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COURS

DE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET INTÉGRAL

L'Auteur et l'Éditeur de cet Ouvrage se réservent le droit de le tra- duire ou de le faire traduire en toutes langues. Ils poursuivront, en vertu des Lois, Décrets et Traités internationaux, toutes contrefaçons, soit du texte, soit des gravures, ou toutes traductions faites au mépris de leurs droits.

Le dép(M léfial de cet Ouvrage a été fait à Paris, et toutes les for- malités jircscrites par les Traités sont remplies dans les divers Etats avec lesquels la France a conclu des conventions littéraires.

Tout Exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas, comme ci-dessous, la griffe de l'Éditeur, sera réputé contrefait. Les mesures nécessaires seront prises pour atteindre, conformément à la loi, les fabricants et les débitants de ces exemplaires.

PAKIS. — IMPRIMERIE DE GAUTIl 1ER- V ILLA RS,

lOBto C»ual <lo» Augusliiis, 6S.

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COURS

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET INTÉGRAL,

Par J.-A. SERRET,

MEiMBRE DE l'INSTITUT ET DU BUREAU DES LONGITUDES.

TROISIÈME ÉDITION.

TOME PREMIER.

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

PARIS,

G AUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DE l'École polytechnique, du bureau des longitudes,

SUCCESSEUR DE IMALLET-BACHELIER,

Quai des Augustins, 55.

1886

(Tous droits réservés )

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AVERTISSEMENT.

J'ai reproduit dans cet Ouvrage la substance des leçons que je professe chaque année à la Sorbonne, depuis que j'occupe la chaire de Calcul différentiel et intégral de la Faculté des Sciences de Paris. Je n'ai pas cru toutefois devoir me renfermer, d'une manière absolue, dans les limites de mon enseigne- ment oral, et j'ai donné aux diverses théories que j'avais à exposer tout le développement que j'ai jugé utile.

Les règles du Calcul différentiel et les applica- tions de ce Calcul à la Géométrie font l'objet du tome I"; le tome II traite du Calcul intégral.

TABLE DES MATIERES

DU TOME PREMIER.

Pages Avertissement , , , v

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

CHAPITRE PREMIER.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES.

Des fonctions i

Des limites 3

Des infiniment petits et des infiniment grands !\

Divers ordres d'infiniment petits 5

De la méthode infinitésimale 7

CHAPITRE II.

DIFFÉRENTlAïiON DES FONCTIONS d'unE VARIABLE INDÉPENDANTE.

De la continuité 1 5

Des dérivées 1 5

Des différentielles 25

Théorème relatif aux fonctions de fonctions 28

Objet du Calcul différentiel. — Différentiation des fonctions algé- briques explicites 29

Application des règles précédentes 35

Application à quelques problèmes simples 37

Théorème relatif à la différentiation des fonctions composées de

plusieurs fonctions d'une variable indépendante 4'

VIII TABLE DES MATIEIIES.

Pages

Conséquence du théorème précédent 4^

Diiïi-rentiation des lfif[aritlinies et des exponentielles 46

DilTérciiliation des foiutions circulaires 56

DlIVcrentiation des fonctions implicites 62

De l'élimination des constantes arbitraires 65

CHAPITRE III.

DIFFÉRENTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS DES FONCTIONS d'uNE SEULE VARIABLE. — DÉRIVÉES PARTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

Des dérivées des divers ordres 69

Des diiïérentielles des divers ordres (19

Des différences des divers ordres 72

Dérivées partielles, différentielles partielles et différences partielles des divers ordres d'une l'onction de plusieurs variables indépen- dantes 75

Calcul des différentielles des divers ordres d'une fonction composée

de plusieurs fonctions 81

Cas d'un produit de plusieurs Ibnclions 84

Différentielles des divers ordres des fonctions implicites 87

Sur l'élimination des arbitraires 89

Du changement de la variable indépendante 91

Du changement de toutes les variables y3

CHAPITRE IV.

DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES DES DIVERS ORDRES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

De la difïércntielle totale du jiremior ordre d'une fonction de plu- sieurs variables indépendantes 98

Tliéorème relatif ;» la dinérenlialion d'une fonction composée de

fonctions de i)lusieurs variables indépendantes 99

Différentielles totales des ordre» supérieurs des l'ondions de plu- sieurs variables indépendantes un

Calcul des différentielles totales des divers ordres des fonctions

implicites de plusieurs variables indépendantes io3

De l'élimination des fonctions arbitraires loG

Du changement des variables indéix'mianles 1 ili

Du cliaîrjemenl de toutes les variables I a6

Truubl'ui nialiun de Legeudre 1 39

TABLE DES MATIERES. IX

CHAPITRE V.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES.

Pafres

Notions préliminaires sur les séries i32

Expression de la valeur que prend, pour a; = X(,4-^, une fonction qui s'annule, avec ses n — i premières dérivées, pour j; = x„. . . !5o

Formule de Taylor 1 52

Remarques sur la formule de Taylor i56

Formule de Maclaurin 1 58

Développement de la fonction e* en série ordonnée suivant les

puissances entières de ^ i6o

Développement des fonctions cosx et sinx en séries ordonnées sui- vant les puissances entières de x 1G2

Développement de la fonction log(i-)-x) en série ordonnée suivant

les puissances de x iG4

Formules relatives au calcul des logarithmes 166

Formule du hinôme 171

Développement de la fonction f{x -+■ h) en série ordonnée suivant les puissances de h, dans les cas où la formule de Taylor n'a pas

lieu 176

Détermination de la limite Aers laquelle tend le rapport de deux

fonctions qui tendent l'une et l'autre vers zéro ou vers l'infini. . 180 Pieprésentation des fonctions e' et log jr par des limites des fonctions

algébriques 189

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de

plusieurs variables igi

Théorème relatif aux fonctions homogènes 196

CHAPITRE VI.

THÉORIE DES MAXIMA ET DES BIINiMA.

Des maxima et des minima des fonctions d'une seule variable.. . . 198

Application à quelques exemples 201

Remarque sur les maxima et les minima relatifs 209

Cas des fonctions implicites d'une seule variable indépendante. . . 2n Des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variables

indépendantes ^ 216

Application à quelques exemples 223

Cas où les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables

cessent d'être déterminées quand on donne aux variables les

valeurs qui répondent au maximum ou au minimum noi

Cas des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes. 236 Remarque sur le cas d'une fonction explicite de plusieurs variables

liées par des équations données 237

X TABLr. DES M.VTlEnrS.

CHAPITRE VII.

TlIÉOniE DES COLUUES PLANES.

Pages De la tangente cl de la normale aux courbes planes. — Limite des

taiigenles j^'

Ordre du contact d'une courbe avec sa tangente. — Points d'in-

IKxion. — Concavité et convexité 2^6

Lmiiloi des coordonnées homogènes 2j3

Recherche des points d'iiidexion des courbes 25G

Des ]ioints singuliers des courbes planes aCo

Caractère analyli(iuc des points singuliers 2G8

Recherche de la nature des points singuliers 271

Dillérentiellc de l'aire d'une courbe plane 281

Dillérenlielle de la longueur d'un arc de courbe plane 283

Du rayon de courbure et du centre do courbure en un point d'une

courbe plane 287

Des développées et des développantes des courbes planes 296

Formules relatives au système des coordonnées polaires 299

Des courbes enveloppes 3o6

Contacts des divers ordres des courbes planes 3i2

Des courbes osculatrices 3 16

Du cercle osculateur 32 1

CHAPITRE Mil.

APPLICATIONS DE LA TllÉOlUE DES COURBES PLANES.

Aire des sections coniques 323

De la différentielle d'un arc de section conique 3aG

Rayon de courbure des sections coniques 332

Développées des sections coniques 335

De la cycloïde 3^o

Des épicycloïdes 3.'|8

De la développante du cercle 356

De la spirale d'Archimèdc et de la spirale hyperbolique 358

De la bpirale logarithmique 36o

A]iplicationb de la théorie des envelo])pes 36 J

CHAPITRE 1\.

TUÉOUIE DES COUHBES C.AL'CIIES ET DES SLIIFACES COURBES.

De la tangente et du plan normal d'une courbe tjuelcontpie 367

Du plan langent el do lu nurniule à une surl'ucu courbe 3*10

TABLE DES MATIERES. v XI

Pages

Emploi des coordonnées homogènes SyS

Différentielle de la longueur d'un arc de courbe quelconque 3-jb

Expressions des cosinus des angles que fait la tangente d'une courbe

avec les directions de trois axes rectangulaires 38o

Du rayon de courbure en un point d'une courbe quelconque. . . • 38i

De la normale principale en un point d'une courbe gauche 3S5

Du centre de courbure en un point d'une courbe gauche 3S6

Expressions des cosinus des angles qui déterminent la direction de

l'axe du cercle de courbure ^89

Expression de la différence entre un arc de courbe et sa corde. . . 3qi De l'ordre du contact d'une courbe et d'une surface. — Des sur- faces osculatrices en un point d'une courbe donnée 3q^

Du plan osculateur en un point d'une courbe donnée 896

De la torsion ou seconde courbure des courbes gauclies 401

Résumé et complément des formules principales relatives à la

théorie des courbes gauches 4°^

De la sphère osculatrice en un point d'une courbe donnée /l^O

Expression des coordonnées du centre et du rayon de la sphère

osculatrice en un point d'une courbe 4'^

Des surfaces enveloppes 4 ■ 8

Des surfaces développables 422

De la surface polaire. — Lieu des centres des sphères osculatrices

aux divers points d'une courbe donnée 425

Théorie générale des développées et des développantes 4^2

Application des théories précédentes à l'hélice 4'12

De l'ordre du contact de deux courbes quelconques. — Des courbes

osculatrices 4'|8

Du cercle osculateur en un point d'une courbe gauche. — Son

identité avec le cercle de courbure l{3i

Du contact des surfaces courbes 4^'

CHAPITRE X.

DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES COURBES. — ÉTUDE DE DIVERSES CLASSES DE SURFACES.

Expression du rayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface donnée. — Théorème de Meunier /{55

Comparaison des rayons de courbure des sections normales en un point d'une surface. — Des sections principales 4^8

Autre manière de présenter les résultats qui précèdent. — De l'in- dicatrice 4^4

Cas où la théorie précédente est eu défaut 4}*^

Xn TABLE DES MATILIIES.

De l'ciivoloppi' clos plans tangents à une surface aux divers points

d'une courbe donnce. — Des tanj^enlcs conjuguées .'(72

Expressions gciiiTales des rayons de courbure principaux, en un

point quelconque d'une surface. — Détcrniinati(.>n des ombilics. /(''(

Di'leriuination des ombilics de l'ellipsoïde -178

Des lignes de courbure d'une surface 4/9

Propriétés relatives aux lijnes de courbure 4'^'l

De la surface dont tous les points sont des ombilics 49'

Des systèmes triples de surfaces orthogonales. ... 'jqS

Théorème de Dupia sur les surfaces orthogonales joi

Des systèmes triples de surfaces orthogonales du deuxième degré. 5o3

Des lignes de courbure de l'ellipsoïde 607

Des lignes de niveau et des lignes de plus grande pente 5 14

Des surfaces réglées; leur distinction en surfaces développables et

en surfaces gauches 617

Des surfaces cylindriques. — Lquatiou aux dérivées partielles de

CCS surfaces 523

Des surfaces coniques. — Équation aux dérivées partielles de ces

surfaces 525

Des surfaces conoides. — Lquatiou aux dérivées partielles de ces

surfaces 627

Des surfaces de révolution. — Équation aux dérivées partielles de

ces surfaces ôlg

De l'équation aux dérivées partielles des surfaces dcveloppables. . 53 1

Des surfaces des canaux 535

De l'équation aux dérivées partielles des surfaces réglées 337

CIIAPIÏKE XL

DES FONCTIONS DE VARIABLES LMAGINAIUES.

Iilanière de repnsenter h's variables imaginaires. — Di's fiinrliiins algébriques 54o

Des séries dont les termes sont imaginaires .)44

Deliiiition tle la fonction ex|U)neiitielle, <Ians le cas d'une variable imaginaire 5Jo

Deliiiition des foiietions circulaires directes, dans le cas d'une va- riabU? imaginaire 553

UebitioiiH entre les f.inctions exponentielles et les fonctions circu- laires 554

De lu fonction logurilhmii|ue et des fonctions circulaires inverses, dans lu cas d'une variable imaginaire 558

De la continuité 5Ga

Dcrivuc et dilïereiitiello d'une foncliou d'une vunable iiuagiiiuirc. 5C()

TABLE DES MATIERES. XIII

Pages

Démonstration d'un théorème de Cauchy 670

Formule de Maclaurin 079

Formule de Lagrange 583

Applications de la formide de Lagrange 588

CHAPITRE XII.

DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES.

Théorèmes relatifs à la décomposition des fractions rationnelles.. 592

Cas d'une fraction rationnelle dont le dénominateur n'a que des facteurs simples 598

Méthodes pour effectuer la décomposition d'une fraction ration- nelle, dans le cas général 600

Forme nouvelle de l'expression d'une fonction rationnelle décom- posée en fractions simples 6o5

Mode particulier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imagi- naires 610

Détermination d'une fonction entière par le moyen des valeurs qui répondent à des valeurs données de la variable 6i6

FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME PUEMlElt.

COURS

DE

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ET INTÉGRAL,

CALCUL DIFFÉRENTIEL,

CHAPITRE PREMIER.

NOTIONS PRÉLLMINAIRES.

Des fonctions.

1. Parmi les quantités qui interviennent dans une recherche mathématique, il y a lieu de distinguer celles dont la valeur est déterminée et celles qui sont suscep- tibles de prendre plusieurs valeurs différentes. Les pre- mières sont désignées sous le nom de constantes, les autres sont dites des vendables.

Dans toute question où il y a lieu de considérer plu- sieurs variables, on peut attribuer à quelques-unes de ces variables des valeurs arbitraires, et alors les autres va- riables prennent des valeurs déterminées. Les premières sont nommées variables indépendantes, les autres sont

S. - Cale. diff. I

3 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

dites l'an'ahles dépendantes on fonctions des variables indépendantes.

Ainsi la considération du cercle conduit à trois quan- tités : le rayon, la circonférence et la surface. Si l'on attri- bue à Tune d'elles diverses valeurs arbitraires, les deux autres prennent des valeurs correspondantes déterminées, £t en conséquence elles sont des fonctions de la première quantité, qui est ici la variable indépendante.

Dans un cylindre, il y a lieu de considérer quatre quantités : le rayon, la hauteur, la surface et le volume. On peut attribuer à deux d'entre elles des valeurs arbi- traires; les deux autres prennent alors des valeurs déter- minées : elles sont donc fonctions de deux variables indé- pendantes.

2. Les fonctions que nous considérerons seront en gé- néral définies analjtiquement, c'est-à-dire par le moyen des relations ou équations qui existent entre elles et les variables indépendantes.

Une fonction est dite algébrique lorsque l'équation par laquelle elle est liée aux variables indépendantes peut être formée en n'exécutant sur les variables que les seules opéi'ations de l'Algèbre : i° l'addition et la sous- traction; 2" la multiplication; 3" la division; 4" l'élé- vation à des puissances entières; 5° l'extraction des ra- cines d'indices entiers. Dans le cas contraire, la fonction est transcendante.

Lorsque l'équation qui lie une fonction aux variables indépendantes est résolue par rapport à la fonction, celle-ci est dite une fonction explicite. Dans le cas con- traire, la fonction est implicite. On voit que les fonctions cx[)Iicites sont celles dont la valeur peut être obtenue en ex(''(;utant sur les variables et sur dc^s constantes une ou plusieurs opérations bien délinics.

CHAPITRE î =

3

Les fonctions algébriques explicites sont rationnelles lorsque dans leur expression ne figure aucun radical affectant une quantité variable ; elles sont irrationnelles dans le cas contraire. Les fonctions rationnelles se subdi- visent elles-mêmes en fonctions entières e\, en fonctions fractionnaires. Une fonction entière n'est autre chose qu'un polynôme ; une fonction fractionnaire est le quo- tient de deux polynômes.

Le plus souvent nous désignerons les fonctions par de simples lettres, de même que les variables indépendantes. Toutefois, quand il y aura lieu de mettre celles-ci en évi- dence, nous emploierons les signes habituels F,/, o, ..., après lesquels figureront, entre deux parenthèses, les diverses variables indépendantes. Ainsi F(a-), f{x), cj)(x), . .. désigneront des fonctions de la variable x] F[x,j),f{x,y), ... désigneront de même des fonctions des deux variables x, y.

Des limites.

3. Lorsque les valeurs successives d'une variable x se rapprochent de plus en plus de la valeur d'une con- stante a, de manière que la valeur absolue de la diffé- rence X — a puisse devenir et demeurer constamment inférieure à une quantité donnée quelconque, on dit que la variable x a pour limite la constante a.

Il faut remarquer que la variable peut être inférieuvr ou supérieure à sa limite; il peut miême arriver qu'elle soittantôt plus petite, tantôt plus grande que cette limite. Le lecteur est déj à familiarisé avec cette notion des limites par l'étude de la Géométrie et de la Trigonométrie. On sait, par exemple, que la surface du cercle est la limite vers laquelle tend la surface d'un polygone régulier in- scrit ou circonscrit, lorsque le nombre des côtés de ce

4 CALCtL niFFÉRENTIEL.

polygone augmente indéfiniment. On a vu aussi, dans la

n, • , • I sin.r tan;,'.r Ingonometric, que les rapports ■> — - — ont pour

limite l'unité lorsque l'arc x décroît indéfiniment.

Je rappellerai encore le principe de la méthode des limites, dont on fait un si grand usage dans les Mathé- matiques; ce principe peut être énoncé comme il suit ;

Si deux quantités variables l'estcjit coTïsianiment égales entre elles dans tous les étals de grandeur par lesquels elles passent, et si l'une d'entre elles tend vers une limite, l'autre tend vers la même limite ou vers une limite égale.

L'évidence de cette proposition est telle, que tout dé- veloppement serait superlhi; son importance est d'ail- leurs révélée par les nombreuses applications qu'on en a faites dans la Géométrie.

Des infiniment petits et des infiniment grands,

4. Lorsqu'une quantité variable tend vers la limite z<5ro, on dit qu'elle devient infinimejit petite; on la nomme alors un infiniment petit.

Lorsqu'une variable croît indéfiniment, de manière à pouvoir devenir et à rester constamment supérieure à une quantité quelconque donnée, on dit qu'elle devient infiniment grande, ou simplement infinie.

Ces locutions à' infiniment petit cl d'infniment grand n'ont donc pas d'autre objet que l'abréviation du langage. Ainsi, au lieu de dire que sino: tend vers la limilc zéro, et que cotx croît au d» là de loulc liniile (piand x Icnd vers zéro, nous dirons (pie, x étant un inliniment petit, s'xnx est lui-même un infiniment petit et cotx un iulini- nicul grand.

CHAPITRÉ T. O

Divers ordres d' injlnùnent petits,

5. Les infiniment petits étant des quantités essentiel- lement variables, il y a lieu de leur appliquer ce que nous avons dit plus haut des variables en général, que nous avons distinguées en variables indépendantes et en va- riables dépendantes. Mais tous les cas se ramènent tou- jours à celui où les infiniment petits que l'on a à consi- dérer dépendent de l'un d'entre eux; ce cas est le seul qu'il y ait lieu d'examiner ici.

Parmi les infiniment petits qui interviennent dans une recherche analytique, on en choisit un arbitraire- ment, auquel on donne le nom à'' infiniment petit prin- cipal et auquel on compare les autres infiniment petits, comme nous allons l'indiquer.

Soient a l'infiniment petit principal, o un deuxième infiniment petit : on aura, par la nature de ces quantités,

lima ::::^ o, limê=^o. Cela posé, si le rapport- tend

vers une limite finie k différente de zéro, de manière que l'on ait

a

£ étant un infiniment petit, nous dirons que 6 est un in- fmimenl petit du premier ordre. La formule précédente donne

et elle fournit ainsi l'expression générale des infiniment petits du premier ordre.

Si le rapport - est un infiniment petit du premier

erdi^e, nous dirons que ê est un infiniment petit du deuxième ordre . Dans cette hypothèse on a, par ce qui

6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

précède,

- =^ «(/• -1- s)

ou

r(/-

formule qui donne l'expression générale des infiniment petits du deuxième ordre; k y désigne une quantité finie et déterminée différente de zéro ; e est un infiniment petit.

En général, 6 sera dit un infiniment petit du n"""'' ordre

si le rapport - est un infiniment petit d'ordre n — i.

Et si l'on admet que

soit l'expression générale des infiniment petits d'ordre n — I , on aura

e

= «"-'(/• + cl

ou

c"(/^+s),

d'où l'on conclut que cette formule contient l'expression générale des infiniment petits du «""'"'^ ordre, quel que soit l'entier //, A désignant, nous devons le répéter, une quantité finie et déterminée différente de zéro, ete étant un infiniment petit. Le produit Aa" est le terme prin- cipal de l'infiniment petit d'ordre 7i représenté par S.

D'après ce qui précède, on peut dire aussi que l'ordre infinitésimal d'un infiniment petit o est l'exposant n de la puissance à lafjticllc il faut élever l'infiniment petit

principal a pour obtenir un rapport - - dont la limite soit

une (piantilé finie et déterminée différente de zéro. Notre définition, ainsi transformée, embrasse le cas où // no

CHAPITRE 1. 7

serait pas un nombre entier, ce qui peut offrir quelque avantage. Certaines questions conduisent effectivement à considérer des infiniment petits dont l'ordre est exprimé par un nombre fractionnaire.

La Géométrie nous fournit des exemples nombreux d'infiniment petits de différents ordres; mais, comme cette matière sera traitée à fond dans les Chapitres suivants, nous nous bornerons ici à une simple indication. L'arc de cercle x étant choisi pour infiniment petit principal, on reconnaît immédiatement que sinx et tangj^ sont des infiniment petits du premier ordre ; i — cosx est un infiniment petit du deuxième ordre; enfin x — sinx est un infiniment petit du troisième ordre.

De la méthode injïjiitésimale.

6. On peut employer à deux points de vue très-diffé- rents les quantités infiniment petites dans le calcul des grandeurs déterminées.

Le premier point de vue, qui a échappé aux anciens géo- mètres, consiste à regarder la quantité que l'on cherche comme la limite du rapport de deux infiniment petits. C'est ainsi que l'on procède dans le problème qui a pour objet la recherche des tangentes aux courbes. Effective- ment, la courbe MM' étant rapportée à deux axes de

coordonnées rectilignes, si l'on veut connaître la tangente au point M dont les coordonnées sontoretj , on joindra le

8 CALCUL DIFFI%ltr..\'l lEL.

point M à un autre point M'dc la courbe a^ant pour coor- données x -I- a,-) -'- o ; le cocflicient d'inclinaison de la

(p sécante MM' sera -• et les quantités a, S étant regardées

comme infiniment petites, le coefficient d'inclinaison c de la tangente demandée aura pour valeur

.. 5

Ainsi, dans ce problème, la quantité à déterminer se présente comme limite du rapport des accroissements in- finiment petits simultanés de l'ordonnée et de l'abscisse du point de contact.

7. Le second point de vue est celui où les anciens se sont placés, et le procédé qui en résulte pour l'éva- luation des grandeurs déterminées a été particulièrement développé par Archimède, 11 consiste à concevoir les grandeurs décomposées en parties égales ou inégales et à supposer que, le nombre de ces parties augmentant sans limite, chacune d'elles tende vers zéro; en employant le langage de la doctrine infinitésimale, cela revient à dire que chaque grandeur peut être décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites. Ces par- ties infiniment petites étant de même nature que la gran- deur totale, il semble que leur évaluation doit offrir les mêmes difficultés; mais on verra bientôt comment la dé- composition dont il s'agit fournit le moyen de remplir l'objet qu'on se propose.

En résumé, toute quantité infiniment petite qu'on a à considérer est destinée à figurer comme terme d'un rapport ou comme élément d'une somme composée d'un nombre irifini de piulies.

La méthode infinitésimale est contenue dans les deux priricipes suivants :

CIlAriTRE 1. 9

8. Premier principe. — La limite du rapport de deux infiniment petits nest pas changée quand on les rem- place par d'autres infiniment petits dont les rapports ai^ec eux ont respectivement pour limite V unité.

En effet, soient a et ê les infiniment petits proposés ; a', 6' deux autres infiniment petits tels, que l'on ait

e' g"

lim - -- I , lim ;jr =ir ï ,

eu, ce qui revient au même,

«' e'

a 6

e et V7 étant des infiniment petits. On tire des formules précédentes

«' z= a ( I -I- 3 ! , S' r^: 'j ( î -'r- ti ) ;

d'où

k' « I -1- s

r ~ e V^o '

Comme la limite du rapport — — est évidemment égale

^ ^ 1 -i- -•'}

à l'unité, on a

lim — = !im -■>

6 S

ce qui démontre le principe énoncé.

Lorsque la limite du rapport de deux infiniment petits est égale à i, la différence de ces infiniment petits est infiniment petite par rapport à chacun d'eux ; car, si l'on a

lim — ::= ï OU — =: t H- ;, « «

c étant un infiniment petit, on en conclut

H-ï'

lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

etréciproquementl'uneourautredes égalités précédentes a pour conséquence lim — = i . Il résulte de là que notre premier principe peut encore être énoncé comme il suit:

La limite du rapport de deux infiniment petits n'est pas changée quand on augmente ou (juon diminue chacun d'eux d^une quantité infiniment petite par rap- port à lui.

Exemple. — Si l'arc x est infiniment petit et que m et n soient des constantes, les quantités sinmjr et sin nx seront infiniment petites. D'ailleurs leurs rapports aux arcs mx, /ix ont pour limite l'unité; donc on a

,. sin m.r m.z m

lim -: = lim • — = — <

sin«.r «.r n

9. Deuxième principe. — Soient

des injîniment petits positifs dont le nombre m croît indéfiniment. Si la somme de ces infiniment petits est égale à une quantité déterminée S, ou sij cette somme étant variable, elle tend vers la limite S, et que

désignent des infiniment petits, la somme

a, e, -h «2 £•> + ... -1- «,„ ï„, tendra vers la linzU.^. zéro ou sera iîijiniment petite.

En effet, désignons par e celui des infiniment petits e,, foj • • •» ^m ^V^^ ^ 1^ \i\ns grande valeur absolue; la somme «( e, -h «2 '2 ^- • • • H- «m £/« aura une valeur ab- solue moindre que («1 -t-aj-H- • • + o^/mI^- Or ce produit est infiniment petit, car le premier facteur a une limite

CHAPITRE lo II

finie, tandis que le facteur e est infiniment petit; donc la somme

«1 Si -;- «2 £2 -- • • • -''- <^-m ^iii

est elle-même infiniment petite.

Corollaire. — La limite de In somme d'un nomhre infiniment grand de quantités positives infiniment pe- tites n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres dont les rapports avec elles ont respective- ment pour limite l'unité.

Soient

les infiniment petits proposés,

61, êj» • • ••> ^m

d'autres infiniment petits dont les rapports aux premiers respectivement aient pour limite l'unité. On aura

— = I -f- Sj, — = I -4- £„, • • • 5 — — î -I- «.'.lî 011

61 = «, -!- a, s,, §2 = «2 "'^ «- £21 • • ■ ^ ^z.-' ^^ ""t "'^ "^"î -'"' or, d'après notre principe, si l'on a

lim ( «1 -1- «2 -'-... -!- «„, ; ^= S, on a aussi

lim ( «1 £1 + «2 £2 + • • • + «m ^/« ] = o ;

donc

lim ( 61 4- 62 -t- . . . -f- ê,„ ) = S.

10. On ne tardera pas à rencontrer les applications du premier principe de la méthode infinitésimale. Le deuxième principe se rapporte spécialement au calcul intégral ; il ne sera pas inutile d'en indiquer l'application que les anciens en ont faite à la quadrature des courbes.

CALCUL niFFÉRENTrEL.

Quadrature des couhbes plakes. — Considérons une courbe rapporlcc à deux axes de coordonnées recli lignes et cherchons l'aire comprise entre cette courbo, l'axe des

• V		l	n N
		m ,^'
				a
	M	/
	/
~ô	I	•	> 'i	y

abscisses et deux ordonnées iMP, NQ. Supposons d'abord que l'ordonnée de la courbe croisse constamment ou dé- croisse constamment depuis le point M jusqu'au point N. Décomposons la partie PQ de l'axe des x en un nombre infinimenlgrand de parties égales ou inégales, mais toutes infiniment petites; puis menons par les points de divi- sion des parallèles à l'axe des j . L'aire MPQN, qu'il faut évaluer, sera décomposée en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites, telles que nijujn^ Or, si l'on mène ma et jih j)arallèles à l'axe des x, on for- mera deux parallélogrammes mpqa, bpqn, qui seront l'un supérieur et l'autre inférieur à l'aire nipfj/i, et dont

le rapport — - a évidemment pour limite l'unilé. On

conclut de là que le rapport de ntjujii à l'un des deux parallélogrammes, à mptfa par excnqilc, a pour limite l'unité. Donc, d'après notre deuxième principe, l'aire qu'il faut évaluer sera la limite de la somme des parallé- logrammes intérieurs mp(ja ou celle de la somme des parallélogrammes extérieurs hpipi. Ainsi, en jiosant inp = I , pq -- //., et en désignant par 9 l'angle des axes, l'aire demandée S sera exprimée par la formule

S - : sin&.lii

"^

CHAPITRE I.

i3

Si l'ordonnée de la courbe est tantôt croissante, tantôt décroissante, on peut la décomposer en plusieurs parties satisfaisant chacune à la condition que nous venons d'im- poser; la formule précédente étant applicable à chaque partie, elle a lieu aussi pour leur somme. Cette formule subsiste, même quand l'ordonnée j'^ change de signe, dans le passage du point M au point N, pourvu qu'on regarde comme négatives les aires des surfaces situées du côté desj négatives ; il suffît, pour s'en convaincre, de pratiqueriez la décomposition de l'aire considérée en plusieurs parties, comme dans le cas que nous venons d'exazniner.

11. Exemple. — Considérons le cas de la parabole.

y

/ /

/

0 P q Q a;

Cette courbe, rapportée à son axe et à la tangente au som- met, a pour équation

• ^2

J= '

p étant le paramètre. Supposons qu'on demande l'aire NOQ =1 S comprise entre la courbe, la tangente Ox et l'ordonnée NQ^^^j'. Décomposons l'abscisse OQ--xen

?n parties égales; soit pq ^^ —l'une de ces parties; si

1 on suppose U^ = - x, on aura vip ci=: -- )^, et 1 aire demandée S sera

S •-- lira y nipqa = lim

Ti'.rY

n = OT — 1 n—l

l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or on a

donc

ou

m\ m ] \m — i ;

- .rj . lini j I - -1- w I _ 1 y

3 \ 2w / \ ni I

3^J.

Si l'on mène la perpendiculaire NR àO^, on formera un rectangle OQNR qui sera partagé par la parabole en deux parties dans le rapport de i à a.

CHAPITRE II.

CHAPITRE IL

DlFFÉRENTïATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE INDÉPENDANTE.

De La continuité.

12. Une fonctîony(x) de la variable x est dite con- tinue pour les valeurs de x comprises entre deux limites Xo et X, lorsque, pour toutes ces valeurs de x, la valeur absolue de la différence

f[.r-\-k)-f[.T.)

décroît indéfiniment avec h, ou est infiniment petite en même temps que h.

Si la fonction y (a:) devient infinie pour une valeur de X comprise entre Xo et X, elle ne satisfait pas à la précédente définition de la continuité ; on dit alors qu'elle devient discontinue en passant par l'infini.

Des dérivées.

\Z. La fonction y (x) étant supposée continue pour les valeurs de x comprises entre Xq et X, les accroisse- ments correspondants

h et f[.r ~\-h)—f[.v)

sont en même temps infiniment petits, comme nous ve- nons de le dire. La limite du rapport

f[x + h)-~f[.r) h

l6 CALCUL DIFFÉREXTIEL.

de ces accroissements est en général une quantité déter- minée indépendante du signe de // ; elle dépend de la valeur attribuée à x et, en conséquence, elle est une fonction de cette variable. On lui a donné le nom de deri- vca de la fonction /"(a), et nous la représenterons, avec Lagrange, par la nolationy'(.r ); ainsi l'on aura .

OU

£ désignant une quantité iniiiiiment petite en même temps que h.

11 peut arriver que, pour certaines valeurs partici:- lières de x, la limite du rapport

h

dépende du signe que l'on attribue à h en faisant tendre celte quantité vers zéro; dans ce cas, la dérivée de la fonction cesse d'être déterminée.

D'après ce qui précède, si Ton prend h pour infiniment petit principal, l'accroissement

/(.r-(-// -f[x)

sera un infiniment petit du premier ordre, à moins que la dérivée f'{^') ne soit nulle ou infinie. On verra plus loin (juc cette circonstance ne peut se présenter que pour certaines valeurs particulières attribuées à x. Lorsque f\x) s'annule, l'accroissement de la fonction est d'un ordre infinitésimal supérieur à i; cet ordre est au con- traire inférieur à f, quand ^ '(^.7) devient infinie.

11. La simple notion de la dérivée conduit à ph:- sicurs propositions iniporlaulcs que nous allons établir.

CHAPITRE II. I^

Théokème I. — Soitf{^x)nnefonctio7idexquireste continue poui' les valeurs de x comprises entre des limites données, et qui, pour ces valeurs, ait une dé- rii>ée f'{x) déterminée. Si Xq eiX désignent deux va- leurs de X comprises entre les mêmes limites ^ on aura

X — Xq X\ étant une valeur comprise entre x^ et X. En effet, le rapport

/fX)-/(.ro)

a, par hypothèse, une valeur finie; et, si l'on nomme A cette valeur, on aura

(i) [/(X) - AX] - r/(.-o) - A^o] = o.

Désignons par ^[x] la fonction de x définie par la formule

(2) y (.r) = lf[x) - A.r] _ [/(.ro) - A.roJ,

on aura, à cause de l'égalité (i),

y(.ro)=0, <p(X) = 0.

en sorte que <^{x) s'annule pour x = Xq et pour x ^= X. Supposons, pour fixer les idées, X^^^^o et faisons croître r de Xo à X; la fonction cj;(a:) est d'abord nulle. Si l'on admet qu'elle ne soit pas constamment nulle, pour les valeurs de x comprises entre Xo et X, il faudra qu'elle commence à croître en prenant des valeurs positives, ou à décroître en prenant des valeurs négatives, soit à partir de X ==: Xo, soit à partir d'une valeur de x comprise entre Xo et X. Si les valeurs dont il s'agit sont positives, comme <f (x) est continue et qu'elle doit s'annuler pour

S. — Cale. dlff. 3

l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

X = X, il est évident qu'il y aura une valeur x, entre Xo et X telle, que

sera supérieure ou au moins égale aux valeurs voisines

h étant une quantité aussi petite que l'on voudra. Si la fonction ^(x), en cessant d'être nulle, prend des valeurs négatives, le même raisonnement prouve qu'il existe une valeur x, entre Xq et X telle, que

sera inférieure ou au plus égale aux valeurs voisines

Ainsi, dans l'un et l'autre cas, la valeur de Xi sera telle, que les différences

.j»(.rj— //) — y(.rj), ç,(.r, + /i^ — ?(-''i)

seront de même signe, et, par suite, les rapports

,o\ y(.ri — /<! — y(-^i) <f'■r^^h]~o[.r^)

(3) --j^ » ^

seront de signes contraires.

11 faut remarquer que nous n'excluons pas l'hypo- thèse dans laquelle l'un des rapports précédents se ré- duit à zéro, ce qui exige que la fonction cp(.r) conserve la même valeur pour les valeurs de x comprises dans un intervalle fini. En particulier, si la fonction s; (x"! est constamment nulle pour les valeurs de x comprises entre Xo et X, les rapports (3) sont nids l'un et l'aulro.

Les rapports (3) tendent vers la même limite quand Ii tend vers zéro, car nous adinclloiis (|iic la fonction / (.r) a une dérivée déterminée, et la même chose a lieu, en

CHAPITRE II. ro

conséquence, à l'égard de 'f (-r); d'ailleurs ces rapports sont de signes contraires : donc leur limite est zéro. Ainsi l'on a

o(.r, -'-// — «(.r, 1

Iim — ^ ~ z= o,

/i

ou, à cause de l'équalion (2),

c'est-à-dire

A = lim ! — —f I

On a donc

X— .^0 ou

=/\'-^i],

(4) /(X)-/(.r,)=(X-^o)/'(-i),

comme on l'avait annoncé.

Nous avons supposé X^Xq; mais, comme la formule précédente ne change pas parla permutation des lettres jt'o, X, elle est évidemment indépendante de cette hypo- thèse.

Si l'on fait

X =J-0 + ^7

la quantité Xi, comprise entrexo et Xo -f- /?, pourra être représentée par Xo-î- 0 A., 0 étant une quantité comj)rise entre zéro et 1 ; on peut donc écrire

(5; f[.T,^h\~f[.T.,.=hf'[,'r,^^h].

Remarque. — La démonstration qui précède est due à M. Ossian Bonnet, il faut remarquer qu'elle ne suppose en aucune façon la continuité de la dérivée f'[x)', elle exige seulement que cette dérivée existe et ait une va- leur déterminée.

a.

2() CALCIL DIFFÉRENTIEL.

IT). Théorème II. — Si la fonction f [x) est constante pour toutes les valcuts de x comprises entre deux limites données, la déri^^ce f'[x) est nulle pour les mêmes va- leurs de X. Réciproquement, si la dérivée f [x) est nulle pour les valeurs de x comprises entre deux limites, la fonction J [.v) a une valeur constante pour les valeurs de X comprises entre les mêmes limites.

i" Supposons que la fonctiony(a') soil constante pour les valeurs de x comprises entre deux limites données, et soient Xo, Xq-t- h deux de ces valeurs de x, on aura

/(.ro-f- //)— /i.ro)=u, j^ ^ ' =0,

et, en passant à la limite,

2° Supposons quey'(.c) soit nulle pour les valeurs de X comprises entre deux limites données, et soient j"o et Xo 4- /i deux valeurs quelconques de x comprises entre ces limites, on aura (n" \A)

Xç^-\- oh étant une valeur comprise entre les limites don- nées. Le second membre de cette formule est nul, par hypothèse, et l'on a

la fonction /( r) a donc une valeur constante.

CoROLLAïuE. — io/.v^M^ deux foucl ions f {x) , F(.r) de la variable x ne dijjèrent que par une constante, pour les valeurs de x comprises entre deux limites don- nées, les déris^ées de ces fonctions sont égales entre elles pour les mêmes valeurs de x. Jiéciproquement, si les dérivées f\x), F' {x) de deux fonctions f [x], V [x]

CHAPITRE II. 2Ï

sont égales entre elles pour toutes les valeurs de x com- prises entre des limites données, les fondions ne dij- fèrent que par une constante, pour ces mêmes valeurs de X.

En effet, désignons par o[x) la différence des fonc- ûor\?,f[x) etF(a-); on aura

et, par conséquent,

o{.T^h\ — '^{.t\ __f{.T + /i' — /(.^) _ F(.r-f-/r' — F(.r' _

en passant à la limite, il vient, pour /. =: o,

Cela posé, si©(a:) est constante, (^'(a?) est nulle; donc les dérivées f'{x) etF'(x) sont égales entre elles.

Réciproquement, sif'{x) et F'{x) sont égales entre elles, 'y{x) est nulle : donc -^(.r) est une constante.

16. Théorï-me W. . — Si la dériuée f'{x) de la fonction f{x) reste f nie pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites Xq et X >Xo, et que l'on fasse croître x de Xq à X, la fonction f[x) croîtra tant que la dérivée f'{x) ne sera pas négati^^e, et elle décroîtra tant que f'{x) ne sera pas positive.

En effet, x étant comprise entre Xq et X, le rapport

zh/i

a pour limite jT' (a), qni est une quantité finie ; il aura donc le signe de cette limite pour toutes les valeurs de h comprises entre zéro et une quantité positive e sulfisam-

22 CALCUL DIFFERENTIEL.

ment petite. Par conséquent, on aura, pour les mêmes valeurs de //,

s\f'[x) est ^o, et

/;.r-/0>/(x)>/(.r-;-A)

si f'[x) est<^o.

Ainsi la fonction y (j:) ira en croissant à partir de chaque valeur de X pour laquelle y (x) est ^o. tandis qu'elle ira en décroissant à partir de chaque valeur telle (\ncf'\x) soit <Co.

IMais il peut arriver que la dérivéey'(:t) s'annule pour une ou plusieurs valeurs de x comprises entre Xo et X. On peut supposer qu'il n'y ait qu'une valeur de cette espèce, car on ramène à ce cas celui où il y en aurait plusieurs, en décomposant l'intervalle àa Xq à X en plusieurs autres. Alors, si l'on désigne par a la valeur de X qui annule^Vx et par /? une quantité aussi petite que l'on voudra, on fera croîtrez àc x^k a — h, puis de a -\- h k X, et le signe de la dérivée y (x) indiquera le sens de la variation de la fonction dans chaque intervalle, quelque petite que soit la quantité h. Faisant tendre ensuite 11 vers zéro, on voit que, si la dérivée f'{x) ne change pas désigne en s'annulant, la fonctiony(a) con- tinuera à varier dans le même sens, tandis que, i'if'ix) change de signe en s'annulant, hi fonction f{x) de- viendra croissante ou décroissante selon qu'eMe était décroissante ou croissante. Dans ce cas on dit (prellc passe par un minimum ou par un maximum.

17. Le théorème du n" 1 4 est susceptihle d'être géné- ralisé; il est effectivement compris dans la proposition

CHAI^ITRE II. 23

suiyante, dont on verra pliie loin d'importantes appli- cations :

Théorîîme IV. — Soient f[x) et F(x) deux fonctions de X qui restent continues pour les valeurs de x com- prises entre des limites données, et qui, pour ces valeurs, aient des dérivées déterminées f [x), ¥'[x). Si Xa et X désignent deux valeurs de x comprises entre les mêmes limites, et que la dérii^ée F'(x), qui peut être nulle ou infinie pour X ^^ Xq ou pour j:^=X, Jie le soit pas pour les valeurs intermédiaires, on aura

F(X)-F(.ro) F'(.ri) '

Xi étant une valeur comprise entre Xo et X.

Nous emploierons ici le raisonnement qui nous a déjà servi à établir le théorème I. Posons

/(X)-/(.ro)_

F(X)-F( on aura

A,

(i) [/(X) - A F(X)] - [/(xo) - A F(.ro)] ^ o,

d'où il résulte que la fonction

(2) o{œ] = [f[.r)-AF[.T]]-[f[x,)-A¥[.T,)],

qui est nulle pour x — Xo , s'annule aussi pour x = X. Si cette fonction n'estpas constamment nulle, quand x varie dexo àX, elle croîtra ou décroîtra soit à partir de x^Xo, soit à partir d'une valeur comprise entre Xo etX; mais, si elle commence par croître, elle devra décroître ensuite, et inversement, puisqu'elle redevient nulle pour x = X, et qu'elle est continue. Il y aura donc une valeur X{ de x comprise entre Xq et X, telle, que les différences

f(^i— /O — ?>ij' '/(-^i + ^O — vi'^i]

'>4 CALCUL DlFFl'nrNTIEL.

seront nulles ou de même .signe pour les valeurs do h comprises entre zéro et une certaine limite aussi petite que l'on voudra. Les quotients

seront donc de signes contraires, ce qui exige que leur limite soit zéro, car la fonction cp(x) a, par hypothèse, une dérivée déterminée. Ainsi l'on a

ou, à cause de la formule (:>),

il h

ou

La valeur X) ne peut être égale ni à jTo ni à X ; d'ail- leurs, par hypothèse, la dérivée F'(.7) ne peut être nulle ou infinie pour les valeurs de x intermédiaires mire a o et X; on a donc

et, par conséquent,

/(X)-/(To)^/-(.r.;

F(X;-F(xJ ï'\x,)'

Si l'on pose

X=.r„+//,

h étant une quantité positive ou négative, on aura

û étant une quantité comprise entre zéro cl i; alors la

CHAPITRE II. 23

formule précédente deviendra

F [xq + /i ; — 1-' [ JTo j ~ i^"' (•^-0 + 6''' ; '

Des différentielles.

18. Nous emploierons la caractéristique A pour dési- gner les accroissements des fonctions. Ainsi l'accroisse- ment que prend la fonction f{^r), quand on donne à x l'accroissement h ou Ax, sera représenté par

A/(.r:=/(x + ^; -/(.:;,

et l'on aura, en conséquence,

(i) A/{.,-)=h/'{.v'^f^z,

S étant infiniment petit en même temps que h.

La première partie hf'[x) de cet accroissement est dite la différentielle àe la fonction /(x); on désigne celle différentielle au moyen de la caractéristique d, et l'on écrit

On voit que, si l'accroissement arbitraire h est infini- ment petit, les quantités A/(.r)et df{x) sont des infini- ment petits susceptibles d'être substitués l'un à l'autre, conformément à la méthode que nous avons exposée, dans les rapports ou dans les sommes dont on peut avoir à chercher les limites. On a effectivement

et, par suite,

lim ' '

d/{. tant que y (a) reste finie.

26

CALCUL niFFÉUENTIEL.

19. On peut donner une représentation géométrique très-simple de raccroisscmcnt ^J\x) et de la dilTéren- tielle d J\x). Considérons àcelcfTetdeuxaxes reclilignes decoordonnées,ctconslruisonslacourbe dont l'ordonnée

V		.,./	^
	M,	a
0	V	P'	X

eslf[x). Menons la tangente au point M dont les coor- données sont X et f{x) ; construisons l'ordonnée M'F, qui répond à l'abscisse x-\-h et qui coupe en R la tan- gente en M; menons enfin MQ parallèle à l'axe des

abscisses. La dérivéey{x), limÏLc du rapport ■■> est,

comme nous l'avons déjà dit (n"6), le coefficient d'incli- naison de la tangente MU, et l'on a

A/(.r)rzrM'Q = RQ-;-M'R,

.//(x)-_=/^/'(..)=:RQ;

et, par conséquent.

/^£--M'R;

il suit delà que M'R est d'un ordre infinitésimal siq)é- rieur au premier.

20. Dans le cas particuIi(M' où la l'onction y(.^•; se ré- duit à

on a

A/f.r)

V(^)=^A.r=/,,

et, par suite,

/'(■.r]-^i.

CHAPITRE II. ^7

Alors la formule (2) devient

dx = //,

et, en conséquence, cette formule (2) peut être rem- placée, dans le cas général, par

(3) df[x]=f'[x)dx.

On voit, en résumé, que la différentielle d'une fonc- tion est égale à la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de la variable indépendante; quant à cette dernière différentielle, elle n'est autre chose qu'un accroissement arbitraire attribué à la va- riable indépendante.

Si l'on divise la formule (3) par ^o:, il viendra

(4) /'(-î=-ir'

ce qui exprime que la dérivée d'une fonction est le rap- port de la différentielle de cette fonction à la différen- tielle de la variable.

Cette manière de représenter les dérivées est la plus

usitée. Ainsi l'expression ^^^^ peut être indifféremment

considérée à deux points de vue, soit comme exprimant le quotient de df[x) par dx, soit comme un symbole re- présentant la limite du rapport — ^— ou -^^^ • Aussi écrit-on ordinairement la formule (3) comme il suit :

ou

dy^^-r "-^j dx

28 CALCUL DIFFÉUENTIFT,.

en représentant par une seule lettre 7 la fonction que nous avons désignée jusqu'ici ]>ar /'(.^).

Théorème relatif aux fondions de fonctions.

21. Soient M, X, y trois variables et supposons que deux d'entre elles dépendent de la troisième. Si Ion a exprimé la valeur de j en fonction de u, de manière que l'on ait

v-/( "),

puis que l'on choisisse x pour variable indépendante, y sera dite nnç, fonction de fonction de la variable indé- pendante X.

Cela posé, nous établirons la proposition suivante, qu'on doit regarder comme fondamentale :

Théorème. — Si Von a

on aura aussi

dy^f'[u)du,

quelle que soit la variable indéjtrndanfe.

En elFet, la variableindépendante étant désignée par jr, attribuons à cette variable l'accroissement ùkx, et dési- gnons par Au, Aj' les accroissements correspondants de a et de y, on aura identiquement

Aj Ar ^ Au A«r A« " Ax

Faisons tendre Aj: vers zéro, les limites de -f-^ — sc-

A.r Ax

ront respectivement---^ -^; d'ailleurs la limite du rap- port

Aj _ /(■'/+A>/) —/(/<)

Au Au

CHAPITRE II. 29

est égale kf'{ii); on a donc

(h „,, . rlu (!.v dx

dy du . 1 ,

Les expressions -7^ 5 — peuvent être regardées comme

les quotients de dj , du par dx\ on a donc, en suppri- mant le dénominateur dx,

comme si u était la variable indépendante. On écrit en- core le plus souvent

dy = -V- du ou dy = — . — du, •^ du ou

dy étant la différentielle de la fonction j considérée comme dépendante d'une variable arbitraire u et du l'accroissement arbitraire de cette variable.

Objet du Calcul dijférendel. — Différeiitiation des fonctions algébriques explicites.

22. L'opération par laquelle on détermine la différen- tielle d'une fonction est dite différenliation.

Le Calcul différentiel a pour objet principal les règles de la différentiation des fonctions.

Nous examinerons d'abord les cas simples dans les- quels la fonction proposée est composée algébriquement au moyen d'une ou de plusieurs fonctions dont les dif- férentielles sont supposées connues.

23. DiFFÉRENTiATiOK d'uwe SOMME. — Cousidérons la fonction

j- = ih u iL ^1 d= «2 — • • • — '^«-u

3o CALCUL DU FÉRFKTIEL.

H, II,, Un, ..., «,/,_( étant des fonctions delà variable indé- pendante X dont les difTérentielles sont supposées connues. Donnons à a- l'accroissement Ax, et soient

Aj-, A//, Aw, ^"m-l

les accroissements correspondants des variables

X, u, «;, . . ., «„i-i; on aura évidemment

Aj^ih A^zIzAw, r!=. .'.riz Am,„_,, et, en divisant par Ax,

A.r A'' Ar Aj;

Passons maintenant aux limites, on aura

(/x dx dx dx

et, en multipliant de part et d'autre par dx,

dy ■=. ~ dui di duo iiz . . . dl du,^^^.

Il suit de là que la dtjférentielle d\ine somme algé- hriijue de fonctions est égale à la somme des difj'éren- tiellcs de ces fonctions.

24. DiFFÉuENTiATiON d'un piioDUiT. — i" Soit d'abord

a étant une constante et u une fonction de x. Désignons par Aa, Aj' les accroissements que prennent u elj quand on donne à x l'accroissement ^x, on aura

Aj = a A«,

puis

A)' ^u

AwT Ax

CHAPITRE ir. 3l

Passant aux limites, il vient

					dy _ dx ~	du
et,	en	mult	ipliant	pai	• dx, dr =	r a du.

Ainsi la différentielle du produit d' une fonction par une constante est égale au produit de la différentielle de la fonction par la constante.

2" Considérons en deuxième lieu le produit

uet V étant deux fonctions de ^.Soient A«, At^, Ay les accroissements que prennent u, w,j quand on donne kx l'accroissement Ax ; on aura

Av =^ ( ?/ -[- A« ) ((' + Ac] — m' = (• Az/ -'- u\v -J- A;.- Ac,

et, en divisant par ^x,

Ar	A/< Ar	A?« Ac
— — (	' !- « ;	- ■ — A:r.
Ar	Ax Ar	Ai- Ax

Passant aux limites, on voit que le dernier terme du se- cond membre s'évanouit, et Ton a

dy du	dv
_J_ (^ _	V- u —
dx dx	dx

OU, en multipliant par dx,

dj r^ (' du 4- u dv.

Ainsi la différentielle du produit de deux fonctions est égale à la somme des deux produits que l'on obtient en multipliant chaque fonction par la différentielle de l'autre.

?>2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

En divisant la formule précédente par le produit y ou a\', on obtient

cl Y rjii /Jv

y ~ u V

Le rapport de la difTérentlelle d'une fonction à cette fonction a reçu le nom de diJjcroiUiella logarit.luiii(jiLe. Alors notre formule exprime que :

La dijj'érentielle logarithmique d' un produit de deux facteurs est égale à la somme des dijjérentielle^ loga- rilhnnr/ues des facteurs.

Cette propriété, analogue à celle des logarithmes, jus- tifie la dénomination de dij/érentielle logarithmique.

3" Considérons enfin le produit d'un nombre quel- concjue de fonctions de la variable indépendante a:, et soit

ce produit.

En appliquant la règle qui se rapporte à la difTéren- tiation logarithmique du produit de deux fonctions, on

aura

('r fin d { ii^u.^. . . it,„_^)

y ~ u '^ UiUo. . . u,„_i

fhi (hiy di^ii.^... ii,„_i) ~ u '^ Ul II.. . . «„,_,

/•/// !■///, llll., (1 \ . . . Il ,,,_,

U U, lU

ia dernière de ces égalités, savoir

dr du du, dfu dii,„_\

J ~ u Ui '~ i/.^ //,„_, '

cxpriifie que la dljjerentielle logarithmique d'un pro-

CHAPITRE £1, 33

duit de m fonctions est égale à la somme des dij/eren- îielles logai'ithmiques de ces fonctions.

Pour avoir la différentielle dj, il suffît de multiplier la formule pi-écédente par r, et il vient alors

dj=lU^ «2 • ■ • «/«-l ''^^ -'' ""2- • • "/»— 1 «"^"l H- • • • ^-««l ■ • • '^w-2''^"m— 1 • 2o. DiFFÉRENTIATION d'uN QUOTIENT. U Cl V étant

deux fonctions de x, considérons le quotient

on aura

La différentielle logarithmique du produit jv est égale à la différentielle logarithmique de m ; on a donc

fly dv du y V u

OU

dr du dv

:: ■ T.'t

y u

par conséquent :

La différentielle logaritlwnque du quotient de deux fonctions est égale à la différentielle logarithmique du dividende moins la différentielle logarithmique du diviseur.

En multipliant la formule précédente par j ou -■> on obtient

df =z — du ^ dv.

ou

vdu — udi' ^7=— Ta

S. — Cale, dlff.

34 CALCn. niFFÉUENTIEL.

20. DlFFltUENTIATION DES PUISSANCES d'uNE FONCTION.

— Soit u une fonclion de x et considérons la puissance

(l) J'=U'\

l'exposant m étant une constante.

1° Si 771 est un entier positif, j- est le produit de rn facteurs égaux à w, par suite, la différentielle logarith- mique de Jasera égale à la somme des différentielles loga- rithmiques de ces facteurs; on aura donc

dy du

2] — — m—.

y u

2° Si m est un nombre fractionnaire positif, soit i son dénominateur, on aura

dy La différentielle logarithmique de j^' est i -^-, celle de u"*'

.du . , . ,

est 77X1 — 5 car mi est un nombre entier; on a donc u

dy (lu

i — ^=. mi — -i

y «

et, en supprimant le facteur I, on retrouve la formule a). 3° Si 771 est un nombrenégatif entier ou fractionnaire, on aura par la formule (i)

La fonction jyu~'" étant constante, sa différentielle est

dy d( tt~"' ' nulle et sa différentielle logarithmique -^ — | —^^ l'est

... d[u—'") aussi. D'ailleurs, — m étant un nombre uosilil, -—

est égal u — 7/i — ; donc on a ° u

dy du

— /// - = o ,

y u

ce (pii n'est autre chose que la formule (2).

CHAPITRE II. 35

Ainsi la formule (2) est générale et elle subsiste quel que soit l'exposant constant m. En la multipliant par la formule (i), il vient

(3) dy—mu"'-^du.

Il résulte de là que la différentielle de la puissance de degré m d'une fonction est égale au produit de l' exposant ni par la puissance de degré m — i de la fonction et par la différentielle de cette fonction .

Si la fonction u se réduit à la variable indépendante x, on a

y = x'^

et

df = m3-"'~^ d.T.

Il faut remarquer le cas de m = - qui se présente fré- quemment. Alors la formule (i) devient

y = \/u, et la formule (3) donne

dy = - — -' 2 ^u

applications des règles précédentes.

27. Toute fonction algébrique explicite peut s'obtenir en exécutant sur la variable x et sur des constantes un nombre limité d'opérations algébriques; on pourra donc toujours calculer la différentielle d'une telle fonction par le moyen des règles que nous venons d'établir. Nous allons présenter ici quelques exemples.

1° Soit

y = Ax'" -4- B.r" H- C.tP -;-..,,

A, B, G, ... étant des constantes données, ainsi que

3.

3G CALCUL DIFFÉRENTIEL.

m, n, p, . . . . On aura immédiatement, par l'application des règles relatives à l'addition, à la nuiiliplicalion et à l'élévation aux puissances,

(/jz= [mA :r"'-' -+- nBx"-^ -f- pCa:P-^ -|_ , , . ] ^.r.

2° Soit

ce

j==a-\~b\/j:-] -1- - 5

a, b, c, e étant des constantes. On peut écrire

i _ 1

y =z a -r- b .r.^ -[- c .r. '-\~ex~^\

on est alors dans le cas que nous venons d'examiner et l'on a

ou

h ce

2 ^X 1.x sJ.K

3° Soit

jr =a:'^ l^a^ -h- X-) sj cr — X- ,

a étant une constante. On peut écrire

puis

dy — sj^—x"^ .d[a^x^ -t- .r* ; H- [a^x^-h x'' ] d ^ 'a'- — .r*

.rr/.r

= ya^ — X-' ^ 2a^x -h /^x^ ) dx — ( a-x- -;- J:*) -p-

^0'

OU

( 2rt* -J- «-.r- — 5.r* \ xd.v

\]a- — x^

4" Soit

y^r. 'ax'" H- i]" rt, /-», ///, /i étant des constantes.

CHAPITRE II. 87

On a

dy = n[ax"' -\- 6)"-' r/(«.r'" -j- h]

OU

dj = mnax'"-^ {a.x'" + b^-'^dx.

application à quelques problèmes simples,

28. Les règles précédentes suffisent pour résoudre quel- ques problèmes; il ne sera pas inutile d'en donner des exemples. Ceux que nous allons présenter sont empruntés à la Géométrie, et il nous faut rappeler d'abord des locu- tions usitées dans la théorie des courbes. Lorsqu'une courbe est rapportée à deux axes de coordonnées recti- lignes, si l'on mène par l'un de ses points la tangente et la normale, les parties de ces lignes comprises entre le point de la courbe et l'axe des abscisses sont dites respectivement longueur de la tangente, longueur de la normale; en outre, les projections des mêmes lignes sur l'axe des abscisses prennent le nom de sous-tangente et de sous-normale.

29. PiioBLÈME L — Trouver la courbe dans laquelle la sous-normale est égale à une constante donnée p.

Soientxet j^les coordonnées rectangulaires d'un point M de la courbe cherchée ; j peut être regardée comme une fonction de X, et c'est cette fonction qu'il faut trouver. Menons l'ordonnée MP du point M et la normale MN, la sous-normale PN est égale à l'ordonnée MP =^y nud- tipliée par la tangente de l'angle PMN. Mais cet angle

38 CALCUL DlFFÉnENTIEL.

est égal à l'angle MT j: que la tangente en M à la courbe

fait avec 1 axe des abscisses : il a donc pour tangente —•

Ainsi la condition du problème est exprimée par l'équa- tion

dy

d.r

ou

iy cly = o.pdx.

Le premier membre de cette équation est la diffcrcn- tielle de y"^^ d'après le principe fondamental du n" 21 ; le second membre est la difTércntiellc de ipx. Nous avons donc deux fonctions de x, savoir

r^ et 2/?.r,

qui ont des difTcrenticllcs égales ou, ce qui revient au même, des dérivées égales; donc ces l'onctions ne peu- vent différer que par une constante, et Ton a

J^= 27?. j- -4- C,

C étant une constante arbitraire.

Les paraboles de paramètre p, et dont l'axe coïncide avec la droite sur laquelle on compte les sous-normales, sont donc les seules courbes qui répondent à la question.

30. PuoDLÎiME II. — Trouver lacourho. dans laquelle la normale est égale à une constante donnée a.

On voit sur la figure du n" 29 que le carré de la nor- male est égal au carré de la sous-normale j -- [)lus le carré de l'ordonnée ; on a donc

<iy\-

y'\,t:,] -^r^-^''

Celle équation est salisl;iile «juaiid on pose y = -Za^

CHAPITRE II.

39

dY

car il en résulte -^ = o ; les deux droites menées paral-

d.r

lèlement à l'axe des x, à une distance a de cet axe, con- stituent donc une première solution du problème.

Faisant abstraction de cette solution, nous tirons de l'équation précédente

cla: ^ — - *

quel que soit le signe avec lequel nous prenions le radical yrt- — j^2, le second membre de la formule précédente est la différentielle de — ■ y'a- — r^ ; par conséquent cette formule exprime que les deux fonctions de x

et

sjo" —

y'

ont la même différentielle. Ces fonctions ne peuvent donc différer que par une constante a, et l'on a

d'où

= — V

, \2 _r v2

y-

u)'-ir-y'' = a'

équation qui représente les cercles de rayon a dont les centres sont situés sur l'axe des abscisses.

31. Problème III. — Etant donnée une section co- nique OAB, trouver la courbe IM telle, que chaque

	If
0	v:v	JJ "

corde AB de la conique, tangente à la courhe IM, soit divisée en deux parties égales au point de contact M.

40 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Soient l'cquation de la conique donnée, et

celle de la tangente au point M de la courbe inconnue. Si l'on élimine Y entre ces deux équations, il viendra

\dx' ^ } \( d.r. d.r- ' I

dr

-+- \j — -^-'r

(Ix

La demi-somme des deux racines X de cette équation est

dr d)

dx dx-

df- dx^^-'J

or, par l'énoncé du problème, cette demi-somme doit être égale à l'abscisse x du point M. On a donc

p-^rjx — y -y- =0 dx

OU

njdy = ipdx -I- "xqxdx',

le second membre de cette équation est la difrérenticlle de 2px -+-f/x-; le premier membre est la difTérentiollc dey*. Donc ces deux fonctions ne diffèrent que })ar une constante C, Cl l'on a

j)()iu' l'étjuation générale des courbes demandées. Ou voit que ces courbes sont des coniques send)lables à la propcisée et qu'elles ont les mêmes axes principaux.

CHAPITRE II. 4ï

lliéoreme relatif à la différentiation des fonctions composées de plusieurs fonctions d'une ^variable indépendante.

32. Les résultats que nous avons obtenus précédem- ment sont compris, comme on va le voir, dans un théo- rème général relatif à la différentiation d'une fonction composée de plusieurs fonctions.

Si M et t^ sont deux fonctions de la variable indépen- dante x et que

J =/[ «, «')

soit une fonction de u et de u, on dit que j" est une fonc- tion composée des deux fonctions u elv.

Désignons par çp(m, ^') la dérivée àe fi^u, v) par rap- port à u, c'est-à-dire la dérivée prise en considérant u comme une variable indépendante et v comme une con- stante ; on aura

(l) fu^AU, l>) /[U, VI =:r[yfM, r] -hci'jAu,

a étant une quantité qui s'évanouit avec l'accroissement Au que nous attribuons à u. Désignons aussi par ^{u, u) la dérivée de f[u^ u), par rapport à u; on aura de même

f^u, v H- Av) —/{u, v) z= [-^(m, J.J 4- g] Ac,

6 s'annulant avec A»'. Si, dans celte dernière formule, on remplace u par u H- Au, ê ne cessera pas de s'éva- nouir avec Ap-; mais cette quantité prendra une valeur différente 6', et l'on aura

( 2 ) f[u -f- Am, (.• -h Av\ — /[u-\- Au, «■) = [i^ [u H- A«, i>] -h S'] Ac.

Supposons maintenant que Au et Au soient les accrois- sements que prennent les fonctions u et u quand on

4^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

donne à x raccrolsscmcnt Ax; désignons aussi par Ay l'accroissement correspondant dej^^, savoir :

^J^'f{u-\- Au, w-h \v] ~/[u,i']f

on aura, en ajoutant les égalités (i j et (2),

et, en divisant [)ar Ax,

;^. = [?.«» ^+«]^ + [^l« + '^«. ''. +^ ]-^--

Passons maintenant aux limites : a, 6' et A/f s'éva- nouissent; on a dune

dy du , do

</.r ' ' 'fur ^ ' ' dx

ou, en multipliant par dx,

dy in: y M, !•: c/« -h -v^ «, c^i <^/i^.

Lorsqu'une fonction j dépend de deux variables arbi- traires a et t^, on représente par les symboles ()mJ , <)(.> les difTérentielles de cette fonction, prises en ne faisant varier que l'une des deux quantités a ou v\ si du et dv sont les accroissements arbitraires attribués aux va- riables, les dérivées cj»(w, p-), (|i(a, p*) seront égales res-

peclivemonl aux deux quotients ——? — :^' v)\\ siiiiprune *■ ^ ou <)i> ' '

ordinairement les indices de la lettre ô dans les deux

numérateurs; mais il ne laul pas oublier que les àj' des

numérateurs ont des significations (lllférentes, indiquées

sans ambiguïté par les dénominateurs. La dillérentiellc

de la fonction > considérée comme une lonelion de x

s'exprime par la formule

, ()r , âr , dy = - - (tu H — — dv,

-^ Ou Ov *

CHAVITHE II. 43

OU ^

•^ du di'

On représente aussi par f,l[u, u), f^(u,u) les deux dérivées (p(if, t^), ^ [u, ^) ; on a alors

33. Le résultat que nous venons d'obtenir peut être généralisé bien aisément. Soient

u, r, il', s, . . . des fonctions de la variable indépendante x et

j=/(«» ''» "S '^ • • •)

une fonction composée de ces diverses fonctions. Rem- plaçons celles-ci, à rexceplion delà première, par leurs valeurs : on aura l'expression dej^ en u et x', on pourra donc appliquer la formule à laquelle nous sommes par- venu au numéro précédent, ce qui donnera

dr = — du -f- d'j, au

formule ov d'y représente la différentielle de j)^ prise en regardant u comme une constante. On aura pareillement

d'y = -^ dv + d"r,

d"j étant la différentielle dej^ quand on regarde u et v comme des constantes, puis

d"y = ^ dw -f ■ d"'Y,

d"'j étant la différentielle de y prise en regardant u, v, w comme des constantes, et ainsi de suite. Il est évident qu'en ajoutant entre elles toutes les équations obtenues

44 cALcrL difféhentiel.

de cette manière, on aura

(Ijr = -r- du -^ —- (h -^ —- div -h -,- cis -'-... . au Oi> Ow OS

ou, en divisant par dx,

dy dr du àr df dr dn> dr ds

dx Ou d.T dv dx ùw dx ds dx ' " ' '

et l'on peut énoncer ce théorème :

Théorème. — La différentielle d'une fonction com- posée de plusieiu's fonctions est égale à la somme des dijféventielles que l'on obtient en j'egaj'dant successive- ment chacune des fondions composantes comme seule variable.

3i. Applications. — i° Soit

^ = A« H- Br )- Cw -+-...,

A, B, C, ... étant des conslanles. Les dérivées -r-? ^r-^ •••

au ai-

sont égales respectivement aux constantes A, B, C, . . . ;

on a donc

dj =1 K du -;- B <!v -\- C dv - r- . . . ,

2° Soit

yz=uv(vs. ..;

...■,,■. dr ày , ,

ICI les dérivées --) —-, • • • sont cirales respectivement a au Ov

l'O'.s'. . . , Ui\'S , . . , lies . . . , . . , .;

on a donc

df ---=: \vn>s . . .]du -h- {uns . . . ) r/i- -t- 'uvs . . . ' div -H . . . ,

coniMic on l'a trouvé au n"2i; celte fornuile conduit,

CHAPITRE II* 45

comme on l'a vu (n" 26), à la règle de la flifférentiation des puissances. 3° Soit encore

on a

donc

ou

y

au ' du

(.-J

dj = V"^ du — uv^'^du

vdu — udv

Conséquence du théorème précédent.

35. Toute fonction explicite j)^ de la variable x s'obtient en effectuant successivement sur cette variable diverses opérations bien définies. Le nombre de ces opérations est limité et, s'il est supérieur à i , la dernière opération devra être exécutée sur une ou plusieurs fonctions u, w, w, . . . déjà formées; ainsi l'on aura

y =/[ M, ^ (t', . . . ) •

Le théorème que nous avons établi ramène la différen- tiation dejx" à celles des fonctions plus simples ««, u, \v, ..., et à celle des fonctions de u, deu, de w, ..., représentées parle symbole y. Si les fonctions u, i^, w, . . . ne s'ob- tiennent pas par une seule opération exécutée sur jc, on pourra leur appliquer ce que nous venons de dire de y, et ainsi de suite. En sorte que la recherche de la différen- tielle de j^ se ramènera toujours à celle des différentielles de certaines fonctions élémentaires qu'on ne peut réduire à des fonctions plus simples. Les fonctions élémentaires ou irréductibles dont nous avons à nous occuper ici sont ;

^6 CALCri. DIFFf^RKNTlEL.

i" les fondions qui résiilicnt dune seule opération algé- brique exécutée sur la variable x, savoir adzx, ax, x'"; 2° la fonction exponentielle a-^ et la fonction los^arith- miquelogx; 3° les fonctions circulaires. Nous n'avons rien à ajouter à ce que nous avons dit précédcininenl à l'égard des fonctions algébriques, et nous allons consi- dérer les diverses fonctions transcendantes élémentaires dont nous venons de parler.

Différent int ion des loi^arithnies et des exponentielles.

36. Lorsque deux variables dépendent l'une de l'autre, et qu'on exprime successivement chacune d'elles en fonc- tion de l'autre, on obtient deux fonctions qui sont dites inwcrses l'une de Vautre. Telles sont les deux fonctions que nous allons considérer. En général, quand on sait trouver la dérivée ou la différentielle d'une fonction, on peut en conclure la dérivée ou la différentielle de la fonc- tion inverse. En effet, supposons que deux variables, X et y, soient liées entre elles par une équation suscep- tible d'être mise sous les deux formes

en prenant les dérivées par rapport à x des deux mem- bres de la seconde équation, on aura (^n'^SI )

i = F'(j)/'(x).

37. Détermination de la limite de f i-h j qx-and

rnrENT) vers l'infini. — La connaissance de celte liniile est indispensable pour l'objet que nous nous proposons; nous devons commencer par la délerminer.

Nous supposerons d'abord que le nombre m tende vers Tiiilini positif en ne prenant <pie des valeurs entières.

CHAPITRE 11. 47

Alors on a, par la formule du binôme relative à un expo- sant entier et positif,

Soit n un entier quelconque inférieur à m, et désignons par R« la somme des termes qui suivent le [n-\- i)"^'"« terme dans le second membre de la formule précédente, on pourra écrire

I

I 1(1

m

I . 2 . .3

n — I

m

1.2.3,

— 'i R«,

et la valeur de R„ sera

R„ =

X

m )

n + 1

Dans la somme entre crochets qui forme le dernier facteur de cette expression, le nombre des termes est m — n, et ces termes sont moindres que ceux qui occu- pent respectivement les mêmes rangs dans la progression géométrique illimitée

« -t- 1 "^ \n-\-iY [n-\-iy

+ ....

48 CALCUL niFFÉHEKTIEL.

La somme de cette profrression est -: donc le facteur entre crochets, dans rexj)ression de R,,, peut être repré- senté par -5 Q désignant une quantité comprise entre zéro et 1. Ainsi l'on aura

y'' m) y~ >nl"'V mj 9

2 R„= „ •

I . ?.. 3 ... « n

Le nombre n étant regardé comme invariable, faisons tendre ni vers l'infini, et désignons par <!R„ la limite de R.„, par ^ la limite de 6, la formule [i) donnera

/ I \"' II I

(3 lin. I-h-) r^I-; i ■-'.-...-■: ~ 7^-a„,

^ \ m/ 1 1.2 1.1. ù. .n

et l'on a évidemment, par la formule (2};

4) ^n= ---o -'

^ étant une quantité comprise entre zéro et r.

Le nombre n peut être choisi arbitrairement, et si Ton suppose qu'il croisse indéfiniment, la quantité ^,1 tendra vers zéro. Il s'ensuit que le second membre de la for- mule (3) est égal à \-a. somme de la série convergente

II I

I -T- 1 -- :t . ' • • 1

I 1.2 I . 2 . J

somme ([ue nous représenterons, suivant l'usage, par la lettre e\ ainsi l'on a

= 0,

\ '"■ I en posant

I I I

C = 1 -I 1 1 rr

I 1.2 I . 2 . >î

CHAPITRE II. ,^49

Si l'on arrête la série au terme qui en a n avant lui, l'erreur commise sera la quantité <3l„, qui est ce qu'on nomme le reste de la série; on voit que ce reste est in- férieur à la Ji"^"^^ partie du [n -\- i)'^"^^ terme auquel on s'arrête. Celte remarque permet de calculer le nombre e avec une approximation aussi grande que l'on veut; on trouve

d?=:2, 71828 1828459045....

38. Supposons maintenant que m tende vers l'infini positif en passant par tous les états de grandeur, et dé- signons par jU le nombre entier immédiatement inférieur à la variable ni. On aura

[■'■

ou

i-f-

1^+1

1 +

<'-^)"<(-^n-;

Or, quand m tend vers l'infini, le nombre entier p tend aussi vers l'infini : on a donc

1 \i"

lim ( iH = Uni i H ) = e,

i+1

lim ( iH = lim i H

donc la quantité ( i-i- — j est comprise entre deux va- riables qui ont l'une et l'autre pour limite le nombre e; on a en conséquence

lim ( 1+ — j =e. ^

s. — Cale. tUJ.

5o CALCtIL DIFFÉRENTIEL.

Supposons enfin <|uc /// tende vers l'infini négatif. Si l'on fait m = — p, on aura

-)H'

ou

Quand m tend vers — <^ , /y. — i tend vers + :o , et Ton a

lim ( ! M 1 = e, llin 1 -t ) -ri;

donc ou a encore dans ce cas

lim ( r-! ) =(?.

39. Différentielle de la foaction log.r. — La base des logarithmes est ici un noinLrc posilil" quelconque rt. Si l'on donne à x l'accroissement ù^x, la fonction iogx prendra l'accroissement

A log^ = log (x -\- ^■v] — log-c ^ log f I -i 1 5

et l'on aura
	, / Ar\
	ln^ !-•
	A log.r _ " \ X j
	A,;; Ù.X
Posons
	.r .r
	i:: =r — ou A.r r:- -— j
	Ar m
il viendra
	Aln"j: ifi , f i\ EZ_ =^ — l()<r , ..; Ax X " \ /7i y
ou
	A_logx_ £ ,^^. /j_^ iV"
	A.f J- "^ \ "^ /« y

CHAPITRE II. 5l

Or, quand Ax tend vers zéro, le nombre m tend vers l'infini et l'expression lu \ a pour limite le nom-

d XoQ^x loff e

bre e; on a donc

ou

dx .T

dx d\o^x-z=L- io^e —

Si les logarithmes sont pris dans le système de Néper, la base est précisément égale au nombre e ; on a donc

\o"e^^\ et aloc[.r= — ■

Il faut remarquer que, d'après le principe du n*' 21, l'expression précédente de rflogx subsiste lors même que X ne serait pas la variable indépendante. On voit aussi C[ue la dWérentielle lo garithinique d'une fonction supposée positive n'est autre chose que la différentielle du logarithme népérien de cette fonction.

40. Différentielle de la fonction a^ y a étant une CONSTANTE positive. — Si Fon donne à x l'accroisse- ment Ùlx, il vient

Art-^= «^ + *-^ — a"" —. a^ (a^-^ — i), d'où

^a^ a^^ — I = a^ »

A.r à.x

Posons

a — I = — ou a = I -1 :

m m

on aura, en prenant les logarithmes des deux membres^ AxXosa =z \os ( 1 -r — I ou Aa; = —

Si CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Cl, par suite,

Ajf , / I

mlo

m

IMaintcnant faisons tendre Ajc vers zéro ; le nombre m

tendra vers l'infini, et ( i-i ) tendra vers e; on aura

\ m/

donc, à la limite,

dx It'ë ^'

La base des logarithmes qui figurent dans cette for- mule est arbitraire; si l'on ciioisit la base de INéper, un aura loge= i, et, par suite,

- — = rt^ loea et da^ .zzz a^ losa d.r. dx ^

Dans le cas de a r= e, ces formules deviennent

de=^

— — = e^, de- z=z é' d.T ; dx

ainsi la fonction e^ jouit de la propriété d'être égale à sa dérivée.

11 est à peine nécessaire d'ajouter que les résultats qui précèdent subsistent quand x cesse d'èlre variable in- dépendante.

41. Nous avons procédé directement à la recherche des différentielles des fonctions logvr cl <z''; mais, ainsi que nous l'avons déjà dit, la dillérenticlh' de Tune de ces fonctions étant connue, on en déduit immédiatement la différentielle de l'autre. Posons en effet

y : n^ ; on aura, en prenant les logarilhnic.-? di .s deux nu-mbrcs

CHAPITRE II, 53

dans le système dont la base est a, log^r = X.

Maintenant, si l'on admet que la différentielle de logy

. , dy

soit loiie ^-) on aui^a ° J

idge - ^^ dx J ou

.. a^ dx

Comme log« ;:= i, on peut écrire aussi

aa-^z=^ — '- — a^ dx, log e

et alors on peut choisir à volonté la base du système dans lequel sont pris les logarithmes. Si l'on adopte le nombre e pour base, on aura

da^^=z a^ log« c/x,

comme nous l'avons trouvé directement.

42. Applications. — - i° Soit

I -r- X

la caractéristique log désignant un logarithme népérien. On peut écrire

d'où

T \ d.7:

OU

, dx ''Ù — — '

a:- — j

54 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

2" Soit

7= log^r -+- y'x^— rt),

a étant une constante, et la caractéristique log dési- gnant un logarilhmc népérien. Ou a

d{x -'.- J.i

djr —

— ( IH '^ \dx

X -f- y/.7.-- + fl X H- y'a:^ H- a

OU

y^o.-- -I- a

3° Soit

zi et 1' étant des fonctions données de x. On a

logj=('log«,

d'où

Jlogj = <'<f log« -f- log« dv^

dy du . -

ou enfin

<^/)- = (■«''—' <7m -r- «"log M r/l'.

On serait arrivé au même résultat, en appliquant la règle de la diflrércnllallon des fonctions composées, combinée avec celle qui donne la dlirérentlelle de la fonction a' .

Si Ton suj)posc u = a, \' = -■: la formule précédenlc

donnera

( 'A --2 (l\xj X-' ( 1 — log .r ^ dr.

1 On volt que la fonctum j' croît tant qiie.r est inférieure à e, car sa dérivée est ak)rs poslllvc, et qu'elle décroît

CHAPITRE II. ^^^

tant que x est supérieure à e. Par conséquent cette fonc- tion atteint son maximum pour x = e.

4° Quels sont les systèmes de logarithmes dans les- quels il existe des nombres égaux à leurs logarithmes?

Il s'agit de savoir clans quel cas la fonction

y z=: a^ — X

peut s'annuler. La caractéristique log désignant un logarithme népérien, on a

dx

Si a est plus petit que l'unité, la fonction jy est dé- croissante quand x varie de — co à + co ; d'ailleurs, elle a des valeurs de signes contraires pour jc = o et pour x = -h co , elle s'annule donc une fois. Si a est plus grand que l'unité, la fonction y sera décroissante tant que x sera inférieur au nombre X\ défini par la formule

puis elle ira en croissant. Cette fonction a donc un mi- nimum

I log.loga

logrt l<^g^

correspondant au nombre x^ '. lorsque ce minimum est négatif, la fonction s'annule deux fois; dans le cas con- traire, elle ne s'annule pas. Pour que j puisse devenir nulle, il faut donc que l'on ait

1 log . log rt <; — I , ou a << e" ;

1 SX a =^ c-', on a oT) = e.

56 C.VLCIL DIFFi'RENTIEL.

Différentiation des fonctions circulaires .

43. DiFFÉUEMIELLES DES FONCTIONS CIRCLLAIUES DI- RECTES. — Ces fonctions sont

sin.r, tang.r-, sc'cr, cos.r, cotx, cosccx.

1° Considérons d'abord les fonctions sinx et cosjc. Si l'on donne à x l'accroissement Ax, on aura

• ' ^-^ / , ^'■\

A Sin.r m sjn .r -h A.r — Sin.r z= i SUl COS I .r -•. ]->

1 \ -y. I

. A.r . / A./ \ A cos.r = ces I x. -f- A.r i — cnsr =1 — ?. sm — sui \ -t. A :

2 \ 2/

d'où

. A.r

sin — , A sin j? ■?. I A.r

ces X +

Aur A'- \ 2

2

. A.r

8411

A rtis.r o . / Ar

sin X. 4

Ax A.r \ 2

. A.r

sni —

Le rapport — — — tend vers l'unité (piainl i\x tend

\crs zcro ; on aura donc, en passant aux linulcs, c/sin.r <7 cos.r

= cos.r, — — — = — suîjr,

(te <lx

OU

(^/ sin.r — ■ cosx r/.r, <•/ cos.r =^ — sin.r dx,

2" Considérons en douxicnie lieu les lunciions tan^:jr

CriAPITRE II.

et cotjc. On a

A taiîLT.r = tane f-r -^- A.r ^ — taR:;.r

= [i H- tang.rtany .r -h \.r]] tangA.r,

A cot.r = cot [,r -\~ Ax) — cot.r

= — [i -H cotx cot (.r 4- A.r )] tangA.r,

d'où

A tanîr.r' tangA.r / . \t

— — — = — r l( I -- ''"iiig'^ t-'ing [x + A.r;],

57

A.r A.r

A cot.r tant: Ar

A.r A.r

[l 4- cot.r cot (j:^ -4- A.r]]

Passant aux limites, '■ • se réduit a 1 unile, et 1 on a

A.r

^tanerr , i

= I -;- tana-.rr^sec'^a: :=:

c? cot.r , „ . , I

:;=: — 1 I H- cot- .r = — COSCC'a: =; t~-- ',

cLv ^ ' sin-.r

d'où

d.r d.r

d tanir.r = • , d cot.r = . „ •

Les fonctions tangx et cotx ayant respectivement pour valeurs

sin.r cns.r tang.r = , cotx= 1

COS.r Silî.r

on aurait pu conclure leurs différentielles de celles des fonctions sinx et cosj: en faisant usage de la règle re- lative à la différentiation des quotients. Ainsi, par exemple, on a

COS.r <-/ sin.r — sin.rr/cos.r d.r.

^ COS^X COS-.r

3" Considérons enfin les fonctions sécx et coséco:.

On a

sccj: :z= (cosj:)^', cosëcr :=: ^sin.r ]~' ;

58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(Jonc, en appliquant la règle de la dififérentiation des puissances, on a

/ « • , sinjr

a sec.r = cosic sin * dx = — -— ax = — lati'r.r sec j: (Ij:,

cos-.f °

tifosocx = — sinx 1" "cosjca.r r= -. — -—dx = — cotjr oosecj^Jx.

Ainsi, en résumé, on a

cl siux ^= COS.7; d.v, d cns.r = — sinx</.r,

<^tan2-*^= ; — (^T^t d cot.r z= ■. — ~ dx,

coà-x sui-.r

, sin.î- , , T cos.r

d sccx = — ax, d(:osccx= -. — — - dx.

cos^.r siii-.r

Ces six formules subsistent lorsque x cesse d'être la variable indépendante, et l'on doit remarquer que les trois dernières peuvent être obtenues en appliquant les

trois premières à la variable '- jc, tt désignant la demi- circonférence. On a eircclivemcnt

d ces X -- d sin 1 x ) = — ces ( x] d.rzzz — sn\xd.r:.

d cot X - - d tang ['- x]z=z — — dx =: — . ,, dx.

COS- r

SU!

, ... , ^ '^. / , C<^'■■..T JcoSLCr — d sec .r =: ; ^- d.r =. r—^—dx.

2 / „ / t: \ SlU-.r

<l-')

Aï. Ari'LicATiOKs. — En combinant les règles précé- dentes avec et Ile île la dilTércntiation des logarithmes, on a ininiédialement les dillérenlielles des fonctions

loi:sin.r, logcos-r, loy laujj./-,

CHAPITRE II. 59

Efiectivement, les logarithmes étant pris dans le sys- tème népérien, on a

,, . r/sin.T-	cos.r r/.T
Slil.r	Slil.r
d cos.r	i=,'\u j- d.r
cos.r	cos.r ^
	d.r 9. d.r
tau:j.rco3"-ar siiia.r

Si dans la dernière formule on remplace a: et dx par —

d.v . TV .r d.r

et — •> puis par -r -] — et — 5 on aura 2 ^ 4 ^ 2

;r r/.r

rflogtans - = 5

<-/ lor? tang

2 SUl.r

r/.r

(i-^)

45. Différentielles des fonctions ciucclaires in- verses. — La variable indépendante étant toujours re- présentée para:, les fonctions circulaires inverses sont

arcsinjT, arc tani^.^-, arcsécr, arc cos.r, arc cot^r, arecosccr.

Mais, comme à une ligne trigonométrique donnée x ré- pondent une infinité d'arcs, les expressions précédentes ne sont pas complètement déterminées, et, pour qu'elles puissent être admises comme fonctions de x, il est né- cessaire d'ajouter quelque chose à leur définition. Or, quand un arc de cercle varie d'une manière continue entre les limites — co et + co , chacune de ses lignes Irigonométriques varie elle-même d'une manière con- tinue ; par conséquent, on achèvera de déterminer les fonctions circulaires inverses, si on les assujettit à rester

"'3 CALCUL DIFFltUENTlEL.

conlirmcs, cl (ju'on (Ko les valeurs de ces foncti<jns qui répondent à une valeur donnée de la variable. Par exemple, les fonctions arc sin.r, arc tango: seront entiè- rement définies, si l'on impose la condition qu'elles s'annulent pour x = o et qu'elles varient d'une manière continue avec jc.

La difTérentiation des fonctions circulaires inverses se ramène immédiatement (n°3Gj à celle des fonctions directes.

i" Soit

j-=rarc sin.'-, li'où si!ij=r.r,

on aura

, , , (/r fi.r

cnsj f/j T=z dx, (ly = =z ,

le signe qu'il l'aut donner au radical étant celui de cosj. 2" Suit

j- = arc cos X, d'où cosj- = x, on aura

tf.r — dr

— si 11 rdj = t/.r, (ly =

Slll )

y 1 — .r-

le signe du radical étant celui de sinj . 3" Soit

j = ;irc tang.r, d'où tangj i= .r,

on aura

=: rf.r, dy = cos^ y dx -= •

COS-J ' I -r X-

4" Soit

^ =.- arc col.r, d'où c()t)'=.r, on aura

'^^11 • 2 / '''

(l.r, dy = — sm' ) d.r r= —

SUI-J ' ' 1-1- x'

S" Soit

_^'arc st.'Co: d'où si'c/=:.r,

CHAPITRE II.

le radical devant cire pris avec le signe de tangj)^. 6° Soit

j 1= arc coséc.r, d'où coséc j = ^,

on aura

— Cf)t j cosécj dy = dx^

dx dx

dj = -

cutj cosecj x\j^~-\

le radical ayant le signe de coty Ainsi l'on a, en résumé,

d.r «arctanirj:r=:

^ I -, - X

dx , d.i

c? arc sec A- = — ■\ f/arccosec.r= — =

X V u,-- — 1 X \ix- — I

les siirnes des radicaux étant déterminés comme nous l'avons indiqué. Il convient de remarquer que les diffé- rentielles des fonctions circulaires inverses sont algé- briques, comme la différentielle de la fonction logjc.

La somme des fonctions arc langx, arc cota: est évi- demment égale à une constante, aussi leurs différentielles sont-elles égales et de signes contraires. Les deux fonc- tions arc sinx et arc cosx ou arc séco: et arc coséco: ont une somme constante ou une différence constante; ii s'ensuit que les différentielles de ces fonctions doivent être égales ou égales et de signes contraires.

6a CALCLL DIFFÉRENTIEL.

Différentiation des fonctions implicites.

46. Considérons d'abord le cas d'une fonction j' liée à sa variable x par une équation

dont le premier membre est une fonction donnée de x et dcjj'.

La variable y est une fonction de x, et par suite on peut regarder /(Xjj)) comme une fonction composée. Cette fonction est constamment nulle par hypollièse; donc sa diirérenticllc

-— d.r -,- -p dy Or. Or

est elle-même égale à zéro. Ainsi l'on a

-~-dx + — dy = o, Ox dy

u ou

d.T dy d.v

dy = — dx et 3- =— -r-y

•^ t|/ d.c ùj^

Tr dy

On voit que la dérivée d'une fonction j , liée à la variable x par l'écpiation f'x, y) — o, s'obtient en divisatit la déri\.'ée rclutive à x du premier membre de l'ci/ualion par la dc/ii-ée rclalii^e à y du même pre- mier membre, et en changeant le signe du quotiant.

47. Exemples. — 1° St)lt

J\x,) ] —a^y^^ lj-x'^—a^b" = o. Ui» a ici

-— =2^2j — = 2a^y,

Ox dy

		citapitiit; rr,
et, par	' suite,	dy ir-a: dx a'-y

63

Dans le cas dont il s'agit, l'équation proposée peut être résolue par rapport à j^, et l'on trouve

^ /-2 ^

le radical devant être pris successivement avec le signe -f- et avec le signe — . En substituant cette valeur de y dans la formule précédente, celle-ci devient

dy — hx

dx Q ^^2 ^2

on obtient immédiatement ce résultat en dillérentiantla précédente valeur de j'.

a" Soit en second lieu l'équation

/[^■> y) = \ -^^ -i- J^ Y — 2«- [x'^—y-)^= o,

qui représente la courbe nommée lemniscate de Ber~ noulli, quand on regarde x eij comme des coordonnées rectangulaires. On a ici

et, par conséquent,

dy a: ( j:^ -h j^ — or )

dx y i^x^ ~ y^ -T- a-)

48. Considérons le cas où l'on a deux équations

/(jr,j, z) = o, F(.r, j, zj = o,

entre la variable indépendante x et deux fonctions j'^, z de celte variable. Puisque j etz sont des fonctions de Xy

64 CALCIL DU KÉIIE>TIEL.

f[x,y,z) et F(j:, 7, r;; sont des fonctions composées; d'ailleurs les différentielles de ces fonctions sont nulles, puisque les fonctions elles-mêmes le sont : on a donc

Or ôy Oz

r)F , ()¥ , ()? ,

-;— (Ix H dy -i- -r- aj = O,

0-c vy uz

d'où l'on lire les valeurs de dy et de dz, savoir:

()/ ()V i)f <W dy=:

Ô.r <)z	(h ,).T ,
<)/ (Vc	,)/ ./F ''•^'
dz (Jy	dyOz
df àY	df (W
()r *)./•	d.r <)y ,
()/■ àV	()/ dF •

dz =

dz dy dy dz 49. ExF.MPLK. — Soient les équations

x'^ -\- y- ~r z^ = r^ , ux -T- èy -T- '/z= p, oïl /•, 5! . c , y, p désignent des constantes données ; on aura

xd.i: -r ydy -:- zdz =z O, udx — êdy -r- ydz =. O,

d'où

d.-r dr dz

yy — tz uz — yx 6.r - uy

formule qui fait connaître les différentielles dj et dz des deux fonctions j>'' et ::.

oO. On procédera de la même manière dans le cas général où l'on a n équations

/ x,y, z. II, . . .) — o,

F(x,j, z,u, . . .) = o, <f {x,y, z, u, . . .) r=o,

ClîAPTTnE II. 65

entre une variable indépendante x cl 71 fonctions j'^, Zy u. . . . de cette variable. Les fonctions y, F, (p, ... étant, comme dans les cas précédents, des fonctions composées dont les valeurs sont identiquement nulles, les différen- tielles de ces fonctions sont nulles aussi, et l'on a

C'-r aj oz ou	.= 0,
ÔF , âF , dF , dF ,	, . = 0,
^^^./,. 4-^./)' + ^^. + ^^ ./«+.. Ô.C ôf az du	. = 0,

Ces n équations déterminent les différentielles des n fonctions j)', z, u^ .... On les obtient en di/fcrentiant les équations proposée/, c'est-à-dire en égalant à zéro les différentielles des premiers membres de celles-ci.

De l'élimination des constantes arbitraires. 51. Considérons une équation

(l) /(.r,J-, G)=:0

entre les variables x, j et la constante arbitraire C. La diflerentiation de cette équation donne, comme on l'a vu,

, . cl/- ôf dy

(") -dx^~dydx = ''^

et si l'on élimine la constante C entre les équations (i) et (2), il en résultera une équation

(3) <--^.|) = ".

entre la variable indépendante x, la fonction j et sa

dérivée —> d.v

S. — Cale, dilf, 5

66 (AICtL DIFFÉRENTIEL.

Cette (jquation (3,, qui résulte pdr la diiïérentialion d'une équation où figure une constante arbitraire, est dite une at/uation dij/'èrentielle. Kelativement à celte équation diflerentielle, réqualion(i) est quelquefois dési- gnée sous le nom d' équation primitive.

Si l'on suppose que x et r désignent des coordonnées reclilignes et que la constante C prenne une infinité de valeurs, l'équation (i) représentera une famille de courbes; l'équation (3 1 exj)rime une propriété de la tan- gente, commune à toutes les courbes de cette famille.

52. Exemples. — i** Soit l'équation y-=^ o-px •+- C, qui donne par la difTércntiation

dy

Ici la constante C a disparu d'elle-même et l'équation précédente est l'équation difTérentielle qui résulte de la proposée. Elle exprime (n° 29) que la sous-normale est constante dans toutes les courbes que représente l'équation

J^ = 7.px -+- C.

2° Soit, en second lieu, l'équation .r- y^

P'

dans laquelle b est une constante donnée ot p un para- mètre variable; cette équation représente un système de coniques hoinofocales , lorsque x et v désignent des coor- tlonnées rectangulaires. La difTércntiation donne

rd.v ydy

d'où

CHAPITRÉ II.

vdx ydy xd.r-^ydy

67

L'élimination de p^ donne

dy

d.T, 'dy

-\~y\ = h\

ce qui est l'équation différentielle demandée.

Menons la tangente MB et la normale MG à l'une des

courbes de la famille considérée, et soient B, G les points où ces droites rencontrent l'axe Oj. Les équations de MB et de MG sont

Y-j par conséquent, on a

OB = ar

dy^ dx

dx dy

X, OC = ,

dx

d}

■Jt

d'où

OB X OC = 62.

Il s'ensuk que, si l'on circonscrit au triangle BMC un cercle qui coupe en F et F' l'axe des abscisses, on aura

0F = 0F'=6,

ce qui exprime que F et F' sont les foyers de notre

5.

68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

courbe. Telle est la propriété exprimée par l'équation différentielle que nous avons obtenue.

53. Considérons généralement un système de n équa- tions

/ (-^i J, ', "> • ■ ■ , ", l',c, . . . ) = o, J\ (•'"i J'i 2, «, . . . , rt, /-», c, . . ] = o.

I ;

fn-\ [^^y-, 2, «, . . . , a, />, c, . , . ) = o,

entre une vai'iable indépendante .r, n fonctions jk, z, u, ... de cette variable et n arbitraires a, b, c, .... La différentiation des équations (i) donnera, comme on l'a vu, les n équations suivantes :

dx dj dx dz d.t: dit dx Ox ôy dx Oz dx du dx

<]f„-i , d/n-i dy dfn-^ dz ^

dx dy dx dz d.i

Cela étant, si l'on élimine les n arbitraires a,h,c, ... entre les in équations qui composent les systèmes (i) et (2), on obtiendra n équations

dy dz du

ix^ ),z,u, . . .,

•'^'	dx'	dx
dy	dz	du
■'dx'	dx'	dx
dy	dz	du
-dx'	dr'	lïr

F, ( X, y, 3, «,...,- •'5 ' •, -,...) z= o.

'3'

qui constituent ce que l'on noiniiK' un S)stc//ic d'c(]ua~ tio/is diJJércnUcUes sintultanccs.

chapithe III.

69

CHAPITRE III.

DIFFÉRENTIELLES DES ORDRES SUPÉRIEURS DES FONCTIONS

D'UNE SEULE VARIABLE , DÉRIVÉES PARTIELLES

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.

Des dérivées des divers ordres.

54-. Soient f{x) une fonction de la variable X et f[x) sa dérivée. Nous désignerons par/"(x) la dérivée àef'{x), par/'''(x) la dérivée de/"(x), et ainsi de suite; nous formerons de cette manière une suite de fonctions

/'(x), f"[^), /"'(•^j, .••. /^"U-^i

dont le nombre sera illimité, à moins c^e f[x) ne soit une fonction rationnelle et entière.

La fonction y «(a:), qui occupe le w^^™® rang dans la suite précédente, est dite la c?e/'tVee£f M n^^"^^ ordre de fix)^ ou, plus simplement, la n'^^'^e dérivée def[x).

Des différentielles des divers ordres.

55. Soit

(0 r=/(-)

une fonction donnée de la variable indépendante x. Re- présentons par d^t la différentielle de cette fonction pour un accroissement arbitraire hf attribué à la variable x; on a (n° 18)

(2) df'.y^f'[x]h,.

70 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Cette différentielle est elle-même une fonction de x\ sa différentielle, prise en attribuant à la variable x un accroissement arbitraire A2, est la différentielle du second ordre de la fonction y, que nous représenterons par le symbole d^^d^n . On a

d''*d'',Y ^ d''i/' X h^ — //, r/''./' X —fx h, Aj.

De môme, la différentielle de cette différentielle du se- cond ordre, relative à un accroissement arbitraire A3 attribué à la variable x, sera donnée par la formule

En continuant ainsi, on obtient une suite d''iy, d''^d''^y, d">d'^d''iy

dans laquelle chaque terme est la difféi'entielle du pré- cédent, relative à un certain accroissement attribué à la variable x. Le terme qui occupe le rang n est la diffé- rentielle d'ordre ii de la fonction j'^, et l'on a

( 3 ) d>'n ... d'',d''.y --^ /« .r ^ //, h.... h„.

Il résulte de cette formule que la différentielle d'ordre n ne change pas quand on change l'ordre des caractéris- tiques d.

Ordinairement on suppose toutes les quantités In, lu, . . ., /i„, . . . égales entre elles. Soit h leur valeur commune : alors les différentielles des divers ordres se représentent par les symboles

di, d-) d"r

et l'on a

( 4 ) d^j T-:/"[x) h" z- /'• a dx" ;

d'où

CHAPITRE III. yi

ce qui exprime que la dérivée d'ordre n d'une fonc- tion est égale à la différentielle d'ordre Ji de cette fonction divisée par la n'^'"^^ puissance de la différentielle de la variable indépeiidante .

Cette notation est celle que l'on emploie le plus souvent pour représenter les dérivées, et la formule (3) s'écrit alors comme il suit :

d'^ Y = — ~ dx'^, dx"

Il est évident qu'on obtiendra les différentielles des divers ordres des fonctions par le moyen des règles que nous avons établies dans le Chapitre précédent.

56. Différentielles des divers ordres de quelques

FONCTIONS SIMPLES. 1° Soit

y = X'

On

aura

dy d^Y

-- = wx'"~ , — ^ = m m — 1 1 .r"*~-,

dx dx'-

d"- Y

--^ z^ inim — \]. . .[m — « -f- i ) .c'"-'*.

dx'' ^° Soit

y — \ogx.

la caractéristique log désignant un logarithme népérien. On aura

dv i , d^y ,

dx X ' dx^

3° Soit

'J1 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

a étant une constAnle. On aura

da: dx- ax"'

les logarithmes ctantnépériens. Danslccas dea = e, on a

d'^y _ _ 'dx''~ ""•^*

4° Soit

y = sin ( j: H- a ) ,

a étant une constante. On a

^^ f X ■ (

-7- = cos Lr -{- « = sin .r -f- a + «.r ^ y

en sorte que la dérivée de sin(jcH- a) s'obtient en ajou- tant le quadrant- à la constante a. On conclut de là que Ton a, quel que soit n,

d" y

— sin \x-^r/.^~n — dx"^ \ 1

Si l'on suppose successivement a = o et a = -5 on aura

d"-%\Xlx . / 7r\ r/" cos.r / r.

sm .r -I- « - U =: ces X H- n -

dx"' \ ' 2 / Ax"' V 2

/)e5 différences des divers ordres.

57. Soit j^=y(x) une fonction donnée de la va- riable x; l'acci'oisscment

f[x -f-/fi) — /(^)

est dit la différence du premier ordre ou la différence première de la fonction j'^, relative à l'accroissement ar- bitraire hi attribué à la variable x; nous représenterons

CHAPITriE III. 7^

cette diîTérence par A^^j'. Cette différence est elle-même une fonction de x et sa différence, prise en attribuant à la variable x un accroissement arbitraire ho, est la diffé- rence du second oi'dre ou la différence secojide de la fonction j : nous la représenterons par ùJ^'-A^^y, et ainsi de suite ; en sorte que, si l'on considère la série

A^'ij, A^'sA^'ij, A'^3 A^'îA^'ij, ..,,

dont chaque terme est la différence du précédent, rela- tive à un certain accroissement attribué à la variable x, le terme de rang n sera la différence d'ordre n ou la ■pième différence de j.

De l'expression de la différence première

on déduit

A^A". j::=/;^ -f- h^ ^ h,\ -f'œ + h^) -fU + ^j) H-/(.r);

on en conclut que cette différence ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux caractéristiques A. Si l'on considère maintenant la différence d'ordre n, on pourra évidemment, sans altérer sa valeur, intervertir l'ordre de deux caractéristiques consécutives, et par conséquent disposer ces caractéristiques dans tel ordre que l'on voudra.

58. Il existe entre une différence et la différentielle de même ordre une relation importante que nous allons établir.

L'expression de la différence première est donnée par la formule (5) du n° 14

(i) A^J■ =f^x -h h,) -/(.r) =/' [x ~ Q, h,)h,,

dans laquelle Qi désigne un nombre positif inférieur à

74 - CALCUL DIFFÉaEJVTlEL.

l'unité. Considérons la différence seconde, on a

en posant ri(jf j = J\x +• hx) — f{oc). Mais, d'après la formule (i),

On a d'ailleurs, d'après la définition de la fonction Tl{x),

u:'x=f,x-^h, -fx: il en résulte

A^. sJ'yf [x)~ [/' :> + 6, /(, -}- i^i —f^x^Q.h^ \]h,.,

et, en réduisant la quantité entre parenthèses au moyen de la formule (i),

(2) A^A/'./(^) =f"x^BJi^-^6Ji^kih.,,

Qx et ôo étant des nombres positifs inférieurs à l'unité. Considérons encore la différence troisième, on a

à''sAf'iAf'tf:x) = A^A^'2[/;.r-i-/'i) — f,X;] = l''»\''3U'x),

et, en vertu de la formule (2),

A^'a A''»- n X ] = li" x-^O-i A3 -f- 0, h. ) h. h^.

Mais, de la définition de la fonction n( x), on déduit

U"'x H- a^fi-i-r- B..h^_)

:= J" ( X -+- 63 //3 -f - O2 h^-^h,\- f" { X -,-- 0^ /l, -,^ 0. /^2 ) = f"[x^ 63 ^3 + 02 ^2 4- 0, /ij /^l ;

il en résulte

(3 A''3 A''>A''./(a:) ~f"[x -}- 037/3 -+- Go/?, -I- O^h^hih.h^, 9j, 02» 03 étant des nombres positifs inférieurs à l'unité.

En continuant ainsi, il est évident que l'on obtien- dra, pour exprimer la différence d'ordre Ji, la formule

CHAPITRE III. yS

suivante, due à M. Ossian Bonnet:

'l'

6,, 62, . . ., 9/1 étant des nombres positifs inférieurs à l'unité.

Si l'on divise cette différence par la différentielle cor- respondante (n° S5), on voit que le quotient

aune limite égale à l'unité, lorsque Ton fait tendre vers zéro toutes les quantités A,, lu, . . ., A«.

Dérwées partielles, différentielles partielles et diffé- rences partielles des diwers ordres dhine fonction de plusieurs 'variables indépeîidantes.

59. Considérons une fonction w de plusieurs variables indépendantes x, j , z, . . . , et soit

(l) w— /(.r,.r, 3, . ..),

la fonction donnée. On peut prendre la dérivée de w par rapport à l'une quelconque des variables, les autres étant considérées comme des constantes ; les résultats de ces dérivations se nomment dérivées partielles du premier ordre de la fonction proposée : on les représente par les symboles

/l->rj>s. •• -i. fy[^^y,z> • • •)' /U-^>J>-. • • •)

Les dérivées partielles des dérivées partielles du premier ojdre sont les dérivées partielles du second

'^6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ordre : on les représente par les symboles

flxi-^^yy^..-'], f"^.y[^,y,z,...), f"^.{x,y,z,...], f"^.^{x,j, :,...),

Les dérivées partielles des dérivées partielles du se- cond ordre sont les dérivées partielles du troisième ordre, et ainsi de suite. En général, une dérivée par- tielle d'ordre n s'indique parla caractéristique yafFectée de deux indices; l'indice supérieur est le nombre n qui indique l'ordre de la dérivée partielle, l'indice inférieur est formé par la succession de n lettres x, j^, z, . . . dis- posées dans l'ordre où l'on a elfectué les dérivations.

60. Théorème. — La ijaleur d'une dérivée partielle d une fonction de plusieurs variables est indépendante de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations, le nombre des dérivations relatives à chaque ^variable demeurant le même.

Considérons d'abord le cas le plus simple, celui d'une fonction de deux variables. Représentons par les carac- téristiques A^ et A* les différences d'une fonction quel- conque des deux variables x et j', lorsqu'on attribue à ces variables l'un des accroissements h ou k. On a

puis

=/{x -h/i,J-{- A) —/{x, y -+- /■) —f[x -\-h,y) +/(.r, j).

Le second membre ne change pas lorsqu'on prend les différences dans l'ordre inverse, c'est-à-dire lors- qu'on change l'ordre des caractéristiques : on en conclut que

(2) ^^^^'^.f[x,y) = ^'^l^.f[x,y),

CHAPITRE iri. 77

Exprimons ces deux différences d'après la méthode de M. Ossian Bonnet (n° 58). On a

en posant Tii^x, j) = f{x ■+- h, j) — fi^^j)-

L'application de la formule (5) du n*^ 44 à la fonc- tion n(x, j), dans laquelle on fait varier j'-, donne

D'après la définition de la fonction nfx, j), on a n;(-^, y -+- S/!-; =fy[-^ -t- A, J + Qk] —fyix, y + Qk),

d'où

A*A^/(^, y) = [/;(^ -+- h, y -^ dk] -f;[X, y -!- Qk)]k.

Enfin, en appliquant la formule que nous venons de rappeler à la fonction ^'( a:, j)^ -f- 5 A), dans laquelle on fait varier x, on obtient finalement

(3) A^^:Af./(x,J)=/;,(^ + 9V^, y^ek]kk,

6 et 6' étant des nombres positifs inférieurs à l'unité.

Changeons l'ordre des caractéristiques, on aura évi- demment

A^A^/(.r, y] =/;(x + 5i A, J + e\ k)hk,

Oi et &i étant encore des nombres positifs inférieurs à l'unité.

La comparaison des deux expressions de la même dif- férence seconde donne

/;;(.r + d'h^y-^ok] =./;y^+ e,^,^ + e; A),

et, si l'on fait tendre h et A" vers zéro,

(4) /;.(-, j) =/:;(-, j^).

^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

61. L'égalité exprimée par la formule (4) ^ encore lieu lorsque la fonction dépend d'un nombre quelconque de variables indépendantes, autres que x etj\ Si l'on considère une dérivée partielle d'ordre n d'une fonction de 7n variables arbitraires, on pourra donc, sans altérer le résultat final, changer l'ordre de deux dérivations consécutives, et par conséquent effectuer ces dériva- tions successives dans tel oindre que l'on voudra. Le nombre des dérivées partielles distinctes du second ordre est égal au nombre des termes d'un polynôme homogène du second degré de m variables, c'est-à-dire

à — '- — -' En général, le nombre des dérivées par- tielles d'ordre n distinctes est égal au nombre des termes d'un polynôme homogène du degré « à m va- riables, c'est-à-dire égal à

m ( m -\- i] { m -\- 2] . . . { m -h n — i]

1.2.3. . .n

Ce théorème permet de simplifier la notation des dé- rivées partielles. Dans le cas d'une fonction de trois variables, une dérivée partielle d'ordre n résultant de a dérivations effectuées par rapport à x, de (3 dérivations par rapport à j^ et de y par rapport à z, pourra être re- présentée par le symbole

la somme a -+- ^ -j-y étant ég^ale à n.

62. Le produit de chaque dérivée partielle du pre- mier ordre par l'accroissement arbitraire de la variable correspondante se nomme différentielle partielle du premier ordre. En nous bornant au cas d'une fonc- tion cù de trois variables x^j^ z^ nous représenlerons

CHAPITRE Iir. ^9

ces différentielles partielles par les symboles

c)^<w, d^'w, di'oi,

ht, k{, If étant les accroissements de ces variables. Les différentielles partielles des différentielles partielles du premier ordre, prises pour de nouveaux accroisse- ments arbitraires attribués aux variables sont les diffé- rentielles partielles du second ordre, et ainsi de suite. Une différentielle partielle de l'ordre n, obtenue en dif- férentiant dans un ordre déterminé a fois par rapport àx, |3 fois par rapport àj, y fois par rapport à z, s'in- dique en disposant les unes ù la suite des autres les caractéristiques

d^S d^j, ..., dS ajs d*% ..., d^P, dis di^, ..., d/ï,

dans l'ordre où l'on a effectué les opérations. Cette dif- férentielle partielle est égale à

elle ne change pas lorsqu'on intervertit l'ordre des caractéristiques d.

On suppose ordinairement les accroissements relatifs à la même variable égaux entre eux; dans ce cas, on représente la différentielle précédente par le symbole

dx, dy, dz étant les accroissements attribués aux va- riables.

De cette formule, on tire

/n x^y^z^

..«,.3.

dx'^dy'^dzi ou, plus simplement,

8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la signification du numérateur ()„&) étant indiquée sans ambiguïté par le dénominateur. Cette dernière notation est la plus usitée pour représenter les dérivées partielles; la formule (5) devient alors

X y

djC'dj^ dzi

ou

(6) à"e.,o^ =^-^-dr-djhht.

63. On nomme dijf'érences partielles du premier ordre de la fonction w les accroissements de cette fonc- tion qui correspondent à des accroissements déter- minés A,, A,, /, des variables ; nous représenterons par

ces différences. Les différences partielles des différences partielles du premier ordre sont les différences partielles du second ordre, et ainsi de suite. Une différence par- tielle de l'ordre n obtenue en effectuant dans un ordre déterminé a opérations par rapport k x, ^ par rapport à r, y par rapport à z, est représentée par la succession des caractéristiques

A^S A,^.= A^a, A*«, A*s ..., A*^ A^., A^s ..,, A'^t,

disposées dans l'ordre des opérations. D'après les remar- ques faites aux n°*57 et 00, sur le changement de l'ordre de deux caractéristiques, dans le cas d'une fonction d'une seule variable ou de deux variables, on peut inter- vertir à volonté l'ordre de toutes les caractéristiques A. En répétant « fois de suite des transformations ana- logues à celles eficctuécs (n^* 58 et GO), on pourra évidemment exprimer la différence d'oi'drc n que nous

CHAPITRE m.

considérons par la formule

A'y . . a'"- A'' A''? . . . à''-\'''A''a . . . A^'^A'^'w ^z' ^ ^ y Y y -^ •^' •*'

^x -h 5, //i + e, /i2 + . . . 4- 0^ /i^^ -i-^"^! + ...-^o':.L

Si l'on divise cette différence par la différentielle par- tielle correspondante

d'j... d^ ô'j dp... dp- dp d> . . . âi^ d'^' «,

on voit que le quotient a une limite égale à l'unité, lorsque l'on fait tendre vers zéro tous les accroissements des variables.

Calcul des différentielles des divers ordres d'une fonc- tion composée de plusieurs fonctions.

64. Soit

une fonction composée de ni fonctions u, u, w, ... de la variable indépendante jc. On a d'abord (n" 33)

( I t/r m -— rf« H — - di> -r- chv -}-■....

^ 'OU Ov dw

Chaque terme du second membre étant vm produit de deux facteurs, on aura, par une nouvelle différentiation,

+ ^-- rt- « H d' V H — d- (V -h ... .

du di> dtv

1" /. dy dy dY

Or, en appliquant aux fonctions -/-? ^j —-,... la ^ ^ du ai> di'V

s. — Cale. diff. 6

82 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

position exprimée par la formule (i), on a

,,'dj\ d-,r , , d'^r ^^''^',

d . - I = -T-4 du + , \ dv H- -; — — dsv

du) du- dudv duôn-

<5?| ^ 1 = ^: — r- du + — -— dv H — r — r— «n

\dvj du dv

,,'ày\ d-j , d-r , d-y ,

ff ( -^ == - — ^- du ■+- , ; dv -h -T-^ dti'

dv- dv di

ù- y , d- y

.^^ , — ^ — dv -h - — -

dif / dudn' dvâ(\' dn'-

l'expression de d^j' dexient alors

fà'Y , , d^r , , ^">' , ,

d^Y :r^ I — ^ du--\r- 1 -T^~ du dv -(- 2 - — r— dudw -!-.., \du- dudv dudw

H dv^ + 2 -T — r— «t'f/a' -i- . . .

de- C/c a»'

-r- d^ u + -ir d- V -h -^- d-w -^ . du dv dw

On obtiendra successivement de la même manière les diflerenlielles d'^j, d^y, ....

65. Cas ou les fonctioivs composantes sont linéaires. — Si toutes les fonctions u, u, w, ... sont de la forme ax -\- b, a el b étant des constantes, on a

d^u = o, d^v=zo, d-n> = o, .oc,

et la formule (2) se réduit à

d"^ y d- y

d^y = -— ^ du- -+- 2 ^ \ dudv + . . , du- dudv

d-y ^ d-y , ,

-f -i—rav--+-'2- — -—dvdiv-i-..., dv^ dvdi^i'

Cette expression de d^y peut être i-eprésentée symboli- quement par la formule

\du. dv dw j \ -^ / '

CHAPITRE III. 83

en entendant qu'après avoir formé le carré de dy on y remplacera

respectivement par

d'-Y à'-r

du- ùuôv

Ce résultat peut être généralisé et je dis que l'on aura, quel que soit n,

f dy dr dr \ "

\0u Oi' C/<t' / V ^ y »

pourvu que, après avoir formé la puissance /z'*^™^ de cly, on remplace dans chaque terme les facteurs de la forme

dry f<hy /,)y ôuj \ôv J \Ôi\

par les dérivées correspondantes

^a-f-S-h;--!-... y

dw^dv^div-

En effet, notre formule symbolique donne la vraie valeur de dj quand n= i\ il suffit donc, pour l'établir, de mon- trer que, si elle a lieu pour une valeur de n, elle subsiste pour la valeur immédiat«*ment supérieure. Admettons donc la légitimité de la formule pour l'indice n, et soit

c(ir(i)^(i)'.— ...

un terme de son développement. Le terme correspondant de la vraie valeur de d'^j sera

C , „ -, g-^ du'^ dv^^ dvv"' ....

ùu'-Ov'^dw^ . . .

C.

84 CALCtJL DIFFÉREKTIEL.

Maintenant, pour avoir (^"+'}s il faut difTércnlier d"j, et le terme que nous venons d'cerire donnera

/ ^«-4-6-+-.. .-Hl , ^a+6+...-i-l y \

puisque du, du, dw, . . . sont constantes. Or, par notre convention, ce résultat peut s'écrire symboliquement comme il suit :

m^m ■■■"-""--

(dy , âr , dr , \

\0u Ov Ôiv

d'où il suit que l'expression s^mibolique de d'^'^^y sera («"/t )"X dj ou [dj'Y^^'^ ce qui démontre la proposition énoncée.

Cas d'un produit de plusieurs fondions.

66. Il ne sera pas inutile d'indiquer ici la formule gé- nérale qui fait connaître l'expression des différenlielles des divers ordres du produit de plusieurs fonctions.

Considérons d'abord le produit u\> des deux fonctions u et t^. On a d'abord

(i) d[uv) 33 \<du H- udv^

puis

c/2 1 „,,^ ::::: d [i'du] -\- d[udv) := {('<:/- U -- di'du] -i- [drdu -+- ud-c),

ou

/oj d-[iu'] =^rd^u -i- y.dvdu -j- lul-v;

;mc nouvelle diil'ércntiation donnera

'31 d'^'^r.v] = iuP u H- ùdvd'U -4- ?>d-i,-du -\- ud^v.

CHAPITRE III.

Dans les formules (i), (2), (3), l'ordre des différentielles de II diminue d'une unilé, et celui des différentielles de »- augmente d'une unité quand on passe d'un terme au terme suivant ; en outre, les coefficients numériques sont respec- tivement les mêmes que dans les développements des pre- mière, deuxième et troisième puissances d'un binôme. On est donc fondé à présumer que l'on a généralement

l , s , « . , . "i^ 0 70 7/7 0

l (F iii>< = i>d" u H- - ch'd"-^ u + -^ ■ cV-vd"— « + ...

) ^ I 1.2

(4)

\ n'n — \....[n — k-\-\) ,,. ,„ ,. , , ,,, „

[ 1.1. ..k

Cette formule ayant été vérifiée pour az = i, li, 3, sa généralité sera établie si, admettant qu'elle a lieu pour l'ordre n, on démontre qu'elle subsiste pour l'ordre /M- 1 • Différentions donc la formule (4) et écrivons sur une même ligne les parties qui proviennent de la différentia- tion des deuxièmes facteurs dans les différents termes, et sur une seconde ligne les parties qui proviennent de la différentiation des premiers facteurs. On aura

-f- dvd" u + - d- i>d"-^ u + . . .-h -d"-vdu-{- d"—'^ v.it.

l i

En faisant la réduction des termes semblables, on aurrj une formule qui se déduit évidemment de la formule (4) par le changement de u en ;z H- i ; donc celle-ci est gé- nérale.

La formule (4) peut être écrite ijmboliq uement delzi manière suivante :

^«(«(0 = {du-\-d^'Y;

86 CALCUL DIFFERENTIEL.

elTectivcment, si Ton exécule le développement de la //■'■""' puissance de la somme du + du, en ayant soin d'écrire en facteur dans le premier terme la puissance zéro de d^f, et dans le dernier la puissance zéro de du, puis qu'on remplace

respectivement par

quand A n'est pas nul, et par

quand h est nul, il est évident qu'on reproduira la for- mule (4).

67. Considérons maintenant un produit de m fac- teurs, II, p, . . ., w, s; je dis (jue l'on a encore S)niho- liijaenienL

d"^[uv . . ivs ) =^ [du -h- di> -\- . . . -h d(i' H- as ) " ;

c'est-à-dire que, pour avoir la diflerentiellc d'ordre n du produit uuw. . .s, il suffit de former le développement de la puissance «"'™'^ de la somme

du -^ dv -\- . . . H- (-/(!■ -I- ds,

en ayant soin d'introduire en facteur dans chaque terme

la puissance zéro de celles des différentielles du, r/r, . . . ,

r/w, ds qui n'y figurent pas, et de remplacer ensuite les

puissances

du'', <•/(■''', ..., dn'''f ds''

par les différentielles d'ordre h,

d'^u^ <•/''>, ,.., d''^w, d^'s.

CHAPITRE III. Sy

celles-ci devant d'ailleurs être réduites à

quand A est zéro.

Cette proposition est démontrée dans le cas de deux facteurs; donc, pour en établir la généralité, il suffit de prouver que, si elle a lieu pour un produit de rîi — i fac- teurs, elle subsiste encore dans le cas d'un produit de m facteurs. A cet eifet, désignons par j'^ le produit des m — I facteurs ii, u, . . ., w. On aura symboliquement

d"^ [ m' . . . ivs ) = d" [ys ) = [dy -\- ds]"-.

Considérons un terme quelconque du développement de cette puissance, savoir :

C^dj-'^ds''-^;

d'après ce qui a été dit plus haut, ce terme donnera dans

d"[ui^. . .ws) le terme correspondant

Cd^yd^-^s. Or, par hypothèse, on a symboliquement d'^y ^^ [du -\- dv -^ . . . -\- d(\']'' ; donc le terme précédent écrit symboliquement sera

Ca. [du ^di'^. . .-+- di\')^ds"-^,

et, en faisant la somme de tous les termes, on aura encore symboliquement

d" [ui>. . .a's] = [du -i- di> -Jt- . . . -\- dw -f- ds)"'.

Différentielles des diuers ordres desfonctions implicites .

68. Considérons d'abord le cas d'une fonction j^ delà vai'iable x, définie par une équation donnée

88 CALCUL DIFFF.nEKTlEL.

r étant une fonction de x./(x,j) est une fonction com- posée, et, puisque cette fonction a une valeur constante qui est zéro, ces différentielles de tous les ordres sont nulles. On a donc, en égalant à zéro ces diverses diffé- rentielles, et en observant que dx est une constante,

àf , df ,

- dr -1- -.~dy = O, t) r Oy

d-r- d.rdy -^ dy^ } dr

— d.r^ -4- 3 -— d.x'dy -+- 3 ^ — -—; d.rdy--\- -— r dy

H- 3 - — - d.i: -h-^^^dy] d^y + ^ d\r = o, \d.rôy Oy- j Oy

Ces formules font connaître successivement les différen- tielles dj, d'j, d^j, ..., et, par suite, les dérivées

dy d'-y d^ y d.i- dx-' d./:^

09. Considérons maintenant le cas le plus général où l'on a m équations

/(.r, j, s, «, . . .] = o,

F(.r, j, z, M, . . .) =o, 153 [.r, y, z, u, . . . ) = o,

entre une variable indépendante x et m fonctions y, z, a, ... de cette variable.

j, z, u, . . . sont des fonctions de x, et par conséquent y, F, cp, ... sont des fonctions composées dont les valeurs sont nulles; les différentielles des divers ordres de ces fonctions sont donc nulles elles-mcmes. En différcntiant

CHAPITRE III. 89

une première fois les équations (i), on obtient les équa-

tions

4- dx -^- ^ dy -\- -4 dz -\- . . .-z^ o, a.-r. Oj o~

ÔF , dF , dF ,

-— a.r -h -— « r H — — dz -\- . . . =z o, 0.r Oj " (Jz

do , do do ,

-— a-c -! — -- dy H — dz -h . ■ =0,

dx dr (?2

qui détermineront, comme on l'a vu (n° 50), les diffé- rentielles du premier ordre

dy, dz, du, ....

La différentiation des équations (2) donnera ensuite le nouveau système

à'f . , , à\f , _, , \ , /d/ ^ , d/ „

àx- d-rdj ' ) \dj dz

d-F , , f)'F , , \ (àF ,, dF ,, .

ô.x:- d.rdj -^ ) \dy -^ dz '

qui détermine les différentielles du deuxième ordre

d^y, d^z, d-u, ....

On obtiendra les différentielles du troisième ordre en différentiant les équations (3), et ainsi de suite.

Sur V élimination des arbitraires,

70. Lorsque l'équation

(ï) f [x, j, a, b,c, ...)=: o.

	(}f dr _ ôy d.r.	= o,
	O.rOj	d.r: ~	()2	/• dy-' ■' dœ^	' ày	d^-y d.r-	= o.

90 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui lie une fonction j^ à sa variable indépendante x, ren- ferme 71 constantes ou paramètres arbitraires a,b, c, . . . , on peut toujours éliminer ces arbitraires par le moyen de la différentiation. EfTeclivement, si Ton différentie n fois l'équation (1), on obtiendra Ji équations nouvelles

l^'

et si l'on élimine ensuite les n paramètres a, b, c, . . . , entre les équations (i) et (2), on formera une équation résultante

^ y d.v d.r- d.c^

entre x, y et les n premières dérivées de j'. Cette équa- tion (3) est dite une équation différentielle de l'o/'dre n, La question que nous traitons ici n'est qu'un cas par- ticulier de celle dont nous nous sommes occupé au n°b3 et qui nous a conduit à la notion des systèmes d'équations différentielles simultanées.

En effet, posons

dy _ , ^_ ,„ dyi"-"-)

d^~^ ' 'd^.~^' • "' ~~d.x

et joignons à l'équation (i) les n — i premières de celles qui composent le système (2), on formera ainsi un système de n équations entre la variable x^ les n fonctions j', y' , y", . . . ,y''"~*^ et les ji arbitraires. En outre, il est évident que les n équations qu'on obtient en différen- liant ce système peuvent être remplacées par les équa- tions (4) jointes à la dernière des équations (2), et que

CHAPixrvE ïii. 91

l'élimination des arbitraires entre les in équations dont nous venons de parler fournira un système de n équa- tions différentielles simultanées du premier ordre qui se composera des n — i équations [/\\ et de l'équation (3) réduite au premier ordre, par Fintroduction des nou- velles variables y', j" , . . ., j("-^K Celte équation sera

donc

clr.

Du changement de la variable indépendante.

71. Lorsqu'on a à considérer plusieurs variables qui dépendent de l'une d'entre elles, on peut choisir à vo- lonté celle qui sera regardée comme indépendante ou dont la différentielle sera constante. Mais il peut arriver que, après avoir désigné cette variable indépendante, on reconnaisse qu'il est plus avantageux d'en choisir une autre; il faut alors modifier les formules. Telle est la question qui va nous occuper, et que nous énoncerons comme il suit :

Soient X la variable qui a été choisie pour variable indépendante et j l'une des autres variables quil y a lieu de considérer ; on demande d' exprimer les dérivées

dy d-y d'^y d.r dx- d.r^

prises dans l'hypothèse de dx constante, en fonction des différentielles dex et de y, co/isidérées comme fonc- tions d'une même variable indépendante quelconipie.

Désignons par

y' y" y'"

les dérivées de j prises dans l'hypothèse où x est la

92 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

variable indépendante. On aura

10 <r=yr/.r, cly'=y"(lx, df = y"'d.r, ...,

et, d'après le principe du n" 21, ces formules subsistent quelle que soit la variable indépendante. La première formule (i) donne

(=) y=-!-.

ax

résultat connu et d'après lequel j-' est le quotient de dy par dx. Appliquant à cette formule ( 2 ) la règle de la différentiation des quotients, il viendra, quelle que soit la variable indépendante,

, , (IxcP Y — dyd' X

'h- = -~-,^- ;

dx-

mais, d'après la deuxième des formules (i), dj' est égale ■àj"dx; donc on a

d.rd^Y — dyd'^x.

y

dx-

Appliquant de nouveau la règle de la différentiation des quotients, il vient

,,_ dr[dxd\r — djd^x) — Sd'xldxd^y — dyd\r)

cl} — -^ : ,

dx''

et comme dy" =j"'dx, d'après la troisième formule (i), on aura

, , , ,,, dx [ dxd^r — drd^T.] — Zd^-xidxd'-r — drd^.x)

( 4 ) y = — ^ —^^^:, ^ ^^ — —' •

En suivant la même marche, on obtiendra successivement J''^, y^, .... 11 est évident que y^'^^ s'exprimera par le moyen des dilTérentielles de x et de j', jusqu'à celles de l'ordre «.

CHAPITRE ÎIT. 9-*

Si dans les formules (2), (3), (4), ... on suppose dx constante, on retrouvera les formules

•^ ^ dx'' -^ dx^'' -^ cLc''

Si l'on veut choisir y pour variable indépendante et que l'on fasse en conséquence dj = const., les for- mules (2), (3), (4)? • • ■' deviendront

/ dx '

d-jc dy-

\ày) \dy)

dx d^ X „ f d-x\^

7^]

~' m ' " ■

On verra dans la suite qu'il y a souvent avantage, au point de vue de la symétrie et de l'élégance des formules, à ne pas fixer la variable indépendante.

Du changement de toutes les uariables.

72. La question que nous nous proposons de résoudre peut être énoncée comme il suit :

Soient X, j, Zj . o . des variables qui dépendent de l'une d'entre elles; x celle de ces variables dont la différentielle est regardée comme constante, et V une fonction donnée de x et de

dr	d'^y		dz	d^z
dx	dx^'	• ' •-> z,	dx'	dx^

Ou demande de tromper ce que deviendra V expression

()4 CALCUL DIFFÉRE]\T1EL.

de\ quand on suhslitiwra àx,j, z, ... d'autres variables '^, Tj, ^, . . . , et que Von choisira l'une de ces dernières, c par exemple, pour variable i/ulépendante.

Pour résoudre cette question, on commencera par transformer l'expression de V, au moyen des formules du numéro précédent, de manière que la variable indépen- dante ne soit plus désignée ; alors V deviendra une fonc- tion de X, y, z, ... et de leurs dilTérenlielles.

Cela étant, comme les variables x,j", z, . . . sont don- nées en fonction des nouvelles variables ^, v;, '(, . . . , on aura des équations telles que

x--=/,^,-c,-., ..■], J = F(|, -fl, Ç. ...), z = y(;, -fl, Ç, ...)

et de ces équations on tirera, par la différentiation, les valeurs de

dr, df, dz, ..., d^.x, d-y, d- z, ..., .,.,

en ayant soin de supposer d^ constante, conformément à l'énoncé. Il n'y aura plus qu'à substituer toutes ces valeurs dans V pour achever la solution du problème.

73. Applications. — Soiejit x et j les coordonnées rectangulaires d'une courbe donîiée dont la prennère x est prise pour variable indépendante. On demande ce que devient la Jonction

Y =

dr'- d^X

quand on substitue aux coordonnées rectangulaires x, y les coordonnées polaires p, a et que l'on prend co pour variable indépen daiite.

CHAPITRE III. 9^

Au moyen des formules du n°71, l'expression de V devient

\ =

dxd^y — dyd-x'

et ici la variable indépendante n'est plus désignée. Cela posé, on a

X. z=:^ 0 COSw, J- 3= p smoj,

d'où, par la différentiation,

dx = do cosw — 0 sinox'/ij, dy = d^ sin&j -f- o coswir/to.

Différentiant de nouveau et prenant dw = const., on aura

d^x r= d^ ^ COSw — 2</p sinwc^w — p COSwc?(W^,

d"^ y =: d^ p sinw -f- 2.dp cosw</w — p sinw^w-.

On déduit de ces formules

dx' H- dy- =:; r^o- + p- du-, dxd-y — dyd^x = — pd^pdoù -+- idp-du -!- p'^du'^;

on a donc

[^dp^ -t- p^ ^w") ^ — pd- p d(i) -h 2 <f o'^ i/w H- 0" diti^ OU

d(,r !

v= ^^ — — -.

2

dur doi'

74. Dans les questions où il y a lieu d'exécuter un changement de variables, il peut arriver que les anciennes variables ne soient pas données immédiatement en fonc-

q(^ calcul DlFFrîUEKTIEL.

tion des nouvelles, mais qu'elles soient liées à celles-ci par des équations différentielles données. Dans les cas dont nous parlons, il arrive quelquefois que les équations différentielles données suffisent avec celles qu'on en dé- duit, par la différentiation, pour éliminer les anciennes variables de l'expression qu'il s'agit de transformer. Nous allons en donner un exemple ; à cet effet, nous repren- drons la fonction

(0

1^_

dont nous nous sommes occupé au numéro précédent, et nous allons chercher ce que devient cette expression de V quand on substitue à x et j" deux autres variables p et s liées aux premières par les équations

(2) .r-'-i- /-=: p-,

( 3 ) d.r- -H (ly^ ^^ ch-,

et que l'on prend ds pour la différentielle constante.

Nous commencerons par transformer V de manière que la variable indépendante ne soit plus désignée, et nous obtiendrons, comme précédemment,

(l.r.cPj- — dyd-x

Cela posé, la différentiation des équations (2) et (3) donne

(5) xdx -\- ydy ^=z pdp,

(6) d.t:d-.v -\- djd'-y =z o;

enfin on a, en différenliant l'équation (5),

[xd'-x -hyd-j) H- [<:/./;- + dj-] = pd'p -\- dp".

CHAPITRE III. Qij

OU, à cause de la formule (3),

(7) xd^x+yd''y = pd^p-^d^'^~ds^~.

Les formules (6) et (7) donnent

[ydx - .xdy ) d^oc = — [pd^p^~ df — ds'- ) dy, [ydx — xdy]d^y = -;- [pd^p -\- df- — ds" ) dx,

d'où

dxd^y _ dyd'^x == [9j^l^_d,^-ds^)d^^ ydx — xdy '

on a d'ailleurs

ydx — xdy = sj'yx^ -^ J" ) ( dx^ -f- dy^) — [xdx +y^j)2 = p \^ds^ — dp- : donc

(8) . dxd^y-dyd'^x=^^^-l±M^£}^.

p \Jds^ — dp^

A.U moyen des formules (3) et (8), la valeur de V devient

ou

V-	pdssj'ds^-	dp-
	pd^p-i-dp'	-ds-'
V -	V'~	dp^ d?
	^ ds^ ^ ds'	i-I

•j. — Caîc. diff.

Ç8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

CHAPITRE IV.

DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES DES DIVERS ORDRES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.

De la différentielle totale du pj^emier ordre d'une fonction de plusieurs variables indépendantes.

75. On nomme différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables la somme des différentielles partielles relatives aux diverses variables ; on représente cette dif- férentielle par la caractéristique d. Ainsi l'on a

du du , du , du ,

du = -^ dx -i- ^-- df -+- '^ dz ^ . . . + ~ dt. àx dy dz dt

De cette définition découlent les conséquences sui- vantes :

1° Si pour les valeurs des variables indépendantes X, y, . . . , t, comprises respectivement entre certaines limites, une fonction u se réduit à une constante, sa différentielle du est nulle; et réciproquement, si la dif- férentielle de la fonction u est constamment nulle, la fonction se réduit à une constante.

En effet, si u se réduit à une constante, les dérivées

-^1 -r-î •••) -^i- sont toutes nulles in'^ 15 j; donc la dif-

dx dy dt ^ ■'

fércntielle du est nulle aussi.

En second lieu, si l'on a du = o, ou

du , du , du ,

-— fte + -r- r/j + . . , + --- dt =z o,

dje dy Ot

CHAPITRE IV. 99

comme dx, dy, . . », dt sont des quantités arbitraires, on doit avoir séparément

du	du	du
■ — ■ ^^^ o	— - — r> . ,
djc	Oy-^^	"' dt

G.

La première de ces formules montre que u est indépen- dante de X (n° 15), la deuxième que u est indépen- dante de y, ..., enfin la dernière que u est indépendante

de t. On a donc

u = const.

2° Si pour les valeurs des variables indépendantes X, Y, . . . , t, comprises respectii^ement entre certaines limites, deux fojictions v> et w ne diffèrent que par une constante, les différentielles de ces fonctions sont égales; et réciproquement, si les différentielles des fonc- tions ^ et w sont égales, ces fonctions ne diffèrent que par une constante.

Cette proposition est contenue dans la précédente en supposant dans celle-ci u=^ v — çv.

Théorème relatif à la différentiation d'une fonction composée de fonctions de plusieurs variables indé- pendantes.

76. Théouème. — Si u désigne une fonction de plu- sieurs variables x, j, z, ..., t^ qui soient elles-mêmes des fonctions de ce/'taines variables indépendantes, on aura

du , du du , du

dx dy dz dt

comme si x, y, z, . . . , t étaient les variables indépen- dantes.

En effet, soient ^, yj, ^, ..., w les variables indépen-

7-

lOO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dantes; si l'on remplace x,j,z,...,t par leurs valeurs fonctions de ^, yj, ^, . . ., w, on obtiendra l'expression de a en fonction de ces mêmes variables. Cela posé, on a, par définition,

du _ du , du ,^ du

du =z -^ db, -\- -— dfi -\- — - rfi; + . . . + —- c/M .

de, dïi dç, c/w

Or -— ^^ est la différentielle partielle de u regardée

comme une fonction de la seule variable ^ dont dépen- dent a:,j^, z, . . ., t; donc on a, par la règle de la diffé- rentiation des fonctions composées de fonctions d'une variable indépendante,

du ,^ du fdx \ du ( dt . \

on a aussi, par l'application de la même règle,

du , du ( dx , \ du f dt ,

— - c/w = —- -— c/ci + . . . + — - — do ooi ôjc \ c/m y ut \(Jo)

En ajoutant toutes ces égalités, on formera l'expression suivante de du :

du ( dx ,.^ dx , dx

du = -—[—: d^-\- ---dri-^-. . .^ — r/w VX \ui:, Uo Om

, du (dy j^ dy '^r ,

dy \di, do d

du , du f dx \ du l dt ,

— dci — — \-~ dci\^- . . .-V- — \— dr, do dx \do J dt \dn

du ( dt ,^ dt , ôt

dt \ Oq do de.)

CHAPITRE IV. lOT

or les sommes qui multiplient respectivement les dérivées partielles

du du du

ojc ôy ot

dans cette formule, sont précisément les valeurs des différentielles dx, dj, . . . , dt; on a donc

du du , du ,

au ::= —- dx -\- -^— dv -h . . . -\ — T- dt. dx dj dt

Corollaire. — Les r^ègles de la différentiation des sommes, des produits, des çiiotietits et des puissances de fonctions d'une seule variable sotit applicables au cas des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Différentielles totales des ordres supérieurs des fonctions de plusieurs variables indépendantes .

11 . Soit du la différentielle totale de la fonction u. Nous désignerons par d^u la différentielle totale ddu de du, prise en attribuant aux variables des accroisse- ments égaux à ceux qui entrent dans l'expression de du, par^^zf la différentielle totale de d'^u, et ainsi de suite, en sorte que, dans la suite

( 1 ) du, d^'-u, d^u, . . . , d"^ u, . . . ,

chaque terme exprimera la différentielle totale du terme précédent.

Les fonctions (i) sont dites les différentielles totales du premier, du deuxième, etc., ordre de la fonction u.

La différentielle totale du premier ordre a pour ex- pression

(2) du = -dx-^-dj-^...-^-^dt,

I02 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et l'on en déduit que la différentielle totale d'ordre n peut être représentée symboliquement par la formule

,o> . [ au , du , du ,

3 d"u=z{ — dx^ — dj-h...-[- — dt

pourvu que, après avoir exécuté le développement du se- cond membre, on remplace, dans chaque terme, les fac- teurs de la forme

		l'duY 1	U)u\	e 1 ...
		[-dr] \	\dyj	1
par	la dérivée	partielle
		d'	x-(-ë+.	■•+"M

/duy

Il suffit, en effet, pour justifier cette assertion, de ré- péter ici textuellement le raisonnement dont nous avons fait usage au n" 65, en traitant de la différentiation des fonctions composées de fonctions linéaires d'une seule variable. Les deux questions sont évidemment les mêmes, puisque les différentielles des variables sont constantes dans l'un et l'autre cas, et qu'ainsi les différcntiations successives suivent la même loi.

78. La formule (2) du numéro précédent subsiste (n°76) quand x,j,z, ..., t cessent de représenter les va- riables indépendantes; mais il n'en est pas de même de la formule (3) quand «est ^ i, à moins que x,yj z, ...,t ne soient des fonctions linéaires des variables indépen- dantes. Dans le cas général, c/cr,f/), ...,dL nesontpluscon- stantes, et pour avoir d^ u il faut différentier la formule (2) , en considérant chaque terme comme un produit de deux facteurs variables; la règle de la différentiation des pro-

CHAPITRE IV. I03

duits étant applicable aux différentielles totales, on a

(Pu= [ d.T + —- dj -\- . . .-^ -— dt \Ô.r dj àt ^

du „ du du

d^-x + -- fPj + . . . H- — ^2^ Ô.r ÔY dt

en écrivant d'une manière symbolique la partie de cette expression qui est indépendante des différentielles des ordres supérieurs au premier. On pourra calculer, en suivant la même marche, les différentielles totales d^u,

dUi,

Mais, dans la plupart des cas, il est préférable de cher- cher séparément les diverses dérivées partielles qui con- courent à former les différentielles totales dont on a besoin, ce qui ramène le problème au cas des fonctions d'une seule variable. Effectivement, si ^, vî, • . . , w dési- gnent les variables indépendantes et qu'on veuille cal- culer

â'^u

on différentiera l'équation

U=f{.T, j-, z, . . ., /)

d'u oc fois par rapport à Ç, ce qui donnera —^ • On différen- tiera 6 fois le résultat obtenu par rapport à^, ce qui

^<^+^ Il donnera -r — r-i-, et ainsi de suite.

dt^'^dn^

Calcul des différentielles totales des divers ordres des fonctions implicites de plusieurs ^variables indépen- dantes.

79. Le cas le plus général des fonctions implicites est celui où l'on donne m équations entre « variables indé-

I04 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

pendantes et m fonctions de ces variables. Les seconds membres des équations dont il s'agit étant supposés nuls, les premiers membres sont des fonctions composées de fonctions des n variables indépendantes qui se réduisent à zéro; par conséquent, leurs différentielles totales des divers ordres sont nulles. On peut donc, par des diffé- rentiations successives, déduire des équations proposées des systèmes nouveaux qui feront connaître successive- ment les différentielles totales du premier ordre des m fonctions considérées, puis les différentielles totales de deuxième ordre, et ainsi de suite.

80. Mais, au lieu de calculer directement les différen- tielles totales, on peut chercher séparément les diverses dérivées partielles qui figurent dans leurs expressions : le calcul de ces dérivées partielles s'exécutera par la règle qui se rapporte aux fonctions implicites d'une seule variable indépendante.

Considérons, par exemple, le cas d'une fonction z des variables x, j, liée à ces variables par une équation donnée

(l) f{.T,y,z]=0.

Soient p et q les dérivées partielles du premier ordre

dz ôz

-T-5 —-5 on aura

dz-=^ pdx -\- q dy ; on aura aussi, en désignant par r, ,ç, t les dérivées par-

f/Z ff Z fi Z

tielles du deuxième ordre -— -? —■> -r— ,)

0.r'' Ox Of Oj- d^z =^ rd.r^ -h isd.rdy -\- tdy-, et ainsi de suite. 11 faut remarquer que les différentielles

CHAPITRE IV. lOÔ

totales dp, dq ont respectivement pour valeurs

dp z= rdx -f- .vr'r, dq 1= sdx -^ tdj.

Cela posé, pour avoir p el q, on différentiera l'équa- tion proposée en regardant d'abord x comme seule va- riable et ensuite j^ comme seule variable : on aura ainsi

(n°46)

df ^ df djc OZ	df	, df "-^dz
df		df
ûx	q =	df df'
dz		dz

:o;

d'où

(3)

Maintenant, pour avoir ;•, s, t, il suffit de différentier les équations (2) ou, si l'on veut, les équations (3). En difFérentiant les équations (2), d'abord par rapport à x, puis par rapport à j, on obtient trois équations dis- tinctes, savoir :

df

dz

,,s ; - / - y - y dV df

^ ' 1 dxÔY dxdz dydz dz- dz

df dz

qui détermineront les dérivées partielles r, s, t. Il faut remarquer que la différentiation de la première équa- tion (2) par rapport à y donne le même résultat que la différentiation de la seconde équation par rapport à x.

La différentiation des équations (4) donnera les déri- vées partielles du troisième ordre, et ainsi de suite.

d\f dx'-	-{- 2/?	d'f dxdz	-'^f	.d^-f dz^
d\f	H- «7	d'f		dV
dxdy	dx dz	' r	dydz
d\f df-	-l-2<7	d'f dydz	-\-q'	dV dz^

lo6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

81. Exemple. — Soit l'équation

.r^ -h JT" -f- Z^ = «'

entre les variables indépendantes x, y et la fonction z de ces variables; si l'on fait, comme précédemment.

dz ^=.pd.r. -f- qdy^ dp =^ rd.r -y- sdy^ dq = sd.r -+- tdy,

on trouvera successivement

X -{- pz^^O^ y -\- qzr=o, puis

l -\- p"^ -^ rz z=z o, pq -i- sz = o, j -\- q- -\- tz^= o;

d'où l'on tire

.r r

xy y- -+- z^

— - 5 t = •

De l'élimination des fonctions arbitraires.

82. On a vu, dans la théorie des fonctions d'une seule variable, comment on peut former des équations différentielles on des systèmes d'équations différentielles simultanées, par la différentiation et l'élimination de constantes arbitraires. Une question analogue se présente dans l'étude des fonctions de plusieurs variables; mais ici les arbitraires que l'on peut éliminer par la différen- tiation sont des fonctions et non plus de simples con- stantes; les équations différentielles que l'on obtient par cette voie sont dites équations aux dérivées partielles. Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, au cas de

CHAPITRE IV. 107

rélimination d'une seule fonction arbitraire ; l'équation aux dérivées partielles qui résulte de cette élimination est alors du p?'eniier oindre.

Considérons d'abord trois variables x, j, z dont les deux premières soient indépendantes. Soient u et ^ deux fonctions données de ces variables et^(M, i^) une fonc- tion arbitraire de u et de v. Nous supposons que la fonc- tion z soit liée aux variables x., y par l'équation

(i) *(«, (0 = 0,

et nous nous proposons de trouver une équation, entre X, j, z et les dérivées partielles de z, qui soit indé- pendante de la fonction 4>.

On peut, si l'on veut, supposer l'équation (i) résolue par rapport à v^ alors on a

*' = ?(")'

et, comme la fonction ^ est arbitraire, la fonction qj l'est aussi; mais il n'y a aucune raison pour préférer cette dernière forme à la précédente.

Les dérivées des fonctions uetu par rapport à x sont, d'après la règle du n° 33,

du du	dv dv
T.^PTz'	d7--^^^3

pareillement les dérivées des mêmes fonctions par rap- port àj sont

du du dv dv

en posant, comme au n° 80,

dz ^ p d.r -\- q dy. Si donc on différentie l'équation (i), d'abord par rapport

I08 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

à Xi puis par rapport h.y^ on aura

/ f)<^/r)M du\ ^ d<i>/ , ^ du[d7v'^^d^)'''~d^\ (2 ) d^ 1 du du\ t)<t> ^du\àj~^'^'<h)~^ôi^	'de duX
\()l OzJ
Ces équations sont homogènes	, d* d* par rapport a -, ^,
et l'élimination de ces dérivées	donne immédiatement
l'équation

,-, /dw âu\ (dv di'\ (ôv d(A [du du\

Si l'on effectue les multiplications indiquées et qu'on fasse, pour abréger,

du dv du dv

df dz dz dy'

^ du di> du dv

■5

V=:

dz dx d>- dz' du di' du dv

•>

dx dy dj d^ l'équation (3) deviendra

(4) vp-^qq = Y.

Telle est l'équation aux dérivées partielles du premier ordre que nous voulions former : elle est linéaire par rapport aux dérivées partielles/? et </; P, Q, Vy dési- gnent des fonctions données des trois variables x, j , z.

83. Le résultat que nous venons d'obtenir s'étend de lui-même au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Effectivcmcnl, si

CHAPITRE IV. 109

désignent n-i-i variables dont les n dernières soint indé- pendantes, et que l'on fasse

<:/.r =pi dxi -hp2 dx^ + . . . H- ^„ r?lr„ ; si, en outre,

K,, î/,, . . ., Un

représentent n fonctions données des variables x, Xj , . . . , Xfii l'équation

(l) «!>(?/,, «2. • ••, «n) = 0

donnera, par l'élimination de la fonction arbitraire 4>, une équation aux dérivées partielles du premier ordre qui sera linéaire relativement aux dérivées p<, ^2? * • • ? Pn.'

Pour démontrer ce théorème, différentions l'équa- tion (i) successivement par rapport aux variables indé- pendantes X{, Xi^ . . . , Xny on aura

1^\1^ -'-/^i

dui dui

dui ôx

d^ /du.

dx^ dx j ÔU2 \d.v^

Pt

du. dx du, dx

d^ fdun du^

du^ \dri "* dx

dx

d^ /du,, du^ \dx2

P2

' d^ i dui

/du^ \dj^n

dUy

dx

d^ (du, du.j

^2 te "^^"

dx

d^ fdu,i du,

dun \dx,, ^" dx

= 0,

et il est évident que, si l'on nomme D le déterminant de II- quantités :

D

âuy			àui	duo		du.
OXi	+	Pi	Ox	dXy	-^Pi	dx
(?«,			du y	du.		du.
dx^	-h	Pt	dx	dx^	+P2	dx
du^			dui	au.		du.
dx^	-f-	Pn	dx	dx„	-^Pn	dx

àu„ ^		du„.
ÔXi	Pi	dx
àu„ ,		du„
àx.	-Pï	dx
à"„ _		du„
dx, '	P'	dx

I 10

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'équalion qui résulte de l'élimination de - — > 3—; entre les équations (2) sera

dun

D

Désignons par A le déterminant

dii^	du.	àUn
d.r.	dx^	dXy
âui	dn^	àUr,
d.v^	d-r.	ÔX2
t)«i	du.	àlln
dx„	d.v„	dXn

et par A^ ce que devient A quand on y remplace la

//^ieme jjgne horizontalc, savoir

par (3)

du^	du.
d.rj	àx,n
dui	du^
d.r'	d.r

du^ dx„

du„

d-r

Il est évident que, si l'on remplace la première ligne de A par la première ligne de D, on obtiendra un nouveau déterminant A^'^ dont la valeur sera

remplaçons la deuxième ligne horizontale de ce détermi- nant A^'^ par la deuxième ligne horizontale de D, on ob- tiendra un nouveau déterminant A'-^. Or, par le change- ment dont il s'agit, A devient A-|-;^2 Aj; quanta pt A,, il ne change pas, caria quantité dont il s'accroît est un déterminant dans lequel deux lignes horizontales sont composées de quantités proportionnelles aux quantités (3)

CHAPITRE IV. I I î

et dont la valeur est, en conséquence, zéro; ainsi l'on a

A(-^ := A H- /^l Aj H-/?2 ^2-

Le même raisonnement prouve que si, dans le détermi- nant A^-\ on remplace la troisième ligne horizontale par la troisième ligne de D, on obtiendra un déterminant A'^) dont la valeur sera

M^1= A +/?! Al H- 7^2 A2 +7^3 A3,

et, en continuant ainsi, on trouvera que le détermi- nant A'"^ ou D dont nous nous occvipons a pour valeur

D = A -4- /?i Al -I- /;>2 A2 + . , . + /.>„ A«, ce qui démontre la proposition énoncée.

84. Théorème relatif aux fonctions homogènes. — • Une fonction de plusieurs variables est dite homogène lorsque, les variables étant multipliées par une indéter- minée t, la fonction se reproduit multipliée par une puis- sance i"* de t. L'exposant m de cette puissance peut être entier ou fractionnaire, positif, nul ou négatif; il est dit le degré d^ homogénéité de la fonction.

D'après cela, si/" (Xj ,Xo,..., x„) est une fonction ho- mogène, on aura, quel que soit t,

et, en faisant î •=: — 5

/ (.Tj, .rj, . . . , .r„ J zrr ^"^ f { — > ^^ î " • ^ 5 I

ainsi toute fonction homogène x des n variables .X|, X2, . . . 1 Xfi peut se mettre sous la forme

112 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On peut exprimer, par le moyen des dérivées par- tielles, cette même propriété des fonctions homogènes, et à cet effet il suffit d'appliquer la méthode du numéro précédent à l'équation

(i) K„=F(«i,;/25 "M ««-i),

où nous supposons

Si l'on fait, comme précédemment,

dx = pi d^i -f p2 dx^ -^ ■ ' '-^Pn d^nt

on formera les équations

<" -^n àuy x';^ x^ du^ .r;^« j7„ d«„_i

p^ m.T / dF .rj _ dY .r, ^ dV

En ajoutant toutes ces équations, après les avoir multi- tipliées respectivement par Xi x^, x^x'^, . , . , on aura

mx =ipi .r, -V- p^x^-h. . . -V-Pn^ni

d'où il suit que :

Théorème. — Toute fonction homogène du degré m est égale au quotient de la division par m de la somme de ses dérivées partielles du premier ordre, multipliées respectivement par les variables correspondantes.

CouoLLAiRE. — Les dérivées partielles d\ine fonction homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i .

Cela résulte immédiatement des formules

, ')F

i'^ = <-'ou7 ■•■■

CnAPITRE IV. Il3

80. L'élimination dont nous venons de nous occuper conduit à des équations aux dérivées partielles qui sont linéaires par rapport aux dérivées. Il nous reste à faire connaître le procédé général au moyen duquel sont for- mées, comme on le verra dans le Calcul intégral, toutes îes équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Examinons d'abord le cas de trois variables x, y, z dont les deux premières sont indépendantes, et posons

dz = p d.r. -^ q dy.

Soient a un paramètre variable, ''f(a) une fonction arbi- traire de ce paramèti'e, et

V = /'r.r, r, 3, «, y(«)]

une fonction donnée des cinq quantités x, y, z, fr, c&(a). Considérons le système des deux équations

(il V = o, ^p=o.

^ de/.

Si la fonction arbitraire cf était fixée, et que l'on pût éli- miner a entre les équations (1), on aurait une équation entre les trois variables .r, y, z. Mais, lors même que la fonction (j) demeure arbitraire, on peut toujours regarder;? comme une fonction de x et de j déterminée par le sys- tème des équations (i). Cela posé, nous nous proposons d'éliminer la fonction (j) des équations (i), par le moyen de la différentiation. On peut raisonner comme si l'élimi- nation de a pouvait être exécutée ; ainsi l'on peut regar- der a, dans l'équation V = o, comme une fonction de x,

, . dV

y, z déterminée par l'équation -r— =:o. Alors, si l'on

prend la différentielle totale de la première équation (i), ou aura

dS , dV , r)V , r)V ,

-— dx -i- -r— dy + -— dz -\ dv.-=: q\

dor. dy Oz (Jk

S. — Cale. diff. 8

Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

mais le dernier terme de cette formule disparaît en vertu de la deuxième équation (i), et si l'on remplace dz par sa \\\\c\\r pdx -- (/ dy, on devra ég^aler sépaicment à zéro les cocfïicienls des deux différentielles arbitraires dx el dj\ on aura donc

ù\ ()W dY ôY

^ ' dx ' Oz Oj ^ ôz

Maintenant on peut éliminer le paramètre a. et la fonc- tion çp(a) entre les équations (2) et la première des équa- tions (i) ; on obtiendra ainsi une équation

(3) F(.r, r, z, p, <7 ' = o,

qui est aux dérivées partielles du premier ordre et qui peut avoir une forme quelconque. On verra plus loin que, si .r, ^'■, :; représentent des coordonnées rectilignes, l'équation (3j exprime une propriété du plan tangent commune à toutes les surfaces que représentent les équa- tions (i).

86. Exemple. — Soit

V _^ '.X - af + [7 - î>(a)PH- z^- - R-, R étant une constante. On a ici

les équations (2) du n° 85 sont donc

Si l'on en tire les valeurs de jr — a, j — 9(<^) pour les substituer dans l'équation V = o, il viendra

ou

R

CHAPITRE IT. Îî5

ce qui est l'équation aux dérivées partielles qu'il s'agissait de former.

87. Passons maintenant au cas général. Soient jr,, .r-2. . . , ,Xn les variables indépendantes, x la variable qui en dépend et que l'on nomme souvent la variable prin- cipale, faisons aussi

d.r = /?i dxi -f-/>2 d.r., -i- . . . -f- /?„ f/.r„.

Soient en outre a, , ao, . . . , a„_, , « — i paramètres va- riables, et

a=-<p(oci,a2 «„_,)

une fonction arbitraire de ces paramètres; désignons enfin par

V — f[-r, .ri, .r2, „ , . , .t„ ; «, k, «„_i )

une fonction donnée des n -]- i variables, des n — i pa- ramètres et de la fonction a.

Cela posé, considérons les n équations

, . -. dY dV dV

I Vi=0, -r-=0, :^— = 0, ,. =0,

qui déterminent x, a,, a^, . . . , «,,_, en fonction de Xf, Xi, ...,Xrt, et proposons-nous de déduire de ces équations une équation aux dérivées partielles indépendante de la fonction arbitraire a.

La marche à suivre est ici la même qu'au n** 85; la différentielle totale de V doit être nulle, et l'on a

f/a„_i =:= G,

8.

	dV	dx-\r	dY	dac^	,+	dY ^ ...-h^—d.'. d.r„
		+	dY d«i	dv.^	-t-.	ÔY ..+ -;
les dérivées	dY	ÔY	..	•'d	dY , étant p] ««-1

Il6 CALCUL DIFFÉTlE^TlEL.

qui entre dans V comme fonction de a,, «2» . • ., K„_|. Comme les coefficients de f/a,, da^, ..-, diXn-t sonL nuls, en verlu des équations (i), on a simplement

rlx -\ d.r. -1- . . . + - — ax„ = O.

Remplaçons dans cette équation dx par

/^l c/.ri -J- /?2 f^-^Z -r-- • --^^ Pn dXn^

les différentielles restantes dx^, dxo, . . . , dxn étant arbi- traires, leurs coefficients devront être nuls séparément, et Ton aura

d.T^ de

ÔY dV

1

Maintenant, si l'on élimine a, a,, ^2^ — ^ ««-» entre les n équations (2) et la première équation (i), on obtiendra une équation résultante

(3) F (.r, ./•!,./■,, ''n-^Pl^P-l, Pn)=0,

qui sera l'équation aux dérivées partielles demandée.

Du changement des variables indépendantes.

88. Le problème que nous nous proposons de résoudre peut être énoncé comme il suit :

Soit u une fonction de m variables x, y, z, ... ; 51 l'on considère x,j,z, ... comme fonctions de m nou- velles variables \,ri,X,, , . . , u deviendra une fonction de ces mêmes variables. Cela pose, on demande d'ex-

CHAPITRE IV. Ii;

primer les dérwées partielles

du	du	du
àr'	0/	ds'
d'~u	d'-u	d'-u
d^'	d.rdr'	d.rdz'

relatiues à l'hj pothese de x, y, z, . . . variables indé- pendantes, en fonction des dérivées partielles

du du du

di do dç,

d^ u d~ u d-u

relatives à V hypothèse de l, r., ^, ... variables indé- pendantes.

Ici les anciennes variables JC,y, z, . . . sont données en fonction des nouvelles l, vî, ^. • • •• et réciproquement

celles-ci sont des fonctions connues de x, y, z

Regardant alors u comme fonction de ^, y?, ^. . . . et l,ri, ^, . . . comme fonctions de x,r, ^, . . . , la solution de la question proposée se déduira immédiatement de la règle de la difFérentiation des fonctions composées.

On a effectivement

(0	du ,., du , du „^	' ' }
puis	\ doc dj- dz	' ' ' t
(-)	1 dti ~ --- d.r H- - dy -4- dz ^ j djr: dy dz	' ' • )

Les variables ^, y], '(^, ... étant données en fonction dex.

Il8 C.'VTXUL DIFFÉRENTIEL.

y, Zs . . ., les dérivées -.^ i ,-> ••• sont elles-mêmes

des fonctions connues de x, y, z, . . . , mais on devra les

exprimer en ^, y;, ^ On substituera ces valeurs dans

l'équation (i) elles coefficients de clx,dr, dz. . . . seront les expressions demandées des dérivées partielles

du du du d.r (\r oz

en fonction des variables l, n, T, ... et des dérivées

du du du

dl' dn' dV

On procédera de la même manière à l'égard des déri- vées d'ordres supérieurs ; ainsi l'on a

. du , du . du

d-r- d-^ d c-

du d.r <^^ . ^ ''■'' rr .

d — = -— - dl -1 ^^— ch + — ,- (K-r-. . .,

d.r dç dr, de

et, quand on aura substitué dans le second membre à -r—

la valeur précédemment obtenue, puis à dl, dri, d^^, . . . les valeurs tirées des formules (2), les coefficients de dx, dj, dz, . . . exprimeront les valeurs demandées des déri- vées partielles

d^u d^-u d^u

d.v^ dxdy d.rdz

Pareillement, en faisant la même substitution dans la

formule

du du du

,àic dr ,^ dy , dr ,.,

dy dl dr, dç

on obtiendra les expressions cherchées des dérivées

d^u d- u d- u drdf dy^ djdz

dont la première a déjà été calculée, et ainsi de suite.

CHAPITRE IV. I 19

La même méthode est évidemment applicable aux dé- rivées de tous les ordres.

89. Application. — Les points de l'espace peuvent être représentés soit par trois coordonnées reclangu- /aires x,y, z, soit par trois coordonnées polaires r, 0, ^ qui sont liées aux premières par les formules

(i) j: ::= rsinS cos-^, )■ 1::= / sinô sin-^, z -^^ rco&O,

ou

3 y

(?.) r:= \J x'^ -{- r'^ -\- z^, cosû = _- -— . ? tang-^ = -•

Cela posé^ la quantité u ayant été d'abord regardée comme fonction de x, y , z, on demande d' exprimer les dérivées de u du premier et du deuxième ordre, savoir:

eu du du d^u d'^u ô-u â- u ô'ie d-u d.r' dr^ dz' ().r^' d-rdj ôxéz ôj- djôz àz^

en fonction des dérivées relatives aux nouvelles va- riables indépendantes r, 6, ^.

On lire des formules (2)

(D =	z	'Xfb:^-	Ycly] -	■.r^-!- r^	]dz
	{■-'	-:-j-M-z^	j^sinô
(11 =	{-	-rd.r-	■ xdy] cos^t|'

OU, à cause des formules (1),

dr : -: sin 0 cos -^ dx -\- sin B sin ■]/ dy -{- cos 0 dz,

dB -^ ~- cos 0 cos iLc/.r H cos 6 sin ii/ dy slii 0 dz,

r r r

I sin-^ , i C()Si|/

dh ■=- . d.r -\ dy,

r sniô /• smô

I20 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si l'on substitue ces valeurs de dr, dQ, d^ dans la formule

d« , <?« ,„ ^« ,.

du = --- dr + — ^9 -f- -^7 dh, dr dd ô-^ ^

on aura

' du du . du cnsôcosi!/ du siriii

- = -T- siaScosii/ -4- -— 3- — .-^>

\t or dO /• d-ji rsind

,,, ) du du . . , du cosôsin]/ du cos.]/

(41 ' - - = - sin5 sirn!/ + ,- 1- , , — ^^—-5

^^ j dr dr ^ de r di> r&md

f du du du sinQ

-^- z= — cos (? ,- •

\ dz dr de r

Il faut maintenant former les différentielles totales de

du du du

dx dy dz '

ou, ce qui revient au même, les dérivées partielles de ces quantités par rapport à /■, Q, ^. On trouve

I ) ^"

I d.r d^ u . d"^ u cos 6* cos -i/ d~u sin-i/

~~T~ = ~r^> sin 5 cosi;/ -f- -— —r- — r-r

dr Or- ^ drdB r drO-ji rsuiO

du COS0 cos-^ du sin-^

. du dx d^u . ^ , (3'^« cosô cosii; d^ u sin-i/

Cl n H fos ^i — i—

dû ~ drOO^ ' dd-' r d'jih!^ rûne

du , du'SwxO a.^?,h t?« c()s(5 sini/

dr ^00 r d-^ rsm^O

du

d.r d^u . d^u cos5cos-^ d- u s'n\^

d-^ ~~ dnJ-l ^'" ^"^ ^ ' dOd-^ r 'd^' AsinÔ

du . . du cosQs'm-^ du cos-]/

Or ^ dO r di>r-Mn6'

CriAPITRE IV. Î2ï

du

dy d^u . . d-u cos9sini|/ â^u cosij/

-— ■- = sin 6 sm -i -I " "î — i — TT Z

dr ôr- ' Orôh r dr&\i rsino

dwcos^sin-^ 6?« cns-^

] dy d^n . . ^^Mcosôsin^i (?^k co.s.f/

— ^ =: sin 0 sin -i/ --1 — — - -1- -: , , — : — 7

(6) ' ôd OnJfJ ' àO- r i)Oâ-l> rsM\0

du . c^zi sin6 sini]^ ducosOcnsl

-\~ ^— cosô siiiil/ ,, , . ■ ■,.,"'

dr ' oO r 0-^ rsm-ti

Ou

^ d^u . . d^-u cos9sin-|< r)-?/ cnsi/

^ = rr sin 9 sin -i -i- ,^ , , ; — 777 — ■ — 7

0-^^ Ord-\i ^ àOd-p r Oy r^md

du <?« cos9 cos]/ du siii-^

-Y- -r- sin 9 cos-J/ -h -— ■ ^ . — ■■ — 7;

dr ' dd r 0-!^ /sin 6

du

'dz d^u d^u sine du m\0

c/r d/-'^ oru(j r dO r'-

du

(-7) l'dz d^u c)2«sin9 d« . „ du œr^O

^* ' > '= cos9 sinô TT" j

d9 d/d9 dô' /• dr d9 r

d«

dz d-f/ d-« sin 5

d-^ "" dTd^ ^"^ "* ~" dôd^. ~r" *

Si l'on ajoute les équations (5) après les avoir multi- pliées respectivement par les équations (3), on aura la

différentielle totale de -r--. etles coefficients de (ix,(^},r/:r dx

dans cette expression seront les valeurs demandées de

d^u d-u d-u ^

djc- dx df d.r dz '

on obtiendra de la même manière les autres dérivées par-

122 CVLCri. niFFitnENTIEL

lielles en ajontanl successivement les équations (6) ou (y], aj>rès les avoir préalahleiiiciit niullipliées par les C(jiiali(»ns (3). On trouve ainsi

d'il ()- u d- u sin9 rosC/ ros' .!/ d^ u s\n-hcn9.l

-—- =z ,-r sur 0 (OS- -b ~- ?. - — o

dr=' ôr^ ^ ôrôO r Orô-\, r

i)- 1/ rt):^-0 co'^^b ()'- u rosC^ sin!/ cosi <)- ii siiri/

ô'j- r- ~ ^ OfJÔ-\> /--Tin 5 ^ 'df- r-Ân-B

('« coj-O cos*^ -f- siii^i^ du (siii-i/ — 9. Rin*0 cos^t^/'^ ros? <)// siniros]»

■ o/- r ' dQ r*siii5 ' c)J/ /-siii*© '

1^"- K '^"" . ,, . , , d'i^ sinS cns6sin-i/ cosJ/ d'^ u c()S*-J* — siii-L

()-u c<)9,-0 f^\n-l) cnsp d^ u (cos*-,|/ — sin*-|]cos6 d" w sin-^ c()S-|- oJ- r^ ôOô-^ /-sin 5 ô-y- /-sin- 6

()ii siir-()sin-j' rosi/ âii [i -'- ■?. sin^fi' cos& sini|/cos-^ Oit cos'-i» — siii*-|/

f}- n i)- u . d- u cos-0 — sin-^'cos-i/ à' u cosOsini

-—- - = , , smO cos'^ cos-i/ -;- -r — — — -c—vT ^—^

OxOz or- 0/06 r OrOi> rsuiP

f)- u siiiô cosO cos-^ à'^ it sini/

~ W 7^ ^ oô^ T^

dit sin9 cosO cost|» du cos-9 — siii'5^ cos-^ "" Or r dé ^^^ '

d'' u d"^ u . , . , <)*« sinô cosO sin*\!/ d'^u sin\J/ cosi}/

__- =:; - sur 'j sur -li -.- 1 -,— rr -!- 2 -, -, ,

(J)- dr- ^ drOO r d> d\> r

f)- « cos*0 sin^-} ')-// cosO siir^ cos-^ d"- u cos--^

"^ "(W 7^ '" ^ dfdl^ /■* sin 0 "*" d!^^ /•*sin*0

*)// cos'-Osin-i -f- cos'-^ f^// (cos*i/ — 9 siii*0 sin"]/ cosO du sin-^r<>s|i

"■ dr r ' do r» sinO ^ d-!^ /»siu*0''

rlîM'IlIK !.. I2J

t)*u d*u . . ... '^' ' '' ')'" cosflcosi

-; — - --- - sinO r(is5 siiii H 7- . -, '

1)' it siii {) cosO Niii ', ,!'tt fi»»'^

()/• r ù'j r*

f)w/ 'I .•/ .. d*u sinOcosO /)'« sin'6

nis-0 — 2 -;- -- -

- a

Or r 09 r*

iK). C )ii jKMil soiiN ciil :ilir('j;iT, en rriipluN ;iiit tics artifices con\fn;«l>lt's, 1rs caltiils iiéccssaiiTs pour cxtMiilrr un cli;iii;,'('iiictil (le >;irial)l»'s ; nous cioNdiis utile ili- «liiiiucr uiu- i<lt'M' (If CCS sini|ili(icali()iis en Irailaiit ici une (jucstu)n (jui se rcMcniilrc dans diverses llieories iiiatliériiati(|:ics. ÎSous iiuii> jiKijMiMUi"» de II aii^liii mer lexpres^iuii

, , _ t)' Il iV- Il 1)' it

d** ôy di*

en siili^lituaut aii\ cuDrdniiiii'es rcelanijulaircs .r. i . ; les cnni iloniiccs polaires /', 6, <j;. ( )ii nhtieni iiniiiédiati'nienl la solutiiui de celle (|ucslii)n en faisanl iisaj^e des («uiiiiilcS du nuiiicri) |iréc('i|eni, mais nous nduIoiis c\cculcr la translorinatioii saii- reciuinr à ces loi iiiiiles.

A cet elK'l, nous sultsi ituercuis d aliord à x cl ) les deux Vai lalilo c, V l«d!es iiuc

x:^-fct>s|, jr-psin-;.,

ou

124 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On tire de la

xdx -hrdr

dp =-- := coshdx -h- s\nl/dy,

,, (xd) — y dx cos^-i/ sin-i/ c.is!/ , d-i> = ^ ■■ ■— î = 1 dx H dr.

^ ? ?

1^ , • 1 , - do âp d-^ dl ,

Lies équations aetcrminent-''» --• —i -, ; on en concliil

Ox Oj- dx ôy

i du du du sin-i/

i -— = ^- cos^f — 5

] dx dp d-^ 0

[2J <

dfi du . du cos'/

V = > sini|/ -+- . •

dj dp d-i> p

En ajoutant les équations (2), après avoir multiplié la seconde par ^ — i, il vient

, d« du I , . ,• ( du V — • au

Désignons par v la valeur de chacun des membres de la formule (.V; comme cette formule subsiste quelle que soit la fonction a et quel que soit le signe qu'on donne au radical ^ — r , on aura, en remplaçant a par v et en met- tant — ^ — 1 au lieu de ^ — i .

,,sàv dv . ,;/()(• V--1 àv\

dx * dy r T ^'^00 p d-^

De l'égalité

du - — - du ôx-"'^ ~'d-y

on conclut

et l'égalité

dv di' d' u d' u

dx ^ dy Ox- dj~

I . sf du \/— I du\

cos^f; 4- v/-i smi>) { -■ -i- — — --

dp p Ô-^ y

CHAPITRE IV.	123
donne ensuite
' \àp	\^! — I d<''\ d-u 1 d'^u p d-^ij dp'^ p- d-y-	I du ■' p dp
Ainsi l'on a
_ , ()- u à- H ^ ' ôx- dj^	d^n I d^u I du dp- ' p2 d-j/^ p dp '
et, par suite,
	d~ u I d'-u I du dp- ' p'' d\|'* p dp

Pour achever la solution, il reste à substituer aux va- riables p et z les variables nouvelles /• et 9, liées aux pré- cédentes par les équations

z=zrcosO, p=zrsin6.

Or, si l'on remplace, dans la formule (5), JC,j^, p, ^|> par z, p, r, ô respectivement, il viendra

d-u d'^ u d-u I d- u I du

dz- ' dp- dr- r- do- ' r dr^

en même temps la seconde des formules (2) donnera par le même changement

du du . du cos9

-T- = ',— sin 6 -f- -T- :

dp dr dO r '

on aura donc, en substituant ces valeurs dans la for- mule (6) et en remplaçant aussi p par ;• sinô,

d'^u "i du I d-u i d-u cns9 du

~ ~d7^~^Jd7 r-sivi-e d^^ "^ 72 'dô^ ~^ /•'■sinô de '

Les deux premiers termes de cette expression multipliés

par r donnent la dérivée -~-~ ; les deux derniers termes

dr^

CALCUL DIFFÊHENTIEL.

,.,4'-'l)

multipliés par /- sinO donnent la dérivée ; on

a donc

du

-.o/ , -,, ^ sine -—

r-S = r — ' h ■ ! •

dr- siii'''5 d-\>'- sine dO

Il est souvent avantageux de prendre

cose = fA

pour variable au lieu de 0; alors on a

du du d[>. . i)u ■ ^àu ^^ du

— -= ;' z=: — sine — 1 d ou sine — - z= — ii — ul-i — <

oo OiJ. dd Oii de ^ ^ ' Oit

uis

p

•^- ^--' =— -^- -Sine résine !-;

de c'pt dfx '

et l'on obtient finalement l'expression suivante de S en fonction des variables indépendantes / , p, ^ ;

dr^ I — p- d^^ dfi

Z)« changement de toutes les variables.

91. Lorsquel'on veut changer la variable principale en même temps que les variables indépendantes, la marche à suivre est la même. Supposons que l'on ait introduit dans un calcul une variable u fonction de ni variables indépen- dantes X, j, z, . . . , et qu'on veuille adopter une autre fonction u de m nouvelles variables indépendantes ^, m,

CHAPITRE IV. 1^7

^, .... Il s'agit d'exprimer les dérivées particlics

du Ou ()- u d-u

, , . . . , — -- , — - , . . . ,

OX (jj a.r- Ô.rOj

en fonclion des dérivées partielles

OÇ Oc Oc,^ Ôi;Oo

Dans cette question, les /?? -f- 1 variables de l'un des systèmes que l'on considère sont données en fonction des m-]- I variables de l'autre système. Ainsi u, l, r,. '(, ... sont des fonctions données de u, ^,J, -, . . ., et leurs ditTérentielles totales seront de la forme

eiv -- U„ du -+- Ui dr -^ V^dj -\- . . ,, dl -= Xo du H- Xi d.r -4- Xj ^J + . . . , dn = Yo du -f- Y, dr H- Y, <r/r + . . . ,

Uo, U), • ■ -, Xo, X|, ... étant des fonctions connues des variables z/, jr, j , z, .... Mais u étant une fonction de .r, 1 , -, • • . , on a

le x,j , z,

du du

du :^ -— dx -+- - - dr -]-

Ôx Oj

et, par conséquent,

dv = f U, + Uo ^Jl ) dx + fu, + l]/^]dr-\-...,

f à" \ ,

dç, =; ( Xi + Xo ^ j dx

\

Si maintenant on porte ces valeurs dans la formule

du Ôv ()-j

^ ' Oi 0/1 oc,

y-.		ôjj
(x.	+ Xc	du\	dy
(-	+ Y,	du\	dy

128 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on obtiendra une équation qui devra subsister, quelles que soient dx, dy, dz, . . . , et qui se décomposera en m autres, savoir :

/ ^. ,^ du f du\ (h \ du\ dit

1 U,H-U, -^- - ^X,-.Xo ^^ ) j^ -r- ^Y,-,-Yo ^) ^:^- +...,

On peut exprimer Uo, Ui , . . . , Xo, . . . en fonction des variables v, H, "A, '(, .... et les formules (3) donneront

Il I j I ' j <^" '^"

alors les valeurs demandées de -r-? ,— ? •■ ••

Pour passer aux dérivées du deuxième ordre, il suffira de différentier les équations (3). Considérons, par exem- ple, la première équation du système ( 3 ), différentions-la

totalement, remplaçons ensuite d ^ par

d^ U () Il , ô'^ u ,

-— - c/.r -t- -r — -- dy -i- -V— T- àz -î- O.r- Ôxôf OxÔZ

)U1S

par leurs valeurs respectives

— <'/?-+- — dv -;- ut On

y.-, di; -V- -TT-r^^ ^-

(Y'y

^^? + X^ ^^

-•*• • ....,

mettons enfin pour d^^, dm, > . . les valeurs tirées des

CHAPITRE IV. 129

formules (i). L'cqualion ainsi obtenue aura lieu quelles que soient les différentielles restantes dx, dy, dz, ... ; par conséquent elle se décomposera en m autres qui feront connaître les expressions des 772 dérivées partielles

d- Il d- u à^u

On calculera de la même manière les valeurs des autres dérivées du deuxième ordre

dP' ~d7ôz'

Les dérivées des ordres suivants s'obtiendront évidem- ment en suivant la même marche.

Enfin il est aisé de s'assurer que la méthode précé- dente est encore applicable dans le cas d'un nombre quelconque de variables dépendantes, quel que soit le nombre des variables indépendantes.

Transformation de Legendre.

92. Legendre a fait usage dans certaines questions d'une transformation qui offre souvent des avantages et que nous indiquerons ici, en nous bornant au cas de deux variables indépendantes.

Soit z une fonction des variables indépendantes x, j' ; désignons par

( I ) dz =npei.r -;- >] dj

la différentielle de z, et par

l dp—rd.r-\-sdj,

(2) {

I dq :i- sda; -4- tdj

les différentielles àe p el q.

S. — Cale, diff, g

l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si l'on pose (3) u^px-r qy — z,

on aura

du ■= ' pd.r -;- qdy — dz] -i- .Trdp -r- jdq,

on, à cause de la formule (i),

f ^ j du -— .r dp H- j>' dq .

En outre, si Ton résout les formules (2) par rapport à dx et (îr, il viendra

t .V

dx = dp -l dq^

rt — s^^ rt— s^ ^

— v r dy = dp -\ dq.

La transformation de Legendre consiste à prendre p., q, u pour variables, au lieu de x,y, ~, et à choisir/^ et q pour variables indépendantes. Alors la formule (4) montre que X et Y sont les dérivées partielles de u par rapport à p et q respectivement; ainsi l'on a

t — .1

. . . y

ensuite les formules (5) montrent que —

sont les valeurs des dérivées partielles

rt s-

			dx dr dy dy
			dp dq dp dq '
on a donc
in) ^*"-		t	d^u — X d- u
^^> dp' -	rt	'ZL	s* dpdq rt — s- dq^

rt-- s'

<Jr =	7*-	s
dq =	:*-	rt — s S

cnAPITUE IV. i3i

d'où l'on conclut

^ ' ÙjJ- dq- \dpdqj rt — s"-

Les formules (7) et (8) font connaître les dérivées r, s, t en fonction des dérivées de u relatives à p et q.

93. Si l'on veut prendre x et /;» pour les variables indé- pendantes, les diflerentielles totales de j et de q tirées des formules (2) seront

- dx-

les formules (i) et (4) feront connaître ensuite les diffé- rentielles totales dz et du. La dernière des formules précédentes nous donne

dq rt — ^-

dx s

dans l'hypothèse de /7 et a: variables indépendantes; donc, si la différence rt — 5^ est identiquement nulle, on aura

dx

Gela montre que q ne dépend pas de x et qu'ainsi cette quantité est une fonction de la seule variable p. Dans ce cas les quantités p et q ne peuvent pas être prises pour variables indépendantes; aussi les formules de la trans- formation de Legendre deviennent-elles illusoires.

]32 C.VLCrL DlFFl^RRINTirL.

CHAPITRE V.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES.

Notions préliminaires sur les séries.

94. On nomme série une suite illimitée de quantités qui se succèdent suivant une loi quelconque. Nous ne nous occuperons ici que des séries dans lesquelles tous les termes sont des quantités réelles.

Une série

«0, «I, «21 ■ ' •■, "n-\^ . ..

est dite convergente lorsque la somme

Srt = «0 + «1 + «2 + • • • H- "«-1

des n premiers termes tend vers une limite finie et déter- minée S, à mesure que le nombre n augmente indéfini- ment. La quantité S est dite la somme de la série ; la diffé- rence S — S„ est le reste de la même série bornée aux n premiers tez'mes; en désignant par U„ ce reste, on a

S=:S„-1-R„.

Une série est divergente lorsque la somme des n pre- miers termes croît au delà de toute limite, à mesure que n augmente indéfiniment, ou bien lorsque cette somme ne tend vers aucune limite déterminée.

Ainsi la progression géométrique

(7, a.r, a.r-

est une série convergente, toutes les fuis que la valeur

CHAPITRE V. î33

absolue de la raison x est inférieure à l'unité, car la somme des n premiers termes est

n

I — .r I

et cette somme tend vers la limite

S=-"-

quand n tend vers l'infini. Mais la même progression est une série divergente, lorsque la valeur absolue de x est supérieure à i ; car, dans ce cas, la somme S„ croît au delà de toute limite. Elle est encore divergente, pour la même raison, lorsque x =r^-\- i\ enfin, dans le cas de a: = — i, S/j ne tend pas vers une limite déterminée et la série ne doit pas être regardée comme convergente.

9o. Théorème 1. — Si ta série

est conuergente, la sotiinie

tend vers zéro, quel que soit, p, quand n augmente in-' déûniment.

En effet, désignons par S la somme de la série ou la limite vers laquelle tend la somme

S,i = «0 -i- "i -!- . . . -- ««-1

de ses n premiers termes. La différence

(i) S-S„

tendra vers zéro quand n tendra vers l'infini, et la même chose aura lieu pour chacune des p différences

S-S„

-"/i-i-^î*

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si l'on relianche ces cHirérences (2) de la différence (i), on oblicudra les résultais

qui s'annuleront aussi pour ji -^z az . Or o-i a

>i,.-!-o b,, z^Z II „ -i— ll„-:-^ 1

0„ :-- 11,1 -f- «,.,_).]

'/l-r-/)—l ■

donc : i" /(',v teiines fl'une série conue/'geiite décroissent iiidàjiniinent, de manière à m^oir zéro pour livnle', '>^ la somme de tant de termes que V on voudra pris à pni-tir du /i """' Lcnd vers zéro quand n augmente indé- finiment.

SG. Théorème II. — Réciproquement, la sérip «0, "1, "2' • ■ ■■> "/(-n ■ • • est convergente lorsque la somme

i/,i -h //„_^i -- . . .-{- «„+y,._-i

tend veis zéro, quel que soit p, quand n augmente in- déjiniment.

En effet, désignons par s une quantité positive aussi petite que l'on voudra, et par S„ la somme des n pre- miers termes de la série. Comme la différence

S/J4-/) S„ Z=. Un + »„^_i -1- . . . -I- Ui,^^i,^x

tend vers zéro, quel que soit p, par hypothèse, quand n tend vers l'infini, on peut donner à n une valeur déter- minée assez grande pour que la différence dont il s'agit soit comprise, quel que soilp, entre — s et + e. On aura donc

S« — £ <C ^n+p <, S„ + s.

CHAPITRE V.

i35

Gela posé, le nombre n restant invariable, faisons tendre p vers l'infini, la somme S,;^^ restera toujours comprise entre deux quantités déterminées S„ — î, S/^H-î dont la différence as est aussi petite que l'on veut; d'où il suit évidemment que S^^^.^ tend vers une limite déterminée quand p on n-\- p augmente indéfiniment.

Cette démonstration acquiert plus de clarté quand on lui donne une forme géométrique. Soit O un point fixe d'un axe Ox. Prenons sur Ox à partir de O une lon- gueur ON = S„, puis faisons AN^NA'— s; prenons aussi OP = S,,^^, le point P tombera entre A et A'. Ainsi

la somme S.^^, des n -r- p premiers termes de notre série peut être représentée par une abscisse dont l'extrémité tombe constamment entre deux points donnés K et A ", elle est donc finie, mais de plus elle est déterminée, car la distance AA' peut devenir moindre que toute longueur donnée.

Corollaire I. — Une série Uq, u,, u^, » »<. est con- vergente lorsque les valeurs absolues de ses ternies forment une série convergente Uo, U|, Uo, ....

En etfet, la série U(, , U,, Uo, . . . étant convergente, la somme U/, -l- U,,.j.i -i- • • -f- U„+ ,_! tend vers zéro, quel que soit /7, quand /z tend vers l'infini; donc la somme u,i-\- Uiij^i -^ . . .-t- u,tj^-__i tend aussi vers zéro, car sa valeur numérique ne peut être supérieure à la somme précédente. 11 s'ensuit que la série proposée est conver- gente.

Corollaire II. — Lorsqu'à partir d'un certain rang les termes d^une série sont alternativement positifs et négatifs, il faut et il suffit, pour la, convergence de la

136 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

série, que les valeurs absolues des ternies décroissent indéjininient.

Le décroissement indéfini des termes est, comme on Ta vu, une condition indispensable pour la convergence d'une série; dans le cas que nous examinons, cette con- dition est suffisante.

En efl'et, soit la série

et désignons généralement par U« la valeur absolue de Un, on aura, si n est suffisamment grand,

Le second membre de cette formule peut être écrit des deux manières suivantes :

(ij, - u„^i ) ~ ;;u„.,, - U„^,) H- . . . ,

on voit que la valeur de

est comprise entre zéro et U^^; donc elle tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente indéfiniment, puisque l'on a, par hypothèse, limU,, =^ o. Donc la série est con- vergente.

97. On ne possède point de critérium pour décider en général si une série donnée est convergente ou diver- gente. Il faut, dans chaque cas, chercher à comparer la série que l'on doit considérer à d'autres séries dont la convergence ou la divergence est établie, et à cet égard nous pouvons démontrer une proposition de laquelle nous tirerons plusieurs conséquences importantes. Cette pro- position se rapporte aux séries dont tous les termes sont

CHAPITRE V. l37

positifs, mais les règles qui en découlent sont applicables à toutes les séries,- en faisant usage du corollaire I du n° 96.

Théorème III . — Si la première des deux séries

f'o. t'i. v,. ..., »>„_,, ...,

«0^ "n «2 "«-1. ■ • '

dont tous les termes sont positifs à partit- d'un certain rang, est convergente et que l'on ait constamment

pour toutes les valeurs de n qui surpassent un nombre donné, la deuxième série sera également convergente. Pareillement, si la première série est divergente et que l'on ait constamment

pnir toutes les valeurs de n qui sur'passent un nombre donné, la deuxième série sera également divergente.

Dans le premier cas, la somme

tend vers zéro, quel que soit p, quand n tend vers 1 infini ; donc la somme

qui est formée de parties respectivement moindres, tend aussi vers zéro, et par conséquent la deuxième série est convergente.

Dans le deuxième cas, la série Uq, Ui, W2> • • • ne saurait être convergente, car autrement la série Uo^ 'n ^-2^ • • • serait aussi convergente, d'après ce qu'on vient de dire, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire I. — La série Uq, u^, u^, ■••> dont tous les

i38

CALCUL DIFFERENTIEL.

termes sont positifs, est convergente si, pour toutes les valeurs de n supérieures à une cerlaiiie liuiile, on a

Â, A étant une quantité inférieure à l'unité.

En effet on a, par hypothèse, pour les valeurs de n suffisamment grandes,

— - <^ f'-, --^ /'•, . o . , <^ h' ;

d'où, par la multiplication,

il résulte de là que les termes de la série proposée

sont, à partir du «"'""^ rang, inférieurs aux termes cor- respondants de la série

«0^ «Il «•: ««5 hu„, /-;/„

Or cette dernière est convergente et elle a pour somme

S«H ^; donc la série proposée est elle-même con-

I — k * ^

vergente.

CouoLLAïuE II. — La série Uq, u,, u-2, . . • , dont tous les termes sont positifs, est convergente si le rapport

tend vers une limite déterminée <x lujeiieure a i,

«« ^

quand n tend vers l'infini.

En effet, puisque le rapport —^ tend vers la limite a,

la différence " a restera inférieure à tout nombre

««

donné pour les valeurs de n supérieures à une certaine

CHAPITRE V.

i3o

limite; donc on peut assigner une quantité A" comprise entre a et i, et telle que l'on ait constamment

Un "~

on est alors dans les conditions du corollaire I, et par conséquent la série proposée est convergente.

Remarque. — Lorsque la limite du rapport -" ' - est

supérieure à i,la série est toujours divergente, puisque alors les termes ne décroissent pas indéfiniment; mais

quand on a lim -^^ = i , la série peut être convergente :

la proposition précédente n'apprend rien à cet égard.

Corollaire III. — La série Uo, Ui,U2~ . • . , do7it tous les termes sont positifs, est convergente si pour les va- leurs de n supérieures à une certaine limite on a \ u,i <^Â, h étant une quantité inférieure à i .

En effet, on a

"il ^~. "

pour les valeurs de n suffisamment grandes; donc les termes de la série sont, à partir d'un certain rang, inté- rieurs aux termes de même rang de la progression

1, /■. /■-, ... ;

celle-ci étant une série convergente, la proposée est elle- même convergente.

Corollaire IV. — ■ La série Uq, Ut, z«2> • • • ? dont tous les ternies sont positifs, est convergente si \^Un tend 'vers une limite déterminée a inférieure à i.

Car on peut assigner une quantité k comprise entre a cl I, et telle que l'on ait

7«« < ^

l40 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pour toutes les valeurs de n supérieui^cs à une certaine limite.

98. Exemple I. — Considérons la série I il I

où p est un nombre donné. Le rapport

a pour limite l'unité, et le corollaire II du numéro pré- cédent est insuffisant pour le cas actuel. Le corollaire IV ne donne lui-même aucune lumière; car on a

V «« ~ "

\ozn

\os"\ u,

la fraction — '"^^ tend vers zéro, comme on le constate n

au moyen d'une règle qui sera donnée plus loin, et par conséquent v"« tend vers l'unité. Mais le théorème III (n° 97) convenablement appliqué va nous permettre de reconnaître dans quels cas la série proposée est conver- gente. Posons

I

/]'-*-? ' 5'+?

I

[■2"' )'■+■? ' (?/" H- I )'"*■?

,H-?'

H-. .

i]'+P

CHAPITRE V.

on aura évidemment

«1 < 2 X ^7-^

«2 < 4

4'-<-f

ou <; — ■

2?

OU <^

2? "

«>

i4x

«77i< 2'"X ; T^^ — OU <<

'"^- (2'")'^-? (2?

par conséquent, dans la série

les termes sont moindres que ceux qui occupent respec- tivement les mêmes rangs dans la série

^ r;'

2? 2P

Or cette dernière est convergente quand p est positif : donc la proposée est elle-même convergente dans la même hypothèse.

Posons, au lieu dés formules (i).

I

I

2^'

31+e ' 4

i-i-e'

5'+? 6'-^? ' 7'--? "^ 8'-?'

I42			CALCU]
on aura
	«2	>2	I
	«3	>4	I ' 8' •-?

I I

I I

OU

2 (2?)^ >

«;«> 2'"-^ X — r— - OU > 3

e "^2 2?

donc, dans notre série

Wo, «1, "21 • • -, "m^ ■ ■ '■>

les termes sont supérieurs à ceux qui occupent respecti- vement les mêmes rangs dans la série

II II I t

' 2 2?' 2 (2?)-' 2 [afj^'

Or celle-ci est divergente quand p est nul ou négatif; donc la série proposée est elle-même divergente dans cette hypothèse.

99. Exemple II. — Les séries

IH ■ h ■

I 1.2 I . 2. C)

1.2 1.2.3.4

1.2.3 1.2.3.4-5

sont convergentes quel que soit x ; elles restent même

convergentes quand on réduit chaque terme à sa valeur absolue. Effectivement, le rapport d'un terme au précé-

CHAPITRÉ V. ^ A?>

dent a pour valeur, dans ces séries,

ou

n n i n -\- I]

et il tend vers la limite zéro quand n tend vers l'infini. 100. Exemple III. — La série

12 3 4

est convergente tant que x est compris entre — t et -1- i, car le rapport —^^ a ici pour valeur

"n-l

I

I -I — n

et sa limite, pour n r=; co , est — x. Il est évident que la série est divergente, quand la valeur absolue de x est supérieure à i. Pour x ^:^ -|- i , la série est convergente parce que les termes décroissent indéfiniment et sont alternativement positifs et négatifs (n" 96, corollaire II); mais elle est divergente pour x := — i (n" 98).

101. Parmi les séries convergentes, il faut distinguer celles dont la convergence est due uniquement au décrois- sement des termes et celles dont la convergence ne ré- sulte que de la succession des signes; les séries de la première espèce restent convergentes quand on remplace chaque terme par sa valeur absolue, tandis que les autres deviennent divergentes quand on prend tous leurs termes avec le même signe. Il importe de remarquer que la somme d'une série convergente de la deuxième espèce dépend de l'ordre dans lequel les termes sont écrits.

Considérons, par exemple, la série

I I I

'^ '■" 2 ■ 3 4 '5

I/|4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui est convergente (n° 96) et qui devient divergente quand on prend tous les termes avec le signe -f- (n"9'5). Formons une deuxième série avec les mêmes termes en reculant les termes négatifs de telle manière que chacun d'eux soit précédé et suivi de deux termes positifs ; notre deuxième série sera

, , I I I I I

32574

je dis qu'elle est convergente et qu'elle n'a pas la même somme que la première.

D'abord la série (2) est convergente, car on peut réunir en un seul les trois termes consécutifs

dont la somme

8/2 — 3

32 «^ — 32 «^ -h 6«

est inférieure à -- dès que n est plus grand que i; notre

série étant écrite de cette manière, ses termes finissent par rester inférieurs à ceux de la série

I II

7^ "^ i^ "'^ V "'' ■ ■ ' '

qui est convergente (n° 98); par suite elle est cllc-mcme convergente.

Maintenant arrêtons les séries f i) et (2) au terme

et désignons par S,^, S'„ les sommes des termes con- servés, on aura

S' - S„ = —- ^ h '-7 •-<-... -\ '-— :

2 « H- 1 2 /i -1-3 /[/i — i

CHAPITRE V. 145

les n — I termes de cette formule forment une suite dé- croissante; on a donc

n — I ^, „ .71 — I

S„ — S„ >. y— 5 ^n~'^n<i.-~

l\n — I 2/? H- I

Quand n augmente indéfiniment, les fractions 9

[\n — I

I I

n — I n n , i t • OU 1 — tendent vers les limites respec-

2/<! -h I , I I ^

4 — 2+ -

n n

tives - et -; si donc on désigne par S et S' les sommes 42 01

des séries (i) et (2), on aura

S'— S>^ et S'— S<-: •

4 2

les séries (i) et (2) n'ont donc pas la même limite.

102. Il peut même arriver que deux séries formées des mêmes termes pris avec les mêmes signes soient l'une convergente, l'autre divergente. Les deux séries

/ \ I I I I

sji v'3 v/4 v/5

, , 1 I I I I

2 y + —= =H — =H — = =:-i-...

v/3 v/2 V5 v^7 v/4

en offrent un exemple ; ici les valeurs absolues des termes sont les racines carrées des valeurs absolues des termes correspondants des séries ( i ) et (2) du numéro précédent ; les signes sontrespeclivementles mêmes que dansées der- nières. La série (1) est convergente (n" 96) à cause de l'al- ternance des signes -h et — ; je dis que la série (2) est divergente. En effet, soient S^, S'^ les somme* obtenues

S. — Caic. dijf. 10

l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en arrêtant les deux séries au terme =i on aura

s:,-s„

\j2.n-\-i \Jin-\-Z \l^n

le dernier des Ji — i termes de cette formule est plus petit que les autres. On a donc

S'„- S„ > " ou > sjn

V4«-i

V

<-;

I

le facteur \ / a pour limite - et le facteur v/'^ — i

devient infini pour n ^=-.co ; donc S'„ — S„ croit au delà de toute limite, et il en est de même de S'„.

103. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer étaient nécessaires pour bien apprécier l'importance du théorème suivant qui se rapporte aux séries de la pre- mière espèce :

Théorème IV. — Lorsqu'une série est convergente et au elle reste convergente quand on y remplace chaque terme par sa 'valeur absolue, on peut intervertir d'une manière quelconque l'ordre des termes sans altérer la convergence ni la somme de la série.

Soit la série convergente

et supposons que les valeurs absolues de ses termes forment aussi une série convergente

(2) Uo, Uj, U2, ..., U„_i, ...-,

CHAPITRE V. 147

je dis que la série

(31 «a, «g, Kp . . . , U^, . . . ,

dans laquelle les indices a,|3,7, ... se succèdent suivant une loi quelconque, est convergente et a la même somme que la série (i).

En effet, prenons dans la série (3) un nombre de termes assez grand pour que les n premiers termes de la série (i ) s'y trouvent compris, on aura

(4 ) «a -(-- «e H- Wy ^- . . . -h «o> = «0 + «1 -^ • • • + "«-1 ± Ri

en représentant par ± R la somme de ceux des termes u^, ug, . . . , M„ dont l'indice est supérieur an — i. Si Up, Uq, Up, ... 7 Us désignent ces derniers termes, on aura

Z=l R = f/p 4- «g + «;. + . . .-\- Usy

et, par conséquent,

R <U^ + U^ -'n U^ + . . .-h U,.

Soit R„ le reste de la série convergente (2) arrêtée au terme U,2_o c'est-à-dire la somme de la série

U„ + U„+, ^- U„+, + U„+3 -!- . . . ,

comme les indices p, q, r^ . . , , s sont tous supérieurs à 7/ — I , on aura

R<R„ ou R=:eR„.

Q étant une quantité comprise entre o et i . Par consé- quent, si Srt désigne la somme des n premiers termes de la série (i), la formule (4) deviendra

«a + «g H- «T -^- . . • -r- «o, = S„ =i: eR„;

quand le nombre n tend vers l'infini, R„ tend vers zéro, par hypothèse, puisque la série (2) est convergente ; d'ail-

l48 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

leurs S„ a pour limile la somme S de la série (i); donc la somme

«a H- '/g + «Y -+- . . . H- «0.

tend aussi vers la limite S quand le nombre des termes augmente indéfiniment.

104. Multiplication des séries. -— Théorème V. — Soient

(1) «01 «Il «2> • • •■. ««-Il • • •'

(2) Vq, l'i, t'2, ..-, «'«-1, •••

deux séries convergentes ayant respectivement pour sommes S et S' et qui restent convergentes quand on y remplace les termes par leurs valeurs absolues, la série

(3) "'0. «'1, «'21 ■ ■ •■> »■«-!> ■ ■ •■>

dont le terme général Wm a pour valeur

«'w = "0 ''m + «1 ^m-\ + "2 •'/M-2 + . . . -r- «„,_i <'i -r- //,„ ('g,

* e^î convergente et elle a pour sonune le produit SS' des sommes des premières séries.

Désignons par S,i, S'„, S'^ les sommes obtenues en ajou- tant les n premiers termes dans les séries (i), (2), (^3);

on aura

et

S„-= «0 + «1 ^ "2 H- • • • -!- ««-n

K= "'0 -+- "'1 + "'2 -+-.••-!- "'«-1,

ou

&* = «0 Po + ( «0 <'i + «1 ''2 ) -^ ( «0 ''2 + «1 ''1 H- «2 <'o) + • • • + ( «0 "«-1 H- «1 "«-2 + . • • + ««-1 »'o ).

Nous supposerons d'abord que les termes des séries (i) et (2) soient tous positifs. Alors le produit S« S,, contien-

CHAPITRE V. 149

dra tous les termes de S'^ avec d'autres termes positifs;

on a donc

S„ S' > S" ;

en outre, si l'on désigne par m le plus grand entier contenu

. n . n n — i ., , • ^ 1

dans -•) savoir - ou 5 u est évident que tous les

222

termes du produit S,« S'^ feront partie de ceux qui com- posent S'^; on aura donc

s^s:„<s':.

Maintenant, si l'on fait tendre n vers l'infini, m tendra aussi vers l'infini. Les quantités S„ et S^ tendront vers la limite S, S'„ etS'„ vers la limite S'; donc S'^ est comprise entre deux quantités qui tendent l'une et l'autre vers la limite SS'; en conséquence, SJ^ tend vers une limite déterminée S", et l'on a

S" = SS'.

Supposons maintenant que les séries (i) et (2) ren- ferment des termes positifs et des termes négatifs, mais qu'elles restent convergentes quand on y remplace chaque terme négatif par sa valeur absolue.

On a

S« S'„ — S'^ =: //„_! f„__, -+- ( M„_i t'„_2 + M„_2 ^n-X ) -J- • • •

-I- ( W„_i Cj -^ ?/„_, f-i -T- • • • + «2 t'/i-2 H- «1 ''«-1 )>

et nous venons de voir que cette quantité tend vers zéro quand n augmente indéfiniment dans le cas où les quan- tités u ett' sont positives. Or, d'après notre hypothèse, les séries (i) et (2) restent convergentes quand on y change le signe des termes négatifs : donc la somme précédente

tendra vers zéro avec - si l'on y remplace chaque quan- tité u OM. V par sa valeur absolue. Or un tel changement

l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ne peut que diminuer la valeur absolue de la somme que nous considérons, et par conséquent on a

ïi'"(s«s;-s':) = o,

pour 7z rr::: 00 . Ainsi S" tcud eucorc vers une limite déter- minée S", et l'on a

S"^SS'.

Remarque. — Il est très-important de remarquer que le précédent théorème ne subsiste pas quand les valeurs absolues des termes des séries (i) et (2) ne forment pas des séries convergentes. Il suffît pour s'en convaincre de prendre pour chacune des séries (i) et (2) la suivante:

II II

\J'i \j'6 v/4 V'^

on reconnaît immédiatement que, dans cet exemple, la série (3) est divergente.

Expression de la 'valeur que prend, pour x = Xq-^ h, une Jonction qui s'annule, avec ses n — i premières dérivées, pour x = Xq .

105. Soient y (x) et F(.r) deux fonctions de x qui restent continues pour les valeurs de x comprises entre x^ et Xo -h h et qui aient, pour ces mêmes valeurs, des dérivées déterminées. Si la dérivée F'(j:) ne peut devenir nulle ou infinie que pour les valeurs extrêmes Xo , Xo -!- lij on aura, d'après le théorème du n'' 17,

/(■^oH-/^ ) —f[x^) _ /'(•^o-4-/<i]

F(.ro + A)-F(.ro)-F'(:.oH-/'ij'

^l^ désignant une quantité comprise enlrc zéro et /z. Dans le cas où l'on a

/;Xo)=0, F>o)=:0,

CHAPITRE V.

la formule précédente se réduit à

ï5i

(0

F(.ro + A) F'(,ro + /i.

Supposons que les fonction s /"'(a?), F'{x) restent con- tinues pour les valeurs de x comprises entre Xq et Xo-\-h, qu'elles aient dans cet intervalle des dérivées déterminées f"[x), F"(x), et que ¥"[x) ne puisse devenir nulle ou infinie qu'aux limites Xo, Xq H- h. Si l'on a

on aura aussi, d'après ce qui précède,

/j2 étant une quantité comprise entre zéro et h^.

Supposons généralement que les fonctions y(x), F(j:) restent continues pour les valeurs de x comprises entre Xo et Xq H- h, ainsi que toutes les dérivées jusqu'à celle de l'ordre n — i inclusivement, que les dérivées d'ordre n aient des valeurs déterminées et que la dérivée ¥^"^[x) ne puisse être nulle ou infinie qu'aux limites Xo, Xo-\-h. Si l'on a

/(.ro)=0, /'(.ro)=0, ..., /("-') [.r,]=o on aura évidemment, par l'application de la formule (i),

F(.ro + A)~F'(.r«+//,] ¥"[x,-h/i,) '" FCO (.r^ -f- /^„, '

ht, /?2, . . . , /<« étant des quantités de même signe et dont les valeurs absolues forment une suite décroissante. Si 0 désigne une quantité comprise entre o et i, on pourra

poser

h„ = 6/i,

Iv>2 CALCUL DIFFÉRENTIEL,

et l'on aura

^ ' F(.ro-4-/%) F") [ύ^ + Qh]

Faisons maintenant

F(^) = (.r-.ro)'% doù

¥i"')[x)=n{n — \). ..'n — m-{-\) (.r — ^o )"'"'"

et

F(«) (or) = 1.2.3. ..«;

les conditions auxquelles F(x) a été assujettie seront toutes remplies, et la formule (2) donnera

(3) /(..„+/,) :=3__^!_ /«(..„ +5A).

I . 2 ... «

Cette formule (3) est celle que nous voulions établir. Elle suppose la continuité dey(j:) et des n — i premières dérivées de cette fonction pour les valeurs de x comprises entre x^ et Xo-\-h\ elle exige en outre que la dérivée d'ordre n ait une valeur déterminée pour chaque valeur àe.x comprise entre les mêmes limites, et que l'on ait

(4) f[^,)=0, /'(.rol^.o, ..., f'-U^œ,\^o.

Si toutes ces conditions sont remplies et que h soit pris j)our infiniment petit principal, /"(^To + A) sera un in- finiment petit de l'ordre n. On dit alors que l'équation f{x) = o admet la racine Xq avec un degré de mulii- |)licité égal à n.

Formule de Taylor.

106. Soit F(.r) une fonction de la variable x qui reste continue ainsi que ses n — i premières dérivées pour les valeurs de x comprises entre Xo et Xo -f- A, et dont la dérivée d'ordre n ait une valeur déterminée. Désitrnons

CHAPITUE V. l53

par 9(^) le polynôme de degré « — i,

( ?[-) = F(.ro) -4- ^Ip F'(.:ol+ ^^^^' F'(.r„) -■-...

+ ^ "^ ,F«->(.ro);

l I . 2 ...(« — I ) ^ ^

la dérivée d'ordre m de ce polynôme sera

.r — .Ta

I

+ -^^-^ ^ F(«-i)(.ro),

1 .-2 . . . n — m — I ] ^ '

et, en faisant a: ^= Xo dans les deux formules précé- dentes, il viendra

y(.ro)=F(xo), y('")(.ro) = F('")(xo).

Il résulte de là que la formule (3j du numéro précédent est applicable à la fonction

car toutes les conditions qu'exige cette formide sont remplies. On a donc, à cause de (pf"^(.r) :=: o,

F(:r„ + /i) — <p (^0 + ^i] = — F" (.ro + eh],

I . 2 ... «

0 étant une quantité comprise entre o et i. La valeur

de (p(xo + A) est donnée par la formule (i), et l'on a

[ F(aro + A) = F(.ro)-i-^F'(xo)+ ^F"(.ro) + ...

1 I.2...(« — Ij ^ ' 1,2.../.^ ^ " ^

Nous remplacerons Xo par x et nous écrirons

F(x + /^)=F(^]-^ -F'(.r] -f -^F"(jr]+...

\ ; I ^ ' 1.2 ^ '

H ^ -, . F(«-i)(.r) + R„,

I .2. . . « — 1

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en posant

(4) R«=^ '- — F("Ua:-\-Oh].

I . 2 ... « ^ '

La formule (3) suppose, nous devons le répéter, que la fonction F et ses /z — i premières dérivées soient con- tinues pour les valeurs de la variable comprises entre x et X -\- h; elle exige en outre que la dérivée d'ordre ti ait une valeur déterminée.

Supposons maintenant que toutes les dérivées succes- sives de la fonction F satisfassent à la condition de la continuité et qu'en outre la quantité R^ tende vers zéro, quand n tend vers l'infini, on aura, par la formule (3),

(5) F[x-hh) = F{x) + -F'{x]-h^¥"[a:] ^' -

I 1.2 1.2.3 ^ '

Cette formule (5) est celle de Taylor; elle donne le dé- veloppement de F (jc-f- A) en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de h, quand les conditions que nous avons mentionnées sont rem- plies. La quantité R^ déterminée par la formule (4) est le reste de la série; cette formule (4) fait connaître ainsi des limites de l'erreur commise quand on arrête la série au /z'^™^ terme.

107. Autre forme du reste. — On peut donner au reste R„ une forme dilférente de celle à laquelle novis avons été conduit et qui est souvent utile . Pour l'obtenir, remplaçons h par z — x dans la formule (3); le reste R„ deviendra une fonction de x et de z, mais nous le dési- gnerons simplement pary(x). On aura

.6)

F(.)==F(.r)H-— -F'(.

z

\n—l

1 .-2. . .[n — ij

- F("-»ix)+/,jr),

CnAPITRE V.

i55

et si l'on prend les dérivées des deux membres par rap- port à X, en regardant z comme une constante, il vien- dra, toutes réductions faites,

(7* /'(-) = - -'iT^I^^ """("'•

La fonction y (a:) qui est définie par la formule (6) est continue, par suite de nos hypothèses, pour les valeurs de la variable comprises entre x e.X x -\-h^= z\ on a donc (n" 14), en désignant par 0 une quantité comprise entre o et i,

f[z) - f[x)^[z - x\f\x ^^[z- x)\

ce qui n'est au surplus que la formule de Taylor bornée au premier terme et complétée parle reste. Or, d'après la formule (6),/(x) s'annule pour x = z\ donc on a

(8) f[x]=-[z-x]f\x-^Qz-x\\

Si l'on remplace x par x^Q{z — x), la formule (7) deviendra

et la formule (8) donnera ensuite

^ •' ' ^ ' I . 2 . . . i /^ — I ]

Remettant enfin x -h A au lieu de z, il viendra

La quantité désignée par 0 dans cette formule n'est pas la même que celle de la formule (4) ; mais elle est comme celle-ci comprise entre o et i.

l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

108. Si l'on pose

et

Ajr = F(a: + Aj — F(^),

les quantités

hF'{x), h^¥"{x), h^Y"'[.T), ...

seront précisément les différentielles successives

dj, d^f, d^j, . . .

de la fonction j^. Si l'on désigne en outre par

d"'y

la quantité h^F"{x -h 6 h), qui est la différentielle n'^^^ de j répondant à une valeur de la variable comprise entre x et x -\- h, la formule (3) du n° 106 deviendra

d^r d^r d"-^r d"'y

àj = dr -\ ' f- ' ' ■ '

1.2 1.2.3 I.2...(« — l) I.2...«

Si l'on suppose que h ou dx soit un infiniment petit et qu'on le choisisse pour infiniment petit principal, djr, d^y, . . . , d'^~^j seront des infiniment petits des ordres respectifs i, i, . . . , [n — i) ; pareillement d''^j sera en général un infiniment petit de l'ordre n.

Remarques sur la formule de Taylor.

109. 1° La formule (3) du n" 106 peut être exacte jusqu'à une certaine valeur de n, puis devenir inexacte pour des valeurs plus grandes. Soit, par exemple,

F(.r) = (.r — .ro]l>(.r) + -^i»,

\}. étant un nombre positif fractionnaire, et les fonctions cp(a:), ipfx) étant continues ainsi que leurs dérivées pour les valeurs de x comprises entre x^ et x^ -\- h. Si m est

CHAPITP.r, V. l5j

le plus grand entier contenu dans f/, la formule (3 ) sub- sistera pour X = Xo, pourvu que 7i ne soit pas supérieur à m, car la (m-f-i)"""^ dérivée de F(x) devient infinie pour X = Xo-

2" Il ne suffît pas que le second membre de la formule de Taylor soit une série convergente pour qu'on soit en droit d'affirmer l'exactitude de cette formule. Par exem- ple, si l'on pose

f{x) étant une fonction à laquelle la formule de Taylor est applicable dans l'hypothèse de x = Xq, on aura, quel que soit n,

parles règles qui seront établies plus loin. Ainsi, dans cet exemple, le second membre de la formule (5) du n° 106 convergera vers la limite _f{xo -+- A) et non pas vers F [xo-t- h). Pour pouvoir faire usage de la formule, il faut donc avoir établi que le reste R„ tend vers la limite zéro.

3" Si l'on arrête la série de Taylor à un terme quel-

conque u,, = ; ^ — { qui ne soit pas nul, on peut

*■ I .2. . .[n — 1 1 ^ ^ '^

prendre h assez petit pour que ce terme surpasse en va- leur absolue le reste R„. En effet, on a R«_i = Un -H R,;, d'où

R„ R„_, — «„ F("-i)(.r-t- 9A) — F(«-if.r)

«„ u„ Y^"-'nx\

ce rapport est infiniment petit en même temps que A; il sera donc moindre qu'une quantité quelconque donnée, si l'on donne à h une valeur suffisamment petite.

4° Si pour chaque valeur de la variable comprise

l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

entre x ei x -h- h la dérivée d'ordre n de F reste finie, quel que soit n, la formule de Taylor a lieu nécessai- rement.

En effet, l'expression du reste peut se mettre sous la forme

I 2 3 « ^

Quelle que soit la valeur donnée de h, le nombre i de celles des fractions

h h h

I 2 O

qui sont inférieures à une quantité donnée a, est limité. Désignons par P„ le produit de ces i fractions multiplié par F^'*^ (x-f-0/i), qui est par hypothèse une quantité finie ; il est évident que la valeur absolue de R^ sera in- férieure à la valeur absolue du produit P„a"■~^ On peut prendre pour a une quantité quelconque inférieure à l'unité ; alors a"~' tend vers zéro quand n tend vers l'in- fini, tandis que P« conserve une valeur finie; donc R„ tend vers la limite zéro.

Formule de Maclaurin.

410. Si l'on fait a: = o dans la formule (3) du n" 406 et qu'ensuite on écrive x au lieu de h, il viendra

JF(^) = F(o)H-^F'(o) + :^F»+... H- : F(«-'5 (o) -+- R„;

\ I . 2 . . . ^ /2 — I )

en même temps, les formules (4) et (lo) du même nu- méro donneront

(2) R^= '^"' F'(Qx)

^ ' I . 2 ... «

CHAPITRE V. 1^9

et

6 désignaiî't dans la formule (a) et dans la formule (3) une quantité comprise entre o et i. Rappelons enfin que la formule (i) suppose que la fonction F reste continue ainsi que ses dérivées pour les valeurs de la variable comprises entre zéro et x.

Si toutes les dérivées de la fonction F satisfont à la condition relative à la continuité et que la quantité R,i tende vers zéro quand n tend vers l'infini, la formule (i) donnera la valeur de F(x) développée en série conver- gente ordonnée suivant les puissances entières et posi- tives de X, savoir

(4) F;.r) =F(o'| 4- - F' ici -f- J^F'» -t- _f^F"'(o) -•-....

I ' 1.2 ^ ' 1.2.3 ^ '

La formule (4) est celle de Maclaurin; la formule (a) ou (3) fait connaître des limites de l'erreur commise quand on arrête la série à un terme quelconque.

Remarque. — La formule de Maclaurin résulte immé- diatement de celle de Taylor, mais la réciproque a lieu aussi. On obtient effectivement la formule de Tavlor en appliquant celle de Maclaurin à la fonction

/i» =F(.r + /i),

et en changeant ensuite h en x.

La formule de Maclaurin a lieu, comme celle de Tay- lor, lorsque la dérivée d'ordre ?i de la fonction F reste finie, quel que soit n, pour les valeurs de la variable comprises entre zéro et x.

U 1 . Tout développement d ' une fonction F( x) en sério convergente ordonnée suivant les puissances entières et

l6o CALCI3L niFFI^IVF.NTIEL.

croissantes de x est. nécessairement identique avec celui qui est fourni par la formule de Maclaurin.

Car supposons que l'on ail, par la formule de Mac- laurin,

F(.-r) = Ao -h Ai^r -i- k-^x^ . . .,

et que l'on ait trouvé, par une voie quelconque,

F(x) = «0 -f- «,.7? + a^x'- . . . ,

les deux séries étant supposées convergentes pour les va- leurs de X comprises entre zéro et une certaine limite X, on aura

Ao + Al J? + k^-T?' -1- ... =^ «0 + ^\^ -^ ^1^^' + . • . .

Cette égalité ayant lieu pour x = o, on en conclut

Ao-=«o. et l'on a, par suite,

Aj.r -t- Aj.^^ + . . . = «1 J^ + a^x^ H- ... 5,

ou

Al + Aj^r + . . . = «1 -T- «2-^ + • • • 1

pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et X. L'hypothèse j: = o donne ensuite

Al = «1,

puis

A? + As J7 -I- . . . = <7, -h a.x -r- . . . ,

ce qui donne et ainsi de suite.

A,

Développement de la fonction e^ en série ordonnée suivant les puissances entières de x.

112. Les dérivées successives de la fonction e*^ sont égales à cette fonction et ainsi elles restent finies quelle

CflAPITRE V. iGl

que soit la valeur attribuée à x. Il résulte de là (n" UO) que la fonction e^ est développable en série convergente, d'après la formule de Maclaurin, pour toutes les valeurs de X comprises entre — co et -1- oo . La fonction et ses dérivées se réduisant à l'unité pour x = o, on a

I 1.2 1.2.3

et le reste de la série correspondant au /z"^™* terme est

(2) R„=: — e«^.

^ I . 2 ... «

Si a désigne un nombre positif quelconque et qu'on remplace x par xloga, la caractéristique log expri- mant un logarithme népérien, il viendra, à cause de

I-+-

1.2 1.2.3

et

, ,s ^ ^" 1<^>?" 'ï n

113. Remarque sur le nombre e. — il est facile d'éta- blir que non- seulement le nombre e est irrationnel, mais aussi qu'il n'est pas racine d'une équation du deuxième degré à coefficients entiers. En effet, si e est racine d'une telle équation, on aura

a, ê, y étant des nombres entiers positifs; or on a, par les formules (i) et (a.),

_ I I ^ I , ^'^

I 1.2 ' i.2...(« — i) 1.2. ..n

e I 1.2 1.1. ..[n — I) 1.2. ..«

I , II (— i)«-i [ — i]"(r - 1= e-i = 1 -4 ... H -^ r ^ 9

S. — Cale, dijf. \l

102 CALCUL DIFFÉREJVTIEL.

6 et X étant des nombres compris entre o et i . La substi- tution de ces valeurs donne

I

IH h. .

1 1.2. . .[n — I j

1.2. . . rt J

I . 2 . . .« J

i 1.2. . .[n — ij

puis, en multipliant par i . 2 . . . ( /z — i ) , on a

=/A,

ju étant un entier. Comme on peut prendre le nombre n pair ou impair à volonté, on est maître du signe de ± ( — I )«, et en adoptant le signe -+- on aura

n

Cette égalité ne peut évidemment avoir lieu, carie second membre est un nombre entier et le premier membre est une fraction positive qui peut être aussi petite que l'on veut; donc notre proposition se trouve établie.

Développement des fondions cosx et ûnx en séries ordonnées suivant les puissances entières de x.

414. Les dérivées d'ordre w des fonctions cos.r et sinx sont respectivement

cos ( .r H- « - J 5 SHi I X H- /? -

TT étant la demi-circonférence dont le rayon esti. Ces dérivées restent donc finies quelle que soit la valeur que l'on attribue à x, et il en résulte (n° 110) que les fonc- tions cosx et sinx sont développables en séries conver- gentes, quel que soit Xj par la formule de Maclaurin.

CHAPITRE V. l63

Pour x = o, les valeurs de la fonction cosx et de ses dérivées forment une suite périodique dont la période est

I, o, — I. G:

pareillement les valeurs de la fonction sinx et de ses dé- rivées forment une suite périodique dont la période est

o, I, o, — I.

On a donc, pour toutes les valeurs de x comprises entre

— 00 et -4- co ,.

COS^=: 1 1 -—7 — . . . + f — I )"' \-

1.2 I . 2 . J . 4 I . 2 . . . 2 /?^

X X^ ylni-^ï

sin.r :=: -

I 1.2.3 I.2...^2m-)-lj

Pour avoir le reste de la série (i) arrêtée au terme de degré im, on peut faire 72= 2772+ a dans la première des formes générales de R„, et il vient alors

(3) R,^^,= ^-^— ^^^^^-^cos[ôx+(,7^ + I):^];

de même le reste de la série (2) arrêtée au terme de degré "xm -\-\ sera

Si l'arc X est compris entre zéro et -> et que l'on donne

à m les valeurs successives o, i, 2, 3, . . . , l'expression précédente de R2»z+2 ou de R2/n+3 sera alternativement positive et négative; il s'ensuit que, si l'on arrête la sé- rie (i) ou (2) au premier terme, au deuxième terme, etc., on aura une suite de valeurs alternativement plus grandes

l64 CALCUL DirFl!:RE]\'TIEL.

et plus petites que cosjr ou sinx. Ainsi, en particulier, cosj?<;i, cosa;^- I — —, cosx<^ I

2 2 1.2.3.4

X x^ . X r^ x^

<.r, sui.r>. ^, snix<; H b— /—?'

I \ .1.6 I i.2.i 1.2.3.4.5

Développement de la fonction log(i -f- j?) ctz 5e/7*e ordonnée suivant les puissances entières de x.

\ 15. On a, en désignant par la caractéristique log un logarithme népérien,

f/logfi -4-.r] I ,

I -^ x\

'&

dx i -\~ X

et généralement

^ ' =—!"-» 1.2.

« — I I H-.r

Pourx = o, ces expressions se réduisent respectivement

à I et ( — i)"~^ 1.2. . . [n- — • 1), log(i -t-x) s'annule; lôn a donc

.7? .r^ .7?^ ri^n — l

r«.„,

(l) l0g(l-+-J") =	X I	.r^ x^ 2 3	-..+ (
'^ «-I
puis

R„ =

OU

3) R«

i + e.*-

si donc le reste R„ tend vers zéro quand n tend vers l'in- fini, on aura, par la formule de Maclaurin,

(4) log(i + a;)==--

X .r"'

r3 ,.4

2 3 4

CHAPITRE V, ibj

La série contenue dans cette formule n'est pas con- vergente lorsque la valeur absolue de x est supérieure à I, car le rapport du (/z H- i)'*^™^ terme au précédent,

savoir , tend vers la limite x quand Ji tend vers

n — n

l'infini. Ainsi la formule (4) ne peut subsister que pour les valeurs de x comprises entre — i et -f- 1 •

Pour reconnaître si le reste R„ tend vers zéro quand n tend vers l'infini, nous distinguerons deux cas, suivant que X est positif ou négatif.

i"^ Si l'on a j?^o, nous emploierons la forme (2) du reste, savoir

' 7t \V^:~elr) '

R„=:

lorsque x est <^ i , les deux facteurs - et ( — j ten- dent l'un et l'autre vers zéro quand n augmente indéfini- ment; dans le cas de x = i, il se peut que le deuxième facteur ne décroisse pas indéfiniment, mais il reste tou- jours inférieur à i. Donc le reste R„ tend vers zéro et la formule (4) a lieu.

2" Si l'on a j:<^o, nous emploierons la forme (3) du reste, et en posant x = — ^: il viendra

i — Oz\i— OzJ

Lorsque z est <^ i , la valeur absolue du premier facteur

est toujours une quantité finie inférieure à — — •, quant

au deuxième facteur, il est inférieur à z"~* , et par consé- quent il tend vers zéro quand Ji tend vers l'infini. Donc la formule (4) a lieu pour les valeurs de x comprises entre o et — i . Dans le cas de x = — i , les deux mem- bres de cette formule deviennent infinis (n° 98).

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On voît en résumé que la formule (4) subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et + i.

Remarque. — Dans le cas de x positif, le reste R^ a le signe de ( — 1)"~* et sa valeur absolue est moindre que

■ — ) d'après la formule (2); ce reste peut donc se repré- senter encore parla formule

0 r" n

0 étant une quantité comprise entre o et i.

Dans le cas de x négatif et égal à — z, si l'on a ^ <^ r, ■ — R„ est le produit de deux facteurs positifs qui sont

respectivement inférieurs à — ^^ et z"~*; on peut donc

écrire

R„ = — — ou R„ = — I

- »

■[l — z] /; ^ I _|_ j; J

6 étant toujours une quantité comprise entre o et i.

Ainsi l'on a, en désignant ici par x une quantité com- prise entre o et i, et par 6, Q' deux quantités également comprises entre o et i .

e.r2

. log(l+a:)=a: 5

log ( I ^ — .r ) = — X —

Formules relatives au calcul des logarithmes.

H 6, Calcul des logarithmes népériens. — La quan- tité X étant comprise entre cet i , on a les deux formules

(0 log(.-f .r)=::^-

(a) los(i — aj = — '^

.7-2		.7-3		y*
—	+				_] _
2	.r2	6	r'	4	.r''
	2		3		4

CHAPITRE V. 167

et, en les retranchant l'une de l'autre, il vient

Posons, dans la formule (i), x= -5 ce qui donne

log(i -{-x) = log(N -r-h) — logN, il viendra

(4) log(NH-/.)-logN:=^-^, + -^-...

faisons ensuite, dans la formule (3),

h \ + jc m -\~ h a ou = — -- — ;

2J\ -r-h on aura

j log(N ^ h] — logN

(5) _ ^ r // , //.^ h^ 1

Les formules (4) et (5) peuvent être employées pour calculer le logarithme népérien d'un nombre N-l-/z, quand le logarithme de N est connu. Les séries conte- nues dans ces formules sont très-convergentes, dès que N est un peu considérable relativement à h. On a, en par- ticulier, pour h = i,

(6) ,og(N + ,)-logN=l-jl, + 3i-,-.... Mog(N + i)-logN

( L2N+1 3;2N-+-i)» 5(2N+i)5 J

117. Module des logarithmes vulgaires. — On a

puisque chacune de ces expressions est la valeur de x ; en

l68 CALCUL DIFFr.UENTIEL.

prenant les logarillimes népériens de part et d'autre, on a

logj: = log vulgx X logio. et, en faisant (8) M=— ^,

il vient

log vulg.r zm log.r X IM.

Ainsi l'on obtiendra les logarithmes vulgaires en multi- pliant les logarithmes népériens parle nombre constant M qu'on nomme module des logarithmes.

Les formules du numéro précédent fournissent le moyen de calculer M; d'abord la formule (7) donne, pour N = I , , > , /il II 1

3 3.3^ ' 5.3^ 7.3" 9.3* la formule (5) donne ensuite, en faisant N = 8, A

r

(10) logio = 3 l()g2 -^ 2 (-+-— + ^ --f-.

^ \9 ^-9 5.9^

et l'on a, en conséquence, par les formules (8), (9), (10),

I ^/i II \ /i I I

— =6 V- + !" . . . -h 2 — i 1 H- .

M V3 3.3* 5.3^ 'V '^ \9^3.9^ 5.9''

Les séries qui figurent dans cette formule sont suffisam- ment convergentes ; mais on peut en obtenir une infinité d'autres, dans lesquelles les termes décroissent plus rapi- dement. Par exemple, si l'on fait, dans la formule (5), N=:4o9() = 2'-, h = /\, d'où N-f- A;=4i'^o» et, dans la formule (7), N = 4o = a'* X 10, il viendra

log4l-f-2logIO=I2log2 + 2 (—-r- + ^ 7—^ +••■)'

\2049 3.2049 /

log4i =logio + 2log2 + 2 (^^ H- 3;j!r^ + • • • j;

CHÂPITT\E V. 169

en éliminant log4ï etlog2 entre ces équations et l'équa- tion (10), il vient

1 / I I I

M \9 3.ç/ 5.9-^

bi 3.81^ 5.8r .2049 "^ 3.20493

■•)

Si l'on calcule chaque terme de la formule (11) ou de la formule (12) avec vingt-huit décimales, de manière à

pouvoir en conserver vingt-cinq dans les valeurs de —

et de M, on trouvera

( 1 3 ) — = 2 , 3o258 50929 94045 6840 1 799 1 4 • • . j (i4) M = 0,43429 44'^ 19 0^25 1 82765 1 1289

lis. Calcul des logarithmes vulgaiues. — Les for- mules (4) et (5} s'appliqueront aux logarithmes vul- gaires, si l'on multiplie leurs seconds membres par le module M. On a donc

■i5] <

I log(N + /.)-logN=M [^-^-.^ _...],

j los(N-^/.)-logN^2M[^^ + 3^Ji:^3^-•••} et, en faisant h ^= i,

log(N + x)-logN=M [^-^ + 3-;-.

log(N + 0 — logN— 2M — -"^ — • +

L2ISI + 1

^^ ^ * {_2N + I 3^2N-f-l)3

Le module M étant connu, on pourra faire usage des formules (i5) et (16) pour le calcul des logarithmes

vulgaires.

1^0 calcul différentiel.

119. Remarque sur l'emploi des Tables de loga- rithmes. — Quand on fait usage des Tables de loga- rithmes, on suppose que les petits accroissements des nombres sont proportionnels aux accroissements corres- pondants de leurs logarithmes. Nous allons établir que cette proportionnalité peut être admise pour l'approxi- mation qu'on prétend obtenir. A cet effet, reprenons la formule

obtenue au n° 115, et dans laquelle x désigne un nombre donné compris entre o et i , 0 une quantité positive infé- rieure à I . Multiplions le second membre par le module M afin de passer aux logarithmes vulgaires, et remplaçons x

par —5 il viendra

(17) log(N + ^)-logN-M(^^-^j;

on aura aussi, en faisante = i et en écrivant ô' au lieu de0,

(.8) log(N + i)-IogN--^M(^-^,y

Posons

log ( N + /z) — logN = A, log ; N -i- 1 ) — logN = D,

puis

(19) A = hD-[-s, /î= -^ -4- )3,

S sera l'erreur commise dans le calcul du logarithme de N_)_/ij au moyen des tables, et en admettant la propor- tion / ^ ^ ^-

CHAPITRE V. 171

pareillement n sera l'erreur commise dans le calcul d'un nombre dont le logarithme est donné, quand on fait usage de la même proportion.

Si l'on remplace, dans les formules (19), A et D par les valeurs tirées des formules (^ly) et (18), il viendra

n =

2N- 2N— 6' '

or h, 6, 0' sont compris entre o et i et M est <^ -; on a donc

zh £ et ± n étant les valeurs absolues de s et yj. On voit que, si N est supérieur à 10 000, l'erreur ±e est moindre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal 5 pa- reillement l'erreur relative ^^^- est moindre qu'une demi-

unité du huitième ordre décimal. Donc l'emploi de la proportion (20) est légitime quand on se borne à sept ligures, soit qu'il s'agisse de calculer le logarithme d'un nombre donné, soit qu'on veuille au contraire calculer le nombre qui répond à un logarithme donné.

Formule du binôme.

120. L'expression [a-\-b)"^ est susceptible de plusieurs valeurs, excepté dans le cas où m est égal à un nombre entier positif ou négatif. Mais, ?>\a-\-b est positive, l'une de ces valeurs est réelle et positive : c'estla seule que nous

considérons. Si l'on pose - =x, notre expression sera le

produit de à^ par (i -f-x)"*; cette dernière fonction est celle dont nous avons à nous occuper et que nous nous proposons de développer en série ordonnée suivant les

1^2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

puissances entières de x. On a

cette dérivée se réduit à

m [m — 1 ) . . .[m — « + i )

poura: = o; par conséquent on a

,„, m m (m — il „ m(m — i] (m — 2I I -r-j? r" = I H œ-i- — jc^ '

et

ou

I 1.2 1.2.3

m\ m — i) . . .Im — /z H- -2 1

-I- '- ^ a-"-» -f- R,

1 .2.. . .in — I )

^ m{m — i)...f/re — /z + li „, „ , „

R„= — ^ ^ — ^ '- x'^ii-hûx)'"-";

1 .2.0. . .re ^

(3) R,,= "il^;)::4™_l)...(.-.)..-.i,^o.)»-^

G désignant, comme à l'ordinaire, une quantité comprise entre o et i . Enfin, si R^ tend vers zéx^o quand ji tend vers l'infini, on aura

, 171 m (m — il „ m(m — i) (m — 2I „

ll-]-jr)"' = i~i x-{- -— .r^-i ^ j:5_j_

^ I 1.2 I .2. 3

ce qui est la formule du binôme pour un exposant quel- conque. Il est presque superflu d'ajouter que cette for- mule se termine d'elle-même, quand m est un entier po- sitif; nous faisons abstraction de ce cas.

Le rapport du [ji -+- 1 )'«""= terme au tz'^"'^ terme de la

, . , ,, m — «4-1 / m -\- i\ série (4) est x ou — ( i j x, ([uanlile

qui tend vers la limite — x, quand n tend vers l'infini ; il résulte de là que la formule (4) ne peut subsister que si X est comprise entre — i et H- i, puisque, dans le cas

CHAPITRE V. 173

contraire, les valeurs absolues des termes de la série croissent constamment à partir d'une certaine limite.

Nous supposerons d'abord x comprise entre o et i; alors on a, en employant la forme (2) du reste,

Vinx w -il.r [m — 9,1a? [m — n-^-i]ar\ i

La quantité entre crochets tend vers zéro quand n tend vers l'infini; en effet, quand n augmente de i, elle acquiert

le facteur — xii j qui tend vers la limite — x,

lorsque Ji augmente indéfiniment. Il s'ensuit que la quan- lité dont nous parlons est un produit dans lequel les fac- teurs plus grands que i , en valeur absolue, sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur abso- lue est inférieure à i et même inférieure à une quantité quelconque comprise entremet i peut devenir plus grand

aue tout nombre donné. Ouant au facteur ,

il peut avoir l'unité pour limite, si la limite de 0 est nulle, mais en aucun cas il ne surpassera l'unité. Il résulte de là que R„ tend vers zéro, si x est positive et inférieure à I, et, dans ce cas, la formule (4) a lieu.

Supposons maintenant que x soit comprise entre o et — i; nous poserons x = — z et nous emploierons ici la forme (3) du reste. On a

Lorsque n tend vers l'infini, le facteur entre crochets tend vers zéro, ainsi qu'on l'a vu dans le cas précédent. Quant

au facteur 7?z^(i — Bz)"^ ' • ( _ . ) ' il tendra aussi

vers zéro, à moins que la limite de Q ne soit zéro; mais alors sa valeur sera finie et égale au plus kmz. Il résulte

1^4 CALCUL DIFFKUEKTIEL.

de là que R^ tend vers zéro; et en conséquence la for- mule (4) subsiste pour les valeurs de x comprises entre o et — I .

121. L'analyse précédente montre que la formule (4) a lieu pour les valeurs de x comprises entre — i et -f- i ; mais elle n'apprend rien à l'égard des valeurs limites

— I et -f- I . Abel a démontré que, si une série ordonnée suivant les puissances entières positives d'une variable a: est convergente, lorsqu'on attribue à cette variable la valeur Xt, la même série est aussi convergente pour tout nombre x dont la valeur numérique est inférieure à celle de Xi ; en outre, si s représente la somme de la série relative à la valeur x et Sf celle de la série relative à la valeur x^ , s tend vers Sf lorsque x tend vers x, . La formule (4) subsiste donc, pour les valeurs limites — i et H- I, pourvu que la série du second membre reste con- vergente ; il est facile de déterminer dans quels cas cette convergence persiste. Lorsque a: = ii:i, le rapport du (/z-f-i)"^™® terme de la série (4 i au /z*^™^ terme est

— I I ) ; donc, si m -{- i estun nombre négatif,

les valeurs absolues des termes seront constamment crois- santes et la série sera divergente ; ainsi nous devons sup- poser m -h I positif.

Désignons par «„ la valeur absolue du n'^"^ terme de la série (4) dans l'hypothèse de x=±i, et par ç^n le ^ième ^ermc de la série

I I I I

j rn+l ' ^/«-t-l ' 3«H-1 ' / w4-l' •••5

on aura

CnAFITUE V. 1^5

La formule du binôme est applicable à la fonction

/ l\ -('« + !) , , ,

I I H — I ; en se bornant a deux termes on a

— «î— 3

f /w + r ] f m -t- 2 '

1+ - I 9

r„ « 2/2" \ 72

et, comme (/w-j-i) est positif, on aura

■ > OU <<. •

^n. "« Vn+\ ^'n

Soit, pour une certaine valeur de w,

— = /- ou M„ = A('„,

on aura

or la série

(5) /l'o, /('i, A-('2, . . .

est convergente quand m est positif (n° 98); donc la série

Mq, 7^1, «2> • • • »

est aussi convergente. Ainsi, dans le cas de m ^ o, la formule (4) subsiste pour a: = ±i, et Ton a

(6) 2'"= H ^ ^— - — ^ H-

772

(7) 0 = 1

777	(777 -l)
	I .2
777 1	' /?7 — I )

777 ( m ï )	(777-2)
1.2.	.3
777 ( 777 I )	(777 — 2)

I 1.2 1.2.3

Lorsque m est négatif, le premier membre de la for- mule (4) est infini pour x ^ — i, et la série du second membre est toujours divergente. Mais cette série est con- vergente pour X = -h I si 771 est compris entre o et — i , et en conséquence la foimule (6j subsiste pour ces va-

176 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

leurs de m. En efTet, les termes de la série (6) sont alter- nativement positifs et négatifs dans notre hypothèse, et leurs valeurs absolues décroissent indéfiniment, puisque ces valeurs sont respectivement moindres, à partir d'un certain rang-, que les termes correspondants de la série (5) .

Déi>eloppement de la fonction f [x -^ li) en série or- donnée suivant les puissances de h, dans les cas où la formule de Taylor na pas lieu.

!2!2. Si la fonction f{x) ou Quelqu'une de ses dérivées devient discontinue quand la variable x atteint la valeur particulière x^, la quantité y (.ro + /^) ne peut plus être développée, par la formule de Taylor, en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de h. Mais, si l'on admet des puissances négatives ou fractionnaires de h, il peut arriver quey(xo H- h) soit encore dévelop- pable en une série convergente; dans ce cas, on calcule successivement, comme nous allons l'indiquer, les divers termes de la série.

Si la fonction^ (x) a une valeur finie A différente de zéro, pour x =. Xo, et qu'elle soit continue pour les va- leurs de X comprises entre x„ et XQ-\-h, on aura

(i) /(a?o-t-/!) = A-T-e,

£ désignant une quantité qui s'annule avec h.

La fonction f[x) étant toujours continue de Xq à Xo H- ^', supposons qu'elle s'annule pour x = Xq et que, h étant pris pour l'infiniment petit principal, on puisse trouver un nombre positif n, entier ou fractionnaire, qui représente l'ordre infinitésimal de f{xo-\- h). On aura, dans cette hypothèse,

1"« — 7?ir—=-^^

CHAPITRE V. 177

A étant une quantité finie différente de zéro, et par con- séquent on aura aussi, en désignant par e un infiniment petit,

(2) * f[a:,-\.h)=h'^[k-ht\

Enfin, si la fonctiony(j:) devient infinie pour x = .Tq et que l'on puisse trouver un nombre positif m qui exprime

l'ordre infinitésimal àe /[xa-i-h) relativement à y 5 de manière que l'on ait

lim//"/(:ro-f-A) = A,

A étant une quantité finie différente de zéro, on aura

(3) /(.o-l-/0 = ^(A + s),

formule où e désigne toujours un infiniment petit.

La formule (2) comprend la formule (3) quand on at- tribue au nombre n la valeur négative — m ; elle com- prend aussi la formule (i) si l'on admet pour n la valeur zéro. Ainsi, dans les trois cas que nous avons examinés, on a, en écrivant x au lieu de Xq -{- h,

(4) /(-)-(^--o)Vi(^),

n étant un nombre positif nul ou négatif et y, [x) une fonction qui, pour x = Xq, prend une valeur finie A dif- férente de zéro. La fonction

/i(-r)-A

s'annulant pour x = Xo, si l'on peut trouver un nombre positif «) — Ji qui exprime son ordre infinitésimal relati- vement à li^=. X — Xo, on aura de même

/, (:c] — A= [x S. — Cale. diff.

lyS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fi{x) étant une fonction qui, poura7 = jro, prend une valeur finie A, différente de zéro. Alors la formule (4) deviendra

(5) /(.r) =z A(^ - :rj« + (a: - ^o)"' Â{^)'

La fonction

/^[a:) —Al

s'annule encore pour x =: Xo, et si l'on peut trouver un nombre positif Wo — rit qui exprime l'ordre infinitésimal de cette fonction, on aura

/^ (^) - A, = (^ - .ro)««-"./3 (.r),

fs [x) ayant, pour x ^= Xq, une valeur finie A2 différente de zéro. La formule (5) deviendra donc

(6) /{x) = A(.r - ^0)"+ Aj (^ - .r-o)«. -1- [x - x,)"./, (.r). En continuant ainsi, on aura cette expression àe f[x)^

/(.r)=:A{.r-^J«^-A,(^^a:„)'^-^A2(.r-Xo)«,■

(7)

où l'on fait

(8) R,-= (^ - a:,Yifi^^[x) =:[x- x,Y'-x [fi{x) - A,_,]. Mais cette formule suppose que les nombres croissants

«, /Zj, ??2, ... 5 Tli

puissent être déterminés de telle manière que, pour toute valeur de k comprise entre i et i, le rapport

ciTAPirnE V. 17g

tende vers la limite finie A/( différente de zéro, quand x tend vers x^^.

Lorsque ces conditions sont remplies, quel que soit i, et que la quantité R/ tend vers zéro, à mesure que i aug- mente indéfiniment, la formule (7) donne

(9) / W = A(.r - .ro)«H- A, [x - ^o)"' -H A2(.r - .r„)'',-|-..., OU, en remettant x^ + h au lieu de x,

(10) f[x^^h] =A/i" + A, /^''.-^Aa //"= + ..,,

ce qui est le développement de/" (jto + li) en série ordon- née suivant les puissances croissantes positives ou néga- tives de h.

123. Considérons par exemple la fonction

y(x) =: ysin^p — sinx^,

dont la dérivéey'(x) devient infinie pour x =1 x^ et à laquelle, en conséquence, la formule de Taylor n'est pas applicable.

La fonction sin^ — ûnxç^ estdéveloppable par la for- mule de Taylor, et l'on a

„, , /, , [x — or»)^ . /(•^ = V/ i^ — ^o;COS^o— j-^-sm.r(, — ...;

il en résulte que la fonction

\^x — a:^

a pour limite \/cosXo quand x tend vers Xq. Ainsi, en conservant les notations du numéro précédent, on a d'abord

2 ' '■■--./ sjx — x^'

13.

iSo CALCUL DIFFÉTIKKTIEL.

puis

[x — X^j ^fo [x] = i/ COS Xq ■

I .2 1 . 2

sin x^^ — ... — ^/cos Xq

/

— sinxo — ...-{-\/cosxq

cette expression est un infiniment petit du premier ordre; on a

3 . sinj:»

/?i = -, Ai =

4 V COS et

I . .T X,

sm Xg

1.2 1.2.3

sm Xn ^ cos.ro + . , »

fA^) =

/ .77 -^ .r» . ,

4 / cos:ro sin-rp -|- . . . + ycosjCo

Si Ton veut borner le développement à deux termes, on

aura

l~ • J ' I \~^ SmXn I \T TV

ysin j: — sm Xq =: ycos.ro [x — x^y \x — x^] -i- Rj j

4v/cosj;o

le reste R2 a pour valeur

R,= [x-x,y \f,[x) + ^^1, L 4Vco3aroJ

3

et son ordre infinitésimal est évidemment supérieur à-«

Détermination de la limite vers laquelle tend le rapport de deux fonctions qui tendent l'une et l'autre 'vers zéro ou vers l'infini.

121. Lorsqu'une fonction se présente sous une forme

f{x] fractionnaire — — [■> il peut arriver que le numérateur et

ï\x)

CHAPITRE V. ibt

le dénominateur s'annulent simultanément OU deviennent infinis pour une valeur particulière Xq de x. Il s'agit alors de déterminer la véritable valeur de la fonction, et l'on peut y parvenir dans des cas nombreux, au moyen du théorème suivant :

THÉour:ME. — Si les deux Jonctions /"[x) et F(x) tendent l'une et l'autre vers zéro ou "vers Vinfini, quand x tend vers la limite Xq, et que les dérivées de ces fonctions soient déterminées, les rapports

F(a:)' F'(.r)

tendront vers une même limite déterminée, quand on fera tendre x vers a^o, ou ils croîtront l'un et l'autre au delà de toute limite.

1° Supposons que l'on aity*(j:o) = o, F(xo) = o. On peut toujours trouver une quantité h assez petite pour que F'(x) ne soit ni nulle ni infinie quand x varie entre x^ eiXQ-\-h, si ce n'est pour x^JCo ; alors on aura

(nO 14)

f[.-r,+ h) ^f[.T,+ h,)

La quantité /i| est comprise entre o et h, elle s'annule donc avec h, et par conséquent on a

il peut arriver que le rapport | " | croisse au delà de

1- • j , f[^)

toute limite, et, dans ce cas, le rapport -=;7| — r croîtra aussi

au delà de toute limite.

Ce résultat subsiste quelque grande que soit la quan-

l82 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tité jCq, et par conséquent il a lieu pour Xq = ao . Mais, comme la formule qui a servi de point de départ suppose que Xo désigne une valeur finie, il n'est pas hors de propos d'examiner à part le cas de Xo = <X) . En fai-

I sant j: = -5 on a

z

fix) -^[z

z

Si X tend vers l'infini, z tendra vers zéro, et l'on aura

hm ^ — r = Iim =: lim —^y

T

ou, en remettant x au lieu de

zj z^ \zi

I

2° Supposons que l'on aity(xo) = oo . F(xo)=<=0 Xq étant une quantité finie ou infinie. On peut écrire

LtrJ

¥[x

et, puisque les fonctions -— — -■> — ^ — r s'annulent pour x = Xq^ on aura, par ce qui précède,

lim — ^ = hm f— — — -^ = hm ^ , , :', .

CHAPITRE V. l83

Si '„, , tend vers une limite finie A différente de zéro, la formule précédente deviendra

F'Lr

et, par conséquent, on a

,toCH=A--=iim^''i

F'(.r) F(.r)

La même conclusion subsiste quand A= o. En effet, dans ce cas, si l'on désigne par C une constante quel- conque, la fonction

ZW^C ou /H+CF(x)

F(.r) F{x)

tendra vers la limite C quand x tendra vers Xq, et, comme C n'est pas nulle, on aura

F(^) r(.r)

ou, en retranchant G de chaque membre,

F(x; F'(^)

Enfin, si le rapport — , — !- croît au delà de toute limite

^ ^ F(.r]

quand jc tend vers Xq, le rapport inverse -j-, — | tendra vers la limite zéro; donc -^r-] — r tendra aussi vers zéro, et, en

1 (.r) F'(.r) , - ,, , ...

conséquence, —~, — - croîtra au delà de toute limite.

J (^)

Corollaire. — Si les fonctions J\x) et F (or) sont

l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

simidtanémenL nulles ou infinies pour x = Xç,, ainsi que leurs dérivées Jusqu'à celle de l'ordre n -r- i inclusive- menl, en sorte que la déris^ée d'ordre n de l'une des fonctions au moins ait une ^valeur finie différente de zéro, on aura pour x = Xq,

F(.r) F(«){a:o)

125. Exemples. — i** Les deux termes de chacune

des fractions

sin.r tang^

s'annulent pour x = o. En appliquant le précédent théorème, on a

,. sin.r ,. cos.r

hm ^^ hm = i,

j? I

,. tane.r I

hm - — ^- -- hm — - ~ i.

qP Soit la fraction

e'^ — c^ — 2 X

X — sin.r

Chaque terme s'annule pour x ■= o, ainsi que ses deux premières dérivées. Les dérivées du troisième ordre sont

respectivement

e^-i- e~^, cos.r,

et elles se réduisent à 2 et i pour x = o. La fraction proposée est donc égale à 2 pour cette valeur de x. 3" Soit la fraction

.r,^ — X X — I — logar

où la caractéristique log exprime un logarithme népé- rien. Les deux termes s'annulent pour x = i, ainsi que

CHAPITRE V. i8j

leurs dérivées du premier ordre,

.r^ ( I + log.r ] — r , I ;

les dérivées du deuxième ordre sont

a:^ ( I -I- log .r ) 2 + .r^— \ — ; ,

elles se réduisent à 2 et i pour x = i ; donc la fraction proposée tend vers la limite 2 quand x tend vers l'unité.

A° Soit la fraction — 5 a étant une constante positive

et n un nombre entier positif. Les deux termes de cette fraction sont infinis pour jt = 00 ; d'ailleurs le rapport des dérivées d'ordre ii des fonctions a^ et x'^ est

log" a

et il devient infini en même temps quex; par conséquent, la fonction — tend elle-même vers l'infini, quel que soit/z, quand x tend vers l'infini.

126. Il existe des fonctions qui deviennent indéter- minées pour des valeurs particulières de la variable. Telles sont, par exemple, les fonctions sinx, cos.r, dont les va- leurs sont indéterminées pour x = ce . Il peut arriver aussi qu'une fonction dont la valeur est déterminée pour X = Xq ait une dérivée indéterminée ; ainsi les fonctions x-f-cosa:, x-+- sinx deviennent infinies avec x, mais leurs dérivées i — sinx, i -f- cosx sont indétermi- nées. Si donc on fait

COS.?:

j-f \ ' ^

/ .r ) X -\- cos X .r

Y[x] X -r- Stinx sin x

X

l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

on aura

f'ir] tandis que la limite du rapport ~~-{ est indéterminée.

r (xj

Ce résultat n'est point en contradiction avec le théorème

du n" 124, car celui-ci suppose essentiellement que les

fonctions y(x) et F(x) aient des dérivées déterminées.

127. Le théorème du n° 124 ramène la recherche de la

fia:]

valeur que prend -- — pour x = Xo à celle de la valeur que prend, dans les mêmes circonstances, la nouvelle

f'i.r] . .

fonction -~ — -• Mais il peut arriver que cette réduction

n'ait point d'avantage et que la seconde fonction offre les mêmes difficultés que la première.

La solution de la question qu'il s'agit de résoudre s'obtiendra sans difficulté, si les fonctions y (x^ -h A), F{xo-l- h) sont développables en séries ordonnées sui- vant les puissances ascendantes positives ou négatives, entières ou fractionnaires de h. Dans ce cas, il suffira de calculer le premier terme AA" de la première série, ainsi que le premier terme BA'" de la seconde, car on aura

/{xo-hh) =^« (A-+- e), e et rj étant infiniment petits en même temps que h, puis

F(.ro + /0 B-n->î

Si 7Z est égal à m, on aura

hm .w— ( = 5»

CHAPITRE V. 187

et le rapport , tendra vers zéro ou vers l'infini, si l'on

a n^ ui ou n<^ ni.

128. Exemple I. — Considérons la fonction fraction- naire

/[x] _ \Jx — ^.To -h- v'-r — Xq ^

les deux fonctions /(x), F(x) s'annulent pour x-=Xq, et il est aisé de reconnaître que leurs dérivées de tous les ordres sont infinies pour x = Xq. Si l'on fait x = Xo + ^, et qu'on prenne h pour infiniment petit principal,

sjx — Xq = \jh sera un infiniment petit d'ordre - \ au con- traire yjx — Y'X^ OU y Xo V if -r- — — I est un infini- ment petit du premier ordre, ainsi qu'on s'en assure en faisant usage de la formule du binôme. On a donc

S étant un infiniment petit. Le dénominateur F[x) est sjx — Xq yi'x 4- Xq = \Jh y/aXo -f- -'i, et l'on a

t n étant un infiniment petit; donc

F(^o + >^) ~ V'â^ + u' F(^) "~ y/2^

J29. Exemple II. — Soit la fonction

2 . 1

x — - sina: — - tangx

et clierclions sa valeur pour a: = o. Si l'on multiplie par

l88 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

3 cosx ses deux termes, elle deviendra

f[x) 3j:cos.r — sinar — sin2.7^ F(^) ~ 3.r5 cosar '

en remplaçant coso:, sino: et siaax par leurs dévelop- pements en séries, on trouve

\ 2 24 / V t» 120

6 120

F(j:)=:3x^ ( I 1-

d'où

/(-)=^M-|;-i-^)' F(.r):=^^(3 -;-.);

on en conclut

,. fi-r] r

130. L'analyse que nous venons de développer em- brasse le cas d'une fonction égale à un produity"(ar) F (a:) de deux facteurs, dont l'un est nul et l'autre infini pour x=^Xq. On a effectivement

et la forme de la fonction est ainsi celle d'une fraction dont les termes deviennent nuls ou infinis pour jc=^ Xq. Enfin on ramène immédiatement au cas précédent celui d'une fonction j- de la forme

J = «^

ic et u étant des fonctions de x qui, pour x = x^, se ré- duisent à

CHAPITRE V. r8g

ou à

K =r. 00 , r = O,

OU à

tt = I, p =r 00 .

En prenant les logarithmes des deux membres de la for- mule précédente, on a

logjr = i^Xlogtt.

La fonction \ogy est le produit de deux fonctions, dont l'une s'annule pour x = X(,, tandis que l'autre devient infinie; on rentre ainsi dans le cas que nous venons d'examiner.

131. Exemple. — Cherchons la valeur de x^ pour X = o. On a

1 l02.T

loga:'^ = X logo- =z — ^- 7

donc

I

lim logjr^= lim = — lim^ =0.

Le logarithme de x^ tend donc vers zéro, et par consé- quent x^ tend vers l'unité.

Représentation des fondions e^ et logx par des limites de fonctions algébriques.

132. Soient X une quantité déterminée et m une va- riable. On peut obtenir, par les règles précédentes, la valeur que prend l'expression

X

I -!

m

igO CALCUL DIFFÉBENTIEL.

pour m = QO . On a efTeclivement

log(n--) =mlog/n-£j =

^ ''' ' ml " \ mj J_

m

La limite de cette expression, pour m = co , s'obtien- dra en prenant le quotient des dérivées des fonctions

lofff iH — -)"— par rapport à m et en cherchant la ^ \ m J m ^ ^ ^

limite de ce quotient. On a ainsi

ou

"V =lim mj	i+-	—, r=lim
1 e^ = lim i iv-f	'm)	pour m = co \

et, par conséquent, la fonction transcendante e^ est la limite d'une expression qui reste algébrique et même entière, si le nombre m tend vers l'infini, en ne prenant que des valeurs entières. On peut écrire aussi

m I

en désignant par e une quantité infiniment petite avec — < On lire de cette formule (i)

X z=z m \'\'e^ — £ — i) ; or on a

_ 1 _^ e \

* ^ ' \ m

d'où

CHAPITRE V. 19 1

v) étant un infiniment petit : donc

x = m ( V''?' — i ) + ïJ,

et si l'on écrit x au lieu de e-^, \ogx au lieu de x, il viendra

(2) loga; = m{'Vx — i)-hn,

OU

logo: =\imm['\'.r — i) pourm=zCO;

par conséquent la fonction transcendante logx est aussi la limite d'une fonction algébrique de la variable x.

Extension des formules de Taylor et de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables.

133. Soit

« = F(.7-, j, z,. . .)

une fonction de m variables indépendantes x, j", z,. . .. Nous nous proposons de développer la fonction

« + Am = F ( .r -f- A, j H- A-, z H- /, . . . ]

en série ordonnée par rapport aux accroissements h, h, /,.... La quantité u -h Aa est la valeur que prend, pour t = I, la fonction de t suivante :

U = F(.r H- /i^ jr ^- kt, z -V- It, ...),

qu'on obtient en remplaçant h, k, /,... par kt, kt, It.... respectivement dans l'expression de u + Aa; donc, pour résoudre la question proposée, il suffira de développer U en série ordonnée par rapport aux puissances de t, d'après la formule de Maclaurin, et de faire ensuite t=i dans le résultat. Si l'on pose

igO. CALCUL DIFFÉRENTIELc

on aura

aÇ d/3 aç

puis comme ^,ri, ^, ... sont des fonctions linéaires de la variable indépendante t, on aura symboliquement (65), quel que soit/z,

d"\] =: { ~ d^ -i- —- dv -h -^ di

\ dÇ de ÔK

On a dl=.hdt, ch ==kdi, d'C,= Idt, ...; donc

rf"U /,dU , du ,dU

= ^ h k --- + / —

df' \ Ôi Ôri (Ji

j d\J dV . .

et, a cause de ^rr = -^ 5 • • • , on peut écrire

d" u / , d\] , du , au

dt"- \ dx ôj ôz

Pour i = o, on a

U = «,

et la formule précédente se réduit à

d'^\} 1 , Ou au du

dt"^ \ dx dy dz

Par conséquent la formule de Maclaurin appliquée à la fonction U donnera

t ( , du , du , du \

I \ dx dj dz

t- I j du du du

\ .i\ dx ^ dy~^ dz '

;«-» ( , du , du du \«-' ^

^i '. > // — -1- X- --+/—+ ... + R«.

i.2...(« — I \ dr dy dz /

CHAVITRE V. 193

T t^

Le reste R^j est égal au produit de — par la valeur

^ \.i...n ^

que prend —^ quand on y remplace t par 0«, 0 dési- gnant une quantité comprise entre zéro et 1 ; on a donc ?" 1 , du , du du

1.2... «\ d.r dj dz J ^-+oht, j+ut, z+oit,...

\esmdicesx-hQht,j -h6kt, z-^-Ôh,... indiquant qu'il faut remplacer x,j, z,... par a:+0Az, j+OAf, z-\-Sh, .... Si maintenant on fait « = i, on aura

, du , du , du

V ôx or az

U -+- \U =: U -{-

\

I

, du , du du \ 2

a.r rJr <73 /

1 .2

, ^M , du , d«

y^ -T — h /<- -T- H- ^ -r-

c/j: (^'r f^z

^i_ :

Rr

1.2... [n — I) et , , ^ î f , du du , dM \ "

' I.2...«\ (^.r dj dz Jx^^h.y+U^z + Ol,...

Par exemple, dans le cas d'une fonction F(x, j) de deux variables, on aura

^ ''^ \ dx djj I.2\ dr^ c).rdr àf-

I z,,, .^""'F « — I, „, d"-'F ^"-iFX

^i.2...(«-i)V d.r«-' ^ I dx--'dj^''--' dy^J

et l'expression du reste sera

,„d"F n , , , r)"F , ^T

s. — Cale, diff, i3

ip4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Lorsque le reste R« tend vers zéro, quand tz augmente indéfiniment, la formule (i) donne celle de Taylor éten- due au cas des fonctions de plusieurs variaLles^ savoir :

Au

(3:

, du ^ du , du aa: oy Ôz

, du , du , du d.v dy dz

+ ..

I .2

Or, X, y, z, . . . étant des variables indépendantes, on a

, du , du du

du = h 1- /- 1- Z -T- -J- . . . ,

dx dy dz

et, symboliquement,

, , du du , du

d'^u = /i ~ + /- . H- l

dr dy dz

donc la formule (3) peut s'écrire

du d^ u d^ u (4 Au = ! ^- ^+...,

^^' I 1.2 1.2.3

et elle a la même forme (108) que dans le cas d'une seule variable.

134. Si l'on se reporte aux conditions que suppose la formule de Maclaurin dans le cas d'une seule variable, on reconnaîtra que notre formule (i) exige que la fonc- tion u et ses dérivées partielles, jusqu'à celles de l'ordre ji — i^ soient continues relativement à chacune des va- riables, tant que celles-ci restent comprises respective- ment entre x et x-\-h, j et j + A, ^ et z-j-/, ...; elle exige en outre que les dérivées partielles de l'ordre îi soient déterminées.

CHAPITHE V. 195

Lorsque les accroissements h, A, /, ... sont infiniment petits et que leurs rapports demeurent indéterminés, le rapport du reste au terme auquel on s'arrête est infini- ment petit, pourvu que ce dernier terme ne soit pas iden- tiquementnul. En effet, les dérivées partielles de a étant supposées continues jusqu'à celles de l'ordre n — i in- clusivement, on a

1.2.

en désignant par d'"~* u ce que devient la différentielle d"~^u quand on remplace x, y, z, . . . par x-hOhy y -h 6k, z~^9l, . . .; d'ailleurs on a aussi

donc

1\„_,= -— — — - +R,

1 . 2 ... ^ « — I j

u — d"-

et le second membre de cette formule s'annule avec Ii, h, l, ... tant que les limites des rapports de ces infini- ment petits à l'un d'eux restent indéterminées et que d"~Ui ne se réduit pas identiquement à zéro.

Il résulte de là que, si des valeurs absolues de saccrois- sements h, h, l, ... sont suffisamment petites, la valeur absolue de R„ sera inférieure à la valeur absolue du dor-

nier terme •

1 .2. . . «

135. Maintenant, pour avoir la formule de Maclaurin étendue aux fonctions de plusieurs variables, supposons x, y, z, ... nulles dans les formules (ij et (2), puis écrivons ensuite x,j,z,... au lieu de h, k, /, — Exprimons enfin parle moyen de l'indice zéro quejc,y, z, ... doiv&nt cire

i3.

ig6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

remplacés par zéro dans une fonction quelconque, et par l'indice 9 que les mêmes variables doivent être rem- placées par Oa:, Bj, Qz, ...; on aura

« = «0 4-

du\ / du\ [du

/Ou

d.r Q \dr n \àz

(51

dn\ /ÔA /r)/A 1"-'

1 . 2 ... « — I

R„

et

i«)'^-r^,[Kr:).-(|:).-(l').--]-

Théorème relatif aux fonctions homogènes.

136. Le théorème que j'ai en vue a été déjà démontré au n° 84; mais, comme il a une haute importance, il ne sera pas inutile d'en présenter ici une démonstration nouvelle.

Soit

unefonction homogènedudegré/zdesvariablesx, 7, z, .... Si l'on multiplie toutes ces variables par le facteur i -\- y., la fonction se trouvera multipliée par (i + a)« et l'on aura (84)

/(.r + «ar, / H- aj, z-l-az, . . .) = (H-a)V(^i J, z,. . .).

Développons les deux membres de cette formule en série

rriAPiTRE V. 197

ordonnée suivant les puissances dea. Le premier membre donnera

«•^ / d\f d\f d\f jT-f

H x-— -+-2xr -r — — -!-2.r3 — — - +...+ r''-^-;-l-• I.2\ ùx- ùxôy O-r.Ùz 0)^

Quanl au second membre, il deviendra

^V n n[n — 1)„ "1

/(.r, j, z,. . .)|^, + - « + -\~- «' -'- • • • J '

et la série qu'il renferme sera convergente si l'on prend pour l'arbitraire a une quantité positive inférieure à i. En égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de a, on obtient

àf Of ôf ., . .

d-f (Pf

La première de ces formules exprime la propriété des fonctions homogènes que nous voulions établir; elle entraîne toutes celles qui suivent, commie il est facile de s'en assurer.

198 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

CHAPITRE VI.

THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA.

Des mujcima et des minimn des fonctiojis d'une seule variable.

137. Soienty(x) une fonction de la variable x et Xq une valeur particulière de x. Si l'on peut assigner une quantité positive e, aussi petite d'ailleurs que l'on voudra, telle cjue l'on ait

pour toutes les valeurs de h comprises entre — s et -]-£, on dit que la fonction f{x) passe par un maximum quand x atteint la valeur jco, cif[x(t) est dite une valeur maxim.a def(x).

Pareillement, si l'on a

/(^o-l-/0>/{-^o)

pour toutes les valeurs de h comprises entre — e et H- e, on dit que la fonction f{x) passe par un mijùîuum quand x atteint la valeur Xo, eX, J\xq) est une valeur minima àef[j-).

Lorsqu'on fait croître x, la fonction y (x) croît ou dé- croît, selon que la dérivée y'(x) est positive ou néga- tive; il en résulte que la fonctiony(a.) ne peut cesser de décroître pour croître, ou de croître pour décroître, que quandy"''(x) change de signe ; alors cette dérivée s'annule, ànioins ([u'ellene devienne discontinue. Ainsi les valeurs de X qui répondent aux maxima et aux minima de f{x)

CHAPITRE VI. 199

sont comprises parmi celles qui annulent la dcrivéey"(x) ou qui la rendent discontinue. On voit aussi qu'une fonc- tion peut avoir plusieurs maxima et plusieurs minima qui se succèdent alternativement, du moins tant que f[x) reste finie.

138. Exemples. — 1° Considérons en premier lieu

la fonction

f[x) = x[a — x),

on a ici

la dérivée y'(x) s'annule pour x = - et elle passe du

positif au négatif quand x croit de ea — f-e; clone

la fonction y (jc) va d'abord en croissant et elle décroît ensuite; par conséquent, elle passe par un maximum

quand x devient égale à - 5 la valeur maxima de la fonç- ai tion est 7- •

4 2° Considérons en second lieu la fonction

on a

f'[x] = - [x—a)

La dérivée y'(x) ne s'annule que pour a; = 00 ; mais elle devient discontinue en passant par l'infini, pour j? = rt, et il est évident que cette valeur a répond à un minimum de la fonctiony( j?).

139. La formule de Tajlor conduit au résultat qui précède, et elle permet en outre de le compléter. Nous supposerons ici que les dérivées que nous aurons à con- sidérer restent continues entre des limites voisines des

200 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

valeurs qui répondent aux maxima et aux minima ; les cas de discontinuité doivent être examinés à part, dans chaque question particulière.

Nous désignons parR„, comme nous l'avons fait dans le Chapitre précédent, le reste de la série de Taylor corres- pondant au terme de rang Ji, et nous rappellerons qu'on peut toujours supposer l'accroissement h de la variable x assez petit en valeur absolue pour que la valeur absolue du reste soit moindre que celle du dernier terme, quand celui-ci ne se réduit pas à zéro (109).

Cela posé, soity(x) la fonction donnée, on a

donc, siy'(a:o) n'est pas nulle, la différence

changera de signe avec h, et la valeur y(a:o) ne sera ni un maximum ni un minimum. Supposons donc

alors on aura, par la formule de Taylor,

(:>.) /(:ro-+-/i)_/(.ro) = ^r(^o)-R3,

et le premier membre aura le signe àef"[xo ) pour toutes les valeurs de h comprises entre — e et -(- e, e étant suffi- samment petit; doncy(xo) sera une valeur maxima ou une valeur minima, suivant que l'on aura

/"(.ro)<0 ou /"(a:o)>o.

Mais si l'on a

f"[^,] = o,

la formule (2) ne nous apprend plus rien.

CHAPITUE VI. 201

Supposons généralement que l'on ait

et que la «'^"^ dérivée f^'^\x) ne s'annule pas pour X =^ Xq, Alors la formule de Taylor donnera

(3) f[x,-\-h)~f[x,)= ^ '^' ^/^")(^o)+R.-M.

Cette formule (3) nous montre que, si n est impair, la différence/(:ro-hA) — f{xo) changera de signe avec h, et, par conséquent, il n'y aura ni maximum ni minimum pour X =::: JTo • Au Contraire, si n est j^pair, la même diffé- Vi^' renée conservera le signe de /^"^[xo] quand h passera du négatif au positif, et, dans ce cas,/(a:o) sera maximum ou minimum suivant que l'on aura

/(«)(jr,Xo ou /(")(. roi >0. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour que la fonction f [x) ait une valeur niaxima ou minima j^épondant à la valeur Xq de x, il faut et il suffit que la première des dérivées def[x) qui ne s'annu- lent pas pour x = Xo soit d'ordre pair. Alors, il j a maximum ou minimum, suivant que la valeur de cette dériifée pour x = oto est négative ou positive.

Application à quelques exemples.

140. Exemple I. — Trouver le minimum de la fonc- tion x^ .

Posant

y = x^, d'où log j ^=x log^r,

il vient, en difTérentiant,

I dr

--=logx+i,

-f-c /■''

202 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

puis, en différentiant de nouveau,

I d^Y I [fiy\- I

• y djc- y- \dx J a:

La condition commune du maximun et du minimum

dr est -^ = o, ou

djn

loga? -F- 1 := G, d'où x = — ;

on a ensuite, pour cette valeur de x,

I d'-r y dx'

et, puisque -j-^ est positive, la valeur - répond à un mi- nimum ; il est évident qu'il n'y a pas ici de maximum. L'expression précédente de -j- montre que cette dérivée

s'annule pour x= - en passant du négatif au positif, en

sorte qu'il n'était pas nécessaire de former l'expression

d^r de ^-^ pour conclure l'existence du minimum. d.Tr ^

141. Exemple IL — Trouver les valeurs maxima et minima de la fonction x"^[a — x)'^, dans laquelle a désigne une constante positivée donnée, et oïl ni et n sont des entiers positifs.

Posant

on a

dr

— =x"'-'^[a — x]"-^'^\ma —[m-^-n^x]..

dx

dy On voit que, x croissant, la dérivée -f- s'annule pour

X = ■ en passant du positif au négatif; donc la fonc-

CHAPITRÉ VI.

tionj^ devient maxiraa pour

2o3

ma na

X =: 1 a — X :==■ — 5

m 4- « m -r n

ce qui donne

X a — X

La dérivée -r- s'annule aussi pour x = o si m est "> i,

et pour x = a si n est ^ i . Mais, en s'annulant, elle ne change de signe que si l'exposant ni ou n est pair; elle passe alors du négatif au positif. La fonction y est donc minima pour a: — o, quand m est pair, et pour X = a, quand n est pair.

142. Exemple III (Problème de Fermât). — Deux milieux étant séparés par un plan P, on demande le chemin que doit suivre un mobile pour aller, dans le temps le plus court, d'un point donné A du premier mi- lieu à un point donné B du second. Le mobile se meut dans le premier milieu auec la ^vitesse constante u, et dans le second milieu avec la vitesse constante v>.

A		s
1	\'\ t x	H	»/
//	<^'^-^>:i\	J
		r^-^-^

Le chemin demandé se compose de deux lignes droites, puisque l'espace parcouru par le mobile, dans l'un ou l'autre milieu, est proportionnel au temps employé. En outre, ce chemin est situé dans le plan ACDB mené per-

204 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pendiculairementauplan P parles points donnés A et B et qui coupe celui-ci suivant la ligne CD; en elTet, con- sidérons la ligne brisée AGB, située hors du plan ACDB, et du point G où elle rencontre le plan P, abaissons GL perpendiculaire sur CD, les droites AL et LB seront respectivement moindres que AG et GB ; par conséquent, le temps pour suivre le chemin ALB sera moindre que le temps nécessaire pour aller de A en B par le chemin AGB.

Cela posé, désignons par a et b les perpendicu- laires AC, BD abaissées des points A et B sur le plan P, par c la distance CD et par a: la distance du point C à un point quelconque H de CD ; on aura

donc le temps t que le mobile emploiera pour aller de A en B, par le chemin AHB, sera

I ^='^ ^H--^ ;

a V

telle est la fonction de x dont on demande le minimum. Il est évident que la question ne comporte pas de maximum.

En égalant à zéro la dérivée de la fonction t, il vient

, , IX I c X

ou, en faisant disparaître les radicaux,

^('2 — u^^ x^ [c — jr)^H- b^i'^x^ — a- u'^[c — x]^=: o;

ainsi l'inconnue x dépend d'une équation du quatrième degré. Mais, sans résoudre cette équation, on peutobtenir comme il suit la propriété géométrique qui caractérise la ligne demandée. A cet effet, menons la ligne Kl per-

CHAPITRE VI.

205

pendîculaireenH au plan P; désignons par/ l'angle AHK et par /■ l'angle IHB, on aura

DTl sin t — —	c — a:
BH CH sni i = — - = AH	X \Jx- -\- a'-

et, par conséquent, l'équation (2), qui exprime la con- dition du minimum, deviendra

sin/ sinr

Il résulte de là que le sinus de l'angle à^ incidence i est au sinus de l'angle de réfraction r dans le rapport des vitesses a et ^' avec lesquelles le mobile peut se mouvoir dans le premier et dans le second milieu, respectivement.

143. Exemple IV. — 2\oia>er les, niaxinia et les nii- nima de la dislance d^uji point donné à une courbe donnée.

Désignons par Xq et Jq les coordonnées du point donné relatives à deux axes rectangulaires; par a: et r les coordonnées de la courbe donnée. L'ordonnée j est une fonction donnée de x, et le carré de la distance du point (xo,jo) au point (x,jk) est

(0 V = (..-.ro)^^-(j-jo)^

il s'agit d'avoir les valeurs maxima et minima de la fonction de x représentée par V. On a

I ^V , , , , r/r

{^)

-^=^[--ro)-^U~Xo)^,

\ l'IU — f ■ '^^^\

2o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ciV . 1 • •

La condition -— = o du maximum ou du minimum dx

est ici

(3) (.r-a:o) + (7-Jo):;^=0,

■T — Jo ^:^ _ _ j

y — ro

est le coefficient d'inclinaison de la droite qui joint le point donné Mo au point demandé M de la courbe

donnée, — est le coefficient d'inclinaison de la tangente dx

en M à la même courbe. Donc l'équation précédente exprime que la droite qui joint le point donné au point cherché est normale à la courbe.

Soit M l'un des points ainsi déterminés par l'équa- tion (3); ce point répondra à un minimum ou à un

f/^V . . , .

maximum, suivant que — ^ sera positive ou négative.

Mais, si est nulle, il faudra recourir aux dérivées des

ordres supérieurs pour décider s'il y a maximum ou mi- nimum, ou s'il n'y a ni l'un ni l'autre. Ce dernier cas

• 1- • ^'V , „ ,

se présentera en particulier si, -— - étant nulle pour le

point M, la valeur de -— est différente de zéro.

La droite Mo M ayant été menée, supposons que le point donné Mo prenne toutes les positions possibles sur cette normale, il y aura une position M' du point Mo pour

d-y

laquelle la dérivée -^ sera nulle ; par conséquent, si l'on nomme x', y' les coordonnées de M' on aura dy"" , ,,d\r

CIIAPITTIE VI. 20^

el la deuxième équation (2) pourra alors se mettre sous la forme

1 u.r' \ dv^-j \j-y I'

Cela montre que la valeur de MqM sera un minimum ou un maximum, suivant que jo — j' et j — j' seront de ' même signe ou de signes contraires. En d'autres termes, il y aura minimum quand le point donné Mq sera situé entreM'etM, maximum dans le cas contraire. Le point M' est, comme on le verra plus loin, ce qu'on nomme le centre de courbure de la courbe donnée au point M.

144. Supposons que la courbe donnée soit un cercle ayant pour équation

on a, en différentiant cette équation,

dy ( dy- \ d- y

Alors l'équation (3) du numéro précédent devient y œ.

elle représente la droite qui joint le point donné au centre du cercle, et elle coupe la circonférence en deux points, dont l'un répond à un minimum, l'autre à un maximum. Effectivement le point désigné par M' est ici le centre du cercle donné, et l'on a

I cT-M ^Wy^ a dx^ y^

d'oiî il suit que -— - est positif ou négatif, suivant quejyo el y sont de même signe ou de signes contraires.

2oS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

145. Si la courbe donnée est gauche ou si, cette courbe étant plane, le point donné M» n'est pas situé dans son plan, on emploiera trois coordonnées rectan- gulaires. Le carré de la distance du point donné Mo à un point de la courbe sera

V = (x-.ro)^-I-(r-Jo)^^-(z-^o)'

j' et z étant des fonctions données de x, puis on aura

i ,P\ ( dr^ dz^\ , .d\r d^z

Les points x^ y, z qui répondent au minimum ou au

,,, . dN maximum sont donnes par 1 équation -— = o, ou

[y—y^

dx

dy , ,dz

dv-^^'-'^^d^

à laquelle il faut joindre les deux équations de la courbe donnée. Si l'on regarde Xq,jc, Zo comme des coordon- nées variables, x, j, z comme des quantités données, l'équation précédente sera celle d'un plan, et l'on verra plus loin que ce plan est nonnal à la courbe donnée, c'est-à-dire qu'il est perpendiculaire à la tangente menée par le pointM(x, j, ^) où il rencontre la courbe.

Maintenant, pour distinguer le cas du minimum de celui du maximum, désignons par x', y', z' les coor- données d'un point variable, remplaçons jo et Zq par j/

^2 y

et z' dans l'expression de -j-^ et égalons le résultat à zéro, on obtiendra l'équation

dr^ dz?\ , ,,d^r , ,,dH

CHAPITRE VI. 20q

qui sera celle d'un plan. SoitM'le point où ce plan coupe la droite MqM, et supposons que x', y', z' représentent les coordonnées du point M', on aura

d-y d~z

JoJ

y—Xo z — Zo (l*:^ <l-

X — x y — y' z — z' , , , d- y , d'- z

et, à cause de l'équation précédente,

. s d-y , d-z ( dy- dz^

U — -^^o) JT-^ +(z — =oi

d.Tc^ ' dx^ \ dx'^ dx- ) x

donc

i d^Y _ l dy"" dz^ \ .r„ — x' _ 2 dx^ \ dx- dx"^ j X — j;' '

par conséquent on aura

d'-Y ^ d'-V

d^>'' ^" d:^<''^

selon que Xo — x' et x — x' seront de même signe ou de signes contraires. Il résulte de là que le minimum aura lieu si le point donné Mq est situé entre M et M'; il j aura maximum dans le cas contraire.

Remarque sur les maxinia et les min'una relatifs.

146. On peut avoir besoin de connaître la plus grande et la plus petite des valeurs que prend une fonctiony(x) de la variable x quand x varie entre deux limites don- nées rt et Z» ; un tel maximum ou minimum est dit un maximum relatif ou un minimum relatif. Pour résoudre la question il est nécessaire d'étudier les variations de 1.» fonction y"(a) en faisant usage de sa dérivée. Si la dérivée reste finie et conserve son signe, quand x varie de « à Z», le maximum et le minimum relatifs seront les valeurs

S. — Cale diff. i\

210 CALCtTL T)IFF1^RENT1F,L.

cxtrêmesy(rt) et/(^). Lorsque la fonction /"(:c) a plu- sieurs maxima et minima absolus, entre les limites consi- dérées, le plus grand des maxima est dit le maximum maximorum, et le plus petit des minima le minimimi minimorum; dans ce cas le maxitnum maximorum sa- tisfera à la condition du maximum relatif, s'il surpasse toutefois les valeurs extrêmes /'(«),/'( Z» ) ; pareillement, le m^inimum, minimorum sera le minimum, relatif, s'il est inférieur aux valeurs extrêmes.

Lorsqu'un problème a pour objet la détermination d'un maximum ou d'un minimum, et qu'on a fait un choix de variables tel, que la variable indépendante doive rester comprise entre certaines limites, il peut arriver que, pour la fonction dont on doit chercher le maximum ou le minimum, il n'y ait qu'un maximum relatif ou un minimum relatif.

Prenons pour exemple le pi'oblème que nous avons traité au n" 144 et dans lequel on demande de trouver la plus courte distance d'un point donné à une circonfé- rence donnée. Faisons passer l'axe des abscisses par le point donné, il s'agit de trouver le maximum et le mini- mum de l'expression

Mais, par l'équation du cercle, j- est égal à R.- — x-\ on a donc

V=(^-.ro)'--;-R2-

ou, en réduisant,

Il est évident que cette fonction V, qui est linéaire, n'a ni maximum absolu ni minimum absolu. Mais, dans notre question, l'équation du cerclcj^ = y R- — x"^ exige que la variable indépendante x reste comprise entre — Ret -i-R.

chaimtrb VI. 2 I I

En supposant Xo posilif, le minimum relatif et le maxi- mum relatif de V seront

(.ro — R)'- et (.roH-R)2;

les valeurs x = — Il et x =; + R donnent ainsi la solu- tion du problème.

Cas des fonctions implicites d'une seule 'variable indépendante.

147. Considérons d'abord une fonction j liée à sa va- riable X par une équation donjiée

(i) /(.r,j) = o.

En différentiant cette équation, il vient

(.\ àf df dr

2 — + ---—= o ;

Ô.r Oj d.v

la condition du maximum et du minimum exige d'abor J que -;- soit nulle; on aura donc

dr

df

l'X\ ^-^

(3; ^. = 0,

dj

et si l'on cherche les systèmes de solutions communes (o'cjo), ^-3:^1, •J>''J^ ••• aux équations (^^i) et (3), les valeurs de X, qui répondent aux maxima et aux minima de y, seront comprises dans la suite Xq, Xi, ... ; nous faisons ici abstraction des maxima et des minima qui répondent

aux valeurs de x pour lesquelles -^ cesse d'être continue.

^ ' rt.r

Il peut arriver que les deux équations ,,, àf df

14.

212 CALCUL DIFI'ÉUENTIKL.

admettent des solutions communes qui satisfassent en même temps à l'équation (i). Pour les valeurs particu- lières de X auxquelles répond une valeur àe y qui satis-

fait à la fois aux équations (i) et (4), la valeur de — ne

peut plus être tirée de l'équation ( 2) ; nous nous borne- rons ici à cette remarque, qui sei^a développée plus loin à l'occasion des points singuliers des courbes.

Pour reconnaître si une solution des équations (i) et (3) répond effectivement à un maximum ou à un mi- nimum, il faut recourir aux dérivées àe y d'ordres supé- rieurs. La différenliation de l'équation (2 ) donne

dy „ . Ô'-f d'-f

et, puisque -i- est nulle, on aura, si -r— ^7— et -r'^. restent ' ^ 1 (7.r- ' dxdf oy-

finies,

	dV
r/2j	d.r^
di^ ~	df
	àf

le signe de cette expression indiquera s'il y a maximum

. d^y ou minimum. Si ^-V se réduit à zéro, il faudra opérer

dx- ^

conformément à la théorie du n° 139.

148. Exemple. — Trouver le maximum de la fonc- tion y (h'Ji nie par l'équation

OU a est une constante donnée.

On a ici

i df , I ()/ o

Z dx •" à dy

CIIAT'ITUE VI.

L'élimination de j^ entre les équations

donne d'où

/(.r,j)=o, '^-^=0

x^ — ort>.r'*z= o,

8,~

a: = O et .r = rt y' 2 ,

et les valeurs correspondantes de y sont :»■ = o et }- = rt V 4 • Le premier système (,r = o, '>=ol annule y» et il ne répond pas à la question du maximum ou du minimum ; le deuxième système {x =■- a \/ 2 , y =^ a \/4) répond à un maximum ; on a effeetivement

(Py dx- — 2.r 2

Ujc'^ df J^ — ax (t

dy

149. Considérons le cas général où l'on a m -h i va- riables X, y, z, u, . . . liées entre elles par 77z équations

fm-li-^.X. 2, ...j = 0.

Cl supposons qu'on demande les valeurs maxima et mi- nima de l'une des variables, dey par exemple. On peut ])rcndrc l'une quelconque des variables pour variable in- dépendante ; choisissons x et écartons les valeurs de cette

variable pour. lesquelles la dérivée ^ devient disconti-

2l4 CAT.CUL DIFFIÎREKTIEL.

nue; la condllion du maximum et du minimum sera

-,- = o, ou ay = o.

La diflTércntialion des équations (i) donne

d.v + ^^ df + — ^3 4- . . .= o, ôj: oy Ôz

{2) ( Ô.r ôy -^ dz

— ^a; -) r/j + — - — r/2 H- . . . = o ;

O.t^ ôy OZ

si l'on désigne par Y le déterminant formé avec les in? quantités

df df

dy ôz

Ôy ôz

• • • > . . • , ••. j

Ôy ôz

et par X ce que devient Y quand on y remplace

àf	dA	àfm-X
Ôx	ôx	àfm-X ÔX

le résultat de l'élimination des dilTércnti elles dz, . enlrc les équations (2) sera

(3) Xdr^Ydy.= o;

CîIAriTRE VI. 210

on aura donc, j>ourle maximum cl pour le minimum,

(4) 1=0.

En joignant cette équation (4) aux m équations (i), on obtiendra un système de m -l-i équations simultanées dont il faudra chercher les solutions communes.

Il peut arriver que les équations (i) soient satisfaites

par certaines valeurs des variables, en même temps que

les équations

X=o, Y~o;

ce cas doit être dans chaque problème l'objet d'un examen spécial.

Maintenant, pour faire la distinction des maxima et

d- y des minima, il faudra former l'expression de —- ou de

d'^y, et, à cet effet, on différen liera les équations (2). L'élimination des différentielles d^z, ... donnera une équation de laquelle on tirera la valeur de d'-j. On voit facilement de quelle manière on devra opérer dans les cas où il deviendrait nécessaire de considérer les dillé- renlielles d'ordre supérieur à 2.

150. L'anahse qui précède est générale et elle em- brasse le cas où l'on demanderait de trouver les valeurs maxima et minima d'une fonction explicite

F(.-r, _r, z, . . .)

de m variables liées entre elles par m — i équations

/(j:,J, Z, ...)=0,/,(.r,J, 2, ...)=:0, ...,/„j_2^-î^,J,3, •••;=0;

car, en joignant à ces m — i équalions la suivante :

u — F .r, y, 3, . . . =: o, on aura un système de m équalions cuire m 4- i variables

2l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et il s'agira de trouver les maxima et les minima de l'une de ces variables, savoir de u, ce qui est la question ré- solue au numéro précédent.

Des maxima et des minima des fonctions de plusieurs variah les indépendantes .

151. Soit

/'.r, j, -, . ..)

une fonction de plusieurs variables indépendantes ôc^jy z, .... On dit que cette fonction a une valeur maxima pour X = Xo, j = Jo, - = ^0, • • • , lorsque la différence

/(.ro +- /^, ro + ^-^ z^^L . . . ) — /(-^o, Jo, 'o, • • • )

est négative pour toutes les valeurs des accroissements h, /. , /, . . . comprises entre — s et -(- e, la quantité posi- tive e étant d'ailleurs aussi petite que l'on voudra. Si, au contraire, la précédente différence est constamment po- sitive pour les mêmes valeurs de h, 1,1, . . ., la fonc- tion/(.r, j^, z, ...) prend une valeur minima pour

X — Xo, J=j0, - = -07

Supposons que les valeurs particulières x = Xo,f = } o , z = Zo, . ' ' répondent à un maximum ou à un minimum def(x,f, Z, . . .) et donnons kj, z, . . . les valeurs jo, Zq, ... 5 notre fonction deviendra

elle ne dépend plus que de x, et, comme elle devient maximum ou minimum pour x = o^o, la dérivée

àfir.jQ, Zo, . . -1

do- sera nulle ou discontinue pour x==:Xo. Ainsi, dans

ciiAPiTiu: VT. 217

notre hypothèse, la dérivée de la fonction proposée, re- lative à Xf savoir

dfi.T, r, 3. ...)

doit être nulle ou devenir discontinue pour x^=^Xn., y =jKo) ^ = ^0? • • • • Il est évident que le même raison- nement s'applique aux autres dérivées partielles

<)/{.r, 7, z, . . . 1 df'.T, y, z, . . .]

dy dz

et, par conséquent, les valeurs de x, y, z, . . . qui ré- pondent à un maximum ou à un minimum de la fonc- tion J^(x, y, z, . . .) sont comprises parmi celles qui annulent la différentielle totale df de cette fonction ou qui la rendent discontinue.

152. On arrive au même résultat par l'emploi de la formule de Tajlor. Supposons que l'on attribue aux va- riables x,y, z, . . . des valeurs déterminées quelconques, puisqu'on leur donne ensuite les accroissements arbi- traires h, k, l, . . . , qui ne sont autre chose que les diffé- rentielles dx, dy, dz, . . . , on aura, par la formule de Tajlor, et en faisant abstraction des valeurs qui rendent les dérivées partielles àcflx, y, z, . . .) discontinues,

R2 étant le reste de la série arrêtée au deuxième terme. Or, si ^n'est pas nulle, le rapport de R2 à df esX. infini- ment petit en même temps que h,Tx, l, ... (134:, pourvu que les rapports de ces accroissements à l'un d'entre eux demeurent indéterminés; donc on pourra donner à h, k, /, . . . des valeurs absolues assez petites pour que A/" ait le signe de df, et par conséquent Af changera de signe quand on cliangera les signes de h, h, l, .... Ainsi les

21 8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

valeurs que nous supposons à x,j, -, ... ne répondent à un maximum ou à un minimum de la fonction J^ que dans le cas où l'on a

ci/= G,

ce qui exige que l'on ait séparément

df df df ^

-- = o, -.- = o, -T- = o, . . . ,

0-T oy oz

puisque dx, dy, dz, . . . sont arbitraires.

Lorsque ces conditions sont remplies, l'accroissement A/ de J a pour valeur

d'-f (2) A/==-^-i-R3,

1.2

\

par la formule de Tajlor arrêtée au troisième terme. Supposons que, pour toutes les valeurs de h, k, l, . . . comprises entre — e et -f- e, la différentielle d-f ne soit jamais négative et qu'elle ne s'annule pas, sauf pour h := k = l = . . . = o ; comme on peut supposer e assez

petit pour que le rapport de lia a soit aussi petit que

l'on voudra en valeur absolue, raccroissement A/" aura le signe de d^J^, et, par suite, on aura

A/>o;

les valeurs considérées de x, y, z, . . . répondent donc à un minimum de la fonction f. Le même raisonnement montre que, si «i^y n'est jamais positive et qu'elle ne s'an- nule pas, quand h, k, l, . . . prennent toutes les valeurs entre — £ et 4-c, si ce n'est pour h^=kz:=^ 1= . . ,:^ o, on a

A/<o,

et alors les valeurs attribuées à x,j, z, . . . répondent à

CIIAriTRE VI. 219

un maximum. On voit enfin qu'il n'y a ni maximum ni minimum, lorsque, pour les valeurs de h, h, l, . . . com- prises entre — e et-hs, la difiercnliclie d'^f^irenà des valeurs positives et des valeurs négatives.

Mais il peut arriver que la difTcrenlielle d^f soiX, iden- tiquement nulle pour les valeurs attribuées aux variables x,y, z, . . . , ou bien que cette différentielle soit nulle, seulement pour certaines valeurs de h, k, L ... comprises entre — e et -t-e, et qu'elle conserve le même signe pour tous les autres systèmes de valeurs de h, h, l, — Quand ce dernier cas a lieu, il faut, pour que le minimum ou le maximum ait lieu, que l'inégalité

Ay ^ 0 ou à/<i o,

persiste pour les valeurs de h, k, l. . .. qui annulent cl-f. Or, pour de telles valeurs, la formule de Taylor donne

(3) A/ =

et l'on en conclut immédiatement que les valeurs de h, Â", /, . . . qui annulent d'~f doivent annuler en même temps d^J\ alors on a, par la formule de Taylor,

d'où il résulte que le maximum ou le minimum a lieu si, jiour les valeurs de h, k, l, . . . qui annulent d'-fel d-\f, (/^ya constamment le signe — ouconstammentlesigne + . Lorsque, pour les valeurs attribuées à x, y, z, . . . , la différentielle d-fcsl identiquement nulle, la formule (3) montre que d^fàoh être elle-même identiquement nulle; on voit ensuite, par la formule (4)' qu'il y a maximum ou minimum suivant que d'^J'esl constamment négative ou constamment positive.

220 CALCUL DU FÉIIEKTIF.L.

Si d''f est identiquement nulle ou si elle s'annule sans changer de signe pour certaines valeurs de h, h, l, .., il faudra recourir aux différentielles des ordres supérieurs. Mais il serait inutile de pousserplus loin cette discussion; ce que nous avons dit suffît pour les applications.

153. Dans les cas les plus ordinaires du minimum et du maximum, on a constamment

t/-/>o ou d-/<^o,

pour les valeurs de h, k, /, . . . comprises entre — e et H-e. Nous allons chercher les conditions pour que l'une ou l'autre de ces inégalités ait lieu effectivement; nous considérerons seulement la première, savoir

laquelle répond au minimum; le cas du maximum se ramène à celui du minimum en changeant^en — J". On a

Ox'' Ùxoy O.rOz

posons

''--k^- '=1" '■=%'■

E étant une quantité positive aussi grande que l'on vou- dra, on aura

Or, quand h, h, /, . . . varient entre les limites — e et

CHAPITRE VI. 221

H-e, l, 'f\, ^, . . . varient de — E à -f-E; d'ailleurs E est une quantité aussi grande que l'on veut; donc l'inégalité d'^f'^ o exige que le second membre de la formule (2) reste positif pour toutes les valeurs de 2, fh^i ' ' • ■> com- prises entre — 00 et 4- 00 .

La question que nous avons à résoudre consiste donc à trouver les conditions pour qu'une fonction entière et homogène du deuxième degré de ni variables ^, m, ^, ... reste constamment positive. Désignons par V le second membre de la formule (2); posons en outre

	l dr2	A,
(3)	dxdj	n-h	Ô.vdz	^. . .=	P,
		-r- 2	djOz "	4-.. .-f
on	aura
(4)			v = Ar	'+2PÇ	H-Q.

Gomme la fonction V se réduit à A^^^ quand y], X, s'annulent, on voit qu'on doit avoir d'abord

A>o;

alors, en posant

(5) Vi = AQ-P% il vient

(6) AV=;;AÇ + P)2 + Vio

La première partie de cette valeur de AV s'annule pour

P

^ = ■) quelles que soient yj, ^, . . . ; donc il faut que

la quantité V» soit constamment positive.

222 CALCUL DIFFÉREJNTIKL.

Ainsi les conditions demandées pour que V soit con- stamment positive sont : i" que A soit ^o; 2*^ que V( soit constamment positive. Or V, est, comme V, une l'onc- tion entière et homogène du deuxième degré, mais elle ne contient que m — i variables; on pourra donc raison- ner sur V, comme nous venons de le faire sur V : on trouvera ainsi les conditions pour que V) soit constam- ment positive, savoir : i° qu'une certaine quantité déterminée A, soit >o; 2° qu'une certaine fonction homogène du second degré Vo de m — 2 variables soit constamment positive. 11 est évident qu'en continuant de cette manière on obtiendra m conditions

A>o, A,>o, A2>-o, ..., A,„_, >o,

nécessaires et suffisantes pour cpe l'on ait constamment \>o.

Considérons en particulier le cas où la fonction y* ne dépend que de deux variables x, y. Alors on a

, dV „ dV f. à\f ,

dx' d.r-dy oj-

puis

les conditions pour que V soit constamment positive sont donc

dx- ' dx- ôy- \dx()f

il est évident que ces conditions entraînent la suivante :

CHAPITIIE Vr. 220

Pour passer au cas du minimum, il suffit de changer le sens de la première des deux inégalités qui expriment les conditions du maximum.

application à tfueL/ues exemples.

154. Exemple T. — J'roiwer le maximmn de la fonc- tion

f = .r'^j^z'! ...«'•( a — X — jr — Z — ... — « )<*,

oii l'on désigne par a une constante positive donnée, par a, S, y, . . . , X, p des exposants entiers positifs. On a ici

L'équation df=^o peut être satisfaite par des valeurs nulles des variables x, y, z, . . . , u, et il est facile de re- connaître dans quels cas ces valeurs répondent à un maximum ou à un minimum. Nous en ferons ici abstrac- tion ; alors la condition dj'= o donnera

V

dr -i-dy-h-.	. .A-du
a—x~j—	- . . . — u
Idx' -Jr- dj -\- . .	.-\-dn'}

.T y z u a — X — y — d'où l'on tire

x y z II a

a 6 y ' À a-hê + y-h.

et

/=( — Z 1 «-^^..xv^

224 CALCUL DIFFÉIVKNTIEL.

enfin on a, par les formules écrites plus haut et à cause (Je df=- o,

donc la précédente valeur de f est un maximum.

15o. Exemple II. — 2)'ou\>er les maxinia et les ini~ nima de la distance de deux points appartenant respec- tivement à deux courbes données.

Soient X, j, z les coordohnées rectangulaires d'un point M de la première courbe; x', y' , z' celles d'un point M' de la seconde, et Vie carré de la distance MM', on aura

Il y a ici deux variables indépendantes ; on peut choisir X et a'; alors ^ et z seront des fonctions données de jt, y' et z' des fonctions données de x' . On a

\ -x Ox ' d.r. ^ dnr.

' I ()V , , , , , dy' , , , dz!

puis

I <r-V ( dr'' dz^\ . ,, d'-y . ,^ d^-z

■?. ().v-^ \ ' d.v' dx^j -^ -^ ■ dx^' ' d.r'

,, , I ()- V / Jr'2 dz''-\ '. .d'y' ,,dW

\ 2 dx dx' \ dx dx dx dx

Les conditions communes au maximum et au minimum

CHAPITRE VI. 221/

sont donc

''^dx-'-^'-'^-dr-''-

\ (--^')H-(7-

T 1 . • » <'0' ''^^ '■^^ ' dz' , , , ,

Les dérivées - 5 -r- 5 —-73 -,— r sont données par les equa- dx d.r dx dx ' ^

tlon5 des deux courl)es, et en joignant à ces équations les

deux précédentes, on aura un système de six équations

qui détermineront les coordonnées x, y, z, x', j', z'.

Mais, pour que le maximum ou le minimum ait efTecti-

vcment lieu, on doit avoir

ô^-v <r-Y ( d-'v y^

^^^ Ox' dx''' \dxôx') ^°'

b il en est ainsi, il v aura minimum quand et ,

^ ax'^ ôx''^

seront négatives, maximum dans le cas contraire.

Les équations (4) expriment, comme on le verra plus

loin, que la droite menée par les points (jc, y, z),

[x', y', z') est normale aux courbes données. Ce fait

résulte d'ailleurs évidemment de ce qui a été dit aun" L4o.

156. Supposons que les courbes données se réduisent à des lignes droites ayant pour équations

X = «3 + a,	y ^nbz -\-^
et x' ^= a' z -{- a',	, y--=ù'z'-i-G'.
Comme on a ici
dy h dz I dx a dx ^ a''	dr' h' dz dx' a' dx'	I a

d'Y d^z d^r' d^z' et que les dérivées —^ , -— , -7-^j -—rr sont nulle?, on d.L- dx- dx * dx "

S. — Culc. iO'jf. i5

2^6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

vérifie immédiatement que les conditions du minimum sont remplies. Alors les équations (4) du n° ]o5 sont

a [x — .t:'\ + b [y — y' ] -\- [z — z' i = G,

a [x — a:' ] -h 6' (j* — y'] -+- ( z — z' ^i = o,

et on peut les remplacer par deux des trois suivantes :

^a'-a)[.T-.T') + [b'-b){y-y']=o, ' ba' — ab' ) (.r — x') — [b' — b) (z — z' i nrr o, ( ba' — ab' )[y —y')-\~[ a'/— a]{z — z' i =o.

Mais des équations des droites on déduit

[b'—b] {.T — x'] — [a— a) [y —y') -{- {ba' — ab'] [z — z')

et si l'on ajoute les quatre équations précédentes, après les avoir élevées au carré, il viendra

[[a' — a^-'r- [b'— by--^ [ab' - ba'y-]y

= [{a' -a) [6'- 6] - [b' ~ b) («'- a;^;

on déduit de là l'expression connue de la plus courle distance des droites données, savoir :

fa' - flWê' - e) - f 6' -èi («'-«',

y/(a'— a)2+ [b' -by-\- {ab'~ ba'f

157. Exemple III. — Trouver les maxima et les itii- nimn de la distance d'un point donné à une surface donnée.

Soient Xo, Yo, -0 les coordonnées du point donné Mo relatives à trois axes rectangulaires, et x, y, z les coor- données d'un point de la surface. Le carré delà distance des deux points est

CHAl'lTKE VI. 22^

z est une fonction donnée des deux variables indépen- dantes x^y, et nous ferons

dz = pdr H- qdy, dp = i-dx -V- fdj', dq := sdx -î- tdy.

D'après cela on aura

I dW .

1 0.T

I dV

0 ) -:- /-' ( 3

-^-:r-ro) + 7(:

puis

I ()2V , .

\ 2 Ù.rôy ' "^ ^ ^'

enfin, si l'on fait, pour abréger l'écriture,

on aura, par les formules (3),

La condition du maximum ou du minimum donne

J— /o + 7(z — Zo) = o;

ces équations, jointes à celle de la surface, détermineront les coordonnées x, j, z ; on verra plus loin quelles sont

228 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

précisément les équations d'une normale à la surface, quand on y considère jto, j'oy ^o comme des coordonnées variables, x, y, z comme des quantités données.

Mais, pour qu'un point M[x,y, z], déterminé comme on A ient de le dire, réponde effectivement à un maximum ou à un minimum, il faut que l'on ait

(6) A(z-3o)2+B(z-2o)4-C>o.

Désignons par Z une indéterminée, remplaçons Zq par Z dans le premier membre de cette inégalité, et égalons le résultat à zéro; on obtiendra l'équation

(7) A(3 — Z)— i-B{2 — Z] +C = o, dont les racines sont toujours réelles, car on a

B'^4AC={,-;-;.^)(, + ,.)7"7'(~-^-;:^)'

-K(.+,-,.)(.-^')(.+r)(r3^-,4)'-

Soient z' et z" les racines Z de l'équation (7), le premier membre de cette équation sera identiquement égal à

A(3'-Z)(3"-Z),

et, par suite, en remettant au lieu de A sa valeur, notre condition (6) deviendra

(8) (z-/-.^) (.'-.„) (."-z,)>o.

Soient M', M" les points de la normale Mo INI pour lesquels la coordonnée z a les valeurs z' , r;'; la condi- tion (8) exprime que, si l'on a

rt — A-^ o,

il faut et il suffît, pour le maximum ou le minimum, que le point donné Mo ne soit pas situé entre le point M' et le point M''. Au contraire, si l'on a

rt — s- <! o,

CHAPITRE Vr. 229

il faut et il suffit, pour le maximum ou le minimum, que le point Mo soit situé entre M' et M".

Il reste à faire la distinction du maximum et du mini- mum. La condition (6) étant remplie, la quantité

ne peut s'annuler, et par conséquent elle a le signe des dérivées

donc la somme de ces trois quantités aura encore le même signe, et l'expression

sera négative dans le cas du maximum, positive dans le cas du minimum. On reconnaît ainsi, au moyen des for- mules (3) et (4), que l'on a

(9) B(3 — Zo) + 2C<0

dans le cas du maximum, et

(10) B(3 — zo) -;-2C>o

dans le cas du minimum. Mais l'équation [y), qui a pour racines z' et z", nous donne

B _ I I

C ~~ z — z' ~ z — 2" '

donc la quantité

Zfl z Zq — z

z — z' z — z"

est négative dans le cas du maximum, positive dans le cas du minimum.

Supposons d'abord rt — v^^o; alors les deux va- leurs z — z', z — z" de z — Z tirées de l'équation (j)

23o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sont de même signe ; donc les deux points M' et M" de la ligne MMq ou liv sont situés d'un même côté par rapport au point M. Les différences Zq — z' et Zq — z" sont aussi

n M Mo M' M' o

de même signe, comme on l'a vu plus haut, et les points M', M'' sont d'un même coté de uv par rapport au point Mq. On voit donc que la distance Mq M sera un mi- nimum si les points M', M" ne sont pas situés entre M et Mo; elle sera un maximum dans le cas contraire.

Supposons en second lieu rt — 5- <^ o ; d'après l'équa- tion (7), les différences z — z' , z — z" sont de signes contraires, et le point M est situé sur la ligne uv, entre M' et M''; mais la condition (8) exige que Zq — z' et

« M' Mo M M" V

Z(j — z" soient également de signes contraires, c'est-à- dire que Mo soit situé comme M entre M' et M". Dans ce cas il est évident que la dislance Mo M est toujours un minimum.

Examinons encore le cas de rt — 5'-=o. La condi- tion (6) se réduit à

B(z — zo) +C>o,

et, quand elle est satisfaite, l'inégalité (10) a lieu à plus forte raison; il en résulte que le minimum a lieu. Il n'existe plus dans le cas actuel qu'un seul point M' de la ligne Mo M dont la coordonnée z' satisfasse à l'équation

B(z — z') +C = o.

En introduisant cette quantité z' , l'inégalité précédente devient

, >o;

z — z

CHAPITRE VI, 23 I

donc, pour que le minimum ait efTectivement lieu, il laut et il suffit que le point donné Mo soit situé sur celle des deux parties M'/f, M'v de la normale où se trouve le point M.

ji M Mo M o.

Enfin, si l'on a pour les coordonnées de M

A n:= O, B = G,

la condition (6) se réduit à

C>o.

etelle est toujours satisfaite. Mais, dans notre hypothèse, on a

et, par conséquent,

/•:=0, s =^ O, ?=rO;

les formules (3) montrent que le minimum a lieu.

Les points M' et M" jouent un rôle important dans la théorie des surfaces, ainsi qu'on le verra plus loin.

Cas où les dérivées partielles d'une fonction de plu- sieurs variables cessent d'être déterminées quand on donne aux variables les valeurs ijui répo/ident au maxinnini ou au minimum.

138. Nous avons dit que les valeurs des variables qui répondent au maximum ou au minimum d'une fonction doivent annuler les dérivées partielles de cette fonction, à moins que celles-ci ne cessent d'être continues. Nous devons ajouter, d'après une remarque importante due à M. Bertrand, qu'il peut arriver que les dérivées partielles

232

CALCUL DIFFr:RKNTIEL.

d'une fonction cessent d'être déterminées pour certaines valeurs des variables, et que ces valeurs répondent en même temps à un maximum ou à un minimum de la fonc- tion. Nous présenterons ici l'exemple même que M. Ber- trand a choisi pour justifier son assertion.

Problème. — Trouver dans le plan d'un triajigle donné le point dont les distances aux sommets du triangle ont une somme minima.

Prenons le côté AB du triangle donné ABC pour axe des X, et la perpendiculaire Kj à AB pour axe des j. Désignons parc la longueur du côté AB, par Xq, Jq les coordonnées du point C et par x, y les coordonnées du point cherché M. La fonction dont on demande ici le minimum est

y/.r'' -H f + y/(.r — c)2 -;- j2 ^ ^/^ ,,. _ .^^ )- -^ [y — y^f ;

il est évident a priori que ce minimum existe dans tous les cas, et que la question ne comporte pas de maximum. En égalant à zéro les deux dérivées partielles de la comme précédente, on a les deux équations

r y

v/(.-

= o,

Sjx--

-h

Jo

-Joj

\-r

sj[.

-r

\/(-

== = 0,

^+(7-Jo)

q:ii représentent deux courbes dont l'intersection donnera le point demandé M. Mais on peut à ces deux courbes en.

CIIil'ITRE VI. 233

substituer d'autres plus simples. A cet efTet, désignons par w, ^, zs les angles formés par les directions AM, BM, GjM avec la direction Ax de Taxe des x; chacun de ces angles doit être regardé conme engendré par une droite d'abord parallèle à Ax, menée par le point A, ou B, ou C, et qui se mouvrait toujours dans le même sens, en s'élevant vers la partie positive de l'axe des j. D'après cela on a

.r . y

cosw = -? smw =

V^.r2
	a: — c
v/(x	— c]^-f.	J'
	.T —	••^0

cosi;; = f sm-^

V'.ï* H-	r
	y
V/(.r-	-cf	+-j^
	y	— >'o

v/(.r — ^o)'+ [y —yoT vl^ — ^oj'-i- [y —yoY

et les équations (i) et (2) deviennent

COSM -+- COS-^ H- COSCT n:r O,

sinw + sin-^ H- sincj =^ o, d'où

cosw -+- cos-^ = — cosCT, sinco h- sini^ = — sincr.

En ajoutant ces deux équations après les avoir élevées au carré, on obtient

(cosw H- cosi^]--f- [sinw -;- sin-^]-=: i, ou

i + 2cos(i^ — w) = o, et cos(i|< — w) =

Ainsi l'anglv? ^ — co, qui n'est autre chose que AIMB, a

pour cosinus ^ et par conséquent cet angle AMB

est de 120 degrés. On conclut de là que le point INI est à rinterseclion de trois segments capables de 120 degrés décrits sur les trois côtés du triangle respectivement;

234 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

les cercles auxquels appartiennent deux de ces segments peuvent donc être substitués aux courbes représonlées par les équations (i) et (2).

Or, pour que les arcs, bases des segments dont il vient d'être question, se coupent réellement, il faut et il suffit que les angles du triangle soient tous les trois inférieurs à 120 degrés. Donc, s'il y a dans le triangle un angle supérieur à 120 degrés, les équations (i) et (2), aux- quelles conduit la théorie, ne feront point connaître le minimum, quoique celui-ci ait certainement lieu. Mais les premiers membres de ces équations cessent d'avoir des valeurs déterminées quand on remplace x et y par les coordonnées de l'un des sommets du triangle : donc le point demandé ne peut être que l'un de ces sommets. C'est ce qu'il est facile de démontrer directement.

159. Désignons toujours par w l'angle MAB ; nom- mons en outre p la dislance AM, b le côté AG du triangle, et A l'angle CAB. La somme S des distances AM, BM, CM sera

S = p -h s/c"^ — "3.0 p COSW + 0^ -h sjb- — ■ ibp cos( A — w j -H p'^J

or on a, par la formule du binôme, lorsque - est suffisam- ment petit,

si?

2—2	,'p COSw -f- p-
Z=ZC	(p p' i — 2 - COSW ' — \C Q.(-
= C	I — - COSW — -~ \ \C le)

P p

- COS W — —

c le

.)'-...}

ou, en ordonnant par rapport à ^, et en désignant par s une quantité qui s'évanouit avec |0,

sin^M

yc"' — 2rp COSW -f- p- = c — p COSW + p- + £p''.

CHAPITRE vr. 235

Si l'on remplace dans celte formule c et w par h et A — co, e par r,, on aura

sjb'' — 2 6p COS (A — 0) ) -\- o^

L / . - 0 sin' (A — m) ,

= A — p ces A — &) ) H- p- ■ — -— ^ H- i.c.^.

Alors l'expression de S deviendra

S = (Z'-+-r) -l-p[i — COS w — COS (A — w j j P^rsin'-r.) sin-fA — w]~j

-I- £ -4- r; 0-,

OU

=-- ( 6 4- f ^ -I- p I — 2 COS - A COS ( - A — m\ P^ Tsin^M sin^fA — w1~| , , ,

Cette expression se réduit à

So = b -!- c,

pour c ^^ o, et si l'on suppose que p soit un intinimenl

petit, la différence

S-So

aura le signe de

I — 2 COS - A COS - A — &> .

2 2 ^

Dans le cas de A <^ 120 degrés, 2 cos - A est supérieur

à I, et par conséquent S — So peut changer de signe; il s'ensuit que So ou h -{-c n'est pas une valeur minima ou maxinia de S. Si l'on a A ^ 120 degrés ou A = 1 20 de- grés, le coefficient de p dans l'expression de S ne pourra

devenir négatif; ce coefficient s'annulera pour 0^ rr^ -A,

236 CALCUL DIFF^REKTIEL.

dans le cas de A = 120°; mais, comme le coefficient de p- est positif, on aura toujours

S>So,

et par conséquent So sera une valeur minima.

Donc, lorsque le triangle ABC a un angle supérieur à 120 degrés ou égal à 120 degrés, le sommet de cet angle est le point demandé. \

Cas des fonctions implicites de plusieurs variables indépendantes.

160. Considérons le cas général oîi l'on a Ji équations /(.r, r, 3, . . ., «,<', H', . . .) — 0,

entre 777 -1- n variables x., 7 , ~, . . . , u, v, w, .... Parmi ces 777 + 77 variables, il j en a 77z, x, y, z, . . . , par exemple, qui sont indépendantes, et les n autres va- riables sont des fonctions de celles-ci; nous nous propo- sons de déterminer les niaxima et les minima de l'une des fonctions u, v, w, ....

La différentiation des équations (i) donne

àf j _^àf , ^ , àf ùf

-— d.r + -— dr ■-)- ... -1- --— du -+- -— <r/(' -f- . . . rrr O, ôx ôf ou UV

— d.r H dy -\- . . . -\ du -\ — «c -h . . . --- G,

c).r Oy ~- Ou oc

d.t: -1- ... -F- du -r- ; dv J-

Ûc Ou Ov

cnAi'iTur: vi. aSy

Si u est celle des variables dont il faut trouver les maxima et les minima, on éliminera, entre les n équa- tions (2), les n — 1 difTérenlicllcs clv, d^w . . ., et l'on ohlicndra un résultat de la forme

( 3 ) Xd.r -t- Yclj + Zch -;-...-!- Udu r-t o,

La condition du maximum ou du minimum donne du:=o, et les différentielles qui restent dans l'équa- tion (3) étant arbitraires, on aura les m équations

... X Y Z

(4) ^=0, ^-o, ^=0, ....

Les systèmes (1) et (4) comprennent m -{- n équations qui suffiront pour déterminer les m -h n variables. Pour reconnaître si l'un.e des valeurs de u ainsi obtenues est effectivement un maximum ou un minimum, il faudra calculer la valeur de d'^u et examiner si cette différen- tielle conserve le même signe.

Remarque sur le cas d'une fonction explicite de plu- sieurs variables liées par des écjualions données.

161. Le cas précédent comprend celui où l'on demande de trouver les maxima et les minima d'une fonction ex- plicite

de m -\- n — 1 variables liées entre elles par n — i équa- tions

[ f[^^yy -1 - . .) =0,

//i-av-^, JS -. . . .j :=0,

238 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

car, en désignant par u la fonction ¥[x,y, z, . . .) et en joignant aux équations (i) la suivante :

M= F(.r, r, z, . ..),

on renti-e dans le cas de n équations entre m-\- n va- riables. D'après l'anal^'se du n** 160, il faudra dififéren- tier l'équation précédente ainsi que les équations (i), et, puisque du est nulle dans le cas à\^ maximum ou du minimum, on aura

dF , <3F , dV , -— ^r H- -— <^j + ~- dz

puis

-^ dx -\r -r- rfy H- — - dz -:- . . . = 0, ox ay ' OZ

, 4^ dx -\- 4^ dy -^ -^ dz -^ . . .-^ O, ;3) { d.r dy -^ dz

• 1

— dx -> ; — dy -\ — dz -\- . . .^=z o.

dx dy Oz

Cela posé, il nous faut éliminer, entre les n équations (2) et (3), n — I des différentielles dx, df, dz, . . . et égaler ensuite à zéro les coefficients des différentielles qui restent dans l'équation finale. Pour faire l'élimination nous ajouterons l'équation (2) avec les équations (3), après avoir multiplié celles-ci respectivement par des facteurs indéterminés

/, A,, Aj, . . . , A„_2;

ces facteurs devront être choisis de manière à faire dispa- raître n — I différentielles ; mais, comme il faudra ensuite égaler à zéro les coefficients des difféi^entielles restantes, on voit que les coefficients de toutes les différentielles

CHAPITnE VI. 2!^()

devront être égalés à zéro. Ainsi l'on formera les équa-

tions suivantes :

Ox ô.r O.r	.+ /„_, ^^ =:.0,
<)y ôy ôy
()z ÔZ ôz

14.

Il reste à éliminer les n — i indéterminées ?.. À,. . . . entre les in-\-n — i équations (4), et l'on obtiendra de la sorte in équations qui, jointes aux équations (i), servi- ront à déterminer les in-{-n — i inconnues x, j, z, ....

162. L'emploi des faeteurs 1 n'a fait jusqu'ici que substituer une élimination à une autre, ce qui n'a pas un grand intérêt; mais la considération de ces facteurs va nous permettre d'établir une proposition importante.

Si les variables jc,j', z, ... étaient toutes indépendantes, la condition du maximum ou du minimum de la fonc- tion F donnerait les équations

dF d¥ d¥

,- = o, -r- = o, -— = o, ... ;

ôr ôy ôz

mais il n'en est plus ainsi dans notre cas, où il s'agit d'un maximum ou d'un minimum relatif, les variables x,r, z, ... étant liées par les équations (i). Or les équatiorts (4) montrent que le maximum ou le minimum relatif de- mandé s'obtiendra par la règle du maximum ou du mi- nimum absolu, appliquée à la fonction

F + >/+)., /,+... + >„-,/„_,, X, ).,, . . . , X„_2 étant des facteurs indéterminés.

2/fo CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Ajoutons en terminant que, dans bien des cas, il sera plus avantageux de traiter F(x, r, z, . . .) comme une fonction explicite de m variables seulement, ce qui est permis en supposant que /z — i des m -hn — i variables soient remplacées par leurs valeurs fonctions des /?z au très. C'est ainsi que nous avons procédé dans quelques-uns des problèmes précédemment traités.

CH\PITRE VIT. 241

CHAPITRE VIL

THÉORIE DES COURBES PL.VNES.

De la tangente et de la normale aux courbes planes. — Limite des tangentes.

i63. Soient X eX, j les coordonnées reclilignes d'une courbe plane donnée. Quelle que soit la variable qu'on regarde comme indépendante, le coefficient d'inclinaison de la tangente au point [x, y) de la courbe sera, comme

on l'a vu, la limite du rapport -^5 ou le quotient -~- des

différentielles dj et dx. En outre, si X et Y désignent les coordonnées de la tangente, celle-ci aura pour équation

La normale à la courbe, ou la perpendiculaire élevée sur la tangente, par le point de contact, aura, dans le cas des axes rectangulaires, l'équation

''^•^ djr

dans le cas général où les axes font entre eux un angle quelconque Q, l'équation de cette normale sera

d.r -L r/rcos5 ,

(Ij -J- djc cosO ^ '

Lorsque les coordonnées x et j de la courbe sont don-

S. — Cale. dijf. j6

\

242 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

nées en fonction d'une variable t, de manière que l'on ait

on conclut immédiatement

dx-^<!^'[t](lt, dy z=.-^'[t] dt, puis

djc f' [^) Lorsque l'équation

de la courbe est donnée, la valeur de ~ est déterminée,

dx

comme on l'a vu, par l'équation

àf ^ df dy Ô-r dy dx

• n 1 dy Y — r 1 , ,

et, SI 1 on y remplace — par —•> on aura 1 équation

de la tangente, savoir :

^ ^ dr ^ -^ ' ùy

Lorsque la courbe donnée passe par l'origine des coor- données, le coefficient angulaire de la tangente est évi- demment la limite - pour j: = o ; au reste on a (n° 424)

"Il

iim - =: lim — 7 pour ^ = o. X I '

iC4. Nous avons déjà eu l'occasion (n" 28) de dire ce que l'on entend par longueur de la tangente ou de la normale, et nous avons mentionné aussi les dénomina- tions de sous-tangente et de sous-normale. Supposons les axes rectangulaires; soient M le point de contact

CHAPITRE VII. 243

et MP son ordonnée, T et N les points où l'axe des x est rencontré par la tangente MT et par la normale MN. Nous

désignerons par T et N les longueurs MT et MN de la tangente et de la normale ; par T' et N' la sous-tangente TP et la sous-normale PN. Alors les triangles rectangles

PMT, PMN, dans lesquels les angles MTP, PMN ont ^ pour tangente, donneront

clr

T'

■y

dy

T^T/ ^y

dx

les mêmes triangles donneront aussi T

et, par conséquent,

T =

Y \Jdx^ -\- dy' dy

N =

ysfdi

dy'

dx

11 faut remarquer que les expressions de T' et de N' sont positives ou négatives selon que les directions TP, PN coïncident avec la direction Ox ou avec la direction opposée.

I60. Asymptotes. — Limite des tangentes. — Une ligne droite est dite, comme on sait, asymptote d'une branche de courbe, si la distance d'un point M de la courbe à la droite tend vers la limite zéro, quand ce point M s'éloigne indéfiniment en restant toujours sur la courbe. Il est facile de voir que l'asymptote e5ten général

iG.

2^4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la limite vers laquelle tend la tangente au point M, quand ce point M s'éloigne indcfînimcnt.

En effet, considérons une branche de courbe qui s'étend à l'infini et qui a pour asymptote une droite non paral- lèle à l'axe desj", représentée par l'équation

(i) Y = glL-:-k.

La distance du point [x, ^ ) de la courbe à cette asym- ptote sera

[y — jO-.r — ^) sin6

—T- — ^T^^^- =r?

V I H- "2 g- cos 0 -;- g^

tétant l'axe des axes; cette expression doit tendre vers

zéro avec -; on aura donc, en désignant par e une quan-

. , . , , . I

tite qui s évanouit avec -5

-;- h -h- s.

J — g--^ —	/i = s ou jr =
On tire de là
	r h -^- z X~~ ^ ' X
et, pour a: — - 00 ,
N	y g' = lim -• X
Ensuite on a

h^[y — gx) — s,

et, par conséquent,

(3) /i = \im{y — gx).

Les équations (2) et (3) permettent de déterminer les constantes g, h de l'équation de l'asymptote.

Maintenant, reprenons l'équation de la tangente à la courbe, savoir :

(4) ï=^rx.-(V-.r^'-

dx V dx

criAPiTUE vir. 245

- est une expression fractionnaire dont les deux termes deviennent infinis simultanément; on a donc (n" 124)

Y dx

lim-=lim-- pour ;rr=:GO,

et par conséquent

Ensuite on a

Iim(r — g'.r} =:Iim

^-?

y

les deux termes de la traction '- s'annulentpourj:=:oo;

on aura donc, en appliquant la règle du n" 12i,

a.r

lim [y	— g^)	:= lim —	(^)
donc		lim {y -	dr\ dxj	— 7i

^""(^'-^^'^

Ainsi la tangente représentée par l'équation (4) a pour

limite l'asymptote (1) quand le point {x,y) s'éloigne à

l'infini, en demeurant toujours sur la branche de courbe

que l'on considère. Cela suppose toutefois (n" 126)

^y . ^y .11 ^,■.

que -- et j' — x - - conservent des valeurs déterminées,

quel que soit x; si le contraire avait lieu, l'asymptote ne serait plus la limite des tangentes. La courbe représentée

CALCtJL DIFFÉRENTIEL

sin.r

24^

par l'équation y ■

des X est ici une asymptote de la courbe, '-'- tend vers

zéro quand jr tend vers l'infini, mais j — x ^ est indé- terminée pour X = 00 .

offre un exemple de ce cas ; l'axe

h'

Ordre du contact d'une courbe avec sa tangente. — Points d'inflexion. — Concavité et convexité.

i66. Soit TQ la tangente au point M de la courbe MM'; prenons sur la courbe le point M' infiniment voisin du

y			M-	( /
		M^ ^	/	Y
	0 /«		1
~~ô	T	P	1	" X

point M et abaissons la perpendiculaire M'Q sur la tan-

T ^l'Q ■ ^ ^ ^ 11.

gente. Le rapport—— est égal a la tangente de 1 an- gle M'MQ, lequel est infiniment petit; si donc on prend MQ pour infiniment petit principal, M'Q sera un infini- ment petit d'un certain ordre |tx + i supérieur à l'unité. Je dirai que le nombre p. exprime V ordre du contact de la courbe proposée avec la tangente au point M.

Rapportons la courbe à deux axes de coordonnées rec- tilignes Ox, Oj) faisant entre eux un angle quelconque 6; menons les ordonnées MP, M'P', et soient T, m les points de rencontre de la tangente TQ avec l'axe des x et avec l'ordonnée M'P'. Si l'on désigne par a l'angle MTjc, on aura, par le triangle rectangle M'//?Q,

M'Q

RI' m =

ûnji — a

, Mw=:]\JQ — M'Qcotfô— a

CHAPITRE VII. 1^47

et, par le triangle niTP',

ou

smO

pp' = mqî^"^-m'q'^^^'-"^

s'inO ' s'mO

On voit que, si l'axe des y n'est pas parallèle à la tan- i^enlc TQ, les rapports des infiniment petits

M' m, PP'

aux infiniment petits respectifs

M'Q, MQ

tendront vers des limites finies; donc, si l'on prend PP' pour infiniment petit principal, M'm sera un infini- ment petit de l'ordre ^ -]- i.

Désignons par x, 7 les coordonnées du point M, par X H- ^x, y -h A/ celles du point M', et par Y l'or- donnée du point m de la tangente; Tordre du contact en JM sera inférieur d'une unité, d'après ce qui précède, à l'ordre infinitésimal de la différence

(1) (j^-4-Ar)-Y ou ^y—[Y — y],

Ax étant l'infiniment petit principal. Or on a, par l'équa-

îion de la tangente,

fiv Y-r= , Axj rt.r

donc l'expression (1) se réduit à

(.) ^-^-.z.^-

Cela posé, la formule de Taylor, arrêtée au troisième terme, donne ,_. ^ <-/>■ ri* Y A.r*

3 Ar- ix= -^ HR3,

(ij: dx I . 2

Q/fS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en supposant remplies les conditions de continuité exi- gées, et l'on voit que, si — -^ n'est pas nulle, la diffé- rence (2) est un infiniment petit du deuxième ordre, qui ne change pas de signe quand ù^x change de signe. Donc le contact d'une courbe avec sa tangente est, en général, du premier ordre, et la courbe est alors tout entière située d'un même côté de la tangente, dans le voisinage du point de contact.

Mais, si l'on a, pour le point M,

la formule de Taylor, arrêtée au quatrième terme, don- nera , , , dy d^ Y A.r^

(l.i: d.V^ 1.2.0

et si-— n'est pas nulle, la différence (i) ou (2) sera un

infiniment petit du troisième ordre dont le signe changera avec le signe de Ax. Dans ce cas, le contact au point M est du deuxième ordre; en outre, puisque la diffé- rence [y -\- ^j) — Y change de signe en même temps que Z^x, la courbe traverse la tangente en M. On dit qu'il y a injlexion en M, ou que M est un point d'in- flexion .

Cela exige que -^-g- ne soit pas nulle. Supposons géné- ralement que l'on ait au point M

d^y d^Y d"-'^Y

mais que la dérivée suivante — -^ ne soit pas nulle. On

aura, par la formule de Taylor,

,p. dr d^Y A.r'»

5 Aj - -f A.r = —4 + R;,^i.

dx du:' l .1. . .n '

CHAPITRE VII. 249

L'expression (i) ou (a) est un infiniment petit de Tor- dre n, et la courbe a, au point jM, un contact d'ordre n — I avec sa tangente. Si n est pair, la différence (i), i^y H- Aj) — Y ne change pas de signe quand Ax change de signe, et, dans le voisinage du point de contact, la courbe est entièrement située d'un même côté de la tangente. Au contraire, si n est impair, la différence (1 -f- A) ) — Y change de signe en même temps que Ax, la courbe traverse sa tangente et le point M est un point d'inflexion.

On voit en résumé que les points d'inflexion d'une courbe sont les points où la courbe a un contact d'ordre pair avec sa tangente. Il est à peine nécessaire d'ajouter que l'analyse qui précède laisse de côté les cas où les déri- vées de l'ordonnée de la courbe ne sont pas toutes con- tinues dans le voisinage des points que l'on considère.

Nous présenterons encore ici une remarque impor- tante. Menons par le point M une droite quelconque, et soit Y, l'ordonnée de cette droite, correspondant à l'ab- scisse x-4- Ax; on aura Y, =a Ax, a étant le coefticient d'inclinaison de la droite ; par conséquent

Y-Y,=(g-,;)A.,

et, Ax étant infiniment petit, on voit que les différences

sont de même signe. On conclut de là qu'il est impos- sible de mener, par un point d'une courbe, une droite qui soit comprise entre celte courbe et la tangente, dans le voisinage du point de contact.

167. Remarque slr les points d'inflexion. — Soit

25o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

TT' la tangente en un point d'inflexion M; prenons sur la courbe, de part et d'autre du point M, deux points M', M''; la tangente TT' esl la limite vers laquelle tendent les sécantes MM', MM'', lorsque les points M' et M" se rapprochent indéfiniment de M. Or, si l'angle M"MT' est plus grand que M'MT, il lui deviendra égal quand le

point M" se sera suffisamment rapproché de M; on peut donc supposer ces angles variables M^MT'et M'MT égaux entre eux. Il résulte de là que si, par un point d'inflexion d'une courbe, on mène une sécante infiniment voisine de la tangente, cette sécante rencontrera la courbe en divers autres points, parmi lesquels il y en aura deux au moins qui, à la limite, se confondront avec le point d'inflexion.

168. Concavité et convexité. — On dit qu'une courbe est concave, en un de ses points M vers une droite donnée, ou qu'elle tourne sa concavité vers la droite, lorsque, dans le voisinage de M, elle est située tout en- tière dans l'angle aigu que forme la tangente en M avec la droite donnée. Au contraire, elle est convexe en ]M, ou elle tourne sa convexité vers la droite donnée, lorsque, dans le voisinage de ce point, elle est située tout entière dans l'angle obtus formé par la tangente en M avec la droite.

Les résultats obtenus au n° 166 donnent le moyen de reconnaître si une courbe présente, en un point donné, sa concavité ou sa convexité vers l'axe de x. Supposons d'abord que les axes soient rectangulaires ; on voit sur la figure du n° 166 qu'il y aura concavité ou convexité en M suivant que l'ordonnée M'P'^^^' -|- Aj sera inférieure

CIIVPITTIE VII. 2-)I

OU supérieure à l'ordonnée niY*' z^ Y de la tangente. Or l'excès de la première ordonnée sur la seconde est égale

à Aj' ^x, expression qui, d'après la formule (3)

du n" 1G6, a le signe de -^-r : donc la courbe sera concave

OU convexe en JM, vers 1 axe des x, selon que -7-^ sera

négative ou positive. Toutefois, cela suppose que j^ soit positive, et il est évident que le contraire aura lieu, dans le cas de j^ négative.

On voit, d'après cela, qu'une courbe reste convexe vers

l'axe des x, tant que 7 et -~ ont le même signe, qu'elle

./- y ,

reste concave au contraire tant que j' et -— - sont de

T d'y , , , . .

signes contraires. Lorsque -^-v s annule, la concavité ou ° ^ dx-

la convexité persiste, si le contact de la courbe avec sa tangente est d'ordre impair; mais si ce contact est d'ordre pair, il y a inflexion; la concavité se change en con\exité, ou inversement.

169. La conclusion précédente ne subsiste pas tou- jours quand les axes font un angle aigu ou obtus 6; soit alors a langle que fait la tangente avec l'axe des x, en

sorte que l'on ait

dy sina

dj: sin [0 — a

Lorsqu'on a cc<^0, dans le cas de a<^90°, ou a ^9 dans le cas de a^C)o°, la condition de la concavité ou de la convexité est la même que si les axes étaient rectangu- laires. Mais, si l'hypothèse contraire a lieu, la condition de la concavité ou de la convexité est celle qui a lieu pour la convexité ou la concavité dans le cas des axes rectangu- laires. On vérifie facilement sur une figure l'exactitude

252 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

de noire assertion, mais on y parvient aussi par un calcul bien simple. Désignons par Xi,jf les coordonnées rela- tives à Taxe actuel des x et à un axe des j, perpendicu- laire au premier; on aura

Ji=-JKsin(3, Xi=x -{-j cosO.

On tire de là ^

d.r^ 1 dx / dy ,\"''

j\ <^^-^i y (^^ V ''^•^

COS&

et l'on a

dy smQcosa

I -1- -;- ces 0 = -. •

a.v sin(5 — «j

Le signe de — fait connaître s'il y a concavité ou

convexité, et cette quantité a le même signe que y-

quandcosa et sin(0 — a) sont de même signe ; elle est de

,1c/./: , • //, \

Signe contraire a — quand cosa et sin(0 — a) sont

y cix

de signes contraires.

170. Exemples. — i° Considérons la courbe dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est

y = siu.r. On a

dy d^y . i d^y

-■ - z= cosa:, — '-- ■= — sinx, - • — ^ := — I .

dx dr^ y dx'

Il en résulte que la courbe est constamment concave vers l'axe des x, et que les points oîi elle rencontre cet axe sont des points d'inflexion.

CHAPITRE VIT. O.'JO

Q.^ Soit la combe dont l'équation, en coordonnées rectangulaires, est

y = tangx. On a

dr T d'Y ?. tanc;j: i d^ r •?.

dx cos^j: dx- cos^^ y dx^ cos-x'

la courbe tourne donc constamment sa convexité vers

l'axe des x^ et les points où elle le rencontre sont des

points d'inflexion.

3" Soit la courbe ayant pour équation, en coordonnées

rectangulaires,

nr? — .r

y

6.1:^ -i- 1

on a

dy 3.7-*+6.r- — I ({''■y i^{ ce

dx (3.,;--'+,j2 ,/^.2 (3x2-;- 1)3'

I d'-y — 24

j ~d7- ~ (3.r'^-M)2*

On voit que la courbe tourne constamment sa conca- vité vers l'axe des or; elle a trois points d'inflexion qui sont situés sur cet axe et qui répondent aux abscisses x = — I, 07=0, j: = -!-i. Les valeurs correspondantes

de -,- sont --, — i , -• d.r. 22

Emploi des coordonnées homogènes.

171. Otto Hesse a eu le premier l'ingénieuse idée de représenter les deux coordonnées rectiligncs d'un point par les rapports de deux variables j-, y à une indé- terminée z. 11 en résulte que toutes les équations devien- nent homogènes, ce qui oflre souvent de précieux avan- tages. Les coordonnées étant ainsi désignées par

r < — j

z

254 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'équation d'une courbe quelconque aura la forme (i) /t-^, J, Z;=o,

/ désignant une fonction homogène des trois variables x, j, z. Quand on passe d'un point de la courbe à un autre point, on peut à volonté supposer z constante ou la re- garder comme variable.

L'équation (i) étant dilTérentiée sans faire d'hypothèse sur z, on a

— - rf.r -^ ~- dj -\- -1- dz z=z o. Ô.r aj ÔZ

Or les identités donnent

X V

Z -^ Z

OC CT. y y

dx =zzd \- ~ dz, dj =: zd "i- -J- "^ dz,

z

et par conséquent l'équation (2) devient

Vdf X df r-A dzV df df ^f^

\^dx z oy z _\ z L 'J-^ ^J "^ J

mais, si ?i désigne le degré d'homogénéité de la fonc- tion f, on a identiquement (n°^ 84 et 136)

(^) "" dx-^^Ty^'jz = "'^^"' •^' ') = ° •

donc il vient

4 -^ d - + - d - =0%

^^ ' ox z ôy z

D'après les notations que nous adoptons ici, l'équation de la tangente à la courbe sera

dl Y y z fX X

Z z .r \ Z Z

a — Z

CHAPITRE VII. 2JJ

OU, à cause de l'équation (4),

Z 'zj d.r ' \Z zj i)y

Ajoutons au premier membre la quantité identiquement nulle

\Z zj Oz

réduisons ensuite parle moyen de la formule (3) et chas- sons le dénominateur Z; l'équation de la tangente sera simplement

(5) x|^+y^+z!f=o.

^ ' or OJ OZ

172. Exemple. — Considérons le cas des courbes du deuxième degré. On a ici

/(.r, y, z) = ax- + bj- -\- cz- 4- o.a yz -\- I2.b' xz -i- "Zc'xj,

puis

- -^ =ax H- c'y + b' z, 2 Ox

^ àf • ■ u . r

— -- z=: c X -^ by -+- a z, 2 dy J ^

^ àf .,

— = b' X -i- a y -\- cz,

1 OZ

l'équation de la tangente au point {^,y, z) sera donc

[ax -f- c'y -+- b'z)X-\-{c'x -1- by -|- a'z)Y-{'[b'x -f- a'y-hcz]Z = 0.

Si l'on veut revenir à la notation ordinaire des coordon- nées, on fera s = i , Z = i .

173. Le résultat obtenu au n° 171 nous donne immé- diatement le théorème suivant :

Théorème I. — Les points de contact d'une courbo

256 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

algébrique du degré Ji ai^ec les tangentes qu'on peut lui mener par un point donné sojit situés sur une seconde courbe algébrique de degré n — x .

En effet, si l'on suppose que la courbe donnée du degré 71 soit représentée par Téquation (i) du n" 171, les points de contact des tangentes menées à cette courbe par un point donné (X, Y, Z) satisferont à l'équation (5), et il est évident que cette équation (5) représente une courbe du degré n — i .

Supposons que le point donné occupe successivement toutes les positions sur une droite donnée; le précédent théorème subsistera pour chacune de ses positions, merae quand le point donné sera situé à l'infini. On a donc cet autre théorème :

Théorème II. — Les points de contact d'une courbe algébrique du degré n avec les tangentes qu on peut lui mener parallèlement à une direction donnée soJit situés sur une courbe de degré n — i .

Remarque. — Ce dernier théorème se démontre très- simplement sans recourir à l'emploi des coordonnées homogènes; mais la démonstration du théorème I exige une transformation quand on fait usage des coordonnées ordinaires.

Recherche des points d^ inflexion des courbes.

174. Désignons par -5 - les coordonnées rectuignes,

par u une fonction homogène de x, r, z, et considérons la courbe représentée par l'équation

(i) U--0.

cïtapithe vit. Nous ferons, pour abréger,

du (lu du

puis

dv Oj âz ^'

Ô^U ÔUi f)^M __ <}«i C)«2

dx''' dx *''' dxdf ~~ dy dx

d-u dn^ f)^« du^ f)w,

4^ ~ "^j ~ "''" d^ "" d^ ~" d^

— «2.3-

En différentiant l'cquation (i), on a, comme nous l'avons déjà trouvé,

.7? y

«1 a «2 d — =0.

z z

Soit n le degré d'homogénéité de la fonction m; mj et Ma auront le degré n — i , et l'on aura

du^

( /-^ . iy\ . ( ^ dz

-- - î «1.1 d - -;- «1,2 « - ] -- [n — i] u, —

\ z z J ^ ' z

H,, d \- ;/, 0 <■/ - 1 -;- « — I ] u

- z -- z) ^ >

dz

2 i

si donc on difTérentie l'équation (2) en regardant la dil-

«27

férentielle de - comme constante, et qu'on réduise le

z ^

résultat par le moyen de la même équation (a^ on aura Maintenant la condition des points d'inflexion est

(4) ^'f=°'

s. — Cale. dijj\ Ij

258 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, si la fonction Wo reste finie, elle réduit l'équation (3) à

(5) • «,,i(r/^y+2«,,,(rr^^ {cr~\ +u^^jd^-y=o.

Mais il faut remarquer que l'équation (5) n'entraîne plus l'équation (4) quand on a ^2 = 0; dans ce cas on a aussi u, = o, par l'équation (2), et u^ = o, par la for- mule identique

u^ X -i- u^j -\- u^ z =r. nu = o.

11 résulte de là que la formule (5) convient à la fois aux points d'inflexion et aux points qui satisfont simultané- ment aux trois équations

(6) «1 = 0, «2 = 0, «3 = 0.

Il reste à éliminer entre les équations (2) et (5) le rap- port des différentielles d-, d'-: on obtient immédia-

.r

? a

z

tement

(7 ) "1,1 "2 2 «1,2 «1 «2 + "2,2 ''i = O»

mais cette équation peut être simplifiée. Effectivement; si, entre les quatre équations identiques

(8j nu = UiX -+- u^y -h u^z

et

[ [n — i)Mi = Mi,i.r H- ;/i,2j-'r- 7/1.3 ï,

(9) s ('* — 0"2 = «1.2-^^- "2,2j-^- "2,32,

[ ('^ — ')"3 = "l,3-^+ «2,3j + «3,3=,

on élimine x, y et u^, on trouvera

10

n — i)^[«i,i «2 — 2i/i,2 f'i «2 + «2.2 "?]

= //(« — i) «(«1,1 «2,2 — «'.j) — zm[u),

cnAPiTUF, VII. 25g

en posant, pour abréger,

II(//) = ?/i,3 (//,,, «2.3 — «1,3 "2,2) -î- f'2.-\ {"l.i "1.3 — «1,1 «2.3)

+ "3,3 ("1,1 "2,2— «?.2)> ou

II(m) = «1,1 lt,.ill3.3 -t-2«i,2M,,3H.,3

s'. 3 —"2.2"?., — "3,2"?.,.

Quelle que soit la forme de la fonction homogène ii, le cas de n = i peut toujours être évité en multipliant 11 par une puissance de c. Alors, au moyen de la formule identique (10) et de l'équation a= o, l'équation (7) se réduit à

(12) II(^^)=o.

175. Supposons que la courbe proposée soit algébrique et que u soit une fonction entière et homogène d'un degré entier et positif tz; l'équation (7) sera du degré S/z — /\, tandis que l'équation (la) sera seulement du degré '6[n — a) ou 3« — G. Si l'on considère les solutions ima- ginaires cjue peuvent admettre deux équations, comme répondant à un point imaginaire commun aux courbes représentées par ces deux équations, on pourra énoncer le théorème suivant dû à Hesse :

Théorème I. — Les points d^inflexion dhine courbe alqebri(/ue du degré n sont situés sur une seconde courbe algébrique du degré 3(« — 2).

Et si les coefficients de la courbe demeurent indéter- minés, de manière qu'il n'existe entre eux aucune rela- tion, les équations (6) du numéro précédent n'admettront pas de solution commune; par conséquent les points d'in- tersection des courbes (i) et (12) seront pour la courbe (1) des points d'inflexion. D'ailleurs on sait, parle théorème de Bezout, que l'élimination d'une variable entre les équations (i) et (12) conduit à une équation finale dont

260 CALCUL DIFFÉTIENTIFX.

le degré est égal au produit des degrés des deux équations; on a donc cet autre théorème :

Théokème II. — Une courbe algébrique du degré n dont les coefficients demeurent indéterminés aZn [n — 2) points d 'inflexion .

On voit en particulier que les courbes du deuxième degré n'ont pas de points d'inflexion, ce qui est connu, et qu'une courbe du troisième degré a en général neuf points d'inflexion réels ou imaginaires.

La fonction H(«), définie par l'équation (ii), est le déterminant formé avec les neuf dérivées partielles du deuxième ordre de la fonction zf, savoir :

H(

u

1,3

'1,2 ^2,2 "2,3

'1,3 "2.3 "3,3 1

Hesse l'a nommé le déterminant de la ionction u. Ce déterminant est le dénominateur commun des expres- sions que l'on obtiendrait en résolvant les équations (9) par rapport k x, y, z', \\ en résulte que l'équation (12)

est toujours satisfaite par les valeurs de -? "-> suscep- tibles de satisfaire aux trois équations (6), proposition que nous avons déjà établie plus haut.

Des points singuliers des courbes planes.

176. Considérons un point M d'une courbe plane; menons la tangente TT' au point M, traçons ensuite un contour fermé et convexe infiniment petit, dans l'inté- rieur duquel se trouve le point M; on peut prendre, si l'on veut, pour le contour dont il s'agit, la circonférence d'un cercle décrit du point M comme centre, avec un

CHAPITRE VII.

261

rayon infiniment petit. Engcnc^'ral, le contour ainsi formé ne coujjora la courbe qu'en deux points ///, m', et les

rayons Mm, Mm' feront des angles infiniment petits avec les directions respectives MT, MT'de la tangente; par conséquent l'angle de ces rayons différera infiniment peu de deux angles droits.

Lorsque ces deux circonstances ne se présentent pas simultanément, le point M est dit un point singulier. Nous allons énumérer les diverses espèces de points singuliers que l'on peut rencontrer.

1° Points multiples. — On nomme points multiples ceux où se croisent plusieurs branches de courbe tan-

gentes ou non les unes aux autres. Le cercle décrit d'un point multiple comme centre, avec un ravon infiniment petit, coupe la courbe en plus de deux points.

2" PoiKTS DE UEBROUSSEMENT. — On nommc points de rehroussement ceux oiî deux branches de courbe viennent s'arrêter et Oii elles ont une tangente commune. Le cercle décrit d'un point de rehroussement comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne rencontre la courbe qu'en deux points; mais les rayons qui passent

2^2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par ces deux points font entre eux un angle infiniment petit.

On distingue les points de rebroussement en deux

genres. Le rebroussement est dit du premier genrelors- que les deux branches de courbe sont situées de part et d'autre de la tangente commune ; au contraire il est du deuxième gewe quand les deux branches de courbe sont d'un même côté de la tangente.

3'' Points isolés. — On nomme points isolés les points qui ne sont voisins d'aucun autre point de la courbe. Le cercle décrit d'un point isolé, comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne rencontre la courbe en aucun point.

4" Points d'arrêt. — On nomme point d'arrêt un point où une branche unique d'une courbe vient brus- quement s'arrêter. Le cercle décrit d'un point d'arrêt, comme centre, avec un rayon infiniment petit, ne ren- contre la courbe qu'en un seul point.

5° Points saillants ou Anguleux. — ■ On nomme point saillant ou anguleux un point où viennent se ter- miner deux branches de courbe qui ont en ce point des tangentes distinctes. Le cercle décrit d'un point saillant,

CFIAriTRE VII.

263

comme centre, avec un rayon infiniment pelit, coupe la courbe en deux points; mais les rayons qui passent par

ces points font entre eux un angle qui dillere de deux droits ou de zéro d'une quantité finie.

Nous allons présenter ici un exemple pour chacune des cinq espèces de points singuliers que nous venons de mentionner.

177. Exemple d'un point double ou d'un point isolé.

— Considérons la courbe représentée en coordonnées

rectilignes par l'équation

p

fr—b\']

^{x) désigne une fonction de x bien déterminée, qui reste réelle et finie; a, h, c sont des lignes positives

données; enfin - est une fraction irréductible dont le

dénominateur est pair.

p

J ayant deux valeurs égales et de

signes contraires, la courbe dont nous nous occupons est formée de deux branches auxquelles appartiennent res- pectivement les é(juations

p

f y , f Jx-b\9

P,

— b\n

7 = o5(a?j —

2^4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

P

OÙ l'on prend positivement l'expression f | • Les

dy valeurs de -- relatives à ces deux branches de courbe sont ax i

données par la formule

i>

et, pour X = «, on a

— 1

Supposons a^h. Dans ce cas, les deux branches de courbe se réunissent en un point dont l'abscisse est a, mais elles ne s'y arrêtent pas brusquement, puisque l'or- donnée de chacune d'elles reste réelle quand on pose X = a±h. En outre, ces branches de courbe ont des tangentes distinctes au point oîi elles se rencontrent; on voit que celui-ci est un point double.

Dans le cas de a<^h, la valeur précédente de — est

imaginaire; il n'y a donc pas de tangente au point dont l'abscisse est a. La valeur dey relative à chaque branche de courbe devient imaginaire pour x =^ aûzli, et en conséquence le point qui a pour coordonnées x = a, j^'=r cj((«) est un point isolé.

178. Exemple d'un point de ïiebuoussement du pre- mier ou DU deuxiè:me genre. — Considérons la courbe représentée par l'équation

y — <i[.T.]±.[x — a]n -^[x),

^{x) et (|'(x) étant des fonctions bien déterminées qui

CHAPITRE VII. ?-fi5

demeurent réelles et finies; a une constante donnée;

- une fraction irréductible positive et supérieure à i,

dont le dénominateur est pair. Comme dans l'exemple précédent, la courbe peut être regardée comme com- posée de deux i)ranches qui répondent respectivement au signe -h et au signe — du dernier terme de l'équa- tion.

Les deux valeurs de y sont réelles et inégales pour X ^ rt, elles deviennent égales pour x = a, et imagi- naires pour X <^a. Ainsi les deux branches de courbe s'arrêtent l'une et l'autre au point dont l'abscisse est a.

L'expression de -- est

dx

p V

"^y —^f:^\^t^ „<-avi^\^P

— 1

et, pour X = a, elle se réduit, à cause de - ~> i, à la va-

leur unique ç'(a). Les deux branches de courbe ont donc même tangente au point où elles se rencontrent; par conséquent, celui-ci est un point de rebrousscment.

Il est évident (n° 168) que le rebrousscment sera du premier genre ou du deuxième genre, selon que les va-

d^Y leurs de -— - qui répondent aux deux branches de courbe

seront de signes contraires ou de même signe pour X = a-h h, 7^ étant un infiniment petit; l'expression de

d'-Y

- — est

dx^ ^

Lorsque - est "> 2, les deux valeurs de - " difierent

Z66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

infiniment peu de (^"'m), pour x = a-'r-h; donc, si c^"(«) n'est pas nulle, le rebroussement est du deuxième genre. Cette conclusion subsiste dans le cas où <f"{a) est nulle, pourvu que l'ordre infinitésimail de (p"(«-|- h) soit infé-

^ P

rieur a a.

7

Lorsque - est <" 2, les deux valeurs de — V sont in-

finies pourx = «, et il est évident qu'elles sont de signes contraires pour x =^ a-\- h\ donc le rebroussement est du premier genre.

Les courbes représentées par les équations

j- = .-r H- \/.r"*, j' = x^ -(- y/.r*

font partie de la classe de celles que nous venons de considérer. L'origine des coordonnées est un point de rebroussement du premier genre, pour la première courbe, et un point de rebroussement du deuxième genre pour la seconde.

179. Exemple d'un point d'arkêt. — La courbe re- présentée par l'équation

ofTre l'exemple d'un point d'arrêt, à l'origine des coor- données. Si l'on fait croître j: de o à 4- 00 , l'ordonnée j^

décroît de -h 00 à -j- i, et l'on a une première branche de courbe située dans l'angle des coordonnées positives j

CHAPITRE VII. ^-67

cette branche de courbe a pour asymptotes l'axe des j et une parallèle à l'axe des x répondant à une ordonnée égale à I . Si l'on fait décroître jr de o à — :» , la valeur dey croît de o à -hi, et l'on a ainsi une deuxième branche de courbe qui s'arrête brusquement à l'origine. Il faut remarquer que la fonction j devient discon- tinue quand x varie de — h à -h- h, h étant infiniment ])clit; elle passe brusquement d'une valeur infiniment petite à une valeur infiniment grande, et, pour x=o, elle a les deux valeurs o et 00 .

180. Exemple d'un poikt sailt.ant. — La courbe re- présentée par l'équation

a:

y

I -t-e^

offre l'exemple d'un point saillant à l'origine des coor- données.

Pour avoir la tangente à l'origine, il suffit \ji° 163) de prendre la limite du rapport

pour «: = o. Or, quand x tend vers zéro, e'^ tend vers o ou vers -h oo , suivant que x est positive ou négative; il y a donc, à l'origine, deux tangentes dont les coefficients

2()8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

d'inclinaison sont respectivement o et i. La courbe est ainsi composée de deux branches : l'une, OG, est située dans l'angle des coordonnées positives et elle est tan- gente, à l'origine, à l'axq des abscisses; l'autre branche, OH, est située dans l'angle des coordonnées négatives et a pour tangente, à l'origine, la bissectrice OT de cet angle; donc l'origine est un point saillant de la courbe.

Caractèj'e analytique des points singuliers.

181. Nous allons établir ici un théorème général qui embrasse une classe étendue de courbes et qui fait con- naître une condition commune à laquelle doivent satis- faire tous les points singuliers.

Théorème. — Soit f [oc, j) une fonction des ^variables x, j, qui reste cojitinue ainsi que ses dérivées pai^tielles du premier ordre, et qui prenne une valeur bien déter- minée quand on donne à x et à j des valeurs déter- mijiées. Si Xo, jç^ désignent les coordojinées rectilignes d'u7i point singulier de la courbe représe?itée par V équation

les équations

admettront toujours la solution x =^ Xq, y ^=^o»

En effet, désignons par Xo, y^ les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe, et par B l'angle des axes coordonnés ; décrivons un cercle du point M comme centre, avec le rayon infiniment petit p, et nommons Xq 4- h, j^o H- A les coordonnées d'un point m de la cir- conférence. On aura

CITAIMTUE VII. 5f)9

et la condition pour que le point m appartienne à la courbe sera

Au moyen de la formule de Taylor, cette équalion devient

(3) m h-, m /•-HR.^o,

(à),

en posant

l'indice o exprime ici qu'il faut remarquera et j^ par .Tq et joî l'indice i indique que x el y doivent être rem- placées par des valeurs comprises respectivement entre Xo et Xa -h h, jo et j^ H- h.

Soit Où l'angle que le rayon Mm = p fait avec l'axe des X, on aura

sinf 9 — f.)) sinw

sui 0 sin d

et l'équation (3) divisée par p deviendra

à/\ sin 10 — w) f i^/\ sinw R,

(I).

sinO \djj(,s'ni0 p

o;

- et -T- ne sont pas nulles simultanément, on '•^7o \OfJo ^

il faut remarquer que — s'annule avec p. Cela posé, si

pourra trouver une quantité positive ]M et un angle x, tels que l'on ait

C^i (ox). = -»'^'""' (1), = ^- »'-•>'-«!,

car M et a ne sont autre chose que les coordonnées po-

l'JO CALCUL DIFFÉKEINTIEL.

laires du point qui aurait les coordonnées rectilignes

-r—^ 1 -V- I et ^— {-r-\ ' Au moyen des formules (6 ),

smÔ \'Jj/o sin5 \o-xJ Q " ^ ■

l'équation (5) devient

(7) Msin(w — a) H ^ =0,

0

et, comme il est permis de négliger dans w les multiples de la circonférence, cette équation ne peut être satis- faite que si w diffère infiniment peu de a ou de 7: -j- a. Donc, pour connaître le nombre des racines co de notre équation, il suffit d'examiner comment varie son pre- mier membre

(81 Msillfw — k) H ^î

9

quand w varie de a — e k a -\- e ou de (r-|-a)— e à

(^71 -t- a) -)- 6, e étant une quantité aussi petite que l'on

voudra, mais déterminée.

Or, d'après notre hypothèse, la quantité

est une fonction continue de h et de k; donc — est une

P fonction continue de w; en outre cette fonction s'an- nule pour p = o, quel que soit w, par conséquent, la

4'

même chose a lieu à l'écrard de la dérivée — p-« Cela étant, la dérivée de l'expression (8) par rapport à « esi

M ces ( w — a ) H y— ?

et elle diffère aussi peu que l'on veut de -h ]M ou de — M, lorsque w — a diffère suffisamment peu de o ou

rilM-ITUF, VII. U^I

(le r. I'"n cons(îqiieiHi', la l"oijctii»ii ' 8 i est croi.ss;inl<; (juami w cMttîl (le a — e ù a-j-e, et elle est décroissante (|uand w croît de Tr-f-a — e àrr-f-a-f-s; en outre, cette fonction change de signe, d;ins l'un cl l'autre cas; donc elle s'annule entre les deux limites.

Il résulte de là que, si les équations (^) n'adrneltcril j)hs la solution coniniiMie a'=:j:o» T = 7 0. l'équation 7 aura deux racines ù), luiic inlinirnent j)t'U flillérenle dr x, l'autre infiniment peu didérenle de T -h a, et qu'elle n'aura aucune autre racine. Ainsi le cercle décrit du point M(\ro, Jo) comme centre, avec le rayon 0, ne coupera la courbe qu'en deux points m, m', et les rayons Mm, Mm' feront des angles infiniment petits, l'un avec l'ime des directions de la tangente en M, l'autre avec la direc- lion opposée. Il s'ensuit rpie le j>oint I\I ne sera pas un point singulier, ce qui démontre le théorème énoncé.

Remarque. — Si l'on adopte le système des coordon- nées homogènes, les coordonnées -> - des j>oinls singu- liers de la courbe rej)vésent('e j)ar l'éipiution homogène

annuleront les trois dérivées partielles du premier ordre «I, j/o» "3> car les é(pialions « = 0, «i = o, //._. = o en- traînent U3 --r. o. 11 en résulte que le déterminant de la fonction u (^n" 175 j s'annule pour tous les points sin- guliers.

lioclierchc de lu nature îles points singu/irrs.

18-. D'après ce qtii précède, le> loordonnées des points singuliers de la courbe

(0 /l-'.r)=o

2J2 CALCUL DIFFÉREJNTIEL.

doivent satisfaire aux deux équations

2 --- = o, -r- = o.

^ ' ax ôy

Nous admettrons dans ce qui va suivre que toutes celles des dérivées partielles de la fonction y (j:,j^) que nous aurons à considérer restent continues. Soient Xq, J o les coordonnées d'un point M de la courbe (i) qui satis- fassent en même temps aux équations (2), mais qui ne vérifient pas à la fois les trois équations

,,, d\f cT-f d'f

(^) d^^=°' 0:^0}'-=^'"' d?=°'

Désignons, comme précédemment, par x^ -f- h,yQ ■+- h les coordonnées d'un point m de la circonférence décrite du pointM comme centre, avec le rayon infiniment petitp. La condition, pour que ce point m soit sur la courbe donnée, sera

/{Xo-hh, Jo -4- /■) =:0,

OU, en développant par la formule de Taylor et en sup- primant les termes qui sont nuls en vertu de nos hypo- thèses,

R3 désigne, conformément à notre notation habituelle, le reste de la série arrêtée au troisième terme. Si l'on a

àV\ fO\f\ ( d\f

le trinôme entre crochets, dans l'équation (4), ne sera jamais nul, et comme sa valeur absolue est supérieure à celle de R.3, lorsque k et k sont suffisamment petits, il

CHAPITRE Vil. 2y3

est évident que l'équation (4) ne pourra pas être salis- laite. Il s'ensuit que la circonférence de rayon p ne ren- contre pas la courbe, et, par conséquent, le point M est un point isolé.

183. Lorsque l'inégalité (5) n'a pas lieu, les racines t de l'équation

sont réelles, et elles peuvent être représentées par

sina sine

sin(G — «) ' sin(e) — g) '

ô étant toujours l'angle des axes, a et 6 des angles com- pris entre zéro et ::; on peut alors mettre l'équation (4) sous la forme

2\(l>-/oL sm(9-«)J|_ sin;9-e)J^^^

Nous remplacerons h et A' par leurs valeurs — "',

' ^ sin9

p sinw j ,. , , , , , , ,

■ . - deja employées au numéro précèdent; nous ferons

en outre, pour abréger l'écriture.

= M X 2sin^Ô,

^-^mMm:-mm>'^

en convenant de prendre le radical avec le signe du pro- duit sin(ô — a) sin(0 — o). L'équation (4), divisée par p-, devient alors

(7) Msin(w — a)sin(w — 6) -{- — ^r^o,

— :p S annulant avec p. 0- '

S. — Ca/c. dijll'. ,8

2^4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons d'abord que les racines de l'équation (6) soient inégales; dans ce cas, on a

(8) m m-i^y^o.

et les angles a et 6 ne sont ni égaux entre eux ni sup- plémentaires. Il est évident que l'équation (7) ne peut être satisfaite que par des valeurs de o) infiniment voisines de l'un des angles a, 7r-|-a, ê, n-i-o; d'ailleurs, si l'on désigne par cOq l'un de ses quatre angles, et par e une quantité positive déterminée aussi petite que l'on voudra, le premier membre de l'équation (7) changera de signe quand on fera croître w de «„ — e à Wq -t- e ; donc il y a au moins une racine dans cet intervalle. IMais je dis qu'il n'y en a qu'une seule. En effet, la dérivée du pre- mier membre de l'équation (7) par rapport à co est

A

M[cos(« — a)sin(w — /3) H-sin(w — «)cos(w — ê)]+ --7—»

et elle différera aussi peu que l'on voudra de ±M sin(a — 6) , si e est suffisamment petit. Gomme R3 est une fonction continue de w, en vertu de nos hypothèses, nous pouvons conclure que le premier membre de l'équation (7) est une fonction constamment croissante ou constamment dé- croissante, dans l'intervalle dewo — eàc»)ù-|-6; donc cette équation n'a que quatre racines, lesquelles diffèrent infi- niment peu des angles respectifs a, 7r-4-a, é, 7r-f-ê.

Le cercle décrit du point M comme centre, avec le rayon infiniment petit p , coupe donc la courbe en quatre points ; et, parmi les quatre rayons qui passent par ces points, il y en a deux qui font respectivement des angles infini- ment petits avec les deux directions de la droite inclinée de l'angle a sur l'axe des x, tandis que les deux autres rayons font des angles infiniment petits avec les deux di-

CIIAIMTUK VII. 2^5

rccllons de la droite qui rOpund à l'angle 6. Dans le cas que nous examinons, le point M est un point double.

i8i. Supposons maintenant que les racines de l'équa- tion (6) soient égales entre elles. Dans ce cas, on a

<9' (5?).(5?)c-(cJ^)! = °'

les angles a, 6 sont égaux entre eux, et l'équation [y) devient

(lo) ]\Isin'(w — a) -1--^ = G.

r

Mais il est ici nécessaire de prendre un terme de plus dans

le développement fourni par la formule de Taylor. On a

Si la partie entre crochets de cette valeur de R3 ne s'an- nule pas pour (i) = a ou pour &)=:7r-r-a, elle conservera le même signe -}- ou — quand td croîtra de a — e à a-j-e, tandis qu'elle aura constamment le signe opposé — ou -f- quaiid w croîtra de Tr-i-a — e à7r-T-a-+-e; d'ailleurs ce signe sera celui de R3, puisque p est supposé infiniment petit. Il résulte do là que l'équation (10) n'a que des ra- cines infiniment voisines de l'angle a, ou que des racines infiniment voisines de l'angle tt -h a. Les deux premières dérivées du premier membre de l'équation (10) sont

/ ^» ^ ^'

'^ ~*

INI sin 2 ( w — « ) -+- — ,'— » 2 M cos 2 ( w — a ) -i - :

lorsque w difTère peu de a ou de r.-\-sc, la dérivée du deuxième ordre diffère peu de -h 2. M ; donc la dérivée du ()remier ordre est constamment croissante, et elle ne peut

18.

276 CALCUL DIFFÊP.EKTIEL.

s'annuler qu'une seule fois; il s'ensuit que l'équation (10) ne peut avoir plus de deux racines; enfin ces deux ra- cines existent elFeclivement, puisque R3 est nécessai- rement négatif quand on donnera w l'une des deux va- leurs a, :: -f- a.

Dans le cas que nous examinons, le cercle décrit du point M comme centre, avec un rayon infiniment petit, coupe la courbe en deux points, et les rayons qui abou- tissent à ces points, situés de part et d'autre de la droite inclinée de l'angle a sur l'axe des x, forment avec l'une des deux directions de celte droite des angles infiniment petits. Donc le point M est un point de rebroussement du premier genre.

185. Il nous reste à examiner le cas où la partie entre crochets de l'équation (,i i) s'annule en même temps que sinfw — a). Ici, comme dans le cas précédent, l'équa- tion (10) ne peut être satisfaite que par des valeurs de w infiniment voisines de a ou de TT-i-a; donc il ne peut y avoir, au point M de la courbe, qu'une seule tangente et celle-ci est inclinée sur l'axe des x de la quantité a. Pour reconnaître la nature du point M, il convient d'a- bandonner la considération du cercle de rayon p et de lui substituer deux parallèles à l'axe des y, infiniment voi- sines et situées à des distances égales de M. Nous ferons h = th et nous poserons

niAPiTUE vu. ^-77

Si l'on arrête au cinquième terme le dcveloppemeuL de/(xo-FA,jro -^-^), 'e reste pourra être représenté par

y; désignant une qiiaulilé infiniment petite; par consé- quenlTéquation qui exprime que le point(xo f-/',j'o -^/) appartient à la courbe proposée sera

Dans le cas qui nous occupe, les deux racines de l'équa- tion f.^(yt = o sont égales entre elles, et en désignant par ti leur valeur, on di /^{ti) 7= o\ d'après nos pre-

• . • / I sina ,

mieres notations, ?, est eeral au rapport ^-- ■-. et les

^ * ^ sm f 6 — a i

racines réelles que l'équation (12) peut admettre sont infiniment peu diflérentes de A|. Posons

(i3) ;=;iH-)7/,

"k étant une nouvelle inconnue que nous substituerons à t\ on aura

/i(o=/.(^:-i-YA(^i)-+.--,

et si l'on fait, en outre.

2^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'équation (12) deviendra

(i4) F{rr:-h[F,{i]-^yi]==o,

n s'annulant avec h. ^

Si les racines de l'équation

(i5) F(>)=o

sont imaginaires, il est évident que l'équation (i4) n'ad- mettra pas de racines réelles ; il n'y aura donc pas de tangente au point M de la courbe, et celui-ci sera un point isolé.

Si les racines de l'équation (i5) sont réelles et inégales, et qu'on les désigne par X', X", il est évident que le pre- mier membre de l'équation (i4) changera de signe, quel que soit le signe de h, quand on fera varier X dans le voi- sinage de À' ou de \" . L'équation (i4)^ donc deux racines réelles À',, X",, et elle en a également deux autres X'^, X" quand on écrit — h au lieu de h ; il résulte de là qu'il existe quatre points de la courbe pour lesquels on a, d'après la formule (i3),

A = — t^h -h V, h'^, fk :-- — ?, // i- Vj/î".

Deux des quatre rayons qui j oignent ces points au point M font des angles infiniment petits avec l'une des direc- tions de la droite qui a le coefficient d'inclinaison <|, tandis que les deux autres rayons font des angles infini- ment petits avec la direction opposée. Il s'ensuit que le point M est un point double où se croisent deux bran- ches de courbe qui ont en ce point la môme tangente.

Enfin, si les racines de l'équation (i5) sont égales, désignons par X'ieur valeur, et supposons que l'équation

(16) F,(>):=0

CriAPITHE VI. 279

n'admette pas la racine A'; l'équation (i4) prendra la forme

Cette équation a deux racines réelles À',, À'j, infini- ment peu différentes de X', pourvu que h ait un signe

F f)i'l contraire à celui de „ . ,' ; mais si l'on donne à h le signe

de cette quantité, l'équation n'admettra pas de racines réelles. Il s'ensuit qu'il existe deux points de la courbe, pour lesquels on a

d'ailleurs, si V n'est pas nulle, 1\ et 1\ sont de même signe; donc les rayons qui joignent les deux points au point M sont situés d'un même côté de la tangente et font avec l'une des directions de celle-ci des angles infi- niment petits. Le point M est donc un point de rebrous- setnent du deuxième genre.

Cette conclusion ne subsiste pas dans le cas de )/= o ; le rebroussement est alors du prendej' genre; elle peut aussi être en défaut dans le cas où À' est racine de l'équa- tion (16). Mais il est facile de voir que le point M est toujours un point double ou un point isolé, quand il n'est pas un point de rebroussement.

!86. Il resterait à examiner le cas où les trois dérivées partielles du deuxième ordre de lafoncliony(x,j ) s'an- nulent simultanément pour les coordonnées Xo, jo du point M ; mais à cet égard je me bornerai à indiquer suc- cinctement le résultat principal.

En général, si les valeurs Xq, Jq annulent toutes les dérivées partielles de la fonction f, jusqu'à celles de l'ordre n — i inclusivement, la condition pour que. rn -\-h,

aSo C\TXDL DIFFÉRENTIEL.

J'o-\-k soient les coordonnées d'un point de la courbe sera, en conservant les notations du n° 183,

4'(w]sin(&) — a,) sin(w — ag) • • -sinfw — «,) -i '-^ =o;

-~^ s'annule avec p, et oc, , a^, ••., a, désignent des angles

P réels dont le nombre i est égal à n ou égal à n diminué

d'un nombre pair; enfin 4>(w) se réduit à une constante quand i = n, et elle est dans le cas contraire une fonction qui ne s'annule pour aucune valeur de w. On voit de suite que, si a,, oc^, ..., a,- sont des angles inégaux, le point M sera pour la courbe un point multiple de l'ordre i, c'est- à-dire que i branches de courbe se couperont en ce point. Il s'ensuit que, pour un point multiple de l'ordre n, il esl nécessaire, mais jiojisu/Jisa/it^que les dérivées par- tielles de la fonctiony^des ordres inférieurs à n s'annulent toutes pour les coordonnées du point M.

Dans rhypothèseactuelle,lescoefficients d'inclinaison des tangentes aux branches de courbe qui se croisent en M font partie des racines t de l'équation

d"/ \ n{n-i] ^J <Yf

d-A	" ( 1 i \
d.r"J	0 I \(^-3
	fi -i- - t"-^ I

(}.r"--^(>j2

Si l'on supprime l'indice zéro, et que l'on écrive -~- au

lieu de t, la précédente équation coïncidera avec celle que l'on obtient en différentiant n fois l'équation

f{.r,j) =0,

et de laquelle disparaissent en vertu de nos hypothèses

«^ V Cl y toutes les dérivées --7, ? — 4 ? • • • des ordres supérieurs cI.t'- d.r^ '■

à I. C'est cette équation qui détermine ici chacune des

ciiapitue vii. 281

(Iy valeurs de ---•, pour avoir la valeur correspondanle do

(l.r '■ tpY

-— ^ » il faut dlfTérenlier une fois de plus l'équation pro- posée, et ainsi de suite. Cette observation sert de com- plément à la règle générale que nous avons donnée pour la diiFérentiation des fonctions implicites.

DifjércnlicUe de l'aire d'une coiirhe j)lanr.

187. Considérons une courbe plane rapportée à deux axes de coordonnées faisant entre eux un angle ô; dési- gnons par u l'aire CAPM comprise entre un arc CM, l'axe des X et les coordonnées CA, MP des extrémités CM.

V
		K M'.,—
		M y'	'■^^'^	1
	Y	/
0	^É~	P	\	j;

Si l'on regarde l'ordonnée CA comme fixe et l'ordonnée MP=:j^ qui répond à l'abscisse OP = a: comme variable, l'aire n sera une fonction de x\ nous nous proposons de trouver la différentielle de cette fonction.

Soit M'P =:jy-|- A/ l'ordonnée qui répond à l'ab- scisse OP' = x-f-Ax; on peut supposer ^x assez petit, pour que l'ordonnée de la courbe aille constamment en croissant ou constamment en décroissant quand on passe du point M au point M'. Alors, si l'on mène IMI et M'K parallèles à l'axe des a-, l'accroissement A// =:MPP'M' de l'aire a sera compris entre les aires j>'Aasin9, (/-hAj)A.r si n Odes parallélogrammes MPFI,KPF]\r. OrladilTérence Ay Ax sinO de ces deux parallélogrammes

202 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est infiniment petite, par rapport à chacun d'eux, quand Ax devient infiniment petit; donc on a

Au =^A,rsinô -f- sAx,

e s'annulant avec Ax. On tire de là

Am

A.r -^ '

et, en passant à la limite,

du . .,

'— =r y sin 0, d ou du =j dx sin 9. dx

Dans le cas des axes rectangulaires, cette formule se

réduit à

du -s=zjdx.

188. Divisons la partie AP de l'axe des abscisses en n parties égales ou inégales, mais qui deviennent toutes infiniment petites quand « devient infiniment grand, et désignons par Xq, Xj, . . . , x« le abscisses des points de division, par jv'o> J\, • • -i Jn les ordonnées correspon- dantes ; Xa et jn ne sont autre chose que les coordon- nées X, j du point M. Nous avons vu (n° 10) que l'on a

« = sine lim \ [x^ — j7,_i ) j,-,

et il en résulte, d'après ce qui précède, que la limite de la somme

somme qu'on peut aussi représenter par

jA.r,

1

est une fonction de x dont la différentielle est ydx. Ainsi que nous l'avons déjà remarqué au n° 10, ce résultat

CHAPITRE Vil.

283

subsiste lors même que j^ changerait de signe dans le passage du point C au point M, pourvu que l'on consi- dère comme négatives les parties de l'aire considérée qui sont situées du côté dcsj^ négatives.

Différentielle de la longueur d'un arc de eourbe plane.

189. Soit CD un arc de courbe plane que nous rap- porterons à deux axes rectangulaires Ox et Oy. Inscri- vons dans l'arc CD une ligne polygonale CEFMM'D d'un nombre n de côtés; désignons par P le périmètre de cette ligne polygonale, par x, j les coordonnées d'un

sommet quelconque M et par x --- ù^x , y -\- ^y les coor- données du sommet suivant M', On aura

MM' =\/m + M'i' = v/A.r* -i- \y'

=. ^x \/ \

et, comme -^ ne diffère de ~ que d'une quantité qui

\x

s'évanouit avec Ax, on peut écrire

MM'=Aa:

y.-.

-^ -r-^ -4- e J :

e désignant une quantité qui s'annule avec A.r. Celle formule se rapportera à chacun des côtés de la ligne po- lygonale, si l'on prend respectivement pour x et j les coordonnées des sommets successifs; on a donc, en fai-

284 CAIXUI, DIFFÉRENTIEL.

sant la somme de tous les côtés tels que MM',

-Sv/'-Ê^-S

e A.r.

Supposons maintenant que le nombre n des côtés de notre ligne polygonale augmente indéfiniment, et que chacun des côtés de cette ligne tende vers zéro. Comme

la somme \ Ax a une valeur finie et constante qui est

la différence AB des abscisses des extrémités de l'arc CD, on aura (n" 9)

(2) lim y £ Aj; = o.

En outre, si l'on prend x pour variable indépendante et que l'on construise la courbe dont l'ordonnée Y est déterminée en fonction de x, par l'équation

que GH soit la partie de cette courbe comprise entre les ordonnées CA, DB, et que l'on désigne par S l'aire GABH, on aura (n° 188)

liin

^Yi.. = lim^^,^;-l;^A. = S;

donc la formule (i) donnera, à cause des égalités (2)

et (3),

(4) limP = S.

On voit ainsi que le périmètre cl' une ligne polygonale inscrite dans un arc donné d\ine courbe plane tend vers une limite déterminée lorsque tous les côtés tendent vers zéro; en outre, cette limite est ijidépendante de la loi suivant laquelle décroissent les côtés du polygone.

CIIAI'ITUE Vil. 2oD

La limite S dont nous venons de dénoncer l'existence est dite la longueur de l'arc de courbe CD.

Maintenant, si nous désignons par s la longueur de l'arc GlM dont l'extrémité C est fixe, tandis que l'extré- mité M qui répond à l'abscisse x est variable, s sera une fonction de x; il est aisé d'avoir la différentielle de cette fonction. Effectivement, d'après ce qui précède, l'arc 5 est égal àl'aireGAPN comprise entre la courbe GlI, l'axe des x et les ordonnées des points C et M ; cette aire

a pour différentielle (n" 187) Ydx ou i / i-h -—dx\ on a donc

ds.

1 / I + -y^ ch-y OU ds = ^dx^ -r- dy^ .

190. La formule que nous venons d'établir permet de démontrer la proposition suivante : Le j-a/yport d'un arc de courbe infiniment petit à sa corde a pour limite V unité.

Considérons l'arc MM' qui est l'accroissement ùis de l'arc CM = ^, et désignons par c la corde de MM'. On

aura

\s as A.î ii.r

c y/Ax" -n- Aj2 ^ / , , A' »

v^'

et, en passant à la limite,

ds

^.î dx ds

lim — ^=

\/'

Cette propriété peut être employée pour trouver la différentielle d'un arc de courbe, quand aux coordonnées rectangulaires on substitue d'autres variables. Supposons,

286 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par exemple, qu'on demande Ja différentielle de l'arc d'une courbe rapportée à des axes obliques faisant entre eux l'angle B. Donnons à x l'accroissement ^x et soient Aj', A5 les accroissements correspondants dej^'" et de 5; la corde de l'arc Ai- a pour expression

c = \/A.r^ -r 2 A.r Aj' COs9 + Aj-^,

et, puisque le rapport de c à As a. pour limite l'unité, on peut substituer c à A5 (n° 8) quand on se propose de

déterminer la limite du rapport On a donc

lim

ou

et

A^	: hm i / 1 -1- 2 — cose + -^ y A^ Aa:^
ds dx~	1 dy dy^ Yn-2^^cose+^^,,
tls = >	^dx^ -^-idxdy cos 9 + dy^ ,

191. L'arc 5, compté à partir d'une origine arbitraire mais déterminée, est l'une des variables qu'il y a lieu d'introduire dans l'analyse des propriétés des courbes. La formule

ds = s^dx^ -j- dy'^ ,

qui se rapporte au cas des coordonnées rectangulaires, laisse indéterminé le signe de ds\ ce signe doit toujours être -{-ou — suivant que l'arc s croît ou décroît quand la variable indépendante augmente

L'introduction de la différentielle as fournit des expres- sions simples pour le cosinus et le sinus de l'angle a que fait la tangente de la courbe avec l'axe des x\ il importe de définir avec précision l'angle dont il s'agit. Imaginons que, par le point M d'une courbe, on mène la tangente et

cnAPiTnr vu. 287

qu'on y transporte les axes des x et des JK parallèlement à eux-mêmes, puis considérons une droite mobile coïnci- dant à l'origine du mouvement avec la partie positive de l'axe des x, s'élevant ensuite vers la partie positive de l'axe des^ et continuant à se mouvoir dans le même sens. Si l'on désigne par a l'angle compris entre o et 36o de- grés qui a été ainsi décrit, lorsque la droite mobile coïncide avec l'une ou l'autre des deux directions de la tangente, il est clair que cette direction sera complète- ment déterminée quand l'angle a sera connu. Cela posé, la formule

donne

tansa_^^^

dy dy

Sin « : — ' —

d.r dx

COS« := -r=z

s^dr^^dy^ ds

Mais, comme rien ne détermine ici le signe du radi- cal \jdx^-{- dy- ou ds, les formules précédentes se rap- porteront à l'une ou à l'autre des deux directions de la tangente, scion qu'on admettra le signe -+- ou le signe — .

Du rayon de couihure et du centre de courbure e72 un point d'une courbe plane.

192. On nomme coM/Z>«red'un arc de courbe plane AM, qui n'offre aucun point d'inflexion, l'angle SIT que font entre elles les directions AS, MT des tangentes menées par les extrémités de l'arc. Cet angle est celui qui serait engendré par une droite mobile passant par un point fixe, et dont les directions successives seraient parai-

288 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lèles aux tangentes menées par les différents points de l'arc AM.

Si l'extrémité A de l'atc AM ;:^ s est fixe et que l'autre extrémité M varie, la courbure a deviendra va-

riable, et elle croîtra avec s tant que cet arc n'aura pas d'inflexion. La différentielle da de la courbure a de l'arc AM est dite Vangle de contingence au point M. On nomme courbure moyenne d'un arc de courbe AM

le rapport - de la courbure absolue à la longueur de

l'arc.

Enfin on nomme courbure d'une courbe en un point M la limite vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc infiniment petit ayant l'une de ses extrémités en M. D'après cela, si l'on désigne par s la longueur d'un arc terminé en M et compté à partir d'une origine A arbi- traire, par a la courbure de l'arc AM, la limite vers laquelle tend le rapport

quand ù^s tend vers zéro, est ce que nous nommons la courbure de la courbe au point M. Quelle que soit la va- riable que l'on regarde comme indépendante, la limite dont il s'agit est égale à

ds et par conséquent la courbure d'une courbe en un point

rnwiTRF. VTi. 289

est lo rapport. (la l'angle de conlingrncn à la dijj'rran- tielle de l'arc.

Dans le cercle, la courbure d'un arc est évidemment égale à l'angle au centre qui correspond à l'arc, et la courbure moyenne on le rapport de l'angle au centre à

l'arc est égale à l'inverse du rayon. Ce résultat s'applique à un arc quelconque fini ou infiniment petit; donc la courbure aux difTércnts points de la circonférence d'un cercle est constante et égale à l'inverse du rayon.

193. Du RAYON DE COURBURE. — On uommc rayon de courbure en un point d'une courbe le rayon du cercle dont la courbure est égale à la courbure de la courbe au point donné; ce cercle est dit lui-même cercle de cour- hure. On a, d'après ce qui précède, en désignant par R le rayon de courbure,

dd I ds

as W di

Il est aisé d'avoir les expressions de l'angle de con- tingence et du rayon de courbure en fonction des coor- données rcclangulaires. En effet, si et, «o désignent les angles formés par la direction de l'axe des abscisses po- sitives avec les directions des tangentes AS, MT, on aura évidemment

di ff --: a — ao, d'où rt ch = dx.

S. — Cale. dijf. jg

2qo CALCUL DIFFÉRENTIELo

Or

et l'on en tire par la differentiation •

ou

(I) d'ailleurs

donc on a

^ ' dxd'^j — dyd'^x

Nous nous dispensons d'écrire le signe ± devant le second membre de cette formule, parce que le signe de

l'expression [dx^-i- dy-y est lui-même indéterminé. Ce signe doit être choisi de manière à rendre positive la valeur du rayon R.

Dans les formules (i) et (2), la variable indépendante n'est pas désignée; si l'on prend x pour cette variable, on aura

d\Y

, , , d^ , (3) Z~ dij :=: dx := 7~^2

du		dxd^y —	dyd'^x
cos- 6	C	dj:.-	t.
rfrr	dcc zds	d.rd'^r	— dyd'^x
	dx^	-r dj^ '
_J-	= s,/dx' -i-	dj\
Tî -		[dx'-~\-dy	3 .y

dy^ dx^

et

(4) ^

dy-^ d.i-

d^ dx-^

194. Il est aisé de démontrer que le cercle est la seule

CHAI'ITUE VII. 591

courbe dont le rayon de coiirljurc soit constant. En effet, pour une telle courbe on a

cl s z= adu,

a étant une constante; par conséquent les équations

dx =r ds (OS a, dy z= ds sin a

donnent

ou

dx = a cos a dv., dy ;= « sin a d'A dx ^=z — </(«sina), dy =1 d[a co^a)'.

donc si l'on désii^ne par Xq et j^ deux constantes, on aura (n" 15, coroil. II)

rtsuia, y — j-Q^acosa,

d'où

ce qui est l'équation d'un cercle,

19o. Du CENTRE DE cotuBuuE. — Une courbc étant donnée, menons la tangente MT au point M, et construi- sons le cercle de courbure de manière qu'il passe par le point M, qu'il soit tangent à la ligne MT et qu'il soit,

par rapport à cette tangente, du même côté que les points de la courbe infiniment voisins de M. Le centre G du cercle se trouvera alors sur la normale au point M; il est dit le centre de courbure relatif à ce point.

Théotvème. — Le centre de courbure d'une courbe en un point donné est la limite du point d' intersection de

Spa CALCUL DIFFÉUEINTIEL.

la normale menée par ce point, avec la normale injlni- vient voisine. \

Soient x,y les coordonnées d'un point M de la courbe donnée, relatives à deux axes rectangulaires; l'équation de la normale en M sera

(,) [X-.r]-^{Y-j)'^=0.

Représentons-la, pour abréger, par V ^r^-. o. Pour avoir l'équation de la normale menée par un autre point M' (jr-l-Ax, T + A-)), il suffira de remplacer dans l'é-

(fuation précédente x, r, -~ par x -f- Ajc, j-i-Ay,

dy . dr , 1, , . . . ,

-^ -(- A — ; nous représenterons 1 équation ainsi obte-

nue par V -h AV = o. Le point d'intersection des deux normales sera donné par les deux équations

ou

V = o,	V-^
V = o,	AV
V = o,	AV 1x.

AV

OU enfin

Supposons maintenant que le ])oint M' se rapproche indéfiniment du point M; le point d'intersection des deux normales tendra vers une limite C dont les coor- données seront déterminées par les deux équations

r/V V = o, -7-==o.

La première n'est autre chose que l'équation (i), et la seconde se déduit de celle-ci, par la difTérentiation, en regardant X et Y comme des constantes. Cette difleren-

cit\pttpt: vit. o.qS

tiation donne

si donc on désigne par X|, n les coordonnées du point C, on aura, par les équations (i) et (2),

('-^-£)

f/y r/y^

(o) a:,-.: = ^ , ^-,_^=^^_.

eltr dx^

En ajoutant les équations (3), après les avoir élevées au carré, on obtient

(4) (,-,-jr-:-(.r,-^)^^ -'."^^^^Z =R^

d'où il suit que la longueur MC est égale au rayon de courbure R. En outre, la première des formules (3)

montre que J^ — y est de même signe que -y^j or si

l'on désigne par Y l'ordonnée de la tangente MT, qui ré- pond à l'abscisse x-î-^Jr, la différence j -;- Aj — ^

d'-y aura le signe de -j^ (n** IGO); d'ailleurs j , — Y a é\i-

demmentle signe dej) , — y, doncj)-, — Y clj-hAy — Y sont aussi de même signe. 11 résulte de là que le point ( '. est du même côté de la tangente que les points de la courbe infiniment voisins de M : donc ce point est bien le centre de courbure.

19G. Nous nommerons direction de la normale en uii point M d'une courbe celle du rayon de courbure en ce point. Cette direction est celle que suivrait un point mobile partant de INI pour se diriger \ers C; elle

294 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sera déterminée si l'pn donne l'angle ^ qu'elle forme avec la direction de la partie positive de l'axe des x. L'angle ^ peut varier de zéro à 36o degrés, et nous sup- poserons qu'il soit engendré de la même manière que l'angle a (n° 191), c'est-à-dire par une droite mobile d'abord parallèle à l'axe des x positives, et qui se mou- vrait toujours dans le même sens en s'élevant d'abord vers la partie positive de l'axe desjj'-. Quanta l'angle a qui figure dans les formules du n° 191 , il n'est déterminé que quand on a fixé le signe de ds. Profitant de l'indétermi- nation de ce signe, nous choisirons a de manière que l'on ait

Ç = - -!- a; 2

l'angle a répond alors à une direction déterminée de la tangente, et les formules

dx z=i ds cosa. dy = ds sina

exigent que l'origine de l'arc 5 soit convenablement choisie.

Les cosinus des angles que fait la direction du rayon MC = R avec les directions positives des axes étant ainsi égaux à — sina et -+- cosa, les formules (3) du n° 193 deviennent

^1 — X = — Rsina, ji — j=rRcosa. Eïifin la différentielle doc. a pour valeur (n*^ 193)

d- y

dx

-dx.

d'où il suit que le second membre de la deuxième for- mule (3) du n'' 195 est aussi égal à — - ou à -7- cosa; on

^ ' ^ doL dOL

en A PITRE VII. 2f)J

a donc

R r^ — - ou ds r: n du ; de/.

par const-quenl il rcsullc de nos hypothèses que ds et da sont de même signe, et que dx est égale à l'angle de contingence da.

Des développées et des développantes des courbes planes.

197. Le lieu géométrique des centres de courbure aux divers points d'une courbe donnée est une seconde courbe qui est dite la développée de la première. Celle- ci est une développante relativement au lieu des centres de courbure.

Les équations (3) du n° 195 déterminent le centre de courbure, dans l'hypothèse des coordonnées rectangu- laires ; l'abscisse jc y est prise pour variable indépendante,

<^,

mais celle-ci cessera d'être désignée si l'on écrit — — au lieu de -^. Il vient ainsi

d.r

_ {d.r^-hd)^)dr

dxd^y — dyd^x ( dx"^ -f- dy"^ ) dx dxd'-y — dyd'^x

.?! — J =

Les coordonnées x et j étant dos fonctions données d'une même variable indépendante, on aura l'équation de lii développée en éliminant cette variable indépen- dante entre les équations précédentes.

198. Pour étudier les propriétés de la développée, nous emploierons les expressions des coordonnées du

296 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

centre de courbure obtenues au n° 196, savoir :

i.r, z= ;r — R sin «, ji =j + Rcos«;

R et a désignent le rayon de courbure et l'angle qui fixe la direction de la tangente. Les quantités qui figurent dans les équations (i) sont fonctions de la même variable indépendante, et la dilTérentiation donne

dx^ ^ dx — R cos«(7« — <^R sina, dj^ ^^ dy — R sinaf/a + </R cos«.

Mais les parties

dx — R C()Saf/«, dy — R sinc^/a

sont nulles en vertu des formules

dx = ds cos «, dy = ds sin «, ds r= R c^a;

on a donc simplement

, , ( c/.rj = — r/Rsina,

(2)

( dy,^ ■=. -\- c^R coSK,

et l'on déduit de ces équations

— cot a dx.

ou

puis

(4) dx\^dy\ — d^-.

L'équation (3) exprime que les normales de la courht: donnée sont les tangentes de la développée^ et l'équa- tion (4) montre que la dijjérentielle du rayon de cour-

CriAPITRF. VII. 297

bure dfi la courbe donnre est é^n/eà la différentielle dst de l'arc Sf de la dc\>cli>iii>('c, termina au centre de cour- bure et compte à partir d' une u/igine arbitraire.

Supposons que l'on compte l'arc CoG=:5, de la déve- loppée à partir d'un point G,, centre de courbure relatif au point Mq de la courbe donnée, et désignons par Rq le rayon de courbure au point My. La formule (4) don- nera

ds^ ^- (IK ou ds^ = r/( R — Ro ) ;

les variables 5, et R — Rq ayant même différentielle et s'annulant simultanément, on a

5, = R — Ro.

Cette formule exprime la propriété suivante !

Un arc quelconijue de la développée d'une courbe plane est égal à la dijjérence des rayons de courbu/e qui aboutissent aux extrémités de l'arc de la dé\>e- loppée.

199. C'est en raison de cette propriété que la courbe lieu des centres de courbure a reçu le nom de déve- loppée.

Soient Mo M) un arc quelconque de la courbe donnée, et Co C| l'arc correspondant de la développée. Si l'on fixe en C| l'une des extrémités d'un fil de longueur

29^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Mi Ci = R|, puis cpe l'on enroule ce fil sur l'arc C) Cq et qu'on le tende à partir de Gq dans la direction CoMq, la seconde extrémité du fil tombera en Mo à cause de l'égalité Cq C, = R, — R,,, Cela posé, si l'on déroule îe fil en le tenant toujours tendu, il est évident que son extrémité décrira l'arc Mo M, ; car soit C, CM l'une des positions du fil, on a

CM = Co Mo + Co C = Ro -h *i ;

donc CM est le rayon de courbure qui aboutit au point C, et en conséquence le point M est sur l'arc Mo M, .

La développée d'une courbe algébrique est elle-même une courbe algébrique, et d'après ce qui précède tout arc de cette développée peut être exprimé par une fonc- tion algébrique des coordonnées; on dit alors que cette développée est rectijiable.

200. Pour revenir de la développée à la développante, on emploiera les deux équations

Ji ~ .Y dj r, — r dfi

-\- I = o. —

.rj — .r d.T .rj — x cLc^

Ici Xi et yi sont des fonctions données d'une variable indépendante ; en éliminant cette variable entre les équa- tions précédentes, on obtiendra une équation entre x,

j', — 5 qui sera l'équation différentielle de la développante

demandée. Il est facile de voir que cette équation diffé- rentielle appartient à lonleslestrajectoires orthogonales des tangentes de la courbe donnée, c'est-à-dire à toutes les courbes qui ont ces tangentes pour normales ; il en résulte qu'une courbe donnée a une infinité de dévelop- pantes. Nous reviendrons plus loin sur cette question.

CHAPITRE VIT.

299

Formules relalwcs au système des coordonnées polaires.

201. DlFFÉRENTIKLLE DE l'aiRE d'uN SECTEUR. Soit

une courbe AM dont chaque point ]\I est déterminé par le rayon vecteur OM = p issu du point fixe O, et par l'angle w que fait la direction de ce rayon avec une di- rection fixe Ox. Si le point A est fixe et que le point M soit variable, l'aire du secteur AOM, comprise entre la courbe et les rayons OA, OM, sera une fonction dont nous nous proposons de trouver la différentielle. Si Ton donne à oj raccroissemcnt M'OjM =:: Aoj, le rayon vec- teur croîtra de ^p, et l'aire AOM = u du secteur prendra

l'accroissement

A« = MOM'.

Décrivons du point O comme centre, avec les rayons OM, OM', les deux arcs de cercle M///, M'm', terminés aux

ni'' \Tn'

côtés de l'angle MOM'. On peut choisir Aw assez petit pour que le rayon vecteur de la courbe varie toujours dans le même sens quand on passe de M à M'; il s'ensuit que l'aire Au sera comprise entre les aires des secteurs circulaires OMw, OM'm', lesquels ont pour valeurs

— p'Aw, — (p + Ao]' Aw.

La limite du rapport de ces infiniment petits est lu-

3oO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

nité ; on peut donc substituer l'un d'eux à /\n, tant qu'il ne s'agit que d'obtenir la limite du rapport — - • On

a ainsi

I ,

— p- Am

,. Am ,. 2 I „

Jim — = lim = - 6"j

Am Aw 2 '

ou

^?; I I

— - = - p^ et du z= - p^r/w. (Im 2. 2 '

Menons par l'origine des rayons vecteurs la droite Oy perpendiculaire à Oj", et désignons par x, j les coor- données rectangulaires relatives à Ojc et Oy. On aura

r tang w ^= '- , p ct)S w = .r ;

X

la première équation donne par la différentiation

r/co .rdy — yrl.T ,, , , , , , r— = ; 5 d OU p^d(^ = jcc/r — ydx.

Ainsi la différentielle de Faire du secteur u peut encore s'exprimer par la formule

du :^^. — [.Tdf — ydx'),

202. Expression de la différentielle d'un arc de COURBE. — Désignons par s l'arc AM dont l'origine A est fixe, tandis que l'extrémité M est variable i^voir la figure du n° 201 ) ; soit aussi A5 l'accroissement MM' qui répond -à l'accroissement Ao) de co. Abaissons du point M la perpendiculaire MP sur OM' et tirons la corde MM'; le triangle rectangle MPM' donnera

MM' =MP +M'P et [~^] = (-) + (— \ .

niAPirur. vu. 3oi

Les limites des rapports fjiii Htiiircnl dans celle (orniulc ne seront |)as changées si Ton leniplace

MM', MP, M'P par

respectivemenl. En efTet, la liniile du rapport de A.î à sa corde MM' est l'unité; pour la même raison, la limite du rapport de p A'o à MP est l'unité, car p Ao) :=: Mm est la moitié d'un arc de cercle infiniment petit et MP est la moitié de la corde du même arc; enfin la limite du rap- port de Ap à M'P est l'unité, car la dilVérence Pm de ces infiniment petits est égale à

p — p cosAw = ?. p sur - Aw,

et son rapport à Aw tend vers la limite zéro. On a, d'après

cela,

A,v\2 /'pA«\2 ,. /Ao

— — hm ' H- hm -^

Aw / \ Aoj / \ Aw

lim c'est-à-dire

ou

r/v'2 _ , r/o2 dut'- (/or

ds^~c/p'^-[- p-^dr^\

On peut déduire celte formule de celle qui se rappoile aux coordonnées rectangulaires; mais nous avons lait ce calcul au n" 73 et nous n'y reviendrons pas ici.

203. Détermination de la tangente. — Dans le système des coordonnées polaires, on détermine la tan- gente au moyen de l'angle (x qu'elle forme avec le rayon vecteur.

L'angle (x relatif au point M de la courbe est la limite vers laquelle lend l'angle l'M'M quand le point M' se

3o2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

rapproche indéfiniment de M {voir la figure du n° 201), Or le triangle rectangle MM'P donne

M'P . , MP

cosPM'M^^^^p, sinPM'M^— „

et les limites des seconds membres de ces formules ne

seront pas changées si l'on remplace, comme au numéro

précédent,

MM', MP, M'P

par

A^, jsAw, Ap

respectivement. On a donc

cosi:A = hm -5 sm«=lim ->

^ as ^ ^s

c'est-à-dire

dp dp

fis ~ sjdp^^p^dt^^'

p dvi p d(t>

fis ~ y/^^p2— i77^'

on déduit de ces formules

odoi

âOi'. On peut déterminer les points d'une courbe par deux rayons vecteurs p, p' issus de deux origines données. En appelant ^j-, a' les angles formés par la tangente avec ces rayons vecteurs, on a, par ce qui précède,

dp , dp

COSW= ~-5 COSIX =Z --">

'^ ds ds

d'où

cos fi dp

cos pt dp

Par exemple, dans ce système de coordonnées, l'équa-

COSp:

sinpt

cnAPiTRr: vir. 3o3

tion de l'ellipse ou de Thypcrbole est

p'= — p -+ const. ; on en conclut

''p — •

et notre formule donne

ces fi' i=rt costi,

ce qui exprime la propriété connue de la tangente aux sections coniques.

Au lieu de deux rayons vecteurs issus de deux origines fixes, on peut employer comme coordonnées les angles w, m' que ces rayons forment avec une direction fixe. On aura alors les formules

smp

et, a cause de '- =

P

	sma = ; — ; ds
sinoj
. -, 1 sm&j
sina'	sinoir/oj'

sin^ sinw'^/w

205. SoUS-TANGENTE ET Sr)US-K0K>IALE. McUOnS

par l'origine des coordonnées polaires une perpendicu-

laire aurayon vecteur; les parties de cet te perpendiculaire comprises entre l'origine et les points ou elle rencontre

3o4 CALCUL DIFFÉTIEKTIEL.

la tangente et la normale sont dites sous-tangente et sous-normale.

Soient NT la perpendiculaire menée par l'origine O au rayon vecteur OiVI de la courbe donnée, MT la tangente en M, et MN la normale. La sous-tangente sera OT^rrT', la sous-normale ON =:= N', et l'on aura

T' r=: p tangp, N' = p cotfi ou

T'— P'^'^ N'— ''P 1 — —7— ' ^ ~ -,-' dp aw

Les longueurs T et N de la tangente et de la normale

^ds _, ,— —— ds

dp aw

206. Angle de contingence et rayon de courbure. — L'angle de contingence da est égal, comme on l'a vu, à la différentielle de l'angle formé par la tangente avec l'axe Ojr; d'ailleurs ce dernier angle est évidemment égal k Ui -\- ^j.; donc on a

d(j = dM -\- r/pt, La formule

tangp=.-|- drù

donne par la différentiatiou, en prenant w pour variable indépendante,

dp"" fPp dp"" d'-p

du. doi^ " doi^ dw^ " dcr

-— z= ■ aw, diJ.:=z _ — d(ù',

ces- a dp^ „ dp-

CIIAlMTnF. VII.

3o5

on a donc

f/(7 =

1 — ■ —

" (l'.r

p^H-

7Fj

ciw.

D'ailleurs

./.s-=:^o-+ ;^^^/"^,

et l'on en conclut cette valeur de 11 :

R =

do"

chr- d- 2 7-: — ? T

On peut déduire celle formule de celle qui se rapporte aux coordonnées rectangulaires ; nous avons présenté ce calcul, comme exemple, au n" 73 en nous occupant de la question du changement de variables.

Il est quelquefois avantageux d'introduire dans la

formule (i) les dérivées de - au lieu de celles de p. On a

— j da =

dl

_ P

(i)

ô>

d'- 0 = —

'"(^) , <"ir

et la sulistitution de ces valeurs dans la formule (i) donne

>•)

R

d"-i

(/'.)-

S. — C(i/c. dijf.

3o6 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

Des courbes cjn>eloppes.

207. Désignons pary(j",j", a) une fonction des trois variables x, y, a dont la valeur soit bien déterminée quand on a fixé les valeurs de x,j'', «• Si l'on suppose que X et j) représentent des coordonnées d'une nature quelconque et que a soit un paramètre variable, l'équa- tion

représentera une famille de courbes; à chaque valeur de a répondra une courbe individuelle.

Si, après avoir donné à a une valeur déterminée, on attribue à ce paramèti^e la nouvelle valeur a H- Aa, on aura une seconde courbe qui aura pour équation

(2) /(■'". J- « + ^v.) =0,

et qui coupera la première en certains points ni, m', .... Les coordonnées de ces points devront satisfaire aux équations des deux courbes, et par suite à l'équation

Maintenant, si l'on fait tendre Aa vers zéro, les points 7«, ???/, . . . tendront vers certaines limites M, M', .... et il est évident que les coordonnées des points M, M', . . . satisferont à l'équation (i) et à l'équation

à laquelle se réduit l'équation (3) quand Aa s'évanouit.

Il y aura donc sur chacune des courbes représentées

par l'équation (i) un certain nombre de points M, M', ...

criAriTUE VII. 3o7

dclcrminés comme nous venons de le dire. Le lieu géi}- mélriquc de tous ces points est une ligne dont l'écjualiun s'obtiendra par l'élimination de a entre les équations (i) et (4); cette ligne est dite Vc/n'clop/fe des courbes que représente l'équation (i), et celles-ci, à leur tour, ont reçu le nom (ï enveloppées.

208. 11 faut remarquer que l'enveloppe pourrait n'être plus donnée par cette règle, si le premier membre de l'équation (i) cessait d'être une fonction bien déter- minée. EfTectivement, un point commun à deux courbes infiniment voisines satisfera bien encore aux équations

f -r y, fj. =o, / jr, r, k -h Ak =0;

mais, la fonctionyétant susceptible de plusieurs valeurs, on n'est plus en droit de dire quey(jr, 7 , a -4- ^y-) ail pour liinitey(x,j^'^, a) quand Aa tend vers zéro.

J'éclaircirai cela par un exeniple. Supposons qu'on demande l'enveloppe des circonférences représentées, dans le système des coordonnées rectangulaires, par l'équation

(.r — a)* + _>'" — <'/^= o,

a étant une constante. Le premier membre de cette équation étant une fonction bien déterminée, noire règle est applicable ; la différentiation relative à a donne

et, par l'élimination de a, on obtient l'équation de l'cn- velo[)pe

j) * — «* = o ou (_)■ — a ' y -\- a z=LO\

enveloppe t[ui se compose de deux droites parallèles à l'axe des x.

L'équation des enveloppées que nous considérons

3o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

étant du deuxième degré par rapport à a, on peut lui donner la forme

« — X -{- \Ja^ — j^ = o,

et, si l'on voulait appliquer la règle du n° 207 à cette équation, on serait conduit à l'égalité absurde i = o. Or, ainsi que je l'ai dit plus haut, la règle en question n'est pas ici applicable; si l'on considère deux courbes infiniment voisines et que l'on prenne pour l'une d'elles

a=zx±i \/a^ — J -, il faudra prendre pour l'autre

a -r A« = .r zp \ia'- — }'~, sans quoi il n'y aurait pas de rencontre.

209. Les enveloppes ont une propriété commune qui est exprimée par la proposition suivante :

Théorème. — L' en\^eloppe d'un système de lignes est tangente aux enveloppées, en chacun des points oii elle les rencontre.

En effet, soit

(') /{■^•,X,^']=o

l'équation des enveloppées, x ely désignant des coor- données rectiligncs. Nous supposons que la fonction y soit bien déterminée, et alors on a, pour l'enveloppe, les deux équations

(2) /(.r,r, «) = o, -^^=0.

Pour avoir le coefficient d'inclinaison -— - delatang'ente en un point d'une enveloppée déterminée, il faut diffé-

riJAiTrr.K vir. 3ofj

rentier rcnualioM (i), ce fjiil dcjiinc

Supposons mainlenniil qu'on veuille connaître le coeffi- cient d'inclinaison de la lan}j;enle en un point donné de l'enveloppe. On peut encore prendre l'équation (i) pour celle de l'enveloppe, pourvu rpi'on regarde a non j)lus coninic une constante, mais comme une fonction de x et de y déterminée par la seconde équation (2); il faut donc dilTércntier l'équation (i) dans celte hypothèse, pour

ohtenir la valeur de - qui convient à l'enveloppe. La

dilTérenlialion donne

4 -- dx + - dy ^f- — dy. — o,

Oc Or Ov.

mais la seconde équation (3), qui a lieu pour l'enveloppe, réduit l'équation (^4) ^ l'équation (3). Ainsi l'on aura, pour l'enveloppe et pour les enveloppées,

dx	O.r à/
	à.y

Quand il s'agit d'un point d'une enveloppée, a a, dans la formule (5), la valeur qui convient à cette enveloppée; mais, quand il s'agit d'un point de l'enveloppe, a a la va- leur tirée de l'équation -- = 0. Maintenant, si Ton coi!- * Oa.

sidère un point M commun à une enveloppée et à l'enve- loppe, la valeur de x qui répond à l'enveloppée sera égale

à celle (lu'itn tirerait dv l'équation -— = 0, puisque celle-

ci a lieu pour le point M. La valeur de -, - est donc la

*■ ax

3 10 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

même pour l'une et l'autre courbe, et par conséquent celles-ci sont tangentes au point M.

Remarque. — Nous avons déjà rencontré un exemple de la propriété que nous venons d'établir. La déve- loppée d'une courbe n'est autre chose, en efFet, que l'enveloppe des normales de cette courbe et nous avons reconnu qu'elle a ces normales pour tangentes.

210. Nous présenterons ici une application impor- tante de la théorie des enveloppes.

Si l'on considère une courbe quelconque rapportée à deux axes rectangulaires et que l'on désigne par a l'angle que la direction de l'axe des abscisses fait avec la direc- tion de la tangente, l'équation de cette tangente sera

(i) .rsina — j- cos« =;--y(«),

/"(a) étant une fonction de a qui dépend de la nature de la courbe. Mais celle-ci étant l'enveloppe de ses tan- gentes, son équation s'obtiendra en éliminant a entre la précédente équation et celle qu'on en déduit par la différentiation relative à a, savoir :

(?.) .r cosa + jr sm« = y'(«).

On peut prendre a pour variable indépendante, et les équations (i) et (2) feront connaître les coordonnées x et j" de la courbe en fonction de a. On trouve ainsi

l .r- =/'(«) cosa 4- /(«) sm«,

l "^ ) i •

( j =y («] siiia — /(«) cos«.

La différentiation de ces équations (3) donne ensuite

Irfa: = [_/"(«) -I- ./(«)] cos a c/'a, f/j= [/"(«)-!-/(«)] sui«r/a;

ajoutant les équations (4) après les avoir élevées au carré

cii.vriTRE VIT. 3i r

et extrayant ensuite la racine carrée de l'cqualion résul- tante, on aura

ce qui, au surplus, résulte des formules du n° 191. Comme da est évidemment égal à l'angle de contingence, on a celle expression du rayon de courbure :

(6) R =/";«) +/(«).

Les formules qui précèdent sont susceptibles d'applica- tions diverses; nous en présenterons un exemple.

Lorsqu'on donne à a une valeur déterminée, l'équa- tion (2) rcprcscnle une droite perpendiculaire à la droite (i) au point que déterminent les équations (3) et qui appartient à la courbe proposée; il en résulte que l'équation (2) représente les normales de la courbe. Si nous prenons la dérivée de cette équation (2) par rap- port à a, savoir :

(7) — a:sina -f- j cosa =/"( a),

le S3'slème des équations (2) et (7) appartiendra à l'en- veloppe des droites (2), enveloppe qui csl la développée de la courbe proposée. Désignons par j:,,j)< les valeurs de X et de j' tirées des équations (2) et (7), on aura

x^ =/'(«) cosa — /"(a) sma, Ji =^/'(«} sinz H-/*"- a) cosa;

CCS formules font connaître les coordonnées du centre de courbure. En les différen liant, on trouve

( d.ri ^.:. — [/'(a) 4- /'"(ajj SUlar/a, j dy,=^[/\u] -;-/'"(«)] COS«./a,

d'où, en appelant .V) l'arr de la développée, (10) r/.v, -.- [/'(a; -T- /'"; a ,]</« = dR.

On retrouve ainsi les résultats obtenus au n" 198.

3l2

CALCUL DIFFÉKENTIEL.

Contacts des divers ordres des courbes planes.

21 1 . Soit ST la tangente au point M d'une courbe MM' et considérons une seconde courbe MM', passant par le point M. Prenons sur la première courbe le point M' infiniment voisin de M et abaissons sur la tangente ST la perpendiculaire M'Q qui rencontrera la seconde

y	S	"/
0	p	1	?' X

courbe au point M', ; la ligne MQ étant prise pour infini- ment petit principal, M'Q sera généralement, comme on l'a vu au n" 166, un infiniment petit du deuxième ordre. Si la courbe MM', n'est pas tangente à la droite ST au point M, la ligne M', Q sera un infiniment petit du premier ordre; mais, dans le cas contraire, elle sera au moins du deuxième ordre.

Lorsque les deux courbes MM', MM', ont au point M la même tangente ST, on dit qu'il y a entre elles contact au point M, et comme, dans ce cas, M'Q et M', Q sont des infiniment petits du deuxième ordre au moins, la même chose aura lieu à l'égard de M'M', qui est la diffé- rence ou la' somme de ces lignes. Généralement, si i).-\-\ désigne l'ordre infinitésimal de M'M', relativement à l'infiniment petit principal IMQ, nous dirons que les deux courbes ont, au point M, un contact de V ordre y..

Cela posé, traçons deux axes de coordonnées Ox, Oj , faisant entre eux un angle quelconque 0 et dont le second

cn.vvrrnE vir.

ne soit pas parallèle à la langcnlc ST; menons rordonnée MP du point M, ainsi que l'ordonnée M'P' qui coupe en ni la courbe MM', cl en R la langcnle Sï; joignons enfin par une droite les points ni et M',. Les angles ni cl xM', du triangle infinijncnt petit mM'M', tendent vers des limites finies; l'angle en m a pour limite l'angle SMP que nous supposons dilVérent de zéro, et 11 est évident que l'angle M', a pour limite un angle droit; le rapport des côtés M'M', , M'm étant égal au rapport des sinus des angles opposés, il s'ensuit que ce rapport

M' M'.

iM'/«

tend vers une limite finie. Enfin, si l'on désigne par y. l'inclinaison de la tangente ST sur l'axe Ox, on trouve, en reproduisant le calcul lait au n° 1G6,

PP'^ MQ ^Z^ _ M'Q ^-^^ - '^^

sin 9 sin 9

, M'Q . ^ .

et, comme le rapport -rr—- est inlimment petit, on voit

que le rapport

MQ PP'

tend vers une limite finie.

11 résulte de là que l'ordre infinitésimal de I\I'M', rela- tivement à MQ est le même que l'ordre Infinitésimal de M'/;i relativement à PP', cl, si nous représentons par iJ. l'ordre du contact des deux courbes, M'//z sera un infiniment petit d'ordre a -f- i relativement à PP' pris actuellement pour infiniment petit principal. Désignons par X l'abscisse du point M, par x -\- ^x celle des points -M', /// et j)ar ^ , \' les ordonnées de ces mémos

3l4 CALCUL DIFFÉREJNTIEL.

points, nous aurons

M' m = Y — y , PP' = \x,

en sorte que f/ 4- i sera Tordre infinitésimal de la diffé- rence Y — Y' relativement à â^x.

Soient j^ et j)'^' les valeurs auxquelles se réduisent Y et Y quand Ax s'annule; on aura, par la formule de Tajlor, et en supposant remplies les conditions exigées par cette formule,

„ dr \.r d^-Y Ax^ (/!'•+' r ts.x'f-^^

5^ = J -^ T \- -.-z •+...+ --T ; r + R.

d V I (/.!■- 1.2 ■ " * ■ r/./.-'^"

.2.

vr , dr Ax d-r' A.r^ d^'+h'' Aj::'+'

^ =j -^ -, f- -.— h . . . + , :, ; r -+-

(IX I dx- 1.2 dx'-^^ l.2...(_w + lj

R^+2, R'^+2 désignant les restes des deux séries arrêtées aux termes de rang y. -{- 2.. D'après cela, pour que nos deux courbes aient effectivement en M un contact de l'ordre ^, c'est-à-dire pour que la différence Y — Y' soit un infiniment petit d'ordre ^ -f- 1 , il faut et il suffit que l'on ait

dr' dr	d'r' d'-r	dv-r'	d^Y
dx dx	dx'^ dx'-	dx'^	dx-'-

cela exprime que, pour l'abscisse x du point de contact, les valeurs de l'ordonnée et de ses f/ premières dérivées tirées de l'équation de l'une des courbes doivent être égales aux valeurs correspondantes tirées de l'équation de l'autre courbe. Si ces conditions sont remplies et que les dérivées d'ordre f/ -f- i ,

d'-^^x' dv-+\y ne soient pas égales entre elles, on aura

ciT.vi'iTnr, vu. 3i:>

la difTércncc Y — Y' sera d'un Didrc inriiillésimal i'i;al à jw. -f- I , et le nombre y. cxpriinera, en conséquence, l'ordre du contact des deux courbes.

212. Si l'ordre f/ du contact est un nombre impair, Y — Y'' ne change pas de signe, d'après la formule (c>), quand Ax change de signe, puisque R^+, — I^ji-f-i est un infiniment petit d'ordre u H- 2; ce signe est celui de la différence

11 s'ensuit que l'une des courbes est tout entière située d'un même coté, par rapport à l'autre, dans le voisinage du point de contact.

Au contraire, quand l'ordre a du contact est un nombre pair, la différence Y — Y' change de signe avec ^x, et les courbes se traversent mutuellement au point de contact.

Remarquons enfin que, si les deux courbes ont au point M un contact d'ordre /y., il est impossible de faire passer par le point M une troisième courbe qui soit comprise entre les deux premières, à moins qu'elle n'ait avec celles-ci, au point M, un contact de l'ordre [x au moins. En effet, soit Y" l'ordonnée relative à l'abscisse a- -h A.r d'une troisième courbe passant par le point M.

On aura

Y" - Y' ^ Y" — Y ; -1- Y — Y' ) ;

si donc Y" — Y est d'un ordre infinitésimal inférieur à ^ -h I . Y' — Y' sera aussi de cet ordre, et par consé- quent

Y'- Y' et Y" -Y

seront de même signe, d'après la formule [)récédente.

SlG CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Des courbes osculatrices.

213. Soit C une courbe donnée, dont nous représen- terons les coordonnées par x, j. Soit aussi C une courbe d'une espèce donnée et dans l'équation de la- quelle figurent 7/ -h i constantes arbitraires; nous repré- senterons par y' l'ordonnée de la courbe C'qui répond à l'abscisse x.

Si l'on désigne par ^ un entier qui ne soit pas supé- rieur à 7Z, on pourra disposer des arbitraires de manière que la courbe G' passe par un point M de la courbe G répondant à une abscisse donnée x, et qu'elle ait en ce point, avec la courbe G, un contact de l'ordre p.. Pour obtenir les conditions de ce contact, il suffira, d'après ce qu'on a vu plus haut, d'égaler les valeurs de y et de ses a premières dérivées tirées de l'équation de la courbe G, aux valeurs àey' et de ses ^y. premières dérivées tirées de l'équation de la courbe G'. Les équations de condi- tion ainsi formées seront au nombre de p -[- i ; si l'on a n ^ [j., il restera ;/ — y. constantes indéterminées; mais, si l'on a 72 = y., la courbe G' sera complètement déter- minée et elle aura au point M, avec la courbe G, un con- tact qui sera au moins de l'ordre n. Dans ce dernier cas on dit que la courbe G' est osculatrice de la courbe G, au point M; elle est, parmi toutes les courbes de la famille à laquelle elle appartient, celle qui a le contact de l'ordre le plus élevé avec la courbe G.

214. Supposons qu'on ait disposé des arbitraires qui figurent dans l'équation de G', de manière que cette courbe G' passe par le point M(ji:, y) de la courbe G, et qu'elle ait avec celle-ci, au point M, un contact d'un ordre /j. inférieur à ?i ; le nombre ^j. peut ici se réduire

CIIAI'IIUE VII. 3 17

5 zéro, et dans ce cas les deux courbes n'ont aucun contact, elles sont sécantes, [.es conditions de notre liv|)ollièse sont, en faisant toujours abstraction des cas de discontinuité,

, tly' (h- (V^r df^Y

et elles se réduisent à la première d'entre elles, dans le cas de [J-=^ o. Cela posé, comme il reste des arbitraires indéterminées au nombre de n — y., nous pouvons pro- filer de cette indétermination pour faire passer la courbe C par le point de la courbe C qui répond à une abscisse donnée x -\- ^x. Désignons par Y et Y' les or- données des deux courbes qui correspondent à cette abscisse; on aura, comme au 11° i211,

^ ~ ^' ^ V d:^^' ~ Tz;?^j 1.0.. ..^a + i) "^ ^'^'^^'-~ ^''^-^^^'

r^'n-t-2 et ri(H.2 étant des infiniment petits de l'ordre u.-\- 2. La condition que nous voulons exprimer, savoir Y'= Y, est donc

, , ^, ; — ] -^ l .2. . .[■Ji-h l] — : ^=0,

et, si l'on fait tendre ^x vers zéro, elle se réduira, à la limite, à

^''' drV-*-^ d£^'

En joignant cette équation (■>) aux é(juations (1), on obtient précisément les conditions pour que le contact des courbes C et C soit de l'ordre />t -h 1 .

11 résulte de là que, [)our a\oir celle des courbes C qui est osculatrice de la courbe C au point M, il suffira de disposer des n ■+- 1 arbitraires contenues dans l'équa-

3l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tion de C, de manière que cette courbe passe par le point M et par n autres points M,, Mo, . . ., M,j de la courbe C répondant aux abscisses Xi, x^, . . . , x„, puis de faire tendre successivement vers la limite x chacune des autres abscisses Xj, Xo, . • ., Xa- Lorsque Xi aura atteint la limite x, la courbe C aura en M avec G un contact du premier ordre ; lorsque ensuite on fera tendre j?2 vers la même limite x, l'ordre du contact s'élèvera d'une unité, et ainsi de suite.

215. On suppose dans ce qui précède que les points M, , Mo, ..-, M„ viennent se confondre les uns après les autres avec le point M. Mais la courbe C, assujettie à passer par tous ces points, coïncidera encore à la limite avec la courbe osculatrice de la courbe proposée, au point M, lorsque les points M,, Mo, . . . , M„ se rappro- cheront indéfiniment du point M en se déplaçant simul- tanément suivant une loi continue quelconque.

Soient, en effet, j =: f[x) el j ' = ft [x) les équations des deux courbes G et C; ^(x) la différence /, (x) — f{x). Représentons par x, x -r-hi, x -{-h^, . . . , x -h /?„ les abscisses des points M, M,, M2, . . ., M„ pris arbitrai- rement sur la courbe G', les valeurs absolues des quan- tités A), 7^2, .-., h,i étant inférieures à un nombre donné h. Les équations qui expriment que la courbe G' passe par les points M, M,, . . . , M/^ sont

jy(.r)=0, y(x -l-//i] =0, y(.r H-Z/j) =0, ..., ^'^ { <f[.V + h„)^0.

On peut remplacer ce système par le suivant :

?(•»•) =0, y(;c-H//i) — (p(.r) = 0, ..., (p(.r-)-/i„; — y(.r)=:o

OU

?(^) = o, y'(^M- >î-i) =0, ^'(.T- 4- /-î) --=0, ...,

CHAPITRE VII. 3 19

dans lequel /,, /o, .... l„ représentent des quanliic^-s dont les valeurs absolues sont inférieures à Ji. De même, ce système (2) peut être remplacé par

t^{.r)=zO, y'(jr+/-, :-rO, y'(.r -+- /-j^ — ç>'(.r -^- X-,, — O

(f'i^.r -- /•„ " — 'J\ u- -- /•, ) .-- O,

OU

(3;

o"[x-\-l„] -:0,

les valeurs absolues de li, l.), ■ ■ . , l„ étant encore infé- rieures à //. En continuant ainsi, on remplace finalement le système (i) par le système

(4^

"^(.r)=0, y'(j:-f /j I =r O, tf" [x -{- U\ =: O ,

dans lequel A",, L, ■•■, ]hi représentent des quantités qui dépendent de /ij, //a- ..., h,i et dont les valeurs absolues sont inférieures à h. Si l'on fait tendre h^, Ao. • • • : fin vers zéro, A,, /o, . . . , p„ tendent en même temps vers zéro et le système (4) se réduit à

(5; 'f.r, = o.	?'(-^;	-.0,	f'\-: -
c'est-à-dire
'0'	dx	d\v' dx^	_d^-X d.r'

d"y' _ d"y '"' dx" ~ Zr"'

Ainsi les courbes auront au point M un contact de l'ordre n.

11 est bon de remarquer que la démonstration précé- dente subsiste lorsque x désigne une quantité variable (jui tend vers une limite ^. Alors tous les points M, M,. Mj, ..., M„ se déplacent d'une façon arbitraire cl tendent vers un même point limite OTL.

320 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

21 G. Droite osculatrice. — Conique osculatrice. — L'équation d'une droite ne renferme que deux constantes arbitraires; on ne peut donc établir entre une courbe donnée et une droite qu'un contact du premier ordre, en un point donné. Il s'ensuit que la droite osculatrice d'une courbe en chaque point n'est autre chose que la tangente de la courbe. On retrouve ce résultat par notre théorie;

car soit

y' z^ a.r -\- b

l'équation d'une droite; on en tire dy'

et, comme les conditions du contact, au point dont l'ab- scisse est X, sont

, dy' dy

dx dx

on aura les valeurs suivantes des constantes a et ^ :

dr dy

« = -— 5 b =j — X -f-. dx dx

L'équation de la droite osculatrice est donc

ce qui est bien l'équation de la tangente.

L'équation générale des sections coniques renferme cinq constantes arbitraires; donc la conique osculatrice d'une courbe donnée a un contact du quatrième ordre avec celte courbe. Le contact peut être d'un ordre supé- rieur en certains points particuliers ; ainsi une courbe du troisième degré a, en général, vingt-sept points en chacun desquels elle a un contact du cinquième ordre

ciiAriTaF, VII. 32 1

avec la conique osculalricc. Ce théorème remarquable est dû à Steiner; j'en ai donné une démonstration dans mon Cours d'yïlgèbre supérieure, 4^ édition, t. II. Si l'on ne considère que les sections coniques qui satisfont à certaines relations, le nombre des arbitraires sera infé- rieur à cinq, et la courbe osculalricc n'aura pas, en gé- néral, avec la proposée un contact du quatrième ordre : tel est le cas qui se présente quand on ne considère que des paraboles; tel est aussi celui des circonférences que nous allons examiner.

Du cercle osculateur.

217. L'équation générale du cercle renferme trois constantes indéterminées, savoir les coordonnées a:j,J>'« du centre et le rayon R. On peut donc établir ici un contact du deuxième ordre en un point (x, r) de la courbe donnée, et les conditions de l'osculation sont

. , , cl)' dr cPy' cPr

(') •^'=-^' d:^=Èc' d^ = di^'

j>''étant l'ordonnée du cercle. L'équation de ce cercle est et, en la diflférentiant successivement deux fuis, il vient

ciy-^ . , . cT-y

Si l'on remplace dans les trois équations précédentes )',

fh' (Py' , , ■ ' ^ . • I \ 1

- — j — -V par les valeurs tnces des eciualions (i), on ob-

S. — C'a/c. dijj'. ai

322 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tiendra les trois suivantes :

qui détermineront les coordonnées x<, j^ et le rayon R du cercle osculateur au point {jc,j-) de la courbe donnée.

On voit que les équations (2) sont précisément celles qui déterminent le cercle de coui^bure, d'où il suit que ce cercle et le cercle osculateur ne sont qu'une seule et même chose.

Le cercle osculateur en un point d'une courbe traverse généralement cette courbe, puisqu'il a avec celle-ci un contact d'ordre pair; cependant le contact peut être du troisième ordre en des points particuliers, et alors le cercle osculateur reste tout entier d'un même côté de la courbe, dans le voisinage du point de contact.

Les considérations générales que nous avons présen- tées au n° 214 conduisent aux conséquences suivantes :

1° Le cercle osculateur en un point d'une courbe est la limite vers laquelle tend le cercle tangent en ce point à la courbe, et passant par un second point de celle-ci, lorsque ce second point se rapproche indéfini- ment du premier en restant constamment sur la courbe.

2° Le cercle osculateur en un point d'une courbe est la lindte vers laquelle tend le cercle qui passe par ce point et par deux autres points de la courbe, lorsque ces deux derniers points se rapprochent indéfiniment du premier en restant constanitnent sur la courbe.

CHAlTIItE VIII.

323

aiAPITRE VJIf.

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES COURBES PLANES.

Aire des sections coni(jucs.

218. Bien que la quadrature des surfaces terminées par des lignes courbes soit du ressort du Calcul intégral, nous ne pouvons nous dispenser de traiter dès à présent quelques-uns des cas les plus simples et en particulier le cas des sections coniques.

Aire de la parabole. — Supposons qu'on demande

V Q		»U	^
	^
	f
0	\		r	X
C		\^
	M	(■^	■~\

l'aire du segment MOM' compris entre un arc de para- bole et sa corde.

Prenons pour axe des x le diamètre Oorqui passe par le milieu P de la corde MM' et pour axe des j la tan- gente Oj à l'extrémité de ce diamètre.

Si l'on désigne par j: et j'^ les coordonnées du point M supposé actuellement variable, par 0 l'angle des axes, la dilTércntielle de l'aire OMP = u sera (n'' 187)

du =^ f/^-sinO.

324 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Mais réqualion jj -= 2y;x de la parabole donne

±

on a donc

du = y ip .r 2 d.r slnO.

Comme x^ dx est la diflérentielle de -^x' , l'aire u a la même dilTcrenlielle que la fonction - \j2px^ sm9 ou

2 I

- \l2px .X s'in9, et elle n'en diffère que par une constante.

D'ailleurs les deux fonctions s'évanouissent pour a: = Oj par conséquent la constante est nulle, et l'on a

2 , . 2

« = - y -ip-r . x sin Q ou u = - jrj sui C

Cette formule exprime que l'aire OMPestles - de l'aire

du parallélogramme OPMQ construit sur les coordon- nées du point M. L'aire OPM' est pour la même raison les

- défaire du parallélogramme OPM'Q'; donc enfin l'aire

du segment MOM' est aussi les - du parallélogramme MM'Q'Q.

219. AiiiE DE l'ellipse. — Considérons une ellipse rapportée à son centre et à ses axes ; désignons par 2 a et ih les longueurs des axes, et supposons qu'on demande l'aire u comprise entre les deux axes Ox, Oj, l'arc BiNI et l'ordonnée MP. Décrivons une circonférence ayant le grand axe in pour diamètre, désignons par /f' l'aire com- prise entre les axes Ox, Oj', l'arc de cercle B'M' et l'ordonnée MP prolongée. On aura, en supposant l'ab- scisse X variable,

du =/ dx, du = )■' dx.

CHAPITRE VIII. 32.J

Riais, j' cl y ctanl les coordonnées du cercle cl de Tel-

iipse, on a — = y? donc

du= -du';

les quantités a et - u' ayant mêmes difTcrenticlles et s'an-

nulnnt toutes les deux en même temps que x, elles sont nécessairement égales entre elles, et l'on a

„=^,-

La surface entière du cercle étant iza-, on voit que Taire totale de l'ellipse est égale à r.ah.

220. Aire de l'hyperbole. — Considérons l'hyperbole

rapportée à ses deux asymptotes; réqualion de celte courbe sera

Soit a l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x cl les

320 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ordonnées AC, PM, l'une fixe, l'autre variable; on aura du^=. y dx sui C» =r /w^ sm ô — j

X

dx or - est la difTérentielle du logarithme népérien de x\

X

on a done

u = m- sin 0 log.r H- const.

L'aire u devant s'annuler quand x est égale à l'abscisse o^o du point C, la constante a pour valeur

— m's'mO log.ro, et l'on a

,T

U r=z m^ sin 9 log — •

Si l'hyperbole est équilatère, on a 9 = 90''; prenons alors pour l'ordonnée fixe CA celle du sommet C de l'hyperbole et faisons m égale à l'unité de longueur, on aura simplement

u = log.r;

par conséquent, les aires détej'minées par les diverses ordonnées de Vhjpei'bole sojit les logarilhnies des ab- scisses correspondantes. C'est en raison de cette propriété que les logarithmes népériens sont quelquefois désignés sous le nom de logarithmes hyperboliques.

De la différentielle d'un arc de section conique.

221. Différentielle de l'arc d'ellipse, — Les coor- données de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes peuvent s'exprimer en fonction d'un angle variable cp, par les formules

X z^ asiïï'f, j = b cosf,

ciiAriTixE VIII. 327

a cl h clant les longueurs des demi-axes. On lire de lu

dx --= a cosy d'f, dy -=^ — b sin y «y

Cl, par suilc.

ds = y/a* cos* <f -r- ù^ sin* y df.

Si l'on désigne par k rcxccnlricilé, c'esl-à-dirc le rap-

\Ja- b- ., . , , ,

port 1 1 expression précédente pourra être mise

sous la forme

(i) ds^=a\Jl — A^sin}fd(p;

on peut écrire aussi

, , ds dm -, sin^iidf

( 2 1 — ^ -^=!r^—^=: A-' —

On a souvent besoin d'exprimer ds en fonction de l'angle X que fait la normale de la courbe avec Taxe des x. On u, par les formules précédentes,

dx a a

tang), = - ,^ = - coty, tangy = - cal/,

d'où l'on lire

a- COS* 9 -i- 6-8111-0=: -r ,- -,-,-:— ÎT'

a*cos-A -T- o-sin*A et

a cns-(p _ abd}.

b ^'nv'k rt-cos'-À -T- ^-siii-À

Il vient alors

a'-Irdl ds ^-^ ; >

(rt-cos*> + i-siu*>)' ou

dsz= j.

(l — A-sin- /; 11 t'aul remar<|ticr que df. n'csl autre chose que l'angle

328

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

. ds

de contingence et qu'ainsi — représente le rayon de ^ dk ^

courbure.

222. Différentielle de l'arc d'hyperbole. — On peut obtenir pour la différentielle de l'arc d'hyperbole

une expression analogue à celle qui se rapporte à l'el- lipse. Prenons pour axe des x l'axe non transverse de la courbe, pour axe des y l'axe transverse, et dési- gnons par 2rt la longueur du premier de ces axes, par

X 2a la longueur du deuxième; l'équation de

y/i — X-^

la courbe sera

VI — k'^

On peut exprimer les coordonnées x, y en fonction d'un même angle cj), par les formules suivantes :

rt y/i — /.-uingy, j =

ah

^/i — X-^siii-y

sl^

cosy

qui satisfont, quel que soit cp, à l'équation de la courbe. On en tire

d^

dx-= a>^ l — X^ — ;,- ) dy r^i a y/i - /,- — '_

h sin y d<^

cos-y

cos- y y' i — X-2 sin* y

CHAPITRE Vlir. 32f)

et de là résulte celte expression de sjiix'^ -h (fy'= ils,

(i) (ls — asji~P-

dtf

cos'^ijp \ i — /^sin*^»

Par rexlrémité INI de l'arc >v dont nous supposerons l'origine en A, sur l'axe des j', menons la tangente MP et abaissons du centre la perpendiculaire OP sur cette tangente. L'dquation de la droite OP sera

/• sini^ï Y -i- v^ 1 — k^ sin'^ ^ X = o ;

si donc on désigne par t la partie MP de la tangente qui mesure la distance du point ]\I à la ligne OP, on aura

t = tang f\fi— X-2 sin2 y ,

y/i — k^

et, en dilTérenliant cette expression,

(h = tZ y/l — X

(2;

cos'î) \/i — /-^sin'-y a/,- [ d'^ sin^çr/c? \

si\ — k^ \\lv - kHm'rf yji — A-^sm^fJ'

Retranchons maintenant la formule (2) de la formule (i), il viendra

(3) du -t]=. -"-:_ - j-:!-^"^

V^i - /•* \v/i - A-^siu^y v^i — X-2 sin^y

la fpianlilé t est une fonction algébrique donnée, el ['«m voit (juc lu dilVérentielle de la différence s — t a une forme analogue à celle de la différentielle d'un arc d'ellipse.

33o calcul différentiel.

223. Différentielle de l'arc de parabole, rectifi- cation DE cet arc. — Soit

l'équation d'une parabole rapportée à son axe et à la

T.

tangente au sommet. En désignant para l'angle que fait la tangente de la courbe avec l'axe des x, on a

tang a

d'où

On tire de là

dx

X=pcotv., .r

P

y

- cot'a. 2

dx = -

pdo,

dx -=: —

p coia. da. sin''^ a

Ensuite si l'on désigne par s l'arc de la courbe, compté à partir du sommet, on aura

^ ' sur' a'

nous mettons le signe — devant cette expression, parce que le radical qui comportait le signe ambigu ± a dis- paru et que s est une fonction décroissante de a.

Désignons par t la longueur de la tangente comprise entre le point de contact M, extrémité de l'arc s, et le point P où elle rencontre l'axe des j^, on a

p C()S«

/= '-

CIIAP1TT\E viir. 33 l

d'où, parla difTérentialion,

(2) dt=z- -. p

2 sina sin*«

en retranchant celle formule de la formule (i), on a

^ 2 sma

Or on a vu au n° 44 que -^— est la dilTérentiellc du ^ sma

logarithme népérien de tang - a ; on a donc

P 1 ï

s — f = — - locf tanc; - a -f- const.

2 2

L'arc .V et la ligne t s'annulent pour a^^ -•> par consé- quent la constante est nulle, et l'on a

(4 ) s ^= t log tang - a.

2 '1

224. Le résultat que nous venons d'obtenir donne im- médiatement la solution d'un problème qui offre quelque intérêt. La ligne PF qui joint le point P au foyer de la parabole est perpendiculaire sur la tangente MT et la longueur de cette ligne est

2 SIHK

Prenons le point I, sur le prolongement de IMP, tel que MI soit égale à l'are s ; on aura

P y I

IP = ^ — t=z — - log tang - a.

Maintenant menons la ligne IS perpendiculaire à IT, cl prenons les deux droites IT, IS pour former un système d'axes coordonnés. Désignons par x et ) les coordon-

332 CALCUL DIFFltUENTIEL.

nées du foyer F par rapport à ces deux axes, on aura

P P i ^

-' . — 5 x = log tancf - K,

2 SUl a. 2 2

La seconde de ces formules donne

1 — I

tan? - «, eP z=z cot -a,

2 a

d'où

et, à cause de la première formule

2-r			2x
—			—		2
eP	-^	e	L'	—	siii«

2.r

(5) -^=4 (^' -^' '

Il est évident, par ce qui précède, que l'équation (5) est celle de la courbe décrite par le foyer de la parabole, lorsque celle-ci roule sans glisser sur la droite fixe IT. La courbe dont il s'agit se rencontre en Mécanique; elle a reçu le nom de chaînette.

Rajon de courbure des sections coniques.

22o. L'équation générale des sections coniques peut toujours être ramenée à la forme

(l) j"^ = -^px -\- q.T^,

X ely étant des coordonnées rectangulaires; on tire de cette équation, par deux différentialions successives,

(3) .^^H-m'=,.

Si l'on multiplie entre elles les équations (i) et (3),

CHAPITRE VIII. 333

puis qu'on rclranchc réquation (2) après l'avoir élevée au carré, on trouvera

3 '^'y 1

L'expression

R =

du rayon de courbure devient alors

-»	X	-^r	d.r^j
A		p'
y-	+^-'	,dy^	= N%

or on a

N étant la longueur de la normale : donc

(4) K="r

Ainsi, dans les sections coniques, le vayon de courbure est proportionnel au cube de la normale. La formule (2) élevée au carré donne

y^ -— =ip^ + o.pq.r -r- q-.T- =z p^ -|- qy,

et, par suite,

(5) N2:^p2^. (I+^)V2,

ce qui permet d'exprimer le rayon R en fonction do lune des deux coordonnées.

On obtient une autre expression remarquable de R en introduisant l'angle y que fait la normale avec le ravon vecteur issu d'un foyer. En désignant par p ce rayon et

334 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par w l'angle qu'il fait avec Taxe des x, on a, comme on sait,

I i -\- J i -\- q cosw ,, , do 1/1-1-7 sinwrfco

- = , d ou -- = ;

? p p- p

d'ailleurs l'angle y est déterminé par la formule

r/o

oui devient ici

lan.^7 = p smw r=: — • ■ ;

P P

la formule (5) se réduit alors à

(6) N=-^,

C0S7

et elle exprime que, dans les sections coniques, la pro- jection de la normale sur le raj on vecteur issu d un foyer est constante et égale au paramètre.

L'expression (4) du rayon de courbure devient, en remplaçant N par la valeur tirée de la formule (6),

(7) R=— ;r'

^ ' ' cos'* y

et l'on peut écrire aussi

N

(8) R=-^--

226. Cette dernière formule conduit à une construction très-simple du rayon de courbure dans les coniques. EfTeclivcment, menons la normale MN terminée en IN à l'axe focal; joignons le point M au foyer F; élevons ensuite NG perpendiculaire à MN, par l'extrémité N de cette normale; enfin, par le point G où NG rencontre MF, menons GC perpendiculaire à MF; le point G où

CHAPITRE VIII. 335

cette perpendiculaire coupera la normale sera le centre

de courbure de la conique au point M. En effet, on a MN N „„ MG N

donc

MG = = et MC

cosy ces y ces 7 cos-y

MC = R.

Développées des sections coniques. 227. Développék de l'ellipse. — Soit

l'équation d'une ellipse rapportée à son centre et à ses axes. On tire de cette équation, par la différentiation.

.r y fly

// (Li

Y d- Y

j_ i_ (dyy . _

a' ~^ b' \dx) "^ b' dx* ~°'

d'où

dy __ A*-^ dr a- y	d'-y _ b' d.v- a-j * '
puis
d)- a\r--f- b'.i^ _	^î(„*._c- .;■-;,	b^->-r\.
' ' ^/.r* ~ a^y^ "^	a^y*	~a-y»~
en posant

ct-_^,a}^l'-.

336	CALCUL DlFï
Les formules
	/ dr'- \ dr ['-^d.-ld^
Xi= X — -	cP-y dx'-

ï +

iiy

d.ir

7i

■y-r-

dx'-

qui déterminent les coordonnées du centre de courbure, donnent alors

-»9 3

+

Ji =

c-y

Si donc on suppose c- positif et que l'on fasse

a b

on aura, par les équations (2), en ayant égard à l'équa- tion (i),

(s;

V ='■

ce qui est l'équation de la développée de l'ellipse. Cette développée GHG'H' a pour axes ceux de la courbe, et les points G, G', où elle rencontre l'axe focal, sont situés entre les foyers F, F' de l'ellipse, à cause de rt, <^c; on voit en outre, par les formules (2), que chaque qua- drant de l'ellipse et le quadrant correspondant de la

développée sont situés dans deux des angles adjacents formés avec l'une des directions de l'axe des x, par les

CHAr-ITUF, VIII. 337

(Jeux directions de l'axe d(;sj) . On (li)il reuiarnucr an- si qne la développée sera tout oiilière contenue dans l'el- lipse, si l'on di bi<^h ou

elle coupera l'ellipse aux extrémités du petit axe, si l'on a

a —z b \J 2\

enfui elle coupera l'ellipse en quatre points si l'on a a^ b \J-?..

Les rayons de courbure de l'ellipse aux extréniilés du petit axe et du grand axe sont respectivement b -h hf et

n — rt, ou —et — 5 la longueur du quadrant de la déve- loppée est donc

a» — h^

ah

Si l'on dillV-rciilie l'équation (3) deux fois de suite, il viendra, en prenant dxi = const.,

_ -1 _ i. _ j.

■ia\\a,) -iy,Vj WJ b,\hj ch- -°'

2 1

.3 ..3

ce qui (ioiiiie

le rayon de courbure R, de la développée de l'c^llipse a donc pour expression

* i. ±

a]b]

Z. — Cale. dijf. aa

338 CALCUL DIFFÉTIKNTIEL.

La valeur de ; ' est nulle aux points G, G' où la (7.r, '

courbe rencontre l'axe des x\ elle est infinie aux points II, II' où elle rencontre l'axe des y\ il s'ensuit que. ces quatre points sont des points de rebrousseincnt du pre- mier genre; pour chacun d'eux le rayon de courbure R|

est nul. La valeur de -7^,- et celle de Jk sont toujours de

même signe : la développée est donc partout convexe vers l'axe des abscisses.

228. DitvEi,oppÉE DE l'hypetibole. — L'analysc qui nous a conduit à la développée de l'ellipse ne suppose pas que b^ soit une quantité positive; elle s'applique donc au cas de l'hyperbole. Si l'on écrit — b- au lieu de b^, la quantité désignée par c- au numéro précédent

aura pour valeur

c^- ^-^ „^ ^u l,\

et les équations (i) et (3) de ce numéro deviendront

c' )

a* u*

l'équation (i) est celle de l'hyperbole et les équations (3) donnent les coordonnées du centre de courbure de celte courbe. Si l'on pose, comme au numéro précédent,

a o

l'élimination de x et dejK donnera

Y

1 /

On reconnaît facilement, par ces formules, que la déve- loppée de l'hyperbole est formée de deux branches infi-

CHAPITRE VIII. 33()

nies HGK, H'G'K', syniélriqucs j)ar rap[)orl aux deux, axes, convexes vers l'axe transverse de 1 liyj)erbole; les

■^ .i	!/
■■ /	0

points G, G' oii elle rencontre cet axe sont des points de rebroussement du premier genre; ils sont situés au delà des foyers F, F' de l'hyperbole, à cause de a^ ^ c.

229. Développi^.e de la parabole. — L'équation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au som- met est

la différentiation donne

d'où

et il en résulte, pour les coordonnées a:,, J^ du centre de courbure, les valeurs suivantes :

	dy p d^ Y 'd^~ y' d?	p" -—y.''
I	dy* { p^\	_ -y.p.T -i^p'*

l dy*

d\r 'd?

dy^ dx

= 3.r -;-

/'i

i-t-

J. — J'

d.r'' dx^

34o d'où

CALCUL DIFFftitEKTIEL.

/^> j = —Vp-ji\

en portant ces valeurs dans l'éqnalion de la parabole, on obliendi-a celle de la développée, savoir

27 p

Ji

On en lire, par la différentiation, en prenant x^ pour variable indépendante,

TFy\^ y^

cl\)\

yy- - d< zVp

^Jm

ces formules montrent que la développée de la parabole se compose de deux branches infinies GR, GL qui se réunissent au point G de l'axe; ce point G, dont l'ab-

scisse est /7, est un point de rebroussemcnt du premier

genre. Comme j)', et ——^ ont le môme signe, la courbe

présente constamment sa convexité vers l'axe de la pa- rabole.

De la cjcloïdc.

2o0. La cycloïdc est la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe indéfinie.

riiM'iTiir viit. M'

Prenons pour axe des x la droite Ax sur la(|iiellc roule la circonférence donnée, et pour origine lun des points A de la droite Ax avec lesquels le point géné- rateur de la cycloïde peut venir coïncider. Comme le mouvement du cercle mobile peut se perpétuer indélini- iiu'iil cl (pi'on peut reculer son origine aulant (pu- 1 on voudra, la cycloïdc est com[)osée d'une infinité (h.'biaiiclies égales entre elles, situées d'un même coté de la droite Ax, à droite et à gauche du point A ; il est bien aisé de former l'équation de cette courbe. L'axe des j^ étant perpendi- culaire à l'axe Ajc des abscisses, considérons un point quelconque M de la cycloïde, et supposons que 11 soil

y]

le point de contact du cercle générateur avec \x, dans

sa position actuelle.

Soient

APr-.r, MP = )-

los coordonnées du point M ; joignons ce point au centre O du cercle générateur HMG et abaissons la perpendicu- laire MI sur GII. On aura

-rr AU- PII = AU — MI, V- OU — 01;

mais si l'on désigne parrz le ravon du cercle générateur, par (jp l'angle formé par la direction du rayon OM avec la direction OU (jui est celle des ) négatives, on aura

MI=«siny, OI:=<icoSî/;

342 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

d'ailleurs, la ligne AH est égale à la longueur de l'arc de cercle MH = acj>, d'après la définition de la cycloïde.

On a donc

i.r z^ a[(p — siny 1, y =z a[i — ces y ',

et l'on obtiendra tous les points de la courbe en donnant à c^, dans ces formules, toutes les valeurs comprises entre — go et 4- co .

La seconde des formules (i) donne

, . « — J

(2) COSî>^— --- 5

pu

is

siny

a — j	r
^ a
5

et, en substituant ces valeurs dans la première formule, on obtient

(4) jr=;«arccos ysaj — j%

le radical devant être pris avec l'un et l'autre signe.

L'équation (4) t'st celle de la courbe entre les coor- données X et y, mais il n'y a aucun avantage à la sub- stituer aux formules (i) et nous conserverons celles-ci.

231 . Tangente et not\i\iale a la cycloïde. — En dif- férentiant les équations (i), il vient

Iclv z=: ail — cos 9 ] <•/$», dy = a sin y a-<^ .

L'expression de la sous-normale N' est, en vertu des formules (i) et (5),

dy (6) ]N'=jy- =asxnî) =PII;

il résulte de là que Mil est la normale de la courbe et

ciiAi'iïUE Vin. 343

qiio, par siiilc, la taiigcnlc est la ligne M(t qui )<iiiiL le point M au point G dianiélraleiiient op[)osé à II, dans le cercle générateur.

Ce résultat conduit à un procédé fort siinjde, puui' construire la tangente en un point quelconque M de la cycloïde. Remarquons d'abord que le maxiimuu de y est 2rt, et que ce niaxiniurn a lieu (piand '^ est égal à une demi-circonférence ou à un ruulli|)le inqiair de la demi- circonférencc ; mais, comme ce (pie nous disons de; Tune des branches de la courbe s'appliipie à toutes les autres, nous n'avons à considérer que la seule branche qui a le point A pour origine; alors la valeur de x qui répond au maxiiuuni est -(i : c'est rai)scisse du milieu de la base de la cycloïtle. Cela posé, construisons sur l'ordonnée maxima CD, comme diamètre, le cercle générateur CniD; menons ensuite, par le point iM, la droite M/« parallèle à ^.x, joignons le point m, où cette droite rencontre la demi-circonférence C/«D, au point C, et menons enfin, par le point M, la droite MG parallèle à mC; cette.droite sera la tangente demandée.

Au moyen de la formule (3), l'expression de la sous- normale IS' [)eut être mise sous la forme

(7

N'= sj-iny - y-

et, comme la normale N est égale à y "S'- t-j -, <^n a

N : - \jiay, ou encore

(8; N 2.-/ si 11 - y.

r^idiu, si (hiMs l;i rniiiinlc [-) du rtiil au lii'U de N' son expression j • au o\)[icndiii Vci/udtiu/i dijjcrciitiell''

344 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de la cjcloïde, savoir

19

dy /-y^n — y

V

dx V f

Il y a quelquefois avantage à ti'ansporter l'origine des coordonnées au sommet G de la cycloïde et à prendre pour axe des x et desj^ les directions CG et CD. Il faut alors remplacer, dans nos formules, x par iza -{- x eV j par o.a — j; si, par exemple, on fait ce changement dans l'équation (9), elle deviendra

^ = 4/_2_.

d.i: y 2 a — / '

nous n'avons pas changé le signe du premier membre, parce que le signe du second membre demeure indé- terminé.

232. QcADBATURE DE LA CYCLOÏDE. — Désignons paru l'aire comprise entre la courbe, sa base et l'ordonnée MP =^j, on a

du = ydr = «^ ( i — cos y j^ <7y = a^ ( i — 2 cos (jj -; - COS^ (f ) df,

I -+- cos 2 9 ,. ,

ou, en mettant au lieu de cos-cp,

du =z: a^ i 2 COS'^ H cos 2'^ j d'j>;

le second membre de cette formule est évidemment la diflerentielle de la fonction

3 . I . \

- f — 2 SUl y H r SHl 2 ^ •,

d'ailleurs cette fonction s'annule, ainsi que //, eu même temps (pie cj-; on a donc

( • '>) u —- a^(- (j) — 2 sin y -I- y sin 2y ] ,

c.iivi'iTnn VIII. 345

Si l'on veut l'aire lolulc L, comprise enlrc la première branche de la coiirhe et sa base, il l'aiulra faire '^ :^ -21: dans la fmniiile préccdciiLc, ce (pu donnera

(il) U — 3ir«»;

l'aire entière d'une lirinicin: de e^cloïde est donc triple de l'aiic du cercle génériilcur.

233. IIf.CTIFH ATION DE LV CYCLOÏDF,. Lcs lor-

niules (5) (n" 231 ) donnent

dx- -;- r/j^ __ 2a* ^ I — ros'j c/v* . \ a^ s'wr — o'I'-f"' ,

d'où

1?.) cls=:iiaû\\ - -id >\

I 2

le second mend)rc de cette tormiile est la difTérentielle

de — f\n cos - qp ; on a donc 2 '

, I

s ^^. — !\a cos - s -;- coiist. 2 '

Prenons le point V pour origine de l'arc .v; cet arc s'anmilant avec o, la constante est égale à 4^> et l'on a

4 « I I — cos - '^ '

\ 2 !

OU

(l3) $■:= 3a sill- - y.

Si Ton veut avoir la longueur S de l'une des brandies de la courbe, il faudra (aire '^=27:, dans la formule précédente, et l'on aura

(i4) S=:8«.

Aiii-<i \\\ loiinuciir d'iiiie branche entière de cvcloïdc est égale au quadruple du diamètre du cercle générateur.

346 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

234. Rayon de courbure de la cycloïde. — L'angle que fait la tangente de lu courbe avec l'axe des j étant égal à la moitié de l'angle cf>, il s'ensuit que l'angle de

contingence est égal à - r/fj); le rayon de courbure R est

donc

ds

R = 2 , .

ds

mais la formule (12) montre que -r- est égal hia sin - o,

«^ 2 '

ce qui, d'après la formule (8), est précisément l'expres- sion de la normale N ; on a donc

{l5) R=::2N;

ainsi, dans la cycloïde, le rayon de courbure est double de la normale.

235. Développée de la cycloïde. — Le résultat qui précède permet de trouver sans calcul la développée de la cycloïde. Effectivement, prolongeons le diamètre HG du cercle O, d'une quantité HL = HG, au-dessous de Kx {^voir la figure du n" 230), et construisons, sur HL comme diamètre, la circonférence O'qui rencontre en N la nor- male MH prolongée, menons ensuite à cette circonfé- rence la tangente EL parallèle à Ax, qui rencontre en E la direction de l'ordonnée maxima CD. L'égalité des angles MUG, LIIN entraîne celle des arcs MG, LN et celle des arcs supplémentaires MH, NH ; les cordes MH et NH sont donc elles-mêmes égales, et, par conséquent, le centre de courbure relatif au point ]M est situé en N: en outre, l'arc HN est égal à la longueur AH et il s'en- suit que le supplément LN de cet arc est égal à IID ou à LE.

Il résulte dv, là que la développée de la cycloïde peut être engendrée par un point N d'une circonférence do

'b'

po

cnAPiTtii: VIII. 347

rayon a qui roulerait sans j^Iisscr sur une parallèle VA. à h.x menée au-dessous de cette droite à une distance égale au diamètre du cercle, de manière que les posi- tions du point générateur N sur la droite EL répondent aux mêmes abscisses que les ordonnées maxima de la cycloïde proposée. Cette développée est donc une se- conde cycloïde égale à la première.

On peut arriver à la même conséquence sans iiivofjuer la formule qui fait connaître le rayon de courbure. Ln efTet, MG étant la tangente à la première cycloïde au point M, il s'ensuit que Nil est la tangente en N à la seconde cycloïde; celle-ci est donc l'enveloppe des nor- males de la proposée, et par conséquent elle est sa déve- loppée.

Enfin la propriété que nous étudions résulte encore très-facilement des formules générales qui donnent les coordonnées jr,,j>^( du centre de courbure. La dilTércn- tiation des équations (5) (n° 231) donne, en prenant c/'p constante,

(16) d^.v ^- a sin y cA^^, d^y -=r a ces a d-J^ ,

et au moyen des formules (5) et (16), les formules di n° 197 donnent

.rj = rt ( 'y -(- sin 9 ) , Ji ^^ — « ( I — cos y ) .

Si maintenant on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point dont les coordonnées sont x -— "</, r==r — 2rt, il faudra écrire T,a-^X\ et — in 4- )'i au lieu de x, et de 7 ) et, si l'on met en même temps ç, -i-t: au lieu de cj>, on aura les équations

.r, =rt[y, — siny,\ j, ^=«1 — COS9, \ qui représentent bien une cycloïde égale à lu proposée.

348 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

230. Cette propriété de la cycloïde donne immédiate- ment sa rectification. En ellet, l'arc EN de la développée est égal à la dillérence

EC — MN=r 4fl — 4rtsin- 'i>

des rayons de courbure de la proposée aux points C et M. D'ailleurs, il est évident que l'arc 5 = AM s'ob- liendra en changeant cj) en n — c^ dans l'expression pré- cédente; on a donc

* = A a — An cos — a :rz: 8 a sin^ - 3,

2 2

comme nous l'avons déjà trouvé plus haut.

La même propriété de la eycloïde fournit encore un moyen d'obtenir la quadrature de cette courbe, mais nous nous bornerons à cette indication que le lecteur pourra facilement développer.

Des épicj cloïdes.

237. On nomme épicycloïde la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une circonférence fixe. La eycloïde appartient à la classe des épicycloïdes ; elle répond au cas où le rayon de la circonférence fixe devient infini.

L'épicycloïde est dite intérieure ou extérieure, selon qu'elle est située dans l'intérieur du cercle fixe, ou au dehors de ce cercle.

Toute épicycloïde peut être engendrée par le moyen de deux cercles différents roulant sur le même cercle fixe. Les rayons de ces cercles ont pour somme ou [)our diifércnce le rayon du cercle fixe, selon qu'il s'agit d'une épicycloïde intérieure ou d'une épicycloïde exté- rieure.

En effet, supposons que répicycloïde intérieure" ou

CnAlMTHF. VIII. ?>/\()

extérieure considérée soil engendrée par un point M du cercle A roulanl sur le cercle fixe O. Soient II l'un des points du cercle fixe avec lesquels le point générateur peut venir coïncider, et P le point de contact actuel des deux circonférences. Joignons AM et construisons sur

les lignes AO, AIM le parallélogramme OAMA'; décri- vons enfin une circonférence du point A' comme centre avec le rayon A'M. Celte circonférence sera tangente à la circonférence O en un point P' situé sur le prolonge- ment de la ligne OA'; car, si l'on désigne par /• le rayon du cercle O, par a et a' les rayons des cercles A et A',

on a évidemment

r := (I -\- a',

dans le cas de l'épicvcloïde intérieure, et

/-!-: a' — II,

dans le cas de l'épicvcloïde extérieure.

Maintenant les angles PAM, P'A'M, POP' étant égaux

350 CALCUL DIFFÉRF-KTinL.

enlrc eux, on a

nrcPM _ arc.P'M _ ;>n-PP' a «' r

d'où

arcP'M:!:arcP.M _ arcPP'

a'z—a r

Cl, comme a' -- a est égal à ;•, on a

arcP'M ±- arePM :i^ arcP'H '± arc PII;

les signes supérieurs répondent à l'épicycloïde inté- rieure, les inférieurs à répicjcloïde extérieure. Or, dans les deux cas, on a

arcPM = arc PII,

par la nature de la courbe : donc on a aussi arc P' M — aie P' II,

et, en conséquence, l'épicycloïde peut être engendrée par un point M de l'une ou de l'autre des circonfé- rences A, A' roulant sur la circonférence O.

238. Rapportons la courbe à deux axes rectangulaires Ox, Oj, dont le premier passe par le point H, et dési- gnons par Q l'angle MAP dont a tourné le ravon AM du point générateur en s'écarlanl de sa direction initiale HO ; cet angle ^ pourra varier de — ^c à -^ oo , car on peut regarder le mouvement comme indéfini. L'arc PM et son égal PH seront alors représentés par a 9 et l'angle

POU sera "^. r

Soient X = OQ, y r= MQ les coordonnées du point

M; si l'on abaisse AB perj)on(licul;ure sur Ojr et MC

jM'r[)endicuIairr sur AR. on aura, d'après la figure,

.r — Uli 4- iMG, y AB — AC,

CIIAl'ITnE VIII. -'->'

el les triangles OAB, OMC donneront

' . ^ ""^ / " ? _u \

X -^rz^ia] cos — z^a cos ^ — — ? 1 '

• "V • I ^? _i_ \

Y' r c/ SIM r/ sm — zïlo\\

r ^ r )

les signes su|)< rieurs ii\;iiil lieu pour réj)ievrloïflc cxt(î- rieure el les iulérieuis pour répicycloidc intérieure. Po- sons

a

r

on aurn, pour réj)ievcIoï(Ie e\l<'rieurc,

1 *■ " ' i ■ \

\ - cos«(B — cos /7 -t- I 1 O,

\ a n

'■' r „... .

f ■ r- Sin/^O) — sin « -F- I y,

^ a II

et ces formules conviendront aussi à l'épicycloïde inté- rieure, si l'on y remplace <7, w. (p. par — n, — w, — C5, L'épicycloïde est une courbe algébrique lorsque le nond)ii' positif ou nég;ilif // est rationnel. 11 con\ienl

de reinarrpier le cas de // =: ? qui est celui de l'épi-

c\eloïde iiil('rieure rectiligne; la deuxième t'qualion i) devient ) -^o, el la courbe se réduit à un diamètre du ccrele fixe.

Dans le casde/î = , r les é(|ualions (i) deviennent,

en changeant a eu — d, '^ en — o,

— = 6 cos -7 -t- cos —.- 4 cos' -7?

a 4 4 4

- =. 3 sin -7 — siii -y- :-- 4 sm' -r» a 4 4 ^

302 CALCUL nirrriiiENTiEL.

d'où, par l'éliininalioa de cp, et en reinclLanl /• au lie

de 4"y

A -1 —

X + j — r .

Dans le cas de n = i , on a

■^ Y , .

- rrr 2 COSy — -COS^.y, - :r= 2 Sin<;3 — Sin2'j3,

OU

y

cosy(i — cos'^), — =siny(i — cosyj

la 'la

Si l'on désigne par p et w deux coordonnées polaires,

telles que

.r — a z=z p cosw, j' == p sinw,

les formules précédentes donneront

tang^/ = tang&i, d'où y r^ w, et

p^2«(i — cosw] OU fj = 4asm-~u>.

En général, l'épicycloïde est formée d'une infinité de branches égales entre elles, et les points où ces branches se terminent sur le cercle fixe sont des points de rebrous- sement. Le nombre des branches devient limité quand le rapport n est un nombre rationnel.

239. Tangente et ivormale a l'épicycloïde. — La dilTérentiation des équations (i) donne

— 1= (« 4- 1 ) [sin (/? H- 1 ) y — sin « y] r/y i= 2 (« + 1 ) sui ces ! « 9 H ] «?

-■^ =(« + i)[cos/î9 — cos(« + i)9j<7y=^2(/î -H i) sin -sin ( «9 -1 1 "?

d'où

(3) g = u„,„(„,^.|

CtlAlMTHE Vlll. 353

Celle roriMulc inoiilii' (|iic l;i liirif^ciiU; au point M de répicycloïde csl la droile MT (|ui joint le poinl M au poinl T diamélralemenl opposé à P, dans le cercle A. Eircclivemcnt l'angle cpic fait celle ligne MT avec l'axe des x est égal à lasotnnie des angles AOx, OTM, somme

qui est toujours égale à no-\- -» en négligeant les /uul-

liples de la demi-circonférence. Il résulte de là (jue la normale au point ^I de l'épicvcloïde est la droile .MI* (pii joint le point M au point de contact actuel des deux cir- conférences O et A.

2i0. Rfxtificatioiv de l'épicycloïde. — Si l'on ajoute les équations (2), après les avoir élevées au carré, et qu'on extraie ensuite la racine carrée de l'équalion ob- tenue, il viendra

4) — = 2 « -+- I sin - fh;

cl, par conséquent,

- =: — i{n -T- 1) CCS - -i- const. a 1

Supposons que II soit l'origine de l'arc s, on aura simultanément s -~ o et cp = o; la constante est donc

- = 4 ( « -r- ' ) ( I — cos - I = 8 ( « -;- I ) sin* I •

Pour avoir la longueur de l'arc S qui forme l'une dos branches de la courbe, il faudra faire (^=27:, et Idn aura

(5) S = 8(«-Hi)rt.

2il . (>i'AnR\TiJaEDEL'Éi'icYCLoÏDE. — Lcs formulcs ( I ) s. - Cille, diff. a3

354 CALCUL DIFFitREKTIEL.

et (2) donnent

— ^ = I — cosy f/9,

OU

(/2 + l) (9./?-M)

^ tjr~ — "' ^ '^ ~ ''°'- ^ '^^'

u étant l'aire comprise entre la courljc, le rayon vecteur OM du point M et l'axe des x. Or d'j^ — cospr/fp est la différentielle de c^ — sincf ; d'ailleurs cette fonction s'an- nule, ainsi que u, pour cp = o : donc on a

f/?-l-lW2/?-f-l) ,, . ,

— a*[f — siny).

in

Si l'on veut l'aire U comprise entre une branche entière de la courbe et les rayons extrêmes, il faudra faire Q = 2 7:, ce qui donnera

n Le secteur circulaire compris entre les mêmes rayons extrêmes a pour valeur ; l'aire comprise entre le cercle

fixe et la branche de courbe considérée est donc U ;

n

en désignant par Uj cette aire, on aura

Ui= [in -h SJTTrt-; comme nous admettons pour 72 des valeurs négatives, celte formule convient au cas de l'épicycloïde intérieure comme à celui de l'épicycloïde extérieure; elle se réduit àU( =ZT:a-, dans le cas de 7? = o, et l'on retrouve ainsi le résultat relatif à la cycloïde, obtenu précédemment.

242. Rayon de cou^buhe de l'épicycloïde. — La for- mule (3) montre que l'angle de contingence da est égal à

n +

CIIAPITUE VIII. Ô'JJ

donc le rayon de courbure R= -j- a pour valeur, d'a|)rès

la formule (4),

(G) R=^^^:tl),sin^,

^ ' 2« -t I 2

Cl, à cause de la sin - -^^ MP ( voir la figure du n^SST),

on	a
(7)		R MP	=	2« -f-	2	=	9.r	riz-?, a
2« -f	1	r :	J_ 2rt

Menons parle point T la corde TR parallèle à la nor- male MP, et joignons OK qui rencontre en I cette nor- male; on aura, dans le triangle OKT,

PI OP KT~ Ôr'
d'où, à cause de KT = IMP,
MI OP 0T_2r^	: la

MP OT rzîi2a

les signes supérieurs se rapportent ici, comme dans la formule (7), à l'épicycloïde extérieure et les inférieurs à l'épicycloïde intérieure. La comparaison de cette der- nière formule et de la formule (7) donne

R = MI,

ce qui montre que le point I est le centre de courbure relatif au point M.

2i3. DévELOPPitE DE lV.picycloïde. — La difléren- tiation de l'équation (3) donne

rr-.r

d.i* 2/1 -1- I r/p

J)- 2 </.r'

33.

356 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par conséquent les équations qui déterminent les coor- données Xi,ji du centre de courbure I seront

"?. dy 0. d.T.

^ 0.11 -^ \ d'jf' ' 111 -:- l d'^

ou, d'après les formules (i) et (2),

JT, i V n -'- I , "1

— = COS« 9 -r- cos [n -\- \-\'^ U

a 2« -f- I L « ' J

7i ' r « - - 1 . , • / , \ 1

— r= sm « G) -t- sm « -+- I 9 •

a 2« -h I L « J

Faisons tourner les axes d'une quantité angulaire égale à 7i7T, en élevant l'axe des x vers la partie positive de l'axe des j", et désignons par j:', etj^^', les coordonnées du centre de courbure relatives aux nouveaux axes, on aura

x\ = JTiCOSWTr -h Jisin/?-, j\ =z — .r, sin/27r -<r j^cos/m,

c • a et, par conséquent, en taisant a, = — ■> 91 =^ (p — :r,

(.8)

X, /? - - I	— cos(« 4 l) 9i — sin(« 4- i)(j>i.
«, n r\ « 4- 1 . — i z:::: Slll « œ, -

Ces formules (8) ne diffèrent des formules (i) que par le cnanffenient du paramètre a en «, = : donc

^ ^ 2« 4^- I

la développée cU l'cpicj cluïde est une épicycloïde sem- blable.

De la développante du ceicle.

244. Remplaçons dans les équations (1) du n"238, qui appartiennent à l'cpicycloïde, a par sa valeur nr, et in- troduisons, au lieu decp, l'angle ^]; = /icj/ que forme la ligne

cnvpiTHF, viii. 3.T7

des centres clos dciix circonférences avec l'axe des x; les équations de répicjcloïdc prendront cette forme

sin -

X I li \ n

- =:COS-^ !-!-?« s'il}' -!- -t- :Lsin-i 1

r ^ \ in ^ ^ -^

n

■ ^

- =cos.!/ I i -'-in sin^ — ) — L cosv •

Supposons maintenant que le ravon « du cercle géné- rateur devienne infini, n tendra lui-même vers Tinfini, le

sin -

n , ,, . , . „ v

rapport — ~- tendra vers 1 unité et 2«sin- -'- vers zcro;

// on a donc, dans ce cas limite,

1 sm-^,

r

•^cosi!.

Ces équations, cpiil est bien aisé de former directe- ment, appartiennent à la dé\eloppante du cercle ; celle-ci se compose de deux branches infinies dont le point de réunion est un point de rebroussement, et qui se rap- portent respectivement aux deux mouvements de sens contraires qu'on peut attribuer à la tangente génératrice.

La propriété de l'épicycloïde d'être semblable à sa dc- vclopj)ée n'a plus lieu à la rigueur dans ce cas limite : rependant on doit regarder la développante du cercle et la 'irconférence elle-même comme appartenant à la classe d's épicvcloïdes, et l'une et l'autre courbe répond au cas de // —-oc ; car, si l'on fait rouler un cercle de rayon a

358 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sur un cercle inliiiiment petit, le point du cercle mobile qui est, à l'origine, sur la lij^ne des centres décrira une courbe infiniment peu difl'érente de la circonférence de rayon la.

f

De la spiialc d ylrchbnede et de La spirale liyperholiijue.

245. La spirale d' ^ rchimèd c est la courbe représentée en coordonnées polaires par l'équation

où a désigne une ligne donnée.

Pour la construire, il suffit de décrire un cercle de l'origine comme centre avec le rayon a; les arcs de ce cercle comptés à partir de l'axe fixe seront les longueurs des rayons vecteurs de la courbe dont les directions pas- sent ^diV leurs extrémités.

L'inclinaison f;. de la tangente sur le rayon vecteur, la sous-tangente N' et la sous-normale T' ont ici pour valeurs

tangp= !-— = i = ap a

N'-

ainsi la sous-normale est constante, ce qui fournit un procédé facile pour construire la tangente à la courbe.

'	T		p^dM dp	=	Pi a
dp
doi		a	5

criAPiTui: VIII. 3.)C)

Le rayon fin courbure est, en inlroduisanl la noiiuale

K =

p-'{~2a'' ]N*-F«2'

et, SI l'on désigne par a' la projection de la sous-nor- Miule a sur la normale N, on aura

N -i- a' ' expression qu'il est facile de construire.

246. On nomme spirale hyperbolique la courbe re- préseutée en coordonnées polaires par l'équation

où a est une ligne donnée. Pour a = o, p est infini; il décroît quand w augmente et s'annule pour oj = oo . La courbe lait ainsi une infinité de révolutions autour de

l'origine O sans jamais atteindre ce point qui est un point asymptoLe. L'ordonnée MP = ps'wnii de la courbe a pour valeur

jy sinw z= a :

et elle se réduit à a pourû)=:o; il en résulte que la courbe a pour asymptote la parallèle à Taxe menée à une distance a de cet axe.

Les (piantités tangu, T', N ont ici pour valeurs

°''** , a

tang^ = _ '— ^ _ eo, r = — a, N=--l: a ,.A '

36o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la sous-tangente étant constante, il en résulte une con- struction facile de la tangente à la courbe.

La construction du rayon de courbure n'a elle-même aucune difficulté ; mais elle n'offre pas assez d'intérêt pour que nous nous arrêtions à la développer.

De la spirale logarithmique.

2i7. La spirale logarithmique est la courbe repré- sentée en coordonnées polaires par l'équation

(i) p — ne""^,

oîi a désigne une ligne donnée, m. un nombre donné.

Il faut remarquer que cette équation représente la même courbe, quelle que soit la ligne donnée a; car, si l'on fait tourner l'axe fixe à partir duquel on compte l'angle w d'une quantité quelconque a, pour avoir l'équa- tion de la courbe rapportée à ce nouvel axe, on de^Ta remplacer œ par w-|-a, ce qui donnera, en posant a! = rte""*,

On pourrait, d'après cela, supposer rtr = T, mais nous conserverons l'équation (i), pour l'homogénéité des for- mules.

L'équation (i) donne p=irt = OApour w=:o, et si l'on fait croître co de o à 4-00 , p prendra des valeurs corrsspondantes infiniment croissantes. Au contraire,

p décroîtra de a à o, si l'on donne à o) des valeurs néga- tives décroissantes de o à — 00 . Ainsi la courbe fait, dans

cnAPiTUE vrii. 3Gi

l'un ot l'autre sons, une infinité de révolutions autour du pôle, à partir du point A.

La dinercnlialion de l'équation (i) donne

(2j -'-^zmac'"", ou -'-=mo.

au (lut '

Par suite, l'inclinaison u de la tanjrente sur le rayon vcc- leur, la sous-tangente T' et la sous-normale Ps" auront pour valeurs

//i tii '

La première de ces formules (3) exprime que :

Dans la spirale logarilhmique, la tangente fait un angle constant avec le rayon vecteur.

La difierentielle de l'aire d'un secteur de la courbe est

du = — çrdf,) = 0(io,

2 2/?2 ' '

pdp est la difTérentielle de - : on a donc

u = -' !- const.

Si l'on veut que l'aire // s'annule en même temps que w,

la constante sera , et I on aura

4 m

4 m La dincrcnticlle ds de l'arc de la courbe est

4) (Is -—. y r/o- -f- p* (/m^ = ^rn' -\- i p dot r:: a \J nr -r- 1 e"'"dM r-: * — f/p^

d'où

5 ^= p -f- const. -,

302 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

si Ton compte Tare s à partir du point A, pour lequel p est égal ix a, on aura

v'm'^ + i , s^=- [p — aj.

L'angle de contingence, qui est en général dfx -t- dw, réduit ici à dw ; le rayon de courbure et, d'après les formules (2) et (4), on a

se réduit ici à dw; le rayon de courbure R est donc --5

R= V^A

Or cette expression est celle de la longueur N= y'iO-H-N'^ de la normale; donc le centre de courbure n'est autre que l'extrémité K de la sous-normale.

Il est bien facile, d'après cela, d'avoir l'équation de la développée de la spirale logarithmique. En elTel, les coordonnées p,, co, du centre de courbure K sont

ce qui donne, par l'élimination de 00,

."1

mae

donc la spirale logarithmique a pour développée une deuxième spirale logarithmique qui lui est égale et qui a le même pôle.

248. Ainsi que nous l'avons dit plus haut, on peut ra- mener l'équation (()) à la forme (i) en faisant tourner l'axe autour du pôle d'une quantité convenable a; comme on est libre d'ajouter à a ou d'en retrancher un nombre entier de circonférences sans que la nouvelle direction de l'axe soit changée, j'écrirai a-h2i7r au lieu de a, i étant un entier indéterminé, a un angle compris entre o et 2 7T.

ciiAriTUF. VIII. 3G3

Jcrcmplaccrai donc clans rt'qualion(6)w, paro)-f-z-|-2t7r, et ni niènic temps j'écrirai p au lieu de pt ; ahjis r<'(pia- lioii (\c la développée sera

lltia-hilK -t-/77t»

p =z niae *^ j

et elle se réduira à

si Ton détermine a par la condition

me ^ «y--,^

ou

(7) « = _(4/_,;

' 2 //2

la caractéristique log dénotant un logaritlime népérien. Si le nombre m est tel que l'on ait

' m ^ ' 2.

l'équation (y) donnera

V. = o,

et, dans ce cas, la spirale lo^aritliuii(|ue (i) srra, à elle-

1 . 1 ' T r • in" m , ,

même, sa i)ropre a(,'velo|>ncc. La lonction 1 dont la

1 . • , I — 1"K '" Al ,1 I 1- •

dérivée est — , • croit de — se aH -, quand on lait

mr e ^

croîlre m deo à-i-*?; elle décroît ensuite de - à o (niaiidw

auj^mente de -h e à -f- 00 ; il en résulte que, si le nombre entier i est positif, il y aura une valeur de ni propre à vé- rifier l'équation (8) ; donc il existe une infinité de spirales iogarilliiiiiipies qui ont cette propriété remarquable de coïncider avec leur dévclopjjée.

364 CALCUL DIFFÉRENTIEL,

Application de la théorie des enveloppes .

2i9. Nous terminerons ce Chapitre en présentant deux exemples de la méthode exposée au n^'SOT, pour trouver les courbes enveloppes.

Problème I. — Les variables X\ et j)', étant liées entre elles par la relation

ail a et b sont des constantes données, on demande de trouver l' enveloppe des courbes représentées par l'é- quation

' Y

X, et Yi étant des fonctions d'un même paramètre va- riable, il faut d'abord former'la différentielle de l'équa- tion (2), par rapport à ce paramètre; on a ainsi

^1/ -^1 \J'X/ Il

mais, comme x, et 7 , sont liées par l'équation (i), on a aussi, en dilTérenliant cette équation,

'^ =0:

II

l'élimination de ~ entre les deux équations précédentes

donne

J .''1

■^1	\ '" fl.r^		/^'1
		-4-	-1
a	1 .r,		\ 0

15)

CHAPITRE vni. 365

Celte équation (3) est celle qui résulte de la difTérentia- lion de l'équation (2), par rapport au paramètre variable. Or, en vertu des équations (i) et (2), la somme des numérateurs des membres de la formule (3) est égale à i , et la même chose a lieu à l'égard des dénominateurs; par conséquent chaque membre de cette formule (3) doit être égalé à l'unité; on a donc

L'élimination de x, el ) , entre les équations (1) et (4) se fait immédiatement; on obtient pour l'équation de l'en- veloppe demandée

tnn

m + n

V =''

Il faut remarquer le cas où l'on a b =^ a, m =r. 2, n = i; si les coordonnées sont rectangulaires, l'enve- loppée est une droite dont la partie comprise entre les axes a une longueur constante 2a; l'enveloppe repré- sentée par l'équation

112.

est vue épicycloïde, comme on l'a vu au n° 238.

1250. PuoBLÈME II. — Des /ajons parallèles viennent rettvonlier la circonférence d'un cercle et se réfléchis- sent en faisant avec la normale un angle de réjhwion égal à l'angle d'incidence; on demande de trouver l'eni'eloppe des ra) ons r (fléchis.

L'enveloppe demandée est ce que l'on nomme une caus/it/ue par réflexion. Prenons pour axes coordonnés deux diamètres rectangulaires dont l'un, celui des a-, soit parallèle aux rayons incidents. Soient acos':^, asin© les

366 CALCUL niFFÉUKNTIEL.

coordonnées du point de la circonférence où tombe un rayon incident, la direction du rayon réfléchi fera avec l'axe des x l'angle 2cj', et l'équation de ce rayon sera

[j — -«sinij)' =:tang2i^(jr — acosy) OU

y cos 2 If) — X sin 2 y -<- « sin (j* = o. Il reste à éliminer (y entre cette équation et la suivante :

a

y sin 2 y -+■ x cos 2 y cos y ^ o,

qu'on en déduit par la diflerentialion relative à cf. En ré- solvant ces deux équations par rapport à x et j , il vient

;r = y (3 cos y — cos3ij>), ^ = y { 3 sin y — sin 3 y ) .

En se reportant aux formules du n° 238, on reconnaît que la caustique représentée par ces équations n'est autre chose qu'une épicycloïde extérieure engendrée par

un cercle d'un rayon égal à y «, roulant sur un cercle de rayon - a concentrique au cercle donné.

ciMTMTnr; ix. Z6y

CHAPITRE IX.

THÉORIE DES COUllBCS GAUCHES ET DES SURFACES COUUBl'S.

De la tangente et du plan normal d' une cuurhe quelcomiue.

2ol. On nomme conrbe gauche une courbe dont tous les points ne sont pas situés dans un même plan.

Considérons une courbe plane ou gauche rapportée à troisaxcsdecoordonnéesrectiIi<^ncsOa?, Oy, Oz. Soient X, J'y z les coordonnées d'un point M de cette courbe, X -\- Ax, y + Aj , z 4- A:: les coordonnées d'un autre point M' de la même coui'be; les équations de la sé- cante MM' seront

Y— r=:^(X-^), Z-3=— (X-xl.

Les coordonnées j et c: [)euvent être regardées comme des fonctions données de x\ alors, si le point M' se rap- proche indéfiniment du point M, les rapports -' • —

tendront vers les hmites respectives » - » et les prc-

* fl.v d.r '

cédantes équations deviendront à la limite

(i) Y-j=^,X-x;, Z-z = ^^'X-x). rt.r ' dx '

Telles sont les équations de la tangente à la courbe au point M; on peut les comprendre dans une formule

368 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

unique, savoir

, . X — .r Y — J Z — 2

dx dy dz

Dans le cas des coordonnées rectangulaires, les cosinus des angles que forme, avec les directions positives des axes, l'une ou l'autre des deux directions de la tangente, sont proportionnels aux difTérentiellcs r/x, dy, dz.

On nomme plan normal d'une courbe celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Toute droite menée par ce point, dans le plan normal, est dite une normale. D'après la remarque que nous venons de faire, l'équation du plan normal sera, dans le cas des coordonnées rectangulaires,

(3) (X — x)r6;-,- ^Y— j)^j+ Z~z]dz-^--ç>,

252. Si les coordonnées x, y, z sont données en fonction d'une variable indépendante /, de manière que l'on ait

(4) ^ = ?{f), J^-H^]^ Z^:a:[t),

on aura, par la différentiation,

d.r = y' {t)dt, dj zisz -p' [ t) dt, dz ~u'[t] dt,

et, si l'on porte ces valeurs dans les équations de la tangente et du plan normal, celles-ci deviendront

/ X — y(0 _ Y- -y./) _ z — ^{t)

(5) f'{t) ~ ^y[t) - r.'[t] '

([x_y(0]y'(0-KY--MO]-y(OH-Lz--(0]^'(/)=:o.

Si la courbe est définie par deux équations

(6) /[X,J, z) = 0, F{x,j;r,):^-:o,

entre les coordonnées x,j, z, on diflcrenliera ces équa-

CHAPITRE IX. 369

lions et l'on calculera deux des dinerentielles dx, dj, dz : enfin on substiliiera ces valeurs dans les équations [2) et (3). La dilïerenliallon des équations (6) donne

3- rfj: H- -- dr -;- - dz = 0, d.r df Oz '

d¥ ^ d? , ()F , dx ôy Oz

et au lieu d'opérer comme nous venons de le dire pour avoir les équations de la tangente, il est évident qu'on arrivera au même résultat en tirant des équations (2) les valeurs de dj et de dz, et en les portant dans les équations (7). Celles-ci sont homogènes par rapport à dx, djj dz, et ces dillerentielles sont proportionnelles à X — X, Y — j, Z — z, d'après la formule (2); le ré- sultat de notre élimination sera donc

Chacune des équations (8) représente un plan, et leur système appartient à une droite déterminée, à moins que les dérivées partielles ne cessent d'avoir des valeurs déterminées, ou qu'elles ne soient liées entre elles par

les relations

d¥ dF ÔY , . dr dy dz

d-r Ôy dz

Lorsque les coordonnées x,r, z du point M satisfont

aux. équations (9), les équations (7) ne délermiuonl plus

les rapports de deux des diirérenliellcs dx, dy, dz à la

troisiènu', et l'on est en présence d'un point singulier.

S. — Cale. dlff. a4

3^0 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Nous nous bornons à cette simple indication que nous ne pourrions développer sans sortir des limites que nous nous sommes fixées.

Il faut remarquer que l'une des deux équations de la courbe intervient seule dans la forriiation de l'une ou de l'autre des équations (8) de la tangente; par consé- quent le plan que représente cette équation dépend uni- quement de la surface représentée par celle des équa- tions de la courbe qui lui correspond; on va voir, dans ce qui suit, le développement de cette remarque.

Du plan tangent et de la normale à une surface courbe.

253. Considérons une surface rapportée à trois axes de coordonnées rectilignes Ox, O j , O^ et représentée par l'équation

(i) f[^,X^z]'--^-0:

désignons par x, j, z les coordonnées de l'un quel- conque de ses points M.

Traçons sur la surface une ligne quelconque qui passe par le point M; cette ligne peut être regardée comme l'intersection de la surface donnée et d'une autre sur- face. Soit

(2) Y[x,y,z) — o

l'équation de cette deuxième surface; la tangente au point M de la courbe que nous avons tracée sera (n" 252) représentée par les deux équations

(3) ,X-.)|^+(Y-/)| + (Z-^)j{ = 0,

(4) (x-.);ÏH..(y-^)|' + (z-z)f=o.

CHAPITRE IX. 37 1

Il résulte de là que le plan représenté par l'équation (3) contient toutes les tangentes menées par le point M aux diverses courbes que l'on peut tracer, par ce point, sur la surface donnée; il est dit le plan tangent de cette surface au point M.

La précédente conclusion suppose que les rapports de deux des dérivées partielles

(}f àf ^ df dx dy dz

à la troisième aient, au point M, des valeurs déter- minées. Si le contraire a lieu, le point M est un point singulier de la surface; tel est, par exemple, le cas du sommet, dans les surfaces coniques.

On nomme normale en un point d'une surface la perpendiculaire menée au plan tangent, par le point de contact. Tout plan mené par la normale est dit un plan normal. L'équation (3) étant celle du plan tangent au point M de la surface (i), si les axes sont rectangulaires, les équations de la normale seront comprises dans la formule

^/ 0/ oy

dx df dz

25i. Si l'on prend x et }' pour variables indépen- dantes, et qu'on représente par

(6) dz \=.pdx -\- qdy

la différentielle totale de z, on aura, par la différcn- lialion de l'équation (i),

àf df df df

dx dz àf dz

et, en introduisant les quantités p, q, l'équation du plan

A'

3^2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tangent deviendra

(7) Z-z=/.(X-x) + 9(Y-j];

les équations de la normale seront, en même temps, dans l'hypothèse des axes rectangulaires,

(8) (X-.r)+/;(Z-2)=o, [Y-y)+q[Z-z]=o.

2o5. Si Ton demande de mener à la surface repré- sentée par l'équation (i) un plan tangent passant par un point donné dont les coordonnées soient x^, jo, z^, il suffira de trouver le point de contact; les coordonnées de ce point satisfont aux équations

et celles-ci déterminent, sur la surface donnée, une ligne qui est le lieu du point demandé. Si Ton joint le point donné au point de contact de la surface et de l'un des plans tangents, on aura une droite dont les équa- tions seront

, \ X — 5*0 Y JKo ^ Zq

10 = ■= ,

^ ^ X — J^O y—fo Z — 2o

l'élimination de x, y, z entre ces équations et les deux précédentes donnera l'équation d'une surface conique qui aura évidemment le même plan tangent que la sur- face donnée, en chacun des points de la courbe repré- sentée par les équations (9); cette surface conique sera donc circonscrite à la surface donnée. Pour justifier notre assertion, il suffit de remarquer que le plan tan- gent à la surface et le plan tangent au cône contiennent l'un et l'autre la tangente de la courbe représentée par les équations (9) et la droite représentée par les équa-

cn\piTHE IX. 3^3

lions ^lo); il en rcsullc que les deux plans tangents coïncident.

Lorsque le point [xq, Jo, -^o) se déplace sur la droite

et qu'il s'éloigne à l'infini, la deuxième équation (9) devient à la limite

àf , df df

II a ;- + i f- + f =0;

^ ' dx ôj oz

en la joignant à l'équation (i), on aura les équations de la courbe, lieu des points de contact de la surface donnée avec le cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à la droite représentée par les équations

X = aZ, YzszbZ;

la génératrice du cylindre a pour équations

(12) 'S. — ii=o[Z — z\ Y—x = b[Z — z],

et l'on obtiendra l'équation de ce cylindre en élimi- nant jr, y, z entre les équations (i), (11) et (12).

Emploi des coordonnées homogènes.

Vi l'on design point par les rapports

256. Si l'on désigne les coordonnées rectilignes d'un

a: y z

—5 —5 — ) u u u

toute équation

(i) /(^. Ji s, «) = o,

dont le premier membre est une fonction homogène de jc,j, z, u, pourra tire regardée comme celle d'une

3^4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

surface. Par un raisonnement analogue à celui qui nous a servi au n" 171, on a l'équation suivante pour repré- senter le plan tangent :

X		z\df m	u\df
— ■	- - K- +	■ - Hr-
u	uj dz \U	uj du

o.

Or, par la propriété des fonctions homogènes, l'équa- tion (i) peut se mettre sous la forme

df ^ c!/ df df

x -^ -J^ y - + z — + u -^ = o, ox oy oz ou

l'équation du plan tangent se réduit donc à

^ ' ox oy oz ou

Et de même, si l'on considère la courbe représentée parles deux équations homogènes

/(.r, j, z, «) = o, F(j-, j, 2, «] = o,

les équations de la tangente à cette courbe seront

X ^ 4- Y - - H- Z - - + u - - = o, o-T oy oz ou

^ dF ,, dF ^ dF ^, dF X— H- Y— +Z^+U-^=o. ox Oy oz ou

On voit que, si l'équation (i) est algébrique et du degré m, l'équation (a) ne sera que du degré m — i, par rapport aux coordonnées du point de contact. La dé- monstration de cette propriété exige une transformation quand on emploie les coordonnées ordinaires.

CHAPITRE IX.

375

DiJJércnlielle de Ici luni^ucur d'un arc de courbe (juclcoïKjue.

257. Nous procéderons ici, à l'égard des courbes gauches, comme nous l'avons fait au n° 189, en nous occupant de l'arc des courbes planes.

Soit CD un arc d'une courbe quelconque que nous rapporterons à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz.

Inscrivons dans l'arc CD une ligne polygonale

CEFMM'D d'un nombre n de côtés; désignons par P

le périmètre de cette ligne polygonale; par x, y, z les

coordonnées d'un sommet quelconque M, par a: + Ax,

y-\- Aj-, z 4- ^z les coordonnées du sommet suivant M'.

On aura

/ / A?^ Â7*

MM — i/Aar'* -I- A)« -t- As* = Ao: t / I -f- ^-, 4 -, »

" •' y A-r* Aj*

et, comme les rapports

\y

A3

Z7-

tendent vers les limites respectives

d) dz . dx dx

quand A.r tend vers zéro, on peut écrire

MM'^ A.rfl/

I -»-

^

d.1-^

d^

dx-

^y6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

S désignant une quanlilé qui s'évanouit avec Ax', on a donc, en faisant la somme de tous les côtés tels que MM',

=S^V'

d dx

i-S

£ A.r.

Supposons maintenant que le nombre n des côtés de notre ligne polygonale augmente indéfiniment et que chacun des côtés de cette ligne tende vers zéro. Comme la

somme \ Ax a une valeur finie qui est la différence GH

des abscisses x des extrémités de l'arc CD, on aura

(n° 9)

( 2 ) lim N £ A.r = o.

Ensuite, x étant prise pour variable indépendante, construisons la courbe dont l'ordonnée Y est déterminée en fonction de x par l'équation

sf-

'-"-s

f/z^

dx

9'

et considérons l'arc and de cette courbe, dont les extrémités c, à répondent aux abscisses O^o-, Oh respec- tivement égales aux abscisses OG, OH des extrémités

^'^

g V u

de l'arc CD. Si l'on dés'igne par S l'aire cghd comprise entre l'arc cd, les ordonnées des extrémités et l'axe Ox, on aura (n° 188)

:3)

s — limVYAa;

^lim^^y/

l-H

dy"

7iJ^

dz^

Ax:

dx^ '

CHAPITRE IX. 377

par conséquent, la formule (i) donnera, à cause des f'or- iniiles (2) et (3),

(4) limP=rS.

Ainsi, le pérunètre d'une ligne polj gonale inscrite dans un a/c de courbe donnée tend vers une limite dé- ternnnée lorsque tous les côtés tendent vers zéro, et cette limite est indépendante de la loi suivant laquelle décroissent les côtés du j)olj'gone.

Comme dans le cas des courbes planes, la limite S dont nous venons d'établir l'existence sera dite la lon- gueur de l'arc CD.

Désignons par s l'arc compris entre l'extrémité fixe C de l'arc CD et le point M variable sur cet arc; soit aussi \ l'ordonnée du point m de la courbe cd dont l'abscisse op = x est égale à celle du point M. D'après ce que nous venons de démontrer, l'arc s est égal à l'aire cgpm; or cette aire a pour différentielle Y djc ou

/

ou

V"; H — ,'-;; cioc ; donc on a

cls = \ldx'^ -i- dy- -t- dz-

2o8, Il résulte de cette formule que la limite du rap- port d'un arc de courbe infiniment petit à sa corde est égale à l'unité, proposition déjà établie au n° 189 dans le cas des courbes planes.

Car, soit c la corde d'un arc infiniment petit MM'; si l'on désigne par s un arc de la courbe, terminé en M et compté à partir d'une origine arbitraire, on pourra re-

878 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

présenter MM' par As; alors on aura A. y A.r

v-'

c , /_ , Aj- A;^

et, par suite,

ds_

A.v ^J^

Jim — =

Y dx- "^ dx^

Cette propriété permet, comme dans le cas des courbes planes, de trouver facilement l'expression de la diffé- rentielle d'un arc de courbe, quand on emploie, au lieu des coordonnées rectangulaires, des variables quelcon- ques. Par exemple, si l'on adopte des coordonnées obli- ques et que a, ê, 7 désignent les angles formés par les axes OjK et O^, O^ et Ox, Ox et Oy, pour avoir la différentielle d'un arc s de courbe, on écrira

^x A.r Y A.?."' A.7-^ A.r ^x l^x »*•*

OU

dx V

wv-s! dz^ dy dz dz . dy

^ _.. _ _-..2 IZ- _ cosa-^^-2 — COsê+ 2 — COS7,

dx' ' dx^ dx dx dx dx

et

ds = Jdr^-Jr dy^-^dz^-^ridydzco^a. -\- 2.dzdrcosS -4- 2dxdj- cosy.

259. Dans le système des coordonnées polaires, chaque point de l'espace est déterminé par un rayon vecteur /• et par deux angles 6, ^; l'angle 6, compris entre zéro et 180 degrés, est celui que forme la direc- tion du rayon r avec un axe fixe Oc; l'angle ^ peut varier de zéro à 3Go degrés ; il est situé dans un plan xOj

CHAPITRE IX. 379

perpendiculaire à O::, et il est compris entre une droite fixe Ox située dans le plan xy et la projection du rayon r sur le plan xOj . Si l'on désigne par x, j, z trois coordonnées rectangulaires associées aux coor- données polaires et relatives aux axes Ox, O7 , O^, on aura

JT =: rsinO cosi|/, j = rsinO sini^, zr:::rcosO,

d'où

dx =: «irsinO cosi|/ -I- reosO cos-^^/O — rsinG sini^r/-^, dy =idr%v[iO sini^ -f- /-cosô %\\\-^d^ -f- rsinô cos-^<^/-^, dz z=i drcosQ — r s'm OdO;

élevant au carré, ajoutant ensuite et extrayant la racine carrée du résultat, il viendra

ds = \/dr^ -r- r^de^ -+- r^ sm^ed^l>\

Il est facile d'obtenir directement la formule précé- dente. Effectivement, dans le système des coordonnées polaires, les points de l'espace sont déterminés par l'in- tersection de trois familles de surfaces qui sont : 1° des sphères concentriques dont r désigne généralement le rayon; 2° des cônes de révolution autour de l'axe O- et dont l'angle générateur est 6; 3" des plans passant par l'axe Oz et dont 4* désigne l'inclinaison sur le plan fixe zOx. Cela posé, considérons le j)arallélépipùde curviligne dont deux sommets opposés coïncident avec les extré- mités de l'arc ùs d'une courbe donnée et qui est déter- miné par les sphères de rayons /■, /■ -f- Ar, par les cônes dont les angles sont 0, 0 -\- AO; enfin par les plans qui répondent aux angles ^,f^-{- ù^. La base de ce parallclc- pipcde sur la sphère de rayon /• est un rectangle formé par quatre arcs de cercle; deux côtés opposés sont égaux à rù9 et les deux autres côtés sont /sinOAt^,

38o CALCTJL DIFFÉTIENTIEL.

r sin(9 H- A9) A-^p, enfin l'arc As se projette sur la sphère suivant une diagonale y du rectangle. Les trois arcs de cercle rAO, /-sinôAt^, y ne diffèrent respectivement de leurs cordes que par des quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes; d'ailleurs les deux premières de ces cordes font entre elles un angle qui diffère infi- niment peu d'un angle droit; donc on a

en négligeant un infiniment petit relativement à y^ ; pareillement As et y diffèrent de leurs cordes par des quantités infiniment petites relativement à ces arcs, et l'angle formé par Ar avec la corde de y diffère infini- ment peu d'un angle droit; on a donc

en négligeant un infiniment petit par rapport à As'^. Les deux formules précédentes donnent

A,y2 A/-2 ^ . ^ AJ/2

— ; -F £ = — - + /•- sin-(5 — - -i- r,

£ étant un infiniment petit j en passant à la limite, on a

d(f- dO'- dO'- '

OU

ds^ = dr'' -f- r^ sin^ Ô^/^^ + r'^dO^,

comme nous l'avons trouvé plus haut.

Expressions des cosinus des angles que fait la tangente d' une courbe auec les directions de trois axes rectaii- gulaires.

260. Si X, jf z désignent les coordonnées rectangu- laires d'un point M d'une courbe quelconque, les cosinus des angles a, 6, y que forme, avec les directions j)osi-

ciiAi'i'inF. IX. 38i

lives des axes, Tune ou l'aiilre des direclions de la t;in- gcntc, sont proporlionnels (n" 2ol ) aux difTérentielles

fix, fly, dz.

Or, si l'on désigne par .v l'arc delà courbe compris enlre une origine fixe arbitraire et le point M, la somme des carrés des trois didérenlielles dont nous venons de parler sera égale à ds-, la relation

cosa cosê cosy cl.r (If (Iz

donnera donc

	dx	^ "^r	dz
COSa ^--	_ — . ^	cos6 = --»	cos7=i —
	ds	ds	' ds

ou

( 2 ) dv _v ds C()S«, dy := d:: cosS, dz ■=-- ds cos'y.

Dans ces formules ds représente le radical

SJdx^ -f- dy- -i • dz-

et son signe est indéterminé. Si l'on prend successive- ment le signe -h et le signe — , on aura deux systèmes de formules qui se rapporteront respectivement aux deux directions opposées de la tangente.

Du rayon de couihurc en un point d'une courbe quelconque.

201. Soit AINI un arc d'une courbe quelconque; sup- posons que cet arc soit parcouru par un mobile partant de A et se dirigeant vers M; prenons alors pour direc- tion de la tangente en chaque point la limite vers laquelle tend la direction de la droite parlant de ce point et aboutissant à un point suivant infiniment voisin. Dé- crivons une sphère dont le rayon soit égal à l'unité de

382 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

longueur et dont le centre soit en un point quelcon- que O ; tirons enfin des rayons parallèles aux directions des tangentes menées par les divers points de l'arc AM. Le lieu des extrémités de ces rayons sera une courbe sphérique, et la longueur de l'arc aiJ. = a de cette courbe, qui répond à l'arc AM^:::;^ de la courbe donnée, sera dite la courbure de l'arc AM.

Si l'extrémité A de l'arc AM est fixe et que l'extré- mité M soit mobile, 5 et <7 seront des variables; la diffé- rentielle da de la courbure est ce qu'on nomme Vangle de contingence de la courbe donnée au point M.

Dans le cas où la courbe AM est plane, a^ est l'arc de grand cercle qui mesure l'angle des tangentes aux extrémités de l'arc AM. Les définitions précédentes s'ac- cordent donc avec celles que nous avons données dans le Chapitre VII en traitant des courbes planes.

Si l'on donne à l'arc 5 l'accroissement infiniment petit Ai ^^ MM', la courbure a prendra l'accroissement cor- respondant A(7 = ufji'. Soit i l'angle formé par les direc- tions des tangentes MT, M'T' menées aux extrémités de l'arc MM'; cet angle i sera égal à /i/Op' ou à l'arc de grand cercle y-i'-' '-, par conséquent on aura

i arc de cercle p/x' arc de cercle fxp.' ^^ corde |[>ijtz'

Ao- arc de courbe f/p.' corde pi^' " arc de courbe p^'

d'où

lim — =1.

A<7

CHAPITRE IX. 383

Donc : T^e. rapport de l'angle, J orme par les tangentes aux extrémités d\in arc infiniment petit, à la couj-- bure de cet arc, a pour limite l'unité.

Comme dans le cas des courbes planes, nous nomme- rons courbure moyenne d'un arc de courbe le rapport de la courbure absolue à la longueur de l'arc. Pareille- ment, la courbure d'une courbe en un pointM sera en- core la limite de la courbure moyenne d'un arc infini- ment petit ayant l'une de ses extrémités au point IM ; le rayon de courbure sera le rayon du cercle dont la cour- bure est égale à la courbure de la courbe donnée au point M, et ce cercle lui-même sera dit le cercle de courbure.

D'après ces définitions, la courbure de la courbe AM au point M sera

,. At ch

lim — -, ou - ;

donc, si Ton désigne parR le rayon de courbure, on aura

comme dans le cas des courbes planes. Les didéren- tielles ds, da seront toujours de même signe.

262. La courbe AJVI étant rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, plaçons à l'origine de ces coordonnées le centre de la sphère dont nous avons fait usage. Désignons par x,y, z les coordonnées du point M et par a, €, y les angles que fait, avec les directions posi- tives des axes, la direction MT de la tangente en M; les coordonnées du point /z de la courbe sphérique seront

cos «, cos 6, cos '/;

par conséquent, la différentielle da de l'arc a = au aura

384 CALCUL DIFFÉKENTIEL.

pour valeur

(i) drj --=. ^(^cosa)^-f- (^cos6)''+ (<iC0S7)^.

On peut obtenir d'au 1res expressions de ^ff qu'il est utile de connaître. A cet effet, diffcrenlions l'expression

cosa =: -- dx, as

sans iixer la variable indépendante ; on aura

I , d^s ^

d cos a = — - d'^x — dx,

ds ds'

d'oij, en élevant au carré,

I d^s Id^s]'^

(dcosx)^=. --[d^xf— 1 — - dxd\T -!- ^-— i- dx^- ^ ' ds^ ds^ ds*

si l'on remplace dans cette formule x parj) , puis par z, on obtiendra les expressions de [d cos/S)^ et [d cosyY ; on aura donc pour la somme da- de ces trois carrés la va- leur suivante :

ch''- = ~[[d^xY+[d^-xY---[d^zr-]

d^s — 2 — - ( dxd^.r H- djd'^y -i- dz d^z) ds^

ds*

Or l'équation

r/x2 + r/j 2 H- dz"" = ds^

donne par la différentiation

dxd'^x-\- djd^f -h-dzd^z = dsd-s,

et, après la substitution de ces valeurs, dans l'expres- sion de da-, on aura

,/^ ^ s/{d^-.rr-^[u-j-Y-^[dHy^-[d^sY

^ '' ' ' ds

CHAPl'iUE IX. 385

Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette expression par ds, puis qu'on remplace ensuite, sous le radical, ds^ et d- s par leur valeur en fonction des coordonnées, il viendra

;ljî V'T^^- dj^ -r dz^ ) [( cPxY H- [d'jy -i- ( tihf ] - [ dxd'x ^- ilyd\y -;- ./z,/-':

ce qui peut encore se mettre sous la forme

( 3 , '^"^-^1 sJ[dYdH - dzd^yf + [dzd-'x — dxdH^ + [dxd'y—'dj d'x}

Dans ces diverses expressions de da, la variable indé- pendante n'est pas désignée; si l'on prend l'arc s pour cette variable, la difTérenlielle d-s sera nulle, et la for- mule (2) donnera cette expression fort simple

d'7=zl- \l[dKxY--^[d^yY+[d^zf.

ds

ds

D'après la formule (3), le rayon de courbure R ou

d(T a pour valeur, en fonction des seules coordonnées,

;4i R =

^[djd'z — dzd'-jf-\.{dzd^x—dxdHy-h{dxd*y — dyd*v/

celte formule subsiste, quelle que soit la variable indé- pendante.

De la normale principale en un point d 'une courbe gauche.

2G3. Considérons une courbe gauche AMet la courbe sphérKjMo y-ij. correspondante, construite comme nous l'avons indiqué (i'o//la figure du n" 201). Menons par le pointu de cette dernière courbe la lang'cnle '/v. cL

S. — Cale. dijf. 2^

386 CALCUL DIFFERENTIEL.

par le point correspondant M de la courbe donnée, MN parallèle à p-v. La droite MN est dite la normale principale au point M de la courbe AM.

Soient \, r,, ^ les angles formés avec les parties posi- tives des axes coordonnés rectangulaires, par la direc- tion MN au ff.v. Les coordonnées du point f- étant cos oc, cos S, cos y, on aura (n" 260)

^cos« dcos6 f^cos7

fl) COS?= , 5 COSï;= ; » COSC,=: -^

^ ' ' da d(j drr

ou

dx dy dz

d — d— d —

ds ds ds

(2) cos; = R— , -7 cos>5 = R-v-' cosÇ = R—; — • ^ ' ds ds ds

Si l'on prend l'arc s pour variable indépendante, on pourra écrire

d^x I „ d^y I d^z X

(^) 7^=R^"^^' ^ = R^"^''' -^--^R^"^^-

Du centre de courbure en un point d'une courbe gauche.

264. Soient M un point d'une courbe gauche AM, MT la tangente et MN la normale principale au point M.

Construisons le cercle de courbure dans le planNMT, de manière qu'il soit tangent en M à la ligne MT, et qu'il soit, avec les points de la courbe AM infiniment voisins

CHAPlTUli IX. 387

fJu point M, d'un même côté du plan mené par MT per- pendiculairement au plan NMT. Le centre du cercle sera en un certain point C de MN ; ce point C est dit le centre de courbure de la courbe AM au point M, et la direction MG de la normale principale est nommée di- rection du rayon de courbure. En outre, si Ton mène, par le point C, la droite G II perpendiculaire au plan NMT, cette droite GII sera le lieu des pôles du cercle de courbure ; elle est dite droite polaire ou axe du cercle de courbure.

Théorkme. — La droite polaire en un point donné d'une courbe est la limite vers laquelle tend l' intersec- tion du plan normal au point donné et d ^un second plan normal infiniment voisin du premier.

En effet, soient x, j , z les coordonnées rectangu- laires du point donné M de la courbe AM; a, 6, y les angles formés avec les directions positives des axes, par la direction de la tangente en M; l'équation du plan normal sera

(l) (X — x) COSK H- Y — jr) COSê -+- \Z — 2 i COS7 r^: O;

nous représenterons, pour abréger, cette équation par V= o. Pour avoir l'équation du plan normal en un autre point de la courbe AM, il faut remplacer, dans l'équation (i),

X, j, z, ces a, cosS, cos 7

par

X -:- A.r, j -+- Aj, z -i- Az,

ces a -I- A cos a , cos 6 -(- A ces 6, ces y -f- A cos 7 ;

l'équation obtenue ainsi pourra èlre représentée par V -r AV=o.Et, si f désigne la variable regardée comme indépendante, l'inlerseclion de nos deux plans normaux

aj.

388 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

sera représentée par les deux équations

AV V-^o, — ^o. ^t

Donc la limite vers laquelle tend cette intersection, quand le second point de la courbe se rapproche in- t'éfininient du premier, sera la droite représentée par les deux équations

dY

V:.= 0, --=0, OU

Vi-o, (Ho.

L'une des équations de la droite dont il s'agit est l'équa- tion (0, et l'autre s'obtient en différentiant cette même équation dans rhyj)0llièse de X, Y, Z constantes. La différentiation donne

(X — j:)c/cosa -r (y — j)<^cosê H- [Z — z)dco?,y

— ( dx ces a -1- dy cos ê -- dz cos 7 — - o,

OU, en ayant égard aux formules des n"* 260 et 263,

(2) (X — jr)cosÇ -V- (Y— jjcosrj + (Z — z)cos? — R.

Cette équation (2) représente un plan perpendiculaire à la normale principale et dont la distance au point M est égale à R, c'est-à-dire égale à MC. Il reste donc seu- lement à prouver, pour établir le théorème énoncé, que les points de la courbe infiniment voisins du point M sont situés entre le plan (2) et le plan parallèle mené par la tangente Mï. Ce dernier plan est représenté par l'équation

(X — ./-jccsÇ -T- (Y — ^} )cosï; -t- (Z ~ z] cosÇ = o.

Remplaçons X, V, Z par les coordonnées x -;- Aj-, r v- A) , z -f- Az d'un ])oint infiniment voisin de M pris sur la courbe Ai\J ; et choisissons ici ds pour la dill'é-

I

Cn.Vl'ITRE TX. 389

rentiellc constante. On aura, par !a formule de Taylor,

Ax r= ilx -; 1 R, ~; ils COS a H- — — COS c, -'. - IV3,

2 2K

R3 étant un infiniment petit du troisième ordre; on aura aussi des expressions analogues pour Aj', Az, et, en substituant ces valeurs dans le premier membre de l'équation du plan, on obtiendra le résultat positif

h e,

2 II

OÙ e désigne un infiniment petit du troisième ordre. D'un autre côté, on obtient aussi un résultat positif -|-R quand on substitue à X, Y, Z, dans l'équation du même plan, les coordonnées d'un pointquelconcjue du plan (2); donc les points de ce dernier plan et les points de la courbe infiniment voisins de M sont bien d'un même côté du plan mené par MT perpendiculaire à la normale principale.

D'après cela, si l'on désigne par Xi, 7,, z^^ les coor- données du centre de courbure C, on aura (3) OTi — .r = R ces Ç, jj— ^-^Rcosï;, z^ — z = R COS Ç,

cl, en remplaçant cosç, cosyj, cos;!^ par leurs valeurs (n°263)

d'hl /± ./^f

Tlxjjvessiom des cosinus des angles qui déterminent la direction de i axe du cercle de courbure.

265. Désignons par^, [j., v les angles que forme avec les parties positives des axes coordonnés l'une ou l'autre des deux directions de l'axe du cercle de courbure. Cet

390 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

axe est perpendiculaire à la tangente et à la normale prin- cipale ; d'ailleurs ces deux dernières lignes sonl rectan- gulaires; donc on aura entre les cosinus des neuf angles

«> ^^ 7; l, 0, Ç; \ i^, V

les relations connues, savoir :

(0

(^)

(3;

(4;

(5)

(61

C()S-a -'r- cos-6 J- COS^7 =n: COS^ q - CÔS^ vj t- COS^ 'Ç =^

cos- )i ,- cos-|ji -;- cos^ v ^:=

cos^ a -I- cos- Ç — cos^ 1 = cos^ 6 4- cos^ f] '- cos^ y. -—

COS^ 7 -i- COS^ 'Ç - r ces- V t=

' os « cos ç -f- cos ê cos ïj -- cos y cos Ç = o,

cos aCOS ). 4- cos ê Cf)Sy. - COS7 cos V ^= 0,

( COS ç cos >. .- COS Y! COS ^a - cos ç cos V 1; o ;

icos « cos 6 -!- COS ç cos vî -~ cos). COS p. = O, cos « cos y '- cos ^ cos (^ -;- cos) cos -j = o, cos 6 cos 7 -;- cos rj cos Ç -;- cos/x cosv = o;

cos ) = ± l' cos ê cos ç — cos 7 COS ïj ), cos fx =^ ± { COS 7 COS H — COS a COS ç ) ,

COS y =:dz (cos a COS/3 — COS 6 COS Ç ) ,

COS ç =rdt (cos f;icos 7 — COS V cos ê), cos V] :^ di ( cos V cos u — cos ) cos 7 ) , cos i; =rrb (cos ) cos (5 — cos y. cosal,

cosa := it (cos ri cos V — cos ç cos p.), cos 6 3= zt ( cos ç cos ) — cos ç cos V ) ,

C0S7=::zb (cOsÇcOSfi — COS ÏJ COS ) ) *,

cos "k [ COS 6 cos ç -- cos 7 cos ti ) -t- cos p. , cos 7 ros Ç - cos a. cos Ç ) + cos V (cos a cos ïj — cos 6 cosç - ztz I;

CHAPITRE IX. 391

les signes supérieurs OU iuférieurs doivent être pris en- semble dans les dix formules (j) et (6); les uns se rap- portent à l'une des direelions de l'axe du cercle de cour- bure, les autres à la direction opposée.

Nous avons donné dans les numéros précédents les expressions des cosinus des angles a, 6, y et ^, r,. ^ en fonction des coordonnées rectangulaires; les trois pre- mières des équations (5) permettent d'exprimer de la même manière les cosinus des angles /, p., v. Ainsi la première de ces équations (5) peut s'écrire comme il suit, sans fixer la variable indépendante :

I .' elz . ,(1)' , ^ dyd-z—dzd^y

ilsdi \ -^ ds ds] ds^

on déduit de là, par des permutations de lettres, les va- leurs de co^y. et cos v, et l'on a ce système de formules

dyd^z — dzd'^y I cos A -- ziz R ~r, î

, , ' dzd'.i —di d'z (7 ; COSU:^R. ^^^

I dxd-y — d) d'-.r

COS V — -±1 R ^ - , •

\ ds^

Expression de la différence entre un arc de courbe et sa corde.

2G6. On obtient une expression très-remarquable de la différence entre un arc de courbe et sa corde, en introdui- sant les rayons de courbure aux extrémités de l'arc. Je présenterai ici ce calcul, comme une application intéres- sante des résultats auxquels nous venons de parvenir.

Soient .V un arc de courbe compté à partir d'une ori- gine quelconque, eta',^K, iîlescoordonnéesreclangulaires

392 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de l'extrémité de 5. Je prendrai cet arc pour variable indé- , pendante; alors on aura, en désignant par R le rayon de courbure, à son extrémité,

r/.r\2 (dy-y f chy

ds' j \ds^ 1 ' \ds^ ) ' W.^'

On a, par la différentiation de l'équation (1),

,„, doc d^.r dr d-r dz d-z

( 3 ) — • H- ^- — ^ — \~ — — r = o ;

ds ds'^ ds ds^ ds ds-

en différentiant de nouveau et ayant égard à l'équa- tion (2), il vient

... dx (P.TT df d^j dz d^z 1

^^' ds Id?"^ d^ 'ds^ ~^ ds d? ~~ R2'

puis la différentiation de l'équation (2) donne

d — d^x d^x d^y d^y d-z d^z _ 1 ' R\

^ ' 'd^ 17' '^ ~d^' ~d^ ^ 'd^ ~d^ ~ ^ T/7 '

enfin celle de l'équation (4) donne, en ayant égard à la formule (5),

r/-i d.r dKx ^ dy d^r _^ dz dH _ 3 RJ

^ ' ds ds'* ' ds ds'* ' ds ds'' 2 ds

Cela posé, soient Ax, Aj, Az les accroissements qu(^ prennent x, y, z, quand s croît de ù^s, on aura, par la formule de ïaylor,

AuC dx d^.r As d^x A.v- d''.r A.y^ Ai ds ds'' 2 ds' 6 ds'' 24

64 désignant un infiniment petit du quatrième ordre. En

CHAPITRE IX. 390

élevant celle formule au carré, on a ensuile

/ I d.r d* X I d-x d'^.r\ ,^ \12 ds ds* 6 flfi- f/.v' /

e^ élantencore ici un infinimenlpelil du quatrième ordre.

\x^ Ar* As*

De cette valeur de — - on déduira celles de — et — • en

A*^ ^s' Ai*

écrivant^' et z au lieu de x, et, si Ton ajoute les trois expressions, on aura, en faisant usage des formules pré- cédentes.

A.r* ■ Aj* -!- A3* _ 1 Ai* ' ïï^ A*»

A.?^ R* 12 ds 24

puis, en extrayant la racine carrée par la formule du binôme.

V'A.r*-f-A)--i-A3*

A.v

OU

1

^Ax*-|- A.)*-- Az* _ I A** R2 Ai'

' ^ ^ Ys ~ ' ~ R2 "^ ~dr 48 "'' '"

£4 désignant toujours un infiniment petit du quatrième ordre. Celle dernière fornuile peut être écrite d'une autre manière. R est le rayon de courbure à l'extrémité de l'arc s, origine de l'arc ùkS\ désignons par Rj le rayon de courbure à l'extrémité de l'arc ^s. La différence des (juantités

— - - d-

Rî R2 W-

— et -—

A.v ds

étant infiniment petite, si l'on substitue la première à la

894 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

seconde, dans la formule (7), on ne fera que modifier l'infiniment petit du quatrième ordre £/, ; on a donc

y A-r^ -1- Aj^ ^- Az^

A* —^

multipliant enfin par ù^s, il vici

I	',. ,	I '\ A,s-2 "Rj4y"^	£4;
{	1 R2	I \ A*' "*" R* ' 48 "	'-- £5»

(8) v'^^^ -^ Aj^ -1- ^3^ ■■= A* —

£5 étant un infiniment petit du cinquième ordre.

La différence entre un arc infiniment petit A5 et sa corde a donc pour valeur

\r2 '^ iTy,' 48'

à un infiniment petit près du cinquième ordre, R et Rj étant les rayons de courbure aux extrémités de A5.

Appliquons cette formule ( 8 ) au cas d'un arc do cercle de rayon i. Soit A5 = 2a, on aura

y Aj'-f- A)^H- Az = 2sm«, et la formule (8) donnera

De l'ordre daconfnct d'une courbe et d' une surface. — Des surfaces osculatrices en un point d'une courbe don/iée.

267. SoientS unesurface quelconque, AM une courbe passant par un point M de S et KL la normale en M à cette surface. Prenons sur la courbe un point M' infiniment voisin de M, et dont la dislance à la normale KL sera choisie pour infiniment petit principal; menons enfin la droite M'm parallèle à KL etcpii rencontre en ni la sur-

CHAPITRE IX. ^93

face S. Celaposé, si la longueur M'm est un infiniment pelil tle l'ordre /^^-I, je dirai qu'il y a au pointM un cou lad d'ordre k entre la courbe cl la surlace.

Pour que l'ordre du contact ne soit pas nul, ou, ce qui revient au même, pour qu'il y ait eflectivement contact entre la courbe et la surface, il faut et il suffit que la tan- gente de la courbe au point M soit située dans le plan tangent de la surface. Effectivement, désignons par x, f, z les coordonnées du pointM relativement à trois axes rectangulaires; par x -^ C^x , y -\~ ^j , z -r- ù^z celles du point M', et par x -~ ù!x,j + ù!j, z^ù!z celles du point m; représentons, en outre, par y l'angle que forme, avec l'axe, des z, la tangente en M à la courbe, et par dz =^ pdx -i- qdj la valeur de dz qui convient à la sur- face S; on aura pour cette surface

A'z :=-/?A'.r :- q iH'jr -h s', et, pour la courbe,

Ar r/z -•- z —. d.s cosy -i- r,

£ et s' étant des infiniment petits d'ordre supérieur au preiiiier. Maintenant, sil'on fait coïncider l'axe des - avec la normale KL, on aurap -^ o, </ = o ; par conséqucnl ^z ou P/// sera un infiniment petit d'ordre supérieur au pre- mier. D'ailleurs M'm est la somme ou la différence des lignes M' P^i^Ar etP///; donc, pour que l'ordre infinité- simal de M'/7i soit supérieur à i , il est nécessaire et suf-

3^6 CALCUL DTFFI^.RKNTIEL.

fisant que cosy soit nul, ou que la tangente en M à la courbe soit dans le plan tangent de la surface.

Etant donnée une courbe C, si l'on considère une fa- mille de surfaces représentée par une équation où figu- rent n-h-i paramètres arbitraires, on pourra en général déterminer ces /z-|-i paramètres de manière à établir, en un point donné delà courbe C, un contact de l'ordre n. La surface déterminée ainsi est dite osculatrice de la courbe C, au point donné, relativement aux surfaces de la même famille qui passent par le même point. Nous allons traiter, dans ce qui va suivre, ànplaii oscillateur et de la sphère osculaliice.

Du plan osculatcur en un point. d\ine courbe donnée.

268. Soient x,j, z les coordonnées d'un point M d'une courbe rapportée à trois axes rectangulaires. Comme l'équation du plan ne renferme que trois para- mètres arbitraires, le plan oscillateur de la courbe au point donné est celui qui a un contact du deuxième ordre en ce point avec la courbe. 11 est à peine néces- saire d'ajouter que, pour certains points particuliers, l'ordre du contact peut être supérieur à 2.

Soit

aX4 ^Y-i-cZ- /?r.-o

l'équation d'un plan S; nous désignons par a, b. c les

CHAPITRi: IX. 397

cosinus des angles que l'ail avec les axes la direction de la perpendiculaire p abaissée de l'origine des coor- (ionnécs sur ce plan. Soit d la distance M'P du point M'(a' -h /Sx, y -\- Ay, z 4- Az: ) de la courbe au plan S ; on aura

et il nous faut déterminer les constantes a, /^,c,/^, parmi lesquelles trois seulement sont arbitraires, de manière que è soit un infiniment petit du troisième ordre; l'infi- niment petit principal est la distance de M' à la nor- male KL du plan, ou tout autre infiniment petit dont le rapport à cette distance a une limite finie. On a, par la formule de Taylor, quelle que soit la variable indépen- dante,

(IKr A.r: ; dx i- R3,

I .2
	- K
d^z A3 :zjidZ -■ I .2	-;-R"

R;,, R',, R" étant des infiniment petits du troisième ordre. En substituant ces valeurs dans l'expression de —d. on a

'_::.§ — ^ax -\- by -hcz — /} ^ -f- ^udx ~ bdy r- cdz

-\- - [ad^x H- bd*y + cd^z] -+- [aR^ -f bK'^ , cR"),

et j)our que cette expression soit un infiniment petit du troisième ordre au moins, il faut et il suffit que l'on ait

ax ~ by -\- cz — p7=z o, adx. •- bdy -+- cdz r= o, ad' X ,- b'^i' y -'- cd-z . o.

La première de ces équations expi iiue tjue le plan S

398 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

passe par le point M; elle détermine /j> quand a, h, c sont connus ; les deux autres équations donnent

, . a h c

[2) ■ — — z:zz czr ' -•

clyd'^z--- dzd'^y dzd'^x — d.r.d'^z dxd^y — dy d- x

Les dénominateurs des rapports qui figurent dans la for- mule (2) sont proportionnels aux cosinus des angles À, p., V, formés avec les directions positives des axes, par l'une ou l'autre des directions de l'axe du cercle de courbure (n'^ 263); on a donc

a = ces)., é = COS(7., CrTTCOSv;

et par conséquent le plan osculnteur n'est autre chose que le plan du cercle de courbure, c'est-à-dire le plan mené parla tangente et par la normale principale. Dans le cas d'une courbe plane, le plan osculateur est celui de la courbe.

269. Si les constantes a, b, 0, p satisfont seulement aux deux premières conditions (1), le plan S aura au point M, avec la courbe, un contact du premier ordre ; il sera simplement tangent, et il restera dans son équation un paramètre indéterminé. Nous indiquerons ici deux propositions qu'il convient de remarquer :

Théorème I. — Le plan osculateur en un point M d'une courbe est la limite vers laquelle tend le plan mené par la tangente en M et par un point M' de la courbe infiniment voisin de M.

Tant que le plan dont il s'agit n'a pas atteint sa limite, il a en M avec la courbe un simple contact du premier ordre. Son équation est

(i) a(X — .r) + A(Y— j)h-c(Z— 2)=o,

et l'on a, par hypothèse,

(2^. adx -i bdj -\- cdz = o;

cnAPiTr.F. IX. 399

en outre, comme le plan [)asse parle pointM'dela courljc pour Icfpicl It'S coordonnées sont x -r- ^x, j -\- ZV) , z -\- A^, on a aussi

( 3 ) r/ A.r -f- b \y ~- c A3 — - G.

Désignons par / la variable indépendante, on aura, par la Ibrmule de Taylor,

Lt	dr	d'-.T A/- ^- , , -4- A At\ di - 1.2
Aj	dr dt	v/-r A^- „ , -h — r i-BA?3, dt- 1.2
Az	dz = :— Ar dt	d'-z M- ^ , ;- T^ CA^^ dt- 1.2

en désignant par AAt^, . . . les restes des trois séries. Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (3), qu'on réduise ensuite par le moyen de l'équation (2) et qu'on divise par A/-, il viendra

1 / d^-.r , dH d^z\

2 V dt- dt- dt- J ' '

passant à la limite, At devient nul, et l'on a (4) ad^.i' -f- hd-y -r- cd^ z =: o.

Les valeurs de rt, h, c tirées des formules (2) et (4) sont bien celles qui conviennent au plan osculateur.

Remarque. — Les coordonnées x, y^ z ont été sup- posées rectangulaires au n" 268; mais on voit, par le théorème précédent, que l'équation du plan osculateur conserve la môme forme quand les coordonnées sont obliques.

270. Théorïcme II. — Ze plan osculateur eu un point M d' une courbe est la limite vers laquelle tend le

400 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

plan mené par le point M et par deux autres points M', M" de la courbe, i/ifiniment voisins de M.

Appelons t la variable à l'aide de laquelle sont expri- mées les trois coordonnées x, y, z des points de la courbe, et soit

xz=^'f[t), y = -^[t], z^'K[t).

Représentons par t, t -h hi, t ■+- /i2 les valeurs de la va- riable qui correspondent aux points M, M', M", Dans l'équation générale du plan •

aX-^r bY ^cZ — p = o,

remplaçons X, Y, Z respectivement par (f{t), ^{t), 7r(f), et désignons par F(f) la fonction

af[t] -i- b-^[t) -r-CTz[t) — p.

Les i^elalions qui expriment que le plan comprend les trois points M, M', M" sont

F(/)=:o, F{t-hhi=zo, F{t-\- h2)=o.

Si l'on fait tendre vers zéro, d'une façon arbitraire, les deux quantités A, et hi, le système ( n° 58) se réduit à

Y{t] = o, F'(«; = o, F"[tj=o.

On a donc, pour déterminer les rapports des quantités a, b, c, p, à l'une d'entre elles, les relations

a.T H- by -r-cz — p =: o,

adx -i- bdy --\- cilz - o,

ad^x 4- bd'^y -Y-cd'^ z := o.

Les deux dernières donnent les rapports des quan- tités a, b, c qui conviennent au plan osculateur.

CIIAPITHE IX. 401

Remarque. — On définit quelquefois le plan oscil- lateur par J'une des deux propriétés qui font l'objet des précédents tliéorèraes. La normale principale peut alors être définie en disant qu'elle est l'intersection du plan normal et du plan osculaleur.

De la torsion ou seconda couihure des courbes gauches.

271 . Les déviations successives de la tangente dans le passage d'un point d'un arc de courbe à un autre nous ont conduit à la notion de la courbure. Mais, dans le cas des courbes gauches, il y a lieu de considérer une affec- tion d'une autre nature à laquelle on a donné le nom de torsion ou de seconde courbure, et de là vient la déno- mination de courbe à double cou/bure, applicjuée aux courbes gauches. La torsion d'un arc de courbe résulte des déviations successives du plan osculateur ou de l'axe de ce plan, dans le passage d'une extrémité de l'arc à l'autre extrémité; pour la définir avec précision, nous emploierons les considérations qui nous ont déjà servi quand nous nous sommes occupé de la pi'cmière cour- bure.

Soient AM un arc de courbe, MT la direction de la tangente en jM, iMN celle de la normale principale et jML l'une ou l'autre des deux directions de la perpendiculaire au plan osculateur; la direction de la tangenlc en chaque point de l'arc AJ.I est déterminée ici comme on l'a indiqué au n" 201 . Construisons une sphère ayant pour centre un point quelconque O et dont le rayon soit égal à l'unilé de longueur. Si l'on mène dos rayons parallèles aux di- re-Jlions des tangentes aux divers points de l'arc A^I, les extrémités de ces rayons détermineront sur la sphère (n'-t!!]! ) la courbe au, dont la longueur mesure la première

S. — Ca/c. Jijf, 2Û

402

CALCUL DIFFÉRENTIEL.

courbure de l'arc AM. Cela posé, menons par le centre O de la même sphère des diamètres parallèles aux axes des plans oscillateurs relatifs aux divers points de l'arc AM;

les extrémités de ces diamètres détermineront sur la sphère deux arcs de courbe symétriques. Soit am l'un de ces arcs, la longueur t de l'arc am sera dite la torsion ou la seconde courbure de l'arc AM.

Si l'extrémité A de l'arc AM = 5 est fixe et que l'extré- mité M soit mobile, la courbure r sera une variable; sa différentielle ch est dite V angle de torsion au point M, oixV ajigle de contingence relatif à la seconde courbure.

Soient MM'= A^ un accroissement infiniment petit de l'arc s,j l'angle que fait l'axe du plan osculateur en M' avec l'axe du plan osculateur en M; les extrémités des rayons Om, Om'parallèles à ces deux axes détermineront sur la courbe sphérique l'arc Ar qui, par notre défi- nition, est la torsion de l'arc MM'. Par le raisonnement déjà employé (n" 261 ) à l'occasion de la première cour- bure, on prouvera que l'on a

lim — =: I,

At '

c'est-à-dire que le rapport de l'angle des plans osculatcurs relatifs aux extrémités d'un arc infiniment petit, à la torsion de cet arc, a pour limite l'unilé.

La torsion mojenfie d'un arc de courbe est le rapport

CHAPITRE IX. 4o3

de la torsion absolue à la longueur de l'arc. Enfin nous

appellerons torsion ou seconde courbure en un point

d'une courbe f la limite vers laquelle tend la torsion

moyenne d'un arc infiniment petit de la courbe, ayant

ce point pour origine.

D'après cela, la torsion au point M de la courbe AM

aura pour valeur

,. At dz

luu — ou — -• ^s as

On peut encore assimiler cette seconde courbure à la courbure d'un cercle, et l'on nomme rayon de torsion ou rayon de seconde courbure le rayon du cercle dont la courbure en chaque point est égale à la torsion de la courbe donnée au point que l'on considère. Si l'on désigne par T le rayon de la seconde courbure, on aura

la différentielle dx a le même signe que ds.

272. La courbe AM étant rapportée à trois axes rec- tangulaires, supposons, comme au n° 262, que l'on ait placé le centre Ode la sphère à l'origine des coordonnées. Désignons toujours par j:,j) , z les coordonnées du point M et par ?., u., v les angles que fait avec les parties positives des axes l'une des directions ML ou Oui de l'axe du plan osculateur; les coordonnées du point m seront

ces)., COSjU, COSv,

et, par conséquent, la difrérentielle dx de l'arc t aura pour valeur

dx = s/{dcos') )*+ [dcosu.]- -t- ' d cos-jV-; les cosinus des angles 1, ^, v sont connus ^n" 2Go) en

ao.

4o4 CALCUL DIFFÉREPJTIEL.

fonction des coordonnées : on peut donc calculer (h, et par suite le rayon T, en fonction des mêmes coordon- nées; nous ferons ce calcul plus loin.

273. J'établirai ici une proposition que j'ai fait con- naître depuis longtemps et qui a une grande importance dans l'étude des propriétés des courbes ; cette proposition consiste simplement en ce que les tangentes aux points correspondants m et |t/ des deux courbes sphériques que nous avons introduites sont parallèles.

On a, en conservant les notations dont nous avons fait usage dans les numéros précédents,

COS«<^/c()S« -h COsSf/cosê -{- COS y <■/ CCS y = o,

cos)i<:icosK -{- cospK'/cosS + cosvf/cosy --^ o;

effectivement, d cosa, dcoso, ^cosy étant proportion- nelles à cos^, cosr?, coS(^, les formules (i) expriment la perpendicularité de la normale principale sur la tan- gente et sur l'axe du plan osculateur. En ayant égard à la seconde des équations (i) et en différentiant les sui- vantes :

ces a cos). -r- cos6 cosp. -:- cosy cosv = o,

cos- ). -- cos^ pt -1- cos- -j =^ I , on trouve

i cos a <^/ cos). -f- cosêr/cospi -I- cos y <^/ cos y =::0,,

(a] <

( C0S^<^/C0S> -r- C()SfA<'/C0Sf>t. -•- cosv<'/cosv --0.

Or les cocfficienis des différentielles

(3j <-/cosa, dcosG, Ci cos y,

dans les équations (i), sont exactement les mêmes que les coefficients des différcnlielles

[Àj dcosl, é/cosiA, </cosv

CHAPITRE IX. 4o5

dans les équations {■?.); dune les difTcrcnllclles (4) sont proporlionnclles aux didérentlelles (3), et l'on a

, ^ , cl cns 1 d cos ot d cns v

^ £/cosa f^cosé rfcosy

Ces formules démontrent la propriété énoncée : eflec- livemenl les cosinus des angles que fait avec les axes la tangente en m à la seconde courbe sphériquc sont pro- portionnels aux différentielles des coordonnées, c'est-à- dire aux différentielles (4); de môme, les cosinus des angles que fait la tangente en f. à la première courbe sphérique sont proportionnels aux différentielles (3) ; il en résulte que ces deux tangentes sont bien parallèles.

Mais, en prenant les points a et a pour origines des arcs des courbes sphériques, les directions des tangentes aux points correspondants peuvent coïncider ou être opposées. La courbe sphérique relative aux axes des plans osculateurs se compose, d'après notre construction, de deux parties symétriques qui répondent aux directions opposées de ces axes ; donc, selon que Ton prendra l'une ou l'autre de ces parties pour la courbe rt/;?, les directions des tangentes en m et /y. seront de même sens ou opposées. Je supposerai que l'on ait construit la courbe ain de manière que les tangentes en [j. et m aient la même direc- tion, direction qui est celle de la normale principale an point M de la courbe donnée. Alors, à cause des équa- tions (2) du n" 260, la précédente formule donnera

i r/cos). = cosÇf/r,

(G) < <^/cOS(X irr C()SJ;^T,

d cosv = cosi^f/r.

4o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Résumé et complément des foj'mules prmcipalcs rela- tives à la théorie des courbes gauches.

27-4. Je crois devoir résumer ici les résultats divers que nous avons obtenus dans les numéros précédents. Rappelons que nous désignons par

X, y, z les coordonnées rectangulaires;

Cf., S, y les angles formes par la direction de la tan- gente avec les directions positives des axes;

^, yj, ^ les angles formés parla direction de la normale principale avec les mêmes directions;

X, IX, V les angles formés également avec les mêmes directions par la direction de l'axe du plan oscu- lateur;

ds, du, dr la différentielle de l'arc de la courbe donnée, l'angle de contingence et l'angle de torsion.

Alors on a

( I ) f/jr r= ds cos «, dy = ds ces ê, dz = ds cosy,

(2) d cosoc = cos^dT, r/cos§ = cosvjr/iT, r/cosy =r cos^rfo-,

(3) d COSl ::= Cns^d-, dcOSl^. =: COSfldr, d CCiSv =1 cos'Çd-r,

pourvu que la direction de l'axe du plan osculateur soit déterminée, comme on l'a indiqué au numéro précédent. Cela posé, si l'on difFérentie l'équation

cos^ ? = I — cos^ a — cos^ \ on aura

cosÇr/cosf = — cosarfcosot^ co^ldc.os\

ce qui devient, en faisant usage des formules (2) et (3),

dcos^:= — COSxd<T — COS^<'/t;

cette formule en donne deux autres, par les permutations

CIIAPITKE IX. 4^57

(les lettres, et l'on a ce nouveau système de Ibnnules :

I^cos; -= — cosar/T — cosld-, r/cosr = — cosêr/o- — c<)^'/.(h, «^/cosÇ = — cosy^/or — cosv (h.

Les formules (2), (3), (4) permettent d'exprimer, dans les recherches relatives à la théorie des courbes, les dilTérentielles des neuf cosinus, cosa, . . . , en fonc- tion de ces mêmes cosinus et des dilTcrentielles des trois ares s, a, t. On a d'ailleurs

(5) cIs — J\(h = Td-.

On tire des formules (4)

\/[cicos^)^-h [dcos-A)^-h (r/cosi;)2= v/^/cT^-Hf/T^

cette expression est celle de la différentielle de l'arc d'une troisième courbe sphérique que l'on formerait en menant par le centre d'une sphère des rayons parallèles aux directions des normales principales de la courbe proposée.

275. Pour donner un exemple des avantages que procure l'emploi des formules précédentes, je les appli- querai à la recherche du rayon de torsion T en fonction des coordonnées rectangulaires. A cet elfet, reprenons les équations (7) du n" 2Go, savoir

— cosX z=±: dyd^z — dzd-j),

ds^

-— cospt ^=zt: dzd-x — d.rd-zj,

— — cosv =ZiZ d.rd-y — dyd^x].

Diiférentiant ces éc[uutions et ayant égard aux for-

4o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

xîîulcs (3) et (y) du numéro précédent, on trouvera

/ , r/,v" \ ^ ds'*

\ rT ) ^ ~^' RT "^"sÇ ==fc [djcPz — dz d^j),

( rls^\ ds'*

\ tT / '^^^f* "T~ TTTj; COSïj = dz i dz d^.x — dxd^ z),

/^^/.s-n ds^

l tT ) '^"^^ ~^" ÏÏT *^°"'''' ^^ -^ dxd^y — dy(Px] ;

et si Ton ajoute ces trois équations, après les avoir mul- tipliées respectivement par les trois suivantes :

-— cos£ ^ d^.x d.r,

It ^ ds

— COSV3 r^ f/-j - — r/j,

-— cosÇ := d^z — dz,

1\ t/^

il viendra

^^ =dz [{r/jû?32 _ dzd^y)d^x -\- [dzd^x — dxd^z)d'^y

plaçant — par la va du n° 262,

ds^ ou, en remplaçant —par la valeur tirée de la formule (4)

rp |_ [dyd'' z — dzd^yY -\- [dzd'^x — dxdHf-^ [dxd^~y — dvd^xf

[dyd^z — dz d^y]d-x + [dzd^x — dxdH)d^y-\- \dxd^y — dyd^x](Pz '

La valeur de T étant essentiellement positive, la for- mule précédente fait connaître le signe qu'il faut substi- tuer dans les formules (5), (6) et (7) du n" 26o, au signe ambigu dz ; on doit se rappeler que la dircclion de l'axe du plan osculaleur a été fixée par la convention adoptée au 11° 273. Il convient de remarquer que le rayon de torsion s'exprime par ime fonction rationnelle des différentielles des coordonnées.

CriAPITRÉ IX. 409

27G. Si l'on égale à zéro le dénominateur de l'expres- sion de T, on obtiendra la condition qui exprime qu'une courbe est plane. Lorsqu'on prend x pour variable indé- pendante et que l'on fait en conséquence d-x = o, d^x = G, la condition dont il s'agit est simplement

d^y^r-z — d^yd^z— O.

Cette équation peut se mettre sous la forme

d^z elle exprime donc que le rapport —- est égal à une

conslanlc B; ainsi l'on a

en sorte que dz et B<7)' ne diffèrent que par une con- stante Adx; on a donc

dz z~ Adr -'r- Bdj-y

et l'on en conclut

C étant une nouvelle constante. Cette dernière équation représente un plan dans lequel la courbe est située.

De la splière osculatrice en un ])oint d'inw courbe donnée.

277. L'équation de la sphère renferme quatre para- mètres arbitraires, les coordonnées du centre et le rayon ; on peut donc en chaque point d'une courbe établir un contact du troisième ordre entre cette courbe et une sphère; celle-ci sera la sphère osculatrice.

Soit M MU point de la courbe donnée; faisiMis passer par ce point une sphère dont nous représenterons le

4ïO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

centre par O. Prenons sur la courbe un point M' infini- ment voisin du point M, et considérons le plan qui passe par le point M' et par le rayon MO; ce plan coupe la

p 11

sphère suivant un grand cercle, et le plan tangent en M à la sphère suivant la ligne iMlI tangente au grand cercle. Abaissons M'P perpendiculaire sur MH, et désignons par 7ji le point où cette perpendiculaire rencontre la circonférence du cercle. D'après la définition générale du n" 267, la sphère O sera osculatrice au point M de la courbe donnée, si la ligne M'm est un infiniment petit du quatrième ordre, Finfiniment petit principal étant la ligne MF ou tout autre infiniment petit dont le rapport à MP tend vers une limite finie. On a

M'm = M'P — mP,

Mm

et mP = —-—- est un infiniment petit du deuxième 2 MO ^

ordre; donc il faut déjà que M'P soit elle-même un in- finiment petit du deuxième ordre, ce qui s'accorde avec ce qu'on a dit au n°267. Désignons par /' le rayon de la sphère, par s l'arc de la courbe terminé en M et compté à partir d'une origine quelconque, par A5 l'arc MM' de la même courbe. On aura

mP

mP

Mm	MP +mP MM'	— M'P +mP
nr	2/-	> 2r
\s'-	(A^ — MM') (A.Ï-4-MM'	) + âFp' — 7«p'
2r	2/-

CHAPITRE IX. 4' ^

or la (llfTércncc entre l'arc As et sa corde est un infi- niment petit du troisième ordre (n° 266); M'P et mP sont des infiniment petits du quatrième ordre; donc la diirércncc des deux cpiantités

mV,

ir

est un infiniment petit du quatrième ordre. Par consé- quent, la sphère osculatrice est telle que

M' P

2r

est un infiniment petit du quatrième ordre.

Désignons par Xç^ , Jq , -o les coordonnées du centre de la sphère osculatrice relatives à trois axes rectangulaires ; par X, y, z les coordonnées du point M ; par x -i- Ax, j -f- ù^y, z -\- ù^z celles du point M'. L'équation de la sphère sera

et celle du plan tangent en M,

[x - X,] (X - .r) -u [y -y,] (Y -y] + (3 - z,) (Z - z) = o.

Le centre de la sphère et le point M' étant situés d'un même côté du plan tangent, on obtiendra des résultats de même signe si l'on remplace X, Y, X, dans l'équation précédente, par les coordonnées de l'un et de l'autre point. Or la substitution des coordonnées du centre donne le résultat — r-\ donc la substitution des coor- données du point M' donnera un résultat négatif. D'après cela, la distance M'P du point M' au plan tangent sera

4^2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, par conséquent, on aura

M'PX/-— - ^s^

= .;.ro — a:) A.r -u [y^ — j ) ^y ~-\- [zq — z]Lz A^^;

telle est l'expression de la quantité qui doit se réduire à un infiniment petit du quatrième ordre. On a

Ax =1 dx -i- + ~— r- + . . . ,

2 b

^2 y fPy

d^z d^z

A3 r= dz H 1- -^ H- . . . ,

2 D

et

d'^s

As =. ds -\ h . . . •

2

d'où, par l'élévation au carré,

As^=:^ds^-{-dsd^s -h.. ..

Pour remplir l'objet demandé, il suffit de substituer ces valeurs de ùx, Aj, A^, A.v- dans l'expression précédente et d'égaler ensuite à zéro la somme des termes infini- ment petits du premier ordre, la somme des termes du deuxième ordre, et enfin celle des termes du troisième ordre. On obtient ainsi les équations

ro — x) dx -f- [xo — j) dj -h [ Zq — z] dz — . o,

T^ — x)d^x -\[y^—y)d^y -\- 'z^— z)d^ z — Zdsd^ s — o,

qui détermineront les coordonnées jro,.7o> -o du centre (le la sphère osculatrice. Le rajon /• sera donné ensuite

CH.vnxnF, IX. 4 ' ^

par l'équation

(2) (.ro - .r)«-i-- [Jo-IY + (3o - 2)«- r' = O.

Il faut remarquer que la première des équalions (1) s'obtient en difTérentiant l'équation (3), dans l'ii^) pothcse de Xo, Jo, ^0, r constantes; pareillement, on obtient les deux dernières équations (i) en dilTérentiant deux fois de suite la première, dans la même hypothèse.

278. D'après cette remarque, les équations (i) et (2) peuvent être représentées, pour abréger, par

V=^o, ^V=;o, f/«V— o, d^y -zo.

Si les trois premières sont seules satisfaites, la sphère n'aura avec la courbe qu'un contact du deuxième ordre, et il restera une constante arbitraire dans son équation. Si les deux premières équations sont seules satisfaites, la sphère n'aura qu'un simple contact du premier ordre avec la courbe, mais il restera deux arbitraires dans son équation; enfin, quand la première condition est seule satisfaite, il n'y a plus de contact au point com- mun, et il reste trois arbitraires dans l'équation de la sphère.

Dans chacun de ces cas, on peut assujettir la sphère à passer par un point W[x -h Aj-, y -\- Aj, z -+- A3) de la courbe, ce qui donne la condition

V-4-AV=0.

Or, si les i — i premières des quatre équations préce'- dentes sont satisfaites, et que t désigne la variable indé- pendante, la nouvelle condition pourra se mettre sous la forme

1 /r/'V \

4l4 CALCUL DIFFI^aENTIEL.

6 s'annulant avec At; elle se réduira donc à

ou à

d'Y — o,

lorsque le point M' viendra se confondre avec le point M. Donc : Toute sphère qui a un contact d'ordre i en M avec une courbe peut être regardée comme la limite d'une sphère qui a un contact d' ordre i — i et qui passe par un point M' de la courbe infiniment voisin du point M.

279. Nous présenterons encore ici deux propositions qu'il convient de remarquer.

Théorème I. — La sphère osculatrice en un point M d'une courbe est la limite de la sphère qui passe par le point M et par trois autres points de la courbe infini- ment voisins de M.

Supposons encore la couibe définie par les formules

.X = ^[t), J = ^[t). Z = Tz{t),

et soient t, t-\- h,, t -h h2, t-\- h^ les valeurs de t qui répondent aux quatre points considérés. En posant

on obtient, comme au n" 270, pour déterminer les pa- ramètres de la sphère limile, les relations

V = o, ^V = o, ^/'-V = o, r/^V = o,

conditions qui sont bien celles de la sphère osculatrice.

280. Théorïîme II. — Le centre de la sphère oscula- trice en u/i poi/itM d'une courbe est la limite vers la-

CHAPITRE IX. 4'^

quelle tend le point d'inlerseclion de l' axe du cercle de courhu/e en M, el du plan normal en un autre point de la courbe infiniment voisin de M. Ce centre est aussi la limite du point d' intersection du plan normal en M et des plans normaux en deux autres points de lu courbe infiniment voisins de M.

En efTet, quand on considère Xo, ro> ^o comme des coordonnées variables dans les équations (i) du n° 277, la première équation est précisément celle du plan nor- mal en M, et le système des deux premières appartient (n*'2G4) à l'axe du cercle de courbure. Représentons par

V = o, r/V = o

ces deux équations, le plan normal en un point infini- ment voisin de M aura pour équation

V -4- AV 11 o,

et, en la joignant aux deux précédentes, on aura le sys- tème qui convient au point d'intersection. Mais, par le raisonnement déjà employé plus haut, cette dernière équation se réduit, au moyen des précédentes, à

t étant la seule variable indépendante, et e une quantité qui s'annule avec Ai ; en outre, elle devient — - =l o, ou

quand Aa s'annule. De là rcsiille la j>rcniièrc partie du théorème énoncé.

La deuxième partie se démontre par un raisonne- ment analogue à celui du numéro précédent.

4l6 CALCUL DirrÉREMTIEL.

Expression des coordonnées du centre et du rayon de la sphère osculatrice en un point d'une courbe.

281 . D'après l'analyse précédente, les coordonnées du centre de la sphère osculatrice sont déterminées par l'équation du plan normal jointe à celle qu'on en déduit par deux différentiations relatives à la variable indépen- dante dont les coordonnées de la courbe sont fonction. Or, avant d'exécuter l'une de ces différentiations, on peut multiplier l'équation qu'il s'agit de différentier par une fonction quelconque des coordonnées; car, si l'on représente cette équation par V =^ o, et qu'on la rem- place parMV -- o, on obtiendra, par la différentiation, y dM. -'-M.dY --=^ o, qui sera équivalente à dY=o, à cause de V = o. Cela posé, en conservant les notations dont nous avons constamment fait usage, et dont nous avons présenté le résumé au n" 274, l'équation du plan normal sera

(i) (xq — .r)cos« -!-(/o — j) cos6 -f- (zq — z) cosy = o;

en différentiant dans l'hypothèse de Xq, y^, Zq con- stantes et employant pour cet objet les formules (2) et (^0) du n° 274, on obtient

{2) (xo — ^.-jcosÇ -r( Jo — j)cos-/3 -1- (zo — -)cos'^ = R;

différentiant de nouveau, au moyen des formules (3) et (5) du n° 274, il vient, en ayant égard à l'équa- tion (i),

( 3 ) (.ro — x) cos). -I- ( Jo — j) cos,« H- (zo — z) COSV = — ^ .

Ajoutons maintenant les équations (1), (2), (3) après les avoir multipliées respectivement d'abord par cos3£, co3|, cos A, puis par cos 0, cos>;, cosu, puis enfin par

CHAPirniv IX. ^iT

cosy, cos'(, cosv, il viendra

0 — ^ =- Il COS; COSÀ.

ds

(4) (Jo — J" RCOSÏJ ;,7- COS/z,

'IV/R ds

0 — Z := K COS Ç -— COS V ;

ds

en outre, si l'on ajoute les équations (4) après les avoir élevées au carré, on aura cette expression simple du carré r^ du rayon de la sphère osculatrice,

(5) ;- = R-4--^^^^.

Le centre de la sphère osculatrice est situé sur l'axe

du cercle de courbure et l'équation (3) montre que sa

distance au plan de ce cercle est égale à la valeur absolue

■p jp

de — .— » ou, d'après l'équation (5), égale à \jr- — U^; i]

résulte de là que :

Le cercle de courbure en un point d'une courbe est l'intersection du plan oscillateur et de la spJière oscu- latrice relatifs au même point.

282. Celte propriété entraîne une conséquence que nousdevonssignalcr. La sphère osculatrice en un point M d'une courbe C est la limite des sphères qui passent par M et par trois autres points IM', M", M'" de la courbe C in- finiment voisins de jNI ; pareillement le plan osculateur est la limite des plans qui passent par M et par les deux points M', M". Il résulte de là que le cercle de courbure est la limite des cercles qui passent parle point M et par deux autres points M', M" infiniment voisins de ]\L Cela posé, projetons la courbe et le cercle sur un plan (iiiol- conquc, et soient m, m', tn" les projections de M, M',

S. — Cale. dijf. 2'-

4l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

M"; le cercle se projettera suivant une ellipse qui aura un contact du deuxième ordre en m avec la projection de la courbe C, car elle est la limite d'une ellipse passant par M et par deux points infinimentvoisins de m (n^'SlS). En particulier, si l'on projette la courbe C sur le plan du cercle de courbure en M, la projection obtenue aura ce même cercle pour cercle de courbure en M.

Des surfaces enveloppes.

283. Désignons ^2lV f[x, y^ z, a ) une fonction des quatre variables x, j, z, a dont la valeur soit bien déter- minée quand on a fixé les valeurs de x, j, z, a. Si l'on suppose que x, j, z représentent des coordonnées quel- conques et que a soit un paramètre variable, l'équation

(i) f[^, J, z, «) =0

représentera une famille de surfaces; à chaque valeur de a répondra une surface individuelle.

Si, après avoir donné à a une valeur déterminée, on attribue à ce paramètre la nouvelle valeur a H- Aa, on aura une d»euxième surface ayant pour équation

f[.T, J, Z, a -1- A«) :.= o,

et qui coupera la première suivant une certaine courbe. On peut prendid pour la deuxième équation de cette courbe

/(.r, r, z, a -4- Aa) — /(.r, y, z, a) 1. =°'

au lieu de la précédente.

Maintenant, si l'on fait tendre Aa vers zéro, l'inter- section dont nous venons de parler tendra vers une cer-

CHAPITUE IX. 4 '9

taine limite, pour laquelle on aura, outre l'équation (i),

{^) ~ ::=0,

et il y aura sur chacune des surfaces représentées par l'équation (i) une courbe déterminée de cette manière. Le lieu géométrique de toutes ces courbes est une sur- face dont l'équation s'obtiendra par l'élimination de a entre les équations ( i ) et ( 2 ) ; cette surface est dite V en- veloppe des surfaces que représente l'équation (i), et celles-ci, à leur tour, ont reçu le nom d'enveloppées. La courbe variable représentée par les équations (i) et (2), et dont l'enveloppe est le lieu géométrique, a été nommée par Monge la caractéristique de l'enveloppe.

284. Théorème L — L' enveloppe est tangente à l'en- veloppée en chaque point de la caractéristique.

En effet, soitM(j:,j^, z) l'un des points communs à l'enveloppe et à l'enveloppée ; pour établir que l'enve- loppée et l'enveloppe ont le môme plan tangent en M, il suffit de montrer que, si l'on prend x etj" pour variables indépendantes, la valeur de la différentielle totale dz sera la même au point M, pour l'enveloppée et pour l'enveloppe.

L'enveloppée étant représentée par l'équation (i), où « a une valeur déterminée, la valeur de dz relative à cette surface est donnée par l'équation

I 3 ) -,- d.T -\- -— dy -^ -- dz z= G,

^ ' dx dy dz

que l'on obtient en différentiant l'équation (i) dans l'hypothèse de a constante.

L'équation (i) peut aussi être prise pour celle de l'en- veloppe, pourvu qu'on regarde a non plus comme une

37.

420 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

constante, mais comme une fonction de x, y, z définie par l'équation (2). Alors, pour avoir la valeur de f^:; qui convient à l'enveloppe, il faut différentier l'équation (i), dans l'hypothèse de a variable. 11 vient ainsi

4 -^ f/.r + f- c/j -l- ^ ^z + -f r/« = o ;

^^' ox oy ôz Ou

mais la dérivée partielle -^ étant nulle, d'après l'équa- tion (2), notre équation (4) se réduit à l'équation (3), la valeur de a devant être ici tirée de l'équation (2). Comme cette valeur, pour les points communs à l'enve- loppe et à l'enveloppée, est précisément celle qui con- vient à l'enveloppée, l'équation (3) donnera pour l'une et l'autre surface la même valeur de dz, ce qui démontre le théorème énoncé.

285. Considérons trois enveloppées répondant aux valeurs

a, a -}- /(i, a -f- /i^

du paramètre. Ces trois enveloppées se couperont en certains points m, m', ..., dont les coordonnées sont déterminées par les équations

(5) /(.r,j, 3, a)=0, /(.r, j, z,«H-^,^ r=o, /(.r, j, z, k + Âj)— O.

Lorsque hi et h<i tendent vers zéro, ce système se ré- duit à

(6) /[x,j,z,«)=o, -^ =0, ^^^ =0.

Il est facile de voir que ces points M, M', ... sont aussi les limites vers lesquelles tendent les points d'in- tersection de la caractéristique

.f ^ « àf{x,y,z,oi)

f{x, j, z, a) =. 0, ^^ = O

CHAPITRE IX. 421

et de l'enveloppée

f[x,y, z, 0L-\- A«) = o,

lorsque l'on fait tendre Aa vers zéro.

Il y a ainsi sur chaque caractéristique un ou plusieurs points, tels que M, M', ..., et le lieu de tous ces points forme une courbe dont les équations s'obtiendront par l'élimination de a entre les équations (6); Monge lui a donné le nom d^aréte de rehroussement de l'enveloppe.

286. Théorème II. — Toutes les caractéristiques sont tangentes à l'arête de rehroussement.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver qu'en chaque point commun à la caractéristique et à l'arête de rehroussement, les valeurs de dy et de dz sont les mêmes pour les deux courbes, x étant prise pour variable indépendante.

Représentons, pour abréger, par/',/'' les dérivées r|-, -r-Y> les équations de la caractéristique seront

(7) /(^, J, z, al =0, /'(jc, j, 3, a) =0,

et, en difTérentiant dans l'hypothèse de a constante, on aura les équations

' àf , àf ^ df , ôx dy -^ àz

- — dx -1 r— dy H r— dz = o,

V Ox Oj Oz

qui détermineront c?^ eidzen chaque point de la courbe.

Les équations (^) peuvent aussi être prises pour celles

de Tarêle de rehroussement, à la condition que a y désigne

42 2 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

la fonction de x, y, z déterminée par l'équation

(9) /"(x, j, z, «1 — o.

Mais, en différentiant les équations (y) dans cette nou- velle hypothèse, on obtient toujours les mômes équa- tions (8), car les termes -r- da., -^ dcc ou f'da, f''dct,

qu'introduit la variation de a, sont nuls par les condi- tions de la question. Gomme a a d'ailleurs la même va- leur pour les points communs à la caractéristique et à l'arête, les équations (8) donneront, pour les deux courbes, les mêmes valeurs de dy qX. de dz\ en consé- quence ces courbes sont tangentes.

Des surfaces développables.

287. Nous appellerons surface dé^eloppable toute surface qui est l'enveloppe d'un plan mobile.

Soient a, b, c, p des fonctions données d'un paramètre variable et a, b' , cf, p' leurs déi^ivées; l'équation d'un plan mobile sera

(i) ax -\- by -T- cz — /? = o;

et celle de l'enveloppe s'obtiendra par l'élimination du paramètre entre l'équation (i) et la suivante :

( 2 ) a' x -\- b' y -h c'z — p' =o:

enfin les équations (i) et (2) appartiendront à la caracté- ristique. Cette caractéristique est ici une ligne droite et, comme elle est tangeste à l'arête de rcbroussement de l'enveloppe, on voit qxï' une surf ace développable est le lieu géométrique des tangentes d'une courbe gauche. L'arête de rcbroussement de la surface développable

ciiAPiTr.E IX. 423

peut se réduire à un point; cela arrivera si les fonctions a, h, c, p du paramèlrc sont lices entre elles par l'équa- tion

(3) a.XQ-V- by^-h cZq — j) —0,

Xq, Jq, Zq étant des constantes. Dans ce cas, les équa- tions (i) et (2) se réduisent à

... j « (■'^ — ^0' + ^ [y—yo)^c [z — z^' — o,

( a[x — xo + ^'(jK — Jo)-l-«^(z— Zo! = o>

et la surface développable est un cône qui a pour sommet le point dont les coordonnées sont Xq, Jq, Zq. Enfin, si l'on pose

m, n étant des constantes, et que l'on fasse tendre Zq vers l'infini, l'équation (3) se réduira à

(5) am -\- bn -\-c =.o.

Si les fonctions a, b, c satisfont à cette relation (5), les équations (i) et (3) pourront être mises sous la forme

i [x — mz^ -^ b yX — nz) — p ^= o,

^ ' \ a\x — mz) -\- b'[y — HZ —p' = 0,

et elles appartiendront alors à une surface cylindrique. Ici l'arête de rebroussement se réduit à un point situé à l'infini.

288. Le plan mobile enveloppé par une surface dé- veloppable n'est autre chose que le plan oscillateur de l'arête de rebroussement de la surface. En eflet, dési- gnons parx,j^, z les coordonnées d'un point de l'arête, et soient a", b" , c", //' les deuxièmes dérivées des fonc-

424 CALCUL DIFFÉUEMTIEL.

lions a, b, c, p; on aura

ax -;- bj- -]- cz — p := o, a' X 4- b' y -^ c z — p' =z o ^ a"x H- b"y - c"z —p"-o;

toutes les quantités qui figurent dans ces formules sont fonctions du même paramètre; nous prendrons ce para- mètre pour variable indépendante. Si l'on différentie les deux premières des équations précédentes, il viendra, en ajant égard aux .deux dernières,

a dx -I- b dy - - c dz /= o, a! dx. -h b' dy ~~ c dz rr; o ;

differentiant la première de ces deux-ci et ayant égard à l'autre, on aura

ad^x -\- bd'^y H- cd^ z= G.

Les équations

udx H- b dy -t- cdz --^ o, ad^x 4- bd^y A- cd'^z = o

montrent (n*^268) que a, b, c sont proportionnels aux cosinus des angles que fait avec les axes coordonnés l'axe du plan osculateur de l'arête ; donc ce plan osculateur est précisément notre plan mobile.

289, Considérons une surface développable quel- conque ; soient A un point de l'arête de rebroussement

^^

à partir duquel nous compterons l'arc s de cette arête, et E le point qui répond à^ = S. Inscrivons dans l'arc S une

CHAPITRE IX. 4^5

ligne polygonale ABCDE d'un nombre «décotes dont les directions soient respectivement AB, BC, CD, ...; dési- gnant ensuite généralement par^ l'arc de l'arête compris entre le point A et l'un des sommets du polygone, pro- longeons le côté qui se termine à ce sommet d'une quan- tité f= ^(5), (f désignant une l'onction quelconque ; joi- gnons enfin chacun des points a,b,c, ..., qui terniinent les lignes^ au point suivant. On formera ainsi une sur- face polyédrale composée de n — i faces triangulaires et qui sera limitée par la ligne polygonale inscrite dans l'arc S, les côtés extrêmes de cette ligne, et la ligne brisée abcd. Or, en faisant tourner les faces triangulaires Dde,

Ccb, autour des côtés respectifs De, Gb, ..., on

pourra placer tous ces triangles dans le plan ABC du pre- mier d'entre eux; on obtiendra ainsi ce qu'on appelle le déi^cloppement de la surface polyédrale. Dans ce déve- loppement les longueurs t et les côtés des deux lignes brisées ABCDE, abcde demeurent invariables.

Supposons maintenant que le nombre n des côtés de la ligne polygonale ABCDE augmente indéfiniment, et que chacun de ses côtés tende vers zéro, la ligne ABCDE aura pour limite l'arc S, et notre surface polyédrale tendra à se confondre de plus en plus avec la portion de la surface développable limitée par l'arc AE de l'arête, les tan- gentes Aa, Ee aux extrémités de cet arc, et un certain arc de courbe ae, défini par l'équation

' = ?(*),

5 étant l'arc AM de l'arête et t la portion Mu de la tan- gente en M qui est comprise entre le point de contact et l'arc de courbe ae.

D'un autre côté le développement de la surface polyé- drale tendra aussi vers une certanie limite, et nous dirons que cette limite est le développetnent de la portion de

4^6' CALCUL DIFFÉRENTIEL.

surface développable que nous considérons. En particu- lier, la courbe plane qui est la limite de la ligne poly- gonale ahcd après le développement de la surface polyé- drale scrsile déweloppement ou la transform.ee àa la ligne courbe as tracée sur la surface développable. 11 est évi- dent que le plan ABC a pour limite le plan osculateur de l'arête au point A, lequel est tangent (n" 288) à la sur- face développable ; aussi le développement dont nous ve- nons de parler est-il exécuté sur le plan tangent en A à la surface. Remarquons enfin que l'équation f =:: (p(5), qui a lieu, par hypothèse, pour la courbe ae, subsiste après le développement.

Delà surface polaire. — Lieu des centres des sphères osculatrices aux diwers points d'une courbe donnée.

290. On a vu au n° 264 que si l'on représente par

V = o

l'équation du plan normal en un point [x, y, z) d'une

courbe, la droite polaire ou axe du cercle de courbure a

pour équations

V = o, dV = o,

la caractéristique d étant relative aux coordonnées rec- tangulaires x,j'', z et aux quantités qui dépendent de la même variable indépendante ; nous avons démontré enfin au n" 278 que les coordonnées du centre de la sphère osculalrice, pour le point (x,j^, 2^), sont données par les trois équations

Urésulte de là que le plan normal d'une courbe a pour enveloppe une surface développable dont la caractéris- tique ou la génératrice est la droite polaire, et dont l'arête

CHAPITRE IX. 4^7

de rebroussement est la courbe lieu des centres des sphères osculatrlccs. Celte surface développable a reçu le nom de surface polaire.

Il est évident que la courbe lieu des centres de cour- bure est située sur la surface polaire.

291 . Nous avons donné au n" 281 les expressions des coordonnées Xq, y^, z^ du centre de la sphère oscula- trice ; ces expressions sont

I OTo = j: -f- R cos Ç — CCS A,

k (Is

(l) < jo = 7 -+-Rcosy; -— cosp,

Zf^^= z -\- ReosÇ — — ; — COSV, as

et l'on a, en outre

(a) -'^^^^--^.*-

notre notation étant ici la même qu'au n° 274.

Si l'on différenlie les équations (i) et (2) en faisant usage des formules du n" 274, et que l'on fasse

(3) ds^^^±(—r ^d

\ T ds

en attribuant à ^^o le signe de ds, il viendra . ( 4 ) djûQ = qp ^^0 ^<JS y., dy^ =:. zy. dsQ ces f*, dz^ z^ ip ds^ ces v et (5) rdr=jp -^-^^0-

Les formules (4) montrent : 1° que dso est la différcn- tlellc de l'arc de l'arèlc de rebroussement do la surface polaire ; 2° que la tangente à celte arête estprccisémenl

428 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la droite polaire, ce qui est une confirmation des résul- tats obtenus précédemment.

Mais on voit aussi que dso peut être nulle, et alors l'a- rête doit se réduire à un point. Les formules (4) et (5) montrent que Xq, J'09 -o> '' sont des constantes ; la même sphère est osculatrice en chacun des points de la courbe donnée; celle-ci est donc située sur cette sphère.

On peut conclure de là que, si une courbe est sphé- rique et située sur une sphère de rayon a, on a, par l'équation (2),

(6) •''-^^^="'-

Mais si cette dernière équation a lieu pour une courbe, a étant une constante, il ne s'ensuit pas nécessairement que la courbe soit sphérique; en eft'et, il résulte seule- ment de l'équation (6) que l'on a

r ~a d'où dr = o^

et, d'après la formule (5 ), cette circonstance a lieu, non- seulement quand ds^ est nulle, mais aussi quand f/R est

nulle. Lorsque JR =:;:: o, on a dso = =^ et dso ne peut

être nulle que dans le seul cas où T est infini ; quand T ::^ 00 , la courbe est plane, et, comme son rayon de courbure est constant, elle est une circonférence de cercle [W 194).

Si l'on a dK ■— o ou R = const. et que T ne soit pas infini, l'équation (2) donne;;^^ R ctles formules (1) com- parées aux formules (3) du n°:264' montrent que le centre de la sphère osculatrice se confond avec le centre de courbure. On a donc ce théorème:

Si le rayon de courbure d'une courbe gauche est con- stant, la courbe lieu des centres de courbure se confond

CIIAriTRE IX. 4^9

avec l'arête de rebronsscnient de la surface dévelop- pnhle, eni^eloppe des plans îiormaux.

Î29!2. Désignons para», êo, yo\ h, >îo,(toî ^o,f^o, v„, Rq, ïo les quantités analogues a, S, y, . . . , et relatives à l'arête de rebroiissement. Faisons en outre abstraction du cas des courbes planes, c'est-à-dire du cas où Test infini.

Les formules (4) pourront s'écrire comme il suit :

(^) cosao=:iîicos>., cos6o = ~cosfji, cosyo"~=^cosv: la différentiation de ces équations donne

dso — cosÇo = =F Ko	ds ^ ^ cosÇ,
dsQ — COSï7o = -t- "0	ds : — cosij,
dSo y — cosÇo = T Ko	ds ^ - j cosÇ,
— - = 7;^ O" Ro T	d(To =Z dT,

d'où

et

(9) COSÇo = ~COSÇ, COS>3o = =FCOSï3, cosÇo=^cosÇ.

La différentiation des équations (9) donne ensuite, en ayant égard aux formules (7) et (8),

ds(, . ds

— cosAo = ^-;r ces a,

	dSo ••■0
	dSo — COSVo: Ao	ds = -;^cos,,
d'où
( 10)	elso _ ds To ~ R	ou dr^rzz û

43o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et

(il) COS>5 ;:^ =p COSK, COSplo z=q=COSê, COSVo = rp cosy.

En comparant ainsi la courbe proposée à l'arête de re- broussement de la surface polaire, on voit que pour les deux courbes la direction de la normale principale est la même, et que la tangente de chacune d'elles est parallèle à l'axe du plan osculateur de l'autre. En même temps les formules (8) et (9) expriment que la première courbure de l'une quelconque des deux courbes est égale à la se- conde courbure de l'autre. Il est évident que le signe am- bigu zp peut être remplacé à volonté par -+- ou par — dans chacune des formules (7), (9), (11). Remarquons enfin que la formule ( 3 ) devient, en vertu de ce qui pré- cède,

(12) du cIsq =: R da-Q ->r d — •

293. Considérons dans le plan des xj la droite mo- bile représentée par l'équation

( 1 3 ) X sin o-Q — Y cos (Tq = R ;

l'enveloppe de cette droite sera déterminée par l'équation précédente, jointe à celle qu'on en déduit par la diffé- rentiation relative à la variable indépendante dont dé- pendent GTo et R, savoir

( 1 4 ) X cos (To -f Y sin o-fl = -7- ;

on tirera des équations (i3) et (14) les valeurs suivantes des coordonnées de l'enveloppe :

/ . ^R

l X =: + R smo-Q H — 7— coso-Q,

'.5) ^'^»

; =: — R coso-Q -! — — smcTo,

CHAPITRE IX. 43 I

et, en difTcrentiant,

^ /„ , ,dJ{\

(lA. = I Rao-Q + « — ) coso-o,

r/R

(lY = ( Rc/tq -+- d —— ] sino-Q,

ce qui devient, à cause de la formule (12), (16) t/X = =h:r/5o cosc-Q, </Y ^rztr/.yosino-o-

Cesformulesexprimentque, pour notre enveloppe plane, l'arc et la courbure sont les mêmes que pour l'arête de rebroussement de la surface polaire.

Si l'on introduit, dans les équations ( i ), qui déterminent le centre de la sphère osculatrice, les coordonnées X, Y, avec les angles lo, ^01 C»' ^0, f-o, ^o qui se rapportent à l'arête, il viendra

; XQ=:^.a:zj~X (coso-(, cosao - - sino-Q cosÇo) djY(sin(ro cosaQ -;- costoCOsÇo), ! Jo~7--^ {«^"so-Q 00360 — sinToCOSïj^ '!.';■ Y sino-ocosêo + coso-ocosijo). I Zq =^- z;:r:X (cos(7o cosy^ — sin^o ces Q z_ Y ^sino-Q cosy^ + cosko cos?J ;

le signe ambigu dz doit être partout remplacé par -f- ou par — ; on passe au surplus d'un signe à l'autre en ajou- tant une demi-circonférence à l'arc (Jq.

Les formules [ly) donnent immédiatement la solution du problème qui a pour objet de trouver une courbe quand on connaît le lieu des centres des sphères oscula- Irices. Dans ce cas, toutes les quantités affectées de l'in- dice zéro et qui se rapportent à l'arête sont des fonctions connues d'une même variable indépendante; les équa- tions (16) déterminent X et Y par leurs différentielles; après quoi les équations (17) donnent les coordonnées x, jK? z de la courbe demandée.

43*2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Théorie générale des développées et des développantes.

294. Lorsqu'une courbe AM plane ou gauche peut être décrite par l'une des extrémités d'un fil, d'abord enroulé sur une seconde courbe A'M' à laquelle il est fixé par son autre extrémité, et que 1 on déroule de manière qu'il soit toujours tendu, la courbe AM' est dite une développée

de la courbe AM. Réciproquement la courbe AM est une développante de la courbe A'M'.

295. Recherche des développées d'une coubbf. donnée. — Nous désignerons (n° 274) par x, r, ^ les coordonnées de la courbe donnée relativement à trois axes rectangu- laires ; par a, 6, y; \, v, ^; X, [J-, v les angles formés, avec les directions des axes, par la tangente, la normale jirin- cipalc et l'axe du plan osculateur; par s l'arc de la courbe, par R et T les rayons de courbure et de torsion. Les quantités analogues relatives à la seconde courbe se- ront représentées par les mêmes lettres accentuées.

Cela posé, si l'on fait

les conditions pour que A'M' soit une développée de AM

CIIAPITllE IX. /(■j3

seront

(2) :r' — a: = ua)S«', y' — ^=«cos<5', z' — z =- « cosy',

avec

(3) ds' — du.

Si l'on difTérentic la première cqiialion (2) en faisant usage des formules du n" 274, il viendra

ou, à cause de l'équation (3),

, u du

as cosa = — — j- ces; ;

on aura de même

ds cos6 = -— - cos>3 ,

ds COS 7/ = — — - cos ç . Ces trois formules donnent

(4) *-!^'.

puis

(5) COSÇ'=3 — cosa, COSl7'= — COSê, COS?'^- — C11S7,

ce qui exprime que la normale principale au point M' de la développée est parallèle à la tangente au point corres- pondant M de la développante. Les tangentes aux deux courbes sont donc perpendiculaires, et l'on a

(6) cosa cos «' 4- cosê cos 6' -+- cos y cos y' =-; o.

Diflercntiant cette équation par le moyen des forniulL-s S. — Cale. dij. a S

4!^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

du n" 274 déjà rappelées, on trouve

— (cos£ cos«' + cosïj cos6'-l- cosi; cosy') R ^

ds'

H ~ (coskcosÇ' +cos6cos-fl' +C0S7 cos!;') = o,

ou, à cause des formules (3), (4)' (5)>

R

(h) cosÇcosa' + cosvj COS5 -f- cosÇcosy = -•

On a aussi

(8) COS> COS«' H- COSpt COSe' -\- COSV COS'/' ;^ W l -^ j

car on trouve une identité en ajoutant les équations (6), (nV (8), après les avoir élevées au carré. Si l'on ajoute ces mêmes équations, après les avoir multipliées d'abord parcosa, cos;, cosX, puis par cosê, cosr,, coS|U, puis enfin par cosy, cos^, cosv, il viendra

/

CCS

a^= - ces? -I- 1/ I ~ — ces A, u V ""

, R / K'

cosê := - COSV! -H W I r COSa,

, R . / R^ cosy = - cosC -^ y I 2^ ^osv,

et les équations (2) deviendront alors

l .r' = a: + R ces? + \J u'^ — R" cosX, y = J H- R COS/3 + \J ir — R^ ces pi.

Z ::=. Z -f- R C()S'4 + V «" — ^^^ cosv.

Toutes les quantités relatives à la courbe AM sont don- nées en fonction d'une certaine variable indépendante; donc, lorsque l'on connaîtra l'expression de u en fonction

CriAPlTUE IX. 4^!)

de cette nicme variable, les équations (lo) détermine- ront complètement la développante demandée.

Pour trouver u, il suffit de dilTércnlicr l'équation {y); cela donne

— (cosÇcosÇ -f- cos»j cosïj -l-cosÇcosÇ)

ds , ^ ^, ,s

— — (cosKCOSa -f-cos6cos6 -+- cosycosy )

(is R

— ^ (cos). cos«' + cospicosê' + COSv COS7' ) = d -

ou, à cause des formules (5), (6), (7), (8),

(^'

\ 7^ J / ^'

en écrivant dz au lieu de — pour représenter l'angle de

contingence relatif à la deuxième courbure.

Telle est l'équation qui détermine u. Si la courbe pro- posée est gauche, û?T n'est pas nul, et l'équation (i i) donne

v'

I — — :

le premier membre est la difierentielle de l'arc dont le

R

cosinus est — : 01 u

stante arbitraire,

cosinus est — : on a donc, en désignant par g une con-

R

arc cos - = t + g-,

ou

.12) -=COS(T + ^), u= —

38.

436 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si la courbe proposée est plane, léquation (ii) se ré- duit à

a - = o, u

et l'on a

l3 -=COSg-, «=: )

^ ' U COS^

g désignant une constante arbitraire-, cette valeur de « est donc donnée par la formule (12) du cas général, quand on y suppose t = o.

En substituant dans les équations (10) la valeur de a qu'on vient de trouver, on obtient

( jt' = ^' -4- R cosÇ 4- R tang (t + g) ces),,

(i4) \l' =.>" + Rcosv: -f- R tang(T -f-^) cos^rz,

[ z' r= s -+- R cos ? + R tang (7 4- g) cf)Sv.

Les seconds membres de ces formules sont des fonctions données d'une même variable indépendante ; elles renfer- ment cependant la quantité t, are de la courbe sphérique qui mesure la deuxième courbure de la courbe proposée, et la détermination de t, en fonction de la variable indé- pendante adoptée, exigera dans la plupart des cas des opé- rations qui sont du ressort du Calcul intégral. Les équa- tions (i 4) renfermant une constante arbitraire g, on voit que la courbe proposée a une infinité de développées.

296. Désignons par x,, 7 ,, r;, les coordonnées du centre de courbure M, relatif au point M, et soit A, M, la courbe lieu de ce centre; on a (n" !264)

(i5) .r, =a:-l-RcosÇ, n =r-r-Rc()Sï3, Z-i =3-i-Rc()sr.

Quelque valeur que l'on donne à la constante g, les va- leurs de x'j y, z' ne pourront jamais coïncider avec celles de x^, fi, -, si t n'est pas nul; donc la courbe

CIIAPITRR IX. 4^7

lieu des centres de courbure n'est jamais une développée dans le cas d'une courbe j^auche. Les équations (i4) cl (i5) donnent

(.6) ^-^^^y-r^^z;-^^

rosA cosw cosv

ce qui montre que les points M' des développées, qui ré- pondent au point M de la courbe AM, sont sur la droite polaire Mo INI ( relative au point M. Il résulte de là que toutes les développées de la courbe AM sont situées sur la surl'ace polaire, qui est ainsi le lieu géométrique de ces développées.

Enfin les développées que représententles formules ( 1 4) sont toutes des courbes gauches, à l'exception de celle qui répond à ^'- = o, dans le cas où r est nul. En effet la diflércntiation des formules (5) donne (n" 274)

Jt' cosk' -h (h' cos).' = fZ-j cosH, d-' cos 6' -4- fh' cos pi' = el(7 cosr,, d<j' cos y' H- dz' COSv' = d(T COS il, ci ou

si donc dz' est nul, on aura d'j' =. da et

COSk' ^^ COSÇ, COSé' = COSC, COS'/' = cosÇ,

ce qui exige, d'après les formules (y) ou (8), que l'on ait

mais cette valeur n'a lieu que si la courbe AM est plane, et elle répond à la valeur ^'^^o. Dans le cas de r = o, ^ = o, le point M' coïncide avec le centre de cour- bure M, : donc :

1° Les développées d'une courbe gauche sont toutes des courbes guucbes.

438 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

2° Une courbe plane n'a qu'une seule développée plane qui est le lieu de ses centres de courbure.

297. Développement de la surface pulàitie. — Nous rapporterons à l'arête de rebrousscment de la surface polaire le système des développées de la courbe donnée et le lieu de ses centres de courbure. Retranchant donc des coordonnées x', y', z\ et x^, ji, z, données par les équations (i4) et (i5) les coordonnées Xq, Vq, Zq du centre de la sphère osculatrice (n°290), on aura

^' — ^0 = R tang (- + §•)+ -j- cos)i,

J ~7o= Rtang(T-i-g') + — ces;*,

3 — -0 = R tang(T + §') + ;^ cosv,

et

Xi — .r^ z= — ces A,

(h

cIK

Zj — Zo = -— cosv; dr

mais, ne voulant introduire que les quantités relatives à l'arête, nous remplacerons cosX, cosp, cosv par cosao^ cosêoj cos'/oj auxquels il est permis de supposer respec- tivement les mêmes signes, puis dx par d'j^ et même t par (T(,. Je poserai en outre

R = — X sin (7o + Y C()S(7o, -r— ^^ — X coso-n — Ysmc-,,,

fllTn

et les nouvelles variables X et Y seront déterminées, en

CHAPITRE IX. 4-^9

fonction des seules quantités de l'arête, par les formules

[l'j] dX. 3= dsQ cos Tq , r/Y -- ffsQ sin Cq,

comme on l'a vu au n" 293. Alors les formules précé- dentes deviendront

8:

y —.Yo z'— Zn — XcoS;?-4-Ysin^

cosao cosêo cos'/o cos((j-o

&/

(ja\ fLZ^^ = Jj^zl^ = !» ^Jl = _ fXcosTo- YsinTo\

cosao cos6o cosy^

Cela posé, supposons que l'on ait choisi pour le plan des xj un plan tangent à la surface polaire et exécutons le développement de la surface dans ce plan ; conservons les mêmes lettres pour représenter les diverses quantités de ces formules, après le développement. Comme les points Mo, M,, M' sont toujours en ligne droite et que leurs distances mutuelles sont invariables, ainsi que les arcs^o et <7o, les formules (i8) et (19) subsisteront sans modification. Mais, après le développement, Zq, -h ^ sont nuls ; l'arête est devenue une courbe plane et d<7o peut être pris au lieu de dx^ ; on peut même supposer ao = ^o' à cause de la constante arbitraire g (jui accompagne <7^\ d'après cela, on aura

cosaj, 1= cos(7o, cosêo = sino-Q, 0087^=0.

En outre, les formules (17) montrent que ^X et ^Y ne sont autre chose que dx^ et dy^,: on peut donc faire

X-^.ro, Y=Vo,

à cause de l'indétermination de l'origine des axes.

D'après cela, les transformées des développées auront pour équations

.r' — .r^ x'—rn (.roCOSg-+-.roSinff)

( 20 = — . = — ; ■ ^ 9

^ cosffo sin<7o cos ((70 -t- g^j

/f.jO CALCUL DIFFÉllEWTIEL.

et la Iraiisformée du lieu des centres de courbure sera elle-même représentée parles équations

— ■■ = — (.rocoscro+ joSmc-0,

coso-Q smo-fl

On peut éliminer des équations (20) x„, ^ „ et (7(, ; celte élimination donne

(22) a.-' cosg" — j'sin^r^o,

et de là résulte ce théorème :

THi:.ORi::ME I. — Lcs dc'veloppées d'une coitrhe quel- conque se tvansfovuient en des lignes droites passant par un point jixe F, après le développement de la surface polaire.

Et, comme les longueurs des arcs ne changent pas, dans le développement, on peut ajouter que les développées sont, sur la surface polaire, les lignes les plus courtes entre deux.de leurs points; elles sont, comme on dit, des lignes géodésiques.

La formule (21) comprend les deux équations

Ji — Jo = (-^1 — -ro) tang(7o, jri=— Jr^ coi s rjQ.

La première représente la tangente au point [x^, Jq) du développement de l'arête; la seconde équation est celle de la perpendiculaire abaissée de l'origine F sur cette tangente. On a donc cette autre proposition :

Théorème II. — Le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche devient, après le développement de la surface polaire, le lieu des pieds des perpeiulicu- laires abaissées sur les tangentes de i arête transformée, par le point d'intersection de toutes les développées.

CIIAI'ITIIE IX. 44'

208. Il f.iiil rcinar([iicr le ciis piirliculler où la courbe donnée est sphériqiic cl celui dû clic est plane. Dans le premier cas, la surface polaire est un cône avant pour sommet le centre de la sphère qui contient la courbe; toutes nos formules subsistent. Lorsque la courbe donnée est plane, la surface polaire est un cylindre qui a pour section droite la développée plane de la courbe donnée. On peut supposer ici cosA =: o, cosfji = o, cosv=^i, clZi =o] alors on a parles formules (i4) (n° 290)

^'=ri, y' — Vi, ^'---Rtangg';

l'origine de l'arc .?, étant indéterminée, on peut prendre

R = ^i. Après le développement de la surface polaire,

v, devient une abscisse rectiligne, et les transformées des

«léveloppécs sont des lignes droites représentées par l'é-

(juatioii

z' = .v, tangg';

ces développées, dont la tangente fait un angle constant avec la direction des génératrices de la surface polaire, ont reçu le nom d'hélices.

299. Recherche des développantes d'une coluce DONNÉE. — Les équations du problème sont, comme au n° 295,

j:' — j: = ucosa', x' — j=rucos6', z — 3 = «cos7', ds' -- du ;

mais la solution est beaucoup plus facile que celle du problème inverse, car ici x' , y, z' , a'. S', y, '>' sont exprimées en fonction d'une même variable, et Ion en conclut immédiatement les valeurs de x, y, z en lonc- lion de celte variable. On a en effet

442 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

g étant une constante arbitraire, et les équations précé- dentes donnent ensuite

x = .t' — (y -+- g) cosa', y=y — (.^' -i- g) COSê', z =z' — [s' -{- g] COS7'.

On voit qu'une courbe quelconque, plane ou gauche, a une infinité de développantes. La seule difficulté de ce problème réside dans la détermination de l'arc s', dont la différentielle est en général seule donnée. La recherche de s' est du ressort du Calcul intégral.

^pplicatioji des théories pj'écédentes à l'hélice.

300. Les coordonnées rectangulaires de l'hélice ordi- naire peuvent être représentées par les équations

(l) .r = «cosy, j:= asinf, z=«yCOt/,

i étant un angle donné et a le rayon du cylindre auquel appartient l'hélice. Nous conserverons toutes nos nota- lions ; celles-ci étant toujours les mêmes, il serait superflu de les rappeler ici.

La différentiation des équations (i) donne

d.r = — rtsin'xi d(j), dj= a cosij> df, dz ^= adf cet/',

d'où

(a) ^.= ^,

sin /

et, par suite,

(3) cosa = — sin/sin(p, cosê = sin/cosy. cosy=cos/;

la dernière de ces équations montre que la tangente à l'hélice J^ait avec l'axe du cylindre un angle constant égal à i.

CnAPlTUF. IX. 44^

La diffcrentialion des équations (3) donne

ces? (h rrr — sin / COS'j/ <'/y,

cosv] <^/7 rrn — sin/ siiî'j^r/y, cosÇf/c- = o, d'où

(4) cfa- = sin/c/'j>, et

(5) ço5? = — cos^, cosïj = — siny, cos? = o, puis, parles équations (3) et (4)»

(6) R=.V

Les formules (5) montrent que la normale principale ou /a direction du rayon de courbuî'e est perpendiculaire à l'axe du cylindre, et, d'après la formule (6), le rayon de première courbure de l' hélice est constant.

La dillérentiation des équations (5) donne

cos uda -\- ces > r/r = — sin y r/y , cost cIt -h cos iid-T =z cos y (l-^,

cos 7 cIt -f- COSV r/r ^ O,

ou, à cause des formules (3) et (4),

cosX ^7 = — cos^ / sin ç> «/y,

cos u. d- = cos- / cos f d(ji,

cos 'jd-: z= — cos/ sin/ f/'^. On tire de là

(7) dr = cosid'f, Cl

(8) cos> = — cos/siny, cos pt = cos /cos y, cosv = — sin/;

444 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

puis, par les équations (i>) cl (7),

a

(9) T= . .

On voit que /e plan osculntcur fait un angle constant avec le plan de la section droite du cjlindre, et que le rayon de la seconde courbure est constant.

Le centre de la sphère osculatrice coïncide ici avec le centre de courbure ; ses coordonnées sont

jTj =.r + R ces? = — a cot^/ cosip, Ji =.r -f- R cos/j 3= — a cot-/ siny, ' Zy^= z -^~ K CCS? ■=: a(f coti.

Il résulte de ces formules que l'arête de rebroussement de la surface polaire est une hélice située sur un c^-lindre qui a le même axe que le cylindre de l'hélice donnée, et dont le rajon est a cot^ i.

L'équation du plan normal est

— sin/siiiy^j: — acosy) -f sin/cosy(jr — ashif]

-4- COS/{z Of cot/) = o,

ou

( I 0 — -r siny -f-r cns'f -f- z coti =^ «y cot"-/.

La déiûvée de cette équation par rapport à cp est

(12) — X cos f — )■ s'incji Z3= a cot^ / ;

(m aura donc l'équation de la surface polaire en élimi- nant (fi entre les équations (i 1) et (12). Cette surface est flite un helicoïde développahle; sa trace sur la base du cylindre a les deux écpiations

— .r cos» -1- )sino r=. aro col-/,

— .r cos y — / smy ^= a cot'' i,

CHAPITRE IX. 445

et, par conséquent ( n" 2ii), celle trace est une déve- lu[)j)anle d'un cercle de rayon égal à «col-/. Enfin, comme l'équation (7) donne

T = (j) cos/ -+- const.,

les développées de l'hélice seront représentées par les équations

>4)

a cos / . .

.cz= — «col- /cos® :— ;— smo tang s/cos/ ^- e],

sin^ /

, . a cos/ .

y ^=^ — acot-/ smy H r— ^-r- cosy tang » cos/ -t- §■),

C := «y COt/ : ; tung ( ^ COS ? + S' ) i

ou ^^ désigne une constante arbitraire; et, à cause de

s= -r-^ — h const., sm/

on aura, pour les développantes,

'i5'

.7- = a cos '■

y =z n sui y

g' sm/ smy,

-7-^ — f- £" I sm/ ces?, \sui/ ' '

Ces développantes de l'hélice sont des développantes de cercle, ce qui s'accorde avec le résultat obtenu au n" 298.

301. L'hélice a, comme on vient de le voir, ses deux courbures constantes; il est facile d'établir qu'elle est la seule courbe qui possède cette propriété.

Pour le démontrer, considérons une courbe dans laquelle les rayons l\ et T des deux, courbures sont

44^^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

supposes constants. D'après les formules (2) et (3) du n" 274, on a

R<fcos« — T<'/cos)i = o,

Rc?cosê — Td ces a i^r o, R^cosy — Tr/cosv =; O;

par conséquent, les différences

Rcosa — Tcos>, Rcosê — Tcospt, Rcosy — Tcosv

sont constantes, et, comme la somme de leurs carrés est égale à ^R^H- T^, on aura

R cos« — T cos> = ^R2 + 'P cosrt, R ces e — T COS a = y/R2 + T^ cos b.

R cos 7 — T cosv = s/K^ -h ï^ cosc,

a, b, c désignant les angles qu'une droite fixe arbitraire lait avec les axes. On peut faire coïncider l'axe des z avec cette droite, il vient alors

/ Rocs a — Tocs). =0, (i) / Rcosê — Tcos/Jt=^o,

( R C0S7 — T cosv = y/R2 + ï^.

Retranchons les deux premières de ces formules l'une de l'autre, après les avoir multipliées par cosv; et cos^ res- pectivement; retranchons également la première et la troisième multipliées par cos^ et cos^; puis la seconde et la troisième multipliées par cos^ et cosyj; on aura, par les formules du n° 265,

T cos« + R cosX = -\- y/R" + T^ cosij, T cose + R cosp : " — \J\\^ 4- T^ cos|, T cos 7 -1 R cosv — : o.

CHAPITRE IX. 447

Ces équations, combinées avec les précédentes, donnent

/ - T

1 cosa = — coSïj,

i s/R« -I- T-

ces?,

cosy

R

V'R^ H- T*

On doit remarquer que l'analyse précédente suppose seulement que le rapport — des deux courbures soit con- stant; la dernière des équations (3) montre que la tan- gente de la courbe fait avec l'axe des z un angle constant. On a donc ce théorème :

Si les deux courbures d'une courbe ont entre elles un rapport constant, cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre dont la base est une courbe quelconque.

Des équations (3) on tire

cosa COS: H- COsê COSï! = o,

d'où il résulte que cosycosi^ est nul; donc coS(^=o. Alors on peut écrire

COSï; =ir sin;, et

Icosa ^=- -T siiiy sinÇ, COSê rr: — silly COsÇ;

en différentiant la première des équations (4), on a

(if

— cosÇ = smy cosÇ<^/;, d où tis r^ R sinvf/;,

R

mais les mêmes équations (4) donneiii

d.r . . dr

—,- = sinv siii|, ~ =. — smv cosr

as fis ' '

^4

44'^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et l'on a aussi

dz

' =cos7;

as

donc

d.r -^ R sin^y siii|r/|,

df = — R sin^ 7 cos ?<•/■;,

dz = R siny cosyr/Ç.

Nous avons supposé constant le rapport de T à R; on voit que, si le rajon R est lui-même constant, les coor- données ne diffèrent des quantités

— Rsin-ycosÇ, — Rsin^ysinç, R^sinycosy

que par des constantes, et, l'origine de ces coordonnées étant arbitraire, on pourra poser

(5)

■Rsin-ycos?, j =; — R sin'^y sinÇ, z=-R? siny cosy :

les équations (5) appartiennent bien à une hélice ordi- naire dont le rayon de courbure est R.

De l' ordre du contact de deux courbes quelconques. Des courbes osculatrices.

302. Considérons deux courbes quelconques MM', MM', ayant au point M la tangente commune MT. Pre- nons sur la courbe MM' un point M' infiniment voisin

de M et menons, par ce point, le plan IM'PM', perpendi- culaire à la tangente MT; soient M', et Pies points où ce

CHAPIIHE IX. /^.\^J

plan rencontre la courbe MM', et la droite MT. Nous dirons que les deux courbes MIM', MM', ont au point M un contact de l'ordre n, si la dislance M'M', est un infi- niment petit de l'ordre n-j- i, M Pétant rinfiniment petit principal. Il est évident que, dans l'estimation de l'ordre du contact, on peut, à l'infiniment petit principal et à rinfiniment petit caractéristique du contact, substituer deux autres infiniment petits dont les rapports aux pre- miers tendent vers des limites finies. Par exemple, si l'on mène par le point M' un plan M'QN parallèle à un plan fixe non parallèle à la tangente MT, que N et Q soient les points où ce plan rencontre la courbe MM', et la tangente MT, on pourra prendre MQ pour infiniment petit principal et M'N pour infiniment petit caractéris- tique. En efTet, menons la corde NM', , les angles N et M', du triangle NM'M', tendront vers des limites finies; ces limites sont les angles formés par la tangente MT avec des droites situées respectivement dans deux plans fixes non parallèles à MT; il résulte de là que le rapport des côtés M'M', et M'N du triangle M'M', N tend vers une li- mite finie. D'un autre côté, M'P et QP sont infiniment petits par rapport à MP; car

M'P = MPtangiM'MP,

et l'angle M'MP est infiniment petit ; en outre le rapport de QP à M'P est la cotangente de l'angle M'QP qui a une limite finie ; il en résulte que le rapport de MQ à MP a pour limite l'unité.

Cela posé, projetons la figure sur un plan perpendi- culaire au plan M'NQ et soient //////', /nn, mq les projec- tions des courbes MM', M\ et de la tangente MQ. La droite MT n'étant pas perpeiulirulaire au plan de projec-

1 1- • 1 '^'^ , • .

tion, la limite du rapport ^ — ^ a une valeur finie: le ran- ' ' liiq '

S. — Colc. tiijf. 2.)

4Ô0 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

port des infiniment petits M'N, m' n a aussi une limite finie, à moins cependant que M'N ne fasse nn angle infi-

niment petit avec l'axe du plan de projection; dans ce

cas, le rapport — -- est infiniment petit. ^ ^ M IN

Il résulte de là que, si les deux courbes proposées ont au point M un contact de l'ordre /z, les projections de ces courbes sur un plan non perpendiculaire à la tan- gente commune ont un contact dont l'ordre est au moins égal à n. Cet ordre n'est supérieur à n que si M'N fait un angle infiniment petit avec l'axe du plan de projec- tion, et, comme cette circonstance ne peut pas se pré- senter pour deux plans de projection non parallèles, on a ce théorème :

Pour que deuX'COurhes aient en un point donné un contact de l'ordre n, il faut et il suffit que leurs projec- tions sur deux plans jioji parallèles aient un contact de l'ordre n au moins.

Nous n'avons considéré que des projections orthogo- nales, mais il est facile de voir que le précédent énoncé subsiste quand on fait usage de projections obliques. Au moyen du théorème que nous venons d'établir, on expri- mera les conditions du contact des courbes gauches, par la méthode du n'' 21 1 qui se rapporte aux courbes planes.

303. On nomme courbe osculalrice en un point d'une courbe donnée celle des courbes d'une espèce donnée

CIIAriTHE IX. /\^l

qui a, avec la courbe donnée, le contact de Torflre le plus élevé. Si la courl)e d'espèce donnée dépend de an ou de 2« -h I paramètres arbitraires, on pourra établir un contact d'ordre /^ — i entre les projections des deux courbes sur deux plans non parallèles ; ces courbes auront donc elles-mêmes un contact d'ordre // — i . Si le nombre des paramètres est an -h i, l'un d'eux demeurera indé- terminé; on pourra en disposer de manière à satisfaire à une condition nouvelle, mais il ne suffira pas en général pour élever d'une unité Tordre du contact.

Du cercle oscillateur en un point d' une courbe gauche. Son identité avec le cercle de courbure .

304. Il n'y a que six arbitraires dans les équations du cercle, savoir les coordonnées du centre, le rayon et deux des angles que fait l'axe du cercle avec les axes coor- donnés. On a ici 2/z = 6, n — 1=2; donc le contact d'une courbe avec son cercle osculateur est du deuxième ordre. Or on a vu (n°282) que les projections d'une courbe et de son cercle de courbure sur un plan ont un contact du deuxième ordre; les deux courbes ont donc- elles-mêmes ce contact (n" 302), et il s'ensuit que le cercle osculateur n'est autre chose que le cercle de cour- bure.

Du contact des surfaces courbes.

30o. Considérons deux surfaces passant par un point M et ayant en ce point le même plan tangent. Menons un plan par la normale commune GH; ce pljn coupera les surfaces suivant deux courbes MM', MM', qui auront, en M, la même tangente MT ; l'ordre n du contact de ces courbes pourra varier avec le plan normal ("iIIT. Si, pour tous les plans normaux menés par GII, l'ordre du contact

i9-

452 CALCUL UIFFÉllEJNTIEL.

des sections faites dans la surface n'est jamais inférieur à 11 et que cet ordre ne soit pas non plus supérieur à n, pour toutes les sections, on dit que les deux surfaces ont au point M un contact de l'ordre n.

Supposons les axes coordonnés choisis de manière que celui des - soit parallèle à la normale GH et que les deux autres soient parallèles au plan tangent; si l'on dé- signe par X, Y les deux coordonnées du point M paral- lèles aux axes des x et des j; par Z et Z' les ordonnées des surfaces qui répondent aux abscisses

x -;- \.r z= .r -f- p cOSm, J -+- A)- rz^ Y H- o sinw,

il faut et il suffit, pour le contact d'ordre n, que la diffé- rence

Z — Z'

soit un infiniment petit de Tordre n-+-i, au moins rela- tivement à p, quel que soit l'angle oo. Or, z et z' étant l(îs valeurs de Z et de Z' qui répondent à /? ^ o, on a

(Iz (V- z ^ d"z

I 1.2 • • ■ ' 1,2...//

dz' d^z! d"z!

Z =

Z

,1 1.2 ' ' I . 2 ... «

donc les conditions du contact sont

z' = z, dz' = dz, d^ z' = d^ z, . . . , d"z' =r d'^z, les valeurs de dx et clj étant p cosw et p sinw.

cirAiMTr.F, IX. 4 *-^

Mais, comnip cos coiulilicjiis doivent av(jir lieu ijiiel (jiie soit w, on voit qu'il est nécessaire et suffisant pour le contact d'ordre n que les ordonnées z des deux sur- faces soient égales au point M, ainsi que toutes leurs dérivées partielles correspondantes, juscjuà celles de l'ordre n inclusivcnient . Le nombre total de ces condi- tions est

[n -4- I ) [n -A- ?.] 2

Cette conclusion subsiste quels que soient les axes auxquels les surfaces sont rapportées. En effet, si l'on exécute une transformation de coordonnées, cliaque dé- rivée partielle d'ordre u de la nouvelle ordonnée z de l'une des surfaces relativement aux nouvelles abscisses s'exprimera, comme on sait, par une fonction qui con- tiendra les dérivées partielles de l'ancien z relativement aux anciennes abscisses, jusqu'à celles de l'ordre ^ inclu- sivement. Donc les égalités qui ont lieu à l'égard du système d'axes que nous avons choisi ont lieu également, dans le cas d'un contact d'ordre /;, relativement à un autre système d'axes; notre raisonnement jirouve aussi que la réciproque a lieu. Il faut seulement remarquer que. si l'axe des z du nouveau système était parallèle au plan tangent, les dérivées partielles du premier ordre seraient infinies, et les formules illusoires.

300. Si l'on considère une surface donnée et une fa- mille de surfaces dans l'équation desquelles ligurcnt A ar- bitraires, on pourra iioinuier surface oscuUitrkc de l.i surface donnée en un point donné celle qui a avec celle- ci le contact de l'ordre le plus élevé. Mais cette consi- dération ne conduit à aucun résultat impoitaiit ; la sur- face osculatriec, telle (pie nous venons de la dt-fiiiir.

454 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

aurait avec la proposée un contact dont l'ordre n serait le plus grand entier satisfaisant à la condition

[n ^l\{n + 9.)

= ou <<. A-,

et le plus souvent il resterait des arbitraires indéter- minées dans l'équation de la surface osculatrice.

Dans le cas du plan, on a A" = 3 et // = i ; le plan oscu- lateur a un contact du premier ordre, il n'est autre que le plan tangent. Dans le cas de la sphère, on a A= 4» puis n == 1 ; mais il reste une arbitraire non employée. Il est évident qu'il n'y a point lieu d'admettre pour une surface de sphère osculatrice.

CHAVITIIE X.

455

CHAPITRE X.

DES LIGNES TRACÉES SUR LES SURFACES COL*RBES. — ÉTUDE DE DIVERSES CLASSES DE SURFACES.

Expression du rajon de courbure d'une courbe tracée sur une surface donnée. — Théorème de Meunier.

307. Nous désignerons par x, j', z les coordonnées rectangulaires de la surface donnée, et nous poserons

(1) dz = p(la:-^ qclj,

{dp — rdx 4- sdy,

( dq == sdx -\- tdf.

Si l'on prend x et j pour variables indépendantes, on aura, par ces formules,

d-z =. rdx^ -f- osd.fdr -h tdy-.

Cela posé, considérons une courbe AM tracée sur la surface. Soient '^l[x, r, -) "n point de celte courbe, MT la tangente en ]M, ol IMiN la noimalc principale dont la direction est colle du ra^ un de courbure ; soit enfin IK

la normale en M à la surface. Désignons par «, ê, y les angles que fait la direction MT de la tangente avec les

4''6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

parties positives des aifes coordonnés; par ^, r,, ^ les angles formés avec les mêmes axes, par la direction MN de la normale principale ; par R le rayon de courbure de la courbe au point M et par a la courbure de l'arc AM compté à partir d'une origine quelconque A. Alors de sera l'angle de contingence et Rda exprimera la diffé- rentielle de l'arc AM. On aura donc, comme on l'a vu dans le Chapitre précédent (n°'260 et 263),

(3) f/x = R^/(7C0Sa, df = RdacosS, cfc ;= R c/o- ces y, et

(4) d cas a. = do- cos^, JcosS = f/o-cosïj, d cosy —z dircos^.

Maintenant, d'après la formule (i), les angles que forme, avec les parties positives des axes, l'une des deux directions de la normale IK de la surface ont pour cosinus

— P —q I

Vl-i-7>-+r/2 ^i-^pi-^^qi ^I_l_^'2_^^2

le radical sj i -h p'^ -i- q'^ étant pris avec un signe quel- conque. Ce signe ayant été fixé à volonté, la direction de la normale à laquelle il correspond sera déterminée ; soit MK cette direction. Désignons enfin par 6 l'angle compris entre o et rr que forment entre elles les direc- tions MN et MK, on aura

COSÇ — »COSÇ — <7COSï3

cosO = — ,

ou, à cause des formules (4),

( 5 ) dT cos 0 = — ' — .

v/i -f-y^^-t- q^

En substituant dans les formules (i) et {2) les valeurs de d.Vf dj, dz tirées des formules (3), on obtient

(6) cos 7 =/? cos a -f- «7 cos G,

CHAPITIIE X. /ÎC

et

I (h> R (Il r cos '/. -T- s Cf )S o ' ,

(7) '

( (/q R(/T^i' t'os« -t- t COS 6 ;

la (linrrcnlialioii de la formule (()) donne ensuite

^/cosy =r ! peicosy. - (-/«-/coso) -t- [dp cosu. -I- f/|7 cos*!- ,

et, à cause des formules (7),

r/ cos 7 — p cl cos y. — qel COsZ

(8)

^- R «"/t V cos'^ a -!- 2* cosk cos6 -\- t COS*o 1.

La formule (5) se change alors dans la suivante

(q) I^ ^ v/,-^;;^^H-7^

c(js 6 /• cos^ a -r 2 * COS a cos 6 -+- / cos ' 6

cl celle-ci exprime le ravon de courbure de la courbe AM en fonclioii des quantités relatives à la surface et des angles qui déterminent sa tangente et sa normale prin- cipale. Le ravon R étant une quantité positive, le signe de COS0 sera toujours celui du second membre de la foi- mule (9).

308. Théorème de Melmer. — Considérons mainte- nant la section normale obtenue en coupant la surface par le plan des lignes MT, JMR. Soit Rq le rayon de courbure au point M de cette section; l'angle Q sera ici o ou tt; par conséquent, la formule (()) donnera

zt i rcos'-K ~- ai'CosacosS -(- /coS"Ô et l'on aura, en conséquence, (10) R: zhRoCosÔ,

le signe ambigu ± devant être remplacé par -f- ou par — , selon que 6 est inférieur ou supérieur à -•

4^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La formule (lo) exprime l'important théorème de Meunier qui consiste dans la proposition suivante :

Théokème. — Le rayon de courbure en un point d'une courbe quelconque tracée sur une sur face est égal nij. produit du rayon de courbure de la section normale qui contient la taïigente à la courbe, multiplié par le cosinus de l'angle que le plan de cette section fait avec le plan osculateur de la courbe.

Et ce théorème conduit immédiatement à cette con- séquence remarquable :

CoROLLAiKE. — Si V on construit une sphère qui ait même centre et même rayon que le cercle de courbure d'une section normale faite dans une surface, tous les plans menés par la tangente à cette courbe couperont la sphère suiuafit des petits cercles qui seront les cercles de courbure des sections obliques faites dans la surface par les mêmes plans.

D'après le théorème de Meunier, la comparaison des courbures des diverses courbes que Ton peut tracer sur une surface par un point donné se ramène à la compa- raison des courbures des sections normales.

Comparaison des rayons de courbure des sections nor- males en un point d'une surface. — Des sections principales.

309. Nous avons vu que le rayon de courbure R d'une section normale en un point M d'une surface est donné par la formule

^ ' zb I r cos'^ a + 2 5 cos a cos 6 + / cos* 6

où le signe du radical a été choisi à volonté; le signe ambigu du dénominateur du premier mcjubre doit être

CIIAPITHE X. 4 "'9

détermine de manière cjue 11 ail une valeur positive. Mais ce dénominateur dr i est le cosinus de l'angle formé par la direction MN du rayon R avec la direction MR de la normale à la surface, qui répond au signe adopté pour le radical \J i -^ p- -h (/^ ', cet angle est égal à o ou à tt, par conséquent le signe ambigu zh doit être remplacé par -f- quand le rayon R est dirigé suivant MK, et par — quand la direction du même rayon R est opposée à celle de MR. Si donc on convient que le rayon de courbure R soit positif dans le premier cas et négatif dans le second cas, on aura la formule unique

R =

V «

reos^a -h 2. s cosa cosé -f- 1 cos*6

qui déterminera en grandeur et en direction les rayons de courbure des sections normales au point M de la surface donnée.

Les rayons de courbure des diverses sections normales en un point M d'une surface sont tous situés sur une même droite et comptés à partir d'une origine commune ; nous nous conformons donc aux règles générales de la Géomé- trie en regardant ces rayons comme positifs ou négatifs suivant qu'ils sont dirigés dans un sens ou dans l'autre.

310. La comparaison que nous avons en vue de-

viendra bcaucoTip plus aisée, si l'on place l'origine des coordonnées au point M de Ja surface, et que Ion lasse

4(^0 CALCUL DIFFKRKNTIEL.

coïncider l'un des axes, celui des z par exemple, avec la direction MK de la normale ; les axes des x et des y seront alors dans le plan tangent, et l'on aura

p ;=r. O, <7 :=: O,

puis

cosy =- o, C()s§ Tz: sin« ;

le radical s^ \ -\- p'^ -\~ cf^ se réduit à =t: i , mais nous sommes libres de fixer le signe à volonté, et nous ad- mettrons le signe -\- .

D'après cela, la formule (2) deviendra

(31 R=r

r cos^K H- 2.Ç sin« cos« H-- ^siu^« ' le dénominateur de cette expression es . égal à

r -\' t r — t

■\ cos ?. V. H- s sin 2 «,

2 2

et si l'on détermine un angle ic/.^ compris entre o et t:, de manière que l'on ait

T — t

s ^= • tans: la...

2 <j V

la forinule (3) prendra la forme

(4) R

-W'-^i"^]

le radical V/ ■'•"-+- ( ) ayant le signe du quotient

1 '" — ^

de par cosaan-

2 ^

On voit que le rayon R devient maximum ou mini- mum pour les valeurs de a qui satisfont à la condition

cos 2 « — «„

latiurllc (loiUK^

« =: K(, -f- / — ,

i claiil un iKjnibrc entier. Mais, comme deux valeurs (le a, qui dilTèrent entre elles d'un multiple de ::, répon- dent à la même section normale, il .suffit de considérer les deux valeurs

a = «0. « =: ao -I- - 2

qui définissent deux sections normales perpendiculaires entre elles ; pour l'une d'elles, le rayon de courbure II est un minimum, pour l'autre ce rayon est un maximum. Ces deux sections normales sont dites les sections prin- cipales de la surface au j^oint M et leurs ravons de cour- bure sont nommés les ra) ans de courbure principaux (le la surface, au même point.

Cela suppose que 5 et r — t ne sont pas nuls simulta- nément; car, si l'on d. s = o, r = t, l'angle «o n'est ])lu.s déterminé. Dans ce cao, la formule (3) se réduit à

d'où il suit (jue toutes les sections normales de la sur- face au point -M ont le même rayon de courbure : ileux sections perpendiculaires quelconques peuvent être re- gardées comme formant un système de sections princi- pales. Les points des surfaces qui ont cette propriété ont reçu le nom d'ombilics ou points de courbure sphéritnie.

311. Nous simplifierons la discussion do la formule (3), si nous prenons pour les plans coordonnés zx et ::> les plans des sections principales dont nous venons de démon- trer l'existence. Etrectivemcnt, l'angle désigné par ao sera nul, et la loiiiiulc ipii sert à définir cet angle nous donnera

s =^0.

4<^2 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Alors la formule ( 3 ) deviendra

ou

[5) — = rcos^a -i- ^sln^a.

R

Soient R|, R2 les rayons de courbure des sections principales faites par les plans zx, zj •, la formule (5)

donnera, pour a = o et pour a = -5

2

par suite, l'expression générale de — sera

^^^ R R, Rj

Le second membre de cette formule (7) ne change pas quand on change a en tt — a ; on a donc ce théorème :

Deux sections normales également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe.

Si l'on désigne par R' ce que devient R quand a aug- mente de -5 on aura

2

Ri

(8) r^ = r:^^"'^ + r:^^^'«'

et les formules (7) et (8) donneront , , I I I I

(^^) R + R^^R^-^ïir

La demi-somme - - — h r- ) des courbures — •, — des 2VR1 R2/ Ri 1^

CHVPITHE X. ^(Î3

sections principales est dite la couihuin ninyfnnr dn hi surface au point M; la forMiiiie (c)) exprime ainsi le théorème suivant ;

La moyenne des courhurcs de den.x sections tiormalcs perpendiciiltiiies eiilie elles est toujours égale à la courbure r/io) en/ie de la surftue.

3l!2. Examinons maintenant comment R varie quand on donne à a les valeurs successives qui conviennent aux diverses sections normales, et qui restent comprises, si l'on veut, entre o et tt.

Supposons d'abord que les rayons de courbure prin- cipaux Ri, R2 soient de même signe; on peut admettre qu'ils sont positifs, car, pour les faire changer de signe, il suffit de changer la direction des z positives. Cela posé,

soit

R, <R,,

la formule (7) peut être mise sous la forme

R R, VR. R,/^'"«- On voit que R croît de R, à W. (juand y. croît de o à -1

et qu'il décroît ensuite de Ro à R, quand y. croît de -

2

à 7:. La surface est tout entière située d'un même coté du plan tangent dans le voisinage du point de contact.

Supposons en second lieu que Rj et Ro soient de signes contraires; admettons que R| soit positif, et posons

R2 =— R, taiig-«o,

«0 étant un angle compris entre o cl -, la formule (7) deviendra

R R|Siu^ao

sur a,. — sm'«,

4ti4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

D'après cela, quand on fait croître a de o k oco, R croît de R, à -h oo , et il change de signe en passant par

l'infini; a continuant de croître de «o à -? R croît lui-

2

même de — ao à — R, tang^a^ ou iU. Quand a croît

de - à 7r — «q, R décroît de R2 à — 00 , et il change

encore de signe en passant par l'infini. Enfin, a conti- nuant à croître de rr — c(q à r, R décroît de nouveau de H- 00 à R). Dans le cas dont nous nous occupons, les points infiniment voisins du point considéré sont les uns d'un côté du plan tangent, les autres de l'autre côté.

Autre manière de pi ésenter les résultats qui précèdent. De V indicatrice.

313. Des considérations très-ingénieuses dues à Charles Dupin conduisent facilement aux résultats di- vers que nous venons d'obtenir; nous ne pouvons nous dispenser de faire connaître ici cette élégante méthode.

Considérons une surface quelconque et rapportons-la, comme précédemment, à trois axes rectangulaires pas- sant par un de ses points M, l'axe M:: coïncidant avec la normale, et les deux autres, Mx, Mj, étant en con- séquence dans le plan tangent en M.

Soit MM' la section faite dans la surface par le plan 2MT, dont la trace sur le plan xj fait, avec l'axe des jc, l'angle a. Joignons le point M à un point infiniment voi- sin M' de la courbe MM', et menons par le point M', dans le plan ^MT, les droites M'O et M'K perpendicu- laires à M:; et à MM' respectivement. Soient O et l>^les points où CCS perpendiculaires rencontrent la normale M::.

Le cercle circonscrit au triangle rectangle M M'K a son centre sur la normale Mr; il a donc pour limite (n"217)

CIIAPITnF. X. 4G5

le cercle de courbure en M <Jc la courbe MM', lorsque le poiiiL M' se rapproche iudcliuinicnl du puiul .M. Or

le diamètre du cercle MIM'K est MK = MO-^OIv^MO

MO MO '

donc, en désignant par R le rayon de courbure en M de la section normale MM', on aura

R -_- lira

MO 2 MO

Si, par le point O, on mène un plan parallèle au plan tangent ay, on déterminera dans la surface une certaine courbe J passant parle point M', et M'O sera le ravon vecteur u du point M'; d'ailleurs, Téqualion du plan de la courbe J est z= — MO; la formule précédente peut donc s'écrire comme il suit :

R = lira— ,

b. — Cale, clijf.

3û

466 CALCUL DIIFÉRENTIEL.

et elle fait connaître en grandeur et en direction le rayon de courbure R.

Cela étant, désignons par h une longueur arbitraire déterminée de même signe que z, et soitp une longueur telle, que le rapport des infiniment petits

ait pour limite l'unité. La longueur p étant ainsi déter- minée, prenons Mp = p à partir du point M, sur la trace MT de la section MM'; chaque section normale donnera un tel point p, et même deux points p symé- triques par rapport à l'origine. Le lieu géométrique de tous ces pointsp est une courbe abp située dans le planter à laquelle Charles Dupin a donné le nom à^indica- trice. Cette dénomination est pariaitement justifiée par la propriété dont jouit cette courbe; effectivement, le

rapport des infiniment petits — ? j ayant pour limite l'u- nité, la formule (i) nous donne

et, par conséquent :

Les rayons de courbure des diverses sections normales sont proportionnels aux carrés des rayons vecteurs de r indicatrice dirigés suivant les traces des plans de ces sections.

L'infiniment petit z étant une constante, dans le pas- sage d'une section normale à une autre, le rapport du rayon vecteur u de la courbe variable J au rayon vecteur p de l'indicatrice est constant, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à u. On peut donc dire que l' indicatrice est ufie courbe semblable à la section faite

CIlAl'ITnF. X. /\()J

dans la sitrjaco par un p/nn paialli-lo an plan lan^rnt et itijiniment voisin de celui-ci.

Si la surface est lout entière située d'un niriiuî c»')lé du pl;in lancent, dans le v()isinai;e du point M, l'indicatrice, construite comme nous l'avons indique'', fera connaître les rayons de courbure de toutes les sections normales. INIais, cjuand le contraire a lieu, la formule (i) ne peut donner tous les rayons qu'à la condition que l'infiniment petit :; reçoive en même temps des valeurs positives et des valeurs négatives; alors il faudra donner à la ligne// le double signe ±. L'indicatrice sera ainsi composée de deux courbes distinctes, et elle donnera, comme dans le premier cas, les rayons de courbure de toutes les sections normales.

31i. Clicrcbons maintenant l'équation de l'indica- trice. Les coordonnées rectangulaires étant x, j, z, posons, comme à l'ordinaire,

dz :=^pclx -t- 7 <■/)', dp z= rdx -<- sdy, dq = sdx -f- tdy,

les quantités z, p et q étant nulles au point M, on aura, pour un point quelconque INI' de la surface,

3 = - rx"- -t- o sxj -f- tjr^ ; -i- R3 ;

dans cette formule, r, s, t ont les valeurs qui conviennent au point M, et R3 désigne le reste de la série de .Maclau- rin arrêtée au troisième terme. L'équation précédente est celle de la surface, et si l'on v fait

jr = « cosa, r = «sma,

elle deviendra l'équation de la section MM' entre les coordonnées z et u. Faisant cette substitution et divisant par a-, il viendra

2 », « . , Rj

-7 = - rcos-a -{- is siu« cosa -i- t sui-«, H •

M- 2 ^ ' 11^

^68 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Telle est la relation qui a lieu entre les infiniment petits z et u, considérés au numéro précédent. Comme le rap-

h Tî

Dort — a pour limite —^t cl que —^ est infiniment petit, on aura à la limite

f3) - = - (7-cos^K -t- 2 5sin« cos« H- z sin^a).

^ ' f 2 ^

Cette équation est celle de l'indicatrice entre les coor- données polaires p et a. Pour revenir aux coordonnées rectilignes, on posera

p ces a := .r, p sin a = y,

et l'équation (3) deviendra

//j.] /j:2_|_ 2J.rj + ?j^= 2//,

h étant, nous le répétons, une ligne arbitraire à laquelle on doit donner le double signe ±.

Si l'on a rt — s^^o, il faut, pour avoir une courbe réelle, donner à h le signe des dérivées /', t dans l'équa- tion (4); l'indicatrice est alors une ellipse.

Si l'on a rt — s- = o, il faut encore donner à h le signe des dérivées r, t\ l'indicatrice est formée dans ce cas de deux droites parallèles situées à des distances égales du point M.

Enfin, si l'on a/-f — 5-<<o, il faut donner à A le double signe ± ; dans ce cas, Tindicalrice est formée de deux hyperboles conjuguées ayant les mêmes asymptotes, et dont l'une a pour axe transverse l'axe non transverse de l'autre.

La formule (2), qui donne l'expression du rayon R, devient, à cause de l'équation (3),

1

^ ' /'cos-K H- 2Asiu«cos« 4- fsin^«'

CHAPITRE X. 4^9

c'est la même que nous avons obtenue an n'* 310 pnr une voie toute diirérenle.

315. Les rayons fie courbure des sections normales en un point d'une surface étant proportionnels aux carrés des rayons vecteurs de l'indicatrice, à chaque propriété de ces ravons vecteurs répond une propriété analogue des rayons de courliure.

Ainsi, dans l'ellipse, le rayon vecteur central a un maximum et un minimum, et les directions correspon- dantes sont perpendiculaires entre elles; donc, dans le cas de ri — 5-^0, où l'indicatrice est une ellipse, il existe deux sections normales de la surface, perpendicu- laires entre elles, telles, que le rayon de courbure de l'une est un maximum et le ravon de courbure de l'autre un minimum : ce sont les sections que nous avons nommées |)rincipalcs. L'un des rayons de courbure devient infini <lans le cas de rt — s^ = o, 011 l'indicatrice elliptique dégénère en deux droites parallèles. Enfin la même pro- priété subsiste lorsque l'indicatrice est formée du système de deux hyperboles. Dans un tel système, le carré du rayon vecteur central a deux minima qui répondent en- core à deux directions rectangulaires; mais, comme ces deux rayons correspondent, l'un à une valeur positive, l'autre à une valeur négative du rayon de courbure, on voit que celui-ci a un maximum et un minimum comme dans le cas de l'ellipse, et que les sections correspon- dantes sont encore perpendiculaires entre elles.

Dans l'indicatrice elliptique, la somme des inverses des carri's de deux rayons perpendiculaires est constante ; la même chose a lieu, dans l'indicatrice hyperbolique, en subsiiiiiaiii la dillérence à la somme. 11 en résulte, en ayant égard aux signes des rayons de courbure, que la somme des courbures de deux sections normales perpen- diculaires entre elles est constante et éirale à la somme

47° CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(les courbures principales. Nous avons déjà démontré celle ]>roposilion au n'' 311.

Deux rayons vecLeurs de l'indicalrice également incli- nés sur l'un des axes sont égaux entre eux : on en conclut ([ue deux sections normales également inclinées sur l'une des sections principales ont la même courbure.

On voit enfin que les points des surfaces auxquels on donne le nom à' ombilics sont ceux pour lesquels Tindi- cation est une circonférence de cercle; effectivement, toutes les sections normales ont alors la même courbure.

Dans les surfaces du deuxième degré, les sections faites par des plans parallèles sont des courbes semblables : il en résulte que l'indicatrice en chaque point est l'une quelconque des sections parallèles au plan tangent en ce point. Donc, les ombilics des surfaces du deuxième de- gré sont les points où le plan tangent est parallèle aux plans des sections circulaires.

Cas oii la théorie précédenle est en défaut.

316. La loi si remarquable, d'après laquelle varie la courbure des sections normales en un point d'une surface, suppose l'existence d'un plan tangent en ce point, et elle exige aussi que les dérivées partielles ;•, s, t aient, au même point, des valeurs déterminées. Lorsque le con- traire a lieu, notre analyse ne subsiste pas, et la loi des variations delà courbure des, sections normales peut être très-différente de celle qui a lieu dans le cas général. J'éclaircirai cela par un exemple.

Considérons la surface représentée en coordonnées rectangulaires par l'équallon

^^li

CHAIMXRE X. 4^1

/étant une fonction donnée. En posant or. -— p cos«, y z^ p sina, dans réquallon , ij, mi obliciil

>)

V ^tun^j'aj

ce qui est l'équation de la section faite dans la surface par le plan -) =:x tanga, z et p étant alors le-^ coordonnées; cette section est une parabole dont la tangente à l'origine des coordonnées est située dans le plan jcy. Cherchons ce que devient, pour cette origine, l'expression générale des rayons de courbure des sections normales. D'après l'équation (i), -3 est une fonction homogène du deuxième degré des coordonnées x et j : on a donc, d'après le théorème des fonctions homogènes (n" 136),

ra:-~'r isxy -i- ty^ = 2z

4f

Si l'on remplace x et y par pcosa et psina, puis qu'après avoir divisé par p- on fasse tendre p vers zéro, on aura

I

/cos-a -I- 25smacosa-i ?sin'a

/ tanga

r,.v, t ont dans cette formule les valeurs qui conviennent à l'origine des coordonnées, et a. représente l'angle que fait avec l'axe dos x la tangente des sections normales. L'expression du rayon de courbure i n*' 310 devient alors

R=/(tanga ,

et la loi de ses variations est arbitraire comme la fonc- tiony. Ainsi ce rayon de courbure n'aura plus nécessai- rement, comme dans le cas général, un maximum uni(pie

472 CALCUL DIFFÉUEJVTIEL.

et un minimum unique répondante deux directions per- pendiculaires.

La théorie générale ne s'applique pas au cas actuel, parce que, pour x = o,j)=o, les dérivées j',s, t devien- nent indéterminées; leurs valeurs dépendent de la li- mite vers laquelle tend le rapport - quand x et j^ tendent vers zéro.

De V enveloppe des plans tangents à une surface aux . divers points d'une courbe donnée. — Des tangentes conjuguées.

317. Considérons une courbe tracée sur une surface donnée ; le plan tangent à la surface en un point (x, j, z) de la courbe a pour équation

(1) Z-33=;,(X-ar:'-^7(Y-7),

et U est enveloppé par une surface développable qui est déterminée par l'équation (i), jointe à celle qu'on en déduit par la différentiation relative à la variable indé- pendante, dont dépendent sur la courbe donnée les quan- tités X, j^, z, p, q. A cause de dz =pdx -\- qdj, la différentiation dont je viens de parler donne

(2) (X-.r)f/p+ (Y-j)^7 = o.

Pour avoir l'arête de rebroussement de la surface déve- loppable dont nous nous occupons, il faut différentier l'équation (2), ce qui donnera

( 3 ) [^ ~ a:) cr-p ^ [Y — y] d^q — [dxdp + dydq) = O.

Les équations simultanées (i), (2), (3) sont renfermées dans la formule

(4;

X-.r	Y-j -dp	Z	-z	dp dx H- dq dy
dq	~ pdq-	-qdp "	" dqd^p-^dpd-^q^

ciiAi'irnE X. 47^

les valeurs do X, Y, / tirées de ces éqiintions sont les coordonnées du point de l'arête de rebroussement qui correspond au point jc, y, z). Les équations formées en cp;alant les trois premiers rapports de la formule (4) équivalent au svstèmc des équations (1) et (2) : ce sont celles de la caractéristique. Cette caractéristique et la tanj^onte menée par le point ('.r, y, z) à la courbe donnée sont dites, d'après Charles Dupin, des tangentes conju- guées de la surface.

Désignons par a. ê, y les angles que forme, avec les axes, la tangente de la courbe donnée; par a', ê', /ceux que fait, avec les mêmes axes, la tangente conjuguée. Les premiers cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz\ les autres sont proportionnels à dq, — dp, pdt/ — </dp, d'a|)rès la formule (4), ou, selon notre notation ordi- naire, proportionnels à

sdx -+- tclj, — [rdjr. -,- sdj] , ps — qr^ dx -^ [pt — qs] (ly\

on a donc

rnsa' eosÇ'

s ces a. -\- t cos 6 — [r cos (/.-^ s cos 6 )

cos 7

{ ps — qr\ cos a H- pt — qs) cos6

Telles sont les relations qui existent entre les cosinus relatifs à deux tangentes conjuguées d'une surface.

Si l'on place l'origine des coordonnées en un point de la surface, qu'on prenne pour plan des xy le j^lan tan- gent, pour plans des zx et des zy ceux des sections principales, on aura

p zz.-. O, q rzi O, s T=: O,

COS7 r= O, cos6 rn: sina, C0S7' = o. rosé'r^- sina',

474 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et la formule (5) donnera

(6) tangatanga'= •

Cette formule (6) exprime la propriété suivante :

Théorème. — Deux tangentes conjuguées quelcon- ques so7it parallèles à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

Et il en résulte cette conséquence :

Corollaire. — La somme algébrique des rajojis de courbure des sectiojis normales qui correspondent à deux tangentes conjuguées est constante.

En effet, les rayons de courbure sont proportionnels aux carrés des diamètres de l'indicatrice, et ces carrés ont une somme ou une différence constante.

Expressions générales des rayons de courbure princi- paux en un point quelconque d'une surface, — Dé- terndnation des ombilics.

318. Reprenons la formule générale

(■) 1^= - . '^■+^'-"^; — -,

^ ' r ces- a + 2 j' CCS a cos 6 H- f cos'' 5

que nous avons établie au n° 309 et qui détermine en grandeur et en direction le rayon de courbure d'une sec- tion normale définie par les angles a, 6, y que lait la tangente avec les axes; rappelons que le choix du signe du radical \Ji-i-p'^q'- détermine le sens dans lequel sont comptés, sur la normale, les rayons de courbure positifs. Les cosinus des angles a, ê, y doivent satisfaire à la relation

(2) C0S7 =/? cosa H- 7 cosê,

(5

ciiAi'iTUE >:. 47^

îiiii.si (jnà la coinlilioii

1 3) c<).s-« - cos'Ç : cos*y ^^ I,

Cl 1 tliiiuiinlioii (le cosy (loiiiic (4 l -^ /)'- cas- a : y./jq cn:iv. coa^j -^ i — r/- cos-Ç t.

Mulliplioiis l'expression de II par le premier membre de la formule (4'. afin de la rendre homogène par rapport à cosa cl coso; l'équation (i) pourra alors être écrite comme il suit :

I I p- )r()s^a-:-2 p(] \ cos « cos C.

\ ^ q^ — - I ces- 5 =: O.

319. Cette formule (5) nous donne immédiatement les équations qui déterminent les ombilics de la surface;

elle fait connaître effectivement la valeur du rapport

^ ^ cos 6

qui répond, en un j)oint donné, à une valeur donnée

de U. Or, si le point dont il s'agit est un ombilic, la va-

1 , cosa . I , -, - • I

leur de i est indéterminée, et rcciprociuemcni ; donc

cos 6 ' '

on aura les conditions des ombilics en égalant à zéio les

(;o('("licicnts de cos-a, de cosa coso et de cos-o dans la

Innuule (5). On trouve ainsi

r > ^ _ s _ t

^ ' I -H y/- pq ~ \ 'i-q-^

et chacun des rapports qui figurent dans cette formule cxpiinie la valeur (U' jll élaiil la valeur du

ravou de courlnirc qui convient à roud>ilic.

En général, les deux éipiations 6 ; délermineronl sur

^'j6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la surface un nombre d'ombilics limité ou illimité, mais qui ne formeront pas une ligne continue; il peut arriver cependant que les deux équations (5) se réduisent à une seule, en vertu de l'équation de la surface, et alors celle-ci admettra des lignés ombilicales.

320. L'équation (5) nous fait connaître aussi les rayons de courbure principaux en un point quelconque de la sur- face. Effectivement, les deux valeurs du rapport — ^

' ^^ ces S

tirées de l'équation (5) doivent être égales entre elles dans le cas du maximvmi et dans celui du minimum; expri- mant donc cette égalité, on obtiendra l'équation

B.S Y / ^ R/- \ / , R?

i}{'

ou

(7) (//- .y2)R2 — [ [i^g^)r— ipqs-^-[l^p^) f] V 1 + /^^ + 'Z' R + [\ + p^+q"

qui a pour racines les rayons de courbure principaux.

^, , 111 cosa I .

11 reste a trouver la valeur du rapport relative a

^ ^ ens 5

chacune des sections principales. Or, R désignant actuel- lement l'une des racines de l'équation (7), l'équation (5) aune racine double, si l'on y considère cosa ou cosê comme l'inconnue ; cette racine double satisfera donc à l'équation obtenue en différentiant l'équation (5), soit par rapport à cosa, soit par rapport à cosê. On a, d'a- près cela,

1 I -^ p^ ) cosa -f- ( /?7 =. \ COS5 = o.

(

pq — j cosa -\- [ X-T- q —

Ri

\li-\-p- -\- q^ / \ si \ -{- p^ -\- q-

cosê

ClIAI'ITnH X. 477

cl ion lire de ces équalions

rcosa -h s cnsS scosa-^tcosÇ

[i -T- p*) COS a -hpq cosë /x/cosa -f- (l -H^') COSo

o) (

_ y/l -h p* -hf]^ ~ R '

rc(]iialion formée avec les deux premiers des rapports

conleniis dans cette formule est du deuxième degré par

, cnsa II 1 , -, , ,

rapport a -; elle détermine les valeurs de ce rapport

* * C()s6 ' ^

qui conviennent aux deux sections principales. Les équa- tions (2) et (3) permettent de calculer ensuite les valeurs des trois cosinus cos«, cosê, cosy.

L'équation (j) coïncidera avec l'équation (y; du n"lo7,

si l'on }' regarde — ^z:=z:__== comme l'inconnue; on voit ^i -+-/?•■' + «7 •■'

ainsi que les centres de courbure des sections princi- pales sont précisément les deux points que nous avons eu à considérer dans la question à laquelle je fais ici allusion.

En désignant par I\, et Ro les racines de l'équation (7), on a

n.R,= iiJtLZ^lit^,

' ■ rt — i*

et de ces formules (9) on lire

1 +/>' + ?')'

ire-

4^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la formule (lo) montre que les équations (6) ont néces- sairement lieu, lorsque l'équation 17) a ses deux racines égales; on retrouve ainsi les conditions déjà obtenues pour les ombilics.

Détennination des ombilics de l'ellipsoïde.

321. Pour donner un exemple de la théorie précé- dente, nous l'appliquerons à la recherche des ombilics de l'ellipsoïde. Désignons parp, \Jp- — b^etsjp- — c- les demi-axes de la surface et supposons b<^c; son équa- tion sera

.v^ y^ z^

et l'on en tire, par la différentiation,

p2 ' p2_c2~^' p- — 62 p^ — C-

(lifférentiant de nouveau, on obtient

c-

	fz-f- (i + ^^l = -^-
	Sz-\-pq = 0,
d'où l'on tire

P

» ; -, ^-'' ( P' '"^ ) ^" o ^' ^' o

.-[(, H- ,').- (,+^').]= p-T^-ij -I- pi r - pv^-j,/'--

Les seconds membres de ces formules étant nuls pour les ombilics, on a /? = o ou <7 = o; mais l'hypothèse de /? = o donnerait, pourc/, une valeur imaginaire; on

(iiAiMTni: X. 479

a donc ndcessaircment // = o, cl il en rcsulle

bi/p^ — c* Je'— Ir Jp' - c* , ho

P ■■ - ,L > z—-^ ?': , jr^ziz-^i y - o,

py/c*—b^ c c

les radicaux, devant être pris avec le double signe it:.

On voit que l'ellipsoïde a quatre ombilics qui sont situés dans le plan principal du plus grand axe et du plus petit, ce qui s'accorde avec ce que nous avons dit au n° 31o.

Des lignes de courbure d'une surface.

322. On nomme lif^ne de courbure d'une surface toute ligne telle que les normales menées à la surface, par ses différents points, appartiennent à une surface développable.

Soient X, j, z les coordonnées rectangulaires d'un point de la surface donnée, et faisons, comme à l'ordi- naire,

dz :=^ pd.r 4- (Jf^y, dp ^n rdx -f- sdr, dq — sdx -- tdr .

La normale de la surface au point (x, j , z i aura pour équations

(1) (X — X' +/? Z — z) :=o, [Y—y)^q'Z—z'--:o.

Maintenant, si les coordonnées Jc, y, z appartiennent à une ligne de courbure, elles seront, ainsi que p et q, des fonctions d'une même variable ; la droite (i) étant alors la tangente de l'arête de rebroussement d'une surface développable ou, ce qui revient au môme, la caractéris- tique de cette surface, elle sera contenue dans le plan mobile enveloppé par la même surface; donc l'équation de ce plan mobile sera

(2) Llx-x+/.^z-5)]-e[^Y-j) + 7^z-.^j..-o,

./j8o CÀLClfL DIFFI^.RF.NTIEL.

u étant une fonction du paramètre ou de la variable dont dépendent les coordonnées jc, j, z. Mais, d'après la théorie exposée au n°283, la caractéristique de l'enve- loppe est représentée par l'équation (2), jointe à celle qu'on en déduit par la différentiation relative au para- mètre qu'elle renferme; donc cette dernière équation doit devenir identique en vertu des équations (i). En différentiant l'équation (2) et en supprimant le terme en d9 qui est nul, par les équations (i), il vient

[—[d.r-hpclz)-^:Z—z]d/j]~0[— [dy^qdz)+ [7.—z]dq'\=0.

Cette équation devant subsister, quel que soit Z, elle se décompose en deux autres, savoir :

l dx -^r pdz^=0[clr -\- qdz], ^ ' I dp =zO dq,

d'où, en éliminant 6,

iâ) ^/^ ^ ^y ;

^ ^ ' d.r -r /■> dz dj -h q dz '

telle est l'équation qui doit avoir lieu, d'après la défini- tion, pour tous les points d'une ligne de courbure.

Remplaçant dz^ dj), dcj par leurs valeurs, l'équa- tion (4) devient

rdx + sdy sdx -\- t dy

! + /?-) dx -\- pq dy pqdx-i- [i -+- q'- ] dy '

OU

les dérivées /?, ^, r, 5, t sont des fonctions données des coordonnées x,y, et l'équation (6) est Vcquation différentielle des projections des lignes de courbure de la surface sur le plan xj.

rriATMTnr x. 4^1

Poiirtlia(|iie système de valeurs des coordonnées x et r,

l'cqnation ( () i donne deux valeurs de -- ou de liiu —- ; * (t.r Ax'

d résulte de là (ju il |)asse deux lignes de eourhure par chaque point de la surface autre (]u "un oudiilit : dans le cas des oinl)ilics, ré([ualion (6) se réduit à une idculité.

3!23. L'é(piation ( 2 ) du plan mobile que nous avons e(MisidéTé devient, à cause de la seconde équation (3),

[ y. — .r] ^ p Z — z)]dq ~ [ Y — y) ^ q Z ~ Z^](lp =z o,

et, pour déterminer l'arête de rebroussement fie son en- veloppe, il faut joindie à l'équation précédente fn" 283) celles qu'on en déduit j)ar une double difTérentiation faite dans riiypolhèse de X, Y, Z constantes. Une première difTérentiation donne, en ayant égard à l'équation (4),

[^X-.r)-|-/,(Z-^;]r/^y -[Y - y] ^ q[Z- z]]d'p^o.

DilTérentions de nouveau et désignons par ^ la valeur de

chacun des membres de la formule (4), il viendra, en ayant égard aux équations précédentes qui équivalent à celles de la normale,

i Z — z — M dpd-q — dqd'-p^ r-r o,

d'où

z - 5 = M.

La valeur de Z qu'on obtient ainsi se rapporte an point de contact de la normale avec l'arête de rebroussement. Si l'on désigne par R la partie de cette normale com- prise entre le point de contact dont nous venons de parler et la surface, on aura

R :^ s/iX-.rj^i^i^rY-^jt + ^z - = ;S

ou. à cause des équations (i),

R :^ V I />' -i- 7* iZ — z; = v'i +y^« H- y« M. 6. — Cale. dig. 3i

^82 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or — est la valeur commune des deux rr M

mule (4) ou de ceux de la formule (5); on a donc

Or — est la valeur commune des deux membres de la for- ai

rdx 4- sdy sd.r -h tdy \j i -\- p'^ -\- q'^-

{l-^P^)d.x-Jrpqdj pq dx -^ [i -]- q^) dj R

Soient a, ê, y les angles que fait avec les axes la tan- gente à la ligne de coui^bure, on aura

		dx	<Y
		cos a	cos s '
et la	formule	précédente deviendra
	/ r cos V. -^- s cos 6		s cos a	-+- t cos 6
(8]		] cos a H- pq cos ê	pq cosk -+	('-	9')	cos 6
	_ v/»:.	-/.^-).	t.

\ R

Les deux équations contenues dans cette formule sont précisément celles qui nous ont servi (n° 320) à déter- miner la valeur R du rayon de courbure des sections principales en un point de la surface donnée, ainsi que

, , , cosx . . , . ,

la valeur du rapport qui convient a ces sections, les

^ ^ cos§ ^

angles a, ê, y se rapportant à la tangente de la section;

on peut donc énoncer ce théorème:

THÉorxÈME. — 1° Les lignes de courbure qui passent par chaque point, d'une surface donnée sojil taiigentes aux sections principales relatives au même point, et par conséquent elles se coupent à angle droit.

2° L' arête de rebroussenient de la surface déi^elop- pahle formée par les normales de la surface aux points d'une ligne de courbure est le lieu géométrique des cent/ es de courbure des sections principales tangentes à la liiine de courbure.

CHAIMTUK \. 4^3

324. Uf.mauqi r.s. — 11 csl inijiurtrmt At- icinurijiKT (luc les rayons do courhiiic d une lii;ii(' de (oiirliiirc ne soiil pas éj;aux, en général, à ceux des scclinns j)rin(i- pales tangentes. SI p désigne le rayon de courbure dune ligne de courbure, 0 l'angle cjue fait la direction de ce rayon avec la direction du rayon de courbure 11 de la section principale, on a

0 ^-- Il cosO,

comme on l'a vu au n° 308. L'égalité des rayons p et R n'a donc lieu que si le plan osculaleur de la ligne de courbure passe par la normale de la surface.

Nous avons obtenu l'équation diflercntielle des projec- tions des lignes de courbure d'une surface sur le plan j'y ; la recbercbe de l'équation de ces lignes entre les seuK's coordonnées exige en général les méthodes qui font 1 ob- jet du Calcul intégral. Maison peut voir dès à présent que les lignes de courbure constituent deux systèmes distincts que l'on nomme orthogonaux; ces lignes décomposent en'ectivement la surface en quadrilatères infinimentpetits dans lesquels les quatre angles sont droits. Les courbes auxquelles appartiennent les cotés opposés de ces (juadri- latères forment le système des lignes de l'une des cour- bures et les trajectoires orthogonales de ces courbes con- siihienl le système des lignes de l'autre courbure. Mais, en général, les deux lignes de courbure qui passent par un même point d'une surface ne sont pas ann/} ti(/uernent distinctes : elles ne sont en réalité (|ue deux branches iluiic même courbe; c'est seulenicnt dans des cas parli- cidiers que les deux systèmes de lignes de courbure i)eu- \enl être re[)résenlés j)ar des étjuations ilistinetes.

Toute ligne tracée sur un |>l;ui ou sur ui\q sphère doit élre regardée comme une ligne de courbure de celle sur- lace. Dans le [)remier cas, les normales de la surface me-

3i.

4^4 CALCUL niFFÉKENTlEL.

nées par les points d'une ligne quelconque forment une surface cylindrique qui est développable; cette ligne satisfait donc à la définition des lignes de courbure. Dans le cas de la sphère, les normales vont concourir en un même point et elles forment une surface conique qui est encore développable. On voit au surplus que l'équa- tion (4) des lignes de courbure est toujours satisfaite dans le cas du plan et dans celui de la sphère. Pour une courbe plane, on a effectivement

dp ■= G, (Iq = o; dans le cas de la sphère,

(■^-■^o)'+(j-7o)'+(2-'o)'-«''=-o, on a d.r -\- pdz-\-[z — Zç^)dp-r=o et dy -{-qdz-\- [z — z^)dq^=:o.

Propriétés relatives aux lignes de courbures.

325. Reprenons l'équation

dp dq

dx -t- p dz dy -+- q dz

qui appartient aux lignes de courbure.

Si l'on désigne par a, ê, y les angles que fait, avec les axes, la tangente d'une ligne tracée sur une surface, par a', 6', y' ceux que la normale de la surface fait avec les mêmes axes, on aura

cos«' cosS'

P — , ' 7 — -, '

ces 7 ces y

puis

dx dy dz

ces a cosê CCS 7

L'équation précédente des lignes de courbure devient alors

cnsy'i'/cosa' — cosaVcosy' cosy'rfcosê' — cosê'cfcosy'

cosa cosy' — cosy cosa' cob6 uosy' — cosy cos6'

CMAIMTUK X.

485

ou

/ cos^îrosy' - cosycoso' c/cos«'

(i) ' -+- cosy cosa' — cosacosy' dcos^i'

\ -+- cosacosê' — cosÇcosa' r/cosy' - o.

On a d'ailleurs

cosa cosa' + coso cosS' -1- cnsy cosy' - - o, cos'k' h- cos*6' -f- cos-y' = i ,

et, parla difTi'rcnlialion,

cosk' Jcosy.' -+- c()s6' r/cosC -+- cosy' r/ cosy' - o.

En combinant celte dernière identité avec lVH|uation(i), on obtient

dctisa.' dcos^' (lccts.y' cosa. cosS cosy

Ainsi, pour qu'une courbe donnée, tracée sur une sur- face, soit ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe en chaque point soit parallèle à la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels aux dilférenlielles

f/cosa , dfos^', r/rosy',

cd, &, y étant les angles formés avec les axes par la nor- male de la surface. Posons

(3) r/T m ^/^ rf cos a' ^-4-^/cos^' * -f- //cosy' *,

et déterminons trois angles ?', r/, ^' par les é([uati<>ns

(4) f/cos«'-- r/^r' cos;', r/cos6' = r/5-' cos/;', r/cosy'=^^/T' cos?'.

Si la courbe proposée est ligne de courbure, les nor- males de la surface menées par ses dilférents points se- ront tangentes à uiii> courbe; dans ce cas d<s' est l'angle de conliugeuce de celte dernière courbe et ^', y/, ^ sont

486 CAI-CII. niFFr^-UF-NTIEL.

les angles formés par sa normale principale avec les axes. Dans tous les cas, la direction que déterminent les angles l' , r! , '(^ est perpendiculaire à la normale de la surface, et par suite elle est dans le plan tangent; car l'équation

cos^ a' H- cos^ 6' -t- cos- 7' = i

donne, par la diflerentiation, à cause des formules pré- cédentes,

cosa' C()s5' + cosê' coSyj' -+- cosy' cosÇ' := o.

Soient encore X', ^, v' les angles formés avec les axes par une droite perpendiculaire à la normale de la sur- face et à la direction qui répond aux angles ^', r! , '('; les cosinus des angles i' , n' , '(' étant proportionnels à dcosa', r/cos6', r/cosy', ils le sont aussi, d'après le calcul du n" 273, aux différentielles dcosW, </ cosa', cl cosv'. Si donc on pose

(5) dr' = ^ [d cosl'f -h (r/cosfi' )* + [cl cos-j' )^ on aura

(6) r/cosVr^cosçV/r', d cos •/ = cosr/ ih' , d cos-j' = tosÇ' dz' .

Cela posé, désignons généralement par w l'angle formé par la tangente de la courbe donnée avec la direction qui répond aux angles ^', r/, (1^'; par 0 l'angle que fait la nor- male de la surface avec le [)lan osculateur de la courbe. Soient d'ailleurs, pour cette dernière courbe, conformé- ment à nos notations habituelles, ^, m, ^ et X, p, v les angles formés avec les axes par la normale princi[)ale et par l'axe du plan osculateur, (la et (h les angles de con- tingence relatifs à la première et à la seconde courbuie. Lcj droites qui font avec les axes les angles

r fil I

Ç', -fl'. ?'j

-, / I I

A , fi , V

rUM'ITUF. \. 4^7

forment un sjstrnie rccliin^ulairc, d lis (dsimi-^ <les angles (ormes avec ces trois droites, par la lanj,'t'iile, la normale principale et l'axe du plan osculatenr de la courljc donnée, sont ri'spccli\ crmnt

o, cos'.), si II'.),

cosù, lii sin5 sinoj, rp siiiOcosw,

sinO, ITT ros(/ sIm'.), zircos^cosw;

mais comme nu passe des si;;nes inférieurs aux supé- rieurs en chanj^eant w en w 4- tt et en substituant, à la direction d'abord choisie de la tangente à la courbe, la tlirectionoppoS('e, nous admettrons les signes supérieurs, et l'on aura en consé(pience les formules suivantes :

/ eosacosx' -I- eosC cosë' -^ cosyeosy' - o, C()S« cos;' -f- cosê coSïj' -I- cnsy COSÇ' "~ COSw, cos« cosX' -t- cosêcostx' -+- C0S7 cosv' - sinw;

1 COS; cosa' -f- cosij C(»sS' -i- cos^rosy' = cosO, cosÇ cosÇ' + COSY3 cosYj' 4- cosÇcos'C' == -^ sini/sin'.>, cos; cos^' -4- cosïjcosp' -t- cosÇcosv' = — sinôcosoo;

1 cos). cosa' -;- cosfJiC(ts6' -f- eosvcosy' — siiiO, (q ' <()S^ cos;' + cos ficos/j' -t- cosv cosÇ' = — cosOsinw,

\ cosXcos).' -+- COSp COSli' -i-cosvcosv' = -T- cosO cosw.

Si l'on dilTérentie la première et la troisième éipia- tion (7), puis la première équation (8^, en faisant usage, puiir cet objet, de nos Ibrmules du n°27i. il \itiidra, en ayant égard à toutes les préci'dentes équations,

fio) cosm^/t' -+-C(»sO^/7 - o,

I I I ] dr' .— r/w -4- siii 0 ih,

(12] r/r = M -f- sin M ih\

Cl, à cause île la forniule 10 , la lormule 1 .>. y tlonnc

( 1 3 ) iIt =^dO — cos 5 tany w th.

(

488 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

326. Les formules (lo), (i i), (12), ( i3) conviennentà une courbe quelconque tracée sur une surface. Nous avons vu que la condition des lignes de courbure est sin w = o ; cette condition se réduit donc à

d'après la formule (i3), ce qui donne le théorème remar- quable de Lancret, savoir :

ThéouI-meI. — Pour qii une courhe plane tracée sur une surface soit ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que l'angle de torsion de la courbe soit égal à la différentielle de l'angle formé par le plan oscula- teur de celle-ci auec la normale de la surface.

Si l'on a ^T=:o,il en résulte d9=o, d'où 6 = const., et réciproquement ; on a donc cette autre proposition :

Corollaire. — Pour qu'une courbe plane tracée sui' une surface soit ligne de couibure de la surface, il faut et il suffit que le plan de la courbe coupe la surface partout sous le même angle.

Si la courbe proposée est une ligne de courbure plane de la surface, on a sinw=:;o, dfji=^o et </9=:o; alors les équations (10) et (11) donnent par la division

dT'

——. := — tansr 0 = const. dd' ^

On a donc ce théorème :

Théoriîme II. — Si une ligne de courbure d'' une sur- face est plane, les normales de la surface aux points de la ligne de courbure forment une surface dé<^eloppable dont l'arête de rebroussement jouit de la propriété que ses deux courbures ont. un rapport constant. Cette arête de rebroussement est donc une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque ( u" 301 ).

criAi'nuK \. 489

327. Considérons maintenant une rotirbo appartenant à (Jeux surfaces; on aura, j)ar la (oniiule ( i3) du n° 325,

th =z (IQ — cos^ lan^'.) (h, dr = (10 1 — cosO, tan^'M, 'h,

en dénotantpar 0,, w, les quantités analoguesà 0, </), et relatives à la deuxième surface. On tire de là

d[Oi — 9 ) = ( cos ©, tang w, — cos 0 tang '.> ^ ({7 ;

les angles 0 et 0^ sont situés dans lemême plan, comptés tous les deux, dans le même sens, à partir de la normale principale de la courbe donnée; donc la différence 0, — 0 exprime l'angle que les deux surfaces font entre elles; d'ailleurs l'équation

sinw = o ou sinoj,z=o

est la condition pour que la courbe considérée soit ligne de courbure de la première ou de la seconde surface. On a donc ce théorème :

Théotième III. — Si l'intersection de deux- surfaces est une ligne de courbure de chacune d'elles, ces suif aces se coupent partout sous le mente angle. Réciproque- ment, si deux surfaces se coupent partout sous le même angle cl <jue l'intersection soit une ligne de courbure de l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure de r autre surface.

Et, comme une ligne plane ou sphériquc est ligne de courbure tlu plan ou de la sphère qui la contient, on a ce corollaire, qui comprend celui du théorème I (n° 326 ) :

Corollaire I. — Pour <ju une courbe plane ou sphé- rique tracée sur une surfine donnée soit une ligne de courbure de la surface, il faut et il suffit (pie le plan ou la sphère ipii contient la courbe coupe la sur/ace par- tout sous le même angle.

4gO CALCUL DIFFÉRERTIF-L.

Les plans tangents à une surface développable font partout avec la surface un angle nul, et ils contiennent la génératrice. On a donc cette autre proposition :

Corollaire II. — Les génératrices d'une surface développable sont des lignes de courbure de cette sur- face.

328, On peut établir facilement le théorème III sans recourir aux formules du n° 325. Effectivement, consi- dérons deux surfaces pour lesquelles on a respectivement

dz z=zpd.T I- qdy, dz z=zp^dx -^ Qi'^J-

Ces deux équations ont lieu simultanément pour l'in- tersection des deux surfaces, et l'on en tire

dx dy dz

désignons par dt chacun de ces trois rapports égaux, et posons

d.r -^pdz _ dy + q dz _

dp dq

dx~^p^dz dy -^q^dz _

dpx dq^

on aura

— ^- =q[l + pp^-\-qq,) — qi [l -^ T -^ q-

^-^ = pi I 4- p- -\-q^)—p['i-^PPi-^ (JQï^ dt

Si donc on fait

V

v/i + //--t-7'V> + /^f-*- q\

CII/iPITUE X. 49 ï

on aura

àV __ Velp

ô<j ~ ZZZIZI ï'

iToù

* 4. - ,tn = ,Q - p) '-', r- i

on aura évidemment aussi

<'P\ iiqi 2

S'x-^p''^q'A-\-p\-r-q\) dt

et, en ajoutant,

-_ rfy? f/7 -}- , . , , ^ ^, dp, dq^

dt y' I -i- /?' H- «7* \^ I -i- /^' -^- 7 î

On voil, par cette formule, que si deux, des quantités

dW, Q-P, Q, -P,

sont nulles, la troisième est nidle aussi; ce qui est pré- cisément la proposition que nous voulions établir.

De la surface dont tous les points sont des onihilics,

329. Si l'on désigne par X, \ , Z les eosimis des a nj^lcs que lait avec trois axes rectangulaires la normale d'une surl'ace, on a

V^i-t- /-''-!- 7^ N •-T-/'' -1-'/' \'~^/''-T-7*

49^ CALCUL DIFFÉRENTIEL.

d'où

du pgs — (i-i-q'^)r dX pqt — i\-i~(]^\s

àY _ pqr— ii-\^ p^]s dY __ pqs — (H- p"- ) t Les équations

7'

I H- /> /.ir/ I -r- <y

dX	dY	dX dY
- - = G, ày	d.r.	dr dy

qui déterminent (n"319) les ombilics des surfaces, équi- valent donc aux suivantes :

(«;

lesquelles se réduisent à deux distinctes.

Il est facile de démontrer, par ces formules, que la sphère est la seule surface dont chaque point soit un ombilic. En effet, pour une telle surface, les équations(i) ont lieu en chaque point; les deux premières expriment que le cosinus X est indépendant dej^ et que Y est indé- pendant de x\ en d'autres termes, X est fonction de x

1 vj 1 . ., . . dX dY ,

seule, I de r seule; en outre, les dérivées -r— et -r— étant

-^ ' dx dy

égales, leur valeur est nécessairement une constante -;

a

on a donc

^ _ I à^_\.

d.r a i)r a '

par conséquent, X et Y ont des valeurs de la forme

or — .T^ ,^ y — ,70

ciiAPiTnK X. 493

Xo c^Jo *'li»nl (les conslanlcs; h; cosinus Z sera dès lors

2 ^ v/«^-(./--x,)^-(j-jo)' _ a

X Y

Malntrnant, Ics'vaifiirs de p et // étant -, - > — ; — » la

ininmli,' d z -^ p d z -\- q dy devient

z z

Le second membre de cette formule est la dilTcrentielle totale àeyja- — [x — x^ ,- — (J — Joi-; on a donc, en désignant par Zq une nouvelle constante,

z— 2o= V'«' — i-^ — ^0)*— ir— J-OJS

ou

C(î qui est bicu l'équation de la sphère.

Des sysLcines triples de surfuccs orlliogonnlcs.

330. Désignons par x, y, z des coordonnées rectan- gulaires, parjo, f^, V trois paramètres variables parJ',J\, f-i des Conelions données. Chacune des équations

(') P=/l-'-'ri2). u.=fyX,r,Z, v=/i.r,v,2)

représenlera une lamille de surfaces, et ces trois familles constitueront un système triple de surfaces. Si l'on ima- gine (pie les équations (i) soient résolues par rapport à j:, y y z, de manière (pie l'on ait

[2) .r=F(p, .(X, v\ J=F, (p, f*, v\ 2=F5p, fX, v\

les divers points de l'espace seront déterminés parles trois variables p,^, v, auxquelles on a donné le nom général de coordu/inces curviliiiiics.

4q4 CALCUL OIFFÉUENTIEL.

Il importe de remarquer surtout le cas où les surfaces de chacune des trois familles qui composent le système triple sont coupées à angle droit par toutes les surfaces des Jeux autres familles. Un tel système est dit orthogonal.

Posons

les normales des trois surfaces au point [x, j, z) for- ment avec les axes coordonnés des angles qui ont res- pectivement pour cosinus

I dp P dx'	I <)o FdJ'	I do Pji'
1 ÔfJt.	I du	T du.
M d^'	M ôj'	M É'
I <h	l (h	1 d^j
N dr'	N à}'	N dl'

par conséquent, les conditions nécessaires et suffisantes

pour qu'un système triple de surfaces soit orthogonal

sont

/ dp du. dp dpL dp dfj.

d.e dx df dy dz dz '

. . , dp dv dp d'j do d^j

^^' ^ d^: '(h: '^ d^ dj '^ dl â~z ^ ^'

du dv dp. dv du. dv

dx dx dr dr dz dz

331 . On peut éliminer deux des fonctions p, [x, v entre les équations (4) et celles qu'on en déduit parla différen- tiation; le résultat de cette élimination est une équation aux dérivécspartiellesdu troisième ordre. Voici comment

r.HMMTIlK X. 4î)5

on pfMit ('tablir cet im|)Oilanl ihéorèmc, dû à M. C)>si;in

Ijumu't. Les deux dci iii»"i<'s <'(|ii:ili()ns (4) duiiiK-nl

Ôv i)p ()it Ôfi Ou

<).r tJ)- <)z Oz *))■

ih <)o ()'J. ()rj t)a (5) / K-- :^ -p- -' ---,

^ ■' \ (Jj- Oz (Jx Or OZ

j Ôv ()o Ou. do Ou.

^ Oz Ox Or Or Ox

formules où K a la valeur — — • Il est évident d'ailleurs

N

que, si Ion ajoute les trois quantités

d.r Oz '

Of Ox

a(K^] 0

Ox

après les avoir multipliées respectivement par-— , -^% -^y * 111 j,. ^^. ^,

on obtiendra une somme nulle; on a donc, j)ar les Ibr- niuli's j .

<)v r () fOo Ou. Oq OfA <) (Op O^jt. Op Ou\'] Ox\^Oz \0z Ox Ox Oz) Ox\Ox Oy. Of ôx)\

0-j r 0 /OpO[i. Op Ou\ 0 I Op OfjL Op <?f*\n

"*~J7Liv\î^^)r~ c)r d'r) ~ 'ih [ôj- '[h ~ 07 ÔJ I \

^Tr) ii)p_Ou. _0p O'jX 0 /Op Ou Op Ouy]

Si 1 on ellccluc les din'ércnlialions cl qu'on ajoute à

4q6 calcul difféhektiel.

l'équation obtenue les deux dernières équations (^4) mul- tipliées respectivement par

/d-y, d-p. . d^p.\ fdU , d^p d-p\

'^ \7h:' ^ d? ^ dJ I ^^ "" \d~^- ~^ d7'~^ d^l '

il viendra

d-jVdp d'-uL dp d^p. , dp d-p. _ dpi d^ p dy. d^o dp. d-p 1

d.r\ d.r dx^ df dxdx~^ dz dxdz dx dx^ dr dxdj dz dxdz^

^,1 d-jVdo d'-u do d-u dp d- y. du. d^o d^p du du. d'-p~\

1 Oy\ dxd.rdj dr dj'^ dz dj dz d-rd-rdr dj- dr dz dfdzj

(h ôz

)o d-u. dp d^-p. dp d^-p. dp d' ^ du. d'-p dy d""

(10

drdrdz dr drdz ôz dz^ d-r dxdz dr dy dz dz dz-

On peut chasser de cette équation les dérivées du second ordre de la fonction /a. On a, en effet, en différentiant la première des équations (4) par rapport à chacune des variables x, y, z,

]

dp â^p. dx dx-'	do d^y. dp d"^ p. + ' -+- ' — dy drdy dz d.^dz	dp. d^p dx dx^	dy. d'-p dy d.rdy	dpi d'-p dz dxdz
dp d- p. dx d-r df	dp d-'u. dp d^y _ dy dy^ dzôydz~	dy d'p dx dx dy	dp. d- 0 dy dy'-	du d'p dz d) dz
dp d- u.	dp d^u. dp d^p. ~^ dy dyàz dz dz^ ""	dy d'y	dpi d'-p	dy. d-p
dx dxdz	dx dxdz	dy drdz	dz dz'-

Au moyen de ces formules et des formules (5), qui per- mettent d'éliminer les dérivées de v, l'équation (6) de- vient

d

do dy dy dz	dp dy\ (du d^p dz dy J \dx d.r^
dp dy	dp dy\ (dp. d-p
dz dx	dx dz J \dx dx dy
do dy dx dy	dp dp.\ / dy d-p dy dx) \dx dx dz

dy dxdy dz dxdz du d'-p dp. d^p

dy dy- dz dy dz dy d'-p dp. d-p dy dy dz ' dz dz^

CIIAMTRP. \,

49-

H-C

m

, d-.i ()y. i)-x ô-J.

A. -; ^ " . ~ ~t ' li * • -

oy Oz Oz Ox

cil faisant, pour abréger,

<)r, d-p ()o à-o

L -•- - •- =^ o, dx 0/

A =

Oz dr Ojr dr dr Oz _ ôr> O^p dp d-p d.r Or Oz Oz OyOx

(9)

C ^

A' : B':- C'r-

Op	O'p
Oy	Or Oz
dp	hr-p
d.r
dp	1 0- p \d^-'
Oy
dp	1 0- p
Oz

Op O'-p

OTr ÔVOz

0- p \ t'a Tz'

O'p Ox^

I up â-p dp O^p \

Oy O.rOy Oz ().r Ozj '

Op 0- p Oo 0- p \

)z Or Oz Ox OjtOy / '

dp^ O^p

dx dx dz dy dy Oz

dp d' i

Nous avons donc deux équations qui ne renferment pas

la l'onction v et qui ne contiennent que les dérivées du

premier ordre de [i, savoir la première équation (4 ici

l'équation (8). Ces deux équations sont liomog«;nes par

.,.. diL dit dti .

rapport aux dérivées - -, -f, f-; on pourra donc en ' ' dx dy dz •

lirer les rapports de deux de ces dérivées à la troisième,

en sorte que l'on aura

Ou	du	Om
ÔTr	dr	d^
»\, "	Db "	~ o

A,, Hl<, C élnnt des fonctions connues des dérivées du pre- mier et du deuxième ordre de la fonction p. On aura,

S. — C'rt/c. dijf. 3 2

4gS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

d'après cela,

„o) n'^=^. h|:=^, „| = c.

L'élimination de p. peut se faire par le procédé employé plus haut à l'égard de v. Si l'on ajoute les trois quantités

("D <"l)

<«l)
K4:)

après les avoir multipliées respectivement par

t)pt da d^ ôx ôj- Oz

on obtiendra une somme identiquement nulle, et par conséquent on a, par les équations (lo).

Cette équation (ii) ne renferme que les dérivées du premier, du deuxième et du troisième ordre de la fonc- tion p. On a ainsi ce théorème :

Théokème. — Pow que l'équation p =f{x, j, z) puisse représenter l'une des familles d'un système triple orthoiionnl, il fciut que la fonction p satisfasse à une cer- taine éq uni ion a ux dérivées partielles du troisième ordre.

332. Supposons qu'on prenne pour variables indépen- dantes les paramètres p, ^x, v d'un système triple orlho-

CIl.M'ITUR X. 4<}9

goii.'il; les (l('iiv('t's |);irl icllcs de j-, y, z, relatives â c, p, V, s'oliliciidronl lrè.s-ais<'tiiciit en Conclioii des dérivées particlhîs île p, a, v, relatives à a-, 7 , z. Efrecliveineiit, si dans lu lurniule

Ox (Ir ().r

lijc 1— -— dp -\- - (lu. -;- --- (h 00 ' OiJ. (h

on rcnij)lacc dp, du., dv j)ar leurs valeurs

-- d.r -,- -'- r/)- -,- '- (Iz, Ov âr ôz

il viendra, en égalant de part et d'autre les coefficients de d.v, dv. dz.

Or Op Ô-r Ojl ôx (h

dp ô-r du. Ox ô'J Ox _ Ox Op Or 0[M Ox Ov

Op Or OpL Oj Ov Oy

Ox Op Ox Ou. Ox Ov

Op Oz OpL dz Ov Oz

Ajotitons ces équations, après les avoir multipliées ros-

Op Op Oo . Ou Ou. 0-x

nectivenient par -^ 1 --^» --; puis par -^, -r^, --, puis ' ^ Ox Of Oz ' ' Ox Or Oz •

(;nfin par -— » -r-' -^' i^ viendra, à cause des formules (3) ' Ox Or Oz ^ '

et (4),

^ ' Ox Op Ox 0;m Ox Ov

On trouve de la même manière

, ON '^? _ pî '^y <^l^ _ np <^.r ^-^ Ts.- '■■'' Of Op Of 0^ Oj Ov

i,n :^_p«^^, ^."_M^'^\ ^-N«-,

^'-^' Oz~' Op' Oz -'' ();/ Oz ~^ (),*

et de ces formules combinées avec les formules (3) et (4

32.

5oo		CALCUL DIFFÉREINTIEL.
on tire
	' I	/dry /dry /()z^ -\ôj) -'-[dp) -^ [dp,
(•5)	I	_ /dry ^ /().ry /d3^
W'
\		/dry /()r'y [dz\
1	r)^	dj: d)- dr âz àz
1	¥	dp. dp dp. dp dp.
(i6)		d.r dr dr dz ôz fh Op Ov Op ov
		ô.r ô_y ÔJ ôz ôz ôv ôp. d'j dp. ôv

333. Les équations (i5) et (i6) expriment simple- ment les relations qui existent entre les cosinus des angles formés avec les axes par trois directions rectan- gulaires, et l'on peut en conclure, par la différentiation, un grand nombre d'autres relations qui expriment autant de propriétés des systèmes orthogonaux. Celte analyse n'offre aucune difficulté, et elle conduit à des résultats importants; mais, pour ne pas sortir des limites que je me suis fixées, je me bornerai à établir ici les formules qui expriment les dérivées

ô\r d^ d\T

ôo dp. dp dv dp. dv

en fonction des dérivées du premier ordre des varial)les X, ) , z et des quantités P, M, N.

A cet effet, différentions la première équation ( 1 5 ) par rapport à p., et la deuxième par rapport à p ; on aura

d.r ô^'.r ôy ô-j ôz ô-z i_ d logP

dp ôp ôp. dp ôp ôp. ôp ôp ôp. P^ ôp.

d.r ô^x ôy dV , ôz^ ô'^z i^ dlogM^

ôp. ôp ôp. ()p ôp ôp. ôp. ôp djW M- ôp

CHAI'ITUK X. i>OI

Différcnliotis ensuite les ('(iiiiilions f iC) par r.ipport .1 V, u, p r^pcclivemcnl; ajoutons les deux. deriiMjres équa- tions obtenues cl rctranelions la picinièrc, on aura

ô.r 0\r ()y (P y (); J's

■ -\ '— — : — H- — - -T^ o.

(h <)o <)a <h ôp dpi (Jv Op Ô'i

IMaintcnant, si l'on ajouti- les trois é(pialions précédente-^

, 11-. • '^-^ <^-^

après les avoir multipliées rcspeclivemcnl i)ar - -, -—i ' 111 ^j^ f^^

flr . ôy <)y ôy . ^ ôz d: ôz

---» puis par -^, -— : -:-i puis enlin par —, -■ —, O'j ^ ' ()p Ou. dv ' ' Op Ou. Oj

il viendra, en ayant égard aux forniiiles (i5) et (16),

M

\ Op dfx d/x Op Op Opi

Ces formules (i^) donnent, par des cliangeraenls de let- tres, les valeurs des six autres dérivées

O'-x	dloi^P 0.r	Oln^M	0.r
Op OpL	Ou. Op	Op	^'
Oo Ou	dl.)-r Oy Opi Op	()I.),:^M Op	Or oy
O'z _	dlogP Oz	dlo^M	Oz^

O'x	0\y	d'-z
Op Ov '	Op Oj	Op Oj
O'-.r dpi O'j '	0\y Op. Oj	0'-- OpL Oj

Théoièmc lie Dii/)in sur les surfaces ortlio^oiutles.

334. On doit à Cliarles Dupiii le heau tliéoièiue sui- vant :

TiiÈonÈME. — Dans tout sjstèine tr{/>le ortliogonul, chacune des surfaces t/ui conijwsent l' une des familles est C(^upée suiKumt ces ligues de courhure par les di\'ers''s surfaces des deux autres Jainilles.

0O2 CALCUL DIFrÉllENTIEL.

La démonstration de ce théorème est contenue dans les équations (17) du numéro précédent. Effectivement, ces équations peuvent être renfermées dans une même for- mule, savoir :

K^^f)		<^l)
	_ dp _ dz '	P dM M dp

Considérons l'intersection C de deux surfaces apparte- nant aux deux familles pour lesquelles on arespecti vemeut

p = const., V = const. ;

, . , . , d.T dy dz . 1,

les dérivées — -, --? -— sont proportionnelles aux cosi- dpt 0^1 o^Jt. ^ ^

nus des angles que fait avec les axes la tangente de la

1 /^ n A / 1 • ' r,^-^ T^ày T^^^

courbe L.; d un autre cote, les quantités F—» F -r-i f -r-?

1 dp I do X dp , . 1 1

ou - --5 - -r-' ^' sont les cosinus des angles que

P d.r P Oy P de 01

fait avec les axes la normale à la surface p, et leurs diffé- rentielles

relatives à un déplacement sur la courbe C, sont propor- tionnelles, d'après notre formule, aux cosinus des angles qui se rapportent à la tangente de C. Or cette propor- tionnalité est précisément la condition pour que C soit ligne de courbure de la surface p (n° 325} ; le théorème de Dupin se trouve donc établi.

CIIAlMTnF. X.

;o3

Des syslcmcs ln'/>/rs de surfaces ortliogonales (lu dcuxicnic dci^rc.

33o. Pîirrni les systèmes triples <Ie surfaces nrllioj^o- nales, il {a\\\ leinarquer siirloiil celui qui est formé de surfaces ilii deuxième degré homofocalcs. Les équations de ces surfaces sont

- • 1 = I .

r/ — h

r — ^' p -

f,t c'^—U."- ''

= ï»

h et c étant des lignes données ; nous supposerons h <^c.

Si l'on donne au paramètre p- des valeurs supérieures à (■-, au paramètre [j."^ des valeurs comprises entre h- et c-; enfin au paranièUe v- àcs valeurs inférieures à Z»^, la première des équations précédentes représentera des ellipsoïdes, la deuxième des liyperboloïdes à une nappe, et la troisième des hyperboloïdes à deux nappes. Toutes les surAices du svstème sont concentriques et leurs sec- lions principales ont les mêmes foyers; aussi dit-on que les surfaces sont homofocalcs,

Les équations (i) étant du premier degré par rapport à x-, ^-, z-, il est facile de les résoudre, et Ton arrive rapidement au résultat en opérant comme il >iiit : -i Ion ordonne j)ar rapport aux puissances de p- la première des é(jualions ( i ), il \ ii'iil

pG _ (Z,î 4_ c-î H- .,,•» + j* -f- z« ] p* Comme les deux dernières équations (i) se déduisent de

Oo4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

la première, par le cliangement de p- en />».- et en v-, l'é- quation (2), qui est du troisième degré en p-, admet les trois racines p-, «.-, v-; on a donc

p- + //- -f- v^ = .7;2 H- j-2 -+- z- A- b^ -\~ c'^,

f^} + a^./ + p2,^2 ^ ^2^2 _)_ (^-2 _j^_ ^2j ,.2 _,_ ^2^^,2 _._ ^.^^."«^

La dernière équation (3) donne la valeur de x- ; or les équations (i) ne changent pas quand on permute les let- tres X etj'^, pourvu qu'on remplace ensuite b- et c- par

— /^- et c- — b-, puis p2^ ^.2^ V- par ^0- — b-, p.- — b-, v'- — b'-\ les mêmes équations ne changent pas quand on pei'mute x- et ::;-, pourvu qu'on remplace è^ et c- pai

— (0-^—^2) et — c2,c2, //S v2 par /52_c2,|^2_c2^v2—c2; on peut donc faire les mêmes changements dans les équa- tions (3), et la dernière équation de ce système donnera

■(4:

0^ _ ^,2 ] '2 _ f,i \ !i,ï _ ^^\ ^ f,^ [c^ _ b'- ]y

[^

î W,.2 _ ^2 1 ^ C^ 'C^ _ b'- '

p- — C-) [c — y.' \ [c — V' j = C'' 1^

On a ainsi

bc

_v/p^-	-6^v/r-	- 62 ^Z,2.	-v2
_v/p^-	b v'c2 - c2 y/c'- -	- 62	- V"

Les quantités V, y/è- — v-, y/f/- — Z>- et y/c- — p.- passant par zéro, il faut admettre qu'elles changent de signe, et cela est nécessaire pour que les formules (5) puissent donner tous les points de l'espace. On évitera la difficulté qui peut résulter de l'ambiguïté des signes en introduisant

CHAl'lTUK X. 5o5

(](.'ii\ angles ^ cl Cj) ids, (pic l'on ail

:- ù cos-^, yT»- — V- = b sin!/,

()r		uv
<h	"	/.7-'
dx		pv
ôi.	~	Vc'
du:		rj'j.
O-J	—	bc'

\Jy} — Z>- = \jc- — b^ cosy, sjc- — fJ.- nzi y/c* — i- siii '^. On lire des équalions (5)

^p ~ b\/c'— b'-\f'^^~b''

dr (i. \/p^ — b^ \Jb^ — V-

dz	_P,'c^--	i^sjr--	•/
dp	c yjc'- — c s'c^ -	b^-s/r-	c«
dz	- ^»2 v^6-î -	— V»
dz	— c^'S,fc'	-f*'

r)> _ ._ V v^o2 — ^2 v^a* — b^

(^•' ~ b yj7^ —"b^ \Jb^~^^ ' ài ~ cvV^^^iSV — V-

cl l'on vérifie immédialement par ces formi#ts que les é([uations (i) ou (5) apparliennent efTeclivcnicnt à un système Iriple orthogonal.

330. Les équalions (i) ne cesseront pas de représenter un système triple orthogonal, si l'on y remplaeea', j , ~,

0 |)ar -r-5-1-5 e étant une constante, bi, après la sub-

stitiilion, on lait î = o, les écpiations (i) deviendront

:«)

ce nouveau système est formé d'une famille de sphères concentri(|ucs et de deux familles de cônes du second de- gré, avant leur somincl an centre des sphères. En faisant, ilans les formules ( j), la même suhslilulion que dans les

X-	-•^y--i-z' -p\
.r-	1 - :'
u.-	pL- — b^ c- — fi-
.r*	V- z-
•7	vî.- b'. rî — vî ~'°'

3o6 CALCUL DIFFÉREISTIEL.

Ibrmules (i), il vient

bc

y-	_ p s,!iJ.'' -	- b-'	^b-^-	-v2
b	s/c^-	-b^
Z -	_p^/c^-	ZJ^^	s/fljZ	■ v2

337. Piemplaçons dans la première équation (i)x'par X — h, ce qui revient à transporter l'origine des coor- données à l'un des foyers communs des sections princi- pales relatives au plan xy ; écrivons en même temps c-\- h au lieu àe c, el p -^b au lieu de p, il viendra

I -f- y I + ^- 20+ '- 2(0 — c + ' —

b j b ^ b ' b

et, si l'on fait tendre h vers l'infini, cette équation se ré- duira à la limite, à la suivante :

4p 4(p--) ^ '^"

En opérant de même sur les deux dernières équations (i), on obtiendra des équations limites qui se déduiront de la précédente, par le changement de jO en fx et en v. On formera ainsi un nouveau système triple de surfaces orthogonales et homofocales, savoir :

4p	z-		: X	+ P.
4(p-	--)
r^	-2		X	+ :-^>
4f^	4(.-	}>)"
y'-		z"

4p —^k^ — c]

ciupithk \. joy

La lonf^iiPur constante c étant |)()slti\e, si l'on ilouiir îi fj des valeurs comprises entre e et -h ^ , la première des «''(piations I 8j représentera (les paral)oloïdcs ellipliques; en donnant à y. des valeurs comprises entre zéro et c, on- obtiendra, par la deuxième éqiialiori, des parahnloïdes hyperboliques; enfin la troisième i''(pialion d<winera une nouvelle l'amille de paraboloïdes ellipticjucs, si l'on attribue à v des valeurs négatives quelconques.

Les deux dernières équations (8) se déduisent de la première en remplaçant p par a, puis par v ; en ordonnant cette équation par rajiport à c, elle de\ ienl , , / r* -h z* V r >■*

\ 4 / 4

on a donc

pfx -H av -;- pv ^ - \^—j^ ^-

-8

et l'on tire de là

X

19)

il est aisé de vérifier, au moven de ces formules, (pic K' système triple dont nous nous occupons est eircctivc- menl ortliO';onal.

Dca nulles de coui hure de ICIlipsoidr. ni^S. ( ".niisiilérons rcllij)Soïde ri'préseiité parl'éipiatio::

5o8 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

et dont les demi-axes p, ^/p- — b- , sjp- — c- ont des va- leurs déterminées. Nous connaissons, par le théorème de Dupin, les lignes de courbure de cette surface. Effectivement, si [j.- est un paramètre variable compris entre b- et c-, les hyperboloïdes à une nappe, représentés par l'équation

, V .7" y- z-

(2) - + . ^ ,, - :, =1,

^~ p- — b^ (- — j:/-

détermineront sur l'ellipsoïde un premier système de li- gnes de courbure ; pareillement, v^ étant un paramètre variable inférieur à b-, les lignes de la seconde courbure seront les intersections de l'ellipsoïde et des hyperbo- loïdes à deux nappes représentés par l'équation

v~ b- — V- c- — V-

On obtiendra les équations des projections des lignes de courbure sur les plans principaux de la surlace en éli- minant successivement z-, 7 -, x^ entre l'équation (i) et chacune des équations (2), (3). On trouve ainsi, pour le premier système,

L 5^ L

P"r (p- — C-) (c2 — v-j

ï,

= I,

et, pour le second système.

(5;

-,1 ~~i.

CHAPITRE X. JO[)

Les lignes decoiirhiirc des deux svsU^mcs se projrttoiit donc suivant des ellipses sur !<• plan .rz cpii c^l nlin du yraud axe el du pelil axe; sur les plans X) et } z qui con- tiennent Taxe moven de rdlipsoïde avec le f;rand axe ou le petit axe, les lignes de l'une des courbures se projettent encore suivant des ellipses, mais les lignes de l'autre courbure ont pour projections des livpcrboles.

339. Mongc a indiqué une construction très-simple pour obtenir les projections des lignes de courbure de l'ellipsoïde sur l'un des plans principaux. Considérons, par exemple, les projections sur le pian .ri (pii o^t celui du grand axe et de l'axe moven. Désignons j)ar jf, et > , les longueurs des demi-axes de l'ellipse suivant laquelle se projette une ligne de courbure du premier système, on aura, d'après les équations (4^

p- p^ — b^

d'où, par 1 éliminatum de ^,

(6

/,io^ 0-^1 p'-— b*-

Si les lettres x, et > ( représentaient les demi-axes de l'hyperbole suivant laquelle se projette une ligne du se- cond système sur le plan ay, on aurait demè/nc, parles équations [j],

d'où, par rélimniation de v,

llegardons .f, et j , comme des coordonnées ; leséqua-

5lO CALCUL DIFFÉREJNTIEL.

lions (6) et (7) apparliendronl à une hyperbole et à une ellipse qui a môme centre que l'ellipsoïde et dont les axes coïncident en direction avec les axes des projections des lignes de courbure. Monge a nommé ces courbes hyper- bole auxiliaire et ellipse auxiliaire . Si on les suppose construites et qu'on prenne les coordonnées de chaque point de la première pour les demi-axes d'une série d'el- lipses, les coordonnées de chaque point delà seconde pour les demi-axes d'une série d'hyperboles, on aura les pro- jections des lignes de l'une et de l'autre courbure.

Si l'on fait j^, = o, les équations (6) et (7) s'accordent à donner

.771 — ^ — ;

C

or ces abscisses sont celles qui conviennent aux ombilics (n" 321) ; donc les sommets communs de l'hyperbole auxi- liaire et de l'ellipse auxiliaire sont précisément les pro- jections des ombilics sur le plan xj\ en outre, ces som- mets sont toujoiH's à l'intérieur de la section principale,

car, b étant inférieur à c, par hypothèse, la quantité —

est moindre que le demi-grand axe p de l'ellipsoïde.

Lorsque f'.2r= Z>-, l'ellipse, projection des lignes de la première courbure, a pour grand axe l'axe commun de l'hyperbole auxiliaire et de l'ellipse auxiliaire, et son petit axe est nul : cette ellipse se confond ainsi avec l'axe des Xy et il en résulte que l'ellipse principale située dans le plan xz est une ligne de courbure de l'ellipsoïde Quand p.- croît de b- à c-, les deux axes de l'ellipse aug- mentent; pour]U.2 = c2, cette ellipse se confond avec l'el- lipse principale située dans le plan xj, laquelle est ainsi une ligne de courbure de l'ellipsoïde. La variable p.- ne devant pas avoir de valeurs supérieurçs àc^, l'hyperbole auxiliaire doit être limitée aux points où elle est rançon-

criAriTHE V. ail

trée parles tangentes menées à l'ellipse pi'lncipale. [>a- rallèlemenl aux axes.

laissons aux lif,'nes de la seconde e<uirl)nre. (Jiiaiid y- est égal à h- J rii\ pcil)(il(' projrciioii d<>> ligiM-s de cour- bure a pour axe Iransverse l'axe commun de l'Iivperljolç auxiliaire et de l'ellipse auxiliaire; l'axe non Iransversr est nul et la courbe se réduit aux portions de ligne droite (•oMi|)rises entre les projeclioiis des ondtdics el l'cilipsc principale. Quand v^ décroît depuis sa valeur maxima Z^- jusipi'à zéro, l'axe transverse diminue et l'axe non transverse augmente ; le premier axe est nul pour v-rz^ o, l'hyperbole se réduit alors à l'axe des > , et il s'ensuit que la troisième section principale de l'ellipsoïde située dans le plan j'z est encore une ligne de courbure.

Toutes les ellipses et les hyperboles dont nous nous occupons tournent leurs concavités vers les deux points où se projettent les ombilics. Les lignes de courbure sont pliées autour de ces quatre ombilics, les unes d'un côté, les autres du coté opposé; elles se resserrent tou- jours à mesure qu'elles s'en approchent, et quand elles les atteignent elles se confondent avec l'ellipse princi- pale qui les contient.

340. Toutes les lignes de courbure de l'ellipsoïde ont pour projections des ellipses sur le plan du plus grand axe et du plus petit; pour construire ces projections, il sulfit ici d'employer une seule ellipse auxiliaii e. Dési- gnons, en elTet, para:, et r:, les demi-axes de l'une des ellipses projections des lignes de courbure, on aura

ou

^-^'	V^^-l^]z\ _	.1'
p2 _ c* ~~	p »
~^--	(c*-i')3;
p*-c» --''	■v=;

JI2 CALCIII, DIFFÉREJNTIEL.

l'élimination de (x- ou de v- donne

équation d'une ellipse qui pourra être emplo^'ée pour Ja construction des projections des lignes de l'une et de l'autre courbure. Pour les lignes de la première cour- bure, on aura

l>?~^ b'^1 d'où .Tj ^ 0, Zi <^ \'cr' — c-,

et, pour celles de la seconde courbure,

v^ <; b-, d'où .î"j <^ p, Zj ^ ^'p' — C-.

Il suffît pour notre objet de considérer le quadrant de l'ellipse auxiliaire, situé dans l'angle des x et des z posi- tives; alors on voit que la droite x, =p, qui est tangente à l'ellipse principale, divisera le quadrant de l'ellipse auxiliaire en deux parties, dont l'une répondra aux lignes de la première courbure, l'autre aux lignes delà seconde courbure.

Les coordonnées des sommets de l'ellipse auxiliaire sont

-•>

les droites qui joignent ces sommets deux à deux forment un losange dont les côtés ont pour équation

,9) - *■" - ^"^-'^

Si l'on élimine x entre l'équation (9) et celle des projections des lignes de courbure, savoir :

rriAPiTUE X. 5i3

on lioiivcia

L csjc^~b* J

celte équation ayant ses cleii\ racines égales, on en con- eliil (|iie les projections de toutes les lignes de courbure sont tangentes à chacun des quatre côtés du losange; elles sont donc inscrites dans ce losange. Il résulte de là que les ombilics sont les quatre points où les côtés du même losange touchent l'ellipse principale située dans le plan xz ; car nous avons vu que cette ellipse principale est une ligne de courbure, et elle contient d'ailleurs les ombilics.

311. Pour former l'équation dilTérentielle des projec- tions des lignes de courbure de l'ellipsoïde, conformé- ment à la méthode du n" 32!2, il suffira de calculer les quantités p, q, r, s, t, d'après l'équation

y

de la surface, et de substituer les valeurs trouvées dans l'équation (6) du numéro cité. Nous avons déjà fait une partie de ce calcul au n° 3!21 et nous avons trouvé

P - .r V -

p- p* — c- p- — ô^ p- — c

puis

rz -h [i -^ p

^«^ — _

, , c- — f/-

sz • jnj - o. S. — Cale. dijf.

5l4 CALCUL DIFFr^.UENTlF.L.

On tire Je là

r

2 7 2

substituant ces expressions dans l'équation (6) du n° 322, . et remettant ensuite, au lieu de p et q, leurs valeurs en X eV j, on aura l'équation demandée, savoir :

(îo) A.rr '4^ -f- [x^ - A , 2 - B) j^ - .rj = G,

où nous avons fait, pour abréger,

On verra, dans le Calcul intégral, comment on revient de cette équation différentielle à l'équation

entre les seules coordonnées, équation qui nous a été fournie immédiatement par la propriété générale des systèmes de surfaces orthogonales ; il est facile de vérifier que l'équation (lo) résulte de l'élimination de p? entre l'équation (i i) et celle qu'on en déduit par la diiféren- liation relative à x et à y.

Des lignes de ftiveau et des lignes déplus grande pente.

34'2. Une surface étant rapportée à trois plans coor- donnés rectangulaires dont l'un, celui des xj, est sup- posé horizontal, on nomme lignes de niveau les scclions horizontales de la surface.

CHAriTRE X. rïij

Pour toute ligne de niveau, on r. dz = G, ou, à cause de dz =^ pdx H- (jdy,

pd.r -4- fjdy = o, = — <-.

(l.r q

Celte équation exprime qu'en chaque point d'une ligne de niveau la tangente est parallèle à la trace horizontale du plan langent à la surface, au même point. Ce plan a effectivement pour équation

Z — .-=p(X-x) -^q[Y—y),

et le coefficient d'inclinaison de sa trace horizontale est bien égal a

Si l'on porte la valeur précédente de — dans l'équa- tion (6) du n° 322 qui détermine les lignes de courbure, il viendra

pq r — t) ^- [q- — p-sz=o;

telle est Y équation aux dérivées partielles du deuxième ordre qui appartient aux surfaces pour lesquelles les lignes de niveau sont des lignes de courbure.

On arrive à un résultat plus simple quand on prend pour plan horizontal le plan des zx\ alors on a, j)Our

les lignes de niveau, " = o, et, en faisant cotleh\ nollièse

dans l'équation des lignes de courbure, celle-ci devient

P'J

Pour les surfaces qui satisfont à celle équation, l'une des conditions des ombilics est satisfaite d'elle-même; ces points sont donc alors donnés par une seule éqna-

33,

5l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

tion, et la surface admet par conséquent une ligne ombilicale.

343. On nomme ligne de plus grande pente d'une surface une ligne tracée sur la surface et qui a pour tangente en chaque point celle des tangentes de la sur- face qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal Il est évident que la tangente en un point d'une ligne de plus grande pente est elle-même ligne de plus grande pente relativement au plan tangent de la surface ; par conséquent, elle est perpendiculaire à ia trace horizon- tale de ce plan tangent.

La surface étant rapportée à trois axes rectangulaires dont l'un, celui des z, est vertical, la trace horizontale

du plan tangent aura pour coefficient d'inclinaison ■>

en faisant, comme à l'ordinaire, dz ^ pdx -\- qdj; l'é- quation différentielle des lignes de plus grande pente est donc

dx /?'

les dérivées q el p sont données en fonction de x ei j par l'équation de la surface.

Si, par un point d'une surface, on mène une ligne de niveau et une ligne de plus grande pente, il est évident que les tangentes à ces deux lignes seront perpendicu- laires, puisqu'elles sont, l'une parallèle, l'autre perpen- diculaire à la trace du plan tangent de la surface. Il résulte de là que les lignes de niveau et les lignes de plus grande pente forment sur la surface un système double de courbes orthogonales.

D'après cela, lorsque les lignes de niveau d'une sur- face sont des lignes de courbure, les lignes de plus grande pente constituent le deuxième système de lignes de cour-

CIIAITIIIF, X. 517

htiro. On vcrific craillciirs ce fait en suljsliliianl, dans

rérnialion (6) du n° 322, la valeur - de -^ qui corn ient

/j dr '

aux lignes de j)lus grande j)enle; on retrouve la même

équation aux dérivées partielles que nous a donnée la

sulisliliilion relative aux lignes de niveau.

o4i. Appliquons ce qui précède au cas de l'ellipsoïde.

Soit

.x^ -h ru )^ -\~ ri ;;- = «*

l'équation de la surface. On a

a: -h nzp = o, m y -h nzq =: o,

d'où

7 mr

p X

L'équation diflerenliclle des lignes de plus grande pente

est donc

dy m y dr d.r

-— = — ^ ou m — = o.

d.i: .T y .r

Le premier membre de cette équation est la difTéren- tielle de

l"gj — wlogx ou log-^^;

le quotient -^ est donc égal à une constante c, et l'on a

y ■-=. cjc"^

pour l'équation des projections horizontales des lignes de plus grande pente de l'ellipsoïde.

Des surfaces réglées; leur distinction en surfaces développables et en surjuccs gauclies.

315. Nous nous proposons, dans ce qui va suivre, d'étudier diverses classes de surfaces et de faire connaître

•"JlB CALCUL DlFFl^RENTIEL.

les équations aux dérivées partielles par lesquelles on peut représenter toutes les surfaces d'une même classe.

Parmi les surfaces dont nous allons nous occuper, il faut remarquer surtout les surfaces réglées, c'est-à-dire celles qui sont engendrées par une droite mobile. Cette classe des surfaces réglées se subdivise en deux genres très-distincts qui comprennent, l'un les surfaces que nous avons nommées déueloppables^ l'autre les surfaces gauches.

Désignons par x, j, z des coordonnées reclilignes et soient a, h, a, (3 des fonctions d'un paramètre va- riable ; les équations de la génératrice d'une surface réglée quelconque seront

(1) .T z=.az -{- OL, j z=i bz-{-Q.

Il est évident qu'on peut prendre pour le paramètre va- riable l'une quelconque des quantités a, b^ a, ê, à moins qu'elle ne se réduise à une constante ; il n'y a donc en réalité que trois fonctions arbitraires, dans le cas le plus général.

Cherchons d'abord la condition pour que la droite (i) engendre une surface développable. Comme une surface développable est l'enveloppe d'un plan mobile qui con- tient la génératrice, l'équation de ce plan mobile sera

(2) [x ~ az — a.) -V-Q[j — bz — è)=o.,

Q étant une certaine fonction du paramètre dont dépen- dent a, b, a, ê; en différentiant cette équation (2) par rapport au paramètre, il vient

(3) — [zda H- du) — Q [zdb -\- dZ] + dO [y — bz — ë) = o,

et, pour que notre surface soit développable, il faut et il suffît que le système des équations (2) et (3) représente la même droite que le système des équations (i). L'équa-

rrîAi'iTRE X.

5i9

lion (2) csl vérifiée par les équations (i), cl, jxjiir que l'équalion (3) le soil aussi, il (iiiil (jiir l'on ail

[zda -+- du -\- 0[z<lb -f- c/oj — o, (jucl que soit z. Cela donne les deux eondillons

da + Odh — o, du. -r- Od^j _ : O,

d\)ù, par l'élirninalion de 0,

(4) dadf^ — dbdu^o.

Telle esl l'équation qui exprime la condition d'une surface développable; le raisonnement qui nous y a con- duit est le même que celui dont nous avons fait usage pour déterminer les lignes de courbure des surfaces. Lorsque la condition (4) n'est pas satisfaite, la droite mobile représentée par les équations (i) engendre une surface gauche.

34G. Désignons par ô le paramètre dont dépendent a, I>, a, ê, et considérons les deux génératrices qui répon- dent aux valeurs 0, 9 -\- A9 du paramètre ; les équations de ces génératrices seront

1 .r = a z -\- Cf., I X := ( « + Art ) :: H- ( a -1- Aa ) ,

/.>--; ^; -h e, \ X = h -+■ \b z -h /j -h Aô .

Soient D la plus courte distance de ces deux ijioitcs et / l'angle qu'elles font entre elles; on aura, [)ar les formules connues,

ArtA§ — A^Aa

dr \/Art- -I- A//- -+- //A/> — h\tij*

\/^n- -f- A/»* -h !//A/> — h\<i,*

V'«* -f- ^* -H I \\ti •+- Itij- '- \^b -4- \hr — - 1

020 CALCUL DIFFliaEJNTIEL.

d'où D

= zh '-^ \Ja^ H- h- -{- I \j[<t + laf -+- [b + Mj r -h i I i

Ar/ AS ^h Aa

Â5 A^ ~~ A() A(5 X ^ —

Si l'on fait tendre. A0 vers zéro et qu'on passe aux limites, la formule précédente deviendra, après la sup- pression du diviseur commun f/ô^,

, ^s ,. D , , » , ■:> , clndPj — dh dv.

6 lim - =± a2_^ ô^^i'

i ^ dcir H- ^/>- -t- [adb — bdcif-

et, lorsque la condition (4) n'est pas remplie, le second membre de cette formule a une valeur finie diflérente de zéro. On conclut de là le théorème suivant :

TnÉorLÈME I. — Dans une surface gauche, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines et l'angle de ces mêmes génératrices sont des infiniment petits du même ordre.

347. Dans le cas des surfaces développables, les cy- lindres exceptés, le rapport — tend vers la limite zéro et

par conséquent la distance D est un infiniment petit d'ordre supérieur à i, relativement à i; il importe d'éva- luer cet ordre infinitésimal. Mais, comme les génératrices d'une surface développable sont tangentes à une même courbe qui est l'arête de rebroussemenl de la surface, il convient d'introduire les quantités relatives à cette arête. Désignons donc par x, y, z les coordonnées rectangu- laires de l'arête et par a, ê, y les angles que fait sa tan- gente avec les axes, les équations de cette tangente seront

X — jr_Y— j_Z — 2^

COSK CObÔ cosy

criAi'irnE x. '(21

on aura de inèiue, pour uuc seconde tangente,

X — .T—yr _ Y - y — A.r _ Z — z—^z

cosa -r A coSK C()s6 -t- A cos6 cosy -f- A i osy

et si l'on fait, pour iihrrgcr,

1A =^ cosoA cosy — cosy A cos6, B := cosy A cos« — cos«A cosy, C :=: COSkA COsÇ — COsC A COSK,

l'expression de la plus courte distance D des deux tan- gentes sera

, , _ AA.r-4- BA) -4- CA3

2 D= ^—-

Soient, comme à l'ordinaire, ;, y;, t et )>, u., v les angles formés avec les axes par la normale principale et par l'axe du j)lan osculalcur de l'arcte, s l'arc de cette arcte, da eldz les angles de contingence et de torsion. La formule de Taylor donne

cl^x fP.r Aj? = (l.r H H h ... ;

2 b

en outre, si l'on prend l'arc >v pour variable Indépen- dante, on aura (n° 274)

(Ir ■= (Is cosa, (l^x = fAv/o-cos;, (l^jc =1 dsel^<T COS^ — clsch' 0OS« — ds(h(h cos).,

et la valeur de Ax sera, en négligeant les iuliuiment petits du quatrième ordre,

/ <^/.Vf/7'\ r/.w/T (Isd-T.

Ax :-- ( (Is ,, — cosa -f- i -: COSÇ

\ ^ / \ ^ ^ /

(hdT(h

r. — cos).:

b

on t)l>Lleudra, [)ar celle nicnie formule, les valeurs de \y

0 22 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et de As; en remplaçant a, i;, X d'abord par ê, n, p., puis par y, ^, y. Comme on a évidemment

A cosa + B cosê H- C cosy := G,

la valeur de D sera, aux infiniment petits près du qua- trième ordre,

(dsda <f5<^^(T\ A cosÇ + B cosvj H- C cosÇ

D_ . -

2 ^ / ^A2 + B'- + C2

dschdi: A cosX -h B coSfx + G cosv

o v^A- ~r B- 4- C^

Or on a, par les formules du n° 265,

A cosÇ + B cos« -f- C cosÇ

= — (cosXA cosa -1- cos/jiA cosê H- cosvA cosy],

A cos)i -t- B ces p H- C cosv

=: + (cos^A cosa -t- cosïj A cos§ + cosÇ A cosy) .

On a ensuite, en négligeant ici les infiniment petits du

troisième ordre,

, d^ cosa

A cos a.z=: d cos a +

2

d^<j\ d'7^ drrdz

de H cosÇ — cosa — cosA,

2 / 2 2

formule d'où l'on déduit A coso et A cosy par des chan- gements de lettres ; on conclut de là que

A cosÇ + B cosï] + C cosC = - dadr,

2

aux infiniment petits près du deuxième ordre, et

A cos)i + B cosf* -f- C cosv = d>7,

aux infiniment petits près du premier ordre; on a enfin, en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre,

v'A^ 4- B- + C^ =: da,

cnAi'iir.E X. 5^3

et par conséquent l'expression de D devient

, _ . (Is iIt (h 3 D . ,

aux infiniment petits près du quatrième ordre. On peut éciire aussi, en désignant par II ctT les rayons des deux courbures,

On a ainsi ce théorème :

Théorème II. — Le rapport de la plus courte distance d'une tangente donnée d'une courbe quelconque et d une deuxième tangente infiniment voisine, au cube de l'arc compris entre les points de contact, a pour limite la douzième partie du produit des deux courbures à l'origine de l'arc.

Il faut remarquer que l'ordre infinitésimal de D ne peut jamais s'élever au-dessus du troisième; car le terme de cet ordre ne disparaît de la formule (3) que si dr = o, et alors, la courbe étant plane, on a rigoureusement D = o; de là ce théorème dû à INI. Bouquet :

TuÉonÈME III. — Etant donné un système de droites dont les équations contiennent un paramètre variable, la plus cou/le distance de deux droites infiniment voi- sines ne peut pas être d'un ordre infinitésimal supérieur à 3, relativement à l'angle des mêmes droites, à moins quelle ne se réduise rigoureusement à zéro.

Des surfaces cylindriques. — Equation aux dérivées partielles de ies surfaces.

,Tl8. Le cas le plus simple des surfiocs dévcloppablcs est celui des surfaces cylindriques. Le plan mobile qui

5''24 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est enveloppé par la surface, et qui rr'est autre que son plan tangent, est parallèle à une droite fixe donnée ; cette considération permet de former immédiatement l'équation aux dérivées" partielles de la surface. Car soient

X = «Z, Y=hZ

les équations de la parallèle aux génératrices menée par l'origine des coordonnées rectilignes, et

l'équation du plan tangent au point {x,j, z) de la sur- face. La condition pour que ce plan soit parallèle à la droite est

(i) ap -\- bq = i;

c'est l'équation aux dérivées partielles qui appartient à toutes les sui^faces cylindriques.

On peut aussi déduire l'équation (i) de l'équation entre les coordonnées qui appartient aux surfaces cylin- driques. Supposons que les équations

(?,) X =: a z -h CK. , j=^bz-\-6

représentent une génératrice de la surface ; a et 6 dépen- dent d'un même paramètre et, par conséquent, ces quan- tités sont liées entre elles par une équation

(3) $(«, g)— o,

*P étant une fonction arbitraire. L'élimination de a et 6 entre les équations (2) et (3) donne

(4) * (•^- — «2, y ~ bz] —o,

qui est l'équation générale des cylindres entre les coor- données. Pour avoir l'équation aux dérivées partielles, il suffit d'éliminer la fonction 4> par la méthode du n" 82.

CHAPITUF. X. 5'i5

En diŒérentiant réquallon (4) ou (3). d'abord par rap- port kx, puis par rapport à y, il vient

el 1 Yhmination du raj-iport - : ,- conduit a i énua- ^ *■ (Jv. t)Ç '

tion (i).

On verra, dans le Calcul intégral, comment on peut revenir de l'équation aux dérivées partielles à l'équation entre les seules coordonnées.

Les surfaces cylindriques étant développables, leurs génératrices constituent un premier système de lignes de courbure (n° 327 -, le deuxième système est évidem- ment formé par les sections droites de la surface.

Des surfaces coniques. — Equation aux dérivées partielles de ces surfaces.

3i9. Les surfaces coniques appartiennent aussi au genre des surfaces développables, le plan mobile qu'elles enveloppent passe par un point fixe; ce plan mobile est d'ailleurs le plan tangent de la surface; par conséquent, si l'on désigne par Xq, Vq, Zq les coordonnées reclilignes du sommet, par x, j , z celles de la surl'ace, et cjue l'on pose dz = pdx -+- qdv, on aura

Telle est l'équation aux dérivées parliolles des surfaces coniques.

Cette équation (i) peut aussi être obtenue au moyen

520 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de l'équation générale des surfaces coniques entre les coordonnées. Soient

(a) X — .Zo=:a[z — Zo), j — Jq z= b [z — Zq)

les équations de la génératrice. Les quantités aet b étant fonctions d'un même paramètre, elles sont liées entre elles par une équation

(3) *'/', b)=o,

dont le premier membre est une fonction aibitraire ; l'élimination de a et de b entre les équations (2) et (3) donne l'équation entre x, j, z qui appartient aux sur- faces coniques, savoir :

(4) *l-:^ — T' -: — .:)='''

\ 4, ^0 ^ -0 /

DiflTérentions l'équation (4) ou (3) d'abord par rap- port à X, puis par rapport à j, il viendra

da ^^ Ob

q[a: — xç,) + :^[[z — ^<>) — 7 ( J — Jo )] = O ;

l'élimination du rapport ,- : -rr entre ces deux équa-

^^ oa ob ^

lions conduit encore à l'équation (i) ; cette équation (1) a pour conséquence, à son tour, l'équation (4), ainsi qu'on le verra dans le Calcul intégral.

Les génératrices d'une surface conique constituent un premier système de lignes de courbure ( n° 327); le deuxième système s'obtiendra évidemment en coupant la surface par des sphères ayant pour centre le sommet de la surface.

CllAPITTIE X. ^37

Des surfaces conoYcles. — Equation aux dcrivées partielles de ces sur/aces.

3oO. Les surfaces conoïdes appartiennent à la classe des surfaces réglées et au genre des surfaces gauches. Elles sont engendrées par une droite mobile qui ren- contre constamment une droite fixe et qui reste paral- lèle à un plan fixe; la droite fixe est nommée directrice, le plan fixe est le plan directeur; le paraboloïde hyper- bolique est un conoïdc.

Soient, relativement à trois axes quelconques,

les équations de la directrice donnée, Ax -+- Bj -f- G:; = 0 celle du plan directeur, et

(l) .r = a; -i- a, j- = ^3 -f- 6

les équations de la génératrice de la surface. Celte géné- ratrice rencontrant la directrice et étant parallèle au plan directeur, on aura

Ia — m h — // a — w g — V

Art -f- Bi -1- C = 0;

les équations (2) déterminent deux des quanlih's a, h, a, 6 en fonction des deux autres, et celles-ci sont liées entre elles par une équation arbitraire. Pour avoir l'é- quation aux dérivées partielles de la surface, il sutïil d'exprimer que le plan tangent en un point {x, j , z) de la surface, plan dont l'équalion est

Z-.C=:/,(X-x]+^(Y-j),

528 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

renferme la génératrice, ou est parallèle à la droite X = aZ, Y = Z'Z; on obtient de cette manière

( 3 ) op ^ b(j ^rz \ .

Si l'on élimine les quatre quantités a, b, a, ê entre les cinq équations (i), (2), (3), on obtiendra l'équation aux dérivées partielles demandée, savoir :

p{.T — mz— i>.)-\-q[y—7iz — -j)

mp -\- nq — i

^^^ 1 _A(.r^W3 — |7.) + B(j

Am H- \Sn + C

Cette équation se simplifie lorsqu'on prend la droite directrice pour axe des z et le plan directeur pour plan des xy ; alors on a

m := G, f/ =: G, « =: O, V = O, A rrt O, B = G,

et l'équation (4) se réduit à

(5) px-^ qy-=o.

Dans ce cas, les paramètres a, h^ a, ê ont, dans les équations (i) de la génératrice, des valeurs finies; cette génératrice étant parallèle au plan des xj et coupant l'axe des z, elle'a des équations de la forme

(6) Z = h, J=-^.r;

les constantes h et g sont liées l'une à l'autre par une équation arbitraire, et si l'on pose

{7) ^' = ?is)'

l'élimination de h et de g entre les équations (6) et (7) donnera l'équation générale des conoïdes entre les coor- données x,y, z\ cette équation est

(8) z = y

cnAi'iTnE X. 529

et elle exprime que z est une lonclion homo^^one du degré zéro des abscisses x et y. Pour éliniiticr la ("onclion o, il suflit donc d'ap[)li([ucr le (li(''orènie des fonctions homo- gènes à la fonction z, ce qui reproduit l'équation (5).

Des surfaces de rci'olution. — £g nation aux dérivées partielles de ces surfaces.

3ol, Dans toute surface de révolution, la normale en chaque point rencontre l'axe. Celte propriété permet de former immédiatement l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont il s'agit; car soient, relativement à trois axes rectangulaires,

les équations de la normale au point {jc,r, z), et

X r= w Z -I- p, Y = « Z -4- V

celles de l'axe de la surface. En éliminant X, Y, Z entre les quatre équations précédentes, il vient

( l ) ( 7 -f- // ^! ( .»• — /« r. — a) — ( /.' -{- m , ( j- — ri z — v ' r-^ o,

ce qui est l'équation aux dérivées partielles des surlaces de révolution.

On peut encore tirer cette équation de celle qui a lieu entre les coordonnées. EfTectivemenl la suilace est en- gendrée par un cercle dont le centre est situé sur l'axe et dont le plan reste perpendiculaire au même axe. On peut prendre, pour représenter ce cercle, les deux équations

( //i.t -+- fi Y -r- ^ = f,

dont la première appartient à une sphère variable (pii a jiour centre la trace de l'axe sur le j)lan x) , et la se- conde à un plan mobile perpendiculaire à l'axe. Les

S. — Culc. dilf. 34

53o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

quantités u et v sont liées par une équation arbitraire (3) <\>[u,v) — o,

qui devient l'équation des surfaces de révolution quand on remplace u et v par les valeurs tirées des équa- tions (2). Si l'on différentie l'équation (3) par rapport à jc et par rapport à j-, on aura

1 élimination de — - et de -^ entre ces équations repro-

ôu 0(> ^ ^

duit l'équation (i) que nous avons obtenue directement. Si l'on prend pour axe des z l'axe de la surface, on a m=^ o, [}.= o, n =: o, v= o, et l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution se réduit à

(4) gx—pr:=o;

on même temps, les équations (2) et (3) donnent l'équa- tion suivante entre les coordonnées :

(5) 'î>(.r- H- J-, 3 ) =: o (lU ,r- -i- r'^^= 203(3),

^(3) étant une fonction arbitraire.

35^. Dans les surfaces de révolution, les méridiens et les parallèles constituent les deux systèmes de lignes de courbure; effectivement les normales de la surface me- nées par les points d'un méridien sont contenues dans un même plan, et colles qui sont menées par les points d'un pai'allèle forment un cône de révolution. On peut, au surplus, vcrilicr ce fait au moyen de l'équation générale,

d]} dq

dx -\- p dz dj -\- q dz

CnAlMTRF. X. 53l

des lignes de courbure. On a circclivcmrnt par l'cqua-

tion (4)

P (] P tir H- q cly dz

.T. y a: cl.x H- y dy x dx -f- y dy

et, à cause de l'équation (5), chacun des rapports qui

gurent dans cette formule est égî

figurent dans cette formule est égal à -7—7 5 on a donc

d'où

d.r xo"{z]dz , dy yo"[z]dz

<^P= -,T-^ ,,\ \ ? dq— •

P	z=		X
?'	[x]
X	■?"l		)dz

<f'[z] ^'^[z] ' y'(.) ^'»(.)

Si l'on substitue les valeurs précédentes de/?, q, dp, dq

dans l'équation

dp dq

dx H- p dz dy -f- q dz

des lignes de courbure, on obtient

[1+ f"[z)'\dz[xdy — y dx)=iO; cette équation se décompose en deux autres, savoir :

y dz = o et d ■- ^^ o ;

X

on a donc, pour les lignes de l'une des courbures, z = const., et pour les lignes de l'autre courbure

- z^ const. ; ce qui démontre la proposition énoncée

De l'cqualion aux dan'iules ]wrtielles des sur/aces déi^elop/)a h les .

353. Lorsque l'équation d'une famille de surfaces entre les coordonnées rectilignes x, j, z et un paramèlre va- riable a, savoir :

/[.r,jr, z, a, 9>(«)] — o,

532 CALCUL DIFFÉREKTIEL.

ne renferme qu'une seule fonction arbitraire y(a) du pa- ramètre, on peut éliminer la fonction arbitraire cj» des deux équations

qui appartient à l'enveloppe des surfaces proposées, et l'on obtient ainsi une équation aux dérivées partielles du premier ordre, laquelle convient à toutes les enve- loppes qui ne diffèrent entre elles que par la nature de la fonction cf. Nous ne reprendrons pas ici le calcul que nous avons suffisamment développé au n"86, et, à l'égard du cas où l'équation proposée renfermerait plusieurs fonctions arbitraires du paramètre a, nous devons nous borner à indiquer ce qui concerne les surfaces dévelop- pables.

3o4. Considérons un plan mobile représenté par l'é- quation

(l) c = a.r+7'y(a)+,|>(a},

a étant un paramètre variable, ^(a ) et '^(a) deux fonc- tions arbitraires de ce paramètre. La dérivée de l'équa- tion (i) par rapport à a. est

( 2 ) o = .r + y r/[ fj. ) + '/('/-)'

et le système des équations (i) et (2) représente toutes les surfaces développables.

La valeur de la différentielle totale dz s'obtiendra en différentiant l'équation (1) dans l'hypothèse de a va- riable; mais, comme le coefficient àe-ây. est nul en vertu de l'équation (2), on aura simplement

(3) <-/:= ac?.r H- y(a) cTr,

comme si a était constant. Il résulte de là que l'on a

(4) p — ^. </ = ?(«)»

cnArimr: x. 533

et de là il est aisé de conclure deux équations aux déri- vées partielles tlu premier ordre qui conviennent à toutes les surfaces dévclojipables et qui ne renferment chacune qu'une seule fonction arbitraire. En effet, les équa- tions (4) donnent d'abord, par l'élimination de a,

(5) n = ?[p)^

et, en portant dans l'équation (i) les valeurs de a et de ^{cc) tirées des équations (4), on obtient

(6) z=px-{-qy-^-!^[p).

Chacune des équations (5 ) et (6) renferme une seule fonction arbitraire; ces équations sont celles que nous voulions obtenir. Il faut remarquer que l'équation

(7) Z=px + (]y-'r-'V[p,q)y

où ^ désigne une fonction arbitraire, de p et q, n'a pas plus de généralité que l'équation (6), car, q étant une fonction de />, '^ [p, q) est elle-même une simple fonc- tion arbitraire de p. On verra dans le Calcul intégral que, réciproquement, l'équation (5) ne peut donner que des surfaces développables ; il en est de même de l'équa- tion (6) ou (7), avec une certaine restriction.

3o5. Maintenant, pour éliminer la fonction arbitraire qui reste dans chacune des équations (5), (6) ou (7), il faut introduire les dérivées partielles du deuxième ordre.

Considérons d'abord l'équation (5); en la différentiant totalement, il vient

dq : y /; ; ,lp

ou

7- cl.r H- s dy =z '/ [p) ( x d.r -f- i dy ) y

on tire de là

ri=stj>'[p), i-j'{p] = s.

534 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et, en multipliant, il vient

(8) rt — s'-^^o.

Telle est l'équation aux dérivées partielles du second ordre qui convient aux surfaces développables ; elle exprime, comme on voit, que l'un des rayonsde courbure principaux est infini en chaque point de la surface.

Considérons maintenant l'équation (7), qui comprend l'équation (6), et différentions-la totalement, on aura

(h=z[pdx -h q dj) -u /x 4- ^ W/^ + iy ^-^\ 'fQ^ ce qui, à cause de dz =p dx -f- q dy, se réduit à

Remplaçant dp et d(/ par leurs valeurs rdx-^sdy, s dx + t dj, et égalant ensuite à zéro les coefficients de dx et de dj, il vient

en multipliant ces équations l'une par l'autre, on repro- duit l'équation (8). Nous devons remarquer toutefois que les équations précédentes sont satisfaites en posant

(9) ^-^^=-"' '^+^=°'

l'élimination de p et q entre les équations (7) et (9) donne une équation entre jr, y, z, qui appartient en gé- néral à une surface non développable et qui satisfait cependant à l'équation (7). Mais je n'insisterai pas ici sur ce sujet, qui se rapporte surtout au (calcul intégral.

CHA1'ITT\R X.

535

336. En porlanl les valeurs de p, q, dp et (Y// tirées

des équations (4) cl celle de dz tirée de l'équalion (3)

dans l'équation

dp dq

dx + p dz dr -+- q dz des lignes de courbure, on obtient

celte équation se décompose en deux autres, savoir :

(il) dy. o,

dy ( I H- a* ) y' ( a ) — «? ( « )

12

dx 1 -t- y^ ( « ) Kf[x] 'f'

L'équation (i i) donne a =:r const.; elle convient aux. ca- ractéristiques ou aux généralrices de la surface qui for- ment ainsi un premier système de lignes de courbure, coAime nous en avons déjà fait la remarque (n" 327). Ensuite, si l'on élimine l'une des variables jc, j ou a. entre l'équation (i 2) et l'équation (2), on aura l'équation différentielle qui convient au deuxième système de lignes de courbure.

Des surfaces des canaux.

357. La surface d'un canal est l'enveloppe d'une spbère de ravon donné dont le centre décrit une courbe plane arbitraire. Si l'on désigne par a le rayon de la sphère, par a un paramètre variable et par (f[oc) une fonction de ce paramètre, l'équation générale des sur- faces que nous considérons résultera de l'éliminatiGii de a entre les deux équations

^36 CALCUL DlFFÉPvEJiTIEL.

Nous avons déjà formé au n° 87 l'équation aux dérivées partielles du premier ordre qui convient à ces surfaces; nous avons vu que la première équation (i) donne

(2) (.r— «) +;,3 = o, [j-_v(«)]4-,y3 3=0,

et que Ton a, par l'élimination de a et de o(a), [3]

Nous nous proposons de plus, ici, de trouver les lignes de courbure de la surface. La dilTérentiation des équa- tions ( 2) donne

\ dx -\- p dz -A- z dp rrr r/a,

( dy -^ q dz -h z dq zz^ y'(«) du\

d'ailleurs on a, parles mêmes équations (2) et la deuxième des équations (i),

p -^ q'f'[u.)=o ou '^'[y.) = — - .,

on conclut de là

dp dy.

1+3 —

1 +

Or les premiers membres de ces formules sont égaux entre eux pour les lignes de courbure; donc l'équation de ces lignes sera

q dv. p du

dx	H- p dz		dx -T	- P	dz'
	dq	=	7		du
dy	-4- q dz	dy	-t- 9	'dz

dx -+■ p dz dy 4- q dz OU

( I -1- p- H- 7- ; dz (iv. = o.

CHAPITRE X. 537

ce qui donne

dv. r-r. O OU dz -- O,

o'est-à-dire

a =: const. nu 2 = const.

Ainsi les lignes de la première courbure ne sont autre chose que les caractéristiques de l'enveloppe, lesquelles sont des circonférences de grands cercles de la sphère mobile; ces lignes de courbure seront aussi les lignes de plus grande pente de la surface si Ton suppose le plan xy horizontal, car les lignes de la seconde courbure sont alors des lignes de niveau.

De V équation aux dcvivées partielles des surfaces réglées.

3o8. Nous considérerons enfin, en terminant ce Cha- pitre, le cas général des surfaces réglées. Les équations de la génératrice renferment trois fonctions arbitraires etréliniination de ces fonctions exigeque l'on introduise les dérivées partielles du troisième ordre. Nous ferons donc, comme à l'ordinaire,

dz = }) d.r H- q dy, dp =: rdx -h s dj-, dq rrr î dx -f- / dy,

et nou>s poserons, en outre,

dr =z u dx -\- lu dy, ds =z lu dx -{- f df, di :i= ;> dx -+- u> dy.

Cela posé, soient

( I ) x = a z H- «, 7 =^ ^3 H- 6

les équations de la génératrice de la surface.

Dilfércnlions les équations (1) par rapport àorctr, et dénotons par a', h' , a', 6' les dérivées de «, h, a, ô rcla-

538 CALCUL riFFJ^REIVTir.L.

tives ail paramètre 0 dont dépendent ces quantités. On aura

i^ap-^{a'z + cA ) —,

0=bn -h Ib' z-hë') 3-,

(3;

0=ag -h{a c + a) -^,

l = bq^-{b'z-h&) j^-

On tire de	là
de
dx ap — dB ~ aq	-I	bp ^{^P — 0 — ^^P hq — I baq — a[bq — l )	h a
dr
il en résulte
(4)		ap -\- bq rr- i
et
(5)		dO , dO dx dj

les dérivées «', b' , a', ê'que nous avons introduites ne figu- rent pas, comme on voit, dans les précédentes équations. Diirérentiant l'équation (4) par rapportai, puis par rapport hj, il vient

, dîj (ar -\- bs)-{- ia'p -\- b'q) — = o,

, dO [as ■+ bf] -\- [n p + b q) p = o ;

ajoutant ces doux équations après les avoir multipliées

CHAPITRE X. 539

respeclivemenL para cl hj il viendra, à cause de la for- mule (5 ),

( 6 ) «' /• -t- 2 ahs -\- Ir t --- O.

En dillerentlanl encore celte équation (G) par rapport à X et par rapport h y, on a

ya'u-^^lahru + b^v) -f- -^ ^^ ^. - o,

enfin, en ajoutant ces équations multipliées par a et /^, on obtient, à cause de la formule (5),

( -j ] a^tt-^3 a^ bw -h oab- 1- -\- b^w = o.

Les équations (6) et (7) ne contiennent que les deux fonctions a et h; elles sont d'ailleurs homogènes et suffisent pour l'élimination. Si l'on fait, pour abréger

(8) «= ] »

on tirera de l'équation (6) i = aw; et, en subslituanl cq^te valeur dans l'équation (7), on aura

(g) u H- 3fWw H- 3('w* + ft'w^= o,

équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui appartient aux surfaces réglées.

i>4o CALCUL DIFFÉr.ENTIEL.

CHAPITRE XI.

DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES.

JSIanicve de représenter les variabL'S imaginaires. — Des fonctions algébriques.

359. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des quan- tités réelles ; nous nous proposons maintenant d'étendre l'analyse que nous avons développée dans les premiers Chapitres de cet Ouvrage, au cas où les constantes et les variables ont des valeurs imaginaires quelconques.

Le cas où l'on a une fonction de la forme u -\- v \l — i, u et V étant des fonctions réelles données de variables réelles, n'exige aucun principe nouveau. 11 est naturel de définir la diflerentielle de la fonction dont il s'agit en disant qu'elle est la somme obtenue par l'addition des différentielles du, du respectivement multipliées par les facteurs i et \/ — i. La différentielle du-h du \/ — i s'ob- tcnant alors en opérant comme si y/ — i était une con- stante réelle, les règles qui ont été établies pour la diflfé- rentiation des fonctions réelles s'étendent d'elles-mêmes aux fonctions de la forme u -i- u \J — i, pourvu que les variables indépendantes demeurent réelles.

Mais, quant aux fonctions de variables imagintiires, elles ne peuvent être introduites dans l'Analyse qu'à la condition d'avoir été définies avec précision, et nous procéderons ici comme nous l'avons fait à l'égard des variables réelles.

CtlAl'ITKE XI. 541

Toute fonction c\j)li(;llc pcnil être obtenue en cxccu- tant surdos varial)lcs et des constantes données un cci- tain nombre d'opérations élcnierUalres ; quand une seule de ces opérations sulUt, le résultat est une fonctiijn simple d'uneseide variable ; dans \c cas contraire, le résultat des opérations exécutées est une fonction composée de Ibne- tions d'une ou de plusieurs variables indépendantes. A l'égard des fonctions implicites, elles sont définies au moyen des équations qui expriment la manière dont elles sont liées aux variables indépendantes; les premiers membres de ces équations sont donc des fonctions expli- cites des diverses variables, et on les obtiendra en exé- cutant sur ces variables diverses opérations successives répondantchacune à ce que nous nommons une fonction élément ai/'c ou simple.

Il suffit donc de définir les Jonctions élémentaires d'une seule variable c^ne l'on veut introduire dans l'Ana- lyse pour avoir une notion précise de l'ensemble de toutes les fonctions explicites que l'on aura à considérer ; je dis fonctions explicites, car les équations dont dépen- dent les fonctions implicites ne définissent pas, en gé- néral, ces fonctions d'une manière complète. Or les fonc- tions élémentaires sont pour nous, jusqu'à présent, en très-petit nombre; elles se composent : 1° des fonctions qui résultent de l'une des opérations de l'Algèbre; 2° des fonctions exponentielle et logarithmique ; 3° des fonc- tions circulaires; nous donnerons la définition de ces diverses fonctions pour le cas où la variable indépendante est imaginaire.

3i30. Désignons par z la variable indépendante et posons

- ='■-'-.'•■ v — '1 X et j étant des variables réelles. Si l'on trace deux axes

542 CALCUL DIFFÉREATIEL.

de coordonnées rectangulaires, x clj représenteront les coordonnées d'un pointM du plan, et l'on peut dire, avec Gauchy, qu'à chaque valeur de la variable z répond un point dclcrminé, et inversement. Soient p et coles coor- données polaires du point M, on aura

X z= p COSW, J z^ p siiiM,

et par conséquent

z ■=: p\cosm -h \/ — I sinoj);

les quantités p et co seront dites le module et Vargumcnt de la variable z.

Pour que la variable z prenne toutes les valeurs pos- sibles, on représente successivement tous les points du plan : il suffit de donner à p toutes les valeurs de zéro à -i- ûo , et à w les valeurs comprises entre zéro et 2 7tou, ce qui vaut mieux, jes valeurs comprises entre — ;r et -f- 71. Alors à une valeur donnée de z, c'est-à-dire à des valeurs données de x et de j, répondront des valeurs déterminées de o et de w, il y aura cependant excep- tion, dans le cas de j' = o, .r étant négatif; alors on a cosw = — i,sinw = o, et l'on peut prendre à volonté o) = — TT ou ot) = 4--. Mais on fera disparaître cet in- convénient si l'on convient que l'angle w compris entre — TT et -t-~ peut approcher autant que l'on voudra de la limite inférieure — t., sans cependant jamais l'atteindre.

30 1 . Une fonction entière de z est un polynôme y (s),, toujours réductible à la forme

rf[x, y) -}- \J— I -h [x, jr),

(j>(.r, j) et «|j (.r, j) étant des polynômes à coefficients réels. Toute fonction rationnelle de c est égale au quo- tient de deux fonctions entières, et l'on peut encore lui

CFfAPlTRE Xr. 543

donner la forme

(f[.r, y), ^{j^yj) étant ici des fonctions rationnelles fractionnaires et à coefficients réels. Si l'on substitue les coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires, une fraction rationnelle quelconque sera toujours de la forme

P + Q y/^,

P et Q étant des fonctions rationnelles de p, de sin w et de cosci).

362. Le seul cas des fonctions algébriques élémentaires que nous ayons à examiner est celui delà fonction 3"% m

étant un exposant fractionnaire - dont le dénominateur

q est positif.

Si l'on fait, en désignant par k un entier quelconque,

z = p{ cos w -T- v/ — I sin '/> ) = p [cos(w -1-2^71 H- y/ — I sin(w h- 2X7: J,

on^aura, par la formule de Moivre,

z'" =^ r/" [cosw , w -f- 2 /•- ) -f- y/— I sinm{oi-+- 2 / - ], ou

z'" r= p'" (cos m oj H- y' — I sin /« m (cos 2 m/i--^ y/— i sin 2 m /. 77) ,

p"' étant une quantité réelle et positive. Celte expression de :;"*estsusceptiblede</valeurs différentes, pour chaque système de valeurs attribuées à p cl àw; on obtient ces <7 valeurs en donnant, à l'entier k, q valeurs successives, o, r, 2,...(<7 — i), parexemple. La formule précédente comprend donc q fonctions distinctes dont la plus simple

544 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

repond au cas de A= o; si Ton adopte cette valeur, on aura

z"' = p'" (cosm w -i- y,' — I sin m w),

et la fonction s"* sera ainsi complètement définie.

Des séries dont Les termes sont imas^innircs, 363. Si les deux séries

«0, "i. "2 «/«-Il • • ••■

<'o. ''l, «'2. • -, ''n-ï

dont les termes sont réels, sont convergentes, et que leurs sommes soient respectivement U et V, on dit que la série

«0 H- <'o v^~ ' ' 'T+f'iv'— 1> //n -;- t'2 ^; — I,

est convergente et qu'elle a pour somme la quantité

U-t-Vv— T.

La même série est dite au contraire divergente, lorsque les parties réelles de ses termes et les parties multipliées

par y — i ne forment pas deux séries convergentes.

Théorème I. — Une série est convergente, lorsque les modules de ses termes forment une série convergente.

En effet, soit la série

«0, "i, «:, . . ., //„-i, . • • ;

désignons par p,i etW/^ le module et l'argument du terme général Un, en sorte que l'on ait

"ti = Pu (ct)SM„ -+- v/— l silîW/;).

La série

Po' fi. ?î^ ' ■ ■■, pn-it • • •

CHAl'ITUE XI. 545

<;tant convergente par hypothèse, les deux séries

PqCoswq, p, cosw,, OjCoso),, .-., Posinwoi pisino),, pjsinwo, ...

sont elles-mêmes convergentes (n° 97, théorème [II, et n° 96, corollaire I), et, par conséquent, la série pro- posée l'est aussi par définition.

364. Multiplication des séries. — Théorème H. — Soient

, , ( «0. "i, "2 "«-1, • • -,

\ 'Vi ''n '21 • • • > ' «— n • • •

deux séries convergentes ajant respectivement pour sommes S et S', et qui restent convergentes quand on y remplace les termes par leurs modules, la série

(2) «l'o, ri'i, ri'o, . . ., (i'„_i,

dont le terme général w„_i a pour valeur

est oonvergentc, et elle a pour somme le produit SS'.

Ce théorème a été établi au n" 104 pour le cas où les termes des séries (i) sont réels; nous supposons ici ces termes quelconques. Désignons par

.'"O^ ,Oli Pil • • • > .'^/i— Il • • =»

'/J— Il

les séries convergentes formées avec les modules des termes des séries (i) et posons

~/j— 1 = Pu ^rt— I "^ ,°1 "^/i— 2 + ?i ^«—3 -t- . . . -T- p/i-2 '^1 -f- O/j— 1 ^oî

la série

(4) ~oi ~1' ~2> ••-! ~n — \i •••

S. ~ Ca/c. dijf. 33

5/^6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

est aussi convergente (n*' 101) et elle a pour somme le produit des sommes des séries (3).

Cela posé, soient S„, S', les sommes obtenues en ajoutant les n premiers termes dans les deux séries (i) respectivement, S", la somme des Ji premiers termes de la série h) ; soient aussi Ii„, 2'„, S'^ les sommes obtenues en ajoutant les n premiers termes dans chacune des deux séries (3) et dans la série (4); on aura

S„ S',^— S",= «„_, ('„-i + ("«-1 ''«-2 +	//„_.,('„_,)
+ [Uu-l ''l -^ "n-2 «'2 + • •	•+ «1 "«-1
^n "',— K=P"-l ^«-1 + (°«-l ^«-2 +	P«-2 ^«-l)
+ (°«-l ^1 -+- pn-^-^2 +• •	• + ,«1 ^n-1

et, comme le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on conclut de ces for- mules que le module de la différence S„S'„ — S", est infé- rieur, ou au plus égal à 2,^ 2'„ — I",. Mais cette dernière différence tend vers zéro, comme nous venons de le dire, quand n augmente indéfiniment ; donc le module de la différence S„ S', — S'^ lend aussi vers zéro, et l'on a

lim (S„ S'^ — S"/) = o ou limS'^ — SS',

ce qui démontre la proposition énoncée.

Remarque. — Il faut remarquer que le précédent théorème ne subsiste pas nécessairement dans le cas de deux séries qui cessent d'être convergentes quand on y remplace les termes par leurs modules.

365. Nous présenterons encoix ici un tliéorème im- portant dont on verra bientôt l'application.

TiiF.oiù ME m. — Soient m un nonihre enlier positif, z une f]uantit6 ininginuire donnée, et Z une variable

ciiAPiTan XI. 547

qui se rchhiise à z quand V eiilier m dcvlonl injud.

L'expression

Z

-!

m

tendra vers une limite égale à la somme de la série

convergente

. . z z^ z^

(1) l-\ 1 h

I 1.2 1.2 3

si l'on fait tendre l'entier m vers l'infini.

D'abord la série dont il s'agit est convergente (n° 363) ; car, si p désigne le module de z, la série

1+ -

I I . ?. 1.2.3

converge vers une limite finie qui est égale, comme on sait, à e^.

Cela posé, désignons par S la somme de la série (i), par S„ la somme de ses n premiers termes, et posons

(2) S ^ S„ + R,„

on aura

z« r 2 32 -1

R„ = 5 I H 1- 7 TT r + • • • •

Le module de la somme entre crochets est inférieur au module de la somme

? P' I 4- - -f- —, -f • . . . , n n-

obtcnue en remplaçant :: par son module p et les diviseurs « -i-i , //-I-2, ... par /^ ; cette dernière somme est égale à

; si donc on désigne par 0 une certaine quanlité

I — -

35.

548 CALCUL DIFFÉTIEKTIEL.

imaginaire dont le module est inférieur à i, on pourra

écrire

(3]

R,

Maintenant, l'entier m étant supposé plus grand que //,

/ Z \ '" développons la puissance ( i H 1 par la formule du

bindme relative à l'exposant entier et positif; désignons par S'„ la somme des n premiers termes et par li'„ la somme des termes suivants. On aura

(4)

et

S' =1-^

Z \ '"	= ^n+K
m 1 I 2
1- . . .
(i "	-A 7."-
■ K	m j \ .1. . .[n — I )
n-.\	Z"	\ ml I 1
m j I	.2...«	« -1- I

R'r= I

Désignons par P le module de Z; le facteur entre cro- chets, dans l'expression de R',, est une somme dont les termes sont en nombre limité, et le module de cette somme est évidemment moindre que le module de la

somme illimitée

P P2

IH 1 ; H-

dont la valeur est -\ on aura donc, en désignant

1

n

par 0 une quantité imaginaire dont le module est infé-

CHAVITRE Xr. 349

riciir a r,

'5] R'::.: ,--i\

Z"

/ \ m j \ ."? . . .n I

I

Enfin, si l'on pose

(6) =. = (.-. ^' ' "-'

m j \ m j \ .1. . . k 1.2.../.

on aura

Gela pose, en retranchant la formule (2) de la for- mule (4), on a

7 m

I + ^J - S = (£. + e, +. . .- £„_.^ -;- R;,- Il„;

et si l'on fait tendre l'entier /n vers l'infini, n restant constant, les quantités e s'annuleront à la limite d'après la formule (6), puisque Z tend, par hypothèse, vers la limite z\ d'ailleurs l'expression (5) de 1V„ devient

1 . 2 ... « 0

I — -

6'clanl une quantité comprise entre zéro et i. Donc le second membre de la formule (8) tend vers une limite qu'on peut représenter par

3" 0' — 0 _

1.2...// p '

I — - n

mais je dis que cette limite est nulle et (pic l'on a (/'= 5. En effet, le nombre n est arbitraire, et, en le prenant suf- fisamment grand, le module de l'expression précédente deviendra inférieur à une quantité quelconque donnée.

500 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

De là résulte que

?1 =s,

m

ce qui démontre la proposition énoncée.

Définition de la fonction exponentielle, dans le cas d'une variable imaginaire.

366. La série

z

I -: 4-

I 1.2 1.2.3

étant convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire attribuée à z, elle tend vers une limite qui est une fonction de la variable z; désignons cette fonc- tion par ^[z), on aura

( I ) 9 (zj) = I -; \~ ^- -i- . . . H r -4- . . . ,

^ ' ^ ' I 1.2 I . 2 . . . « — J j

Cl, en changeant z en z,,

,2 -n—i

I -r-

1.2 \ .1. . .[n— \)

Ces deux séries restant convergentes quand on y rem- place chaque terme par son module, la nouvelle série dont le premier terme est i et dont le terme de rang n est

X I H -, r - + .

\.l...[n — ij i.2...(« — 2) I

fi

I 1.2.

H-^'

sera elle-même convergente et elle aura pour somme le produit ^(z) ^(z,) (n° 364). Or l'expression précédente

est évidemment égale à

I .2. . . «

1

CHAPITRE XI. .3JI

donc la série nouvelle dont nous parlons a pour somme (fl^z-i-z,) et l'on a, en conséquenec,

(2) ^{z-{-z,) = f{z)<s>{z,].

On peut encore démontrer cette relation fondamentale sans recourir au théorème sur la multiplication des séries et en faisant usage du théorème démontré au n" 365. On a cflectivement, en désignant par m un entier positif,

//i J \ m j \ m

et, en faisant tendre in vers l'infini, on a à la limite

limf iH- — ) X limf I ou (n° 365)

comme nous l'avons déjà trouvé.

D'après cela, si z, z^, z.^, ..., z^_i désignent des expressions imaginaires quelconques, on aura

et, en supposant

on aura

(3) [y(.)]:— v(.r.),

IX étant un entier positif quelconque.

Si z se réduit à une fraction positive ou négative ± -, on aura

[,(±-:)J=,(±.) = [,l±.)]-;

JOS CALCUL TÎIFFÉHEKTIEL.

mais la formule (2) donne pour 3 = 1, S) =^ — i,

(f[ — l) y (-!- l) := œ(o) 3= I, d'où (f[ — i) = [y(j)]-\

et, par conséquent,

On a

-.]=i^{K\-

y ( I ) = IH 1- • H

1.2.3

donc, en extrayant la racine ^'^™^ arithmétique des deux membres de l'équation (4), on aura

ou, en écrivant z au lieu de

C".

Ainsi notre analyse nous permet de démontrer direc- tement que, dans le cas où z est une quantité réelle, la fonction <^[z) n'est autre chose que la fonction exponen- tielle e^. Or l'équation (2) qui exprime la propriété ca- ractéristique de cette fonction subsiste, quelle que soit la variable z\ il est donc naturel d'étendre à tous les cas la notation déjà admise dans l'hypothèse où z est réelle. Nous poserons, d'après cela.

e-" = IH 1 ! ^ -I - .

I I . :> i .■?. . o

cette formule exprime la définition de la fonction e^ dont la propriété caractéristique consiste, d'après la for- mule (2), en ce que

CHAPITRE XI.

553

Dctjinition des fonctions circulaires directes dans le cas d'une varialfle imaginaire.

3G7. Lorsque la variable ::csl réelle, les fonctions cos ~ et sinz sont développables en séries convergentes or- données suivant les puissances croissantes de z, et l'on a

cosz =zl 1 — --

1.2 1.2.3.4 1.2 ...O

I ;

smz = -+-

i 1,2.3 1.2.3.4.5

les séries contenues dans les seconds membres de ces formules demeurent convergentes quand z y désigne une variable imaginaire quelconque; on peut même ajouter que la convergence subsiste quand on remplace chaque terme par son module; eflTectivement, si p désigne le module de z, les modules des termes des précédentes séries formeront les séries nouvelles

p' p'

1.2 I .2 3. j

l , _p1_ , p[ ,

I 1.2.3 1.2.0.4-5

, ... e? -f- e-'t qui convergent respectivement vers les limites — — ->

6'f — e-?

2

Cela posé, lorsque z est une variable imaginaire, nous définissons les fondions cosc et s'xnz comme étant res- pectivement les limites des séries convergentes

1.2 1.2.3.4

Z 3-' Z^

I 1.2.3 1.2.3.4-5

554 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Quant aux autres fonctions circulaires directes, nous les définissons par les formules

sin z tnngz= , cosz	cosz cotz= > sin z
I sec z = 1 cosz	I cosec2 = — 5 sinz

qui sont, pour le cas de z réelle, l'objet d'une démons- tration dans la Trigonométrie.

Relalions entre les fonctions exponentielles et les fonctions circulaires directes.

368. Si, dans la formule

-2 _3

e= = I -^ 1 + -^ -I :L^ 4- . . . ,

I 1.2 1.2.3

on écrit successivement z\J — i et — zy' — i au lieu de z, on aura

I . ?. / \ I 1.2.3

\ 1.2 j ^ \l 1.2.3

c'est-à-dire (n° 367)

\ e''f^=^cosz-\- \J — I sin3, f c-^V^z=cos3 — y/ — I sine,

formules où :: désigne une quantité réelle ou imaginaire quelconque. On déduit de là

cos:; = 5

smz= —_ ;

2V — 1

CHAPITRE XI. O^D

et

( 3 ) tang2 = - -^ si- 1 .

Les fonctions circulaires s'expriment donc par des exponentielles, et inversement les exponentielles peuvent être remplacées par des fonctions circulaires. Si A désigne \va entier quelconque, on aura, par les formules (i),

3G9. Si, dans la formule fondamentale

on remplace z et z^ par cy — i et z^ y/ — i, puis par — z\j — I et — 2) y' — I , on aura, par les formules (^i),

ces (2-1-2,) + v'— i sin(2H- 2i)

= ^cos2 H- y/ — \ sine) (cos2i -f- y/ — i sinzi), CCS (2 4- 2, ) — y/ — I sin (2 -f- 2i )

^ (cos2 — y/ — I sin2) (cos2, — ^ — 1 sin 2,);

en ajoutant ensemble ces deux équations et en retran- chant ensuite la seconde de la première, on trouve

(6^

C0S(2 -f- Zj j = COSr- COS2, — sin 2 SU12j,

sin (2 -i- 2i) z^ sin 2 cos2, -\- ces 2 sin 2,.

Ce sont les formules fondamentales de la Trigonométrie générale; elles s'appliquent, comme on le voit, à deux (pianlilés quelconques ~, c,, réelles ou imaginaires, et la même chose a lieu, en conséquence, à Fégard de toutes les autres formules que Ton a déduites des équations (6), dans la Trigonométrie, pour le cas des variables réelles. On a, par la formule (3) du \\° 3G6, en désignant

556 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par /x et V des entiers positifs,

changeant z en 2Jy — i et extrayant la racine v"''"'= des deux membres, il vient

(cos2 zh \J — I sin z)'''-

= cos - 2 + iiz i — I sm - s H

ce qui est la formule de Moivre, dans le cas d'un expo- sant fractionnaire quelconque -■> étendue à une variable

quelconques. Si l'on suppose la fraction - irréductible,

le second meml^re de la formule (7) aura y valeurs dis- tinctes qui répondent aux valeurs o, t, 2, . . . , v — i de l'entier indéterminé h.

370. Les formules précédentes permettent de réduire à la forme p -+- qsj — i chacune des fonctions e-, coss, sin s, tang::, ... de la variable imaginaire

z = .r H- j>' y — 1 .

On a effectivement

( 8 ) e- = c^+ys/~^ = e^X W-i = e^ (cosj -h i^'—i sinj) ,

et, par les formules (6),

C0S2 = COS (.r -1- J- v' — ')

= cos.rcos(jy — 1) — sinxsin(j^'— i),

sine =z sin(.r -hj\/ — i)

= sinj:cos(j^— ij -i- cosxsin(j</— i).

cnvpiTRE XI. 5r>7

ou, par les formules (2),

cos(.r -\- y\J — 1)

ey ->r e-y . ey — e-y ^

=: cos.r sin.r \J — i ,

.9

sin

in(.r-i- jy/— i)

ey + e-y ey — e-y , •

■ hCOSJ: V — l.

On a aussi

/ , X s\r\[x-\-r\l — 1)

tang(.r+7V — iJ= — -, ;=T

cosl^.r -f- r V — ' /

2 sin (.r H- j \l— I ) cos(.g — y \J— » )

2cos(.r -^ y\] — 1 jcos-.r — y\ — ^)

ou •■

I . -, sin?..r -(- siiif^r^' — i)

tang [x + ;- v'— 1 ) = ^^-^ '

C()S2X -i- COSl^2J V — I

ou, d'après les formules (2),

r-y — e—- y

sin 2 .r -4- y/ — I

{ I o) tang (.r H- y s/^^i ) = J _^ .-^y

Dans le cas de j: = o, les formules (9) deviennent

ey^e-y

os(jv — 0— '

iin(jV-0 = — i — v-i;

on en lire, par la division,

(,2) tang(jV^) ^ Ij~_ ^_y sT^u

558 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

De la fonction logarithmù/ue et des fonctions circulaires inverses, dans le cas d'une variable imaginaire.

37 1 . Nous nommerons logarithme népérien d'une quan- tité donnée z =:x 4- jv—i ^ou le quantité u-hi'x — i telle, que l'on ait

Posons

.r = p cosw, j = psinw,

p étant positif et w étant compris entre les limites — ■:: et -f-Tc; l'expression donnée x-\-j\/ — i poiuTa être mise sous la forme

p(cnsw -h V — I slifo)! = pe"'s'"^

et l'équation (i) deviendra

e" cosc -1- ^ — I sine = pl^cosw + \ — i sinw) ;

or, pour que cette équation ait lieu, il faut et il suffît que les expressions contenues dans les deux membres aient le même module et que leurs arguments ne diffèrent que par un multiple de la circonférence. On a donc

e" = p, d'où u = logp et

k étant un entier indéterminé.

U résulte de là qu'une quantité imaginaire z= pe''^''* a une infinité de logarithmes népériens qui sont donnés par la formule

(?,] log2 = logp H- [m -+- 2/-7r) \/— I .

Si l'on suppose k = o, on aura, en adoptant une locu-

CHAPlTr.F, \I. 559

tion de Cauchy, la y alcur principale de l'expression \ogz, et la formule

(3) log: = Iogp + «^'— I,

OÙ Cl) est compris entre — :: et -f- tt, définit alors une fonction bien déterminée de la variable z; il est bien entendu que dans les formules (2) et (3) nous repré- sentons par logjO le logarithme népérien arithmétique du nombre positif p.

Si le module p se réduit à l'unité, logp est nul et la formule (3) donne

(4) log- = w^'~;

si l'on a z =1 — i, .": ~-.:ment co se réduit à 7: et la for- mule (4) donne pour la valeur principale du logarithme de — I

log(— Ij =7ry/ — I.

372. Les expressions

arc sin 3, arc coss, arc tang2, , . .

admettent une infinité de valeurs pour chaque valeur réelle de z, et il en est de même quand z reçoit des va- leurs imaginaires. Nous nous bornerons ici à indiquer comment on obtient les diverses valeurs qui répondent à une valeur donnée de z, et nous prendrons comme exemple l'expression arccosz.

Il s'agit de trouver deux quantités réelles u et u telles, que l'on ait

cos(m -f- v\j ^ I ) = 3 = j: -+-TV — I.

X ci y étant des quantités réelles données. Cette équa- tion revient à

— 1 =u:+jY— I,

06o CALCtJL DIFFÉRENTIEL.

et par conséquent les inconnues u, i> doivent satisfaire aux deux équations

(i) cosu = jc, s'uiu = — V.

On tire de là

, , r Y .r r

2 e"= ^— , e-''=z h--^— ,

COS« SIUM COS« SIIIW

et en multipliant

I,

cos- u sin'^ u ou

sin*« — ( ' ~ ^' — .'"^ :' '« — 7^ = o.

Résolvant cette équation, il v'^nt

• 2 I — .7--- r- / /l — .r- — j2\2

v/

le radical étant pris avec le signe -h, afin que sin'-u soit positif; on a aussi

cos^ u ■ — [i -i- x^ -\- y- ) ces- u — .r^ = o, d'où

■■.-■-^^-^i;-^^)'-.-:

^i:-

2

extrayant la racine carrée des deux membres de celte

formule et remarquant que cosu a le signe dex, d'après

les formules (i), on a

x ( 3 ) cos u = j •

[-1^-V('^^T-^

cHAi'ixui; XI. jGi

Posons

/ X

1Mo = arccos ,

(4) j h^ "V(-^-)H

\ \cos«(, sin«o

Uo étant un arc compris entre zéro et tt; l'équation (3) donnera

(5) w = 2/-rb «„,

A: étant un entier; on aura ensuite, j^ar les équations (2)»

cos«o sia«o c()s«o sin«o

d'où

(6) o = d=.'o,

le signe ambigu ±: devant être fixé de la même manière que dans la formule (5). On a, d'après cela,

[']) arccos^.r -f- j \J — i ) = sX-tt ± («^ -f- v^ \J — i);

par conséquent, lorsque deux ijuatitités réelles ou ima- ginaires ont le même cosinus, la somme ou la différence de ces quantités est un multiple de la circonférence.

Dans le cas particulier de j^ = o, les équations ^i) donnent immédiatement

sinM =^ o ou V = o.

En prenant ^' ^= o, on a

cos u = .r,

mais cette solution ne convient qu'au cas où la quantité x est comprise entre — i et -t- i . En prenant sin m =z o, on a

S. — Cale. diff. 36

56'i CALCUL DIFFÉRENTIEL.

le signe de dz i étant celui de x. La première des équa- tions fi) donne alors

d\

e" = ± .r -t- \/.r^ — I et c = On a donc, si x est compris entre

(8) arccos,r = (2 A- -h i) tc -h y — ' ^^g (— a: + v'-^^~ Oi et, si X est compris entre -t- i et -!-co ,

(9) arc cos.r = i/,v: -+- v^— i l"g {-^ + ^^'^ — i )

373. Les fonctions log^, arc sinz, . . . , ainsi que les fonctions algébriques explicites non rationnelles, appar- tiennent à la classe des fonctions implicites u, détermi- nées par une équation telle que

F[u, z] = G,

dont le premier membre est une fonction bien déter- minée des deux variables z et u, et irréductible à la forme u — J'(^z),/[z) étant une fonction bien déterminée. Cette équation peut admettre, pour chaque valeur de z, un nombre fini ou infini de racines u qui varient avec z; mais, pour pouvoir considérer l'une de ces racines u en particulier comme une fonction de z, il est nécessaire de la distinguer avec soin des autres racines, parmi les- quelles il y en a qui peuvent devenir égales à celle que l'on veut étudier, pour certaines valeurs particulières de z.

De la continuité.

374. La définition de la continuité donnée au n° 12 est applicable aux fonctions d'une variable imaginaire. Ainsi :

ClIATITr.K XI. 563

Une foïiclion bien drfinia J\z) de la vcuinhlc ima- i^inaire z est dite continue j)ou7' les valeurs de z qui répondent aux points compris dans l'intérieur d'un contour quelconque tracé sur un plan, lorsque, pour cliacune de ces iHileurs de z, le module de la différence

A/(z)^/(3+A3)-/(c)

décroît indéfiniment en même temps que le module de Az, c'est-à-dire deviejit infiniment petit avec Az.

On voit, par celte définition, que les fonctions entières sont continues pour toutes les -saleurs de z; la même chose a lieu à l'égard de la fonction e~ ; car on a

gz+iz — e= = e- [e^' — i ) ,

et, en désignant par h le module de Az, par 9 une quan- tité dont le module est compris entre zéro et i , on peut écrire (n° 365)

il est évident que le module de cette différence est infini- ment petit en même temps que le module de Az.

Les fonctions cosz et sinz ne sont autre chose que des sommes d'exponentielles, et par conséquent elles sont fonctions continues de z pour toutes les valeurs de celte variable.

Les fonctions rationnelles non entières et les fonctions tangz, coI:t, séc3, cos:; ne deviennent discontinues qu'en passant par l'infini.

Mais il n'en est pas de même à l'égard des fonctions irrationnelles, et comme la continuité joue le rôle prin- cipal dans le développement des fonctions en séries, il est nécessaire de hien fixer les idées à cet égard en étu- diant complètement un cas très-simple.

36.

564 CALCUL T)IFFltnE^TlEL.

Ainsi que nous l'avons dit, la variable

z = .r -h j s/ — I = p(cosw -+- \/' — i sinw)

peut prendre toutes les valeurs possibles quand on attri- bue àp les valeurs comprises entre zéro et oo , et à co les valeurs comprises entre — tt et H- ;:. D'après cela, une fonction continue de z doit varier par degrés insensibles avec 0 et w, et en outre, si e désigne un angle réel infini- ment petit, la différence des valeurs que prend la fonc- tion pour

z:= p [ces ( — TT H- s) + \J — I sin ( — 7^ -+- î) J

et

5 = p [cosfTT — s) -\- s/ — I sin (tt — e) ]

doit être infiniment petite, puisque la différence de ces valeurs de z, savoir ap sin s y' — i , est elle-même infini- ment petite; il est évident que réciproquement ces deux conditions assurent la continuité. On voit sans peine que la seconde condition peut être exprimée en disant que la fonction considérée prend des valeurs égales pour co = — t: et pour oj = -i-TT.

37o. Cela posé, considérons l'expression

o\i'j7i désigne une fraction commensurable dont le dé- nominateur est supérieur à i. Si l'on fait

3 = p(cosM -f- v/— i sinw), I H-z = /-(cos-]y-!- \/—i sin-^),

•{/ étant assujclli, de même que co, à rester entre les li- mites — 7T et H- t: sans jamais atteindre la limite infé- rieure, on aura

rcos-^ = I -i- p cosw, rslni|/=: p sinw,

ciiAPirnE XI. 5G5

d'où

/ , , 1-hocnsu . , psino)

r:= i/n-2ocos&)-f-p-, coso= '■ » sini!/=: ' »

' ' r /•

équations qui d(jtormincnl complètement le module /et l'argument 6. D'après cela, les valeurs de l'expression (i H-^)"* seront

r'"[cosm-l/ -+- y/ — I sin/?2\^) {cosimlcr: -i- y — ' sina/w/Tr),

h étant un entier. On peut prendre, pour définir la fonc- tion que nous voulons considérer, l'équation

( I -t- c)'" = r'" (cos w^ -4- \/— I sin w^),

et je dis que cette fonction sera continue tant que le mo- dule de z sera inférieur à i , tandis que, si ce module ])rend des valeurs supérieures à i , la fonction pourra devenir et deviendra elTeetivement discontinue.

En effet, les formules précédentes montrent que /'. cost|^, sin^j;, et par suite i|/, varient par degrés insensibles si jO et w varient elles-mêmes par degrés insensibles, et cela quelles que soient les valeurs que l'on attribue à p: mais, si p est inférieur à i, on voit que cos^|^ est toujours

positif, d'où il suit que ^ reste compris entre — -

et + - 1 et comme on a sin i|i = o pour w = =i= r, l'angle v};

s'annule pour 03 = — •tï et pour w = -]-;:. On voit par là que la fonction (i-h^)"* varie par degrés insensibles avec p et o) ; clic a d'ailleurs la même valeur, p restant le même, pour co= — t: et puur w =-r-r: : donc elle est fonction continue de z.

Supposons maintenant que x; prenne des valeurs dont le module soit supérieur à i . Si l'on donne à w les valeurs — (tt — e) et -\-{T^ — e), e étant un infiniment petit,

o66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

j3iiis que l'on fasse tendre e vers zéro, dans l'un et l'autre cas cos(|/ tendra vers la limite — i, et sini^ vers la limite zéro; mais, dans le premier cas, sintl* atteint sa limite en passant par des valeurs négatives, tandis que, dans le second cas, le sinus est positif avant d'atteindre salimite; il s'ensuit évidemment que l'on a (j/^ — t: pour oj = — t: et (^ = H-TT pour w = -(-TT. Par conséquent, la fonction [i-j-z'y"' prend pour w= — n et pour o) = -h t: deux valeurs dont la différence est 2/-'"sinm7r \J — i ; cette dif- férence ne se réduit à zéro que si t?i est un nombre entier : donc, dans tout autre cas, la fonction est discontinue.

Les mêmes considérations font voir que la fonction log(i-+-z) reste fonction continue pour toutes les valeurs de s dont le module est inférieur à i, mais qu'elle devient discontinue lorsque z prend des valeurs dont le module surpasse l'unité.

Dérivée et différentielle d'une fonction d'une variable imaginaire.

376. Nous étendrons au cas des fonctions d'une va- riable imaginaire les définitions de la dérivée et de la dif- férentielle que nous avons données pour le cas d'une va- riable réelle. Si àonc f[z) désigne une fonction de la variable imaginaire jt = x -I-JK y/ — i , la dérivée J'[z) sera, par définition, la limite vers laquelle tend le rapport

ou

/(.r H- y \J— i -^ àx -{- \y v — I ) — /[-^ -\- Y y — i ) — — )

^x -\- Aj \J — I lorsque As = Ax -h A ) ^'' — i tend vers zéro, ce (]ui

cHAi'iTKK XI. 56y

exige que Axel Ay leiidcnL siinullanénicnt vers zéro. On aura aussi, pour la dlirérenlicUe de J\zj,

Une variable est fonction de plusieurs autres, lors- qu'elle prend une valeur détcrniinéc quand on attribue à celles-ci des valeurs déterminées. Partant de cette dé- finition, Cauchy a considéré toute fonction o Xyj *^ des deux variables réelles x et j comme une fonction de

X -\- y si — I ou de ;;. La denvee — —- — -•> savoir

dtf[x,y] __ y ^ r -f- A.r, y -4- Aj) — y [x, y)

est alors généralement indéterminée et sa valeur dépend

de la limite — vers laquelle converge le rapport — quand

Ax et Ay tendent vers zéro. A ce point de vue, il y a lieu de distinguer les fonctions en deux classes, suivant ([u'elles ont une dérivée unique ou une infinité de déri- vées ; nous nous bornons à indiquer ici cette conception, dont nous ne chercherons à tirer aucune conséquence.

Les règles de la dilférentiation des fonctions algébriques n'ont à subir aucune modification, lorsque la variable devient imaginaire; il s'ensuit que ces fonctions ont des dérivées déterminées. La même chose a lieu à l'égard des fonctions exponentielles, logarithmiques ou circulaires, caries règles relatives à ces fonctions reposent uniquement

... 1 . e'' — I sin^ ,

sur ce lait, que les expressions — - — > — — tendent vers

l'unité quand h tend vers zéro, et cela résulte immédia- tement des définitions des fonctions e= et sinr pour une variable imaginaire z. On voit donc que toutes les fonc- tions composées avec les Jo/ict ions clcinentaircs de l'aiia-

568 CALCUL DIFFl^RFNTXEL.

Ijse auront une dérivée unique déterminée, et dans ce qui va suivre nous ne considérerons que de telles fonctions.

377. Soit /( z) une fonction de la variable

continue dans une certaine étendue et ayant pour dérivée f'{^)'^J{^) P6"t être considérée comme une fonction de X et àej, et l'on a

dfiz) ,. ^f{z] Afiz) Az dz

-Ay = lim --^^^ = lim ^^^-^ X lim — =/'iz) — , à.f: Aj; Az A,v -^ ^ ' ôx

ày Aj Az -^ Aj -^ ^ ' dj'

d'ailleurs

donc

d^_ dz

az ,- -

or dj

Remplaçons z par x -{- j yj — i dans f(z), el faisons

9 et ^j; désignant des fonctions réelles, l'équation précé- dente devient

et elle se décompose en deux autres, savoir

/ > ôf d-^ d-^ ^d

dx dj' âx jd

Si l'on difïérentie ces équations par rapport à x et par

cn.vi'iTUE \i. 5^9

rapport à j)^, on trouvera

d'où

().i- Oj ôj^ dx ôy dy"^

Ainsi l'équation aux dérivées partielles

dx- dy^

est satisfaite en posant

e = (^{.T,y) et e — -yx,y).

378. Nous établirons encore ici une autre formule qui nous sera utile. Introduisons les coordonnées polaires p et co au lieu des coordonnées rectangulaires, et faisons

pe"^-':

d'où

dp P (/w

Si la fonction /'(z) admet une dérivéey'(i:) bien dé- terminée, on aura, en opérant comme au numéro précé- dent,

àf[^_fn.àz df[z) dz

d'où

d/{z)dz^d/[zj^ dz dp Oo) ô'>y Op

d*z ajoutant à cliaque mendjre la (|uantitéy"(z) —^ on

SjO CALCUL DIFFÉUEKTIEL.

aura

dp d^ -^^^^ dp ~ ôo,'dp '^'^' dco'

dp ÔM '

ou

telle est la formule que nous voulions établir; en y rem- plaçant ^ et — par leurs valeurs écrites plus haut, elle devient

ôp

''[•^Wl^/^T.

ÔM dp

Démonstration d'un théorème de CaucJij .

379. Soit /{oc) une l'onction réelle d'une variable réelle x, qui reste continue pour les valeurs de x com- prises entre les limites Xo et X.

Désignons par x une valeur quelconque comprise entre XoCtX; divisons l'intervalle jc — Xo en un nombres de parties égales ou inégales et représentons ces parties par

^1 -^o» •'"2 "^1^ . . . } [^ "^«—1 j )

la somme

+ (.r„_j — J7„_2)/(.r„_2) -f- [x — .r„_i)/:jc„_i j

tend vers une limite déterminée lorsque le nombre n augmente indéfiniment et que chacune des différences Xi — Xq, Xi — Xi, ... tend vers zéro. Cette limite est une fonction de x que nous représenterons par F(x), et

:/(.Z

cnArniîi: \t. 071

si l'on construit la courbe dont l'ordonnée est/i x), re- lativement à deux axes rectangulaires, la limite F(x; ne sera autre chose (n" 188) que l'aire comprise entre la coiirljc, Taxe des abscisses elles ordonnées qui répondent aux aljscisscs Xo elx; en conséquence on aura

d F [x] =/(-r) dx.

Si les difTcrences x, — jCq, X2 — x,, ... sont égales entre elles et que l'on représente par h leur valeur com- mune, on aura

F(.r) = (x-x.) li,n /W^/K + /-) + -^-+/h+(''-)il et

on a, en outre, évidemment

F ,Xq] = 0.

Soienty,(x)et/2(-^) deux fonctions réelles et continues pour les valeurs de or comprises entre Xo etX; il existera, d'après ce qui précède, deux fonctions F|(j:u Fo'j:) telles, que les formules précédentes auront lieu quand on fera simultanémenty=y), F=F, ouf^=f.2 etF^-Fo; donc les mêmes formules auront lieu encore, si l'on pose

f{x)=A[x)+f,[.r.) v/37, Y[x)-Y,[x)-^Yjx\ V~r.

380. So'il f[z) une fonction bien déterminée de la va- riable

z = p I cosw -4- \ — I smw ^=^ pe" ',

et qui reste continue pour les valeurs do p comprises entre certaines limites.

Si l'on attribue au module p une valeur drtcrmince, la fonctiony^(z) ne dépendra plus que de l'ar^unKJil w;

Syi CALCUL DIFFÉUENTIEL.

donnons alors à o) les n valeurs en progression arithmé- tique

2 77 2,iTZ 2 (« — l)lî TT, 7r4- 5 •••<) 77H 5 •••5 77+ ?

n n n

et désignons par

les valeurs de z qui répondent à ces arguments. La moyenne arithmétique des valeurs correspondantes de f{z), savoir

/(^o)-^/(^i)-l-...+/K-i) ^ n

tendra vers une limite que Cauchy a nommée la valeur moyenne de J\z) correspondant au module p\ nous la représenterons par tfdfl^z) et l'on aura en conséquence

.DIV(^) = lim ■^M±/(iil±.l^/fe-0

pour « = 00 .

381 . Cauchy a nommé module maximum d'une fonc- tion f{z) relatif au module p de z, le plus grand des modules que prend f{z) quand w varie de — tt à H-tt. Le module d'une somme étant inférieur à la somme des modules des parties, la formule précédente montre que le module de la valeur moyenne *^[f[z)^^ est inférieur au module maximum àef[z).

Supposons

f[z] = 2^

[j. étant un entier positif ou négatif. On aura

/i\i — e " /

CIIAl'ITItE \I. 573

et si ju ne se réduit pas à zéro, celle lorniule luoiilrt,' que l'on a

d\L[z^] = o.

3812. Les nolions que nous venons de préscnler suf- fisent pour établir un théorème important dû à Cauchy; ce théorème est le suivant :

Théorème. — Soitf[z) une fonction de la variable imaginaire z=. pe""^ , qui reste continue pour toutes les valeurs de z dont le module n'est pas supérieur à une quantité donnéeJX. Si l'on désigne par Z la valeur que prend z quand on fait |C = II, la valeur moyenne de la Jonction TjJiJL) sera nulle. Ainsi l'on aura, d'a- près la notation convenue,

D\\[Zf[Z)] = o. En effet, posons

(l) 2/(z)v/— I =?(?, «), -f{z) = -}^[p,o,\

on aura, par la formule (3 ) du n" 378,

, . d f'p, w) () -1/ ' p, &>)

^^'' rjj» ~ àZ

Regardons p comme une constante, cj)(p, co) sera une fonction continue de cû; si donc on fait

W =z 77 ->r nu.

et

! —Ir.-^ ^] lim î* (P>-^;+?>^-^+«)-<----+y[pi--+(«-0 a] '^[p, w) sera une fouetiou dclerniinée s'anuuluiil pour

5y4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

0) = — Tf, et l'on aura (n*' 379)

(4) —j--=^{p,.,.

Pareillement, si l'on regarde w comme une constante, ^{p, w) sera fonction continue de p, tant que l'on aura p <^ R ou = R, et si l'on fait

puis

(G; 'F (p, w) = p Uni ^^ I1A^_/ Lii ^^_-i , pour n -z co ;

'F(^, &)) sera une fonction bien déterminée qui s'annu- lera avec p, et l'on aura (n" 379)

(6) — -' — ^=4-(p, «).

'Maintenant différentions l'équation (4) par rapport à p, et l'équation (6) par rapport à co; nous aurons, à cause de la formule ( 2 ) ,

d-*(p, w) ^''J'ip, w) _ dp doi dp ÔM '

ou

[d^jp,^] dw{p,c.]l

L àp dp j^^

Cette formule montre que la fonction

d^{p, w) à'i'ip, w) dp dp

est indépendante de co; on obtiendra donc des valeurs égales en y faisant co = — 7retco = -f-7r; ainsi l'on a

d * (p, + 7I-) _ dw{p, -+-7r) _ à «î» (p, — tt) _ (jy(p, -. tt) dp dp dp dp

cnMMTP.F. XI

^)r, [);ir livpollirsc, hi loiKtiou '|'(p, w) a la iiirnic va- leur pour oi = — TT cl pour o) = -f- tt ; la même chose a lieu, en conséquence, pour '¥ o, oj), d'après la for-

1 /r\ • • 11-' '^"^'Pf <" 1' Il mule (Oj, ainsi que |)nur l;i (icrivee . j «I ailleurs

la fonction 4>(p, — 7:) est nulle; donc la formule pré- cédente se réduit à

d*(p, -\--] _ dp ~°'

Il résulte de là que la fonction ^(p, -f-7r) se réduit à une constante, et, par conséquent, on a

(7) * 'R, 4- 7r= * o, -h r .

Enfin, y(;r) étant continue pour les valeurs de z dont le module ne surpasse pas R, cette fonction ne peut être infinie pour p = o; il s'ensuit que le produit

z/(^] V — ï = ?(p' «)

s'annule pour p = o, et il en est de même de ^ p, w) d'après la formule (3). On a donc parla formule \^y 1

«I»[R, 7t; —o, ou, ce qui revient au même,

(8) 01L[Z/,Z)] = O; ce qui démontre le théorème énoncé.

(^ouoLLAïuE I. — SoitF{z) une /onction d'une vn~ viable imaginaire z = pe""^'*, qui reste continue pour les 'valeurs de z dont le module p n'est pas supérieur à \\. Si l'on désigne par Z la valeur que prend z quand on remplace p par R, et par x une constante réelle ou imaginaire dont le modula r soit compris entre zéro et

5^6 CALCUL DIFFÉKENTIEL.

R, on aura

F(.) = ai.[-^F(Z)].

En eflet, la fonction F(2) étant continue tant que p n'est pas supérieur à R, il en est de même de la fonction

(9/ f\^)=-~ ■•>

il ne saurait effectivement se présenter de discontinuité que quand z atteint la valeur x\ la fonction y^(z) prend alors la valeur

F(.r + /^) — F(x) ^,, .

lim -^ { ^—^ = F' X ,

h .

quantité qui est nécessairement finie, en vertu de nos hypothèses, comme on le verra plus bas.

D'après cela, on peut appliquer le précédent théorème à la fonction y( z ) définie par la formule ( 9 ) ; on a donc, par la forme (8),

OU

Or on a
^"^ Z-.--	0 = ' + z + z5

y/i— i

z«,,-^

d'ailleurs la valeur moyenne de — est nulle (n" 381)

CIIAPITUE XI.

577

quand y. ne se réduit pas à zéro, cl celle valeur moyenne esl évidemment égale à l'unité, quand ,a = o ; donc

OÏL

Z

I -: oïL

zM.--

380) au , lequel est

'- esl inférieur fn

module maximum de la fonction '■

au plus égal au produit de ( - j parle module maximum — - de , cl comme ( \ tend vers zéro quand n

augmente indéfiniment, on a

Z

OÏL

Z

-i;

la formule [g) donne alors

(i2j f(x; = 01l[^-5-F(Z)1,

ce qui démontre la proposition énoncée.

ConoLLAiRE II. — Les mêmes choses clant posées qiia dans le corollaire I, la dérU'ée d'ordre u. de la fonction F(a:) a pour valeur

(.3) F(^) ,.•; = ,. 2...;. oil[^-^-^f(Z)].

Celleformule comprendra la formule (i •_>) si l'on convieiit de remplacer le produit 1.2... u par l'unité et F'''^(x) par F(j:) quanti a est nul; donc, pour établir la for- S. - Cale. dijf. jj

5^8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

mule (i3), il suffit de démontrer que, si elle a lieu pour une valeur de [x, elle subsiste encore pour la valeur sui- vante. A cet effet, remplaçons x par x -+- h dans la for- mule (i3), on aura

F«{..+ A) = ■ .,. . . p.or. [^^ _/_,,,.. F^z] ,

et, par suite.

h

^11 r zF(z)

ZF(Z)

-f-

Z — .r— /i) (Z — .r]i^+i

faisant // = o, on a

F^-^')(^) ^ I .o . . , :;. H- 1) oil[^^ _^^.^,,^, F(Z)] ,

ce qui n'est autre chose que la formule (iS)., où Ton a remplacé [j. par p. + i .

Remarque. — Pour établir la formule (12), nous avons admis que F'(x) ne peut pas devenir infinie pour une valeur de x dont le module est inférieur à R ; nous allons actuellement le démontrer. Supposons que 'F'{x) puisse être infinie pour diverses valeurs de x dont les modules soient compris entre zéro et R, et soit ae^V"' celle de ces valeurs qui a le plus grand module. La formule (12) sub- sistera sans difficulté pour les valeurs de x dont les modules sont compris entre a etR, et, en la différentiant, on aura encore

F'ia:] = D]L

F(Z'

Donnons à x l'argument a et faisons tendre le module de

CHAl'ITIli: XI. K-f,

cette variable vers la liinile a; le second membre restera évidemment fini et tendra vers une limite déterminée; par conséquent le premier membre, qui est éyal au se- cond, ne pourra devenir infini, comme on l'a supposé.

Il résulte de là que la formule (12) exige seulement que le module de x soit inférieur au module R.

Formule de Alac/aurin.

383. Cauchy a déduit de ce qui précède le beau théorème suivant ;

Théorème. — La fonction F[x) sera dcueloppable en série convergente ordonnée suiv^anL les puissances en- tières et ascendantes de x, si le module de la variable réelle ou imaginaire x conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction ¥ [x] cesse d'être con- tinue.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de remplacer,

dans la formule (12) du numéro précédent, — ^ — par la

valeur tirée de la formule (11); il vient alors

(•;

en faisant

(2) Rn-Oll'l "tt..

Le module de x étant, par hypothèse, inférieur à U, le facteur ( - j tend vers zéro, quand n augmente indéfini-

37.

58o CALCUL DIFFÉHENTIEL.

ment, et la quantité qu'il multiplie, dans l'expression de Rft, conserve évidemment une valeur finie ; on a donc

limR„=: G, et, par conséquent,

(3)F(,r)--^01L[F(Z)l+,rDlLp|-^J4-^^0ïbp^-^^^J-l-...,

ce qui démontre le théorème énoncé.

Les formules ( i 2) et ( 1 3) du n" 382 donnent, pourx=o,

F(o)=0)L[F(Z)],

F;^(o)=.,.2...^oro[ïl^];

on peut alors écrire la formule (3) comme il suit:

(4) F(.r)=F(o)+^F'(o)+ ^^F"(o)+..., ce qui est la formule de Maclaurin.

38-i. Les fonctions (i-i-s)'" et log(i-f-^), définies comme nous l'avons fait plus haut, étant continues pour les valeurs de z dont le module est inférieur à i, on aura pour ces valeurs de z

m m {m — i ) .

1 + 2 '" = 1-1- - z-l ^ ^32-u...,

^ ' I 1.2

log(n-z) = i-^4-^-....

En éci'ivant |Oe"v^~' au lieu de z, cette dernière for- mule devient

log ( I -^ p ces w + psinwy/ — i}=- -]-....

Posons

I + p COSW r=: /•COSt|', p SID w = r sioi^;

rilAPITRF, XI. 58l

7Z 77

l'angle ^ devra cire compris entre — - et -h -, à cause

de /0'<^i, el il csl, en conscqiMMice, déterminé par sa tangente dont la valeur est

psincd

I -I- fi COSw

On a d'ailleurs

r = y/ H- 2p COSw -f- p*,

puis

log ( I -;- p COSw -!- p sinw\/ — i) =logr -f- -^ \J — i ;

donc

, , psinw

log d \-^■ 10 COSW -T- p- -f- V — I arc tang — -

' ' I -f- p COSw

_ pe"-v'^ pV- '^ "^^ p^e^ " V^

l 2 3

Egalant de part et d'autre les parties réelles et les par- lies multipliées par le facteur^ — i, il vient

, ; -, OCOSW p*COS2w p'cOsSw

log V ' "f- 2pCOSw -t-p' = ' — i- ^ ...,

' I 2 5

osio'.) psinw p-sin?.w o^sinSw

arctang - ' = \- ' . . . .,

14- pcosw rai

formules qui subsistent pour toutes les valeurs de p infé- rieures à I, j)()urvu que l'arc de la seconde formule soit

pris entre les limites — - et H — ^- Si l'on l'ail dans cette

2 2

dernière formule p sino) = a', |0 COSW -- o, d'où a) = il viendra

arctang^r^:- -^^-- ^-...,

— »

2

582 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

OU, en posant x =r tangz,

tang3 tang*2 tang* z

z = — - ^^— -I- —^ ... ;

cette dernière formule subsiste pour les valeurs réelles

de z comprises entre — y et -h 7*

4 4

385. Les fonctions e^, cosir et sinz restent continues pour toutes les valeurs de ^ : donc elles sont toujours dé- veloppables en séries convergentes; mais il faut remar- quer que ces développements en séries sont, pour nous, l'expression même de la définition des fonctions dont nous parlons ; il n'y a donc aucune conséquence à tirer relativement à celles-ci. Il y aurait lieu à un théorème concernant la fonction e^, par exemple, si l'on prenait pour définition de e~ l'équation

gZ -- gX -<r y y'— 1 -— gX (,Qg j _j_ ^ j gX gjj^ y^

Les fonctions et - cot - ne cessent d'être conti- ez — I 2 2

nues qu'en devenan t infinies, la première pour des valeurs

de z multiples de au y — i, la seconde pour des valeurs

de z multiples de 27:^ donc ces fonctions sont dévelop-

pables en séries convergentes pour toutes les valeurs

réelles ou imaginaires de z dont le module est inférieur

3 2 71. Pareillement, la fonction tangsr reste continue

pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur

à -\ elle est donc, pour ces valeurs de z, développable

en série convergente par la formule de Maclaurin. J'ai démontré ces résultats par une méthode particulière, dans mon Traité de Trigonométrie (5^ édition); je ren- verrai à cet Ouvrage pour les détails des développements en série dont je viens de parler.

CHAl'lTUE XI.

183

Les fonctions z'', logj, cr sont «liscontinuos pour une valeur nulle <lu ni<j(lule, cl elles ne sont dcveloppahles m séries ordonnécssuivanlles puissanccscntières. positives et ascendantes de z. pour aucune; valeur de celte variable.

Formule de Lagrange.

386. Désignons parx une constante donnée, par t une variable réelle ou imaginaire, et considérons l'équation

(1) Z = .r -\- tfiz^.,

dans laquelle z est une inconnue cl J [z) une fonction continue de z indépendante de x et de t. Cette équation aura un nombre limité ou illimité de racines z selon que la foncliony"(~) sera algébrique ou transcendante; pour f = G, l'une de ces racines se réduira à a: et les autres deviendront infinies. Pour que l'équation (i) ait deux racines égales, il faut qu'elle soit vérifiée en même temps que sa dérivée prise par rapport à z, savoir

(2) i=tf',z\

et, en éliminant/: entre les équations (i) et (2), on aura

(3) ' = ^- /\T)-

Les racines de cette équation (3) sont indépendantes

de a; désignons-les par nic^'v'-', «2*^"'^'"'' • • • <-"t poi"" tons-les successivement dans l'équation (?.), on aura

t = : :=r. ) t =

/'(«.e'.v'-O /'(«î^''V->J

formules qui font connaître les valeurs (ju'il laul altri-

584 CALCUL PIFFÉUENTIEL.

buei'à i, pour que deux racines de l'équation (i) soient égales entre elles. Désignons par R le module de celle de ces valeurs qui a le plus petit module ; il est évident que l'équation (i) n'aura point de racines égales tant que le module de la variable t restera inférieure à R, et par con- séquent les racines de cette équation ne pourront vérifier l'équation (2).

Cela posé, je dis que, si le module de t reste compris entre zéro et R, les racines de l'équation ( i ) varieront par degrés insensibles avec i. En effet, donnons à t une valeur Zo dont le module soit compris entre zéro et R, et désignons par Zq l'une des racines de l'équation (i);

on aurafo=7 — r et si, prenant pour Ù^Zq une quan-

tité infiniment petite, on détermine A?o par l'équation

fo4- A/o= -^ — ^5 il est clair que l'équation (i)

aura pour racine Zq^ Ù^Zq lorsqu'on donnera à f la va- leur ?o + A^o- La différence de nos deux valeurs de t est

_ Azq— ?o[/(zo+ AZo)-/(,?o)] ^ /(zo+ Azo)

et, comme la fonction y (:r) est supposée continue, la for- mule de Maclaurin lui est applicable; on a donc, en né- gligeant les infiniment petits du deuxième ordre,

d'où A3o = ° . A/o.

Le dénominateur 1 — tof^zo) ne pouvant être nul, on voit que, si la valeur to produit une racine Zq, la valeur ^o-h A^o produira une racine Zq-\- Azq, dont la diffé- l'ence à Zq deviendra infiniment petite avec Afo-

CnAPITRF. XI. 585

ÎNIais toutes les racines de rr(|ii;ili<)n (i) deviennent in- finies pourZ = o, à l'exception d'une seule qui se rcduil à x; celle-ci peut être considérée, d'après ce qui précède, comme une fonction continue de t pour toutes les valeurs de cette variable dont le module est inférieur à II, et, pour ces valeurs, elle est développablc en série conver- gente, parla formule de Maclaurin.

387. Désignons donc parz la fonction qui vient d'être définie, on aura

(4)

t fclz\ t- fcPz

•'Wo

\ \dl I 0 1.2 \(lt'^ / 0 l .2.'i\(it

1 I ^/=

j ••• exprimant les valeurs queprennent z, -i

dt

pourf.-=o. Et, si F(z) désigne une fonction continue de z, indépendante de t et de jr, on aura plus générale- ment

Il nous reste à calculer les coefficients de ce développe- ment. Pour cela, considérons ici le paramètre x comme une variable. Si l'on différenlic Téqualion (i) d'abord par rapport à t, puis par rapport à jc, il viendra

(6) [i-^/'[^]]^=/,^,. [.-r/'(.)]^.-., d'où l'on tire

En différentiant les dou\ membres de cette formule par rapport à x, et en multipliant ensuite par une func-

586' CALCUL DIFFÉHEKTIEL.

tion arbitraire 9(2) de z, on a

dx

?\

ajoutant cette formule avec la formule (7) multipliée par

doiz) dz d rplz) ., .

-V - -r = —, 5 il vient Oz ox ôx

dz dz

?[Z

OU

(8)

= f{z)

/(-)

1)

).>: |_ UXj

d.r

[^(^)^(^)Ël

à /

dt

Cette formule (8) nous montre que, si l'on doit prendre la déri\ ée, par rapport à f, d'une expression de la forme

(p(z) , il suffira de multiplier cette expression par y"(z)

et de prendre la dérivée du produit par rapport à jc.

Dilférenlions l'équation (8) ti — 2 fois par rapport à f ; on pourra, dans le second membre, intervertirl'ordre des diifërentiations relatives à. t et j^, et l'on aura

d"-

ùz

d("-'

dx

■[/(^■)^(=)È.]

Ot'

mais, dans le second membre, chaque difierentiation re- lative à t peut être remplacée par une différentiation re- lative à X, pourvu qu'on introduise d'abord un facteur /(z) ; on aura donc

d"-

i9)

dz

d"-

[/(

(h)

ô7v

Oi"-

■Jx"-

CHAPITHE \I. 587

et si Ton fait

d'un, ,1 ( aiisc âc r^quatinn ( 'j\

Oz ,)z .)i :.

il viendra

œiz) - — F(zi -^ = — — ^,

^^ ' dx ^ ' dt f)t

10

,,p,„ <)"-|[/W]"F'W^,i

Faisons maintenant f ^= o, on aura. parlY'quation(i),

Z„=.r, F(3o)=:F(.r),

puis, par les équations (6),

u ou

enfin la formule (10) donne

en sorte que la formule (5) devient

2... « f/x"-» ■ ■ ■ '

e ('^l la formule connue sous le nom de jOtinule de La- Si la fonction F[z) se réduit à ', on a

08S CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Remarque. — Si la dérivée F'(^) reste continue, la

fonction ^i— - = F'(z)^ est développable, par la

1— ty'[z) ^ ' dx ^^ ' ^

formule de Maclaurin, en série convergente ordonnée

suivant les puissances de t, tant que l'on a mod. t<^ R.

Pour avoir les coefficients du développement, il suffit de

remplacer <^{z) par F'(z) dans la formule (9), et de faire

ensuite f= o, 2 =0:, -—=::=: i ; on obtient de cette ma- ni ère

^^^^d^-^ '•'^^+7 dx "^t:^ ~dx^ '^■•"

ce qui n'est autre chose que le résultat de la différentia- tion de la formule (11) par rapport à x.

Applications de la formule de Lagrange.

388. Proposons-nous de développer en série or- donnée, suivant les puissances croissantes de t, la fonc- tion continue z, définie par l'équation

m étant un nombre entier positif. L'équation (3) du n° 386 se réduit ici à

z , mx z-=. X -A 1 cl ou 2 = ;

l'équation du même numéro (2) donne ensuite

t=z

et nous devons nous borner à donner à t des valeurs dont le module soit inférieur à la valeur numérique de

,r,m y.m—1 '

ciiapithe XI. j"9

la valeur de z donnée par la ronnulc (i i) du n" 38i devient alors

1.2 1.2.0

nminin - iK . . 'nm- n -■ ?. ) ^,„/«-«-t-i /"-;-.. . . I . 2 ... «

J^e tenue général de cette série a pour valeur

nminm — i). • ' nm- n - 2) „„,_„^., „ " ~ y .2.. . .n

et Ton a, par suite,

u„^y _ I { nm--- m]{ nm -^ m— \] . . (nm-^t) ^,„_i^. "^~n-ri («m"— ^r+2). . .;«m — /î-^w)

la limite de ce rapport pour n — ^ est égale à

m'

_;h — 1

(m-i

r, f)u à zL

?

et l'on reconnaît ainsi, par les règles ordinaires dr l'Algèbre, cpie notre série n'est convergente que pour les valeurs de / dont le module est inférieur à 1\.

389. L'emploi de la formule de Lagrange est souvent avantageux pour obtenir le développement en série des fonctions explicites; j'en présenterai ici deux exemples.

Supposons d'abord qu'on demande de développer en série ordonnée, suivant les puissances entières do t, la fonction

y/i — 2/x-i-/*

dans hicpicUe x désigne une quantité réelle donnée dont le module est inférieur à l'unité.

Je considérerai à cet elTct ré(piation du deuxième

590 CALCUL mFFÉRE]\TlEL.

degré

I ^ U- — 1

l) U = X ^ t — »

^ ' 2

dont les racines sont données par la formule

:y T — O.t.i-^t^

Pour que l'équation (i) ail ses racines égales, il faut que

l'on ait

I — 2.tX -h t- = o,

d'où l'on tire

t z=z X -\- \ i — x'^ \ — I ;

X étant réelle et comprise entre — i et + 1, le module de ces deux valeurs de t est égal à l'unité ; donc, pour toutes les valeurs de t dont le module est inférieur à i, celle des racines de l'équation (i) qui a le plus petit mo- dule estdéveloppable en série convergente ordonnée sui- vant les puissances entières et positives de t. Si nous sup- posons que la quantité t soit réelle et comprise entre — I et -hi, on aura, d'après la formule de Lagrange,

et, si l'on différentie par rapport à x les deux membres de cette formule (n° 387, Remarque), il viendra

y^i— 2.tx -\-t' en posant, pour abréger,

, _ I f/"(.r'- —

cnAi'iTUE XI. jyi

390. Supposons en second liou cproii veuille <Jéve-

l()i)|)( r la ionclion , ,——. suivanl les puissances crois-

11 (,_ ^jm + t 1

santés de t.

En ajipliquanl la formule de Lagranye à l'équation

où ~ di'siyno une fonction des variables ^ et t, elj\z) une fouclion quelconque de ~, il vient

— »

^ ^ 1.2...//

et, en dlilérentiant par rapport à 'Ç

dz _\y t" d"[F'{-^)/Cc]'*]

(^) ^'('ishlr

Maintenant soient

F'(c) =z'" et J{z) — z—i,

l'équation (i) donnera

K — t dz I

I — ^ d;, i—i

et, par suite, l'équation (2) devient

( i — f ]'"'+» ~" ^ 1 . 2 ... «

cil" '

SgO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

CHAPITRE XII.

DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES.

Théorèmes relaùfs à la dccoinposidon des fractions rationnelles.

391. La théorie de \di décomposition des fractions ra- tionnelles a une grande importance dans l'Analyse ma- thématique, et nous aurons particulièrement l'occasion d'en faire l'application dans le Calcul intégral. Aussi j'ai cru devoir reproduire ici tous les développements relatifs à cette théorie, que j'ai présentée dans mon Cours d' Algèbre supérieure (4*^ édition, tome I).

Nous commencerons par établir qu'une fraction ra-

tionnelle -;rr~.'> dont les deux termes sont des polynômes

/w ^ -^

quelconques premiers entre eux, est décomposable en une partie entière (qui peut être nulle), et en plusieurs fractions simples à numérateurs constants, ayant pour dénominateurs les diverses puissances des facteurs li- néaires qui divisent le polynôme y(a:). Nous démontre- rons ensuite qu'une fraction rationnelle n'est décompo- sable ainsi que d'une seule manière, et nous indiquerons f enfin le moyen d'effectuer la décomposition. '

392. Théorème I. — Si a désigne une racine de l'é- (/uation f[.r) = o, a son degré de multiplicité, en sorte (jue l' on ait

f[^] = [x-aYf[x],

CHAPITHE XII. SpS

fi{oc) (UanI un poljnninc non divisible fjar x — «, l<i

Ff.» fraction rationnelle -77—75 sunnosée irrfkluctible, noutra

toujours être décomposée en deux parties de la nianicre

suLvanLa :

F(x) ^ A F^(^)

A étant une constante, et F| {^x) un polj nônie entier. En effet, on a identiquement, quel que soit A,

F(.r) ^ FM ^ A FM -A/. M

/M (x-«)ViM (x-a)« (x-û)v;m'

et, pour que le deuxième terme du second membre ne conliennc à son dénominateur que la puissance a — i du facteur x — a, il faut et il suffit que le numérateur F(x) — Afi[x) s'annule pour x = a. Posons donc

F(a)-A/,(«) = o, on aura

A- !^

celte valeur de A sera finie et différente de zéro, puisque f, (rt) et F(a) ne sont pas nuls ; si Ton fait alors

FM-A/,(x)=r:(x-«)F,(.r),

on aura

Fi'.^-) _ A _ F,(x) ^

y» -{x- a; ^ [x- aY-'A[x) '

ce qu'il fallait démontrer.

CouoLLAïuE. — Si l'on a

f[x] = (.r — ii\'^lx — //«. . .[x — /;\

a, b, . . . , l étant des (juantités distinctes et a, o, . . . • A S. — Cu/c. di]f. 33

594 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

des entiers positifs, la fraction rationnelle -^j—^ pourra être décomposée de la manière suivante :

F(.r] _ A , A, , K_,

f[x) [x — aY [x—ay-'^ x — a

B B, Bg.t

{x—b\^ [x~b\^-

A-, A, , . . . , B, B, , . . . , L, L, , . . . , étant des constantes finies, et E(x) une fonction entière.

En effet, en posant, comme précédemment,

f[x) = [x-aYf[x) on a, par notre théorème,

Ff.r] A ¥Ax\

[x~aYf[x) [x-aY {x-aY~'f{xy

F,(.^) ^ A, ¥,{x)

x-aY~'A{.r) (x -«]«-> "^ [x -aY-' Aix)'

F„_,(.r) A„_, . FJ.Tr]

[x — a)fi[x) x — a fi[x)

A, A,, . . . , A„._j étant des constantes finies et détermi- nées, et F| [x), F2(x), . . . , F„(x) des fonctions entières. Il faut remarquer que la constante A n'est jamais égale à zéro, mais les quantités A,, Ao, . • . , A„_, peuvent être nulles, car l'un des polynômes F,(x), F2{x), . . . peut être divisible par a: — a; en ajoutant les égalités qui pré-

CHAPITRE xir. 5g5

cèdent, il vient

Ff.r] FM

/[a-j (^-fl^ViW

(x — a]'- (or — a)»-' x — a I.[x

« y.i

Si l'on pose

/,{x) = {x-hY/,{x],

Cl; ((ue 1 on oiiere sur la traction ,.-— comme nous ve-

/i [^1

nons de le faire sur -r^ — j on obtiendra une expression de la forme

FJ^) ¥Jx)

fti-r) (.r-/.)V.W

(x— 6)° [x — bf-* ■■■ x — b' /^[x] et, par suite,

F(x) ^ A _^ A, ^ _^ A,_.

/(a-) [x — aY~^ [x — aY-^ '''~^x—a

B , A, , , Rç_, . F,.s'.rl

(^-^/-^ (.r-è/-> ^■•- ' ^-é ■ f,^

-^ î

B, B,, ... étant des constantes déterminées et F„, ;(.î) une fonction entière.

En continuant ainsi, on obtiendra évidemment la for- mule qu'il s'agissait d'établir.

393. Tni-.ORÈME II. — iJne fraction rationnelle n'est dêcomposnhle que d'une seule manière en une partie entière et en JuncLiuns simples.

38.

5g6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Supposons qu'on ait trouvé ces deux valeurs d'une

Ff.r)

mcnic fraction rationnelle — ^— »

B

[x— hf

B'

'.r — h\^'

+ . ..-f-E^rl

-^E'(.r);

Ef.r)=- ^-_- +...-}- E'f.rl.

Cela posé, a et a' étant respectivement les exposants des plus hautes puissances de x — a dans les deux membres, je dis que a = a' et A = A'. Supposons, en effet, que a et a! soient inégaux et que a soit ^ a'; tirons de

A

l'équation précédente la valeur de -, t^? et réduisons

tous les autres termes au même dénominateur ; on aura

[x — aY [x—aY-^-^[x) OU

ip et t|/ désignant des polynômes dont le second n'est pas divisible par x- -a. D'ailleurs, A est une constante; il faut donc qu'elle soit nulle, car l'équation précédente donne A =; o pour x = a. Si donc A n'est pas nulle, on ne peut pas supposer a ^ a', et l'on ferait voir de même que, si a' n'est pas nulle, on ne peut supposer non plus a <^ a' ; ©n a donc a = en! .

Je dis maintenant que A= A'; en effet, de la formule

CMAPITUF. XII. 597

qui cxpriiiK' l'(';;alilé des deux, valeurs de -.- — on tirera, a' élanl é^al à a,

A--A' yfx)

ou

A-A' = [.r-«)A.^-,

o et (]> étant, comme précédemment, des polynômes dont le second n'est pas divisililo par x — a\ la dilVércnce A — .V est doiu; nulle, car, pour x==^, le second mem- bre de la formule [)récédenle se réduit à zéro.

Les termes qui renferment la plus haute puissance de X — rtcn dénominateur, dans les deux valeurs de la Irac- tion rationnelle, étant égaux entre eux, on pourra les supprimer et les deux restes seront égaux. En raisonnant de même sur ces deux restes, on voit que les termes qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance du même binôme x — a, ou d'un autre binôme, sont aussi égaux entre eux: et, en continuant ainsi, on reconnaît

que les fractions simples des deux valeurs de - - sont

» ./ \-^ )

égales chacune à chacune : il en résulte, par conséquent, l'égalité des parties entières E(x) et E'(x).

CoiiOLLAiRii. — La paille entière c/ui figure (hms la

¥ [x] valeur d' une fraction rationnelle-—, décomposée en

fractions simples est égale au t/uotient entier de la d vi- sion de F[x) par f[x).

Car, si l'on désigne par E(j") le quotient et par o[x) le reste de cette division, on aura

5gS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

le numérateur de la fraction ~,-~—^ étant de de^ré inférieur

au dénominateur, cette fonction s'annule pour a' =^^co , et en conséquence elle ne peut renfermer de partie entière.

Cas d'une /jonction rationnelle dont le dénominateur n'a que des facteurs simples.

394. Soit

f[.T] = {x-a)[x-b)...[.T -l),

a, h, ..., l étant des quantités différentes; siF(a:) désigne un polynôme quelconque, on aura, par ce qui précède,

A, B, . . . , L étant des constantes déterminées et E(x) tme fonction entière.

Ainsi que nous l'avons déjà dit, le polynôme E[x) peut être obtenu en effectuant la division de F(a:) par f{x) ; il reste à déterminer les constantes A, B, . . . , L. L'équation (i) devient, en multipliant pary"(x),

X — a a: — /; x — /

Cette égalité a lieu identiquement ; si l'on y fait x = a, tous les termes du second membre s'évanouiront àl'excep- tion du premier qui se réduira à A/'(a). On a, en con- séquence,

F{a) = Af'{a), d'où A = ^"^

d'ailleurs a est l'une quelconque des racines de l'équa- tion f{x) ■==. o ; donc

2 A= -77-^' B =

f\ciY /'[l'Y f'[i)

cnAPiTiiE XII. 599

cl la formule (i) dcvicnl

/F(x)_ F(«j , __!iy +...

7H-/'(«)(i-«) f'[b)[x-b)

Lorsque le degré de ¥(x) est inférieur au degré m de f[x), la partie cnlicrc E(x) se réduit à zéro, et l'on a simplement

FW _ F(.) ^ __FL*)__ +..._. —H^. Soit

F(x) — Po-r'"-' -;- Pi.r'"-- -r . . . — V,„-iX -4- Pm-f

Si l'on multiplie la formule (4) par/(a:) et qu'on or- donne le second membre par rapport aux puissances dé- croissantes de X, le coefficient de x-"' sera évidemment

et cette somme sera égale à Po ; on a donc

le signe S indiquant qu'il faut remplacer x par chacune des m racines de l'équation/(x) = o, et faire la somme des résultats. Si la fonction ¥{x) est au plus du degré 711 — 1, la quantité Po est nulle et l'on a dans ce cas

formule qui est utile dans plusieurs circonstances.

GOO CALCUL DIFIÉREJNTIEL.

Méthodes jyoïœ effectuer la décomposition d' une fonction rationnelle, dans le cas général.

395. Le théorème I du n° 392, par lequel on démontre la possibilité de la décomposition, donne aussi le moyen de l'effectuer. En effet, si l'on fait

/(x) = {jc: — aY/i{x),

nous avons vu que l'on a

/(x) [.v—af^ (.27— «)«-'/j(x)

en posant

F(.i ^W-.,^^-(')

M")

et Fi ( X j =

on a ainsi l'ime des fractions simples demandées, et, pour trouver les autres, il suffira d'appliquer le même théorème à la fi^action complémentaire

FJ.T)

Dans le cas où l'équation J'{x) = o n'a que des racines simples, on retrouve facilement de cette manière la for- mule établie au numéro précédent; mais, ce cas excepté, l'emploi du procédé dont il vient d'être question exige des calculs assez pénibles.

396. On peut aussi employer la méthode des coeffi- cients indéterminés dont nous avons déjà fait usage au n" 39-4. Soit la fraction rationnelle

FM

r.ii\piTnE MI.

Gol

(0

que nous supposons irrcduclible et dont le dénominateur est divisible par la puissance a"""* du binôme a- — a, mais ne l'est pas par une puissance supérieure. Pour trouver les fractions simples qui répondent à la racines, on posera

FV) _ A , A, _ A,_., , Lr — a\''Yjx]

f[.r) ~ (T"— ^ "^ (^-«/-' "^ • • • "*" :^_7, ~ YÇr) '

conformément au théorème I. Si l'on multiplie cette for- mule pary"(j:) et qu'on remplace x par a-\-h, on aura

or on a

F(a--/i) = F(«)-l-//™ H-..,-hA»-» _^"~'(^) -I-.. ^ ' ^ ' I 1.2... ;a— l)

^ ' I .2. . .a 1 .2, . .(a + i)

et, en portant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient

^ ' I 1 . 2 . . . (« — I )

Ll.2...a i.2...(aH-lj J

I I .2. . .a l .2. . .'^x -f l) J

Cette formule a lieu, quel que soit //, et, si l'on égale de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances

602 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de A jusqu'à celles de degré a — i , on aura

=:F[a

1 / \ **' (

I .2. .	a
/"(«
I .2. .	«
f-io

/«+'(«) F'(

2. . .(a H- l]

I ' A, ,- Al ^—^ -\- A '■ p :- — — ' —

1.2... a I .2. . . ^a -+- Ij 1.2...(«-h2j 1.2

1-2. ..« I.2...(a + l) 1.2. ..(2a — l) 1.2,

Ces relations permettent de calculer successivement A, ■A<, ..., A„_i elles valeurs de ces coefficients seront finies et déterminées, car /"(<?) est, par hypothèse, dif- férente de zéro. On peut obtenir par ce procédé les frac- tions simples qui répondent aux diverses racines de l'équation /(jr) = o; quant à la partie entière, on la trouvera, comme nous l'avons déjà dit, en divisant F(jr) par/(x).

Le calcul peut encore être dirigé de la manière sui- vante : après avoir déterminé la partie entière, par la division, on égialera la fraction complémentaire à la somme des fractions simples dans lesquelles elle peut se décomposer, chacune de ces fractions ayant pour numé- rateur une indéterminée. On chassera ensuite les déno- minateurs et l'on exprimera que les coefficients des mêmes puissances de la variable sont égaux dans les deux membres. On obtiendra ainsi les équations néces- saires pour la détermination des coefficients.

397. Enfin on peut effectuer la décomposition par un procédé qui n'exige que la division algébrique. En effet, si l'on pose, comme nous l'avons fait plus haut,

f[x)=:U-aYf,{.r),

I

chapituf. XTi.

Go^

et que l'on écrive a-i-Aau Heu Je x, la lurmule (i^ du numéro précédent, multipliée par ^', deviendra

et l'on voit que le jiolynùnic

A + A,// + A2 //--!-. . .H- A,_,/i'-'

est le quotient que l'on obtient quand on divise l'un par l'autre les polynômes F(a-i- 7/ ; et/,(fl-}-//) ordonnés par rapport aux puissances croissantes de h, et que 1 on poursuit l'opération jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste du degré a; on obtiendra donc, parcelle division, les fi-aclions simples qui se rapportent à la racine a.

On pourrait déterminer de cette manière, indépcn- dammenl les unes des autres, les fractions qui se rap- portent aux diverses racines, mais il sera plus sijnple

d'appliquer la même méthode à la fraction \ ? qui

complète les termes déjà trouvés ; on obtiendra ainsi les termes qui se rapportent à une deuxième racine, et une troisième fraction sur laquelle on continuera l'opération.

398. La méthode précédente a surtout l'avantage de faire connaître l'expression algébrique des numérateurs des diverses fractions simples dans lesquelles se décom- pose la fraction rationnelle proposée. En cd'et, la divi- sion des polynômes F(rt -h h) ei f\[a-\rh), que nous avons eflectuée dans le but d'obtenir les coefficients A, A|, Ao, . . . , revient évidemment à développer la fonc-

F[a-¥-h] , . , , . .

tion -.-^^ ■ en série ordonnée suivant les puissances

J\ (« + 1^) croissantes de h, cl, comme une fonction n'est dévclop- pable que d'une seule manière en une série de celte espèce, on obtiendra le même résultat en laisanl usaçe

004 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de la formule de Maclaurin. Si donc on pose

Fir]

yiw='^^-^^

on aura

+ /,»-. —^-'i::> _, /,.R„

en désignant par //"R, le reste de la série; ici R( est

une fonction rationnelle de h qui n'est point infinie pour

7 ' 1 1 F (n -^ h]

/iz= o, et, par conséquent, cette valeur de ~ ^-r est

^ /i (« + ^j

identique à celle trouvée précédemment. On aura donc

^ I . '2

Aoc_i =

d'où résulte ce théorème général : Théouème. — Si l'on a

f[x) .-= [x - aY{.T — bY ...[x — l)\

que F(x) désigne inie fonction entière de x, dont le quotient par f{^x)soit E(j:), et que V on fasse, pour abréger,

,[x)=.[x-aYJ^^y ^x)^[x-UYf^y -•' I \ I r- ^^-''^

u{x] = [x — l

on aura la valeur suivante de la fraction ration-

nellc ,.,

CHAi'iir.i: Nii. 6oj

F(.r) _

/H ^ ^

-1-...-t-

— «j» (.j- — nj»-' l.2(.r — n)"-' 1.2.,. (a — i)[x — a

'"—ù,^ I.T—b]^-'i ,.2f.r— ^',5-ï ••• ■ 1.2... (iï — I) tj- — 6

[jc-l]^ [x — i)''-' '^ 1.7. [a:— l)^-- ' '" l.?....(). — Ij (x — /

Forme nouvelle de l'expression d'une Jonction rationnelle décomposée en /raclions simples.

399. Le rc'sullat qui précède est susceptible d'une autre forme très-simple et très-élégante que nous allons faire connaître. Désignons par F(x) une fonction ration- nelle quelconque, par

•''i' -^'i ^>

les racines de l'équation

I

et par

— o,

m,, m.,.

les degrés de multiplicité respectifs de ces racines. Soit aussi, pour abréger,

y(.,-) = (x-x,)"'.F(.r),

©(a-) désignant une fonction qui a une valeur finie difie- rente de zéro pour x = Xf.

Si 1 on imagine que la lontlion rationnelle F(x) soit

6o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

décomposée en fractions simples, la somme des fractions relatives à la racine Xj sera

I.^.r — Xi

+

ainsi qu'on l'a vu plus haut. Par suite, cette somme s'ob- tiendra en faisant (^ = o dans l'expression

[x — Xy — 'C^y"-i i,(.r — .r-1 — Çj"'i-i

1.2... (wi — ;■ — i) (.r — Xj — Ç]''+i ■■ i.2...(mi — i)(.r — Xf

Or <p'(X) -|-(^), a'"(jc, -h^), ... peuvent être considé- rées comme les dérivées de œ (a:< +- ^) par rapport à la variable ^, et alors il est aisé de voir que l'expression précédente se réduit à

ï .7- — ./•; — Ç

le symbole r(p) désignant le produit des p — i premiers nombres entiers quand p est plus grand que i , et devant être réduit à l'unité quand p est égal à i. Gomme on a

la somme des fractions simples relatives à la racine, X\ sera égale à la valeur que prend, pour ^= o, l'expression suivante :

lU. — 1 Z ' ' _i

cl

1 .T X^ Ç,

Si donc la fonction rationnelle F(j:) ne contient pas de

CM Mil lii; xii. l)ijy

parlie entière, on aura

Zr(/«,;

Dans celle foriinilc. il laiil faire ^ = o, après les dilTé-

rcntialions; le si^ne sominaloire \ s'éleiid à loiiles les

raeinesa'i, x^, . . ., x^. Il esi prescpie superflu tl ajouler que, si le degré de mulliplicité d'une racine, de a'i par

. , ?"'• F(.ï-, -h :)

exemple, est égal à i, la dérivée ^^^ _^ ' — doit

, , . . ? F(.r, -\- 0

être réduite a ^

X — .rj — c,

Si la fonction F(a:) contient une partie entière E{x),

on a

Ff.r] = Ef ^ — • --^.-Ç

2^r(m,

r^?''

il est aisé de trouver la valeur de E(x). Désignons par n l'excès du degré du numérateur de F(,r) sur le degré du dénominateur; n sera le degré de E(x). Cela posé, si Ton

change x en - ilans l'équation précédente et qu'on mul- tiplie ensuite, de part et d'autre, par ~", on aura

rfÇ"'.-*

Il s'ensuit que, si l'on développe z"F i~\ en si-rie or- donnée suivant les puissances croissantes de ". la somme des termes dont le degré ne surpasse pas n sera c^E ( -) •

6o8 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

Or, '( désignant toujours un infiniment petit, on a, par la formule de Maclaurin,

. , d:"F(~\ , cPC"f(-

^K J I cii 1.2 d%^

donc

r/!;"F( - ) r/"(;"F (-

.«Eli =ç«f''^ . . ■ Uy =. \ç

et, par suite,

I

.r«-^^^''^"^\i:

P;;«f/1\

I .2 f/Ç"-^ I .2. . . « t/Ç"

On peut trouver une autre expression plus simple du polynôme E(x). En effet, le coefficient de "(""' dans le

développement ^"Fl - 1 1 suivant les puissances crois- santes de ^, est égal au coefficient de ^" dans le dévelop- pement de ^"+'F ( - ) ; d'ailleurs, ces coefficients sont les valeurs que prennent, pour '( = o, les deux quantités

donc on a, pour ^= o,

d"-'i"F l^\ r/"(;"+'F(r

r(« — /+T] ^"-' "■ r(«4-i] 7/ç'^

rnMMTnp \n. ^09

et il (';iiil rcmarqiici' (|iic \r. j)rciiiirr iiictii!)!-!; iluil ('iir i<'--

D'après cela, la valeur pi-i'-cédenlcMlc Iv .7- 1 devicnl

Efxl =

'f":"v(^j^ 'n-?.r-i-i;^/-2-f-...-4-^'»x'')

r ( // -h I ) (/;"

enfin, comme on a évidemment, pour ^=0, et pour i>n,

r.n =0,

on peut aussi écrire

E [.r) = -,-1—^ ^' :

^ ' r[rt-hi) dÇ''

ou

d" ^-ll

E X^ =:

r[n-hl} dÇ"

On a donc la formule suivante, (pii dounc la valeur d'une fonction rationnelle quelconque F(u.) décomposée en une partie entière et en fractions simples, savoir :

la quantité ^ devant élre égalée à zéro après les diflé- rcnllations.

S. — Cale. dijf. 39

6"lO CALCUL DIFFÉREKTIEL.

Mode parliculier de décomposition pour les fractions rationnelles et réelles dont le dénominateur a des facteurs linéaires imaginaires.

400. La théorie que nous venons d'exposer s'applique

à toutes les fractions rationnelles -^. — - -, et les coefficients

peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou imagi- naires. Mais lorsque ces coefficients sont réels et que parmi les racines de réquationy(j:) = o il s'en trouve quelques-unes qui sont imaginaires, l'expression de la

fonction réelle — — - est elle-même compliquée d'imagi-

J ["^ I naires. On a cherché à modifier, dans ce cas, la manière

d'effectuer la décomposition, et l'on y est parvenu comme

nous allons l'indiquer.

4-01. La possibilité du nouveau mode de décomposi- tion que nous avons en vue résulte du théorème suivant:

Théorème L — Six- -\-px -\-q est le produit de deux facteurs imaginaires conjugués du polynôme réel f [x] , n la plus haute puissance de ce trinôme qui di^'ise f [x), en sorte qiî on ait

f[x) = [x^' + px-^q)"f[x), la fraction réelle et rationnelle . . . pourra être dé-

f v)

composée en deux parties, de la manière siduante :

F [x] _ P.r-f-Q _^ F,(.7-l

f[.T)~[x:'-x-px-^q)" ' [x'-\- px -i- q)"-'f\[x]'

P ei Q étant des constantes réelles, et F<(x) un poly- nôme réel.

CIIAPITUE xir. fil I

En effet, on a idcnliquemcnt

F{x) _ Y{.t)

/(x) - (x«-f-/..r-i-7)«/.(-r)

_ Px-I-Q F(:r;-(Pjr-HQ)/,(.r)

et Ton peut déterminer P et Q de manière que le numé- rateur de la deuxième partie du second membre soit di- visible par X- -{- p X -h (/ y c'est-à-dire de manière que ce numérateur s'annule quand on remplace x par chacune des racines de l'équation

x--h px -h rj ^= o.

Soient A-l-A y — i et ïi — A y, — i ces deux racines, et posons

on tirera de là

M et N étant des quantités réelles dont les valeurs sont finies et déterminées, puisque, par hypothèse, y, (a-) n'est pas divisible par x- H- /7X H- (7. L'équation précédente se décompose dans les deux suivantes :

P/i-f-Q = M, PX^N,

lesquelles donnent pour Pet Q ces deux valeurs réelles et finies.

Les valeurs de P et Q étant ainsi déterminées, nous po- serons

F(:r)-P(^-4-Q)/,(x)

px -\- q ^ '

30.

6l2 CALCUL niFFÉUENTIEL.

Fi[x) désignant un polynôme réel, et l'on aura Flx] P.r + Q F,(.r)

ce qu'il fallait démontrer.

Fix) Corollaire. — La fraction rationnelle -rr-r pourra

., . •^(■'^)

se décomposer de la manière suivante :

Fix) P.r-f-Q Pi^ + Qi

f[x) [x^--hpx -hq)" [x^ -^px+q)"-'^

"^ X^- -^ px '\- q J\[-t)

P, Q, P<, Qi, ... désignant des constantes réelles et ¥n[x) un polynôme réel.

402. En combinantlethéorèmeprécédent avec le théo- rème analogue démontréau n'^BOS, on obtient celui-ci :

Théorème II. — Si l'on décompose le poljnôme f [x) en facteurs réels du premier et du deuxième degré, en sorte qu'on ait

f{.T) = [x—aY[x~§Y...{x—lY[x^-+-px-{-qy\..{x^-~hrx-hs)"',

Flx) on pourra décomposer la fraction rationnelle -~r de la

manière suivante :

+ r-X^-i'..-+'^,

Por + Q , Pi-r + Q, _ , P„_,x + Q„_,

[.r.^-h pJ^-hq)"- [x'-hpx-h q)"—^ x' + px-^q -+

>^j;i^rx-^s)"' [x- -+-rx-i-sy"-^ '"'^ x^~-{-rx-{-s '

(iiAi-nr.K \Fi. fil?)

E(x) désignant ii/zr pa/ fie rntirrrtfui peut être nu/le, ri

A, A L, L, l',(^I»,.Q,,...,R, S, R,,S,....

(les constantes réelles.

403. Théorème 111. — C ne fraction rationnelle n'est (U'-coviposahlc (juc d'une seule vianiere en fractions simples de la foriiic (pi' on vient de considérer.

Soient deux valeurs d'une même fraction rationnelle

'■• On démontrera, comme au n" 393, l'éf^alité des

fractions simples qui correspondent aux facteurs du premier degré du dénominateur, et quant à celle des iractions simples qui correspondent aux facteurs du se- cond degré, elle peut se démontrer d'une manière ana-

1 1 • c • I" ' ^ Q 1 logue, comme onvalevoir. boient — le terme

dont le dénominateur contient la plus haute puissance

11 - 1 1 F(-^)

de x--\- px-^q dans la première valeur de -p^i — ^' ^^

P' r -f- 0' — : — '- — -^^ 7 le terme analogue dans la seconde va-

(jr*-l-/Jj7H-<7J« ®

leur. Je dis d'abord que n'=^n. Supposons, en effet,

que cela ne soit pas, et que l'on ait n^n': de l'égalité

F ( .z* ' (lui a lieu cnlrc les deux valeurs de -.f- tirons la valeur

de '■ -^ ; celte valeur sera exprimée ])ar une

[jr-^-p-r-i-q)"' ^

somme de quantités dont aucune n'a en dénominateur une puissance de x- -\- px-\-i] supérieure àla « — i "'""'. En réduisant donc toutes ces quantités au même dénomi- nateur, on aura une égalité de la forme

P.r-!-Q y. ri

ou

Pj: -\- Q _^ (x* -\-p.T -f- q ) y—- ,

6l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

9(x) et <^(x) désignant des polynômes, dont le second ^{x) n'est pas divisible par x- -\-px-[-q. Or l'égalité précédente est impossible ; car, autrement, l'équation Px -H Q = o devrait mettre les deux racines de l'équa- tion jc- + px -+-qz=o, ce qui ne peut arriver, à moins que P et Q ne soient nuls en même temps contraire- ment à l'hypothèse. Onnepeutdonc supposer « ^/i' ni Ji''^n, pour une raison semblable; par conséquent, on a n! = n.

Je dis maintenant que l'on a aussi P'= P, Q'= Q- Re- prenons, en effet, l'égalité qui a lieu par hypothèse entre

ji' { ^'\ les deux valeurs de -—•> mettons dans un même membre

. , P.r + Q P'^ + Q' ,

Jes deux termes — ; — ^^^ — et —-^ ^ — 5 et dans

[x'--{-px-\-q)"- [x--r-px-{-g)"'

le second membre tous les autres termes dont les dénomi- nateurs ne contiendront aucune puissance de x^-]-px-\-q supérieure à la (n — lyème. réduisant tous ces derniers termes au même dénominateur, on aura une égalité de cette forme :

(P-P'].r-HfQ-0') <f[x]

ou

(P-P')^ + (Q-Q') = (.r'- + ;..r + ^)^],

©(x) ett^(x) désignant, comme précédemment, des poly- nômes dont le second n'est pas divisible parx^-f-/7xH-^, et l'on fera voir aussi, comme plus haut, que celte égalité exige

p = p', qzi^ç^.

F f.r]

Il suit de là que, dans les deux valeurs de — y— > les termes

y [^•)

qui contiennent en dénominateur la plus haute puissance d'un facteur du second degré sont égaux; en supprimant

cnAPiTiir. XII, ^J' >

ces deux termes, les deux, restes auront encore, pour l;i mc^meraison, deux termes égaux; et, en continuant aiiiM, on voit que les deux valeurs de la fraction considérée ne sont formées que de fractions simples égales chacune à chacune : il en résulte en même temps l'égalité des par- lies entières, s'il y en a.

404. Méthodes de décomposition. — Pour effectuer la décomposition d'une fraction rationnelle -j—-, on déter- minera la partie entière et les fractions qui correspondent aux facteurs réels du premier degré du dénominateur, comme on l'a vu aux n"^ 395 et suivants. Quant aux fractions qui correspondent aux facteurs réels du second degré, on pourra les déterminer successivement par le procédé mémo qui nous a servi à démontrer lo théorème I. On pourra aussi faire usage de la méthode des coefficients

indéterminés.

Dans le cas où les racines imaginaires de l'équatron f[x) =o sont toutes inégales, on peut déduire la nou- velle expression de la fraction rationnelle -— ^ de celle

qui a été établie au n° 39 i. Soient, en effet h + h\P^i et /, — A-^^ deux racines simples imaginaires cl conju- guées de l'équation /(x) = o; rcxprcssion de la frac-

F ( ri tion — ^ contiendra les deux termes suivants :

y»

f\h-hksj — i] x — h — hsj—i

Fjh — A-^/'^) ■

f'[h— />\j—'ï} x — h— /i\j'^

«lont la somme a la forme

A -f- D y/^i" A — H y - 1

6l6 CALCUL DIFFÉREINTIEL.

et peut en conséquence se réduire à une expression telle que

P^ + 0

Il résulte de là que la fraction — ^ ^,T — :? où P et O désignent des constantes réelles, pourra remplacer, dans l'expression de y — r 5 les deux fractions simples qui cor- respondent aux racines h — k\J — i.

Détermination d'une fonction entière par le mojen des valeurs ijui répondent à des valeurs données de la variable.

405. Une fonction entière du degré ni de la variable x est entièrement déterminée lorsque Ton connaît les va- leurs de cette fonction qui répondent k in-\-i valeurs données de x. La formule qui détermine la valeur de cette fonction est précisément, comme on va le voir, celle qui a été établie au n" 394, et qui exprime la valeur d'une fraction rationnelle décomposée en frac- tions simples.

Soient

«Oi ^1, «2» ' • ■ ■> ^hn

les valeurs d'une fonction F(x) du degré/;/, correspon- dant aux valeurs données

âX/Q, '^1, «^2^ * • • t ^/n

de la variable x; posons

/[x) = {.r — Xo) {.r — .rj) [x — x^] . . .(.r — ^„,], on aura

cHAiMTiu; XII. Giy

cl, par consc(jucnl,

/'(jr^l = (.r^— .roj (.rj,— x,). . .( J-j,— .r,„V

Cela posé, le degré de/fx) surpassant d'une unité celui deF(x), on a (n°394)

F(.t)_¥(x„] I F(.r,^ I__^ ^ F(.r„,] I

7(j:)~"/'(.ro].r— ^0 /l-^'i Jr— -/"i "" /'{-im) J^— -^"/i

et, en ehassant le dénominateury(j:), il viendra

'j; — Jr, ) (j: — .r,) ... {x — x^)

Fix =«0

^ u"o — 0^1) ( ^0 — -^2 ) • • • 1^0 — -^m ;

fx — .r-ol ^r — ^2) , . . (.r — j;„ ]

+ Ui- — — — ■

( .r, — ^-0 ) ^ .r , — x, I . . . ' x, — .r,„ I

f.r — .rn'i '.r — .r, 1 . . . f.r — x„,_, )

Cette formule donne la solution de la question pro- posée : d'ailleurs celle-ci ne peutadmettre une autre solu- tion; car, s'il existait une fonction F,'x) du degré ///, différente de F ( a: ) et satisfaisant aux conditions du pro- blème, l'équation

Fi(x)— F(x]:z:=0,

qui est au plus du degré m, admellrait les m-i-i racines Xo, Xi, ..., Xmy cc qui cst impossiblc.

FIN Ot TOME PRr.MIER.

8*70 Paris. — Imprimerie de CiOTain-ViLt*»» , qnel des AnKii*<lns, M.

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