpie. Les points de cette extrémale sont donc deux à deux conjugués, deux foyers conjugués étant toujours séparés par le point le plus bas de l'extrémale. Il est clair aussi, d'après la convexité de la courbe, que, si les tangentes en A et B se coupent au-dessus de Ox, le foyer conjugué de A n'est pas sur l'arc AB, tandis qu'il est sur cet arc si les tangentes se coupent au-dessous de Ox. Lorsqu'il passe deux extrémales pur deux points A et B, l'une d'elle touche l'envelopjie des extrémales issues de A entre les points A et B, tandis que l'autre louche cette enve-

592 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

loppe, soit au delà du point B, soit en deçà du point A. La condition de Jacobi n'est vérifiée que pour celle-là. Par exemple, dans le cas de la chaînette {Jig. loo), c'est l'arc de chaînette homothétique de l'arc terminé en M qui «atisfait à la condition de Jacobi.

635. Insuffisance des conditions précédentes. — Les conditions de Legendre et de Jacobi ne suffisent pas pour assurei le minimum de l'intégrale J. En effet, nous n'avons comparé la valeur de l'in- tégrale qui correspond à la fonction yz=f(^x) qu'aux valeurs de la même intégrale correspondant aiîx fonctions d'une famille

y =/(-^) -'- ^ ■'■|(-^);

dépendant d'un seul paramètre arbitraire, tandis que, dans le pro- blème tel qu'il a été posé (n°620), on doit comparer la valeur de J pour y=if[x) à la valeur de J pour l'ensemble des fonctions de la forme y=.f(^x) -f- '^(x), <ii{x) étant une fonction quelconque de la classe (I), assujettie seulement à vérifier les conditions (i). La seule conclusion qu'on puisse déduire de l'étude qui précède est la suivante. Soit (^)(x) une fonction quelconque de classe (I), vérifiant les conditions (i). L'équation

représente un faisceau de courbes F qui restent dans la région dlg quand on fait varier a de o à i . Pour a = o, on a la courbe Fq qui a pour équation y =f(x), et pour a = i la courbe Fi qui a pour équation ■>' :=f(x) -h oi(x). La valeur J(a) de l'intégrale J corres- pondant à la fonction /(a?) -f- ao) (a?) est une fonction de a qui commence par croître lorsqu'on fait varier a à partir de zéro, mais rien ne permet d'affirmer que cette fonction J(a) va constamment en croissant lorsque a croît de o à i, aussi petit que soit le nombre s qui définit la région dlj.

Voici un exemple qui montre bien nettement l'insuffisance des condi- tions SJ = o, o2j > o pour assurer le minimum. Soit F=y'--^y'^; pre- nons xo = jKo=o, xi = i,^>i=o. Les courbes extrémales sont des droites et la fonction extrémalc répondant aux conditions limites est /{x) = o. On peut voir directement que la seconde variation est positive, car on a dans ce cas

52 J = a2 / 2 V^ dx ;

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR LEXTREMUM. SqS

pour qu'on eût S^J = o, il faudrait avoir ri'(a:) = o, et par suite •r,(a-) = o. Pour Ja fonction /(.r) = o, on a J = o, et nous allons montrer qu'on peut trouver une fonction m{x) de classe (I), satisfaisant aux conditions

co(o) = a)(i) = o. |to(j:)|<c

pour o < a: < I, et telle que l'intégrale

= / (a)'2-i- w'^)dx

ait une valeur négative. Soit, en effet, a une constante positive inférieuri' à un. La fonction to(^, a) définie de la manière suivante :

1° m{x,ol) = (xx pouro<.7<i— ;

- a -(- 5> '

2" làix, ol) = 2(i — x)— - — ■ -(i — x)- pour I <.r<i.

^ 4a a-f-?. --•

est de classe (I) dans l'intervalle (o,i). L'équation V = a)(.r, a)

représente une courbe APB formée d'un segment de droite AF* issue de l'origine et d'un arc de parabole PB tangent à cette droite en P et tangent

en B à k droite de coefficient angulaire — 2; cette fonction a)(.c, a) est continue et tend vers zéro avec a, mais sa dérivée tà'x{x. ai est discontinue

pour x = i, a = o. L'intégrale J(a)= / (oj'^-h w'^) «-/.^ est infiniment

petite avec a; mais, à cause de la discontinuité de m'j.{x, ol), on n"a plus le droit d'appliquer la formule de difTércntiation habituelle et. par suite, on ne peut pas affirmer que J'(o) = o. Nous allons vérifier au contraire que J(a) est un infiniment petit du premier ordre. D'une part, l'intégrale

le long de AP est un infiniment petit du second ordre (a^-i- a-')f i j .

1 a Quant à l'intégrale le long de PB, on peut l'c-crirc, en ])osanlx =1 — z,

^ /" ' j [(a -H 2)^ - 2P + [(a + 2)c - 2^ j dz

OOURSAT. — III. 38

594 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

2a

T

'A la {>ai»ie principale est — ^- On a donc

J'(o) = -:^,

et J(2; a iint- valeur négative pour des \aleurs de a voisines de zéro. Cet exemple montre bien la nécessité de considérer des variations d'une forme plus générale que celles qui ont été envisagées jusqu'ici (*).

Remarque. — L)an6 quelques cas simples, les conditions de J.egendre et de Jarobi sont suffisantes pour assurer Pextremum. SupitO!«ons, par ••xemple, F = ar--\- 2byy' -h cv'-: l'équation d'EuIor est alors linéiiire en ) , I ', I ".

(49) c(^.r) r"-f- c'y -+■ (h'— a) y = o.

et Téquation de Jacobi, qui est indépendante de l'extrémale considérée /\./' ). est identique à l'équation précédente. F^a condition de F.egendre pour le minimum sera vérifiée si cix) est positif de .r,, à Xi, La condition de Jacobi le sera aussi si l'équation (4i)) admet une intégrale u{x) ne s'annulanl pa? rlans cet intervalle. Ces conditions sont suffisantes, car si l'on pose

j^,>-j(„,,= ?:/•■..(.,:, (AJiipii y

dx.

i-\pression essentiellcmenl positive, luênie si la condition de J.(i;cndii n'est vérifiée qu'au sens large. Si a = /y = o, f = i, on retrouve un résultat déjà établi direcliuient (I, n" 120).

Pienons (;ncor<! l'exemple suivant de Weicrstrass. Soit à trouver lii

valeui- minimum de l'intégrale J = / (•' - -+- '--)>'- <^^ pr«se le long d une

courbe l' de classe (I) joignant les deux points A et B de coordonnées^ I — I, 'Il et Ci, b). L'équation d'EuIer admet l'intégrale première

ei lintt-grale générale est, en supposant X =: o,

r = Ci-i- C2 Arc tiuig. •

( ) Pour constater l'insuffisance des conditions de Legendrc et de Jacobi. il «uffil «le vérifier que l'intégrale / {y"--t-y"-') dx, le long d«' la ligne brisée AUH. ,1 unr- valeur négative si a est assez petit (n" 630). Or cette intégrale a pour

\al.ur ' ~^ Le premier exemple de ce genre est dû it Scliefler

f JL-iliAMAnD, p. îî-.'(6).

Il, — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L'EXTREMUM. 5^5

Les constantes Ci et Cj étant déterminées par les conditions aux limites, on trouve, pour la fonction cherchée /(j^),

, - Arctangv

. ^ «-+-0 b — a A

y(,)=__^__^ r-

Arc tang r-

On voit aisément que les conditions de Legendre et de Jacobi sont vérifiées. En effet, R = 2(a;*-+- X-) et l'équation de Jacobi admet l'inté- grale 11=1 (n" 634, note). La fonction /(j:) donne donc un minimum absolu de l'intégrale.

Les conclusions sont tout à fait différentes si X = o. L'intégrale généialt-

Gi de l'équation d'Euler est dans ce cas j- = — -+- G»; il n'existe donc aucune

exlrémalc de la classe (1) joignant les deux points A et B, sauf dans le cas banal où l'on aurait 6 = a. Dans le cas qui nous occupe, la borne infé- rieure de l'intégrale J = / x-y'- dx est égale à zéro; si nous prenon>-.

en effet, pour / la fonction précédente qui fournit le minimum quand X n'est pas nul, il vient

\-{b — a)'- i'"^^ X- dx

2— -

iVJ_, u

/(( Arc tang -

l'intégrale du second membre est plus petite dx

f

= - Arc tanj

^- -^- >^' ''- ^•

On a donc

I ^ ^^(b-aY .1 ^, ,

2 Arc tang-

expression qui tend vers zéro avec X.

r>'un autre côté, il est évident que, quelle que soit la courbe I de classe (I) joignant les deux points A et B, la valeur de l'intégrale J prise suivant cette courbe ne peut être nulle. Get exemple montre bien nette- ment comment il peut arriver qu'une intégrale n'ait pas de valeur minimum, tout en étant bornée effectivement, et montre l'insuffisance du raisonne- ment de Hiemann et des raisonnements analogues in" .^12).

636. Condition de "Weierstrass. La fonction E. — Une nouvelle condition nécessaire pour l'citremum a été obtenue par Weierstrass en comparant la valeur de l'intégrale prise suivant l'arc d'extré- male AB à l'intégrale prise lelong d'un chemin infiniment voisin, mais coupant l'arc \B sous un angle différent de zéro. Conser-

596 CHAPITRE XXXIV, — CALCUL DES VARIATIONS.

vons les mêmes notations et les mêmes hypothèses que dans les paragraphes précédents. Prenons un point P de l'arc AB, de coordonnées (aro, ya), et soitj^ =/< (a?) l'équation d'une courbe C, passant au point P, la fonction /< étant continue et admettant des dérivées du premier et du deuxième ordre continues dans l'inter-

Fig. io3.

valle {x-i — A% œ-i + k); soit Q un point de C^ d'abscisse Xo — h. h étant un nombre positif inféi'ieur à k{xo << -^2 — ^ ■< ^2 <C ^< )• Posons

/"il' ./•., — h)— f{ Xi — h ')

Mi X. h) = (X — X„ I ; — : }

x-^ — h — Xa et considérons l'arc de courbe AQ {/ig. io3) qui a pour équation

}■ — f{x) -h oj{x, h), Xo^x^x-i— h.

Lorsque h tend vers zéro, il est clair que la ligne AQ a pourlimile Tare AP, et l'intégrale / F(x. y, y') dx est une fonction de h,

*^(A )

I(/i), dont la dérivée a pour expression, pour A = o,

l'(o) = [j'î-ZU^O] F;.'(.r,, y,, y\)~ ¥{x.., y,, y',),

d'après la formule générale (18) (n" 625), car l'arc AP est un arc d'exlrémale et les coordonnées de l'extrémité variable Q sont

d'où l'on tire

X =^ Xi — h, )X = — oh ,

y=A(^i—h),

or = —/,'( ^2) SA;

k', représente le coefficient angulaire de la tangente en P à l'extré- male AP. Soit de même l» (A) l'intégrale prise le long de l'arc QP

= r^ ¥[x,Mx),/[{x)]dx-

' x^ — h

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L'EXTREMUM. 697

la dérivée r,(o) esl évidemment F[j?2, ya» /', (-a^s)] «^ pa'' suite, en désignant par 3 (h) l'intégrale / F{ji:, y, y)dx, on peut

écrire

/?., élanl le coefficienl angulaire de la tangente à la courbe d. Le second membre de cette formule est une fonction des quatre variables a?, y, y', p, qui joue un rôle essentiel dans la théorie de Weierslrass; on la représente par la lettre E,

(;5o) E{x, y; y, p) = V(x, y, p) — ¥{x, 7, y') — {p —y') ¥'y{x, y, y')

et la formule précédente peut s'écrire

'50 (â)o=E("-^'->-^^)-

De celte relation on déduit aisément une nouvelle condition nécessaire pour le minimum; nous l'appelb^rons la condition de Weierstrass. Pour que la courbe considérée AB rende Vinlé- grale J minimum, il esl nécessaire que la fonction

E[x,f{x)-f\.\p]

ne soit négative pour aucune valeur finie de p, lorsque x varie de a"„ à X\. Nous exprimerons cette condition d'une façon abrégée eu disant que la fonction E{x. y; j', p) ne peut devenir négative en aucun point de l'arc AB, puur une valeur finie da p.

En elTel, supposons que, pour un point P de l'arc AB, de coor- données (j?2, T'a)? et pour une valeur finie m de p. on ait

E{Xi. y-i\ y'-i, in)<o. Prenons pour la courbe C| la courbe ayant pour équation

y = /{x) -+- (m — y'2 )ix — x«),

qui est tangente au point P à la droite de coefficient angulaire m. La fonction J(A) considérée tout à l'heure qui correspond à cette forme de la foncti(m/, (x) a sa dérivée négative pour h = o. On peut donc trouver un nombre positif / suffisamment petit pour qu'on ait J(/)<J(o) et, par conséquent, on aura un

598 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

chcuiiu AQPB (y«,£r. io3) tel que la somme des intégrales

/ F(-'', y, y") dx -h I F (.r, y, y' ) dx -+- j F(x, y, y') dr

•^fAQi "^iQI' "^(PB!

soit intérieure à la valeur de l'intégrale J le long de l'arc AB de la courbe extrémale. Cela sut'lit, comme on l'a fait remarquer (n"630), pour prouver que la courbe AB ne donne pas un minimum de l'intégrale J, même si l'on no considère que des courbes de classe (I) joignant les deux points A et B et infiniment voisines de lare AB. Nous pouvons donc ajouter aux conditions déjà obtenues la condition suivante : on doit avoir

(So^ YA r. >-; y' . />.)^<),

pour toute valeur finie de p, tout le long de Varc AB. Le signe de l'inégalité devra être changé pour le maximum.

Remarque . — On a, d'après la formule de Tavlor,

(53) Ë(^x,j-; y\p) = ^^ ~;^ ^' Y'^.[x, y,y + Hp -y')] (o<6<i..

et il est clair, d'après cela, que la condition de Weierstrass est cer- tainement vérifiée si la dérivée seconde F".»('.r, y. u) n'est jamais négative pour un point quelconque de l'arc VB et pour toute valeur finie de u. Mais oette dernière condition n'est pas néces- saire pour que la condition ( 62 ) soit satisfaite.

On peut remarquer que la condition de Weierstrass donne la condition de Legendre comme cas particulier. En efifel, le rapport

■iV.ix, y; y'-, P) \- • j> - I 1- I /"ox T7« / '

— V-r — , a pour limite, d après la formule (oo), Jb, si ^. ) . )' »

{y — pY- ^ ^ \ , ? \ „ ■..

lorsque p tend vers y'. Si la condition (62) est vérifiée pour toute valeur finie de />. on a donc aussi F"-î/;<> tout le long de l'arc AB.

Pour F =)--(- r'', el pour rcxlrcnialc purliculitMC y = o, on a F ^ f>--^ />■ = ,>U/>-h\>.

et si l'on prend p=—>, F est négatif, ce qui est bien conforme hu résultat obtenu directement (n" 635).

La condition de AN eierstrass est elie-mém»; insuffisante pour assurer le

11. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L'EXTREMUM. J99

ininimum, comme le montre l'exemple suivant de M. BoIzh. Soil

F = ay'^ — 46)')'^-+- ibxy''^^

a fi b étant des constantes positives. L'équation d'Euler coiiespondante est

i"(7.a — 2^\ hyy' H- ?4 b ry'-) = o,

t'i les lignes droites sont de> rourbes extrémales. Considérons les deux points A (o, 0) et B(i, o) , la ligne droite _r=o qui joint ces deux points est une courbe extrémale, pour laquelle les conditions de Legendre et de .lacobi sont satisfaites. Il en est de même de la condition de Weierstrass, car la fonction E(j-, y; y', p), qui a pour expression

K(.r, y. (•'./' I = {y' — pY\ " — '^byy' ->r 6/>.7-r'--(- \b{.vy — y) p ^ ih xi>%

se réduit à p^{a-+- ibxp'-) pour 1= o. et reste positi\e quand x varie de o à I. Cependant celte droite ne donne pas un maximum de J. En cflet, si l'on prend Tintégrale le long d'une ligne brisée A PB, les coordonnées du point P étant deux nombres positifs h et /., on voit aisément qu'on peut prendre pour h un nombre positif assez petit pour (|uc la valeur de l'intégrale le long de la ligne brisée soit négative, aussi petit que soit /. On en conclut que la droite AB ne peut fournir un minimum (n" 630).

Soit encore F = y:/^ les extrémales sont des droites et la fonction

K(.7-. r: r', p}

{y' — p)-{y'-— ' -t- '^p.y'f Cl -i-/>2)n -H.v'-)-

On \oil que E peut changer de signe lorsque y> varie, à moins que y' ne soit nul tout le long de Textrémale, qui est alors un segment de dioite parallèle à O.r. Il est évident que cette extrémale fournit un maximum pour l'intégrale; toute autre extrémale ne peut fournir ni maximum, ni minimum.

Quand on multiplie V{x. y, y') par une fonction g{x, y), la fonc- tion F (a;, r; r. jo) est multipliée par le même facteur. Si donc E peut changer de signe pour un système de valeurs données de .r, y, y' , il en sera de même de la fonction obtenue en multipliant par g à moins

que g[^x, y) ne soit nul en ce point. Pai- cxemi)le, si l'on a V — - — -^-77'

les seules extrémales qui puissent satisfaire à la condition de Weierstrass sont des parallèles à 0.r, ou des courbes qui vérifient l'équation g = o. Dans le cas particulier où g{x, y) = x, la région cK étant la portion du plan à droite de Ov, il est évident que tout segment de parallèle à 0/ donne pour l'intégrale une valeur plus grande que toute autre courbe de classe (I) ayant les mêmes extrémités. Ce sont les seules extrémales qui puissent vérifier la condition de Weierstrass «t. par conséquent, les seules qui fournissent un extremum.

6uO CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

637. Théorie de Clebsch — La méthode de Jacobi a élé étendue par Glebsch au cas d'un nombre quelcon'jue de fonctions inconnues. Nous indiquerons rapidement la suite des raisonnements pour « = 2, en insis- tant surtout sur les dirTérences qui distinguent ce cas du cas déjà traité.

Soient^ =. f{x), z = <f(x) les équations d'une extrémale T pour l'inté-

=r

j,'rale définie J = / P(-^, .)'• z,y, z') (ï.r\fi.r^ et o(a?) sont des fonctions

de classe (I) dans un intervalle (Xo, Xi) qui comprend l'intervalle (.ïo, ^1). Soient r^i^x), X^{x) deux fonctions de cette classe dans le même intervalle, «'annulant pour x = .r,,, x = Xi. Eu remplaçant v et z par

f{x)-^<xy\{x), .3(3:)-4-a^.ri

respectivement sous le signe d'intégration, J devient une fonction J(a) dont la première variation est nulle pour toutes les formes possibles de t), ^. de la classe considérée, tandis que la variation seconde a pour expression

(54)o'-J = a^ r 'G(7i, Ç, V, 0^^= f '(ATi'2-+-2BVr-^C;'

■...)f/.r.

G('^. Cl ^/'> K' ) étant une forme quadratique en r, ^, r,'. ^' dont les coefli- cients sont des fonctions de x qu'on obtient en remplaçant, dans les déri- vées secondes de F, j-, z,y, z' par fix), ^{x), f'( x ), ç'(.x). En généra- lisant l'artifice de Legendre. nous pouvons écrire S^.! d'une infinité de façons sous la même forme

(55) oU

en ajoutant à <i une autre foimc i; — —^ (À»]--i- riur^^ -+- v^-). 011 /.^ ;j., v

Sont des fonctions quelconques de classe (1} dans l'intervalle (^Xt). x.\). Nous chercherons à déterminer ces fonctions X, jjl, v, de façon que la nou- velle forme quadratique G -f- ^' se rétiuisc à une somme de deux carrés de fonctions linéaire-« de r^, C, r,', C, multipliés par des facteurs ne dépendant que de x. Nous supposerons B- — AG^o; comme g ne renferme pas de termes en r]'-, r^'C T-. on devra avoir, en remplaçant les lettre- t^ et ^ par les lettres u et v respectivement, une identité de la forme

(56'i G(«, V, II'. (• ') -t- ^' ( // , V. u' . v')

= A(w' — p\U -4f-q\v)--\- 2 B(u' — p\U — qiv^iy' — p^ti — q».^) -4- C{v' — p«u — ^5<'V-.

P\- (/\: P^j ^2 étant des fonctions de x. D'après la théorie générale des formes quadratiques, pour que C -^ g puisse être décomposée comme

II. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L'EXTREMUM. 6oi

l'indique la formule (56), il faut et il suffit que les quatre relations

1 à(G-hg) '-^^CG-t-^-)

(57)

du ' dv

di/ ~ "■ d^''

soient vérifiées identiquement quand on y remplace ii' et v' par les expressions

(58) u' = piu-hpif', v' = p-iu -\- q-:>i-.

Si l'on regarde u tl v comme des fonctions inconnues, on peut diie encore que les équations (57) doivent admettre toutes les solutions du système (58) et, comme ces équations sont linéaires, il faut et il suffit qu'elles admettent pour intégrales deux systèmes particuliers distincts d'intégrales des équations (58).

On peut évidemment remplacer le système (57) par le système équi- valent

( d^G + g) ^ ^ 5(G + j,0 ^ ^

\ du d\'

( du dx \du' I ~ ' dv dx \dv' ] ~ ''

car, d'après sa définition même, la forme auxiliaire g vérifie les deux con- ditions

du

)u dx\du' I dv dx\d\- )

Les deux dernières équations du nouveau système (57)' sont deux équations linéaires du second ordre, qu'on obtiendrait encore en cherchant les extré- males infiniment voisines de Textrémale considérée. Supposons, en effet, qne les fonctions y = f{x,t), z =^ o{x, t) forment un système d'inté- grales des équations (9) du n" G^3, dépendant d'un paramétre arbitraire (, et se réduisant à /{x) et ç(^) respectivement pour / = o, les fonction? f, {X, o), o'; {x, o) vérifient deux équations linéaires qui se déduisent des équations (9) par la méthode générale du n"-46'2. En effectuant les calculs, on vérifie immédiatement que ces deux équations aux variations sont iden- tiques aux deux dernières équations (57)'.

Les coefficients />i, çi, p.,, q.> sont donc déterminés par les relations

\ u\=piUi-h cfit'i, v\= p.,Ui-¥- q^,Vi, ( u.y= p^u.l-^ qiV2, {>o= piU^-h q^i'î.

(«1, vs), {u.,, Pa) étant deux systèmes particuliers d'intégrales des équa- tions aux variations

dG d / dG\ dG d IdG

6o? CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Ayant choisi />,, q^, p,, q^ de cette façon, pour déterminer les coeffi- cients X, \i, V de la forme ^, il reste à écrire que les deux systèmes de solutions {u\. Cl) et («2, <;) vcrifienf !e< quatre relations

(6i)

au'.

) àu\

) êG,. ôg-,

ÔG,	-n
'JGt rh-'..	-^

G,-, gi désij;nant les formes G et g où l'on a alTecté les lettres u et i de l'indice i. On a ainsi quatre équations linéaires ])our déterminer X, [x, v, et par suite une condition de possibilité doit être vérifiée. Cette condition.

qu'il est aisé d''obtenir en développant -p^-, -p^, • • • , prend laformr ' ()Ui di\

(62 i // — '^— '!2i — ■ '^ -

' ')u\ ' ()v\ àu'-i âv'2

On obtiendra donc toutes les identités de la forme (56), en prenant deux systèmes particuliers d^ intégrales («i, Pj), (m^, v{) des équations aux variables (60). satisfaisant à la condition (6i), et tels que

V){x ) = U\ i'i — UîV\

ne soit pas identiquement nul, puis en déternnnant px, qi, pi, q^ par les relations (39).

Il est inutile de s'occuper du calcul de X, |jl, v, rar ils disparaissent duC résultat final.

Deux systèmes d'intégrale;? {ux, vx), (ut, co) satisfaisant à la condi- tion (62) sont dits associés. Il existe une infinité des systèmes associés. On tire, en effet, des équations (Go>

àGx , OGx Uo h M, -— - fJux ■ >)u\		d / r;Gi\ rJGx , >)Gi d l ÔGx d?\'-'-ôZ, y '"■ -7hx'^"''o7,=d:cV'7)7x
et, par suite,
d \ <JGi ■ d^l'^'-ji?;	-i-	(JGx 1 f^Gx àGx , àGx , àGx àv\ àux ài-x - àu\ ^ àv\

Le second membre ne changeant pas quand on permute les indice' d'après les propriétés des formes quadratiques, on a donc

d ( àGx àG,x àG. àG.

-T- \ Uî -r-r -+- t'a -TT — «1 TT ~ <'i T^ dx { au, àv\ au., àv.>

d'où l'on tire immédiatement une inté;,Malc première du système (60). Pour avoir deux systèmes associés, il suffira donc de prendre les valeurs initiales des intégrales Mi, Vi, u*, fj et de leurs dérivées premières, de façon que la relation (6?.) soit vérifiée pour une valeur particulière de x.

11. — SECONDE VARIATION. — CONDITIONS POUR L EXTREMUM. 6o3

On satisfait à cette condition de la façon la plus simple en prenant deux systèmes distincts d'intégrales (ui, l'i), (u^, v^), qui soient toutes nulles pour une valeur particulière c de la variable. Le déterminant

\)^(.t) = »i (2 — ('i 9/ 2

ne peut être identiquement nul quels que soient ces deux systèmes, car la dérivée seconde D"(^) est égale à 2(?/'jP', — f'i «2) pour x = c, et il suffira de choisir les valeurs initiales des dérivées pour x — c de façon que u\v'i — «2^1 ne soit pas nul pour cette valeur de x. Soient («i, Ci). («2, i'î) deux systèmes associés de cette espèce; tous les autres systèmes associés formés d'intégrales nulles pour .r = c sont des combinaisons linéaires de ces deux systèmes, et le déterminant D,.('ic) est le même, à un facteur constant près, pour tous ces systèmes. Il suit de là que les racines de l'équation Dc(a:) =0 sont déterminées quand on se donne le nombre c qui est racine double de cette équation; lorsque c varie dans l'inter- valle (Xo, Xi), les racines de D^(.x) = o, situées dans le même intervalle, varient aussi d'une manière continue.

Si M est le point de l'extrémale F d'abscisse c, les points de la même extrémale dont les abscisses sont les autres racines de Df(./) =0 sont dits les foyers conjugués du point M.

L'interprétation géométrique est analogue à celle qui a été donnée au n" 633. Soient y =/(.r, X, ja), z = ç(.r, À, a) les intégrales du sys- tème (9) qui prennent les valeurs /(c), 9(c) pour x = c, tandis que leurs dérivées ont les valeurs initiales /'(c) +- À, 'i''{c) ■+- fx. Ces fonctions sont continues et admettent des dérivées partielles contin.ues lorsque x varie de Xo à Xi, pourvu que > et i jx | restent inférieurs à une certaine limite (no 461). Les équations précédentes représentent le faisceau des extré- males issues du point M de T d'abscisse c. Ces extrémales forment une congruence et chaque extrémale touche la surface focale de cette con- gruence (II, n" 436) en un certain nombre de points dont les abscisses sont

D(/" œ) les racines de l'équation -^/' ^\ = o. En particulier, l'extrémale Y louche

D(X, (x)

la surface focale aux points dont les abscisses sont donnée* par l'équation (^3) ./"K-"^? o, o) ç'al'i", o, o) —flxi^j O) o) f'ii,^, o, o) = o.

Mais ',/';X-'', o, o), s'„(^.r, o, o) ; et \J'ni,x, o, o), ç'u. '•''■; t», oi; forment deux systèmes de solutions des équations aux variations, qui sont nulle^ pour X = c. L'équation (6'i) est donc identique à l'équation DcC' ) = ", et par suite les foyers conjugués du pain' M sont les points de contori d>- Vextrcniale F avrc la surface focale de la congruence formée par les extrémales issues de M.

Ces préliminaires posés, les conditions de Legendre et do Jacobi sr; généralisent de la façon suivante :

Pour que la variation seconde o'^.l soit /lositii-e pour loiiles les formes

6o4 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

possibles des fonctions r^^x), ^(a-), il faut et il suffit que la forme quadratique kz-->r- ?.B zt -h Ct^ soit de' finie et pos tive pour toute valeur de X comprise entre xq et X\, et que tous les foyers conjugués du point A soient à Vextérieur de l'intervalle (tq, .ri).

Il est aisé de \oir que ces conditions sont suffisantes. Supposons, en effet, que Péquation D.,-„(.r) = o n'ait aucune racine "> Xq et <a:i. On peut toujours prendre un nombre positif h assez petit pour que l'équa- tion Dx„-/,(.r) = o n'ait elle-même aucune racine ^ Xq— h et ^x^; on peut aussi supposer aro— A>\o. Soient (m,, Pj), («2, ^2) deux systèmes associés de solutions des équations aux variations, formés d'intégrales qui s'annulent toutes pour x = Xo— h. Le déterminant Ux p» — «s^^i ne s'annule pas dans l'intervalle {xq, x^), les limites comprises, et les coefficients />i, qi, Pi, qt, déduits des relations (5g), sont continus dans cet intervalle. La formule (55) nous donne alors l'expression de 8-J au moyen d'une inté- grale dont l'élément est une forme définie positive dans tout l'intervalle d'intégration. On a donc 8-J > o. Pour avoir 6-J = o, il faudrait prendre pour T\ et Cun système de solulions des équations (58) s'annulant aux deux limites Xo et j'i. 11 n'y a pas d'autre système que tq = Ç =0, satisfaisant à ces conditions dans l'hypothèse envisagée (').

Les conditions précédentes sont nécessaires. Prouvons par exemple que A ne peut être négatif |iour aucun point de l'intervalle {xq, Xt). Supposons en effet qu'on ait A (c) < o, c étant compris entre Xo et .ri. On peut alors trouver un intervalle (|o, Çi) renfermant c et assez petit pour que, dans cet intervalle, A (.r) soit < o, et qu'il existe deux systèmes asso- ciés {Ui, r,), («2, ^-i) d'intégrales des équations (Po) tels que UiVt — u^i'i ne s'annule pas dans cet intervalle. Les coefficients />i, qi, p-, q^ seront alors continus dans cet intervalle et il suffira de prendre pour "n et ^ des fonctions de classe (I) entre Xq et Xi, nulles en dehors de l'inter- valle l'^o, Çi) et satisfaisant à la relation Ç' — pir\ — (7.2^ = 0. Il est clair qu'on aura h-J < o. On démontrerait de même qu'on ne peut avoir C < o, ou AC — B"-<o en aucun point de l'intervalle (xq, x-i). Comme par hypo- thèse, B-— AC ne s'annule pas entre Xo et Xi. on doit donc avoir, dans tout l'intervalle (xq, .r,), A > o, C > o, AC — B2> o.

La nécessité de la condition de Jacobi se démontre de même en prou- vant que, s'il y a un foyer conjugué de A entre A et B, on peut trouver une ligne de classe (I) joignant ces deux points et donnant pour J une valeur moindre que T (voir Hadamard, p. 355 et suiv.).

Ces conditions ne sont pas encore suffisantes pour assurer l'extremum. En effet, le raisonnement du n" 630 peut être repris presque mot pour mot;

(') Le raisonnement prouve plus généralement qu'on a o-J > o, si les condi- tions de Legendre sont satisfaites, et s'il existe deux systèmes associés d'inté- grales des équations (60) tels que UjP, — u^v, ne s'annule pas entre x^. a-,, ni pour ces limites.

III. - CHAMPS DEXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 6o6

en comparant la valeur de l'intégrale prise le long d'un arc d'extré- male AG pris sur V à la valeur de l'intégrale J prise suivant un chemin infiniment voisin coupant l'arc AC sous un angle constant non nul, on obtient une nouvelle condition nécessaire pour le minimum. La fonction

(64) E{x,y, z; y, z'; u, i>)

= F(^,r, z, «, ^) — F(^,r, z^y, -') — <« —y) l'y'— (i- — z')P'-'

ne peut prendre de valeur négative le long df F, pour des valeurx finies de u et de V.

III. — CHAMPS DEXTREMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES.

Nous allons maintenant établir un système de conditions suffi- santes pour assurer le minimum. Ces conditions sont basées sur la considération des champs d^extrémales (Weiersirafis), ou fais- ceaux spéciaux (Hadamard).

638. Définition d'un champ de courbes extrémales. - Nous désignerons pour abréger par ^ toute courbe extrémale, et nous dirons que tout système de courbes ^, dépendant d'un paramètre arbitraire, forme un faisceau. Une portion connexe et finie du plan O?, située dans la région cR., forme un champ de courbes extrémales, ou plus simplement a/i champ, s'il existe un faisceau de courbes extrémales, tel qu'il passe une courbe du faisceau ei une seule par chaque point de (D, le coefficient angulaire u (x, y ) de la tangente au point [x, y) à la courbe ^ du faisceau qui passe par ce point étant une fonction continue, et admettant des déri- vées partielles CDntinues u'^ et u dans (D. Les courbes du faisceau sont alors les courbes intégrales de l'équation différentielle du premier ordre jk':= u (x, y); de cette équation on déduit

,, au au , au au ,

y = -s 1- T- "«^ = j \- -r- u(x. V ).

ax </>'" ax a y ^ ■ - '

En portant les valeurs de y' et de y" dans l'équation d'Euler, on obtient la relation

(-) ^^(^:

y' étant remplacé par u dans F (x, y, y'), et celte condition doit

006 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

èlre vérifiée pour les coordonnées d'un point quelconque du champ Cp. La fonction u (.r, y) doit donc être une intégrale de l'équalion aux dérivées partielles (65), continue ainsi que ses dérivées partielles dans Cp. Inversement, si l'équation (65) admet une intégrale continue ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre m',, et u',, dans une région CO, celte région est un champ car l'équation ditîérenlielle^' = u {j',y) définit un faisceau do courbes exln'nniilos, tel qu'il en passe une et une seule par chaque point de cl.

Soit ^^n un arc de courbe exlrémalo, joignant le point A(.ro,j'o) au point B(\r,, i, ). et représentée par l'équation >' -—/(^a^), la fonction /(\/) appartenant à la classe (I) dans l'intervalle (j^o, ce, ). Considérons, comme plus haut, le domaine 0\g compris entre les deux droites r = j„, a=a',, et les deux courbes Y, :=:f(x) + £, Y2 = /( ./ ) — s. Nous dirons que l'arc ^f„ apparlienl à un champ ^ s'il est possible de prendre le nombre e assez petit pour que la région l've soit un champ, l'une des extrémaies du faisceau étant la courbe ^o elle-même. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'équation linéaire (65) admette une intégrale continue ainsi que SOS dérivées partielles du premier ordre dans dlj, et se réduisant à/'(./ I quand on y remplace v par/(^j) (').

Tout arc d'exlrémale pour laquelle les coiidilions de Legrindre et de Jacobi sont vérifiées dans Vinlervalle (.r,,, X\ ) appurlienl à un champ. jNous avons vu, en effet, en étudiant la signification géométrique de la condition de Jacobi (n" 633 "l que l'équalion d'Euler admet alors une infinité d'intégrales o(./, À;, dépendant d'un paramélre arbitraire À, se réduisant à f {x) pour "/ ^ (j, et satisfaisant aux conditions suivantes :

i" v (.7 , X) est continue et admet des dérivées partielles con-

(') Ce problème est indéterminé, car les équations y = /(j;), ?/= y (x) repré- sentent, comme il est aisé de s'en assurer, une caractéristique de l'équation linéaire (65). Soient (.r., y^) les coordonnées d'un point de gj. Si la fonction F est analytique en jf, y, y', comme c'est le cas habituel, f (x) est aussi une lonction analytique, et l'équation linéaire (()5) admet une infinité d'intégrales bolomorpiies dans le domaine du point {x^,y„) se réduisant à/' (x), ycmv y = /(x). II faut de plus que l'une d'elles soit régulière dans toute la région iK^, pour que cette réj;ion soit un champ. Les méthodes du calcul des limites de Cauchy per- mettent de démontrer qu'il \ en a une infinité si les conditions de Legendre et de Jacobi =ont vérifiéps (voir Annales de Toulouse, 2' série, t. VIII. p. 458).

III. — CHAMPS D'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 607

tinues du premier et du second ordre lorsque /* varie de vo à .7<. et À de — A" à -j- k, k étant un nombre positif.

2" La dérivée cp) (a?, o) est différente de zéro pour ro^./ iv, •

Nous allons montrer que cette fonction 9 [x^ 1) définit un champ auquel appartient la courbe extrémale AB.

En effet, <p'x (r, o) ne s'annulant pas quand a varie de x^, à ^i, on peut, puisque la dérivée cp) {^^ ^) ^^l une fonction^ continue des deux variables x et X, assigner un nombre positif p tel que cpx (^5 ^ ) ne s'annule pas non plus dans le domaine A défini par les inéga- lités Xo^x<Xi, — P=^ = P- Quand on fait varier x de x„ à Xt et À do — p à + p, le point m de coordonnées [x\ y =: o (x, 1)] décrit une certaine région (JV entourant C^„ et limitée par les droites j" = ^„, x = Xt^ et par les deux courbes j' = 9 (a, — p), j/- = 9 (.i-, +p). Nous allons montrer que par tout point de cette région (R' il passe une courbe et une seule delà famille considérée. En effet supposons, pour fixer les idées, 9>, (-'^ ^) > o dans Ûi' ; si l'on donne à x- une valeur fixe x-,, comprise entre a"„ et .y,, et qu'on fasse varier ^ de — p à + p, 9 (ar^, A) va en croissant de 9 {xo-, — p) à 9(^2» p)> et le point do coordonnées [xn. o {x2, X)] décrit un segment de droite P, Po, parallèle à O y. A chaque valonr de x^ comprise entre x» et .r, correspond ainsi un segment de droite PiPo, et quand Xo croît de x,^ à .r,, le segment P, P2 décrit une certaine région du plan qui est la région ûl'. On voit immédia- tement, d'après ce mode de génération, qu'à tout point (j;, y) de di.' correspond une valeur déterminée de ?.. comprise entre — p et H- p; soit À = 4* (-^5 y) cette racine. La dérivée 9-) (x. 1) n'étant pas nulle pour la valeur > = vp (a?, r), il résulte do la théorie générale dos fonctions implicites (L n" 36), et des hypothèses qu-i ont été faites sur la fonction 9 (x, X), que cette fonction 'l {x. y) est cmitinue, et admet les dérivées partielles continues dans la région c<v'. D'autre part, le coefficient angulaire u{x, r) de la tangente à la courbe du faisceau considéré qui passe en un point (x, y) do cil' est égal à 9,^(37, l) = (i^'j.[x, '\ix^ y)\ Puisque les dérivées du second ordre de 9 sont continues, et que (L admet des dérivées du premier ordre qui sont elles-mêmes continues, il s'en- suit que u\x\, y^ admet aussi des dérivées partielles 11'^ et m',. continues dans (R! . Colle région cR' est donc un champ.

6o8 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Soit maintenant e la borne inférieure des deux fonctions

f(x, p) — <f{x,o), <f{x,o) — <f{x,—p)

lorsque a: varie de a:„ à :r,. Ce nombre e est positlt, puisque les deux fonctions précédentes sont continues et ne peuvent s'annuler dans l'intervalle {x^, Xi). Le domaine Ox^ défini par les inéga- lités opQ'£x<Xi, / (x) — £^y^/(^)+£ est donc compris tout entier dans le domaine dl' et par suite di^ est un champ entourant l'arc C7„.

Inversement, l'existence d'un champ entourant ^o entraîne la condition de Jacobi. Soit, en effet, u {x,y) une intégrale de l'équation (65), continue dans ce champ ainsi que ses dérivées a'^., u'y, et telle qu'on ait

f'{x) = u[x,f{x)].

L'intégrale J' = 9 {x, X) de l'équation différentielle y' ^^ u (x,y) qui prend la valeur j'o-i- ^ pour:» = x^ est une fonction continue des variables a: et X, et admet des dérivées continues, lorsque x varie de Xq à X\, pourvu que ;X| reste inférieur à un nombre positif A. La fonction Ç = y'^(x, o), qui prend la valeur Ç = i pour x = a:,,, est une solution de l'équation aux variations :'{x) = u'y[x, /{x)] q (x). Cette fonction | (x) ne s'annule pas dans l'intervalle (xo, x^) et il clair que c'est aussi une solution de l'équation aux variations (43), puisque? (x, X)est une intégrale de l'équa- tion d'Eulei.

Mais il est à remarquer que Tare ^0 peut appartenir à un champ sans que la condition de Legendre soit vérifiée. Supposons, par exemple, F =xy'^. Les parallèles à l'axe des x forment bien un faisceau d'extrémales, et la condition de Legendre n'est pas satisfaite pour le segment ( — 1, -t- i) de l'axe des x.

On pourra prendre par exemple, pour former le champ, le faisceau des extrémales voisines de ^0 issues d'un point (X d'abs- cisse Xq, situé à gauche de A sur le prolongement de l'extrémale, et assez voisin de A pour que le premier foyer conjugué de (X soil à droite de B. Si yz=csj)(x, X) est Téquation de ce faisceau, nous avons vu (n" 633) que la fonction ^{x, X) satisfait bien aux conditions précédentes. On prend aussi quelquefois le faisceau spécial constitué par les extrémales voisines de ^„ issues du point A lui-même, mais il passe alors une infinité d'extrémales par ce point A, ce qui introduit des restrictions dans certains énoncés.

Dans les exemples traités plus haut (n" 634), on aperçoit aisément un

III. — CHAMPS d'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 609

champ d'extrémaies dont l'arc AB fait partie. La condition de Jacobi étant satisfaite, soit O un point de l'axe des x par lequel on ne peut mener aucune tangente à Parc AB. On peut alors trouver sur le prolongement de Pextrémale deux points A et B', à gauche de A et à droite de B respective- ment, tel que toute demi-droite OL, située dans l'angle A' OB', rencontre Tare A'B' en un point et en un seul. Les arcs homothéliques de A'B' par rapport au point 0 forment évidemment un champ d'extrémaies entourant Tare AB.

639. Théorème de Weierstrass. — Les conditions de Legendre et de Jacobi clantsupposées vérifiées pour un arc d'exlrémale ^oi la région (île est un champ entourant l'arc ^oj pourvu que le nombre positif e ait été pris assez petit. Toute courbe F de classe (I), située dans le champ die, et joignant les deux points A et B, est représentée par une équation

la fonction a)(:c) étant do classe (I) dans l'intervalle (a;,,) X\) ^^ satisfaisant aux conditions

a)(.z-o) = o, w(.ri) == o, \ (x>(x) ' i pour ./'o < -r < Xi.

Pour que l'extrémale ^o donne un minimum, l'intégrale J^o doit être plus petite que l'intégrale Jp, quelle ({ue soil la forme de celte courbe F, pourvu qu'elle satisfasse aux conditions énoncées. La difficulté du problème tient en grande partie, il est facile de le concevoir, à ce qu'on a à comparer les valeurs de deux intégrales définies prises suivant deux chemins différents. Weierstrass est parvenu à exprimer la différence de ces deux intégrales par une seule intégrale définie prise le long du chemin F. Nous indique- rons d'abord la marche très simple de M. Hilbert pour parvenir à la formule de Weierstrass ('). Elle repose sur le lemme suivant :

Soit (D un champ de courbes extrémales; si u{x, y) est la fonction qui correspond à ce champ (n" 638), Vintéij^rale cur- viligne

(66) I = r[F(x, y. ff) — u F'„(^, r, n)](/.r ^ F'„(.r, y, u) dy.

prise le long d'une courbe fermée quelconque située dans le champ ^ est égale à zéro.

(') D'après M. W. Ermakoff (Journal de Mathématiques, 6" série, t. I, 1905, p. 97), cette méthode aurait aussi été employée par Weierstrass dans ses leçons.

6lO CHAPITRÉ XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

En effet, la condition pour que cette intégrale soit nulle est exprimée par la relation

àF	rnr	,)a O^V	ffiY ,P'¥ f)u
^>i	r)y du	à y âu-	âx (ht f)u- i)x

qui est identique à l'équation (t)5) à laquelle satisfait la fonc- tion u[x.^ y).

Appliquons la formule d'Hilbert au contour fermé composé de l'arc d'extrémale ^o et de la courbe F, a(ic,r) étant la fonction qui correspond au champ (Jx^.- Le long de ^o ^^ ^ u\{x^ f {x)]^^ f {x) et, par suite, cette formule nous donne

/ V(x. y. r')dx= j [F(.r. r, u) -h (v'— inV'„{^v, y. u)\dx,

les deux intégrales étant prises dans le sens voulu, x croissant de To à Xf. On en déduit

Jr— Içç, = / ( Fj(.r, .1-, .) ') — F(.r, j, «) — (.» '— u) F',Jx, r, ?/)] f/.r,

c'est-à-dire, d'après la définition de la foùction E (n* 636),

(67) Jr— ■'q\= / ^'-'-'y ^- "• y') ff->"-

c'est la formule de Weierstrass que nous voulions obtenir. Dans cette formule, y' désigne le coefficient angulaire de la tangente à r, tandis que u(x, y) est le coefficient angulaire delà tangente à la courbe ^ du champ qui passe au point (x. y).

640. Conditions suffisantes. — On sera assuré du signe de la différence Jr — J^o si la fonction E{x, y: u. p) des trois variables indépendantes x^ y, p conserve un signe constant pour les coor- données d'un point quelconque du domaine (K^ et pour toute valeur finie de /?; u est supposé remplacé dans E par la fonc- tion u(a7, y) qui convient au champ considéré. En particulier, si cette fonction est constamment positive dans cette région, on a Jr> J^o et nous pouvons énoncer la proposition suivante : La courbe extrémale ^0 donne un minimum de V intégrale J si la fonction E(a:, y; u, p) est positive pour tout point {x. y) du domaine dlg et pour toute valeur finie de p.

m. — CHAMPS O'iXTRÉMALES. — CONDITIONS gWflSANTES. 6u

Pour reconnaître si celte fonction est satisfaite, il faut d'abord avoir calculé la fonction u[x, y) qui convient à un champ parti- culier d'extrémales, comprenant ^q. On peut remplacer celle con- dition par une autre, qui est moins générale, mais d'une applica- tion plus commode, car elle n'exige pas le calcul de la fonction M.(.r. rV Nous avons on effet, d'après la formule de Taylor.

((i8^ E(ar, .)•;■ u, p) = ^ ^' ~ ""^^ V"y,\ x, y, «^0(/> — m)]

= (p~-ur-G(x,y', p)

et la fonction E{a-, r\ m, p) sera certainement positive, si la dérivée seconde F"^,(^, y. p) est positive pour tout point {^, y) du domaine dlg et pour toute valeur finie de/). On en déduit aisé- ment un système de conditions sujfisantes pour que la courbe extrémale ^o donne un minimum de l'intégrale J.

Soit C une courbe fermée quelconque entourant ^o et n'ayant avec ^0 aucun point commun; la région du plan intérieure à C constitue un domaine de l'arc ^(, et il est clair que le domaine cRg sera intérieur à celui-là pourvu qu'on prenne s assez pelit. Si une certaine condition est vérifiée pour le domaine intérieur à C, elle l'est donc a fortiori pour (K^- Gela posé, la courbe ^^ rend minimum l'intégrale J si la dérivée seconde Fy,(x, y, p) est positive dans un certain domaine de Varc (^^ pour toute valeur finie de p, et si Von a a;^ <C x^'^y■

En effet, F^,[a^, f {x) ^ f {sc)]=^K{x ) est alors positif de Xo k Xi\ la condition de Legendre est donc satisfaite. La condition de Jacobi l'est aussi par hypothèse, et l'on peut trouver un champ die entourant ^o, où la fonction E est positive pour toute valeur finie de /y, d'après la formule (68). On a donc toujours Jg^<; Jr-

Remarquons que les conditions précédentes ne forment pas un système de conditions nécessaires. Il peut arriver, en effet, que la fonction G (a:, y^ p) soit positive dans tout le champ (Kx pour toute valeur finie de p sans qu'il en soit de même de ¥"yi{x, y,p) (n" QM).

Remarques. — Soit ^ une extrémale quelconque du faisceau spécial considéré; u{ûi;, y) est le coefficierit angulaire de la tangente à cette extré- male au point {x, y) du champ. Si la fonction E(a:, y; u, p) est positive dans tout le champ pour toute valeur finie de />, la condition nécessaire pour le minimum du n" 636 est vérifiée aussi pour Textrémale ^ . On obtient

6l2 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

donc la condition suffisante de Weierstrass en exprimant que la condition nécessaire est vérifiée par toutes les extrémales du faisceau considéré dans le champ. Il est clair que cette condition nécessaire peut être vérifiée pour Textrémale <^o sans l'être pour les extrémales infiniment voisines. On conclut aussi de cette remarque que tout arc d'extrémale ^ du faisceau spécial, situé à l'intérieur du champ, fournit aussi un minimum de l'inté- grale, car la condition suffisante de Weierstrass est aussi vérifiée pour cet arc d'extrémale qui appartient au même faisceau que ^o-

Il est clair que la condition suffisante de Weierstrass entraîne la condi- tion de Legendre tout au moins au sens large (n" 63G). Comme, d'autre part, l'existence d'un champ suppose la condition de Jacobi (n" 638), on peut dire qu'M/i arc d''extrémale Ço fournit un minimum, si cet arc appartient à un champ pour lequel la condition suffisante de Weier- strass est vérifiée. Lorsque F ne contient pas y, les deux conditions de Weierstrass (condition nécessaire et condition suffisante) se réduisent à une seule. On peut prendre, en effet, pour u{x, y) la valeur àt f\x) en un point de ^o, ce qui revient à considérer le faisceau spécial formé par les extrémales qui se déduisent de ^o par une translation parallèle à Oy.

Exemples. — i° Dans l'exemple de M. Boka (n» 636) où F =y'-^{a — fibyy'^ibxy'^),

on peut prendre u = o. Le faisceau spécial est constitué par les parallèles à Ox, et la fonction E{x, y; u, p) est égale à p^(a — ^byp -^ ibxp^-). Sur l'arc d'extrémale formé par le segment (o,i) de Ox, on a bien E^o, mais il n'en est pas de même pour les extrémales infiniment voisines du faisceau. En effet, si l'on prend y = - ^ p ^-L., x ayant une valeur posi- tive inférieure à un et à — > la fonction E est négative. ■îa °

2" Supposons encore F = g{x^ y) \J i -\- y'^). On a ici

^"r^=g{i+y''f'^,

et cette dérivée est du signe de g{x, y). Si les conditions de Legendre et de Jacobi sont vérifiées, g{x, y) est positif tout le long de ^o; on a donc aussi g{x, ^) > o dans un domaine entourant ^o et, par suite, ¥]■•* est positif dans tout ce domaine pour toute valeur finie de jk'- La courbe ^o fournit donc un minimum de l'intégrale. La conclusion s'applique, en particulier, aux exemples du n° 62:2.

641 . Minimum fort et minimvun faible. — Si en un point d'abs- cisse X de la courbe F, la valeur de y' diffère très peu de /'(a?), comme u{x., y) est lui-même très peu différent de/'(x), il s'en- suit que la diff'érence u-\-Q{y' — u) — f {x) est elle-même très petite, et d'après la formule (68) E(,t, y] u, y") aura le même

m. — CHAMPS D'EXTRÉMALES, — CONDITIONS SUFFISANTES. 6l3

signe que Fyt[x, /{a;), f{x)'\. Cette remarque conduit tout natu- rellement à introduire une nouvelle distinction.

Soit, d'une façon générale, w(j7, a) une fonction continue ainsi que sa dérivée première w^(a:, a), dans l'intervalle (xq, Xt), s'an- nulant quel que soit a pour x = x^ et pourx = a:, , et se rédui- sant identiquement à zéro pour a = o.

Nous dirons que oiÇx, a) est une variation faible si, à tout nombre positif £, on peut faire correspondre un autre nombre positifs tel qu'on ait, pour Xo'^x'^Xi^

(Gg) I io(a:, a) ] < E, ■^^[^{x, a.)\ < z,

pourvu que |a| soit inférieur à ô. Par opposition, on dit que w(a7, a) est une variable forte, si la première de ces conditions seulement est vérifiée, c'est-à-dire si à tout nombre positif t on peut faire correspondre un autre nombre positif ô tel qu'on ait

\t)>{x, a)| < £ pour Xa<x^Xi,

pourvu que | a j <; ô, la valeur de w!p(a7, a)| n'étant assujettie à aucune condition lorsque a tend vers zéro.

Les variations considérées plus haut, qui sont de la forme (x-n(x) sont des variations faibles, quel que soit ri(x)', il suffit, en effet, qu'on ait M|a|<;e, M désignant la valeur maximum de |to(-3?)| et de |rj'(a:)| dans l'intervalle {xo, ^Oj pour <ïue les deux inéga- lités (69) soient vérifiées.

Au contraire, la variation

, , . r(:r — :roH^ — Xi) "1 co(j-, x ) = a sin »

où n >> I , est une variation forte, car on a

,/ I [ (.T — Xt^) (X — Xi)'] , .

<»x{^, <^)^ ^^J^COSy ^(^2X-X,-Xi)

et l'on peut toujours trouver des valeurs de a moindres en valeur absolue que tout nombre positif p, pour lesquelles |w^(ar, <x)\ est plus grand que tout nombre donné.

Celte distinction est facile à saisir sur les courbes elles-mêmes. Considérons, en effet, les deux courbes ^ et F représentées par les

6l4 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VABIATIONS.

deux équations

(F) y=f{x)-^io{x,a\

et faisons correspondre les points de ces deux courbes qui ont même abscisse. La distance de deux points correspondants sur les deux courbes est inférieure à e pourvu que | a. | soit •< d, sans qu'il y ait lieu de distinguer si la variation est faible ou forte. Mais, lorsque la variation w' (a:, a) esl/aible, non seulement deux points correspondants sur les deux courbes sont infiniment voisins, mais l'angle des tangentes aux deux courbes en ces points est infiniment petit. Il n'en est plus de même si la variation w(a?, a) est forle; dans ce cas, l'angle des tangentes aux deux courbes aux points correspondants ne tend pas en général vers zéro, comme on peut le vérifier sur l'exemple précédent.

On fait une distinction analogue pour le minimum. Nous dirons que la courbe extrémale ^o donne un minimum faible pour l'in- tégrale J, s^il existe un nombre positif e tel que V intégrale

f 'F[x,f{x),f{x)]da: soit moindre que l'intégrale

.r.

/ F[x,/{x)-his}(x),f'{x)-i-io'{x)]dx,

pour toutes les formes possibles de la fonction «(a?), qui est de classe (I) dans r intervalle (xo, Xt) et assujettie à vérifier les conditions

u)(a:o) = o. w(a;i) = o, |a>(j;)|<£, \ui'{x)\<z,

pour Xo^a?< ^4.

Par opposition, on dit que la courbe extrémale;)^' ^/( a:) donne un minimum fort, si elle satisfait à la condition énoncée au début de ce Chapitre (^n" 620). On comprend aisément d'après cela pourquoi les conditions de Legendre et de Jacobi sont insuffi- santes pour assurer le minimum fort, puisqu'on obtient ces condi- tions eu raisonnant uniquement sur des variations faibles. \u

m. — CHAMPS D'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 6l5

contraire, la condition de Weierstrass (n" 636) a ét<^ obtenue en considérant une variation forte.

Théorème. — Un arc (V extrémale ^o, pour lequel les con- ditions de Legendre et de Jacobi son vérifiées, fournit au moins un minimum faible /)owr V intégrale J.

En effet, par hypothèse, la fonction R(a7) = Fr''[^? /(^)» fi-^)] a une valeur positive lorsque x croît de a?» à x^. La .fonction F>'-^(^> J> y) étant continue, on peut donc trouver un nombre positif ô tel qu'on ait

¥"yi[x, f(x) -^ h, f'{x) -^ k\> o. pour Xo^^^^i-

pourvu que | A | et | /: | soient inférieurs à ô. Soit F une courbe voi- sine de ^0 représentée par l'équation j =/(a7) + w(ir); nous devons prendre, dans la formule (68), en y remplaçant p par j',

u-^%{y'—u)^u[x,f{x)-^oi{x)]-^^)\f'{x)-^ià'{x) — ii[x,f{x)-^ia{x)]\,

ce qu'on peut écrire, en observant que u\x, f{x)] =:/'(a7), et en désignant par Q^ un nombre compris entre zéro et un,

J'(x) -t- 0 (o'(^) -K (i — 0) ! u[.r. f\x) -H i.'){x\] — u\x, /(.r)] [ = /'(•'••) H- " '•!'< -e) ■+■ (i — ')»(.)(./•) u\.\.r. J\x) -+- 0, w(.r)J.

Soil fx une limite supérieure de \u'y.\ dans un certain domaine de^Q. Prenons un nombre positifs tel que £(i + y.) < <3; si| w(ar)| et I ci>'(ar) | sont inférieurs à s de a7o à j;(, on a

\y -/(^) l< 8, ! « + 8(v'- u) -f\x) \ < s, tout le long de la courbe T, et par conséquent la fonction

E(a-, jk; 7', tO

est positive tout le long de celte courbe. La différence Jj — J<^^ est donc positive, d'après la formule (67).

La proposition établie à la fin du paragraphe précédent peut de même être énoncée comme il suit :

Théo&ème. — Un arc d^extrémale (^^ pour lequel les condi- tions de Legendre et de Jacobi sont vérifiées^ fournit un mi-

6l6 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

NiMu.M FORT pour V intégrale J, si la dérivée seconde F^.,(57, y^ p) reste positive pour toute valeur finie de p dans un certain domaine entourant ^o-

Exemples. — \° Soit F =y"^{y' — 1)2. On a <^F

= 47'— 6j5^2J= 27 (j — l)(2j'— l),

ày

__ :=i2j2— ,2j + 2 =J2(7 — m )(7'— m"),

ni' étant compris entre o et-? et m" étant compris entre - et i. Les ^2 *^ 2

courbes extrémales sont des lignes droites, et toute droite de coefficient angulaire m appartient à un champ formé par des droites parallèles; la valeur correspondante de la fonction u{x, y) est u{x, y) = m. Étant donnés deux points A et B du plan des xy, la ligne droite AB est la seule courbe extrémale joignant ces deux points; cette courbe satisfait toujours à la condition de Jacobi, mais la condition de Legendre n'est vérifiée que si le coefficient angulaire m de la droite AB est inférieur à m' ou supérieur à m".

Soit cRç le domaine défini plus haut, relatif à la courbe extrémale AB; ce domaine est un champ pour lequel on a u{x, y) = m. La fonc- tion E(ar, jk; m, p) de Weierstrass a pour expression

^{x,y; m, p) = (p — my [p'i -h 2p {m — 1) -^ {m — 1) {3 m — 1)] = (p — m)2 [(p -^ m — i)--l- im^m — i)];

cette fonction est positive pour toute valeur finie de p, pourvu que m soit négatif ou supérieur à i, et dans ces deux cas seulement. Nous sommes donc conduit aux résultats suivants :

1° Si l'on a m C o, ou m>i, la droite AB donne un minimum fort

pour l'intégrale J = / y'-(y' — 0" ^^^' ï' ^^ ^^^ encore de même si m = o,

ou si m = I, car la valeur de l'intégrale J le long de la droite AB est nulle dans ces deux cas, tandis qu'elle est positive pour toute autre courbe de classe (I) joignant les deux points A et B.

20 Si l'on a o < m < m', ou m"<m<i, la droite AB donne un mi- nimum faible pour l'intégrale J.

3° Enfin si l'on a m'^m^m", la droite AB ne donne ni un minimum fort, ni un minimum faible, puisque la condition de Legendre n'est pas satisfaite.

Cet exemple, dû aussi à M. Bolza, conduit à une remarque intéressante. Nous voyons que la fonction E{x, y; m, y') est positive pour toute valeur

m. — CHAMPS D'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 617

finie de y', lorsque m est négatif ou supérieur à i, quoique la dérivée seconde Y'yi— ii{y' — m') {y' — m") ne soit pas positive pour toute valeur finie de y'. La condition Y'y^ > o n'est donc pas une condition nécessaire pour qu'il y ail un minimum fort (n" 940).

2" Soit F= j7^. On a remarqué plus haut que la condition de

Weierstrass ne peut être vérifiée que pour les parallèles à l'axe des x. Toute autre extrémale ne peut donc fournir un exlremum fort. Comme la condition de Jacobi est toujours vérifiée, puisque u = i est une solution de l'équation aux variations (n" 634, note), il y aura extremum faible si la condition de Legendre est vérifiée, c'est-à-dire si (3j''- — i)x conserve un signe constant le lonj; de l'extrémale considérée.

6i2. Interprétation de la méthode de Weierstrass. — A chaque solution u{x^y)àe l'cqualion (65) correspond une fonction 0 (a", y) vérifiant les deux relations

(70) -j^^Vix, r,u) — u¥'^{x, y, u), ^ = F'„(x, j, m) ;

Weierstrass a présenté sa méthode sous une forme un peu diflé- rente, qui met en évidence la signification de cette fonction B (ic, y). L'équation B{x^ y) = C représente l'intégrale générale de l'équa- tion différentielle

(71) [F{x,y, u)-~ uF'u{x, y, u)]dx -^ F[,{x, y, u) c/y = o,

qui définit précisément les courbes transversales (n" 620) du fais- ceau d'eitrémales considéré, pour lequel on a y' =^ u(x^y).

Soit Y la transversale qui passe par un point E de l'arc AB ou pris sur le prolongement de cet arc. Prenons sur cette transver- sale un arc DF. dont les extrémités sont de part et d'autre de E, assez petit pour que F(x, y, u) ne s'annule pas le long de DF et que les extrémales qui coupent transversalement DF soient dans le champ ('). Nous pouvons alors limiter le champ par les deux extrémales ^', ^ ", issues des points D et F et par deux segments de droites x ==: aut, x = Xt {fig- io4). Par chaque point M de ce

(') Nous laissons de côté le cas exceptionnel où F(ar, y, u) serait nul tout le long de go- La transversale issue de E se confondrait alors avec c^^. On peut tou- jours écarter ce cas puisqu'on peut ajouter à F une expression quelconque de la

forme h -r- y' sans changer le problème (n° 621), et il suffira de disposer

de v{x, y) de façon à éviter ce cas exceptionnel. On peut mén-.e disposer de v{x, y) de façon à avoir pour transversale une courbe clioisie arbitrairement, par exemple la droite x = x^.

6i8

CHAPITRE XXXIV.

CALCUL DES VARIATIONS.

champ passe une eitrémale ^ du faisceau qui coupe transversa- lement y en un point déterminé m de DF. Gomme cas parti- culier, il peut se faire que la courbe y se réduise à un point (X pris sur le prolongement de AB; le faisceau est alors constitué par les extrémales issues de ce point. Cela étant, soit U(x, y)

l'intégrale définie / F(j?, y, y')dx prise le long de l'arc /nM de

Textrémale ^ qui passe au point M, à partir du point m où elle

Fig. io4.

coupe Y transversalement; U(ic, y) est une fonction bien définie pour tout point du champ et, d'après la formule générale ( 1 8)' qui donne la première variation (n" 62o), sa différentielle totale rfU est identique à dB. Gomme la fonction Q{x, y) n'est définie qu'à une constante près, nous pouvons prendre Ô = U(x, y).

SoitF une courbe quelconque de classe (I) située dans le champ et joignant les deux points A et B. On a la suite d'égalités évidentes

Jr

i

Y{x, y, y')dx

fdb^l'l

F{x, r, y')dx — d^

et, en remplaçant dB par sa valeur, nous retrouvons la formule de Weierstrass. Le raisonnement ne diffère pas au fond du premier, mais nous voyons la signification de la fonction auxiliaire Q{x, y) qui intervient dans la transformation de Jr — J^,-

Connaissant un système de solutions des deux équations (70), on peut mettre la fonction F(.r, r, y') sous la forme

(72)

F(a:, V:

ai

G{x,y,y),

m. — CHAMPS D'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 619

la fonction G(x, y, y') et sa dérivée G^ s'annultnt quand on remplace y' par u(Xy y). Inversement, si par un moyen quelconque on a mis la fonc- tion F sous la forme (ji), où 9 ne dépend que de x et dey, et où G(x,y,y') et GL{x, y, y') s'annulent pour y' = u{x, y), les ccfurbes intégrales de réquation y'=u{x, y) forment un faisceau d'extrémales, et les courbes 9(x,y) = G sont des transversales de ce faisceau. En effet, si Pon diffé- renlie les deux membres de Tidentité (72) par rapport à y', et qu'on rem- place ensuite y" par u dans' les deux relations, on retrouve précisément les formules (70). La fonction E(x, y; u, y') relative à ce faisceau d'exiré- males est identique à la fonction G{x, y, y') elle même.

On remarquera que, si 6 se réduit à une constante, F se réduit à G, et l'équation diflérentielle (71) des courbes transversales est vérifiée identi- quement.

&43. Équation des familles de transversales. — En éliminant u entre les deux équations (70), on obtient une équation aux dérivées partielles

dont l'intégration permettra de former toutes les familles de courbes trans- versales. En effet, à toute solution 6{x, y) de cette équation correspond une fonction u{x, y) satisfaisant aux deux relations (70) et par suite à l'équation (65).

Les courbes intégrales de l'équation y'=H{x, y) forment donc une famille d'extrémaies, dont les courbes 6(x, y) = C sont les courbes trans- versales. La réciproque est immédiate, et nous avons la proposition sui- vante : Si b(x, y) est une intégrale de Véquation (73), les courbes ^(*> .X) — ^ forment une famille de transversales, et on les obtient toutes de cette façon. Comme on Ta déjà observé (n" 626), une famille de transversales est définie, si l'on se donne une courbe de cette famille. Ceci est bien d'accord avec le théorème général d'existence, car une inté- grale de l'équation (78) est déterminée quand on se donne sa valeur (qui est ici une constante quelconque) tout le long d'une courbe du plan des xy.

L'intégration de l'équation (78) se ramène à l'intégration de I équation d'Euler (n" 621) et réciproquement. Nous allons montrer, en effet, que les courbes extrémales sont les projections sur le plan des xy des carac- téristiques de l'équation (78).

Soit y=f{x) l'équation d'une extrémale <^; on a déjà fait remar- quer (p. 606, note) que la courbe gauche F ]y =f{x), u = f{x)\ était une courbe caractéristique pour léquation en u. En d'autres termes, il existe une infinité d'intégrales u = F(ar, y) se réduisant à f'{x) quand on remplace/ par f{x). A chacune de ces fonctions u correspond une intégrale de l'équation en 9, qui sera complètement déierminée si l'on se donne sa

valeur 9o en un point Mo de <§.; les valeurs de 6; ^ ' 7- sont donc les

dx à^	dy	dit»	dp	â^V	dq	d^
Tîi ^ Jp''	dt	= ^'	dt ~~	dx'	dt=^-	ày

620 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

mêmes pour toutes ces iatégrales le long de ^, d'après les formules (70). II s'ensuit qu'elles sont tangentes tout le long d'une courbe T' de lespace (x, y, 6) qui se projette suivant la courbe ^ sur le plan des xy. Celte courbe r' est donc une caractéristique de l'équation (73), et l'on démon- trerait de la même façon qu'inversement toute caractéristique de l'équa- tion en 9 se projette sur le plan des xy suivant une caractéristique de l'équation en m, et par conséquent suivant une courbe extrémale.

Posons, pour abréger, jd = — , ^ = — ; es équations différentielles des caractéristiques de l'équation (78) sont

(74)

en désignant par t une variable auxiliaire. L'intégration de ce système canonique, en tenant compte de la relation <I> = o, est équivalente à l'in- tégration de l'équation d'Euler. Si l'on connaît une intégrale 6(3;, j', a) de l'équation (yS), dépendant d'une constante arbitraire a, différente de celle qu'on peut toujours ajouter à une solution, ^{x, y, a) -h b est une inté- grale complète, et Véquation v- c = o, où a et c soni deux constante

arbitraires, est Véquation générale des courbes extré maies (^11, n9MS). Si l'on a F = g{x, y) v/TTT^, l'équation en 6 est

(.^)'-(|)' = f^(-.nl'-

Sur toute intégrale z = 0(:c, y), les caractéristiques sont les lijïnes de plus grande pente. Le réseau formé par les courbes de niveau z = const. et les lignes de plus grande pente se projette sur le plan des xy suivant un réseau formé d'un faisceau d'extrémales et de leurs trajectoires ortho- gonales.

044. Cas de deux fonctions inconnues. — L'interprétation précédente de la méthode de Weierstrass permet de l'étendre aisément au cas de n fonctions inconnues; nous raisonnerons encore en supposant n 1. La définition d'un champ d extrémaies est tout à fait analogue à celle qui a été donnée pour /i = i. Une région <X> de l'espace est un champ s'il existe une famille d'extrémales dépendant de deux paramètres (ou congruence d'extrémales) telle qu'il passe une extrémale de cett»- congruence et une seule par tout point de 6^, les coefficients angulaires u(x,y, z), i'{x,y, z) de la tangente à Pextrémale qui passe au point {x,y, z) étant des fonctions continues qui admettent les dérivées partielles continues dans (M). Lorsque les conditions de Legendre et de Jacobi sont vérifiées pour un arcd'extrc- male <§-o, les raisonnements faits pour n = 1 prouvent, en les modifiant un peu sur certains points, qu'on peut trouver' d'une infinité de façons un champ d'extrémales entourant §-o, de telle sorte que ^0 soit une extrémale

m. — CHAMPS D'EXTRÉMALES. — CONDITIONS SUFFISANTES. 621

de la congruence. Pour fixer les idées, considérons la conpruence formée par les extrémales voisines de Ço issues d'un point (X d'abscisse Xo — h sur le prolongement de Parc ^o> ^ étant un nombre positif assez petit pour que (fl n'ait pas de foyer conjugué sur AB (n" 637). Ces extrémales sont représeniées par deux équations de la forme

(75) y=A^,hi^), - = 9(-^; >>, 1^),

où les fonctions /(jc, X, (x), ^(x, X, pi.), qui se réduisent respectivement à /(a:) et à (f (x) pour X = [jl = o, sont continues et admettent des dérivées partielles continues, lorsque x varie de a;,, — h h xi, pourvu que 1 X | et | [x [

soient inférieurs à un nombre positif p. De plus, le déterminant _^ . . >

D(A, [x)

pris pour les valeurs X = |x = o, ne s'annule pas lorsque x varie de Xq à X\ {n° 617). Il suit de là qu'inversement on peut déterminer un nombre positif £ tel que, pour tput système de valeurs de x, y, z satisfaisant aux inégalités

(76) JTo^^^^l, l7-\/(^)i^^> i-S — ?(^)l^=>

les équations (7^) admettent en X et |j. un système de solutions et un seul X = ;r(a;, jK, z), \x = tz^^x, y, z),

où r, et JTi sont des fonctions continues qui deviennent nulles lorsque le point (a:, j, z) vient sur ^0 ( ' )• La région tO, définie par les inégalités (76), constitue donc un champ d'extrémales; par tout point de ce champ, il passe une extrémale et une seule, issue du point (31, voisine de ^o- ^' est clair que nous pouvons remplacer ce champ Ci par un champ (2)', qui se compose de la région de l'espace balayée par les extrémales ^ issues de &. lorsque le point (X, jjl) décrit un domaine voisin de l'origine. Soient m(j?, y, z), v{x, y, z) les coefficients angulaires de la tangente à l'extrémale qui passe par le point {x, y, z) de 0!>', et 6(x, y, z) la valeur de l'intégrale définie / ¥ {x,y, ^,y', 2') ^-^ prise depuis le point (9L jusqu au point M le long de l'extrémale du faisceau qui joint ces deux points. D'après la formule générale qui donne la première variation (a" 623), la différentielle totale dQ a pour expression

^^6 = [F{x, y, z, u, v) — uF'„{x, y, z, u, u) — vF'^{x, y, z, u, v)] dx -H F'„ dy -4- F'p dz.

Si r est une courbe de classe (I) du champ Ob' joignant les deux

(') On peut le démontrer, par exemple, en appliquant la méthode des approxi- mations successives à la resolution du système (75), considéré comme un sys- tème de deux équations à deux inconnues X, (i {Annales de l'École Normale, 3» série, t. XXIII, 1906, p. 4-Jo et suiv.).

692 CHAPITRE XXXlV. — CALCUL DES VARIATIONS.

points A ei B, nous avons eûcore

.l|—.l^;^ f Fer, y, z, y' z')dx— f dG

= I I F(a;, y, z, y' z') dx — d^\, c'est-à-dire (77) Ji^ — J^= j E{x, y, £;u, i>,y'. z'^r/.r.

formule tout à fait pareille à la formule (G7) et dont ou tire les mêmes conséquences. La courbe extrémale ^0 donne un minimum si la fonc- tion E(j'. y, z; u,o,p, q) est positice pour tous les systèmes de valeurs finies dt p et de q dans un domaine (J3 entourant §0, défini par des inégalités de la forme (76).

La formule de Taylor, limitée aux termes du deuxième degré, donne

E(ar,7, *; u, v,y\z')

on en conclut que Çt fournit un minimum dt J si la forme quadmtique

Vy.ix.y, z,y, z')ti^lT'^^\...)tw-\-¥".^{...)w'''

est une forme dé finie positive pour tous les systèmes de valeurs finies de y et de z' , lorsque le point (j;, y^ z) reste dans le domaine (X>.

Les conditions précédentes sont suffisantes pour que <^q donne un minimum fort. Pour le minimum faible, on démontré, comme au no641, que les conditions de Legendre et de Jacobi sont suffisantes. En d'autres termes, il suflit que la forme quadratique précédente soit une forme définie positive tout le long de ^0, y' et z' étant les coefficients angulaires de la tangenie à celte courbe et que la condition de Jacobi soit vérifiée.

Il est clair que la façon dont nous avons déterminé la coûgruence d'extrémales ne joue aucun rôle dans le raisonnement, et la méthode de Weierstrass revient en définitive à mettre F(ar, y, z. y', z') sous la forme

^"^^^ ^ ^ 5i "^ ôi^/-^^-2'-+-(y-")'G(a:, j, ^, y, y)

-K 2H(y — «) {z'— t») -h K(z'— vY,

9, u, V étant des fonctions de x, y, z; G, H, K des fonctions de x~, y, z, y, z', et toutes ces fonctions étant continues ainsi que leurs dérivées dans un certain domaine. Inversement, toutes les fois que la fonction F a été mise sous cette forme, les courbes intégrales du système d'équations diffé-

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRAS5. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 6:^3

rentielles j '= u(.v, y, z), z' = vi^x, y, z) sont des extrémales. On pour- rait le vérifier par un calcul direct, mais il suffit d'observer que la pre- mière variation de l'intégrale J le long d'un arc de Tune de ces courbes d'extrémilés fixes est évidemment nulle. Les sur/aces 6 (a;, y, z) = const. sont coupées transversalement par ces extrémales. En effet, si l'on rem- place^' et z' par u tx. v respectivement dans l'équation (78), et dans celles qu'on en déduit en différentiant par rapport à j' et à z\ on en tire

et la condition de irausversalité est bien vérifiée (n" 61^6).

En éliminant u et r entre les équations (79), on obtient l'équation aux dérivées partielles qui définit les familles de surfaces transversales.

IV. — TIIKOHIE DE WEIEBSTKASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES.

645. Forme paramétrique d'une intégrale. — Dans les problêmes étudiés jusqu'Ici, les courbes considérées ne peuvent être rencon- trées en plus d'un point par une droite parallèle à Ojk> ou par un plan parallèle au plan des j.s. Mais, dans beaucoup de problèmes de géométrie, celte restriction est absolument artificielle, et l'inté- grale définie dont on cherche l'extremum a un sens pour toute courbe admettant une tangente dont la direction varie d'une ma- nière continue. Supposons, par exemple, qu'on cherche l'extremum

de l'intégrale J -- / {y -\- a\/ 1-\- y'- ) dx ; on a vu plus haut

(n* 628) que les extrémales sont des circonférences de rayon a. Si la distance des deux points donnés A et B est égale à 2 a, une demi- circonférence décrite sur AB comme diamètre est bien une courbe extréinale joignant ces deux points; mais lorsque la droite AB n'est pas parallèle à Oa:, il j a des parallèles à Oy qui rencontrent celte extrémale en deux points. Le problème, tel qu'il a été posé au n" 621, n'a donc pas de solution dans ce cas; cependant, si l'on écrit l'intégrale 1= f ydx -h ads, cette intégrale, prise le long de la demi-circonféreace, a encore un sens, et nous vérifierons un peu plus loin (n" 647) que la première variation de J est nulle quand on compare sa valeur le long de la demi-circonférence à sa valeur prise le long d'une courbe infiniment voisine ajanl les mêmes extrémités.

624 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Nous allons exposer la théorie de Weierstrass en nous bornanl aux courbes planes, et en insistant surtout sur les différences de la nouvelle théorie avec les précédentes.

Nous dirons qu'un arc de courbe F est de classe C, si l'on peut représenter les coordonnées d'un point quelconque M de cet arc par deux fonctions

(80) ^ = r(0- y = '^{f)^

d'un paramétre auxiliaire t, qui sont continues et admettent des dérivées premières continues 9'(^), 'VCO qu^i ne peuvent s'annuler simultanément lorsque t varie de ^^ à /), valeurs du paramétre qui correspondent aux extrémités A et B de Y. On peut toujours supposer tQ<Z.ti] c'est ce que nous ferons désormais. Nous appel- lerons A le point qui correspond à la valeur t^^ B le point qui cor- respond à la valeur t\ , sens positif sur l'arc AB le sens de parcours d'un mobile qui décrit cet arc en marchant constamment de A vers B. Lorsque t croît de <o à ^i, le point de coordonnées ^(i), d'(f) décrit l'arc AB dans le sens positif, puisque les deux déri- vées 9'(^), ^''(O ^^ peuvent s'annuler pour une même valeur de t. Si cet arc ne présente pas de point double, à tout point M de cet arc correspond une valeur et une seule de t enlre ^o et i,. Nous désignerons par 9 l'angle que fait la direction positive de la tan- gente avec Oj:, cet angle étant compté comme en Trigonométrie et n'étant défini qu'à un multiple près de 27:. Les cosinus direc- teurs de cette direction positive de la tangente, c'est-à-dire les cosinus des angles (comptés de o à tt) qu'elle fait avec Ox et Oy, sont cos 9 et sin B. Tout système de deux nombres K cos ô, K sin 9, où K est un nombre positif quelconque, constitue un système de paramètres directeurs pour cette tangente. On peut prendre pour paramètres directeurs les dérivées o'(0. ^'(0' puisqu'on a

0'=^ cos 6 y 9''- -+- (^'2, 'V = sinO v'?'^-*- 't^'"'-

Toute courbe F do classe Ci admet une infinité de représentations paramétriques de cette espèce. En effet, si les formules (80) four- nissent une représentation, on en obtiendra une nouvelle en rem- plaçant dans ces formules t par une fonction 7r(T) d'une variable t, continue et croissante de ^0 à t^ lorsque r croît de Tq à t,, et ayant

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 625

une dérivée continue 7:'(t) qui ne s'annule pas entre To etr,. On passerait de cette représentation à la première en rentplaçant t par la fonction inverse 7r~' (t). En particulier, on pourra toujours sup- poser eflTectuée une substitution linéaire, £ = ar + [3, de façon que les limites soient des nombres donnés à l'avance, o et i par exemple.

Cela posé, soit F{x, y; x', y') une fonction des quatre variables ^S y y ^' 1 y'i continue et admettant les dérivées partielles continues jusqu'au troisième ordre, lorsque le point {x^ y) reste dans une région (K du plan, pour tout système de valeurs finies de a;', y', tel que x'--\- y'- ne soit pas nul. Soit F une courbe de classe G' située dans dv; si les formules (80) donnent une représentation paramé- trique de celte courbe satisfaisant aux conditions qui viennent d'être expliquées, l'intégrale définie

(81) J^y 'f[?(o, 4^(0; -,'{t),'i'{t)]dt

a une valeur déterminée qui dépend non seulement de la courbe F eile-méme, mais aussi du mode de représentation adopté, si la fonction F est quelconque. Nous allons d'abord chercher à quelles conditions doit satisfaire la fonction F pour que la valeur de J ne dépende que de la courbe F elle-même et du sens de parcours adopté, et soit indépendante du mode de représentation. Il faut et il suffit pour cela que l'intégrale de même forme que J, provenant d'une autre représentation, ait la même valeur que la première. En remplaçant dans les formules (80) t par une fonction 7:(t), satisfaisant aux conditions qui ont été spécifiées tout à l'heure, on a une nouvelle représentation paramétrique de la courbe F, où (p, tj;, 9', 'ji' sont remplacées respectivement par 9[7r(T)], 4'[^('^)]' 9'(7r)7r', '^\tz)v:' et la valeur de l'intégrale (81) relative à cette nouvelle représentation est

rS.) J'= f 'f|ç[;:(t)], J.[z(.)]; ?'[ ::(t)] -(t), •1'\t.{-,)]t.' {-:) \ ch.

Si l'on fait dans celle intégrale le changement de variable 7:(t) =1 u, elle devient

(8.') y=.j'^ 'f[9(«), -H",); ^'{")r.'i-.), .y(u)r:i-.)]^y

OOURSAT. — III. 40

6a6 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VAVIATIONS.

Pour que les intégrales (8i) et (82)' soient égnles quelles que soient la courbe F et la représentation paramétrique, il faut et il suffit que les éléments soient égaux, c'esi-à-dire qu'on ait identi- quement

F[<f(u), ^(u); <p'(a)T:'(T),y(«)::'(T)] = :t'(x)F[?(w), ^{u); ?'(«), y(u)],

la fonction ^'{t) ayant une valeur positive quelconque. Nous dirons avec M, Bolza qu'une fonction F (a: , y ; x' , y') esl positivement homogène en x', j', et de degré m, si l'on a, pour toute valeur positive de K,

(83) F (a;, j ; Ka;', K r') = K"«F(a;, 7; x\ y').

Le résultai de la discussion précédente peut alors s'énoncer comme il suit : Pour que la valeur de Vintégrale (81) ne dépende que de Varc AB de classe C et du sens de parcours adopté^ il faut et il suffit que F(a?, y ; x' , y') soit positivement homogène du premier degré en x\ y' .

On représente cette intégrale par l'une ou l'autre des notations

Jr= f ¥[x,y:x'{t\y{t)]dt= T F(^, 7

dx, dv),

OÙ la variable t n'est pas spécifiée.

Remarques. — i" Une fonction rationnelle, en x' , y', qui satisfait à cette condition, est homogène au sens absolu du mot, car elle est le quotient de deux polynôme^ homogènes en x' , y' de degrés m cl m — i respectivement, fl n'en e«t pas de même d'une fonction irrationnelle; par exemple, le radical ^x'^-^y'^, pris positivement, cet bien positivement homogène, mais si l'on change x' en Kx', y' en Ky, K étant négatif.

on a

\ W'-x'- -+- ^^-y'- — — K ^x'- -+- y'-.

L'expression ax' -i- by' -t- \^' x ^ -+- y'^ est la somme de deux termes positi- vement homogènes, dont l'un change de signe quand on change x en — x y' en — y\ tandis que l'autre ne change pas.

2" Quand on change le sens de parcours sur 1\ l'intégrale le long de liA a pour valeur

Jba= f ''F[-A-n,'\'(-t);-f'(-t),-i>'i-t)]dt

^f'^F[<fXu\'hiu);-^'{u),-à'iu)]du;

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 6*7

si la fonction / est homogène en x', y', au sens absolu du mol, on aJaA = — Jab. Au contraire, si P{x,jr;—x',—y)=^F{x,y;x\y), on a Jba= Jab, et la valeur de l'intégrale ne dépend pas du sens de par- cours. L'exemple le plus simple est fourni p«r l'intégrale / ^at'*-^ y'^ dt.

30 Dans le cas particulier où la courbe r est une courbe de classe (I), si l'on a en outre Xo<a;i, on peut prendre pour représentation paramé- trique .T =t /, r — f{t), et l'intégrale prend la forme considérée jusqu'ici

I F(x, _\ ,y'r-)(/a:.

Inversement, toute intégrale / G{x, y, f) dx, prise le long d'une

courbe T de classe (I) peut se mettre d'une infinité de manières sous forme paramétrique. Si, par exemple, on a Xo<.Xi, il suffira de poser a: = ?(<), <f(t) étant une fonction de classe (I) telle que x croisse de Xo à Xi lorsque/ croît de to à ti, puis <\i(t) =/fo(^)], et l'intégrale prend la forme para- métrique

La fonction

F[x, y; x'{t), y' {t)] = Q(,x, y; y;^)x'

satisfait bien à la condition d'homogénéité. Mais, pour que cette transfor- mation présente quelque intérêt, il faut que la forme paramétrique de l'intégrale s'applique à toutes les courbes de classe G', au moins dans un

certain domaine. Par exemple, l'intégrale / y"^ dx peut s'écrire sous

forme paramétrique / •^— — dt , et celle nouvelle intégrale n'a pas -de valeur finie pour une courbe de classe C qui a une tangente parallèle à Oy.

646. Nouveau problème. — Soit F(x, j-; x' , y') iiae fonction satisfaisant aux conditions de continuité et à la condition d'homo- généité qui ont été expliquées; à toute courbu de classe G* située dans la région dv, et décrite dans un sens déterminé, correspond une valeur déterminée de l'intégrale J. On peut se proposer pour ces intégrales les mêmes problèmes d'exlremum qu'aux n*"* 621- 631 et suivants, mais il est nécessaire de définir d'une façon pré- cise ce qu'on doit entendre par le voisinage d'une courbe de cette espèce. Ce voisinage ne peut plus être limité par deux segments de parallèles à Oy passant par les points A et B, et d(jit renfermer ces pohits à l'intérieur. Dans la suite, nous appellerons voisinage

628 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

d'un arc AB de classe C la portion du plan balayée par un cercle de rayon p dont le cenlre décrit l'arc AB, et nous le désignerons par (Dp ou û); bien entendu le nombre p est supposé assez petit pour que cOp soit tout entier dans la région (K. Cela posé, nous dirons que la courbe F donne un minimum relatif de l'intégrale J, s'il existe un nombre positif p assez petit pour que la valeur de l'intégrale Jp soit inférieure ou au plus égale à la valeur de la même intégrale prise le long de toute autre courbe de classe C. située dans (Dr,^ ayant les mêmes extrémités que F. Le maximum relatif se définit de la même façon.

Supposons que la courbe F définie par les formules

où x{t), y{t) sont des fonctions de classe (I) dans l'inter- valle {ta^ l^)^ où to<Ct^^ donne un exlremum de l'intégrale J. Soient ^(Oi ^(0 deuï fonctions de classe (1) dans le même inter- valle, nulles aux deux limites. Il est évident que la courbe repré- sentée par les formules x = x{t) -f- oii{t), y =y(t) 4- ay){t) est située dans le domaine cOp pourvu que |a] soit assez petit, et l'intégrale

(84) .I(«) = f 'F[x(0-haÇ(0,7(0-Ha-n(0, x' (t) -^u^'(l), y(t) + a-n'(t)]dl

doit être maximum ou minimum pour la valeur x = o. On peut calculer la première et la seconde variation par les formules géné- rales des n"^ 621 et 631, mais, à cause de la propriété d'homogé- néité de F, on a, entre les dérivées partielles de cette fonction, des relations qui permettent de simplifier les expressions générales obtenues plus haut pour ôl, à-ï. De la relation F = x' F',., + y F'y^ qui est une conséquence de l'homogénéité, on tire en effet les relations suivantes :

F.v = x' f;. ,., -f- / F.;;.,., f; = x' f;,, -+- y f^, ,

j:'F^.,,-f- v'F^,,,= 0, x'F".,^.-^yFy,= o.

Les deux dernières prouvent que les dérivées du second ordre F'j.,. F.c,., F',.,, sont respectivement proportionnelles à y'^, — s^'y, x'2. Nous poserons

(85) F';.., = y'-Fi{x,y: x',y), F"^..,.. = — x'yFt, F;.,.= x''-Fr,

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 629

la fonction F< (x, y, x', y') ainsi définie est conlinue et admet des dérivées continues dans dv, pourvu que x''--h y''^ ne soit pas nul. Mais il peut se faire que F, devienne infinie pour x' = y=o, même si F reste finie; par exemple, si F =y/x^M^^7^, on a

Remarque. — Si l'intégrale J admet un exliemum relatif fourni par une courbe T de classe CS il est clair que cette courbe T fournira a for- tiori un extremum relatif pour les courbes de classe (I) ayant les mêmes extrémités. Mais la réciproque n'est pas vraie. Il peut se faire qu'une courbe F de classe (J) donne un exlremum d'une intégrale quand on ne compare que les valeurs de l'intégrale prises suivant des courbes de la même classe (I), et ne donne plus d'extremum quand on compare la valeur de l'intégrale Jr aux valeurs de J prises suivant les courbes de la classe plus générale C' avant les mêmes extrémités que F. Par exemple, il est

7^) prise le long du segment (o, 2) de

l'axe des x, est plus grande que la valeur de la même intégrale prise sui- vant toute autre courbe de classe (I) ayant les mêmes extrémités. Mais si

l'on écrit l'intégrale sous forme paramétrique / —n 7^» on peut trouver

des courbes de classe C', infiniment voisines du segment (o, 2), donnant

pour l'intégrale une valeur supérieure à 2.

Considérons, en effet, la ligne brisée formée de trois segments, dont le

premier joint l'origine au point x = i-h h, y = h, \e second joiiit ce point

au point x = 1, y^ o et, enfin, du segment (i, 2). La valeur de l'intégrale

,. , , , h

suivant cette ligne est égale a 2 h ; r rr:» 6t> P^^ conséquent,

* " 2(1 -^ 2A-+- 2/j-) ' ' ^

supérieure à 2, si A est > o. On démontre, comme au n" 630, qu'on peut

remplacer cette ligne brisée par une courbe infiniment voisine de classe C',

telle que l'intégrale le long de C diffère de l'intégrale le long de la ligne

brisée d'aussi peu qu'on le veut. Cette remar]ue, rapprochée de celle qui

termine le numéro précédent, mantre |ue le nouveau problème d'extremum

et celui qui a été traité déjà sont essentiellement différents.

fî47. Forme générale de réquation d'Euler. — Pour que la pre- mière variation de l'intégrale (84) soit nulle pour toutes les formes possibles des fondions ^{x), Tj(a7), les fondions x(t), y{t) doivent vérifier les deux relations (n" 623)

^F d/f)F\_ àF d ( à?_

^^^^ ôi~'dt\J^-)-''' dy dt\dy'

63o CHAPITRE XXXIV, — CALCUL DES VARIATIONS.

Ces deux équations ne sont pas indépendantes, car, en tenant compte des relations entre les dérivées de F, les premiers membres développés sont de la forme a7'T,y'T; et, comme a:' et ^ ne peuvent s'annulera la fois, les deux relations (86) se réduisent à la seule équation

(87) T = Fi (x' >^— y'x") -f- F,;.v — Fv.r'= o.

On n'a donc qu'une seule équation pour déterminer les deux fonctions inconnues x{t), y{t), mais cette relation est suffisante pour déterminer les courbes extrémales elles-mêmes, abstraction faite de leur représentation paramétrique. En effet, celle équation est de la forme x'y — yx"=x''^^^ la fonction O étant positive- ment homogène de degré zéro en x\ y' ; elle ne change donc pas de forme, comme on devait s'y attendre, quand on remplace t par une fonction quelconque n{r) d'une autre variable t, dont la dérivée est positive. Il s'ensuit que, pour trouver toutes les solutions de l'équation (87), on peut choisir arbitrairement le paramétre variable ^, à la seule condition que ce paramétre aille en croissant (juand le point [x, y) décrit la courbe dans le sens positif. En par- ticulier, si l'on suppose que la courbe cherchée est de classe (I). et x»<iXi, on peut prendre a? = î, et l'équation (87) devient iden- tique à l'équation d'Euler qu'on obtiendrait en égalant à zéro la

première variation de l'intégrale / ¥{jc.y\ \^y'^)dx. L'équa-

tion (87) n'est donc au fond que l'équation d'Euler mise sous une forme symétrique, où la variable indépendante est laissée indéter- minée. Au point de vue de l'intégration formelle, les deux pro- blèmes présentent les mêmes difficultés, mais l'équation (87) peut admettre des solutions formées de droites t = C, qui ne peuvent se présenter quand x est la variable indépendante. Tel est le cas où F est de la forme g {y) sjx'- -{- y'-; l'équation (87) est alors satisfaite on posant x'^= o, et les parallèles à l'axe des y sont des extrémales pour le problème généralisé.

Pour achever de déterminer une courbe extrémale quand on se donne un point A et la direction de la tanicente en ce point, il faut établir quelque autre relation entre x{t) tX. y{t). Si l'on prend pour variable t l'arc de rextrémale compté à partir du point A, on ajoutera à l'équation (87) la relation x' x" ->r y' y" ■= o, et l'on prendra pour valeurs initiales x = Xq,

!V. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — ?0LUTIONS DISCONTINUES. 63l

y zsyo, x' = cosôo, y — sinOo, 9o étant l'angle de la direction positive de la tangente en A avec Ox. Les deux équations T = o, x' x" -^- y' y" =■ o donnent pour x', y des fonctions continues de x, y, x', y' dans le voisinage des valeurs initiales pourvu que ¥^{xo-,yo\ cos6o, sinôo) ne soit pas nul, et, par suite, il y a, dans ce cas, une seule extrémale répondant à ces conditions initiales. Si,ia fonction ¥{x,y\ cos8, sinO) ne s'annule pour aucune valeur de 6 dans la région 61, de tout point de cette région, il part donc une extrémale et une seule dans chaque direction. Le problème est dit régulier.

Exemple. — Soit ¥ ~ yx -^ a \Jx'^-^-y'^ (cf no 628). Le système à inté-

I ^

gfrer est x'y' — y' x" ■=■ —{x'^-\-y"'-Y, a;'^ -h r'- = i . En posant a;'=cos6,

v'=8inô, il vient 6'= — j et l'extrémale cherchée est un arc de cercle de a

rayon a, représenté par les deux équations

a; = aro -♦- « sin ( Go H j — asinâo, y = j) o— acos ( KoH | -f- acos6o.

Par deux points A et B dont la dislance est inférieure à 2» passent deux de ces arcs de cercle, marqués en traits pleins sur la figure, pour lesquels

6 croît avec s. Les arcs marqués en traits lins pour lesquels 6 diminue quand s augmente sont de même des extrémales pour l'intégrale obtenue en chan- geant le signe du radical dans F.

Remarque. — Lorsque les extrémités A et B sont elles-mêmes variables, la formule générale (ig), qui donne ia première variation 81, se simplifie

632 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

et ne renferme plus de terme en 8^, d'après la relation d'homogénéité. Elle devient dans ce cas

(88) .. = (F;,.8.^F;.,5^,;:.jr%.[^ _ ^/^i;)] ,,

ce résultat pouvait être prévu, puisqu'on peut toujours choisir la variable^ de façon que les limites soient les mêmes pour un arc AB et pour un arc infiniment voisin A'B'. La condition de transversalité devient ici

(89) J'!i'(^î y\ x' 1 y') ^^ ■+■ F','(^! y^ ^' ■> y') ^y = o,

x\ y' étant les paramètres directeurs de la taiigente à l'extrémale au point (^> y^i S^ et %y les paramètres directeurs de la tangente à la courbe qu'elle coupe transversalement.

648. Conditions de Legendre et de Jacobi. — Soient a7(^), yi^t) un système de solutions de Féquation (87), continues ainsi que x\ x\ y, y dans l'intervalle {to, t^ ). Dans l'expression de la seconde variation ô-I de l'intégrale (84) figure sous le signe / une forme quadratique en |, yj, ^', tq',

(90) G(Ç,T,; r,Ti')= F.:;,, |'2+ 2F.;yrV-i- Ff.V^ + 2F;;,,,?r+2F^.,ÇTi'

-t- 2 F".^.,TiÇ'-f- 2 F;',,' ■r\-r\' -f- F^,, ^2 _^ 2F^^ Ç-q -I- Fj^jT^^,

que Weierstrass transforme comme il suit. Les coefficients de ^'^, E'yî', Y]'- sont respectivement j^'-F,, — x'y'F,, x''-F^. Les coeffi- cients de ^rj' et de i)^ sont liés par la relation (87); si, pour plus de symétrie, on introduit trois fonctions auxiliaires L, M, N définies par les relations

l L = F;;.^ — r'/'Fi, M = F;,.-+- x'f'Fi = ¥"^.^-i- y' x'Yi,

^'^'^ \ n==f;v-^'^"Fi,

on peut écrire

-^ 2M(?-ri'+ r^) + 2NTi7i'-f- F.;.Ç2-+- 2F^^.|7i -h F;,ti2; on a donc, au moyen d'une intégration par parties évidente,

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 633

OÙ l'on a posé

I /Vf

[ w=ly'— r^x', L, = F;;.,— F,_^)-"2 — — - ,

f M, = F.;^.-+-Fi^>''- — , N,= f;'.,-F,.2;'2-— .

La forme L, ^^ _|_ 2 M< ^y) -j- N, yj- est elle-même un carré parfait. Il est en effet facile de vérifier qu'on a, par exemple,

Lix'-t- Mty' = o; la vérification est aisée en tenant compte de l'identité

Lx'-i-My= F.'o

et de celle qu'on en déduit en diff'érentiant par rapport à ^, ainsi que de I*équation(87) elle-même. On montrerait de même qu'on a aussi M, a;' -f-N, j'' = o. Les fonctions L, , M, , N, sont donc pro- portionnelles k y^, — ^'y\ x"^-, tit l'on a

L,=j'2F2, M,=— ^'/Fo, Ni=^'2Fo;

la fonction Fj est elle-même une fonction continue de t puisque y et ^' ne peuvent s'annuler pour une même valeur de t entre ^, et t\. La seconde variation «5'-J prend donc la forme très simple

(93) o->-i = a^y '' I^F, (|-^^y + F.i»^-^] dt,

et ne dépend que d'une fonction linéaire w = ^y — rix', qui est de classe (I) dans l'intervalle (^0 '< ) et s'annule aux deux extrémités. Nous pouvons appliquer à celte intégrale les résultats obtenus aux n"^ 631-632. Pour que ô- J ait un signe constant, soit positif par exemple, il faut et il suffit: i^que F, \x{t),y (t); x' {t),y[t) \ soit positif dans l'intervalle (^o, t^) {condition de Legendre)\ 2" que l'équation linéaire

admette une intégrale qui ne s'annule pas dans col intervalle (con- dition de Jacobi).

Cette dernière condition peut s'énoncer autrement ( n° 632). Soient u^{t) une intégrale de l'équation {94) qui est nulle pour t = to et t'ç^ la racine Ui{t) immédiatement supérieure à /„ ; on doit ai'oir ^, < i'o-

634 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

M. Kneser a montré que la condition de Jacobi peut s'inter- préter géométriquement de la même façon qu'au n" 633. Soient

X ^ ?(«, X), y = <l{t, X)

les équations d'un faisceau d'extrémales infiniment voisines de l'extrémale considérée ; les fonctions o et il' se réduisent respecti- .vement à x (t), y (i.) pour 1 — o. Ces dérivées

vérifient une équation difTérentielle qu'on déduit de l'équation d'Euler en différentiant par rapport au paramètre X et faisant ensuite 1 ^^ o dans le résultat. Si l'on prend l'équation sous la

forme F'^ (F^) = o, on obtient après différentiation l'équation

linéaire

où l'on suppose X = o dans les dérivées secondes. En exprimant toutes les dérivées secondes de F au moyen de F,, Fa, L, M, N, on trouve, après quelques réductions, que le résultat peut s'écrire

(95)

[p.„._^(p, -)].„,

OÙ l'on a posé a>=j'';p,(f) — x'^t{t). En écrivant l'équation d'Euler sous la forme F'^. — -^ (F'^) = o, on obtiendrait la même équation (go), sauf que y' serait remplacé par x'. La fonc- tion y'<Di{t) — x'^\ii{t) est donc une Intégrale de l'équation de Jacobi (94)5 qwi se trouve ainsi rattachée à l'étude des extrémales infiniment voisines de l'extrémale représentée par les équa- tions x =^ X (f ), y =y {().

Considérons en particulier le faisceau des extrémales issues du point A, infiniment voisines de la première. Il est clair que les fonctions cp, (f) et (|>i (i) sont nulles pour « = /o, puisque 9(^0, ^) et 4'(^o5^) sont indépendants de X; le déterminant j'<p, — x'^^ est donc une intégrale de l'équation de Jacobi s'annulant

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 635

pour t = Iq. Les autres racines de ce jacobien correspondenl aux points de rencontre de l'extrémale avec une extrémale infiniment voisine du même faisceau ('). Si donc on appelle foyers conju- gués du point A. les autres points où celte extrémale touche l'en- veloppe des extrémales issues de A, la condition de Jacobi exprime que tous les foyers conjugués du point A sont en dehors de Varc AB.

Lorsque la condition de Jacobi est vérifiée, on démontre comme au n° 638 que l'arc d'extréraale AB peut être entouré d'un champ. On peut prendre par exemple, pour former ce champ, le faisceau des extrémales infiniment voisines de la première issues d'un point % pris sur le prolongement de l'arc AB au delà du point A et assez voisin de A pour que tous les foyers conjugués de % soient en dehors de l'arc AB.

Dans l'exemple cité plus haut (n" 647), l'enveloppe des extrémales issues de A est la circonférence de centre A et de rayon la. La condition de Jacobi n'est vérifiée que pour le plus petit des arcs d'exlrémale AM'B; l'arc AMB contient <iu contraire le foyer conjugué A' de A.

6i9. Condition de Weierstrass. — Les raisonnements qui ont conduit à la condition de Weierstrass (n" 636) s'étendent sans modification essentielle au nouveau problème. Soient AB un arc d'extrémale, P un [.oint de cet arc et F une courbe d'espèce C passant en ce point. On peut imaginer comme plus haut un faisceau de courbes d'espèce G' joignant le point A à un point Q voisin de P sur F et se réduisant à î'arc d'extrémale AP lorsque le point Q vient en P {fig- io3). Sij7((), y {t) sont les coordonnées d'un point de l'arc AP, {x^^ rs) les coordonnées du point Q, on peut prendre par exemple l'arc AQ défini par les formules

T étant la vnleur du paramètre t qui correspond au point P.

(») D'une façon générale, si une famille de courbes planes dépendant d'une constante X est représentée paramétriquement par les formules a; = 9 (<,/.;, y = (j; (f, X), l'enveloppe de cette famille de courbes s'obtient en ajoutant aux équations précédentes la relation ^' 1/ ~ o, dont les racines fout connaître, pour chaque valeur de \, les points de contact de la courbe qui correspond a cette valeur de X avec son enveloppe.

G3G CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

L'intégrale

Ji= / F(a', 7; x\y')dt

*^AQ

est une fonction de l'arc PQ = s dont la dérivée, prise pour 5 = 0, a pour expression, d'après la formule générale (19) qui donne la première variation,

i^).=

¥'y{x, y; cos6, sinÔ) -j- sin6iF',..(jr, jk; cos6,sin6),

cos 6, sin B étant les cosinus directeurs de la direction positive de la tangente en P à l'extrémale, et cos6<, sinQ^ les cosinus directeurs (le la tangente en P à F prise dans le sens PQ. De même l'inté- grale Jo prise le long de QP est une fonction de s dont la dérivée pour 5 = 0 est égale kF {x, y\ — cos B^ , — sin 9,), comme on le voit, en réduisant celte intégrale à son premier élément. La déri- vée de la somme J, 4- J2, qui représente l'intégrale

/

F {x. y: x\ y') dt

prise le long du chemin AQP, est donc égale, pour 5=0, à l'ex- pression

F( X, 1 : — cos6i, — *inOj ) -+- cos6i F',.-(.2-, y\ cosÔ, sin6) H- ^iuOi Y\.\x^ y\ cos6, sinO).

On représente cette expression par une notation abrégée, en posant

(96) Kl r. y: p. q: //, q')

= f"' ir.) :p'- q')—p'F'.c{-^: y- p^ q) — q.'^\\x,y\p, q), ce qu'on peut encore écrire, d'après l'homogénéité de F, sous l'une ou l'autre des deux formes {cf. n° 646),

(gO)' ¥(x.y\p'. q) — F{x. y. p. q) ^ {p — p)'P[^,{x, y; p, q)

--{q'—q)Fy{x,y;p, q),

'9<-''/' /'' ! F.r(-^j y- p': q') - F'r'(^"> y\p, q) ]

^q'\^y{^. y- p- q')-'p'y{^,r- P: q)]-

Le raisonnement s'achève comme au n" 636 ; en changeaut ô, en - — 9, on arrive à une nouvelle condition nécessaire : pouf tjue l'arc d'extréniale AB fournisse un minimum de Vintégrale, il est nécessaire que la fonction

E(.r, r; COSÔ, sin 6; cosB'J sin 6')

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 637

ne prenne jamais de valeur négative le long de Varc AB, quel que soit V angle 9'.

On peut encore énoncer cette condition comme il suit : x, y étant les coordonnées d'un point quelconque de l'arc d'extrémale, x',y' un système de paramétres directeurs pour la direction posi- tive de la tangente en ce point, on doit avoir, en tout point de Varc d'extrémale,

(97) E(a:, r; ar', r'; a:'i,y,)^o

pour tout système de valeurs de x\ , y\ .

Weierstrass a montré aussi que la fonction E s'exprime 1res simplement au moyen de F, ; en prenant pour E la forme (9(>)", on a

E(jr, >•; cos6, sinO; cosO'sinÔ')

= cosO'[F^.-(arj j; cos6', sin 6'; — F'j^,('a-,^; cos6, sin6)| -f- sin 6'[F;..(j:r, y; cos6', sin6' 1 — Y\..{x, y\ cos6, sinô)],

ce qu'on peut écrire aussi

. cos6' -7- [F^^(a:, j; cos/, sin^] -*- s'n*^' y [ Fv(^j >'; cos?, sin/)] dt.

En remplaçant les dérivées secondes F".:. F^^., F^.,, par leurs expressions au moyeu de Fi, on a encore

i

-s:

5in(e'— 0 Fi(a:, > ; cos/, sin/)<://

0

sin(6'— 6 — t)Fi[x, ^v; cos(G -h t), sin(e h- t)] (/t.

Les angles b et 6' n'étant déterminés qu'à un multiple prés de 27:, on peut supposer 9' — 9 compris entre — tî et + tt, de sorte que sin(0' — 9 — t) rie change pas de signe dans l'intervalle (o, 9' — 9). On peut donc appliquer à la dernière intégrale la première for- mule de la moyenne (I, n° 76), ce qui donne (98) E(a:, 7; cose, sin6; cosÔ', sinO')

= [i — cos(6'— 0)]Fi(./-. r; cosO,. sinOj),

9< étant compris entre 9 et 9'.

Il suit de là que la condition de Weierstrass sera certaine- ment vérifiée si la fonction F,(x, r; cos^,, sin9,) ne prend jamais de valeur négative le long de Varc d'extrémale AB, quel que soit V angle 5,.

638 CHAFITRE XXXIV. — CALCUL DBS VARIATIONS.

D'autre pari, le rapport

E(.r, y\ cosB, sinB; cosC', sinO') i — cos((*'— e)

tend vers F, (x, j; cosô, sin9) lorsque 6' tend vers 6 et, par suite, la condition de Legendre résulte aussi de la condition de Weier- trass sous sa première forme.

Remarque. — Lorsque la fonction F(a;, > ; x' , y') est homogène au sens absolu du mot, la fonction E(a;, jk; cos6, sinO; cos6', sin6') change de signe quand on change 6 en ^ -+- 6', et, comme la condition (97) doit être vérifiée quel que soit l'angle 6', il s'ensuit que E{x,y\ cosO, sin6 ; cos6', sinO'j doit être nul tout le long de l'arc d'eitrémale AB, quel que soit Pangle 6', ce qui exige en particulier, d'après la relation (98), que Fi(a:,^; cosô, sinô) soit nul tout le long de AB.

Un arc d'extrémale ne peut donc fournir d'extremuœ que dans des cas tout à fait exceptionnels, lors jue F est de cette forme. C'est ce qui arrive, par exemple, lorsque F est une fonction rationnelle de x' , y' {cf. n<» 6io).

650. Système de conditions suffisantes. — Inversement, les con- ditions précédentes sont suffisantes pour le minimum, tout au moins quand on les prend au sens strict, en excluant les signes d'égalité. D'une façon précise, un arc d'extçémale Rejoignant deux points A et B de la région (K donne un minimum de l'intégrale, s'il satisfait aux conditions suivantes :

1" 7'out le long de Ro, on a

Kl {x, y: cos6, sin6) > o,

6 a,ant la même signijicatiou que plus haut;

2" La condition de Jacobi est véri/iée et, par conséquent, on peut entourer Ro d^un champ d^extrémales, par chaque point duquel passe une extrémale d^un faisceau spécial dont fait partie ^^;

3" Tout le long de (^f,, on a, pour toute valeur deh'^B-\- aKn:, E(a;, y; cosÔ, sinO; cosO', sin6'j > o. Dans ces conditions (^), nous allons établir qu'on peut trouver un (') Les conditions \° et 3» sont certainement vérifiées si la fonction

Ft(^) y'> ^'1 y)

est positive dans la domaine A, quelles que soient les valeurs de x' , y', o'est- à-dire si le problème est régulier (n" 647). Il suffira donc, pour qu'une extré- male donne un minimum, qu'elle vérifie la condition de Jacobi.

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 689

nombre positif p assez petit pour que toute courbe de classe C située dans le domaine (Dp, et joignant les deux points A et B, donne pour l'intégrale J une valeur plus grande que l'arc d'extré- male ^o- Considérons pour cela un faisceau spécial d'extrémales dont ^0 fait partie, et soit CD le champ correspondant. Par tout point (Xy y) de ce champ passe une exlrémale de ce faisceau et les cosinus directeurs de la direction positive de la tangente en ce point (cosu, sina) sont des fonctions continues des variables {x,y) qui deviennent égales à cosô er à sin9 lorsque le point {x,y) vient sur ^0- Nous allons d'abord montrer qu'on peut prendre le nombre p assez petit pour que, dans le champ (Dp. la fonction ^{x, y, cosu, sinw; cosô, sinô') soit positive pour toutes les valeurs de ô' qui ne sont pas de la forme u + sKtt. Considérons pour cela la fonction auxiliaire E, définie de la manière suivante :

Ei{x,y; cosuj sinw; cosô', sinô') _ E(a:, j^; cosu, sinu; cosfi", sin6') ,

I — cos(w — 6') ^ ?== - '•;;

E(.27, y, cosu, s\nu ; cos6', sinô') = Fi(iC, y; cos?<, sinu)

pour

fj' — u = ?ls.7:.

D'après la relation (98), cette fonction est continue, même pour d'= u, et d'après les hypothèses, elle est positive en tout point de l'arc AB pour toute valeur de 6'. Comme elle est con- tinue dans le voisinage de l'arc AB et qu'elle admet la période 27r par rapport à d', il résulte des propriétés des fonctions continues qu'on peut entourer ^0 d'un domaine (Dp assez étroit pour que la fonction E^ reste positive lorsque le point [x, y) décrit le domaine (0^, quel que soit l'angle 9'. On aura donc aussi E{x, y; cosu, sinu; cosfi', sin6') > o

dans ce domaine (Dp, à moins qu'on ait cos(i9' — u) = i et, par suite, 6'= u -f- 2K7:. Cela étant, soient

dx ^ ^ dy , .

-^=P{^,y), ^ = 9(^.J)

deux équations différentielles définissant le faisceau spécial d'ex- trémales qui constitue le champ considéré; on peut prendre, par

G4o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

exemple, p = cosu, q = sinu, et la variable t représente alors l'arc de l'extrémale compté dans le sens positif. Pour que ce sys- tème d'équations différentielles définisse un faisceau d'extrémales, il est nécessaire que les valeurs de x\ y' , x", y qu'on en déduit vérifient l'équation (87), ce qui donne la condition

-+-F.^,(.r, k;/?, q) — ¥yp{x, y; p, q) = 0. On obtient la même relation en exprimant que l'expression

(99) ^'p{x,y; p, q)(f-^^'P'q{^- y: p, q)riy

est une différentielle exacte d<i>, de sorte qu'au faisceau d'extré- males considéré on peut rattacher une fonction ^{x^ y), continue dans le champ, dont la différentielle totale est égale à l'expression précédente.

11 est facile maintenant d'étendre la fin du raisonnement du n° 639. On a, eni effet,

F{x,y; .x',y') = E{x, y; p, q ; x', y') -h F'p{x, y; p, q)x'

■^F'^{x,y; p, q)y',

d'où l'on tire, si p et q ont la signification précédente,

/ F(.r, r; x\ >')«-// = flL{x, y; p. q : x', y') dl -+- 1 (/*.

Si la courbe F est une courbe de classe C' du champ 6(Dp, joignant les deux points A et B, on a encore

(,00)

\r-^,-J'F.{x,y:p, q: x'.y')df,

car le long de ^0. l'intégrale / c^Oest égale à / F{x, r, x\y)dt.

La différence Ir — !§, est donc positive quelle que soit la courbe F. puisque tous les éléments sont positifs ou nuls. Pour que la diffé- rence fût nulle, il faudrait que E{x , y ; p , q ; x' , y') ou

E{x, y; cosM, sinw : cos6', sin6')

fût nul en chaque point de F, ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a 9'= u 4- 2K-. Il faudrait donc que la tangente en chaque point

IV. _ THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 64 1

de r coïncide avec la tangente à Pextrémale du faisceau qui passe en ce point. Cette courbe F serait donc elle-même une extrémaîe du faisceau et, comme elle passe par les points A et B, elle se con- fondrait avec ^0-

Contrairement à ce qui avait lieu pour une intégrale prise sous

la forme / F(^, y, y') dx. on voit que la condition nécessaire de

Weierstrass, jointe aux conditions de Legendre et de Jacobi, est en même temps suffisante pour assurer le minimum. On s'explique celte différence en observant que, dans le premier cas, on a sup- posé que y avait une valeur Jinie^ de sorte qu'on n'a considéré que les courbes dont la tangente n'est pas parallèle à Oj; au con- traire, quand l'intégrale est prise sous la forme paramétrique, l'angle B' peut prendre toutes les valeurs possibles, et la tangente à la seconde courbe peut avoir toutes les directions.

On remarquera que la condition de Jacobi n'intervient que dans le raisonnement, mais il n'est pas nécessaire de connaître l'angle m, c'est-à-dire la direction de la tangente à l'extrémale du faisceau qui passe en un point du ch»mp, pour reconnaître si les autres condi- tions sont vérifiées.

Les conditions» énoncées sont suffisantes pour un minimum fort. On démontre, comme au n° 64-1, que les conditions de Legendre et de Jacobi sont suffisantes pour un minimum faible. On dit qu'un arc d'extrémale ^„, représenté par les équations

X = x{t), y — y{t \.

OÙ t croît de ^, à t^, donne un minimum faible de l'intégrale si l'on peut trouver un nombre positif £ tel que toute courbe T représentée par les équations x = x{t) ~f \{i-)i y = j(0 + ^(^)' où ^(f), 'n{t) sont des fonctions de classe (I) dans l'inter- valle (^0, t\)-, nulles aux deux limites, pour lesquelles ^- + r/2 ne s'annule pas entre t^ et i,, donne pour l'intégrale une valeur plus grande que ^o, pourvu que |E(OI' \''^{^)\i U'(^) I' l"'^j'(^)l soient inférieurs à e dans tout l'intervalle. Non seulement la courbe T est très voisine de ^o? mais les tangentes aux points des deux courbes, qui correspondent aux mêmes A-^aleurs de î, font un angle infini- ment petit.

L'interprétation de la méthode est tout à fait pareille à celle qui a été

COURSAT. — IH. 41 .

6Î2 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

indiquée pour les intégrales de la forme / F{x, j, y') dx au n'»642. Soit y

un arc de courbe coupant transversalement en un point chaque extrémale du faisceau. La fonction <P{x,y) représente, à une constante près, la valeur de l'intécrnlc

J¥{x,y- x\y')dt

prise le long de l'arc //tM de l'exlrémale ^ du faisceau qui passe au point M(a;, )) et qui coupe y transversalement au point m (i). Les courbes 'l»(j?, ,r) = C sont donc les courbes transversales du faisceau. On obtiendra encore l'équation aux dérivées partielles des familles de courbes transversales en éliminant le rapport ~ entre les deux équations

et Ion verra de même que les extrémales sont les projections, sur le plan des xy, des caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles ainsi obtenue.

Supposons qu'on ait mis la fonction F sous la forme

^ <AÏ> , 'M» , ,,, , ,

{uy>.) F = —X + ~ .)• + (.(^% .)•; X , y ),

'!> ne dépendant que des variables x et r, et G étant une fonction posi- tivement homogène en x' , y' du premier degré, dont les dérivées par-

tiel les -—,, — sont nulles pour a; r=jo(x, v), > =q{x,y); nous désignons

par /> et q des fonctions continues ayant des dérivées partielles continues

dans un domaine 'd^. Les courbes intégrales du système —f.=p(^,j)t

-j- = f/{x, r) forment un faisceau d'extrémales, dont les courbes <!»(./•, y) = coiisi .

stini les transversales, car on obtient les relations (loi) en différentiani

(') Toutefois, une convention désigne est nécessaire pour cette intégrale. Con- sidérons comme direction positive sur chaque extrémale du faisceau celle dont les piirami'trcs direiteurs sont /> et 7. Alors *l>(x. y) est êfiale à l'inlégrale

f

l'(x, y; x', y' )dl

prise dans le sens positif le long de l'arc d'extrémale cuinpris entre les points M et m, multipliée par i, suivant que la direction qui va de ni en M est la direc- tion positive ou la direction opposée. (Iràce à cette convention, la différentielle totale rf'h est toujours F'^,(a-, y; p. rj) dx ^ F,'^ (a;, y; p, q) dy. d'après la for- mule générale (88) qui donne la première variation ( n" (j47 ).

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 643

l'équation (lo?) par rapport à a:' et à y' et en remplaçant ensuite jc' par p(x, y), y par q{x,y). La fonction E{x, y; p, g; x' . y') correspon- dant à ce champ d'extrémales est précisément G{x, y; x', y').

651. Exemples. Lignes géodésiques. — i" Reprenons le cas où

F = y.r' ■+- \/ x - -I- r -.

On a

px'^qy'

E(.r, r; p, q; x', y') = \ x'^-hy- —

expression toujours positive ou nulle d'après l'identité

(/»2+ <y2)(^'•2_^.y2) ^ (px'-h qy'Y-^ipy'— qx')K

L'arc AMB qui satisfait aux conditions de Legendre et de Jacobi {fig. loà) donne donc un minimum de l'intégrale.

2» Soit à trouver le plus court chemin entre deux points sur une surface 2. Nous supposons les coordonnées d'un point de cette surface exprimées au moyen de deux paramètres u et v de façon que la région (K considérée sur cette surface corresponde point par point d'une façon uni- voque à une certaine région R du plan {u, v). On a alors pour le carré de l'élément linéaire ( I o3 ) ds'^= e du"- -+- if du di- -f- g di>- ,

e,^fy g étant des fonctions continues, admettant des dérivées continues dans R, si la portion de surface considérée ne renferme pas de points sin- guliers. De plus, les fonctions e, g, eg —f- sont essentiellement positives. Nous avons à chercher les courbes joignant deux points (m„, i>a), («i, f'i) de la région R pour lesquelles la valeur de l'intégrale

(io4» ^^f n/^'"'-^ ■-/"'

est minimum. Ces courbes doivent d'abord satisfaire à l'équation (87), obtenue en égalant à zéro la première variation, qui devient ici, en déve- loppant les calculs,

( 1 o5 ) ( eg — f- y{u' (■" — u" v' )

-+- ( e«' -+- fv' ) (/;, — '^ e[, \ m'2 h- g\, u c' -^\s'o ^'-

- (/"' -+- é'^') [ l e'„ u'-^^e', u' v' + [fl -\g'uj '■"- J = f •

On appelle lignes géodésiques les courbes situées sur X qui corres- pondent aux courbes du plan {u, p) satisfaisant à cette équation. D'après la façon dont elles sont définies, la première variation de l'intégrale j ds,

644 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

quand on remplace un arc de géodésique par une ligne infiniment voisine de la surface ayant les mêmes extrémités, est nulle. Il en résulte (n" 625) que le plan osculateur doit passer par la normale à 2, propriété qu'on peut aussi vérifier directement au moyen de Téqualion (io5) (voir Exer- cice 10).

Soit AB un arc de géodésique situé dans la région iR; les conditions de Legendre et de Weierstrass sont vérifiées car la fonction Fi, qui a pour expression

Fi = (^(Ç- — /*) (eM'2 -i- 2/tt'p'-+- gv'"-)"^,

est toujours positive. Pour que l'arc AB de géodésique donne un minimum, il suffit donc qu'il vérifie les conditions de Jacobi, c'est-à-dire que les foyers conjugués de A sur cette géodésique soient en dehors de Parc AB. Remarquons que la condition de transversalilé est ici

{eu' -\- fv') ou -+- i/u' -h gv') of = o;

elle exprime précisément (II, n° 278) que la géodésique et la seconde courbe de 2 sont orthogonales. L'équation aux dérivées partielles des familles de courbes parallèles s'obtiendra donc en éliminant/) et q entre les deux relations

,;a> ^ ep^fq à^ ^ fp-^gg

'-^" \jep-^ -+- ifpq -H gq' ^^ V ^- -+- "^fpq -^ gq"- '

on obtient ainsi l'équation bien connue

652. Méthode de Darboux-Kneser. — Dans le cas particulier des lignes géodésiques, la propriété de minimum est mise en évidence par la forme que prend le carré de l'élément linéaire quand on rapporte la surface à un système de courbes coordonnées, formé par une famille de géodésiques et leurs tra- jectoires orthogonales. Nous renverrons à la Théorie des surfaces de M. Darboux pour l'étude des propriétés des géodésiques fondée sur cette forme réduite de l'élément linéaire, et pour l'extension au cas d'une action inaupertuisienne quelconque. M. Kneser a aussi étendu la méthode au cas^ d'une intégrale sous forme paramétrique. Cette généralisation, dont nous indiquerons rapidement le principe, est fondée sur les propriétés d'invariance des équations différentielles du calcul des variations relativement à un chan- irement de variables. Soient x = '{'(m, v), y = y {u, p) des formules de trans- formations réversibles faisant correspondre point par point à une région R du plan («, v) une région (R. du plan {x, y). Toute intégrale telle que

J = / F (a;, y\ x\ y) dt, prise le long d'une courbe V de la région cR, où F est une fonction positivement homogène en x', y', se change en une

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 645

intégrale de même espèce J'= i G{u,v; «', v') dt^rht le long de la courbe correspondante F' du plan (u, v). Il serait facile de vérifier que l'équation dif- térentielle (87) a pour transformée Téquation différentielle qui se déduit de la même façon de G(u, v; u , v')\ ce qui s'explique aisément, car il est évident que, si la première variation de J est nulle quand on remplace la courbe V par une courbe infiniment voisine, il en est de même de la pre- mière variation d.e J' quand on remplace T' par une courbe infiniment voisine, et réciproquement. On vérifie de même que la condition de trans- versalité F^ hx ■+- ¥\.. Sr = o se change en G'„. tu -+- G'^,. 8p = o par la trans- formation.

Cela étant, considérons un ciiamp <X> par chaque point duquel passe une extrémale (^ d'un faisceau spécial formé par les extrémales qui coupent 1 ransTcrsalement un arc DF d'une courbe y> et supposons de plus que '■ (^> y'', Pi Ç) a un signe invariable dans ce champ, ¥{x, y; p, q)>o par exemple (M; /> et g ont la même signification que dans les paragraphes précédents, et les extrémales du faisceau spécial vérifient les deux équa- tions différentielles -Ç- = p{x,y), -^ — q{x, y). On peut alors fixer la

position d'un point M sur l'exlrémale ^ qui coupe transversalement v en m par la valeur de l'intégrale curviligne

Ki^, y\ P^q)dx^ Y;,{x, y, p, q)dy

prise le long de l'arc d'extrémale m M. En effet, si la direction de m en M sur cet arc est la direction positive (définie par les paramètres directeurs

p et q), cette intégrale est identique à J'= / F(ar, y; x', y') dt, car on

peut remplacer dx par p dt et dy par q dt. et elle va en croissant avec la longueur dé l'arc m M. Si, au contraire, la direction de m en M est opposée

(') On peut toujours supposer cette condition remplie en ajoutant à

F{x, y; x',y')

une expression de la forme -r— ^' -^ -t~ y' ■> ce qui ne change pas les extrémales,

et augmente l'intégrale J, [frise entre deux extrémités fixes, d'une quantité con- stante, .quel que soil le chemin d'intégration {cf. n° 621 : Hemarque). Si l'on choisit pour \i{x,y) une fonction qui croît lorsqu'on se déplace sur une extrémale

du faisceau dans le sens positif, l'expression -r— p -+- 77 9 est positive, et il suffit

de la multiplier par un facteur positif convenable pour que la somme

F(x,y;p.g)+-p^-q soit positive.

646 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

à la direction positive, on a {voir la note de la page 04?.)

F y.r. Y\ p, q) dt\

cette intégrale est négative et sa valeur absolue diminue quand la longueur de l'arc M /n diminue. Dans tous les cas, « va constamment en croissant lorsque le point M se déplace sur ^ dans le sens positif. Soit, d'autre part, V un paramètre dont la valeur détermine la position du point m sur y. On peut prendre a et p pour coordonnées d'un point M du champ (i). Les courbes p = const. sont les extrémales du faisceau et les courbes u — const. les courbes transversales. Nous supposerons le champ limité par les extré- males p = Po, p = Pi, et les transversales m = uq, " = "i- En faisant cor- respondre à un point M du champ le point M' de coordonnées («, p), nous avons une représentation univoque de ce champ sur le rectangle limité par les droites u = î^o, m = «i, p = po, p = Pi.

D'autre part, on sait que la fonction F ( x, y ; x' , y ) est de la forme (n* 630)

(I07) F = ^^-.. + ^^-,v^F,(.r,r;..,j),

1 j • • • • ,. '^Fi ^>'f"i , ■ , .

les dérivées partielles -j— > -pr s annulant pour x — p, y = q.

Si l'on prend a et p pour nouvelles variables, l'identité précédente devient

(loS) G('m, p: u\ !•') = »' h- Gi (w. p; «', p'),

Gi(u, p; u', p ) étant une fonction positivement homogène de degré un

en u et p', dont les dérivées partielles —-^ et -r4- sont nulles pour u ^i. ^ du âv ^

p'= o, car les parallèles à l'axe des u sent les extrémales du faisceau trans- formé, le sens positif étant le sens des u croissants. La fonction G est bien mise sous la forme (102), mais avec des expressions particulièrement simples pour <t>, p et q. Par exemple, si l'on a

Gi = \ H '--k-

G = v/«'2-+-^(m, p)p'^

gv"^

V^^

(M II n'en est plus de même, lorsque F change -de signe dans le champ. Sup-

_i posons par exemple F = xx -hyy'-hy'^ix'^^i-y'-) *; les droites y = C forment un faisceau d'extrémales. dont les transversales sont les cercles x^-hy^ = C. Dans le rectangle Hmité par les droites a; = m, y = rir i, on ne peut fîxer la position d'un point M en se donnant y et x^->-y-.

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 6^7

ios tlcii\i'cs )-, — r4 sont nullos pour ti'=\, v'=o, cl d est posilif si

tJti dr £r(u, (■) est positif.

Pour plus de dcveloppenieuts, ainsi que poui rextetisiou aux extrémales (les propriétés des géodésiques, nous renverrons aux Ouvrages déjà cités.

6:V.\. Solutions discontinues. — Lorsqu'il n'existe j^as d'extréniales joi- gnant deux points A et B ou lorsque, parmi ces exlréniales, il n'en est aucune satisfaisant aux conditions nécessaires pour fournir un extremum, on en conclut que le problème proposé n'admet pas de solution. Il suffit quelquefois d'élarjjir un peu Ténoncé du problème pour faire apparaître des solutions. Supposons, par exemple, F = i'-(j' — i)-; l'équation diffé- rentielle des extrémales r(j)y-l-y2 — i):=ose décompose en deux fac- teurs. L'intégrale générale se compose des hyperboles équilatères

qui ont O.c pour axe de symétrie, et il y a, en outre, une extrémale parti- culière y = o. Prenons le point A à l'origine {xq = j'o = o), et soient j^i = 2, ii= 1 les coordonnées du point B. Ces deux points ne sont pas situés sur la même branche d'exlrémale, et par suite il n'y a pas de courbe de classe { I) joignant ces deux points fournissant un minimum pour l'inté- grale J = / J'-(j — i)"'^'^- On s'explique aisément ce résultat en obser- vant que l'intégrale prise suivant la ligne brisée AEB formée par !•• seg- ment (o,i j de 0 a: et le segment EB joignant le point E(.r = i, > = o) au point B, est nulle, et l'on peut, par conséquent, trouver une courbe de classe (I) joignant les deux points A et B, pour laquelle l'intégrale J aura une valeur aussi voisine de zéro qu'on le voudra (u" 630). La borne infé- rieure de cette intégrale est donc nulle, et il est évident que .1 ne peut atteindre cette borne inférieure pour une courbe de classe (I). Mais, si l'on remplace dans l'énoncé du problème, tel qu'il a été posé au n» 620, les courbes de classe (I ) par les courbes de classe (II), en conservant les autres conditions et la définition du voisinage, on voit que la ligne brisée AEB fournira une solution du nouveau problème. Ces solutions sont dites solu- tions discontinues. Cette extension est d'autant plus naturelle que toute solution du problème primitif est aussi une solution du problème étendu. Si, par exemple, une courbe V de classe (I) donne pour J une valeur plus petite que toutes les courbes voisines de la même classe ayant les mêmes extrémités, l'intégrale prise suivant une courbe voisine de la classe (II), joi- gnant les mêmes points, ne peut avoir une valeur plus petite que l'intégrale le long de V ; dans le cas contraire, on pourrait, en effet (n" 630), la rem- placer par une courbe voisine l" de classe (I), qui donnerait aussi pour l'intégrale une valeur plus petite que l'intégrale It long de 1". Mais l'exemple précédent pronve que le problème étendu peut avoir des solutions, alors que le problème primitif n'en admet pas.

648 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Reprenons encore l'exemple de M. Bolza(no G4i ) où F — y'-^{y' — i)-, en supposant le coefficient angulaire de la droite AB compris entre o et i. II est clair que dans ce cas le problème admet une infinité de solutions dis- continues, formées |5ar des lignes polygonales joignant les deux points A et B, dont les côtés sont alternativement parallèles à la droite j = o et à la droite y = x. La borne inférieure de l'intégrale prise suivant une courbe T de classe (I). joignant les deux points A et B, est donc zéro, et il est évident que cette borne inférieure ne peut être atteinte pour aucune courbe de cette espèce.

Il est clair qu'une solution discontinue ne peut se composer que d'un certain nombre d'arcs de courbes extrémales mis bout à bout. II faut, en outre, que certaines conditions soient vérifiées aux points anguleux. Pour les obtenir, supposons qu'une solution discontinue soit formée de deux arcs d'extrémales AE, EB, formant en E un point anguleux, et soient Ji,

Jî les valeurs de l'intégrale / F (a;, y, y') dx prises suivant ces deux arcs

respectivement. Si J'on fait décrire au point E(x2, jx) un arc infiniment petit EE', en remplaçant les arcs d'extrémales AE, EB par deux arcs infi- niment voisins AE', E'B de classe (I), la première variation û(Ji-(- Jj) doit être nulle, quelle que soit la direction EE', pour que le chemin AEB donne un extremum de l'intégrale. Or, on a (n" 625)

oJi= [F(arï, j.; p,)—p^Y'y.{X',,y.\ ^^)] 8j-o + F;.'(.r2, j»-. ; p,)oj2, ÔJ, == — [F(.r,. r..; p.) —p. F',.(.ro, y.\ p,)] ox.— Y\.-{x.. y.; p.) Sv,,

pi et Pi étant les coefficients angulaires des tangentes aux arcs d'extré- males AE, EB. Pour que oJi-hoJi soit nul, quels que soient ox^, 8y^, il faut et il suffit qu'on ait

(109) F;.<.r,, 72; /?,) = F'y.{x.,,yi;pd,

(110) F(xt,ri; pO—pi F'yix-,,y.i; />,) = F(x., y.,: p.)—p, ¥'y'{Xi,y-2\ p.).

Pour qu'un point E de coordonnées (x-^. y^) puisse être un point angu- leux d'une solution discontinue, il faut que la fonction F'y,{Xi,y'>;p) prenne la même valeur pour deux valeurs distinctes jOt,/?» de /> ; la dérivée seconde Fy-i^x^, y^; p) aura donc au moins une racine entre />i et/>2, et, par con- séquent, il ne peut y avoir de solutions discontinues pour un problème régulier (n" 621 ).

Pour déterminer les solutions discontinues ayant un seul point anguleux et joignant deux points donnés A et B, on a comme inconnues les coor- données x^, y^ du point E, et les coefficients angulaires /^jjjd». En écrivant que les extrémales issues de E, tangentes aux droites de coefficients angu- laires/>i, /02, vont passer par les points A et B respectivement, on a deux nouvelles conditions qui doivent être ajoutées aux conditions (109) et (iio), ce qui forme bien un système de quatre équations. Pour une solntion dis-

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 649

coutinue à un nombre quelconque de points anguleux, les cordonnées de chaque sommet et les coefficients angulaires des tangentes aux deux extré- males issues de ce sommet doivent vérifier les relations (109) et (uo). De plus, deux sommets consécutifs appartiennent à la même extrémale; quel que soit le nombre des sommets, le nombre des conditions est toujours ô«,Mil au nombre des paramètres dont on dispose. Dans l'exemple de M. Bolza, les éauations (109) et (110) n'ont pas d'autres systèmes de solu- tions réelles que pi = o, p2= i ou pi= i, p-, = o. Il y a deux solutions discontinues seulement ayant un seul point anguleux, mais il y en a une infinité ayant plus de deux points anguleux, comme il est évident a priori.

Lorsque l'intégrale est sous forme paramétrique, une solution discon- tinue se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes de classe G' mis bout à bout. Chacun de ces arcs doit évidemment être un arcd'extrémale, elles directions des tangentes aux points anguleux doivent vérifier deux, rela- tions pareilles aux relations précédentes qu'on obtient de la même façon :

( Fx'(^i,72; cosôi, sinOi) = F;L.'(a:.., 7s; cosSa, sinGj), ) F'y-{Xi, y^; cos6i, sinOi) = F'y'(a-.,, 7.. ; cosOj, sine*),

Ot et 0, étant les angles que font avec Ox les directions positives des tan- gentes aux deux arcs d'extrémales au point (a-j, 7.) où ces arcs se rejoi- gnent. Il s'ensuit qu'on a aussi

EiXi.r-i-, cos6i, sinôi; cosO-2, sin02) = o,

et par suite l'équation Vf{x,, y-^; cosm, sin «) = o a une racine au moins comprise entre 6i et 6,, d'après la relation (98). // ne peut donc y avoir de solutions discontinues pour un problème régulier (i).

Remarque. — Il n'est pas toujours possible d'introduire des solutions discontinues. On a vu, par exemple, que la valeur de l'intégrale définie

/;

■y'- dx,

prise le long de la courbe T, qui a pour équation

Arc tanî

y	=	a -+- 2	b	-h	b	•2.	a	^	^ i"»o	À
Al	rc tan g	À

tendait vers zéro avec X. La courbe F se rapproche de plus en plus d'une

(') Les conditions obtenues sont seulement nécessaires pour un extremum. Pour plus de détails sur les solutions discontinues, voir la dissertation inaugurale do M. Carathôodory (Gôttingen, 1904).

65o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

ligne brisée APQB, formée de deux segments AP, QB de parallèles à Ox et d'un segment PQ de l'axe Oy. Mais cette ligne brisée ne peut être consi- dérée comme une solution discontinue, car l'intégrale le long de PQ n'a aucun sens.

6o4. Variations unilatérales. — L'introduction des solutions disconti- nues constitue en un certain sens une généralisation du problème primitil'. Dans quelques questions, au contraire, on est amené à diminuer la généra- lité du problème en imposant aux fonctions inconnues certaines restric- tions. Supposons, par exemple, qu'on veuille trouver la courbe de classe (I) joignant deux points A et B situés sur une parallèle à la droite y = x, qui

rend minimum l'intégrale / _r'(r'— i)-r/x. La droite AB est une extrémale.

et l'on vérifie immédiatement que les conditions de Legendre et de Jacobi sont vérifiées; mais il n'en est pas de même de la condition nécessaire de Weierstrass (no636), car la fonction E(j-, ) ; y\ p) le long de AB est égale k p{p — i)"-. et change de signe avec /). L'extrémale .\B ne donne donc pas un minimum fort; mais si l'on cherche seulement, parmi les courbes joignant A et B et dont Vordonnée va constamment en croissant de A à B, celle qui donne à l'intégrale une valeur minimum, il est clair que la droite AB fournit bien une solution ; pour toute autre courbe de cette espèce, l'intégrale aura en effet une valeur positive. Dans certaines ques- tions du calcul des variations qui ont une signification physique, des res- trictions de cette nature peuvent être imposées par la nature du problème (voir Ejcercice 11).

Dans l'exemple précédent, la fonction inconnue y doit vérifier l'iné- galité j)'> o. Il serait facile de généraliser beaucoup le problème, en sup- posant que les fonctions inconnues et leurs dérivées doivent vérifier des inégalités de forme quelconque. Nous n'étudierons qu'un cas très simple dont l'étude s'impose pour compléter la solution du problème posé au début de ce Chapitre (n" 620). On a supposé, en eflet, que la courbe qui fournissait un extremum de l'intégrale était située tout entière à l'intérieur de la région til, et par là nous ayons exclu le cas où il existerait une courbe fournissant un extremum et comprenant uiie partie de la frontière de ce domaine. Supposons, pour fixer les idées, que la région (K soit limitée inférieurement, au moins en partie, par une courbe T\, représentée par l'équation y = ^{x), la fonction <!>(■/') étant de classe (I). Une ligne telle que ADEB, composée de deux arcs AD, EB, situés dans dl, et d'un arc Dl"

de la courbe frontière peut donner pour l'intégrale / ¥{x, y, y')dx

une valeur plus petite que toutes les courbes voisines de classe (II) ayant les mêmes extrémités et situées dans (K. Il faut d'abord pour cela que AD et EB soient des extrémales, ou composées d'arcs d'extrémales, si ce? lignes ont des points anguleux. Mais il n'est pas nécessaire que la fonction <ï»(a:) soit une intégrale de l'équation d'Euler. En effet, si nou* remplaçons

!V. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 65 1

l'arc DE par un arc infiniment voisin DGE situé au-dessus, la fonc- tion ^(x) est remplacée par $(-r) -i- t](x), où T,(jr) ne peut être négative

Fig. 106,

entre les abscisses x^, 0:3 des points D et E. La dérivée J'2(o) de l'in- tégrale

prise pour a = o, doit donc être ^o, quelle que soit la fonction ti(x) de classe (I) satisfaisant à l'inégalité tj^o dans l'intervalle {x», X;>) et nulle aux deux limites. Or, si l'on reprend le calcul de cette dérivée, le raisonne- ment du n" 621 prouve seulement qu'il faut et qu'il suffit pour cela qu'on ait . . àF d /àF\.

tout le long de l'arc DK. L'équation d'Euler est donc remplacée par l'iné- galité (112).

Aux points D et E, de nouvelles conditions doivent être vérifiées. Imagi- nons qu'on remplace l'arc AD par un arc infiniment voisin AD' aboutissant

à un point D' de DE. La première variation de l'intégrale Ji= / F dx

•Ad a pour expression (n" 625)

ôJ, = [ F (Xî, yt ; y, ) — y'i ^'y'i^t, y-i ; y'i ) J ô.r., ■+- Fyix.,, y. ; y'., ) oy^,

(Xî, yt) étant les coordonnées du point D, râ le coefficient angulaire de la tangente en D à l'extrémale AD. La première variation de l'intégrale J» prise suivant DE est évidemment — F(Xi, y^; /(o)^^:^, />, étant le coefficient angulaire de la tangente à DE au point D. En observant que yi = p^ oxt, la condition 8(Ji -+- J2) = o devient E(xz,yi; y[j, p,) = o; elle est évidem- ment satisfaite si y'^ =/?;, c'est-à-dire si les arcs AD, DE sont tangents en E. On a une condition toute pareille pour le point E, et l'on doit ajouter

652 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS,

à rinégalité (112) les deux relations

(ii3) ^{^i, y-.; ft, Pi) = o, E(a:u, J3; y,,/)3) = o.

Dans le cas d'une intégrale sous forme paramétrique,

F{x, y; x\ y')dt.

/■

supposons que les coordonnées d'un point de l'arc DE de la frontière soient des fonctions x{^s)^ y{f) ^^ ''»rc compté dans le sens positif. Soit 0 l'angle que fait la direction positive de la tangente avec Ox. Les formules

X = x{s) — T,(*) sinO, y = y(s) -+- r^{s) cosÔ,

où T,(5) est une fonction de classe (I), qui est nulle aux points D et E et positive ou nulle dans l'intervalle, représentent une courbe telle que DGE, située dans le domaine (R, pourvu que i iri | ne dépasse pas une certaine limite. Si l'on remplace, dans F, x et y par

x{s) — aT,(5)sine et y{s) -\- ari{s) cos^,

l'intégrale devient une fonction de a dont la dérivée doit être ^o pour a = o, quelle que soit la forme de la fonction tj (s). En reprenant le calcul de cette dérivée, on trouve qu'il faut et qu'il suffit pour cela qu'on ait, tout le lon^' de DE,

(ii4) T = Fi(;r>''-<>') + F;,.-F;V^o.

Aux points D et E, on démontre comme plus haut qu'on doit avoir les relations

(ii5) E{Xi,y.; Pi, qt] x',, y',) = o, E{x3, yy, p., gy, x'-., y'-j) = o,

Pi, Çi étant les paramètres directeurs de la direction positive de la tangente à l'arc DE, x'i , y'i les paramètres directeurs de la tangente à l'extrémale. Ce sont là des conditions nécessaires pour que le chemin ADEB fournisse un minimum relatif, mais non suffisantes en général (i).

Exemple. — Soit F = j» sjx'^-»^ y'-, a étant positif et la région 6i étant la portion du plan au-dessus de Ox. Il ne peut y avoir de solutions dis- continues ayant des points anguleux au-dessus de Ox, puisque Fi ne peut s'annuler lorsque^ est positif. D'autre part, les seules extrémales rencon- trant Ox sont les parallèles à Oy. Par suite, les seules solutions discon-

(') Les conditioas (ii5) sont toujours vérifiées si l'extrémale et la frontière sont tangentes an point commua, la direclion positive de la tangente étant la même pour les deux courbes. Si ¥i{x,y; cos6, sinO) ne peut s'annuler sur la frontière, les conditions (ii5) ne peuvent être vérifiées que dans ce cas. On peut faire une remarque analogue pour les conditions (ii3).

IV. — THÉORIE DE WEIERSTRASS. — SOLUTIONS DISCONTINUES. 653

tinues possibles sont formées de deux segments AP, BQ parallèles à Oy et de la portion PQ de Ox. On vérifie immédiatement que les conditions (ii4) et (ii5) sont vérifiées. Dans le cas actuel, il est facile de prouver que CCS conditions sont suffisantes et que le chemin APQB fournit bien un

minimum relatif pour l'intégrale / yi'-ds. Cela est immédiat pour un chemin qui a un point au moins sur PQ(-). Étant donné un chemin AEB au-dessus de Ox, soient E le point le plus bas d'ordonnée h, P' et Q' les points d'ordonnée h sur AP et BQ. En comparant les éléments d'intégrale qui correspondent à une même ordonnée le long de AE et de AP', le lonji de EB et de Q'B, on voit facilement que la différence des deux intégrales le long de AEB et le long de la ligne brisée APQB est au moins égale à A*( AE H- EB — AP — BQ), expression qui est positive si h est très petit. Il y a donc toujours un minimum relatif fourni par une solution discon- tinue, et un autre minimum relatif fourni par une extrémale, dans le cas oii il passe deux extrémales par les points A et B.

635. Remarques sur l'extremum absolu. — Dans l'exemple précédent, il y a toujours une ou deux courbes fournissant un minimum relatif pour

l'intégrale / y*ds, l'une d'elles étant une ligne brisée et la seconde, quand

elle existe, étant une courbe de classe (I). Lorsqu'il n'y a qu'un minimum relatif, il est aussi un minimum absolu; dans le cas où il y a deux courbes fournissant un minimum relatif, l'une d'elles fournil aussi un minimum absolu, mais ce n'est pas nécessairement la courbe de classe (I) ('), Dans ce cas, on démontre directement l'existence d'un minimum absolu.

Mais les méthodes habituelles du calcul des variations sont en général insuffisantes pour établir l'existence d'un extremum absolu. Dans une Note importante ('), M. Hilbert a employé une méthode tout à fait différente pour démontrer directement l'existence d'un extremum absolu dans cer- tains cas particuliers, ce qui lui a permis de compléter la démonstration de Riemann pour le principe de Dirichlet. Nous ne pouvons, faute de

(') Le lecteur est prié de faire la figure.

(-) Voir, pour la démonstration, Hadamard, pages 4i4 et suivantes. La démon- stration, qui est développée pour a = - , s"étend au cas où a est un nombre positif quelconque.

(') Deutsche Mathentatiker-Vereinigung (Jahresberichte, vol. VIII, iS'jj, p. i84), traduit par L. Laugel {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1900, p. 377); Matheniatische Annalen, t. LIX, 1904, p. 161. Voir aussi Lebesgue (Annali di Matematica, 3= série, t. YII, 1902, p. 342-359 : Rendiconti del Cir- colo matematico di Palermo, t. XXIV, 1907); Hadamard (p. 484-49^); Boua (Chap. VII); Zaremba, Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (1909. p. 197-264).

La première partie du raisonnement d'Hilbert, pour établir le principe de Dirichlet, avait déjà été employée par Arzela {Rendiconti délia R. Accademia di Bologna; 1897). ■^^ dois cette observation à M. Lebesgue.

Gl54 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

place, développer ici ces profondes recherches, et nous nous bornerons à queUpies brèves indications.

Soit, pour fixer les idées, F [x, y, i') une fonction positive dans un domaine (R, pour toute valeur finie de ^'. L'intégrale

J=jF{x,j;y)dx,

prise le long d'une courbe de classe (I), située dans cR, et joignant deux points dunnés A et B de cette région, a évidemment une borne infé- rieure Jo^o. On peut, et en général d'une infinité de manières, former une suite de courbes Ci, G^. ..., C„, ... de classe (I), situées dans dl et joignant A et B, telles que l'intégrale J„, prise le long de C„, tende vers Jq lorsque // croît indéfiniment. Il suffit de prendre une suite de nombres positifs £,i tendant vers zi^ro lorsque n croît indéfiniment, et de choisir la courbe C^ de façon qu'on ait j J„ — J,»! < S/i- Soit _^ =/,j(a:) l'équation de G„. Lorsque J atteint effectivement sa borne inférieure Jo pour une courbe T de classe (I), représentée par Téquation >- = ^(x), il est clair qu'on peut choisir les courbes Cn de façon que/,i(j-) ait pour limite ^{x) quand n croît indéfiniment. Inversement, pour qu'on puisse affirmer que J atteint sa borne inférieure pour une courbe de classe (I), il faut démontrer qu'on peut choisir les courbes C„ de façon à satisfaire aux trois conditions suivantes :

I" /ni^.) tend vers une limite ^{x) lorsque n croît indéfiniment;

2" La lonction ^{x), et par suite, la courbe V correspondante sont de classe (1) ;

^" L'intégrale .l„ le long de C„ a pour limite l'intégrale prise le long de r.

Les trois parties doivent être démontrées successivement. Par exemple,

/' dx ? prise suivant une courbe „ 1-^7' de classe (I) ou (II), joignant les points (o, o), (i, o), est zéro. Si l'on prend, en effet, > = A sin(/< -a;), la valeur correspondante de l'intégrale est J f, — • et tend vers zéro quand n croît indéfiniment,

V/n- «2 7:2/12

quoique la fonction /„ (^) ne tende vers aucune limite. D'un autre côté, il peut se faire que /„(j:) tende vers une limite /(^r) n'appartenant pas à la rriéme classe que /„(./). Ainsi, dans l'exemple de Weierstrass (n" 63o), la

^ Arc tang(/*j i ... ^ . ,. . ,

lonction — : a pour limite une lonction discontinue lorsque /t

Arclang// ^ ^

croit indéfiniment.

Enfin, il peut se taire que la fonction /n(x') tende uniformément vers une fonction de même classe /(o:) sans que l'intégrale J,j relative k fn{x) ait pour limite l'intégrale J relative à J\x). Supposons, par exemple,

I' = (r'2— i)2-(-y2; l'intégrale / ¥ dx, prise suivant une courbe de

classe (II) joignant les points (o, o), (i, o), a pour borne inférieure zéro.

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 655

Considérons en effet la courbe C„ formée de segments de droite alternati- vement parallèles aux deux bissectrices des angles formés par les axes,

j /-w j- 1. ■ '2 /« — I ,,• . ■

menées par les points de Ox d abscisses o, — > — ^ • ■» » i: 1 inte-

'^ n n n

grale correspondante a pour valeur -• Lorsque n croît indéfiniment,

l'ordonnée d'un point de C«, correspondant à une valeur de x, comprise entre o et i, tend uniformément vers zéro; l'intégrale J„ tend aussi vers zéro, tandis que l'intégrale le long de la courbe limite, qui est ici Ox, est égale à un.

Toutes ces difficultés ont pu être surmontées dans quelques cas ])articu- liers, étudiés dans les travaux cités plus haut (i).

COMPLEMENTS ET EXERCICES.

I. Étudier le problème du n" 620 en supposant que F a l'une des formes suivantes :

.1" \ i ■+■ y -, { ./■- -+- _)- r \ I -+- )■ -.

,p F -2. L'équation d'Euler admet le multiplicateur -r— 71; > lorsque F e-t ind»--

pendant de x.

I Jacobi.J

3. Étant donnée une équation différentielle du second ordre

(E) y"=c.{x,y,y),

il existe une inlinitc de problèmes du calcul des variations qui conduisent à cette équation. On obtient toutes les formes correspondantes de la fonc- tion F{x, y, y') par des quadratures, si l'on a intégré l'équation (Kj. [Dabboux, Théorie des Surfaces, t. III, n'>» 604-605.]

B. La fonction F{x, y, y' ) doit satisfaire à la condition

^ , £F , rPF à^F _ '^F _ ^

' >)y'- '^•' ')yà)' "^ dr dy' ~~ ày ~~ "'

d'où l'on déduit une équation linéaire du ])iemier ordre i).r ■ ày <)y ôy

(') Dans des -Mémoires léceiits publiés dans les Bendu oiiti ciel Cirrolo Ma/e- niaticn di PalermOy M. L. Tonelli a établi directement, sous «les h) potlièses très générales, l'existence d'une solution pour le premier problème du calcul des variations, et par suite l'existence d'une solution de l'équationd'Euler passant par deux points donnés. La méthode de M. Tonelli fait appel aux notions introduites par M. Lebesgue dans la théorie des fonctions' de variahles réelles.

656 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

pour déterminer M = -f-r:,', cette dernière équation s'intègre par une qua- drature, si l'on a intégré l'équation (E).

4. Déduire de l'exercice précédent qu'on obtient tous les problèmes du calcul des variations pour lesquels les extrcmales sont des lignes droites, en prenant pour F la fonction suivante :

= / (.y'— O'^ifj y — ^f)dt -^y

f)y âx

^l' étant une fonction arbitraire de x et de y, et *ï> une fonction arbitraire de t et de y — xt.

3. Trouver les courbes extrémales pour l'intégrale

L

'O', z)\i^Y--^ z'-Ulx.

Des équations différentielles (lo) et (ii) on tire

On en déduit l'intégrale première f; = C \J i -^ y'--k- z"-. En posante = -,

C- et remplaçant \ -\- y''^ -^ z'- par -^ j les équations différentielles des extré- males deviennent

d^y I dg"-	dz I âic-'-
dt^ ~ -i dy '	dt' 2 âz

G. Exemple de Scheffer {cf. n" 63o). — Soit ¥ = x'^y'-->r- xy'^. Le segment ( — i, -t- i ) de l'axe Ox est une extrémale satisfaisant aux condi- tions de Legendre et de Jacobi pour le minimum. Cependant, ce chemin ne

donne pas un minimum pour l'intégrale / {x- y'- -Jr xy'^) dx , car elle

a une valeur négative, si on la prend le long de la ligne brisée définie par les formules : i" y = x -^ h de — h à o; 2'> y =— x -h h de o à h; 3" j>^ = o de — I à — h et de h à 1 , h étant un nombre positif très petit, car elle est égale à A^ / ^ _ i J ,

7. Pour que l'équation (34) du n" 6:29 soit vérifiée identiquement, il faut et il suffit que F soit de la forme kp -i- Bq -h C, k,B, C étant des fonctions

, .^ , ,. . ()A f)M f)C ^ ,. , , ,

de X, y, z vérifiant la condition -; !-,- = -;—• Expliquer le résultat au

•^ àx ôy i)z ' ^

moyen des formules du n" 133 (t. I).

;î. Obj^ ^tioH de Du Bois-Rey moud pour les intégrales doubles. — L'exemple suivant, de M. Hadamard, prouve que la première variation de

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 657

l'intégrale double / / F(x,y, z, p, q)dx, dy peut être nulle pour une fonction z =/(Xy y), sans que /admette des dérivées secondes. Soit

la fonction /ayant une dérivée première continue. On a

s / / f'(^ -^ .>■) t'i'r ~ 'Ij] ^-^ ^^y

J «-■ (Al

SI ,

■'(A)

Posons

x^y=^u, x—y = v, •ri(x, r) = o(«, p).

L'intégrale double précédente devient

( ff'{^-y)[<c-Wy]dxdy = -ff /'(«)=:.(«, P),

la fonction 9(m, v) étant nulle sur tout le contour du champ A' qui corres- pond au champ A du plan des xy., l'intégrale double est nulle, d'après la première formule de Green, sans qu'il soit nécessaire de supposer que/' (?f) a une dérivée.

9. Si, en égalant à zéro la première variation d'une intégrale double, on obtient une équation de Monge-Ampère pour laquelle les d€ux systèmes de caractéristiques sont confondus, cette équation admet deux intégrales inter- médiaires distinctes.

[JoSEF KuRSCliAK, Matliemcitische Annalen. Bd. oG, p. 164.]

10. Ligne gcodésiques. — Si Ton prend pour variable indépendante l'arc s de la ligne géodésique, les équations différentielles qui définissent u et V sont les suivantes :

V 2 -y eu -^- fv \ — e,. M - -»- 2 fn II V -+- 4'„ V -,

\ ds \ • ! * ■ ^

(E) ,

[ 2 -^^ |/« -^ gv \=^ e,. u '- + 2/, u V ^ g„ V '-,

avec la relation eu'--i- ^./u i>' -^- gv'^= i. Des formules qui définissent

^> /) ff (^ n" 131), on tire

, -, ^ àx dx

eu -h fv = b -T- —r- '

•' au ds

et, en difi'érentiant par rapport à s, il vient

, eu. ■+- A' = S Hç-- —r-r -+- j(x'u -+- jTj, p ) (x„iu -+- x,„.v ) ds '' ) du ds- ^ ^ j \ " '• ■

^dx d>x I , ,0 /./ , / ' ' M

= S -; T-r H — e,, u--h f„ U r -\ — g„ <• -.

du ds- 2 -^ ■>

658 CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

En tenant compte de la première des équations (E), il reste dx d- X _

et l'on démontrerait de même que l'on a

^, àx (fix iJv ds-

La normale principale à la li;,^ne géodésique, dont les paramètres directeurs

d'i X d- y d^ z <ont —r-ri — rr» ^rr » est donc normale à la surface (cf. n" 627^).

ds- ds- ds- ^ * '

11. Solide de moindre résistance [Newton). — Un corps solide de révolution étant animé d'un mouvement de translation parallèle à l'axe, on suppose que chaque élément de surface éprouve une résistance normale du milieu proportionnelle au carré de la composante normale de la vitesse. On demande de trouver la forme de la méridienne de façon que la résul- tante, qui est évidemment parallèle à l'axe, soit minimum. Si l'on a pris l'axe de révolution pour Taxe O y, on est conduit à chercher le minimum de l'intégrale

(a) ^^f TTT^ (o<j:.,<.ri).

L'équation différentielle d'EuIer s'intègre aisément, et toutes les extré- males, sauf le? droites y= C, se déduisent par une translation parallèle à Oy ou une transformation homothétique avec l'origine comme centre, de Pextrémale particulière

(P) •^•=' ^' .r = -^ + y^-Log|/;.

Quand on fait varier y' de o à ^, x et y vont constamment en décrois-

sant, et le point {-j', y) décrit une branche infinie 1" de classe (I) ayant une direction asymptotique parallèle à O or et aboutissant à un point de

rebroussement P. Lorsque y' croît de —n i\ -^ x, x <il y vont en croissant

et le point {x, y) décrit une branche infinie 1"' de classe (I), partant de P, avec Oy pour direction asymptotique.

La dérivée seconde j" est positive en tout point de F et négative en tout point de F". La condition de Legendre pour le minimum est vérifiée pour un arc quelconque AB de la branche F', car on a

_„ j.xCiy'-— \)

(i-Hr'2v Cet arc satisfait aussi à la condition de Jacobi (n" <>;Î4), mais non à la con-

COMPLÉMENTS ET EXERCICES. 659

dilion de Weierstrass, car la fonction E a pour expression

(y^ E(x y v' n^-r^y-P^'^'^Py-^y''-'^-

(T) Eix,y,y,p)-x (, _^y,),(, ^^,) ,

E peut donc changer de signe quand on fait varier/?, à moins que l'extré- mité ne soit un segment de parallèle à Oar. Cette extrémale donne évidem- ment un maximum pour J. En dehors de ce cas très particulier, on voit qu'aucune extrémale ne peut donner un extremum fort pour J. On s'explique aisément ce résultat, en observant que l'intégrale J est comprise entre o

et — -} et peut prendre des valeurs qui diffèrent d'aussi peu qu'on le

voudra de ces deux bornes. D'une part, si l'on prend pour F une ligne brisée dont les côtés fassent un angle très petit avec O^, la valeur de J sera infiniment petite. D'un autre côté, si l'on prend pour F une ligne brisée ACB, formée d'un segment AG parallèle à Oa;, aboutissant à un point G d'abscisse xi— h et du segment GB, la valeur de J le long de ce

chemin tend vers — lorsque h tend vers zéro. L'iutégrale J n'admet

pas non plus d'extremum fort si on la prend sous forme paramétrique

/ ■ xx'^

puisque F est une fonction rationnelle de x', y' (n" 649).

Il semble donc que le problème de Newton n'admet pas de solutions. Mais il est naturel d'imposer à la courbe cherchée une condition supplé- mentaire, en supposant que l'ordonnée varie constamment dans le même sens entre les deux extrémités; dans le cas contraire, l'iiypothèse physique d'où l'on est parti serait évidemment inadmissible. Parmi toutes les courbes de classe (I) joignant deux points A et B. et dont ^ordonnée varie con- stamment dans le même sens lorsqu'on décrit l'arc AB, il s'agit donc de trouver celle pour laquelle J prend une valeur minimum. On obtient un arc d'extréraale satisfaisant à cette condition en prenant sur l'arc T' un arc AB obtenu en faisant varier j' entre deux limites j'y etJ^'^ supérieures à 1. Soit ^0 l'arc d'extrémale ainsi obtenue; elle appartient à un champ pour lequel on peut prendre u{x^ y) =^ p(x), où p est le coefficient angu- laire de la tangente à ^n au point d'abscisse x, et E(.r, y; u, y') a pour expression

^{^,y; u,y')

(i+y2)(,+^->)2

La formule (67) du n" 639 montre bien que lîi différence Jp — Jgo ^^^ positive pour toute courbe V joignant les deux points A et B, pour laquelle y' est > o.

12. Problème de Vieille. — On demande de joindre deux points A et B par une ligne de longueur donnée, telle que la longueur de la projection orthogonale.de cette ligne sur un plan donné soit maxima.

G6o CHAPITRE XXXIV. — CALCUL DES VARIATIONS.

Il s'agit de trouver le maximum de l'intégrale / ^ \-\- y-dx, sachant

que l'intégrale / \ \ -><- y '^ -^ z"'- dx a une valeur donnée /. D'après la

méthode du n" 628, on obtient les équations différentielles des extrémales en égalant à zéro la première variation de l'intégrale

/'

V' I -t- y'- -f- K ^ I -(- >•'- -+- z- , dx,

où K est un facteur constant. Ces équations sont les suivantes

Y>.y' z' z'

y"-

{i^y"--^ z"')-- y' z y"—{\ ->f- y'-)z" —o.

On en déduit y* = 2"= o, à moins que les coefficients de y" et de z' ne soient proportionnels, ce qui exige qu'on ait

z' = \i\-^y'- v'Kï — 1, .

et cette dernière relation entraîne les deux premières. Les extrémales sont donc des lignes droites et des hélices tracées sur des cylindres dont les génératrices sont parallèles à Oz. Il est clair que ce sont ces hélices qui donnent la solution du problème, comme on pouvait le prévoir géométri- quement. Il y a une infinité de solutions, car la forme de la section droite du cylindre reste indéterminée.

13. Toute équation aux dérivées partielles du premier ordre

définit les familles de courbes transversales pour un problème du calcul des variations. On obtiendra la fonction F correspondante eu prenant l'intégrale singulière de l'équation différentielle

*(.r, v; f-j'f;.-, f;..) = o,

où y' est la variable indépendante, F la fonction inconnue, x c\. y étant regairdés comme des paramètres (voir n"* 642-643).

14. Même question pour une équation aux dérivées partielles d^ àd àQ \

Tz)-''-

Parmi les fonctions F{x,y, z; y', z') obtenues, il y en ;i une seule qui conduit à un problème régulier.

NOTE

SUR

LA REPRÉSENTATION CONFORME

Par M. Paul MONTEL.

1. Représentation conforme. Domaines. — Faire la représen- tation conforme d'un domaine (D), limité par un seul contour (C) et contenu dans le plan de la variable Z, sur un domaine (D') limité par un seul contour (C) et contenu dans le plan de la variable Z', c'est établir une correspondance univoque entre les points de (D) et ceux de (D') de manière que l'angle de deux courbes tracées dans l'un des domaines soit égal à l'angle des courbes correspon- dantes. Cette correspondance est obtenue par une relation Z'n:=/(Z) ou Z = F(Z'); la fonction /'(Z) est holomorphc dans (D) et ne prend qu'une fois chaque valeur : sa dérivée ne s'annule par consé- quent pas dans (D); la fonction inverse F(Z') possède les mêmes propriétés dans le domaine (D').

La représentation conforme de (D) sur (D') se ramène à la repré- sentation conforme de chacun de ces domaines sur un cercle (d) de rayon un limité par la circonférence (c) et contenu dans le plan de la variable z; car, si les égalités

3 = G(Z), Z'=ff{z^ fournissent ces représentations, la relation

Z' = „^[G(Z)]=/(Z>

donne la représentation conforme de (D) sur (D'j.

On a vu (t. II, n" 279) des exemples de représentation conforme et l'on a établi (t. III, n" 517) la possibilité de faire la représenta- tion conforme, sur le cercle {d), de tout domaine (D) limité par un seul contour (G) formé d'arcs analytiques. La correspondance est encore valable pour les contours limitant les domaines et.

662 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

lorsque le points décrit d'une manière continue la circonférence (c). le point Z décrit d'une manière continue le contour (G). La solu- tion dépend de trois constantes arbitraires que l'on détermine en faisant correspondre un point O, intérieur à (D), à un point o intérieur à {d) (le centre du cercle, par exemple) et un point A du contour de (G) à un point a de la circonférence (c).

Nous nous proposons d'établir la possibilité de la représentation conforme pour des domaines plus généraux. On peut d'abord sup- poser que le contour (C) est une courbe fermée simple de Jordan (t. I, n" 13), c'est-à-dire une courbe représentée par les équations ./_• = 3 ( / ) , _ ( • = -ji ( / ) ( j: -H J r = 3 )

dans lesquelles (^(^) et 4'(0 ^®^'- ^^^ fonctions continues de la variable t dans l'intervalle (o, i); on a

?(o) = =(.). <!.(o) = J.(i).

et la courbe n'a pas de point double, c'est-à-dire que si t estdiflé- renl de «', les égalités

ne peuvent avoir lieu simultanément, sauf pour t^^o çX i'=r. Une telle courbe partage le plan en deux domaines (D) et (Di), dont l'un, (D,), s'étend à l'infini, et chacun de ces domaines est limité par la courbe (G).

Gonsidérons maintenant les domaines (D) représentés par les figures i et 2 et limités par des courbes indéfiniment sinueuses

I<%. I. Fig. 2, Fig. 3.

ayant pour asymptote le segment rectiligne AB. Les points de AB font partie de (G), puisqu'il y a dans le domaine (D) des points aussi voisins que l'on veut d'un point quelconque de AB. Ces courbes (G) partagent le plan en deux domaines, mais ne sont pas des courbes de Jordan; en effet, lorsqu'on décrit une partit*

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 663

sinueuse de la courbe, ^, qui varie toujours dans le mèuie sens, aurait alors une valeur limite unique, tandis que tous les points du segment AB ont, dans leur voisinage, une infinité de points de celte partie sinueuse.

Dans la figure 3, le domaine (D) est limité par une double spi- rale admettant un cercle asymptote qui fait partie du contour (C). Cette courbe partage le plan en trois régions : le domaine (D), le domaine extérieur à (D) et intérieur au cercle, et le domaine extérieur au cercle.

Nous sommes conduits à définir avec précision les domaines dont nous ferons la représentation conforme. Nous appellerons doréna- vant domaine, l'ensemble des points intérieurs à une région; les points du contour (C) ou frontière de la région n'appartiendront pas au domaine. Un point M du domaine possède la propriété d'être le centre d'un cercle dont tous les points appartiennent au domaine. Un point A de la frontière est lel que tout cercle arbitrairement petit de centre A contient des points qui font partie du domaine et des points qui n'en font pas partie. Un domaine est connexe si deux quelconques de ses points peuvent être joints par une courbe dont tous les points appartiennent au domaine; il esi simplement connexe lorsque deux courbes formées de points du domaine et allant d'uu point M à un point M' peuvent toujours être ramenées l'une à l'autre par une déformation continue ne balayant que des points du domaine. Un cercle est un domaine simplement connexe : un anneau limité par deux circonférences dont l'une est intérieure à l'autre est un domaine connexe, mais non simplement connexe. Nous ne nous occuperons dans la suite que de domaines simple- ment connexes.

Un point A de la frontière ( C) esl dit accessibl<\ si l'on peut le joindre à un point quelconque xM du domaine par une courbe simple, une ligne brisée, par exemple, dont tous les points, sauf A, appartiennent au domaine. Lorsqu'on parcourt cette courbe, en allant de M vers A, il faut que A soit le seul point limite des points de la courbe, c'est-à-dire que si l'on trace un cercle arbitrairement petit de centre A, à partir d'un certain moment, on ne sorte plus de ce cercle. Tous les points d'une courbe fermée simple de Jordan sont accessibles soit par rapport au domaine (D"), soit par rapport au domaine (D,).

6Gi NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

Dans le domaine (U) de la figure i, les poinls du segment AB, sauf rcxtrémitc B, ne sont pas accessibles; dans la figure 2, aucun point de AB n'est accessible; il en est de même dans la figure 3, pour les poinls de In circonférence.

2. Détermination de la représentation conforme. — Nous verrons que tout domaine simplement connexe (D), dont la fron- tière ne se réduit pas à un point, peut être représenté d'une manière conforme sur le cercle (d). Il eu résulte que deux domaines sim- plement connexes de celle nature {D) et (D') peuvent être repré- sentés l'un sur l'autre. Celle représentation est complètement déterminée si Ion considère comme homologues deux éléments de contact arbitrairement choisis dans ,D) et dans (D'), c'est- à-dire deux points O et O' respectivement intérieurs aux domaines, et deux directions Oï el O'T' passant respectivement par ces poinls. Il suffit d'établir que la représentation conforme de (D) sur (d) est entièrement déterminée par deux éléments de contact homologues Oï el ot. o élajil, par exemple, le centre de (d). Or. Poincart- a montré qu'il ne peut y avoir deux manières dilTérenles de faire celle application ( ' ). Admettons, en effet, qu'il existe deux représenlations distinctes de (D) sur id) remplissant les condi- tions précédentes : on en déduit une transformation de (d) en lui- même qui conserve l'élément ot. Désignons par Z et .c deux points homologues dans celle dernière transformation, et reprenons les notations et le raisonnement du n" 517. Lorsque z tend vers (c), il en est de même de

y, =/(s) = el"»-'-!*-' iv-^y .

Pour tout point de ( c) on doit avoir P -j- log/- =z o, donc P = o, puisque 7' = i. La fonction P, harmonique dans (d) et nulle sur (c). est égale à zéro el la fonction associée est une constante et,

donc

Z = ,-ios'-+-'ir-^=' = r'x.:.

Cette transformation fait tourner d'un angle y. toute direction 0/

PoixiARÎ:. ArCd mathematica. t. IV. p. 201

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 665

(t. II, n" 277); comme ot doit être sa propre homologue, a = o el Z = ^. La transformation résultante est la transformalionidentique, donc les deux premières n'étaient pas distinctes.

La représentation conforme de (D) sur (D') étani oomplèlement déterminée par la correspondance de deux éléments de contact, il n'est pas possible de lui imposer de condition relative aux con- tours frontières. Il faudra étudier la correspondance de ces points frontières. Cette correspondance est déterminée : nous verrons qu'elle est univoque et continue dans le cas où les contours sont des courbes de Jordan.

Pour établir la possibilité de l'application de (D) sur {d), nous allons considérer une suite de domaines (D,), (Da), , . . , (D„), . . . se rapprochant de plus en plus de (D) et limités par des contours simples. Pour ces domaines, la représentation est possible et elle est fournie par des fonctions /, (s), y'2(-3), . • •,//i(^). • • • I^'ous sommes donc amenés à étudier les suites infinies de fonctions holo- morphes dans {d).

3. Suite infinie de fonctions bornées. Familles normales. — Nous allons établir le théorème suivant : Considérons une suite infinie de fonctions holornorphes dans un domaine (D »

bornées dans leur ensemble dans ce domaine^ c' est-li-dire que Von a !/«(^)j < M, M étant un nombre fixe ^ quel que soit n, et quel que soit z dans (1^)- On peut extraire^ de cette, suite, une suite partielle

fnA^). fnA^), ■■■• /",(-)> •••

convergeant uniformément dans (D) vers une fonction holomorphe f(z).

On dit qu'une suite fnfj' ■ ■ •,./«. • • • converge au point z si la série (fn-^-t — /«) est convergente. La convergence est uniforme dans (D) si, dans toute région (D') intérieure à (D) et limitée par le contour (C), la série converge uniformément dans (D') et sur (C).

Pour démontrer cette proposition, supposons d'abord que le domaine soit le cercle (d) de rayon un et soit (d') un cercle concentrique de rayon p < i. Dans ce cercle, chaque fonction de

C)G6 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

la suite est développable en série entière; on a, ponr la fonc- tion /"„(^),

/„ (z) = a" -+■ a't z -h . . .-h a" zl' -\-. . ., avec

M "" < p^'

d'après rinéjjjalité fondamentale relative aux coefficients de la série de Taylor.

Connue p est aussi voisin Je i que 1 on veut, on déduit de

là : ia;;|<M.

Si l'on pose

R^ (z) = a'f,^^ zf^^ a'^_. zi'- 2 + . . . .

on aura, pour tout point :; dans {d'),

n;; (-.-), 1: ■>

i — s

et le second membre sera inférieur à £ si l'on prend ^ assez grand; on aura alors, quel que soit n et quel que soit c dans (c?'),

p étant supérieur à un nombre y>„ indépendant de n.

Considérons maintenant l'ensemble des coefficients a'l,\ je dis qu'on peut trouver une suite de nombres entiers croissants n,, /ij, .... Il,/, .... tels que la suite *

,Ç. a'Ir. .... ap. ...

ait une limite finie A/, lorsque q croît indéfiniment, et cela, quelle que soit la valeur fixée pour/».

En ellet. les modules des termes de la suite

ne dépassent pas M: soit A,,, une des valeurs limites de cette suite: on peut donc, de la suite «'', extraire une suite

(m «;;'. r/;;^ «;'■.'. ...

con\ergeant ^ers A„. De même. les modules des termes de la suite

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 667

ne dépassent pas M; on peut, de cette suite des a,',, extraire une suite

(2) a','*, a"^. rt'i''-, a"",

convergeant vers une limite A,. De même, de la suite

«^1, a?', a?'j, a'^'i, . . . , on peut extraire une suite

(3) a'i\ a?', aV, a?,K . . .

ayant pour limite Ai, etc. En continuant ainsi, on définit une suite de nombres entiers croissants «<, n.,, . . ., n,/, . . . tels que la suite

(a) a'p', ap a'f,'i,

ait pour limite xin nombre A^,, pour toute valeur de p, lorsque q croît indéfiniment. En effet, pour/? = o, les termes de la suite (a), ayant été choisis parmi ceux de la suite (i), doivent avoir pour limite Ao; pour/? = i , les termes de la suite (a) ont pour limite A< puisqu'ils font partie de la suite (2), et ainsi de suite. Considérons maintenant la série

f{z) = Ao^ A,;^...+ \p:/'-h..., elle est convergente dans {d'); on a, en effet,

= lim I a":^, z/'-' -+- a1;^., zi'- 2 _^. . . ^_ n'l,l,,zl>-* '' |, et la dernière expression, égale à

a un module inférieur à

c'est-à-dire à 2 e, si /?>/>„ ; donc

\S.pZl>-^ \/,^lZ/'- ' -t-. . .-H A/,^/,Z/'-^'' j <2£,

quel que soit A, pour p^ pa.

GG8 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

La série /(;;) esl donc convergente dans {d'). On a d'ailleurs, en faisant croître h indéfiniment et en posant

R/,(z) = A/, ,,5/'^«-h A/, ^i 5/' -2 -(-... -f- kp^nzi"''-^..., ^z* (-)! = ■-'■ pOUl/>>jOu.

La série dont les coefficients sont A;, représente donc une fonc- tion holomorphe dans le cercle {d') et, par conséquent, dans {d), puisque la détermination des K,, ne dépend pas de p et que ce nombre est aussi voisin de i qu'on le veut.

Je dis que la suite des fonctions

f„^{z^. /„j,z\ .... /„{z). ...

a pour limite/(^). iiniformémenl dans {d'). Supposons p >/?„ ^' soit

S^;-? (z) = a'p"/ -t- a"'i r -)-... H- a"pzP,

Sp {z') ■= Xo -^ Al :■ -^- ...-+- \f, zP.

S"/i{z) converge uniformément vers S;,(^) dans (d') lorsque/) est fixe, puisque les coefficients du premier polynôme ont pour limites ceux du second; donc, pour q assez grand, on aura

quel que soit z dans {d'). D'ailleurs,

! ^pi^) - R;n^) I ^ I R/' (2) ' + i r;;u3) | < 3.

puisque /> >/>o.' donc comme

f(z)= S/,U-)+ R;,(Z),

un aura

si g est assez grand.

Supposons maintenant que (D) soit un domaine applicable sur le corclc (d) et désignons par Z l'affixe d'un point du plan de (D). Suit

F.iZ). F,^Zk .... F„^Z), ...

une suite infinie de fonctions holomorphes, dans (D) et bornées

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 669

dans leur ensemble par le nombre M; soil encore

une fonction qui fournit une représentation conforme de (D) sur (d); posons

la suite

/,iz), f,{z), ..., fniz). ...

est formée de fonctions holomorphes dans (cl) et bornées dans leur ensemble, puisque fn{z) prend dans [d) les mêmes valeurs que Fn(Z) dans D; on peut en extraire une suite partielle

A(Z), fn^). .... UU\ ...

qui converge uniformément dans [d.) vers la fonction holomorphe /(z); donc, la suite

F„.(Z), F;,,(Z.. .... F,.,,(Z), ....

qui prend les mêmes valeurs que la suite précédente pour deux points .z et Z homologues, converge uniformément dans (D) vers la fonction holomophe F(Z) =/[G (Z)], G (Z) désignant la fonc tion inverse àe g{z).

Le théorème est ainsi établi pour tout domaine applicable sur un cercle.

Les raisonnements faits pour la suite /^,(^) peuvent être répétés pour toute suite

AM). fj^z), .... f,Jz). ....

extraite des /n(^); on peut choisir, dans la suite /').^(.;). une suite partielle

A„.(^). f;.nj.^), ■■■■ ./>„,(^), •••

convergeant uniformément vers une fonction holomorphe. Toute suite partielle extraite des fn{z) donne naissance à une suite au moins qui converge uniformément. Op arriverait au même résultat si, au lieu de prendre une suite de fonctions/,, (.5), on considérait une famille quelconque de fonctions holomorphes et bornées dans leur ensemblt\

Ainsi, lorsqu'une famille de fonctions holomorphes dans (D) est formée de fonctions bornées dans leur ensemble, toute suite infinie

670 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

de fondions de la famille admet au moins une fonction limite. Cette famille de fonctions possède la même propriété qu'un ensemble de valeurs numériques bornées. Quand une famille de fonctions holomorphes possède la propriété précédente, nous disons que c'est une famille normale : les fonctions holomorphes et bornées dans (D) forment une famille normale.

Voici une application du théorème précédent qui nous sera utile : soit y (-5) une fonction holomorphe et bornée dans un secteur circulaire OA^B,, et continue sur le rayon OA.0, sauf peut-être au point O; si f{z) a une limite a lorsque z tend vers O sur le rayon 0A„, nous allons montrer que /(^) tend uniformé- ment vers a dans tout secteur ApOEg intérieur au secteur donné.

Fig. 4.

Nous pouvons toujours supposer que a = o, que le point O est l'origine et que l'arc de cercle x\„Bo a pour rayon 2. Traçons les arcs de cercles A, Bi, A0B2, . . ., A„B„, ... de centre O et de

rayons i, -? — : • • • ' rTi' • • • '-'t soit (D„) le domaine compris dans l'angle A„OB„ et limité par les arcs AnB,i et A,i+, B„^, ; posons f„{z) =if{2.'^z) : la fonction fn{z) est holomorphe et bornée dans le domaine A.iBoAsBs, puisque /( 2) est holomorphe et bornée dans le domaine A^B^Aa^-aB^^-s et la smio. Jn{z) converge unifor- mément vers zéro sur le segment rectiligne A„ A.t On peut extraire delà suite àesfn{z)^ qui forment une famille normale, une suite pai- tielle/„(s) converganl uniformément, dans le domaine D'E'C'F' limité par deux rayons OD'C et OE'F', aussi voisins que l'on veut de OAo ei OCq; et par les arcs de cercles de centre O et de rayons

3 3

OD z= - et OC = -■) vers une fonction g {z) holomorphe dans ce

domaine.

Si no\is remplaçons le rayon OC par un rayon OC" faisant

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 671

avec OA„ un angle plus petit que l'angle C'OA,,, nous pourrons extraire de la suite fn{^) une suite partielle fn-{z) convergeant uniformément dans le nouveau domaine C'D'E'F' vers une fonc- tion holomorphe dans ce nouveau domaine et qui coïncide avec g\z-) dans la région C'D'E'F'. Par conséquent, ^(-) est holo- iiiorplie en tout point intérieur à la région CDE'F'.

Je dis que la convergence de la suite fn{^) est uniforme en tout. point Sq inférieur à cette dernière région. Menons, en effet, le ra^'on OC" tel que le point M soit intérieur au domaine C'D'E'F'. Si la convergence n'était pas uniforme en ^„, il existerait un nombre e, une infinité d'entiers «'/ et de points z^ ayant pour

limite c„. tels que

\M{z,)-g{z,)\>:.

Or, de la suite f„'{z), on peut extraire une suite partielle /„^(-a) convergeant uniformément vers g{^) dans le domaine C"D"E'F', et, par suite, au point Zg. Ce fait est incompatible avec l'hypothèse que l'inégalité précédente est vérifiée pour des points voisins de z„.

Considérons maintenant le domaine (D) ou AjAaB^B'j couvert de hachures sur la figure. La suite fn'{^) converge en tout point de ce domaine, contour compris, et la convergence est uniforme en tout point qui ne fait pas partie du segment A, Ao. Je vais mon- trer que la convergence est uniforme en tout point du domaine, contour compris, sauf peut-être aux deux points A^ et A2.

Faisons la représentation conforme de la région A, AoB^^B', sur un cercle (C) de rayon R dans le plan de la variable z'. Aux points A, et A-2 correspondent deux points ai et «o de la circonférence. Aux fonctions /«(s) correspondent les fonctions gn'{^') qui con- vergent uniformément sur la circonférence, sauf peut-être aux points «1 et a,.

Sur l'un X des arcs ata^, la fonction limite est égale à zéro. Traçons, des points «, et a-^ comme centres, des circonférences interceptant sur le cercle (C) des arcs a dont la somme des longueurs ne dépasse pas s et considérons les points z' du cercle (C) qui sont extérieurs aux cercles de rayon p, concentriques aux premiers. Si p est assez petit, il y a une portion V de l'arc qui est extérieure à ces cercles. Je dis qu'on peut prendre n' assez grand

67a NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

pour que, en tout point z' considéré, on ait

\g,r.,{z')-g,r{z')\<t,

quel que soit l'entier p. Désignons par Un'{x\ y') la partie réelle (le gn'{z') et par Un'{s) sa valeur en un point de la circonférence défini par l'arc s. On a, d'après la formule de Poisson (t. III, n" 508, mêmes notations), le point z' étant intérieur à (C),

iin-^p{x', y') — u„'(.r'. y') = r y [ ""'--p (*) — ""'(«)] (-^y^ "~ Tji ) ^^*''

et, par suite,

I u„-+^{x', y') — u„'(.t', y') ' < - / ' Un'+p{s) — it„'{s)\—^ ^/s.

Sur les arcs a, la valeur absolue de Un^p{s) — Un>{s) ne dépasse pas 2M si M est la limite supérieure des modules des fn{^)\ r reste supérieur à p et, par suite, la partie de l'intégrale relative

à ces arcs est inférieure à — !— ^« Sur le reste de la circonférence, le

module de Un'+p{s) — Un>{s) ne dépasse pas £ si 71' est assez grand,

n • , 1 ^ COS O , . . . . .

et, comme l intégrale j — f-as n'est jamais supérieure a -ir., celte partie de l'intégrale est inférieure ou égale à ?>£, donc

u,.'^,,{x\ y') — ii„'{x', y') ! < -^ ^-ii;

0 restant fixe, le second membre de l'inégalité est aussi petit que l'on veut, si n' est assez grand. La convergence de la suite Un' est uniforme pour les points z' intérieurs considérés; comme elle est aussi uniforme quand le point z' est situé sur l'arc ).', on voit que la convergence est uniforme, en tout point de (C), contour com- pris, sauf dans le voisinage de a^, et ao. La fonction limite m, con- tinue dans le cercle, prend sur l'arc X'ia valeur zéro. On peut donc la prolonger à l'extérieur du cercle (t. Ill, n" 511). Gomme le même raisonnement s'applique à la partie imaginaire des fonc- tions gn'{z'), on voit que la fonction limite peut être prolongée au delà de l'arc //, Elle est donc holomorphe sur cet arc et, comme elle prend la valeur zéro en tout point de cet arc, elle est identi- quement nulle : il en est de même de g{z).

Cette tonction est identiquement nulle; toute suite partielle con-

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 678

vergenle, exlraitc de la suite y"n(^), converge donc unifonnénienl vers zéro dans (D); on en déduit que la suite //,(- i converge ollo- méine uniforniénient vers zéro dans (D). Or les fonctions /,j(^i prennent dans (D) les valeurs que /(^) prend dans les parties de (D,,,,) limitées par OB^ ; donc /(s) converge uniformément vers zéro dans l'angle A.„OB^, contour compris.

Oii déduit de là que/( -"> ne peut avoir deux limites différentes a vl (3 sur A^O et B^O, car sur une droite quelconque Ou inté- rieure au secteur /(*) devrait tendre à la fois vers a et (5. On voit aussi qu'on peut remplacer, au moyen d'une représentation conforme, le secteur circulaire par un secteur OA„B„ limité par des arcs de courbes analytiques.

4. Représentation conforme d'un domaine borné. — Un domaine (D) est dit borné si tous ses points sont à l'intérieur d'un cercle tracé dans le plan. Les points de la frontière (C) sont aussi dans ce cercle, puisque dans le voisinage d un point delà frontière se trouvent des points du domaine.

Nous ferons la représentation conforme d'un domaine borné simplement connexe (D) sur le cercle (d) de manière qu'un point O intérieur à (D) corresponde au centre o du cercle. Il suf- fira de faire ensuite la transformation z'=kz^ k étant une cons- tante de module unité, pour faire correspondre deux directions OT et ot. Nous pouvons d'ailleurs toujours supposer que O et o sont les origines des coordonnées dans les plans des Z cl des z.

Dessinons sur le plan de (D) un quadrillage de cote h dont les droites sont parallèles à deux directions fixes et considérons les carrés dont tous les points sont intérieurs à (D); ces carrés forment un ou plusieurs polygones : je désigne par (D, ) celui de ces polygones qui contient O. On peut prendre h assez petit pour

que (Di") existe : il suffit que h soit inférieur à — -.•, b étant le miuimum de la dislance du point O aux points de ( ( 1 i. Eu rem- plaçant h. par —?—?•••) -■>'■•■> nous définissons de la même

manière des polygones (Dj), (D;,). . . . ^ (D„), .... Chaque polygone est contenu dans le suivant et, par suite, dans tous les suivants. Tout point de ( D) est intérieur à Ions les polygones à partir d'une

674

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

valeur assez grande de n. Soit, en effet, M, un point de D, joignons-Ie à O par une courbe (L) tout entière dans (D); la dis- tance d'un point de (L) à un point de (C) a un minimum non

nul ô'; si l'on prend n assez grand pour que — <; -^? tous les

points de (L) appartiendront à des carrés conservés formant une

Fig. 5.

chaîne qui contient O; donc tous les points de (L) sont dans(Drt) et, par suite, M appartient à (D„) pour n assez grand. Nous dirons que le domaine (D) est la limite des domaines (D^).

Le contour limitant (D„) est formé de segments rectilignes, c'est-à-dire d'arcs analytiques; il existe donc une fonction /^(z) qui fait la représentation conforme de (D„) sur {d) de manière que/n(o) = o. Considérons la suite des fonctions

A(z\ Mz).

fn{z),

holomorphes dans [d). On a, quel que soit z dans {d) et quel que soit n, \fn{z) I <C M, M désignant le rayon du cercle de centre O qui contient le domaine borné ( D ), puisque tous les points de ( D,( ) appartiennent à (D). On peut donc, d'après le théorème du para- graphe précédent, extraire de cette suite une suite nouvelle con- vergeant vers une fonction/i j'i holomorphe dans {d). Nous dési- gnerons encore, pour simplifier l'écriture, pary, , /a, . . . , /„, .... les termes de cette suite, et nous supposerons d'abord que /(z) ne se réduise pas à une constante qui serait nulle puisque y„(o) = o.

Lorsque le point z se déplace dans (û?), le point Z = f{z) décrit un domaine i A) et, à tout point intérieur à {d), correspond un point intérieur à (Ai, Je dis que le domaine (A) ne se recouvre pas, c'est-à-dire que si :;, y£ s.,, on a aussi /(^i ) ?^/(^2 j-

Remarquons d'abord que, si en un point Zo la fonction /(c") prend la valeur Zo, dans un petit cercle i y) de centre z„, les

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 676

fonctions /n( s) prennent toutes, pour n assez grand, la valeur Z,,. En effet, supposons (y) assez petit pour que la fonction /(s), qui n'est pas constante, ne prenne la valeur Zo qu'au centre ^oJ sur la circonférence (y), les fonctions fn{z) — Zq et f'ni^) convergent uniformément vers /(s) — Z» elf'{z); donc l'intégrale

qui représente le nombre pn des racines de l'équation /«(i:) = Z^

contenues dans (y), a pour limite l'intégrale — :- / ".. >. _ y

qui est égale au nombre/) des racines de/(-3) = Zy, c'est-à-dire à l'ordre de multiplicité de la racine Zq. Comme /)„ et /> sont des entiers, il faut que />«=:/), pour n assez grand.

Supposons alors que/(5, ) =zf(^z2) = Z„ et traçons deux cercles (■-,) et (ya) de centres 5< et ^a et dont les rayons soient inférieurs à la moitié de la distance de Zf à Zj- Pour n assez grand, les équations

/n{z) = Zo

auraient au moins une racine dans (y,) et une racine dans (ya ) puisque les cercles (fi) et (yo) n'ont aucun point commun. La fonction /„ (2) prendrait la valeur Zq pour deux valeurs dififérentes de -2, ce qui est impossible puisque celte fonction efîectue la repré- sentation conforme de (D„) sur (d).

On démontrerait de la même manière que/'{z) ne peut s'annu- ler dans (d).

Je dis maintenant que tous les points de (A) appartiennent à (D;. Soient Zo=/(^„) l'affixe d'un point M intérieur à (A) et (T) une circonférence de centre M et de rayon £ limitant un cercle dont tous les points sont intérieurs à (A). L'égalité Z z=f(^z), résoluble en Zf fait correspondre au cercle limité par (F), un domaine con- tenant Zo et limité par une courbe (y). Prenons n assez grand pour que

jXz)-fn(z)\<l

pour tous les points de (y); on a, par suite,

|Zo-/„(Zo)|<^.

676 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

La relation Z:=y„(^) fait correspondre, au domaine limité par (y), un domaine limité par une courbe (r„) dont chaque point est à une distance inférieure à - d'un point de (T). La courbe (r„)

est donc extérieure au cercle (T') de centre Zo et de rayon -• Le domaine limité p.ir (r„) contient le point/„(^o) qui est intérieur à (T), donc ce domaine, qui est simplement connexe, contient (TM et, comme /n{2) fait l'application de (d) sur (D„)^ (T) est con- tenu dans (D„) et, par suite, Zo appartient à (D„), donc à (D).

Enfin, je vais montrer que, réciproquement, tout point de (D) appartient à (A). Soit M un point de (D) d'affixc Zo; joignons O à M par une courbe (L) tout entière dans (D); celte courbe est intérieure à (D„) pour n assez grand; pour faciliter le langage, nous supposerons que (D, ) est le premier domaine contenant (L). Appelons

F,(Z). F,.(Z), ..., F„(Z), ...

les fonctions inverses des fonctions

fr{z), Mz), ..., Mz), ...,

et supposons que Z reste dans (D,). On a

iF„(Z)l<,

quel que soit n et quel que soit Z dans (D,). On peut donc extraire de la suite Fn(Z) une suite nouvelle, que je désignerai encore par F„, qui converge uniformément dans (D,) vers une fonction holomorphe F(Z). Si F(Z) n'est pas la constante zéro, au point Z„, intérieur à (D,), correspond un point ^0 intérieur h (d) tel que

:;„=FCZoV

F(Zo) est la limite de ¥^{^0) = z^; pour n assez grand, c° est donc à l'intérieur d'un cercle (y) de centre -0 et de rayon arbitraire et, puisque F„ est la fonction inverse de/,,,

7.0 = MO -^

la suite y„(-) converge uniformément dans 1 y) vers/(c), et «" a pour limite Jo ; or

Z„-/(..o) = [/„(z«) -/{zl}] + [/(z« ) -f{Zo)]

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 677

a pour limite zéro, puisque chaque parenthèse est, en module, aussi petite qu'on le veut pour n assez grand, donc Z„=/{Z(,), et M appartient à (A).

Les raisonnements précédents supposent que ni J\z), ni F(Z) ne soient identiquement nulles. Si/(ô) était la constante zéro, tout point Zo, distinct de l'origine O, aurait un homologuer" qui n'aurait pour limite ^o aucun point intérieur au cercle (d), sinon, à l'aide du raisonnement précédent, on verrait que/(^c) = Z„^ o. Donc, le module de Fn(Z„) aurait pour limite i quel que soit Zp dans(D,), tandis que F„(o) aurait pour limite zéro, ce qui est impossible puisque F(Z) est holomorphe.

De même, si F(Z) était identiquement nulle, tout pointée de (d) autre que l'origine aurait un homologue Tj^^^=.f,^[z^) dont toutes les valeurs limites auraient un module supérieur ou égal à la dis- tance ô" de O à la frontière de (D, ) puisque aucune valeur limite ne pourrait correspondre à un point Zq de (D,), sinon on démontre- rait comme plus haut que ¥{2.^) =z z^rp^ o. Donc, le module de fn{z) aurait une limite toujours supérieure ou égale à ô", tandis que /n{o) aurait pour limite zéro, ce qui est impossible puisque/(r) est holomorphe.

Nous pouvons donc écarter l'hvpothèse que /«(-) ou Fn(Z) ait pour limite une constante.

La relation Z =:/(z) effectue la représentation conforme de (D) sur (d) de manière que les points O et o se correspondent. On ramène facilement à ce cas celui où le domaine (D), sans être borné, admet des points extérieurs. Soit, en effet, a, l'affixe d'un point extérieur à (D), c'est-à-dire n'appartenant ni à (D), ni à sa

frontière (C). La transformation 2' = j _ fait correspond

rc

à (D) un domaine (D') borné, puisque, (D) étant extérieur à un cercle ! Z — a | = R, (D') est intérieur au cercle [ Z' j = :^ • Si/(«) effectue la représentation conforme de (D') sur {d), la fonction Z = a H- -TT-r- fera l'application de (D) sur (d).

o. Théorème fondamental sur les familles normales. — Pour démontrer la possibilité de la représentation conforme de domaines plus généraux, nous aurons besoin d'une nouvelle famille

678 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

normale. Tout d'abord, les fonctions qui, sans être bornées, ne s'approchent pas indéfiniment d'une valeur fixe «2, forment une famille normale.

En effet, soit une suite /„(^) telle que l//,(^-) — « j > e, quel que soit n et quel que soil z dans le domaine (D). Les fonctions (p„(^) = — — — ont leurs modules bornés dans (D) par le

nombre -; on peut en extraire une suite ayant une fonction

limite (p(^); donc, la suite /„(^) = a H 1— correspondante a

pour limite la fonction a H --• La famille des fonctions consi-

^ 9(z)

dérées est donc normale. On doit remarquer que les fonc- tions 9/1 (^) ne prenant pas la valeur zéro dans (D), la fonc- tion 9(2) n'admet pas de zéro dans (D), à moins qu'elle ne se réduise à la constante zéro. Par' conséquent, /( 5) est holomorphe dans (D) ou se réduit à la constante infinie. Il faut donc admettre la constante infinie comme une fonction limite particulière. Ce cas ne se présentera d'ailleurs pas si les fonctions considérées ont des valeurs bornées en un point ^^ de (D).

Mais, il peut arriver que les fonctions d'une famille s'approchent autant qu'on le veut de toute valeur; nous allons voir que, s'il existe alors deux valeurs exceptionnelles a et 6, c'est-à-dire deux valeurs telles que les équations f„{z)=za, fn(z) = b n'aient aucune racine dans (D), la famille est normale. Nous pouvons toujours supposer que les valeurs exceptionnelles soient o et i , en remplaçant les fonctions /n(^) par les fonctions

fn{z) — a

b-a =^"^^^-

Les familles /„ et (p„ sont normales en même temps.

Nous nous proposons donc de démontrer le théorème suivant :

Soit

Mz\ Mz), ..., MzK ...

une suite infinie de fonctions holomorphes dans le domaine simplement connexe (D) où, elles ne prennent ni la valeur o ni la valeur i ; on peut extraire de cette suite une suite partielle

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 679

convergeant uniformément dans (D) vers une fonction holo- morphe f(z).

Considérons pour cela l'inlégrale elliptique

(Il

fl

v//(i-0(/'-0 et deux périodes 2w et 2aj' de cette intégrale, par exemple,

w = I — - cl OJ = I •

J ^th-t){'i-t) J^ y«(,_0(i-Z0

Si le nombre Z est difTérent de o et (fe i, le rapport - est imagi- naire et définit une fonction v(Z), analytique dans le plan com- plexe des Z,

Celte fonction est holoniorphe pour toute valeur finie de Z distincte de o et i, car les périodes sont des fonctions holo- uiorphes de Z et le dénominateur w(Z) ne s'annule pas (voir t. II, n" 314). Elle n'est pas uniforme; lorsque Z décrit, dans son plan, une courbe fermée ne passant ni par o ni par i , w'el oj ne reprennent pas toujours leurs valeurs primitives, mais les valeurs finales sont encore des périodes de l'intégrale elliptique. Il en résulte que le signe du coefficient de i dans v(Z) demeure invariable lorsque Z se déplace, car, si pour deux positions de Z, les signes étaient diffé- rents, il existerait sur le chemin qui les joint un point où ce coefficient, qui varie d'une manière continue avec Z, serait nul, ce qui est impossible. Ainsi les points ayant pour affixes les diffé- rentes valeurs de v(Z) sont contenus dans un même demi-plan II limité par l'axe réel.

Inversement, supposons que les valeurs de v(Z) soient toutes à l'intérieur d'un domaine (<X)) contenu, avec sa frontière, à l'inté- rieur de n. Je dis que les valeurs correspondantes de Z restent bornées. S'il n'en était pas ainsi, on pourrait trouver une suite infinie de valeurs de Z : Z,, Za, . . ., Z„, . . ., dont les modules augmentent indéfiniment et telles que les points correspondants d'affixes v(Z„), contenus dans (Ûi)), aient un point limite v^ situé à

68o NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

riat(M-ieur ou sur la froulirm de (cD) : v„ serait donc un nombre imaginaire.

Cherchons les valeurs de Z qui peuvent donner à v(Zi la

valeur v»; le rapport — des périodes de linlégrale elliptique doit

être égal à v„. La Iransformalion

i^ Z

remplace cette intégrale par l'intégrale

/

v^4p'— A'-r

dont les périodes sont les mêmes. Inversement, si l'intcgrak précédente a des périodes dont le rapport est vo, la iransfoi- mation

,_ P- ^'.

nous ramène à l'ancienne intégrale cl l'on a

/'., — e,

Donnons-nous deux nombres dont le rapport soit Vo. i el Vu par exemple, la fonction ^(u|i,v„) a les demi-périodes i et vo. Si l'on remplace ces demi-périodes par w et v„w, w étant un nombre quelconque non nul, la fonction correspondante n'est

autre que -; p ( - i , v,, ) ; les racines e,, e-y, e, deviennent

ei

--;5 4 et Z ne change pas. Donc, les valeurs cherchées de Z sont données par les six valeurs que prend le rapport —

quand on permute les trois racines. Toutes ces valeurs sont finies, puisque v„ étant imaginaire, les racines sont distinctes (t. Il, n°33o).

Si l'on donne à v des valeurs voisines de Vy, les nombres ^'o» ^:i varient d'une manière continue; il en est de même de e^, Cq, e-.., et par suite, de Z. Donc, si v est voisin de v„, les valeurs de Z sont

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 68l

finies. Ceci est en contradiction avec l'hypothèse que, pour les nombres v(Z„) qui tendent vers Vq, 1>n croît indéfiniment (').

Considérons maintenant les fonctions fn{z)^ et soit ^o un point intérieur à (D). Les nombres /«(^o) ont un ensemble de valeurs limites : supposons d'abord qu'il existe une de ces valeurs liniiles a distincte de o, l , oo et appelons encore Jn{z) la suite telle que lim/n(^„) = a.

Donnons à ''-o(Z) et a)'(Z) des déterminations précises pour Z = a et son voisinage, et posons v[/„(^)] = ©«(-s), cp„(^o) ayant la détermination choisie et les autres valeurs s'obtenant par conti- nuité. Puisque les valeurs de <jp„ sont contenues dans II, le module de y,, — Z,), Zn étant un point extérieur à II, reste supérieur à un nouibre fixe. La famille des a)/i(^) est normale et l'on peut en extraire nue suite

convergeant uniformément dans (D) vers une fonction limite 9 (^); dans un domaine (D'), intérieur à (D), ces fonctions convergent uniformément même sur le contour; dans (D'), 9(2) ne prend aucune valeur réelle puisque les cp,,, [z) ne prennent aucune valeur réelle et que 9(5) n'est pas une constante réelle : en effet, <f (^0) est imaginaire, puisque a est différent de o, i, op. Les valeurs de v[/„, (s)] = -^u' {z) sont donc comprises dans un domaine (<^) intérieur à II. Il en résulte que les valeurs de/„ {z) sont bornées : on peut donc extraire, de cette suite, une suite /„ {z) convergeant uniformément dans (D'). Je dis que cette suite converge unifor- mément autour de loutpoint ^, intérieur à (D). En effet, soient^, \n\ point quelconque extérieur à (D') et intérieur à (D), et (D") un domaine intérieur à (D) contenant Z\ et (D'). Soient j3 une valeur limite des /„ (z<), et/,,, une suite extraite des f„ et convergeant vers ,5 au points,. D'après ce qui précède, on peut en extraire une suite /„^. convergeant uniformément dans (D") vers une fonction holomorphe qui coïncide nécessairement avec _/(z) dans (D'): donc /(s) est holomorphe dans (D'M et [3 =/(5, ); la suite/„ {Zi )

(') On démontrerait de la même manière que Z ne peut s'approclier indéfini lent, ni de zéro, ni de un.

682 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

n'a qu'une seule valeur limite j3 : elle est convergente. La con- vergence est uniforme dans D" : en effet, dans le cas contraire, il existerait un nombre £ et une infinité de valeurs n" telles que l'inégalité |/(^) — /"■'(^) | > £ ait lieu en un point au moins de (D") pour chaque valeur de n"' : mais cela est impossible, puisque l'on peut extraire de la suite fn'-{z) une suite convergeant unifor- mément vers f{z) .

Nous avons supposé que a était différent de o, i , oo. Si a = i , nous prendrons la suite \//n{z) en choisissant pour ^o la détermi- nation du radical de manière que \/fn{-^u) ait pour limite — i . Les fonctions cpn(^) = \fn{z) sont uniformes etholomorphes dans (D) où elles ne prennent ni la valeur o ni la valeur i ; donc la suite <p„ est normale, et la suite /„ = cpj'j est aussi normale. Si a = o, on prendra 9^=1 — fni la suite cpn est normale, donc aussi la

suite/;,; si oc = 00, on prendra cp„= -:-('). La proposition est établie dans tous les cas.

6. Représentation conforme d'un domaine quelconque. — Considérons maintenant un domaine (D) simplement connexe quelconque dont la frontière ne se réduit pas à un point; celte frontière ne se réduit pas non plus à un nombre fini de points, sinon le domaine ne serait pas simplement connexe. Ce domaine pourra ne pas laisser de points extérieurs; il pourra, par exemple, comprendre tous les points du plan des Z non silués sur une coupure non fermée qui servira de frontière. La transforma- tion Z'= y— î — 5 déjà utilisée au n" 4, permet, en supposant que a

est un point frontière, de remplacer ce point par le point à l'infini du plan. Il est donc permis de supposer que le point à l'infini n'est pas intérieur au domaine : soient a et (3 les affixes de deux points frontières à dislance finie. On peut maintenant reprendre les raisonnements du n" 4, et former les domaines emboîtés (D^) (2).

(') Le principe de la démonstration précédente est dû à M. de !a Vallée Pous- sin [Démonstration simplifiée du théorème fondamental sur les fam.illes normales de fonctions (Annals of Mathematics, 2" série, vol. 17, n» 1, igiS)].

(') Si le domaine s'étend à l'infini, on ne prendra, pour former (D„), que les carrés intérieurs à un cercle de centre origine et de rayon n.

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 683

Les fonctions /„ (2) sont holomorphes dans [d) et y"„(o) = o. Elles ne prennent dans {d) ni la valeur a ni la valeur p; elles forment donc une famille normale et la démonstration se poursuit sans modifications.

En résumé, touL domaine simplement connexe dont la fron- tière ne se réduit pas à un point peut être appliqué sur un cercle.

7. Correspondance entre les points des contours. — Nous désignerons par (G) la frontière du domaine (D) dont on fait la représentation conforme sur le cercle {d) de rayon un, limité par la circonférence (c). Nous supposons que la représentation fait correspondre à un point O de (D) le centre o àe {d) et que, à une direction donnée partant de O, corresponde une direction donnée partant de o. Soit ^L=f{z) la fonction qui fait cette représenta- tion; f{z) est holomorphe dans {d) et ne prend pas deux fois la même valeur à l'intérieur de ce cercle. La fonction inverse z = F(Z) est holomorphe dans l'intérieur de (D) et ne prend pas deux fois la même valeur.

Soit Z,, Z2, . . ., Z„, , . . une suite infinie de points ayant pour limite un point Zo de (C). Tout point limite de la suite z,, ^..>, . . . , Zni • • ■ des points correspondants est silué sur (c) ; car, si un point limite z'^ était intérieur à (û?), il lui correspondrait un point Z'^ intérieure (D) et ce point devrait être un point limite des Z^. Inver- sement, si une suite infinie z^^ z^, ... z^, ... a pour limite un point Zq de (c), les points limites de la suite correspondante Zi, Zo, . . ., Zrt, . . . sont tous sur (C).

Soient maintenant Zo un ^toml accessible de (C) et L une courbe simple sans point double aboutissant en Zq et dont tous les points, sauf Zo, sont intérieurs à (D). Lorsque Z décrit (L), le point s décrit une courbe {l). A toute suite infinie de points Z,, Zo, . . ., Z„. . . . situés sur (L) et ayant pour limite Zq, correspond une suite infinie de points xr,, ^2, • • • ) ^//^ • • • situés sur (/) et dontles points limites sont situés sur (c). Je dis que les suites 5„ ont un seul point limite 5o. Admettons, en effet, que l'on puisse obtenir deux points limites z^^ et z'^ sur (c) et correspondant respective- ment aux suites Zf, Zj, . . ., Z„, ... et Z', , Z!,, .... Z',^, .... On peut toujours supposer, en supprimant des points si cela est néces-

684 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

saire, que, lorsqu'on se déplace sur (L) en allant vers Zo, les points Z et Z' sont rencontrés dans l'ordre

Zi, Z'i, Zî, Z'î, Z3, Z'3, .... Zn, Z'„, ..., et que l'on a, pour toute valeur de n,

\Zn— Zu < £, ' 3'„— S'o i < £,

£ étant arbitrairement petit, et

..„=.F(Z„). .;,-F(Z'„).

Marquons sur le cercle (c) les points Zq et «'„ et traçons les arcs de cercles (y) et (y') intérieurs à (d), de centres Zq et z\^ et de rayon £ : ces arcs ne se coupent pas si £ est assez petit. Quand Z décrit l'arc Z, Z\, z décrit un arc de (/) qui va d'un point du segment hachuré voisin do ^0 à un point du segment hachuré voisin de «„ ; il y a donc un arc ol^oî^ de la courbe (/) qui joint un point a, de (y) à un point (a'^) de (y') et qui est extérieur à ces segments. De même, l'arc ZjZ'^ nous donne un

Fig. 6.

arc aja.,. ... ; l'arc ZnZ'„ nous donne un arc a^a)^, .... Deux arcs a^a'/, et a^qc/î^ ne se coupent pas, puisque la courbe (L) ne se coupe pas elle-même. Les points a^ ont donc pour limite un point «0 de (y) situé sur (c) puisque /(«n) a pour limite Zo comme Z„ et Z'„. De même les points a'„ ont pour limite «'„ sur (y') et (c ).

Toute suite infinie de points s',, z\, . . . , z"^, .... telle que z'^ soit sur a«a'„, a pour limite un point de l'arc de cercle «oa'o car le point Z'^ est situé sur l'arc Z„Z'„ de la courbe (L) et a pour limite Zo.

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 685

Réciproquement, tout point p de olqO.'^ est un point limite ainsi obtenu; menons en effet le rayon o(3; ce rayon rencontre l'arc cxnOi'n ^^ ^^ point z]^ et les points z"^ ont pour limite {3. 11 résulte de ce qui précède que les arcs ««a^j ont pour limite ctooi^\ en d'autres termes, traçons le cercle de centre o et de rayon i — 3, è étant arbitrairement petit, qui coupe (y) en un point « voisin de ao et (y') en un point a' voisin de a'^. Si n est assez grand, a„a',j est tout entier dans le quadrilatère curviligne aaaa'^oi.' , car, s'il en était autrement, il existerait une infinité de valeurs den

telles que l'arc a„ a„ ait un point z"^ extérieur au quadrilatère; la suite z"n aurait ses points limites situés hors de «o^'o' ^^ 4"* ®^^ Impossible. Il est donc établi que les arcs ««a^j convergent unifor- mément vers «oa'o' D'autre part, les valeurs àe f{z) sur ces arcs convergent uniformément vers la constante Zo- Nous allons montrer qu'il en est de même si z est situé entre ces arcs, c'est-à-dire que l'on peut prendre /lo assez grand pour que |./(^) — Zo| soit infé- rieur au nombre arbitrairement petit ay/n pour tout point z inté- rieur au quadrilatère curviligne ao a„^ «'„, «'^ .

Pour rétablir nous nous servirons d'un procédé de démonstra- tion dû à Lebesgue. Nous pouvons toujours supposer que «o est assez grand pour que, sur la portion de (/) qui commence au point a„^, on ait \f{z) — Z^ | << t2 •< i • Prenons n>n„ et soit {dn) le domaine limité par l'arc de (/) qui va de a„ à an+i [composé des arcs «««„, oc'„^i(Xn+i et de l'arc a^a'„^.i intérieur au segment hachuré limité par (c) et (y')] et par l'arc (Xnan+t du cercle (y). Traçons deux cercles de centre ^o^ le premier (yi) de rayon p inférieur à £, le second (F) de rayon R supérieur à 2 et soit a", le premier point de rencontre de «',!«« avec la circonférence (yi) et a^^_i îe premier point de rencontre de a),^.,a„+, avec cette circonférence (*). Sur l'arc (In) de (/) qui va de a'^ à a'^^i on a \/{z) — Zoj < rj et, sur l'arc «««i^^i du cercle (yi), on a |/(-s) — Zo|<;M, M désignant une limite supérieure de |Z — Z^j dans (D). La fonction Vz=log|/(^) — Zo I est harmonique et régulière dans (d)

C) Ces points existent si «„ est assez grand.

Çtt6 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

puisque /(«) ne pread jamais la valeur Z„ et l'on a

V<log7i sur(/„),

V < logM sur l'arc 'x'^a'^+z àe (yi). La fonction

log- log-

log- log-

p p

dans laquelle r désigne la distance à z^ d'un point de la couronne limitée par les cercles (y< ) et R, est harmonique et régulière dans cette couronne. Sur (Y))> on a r = p et U — logM; sur (F), on a r = R et U = logyj. La différence U — V est harmonique et régu- lière dans le domaine limité par (/) et l'arc a^^a^Ui cle (y4)- Sur In, U — V est positif puisque, dans la couronne, V est compris entre logM et logy)(ri < M) et que, sur (/„), V < logrj ; sur l'arc ot'^ct'n^i on a U = logM et V < logM, et U — V est positif; donc U — V est positif en tout point de (rf„) et V < U. Or, le premier terme de U est inférieur à - logYî, si p <C 0 5 on peut prendre p assez petit

pour que le second terme, qui est inférieur à logM 0' soitinfé-

log-

rieur à loga. On aura alors, en tout point de (dn) et par suite, entre ainoc',^ et ocn^t «'„+,,

V < U <log2 ^tJ, d'où

l/(^)-Zol<2v'n-

Ce résultat étant indépendant de n, on voit que l'inégalité pré- cédente a lieu en tout point intérieur au quadrilatère curvi- ligne aoa„^a;,a'o.

La fonction /( 5) prend donc la valeur Zq quand z tend vers un point quelconque de l'arc de cercle oCf^ct'^; on en déduit, par le raisonnement de la fin de la page 672, que f{z) se réduit à la constante Zq. Or, cola est impossible puisque/(2) fait l'application de ( D) sur (d); donc z^ et z'^ ne sont pas distincts.

Réciproquement, soit z,, un point de (c) tel que /{z) ait pour limite unique le nombre Zq sur une courbe simple intérieure à (d) et aboutissant en Z(^. Le point Zq est un point accessible de (C).

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 687

car à la courbe (/) correspond une courbe (L) aboutissant au seul point Zo, dont tous les points, sauf Zo, sont intérieurs à (D).

Le point ^o que nous avons fait correspondre à Z„ à l'aide du chemin (L) est-il déterminé d'une manière unique? Autre.Tient dit, si nous remplaçons (L) par un autre chemin (L'), la limite de z sera-t-elle le même point z^ de (c)? Supposons que les lignes (/) et (/') aboutissent à deux points distincts de; (c), z„ et ^'„; alors, lorsqu'on suit la ligne (l) en allant vers ^„, il y a un dernier point de rencontre a avec (/'), car, dans le cas contraire, il y aurait sur (/') une infinité de points ayant ^o pour limite; ^0 serait sur (/') et se confondrait avec z'^. Soit A le point cor- respondant, c'est le dernier point de rencontre de (L) et de (L'). Si (l) et (Z') ne se rencontraient pas, on les joindrait à un point quelconque a de (d).

La portion (A) du domaine (D) limitée par les courbes (L) et (L') est représentée d'une manière conforme, par la rela- tion 5— F(Z), sur la portion (5) de (d) limitée par (/), {l') et l'arc (X) d'extrémités ^^ et z'^. Supposons que (A) ne contienne à son intérieur aucun point de (C); dans ce cas, lorsque z tend vers un point de (X), Z tend nécessairement vers Zq. On en déduirait encore que /(2) est une constante, ce qui est impossible: donc z„ et z'^ coïncident.

L'hypothèse que nous venons de faire sur (C) est réalisée, en particulier, pour tous les points d'une courbe simple de Jordan. Il n'y a que deux arcs de cette courbe partant d'un de ses points, et deux chemins intérieurs aboutissant à un même point de la courbe ne peuvent enfermer aucun arc de cette courbe.

Soient maintenant Z^ et Z'^, deux points accessibles distincts de (G); je dis qu'ils correspondent à deux points différents de (c). Supposons en effet qu'ils correspondent à un même point Zq et soient (L) et (L') deux lignes brisées partant de O et aboutissant à Z„ et à Z'^; ces lignes ont un dernier pointcommun A puisque Z„ et Z'„ sont distincts. Il leur correspond deux lignes (Z) et {l') for- mées d'arcs analytiques partant de (a) et aboutissant toutes deux au point z^; la portion(A) du domaine (D) limitée par (L), (L') est représentée d'une manière conforme sur le domaine (ô) limité par (l) et (/'). Sur (l), f{z) a pour limite Z^; sur (/'), f{z) a

688 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

pour limite Z'„ et dans [o), f(z) est bornée, car ou peut toujours supposer que le domaine (A) est borné. Cela est impossible, car, d'après le n° 3, sur toute ligne intérieure à ($) et aboutissant à z^, f(z) devrait avoir pour limite à la fois Z^ et Z'^. En résumé :

.1 tout point accessible de la frontière {C) de{D) correspond un point unique de la circonférence (c). A deux points accessibles distincts correspondent deux points différents

de{c).

Considérons maintenant, au lieu de la courbe (L) qui aboutit au point accessible Z,, de (G), une suite infinie Z, , Zo, . . . , Z^, . . . de points de (D) ayant le seul point limite Z^. Je dis que les points correspondants Zt, z^, . . .,Zp^ ... ont pour limite z^. Stfit(L)une ligue simple joignant O à Z^ à l'aide de points intérieurs à (D). Traçons le cercle de centre Z^ et de rayon i; soit A„ le dernier point de rencontre de (L) et de la circonférence, lorsqu'on se déplace de O vers z„. Le point A^, intérieur à (D), apparlientàun arc B,iA„B',j de la circonférence, arc dont les points intérieurs sont intérieurs à (D) et les extrémités B„B'„ appartiennent à (C). Les points B„ et B'„ sont accessibles évidemment, et il leur correspond des points distincts bn et 6'„ de (c); à l'arc de cercle B„AnB^, correspond un arc de courbe (>.«) dont les points intérieurs sont intérieurs à (d). La coupure (Xn) partage le domaine (d) en deux domaines (û?,) et (do); le premier contient o et le second con- tient ^os car la ligne (/), à partir du point an, reste toujours à l'in- térieur de (rfa); d'autre part, Zq est distinct de 6„ et 6'„ puisque Z,, est distinct de Bn et B'„; enfin, à (df) et {do)^ correspondent (D,) et (Da). La coupure (X^-n) ne peut couper (In), puisque les arcs de cercles correspondants ne se coupent pas; elle partage le cercle en deux segments dont l'un contient o et l'autre Zq] par consé- quent, (Xn+t) est tout entière dans ((ia) et elle est entourée par (X„). Donc, chaque coupure (X„) entoure toutes les suivantes. Quand n croît indéfiniment, (X„) a pour limite le point z^ ou un arc (Xq) de la circonférence (c), car tous les points de (X„) ont pour limite un point de (c) puisque les points Z correspondants tendent ;ur (l„),

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 689

donc, /{^) aurait pour limite Zq, uuiformément, quand les coupures s'approcheraient de (^o)) ce qui est impossible puisque /{z) n'est pas constant. Donc, la coupure (X„) a pour limite le point unique z^.

Soit alors la suite Z, , Za, . . . , Z^, . . . admettant l'unique point limite Zq. Pour chaque valeur de n, ces points, sauf un nombre fini d'entre eux, sont contenus dans (D2); donc les points 5, , ^2, . . . , Zp, ... sont contenus dans (ds), sauf un nombre fini d'entre eux, et, comme (d^) se réduit à la limite à z^, il en résulte que la suite Zp a pour limite ^o-

Voici une conséquence immédiate de la proposition précédente : supposons que les points accessibles Z„, Z^, . . ., Z'J", . . . aient pour limite le point accessible Z„; je dis que les points correspon- dants Znr z\^ . . . , z'„'*', . . . ont pour limite le point z„ correspon- dant à Zo. Soit, en etlet, Ço un point limite de l'ensemble des points z'^\ D'après ce qui précède, on peut choisir Z^ tel que ce point soit à une distance de Z'^"' inférieure à - et que le point cor-

n

s

respondant Zn soit à une dislance de ^'J"' inférieure aussi à -• Le points Z,i ont pour limite Z(, et les points Zn ont pour limite Ço- D'après la proposition précédente, Ço coïncide avec Zç,. Gomme ce raisonnement s'applique à tout point limite des z^^\ la suite infinie de ces points a l'unique limite z^. x'Vinsi, sur l'ensemble des points accessibles, z^ est une fonction continue de Z^.

Supposons que la courbe (G) soit une courbe fermée simple de Jordan. Tous les points Zq de cette courbe sont accessibles et, lorsque Z,, décrit (G), Zq est une fonction continue de Zo. On peut représenter les affixes Z^ de (G) par la formule Zo=: 9(0), 0 étant un nombre réel qui varie de o à 27:; on a 9(0) = 9(271), et les valeurs de ^(ô), pour deux valeurs quelconques de d intérieures à l'intervalle (o, 271), sont distinctes. La fonction cp(0)estune fonc- tion continue de son argument. Le nombre z^ est une fonc- tion continue de Zq, donc de 9 et pnr suite, puisque |^o| = i, l'argument 4^ de ^0 6st une fonction continue de 9, '^{9). Gette fonc- tion varie toujours dans le même sens de '^, = ^{o) à 4^2 = 4^(271); en eflet, dans le cas contraire 4^ prendrait la même valeur pour deux valeurs distinctes 9 et 9" et un même point Zq corres- pondrait à deux points Z'„ et Z'^ de (G). Pour la même raison,

nouRSAT. — m. 44

690 NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

l'arc 4*1^» n'est pas supérieur à une circonférence. Il n'est pas non plus inférieur à une circonférence, car il y aurait alors un arc de (c)qui ne serait pas parcouru par So- Or, lorsque z s'approche d'un point de cet arc, Z admet au moins un point limite Zq sur (C) et ce point, étant accessible, correspond à un point unique ^0 de (c) tel que si Z est voisin de Z„, z est voisin de a^. Donc, l'arc 4'4 4'2 couvre toute la circonférence (c); | ij/a — v};i| = 27r. Par suite, Z est, inversement, une fonction continue de z. Ainsi : Lorsqu' un domaine (D) est limité par une courbe simple de Jordan, on peut faire la représentation conforme de ce domaine sur un cercle (d) de manière qu'à un élément de contact inté- rieur à (D) corresponde un élément de contact intérieur à {d). Les contours des deux domaines se correspondent alors d*une manière univoque et continue (' ).

Soit 7,=zf[z) une fonction faisant la représeuiation conforme du cercle {d) sur un domaine (D) limité par une courbe de Jordan. M. Féjer (-) a montré que la série de Tajlor qui repré- sente /(^) dans {d) converge uniformément sur la circonfé- rence (c); si,, lorsque z est sur (c), on sépare dans cette série, la partie réelle et la partie imaginaire, on a

gi et g-i étant des séries trigonométriques uniformément conver- gentes. Donc, la courbe de Jordan

X=:G,(e), Y = G.i(b) peut être représentée par les équations

déduites des précédentes par la transformation 4/=n|/(6') cl les fonctions ^< el g-x sont développables en série de Fourier.

Par conséquent : on peut, par un changement de paramètre, remplacer les expressions des coordonnées des points d^une

(•) Ce résultat a été obtenu par M. Caralhéodory [Ueber die gegenseitige Beziehung der Bander bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jor- danschen Kurve auf einen Kieis {Math. Annalen, t. LXXIII, igiS, p. 3o5)].

C) Féjer, Comptes rendus des séances da l'Acndérnie des Sciences, t. 156, 1918, p. 46.

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 691

courbe fermée simole de Jordan par des fonctions dévelop- pahles en série de Fourier.

8. Application au problème de Dirichlet. — On a vu (t. III, n° 517) les liens étroits qui unissent le problème de la représenta- tion conforme à celui de Dirichlet. On saura résoudre ce dernier problème pour tout domaine applicable sur un cercle lorsque les contours se correspondent d'une manière univoque e* continue. Il résulte de ce qui précède que l'on peut résoudre le problème de Dirichlet pour tout domaine simplement connexe limité par une courbe de Jordan,

9. Application à l'étude des points singuliers d'une fonction analytique. — La représentation conforme permet de remplacer le domaine voisin d'un point singulier par un domaine plus simple. On peut aussi, en morcelant ce domaine en un nombre fini ou non de parties, remplacer l'élude de la fonction dans le voisinage du point singulier par l'étude d'une famille de fonctions. Nous allons appliquer cette méthode au cas d'un point singulier essentiel isolé.

Considérons d'abord une fonction entière /(2); la seule singu- larité de cette fonction est le point à l'infini qui est un point sin- gulier essentiel. Décrivons, autour de l'origine z = o, des cercles concentriques (C»), (Go), •••, (C„), ... de rayons 2, a^, ..., 2'', — Nous pouvons faire la représentation conforme de chaque

cercle (C„) sur le cercle (C,) au moyen de la fonction z' = -;^-

Les fonctions /„(«) =/(2"-' 5) prennent dans le cercle (Ci) les mêmes valeurs que la fonction /(z) dans les cercles (Cn).

La famille des fonctions fn{^) n'est pas normale dans le cercle (G|). En effet, si elle l'était, on pourrait en extraire une suite infinie

A(-Z), /n,{z\ .... /„/z), ...

convergeant uniformément dans le cercle (G„) de rayon un vers une fonction holomorphe, finie puisque /„(o)=/(o) quel que soit n. On aurait donc, quel que soit/), |/„^(2)| <M; or la fonc- tion/„ prend dans le cercle (Gq) les mêmes valeurs que la fonc- tion / dans le cercle (G. _i) et le rayon de ce cercle croît indéfini-

692 NOTE SUS LA REPRÉSENTATION CONFORME.

ment avec/? : on aurait donc \f{z) \ <C M dans tout le plan, ce qui est impossible.

Le théorème de M. Picard résulte de là. La fonction /( 2) prend dans le plan toutes les valeurs sauf une au plus. Car, s'il y avait deux valeurs exceptionnelles, la famille /n(2) serait normale.

On peut apporter à cette démonstration un complément impor- tant dû à M. Julia. Menons un diamètre de (Cq); dans l'un au moins (G'q) des demi-cercles obtenus, la famille fn{z) n'est pas normale. Partageons (C^) en deux quarts de cercle par un rajon; dans l'un au moins (Cq) des secteurs obtenus, la famille n'est pas normale. On peut continuer, en bissectant continuellement chaque secteur par un rayon. On voit que tous les secteurs (C'„), (C^), ... ont pour limite un rayon OA du cercle (Go). Dans tout secteur de ce cercle bissecté par OA, la famille n'est pas normale, donc les fonc- tions/„(z) prennent toutes les valeurs, sauf une au plus, dans tout secteur BOB' d'ouverture arbitrairement petite bissecté par OA. Prolongeons OA, OB, OB', indéfiniment suivant Om, Of, Ov'. La fonction /(z) prend dans l'angle pOv^', les mêmes valeurs que \es fn{z) dans le secteur BOB'. Donc : dans tout angle ^ si petit soit-il^ bissecté par Ou, la fonction f{z) prend toutes les valeurs sauf une au plus. On peut remplacer la droite Ou par une courbe.

Considérons maintenant une fonction F(2) admettant un point singulier essentiel isolé z„ que nous pouvons supposer à l'infini en

faisant, au besoin, le changement de variable de z en- —- La

fonction F(5) est méroraorphe à l'extérieur d'un cercle (Cq) dont nous prendrons le rayon pour unité. Je vais montrer que F(j) prend toutes les valeurs, sauf deux au plus, à l'extérieur de (Co). Gomme (Gq) est arbitrairement grand, il en résulte immédiatement que 1^(5) prend une infinité de fois toutes les valeurs, sauf deux au plus, dans le voisinage du point singulier. C'est le théorème général de M. Picard.

Supposons que F(ij) ne prenne jamais aucune des trois valeurs distinctes a, b^ c, à l'extérieur de (Cq). La transformation homo-

graphique

., . _ F(z)-a . b-a J^^>- F^zi-c • b-c

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 698

conduit à une fonction f{z) qui ne prend jamais les valeurs o, i, co,/{z) est holomorphe à l'extérieur de (Co) et ne prend ni la valeur o, ni la valeur i .

Traçons les cercles (C„) et appelons (D^) l'anneau circulaire

compris entre (C„) et (Cn-+-<)- La transformation s'= ^, déjà

utilisée, fait la représentation conforme de (D^) sur (Do). La fonction /n(c) =/( 2"^) prend dans (Dq) les mêmes valeurs que/(2) dans (D„). Les/n(^), ne prenant ni la valeur o ni la valeur i dans (Do), forment une famille normale. On peut en «xlraire une suite /„ (z) convergeant uniformément vers une fonc- tion holomorphe ou vers la constante infinie, dans toute couronne intérieure à (Do), en particulier sur le cercle (Tq), concentrique

3 . . . à (Go) et de rayon -• Si la limite est finie, les/,, (2) sont bornées

en module sur (Lq) et, par suite, sur les cercles correspon- dants (L,i), de rayons 3 x 2"~', la fonction \f{z) | est inférieure à un nombre fixe M. Il en résulte aussitôt que |/(^)| < M entre les cercles (F^) et, par suite, partout à l'extérieur de (Tp). La fonc- tion f{z) serait donc régulière à l'infini. Si la limite est infinie,

les fonctions holomorphes -j- sont bornées sur (Fq) et le même

Jn

raisonnement prouve que ^ est régulière à l'infini : ce point est

donc un point ordinaire ou un pôle de /. Dans les deux cas, l'hypothèse de l'existence de trois valeurs exceptionnelles est incompatible avec celle que le point à l'infini est essentiel. Le théorème de M. Picard est démontré.

FIN DU TOME III.

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE XXUl.

INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES. I. — ÉQUATIONS AUX VARIATIONS

457. Compléments sur les équations linéaires

458. Application à un système semi-linéaire

459. Intégrales considérées comme fonctions des valeurs initiales.,

460. Extension aux équations qui dépendent de paramètres

46t . Intégrales infiniment voisines

462. Équations aux variations

463. Théorème de M. Poincaré

P»gc«.

>y

M. — Solutions périodiques et asymptotiques. Stabilité

464. Solutions périodiques

465. Solutions stables et instables

466. Théorèmes généraux sur la stabilité

467. Application des théorèmes généraux

468. Stabilité de l'équilibre "J°

469. Application à des systèmes plus généraux 4a

470. Séries asymptotiques. Stabilité conditionnelle. • 43

Compléments et exercices ' '

CHAPITRE XXIV.

équations de monge-ampère.

Caractéristiques. Intégrales intermédiaires 4:

471 . Problème de Cauchy pour une équation du second ordre 47

472. Éléments de contact. Les multiplicités M ^•

473. Équation de Monge-Ampére. Caractéristiques

474. Propriétés des caractéristiques ^9

'i75. Intégrales intermédiaires

ne. Applications diverses. Exemples 9

- Méthode de Laplace. Classification des équations linéaires, 477. Intégrales intermédiaires d'une équation

• :3

linéaire 7^

696 TABLE DES MATIÈRES.

Pigei.

478. Transformation de Laplace 76

479. Les trois types d'équations linéaires 80

480. Ktude du problème de Cauchy dans un cas particulier 85

Exercices 88

CHAPITRE XXV.

ÉQUATIONS LINKAIKES A n VARIABLES.

I. — Classification dbs équations a n variables 89

481 . Caractéristiques des équations à n variables 89

482. Propagation par ondes gS

483. Généralités sur les équations complètement linéaires 96

II. — Applications a quelques exemples 99

484. Équation du son 99

485. Ondes cylindriques io4

486. Propagation de la chaleur dans un milieu indéfini 107

487. Problème de l'armille 109

488. Refroidissement de la sphère m

Compléments et exercices 1 13

CHAPITRE XXVI.

ÉQUATIONS linéaires DU TYPE HYPERBOLIQUE.

Étude de quelques problèmes relatifs a l'équation s = /{x, y) i r4

489. Détermination d'une intégrale par les données de Cauchy ii4

490. Problèmes mixtes mj

491. Détermination d'une intégrale par ses valeurs le long de deux

courbes 1 aS

492. Mouvement rectiligne d'un gaz i25

493. Cordes vibrantes i3o

- Approximations successives. Méthode de Riemann i33

494. Détermination d'une intégrale par ses valeurs le long de deux

caractéristiques i33

495. La fonction de Riemann iS-j

496. Première solution du problème de Cauchy i4i

497. Équation adjointe t^6

498. Méthode de Riemann i47

499. Équations à coefficients constants iSa

500. Autres problèmes i55

TABLE DES MATIÈRES. 697

Pages.

Équations a plus de deux variables i58

501. Formule fondamentale iSg

502. Méthode de Volterra 161

Compléments et exercices 1 66

CHAPITRE XXVIl.

équations unéaires du type elliptique.

— Fonctions harmoniques. Intégrale de Poisson 168

503. Propriétés générales 168

504. Intégrales uniformément convergentes 174

505. Potentiel logarithmique 176

506. .Seconde formule de Green 179

507. Application aux fonctions harmoniques 181

508. Intégrale de Poisson 182

509. Relations avec la série de Fourier 187

510. Théorème de Harnack 189

511. Prolongement analytique d'une fonction harmonique lya

— Problême de Dirichlbt. Fonction de Green 196

512. Démonstration de Riemann 196

513. Méthode de C. Neumann 199

514. Généralisation du problème 20 1

515. Méthode alternée de Schwarz : 207

516. Problème extérieur 211

517. Représentation conforme 2i3

518. Fonction de Green 217

519. Propriétés de la fonction de Green 221

— Équation générale du type elliptique 224

520. Extension du problème de Dirichlet 224

521 . Étude de l'équation A u — f{x, y) 226

522. Méthode de M. Picard 229

523. Fonction de Green pour l'équation générale du type elliptique. 280

524 . Problèmes mixtes elliptiques. 234

Compléments et exercices 236

CHAPITRE XXVIII.

FONCTIONS HARMONIQUES DE TROIS VARIABLES.

PHOBLÉ.ME DE DiRICHLET DANS l'eSPACE 2!\i

525. Propriétés générales 242

526. Potentiel newtonien de simple couche 2'|4

698 TABLE DES MATIÈRES.

Pag 09.

527. Potentiel «le double coucbe a48

528. Seconde formule de Green 25i

529. Problème intérieur et problème extérieur 253

530. Solution du problème pour la sphère a58

531 . Les fonctions de Laplace a6o

532. Propriétés des fonctions Y„ a64

533. Méthode de C. Neumann a66

534 . Fonction de Green 270

II. — POTBNTIBL .VBWTONIEN 2^3

535. Potentiel de volume 278

536 . Formule de Poisson 277

537. Formule de Gauss 280

538. Dérivées normales d'un potentiel de simple couche. 281

539. Potentiel nev\ tonien de double couche 284

Compléments et exercices 285

CHAPITRE XXIX.

ÉQUATION DE l,A CHALEUR.

540 . Généralités. Intégrales particulières 287

541 . Intégrales analytiques 290

542. Solution fondamentale 294

543 . Formule de Poisson 296

544 . Intégrales analogues au potentiel 3o2

545. Extension des formules de Green. Applications 3o8

5if). Propriétés des intégrales 3i3

547. Problèmes aux limites 3i6

Compléments et exercices 32o

CHAPITRE XXX.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES PAR APPROXIMATIONS SUCCESSIVES.

I. — KQUATIONS INTÉORALES I.INé:.\.IBKS A LIMITES VARIABLES 323

548. liquation de Volterra 324

549. Noyau résolvant 326

550. Détermination de quelques noyaux résolvants 329

551 . Application aux équations différentielles linéaires 33o

552. extension aux fonctions de plusieurs variables 332

553. Inversion des intégrales définies 335

554. Équation de première espèce 336

555. Équation d'Abel généralisée 339

TABLE DES MATIÈRES. 699

Pagei.

Il: — ItiQUATIOIfS INTÉGRALES LINÉAIRES A LIMITES FIXES 342

556. Hypothèses sur le noyau 342

557. Résolution par approximations successives 344

558. Noyaux itérés 346

559. Noyau résolvant 348

560. Propriétés des noyaux résolvants 35a

561 . Noyaux non bornés 355

562. Systèmes d'équations intégrales SSg

563. Extension aux fonctions de plusieurs variables 36o

Compléments et exercices 364

CHAPITRE XXXI.

l'équation de fredholm.

I. — Les théorèmes de Fredholm 368

564. Aperçu d'une méthode d'induction 368

565. Les fonctions D ()>) et D ( ^ 1 X j %

566. Développement de D'(X) : D{X) 374

567. Les mineurs de D(>k) 375

568. Équation homogène. Fonctions fondamentales 377

569. Étude du cas exceptionnel >8o

570. Extension à des noyaux non bornés 38a

571 . Étude des noyaux EX; Y. 386

572. Autre méthode d'induction 389

IL — Étude du noyau résolvant 391

573. Systèmes orthogonaux et biorthogonaux 391

574. Noyaux orthogonaux et semi-orthogonaux 394

575. Application aux fonctions fondamentales 397

576. Noyaux principaux (02

577. Structure d'un noyau principal 4^5

578. Réduction à une forme canonique '|o8

579. Résolvante canonique \\i

580. Fonctions principales 4'3

581 . Théorèmes de Fredholm \i>^

582. Recherche des valeurs singulières Î20

583. Méthode de Schwarz 424

584. Genre de D(X) ',25

585. Développement du noyau résolvant 428

586. Noyaux singuliers 4^3

Compléments et exercices 4^5

700 TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITHE XXXII.

LES FONCTIONS FONDAMENTALES.

PMM'

587. Noyaux symétriques 439

588. Inégalité de Bessel 444

589. Théorème de Hilbert-Schmidt 446

590. Classification des noyaux symétriques 449

591 . Développement des noyaux itérés 452

592. Noyaux positifs 454

593. Noyaux de Schmidt 457

594. Extension de l'inégalité de Bessel aux systèmes biorthogonaux. 46»

595. Noyaux de ia forme A.(x) S(x, y) 464

596 . Noyaux symétrisables 4^6

597. Noyaux symétriques gauches 4^8

598. Fonctions fondamentales de Schmidt 47°

599. Théorème de Fischer-Riesz 47$

600. Équation intégrale de première espèce 4/8

601 . Approximation en moyenne 480

Compléments et exercices [fii

CHAPITRE XXXIII.

APPLICATIONS DES ÉQUATIONS INTÉGRALES.

I. — Applications aux équations différentielles 487

602. Sur quelques propriétés des équations linéaires 487

603. Nouveaux problèmes sur les équations linéaires 49a

604. Détermination d'une intégrale par ses valeurs ^^(a) Gly{b).. 49^

605 . Étude des valeurs singulières 497

606. Refroidissement d'une barre hétérogène 499

607. Examen d'un cas singulier Soa

608. Solutions périodiques 5o5

II. — Applications aux équations aux dérivées partielles 507

609. Problèmes relatifs aux fonctions harmoniques 607

610. Remarques diverses 5i4

61 1 . Problèmes dans le plan 5i6

612. Problème de la chaleur 5i8

613. Fonctions analogues à la fonction de Green Sig

614. Problèmes relatifs à l'équation AU = F (a:, ^X) ^) 5a4

615. Problèmes relatifs à l'équation AU = À RU -H R, 5a5

616. Vibration des membranes élastiques 53o

617. Problème du refroidissement 53i

618. Équation générale du type elliptique 535

Compléments et exercices 537

TABLE DES MATIÈRES. 7OI

CHAPITRE XXXIV.

CALCDL DES VARIATIONS.

Page'!.

I. — Première variation. Exthémales 545

619. Lemmes prélimÏDaires 545

620. Définitions. Objet du premier problème 547

621. Première variation. Équation d'Euler 55i

622 . Exemples 555

623. Cas de plusieurs fonctions inconnues 559

624. Cas où F renferme des dérivées d'ordre supérieur 662

625. Expression générale de la première variation 564

626. Application au cas des extrémités variables. Transversales.... 568

627. Problèmes d'extremum lié 572

628. Problèmes isopérimétriques ô~5

629. Première variation d'une intégrale double 377

II. — Seconde variation. Conditions nécessaires pour l'extremum 579

630. Remarque préliminaire 579

631 . Condition de Legendre 582

632. Condition de Jacobi 583

633. Interprétation géométrique. Foyers conjugués 588

634. Exemples 590

635. Insuffisance des conditions précédentes 592

636. Condition de Weierstrass. La fonction E bg5

637 . Tliéorie de Clebscl. 600

III. — Champs d'extrémales. Conditions suffisantes 6o5

(538. Définition d'un champ de courbes extrémales Go5

639. Théorème de Weicrstrass 609

640. Conditions suffisantes 610

641. Minimum fort et mimum faible 612

642. Interprétation de la mélliode de Wc-ierstrass 617

643. Kquation des familles de transversales 619

644. Cas de deux familles inconnues Cao

n'. — Théorie de Weierstrass. Solutions discontinues 620

645 . Forme paramétrique d'une intégrale 623

646. Nouveau problème 627

647. Forme générale de l'équation d'Euler 629

648. Conditions de Legendre et de Jacobi 632

649. Condition de ^Veierstrass 635

650. Système de conditions suffisantes 638

651 . l'xemples. Lignes géodésiques 643

6.32. Méthode de Darboux-Kneser 6.'j4

653. Solutions discontinues 647

654. Variations unilatérales 65o

655. Remarques sur l'extremum absolu 653

Compléments et exercices 655

702 TABLE DES MATlèRES.

NOTE SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME.

Pages.

1. Représentation conforme. Domaines 66i

2. Détermination de la représentation conforme 664

3. Suite infinie de fonctions bornées. Familles normales 663

4. Représentation conforme d'un domaine borné 678

5. Théorème fondamental sur les familles normales 677

6. Représentation conforme d'un domaine quelconque 68a

7. Correspondance entre les points des contours 683

8. Application au problème de Dirichlet 691

9. Application à l'étude des points singuliers d'une fonction analjrtique. . . 691

FIN DE LA TABLB DES MATIÊKES DU TOME III.

JOSEPH FLOCH MAITRE-IMPRIMEUR

MAYENNE

d'Éditeur: 677 — n" d'imprimeur : 1051 dépôt légal : 2* trimestre 1956

1917 4

^^ Goursat, Edouard Jean

303 Baptiste

^^^ Cours d'analyse mathéma-

1917 tique

t. 3 PkA ScL

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